Matematicas2 OrtizCOBATABNov2015 Op

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Este libro pertenece a la Serie Integral por Competencias, que Grupo Editorial Patria lanza con base en los nuevos programas de la Dirección General de Bachillerato (DGB), además cubre 100% los planes de la reforma y el Marco Curricular Común propuesto por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Te invitamos a trabajar con esta nueva serie, totalmente rediseñada y descubrir la gran cantidad de recursos que proporciona. En esta edición seguimos los cambios pedagógicos que realizó la DGB, en los que se integran objetos de aprendizaje, desempeños al concluir el bloque, competencias a desarrollar; además proponemos secciones de gran utilidad como: Situaciones didácticas Secuencias didácticas Rúbricas Portafolios de evidencias Actividades de aprendizaje Instrumentos de evaluación (Listas de cotejo y Guías de observación), entre otras. Para el profesor, se incluye una guía impresa que ha sido especialmente realizada para facilitar la labor docente; en nuestro portal para esta serie, alumno y profesor encontrarán diversos objetos de aprendizaje en la dirección:

MATEMATICAS 2

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DGB Serie integral por competencias

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DGB Ortiz Ortiz Ortiz

MATEMATICAS 2

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MATEMATICAS tercera edición

Ortiz Ortiz Ortiz

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Serie integral por competencias

1

2

segunda edición

MATEMÁTICAS 2 Edición especial para Tabasco

Edición especial para Tabasco

Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando Cerecedo Francisco José Ortiz Campos

Francisco Javier Ortiz Cerecedo tercera edición 2015 Fernando José Ortiz Cerecedo

tercera edición 2015

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Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, México, D.F.

Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisor de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Juan Castro Pérez Ilustraciones: Gustavo Vargas Martínez y Jorge Antonio Martínez Jiménez Fotografías: Thinkstock

Matemáticas 2.

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Edición especial para Tabasco Derechos reservados: ©2009, 2014, 2015, Francisco José Ortiz Campos, Francisco Javier Ortiz Cerecedo y Fernando José Ortiz Cerecedo ©2009, 2014, 2015, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

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ISBN: 978-607-744-200-4 (Tercera edición) ISBN: 978-607-438-557-1 (Segunda edición)

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Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico

teléfono:

Primera edición: 2009 Segunda edición: 2014 Tercera edición: 2015

(0155) 53 54 91 00

Grupo Editorial Patria®

Contenido

BLOQUE

1

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4

BLOQUE

5

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . .

IX

Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX

Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X

1.1 Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2 Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.3 Propiedades relativas de los triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1

Criterios de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.1

Criterios de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.2

Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3

Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ángulo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ángulo interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La suma de los ángulos centrales, interiores y exteriores . . Perímetro y área de polígonos regulares e irregulares .

80 84 85 85 85 88

Comprendes la congruencia de triángulos

Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras

Reconoces las propiedades de los polígonos

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

5.1

Circunferencia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Empleas la circunferencia

III

Contenido

6.2 Funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

BLOQUE

6

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

6.1 Sistema sexagesimal y circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.3 Razones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.4 Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.5 Resolución de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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10

Aplicas las funciones trigonométricas

Aplicas las leyes de senos y cosenos

7.1 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano . . . . 143 7.2 Círculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 7.3 Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente . . . . . 151

8.1 Leyes de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.1 Población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Aplicas la estadística elemental

9.2 Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.3 Medidas de tendencia central: para datos no agrupados y agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.4 Medidas de dispersión: para datos agrupados y no agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Empleas los conceptos elementales de probabilidad

10.1 Probabilidad clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 IV


Introducción a la asignatura y a tu libro

Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

El contenido temático de esta tercera edición especial para Tabasco de Matemáticas 2 para bachillerato general se ha modificado y enriquecido para adecuarlo al programa vigente de la asignatura. Esta obra se desarrolla en diez bloques que son:

Bloque 1 Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas En este bloque se parte de conceptos preliminares de la geometría con el propósito de introducir el lenguaje y la notación que nos permita comunicarnos. Se presenta la clasificación de los ángulos. También se trata la clasificación de los triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos.

Bloque 2 Comprendes la congruencia de triángulos Se estableen los criterios de congruencia de triángulos y la relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes.

Bloque 3 Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras A partir de la identificación de las características de triángulos semejantes se enuncian los criterios de semejanza de triángulos. Se trata lo relacionado con los teoremas de Tales y de Pitágoras y se describen relaciones de proporcionalidad entre los catetos y la altura trazada sobre la hipotenusa.

Bloque 4 Reconoces las propiedades de los polígonos Las propiedades de los polígonos se aplican para clasificarlos en regulares e irregulares. También se les clasifica en cóncavos y convexos señalando algunas de sus propiedades y elementos. Se establecen relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares.

V


Bloque 5 Empleas la circunferencia Se hace la distinción conceptual entre círculo y circunferencia. Se describen las propiedades de los elementos asociados a la circunferencia así como de de las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos de la circunferencia.

Bloque 6 Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos Inicia con las medidas angulares y circulares. Se definen las funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos y también las cofunciones de ángulos complementarios. Se determinan los valores de las funciones para ángulos de 30°, 45° y 60°. Se trata la solución de triángulos rectángulos.

Bloque 7 Aplicas las funciones trigonométricas Se identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano y ubica el ángulo de referencia para ángulos situados en los cuadrantes II, III y IV. A continuación se hace la determinación de las funciones para cualquier ángulo y en particular para los ángulos cuadrantales. En el círculo unitario se reconoce a las funciones trigonométricas como funciones de un segmento y se trata la variación y comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas.

Bloque 8 Aplicas las leyes de senos y cosenos Se identifican las leyes de senos y cosenos y se aplican a la resolución de triángulos oblicuángulos.

Bloque 9 Aplicas la estadística elemental Inicia con los orígenes de la estadística, su definición así como de sus elementos. Se procede a la clasificación de variables. Se trata lo relacionado con las tablas de distribución de frecuencias y sus representaciones gráficas. Se definen las medidas de tendencia central y se dan a conocer sus ventajas y desventajas. Finalmente se definen las medidas de dispersión.

Bloque 10 Empleas los conceptos elementales de probabilidad Se parte de nociones preliminares para mencionar los orígenes de la probabilidad y dar su definición. Se introducen elementos de teoría de conjuntos como antecedente de la notación que se utilizará. Se hace la distinción entre elementos aleatorios y deterministas, los diferentes tipos de eventos y su cardinalidad. Se da el concepto de probabilidad clásica y se aplica. Se introduce el principio de conteo para tratar lo relacionado con ordenaciones y combinaciones Cada bloque inicia con su nombre e incluye: objetos de aprendizaje, las competencias a desarrollar, los desempeños del estudiante al concluir el bloque, una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como propuestas de situaciones didácticas. Además de lo anterior cada bloque tiene las secciones: ¿Qué sabes hacer ahora? (evaluación diagnóstica) Para tu reflexión Actividades de aprendizaje Aplica lo que sabes Instrumentos de evaluación VI


¿Qué sabes hacer ahora (evaluación diagnóstica) nos permitirá saber el nivel de conocimientos con los que cuenta el estudiante. La actividad de aprendizaje nos permite conocer el grado de avance en el proceso de enseñanzaaprendizaje para hacer los ajustes necesarios. La sección Instrumentos de evaluación nos permite establecer una comparación entre el inicio y el final del estudio de cada bloque. En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuerdo al enfoque por competencias. Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las partes que integran la propuesta. A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos. El enfoque por competencias considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas. En ese proceso entran en juego las habilidades, capacidades, valores, etc., de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica. La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe para consolidar y aplicar su conocimiento. La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas concretos a resolver por el alumno. En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le apoyará con teoría y ejemplos resueltos. Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado. Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades. Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias. Al inicio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:

Competencia Es la competencia a desarrollar de acuerdo al programa.

Situación didáctica Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etcétera.

Secuencia didáctica Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo. Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar para resolver la situación didáctica. En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar. Estas acciones tendrán un peso en la evaluación.

Evaluación por producto Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia.

Rúbrica de evaluación Incluye los elementos considerados para la evaluación. Se trata de hacer transparente los criterios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación. Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente, debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el y la estudiante la autoevaluación.

Aplicación de TICs En la actualidad el conocimiento está disponible para todos en cantidad de plataformas tecnológicas, recientemente hemos generado mucha información en casi todas las ramas del conocimiento, pero es importante diferenciar la información útil de la que no lo es, por esta razón es importante que el alumno aprenda a identificar las fuentes de información confiables de aquellas que no lo son. VII


Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas. Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos resueltos. Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen, así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva. A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior. La autoevaluación y coevaluación son herramientas esenciales que se realizan entre pares para que el alumno sea motivado a reconocer su papel como integrante de un grupo cuyo objetivo principal es el logro del aprendizaje en el que es protagonistas y corresponsable. Para ello debe identificar y ejecutar la formación de juicios de valor acerca de sí mismo y de los demás, de esta forma se pretende rescatar la experiencia del profesor en la evaluación, aunada a la reflexión que el grupo hace del trabajo general e individual, consciente de la responsabilidad que presenta emitir un juicio constructivo del trabajo de un compañero así como aceptar los que se hacen al trabajo personal. La heteroevaluación es una herramienta que se realiza entre personas que pertenecen a distintos niveles, r es la evaluación que realiza una persona de otra, respecto de una actividad, trabajo, etcétera. Se refiere a la evaluación que lleva a cabo el profesor con respecto a los aprendizajes de los alumnos. También los alumnos pueden evaluar a los profesores. Esperamos que esta obra sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla. Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

VIII


Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-

vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato A continuación se enlistan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables.

Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas Competencias disciplinares básicas

Bloques de Matemáticas 2

1

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1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.

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2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

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3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

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4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

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7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

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8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

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5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

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IX

Las

Secciones deTu libro

Inicio de bloque

Resuelves problemas de semejanza de triángulos Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras y teorema de Pitágoras

¿Qué sabes hacer ahora?

Responde las siguientes preguntas:

Dos triángulos son semejantes cuando: __________________________ 1. __________________________________________________ Dos triángulos son semejantes cuando: __________________________ 1. __________________________________________________ Los triángulos I y II son semejantes. Encuentra la medida de los lados cuyo valor se desconoce: _________________________________________ Los triángulos I y II son semejantes. Encuentra la medida de los lados cuyo valor se desconoce: _________________________________________

Objetos de aprendizaje

3 3

En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y B LO Q U E contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y Objetos de aprendizaje. pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras.



Responde las siguientes preguntas:

2.

10 a

II

6

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2.

16

Objetos de aprendizaje.

3.1 Criterios de semejanza.

3.3 Teorema de Pitágoras

3.2 Teorema de Tales

Competencias por desarrollar

6

b’

II

Una antena de TV se sostiene por tres cables que están a 5 metros de la base y a 12 metros de altura, ¿cuál es la longitud de cada cable? Una antena de TV se sostiene por tres cables que están a 5 metros de ___________________________ la base y a 12 metros de altura, ¿cuál es la longitud de cada cable? ___________________________ ___________________________ ___________________________ 4. 4.

3.3 Teorema de Pitágoras

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad Competencias que tienesa desarrollar para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

I

8 16 Si a cierta hora del día un objeto proyecta una sombra igual a su altura, ¿cómo se puede determinar la altura de un edificio? Si a cierta hora del día un objeto proyecta una sombra igual a _________________________ su altura, ¿cómo se puede determinar la altura de un edificio? _________________________ _________________________ 3. _________________________ 3.

3.1 Criterios de semejanza. 3.2 Teorema de Tales

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

10 a

8

B LO Q U E

b’

Desempeños por alcanzar ¿Qué significa que una pantalla de TV mida 27 pulgadas? ____________________________ ____________________________

¿Qué significa que una pantalla de TV mida 27 pulgadas? ____________________________ ____________________________

5. 5.

Desempeños por alcanzar

Competencias a desarrollar

Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e Argumenta la aplicación de los criterios de semejanza. equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. gráficas. interpretar información.lingüísticas, matemáticas o Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en Expresa ideas y conceptos mediante representaciones Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e Aplica los teoremas de Tales y Pitágoras. equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. gráficas. interpretar información. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como Elige las fuentes de información y comunicación para un propósito específico y Resuelve ejercicios o problemas de su entorno aplicando cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo comoy confiabilidad. Elige las fuentes de información y comunicación parareflexiva. un propósito específico y los teoremas de Tales y Pitágoras. reflexiva. al alcance de un objetivo. discrimina entre ellas de acuerdo a su relevanciay confiabilidad. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. cada uno de sus pasos contribuye Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

3

Situación didáctica

BLOQUE

Aplica los teoremas de Tales y Pitágoras.

Resuelve ejercicios o problemas de su entorno aplicando los teoremas de Tales y Pitágoras.

Rúbrica

¿Cómo lo resolverías?

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángu rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobra los catetos.

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

Argumenta la aplicación de los criterios de semejanza.




Estos desempeños son los que se espera que logres al finalizar cada bloque, te Desempeños por alcanzar posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

Secuencia didáctica

¿Qué ocurre si en lugar de cuadrados se construyen pentágonos, hexágonos u otros polígonos regulares? ¿Qué ocurre si en lugar de cuadrados se construyen semicírculos?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Forma equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Cada equipo debe investigar: ¿Cuál es la expresión algebraica del teorema de Pitágoras?

Evaluación por producto

¿Cómo se pueden construir polígonos regulares que tengan por lado la misma medida del lado del triángulo?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara.

¿Cómo se pueden construir semicírculos sobre cada lado del triángulo?

En este ejemplo:

¿Cómo se calculan las áreas de los polígonos regulares?

Producto a elaborar

¿Cómo se calculan las áreas de los semicírculos?

Modelos de triángulos rectángulos con polígonos regulares o semicírculos sobre sus lados.

¿Cómo se puede saber si la condición que se cumple para los cua cuadrados también se cumple para polígonos regulares o semicírculos?

Trabajo individual


Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Rúbrica

¿Qué tienes que hacer?


Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Para determinar si se cumplen las relaciones que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utili utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la for forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.


por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la eva evaluación del mes.


Para un experimento de laboratorio se debe recortar un popote en cinco trazos de igual tamaño; si sólo se dispone de una hoja de cuaderno rayada, ¿cómo se pueden señalar los puntos de corte?

52


Glosario

Ejercicios Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.


Cálculo para variables continuas Cuando trabajamos con variables continuas agrupadas en intervalos es imposible saber con precisión qué valores toma la variable, esto sucede porque esta información se pierde cuando agrupamos los datos en intervalos o clases; esto no es en ningún momento una limitante para calcular la mediana, ya que existe un método para hacerlo incluso si uno de los intervalos tiene valores indeterminados. Existen dos casos para calcular la mediana.

n n y Fj 21 , se cumplen podemos calcular la me2 2 diana utilizando la frecuencia acumulada con la siguiente relación:

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

 n 2F  j 21   x, 5x^L ininff 1 A  2 fj    obLinf 5 Límite inferior del intervalo mediano (se determina ob n servando en qué intervalo está la posición ) 2 A 5 Amplitud de los intervalos Fj 2 1 5 Frecuencia acumulada en el intervalo anterior al intervalo mediano Lj 5 Frecuencia absoluta del intervalo mediano

Ejemplo Consideremos que deseamos conocer la mediana de los datos concentrados en la siguiente tabla: xi

Frecuencia f

6-11

8 6

Función cuadrática en x. Es aquella que en la que su mayor exponente es 2.

Carpinteyro Vigil, Eduardo y Rubén B. Sánchez Hernández. Álgebra, Publicaciones Patria Cultural, México, 2002.

Función decreciente. Es la función lineal de pendiente negativa.

Cuéllar, José A. Matemáticas I para bachillerato, McGraw-Hill, México, 2003.

Función lineal. Es una regla de correspondencia que se representa geométricamente por un conjunto de puntos en línea recta.

Gobran, Alfonse. Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990.

n , ya que ese es el intervalo mediano. Constante. Es un valor que no cambia ya sea que se represente por un número o por una letra. 2 n Contradominio. Es el conjunto de valores que toma y. cinco A 55, Sabemos que 518 y también que la amplitud es de 2 Criterio de la vertical. Se utiliza para determinar si la represenvación

Ecuación lineal o de primer grado. Tiene como representación

n Fj 21 , → 14 ,18 2

Fj .

gráfica una línea recta. n → 23Eje,de simetría 18 de una parábola: Es su eje focal. 2

Exponente. Indica el número de veces que la base se repite como

factor. para enIdentificamos en la tabla los demás valores que necesitamos contrar la mediana: Factorización de una expresión algebraica. Es convertirla en el

Lnf

xi

Frecuencia f

1-6

8

Frecuencia acumulada Formas de F lai ecuación de una recta. Se refiere a las distintas ex-

8

6-11

6

14

11-16

9

23

16-21

10

33

21-26

3

36

Total

36

Tabla 9.36

presiones algebraicas de la ecuación.

Fracción decimal periódica. Es aquélla en la que una o varias cifras se repiten formando un periodo.

Fj21 Fj

fj

Entonces, calculamos la mediana como

 n 2F  j 21   x,x 5x^Linf 1 A  2 fj   

 36 214   18 214   4   x,x5x^111(16 211) 2 5111 5   5111 2 . 22 513 . 22 5111 5   9  9  9     36 214   18 214   4  1411) 2 11 2 . 22 13 . 22 5 11 1 5 5 1 5 x5111(16 2 5 11 1 5  9   9   9  23     Frecuencia acumulada Fi

8

11-16

9

16-21

10

33

21-26

3

36

Total

36

Tabla 9.35

Cero de la función. Es un punto de intersección de la gráfica de la

n n Coeficiente. Factor que indica el número de sumandos iguales. y Fj 21 , ; esto quiere decir que Cóncava hacia arriba (abre hacia arriba) o cóncava hacia abajo 2 2

producto indicado de sus factores.

Donde:

1-6

Britton, Jack R. e Ignacio Bello. Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1982.

(abre hacia abajo). Se refiere a la posición de la gráfica de una funtenemos que identificar el intervalo en donde está contenida la obser obserción cuadrática cuya incógnita es x.

Cuando Fj .

Ejemplos

Barnett, Raymond A. Álgebra y trigonometría, McGraw-Hill, México, 1986.

Función creciente. Es la función lineal de pendiente positiva.

tación geométrica de una gráfica corresponde o no a una función. entonces, comprendemos que la mediana tiene que estar contenida Es el valor que corresponde a una matriz. en el intervalo [11, 16) porque la frecuencia acumuladaDeterminante. en el intervalo Dominio.mediano Es el conjunto de valores que toma x. anterior es de 14 y la frecuencia acumulada en el intervalo Ecuación de segundo es de 23; en este punto hemos descrito y comprobado a través degrado con una incógnita. Es aquélla en la que el mayor valor de su única incógnita es 2. palabras las condiciones para calcular la mediana.

Ejercicios

Ejercicio

n entonces x 5 x sj 2 1. Donde xSj21 representa el 2 límite superior del intervalo para el que Fj21 5 n/2.

Cuando Fj 21 5

189

X

Bibliografía Función. Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Es una relación de dependencia entre dos variables.

Binomio. Polinomio de dos términos. función con elque eje x. se Sabemos que tenemos 36 datos, por lo que debemos verificar

cumplan las condiciones Fj .


Imagen. Es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición.

Leithold, Louis. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Oxford University Press México, México, 1994. Oteyza, Elena et al. Álgebra, Pearson Educación, México, 2003.

Intervalo. Es un conjunto de valores de la recta numérica comprendidos entre dos valores extremos.

Peterson, John C. Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Compañía Editorial Continental (CECSA), México, 1998.

Matriz aumentada. Está formada por los coeficientes de las variables y los términos independientes.

Phillips, Elizabeth P., Thomas Butts y Michael Shaughnessy. Álgebra con aplicaciones, Harla, México, 1988.

Matriz cuadrada. Es aquélla en la que el número de renglones es igual al número de columnas.

Smith, Stanley A et al. Álgebra, Adisson-Wesley Iberoamericana, México, 2001.

Matriz de coeficientes. Está formada por los coeficientes de las variables del sistema. Matriz escalonada. Es aquélla en la que son cero los valores que están por debajo de la diagonal principal. Máximo común divisor de 2 o más números. Es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Otras herramientas

Medio aritmético. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión aritmética.

Vínculos en Internet

Medio geométrico. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión geométrica.

http://www.matworks.com

Mínimo común múltiplo de 2 o más números. Es el menor de los múltiplos comunes de dichos números.

http://www.wolframreseareh.com http://www.geoan.com

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje. 233

235

7

BLOQUE



Funciones para cualquier ángulo

Actividad de aprendizaje

Toda función trigonométrica (n ? 90° 6 u) donde n es un número entero y u es un ángulo cualquiera, es numéricamente igual a:

y

a) La misma función de u si n es par.

y

En qué cuadrantes tienen signo positivo el seno y la cosecante:

b) La correspondiente cofunción de u si n es impar.

u u

0 4

0


x

5

Aplica lo que sabes

Si el lado terminal de u está en el segundo cuadrante:

y 3 y 3 sen θ = = tan θ = = . r 5 x 4

Si el lado terminal de u está en el cuarto cuadrante:

Como ttan an θu =

4 encuentra los valores de sen u y tan u. 5

Como cos u es positivo, u tiene su lado terminal en el primer cuadrante o en el cuarto.

y −3 x 4 sen θ = = y cos θ 5 5 . r 5 r 5

y −3 3 y 23 3 sen θ = = = − y tan u2 5 5 . r 5 5 2 4 4 2. Dadotan tan θ u =−

3 halla los valores de sen u y cos u 4

y es negativa, u tiene su lado terminal en el sex

Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.) Fue un matemático y geómetra griego, al cual se le conoce como “El Padre de la Geometría”. Es autor de Los elementos, una de las obras científicas más conocidas del mundo. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc., es decir, de las formas regulares.

x = 4 , y 5 23. En ambos casos r = 16 + 9 = 5

Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Alguno de los más conocidos son: la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.

y

entonces x = 4 r = 5 y y = ± 5 2 − 4 2 = ± 9 = ± 3 p(–4, 3)

y

3

5

–4 5 0

u 4

x

3 x

Ejemplos Expresa como funciones de un ángulo agudo positivo en dos formas diferentes, cada una de las siguientes funciones 1. cos 120°

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento extremada deductivo,, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento: en física, física la astronomía, química, diversas ingenierías, y desde luego en las matemáticas.

u 0

p(4, 3)

Grupo Patria® a Está diseñada para que puedas aplicar tusEditorial conocimientos situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos. Actividad de aprendizaje

Para tu reflexión

gundo cuadrante si x = −4 y = 3 o en el cuarto cuadrante si

x 4 c os θ = = r 5

Un río mide 17 metros de ancho. En sus riberas opuestas están dos árboles de 12 y 5 metros de altura, respectivamente. En la parte su superior de cada árbol se encuentran aves que se alimentan con peces. Si desde cada árbol se lanza un ave, al mismo tiempo y a la misma velocidad, sobre un pez que pasa a 5 metros del árbol más alto, ¿cuál de las aves llega primero?

y 3 x −4 sen θ = = cos θ = = r y r 5

Si el lado terminal del ángulo u está en el cuarto cuadrante:

1. Dado cos θ =

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

Figura 7.7

Si el lado terminal del ángulo u está en el primer cuadrante:

Ejemplos

p(4, –3)

p(4, –3)

Figura 7.6

En qué cuadrantes tienen signo positivo el coseno y la secante:

En ambos casos, el signo es el que corresponde a la función dada según el cuadrante en el que está el lado terminal de n ? 90° 6 u cuando u es un ángulo agudo positivo.

x –3

–3

5

En qué cuadrantes tienen signo positivo la tangente y la cotangente:


4

Aplica lo que sabes

Un ángulo de 120° en posición normal tiene su lado terminal en el segundo cuadrante y en éste la función coseno tiene signo negativo, por tanto: cos 120° 5 cos(2 ? 90° 2 60°) 5 2 cos (n par, misma función) cos 120° 5 cos(1 ? 90° 1 30°) 5 2 sen 30°(n impar, cofunción)

A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

135 134

Para tu reflexión Grupo Editorial Patria®

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.

Aplicación de las TICs

Aplicación de las TICs 1. Ahora que conoces diferentes conjuntos de números reales y su relación, consulta el sitio www.wolframalpha.com para contestar las siguientes preguntas. Tip:: la plataforma WolframAlpha es un recurso computacional libre empleado para resolver inquietudes e incluso problemas de muchas disciplinas; esta herramienta está disponible únicamente en el idioma inglés, por lo que puedes apoyarte de tu profesor de esa materia, o bien, puedes emplear el traductor de Google (www.google.com/translate) www.google.com/translate) para poder entender la plataforma. www.google.com/translate a) De los conjuntos reales que conoces, ¿cuáles son contables y cuáles no? Tip 1. Ingresa a WolframAlpha y escribe en el buscador la palabra “sets” (“conjuntos” en inglés).

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de Wolfram Alpha LLC y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Instrumentos de evaluación Después de hacer lo anterior, se abrirá una nueva ventana de la que copiarás el texto.

Lista de cotejo

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a). Tip 3. Ahora la plataforma te muestra la definición de “countable set” (conjunto contable), para saber qué dice haz clic en el botón “More information” (Más información).

BLOQUE

4


Realizas transformaciones algebraicas I

Apellido materno


Portafolio de evidencias

Nombre

Grupo

es

5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.

P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

• Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.

6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Asignatura 7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.

Número de bloques del libro

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?


¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?

2

8. Factoriza la expresión x 1 x y 1 x 1 y.

Monitoreo de evidencias

#

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

1 2

o,

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado. 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.

Conclusiones

3

5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

11. Representa algebraicamente una pizza y una orden de alitas de pollo.

3

13. Establece el sistema de ecuaciones simultáneas que representa las condiciones del problema y obtiene el valor unitario de cada Rúbrica pizza y orden de alitas de pollo.

15. Expresa las condiciones del problema mediante un sistema de ecuaciones simultáneas.

Nombre del alumno:

16. Calcula el valor de cadaExcelente pizza y de cada orden de alitasBueno de pollo. Criterios (4) (3)

4

Portafolio de evidencias 235

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Rúbrica Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Deficiente (1)

Ecuaciones lineales

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En la mayoría de los casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En algunos casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

No conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. No plantea 171 ni expresa el modelo matemático de un problema.

Resolución de ecuaciones lineales en una variable

Aplica las propiedades de la igualdad. Resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En la mayoría de los casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En algunos casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

No aplica las propiedades de la igualdad. No resuelve ecuaciones lineales en una variable ni problemas. No conoce los conceptos de función o relación.

Relación entre funciones y ecuaciones lineales

Representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. Determina la distancia entre dos puntos del plano.

En la mayoría de los casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

En algunos casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

No representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. No determina la distancia entre dos puntos del plano.

Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado.




Traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En la mayoría de los casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En algunos casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

No traza la gráfica de una función lineal. No distingue funciones crecientes ni decrecientes.

29

Aspecto a evaluar

92

Regular (2)

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. Plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

5

o,

al


12. Establece la relación entre el número de pizzas y el número de órdenes de alitas de pollo con la cantidad que se paga por ellas.

Indicaciones: 14.es para Comprende y lodeexpresa algebraicamente. Esta rúbrica valorar elel problema desempeño los estudiantes sobre los contenidos del bloque 6.

¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? 4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pen pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. 3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación.

3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su re relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarro desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

Propósito del portafolio de evidencias

Observaciones

no

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.

los más significativos en el proceso de aprendizaje.

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

sí

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

• No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son • Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3

cumple

Criterio

21

Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1. Determina P (x ) 2 Q (x )

Nombre del alumno:

Tip 4. Copia y pega el texto del rectángulo rojo en el recuadro de la izquierda del traductor de Google que se encuentra en www. google.com/translate. Observa como aparece la traducción en el recuadro de la derecha; si esto no sucede, presiona el botón que dice “Translate” (Traducir). Asegúrate que traducirá de inglés a español, puedes verificarlo haciendo clic sobre las flechas de cada recuadro.

Instrumentos de evaluación Apellido paterno

Lista de cotejo

Dominio del tema



Lista de cotejo para el reporte sobre la cantidad a pagar por cada pizza y cada orden de alitas de pollo de la página 160 del Bloque 7.

Presentación

Tip 2. Encuentra la sección “Topics” (Temas), busca “countable sets” (conjuntos contables) y haz clic en el enlace.

Desarrollo


Actividades que te posibilitarán vincular tus conocimientos de esta asignatura con las TICs.

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx Influencia de los parámetros en la gráfica de una función lineal

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB. XI Técnicas para graficar la función lineal

Comentarios Generales:

153

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas Tiempo asignado:

8 horas

1

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

1.1 Ángulos Por su abertura Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (Tranversal) Por la suma de sus medidas Complementarios Suplementarios 1.2 Triángulos Por la medida de sus lados Por la abertura de sus ángulos

1.3 Propiedades relativas de los triángulos

Competencias a desarrollar n

n

n

Expresa ideas y conceptos matemáticos mediante las representaciones geométricas de los diferentes tipos de ángulos y triángulos en situaciones reales de su comunidad. Reflexiona sobre los procedimientos para trazar ángulos, triángulos, rectas y puntos notables con regla y compás. Utiliza el software disponible en las tecnologías de la información y comunicación para trazar los diferentes tipos de ángulos.

n

n

Interpreta y resuelve problemas teóricos y del entorno mediante símbolos propios de ángulos y triángulos. Valoras el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales en la resolución de problemas de ángulos y triángulos en situaciones propias de su entorno.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Dos ángulos cuya suma es de 90° se llaman: 2. Dos ángulos cuya suma es de 180° se llaman: 3. Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos mide el doble del otro, ¿cuánto mide cada uno? 4. Un triángulo que tiene por lo menos dos lados iguales se denomina: 5. Un triángulo equilátero, ¿también es isósceles? 6. ¿Cuánto suman los ángulos agudos en un triángulo rectángulo?

7. Halla el valor de x en

2 x 5 . 3 12

8. Dos ángulos son adyacentes cuando: 9. En un triángulo dos de sus ángulos miden, respectivamente, 50° y 55°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? 10. En la siguiente figura l1 // l2 y r es una transversal. Calcula los valores de x y de y.

x

l1

y

2x

r

l2

Desempeños por alcanzar Identifica diferentes tipos de ángulos y triángulos. Utiliza las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad. Resuelve ejercicios y/o problemas de su entorno mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.

1

BLOQUE




Investiga qué propiedades del triángulo hacen que se le utilice en múltiples estructuras. Presenta ejemplos de aplicación de esas propiedades.

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presentan los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Qué tipo de figuras geométricas se utilizan en estructuras? 2. ¿Por qué se dice que el triángulo es una figura rígida?, ¿indeformable?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


3. ¿Por qué se utiliza el triángulo en estructuras rígidas?


4. ¿Cómo están construidas diferentes estructuras rígidas?

En este ejemplo:

Producto a elaborar

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Rúbrica Para determinar en el triángulo las propiedades que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi4

Modelos de estructuras rígidas en las que se utilice el triángulo.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.




Investiga qué tipo de ángulos –complementarios o suplementarios– se utilizan en la estructura de techos de casa, bodegas, almacenes, etcétera. ¿Cómo se utilizan?



Forma equipos para resolver el problema


Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema.


Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver el problema.

En este ejemplo:

Cada equipo debe investigar: ¿Qué son ángulos complementarios (suplementarios)?

Producto a elaborar Modelo de estructuras para soportar el tejado de una casa.

¿Qué nombre se le da a la estructura que soporta el tejado de techos en casas de madera? ¿Qué tipo de triángulos se utilizan en la estructura? ¿Cómo son los ángulos que tienen los triángulos de la estructura? ¿Cuáles son complementarios?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Rúbrica Para determinar la estructura los ángulos complementarios que se piden se deben anexar los conceptos investigados y cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

5

1

BLOQUE


Propuestas de diseño para situaciones didácticas

6 a 9. Representa todos los ángulos de cada figura. Usa tres letras sólo cuando sea necesario.

a) /PQR

b) /RPQ

Q• • R

C

c) /QRP

Q•

• P

D

C

1. Traza los ángulos que se indican:

• P

Q• • R

• P

• R

A

B

A

B

C

2. Nombra cada uno de los ángulos con una y con tres letras.

C D

R

C

E O

Q B

A

A

D

B

B

10. En la siguiente figura representa con tres letras los ángulos numerados.

P

Y

C

R

B

3 4

D

T X

A

2 1 O 6 5

A

S

Z

E

3. Menciona el vértice y los lados de cada uno de los ángulos del ejercicio anterior. 4. En la siguiente figura nombra el vértice y los lados de los ángulos: 1, 2, 3, 4, X, Y, Z; después menciona cada uno de estos ángulos con tres letras. Z A 1

F

11. Con base en la figura anterior identifica los ángulos que permitan completar correctamente las siguientes igualdades. a) / AOC 5 / 1 1 / ______ b) / ______ 5 /3 1 /4 c) /AOE 5 / ______ 1 / ______ 12. Con base en la figura representa con tres letras los ángulos que se indican.

2

E

/1 3 4

X

Y

B

D

/3

5. En la siguiente figura señala el vértice y los lados de sus ocho ángulos. Representa cada ángulo con tres letras. D

/2

3

C

/1 1 /2 1 /3 /BAE 2 /1

4

C

/2 1 /3 A

3 2 1

B

13. Con un transportador mide los siguientes ángulos hasta el grado más próximo y anota la medida de cada uno. 1 A

6

2

B

a) /AOB 5

b) /COD 5

c) /M 5

d) /N 5

e) /a 5

f ) /b 5


g) /1 5

h) /2 5

i) /3 5 B

O

15 a 22. Con base en las siguientes figuras identifica en cada caso los ángulos agudos, rectos y llanos. 15.

16.

C

A

B

17.

D

A

A

C

B

18. B

C

D

O

A

C

B

19. D

C C

20.

A C

B A

N

A

B

21.

22.

R

M B

O

A

P

Q

23 a 25. Con base en las figuras y utilizando los números correspondientes, menciona todos los pares de ángulos adyacentes.

23.

24.

C

D 8

1 2

a

C 6

7 12

1

c

b A

25.

2

A

3 4 D

2

1 3

b) /EOF 5 32°

c) /MON 5 125°

d) /COD 5 153°

e) /GOH 5 110°

f ) /POQ 5 49°

3

4 B

4

A

a) /AOB 5 78°

10

B

1

14. Traza los ángulos cuya medida se indica.

9

5

B

C

3

2

11

D

26 a 28. Con base en las figuras y utilizando los números correspondientes, determina todos los pares de ángulos que son: a) Complementarios

b) Suplementarios 7

1

BLOQUE

26.

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas 27.

3

5

4 1

28.

6

37. Halla dos ángulos suplementarios tales que:

7

a) b) c) d) e)

2 8

9

10

11

12 13

14

38.

b) 20° e) 43° 479

c) 47° f ) 63° 089

39.

C

a) 30° b) 50° c) 70° d) 107° 429 e) 27° 149 f ) 132° 299 32. Determina el suplemento de un ángulo que mide x y completa la tabla siguiente: 40°

60°

75°

50°

15°

A

40.

D

O E

41.

C

2 1 3 4

B E

x°

6 5 7 8

D A

42. En la figura del ejercicio 38, si /AOC 5 40°, determina la medida de los ángulos restantes.

Complemento Suplemento menos complemento

43. En la figura del ejercicio 39, si /BOD 5 130° y /COD 5 50°, halla la medida de los ángulos restantes.

¿Qué conclusión sugieres?

44 a 46. Calcula el valor de los ángulos a y b en cada figura.

33. Indica qué clase de ángulo es: a) El complemento de un ángulo agudo. b) El suplemento de un ángulo obtuso. c) El suplemento de un ángulo recto.

44.

45. 40° 40°

35. Cuando dos ángulos suplementarios son iguales, ¿cuánto mide cada uno? 4x b

a

5x

4x 4x b b 5x 5x a a

x xb b a a

34. Cuando dos ángulos complementarios son iguales, ¿cuánto mide cada ángulo?

e) Uno sea 6° mayor que el doble del otro.

C

D

Suplemento

36. Halla dos ángulos complementarios tales que: a) Uno sea el doble del otro. 40° b) Uno sea 20° mayor quex el otro. b a triple del otro. c) Uno sea 10° menor que el d) Uno sea 5° menor que el cuádruplo del otro.

A

O

a) a° b) x° 31. Halla el suplemento de:

B

B

30. Determina el complemento de un ángulo que mide:

8

3

38 a 41. Representa los ángulos opuestos por el vértice en cada figura.

29. Encuentra el complemento de: a) 15° d) 30° 259

Uno es el cuádruplo del otro. Uno sea 20° mayor que el triple del otro. Uno sea 20° menor que el doble del otro. Uno sea 36° mayor que el doble del otro. Uno sea 10° mayor que las 2 partes del otro.

46. x

2x – b

15° a

2 2 x xx – 1x5–° 15 ° b ba a

a5 b5 a5 5 Editorial Patria® c 5 bGrupo c5 47. Establece la relación que existe entre cada par de ángulos. E

a) /1 y /4

m

b) /3 y /4

D

c) /1 y /2 d) /4 y /5

2

A

1

e) /AOD y /5

3 O 5

4

n p

s r q

l3

l1

B

l270° l4

C

48. Escribe el nombre de la relación de cada par de ángulos. a) /1 y /3

b) /4 y /8

c) /1 y /5

d) /4 y /6

e) /3 y /5

f ) /2 y /6

g) /2 y /4

h) /1 y /7

i) /5 y /7

j) /3 y /7

k) /2 y /8

l) /6 y /8

m5 n5 p5 q5 r5 s5

51.

52.

a5 b5 a5 c 5 b5 d5 c5 d5

a 30° d

c

18°

m5 n5 p5 q5 r5 s5

b

53 a 57. Halla los valores de x y y en cada caso y fundamenta las relaciones establecidas. 53.

1 4 5 8

2 3

x + 2y x – 2y

6 7

49. Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, determina la palabra que complete correctamente cada uno de los siguientes incisos: a) Los ángulos opuestos por el vértice son: b) Los ángulos correspondientes son: c) Los ángulos alternos internos son: d) Los ángulos alternos externos son: e) Los ángulos colaterales (internos o externos) son:

54.

50 a 52. Con base en la figura y los datos que se dan, calcula el valor de los ángulos que se indican (l1 // l2 y l3 // l4).

55.

50.

a5 b5 c5 a

b

143° c

150°

m5 n5 p5 q5 r5 s5 a5

2x

y+

10

°

3x – 20°

3x + 36°

5x – 8°

y

9

1

BLOQUE

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas b)

56. x – 2y 4y 92°

c) 57. x+y x–

61. Traza un triángulo:

2y

150°

58. Da el nombre que, por la magnitud de sus lados, recibe cada triángulo. a)

b)

a) Rectángulo

b) Acutángulo

c) Obtusángulo

d) Oblicuángulo

e) Rectángulo y escaleno

f ) Rectángulo e isósceles

g) Acutángulo y escaleno

h) Acutángulo e isósceles

i) Acutángulo y equilátero

j) Obtusángulo y escaleno

k) Obtusángulo e isósceles

l) Obtusángulo y equilátero

62. Traza la perpendicular del punto P a la recta r.

•P c)

r

•P 59. Traza los siguientes triángulos: a) Escaleno

b) Equilátero

c) Isósceles

d) Equilátero de 4 cm por lado

e) Escaleno de lado 3, 4 y 5 cm f ) Isósceles de base 3 cm y lados iguales de 5 cm 60. Da el nombre que, por la magnitud de sus ángulos, recibe cada triángulo.

r

63. Traza las alturas de los siguientes triángulos e identifica la que corresponde a cada lado. a)

C

a)

A

10

B


66. Traza la mediatriz de los siguientes segmentos.

b) Z

a)

X

A

Y

B

64. Determina el punto medio de los segmentos. a)

b) A F

B E

b) 67. Traza las mediatrices de los lados de los triángulos siguientes e identifícalas.

Y

a)

C

X

65. Traza las medianas de los siguientes triángulos e indícalas. A

C

a)

B

b) Z

A

b)

B Z

X

c) Da el nombre del punto de intersección de las mediatrices. 68. Traza la circunferencia circunscrita (circunferencia) a los siguientes triángulos. a)

X

Y

b) F

C

Y

c) Da el nombre del punto de intersección de las medianas. A

B

D

E

11

1

BLOQUE

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas I

c)

G

F

b)

H

D

d) Traza la circunferencia que pasa por P, Q, R. R•

71. Traza la circunferencia inscrita (incircunferencia) a los siguientes triángulos. C

a)

P•

E

Q•

69. Traza la bisectriz de los siguientes ángulos. a)

A

b)

B

F

A D

b)

c) I

B

G

70. Traza las bisectrices de los ángulos de los siguientes triángulos y nómbralas. a)

C

A

12

E

B

H


Introducción Como producto del quehacer humano encontramos múltiples y variadas construcciones que tienen como base figuras geométricas en las que además de su forma y dimensiones se aplican sus propiedades. En este bloque se abordará lo referente a ángulos y triángulos como un antecedente en el estudio de figuras y cuerpos que se encuentren en nuestro entorno. El estudio de la geometría requiere el uso de la vista, de instrumentos de dibujo y medida, así como de la inteligencia. Mediante la vista podemos identificar en nuestro entorno formas de objetos y algunas de sus propiedades en relación con su estructura y posición; sin embargo, podemos incurrir en errores de apreciación debido a ilusiones ópticas, a la agudeza visual o a la posición del observador. En cuanto a la precisión para apreciar dichos objetos, intervienen la calidad de los instrumentos de medición o la habilidad para usarlos adecuadamente. Es por ello que la inteligencia humana, por su capacidad de análisis, de asociación de ideas y de sucesos para deducir una solución o brindar una nueva manera de percibir la realidad, constituye el mejor recurso para el estudio de la geometría. Como la inducción se basa en una suposición, su proceso no siempre conduce a resultados válidos, aunque sí es una valiosa herramienta para descubrir conclusiones posibles. El pensamiento sintético (deductivo) parte del establecimiento y aceptación de ciertos elementos que se consideran indispensables para construir una estructura o un sistema. A partir de estos elementos se deducen nuevas proposiciones que se incorporan y enriquecen al sistema. Euclides llamó a esos elementos nociones comunes, en virtud de que no existe la menor duda en cuanto a su significado. El método sintético va de lo general a lo particular y se utiliza en lógica, álgebra, geometría y otras áreas de las matemáticas.

En geometría, punto, recta y plano son términos primitivos en virtud de que cualquier intento de definirlos implicaría el uso de términos geométricos menos familiares. A continuación dichos conceptos se describen pero no se definen. Punto. El punto geométrico no tiene dimensiones, sólo posición. Para representar el punto geométrico se utiliza el punto gráfico, que no es el punto geométrico, del mismo modo que un punto en un mapa representa una ciudad, pero no es la ciudad. El punto geométrico se denota por medio de una letra mayúscula colocada junto al punto grafico. •A

•B

•C

Recta. La recta se representa con una figura como la siguiente:

Las puntas de la flecha indican que la figura se puede prolongar en ambos sentidos tanto como se quiera. Para referirse a una recta (notación) se pueden seleccionar dos de sus puntos a los que se asocian letras mayúsculas. Así el símbolo AB representa una recta que pasa por los puntos A y B. A

B

El símbolo AB se lee “recta AB”. La línea recta también se puede designar (denotar) por medio de una sola letra minúscula. m 4

El símbolo m se lee “recta m”. La línea recta carece de anchura y espesor, sólo tiene longitud.

