Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
2
1
Materi Aljabar Kelas VII
Nurfulaily Putri Aprilianti
PENGERTIAN BENTUK ALJABAR PENGERTIAN BENTUK ALJABAR
PENGERTIAN BENTUK ALJABAR
PENGERTIAN BENTUK ALJABAR
Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah ( tidak konstan ).Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah ( tidak konstan ).
Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah ( tidak konstan ).
Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah ( tidak konstan ).
Huruf- huruf dalam aljabar digunakan sebagai pengganti angka. Bentuk aljabar sering melibatkan angka ( disebut konstanta ), huruf ( disebut variabel ), dan operasi hitung. Hal ini penting untuk kita ketahui dan mengerti agar penulisan singkat dalam aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan masalah sehingga lebih mudah dipahami. Sebagai contoh :
2a berarti 2 x a atau a+a a2 berarti a :2 atau 12 dari a2ab berarti 2 x a x b atau ab+aba-b berarti a x -b atau-ab(2a)2 berarti 2a x 2a atau 2 x a x 2 x a atau 22 x a2a13 berarti 3aa2-12 berarti a x a-1 :22a berarti 2 x a atau a+a a2 berarti a :2 atau 12 dari a2ab berarti 2 x a x b atau ab+aba-b berarti a x -b atau-ab(2a)2 berarti 2a x 2a atau 2 x a x 2 x a atau 22 x a2a13 berarti 3aa2-12 berarti a x a-1 :2
2a berarti 2 x a atau a+a
a2 berarti a :2 atau 12 dari a
2ab berarti 2 x a x b atau ab+ab
a-b berarti a x -b atau-ab
(2a)2 berarti 2a x 2a atau 2 x a x 2 x a atau 22 x a2
a13 berarti 3a
a2-12 berarti a x a-1 :2
2a berarti 2 x a atau a+a
a2 berarti a :2 atau 12 dari a
2ab berarti 2 x a x b atau ab+ab
a-b berarti a x -b atau-ab
(2a)2 berarti 2a x 2a atau 2 x a x 2 x a atau 22 x a2
a13 berarti 3a
a2-12 berarti a x a-1 :2
Latihan 1
Tulislah dengan lengkap bentuk aljabar yang sesuai dengan arti masing-masing operasi dibawah ini.
5x
z3
-2(3x)2
x12
3(abc)2
Tulislah dalam bentuk aljabar yang paling sederhana untuk masing-masing bentuk dibawah ini.
a+a
15 dari b
-5 x a x b
3p x 3px 3p
4a x a x a
2. FAKTOR PERKALIAN, KOEFISIEN, KONSTANTA, SUKU DAN SUKU SEJENIS2. FAKTOR PERKALIAN, KOEFISIEN, KONSTANTA, SUKU DAN SUKU SEJENIS
2. FAKTOR PERKALIAN, KOEFISIEN, KONSTANTA, SUKU DAN SUKU SEJENIS
2. FAKTOR PERKALIAN, KOEFISIEN, KONSTANTA, SUKU DAN SUKU SEJENIS
Pengertian Faktor Perkalian
Bentuk aljabar 2a=2 x a, maka 3a memiliki faktor-faktor, yaitu 2 dan a. Faktor 2 disebut faktor angka atau faktor numerik. Faktor ini sering disebut juga koefisein dari a. Faktor a disebut faktor huruf atau faktor alfabetik. Agar lebih mengerti perhatikan contoh-contoh berikut.
2 faktor numerik
2a2b=2 x a x a x b a2 faktor huruf
b faktor huruf
Jadi, faktor dari 2a2b adalah 2, a2, dan b. Pada a2, bilangan 2 di sebut pangkat atau eksponen.
Pengertian Suku dan Suku Sejenis
Perhatikan bentuk-bentuk aljabar 2a, 3a + 6b, dan 3q – 2r – s. Bentuk-bentuk tersebut berturut-turut disebut suku tunggal, suku dua dan suku tiga. Pemberian nama ini bersesuaian dengan banyak suku bentuk-bentuk aljabar tersebut. Bentuk aljabar 4x + 3a + 6x mempunyai suku-suku 4x, 3a, dan 6x. Suku-suku 4x dan 6x memuat variabel yang sama, yaitu x. Suku-suku tersebut diberi nama suku-suku sejenis, sedangkan 4x dan 3a disebut suku-suku tidak sejenis.
Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut ini !
a dan 5b adalah suku-suku sejenis, karena:
a = 1 x a a merupakan faktor huruf
5b = 5 x b persekutuan dari b dan 5b
4a + 7b + 7 + 2a + 6b + 2 + 12ab
Bentuk aljabar ini memiliki suku-suku sejenis :
4a dan 2a
7b dan 6b
7 dan 2
Contoh 1:Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlaha, susunlah bentuk-bentuk aljabar ini agar suku-suku sejenisnya berdekatan.2a3+a2b-5a3+3a2b+2ab-ab b. 4-3b+4a+6bJawab :2a3+a2b-5a3+3a2b+2ab-ab=2a3-5a3+a2b+3a2b+2ab-ab Suku sejenis suku sejenis suku sejenisContoh 1:Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlaha, susunlah bentuk-bentuk aljabar ini agar suku-suku sejenisnya berdekatan.2a3+a2b-5a3+3a2b+2ab-ab b. 4-3b+4a+6bJawab :2a3+a2b-5a3+3a2b+2ab-ab=2a3-5a3+a2b+3a2b+2ab-ab Suku sejenis suku sejenis suku sejenis
Contoh 1:
Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlaha, susunlah bentuk-bentuk aljabar ini agar suku-suku sejenisnya berdekatan.
