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Enoncés
Nombres réels [correction] Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. Exercice 1 [ 02092 ]
√ 2 n’est[correction] pas un nombre rationnel
Exercice 2 [ 02093 ]
Exercice 3 [ 02094 ] √ √ 2 2
Calculer
√ 2
Mines-Ponts MP [ 02647 ] [correction] a) Montrer l’existence et l’unicité des suites d’entiers (an )n∈N et (bn )n∈N vérifiant ( 2 + 1) n = an + bn 2. b) Calculer a2n 2b2n . c) Montrer que pour tout n N, il existe un unique p N tel que ( 2 + 1) n = p + p 1. Exercice 7
Rationnels et irrationnels
Montrer que
1
√
√
√
− √ √ − ∈
Nombres réels Montrer a, b
[correction] a2 + b2 .
Exercice 9 [ 03224 ]
[correction]
Exercice 8 [ 02096 ]
∀ ∈ R, ab 12
. En déduire l’existence d’irrationnels a,b > 0 tels que ab soit
[correction] Q telle que x, y Q, f ( Soit f : Q f (x + y) = f ( f (x) + f ( f (y). a) On suppose f constante égale C quelle est la valeur de C ? C ? On revient au cas général. b) Calculer f (0) f (0).. c) Montrer que x Q, f ( f ( x) = f ( f (x). d) Etablir que n N, x Q, f ( f (nx) nx) = nf (x) et généraliser cette propriété à n Z. e) On pose a = f (1) f (1).. Montrer que x Q, f ( f (x) = ax. ax. Exercice 4 [ 02095 ]
→
Exercice 5
∀
∈
∀ ∈ − ∀ ∈ ∀ ∈
−
∀ ∈
Centrale MP
[ 02472 ]
[correction]
2 41 + 3 81
1/3
5 3
+
2 3
− 41 81
5 3
1/3
est un rationnel. On conseille d’effectuer les calculs par ordinateur. Centrale MP
Si n est un entier
Montrer
∀u, v 0, 1 + √ uv √ 1 + u√ 1 + v
[ 02475 ]
n
k=1
1 k
Montrer
∀a,b,c ∈ R, ab + bc + ca a2 + b2 + c2 Exercice 11 [ 02098 ]
Soit a
[correction] a+2 a
∈ [1, [1, +∞[. Simplifier
√ − 1 +
− √ −
peut-il peut-il être entier entier ?
a
2 a
1.
[correction] Soit f : R R une application telle que : 1) (x, y ) R2 , f ( f (x + y ) = f ( f (x) + f (y) 2) (x, y ) R2 , f ( f (xy) xy) = f ( f (x)f ( f (y) 3) x R, f ( f (x) = 0 a) Calculer f (0) f (0),, f (1) f (1) et f ( f ( 1). 1). b) Déterminer f ( f (x) pour x Z puis pour x Q. c) Démontrer que x 0, f ( f (x) 0. En déduire que f est croissante. d) Conclure que f = IdR .
→ ∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈
∀
[correction]
2, le rationnel H n =
[correction]
Exercice 10 [ 02097 ]
Exercice 12 [ 02099 ]
Montrer que
Exercice 6
[correction]
rationnel.
∈
∈
− ∈
∈
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012 Exercice 13 [ 03404 ] [correction] Soient n N et x1 , . . . , xn R. On
∈
∈
n k=1
Etablir
∈ N2 tel que √ √ (2 + 3)n = an + bn 3 et 3b2n = a2n − 1 √ b) Montrer que la partie entière de (2 + 3)n est un entier impair.
a) Montrer qu’il existe (an , bn ) xk2 = n
k=1
∈ {1, . . . , n}, xk = 1.1 .
Exercice 14 [ 03405 ] [correction] Soient n N , a1 . . . an et b1
∈
n
Exercice 22 [ 03416 ]
1 n
ak
k=1
Démontrer
. . . bn des réels. n
n
1 n
[correction]
∈N
n
xk =
2
Exercice 21 [ 02106 ] . Soit n
suppose
Montrer que pour tout k
Enoncés
bk
k=1
1 n
ak bk
[correction]
∀n ∈ N, √ n + √ n + 1
en notant [x] la partie entière d’un réel x.
