Kuliah 5 :
Perhitungan Besaran Penampang dan Tegangan Tegangan Lentur 1.
Mom omen en In Iner ersi sia a Pe Pena nam mpa pang ng Ter ersu susu sun n 2. Momen inersia utama 3. Sumbu ut utama pe penampang 4. Tegangan Le Lentur
Pada kuliah ke ke empat sudah sudah dijelaskan dijela skan bagaimana menentukan besaran momen tahanan (W) pada suatu penampang dan hubungan antara antara momen tahanan dengan Momen Inersia Penampang (Ix)
Momen tahanan “W” adalah besaran penampang yang berfungsi menghambat tegangan lentur atau tagangan normal akibat momen lentur. Makin besar W maka tegangan normal yang terjadi pada penampang akan makin kecil. Hubungan antara tegangan normal, momen lentur dan momen tahanan dapat dinyatakan dengan rumus M W
Jika balok berbentuk empat persegi panjang dengan lebar = B dan tinggi = H
M=F*⅔H F=
*½H*½*B
M=
*¼H*B* ⅔H
M=
* 1/6 * B * H2
= M/W
W = 1/6 BH2
Jika balok berbentuk empat persegi panjang dengan lebar = B dan tinggi = H
= M/W
W = 1/6 BH2
Makin tinggi penampang balok, maka nilai W makin besar sehingga tegangan yang diterima oleh batang makin kecil.
= M/W
W = 1/6 BH2
Makin tinggi penampang balok, maka nilai W makin besar sehingga tegangan yang diterima oleh batang makin kecil.
Menentukan tegangan pada suatu penampang akibat momen lentur juga dapat dilakukan dengan cara lain yaitu dengan menggunakan besaran penampang lain yaitu Momen Inersia. Kelebihan cara cara ini adalah nilai teg tegangan angan pada suatu elevasi tertentu tertentu pada suatu penampang dapat ditentukan.
Dari rumus di atas maka untuk menentukan tegangan teg angan normal akibat momen lentur dapat menggunakan rumus :
Dengan y adalah jarak serat ke sumbu berat penampang dan Ix adalah momen inersia penampang terhadap sumbu X.
M
σi
yi y 2dA
2
y dA y 2dA
σi
yi
y 2dA
momen inersia penampang
My Ix
Dari rumus di atas maka dapat disimpulkan bahwa nilai momen inersia yang makin besar akan memberikan kemampuan yang makin besar bagi sebuah penampang dalam menahan lenturan. Atau makin besar momen inersia maka tegangan teg angan yang terjadi pada penampang makin kecil.
Momen inersia sebuah penampang adalah hasil perkalian antara antara luas penampang dengan kuadrat jarak titik berat penampang ke sumbu atau garis tertentu. Momen inersia penampang terhadap sumbu Y :
Momen inersia penampang terhadap sumbu X dan sumbu Y
Disamping momen inersia elemen penampang terhadap sumbu X dan sumbu Y juga dapat dihitung momen inersia produk yaitu hasil kali luas elemen dengan dengan jarak terhadap sumbu X dan sumbu Y = Ixy
Ixy
xy dA
Momen inersia produk sangat diperlukan untuk menentukan menentuk an apakah sebuah penampang dikategorikan sebagai penampang simetri atau tidak simetri. Momen inersia produk juga dapat digunakan untuk menentukan menentukan apakah momen inersia i nersia Ix atau Iy adalah momen inersia maksimum atau minimum.
