Matemàtiques Nombres 1r ESO Reforç.pdf

112862_DIV1_REFUERZO 25/7/07 18:36 Página Página 1

O S E

1r

Matemàtiques NOMBRES QUADERN DE DIVERSITAT

112862_DIV1_REFUERZO 25/7/07 18:36 Página 2

Í N D E X REFORÇ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 10. 11. 12. 13. 14.

Nombres Nombres naturals. naturals. Divisibilita Divisibilitatt ........... ................. ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ .......... .... Nombres Nombres enters ........... ................. ............ ............ ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ............ ........... .......... ..... Potèncie Potènciess i arrel quadrada quadrada ........... ................ ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ........... ........ ... Fraccions Fraccions ........... ................. ............ ............ ............ ........... ........... ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ............ ........... ......... Nombres Nombres decimals decimals ........... ................. ........... ........... ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ....... El llengua llenguatge tge algebra algebraic. ic. Equacions Equacions ............ ................. ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ .......... .... Sistemes Sistemes de mesura .......... ................ ............ ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ....... Magnituds Magnituds proporcion proporcionals. als. Percenta Percentatges tges ........... ................. ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ......... Funcions Funcions ........... ................. ........... ........... ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... ......... .... Estadística Estadística i probabilitat probabilitat ............ .................. ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ....... Formes geomètriques geomètriques ............ .................. ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ....... Figures Figures planes ........... ................. ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ........... ......... .... Longituds Longituds i àrees ........... ................. ........... ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ........... ........ ... Cossos Cossos geomètrics. geomètrics. Volums Volums ........... ................ ........... ............ ........... ........... ........... ........... ............ ........... ........... ............ ............ ............ ........... ........... ........... ........ ...

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

A M P L I A C I Ó 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 10. 11. 12. 13. 14.


34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60


Í N D E X REFORÇ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 10. 11. 12. 13. 14.


4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

A M P L I A C I Ó 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 10. 11. 12. 13. 14.


34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60


REFORÇ


1

REFORÇ

Nombres naturals. Divisibilitat

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES Durant l’etapa anterior, els alumnes han utilitzat els nombres enters per a comptar i ordenar, han estudiat el sistema de numeració decimal i han fet operacions de suma, resta, multiplicació, divisió i potències. Ara bé, convé repassar tots els conceptes i els procediments apresos abans d’introduir-los en el tema de la divisibilitat. N’hi ha prou que coneguen els conceptes de múltiple i divisor, i que sàpien calcular múltiples i divisors d’un nombre natural; aprendre i utilitzar els criteris de divisibilitat, almenys, per 2, 3, 4 i 5; classificar els nombres en primers i compostos; descompondre en factors primers nombres naturals senzills i calcular el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos nombres. • Relacionar els termes de múltiple i divisor amb les operacions de multiplicació i divisió, respectivament, perquè els resulte més fàcil recordar què són i com s’obtenen. • Utilitzar cromos, monedes, cartes, fitxes…, repartits en munts iguals per a facilitar la comprensió del concepte de divisor d’un nombre. • Quan calculen els divisors d’un nombre natural és convenient que escriguen la divisió i anoten la relació entre els seus termes perquè observen que en una divisió s’obtenen dos divisors. • És important que s’acostumen a seguir un ordre tant en la recerca de divisors d’un nombre natural com en la descomposició d’aquest en factors primers. • Escriure exemples per a obtenir el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de dos nombres (sense descompondre’l en factors primers) fins que comprenguen el significat d’aquests termes.

A C T I V I T A T D E G R U P Elaborant un joc de cartes Els alumnes s’organitzen en grups de quatre persones. Cada grup construirà cartes amb un mateix tipus de preguntes i respostes: tantes com siguen necessàries per a tenir diverses baralles de 40 cartes cadascuna i poder jugar tots al mateix temps. Les cartes han d’associar-se per parelles: una carta amb una pregunta i l’altra amb la resposta a la pregunta. • En una carta: “Quina és la descomposició en factors primers de 84?”, i en la seua parella: “2 2 ϫ 3 ϫ 7”. • En una carta: “El m.c.d. (18, 9) és”, i en la seua parella: “9”. • En una carta: “¿Quins són els divisors de 20?”, i en la seua parella: “1, 2, 4, 5, 10 y 20”. • En una carta: “Entre els nombres següents: 2, 5, 8, 12, 17, quins són primers?”, i en la seua parella: “2, 5 y 17”. • En una carta: “Dels nombres: 105, 30, 47, 125 i 99, quins són divisibles per 5?”, i en la seua parella: “105, 30 y 125”. Una vegada preparat el material, el joc es pot fer de diverses maneres. Una d’aquestes és la següent: Un jugador triat a l’atzar reparteix totes les cartes entre els altres. Cadascun ha de buscar les parelles de les cartes i apartar-les en la taula. Després, el jugador que està a la dreta del qui ha repartit les cartes agafarà una carta d’aquest sense mirar-la i la unirà a les seues cartes per veure si té una altra parella. El procés es repeteix cap a la dreta fins que estiguen formades totes les parelles. Guanya el jugador que, en acabar el joc, haja aconseguit formar més parelles.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 1. a) Els divisors de 30 són 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 i 30. b) Els divisors de 24 són 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24.

c) Els divisors comuns de 30 i 24 són 1, 2, 3 i 6. d) El màxim comú divisor de 30 i 24 és 6.

2. S’ha d’encerclar: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 36 i 60. S’ha de rodejar amb un quadrat: 1, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36. 3.

22

ϫ

5

20

32

32

ϫ

22

36

2

ϫ

ϫ

5

45

52

50

2

ϫ

3

ϫ

22

ϫ

32

5

30 72

4. Ratllar en vertical: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 i 30, i en horitzontal: 10, 20 i 30. a) 10, 20 i 30 b) 20

NOMBRES Matemàtiques 1r ESO

4

Atenció a la diversitat


Nombres naturals. Divisibilitat

1 A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç

1 Treballa amb el teu company. Un de vosaltres agafa 30 fitxes de color roig, i l’altre, 24 de color groc. 1. Cadascun ha d’agrupar les fitxes en munts de manera que tots tinguen el mateix nombre de fitxes sense que en sobre ni en falte cap. Heu d’aconseguir totes les agrupacions possibles.

Nre. total de fitxes Nre. de fitxes d’un munt 2. Compareu els resultats que teniu en la segona fila (nombre de fitxes d’un munt) amb els del vostre company i encercleu els que són iguals. 3. Escriviu en el quadern i completeu les frases següents: a) Els divisors de 30 són …………………….........….. b) Els divisors de 24 són ………………………........... c) Els divisors comuns de 30 i 24 són ……...….. d) El màxim comú divisor de 30 i 24 és ……..

2 Encercla els múltiples de 4, i rodeja amb un quadrat els divisors de 36. 42 9

59

6

4

1

18

28

16

12 20

24 8

36 3

60

3 Les caixes de l’esquerra contenen la descomposició en factors primers del nombre que hi ha a les caixes de la dreta. Completa els quadrats amb els nombres que hi falten. 22

ϫ

5

20

32

32

ϫ

23

36

2

ϫ

ϫ

2

5 50

53

ϫ

3

ϫ

23

ϫ

32

5

30 72

4 El següent és un mes del calendari amb 31 dies. Ratlla amb una línia vertical els múltiples de 2 i amb una línia horitzontal els múltiples de 10.

Dl Dt

Dc Dj Dv Ds Dg 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31


a) Quins són els múltiples comuns a 2 i 10? b) El més xicotet de tots aquests és el mínim comú múltiple. Quin és el m.c.m. de 4 i 10?