√ =
4n + 2
k=1
Partie entière
Borne supérieure, borne inférieure Exercice 23 [ 02107 ]
[correction] Montrer que la fonction partie entière est croissante.
Exercice 15 [ 02100 ]
[correction] R, E (x) + E (y ) E (x + y ) E (x) + E (y ) + 1. 1.
[correction]
Soit A=
−
1 ( 1) + /n n+1 n
∈N
Montrer que A est bornée, déterminer inf A inf A et sup A.
Exercice 16 [ 02101 ]
∀
Montrer que x, y
∈
[correction] Soient A et B deux parties parties non vides de R telles que
Exercice 24 [ 02109 ]
Exercice 17 [ 02102 ] [correction] Montrer que, pour x, y R, E (x) + E (x + y) + E (y) E (2x (2x) + E (2y (2y).
∀(a, b) ∈ A × B, a b
∈
Montrer que sup A et inf B inf B existent et que sup A inf B inf B . [correction] R. Montrer que E
Exercice 18 [ 02103 ]
Soit n
∈ N et x ∈
Exercice 19 [ 02104 ]
E (nx) nx) n
= E ( E (x).
n−1
k n
k=0
[correction] Card([a, a, b] R. Etablir Card([
E x +
= E (nx) nx)
∈
[correction] Soient A et B deux parties de R non vides et majorées. Montrer que sup A, sup B et sup(A sup(A B ) existent et Exercice 26 [ 02110 ]
∪
Exercice 20 [ 02105 ]
Soit a b
[correction] Soit A et B deux parties non vides et bornées de R telles que A Comparer inf A, inf A, sup A, inf B inf B et sup B .
Exercice 25 [ 02108 ]
[correction]
∀ ∈ R, ∀n ∈ N,
Montrer que x
∩ Z) = E (b) + E (1 (1 − a).
sup(A sup(A
∪ B) = max(sup A, sup B)
⊂ B.
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Enoncés
[correction] Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. On forme A + B = a + b/( b/(a, b) A B
Exercice 33 [ 02116 ] [correction] Observer que x = 20 + 14 2 + 20 14 2 est solution d’une équation de la forme x3 = αx + β avec α, β R. Résoudre cette dernière et déterminer x.
Exercice 27 [ 02111 ]
{
3
∈ × }
m = inf A inf A et B = A
[correction] Résoudre les systèmes suivants d’inconnue (x,y,z) x,y,z) R3 : x + 2y 2y z = 1 x + 2y 2y z = 1 x+y+z =1 a) x y + z = 2 b) x y + 2z 2z = 2 c) x y + 3z 3z = 2 . xyz = 0 3x y + z = 3 2x y + z = 3
∩ ]−∞, m + 1]
Déterminer la borne inférieure de B .
sup inf f (x, y ) inf sup f ( f (x, y ) y∈R x∈R
[correction]
Déterminer
· · · + xn)
1 + x1
· · · + x1n
/x1 , . . . , xn > 0
Equations et systèmes [correction] Résoudre les équations suivantes d’inconnue x R : a) x = 2x 2 x 1 [1] b) 3x = 2 x [π ] c) nx = 0 [π] (avec n
Exercice 32 [ 02115 ]
−
−
− −
−
∈
− −
[correction] x ay + z = 2 (a + 1)z 1)z = 3 d’inconnue (x,y,z) Résoudre le système x + (a x,y,z) x + ay + 3z 3z = 4 paramètre réel.