Ix
1
Iy
1
12 12
Ixy Ix
1 36
B H
I x
BH
HB 3
0 3
1 4
3
4 R
contoh
Balok dengan panjang 19.5 meter mempunyai ukuran penampang 30 x 60 cm2. Balok menderita beban merata q = 5 kN/m’. Hitung tegangan maksimum yang terjadi pada posisi tumpuan A dan tumpuan B serta pada titik C. Gambarkan diagram tegangan pada ketiga titik tersebut. Momen pada titik A = MA = ½*5*2.5 2 = 15.625 kNm Momen pada titik B = MB = ½*5*2 2 = 10 kNm Momen pada titik C = MC = 50.375*7.5 – ½*5*102 = 127.8125 kNm Ix = 1/12 * B * H 3 = 1/12 * 0.30 * 0.60 3 = 0.0054 m4 W = 1/6 * B * H 2 = 1/6 * 0.30 * 0.60 2 = 0.018 m3
contoh
σmax
di A = (15.625*0.30/0.0054) kN/m2 = 868.056kN/m2 = 0.868
MPa σmax di B = (10*0.30/0.0054) kN/m2 = 555.556 kN/m2= 0.556 MPa σmax di C = (127.8125*0.30/0.0054) kN/m2 = 7100.694 kN/m2= 7.101 MPa
contoh
contoh
Momen inersia pada contoh perhitungan di depan adalah momen inersia untuk penampang tunggal. Bagaimana menentukan momen inersia penampang tersusun ?
Perhitungan luas penampang A, titik berat penampang, sumbu berat penampang, penampang, momen inersia penampang Ixo dan dan Iyo dapat dilihat pada materi kuliah 3 dan 4. Bagaimana menentukan momen inersia penampang terhadap sumbu X dan Y ?
Contoh 1
A = 300 + 900 + 300 = 1500 cm 2 Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = (22500 + 36000 + 1500)/1500 Y = 40 cm X = (300*15 + 900*15 + 300*15)/1500 X = 15 cm Ix = 1/12*30*103 + 30*10*(75-40)2 + 1/12*15*603 + 60*15*(40-40)2 + 1/12*30*103 + 30*10*(5-40)2 Ix = 1010000 cm4
Iy = 1/12*10*303 + 30*10*(15-15)2 + 1/12*60*153 + 60*15*(15-15)2 + 1/12*10*303 + 30*10*(15-150)2 Iy = 61875 cm4 Ixy = 10*30*0*0 + 10*30*(15-15)(75-40) + 60*15*0*0 + 60*15*(15-15)(40-40) + 10*30*0*0 + 10*30*(15-15)(5-40) + Ixy = 0 cm4
Contoh 2
A = A1 + A2 + A3 = 1500 cm 2 Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = 40 cm X = (300*30 + 900*22.5 + 300*15)/1500 X = 22.5 cm Ix = 1/12*30*103 + 10*30*(75-40)2 + 1/12*15*603 + 15*60*(40-40)2 + 1/12*30*103 + 10*30*(5-40)2 Ix = 1010000 cm4 Iy = 1/12*10*303 + 10*30*(30-22.5)2 + 1/12*60*153 + 15*60*(22.5-22.5)2 + 1/12*10*303 + 10*30*(15-22.5)2 Iy = 95625 cm4 Ixy = 10*30*0*0 + 10*30*(30-22.5)(75-40) + 60*15*0*0 + 60*15*(22.5-22.5)(40-40) + 10*30*0*0 + 10*30*(15-22.5)(5-40) Ixy = 157500 cm4
Contoh 3
A = A1 + A2 + A3 – A4 A4 = 1000 cm 2 Y = (300*75+900*40+30 (300*75+900*40+300*5-500*40)/100 0*5-500*40)/1000 0 Y = (22500 + 36000 + 1500 - 20000)/1000 Y = 40 cm X = (300*15+900*15+300 (300*15+900*15+300*15-500*15)/10 *15-500*15)/1000 00 X = 15 cm Ix = 1/12*30*103*2+ 1/12*15*603 1/12*10*503 + 30*10*(75-40)2 + 15*60*(40-40)2 + 30*10*(5-40)2 – 10*50*(40-40)2 Ix = 905833.333 cm4 Iy = 1/12*10*303*2+ 1/12*60*153 – 1/12*50*103 + 30*10*(15-15)2 + 15*60*(15-15)2 + 30*10*(15-15)2 – 10*50*(15-15)2