5



2

REFORÇ

Nombres enters

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES És important que comprenguen la necessitat d’altres nombres diferents dels naturals per a expressar situacions de la vida diària d’una manera senzilla. Han d’aprendre a representar-los i a comparar-los, i també a fer les quatre operacions bàsiques: suma, resta, multiplicació i divisió, i a aplicar correctament la jerarquia operativa en casos senzills amb parèntesis i sense parèntesis. També convé que manegen la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma per a transformar un producte en suma. • Buscar situacions de l’entorn de l’alumne perquè aprenguen a sumar nombres enters associant conceptes als signes ϩ o Ϫ: tenir – deure, guanyar – perdre, pujar – baixar… • Fer activitats de comparació i ordenació de nombres enters negatius. • No començar a multiplicar i dividir fins que no hagen aprés correctament a sumar i restar nombres enters. • Insistir en la utilització correcta dels parèntesis i de les igualtats.

A C T I V I T A T D E G R U P Jugant amb els nombres enters Els alumnes es distribueixen en grups de quatre persones. A cada grup li donem un dau Ϫ2 ϩ4 Ϫ10 blanc i uns adhesius perquè els posen en cadascuna de les cares del dau. Després anotaran tres nombres positius i, en la cara oposada a cadascun dels daus, el nombre oposat corresponent. I, finalment, els donem un full amb un quadrat en què hi ha nou Ϫ1 ϩ15 Ϫ8 nombres enters com en la figura. Cada component ha de tirar el dau tres vegades i amb les operacions de suma, resta, ϩ3 Ϫ12 ϩ7 multiplicació i divisió ha d’aconseguir algun dels nombres que hi ha en el quadrat. Una vegada aconseguit, posa el seu nom en el nombre. El guanyador és el que més nombres del quadrat aconseguisca fer d’aquesta manera. Com que utilitzen operacions combinades, han d’escriure aquelles amb què han calculat el nombre. D’aquesta manera aprenen a escriure les operacions en l’ordre correcte i a fer servir adequadament els parèntesis. Quan no aconsegueixen cap nombre del quadrat, el torn passa al següent. Convé establir unes regles i és interessant que els alumnes hi participen: qui comença, quant de temps tenen per a pensar el nombre, què han de fer quan només queda un nombre en el quadrat i ningú no aconsegueix obtenir-lo…

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 1. a) ϩ50

b)

Ϫ9

c)

d)

Ϫ35

3.

Ϫ90

2. a) Poden ser Ϫ4, Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1. _4

b) Poden ser

ϩ1

o

0

+1

0

+1

perquè

Ϫ2

Ϫ5

2

Ϫ1

4

Ϫ2

Ϫ6

Ϫ4

Ϫ24

10

10

10

11

4. 8 ϫ (5 Ϫ 4)

+2

0

ϩ1,

Ϫ6

ϩ2.

c) Només pot ser 0. d) És

Ϫ18

Ϫ2 ϩ

3 0

ϭ

1. +1


6

8

ϫ Ϫ

3

ϫ Ϫ

ϭ

40

( 2)

ϩ

7

ϫ Ϫ

( 9)

Ϫ

5 6

Ϫ36 ϩ

5

ϫ

10 Ϫ 8

ϭ

2

(Ϫ7

1)

ϩ

32

Ϫ

( 2)

ϭ

ϫ

3

ϭ

3

ϭ

6

ϫ Ϫ

(8

( 9

( 6

ϩ

Ϫ

4)

( 3)

ϭ

21 Ϫ 3

ϫ Ϫ


7)

ϫ Ϫ

(5

ϫ

ϩ

5)

Ϫ

( 2)

ϫ Ϫ

5)


2

Nombres enters

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Escriu amb nombres enters les situacions següents. a) b)

c)

d)

90 cm

50 m

R e b u t d e l a l l um . .. 3 5

9m

€

2 Situa en la recta el 0 i un nombre enter amb la condició que s’indica en cada cas. a) Un negatiu major que

Ϫ5. +1

0

b) Un positiu amb el valor absolut menor que 3. +1

0

c) Un nombre comprés entre els que tenen de valor absolut 1. 0

+1

d) Un nombre tres unitats major que

Ϫ2. +1

0

3 Competeix amb el teu company. Escriu davall de cada operació el resultat. Després, suma 3 punts per cada encert i

Ϫ2

per cada errada. 2Ϫ 5 ϫ 4

Ϫ3 ϫ

2 Ϫ 5 ϫ (Ϫ1)

3 ϫ (Ϫ4) Ϫ 6 ϫ 2

(7 Ϫ 4) ϫ (1 Ϫ 3)

Ϫ16

Ϻ

(4 Ϫ 8)

(20 Ϫ 8) Ϻ (Ϫ6)

Ϫ2 ϩ

14 Ϻ 7 ϫ (Ϫ2) ϩ 2

(10 Ϫ15) ϫ (Ϫ3 ϩ 1)

Ϫ4 ϩ

2ϫ7

(5 Ϫ 6) ϫ 3

[7

ϩ

(6 Ϫ 9) ϫ (Ϫ8 ϩ 10) 9 ϩ 15 Ϻ (Ϫ5)

8 Ϫ 10 Ϻ (Ϫ5)

4) 8 ϫ (Ϫ2) ϩ 7 ϫ (Ϫ2) 3 ϫ (Ϫ9) Ϫ 5 ϫ 3 Ϫ36 ϩ 5 ϫ 6 10 Ϫ 8 (Ϫ7 ϩ 1) ϫ (Ϫ3) ϫ

(5

Ϫ

• • • • • •


• • • • • •

7

21 Ϫ 3 3 ϫ (Ϫ9 Ϫ 5) 2 ϫ (5 Ϫ 4) 40 Ϫ 32 6 ϫ (Ϫ6 ϩ 5) (8 ϩ 7) ϫ (Ϫ2)


ϩ

Ϫ

6 Ϫ (4 Ϫ 9)

4 Uneix amb una fletxa les operacions de l’esquerra amb les que donen el mateix resultat a la dreta. 8

2 ϫ (Ϫ3)]

1

10


3

REFORÇ

Potències i arrel quadrada

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES Els objectius principals que els alumnes haurien d’aconseguir són: distingir la base i l’exponent d’una potència i operar amb potències de forma bàsica. • Cal insistir en la diferència entre una potència i un producte. A vegades, els alumnes creuen que és una multiplicació; per exemple, confonen 24 ϭ 16 amb 2 ϫ 4 ϭ 8. • És important recalcar l’ús correcte dels parèntesis. Un error comú ocorre amb les potències de base negativa. Confonen (Ϫ x )n amb Ϫ x n, i és cert si n és imparell, però no si n és parell. També és fonamental el càlcul d’arrels quadrades enteres per aproximacions de nombres de poques xifres per a assimilar el concepte, perquè les arrels d’un gran nombre de xifres es poden calcular amb l’ajuda d’una calculadora. A aquest tipus d’alumnat li hem de plantejar problemes senzills, i ajudar-lo a comprendre’ls mitjançant esquemes o dibuixos.

A C T I V I T A T S D E G R U P Dòmino de potències Construirem un dòmino de potències. Per a fer les fitxes heu d’escriure en un paper una potència, i en un altre paper, el resultat (no se n’admeten d’exponent zero). Dividiu la pissarra en dues parts: en una part poseu les potències, i en l’altra, els resultats. Comproveu que no coincideixen dues potències o resultats. Cadascun dels alumnes fabricarà una peça de dòmino amb una potència i un resultat diferent del de la potència. Per a fer-ho, repartiu les potències i els seus resultats. Una vegada acabades les fitxes, intenteu posar-les una darrere de l’altra.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 1.

Arrel quadrada entera: 4

2 =

Resta : 3

2 =

0

Arrel quadrada entera: 5

3 =

Resta: 3

2. Del caragol. 35

ϭ

243

3. 18; arrel quadrada entera: 4 Resta: 2

4.

5. 44; arrel quadrada entera: 6 Arrel quadrada entera: 3 Resta: 3

Resta: 8 76; arrel quadrada entera: 8 Resta: 12 89; arrel quadrada entera: 9 Resta: 8


8



3

Potències i arrel quadrada

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Els primers sistemes de numeració de què tenim informació són de fa més de 5.000 anys i es van trobar a Egipte i Mesopotàmia. A continuació et presentem alguns dels seus nombres.

...

