Matematika 2. Godina Srednje Skole

STEPENOVANJE Proizvod a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a = a n naziva se n -tim stepenom broja. Ako je a ∈ R , a ≠ 0 i neka je n ∈ N n − puta

Po definiciji je: 0

⎛4⎞ 1) a 0 = 1 → primer: 50 = 1, (−3) 0 = 1, ⎜ ⎟ = 1 ⎝7⎠ 1 1 1 1 1 2) a − n = n → primer: 3− 2 = 2 = , 5−3 = 3 = a 5 125 3 9 ______________________________________________________________________

Još važe sledeća pravila: 3) 4) 5) 6)

a m ⋅ a n = a m+n a m : a n = a m−n ( a m ) n = a m⋅ n ( a ⋅ b) = a n ⋅ b n

−n

⎛b⎞ =⎜ ⎟ ⎝a⎠

primer: primer: primer: primer:

32 ⋅ 35 = 32+5 = 37 710 : 7 6 = 710−6 = 7 4 (23 ) 5 = 23⋅5 = 215 (12 ⋅11) 5 = 125 ⋅112 2

n

72 ⎛7⎞ → primer ⎜ ⎟ = 2 4 ⎝4⎠

an ⎛a⎞ 7) ⎜ ⎟ = n b ⎝b⎠ ⎛a⎞ 8) ⎜ ⎟ ⎝b⎠

→ → → →

n

−2

2

32 9 ⎛2⎞ ⎛3⎞ → primer ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 2 = 2 4 ⎝3⎠ ⎝2⎠

O čemu treba voditi računa? Treba paziti na zapis: (−5) 2 = (−5)(−5) = 25 , dok − 52 = −5 ⋅ 5 = −25 . Uopšteno važi: (− a) paran = a paran (− a) neparan = − a neparan Dakle, paran izložilac ‘’uništi’’ minus.

www.matematiranje.com

1

ZADACI

1) Izračunati:

( 27 : 25 ) ⋅ 23 24 : 22

(27 : 25 ) ⋅ 23 27 −5 ⋅ 23 22 ⋅ 23 22+3 25 = = = 2 = 2 = 25 − 2 = 23 = 8 24 : 22 24 − 2 22 2 2 _____________________________________________________________

2) Izračunati:

35 ⋅ 93 27 2 ⋅ 3

35 ⋅ 93 35 ⋅ (32 )3 35 ⋅ 36 35 = 3 2 1 = 6 1 = 1 = 35−1 = 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 2 27 ⋅ 3 (3 ) ⋅ 3 3 ⋅3 3

______________________________________________________________

3) Izračunati:

( x 4 )3 ⋅ x 3 : x 5 = ( x 5 : x 2 )3

( x 4 ) 3 ⋅ x 3 : x 5 x12 ⋅ x 3 : x 5 x12+ 3−5 x10 = = 3 3 = 9 = x10−9 = x1 = x ( x 5 : x 2 )3 ( x 5− 2 ) 3 (x ) x _______________________________________________________________

4) Izračunati:

3n +1 ⋅ 3n + 2 32 n + 4

3 n +1 ⋅ 3 n + 2 3 n +1+ n + 2 3 2 n + 3 = 2 n + 4 = 2 n + 4 = Pazi pa zagrade zbog minusa 32n+ 4 3 3 1 1 = 3( 2 n + 3) −( 2 n + 4 ) = 32 n +3− 2 n − 4 = 3−1 = 1 = 3 3 _______________________________________________________________


2

5)

Izračunati 0,5−1 + 0,25−2 + 0,125−3 + 0,0625−4 0,5−1 + 0,25−2 + 0,125−3 + 0,0625−4 = −1

−2

−3

−4

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎝ 16 ⎠ ⎝8⎠ ⎝4⎠ ⎝2⎠ 1

2

3

4

⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 16 ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝1⎠ ⎝ 1 ⎠ 21 + 4 2 + 83 + 16 4 = 2 + 16 + 512 + 65536 = 66066 _________________________________________________________________

6) Izračunati 1−1 + 2 −2 + 3−3 + (−1) −1 + (−2) −2 + (−3) −3 1−1 + 2 −2 + 3−3 + (−1) −1 + (−2) −2 + (−3) −3 = 1 1 1 1 1 1 + 2+ 3+ + + = 1 2 1 2 3 (−1) (−2) (−3) 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1+ + −1+ − = + = = 4 27 4 27 4 4 4 2 _________________________________________________________________ −4

2

⎛1⎞ ⎛3⎞ ⎛5⎞ a = 5 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ i b = 10 3 ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝2⎠ ⎝3⎠ 3

7) Ako je

−4

2

−2

nadji a ⋅ b −1

4

2 53 ⋅ 44 ⋅ 32 ⎛1⎞ ⎛3⎞ ⎛4⎞ 3 a = 53 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 53 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 2 = 22 ⎝4⎠ ⎝2⎠ ⎝1⎠ 2 53 ⋅ (22 ) 4 ⋅ 32 = = 53 ⋅ (22 )3 ⋅ 32 = 53 ⋅ 26 ⋅ 32 2 2

−2

2

3 2 (5 ⋅ 2)3 ⋅ 32 53 ⋅ 23 ⋅ 32 ⎛5⎞ ⎛ 3 ⎞ 10 ⋅ 3 = = = 5 ⋅ 23 ⋅ 32 b = 10 ⋅ ⎜ ⎟ = 103 ⋅ ⎜ ⎟ = 2 2 2 3 5 5 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

Konačno:

izračunati i a ⋅ b −1

1 = 52 ⋅ 23 = 25 ⋅ 8 = 200 3 2 5⋅ 2 ⋅3 ______________________________________________________________ a ⋅ b −1 = 53 ⋅ 26 ⋅ 32 ⋅


3

⎛ ⎛ 5 x −5 ⎞ −2 ⎛ y −1 ⎞ −3 ⎞ 8) Izračunati ⎜ ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ −1 ⎟⎟ ⎟ : 10 x 2 y −3 ⎜ ⎝ 2 y ⎠ ⎝ 5x ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ 5 x −5 ⎞ −2 ⎛ y −1 ⎞ −3 ⎞ ⎜⎜ ⎟ ⋅ ⎜⎜ −1 ⎟⎟ ⎟ : 10 x 2 y −3 = −2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 2 y ⎠ ⎝ 5x ⎠ ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 5−2 ⋅ x10 y3 ⎞ ⎜⎜ − 2 4 ⋅ −3 3 ⎟⎟ : 10 x 2 y −3 = ⎝ 2 ⋅y 5 ⋅x ⎠ (5− 2+3 ⋅ x10−3 ⋅ y 3− 4 ⋅ 2 2 ) : 10 x 2 y −3 = (51 ⋅ x 7 ⋅ y −1 ⋅ 4) : 10 x 2 y −3 = 20 7 − 2 −1−( −3) x y = 2 x 5 y −1+ 3 = 2 x 5 y 2 10 __________________________________________________________ 1 −3 1 − 4 10 + 10 x 2 2 9) Ako je 10 = 55 ⋅10 −7

Odrediti x.

1 1 1 −3 1 − 4 + 10 + 10 2 2 = 2000 20000 = Izvučemo gore zajednički −7 55 55 ⋅10 10000000 1 ⎛ 1⎞ 11 1 11 ⎜1 + ⎟ ⋅ 2000 ⎝ 10 ⎠ 2000 10 = = 20000 = 55 55 55 10000000 10000000 10000000 11⋅10000000 11⋅10000000 10000000 = = = 100 = 102 20000 ⋅ 55 11⋅100000 100000 sada je 10 x = 10 2 , dakle x = 2 ________________________________________________________ 10) a) A ⋅10 −5 = 0,2 ⋅ 0,008

b)

B ⋅10 −6 = 0,04 ⋅ 0,006

A ⋅10 −5 = 2 ⋅10 −1 ⋅ 8 ⋅10 −3

B ⋅10 −6 = 4 ⋅10 − 2 ⋅ 6 ⋅10 −3

A ⋅10 −5 = 16 ⋅10 − 4

B ⋅10 −6 = 24 ⋅10 −5

16 ⋅10 − 4 10 −5 A = 16 ⋅10 −4−( −5) A=

A = 16 ⋅10 −4+5 A = 16 ⋅10 A = 160

24 ⋅10 −5 10 −6 B = 24 ⋅10 −5+ 6 B = 24 ⋅10 B = 240 B=

4

Ovde smo koristili zapisivanje realnog broja u sistemu sa osnovnim 10. Ovo je dobra opcija kada je broj ‘’glomazan’’. Primeri: 1) Brzina svetlosti je približno c ≈ 300000000m / s a mi je ‘’lakše’’ zapisujemo c ≈ 3 ⋅108 m / s , 108 -znači da ima 8 nula iza jedinice!!! 1 1 1 2 2) = = ⋅10 −5 = ⋅10 −5 = 2 ⋅10 −1 ⋅10 −5 = 2 ⋅10 −6 5 500000 5 ⋅10 5 10 −5 −5 3) 0,000069 = 6,9 ⋅10 ≈ 7 ⋅10 4) Površina zemlje je 510083000km 2 ali mi zapisujemo ≈ 5 ⋅108 km 2

⎛ 3a − x ax ⎞ a−x 2a − x ⎟ 11) Izračunati ⎜⎜ − − : −x 1 + a − x a 2 x − 1 ⎟⎠ a x − a − x ⎝1− a ⎛ 3a − x 2a − x ax ⎞ a−x ⎟: ⎜⎜ = − − −x 1 + a − x a 2 x − 1 ⎟⎠ a x − a − x ⎝1− a 2 1 ⎛ 3 ⎞ x x x ⎜ ax ⎟ a − a − 2x ⎟ : a = ⎜ 1 1 1 a 1 − x ⎜ 1− x 1+ x ⎟ a − x a a ⎝ a ⎠

⎛ 3 ⎞ 2 1 x ⎜ x ⎟ x x a = ⎜ xa − xa − 2 x ⎟ : 2ax ⎜ a −1 a +1 a −1 ⎟ a −1 ⎜ x ⎟ ax ⎝ a ⎠ ax ⎛ 3 ⎞ ax 2 1 − − = ⎜ x ⎟ : 2x x x x ⎝ a − 1 a + 1 (a − 1)(a + 1) ⎠ a − 1 3(a x + 1) − 2(a x − 1) − a x a 2 x − 1 ⋅ = (a x − 1)(a x + 1) 1 x x 3a x + 3 − 2a x + 2 − a x (a − 1)(a + 1) ⋅ = 1 (a x − 1)(a x + 1)

= 3+ 2 = 5 www.matematiranje.com

5

12)

Izračunati

⎞ 1 − x −1 ⎛ x − x −2 x − x −1 ⎟: ⎜⎜ − 2 − −1 −2 −1 ⎟ −1 ⎝ x + x +1 1+ x + 2 ⋅ x ⎠ 1+ x

⎛ x − x −2 ⎞ 1 − x −1 x − x −1 − = : ⎜ −2 −1 −2 −1 ⎟ −1 ⎝ x + x +1 1+ x + 2 ⋅ x ⎠ 1+ x 1 1 ⎞ 1 ⎛ x− 1− ⎜ x − x2 ⎟ x x = − ⎜ 1 1 ⎟: 1 2 1 ⎜ 2 + +1 1+ 2 + ⎟ 1+ x x x⎠ x ⎝x ⎛ x3 − 1 x2 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ x2 x − ⎜ ⎟: 2 x2 + 1 + 2x ⎟ ⎜ 1+ x + x ⎜ ⎟ x2 x2 ⎝ ⎠

x −1 x = x +1 x

⎛ ( x − 1) ( x 2 + x + 1) x( x − 1) ( x + 1) ⎜ − 2 ⎜ ( x + 1) 2 x + x + 1 ⎝

⎞ x −1 ⎟: = ⎟ x +1 ⎠

⎛ x − 1 x( x − 1) ⎞ x − 1 − = ⎜ ⎟: x +1 ⎠ x +1 ⎝ 1 ( x − 1)( x + 1) − x( x − 1) x + 1 ⋅ = x +1 x −1 ( x − 1) [ ( x + 1) − x ] x + 1 ⋅ = x +1− x = 1 x +1 x −1


6

⎛ an a −n ⎞ ⎛ a n a −n ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 13) Izračunati A = ⎜⎜ + − + −n 1 + a − n ⎟⎠ ⎜⎝ 1 + a − n 1 − a − n ⎟⎠ ⎝1− a ⎛ an a−n ⎞ ⎛ an a−n ⎞ A=⎜ + − + ⎟ ⎜ ⎟ −n 1 + a−n ⎠ ⎝ 1 + a−n 1 − a−n ⎠ ⎝ 1− a

1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ n n n ⎜ an ⎟ ⎜ ⎟ a A=⎜ + a ⎟−⎜ + a ⎟ ⎜ 1 − 1n 1 + 1n ⎟ ⎜ 1 + 1n 1 − 1n ⎟ a ⎠ ⎝ a a ⎠ ⎝ a n ⎛ a 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ an ⎟ n n A = ⎜ n1 + na ⎟ − ⎜ n + na ⎟ ⎜ a −1 a +1 ⎟ ⎜ a +1 a −1 ⎟ ⎜ n ⎟ ⎜ ⎟ an ⎠ ⎝ an an ⎠ ⎝ a ⎛ a 2n 1 ⎞ ⎛ a 2n 1 ⎞ A=⎜ n + n + n ⎟ ⎟−⎜ n ⎝ a −1 a +1 ⎠ ⎝ a +1 a −1 ⎠ A=

a 2 n (a n + 1) + 1(a n − 1) a 2 n (a n − 1) + 1(a n + 1) − (a n − 1)(a n + 1) (a n + 1)(a n − 1)

A=

a 3n + a 2 n + a n − 1 − (a 3n − a 2 n + a n + 1) (a n − 1)(a n + 1)

A=

a 3n + a 2 n + a n − 1 − a 3n + a 2 n − a n − 1 (a n − 1)(a n + 1)

A=

2a 2 n − 2 2(a 2 n − 1) 2(a n − 1)(a n + 1) =2 = = (a n − 1)(a n + 1) (a n − 1)(a n + 1) (a n − 1)(a n + 1)


7

KORENOVANJE Neka je a realan i n prirodan broj. Svako rešenje jednačine

xn = a ‘’po x’’ (ako postoji) naziva se n -ti koren broja a u oznaci x = n a . Dakle: simbol n a označava: 1) n − ti koren realnog broja a u svim slučajevima kada je on jedinstven (n ∈ N , n = 2k − 1, k ∈ N , a ∈ R) 2) Pozitivan n -ti koren broja a u slučaju n = 2k , k ∈ N , a > 0

Ova definicija sigurno nije baš mnogo jasna!!! Ajde da vidimo par primera: 27 = 3 = 3; 3

3

3

3

1 3 = 8

3

1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = 2 ⎝2⎠

7 0 =0 − 32 = 5 (−2)5 = −2; _______________________________________

5

2

4 = 2 = 2; 2

2

4

1 4 = 16

4

1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = 2 ⎝2⎠

Pazi: 4 16 = 4 2 4 = 2; − 4 16 = − 4 2 4 = −2 Pogrešno je pisati:

4

16 = ±2 ZAPAMTI!!!

Važi: n

⎧a , an = ⎨ ⎩ a,

n − neparan n − paran A = 2 A , to jest, jedino se ovde ne piše broj 2)

Primeri: (pazi, dogovor je da je 9 = 32 ;

3

23 = 2

(−3) 2 = − 3 = 3

;

3

(−2) 3 = −2 www.matematiranje.com

1

ZAPAMTI: Kad vidiš 2, 4, 6,… (parni koren) iz nekog konkretnog broja, rešenje je uvek pozitivan broj. Kad vadiš 3, 5, 7… (neparan koren) iz nekog broja, rešenje može biti i negativan broj, u zavisnosti kakva je potkorena veličina. (−5) 2 = − 5 = 5

3

53 = 5

4

( −7 ) 4 = − 7 = 7

3

(−5) 3 = −5

6

(−12) = − 12 = 12

8

1 1 ⎛ 1⎞ ⎜− ⎟ = − = 3 3 ⎝ 3⎠

5

6

5

1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = 10 ⎝ 10 ⎠

7

3 ⎛ 3⎞ ⎜− ⎟ = − 5 ⎝ 5⎠

8

7

Primer: Za koje realne brojeve x je tačna vrednost: x2 = x

a) 3

b)

x3 = − x x2 = −x

v)

( )

4

g) x 4 = x ____________________________________ Rešenje: a)

x 2 = x je tačna samo za vrednosti x koje su veće ili jednake nuli, jer

x>0

⎧ x, ⎪ x = ⎨− x , ⎪0, ⎩

x<0 za ,x = 0

2

b)

3

x 3 = − x je tačka samo za x = 0 !!! Zašto? Ako uzmemo da je x negativan broj, na

primer x = −5 ⇒ 3

Dakle x ≥ 0

3

(−5) 3 = −5 ≠ − (−5) = +5 , a ako uzmemo x > 0 , recimo x = 10

103 = 10 ≠ −10

v)

x 2 = − x , x mora biti manje od nule, ili nula jer kao malopre važi: ⎧ x, x > 0 ⎪ 2 x = ⎨− x, x < 0 , Dakle x ≤ 0 ⎪0, x = 0 ⎩ www.matematiranje.com

2

( )

4

g) x 4 = x , Ovde mora biti x ≥ 0 . Zašto? Zbog odnosno mora biti x > 0

( x)

4

koji ne može biti negativan

Pravila: m

1) 2) 3) 4)

n

am = a n

n

a ⋅b = n a ⋅ n b a : n b = n a :b

n

( a)

m

n

5)

n m

6)

np

= n am

a = n⋅m a

a mp = n a m ( p se skrati)

Moramo naglasiti da pravila važe pod uslovima da je: a, b → pozitivni realni brojevi m, n, p → prirodni brojevi. Zadaci: 1) a) Izračunaj 36 − 2 25 + 4 16 − 5 32 36 − 2 25 + 4 16 − 5 32 =

= 6 − 2 ⋅ 5 + 4 2 4 − 5 25 = = 6 − 10 + 2 − 2 = −4 b) Izračunaj 2

9 3 1 4 + + 16 4 8 3

⎛3⎞ ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ + 3 ⎜ ⎟ + 4 24 = ⎝2⎠ ⎝2⎠ 3 1 + +2=4 2 2 2

c) Izračunaj

⎛4⎞ 3 ⎜ ⎟ + − 27 − 4 ⎝9⎠

2

⎛4⎞ 3 ⎜ ⎟ + − 27 − 4 = ⎝9⎠ 2

2 2 1 ⎛2⎞ = ⎜ ⎟ + 3 (−3) 3 − 2 = − 3 − 2 = − 5 = −4 3 3 3 ⎝3⎠ www.matematiranje.com

3

d) Izračunaj

9 ⋅ 3 (−8) ⋅ 5 − 32

9 ⋅ 3 (−8) ⋅ 5 − 32 =

= 32 ⋅ 3 (−2) 3 ⋅ 5 (−2) 5 = = 3 ⋅ (−2) ⋅ (−2) = 12

2)

Izračunaj

( x − 5) 2 + ( x + 5) 2

( x − 5) 2 + ( x + 5) 2 = x − 5 + x + 5

Kako je:

za x − 5 ≥ 0 za x ≥ 5 ⎧ x − 5, ⎧ x − 5, x−5 = ⎨ = ⎨ i ⎩− ( x − 5), za x < 5 ⎩− ( x − 5), za x − 5 < 0 za x + 5 ≥ 0 za x ≥ −5 ⎧ x + 5, ⎧ x + 5, = ⎨ x+5 = ⎨ ⎩− ( x + 5), za x < −5 ⎩− ( x + 5), za x + 5 < 0 moramo najpre videti ‘’ gde ima’’ rešenja I za x ≥ 5 i x ≥ −5

x − 5 + x − 5 = x − 5 + x + 5 = 2x x ∈ [5, ∞ ) __________________________________________________________________

II za x ≥ 5 i x < −5

Nema rešenja __________________________________________________________________ www.matematiranje.com

4

III

za x < 5 i x ≥ −5

x − 5 + x − 5 = − x + 5 + x + 5 = +10

x ∈ [− 5,5) ________________________________________________________________

IV za

x<5 i

x < −5

x − 5 + x + 5 = − x + 5 − x − 5 = −2 x

⎧− 2 x, x < −5 ⎪ Konačno: x − 5 + x + 5 = ⎨10, − 5 ≤ x < 5 ⎪2 x, x ≥ 5 ⎩

Racionalisanje

Koristeći se osobinama korena, možemo, u cilju uprošćavanja nekog izraza, odstraniti korene ili ih premestiti na željeno mesto. Primeri: 1 1 5 5 5 = ⋅ = = 2 5 5 5 5 5 9 9 12 9 12 3 12 3 4 ⋅ 3 3 ⋅ 2 3 3 3 = ⋅ = = = = = 2) 12 4 4 4 2 12 12 12 1)

3)

15 15 3 15 3 5 3 = ⋅ = = 2⋅3 2 2 3 2 3 3

Ovo je bio najprostiji tip zadataka. Gde racionalisanjem prebacujemo koren iz imenioca u brojilac. U sledecoj grupi zadataka ćemo koristiti da je

n

n

a =a, a >0 www.matematiranje.com

5

6 = da bi ‘’uništili ’’ koren u imeniocu moramo napraviti 3 2

4)

6 3

1

2

treba racionalisati sa

3

3

23 , a pošto imamo

2 2 . Dakle:

6 6 3 22 6 ⋅ 3 22 6 ⋅ 3 4 = ⋅ = = = 33 4 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2

5) 6)

10 10 4 33 10 4 27 10 4 27 = ⋅ = = = 4 4 4 3 3 4 3 4 33 3 ab 3

a 2b

=

ab 3

a 2b1

⋅

3

a1b 2

3

a1b 2

=

ab 3 ab 2 3

a 3b 3

=

ab 3 ab 2 3 2 = ab ab

Kad u imeniocu imamo zbir ili razliku dva kvadratna korena, upotrebljavamo razliku kvadrata: ( A − B) ⋅ ( A + B) = A2 − B 2 1 1 2− 3 2− 3 2− 3 = ⋅ = = = 2− 3 2 4−3 2 + 3 2 + 3 2 − 3 22 − 3 11 11 6 + 2 11 6 + 2 11 6 + 2 11 6 + 2 8) = ⋅ = = = 2 2 6−2 4 6− 2 6− 2 6+ 2 6 − 2 9)

7)

(

)

(

) ( ) ( )

5 5 2 3 +3 2 5 2 3+3 2 = ⋅ = 2 2 3 −3 2 2 3 −3 2 2 3 +3 2 2 3 − 3 2

2

(

=

(

)

(

) (

)

) (

5 2 3 +3 2 5 2 3 +3 2 5 2 3 +3 2 = = 4⋅3 − 9⋅ 2 12 − 18 −6

)

U zadacima u kojima se u imeniocu javlja zbir ili razlika ‘’trećih’’ korena moramo koristiti: A3 − B 3 = ( A − B)( A2 + AB + B 2 ) → Razlika kubova A3 + B 3 = ( A + B)( A2 − AB + B 2 ) → Zbir kubova 10) 3 2 1 1 3 − 3 3 3 2 + 3 22 3 9 − 3 6 + 3 4 3 9 − 3 6 + 3 4 3 9 − 3 6 + 3 4 = ⋅ = = = 3 3 3 3 3 + 3 2 5 3 + 3 2 3 3 + 3 2 3 32 − 3 3 3 2 + 3 2 2 3 + 2 ________________________________________________________________________

11)

(

) (

)

3 5 5 52 + 3 5 3 4 + 3 4 2 5 3 25 + 3 20 + 3 16 =3 ⋅ = = 5 3 25 + 3 20 + 3 16 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 5− 4 5− 4 5 + 5 4+ 4 5 − 4 ________________________________________________________________________


6

12)

4

3 = ovde ćemo uraditi dupli racionalizaciju da bi ''uništili'' četvrti koren. 5 −2

(

) (

)

4 4 3 4 5+2 3 3 5+2 3 5+2 5+4 3 = ⋅ = = ⋅ = 4 5 − 2 4 5 − 2 4 5 + 2 4 52 − 2 2 5−4 5+4

(

4

5+2

)(

5+4

52 − 4 2

) = 3(

4

5+2

)(

5+4

−11

Vratimo se na zadatke sa korenima: 3) Izračunati: a)

3

x 2 x −1 ⋅ 3 x −1 x x3 x 2 ⋅ 3 x 2 :

b)

(x ) −1

3

Rešenje: a) 3

x

2

=x

−1

x ⋅ x

2 1 1 1 − − + 3 6 5 10

b)

5

−1

=x

x = x 3

20 −5− 6 +3 30

2 3

=x

x3 x 2 ⋅ 3 x 2 : 1 2

2 6

2 3

x ⋅x ⋅x :x

−

12 30

−1

x ⋅ x 5

x

−1

2 3

−1

−

1 5

= x ⋅ x ⋅x ⋅ x 6

10

−1

2 3

−

1 6

−

1 5

1 10

= x ⋅x ⋅x ⋅x =

2 5

= x = 5 x2

(x )= −1

3 2

−1 5

=x

2

3

x

1 2 2 ⎛ 3⎞ + + −⎜ − ⎟ 2 6 3 ⎝ 2⎠

3

x 2 ⋅ x 3 : x −3 =

=x

3+ 2 + 4 + 9 6

18 6

= x = x3

1

ZAPAMTI:

x = x2

4) Izračunaj: a) 5 2 + 3 8 − 50 − 98 b) 3 + 3 27 − 2 48

Ovde je ideja da upotrebom pravila za korenovanje svedemo na čist koren.

a ⋅ b = a ⋅ b , svaki sabirak


7

)

a) 5 2 + 3 8 − 50 − 98 =

5 2 + 3 4 ⋅ 2 − 25 ⋅ 2 − 49 ⋅ 2 = 5 2 + 3⋅ 2 2 − 5 2 − 7 2 = 5 2 + 6 2 −5 2 − 7 2 = − 2 b) 3 + 3 27 − 2 48 = 3 + 3 9 ⋅ 3 − 2 16 ⋅ 3 = 3 + 3⋅3 3 − 2 ⋅ 4 3 = 3 + 9 3 − 8 3 = 2 3

5) Izračunaj: 3 ⋅ 12 4 − 4 ⋅ 15 27 + 8 ⋅ 24 16 + 5 ⋅ 20 81

Rešenje: 3 ⋅ 12 4 − 4 ⋅ 15 27 + 8 ⋅ 24 16 + 5 ⋅ 20 81 = 3 ⋅ 12 2 2 − 4 ⋅ 15 33 + 8 ⋅ 24 2 4 + 5 ⋅ 20 34 = 3 ⋅ 6 2 − 45 3 + 8 ⋅ 6 2 + 55 3 = −−

−−−

−−

−−−

= 11 2 + 3 6

5

LAGRANŽOV INDENTITET:

a± b =

a + a2 − b a − a2 − b ± 2 2

Gde je a > 0, b > 0, b < a 2 Primenimo ga na 2 primera: a) b)

a)

2+ 3 =

2+ 3 6−4 2

2 + 22 − 3 2 − 22 − 3 + 2 2

=

2+ 1 2− 1 + 2 2

=

3 1 3 +1 + = 2 2 2 www.matematiranje.com

8

6 − 4 2 = pazi, prvo moramo 4 da ubacimo pod koren!!!

b)

6 − 16 ⋅ 2 = 6 − 32 =

6 + 6 2 − 32 6 − 6 2 − 32 + 2 2

=

6 + 36 − 32 6 − 36 − 32 + 2 2

=

6+2 6−2 + = 4 − 2 = 2− 2 2 2

2+ 3

7) Dokazati da je vrednost izraza

2 + 2+ 3

+

2− 3 2 − 2− 3

Najpre ćemo upotrebom Lagranžovog indetiteta ‘’ srediti’’ 2 + 3 =(prethodni zadatak) = 2+ 3 2 + 2+ 3

+

2− 3 2 − 2− 3

2+ 3 2− 3 + = 2 + 3 +1 2 − 3 +1 2 2 2 2+ 3 2 2− 3 = + 3+ 3 3− 3 =

=

(2

)

)(

(

2− 3 =

3 −1 2

2− 3 , Dakle:

Pazi na znak!!!

)

) ( )(

)(

2 + 6 3− 3 + 2 2 − 6 3+ 3 3+ 3 3− 3

(

2+ 3 i

2+ 3 2− 3 + = 3 +1 3 −1 2+ 2− 2 2

=

=

(

3 +1 , slično je i 2

iracionalan broj.

)

)

6 2 −2 6 +3 6 − 18 + 6 2 + 2 6 −3 6 − 18 2

32 − 3 12 2 − 2 18 12 2 − 2 9 ⋅ 2 12 2 − 6 2 6 2 = = = = = 2 9−3 6 6 6 www.matematiranje.com

9

4+2 3

8) Dokazati da je:

= 3 +1.

10 + 6 3 Poći ćemo od leve strane da dobijemo desnu. 3

4 + 2 3 = 3 +1+ 2 3 = 3 + 2 3 +1 =

( 3) + 2 2

3 +1 =

(

)

3 +1

2

10 + 6 3 = razmislimo da li ovo nije 10 + 6 3 = ( A + B ) ? 3

( A + B)

3

(

3

)

= A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3 3

2

3 + 1 = 3 + 3 ⋅ 3 ⋅1 + 3 ⋅ 3 ⋅12 + 13

= 27 + 3 ⋅ 3 ⋅1 + 3 3 + 1 = 9 ⋅ 3 + 9 + 3 3 + 1 = 3 3 + 3 3 + 10 = 10 + 6 3

Dakle:

10 + 6 3

3

( 3 + 1) = ( ( 3 + 1) 2

4+2 3

= 3

3

)

2

3 +1 = 3 +1 3 +1

Ovim je dokaz završen!!!

9) Racionalisati:

6 21 + 7 + 2 3 + 2

6 6 6 = = 21 + 7 + 2 3 + 2 7 ⋅ 3 + 7 + 2 3 +1 7 3 +1 + 2 3 +1

(

= =

(

6

)(

3 +1

(

7 +2

)(

)

⋅

3 −1 7 − 2 ⋅ = 3 −1 7 − 2

)

(

)(

)

(

) (

3 −1

6 3 −1 7 − 2 6 3 −1 7 − 2 = = 2 2 2⋅3 ⎛⎜ 3 − 12 ⎞⎟⎛⎜ 7 − 2 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝

)(

) (

7 −2

)

) www.matematiranje.com

10

10) Racionalisati:

3

1 9 + 6 +3 4 3

3 3 3 1 1 3−3 2 3−3 2 3 −32 = ⋅ = = = 3 3− 2 9 + 3 6 + 3 4 3 32 + 3 3 ⋅ 3 2 + 3 22 3 3 − 3 2 3 33 − 3 23

=

3

3 −32 =33 −32 1

Ovde smo imali A2 + AB + B 2 , pa smo dodali A-B, da bi dobili A3 − B 3 . www.matematiranje.com

11

Kompleksni brojevi (C)

Kompleksni brojevi su izrazi oblika:

z = a + bi gde su a i b realni brojevi a i → simbol

koji ima vrednost i = − 1 . Za kompleksan broj z = a + bi , a je njegov realni deo i obeležava se Re( z ) = a , b je njegov imaginarni deo i obeležava se Im( z ) = b , a i = − 1 je imaginarna jedinica. Primeri:

z1 = 5 + 4i → Re( z1 ) = 5, Im( z1 ) = 4 z 2 = 5 − 2i → Re( z 2 ) = 5, Im( z 2 ) = −2 3 3 z3 = − − 7i → Re( z3 ) = − , Im( z3 ) = −7 4 4 z 4 = 8i → Re( z 4 ) = 0, Im( z 4 ) = 8 z5 = 2 → Re( z5 ) = 2, Im( z5 ) = 0

Dva kompleksna broja a + bi i c + di su jednaka ako i samo ako je a = c i b = d ,tj imaju iste realne i imaginarne delove. Pošto smo rekli da je i = − 1 ,zanimljivo je videti kako se ponašaju stepeni broja i .

i = −1 i 2 = −1 i 3 = i 2 ⋅ i = −1⋅ i = −i i 4 = i 2 ⋅ i 2 = (−1)(−1) = 1 _________________________________

i 5 = i 4 ⋅ i = 1⋅ i = i i 6 = i 4 ⋅ i 2 = i 2 = −1 i 7 = i 4 ⋅ i 3 = 1 ⋅ i 3 = −i i8 = i 4 ⋅ i 4 = 1 itd. www.matematiranje.com

1

Šta zaključujemo? i stepenovano bilo kojim brojem može imati samo jednu od ove 4 vrednosti: i,−1,−i ili 1 . Uopšteno, tu činjenicu bi mogli zapisati:

i 4k = 1 i 4 k +1 = i

za k ∈ N .

i 4 k + 2 = −1 i 4 k +3 = −i

Kako ovo primeniti u zadacima? Primeri: Izračunati:

a)i100 b)i 2006 v)i 25 g )i102 d )i 23

a )i100 Ovde postoje 2 ideje : Ili da koristimo da je i 4 = 1 i naravno pravila za stepen :

( a m ) n = a m⋅ n i a m + n = a m ⋅ a n Dakle: i100 = (i 2 ) 50 = (−1) 50 = 1 ili druga ideja da je i 4 k = 1

i100 = (i 4 ) 50 = 150 = 1 Odlučite sami šta vam je lakše!

b)i 2006 = ? i 2006 = (i 2 )1003 = (−1)1003 = −1 www.matematiranje.com

2

v)i 25 = i 24 ⋅ i1 = (i 2 )12 ⋅ i = (−1)12 ⋅ i = 1⋅ i = i ↓ Kad je stepen neparan, napišemo ga kao za 1 manji paran broj pa plus 1, to jest 25 = 24 + 1 .

g )i102 = (i 2 ) 51 = (−1) 51 = −1 d )i 23 = i 22 ⋅ i1 = (i 2 )11 ⋅ i = (−1)11 ⋅ i = −1⋅ i = −i Pazi:

(−1) paran broj = 1 (−1) neparan broj = −1

Kako se sabiraju, oduzimaju I množe kompleksni brojevi? 1) Zbir dva kompleksna broja a + bi i c + di je kompleksan broj (a + c) + i (b + d ) , a njihova razlika je (a − c) + i (b − d ) . To znači da se sabiraju I oduzimaju ‘’normalno’’, kao u R. Primer:

z1 = 5 + 3i z 2 = 4 − 10i

z1 + z 2 = 5 + 3i + 4 − 10i = 5 + 4 + 3i − 10i = 9 − 7i

z1 − z 2 = 5 + 3i − (4 − 10i ) = 5 + 3i − 4 + 10i = 1 + 13i 2) Proizvod dva kompleksna broja a + bi i c + di je kompleksan broj

(ac − bd ) + i (ad + bc) → množi se ‘’svaki sa svakim’’ I vodimo računa da je i 2 = −1 (a + bi ) ⋅ (c + di ) = ac + adi + bci + bd i

2

−

= ac + adi + bci − bd = ac − bd + i (ad + bc) www.matematiranje.com

3

z1 = −3 + 5i

Primer:

z 2 = 4 − 2i

z1 ⋅ z 2 = (−3 + 5i ) ⋅ (4 − 2i ) = −12 + 6i + 20i − 10i 2 = [sad zameni da je i 2 = −1 , pa − 10i 2 = −10 ⋅ (−1) = 10 ] = −12 + 6i + 20i + 10 = −2 + 26i

Deljenje kompleksnih brojeva Recimo najpre da svaki kompleksan broj ima svoj konjugovan broj. −

Za z = a + bi ⇒ z = a − bi je konjugovan broj. −

Primeri: za z = 10 + 12i je z = 10 − 12i −

za z = 4 − 3i je z = 4 + 3i −

za z = −4 + 5i je z = −4 − 5i Dva kompleksna broja se dele tako što izvršimo racionalisanje sa konjugovanim brojem delioca.

a + bi a + bi c − di = ⋅ = gore množimo ‘’svaki sa svakim’’ a dole je razlika kvadrata. c + di c + di c − di =

(a + bi )(c − di ) (a + bi )(c − di ) = c 2 − (di ) 2 c2 + d 2

Primer 1)

=

5 + 2i 5 + 2i 4 + 3i (5 + 2i )(4 + 3i ) = = ⋅ = 4 − 3i 4 − 3i 4 + 3i 4 2 − (3i ) 2 www.matematiranje.com

4

20 + 15i + 8i + 6i 2 = = (i 2 = −1) 2 2 16 − 3 ⋅ i 20 + 15i + 8i − 6 14 + 23i 14 23 = = = + i 16 + 9 25 25 25 Savet: Uvek na kraju rastavi

a + bi a b = + i da bi mogao da pročitaš Re( z ) i c c c

Im( z ) Primer 2)

3 + 7i 3 + 7i − 5 − 3i = ⋅ − 5 + 3i − 5 + 3i − 5 − 3i =

(3 + 7i )(−5 − 3i ) (−5) 2 − (3i ) 2

−15 − 9i − 35i − 21i 2 = 25 − 32 ⋅ i 2 −15 − 9i − 35i + 21 = 25 + 9 6 − 44i 6 44 3 22 = = − i= − i 34 34 34 17 17

Modul kompleksnog broja z = a + bi je nenegativan broj z = a 2 + b 2 Primeri:

Za Za

z = 3 + 4i je z = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 5 z = −9 − 12i je z = (−9) 2 + (−12) 2 = 81 + 144 = 15

Navešćemo neke od osobina vezanih za kompleksne brojeve koje će nam dosta pomoći u rešavanju zadataka: 1) z1 + z 2 = z 2 + z1 ( komutativnost) 2) ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) ( asocijativnost) 3) z + 0 = 0 + z = z (0 je netral za +) 4) z + z ' = z ' + z = 0 ( z ' je suprotni broj)


5

5) z1 ⋅ z 2 = z 2 ⋅ z1 6) ( z1 ⋅ z 2 ) ⋅ z3 = z1 ⋅ ( z 2 ⋅ z3 ) 7) z ⋅1 = 1⋅ z = z (1 je neutral za ) 8) z ⋅ z ' = z ' ⋅ z = 1 ( z ' je inverzni za ) 9) ( z1 + z2 ) ⋅ z3 = z1 z3 + z2 z3 ( distributivnost) 10) z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 11) z 2 = z 12)

2

z z1 = 1 z2 z2

Primer : Nadji realni I imaginarni deo kompleksnog broja: z =

(1 − i )12 (1 + i ) 5

Odredimo najpre (1 − i )12 = ? Podjimo od (1 − i ) 2 = 1 − 2i + i 2 = 1 − 2i − 1 = −2i Kako je (1 − i )12 = ((1 − i ) 2 ) 6 = (−2i ) 6 = 26 ⋅ i 6 = 26 ⋅ (−1) = −26 = −64 Nadjimo dalje (1 + i ) 5 = ?