Contoh 3
Ix = 1/12*30*103*2+ 1/12*15*6031/12*10*503 + 30*10*(75-40)2+ 15*60*(40-40)2+ 30*10*(5-40)210*50*(40-40)2 Ix = 905833.333 cm4 Iy = 1/12*10*303*2+ 1/12*60*1531/12*50*103 + 30*10*(15-15)2+ 15*60*(15-15)2+ 30*10*(15-15)210*50*(15-15)2 Iy = 57708.333 cm4 Ixy = 30*10*(75-40)*(15-15)+ 15*60*(40-40)*(15-15)+ 30*10*(5-40)*(15-15)10*50*(40-40)*(15-15) Ixy = 0 cm4
Contoh 4
Ix = 1/12*30*103*2+ 1/12*15*603 1/12*10*603 + 30*10*(75-36.6667)2 + 15*60*(40-36.6667)2 + 30*10*(5-36.6667)2 – 10*60*(45-36.6667)2 Ix = 805000 cm4 Iy = 1/12*10*303*2+ 1/12*60*1531/12*60*103 + 30*10*(15-15)2+ 15*60*(15-15)2+ 30*10*(15-15)210*60*(15-15)2 Iy = 56875 cm4
Y = 36.6667 cm X = 15 cm
Ixy = 30*10*(75-36.6667)*(15-15)+ 15*60*(40-36.6667)*(15-15)+ 30*10*(5-36.6667)*(15-15)10*50*(40-36.6667)*(15-15) Ixy = 0 cm4
Contoh 5
A = 2400-600-200 2400-600-200 = 1600 cm Y = (2400*30-600*30-200*30)/1600 (2400*30-600*30-200*30)/1600 = 30 cm X = (2400*20-600*17.5-200*5)/1600 (2400*20-600*17.5-200*5)/1600 = 22.8125 cm
Ix = 1/12*40*6031/12*15*403 1/12*10*203 + 40*60*(30-30)2 – 15*40*(30-30)2 – 10*20*(30-30)2 Ix = 633333.333 cm4 Iy = 1/12*60*403 1/12*40*153 1/12*20*103 + 60*40*(20-22.8125)2 15*40*(17.5-22.8125)2 20*10*(5-22.8125)2 Iy = 245677.083 cm4 Ixy = 40*60*(30-30)*(20-22.8125)+ 15*40*(30-30)*(17.5-22.8125) 20*10*(30-30)*(5-22.8125) 4 Ixy 0
Contoh 6
A = 2400-600-400 2400-600-400 = 1400 cm Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm
Ix = 1/12*40*6031/12*15*403 1/12*10*403 + 40*60*(30-32.857)2 – 15*40*(30-32.857)2 – 10*40*(20-32.857)2 Ix = 535238.095 cm4 Iy = 1/12*60*403 1/12*40*1531/12*40*103 + 60*40*(20-25.357)2 15*40*(17.5-25.357)2 10*40*(5-25.357)2 Iy = 171488.095cm4 Ixy = 40*60*(30-32.857)*(20-25.357)15*40*(30-32.857)*(17.5-25.357) 20*10*(20-32.857)*(5-25.357) 4 Ixy 29082.582
Dari contoh-contoh perhitungan momen inersia tersebut di atas, maka dapat diambil kesimpulan : Momen inersia Ix dan Iy selalu positif Ix > 0 Iy > 0 Momen inersia produk Ixy dapat bernilai positif atau negatif atau sama dengan nol (Ixy > 0) / (Ixy < 0) / ( Ixy = 0)
Pada perhitungan tegangan pada sebuah batang akibat momen lentur, persoalan penting yang harus diketahui adalah menentukan apakah momen inersia Ix atau Iy yang dihitung merupakan momen inersia maksimum atau minimum.