... 1

3

2

10

20

0 100

1 0 0 00

1 000

1 00 00 0

Observa l’exemple següent. (102 •

ϭ

10 ϫ 10 ϭ 100)

=

Series capaç d’escriure el símbol egipci que falta en les operacions següents? 2

2

3 =

=

=

2 De qui és el cotxe?

4

3

3

4

243

5

3

3 Hi ha alguns nombres que tenen arrel quadrada exacta, s’anomenen quadrats perfectes. Per exemple, el 9, el 16, el 25… N’hi ha molts d’altres que no en tenen, com el 18. D’aquest nombre direm que 4 és l’arrel quadrada entera, i 2, la resta, perquè 18 ϭ 4 2 ϩ 2 . Gràficament:

s o m e v l o s e R

4 Ajudant-te de la quadrícula anterior, calcula l’arrel quadrada entera i la resta dels nombres 12, 19 i 28. 5 Ara descansem, i per fer-ho, usarem una miqueta una cosa que t’agrada molt: la calculadora. Com podem calcular la resta i l’arrel entera amb la calculadora? Si volem calcular la resta de, ͙ ෆ 45 , escriurem Obtenim 6,7082039.

4

5 ͙ ෆ2 , i després,

.

La part entera del nombre anterior, 6, és l’arrel entera. Per a calcular la resta, cal restar a 45 el quadrat de l’arrel entera: 45

Ϫ

62

ϭ

45

Ϫ

36

ϭ

9.

Empra la calculadora per a calcular la resta i l’arrel entera dels nombres 44, 76 i 89. Atenció a la diversitat

9



4

REFORÇ

Fraccions

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES Aquesta unitat és fonamentalment pràctica. Els alumnes haurien d’acabar-la sabent operar amb fraccions correctament. Per a practicar els proposem operacions senzilles i amb poques fraccions. • Cal acostumar els alumnes a simplificar les fraccions sempre que siga possible. D’aquesta manera ixen operacions més senzilles i la probabilitat d’error disminueix. • Aquest tipus d’alumnes tenen dificultats amb el concepte de fracció com a part d’un total. Per exemple, creuen erròniament que per a calcular un terç d’una quantitat cal dividir-la entre la fracció. A aquest tipus d’alumnes els hem de plantejar problemes senzills, i ajudar-los a comprendre’ls mitjançant esquemes o dibuixos per a visualitzar la part o fracció.

A C T I V I T A T D E G R U P Mural de fraccions Ara construirem diversos dòminos de fraccions perquè millorem en el càlcul, l’ordenació i la representació de fraccions. Els alumnes s’organitzen en grups de quatre persones. Cada alumne ha de fabricar 7 fitxes de dòmino d’un tipus diferent, per exemple: • Fitxes en què aparega una fracció i la representació d’una fracció. • Fitxes en què aparega una fracció i una operació amb fraccions. • Fitxes en què apareguen fraccions equivalents. Una vegada construïdes totes les fitxes, es fixen 7 fraccions i es treballa sobre aquestes les possibles representacions, operacions, fraccions equivalents… A més de jugar al dòmino, es pot jugar amb preguntes: ordenar de major a menor, buscar fraccions equivalents...

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 9 12

3 4

1. a) El c.

b)

ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ

2. ᎏ12ᎏ

2 ᎏᎏ 3



7 ᎏᎏ 12

b)

ᎏᎏ Ͼ ᎏᎏ

ϭ

3. a) ᎏ56ᎏ

6 ᎏᎏ 12 3 4

Ͼ ᎏᎏ

3 4

4. A: ᎏ14ᎏ 6 2 16 1 C: ᎏᎏ 16 1 D: ᎏᎏ 16

B:

5 7


10

ᎏᎏ


2 16 1 F: ᎏᎏ 16 4 G: ᎏᎏ 16 1 H: ᎏᎏ 16

E:

ᎏᎏ


4

Fraccions

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Observa les parts que hem pintat en el rectangle. a)

b)

c)

d)

a) Sabries dir quin dels cercles té pintada la mateixa part que el rectangle? b) Quina fracció representa aquesta part?

2 El dibuix següent s’anomena diagrama de Freudenthal i el farem servir per a les dues activitats que vénen a continuació.

2 4 VVeurem si ᎏᎏ i ᎏᎏ són equivalents. Observa el procés següent: 3 6 1.º Pintem en el diagrama (gris fosc). 4 fem el mateix amb ᎏᎏ (gris clar). 6 2 3.º Tracem una línia horitzontal per ᎏᎏ . 3 4 4.º Si la línia coincideix amb ᎏᎏ , és que les fraccions són equivalents, com passa en el nostre cas. 6 1 6 2 7 Utilitzant el diagrama anterior, sabries dir si són equivalents ᎏᎏ i ᎏᎏ? ¿Què passa amb ᎏᎏ i ᎏᎏ? 2 12 3 12 2.º Ara

3 Ara l’utilitzarem per a comparar fraccions.

2 3 o ᎏᎏ? 3 5 Fem com en l’exercici anterior i ens adonem que 2 3 ᎏᎏ és major que ᎏᎏ . 3 5 3 5 3 5 Ara tu: ᎏᎏ és major que ᎏᎏ? ¿ᎏᎏ és major que ᎏᎏ? 4 6 4 7 ¿Quina fracció és major,

ᎏᎏ

4 Observa el següent tangram xinés i respon la pregunta: quina fracció, respecte del tangram, correspon a cada peça?

B

C D

H A

E G

Et donarem una pista: 1. Fixa’t bé en els quadrats en què està dividit el tangram. 4 2. Per exemple, a la peça A li correspon ᎏᎏ . 16

F


11



5

REFORÇ

Nombres decimals

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES En aquesta unitat s’expliquen els nombres decimals. Un alumne de reforç hauria d’acabar la unitat sabent distingir les diferents xifres d’un nombre decimal, les operacions bàsiques (suma, resta, multiplicació i divisió) i sent capaç de resoldre problemes senzills en què intervinguen aquestes operacions. • Aquests alumnes a vegades creuen que les fraccions i els nombres decimals exactes o periòdics són conceptes diferents, i no veuen que són formes diferents de representar les mateixes quantitats. • A aquest tipus d’alumnat li hem de plantejar problemes senzills, aplicant-los a situacions de la vida real.

A C T I V I T A T D E G R U P Xifres amb euros Desenvoluparem un joc semblant al de les xifres de Cifras i letras. El joc consisteix a endevinar quines quantitats de diners es poden aconseguir amb bitllets i monedes actualment en circulació, que són els bitllets de 500, 200, 100, 50, 20, 10 i 5 euros, i les monedes de 2 i 1 euros i de 50, 20, 10, 5, 2 i 1 cèntims d’euro. Hi ha dues variants: • La primera consisteix a esbrinar de quantes maneres diferents puc pagar una quantitat determinada. Un company proposa una quantitat total de diners i els altres han de calcular totes les maneres possibles d’aconseguirla amb bitllets i monedes, que es poden repetir. • La segona és que es fixen unes monedes i uns bitllets entre tots i un company diu una quantitat de diners a l’atzar. Cal tractar d’aconseguir aquesta quantitat o acostar-s’hi tant com siga possible.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 3 23 ϭ ᎏᎏ és exacte 3. ᎏ23ᎏ 0 2ϫ3ϫ5

1. 3,2 4,1 1,9 0,8

7 7 ᎏ ᎏ no és exacte 33 3 ϫ 11 17 17 és exacte ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ 50 2 ϫ 52 21 3 3 ᎏᎏ ϭ ᎏ ᎏ = ᎏᎏ és exacte 70 10 2 ϫ 5 ᎏᎏ ϭ

1,3 3,2

1,5

5,4

2,3

2. a) 2 unitats, 3 dècimes i 5 centèsimes, o 2 unitats i 35 centèsimes

b) 5 unitats, 4 dècimes, 5 centèsimes i 8 mil·lèsimes, o 5 unitats i 458 mil·lèsimes c) 8 desenes, 5 unitats, 0 dècimes i 2 centèsimes, o 85 unitats i 2 centèsimes d) 9 desenes, 9 unitats, 5 dècimes, 4 centèsimes i 7 mil·lèsimes, o 99 unitats i 547 mil·lèsimes e) 1 desena, 2 unitats i 5 dècimes, o 12 unitats i 5 dècimes


12

4.