(1 + i ) 2 = 1 + 2i + i 2 = 1 + 2i − 1 = 2i (1 + i ) 5 = (1 + i ) 4 ⋅ (1 + i ) = ((1 + i ) 2 ) 2 ⋅ (1 + i ) = (2i ) 2 (1 + i ) = 4 ⋅ i 2 (1 + i ) = −4(1 + i )

(1 − i )12 16 16 1 − i − 64 = = = ⋅ = 5 (1 + i ) − 4(1 + i ) 1 + i 1 + i 1 − i 16(1 − i ) 16(1 − i ) 16(1 − i ) = 2 2 = = = 8(1 − i ) = 1 −i 1+1 2 = 8 − 8i z=

Dakle : Re ( z ) = 8 Im( z ) = −8 www.matematiranje.com

6

Primer :

Nadji x i y iz

x − 1 + ( y + 3)i = (1 + i )(5 + 3i ) x − 1 + ( y + 3)i = 5 + 3i + 5i + 3i 2 x − 1 + ( y + 3)i = 5 + 8i − 3 x − 1 + ( y + 3) i = 2{ + 8{ i { 123 Re Im Re Im

Dakle :

x −1 = 2 ⇒ x = 2 +1 ⇒ x = 3 y +3 = 8⇒ y = 8−3⇒ y = 5

Primer: Ako je w =

−1+ i 3 dokazati da je w 2 + w + 1 = 0 2

Rešenje: 2

⎛ −1 + i 3 ⎞ ⎛ −1 + i 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 = 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 − 2i 3 + (i 3) 2 −1 + i 3 + +1 = 4 2 1 − 2i 3 + i 2 ⋅ 3 −1 + i 3 + +1 = 4 2 1 − 2i 3 − 3 + 2(−1 + i 3) + 4 = 4 1 −2i 3 − 3 − 2 +2i 3 + 4 0 = =0 4 4

Primer:

Odredi sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju sistem jednačina:

z − 2i = z z − i = z −1 www.matematiranje.com

7

Rešenje: Neka je z = a + bi

z − 2i = a + bi − 2i = a + i (b − 2) ⇒ z − 2i = a 2 + (b − 2) 2 z − i = a + bi − i = a + i (b − 1) ⇒ z − i = a 2 + (b − 1) 2 z − 1 = a + bi − 1 = a − 1 + bi ⇒ z − 1 = (a − 1) 2 + b 2 Dakle:

a 2 + (b − 2) 2 = a 2 + b 2 a 2 + (b − 1) 2 = (a − 1) 2 + b 2

Kvadrirajmo obe jednačine!

___________________________________________

a 2 + (b − 2) 2 = a 2 + b 2 a 2 + (b − 1) 2 = (a − 1) 2 + b 2 ___________________________________________

b 2 − 4b + 4 = b 2 zamenimo u drugu jednačinu − 4b = −4 b =1

a 2 + (b − 1) 2 = (a − 1) 2 + b 2 a 2 + (1 − 1) 2 = (a − 1) 2 + 12 a 2 + 0 = a 2 − 2a + 1 + 1 2a = 2 a =1 Traženi kompleksni broj je z = 1 + i

Primer: Nadji sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju: −

z2 + z = 0 www.matematiranje.com

8

−

−

Rešenje: Neka je z = a + bi traženi kompleksni broj. Onda je z = a − bi, z = a 2 + b 2

(a + bi ) 2 + a 2 + b 2 = 0 a 2 + 2abi + b 2i 2 + a 2 + b 2 = 0 Kako je i 2 = −1 ⇒ Ovde očigledno I Re I Im moraju biti nula. 2 2 − b4 +2444 a144 a2 + 3 b 2 + 2{ ab i = 0 Im

Re

a 2 − b2 + a2 + b2 = 0 2ab = 0 ______________________ Iz 2ab = 0 ⇒ a = 0 v b = 0 1) Ako je a = 0 , zamenimo u prvu jednačinu:

02 − b 2 + 02 + b 2 = 0 b =b 2

( b 2 ≥0)

2

Ovde je očigledno b = 0 ili b = −1 2) Ako je b = 0 , zamenimo u prvu jednačinu:

a 2 − 02 + a 2 + 02 = 0 a2 + a2 = 0

nema rešenja sem a = 0

a 2 = −a 2 Dakle: z = 0 ; z = i I z = −i su traženi brojevi.

Primer:

Za koje vrednosti prirodnog broja n važi jednakost:

(1 + i ) n = (1 − i ) n ? Rešenje:

(1 + i ) n = (1 − i ) n (1 + i ) n ⎛1+ i ⎞ =1⇒ ⎜ ⎟ =1 n (1 − i ) ⎝ 1− i ⎠ n


9

Transformišemo izraz:

1 + i 1 + i 1 + i (1 + i ) 2 (1 + i ) 2 (1 + i ) 2 ⋅ = = = = 1 − i 1 − i 1 + i 12 + i 2 1+1 2 2 2 (1 + i ) = 1 + 2i + i = 1 + 2i − 1 = 2i Dakle:

1 + i (1 + i ) 2 2i = = =i 1− i 2 2

⎛1+ i ⎞ n Vratimo se u ⎜ ⎟ = 1 , dobijemo i = 1 − 1 i ⎝ ⎠ n

A ovo je ( vec smo videli ) moguće za n = 4k , k ∈ N . www.matematiranje.com

10

KVADRATNA JEDNAČINA ax2 + bx + c = 0 Jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0 , gde je x − nepoznata. a, b i c realni brojevi, a ≠ 0, je kvadratna jednačina po x sa koeficijentima a, b i c .

Kvadratna jednačina je potpuna ako su koeficijenti b ≠ 0 i c ≠ 0 . Ako je b = 0 ili c = 0 (ili oba) onda je kvadratna jednačina nepotpuna. Nepotpuna kvadratne jednačine se rešavaju relativno lako. Nepotpune kvadratne jednačine ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ∨ ax + b = 0 b x=− a

ax 2 + c = 0

ax 2 = 0 x=0

ax 2 = −c c x2 = − a x=± −

b a

Primeri:

2 x 2 + 5x = 0 x(2 x + 5) = 0 x = 0 ∨ 2x + 5 = 0 2 x = −5 5 x=− 2

4x2 − 9 = 0 4x2 = 9 x2 =

9 4

x=±

9 4

5x 2 = 0 0 x2 = 5 x=0 x1 = x2 = 0

3 2 3 x1 = 2 3 x2 = − 2 x=±

Potpuna kvadratna jednačina:

ax2 + bx + c = 0 Kvadratna jednačina ima dva rešenja: označavamo ih sa x1 i x 2 i tradicionalno se piše −b ± b 2 − 4ac x1,2 = 2a


1

Primer 1) Reši jednačine: a) 6 x 2 − x − 2 = 0 b) x 2 − 2 x + 1 = 0 v) x 2 − 4 x + 5 = 0 a) 6 x 2 − x − 2 = 0

a=6

Pazi, kad nema broj ispred nepoznate uzimaš 1.

b = −1 c = −2 −b ± b 2 − 4ac −(−1) ± (−1) 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ (−2) = 2a 2⋅6 1 ± 49 1 ± 17 = x1,2 = 12 12 1+ 7 8 2 = = x1 = 12 12 3 1 − 7 −6 1 = =− x2 = 12 12 2 x1,2 =

b) x 2 − 2 x + 1 = 0

a =1

−b ± b 2 − 4ac −(−2) ± (−2) 2 − 4 ⋅1⋅1 = 2a 2 ⋅1 2± 4−4 2±0 = x1,2 = 2 2 2 x1 = = 1 2 2 x2 = = 1 2 x1,2 =

b = −2 c =1

v) x 2 − 4 x + 5 = 0 a =1

b = −4 c=5 −b ± b 2 − 4ac −(−4) ± 16 − 20 x1,2 = = 2a 2 ⋅1 x1,2 =

4 ± −4 4 ± 2i 2 (2 ± i ) = = = 2±i 2 2 2

Dakle: x1 = 2 + i x2 = 2 − i Pazi jer je:

− 4 = 4(−1) = 2i −1 = i


2

Primer 2) Rešiti jednačinu:

(2 x − 3) 2 + ( x − 1)( x + 2) = 2 − 11x Rešenje: (2 x − 3) 2 + ( x − 1)( x + 2) = 2 − 11x 4 x 2 − 12 x + 9 + x 2 + 2 x − x − 2 − 2 + 11x = 0 5x 2 + 5 = 0 / : 5 x 2 + 1 = 0 → Nepotpuna kvadratna jednačina x 2 = −1

x = ± −1 x1 = +i x 2 = −i Primer 3) Rešiti jednačinu:

x 3 8 − = 2 → najpre rastavimo na činioce imenilac x−2 x+2 x −4 x 3 8 − = → Množimo sve sa NZS = ( x − 2)( x + 2) uz uslov: x − 2 x + 2 ( x − 2)( x + 2) x ≠ 2 i x ≠ −2 x( x + 2) − 3( x − 2) = 8 x 2 + 2 x − 3x + 6 − 8 = 0

x 2 − x − 2 = 0 → Sad radimo kao kvadratnu jednačinu

a =1 b = −1 c = −2

x1, 2 x1, 2

2 − b ± b 2 − 4ac − (−1) ± (−1) − 4 ⋅ 1 ⋅ (−2) = = 2a 2 1± 3 = 2

1+ 3 4 = = 2 → PAZI: nije rešenje jer x ≠ 2 2 2 1− 3 − 2 x2 = = = −1 → Dakle x = −1 2 2 x1 =

Primer 4) Grupa dečaka treba da podeli 400 klikera na jednake delove. Pre deobe 4 dečaka se odreknu svog dela, zbog čega je svaki od ostalih dobio po 5 klikera više. Koliko je u toj grupi bilo dečaka?

Obeležimo sa x-broj dečaka, y- broj klikera po dečaku www.matematiranje.com

3

x ⋅ y = 400 ( x − 4) ⋅ ( y + 5) = 400 → Sredimo ovu drugu jednačinu... ____________________ ________

xy + 5 x − 4 y − 20 = 400 400 + 5 x − 4 y − 20 = 400 5 x − 4 y − 20 = 0 → Iz prve jednačine izrazimo y =

400 x

400 − 20 = 0 /⋅ x x 5 x 2 − 1600 − 20 x = 0 → (poredjamo) 5 x 2 − 20 x − 1600 = 0 → (podelimo sa 5) x 2 − 4 x − 320 = 0 → sad radimo kvadratnu jednačinu 5x − 4 ⋅

a =1 b = −4 c = −320

− b ± b 2 − 4ac − (−4) ± (−4) 2 − 4 ⋅1⋅ (−320) x1, 2 = = 2a 2 4 ± 16 + 1280 4 ± 1296 4 ± 36 x1, 2 = = = 2 2 2 4 + 36 x1 = = 20 2 4 − 36 x2 = = −16 → Nemoguće 2

Dakle bilo je 20 dečaka u grupi. Priroda rešenja kvadratne jednačine

Diskriminanta (D) kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 je izraz b 2 − 4ac (ono pod korenom) Dakle: D = b 2 − 4ac Sada formulu za rešavanje možemo zapisati i kao: x1, 2 =

−b± D 2a

Za kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c sa realnim koeficijentima važi: 1) Jednačina ima dva rezličita realna rešenja ako i smo ako je D > 0 ( x1 = x2 ∈ R x1 ≠ x2 akko D > 0) 2) Jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je D = 0 ( x1 = x2 ∈ R akko D = 0) www.matematiranje.com

4

3) Jednačina ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja akko je D < 0 ( x1 = a + bi, x2 = a − bi akko D < 0) Primer 1) Ispitati prirodu rešenja kvadratnih jednačina u zavisnost od parametara:

a) x 2 + 3x + m = 0 b) (n + 3) x 2 − 2(n + 1) x + n − 5 = 0 a) x 2 + 3x + m = 0

⇒

a =1 b=3 c=m

D = b 2 − 4ac = 32 − 4 ⋅1⋅ m = 9 − 4m 1) D > 0 ⇒

9 − 4m > 0 − 4m > −9 → PAZI: Okreće se znak −9 m< −4 9 m< 4

2) D = 0 ⇒ 9 − 4m = 0 3) D < 0 ⇒

⇒

9 − 4m < 0 ⇒

9 4 9 m> 4 m=

9 rešenja su realna i različita 4 9 za m = rešenja su realna i jednaka 4 9 za m > rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi 4

Dakle: - za m < -

b) (n + 3) x 2 − 2(n + 1) x + n − 5 = 0 a = n+3 b = −2(n + 1) c = n−5

⇒

PAZI: ovde je odmah n + 3 ≠ 0 da bi jednačina bila kvadratna


5

D = b 2 − 4ac = [ −2(n + 1) ] − 4(n + 3)(n − 5) 2

= 4(n 2 + 2n + 1) − 4(n 2 − 5n + 3n − 15) = 4n 2 + 8n + 4 −4n 2 + 20n − 12n + 60 D = 16n + 64 1) D > 0 16n + 64 > 0 ⇒ 16n > −64 ⇒ n > −4, n > −4

x1 ≠ x2 ∈ R

2) D = 0 16n + 64 = 0 ⇒ n = −4 x1 = x 2 ∈ R 3) D < 0 16n + 64 < 0 ⇒ n < −4 x1 i x2 su konjugovano-kompleksni brojevi. Primer 2) Za koje vrednosti parametra k ∈ R jednačina kx 2 + (k + 1) x + 2 = 0 ima dvostruko rešenje? Rešenje: Ovde nam treba da je D = 0 i naravno a ≠ 0 , jer ako je a = 0 jednačina nije kvadratna.

kx 2 + (k + 1) x + 2 = 0 ⇒ a = k b = k +1

⇒

k≠0

c=2 D = b 2 − 4ac = (k + 1) 2 − 4 ⋅ k ⋅ 2 = k 2 + 2k + 1 − 8k = k 2 − 6k + 1 D = k 2 − 6k + 1 = 0 Sada rešavamo novu kvadratnu jednačinu ‘’po k’’ k 2 − 6k + 1 = 0 ⇒

a =1 b = −6 c =1

−b ± b 2 − 4ac −(−6) ± (−6) 2 − 4 ⋅1 ⋅1 6 ± 32 k1,2 = = = 2a 2 2 Malo sredimo : 32 = 16 ⋅ 2 = 4 2 Pa je: www.matematiranje.com

6

(

)

6± 4 2 2 3± 2 2 = = 3± 2 2 2 2 k1 = 3 + 2 2 k1, 2 =

k2 = 3 − 2 2 Ovo su rešenja za koja jednačina ( početna ) ima dvostruko rešenje!!! Primer 3) Za koje vrednosti parametra m ∈ R jednačina mx 2 − 4 x + 1 ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde dakle mora biti D > 0 i naravno a ≠ 0 a=m⇒m≠0 b = −4 ⇒ c =1

D = b 2 − 4ac D = (−4) 2 − 4 ⋅ m ⋅1 D = 64 − 4m > 0 16 − 4m > 0 − 4m > −16 m<4

nula ne sme!

Dakle, rešenje je m ∈ (−∞,0) ∪ (0,4)

Primer 4) Za koje vrednosti parametra m jednačina x 2 − 8 x + m ima konjugovanokompleksno rešenja? Rešenje: Mora biti D < 0 i a ≠ 0 a =1≠ 0 b = −8 c=m

D = b 2 − 4ac ⇒

D = (−8) 2 − 4 ⋅ m ⋅1 D = 64 − 4m < 0 − 4m < −64 m > 16 ⇒ m ∈ (16, ∞)

Primer 5) Za koje vrednosti parametra k ∈ R jednačina kx 2 + 6 x + 3 = 0 nema realna rešenja? Rešenje: Kad nema realna rešenja, znači da su konjugovano kompleksna, odnosno D < 0 i naravno a ≠ 0 . www.matematiranje.com

7

kx 2 + 6 x + 3 = 0 ⇒ a = k ⇒ k ≠ 0 b=6

c=3 D = b 2 − 4ac D = 6 2 − 4 ⋅ k ⋅ 3 = 36 − 12k 36 − 12k < 0 − 12k < −36 k > 3 ⇒ k ∈ (3, ∞)

Primer 6) Za koje vrednosti parametra m ∈ R jednačina (2m + 1) x 2 − (2m + 1) x + 2,5 = 0 ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde je D > 0 i a ≠ 0 a = 2m + 1 b = −(2m + 1) c = −2,5

a ≠ 0 ⇒ 2m + 1 ≠ 0 ⇒ m ≠ −

1 2

D = b 2 − 4ac D = [ −(2m + 1) ] − 4 ⋅ [ 2m + 1] ⋅ 2,5 2

D = (2m + 1) 2 − 10(2m + 1) D = 4m 2 + 4m + 1 − 20m − 10 D = 4m 2 − 16m − 9 > 0

Rešimo najpre 4m 2 − 16m − 9 = 0 a=4 b = −16 c = −9

−b ± b 2 − 4ac m1,2 = 2a 16 ± 256 + 144 16 ± 20 m1,2 = = 8 8 36 9 m1 = = 8 2 4 1 m2 = − = − 8 2

(Pogledaj kvadratne nejednačine): www.matematiranje.com

8

D > 0 → biramo gde je +

1⎞ ⎛9 ⎞ ⎛ m ∈ ⎜ − ∞, − ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ www.matematiranje.com

9

VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE Brojevi x1 i x 2 su rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 ako i samo ako je

x1 + x2 = −

b a

i

x1 ⋅ x2 =

c a

Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule. Čemu one služe? Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja x1 i x 2 napravimo kvadratnu jednačinu: x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0

ili bi možda bilo preciznije

[

]

a x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 najčešće se ovde uzima a = 1 , pa je to formula Primer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja:

a) x1 = 3, x2 = −2 b) Jedno rešenje je x1 = 1 + 2i a) x1 = 3,

x 2 = −2

x1 + x2 = 3 + (−2) = +1 x1 ⋅ x2 = 3 ⋅ (−2) = −6 ⎡ ⎤ Formula je a ⎢ x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 ⋅ x 2 ⎥ = 0 1 424 3 123 ⎥ ⎢⎣ 1 −6 ⎦ 2 Pa je a x − x − 6 = 0 najčešće se uzima a = 1 ⇒ x 2 − x − 6 = 0

[

]

______

b) x1 = 1 + 2i , Nemamo drugo rešenje? Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to mora biti: x 2 = 1 − 2i www.matematiranje.com

1

x1 + x 2 = 1 + 2i + 1 − 2i = 2 x1 ⋅ x 2 = (1 + 2i ) ⋅ (1 − 2i ) = 12 − (2i ) 2 = 1 − 4i 2 = (pošto je i 2 = −1 ) = 1 + 4 = 5

Zamenimo u formulu: x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 x 2 − 2 x + 5 = 0 je tražena kvadratna jednačina Primer 2: U jednačini mx 2 − (3m + 1) x + m = 0 odrediti vrednost realnog parametra m tako da važi: x1 + x 2 = 5

Rešenje: a = m b = −(3m + 1)

c=m

b a − (3m + 1) 3m + 1 x1 + x2 = − = m m x1 + x2 = −

Kako je x1 + x 2 = 5 ⇒ 3m + 1 =5 m 3m + 1 = 5m 3m − 5m = −1 − 2m = −1 1 m= 2 Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za x1 i x2 jednačine: x 2 − 4 x + 3(k − 1) = 0 važi x1 − 3 x2 = 0

Rešenje: x1 + x 2 = − a =1 b = −4 c = 3(k − 1)

b −4 =− =4 a 1

x1 + x2 = 4 ⎫ ⎬ rešimo kao sistem x1 − 3x2 = 0⎭

_________________

x1 + x2 = 4 − x + 3x = 0

1 2 __________________

4 x2 = 4 ⇒ x2 = 1 ⇒ x1 = 3 c 3(k − 1) Kako je x1 ⋅ x2 = ⇒ 3 ⋅1 = ⇒ k −1 = 1 ⇒ k = 2 a 1 www.matematiranje.com

2

Primer 4: U jednačini x 2 − (m + 1) x + m = 0 odrediti realan broj m tako da njena rešenja zadovoljavaju jednakost x12 + x 22 = 10

Rešenje:

a =1 b = −(m + 1)

b −(m + 1) =− = m +1 a 1 c m x1 + x2 = = = m a 1 x1 + x2 = −

⇒

c=m

Ovaj izraz x12 + x 22 → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima. Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: ( x1 + x2 ) 2 = x12 + 2 x1 x2 + x22 Odavde je: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 ZAPAMTI!!! Vratimo se u zadatak: x12 + x22 = 10 ⇒ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 10 (m + 1) 2 − 2m = 10 m 2 + 2m + 1 − 2m = 10 m 2 = 10 − 1 m2 = 9 m=± 9 m1 = 3 m2 = −3

Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0 tako da x =p njena rešenja budu 1 x2 = q

Rešenja: a = 1 b= p⇒ c=q

⇒

x1 + x2 = − x1 ⋅ x2 =

b p = − = −p 1 a

c =q a

2p + q = 0 p + q = − p⎫ ⎬⇒ pq − q = 0 p⋅q = q ⎭ www.matematiranje.com

3

Iz druge jednačine sistema: pq − q = 0 ⇒ q( p − 1) = 0 pa je q = 0 ili p = 1 Za q = 0 ⇒ vratimo u prvu jednačinu: 2p + q = 0 ⇒ 2p +0 = 0 ⇒ p = 0 Za p = 1 ⇒ 2 p + q = 0 ⇒ 2 + q = 0 ⇒ q = −2 Dakle ta kvadratna jednačina je: x 2 + px + q = 0

x 2 = 0 za p = 0 i q = 0 x 2 + x − 2 = 0 za p = 1 ∧ q = −2

⇒ ⇒

Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce

Kvadratni trinom po x je izraz oblika: ax 2 + bx + c gde su a, b, c → brojevi i a ≠ 0 . Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratnog trinoma. Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 onda je: ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x 2 ) Primer1: Kvadratni trinom:

a) x 2 + 5 x + 6 b) x 2 + 2 x + 2 rastaviti na činioce. a) x 2 + 5 x + 6 = 0 najpre rešimo kvadratnu jednačinu:

a =1 b = −5 c=6

D = b 2 − 4ac D = 25 − 24 D =1

x1, 2 =

− b ± D 5 ±1 = 2a 2

x1 = 3 x2 = 2

Formula: a( x − x1 )( x − x2 ) = 1( x − 3)( x − 2) = ( x − 3)( x − 2) Dakle: x 2 + 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2) www.matematiranje.com

4

b) x 2 + 2 x + 2 = 0 ⇒

a = 1, b = 2, c = 2

D = 4 − 8 = −4

− 2 ± 2i 2(−1 ± i ) = 2 2 x1 = −1 + i

x1, 2 =

x 2 = −1 − i

a ( x − x1 )( x − x 2 ) = 1( x + 1 − i )( x + 1 + i )

Dakle: x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1 − i )( x + 1 + i ) Primer 2: Skratiti razlomak:

3x 2 + 2 x − 8 12 x 2 − 7 x − 12

Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce. 3x 2 + 2 x − 8 = 0

a=3

D = b 2 − 4ac

b=2

D = 4 + 4 ⋅3⋅8

c = −8

D = 4 + 96 D = 100

−b± D 2a − 2 ± 10 x1, 2 = 6 − 2 + 10 8 4 = = x1 = 6 6 3 − 2 − 10 = −2 x2 = 6 x1, 2 =

4 Dakle: 3x 2 + 2 x − 8 = a( x − x1 )( x − x 2 ) = 3( x − )( x + 2) 3

12 x 2 − 7 x − 12 = 0 a = 12 b = −7 c = −12

D = b 2 − 4ac D = 4 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−12) D = 49 + 576 D = 625

−b ± D 2a 7 ± 25 x1,2 = 24 7 + 25 32 4 x1 = = = 24 24 3 7 − 25 18 3 =− =− x2 = 24 24 4 x1,2 =

4 3 Dakle: 12 x 2 − 7 x − 12 = a( x − x1 )( x − x2 ) = 12( x − )( x + ) 3 4 Vratimo se sad u razlomak www.matematiranje.com

5

4 3 ( x − ) ( x + 2) 3x + 2 x − 8 x+2 3 = = 2 3 12 x − 7 x − 12 4 3 12 ( x − ) ( x + ) 4( x + ) 4 3 4 2

4 3 ≠0 x+ ≠0 3 4 i Naravno uz uslov 4 3 x≠ x≠− 3 4 x−

x3 + 1 Primer 3: Skratiti razlomak: 2 x − 2x − 3 Rešenje: x 2 − 2 x − 3 = 0

a =1

D = b 2 − 4ac

b = −2

D = 4 + 12 D = 16

c = −3

−b± D 2a 2±4 x1, 2 = 2 x1 = 3 x1, 2 =

x 2 = −1

Dakle: x 2 − 2 x − 3 = a( x + x1 )( x + x 2 ) = (1( x − 3)( x − (−1)) = ( x − 3)( x + 1) x 3 + 1 → ćemo rastaviti po formuli: A3 + B 3 = ( A + B)( A2 − AB + B 2 ) VIDI POLINOMI pa je: x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1) Vratimo se u razlomak: ( x + 1) ( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1 x − 3 ≠ 0 x +1 ≠ 0 x3 + 1 = = naravno uz uslov i 2 x − 2x − 3 x −3 ( x − 3) ( x + 1) x≠3 x ≠ −1 U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji su to uslovi: 1) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su: b c realna i pozitivna ⇔ D ≥ 0, < 0, > 0 a a


6

2) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su: b c realna i negativna ⇔ D ≥ 0, > 0, > 0 a a Ova razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila: → Da bi rešenja bila realna je D ≥ 0 b c → x1 + x 2 = − i x1 ⋅ x 2 = a a b x x + > 0 ⇒ <0 1 2 1) x1 i x 2 pozitivna ⇒ a c x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0 a b x1 + x 2 < 0 ⇒ > 0 a 2) x1 i x 2 negativna ⇒ c x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0 a (minus puta minus je plus) Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 budu pozitivna.

Rešenja: Iz x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 vidimo da je

a =1

D = b 2 − 4ac

b = −3

D≥0,

c = 2m − 1

D≥0 ⇒

13 − 8m ≥ 0 − 8m ≥ −13 m≤

b c <0, >0 a a

D = (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (2m − 1) D = 9 − 8m + 4 D = 13 − 8m

( Pazi: znak se okreće)

13 8

−3 b <0⇒ < 0 ⇒ Zadovoljeno!!! a 1 c 2m − 1 >0⇒ <0 a 1 2m − 1 < 0 2m < 1 1 m< 2

⎛ 1 13 ⎤ m∈⎜ , ⎥ ⎝2 8 ⎦

7

NEKE JEDNAČINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE

1) Bikvadratna jednačina To je jednačina oblika: ax 4 + bx 2 + c = 0 Uvodimo smenu x 2 = t , dobijamo jednačinu

at 2 + bt + c = 0 , nadjemo t1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac i vratimo se u smenu: 2a

x 2 = t1

i

x 2 = t2

x1, 2 = ± t1

i

x3, 4 = ± t 2

Primer1: x 4 − 4 x 2 + 3 = 0 x 4 − 4 x 2 + 3 = 0 ⇒ smena x 2 = t t 4 − 4t 2 + 3 = 0

a =1 b = −4 c=3

− b ± b 2 − 4ac − (−4) ± (−4) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 3 = t1, 2 = 2a 2 ⋅1 4 ± 16 − 12 4 ± 2 = t1, 2 = 2 2 4+2 =3 t1 = 2 4−2 =1 t2 = 2

Vratimo se u smenu:

x 2 = t2

x 2 = t1 x2 = 3 x1, 2 = ± 3 x1 = + 3 x2 = − 3

i

x2 = 1 x3, 4 = ± 1 x3 = +1 x4 = −1


1

Primer 2: (4 x 2 − 5) 2 + ( x 2 + 5) 2 = 2(8 x 4 − 83) (4 x 2 − 5) 2 + ( x 2 + 5) 2 = 2(8 x 4 − 83) 16 x 4 − 40 x 2 + 25 + x 4 + 10 x 2 + 25 = 16 x 4 − 166 x 4 − 30 x 2 + 50 + 166 = 0 x 4 − 30 x 2 + 216 = 0 → Bikvadratna, smena: x 2 = t t 2 − 30t + 216 = 0

a =1 b = −30 c = 216

− b ± b 2 − 4ac 30 ± 900 − 864 t1, 2 = = 2a 2 30 ± 6 t1, 2 = 2 36 = 18 t1 = 2 24 = 12 t2 = 2

Vratimo se u smenu:

x 2 = 18

x 2 = 12

x1, 2 = ± 18

x3, 4 = ± 12

x1, 2 = ±3 2

x3, 4 = ±2 2

x1 = +3 2

x3 = +2 2

x 2 = −3 2

x 4 = −2 2

Primer 3: ( x 2 − 2 x) 2 − 2( x 2 − 2 x) = 3 Ovo liči na bikvadratnu jednačinu, ali je mnogo bolje uzeti smenu: x 2 − 2 x = t x2 − 2x = t t 2 − 2t = 3

t 2 − 2t − 3 = 0

a =1

→

b = −2 c = −3 www.matematiranje.com

2

− b ± b 2 − 4ac 2a 2 ± 4 + 12 2 ± 4 = t1, 2 = 2 2 t1 = 3 t1, 2 =

t 2 = −1 Vratimo se sada u smenu: x 2 − 2 x = t1

x 2 − 2 x = t2

x2 − 2x = 3

x 2 − 2 x = −1

x2 − 2x − 3 = 0

x2 − 2x +1 = 0

Sada rešavamo dve nove kvadratne jednačine po x.

a =1 b = −2 c = −3

2 ± 4 + 12 2 2±4 x1, 2 = 2 x1 = 3 x1, 2 =

a =1 b = −2 c =1

x 2 = −1

2± 4−4 2 2±0 x3, 4 = 2 x3 = 1 x3, 4 =

x4 = 1

Dakle, rešenja su: {3,−1,1,1} Primer 4: x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 0,5625 Ovo baš i ne liči na bikvadratnu jednačunu, a ne ‘’vidi se’’ da ima neka pametna smena. Ako sve pomnožimo tek tad smo u problemu!!! Probajmo da pomnožimo prva dva, i druga dva, da vidimo šta će da ispadne… ( x 2 + x)( x 2 + 3x + 2 x + 6) = 0,5625 ( x 2 + x)( x 2 + 5 x + 6) = 0,5625 → Neće!!! Probajmo onda prvi i četvrti, a drugi i treći!!!

x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 0,5625 www.matematiranje.com

3

( x 2 + 3 x)( x 2 + 2 x + 1x + 2) = 0,5625 ( x 2 + 3 x)( x 2 + 3 x + 2) = 0,5625

E, ovo je već bolje ⇒ Smena: x 2 + 3x = t t ⋅ (t + 2) = 0,5625 t 2 + 2t − 0,5625 = 0

− 2 ± 4 + 2,25 − 2 ± 2,5 = 2 2 t1 = +0,25 t1, 2 =

t 2 = −2,25 Vratimo se u smenu: x 2 + 3 x = +0,25

x 2 + 3 x − 0,25 = 0 − 3 ± 9 +1 x1, 2 = 2 − 3 ± 10 x1, 2 = 2 − 3 + 10 x1 = 2 − 3 − 10 x2 = 2

x 2 + 3 x = +2,25 x 2 + 3 x − 2,25 = 0

−3± 9−9 2 −3± 0 x3, 4 = 2 3 x3 = x4 = − 2 x3, 4 =

x2 + x − 5 3x 5) Reši jednačinu + 2 +4=0 x x + x−5 3x x2 + x − 5 + 2 +4=0 x x + x−5 x2 + x − 5 x + 3⋅ 2 +4=0 x x + x−5 Ovde je zgodno uzeti smenu

x2 + x − 5 x 1 = t , jer je onda 2 = x x + x −5 t

1 t + 3 ⋅ + 4 = 0 /⋅ t t 2 t + 3 + 4t = 0 t 2 + 4t + 3 = 0 www.matematiranje.com

4

− 4 ± 16 − 12 − 4 ± 2 = 2 2 t1 = −1 t1, 2 =

t 2 = −3 Vratimo se u smenu: x2 + x − 5 = −1 x x2 + x − 5 = −x

x2 + x − 5 = −3 x x 2 + x − 5 = −3 x

ili

x2 + x − 5 + x = 0

x 2 + x − 5 + 3x = 0

x2 + 2x − 5 = 0 − 2 ± 4 + 20 x1, 2 = 2 − 2 ± 24 x1, 2 = 2 −2±2 6 x1, 2 = 2 2 −1± 6 x1, 2 = 2 x1 = −1 + 6

x 2 + 4x − 5 = 0

(

− 4 ± 16 + 20 2 −4±6 x1, 2 = x =1 2

x1, 2 =

3

x 4 = −5

)

x2 = −1 − 6

{− 1 +

}

6 ,−1 − 6 ,1,−5

su rešenja. Binomne jednačine

To su jednačine oblika: gde su A > 0

i

B>0

Ax n ± B = 0

Najpre pokušamo da datu jednačinu rastavimo na činioce upotrebom poznatih formula, pa koristimo M ⋅ N = 0 ⇔ M = 0 v N = 0 Uvek ovu jednačinu možemo rešiti smenom x = y

n

B , koja binomnu jednačinu svede A

na oblik y n ± 1 = 0 www.matematiranje.com

5

Primer 1 8 x 3 − 27 = 0 Pazi: Pogrešno je jer se ‘’gube’’ rešenja!!!

8 x 3 − 27 = 0 (2 x) 3 − 33 = 0

8 x 3 = 27 27 x3 = 8 27 x=3 8 3 x= 2

Upotrebićemo formulu A3 − B 3 = ( A − B)( A2 + AB + B 2 ) (2 x − 3)((2 x) 2 + 2 x ⋅ 3 + 32 ) = 0

(2 x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9) = 0 ⇒ odavde je: 2x − 3 = 0 2x = 3 3 x1 = 2

4 x2 + 6 x + 9 = 0 ili

x2,3 =

−6 ± 36 − 144 8

x2,3 =

−6 ± −108 −6 ± 6 3i = 8 8

−6 + 6 3i 8 −6 − 6 3i x3 = 8 x2 =

− 6 + 6 3i 2(−3 + 3 3i ) − 3 + 3 3i = = 8 8 4 − 6 − 6 3i 2(−3 − 3 3i ) − 3 − 3 3i x3 = = = 8 8 4 PAZI: − 108 = 108 ⋅ − 1 = 36 ⋅ 3 ⋅ i = 6 3i x2 =

Primer 2

x 6 − 729 = 0

x 6 − 729 = 0 x 6 − 36 = 0 ( x 3 ) 2 − (33 ) 2 = 0 → Razlika kvadrata www.matematiranje.com

6

( x 3 − 33 )( x3 + 33 ) = 0 ( x − 3)( x 2 + 3 x + 9)( x + 3)( x 2 − 3 x + 9) = 0

x 2 + 3x + 9 = 0

x−3= 0

ili

x1 = 3

x2 , 3 = x2 , 3

x2 =

PAZI:

x+3= 0

ili

x 2 − 3x + 9 = 0

− 3 ± 9 − 36 2 − 3 ± − 27 − 3 ± 3 3i = = 2 8

−3 + 3 3i 2

x + 3 = 0 → x4 = −3

x5 =

ili

3 + 3 3i 2

x3 =

−3 − 3 3i 2

x 2 − 3x + 9 = 0 → x5,6 =

x6 =

3 ± 9 − 36 2

3 − 3 3i 2

− 27 = 27 ⋅ − 1 = 9 ⋅ 3 ⋅ i = 3 3i

Primer 3.: Rešimo jednačinu:

5x3 + 2 = 0 Rešenje: Sad se ne može upotrebiti formula, pa idemo na smenu: x= y

n

B , kako je A=5, B=2, n = 3 A

smena je x = y

3

2 5

3

⎛ 2⎞ 5 ⋅ ⎜⎜ y 3 ⎟⎟ + 2 = 0 ⎝ 5⎠ 2 5 ⋅ y3 ⋅ + 2 = 0 5 3 y ⋅2+ 2 = 0 2 ⋅ ( y 3 + 1) = 0 ⇒ y 3 + 1 = 0 (zbir kubova)

( y + 1)( y 2 − y − 1) = 0 y +1 = 0 y1 = −1


7

y2 − y −1 = 0 1± 1− 4 2 1± i 3 y2,3 = 2 1+ i 3 y2 = 2 1− i 3 y3 = 2 y2,3 =

Vratimo se u smenu: x = y3

2 5

x1 = −1⋅ 3 x2 =

2 2 = −3 5 5

1+ i 3 3 2 ⋅ 2 5

i

x3 =

1− i 3 3 2 ⋅ 2 5

Primer 4 Rešiti jednačinu

11x 4 − 17 = 0 Rešenje: I ovde ne možemo lako datu jednačinu rastaviti na činioce; zato upotrebljavamo B smenu: x = y n A Kako je n = 4 ,

B = 17 ,

A = 11 ⇒ x = y 4

17 11

4

⎛ 17 ⎞ 11 ⋅ ⎜⎜ y 4 ⎟⎟ − 17 = 0 11 ⎝ ⎠ 17 11 ⋅ y 4 − 17 = 0 11 4 17 ⋅ y − 17 = 0 ⇒ 17( y 4 − 1) = 0 ⇒ y 4 − 1 = 0 → ( y 2 ) 2 − 1 = 0 ( y 2 − 1)( y 2 + 1) = 0 ( y − 1)( y + 1)( y 2 + 1) = 0 8

y −1 = 0 y1 = 1

y +1 = 0 y 2 = −1

ili

ili

y2 +1 = 0 y 2 = −1 y 3, 4 = ± − 1 = ± i y3 = + i y4 = −i

Vratimo se u smenu x = y 4

x1 = 1 ⋅ 4 x3 = i 4

17 4 17 = ; 11 11

17 ; 11

17 11

x2 = −14

x 4 = −i 4

17 17 = −4 11 11

17 11

Trinomne jednačine

To su jednačine oblika ax 2 n + bx n + c = 0 gde su a, b i c realni brojevi (različite od nule). Rešava se smenom x n = t ⇒ x 2 n = t 2 . Rešavamo kvadratnu po t , pa se vratimo u smenu. Primer 1: Reši jednačinu

x6 + 7 x3 − 8 = 0 ( x3 )2 + 7 x3 − 8 = 0 t 2 + 7t − 8 = 0 −7±9 t1, 2 = 2 t1 = 1

Rešenje:

cmena x 3 = t

t 2 = −8

Vratimo se u smenu: x3 = 1

Ili

x −1 = 0 3

( x − 1)( x + x + 1) = 0 2

x −1 = 0

ili

x2 + x +1 = 0

x3 = −8 x3 + 8 = 0 x 3 + 23 = 0 =0 ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)www.matematiranje.com

9

x1 = 1

x2,3 =

−1 ± i 3 2

x+2=0 x 4 = −2

x2 − 2x + 4

ili

2 ± − 12 2 2 ± 2 3i = 2 = 1 ± 3i

x5,6 = x5,6 x5,6 Primer 2: Rešiti jednačinu:

x8 − 17 x 4 + 16 = 0 Rešenje:

( x 4 ) 2 − 17 x 4 + 16 = 0 t − 17t + 16 = 0 17 ± 15 t1, 2 = 2 t1 = 16 2

smena: x 4 = t

t2 = 1

Vratimo se u smenu:

x 4 − 16 = 0

x4 = 1 x4 −1 = 0

x 4 − 24 = 0

( x 2 − 1)( x 2 + 1) = 0

x 4 = 16

ili

( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1) = 0 x − 1 = 0 ili x + 1 = 0 ili x 2 + 1 = 0

( x 2 − 2 2 )( x 2 + 2 2 ) = 0 ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4) = 0

x − 2 = 0 ili x + 2 = 0 ili x1 = 2 x2 = −2

x2 + 4 = 0

x 2 = −4 x3, 4 = ± − 4 x3 = +2i x4 = −2i

x5 = 1

,x6 = −1

,x 2 = −1 x7 ,8 = ± − 1 x7 = +i x8 = −i

Dakle rešenja su:

{2,−2,2i,−2i,1,−1,+i,−i} www.matematiranje.com

10

Simetrične (recipročne) jednačine

To su jednačina oblika: ax n + bx n −1 + cx n − 2 + ... + cx 2 + bx + a = 0

Gde su a, b, c... realni brojevi. Naziv simetrične potiče jer su koificijenti uz x n −k i x k (k = 0,1,2...n) jednaki. Drugo ime recipročne su dobile zbog osobina: Ako je x = α jedno rešenje, onda je i 1 x = takodje rešenje date jednačine i važi osobina: Ako je najveći stepen n − neparan

α

broj, tada je x1 = −1 jedno rešenje simetrične jednačine!!! Postupak rešavanja

-

Ako je jednačina neparnog sistema podelimo je sa ( x + 1) i dobijemo jednačinu parnog sistema Celu jednačinu podelimo sa’’srednjim’’ članom i grupišemo odgovarajuće članove.