Conceptos preliminares Es importante establecer las condiciones que nos permitan usar con propiedad el lenguaje que emplearemos en este curso, de tal manera que cuando utilicemos un término geométrico todos tengamos la misma noción. El lector está familiarizado con cierto vocabulario geométrico derivado del uso diario y de sus estudios en cursos anteriores. Al igual que en cualquier otra disciplina, el lenguaje técnico se forma agregando al lenguaje común algunos términos que tienen un significado específico. Recurriendo al conocimiento intuitivo que tenemos de algunos términos geométricos, y en algunos casos más que tratar de dar una definición ilustraremos gráficamente su significado. De esta manera, además de manejar la misma terminología, introduciremos símbolos con los que se les denota, agregando nuevos elementos que enriquezcan nuestro lenguaje y nos permitan comunicarnos con claridad.

Plano. La cubierta de una mesa nos da idea de lo que es un plano, es decir, una superficie llana que se extiende indefinidamente. La superficie tiene dos dimensiones: longitud y anchura, pero carece de espesor. Por ello una hoja de papel puede representar un plano, aun sin serlo, pues por delgada que sea tiene grosor. La sombra que un edificio proyecta sobre el piso significa una superficie. Un plano se representa con una figura como la siguiente: 13

1

BLOQUE


P

Plano P

Plano Q

Q

Figura 1.1

Para denotar un plano se usa una letra mayúscula y puede ser precedida de la palabra plano para evitar la confusión con un punto, aunque la diferencia se obtiene del contexto.

Sólido En la siguiente figura se representa un paralelepípedo. C

D A

B

E

G

F

Figura 1.2

Si de todas las características únicamente consideramos su forma y tamaño, entonces la representación del cuerpo puede ser la siguiente:

E

Posición de dos rectas en el plano

Rectas paralelas. Dos rectas en el plano son paralelas cuando la distancia entre ellas es constante. Para trazar paralelas con las escuadras, una de ellas se mantiene fija, usando unos de sus bordes como directriz, y en la escuadra móvil se utiliza el otro borde para el trazo de paralelas.

C

D H

Las figuras geométricas cuyos elementos están dispuestos en una forma cualquiera en el espacio son el objeto de estudio de la geometría del espacio o tridimensional: longitud, anchura y altura o profundidad.

Dos rectas en el plano pueden estar en alguna de las tres posiciones siguientes: paralelas, perpendiculares u oblicuas.

Dicho cuerpo tiene como características peso, dimensiones, forma, color, sustancia y ocupa un lugar en el espacio.

A

Las figuras geométricas cuyas partes están todas en un mismo plano constituyen el objeto de estudio de la geometría plana o bidimensional, es decir, de dos dimensiones: longitud y anchura.

B

a

G

b

a

b

F

Figura 1.3

A esta representación se le conoce como cuerpo geométrico, sólido geométrico o sólido en su denominación sencilla. Sus dimensiones se pueden determinar midiendo la longitud de A a B, la anchura de A a D y la altura o profundidad de A a E. Es conveniente hacer notar que el concepto de sólido se aplica a un espacio limitado cualquiera, independientemente de que dicho espacio esté ocupado o no, como es el caso de una alberca, ya sea que esté vacía o llena. El sólido del ejemplo tiene seis caras que constituyen sus límites. Cada cara es una superficie. A su vez, cada dos caras adyacentes tienen como límite común a una línea y cada dos líneas adyacentes tienen como límite común un punto.

14

Figura 1.4

Para denotar rectas paralelas se utiliza el símbolo //. Así a // b se lee “recta a paralela a la recta b”. Rectas perpendiculares. Dos rectas en el plano son perpendiculares cuando al intersecarse forman un ángulo recto. Para trazar perpendiculares con las escuadras, una de ellas se mantiene fija, la otra se desliza sobre uno de los bordes que forma su ángulo recto y cualquier recta que se trace sobre el otro borde que forma el ángulo recto de la escuadra móvil será perpendicular a la trazada sobre el borde que sirve de directriz en la escuadra fija. Las siguientes figuras ilustran el trazo de perpendiculares con escuadras.


dente que en cada caso se tendrá que utilizar la unidad de longitud que resulte más conveniente. En el caso de la figura anterior, no es lo mismo partir de A para llegar a B que partir de B para llegar a A, pues en los dos recorridos los sentidos son opuestos, de manera que como segmentos dirigidos AB ? BA; sin embargo, la distancia es la misma. En la figura anterior el segmento AB mide 7 cm y para indicarlo escribiremos AB 5 7 cm. En lo sucesivo, para indicar la medida de un segmento (AB) escribiremos AB sin el símbolo, pues AB denota el segmento AB, y AB 5 7 cm denota la medida del segmento AB y, por tanto, AB 5 BA 5 7 centímetros. Congruencia de segmentos. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud, es decir, si tienen la misma medida.

N B M

A

A

B M

N

A

B

C

Figura 1.5

Para denotar rectas perpendiculares se utiliza el símbolo '. BA O Así MN ' AB se lee “recta MN perpendicular a la recta AB”. A

Rectas oblicuas. Dos rectas no paralelas en el plano son oblicuas cuando al intersecarse no forman un ángulo recto, es decir, cuando no son perpendiculares. Semirrecta. Una semirrecta o rayo se representa con una figura como la siguiente:

O

C

D

Figura 1.8

Como los segmentos AB y CD tienen la misma medida decimos que son congruentes y lo denotamos AB > CD, que se lee “AB es congruente con CD”. Si los segmentos no fueran congruentes, es decir, si no midieran lo mismo, se denotaría AB R CD. En las canchas de futbol, tenis, volibol, etc, se pueden observar segmentos congruentes.

A Figura 1.6

La figura indica que el rayo comienza o que tiene su origen en O, pasa por A en línea recta y se prolonga indefinidamente como indica la flecha. Una semirrecta o rayo se denota por dos letras mayúsculas que corresponden al origen y a un punto del rayo; el ] símbolo OA se lee “rayo OA”, y representa un rayo que tiene su origen en O y pasa por el punto A. m A

B

Construcciones Las construcciones se harán con regla y compás, dichos instrumentos se usarán según las siguientes indicaciones: a) Con la regla se trazarán líneas rectas utilizando uno solo de sus bordes y en caso de que tenga escala se prescindirá de ésta. b) El compás se utilizará para trazar circunferencias y transportar distancias.

B

Figura 1.7

A los puntos A y B se les llama extremos del segmento. El segmento se denota mediante dos letras mayúsculas colocadas en sus extremos, o bien, con una letra minúscula colocada en medio del trazo. p o p Segmento AB, o bien, AB; segmento o m o bien m. Medida de un segmento. Medir un segmento es compararlo con otro que se toma como unidad de medida. Si tratamos de medir la distancia entre dos ciudades o entre dos puntos de esta hoja, es evi15

1

BLOQUE


Algunas construcciones se pueden efectuar por varios procedimientos igualmente válidos, en esos casos se presentará aquella que a juicio del autor sea la más sencilla, o bien, la que facilite trazos posteriores. Todas las construcciones se pueden fundamentar con un razonamiento deductivo, pero para efectos prácticos sólo se dará el procedimiento. Cuando en alguna construcción se requiera utilizar alguna(s) de las anteriores, se aludirá a ésta(s) considerando que se domina su trazo.

Construcción 1 Construir un segmento de recta igual a un segmento dado.

a) 2x 1 y

x

w

x

A

y

B

C

D

AD 5 2x 1 y b) 2(x 1 y)

x

w

y

A

B

x+y C

D

CD 5 x 1 y AD 5 2(x 1 y)

A

w

B

c) x2y

1

w A

B’

A’

C

B

AB 5 x; BC 5 y

2

AC 5 x 2 y

Figura 1.9

Sea AB el segmento: 1. En la recta w localiza un punto A9. 2. Tomar con el compás la distancia AB.

Construcción 2

3. Con centro en A9 y radio AB trazar el arco 1-2. El arco 1-2 corta a la recta w en el punto B9.

Construye una perpendicular a una recta dada en un punto de ésta.

A9B9 es el segmento deseado.

3 5

Ejemplos

6

C 4

Dados los segmentos x, y, traza con aplicación de la construcción 1.

x

y

w

A

P 1

Figura 1.10 Figura 1.11

16

B 2


Construcción 4

Sea w la recta y P un punto de ella. 1. Con centro en P y un radio conveniente, traza el arco 1-2 que corte a w en los puntos A y B. 2. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB, traza el arco 3-4, con centro en B y con el mismo radio trazar el arco 5-6 que corta el arco 3-4 en el punto C. 3. Traza la línea que pasa por P y C. PC es perpendicular a la recta w en el punto P. Observa que PA 5 PB pues son radios de la misma circunferencia y, por tanto, P es el punto medio del segmento AB. PC es la perpendicular mediatriz del segmento AB, es decir, la perpendicular en el punto medio del segmento AB.

Construcción 3

Construye una perpendicular a un segmento de recta en uno de sus extremos sin prolongar el segmento. 3 D 2

A

1

• B

C

Figura 1.13

Construye una perpendicular a una recta dada por un punto dado fuera de ella.

Sea AB el segmento de recta y B el extremo donde se debe construir la perpendicular. 1. Marca el punto 1 más cerca de B que de A, en el área próxima a la recta y arriba de ella.

P

2. Traza el arco 2-B-3 con centro en 1 y radio 1 B. Este arco corta al segmento AB en el punto C.

1 w

2 A

B 5

4

3

C 6

3. Traza la línea que pasa 1 y C y prolóngala hasta que corte el arco 2-B-3 en el punto D. 4. Traza una recta que pase por B y D. La recta BD es la perpendicular al segmento AB en el extremo B.

Construcción 5 Construye el punto medio de un segmento (la perpendicular mediatriz de un segmento). 1

Figura 1.12

Sea w la recta y P un punto fuera de ella.

3

C

1. Con centro en P y un radio conveniente, traza el arco 1-2 que corte a w en los puntos A y B. 2. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB, traza el arco 3-4; con el mismo radio y centro en B, traza el arco 5-6 que corta al arco 3-4 en el punto C.

M

A

3. Traza la línea que pasa por P y C. La recta PC es perpendicular a la recta w, la cual pasa por el punto P.

B

D

2

4

Figura 1.14

17

1

BLOQUE


Sea AB el segmento de recta del que se requiere determinar su punto medio. 1. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB, traza el arco 1-2. 2. Con centro en B y el mismo radio anterior, traza el arco 3-4, tomando en cuenta que este arco corta el arco 1-2 en los puntos C y D. 3. Traza la línea que pasa por C y D. La recta CD corta el segmento AB en el punto M que equidista de los extremos A y B; M es el punto medio del segmento AB. Observa que CD es la mediatriz del segmento AB. La mediatriz tiene la propiedad de que sus puntos equidistan de los extremos del segmento.

1.1 Ángulos Ángulos en el plano Un ángulo se representa con una figura como la siguiente:

Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Un ángulo diedro está formado por dos planos que se cortan. La medida de un ángulo diedro es la de su ángulo plano. En una habitación, una puerta que gira sobre sus bisagras forma un ángulo diedro con la pared; también se forma un ángulo diedro entre el piso y una pared o bien entre el techo y una pared. Dos paredes pueden formar un ángulo diedro de 90°. Con base en lo anterior realiza la siguiente actividad: En un rincón donde las paredes forman un ángulo recto, coloca dos espejos planos apoyados en las paredes y entre ellos pon un objeto. ¿Cuántas imágenes del objeto se forman en los espejos? Si el ángulo entre los espejos es de 60°, ¿cuántas imágenes se forman? Si el ángulo fuera de 45°, ¿cuántas imágenes se formarían? Y si el ángulo fuera de 30°, ¿cuántas imágenes observarías? Si se designa con N el número de imágenes y con a la medida del ángulo que forman los espejos, ¿cuál sería la fórmula para calcular el número de imágenes?

Figura 1.15

Como puedes observar, el ángulo está formado por la unión de dos rayos que tienen el origen común al que se le llama vértice del ángulo, donde los rayos son los lados del mismo. Para nombrar un ángulo se puede usar cualquiera de las formas siguientes: Notación: a) /a o B a se lee “ángulo a”. b) /B o B se lee “ángulo B” ABC se lee “ángulo ABC”. c) /ABC o ABC d) /CBA o CBA CBAse lee “ángulo CBA”. A

B

a C

Figura 1.16

Es decir, se puede utilizar una letra minúscula (del alfabeto español o del alfabeto griego) o un número colocado entre los lados del ángulo y cerca del vértice. También se puede utilizar una letra mayúscula correspondiente al vértice, o bien, con tres letras mayúsculas, de las cuales la del vértice se halla y se nombra entre las otras dos. 18


En la figura se puede observar que los rayos BC y BA forman dos ángulos. El ángulo de menor amplitud (/a, sombreado con color amarillo), es un ángulo convexo y el ángulo de mayor amplitud (sombreado con color naranja), es un ángulo cóncavo. De tal manera que al nombrarlos debemos precisar si nos referimos al ángulo convexo a como ABC o BCA, o bien, nos referimos al ángulo cóncavo ABC o BCA. Cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, el uso de una sola letra mayúscula para referirse a uno de ellos crea confusión, por ello, debe utilizarse alguna de las otras formas de notación.

gira alrededor de su origen y recorre el plano hasta coincidir con la otra semirrecta (lado final), diremos que el valor o magnitud del ángulo depende de la amplitud de rotación de la semirrecta que lo ha generado y no de la longitud de sus lados. Para medir un ángulo se usa un instrumento llamado transportador que generalmente tiene forma de semicírculo dividido en 180 unidades iguales llamadas grados (°), donde cada una de 1 ellas corresponde a una amplitud de de circunferencia. La 360 mayoría de los transportadores tiene la escala de 0 a 180° marcada en dos direcciones del arco. El uso adecuado del transportador requiere que:

A

a) El centro del instrumento coincida con el diámetro señalado por la línea 0°2180°. D

b) La lectura se haga en la escala cuyo cero está sobre un lado del ángulo. c) Si el instrumento resulta grande para la medición del ángulo, se prolongan los lados de éste.

B C

B

Figura 1.17

120 60

30 150 0 180

0 180

A

O

A

A

90

150 30

En este caso, al denotar /B no se sabe a qué ángulo se refiere, pues éste puede ser: /ABC /ABD /DBC Al utilizar las tres letras mayúsculas, la de en medio debe corresponder al vértice.

60 120

C A

Figura 1.19

Ejemplos

B

C

B

C

/ABC

/BAC A

B

C

/ACB Figura 1.18

Medida de ángulos. Si se considera al ángulo como resultado de un movimiento de rotación en el que una semirrecta (lado inicial)

Notación: En la figura 1.19, el ángulo AOB mide 120° y el ángulo COB mide 60° éste se indica de la siguiente manera: /AOB 5 120°; ángulo COB 5 60°. Es decir, la notación /AOB (/COB ) se refiere al ángulo (unión de dos rayos) y la notación /AOB 5 120° (/COB 5 60°) se refiere a un número, que es la medida del ángulo. Refiriéndose a la figura 1.19, no es lo mismo que el rayo OA gire sobre su origen hasta alcanzar la posición del rayo OB (en el mismo sentido en que giran las manecillas del reloj) a que el rayo OB gire sobre su origen hasta alcanzar la posición del rayo OA (en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj), de manera que como ángulos dirigidos serán distintos /AOB y /BOA; sin embargo, la amplitud de rotación en ambos casos es la misma en valor absoluto y, por tanto: /AOB 5 /BOA 5 120°.

19

1

BLOQUE


Congruencia de ángulos. Dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma amplitud, es decir, la misma medida.

y

B

O

A N

O

b

a M

a es el agudo

a , 90°

b es recto

b 5 90°

Figura 1.20

Por ello: /AOB 5 /MON

Por su abertura Clasificación de ángulos. Según su amplitud los ángulos se clasifican como: agudo, recto, obtuso y llano. Ángulo agudo es aquél cuyo valor es menor de 90°. Ángulo recto es aquél cuyo valor es de 90°. Ángulo obtuso es aquél cuyo valor es mayor de 90°, pero menor de 180°. Ángulo llano es aquél cuyo valor es de 180°; también se le llama ángulo de lados colineales, porque sus lados están situados sobre una misma línea recta. Sin embargo, de ninguna manera se debe confundir a una línea recta con un ángulo llano. Ángulo convexo o saliente es aquél que mide más de 0° y menos de 180°. Ángulo cóncavo o entrante es aquél que mide más de 180° y menos de 360°.

d

c

c es obtuso

90° , c ,180°

d 5 180 °

Figura 1.21

Por la posición de sus lados Opuestos por el vértice Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos.

Actividad de aprendizaje Según su amplitud los ángulos se clasifican en:

rayo Figura 1.22

20

d es llano


Observación: un punto de una recta la divide en dos rayos opuestos que tienen el origen común. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la propiedad de que sus medidas son iguales, como se demuestra en el teorema correspondiente.

a

La relación de igualdad se establece entre dos cantidades que expresan el mismo valor numérico; por ello, cuando decimos segmentos iguales, ángulos iguales, etc., se debe entender que hablamos de la relación que existe entre sus medidas expresadas numéricamente.

a, b, x.

Ángulos opuestos por el vértice 1y2

/1 5 /2

3y4

/3 5 /4

x

3 1

3x x b

2x + 15° a b

x, b, a. 2

Figura 1.24

Respuestas: 1. /a 5 55° por ser opuestos por el vértice.

4

/b 1 55° 5 180° por formar un ángulo llano y, por tanto:

Figura 1.23

/b 5 125° /c 5 125° por ser opuesto por el vértice con el ángulo b.


La respuesta del ejemplo también puede ser planteada de la siguiente forma:

Los ángulos opuestos por el vértice tienen la propiedad de que sus medidas son:

/c 1 55° 5 180° y se obtienen los mismos valores calculados para los ángulos b y c. Como las literales expresan medidas en grados podemos omitir la notación al expresar las relaciones y efectuar cálculos. 2. x 1 3 x 5180°

por formar un ángulo llano.

4x 5180° x 5 45° a 5 45°

por ser opuestos por el vértice con el

b 5 3x

ángulo x.

b 5 3(45°)

Ejemplos

b 5 135º Ángulos opuestos por el vértice

3. x 1 2x 1 15° 5 180° por ser suplementorios.

Con base en que los datos de las siguientes figuras calcula el valor de los ángulos que se indica en cada caso.

3x 1 15° 5 180° 3x 5 165° x 5 55°

a

b c a, b, c.

55°

a 5 55° b 5 2x 1 15°

por ser opuesto por el vértice con el ángulo x. por ser opuesto por el vértice.

b 5 2(55°)115° b 5 125° 21

1

BLOQUE


Adyacentes Ángulos adyacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común situado entre los lados no comunes. C B

b a

A

O

Por la posición entre dos rectas paralelas y una secante (transversal) Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos, cuatro llamados internos, por estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos, por estar fuera de ellas. Se llaman ángulos correspondientes a los ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y el otro externo). Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales, lo cual se demuestra en el teorema correspondiente.

a y b son ángulos adyacentes B

C

4 3

1 2

b D

8

a

7

O

5 6

A

a y b no tienen el mismo vértice; no son adyacentes C

En la figura 1.26 son pares de ángulos correspondientes:

B

El /1 es correspondiente con el /5: /1 5 /5.

b a O

Figura 1.26

En la figura 1.26 son ángulos internos: 2, 3, 5 y 8, externos: 1, 4, 6 y 7.

El /2 es correspondiente con el /6: /2 5 /6. A

a y b no son adyacentes; el lado común OA no está entre OB y OC Figura 1.25

El /3 es correspondiente con el /7: /3 5 /7. El /4 es correspondiente con el /8: /4 5 /8. Como un recurso de memoria se puede observar que los lados de dos ángulos correspondientes forman una F en distintas posiciones.


Se llaman ángulos alternos internos los ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos).

Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común comprendido entre los lados no comunes se llaman:

En la figura anterior son ángulos alternos internos /3 y /5, /2 y /8. Con base en la propiedad (demostrable) de que los ángulos correspondientes son congruentes, se puede deducir que los ángulos alternos internos son congruentes. Como /1 5 /5 por ser correspondientes, y por otra parte /1 5 /3 por ser opuestos por el vértice, se deduce que: /3 5 /5 por la propiedad transitiva de la igualdad. Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que: /2 5 /8.

22


Se puede observar que los lados de dos ángulos alternos internos forman una Z o una N en diferentes posiciones.

Ejemplos

Se llaman ángulos alternos externos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos). En la figura 1.26 son ángulos alternos externos /1 y /7, /4 y /6.

Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Los ángulos alternos externos son congruentes.

1. En la siguiente figura identifica los pares de ángulos que son correspondientes, alternos internos, alternos externos, colaterales internos y colaterales externos.

Como /1 5 /5 por ser correspondientes, y por otra parte /5 5 /7 por ser opuestos por el vértice, se deduce que:

b d c

a

/1 5 /7 por la propiedad transitiva de la igualdad. Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que: /4 5 /6 Se llaman ángulos colaterales internos a dos ángulos situados en el mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos). En la figura son ángulos colaterales internos: /2 y /5, /3 y /8. Los ángulos colaterales internos tienen la propiedad de ser suplementarios. Como /1 5 /5 por ser correspondientes, y por otra parte /1 1 /2 5 180° por formar un ángulo llano, se deduce que: /5 1 /2 5 180° porque toda la cantidad puede ser sustituida por su igual. Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que: /3 1 /8 5 180° Se llaman ángulos colaterales externos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos).

f

e

g

h

Figura 1.27

Correspondientes /a y /e /b y /f /c y /h /d y /g /d y /e

Alternos externos /a y /h /b y /g Colaterales internos /c y /f

Alternos internos /d y / i /c y /e

Colaterales externos /a y /g /b y /h

2. Calcula el valor de los ángulos que se indican en la figura 1.28, considera que l1 // l2. Fundamenta cada relación establecida.

En la figura 1.26 son ángulos colaterales externos: /1 y /6, /4 y /7. Los ángulos colaterales externos tienen la propiedad de ser suplementarios.

c

l1

d

a b

Como /1 5 /5 por ser correspondientes, y por otra parte /5 1 /6 5 180° por formar un ángulo llano, se deduce que: /1 1 /6 5 180° porque toda cantidad puede ser sustituida por su igual. Con un razonamiento similar al anterior se deduce que: /4 1 /7 5 180° De todo lo anterior se concluye que de los ocho ángulos, cuatro son congruentes: 1, 3, 5 y 7, los otros cuatro además de ser congruentes entre sí: 2, 4, 6 y 8, son suplementarios de los primeros.

l2

g

h e f

Figura 1.28

Dato: a 5 60° c 5 60° por ser opuesto por el vértice con a. e 5 60° por ser correspondiente con a. g 5 60° por ser alterno externo con a. d 5 120° porque a y d forman un ángulo llano.

23

1

BLOQUE


b 5 120° por ser opuestos por el vértice con d. h 5 120° por ser correspondientes con d. f 5 120° por ser alterno externo con d. Calcula los valores de x y y en cada caso y fundamenta las relaciones establecidas.

a)

3x – 20° 2x y

Figura 1.29

a) (3x 2 20°) 1 2x 5 180° por ser colaterales internos 5x 2 20° 5 180° 5x 5 200° x 5 40° 3x 2 20° 5 y por ser alternos internos 3(40°) 2 20° 5 y 120° 2 20° 5 y 100° 5 y 2x 1 y 5 180° por formar un ángulo llano 2(40°) 1 y 5 180° 80° 1 y 5 180° y 5 100° b) x 1 y 5 120° por ser alternos internos 2x 2 y 5 120° por ser opuestos por el vértice 3x 5 240° x 5 80°

Figura 1.30

Sustituyendo x por 80° en la ecuación: x 1 y 5 120° 80° 1 y 5 120° y 5 40° x 1 y 5 2x 2 y por ser correspondientes y 1 y 5 2x 2 x 2y 5 x 2x 2 y 5 120° por ser opuestos por el vértice Sustituyendo x por 2y en la ecuación. 2x 2 y 5 120° 2(2y) 2 y 5 120° 4y 2 y 5 120° 3y 5 120° y 5 40° Sustituyendo y por 40 en 2y 5 x. 2(40°) 5 x 80° 5 x

Construcción 6 Construye por un punto dado la paralela a una recta dada. R

P C

D

Q

A

B

S

a)

R

P C

x+y 120°

D

Q

A

2x – y S Figura 1.31

24

B


Sea AB y P la recta y el punto dado, respectivamente. 1. Se traza por P la recta RS que corte a la recta AB en el punto Q.

Los ángulos adyacentes son suplementarios cuando sus lados no comunes son colineales, es decir, están en línea recta.

2. Se construye el ángulo RPD igual al ángulo PQB (se construye el ángulo QPC igual al ángulo PQB), CD es la recta que pasa por P y es paralela a AB.

Q

Por la suma de sus medidas Complementarios

T

Ángulos complementarios. Son dos ángulos cuya suma de medidas es de 90°. Cada uno de los ángulos es el complemento del otro. Los ángulos adyacentes son complementarios cuando sus lados no comunes son perpendiculares.

O

R

Figura 1.33

Actividad de aprendizaje Dos ángulos cuya suma de medidas es de 180° son:

Q

R


O

P

Dos ángulos cuya suma de medidas es de 90° son:

Figura 1.32

Suplementarios Ángulos suplementarios. Son dos ángulos cuya suma de medidas es de 180°. Cada uno de los ángulos es suplemento del otro. Ejemplos

Ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios. 1. Para cada valor del ángulo halla lo que se pide. Recuerda que 1° es igual a 60 minutos (609), 90° igual a 89° 609 y 180° igual a 179° 609. Suplemento

Complemento

Supl. - compl.

a) 20°

160°

70°

160°-70° 5 90°

b) 60°

120°

30°

120°-30° 5 90°

2. Halla el complemento y suplemento de 35° 439. Complemento 90° 5 89° 609

Suplemento 180° 5 179° 609

35° 439

35° 439

54° 179

144° 179

25

1

BLOQUE


3.Halla el valor de x en los casos siguientes: Observación: x representa un número expresado en grados de manera que x 5 45 significa que el valor de x es de 45°.

3x + 20°

0°

1 x+

x

2x

70°

x

x

Figura 1.34

Soluciones: x 1 (x 110) 5 70°

x 1 2 x 5 90°

x1 (3x 1 20) 5 180°

x 1 x 1 10 5 70°

3x 5 90°

x 1 3x 1 20 5 180°

2x 1 10 5 70°

x5

2x 5 60° x 5 30°

[

90 ° 3

4x 1 20 5 180°

x 5 30°

4x 5 160°

2x 5 2(30°)

90 ° 160 ° x5 3 4

x 1 10 5 40°

2x 5 60°

Solución: 30° y 40°

Solución: 30° y 60°

[

160 ° 4

x 5 40° [ 3x 1 20 5 3(40) 1 20 5 120 1 20 5 140° Solución: 40° y 140°

4. Si dos ángulos se representan por A y B, plantea la ecuación de cada problema y después halla sus valores. a ) Los ángulos son complementarios y uno es el cuádruplo del otro. b) Los ángulos son suplementarios y uno es 15° menor que el doble del otro. Soluciones: a) Datos

Planteo

Operaciones

Solución

A5A

A 1 B 5 90

A 1 4A 5 90

A 5 18°

B 5 4A

5A 5 90

B 5 4A 5 72°

A 5 18 b) Datos A5A B 5 2A 2 15

Planteo A 1 B 5 180

Operaciones A 1 2A 2 15 5 180 3A 2 15 5 180 3A 5 195 A 5 65

26

Solución A 5 65° B 5 2A 2 15 5 115°


1.2 Triángulos

Por la medida de sus lados

Un triángulo se representa con una figura como la que se muestra en la figura 1.35.

Triángulo escaleno es aquel que no tiene lados iguales.

C

Triángulo isósceles es aquel que tiene por lo menos dos lados iguales. Los lados iguales forman un ángulo al que se opone un lado llamado base. El ángulo opuesto a la base se llama ángulo del vértice. Triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales.

A

B

Nótese que todo triángulo equilátero es isósceles. C

Figura 1.35

Como se puede observar, el triángulo está formado por tres puntos no alineados en el plano y los segmentos que lo determinan, por lo que se puede decir que un triángulo es una superficie limitada por tres lados.

A

Los puntos A, B y C se llaman vértices del triángulo. Los segmentos AB, BC y AC se llaman lados del triángulo. Los lados forman ángulos que se denotan con la misma letra de cada vértice.

C

b A

A

a≠b≠c a≠c c

a

c

B

c

C

I

b

a B

A

a 5b B

Figura 1.36

El triángulo de la figura se puede designar por: ∆ABC, se lee “triángulo ABC” o ∆I. Cuando se utilizan tres letras, éstas pueden ir en cualquier orden. Actividad de aprendizaje Según sus lados, los triángulos se clasifican en:

a≠b≠c a≠c

C

Para nombrar un triángulo se usa el símbolo ∆ y las tres letras de sus vértices, o bien, un número romano colocado en el interior del triángulo.

b

a

b

a 5b a≠b≠c a≠c a 5b 5 ca a 5b c

B

a 5b 5 c

Figura 1.37

a 5b 5 c

Por la abertura de sus ángulos Triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo recto (⦜) se llaman catetos y el lado opuesto a dicho ángulo se llama hipotenusa. Triángulo obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso. Triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos. Los triángulos obtusángulos y acutángulos reciben el nombre de triángulos oblicuángulos porque dos de sus lados cualesquiera caen en forma oblicua respecto del tercer lado. B

C

Los lados del triángulo también se pueden designar con la letra minúscula del ángulo al que se oponen.

A

Triángulo rectángulo Figura 1.38

Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos. 27

1

BLOQUE

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas En la figura 1.41:

C

a) RS es mediatriz del lado AC, biseca al lado AC y es perpendicular a él, AM > MC; M es punto medio de AC; AC ' RS. A

B

Bisectriz de un ángulo en general y de un ángulo de un triángulo es la semirrecta que biseca el ángulo, es decir, divide el ángulo en dos ángulos congruentes.

Triángulo obtusángulo

Figura 1.39

b) BM es la mediana correspondiente al vértice B y M es el punto medio del lado AC.

C

B

A

D

B

Triángulo acutángulo Figura 1.40

C

A


Figura 1.42

En la figura 1.42, BD es bisectriz del ángulo B, biseca al /B, es decir, /ABD > /BDC.

Según sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular que se traza desde un vértice al lado opuesto (o a la prolongación de éste). B

1.3 Propiedades relativas de los triángulos Puntos y rectas notables Mediatriz de un lado del triángulo (y en general, de un segmento de recta) es la recta perpendicular a ese lado en su punto medio.

A

Mediana de un triángulo es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. R

B

B

D A

C

D

M

A

C

C Figura 1.43

S Figura 1.41

28

En las dos figuras anteriores, BD es la altura correspondiente al vértice B y perpendicular al lado AC y la prolongación de AC, respectivamente.


Circuncentro. Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo. El circuncentro es también el centro de la circunferencia que contiene a los tres vértices del triángulo.

Ortocentro. Es el punto de intersección de las alturas (o de sus prolongaciones) de un triángulo. C

B

B

A

A

C

O

Circuncentro (O)

Figura 1.44

H

Baricentro (gravicentro o centroide) en el punto de intersección de las medianas de un triángulo. El baricentro es el centro de gravedad, es decir, el punto donde está aplicado todo el peso de un cuerpo de forma triangular cuya masa está uniformemente distribuida; de tal manera que el cuerpo estará en equilibrio si se apoya en el baricentro.

C

B

H

En esta figura:

M

L G

BM 5 MC N

A Figura 1.45

A

AN 5 NC C

BL 5 LA

Baricentro (G)

En la figura 1.45, M, N y L son puntos medios, y AM, BN y CL, son las medianas.

B

Ortocentro (H) Figura 1.47

Construcción 7 Construye una mediatriz y una mediana en un triángulo dado. C

Incentro. Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo, es decir, la circunferencia interior que es tangente a los tres lados del triángulo.

P

B A

M

B

Q

I Figura 1.48

A Figura 1.46

C

Incentro (I)

Sea ABC el triángulo dado y sea AB el lado en el que se construirá una mediatriz y una mediana. 1. Se determina PQ que es la mediatriz del lado AB. M es el punto medio del segmento AB. 29

1

BLOQUE


2. Unir C con M nos da como resultado CM, que es la mediana correspondiente al lado AB y al vértice C.

Construcción 8 Construye una altura y una bisectriz en un triángulo dado. C

3. Con centro en el punto D y tomando como radio la distancia de D a cualquiera de los vértices, se traza la circunferencia que contiene a los tres vértices del triángulo dado. Observa que el circuncentro puede quedar dentro del triángulo, fuera de él o sobre uno de sus lados.

Construcción 10 D

F

Determina el ortocentro de un triángulo dado.

2

A 1

C

C

B

D

E Figura 1.49

Sea ABC el triángulo dado en el que se construirá una altura y una bisectriz.

A

A

B

B D

1. En el vértice C se determina CE que contiene a CF, que es la altura correspondiente al vértice C con la prolongación del lado AB. 2. En el ángulo B se determina BD, que es la bisectriz correspondiente al ángulo B. La bisectriz se traza con centro en B y un radio cualquiera se traza un arco 1-2 que corta a los lados del ángulo B con centro en esos puntos y el mismo radio u otro cualquiera se trazan arcos que se cortan en D. La bisectriz es la recta que pasa por B y D.

Construcción 9

Figura 1.51

1. Se determinan las alturas de los vértices del triángulo. 2. El punto de intersección D (ortocentro) de las alturas o de las prolongaciones de éstas, es el punto deseado.

Construcción 11 Inscribe una circunferencia en un triángulo dado. C

Construye una circunferencia circunscrita a un triángulo dado. C

D D

A

C

A

D

B

Figura 1.50

Sea ABC el triángulo dado. 1. Se determina la mediatriz correspondiente a cada lado del triángulo. 2. El punto de intersección de las mediatrices D es el circuncentro y tiene la propiedad de que equidista de los tres vértices del triángulo dado y es el centro de la circunferencia deseada. 30

E

B

A

B

Figura 1.52

Sea ABC el triángulo dado: 1. Se determinan las bisectrices de los ángulos del triángulo dado. 2. El punto de intersección de las bisectrices D (incentro) tiene la propiedad de que equidista de los lados del triángulo. 3. Con centro en D y aplicación de la construcción 3, se determina DE, que es el radio de la circunferencia inscrita. Observa que el incentro es siempre un punto interior del triángulo.


Aplicación de las TICs 1. Utiliza el navegador de tu preferencia y busca el término triangulación. 2. Busca y lee al menos cuatro conceptos de diferentes páginas (preferentemente publicados por universidades. Comenta en grupo lo que aprendiste acerca de triangulación. 3. Investiga qué aplicaciones tiene. 4. Averigua qué es la triangulación de superficies. 5. Busca cuál es la relación entre la triangulación geodésica y la triangulación de gps. Medida de la suma de los ángulos interiores de un triángulo Realiza un listado de objetos que están en tu entorno. ¿En cuáles de ellos aparece el triángulo? Actividad

1. Mide los ángulos interiores del siguiente triángulo y súmalos. 2. Copia el siguiente triángulo en papel periódico y recórtalo. 3. Investiga cómo debes doblar el triángulo de papel para determinar la altura del ángulo superior; luego, hazlo. 4. Ahora haz otro doblez, de manera que coincidan los extremos de la altura, con lo cual el vértice quedará sobre la base del triángulo. 5. Finalmente, haz los dobleces necesarios para reunir los tres vértices. 6. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un triángulo?

31

1

BLOQUE


Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.

2. Lo puedo hacer sin ayuda.

Desempeños

1

2

3. Puedo ayudar a otros para lograrlo.

3

Debo mejorar en…

Identifico diferentes tipos de ángulos y triángulos. Utilizo las propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y triángulos, a partir de situaciones que identifico en mi comunidad. Resuelvo ejercicios y problemas de mi entorno, mediante la aplicación de las propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3. Muy bien

2. Bien

1. Regular

0. Deficiente Compañeros de equipo

Criterios de evaluación

1

2

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total Heteroevaluación Resuelve en la página 33 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 1 y entrégala a tu profesor.

32

3

4

5



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. Hallar dos ángulos complementarios tales que uno sea 20° mayor que el otro.

6. Las rectas l1 // l2 y r es una transversal. Halla los valores de x y y.

3x + 36°

2. Encuentra dos ángulos suplementarios tales que uno sea 20° mayor que el triple del otro.

3. Traza un triángulo que sea rectángulo e isósceles.

4. En un momento del día, un edificio proyecta una sombra de 16.25 m y un poste de 10 m de alto cercano al edificio proyecta una sombra de 7 m. Calcula la altura del edificio.

5. Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 43, 48 y 53 metros.

l1

5x – 8° y

r

l2

7. Dos ángulos son suplementarios y uno es el doble del otro.

8. Dos ángulos son suplementarios y uno es 20° menor que el triple del otro.

9. Halla dos ángulos suplementarios tales que uno es el cuádruplo del otro.

33

1

BLOQUE


10. Halla dos ángulos complementarios tales que uno es 10° menor que el triple del otro.

14. Halla dos ángulos suplementarios tales que uno sea 36° mayor que el doble del otro.

11. Halla dos ángulos complementarios tales que uno sea 20° mayor que el otro.

12. Halla dos ángulos complementarios tales que uno sea 5° menor que el cuádruplo del otro.

13. Halla dos ángulos suplementarios tales que uno sea 60° menor que el doble del otro.

34

15. Halla dos ángulos suplementarios tales que uno sea 10° mayor que las

2 partes del otro. 3


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el número de imágenes en dos espejos que forman un ángulo diedro de la sección Aplica lo que sabes de la página 18. Nombre del alumno:

Presentación

Criterio

cumple sí

no

Observaciones

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Conoce y aplica correctamente el concepto de ángulo diedro. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Obtiene la expresión algebraica de la fórmula para calcular el número de imágenes. 14. Obtiene el número de imágenes cuando el ángulo diedro es de 90°. 15. Obtiene el número de imágenes cuando el ángulo diedro es de 60°. 16. Obtiene el número de imágenes cuando el ángulo diedro es de 45°. 35

1

BLOQUE


Coevaluación

Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del Bloque 1. Nombre del alumno:

Excelente (4)

Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Clasificación de los ángulos en el plano

Identifica los ángulos: agudo, recto, obtuso y llano

Identifica tres de los ángulos: agudo, recto, obtuso y llano

Identifica dos de los ángulos: agudo, recto, obtuso y llano

Identifica por lo menos uno de los ángulos: agudo, recto, obtuso y llano

Clasificación de los ángulos por la posición de sus lados

Identifica ángulos opuestos por el vértice, adyacentes, y los que se forman por dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Identifica por lo menos dos de los pares de ángulos formados por la posición de sus lados

Identifica por lo menos uno de los pares de ángulos formados por la posición de sus lados

No identifica a ninguno de los pares de ángulos formados por la posición de sus lados

Clasificación de los ángulos por la suma de sus medidas

Identifica ángulos complementarios y suplementarios y realiza cálculos relacionados con ellos

Identifica ángulos complementarios y suplementarios

Identifica solo a uno de los dos tipos de ángulos: complementarios o suplementarios

No identifica los tipos de ángulos: complementarios ni suplementarios

Definición y clasificación de los triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos

Define y clasifica los triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos y, reconoce los puntos y rectas notables del triángulo

Define y clasifica los triángulos por la medida de sus lados o de sus ángulos y, reconoce los puntos y rectas notables del triángulo

Clasifica los triángulos por la medida de sus lados o de sus ángulos

No define ni clasifica los triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos y, no reconoce los puntos y rectas notables del triángulo

En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te posibilitará registrar de manera ordenada numerosas actividades. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite. Registro anecdótico Fecha:

Tarea:

Docente:

Registro de actividades

36

Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos


Portafolio de evidencias

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

• Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

• No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje;

• Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas. Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Propósito del portafolio de evidencias

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Asignatura

Número de bloques del libro.

Nombre del alumno:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de evidencias

#

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

1 2 3 4 5

37

1

BLOQUE


Lista de cotejo

Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. Instrucciones: Marcar con una ✗, en el espacio de acuerdo al desempeño obtenido. Excelente 5 5

Bueno 5 4

Regular 5 3

Deficiente 5 2

Estructura

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas. Estructura interna

5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes. Contenido

8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos. Aportaciones propias

13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información. Interculturalidad

16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad. Total

38


Escala de clasificación

La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta (Lineamientos de evaluación del Aprendizaje. DGB, 2011). Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser adaptado a las necesidades específicas de cada tema. Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre presenta el atributo. Contenido

1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.

0

1

2

3

2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.

0

1

2

3

3. La información es concisa.

0

1

2

3

4. Relaciona los conceptos o argumentos.

0

1

2

3

5. Presenta transiciones claras entre ideas.

0

1

2

3

6. Presenta una introducción y conclusión.

0

1

2

3

7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.

0

1

2

3

8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.

0

1

2

3

0

1

2

3

10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia.

0

1

2

3

11. Se apoya en diversos materiales.

0

1

2

3

12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.

0

1

2

3

13. Muestra constante contacto visual.

0

1

2

3

14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.

0

1

2

3

Coherencia y organización

Aportaciones propias

Material didáctico

9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.

Habilidades expositivas

Total Puntaje total

39

Comprendes la congruencia de triángulos Tiempo asignado:

3 horas

2


2.1 Criterios de congruencia L, L, L, (Lado, Lado, Lado)

L, A, L, (Lado, Ángulo, Lado) A, L, A, (Ángulo, Lado, Ángulo)

Competencias a desarrollar n n

n

Expresa ideas y conceptos sobre la congruencia de triángulos.

n

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo aplicar sus conocimientos para resolver problemas sobre la congruencia de triángulos.

n

Da seguimiento a los procesos de construcción de sus conocimientos sobre la aplicación de los criterios de congruencia de triángulos.

Aplica y argumenta los criterios de congruencia de triángulos en la resolución de problemas teóricos y del entorno inmediato. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos adquiridos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Dos figuras son congruentes cuando:

2. En dos triángulos congruentes los elementos que se corresponden se llaman:

3. Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:

5

5

12

12


11 9

7 7

9 11


5 7

50°

5 50°

7

Desempeños por alcanzar Utiliza los criterios de congruencia para establecer si dos o más triángulos son congruentes entre sí. Resuelve ejercicios en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruencia. Argumenta el uso de los criterios de congruencia en la resolución de triángulos.

2

BLOQUE




Se cuenta con material rígido (madera, cartón, acrílico, etc.) del mismo grosor y cuya masa se distribuye uniformemente. Si de ese material se recorta un triángulo, ¿cómo se puede determinar el punto del que se puede suspender con un hilo de manera que el triángulo quede en posición horizontal?

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.


¿Cuáles son las rectas notables de un triángulo?


¿Qué nombre recibe el punto de intersección de cada tercia de rectas notables del triángulo?


¿Cómo se determina el punto de intersección de cada tercia de rectas notables del triángulo?


¿Qué nombre recibe el punto que busca y cómo se puede localizar en el triángulo?

En este ejemplo:

Cada equipo debe investigar:


Rúbrica Para determinar en el triángulo el punto que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tiene un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento 42

Producto a elaborar El triángulo elaborado con el material rígido y el hilo colocado en el punto que cumple con las condiciones solicitadas.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.




En una casa construida con madera, el tejado se sostiene con una estructura triangular en la que se utilizan ángulos complementarios.

¿Cómo se construye esa estructura? ¿Qué pares de ángulos son congruentes?

¿Cómo se llama la estructura que sostiene el tejado?

¿Cómo se distribuye la carga que soporta?

Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema. Cada equipo debe investigar: ¿Qué nombre recibe la estructura?

¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cómo está construida? ¿Qué ángulos son congruentes?


¿Cómo se distribuye la carga que soporta?


Trabajo individual

En este ejemplo:


Producto a elaborar

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-

Modelo de estructura en el que se especifica cómo se distribuye la carga.

Rúbrica


Para determinar la estructura que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tiene un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

43

2

BLOQUE



En cuestiones científicas, la autoridad de un millar no es un mérito frente al humilde razonamiento de un solo individuo.

Traza triángulos en los que se cumplan las siguientes proposiciones. Si consideras que alguna de ellas no es válida, entonces traza los triángulos en los que no se cumple la condición que se establece.