T P O C E N T E S I M A E E R C M N M I C I I O A T S I N D R E M O I F L D C L E I I R M R A



5

Nombres decimals

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Completa el dibuix següent perquè les tres línies sumen 10. 3,2 4,1 1,9

3,2 1,5

2,3

2 Mira el requadre següent. Unitats Desenes Unitats 1 3

Nombre 13,256

Unitats decimals Dècimes Centèsimes Mil·lèsimes 2 5 6

Ara, escriu com s’haurien de llegir aquests nombres decimals. a) 2,35: 2 unitats, 3 dècimes i 5 centèsimes, o 2 unitats i 35 centèsimes b) 5,458 c) 85,02 d) 99,547 e) 12,5

3 Veurem si una fracció correspon a un decimal exacte o no. Per a fer-ho, fixa’t en el que diu el requadre. Analitzem el denominador de la fracció

17 20

ᎏᎏ .

1.º Factoritzem el denominador: 20 ϭ 22 ϫ 5 2.º Si apareix en la descomposició el 2, el 5 o tots dos, el decimal és exacte Ho comprovem: 17

Ϻ

20

ϭ

0,85.

17 és decimal exacte. 20

⇒ ᎏᎏ

23 7 17 21 i ᎏᎏ. 30 33 50 70 4 Col·loca les paraules del requadre en la part de sota, de manera que encaixen totes. Indica quines de les fraccions següents corresponen a nombres decimals exactes:

ᎏᎏ, ᎏᎏ, ᎏᎏ

CENTÈSIMA, MIL·LÈSIMES, FRACCIÓ, PERIÒDIC, ARREDONIMENT, CÈNTIM

C E N T E S I M A


13



REFORÇ

6

El llenguatge algebraic. Equacions

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES Aquesta unitat comença amb el llenguatge algebraic i, en particular, amb el plantejament i la resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita. Els alumnes haurien d’acabar el tema sabent resoldre equacions de primer grau senzilles i plantejar-les en problemes simples. • S’ha de prestar especial atenció als signes, sobretot quan hi ha un parèntesi restant, perquè el signe afecta tot el parèntesi. • Per a millorar la comprensió del mètode de resolució d’equacions de primer grau és recomanable que les operacions que es facen siguen només amb nombres enters, si de cas amb fraccions els denominadors de les quals siguen nombres petits. • Els problemes s’han de poder plantejar amb equacions senzilles que es resolguen en dos passos. Cal tenir en compte que als alumnes els és especialment difícil traslladar el llenguatge ordinari al llenguatge algebraic.

A C T I V I T A T D E G R U P Concurs de llenguatge Per a fer aquesta activitat proposarem als alumnes la formació de grups de dos o tres alumnes. Cada grup ha d’escriure unes frases, tant expressions com igualtats, que es puguen traslladar al llenguatge algebraic. Aquestes frases podrien tractar sobre: • Edats, per exemple, “L’edat de Joan és el doble de la que tenia fa tres anys”. • Preus o objectes, per exemple, “Tinc el doble de CD que de DVD”. • Figures geomètriques, per exemple, “El perímetre d’un quadrat té 16 centímetres”. Quan tots els grups hagen acabat les frases, les passaran als altres perquè les escriguen en forma algebraica. Convé que cada grup indique el significat de cada incògnita que escriga, perquè és possible que utilitzen diferents lletres. Guanya el grup que aconseguisca passar més frases al llenguatge algebraic.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 2. Tres pomes

1.

3. Poma, 400 g Taronja, 200 g

4. C O E F I C I E N T E Q U A C I Ó F Ó R M U L A P R O D U C T E I D E N T I T A T G R A U S O L U C I Ó Paraula clau: Campió


14



El llenguatge algebraic. Equacions


1 Aquestes peces tenen al costat del dibuix la solució corresponent a cadascuna de les equacions de la quadrícula. Col·loca cada peça en la seua casella i veuràs un dibuix que t’és molt familiar. ' x=5 x=1

3x ϩ 1

ϭ

4

2x Ϫ 2

ϭ

10

x=7

3x Ϫ 10 ϭ 11 x=6

No

És 3 la solució de x ϩ 1 ϭ 4?

Sí

És 4 la solució de 4x ϩ 4 ϭ 8?

2x ϩ 6

2 Com ja saps, les equacions, com les balances, busquen l’equilibri. Sabries calcular-lo en l’última balança?

?

y

3 Sabries deduir quant pesen la poma i la taronja? 200 g 200 g 200 g

200 g 200 g

200 g

200 g

200 g

200 g

Observació: Si anomenes x el pes de les fruites, podràs fer-ho mitjançant una equació.

4 Col·loca les lletres de manera ordenada i obtindràs la paraula clau en les caselles de color gris. TNEICIFEOC IQUACOE ROFMULA DUCTPREO ENITATIDT RAUG CIOLUOS


15


ϭ

16


7

REFORÇ

Sistema de mesures

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES En la unitat s’estudien els diferents tipus de mesures. Els alumnes haurien d’acabar la unitat sabent les diferents unitats de longitud, superfície, volum, capacitat i massa. A més, han de ser capaços de fer canvis d’unitats en cadascuna de les magnituds i conéixer la relació que hi ha entre les unitats de volum i les de capacitat. Finalment, han de poder resoldre problemes senzills sobre mesures. • Una de les dificultats que troben és a l’hora d’emprar correctament les unitats. Per exemple, confonen de vegades decàmetres amb decímetres. A més pot ser complicat expressar oralment les unitats. • Cal exigir que es parle amb propietat. S’han de fer servir correctament els termes capacitat i volum. • Els problemes que es plantegen en les activitats de reforç han de ser senzills i pròxims, i poder-los aplicar a situacions de la vida real.

ACTIVITAT DE GRUP Suma de mesures L’objectiu del joc és aconseguir una longitud determinada que es decideix prèviament. Per a fer-ho, es formaran grups de dos alumnes. • Primer cal fabricar les fitxes del joc. Es fabrica un nombre de fitxes, per exemple, 20, amb mesures de longitud que van des d’un metre fins a un hectòmetre. Exemples de fitxes: 2 hm, 4 dam, 20 m, etc. • La mecànica del joc és la següent: comença un jugador triant la fitxa que vulga, després l’altre, i així successivament. • Guanya el primer jugador que aconseguisca que les seues fitxes sumen la longitud prefixada; en el cas que ningú aconseguisca la mesura, guanya aquell la suma de les fitxes del qual siga la més aproximada a la longitud. • La mesura de longitud prefixada no ha de ser exageradament més gran que les fitxes fabricades. Una variant del joc és aquella en què perd el primer jugador que sobrepasse la mesura indicada. Es poden fabricar altres jocs amb unitats d’altres magnituds.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 1. a) La figura de l’esquerra té una superfície de 8 quadrats.

b) La figura de la dreta té una superfície de 9 quadrats.

2. El volum de la clau anglesa és de 20 cm 3. El volum del despertador és de 200 cm 3.


16

3.