- Uzimamo smenu x +

1 = t , odavde je ako kvadriramo: x

2

1⎞ ⎛ 2 ⎜x+ ⎟ =t x ⎝ ⎠ 1 1 x2 + 2 ⋅ x ⋅ + 2 = t 2 x x 1 x2 + 2 + 2 = t 2 x 1 x 2 + 2 = t 2 − 2 → ZAPAMTI x

11

3

ili

1⎞ ⎛ 3 ⎜x+ ⎟ =t x ⎝ ⎠ 1 1 1 x3 + 2 x 2 ⋅ + 3x + 2 + 3 = t 3 x x x 1 1 x 3 + 3x + 3 + 3 = t 3 x x 1⎞ 1 ⎛ x 3 + 3⎜ x + ⎟ + 3 = t 3 x⎠ x ⎝

x3 +

1 = t 3 − 3t → ZAPAMTI 3 x

itd… Primer1: Rešiti jednačinu:

2 x 4 + 3x 3 − 16 x 2 + 3x + 2 = 0 Rešenje: Celu jednačinu delimo sa x 2 jer je on srednji član. Dakle 2 x 4 3x 3 − 16 x 2 3 x 2 + 2 − + 2 + 2 =0 x2 x x2 x x 1 1 2 x 2 + 3x − 16 + 3 ⋅ + 2 ⋅ 2 = 0 grupišemo članove!!! x x

1⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 2⎜ x 2 + ⎟ + 3⎜ x + ⎟ − 16 = 0 smena: x + = t x⎠ ⎝ x⎠ x ⎝ 2 2(t − 2) + 3t − 16 = 0

2t 2 − 4 + 3t − 16 = 0 2t 2 + 3t − 20 = 0 − 3 ± 9 + 160 − 3 ± 13 t1, 2 = = 4 4 5 t1 = −4 , t 2 = 2 www.matematiranje.com

12

Vratimo se u smenu: x+

1 = −4 x x 2 + 1 = −4 x

1 5 = x 2 2 x 2 + 2 = 5x

x 2 + 4x + 1 = 0

2 x 2 − 5x + 2 = 0

− 4 ± 16 − 4 2 x1 = −2 + 3 x1, 2 =

x+

i

x 2 = −2 − 3

x 3, 4 =

5 ± 25 − 16 4

x3 = 2 x4 =

1 2

1 1 i − 2 + 3 i − 2 − 3 i recipročna su!!! Za 2 i je to 2 2 očigledno, a šta je sa − 2 + 3 i − 2 − 3 ?

Dakle, rešenja su 2 i

− 2 + 3 − 2 + 3 − 2 − 3 (−2) 2 − 3 1 = ⋅ = = 1 1 −2− 3 −2− 3 −2− 3 Sad vidimo (posle racionalizacije) da su i ona takodje recipročna. Primer 2: Rešiti jednačinu:

12 x 5 + 16 x 4 − 37 x 3 − 37 x 2 + 16 x + 12 = 0 Rešenje: Ovo je jednačina petog stepena, pa je jedno rešenje x = −1 , pa ćemo celu jednačinu podeliti sa ( x + 1) (12 x 5 + 16 x 4 − 37 x 3 − 37 x 2 + 16 x + 12) : ( x + 1) = 12 x 4 + 4 x 3 − 41x 2 + 4 x + 12 Pogledaj deljenje polinoma!!! Dalje radimo: 12 x 4 + 4 x 3 − 41x 2 + 4 x + 12 = 0 / : x 2 1 1 12 x 2 + 4 x − 41 + 4 ⋅ + 12 ⋅ 2 = 0 x x


13

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 12⎜ x 2 + 2 ⎟ + 4⎜ x + ⎟ − 41 = 0 x ⎠ ⎝ x⎠ ⎝ 1 1 Smena x + = t ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2 x x 2 12(t − 2) + 4t − 41 = 0 12t 2 − 24 + 4t − 41 = 0 12t 2 + 4t − 65 = 0 − 4 ± 56 t1, 2 = 24 13 t1 = 6 5 t2 = − 2 Vratimo se u smenu: 1 13 = x 6 6 x 2 − 13x + 6 = 0 13 ± 5 x1, 2 = 12 18 3 x1 = = 12 2 8 2 x2 = = 12 3 x+

i

1 5 =− x 2 2 2 x + 5x + 2 = 0 −5±3 x3, 4 = 4 1 x3 = − 2 x4 = −2 x+

⎧3 2 1 ⎫ Dakle: ⎨ , ,− ,−2,−1⎬ su rešenja ⎩2 3 2 ⎭ Veoma slične simetričnim su KOSOSIMETRIČNE jednačine, one su oblika ax n + bx n −1 + cx n − 2 + ... − cx 2 − bx − a = 0 tj. koeficijenti uz x k i x n − k su suprotni koeficijenti Ako je kososimetrična jednačina neparnog sistema, jedno rešenje je uvek x1 = 1 Postupak rešavanja je sličan!!!


14

Primer 3:

x 5 − 7 x 4 + 16 x 3 − 16 x 2 + 7 x − 1 = 0

kososimetrična

Pošto je njeno rešenje x1 = 1 , celu jednačinu delimo sa ( x − 1) ( x 5 − 7 x 4 + 16 x 3 − 16 x 2 + 7 x − 1) : ( x − 1) = x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 6 x + 1 Dobijena jednačina:

itd…

x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 6 x + 1 = 0 je simetrična / : x 2 x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 6 x + 1 = 0 1 1 x 2 − 6 x + 10 − 6 ⋅ + 2 = 0 x x

Dobijena rešenja su x1 = 1, x2 = 1, x3 = 2 + 3 , x4 = 2 − 3 i x5 = 1 www.matematiranje.com

15

SISTEMI KVADRATNIH JEDNAČINA SA DVE NEPOZNATE Razlikovaćemo nekoliko tipa sistema: 1) Sistem od jedne kvadratne i jedne linearne jednačine sa dve nepoznate Postupak: Iz linearne jednačine izrazimo x ili y (šta nam je lakše). To zamenimo u kvadratnu jednačinu i nju posle sredjivanja rešimo. Ako ima rešenja, njih vraćamo u ''ono'' što smo izrazili. Primer 1) Reši sistem: 2 x 2 + 2 y 2 + 3x − 2 = 0 x − 2 y = −2 ________________

2 x 2 + 2 y 2 + 3x − 2 = 0 x − 2 y = −2 → odavde izrazimo x (lakše) x zamenimo u gornju jednačinu ________________

x = 2y − 2 2(2 y − 2) 2 + 2 y 2 + 6 y − 6 − 2 = 0 2(4 y 2 − 8 y + 4) + 2 y 2 + 6 y − 6 − 2 = 0 8 y 2 − 16 y + 8 + 2 y 2 + 6 y − 8 = 0 10 y 2 − 10 y = 0/ :10 y2 − y = 0 y ( y − 1) = 0 y1 = 0 ∨ y − 1 = 0 y2 = 1

⇒

x1 = 2 ⋅ 0 − 2 = −2 x2 = 2 ⋅ 1 − 2 = 0

Rešenj su: ( x1 , y1 ) = (−2,0) i ( x2 , y2 ) = (0,1) Primer 2) Rešiti sistem: 3 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 3 x − 4 y = 0 2x − y + 5 = 0 ________________


1

3 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 3 x − 4 y = 0 2x − y + 5 = 0 ________________

y = 2x + 5 3 x 2 + 2 x(2 x + 5) + 2(2 x + 5) 2 + 3 x − 4(2 x + 5) = 0 3 x 2 + 4 x 2 + 10 x + 2(4 x 2 + 20 x + 25) + 3 x − 8 x − 20 = 0 7 x 2 + 10 x + 8 x 2 + 40 x + 50 + 3 x − 8 x − 20 = 0 15 x 2 + 45 x + 30 = 0/ :15 x 2 + 3x + 2 = 0

a =1

− b ± b 2 − 4ac − 3 ± 1 = 2a 2 x1 = −1

b=3

x1, 2 =

c=2

x 2 = −2 Zamenom x1 i x2 u y = 2 x + 5 dobijamo: y1 = 2(−1) + 5 = −2 + 5 = 3 y2 = 2(−2) + 5 = −4 + 5 = 1 Dakle rešenja su: (−1,3), (−2,1) 2)Sistem od dve kvadratne jednačine, koje sadrže samo ax 2 i ay 2 i slobodne članove

Ovaj sistem je oblika:

a1 x 2 + b1 y 2 = c1 a2 x 2 + b2 y 2 = c2

Najlakše ga rešiti metodom suprotnih koeficijenata. Primer 1) Rešiti sistem: 5 x 2 − 6 y 2 = 11 7 x 2 + 3 y 2 = 714 ______________________

5 x − 6 y = 11 7 x 2 + 3 y 2 = 714 → Drugu jednačinu množimo sa 2 2

2

______________________

⎫ ⎪ + 14 x + 6 y = 1428 ⎬ _________________________ ⎪ ⎭ 2 19 x = 1539 5 x 2 − 6 y 2 = 111 2

2


2

x 2 = 81

x = ±9

x = ± 81

x1 = 9 x2 = −9

7 x + 3 y = 714 2

2

7 ⋅ 81 + 3 y 2 = 714 567 + 3 y 2 = 714 3 y 2 = 714 − 567 3 y 2 = 147 y 2 = 49 y = ± 49 y1 = +7 y2 = −7

Pazi sad pravimo ‘’kombinacije’’: (9,7), (9,-7), (-9,7), (-9,-7) Dakle, ima 4 rešenja!!! Pre nego se upoznamo sa novim tipom sistema, naučimo šta su to HOMOGENE jednačine Njen opšti oblik je: Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 0 Nju možemo rešiti najlakše smenom x = yz tj. z =

x y

Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 0 ⎛ x2 xy y2 ⎞ y2 ⎜ A 2 + B 2 + C 2 ⎟ = 0 y y ⎠ ⎝ y ⎛ ⎛ x ⎞2 ⎞ ⎛x⎞ y ⎜ A⎜ ⎟ + B ⎜ ⎟ + C ⎟ = 0 ⎜ ⎝ y⎠ ⎟ ⎝ y⎠ ⎝ ⎠ 2

y 2 ( Az 2 + Bz + C ) = 0

y=0 ∨

Az 2 + Bz + C = 0 nama ovo treba!!! www.matematiranje.com

3

− B ± B 2 − 4 AC 2A z1 = ... z1,2 =

z2 = ... Vratimo se na stare nepoznate…. x = z1 y

i

x = z2 y

3) Sistem od dve kvadratne jednačine od kojih je jedna homogena

⎧⎪ Ax 2 + Bxy + Cy 2 = 0 Taj system je oblika: ⎨ 2 ⎪⎩ax + bxy + cy 2 + dx + ry + f = 0 Iz prve jednačine (homogene) dodjemo do dve linearne jednačine, pa svaku od njih ukombinujemo sa drugom jednačinom sistema tako da dobijemo dva nova sistema jednačina. Primer 1: Rešiti sistem jednačina: x 2 − 3xy + 2 y 2 = 0 → homogena, prvo nju rešimo x 2 − 3x − y + 3 = 0 _________________________

x 2 − 3xy + 2 y 2 = 0 ⎛ x2 ⎞ x y 2 ⎜⎜ 2 − 3 + 2 ⎟⎟ = 0 ⎝1y442y44 3⎠

x = z smena x = zy y

samo ovo nas zanima

z − 3z + 2 = 0 3 ±1 z1,2 = 2 z1 = 2 2

z2 = 1 Vratimo se u smenu: Za z1 = 2 ⇒ x = 2 y Za z2 = 1 ⇒ x = y

4

Sad ovo zamenimo u drugu jednačinu x 2 − 3x − y + 3 = 0 _________________________

x 2 − 3x − y + 3 = 0

x 2 − 3x − y + 3 = 0

(2 y ) 2 − 3 ⋅ 2 y − y + 3 = 0

x 2 − 3x − x + 3 = 0

4 y2 − 6 y − y + 3 = 0

4 y2 − 4x + 3 = 0 4±2 x1, 2 = 2 x1 = 3

4 y2 − 7 y + 3 = 0 7 ±1 y1, 2 = 8 y1 = 1 y2 =

x2 = 1

6 3 = 8 4

x1 = 2 ⋅1 = 2,

y1 = 3, y2 =1 3 3 x2 = 2 ⋅ = 4 2

⎛ 3 3⎞ Dakle , rešenja su: (2,1), ⎜ , ⎟ ,(3,3), (1,1) ⎝ 2 4⎠ Primer 2: Rešiti sistem: x 2 + xy − 6 y 2 = 0 x 2 − 2 xy + 2 y 2 = 18 ___________________________

x 2 + xy − 6 y 2 = 0 ⎛ x2 x ⎞ y2 ⎜ 2 + − 6 ⎟ = 0 y ⎝y ⎠

z 2 + z − 6 = 0 Smena z1, 2 =

x =z y

−1 ± 5 2

z1 = 2 z 2 = −3 Dalje je : x = yz ⇒ x = 2 y ili x = −3 y Sad pravimo nova dva sistema. x = 2y x 2 − 2 xy + 2 y 2 = 18

x = −3 y

___________________________

___________________________

x 2 − 2 xy + 2 y 2 = 18

5

(2 y ) 2 − 2 ⋅ 2 y ⋅ y + 2 y 2 = 18

(−3 y ) 2 − 2 ⋅ (−3 y ) ⋅ y + 2 y 2 = 18

4 y − 4 y + 2 y = 18 2

2

2

9 y 2 + 6 y 2 + 2 y 2 = 18

y =9 2

17 y 2 = 18

y = ±3

y1 = +3 x1 = 2 ⋅ 3 (6,3)

y2 = −3 x2 = 2 ⋅ (−3) = −6 (-6,-3)

18 17 18 y=± 17 y2 =

y1 = +

18 17

y2 = −

18 17

x1 = −3

18 17

⎛ 18 18 ⎞ ⎜−3 ⎟ i , ⎜ ⎟ 17 17 ⎝ ⎠

x2 = 3

18 17

⎛ 18 18 ⎞ ⎜3 ⎟ ⎜ 17 ,− 17 ⎟ ⎝ ⎠

Dakle opet ima četri rešenja!!! 4) Sistemi koji se svode na homogene jednačine

Opšti oblik ovog sistema je: a1 x 2 + b2 xy + c1 y 2 = d1 a2 x 2 + b2 xy + c2 y 2 = d 2

_______________________________

Ideja je da se metodom suprotnih koeficijenata unište d1 i d 2 I da se dobije homogena jednačina. Nju rešimo i formiramo dva nova sistema. Ništa bez primera: Primer 1: Reši sistem:

2 x 2 − 3xy + 2 y 2 = 4 x 2 + xy + y 2 = 7

Prvu jednačinu pomnožimo sa 7, a drugu sa -4

______________________


6

14 x 2 − 21xy + 14 y 2 = 28 ⎫⎪ ⎬+ − 4 x 2 − 4 xy − 4 y 2 = −28⎪⎭

______________________________ _____

10 x 2 − 25 xy + 10 y 2 = 0 / : 5

2 x 2 − 5 xy + 2 y 2 = 0 → Dobili smo homogenu jednačinu!!!

x2 x −5 + 2 = 0 2 y y 2 2 z − 5z + 2 = 0

2

z1, 2 =

5±3 4

Vratimo se u smenu

z1 = 2 z2 =

x =z y

1 2 ili

x 1 = y 2

x = 2 y ili

y = 2x

x =2 y

Sada izaberimo jednu od početne dve jednačine (onu sa manje brojke) i formiramo dva nova sistema:

y = 2x

x = 2y x + xy + y = 7 2

x 2 + xy + y 2 = 7

2

______________________

______________________

(2 y ) + 2 y ⋅ y + y = 7

x 2 + x ⋅ 2 x + ( 2 x) 2 = 7

4 y2 + 2 y2 + y2 = 7

x2 + 2x2 + 4x2 = 7

7 y2 = 7

7 x2 = 7

y2 = 1

x2 = 1

y = ±1 y1 = 1

x = ±1 x1 = 1

y2 = −1

x 2 = −1

2

Onda je:

2

Onda je:

x1 = 2 ⋅ y1 = 2

x1 = 2 x1 = 2

x2 = 2 ⋅ (−1) = −2

x2 = 2 ⋅ (−1) = −2

7

Odavde su dakle rešenja: (2,1) i (-2,-1)

Odavde su rešenja (1,2), (-1,-2)

Konačno rešenja su: (2,1), (-2,-1), (1,2), (-1,-2)

5) Rešavanje složenijih slučajeva:

Kod sistema koji ne pripadaju nijednim od proučenih tipova, tražimo način da eliminišemo jednu nepoznatu, sredjujemo jednačine da uvedemo smenu, pravimo da jedna jednačina bude proizvod jednak nuli… Ovde nemamo neki ‘’dobar’’ savet, iskustvo je odlučujuće, dakle što više zadataka uradite, to ćete više ‘’trika’’ naučiti!!! Bilo kako bilo, evo par primera: 1) Rešiti sistem jednačina: x + xy + y = 19 x 2 y + xy 2 = 84 → izvičimo odavde xy ____________________

x + y + xy = 19 xy ( x + y ) = 84

Sad uvodimo smene x+y= a i xy=b

____________________

a + b = 19 a ⋅ b = 84 ____________

b = 19 − a a ⋅ (19 − a) = 84 19a − a 2 − 84 = 0 a 2 − 19a + 84 = 0 19 ± 5 a1, 2 = 2 a1 = 12 ⇒ b1 = 7 a2 = 7 ⇒ b2 = 12 www.matematiranje.com

8

Vratimo se u smene: x + y = 12 ∧ y = 12 − x x(12 − x) = 7

xy = 7

12 x − x 2 − 7 = 0

x+ y =7

x 2 − 12 x + 7 = 0

x(7 − x) = 12 7 x − x 2 − 12 = 0

)

x 2 − 7 x + 12 = 0 7 ±1 x1, 2 = 2

x1 = 4

x2 = 6 − 2 29

x2 = 3 y1 = 3 y2 = 4 Odavde su rešenja: (4,3), (3,4)

____________________

y1 = 12 − 6 − 29 = 6 − 29 y2 = 12 − 6 + 29 = 6 + 29

(6 +

xy = 12

y =7−x

12 ± 116 12 ± 2 29 x1, 2 = = 2 2 2 6 ± 2 29 x1, 2 = 2 x1 = 6 + 2 29

(

∧

)(

29 ,6 − 29 , 6 − 29 ,6 + 29

)

2) Rešiti sistem: x 4 + y 2 = 17 Odavde možemo da drugu jednačinu pomnožimo sa (-1) I da 2 x 2 + y 2 = 5 eliminišemo y _______________

x 4 + y 2 = 17 − x 2 − y 2 = −5 _________________

x 4 − x 2 = 12 x 4 − x 2 − 12 = 0 ⇒ ovo je bikvadratna jednačina Smena: x 2 = t t 2 − t − 12 = 0 1± 7 t1, 2 = 2 t1 = 4 t 2 = −3

9

Vratimo se u smenu:

x2 = t

x 2 = −3

x2 = 4 x1 = 2

x = ± −3 = ± 3i x3 = + 3i, x4 = − 3i

x2 = −2 Vratimo se u

x2 + y2 = 5 4 + y2 = 5 y2 = 1 y1 = 1 y = −1

2 __________

x2 + y 2 = 5 −3 + y 2 = 5 y 2 = 8 ⇒ y = ±2 2 y1 = 2 2 y2 = −2 2 Rešenja su: (2,1), (2,-1), (-2,1), (-2,1),

(

) (

3i, 2 2 ,

) (

) (

)

3i, −2 2 , − 3i, 2 2 , − 3i, −2 2 ,

Dakle ima ih 8. www.matematiranje.com

10

KVADRATNA FUNKCIJA

Kvadratna funkcija je oblika: y = ax 2 + bx + c Gde je x ∈ R, a ≠ 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax 2 + bx + c je parabola.

Najpre ćemo naučiti kako izgleda grafik funkcije y = x 2 . Napravićemo tablicu za neke vrednosti promenljive x. x y

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

y

9 8

y=x

2

4 3 2 1 -3

-2 -1

za x = −3 je za x = −2 je _________

x 1

2

3

y = (−3) 2 = 9 y = (−2) 2 = 4

za x = −1 je y = (−1) 2 = 1 _________

za x = 0 je

y = 02 = 0

x = 1 je

y = 12 = 1

_________

za

_________

za x = 2 je

y = 22 = 4

za x = 3 je

y = 32 = 9

_________

_________


1

Ovaj grafik će nam uvek služiti kao ‘’početni”. Šta se dešava ako ispred x 2 ima neki broj? Naučimo sad grafik y = ax 2

Razlikovaćemo 2 situacije: a > 0 i a < 0 za a > 0

Ovde je parabola okrenuta ‘’ otvorom nagore’’. Šta se dešava ako je a > 1 i 0 < a < 1?

a >1

U odnosu na početni grafik y = x 2 , ovaj grafik y = ax 2 se ‘’sužava’’ Primer y = 2x 2 X Y

-3 18

-2 8

-1 2

0 0

1 2

2 8

3 18

y

2

y=2x 9 8

y=x

2

4 3 2 1 -3 -2 -1

x 1

2

3

Što je broj a veći to je grafik uži!!!


2

0 < a <1

U odnosu na početni grafik y = x 2 , ovaj grafik y = ax 2 se ‘’širi’’ Primer 1 y = x2 2

X Y

-3 9 2

-2 2

-1 1 2

0 0

1 1 2

2 2

3 9 2

1 -1

2 -4

3 -9

y

9 1 _ y= x2 2

8

y=x 2 4 3 2 1 -3 -2 -1

x 1

2

3

Što je broj a bliži nuli, grafik je širi!!! Za a < 0 parabola je okrenuta ‘’otvorom nadole’’.

Početni grafik je y = − x 2 .

x y

-3 -9

-2 -4

-1 -1

0 0


3

Evo grafika funkcije y = − x 2 y 3 2 x

1 -3 -2 -1

1

3

2

-1 -2 -4

-8 -9 y=-x2

Opet ćemo razmotriti 2 situacije: U odnosu na početni y = − x 2 grafik se ‘’sužava’’ako je a<-1 Primer y = −2 x 2 x y

-3 -18

-2 -8

-1 -2

0 0

1 -2

2 -8

3 -18

y 3 2 x

1 -3 -2 -1

1

2

3

-1 -2 -4

-8 -9 y=-x2 2

y=-2x


4

Ako je −1 < a < 0 1 U odnosu na početni grafik y = − x 2 grafik , na primer y = − x 2 se ‘’širi’’ 2 x y

-3 9 2

-2 -2

-1 1 2

0 0

1 1 2

2 -2

3 9 2

y 3 2 x

1 -3 -2 -1

1

2

3

-1 -2

-4 _ 2 y=- 1 x 2

-8 -9 y=-x2

Dobro, ovo za sad nije bilo ''mnogo opasno'' Naučimo sada da pomeramo finkciju duž yose. Posmatrajmo grafik:

y = ax 2 + β → Prvo nacrtamo grafik funkcije y = ax 2 → taj grafik pomeramo duž y-ose i to: 1) Ako je β pozitivan ‘’podižemo’’ grafik, odnosno pomeramo ga u pozitivnom smeru y-ose. 2) Ako je β negativan, ‘’spuštamo’’ grafik, odnosno pomeramo ga u negativnom smeru y-ose www.matematiranje.com

5

Evo par primera: 1 2 x +1 2

y=

Primer 1:

y _ 2 y=1 x +1 2

1 y= _ x2 2

4 3 2 1 -3

0

-2 -1

x 1

2

3

Prvo nacrtamo grafik y =

1 2 x , Zatim taj grafik ‘’podignemo’’ za +1, paralelnim 2

pomeranjem (translacija) Primer 2: y = x2 − 2 Znači, najpre nacrtamo grafik y = x 2 . Potom taj grafik ‘’spustimo’’ za -2 duž y-ose (transplatorno pomeranje) y

2

y=x

9

4 3 2 1 -3 -2 -1 0

x 1

-1

2

3

2

y=x -2

-2


6

Nadam se da smo i ovo razumeli, jel tek sad ide ''prava stvar''. Naučimo da pomeramo funkciju i duž x-ose. Posmatrajmo funkciju: y = ( x − α ) 2 Pazi:

→ Ako je –α to znači da funkciju pomeramo za α po x-osi udesno. → Ako je +α to znači da finkciju pomeramo za α po x-osi ulevo Ništa bez primera: Primer 1: y = ( x − 3) 2 → Znači pomeramo funkciju y = x 2 udesno za 3

y y=x

2

y=(x-3)

2

9

4 3 2 1 -3 -2 -1 0

x 1

2

3

-1 -2

Primer 2:

y = ( x + 2) 2

→ Znači pomerimo funkciju y = x 2 ulevo za 2 www.matematiranje.com

7

y

2

y=x

9

4

2

y=(x+2)

3 2 1 -3 -2 -1 0

x 1

2

3

-1 -2

Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik funkcije y = ax 2 + bx + c .

Najpre moramo funkciju y = ax 2 + bx + c svesti na takozvani kanonski oblik. Tu nam pomaže formula: 2

b ⎞ 4ac − b 2 ⎛ y = a⎜ x + ⎟ + 2a ⎠ 4a ⎝ ili ako uvedemo da je:

α =−

b 2a

i β=

D 4ac − b 2 tj. β = − dobijamo: y = a( x − α ) 2 + β kanonski oblik 4a 4a

Tačka T (α , β ) je teme parabole.

Dakle: (važno, ovo je postupak)

→ Datu funkciju y = ax 2 + bx + c najpre svedemo na kanonski oblik y = a(x − α ) 2 + β → Nacrtamo grafik funkcije y = ax 2 → Izvršimo pomeranje (transliranje) duž x–ose za α → Izvršimo pomeranje (transliranje) duž y-ose za β www.matematiranje.com

8

Primer 1: Nacrtaj grafik funkcije: y = x2 − 6x + 5 → Svedemo je na kanonski oblik:

a =1

b −6 =− =3 2a 2 ⋅1 4ac − b 2 4 ⋅1⋅ 5 − (−6) 2 20 − 36 − 16 = β= = = = −4 4a 4 ⋅1 4 4

α =−

b = −6 c=5

y = a( x − α ) 2 + β y = 1( x − 3) 2 + (−4) y = ( x − 3) 2 − 4 → Najpre nacrtamo y = ax 2 , odnosno y = x 2 y

9 8

y=x

2

4 3 2 1 -3

-2 -1

x 1

2

3

→ Sada ucrtamo grafik y = ( x − 3) 2 , odnosno vršimo pomeranje za 3 ulevo y

9 8

y=x

2

4 3 2 1 -3

-2 -1

x 1

2

3

9

→ I najzad ucrtamo y = ( x − 3) 2 − 4 tako što grafik y = ( x − 3) 2 spustimo za 4 ‘’nadole’’ y

9 8 2

y=(x-3) 5 y=x

2

4 3 2 1 -3 -2 -1

x 1

2

3

5 2

y=(x-3) - 4 -4

Ceo ovaj postupak je dosta ‘’zamršen’’ a nije baš ni mnogo precizan. Evo kako ćete mnogo brže i preciznije nacrtati grafik y = ax 2 + bx + c bez svodjenja na kanonski oblik i ‘’pomeranja’’: Naš grafik će u zavisnosti od a (broja uz x 2 ) i diskriminante D = b 2 − 4ac biti jedan od sledećih 6 grafika: 1) a > 0, D > 0 y

x1

x2 x

T (α , β )

→ F-ja seče x-osu u x1 i x2 → y < 0 za x ∈ ( x1 , x2) I y > 0 za x ∈ (−∞, x1 ) ∪ ( x2, ∞) → F-ja ima minimum u temenu T (α , β ) → F-ja raste za x ∈ (α , ∞) → F-ja opada za x ∈ (−∞, α ) 10

2) a > 0, D = 0 y

x1 = x2 T (α , β )

x

→ F-ja je definisana za ∀x ∈ R → F-ja seče x-osu u x1 = x2 → y ≥ 0, ∀x ∈ R → F-ja ima minimum u T (α ,0) → F-ja raste za x ∈ (α , ∞) → F-ja opada za x ∈ (−∞, α )

3) a > 0, D < 0 y

T (α , β ) x

→ F-ja je definisana za ∀x ∈ R → F-ja ne seče x- osu ( x1, 2 su konjugovano -kompleksni brojevi). → y > 0, za ∀x ∈ R → F-ja ima minimum u T (α , β ) → F-ja raste za x ∈ (α , ∞) → F-ja opada za x ∈ (−∞, α ) www.matematiranje.com

11

4) a < 0, D > 0 y T (α , β )

x1

x2

x

→ F-ja je definisana ∀x ∈ R → F-ja seče x- osu u x1 , x2 → y < 0 za x ∈ (−∞, x1 ) ∪ ( x2 , ∞) y > 0 za x ∈ ( x1 , x2 ) → F-ja ima maksimum u T (α , β ) → F-ja raste za x ∈ (−∞, α ) → F-ja opada za x ∈ (α , ∞)

5) a < 0, D = 0 y

x1 = x2 T (α , β )

x

→ F-ja je definisana ∀x ∈ R → F-ja seče x- osu u x1 = x 2 → y ≤ 0, ∀x ∈ R → F-ja ima maximum u T (α ,0) → F-ja raste za x ∈ (−∞, α ) → F-ja opada za x ∈ (α , ∞) www.matematiranje.com

12

6) a < 0, D < 0 y

T (α , β )

x

→ F-ja je definisana ∀x ∈ R → F-ja ne seče x- osu ( x1, 2 su konjugovano -kompleksni brojevi) → y < 0, za ∀x ∈ R → F-ja ima maximum u T (α , β ) → F-ja raste za x ∈ (−∞, α ) → F-ja opada za x ∈ (α , ∞)

Postupak

1) Najpre odredimo a,b,c i nadjemo diskriminantu D = b 2 − 4ac −b± D (ako ima) 2) Tražimo x1, 2 = 2a D > 0, x 1 ≠ x 2

D = 0, x 1 = x 2 D < 0, nema x1 , x2 3) U zavisnost od znaka broja a zaključujemo da li je parabola okrenuta otvorom nagore ili na dole, tj: D > 0 → Smeje se D < 0 → Mršti se

4) Parabola uvek seče y-osu u broju c

13

5) Nadjemo teme T (α , β ) α = − T (α , β ) je max ako je a < 0 T (α , β ) je min ako je a > 0

b D ,β = − 2a 4a

6) Konstruišemo grafik Primer 1: Nacrtaj grafik funkcije y = x2 − 6x + 5 (ovo je ista funkcija koju smo crtali svodjenjem na kanonski oblik i pomerili duž x i y ose, pa da vidimo koji će nam postupak biti jasniji) 1)

a =1

D = b 2 − 4ac = (−6) 2 − 4 ⋅1⋅ 5 = 36 − 20 = 16

b = −6 c=5 2) x1, 2 =

−b± D 6± 4 = 2a 2

x1 = 5 x2 = 1 3)

a = 1 > 0 ⇒ okrenuta otvorom na gore (smeje se)

4) y-osu seče u c=5 5)

T (α , β ) b −6 =3 α =− = 2a 2 ⋅ 1 D 16 = −4 β =− =− 4a 4 ⋅1 T (3, −4) → min www.matematiranje.com

14

6) Grafik: y

9 8

5 4 3 2 1 -3 -2 -1

x 1

2

3

5

-4

sami odlučite koji način konstrukcije grafika vam je ‘’lakši’’ Primer 2: Nacrtati grafik finkcije 1 1 y = − x2 + x + 6 2 2 1) a=−

1 2

1 2 c=6

b=

2

1 1 49 ⎛1⎞ ⎛ 1⎞ D = ⎜ ⎟ − 4 ⎜ − ⎟ ⋅ 6 = + 12 = 12 = 4 4 4 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2) 1 7 1 7 1 7 1 7 − ± − ± − + − − 3 −b ± D −4 x1,2 = = 2 2 = 2 2 → x1 = 2 2 = = −3 → x2 = 2 2 = =4 2a −1 −1 −1 −1 −1 ⎛ 1⎞ 2⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ x1 = −3 x2 = 4 www.matematiranje.com

15

3) a=−

1 < 0 ⇒ okrenuta otvorom na dole (mršti se) 2

4) presek sa y-osom je c=6 5)

T (α , β ) 1 2

b 1 =− = 2a ⎛ 1⎞ 2 2⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ 49 D 49 1 β =− =− 4 =+ =6 4a 8 8 ⎛ 1⎞ 4⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛1 1⎞ T ⎜ ,6 ⎟ ⎝ 2 8⎠

α =−

y

9 8

6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1

x 1

2

3

4

5

-4


16

Primer 3: Skicirati grafik funkcije: y = x2 − 4 x + 3

Rešenje: ⎧ x, x ≥ 0 Pošto x = ⎨ , odavde ćemo imati 2 grafika, jedna za x ≥ 0 i jedan za ⎩− x , x < 0 x<0. y = x2 − 4 x + 3 za 1)

x ≥ 0 je

y = x2 − 4x + 3

a = 1, b = −4, c = 3 D = b 2 − 4ac = 16 − 12 = 4

2) x1, 2 =

4±2 2

x1 = 3 x2 = 1

3)

a = 1 > 0 ⇒ smeje se

4) presek sa y-osom je u 3 5)

T (α , β ) −4 b = =2 α =− 2a 2 ⋅ 1 D 4 =− = −1 β =− 4a 4 ⋅1 T (2,−1) www.matematiranje.com

17

za x < 0 grafik y = x 2 − 4 x + 3 je

y = x 2 + 4x + 3

1)

2)

a = 1, b = 4, c = 3 D = b 2 − 4ac = 16 − 12 = 4

−4±2 2 x1 = −1 x1, 2 =

x 2 = −3

3)

a = 1 >⇒ smeje se

4) presek sa –osom je u 3 5)

T (α , β ) −4 b = −2 α =− = 2a 2 ⋅1 D 4 = −1 β =− =− 4a 4 ⋅1 T (−2,−1)

Pogledajmo sad kako izgledaju ova dva grafika posebno a kako zajedno daju grafik y = x2 − 4 x + 3 www.matematiranje.com

18

y

y

y

4

4

4

3

3

3

2

2

1 -3 -2 -1 0

1

2

3

2

1

x -3 -2 -1 0

1

x 1

2

3

-3 -2 -1 0

-1

-1

-1

-2

-2

-2

y = x2 + 4x + 3

y = x2 − 4 x + 3

x 1

2

3

y = x2 − 4 x + 3


19

GRAFIČKO REŠAVANJE SISTEMA Najčešći tip zadatka je onaj u kome se javlja jedna kvadratna funkcija y = ax 2 + bx + c i jedna linearna funkcija y = kx + n .

Naš savet je da najpre rešite sistem analitički ( računski) pa tek onda da crtate grafike. Ako odmah crtate grafik može se desiti da za presek ( preseke) koje dobijete ne možete precizno utvrditi koordinate... Evo par primera: primer 1.

Grafički rešiti sistem: x2 − 2x + y + 4 = 0 x+ y+2=0

Rešenje: Najpre ćemo izraziti y iz obe jednačine i rešiti sistem analitički.

x2 − 2x + y + 4 = 0 → y = − x2 + 2 x − 4 x + y + 2 = 0 → y = −x − 2 Sad oformimo jednu jednačinu “po x’’ upoređujući leve strane ove dve jednakosti ( desne su iste)

− x2 + 2x − 4 = − x − 2 − x2 + 2x − 4 + x + 2 = 0 − x 2 + 3x − 2 = 0 a = −1; b = 3; c = −2 −b ± b 2 − 4ac −3 ± 32 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−2) −3 ± 1 −3 ± 1 = = = 2a 2 ⋅ (−1) −2 −2 −3 + 1 −2 x1 = = → x1 = 1 −2 −2 −3 − 1 −4 x2 = = → x2 = 2 −2 −2 x1,2 =

Sad ove vrednosti vratimo u jednačinu y = − x − 2 da nađemo y koordinate: Za x1 = 1 je y1 = −1 − 2 → y1 = −3

pa je jedno rešenje tačka ( 1, - 3)

Za x2 = 2 je y1 = −2 − 2 → y1 = −4 pa je drugo rešenje tačka ( 2,- 4)

1

Sad možemo i da nacrtamo grafike, ali u istom koordinatnom sistemu.

Naravno, lakše je nacrtati pravu...Uzećemo dve tačke , recimo x=0 , pa naći y, a zatim uzmemo y=0 pa nađemo x.

y = − x − 2 imamo

x 0 y -2

-2 0

Kvadratnu funkciju nećemo detaljno ispitivati ( naravno, vi morate ako vaš profesor zahteva) već samo neophodne stvari:

y = − x2 + 2x − 4

Nule funkcije: − x2 + 2x − 4 = 0 a = −1; b = 2; c = −4 x1,2 =

−b ± b 2 − 4ac −2 ± 2 2 − 4(−1)(−4) −2 ± −12 = = 2a 2(−1) −12

Odavde zaključujemo da nemamo realnih rešenja, odnosno da grafik ove kvadratne funkcije nigde ne seče x osu.

Presek sa y osom Da se podsetimo, presek sa y osom je u tački c, a u ovom slučaju je c = −4

Teme funkcije T (α , β )

α =−

b 2 =− =1 2a 2 ⋅ (−1)

D b 2 − 4ac −12 =− =− = −3 4a 4a 4 ⋅ (−1) T (1, −3)

β =−

Sada možemo nacrtati grafike : www.matematiranje.com

2

y 5 4

y=-x-2

3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1

0 1 -1

2

3

4

5

x

-2 (1,-3)

-3 -4

(2,4)

-5

y = − x2 + 2 x − 4 Vidimo da se grafička rešenja poklapaju sa analitičkim. primer 2.

Grafički rešiti sistem: y = x2 − 4x + 3 y = 2x − 6

Rešenje:

Najpre da rešimo računski:

y = x2 − 4 x + 3 y = 2x − 6 x2 − 4x + 3 = 2 x − 6 x2 − 4x + 3 − 2x + 6 = 0 x 2 − 6 x + 9 = 0 → ( x − 3) 2 = 0 → x1 = x2 = 3 → y = 2 ⋅ 3 − 6 → y1 = y2 = 0

3

Dakle, postoji samo jedno rešenje ovog sistema , tačka ( 3,0) . To nam govori da će se grafici prave i parabole seći samo u jednoj tački ( odnosno da je prava tangenta parabole)

Za pravu

x 0 y -6

y = 2 x − 6 imamo da je

-3 0

Za parabolu y = x 2 − 4 x + 3 Nule funkcije: x2 − 4x + 3 = 0 a = 1; b = −4; c = 3

−b ± b 2 − 4ac 4 ± (−4) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 3 4 ± 2 = = 2a 2 2 x1 = 3; x2 = 1 x1,2 =

Presek sa y osom Presek sa y osom je u tački c, a u ovom slučaju je c = 3

Teme funkcije T (α , β ) b −4 =− =2 2a 2 ⋅1 D b 2 − 4ac 4 β =− =− =− = −1 4a 4a 4 ⋅1

α =−

T (2, −1) y y = x − 4x + 3 2

5 y=2x-6

4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

0 1 -1

2

(3,0)

4

5

x

-2 -3 -4 -5 -6

4

primer 3.

Grafički rešiti sistem: y = x2 y = x −1

Rešenje: y = x2 y = x −1 x2 = x − 1 x 2 − x + 1 = 0 → D = b 2 − 4ac = 1 − 4 = −3 → D < 0 Sistem nema realna rešenja. Dakle, grafici se ne seku!

y

x 0 y -1

5

1 0

4 y=x

2

3 2

y=x-1

1 -5 -4 -3 -2 -1

0 1 -1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

Zaključak: Kad imamo da grafički rešimo sistem y = ax 2 + bx + c i y = kx + n može se desiti da imamo dve presečne tačke ( primer 1.), da se seku u jednoj tački ( primer 2.) ili da nema preseka ( primer 3.)

www.matematiranje.com 5

Evo par primera kad nije data linearna funkcija ( prava).

primer 4.