2a3+a2b-5a3+3a2b+2ab-ab b. 4-3b+4a+6b
Jawab :
2a3+a2b-5a3+3a2b+2ab-ab=2a3-5a3+a2b+3a2b+2ab-ab
Suku sejenis suku sejenis suku sejenis
Contoh 1:
Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlaha, susunlah bentuk-bentuk aljabar ini agar suku-suku sejenisnya berdekatan.
2a3+a2b-5a3+3a2b+2ab-ab b. 4-3b+4a+6b
Jawab :
2a3+a2b-5a3+3a2b+2ab-ab=2a3-5a3+a2b+3a2b+2ab-ab
Suku sejenis suku sejenis suku sejenis
4-3b+4a+6b=4-3b+6b+4a Suku sejenis4-3b+4a+6b=4-3b+6b+4a Suku sejenis
4-3b+4a+6b=4-3b+6b+4a
Suku sejenis
4-3b+4a+6b=4-3b+6b+4a
Suku sejenis
Pengertian Koefisien dan Konstanta
Perhatikan bentuk aljabar 3a4+6a3+5a2+7a+8. Bilangan-bilangan 3, 6, 5, 7 dan 8 disebut koefisien dari bentuk aljabar. Dalam hal ini dapat diterangkan sebagai berikut:
3a4 mempunyai koefisien 3 7a mempunyai koefisien 7
6a3 mempunyai koefisien 6 8 merupakan konstanta
5a2 mempunyai koefisien 5
Contoh 2:Tentukan koefisien dari 9x2-3x+1Jawab :9x2-3x+1 diubah menjadi 9x2+(-3)x+1.Jadi, koefisien dari 9x2-3x+1 adalah 9, -3 dan 1. adaContoh 2:Tentukan koefisien dari 9x2-3x+1Jawab :9x2-3x+1 diubah menjadi 9x2+(-3)x+1.Jadi, koefisien dari 9x2-3x+1 adalah 9, -3 dan 1. ada
Contoh 2:
Tentukan koefisien dari 9x2-3x+1
Jawab :
9x2-3x+1 diubah menjadi 9x2+(-3)x+1.
Jadi, koefisien dari 9x2-3x+1 adalah 9, -3 dan 1.
ada
Contoh 2:
Tentukan koefisien dari 9x2-3x+1
Jawab :
9x2-3x+1 diubah menjadi 9x2+(-3)x+1.
Jadi, koefisien dari 9x2-3x+1 adalah 9, -3 dan 1.
ada
Latihan 2
Tentukan koefisien dari a.
2a c. 4a + 1
–a d. 7 + 6a + a2
Nyatakan soal berikut ini ke dalam bentuk penjumlahan!
3a c. 2c3
4z d. 9r
Nyatakan soal berikut ini ke dalam bentuk perkalian !
8x2 c. a2b2c3
– 2x3 d. ( x + y )3
Diketahui bentuk aljabar 6x + 3y – 12.
Manakah suku pertama ? tuliskan koefisien dari x.
Manakah suku kedua? Tuliskan koefisien dari y.
Manakah konstanta ?
Sebutkan suku-suku sejenis dari bentuk-bentuk aljabar berikut ini.
5p2 + 7q + 3p + 4q + 9 b. 6a3 – 4a2 + 7a – 2a3 + 6a – 7
3. KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR SUKU TUNGGAL3. KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR SUKU TUNGGAL
3. KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR SUKU TUNGGAL
3. KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR SUKU TUNGGAL
Penentuan KPK dan FPB bentuk aljabar suku tunggal tidak perlu mencari himpunan kelipatan ataupun himpunan faktornya. Karena bentuk aljabar merupakan bentuk faktor perkalian. Hal ini menandakan bahwa penentuan KPK dan FPB bentuk aljabar suku tunggal akan lebih mudah dilakukan dengan cara pemfaktoran (faktorisasi). Telah kita pelajari bahwa KPK dan FPB dengan pemfaktoran dapat dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut :
KPK merupakan hasil perkalian dari faktor yang berbeda dan berpangkat tertinggi.
FPB merupakan hasil perkalian dari faktor yang sama dan berpangkat terendah.