Unitat Hectòmetre Quilòmetre Decàmetre Decímetre Mil·límetre Centímetre Metre


Símbol hm km dam dm mm cm m

Metres 100 1000 10 0,1 0,001 0,01 1


7

Sistema de mesures

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Observa la forma en què hem mesurat la superfície d’aquest dibuix. a) Hem posat una quadrícula damunt d’un dibuix. b) Hem comptat els quadrats de què està composta la figura. c) Amb els que no estan sencers, fem una aproximació. Tenim quatre quadrats sencers, i amb els que ens queden podríem completar aproximadament tres quadrats més. Per tant, la superfície que ocupa el dibuix és de set quadrats. Seguint el mateix procés, series capaç de mesurar l’àrea de les figures següents?

a)

b)

2 Suposem que vols saber el volum d’una pedra. La veritat és que, com que són molt irregulars, no hi ha cap fórmula per a fer-ho. Nosaltres calcularem el volum de la pedra per “desplaçament d’aigua”. Abans d’introduir la pedra el volum de l’aigua és de 9 cm 3 . 15 10 5

Quan introduïm la pedra en l’aigua, el volum puja fins a 11 cm 3 . Per tant, el volum de la pedra s’obté restant el volum de l’aigua amb la pedra menys el volum de l’aigua sense la pedra:

15 10

V ϭ 11 cm3 Ϫ 9 cm3 ϭ 2 cm3

5

Quin és el volum dels objectes següents?

150

150

300

100

100

200

50

50

12 9

100

3 6

Quilòmetre

100 km dam

10

Decímetre

0,1

Mil·límetre

0,001

Centímetre

cm m


17

200 12 9

3 6

3 Completa la taula següent, en la qual aprendràs quins són els múltiples i submúltiples del metre. Unitat Símbol Metres Hectòmetre

300

1 NOMBRES Matemàtiques 1r ESO

100


8

REFORÇ

Magnituds proporcionals. Percentatges

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES Seria suficient si aprengueren els conceptes bàsics de proporcionalitat directa, quan dues raons formen una proporció i la utilització de la regla de tres simple directa per a aplicar-la problemes senzills. També és convenient que sàpien calcular el tant per cent d’una quantitat. • Cal tenir en compte que ja coneixen les fraccions, però no els seria sobrer repassar el concepte de fraccions equivalents. • Insistir en la identificació de magnituds directament proporcionals (si la primera magnitud creix, la segona també, i en la mateixa proporció, i viceversa). • Pot ser útil calcular raons de proporcionalitat amb taules de dades numèriques. • És convenient fer problemes senzills en què utilitzen les regles de tres, insistint en la regla de tres simple directa. • Hem de proposar-los problemes senzills en què hagen d’aplicar càlculs amb percentatges. • Insistirem en el fet que els alumnes vegen si el resultat que han obtingut és lògic o no.

A C T I V I T A T D E G R U P Nombre d’or Podem fer grups de quatre o cinc alumnes per a buscar una de les raons de proporcionalitat més belles de la història de la humanitat. Proposarem a cadascun dels grups que tracte de buscar aquesta raó. Per a fer-ho, els podem donar les pistes següents: • El Partenó de Grècia. • L’home de Vitruvi , de Leonardo da Vinci. • DNI • Estrela de cinc puntes. • En la mà, … Tractaran de buscar el nombre més gran possible de proporcions àuries. Per a trobar-les, a més de les pistes donades, els seria de gran ajuda utilitzar Internet. Podríem fer una competició en què els alumnes reben algun tipus de compensació, per a veure quin dels grups és capaç de trobar més raons àuries. També es podran projectar en classe alguns vídeos, com ara Investigación matemática 10, i fer algun treball relacionat amb el contingut.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 3. El 10% de 1150 és 115.

1. x ϭ 24; y ϭ 36

El 42% de 1150 és 483.

2. La primera part representa, ᎏ25ᎏ , i la segona, ᎏ140ᎏ . Emprant productes encreuats es veu que són proporcionals.


18

4. Les magnituds nombre de sabatilles i nombre de dies que es tarda a fer-les són directament proporcionals. Per tant, necessitarà 24 dies per a fabricar 7 200 parells.



Magnituds proporcionals. Percentatges


1 Completa la taula següent que relaciona magnituds directament proporcionals. Magnitud

A

4

6

7

9

10

Magnitud

B

16

x

28

y

40

2 Indica si les parts pintades en els dibuixos formen raons proporcionals.

3 La màquina que veus ens serveix per a calcular el percentatge de qualsevol quantitat. Vegem com funciona amb un exemple: Calcula el 23 % de 1150. 1150 ¤

7

, 0

0,23

•

8

9

4

5

6

,

1

2

3

0

7

¤

=

8

9

4

5

1

2

264,5 ¤

7

8

9

6

,

3

0

4

5

6

1

2

3

1é Introduïm la quantitat inicial en la pantalla 1 (1150). 2n Dividim el percentatge que ens donen entre 100 i l’introduïm en la pantalla 2 (0,23). 3r Multipliquem la pantalla 1 per la pantalla 2. 4t El resultat d’aquesta operació, que apareix en la pantalla 3, és el percentatge (264,5). ¿Sabries utilitzar la màquina per a calcular el 10% i el 42% de 1150?

4 Rafel utilitza molt un pàrquing. En l’última setmana va pagar 9 euros per 18 hores. Quant pagarà el pròxim mes si ha previst que necessitarà aparcar el cotxe durant 62 hores? Mètode de reducció a la unitat Hores Ϻ

Euros 9

9

18 Ϻ

1 ϫ

9

2

62

ϫ

62

62

124

Mètode de les proporcions Hores

Euros

9

18

9 6 2

18 x

⇒ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒

x

ϭ

18 и 62 ᎏ ᎏ ϭ 124 € 9

62 x Fixant-te en l’exemple anterior, resol l’exercici següent. Un fabricant de calçat esportiu produeix 600 parells de sabatilles en 2 dies. Quants dies necessitarà per a fabricar 7 200 parells? Atenció a la diversitat

19



9

REFORÇ

Funcions

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES Seria suficient si els alumnes aprengueren a representar punts sobre els eixos de coordenades, a obtenir valors de la fórmula d’una funció per a poder dibuixar la gràfica. Insistirem també en la interpretació de funcions que ja estan dibuixades. • Cal fer-los veure que aquest tema és molt important per al desenvolupament posterior de les matemàtiques. • Insistir en el fet que les funcions es troben en quasi tots els àmbits. Podem utilitzar diaris, revistes, etc., per a buscar exemples reals que arriben a l’alumnat. • Manejar amb desimboltura la representació de punts en els eixos de coordenades, per a després passar a les funcions. • Interpretar gràfiques. • Treballar el concepte de funció: quan una gràfica correspon a una funció o no, variable dependent i independent. • Començar a veure que els conceptes d’aquest tema estan relacionats, per exemple, amb les magnituds directament proporcionals.

A C T I V I T A T D E G R U P Recerca i representació gràfica És un tema que es presta a utilitzar diaris, revistes i altres mitjans de comunicació en què els alumnes puguen veure la gran quantitat de gràfiques que contenen. És important que l’alumnat vaja aprenent els conceptes d’aquest tema pels seus propis descobriments. Es poden proposar activitats en grups de quatre o cinc alumnes perquè facen una recollida de dades que posteriorment agruparan en taules i representaran gràficament. Els farem veure la utilitat d’això per a: • Simplificar un conjunt de dades. • Presentar de forma visual aquestes dades. • Interpretar de manera senzilla els resultats. Podem suggerir que la recerca de dades es faça sense cap tipus d’ajuda o recomanar algunes pàgines web com ara http://www.ine.es, on poden trobar moltes dades.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 1. A: Marc

3.