Introducción

Galileo Galilei

1. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre dichos lados.

Figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, de manera que al colocar una sobre la otra coinciden en sus partes correspondientes, es decir, una es copia de la otra.

2. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus catetos.

Dos triángulos son iguales si al colocar uno sobre el otro coinciden en todas sus partes. Los lados y ángulos que coinciden se llaman elementos homólogos o correspondientes.

3. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto. 4. La bisectriz del ángulo en el vértice de un triángulo isóceles es perpendicular a la base en su punto medio y divide al triángulo isóceles en dos triángulos rectángulos congruentes.

Los triángulos congruentes tienen la misma forma e igual tamaño. La expresión ∆I > ∆II se lee: “el triángulo I es congruente con el triángulo II”.

5. En todo triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 6. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente un cateto y el ángulo adyacente a dicho cateto. 7. Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y uno de los ángulos agudos. 8. Todo triángulo que tenga dos ángulos congruentes tendrá también congruentes las lados opuestos a dichos ángulos, en consecuencia serián isósceles. 9. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus tres lados.

En los siguientes triángulos congruentes, los elementos homólogos o correspondientes están señalados con el mismo trazo. C

10. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado comprendido entre ellos.

III

II

I

II

I

A

B

III C

III I

II

I

II

B

III

Figura 2.1

El ∠A está compartido entre los lados AC y AB. El lado BC está compartido entre ∠B y ∠C. 44

A




Dos figuras son congruentes cuando:

Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:

12

13

13

12

LAL

Actividad de aprendizaje En dos triángulos congruentes a los elementos que coinciden se les llama:

Dos triángulos son congruentes si tienen, respectivamente, congruentes dos lados y el ángulo comprendido: (L A L 5 L A L)

I

II

I

2.1 Criterios de congruencia

I Figura 2.3

LLL

I

ALA Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente, congruentes dos ángulos y el lado compartido (A L A 5 A L A).

II

Dos triángulos son congruentes, si tienen respectivamente, congruentes sus tres lados (L L L 5 L L L).

III

I

II

I

III I


45

2

BLOQUE


Actividad de aprendizaje 28

Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:

I 85°

40°

40°

28 60° 40°

28

28

85°

28

II

40°

III

85°

3. DII > D III

40°

LLL 5 LLL En el DI sus lados tienen medidas diferentes a las de los triángulos II y III.

60°

Actividad de aprendizaje Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:

15

14

21 I 16

24

II 10

14 21

15

15

10

21

III 16

24

24

Figura 2.5

Ejemplos Aplica lo que sabes

Determina qué triángulos son congruentes y señala en cada caso el postulado correspondiente. Solución: 1. DI > DII LAL 5 LAL En el DIII el ángulo de 60º no está comprendido entre los lados de 8 y 12.

8 60°

I 12

II 8

12 60°

III

60°

8

12

2. DI R DIII ALA ? ALA En el DII el lado de 28 no es compartido por los ángulos de 40º y 85º.

46

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: El triángulo tiene múltiples aplicaciones en obras de ingeniería y arquitectura. Investiga cuál es la propiedad que lo hace tan utilizable en la construcción de puentes, edificios y de diferentes estructuras. Ilustra ejemplos de aplicación.


Para tu reflexión C

John Kepler (1571-1630) Sir Isaac Newton, quien entendía la cronología del progreso científico, fue lo bastante prudente para atribuir su propia grandeza al hecho de que se “subió sobre los hombros de unos gigantes”, uno de los cuales fue el enigmático y fascinador John Kepler, astrónomo y astrólogo, matemático y místico.

B I

A

1. Todo planeta tiene una órbita ovalada alrededor del Sol, denominada elipse. El Sol se encuentra en un foco de la órbita elíptica (así podía explicar Kepler la velocidad irregular de un planeta en su órbita). 2. Una línea imaginaria que vaya del centro del Sol al centro de un planeta recorre siempre un área igual en un tiempo igual, lo que indica que los planetas se mueven más de prisa cuando están más cerca del Sol.

M

K L

H

Tres leyes revolucionarias de Kepler que resultaron indispensables para los descubrimientos de Newton son:

D

J

E F

G Figura 2.6

2. Identifica los triángulos que son congruentes y da el postulado de congruencia que lo justifica. 4

3. El tiempo que necesita un planeta para hacer un recorrido completo alrededor del Sol es su periodo. Los cuadrados de los periodos de dos planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medidas al Sol.

3

I

II 3

4

3

25

III

I

4

70°

30°

25 70°

30° II

III 30°

70° 25

Relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes

9

7 I

A continuación se presentan ejemplos en los que se aplican los criterios de congruencia de triángulos.

5 5

II 7

9 5

Ejemplos

7 III 9

1. En la figura 2.6 identifica cinco pares de triángulos congruentes.

Figura 2.7

DBJC R DDJC

47

2

BLOQUE


3. En las siguientes figuras DI > ∆II, halla x y y. a)

B

b) I y – 5° 42° I

C

B

II

c)

C

I

x

II D

2y

5

3x

f)

I

4y

I

I

3y

II

II

I

3y

+6

°

2x

–5 C

I

+7

II

I I

B

C

B

II

E

I

6°

2x –

II

I

I

I

x+8 D II

A

B

33

I

e)

A

3y + 8°

d) 26

26° x + 20° II

I

I

II

II D

2x

A

II

I

x–

II

24°

C

I

I

60°

A

2x 3y

3y + 2

II I

II

D

¿Qué se puede hacer para disminuir el uso indiscriminado del agua y la contaminación que la afecta?

A

D

Figura 2.8

Aplica lo que sabes En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. • nvestiga en cuántas ciudades de nuestro pa s se cuenta con drenaje pluvial a fin de aprovechar el agua de la lluvia para recargar los mantos freáticos. • nvestiga ué cantidad de agua de lluvia en promedio se desperdicia al año en nuestro país, al mezclarse con las aguas del drenaje que recibe las descargas de casas e industria. ¿Qué medidas podemos adoptar en el hogar, la escuela, la comunidad, etc. para aprovechar el agua de lluvia?

48


Aplicación de las TICs Estructuras rígidas 1. Utiliza el navegador de tu preferencia y en imágenes busca qué es un truss. 2. Investiga: a) ¿Cuáles son los elementos verticales y horizontales que tiene esta estructura? b) ¿Por qué utiliza triángulos? c) ¿Para qué se usan las trusses en la industria? ¿Por qué? d) ¿Qué tipo de esfuerzos deben soportar? Actividad 1. Contesta cómo debes unir seis popotes, sin doblarlos, para formar cuatro triángulos. Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Utilizo los criterios de congruencia para establecer si dos o más triángulos son congruentes entre sí. Resuelvo ejercicios en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruencia. Argumento el uso de los criterios de congruencia en la resolución de triángulos.

49

2

BLOQUE



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente

Compañeros de equipo Criterios de evaluación

1

2

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total

Heteroevaluación Resuelve en la página 51 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 2 y entrégala a tu profesor.

50

3

4

5



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. Indica el criterio por el cual los triángulos CAE y CBD son congruentes.

4. Indica el criterio por el cual los triángulos ACD y BCD son congruentes. C

C

D

E

A

I

I

A

B

D

B

5. Indica el criterio por el cual los triángulos ABC y DEF son congruentes. C F B E 2. Indica el criterio por el cual los triángulos ACE y BDE son congruentes. C

B E

A

A

D

D

3. Indica el criterio por el cual los triángulos ABE y CDE son congruentes. D

6. Indica el criterio por el cual los triángulos ABC y ADC son congruentes. B

C

A

70° C 70°

40° 40°

E

A

B

D

51

2

BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre las aplicaciones del triángulo en obras de ingeniería y arquitectura de la sección Aplica lo que sabes, de la página 46 del Bloque 2. Nombre del alumno:

Criterio

Presentación

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad la aplicación del triángulo en la construcción de la estructura de casas, edificios, puentes, etcétera. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


52

11. Conoce y aplica correctamente el concepto de triángulo. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Reconoce y aplica las propiedades del triángulo, tales como su rigidez y ser indeformable. 14. Presenta ejemplos concretos de la estructura de una casa donde se aplica el triángulo. 15. Presenta ejemplos concretos de la estructura de un edificio donde se aplica el triángulo. 16. Presenta ejemplos concretos de la estructura de un puente donde se aplica el triángulo. 17. Presenta ejemplos concretos de estructuras donde se aplican las propiedades del triángulo.

cumple sí

no

Observaciones


Coevaluación Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del Bloque 2. Nombre del alumno:

Excelente (4)

Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Criterios de congruencia de triángulos

Identifica los criterios de congruencia de triángulos

Identifica por lo menos dos de los criterios de congruencia de triángulos

Identifica por lo menos uno de los criterios de congruencia de triángulos

No identifica los criterios de congruencia de triángulos

Relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes

Establece la relación de igualdad entre los elementos homólogos de triángulos congruentes

Establece la relación de igualdad entre triángulos congruentes, utilizando dos de los tres criterios

Establece la relación de igualdad entre triángulos congruentes, utilizando uno de los tres criterios

No establece la relación de igualdad entre los elementos homólogos de triángulos congruentes

Hoja de observación

Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos.

Criterios

Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Equipo 5

Intercambian ideas antes de hacer las pruebas

Aspecto a evaluar

Colaboran en la elaboración de las pruebas Atienden y respetan las opiniones de los demás Utilizan los materiales con precaución Proponen explicaciones de lo que observan Aplican términos científicos en sus explicaciones Registran y sistematizan sus observaciones Claves: D (Deficiente), R (Regular), B (Bueno), E (Excelente)

53

Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras Tiempo asignado:

8 horas

3


3.1 Criterios de semejanza L, L, L L, A, L A, L, A 3.2 Teorema de Tales 3.3 Teorema de Pitágoras


n

Elige las fuentes de información bibliográfica y electrónica más relevantes sobre semejanza triangular y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para buscar, procesar e interpretar información relacionada con los criterios de semejanza, el teorema de Tales y el teorema de Pitágoras.

n

n

Propone la manera de solucionar un problema teórico o contextualizado y desarrolla un proyecto en equipo en el que aplique el Teorema de Tales y el Teorema de Pitágoras, definiendo un curso de acción con pasos específicos. Valora el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales en la resolución de problemas de su entorno que involucran los criterios de congruencia.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Dos triángulos son semejantes cuando:

2. Los triángulos I y II son semejantes. Encuentra la medida del lado cuyo valor se desconoce:

10 a

I

6

12

II

8

16

3. Si a cierta hora del día un objeto proyecta una sombra igual a su altura, ¿cómo se puede determinar la altura de un edificio?

4. Una antena de TV se sostiene por tres cables que están a 5 metros de la base y a 12 metros de altura, ¿cuál es la longitud de cada cable?

5. ¿Qué significa que una pantalla de TV mida 27 pulgadas?

Desempeños por alcanzar Argumenta la aplicación de los criterios de semejanza. Aplica los teoremas de Tales y Pitágoras. Resuelve ejercicios o problemas de su entorno aplicando los teoremas de Tales y Pitágoras.

3

BLOQUE


Situación didáctica El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobra los catetos.


Cada equipo debe investigar: ¿Cuál es la expresión algebraica del teorema de Pitágoras? ¿Cómo se pueden construir polígonos regulares que tengan por lado la misma medida del lado del triángulo? ¿Cómo se pueden construir semicírculos sobre cada lado del triángulo? ¿Cómo se calculan las áreas de los polígonos regulares? ¿Cómo se calculan las áreas de los semicírculos? ¿Cómo se puede saber si la condición que se cumple para los cuadrados también se cumple para polígonos regulares o semicírculos?

¿Cómo lo resolverías? ¿Qué ocurre si en lugar de cuadrados se construyen pentágonos, hexágonos u otros polígonos regulares? ¿Qué ocurre si en lugar de cuadrados se construyen semicírculos?


Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Modelos de triángulos rectángulos con polígonos regulares o semicírculos sobre sus lados.


Rúbrica Para determinar si se cumplen las relaciones que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento




Para un experimento de laboratorio se debe recortar un popote en cinco trazos de igual tamaño; si sólo se dispone de una hoja de cuaderno rayada, ¿cómo se pueden señalar los puntos de corte?

56


Secuencia didáctica Forma equipos para resolver el problema Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema.

¿Qué tienes que hacer? tos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.



¿En qué consiste la proporcionalidad entre paralelas?


¿En qué consiste el teorema básico de proporcionalidad?


Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

¿Por qué se pueden determinar segmentos congruentes en una transversal a un sistema de rectas paralelas equidistantes?

Trabajo individual

En este ejemplo:

Producto a elaborar


El popote dividido en cinco segmentos congruentes.


Rúbrica Para determinar los segmentos congruentes que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento


57

3

BLOQUE



g) ∆ABC ~ ∆DEF h) B

Ejercicios 1. Con base en los datos de las siguientes figuras, se puede demostrar la semejanza de los triángulos. Determina en cada caso qué postulado se puede aplicar y los elementos necesarios. a) ∆ABC ~ A9B9C

b) ∆ABC ~ ∆DEF AB// DE y BC // EF B

B B’ C’

15

E

16

h) ∆ABC ~ ∆DEC C 20

16 D

E

12

4

A

12

18

15

I

C

D C

E

12

27

18

A A

5

D

C

E

A

B

i) ∆ABC ~ ∆DEF

F B

F

C

C

24

I

18

8

I

A

A

D

d) ∆ABC ~ ∆DEF

A

B

A

F x

20

28

x

14 A

30

D

E

21

12

D

E

5

E

15

D

6 B

18

C

C 15 20 B

12

C

A

x

A

10 E

28

24

B

58

7

B

f ) ∆ADE ~ ∆ABC

12

E

D

C

12

c)

C

D

5

x+4

14

B

e) ∆BDE ~ ∆ABC

A

16 D

B

36

E

2. En cada uno de los siguientes incisos los triángulos son semejantes. Calcula el valor que representan las letras. a) b)

c) ∆ABE ~ ∆ADF

C

12

D

30

x

d) E

12 A

14 C

D 20

B


e)

j)

A

24

3x

15

D

2x

_y 3

11 10

20

E

11

2x + 2

B

C

k) 8

2y + 4

6

7.5

f) 12

10

c’

8

3. Halla la altura de un árbol que proyecta una sombra de 4.5 m, al mismo tiempo que un poste de 5 m proyecta una sombra de 3 m.

4

6

2x – 1

a’

g)

24

15

a

12

b’

20

4. Un árbol proyecta una sombra de 1.5 m al mismo tiempo que un edificio de 21 m de altura proyecta una sombra de 4.5 m. ¿Cuál es la altura del árbol?

h) 8

x+1

y–1

12

4

6. Un faro proyecta una sombra de 12 m al mismo tiempo que un árbol de 8.25 m proyecta una sombra de 2.75 m. Halla la altura del faro.

6

i) 10

x–2

7. Calcula la altura de tu escuela mediante el procedimiento de las sombras.

15

4

12

5. La sombra que proyecta un edificio es de 16.25 m al mismo tiempo que la de un poste de 10 m de altura es de 7 m. Encuentra la altura del edificio.

y+3

8. ¿Por qué cantidad se debe representar en un dibujo una di1 mensión de 2.40 m a la escala . 30 9. En un dibujo, ¿qué dimensión representan 4.2 cm a la escala de 1:50 000?

59

3

BLOQUE


10. ¿Cuál es la distancia real representada por 5.75 cm en un mapa a la escala de 1:150 000?

17. Investiga las medidas del terreno que ocupa tu escuela y dibuja un plano de dicho terreno a escala de1:1 000.

11. ¿Cuál es la distancia real que se representa en un mapa por 3.28 cm a escala de 1:30 000 000?

18. En un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, halla la hipotenusa c cuando:

12. ¿Por cuántos centímetros se pueden representar 1 300 km en un mapa que tiene una escala de 1:10 000 000? 13. ¿Cuál es la longitud real de un tornillo que se representa por 4 cm en un dibujo a escala de 20:1?

a) a 5 5

b 5 12

b) a 5 15

b 5 20

c) a 5 8

b 5 15

d) a 5 9

b54

e) a 5 15

b 5 36

f) a57

b57

g) a 5 4

b55

h) a 5 14. Una rueda tiene un diámetro real de 50 cm y a escala mide 2.5 cm. ¿Cuál es la escala?

i) a 5 2

b5

5 2

j) a 5 5

8

b5 2

2

b5 5

3

19. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es c halla el cateto desconocido cuando:

15. Representa a escala 1:1 000 un campo de soccer que mide 90 m de ancho y 120 m de largo.

a) a 5 8

c 5 10

b) a 5 12

c 5 20

c) b 5 10

c 5 26

d) a 5 21

c 5 29

e) a 5 20

c 5 25

f ) b 5 12

c 5 13

g) b 5 15

c 5 17

h) a 5 2

c54

i) b 5 6

c58

j) a 5 5

c55

2

20. Halla la altura de un triángulo isósceles si sus lados iguales miden 10 unidades y su base es:

16. Traza un plano a escala 1:20 de la superficie de una mesa de tenis que mide 2.74 m de largo por 1.52 m de ancho.

60

a) 12

b)16

c) 18

d) 10


Las matemáticas no estudian los objetos, sino las relaciones entre los objetos; por tanto, les es indiferente reemplazar estos objetos por otros, con tal que no cambien las relaciones. La materia no les importa, sólo les interesa la forma. Henri Poincaré

El símbolo > que representa la congruencia es una combinación del ~ que indica la semejanza de la forma y del 5 que indica la igualdad de sus dimensiones correspondientes.

Tres lados proporcionales

3.1 Criterios de semejanza

LLL

Se llaman triángulos semejantes a los triángulos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales (lado-lado-lado). ∆ABC 2 ∆A9B9C9

La relación de semejanza se denota con el símbolo ~, de esta manera la expresión ABC ~ A9B9C9 se lee: “el triángulo ABC es semejante al triángulo A prima, B prima, C prima”.

AB BC AC 5 5 A ′ B′ B′ C ′ A ′C ′ C’ C

Actividad de aprendizaje Dos triángulos son semejantes cuando: A A’

B

B’ Figura 3.2

LAL Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente congruentes un ángulo comprendido entre lados proporcionales (lado-ángulo-lado).

B

∆ABC 2 ∆A9B9C9

II

I

A

∢A 5 ∢A9 y

a

III

c

b

AC AB 5 A ′C ′ A ′ B′

C’ C

C

B’ II

I

A’

A

a’

III

c’

b’

A’

Figura 3.3

C’

Como ∆ABC ~ A9B9C9 a b c ∢A 5 ∢A9, ∢B 5 ∢B9, ∢C 5 ∢C9, 5 5 a′ b′ c′

B

B’

ALA Dos triángulos son semejantes si tienen un lado proporcional comprendido entre dos ángulos congruentes.

Figura 3.1

61

3

BLOQUE

Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras C


C

E

II

I

A

I

A

II

I

D

II

Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son semejantes: B

B

AB // DE

∆ABC ~ ∆DEC

Figura 3.4

B 12

Ejemplos

B’ C

Con base en los datos de las figuras, se puede demostrar la semejanza de los triángulos. Determina en cada caso qué postulado se puede aplicar y los elementos necesarios. 1. ∆DEC ~ ∆AEB

5

A


2. ∆AED ~ ∆ABC

D

C’

15

4

A

C

12

6

E

9

E

Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son semejantes:

18

D

A

B

3. ∆ABD ~ ∆BDC

B

C

B

E

I

II

I

15

9

II

A

12

D 16

B

20

A

D

C

F

Actividad de aprendizaje Indica el criterio por el cual los siguientes triángulos son congruentes:

C Figura 3.3

Solución: a) ∠DCE 5 ∠EAB y∠CDE 5 ∠EBA por ser alternos internos entre paralelas. Por otra parte ∠DEC 5 ∠AEB por ser opuestos por el vértice. El postulado que se aplica es ángulo-ánguloángulo.

F

b) ∠A 5 ∠A porque toda cantidad es igual a sí misma y

6 9 = . El postulado que se aplica es lado ángulo-lado. 12 18 9 12 15 c) Se puede establecer la proporción = = . El postu12 16 20 lado que se aplica es lado-lado-lado.

62

B

A

E

C

D


3.2 Teorema de Tales


Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero. Hipótesis:

Tesis:

En el ∆ABC

DEC ∆ ABC

DE // AB Trazo auxiliar: Traza EF // AC

¿Qué se puede afirmar de dos triángulos rectángulos cuyos catetos son proporcionales?

C E

D A

F

B Figura 3.6

Para tu reflexión

Tales de Mileto (639-546 a. C.) Fue uno de los siete sabios y fundador de la escuela jónica a la que pertenecieron Anaximandro, Anaxágoras, etc. Con él se inicia la Geometría como ciencia racional. En su edad madura, se dedicó al estudio de la Filosofía y de las Ciencias, especialmente la Geometría. Sus estudios lo condujeron a resolver ciertas cuestiones como la determinación de distancias inaccesibles; la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles; el valor del ángulo inscrito y la demostración de los conocidos teoremas que llevan su nombre, relativos a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas.

Plan: Usa de la propiedad de los ángulos correspondientes entre paralelas para determinar la igualdad de los ángulos de dos triángulos y establece la proporcionalidad respectiva entre sus lados homólogos: Razonamiento: Afirmación: 1. En el ABC, DE // AB

Razón 1. Por hipótesis.

2. ∠C 5 ∠C

2. Por identidad.

3. ∠A 5 ∠CDE, ∠B 5 ∠CED

3. Por ser correspondiente entre paralelas.

4.

CA CB = CD CE

4. ABC ~ DCE por el postulado de semejanza (ángulo-ángulo-ángulo).

La razón 4 es una proposición demostrable (teorema). Ejemplos Aplicación del teorema básico de la proporcionalidad. Determina la medida de los lados cuyo valor se desconoce, ∆I ~ ∆II. 1.

2.

C 5

x D


E

12

a

x+4

I

6

8

¿Qué se puede afirmar de dos triángulos rectángulos que tienen igual un ángulo agudo?

A

B

DE // AB

3. b’

10 II 16 Figura 3.7

63

3

BLOQUE


Dibujo a escala Solución: 1.

x 5 = x+4 7

2.

8 a = 16 10

5(x + 4) 5 7(x)

16(a) 5 8(10)

5x + 20 5 7x

16(a) 5 80

3.

80 16

20 5 2x

a5

10 5 x

a55

6 8 5 b 9 16 8(b9) 5 6(16) b9 5

6(16) 8

b9 5 12

Actividad de aprendizaje ¿Qué se puede afirmar de dos triángulos isósceles que tienen igual el ángulo en el vértice?

Las propiedades de la semejanza de figuras se aplican en el dibujo a escala para representar objetos en forma gráfica, reducidas o amplificadas en sus dimensiones, pero conservando siempre las relaciones que guardan entre sí los elementos que los componen. Una escala gráfica es la razón geométrica que se establece entre las medidas de las dimensiones de un dibujo y las medidas de las dimensiones reales correspondientes al objeto que se representa. Usualmente la escala se indica por medio de una fracción en la que el numerador representa una magnitud en el dibujo, y el denominador la magnitud real del objeto representado. Las dos magnitudes se expresan en la misma unidad de medida, de manera que si 1 cm en un dibujo representa 1 m del objeto entonces la escala es: 1 cm 1 cm 1 = = 1 m 100 cm 100 que se lee “1 es a 100”. En lugar de la raya de la fracción también se utilizan dos puntos que indican división, por lo que la escala anterior se puede escribir 1:100 y se lee de la misma forma. Cuando en una escala el primer número es menor que el segundo significa que el dibujo es una reducción del tamaño real del objeto y si el primer número es mayor que el segundo, entonces el dibujo representa una ampliación del tamaño real del objeto. Si el dibujo y el objeto son de igual tamaño se dice que la escala es natural o sea 1:1.


Es común que en una escala el primer número (o numerador) sea igual a 1 con el propósito de facilitar los cálculos.

¿Qué se puede afirmar de dos triángulos isósceles que tienen igual uno de los ángulos adyacentes a la base?

En general, para una escala e en la que el dibujo tiene una dimensión d y la correspondiente en el objeto es D se tiene que: e=

d ; D

d = e ⋅D ;

D=

d e

Ejemplos

Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: La semejanza de figuras se aplica en la fotografía, en proyecciones cinematográficas y en diferentes instrumentos ópticos como microscopios, telescopios, etcétera. Investiga cómo se aplica en la industria automotriz.

64

1. En un plano cuya escala 1:500, un terreno de forma rectangular mide 6 cm de largo y 4 cm de ancho. ¿Cuáles son las medidas reales del terreno? Solución: En la expresión: D5

d e

Se sustituyen los datos del problema.


Cálculo del largo real:

Cálculo del ancho real:

6 cm D5 1 500

4 cm D5 1 500

es decir:

O sea: e =

1 . 5 cm 45 000 000 cm

De donde:

e=

es decir:

1 500

D 5 6 cm 4

D 5 4 cm 4

O sea:

1 500

o sea:

D 5 6 cm 3

500 1

D 5 4 cm 3

De donde:

de donde:

D 5 3 000 cm

D 5 2 000 cm

D 5 30 m

D 5 20 m

500 1

Por tanto, las medidas reales del terreno son de 30 m de largo y 20 m de ancho. 2. Si en el terreno del ejemplo anterior se desea construir una cancha de basquetbol que mida 28 m de largo y 15 m de ancho, ¿cuáles son las medidas con las que se le debe representar en el plano? Solución: En la expresión:

1 30 000 000

O bien: escala 1:30 000 000 4. El piso de un salón rectangular mide 8 m de largo y 5 m de ancho. Dibuja el plano correspondiente con una escala de 1:250. Solución: Se convierten las medidas a las que se deben tener en el plano, que en este caso deben ser d 5 e ? D: Largo

1 de las medidas reales usando 250

Ancho

d=

1 ×8m 250

d=

1 × 5m 250

d=

8m 250

d=

5m 250

d 5 0.032 m

d 5 0.02 m

d 5 3.2 cm

d 5 2 cm

d5e?D 5m

se sustituyen los datos del problema: Cálculo del largo en el plano:

d= O sea: d =

Cálculo del ancho en el plano.

1 × 28 cm 500 28 cm 500

d= o sea: d =

De donde: d 5 0.056 m

1 × 15 cm 500 15 cm 500

de donde: d 5 0.03 m

d 5 5.6 cm

d 5 3 cm

8m Figura 3.8

En la práctica, la escala se determina estableciendo la razón entre la medida del papel de que se dispone y la medida mayor del objeto que se quiere representar. En el ejemplo anterior la medida mayor es de 8 m, si el espacio del cual se dispone es de 16 cm entonces una escala adecuada es:

Por tanto, la cancha de basquetbol se representará en el plano por medio de un rectángulo que mida 5.6 cm de largo y 3 cm de ancho. 3. Calcula la escala de un mapa en el que 450 km corresponden a 1.5 cm. Solución: En la expresión: e5

d D

1 . 5 cm se sustituyen los datos del problema: e = 450 km

16 cm 16 cm 1 = = 8 m 800 cm 50

3.3 Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Hipótesis:

Tesis:

ABC es un triángulo rectángulo con ∢C 5 90º

c2 5 a2 + b2

65

3

BLOQUE


Trazo auxiliar:

C b

CD ⊥ AB.

b = 17 2 – 8 2

a x

A

y B

D c

Figura 3.9

Plan: Al trazar por C el segmento CD perpendicular a AB, los triángulos que se forman son semejantes al triángulo dado y semejantes entre sí: Razonamiento: Afirmación:

25 + 144 = c

b = 225 b = 15

169 = c 13 = c 2 2 2 3. a + b = c

a 2 + 8 2 = 10 2 a 2 = 10 2 – 8 2 a 2 = 10 2 – 8 2

1. Por construcción.

2. c : a 5 a : y, c : b 5 b : x 2. Si del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo se traza una perpendicular a la hipotenusa, se determinan en ésta dos segmentos, y cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento adyacente al cateto. 2

2

3. c y 5 a , c x 5 b

3. Propiedad fundamental de las proporciones.

4. c y + c x 5 a2 + b2

4. Sumando miembro a miembro las igualdades de (3).

5. c (y + x) 5 a2 + b2

5. Factorizando.

6. x + y 5 c


2

b = 289 – 64

Razón:

1. CD ⊥ AB

2

5 2 + 12 2 = c

2

7. c 5 a + b

a = 100 – 64 a = 36 a=6 4. Con base en los datos de la figura 3.11, calcula los valores de x y z.

B

17

7. Sustituyendo (6) en (5).

9

A

z

D

8

x

C

Figura 3.11

Solución:

Ejemplos

En el ∆ABC

Aplicación del teorema de Pitágoras Dado el triángulo rectángulo ABC, halla la medida del lado cuyo valor de desconoce. B 1. a 5 5, b 5 12, c 5 ? 2. a 5 8, c 5 17, b 5 ?

c

3. b 5 8, c 5 10, a 5 ? Figura 3.10

A

a

b

Solución: 1. a 2 + b 2 5 c 2 5 2 + 12 2 5 c 2

2. a 2 + b 2 5 c 2 8 2 + b 2 5 17 2 b 2 5 17 2 2 82

66

C

En el ∆BCD

(9 + x )2 + 8 2 = 17 2

x 2 + 82 = z 2

81 + 18 x + x 2 + 64 = 289

62 + 82 = z 2

x 2 + 18 x – 144 = 0

36 + 64 = z 2

( x = 24)( x – 6) = 0

100 = z 2

x1 = – 24 x2 = 6

100 = z 10 = z

Se rechaza el valor de x 5 224 pues x representa la medida de un segmento.


Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. ¿Cuál es el ciclo hidrológico del agua?

Relaciones de proporcionalidad entre catetos e hipotenusa al trazar la altura sobre ésta Desde la época de esplendor de los geómetras griegos se sabe que la altura construida sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre las proyecciones de los catetos. A continuación se ilustra está propiedad de manera general y se presentan ejemplos de aplicación de la misma.

• • • • •

¿Qué cantidad de nuestro planeta es agua? ¿Qué cantidad de agua de la ierra es agua salada? ¿Qué cantidad de agua de la ierra es agua dulce? ¿Qué porcenta e del agua dulce es inaccesible? ¿Qué cantidad de agua dulce es super cial r os lagos o a ba a profundidad del suelo)? • ¿Qué caracter sticas tiene el ciclo hidrológico del agua en tu comunidad? • ¿ ómo podemos utilizar esas caracter sticas en nuestro bene cio?

c a = a m

c b = b n

a2 5 cm

b2 5 c ∙ n

C

a b h

A

n

H

B

m c

Figura 3.12

Ejemplos 1. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 3 y 12 metros. Calcula la altura relativa a la hipotenusa.

C

h A

n=3 H

Figura 3.13

m = 12

B

12 h 5 h 3 h 2 53(12) h 2 536 h 5 36 h 56 m 67

3

BLOQUE


2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 36 cm y la proyección de un cateto sobre ella 4 cm. Halla el otro cateto.

C

a

b

A n=4

n=4 H

m = 16

B

Figura 3.16

c = 36

h 4 = h 10 h 2 = 4(16)

Figura 3.14

36 a = a 32 a 2 = 36(32)

h 2 = 64 h = 64 h = 8 cm

a = 1152 2

a = 1152 a = 33 . 94 cm 3. En un triángulo rectángulo sus lados miden 4.8, 8.4 y 9.7 cm, respectivamente. Calcula la medida de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

5. En un triángulo rectángulo su hipotenusa mide 9.8 cm y las proyecciones de los catetos sobre ella miden 1.9 y 7.9 cm. Calcula la medida de los catetos.

C

C 8.4

4.8

A A

n

B

m

9.7 4.8 = n 4.8 9 . 7 n = ( 4 . 8)2 ( 4 . 8)2 9.7 n = 2 . 375 cm m n=

9.7 8.4 = m 8.4 9 . 7 m = (8 . 4)2 (8 . 4)2 9.7 m = 7 . 244 cm m m=

4. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 16 centímetros. Calcula la altura relativa a la hipotenusa.

68

m = 7.9 9.8

Figura 3.17

9.7 Figura 3.15

n = 1.9 H

9.8 a 5 a 7.9 a 2 5 9 . 8(7 . 9)

9.8 b 5 b 1.9 b 2 5 9 . 8(1 . 9)

a 2 5 77 . 42

b 2 515 . 01

a 5 77 . 42 a 58 . 798 c m

b 5 15 . 01 b 53 . 874 c m

B


Aplicación de las TICs 1. Utiliza el navegador de tu preferencia e investiga en qué consiste la ley del inverso cuadrado. 2. Responde: a) ¿Por qué es útil en fotografía, iluminación y propagación de sonido la ley del inverso cuadrado? b) ¿Cómo usas este conocimiento para escoger tu lugar en un cine? c) ¿En qué proporción varía el área respecto a la distancia de la fuente? 3. Investiga quién fue Tales de Mileto y cuál fue el método que empleó para determinar la altura de la pirámide. Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Argumento la aplicación de los criterios de semejanza. Aplico los teoremas de Tales y de Pitágoras. Resuelvo ejercicios o problemas de su entorno aplicando el teorema de Tales y Pitágoras.

Observaciones generales:

69

3

BLOQUE



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


1

2



70

3

4

5



Apellido materno

Nombre

Grupo


1.

4. Indica el criterio por el cual los triángulos ABC y DBE son semejantes:

Dos triángulos son semejantes cuando:

C E

2. Indica el criterio por el cual los triángulos CDE y ABE son semejantes: B

A

10 C

2 5

D

B

D

E 4

5. Los triángulos ABC y DEF son semejantes. Encuentra la medida de los lados cuyo valor se desconoce:

A

C

3. Indica el criterio por el cual los triángulos ABC y DEC son semejantes:

a

3

C A

B

7 F

D

E 10

6 A

B

D

c

E

71

3

BLOQUE


6. Los triángulos ABC y PQR son semejantes. Encuentra la medida de los lados cuyo valor se desconoce.

B

Q 8

2y 1 4 6

12

C

P

7.5

2x 2 1

R

La medida es

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre las aplicaciones de la semejanza de triángulos de la sección Aplica lo que sabes de la página 64. Nombre del alumno:

Criterio

Presentación

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

72

iene una redacción ue es adecuada clara iene buena ortogra a o con errores m nimos 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad las aplicaciones de los triángulos semejantes en figuras, fotografías, proyecciones cinematográficas, así como en instrumentos ópticos.

cumple sí

no

Observaciones


6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener las aplicaciones de los triángulos semejantes con la justificación correspondiente.

Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Conoce y aplica correctamente el concepto de triángulos semejantes. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Muestra y argumenta sobre las aplicaciones de los triángulos semejantes en la ampliación o reducción de figuras o en la obtención de imágenes en el microscopio o en el telescopio. 14. Presenta ejemplos concretos de figuras donde se aplican los triángulos semejantes. 15. Presenta ejemplos concretos donde se aplican los triángulos semejantes para la amplificación o reducción de figuras. 16. Presenta ejemplos concretos donde se aplican los triángulos semejantes para la obtención de imágenes en el microscopio o en el telescopio.

Coevaluación


Aspecto a evaluar

Criterios Criterios de semejanza de triángulos eorema de itágoras

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Identifica los criterios de semejanza de triángulos

Identifica por lo menos dos de los criterios de semejanza de triángulos

Identifica por lo menos uno de los criterios de semejanza de triángulos

No identifica los criterios de semejanza de triángulos

Comprende, demuestra y aplica el teorema de Pitágoras para resolver problemas

Comprende, y aplica el teorema de Pitágoras para resolver problemas

Aplica el teorema de Pitágoras para resolver problemas

No comprende, demuestra, ni aplica el teorema de Pitágoras para resolver problemas

73

Reconoces las propiedades de los polígonos Tiempo asignado:

8 horas

4

B LO Q U E Objetos de aprendizaje 4.1 Polígonos

4.2 Elementos y propiedades: Ángulo central Ángulo interior La suma de los ángulos centrales, interiores y exteriores

4.3 Perímetro y área de polígonos regulares e irregulares


n

Clasifica los diferentes tipos de polígonos de acuerdo a su forma y a la medida de sus lados. Reflexiona sobre el procedimiento para trazar polígonos inscritos a una circunferencia con regla y compás y/o un hecho histórico utiliza el software disponible en las tecnologías de la información y comunicación para trazar y determinar los elementos de un polígono.

n

n

Construye e interpreta modelos matemáticos para el cálculo de los elementos, perímetro y área de polígonos regulares e irregulares en situaciones reales o teóricas, en las diferentes disciplinas y en su vida cotidiana. Valora el trabajo en equipo y el uso de las TIC como una forma de desarrollar sus habilidades operacionales y de análisis en la resolución de problemas que involucran polígonos y sus elementos.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Qué características tiene un polígono regular?

2. ¿Qué características tiene un polígono irregular?

3. ¿Cómo se sabe que un polígono es cóncavo?

4. ¿Cómo se sabe que un polígono es convexo?

5. En el polígono siguiente identifica el ángulo interior, exterior, central.

Desempeños por alcanzar Reconoce polígonos por el número de sus lados y por su forma. Aplica los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de problemas.

BLOQUE

4


Situación didáctica Se va a perforar el suelo con una máquina colocada sobre una plataforma cuadrada que mide cinco metros por lados. El punto de perforación debe coincidir con el centro de la plataforma. Si solamen-


¿Cómo lo resolverías? te se dispone de una cinta métrica, ¿cómo se puede determinar la posición de los puntos de los vértices y el centro de la plataforma?




¿Qué es un cuadrado?


¿Por qué el cuadrado es un polígono regular? ¿Cuáles son las propiedades del cuadrado?


Trabajo individual

En este ejemplo:


Producto a elaborar



Rúbrica Para determinar en el cuadrado el centro y los vértices que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

Situación didáctica Una alberca semiolímpica tiene las siguientes dimensiones: 25 metros de ancho, 50 metros de largo y 2.5 metros de profundidad.

76

Modelo de plataforma cuadrada indicando el centro de la misma.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías? Si se cubren las paredes y el piso con azulejos cuadrados, ¿cuántos se necesitan si miden 10 cm por lado? ¿Cuántos se necesitan si miden 20 cm por lado?



Cada equipo debe investigar: ¿Cómo determinar el área lateral y total de la alberca?


¿Cómo determinar el número de azulejos necesario para cubrir el área total de la alberca con azulejos de 10 cm?


¿Qué relación existe entre el lado y área del azulejo de 10 cm respecto del azulejo de 20 cm?


¿Cómo determinar el número de azulejos necesario para cubrir el área total de la alberca con azulejos de 20 cm?

En este ejemplo:


Rúbrica Para determinar las cantidades de azulejos que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento

Producto a elaborar Cálculos para determinar el área de la alberca. Cálculos para determinar el número de azulejos de 10 y 20 cm que se necesitan para cubrir la superficie de la alberca.


77

BLOQUE

4


Propuestas de diseño para situaciones didácticas 1. Si ABCD es un paralelogramo, halla x y y en los casos siguientes: a) AB 5 5x, AD 5 3x, BC 5 y, perímetro 5 80 b) AB 5 5y 2 5, BC 5 6x 2 10

4. Si ABCD es un trapecio isósceles, halla x y y en los casos siguientes: a) A 5 3x 1 10, B 5 70, C 5 y, D 5 5x 1 10 b) A 5 5x 1 10, B 5 7x 2 18, C 5 y c) A 5 2x, B 5 y, D 5 3x d) B 5 4x, C 5 5x, D 5 y

CD 5 4y 1 2, AD 5 4x c) /A 5 5x 1 10, /C 5 6x 2 4, /B 5 y

e) A 5 x, D 5 2x, C 5 y D

d) /A 5 5x 1 /B 5 9x 1 12, /C 5 y

C

e) /A 5 4x 1 10, /C 5 3x 1 25, /D 5 y D

C A

A

B

2. Si ABCD es un paralelogramo, halla x y y en los casos siguientes: a) AE 5 x 1 y, EC 5 24, BE 5 6, ED 5 x 2 y b) AE 5 x, EC 5 4y, BE 5 20, DE 5 x 2 2y

B

5. Traza un cuadrado a) De cinco centímetros por lado b) Cuya diagonal mide 5 cm c) De lado igual a AB A

B

c) AE 5 4x 1 2, EC 5 5x 2 5, BE 5 2x 1 y, DE 5 4x 2 8 d) AE 5 3x 1 2, AC 5 40, BE 5 28, DE 5 2x 1 y e) AE 5 2x 1 y, EC 5 27, BE 5 4y, DE 5 x D

A

B

3. Si ABCD es un rombo, halla x y y en los casos siguientes: a) BC 5 30, CD 5 5x 2 5, BD 5 6y, /C 5 60° b) AB 5 25, AD 5 4x 1 1, BD 5 y 1 9, /B 5 120° c) AB 5 5x, AD 5 7x 2 6, CD 5 y d) AB 5 x 1 y, AD 5 2x 2 y, CD 5 18 e) /ABD 5 4x 1 4, /DBC 5 6x 2 12, /B 5 y D

78

A

C

C

E

A

d) Cuya diagonal es igual a AC

C

B

6. Traza un rectángulo: a) De base 5 cm y de altura 3 cm. b) Cuya diagonal mida 6 cm y forme un ángulo de 30° con la base. c) En el cual sus diagonales midan 5 cm y formen un ángulo de 60°. d) Cuyas diagonales midan 4 cm y formen un ángulo de 100°. 7. Traza un rombo: a) Cuyos lados midan 4 cm y el ángulo agudo sea de 60°. b) En el cual sus lados midan 5 cm y el ángulo obtuso sea de 100°. c) Cuyas diagonales midan 3 cm y 5 cm. d) En el cual sus ángulos estén en la razón 3:2. 8. Traza un trapecio: a) Isósceles cuyas bases midan 6 cm y 4 cm, y su altura sea de 2.5 cm. b) Escaleno cuyas bases midan 5 cm y 3 cm, y los otros lados 2 cm y 2.5 cm.


c) Rectángulo cuyas bases midan 7 cm y 5 cm, y su altura sea de 3 cm. d) Isósceles cuyas bases midan 4.5 cm y 3 cm, y cada lado mida 2 cm. 9. En las siguientes figuras identifica los polígonos que sean: a) Equiláteros b) Regulares

a

g h

b

c) Equiángulos

i

d) Irregulares

11. En las figuras del ejercicio anterior identifica los polígonos que son: a) Cóncavos

d

c

j

b) convexos

12. En las siguientes figuras traza todas las diagonales.

e

f

10. Da a cada polígono el nombre que recibe según su número de lados.

a

b

d

c

13. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono convexo de:

e

f

a) 7 lados

b) 8 lados

c) 10 lados

d) 12 lados

e) 15 lados

79

BLOQUE

4


Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura. Bertrand Russell

4.1 Polígonos En este bloque se abordará una clasificación de los polígonos en regulares o irregulares. Se identifican sus respectivas propiedades y elementos y se reconocen las relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares. B D A C

E

Figura 4.1

Como se puede observar en la figura, la línea poligonal o quebrada está formada por segmentos rectilíneos colocados uno a continuación del otro y siguiendo distintas direcciones. El extremo final del primero es coincidente con el extremo inicial del segundo, el extremo final de éste es el extremo inicial del tercero y así sucesivamente; de manera que dos segmentos consecutivos sólo tienen un punto común y un segmento sólo tiene en común con otros dos sus puntos extremos. Una línea poligonal cerrada es aquélla donde el extremo inicial del primer segmento coincide con el extremo final del último segmento. Polígono es la figura plana delimitada por una poligonal cerrada donde los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono. Los vértices se designan con letras mayúsculas en orden alfabético. Los polígonos se nombran de acuerdo con su número de lados, así tenemos que: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octágono, eneágono, decágono, dodecágono, e icoságono, son polígonos de 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 y 20 lados, respectivamente. Para nombrar los demás polígonos se indica el número de lados que tienen: polígono de 17 lados, polígono de 25 lados, etcétera. Para nombrar un polígono se nombran sus vértices en forma ordenada según el giro de las manecillas del reloj, o bien, en sentido contrario.