→R
−
−
Exercice 36 [ 02119 ]
Exercice 30 [ 02347 ] [correction] Soit f : 2 . Etablir
x∈R y∈R
∈
Exercice 35 [ 02118 ]
[correction] Soit A une partie non vide et minorée de R. On pose
inf (x1 +
√
sup f n (x) x∈[0, [0,1]
Exercice 29 [ 00225 ]
Exercice 31 [ 02114 ]
3
[correction] Résoudre les systèmes d’inconnue (x, y ) R2 : x2 + 2y 2y 2 = 1 x2 = y x2 + y2 = 1 a) b) c) 2 2xy = 1 x + xy = 0 y2 = x
[correction]
∈ N, on pose f n(x) = xn(1 − x). Déterminer n→lim+∞
R
−
Exercice 34 [ 02117 ]
sup(A sup(A + B ) = sup A + sup B
Pour n
√ ∈
Montrer que A + B est majorée et
Exercice 28 [ 02113 ]
3
∈
∈ N).
−
∈ R3, a désignant un
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Corrections
Corrections
4
Exercice Exercice 5 : [énoncé] On définit le nombre x étudié
[énoncé] Soit x un rationnel et y un irrationnel. Par l’absurde : Si z = x + y est rationnel alors y = z x est rationnel par différence de deux nombres rationnels. Or y est irrationnel. Absurde. Exercice Exercice 1 :
−
x:=(2/3+41/81*sqrt(5/3))^(1/3)+(2/3-41/81*sqrt(5/3))^(1/3);
Attention à définir les racines cubiques par des exposants 1/3 avec parenthèses. On peut commencer par estimer la valeur cherchée [énoncé] Par l’absurde supposons 2 Q. On peut alors écrire 2 = p/q avec p, q N et, quitte à simplifier, p et q non tous les deux pairs. pairs. On a alors 2q 2 = p2 . p est alors nécessairement pair car p2 est pair. Cela permet d’écrire p = 2k 2 k avec k N puis q 2 = 2k 2 k2 . Mais alors q est pair. Par suite p et q sont tous les deux pairs. Absurde. Exercice Exercice 2 :
√
√ ∈
∈
∈
evalf(x);
Nous allons chercher à éliminer les racines cubiques. Pour cela on calcule x3
expand(x^3);
Dans l’expression obtenue, on peut faire apparaître x par factorisation du terme Exercice Exercice 3 :
[énoncé]
√ √ 2
√ 2
2
=
√ 2
2 =2
Exercice Exercice 4 : [énoncé] a) La relation f ( f (x + y ) = f ( f (x) + f (y) avec f constante égale à C donne C = C + C + C d’où C = 0. 0. b) Pour x = y = 0, 0 , la relation relation f (x + y) = f ( f (x) + f ( f (y) implique f (0) f (0) = 0. 0. c) Pour y = x, la relation f ( f (x + y) = f ( f (x) + f ( f (y ) donne 0 = f ( f ( x) + f ( f (x) d’où f ( f ( x) = f ( f (x). d) Par récurrence : n N, x Q, f ( f (nx) nx) = nf (x). Pour n Z− , n = p avec p N et f ( f (nx) nx) = f ( px) px) = f ( f ( px) px) = pf ( pf (x) = nf (x). e) On peut écrire x = p/q avec p Z et q N . f ( f (x) = f ( f ( p 1q ) = pf ( pf ( q1 ) or a = f (1) f (1) = f ( f (q q1 ) = qf ( qf ( 1q ) donc f ( f ( q1 ) = aq puis ap f ( f (x) = q = ax. ax.
−
−
−
∀ ∈ ∀ ∈ − ∈
∈
×
∈
∈
−
×
1/3
2 3
41 √ − 243 15
1/3
Simplifions ce terme
√ 2√ 2 est rationnel, c’est gagné avec a = b = √ 2. Sinon, on prend a = √ 2√ 2 et Si √ b = 2.