Contoh 3:Tentukan KPK dan FPB dari:2a dan 3a c. 9p2q dan 24pq28x dan 36x2 d. 3p2 , 10pq dan 15pq2Jawab :2a = 2 . a (simbol . menyatakan perkalian )3a = 3 . aKPK dari 2a dan 3a = 2 . 3 . a = 6aFPB dari 2a dan 3a = a8x = 23 KPK dari 8x dan 36x2 = 22 . 32 . x2 = 72x236x2 = 22 . 32 . x2 FPB dari 8x dan 36x2 = 22 . x = 4x9p2q = 32 . p2 . q2 KPK dari 9p2q dan 24pq2 = 23 . 32 . p2 . q2 = 72 p2 q224pq2 = 23 . 3 . p . q2 FPB dari 9p2q dan 24pq2 = 3 . p . q = 3pq3p2 = 3 . p2 KPK dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = 2 . 3 . 5 . p2 . q210pq = 2 . 5 . p . q = 30 p2 q215pq2 = 3 . 5 . p . q2 FPB dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = pContoh 3:Tentukan KPK dan FPB dari:2a dan 3a c. 9p2q dan 24pq28x dan 36x2 d. 3p2 , 10pq dan 15pq2Jawab :2a = 2 . a (simbol . menyatakan perkalian )3a = 3 . aKPK dari 2a dan 3a = 2 . 3 . a = 6aFPB dari 2a dan 3a = a8x = 23 KPK dari 8x dan 36x2 = 22 . 32 . x2 = 72x236x2 = 22 . 32 . x2 FPB dari 8x dan 36x2 = 22 . x = 4x9p2q = 32 . p2 . q2 KPK dari 9p2q dan 24pq2 = 23 . 32 . p2 . q2 = 72 p2 q224pq2 = 23 . 3 . p . q2 FPB dari 9p2q dan 24pq2 = 3 . p . q = 3pq3p2 = 3 . p2 KPK dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = 2 . 3 . 5 . p2 . q210pq = 2 . 5 . p . q = 30 p2 q215pq2 = 3 . 5 . p . q2 FPB dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = p
Contoh 3:
Tentukan KPK dan FPB dari:
2a dan 3a c. 9p2q dan 24pq2
8x dan 36x2 d. 3p2 , 10pq dan 15pq2
Jawab :
2a = 2 . a (simbol . menyatakan perkalian )
3a = 3 . a
KPK dari 2a dan 3a = 2 . 3 . a = 6a
FPB dari 2a dan 3a = a
8x = 23 KPK dari 8x dan 36x2 = 22 . 32 . x2 = 72x2
36x2 = 22 . 32 . x2 FPB dari 8x dan 36x2 = 22 . x = 4x
9p2q = 32 . p2 . q2 KPK dari 9p2q dan 24pq2 = 23 . 32 . p2 . q2 = 72 p2 q2
24pq2 = 23 . 3 . p . q2 FPB dari 9p2q dan 24pq2 = 3 . p . q = 3pq
3p2 = 3 . p2 KPK dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = 2 . 3 . 5 . p2 . q2
10pq = 2 . 5 . p . q = 30 p2 q2
15pq2 = 3 . 5 . p . q2 FPB dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = p
Contoh 3:
Tentukan KPK dan FPB dari:
2a dan 3a c. 9p2q dan 24pq2
8x dan 36x2 d. 3p2 , 10pq dan 15pq2
Jawab :
2a = 2 . a (simbol . menyatakan perkalian )
3a = 3 . a
KPK dari 2a dan 3a = 2 . 3 . a = 6a
FPB dari 2a dan 3a = a
8x = 23 KPK dari 8x dan 36x2 = 22 . 32 . x2 = 72x2
36x2 = 22 . 32 . x2 FPB dari 8x dan 36x2 = 22 . x = 4x
9p2q = 32 . p2 . q2 KPK dari 9p2q dan 24pq2 = 23 . 32 . p2 . q2 = 72 p2 q2
24pq2 = 23 . 3 . p . q2 FPB dari 9p2q dan 24pq2 = 3 . p . q = 3pq
3p2 = 3 . p2 KPK dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = 2 . 3 . 5 . p2 . q2
10pq = 2 . 5 . p . q = 30 p2 q2
15pq2 = 3 . 5 . p . q2 FPB dari 3p2, 10pq dan 15pq2 = p
Latihan 3
Tentukan KPK dari :
3 dan 7a c. 8xy2, 20x2y dan 24xyz
18ax dan 3x2 d. 2ab, 3b2a dan 5a2b
Tentukan FPB dari :
5ab dan 10a2b c. 6k, 15kl dan 42kl2
2t2s3 dan 6ts2 d. 4pq2r, 5p2qr dan 6pqr2
4. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR4. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
4. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
4. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
Sebelum kita membahas operasi hitung bentuk aljabar, kita akan melihat dulu sifat-sifat dasar dari aritmatika yang juga berlaku pada bentuk aljabar, seperti terlihat pada tabel berikut.