Los egipcios conocieron la propiedad del triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades, en los que se verifica la relación 52 5 32 1 42, pero el descubrimiento de la relación a2 5 b2 1 c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se deben indiscutiblemente a Pitágoras. Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de cinco lados.

Clasificación de los polígonos Regulares e irregulares Polígono regular es aquel que es equilátero y equiángulo, es decir, tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales. Un polígono es regular cuando es equilátero y equiángulo, es decir, será polígono regular cualesquiera que cumpla las dos condiciones. Como en todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales, el triángulo equilátero es además equiángulo y, por tanto, es un polígono regular. Cuadrado es el rectángulo que tiene dos lados consecutivos iguales. Asimismo, el cuadrado tiene las propiedades del rectángulo y, por tanto, es equiángulo y por la propiedad uno de los paralelogramos es equilátero, de modo que es un polígono regular. Los seis primeros polígonos regulares son:

Triángulo

Cuadrado Pentágono

Para tu reflexión

Pitágoras de Samos (582-507 a. C.) Se dice que fue discípulo de Tales, pero que se apartó de la escuela jónica. Fundó en Crotona, Italia, la escuela pitagórica.

Hexágono Figura 4.2

80

Heptágono

Octágono


Dos lados consecutivos de un polígono regular forman un ángulo interior. Apotema de un polígono regular es el segmento de perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados. La apotema es perpendicular mediatriz del lado correspondiente. Las apotemas de un polígono regular son iguales.

Actividad de aprendizaje Da dos ejemplos de polígonos equiláteros:

El centro del polígono es O. /AOB es un ángulo central. G es el punto medio de AF, AG R OG es la apotema de AF, OG AF. /DEF es un ángulo interior. Polígono irregular es aquel que no cuenta con las dos características que distinguen a un polígono regular, es decir, no tiene sus lados y ángulos iguales. Dentro de los cuadriláteros se darán a conocer los que son polígonos irregulares y algunas de sus propiedades, las cuales son teoremas que no se demostrarán porque para este curso es suficiente que las conozcas para efectos de aplicación, tanto para el trazo de la figura como para el cálculo de algunos de sus elementos.

Actividad de aprendizaje Da dos ejemplos de polígonos equiángulos:

Los cuadriláteros se clasifican, por la disposición relativa de sus lados, en paralelogramos, trapecios y trapezoides.

Paralelogramo

Trapecio

Actividad de aprendizaje Da dos ejemplos de polígonos regulares:

Trapezoide Figura 4.4

El centro de un polígono regular es el centro de su circunferencia circunscrita. Si el centro de un polígono regular se une con todos sus vértices, a cada lado se opondrá un ángulo que se llama ángulo central. E

D i O

F

C

G Figura 4.3

A

B

Paralelogramo. Es el cuadrilátero que tiene paralelos sus lados opuestos y al cual se le llama también romboide. El paralelogramo tiene las siguientes propiedades: 1. Los lados opuestos del paralelogramo son iguales. 2. Las diagonales del paralelogramo se bisecan mutuamente, es decir, una a otra se cortan por la mitad. 3. Los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales. 4. Dos ángulos consecutivos del paralelogramo son suplementarios. Son paralelogramos el rectángulo, el rombo y el cuadrado. Rectángulo. Es el paralelogramo que tiene un ángulo recto. Por la forma en que se ha definido, sabemos que el rectángulo tiene todas sus propiedades del paralelogramo, en particular la 3 y 4 aseguran 81

BLOQUE

4


que los cuatro ángulos son rectos. El rectángulo tiene la propiedad de que sus diagonales son iguales. Rombo. Es el paralelogramo que tiene dos lados consecutivos iguales. La primera propiedad de los paralelogramos asegura que el rombo es equilátero. El rombo tiene la propiedad de que sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ángulos cuyos vértices une. El cuadrado, por sus características, se incluye dentro de los polígonos regulares.

Trapecio isósceles

Trapecio rectángulo

Actividad de aprendizaje Da dos ejemplos de polígonos irregulares:

Trapecio escaleno Figura 4.5

En un trapecio el segmento que une los dos puntos medios de los lados no paralelos se llama base media. La base media tiene como medida la semisuma de las bases. Trapezoide. Es el cuadrilátero que no tiene paralelos ningún par de lados opuestos. Actividad de aprendizaje En un rectángulo sus diagonales son:

Ejemplos 1. De los seis polígonos siguientes identifica los que son: a ) equiláteros c ) regulares b ) equiángulos d ) irregulares


1

2

4

6

3

5

En un rombo sus diagonales son Figura 4.6

y también:

Solución: a) b) c) d)

Trapecio. Es el cuadrilátero que tiene sólo un par de lados opuestos paralelos. Los lados paralelos se llaman bases. Un trapecio puede ser rectángulo, isósceles y escaleno. El trapecio es rectángulo cuando uno de sus lados no paralelo es perpendicular a los dos lados paralelos, es isósceles cuando sus lados no paralelos son iguales, y escaleno cuando sus lados no paralelos son desiguales. 82

Equiláteros: 2, 3, 4, 5, 6 Equiángulos: 1, 3, 4, 6 Regulares: 3, 4, 6 Irregulares: 1, 2, 5

D

2. Si ABCD es un paralelogramo, halla x y y. Figura 4.7

x x+

A

2y

C

15

E

3y B

Como las diagonales AC y BD se bisecan mutuamente, entonces AE 5 EC y BE 5 ED, de modo que:


los demás lados de éste quedan del mismo lado del plano respecto de la recta.

x 1 2y 5 15 x 5 3y Sustituyendo x por 3y en la primera ecuación:

Secantes

3y 1 2y 5 15, de donde y 5 3, como x 5 3y entonces x 5 9. 3. Si ABCD es un rombo, halla x y y. D

A

C

y

2 5x – 13 2x +

B

Figura 4.8

Solución: Como la diagonal AC es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une, entonces 5x 2 2 5 2x 1 13, de donde x 5 5. Por tanto, 5x 2 2 5 23° y /A 5 2(23°) 5 46°, /A y /D son suplementarios, y 1 46 5 180° o sea y 5 134°. 4. Si ABCD es un trapecio halla, x y y. D

5x A

C y

3x + 24 B

Figura 4.10

Polígono cóncavo. Un polígono es cóncavo cuando una recta secante puede cortarlo en más de dos de sus lados, y cuando al trazar una recta coincidente con uno de los lados del polígono, los demás lados de éste no quedan del mismo lado del plano respecto de la recta. En lo sucesivo, cuando se hable de un polígono se tratará de un polígono convexo.

Figura 4.9

Solución: n

Secantes

Como AD 5 BC el trapecio es isósceles, /A 5 /B entonces 5x 5 3x 1 24, 2x 5 24, x 5 12, por tanto, y 1 (3x 1 24) 5 180°, y 1 60° 5 180°, y y 5 120°. Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Realiza la siguiente actividad: Utiliza el método del paralelogramo para determinar la resultante de dos fuerzas de 30 N a 45° y de 40 N a 135°. (N 5 Newton.)

Cóncavos y convexos Polígono convexo. Un polígono es convexo cuando cualquier recta secante sólo lo corta en dos de sus lados, y también cuando al trazar una recta coincidente con uno de los lados del polígono,

Figura 4.11

83

BLOQUE

4


4.2 Elementos y propiedades Radio Radio de un polígono regular es el segmento de recta que une el centro del polígono con cada uno de sus vértices. Este segmento es igual al radio de la circunferencia circunscrita al polígono.

Apotema Apotema de un polígono regular es el segmento de perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados. La apotema es perpendicular mediatriz del lado correspondiente. Las apotemas de un polígono regular son iguales.

Diagonales En un polígono se llama diagonal al segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. Un triángulo no tiene diagonales, pues dos vértices cualesquiera son necesariamente consecutivos.

Número de diagonales desde un vértice y de diagonales totales Si en un polígono se trazan desde un solo vértice todas las diagonales posibles, se observa que el número de diagonales es igual al número de lados menos 3; de manera que para un polígono de n lados el número de diagonales trazadas desde un vértice es n 2 3. Ahora bien, como en un polígono el número de lados es igual al número de vértices, el número de diagonales que se puede trazar desde todos los vértices de un polígono de n lados es (n 2 3). Sin embargo, se observa que como una diagonal cualquiera une dos vértices el número de diagonales se está contando doble, por ello el número total de diagonales que se puede trazar desde todos los vértices de un polígono de n lados es: n ( n − 3) 2

Figura 4.12

84

Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Con respecto al baño de las casas investiga: • ¿Qué cantidad de agua se desperdicia de ándola correr mientras sale el agua caliente? • ¿Qué cantidad de agua utiliza cada persona para ba arse? ¿Qué cantidad de esa agua se desperdicia mientras se enjabona? • ¿Qué cantidad de agua se desperdicia al rasurarse o lavarse los dientes sí se deja abierta la llave del lavabo? • ¿Qué medidas concretas podemos adotar para ahorrar agua sin que afecte nuestra calidad de vida? En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.



Ángulo exterior

Si en un polígono se trazan diagonales desde uno de sus vértices el número de triángulos que se forman es igual a:

En un polígono si se prolongan sus lados en un mismo sentido, se forman entre estas prolongaciones y los lados del polígono ángulos a los que se les llama exteriores.

La suma de los ángulos centrales, interiores y exteriores Suma de los ángulos centrales

Ejemplos Calcula el número total de diagonales que se puede trazar en un: a) triángulo, b) cuadrilátero, c) pentágono, d) hexágono. a)

b) n54

n53

n(n 23) 3( 3 23) 5 2 2

n(n 23) 3( 3 23) 5 2 2 3(0) 2 50

4(1) 2 52

=

c)

n 55 n(n 23) 5(5 23) 5 2 2 5(2) 5 2 55

=

d)

En un polígono regular la suma de sus ángulos centrales es igual a 360°, y como todos ellos miden lo mismo, porque son congruentes, la medida de uno cualquiera se obtiene dividiendo 360° entre el número de ángulos centrales que es igual al número de lados n del polígono. Se expresa así: 360° Medida del ángulo central 5 n

Suma de ángulos interiores Suma de ángulos interiores de polígonos regulares. Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, ahora bien, en el caso de un cuadrilátero, ¿cuánto suman sus ángulos interiores?

n 56 n(n 23) 6(6 23) 5 2 2 6(3) 5 2 59 Figura 4.13

Ángulo central El centro de un polígono regular es el centro de su circunferencia circunscrita. Si el centro de un polígono regular se une con todos sus vértices, a cada lado se opondrá un ángulo que se llama ángulo central. El centro del polígono es O. Es un ángulo central / AOB.

Ángulo interior Dos lados consecutivos de un polígono regular forman un ángulo interior.

Si trazamos una de las diagonales del cuadrilátero vemos que la suma de las medidas de los cuatros ángulos del cuadrilátero es igual a la suma de las medidas de los seis ángulos obtenidos (tres de cada triángulo), como la suma de los ángulos de un triángulo es de 180° y si tiene dos triángulos, entonces 180° 1 180° 5 2(180°) 5 360°. Por tanto, la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es de 360°. Continuando con este procedimiento en polígonos de mayor número de lados y trazando desde uno solo de sus vértices todas las diagonales posibles se puede construir la siguiente tabla: 85

BLOQUE

4


Número de lados

Número de diagonales

Número de triángulos

Suma de los ángulos interiores

Triángulo

3

0

1

1(180º) 5 180º

Cuadrilátero

4

1

2

2(180º) 5 360º

Pentágono

5

2

3

3(180º) 5 540º

Hexágono

6

Heptágono

7

Octágono

8

n-ágono

n

Polígono

Sabemos que en un polígono el número de diagonales trazadas desde un vértice es igual al número de lados del polígono menos 3, de manera que en el caso del triángulo, el número de lados menos 3 es 3 2 3 5 0 diagonales; para el cuadrilátero, 4 2 3 5 1 diagonal; para el pentágono, 5 2 3 5 2 diagonales , y así sucesivamente. Por otra parte, al trazar las diagonales desde un solo vértice del polígono se observa que el número de triángulos que se forma es igual al número de lados del polígono menos 2, así en el caso del triángulo, que no tiene diagonales, el número de triángulos que se obtiene es 3 2 2 5 1 triángulo, para el cuadrilátero 4 2 2 5 2 triángulos, el pentágono 5 2 2 5 3 triángulos, y así sucesivamente. Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°, entonces la suma de los ángulos internos de un polígono es igual al número de triángulos por 180°, de ahí que en el triángulo, el número de triángulos (3 2 2) por 180° es 1(180°) 5 180° para el cuadrilátero (4 2 2) (180°) 5 2(180°) 5 360°, para el pentágono (5 2 2)180° 5 540°, y así sucesivamente. Entonces la tabla completa nos queda así: Número de lados

Número de diagonales

Número de triángulos

Suma de los ángulos interiores

Triángulo

3

0

1

1(180º) 5 180º

Cuadrilátero

4

1

2

2(180º) 5 360º

Pentágono

5

2

3

3(180º) 5 540º

Hexágono

6

3

4

4(180º) 5 720º

Heptágono

7

4

5

5(180º) 5 900º

Octágono

8

5

6

6(180º) 5 1 080º

n-ágono

n

n23

n22

(n 2 2)(180°)

Polígono

86


Como en un polígono regular todos sus ángulos interiores miden lo mismo, porque son congruentes, la medida de uno cualquiera se obtiene dividiendo la suma de los ángulos internos del polígono entre el número de ángulos que es igual al número de lados. Para un polígono regular de n lados, el ángulo interior se denota con la letra i, la medida del ángulo interior se expresa así: ∠i =

( n − 2 )180 ° n

Actividad de aprendizaje La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° multiplicando por:

Solución:

(n 2 2)180° n (5 2 2)180° 108° 5 n 108° n 5(n 2 2)180° 100 8° n 5180° n 2 360° i5

360° 5180° n 2 108° n 360° 5 72° n 360° 5n 55 7 2° Si se desea cubrir una superficie con mosaicos, losetas o azulejos que tengan forma de polígonos regulares, de manera que no queden encimados ni superficie sin cubrir, esto sólo se puede lograr con triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares. Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°, de manera que al unir en un vértice común seis triángulos equiláteros la suma de los ángulos es 6(60°) 5 360°.

Ejemplos 1. Calcula la medida del ángulo central de un pentágono regular. Solución: n 5 5, medida del ángulo central 5

360 ° = 72 ° 5

2. Calcula la medida del ángulo interior de un pentágono regular. Solución: n 5 5,

(n – 2)180° n (5 – 2)180° 5 5 3(180° ) 5 5 540° 5 5 5108°

i5

3. Calcula el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide 108°.

Cada ángulo de un cuadrado mide 90°, al unir en un vértice común cuatro cuadrados, la suma de sus ángulos es 4(90°) 5 360°. Cada ángulo de hexágono regular mide 120°, al unir en un vértice común tres hexágonos regulares, la suma de los ángulos es 3(120°) 5 360°. Lo anterior no ocurre con los demás polígonos regulares, pues si se unen tres pentágonos regulares, la suma de los ángulos en el vértice es menor de 360°, por tanto, queda superficie sin cubrir y si se unen cuatro pentágonos regulares éstos quedan encimados, porque la suma de sus ángulos es mayor de 360°.

Suma de ángulos exteriores En un polígono regular, para un vértice cualquiera, los ángulos interior y exterior son suplementarios. Si el número de lados de un polígono regular es n, entonces tendrá n vértices y habrá n pares de ángulos adyacentes suplementarios. 87

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4


Por tanto, la suma S de los pares de ángulos adyacentes suplementarios en un polígono regular de n lados será: S 5 180° n Por otra parte la suma S’ de los ángulos interiores es S’ 5 180° (n 2 2)

Ejemplo Calcular el perímetro de un rectángulo que mide 25 m de largo y 18 m de ancho. a 5 25 m

P 5 2(a 1 b)

P 5 2(25 1 18)

b 5 18 m

Si a S se le resta S’ se obtiene:

P 5 86 m

5 2(43) 5 86

S 2 S’ 5 180° n 2 [180° (n 2 2)] 5 180° n 2 (180° n 2 360°) 5 180° n 2 180° n 1 360°

Perímetro del rombo

5 360°

El perímetro del rombo se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado.

En consecuencia, la suma de los ángulos exteriores de un polígono regular es de 360°.

P5 a1 a1 a1 a P 5 4a(Fórmula)


D

a

C

En un polígono regular: a

4.3 Perímetro y área de polígonos regulares e irregulares

A

a

a

B

Figura 4.15

El perímetro de los triángulos ya ha sido tratado, por lo que ahora se verá lo relacionado con el perímetro de algunos cuadriláteros en particular y de los polígonos regulares en general.

Ejemplo Calcular el perímetro de un rombo que mide 18 cm por lado. A 5 18 cm

P 5 4a

P 5 4(18) 5 72

Perímetro del rectángulo El perímetro del rectángulo se obtiene multiplicando por dos la suma de su ancho y su largo (es decir, base más altura). P5a1 b1 a1 b P5a1 b1 a1 b P 5 2a 1 2b P 5 2(a 1 b) (Fórmula) D

a

Figura 4.14

88

Perímetro del trapecio El perímetro de un trapecio se obtiene sumando lo que miden sus cuatro lados. P 5 a 1 b 1 c 1 d (Fórmula)

C

b

D

a

B

C

c

d

b

A

P 5 72 cm

A Figura 4.16

b

a

B


Ejemplo

Ejemplos

Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 13 cm, 5 cm, 8 cm y 6 cm.

Calcular el perímetro de un heptágono regular de 1.5 m por lado.

a 5 13 cm

l 5 1.5 m

P5a1b1c1d P 5 32 cm

P 5 13 1 5 1 8 1 6 5 32

a 5 5 cm

n57

P 5nl

P 5 7(1.5)

P 5 10.5 m

5 10.5

a 5 8 cm

Área

a 5 6 cm

El área de una superficie es el número de unidades cuadradas o fracciones de ella que contiene.

Perímetro del cuadrado

Área del cuadrado

El perímetro del cuadrado se obtiene multiplicando por cuatro la longitud del lado.

El área de un cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de uno de sus lados.

P5 a1 a1 a1 a

Si la longitud del lado es a el área A es:

P 5 4a (Fórmula) D

A 5 a2 (Fórmula) C

Ejemplo Calcular el área de un cuadrado que mide 25 m por lado. a 5 52m A

a

A 5 a2

A 5 252

A 5 625 m2

5 625

B

Figura 4.17

Área del rectángulo Ejemplo Calcular el perímetro de un cuadrado que mide 25 cm por lado. a 5 25 cm

Dado un rectángulo de base b y altura h, si se trazan cuatro rectángulos iguales a él y se dispones como se indica en la figura, se transforman dos cuadrados cuya diferencia de áreas es el cuádruplo del área del rectángulo dado. b

P 5 4a P 5 4(25)

h

h

5 100 b

P 5 100 cm b

Perímetro de un polígono regular El perímetro de un polígono regular se obtiene multiplicando la longitud de un lado por el número de lados. Si el número de lados es n y la longitud de un lado es l, el perímetro P es: P 5 nl

(Fórmula)

h h

b

Figura 4.18

Área del cuadrado mayor

Área del cuadrado menor

(b 1 h)2 5 b2 1 2bh 1 h2

(b 2 h)2 5 b2 2 2bh 1 h2

89

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4


Restando las dos igualdades miembro a miembro obtenemos la diferencia de las áreas de los cuadrados:

El área de un paralelogramo se obtiene multiplicando la base por la altura.

4A 5 bh (Fórmula)

Área del triángulo

El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura (o el largo por el ancho).

Dado un triángulo, si se traza otro igual a él y se disponen como se indica en las figuras, se forma un paralelogramo cuya área es el doble del área del triángulo dado.

Ejemplo Calcular el área de un rectángulo que mide 25 m de largo y 13 m de ancho. b 5 52 m

A 5 bh

h 5 13 m

h

A 5 325 m2

A 5 25(13) 5 325

base

base

Área del paralelogramo Dado el paralelogramo ABCD, si desde los extremos de su base se trazan perpendiculares al lado opuesto, se forma el rectángulo h ABC9D9. D

C

h D’

D

base

C’

C

base Figura 4.20

La base y la altura del triángulo es la base y la altura del paralelogramo, por tanto: Área del paralelogramo 5 bh A C

B D’

D

A C’

C

Área del triángulo B 5

bh 2

Si en un triángulo su base es b y su altura es h entonces su área es: A5

bh 2

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar su base por su altura.

Área del trapecio A

B

Figura 4.19

El paralelogramo ABCD y el rectángulo ABC9D9 son figuras equivalentes por tener la misma área, ya que el triángulo BCC9 es equivalente al triángulo ADD9. Si en el paralelogramo su base es b y su altura es h entonces su área es: A 5 bh (Fórmula)

90

Dado el trapecio ABCD, si se traza otro igual a él y se dispone como se indica en la figura, se forma el paralelogramo AEFD cuya área es el doble del trapecio dado. En el paralelogramo AEFD su base es AE y su altura es h, por tanto: Área del trapecio 5

(AE)h 2

Siendo AE 5 b 1 b´ y sustituyendo AE por su igual, el área del trapecio es: A5

(b 1 b9)h 2


El área de un trapecio es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar la suma de sus bases por su altura. D

C

b’

F

b

1 A5 d1 d2 2

h

A

El área del rombo es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar sus diagonales. b

B

b’

E

Figura 4.21

Calcular el área de un trapecio cuyas bases miden 13 m y 7 m, y su altura es de 5 m. (b 1 b9)h (13 1 7)5 b 5 13 m A5 A5 A 5 50 m2 2 2

h55m

Ejemplo Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8.5 cm.

Ejemplo

b9 5 7 m

 1   d1  2 d 2    Área del rombo 5 2    2

(20)5 2 5 50

d1 5 12 cm A 5 d2 5 8.5 cm

(d1 1 d2) 12(8.5) A5 2 2

A 5 51 cm2

102 2 5 51

5

5

Área de un polígono regular

Área del rombo Sabemos que en un rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y se cortan mutuamente por la mitad, de manera que se forman cuatro triángulos congruentes. En la figura 4.22, la diagonal AB divide al rombo en dos triángulos congruentes nABC 5 nABD; entonces el área del rombo es el doble del área de uno de los triángulos. C

En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono. El área del polígono regular será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos. Si el lado del polígono es l y la altura de cada triángulo es a (apotema del polígono), el área de un triángulo es:

Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces:  la  Área del polígono n    2 Como nl es el perímetro P del polígono, el área de éste es: A5

A

B

D Figura 4.22

Si AB 5 D1 y CD 5 d2 el área del nABC es:

1 d1  d 2  2  A5 2 Entonces el área del rombo es el doble del área del ABC.

la 2

Pa 1 , o bien, A 5 Pa (Fórmula) 2 2

El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar su perímetro por su apotema. Ejemplo Calcular el área de un hexágono regular que mide 10 cm de lado y 8.66 cm de apotema. Pa (6)(10)(8.66) n56 A5 A5 A 5 259.8 cm2 2 2 l 5 10 cm 519.60 a 5 8.66 cm 5 2 5 259.8 cm2

91

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4


Aplicación de las TICs Geometría fractal 1. Utiliza el navegador de tu preferencia y busca qué es un fractal. Investiga: a) ¿Qué características tiene un fractal? b) ¿Cuáles son algunas de sus aplicaciones en el medio? c) ¿Cómo se forman los polvos de Cantor, un copo de nieve y una esponja de Sierpinski? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños Reconozco polígonos por el número de sus lados y por su forma. Aplico los elementos y las propiedades de los polígonos en la resolución de problemas.


92

1

2


3

Debo mejorar en…



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


1

2

3

4

5



93

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4



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. ¿ n cuadrado es un pol gono regular o irregular?

¿ or ué?


2. ¿ n trapecio es un pol gono regular o irregular?

¿ or ué? 9. Calcula el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide 144°. 3. Un rectángulo mide 72 m2 de área m de base ¿cuánto mide de altura?

4. Escribe el nombre de dos polígonos regulares y de dos polígonos irregulares:

5. Calcula el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide 108°:

6. Calcula el área de un hexágono regular que mide 5 m por lado y 4.35 m de apotema:

7. Una escuela tiene una barda perimetral que mide 100 m y tiene 2 m de altura. Dicha pared se va a pintar por dentro y por fuera con una capa de pintura de 2 mm de espesor. Calcula en litros la cantidad de pintura que se necesita.

94



1. Calcular el perímetro de un rectángulo que mide 65 m de largo y 40 m de ancho. 2. Calcular el ancho de un rectángulo si su perímetro es 100 m y su largo mide 32.5 m. 3. Calcular la base de un rectángulo si su perímetro es 18.75 m y su altura mide 3.75 m. 4. Calcular el perímetro de un rombo que mide 65 cm por lado.

16. Calcular el lado de un cuadrado que tiene 576 m2 de área. 17. Calcular el área de un rectángulo que mide 18 m de ancho y 4 m de largo. 18. Calcular el ancho de un rectángulo que tiene un área de 62.5 m2 y su largo mide 12.5 m. 19. Calcular la base de un rectángulo que tiene un área de 195 m2 y su altura mide 7.5 m.

5. Calcular el lado de un rombo si su perímetro es de 65 m.

20. Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 9.5 m y 15 m.

6. Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 5.75 m, 3.5 m, 1.85 m y 2.3 m.

21. El área de un rombo es 22.5 m2 y una de sus diagonales mide 9 m. Calcular la otra diagonal.

7. Calcular el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 75 cm y 52 cm, y cada uno de los lados iguales mide 39 cm.

22. Calcular el área de un trapecio de 6 m de altura si sus bases miden 12.5 m y 8.75 m.

8. Calcular el perímetro de un trapecio rectángulo si sus bases miden 13 m y 10 m, y los lados no paralelos miden 4 m y 5 m.

23. Calcular el área de un trapecio si sus bases miden 1.43 m y 0.75 m, y la altura mide 0.875 m.

9. Calcular la medida de cada uno de los lados iguales de un trapecio isósceles que tiene un perímetro de 1.89 m y las bases miden 65 cm y 46 cm. 10. Calcular el perímetro de un cuadrado que mide 15 m por lado. 11. Calcular el perímetro de un polígono regular de cinco lados (pentágono) que mide 5 m por lado. 12. Calcular el perímetro de un hexágono regular que mide 2.50 m por lado. 13. Calcular el perímetro de un dodecágono regular que mide 0.30 m por lado. 14. Calcular el número de lados de un polígono regular si su perímetro es 16.25 m y el lado mide 1.25 m. 15. Calcular el área de un cuadrado que mide 18.7 m por lado.

24. El área de un trapecio es 562.5 m2 y las bases miden 28 m y 17 m. Calcular la altura. 25. El área de un trapecio es 35 m2, su base mayor mide 28 m y su altura mide 1.55 m. Calcular su base menor. 26. Calcular el área de un pentágono regular mide 2.5 m por lado y 1.72 m de apotema. 27. Calcular el área de un hexágono regular que mide 5 m por lado y 4.33 m de apotema. 28. Calcular el área de un octágono regular que mide 6 m por lado y 7.24 m de apotema. 29. Calcular el lado de un hexágono regular que tiene 16.2 m2 de área y su apotema mide 2.16 m. 30. Calcular la apotema de un octágono regular que tiene 0.3168 m2 de área y su lado mide 3 m.

95

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4


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la aplicación del método del paralelogramo para obtener la resultante de dos fuerzas concurrentes de la sección Aplica lo que sabes, de la página 83. Nombre del alumno:

Criterio

Presentación

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo


Dominio del tema

11. Conoce y aplica correctamente el método del paralelogramo.

Conclusiones


14. Representa gráficamente el sistema de fuerzas en el plano.

96

12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Obtiene la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes.

15. Representa gráficamente el método del paralelogramo. 16. Representa gráficamente, a escala, el sistema de fuerzas, el método del paralelogramo y la resultante del sistema.

cumple sí

no

Observaciones


Coevaluación


Excelente (4)

Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Clasificación de los polígonos

Clasifica y nombra polígonos regulares e irregulares

Clasifica polígonos regulares e irregulares

Nombra algunos polígonos regulares e irregulares

No clasifica ni nombra polígonos regulares e irregulares

Propiedades y elementos de los polígonos

Identifica y define los elementos de los polígonos y las propiedades de sus diagonales

Identifica los elementos de los polígonos y las propiedades de sus diagonales

Identifica los elementos de los polígonos

No identifica ni define los elementos de los polígonos, ni las propiedades de sus diagonales

Relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares

Identifica y define los ángulos de los polígonos y determina la suma de los ángulos interiores y exteriores

Identifica los ángulos de los polígonos y determina la suma de los ángulos interiores y exteriores

Identifica los ángulos de los polígonos

No identifica ni define los ángulos de los polígonos, ni determina la suma de los ángulos interiores y exteriores

A continuación te presentamos la siguiente rúbrica para evaluar la investigación grupal de la página 84 sobre el uso del agua en tu casa: Niveles Aspectos a evaluar

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Entrega del trabajo

Lo entrega en tiempo y forma, está limpio y cubre el orden establecido.

Lo entrega a tiempo, pero no como se solicitó.

No lo entrega en el tiempo establecido, está un poco desordenado.

Lo entrega en tiempo desfasado al establecido, de forma desordenada y sucia.

Plantea de forma clara y adecuada, pero es muy breve, no abarca la importancia de la información, ni la relaciona.

Comente errores al plantear el tema, es muy confusa.

No desarrolla la introducción.

Introducción

Plantea clara y adecuadamente el tema de la investigación, así como su importancia y relación con la vida actual y cotidiana.

Contenido

Desarrolla el tema en su totalidad, con buen nivel de profundidad y detalles, relaciona la información con ejemplos concretos. Muestra un claro conocimiento de los contenidos.

Desarrolla la mayor parte del tema, aunque no profundiza en detalles. Menciona ejemplos pero no están del todo relacionados con la información presentada. Muestra un conocimiento básico de los contenidos.

Sólo desarrolla la información esencial, no profundiza ni menciona ejemplos. Confunde algunos contenidos.

Integra el mínimo de información, no profundiza ni relaciona la información. Comete muchos errores sobre los contenidos.

Maneja adecuadamente toda la información, la relaciona con el tema de la investigación, provee diversas ideas y ejemplos.

Maneja en forma general la información, la relaciona con el tema pero no proporciona ideas ni ejemplos.

Maneja el mínimo de la información requerida, confunde los temas y los relaciona de forma equivocada. Se le dificulta realizar ejemplos o dar ideas al respecto.

Utiliza mal la información, la confunde y comete errores al establecer cualquier tipo de relación.

Deduce conclusiones a partir de la información obtenida en su investigación y de los conocimientos aprendidos.

Concluye a partir de la información del texto, justifica sus ideas.

Relaciona la información con sus conocimientos pero no puede argumentar su postura con los datos que se establecen en la investigación.

No compara los contenidos del texto con sus conocimientos.

Maneja gran variedad de fuentes de consulta, son confiables y están actualizadas.

Manejo diversas fuentes de consulta, son confiables pero no todas están actualizadas.

Su manejo de fuentes de consulta es limitado, no son totalmente confiables ni están actualizadas.

Es escaso el manejo de fuentes de consulta.

Calidad

Conclusiones

Referencias bibliográficas

97

Empleas la circunferencia Tiempo asignado:

8 horas

5

B LO Q U E Objetos de aprendizaje 5.1 Circunferencia

Rectas y segmentos Ángulos Perímetro y área


n

n

Expresa ideas y conceptos de elementos asociados a la circunferencia como: rectas, segmentos, ángulos, perímetros y áreas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, aplicando los conocimientos para resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus elementos asociados. Construye y diseña modelos de circunferencia y sus elementos asociados probando la validez de los conocimientos adquiridos.

n

n

n

Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para investigar información de la circunferencia y sus elementos. Consulta las fuentes de la información disponibles para localizar contenidos sobre la circunferencia y sus elementos. Propone la manera de solucionar problemas de circunferencia, con/ sin elementos como: rectas, segmentos y ángulos, ya sean teóricos o contextuales, definiendo pasos específicos para lograrlo.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Un círculo es: 2. Una circunferencia es: 3. Identifica las líneas de la siguiente figura:

4. En una circunferencia el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por dos cuerdas se llama:

C

B

A

D

D

E

C

B

A

C

B D

A

5. Calcula el área de la región sombreada de la siguiente figura:

12

16

Desempeños por alcanzar n

n

Aporta puntos de vista en la interpretación y solución de problemas de la circunferencia y considera los de otras personas de manera reflexiva. Asume una actitud constructiva con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Reconoce y distingue los diferentes tipos de rectas, segmentos y ángulos asociados a la circunferencia. Emplea las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como: radio, cuerda, arco, secantes y tangentes en la resolución de problemas. Resuelve ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia.

BLOQUE

5


Situación didáctica Una mesa para jardín tiene forma circular. Por el centro de ella se desea pasar un tubo como soporte de una sombrilla que la cubra.


¿Cómo lo resolverías? Si únicamente se dispone de una escuadra, ¿cómo se puede determinar el centro de la mesa?




¿Qué es una cuerda de circunferencia?


¿Qué es una mediatriz de un segmento de recta?



¿Qué propiedad tienen las mediatrices de las cuerdas de una circunferencia?

Trabajo individual

En este ejemplo:

Producto a elaborar

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione concep-

Rúbrica Para determinar el centro de la mesa que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-


Modelo de mesa circular en la que se determina su centro utilizando una escuadra únicamente.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de su calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.


Traza varios ángulos inscritos en una misma semicircunferencia y determina la medida de cada uno de ellos. Explica el por qué de ese resultado.

100



Cada equipo debe investigar: ¿Qué es un ángulo inscrito en una circunferencia? ¿Cómo se determina la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia? ¿Cómo se trazan ángulos inscritos en una semicircunferencia? ¿Cuál es la medida de cada ángulo?


Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

¿Por qué tienen esa medida?

Trabajo individual

Producto a elaborar


Modelo de una semicircunferencia con ángulos inscritos en ella.

Rúbrica Para determinar la medida de los ángulos inscritos que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de su calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

101

BLOQUE

5


Propuestas de diseño para situaciones didácticas 1. Expresa el concepto de circunferencia.

9. Si ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, halla:  a) /A si a 5 100° y c 5 200° b) /A si AB ' BC y a 5 100° c) /A si AC es un diámetro y a 5 100°

2. Proporciona el concepto de círculo. 3. Traza una semicircunferencia de radio igual a 2 cm.

d) /A si AC es un diámetro y a:b 5 3:2

4. Traza un círculo de radio igual a 2 cm.

e) /B si ABC 5 235°   f ) /B si a 1 b 5 3 c   g) /B si a 5 75° y c 5 b  h) /C si AB ⊥ BC y a 5 b

5. Expresa el concepto de: a) radio b) cuerda

  1 i) a si a 5 2b y b 5 c 2     b y c si b : a : c 5 1 : 2 : 3 j) a,

c) diámetro d) tangente e) secante 6. Da el nombre que corresponde a cada una de las líneas.

B a

7. Proporciona el concepto de:

b

a) ángulo central b) ángulo inscrito c) ángulo interior

A

d) ángulo exterior

C

8. Da el nombre que corresponde a cada uno de los siguientes líneas: c

a) AB ABes: es: CD es: es: b) CD OE es: es: c) OE EF es: es: d) EF es: e) IJIJ es: GH es: es: f ) GH C

B

A E I G

102

D F

O J

H


La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes

5.1 Circunferencia Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo, aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente.

Rectas y segmentos Dentro de los elementos de la circunferencia se dan a conocer las líneas notables. AB

cuerda

CD

diámetro

EF

secante

GH

tangente

OI

radio

B

A

I C

C

O E

G

F P

H

Figura 5.2

x

x

Radio. Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Circunferencia

Círculo

Figura 5.1

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo que se llama centro de la circunferencia. El círculo es la superficie del plano limitado por una circunferencia. Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por ello sólo tiene longitud, mientras que el círculo es una superficie y, por tanto, tiene área. La circunferencia o círculo se representa con el símbolo ( y la diferencia se obtiene del contexto. El concepto de p se aplica en la transformación de medidas angulares.

Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Arco. Es una parte de la circunferencia. Un arco se representa con el símbolo que se lee “arco”. Tangente. Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama punto de tangencia o punto de contacto. Secante. Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes). Observa que el radio, la cuerda y el diámetro son segmentos de recta, mientras que la secante y la tangente son rectas. C A

AC arco AC B

O

ACB arco ACB

Actividad de aprendizaje Circunferencia es:

BC arco BC CAB arco CAB

Semicircunferencia

Actividad de aprendizaje Semicírculo

Círculo es: Figura 5.3

Semicircunferencia. Es el arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia. 103

BLOQUE

5


Arco menor. Es aquel que mide menos que una semicircunferencia. Arco mayor. Es aquel que mide más que una semicircunferencia. En la figura 5.3, AC y ABC son, respectivamente, un arco menor y un arco mayor. El uso de tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos. ACB es una semicircunferencia.

Calculó un valor más aproximado de p (pi), el área de la elipse, el volumen del cono, de la esfera, etc. Estudió la llamada espiral de Arquímedes que sirve para la trisección del ángulo.

En lo sucesivo, la palabra arco se referirá a un arco menor, a menos que se especifique lo contrario. Semicírculo. Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la semicircunferencia correspondiente.

Rectas tangentes a un círculo Construye la tangente a una circunferencia dada en un punto determinado de ella. Sean la circunferencia O y un punto P de ella.

Sean la circunferencia ( O y un punto P exterior a ella. 1. Traza el segmento OP.

1. Traza y prolonga el radio OP.

2. Se determina el punto medio OP.

2. En P se aplica la primera construcción y se determina AB.

3. Con centro en M y radio OM, traza una circunferencia que corte a la circunferencia dada en los puntos A y B.

AB es la recta tangente a la circunferencia O en el punto P, que es el punto de tangencia. A

4. Traza las rectas PA y PB, que son las tangentes a la circunferencia dada. A

O

O

P

M

P

B B

Figura 5.5

Figura 5.4

Observa que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Construye una tangente a una circunferencia dada desde un punto exterior a ella.

Ángulos En el caso de los ángulos notables se muestran los teoremas con los que se deducen las fórmulas para calcular sus respectivas medidas. A

B

Para tu reflexión

104

.

A

Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) Estudió en Alejandría. Era un genio técnico con una mentalidad práctica que lo llevó a investigar problemas de orden físico y resolverlos por métodos nuevos. Por esto, después de grandes disputas con los euclidianos, se retiró a Siracusa donde puso sus descubrimientos al servicio de la técnica.

B

O.

C Ángulo central

Ángulo inscrito


B C

D

C

E .

.

A E

D

A

B Ángulo interior

Ángulo exterior

Figura 5.6

Ángulo central. Es aquel que está formado por dos radios. El  BC   a la cuerda AB. También se ∠AOB intercepta o subtiende al  AB o AC BD DE   BC  DE  AB está ACcomprendido BD entre los lados del ángulo. dice que el arco 

La unidad para medir los ángulos es el grado que, como ya se ha dicho, equivale a la amplitud de rotación de una semirrecta que gira 1 de vuelta alrededor de su origen. 360 1 de vuelta es un grado, unidad angular. 360 1 de circunferencia es un grado, unidad de arco. 360 Actividad de aprendizaje Cuántos grados mide un ángulo central de: Un cuarto de vuelta:

Ángulo inscrito. Es aquel que está formado por dos cuerdas y tiene su vértice sobre la circunferencia. Un ángulo está inscrito en un Media vuelta: arco, cuando tiene su vértice en el arco y los lados pasan por los extremos de éste. El ∠B es un ángulo inscrito, sus lados son las cuer  BC  DE  ABel  AC . BD das AB y BC. El ∠B está inscrito en el ∠ABC y subtiende Tres cuartos de vuelta: Ángulo interior. Es aquel que está formado por dos cuerdas que se cortan. El ∠AEC (o bien su opuesto por el vértice ∠BED) es      son  los   un ángulo interior, donde arcos comprendidos AB AB  AC ACyBD BD BC BC DE DE entre sus lados. El ∠AED (o bien opuesto por el vértice ∠BED) es un ángulo interior. AD y BC son los arcos comprendidos entre sus lados.

La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus lados.

Ángulo exterior. Es aquel que está formado por dos segmentos secantes que se cortan en un punto fuera del círculo. El ∠A es un      BC  yDE   son los arcos comprendidos entre sus ángulo exterior, AB AB  AC AC BD BD BC DE lados.

Observa que la igualdad se ha establecido entre medidas, es decir, entre cantidades, pues ángulo y arco son conceptos diferentes. Teorema: todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad de la del arco comprendido entre sus lados.

Medida del ángulo central

Plan: consideremos los tres casos que se presentan en las figuras. C

C

Un ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus lados. A

O

D

A

O

B

B C Figura 5.7

Actividad de aprendizaje En una circunferencia sus ángulos notables son:

Hipótesis: ∠BAC es un ángulo inscrito

A

O

B D

Tesis: ∠BAC 5

BC 2

Figura 5.8

Caso I: Cuando uno de los lados del ángulo es un diámetro, traza el radio OC y compara ∠BAC y ∠BOC. 105

BLOQUE

5

Ejercicios

Empleas la circunferencia CI Afirmaciones

Razones

1. ∠BAC es un ángulo inscrito en la circunferencia de centro O.

1. Por hipótesis.

 de la ( O.  radio 2. OC BC


 1 DC  DC  1 DB   5BD   DB  BD 3. /A /CDC BC

3. Por ser ángulos opuestos a lados iguales de un triángulo isósceles.

2

2

2

  4. /BOC 5 BC OC

2

2

2

 1 DC  DC  1 DB   BD  DC  DB  BD BC 2 2 2 2 2  2 BC OC

5. /A 1 /C 5 ,BOC

4. La medida de un ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados. 5. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes a él.

 1 DC  DC  1 DB  BD  DC  DB  BD BC 6.Por las afirmaciones 3 y 4, y operaciones. 2 2 2 2 2 2  1 DC  DC  1 DB   BD  DC  DB  BD BC 2 2 2 2 2 2 Ejercicios CII   OC 6. 2/A 5 BC

/A 5

Afirmaciones

Razones

1. ∠BAC es un ángulo inscrito en ( O.

1. Por hipótesis.

O. la ( 2. AD esOC diámetro de  OC  BC BC


   1 DB       1DB  BD 11DC  DC  BD  BC  BD  DC BD DC DC DB BC DC DB , /DAC 5 22 2 2 2 22 22 2 2 2

3. /BAD 5

3. Demostración del caso I.

5 /BAD 1/DAC  BC 4. /BAC OC


 1 DC  DC  1 DB   BD  DC  DB  BD BC     2 2 OC 2 BC 2 2 BC 2 OC

5. /BAD 1 /DAC 5 6. /BAC 5 Ejercicios

5. De la afirmación 3.

11DB  DC  1 DB 6. De las afirmaciones 4 y 5. DC     DB  BD   DC  BD  DC BC BD BD DC 1 DC DB BC , /A 5 22 2 2 2 2 22 22 22

CIII Afirmaciones

1. ∠BAC es un ángulo inscrito en ( O.

1. Por hipótesis.

2. Es de la ( O.   diámetro


OC BC OC BC

  BC OC

Razones

   1 DB    1  DC  DB 1 DB  BD  BD  DC   BD 1DC DC DC DB BC BD DC BC , /DAB 5 2 2 2 22 2 2 2 2 2

3. /DAC 5

 1 DC  DC  1 DB   BD  DC  DB  BD BC 4. /DAC – /DAB 5  2 BC   2 2 2 2 2 BC OC OC

5. /BAC 5

106

3. Demostración del caso I. 4. Por construcción.

DC    11DB  DC  1 DB   BD  DC BC BD  DB  BD   DC 1 DC BD DC BC DB 5. De las afirmaciones 3 y 4. , /A 5 2 2 22 22 22 22 2 2


Caso II: Cuando el centro de la circunferencia está en el interior del ángulo, traza el diámetro AD, aplicando la demostración del caso I y también la igualdad siguiente: ∠BAC 5 ,∠BAD 1 ∠DAC

Teorema: Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. Hipótesis:

Caso III: Cuando el centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo, traza el diámetro AD, aplicando la demostración del caso I y también la igualdad siguiente: ∠BAC 5 ∠DAC 2 ∠DAB

Tesis:

∠AEC es un ángulo formado por las cuerdas AB y CD que se cortan en E. E

Corolario 2. Todos los ángulos inscritos que comprenden un mismo arco o arcos iguales son iguales.