−
√
2 41 + 15 3 243
−
−
simplify((2/3+41/243*sqrt(15))^(1/3)* (2/3-41/243*sqrt(15))^(1/3),assume=positive);
On obtient
√
1 486 + 123 15 81 Développons selon (a
− b)(a )(a + b) = a2 − b2
(486^2-123^2*15)^(1/3);
donne 9261. Enfin
ifactor(9261);
1/3
486
− 123√ 15
1/3
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Corrections
permet de conclure que
1/3
√
2 41 + 15 3 243
2 3
41 − 243
√
1/3
15
=
7 27
Ainsi x est solution de l’équation x3 =
4 7 + x 3 9
[énoncé] a) L’existence s’obtient par la formule du binôme de Newton : n n an = 2k et bn = 2k . 2 k 2 k +1 02kn 02k+1n L’unicité provient de l’irrationalité de 2. b) Par la formule du binôme de Newton, (1 2)n = an 2bn , a2n 2b2n = (1 + 2)n (1 2)n = ( 1)n . c) L’unicité est évidente compte tenu de la stricte croissance de p Si n est pair alors a2n = 1 + 2b 2b2n . Pour p = a2n , ( 2 + 1) n = an + 2bn = p + p 1. Si n est impair alors 2b2n = a2n + 1. 1. Pour p = 2b 2 b2n , ( 2 + 1) n = 2bn + an = p + p 1.
factor(x^3-7/9*x-4/3);
(3x (3x
− 4)(3x 4)(3x
Par hypothèse de récurrence, H k est le rapport d’un entier impair par un entier pair, donc 12 H k aussi. De plus, comme entrevu dans l’étude du cas précédent, l’ajout de l’inverse d’un entier impair conserve la propriété. Ainsi H n est le rapport d’un entier impair par un entier pair. Récurrence établie. Exercice Exercice 7 :
En factorisant le polynôme sous-jacent
on obtient
5
2
√ √
Puisque 3x2 + 4x 4x + 3 > 0, on peut conclure x = 4/ 4 /3
√
√
−
+ 4x 4x + 3) = 0
− √
√
− √
−
√ √ − √ √ −
√
− √
→ √ p + √ p − 1.
[énoncé] 0 donne 2ab a2 + b2
Exercice Exercice 8 : 2
[énoncé] On définit la suite Exercice Exercice 6 :
(a
− b)
[énoncé] Compte tenu de la positivité des membres, le problème revient à établir
Exercice Exercice 9 :
H:=n->sum(1/k,k=1..n);
puis on regarde les premiers termes de celle-ci
1+
soit encore
√ uv 2 (1 + u)(1 + v)
√
2 uv u + v
seq(H(n),n=2..10);
ce qui découle découle de la propriété propriété On peut conjecturer que H n est le rapport d’un entier impair par un entier pair. Ceci assurera H n / Z. Démontrons la propriété conjecturée par récurrence forte. Pour n = 2, 2 , c’est immédiat. Supposons la propriété établie jusqu’au rang n 1 2. Cas n impair. On peut écrire écrire n = 2k 2 k + 1 et puisque par hypothèse de récurrence H n−1 s’écrit (2 p + 1)/ 1)/2q , on obtient H n = H n−1 + 1/n 1/n égale au rapport d’un entier impair par un entier pair. Cas n est pair. On peut écrire n = 2k 2 k avec k 2 puis
√ − √ u
∈
−
1 1 H n = H k + 1 + + 2 3
· · · + 2k 1
Exercice Exercice 10 :
2
0
[énoncé]
Sachant
2xy x2 + y2
on obtient ab + bc + ca
1
v
1 2 1 1 (a + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) = a2 + b2 + c2 2 2 2
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Corrections
Exercice Exercice 11 : [énoncé] Posons x = a + 2 a 1 + a 2 a 1. On a x2 = 2a 2 a + 2 a2 4(a 4(a 1) = 2a 2 a + 2 (a 2)2 . Si a [1, [1, 2] alors x2 = 2a 2 a + 2(2 a) = 4 donc x = 2. 2. Si a [2, [2, + [ alors x2 = 4(a 4( a 1) puis x = 2 a 1.