Grafički rešiti sistem: xy = 12 x+ y =7

Rešenje: Kao i uvek, rešimo sistem najpre računski...Iz druge jednačine izrazimo y i zamenimo u prvu jednačinu:

xy = 12 x+ y =7 x + y = 7 → y = 7 − x → zamenimo u prvu jed. xy = 12 x(7 − x) = 12 7 x − x 2 − 12 = 0 7± 1 → x1 = 4 ∧ x2 = 3 2 x1 = 4 → y1 = 7 − x1 → y1 = 3 → (4,3) x 2 − 7 x + 12 = 0 → x1,2 =

x2 = 3 → y2 = 7 − x2 → y2 = 4 → (3, 4) Rešili smo zadatak analitički...

Za pravu kao i uvek, uzimamo dve tačke:

Za hiperbolu y =

x y

0 7

7 0

12 ćemo uzeti nekoliko tačaka, a ako se sećate od ranije, ona će pripadati prvom i trećem x

kvadtantu:

x y

-4 -3

-3 -4

-2 -6

-1 -12

1 12

2 6

3 4

4 3

Sada skiciramo grafik:

6

y

y=

12 x

2

3

7

6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2

-1

0 1 -1

4

-2

5

6

7

x x+y=7

-3 -4 -5 -6

primer 5.

Grafički reši sistem:

y = x2 − 4x + 4 y = − x 2 + 3x − 2 Rešenje: y = x2 − 4x + 4 y = − x 2 + 3x − 2 x 2 − 4 x + 4 = − x 2 + 3x − 2 x2 − 4 x + 4 + x2 − 3x + 2 = 0 3 2 Sad ove vrednosti zamenimo u bilo koju od dve jednačine ( recimo u prvu) : 2 x 2 − 7 x + 6 = 0 → x1 = 2 ∧ x2 =

y = x2 − 4x + 4 3 2 x1 = 2 → y1 = 2 2 − 4 ⋅ 2 + 4 = 0 → (2, 0) x1 = 2 ∧ x2 =

2

3 3 1 3 1 3 x2 = → y2 =   − 4 ⋅ + 4 = → ( , ) 2 2 4 2 4 2 7

Dobili smo tačke preseka. Po već poznatom postupku ispitamo tok dve zadate kvadratne funkcije i skiciramo:

y = x 2 − 4x + 4

y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

(3/2,1/4)

0 1 -1

(2,0)

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

y = − x 2 + 3x − 2

-6


8

KVADRATNA NEJEDNAČINA ZNAK KVADRATNOG TRINOMA Kvadratne nejednačine su oblika: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c ≥ 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c ≤ 0

gde je x-realna promenljiva (nepoznata) i a,b,c su realni brojevi, a ≠ 0. U delu kvadratna funkcija smo analizirali kako može izgledati grafik kvadratne funkcije u zavisnosti od znaka a i D. Podsetimo se: 1) a > 0, D > 0 ⇒ 2) a > 0, D = 0 ⇒ y ≥ 0 uvek 3) a > 0, D < 0 ⇒ y > 0 uvek

4) a < 0, D > 0 ⇒ 5) a < 0, D = 0 ⇒ y ≤ 0 uvek 6) a < 0, D < 0 ⇒ y < 0 uvek Naravno y = ax 2 + bx + c Primer 1) Odrediti znak trinoma: a) b) v) g)

3x 2 − 11x − 4 − 5x 2 − x + 4 9 x 2 + 12 x + 4 − x2 − 6x − 9 Rešenja

a) Najpre rešimo odgovarajuću kvadratnu jednakost: 3x2 –11x –4 =0

1

x1, 2 =

D = b − 4ac D = 121 + 48 D = 169

a=3

2

b = −11 c = −4

− b ± D 11 ± 13 = 2a 6

x1 = 4 x2 = −

2 1 =− 6 3

Pošto je a = 3 > 0 i D = 169 > 0 (prva situacija):

1⎞ ⎛ 3x 2 − 11x − 4 > 0 za x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ ∪ (4, ∞ ) 3⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ 3x 2 − 11x − 4 < 0 za x ∈ ⎜ − ,4 ⎟ ⎝ 3 ⎠ b) − 5 x 2 − x + 4 = 0 → PAZI: nema množenja i deljenja nekim brojem!!! a = −5 b = −1 c=4

1± 9 − 10 x1 = −1 x1, 2 =

D = 1 + 80 D = 81

x2 =

−8 4 = − 10 5

Pošto je a < 0, D > 0 (situacija 4) 4⎞ ⎛ − 5 x 2 − x + 4 > 0 za x ∈ ⎜ − 1, ⎟ 5⎠ ⎝ ⎛4 ⎞ − 5 x 2 − x + 4 < 0 za x ∈ (− ∞,−1) ∪ ⎜ , ∞ ⎟ ⎝5 ⎠ v) 9 x 2 + 12 x + 4 = 0

a=9 b = 12 c=4

− 12 ± 0 18 12 2 x1 = − = − 18 3 2 x2 = − 3 x1, 2 =

D = 144 − 144 D=0

Pošto je a > 0 i D = 0 → 9 x 2 + 12 x + 4 ≥ 0 uvek a ovo vidimo i iz (3x + 2) 2 ≥ 0

2

g) − x 2 − 6 x − 9 a = −1 b = −6 c = −9

6±0 −2 x1 = −3 x1, 2 =

D = 36 − 36 D=0

x 2 = −3

Pošto je a < 0 i D = 0 → − x 2 − 6 x − 9 ≤ 0 uvek, tj za ∀x ∈ R

Ovo vidimo i iz transformacije: − x 2 − 6 x − 9 − ( x 2 − 6 x − 9) = −( x + 3) 2 ≤ 0 Primer 2: Reši nejednačinu: ( x 2 − 4 x − 5) ⋅ ( x 2 + 2 x − 3) < 0 Rešenje: Ovo je složeniji oblik nejednačina, gde možemo upotrebiti i već poznat šablon: A ⋅ B < 0 ⇔ ( A > 0, B < 0) ∨ ( A < 0, B > 0) Naša preporuka je da ovakve zadatke rešavate pomoću tablice!!! Najpre ćemo obe kvadratne jednačine rastaviti na činioce: ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x2 )

x2 − 4x − 5 = 0 ⇒

x1 = −1, pa je x 2 − 4 x − 5 = ( x + 1)( x − 5) x2 = 5

x2 + 2x − 3 = 0 ⇒

x1 = 1

pa je x 2 + 2 x − 3 = ( x − 1)( x + 3)

x 2 = −3 Sada posmatramo nejednačinu:

( x + 1)( x − 5)( x − 1)( x + 3) < 0 Pravimo tablicu:

3

-∞

∞

x+1 x-5 x-1 x+3 (x+1)( x-5) (x-1)(x+3) Dakle, svaki od izraza ide u tablicu, a u zadnjoj vrsti je ‘’ono’’ što nam treba, tj. ceo izraz. Brojevnu pravu (gornja linija od - ∞ do ∞ ćemo podeliti na 5 intervala) Iznad ovih vertikalnih linija ćemo upisati brojeve.(koje?) To brojevi su rešenja kvadratnih jednačina, dakle -1,5,1 i -3 samo ih poredjamo od od najmanjeg do najvećeg:-3,-1,1,5 -3 -1 1 5 -∞ ∞ x+1 x-5 x-1 x+3 (x+1)( x-5)( x-1)(x+3) Dakle biramo bilo koju broj iz svakog od 5 intervala i zamenjujemo u izraze x+1, x-5, x-1 i x+3; ne zanima nas koji broj ispadne već samo njegov znak + ili – koji upisujemo u tablicu.Recimo, u intervalu (-∞,-3) izaberemo broj -10, pa ga menjamo redom: x+1=-10-5=-9 → uzmemo – (upisan u tablicu) x-5=-10-5= -15 → – upišemo u tablicu x-1=-10-11=-11 → + upišemo u tablicu x+3=-10+3=-7 → - upišemo u tablicu Izmedju -3 i -1 izaberemo -2, itd... Dobili smo: -3 -1 -∞ x+1 x-5 x-1 x+3 + (x+1)( x-5)( + x-1)(x+3)

1

5 ∞

+ + +

+ + + -

+ + + + +

Onda sklopimo:

4

→ 4 minusa daju + → 3 minusa i plus daju – → 2 minusa i 2 plusa daju + → 3 plusa i 1 minus daju – → 4 plisa daju + na ovaj način mi smo rešili dve nejednačine: ( x 2 − 4 x − 5)( x 2 + 2 x − 3) < 0 ( x 2 − 4 x − 5)( x 2 + 2 x − 3) > 0

Pošto je naš zadatak da rešimo prvu, ( x 2 − 4 x − 5)( x 2 + 2 x − 3) < 0 , biramo u konačnom rešenju gde su minusi: x ∈ (−3,−1) ∪ (1,5) Primer 3: Rešiti nejednačinu: x 2 − 3x + 4 >0 1− x2 Rešenje: x 2 − 3x + 4 = 0 a =1 b = −3 c=4

D = b 2 − 4ac D = 9 − 16 D = −7

PAZI: pošto je a > 0 i D < 0 onda je x 2 − 3x + 4 > 0 za ∀x !!! Dakle, mora biti 1− x2 > 0

Posmatrajmo kvadratnu jednačinu:

1− x2 = 0

a = −1

D = 0 2 − 4 ⋅ (−1) ⋅1

b=0

D=4

c =1

0±2 −2 x1 = −1 x2 = 1 x1, 2 =

Zaključujemo x ∈ (−1,1)

5

Primer 4: Za koje realne vrednosti x razlomak

− x2 + 2x − 5 manji od -1? 2x2 − x −1

− x2 + 2x − 5 < −1 PAZI: Moramo prebaciti -1 na levu stranu i to ‘’srediti’’ 2x2 − x −1 − x 2 + 2x − 5 +1 < 0 2x 2 − x − 1 − x 2 + 2x − 5 + 2x 2 − x − 1 <0 2x 2 − x − 1 x2 + x − 6 <0 2x 2 − x − 1 Sad tek idemo ''klasično''

x 2 + x − 6 = 0 ⇒ x1 = 2 ⇒ x 2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3) x 2 = −3 2 x 2 − x − 1 = 0 ⇒ x1 = 1

x2 = −

Sada rešavamo:

1 2

1⎞ ⎛ ⇒ 2 x 2 − x − 1 = ( x − 1)⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝

( x − 2)( x + 3) <0 1⎞ ⎛ 2( x − 1)⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝ -∞

x-2 x+3 x-1 1 x+ 2 ( x − 2)( x + 3) <0 1⎞ ⎛ 2( x − 1)⎜ x + ⎟ 2⎠ ⎝

1 2

-3

1

∞

2

-

+ -

+ +

+ + +

+ + + +

+

-

+

-

+

1⎞ ⎛ Rešenje: x ∈ ⎜ − 3, ⎟ ∪ (1,2) 2⎠ ⎝

6

Primer 5: Data je funkcija y = (r 2 − 1) x 2 + 2(r − 1) x + 2 . Odrediti realan parameter r tako da funkcija bude pozitivna za svako realno x y = (r 2 − 1) x 2 + 2(r − 1) x + 2 (r 2 − 1) x 2 + 2(r − 1) x + 2 > 0 Da bi funkcija bila pozitivna mora da je: a>0 i D<0

a = r 2 −1 b = 2(r − 1)

D = b 2 − 4ac

c=2

D = 4(r − 1) 2 − 8(r 2 − 1)

D = [2(r − 1)] − 4(r 2 − 1) ⋅ 2 2

D = 4(r 2 − 2r + 1) − 8r 2 + 8 D = 4r 2 − 8r + 4 − 8r 2 + 8 D = −4r 2 − 8r + 12

− 4r 2 − 8r + 12 < 0 / : (−4)

a>0

r 2 + 2r − 3 > 0 −2±4 r1, 2 = 2 r1 = 1

r 2 −1 > 0

r2 = −3

r ∈ (−∞,−3) ∪ (1, ∞)

r 2 −1 = 0 r1 = −1 r2 = 1

r ∈ (−∞,−1) ∪ (1, ∞)

Upakujmo sad ova dva rešenja:

r ∈ (−∞,−3) ∪ (1, ∞) Konačno rešenje

7

Primer 6: Odrediti sve realne vrednosti parametra r za koje je funkcija y = rx 2 + 2(r + 2) x + 2r + 4 negativna za svako realno x. rx 2 + 2(r + 2) x + 2r + 4 < 0 a<0 i D<0

da bi funkcija bila negativna mora da važi: a=r

D = b 2 − 4ac

b = 2( r + 2)

D = [2(r + 2)] − 4 ⋅ r (2r + 4) 2

c = 2r + 4

D = 4(r + 2) 2 − 4r (2r + 4) D = 4(r 2 + 4r + 4) − 8r 2 − 16r D = 4r 2 + 16r + 16 − 8r − 16r D = −4r 2 + 16

− 4r 2 + 16 < 0 / : (−4) r2 − 4 > 0

a<0

r 1= 2

r<0

r 2 = −2

r ∈ (−∞,−2) ∪ (2, ∞) Upakujmo rešenja:

r ∈ (−∞,−2) konačno rešenje Primer 7: Odrediti k tako da je za svako x ispunjava nejednakost x 2 + kx + 1 <2 x2 + x +1 x 2 + kx + 1 x 2 + kx + 1 < 2 ⇒ − 2 < <2 x2 + x +1 x2 + x +1

Dakle, ovaj zadatak zahteva rešavanje dve nejednačine:

8

1) Rešimo x 2 + kx + 1 x2 + x +1 x 2 + kx + 1 +2>0 x2 + x +1 x 2 + kx + 1 + 2 x 2 + 2 x + 2 >0 x2 + x +1 3x 2 + x(k + 2) + 3 >0 x2 + x +1

−2<

x2 + x +1 = 0 a =1 D = b 2 − 4ac b =1 D = 1− 4 c =1 D = −3 Kako je a > 0 i D < 0 ⇒ x 2 + x + 1 > 0 za ∀x pa ne utiče na razmatranje!!! 3x 2 + x(k + 2) + 3 = 0 ,

da bi 3x 2 + x(k + 2) + 3 > 0 mora biti a > 0, D < 0

a=3

D = (k + 2) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3

b=k +2

D = k 2 + 4k + 4 − 36

c=3

D = k 2 + 4k − 32 k 2 + 4k − 32 < 0 k 2 + 4k − 32 = 0 k1 = 4 k 2 = −8

k ∈ (−8,4) 2) Rešavamo: x 2 + kx + 1 x 2 + kx + 1 < 2 ⇒ −2<0 x2 + x +1 x2 + x + 1 x 2 + kx + 1 − 2 x 2 − 2 x − 2 <0 x2 + x +1 − x 2 + ( k − 2) x − 1 <0 x2 + x +1

9

Kako je x 2 + x + 1 > 0 , to mora biti: − x 2 + (k − 2) x − 1 > 0 /(−1) x 2 − ( k − 2) x + 1 D < 0 ⇒ D = [− (k − 2)]2 − 4

D = k 2 − 4k + 4 − 4 D = k 2 − 4k < 0 k 2 − 4k = 0 ⇒ k1 = 0, k 2 = 4

k ∈ (0,4)

Upakujemo oba rešenja:

Dakle, konačno rešenje je: k ∈ (0,4)

10

EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

Funkcija zadata formulom: y = a x . a ∈ R, a > 0, a ≠ 1 se naziva eksponencijalna funkcija. → Funkcija y = a x je svuda definisana ∀x ∈ R → Za x=0 je y = a o = 1 pa funkcija prolazi kroz tačku (0,1), tj. tu seče y-osu. → Ako je a > 0 funkcija je rastuća → Ako je 0 < a < 1 funkcija je opadajuća → Finkcija y = a x je uvek pozitivna, tj. grafik je iznad x-ose → Važe osnovna svojstva stepena: Za nju: a x+ y = a x ⋅ a y ax ay (a x ) y = a xy a x− y =

( a ⋅ b) x = a x b x x

ax ⎛a⎞ = ⎜ ⎟ bx ⎝b⎠ gde su a > 0 , b > 0 , x, y ∈ R

Primer 1. Nacrtaj grafik funkcije y = 2 x

Rešenje: Iskoristićemo tablicu vrednosti uzećemo proizvoljne x-seve i naći vrednost za y

x y

-3 1 8

-2 1 4

-1 1 2

0 1

1 2

2 4

3 8


1

→ Funkcija je definisana za ∀x ∈ R → Y-osu seče u (0,1) → Pošto je a = 2 > 0 ⇒ rastuća je → Uvek je pozitivna, tj. y > 0 za ∀x ∈ R Primer 2: Nacrtaj grafik funkcije

⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝2⎠

x

x

⎛1⎞ tj. y = ⎜ ⎟ y = 2 − x ⎝2⎠

Rešenje: x y

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1 2

2 1 4

3 1 8

→ Funkcija je definisana za ∀x ∈ R → Y-osu seče u (0,1) 1 a = < 0 ⇒ opadajuća je → Pošto je 2 → Uvek je pozitivna, y > 0 za ∀x ∈ R


2

Primer 3: Nacrtaj grafik funkcije

y = 2x +1

I ovde možemo napraviti tablicu vrednosti: x y

-3 9 8

-2 5 4

-1 3 2

0 2

1 3

2 5

3 9

Ali je lakše da razmišljamo ovako: Nacrtamo grafik y = 2 x pa ga za 1 ‘’podignemo’’ po y-osi (vidi kvadratnu funkciju, slična translacija je i tamo radjena)

Eksponencijalne jednačine

Pošto je eksponencijalna funkcija bijektivno preslikavanje (''1-1'' i ''na'') možemo upotrebljavati: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) Ovo znači da kada na obe strane napravimo iste osnove, osnove kao ‘’skratimo’’ i uporedjujemo eksponente. www.matematiranje.com

3

Evo nekoliko primera: 1) Reši jednačine x +1 x

a) 4 = 2 b) 8 x +1 = 16 ⋅ 2 x − 2 x

1

x

v) 16 x = 4 2 2 g) 16 ⋅ 25 x + 2 = 2 x ⎛ 1 ⎞ d) 9 −3 x = ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

dj) (x 2 + 1)

2 x −3

e) 9 x

2

−3 x + 5

x +3

=1

= 36

Rešenja:

a)

4x = 2

x +1 x

(2 2 ) x = 2 22 x = 2

x +1 x

x +1 x

⇔

Kad napravimo iste osnove njih ‘’skratimo’’!

x +1 x 2 2x = x +1 2x =

2x2 − x −1 = 0 1± 3 x1, 2 = 4 x1 = 1 x2 = −

Rešenja su x1 = 1 i x2 = −

1 2

1 2

b) 8 x +1 = 16 ⋅ 2 x − 2

(23 ) x +1 = 2 4 ⋅ 2 x − 2 23 x + 3 = 2 4+ x − 2 23 x + 3 = 2 x + 2 3x + 3 = x + 2 3x − x = 2 − 3 2 x = −1 1 x=− 2


4

v)

1

4 =x x x2 = 4

x

16 x = 4 2 1

x

(2 4 ) x = (2 2 ) 2 2

4⋅

1 x

=2

2⋅

x=± 4 x1 = 2

x 2

4

x 2 = −2

2 x = 2x

g) 16 ⋅ 25 x + 2 = 2 x 2

2 4 ⋅ 25 x + 2 = 2 x 2 4+ 5 x + 2 = 2 x 25 x + 6 = 2 x

2

2

2

x2 = 5x + 6 x2 − 5x − 6 = 0 5 ±1 x1,2 = 2 x1 = 3 x2 = 2

d)

x +3

⎛ 1 ⎞ 9 −3 x = ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠ 2 −3 x (3 ) = (3−3 ) x +3 3− 6 x = 3− 3 x − 9

(

Pazi: 1 1 = 3 = 3− 3 27 3

− 6 x = −3 x − 9 − 6 x + 3 x = −9 − 3 x = −9 x=3

)

đ) x 2 + 1

2 x −3

=1 Pošto znamo da je a o = 1 , jedno rešenje će nam dati 2x − 3 = 0 2x = 3 3 x= 2 Drugo rešenje će biti ako je x2 +1 = 1 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 jer važi a f ( x ) = b f ( x ) ⇔ a = b tj. ( x 2 + 1) 2 x −3 = 12 x −3 pa je x 2 + 1 = 1 e) 9 x 2 −3 x + 5 = 36

(32 ) x 32 x

2

2

−3 x + 5

− 6 x +10

= 36

= 36


5

2 x 2 − 6 x + 10 = 6 2x2 − 6x + 4 = 0 / : 2 x 2 − 3x + 2 = 0 3 ±1 x1, 2 = 2 x1 = 2 x2 = 1 2) Rešiti jednačine:

a) b) v) g) d)

2 x +3 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0 3 x −1 − 4 ⋅ 3x + 33 = 0 2 ⋅ 3 x +1 − 4 ⋅ 3 x − 2 = 450 23 x − 2 − 23 x −3 − 23 x − 4 = 16 2 x −1 − 2 x −3 = 3x − 2 − 3 x −3 Rešenja:

Ovde ćemo koristiti pravila za stepene: a m+n = a m ⋅ a n a m−n =

(a )

m n

am an

= a m ⋅n

a) 2 x + 3 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0 2 x ⋅ 23 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0 → Najbolje da uzmemo smenu 2 x = t t ⋅ 8 − 7 ⋅ t − 16 = 0 8t − 7t = 16 t = 16 → Vratimo se u smenu 2 x = 16

2 x = 24 x=4 b) 3 x −1 − 4 ⋅ 3 x + 33 = 0 3x − 4 ⋅ 3 x + 33 = 0 → Smena 3 x = t 3 www.matematiranje.com

6

t − 4t + 33 = 0 → Pomnožimo sve sa 3 3 t − 12t + 99 = 0 − 11t = −99

t =9 3x = 9 3 x = 32 x=2 v) 2 ⋅ 3 x +1 − 4 ⋅ 3 x − 2 = 450 3x 2 ⋅ 3 x ⋅ 31 − 4 2 = 450 → Smena 3 x = t 3 t 6 ⋅ t − 4 = 450 9 4t 6t − = 450 → Pomnožimo sve sa 9 9 54t − 4t = 4050 50t = 4050 4050 t= 50 t = 81 3 x = 81 → pazi 81=3·3·3·3= 34 3 x = 34

x=4 g) 23 x − 2 − 23 x −3 − 23 x − 4 = 16 23 x 23 x 23 x − 3 − 4 = 16 → smena 23 x = t 2 2 2 2 t t t − − = 16 → sve pomnožimo sa 16 4 8 16 4t − 2t − t = 256 t = 256 2 3 x = 28 3x = 8 x=

8 3

d) 2 x −1 − 2 x −3 = 3 x − 2 − 3 x −3 2 x 2 x 3x 3x − = − 2 23 32 33

7

2 x 2 x 3x 3x − = − → zajednički za levu stranu je 8 a za desnu 27 2 8 9 27 4 ⋅ 2 x − 2 x 3 ⋅ 3x − 3x = 8 27 x x 3⋅ 2 2⋅3 = → Pomnožimo unakrsno 8 27 3 ⋅ 2 x ⋅ 27 = 2 ⋅ 3 x ⋅ 8

2 x ⋅ 81 = 3 x ⋅ 16 / podelimo sa 3 x I sa 81 2 x 16 = 3 x 81 x

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ x=4

4

A mogli smo da razmišljamo i ovako: 2 x ⋅ 81 = 3 x ⋅16 2 x ⋅ 34 = 3 x ⋅ 2 4 Očigledno je x = 4 3) Reši jednačine:

a) 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 → Pošto je 4 x = (2 2 ) x = 2 2 x uzećemo smenu 2 x = t pa će onda biti t 2 − 5t + 4 = 0 5±3 t1,2 = 2 t1 = 4

4x = t 2

t2 = 1 Vratimo se sad u smenu: 2x = 4

2x = 1 2 x = 2 2 ili x=0 x=2 www.matematiranje.com

8

b) 16 x − 4 x − 2 = 0 → smena je 4 x = t pa je 16 x = 4 2 x = t 2 t2 − t − 2 = 0 1± 3 t1, 2 = 2 t1 = 2 t 2 = −1

4 =2 x

2 2 x = 21 x x 2 x = 1 ili 4 = −1 ovde nema rešenja jer je y = a uvek pozitivna!!! 1 x= 2 v) 5 x − 53− x = 20 53 5 x − x = 20 → smena 5 x = t 5 125 t− = 20 → celu jednačinu pomnožimo sa t t t 2 − 125 = 20t t 2 − 20t − 125 = 0 20 ± 30 t1, 2 = 2 t1 = 25 t 2 = −5 Pa je 5 x = 25

ili 5 x = −5 Nema rešenja

5 x = 52 x=2

g) 52 x −3 = 2 ⋅ 5 x − 2 + 3 52 x 5x = 2 ⋅ + 3 → smena 5 x = t 53 52 t2 2t = + 3 → sve pomnožimo sa 125 125 25 www.matematiranje.com

9

t 2 = 10t + 375 t 2 − 10t − 375 = 0 10 ± 40 t1, 2 = 2 t1 = 25 t 2 = −15 Vratimo se u smenu: 5 x = 25 ili 5 x = −15 nema rešenja 5 x > 0

5 x = 52 x=2

d) (11x − 11) 2 = 11x + 99 → Ovde ćemo odmah uzeti smenu 11x = t (t − 11) 2 = t + 99 t 2 − 22t + 121 − t − 99 = 0 t 2 − 23t + 22 = 0 23 ± 21 t1, 2 = 2 t1 = 22 t2 = 1 Vratimo se u smenu: 11x = 22 11x = 1 ili x = log11 22 x=0 4) Rešiti jednačine:

a) 4

x−2

b) 4 x +

+ 16 = 10 ⋅ 2

x2 −2

− 5* 2 x

x−2

x −1+ x 2 − 2

=6 x

v) ⎛⎜ 2 + 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 − 3 ⎞⎟ = 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Rešenja a) Najpre odredimo oblast definisanosti, pošto je u zadatku data korena funkcija, to je x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 www.matematiranje.com

10

x−2

Uzećemo smenu 2

=t⇒4

x−2

= t2

t 2 + 16 = 10t t 2 − 10t + 16 = 0 10 ± 6 t1, 2 = 2 t1 = 8 t2 = 2 Vratimo se u smenu x −2

2

=8

ili

x −2

= 23 x − 2 = 3 → kvadriramo x−2 =9

2

x = 11

2

x −2

=2

x − 2 =1 x − 2 =1 x=3

Kako za oba rešenja važi x ≥ 2 to su oba rešenja ‘’dobra’’ b)

4x+

x2 − 2

(22 ) x + 2

− 5⋅ 2

x2 − 2

2( x + x 2 − 2 )

x −1+ x 2 −2

− 5⋅ 2

− 5⋅

Smena 2 x +

2

x2 − 2

=6

x + x 2 −2 −1

=6

x + x 2 −2

21 =t

=6

5t = 6 pomnožimo sa 2 2 2t 2 − 5t − 12 = 0

t2 −

t1, 2 =

5 ± 121 5 ± 11 = 4 4

t1 = 4 t2 = −

6 3 =− 4 2

Vratimo se u smenu: www.matematiranje.com

11

2 x+ 2 x+

x2 −2 2

x −2

=4 = 22

x + x2 − 2 = 2

x2 − 2 ≥ 0 x 2 − 2 = 2 − x → uslovi 2 − x ≥ 0 pa je − x ≥ −2 tj x ≤ 2 i x ∈ ( −∞, − 2) ∪ ( 2, ∞ ) x 2 − 2 = (2 − x) 2 x2 − 2 = 4 − 4x + x2 4x = 4 + 2 4x = 6 6 3 x = = = 1,5 4 2 x = 1,5 → Zadovoljava uslove x

x

b) ⎛⎜ 2 + 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 − 3 ⎞⎟ = 4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ pogledajmo prvo jednu stvar: 2

2 − 3 2 + 3 22 − 3 4−3 1 ⋅ = 2− 3 = = = 1 2+ 3 2+ 3 2+ 3 2+ 3 Dakle, zadatak možemo zapisati i ovako:

1

x

⎛⎜ 2 + 3 ⎞⎟ + ⎝ ⎠

2+ 3

x

=4

x

smena 2 + 3 = t 1 t + = 4 → pomnožimo sve sa t t 2 t + 1 = 4t

t 2 − 4t + 1 = 0

(

)

4 ± 12 4 ± 2 3 4 ± 3 2 2 ± 3 = = = = 2± 3 2 2 2 2 t1 = 2 + 3

t1, 2 =

t2 = 2 − 3 Vratimo se u smenu: x

2 + 3 = t , dakle x

2 + 3 = 2 + 3 ili

x

2+ 3 = 2− 3 www.matematiranje.com

12

x

n

Kako važi

m

a n = a m tj.

2

(2 + 3 )

x 2

(2 + 3 ) = (2 + 3 ) x 2

ax = a2

1

=

1 2+ 3

(2 + 3 ) = (2 + 3 ) x 2

x =1 2 x=2

−1

x = −1 2 x = −2

5) Reši jednačine:

a) 20 x − 6 ⋅ 5 x + 10 x = 0 b) 6 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 6 ⋅ 4 x = 0 a) 20 x − 6 ⋅ 5 x + 10 x = 0 → iskoristićemo da je (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n (5 ⋅ 4) x − 6 ⋅ 5 x + (5 ⋅ 2) x = 0 5 x ⋅ 4 x − 6 ⋅ 5 x + 5 x ⋅ 2 x = 0 → izvucimo 5 x kao zajednički!!! 5 x (4 x − 6 + 2 x ) = 0 ∨ 5x = 0 4x + 2x − 6 = 0 t2 + t − 6 = 0 −1 ± 5 t1, 2 = 2 2 = t1

t 2 = −3 pa je

2x = 2

∨

x =1

2 x = −3 nema rešenja

b) 6 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 6 ⋅ 4 x = 0 6 ⋅ 32 x − 13 ⋅ 3 x ⋅ 2 x + 6 ⋅ 2 2 x = 0 → celu jednačinu podelimo sa 2 2 x 32 x 3x 6 ⋅ 2 x − 13 ⋅ x + 6 = 0 2 2 2x

x

⎛3⎞ ⎛3⎞ 6 ⋅ ⎜ ⎟ − 13 ⋅ ⎜ ⎟ + 6 = 0 ⎝2⎠ ⎝2⎠ x

⎛3⎞ Smena: ⎜ ⎟ = t ⎝2⎠ www.matematiranje.com

13

6t 2 − 13t + 6 = 0 13 ± 5 12 18 3 t1 = = 12 2 8 2 t2 = = 12 3 t1, 2 =

x

3 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = 2 ⎝2⎠ x =1

x

ili

2 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = 3 ⎝2⎠ x

⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ x = −1

−1

6) Grafički rešiti sledeće jednačine

a) 2 x − 5 +

x x = 0 b) 3 x − − 8 = 0 2 2

a) Najpre ćemo razdvojiti funkcije, eksponencijalnu na levu a ostalo na desnu stranu: x 2x = 5 − 2 x Nacrtaćemo funkcije y = 2 x i y = − + 5 i njihov presek će nam dati rešenje. 2 y = 2x x y

-3 1 8

-2 1 4

-1 1 2

0 1

1 2

2 4

3 8

x y = − +5 2 x y

0 5

10 0

2 4

Na grafiku bi to izgledalo ovako: www.matematiranje.com

14

Rešenje je x = 2 b) 3 x −

x −8 = 0 2 3x =

x +8 2 y = 3x

x y

-3 1 27

-2 1 9

-1 1 3

0 1

y= x y

0 8

1 3

2 9

3 27

x +8 2 -16 0

2 9

Na grafiku bi bilo: www.matematiranje.com

15

Dakle, rešenje je x = 2 . Da li ovde ima još jedno rešenje? DA, Ali njega teško možemo naći baš precizno....(naučićemo kasnije i to) Eksponencijalne nejednačine

Na osnovu monotonosti (rašćenje i opadanje) za eksponencijalne funkcije važi: 1) za a > 1 je a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) 2) za 0 < a < 1 je a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) Znači, kad je osnova veća od jedan znak nejednakosti prepisujemo, a ako je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće. Primeri: 1. Rešiti nejednačine: a) 5−7 x +3 > 5−3 b) 0,35 x −1 < 0,352 x + 2 2

c) 2 x −3 > 2 d) 2 x < 7 x

16

a) 5−7 x +3 > 5−3 → pošto je osnova 5 > 1 znak prepisujemo!!! −7 x + 3 > −3 −7 x > −3 − 3 −7 x > −6 6 x< 7 b) 0,35 x −1 < 0,352 x + 2 → pazi osnova je 0,35 a 0 < 0,35 < 1 , pa okrećemo znak!!! x −1 > 2x + 2 x − 2x > 2 +1 −x>3 x < −3 v) 2 x 2 −3 > 2

2x

2

−3

> 21

x2 − 3 > 1 x2 − 4 > 0 x1, 2 =

−0±2 2

x1 = 2 x2 = −2 g) 2 x < 7 x

2x <1 7x x

⎛2⎞ ⎜ ⎟ <1 ⎝7⎠ x

o

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ → pošto je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće ⎝7⎠ ⎝7⎠ x >0 2) Rešiti nejednačine: a) 5 2 x +1 > 5 x + 4 b) 25 x < 6 ⋅ 5 x − 5

v)

9 x − 3x+2 > 3x − 9 www.matematiranje.com

17

a) 52 x +1 > 5 x + 4 52 x ⋅ 51 − 5 x − 4 > 0 → smena 5 x = t t2 ⋅5 − t − 4 > 0 5t 2 − t − 4 = 0 1± 9 t1,2 = 10 t1 = 1 t2 = −

4 5

4 t ∈ (−∞, − ) ∪ (1, ∞) 5 vratimo se u smenu: 4 ili 5 nema rešenja 5x = −

5x = 1 x = 0 → x ∈ (0, ∞)

sad se interval t ∈ (1, ∞) transformiše u x ∈ (0, ∞) b) 25 x < 6 ⋅ 5 x − 5 52 x − 6 ⋅ 5 x + 5 < 0 → smena 5x = t t 2 − 6t + 5 < 0 6±4 t1, 2 = 2 t1 = 5 t2 = 1 Znači t ∈ (1,5), vratimo se u smenu 5x = 1 x=0

ili

5x = 1 x =1

Tako da je sada konačno rešenje x ∈ (0,1) www.matematiranje.com

18

v)

9 x − 3 x ⋅ 32 > 3 x − 9 32 x − 3 x ⋅ 9 > 3 x − 9 → smena 3 x = t t 2 − 9t > t − 9 (vidi iracionalne nejednačine)

[t

− 9t ≥ 0 ∧ t − 9 < 0 9±9 t1, 2 = 2 t1 = 0 t <9 2

]

t2 = 9

∨

[t

2

− 9t ≥ (t − 9) 2 ∧ t − 9 ≥ 0

t 2 − 9t > t 2 − 18t + 81 − 9t + 18t > 81 9t > 81 t >9 Znači t > 9

]

t ≥9

3x > 9

t ∈ (− ∞,0] ∪ [9, ∞ ) Ova dva uslova daju t ∈ (− ∞,0] ovaj interval ‘’ne radi’’ jer je 3x = t

3x > 32 x>2 Konačno rešenje


19

IRACIONALNE NEJEDNAČINE

Kao i jednačine i iracionalne nejednačine se rešavaju upotrebom ekvivalencija. Razlikovaćemo dve situacije:

P( x) < Q( x) je ekvivalentno sa:

1)

P ( x) > 0 ∧ Q ( x) ≥ 0 ∧ P ( x) < Q 2 ( x) 2)

P( x) > Q( x) je ekvivalentno sa::

[P( x) ≥ 0 ∧ Q( x) < 0] ∨ [P( x) > Q 2 ( x) ∧ Q( x) ≥ 0]

Primer 1:

x+6 < x−6

Postavljamo ekvivalenciju: x + 6 > 0 ∧ x − 6 ≥ 0 ∧ x + 6 < ( x − 6) 2 x > −6 ∧ x ≥ 6 ∧ x + 6 < x 2 − 12 x + 36 0 < x 2 − 12 x + 36 − x − 6 0 < x 2 − 13 x + 30 x 2 − 13x + 30 = 0 13 ± 169 − 120 13 ± 7 = 2 2 x1 = 10 x1, 2 =

x2 = 3 “ Kvadratni trinom ima znak broja a ( kod nas a=1) svuda osim izmedju nula(rešenja) Ovde je dakle rešenje: x ∈ ( −∞,3) ∪ (10, ∞ ) Kad rešimo sve tri nejednačine ‘upakujemo rešenje`: Konačno je:

Presek sva tri rešenja je: x ∈ (10, ∞ )

1

x + 7 > 2x −1

Primer 2:

Postavljamo ekvivalenciju:

[x + 7 ≥ 0 ∧ 2 x − 1 < 0]

∨

x ≥ −7 ∧ 2 x < 1 x<

∧ 2x −1 ≥ 0

]

∧x≥

4x2 − 4x +1− x − 7 < 0

1 2

4x2 − 5x − 6 < 0 o

o

1⎤ ⎡ ⎢⎣ x ≥ −7 ∧ x < 2 ⎥⎦

2

x + 7 > 4x2 − 4x +1

1 2

-7

[x + 7 > (2 x − 1)

1 _ 2 1⎞ ⎡ x ∈ ⎢ − 7, ⎟ 2⎠ ⎣

x1, 2 =

5 ± 11 8

x1 = 2 x1 = −

6 3 =− 8 4

3 x ∈ (− ,2) 4

⎡ ⎛ 3 ⎞ 1⎤ ⎢ x ∈ ⎜ − 4 ,2 ⎟ ∧ x ≥ 2 ⎥ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦

1 x ∈ [ , 2) 2

Konačno rešenje je: 1 1 x ∈ [−7, ) ∪ [ ,2) 2 2 x ∈ [−7,2)

2

EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE, JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

Funkcija zadata formulom: y = a x . a ∈ R, a > 0, a ≠ 1 se naziva eksponencijalna funkcija. → Funkcija y = a x je svuda definisana ∀x ∈ R → Za x=0 je y = a o = 1 pa funkcija prolazi kroz tačku (0,1), tj. tu seče y-osu. → Ako je a > 0 funkcija je rastuća → Ako je 0 < a < 1 funkcija je opadajuća → Finkcija y = a x je uvek pozitivna, tj. grafik je iznad x-ose → Važe osnovna svojstva stepena: Za nju: a x+ y = a x ⋅ a y ax ay (a x ) y = a xy a x− y =

( a ⋅ b) x = a x b x x

ax ⎛a⎞ = ⎜ ⎟ bx ⎝b⎠ gde su a > 0 , b > 0 , x, y ∈ R

Primer 1. Nacrtaj grafik funkcije y = 2 x

Rešenje: Iskoristićemo tablicu vrednosti uzećemo proizvoljne x-seve i naći vrednost za y

x y

-3 1 8

-2 1 4

-1 1 2

0 1

1 2

2 4

3 8


1

→ Funkcija je definisana za ∀x ∈ R → Y-osu seče u (0,1) → Pošto je a = 2 > 0 ⇒ rastuća je → Uvek je pozitivna, tj. y > 0 za ∀x ∈ R Primer 2: Nacrtaj grafik funkcije

⎛1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝2⎠

x

x

⎛1⎞ tj. y = ⎜ ⎟ y = 2 − x ⎝2⎠

Rešenje: x y

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1 2

2 1 4

3 1 8

→ Funkcija je definisana za ∀x ∈ R → Y-osu seče u (0,1) 1 a = < 0 ⇒ opadajuća je → Pošto je 2 → Uvek je pozitivna, y > 0 za ∀x ∈ R


2

Primer 3: Nacrtaj grafik funkcije

y = 2x +1

I ovde možemo napraviti tablicu vrednosti: x y

-3 9 8

-2 5 4

-1 3 2

0 2

1 3

2 5

3 9

Ali je lakše da razmišljamo ovako: Nacrtamo grafik y = 2 x pa ga za 1 ‘’podignemo’’ po y-osi (vidi kvadratnu funkciju, slična translacija je i tamo radjena)