AC BD 2

B

C

Corolario 1. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

/AEC 5

.

A

D

Ejemplo

Si / x 5 110°, halla / y Figura 5.10

Solución:

Plan: Traza la cuerda AD para construir dos ángulos inscritos y usa la propiedad del ángulo exterior de un triángulo.

∠x 5  AB , por tanto,  AB 5110 °   5DE  AB 5 AC BC BC 5  180°BD – 110° 70° ABC –  BC 70 ° ∠y 5 5 535 ° 2 2


B

¿Cuánto mide un ángulo inscrito que subtiende una semicircunferencia? A

y

x O

C

Figura 5.9

Ejercicios Afirmaciones

Razones

1. ∠AEC es un ángulo formado por las cuerdas AB y CD que se cortan en E.

1. Por hipótesis.

2. AD es una cuerda de la ( O.


     AC 1 BD AC 1BD BD 2 2 2 2 2  DE   DE   BC   BC BC DE DE 4. /AEC 5 ∠ADC 1 /BAD 2 2 22 2 2 2 2 22   BD BD        BDBD AC BD AC 1 BD 11 ACBDBDACAC AC 1BDC 5. /AEC 5  /AEC 5  2 25 2 2 BD 2 2  252BDC 2  BD 2 BC 2 BC DE   DE  BC DE BC DE  DE  BC  DE  BC 22 2 22 22 22 22 2 2 2 2    BD BD BD    BDC BDC  BD  5 BDC BD BD 55 22 2

3. /ADC 5

 AC 2  BC

, /BAD 5

3. Por ser ángulos inscritos. 4. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes con él. 5. De las afirmaciones 2 y 3.

107

BLOQUE



5




AC 1 BD Ejemplo

  AC 1 BD 2 100° 1 y 2    BC Si / x 5 85°, y  AC BD AD 100° 1 y 2     5 70° y AC BD BC AD  2 DE  2 BC Solución:  2 DE  BC 2   AC 1 BD  /x 5 2 BCD 2  2 BCD 100° 1 y y   1BC y  AC BD AD /85° 170° 5 100° 2 2 B  2 DE  BC C 2 x E  BCD . 100° 2

      AC 1 BD AC 1 BD AC 1 BD  2   2 2 1 BD AC 1 BD AC 100° 1 y 2 100 °1 y  100 °1 2y         i) BC 5 2 BC si / BD y 5 72° y  AC BD y AC AD BC y yAC AD BD AD 2100° 1 y 2 2 °1 y 100       siBC  j) BD 5 100°BC AD110°yy  AC 5BD AD  2 DE y 2AC /2yDE 2 BC   BC DE BC 2  2 DE   2 C 2BC 2 2 DE BC B  2 BCD   2 BCD BCD y x   2 BCD 2 2BCD 2

Figura 5.12

D

    AC 1 BD AC 1 BD 1. Si AB y CD   2 son cuerdas que se cortan en E, como se ilustra en   21BD AC AC1 BD la figura 5.12, halla:     100 ° 1 100 y ° 1 y   2 2 ACAC 1 BD BDysi  90° y BDAD 5BC 70° AD a)1 /x AC 5 yBD ACBC 100 100°22°1 1 BD   2 yy 2  AC AC 11 BD        60° cada uno. b) /xysiy  AC ACy BD BD miden BC BC AD AD   BC 2 BC   100 100 °221 °DE 1 y y 2 DE 2 2 AC AC 11 BD BD   BD BC   5BC 210° c) /xysiy AC AC1BD AD AD    2 BC BC 2 DE 2222DE   100 100 ° 1 ° 1 y1 2y1 2BD AC AC BD BC 1 BD  d) /x si BC y y AC AC BD AD AD 5 150°      BCD BCD 222 BC BC 2 DE DE 2 2 100 100 ° 1 ° 1 y y     2 2 CAC 11 BDBD        siBC /x 5 AD AD85°   2 2e)y2yAC 2AC1BDBDBC     BCD BCD BC BC 2 2 DE DE 2 2 100 100 ° 1 ° 1 y y     2 BD 2 C1 AC 1 BD         siBC /xAD 5 AD100°   2 fy) yACAC1BDBDBC   2BCD  2BC 2 DE DE 22 2BCD 00 100 °21 °1 y y2BC 2 BC 1  BC y y AC AC BD BD AD AD si /x 5 85°   2DE 2g)    22 2DE BC BC 2 00°212BCD yBCD 100 ° 1 y   y    si /xBD 5 60° h) BC y BCD AC BD y  AC AD BC AD 5 160°     2DE 2BCD 2 22 CBC 2 DE 22   2BCD 2 2 DE     2 DE 2 BCD C2 BC Ejercicios   22 2 CD BCD 2   22 CD BCD Afirmaciones 2 2 1. ∠A es un ángulo exterior de la ⊙ O.

4. 5.

108

        AC 1 BD AC 1BD BD AC AC BD BD es una cuerda de la ( O. 2 2 2 2 22        BC DE BC DE DE BC DE 2 , /DBE 52 /BDC 5 22 2 2 2 2 2   BD BD  /BDC   AC AC BDBD 11 /DBE 1 ∠ABD 5 AC BD AC   2 BDC 2252BDC 2 BD 2 5 BD  2 DE  2 BC DE BC  DE 2 BC BC DE  DE BC 22 /A 5 2 /A 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2  BD BD   BDC BDC  BD BD 55 2 2

D

y

Figura 5.11

3.

E

A

A

2.

.

2

  ACcortan 1 BD Teorema: Todo ángulo formado por dos secantes que se fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la2semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus° 1 lados. 100 y    BC y  AC BD A Hipótesis Tesis:2  2 DE  BC ∠A es un ángulo formado /A 5 2 por dos secantes que se  BCD cortan fuera de la ⊙ O. 2 D

C

.O

A

E

B Figura 5.13

Plan: Traza la cuerda BD para construir dos ángulos inscritos y usa la propiedad del ángulo exterior de un triángulo

Razones

1. Por hipótesis. 2. Por construcción. 3. Por ser ángulos inscritos. 4. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes con él. 5. De las afirmaciones 3 y 4.


  AC 1 BD Ejemplo

d

2 Si y 5 40°, 1 y /x.     100°halla y AC BD BC AD Solución: 2  2 DE  60° 100°– 40° BC /x 5 5 5 5 30° 2 2 2  BCD D C

2

x

y 100°

.

D

B

A a E

.

c C

b

  AC 1 BD Figura 5.15 2 °1 y Teorema: Todo ángulo formado por tangente y cuerda 100 (ángulo  y  AC BD semiinscrito) mide la mitad de la medida del arco subtendido2por la cuerda.  2 DE  BC Hipótesis: Tesis: 2

A

E

B Figura 5.14

2. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se ilustra en la figura 5.15, halla:  a) /A si c 5 90° y a 5 40°  b) /A si c – a 5 82°  c) /A si c 5 a 1 40° c d) a si 5 135° y /A 5 40°  e) c si a 5 60° y /A 5 40°  f ) c – a si /A 5 65°  g) a si c 5 a y 3A 5 25°  h) a si c 5 a y 2A 5 35°  i) /A si c – a 150°  j) /A si a : b c : d 1 : 2 : 3 : 4

AB es tangente en B a la ⊙ O. d

B

B

d C

.O

/B C B

.O

B

D A

D

A

 BCD 2

D

A

A

.O

.O

c

c

D

Figura 5.16

Plan: Traza el radio OB perpendicular a la tangente y OD ⊥ BC para obtener dos ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares, que por tanto son iguales.

Ejercicios Afirmaciones

Razones

1. OB ⊥ AB

1. El radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia.

    AC 1 BD AC BD 2. OD ⊥ BC    AC 1 BD AC BD


2 2 2 2 2 2  DE        2   BC DE BC DE AC BD 1 AC BD AC BD 222 2 2 AC 1 BD 2 2  2 22 2 2 22 4. /BOD2 5 BD  BD BC DE  BC  DE   DE  BC  BC DE  2 BDC 2   2 2 2 BD 2 52 2 2 2  5 BDC 2 5. BD   BD BD2   BDC BDC 5 5 BD 5 BD 5 , /A 6. /ABC 2 2  DE  BC  3. /ABC 5 ∢BOD BC

3. Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares y son de la misma clase son iguales. 4. La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus lados. 5. Todo radio perpendicular a una cuerda divide por la mitad al arco subtendido por dicha cuerda. 6. De afirmaciones 3, 4, 5.

109

BLOQUE

5


Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Dos tambores giran mediante un mecanismo conectado con una polea. Si los tambores deben girar en el mismo sentido, ¿cómo se debe colocar la banda en las poleas? Y si deben girar en sentido contrario, ¿cómo se debe colocar la banda en las poleas?

Concepto de p El numero p (pi) expresa la relación que existe entre la longitud de una circunferencia (C) y su diámetro (d), p define como la razón de C a d. C pπ5= donde C 5 pd o bien C 5 2 pr. d p un número real irracional, pues su expansión decimal no es un número decimal periódico, es decir, no se repiten los dígitos ni tiene fin, y, por tanto, π se puede expresar como el cociente de dos números enteros. Algunos valores aproximados de p son 3.1416, 22 3.14, y 3.1415926535. 7 Arquímedes utilizó polígonos regulares inscritos para encontrar un número real C al que llamó longitud de la circunferencia, y partió del supuesto de que el segmento de recta que une dos puntos es menor que cualquier curva o línea poligonal que una a esos mismos puntos. Entonces el perímetro pn de un polígono regular de n lados inscrito es menor que C y a medida que n crece, la longitud de pn crece, pero se mantiene siempre menor que C.

110

Arquímedes consideró los polígonos regulares circunscritos y supuso que el perímetro P de un polígono regular de n lados es mayor que C, para concluir que pn , C , Pn y que cuando n crece, Pn decrece pero es siempre mayor que C, de manera que cuando n es muy grande Pn – pn se aproxima a cero. Por este procedimiento Arquímedes consiguió la siguiente aproximación de p: 1010 1010 3 3 <<πpπ<<3 3 7171 7070 Considerando un hexágono regular inscrito en una circunferencia, sabemos que la medida del radio (r) es igual a la del hexágono (r 5 1). En la circunferencia de radio unitario (r 5 1); P 6 pπ = = = 3 . d 2 Considerando un hexágono regular circunscrito en una circunferencia de radio unitario, la longitud de un lado del polígono es 2 3 y, por tanto: 3  2 3 6  3  P π= = = 2 3 = 3 . 4641016 d 2 En la circunferencia de radio unitario C 5 2pr 5 2p. Considerando polígonos regulares de n lados, inscritos y circunscritos en la circunferencia de radio unitario, se encuentran los siguientes valores aproximados de p.

Número de lados del polígono regular n

Perímetro del polígono inscrito pn

Longitud de la circunferencia

Perímetro del polígono circunscrito, pn

6

2(3.0000000)

,C,

2(3.4641016)

12

2(3.1058265)

,C,

2(3.2151900)

24

2(3.1326325)

,C,

2(3.1596673)

48

2(3.1393546)

,C,

2(3.1460919)

96

2(3,1410369)

,C,

2(3.1427201)

192

2(3.1414569)

,C,

2(3.1418776)

384

2(3.1415625)

,C,

2(3.1416675)

768

2(3.1415883)

,C,

2(3.1416153)

1 536

2(3.1415918)

,C,

2(3.1415946)


Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

Ejemplos 1. Calcular la longitud de una circunferencia que mide 5 cm de radio. r 5 5 cm

C 5 2pr

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. Utilización del agua de lluvia: • ¿ uál es la media de litros de agua de lluvia por metro cuadrado al año en tu comunidad? • ¿ uántos metros cuadrados de super cie tiene el techo de tu casa o del edi cio donde vives? • ¿ uántos metros c bicos de agua se pueden recolectar anualmente en la casa o edi cio donde vives? • ¿ ómo podemos recuperar almacenar el agua de lluvia en el hogar, en la escuela? • ¿Qué uso podemos dar al agua de lluvia para ahorrar el consumo del agua potabale?

C 5 2 (3.1416)5

C 5 31.416 cm

5 10 (3.1416) 5 31.416 2. Calcular la longitud de una circunferencia que mide 5 cm de diámetro. d 5 5 cm

C 5 pd

C 5 (3.1416)(5)

C 5 15.708

5 15.708

Considerando el círculo como un polígono regular de un número ilimitado de lados, el área del círculo se puede obtener aplicando la Pa fórmula para los polígonos regulares, A 5 sólo que el perímetro 2 del círculo es la longitud de la circunferencia (P 5 C 5 2pr) y la apotema es igual al radio (a 5 r). Por tanto: Pa 2 (2pr)(r) A5 2 2pr2 A5 2 A 5 pr2

A5

El área de un círculo se obtiene multiplicando p por el cuadrado del radio.

Ejemplos 1. Calcular el área de un círculo que mide 5 m de radio. r55m

A 5 pr 2

A 5 (3.1416)(52)

A 5 78.54 m2

5 (3.1416)25 5 78.54

Perímetro y área Se ha establecido que p es la razón entre la longitud de la circunC ferencia y la longitud del diámetro, lo cual se expresa así: p 5 d entonces C 5 pd y como el diámetro es igual a dos radios (d 5 2r) C 5 2pr. La longitud de una circunferencia se obtiene multiplicando p por el diámetro, o lo que es lo mismo p por el doble del radio.

2. Calcular el área de un círculo si su circunferencia mide 18 p. C 5 18 p C 5 2 pr C 5 2pr 5 18 p A 5 254.4696 u2 A 5 pr 2 5 2pr 5 18p 2r 5 18 r59 A 5 pr 2 5 (3.1416)(92) 5 (3.1416)(81) 5 254.4696

111

BLOQUE

5


Aplicación de las TICs La circunferencia 1. Utiliza el navegador de tu preferencia y busca qué son las coordenadas cilíndricas. 2. Investiga: a) ¿Cómo se aplican para determinar la posición de un lugar en la Tierra? b) ¿Cómo se puede determinar la distancia entre Nueva York, EUA y Australia? c) ¿Cuál sería una posible ruta de vuelo? d) ¿Quién fue Eratóstenes?, ¿cómo determinó la medida de la circunferencia de la Tierra? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños Reconozco y distingo los diferentes tipos de rectas, segmentos y ángulos asociados a la circunferencia. Empleo las propiedades de los elementos asociados a una circunferencia como: radio, diámetro, cuerda, arco, secantes y tangentes en la resolución de problemas Resuelvo ejercicios de perímetros y áreas de la circunferencia.


112

1

2


3

Debo mejorar en…



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


1

2

3

4

5



113

BLOQUE

5



Apellido materno

    AC 1 BD AC BD 2 2 2  DE  BC  DE  BC 2 2 2 2 2    AC 1 BD 5BD 90°  y BD 5 70°, halla el valor de x y y. 2 2 BDC  5 BD    DE BC DE 2 2 2 2 2

Nombre

Grupo


1. Si  AC 2  BC 2  BD

  5 BDC     BD AC 1 BD 2. Si /x 5 85°, 2 AC 1BDAD 5 ? 2 2 2     BC DE BC DE 2 2 2 2 2     BD  AC 1 BD AC AC BD 2 2 2 2BDC    BD 5   siDE   y AD 5 2 BC 3. Halla BC /y BC 5 72°DE 22 2 2 2 C2 2   BD BD   5 BDC BD 2

x

  BD       ACBD 1 BD AC 1 BD AC AC BD AC 1 BD AC 2 2 2 2 22 2 2            5 25° 5. Hallar si 5 3 y BC DE BC BC DE DEBCBCDE DEBC /A DE 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 d    E BD BD BD B  BDC   a  5 BDC  5 BDC 5 BD BD BD 2 2 2

A

D

a

b

C

 BD 2  DE 2

B

  AC 1 BD 2   BC DE 2 2 2

y

  5 BDC BD 2D

A

6. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se ilustra, hallar: C

B x

y D

       AC 1 BD AC AC1 BD AC BD 2 2 2 2 2 2     5?    BC 4. Si BC 5DE 135°BC y /DE A 5 BC 40°, DE 2 2 2 2 2 2 2 22   BD BD    5 BDC  5 BDC BD BD 2 2

114

A

BC si / x 5 60° y /A 5 40°


7. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se ilustra, hallar: d

A

E

B

8. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se ilustra, hallar: d

a

A

E

B

a

D

D

a a b

C

b

C

 a si c 5 135° y /A = 40°

  a si c 5 2a y /A 5 35°

Coevaluación


Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

e ciente (1)

Propiedades de los elementos asociados a una circunferencia

Identifica y define los elementos asociados a una circunferencia

Identifica los elementos asociados a una circunferencia

Identifica algunos elementos asociados a una circunferencia

No identifica ni define los elementos asociados a una circunferencia

Características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia

Identifica y define las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia

Identifica las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia

Identifica algunas de las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia

No identifica ni define las características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia

115

BLOQUE

5


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre los dos tambores conectados con una polea de la sección Aplica lo que sabes, de la página 110. Nombre del alumno: Criterio

Presentación

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. as grá cas o dibu os auxiliares se elaboran de un tama o adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución ue se pide con la usti cación correspondiente

Desarrollo

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. e hace re erencia a las grá cas o diagramas auxiliares para apo ar la argumentación del escrito. e hace la re erencia bibliográ ca de las notas de niciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios eb cu a in ormación sea cient camente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

116

11. Conoce y aplica correctamente el concepto del movimiento de una polea. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Determina la posición de la polea de acuerdo al giro que se desea en los tambores conectados con ella.

epresenta grá camente el movimiento de una polea

epresenta grá camente la posición de la polea para ue los tambores giren en el mismo sentido.

epresenta grá camente la posición de la polea para ue los tambores giren en sentido contrario.

cumple sí

no

Observaciones


Autoevaluación

La Autoevaluación es una estrategia que te permite conocer y valorar tu progreso en el proceso de aprendizaje, también te ayuda a profundizar en gran medida en el autoconocimiento y comprensión de una actividad realizada; además de responsabilizarte de las acciones que realizas y de cómo las llevas a cabo, siendo el motor de motivación para futuros trabajos.

Autoevaluación para actividades de aprendizaje

Nombre del estudiante: Tiempo asignado:

Fecha:

Instrucciones: arca con una la respuesta ue t consideres ue re e a me or lo ue hiciste para resolver las actividades de aprendiza e

m

Logrado

Actitud.

1.

Leí correctamente todas las indicaciones.

2.

Atendí cada una de las instrucciones.

3.

Realicé todas las actividades que se solicitaron.

4.

Entregué en tiempo y forma todo lo que se solicitó.

5.

Resolví todos los ejercicios planteados.

6.

Logré hacer todo lo que pidieron en las actividades.

7.

Me gustaron todas las actividades.

8.

Aprendí resolviendo las actividades de aprendizaje.

sí

Puntuación máxima:

no

8 puntos

Puntuación obtenida: Comentarios:

117

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos Tiempo asignado: 11 horas

6


6.1 Funciones trigonométricas 6.2 Sistema sexagesimal y circular 6.3 Razones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos

6.4 Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º y 60º y sus múltiplos 6.5 Resolución de triángulos rectángulos


n

Interpreta, resuelve y explica problemas de conversión de grados sexagesimales a radianes y viceversa mediante el uso de los signos propios al sistema de medición. Hace una presentación en la que interpreta diagramas y textos de razones trigonométricas directas y recíprocas usando las TIC.

n

n

Explica, interpreta y resuelve situaciones propias del contexto generado de problemas con triángulos rectángulos mediante el uso de razones trigonométricas directas y recíprocas, así como funciones trigonométricas. Valora el trabajo en equipo para desarrollar habilidades operacionales en la resolución de problemas de su entorno que involucran la resolución de triángulos rectángulos.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Expresa 30° en radianes:

2. Expresa

p 12 en grados: 2 13

p 12 3. Dado cos A 5 encuentra el valor de las demás funciones trigonométricas: 2 13

4. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 12, A 5 49°:


A partir de la construcción de un triángulo equilátero, un isósceles y un cuadrado obtener las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45°, 60° y sus múltiplos.

Identifica diferentes sistemas de medida de ángulos. Describe las razones trigonométricas para ángulos agudos. Aplica las razones trigonométricas en ejercicios teóricos-prácticos.

BLOQUE

6




Las llantas de un automóvil son del mismo diámetro y giran 5 000 vueltas para recorrer una distancia de 3.556 km. ¿Cuáles son las medidas del diámetro y de la circunferencia de cada llanta?



preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


¿Qué es el diámetro de una circunferencia? ¿Cómo se calcula la longitud de una circunferencia?

Trabajo individual

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es

Rúbrica Para determinar la medida del diámetro y la longitud de la circunferencia que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de su calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

120


Producto a elaborar Cálculos para determinar la medida del diámetro y la longitud de la circunferencia de cada rueda.





¿Qué ángulo forma el Sol con el horizonte cuando un edificio de 27 metros de altura proyecta en el suelo una sombra de 35.1 metros?


Cada equipo debe investigar: ¿Cómo plantear el problema? ¿Qué datos se conocen y cuáles no?



¿Qué función relaciona los datos?


¿Cómo se resuelve el problema?


Rúbrica

En este ejemplo:

Producto a elaborar Representación gráfica del problema y de los cálculos.


Para determinar la medida del ángulo que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de su calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

121

BLOQUE

6



c)

d) D

Ejercicios

d

c

f

1. Expresa en radianes.

C

e

a) 0°

b) 30°

c) 45°

d) 60°

e) 90°

f ) 180°

g) 210°

h) 225°

i) 240°

j) 100°

k) 217°

l) 17°

m) 120°

n) 12°

o) 270°

p) 330°

q) 315°

r) 3°

s) 135°

t) 160°

u) 300°

d

e)

f) h

e q

f

h

2. Expresa en grados.

F

g

E

a)

p 2

b)

d)

p 4

e) p

g)

5p 4

h)

j)

7p 6

m) p) s)

e

p 6

c)

p 3

f)

3p 4

7p 4

i)

4p 6

h

k)

10p 6

l)

11p 6

G

2p 9

n)

5p 9

o)

7p 9

11p 9

q)

p 10

r)

p 12

p 15

t) 16p

h) g

b)

i

h i

H

j

i)

j)

i

h

1 3

u)

3. En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos, para el ángulo que se indica, identifica el cateto opuesto y el cateto adyacente. a)

g)

I

k

j

j

i

J

4. En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos, para el ángulo que se indica, identifica el cateto opuesto y el cateto adyacente. a)

b)

B c A

122

a b

c

a b

5

A

4

p

r

3

P

q


c)

d) 12

9

41

y

15

S

x

R

e)

f)

25

15

12

5

Y

20

13

g)

h) 89

Z

145

143

B

24

i)

j) M

61

77

36 85

60

11

5. Encuentra el valor de las demás funciones trigonométricas, dado:

d) g) j)

r) sen A =

1 2

u) csc A = 7 x) tan A = 3

12 cos A = 13 6 sec A = 1 7 cot A = 24 1 cot A = 5

m) tan A = 2 . 4

a) a =12

c 5 37

b) b =140

c) a = 25

b 5 60

d) c = 30 . 5 a 5 13.6

e) a = 63

c 5 65

f ) a = 65

b 5 72

g) a = 22

c 5 40

h) a = 40

b 5 200

i) a =17

b 5 26

j) c =193

b 5 95

c 5 149

7. Resuelve el triángulo rectángulo ABC, dados: 80

39

a)

61 11 1 t) cos A = 3 15 w) tan A = 8 q) sec A =

6. Expresa en forma decimal el valor de las funciones de los ángulos agudos A y B:

X

C

2 3 20 s) cot A = 14 3 v) cot A = 2 36 y) sen A = 85

p) sen A =

20 b) cot A = 21 12 e) sen A = 37

c) f)

h) sec A = 5

i)

k) csc A = 2 . 25

l)

n) tan A =1 . 25

12 tan A = 18 9 sen A = 41 89 sec A = 80 24 cos A = 145

o) csc A = 2

a) c = 54

A537 ° 40 9

b) c = 458

A564 °18 9

c) c =12

A549°

d) c = 278 . 5

B560 °30 9

e) c =100

B537 °12 9

f ) c = 415

A5 55 ° 43 9

g) c = 953

B567 °39 9

h) c = 469 . 4

A5 26 °12 9

i) c =138 . 5

B560 °12 9

j) c = 98

A5 73 °50 9

k) a = 67

A5 42 °30 9

l) b = 25

B557°

m) a =156

A5 49 °36 9

n) a = 245

A5 54 ° 40 9

o) a = 38

A5 42 ° 48 9

p) a =120

A561°

q) b = 261 . 7

A5 43 °21 9

r) b = 842

A5 79 °14 9

s) b =154

A563 °12 9 123

BLOQUE

6


t) b =120

A535 °20 9

8. Resuelve el triángulo rectángulo ABC, dados: a) a = 36

b = 58

b) a =18 . 9

b = 32

c) a = 425

b = 260

d) a = 672 . 3

b = 384 . 5

e) a = 214 . 6

b =187 . 4

f ) a = 412 . 5

b = 308

g) a = 384

b = 512

h) a = 45

b = 62

i) a =122

b = 97

j) a = 68

b = 35

k) c = 47

b = 33

l) c = 729 . 5

b = 617 . 5

m) c = 326

a = 28

n) c =156 . 8

a = 99 . 46

o) c = 89

a = 72

p) c =149

a = 51

q) c =137

b =105

r) c = 389

b =189

s) c =125 . 8

b = 59 . 2

t) c = 427 . 6

b = 351 . 4

depresión de un barco es de 17° 359. Calcula la distancia del barco al punto de observación.

f ) Encuentra la altura de un avión, si la sombra proyectada está a 156 m del pie de la vertical y el Sol está a 78° sobre el horizonte. g) Se observa desde lo alto de un faro que los ángulos de depresión de dos barcos en línea recta con él son de 14° y 9°, respectivamente; si la distancia del faro al primer barco es de 200 m, halla la altura del faro y la distancia de éste al segundo barco. h) Un asta bandera está fijada verticalmente en lo alto de un edificio. Desde un punto a 50 m del pie del edificio los ángulos de elevación al pie y a la punta del asta son de 21° 509 y 33° 039. Halla la medida del asta. i) Desde un avión que está a 180 m sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra población es de 10° 149. Calcula la distancia entre las dos poblaciones.

9. En cada problema halla los datos que se te piden. a) Una columna de 27 m de altura proyecta sobre el piso una sombra de 35.1 m. Halla el ángulo de inclinación del Sol. b) Calcula la altura de una torre si desde un punto situado a un kilómetro de la base se ve la cúspide con un ángulo de elevación de 16° 429. c) Una torre de 28.2 m de altura está situada a la orilla de un río. Desde lo alto del edificio el ángulo de depresión a la orilla opuesta es de 25° 129. Calcula el ancho del río. d) Desde lo alto de una torre de 37 m, los ángulos de depresión de dos objetos situados de un mismo lado y en la misma línea horizontal que el pie del edificio, son, respectivamente, 10° 139 y 15° 469. Encuentra la distancia entre los dos objetos. e) Desde la cumbre de un cerro de 300 m de alto, el ángulo de 124

j) Una escalera alcanza el borde de una ventana que está a 7.8 m del suelo y forma con la pared un ángulo de 29° 159. Encuentra la medida de la escalera.


Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo. Arquímedes

6.1 Funciones trigonométricas Entre los lados de un triángulo rectángulo podemos establecer seis relaciones por cociente o relaciones geométricas cuyo valor depende del ángulo respecto del cual se establecen. En el ángulo agudo POQ, A, C y E son tres puntos cualesquiera sobre el lado final OQ. Si se trazan desde dichos puntos AB, CD y EF perpendiculares al lado inicial OP, se forman los triángulos rectángulos AOB, COD y EOF que son semejantes por tener igual el ángulo agudo O.

6.2 Sistema sexagesimal y circular Angulares Son medidas expresadas en grados.

Circulares Conversión de medidas angulares En el sistema de medida circular o cíclica, se toma como unidad el ángulo cuya medida es la del arco de longitud igual al radio; este ángulo unidad se llama radián.

Q

∠AOB es un radián

E A

A las asignaciones que a cada ángulo asocian dichas razones se les da el nombre de funciones trigonométricas.

B

AB = r

C

r

O

O

B

D

F

r

A

P

Figura 6.1

Si comparamos por cociente dos lados de un triángulo con los lados correspondientes de otro triángulo cualquiera se obtienen en las siguientes razones iguales: AB CD EF = = = ... OA OC OE OB OD OF = = = ... OA OC OE AB CD EF = = = ... OB OD OF OB OD OF = = = ... AB CD EF OA OC OE = = = ... OB OD OF OA OC OE = = = ... AB CD EF Los valores de las razones cambian cuando varía la amplitud del ángulo, es decir, las razones son funciones del ángulo.

Figura 6.2

Como la longitud de la circunferencia es: C 5 2pr, si el radio r 5 1, entonces C 5 2p radianes. Por otra parte, C 5 360°. 2p 5 360° Dividiendo la igualdad entre 2p: 2p 360 ° 5 2p 2p 15

180 ° p

En decir, una unidad en la medida circular es un radián y éste equi1 180° radián vale en la medida común a 5 57° 179450. Así p 2 57°17 9 45 0 5 28° 389520 y dos radianes equivalen a 2 será igual 2 (57° 179450) 5 114° 359300. Para expresar la medida ordinaria de un arco expresado en medida cíclica se sustituye p por 180° y 1 por 57° 179450. 125

BLOQUE

6



Para tu reflexión

El ángulo cuya medida es la del arco de longitud igual al radio se llama

Hipócrates de Quío (450 a. C.) Fundó una escuela de Geometría. Sentó las bases del método de reducción, es decir, transformar un problema en otro ya resuelto. Inició el uso de las letras en las figuras de Geometría. Con él la Geometría dejó de ser una técnica y tomó el rango de ciencia deductiva, que había de culminar en Euclides.

Ejemplos

3p11 3(180 °)1 57 °17 9 45 0 5 5149 °19 9 26 0 4 4 1 p1 5180 ° 1 28 °38 9 52 0 5 208° 389520 2 Dividiendo la igualdad 2p 5 360° entre 360°, nos queda:

2p 360 ° 5 360 ° 360 p 51 180 ° Para expresar en medida cíclica un arco, en medida ordinaria, se multiplica esta medida por

p 180°

6.3 Razones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos Funciones trigonométricas directas Podemos observar que el valor de estas funciones depende únicamente de la magnitud del ángulo y es independiente de la longitud de los lados del triángulo rectángulo. En el triángulo rectángulo ABC, los lados que forman el ángulo recto, AC y BC, se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto, AB, se llama hipotenusa. Actividad de aprendizaje

 p  30 ° p p 30 ° 530 °  5 5  180 °  180 ° 6

En un triángulo rectángulo, ¿qué nombre reciben sus lados?

 p  150 ° p 5p 150 ° 5150 °  5 5  180º  180 ° 6 Dado que un radián es igual

B

180° el proceso inverso es: p

p p  180 °  180 ° 5  530 ° 5 6 6 p  6 5p 5p  180 °  5(180 ° ) 5  5150 ° 5 6 6  p  6

c

A Figura 6.3

126

a

b

C

a y b son catetos c es la hipotenusa


En el triángulo rectángulo ABC los lados se han designado con la misma letra, pero minúscula, del vértice del ángulo al cual se oponen. Así en el ángulo A, a es el cateto opuesto y b es el cateto adyacente, es decir, b es un lado del ángulo A. En el ángulo B, b es el cateto opuesto y a es el cateto adyacente, es decir, a es un lado del ángulo B. Los nombres de las funciones trigonométricas son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, que se denotan respectivamente por sen, cos, tan (tg), cot (ctg), sec y csc.

B

c

Figura 6.4

A

a

C

b

Estas funciones se definen de la siguiente manera: Seno de un ángulo agudo. Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.


Coseno de un ángulo agudo. Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

En un triángulo rectángulo, ¿cuál es el nombre de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo?

Tangente de un ángulo agudo. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Cotangente de un ángulo agudo. Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. Secante de un ángulo agudo. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Cosecante de un ángulo agudo. Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Si llamamos al cateto opuesto C.O., al cateto adyacente C.A. y a la hipotenusa Hip. Las seis funciones se pueden escribir así: sen =

C .O . Hip.

Hip. sec = C . A.

cot =

C . A. C .O .

C .O . tan = C . A.

cos =

C . A. Hip.

Hip. csc = C .O .

En el triángulo rectángulo ABC, las funciones trigonométricas del ángulo agudo A son: a sen A 5 c

Funciones trigonométricas recíprocas Recuerda que dos cantidades son recíprocas cuando su producto es igual a la unidad. Para un mismo ángulo agudo son funciones recíprocas el seno y la cosecante, el coseno y la secante, la tangente y la cotangente. Para el ángulo agudo A de la figura anterior se tiene que: sen A 3 csc A 5 1;

cos A 3 sec A 5 1;

tan A 3 cot A 5 1;

de donde: csc A =

1 sen A

sec A =

1 cos A

cot A =

1 tan A

1 csc A

cos A =

1 sec A

tan A =

1 cot A

o bien: sen A =

cos A 5

b c

tan A 5

a b

cot A 5

b a

Funciones trigonométricas de ángulos complementarios

sec A 5

c b

csc A 5

c a

Sabemos que en un triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios. En el triángulo rectángulo ABC las funciones trigonométricas de los ángulos agudos A y B son:

De las tres primeras funciones trigonométricas podemos obtener su valor en tablas en forma directa, mientras que las tres últimas las obtenemos a partir de los valores de sus recíprocas.

127

BLOQUE

6


sen A

a c

sen B 5

b c


cos A

b c

cos B 5

a c

¿Por qué se dice que el seno y la cosecante de un mismo ángulo agudo son funciones recíprocas?

tan A

a b

tan B 5

b a

cot A

b a

cot B 5

a b

sec A

c b

sec B 5

c a

c csc A a

c csc B 5 b

Actividad de aprendizaje En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo, ¿qué nombre reciben las funciones del ángulo complementario?

B

c

A

a

b

C

6.4 Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° y sus múltiplos Funciones de los ángulos de 30° y 60°

Figura 6.5

Como puedes observar, los valores de seno, tangente y secante son, respectivamente iguales al coseno, cotangente y cosecante de su ángulo complementario; mientras que el coseno, cotangente y cosecante de un ángulo agudo son, respectivamente, iguales al seno, tangente y secante de su ángulo complementario.

Si en un triángulo equilátero de lado igual a dos unidades se traza la bisectriz de uno de sus ángulos al lado opuesto, entonces el triángulo equilátero queda dividido en dos triángulos rectángulos congruentes, pues la bisectriz coincide con la mediana y la altura. C

Este hecho, de manera general, lo podemos expresar así:

30°

sen A 5 cos (90 ° 2 A )

√—5

2

2

cos A 5 sen (90 ° 2 A ) A

tan A 5 cot (90 ° 2 A ) cot A 5 tan (90 ° 2 A ) sec A 5 csc (90 ° 2 A ) csc A 5 sec (90 ° 2 A ) Las funciones del ángulo complementario de un ángulo dado se denominan cofunciones.

128

D

AD 5 DB 5 1 Figura 6.6

sen 30° 5

1 5 0.5000 2

sen 60° 5

3 5 0.8660 5 cos 30° 2

cos 30° 5

3 5 0.8660 2

60°

B


cos 60° 5

1 5 0.5000 5 sen 30° 2

tan 30° 5

1 3 5 5 0.5773 3 3

1 1 2 21 1 2 2 sec 45° 5 5 2 2 5 1.4142 22 221111

tan 60° 5

3 5 1

1 1 2 21 1 2 2 csc 45° 5 5 2 2 5 1.4142 22 221111

1 2 1 2 2 cot 45° 5 5 1 5 1.0000 2 2 1 1

3 5 1.7320 5 cot 30°

3 5 3 5 1.7320 1 1 3 cot 60° 5 5 5 0.5773 5 tan 30° 3 3 cot 30° 5

D

C 45° — √2

2 2 3 sec 30° 5 5 5 1.1547 3 3 sec 60° 5

2 5 2 5 2.000 5 csc 30° 1

A

2 5 2 5 2.0000 1 2 2 3 csc 60° 5 5 1.1547 5 sec 30° 5 3 3

45°

1

B

1

Figura 6.7

csc 30° 5

Mediante el uso de la tabla podemos calcular el valor numérico de expresiones como las siguientes: 1 1 a) cot 45° 1 sen 30° 511 51 51 . 5 2 2

Funciones del ángulo de 45°

1 1 1 1 Si en un cuadrado de lado igual a 1 se traza una diagonal, se obb) tan 45° sen 30° 2 cot 45° cos 60° 51? 21? 5 2 5 0 2 2 2 2 tienen dos triángulos rectángulos congruentes, pues la diagonal es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une. 1 1 1 1 tan 45° sen 30° 2 cot 45° cos 60° 51? 21? 5 2 5 0 2 2 2 2 1 1 2 21 1 2 2 5 5 0.70712 2 sen 45° 5 1 22 221111 2? ? 3 sec 45° cos 60° cot 30° 2 1 1 2 21 1 2 2 c) 51 5 cos 45° 5 5 5 0.70712 2 sen 30° tan 60° csc 4 5° 1 ? 3 ? 2 22 221111 2 1 2 1 2 Con los valores de las funciones de 30°, 60° y 45° se forma la si2 tan 45° 5 5 1 5 1.0000 2 2 1 1 guiente tabla:

Ángulo

sen

cos

tan

cot

sec

csc

30°

1 2

1 3 2

1 3 3

3

2 3 3

2

45°

1 2 2

1 2 2

1

60°

1 3 2

1 2

3

1 1 3 3

2

2

2 2 3 3

129

BLOQUE

6


Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Dos fuerzas de 200 y 300 kg se aplican en un punto y forman un ángulo recto. Determina la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que ésta forma con la fuerza mayor.

Determinación de los valores de las funciones de un ángulo agudo, dado el valor de una de ellas

sen A =

5 = 0 . 3846 13

cot A =

12 = 2 . 4000 5

cos A =

12 = 0 . 9231 13

sec A =

13 = 1 . 0833 12

tan A =

5 = 0 . 4167 12

csc A =

13 = 2 . 6000 5

2. Si la sec A = 6 obtén las demás funciones: Solución:

sec =

Si en un triángulo rectángulo se conocen dos de sus lados, el valor del tercero se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras. Por ello, conocido el valor de una función de un ángulo agudo, por definición se conocen dos lados del triángulo, y previo cálculo del valor del tercero se pueden establecer los valores de las demás funciones.

6 hipotenusa entonces sec A = 6 = 1 cateto adyacente B

12 1 a2 5 62 a2 5 62 – 12 c=

2 2 a 5 6 –1

Ejemplos

a=

a 5 36 – 1 a 5 35

5 = encuentra el valor del lado desconocido y ob1. Dado sen A 5 13

A

Solución:

35 = 0 . 9860 6

sen A =

Por definición, seno es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, entonces sen A 5=

5 es una función que corresponde 13

1 6

cos A = = 0 . 1666

entre otros a un triángulo rectángulo en el que el cateto opuesto al A es igual a 5 y la hipotenusa es igual a 13.

35 = 5 . 9161 1

tan A =

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

1 35 = = 0 . 169 35 35

cot A =

6 1

sec A = = 6 = 6 . 0000 csc A =

6 6 35 = = 1 . 0142 35 35

Solución:

b2 5 132 2 52 b 5 13 – 5

C

3. Dado csc A = 2 2 obtén las demás funciones

52 1 b2 5 132 2

b=1

Figura 6.9

tén las demás funciones.

2

B

b 5 169 – 25 b 5 144 b 5 12

c=

csc AA = csc

hipotenusa 2 2 entonces csc A = 2 2 = 1 cateto opuesto B

13

a=5 c=

A

b=

—2 2√

a=1

C

Figura 6.8

Las funciones del ángulo A quedan expresadas así:

130

6

A

b= Figura 6.10

C

b 2 112 5(2 2 )2 2 b 22 1 21)22 51(22 52(2)2 2 bb 251 21)2 5(1(28522(12))22 2 2 2 ( ) 2 bb 255 2 2 1(1 8752 )(12) 21) 2 2 2 bb 5 )21)) 21 55(( (2872 ) 1) b 5( 872 b 5( 7 )


1

sen A =

2 2

=

2 = 0 . 3535 4

7 cot A = = 7 = 2 . 6457 1 cos A =

14 7 = = 0 . 9354 2 2 4

sec A =

2 2 2 14 = = 1 . 069 7 7

tan A =

7 1 = = 0 . 3779 7 7

csc A =

2 2 = 2 2 = 2 . 8284 1

Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. Población y consumo de agua: • ¿Qué relación encuentras entre el aumento de la población mundial y el consumo de agua?

6.5 Resolución de triángulos rectángulos En un triángulo rectángulo se tienen cinco elementos fundamentales: los ángulos agudos y los tres lados. Cuando se desconoce la medida de uno de los dos ángulos agudos, ésta se puede determinar restándole a 90° el valor del ángulo conocido. Si se conocen dos elementos fundamentales de un triángulo rectángulo, que no sean dos ángulos, es posible resolver el triángulo, es decir, se pueden calcular los valores de los demás elementos. En general se presentan dos casos: a) Cuando se conocen un lado y un ángulo. b) Cuando se conocen dos lados. La resolución se hace con aplicación de algunas de las cuatro primeras funciones o con el teorema de Pitágoras. Conociendo un lado y un ángulo agudo se puede resolver un triángulo rectángulo. Ejemplos 1. Resuelve el triángulo rectángulo ABC si ∠ A = 65 °20 '

c = 75 m

Datos

Incógnitas

∠B =

∠C 590°

• ¿Qué medidas concretas podemos adoptar para reutilizar el agua?

589 °60 9265 °20 9 5 24 ° 40 9

b= a c c sen A = a

c sen A = b

75 sen 65 °20 9 = a

75 sen 65 °20 9 = b

=a 75(0 . 9088)= 68 . 16 = a

75(0 . 4173)= b

b cos A = c

sen A =

• ¿Qué ha ocurrido con el consumo de agua para usos industriales? • ¿Qué ocurre con la excesiva extracción del agua subterránea (cuando la extracción supera la reposición)?

a=

∠A565 °20 9 c = 75 m

• ¿Qué ha ocurrido con el consumo humano de agua?

∠ B 5 90° 2 ∠ A

• ¿Qué tratamientos se le pueden dar al agua para reutiliazarla?