Sifat Komutatif
Contoh
Bentuk Aljabar
3 + 5 = 5 + 3
a + b = b + a
3 x 5 = 5 x 3
ab = ba
3 - 5 5 - 6
a - b b -a
3 : 5 5 : 3
a/b b/a
sifat asosiatif
contoh
bentuk aljabar
(3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2)
(a + b) + c = a + (b + c)
(3 x 5) x 2 = 3 x (5 x 2)
(ab)c = a(bc)
(3 - 5) - 2 3 - (5 - 2)
(a - b) - c a - (b - c)
(3 : 5) : 2 3 : (5 : 2)
a/b : c a : b/c
sifat distributif
contoh
bentuk aljabar
(3 + 5) x 2 = 3 x 2 + 5 x 2
(a + b)c = ac + bc
3 x (5 + 2) = 3 x 5 + 3 x 2
a(b + c) = ab + ac
3 x (5 - 2) = 3 x 5 - 3 x 2
a(b - c = ab - ac
(3 - 5) x 2 = 3 x 2 - 5 x 2
(a - b)c = ac - bc
Perkalian Konstanta dengan Bentuk Aljabar Bersuku Dua
Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan ataupun pengurangan pada bilangan bulat tersebut dapat juga diterapkan untuk operasi perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar bersuku dua atau lebih.
Perhatikan contoh berikut ini :
3(x + 2) = 3x + 6
– (3a – 4b – 5c) = - 3a + 4b + 5c
– k(k – 2l +4m) = -k2 + 2kl – 4km
Menjumlahkan dan Mengurangkan Suku-suku Sejenis
Suatu bentuk aljabar yang mengandung suku-suku sejenis dapat disederhanakan dengan cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis yang ada. Proses ini dilakukan dengan sifat distributif.
Contoh 4 :Sederhanakan bentuk berikut ini !b2 + 2ab – 3b2 + 5abjawab :b2 + 2ab – 3b2 + 5ab = (b2 – 3b2) + (2ab + 5ab) (sifat komutatif) = (1 – 3) b2 + (2 + 5) ab (sifat distributif) = - 2 b2 + 7abContoh 4 :Sederhanakan bentuk berikut ini !b2 + 2ab – 3b2 + 5abjawab :b2 + 2ab – 3b2 + 5ab = (b2 – 3b2) + (2ab + 5ab) (sifat komutatif) = (1 – 3) b2 + (2 + 5) ab (sifat distributif) = - 2 b2 + 7ab
Contoh 4 :
Sederhanakan bentuk berikut ini !
b2 + 2ab – 3b2 + 5ab
jawab :
b2 + 2ab – 3b2 + 5ab = (b2 – 3b2) + (2ab + 5ab) (sifat komutatif)
= (1 – 3) b2 + (2 + 5) ab (sifat distributif)
= - 2 b2 + 7ab
Contoh 4 :
Sederhanakan bentuk berikut ini !
b2 + 2ab – 3b2 + 5ab
jawab :
b2 + 2ab – 3b2 + 5ab = (b2 – 3b2) + (2ab + 5ab) (sifat komutatif)
= (1 – 3) b2 + (2 + 5) ab (sifat distributif)
= - 2 b2 + 7ab
Adakalanya penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dilakukan secara menurun, seperti pada cotoh berikut ini:
– 3 a – b + c
a + 7b – 5c
+
= (- 3 + 1) a + (- 1 + 7)b + (1 – 5)c
= - 2a + 6b + (-4)c
= - 2a + 6b – 4c
5x – 4y + 3z
-5x + 4y – 3z
-
= [5 – (-5)]x + (- 4 – 4)y + [3 – (-3)] z
= (5 + 5)x – (4 + 4)y + (3 + 3)z
= 10x – 8y + 6z
Contoh 5 :Sederhanakanlah ! 5(x – 4) – 3(x + 2)3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2)Jawab :5(x – 4) – 3(x + 2) = 5x – 20 – 3x – 6= (5x – 3x) – 20 – 6 = (5 – 3) x – 26 = 2x – 26 3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2) = 3x2 – 15x + 12 – 7x2 + 7x + 14= 3x2 – 7x2 – 15x + 7x + 12 + 14= (3 – 7)x2 – (15 – 7)x + 26= - 4x2 – 8x + 26Contoh 5 :Sederhanakanlah ! 5(x – 4) – 3(x + 2)3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2)Jawab :5(x – 4) – 3(x + 2) = 5x – 20 – 3x – 6= (5x – 3x) – 20 – 6 = (5 – 3) x – 26 = 2x – 26 3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2) = 3x2 – 15x + 12 – 7x2 + 7x + 14= 3x2 – 7x2 – 15x + 7x + 12 + 14= (3 – 7)x2 – (15 – 7)x + 26= - 4x2 – 8x + 26
Contoh 5 :
Sederhanakanlah !
5(x – 4) – 3(x + 2)
3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2)
Jawab :
5(x – 4) – 3(x + 2) = 5x – 20 – 3x – 6
= (5x – 3x) – 20 – 6
= (5 – 3) x – 26
= 2x – 26
3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2) = 3x2 – 15x + 12 – 7x2 + 7x + 14
= 3x2 – 7x2 – 15x + 7x + 12 + 14
= (3 – 7)x2 – (15 – 7)x + 26
= - 4x2 – 8x + 26
Contoh 5 :
Sederhanakanlah !