En séparant la somme en quatre, on obtient
√ − − √ − −
∈ ∈
− − −
∞
6
n
− √ −
n
∀ ∈ − ∈
−
− ×
− −
− × − ∀ ∈ ∈ ∈ × × × √ √ × √ × 2 c) ∀x 0, f ( f (x) = f ( f ( x x) = (f ( f ( x)) 0. Pour x, y ∈ R, si x y alors f ( f (y) = f (x + y − x) = f (x) + f ( f (y − x) f ( f (x). Ainsi f est croissante. nx) E (nx)+1 nx)+1 d) Pour x ∈ R et n ∈ N : E (nnx) x< n
nx) nx)+1 Comme f est croissante : f ( f ( E (nnx) ) f (x) < f ( f ( E (nx)+1 ) puis n E (nx) nx) E (nx)+1 nx)+1 f ( f ( x ) < . n n A la limite, quand n + , on obtient x f ( f (x) x i.e. f ( f (x) = x. Finalement f = IdR .
→ ∞
Exercice Exercice 13 :
[énoncé]
On a
n
k=1
n
(xk
− 1)2 =
n
xk2
k=1
−2
n
xk +
k=1
1= 0
k=1
et puisqu’une somme de quantités positives n’est nulle que si chaque quantité est nulle, on obtient 1 k n, xk = 1
∀
[énoncé] Par somme de quantités positives, on a
1k,n
(ak
− a)(b )(bk − b ) =
1k,n
(ak bk
− a bk − ak b + a b) 0
ak
n
k=1
b + n
=1
n
n
ce qui donne l’inégalité demandée.
0
n
ak
k=1
a b
=1
n
ak bk
k=1
bk
k=1
[énoncé] Soit x y R. E (x) x donc E (x) y or E (x) est le plus grand entier inférieur à y.
Exercice Exercice 15 :
∈
∈ Z donc E (x) E (y) car E (y)
[énoncé] E (x) + E (y) x + y donc E (x) + E (y) E (x + y). E (x + y) x + y < E ( E (x) + 1 + E (y) + 1 donc E (x + y) E (x) + E (y) + 1. 1.
Exercice Exercice 16 :
[énoncé] Si E (x) x < E (x) + 1/ 1/2 et E (y) y < E ( E (y) + 1/ 1 /2 alors E (x + y) = E (x) + E (y), E (2x (2x) = 2E (x) et E (2y (2y) = 2E (y) puis la relation voulue. Si E (x) + 1/ 1 /2 x < E (x) + 1 et E (y) y < E ( E (y) + 1/ 1 /2 alors E (x + y) E (x) + E (y) + 1, 1, E (2x (2x) = 2E (x) + 1 et E (2y (2y) = 2E (y) puis la relation voulue Si E (x) x < E (x) + 1/ 1/2 et E (y) + 1/ 1 /2 y < E ( E (y) + 1 : idem. Si E (x) + 1/ 1 /2 x < E (x) + 1 et E (y) + 1/ 1 /2 y < E ( E (y) + 1 alors E (x + y) = E (x) + E (y) + 1, 1 , E (2x (2x) = 2E (x) + 1 et E (2y (2y) = 2E (y) + 1 puis la relation voulue. Exercice Exercice 17 :
[énoncé] nx) On a E (nx) nx) nx puis E (nnx)
Exercice Exercice 18 :
Exercice Exercice 14 :
n
−2
et on en déduit
[énoncé] a) f (0) 0. f (0) = f (0 f (0 + 0) = f (0) f (0) + f (0) f (0) donc f (0) f (0) = 0. x R, f ( f (x) = f (1 f (1.x .x)) = f (1) f (1)f f (x) Comme f est non nulle, on a f (1) f (1) = 1. 1. f (1) f (1) + f ( 1) = f (0) f (0) = 0 donc f ( f ( 1) = 1. b) Par récurrence sur n N : f (n) = n. De plus f ( f ( n) = f (( f (( 1) n) = f ( 1) f ( f (n) = f ( f (n) = n donc x Z, f (x) = x. Pour x Q, x = pq avec p Z, q N , f ( f (x) = f ( p q1 ) = f ( f ( p) p) f ( f ( q1 ). Or f ( f ( p) p) = p et 1 1 1 1 1 = f (1) f (1) = f ( f (q q ) = f ( f (q ) f ( f ( q ) = q f ( f ( q ) donc f ( q ) = q1 . Par suite f ( f (x) = x.