31 . 30 = a B

c=

A

65°

75

a=

20’ b=

C

Figura 6.11

Solución: ∠B5 24 ° 40 9;

a 5 68.16 m;

b 5 31.30 m

131

BLOQUE

6


2. Resuelve el triángulo rectángulo ABC si a = 32 . 45 m y LA 5 29° 189 Datos

Incógnitas

∠C 590°

∠B =

∠A5 29 °18 9 a = 32 . 45 m

∠ B 5 90° 2 ∠ A 589 °60 92 29 °18 9

b= c=

560 ° 42 9

a =a sen sen A A= c c = cc sen A a sen A = a

c sen A = a

45 . 2 20 . 5 tan A = 2 . 204 tan A =

a sen A 45 . 2 c= sen 65 °36 9 45 . 2 c= 0 . 91 0 7 c = 49 . 63 m c=

∠ A = 65 °36 9 ∠ B = 90 ° 2 ∠ A = 9 0 °65 °36 9 ∠ B = 24 °24 9

B

aa cc = = senA senA 32 . 45 cc = 32 . 45 = sen 29 °18 9 sen 29 °18 9 33 22 .. 45 45 cc = = 0 . 4894 0 . 4894 c = 66 . 3056 c = 66 . 3056

b cot A = a

c=

a = 45.2

a cot A = b 32 . 45 cot 29 °18 9 = b 32 . 45(1 . 7 82) = b 57 . 8259 = b B

A

b = 20.5

Figura 6.13

Solución: ∠A565 °36 9;

/B 5 24° 249 m;

A

29°

a = 32.45

Incógnitas

∠C 590° a = 279

∠A = ∠B = b=

b = 521

18’ b=

C

Figura 6.12

Solución: ∠B560 ° 42 9; b 5 57.83 m; c 5 66.31 m Conociendo dos lados se resuelve el triángulo rectángulo.

a c 279 sen A = 521 sen A = 0 . 5355 sen A =

b cos A = c

A = 32 °23 9 ∠ B = 9 0 ° 2∠ A = 90 ° 232º 23 9

Ejemplos

∠ B = 57 °37 9 1. Resuelve el triángulo ABC si a = 45 . 2 m y b 5 20.5 m. Datos

Incógnitas

∠C 590°

∠A =

a = 45 . 2 m

∠B =

b = 20 . 5 m

c=

∠ A = tan A =

a b

Solución: ∠A532 °23 9;

c cos A = b 521 cos 32°239 = b 521(0 . 8445) = b 439 . 98 = b

/B 5 57° 379 m;

b 5 439.98

B

c=

a sen A = c A Figura 6.14

132

c 5 49.63 m

2. Resuelve el triángulo rectángulo ABC si a = 279 y c = 521. Datos

c=

C

521

b=

a = 279

C


Ángulos de elevación y de depresión Al aplicar la resolución de triángulos rectángulos a problemas de orden práctico generalmente se hace referencia a ángulos llamados de elevación y de depresión. Llamaremos visual a la línea recta que va del ojo del observador al objeto observado.

Actividad de aprendizaje Determina la altura de un edificio a partir de la sombra que proyecta sobre el suelo, en comparación con tu propia sombra en un determinado momento del día.

Ángulo de elevación en el que forma la horizontal con la visual que se halla por encima de la horizontal y en el mismo plano vertical. Ángulo de depresión en el que forma la horizontal con la visual, el cual se halla por debajo de la horizontal y en el mismo plano vertical.

A

B

Figura 6.15

En la figura 6.15, la persona A observa a la persona B con un ángulo de depresión, mientras que la persona B observa a la persona A con un ángulo de elevación.

133

BLOQUE

6


Aplicación de las TICs Medidas circulares 1. Utiliza el navegador de tu preferencia y busca qué es una medida circular. 2. Investiga: a) ¿Cómo se expresan? ¿Para qué se utilizan? b) Si un satélite artificial gira alrededor de la Tierra, ¿cómo se puede determinar la distancia recorrida en un intervalo de tiempo determinado?

Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños Identifico diferentes sistemas de medida de ángulos. Describo las razones trigonométricas para ángulos agudos. Aplico las razones trigonométricas en ejercicios teóricos prácticos.


134

1

2


3

Debo mejorar en…



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


1

2

3

4

5



135

BLOQUE

6



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. Expresa 300° en radianes:

6. Dado sec A 5 5 encuentra el valor de las demás funciones:

2. Expresa 120° en radianes:

7. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados a 5 120, A 5 61°:

3. Expresa

5p en grados: 4

4. Expresa

7p en grados: 3

5. Dado csc A 5 7 encuentra el valor de las demás funciones:

136

8. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 98, A 5 73° 509:

9. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 149, a 5 51:

10. Resuelve el triángulo rectángulo ABC dados c 5 47, b 5 33:


Rúbrica

Rúbrica para evaluar el desempeño del debate en plenaria. Nombre del alumno:

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Presentación

Utiliza de manera convincente el tono de voz, Gestos o entusiasmo. Mantiene una buena postura frente al grupo.

Utiliza de manera convincente dos elementos de tono de voz, gestos o entusiasmo. Mantiene una buena postura frente al grupo.

Utiliza de manera convincente sólo un elemento en tono de voz, gestos o entusiasmo. Mantiene una postura aceptable ante el grupo.

No utiliza de manera convincente el tono de voz, los gestos ni el entusiasmo. Mantiene mala postura y mala ubicación frente al grupo.

Organización y claridad

Todo el tiempo expresa sus puntos de vista de manera clara y ordenada. Muestra organización en el intercambio de ideas.

En algunos momentos expresa sus puntos de vista de manera clara y ordenada. Muestra organización en el desarrollo de ideas.

En algunos momentos expresa sus puntos de vista de manera clara, pero no de manera ordenada. No muestra organización en el desarrollo de ideas.

No expresa sus puntos de vista. No hay organización en el intercambio de ideas.

Ejemplificación

Argumenta la posición de su equipo con información suficiente y refuerza la postura con ejemplos en todo momento.

Argumenta la posición de su equipo pero con información insuficiente. Sólo refuerza con escasos ejemplos.

Presenta algunas evidencias para defender la postura de su equipo. No maneja ningún ejemplo de refuerzo.

No presenta evidencias para la defensa de la postura de su equipo. No presenta ejemplos que refuercen las ideas.

Calidad y cantidad de información

Presenta información suficiente, adecuada y sustentable para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario.

Presenta información adecuada y sustentable pero insuficiente para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario.

Parcialmente presenta información suficiente para rebatir las ideas y opiniones del equipo contrario.

No presenta información suficiente o adecuada para rebatir las opiniones del equipo contrario.

Coherencia

Muestra coherencia en sus comentarios, denota su conocimiento sobre el tema. Maneja los términos adecuados y correctos.

Muestra coherencia en sus comentarios y denota conocimiento del tema. Maneja parcialmente los términos adecuados y correctos.

Muestra parcial coherencia en sus comentarios. Denota mínimo conocimiento del tema. Maneja algunos términos adecuados y correctos.

No muestra coherencia en sus comentarios. No maneja los términos correspondientes o adecuados.

Respeto

Respeta todo el tiempo las opiniones del equipo contrario. No interrumpe, no critica ni insulta a sus compañeros.

La mayor parte del tiempo respeta las opiniones del equipo contrario. No interrumpe, no critica ni insulta a sus compañeros.

Algunas veces no respeta la opinión del equipo contrario, y en varias ocasiones interrumpe, crítica e insulta a sus compañeros.

No respeta las opiniones del equipo contrario. Interrumpe, crítica e insulta a sus compañeros.

Tolerancia a la crítica

En todo momento presenta tolerancia a la crítica del equipo contrario. Acepta las menciones y opiniones sin manifestar molestia.

La mayor parte del tiempo muestra tolerancia a la crítica del equipo contrario. Acepta las menciones y opiniones sin manifestar molestia.

Algunas veces muestra intolerancia a las críticas del equipo contrario. Manifiesta cierta molestia ante las menciones y opiniones recibidas.

Muestra intolererancia a la crítica del equipo contrario. Manifiesta molestia ante las menciones y opiniones recibidas.

Aspecto a evaluar

Aspecto a evaluar

Deficiente (1)

137

BLOQUE

6


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre un sistema de dos fuerzas concurrentes, la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo formado por ésta con la fuerza mayor de la sección Aplica lo que sabes, de la página 130. Nombre del alumno: Criterio

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


138

11. Conoce y aplica correctamente el concepto de magnitud de una fuerza resultante. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Calcula el valor del ángulo formado por la resultante y la mayor de las fuerzas. 14. Representa gráficamente el sistema de fuerzas en el plano. 15. Representa gráficamente la resultante del sistema y el ángulo que forma con la fuerza mayor. 16. Representa gráficamente, a escala, el sistema de fuerzas y la resultante. Calcula la magnitud de la resultante y el ángulo que forma ésta con la mayor de las fuerzas.

cumple sí

no

Observaciones


Coevaluación


Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Diferentes unidades de medida de ángulos y diferencias conceptuales entre ellas

Conoce las medidas angulares y circulares y la diferencia conceptual entre ellas. Convierte unidades de un sistema a otro.

Conoce las medidas angulares y circulares. Convierte unidades de un sistema a otro.

Conoce las medidas angulares y circulares.

No conoce las medidas angulares y circulares ni la diferencia conceptual entre ellas. No convierte unidades de un sistema a otro.

Funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos

Conoce, define y aplica las funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos.

Conoce y define las funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos.

Conoce las funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos.

No conoce ni define ni aplica las funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos.

Valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45°, 60° y en general múltiplos de 15°, utilizando triángulos

Conoce, obtiene y aplica los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°.

Conoce y aplica los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°.

Conoce los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°.

No conoce, ni obtiene, ni aplica los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°.


139

Aplicas las funciones trigonométricas Tiempo asignado: 10 horas

7


7.1 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 7.2 Círculo unitario 7.3 Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente


n

Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en los cuadrantes del plano cartesiano y en el círculo unitario. Utiliza el software disponible en las TIC para representar e interpretar el comportamiento de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el círculo unitario.

n

n

n

Determina el valor de las funciones trigonométricas para diferentes medidas de ángulos en el plano cartesiano y con el círculo unitario. Resuelve e interpreta problemas que involucran las funciones trigonométricas básicas en situaciones reales de su entorno. Interpreta el comportamiento de las funciones trigonométricas a partir de la tabla de valores y de su gráfica.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde las siguientes preguntas: 1. Localiza en el plano el punto (12, 5) y encuentra el valor de r correspondiente.

2. ¿Cuál de los ángulos u es positivo? u u

3. ¿En qué cuadrantes cae el lado terminal de un ángulo positivo que mide 225°?

4. ¿En qué cuadrantes el valor de la función seno es positivo?

5. Verifica en el círculo trigonométrico que para ángulos en posición normal sen 120° y cos 30° son numéricamente iguales.


Valora el trabajo en equipo y el uso de las TIC como una forma de desarrollar sus habilidades operacionales y de análisis en la resolución de problemas que involucran las funciones trigonométricas en el plano cartesiano.

Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Reconoce las funciones trigonométricas en el círculo unitario. Aplica las funciones trigonométricas.

7

BLOQUE




Traza la gráfica del sonido de una nota.





¿Qué es el sonido?


¿Cómo se representa gráficante? ¿Qué tipo de gráfica tienen diferentes sonidos?


¿Cuál es la gráfica del sonido?

En este ejemplo:

Trabajo individual

Producto a elaborar


Representación gráfica del sonido.



Rúbrica Para determinar la gráfica del sonido que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-

142

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.


Propuestas de diseño para situaciones didácticas 1. Localiza en el plano cartesiano los puntos que se indican y halla el valor de r correspondiente a cada uno de ellos. a) A(3, 4) b) B(−6 , 5)

Investigar es ver lo que el mundo ha visto, y pensar lo que nadie más ha pensado. Albert Szent-Györgi

7.1 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Hasta ahora hemos estudiado las funciones trigonométricas sólo en ángulos agudos, pero lo usual en trigonometría es que se consideren ángulos de cualquier magnitud.

c) C(− 5 , − 4) d) D( 4 , − 5) 2. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas del ángulo u (el menor de los ángulos positivos en posición normal), si P es un punto del lado terminal de u y las coordenadas de P son:

y B P

a) P(3, 4) b) P(−3, 4)

x’

c) P(− 3, − 4)

u A’

A

O

d) P(3, − 4)

B’

4 3. sen θ si cos θ = − y tan θ es positiva. 5 4. Expresa como funciones de un ángulo agudo positivo, en dos formas diferentes, cada una de las siguientes funciones: a) sen 135° b) cos 225° c) cot 430° d) tan 155° e) sec 325° f ) csc 190° g) sen (–200°) h) cos (–600°) i) tan (–910°)

y’ Figura 7.1

Sea un círculo con centro en el origen de los ejes coordenados xx9, yy9 donde AA9 y BB9 son diámetros coincidentes con los ejes coordenados. Si el radio OA gira alrededor del punto O en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, cuando OA llegue a la posición OP habrá generado el ángulo AOP o ángulo u (teta), en el que OA es el lado inicial y OP el lado final (lado terminal). La medida del ángulo u será igual a la del arco AP. Si OA continúa girando en el mismo sentido, cuando coincida con OB habrá generado un ángulo de 90°, cuando coincida con OA9, uno de 180°; con OB9; uno de 270°, y cuando vuelva a su posición inicial habrá generado un ángulo de 360° (ángulo de una vuelta).

Ángulos positivos y ángulos negativos

j) cot 610° 5. En el círculo trigonométrico comprueba que las funciones que se indican son numéricamente iguales para los ángulos en posición normal. a) sen 160° = sen 160°

b) tan 130° = –tan 50°

c) cot 220° = cot 40°

d) cot 300° = –cot 60°

e) cot 135° = –cot 45°

x

Se ha convenido en considerar como positivos los ángulos generados mediante un giro en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, y negativos si se generan mediante un giro en el mismo sentido de las manecillas del reloj. AOP9 (2u) es un ángulo negativo, AOB9 será –90°, AOA9 es un ángulo de –180°, AOB de –270° y la vuelta entera dará un ángulo de –360°, así se pueden considerar ángulos negativos de cualquier magnitud.

143

7

BLOQUE

Aplicas las funciones trigonométricas Los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y todos sus ángulos coterminales reciben el nombre de ángulos cuadrangulares.

y B

x’


A’

A O

u

x

Los ángulos en posición normal cuyos lados terminales coinciden se llaman:

P’ B’ y’

Ángulo de referencia para ángulos situados en los cuadrantes II, III y IV

Figura 7.2

Actividad de aprendizaje ¿A qué se llama ángulo dirigido?

Signos de las funciones en los diferentes cuadrantes Recuerda que en un sistema de coordenadas rectangulares, un punto cualquiera P queda determinado por sus coordenadas, es decir, por sus distancias dirigidas a los ejes.

(+)

Ángulo dirigido Se llama ángulo dirigido a aquél en que además de considerar su amplitud, se toma en cuenta su sentido. De esta manera, si en las dos figuras anteriores, la medida del ángulo teta, en valor absoluto es igual a 40°, entonces ∠ AOP = 40°°mientras que ∠ AOP ' = − 40°.°

y (–)

x

p(x, y)

r

y

x

(+)

(–)

Actividad de aprendizaje ¿Cuándo se dice que un ángulo está en posición normal? Figura 7.3

La distancia no dirigida r de P o radio vector de P está dada r = x 2 + y2

Ángulo en posición normal Se dice que un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el eje positivo de las x y su vértice coincide con el origen. En las figuras anteriores ∠AOP y ∠AOP ' son ángulos en posición normal. Son ángulos coterminales los que colocados en posición normal tienen coincidentes sus ángulos terminales.

144

Sea u un ángulo no cuadrangular colocado en posición normal y Actividad de aprendizaje Los ángulos cuadrangulares son:


sea P( x , y) un punto distinto del origen, perteneciente al lado terminal del ángulo, las seis funciones de u se definen, en términos de la abscisa, la ordenada y la distancia de P como sigue: ordenada y sen θ = = distancia r cot θ =

abscisa x = ordenada y

cos θ =

abscisa x = distancia r

sec θ =

distancia r = abscisa x

tan n θ = csc θ =

y’

u x y

x

0

r P cuadrante III

ordenada y = abscisa x

y

distancia r = ordenada y

u y

x

0 P r u 0

y

r P

y x

cuadrante IV Figura 7.4

Dado que r siempre es positiva, los signos de las funciones en los distintos cuadrantes dependen de los signos de x y de y. cuadrante I y P y

r

u

0

x

II sen (+)

I todas (+)

tan (+) III

cos (–) IV

Figura 7.5

cuadrante II

Por tanto, en el primer cuadrante todas las funciones son positivas, en el segundo cuadrante es positiva la función seno y su recíproca, en el tercero es positiva la función tangente y su recíproca, y en el cuarto es positiva la función coseno y su recíproca. 145

7

BLOQUE


Actividad de aprendizaje y

En qué cuadrantes tienen signo positivo el seno y la cosecante:

u 4

0


x –3

5

p(4, –3)

En qué cuadrantes tienen signo positivo la tangente y la cotangente:

Figura 7.6

Si el lado terminal del ángulo u está en el primer cuadrante:

y 3 y 3 sen θ = = tan θ = = . r 5 x 4


Si el lado terminal del ángulo u está en el cuarto cuadrante: En qué cuadrantes tienen signo positivo el coseno y la secante:

y −3 3 y 23 3 sen θ = = = − y tan u2 5 5 . r 5 5 2 4 4 2. Dadotan tan θ u =−

Ejemplos

1. Dado cos θ =

3 halla los valores de sen u y cos u 4

y es negativa, u tiene su lado terminal en el sex gundo cuadrante si x = −4 y = 3 o en el cuarto cuadrante si

Como ttan an θu =

4 encuentra los valores de sen u y tan u. 5

Como cos u es positivo, u tiene su lado terminal en el primer cuadrante o en el cuarto.

x = 4 , y 5 23. En ambos casos r = 16 + 9 = 5

x 4 c os θ = = r 5

y

entonces x = 4 r = 5 y y = ± 5 2 − 4 2 = ± 9 = ± 3 p(–4, 3)

y

3

5

–4 5 0

146

u 4

p(4, 3) 3 x

u 0

x


Funciones para cualquier ángulo Toda función trigonométrica (n ? 90° 6 u) donde n es un número entero y u es un ángulo cualquiera, es numéricamente igual a:

y

a) La misma función de u si n es par. b) La correspondiente cofunción de u si n es impar.

u 0

4 5

x –3 p(4, –3)

En ambos casos, el signo es el que corresponde a la función dada según el cuadrante en el que está el lado terminal de n ? 90° 6 u cuando u es un ángulo agudo positivo. Aplica lo que sabes

Figura 7.7

Si el lado terminal de u está en el segundo cuadrante:

y 3 x −4 sen θ = = cos θ = = r y r 5 Si el lado terminal de u está en el cuarto cuadrante:

y −3 x 4 sen θ = = y cos θ 5 5 . r 5 r 5

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Un río mide 17 metros de ancho. En sus riberas opuestas están dos árboles de 12 y 5 metros de altura, respectivamente. En la parte superior de cada árbol se encuentran aves que se alimentan con peces. Si desde cada árbol se lanza un ave, al mismo tiempo y a la misma velocidad, sobre un pez que pasa a 5 metros del árbol más alto, ¿cuál de las aves llega primero?

Para tu reflexión

Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.) Fue un matemático y geómetra griego, al cual se le conoce como “El Padre de la Geometría”. Es autor de Los elementos, una de las obras científicas más conocidas del mundo. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc., es decir, de las formas regulares. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Alguno de los más conocidos son: la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento: en física, la astronomía, química, diversas ingenierías, y desde luego en las matemáticas.

Ejemplos Expresa como funciones de un ángulo agudo positivo en dos formas diferentes, cada una de las siguientes funciones 1. cos 120° Un ángulo de 120° en posición normal tiene su lado terminal en el segundo cuadrante y en éste la función coseno tiene signo negativo, por tanto: cos 120° 5 cos(2 ? 90° 2 60°) 5 2 cos (n par, misma función) cos 120° 5 cos(1 ? 90° 1 30°) 5 2 sen 30°(n impar, cofunción)

147

7

BLOQUE


2. sen 225°

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Un ángulo de 225° en posición normal tiene su lado terminal en Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuiel tercer cuadrante y en éste la función seno tiene signo negativo, démoslo. por tanto: La promoción del ahorro voluntario del agua tiene que ver con el hecho sen 225° = cos(2 ⋅ 90° 45°) = − sen 45°(n par, misma función) de convencer al usuario de que se puede obtener el mismo nivel de os(2 ⋅ 90° 45°) = − sen 45°(n par, misma función) calidad de las actividades que realizan consumiendo menos agua. sen 225° = cos(3⋅ 90° − 45°) = − cos 45°(n impar, cofunción) Lo anterior implica campañas de participación ciudadana, conocimientos, objetivos, metas y una difusión en medios masivos de comunicaos(3⋅ 90° − 45°) = − cos 45°(n impar, cofunción) ción así como en los sistemas de transporte. Investiga cuál es el porcentaje de ahorro de consumo total de agua 3. tan 300° potable a través de este tipo de campañas. tan 300° = tan(4 ⋅ 90° − 60°) = − tan 60° ¿Qué tipo de campaña consideras que tendría mayor impacto para promover el ahorro de agua? tan 300° = tan(3 ⋅ 90° 30°) = − cot 30° ¿Qué medidas complementarias se podrían adoptar para que a través 4. sen (2100°) de la campaña se puedan obtener resultados óptimos? Un ángulo de –100° en posición normal tiene su lado terminal en el tercer cuadrante y en éste la función seno tiene signo negativo, por tanto: Funciones para ángulos de 0°, 90°, 180°, 270° y

sen (–100°) = sen(− 2 ⋅ 90° 80°) = − sen 80° sen (–100°) = sen(− 1⋅ 90° − 10°) = − cos 10° 5. cot (–290°)

cot (–290°) = cot (− 4 ⋅ 90° 70°) = cot 70° = cot (− 3 ⋅ 90° − 20°) = tan 20° Observa que un ángulo de –290° en posición normal tiene su lado terminal en el primer cuadrante, y en éste todas las funciones son positivas. 6. sen 115°189

360° El lado terminal de un ángulo cuadrangular coincide con uno de los ejes. Un punto P (distinto del origen) del lado terminal tiene por x = 0 , y ≠ 0 y x ≠ 0. En los dos casos ocurre que dos de las seis funciones no están definidas, de modo que en un ángulo de 0° el lado terminal coincide con el semieje positivo de las x, la abscisa es igual a la distancia r, x = r , y la ordenada es igual a 0, es decir, y = 0, así tenemos, P(x, 0). Como el denominador de las relaciones que definen la cotangente y la cosecante es la ordenada, estas funciones no están definidas. Para expresar este hecho se utilizará lacot cot 0° 0° = ±∞.

sen 115°18 = sen (2 ⋅ 90° − 64°42') = sen 64°42' = sen (1⋅ 90° 25°18') = cos 25°18'

y _

7. cos 159°359

cos 159°35 = cos (2 ⋅ 90° − 20°25') = − cos 20°25' = cos (1⋅ 90° 69°35') = –sen 69°35'

P

P _

x’

_

Como se puede observar, al expresar las funciones en dos formas diferentes, los ángulos son complementarios.

Aplica lo que sabes

_


y’ Figura 7.8

148

P

P

x


7.2 Círculo unitario

y 0 sen 0 ° = = = 0 r r x r cos 0 ° = = = 1 r r y 0 tan 0° = = = 0 x x x x cot 0 ° = = = ±∞ y 0 r r sec 0 ° = = = 1 x r r r csc 0 ° = = = ±∞ y 0

Círculo trigonométrico En el círculo trigonométrico se representan las funciones por medio de segmentos de recta. B

S P

Q u

A’

En un ángulo de 90° la abscisa es igual a cero x = 0 y la distancia es igual a la ordenada y = r , P(0, y). En un ángulo de 180° la abscisa es negativa e igual a la distancia en valor absoluto (x 52r) y la ordenada es igual a cero ( y 5 0) por lo que las coordenadas P(x, 0). En un ángulo de 270° la abscisa es igual a cero x = 0 y la ordenada es negativa e igual a la distancia en valor absoluto ( y 52r), P(0, y). En un ángulo de 360° las funciones son las mismas que las del ángulo de 0°, x = r , y 5 0. Funciones

0°

90°

180°

270°

360°

sen

0

1

0

21

0

cos

1

0

21

0

1

tan

0

6`

0

6`

0

cot

6`

0

6`

0

6`

sec

1

6`

21

6`

1

csc

6`

1

6`

21

6`

M

O

T

A

B’ Figura 7.9

Las funciones trigonométricas de un ángulo son razones que se pueden representar por medio de segmentos de recta si se escoge una unidad de longitud tal que el denominador de todas las razones sea la unidad. Esto se puede conseguir en el círculo trigonométrico, en el cual el radio es la unidad de r =1. Sean AA9 y BB9 dos diámetros perpendiculares coincidentes con los ejes rectangulares xx9, yy9. Sea AOP un ángulo u cualquiera, generado por la rotación del radio alrededor del centro, donde OA es la posición inicial y OP la posición terminal, se trazan PM perpendicular a AO y PQ perpendicular a OB. En la figura 7.9 el triángulo rectángulo MOP tiene como hipotenusa OP = r =1. sen θ =

PM PM = = PM OP 1

cos θ =

OM OM = = OM OP 1

En A se traza AT perpendicular al radio OA, hasta encontrarse con la prolongación de OP. tan θ =

PM AT AT = = = AT OM OA 1

sec θ =

OP OT OT = = = OT OM OA 1

Para obtener la cot de u y la csc de u, se traza BS perpendicular a OB en B hasta encontrarse con la prolongación de OP. El ángulo BOS es complementario de u, entonces la tangente del ángulo BOS es igual a la cotangente del ángulo u y la secante del ángulo BOS es igual a la cosecante del ángulo u. 149

7

BLOQUE


tan tan BBOS OS =

PQ BS BS = = = BS, entonces cot θ = BS OQ OB 1

sec sec BBOS OS =

OP OS OS = = = OS, entonces cot θ = OS OQ OB 1

Así todas las funciones del ángulo u quedan representadas por segmentos de recta. sen θ = PM perpendicular bajada del punto terminal del arco al diámetro AA9. cos θ = OM distancia del centro al pie del seno. tan θ = AT perpendicular en A al diámetro AA9, hasta encontrarse con la prolongación del radio que pasa por el punto P. cot θ = BS perpendicular en B al diámetro BB9, hasta encontrarse con la prolongación del radio que pasa por el punto P. sec θ = OT distancia del centro a la extremidad de la tangente. csc θ = OS distancia del centro a la extremidad de la cotangente. Como u es un ángulo del primer cuadrante todas las funciones son positivas. En cualquier cuadrante en el que esté el lado terminal del ángulo considerado, la tangente se obtiene por medio de la perpendicular en el punto A y la cotangente por medio de la perpendicular en el punto B. B

2

S

u M

2 O

2

1

S

u

T 1

A’

O

2 P B’

150

M

A

O u

2 P T

B’ Figura 7.10

En los diferentes ∠ AOP = ∠ θ 2° cuadrante

3° cuadrante

4° cuadrante

sen 5 u PM

sen θ = −PM

sen θ = −PM

cos θ = −OM

cos θ = −OM

cos θ = OM

tan θ = − AT

tan θ = AT

tan θ = − AT

cot θ = −BS

cot θ = BS

cot θ = −BS

sec θ = −OT

sec θ = −OT

sec θ = OT

csc θ = OS

csc θ = −OS

csc θ = −OS

Seno. El valor del seno varía entre 1 y –1 y su valor absoluto siempre queda comprendido entre 0 y 1.

T

B’

M

1

A’

Si en el círculo trigonométrico consideramos un punto P que a partir del punto A se mueve sobre la circunferencia en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, entonces el ángulo AOP (u) varía de 0° hasta 360° y en las funciones se observa lo siguiente:

A

B

B

2

Variaciones de las funciones trigonométricas

P

A’

S

A

En el primer cuadrante (de 0° a 90°), el seno crece de 0 a 1; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), el seno decrece de 1 a 0; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), el seno decrece de 0 a –1; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), el seno crece de –1 a 0. Coseno. El valor del coseno varía entre –1 y 1 y su valor absoluto siempre queda comprendido entre 0 y 1. En el primer cuadrante (de 0° a 90°), el coseno decrece de 1 a 0; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), el coseno decrece de 0 a –1; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), el coseno crece de –1 a 0; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), el coseno crece de 0 a 1. Tangente. El valor de la tangente varía de +∞ a −∞.


En el primer cuadrante (de 0° a 90°), la tangente crece a partir de 0 indefinidamente; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), la tangente crece desde grandes valores negativos hasta 0; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), la tangente crece a partir de 0 indefinidamente; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), la tangente crece desde grandes valores negativos hasta 0. Cotangente. El valor de la cotangente varía de +∞ a −∞. En el primer cuadrante (de 0° a 90°), la cotangente decrece desde grandes valores positivos hasta 0; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), la cotangente decrece a partir de 0 indefinidamente; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), la cotangente decrece desde grandes valores positivos hasta 0; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), la cotangente decrece a partir de 0 indefinidamente. Secante. El valor de la secante varía de +∞ a −∞ . En el primer cuadrante (de 0° a 90°), la secante crece a partir de 1 indefinidamente; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), la secante crece desde grandes valores negativos hasta –1; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), la secante decrece a partir de –1 indefinidamente; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), la secante decrece desde grandes valores positivos hasta 1. Cosecante. El valor de la cosecante varía de +∞ a −∞. En el primer cuadrante (de 0° a 90°), la cosecante decrece desde grandes valores positivos hasta 1; en el segundo cuadrante (de 90° a 180°), la cosecante crece a partir de 1 indefinidamente; en el tercer cuadrante (de 180° a 270°), la cosecante crece desde grandes valores negativos hasta –1; en el cuarto cuadrante (de 270° a 360°), la cosecante decrece a partir de –1 indefinidamente.

7.3 Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente Gráficas de las funciones trigonométricas En la siguiente tabla los valores del ángulo u están expresados en radianes. u

y 5 sen u

y 5 cos u

y 5 tan u

y 5 cot u

y 5 sec u

y 5 csc u

0 p 6 p 4 p 2 p 2 2p 3 3p 4 5p 6 p 7p 6 5p 4 4p 3 3p 2 5p 3 7p 4 11p 6 2p

0

1.00

0

6`

1.00

6`

0.50

0.87

0.58

1.73

1.15

2.00

0.71

0.71

1.00

1.00

1.41

1.41

0.87

0.50

1.73

0.58

2.000

1.15

1.00

0

6`

0

6`

1.00

0.87

20.50

21.73

20.58

22.00

1.15

0.71

20.71

21.00

21.00

21.41

1.41

0.50

20.87

20.58

21.73

21.15

2.00

0

21.00

0

6`

21.00

6`

20.50

20.87

20.58

1.73

21.15

22.00

20.71

20.71

1.00

1.00

21.41

21.41

20.87

20.50

1.73

0.58

22.00

21.15

21.00

0

6`

0

6`

21.00

20.87

0.50

21.73

20.58

2.00

21.15

20.71

0.71

21.00

21.00

1.41

21.41

20.50

0.87

20.58

21.73

1.15

22.00

0

1.00

0

6`

1.00

6`

Tabla 7.1

151

7

BLOQUE


Y

y = sen x

y = cos x –p

O

– p/2

p/2

3p/2

p

X

2p

–1 Figura 7.11

y

y

p 2

0

p 2

p 2

x

y = cot x

y = tan x Figura 7.12

Figura 7.13

y

2p

1 21 0

y

p

x

1 2p

152

21

0

p

y 5 csc x

y 5 sec x Figura 7.14

x

p

0

Figura 7.15

x


En las gráficas podemos observar que:

Para tu reflexión

p  a) sen  1 x  5 cos x , entonces y = cos x se puede 2  obtener con solo correr la gráfica de y = sen x distancia igual

p hacia la izquierda. 2

p  b) csc  1 x  5 sec x , entonces y = csc x se puede ob2  tener con solo correr la gráfica de y = sec x una distancia igual

p hacia la derecha. 2

c) Las funciones seno, coseno, secante y cosecante repiten sus valores a intervalos 2 p; mientras que la tangente y cotangente lo hacen a intervalos p. De acuerdo con la forma general en que se han definido las funciones trigonométricas en el plano cartesiano, se puede considerar como dominio de las mismas al conjunto de los números reales (R) con ciertas excepciones. Dichas excepciones se refieren a los valores inadmisibles de la función, pues en ellos la función no está definida. Si n = 0 ,1, 2 , 3,... entonces el dominio de definición de cada función queda expresado de la siguiente forma: Función

Dominio

seno

R

coseno

R

tangente

p  R excepto  6 n p  2  

cotangente

R excepto {6 n p}

secante

p  R excepto  6 n p  2  

cosecante

R excepto {6 n p}

Tabla 7.2

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) Nacido en Breselenz, Alemania, en una familia combatiente en las guerras Napoleónicas; su infancia y juventud se caracterizaron por haber sufrido la pérdida temprana de su madre y hermanas, además de su agilidad para efectuar operaciones de cálculo con una facilidad envidiable. Antes de los 20 años de edad, Riemann estudió Filosofía y Teología en Gottingen, pues mantuvo la idea de complacer a su padre, Friedrich Bernhard Riemann, y convertirse en pastor igual que él, quien incluso lo impulsó a estudiar Matemáticas y juntó todo el dinero posible para que su hijo pudiera llevar a cabo esta petición. A pesar de iniciar con esta aventura en 1847, no fue sino hasta 1859 que formuló por primera vez la conocida Hipótesis de Riemann, que es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la Función Zeta de Riemann, misma que se considera una función de importancia significativa en la Teoría de los Números, debido a la extrema relación con la distribución de los llamados números primos. Sin embargo, este teorema no ha sido comprobado a pesar del incansable estudio para resolverlo, aun cuando escuelas importantes como el Instituto Clay de Matemáticas, de Cambridge Massachussets, ha ofrecido premios de hasta un millón de dólares a quien pueda presentar o desarrollar una demostración correcta de la conjetura, la cual ha recibido menciones a favor o en contra sobre su certeza. Otra gran aportación de este genio matemático, fue la conocida como la Superficie de Riemann, que involucra la variedad compleja de una dimensión uno similar; como consecuencia, la variedad real subyacente se transformará por lógica en dimensión 2. En el área de Análisis Matemático, la integral de Riemann, es una forma de abordar el problema de la Integración: otro caso es el de la Variedad de Riemann, que refleja una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente puede aquiparse con u producto interior con la finalidad de que éste varíe ligeramente punto a punto. Lo anterior, permite que se definan varias nociones métricas entre las que podemos enunciar la longitud de las curvas, ángulos, áreas o volúmenes, curvaturas, gradientes de funciones o en el caso especifico de la divergencia de campos vectoriales. Finalmente, podemos resaltar la geometría de Riemann como parte de estudio de la Variedades Diferenciales con métricas de Riemann, en donde de una aplicación a cada punto de variedad se le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, se considera una aplicación ligeramente variante de un punto a otro.

153

7

BLOQUE


Aplicación de las TICs Gráfica de la función seno y uso de parámetros 1. Utiliza el navegador de tu preferencia y busca cómo es la gráfica de la función seno. 2. Investiga: a) ¿Cuál es el modelo matemático de la función seno? ¿Cuáles son sus parámetros? b) ¿Qué ocurre con la gráfica cuando varía alguno de sus parámetros? c) ¿Cuáles son algunas de sus aplicaciones? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños Identifico e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Reconozco las funciones trigonométricas en el círculo unitario. Aplico las funciones trigonométricas.


154

1

2


3

Debo mejorar en…



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


1

2

3

4

5



155

7

BLOQUE



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. Localiza en el plano el punto (15, 8) y determina el valor de r correspondiente.

4. Si el ángulo u es positivo, en posición normal y P (28, 6) es un punto en el lado terminal de u, halla los valores de las funciones trigonométricas del ángulo u.

2. Localiza en el plano el punto (215, 8) y determina el valor de r correspondiente.

5. ¿Cuál es el valor de sen u si cos u 5

3. Si el ángulo u es positivo, en posición normal y P (8, 6) es un punto en el lado terminal de u, halla los valores de las funciones trigonométricas del ángulo u.

6. ¿Cuál es el valor de sen u si cos u 52

156

4 y tan u es positiva? 5

4 y tan u es positiva? 5


7. Expresa sen (2200°) como una función de un ángulo agudo positivo, en dos formas distintas.

9. Verifica en el círculo trigonométrico que para ángulos en posición normal sen 160° y sen 20° son numéricamente iguales.

8. Expresar sen (2600°) como una función de un ángulo agudo positivo, en dos formas distintas.

10. Verifica en el círculo trigonométrico que para ángulos en posición normal sen 210° y sen 30° son numéricamente iguales.


Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Conoce y obtiene los valores de las funciones trigonométricas, en el plano, de ángulos positivos y negativos

Conoce los valores de las funciones trigonométricas, en el plano, de ángulos positivos y negativos

Conoce los valores de algunas funciones trigonométricas, en el plano, de ángulos positivos y negativos

No conoce ni obtiene los valores de las funciones trigonométricas, en el plano, de ángulos positivos y negativos

Ángulo de referencia para ángulos situados en los cuadrantes II, III y IV

Determina el valor y signo de las funciones trigonométricas en los cuadrantes II, III y IV, así como de los ángulos cuadrantales

Determina el valor y signo de las funciones trigonométricas en los cuadrantes II, III y IV

Determina el valor y signo de algunas funciones trigonométricas en los cuadrantes II, III y IV

No determina el valor ni el signo de las funciones trigonométricas en los cuadrantes II, III y IV

Funciones trigonométricas en el círculo unitario como funciones de un segmento

Conoce y obtiene las funciones trigonométricas en el círculo unitario como funciones de un segmento

Conoce las funciones trigonométricas en el círculo unitario como funciones de un segmento

Conoce algunas de las funciones trigonométricas en el círculo unitario como funciones de un segmento

No conoce ni obtiene las funciones trigonométricas en el círculo unitario como funciones de un segmento

Comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente

Conoce y traza el comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente

Conoce el comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente

Conoce el comportamiento gráfico de la función trigonométrica seno

No conoce ni traza el comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente

157

7

BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre las aves que se alimentan de la sección Aplica lo que sabes, página 147. Nombre del alumno:

Criterio

Presentación


Desarrollo


Dominio del tema

11. Conoce y aplica correctamente el teorema de Pitágoras.

Conclusiones


14. Representa gráficamente las condiciones del problema.

158

12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Comprende las condiciones del problema.

15. Calcula la distancia que debe recorrer cada ave para llegar al pez. 16. Argumenta el resultado.

cumple sí

no

Observaciones


Escala de clasificación

Como señala el documento de Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), la escala de clasificación sirve para identificar además de la presencia de determinado atributo, la frecuencia en que éste se presenta. Escala de clasificación para evaluar los ejercicios que involucren el trazo del comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Instrucciones: indique con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la práctica de las técnicas de representación. Encierre en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre presenta el atributo.

Contenido

1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.

0

1

2

3

2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.

0

1

2

3

3. La información es concisa.

0

1

2

3

4. Relaciona los conceptos o argumentos.

0

1

2

3

5. Presenta transiciones claras entre ideas.

0

1

2

3

6. Presenta una introducción y conclusión.

0

1

2

3

7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema de exposición.

0

1

2

3

8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.

0

1

2

3

0

1

2

3

10. La información se presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra ideales para ser consultada por la audiencia.

0

1

2

3

11. Se apoya en la diapositiva leyendo los apoyos y los desarrolla.

0

1

2

3

12. Articulación clara y el volumen permite ser escuchado por la audiencia.

0

1

2

3

13. Muestra constante contacto visual.

0

1

2

3

14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de 1/2 dos minutos del tiempo asignado.

0

1

2

3

Coherencia y organización

Aportaciones propias

Material didáctico

9. El material didáctico incluye apoyos para exponer la información más importante del tema.

Habilidades expositivas

Total Puntaje total

Para el cálculo de asignación de niveles de desempeño (tales como deficiente, regular, bueno, excelente, entre otros), una vez determinados los desempeños y la frecuencia con que se presentan en la práctica de las técnicas de representación, así como el uso de resúmenes descriptivos, véase Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje, páginas 71-72. 159

Aplicas las leyes de senos y cosenos Tiempo asignado:

8 horas

8


8.1 Leyes de senos y cosenos


n

n

Expresa ideas y conceptos de triángulos, y las leyes de los senos y de los cosenos. Reflexiona, comprendiendo cómo aplicar los conocimientos de las leyes de los senos y los cosenos para resolver problemas de triángulos oblicuángulos. Construye modelos donde aplica la ley de seno y coseno para resolución de triángulos oblicuángulos.

n

n

Utiliza elementos gráficos y/o las tecnologías de la información y comunicación para representar triángulos y la forma de resolverlos observando la pertinencia de las leyes de los senos y los cosenos. Elige las fuentes de información teniendo en cuenta la confiabilidad del internet. Resuelve problemas teóricos y contextuales triángulos empleando las leyes de los senos y cosenos.

¿Qué sabes hacer ahora? Resuelve lo siguiente: 1. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 15, b 5 48° 159, C 5 54°.

2. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 25, b 5 36, c 5 44.


Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta de las leyes de seno y coseno dentro de distintos equipos de trabajo.

Aplicas las leyes de senos y cosenos.

BLOQUE

8




Tres calles se intersecan dos a dos formando un triángulo cuyos lados miden 312, 472 y 511 metros, respectivamente. Determina la medida de los ángulos que forman cada par de calles.



¿Cómo representar el triángulo y la longitud de sus lados?

Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didácticas con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

¿Qué ley se debe aplicar para calcular la medida de los ángulos?

Producto a elaborar

¿Cuál es la medida de cada ángulo del triángulo?

Representación gráfica del problema y efectuar los cálculos.



Rúbrica Para determinar la medida de los ángulos que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará el portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

162




h) a = 35

b = 40

c = 47

i) a = 5

b=7

c=9

1. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos:

j) a =167

b = 321

c = 231

a) a = 525

b = 380

A5 58 °20 9

b) a = 25

b = 30

A5 50 °10 9

c) a = 740

b = 380

A5 58 °20 9

d) a =14

c =12

A535 °30 9

e) a = 551

c = 608

A560 °12 9

f ) a = 85

b = 45

A5110 °20 9

g) a =10

b=6

A5 20 °10 9

h) b =15

c =8

B539 °15 9

i) b = 825

c = 945

B525°

j) a =18

c = 26

A5 40 ° 40 9

4. Dos personas de frente y a 2 500 m una de otra en el mismo nivel horizontal, observan un avión con ángulos de elevación de 50° 10’ y 65° 40’. Halla la altura del avión. 5. Una montaña separa los puntos A y B. La distancia AC 5 320 m, la distancia CB 5 250 m y el ángulo ACB 5 60° 45’. Hallar la distancia AB.

2. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos: a) a = 78

b = 54

C 5 42 °20 9

b) a = 67

b = 33

C 536°

c) a = 886

b = 747

C 5 71 °54 9

d) a = 455

b = 410

C 562 °19 9

e) a = 969

b = 595

C 5134°

f ) b =129

c = 87

A5 27 °14 9

g) a =124

b =175

B583 °26 9

h) b = 46

c =18

A5115 ° 42 9

i) b = 45

c = 31

A5 55 °19 9

j) b = 28

c = 36

A5125°

6. Los tres lados que limitan un terreno miden 315 m, 480 m y 500 m. Calcula los ángulos que forman dichos lados. 7. Un terreno está limitado por tres calles que se cortan. Los lados del terreno miden 312 m, 472 m y 511 m. Halla los ángulos formados por las calles al cortarse. 8. Tres circunferencias, cuyos radios respectivos miden 115, 150 y 225 cm, son tangentes exteriores entre sí. Encuentra los ángulos que se forman cuando se unen los centros de las circunferencias.

3. Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos: a) a = 25

b = 36

c = 44

b) a = 380

b = 400

c =150

c) a =120

b = 80

c =100

d) a = 6 . 34

b = 7 . 30

c = 9 . 98

e) a =12

b =18

c = 20

f ) a = 83

b = 54

c = 41

g) a = 85

b = 85

c = 90 163

BLOQUE

8


Un matemático que no es también algo de poeta, nunca será un matemático completo. Kart Weierstrass

Actividad de aprendizaje ¿Qué significa resolver un triángulo oblicuángulo?

8.1 Leyes de senos y cosenos Resolución de triángulos oblicuángulos En un triángulo oblicuángulo se tienen seis elementos fundamentales: los tres lados y los tres ángulos. De tal manera que puede haber tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos; si sólo se conocen dos ángulos, el tercero se puede obtener restándole a 180° la suma de los dos primeros.