5(x – 4) – 3(x + 2)
3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2)
Jawab :
5(x – 4) – 3(x + 2) = 5x – 20 – 3x – 6
= (5x – 3x) – 20 – 6
= (5 – 3) x – 26
= 2x – 26
3(x2 – 5x + 4) – 7(x2 – x – 2) = 3x2 – 15x + 12 – 7x2 + 7x + 14
= 3x2 – 7x2 – 15x + 7x + 12 + 14
= (3 – 7)x2 – (15 – 7)x + 26
= - 4x2 – 8x + 26
Latihan 4
Gunakan sifat distributif untuk menyatakan bentuk aljabar berikut ini sebagau jumlah atau selisih.
3(x + y) = ...
- (y – z) = ...
Jumlahkan !
10a + 3a
-2x2 + 5x2 - 7x2
Jumlahkan secara menurun !
4a + 3b
-2a-3b. . . . +
a – b + c
a-b+c. . . . +
jika A = a + 3b, B = 2a – 3b + c, dan C = 5a + 2b – 4c. tentukan :
A + B + C
2[(- B + 2C) – A]
Tentukan bentuk yang paling sederhana dari bentuk-bentuk berikut ini.
4(a + 3) + 2(3a – 1)
3(3x – 4y) + 2(2x + y)
Perkalian dan Pembagian Antar bentuk Aljabar
Pada saat kita melakukan perkalian dan pembagian antar bentuk aljabar, terlebih dahulu lakukan pengelompokkan koefisien, kemudian kelompokkan variabel-variabel yang sama. Tuliskan variabel dalam urutan abjad dan pangkat dalam urutan kecil ke besar. Untuk diingat : operasi dalam variabel harus diselesaikan terlebih dahulu.
CONTOH 6 :Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana !2ab(-3bc) [24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2]Jawab :2ab(-3bc) = 2 × (-3) × a × b × b × c= -6 × a × b2 × c = -6ab2c[24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2] = -26a2b3(c-d)3-6ab(d-c)2= -26-6 × a2a×b2b × (c-d)3[-c-d]2= -4 × a × b2 × (c – d)= -4ab2(c - d)CONTOH 6 :Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana !2ab(-3bc) [24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2]Jawab :2ab(-3bc) = 2 × (-3) × a × b × b × c= -6 × a × b2 × c = -6ab2c[24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2] = -26a2b3(c-d)3-6ab(d-c)2= -26-6 × a2a×b2b × (c-d)3[-c-d]2= -4 × a × b2 × (c – d)= -4ab2(c - d)
CONTOH 6 :
Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana !
2ab(-3bc)
[24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2]
Jawab :
2ab(-3bc) = 2 × (-3) × a × b × b × c
= -6 × a × b2 × c
= -6ab2c
[24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2] = -26a2b3(c-d)3-6ab(d-c)2
= -26-6 × a2a×b2b × (c-d)3[-c-d]2
= -4 × a × b2 × (c – d)
= -4ab2(c - d)
CONTOH 6 :
Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana !
2ab(-3bc)
[24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2]
Jawab :
2ab(-3bc) = 2 × (-3) × a × b × b × c
= -6 × a × b2 × c
= -6ab2c
[24a2b3 (c – d)3] : [-6ab (d – c)2] = -26a2b3(c-d)3-6ab(d-c)2
= -26-6 × a2a×b2b × (c-d)3[-c-d]2
= -4 × a × b2 × (c – d)
= -4ab2(c - d)
dalam praktek kita sering menjumpai bentuk-bentuk aljabar yang agak rumit, seperti (a + b)2, (a – b)2, (a + b)(a – b), ataupun (a + b)(p + q + r). Berikut ini akan kita uraikan bentuk-bentuk aljabar di atas satu per satu.
Bentuk I: (a +b)2
Bentuk diatas dapat dijabarkan sebagai berikut :
(a + b)2 = (a + b) × (a + b)
= a × (a + b) + b × (a + b)
= (a × a) + (a ×b) + (b × a) + (b × b)
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
Kesimpulan : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Bentuk II: (a – b)2
Bentuk diatas dapat dijabarkan sebagai berikut :
(a - b)2 = (a - b) × (a - b)
= a × (a - b) + b × (a - b)
= (a × a) - (a ×b) - (b × a) - (b × b)
= a2 - ab - ab + b2
= a2 - 2ab + b2
Kesimpulan : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Bentuk III: (a + b) (a – b)
Bentuk diatas dapat dipaparkan sebagai berikutn:
(a + b) × (a – b) = a × (a – b) + b × (a – b)
= (a × a) – (a × b) + (b × a) - (b × b)
= a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
Kesimpulan : (a + b) × (a – b) = a2 – b2
Bentuk IV: (a + b) (p + q + r)
Penjabaran bentuk diatas dapat dupaparkan sebagai berikut :
(a + b) (p + q + r) = a × (p + q+ r) + b × (p + q + r)
= (a × p) + (a × q) + (a × r) + (b × p) + (b × q) + (b × r)
= ap + aq + ar + bp + bq + br
Kesimpulan : (a + b) (p + q + r) = ap + aq + ar + bp + bq + br
Contoh 7:Uraikanlah !(x2 – 4)2 b. (x – y + 2) (x – y + 3)Jawab :(x2 – 4)2 = (x2 – 4) (x2 – 4) = (x2 × x2) – (x2 × 4) – (4 × x2) + ( 4 × 4) = x4 – 4x2 – 4x2 + 16= x4 – 8x2 + 16 (x – y + 2) (x – y + 3) = x2 – xy + 3x – xy + y2 – 3y + 2x – 2y + 6= x2 – xy – xy + 3x + 2x + y2 – 3y – 2y + 6= x2 – 2xy + 5x + y2 – 5y +6Contoh 7:Uraikanlah !(x2 – 4)2 b. (x – y + 2) (x – y + 3)Jawab :(x2 – 4)2 = (x2 – 4) (x2 – 4) = (x2 × x2) – (x2 × 4) – (4 × x2) + ( 4 × 4) = x4 – 4x2 – 4x2 + 16= x4 – 8x2 + 16 (x – y + 2) (x – y + 3) = x2 – xy + 3x – xy + y2 – 3y + 2x – 2y + 6= x2 – xy – xy + 3x + 2x + y2 – 3y – 2y + 6= x2 – 2xy + 5x + y2 – 5y +6
Contoh 7:
Uraikanlah !