∈
n
ak bk
k=1
Exercice Exercice 12 :
−
x, or x
→ E (x) est croissante donc
nx) E E (nnx) E ( E (x). E (x) x donc nE (x) nx puis nE (x) E (nx) nx) car nE (x) Z. nx) nx) Par suite E (x) E (nnx) puis E (x) E ( E (nnx) ) et finalement E (x) = E
∈
E (nx) nx) n
.
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Corrections
Exercice Exercice 19 : [énoncé] Posons m = E (nx) nx) et réalisons la division euclidienne de m par n : m = nq + nq + r avec 0 r n 1. On a nq + nq + r nx < nq + nq + r + 1 donc pour tout k 0, . . . , n 1 : r k k+r+1 q + q + k+ n x + n < q + n Si k + r < n alors E x + nk = q et si k + r n alors E x + nk = q + q + 1. 1. Par suite
−
∈{
− }
n−1
E x +
k=0
k n
=
n−r−1
E x +
k=0
k n
+
n−1
E x +
k=n−r
k n
= nq + nq + r = m = E (nx) nx).
7
Puisque les nombres comparés sont des entiers, on a aussi 4(n 4(n2 + n) + 1 p2
c’est-à-dire (2n (2n + 1)2 et on en déduit
−
∈
∩ ∩ ∩
{
et donc
∈
}
−
√ 4n + 2 < p √ √ √ Ainsi, il n’existe pas d’entiers compris entre n + n + 1 et 4n + 2 donc √ n + √ n + 1 = √ 4n + 2
− ∈
Exercice Exercice 21 : [énoncé] a) Par récurrence sur n N . Pour n = 1, 1 , a1 = 2 et b1 = 1 conviennent. Supposons la propriété établie au rang n 1.
∈
(2 +
√ 3)n+1 = (2 + √ 3)(a 3)(a
n
Exercice Exercice 23 :
√
√
+ bn 3) = an+1 + bn+1 3
avec an+1 = 2a 2 an + 3b 3bn et bn+1 = an + 2b 2bn de sorte que 3b2n+1
− a2n+1 = −a2n + 3b 3b2n = −1 Récurrence établie. √ √ b) an − 1 bn 3 < a n donc 2an − 1 (2 + 3)n < 2an donc √ E ((2 ((2 + 3)n ) = 2an − 1 [énoncé] Soit p un entier strictement supérieur à
Exercice Exercice 22 :
2n + 1 + 2 donc
√ n + √ n + 1.1. On a
−
n2 + n < p2
4(n 4(n2 + n) < p2
(2n (2n + 1)
2
4n + 2 < p 2
}
− − − − ∩ { −
2 − (2n (2n + 1)
Or le carré d’un entier ne peut qu’être congru à 0 ou 1 modulo 4. On en déduit
[énoncé] Si a / Z alors [a, b] Z = E (a) + 1, 1 , E (a) + 2, 2 , . . . , E ( b) donc Card([ Card([a, a, b] Z) = E (b) E (a). Or E (1 (1 a) = 1 + E ( a) = E (a) car a / Z donc Card([ Card([a, a, b] Z) = E (b) + E (1 (1 a) Si a Z alors [a, b] Z = a, a + 1, 1, . . . , E ( b) donc Card([ Card([a, a, b] Z) = E (b) a + 1 = E (b) + E (1 (1 a) car 1 a Z.
∩
p2
4n + 2 p2
Exercice Exercice 20 :
∈
2 − (2n (2n + 1)
[énoncé]
1 ∀n ∈ N, −1 (−1)n + n+1 2 donc A est bornée.