Ley de los senos Sea ABC un triángulo oblicuángulo cualquiera. Trácese CD perpendicular a AB o a su prolongación. Sea h la longitud de CD. C

El triángulo oblicuángulo se puede resolver si se conocen tres elementos, no todos ángulos, excepción hecha con base en el caso ambiguo. En general se presentan cuatro casos: a) Cuando se conocen un lado y dos ángulos. b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. c) Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. d) Cuando se conocen los tres lados. De modo que la resolución de estos cuatro casos se hace con la aplicación de la ley de los senos, de los cosenos o de ambas. Ley de los senos. En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, es decir: a b c = = sen A sen B sen C Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo comprendido, es decir: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

b

A

a

h

D

B

c

Figura 8.1a

C

b

Figura 8.1b A

c

B

D

En la figura 8.1a A y B son ángulos agudos, en la figura 8.1b B es un ángulo obtuso y en ambas AB = c. En cualquiera de las dos figuras, en el triángulo rectángulo ACD, h = b sen A y en el triángulo rectángulo BCD, h = a sen B ya que en la segunda h = a sen ∠ CBD = a sen (180 ° − B) = a sen B.


Para tu reflexión

¿Cuáles son los elementos fundamentales de un triángulo oblicuángulo?

Eratóstenes (284-192 a. C.)

164

h

a

Matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Fue el primero en medir con buena exactitud el meridiano terrestre. Para ello ideó un sistema a partir de la semejanza de triángulos. En primer lugar midió la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo me-


Aplica lo que sabes ridiano: Siene (Assuán) y Alejandría. Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra. Después se dio cuenta que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el Sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo Erastótenes para el meridiano, en medidas modernas, es de 46 250 km, cifra que excede a la medida real sólo en 16%. También midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 79 de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. Los dispositivos domésticos para el uso eficiente del agua potable tienen un papel fundamental para el ahorro del agua. Investiga en el interior de tu casa cuáles son los porcentajes de consumo de agua potable: En excusados. En las regaderas. En las lavadoras de ropa. En las llaves de fregadero y lavabos. ¿Con qué tipo de excusado, regadera y lavadora se puede obtener el mayor ahorro de agua? ¿Qué costo tiene su mantenimiento para conservarlos en las mejores condiciones de uso?

Actividad de aprendizaje La ley de los senos establece que:

Por tanto: a sen B = b sen A

a b = sen A sen B

En forma similar si se trazara una perpendicular desde B a AC o desde A a BC, se puede obtener: a c b c = = sen A sen C sen B sen C y por tanto:

a b c = = sen A sen B sen C

Actividad de aprendizaje La ley de los senos se expresa por la fórmula:

165

BLOQUE

8


Ley de los cosenos Con referencia a las dos figuras anteriores, se tiene que en el triángulo rectángulo ACD de cualquiera de las dos figuras, b = h +( AD) 2

2

2

Las otras dos relaciones se pueden obtener con un cambio cíclico de las letras. Conociendo un lado y dos ángulos se resuelve el triángulo oblicuángulo.

En la figura 8.1a: En el triángulo rectángulo BCD, h = a sen B y DB 5 a cos B.

Ejemplos

Por tanto: AD = AB − DB = c − a cos B y como consecuencia:

1. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si a = 22 m ∠A535° , /B 5 65°. Datos

b 2 = h 2 + ( AD)2 = a 2 sen 2 B + c 2 − 2ca cos B + a 2 cos 2 B 2

2

Incógnitas

b= c= ∠C =

a= ∠ A = 35 °

= a (sen B + cos B) + c − 2ca cos B 2

2

= c 2 + a 2 − 2ca cos B

∠ B = 65°

En la segunda figura: 8.1b

B


65°

La ley de los senos establece que:

c=

a = 22

35°

En el triángulo rectángulo BCD h 5 a sen ∠ C BD 5 a sen (180° 2 B)5 a sen B BD 5 a cos ∠ C BD 5 a cos (180° 2 B)52a con B y por ello: AD = AB + BD = c − a cos B b = c 2 + a 2 − 2ca cos B Actividad de aprendizaje

A

b= Figura 8.2

a b = sen A sen B

a c = sen A sen C

b sen A 5 a sen B

c sen A 5 a sen C

b=

a sen B sen A

c =

a sen C sen A

b5

2 2 sen 6 5° sen 3 5°

c5

2 2 sen 8 0° sen 3 5°

b=

2 2 (0 . 9063) 0 . 5736

c =

2 2 (0 . 9848) 0 . 5736

La ley de los cosenos se expresa por la fórmula:

166

C


Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, resuelve el triángulo oblicuángulo.

c = 37.7 m

b = 34.7 m

Este caso, conocido como caso ambiguo, presenta los siguientes casos especiales. Con centro en C se traza un arco de radio igual a.

∠ C 5180 ° 2(∠ A 1 ∠ B)5180 ° 2100 ° 580 °

1. Cuando el ángulo es agudo.

2. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si c =15 m ∠A5110 °10 9 , /B 5 52°. Datos

a) Si a < CD (altura), no se determina triángulo alguno.

Incógnitas

b) Si a = CD se determina un triángulo rectángulo.

a=

b=

∠ C 5180° 2(∠ A 1 ∠ B)

∠A5110 °10 9

c=

5180 ° 2162 °10 9

∠C =

∠ B = 52º

c) Si a < b y a > CD se determinan dos triángulos ABC y AB9C. d) Si a = b se determina un triángulo isósceles.

= 17 ° 50'

a c = sen A sen C

e) Si a > b el punto B queda sobre la prolongación de AB y como el triángulo AB9C no contiene el ángulo dado A, sólo se determina el triángulo ABC.

b c = sen B sen C

C

c sen A a= sen C

b=

c sen B sen C 1 5 sen 5 2° sen 1 7°50 9

a5

1 5 sen 1 10°10 9 sen 1 7°50 9

b5

a5

1 5 sen 6 9°50 9 sen 1 7°50 9

b=

1 5 (0 . 9387) 0 . 5736

b = 38.60 m

a=

1 5 (0 . 7880) 0 . 3062

b

A

a

B’

D

B

Figura 8.4

2. Cuando el ángulo es obtuso. a) Si a < b o a = b2 no se determina triángulo alguno.

a = 4 5 . 98 m

b) Si a > b , el punto B queda sobre la prolongación de AB y como el triángulo AB9C no contiene el ángulo dado A, sólo se determina el triángulo ABC.

B

C

52° a=

c = 15

a

b

110°10’ A Figura 8.3

b=

C

B’

A

B

Figura 8.5

Conociendo dos lados y el ángulo comprendido resuelve el triángulo oblicuángulo.

167

BLOQUE

8


Ejemplos Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC a =125 m ∠ C = 35°10' Datos

Incógnitas

a =125 m

c=

b = 230 m

∠A =

c 2 = 125 2 + 230 2 − 2 (125)(230) cos 35°10'

∠ C = 35 ° 10'

∠B =

c 2 = 15625 + 52900 − 57500 (0 . 8175)

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

c 2 = 68525 − 47006 . 25 c = 21518 . 75 = 146 . 69 m

B a = 125

c=

35°10’ A

b = 230

C

Figura 8.6

a c = sen A sen C sen A =

a sen C c

sen B =

b sen C c

sen A5

1 25 sen 3 5°109 146 . 69

sen B5

2 30 sen 3 5°109 146 . 69

1 25 sen (0 . 5760) 146 . 69

sen B =

2 30 sen (0 . 5760) 146 . 69

sen A =

sen A = 0 . 4908 A 5 sen21 (0.4908) ∠A5 29 °24 9 Conociendo los tres lados, resuelve el triángulo oblicuángulo.

168

b c = sen B sen C

sen B = 0 . 9031 B 5 sen21 (0.9031) ∠B5115 °26 9


Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: Una persona de 1.80 m de altura baja por una rampa que tiene un ángulo constante de inclinación. Una fuente de luz colocada detrás de la persona proyecta la sombra de ésta a 6 metros de distancia. En un determinado momento, el ángulo de depresión desde la parte superior de la cabeza de la persona es de 32° hasta el extremo de su sombra. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la rampa?

Ejemplos Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si a = 36 m b = 48 m , c 5 30 m. Datos

Incógnitas

a = 36 m

∠A =

b = 48 m

∠B =

c = 30 m

∠C =

B

a = 36

c = 30

A

b = 48

C

Figura 8.7

cos A = =

b2 + c 2 − a2 2bc 48 2 + 30 2 − 36 2 2 ( 48) (30)

cos C = =

a2 + b2 − c 2 2ab 36 2 + 48 2 − 30 2 2 (36) ( 48)

= 0 . 6625

= 0 . 7812

∠A5 48 °30 9

∠C 538 °38 9

cos B = =

a2 + c 2 − b2 2ac 36 2 + 30 2 − 48 2 2 (36) (30)

= −0 . 0500 ∠B5 92 °52 9

169

BLOQUE

8


Aplicación de las TICs Ley de senos y cosenos 1. Utiliza el navegador de tu preferencia y busca qué es un triángulo oblicuángulo. 2. Investiga: a) ¿Cómo se puede determinar el área de un triángulo oblicuángulo? b) ¿En qué consisten la ley de senos y la ley de cosenos? c) ¿Quién fue Herón de Alejandría?, ¿cuál es su fórmula para calcular el área de un triángulo escaleno? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños Aplico las leyes de los senos y cosenos.


170

1

2


3

Debo mejorar en…



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


1

2

3

4

5



171

BLOQUE

8



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 18, b 5 26, A 5 40° 409.

4. Resuelve el triángulo oblicuángulo: b 5 825, c 5 945, A 5 25°.

2. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 14, b 5 12, A 5 35° 209.


3. Resuelve el triángulo oblicuángulo: b 5 129, c 5 87, A 5 27° 149.


172


7. Resuelve el triángulo oblicuángulo: b 5 46, c 5 18, A 5 115° 429.

9. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 28, b 5 36, A 5 125°.

8. Resuelve el triángulo oblicuángulo: a 5 124, c 5 175, A 5 83° 269.



Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Leyes de senos y cosenos así como los Conoce, obtiene y aplica las elementos necesarios leyes de senos y cosenos para la aplicación de una u otra

Bueno (3)

Regular (2)

Conoce y aplica las leyes de senos y cosenos

Conoce las leyes de senos y cosenos

Deficiente (1)

No conoce, ni obtiene, ni aplica las leyes de senos y cosenos

173

BLOQUE

8


Lista de cotejoa

Lista de cotejo para el reporte sobre el ángulo de inclinación de una rampa de la sección Aplica lo que sabes, de la página 169. Nombre del alumno:

Criterio

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema


174

11. Conoce y aplica correctamente el concepto de ángulo de inclinación. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Comprende las condiciones del problema. 14. Representa gráficamente las condiciones del problema. 15. Establece las relaciones entre los datos y lo que se pide. 16. Calcula el ángulo de inclinación de la rampa.

cumple sí

no

Observaciones


Rúbrica

Rúbrica para evaluar situaciones didácticas. Excelente (4)

Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Planteamiento de la situación didáctica

Identifica el problema y sus características

Identifica el problema

Identifica una parte del problema

No identifica el problema o no lo entiende

Datos

Elabora una lista de todos los datos

Elabora una lista necesaria y suficiente de datos

Elabora una lista insuficiente de datos

Elabora una lista de datos incorrectos

Incógnita

Determina cuál es la incógnita y cómo la va a resolver

Reconoce la incógnita y tiene idea de cómo resolverla

Identifica la incógnita pero no tiene la idea de qué va a hacer

No identifica la incógnita ni sabe cómo resolverla

Hipótesis

Predice todos los posibles

Predice algunas hipótesis

Predice algunos factores

No logra realizar una predicción

Procedimientos

Elabora una lista con todos los pasos y toma en cuenta detalles

Elabora una lista con todos los pasos

Elabora una lista con algunos pasos

Elabora una lista incorrecta de pasos

Resultados

Presenta resultados completos de forma escrita y gráfica

Presenta la mayoría de los resultados de forma organizada

Presenta algunos resultados de forma incompleta

Presenta resultados incompletos e incorrectos

Conclusiones

Obtiene conclusiones correctas y crea nuevos conocimientos y nuevas hipótesis

Llega a conclusiones correctas

Llega a algunas conclusiones

No logra realizar conclusiones


175

Aplicas la estadística elemental Tiempo asignado:

8 horas

9

B LO Q U E Objetos de aprendizaje 9.1 Población 9.2 Muestra

9.3 Medidas de tendencia central: para datos no agrupados y agrupados 9.4 Medidas de dispersión: para datos agrupados y no agrupados


n

n

Expresa sus ideas explicando e interpretando la diferencia entre población y muestra estadística, citando ejemplos. Interpreta los procesos para encontrar las medidas de tendencia central y de dispersión para datos agrupados y no agrupados usando las TIC. Interpreta el uso de las medidas de tendencia central y de dispersión en el análisis de un problema de su entorno o de su comunidad.

n

n n

Interpreta tablas, gráficas, diagramas con datos estadísticos de diferentes fuentes de información en situaciones problemáticas reales de su entorno cotidiano. Comparte su experiencia con responsabilidad centrándose en el tema. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: 1. Encuentra las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) del siguiente conjunto de datos:

10

8

9

5

5

8

10

8

9

10

10

9

9

10

10

5

7

7

8

8

5

5

10

7

10

7

6

7

8

8

2. ¿A qué se le llama rango?

Desempeños por alcanzar Identifica el significado de población y muestra. Reconoce las medidas de tendencias central y de dispersión. Aplica las medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados y no agrupados.

BLOQUE

9




Con la estatura de cada alumno de tu grupo determina la media, la mediana y la moda de los datos obtenidos.


Cada equipo debe investigar: ¿Cómo organizar los datos?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cómo obtener la media?

Producto a elaborar

¿Cómo obtener la mediana?

Tabla de datos.

¿Cómo obtener la moda?

Cálculos para obtener cada medida de tendencia central.


Rúbrica Para determinar las medidas de tendencia central que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-


¿Cómo sabes que lo hiciste bien? miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará el portafolio de evidencias para la evaluación del mes.


Anota el peso de cada alumno de tu grupo y determina la desviación típica de los datos. ¿Cómo interpretas ese valor?

178






¿Cómo organizar los datos?


¿Cómo representar los datos en una tabla? ¿Cómo realizar los cálculos para obtener la desviación típica?


Trabajo individual

En este ejemplo:


Producto a elaborar


Cálculos para obtener la desviación típica.


Rúbrica Para determinar la desviación típica que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por es-

Tabla de datos.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? crito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

179

BLOQUE

9


Propuestas de diseño para situaciones didácticas I. 1. Investiga y enlista: a) Cinco variables cualitativas. b) Clasifícalas en ordinales y nominales. c) Comenta con tus compañeros.

II. Para los siguientes conjuntos de datos elabora una tabla de frecuencias, represéntala gráficamente y obtén sus medidas de tendencia central; explica también cuál de ellas es la más adecuada para cada conjunto. 1.

2. Además de la temperatura, ¿qué otras variables continuas medidas por escala conoces? 3. Explica con tus palabras el concepto de estadística. 4. Organízate con tus compañeros y tomen una muestra de su grupo: a) Escojan una variable de interés (estatura, edad, color de pelo, longitud del cabello, etcétera). b) Elaboren una tabla de frecuencias que describa el fenómeno observado, ¿es conveniente hacer una tabla para datos agrupados? Explica. c) ¿Cuáles son los resutados del experimento?, representa tus resultados de manera gráfica. d) Comparen sus resultados con los de otro equipo, ¿son diferentes? ¿Por qué?, explica.

10

8

9

5

5

8

10

8

9

10

10

9

9

10

10

5

7

7

8

8

5

5

10

7

10

7

6

7

8

8

19.1

5.0

29.8

45.0

44.2

47.9

0.7

20.4

43.2

6.9

12.3

2.3

1.6

8.2

11.0

0.9

14.3

17.2

27.7

17.9

18.6

17.8

45.5

23.3

21.3

14

14

16

2

13

8

30

23

26

9

15

27

26

14

2

30

8

3

2

6

6

17

19

25

18

2.3

2.34

1.26

2.56

2.3

3.08

4.12

2.43

2.69

4.51

2.69

4.38

2.69

4.51

4.38

2.69

1.52

1.91

1.52

3.47

3.08

4.38

2.43

2.69

3.08

48

163

23

103

178

235

102

201

186

58

107

24

180

83

137

254

236

80

250

163

186

193

177

177

26

137

226

112

279

100

151

139

195

65

188

2.

3.

5. Investiga la relación entre los pasos de un estudio estadístico y el método científico.

4.

5.

180


8.

6. 28.9

85.2

83.8

30.7

28.3

42

95.8

xi

fi

66.1

71.2

56.8

91.2

72.7

58.9

33.7

2

75

52

99.1

61.1

38

41

22.8

48.7

4

82

26.4

59.2

26.7

74.7

75

92.9

28.7

6

65

75.3

66.4

21.7

87.2

23

79.1

60.9

8

29

84.8

85.8

41.3

49.3

73.1

83.3

51.9

16

15

97.5

60.1

53.4

90.7

25.9

64.3

21.2

32

54

7. 71.4

24.6

100.01

90.24

22.8

33.3

24

100.058

27.6

85

31.7

26.4

30.3

71.7

71.3

24.2

84.19

34.1

85.54

20.6

85.54

84.55

100.03

71.6

48.4

27.4

27.6

71.4

100.058

91.62

85.27

47.6

44

91.39

23.8

100.058

72.1

22.8

31.3

31.5

33.3

21.6

84.82

84.64

49.6

23.6

22.8

23.4

45.6

85.45

47.6

100.118

84.19

21

31.3

21.6

71.9

28.2

100.058

33.5

85.27

30.3

32.5

9.

10. xi

fi

xi

fi

(20.39-28.75)

473

(51-57.5)

89

(28.75-3711)

851

(57.5-64)

160

(37.11-45.47)

347

(64-70.5)

255

(45.47-53.83)

717

(70.5-77)

316

(53.83-62.19)

613

(77-83.5)

373

(62.19-70.55)

175

(83.5-90)

451

(70.55-78.91)

927

(90-96.5)

520

(78.91-87.27)

459

(87.27-95.63)

304

(95.63-103.99)

134

181

BLOQUE

9


11. xi

fi

0

9

1

15

2

20

3

33

4

54

5

73

6

87

7

96

8

112

9

120

12.

182

58.1

131.2

107.1

34.1

33.4

97.9

81.1

123.3

70.5

146.3

36.2

119.1

13

88

135.2

75.6

66.2

10.7

188.7

54.1

141.5

178.8

73

33.4

54.9

81.7

42.6

135.2

110

128.4

136.9

148.7

172.1

78.8

63.2

95.2

183.7

181.1

84.8

56.4

38

55.1

118.7

56.9

50.8

150.7

39.4

125

136.4

62.4

104.3

181.2

70.1

47.7

127.3

70.8

81.1

30.9

115.3

147.6

167.8

160.4

45.9

66

42

51

168.5

179.4

181.9

18.9

79.6

160.5

199.7

110.7

42.7

192.6

136.6

44.5

144.6

107.6

128.3

45.3

188.1

108.4

64.7

181

92.6

163.2

197.6

81.8

93.9

188.9

139

70.8

132.8

199.2

54.3

76.2

195.3

67.6


La estadística es la ciencia del Estado que se ocupa de determinar la riqueza individual. Achenwall (1749)

Introducción El señor Roberto, quien es dueño de un expendio de pan, se dio cuenta que no todos los días vendía la misma cantidad de bolillos, había días en los que vendía menos piezas de las que tenía y algunos otros en los que le hacían falta piezas. La situación le llamó tanto la atención que se acercó al señor Fernando, dueño de la papelería de enfrente, y le comentó la situación. Fernando le dijo que para ayudarlo necesitaba que diariamente anotara la cantidad de bolillos que vendiera y que al cabo de un mes le llevara la información. Un mes después el señor Hurtado le llevó los datos, y de inmediato el señor Fernando los organizó en una tabla y calculó los valores medios. Al finalizar los cálculos le recomendó a Roberto que comprara 400 bolillos diarios para asegurar su venta. Roberto siguió las indicaciones y al poco tiempo observó que sus ventas mejoraban gracias al tratamiento estadístico que le dio Fernando a sus datos.

El imperio romano tenía un control estricto de todo lo que sucedía dentro de su territorio, tanto así que todos los nacimientos y defunciones quedaban registrados en el templo de Saturno, el emperador Augusto puso gran empeño en la ejecución de los censos alrededor de todo el territorio. La civilización árabe fue la heredera de las prácticas estadísticas que posteriormente prosperaron siendo utilizadas en actividades financieras y administrativas. Durante la Edad Media el concepto de estadística desapareció por completo de la Europa cristiana, fue a principios del siglo xvii cuando Homan Conring desarrolla una investigación sistematizada de los hechos sociales. Desde entonces hasta nuestro días la estadística ha evolucionado y se ha convertido en una herramienta esencial que apoya a todas las áreas del conocimiento para recoger, ordenar, analizar e interpretar datos.

¿Qué es la estadística? Orígenes de la estadística

Definición de estadística

Desde los comienzos de la civilización han existido diversas manifestaciones de la estadística, se utilizaban representaciones gráficas en pieles, rocas, palos y paredes para representar el número de personas o animales. Se tienen registros que datan de hace más de 5 000 años de que los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para representar en ellas datos referentes a la producción agrícola, así como un registro detallado de las operaciones de compra de venta. Por otra parte, en China existen registros númericos con una antiguedad de 4 000 años en donde plasman datos como el número de pobladores así como el número de pobladores así como la cantidad de posesiones de los habitantes; los griegos de la época clásica (siglo v a. C.) realizaban censos con la finalidad de cobrar impuestos.

La estadística es la ciencia que recoge, ordena, analiza e interpreta la información obtenida sobre un fenómeno en particular para conocer los hechos del pasado, a fin de prever el comportamiento futuro y tomar decisiones basadas en la experiencia.

Pasos de un estudio estadístico 1. Plantear una hipótesis sobre la población. • Los fumadores faltan más al trabajo que los no fumadores. • ¿En qué sentido?, ¿tiempo medio?, ¿mayor número?

183

BLOQUE

9


2. Decidir qué datos recoger. • Qué individuos pertenecerán al estudio (muestras). Fumadores y no fumadores en edad laboral. Criterios de exclusión: ¿descartamos a quienes sufren enfermedades crónicas? • Qué datos obtendremos de las muestras (variables). Número de faltas al trabajo. Número de días de ausencia consecutivos. ¿Sexo? ¿Tipo de actividad? 3. Recolectar los datos sin perturbar el fenómeno (muestreo).

Actividad de aprendizaje ¿A qué se le llama población?

Actividad de aprendizaje ¿Qué es una muestra?

• Sistemáticamente (la muestra es homogénea). • Estratificado (la muestra es heterogénea y se divide en grupos). 4. Describir los datos obtenidos. • Tiempo medio de las faltas al trabajo. • Porcentaje de faltas en fumadores y no fumadores. • Elaboración de gráficas. 5. Realizar una inferencia sobre la población.

Actividad de aprendizaje ¿Qué es una variable?

• En promedio, los fumadores faltan al menos 15 días más que los no fumadores.

9.1 Población La población es un conjunto sobre el cual estamos interesados en obtener conclusiones, por ejemplo, los habitantes de un estado, los automóviles en una ciudad. Normalmente las poblaciones son muy grandes para poder estudiarlas en forma directa, por lo cual recurrimos a una muestra.

Actividad de aprendizaje ¿Cuáles son los tipos de variables cualitativas?

Actividad de aprendizaje ¿Cuáles son los tipos de variables cuantitativas?

9.2 Muestra Es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el cual haremos las observaciones; debe ser representativa y estar formada por miembros seleccionados de la población. Por ejemplo, los habitantes en una colonia o los automóviles en un fraccionamiento.

184

Variable Atributo que nos interesa estudiar en una muestra. Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas. Variables cualitativas: Tienen la característica de que no se pueden realizar operaciones algebraicas con ellas; éstas a su vez pueden ser:


Nominales: son los valores no ordenables. Por ejemplo, grupo sanguíneo, religión, nacionalidad, etcétera. Ordinales: son aquellas que se pueden ordenar. Por ejemplo, el estado de ánimo de una persona, grado de satisfacción, etcétera. Variables cuantitativas o numéricas (variables típicas): Estas variables pueden ser: Discretas: son aquellas variables que solamente se toman en números enteros, por ejemplo, el número de focos de una casa o el número de hijos de una pareja. Continuas: estas variables a su vez pueden ser: Medidas por razón: son aquéllas en las que tiene sentido hacer operaciones algebraicas con ellas, por ejemplo, la velocidad que llevan los autos en una autopista. Medidas de escala: son aquellas que sólo se pueden sumar o restar, por ejemplo, la temperatura.

n

∑ f 5 f 1 f 1)1 f 5N i 51

i

1

2

n

Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en porcentajes y se representan por ni. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. f ni 5 i N Frecuencia acumulada: es la suma de todas las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por Fi. Actividad de aprendizaje ¿Qué tipos de frecuencia existen?

Nota: cuando son variables cualitativas no se pierde información.

Tablas de frecuencia Las tablas de frecuencia son herramientas que nos permiten ordenar los datos para hacer más fácil el estudio de las variables de interés, distinguimos tres tipos de frecuencias: Frecuencia absoluta: es el número de veces que aparece cierto valor en un estudio estadístico; se representa con la letra fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N. f1 1 f2 1 … 1 fn 5 N Actividad de aprendizaje Al organizar los datos, ¿para qué se utiliza una tabla de frecuencias?

Tabla de frecuencia absoluta (ejemplo 1) Ejemploa Se desea saber cuántos hijos tienen las parejas de entre 28 y 35 años de la colonia Petrolera de la Ciudad de México. Se tomó una muestra de 200 familias y se obtuvo la siguiente información: 24 familias no tienen hijos, 50 tienen un hijo, 80 tienen dos hijos, 36 tienen tres hijos y 10 familias tienen cuatro hijos. La característica de interés es el número de hijos y notamos que se trata de una variable discreta, el paso siguiente es ordenarlos en una tabla de frecuencias absolutas. Para elaborarla dibujamos dos columnas, en la primera colocamos la variable de interés y en la segunda la frecuencia, como se muestra a continuación. Número de hijos por pareja

Frecuencia fi

0

24

1

50

2

80

3

36

4

10

Total

200

Otra forma de representar al número de datos es a través de una sumatoria, que se denota con la letra S, y se interpreta de la siguiente manera: La suma desde uno hasta n de las xi Este operador significa sumas sucesivas o sumatoria

n i 51

Indica el último valor de i

xi

i-esimo término de la suma si i 5 2, entonces es el segundo elemento de la suma Indica el valor de inicio

Como puede verse, es una manera más compacta de indicar las sumas sucesivas.

Tabla 9.1

A partir de la tabla de frecuencias absolutas se pueden construir las demás tablas de frecuencia.

185

BLOQUE

9


Tabla de frecuencia acumulada

Ejemplo

Esta tabla puede considerarse como una extensión de la tabla de frecuencias absolutas, se agrega una columna y en ella se van colocando las sumas de las frecuencias absolutas y la frecuencia acumulada se representa como Fi. La construcción de esta tabla se muestra a continuación: Número de hijos por pareja

Frecuencia fi

Frecuencia acumulada Fi

0

24

24

1

50

24 + 50 = 74

2

80

74 + 80 = 154

3

36

154 + 36 = 190

4

10

190 + 10 = 200

Total

200

Tabla 9.2

Tabla de frecuencia relativa

Ejemplo

La frecuencia relativa nos indica el porcentaje que representa la frecuencia absoluta de cada valor de la variable respecto del total de observaciones y se denota como ni. Número de hijos por pareja

Frecuencia fi


0

24

24/200 = 12%

1

50

50/200 = 25%

2

80

80/200 = 40%

3

36

36/200 = 18%

4

10

10/200 = 5%

Total

200

100%

Tabla 9.3

Tabla de frecuencia relativa acumulada

Ejemplo

La frecuencia relativa acumulada nos indica el porcentaje de observaciones que hemos recorrido y se representa como Ni.

Tabla 9.4

186

Número de hijos por pareja

Frecuencia fi

Frecuencia relativa ni

Frecuencia relativa acumulada Ni

0

24

12%

12%

1

50

25%

12% + 25% = 37%

2

80

40%

37% + 40% = 77%

3

36

18%

77% + 18% = 95%

4

10

5%

95% + 5% = 100%

Total

200

100%


Tabla de frecuencias

Ejemplo Todas las frecuencias pueden representarse en una sola tabla llamada simplemente tabla de frecuencias. Número de hijos por pareja

fi

ni

Fi

Ni

0

24

12%

24

12%

1

50

25%

74

37%

2

80

40%

154

77%

3

36

18%

190

95%

4

10

5%

200

100%

Total

200

100%

Tabla 9.5

(Ejemplo 2)

Contesta las siguientes preguntas: ¿Cuántas parejas tienen menos de tres hijos? ¿Cuántas parejas tienen al menos tres hijos? ¿Qué porcentaje de parejas tiene al menos dos hijos? ¿Qué porcentaje de parejas tiene exactamente tres hijos? Los datos anteriores nos muestran un ejemplo clásico de la aplicación de una tabla de frecuencias para una variable discreta; una característica importante de esta herramienta es que puede utilizarse tanto en el caso discreto como en variables continuas. Para saber qué tipo de tabla vamos a elaborar, debemos analizar el tipo de datos que tenemos: Si tenemos pocas observaciones de una variable (máximo 20) o bien tenemos muchas observaciones de una variable que toman pocos valores, entonces tenemos datos NO agrupados y elaboramos la tabla de frecuencias como se mostró en el ejemplo. Si el número de valores distintos que toma una variable es mayor a 20, tenemos datos agrupados, es decir, clasificados en intervalos; a cada intervalo se le llama clase.

Actividad de aprendizaje ¿A qué se les llama datos agrupados?

Ejemplo El número de revistas que se venden en un puesto de periódicos varía todos los días. Se han tomado las siguientes lecturas del número de revistas vendidas en 42 días. 32

45

26

18

38

45

40

34

19

27

27

16

19

27

45

21

34

32

29

23

24

30

40

20

25

36

31

37

28

33

23

31

45

19

40

26

19

27

28

22

32

37

Tabla 9.6

Se buscan los valores menor y mayor de la distribución, en este caso son xmín 5 16 y xmáx 5 46. — El número de intervalos se define como √n ; para facilitar nuestro estudio formaremos 6 intervalos o clases. La diferencia entre los valores máximo y mínimo de nuestros datos se llama rango de la variable: R 5 xmáx – xmín 5 45 2 16 5 29 Para obtener la amplitud de los intervalos se debe dividir el rango entre el número de intervalos deseados: amplitud 5

29 R 5 5 4.83 ≈ 5 Número de intervalos 6 187

BLOQUE

9



Intervalo

Frecuencia fi



[16, 21)

7

16.67%

7

[21, 26)

6

14.29%

13

[26, 31)

10

23.81%

23


[31, 36)

8

19.05%

31

¿Cómo se determina el rango de un conjunto de datos?

[36, 41)

7

16.67%

38

[41, 46)

4

9.52%

42

¿Qué tipos de representaciones gráficas pueden usarse para variables continuas?

Tabla 9.7

Es común que la amplitud tome un valor decimal. Lo que hacemos en este caso es aproximar el valor de la amplitud al entero más cercano, ya sea el mayor o el menor, a continuación sumamos el valor de la amplitud de intervalo al valor mínimo para obtener el valor de la frontera superior del primer intervalo. xmín 1 amplitud 5 16 1 5 5 21

Contesta las preguntas: ¿Cuántos días se vendieron menos de 30 revistas? ¿Cuántos días transcurrieron para que se vendiera al menos 30% del total de las revistas del mes? ¿Hay más de una respuesta? ¿Por qué? Explica.

Posteriormente repetimos este procedimiento sustituyendo xmín por la frontera superior del intervalo anterior, para así obtener los valores frontera de todos los intervalos; es importante señalar que la frontera superior de cada intervalo NO pertenece al mismo, simplemente señala el inicio del siguiente intervalo.

Para tu reflexión


Sus contribuciones en diversas ramas le han situado entre los grandes científicos del siglo XX, de los cuales destacan los hallazgos en dinámica de sistemas, análisis funcional, teoría de la probabilidad y estadística, lógica matemática, intuicionismo y constructivismo lógicos, teoría de la información, automática y cibernética, etcétera. Obtuvo las más altas distinciones del sistema soviético de los que destacan es Lenin. En 1963 Andrei fue distinguido con el premio internacional Bolzano.

¿Qué es la marca de clase?

Por último, calculamos la marca de clase, que es la suma de la frontera inferior y el valor medio entre el valor máximo y el valor mínimo de cada intervalo; esta marca es una herramienta muy útil para representar gráficamente una tabla de frecuencias como veremos más adelante.  x –x  m = x mín +  máx mín    2 Ya que conocemos las clases, agrupamos los datos en la clase que les corresponde, como se muestra a continuación: 188

Andréi N. Kolmogorov (1903-1987)

Matemático e historiador, nacido en Tambov (Rusia), sus estudios los realizó en la Universidad Estatal de Moscú. Consiguió su doctorado en 1925. Andrei fue profesor de matemáticas en la Universidad de Moscú (1931).

En el campo de la teoría de las matemáticas amplía y da un sentido más profundo de las formulaciones de la teoría del matemático estadounidense Claude Shannon. Kolmogorov plantea una teoría de la complejidad la cual le permitió que se trasladara al campo de la computación.


Ejercicios

1. Se tienen los siguientes datos correspondientes al consumo mensual de litros de leche de 50 familias: 10.1

20.1

60.3

20.1

40.3

67.4

21

80

10

20

40

58

58

10

20

40

10

10

20

20

10

20

10

20

85

60

43

21.4

22

22

42.8

30

40

80.2

72

20

42.7

59.8

103.3

20.1

21.8

50.3

15

43.4

17.7

67.2

81.9

44.4

75.6

74.5

Tabla 9.8

a) ¿Es conveniente tratar la información como datos no agrupados? Explica. b) Elabora una tabla de frecuencias. c) ¿Cuántos intervalos es conveniente utilizar? 2. En una prueba de lectura, 60 niños obtuvieron las siguientes calificaciones: 7

5

9

6

6

6

5

5

10

7

8

6

7

6

6

6

7

7

8

8

5

6

8

6

8

7

6

6

8

8

8

10

7

9

8

9

10

10

7

7

5

9

10

7

10

10

8

6

10

7

8

9

8

5

10

8

5

8

6

10

Tabla 9.9

a) ¿Cómo debemos manejar los datos: agrupados o no agrupados? b) Elabora una tabla de frecuencias. c) Si consideramos que la calificación mínima aprobatoria es seis, ¿qué porcentaje reprobó? 3. En un grupo de 25 niños se le pregunta a cada uno cuántos hermanos tiene; los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla: 0

1

3

1

2

0

0

1

1

2

2

1

2

3

3

1

0

2

1

0

1

2

1

0

3

Tabla 9.10

a) Elabora una tabla de frecuencias. b) ¿Cuántos niños tienen al menos dos hermanos? c) ¿Cuántos niños tienen más de dos hermanos?

189

BLOQUE

9


Aplica lo que sabes

Ejemplo


Se hizo una encuesta a un grupo de 55 personas sobre el nivel de satisfacción del cliente en un restaurante y la información se concentró en la siguiente tabla:

Investiga por entidad federativa en México el número de casos de gripe AH1N1 (conocida también como influenza) que se registraron en el periodo que comprende del 25 de abril al 31 de agosto de 2009. Elabora una gráfica de barras en donde se ilustre la frecuencia por entidad federativa.

Nivel de satisfacción

Frecuencia fi

Regular

13

Bueno

25

Excelente

17

Total

55

Tabla 9.11

Representaciones gráficas Ya que conocemos los diferentes tipos de variables y la forma de ordenarlas en tablas, es conveniente elaborar gráficas que nos ayuden a interpretar fácilmente el contenido de las diferentes tablas de frecuencia que agrupen tanto variables cualitativas como cuantitativas.

Para variables cualitativas podemos utilizar: a) Diagramas de barras • Las alturas son proporcionales a las frecuencias (absoluta o relativa). • Se pueden aplicar también a variables discretas.

Para elaborar la gráfica de barras dibujamos una línea horizontal en donde colocaremos los distintos valores que toma nuestra variable, después, trazamos una línea vertical en donde estará representada la frecuencia (absoluta o relativa), por último dibujamos las barras, cada una tendrá una altura igual a su frecuencia. ¿Cómo califica nuestro servicio? 30 25

25 20

17

13

15 10 5 0

Regular

Bueno

Excelente

Figura 9.1

b) Diagramas de pastel Actividad de aprendizaje ¿Qué tipos de representaciones gráficas pueden usarse para variables discretas?

• En este tipo de gráficas el área que ocupa cada variable es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa). • No debe usarse con variables ordinales.

Ejemplo En un banco de sangre están interesados en conocer los porcentajes de donadores para los tipos de sangre A, B, AB y O. Se tomó una muestra de 260 donadores y se concentró la información en la siguiente tabla. Representa gráficamente la información utilizando un diagrama de pastel.

190


Tipo de sangre

Frecuencia fi

A

70

B

50

AB

20

O

120

Total

260

Tipo B > 69° Tipo AB > 28° Tipo O > 166° Ya que conocemos cuántos grados ocupa cada variable, dibujamos una circunferencia y seleccionamos un punto arbitrario para iniciar el conteo de los grados para la sangre tipo A. 0°

Tabla 9.12

Lo primero que debemos hacer es construir una tabla de frecuencias relativas, ya que se nos solicita el porcentaje de cada tipo sanguíneo: Tipo de sangre

Frecuencia fi


A

70

26.92%

B

50

19.23%

AB

20

7.69%

O

120

46.15%

Total

260

100%

Tabla 9.13

Hasta el momento, podemos decir que 26.92% de los donadores tiene sangre tipo A, 19.23% tipo B, 7.69% tiene sangre tipo AB y 46.15% tiene sangre tipo O; lo único que nos falta es representar gráficamente la información que hemos obtenido.

97°

Figura 9.2

Para la sangre tipo B, iniciamos nuevamente el conteo en la marca final del área correspondiente al tipo A, en este caso, posicionaremos el cero del transportador en la marca de 97 grados y haremos una marca cuando lleguemos a los 69° (sangre tipo B); de esta manera se repite el procedimiento hasta terminar con todos los valores de la variable y finalmente terminamos el gráfico como sigue: Tipo de sangre

A 26.92%

O 46.15%

Para construir un diagrama de pastel requerimos conocer cuántos grados de la circunferencia va a cubrir cada uno de los valores de la variable de interés, esto lo podemos calcular rápidamente empleando una simple operación aritmética de proporción, comúnmente conocida como “regla de tres”.

AB 7.69%

B 19.23%

Figura 9.3

c) Pictogramas

En el caso de la sangre tipo A, 70 de 260 lo tienen, entonces:

• Son fáciles de entender.

70 × 360° 260 – 360° ⇒ = 96.92° ≅ 97° 70 – x 260 Sabemos que la sangre tipo A ocupará 96.92 grados de la circunferencia, el símbolo > significa que es aproximadamente igual a 97°, hacemos esta aproximación ya que a menos que tengamos una computadora para hacer la gráfica, es difícil marcar con precisión los 96.92° utilizando un transportador.

• Como su nombre lo indica, se auxilia de imágenes para representar el comportamiento de una variable.

Del mismo modo calculamos los grados necesarios para los tipos B, AB y O, los cuales quedan de la siguiente manera:

Ejemplo Un club deportivo tiene la intención de impartir clases de verano a los hijos de los trabajadores, sin embargo, el presupuesto solamente alcanza para pagar las clases de dos disciplinas. Para que su decisión sea lo más cercana a las necesidades reales, se decidió hacer

191

BLOQUE

9


Para variables cuantitativas tenemos un muestreo para determinar cuáles deportes son los más populares entre los niños para así brindarles esos cursos. Es muy importante que los niños sepan que la decisión se tomará dependiendo del número de votos que tengan los deportes; para que esto sea posible el administrador decide presentar los datos con un pictograma. Se tomó una muestra de 22 niños y los resultados se muestran en la siguiente tabla: Deporte

Frecuencia fi

Futbol

9

Beisbol

4

Basquetbol

6

Tenis

3

Total

22

Tabla 9.14

Para representar los datos en un pictograma lo único que tenemos que hacer es seleccionar una imagen que represente cada valor de la variable y simplemente la ponemos como si fuera un diagrama de barras; en este caso particular, decidimos representar cada deporte con el balón o pelota que le corresponde.

a) Diagramas de barras (variables discretas) • Al igual que en el diagrama de barras para variables cualitativas, las alturas de las barras son proporcionales a la frecuencia. • Se deja un hueco entre las columnas para indicar que hay valores que no son posibles. b) Histogramas (variables continuas) La construcción de un histograma es una tarea sencilla porque ya conocemos la forma de agrupar datos en intervalos o clases; esta representación gráfica consiste en un diagrama de barras que están juntas entre sí (porque la variable es continua), la altura que tomará cada barra corresponde al valor de la frecuencia de su intervalo. Ejemplo En el censo general de población y vivienda del año 2000, el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI) reportó el número de habitantes de la República Mexicana, pero también reportó el número de hijos por pareja y el nivel educativo de las familias. Se obtuvo la siguiente información acerca del número de hijos de 1 500 parejas de Cuautitlán Izcalli, estado de México. Número de hijos

Frecuencia fi

0

419

1

254

2

375

Beisbol

3

215

Basquetbol

4

124

Tenis

5

53

6

24

7

23

8

13

Total

1 500

¿Cuál es tu deporte favorito? Futbol

Número de personas

Figura 9.4

Tabla 9.15

Procedemos de la misma manera que lo hicimos para la variable cualitativa; primero dibujamos los ejes, en el horizontal colocamos el número de hijos y en el vertical la frecuencia, después, dibujamos las barras sobre los valores que pueden tomar; las alturas que tomarán son sus frecuencias respectivas.