Eksponencijalne jednačine

Pošto je eksponencijalna funkcija bijektivno preslikavanje (''1-1'' i ''na'') možemo upotrebljavati: a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) Ovo znači da kada na obe strane napravimo iste osnove, osnove kao ‘’skratimo’’ i uporedjujemo eksponente. www.matematiranje.com

3

Evo nekoliko primera: 1) Reši jednačine x +1 x

a) 4 = 2 b) 8 x +1 = 16 ⋅ 2 x − 2 x

1

x

v) 16 x = 4 2 2 g) 16 ⋅ 25 x + 2 = 2 x ⎛ 1 ⎞ d) 9 −3 x = ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

dj) (x 2 + 1)

2 x −3

e) 9 x

2

−3 x + 5

x +3

=1

= 36

Rešenja:

a)

4x = 2

x +1 x

(2 2 ) x = 2 22 x = 2

x +1 x

x +1 x

⇔

Kad napravimo iste osnove njih ‘’skratimo’’!

x +1 x 2 2x = x +1 2x =

2x2 − x −1 = 0 1± 3 x1, 2 = 4 x1 = 1 x2 = −

Rešenja su x1 = 1 i x2 = −

1 2

1 2

b) 8 x +1 = 16 ⋅ 2 x − 2

(23 ) x +1 = 2 4 ⋅ 2 x − 2 23 x + 3 = 2 4+ x − 2 23 x + 3 = 2 x + 2 3x + 3 = x + 2 3x − x = 2 − 3 2 x = −1 1 x=− 2


4

v)

1

4 =x x x2 = 4

x

16 x = 4 2 1

x

(2 4 ) x = (2 2 ) 2 2

4⋅

1 x

=2

2⋅

x=± 4 x1 = 2

x 2

4

x 2 = −2

2 x = 2x

g) 16 ⋅ 25 x + 2 = 2 x 2

2 4 ⋅ 25 x + 2 = 2 x 2 4+ 5 x + 2 = 2 x 25 x + 6 = 2 x

2

2

2

x2 = 5x + 6 x2 − 5x − 6 = 0 5 ±1 x1,2 = 2 x1 = 3 x2 = 2

d)

x +3

⎛ 1 ⎞ 9 −3 x = ⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠ 2 −3 x (3 ) = (3−3 ) x +3 3− 6 x = 3− 3 x − 9

(

Pazi: 1 1 = 3 = 3− 3 27 3

− 6 x = −3 x − 9 − 6 x + 3 x = −9 − 3 x = −9 x=3

)

đ) x 2 + 1

2 x −3

=1 Pošto znamo da je a o = 1 , jedno rešenje će nam dati 2x − 3 = 0 2x = 3 3 x= 2 Drugo rešenje će biti ako je x2 +1 = 1 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 jer važi a f ( x ) = b f ( x ) ⇔ a = b tj. ( x 2 + 1) 2 x −3 = 12 x −3 pa je x 2 + 1 = 1 e) 9 x 2 −3 x + 5 = 36

(32 ) x 32 x

2

2

−3 x + 5

− 6 x +10

= 36

= 36


5

2 x 2 − 6 x + 10 = 6 2x2 − 6x + 4 = 0 / : 2 x 2 − 3x + 2 = 0 3 ±1 x1, 2 = 2 x1 = 2 x2 = 1 2) Rešiti jednačine:

a) b) v) g) d)

2 x +3 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0 3 x −1 − 4 ⋅ 3x + 33 = 0 2 ⋅ 3 x +1 − 4 ⋅ 3 x − 2 = 450 23 x − 2 − 23 x −3 − 23 x − 4 = 16 2 x −1 − 2 x −3 = 3x − 2 − 3 x −3 Rešenja:

Ovde ćemo koristiti pravila za stepene: a m+n = a m ⋅ a n a m−n =

(a )

m n

am an

= a m ⋅n

a) 2 x + 3 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0 2 x ⋅ 23 − 7 ⋅ 2 x − 16 = 0 → Najbolje da uzmemo smenu 2 x = t t ⋅ 8 − 7 ⋅ t − 16 = 0 8t − 7t = 16 t = 16 → Vratimo se u smenu 2 x = 16

2 x = 24 x=4 b) 3 x −1 − 4 ⋅ 3 x + 33 = 0 3x − 4 ⋅ 3 x + 33 = 0 → Smena 3 x = t 3 www.matematiranje.com

6

t − 4t + 33 = 0 → Pomnožimo sve sa 3 3 t − 12t + 99 = 0 − 11t = −99

t =9 3x = 9 3 x = 32 x=2 v) 2 ⋅ 3 x +1 − 4 ⋅ 3 x − 2 = 450 3x 2 ⋅ 3 x ⋅ 31 − 4 2 = 450 → Smena 3 x = t 3 t 6 ⋅ t − 4 = 450 9 4t 6t − = 450 → Pomnožimo sve sa 9 9 54t − 4t = 4050 50t = 4050 4050 t= 50 t = 81 3 x = 81 → pazi 81=3·3·3·3= 34 3 x = 34

x=4 g) 23 x − 2 − 23 x −3 − 23 x − 4 = 16 23 x 23 x 23 x − 3 − 4 = 16 → smena 23 x = t 2 2 2 2 t t t − − = 16 → sve pomnožimo sa 16 4 8 16 4t − 2t − t = 256 t = 256 2 3 x = 28 3x = 8 x=

8 3

d) 2 x −1 − 2 x −3 = 3 x − 2 − 3 x −3 2 x 2 x 3x 3x − = − 2 23 32 33

7

2 x 2 x 3x 3x − = − → zajednički za levu stranu je 8 a za desnu 27 2 8 9 27 4 ⋅ 2 x − 2 x 3 ⋅ 3x − 3x = 8 27 x x 3⋅ 2 2⋅3 = → Pomnožimo unakrsno 8 27 3 ⋅ 2 x ⋅ 27 = 2 ⋅ 3 x ⋅ 8

2 x ⋅ 81 = 3 x ⋅ 16 / podelimo sa 3 x I sa 81 2 x 16 = 3 x 81 x

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ x=4

4

A mogli smo da razmišljamo i ovako: 2 x ⋅ 81 = 3 x ⋅16 2 x ⋅ 34 = 3 x ⋅ 2 4 Očigledno je x = 4 3) Reši jednačine:

a) 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 → Pošto je 4 x = (2 2 ) x = 2 2 x uzećemo smenu 2 x = t pa će onda biti t 2 − 5t + 4 = 0 5±3 t1,2 = 2 t1 = 4

4x = t 2

t2 = 1 Vratimo se sad u smenu: 2x = 4

2x = 1 2 x = 2 2 ili x=0 x=2 www.matematiranje.com

8

b) 16 x − 4 x − 2 = 0 → smena je 4 x = t pa je 16 x = 4 2 x = t 2 t2 − t − 2 = 0 1± 3 t1, 2 = 2 t1 = 2 t 2 = −1

4 =2 x

2 2 x = 21 x x 2 x = 1 ili 4 = −1 ovde nema rešenja jer je y = a uvek pozitivna!!! 1 x= 2 v) 5 x − 53− x = 20 53 5 x − x = 20 → smena 5 x = t 5 125 t− = 20 → celu jednačinu pomnožimo sa t t t 2 − 125 = 20t t 2 − 20t − 125 = 0 20 ± 30 t1, 2 = 2 t1 = 25 t 2 = −5 Pa je 5 x = 25

ili 5 x = −5 Nema rešenja

5 x = 52 x=2

g) 52 x −3 = 2 ⋅ 5 x − 2 + 3 52 x 5x = 2 ⋅ + 3 → smena 5 x = t 53 52 t2 2t = + 3 → sve pomnožimo sa 125 125 25 www.matematiranje.com

9

t 2 = 10t + 375 t 2 − 10t − 375 = 0 10 ± 40 t1, 2 = 2 t1 = 25 t 2 = −15 Vratimo se u smenu: 5 x = 25 ili 5 x = −15 nema rešenja 5 x > 0

5 x = 52 x=2

d) (11x − 11) 2 = 11x + 99 → Ovde ćemo odmah uzeti smenu 11x = t (t − 11) 2 = t + 99 t 2 − 22t + 121 − t − 99 = 0 t 2 − 23t + 22 = 0 23 ± 21 t1, 2 = 2 t1 = 22 t2 = 1 Vratimo se u smenu: 11x = 22 11x = 1 ili x = log11 22 x=0 4) Rešiti jednačine:

a) 4

x−2

b) 4 x +

+ 16 = 10 ⋅ 2

x2 −2

− 5* 2 x

x−2

x −1+ x 2 − 2

=6 x

v) ⎛⎜ 2 + 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 − 3 ⎞⎟ = 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Rešenja a) Najpre odredimo oblast definisanosti, pošto je u zadatku data korena funkcija, to je x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 www.matematiranje.com

10

x−2

Uzećemo smenu 2

=t⇒4

x−2

= t2

t 2 + 16 = 10t t 2 − 10t + 16 = 0 10 ± 6 t1, 2 = 2 t1 = 8 t2 = 2 Vratimo se u smenu x −2

2

=8

ili

x −2

= 23 x − 2 = 3 → kvadriramo x−2 =9

2

x = 11

2

x −2

=2

x − 2 =1 x − 2 =1 x=3

Kako za oba rešenja važi x ≥ 2 to su oba rešenja ‘’dobra’’ b)

4x+

x2 − 2

(22 ) x + 2

− 5⋅ 2

x2 − 2

2( x + x 2 − 2 )

x −1+ x 2 −2

− 5⋅ 2

− 5⋅

Smena 2 x +

2

x2 − 2

=6

x + x 2 −2 −1

=6

x + x 2 −2

21 =t

=6

5t = 6 pomnožimo sa 2 2 2t 2 − 5t − 12 = 0

t2 −

t1, 2 =

5 ± 121 5 ± 11 = 4 4

t1 = 4 t2 = −

6 3 =− 4 2

Vratimo se u smenu: www.matematiranje.com

11

2 x+ 2 x+

x2 −2 2

x −2

=4 = 22

x + x2 − 2 = 2

x2 − 2 ≥ 0 x 2 − 2 = 2 − x → uslovi 2 − x ≥ 0 pa je − x ≥ −2 tj x ≤ 2 i x ∈ ( −∞, − 2) ∪ ( 2, ∞ ) x 2 − 2 = (2 − x) 2 x2 − 2 = 4 − 4x + x2 4x = 4 + 2 4x = 6 6 3 x = = = 1,5 4 2 x = 1,5 → Zadovoljava uslove x

x

b) ⎛⎜ 2 + 3 ⎞⎟ + ⎛⎜ 2 − 3 ⎞⎟ = 4 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ pogledajmo prvo jednu stvar: 2

2 − 3 2 + 3 22 − 3 4−3 1 ⋅ = 2− 3 = = = 1 2+ 3 2+ 3 2+ 3 2+ 3 Dakle, zadatak možemo zapisati i ovako:

1

x

⎛⎜ 2 + 3 ⎞⎟ + ⎝ ⎠

2+ 3

x

=4

x

smena 2 + 3 = t 1 t + = 4 → pomnožimo sve sa t t 2 t + 1 = 4t

t 2 − 4t + 1 = 0

(

)

4 ± 12 4 ± 2 3 4 ± 3 2 2 ± 3 = = = = 2± 3 2 2 2 2 t1 = 2 + 3

t1, 2 =

t2 = 2 − 3 Vratimo se u smenu: x

2 + 3 = t , dakle x

2 + 3 = 2 + 3 ili

x

2+ 3 = 2− 3 www.matematiranje.com

12

x

n

Kako važi

m

a n = a m tj.

2

(2 + 3 )

x 2

(2 + 3 ) = (2 + 3 ) x 2

ax = a2

1

=

1 2+ 3

(2 + 3 ) = (2 + 3 ) x 2

x =1 2 x=2

−1

x = −1 2 x = −2

5) Reši jednačine:

a) 20 x − 6 ⋅ 5 x + 10 x = 0 b) 6 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 6 ⋅ 4 x = 0 a) 20 x − 6 ⋅ 5 x + 10 x = 0 → iskoristićemo da je (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n (5 ⋅ 4) x − 6 ⋅ 5 x + (5 ⋅ 2) x = 0 5 x ⋅ 4 x − 6 ⋅ 5 x + 5 x ⋅ 2 x = 0 → izvucimo 5 x kao zajednički!!! 5 x (4 x − 6 + 2 x ) = 0 ∨ 5x = 0 4x + 2x − 6 = 0 t2 + t − 6 = 0 −1 ± 5 t1, 2 = 2 2 = t1

t 2 = −3 pa je

2x = 2

∨

x =1


b) 6 ⋅ 9 x − 13 ⋅ 6 x + 6 ⋅ 4 x = 0 6 ⋅ 32 x − 13 ⋅ 3 x ⋅ 2 x + 6 ⋅ 2 2 x = 0 → celu jednačinu podelimo sa 2 2 x 32 x 3x 6 ⋅ 2 x − 13 ⋅ x + 6 = 0 2 2 2x

x

⎛3⎞ ⎛3⎞ 6 ⋅ ⎜ ⎟ − 13 ⋅ ⎜ ⎟ + 6 = 0 ⎝2⎠ ⎝2⎠ x

⎛3⎞ Smena: ⎜ ⎟ = t ⎝2⎠ www.matematiranje.com

13

6t 2 − 13t + 6 = 0 13 ± 5 12 18 3 t1 = = 12 2 8 2 t2 = = 12 3 t1, 2 =

x

3 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = 2 ⎝2⎠ x =1

x

ili

2 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = 3 ⎝2⎠ x

⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ x = −1

−1

6) Grafički rešiti sledeće jednačine

a) 2 x − 5 +

x x = 0 b) 3 x − − 8 = 0 2 2

a) Najpre ćemo razdvojiti funkcije, eksponencijalnu na levu a ostalo na desnu stranu: x 2x = 5 − 2 x Nacrtaćemo funkcije y = 2 x i y = − + 5 i njihov presek će nam dati rešenje. 2 y = 2x x y

-3 1 8

-2 1 4

-1 1 2

0 1

1 2

2 4

3 8

x y = − +5 2 x y

0 5

10 0

2 4

Na grafiku bi to izgledalo ovako: www.matematiranje.com

14

Rešenje je x = 2 b) 3 x −

x −8 = 0 2 3x =

x +8 2 y = 3x

x y

-3 1 27

-2 1 9

-1 1 3

0 1

y= x y

0 8

1 3

2 9

3 27

x +8 2 -16 0

2 9

Na grafiku bi bilo: www.matematiranje.com

15

Dakle, rešenje je x = 2 . Da li ovde ima još jedno rešenje? DA, Ali njega teško možemo naći baš precizno....(naučićemo kasnije i to) Eksponencijalne nejednačine

Na osnovu monotonosti (rašćenje i opadanje) za eksponencijalne funkcije važi: 1) za a > 1 je a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x) 2) za 0 < a < 1 je a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x) Znači, kad je osnova veća od jedan znak nejednakosti prepisujemo, a ako je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće. Primeri: 1. Rešiti nejednačine: a) 5−7 x +3 > 5−3 b) 0,35 x −1 < 0,352 x + 2 2

c) 2 x −3 > 2 d) 2 x < 7 x

16

a) 5−7 x +3 > 5−3 → pošto je osnova 5 > 1 znak prepisujemo!!! −7 x + 3 > −3 −7 x > −3 − 3 −7 x > −6 6 x< 7 b) 0,35 x −1 < 0,352 x + 2 → pazi osnova je 0,35 a 0 < 0,35 < 1 , pa okrećemo znak!!! x −1 > 2x + 2 x − 2x > 2 +1 −x>3 x < −3 v) 2 x 2 −3 > 2

2x

2

−3

> 21

x2 − 3 > 1 x2 − 4 > 0 x1, 2 =

−0±2 2

x1 = 2 x2 = −2 g) 2 x < 7 x

2x <1 7x x

⎛2⎞ ⎜ ⎟ <1 ⎝7⎠ x

o

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ → pošto je osnova izmedju 0 i 1 znak se okreće ⎝7⎠ ⎝7⎠ x >0 2) Rešiti nejednačine: a) 5 2 x +1 > 5 x + 4 b) 25 x < 6 ⋅ 5 x − 5

v)

9 x − 3x+2 > 3x − 9 www.matematiranje.com

17

a) 52 x +1 > 5 x + 4 52 x ⋅ 51 − 5 x − 4 > 0 → smena 5 x = t t2 ⋅5 − t − 4 > 0 5t 2 − t − 4 = 0 1± 9 t1,2 = 10 t1 = 1 t2 = −

4 5

4 t ∈ (−∞, − ) ∪ (1, ∞) 5 vratimo se u smenu: 4 ili 5 nema rešenja 5x = −

5x = 1 x = 0 → x ∈ (0, ∞)

sad se interval t ∈ (1, ∞) transformiše u x ∈ (0, ∞) b) 25 x < 6 ⋅ 5 x − 5 52 x − 6 ⋅ 5 x + 5 < 0 → smena 5x = t t 2 − 6t + 5 < 0 6±4 t1, 2 = 2 t1 = 5 t2 = 1 Znači t ∈ (1,5), vratimo se u smenu 5x = 1 x=0

ili

5x = 1 x =1

Tako da je sada konačno rešenje x ∈ (0,1) www.matematiranje.com

18

v)

9 x − 3 x ⋅ 32 > 3 x − 9 32 x − 3 x ⋅ 9 > 3 x − 9 → smena 3 x = t t 2 − 9t > t − 9 (vidi iracionalne nejednačine)

[t

− 9t ≥ 0 ∧ t − 9 < 0 9±9 t1, 2 = 2 t1 = 0 t <9 2

]

t2 = 9

∨

[t

2

− 9t ≥ (t − 9) 2 ∧ t − 9 ≥ 0

t 2 − 9t > t 2 − 18t + 81 − 9t + 18t > 81 9t > 81 t >9 Znači t > 9

]

t ≥9

3x > 9

t ∈ (− ∞,0] ∪ [9, ∞ ) Ova dva uslova daju t ∈ (− ∞,0] ovaj interval ‘’ne radi’’ jer je 3x = t

3x > 32 x>2 Konačno rešenje


19

www.matematiranje.com LOGARITMI

Logaritam broja b za osnovu a je realan broj x kojim treba stepenovati osnovu a da bi se dobilo pozitivan broj b. (a > 0, a ≠ 0) ili

log a b = x ⇔ b = a x

Važno: b > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je a ∈ R, a ≠ 1, i a > 0 b-se zove numerus (logaritmand), a je osnova (baza) Osnovna svojstva logaritma

1. log a 1 = 0 2. log a a = 1 3. log a ( xy ) = log a x + log a y x 4. log a = log a x − log a y y 5. log a x n = n log a x 1 6. log a s x = log a x s

7. log a b ⋅ log a a = 1 tj. log a b =

1 log b a

8. Za prelazak na neku novu bazu c: log a b =

log c b log c a

9. a log a b = b → Ako je baza (osnova) a=10 takvi se logaritmi nazivaju DEKADNI i označavaju se log10 x = log x (Znači kad nema da piše osnova, podrazumeva se da je 10) → Ako je osnova (baza) a=e ( e ≈ 2,7 ) onda se takvi logaritmi zovu PRIRODNI I označavaju se log e x = ln x → Moramo voditi računa o zapisu:

(log a x )2 = log a2 x = log a x ⋅ log a x log a x 2 = log a x ⋅ x = 2 log a x Upoznajmo se sa svojstvima logaritma kroz sledeće primere:

1

www.matematiranje.com Izračunati: 1)

log 5 1 = ? log 6 1 = ?

Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 0. Znači, za bilo koju osnovu, od jedinice rešenje je 0 ( log a 1 = 0 )

log 1 1 = ? 2

log 1 = ? ln 1 = ?

2)

log12 12 = ? log 2 3

2 =? 3

Svi ovi logaritmi za rešenje imaju 1, jer je log a a = 1 PAZI: log 10 = log10 10 = 1

ln e = log e e = 1

log10 = ? ln e = ?

3)

a) log 6 2 + log 6 3 = ? b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = ?

Primenićemo svojstvo 3:

log a x + log a y = log a ( xy )

Dakle: a) log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 ⋅ 3) = log 6 6 = ( po drugom svojstvu)=1 b) log 30 2 + log 30 5 + log 30 3 = log 30 (2 ⋅ 5 ⋅ 3) = log 30 30 = 1

4)

a) log 5 10 − log 5 2 = ? b) log 2 20 − log 2 10 = ?

Primenićemo:

log a x − log a y = log a

x y

Dakle: 10 = log 5 5 = 1 2 20 b) log 2 20 − log 2 10 = log 2 = log 2 2 = 1 10

a) log 5 10 − log 5 2 = log 5

2

www.matematiranje.com 5) Izračunati:

a) log 2 8 = ? 1 b) log 5 =? 125

Ovde ćemo upotrebiti log a x n = n log a x n

v) log a 5 a 2 = ?

Podsetnik:

m

an = a m i

1 = a −n an

a) log 2 8 = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 ⋅1 = 3 b) log 5

1 1 = log 5 3 = log 5 5−3 = −3log 5 5 = −3 ⋅1 = −3 125 5

v) 2 5

log a a = log a a = 2

5

2 2 2 log a a = ⋅1 = 5 5 5

6) Izračunati:

a) log 81 3 = ? b) log 2 2 = ? v) log

3

27 = ?

1 Ovde ćemo upotrebiti da je log a s x = log a x s a)

log 81 3 = log 34 3 =

b)

log

v)

log

1 1 1 log 3 3 = ⋅1 = 4 4 4

1 log 2 2 = 2 ⋅1 = 2 1 2

2

2 = log 1 2 =

3

27 = log 1 33 = 3 ⋅

22

32

1 log 3 3 = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6 1 2

3


7) Izračunati:

a) log 5 2 ⋅ log 2 5 = ? b) log10 15 ⋅ log15 10 = ?

Važi: log a b ⋅ log b a = 1

Dakle rešenja oba ova zadačića je 1. 8) Izračunati:

a) log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log8 7 = ? b) Ako je log 5 2 = a i log 5 3 = b izračunati log 45 100 = ? Rešenje:

Ovde ćemo primeniti prelazak na novu osnovu: log a b =

log c b log c a

a) Ajde recimo da uzmemo novu osnovu 10 tada je: log 3 2 =

log 2 log 3 ; log 4 3 = , log 3 log 4

itd. Dakle: log 3 2 ⋅ log 4 3 ⋅ log 5 4 ⋅ log 6 5 ⋅ log 7 6 ⋅ log 8 7 =

log 2 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8

log 2 = (sad vidimo da je bilo bolje da log 8 log c a uzmemo osnovu 2, ali nema veze vraćamo se u = = log b a ) log c b 1 1 1 = log8 2 = log 23 2 = log 2 2 = ⋅1 = 3 3 3

Kao što vidimo dosta toga se ‘’skratiti’’ =

b) log 5 2 = a ∧ log 5 3 = b

4

www.matematiranje.com log 45 100 = (ovde je jasno da nova osnova mora biti 5.) =

log 5 100 = log 5 45

=

log 5 102 2 log 5 10 2 log 5 (5 ⋅ 2) 2 ( log 5 5 + log 5 2 ) = = = = log 5 (5 ⋅ 9) log 5 5 + log 5 9 1 + log 5 32 1 + 2 log 5 3

=

2(1 + log 5 2) 2(1 + a) = 1 + 2 log 5 3 1 + 2b

9) Izračunati:

a) 3log3 81 = ? b) 10log 5 = ? 3log3 81 = 81

Dakle:

Primenjujemo: a log a b = ? i

10 log 5 = 5

Sad kad smo se upoznali sa osnovnim svojstvima logaritama , pokažimo još neke osnovne tipove zadataka: 1) Logaritmovati sledeće izraze za osnovu 10.

x⋅ y z x2 ⋅ y3 b) B = z5 3 x v) C = 5 y2 ⋅ y a) A =

d) D = 3 5 x 4 y 3 Rešenja: a) A=

x⋅ y z

log A = log

xy = log( xy ) − log z = log x + log y − log z z

b) B=

x2 ⋅ y3 z5

x2 ⋅ y3 log B = log 5 = log( x 2 ⋅ y 3 ) − log z 5 = log x 2 + log y 3 − log z 5 = z = 2 log x + 3 log y − 5 log z

5

www.matematiranje.com v) C=

3 5

PAZI:

y2 ⋅ z

log C = log

1

n

x 3 5

x

y2 ⋅ z

m

an = a m ,

= log 3 x − log

(

5

a = a2

)

1 2 1 ⎛ ⎞ y 2 ⋅ z = log x 3 − ⎜ log y 5 + log z 2 ⎟ = ⎝ ⎠

1 2 1 = log x − log y − log z 3 5 2 g) D = 3 5x4 y3 1

4

D = 3 5 x 4 y 3 = 3 5 3 x 4 3 y 3 = 5 3 ⋅x 3 ⋅ y ⎛ 13 43 ⎞ log D = log⎜⎜ 5 ⋅ x ⋅ y ⎟⎟ ⎝ ⎠ 1 4 = log 5 + log x + log y 3 3 2) Rešiti po x jednačine:

a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log15 b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H 1 v) 2 log x − 3 log a = log 5 + log b + log c 2 Rešenje: Ideja je da se upotrebom svojstva logaritma ‘’spakuju’’ obe strane!!! Dobićemo izraz log x = log ⊗, ovde izvršimo takozvano ANTILOGARITMOVANJE, tj. skratimo logaritme i dobijemo x = ⊗ a) log x = log 4 + 2 log 5 + log 6 − log15 SAVET: Prvo brojeve ispred prebacimo kao stepen numerusa!!! n log a x = log a x n log x = log 4 + log 52 + log 6 − log15 4 ⋅ 25 ⋅ 6 log x = log 15 600 log x = log 15 log x = log 40.................. / ANTILOGARITMOVANJE x = 40

6


b) log x + log 3 = 2 log r + log π + log H log( x ⋅ 3) = log r 2 + log π + log H log(3 x) = log(r 2π H )....................................... / ANTILOGARITMOVANJE 3 x = r 2π H x=

r 2π H ...............................................(V kupe) 3

v) 1 2 log x − 3log a = log 5 + log b + log c 2 log x − log a = log 5 + log b + log c 2

log

3

1 2

x2 = log 5 ⋅ b ⋅ c ................. / ANTILOGARITMOVANJE a3

x2 = 5b c a3 x 2 = 5a 3 b c x = 5a 3 b c

3) Ako je log14 7 = a i

log14 5 = b

Izračunati log 35 28 = ?

Rešenje: ovo je onaj tip zadataka gde moramo uzeti novu osnovu, naravno, to će biti 14.

196 log14 28 log14 196 − log14 7 log14 14 2 − log14 7 7 log 35 28 = = = = = log14 35 log14 (7 ⋅ 5) log14 7 + log14 5 log14 7 + log14 5 log14

=

2 log14 14 − log14 7 2 − a = log14 7 + log14 5 a+b

196 14 2 = . Probajte razne 7 7 opcije, nešto mora da ‘’upali’’, uglavnom, iskustvo je presudno!!!

Vi se sada naravno pitate kako smo mi znali da napišemo 28 =

7


8

www.matematiranje.com LOGARITAMSKA FUNKCIJA

Funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji y = a x (a ≠ 1, a > 0, a ∈ R) naziva se logaritamska funkcija. Označava se sa: y = log a x (čita se logaritam od x za osnovu a)

Ako je a=e → y=lnx Ako je a=10 → y=logx Za osnovne logaritamske funkcije važi: 1) Funkcije su definisane za x ∈ (0, ∞) 2) Nula funkcije je x=1 tj. grafik seče x-osu u tački A(1,0) 3) Monotonost (rašćenje i opadanje) a) Ako je osnova a > 1 finkcija je rastuća b) Ako je osnova 0 < a < 1 funkcija je opadajuća 4) Znak funkcije: a) Ako je osnova a > 1 , znak je: y > 0 za x ∈ (1, ∞) y < 0 za x ∈ (0,1) b) Ako je osnova 0 < a < 1 , znak je: y > 0 za x ∈ (0,1) y < 0 za x ∈ (1, ∞) Evo par primera osnovnih grafika: 1) y = log 2 x

Napravimo tablicu, ali vrednosti za x biramo pametno x=1,2,4,8,

1 1 1 , , . 2 4 8

Videćemo zašto!!! Za x=1 Za x=2 Za x=4 Za x=8 1 Za x= 2

⇒ y = log 2 1 = 0 ⇒ y = log 2 2 = 1

⇒ y = log 2 4 = log 2 2 2 = 2 log 2 2 = 2 ⋅ 1 = 2 ⇒ y = log 2 23 = 3 log 2 2 = 3 ⋅1 = 3 1 ⇒ y = log 2 = log 2 2 −1 = −1 log 2 2 = −1⋅1 = −1 2

1

www.matematiranje.com 1 1 ⇒ y = log 2 = log 2 2 − 2 = −2 4 4 1 Za x= ⇒ y = −3 8

Za x=

X

1 8 -3

Y

1 4 -2

1 2 -1

1

2

4

8

0

1

2

3

1

2

4

8

0

-1

-2

-3

y

3 2 1 x -1

1

4

2

8

-2 -3

Kako je a = 2 > 0 ona je rastuća!!! 2) y = log 1 x 2

Slično kao malopre pravimo tablicu: X Y

1 8 3

1 4 2

1 2 1

2

www.matematiranje.com y

3 2 1 2 -1

4

8

x

1

-2 -3

1 izmedju 0 i 1 grafik je opadajući!!! 2 Za malo složenije grafike je moguće izvršiti pomeranje duž x i y-ose (slično kao kod kvadratne funkcije) ali za ozbiljnije zadatke će nam biti potrebno znanje iz IV godine srednje škole. Dakle kad je osnova a =

3) Data je funkcija y = log a (3x 2 − 2 x)

(a > 0, a ≠ 1)

a) za koje vrednosti argumenata x funkcija ima smisla u skupu realnih brojeva? b) Odrediti nule date funkcije; c) Odrediti x tako da za osnovu a = 5 vrednost funkcije bude 2. Rešenje: y = log a (3x 2 − 2 x) Pazi: Sve iza log mora biti >0

Znači: 3x 2 − 2 x > 0 → upotrebimo znanje iz kvadratne nejednačine!!! (podseti se) 3x 2 − 2 x = 0 2±2 x1, 2 = 6 x1 = 0 x2 =

2 3

⎛2 ⎞ Pa je oblast definisanosti: x ∈ (−∞,0) ∪ ⎜ , ∞ ⎟ ⎝3 ⎠

3

www.matematiranje.com b) Nule f-je su rešenja jednačine y=0 Znači: log a (3x 2 − 2 x) = 0 Kako je log a 1 = 0 to mora biti: 3x 2 − 2 x = 1 3x 2 − 2 x − 1 = 0 2±4 x1, 2 = 6 x1 = 1 x2 = −

1 3

Dakle ova funkcija ima nule x1 = 1 i x2 = −

c) y = log a (3x 2 − 2 x) = 0

1 3

a = 5⎫ ⎬ zamenimo y=2 ⎭

log 5 (3x 2 − 2 x) = 2 Idemo po definiciji log A B = ⊗ ⇔ B = A⊗ 3x 2 − 2 x = 5

2

3x 2 − 2 x = 5 3x 2 − 2 x − 5 = 0 2±8 6 10 5 = x1 = 6 3 −6 = −1 x2 = 6 x1, 2 =

4


LOGARITAMSKE JEDNAČINE I NEJEDNAČINE

Pre nego što krenete u reševanje jednačine savetujemo vam da se podsetite pravila za logaritme. 1) Rešiti jednačine: a) log 3 (2 x + 3) = 2 b) log 4 (3 x + 4) = 3 1 c) log 3x + 1 = 2

Rešenje: a) log 3 (2 x + 3) = 2 → Iskoristićemo definiciju log A B = ⊗ ⇔ B = A⊗ Dakle:

2 x + 3 = 32 2x + 3 = 9 2x = 6 x=3

2x + 3 > 0 uz uslov 2 x > −3 3 x>− 2

3 Pošto je 3 > − , rešenje x = 3 je ‘’dobro’’ 2 b)

log 4 (3 x + 4) = 3 → Opet po definiciji

3 x + 4 = 43 3x + 4 = 64 3x = 60

uslov

x = 20

3x + 4 > 0 3x > −4 4 x>− 3

Rešenje zadovoljava uslov!!! v) log 3x + 1 =

1 → Primetimo da nema osnova, pa dopišemo 10 po dogovoru,. 2

1

www.matematiranje.com log10 3x + 1 =

1 2

1

3 x + 1 = 10 2

uz uslov 3 x + 1 = 10....... /() 2 kvadriramo 3x = 9 x=3

3x + 1 > 0 3x + 1 > 0 x>−

1 3

1 3 > − , dobro je rešenje. 3 2) Rešiti jednačine:

a) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2 b) log( x 2 + 19) − log( x − 8) = 2 v) log(5 − x) + 2 log 3 − x = 1 Rešenja: a)

Iskoristićemo log a x + log a y = log a ( xy) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2 log 2 ( x − 1)( x + 2) = 2 → Uslovi x − 1 > 0 i x + 2 > 0 x > 1 i x > −2

Dalje po definiciji: ( x − 1)( x + 2) = 2 2

x 2 + 2x − x − 2 = 4 x2 + x − 6 = 0 −1± 5 x1, 2 = 2 x1 = 2 x 2 = −3 Dalje se pitamo da li rešenja zadovoljavaju uslove: x > 1 i

x > −2

x ∈ (1, ∞ )

x1 = 2 → Zadovoljava x2 = −3 → Ne zadovoljava Dakle, jedino rešenje je x = 2

2

www.matematiranje.com b) log( x 2 + 19) − log( x − 8) = 2 Dopišemo najpre osnovu 10 log10 ( x 2 + 19) − log10 ( x − 8) = 2 Pošto je log a x − log a y = log a

x y

x 2 + 19 log10 = 2 naravno uz uslove: x 2 + 19 > 0 i x − 8 > 0 x −8 x>8 2 x + 19 = 10 2 x −8 x 2 + 19 = 100 x −8 x 2 + 19 = 100( x − 8) x 2 + 19 = 100 x − 800 x 2 − 100 x + 819 = 0 100 ± 82 2 x1 = 91 x1, 2 =

x2 = 9

Oba rešenja ‘’dobra’’ jer su veća od 8 v) log(5 − x) + 2 log 3 − x = 1 2

log(5 − x) + log 3 − x = 1 log(5 − x) + log(3 − x) = 1 Uslovi su: 5− x > 0 − x > −5 x<5

3− x > 0

i

− x > −3 x<3

Dakle uslov je x < 3

3

www.matematiranje.com (5 − x)(3 − x) = 101 15 − 5 x − 3 x + x 2 − 10 = 0 x 2 − 8x + 5 = 0 8 ± 44 8 ± 2 11 2(4 ± 11) = = = 4 ± 11 2 2 2 x1 = 4 + 11 ≈ 7,32 x1, 2 =

x 2 = 4 − 11 ≈ 0,68

x1 = 4 + 11 ne zadovoljava uslov, pa je jedino rešenje: x = 4 − 11 3) Rešiti jednačine:

a) log 2 x − 3 log x + 2 = 0 5 b) log 2 x + log x 2 = 2 Rešenja: a) Uvodimo smenu log x = t uz uslov x > 0 log 2 x − 3 log x + 2 = 0 t 2 − 3t + 2 = 0 3 ±1 t1, 2 = 2 t1 = 2 t2 = 1 Vratimo se u smenu log10 x = 2

log10 x = 1

i

x = 10 2 x = 100

b) log 2 x + log x 2 = log 2 x +

5 2

x = 101 x = 10

kako je log a b =

1 log b a

1 5 = → Uvodimo smenu log 2 x = t uz uslove x > 0 i x ≠ 1 log 2 x 2

1 5 t + = → Sve pomnožimo sa 2t t 2

4

www.matematiranje.com 2t 2 + 2 = 5t 2t 2 − 5t + 2 = 0 5±3 t1, 2 = 4 t1 = 2 t2 =

1 2

Vratimo se u smenu : log 2 x = 2

ili

x = 22 x=4

log 2 x = x=2

1 2

1 2

x= 2 4) Rešiti jednačine:

a) log 2 x + log 4 x + log16 x = 7 b) log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x =

2 3

Rešenje: U oba primera ćemo koristiti da je: log a S x =

1 log a x S

a) log 2 x + log 4 x + log16 x = 7

uslov x>0

log 2 x + log 22 x + log 24 x = 7 1 1 log 2 x + log 2 x + log 2 x = 7 /⋅ 4 2 4 4 log 2 x + 2 log 2 x + 1log 2 x = 28 7 log 2 x = 28 log 2 x = 4 x = 2 4 ⇒ x = 16

5

www.matematiranje.com b) 2 3 2 log 3 x ⋅ log 32 x ⋅ log 33 x ⋅ log 34 x = 3 1 1 1 2 log 3 x ⋅ log 3 x ⋅ log 3 x ⋅ log 3 x = 2 3 4 3 1 2 log 34 x = 24 3 4 log 3 x = 16 ⇒ log 3 x = t log 3 x ⋅ log 9 x ⋅ log 27 x ⋅ log 81 x =

t 4 − 16 = 0 ⇒ (t 2 ) 2 − 4 2 = (t 2 − 4)(t 2 + 4) = 0 (t − 2)(t + 2)(t 2 + 4) = 0

odavde je t=2 ili t=-2 Kada se vratimo u smenu log 3 x = 2 x=3 x=9

v

log 3 x = −2

v

x = 3− 2 1 x= 9

2

5)

Rešiti jednačine: a) log 5 (4 x − 6) − log 5 (2 x − 2) = 2 b) log(7 − 2 x ) − log(5 + 4 x ) + log 7 = 0

Rešenja a) log 5 (4 x − 6) − log 5 (2 x − 2) = 2 Kako je

log a x − log a y = log a

x y

6

www.matematiranje.com 4x − 6 =2 5 2x − 2 2 4x − 6 = 5 x 2 −2 4 x − 6 = 5(2 x − 2)

log

4 x − 6 = 5 ⋅ 2 x − 10 4 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 ⇒ smena 2 x = t t 2 − 5t + 4 = 0 5±3 t1, 2 = 2 t1 = 4 t2 = 1 2x = 4 2 x = 22 x=2

ili

2x = 1 x=0

Ovde je najbolje da proverimo rešenja u početnoj jednačini→ x=2 je jedino rešenje b) log(7 − 2 x ) − log(5 + 4 x ) + log 7 = 0 log10 (7 − 2 x ) − log10 (5 + 4 x ) + log10 7 = 0 log10 (7 − 2 x ) ⋅ 7 = log10 (5 + 4 x )............... / ANTILOGARITMOVANJE (7 − 2 x ) ⋅ 7 = 5 + 4 x 49 − 7 ⋅ 2 x = 5 + 4 x 49 − 7 ⋅ 2 x − 5 − 4 x = 0 −4 x − 7 ⋅ 2 x + 44 = 0 / (−1) 4 x + 7 ⋅ 2 x − 44 = 0...................................smena 2 x = t t 2 + 7t − 44 = 0 t1,2 =

−7 ± 15 2

t1 = 4 t2 = −11

7

www.matematiranje.com Vratimo se u smenu: 2x = 4

ili


2 x = 22 x=2 Uslovi su 7 − 2 x > 0 i

5 + 4 x > 0 a rešenje je x=2 ih očigledno zadovoljava

6) Rešiti jednačine:

a) x1+ log3 x = 3x b) x log 4 x − 2 = 23(log 4 x −1) Ovo je tip zadataka gde moramo logaritmovati obe strane za odgovarajuću osnovu!!! a) x1+ log3 x = 3x................ / log 3 važi log a b n = n log a b log 3 x1+ log3 x = log 3 3x (1 + log 3 x) log 3 x = log 3 3 + log 3 x............ ⇒ smena log 3 x = t (1 + t ) ⋅ t = 1 + t t + t2 = 1+ t t 2 = 1 − t + t ⇒ t 2 = 1 ⇒ t = ±1 Vratimo se u smenu: log 3 x = 1 ili log 3 x = −1 x = 31

ili

x=3

ili

x = 3−1 1 x= 3

b)

x log4 x − 2 = 23(log4 x −1) → logaritmijemo za osnovu 4 log 4 x log4 x − 2 = log 4 23(log 4 x −1) (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) log 4 2 (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) log 22 2 (log 4 x − 2) log 4 x = 3(log 4 x − 1) ⋅

1 2

Smena log 4 x = t :

8

www.matematiranje.com 3 (t − 1) 2 2t (t − 2) = 3(t − 1)

(t − 2) ⋅ t =

2t 2 − 4t = 3t − 3 2t 2 − 4t − 3t + 3 = 0 2t 2 − 7t + 3 = 0 7±5 t1, 2 = 4 t1 = 3 t2 =

1 2

Dakle: log 4 x = 3

ili

log 4 x =

x = 43 x = 64

ili ili

x = 42 x=2

1 2

1

Za logaritamske nejednačine koristimo iste ‘’trikove’’ kao za jednačine, ali vodimo računa: 1) Kad je osnova veća od 1 (a>1) prepisujemo znak nejednakosti jer je funkcija rastuća. 2) Kaj je osnova izmedju 0 i 1 (0
v) log 2 (3x − 5) < 1 Rešenje:

9

www.matematiranje.com a) log 2 (3 x + 4) ≥ 0 uslov

3x + 4 ≥ 2

o

3x + 4 > 0 3 x > −4

4 3x + 4 ≥ 1 x>− 3 3x ≥ −3 x ≥ −1 ne okrećemo znak jer je osnova veća od 1

Sad upakujemo rešenje i oblast definisanosti.