Jika momen inersia maksimum dapat diketahui, maka posisi balok dalam menahan momen lentur akan diketahui dengan jelas dan benar, hal ini disebabkan adanya suatu pendekatan umum yang harus dilakukan terhadap posisi balok agar kemampuan menahan momen lentur sebesar mungkin atau tegangan yang timbul seminimum mungkin.
Persoalan lain yang juga sering dijumpai pada analisa struktur adalah kemampuan batang dalam menderita gaya normal tekan. Akibat gaya normal tekan maka pada batang akan timbul tegangan normal tekan merata pada seluruh penampang. Jika gaya normal makin besar, maka batang akan menekuk atau mengalami peristiwa tekuk (untuk sementara tidak di bahas di mekanika bahan)
Bagaimana dengan profil ini mana yang lemah, lemah, sumbu X atau sumbu Y ?
Untuk perhitungan tegangan, persoalan yang juga perlu diketahui diketahui adalah menentukan sumbu-sumbu yang memberikan momen inersia minimum dan maksimum.
Bagaimana menentukan momen inersia maksimum dan minimum ?
Untuk menentukan letak sumbu yang memberikan memberikan momen inersia maksimum atau minimum, maka digunakan sumbu lain yang diputar sebesar “ ” terhadap sumbu X dan sumbu Y.
Sebuah penampang mempunyai sumbu berat X dan Y. Penampang mempunyai harga momen inersia Ix, Iy dan Ixy
Sumbu X dan Y diputar sebesar “ ” berlawanan arah perputaran jarum jam menjadi menjadi sumbu X1 sumbu X1 dan Y1 dan Y1
Dengan sumbu baru X1 baru X1 dan dan Y1 Y1 akan dicari momen inersia penampang terhadap sumbu X1 dan Y1 yaitu Ix1 , Iy1 Iy1 dan dan momen inersia produk Ix1y1 Ix1y1 . .
Untuk menghitung Ix1 , Iy1 Iy1 dan dan Ix1y1 maka Ix1y1 maka harus dikjetahui jarak x1 jarak x1 dan dan y1 y1..
I y1
x12 dA
I x1y1
x1y1dA
y1
y cosθ
x sin si nθ
x1
x cosθ
y sin si nθ
Rumus (1), (2) dan (3) menunjukkan bahwa harga momen inersia akan berubah jika sudut berubah. Jika Ixy = 0 dan sudut = 0, maka Ix1 = Ix dan I y1 = Iy Iy.. Pada saat = 0 dan Ixy = 0 maka nilai Ix1y1 juga mempunyai nilai = 0.
Rumus (1), (2) dan (3) menunjukkan bahwa harga momen inersia akan berubah jika sudut berubah. Untuk mencari sudut yang memberikan nilai maksimum atau minimum (nilai ekstrim) dari momen inersia, maka persamaan (1), (2) dan (3) diturunkan terhadap .
I y1
I x1y1
Ix
Iy
Ix
2 Ixy Ixy cos2θ
Iy 2
Ix
Iy 2
* cos2θ
* sin2θ
Ixy * sin2θ
Untuk mencari sudut yang memberikan nilai maksimum atau minimum (nilai ekstrim) dari momen inersia, maka persamaan (1), (2) dan (3) diturunkan terhadap . Untuk mencari Ix1 ekstrim maka persamaan (1) diturunkan terhadap kemudian persamaan turunannya disamakan dengan 0 (nol).