B: Àngel C: Cristina D: Rosa E: Casimir F: Marçal

2. Primera taula: y ϭ 3x ϩ 1 Segona taula: y ϭ

Ϫ2x ϩ

2. a) 210 km b) 800 m c) 125 km

1

Tercera taula: y ϭ 3x ϩ 5


A B S C I S S A D C L A I U N F A E À T D R R G O T N U P F O R M U L A

20


F U N C I Ó


9

Funcions

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Et presentem la família Moraga. D’esquerra a dreta: el iaio Marçal, de 65 anys i jubilat; el menut Marc, de 2 anys i

encara a la guarderia; Àngel, de 12 anys, estudiant de 1r d’ESO; Rosa, la mare, de 43 anys; Casimir, de 46 anys, agent d’assegurances, i finalment, Cristina, la filla gran, estudiant d’universitat, de 19 anys. Sabries associar cadascun dels nostres personatges amb un dels punts de la gràfica? 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 ) s y n a ( t a d -E a d a lç

) (m ar tul A

1,80 1,60 1,40 1,20 1,00

E B

D

C

F

A

0,60 A

0,50

0,20 0

10

20

30

40

0,00

50 70 60 Edad (años)

2 Uneix cada fórmula amb la seua taula de valors. Ϫ1

x y

Ϫ2

0 1

2 7

0 1

x y

y ϭ 3x ϩ 5

Ϫ1

3

x y

1 Ϫ1

y ϭ 3x ϩ 1

0 5

1 8

2 11

y ϭ Ϫ2x ϩ 1

3 Busca, entre totes les lletres, les paraules següents: abscissa, ordenada, funció, origen, punt, fórmula, taula i gràfica. A D A N E D R O G F

B U F E D Z X P Y O

S D G W T Y W V I R

C O B Q P E Y O Ñ M

I S N M L T E K S U

S C I F À R G O T L

S U H J Ñ A E B N A

A L U A T E S P U E

B W E H O B D W P N

N H S D L E F R P O

F U N C I Ó H T L P

4 En la gràfica següent es representa el recorregut d’una etapa ciclista. Fixa’t bé en el dibuix i respon les preguntes següents. )

800 ut

600

ar

(m

C

A

l

a) Quina és la longitud de l’etapa? b) A quants metres d’altitud està le Port de Querol? c) Quants quilòmetres de baixada té l’etapa?

Port de Querol B

A 537

D

400 0

40

75

120

160 210 Distància (km)


21



REFORÇ

10

Estadística i probabilitat

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES Pretenem que l’alumnat domine els conceptes bàsics següents: freqüència absoluta i relativa, mitjana, moda, diagrames de barres i sectors, i càlcul de la probabilitat d’un succés mitjançant la regla de Laplace. • Freqüència absoluta i relativa: seria interessant que feren una enquesta sobre alguns aspectes entre els membres de les seues famílies, amics, etc., per a després plasmar el resultat en una taula de dades. Això els resultarà molt suggestiu i motivador. • La mitjana: és un paràmetre de centralització que només es dóna en conjunts numèrics. No tots els conjunts de dades tenen mitjana. • La moda: n’hi ha en tots els conjunts de dades, perquè és el valor que més es repeteix. Fins i tot, si diverses dades es repeteixen el mateix nombre de vegades, pot haver-hi diverses modes. • Els gràfics de sectors i barres: seria interessant acabar totes les enquestes i mostratges que hagen fet construint un gràfic de cadascun dels sectors. • Regla de Laplace: és important que sàpien comptar els casos favorables a un succés i els casos possibles d’un experiment aleatori.

A C T I V I T A T D E G R U P Ens familiaritzem amb l’estadística S’organitzen grups de sis alumnes. Es nomena un moderador en cada grup que serà l’encarregat de parlar i explicar les decisions del seu grup de companys. Els proporcionem un text a cada grup. Després de la lectura del text hauran d’elaborar una sèrie de conclusions que quedaran enregistrades en una taula estadística. A partir d’aquestes dades, els alumnes calcularan la mitjana i la moda. Després dibuixaran un gràfic de barres o de sectors. Amb totes aquestes dades, els nostres alumnes van familiaritzant-se amb el món estadístic d’una manera fàcil i amena. Al final de l’activitat es farà una posada en comú de tots els resultats obtinguts. Perquè els alumnes se senten atrets per aquesta activitat, podem donar-los dades reals, que podem obtenir, entre d’altres, de la pàgina web de l’Institut Nacional d’Estadística o del CIS.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 1. a) Absoluta b) Polígon c) Moda d) Ponderada e) Sectors

3. Ewerthon 60° Ronaldo 67,5° 97,5° Villa

2. a) ᎏ18ᎏ 1 b) ᎏᎏ 12 c) La probabilitat disminueix.


22


135° Etoo


10

Estadística i probabilitat

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Completa les frases següents amb la paraula adequada. el el nombre de vegades que es repeteix una dada. a) Freqüència de freqüències. b) Unint els extrems de les barres d’un diagrama, s’obté el . c) La dada que més vegades es repeteix s’anomena . d) Hi ha dos tipus de mitjana: la simple i la e) Hi ha uns gràfics que s’assemblen a una caixa de formatgets. S’anomenen diagrames de

.

2 Quan resolem problemes en què apareixen daus, suposem que tenen forma cúbica i que les cares del dau estan nu-

merades de l’1 al 6. Si són normals, és a dir, si no estan trucats, la probabilitat que isca una cara és igual a 1 dividit entre el nombre de cares del dau. Ara bé, hi ha molts tipus de daus: daus amb forma de tetraedre, daus de quinieles… Ací en tens uns quants: 1

1 1

5

12

2

X

11

4

3 3

2

8

7

5

7

4

2

4

3

6 1

8 4

10

9

2

6

7

8

11

1

1

1

X

X

12

5

2

a) Calcula la probabilitat d’obtenir un 8 en el dau amb forma d’octaedre. b) Calcula la probabilitat d’obtenir un 8 en el dau amb forma de dodecaedre. c) Observa els dos resultats anteriors. Què ocorre amb la probabilitat quan augmenta el nombre de cares?

3 Series capaç de col·locar el nom de cada futbolista en la seua part del gràfic? Jugador Etoo Villa Ronaldo Ewerthon

Gols 18 13 9 8

Per a calcular el nombre de graus que corresponen a cada jugador hauràs d’aplicar la 3 60 Њ fórmula ϫ goles de cada jugador. n.º tota l d e goles

ᎏᎏ

60° 135°

67,5° 97,5°


23



11

REFORÇ

Formes geomètriques

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES És important que aprenguen els conceptes bàsics de mediatriu d’un segment, bisectriu d’un angle, angles complementaris, suplementaris i oposats pel vèrtex. Han d’establir relacions entre angles i arcs de circumferència, estudiar posicions relatives de rectes i de circumferències i calcular la longitud d’una circumferència. • Intentar que els nous noms siguen senzills de recordar i associar els nous conceptes amb petits trucs: mediatriu (per la meitat), bisectriu (en dos), inscrit (dibuixat a dins)… • Començar per la construcció de cada element i, a partir del dibuix, a través l’observació i amb preguntes orientades, estudiar les seues propietats o les relacions entre aquests. • Habituar els alumnes a representar gràficament els exercicis i a indicar les dades i el que es desconeix. • Comprovar sempre les solucions obtingudes amb el transportador d’angles i el regle graduat. • Utilitzar materials alternatius: plegat, retallables, programes d’ordinador, pàgines web…

A C T I V I T A T D E G R U P Construeix els materials Proposarem als alumnes la construcció d’eines que els permetran estudiar els conceptes de manera activa. Per a fer-ho, es dividiran en grups de tres o quatre persones i els repartirem diferents activitats: • Els components d’un grup dibuixaran i retallaran angles de 18 Њ, 72Њ i 162Њ, 40Њ, 50Њ i 140Њ…; és a dir, angles complementaris i suplementaris als quals posaran la mesura. Una vegada retallats, han de col·locar-los per parelles amb un costat comú i estudiar si formen un angle recte o un angle pla, i indicaran en cada cas si són complementaris o suplementaris. • Uns alumnes dibuixaran circumferències de diferent grandària en una cartolina. Mentrestant, els altres dibuixaran angles de 10Њ, 20Њ, 40Њ i 80 Њ; de 30Њ, 60Њ i 120Њ… amb els costats prou grans perquè es puguen inscriure en les circumferències i en els quals escriuran la seua mesura. Després retallaran els angles dibuixats. Han de col·locar els angles sobre les circumferències de manera que un siga central i l’altre inscrit, i aparellaran els que comprenen el mateix angle. D’aquesta manera comproven la relació doble-meitat que hi ha entre els angles. • Un altre grup s’ocuparà de dibuixar circumferències de grandàries diferents en una cartolina i indicarà la mesura dels radis, i de dibuixar i retallar rectes. Els alumnes han de col·locar les rectes respecte de les circumferències en resposta a preguntes del tipus: “Col·loca la recta a 5 cm del centre de cada circumferència i indica la posició que té respecte d’aquesta”, que seran elaborades pel professor. • Finalment, amb fil gruixut, llana, corda… formaran les circumferències dibuixades en les activitats anteriors. Després ho posaran en línia recta i ho mesuraran amb un regle. Així mesuraran longituds de circumferències o arcs. Una vegada elaborats els materials, cada grup passarà a fer les activitats preparades pels altres. Sempre hauran d’anotar en el quadern els resultats obtinguts.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 1. a) A i B són aguts, amb A

B i A ϩ B ϭ 90Њ. Una solució és: A ϭ 20Њ i B ϭ 70Њ. b) B és agut i A és el doble de B . Una solució és: B ϭ 50Њ i A ϭ 100Њ. c) A ϭ B per ser oposats pel vèrtex i A és obtús. Una solució és: A ϭ B ϭ 140Њ. d) A és obtús, i B , agut, i A ϩ B ϭ 180Њ. Una solució és: A ϭ 110Њ i B ϭ 70Њ. p

p

p

p

p

p

p

3.