Konačno: x ∈ [− 1, ∞ ) b) log 1 (4 x − 3) < 0 2

PAZI: Okrećemo znak!!! o ⎛1⎞ 4x − 3 > ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 4x − 3 > 1

uslov:

4x − 3 > 0 4x > 3 3 x> 4

4x > 4 x >1 Upakujemo ova dva:

Konačno: x ∈ (1, ∞)

10

www.matematiranje.com v) log 2 (3 x − 5) < 1 3 x − 5 < 21

3x − 5 > 0 3x > 5 5 x> 3

uslov

3x − 5 < 2 3x < 7 x<

7 3

⎛5 7⎞ x∈⎜ , ⎟ ⎝3 3⎠ 2) Rešiti nejednačine:

a) log( x − 2) > log x b) log 0,5 (2 x + 6) > log 0,5 ( x + 8) Rešenja: a)

log( x − 2) > log x x−2 > x x−x >2 0x > 2

uslovi:

x−2 >0 i x >0 x>2 i x>0 Dakle x > 2

Ovo nema rešenja, pa cela nejednačina nema rešenja!!! b) log 0,5 (2 x + 6) > log 0,5 ( x + 8) PAZI:Okreće se smer 2x + 6 < x + 8 2x − x < 8 − 6 x<2

Uslovi: 2x + 6 > 0 ∧ x + 8 > 0 x > −3 ∧ x > −8

Uslovi daju : x > −3

11

www.matematiranje.com Upakujemo: x ∈ (−3,2) konačno rešenje

3) Rešiti jednačine:

a) log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0 b) log 0,5 ( x 2 − 4 x + 3) ≥ −3 a) log 3 ( x 2 − 5 x + 6) < 0

x2 − 5x + 6 < 1

uslov x 2 − 5 x + 6 > 0 5 ±1 x1, 2 = 2 x1 = 3

x2 − 5x + 5 < 0

x2 = 2

x 2 − 5 x + 6 < 3o

5± 5 2 5+ 5 ≈ 3, 62 x1 = 2 5− 5 ≈ 1,38 x2 = 2 x1,2 =

x ∈ ( −∞,2) ∪ (3, ∞ ) Rešenje uslova

⎛5− 5 5+ 5 ⎞ ⎟ rešenje zadatka konačno rešenje dobijemo kad upakujemo ova dva x ∈ ⎜⎜ , ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ Dakle: Dakle: ⎛5− 5 ⎞ ⎛ 5+ 5 ⎞ ⎟ x ∈ ⎜⎜ ,2 ⎟⎟ ∪ ⎜⎜ 3, ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

12

www.matematiranje.com b) log 0,5 ( x 2 − 4 x + 3) ≥ −3

x 2 − 4 x + 3 ≤ (0,5) −3 ⎛1⎞ x2 − 4 x + 3 ≤ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 x − 4 x + 3 ≤ 23

−3

uslov:

x2 − 4x + 3 > 0 4±2 x1, 2 = 2 x1 = 3 x2 = 1

x2 − 4 x + 3 ≤ 8 x2 − 4 x + 3 − 8 ≤ 0 x2 − 4 x − 5 ≤ 0 4±6 x1,2 = 2 x1 = 5 x2 = −1

x ∈ [− 1,5]

Upakujemo rešenja:

x ∈ [− 1,1) ∪ (3,5] Konačno

13

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

Trigonometrija je prvobitno predstavlja oblast matematike koje se bavila izračunavanjem nepoznatih elemenata trougla pomoću poznatih. Sam njen naziv potiče od dve grčke reči TRIGONOS- što znači trougao i METRON- što znači mera. Kako se definišu trigonometrijske funkcije? Posmatrajmo pravougli trougao ABC. a,b→ katete c→ hipotenuza a 2 + b 2 = c 2 → Pitagorina teorema

naspramna kateta a = hipotenuza c nalegla kateta b = cos α = hipotenuza c naspramna kateta a tgα = = nalegla kateta b nalegla kateta b = ctgα = naspramna kateta a sin α =

PAZI: Sam simbol sin(cos,tg,ctg) sam za sebe ne označava nikakvu veličinu!!! Uvek mora da ima i ugao. Izračunajmo vrednost trigonometrijskih funkcija za uglove od 30o ,45o i 60 o . Najpre ćemo posmatrati polovinu jednakostraničnog trougla. Kao što znamo visina jednakostraničnog trougla je a 3 h= 2 www.matematiranje.com

1

a naspramna kateta 2 a 1 sin 30o = = = = hipotenuza a 2a 2 a 3 nalegla kateta 3 cos 30o = = 2 = hipotenuza a 2 a naspramna kateta 1 1 3 3 (racionališemo) = tg 30o = = 2 = ⋅ = 3 nalegla kateta 3 3 3 a 3 2 a 3 nalegla kateta ctg 30o = = 2 = 3 a naspramna kateta 2

Sada ćemo uraditi (po definiciju) i za ugao od 60o . a 3 sin 60o = 2 = a a 1 cos 60o = 2 = a 2 a 3 tg 60o = 2 = a 2 a ctg 60o = 2 = a 3 2

3 2

3

3 3

Za vrednost trigonometrijskih funkcija ugla od 45o upotrebićemo polovinu kvadrata. Kao što znamo dijagonala kvadrata je d = a 2


2

sin 45o =

naspramna kateta a 1 2 2 = = ⋅ = hipotenuza 2 a 2 2 2

nalegla kateta a 2 = = hipotenuza 2 a 2 naspramna kateta a tg 45o = = =1 nalegla kateta a nalegla kateta a ctg 45o = = =1 naspramna kateta a cos 45o =

Na ovaj način smo dobili tablicu:

sinα

cosα tgα ctgα

30 o 1 2

3 2 3 3 3

45o 2 2 2 2 1

60 o 3 2 1 2

1

3 3

3

Naravno kasnije ćemo tablicu proširiti na sve uglove od 0 o → 360o. Osnovni trigonometrijski indetiteti:

1) sin 2 α + cos 2 α = 1 sin α 2) tgα = cos α cos α 3) ctgα = sin α 4) tgα ⋅ ctgα = 1 Da probamo da dokažemo neke od indetiteta:

a b i cos α = to da zapamtimo)= c c 2 2 2 2 2 c a b a +b www.matematiranje.com + 2 = =(važi Pitagorina teorema, a 2 + b 2 = c 2 ) = 2 = 1 2 2 c c c c

1) sin 2 α + cos 2 α = (pogledajmo definicije: sin α =

3

a sin α c a ⋅ c a 2) = = = = tgα slično se dokazuje i za ctgα cos α b b ⋅ c b c 4) tgα ⋅ ctgα = (zamenimo iz definicije, da je tgα =

a a b b i ctgα = ) = ⋅ = 1 b b a a

Baš lako, zar ne? Iz osnovnih indetiteta se mogu izvesti razne druge jednakosti: 1) Ako krenemo od:

sin 2 α + cos 2 α = 1 → ovo delimo sa cos 2 α sin 2 α cos 2 α 1 + = 2 2 cos α cos α cos 2 α 1 tg 2α + 1 = → Odavde izrazimo cos 2 α 2 cos α 1 cos 2 α = 2 tg α + 1 Ako sad ovo zamenimo u: sin 2 α + cos 2 α = 1 1 sin 2 α + 2 =1 tg α + 1 1 sin 2 α = 1 − 2 tg α + 1 sin 2 α =

tg 2α + 1 − 1 tg 2α + 1

tg 2α sin α = 2 tg α + 1 2

Ove dve identičnosti ćemo zapisati i koristiti ih u zadacima!!! Još jedna stvar, da izvedemo i trigonometrijske funkcije komplementnog ugla. Kako je kod pravouglog trougla α + β = 90o tj. komplementni su, važi: www.matematiranje.com

4

sin(90 o − α ) = cos α

Tj.

sin β = cos α

cos(90 − α ) = sin α

cos β = sin α

tg (90 o − α ) = ctgα

tgβ = ctgα ctgβ = tgα

o

ctg (90 − α ) = tgα o

Odakle ovo?

sa slike (po definiciji) je a c b cos α = c a tgα = b b ctgα = a

sin α =

b c a cos β = c b tgβ = a a ctgβ = b

sin β =

1) Date su katete pravouglog trougla a=8cm i b=6cm. Odrediti vrednost svih trigonometrijskih funkcija uglova α i β

a = 8cm b = 6cm __________

c2 = a2 + b2 c 2 = 82 + 6 2 c 2 = 64 + 36 c 2 = 100 c = 10cm

a 8 4 = = = cos β c 10 5 b 6 3 = = sin β cos α = = c 10 5 a 8 4 tgα = = = = ctgβ b 6 3 b 6 3 ctgα = = = = tgβ a 8 4 sin α =


5

2) Izračunati vrednost trigonometrijskih funkcija nagibnog ugla dijagonale kocke prema osnovi.

Izvučemo na stranu ovaj trougao:

Kao što znamo mala dijagonala je d = a 2 , a velika dijagonala (telesna) D = a 3 . Po definicijama je: a 1 1 3 3 sin α = = = ⋅ = 3 a 3 3 3 3 cos α =

a 2 2 2 3 6 = = ⋅ = 3 a 3 3 3 3

tgα =

a a 2

=

1 1 2 2 = ⋅ = 2 2 2 2

ctgα = 2 3)

c = 24cm sin α = 0,8 ______________

a=? b=?

Po definiciji je: a sin α = c a 0,8 = 24 a = 24 ⋅ 0,8 a = 19,2cm b 2 = c 2 − a 2 sad ide Pitagorina teorema b 2 = 24 2 − (19,2) 2 b 2 = 576 − 368,64 b 2 = 207,36 b = 14,4cm www.matematiranje.com

6

4) Izračunati vrednost ostalih trigonometrijskih funkcija ako je: a) sin α = 0,6 12 b) cos α = 13 v) tgα = 0,225 Rešenje: 3 6 3 a) sin α = jer 0,6 = = najpre ćemo iskoristiti da je sin 2 α + cos 2 α = 1 5 10 5 2

⎛3⎞ 2 ⎜ ⎟ + cos α = 1 5 ⎝ ⎠ 9 cos 2 α = 1 − 25 16 cos 2 α = 25 16 cos α = ± 25 4 cos α = ± 5 Pošto su oštri uglovi u pitanju: 4 cos α = + 5 b) 12 cos α = 13 2 sin α + cos 2 α = 1

3 sin α 5 3 = = tgα = cos α 4 4 5 1 4 ctgα = = tgα 3

2

⎛ 12 ⎞ sin α + ⎜ ⎟ = 1 ⎝ 13 ⎠ 144 sin 2 α = 1 − 169 25 sin 2 α = 169 25 sin α = ± 169 5 sin α = ± 13 oštar ugao uzimamo + 5 sin α = 13 2

5 sin α 13 5 tgα = = = cos α 12 12 13 12 ctgα = 5

7

v) tgα = 0,225 =

225 9 = 1000 40

Iskoristićemo jednakosti: tg 2α sin α = 2 tg α + 1 2

2

⎛ 9 ⎞ ⎜ ⎟ 40 2 sin α = ⎝ 2⎠ ⎛ 9 ⎞ ⎜ ⎟ +1 ⎝ 40 ⎠ 81 sin 2 α = 1600 81 +1 1600 81 2 sin α = 1600 81 + 1600 1600

cos 2 α =

81 1681 81 sin α = ± 1681 9 sin α = ± 41 9 sin α = + 41 sin 2 α =

1

tg α + 1 1 cos 2 α = 1681 1600 1600 cos 2 α = 1681 1600 cos α = ± 1681 40 cos α = ± 41 40 cos α = + 41 1 ctgα = tgα 40 ctgα = 9 2


8

5) Izračunaj vrednosti ostalih trigonometrijskih funkcija ako je:

a2 − 9 a) sin α = 2 a +9 a2 − 4 b) ctgα = 4a a)

sin 2 α + cos 2 α = 1

36a 2 cos α = 2 (a + 9) 2 2

cos 2 α = 1 − sin 2 α ⎛ a2 − 9 ⎞ ⎟⎟ cos α = 1 − ⎜⎜ 2 ⎝a +9⎠ (a 2 − 9) 2 2 cos α = 1 − 2 ( a + 9) 2

2

cos α =

2

cos α =

tgα =

36a 2 (a 2 + 9) 2

a2 + 9 tgα = 6a

6a a +9 2

a2 + 9

(a 2 + 9) 2 − (a 2 − 9) 2 cos α = (a 2 + 9) 2

a2 − 9 tgα = 6a 6a ctgα = 2 a −9

2

cos 2 α = b)

a 4 + 18a 2 + 81 − a 4 + 18a 2 − 81 ( a 2 + 9) 2

4a a2 − 4 ⇒ tgα = 2 4a a −4 2 tg α sin 2 α = 2 tg α + 1 ctgα =

2

⎛ 4a ⎞ ⎜ 2 ⎟ a −4⎠ sin 2 α = ⎝ 2 ⎛ 4a ⎞ ⎜ 2 ⎟ +1 ⎝a −4⎠ 16a 2 (a 2 − 4) 2 2 sin α = 16a 2 +1 (a 2 − 4) 2 16a 2 sin α = 16a 2 + a 4 − 8a 2 + 16 16a 2 sin 2 α = 4 a + 8a 2 + 16 2

sin α = sin α =

16a 2 (a 2 + 4) 2 4a a +4 2

sin α cos α a2 − 9

cos 2 α = cos 2 α =

1 tg α + 1 1 2

2

⎛ 4a ⎞ ⎜ 2 ⎟ +1 ⎝a −4⎠ 1 cos 2 α = 2 16a + (a 2 − 4) 2 (a 2 − 4) 2 1 cos 2 α = 2 (a + 4) 2 (a 2 − 4) 2 cos 2 α =

(a 2 − 4) 2 (a 2 + 4) 2

(a 2 − 4) 2 cos α = (a 2 + 4) 2 cos α =

a2 − 4 a2 + 4


9

1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ Dokazati identitet ⎜1 + tgx + ⎟ = 2tgx ⎟ ⋅ ⎜1 + tgx − cos x ⎠ ⎝ cos x ⎠ ⎝

6)

1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎟= ⎟ ⋅ ⎜1 + tgx − ⎜1 + tgx + cos x ⎠ ⎝ cos x ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ sin x 1 ⎞ ⎛ sin x − + ⎟= ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎜1 + ⎝ cos x cos x ⎠ ⎝ cos x cos x ⎠ cos x + sin x + 1 cos x + sin x − 1 ⋅ = gore je razlika kvadrata cos x cos x (cos x + sin x) 2 − 12 = (jedinicu ćemo zameniti sa sin 2 x + cos 2 x ) cos 2 x cos 2 x + 2 cos x sin x + sin 2 x − sin 2 x − cos 2 x 2 cos x sin x = = cos 2 x cos 2 x sin x =2 = 2tgx cos x 7) Dokazati da je: a) cos 2 18o + cos 2 36o + cos 2 54o + cos 2 72o = 2

Pošto važi da kad je α + β = 90o cos α = sin β , cos 54o ćemo zameniti sa sin 36o a cos 72o ćemo zameniti sa sin 18o . Onda je: cos 2 18o + cos 2 36o + cos 2 54o + cos 2 72o = cos 2 18o + cos 2 36o + sin 2 36o + sin 2 18o =

= 1+1 = 2 b) tg1o ⋅ tg 2o ⋅ tg 3o...tg 44o ⋅ tg 45o ⋅ tg 46o...tg 89o = 1 = Kako je tgα = ctgβ (α + β = 90o ) Biće= tg1o ⋅ tg 2o ⋅ tg 3o...tg 44o ⋅ tg 45o ⋅ ctg 44o...ctg 2o ⋅ ctg1o

= Kako je tgα ⋅ ctgα = 1 = 1⋅1⋅ ... ⋅ tg 45o = 1 www.matematiranje.com

10

8)

Dokazati identitet

3 = (tgα + ctgα ) 2 6 1 − sin α − cos α 6

3 3 = = Pokušaćemo da transformišemo izraz 6 6 1 − sin x − cos x 1 − (sin x + cos 6 x) sin 6 x − cos 6 x Podjimo od sin 2 x − cos 2 x = 1 pa ‘’dignemo’’ na treći stepen: ( A + B) 3 = A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3 6

sin 2 x + cos 2 x = 1 /()3 sin 6 x + 3 sin 4 x cos 2 x + 3 sin 2 x cos 4 x + cos 6 x = 1 sin 6 x + 3 sin 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) + cos 6 x = 1 1442443 1

Dakle: sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x Vratimo se u zadatak: 3 3 1 = = = 2 2 2 2 2 1 − 1 + 3 sin x cos x 3 sin x cos x sin x cos 2 x Da vidimo sad desnu stranu: (tgα + ctgα ) 2 = tg 2α + 2tgαctgα + ctg 2α sin 2 α cos 2 α = +2+ cos 2 α sin 2 α sin 4 α + 2 sin 2 α cos 2 α + cos 4 α = sin 2 α cos 2 α (sin 2 α + cos 2 α ) 2 = sin 2 α cos 2 α 1 = 2 sin α cos 2 α Ovim smo dokazali da su leva i desna strana jednake: Uslov je 1 − sin 6 α − cos 6 α ≠ 0 sin 6 α − cos 6 α ≠ 1 1 − 3 sin 2 α cos 2 α ≠ 1 sin 2 α cos 2 α ≠ 0 sin α ≠ 0 ∧ cos α ≠ 0 www.matematiranje.com

11

TRIGONOMETRIJSKI KRUG Uglovi mogu da se mere u stepenima i radijanima. Sa pojmom stepena smo se upoznali još u osnovnoj školi i ako se sećate , njega smo podelili na minute i sekunde.( 10=60` , 1`=60`` ). Da bi objasnili šta je to radijan, posmatraćemo kružnicu poluprečnika R .Obim kružnice se računa po formuli O= 2R π , a znamo da je π ≈ 3,14 .Ako uzmemo deo te kružnice (kružni luk) koji je dužine baš R , njemu odgovara neki centralni ugao ϕ. Mera centralnog ugla koji odgovara luku dužine R je jedan radijan. Jasno je da onda pun ugao ima 2 π radijana. Odnosno: 3600=2 π radijana

1800= π

10 = 1`=

Važi dakle:

1rad =

180

radijana

π 180 ∗ 60

1``=

I obrnuto:

π

radijana

π

180 ∗ 60 ∗ 60 180 0

π

ZAPAMTI

radijana

≈ 57 017`45``

Primer 1: Nađi radijansku meru ugla od: a)75 0

b)245 0 v)82 0 30` Rešenje:

a)

Kako je 10 =

π

radijana to je 75 0 = 75

180 49π π b) 245 0 = 245 = 180 36

v) 82 0 30`= 82

π

180

+ 30

π

180 ∗ 60

=

π 180

=

5π 12

11π 24 www.matematiranje.com

Primer 2. Naći meru u stepenima ugla čija je radijanska mera: 3π a) 4 11π b) 6 v)5radijana Rešenje: 3π 3 ∗ 180 = = 135 0 4 4 11π 11 ∗ 180 = = 330 0 b) 6 6 v)5radijana = 5(57 017`45``) a)

= 285 0 85`225`` = 285 0 88`45`` = 286 0 28`45`` Dalje smo ugao definisali kao dve poluprave sa zajedničkim početkom.A možemo razmišljati i ovako:Uočimo jednu polupravu koja može da se obrće oko svoje početne tačke O.Pri obrtanju ćemo razlikovati dva smera: POZITIVAN – smer suprotan od smera kretanja kazaljke na časovniku i NEGATIVAN- smer kretanja kazaljke časovnika. Ako obeležimo sa a početni a sa b završni položaj poluprave nakon obrtanja oo tačke O u jednom ili drugom smeru, ugao ab zovemo ORIJENTISAN UGAO. b

O

a

TRIGONOMETRIJSKI KRUG je krug poluprečnika 1 čiji je centar u koordinatnom početku. www.matematiranje.com

y

. A(1,0)

x

0

Tačka A(1,0) koja pripada trigonometrijskom krugu zove se POČETNA tačka. Na trigonometrijskom krugu ćemo posmatrati različite lukove koji svi počinju u tački A. Luk koji obilazimo u smeru suprotnom od kazaljke na časovniku je POZITIVAN luk, a u smeru kazaljke je NEGATIVAN luk. Uglovi po kvadrantima idu ovako: y π 2

II

I

.0 2π

3π 2

III

iz I kvadranta: 0 < α < iz II kvadranta :

π 2

IV

π 2

<α <π

iz III kvadranta : π < α < iz IV kvadranta :

x

3π 2

3π < α < 2π 2 www.matematiranje.com

3π , su granični i uzima se da nisu ni u jednom kvadrantu. 2 2 Uglove čije ćemo vrednosti očitavati sa trigonometrijskog kruga su sledeći: Uglovi 0,

π

, π,

π 2

90o = 120o = 135o = 150o =

3π 4

2π 3

60o = 1

π 3

45o =

5π 6

30o =

π 6

0o = 360o = 2π

180o = π −1

210o =

π 4

1

7π 6

225o =

330o = 5π 4

240o =

315o =

−1

4π 3

300o = 270o =

3π 2

5π 3

11π 6

7π 4

Sinus i kosinus proizvoljnog ugla

Za bilo koji proizvoljan ugao uvek jedan krak poklopimo sa x osom, tj, sa početnom tačkom A(1,0), drugi krak seče trigonometrijski u nekoj tački M(x0,y0). Iz te tačke spustimo normale na x i y osu. Te dužine su:

-

Na x-osi cos α ( cos α =x0)

-

Na y-osi sin α (sin α =y0)


y

M(x0,y0) sin x

. cos

Evo našeg predloga kako da zapamtite vrednosti i da ih “ pročitate” sa kruga. Zapamtimo tri broja:

1 , 2

2 , 2

3 2

koji su poređani od najmanjeg do najvećeg. Broj u sredini

2 odgovara uglovima koji su sredine kvadranata! 2

Znači sinusi i kosinusi uglova od 45 , 135 , 225 i 315 stepeni imaju vrednost

2 , samo vodimo računa da li 2

2 2 ili . 2 2 Evo to na slikama , pa će biti jasnije: y je ta vrednost

+

1 45

x

. 0

sin 450=cos450=

0

1

2 2 www.matematiranje.com

135

0

y 1

-1

x

. 0

sin 1350=

2 2 a cos 1350= 2 2 y

-1

225

x

.

0

sin 2250= -

-1

2 2

2 2

cos 2250= y

.

-1

x 1

315

0

sin 3150= -

2 2

a cos 3150=


Ta ostale uglove vrednosti će biti

2 2

ili

3 , naravno opet gledamo da li je + ili - . 2

Evo par primera: Primer1. sin 600 i cos 600

Nađi

y 0

60

sin 60

0

x

. cos 60

0

Kako ugao od 600 nije sredina kvadranta, to će vrednosti za sin 600 i cos 600 biti pozitivne.Pošto je crta za sin 600 duža, ona mora biti

3 i to obe 2

3 1 (jer je veći broj) a cos 600 je jer je crta tu kraća. 2 2

3 1 i cos 600 = 2 2

sin 600=

Dakle:

1 i 2

Primer 2.

Nađi sin1500 i cos 1500 y 150

0

0

sin 150

.

x

0

cos 150

Crta za sin1500 je kraća i pozitivna a crta za cos 1500 je duža i negativna, pa je : sin1500=

1 3 a cos 1500=2 2

Primer 3.

Nađi sin

4π 4π i cos . 3 3

Ako date uglove u radijanima prebacimo u stepene, dobijamo da je to y

0

cos240

4π = 2400 3

x

. 0

sin240

0

240

Znači, radi se o uglu u trećem kvadrantu i nije sredina kvadranta. Primetićemo da su obe vrednosti negativne, 4π 3 4π 1 i cos ==sinus je duži a kosinus kraći. Zaključujemo: sin 3 2 3 2 Primer 4. Nađi sin(- 300)

i cos(- 300)

Ovaj ugao, pošto je negativan ide u smeru kazaljke na satu. U pozitivnom smeru to bi bio ugao od 3300. y

0

cos(-30 )

x

.

0

sin(-30 ) 0

-30

sin(- 300) = sin 3300=-

1 2

i

cos(- 300)=cos3300=

Da pogledamo šta je sa uglovima od

0,

π 2

, π,

3 2

3π 2 www.matematiranje.com

y

0

.0 1

x

Kraci ovog ugla se poklapaju , x cos00=1 (cela crta) a sin00=0 (nema crte)

osu

seku

do

jedinice,

a

y

osu

nigde,

zato

je

y 1

0

90

.

x

Ugao od 900 seče y osu po celoj crti a x osu nigde. Pa je sin 900=1 a cos 900=0 y

180

0

.

x

-1

sin 1800=0

cos 1800= - 1 www.matematiranje.com

y

.

0

270

x

-1

sin2700=-1 cos 2700=0 Tangens i kontangens proizvoljnog ugla

Već smo se ranije upoznali sa formulama tgα =

sin α cos α i ctgα = , naravno pod uslovima da cos α sin α

su imenioci različiti od nule. Možemo zaključiti da je tg α definisan za cos α ≠ 0 ,odnosno za α ≠ A ctg α za sin α ≠ 0, odnosno za α ≠ k π , k ∈ Z

π 2

+k π , k ∈ Z

To znači da ako znamo da nađemo sin α i cos α , znamo i tg α i ctg α Primer 1.

Nađi: a) tg

π

4 b) ctg 3000

2 0 sin 45 a) tg = tg 450= = 2 =1 0 4 cos 45 2 2 1 0 cos 300 3 b) ctg 3000= = 2 =− 0 3 sin 300 3 − 2

π


Naučimo sada gde se čitaju tangensi i kotangensi na trigonometrijskom krugu. Uočimo pravu x=1. Ona očigledno prolazi kroz tačku A(1,0) i paralelna je sa y osom.Jedan krak datog ugla α opet poklopimo sa x osom a drugi krak će seći ovu pravu x=1 koju ćemo zvati TANGENSNA osa . Odsečak na tangensnoj osi je ustvari vrednost za tg α . Evo to na slici: y

tg x . A(1,0)

tangensna osa

Uočimo sada pravu y=1 koja prolazi kroz tačku B(0,1) i paralelna je x osi. Tu pravu ćemo zvati KOTANGENSNA osa i na njoj ćemo očitavati vrednost za kotangense uglova. Evo slike:

y B(0,1)

c tg

kotangensna osa

.

x


Ovde razmišljamo slično kao za sinuse i cosinuse, samo moramo da zapamtimo nova tri broja : 3 , 3

1,

3

Broj 1, pozitivan ili negativan je vrednost za tangense i kotangense uglova koji su sredine kvadranata, tj. za 45,135,225 i 315 stepeni a za ostale uglove gledamo dužinu CRTA koje odsecaju

na tangensnoj i kotangesnoj osi i da li je pozitivna ili negativna. Veća crta je

3 , a manja je

3 3

Evo nekoliko primera: y ctg45

0

0

tg45

x

0

45

.

tg450=1 i ctg450=1 Sredina kvadranta je u pitanju, pa su vrednosti 1. y ctg120

0

0

120

x

.

0

tg120

PAZI: Pošto krak ugla ne seče tangensnu osu ,moramo ga produžiti do preseka sa osom. Uočimo da su obe vrednosti negativne i da je tangens duži a kotangens kraći!

Dakle : tg 1200= -

3 i ctg 1200= -


y ctg240

0

0

tg240 0

240

tg2400=

3

.

i ctg 2400=

x

3 (uoči dužine ovih podebljanih crta) 3

Šta je sa graničnim uglovima? y π 2

.0 2π

x

3π 2

Za 0 stepeni vidimo da ugao ne seče nigde tangensnu osu , pa je tg00=0, za ctg00 krak i kotangensna osa idu paralelno, pa kažemo da ctgx teži beskonačnosti kad x teži nuli u pozitivnom smeru. Slično je za ugao od 1800. Opet je tangens nula a kotangens teži - ∞ . Za ugao od 900

je obrnuta situacija: ctg900=0 a

Za ugao od 2700

je ctg2700=0 a

tg900 teži + ∞ .

tg2700 teži - ∞ . www.matematiranje.com

π 2

90o = 120o = 135o =

3π 4

2π 3

60o =

π 3

1

45o =

3 2

5π 150 = 6 o

π 4 30o =

2 2

π 6

1 2

180o = π

− −1

−

0o = 360 o = 2π

2 2

3 2

−

1 2

1 2

−

210o =

7π 6

225o =

−

240o =

4π 3

1

1 2

330o =

2 2 −

5π 4

3 2

2 2

3 2

315o =

−1

300o = 270o =

3π 2

5π 3

11π 6

7π 4

Evo male pomoći za one koji su naučili da se snalaze na krugu! www.matematiranje.com

SVODJENJE NA I KVADRAT

Kao što smo videli do sada, trigonometrijske funkcije uglova I kvadranta izračunavaju se na isti način kao trigonometrijske funkcije oštrih uglova pravouglog trougla. Pokazaćemo da se preko formula, trigonometrijske funkcije proizvoljnog ugla mogu izraziti preko trigonometrijskih funkcija odgovarajućeg ugla I kvadranta. Taj postupak se zove svodjenje na I kvadrat.

1) Iz II u I kvadrant Važe formule za: 0   

 2

  sin      cos  odnosno sin  900     cos  2     cos       sin  odnosno cos  900      sin  2 

sin(   )  sin 

  tg      ctg 2 

odnosno

tg  900     ctg

odnosno :

  ctg      tg 2 

odnosno

ctg  900     tg

cos(1800   )   cos 

cos(   )   cos  tg (   )  tg ctg (   )  ctg sin(1800   )  sin  tg (1800   )  tg ctg (1800   )  ctg

Primeri: a) sin 115 o  sin(90 o  25 o )  cos 25 o a može i:

sin115o  sin(180o  65o )  sin 65o Naravno, već smo videli ‘’veze’’ u I kvadrantu i znamo da je cos 25o  sin 65o . Tako da možete upotrebiti bilo koju formulu iz ove dve grupe. 3 2     cos      cos   4 4 4 2  o o o o v) tg141  tg 180  39   tg 39 g) ctg101o  ctg 90o  11o   tg11o b) cos

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

1

2) iz III u I kvadrant

Opet imamo dve grupe formula:  3  sin       cos   2   3  cos       sin   2 

sin(   )   sin  cos(   )   cos  tg (   )  tg ctg (   )  ctg to jest:

 3      ctg tg   2   3      tg ctg   2 

sin(1800   )   sin  cos(1800   )   cos  tg (1800   )  tg

tj. sin  2700      cos  tj.

cos  2700      sin 

tj.

tg  2700     ctg

tj

ctg  2700     tg

ctg (1800   )  ctg

Primeri:

4   3  3     sin     sin       sin   3 3 3 2  3 3  o o o o b) cos 207  cos180  27    cos 27 v) tg 263o  tg 270o  7 o   ctg 7 o 7    g) ctg  ctg      ctg  3 6 6 6  a) sin

3) Iz IV u I kvadrant

 3       cos  sin   2   3      sin  cos   2   3      ctg tg   2   3      tg ctg   2 

tj.

sin  2700      cos 

tj.

cos  2700     sin 

tj.

tg  2700     ctg

tj.

ctg  2700     tg

Ako posmatramo negativan ugao ( ) : sin(-  ) = - sin  cos(-  ) = cos  tg(-  ) = tg  ctg(-  ) = -ctg  Ovo nam govori da je jedino cos  parna funkcija (jer ‘’uništava’’ minus a sve ostale su neparne) www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

2

Primeri:





a) sin 307 o  sin 270o  37 o   cos 37 o





b) cos  30o  cos 30o  v) tg

3 2

 11 3    tg     tg   6 6 3  6

 3   g) ctg     ctg   3 3  3 Što se tiče periodičnosti funkcija sin x i cos x već smo uočili da važi:

sin(  2k )  sin 

odnosno

cos(  2k )  cos 

odnosno

sin(  3600  k )  sin  cos(  3600  k )  cos 

za k koji je bilo koji ceo broj. Dakle: osnovni period finkcija sin x i cos x je T  2 odnosno T  360o Primeri: a) sin 1170o  (oduzmimo od 1170o po 360o dok se ne dodje ‘’ ispod’’ 360o )

1170o  360o  810o 810  360o  450o 450o  360  90o Pa je: sin 1170o  sin 90o  1 ili možemo zapisati: sin 1170o  sin(90o  3  2 )  sin 90o b) cos 780o  (sličan postupak)

780o  360o  420o 420o  360o  60o Pa je cos 780o  cos 60o 

1 1 tj. cos 780o  cos(60o  360o )  cos 60o  2 2

Za tangense i kotangense važi: www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

3

tg (  k )  tg

odnosno

tg (  k 1800 )  tg

ctg (  k )  ctg

odnosno

ctg (  k 1800 )  ctg

Dakle: osnovni period funkcija tgx i ctgx je T   odnosno T  180o Primeri: a) tg 750 o  (odavde od 750 o oduzmemo po 180 o dok se ne ‘’ spustimo’’ ispod 180 o ) 750 o  180 o  570 o

570 o  180 o  390 390 o  180 o  210 o 210 o  180 o  30 o 3 3 o b) ctg  1110  ctg1110o  ctg 30o   3 tg 750 o  tg 30 o 





jer je

1110o  6 180o  30o

ZADACI: sin 750 o  cos 390o  tg1140 o 1) Uprostiti izraz: ctg 405o  sin 1860 o  cos 780 o Rešenja: Najpre ćemo upotrebom formula sve prebaciti u I kvadrant!!!