Nilai yang diperoleh dari persamaan (4) jika disubstitusikan ke persamaan (1) akan memberikan nilai Ix1 ekstrim (maksimum atau minimum)
Dari rumus (5) dan (7) terlihat bahwa nilai Ix1 ekstrim dan Iy1 ekstrim mempunyai rumus yang sama hanya berbeda pada tanda suku akar. Kedua rumus di atas menunjukkan bahwa jika nilai Ix1 maksimum akan memberikan nilai Iy1 minimum. Sebaliknya jika nilai Iy1 mencapai maksimum, maka nilai Ix1 mencapay men capay nilai minimum. Dengan argumentasi di atas, maka nilai momen inersia maksimum dan minimum dapat ditentukan dari rumus :
Harga maksimum dan minimum dari kedua momen inersia tersebut dikenal dengan momen inersia utama. Sumbu-sumbu X1 dan Y1 yang memberikan nilai momen inersia maksimum dan minimum dikenal sebagai sumbu inersia utama (sumbu utama penampang). Jika persamaan (5) dan (7) dijumlahkan maka akan diperoleh : Ix1 + Iy1 = Ix + Iy Imax + Imin = Ix + Iy Jika Ix1 maximum maka I y1 akan minimum
Dengan menggunakan rumus (4) atau (6)
Maka dapat ditentukan sudut “ ” yang memberikan nilai maksimum dan minimum dari momen inersia. Sudut “ ” juga dapat dipakai untuk menentukan arah sumbu-sumbu utama penampang.
Cara menentukan arah sumbu-sumbu utama penampang.
Contoh 1
A = 300 + 900 + 300 = 1500 cm 2 Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = (22500 + 36000 + 1500)/1500 Y = 40 cm X = (300*15 + 900*15 + 300*15)/1500 X = 15 cm Ix = 1010000 cm4 Iy = 61875 cm4 Ixy = 0 cm4
Penampang yang mempunyai Ixy = 0 dikenal sebagai penampang simetri. Penampang dapat simetri satu sumbu atau
Imax = Ix = 1010000 cm4 Imin = Iy = 61875 cm4
Contoh 2
Ix = 1010000 cm4 Iy = 95625 cm4 Ixy = 157500 cm4
Contoh 2
Ix = 1010000 cm4 Iy = 95625 cm4 Ixy = 157500 cm4 tg 2θ 2θ
2 Ixy Ixy Ix 19.009
2 * 157500
Iy θ
1010000 95625 9.504
o
0.345
Contoh 2
A = A1 + A2 + A3 = 1500 cm 2 Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = 40 cm X = (300*30 + 900*22.5 + 300*15)/1500 X = 22.5 cm Ix = 1010000 cm4 Iy = 95625 cm4 Ixy = 157500 cm4
Imax = 552812.5 + 483556.2637 = 1036368.764 1036368.764 cm4 Imin = 552812.5 – 552812.5 – 483556.2637 483556.2637 = 69256.2363 cm 4
Contoh 2
A = 2400-600-400 2400-600-400 = 1400 cm Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm
Ix = 535238.095 cm4 Iy = 171488.095cm4 Ixy = - 29082.582 cm4
Contoh 2
A = 2400-600-400 2400-600-400 = 1400 cm Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm
Ix = 535238.095 cm4 Iy = 171488.095cm4 Ixy = - 29082.582 cm4
tg 2θ 2θ
2 Ixy Ixy Ix
Iy
9.085
θ
2 * (-29082.582) 535238.095 171488.095 4.542 o
0.1599
A = 2400-600-400 2400-600-400 = 1400 cm
Contoh 2
Y = (2400*30-600*30-400*20)/1400 (2400*30-600*30-400*20)/1400 = 32.857 cm X = (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 (2400*20-600*17.5-400*5)/1400 = 25.357 cm
Ix = 535238.095 cm4 Iy = 171488.095cm4 Ixy = - 29082.582 cm4
max/min
535238.095
171488.095 2
535238.095
171488.095
2
- 29082.582
2
Imax = 353363.095 + 184185.5374 184185.5374 = 537548.632 cm4 Imin = 353363.095 - 184185.5374 = 169177.558 cm 4
2
Bagaimana cara menentukan bahwa sebuah penampang mempunyai sumbu simetri atau mempunyai nilai Ixy = 0 hanya dengan melihat