(x2 – 4)2 b. (x – y + 2) (x – y + 3)
Jawab :
(x2 – 4)2 = (x2 – 4) (x2 – 4)
= (x2 × x2) – (x2 × 4) – (4 × x2) + ( 4 × 4)
= x4 – 4x2 – 4x2 + 16
= x4 – 8x2 + 16
(x – y + 2) (x – y + 3) = x2 – xy + 3x – xy + y2 – 3y + 2x – 2y + 6
= x2 – xy – xy + 3x + 2x + y2 – 3y – 2y + 6
= x2 – 2xy + 5x + y2 – 5y +6
Contoh 7:
Uraikanlah !
(x2 – 4)2 b. (x – y + 2) (x – y + 3)
Jawab :
(x2 – 4)2 = (x2 – 4) (x2 – 4)
= (x2 × x2) – (x2 × 4) – (4 × x2) + ( 4 × 4)
= x4 – 4x2 – 4x2 + 16
= x4 – 8x2 + 16
(x – y + 2) (x – y + 3) = x2 – xy + 3x – xy + y2 – 3y + 2x – 2y + 6
= x2 – xy – xy + 3x + 2x + y2 – 3y – 2y + 6
= x2 – 2xy + 5x + y2 – 5y +6
Latihan 5
Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana.
2 × 4p b. 5pqr × 6pr2
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.
(x + 5) × ( x – 5) b. (5a + 5) × (7b – 7)
Bila A = x – 2, B = -2x + 1, dan C = 3x + 4, tentukanlah:
A + B – C c. A × C
5. SUBSTITUSI PADA BENTUK ALJABAR5. SUBSTITUSI PADA BENTUK ALJABAR
5. SUBSTITUSI PADA BENTUK ALJABAR
5. SUBSTITUSI PADA BENTUK ALJABAR
COTOH 8:Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2 – xy + 3y2.Jawab :Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh 5 – 2m = 5 – 2(3)= 5 – 6= –1COTOH 8:Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2 – xy + 3y2.Jawab :Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh 5 – 2m = 5 – 2(3)= 5 – 6= –1Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
COTOH 8:
Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.
Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2 – xy + 3y2.
Jawab :
Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh
5 – 2m = 5 – 2(3)
= 5 – 6
= –1
COTOH 8:
Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.
Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2 – xy + 3y2.
Jawab :
Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh
5 – 2m = 5 – 2(3)
= 5 – 6
= –1
b. Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh2x2 – xy + 3y2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2= 2(16) – (–12) + 3(9)= 32 + 12 + 27= 71b. Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh2x2 – xy + 3y2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2= 2(16) – (–12) + 3(9)= 32 + 12 + 27= 71
b. Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh
2x2 – xy + 3y2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2
= 2(16) – (–12) + 3(9)
= 32 + 12 + 27
= 71
b. Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh
2x2 – xy + 3y2 = 2(–4)2 – (–4) (3) + 3(3)2
= 2(16) – (–12) + 3(9)
= 32 + 12 + 27
= 71
Latihan 6
Sustitusikan a = 4 untuk menghitung nilai dari :
a + 3 b. 2a2 : 4
Jika a = 2, b = -3, c = 0, p = 5 dan q = - 7, hitunglah nilai dari:
abcpq b. (p – q)2 – a2b
jika a = -3, b = 2, dan c = -5, hitunglah nilai dari:
(-10a + 10b + 10c) × (c – a + b)
(3a2b + 2ab – 3a2c) × (a2 + c – b2)
Bila m = 1,6 dan n = 3,8 hitunglah nilai dari masing-masing bentuk aljabar berikut ini.
5m + n
2m2 – 3n + 1
(2m2 – 4n) : (2m – 1)
6. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH6. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
6. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
6. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH
Dalam perhitungan sehari-hari sering dijumpai persoalan yang pemecahannya menggunakan matematika. Mula-mula soal itu diterjemahkan ke dalam model matematika lalu dirumuskan menjadi benuk aljabar ataupun persamaan matematika sehingga mudah diselesaikan.