A est une partie de R non vide et bornée donc inf A inf A et sup A existent. n 0 1 2 3 ... . 1 ( 1)n + n+1 2 1 + 12 1 + 13 1 + 14 . . . 2 est plus grand élément de A et donc sup A = max A = 2. 2. p+1 + 1 A est clairement minorée par 1 et ( 1)2 p+1 1 donc il existe une suite 2 p+2 p+2 d’éléments de A qui converge vers 1 donc inf A inf A = 1.
−
−
−
Exercice Exercice 24 :
Soit b
−
− −
→− −
[énoncé]
∈ B. Puisque
∀a ∈ A, a b
la partie A est majorée par b. A est une partie de R non vide et majorée par b donc sup A existe et sup A b. B est une partie de R non vide et minorée par sup A donc inf B inf B existe et sup A inf B inf B .
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Corrections
[énoncé] A et B sont des parties non vides et bornées de R donc les bornes sup et inf considérées existent. a A, on a a B donc a sup B . sup B majore A donc sup A sup B . a A, on a a B donc inf B inf B a. inf B inf B minore A donc inf B inf B inf A inf A. Enfin, puisque A = , inf A inf A sup A. Exercice Exercice 25 :
∀ ∈ ∀ ∈
∈ ∈
∅
[énoncé] A,B,A B sont des parties de R non vides et majorées donc sup A, sup B, sup(A sup(A B ) existent dans R. Pour tout x A B on a x max(sup A, sup B ) donc Exercice Exercice 26 :
∪
∈ ∪
8
[énoncé] f n est dérivable et f n (x) = nxn−1 (1 x) xn = nxn−1 x 0 xn 1 n avec xn = n+1 [0, [0, 1] et f n (x) 0 M n 0
Exercice Exercice 28 :
− −
−
M n = sup sup f n (x) = 1 x∈[0, [0,1]
1 n+1
n
− (n + 1)x 1)xn .
∈
1 n+1
→ 0.
Exercice Exercice 29 : [énoncé] Puisque m + 1 ne minore pas A, la partie B est non vide. De plus B A donc la b orne inférieure inférieure de B existe et
∪
⊂
inf A inf A inf B inf B
∪ B) max(sup A, sup B) Puisque A, B ⊂ A ∪ B on a sup A, sup B sup(A sup(A ∪ B ) donc max(sup A, sup B ) sup(A sup(A ∪ B ) sup(A sup(A
Soit x A, si x m + 1 alors x B et donc x inf B inf B . Si x > m + 1 alors à nouveau x inf B inf B . Ainsi inf B inf B minore A et donc inf A inf A inf B inf B
∈
puis l’égalité.
∈
Finalement inf A inf A = inf B inf B
[énoncé] A et B sont deux parties non vides et majorées de R donc sup A et sup B existent. Pour tout x A + B , on peut écrire x = a + b avec a A et b B . On a x = a + b sup A + sup B , donc A + B est majorée par sup A + sup B A + B est une partie de R non vide et majorée donc sup A + B existe et Exercice Exercice 27 :
∈
∈
sup A + B
sup A + sup B
Pour tout a A et tout b B , a = (a ( a + b) majorée par sup(A sup(A + B ) b d’où
∈
∈ −
− b sup(A sup(A + B ) − b donc A est
y ∈R
x∈R y∈R
b sup(A sup(A + B )
− sup A
− sup A et par suite sup B sup(A sup(A + B ) − sup A
x∈R
sup inf f ( f (x, y ) inf sup f ( f (x, y0 ) x∈R y∈R
Exercice Exercice 31 :
y0 ∈R x∈R
[énoncé] x2i + xj2 xi xj + = xj xi xi xj
−b
Par suite et B est donc majoré par sup(A sup(A + B )
[énoncé] inf f ( f (x, y ) f ( f (x, y0 ) donc sup inf f (x, y ) sup f ( f (x, y0 ) puis
Exercice Exercice 30 :
On exploite
sup A sup(A sup(A + B )
2
pour obtenir (x1 +
· · · + xn)
1 + x1
· · · + x1n
n
=
xi x j i,j=1 i,j=1
Puisque que pour x1 = . . . = xn = 1 on obtient
Finalement sup A + sup B puis l’égalité.