1 2 3 cos 390o  cos(30o  360o )  cos 30o  2 o o o o tg1140  tg (60  6 180 )  tg 60  3

sin 750o  sin(30o  2  360o )  sin 30o 

_________________________________________________________

ctg 405o  ctg (45o  2 180o )  ctg 45o  1 3 2 1 cos 780o  cos(60o  2  360o )  cos 60o  2 Vratimo ova rešenja u početni zadatak: sin1860o  sin(60o  5  360o )  sin 60o 

sin 750  cos 390  tg1140  ctg 405o  sin1860o  cos 780o o

o

o

1 3  3  2 2 3 1  1 2 2

 3


4

2) Uprosti izraz:

17 7 17  sin  tg 6 3 4 10 7 8 ctg  cos  sin 3 4 3

cos

Slično kao u prethodnom zadatku, sve prebacujemo u I kvadrant. 17 17 180o 3 cos  cos  cos 510o  cos150o  cos(180o  30o )   cos 30o   6 6 2 sin tg

7   6  sin   3 3 3

 3    o   sin   2   sin  sin 60  3 2  3 

 17   16    o  tg     tg   4   tg  tg 45  1 4 4 4 4 4    

_________________________________________________________________________

ctg

10   9  ctg   3 3 3

 3    o   ctg   3   ctg  ctg 60  3 3  3 

7 7 180o 2  cos  cos 315o  cos(45o )  cos 45o  4 4 2 8 2 2 180o  2 6   2  sin  sin    2   sin  sin  sin120o  sin(90o  30o )    sin  3 3  3 3  3  3  cos

 cos 30o 

3 2

Zamenimo ove vrednosti u zadatak: 3 3 17 7 17  1   sin  tg 3 3 2 3 2 2 2 6 3 4      10 7 8 2 2 2 2 3 2 3  cos  sin ctg   3 4 3 3 2 2 3) Dokazati indetitet: cos

sin   2 sin(   ) 1  tg cos(   )  cos  2 Kod indetiteta krenimo od jedne strane i transformišemo je, dok ne dodjemo do druge strane. www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

5

Važi: sin(   )  sin  cos(   )   cos  sin   2sin(   ) sin   2sin   sin     cos(   )  cos   cos   cos  2 cos  1 sin  1   tg 2 cos  2 4) Dokazati indetitet:  3      ctg     cos( ) cos  2  2    sin  cos(2   )tg (   )

Važi:   3 cos      sin    2   ctg      tg 2  cos( )  cos  cos(2   )  cos  tg (   )  tg Pa je:  3    cos     ctg     cos( ) ( sin  ) (tg ) (cos  )  2  2     sin  cos(2   )tg (   ) (cos  ) (tg )


6

ADICIONE FORMULE Zbir uglova

sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β tgα + tg β 1 − tgα ⋅ tg β ctgα ⋅ ctg β − 1 ctg (α + β ) = ctg β + ctgα

tg (α + β ) =

Razlika uglova sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tgα − tgβ 1 + tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ + 1 ctg (α − β ) = ctgβ − ctgα

tg (α − β ) =

Primećujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeni znaci!!! Naravno, učenicima je uvek problem da zapamte formule a ‘’bezobrazni’’ profesori im ne daju da ih koriste iz knjige. Naš je savet da probate da sebi stvorite ‘’asocijaciju’’ koja će vam pomoći da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju ‘’asocijaciju’’: Zapamtite dve male ‘’pesmice’’ koje odgovaraju na dve početne formule:

sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β “sin - ko više ko-si “ Uvek prvo pišite ugao α pa β

∧

cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β “kosi-kosi manje sine-sine”

Za tg (α + β ) znamo da je: sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β tg (α + β ) = = (sad gde vidite sinus zamenite cos(α + β ) cos α cos β + sin α sin β tgα ⋅1 + 1 ⋅ tgβ tgα + tgβ = ga sa tangens a kosinus sa jedinicom) = 1⋅1 − tgαtgβ 1 − tgαtgβ www.matematiranje.com

1

cos(α + β ) cos α cos β − sin α sin β = = (zamenite sinus sa 1, a kosinus sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β ctgαctgβ − 1⋅1 ctgα ⋅ ctgβ − 1 = sa kotanges) = ctgβ + tgα 1 ⋅ ctgβ + ctgα ⋅1 Za ctg (α + β ) =

Znači zapamtili smo ‘’sinko više kosi’’ i ‘’kosi kosi manje sine sine’’ i izveli smo formule za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!!! 1) Naći bez upotrebe računskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova od a)15, 75, i b) 105 stepeni a)

sin15o = sin(45o − 30o ) = sin 45o ⋅ cos 30o − cos 45o sin 30o 2 3 2 1 2( 3 − 1) ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2 4 o o o cos15 = cos(45 − 30 ) =

= cos 45o cos 30o + sin 45o sin 30o 2 3 2 1 2( 3 + 1) ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 4 tg 45o − tg 30o tg15o = tg (45o − 30o ) = 1 + tg 45o tg 30o =

3 3− 3 3 = 3 = 3− 3 = 3 3+ 3 3+ 3 1+ 3 3 3− 3 = racionališemo sa 3− 3 1−

(3 − 3 ) =

2

32 − 3

2

=

(

Naravno tg15o smo mogli izračunati i lakše tg15o =

ctg15o =

)

9 − 6 3 + 3 12 − 6 3 6 2 − 3 = = = 2− 3 9−3 6 6 sin 15o … cos15o

1 1 2+ 3 2+ 3 = = 2+ 3 = ⋅ o 4−3 tg15 2− 3 2+ 3 www.matematiranje.com

2

sin 75o = sin(45o + 30o ) = sin 45o cos 30o + cos 45o sin 30o = =

2 3 2 1 ⋅ + ⋅ 2 2 2 2 2

(

)

3 +1

4 cos 75 = cos(45o + 30o ) o

= cos 45o cos 30o − sin 45o sin 30o = =

2 3 2 1 ⋅ − ⋅ 2 2 2 2 2

(

)

3 −1 4

( (

) )

2 3 +1 3 +1 4 = = (moramo opet racionalizaciju) 2 3 −1 3 −1 4 3 +1 3 +1 3 + 2 3 +1 4 + 2 3 2 2 + 3 = ⋅ = = = = 2+ 3 3 −1 2 2 3 −1 3 + 1

sin 75o = tg 75o = cos 75o

(

ctg 75o =

)

1 1 2− 3 = ⋅ = 2− 3 o tg 75 2+ 3 2− 3

⎛π ⎞ b) sin 105o = sin(90o + 15o ) = sin ⎜ + 15o ⎟ = (imamo formulu) = cos15o = ⎝2 ⎠ 2 ( 3 + 1) (a ovo smo već našli) = 4 Naravno, isto bismo dobili i preko formule sin 105o = sin 60o + 45o

(

)

2( 3 − 1) ⎛π ⎞ cos105o = cos ⎜ + 15o ⎟ = − sin15o = − 4 ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg105o = tg ⎜ + 15o ⎟ = −ctg15o = −( 2 + 3) ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ ctg105o = ctg ⎜ + 15o ⎟ = −tg15o = −( 2 − 3) ⎝2 ⎠

opet ponavljamo da može I ideja da je tg1050 = tg (60o + 45o ) …itd. www.matematiranje.com

3

1 2 o o o o sin 20 cos10 + cos 20 sin 10 = (ovo je: sin α cos β + cos α sin β = sin(α + β ) ) 1 = sin(20o + 10o ) = sin 30o = 2 3 b) cos 47 o cos17 o + sin 47 o sin 17 o = 2 o o o o cos 47 cos17 + sin 47 sin 17 = (ovo je: cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β ) ) 2)a) Proveri jednakost sin 20 o cos10 o + cos 20 o sin 10 o =

= cos(47 o − 17 o ) = cos 30o =

3 2

3 5 ⎛ π ⎞ ⎛ 3π ⎞ 3) Izračunati sin(α + β ) , ako je sin α = + , cos β = − i α ∈ ⎜ , π ⎟, ⎜ π , ⎟ 5 13 ⎝2 ⎠⎝ 2 ⎠ sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β Znači ‘’fale’’ nam cos α i sin β . Njih ćemo naći iz osnovne indentičnosti: sin 2 α + cos 2 α = 1

sin 2 β + cos 2 β = 1

cos 2 α = 1 − sin 2 α

sin 2 β = 1 − cos 2 β

⎛3⎞ cos α = 1 − ⎜ ⎟ ⎝5⎠ 9 cos 2 α = 1 − 25 25 − 9 cos 2 α = 25 16 cos 2 α = 25 16 cos α = ± 25 4 cos α = ± 5

2

2

2

⎛ 5⎞ sin β = 1 − ⎜ − ⎟ ⎝ 13 ⎠ 169 − 25 sin 2 β = 169 144 sin 2 β = 169 144 sin β = ± 169 12 sin β = ± 13 ovde su sinusi negativni Dakle: 12 sin β = − 13 2

Dal da uzmemo + ili – to nam govori lokacija ugla ⎛π ⎞ α ∈ ⎜ ,π ⎟ ⎝2

⎠

Ovde su kosinusi negativni! Znači da je cos α = −

4 5 4

Vratimo se da izračunamo sin (α + β ) 3 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 12 ⎞ 15 48 33 sin (α + β ) = ⋅ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ = − + = 5 ⎝ 13 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎝ 13 ⎠ 65 65 65 12 ⎛π ⎛π ⎞ ⎞ 4) Izračunati tg ⎜ + α ⎟ za koje je sin α = i α ∈ ⎜ ,π ⎟ 13 ⎝4 ⎝2 ⎠ ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ ⎟ + tgα 1 + tgα ⎛π ⎞ ⎝4⎠ = tg ⎜ + α ⎟ = ⎝4 ⎠ 1 − tg ⎛ π ⎞ ⋅ tgα 1 − tgα ⎜ ⎟ ⎝4⎠ sin α Pošto je tgα = , znači moramo naći cos α cos α sin 2 α + cos 2 α = 1 2

⎛ 12 ⎞ 2 ⎜ ⎟ + cos α = 1 ⎝ 13 ⎠ 144 cos 2 α = 1 − 169 169 − 144 cos 2 α = 169 25 cos 2 α = 169 25 cos α = ± 169 5 cos α = ± 13 ⎛π ⎞ Da li uzeti + ili – ? α ∈ ⎜ , π ⎟ ⎝2 ⎠

12 tgα = 13 5 − 13 12 tgα = − 5 Vratimo se u zadatak: 12 1− π ⎛ ⎞ 5 tg ⎜ + α ⎟ = 12 ⎝4 ⎠ 1+ 5 −7 7 ⎛π ⎞ 5 =− tg ⎜ + α ⎟ = 17 ⎝4 ⎠ 17 5

Ovde su kosinusi negativni!!! Dakle

cos α = −


5

5) Ako su α i β oštri uglovi i ako je tgα =

π 1 1 i tgβ = pokazati da je α + β = 2 3 4

Ispitajmo koliko je tg (α + β ) = ? 5 1 1 + tgα + tgβ tg (α + β ) = = 2 3 = 6 =1 1 − tgαtgβ 1 − 1 ⋅ 1 5 2 3 6 Znači: tg (α + β ) = 1 , ovo je moguće u 2 situacije: α + β = 45o ili α + β = 225 o pošto su α i β oštri uglovi, zaključujemo:

α + β = 45o tj. α + β =

π 4

6) Dokazati da je (2 + 3tg 2 y )tg ( x − y ) = tgy , ako je 2tgx − 3tgy = 0

(2 + 3tg 2 y )tg ( x − y ) = tgx − tgy 3tgy = (pošto je 2tgx − 3tgy = 0 zaključujemo tgx = ) (2 + 3tg 2 y ) ⋅ 1 + tgxtgy 2 3tgy − tgy 2 2 = (2 + 3tg y ) ⋅ 3tgy 1+ ⋅ tgy 2 3tgy − 2tg 2 (2 + 3tg 2 y ) ⋅ = 2 + 3tg 2 y 2 3tgy − 2tgy (2 + 3tg 2 y ) ⋅ = tgy 2 + 3tg 2 y Ovim je dokaz završen. 7) Dokazati identitet:

sin(α + β ) tgα + tg β = cos(α − β ) 1 + tgα tg β sin(α + β ) sin α cos β + cos α sin β = = (sada ćemo izvući: cos α cos β i gore i cos(α − β ) cos α cos β + sin α sin β dole)


6

⎛ sin α sin β ⎞ + cos α cos β ⎜ cos α cos β ⎟⎠ tgα + tg β ⎝ = = ⎛ sin α sin β ⎞ 1 + tgα ⋅ tg β cos α cos β ⎜1 + ⋅ ⎟ ⎝ cos α cos β ⎠

π 2 +1 1 ⎛ π⎞ , tgβ = i α , β ∈ ⎜ 0, ⎟ , dokazati da je α − β = 4 2 −1 2 ⎝ 2⎠

8) Ako je tgα =

Sredimo prvo izraze tgα i tgβ tgα =

2 +1 2 −1

(izvršimo racionalizaciju)

2 +1 2 +1 tgα = ⋅ = 2 −1 2 +1

(

)

2 +1 2

2

2 − 12

=

2 + 2 2 +1 2 −1

tgα = 3 + 2 2

tg β =

1 1 2 2 = ⋅ = 2 2 2 2

tg β =

2 2

tg (α − β ) =

tgα − tg β = 1 + tgα ⋅ tg β

3+ 2 2 −

(

2 2

2 1+ 3+ 2 2 2

)

= 2 je zajednički i gore i dole=

6+4 2 − 2 6+3 2 2 2 = = =1 2 3 2 4 6+3 2 + + 2 2 2 2 Dakle tg (α − β ) = 1 , to nam govori da je α − β = 45o ili α − β = 225o . Pošto u zadatku

π ⎛ π⎞ kaže da je α , β ∈ ⎜ 0, ⎟ zaključujemo α − β = 45o tj. α − β = što je i trebalo 4 ⎝ 2⎠ dokazati! www.matematiranje.com

7

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE DVOSTRUKOG UGLA Formule su: 1. sin 2α = 2 sin α cos α 2. cos 2α = cos 2 α − sin 2 α 2tgα 3. tg 2α = 1 − tg 2α

4. ctg 2α = Primeri: 1) a) sin 2α =

ctg 2α − 1 2ctgα

2tgα Dokazati. 1 + tg 2α

sin 2α = 2sin α cos α = (uvek možemo u imenioci dopisati 1, zar ne?)=

sin 2α =

2sin α cos α 2sin α cos α = = (trik: izvučemo zajednički i gore i dole 1 sin 2 α + cos 2 α

cos 2 α )=

2sin α 2tgα 2tgα cos α = 2 = 2 ⎛ sin α ⎞ tg α + 1 1 + tg 2α 2 cos α ⋅ ⎜ + 1⎟ 2 ⎝ cos α ⎠ cos 2 α ⋅

b) cos 2α =

1 − tg 2α 1 + tg 2α

Dokazati.

cos 2 α − sin 2 α cos 2 α − sin 2 α cos 2α = cos α − sin α = = = (isti trik izvučemo 1 sin 2 α + cos 2 α cos 2 α i gore i dole) ⎛ sin 2 α ⎞ cos 2 α ⎜ 1 − ⎟ 2 2 2 ⎝ cos α ⎠ = 1 − tg α = 1 − tg α , što je i trebalo dokazati. = ⎛ sin 2 α ⎞ tg 2α + 1 1 + tg 2α 2 + 1⎟ cos α ⎜ 2 ⎝ cos α ⎠ 2

2


1

v) sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α Dokazati.

sin 3α = sin( 2α + α ) → Iskoristimo formulu sin(⊕ + ) = sin ⊕ cos + cos⊕ sin = sin 2α cos α + cos 2α sin α → sad formule za dvostruki ugao = (2 sin α cos α ) cos α + (cos 2 α − sin 2 α ) ⋅ sin α = 2 sin α cos 2 α + sin α cos 2 α − sin 3 α = 3 sin α cos 2 α − sin 3 α (sad ćemo iz sin 2 α + cos 2 α = 1 izraziti cos 2 α = 1 − sin 2 α )

= 3sin α (1 − sin 2 α ) − sin 3 α = 3sin α − 3sin 3 α − sin 3 α = 3sin α − 4sin 3 α 4 Nadji vrednosti za dvostruke uglove ako je α u IV kvadrantu. 5

g) cos α =

Najpre ćemo izračunati sin α sin 2 α + cos 2 α = 1 sin 2 α = 1 − cos 2 α ⎛4⎞ sin α = 1 − ⎜ ⎟ ⎝5⎠ 16 sin 2 α = 1 − 25 9 sin 2 α = 25 9 sin α = ± 25

2

2

3 3 sin α = ± , pošto je ugao iz IV kvadranta uzećemo da je sin α = − 5 5 Sada je:


2

sin 2α = 2 sin α cos α ⎛ 3⎞ 4 = 2⎜ − ⎟ ⋅ ⎝ 5⎠ 5 24 =− 25 cos 2α = cos 2 α − sin 2 α 2

2

7 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 16 9 = ⎜ ⎟ −⎜− ⎟ = − = 25 25 25 ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ 24 − sin 2α 24 tg 2α = = 25 = − 7 cos 2α 7 25

2) sin α =0,6 i α pripada prvom kvadrantu, nadji vrednosti za dvostruke uglove.

Sada ćemo prvo naći cos α

sin 2 α + cos 2 α = 1 cos 2 α = 1 − sin 2 α cos 2 α = 1 − (0,6) 2 cos 2 α = 1 − 0,36 cos 2 α = 0,64 cos α = ± 0,64 cos α = ±0,8 cos α = +0,8

sin 2α = 2sin α cos α = 2 ⋅ 0, 6 ⋅ 0,8 3 4 24 = 2⋅ ⋅ = 5 5 25 cos 2α = cos 2 α − sin 2 α 2

2

7 ⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞ = ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ = 25 ⎝ 5⎠ ⎝5⎠ 24 sin 2α 25 tg 2α = = 7 cos 2α 25 24 tg 2α = 7

3)Dokazati a) sin 15o cos15o =


3

sin15o cos15o = (trik je da dodamo

2 ) 2

2 sin 150 cos150 = = (ovo u brojiocu je formula za sin 2α = 2 sin α cos α ) 2 1 o sin 30 1 = = 2= 2 2 4 b) 1 − 4 sin 2 α cos 2 α = cos 2 2α

1 − 4sin 2 α cos 2 α = (pošto je formula sin 2α = 2 sin α cos α , to je 4 sin 2 α cos 2 α = sin 2 2α ) pa je 1 − 4sin 2 α cos 2 α = 1 − sin 2 2α = cos 2 2α 4) Dokazati a) 2 sin 2 α + cos 2α = 1

2 sin 2 α + cos 2α = 2 sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α = 1 b) cos 4 α + sin 4 α = 1 − 0,5 sin 2 α

Da bi ovo dokazali podjimo od indentiteta: sin 2 α + cos 2 α = 1 / Kvadriramo sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α = 1 sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2sin 2 α cos 2 α 4sin 2 α cos 2 α 2 1 sin 4 α + cos 4 α = 1 − sin 2 2α 2 4 4 sin α + cos α = 1 − 0,5sin 2 2α sin 4 α + cos 4 α = 1 −

( dodamo

2 izrazu 2sin 2 α cos 2 α ) 2

(ovde je 4sin 2 α cos 2 α = sin 2 2α )

5) Dokazati indetitet:

cos 4α + 4 cos 2α + 3 = 8 cos 4 α Rešenje: Poći ćemo od leve strane da dokažemo desnu. www.matematiranje.com

4

cos 4α + 4 cos 2α + 3 = cos 2 ⋅ (2α ) + 4(cos 2 α − sin 2 α ) + 3 = cos 2 (2α ) − sin 2 (2α ) + 4 cos 2 α − 4sin 2 α + 3 = (cos 2 α − sin 2 α ) 2 − (2sin α cos α ) 2 + 4 cos 2 α − 4sin 2 α + 3 = (cos 2 α − (1 − cos 2 α )) 2 − 4sin 2 α cos 2 α + 4 cos 2 α − 4sin 2 α + 3 = [zamenimo sin 2 α = 1 − cos 2 α ] (2 cos 2 α − 1) 2 − 4 cos 2 α (1 − cos 2 α ) + 4 cos 2 α − 4(1 − cos 2 α ) + 3 = 4 cos 4 α −4 cos 2 α + 1 −4 cos 2 α + 4 cos 4 α +4 cos 2 α − 4 +4 cos 2 α + 3 = = 8cos 4 α

A ovo smo trebali dokazati!! 6) Ako je sin

x x + cos = 1,4 2 2

izračunati sin x

Rešenje: Kvadriraćemo datu jednakost. x x + cos = 1, 4 / () 2 2 2 x x x x x x sin 2 + 2sin cos + cos 2 = 1,96 [ovde je 2sin cos = sin x] 2 2 2 2 2 2 1 + sin x = 1,96 sin x = 1,96 − 1 sin

sin x = 0,96 7) Predstavi tg 3α kao funkciju od tgα

Rešenje: tg 3α = tg (2α + α ) =

tg 2α + tgα = 1 − tg 2α ⋅ tgα

2tgα + tgα (1 − tg 2α ) 2tgα + tgα 1 − tg 2α 1 − tg 2α = = 2tgα 1 − tg 2α + 2tg 2α 1 − tgα ⋅ 1 − tg 2α 1 − tg 2α =

2tgα + tgα − tg 3α 3tgα − tg 3α = 1 + tg 2α 1 + tg 2α www.matematiranje.com

5

8) Dokaži indetitet:

1 + sin 2α ⎛π ⎞ = 2 cos⎜ − α ⎟ sin α + cos α ⎝4 ⎠ Rešenje: 1 + sin 2α sin 2 α + cos 2 α + 2sin α cos α (sin α + cos α ) 2 = = sin α + cos α sin α + cos α sin α + cos α 2 = sin α + cos α = (trik: kod oba sabiraka ćemo dodati tj. 2 2

2

2 ) 2

2

2 2 sin α + cos α = izvučemo 2 kao zajednički 2 2 ⎛ 2 ⎞ 2 2 2 π π 2 ⎜⎜ sin α + cos α ⎟⎟ = pošto je sin = i cos = zamenimo u izraz 4 2 4 2 2 2 ⎝ ⎠ π ⎞ ⎛ π 2 ⎜ sin sin α + cos cos α ⎟ = malo pretumbamo 4 4 ⎝ ⎠ π π⎞ ⎛ 2 ⎜ cos cos α + sin α sin ⎟ = ovo u zagradi je formula za cos(α − β ) 4 4⎠ ⎝ ⎞ ⎛π 2 cos⎜ − α ⎟ ⎝4 ⎠ www.matematiranje.com

6


TRANSFORMACIJE ZBIRA I RAZLIKE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA U PROIZVOD I OBRNUTO Formule su: 1. sin α + sin β = 2 sin

α +β

cos

α −β

2 2 α +β α −β 2. sin α − sin β = 2 cos sin 2 2 α +β α −β 3. cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α +β α −β sin 4. cos α − cos β = −2 sin 2 2

sin(α ± β ) cos α cos β sin(α ± β ) 6. ctgα ± ctgβ = sin α sin β 5. tgα ± tgβ =

1 7. sin x ⋅ cos y = [sin( x + y ) + sin( x − y )] 2 1 8. cos x ⋅ sin y = [sin( x + y ) − sin( x − y )] 2 1 9. cos x ⋅ cos y = [cos( x + y ) + cos( x − y )] 2 1 10. sin x ⋅ sin y = − [cos( x + y ) − cos( x − y )] 2 Primeri : 1) Transformisati u proizvod

a) sin 20 o + cos 50 o b) sin 56 o − cos 56 o v) sin α − sin β

1

www.matematiranje.com a) sin 20o + cos 50o = (pošto nam formula za zbir sinusa i kosinusa, upotrebom veza u I kvandrantu, prebacićemo: cos 50o = sin 40o ) = sin 20 o + sin 40 o = 2 sin

20o + 40 o 20o − 40 o cos 2 2

= 2 sin 30o cos(−10 o ) = 2 sin 30o cos10 o 1 = 2 ⋅ cos10 o = cos10o 2

b) sin 56o − cos 56o = = sin 56o − sin 34o 56o + 34o 56o − 34o sin 2 2 o o = 2 cos 45 sin11 = 2 cos

= 2⋅

v)

2 sin11o = 2 sin11o 2

sin α − sin β = ⎛π ⎞ = sin α − sin ⎜ − α ⎟ ⎝2 ⎠ = 2 cos

= 2 cos

= 2 cos = 2⋅

α +

π 4

π 4

π 2 2

−α sin

α−

π

sin

2 2

2α − sin

⎛π ⎞ −α ⎟ ⎝2 ⎠ 2

α −⎜

+α

π 2

2

2 π⎞ ⎛ sin ⎜ α − ⎟ 2 4⎠ ⎝

π⎞ ⎛ = 2 sin ⎜ α − ⎟ 4⎠ ⎝

2

www.matematiranje.com 2) Dokazati da je:

a) sin 15o sin 75o = 0,25 b) cos135o cos 45o = −0,5 a) sin15o sin 75o =

1 ⎡⎣sin(15o + 75o ) + sin(15o − 75o ) ⎤⎦ 2

1 ⎡⎣sin 90o + sin( −60o ) ⎤⎦ pazi: sinx je neparna funkcija sin(-x) = -sinx 2 1 = ⎡⎣sin 90o − sin 60o ⎤⎦ 2 1 ⎡ 1⎤ 1 1 1 = ⎢1 − ⎥ = ⋅ = = 0, 25 2 ⎣ 2⎦ 2 2 4 =

b) cos135o cos 45o =

1 ⎡⎣ cos(135o − 45o ) + cos(135o + 45o ) ⎤⎦ 2

1 ⎡cos 90o + cos180o ⎦⎤ ⎣ 2 1 1 = [ 0 − 1] = − = −0,5 2 2 =

3)

a) sin5x sin3x=?

Izračunati

x x x b) cos cos cos = ? 2 3 4

a) sin 5 x sin 3x = =

1 [cos(5 x − 3x) − cos(5 x + 3x)] 2

1 [cos 2 x − cos 8 x] 2

b)

x x x cos cos cos = ( grupišemo prva dva na koja ćemo upotrebiti formulu, a 2 3 4 cos

x neka sačeka!!!) 4

3

www.matematiranje.com x x⎞ x ⎛ = ⎜ cos cos ⎟ ⋅ cos 2 3⎠ 4 ⎝ x 1⎡ ⎛ x x⎞ ⎛ x x ⎞⎤ = ⎢cos ⎜ − ⎟ + cos ⎜ + ⎟ ⎥ ⋅ cos 2⎣ ⎝2 3⎠ 4 ⎝ 2 3 ⎠⎦ =

x 1⎡ ⎛ x⎞ ⎛ 5x ⎞⎤ cos ⎜ ⎟ + cos ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ cos ⎢ 2⎣ ⎝6⎠ 4 ⎝ 6 ⎠⎦

x x 1 x 1 5x (cos ⋅ cos ) + (cos ⋅ cos ) → ovde opet upotrebimo formulu za izraze u zagradama 2 6 4 2 6 4 1 1⎡ ⎛ x x⎞ ⎛ x x ⎞⎤ 1 1 ⎡ ⎛ 5x x ⎞ ⎛ 5x x ⎞⎤ = ⋅ ⎢cos ⎜ − ⎟ + cos ⎜ + ⎟ ⎥ + ⋅ ⎢ cos ⎜ − ⎟ + cos ⎜ + ⎟ ⎥ 2 2⎣ ⎝6 4⎠ ⎝ 6 4 ⎠⎦ 2 2 ⎣ ⎝ 6 4 ⎠ ⎝ 6 4 ⎠⎦ =

=

1⎡ −x 5x ⎤ 1 ⎡ 7x 13 x ⎤ cos + cos + cos + cos 4 ⎢⎣ 12 12 ⎥⎦ 4 ⎢⎣ 12 12 ⎥⎦

=

1⎡ 5x 7x 13 x ⎤ x cos + cos + cos + cos ⎢ 4 ⎣ 12 12 12 12 ⎥⎦

3 8 3 b) cos10o cos 50o ⋅ cos 70o = 8 a) sin 20o ⋅ sin 40o ⋅ sin 80o = upakujemo prvi i treći činilac po formuli.

4) Dokazati da je :

a) sin 20o ⋅ sin 40o ⋅ sin 80o =

1 sin 20o ⋅ sin 40o ⋅ sin 80o = (sin 20o ⋅ sin 80o ) ⋅ sin 40o = [cos(200 − 800 ) − cos(200 + 800 )] ⋅ sin 40o 2 1 ⎡⎣cos 60o − cos100o ⎤⎦ sin 40o 2 1 1 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ = sin 40o ⎢ − cos100o ⎥ → {Znamo da je − cos100o = cos80o , pa je } = sin 40o ⎢ + cos800 ⎥ 2 2 ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦ 1 1 = sin 40o + sin 40o cos80o 4 2 1 1 ⎡1 ⎤ = sin 40o + ⎢ (sin120o + sin(−40o )) ⎥ 4 2 ⎣2 ⎦ 1 1 = sin 40o + (sin120o − sin 40o ) 4 4 1 1 1 = sin 40o + sin120o − sin 40o 4 4 4 1 1 3 3 = sin120o = ⋅ = 4 4 2 8

4

www.matematiranje.com b) Pa ovo je ustvari isti zadatak!!! Zašto? cos10o = sin 80o cos 50o = sin 40o cos 70o = sin 20o Dakle cos10o ⋅ cos 50o ⋅ cos 70o je isto

3 8

5) Transformisati u proizvod sin x + sin y + sin z , ako je x + y + z = π sin x + sin y + sin z = sin x + sin y + sin [π − ( x + y )] = x+ y x− y α α cos i sin α = 2sin cos 2 2 2 2 x+ y x− y x+ y x+ y x+ y cos cos + 2sin = Izvučemo zajednički 2sin 2 2 2 2 2 x+ y x− y x+ y [cos ] = Sad formula za cosα +cosβ + cos 2 2 2 x+ y x y ⋅ 2 ⋅ cos ⋅ cos = 2 2 2 x+ y x y cos cos = 2 2 2

sin x + sin y + sin( x + y ) → Upotrebimo sin x + sin y = 2sin 2sin 2sin 2sin 4sin

x+ y 2 x+ y π −z z⎞ z ⎛π z ⎞ ⎛ = sin = sin ⎜ − ⎟ = sin ⎜ 90o − ⎟ = cos po formuli za veze u I sin 2 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2⎠ ⎝ kvandrantu. transformišemo sin

x y z Dakle: sin x + sin y + sin z = 4 cos cos cos simpatično, zar ne? 2 2 2

6) Dokazati da je:

sin 495o − sin 795o + sin 1095o = 0

5

www.matematiranje.com Rešenje: Najpre ćemo ove uglove prebaciti u I kvadrant, da nam bude lakše!!! sin 495o = sin(495o − 360o ) = sin135o = cos 45o sin 795o = sin(795 − 2 ⋅ 360o ) = sin 75o = cos15o sin1095o = sin(1095o − 3 ⋅ 360o ) = sin15o Znači sada imamo: cos 45o − cos15o + sin15o = na prva dva člana upotrebimo formulu... 45o + 15o 45o − 15o sin + sin15o = 2 2 o o −2sin 30 sin15 + sin15o = −2sin

1 −2 sin15o + sin15o = − sin15o + sin15o = 0 2 7) Dokazati da je:

tg 9o − tg 27 o − tg 63o + tg 81o = 4 Rešenje: Pregrupišemo prvo članove:

( tg 81

o

+ tg 9o ) − ( tg 63o + tg 27o ) = imamo formule

sin(81o + 9o ) sin(63o + 27o ) − = cos81o cos 9o cos 63o cos 27o sin 90o sin 90o − = (sin 90o = 1) o o o o cos81 cos 9 cos 63 cos 27 ⎛ cos81o = sin 9o ⎞ 1 1 − = ⎜ ⎟ cos81o cos 9o cos 63o cos 27o ⎜⎝ cos 63o = sin 27o ⎟⎠ 1 2⎞ 1 ⎛ − = ⎜ dodamo ⎟ o o o o 2⎠ sin 9 cos 9 sin 27 cos 27 ⎝ 2 2 − = (sin 2α = 2sin α cos α ) o o 2sin 9 cos 9 2sin 27 o cos 27o 2 2 − = ( zajednicki ) o sin18 sin 54o 2(sin 54o − sin18o ) = ( gore formula) sin18o sin 54o 54o + 18o 54o − 18o 2 ⋅ 2 cos sin 4 cos 36o sin18o 4 cos 36o 4 cos 36o 2 2 = = = = 4 sin18o sin 54o sin 54o sin18o sin 54o cos 36o

6

www.matematiranje.com 5) Izračunati sin 36o bez upotrebe tablica.

Rešenje: Znamo da važi veza u I kvandrantu:

odnosno

sin 36o = cos 54o sin 2 ⋅18o = cos 3 ⋅18o

formula za sin 2α imamo: sin 2α = 2 sin α cos α a formula za cos 3α smo izveli (pogledaj) cos 3α = 4 cos3 α − 3cos α . Upotrebimo ih: sin 2 ⋅18o = 2 sin 18o cos18o cos 3 ⋅18o = 4 cos3 18o − 3 cos18o Pa je: 4 cos 3 18o − 3 cos18o = 2 sin 18o cos18o (sve podelimo sa cos18o )

4 cos 2 18o − 3 = 2 sin 18o (onda je sin 2 180 + cos 2 180 = 1 ⇒ cos 2 18o = 1 − sin 2 18o ) 4(1 − sin 2 18) − 3 − 2sin18o = 0 4 − 4sin 2 18 − 3 − 2sin18o = 0 4sin 2 18 + 2sin18o − 1 = 0 (uzmimo smenu sin 18o = t ) 4t 2 + 2t − 1 = 0 −2 ± 20 −2 ± 2 5 2(−1 ± 5) t1,2 = = = 8 8 8 −1 ± 5 t1, 2 = 4 −1+ 5 t1 = 4 −1− 5 t2 = 4 5 −1 sin 18o = 4 Nadjimo sad cos18o 7

www.matematiranje.com sin 2 18o + cos 2 18o = 1 ⎛ 5 −1 ⎞ cos 18 = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 4 ⎠ 2

2

o

cos 2 18o = 1 −

5 − 2 5 +1 16

16 − 6 + 2 5 16 10 + 2 5 cos 2 18o = 16

cos 2 18o =

cos18 o =

10 + 2 5 16

10 + 2 5 4 o sin 36 = 2 sin 18o cos18o cos18 o =

5 − 1 10 + 2 5 ⋅ 4 4 (ubacimo 5 − 1 pod koren)

sin 36o = 2 ⋅

sin 36 = o

sin 36o = sin 36o =

(

)( 2

5 − 1 10 + 2 5 8

(5 − 2

)

)(

5 + 1 10 + 2 5 8

)

( 6 − 2 5 )(10 + 2 5 ) 8

sin 36o =

60 + 12 5 − 20 5 − 20 8

sin 36o =

40 − 8 5 8

sin 36o =

(

8 5− 5

)

8

sin 36o =

2 2 5− 5 8

sin 36o =

2 ⋅ 5− 5 4

8


9


Trigonometrijske jednačine (osnovne) 1. sinx=a Ova jednačina ima rešenja ako je  1  a  1 zbog ograničenosti sinusne funkcije izmedju ‐1 i 1. Da bi lakše razumeli kako se rešavaju ove jednačine, posmatraćemo sledeće situacije: i) 0  a  1 ii)  1  a  0 iii) a  0 iv) a  1 v) a  1 a) sin x  a 0  a  1 Postupak: Nadjemo vrednost a na y‐osi i povučemo pravu y  a Ona seče trigonometrijski krug ( tačke A i B ) i

spojimo sa kordinatnim početkom. Dobili smo dva tražena ugla: ( ) i (   ) . Evo slike:

Rešenja zapisujemo: x1    2k

x2  (   )  2k

k  z

PAZI: 2k dodajemo zbog periodičnosti funkcije sin x , koja je 2  360 0 , to je obavezno! Rešenje se (kad postanete iskusni) može sjediniti i u jedno rešenje:

xk  (1) k   k k  z 1

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html Primer:

sin x 

Rešiti jednačinu:

1 2

Rešenje: Prvo nacrtamo trigonometrijski krug. Nadjemo na y‐osi vrednost

1 1 i povučemo pravu y  , 2 2

paralelnu sa x‐osom. Ta prava seče trigonometrijski krug u tačkama A i B. Te tačke spajamo sa koordinatnim početkom i dobili smo tražene uglove. Iz tablice ( ko zna ) vidimo da su traženi uglovi:

1  30 0 



6 5  2  150 0  6

Evo slike:

Rešenja su:

 2 k 6 5 x2   2k 6 k  z

Ili zajedno: xk  (1)

x1 



 6

 k

ii) sin x  a  1  a  0 Postupak je sličan kao malopre. Nadjemo vrednost a na y‐osi ( pazi: sad je a negativno pa je ispod x‐ose ), povučemo pravu paralelnu sa x‐osom. Mesta gde prava y=a seče trigonometrijski krug (A i B) spojimo sa koordinatnim početkom i dobili smo tražene uglove: (  ) i (   ) 2

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html Na slici to izgleda:

Rešenja su:

x1    2k

Primer:

x2  (   )  2k kz

Reši jednačinu: sin x  

2 2

450  



4

5 4

225 0 

Rešenja su:

x1  

x2 

 4

 2k

5  2k 4

k  Z Naravno, ovo negativno rešenje 

 4

 2k možemo napisati i kao

7  2k ali je običaj da se uglovi u IV 4

kvadrantu pišu kao negativni 3

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html iii) sin x  0

Sinusi su jednaki nuli za uglove od 0 0 i 180 0

x  0  2k x    2k k Z Ili zajedno: x  k k  Z

iv)

sin x  1

Sinus ima vrednost 1 za ugao od 90 0

Ovde imamo samo jedno rešenje: x 

 2

 2k k  Z

vi) sin x  1 x  

 2

 2k k  Z

Ili možemo zapisati preko pozitivnog ugla:

x

3  2k k  Z 2

4


2. cos x  b

Kao i kod sin x  a i ovde mora biti  1  b  1 da bi jednačina imala rešenja. I ovde ćemo rasčlaniti problem: 0  b 1 i) ii) 1  b  0 b  0 iii) b  1 iv) b  1 v) cos x  b 0  b  1 i) Ovi uglovi se nalaze u I i IV kvadrantu. Postupak: Na x‐osi nadjemo vrednost b. Povučemo pravu paralelnu sa y‐osom. Ta prava seče trigonometrijski krug u tačkama M i N. Spojimo te tačke sa koordinatnim početkom i dobili smo tražene uglove:  i (  ) Rešenja su: x    2k x    2k k Z Ugao  odredimo iz tablica ili konstruktivno. 5

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html Primer: Reši jednačinu: cos x 

3 2

Rešenja su:



 2k , k  Z

x

x

Jer je cos 30 0 

To jest cos

ii)

cos x  b 1  b  0

6

 6

 2k , k  Z

 6



3 2 3 2

Ovi uglovi se nalaze u II i III kvadrantu. Postupak je isti, samo je b negativno! Rešenja su: x    2k x    2k k  Z 6

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html Primer: Reši jednačinu cos x  

1 2

2 3

120 0 

Rešenja su:

iii)

2  2 k 3 2 x  2 k 3 k Z x

cos x  0

x

 2

x

 2 k

 2

 2 k

k Z 7

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html iv) cos x  1 v) cos x  1

x  0  2k x    2k x  2k k  Z k  Z

3. tgx  m Za razliku od prethodne dve, jednačina tgx  m ima rešenja za m  (  ,  ) . Razmotrićemo dve situacije: m  0 i m  0 i) tgx  m

m  0

To su uglovi u I i III kvadrantu! Postupak: Na tangesnoj osi nadjemo m i to spojimo sa koordinatnim početkom. Dobili smo ugao  . Produžimo taj ugao u III kvadrant i evo drugog rešenja:    Rešenje je: x    k

kz Zašto samo jedno rešenje? Zato što je tgx kao i ctgx periodična funkcija sa periodom

 . Pa kad stavimo k mi smo to rešenje već opisali! Zapamti: Kod sin x i cos x je perioda 2k a kod tgx i ctgx samo k . ii) tgx  m

m  0

8

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html Ovi uglovi su u II I IV kvadrantu! Postupak je potpuno isti. Primer 1: Reši jednačinu: tgx  1

Rešenje:

x    k k Z

Rešenje: (iz tablice znamo: tgx 450  1 )

450 

x 

 4



4 k  Z

 k

9

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html Primer 2: Reši jednačinu: tgx   3 Rešenje: Iz tablice je tg 60 0   3 , pa je onda tg ( 60 0 )   3 jer je tg (  )  tg Crtamo sliku:

  

Dakle:

 3

 k

k  Z Primer 3: Reši jednačinu: tgx  0

Vidimo da su to uglovi od 0 0 i 180 0

Dakle:

k  Z

x  0 0  k x  k

10


4. ctgx  m

Kao i za tgx rešenja su iz celog skupa R. Perioda je k . Postupak rešavanja je sličan, samo što vrednost za ctgx tražimo na kotangensnoj osi

ctgx  m m  0

ctgx

Uglovi su u II i IV kvadrantu. Rešenje: x    k

Uglovi su u I i III kvadrantu. Rešenje: x    k

m

m  0

k Z k  Z Najpre potražimo vrednost u tablici, vidimo koji je ugao u pitanju I nacrtamo sliku. Primer 1: Reši jednačinu: ctgx 

3 3

Rešenje: iz tablice vidimo vrednost za 60 0

x 

 3

 k k  Z

11

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html Primer2: Reši jednačinu: ctgx  1



 k

x  

A može i:

x

4

3  k 4

k  Z Rešiti jednačinu: ctgx  0 Primer 3:

x

 2

 k

k  Z Zadaci 1) Reši jednačine:

1 2   b) sin  x    0 3 

a) sin 2 x 

12

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html Rešenje: a) Jednačinu rešavamo normalno , kao da je sinx.( al pišemo 2x u rešenju…) Iz tablice vidimo da je jedan traženi ugao 30 0

2x 

Sada izrazimo x, odnosno sve podelimo sa 2

x

 6

 12

Pazi sad:

 2k V 2 x 

 k V x 

5  2 k 6

5  k 12

k Z

b) Isto rešavamo kao da je sin x  0 ali posle ne pišemo x  …. Nego x 

 3

 ... pa izračunamo!

Dakle:

x x

 3

 3

 0  2k V x 

 3

   2k

 2k V x   

 3

 2 k

4  2 k 3 k  Z

k  Z x 

2) Reši jednačine: a) cos 5 x  

 

b) cos 2 x 

2 2



  0 6

13


2

Rešenje: cos 5 x   2

3 3  2k V 5 x    2k 4 4

5x 

Oba rešenja podelimo sa 5

x

b)

 2 k

V

2x 

 2 k

2x  

3 2k 3 2k V x     20 5 20 5 k Z k Z

  cos 2 x    0 6 

2x  2x 

 6



 

 2



2 6 4 2x   2k 6 2 2x   2k 3 x

 3

 k





6



 2

 2k



 2k 2 6  2 2x   2 k 6

2x  

x



 6

3



 2 k

 k 14

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html k  Z k  Z 3) Rešiti jednačine: a) tg 2 x  1

 

b) tg  3 x 



 1 2

Rešenje: a) tg 2 x

 1

0 Traženi ugao je  45 Dakle:

2x  

x

k Z



 8

4

 k



k 2





b) tg  3 x    1 2 

0 Traženi ugao (iz tablice) je 45 

3x 

 2





 4

 4

 k



 k 4 2 3 3x   k 4  k x  4 3 k Z 3x 



15

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html 4) Rešiti jednačine: a)

ctg 3 x  1

 

b) ctg  x 



 3 2

Rešenje: a)

ctg 3 x  1 Iz tablice vidimo da je traženi ugao 45 0

Dakle:

3x  x

 4



12 k Z

 k 

k 3

 

b) ctg  x 



Traženi ugao je 30 0  3 2

x

 2





 6

 k



 k 6 2 4 x  k 6 2 x  k 3 k Z x



16

Trigonometrijske nejednačine To su nejednačine kod kojih se nepoznata javlja kao argument trigonometrijske funkcije. Rešiti trigonometrijsku nejednačinu znači naći sve uglove koji je zadovoljavaju. Prilikom traženja rešenja ove nejednačine, najpre ćemo rešiti odgovarajuću jednačinu, a zatim naći intervale koji se u nejednačini traže. 1. Nejednačine

sinx>a i

sinx
a < −1 -svaki broj je rešenje sin x > a

− 1 ≤ a ≤ 1 - rešavamo a ≥ 1 -nema rešenja

a ≤ −1 -nema rešenja sin x < a

− 1 ≤ a ≤ 1 -rešavamo

a > 1 -svaki broj je rešenje Reši nejednačine:

Primer 1:

a) sin x > −2 b) sin x >

1 2

v) sin x > 3

Rešenja:

a) sin x > −2 pošto je − 1 ≤ sin x ≤ 1 to je svaki x ∈ R rešenje.

b) sin x >


1

Najpre rešimo odgovarajuću jednačinu:

sin x =

1 2

Dakle, rešenja jednačine su:

π

+ 2kπ 6 5π x= + 2kπ 6 x=

Sada razmišljamo! Pošto nam treba da je sin x >

1 uzimamo “gornji deo”. 2 Dakle:

π 6

5π 6

Još dodamo periodičnost

π 6

+ 2kπ < x <

5π + 2kπ , 6

k ∈Z

v) sin x > 3 Ovo je nemoguće, dakle nejednačina nema rešenja. Primer 2: Reši nejednačine: a) sin x < −2 b) sin x ≤ −

2 2

v) sin x < 5

Rešenja: a) sin x < −2 ⇒ Kako je − 1 ≤ sin x ≤ 1 , dakle nikad ne može biti manji od -2, data nejednačina nema rešenja. www.matematiranje.com

2

b) sin x ≤ −

2 2

Najpre rešimo jednačinu sin x = −

2 2 Rešenja su:

5π + 2kπ 4 7π x= + 2kπ 4 x=

Za nejednačinu sin x ≤ −

2 5π 7π nama treba “donji” deo ! Dakle: ≤x≤ 2 4 4

5π 7π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ , k ∈ Z 4 4

v) sin x < 5 Kako je − 1 ≤ sin x ≤ 1 , ova nejednačina je uvek zadovoljena,tj. ∀x ∈ R je rešenje.