Contoh 9 :Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia ayah tiga kali usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya.Jawab :Misalkan: umur ayah = x; umur anak = yContoh 9 :Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia ayah tiga kali usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya.Jawab :Misalkan: umur ayah = x; umur anak = y
Contoh 9 :
Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia ayah tiga kali usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya.
Jawab :
Misalkan: umur ayah = x;
umur anak = y
Contoh 9 :
Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia ayah tiga kali usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya.
Jawab :
Misalkan: umur ayah = x;
umur anak = y
sehingga diperoleh persamaanx = 4y ..................................... (i)x + 5 = 3(y + 5) ...................... (ii)Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh x + 5 = 3(y + 5)œ 4y + 5 = 3(y + 5)œ 4y + 5 = 3y + 15œ 4y – 3y = 15 – 5 y = 10Untuk y = 10, maka x = 4y x = 4 × 10 x = 40Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10 tahun.sehingga diperoleh persamaanx = 4y ..................................... (i)x + 5 = 3(y + 5) ...................... (ii)Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh x + 5 = 3(y + 5)œ 4y + 5 = 3(y + 5)œ 4y + 5 = 3y + 15œ 4y – 3y = 15 – 5 y = 10Untuk y = 10, maka x = 4y x = 4 × 10 x = 40Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10 tahun.
sehingga diperoleh persamaan
x = 4y ..................................... (i)
x + 5 = 3(y + 5) ...................... (ii)
Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh
x + 5 = 3(y + 5)
œ 4y + 5 = 3(y + 5)
œ 4y + 5 = 3y + 15
œ 4y – 3y = 15 – 5
y = 10
Untuk y = 10, maka x = 4y
x = 4 × 10
x = 40
Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10 tahun.
sehingga diperoleh persamaan
x = 4y ..................................... (i)
x + 5 = 3(y + 5) ...................... (ii)
Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh
x + 5 = 3(y + 5)
œ 4y + 5 = 3(y + 5)
œ 4y + 5 = 3y + 15
œ 4y – 3y = 15 – 5
y = 10
Untuk y = 10, maka x = 4y
x = 4 × 10
x = 40
Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10 tahun.
Latihan 7
Tiga tahun yang lalu jumlah umur seorang ayah beserta anak kembarnya diketahui 35 tahun. Jika pada saat itu umur ayahnya 29 tahun, berapa tahunkah umur anak kembarnya sekarang?
Fulla membeli 15 ekor ayam dengan harga Rp 15.000,00/ ekor. Kemudian dijual dengan keuntungan Rp 2.000,00/ ekor. Berapa harga penjualan seluruh ayam?
Diketahui luas persegi panjang ABCD adalah 50 cm2 dan panjangnya adalah dua kali dari lebarnya. Hitunglah keliling persegi panjang ABCD itu?
Diana ingin membeli sebuah pisau pemotong kertas dan sebuah gunting lipat. Harga pisau itu Rp 1.500,00 lebih mahal dibandingkan harga sebuah gunting lipat. Apabila untuk membeli 4 buah gunting lipat dan 2 pisau diperlukan Rp 18.000,00 tentukan harga sebuah gunting lipat dan sebuah pisau ?
7. PECAHAN BENTUK ALJABAR7. PECAHAN BENTUK ALJABAR
7. PECAHAN BENTUK ALJABAR
7. PECAHAN BENTUK ALJABAR
Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar.
Misalnya a2, 4p , 3a7bc, m+3n dan x2x+y
Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.
CONTOH 10:Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y 0.3x6x2y b. 4x2yz32xy2Jawab :FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga3x6x2y : 3x3x= 12xyJadi, bentuk sederhana dari 3x6x2y adalah 12xyFPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga4x2yz32xy2 : 2xy2xy = 2xz3yJadi bentuk sederhana dari 4x2yz32xy2 adalah 2xz3yCONTOH 10:Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y 0.3x6x2y b. 4x2yz32xy2Jawab :FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga3x6x2y : 3x3x= 12xyJadi, bentuk sederhana dari 3x6x2y adalah 12xyFPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga4x2yz32xy2 : 2xy2xy = 2xz3yJadi bentuk sederhana dari 4x2yz32xy2 adalah 2xz3y
CONTOH 10:
Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y 0.
3x6x2y b. 4x2yz32xy2
Jawab :
FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga
3x6x2y : 3x3x= 12xy
Jadi, bentuk sederhana dari 3x6x2y adalah 12xy
FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga
4x2yz32xy2 : 2xy2xy = 2xz3y
Jadi bentuk sederhana dari 4x2yz32xy2 adalah 2xz3y
CONTOH 10:
Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y 0.