∈
sup A + B (x 1 +
· · · + xn )
1 + x1
· · · + x1
= n2
n2
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Corrections
on peut conclure
[énoncé] x ay + z = 2 x ay + z = 2 x ay + z = 2 x + (a (a + 1)z 1)z = 3 ay + az = 1 ay + az = 1 x + ay + 3z 3z = 4 ay + z = 1 (1 a)z = 0 Si a = 1 alors le système système a pour solution solution les triplets (3 2z, 1 z, z ). x ay = 2 Si a = 1 alors le système équivaut à ay = 1 . z =0 Si a = 0, 0 , il n’y a pas de solutions. Si a = 0, 0 , 1 alors le système possède pour solution unique le triplet (3, (3, 1/a, 0). 0).
Exercice Exercice 36 :
inf (x1 +
· · · + xn )
1 + x1
· · · + x1n
/x1 , . . . , xn > 0
[énoncé] [1] x = 1 [1] x = 1 [1], π [π] 4x = 2 [π] x = 12 4 , π kπ Z [π ] x =0 , = /k . n n
= n2
Exercice Exercice 32 :
a) x = 2x 2x b) 3x = 2 c) nx = 0
−1 −x
⇔− ⇔
⇔
−
⇔ ⇔
S S S ∈
= Z. kπ +2 = kπ+2 4 /k
∈Z
.
[énoncé] x = 6x 6 x + 40. 40. 4 est solution apparente de cette équation. x3 6x 40 = (x (x 4)(x 4)(x2 + 4x 4x + 10) Les solutions de l’équation sont 4, 2 + i 6, 2 i 6. On conclut x = 4. 4.
−
−
√ − − √
[énoncé] a) Si (x, y ) est solution alors (2) x(x + y) = 0 donc x = 0 ou y = x. Si x = 0 alors (1) donne y = 1/ 2. Si y = x alors (1) donne x = 1/ 3. Inversement : ok Finalement : = (0, (0, 1/ 2), 2), (0, (0, 1/ 2), 2), (1/ (1/ 3, 1/ 3), 3), ( 1/ 3, 1/ 3) . b) Si (x, y ) est solution alors (1) (2) donne (x y )2 = 0 d’où x = y puis (1) 1 donne x = y = √ . 2 Exercice Exercice 34 :
⇒ − ± √ √ − ± √ − √ √ − √ − √ √ S − − ± √ √ 2), (−1/√ 2, −1/√ 2) . Inversement : ok. Finalement S = (1/ (1/ 2, 1/ 2),
4
c) Si (x, y ) est solution alors (1) et (2) donnent x = x d’où x = 0 ou x = 1. 1. Si x = 0 alors y = 0. 0 . Si x = 1 alors y = 1. 1. Inversement : ok. Finalement = (0, (0, 0), 0), (1, (1, 1) .
S {
}
[énoncé] a) Si (x,y,z) x,y,z ) est solution alors (3) donne x = 0, 0 , y = 0 ou z = 0. 0. Si x = 0 alors y = 3, 3 , z = 5. 5 . Si y = 0 alors x = 32 , z = 12 . Si z = 0 alors x = 53 , y = 13 . Inversement : ok. Finalement = (0, (0, 3, 5), 5), ( 32 , 0, 12 ), ( 53 , 13 , 0) . 8 4 7 5 3 1 b) = 9 , 9 , 9 . c) = 4 , 8 , 8 .
Exercice Exercice 35 :
−
S
S
S −
−
−
Exercice Exercice 33 : 3
− −
9
⇔
−
⇔ −
−
−
−
−