2 cm 8 cm

p

p

p

p

L

3 dm

p

p

p

Meitat Quart 18,84 dm 9,42 dm 4,71 dm 12,56 cm 6,28 cm 3,14 cm 50,24 cm 25,12 cm 12,56 cm

R

p

p

p

p

Ͻ

p

p

p

p

p

p

2. a) Un punt b) Menor que 3 cm c) Exterior


4. r no és perpendicular a AB i t no passa pel punt mitjà. La mediatriu és s .

5. A

p

24

ϭ

45Њ; B ϭ 140Њ; C ϭ 25Њ p

p



11

Formes geomètriques

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Posa una mesura a cadascun dels angles: A i B següents: a) b) p

p

c)

d) ^

A ^

^

^

A

B

A

^

^

B

B

^

B

^

A

2 Dibuixa una circumferència de 3 cm de radi i després dibuixa-hi una recta tangent, una altra assecant i una altra exterior. Observa el dibuix, utilitza el regle per a mesurar si ho necessites i respon les preguntes següents marcant una X en el requadre que corresponga:

a) La recta que està a 3 cm de distància del centre de la circumferència la toca en: Dos punts. Un punt. Cap punt. b) La recta secant està a una distància del centre de la circumferència: Major de 3 cm. Igual a 3 cm. Menor de 3 cm. c) La recta que es troba a una distància major de 3 cm del centre de la circumferència és: Tangent. Exterior. Secant.

3 Completa la taula següent. Radi

Longitud de la circumferència

3 dm

2

и␲ и

3

ϭ

Un quart de circumferència 18,85 ᎏᎏ ϭ 4,71 dm 4

Semicircumferència 18,85 ᎏᎏ ϭ 9,43 dm 2 6,28 cm

18,85 dm

2 cm 8 cm

12,57 cm

4 En els segments següents s’han traçat diferents rectes. Explica en quin dels segments s’ha dibuixat la mediatriu i en quins no.

s

r

r

C M

A

M

D

E

M

F

B

5 En els dibuixos següents s’ha traçat la bisectriu de cada angle amb línia discontínua, i davall d’aquests hi ha desordenades les mesures en graus dels angles. Uneix amb una fletxa cada angle amb la mesura corresponent.

^

C ^

B

70°

^

25°

A

140Њ

25Њ Atenció a la diversitat

25

45Њ NOMBRES Matemàtiques 1r ESO


12

REFORÇ

Figures planes

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES És important que reconeguen els diferents tipus de polígons i els seus elements, com també les condicions que s’han de complir perquè dos polígons siguen iguals i com es descomponen en triangles. També han de conéixer els criteris d’igualtat de triangles i aplicar-los en la construcció d’aquests; i saber traçar i reconéixer les rectes i el punts notables del triangle. • Utilitzar els elements que dóna l’entorn per a identificar les figures planes: taules, cadires, pissarra, porta, interruptors de la llum, senyals de circulació… • Fer els exercicis fent servir sempre els instruments de mesura i el compàs, i després comprovar-ne les solucions. • Dibuixar sobre un mateix triangle i sobre un mateix costat les rectes notables per a descriure les diferències entre aquestes i el que tenen en comú. • Emprar materials alternatius per a estudiar la igualtat de polígons: transparències, figures retallades…

A C T I V I T A T D E G R U P Concurs de velocitat Agrupats per parelles, han de respondre les preguntes següents: • Dibuixa quatre triangles iguals a un triangle qualsevol que no estiguen en la mateixa posició que aquest. • Construeix un triangle coneguts un costat que mesura 7 cm i que els dos angles contigus són 60 Њ i 30Њ, respectivament. • Quin polígon es pot descompondre en 5 triangles? • Escriu el nom de cadascuna de les rectes que hi ha dibuixades en el triangle. • Explica si són iguals els dos senyals de STOP que apareixen en la fotografia (un amb els costats més menuts que l’altre). S’assignaran 10 punts a la primera parella que responga correctament, 7 a la segona i 4 a la tercera. Per cada resposta incorrecta es restaran 2 punts del resultat final. Guanya la parella que aconseguisca més punts. També es poden fer grups que elaboren les preguntes i que s’encarreguen de fer el recompte de punts.

SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS PROPOSADES 1. B I S E C T R I

2. a) Amb III), b) amb I) y c) amb II)

A N R A I I N S C R I T A D E E N M A R U T L A R O R T O C E N T R E


3. a) A és un quadrat, i B , un pentàgon irregular còncau.

b) En A han resultat dos triangles isòsceles, i en B , un rectangle i un altre pentàgon irregular còncau.

4. L’hexàgon regular es descompon en 4 triangles. Per tant, 4

26

и

180 Њ

ϭ

720 Њ sumen els angles interiors.



12

Figures planes

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Busca en la sopa de lletres següent els noms dels elements relacionats amb les rectes i els punts notables d’un triangle que apareixen en els dibuixos.

a

B A R T H A L S P O

b

I S A V N R A I I N D T E P M I E R R T

E D A I S O J N M O

C E N J C N G A R C

T R O M R E U R A E

R O S O I H N U E N

I I A O T U O T R T

U M I M A C A L R R

d

L E N T D S T A M E

c

2 Uneix amb fletxes els triangles de la primera fila amb els de la fila segona que siguen iguals. a) b) c) 5 cm 3 cm 63°

5 cm 9 cm

I)

II) 7 cm

5 cm

7 cm 55°

42°

III)

10 cm

5 cm

42° 3 cm

83°

9 cm

80°

37°

3 Observa els senyals següents: A és un senyal de perill de mercaderies, i B és una bandera marítima.

RADIOACTIVITAT

a) Classifica els polígons que els formen. b) Les zones ombrejades han format dos nous polígons en cadascun d’aquests. Classifica’ls.

4 Per a calcular la suma dels angles interiors d’una figura plana regular: 1.º

Es divideix en triangles.

Es compten els triangles resultants: 6. 3.º Com que els angles d’un triangle sumen 180 Њ, els de l’octògon sumen: 180 Њ и 6 ϭ 1080 Њ. Amb el mètode anterior, calcula quant sumen els angles interiors d’un hexàgon regular. 2.º


27



13

REFORÇ

Longituds i àrees

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES És important que els alumnes comprenguen la diferència entre perímetre i àrea, i utilitzen correctament les seues unitats de mesura. A més, han d’aprendre el teorema de Pitàgores i calcular un dels costats d’un triangle rectangle a partir dels altres dos. També han de conéixer i aplicar adequadament les fórmules que permeten obtenir l’àrea dels polígons i del cercle. • Proposar activitats per a comprovar que coneixen el significat de perímetre i d’àrea. Per exemple: pintar la superfície de les figures, pintar de roig el perímetre o unir mitjançant fletxes aquestes paraules amb diferents unitats de mesura. • Utilitzar el teorema de Pitàgores per a comprovar si un triangle és rectangle. • Fer molts exercicis d’aplicació del teorema de Pitàgores perquè aprenguen el mecanisme que permet obtenir un catet, una vegada coneguts l’altre catet i la hipotenusa. • Permetre’ls utilitzar l’esquema de la unitat fins que aprenguen les fórmules del càlcul de l’àrea de figures planes. • Plantejar problemes senzills que tinguen relació amb la vida quotidiana. • Insistir en el fet que facen dibuixos i anoten el que es coneix i el que es desconeix.