3x6x2y b. 4x2yz32xy2
Jawab :
FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga
3x6x2y : 3x3x= 12xy
Jadi, bentuk sederhana dari 3x6x2y adalah 12xy
FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga
4x2yz32xy2 : 2xy2xy = 2xz3y
Jadi bentuk sederhana dari 4x2yz32xy2 adalah 2xz3y
Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan dan pengurangan
Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 11.Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar berikut.12p+53q b. m+2m-n-1nJawab :12p+53q b. m+2m-n-1n= 1×3q2p ×3q+5×2p3q×2p = n(m+2)m×n-m(n-1)n×m= 3q6pq+10p6pq = mn+2nmn- (mn-m)mn= 3q+10p6pq =mn-mn+2n+m mn =2n+mmnContoh 11.Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar berikut.12p+53q b. m+2m-n-1nJawab :12p+53q b. m+2m-n-1n= 1×3q2p ×3q+5×2p3q×2p = n(m+2)m×n-m(n-1)n×m= 3q6pq+10p6pq = mn+2nmn- (mn-m)mn= 3q+10p6pq =mn-mn+2n+m mn =2n+mmn
Contoh 11.
Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar berikut.
12p+53q b. m+2m-n-1n
Jawab :
12p+53q b. m+2m-n-1n
= 1×3q2p ×3q+5×2p3q×2p = n(m+2)m×n-m(n-1)n×m
= 3q6pq+10p6pq = mn+2nmn- (mn-m)mn
= 3q+10p6pq =mn-mn+2n+m mn
=2n+mmn
Contoh 11.
Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar berikut.
12p+53q b. m+2m-n-1n
Jawab :
12p+53q b. m+2m-n-1n
= 1×3q2p ×3q+5×2p3q×2p = n(m+2)m×n-m(n-1)n×m
= 3q6pq+10p6pq = mn+2nmn- (mn-m)mn
= 3q+10p6pq =mn-mn+2n+m mn
=2n+mmn
b. Perkalian dan pembagian
Ingat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
ab×cd=acbd ; untuk b, d 0
Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.
Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers (operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.
a : bc=a ×cb=acb untuk b 0, c 0
ab :c= ab × 1c= abc untuk b 0, c 0
ab : cd= ab × cd=adbc untuk 0, c 0
Contoh 12:Tentukan hasil perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar berikut.43a×ab2 b. 4p3q : 2q9pContoh 12:Tentukan hasil perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar berikut.43a×ab2 b. 4p3q : 2q9p
Contoh 12:
Tentukan hasil perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar berikut.
43a×ab2 b. 4p3q : 2q9p
Contoh 12:
Tentukan hasil perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar berikut.
43a×ab2 b. 4p3q : 2q9p
Jawab :43a×ab2= 4 ×ab3a ×2=4ab6a=4b6=2b34p3q : 2q9p= 4p3q×9p2q=36p26q2=6p2q2Jawab :43a×ab2= 4 ×ab3a ×2=4ab6a=4b6=2b34p3q : 2q9p= 4p3q×9p2q=36p26q2=6p2q2
Jawab :
43a×ab2= 4 ×ab3a ×2=4ab6a=4b6=2b3
4p3q : 2q9p= 4p3q×9p2q=36p26q2=6p2q2
Jawab :
43a×ab2= 4 ×ab3a ×2=4ab6a=4b6=2b3
4p3q : 2q9p= 4p3q×9p2q=36p26q2=6p2q2
Perpangkatan pecahan bentuk aljabar
Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar.
ab1=ab
ab2=ab×ab=a2b2
ab3=ab×ab×ab=a3b3
abn=ab×ab×ab×…× ab=anbnSebanyak n kali abn=ab×ab×ab×…× ab=anbnSebanyak n kali
abn=ab×ab×ab×…× ab=anbn
Sebanyak n kali
abn=ab×ab×ab×…× ab=anbn
Sebanyak n kali
CONTOH 13 :Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut:3x23 b. 5p+322Jawab :3x23=3x2×3x2×3x2=27x835p+322=5p+32×5p+32= 5p+35p+32= 25p2+15p+15p+92=25p2+30p+92CONTOH 13 :Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut:3x23 b. 5p+322Jawab :3x23=3x2×3x2×3x2=27x835p+322=5p+32×5p+32= 5p+35p+32= 25p2+15p+15p+92=25p2+30p+92
CONTOH 13 :
Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut:
3x23 b. 5p+322
Jawab :
3x23=3x2×3x2×3x2=27x83
5p+322=5p+32×5p+32
= 5p+35p+32
= 25p2+15p+15p+92
=25p2+30p+92
CONTOH 13 :
Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut:
3x23 b. 5p+322
Jawab :
3x23=3x2×3x2×3x2=27x83
5p+322=5p+32×5p+32
= 5p+35p+32
= 25p2+15p+15p+92
=25p2+30p+92
Latihan 8
Sederhanakan pecahan-pecahan bentuk aljabar berikut.
2pq4pq2 , p, q 0 b. 3x2+15y-yzxyz , x, y, z 0
Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar berikut.
3p+q2 b. 2xy+4xy-29y2
Tentukan hasil perkalian dan pembagian pecahan aljabar berikut.
9mn4k×6kn23m2 b. 16a2b5c : 8ab23c2
Selesaikan operasi perpangkatan pecahan aljabar berikut.
2x32 c. 4xy+1y2
-34x23 d. 2a3+1b22