2.Nejednačine

cosx>b i cosx
b < −1 - svaki broj je rešenje cos x > b

− 1 ≤ b ≤ 1 - rešavamo b ≥ 1 - nema rešenja

b < −1 - nema rešenja cos x < b

− 1 ≤ b ≤ 1 - rešavamo b > 1 - svaki broj je rešenje


3

Primer 1: Reši nejednačine: a) cos x > −2 b) cos x >

1 2

v) cos x >

3 2

Rešenja: a) cos x > −2

b) cos x >

ovde je svaki x ∈ R

1 2 x=

1 Najpre rešimo cos x = 2

π 3

x=−

+ 2kπ

π 3

+ 2kπ

y 0

60

1

-1

x

0

-60

Za rešenja su nam potrebni uglovi čiji je kosinus veći od Konačno rešenje je −

π 3

+ 2kπ < x <

π 3

+ 2kπ

,

1 ,znači “desno”. 2

k ∈Z www.matematiranje.com

4

v) cos x >

3 2

Ova nejednačina nema rešenja jer najveća vrednost za “kosinus”, kao što znamo, može biti 1. Primer 2: Reši nejednačine: a) cos x < −2 b) cos x ≤ −

1 2

v) cos x < 2 Rešenja: a) cos x < −2 - nema rešenja b) cos x ≤ −

1 1 -rešićemo prvo cos x = − 2 2 y 0

120

x

240

0

2π + 2kπ 3 4π x= + 2kπ 3 x=

Za rešenje nejednačine cos x ≤ − Dakle rešenje je

1 nam treba “levi” deo 2

2π 4π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ 3 3

v) cos x < 2 Ovde je naravno rešenje ∀x ∈ R


5

3.

Nejednačine sa tgx i ctgx:

Ove nejednačine za razliku od onih sa sinx i cosx uvek imaju rešenja s obzirom da tgx i ctgx uzimaju vrednosti iz celog skupa R. I ovde ćemo najpre rešiti odgovarajuću jednačinu I na osnovu nje odrediti interval rešenja date nejednačine. Primer 1: a) tgx > 3

y 0

90

0

60

x

0

240 0

270

Najpre rešimo jednačinu tgx = 3 , x = 60o + kπ . Razmišljamo gde su tgx veći od

3 ? Prvo su to

Uglovi od 60 o do 90o . A onda I drugi interval od

240o do 270o . Znači ovde imamo dva intervala sa rešenjima! Rešenje će dakle biti:

60o < x < 90o

240o < x < 270o

i

Dodamo period kπ koja važi za tgx.

π

+ kπ < x <

3 k ∈Z

π 2

+ kπ

4π 3π + kπ < x < + kπ 3 2 k ∈Z

i

Ili možemo zapisati:

π

π

x ∈ ( + kπ , + kπ ) 3 2 k ∈Z

i

x∈(

4π 3π + kπ , + kπ ) 2 3

6

b) tgx < 1 Prvo rešimo tgx = 1 , znamo da je to ugao od 45o i 225o . Nama treba da su tangensi manji od 1.(podebljana poluprava) y 0

90

0

45

x

225

Opet imamo dva rešenja !

−

π 2

π

π

i

4

2

0

0

270

5π 4

Odnosno:

x ∈ (−

π 2

+ kπ ,

π

π 5π + kπ ) ∪ ( + kπ , + kπ ) 4 2 4

k ∈Z Primer 2: Reši nejednačine:

3 3

a) ctgx >

b) ctgx < 0 Rešenja:

3 ⇒ x = 60o i x = 240o 3

a) Rešimo prvo ctgx = y 0

60

0

180

0

0

x

0

240

7

Opet dva intervala:

0< x<

π 3

i π
4π 3

Rešenje je:

x ∈ (0 + kπ ,

π 3

+ kπ ) ∪ (π + kπ ,

4π + kπ ) , k ∈ Z 3

b) ctgx = 0

y 0

90

0

180

0

360

x

0

270

Traženi uglovi su iz II i IV kvadranta.

π 2

< x <π i

3π < x < 2π 2

Rešenje je:

π 3π x ∈ ( + kπ , π + kπ ) ∪ ( + kπ ,2π + kπ ) 2 2 k ∈Z


8

Zadaci:

3 ≥0 2

1) sin 3 x −

Najpre rešimo

3 =0 2 3 sin 3 x = 2 sin 3 x −

y 0

120

0

60

x

Dakle:

π 3

+ 2kπ ≤ 3x ≤

2π + 2kπ 3

Sve podelimo sa 3

π

2kπ 2π 2kπ ≤x≤ + 9 3 9 3 k ∈Z +

2) sin x + cos x < 2

Najpre rešimo jednačinu:

sin x + cos x = 2 Ovo je tip “uvodjenje pomoćnog argumenta” www.matematiranje.com

9

a=1 b=1 c= 2

tgϕ =

1 b ⇒ tgϕ = ⇒ tgϕ = 1 1 a

ϕ = 45o = c a2 + b2

π 4

2 2 = =1 1+1 2

=

Pa je : sin( x + ϕ ) =

c

π

⇒ sin( x + ) = 1 4 a2 + b2

Dakle imamo:

π

sin( x + ) < 1 4 Ovde nam ne odgovara samo ako je sin( x +

x+ Tj. x =

x=

π 4

π 2

π

4

= −

π 4

π

4

4

) =1

+ 2kπ + 2kπ

+ 2kπ

Dakle rešenje je ∀x sem 3)

π

π 4

+ 2kπ odnosno x ≠

π 4

+ 2kπ , k ∈ Z

2 sin 2 x + 5 sin x + 2 > 0

2 sin 2 x + 5 sin x + 2 > 0 → smena sinx=t

2t 2 + 5t + 2 > 0 → pogledaj kvadratne nejednačine! −5±3 4 1 t1 = − 2 t 2 = −2 t1, 2 =


10

1 t ∈ (−∞,−2) ∪ (− , ∞)tj , 2 1 sin x ∈ (−∞,−2) ∪ (− , ∞) 2 Pošto je − 1 ≤ sin x ≤ 1 moramo izvršiti korekciju intervala!

1 ⎛ 1 ⎤ sin x ∈ ⎜ − ,1⎥ odnosno sin x > − 2 ⎝ 2 ⎦

−

210o =

−

π

1 2

330o =

7π 6

+ 2kπ < x <

6 k ∈Z

11π π =− 6 6

7π + 2kπ 6

Je konačno rešenje!

4) Pokazati da važi za svako α :

1 1 + ≥8 4 sin α cos 4 α

Transformišemo izraz na levoj strani!

1 1 cos 4 α + sin 4 α + = = sin 4 α cos 4 α sin 4 α + cos 4 α Transformišemo izraz sin 4 α + cos 4 α . www.matematiranje.com

Podjimo od : 11

sin 2 α + cos 2 α = 1/ () 2 kvadriramo (sin 2 α + cos 2 α ) 2 = 1 sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α = 1

odavde izrazimo sin 4 α + cos 4 α

sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2sin 2 α cos 2 α

dodamo kao trik

2 ⋅ 2sin 2 α cos 2 α 2 2 sin 2α sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2 2 − sin 2 2α 1 + 1 − sin 2 2α sin 4 α + cos 4 α = = 2 2 2 1 + cos 2α = 2

2 2

sin 4 α + cos 4 α = 1 −

opet trik da je 1 − sin 2 2α = cos 2 2α

Vratimo se u zadatak:

1 + cos 2 2α cos α + sin α 1 + cos 2 2α 8 2 = = = dodamo( ) 4 4 4 4 4 4 sin α ⋅ cos α sin α ⋅ cos α 2sin α ⋅ cos α 8 2 2 8(1 + cos 2α ) 8(1 + cos 2α ) 8 = = ≥8 4 4 4 16sin α cos α sin 2α sin 4 2α 4

4

A ovo sigurno važi!

5) Ako su α , β , γ uglovi trougla I ako je γ tup, tada je tgαtgβ < 1 . Dokazati

tgα ⋅ tgβ < 1? Ako je ugao tup I α + β + γ = 180o onda zbir α + β mora biti manji od 90o to jest ugao (α + β ) je u I kvadrantu! A pošto znamo da su tangensi uglova u prvom kvadrantu pozitivni, mora biti tg (α + β ) > 0 Za tg (α + β ) imamo formulu:

tgα + tgβ >0 1 − tgαtgβ Pazi:

A > 0 ⇔ ( A > 0, B > 0) ∨ ( A < 0, B < 0) Pošto je tgα + tgβ > 0 mora biti: B

12

1 − tgαtgβ > 0 odnosno tgαtgβ < 1 Što smo I trebali dokazati!!! www.matematiranje.com

13

GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (I deo)

y  a sin(bx  c)

Da se najpre podsetimo osnovnog grafika funkcije y = sinx i njenih osobina.

y 1 

2



y  sin x 3 2

 2

0

3 2

 2

2

x

-1

Osobine:

-

funkcija je definisana za svako x, to jest x  (, )

-

skup vrednosti funkcije je interval [1,1] , to jest funkcija je ograničena 1  sin x  1

-

sinx je periodična funkcija sa osnovnom periodom 2

-

nule funkcije ( mesta gde grafik seče x osu) su x  0, x   , x  2 ... ili ovo možemo zapisati , uzimajući u obzir periodičnost kao x  k (k  0, 1, 2,...)

-

maksimalne vrednosti funkcije su u 

-

3  5  , , ,... to jest, možemo zapisati: x   2k 2 2 2 2  3 7  minimalne vrednosti funkcije su u  , , ,... to jest , možemo zapisati: x    2k 2 2 2 2



 2 k ,



 2k ],

-

sinx raste u intervalima [

-

sinx opada u intervalima [

-

funkcija je pozitivna, sinx > 0 za x  (2k , (2k  1) )

-

funkcija je negativna, sinx < 0 za x  ((2k  1) , 2k )

-

grafik se zove SINUSOIDA

2

 2

2

 2 k ,

 2

k Z k Z

kZ

 2k ],

kZ

kZ kZ


1

Trigonometrijsku funkciju y  a sin(bx  c) ćemo da naučimo da crtamo na dva načina.

Prvi način se sastoji u tome da krenemo od početnog grafika y=sinx i da u zavisnosti od brojeva a,b i c vršimo pomeranja grafika ( naučićemo kako ) a drugi način je direktno ispitivanje tačaka ( nule funkcije, max, min...) ali za njega nam je potrebno da znamo rešavati trigonometrijske jednačine. Najpre uočite i zapišete brojeve a,b i c. Svaki od njih priča neku priču... y  a sin x Broj a koji je ispred sinusa se zove amplituda i predstavlja maksimalno rastojanje tačke grafika od x- ose. Za funkciju y=sinx je taj broj a=1 a na grafiku vidimo da je ona baš ograničena sa -1 i 1. Ako je broj ispred sinusa pozitivan , funkcija izgleda: y a 1 

2



3 2

 2

0

3 2

 2

y  sin x

2

x

-1

-a

y=asinx

Dakle, nule funkcije ostaju na svojim mestima , dok se max i min “ produže” do tačke a, odnosno –a. Ako je broj ispred sinusa negativan ,funkcija izgleda: y y=-asinx

a 1 

2



3 2

3 2

 2

0

 2

y  sin x

2

x

-1

-a

Ovde dakle moramo voditi računa jer se grafik “ okreće”, a max i min zamene mesta i produže se do tačke a, odnosno –a. www.matematiranje.com

2

primer 1.

Nacrtati grafik funkcije

y   sin x

Ovde nam je a = -1 . To nam govori da početni grafik y  sin x ( koji je nacrtan na slici isprekidanom linijom) samo “ okrenemo”. y 1 3  2

  2

2

 2

3 2

0

y   sin x

-1

primer 2.

x

2

y  2sin x


Sada je а = 2. To znači da funkcija po y- osi ide od -2 do 2 i da se grafik ne okreće.

y 2

y  2sin x

1 

2



3 2

 2

0

3 2

 2

2

x

-1

-2

primer 3.

Vidimo da je a   između 

3 y   sin x 2


3 . Grafik je u odnosu na početni okrenut, zbog minusa i nalazi se, gledajući po y osi , 2

3 3 i . 2 2 y

3 2

y   sin x 2

3 2

2



3 2



1

  2

0

 2



3 2

2

x

-1



3 2

-2


3

y  sin bx Periodičnost funkcije y  a sin(bx  c) direktno sledi iz periodičnosti funkcije y=sinx.

2 . b Broj b se zove frekvencija ili učestalost i pokazuje koliko se celih talasa nalazi na intervalu [0, 2 ] Osnovni period za y  a sin(bx  c) se računa po formuli T 

Dakle, naš poso je da uočimo broj b, i ubacimo ga u formulu T 

primer 4.

1 y  sin x 2


Uočimo da je ovde b 

2 da bi dobili osnovnu periodu. b

1 2 2 T   T  4 . Onda je T  1 b 2 2 y

1 

2





3 2

3 2

 2

0

7 2



 2

2

-1

3

5 2

4

x

1

y  sin x 2

Početna funkcija y = sinx je i ovde data isprekidano. Šta se desilo sa njom? Vidimo da se ona izdužila, jer je sada perioda T  4 . primer 5.

Kako je

y  sin 2 x


b  2 onda će osnovna perioda biti T 

2 2 T   T  b 2

Šta će sada biti sa početnim grafikom? Pa kako je perioda samo T   , on će da se “ skupi”:

y 1 

2



3 2





3 2

3 4

2

0

-1





4

2



2

x

y  sin 2 x


4

y  sin( x  c)

y  sin(bx  c)

odnosno

( broj c se zove početna faza)

Opet naravno, najpre iz zadate funkcije pročitamo vrednosti za b i c. Onda odredimo vrednost za

c . b

Grafik funkcije y  sin(bx  c) se dobija pomeranjem grafika y  sin bx duž x ose i to (pazi na ovo): i) ii)

c negativna b c u negativnom smeru ( ulevo) ako je vrednost za pozitivna b u pozitivnom smeru ( udesno ) ako je vrednost

primer 6.

y  sin( x 


 2



)



c c  Ovde je a=1, b=1, c= . Vrednost izraza je  2  . b 1 2 b 2

Šta ovo znači?

Pošto je vrednost ovog izraza pozitivna , početni grafik y = sinx pomeramo za

 2

ulevo.

y y  sin( x 

1 

3 2



 2

 2

2

 ) 2 3 2

x

2

0

-1

primer 7.


a  1, b  1, c  

 4



 c  b 4

y  sin( x 

 4

)

Pomeramo grafik y = sinx za

 4

udesno.

y 1

2



3 2



  2

3 2

0



4

 2



5 4

2

9 4

x

-1 y  sin( x 

 ) 4 www.matematiranje.com

5

Ovde je



y  sin(2 x  ) 2


primer 8.

a=1, b=2 i c  

 2

2 2 T   T  Perioda je : T  b 2



 c  a vrednost izraza :  2   b 2 4



Moramo crtati tri grafika : y=sinx ( slika 1.) pa onda y=sin2x ( slika 2.) i na kraju y  sin(2 x  ) (slika 3.) 2

y 1   2

2



3 2

0

3 2

2

 2

-1

x

slika 1.

y=sinx

y 1 

2



 2

3 2

3 4

0

3 2

 4

-1

 2

2

x

2

x

slika 2.

y  sin 2 x

y 1   2

2



3 2

3 4

0

-1

 4

3 2

 2

slika 3.

 y  sin(2 x  ) 2

Na slici 2. vidimo da se grafik sinusne funkcije “skupio” zbog periode T   . Na slici 3. je izvršeno pomeranje grafika y=sin2x za

 4

udesno, jer je vrednost

c negativna. b

Verovatno će vaš profesor tražiti od vas da sva tri grafika nanosite na jednoj slici…Mi smo namerno crtali tri slike da bi bolje razumeli… www.matematiranje.com

6

primer 9.


1  y  sin( x  ) 2 4

1  a  1, b  , c  2 4 2 2 T   T  4 Tražimo periodu: T  1 b 2



c 2  i vrednost izraza:  4   b 1 4 2 2

Opet idu tri grafika:

Na slici 1. je početni grafik y = sinx 1 Na slici 2. je grafik y  sin x koji dobijamo povećavajući periodu na 4 2 1  1  udesno, Na slici 3. je konačan grafik y  sin( x  ) koji dobijamo kada grafik funkcije y  sin x pomerimo za 2 4 2 2 c jer je vrednost izraza pozitivna. b

y 1

x 2

0

3

2

4

slika 1.

-1

y 1 

2

3 2

 2

0

3  2

 2

-1

7 2

2 y  sin

5 2

3

x 4

slika 2.

1 x 2

y 1 

2

3  2

3 2

 2

0

-1

 2

7 2

2

5 2

3

x 4

slika 3.

1  y  sin( x  ) 2 4


7

Sada imamo znanje da nacrtamo ceo grafik y  a sin(bx  c ) ali to pogledajte u sledećem fajlu: GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo) www.matematiranje.com

8

GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA (II deo)

U prethodnom fajlu ( grafici trigonometrijskih funkcija I deo) smo proučili kako se crtaju grafici u zavisnosti od brojeva a,b i c. Sada možemo sklopiti i ceo grafik funkcije y  a sin(bx  c) .

POSTUPAK: i)

Nacrtamo grafik funkcije y = sinx

ii)

Uočimo brojeve a,b i c , i nađemo periodu T 

iii)

Odredimo vrednost izraza

2 . Crtamo grafik y  sin bx . b

c i vršimo pomeranje po x osi, to jest crtamo grafik y  sin(bx  c) b Vrednost amplitude a nam pomaže da nacrtamo konačan grafik y  a sin(bx  c)

iv)

Ovo je jedan način za crtanje grafika. Drugi način je direktno ispitivanje značajnih tačaka, a već smo vam pomenuli da ovde morate znati rešavati trigonometrijske jednačine.( Imate taj fajl, pa se malo podsetite...)

primer 1.

Nacrtaj grafik funkcije:

y  3sin(2 x 

 4

)

Rešenje I način

Iz y  3sin(2 x 

 4

a  3, b  2, c 

) je

 4

Crtamo prvo grafik osnovne funkcije y  sin x .

y 1 

2



 2

3 2

3 2

0

-1

Nadjemo periodu : T 

 2

2

x

slika 1.

y=sinx

2 2 T   T  2 b www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

1

Dalje crtamo grafik funkcije y  sin 2 x y 1 

2



 2

3 2

3 4

0

3 2

 2

 4

-1

2

x

slika 2.

y  sin 2 x



c c 4   je   . Vršimo pomeranje grafika y  sin 2 x za ulevo: Vrednost izraza 8 b b 2 8 y 1 

 2



 3 2

 2 





0

3 2

2

8

-1

y  sin(2 x 

x

slika 3.

 ) 4

I konačno, kako je amplituda a  3 , to nam govori na “razvučemo” grafik izmedju -3 i 3 duž y ose.

y 3 2 1   2

2



3 2

3 4



 8

0

 4

3 2

2

 2

x

slika 4.

-1 -2 -3

y  3sin(2 x 

 ) 4

II način

Zapišemo vrednosti za a,b i c. Nadjemo periodu T 

2 . b

Ispitujemo gde su nule funkcije. Tražimo tačke ekstremuma ( maksimum i minimum). www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

2

a  3, b  2, c 



T

i

4

2 2 T   T  b 2

Nule funkcije

To su mesta gde grafik seče x osu. y0 3sin(2 x  sin(2 x  2x 

 4

2x  

 4



)0

)  0  2x 

4

 4

 0  2x 

 4

0

 4

 x

 8

Ovde sada dodamo periodu(T= ):

x

 8

 k

k Z



 4 3 3 3 2x   x  x  k 4 8 8

2x 



k Z

Ove tačke nalazimo na x osi . Maksimum

Kako je amplituda a  3 , funkcija će imati maksimalnu vrednost za y=3. y3 3sin(2 x  sin(2 x 

 4

 4

)3

)  1  2x 

 4



 2

 2x 

I ovde moramo dodati periodu: x 

 8

 2



 k

 4

 2x 

 4

 x

 8

k Z

Minimum

Funkcija će imati minimalnu vrednost za y =-3 y  3 3sin(2 x  sin(2 x 



 4

4

)  3

)  1  2 x 

Dodajemo periodu: x 

 4



3 3  5 5  2x    2x   x 2 2 4 4 8

5  k 8

k Z www.matematiranje.com

3

Sada sklopimo grafik:

y

3

2 1 

2





3 2

 2

3 2

3 4



 8

0

 3  5 4 8 2 8

8

7 8



2

x

-1 -2 -3

y  3sin(2 x 

 ) 4

Vidite i sami da ovaj drugi način daje precizniji grafik, ali mora se vladati rešavanjem jednačina. Vi konstruišite grafik kako vaš profesor komanduje...

primer 2.

1  y  2sin( x  ) 2 6




1  2 2 c 6  c  a  2, b  , c   T    4 , dakle T  4 i   , dakle  1 2 6 b b 1 3 b 3 2 2 y

1 

2



3 2

 2

0

3 2

-1

7 2

2

 2

5 2

3

4

x

4

x

4

x

4

x

slika 1.

y  sin x

y 1 

2

3 2

 2

0

3  2

 2

-1

7 2

2

5 2

3

5 2

3

5 2

3

slika 2.

1 y  sin x 2

y 1 

2

3 2

 2

3  2



 3

0

7 2

2

 2

slika 3.

-1 1  y  sin( x  ) 2 6

y 2 1 

2

3  2

3 2

 2 

 3

0

 2

7 2

2

slika 4.

-1

-2

1  y  2sin( x  ) 2 6

4

Ako bi radili preko ispitivanja : Nule funkcije

y0

1  2sin( x  )  0 2 6 1 1 1    sin( x  )  0  x   0  x    2 6 2 6 2 6 1    i kad dodamo periodu: x    4k x 0 x  2 6 3 3 1 5  kad dodamo periodu: x   x  2 6 3

x

5  4 k 3

Maksimum y2

 1 2sin( x  )  2 2 6  1 sin( x  )  1 2 6  3 1 x  2 6 2 1 8 x 2 6 x

8 3

dodamo periodu

x

8 +4k 3

Minimum y  2

 1 2sin( x  )  2 2 6  1 sin( x  )  1 2 6   1 x  2 6 2 1 2 x 2 6 x

2 2  x  4 k 3 3

Da sklopimo grafik: www.matematiranje.com

5

y 2 1

2





3 2

2 3 

 3



0

5 3

2

8 3

3

11 3

4

x

-1

-2

primer 3.

1  y  2sin( x  ) 2 6




y  2 cos(2 x  ) 4

Grafik ove funkcije se konstruiše na isti način kao i za sinusnu funkciju. Razlika je jedino u tome što je početni grafik y  cos x



Za y  2 cos(2 x  ) je: 4 a  2, b  2, c  T

 4

2 2    T  2 b



c 4  c      b 2 8 b 8

Krećemo od grafika y  cos x : y 1 3  2

2

  2

0

 2

3 2

x 2

-1

Dalje crtamo grafik

y  cos 2 x , to jest smanjujemo periodu na  . www.matematiranje.com

6

y 1 3  2

 2

  2

2

3 2

x 2

0

-1 y  cos 2 x

Kako je

 c  udesno:  , vršimo pomeranje ovog grafika za b 8 8

y 1 3  2

2



 2

  2 

3 8

0

-1

3 2



x 2

 y  cos(2 x  ) 4

Amplituda je a  2 , pa “ raširimo” grafik izmedju -2 i 2 po y osi. y 2

1 3  2

2

 2

  2 

3 8

3 2

x 2

0

-1 -2

 y  2 cos(2 x  ) 4

Evo konačnog grafika.

primer 4.


y  sin x  1

Ovakvu situaciju do sada nismo imali... Ali smo nešto slično radili kod kvadratne funkcije ( pogledaj taj fajl). Broj « van » sinusa nam ustvari predstavlja pomeranje po y-osi! Ako je taj broj pozitivan grafik se pomera “na gore” a ako je taj broj negativan , grafik se za toliko pomera “na dole”. www.matematiranje.com

7

Ovde imamo +1, pa ćemo nacrtati grafik funkcije y  sin x i ceo grafik podići za 1 na gore. y 1 

2



y  sin x 3 2

 2

0

3 2

 2

2

x

2

x

-1

y 2

y  sin x  1

1 

2



3 2

 2

0

3 2

 2

-1

primer 5.

y  cos x  2


Crtamo grafik y  cos x pa ga “spustimo” za 2 na dole po y osi! y 1 3  2

  2

2

 2

3 2

x 2

0

-1

y 1 3  2

  2

2

0

 2

3 2

x 2

-1 -2

y  cos x  2

-3


8

Nacrtaj grafik funkcije: y  sin x  3 cos x

primer 6.

Rešenje: Ovde nam je prvi posao da “ spakujemo” funkciju na oblik y  a sin(bx  c) ili y  a cos(bx  c) . Ovde moramo koristiti formulice iz trigonometrije, a ima i nekih trikova...

y  sin x  3 cos x

kao trik dodamo

2 2

2 2 3 cos x  sad uzmemo 2 ispred zagrade y  sin x  2 2 1 3 3  1  cos x)  znamo da je cos  i sin  , zamenimo ... y  2( sin x  2 2 3 2 3 2 y  2( cos

 3

 sin x  sin

y  2( sin x  cos



 3

 cos x)  malo pretumbamo....



 cos x  sin )  ovo u zagradi je formula sin( x  y )  sin x cos y  cos x sin y 3 3



y  2sin( x  ) 3



Znači, zadatu funkciju y  sin x  3 cos x smo sveli na oblik y  2sin( x  ) koji znamo da konstruišemo. 3 Ostavljamo vama za trening da probate sami da je konstruišete.

 3 Nacrtaj grafik funkcije: y  sin(2 x  )  cos(2 x  ) 4 4

primer 7.

Rešenje:

I ovde imamo zeznutu situaciju. Najpre moramo prebaciti kosinus u sinus preko formulice za vezu trigonometrijskih funkcija u I kvadrantu:



cos x  sin(  x) 2 www.matematiranje.com

9

 3 y  sin(2 x  )  cos(2 x  ) 4 4

3   y  sin(2 x  )  sin[  (2 x  )] 4 2 4 3   y  sin(2 x  )  sin[  2 x  ] 4 2 4 5 x y x y  cos y  sin(2 x  )  sin(  2 x)  dalje koristimo formulicu: sin x  sin y  2sin 4 4 2 2  5  5 2x   2 x   (  2 x)  2x 4 4 4 4 y  2sin  cos 2 2  5  5 2x   2x   2 x  2x 4 4 4 4 y  2sin  cos 2 2 3 4x   2  znamo da je sin   1 y  2sin  cos 2 2 2 3 4x y  2 1  cos(  2 ) 2 2 3 y  2  cos(2 x  ) 4

I ovo je za trening...Ako se ne snalazite, pošaljite nam mejl pa ćemo probati da vam pomognemo, nekako. www.matematiranje.com

10

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

Sinusna teorema glasi: Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova.

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini prečnika (2R) kružnice opisane oko trougla. Sinusna teorema se primenjuje: 1) Kada su data dva ugla i jedna stranica 2) Kada se date dve stranice i ugao naspram jedne od tih stranica Kosinusna teorema glasi: Neka su a,b,c dužine stranica i α , β , je veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla ABC. Tada je:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos je Kosinusna teorema se primenjuje: 1) Kad su date dve stranice i ugao izmedju njih 2) Kad su date sve tri stranice trougla 1

Još neke važne ''stvari'' koje se izvode iz sinusne i kosinusne teoreme su: → Površina trougla je:

1 a sin α 2 1 P = b sin β 2 1 P = c sin γ 2 P=

→ Površina trougla je P =

a ⋅b ⋅c a+b+c poluobim a r je poluprečnik , gde je s = 4R 2

upisane kružnice → Težišne linije se izračunavaju:

ta =

2b 2 + 2c 2 − a 2 2

tb =

2c 2 + 2a 2 − b 2 2

tc =

2a 2 + 2b 2 − c 2 2

→ Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla (oko koga može da se opiše kružnica) jednak je zbiru proizvoda naspramnih strana. m ⋅ n = ac + bd Ptolomejeva teorema

→ Ako su d1 i d 2 dijagonalne konveksnog četvorougla i α ugao koji one grade. Površina tog četvorougla je:

2

P=

1 d1 ⋅ d 2 sin α 2

Zadaci: 1) U trouglu ABC dato je α = 450 , β = 60 0 i poluprečnik opisanog kruga R = 2 6 . Odrediti ostale osnovne elemente bez upotrebe tablica.

α = 45o β = 60o R=2 6

____________

Najpre ćemo naći ugao γ

α + β + je = 180 o γ = 180 o − (45 o + 60 o ) γ = 75 o

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ Iskoristićemo sinusnu teoremu. a = 2R ⇒ sin α

a = 2 R sin α a = 2 ⋅ 2 6 sin 45 o a=4 6⋅

2 = 2 12 = 4 3 2

a=4 3

3

b = 2R ⇒ sin β

b = 2 R sin β b = 2 ⋅ 2 6 sin 60o b=4 6⋅

3 = 2 18 = 6 3 2

b=6 3

c = 2R ⇒ sin γ

c = 2 R sin je c = 2 ⋅ R 6 sin 75o c = 4 6 ⋅ sin(45o + 30o ) c = 4 6 ⋅ (sin 45o cos 30o + cos 45o sin 30o ) ⎛ 2 3 2 1⎞ ⋅ + ⋅ ⎟⎟ → sre dim o c = 4 6 ⋅ ⎜⎜ 2 2 2 2⎠ ⎝

(

c = 2 3+ 3

)

2) Odrediti stranicu b trougla ABC ako su njegove stranice a = 2 3cm, c = 6cm i ugao β = 1050

a = 2 3cm c = 6cm

β = 105o

Ovde ćemo upotrebiti kosinusnu teoremu!!!

____________

b=? b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β Ajmo prvo da nadjemo cos105o cos105o = cos(60o + 45o ) = cos 60 o cos 45 o − sin 60 o sin 45 o =

1 2 3 2 ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2

2 (1 − 3 ) 4

4

b 2 = (2 3 ) 2 + ( 6 ) 2 − 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 ⋅

2 (1 − 3 ) 4

b 2 = 12 + 6 − 6(1 − 3 ) b 2 = 12 + 6 − 6 + 6 3 b 2 = 12 + 6 3 → mali trik

12 + 6 3 = (3 + 3 ) 2 → proverimo

b 2 = (3 + 3 ) 2

= 32 + 2 ⋅ 3 3 + 3

b = 3+ 3

2

= 9+6 3 +3 = 12 + 6 3

3) U trouglu ABC dato je AB=24cm, AC=9cm i ugao α = 600 . Odrediti bez upotreba tablica, stranicu BC i poluprečnik opisane kružnice.

C

b=9cm

a

b = 9cm

A

c=24cm

B

c = 24cm

α = 60 o __________

a = ?, R = ?

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α a 2 = 9 2 + 24 2 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅ cos 60o 1 a 2 = 81 + 576 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅ 2 2 a = 441 a = 441 a = 21cm

5

a 21 = 2R ⇒ = 2R sin α sin 60 o 21 = 2R 3 2 42 2R = 3 21 R= racionališemo 3 R=

21 3

⋅

3 3

21 3 3 R = 7 3cm R=

4) U trouglu ABC razlika stranica a i b jednaka je 3cm ugao γ = 600 i poluprečnik opisane kružnice R =

7 3 cm . Odrediti stranice trougla ABC. 3

a − b = 3cm

γ = 60 o R=

7 3 3

_____________

a, b, c = ?

c = 2 R ⇒ c = 2 R sin γ sin γ 7 3 c = 2⋅ ⋅ sin 60 o 3 7 3 3 c = 2⋅ ⋅ 3 2 c = 7cm

6

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ 7 2 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) cos 60 o 1 49 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) ⋅ 2 2 2 2 49 = b + 6b + 9 + b − b − 3b b 2 + 3b − 40 = 0 → kvadratna jednačina ‘’po b’’ − 3 ± 13 b1, 2 = 2 b1 = 5 b2 = −8 → ovo nije rešenje jer ne može dužina stranice da bude negativan broj. Dakle b = 5 a =b+3 a = 5+3 a =8

5) U krugu su date tetive AB=8cm i AC=5cm. One grade medjusobni ugao α = 600 . Izračunati poluprečnik opisane kružnice. b = 5cm a = b 2 + c 2 − 2bc cos α c = 8cm a 2 = 52 + 82 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60o α = 60 o __________ __ 1 a 2 = 25 + 64 − 2 ⋅ 40 ⋅ R=? 2 a 2 = 89 − 40

a 2 = 49 a = 7cm

a 7 = 2R ⇒ = 2R sin α sin 60 o 7 2R = 3 2 7 R= 3 R= R=

7 3

⋅

3 3

7 3 3

7

6) Ako su stranice trougla a − 2, a, a + 2 i jedan ugao iznosi 1200 , odrediti stranice.

a=a b = a−2

a+2

a-2

c=a+2

120 o

a Pazi: 120o je ugao naspram najveće stranice (a+2) c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ (a + 2) 2 = a 2 + (a − 2) 2 − 2a (a − 2) cos120 o ⎛ 1⎞ ( a + 2) 2 = a 2 + ( a − 2) 2 − 2 a ( a − 2) ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ 2 2 2 (a + 2) = a + (a − 2) + a (a − 2)

a 2 + 4a + 4 = a 2 + a 2 − 4a + 4 + a 2 − 2a 0 = 2a 2 − 10a 2a (a − 5) = 0 a = 0 → nemoguće a=5 b = a −2 = 5−2 = 3 b=3 c =a+2 c=7

7) Ozračinati visinu fabričkog dimnjaka koji se nalazi na horizontalnom nepristupačnom tlu, ako se vrh dimnjaka iz tačke A vidi pod uglom α , a iz tačke B pod uglom β . Tačke A i B pripadaju takodje horizontalnoj ravni a njihovo rastojanje AB= a . Osa dimnjaka i tačke A i B leže u istoj ravni.

Ovde je najvažnije skicirati problem!!!

8

V α −β

x

.

. A

0

β

a

. B

Obeležimo traženu visinu sa OV=X Prvo nadjemo nepoznate uglove ∠OVA i ∠AVB AVB = ∠OVB − ∠OVA ∠OVA = 90 o − α ⎫⎪ ⇒ ⎬ = (90 o − β ) − (90 o − α ) ∠OVB = 90 o − β ⎪⎭ = 90 o − β − 90 o + α ∠AVB = α − β Primenimo sinusnu teoremu na trougao ABV

a sin(α − β )

=

AV a sin β ⇒ AV = sin β sin(α − β )

sad primenjujemo definiciju sinusa na pravougli trougao VOA.

sin α =

X ⇒ X = AV (sin α ) AV a sin β sin α X= sin(α − β ) a sin α sin β X= sin(α − β )

9

3 8) U trouglu ABC dato je a − b = 1, hc = , R=4. Bez upotreba tablica izračunati α . 2

a −b =1 3 hc = 2 R=4 ________

α =? Najpre ćemo upotrebiti obrasce za površinu trougla: c ⋅ hc abc P= , P= 2 4R Dakle: c ⋅ hc abc = 2 4R 2ab = 4 Rhc ab = 2 Rhc ab = 2 ⋅ 4 ⋅ hc ab = 2 ⋅ 4 ⋅

3 2

ab = 12

Sada napravimo sistem: a −b =1 ab = 12

___________

a = b +1 b(b + 1) = 12 b 2 + b − 12 = 0 b1, 2 =

−1± 7 2

b1 = 3 b2 = −4 Nemoguće

Dakle b = 3 ⇒ a = 3 + 1 = 4 ⇒ a = 4

10

Dalje iskoristimo sinusnu teoremu:

a a = 2 R ⇒ sin α = 2R sin α 4 sin α = 8 1 sin α = 2 Znamo da je α = 30o jer je sin 30 o =

1 2

Dakle α = 30o

9) Odrediti stranice trougla površine P = 3 3 , ako je ugao α = 600 i zbir stranica koje zahvataju dati ugao b+c=7

P=3 3

α = 60o b+c =7 ___________

a , b, c = ?

Ovdećemo iskoristiti obrazac za površinu trougla:

1 P = bc sin α 2 1 3 3 = bc sin 60o 2 1 3 3 3 = bc ⋅ 2 3 bc = 12

Dalje ćemo oformiti sistem jednačina: b+c =7 bc = 12

Izrazimo c=7-b i zamenimo u

bc=12

11

c = 7−b b ⋅ (7 − b) = 12 7b − b 2 = 12 b 2 − 7b + 12 = 0 7 ±1 b1, 2 = 2 b1 = 4 ⇒ c = 3 b2 = 3 ⇒ c = 4 Znači imamo dve mogućnosti: b1 = 4, c = 3

b2 = 3; c = 4

ili

Upotrebimo sad kosinusnu teoremu: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α a 2 = 4 2 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 60 o a 2 = 16 + 9 − 2 ⋅12 ⋅

1 2

a 2 = 25 − 12 a 2 = 13 a = 13

10) U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je normalna na stranicu BC, ugao ABC= 1200 , ugao BAD= 1200 , DA=1. Izračunati dijagonalu BD i stranicu CD

Odavde je vrlo važno nacrtati skicu i postaviti problem, rešenje zatim dolazi samo po sebi: D β

1 A

0

120

. B

C

12

Pošto je ∠ABC = 120 o i BD ⊥ BC ⇒ ∠ABD = 30 o a kako je ∠BAD = 120o ⇒ ∠ADB = 30o naravno trougao ABD je jednakokraki ⇒ AB = 1 a onda nije teško naći DB DB 2 = 12 + 12 − 2 ⋅1⋅1 ⋅ cos120o → Kosinusna teorema ⎛ 1⎞ DB 2 = 1 + 1 − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ 2 DB = 3

DB = 3 pošto se radi o tetivnom četvorouglu, zbir naspramnih uglova je isti!!! 120 o + α = 120 o + β + 30 0 α = 30o + β i važi još α + β = 90o pa je :

α = 60o , β = 30o Primenimo definiciju: sin 60 o =

3 CD

3 3 = 2 CD CD = 2

13

Matematika 2. Godina Srednje Skole

Recommend Documents