A C T I V I T A T D E G R U P Mesura i calcula el teu entorn Pot ser una activitat que es pot fer dins de l’aula o fora, però sempre és més motivador eixir, almenys, al pati. En el cas que no siga factible l’eixida, es poden utilitzar els elements que proporciona l’aula per a fer l’activitat. En tots els centres sol haver-hi un camp d’esports on es pot practicar futbol, basquetbol, handbol… L’esport més interessant per la varietat de figures planes que presenta és el de basquetbol, però cada grup es pot encarregar d’un esport diferent, i així treballaran més còmodes. L’objectiu és que calculen el perímetre i l’àrea de totes les figures planes que es troben pintades en el terra. Per a fer-ho, caldrà: • Organitzar els alumnes en grups de tres o quatre persones. • Cada grup durà una cinta mètrica, un quadern i un llapis. • Dibuixaran en el quadern el contorn, les zones, els cercles… i qualsevol altra figura plana que troben, i hi anotaran les mesures necessàries per al càlcul posterior d’àrees i perímetres. • Després, a classe, faran tots els càlculs i exposaran el treball a la resta de companys, i els explicaran quin tipus de polígons han calculat, quines mesures tenen, quines necessiten per a calcular el perímetre i com ho han fet, quines altres mesures han necessitat calcular per a obtenir l’àrea i com les han esbrinat…


3.

140 mm

1,8 dm

15 cm

STOP

3 dm

45 cm

9,6 dm

9,42 dm

1 120 mm

cm cm2

dm dm2

dm dm2

mm mm2

2. a) 5 cm

Rectangle Trapezi Rombe

3 dm

Triangle 2 1 2

b) 12 dm


28


Pentàgon 2 2 0

Quadrat 1 6 9


13

Longituds i àrees

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Dibuixa el perímetre en roig, en blau la superfície i completa la taula següent: 140 mm

1,8 dm

FIGURA

3 dm

STOP

3 dm

15 cm

Perímetre Unitat de mesura del perímetre Unitat de mesura de la superfície

2 Marca amb una creu la resposta correcta. a) Si els catets d’un triangle rectangle mesuren 3 i 4 cm, la hipotenusa mesura: 5 cm

8 cm

6 cm

b) Si la hipotenusa mesura 13 dm i un catet 5 dm, l’altre catet mesura: 10 cm

16 dm

12 dm

3 En els mots encreuats següents has d’escriure un dígit en cada quadre de manera que en horitzontal i vertical aparega l’àrea de les figures que hi ha dibuixades en cada fila i en cada columna 8 cm 8 dm

53 cm

11 dm

13 dm

17 dm

12 cm 9 cm 16 cm

14 cm

22 cm


29


13 cm


14

REFORÇ

Cassos geomètrics Volums

ORIENTACIONS METODOLÒGIQUES Els alumnes han de distingir entre figures planes i figures de l’espai, i aprendre correctament els noms i els elements que tenen. És important que comprenguen el concepte de volum, que utilitzen adequadament les seues unitats de mesura i com poden passar de les unes a les altres. També han d’aprendre i utilitzar les fórmules que permeten calcular el volum de qualsevol figura geomètrica. • Utilitzar objectes quotidians: foli, pissarra, llapis, caixa, tros de cartó… per a classificar i anomenar figures de l’espai i figures planes. • Tenir a l’aula els cossos geomètrics en fusta, plàstic o qualsevol altre material perquè els alumnes puguen observar el tipus de cares que els formen, quantes són, les diferències entre els uns i els altres… • Proposar activitats que acostumen els alumnes a dibuixar les figures i representar-hi els seus elements. • Utilitzar l’esquema de la unitat per a resoldre els exercicis i els problemes a fi que busquen les fórmules i les aprenguen a poc a poc. • En la resolució de problemes, fer esbossos i anotar els elements coneguts i els que cal obtenir. • Plantejar, a través de problemes, el càlcul del volum de figures que siguen de l’entorn dels alumnes.

A C T I V I T A T D E G R U P Els envasos Organitzar els alumnes en grups de tres i demanar-los que porten de casa algun envàs que tinga una forma geomètrica coneguda: caixes de cereals, llandes de refrescos, brics… de tal manera que cada component del grup ha de dur un envàs amb una forma diferent. A l’aula: • Cada grup ha d’escriure en un full els envasos que ha triat i la forma geomètrica que tenen. • Davall del nom faran un dibuix aproximat i hi anotaran les mesures de les dimensions dels envasos: llarg, ample i alt, radi i altura… Per a fer-ho, hauran de prendre les mesures directament sobre els envasos. • Després calcularan el volum de cadascun i comprovaran si coincideix amb el que s’indica en la caixa o si almenys és aproximat. L’inconvenient de l’última comprovació és que, en la majoria dels casos, en els envasos apareix el pes o el volum, i és probable que aquests alumnes no sàpien bé com poden relacionar unes unitats amb unes altres. Podem ajudar-los amb un exemple o, si no ens sembla adequat per al seu nivell, simplement calculant el volum. També es pot facilitar i orientar el treball elaborant una taula semblant a la següent.


O C V T A G E N E D R A P E T E

2. a) 4 dm3

3. 5 L ϭ 5000 cm3 E R T E X I P L R A T R I U I N C S D U M A R B A S A C O N

b) 4 dm3

c) 9 dm3


0,5 dL ϭ 50 cm3 5 mL ϭ 5 cm3

V O L U M E

4. V cubo ϭ l 3

d) 9 dm3

30

729 cm3 V cilindro ϭ Ab и h ϭ 339,12 cm3 4 V esfera ϭ ᎏᎏ и ␲ и r 3 ϭ 4186,67 cm3 3 V ortoedro ϭ Ab и h ϭ 945 cm3 V prisma ϭ Ab и h ϭ 336 cm3 V pirámide ϭ Ab и h ϭ 150 cm3 ϭ



14

Cassos geomètrics Volums

A C T I V I T A T S D E R E F O R Ç 1 Observa els dibuixos. Troba-hi les paraules que es refereixen a les figures completes o a l’element marcat amb traç més gruixut. Col·loca després una lletra d’aquesta paraula en cada requadre.

10 lletres

8 lletres

4 lletres

7 lletres

6 lletres

2 Calcula el volum de les figures tenint en compte que cada cub equival a 1 decímetre cúbic.

3 En els envasos següents s’ha decidit posar la capacitat i el volum que tenen. Per a fer-ho, s’han elaborat unes etiquetes que cal enganxar en el buit en blanc que hi ha en cadascun. Col·loca-les. ETIQUETES

5 cm3 5 000 cm3 50 cm3

5L

0,5 dL

5 mL

4 Les mesures de les figures següents estan expressades en centímetres. Anna i Joan van calcular el volum en el foli

que hi ha escrit al costat, però ara no saben quin correspon a cadascuna de les figures. Ajuda’ls i escriu davall de cada figura el volum corresponent. CÀLCULS 3 20 V ϭ l ϭ 729 cm3 12 V ϭ Ab и h ϭ 339,12 cm3 4 9 6 V ϭ ᎏᎏ и ␲ и r 3 ϭ 4186,67 cm3 3 3 ϭ Ab и h ϭ 945 cm V 18 9 V ϭ Ab и h ϭ 336 cm3 6 14 7 V ϭ Ab и h ϭ 150 cm3 15 8 5 Atenció a la diversitat

31


Matemàtiques Nombres 1r ESO Reforç.pdf

Recommend Documents