192


450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

Como vimos anteriormente, el primer paso es calcular el rango de la variable y posteriormente calcular la amplitud de los intervalos para construir la tabla de frecuencias. Identificamos xmín 5 101.3 y xmáx 5 119.6, entonces: R 5 119.6 2 101.3 5 18.3 cm

Número de hijos por pareja

419

375 254

215 124

1

2

3

4

53

5

6

24 7

23 8

13 9

Figura 9.5

Para este ejercicio utilizaremos cinco clases o intervalos, entonces, la amplitud se calcula como R 18 . 3 = = 3 . 66 cm amplitud = intervalos deseados 5 Cuando calculemos las fronteras de las clases, nos daremos cuenta de que se requiere un intervalo más, ya que la frontera superior del último intervalo es 119.6. Clases

[101.3 – 105.0)

Ejemplo

[105.0 – 108.6)

Un profesor de educación física mide la estatura en centímetros de todos los alumnos de una escuela primaria porque se desea saber si el desarrollo de los niños es el adecuado. En la siguiente lista se muestran las estaturas de 60 niños de segundo grado. Elabora un histograma y obtén el polígono de frecuencia. 117.1

113.7

110

112.3

113.6

102.8

112.6

108.2

105.9

109

108.6

110.8

109.3

108

105.6

109.8

103.7

111.2

110.6

104.6

108.8

106.1

114.1

106.9

107.5

106.6

107.4

107.4

105.2

103

119.4

107.2

112.2

114.8

106.8

119.6

116

110.7

107.6

110.5

102.5

102.1

109.5

111.9

106.4

110.4

113.2

118.6

107.9

108.1

107.7

104.8

109.3

108.9

104.2

111.4

101.3

111.7

111.1

109.7

Tabla 9.16

Es un intervalo adicional que NO nos conviene utilizar ya que solamente tiene un valor

[108.6 – 112-3) [112.3 – 115.9) [115.9 – 119.6) [119.6 – en adelante) Tabla 9.17

Como ya se mencionó, el último intervalo no nos sirve porque no contiene 5% de la muestra, además, habíamos decidido utilizar cinco intervalos y con la amplitud obtenida vemos que se requieren seis. Es muy importante mencionar que la estadística es una herramienta a nuestro servicio y por, tanto debe adecuarse a nuestras necesidades; como hemos comprobado, se requieren seis intervalos (estrictamente hablando), pero como determinamos, que usaremos cinco, entonces procedemos a adecuar el número de clases al número que requerimos, para eso debemos cambiar la amplitud de nuestros intervalos, esto lo hacemos simplemente asignando otro valor al rango (normalmente el entero consecutivo) para cambiar la proporción de amplitud, en nuestro caso, aproximaremos el rango a 18.5, entonces: R 18 . 5 = = 3 . 7 cm amplitud = intervalos deseados 5 Y los cinco intervalos requeridos son: Clases

[101.3 – 105.0) [105.0 – 108.7) [108.7 – 112.4) [112.4 – 116.1) [116.1 – 119.8) [119.6 – en adelante) Tabla 9.18

193

BLOQUE

9


Ahora construimos la tabla de frecuencias de nuestra variable y calculamos el valor de las marcas de clase: Clases

mi

fi

ni

Fi

Ni

[101.3 – 105.0)

103.15

9

15%

9

15%

[105.0 – 108.7)

106.85

19

32%

28

47%

[108.7 – 112.4)

110.55

21

35%

49

82%

[112.4 – 116.1)

114.25

7

12%

56

93%

[116.1 – 119.8)

117.95

4

7%

60

100%

Tabla 9.19

Para dibujar el histograma seguimos los mismos pasos que usamos para una gráfica de barras, la única diferencia es que en este caso, las barras están juntas Estatura de niños de segundo año 25 20 Frecuencia

21

19

15 9

10

7 4

5 0

105

101.3

108.7

112.4

116.1

119.8

Figura 9.6

c) Polígonos de frecuencia El polígono de frecuencias se grafica a partir de las frecuencias absolutas, aunque también puede dibujarse fácilmente a partir de un histograma; se construye de la siguiente manera: marcamos los puntos medios de la parte superior de cada barra (marca de clase) y unimos los puntos. Estatura de niños de segundo año 25 19

20

21

15 10

9

7 4

5 0

Figura 9.7

194

103.15

106.85

110.55

114.25

117.95


d) Polígono de frecuencias acumuladas Como su nombre lo indica, se construye a partir de las frecuencias acumuladas, se dibuja de la siguiente manera: en el eje horizontal se colocan las marcas de clase, después, sobre cada marca de clase marcamos un punto a la altura que nos indica la columna de las frecuencias acumuladas, por último unimos los puntos con una línea. Estatura de niños de segundo año 70 60 50 40 30 20 10 0

103.15

106.85

110.55

114.25

117.95

Figura 9.8

e) Polígono de frecuencias acumuladas relativas Para construir el polígono de frecuencias acumuladas relativas, seguimos el mismo procedimiento que en el inciso anterior, el único cambio es que utilizaremos la columna de frecuencia acumulada relativa. Estatura de niños de segundo año 120% 100% 80% 60% 40% 20% 0%

103.15

106.85

110.55

114.25

117.95

Figura 9.9

Ejercicios

1. Investiga y enlista: a) Cinco variables cualitativas b) Clasifícalas en ordinales o nominales c) Comenta con tus compañeros 2. Además de la temperatura, ¿qué otras variables continuas medidas por escala conoces? 3. Explica con tus palabras el concepto de estadística. 4. Organízate con tus compañeros y tomen una muestra de su grupo:

a) Escojan una variable de interés (estatura, edad, color de pelo, longitud del cabello, etcétera). b) Elaboren una tabla de frecuencias que describa el fenómeno observado. ¿Es conveniente hacer una tabla para datos agrupados? Explica. c) ¿Cuáles son los resultados del experimento? Representa tus resultados de manera gráfica. d) Comparen sus resultados con los de otro equipo. ¿Son diferentes? ¿Por qué?, explica. 5. Investiga la relación entre los pasos de un estudio estadístico y el método científico. 195

BLOQUE

9


Aplica lo que sabes

Ejemplo


Las calificaciones de Laura en el primer bimestre son las siguientes, matemáticas 8, español 7, ciencias sociales 10, ciencias naturales 6, civismo 9 y geografía 8.

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.

Para conocer el promedio, realizamos la operación descrita anteriormente:

x=

En el uso de la lavadora doméstica: 1. ¿Cuál es la media de litros de agua para lavado como máximo? 2. ¿Por qué es recomendable utilizar cargas máximas de ropa? 3. ¿Cuál es el ahorro de agua cuando se evita el doble enjuague? 4. ¿Qué medidas concretas podemos adoptar para conservar nuestra ropa en las mejores condiciones y a la vez ahorra agua en su lavado? 5. ¿Qué tipo de jabón es el que se recomienda por los fabricantes de lavadoras para hacer más eficiente el consumo de agua?

9.3 Medidas de tendencia central: para datos no agrupados y agrupados Las medidas de tendencia central son instrumentos que toman todos los datos de una muestra y los concentran en un único valor, las más comunes son los siguientes:

Media aritmética o promedio Es quizá la medida de tendencia central más común y cuyo uso se ha extendido en todas las áreas del conocimiento. Se denota con el símbolo x cuando se trata de una muestra, si se trata de una población se usa la letra griega m. Dado un conjunto de datos x1, x2, x3, . . . , xn. Se define la media como x=

196

x1 + x 2 + x a + ) + x n 1 n = ⋅∑ x i n n i =1

8 + 7 + 10 + 6 + 9 + 8 48 = =8. 6 6

Decimos entonces que el promedio de Laura es de 8. ¿Otro alumno puede tener el mismo promedio con diferentes calificaciones? ¿Por qué?

Mediana La mediana no busca el valor central del intervalo de variación de la variable según la cantidad de observaciones, sino que busca determinar el valor que tiene aquella observación que divide al número total de observaciones por la mitad, se denota por x,. x^ x(1) ≤ x( 2 ) ≤…≤ x

n ( ) 2

50%

≤…≤ x( n–1) ≤ x( n )

50% 2 x

Figura 9.10

La notación x(n) nos sirve para indicar la posición de la variable; es muy importante saber que xn ? x(n) El cálculo de la mediana requiere que los datos estén ordenados, ya sea de menor a mayor o de mayor a menor para poder realizar un conteo y determinar el valor de la observación que divide a la muestra exactamente a la mitad. Cuando calculamos la mediana de una muestra puede ocurrir dos situaciones, la primera de ellas sucede cuando el número de elementos de la muestra es impar, el segundo caso es cuando el número de elementos es par.


Ejemplos 1. En una escuela rural se observó que las distancias en kilómetros recorridas por 15 alumnos de su casa a la escuela son las siguientes: x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

0.5

1

4.5

3.1

5.1

5.2

3.4

3.9

2.5

3

4.3

1.4

2

2.7

4

Calcula la mediana de la muestra: x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

x(8)

x(9)

x(10)

x(11)

x(12)

x(13)

x(14)

x(15)

0.5

1

1.4

2

2.5

2.7

3

3.1

3.4

3.9

4

4.3

4.5

5.1

5.2

De antemano sabemos que nuestra muestra está compuesta de datos, es decir, es impar, por lo que la posición de la mediana se calcula: posición de xx =

n + 1 15 + 1 16 = = =8 2 2 2

Sabemos entonces que el número colocado en la posición 8 de los datos ordenados corresponde a la mediana 0.5

1

1.4

2

2.5

2.7

3

3.1

3.4

3.9

4

4.3

4.5

5.1

5.2

2 x Por lo que x 53.1 km. ¿Qué sucede si cambiamos la lectura de 5.2 por una de 10 kilómetros? ¿Se altera la mediana? ¿Por qué? ¿Cuál es la diferencia con la media aritmética? 2. Consideremos el consumo mensual de agua en m2 de una empresa dedicada a la fabricación de anilinas para productos textiles. Deseamos conocer la mediana del consumo de agua. Enero

20

Abril

36

Julio

34

Octubre

44

Febrero

24

Mayo

28

Agosto

36

Noviembre

30

Marzo

30

Junio

38

Septiembre

36

Diciembre

26

Tabla 9.20

Advertimos que el número de observaciones es par, por lo que la mediana se calcula como el promedio de los dos valores centrales como se muestra a continuación:

 n n  x   1 x  11  2 2  x5 2

Para hacer el cálculo tenemos que ordenar los datos, lo haremos de menor a mayor. x(1)

x(2)

x(3)

x(4)

x(5)

x(6)

x(7)

x(8)

x(9)

x(10)

x(11)

x(12)

20 24 26 28 Entonces n 5 12.

30

30

34

36

36

36

38

44

Por tanto:

xx,

x  12  + x  12 =x^

  +1 2

  2

2

=

x( 6 ) + x( 7 ) 2

=

30 + 3 4 64 = = 32 m 3 2 2

197

9


Obtención de la mediana a partir de representaciones gráficas En ocasiones es difícil o muy tardado ordenar todos los valores de una variable para calcular la mediana, cuando esto sucede, podemos recurrir a los polígonos de frecuencia relativa acumulada para encontrar rápidamente esta medida de tendencia central. Ejemplos Un criador de cerdos registró 370 partos en su granja, anotó el número de lechones por camada y después llevó los datos con el dueño de la tienda de forraje y le pidió que le ayudara a interpretar la información. Entonces el vendedor de forraje le comentó que lo va ayudar a encontrar el valor representativo del número de lechones que nacen por camada. El tendero se da cuenta de que la muestra presenta demasiados valores por lo que determina que la media aritmética no es una medida representativa, ya que al haber valores distantes entre sí, el resultado puede sufrir alteraciones; entonces, recuerda que la mediana es una medida robusta ante mediciones extremas y decide emplearla para ayudar a su amigo. Con los datos que le llevó el criador, el vendedor de forraje organizó los datos en una tabla de frecuencias, en ella se aseguró de incluir a la frecuencia relativa y a la frecuencia relativa acumulada y quedó como sigue:

El dueño de la tienda de forrajes sabe que calcular la mediana con tantas observaciones lleva mucho tiempo si se hace de la manera tradicional ordenando los datos, entonces, recurre a un polígono de frecuencias relativas acumuladas para calcularla. 100.00% 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00%

Frecuencia relativa acumulada

BLOQUE

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Número de lechones

Figura 9.11

Una vez que elaboró la gráfica, sabe que debe buscar el valor en donde la gráfica cruza el 50% del total. 70 60 50 40

Número de lechones

Frecuencia (fi)

Frecuencia relativa (ni)

Frecuencia relativa acumulada

2

3

0.8%

0.81%

3

4

1.1%

1.9%

4

6

1.6%

3.5%

5

8

2.2%

5.7%

6

17

4.6%

10.3%

7

25

6.8%

17.0%

Entonces, el dueño de la tienda de forrajes determina que la mediana es:

8

30

8.1%

25.1%

x 510

9

37

10.0%

35.1%

10

55

14.9%

50.0%

Y le dice a su amigo que una buena aproximación al número de lechones que nacen por parto es de 10.

11

58

15.7%

65.7%

12

39

10.5%

76.2%

13

45

12.2%

88.4%

14

21

5.7%

94.1%

15

12

3.2%

97.3%

16

10

2.7%

100.0%

Total

370

100%

Tabla 9.21

198

30 20 10 0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Número de lechones Figura 9.12

Moda También conocida como valor modal es una medida de posición representada por x , que se define como el valor que más se repite de una variable. Para conocer el valor de la moda solamente tenemos que buscar el valor que más se repite en una muestra, el problema radica en que puede haber más de una moda o bien puede no existir.


Ejemplo En una tienda de zapatos desean saber cuál es la talla más vendida en calzado para mujeres; para saberlo, se tomó una muestra con 20 observaciones y los resultados obtenidos son los siguientes: 4

3

3.5

5

4

3

3.5

2.5

4

5

4

5

4

3

4.5

4.5

4

3.5

3

4

Mascotas por casa

16 14 12 10 8 6 4 2 0

14

6

5

4

2

3

1 0

1

4

Tabla 9.22

Para saber qué talla es la más vendida recurrimos a la moda, ya que esta medida nos indica el valor que más se repite dentro de la muestra, para calcularla recurrimos a un simple conteo, para facilitarlo elaboramos una tabla de frecuencias absolutas. Talla de zapato

Frecuencia fi

2.5

1

3

4

3.5

3

4

7

4.5

2

5

3

Total

20

Tabla 9.23

Podemos ver claramente que la talla que más se repite es 4, por lo que: x, x^ 5 4 Entonces, podemos decir que la talla de zapato de mujer más vendida en la zapatería es la talla 4.

Figura 9.13

Como se indicó con anterioridad, la moda sirve para conocer el dato que más se repite en una muestra, en este caso particular es obvio que el valor más repetido es 1, por lo que afirmamos que:

x, x^ 5 1 Ejemplo Recordemos al criador de cerdos que deseaba conocer cuál era el número de lechones por alumbramiento; en la siguiente gráfica se muestra el histograma que representa los datos que él obtuvo: 70 60 50 40 30 20 10 0

Obtención de la moda a partir de representaciones gráficas Del mismo modo que la mediana, la moda puede obtenerse a partir de un gráfico, la diferencia es que se utilizan diagramas de barras o histogramas.

2

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 Número de lechones

Figura 9.14

Podemos ver claramente que el valor que más se repite es 11, por lo que podemos considerar que x, x^ 5 11, pero si observamos nuevamente la gráfica podemos ver que no existe una sola moda, existen tres valores que sobresalen de los demás. Entonces, decimos que la muestra tiene muchas modas o que la muestra es multimodal, de esta forma, tenemos que:

Ejemplo Supongamos que estamos interesados en conocer cuántas mascotas por casa hay en una colonia, recolectamos 30 muestras y los resultados se muestran en una gráfica de barras.

x, x^15 10

x, x^2 5 11

x, x^3 5 13

Entonces vemos que los números más frecuentes de lechones por cada nacimiento son 10, 11 y 13.

199

BLOQUE

9

Aplicas la estadística elemental Ventajas y desventajas de la mediana Ventajas:

70

1. Es la medida de tendencia central menos sensible a los valores de la variable.

60 50

2. Puede calcularse aun con datos incompletos, siempre y cuando se conozca de antemano el número de datos de la muestra y los valores de los términos centrales.

40 30 20 10 0

2

3

4

5

6

7

8 9 10 11 12 13 14 15 16 Número de lechones

Figura 9.15

Características de las medidas de tendencia central A continuación se describen de manera breve las ventajas y desventajas de las medidas de tendencia central para efectos de su aplicación.

Ventajas y desventajas de la media Es la medida de tendencia central más usada porque ofrece las siguientes ventajas: 1. Su forma de cálculo es sencilla. 2. No es necesario ordenar los datos. 3. Se puede calcular inclusive si sólo conocemos la suma de los términos y el número de ellos, es decir, no es necesario conocer todos los datos. 4. Puede utilizarse para realizar operaciones posteriores, de hecho, es la base de las medidas de dispersión. Aunque esta medida es la más utilizada, tiene ciertas desventajas que es conveniente conocer: 1. No se puede obtener a través de una inspección simple de los datos. 2. Los valores extremos la afectan mucho. 3. Dos muestras o poblaciones diferentes pueden tener la misma media sin que exista relación entre ellas.

Actividad de aprendizaje ¿Cómo se obtiene la amplitud de las clases?

200

3. Cuando el número de datos es impar, la mediana es necesariamente uno de los datos. 4. Puede deducirse mediante una exploración simple de los datos. 5. Es robusta ante valores extremos. 6. Puede determinarse sin conocer los valores particulares de cada término. Desventajas 1. Su cómputo es lento porque los valores de la variable deben ordenarse (ya sea de menor a mayor o de mayor a menor) para poder determinarla. 2. Con la mediana no es posible calcular la suma de los valores de la muestra. 3. Si las mediciones presentan diferencias grandes entre sí, la mediana no refleja el estado verdadero de los datos. 4. No se presta para operaciones algebráicas.

Ventajas y desventajas de la moda Ventajas: 1. Se puede determinar su valor mediante una inspección simple de los datos. 2. No se requiere ordenar los datos para calcularla. Desventajas: 1. No se utiliza para ningún cálculo posterior. 2. Incluso cuando los valores de la muestra presenten grandes variaciones entre sí, la moda puede ser la misma.

Medidas de tendencia central para datos agrupados Media. La obtención de la media aritmética para datos agrupados es muy parecida a cuando calculamos esta medida de tendencia central para datos no agrupados, la única diferencia es que aprovecharemos la información contenida en la frecuencia absoluta para realizar el cálculo. Esta medida puede obtenerse tanto de variables discretas como de variables continuas.



x=

18( 5 ) + 19( 4 ) + 2 0( 6 ) + 21( 8 ) + 2 2( 7 )

30 9 + 7 + 2 + 168 + 15 4 60 8 = = 20 . 27 x= 0 6 1 0 30 30

¿Cuándo es conveniente utilizar la media aritmética?

Concluimos que el comerciante vende en promedio 20.27 kilogramos de tomate diariamente. Ejercicio

Cuando tenemos una variable discreta agrupada en una tabla de frecuencias, podemos calcular su media aritmética de la siguiente manera: x ⋅ f + x ⋅ f +…+ x n ⋅ f n x= 1 1 2 2 n 1 n x = ⋅ ∑ x i ⋅ fi n i =1

Ejercicio

Cuando tenemos una variable continua representada en una tabla de frecuencias, el cálculo se hace de manera similar, el único cambio es que cada xi se cambia por la marca de clase del intervalo correspondiente. x=

Es importante aclarar que n es igual a la suma de todas las frecuencias absolutas.

m1 ⋅ f1 + m2 ⋅ f 2 +…+ mn ⋅ f n 1 n = ⋅ ∑ mi ⋅ f i n n i =1

Actividad de aprendizaaje

Ejemplo

¿En qué condiciones es preferible utilizar la mediana?

Deseamos conocer el promedio de espesor de un lote de placas de acero inoxidable; los datos (en pulgadas) son los siguientes:

Ejemplo Supongamos que el número de kilos de tomate que vende diariamente un comerciante durante un mes está representado en la siguiente tabla: kilos x

fi

18

5

19

4

20

6

21

8

22

7

Total

30

Espesor en pulgadas

fi

0.307 – 0.310

3

0.311 – 0.314

5

0.315 – 0.318

5

0.319 – 0.322

22

0.323 – 0.326

14

0.327 – 0.330

1

Total

50

Tabla 9.25

Tabla 9.24

Calculamos el promedio diario de la siguiente manera:

201

BLOQUE

9


El primero paso es calcular las marcas de clase: Espesor en pulgadas

Marca de clase mi

Frecuencia fi

 0.310 2 0.307   5 0.3085 2

3

 0.314 2 0.311   5 0.3125 2

5

 0.318 2 0.315   5 0.3165 2

5

 0.322 2 0.319   5 0.3205 2

22

 0.326 2 0.323   5 0.3245 2

14

 0.330 2 0.327   5 0.3285 2

1

0.307 2 0.310

0.307 1 

0.311 2 0.314

0.311 1 

0.315 2 0.318

0.315 1 

0.319 2 0.322

0.319 1 

0.323 2 0.326

0.323 1 

0.327 2 0.330

0.327 1 

Tabla 9.26

Calculamos

3(0 . 3085) + 5(0 . 3125) + 5(0 . 3165) + 22(0 . 3205) + 1 4(0 . 3245) + 1(0 . 3285) 50 0 . 9255 + 1 . 5625 + 1 . 58 2 5 + 7 . 051 + 4 . 543 + 0 . 3285 15 . 993 x= = = 0 . 3198 50 50 x=

Sabemos entonces que el espesor medio de las placas es de 0.3198 pulgadas.

Mediana

Ejercicio

El cálculo de la mediana para datos agrupados es más sencillo que en el caso de datos no agrupados, ya que al igual que la media aritmética para datos agrupados, utilizamos la información contenida en la frecuencia absoluta y en la frecuencia acumulada para obtener el valor que buscamos.

En este caso consideramos que la mediana es x 5 x j cuando n n Fj > y Fj –1 < . 2 2

Cálculo para variables discretas Hay dos posibilidades cuando queremos calcular la mediana para variables discretas.

202

Aunque esta definición aparentemente es complicada, no hay motivo para pensar que realmente lo sea. Lo primero que debemos definir es qué significa el subíndice j en la variable y en la frecuencia acumulada. Este subíndice identifica la posición de los valores de las variables xi y Fi de arriba hacia abajo, esto quiere decir que nos indica el renglón en donde está.


xi

j  1 2  x j 3    n 21 n 

Frecuencia f

 x1   x2   x3  Fj    xn 2 1  x  n


j  f1 1 f2 1 2 f1 1 f2 1 f3  x j 3   f1 1 f2 1 * 1 fn 21 n 21  f1 1 f2 1 * 1 fn n

f1

f1

f2 f3

fn 2 1 fn

      Fj     

Tabla 9.27

Utilizaremos un ejemplo para demostrar la simplicidad del cálculo.

Ejemplo Entonces, vemos que se cumplen ambas condiciones: Supongamos que tenemos la siguiente tabla de frecuencias para una variable discreta cualquiera: xi

n Fj . → 17 .15 2 n Fj 21 , → 9 ,15 2

Frecuencia f Frecuencia acumulada Fi

0

4

4

1

5

9

2

8

17

3

7

24

4

6

30

Total

30

Entonces buscamos en la columna xi el valor que está ubicado en la posición j. xi

Tabla 9.28

Para calcular la mediana de este grupo de datos, tenemos que verificar

n n si las condiciones Fj . y Fj21 , se cumplen. Sabemos que el 2 2 n tamaño de la muestra es 30, por lo que 515 , entonces buscamos 2

xj

Fj que necesariamente tiene que ser un valor mayor que 15, pero no debe estar muy alejado; cuando lo hayamos encontrado, entonces también habremos encontrado Fj 2 1 (el renglón anterior), en la tabla siguiente puede observarse la identificación de los renglones Fj y Fj21. xi


0

4

1

5

9

2

8

17

3

7

24

4

6

30

Total

30


0

4

4

1

5

9

Fj21

2

8

17

Fj

3

7

24

4

6

30

Total

30

Tabla 9.30

xj 5 x, 5x^ 2 Podemos comprobarlo aplicando el caso 2 de la mediana para datos no agrupados:

4

Fj21 Fj

x(n)

xi

x(n)

xi

x(n)

xi

1

0

11

2

21

3

2

0

12

2

22

3

3

0

13

2

23

3

Tabla 9.29

203

BLOQUE

9


Para encontrar la mediana de esta muestra, debemos verificar que se

4

0

14

2

24

3

5

1

15

2

25

4

6

1

16

2

26

4

Como n 5 30, entonces buscamos

7

1

17

2

27

4

8

1

18

3

28

4

cuencia acumulada, en caso de encontrarlo, etiquetamos a ese renglón como Fj 2 1 e inmediatamente identificamos los valores xj 2 1 y xj.

9

1

19

3

29

4

10

2

20

3

30

4

n 2

cumpla la condición Fj 21 5 .

xi

3

3

1

5

8

2

7

15

x(15)1 x(1 6) x2j 1 2 3 5 52 2 2 4

9

24

6

30

xj21

Como el número de observaciones es par, entonces

x ( 11) n 2

5

x(

30 2

)1 x (

30 2

11)

2

5

x ( 2n )1 x ( 2n 11) 2

5

x ( 302 )1 x ( 302 11) 2

5

Frecuencia f Frecuencia 1acumulada Fi

0

Tabla 9.31

x5

n 515 en la columna de fre2

x(15)1 x(1 6) 2 1 2 5 52 2 2

Fj21

30

Total Tabla 9.33

Entonces aplicamos la fórmula: Ejercicio

x,x 5x^

n cuando Fj 21 5 ; 2 2 para facilitar la comprensión, ilustraremos esta situación con un ejemplo.

En este caso, la mediana es: x,x 5x^

x j 22 1 x j

2 13 52 . 5 2

x(n)

xi

x(n)

xi

x(n)

xi

1

0

11

2

21

3

2

0

12

2

22

3

3

0

13

2

23

3

4

1

14

2

24

3

5

1

15

2

25

4

6

1

16

3

26

4

7

1

17

3

27

4

Supongamos que la información de una variable discreta está contenida en la siguiente tabla de frecuencias. Calcula la mediana de dicha muestra. Frecuencia f Frecuencia acumulada Fi

0

3

3

8

1

18

3

28

4

1

5

8

9

2

19

3

29

4

2

7

15

10

2

20

3

30

4

3

9

24

Como el número de observaciones es par:

4

6

30

Total

30

x,x 5x^

Tabla 9.32

204

2

5

Comprobación:

Ejemplo

xi

x j 21 1 x j

x5

Tabla 9.34

x ( )1 x ( 11) n 2

n 2

2

5

x(

30 2

)1 x ( 2

30 2

11)

5

x ( 2n )1 x ( 2n 11) 2

5

x ( 302 )1 x ( 302 11) 2

x(15)1 x(1 6) 2 13 5 52 . 5 2 2

5

x(15)1 x(1 6) 2 13 5 52 . 5 2 2


Cálculo para variables continuas Cuando trabajamos con variables continuas agrupadas en intervalos es imposible saber con precisión qué valores toma la variable, esto sucede porque esta información se pierde cuando agrupamos los datos en intervalos o clases; esto no es en ningún momento una limitante para calcular la mediana, ya que existe un método para hacerlo incluso si uno de los intervalos tiene valores indeterminados. Existen dos casos para calcular la mediana.

Sabemos que tenemos 36 datos, por lo que debemos verificar que se cumplan las condiciones Fj .

tenemos que identificar el intervalo en donde está contenida la obser-

n , ya que ese es el intervalo mediano. 2 n Sabemos que 518 y también que la amplitud es de cinco A 55, 2 vación

entonces, comprendemos que la mediana tiene que estar contenida en el intervalo [11, 16) porque la frecuencia acumulada en el intervalo anterior es de 14 y la frecuencia acumulada en el intervalo mediano es de 23; en este punto hemos descrito y comprobado a través de palabras las condiciones para calcular la mediana.

Ejercicios

n n y Fj 21 , se cumplen podemos calcular la me2 2 diana utilizando la frecuencia acumulada con la siguiente relación:

n Fj 21 , → 14 ,18 2

Cuando Fj .

 n 2F  j 21   ,x 5x ^L inf 1 A  2 fj    Donde: Linf 5 Límite inferior del intervalo mediano (se determina obn servando en qué intervalo está la posición ) 2 A 5 Amplitud de los intervalos Fj 2 1 5 Frecuencia acumulada en el intervalo anterior al intervalo mediano Lj 5 Frecuencia absoluta del intervalo mediano

Ejemplo Consideremos que deseamos conocer la mediana de los datos concentrados en la siguiente tabla: xi

Frecuencia f

Fj .

n → 23 , 18 2

Identificamos en la tabla los demás valores que necesitamos para encontrar la mediana:

Lnf

xi

Frecuencia f


1-6

8

8

6-11

6

14

11-16

9

23

16-21

10

33

21-26

3

36

Total

36

Tabla 9.36

Fj21 Fj

fj

Entonces, calculamos la mediana como

 n 2F  j 21   x,x 5x^Linf 1 A  2 fj   

 36 214   18 214   4   x,x5x^111(16 211) 2 5111 5  Frecuencia acumulada Fi  5111 5   5111   9 9 9   8  36 214   18 214   4  2  14 x5111(16 211) 5 11 1 5  5111 5   5111 2 . 22 513 . 22   9 9 9 23   

1-6

8

6-11

6

11-16

9

16-21

10

33

21-26

3

36

Total

36

Tabla 9.35

n n y Fj 21 , ; esto quiere decir que 2 2

Ejercicio

n entonces x 5 x sj 2 1. Donde xSj21 representa el 2 límite superior del intervalo para el que Fj21 5 n/2.

Cuando Fj 21 5

205

BLOQUE

9


Ejemplo

pados como no agrupados. Para complementar este conocimiento es necesario saber cuándo es conveniente utilizar cada una de ellas.

Supongamos que la información de una variable continua está contenida en la siguiente tabla de frecuencias y deseamos conocer su mediana.

Media aritmética

xi

Frecuencia f


1-6

3

3

6-11

6

9

11-16

9

18

16-21

10

28

21-26

8

36

Total

36

2. Se utiliza cuando queremos conocer el punto de equilibrio de una muestra. 3. Esta medida de tendencia central es altamente recomendable para variables discretas.

Mediana 1. Se utiliza cuando no se dispone de tiempo para realizar las operaciones algebraicas que implica el cálculo de la media. 2. Se usa cuando la distribución de datos es asimétrica, sobre todo cuando existen datos extremos.

Tabla 9.37

Para conocer la mediana, tenemos que verificar que la condición

n Fj 21 5 se cumpla. Como n 5 36, entonces debemos buscar 2 n 518 en la columna de frecuencia acumulada, en caso de encon2

trarlo, etiquetamos a ese renglón como Fj 2 1 . xi

Frecuencia f


1-6

3

3

6-11

6

9

11-16

9

18

16-21

10

28

21-26

8

36

Total

36

Como en este ejemplo encontramos

3. Es muy utilizada cuando hay valores indeterminados en el conjunto de datos. 4. Es una medida muy útil para variables continuas.

Moda 1. Se sugiere utilizarla cuando buscamos una aproximación burda de un valor central. 2. Se utiliza cuando se quiere conocer el caso más típico de una muestra. 3. Se sugiere su utilización para variables nominales.

Fj21

Tabla 9.38

n 518 en la columna de fre2

cuencias acumuladas, entonces decimos que el valor de la mediana es igual a la frontera superior del intervalo ubicado en el renglón Fj 2 1 porque es el valor que divide exactamente a la mitad las observaciones, entonces:

x, 5x^ xsj21 5 16

Uso de las medidas de tendencia central A través de los ejemplos hemos podido conocer el funcionamiento y el cálculo de las medidas de tendencia central tanto para datos agru206

1. Se usa cuando se quiere tener la certeza de contar con un valor estable, esto sucede porque la media varía muy poco entre diferentes muestras de la misma población.

9.4 Medidas de dispersión: para datos agrupados y no agrupados Las medidas de dispersión se utilizan para reconocer cómo están distribuidos los datos, la más sencilla de obtener es el rango y la más utilizada es la desviación típica o estándar. La dispersión sirve para medir qué tan alejado entre sí está un conjunto de valores; entre más alejados estén los valores uno de otro la población o muestra será heterogénea, en el caso contrario decimos que es homogénea. Como hemos visto, las medidas de tendencia central concentran en un solo dato la información de una muestra o población, el problema es que esta información sólo es útil para la muestra o población en cuestión, ya que pueden existir dos o más muestras diferentes con la misma media, mediana o moda sin que estén necesariamente relacionadas.


Dicho de otra manera, las medidas de dispersión sirven para caracterizar la homogeneidad de una población o muestra, pero solamente tienen sentido cuando se utilizan con fines comparativos, es decir, cuando la contrastamos con otra muestra o con otra población. Actividad de aprendizaje ¿En qué tipo de variables conviene utilizar la moda?

Desviación estándar Se define simplemente como la raíz cuadrada de la varianza. Es la más usada de las medidas de dispersión. s5

1 n ? ∑ f i ⋅( x i 2 x )2 n 21 i 51

La siguiente tabla muestra el peso en kilogramos de 20 jugadores de futbol americano juvenil; obtén las medidas de dispersión de la muestra. Ejemplo La siguiente tabla muestra el peso en kilogramos de 20 jugadores de futbol americano juvenil; obtén las medidas de dispersión de la muestra.

Rango Es la medida de dispersión más sencilla y la menos utilizada, ya que es una medida poco estable; como hemos visto a lo largo de este capítulo el rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de una muestra. R 5 x máx 2 xmín

Varianza

80

89

100 110

96

95

86

99

116 102

81

108 107 95

91

82

110

98

98

89

Tabla 9.39

La primera medida a obtener será el rango; para hacerlo debemos ubicar los valores máximo y mínimo de la muestra y encontramos que xmáx 5 116 y xmín 5 80.

Es la medida que nos permite conocer la dispersión de los valores de una muestra o población respecto de su media aritmética; si el valor es muy grande entonces decimos que la muestra es heterogénea, el problema de que sea heterogénea es que la escala de medición se distorsiona; esta medida debe usarse en términos comparativos.

Entonces el rango es:

La varianza para datos no agrupados se define como:

Ahora aplicamos la fórmula para calcular la varianza:

s2 5

n

1 ? ∑( x1 2 x )2 n 21 i 51

En el caso de datos agrupados, se tiene que: s2 5

1 n ? ∑ f i ⋅( x i 2 x )2 n 21 i 51

El problema que tiene la varianza es que las unidades de la variable también se ven afectadas cuando se eleva la variación al cuadrado; para solucionar este inconveniente recurrimos a la desviación estándar. Actividad de aprendizaje ¿Para qué se utilizan las medidas de dispersión?

R 5 xmáx 2 xmín 5 116 2 80 5 36. El siguiente paso es calcular la media de la muestra:

1932 1 n x 5 ?∑ xi 5 5 96 . 6 n i 51 20

s2 5

1 n ?∑( x i 2 x )2 n 21 i 51

(80 2 96.6)2 1 (89 2 96.6)2 1 (100 2 96.6)2 1 (110 2 96.6)2 1 (96 2 96.6)2 1 (108 2 96.6)2 1 (107 2 96.6)2 1 (91 2 96.6)2 1 (82 2 96.6)2 1 (110 2 96.6)2 1 (95 2 96.6)2 1 (86 2 96.6)2 1 (99 2 96.6)2 1 (81 2 96.6)2 1 (116 2 96.6)2 1 (102 2 96.6)2 1 (95 2 96.6)2 1 (98 2 96.6)2 1 (98 2 96.6)2 1 (89 2 96.6)2

s2 =

2 020 . 8 = 106 . 36 kg 2 19

Recordemos que la varianza está expresada en unidades cuadradas, por lo que es necesario calcular la desviación estándar; para hacerlo, simplemente obtenemos la raíz cuadrada de la varianza:

s = s2 s = 106 . 36 = 10 . 31 kg

207

BLOQUE

9

Aplicas la estadística elemental 2.

El valor de la desviación estándar es la medida que nos indica la dispersión de los datos respecto de la media, por lo que decimos que los datos no están muy dispersos entre sí.

227

120

250

233

158

244

265

186

219

46

100

155

147

257

221

262

38.7

89.5

61.2

55.7

99.3

99.1

70.7

73.8

58.1

41.5

92.8

64.3

63

58.5

63.9

51.4

99.8

57.1

71.2

70.2

34.6

93.6

47.6

128.7

94

123.4

29

166.3

20.7

78.7

66.9

162

Desviación estándar

53.7

16.5

42.9

28.1

Es la medida más utilizada, se utiliza cuando queremos saber qué tan dispersos están los datos de una muestra respecto de la media.

167.7

22.3

145.7

46.5


3. ¿Qué es la varianza?

Rango Se emplea de manera limitada por su poca estabilidad, aunque se usa cuando requerimos hacer un cálculo rápido.

4.

Varianza Normalmente se utiliza en estudios estadísticos avanzados, es complicado utilizarla porque las unidades que arroja están elevadas al cuadrado y es difícil darle una interpretación con esas características.

Características de las medidas de tendencia central Con el propósito de reafirmar los conocimientos adquiridos en este bloque se proponen los siguientes ejercicios de aplicación. Calcula las medidas de dispersión de los siguientes grupos de datos: 1.

208

64.508

63.747

64.558

63.524

64.081

63.458

63.895

65.022

64.119

63.652

64.367

64.742

64.443

64.427

64.204

64.305

5. 98.5

92.5

62

68

69

87.5

54.5

99

67

66.5

62.5

87.5

58.5

83.5

93.5

88

75

91.5

67.5

64.5

74

90.5

94

92

95.5

88

86

94

57

99.5

Para los siguientes grupos de datos, calcula las medidas de tendencia central, represéntalos gráficamente y calcula sus medidas de dispersión. ¿Qué puedes concluir en cada ejercicio?


6.

9. 59

30

260

246

268

39.08

50.18

57.98

37.34

57.71

55.99

81

109

23

279

194

63.81

44.74

36.58

38.86

48.62

44.55

147

233

34

122

161

41.21

52.74

43.98

36.51

43.77

41.83

82

100

122

145

31

50.15

56.56

51.52

44.08

59.05

36.39

234

211

213

129

275

51.95

44.47

48.41

49.93

56.95

41.30

270

84

177

204

266

56.48

47.86

63.06

64.09

42.20

55.99

60.15

46.43

60.33

58.45

55.53

42.24

7. 41.40

16.24

34.42

44.42

20.32

18.85

10.26

25.40

38.30

42.82

801

733

503

650

518

711

504

32.59

21.97

44.18

39.63

30.40

516

648

705

502

520

648

801

39.34

33.39

42.15

39.87

36.92

796

511

731

510

553

736

733

11.09

17.31

20.86

11.00

28.51

653

741

799

553

646

518

503

23.63

18.40

21.92

35.75

44.97

645

731

795

707

645

701

709

503

508

736

556

703

704

734

549

738

640

516

730

741

514

8. 41.06

44.50

42.39

41.24

40.74

38.38

39.19

44.15

36.19

36.97

35.98

43.73

44.57

39.58

37.69

41.73

35.97

44.82

36.69

41.44

44.40

44.07

43.65

41.22

38.40

35.82

35.90

35.97

37.94

41.16

42.01

39.27

39.20

35.82

37.05

44.10

10.

209

BLOQUE

9


Aplicación de las TICs Estadística 1. Usa una hoja de cálculo para elaborar gráficas a partir de tablas de datos. 2. Realiza una encuesta entre los compañeros de grupo acerca de los siguientes datos:

a) Edad.

e) Programa favorito de TV.

b) Estatura.

f ) Calificación en estadística (NA, S, B, MB).

c) Peso.

g) Número de calzado.

d) Talla. 3. Investiga: a) ¿Cómo puedes utilizar una hoja de cálculo para determinar medidas representativas del grupo?

c) ¿Cómo puedes representar gráficamente cada característica?

b) ¿Qué medida de tendencia central es la más adecuada en cada caso? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños Identifico el significado de población y muestra. Reconozco las medidas de tendencia central y de dispersión. Aplico las medidas de tendencia central y de dispersión en datos agrupados y no agrupados.


210

1

2


3

Debo mejorar en…



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


1

2

3

4

5



211

BLOQUE

9



Apellido materno

Nombre

Grupo


2. Encuentra las medidas de dispersión (rango, varianza y desviación estándar) del siguiente conjunto de datos:

1. Encuentra las medidas de tendencia central de los siguientes datos agrupados: xi

Fi

98.5

92.5

62

68

69

[51-57.5]

89

87.5

54.5

99

67

66.5

[57.5-64]

160

62.5

87.5

58.5

83.5

93.5

[64-70.5]

255

88

75

91.5

67.5

64.5

[70.5-77]

316

74

90.5

94

92

95.5

[77-83.5]

373

88

86

94

57

99.5

[83.5-90]

451

[90-96.5]

520

Coevaluación Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del Bloque 9.

Aspecto a evaluar

Nombre del alumno:

212

Criterios

Excelente

Bueno

Regular

Deficiente

Medidas de tendencia central para datos no agrupados

Conoce, obtiene y aplica los elementos de estadística, así como las medidas de tendencia central para datos no agrupados

Conoce y aplica los elementos de estadística, así como las medidas de tendencia central para datos no agrupados

Conoce los elementos de estadística, así como las medidas de tendencia central para datos no agrupados

No conoce, ni obtiene, ni aplica los elementos de estadística y tampoco las medidas de tendencia central para datos no agrupados

Características de las medidas de tendencia central

Conoce, obtiene y aplica las ventajas y desventajas de las medidas de tendencia central para datos no agrupados

Conoce y aplica las ventajas y desventajas de las medidas de tendencia central para datos no agrupados

Conoce las ventajas y desventajas de las medidas de tendencia central para datos no agrupados

No conoce, ni obtiene, ni aplica las ventajas y desventajas de las medidas de tendencia central para datos no agrupados

Medidas de dispersión: Rango, varianza y desviación típica para datos agrupados por clases

Conoce, obtiene y aplica las medidas de dispersión para datos agrupados por clases

Conoce y aplica las medidas de dispersión para datos agrupados por clases

Aplica algunas medidas de dispersión para datos agrupados por clases

No conoce, ni obtiene, ni aplica las medidas de dispersión para datos agrupados por clases

Características de las medidas de tendencia central

Calcula las medidas de tendencia central en grupos de datos

Calcula por lo menos dos de las medidas de tendencia central en grupos de datos

Calcula por lo menos una de las medidas de tendencia central en grupos de datos

No calcula las medidas de tendencia central en grupos de datos


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el número de casos de gripe AH1N1 de la sección Aplica lo que sabes, de la página 190. Nombre del alumno: Criterio

cumple sí

no

Observaciones

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Investiga el número de casos de influenza por entidad federativa en el periodo señalado. 12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que se propone. 13. Organiza y sistematiza la información. 14. Para el periodo señalado elabora una tabla del número de casos de influenza por entidad federativa. 15. Elabora la gráfica de barras que se pide. 16. Interpreta la información obtenida.

213

Empleas los conceptos elementales de probabilidad Tiempo asignado:

8 horas

10


10.1 Probabilidad clásica


n

Explica e interpreta el concepto de probabilidad clásica mediante la factibilidad de ocurrencia de un evento en un espacio muestra o en una población. Clasifica los experimentos como aleatorios o deterministas y a la variable como aleatoria o discreta en situaciones que ocurren en su entorno.

n

n

Aplica las leyes aditivas y sumativas cuando resuelve problemas de probabilidad de eventos mutuamente excluyentes e independientes en situaciones reales de su vida cotidiana. Valora el trabajo en equipo como una forma de desarrollar sus habilidades en la resolución de problemas que involucran la probabilidad clásica.

¿Qué sabes hacer ahora? Encierra en un círculo el inciso que responda la pregunta: 1. El espacio muestral relacionado con tirar un dado es: a) Ω 5 {2, 4, 6} b) Ω 5 {1, 2, 3, 5, 6} c) Ω 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) Ω 5 {1, 3, 4, 5, 6}

2. Si lanzamos tres veces una moneda al aire, la probabilidad de obtener un Sol es: 1 1 c) P(S )5 d) P(S) 5 1 a) P(S) 5 0 b) P(S )5 8 2

3. En una caja con 10 pelotas hay 3 rojas, 2 amarillas, 2 verdes y 3 blancas, la probabilidad de sacar una pelota amarilla es de: 1 1 4 3 b) P( A )5 c) P( A )5 d) P( A )5 a) P( A )5 4 5 5 10

4. Si sacamos al azar una de las 28 fichas del dominó, ¿qué probabilidad hay de que la ficha sea doble (mula)? 1 1 1 3 b) P( M )5 c) P( M )5 d) P( M )5 a) P( M )5 28 7 4 14

5. ¿Cuántas combinaciones de ropa pueden hacerse con 5 sudaderas y 3 pantalones? a) 5 b) 8 c) 15 d) 16

Desempeños por alcanzar Distingue entre eventos deterministas y aleatorios. Utiliza las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades.

10

BLOQUE


Situación didáctica Si se lanza una moneda, ¿qué tipo de fenómeno es la cara que queda hacia arriba?, qué variable se asocia con el fenómeno?, ¿cuál es


¿Cómo lo resolverías? el espacio muestral?, ¿cuáles son los eventos elementales?, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila?



Trabajo individual




Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Cada equipo debe investigar: ¿A qué se le llama fenómeno? ¿Qué tipo de variable se asocia con el fenómeno? ¿Qué es un espacio muestral? ¿Cuál es el espacio muestral del lanzamiento de una moneda?

Todo realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

¿Cuáles son los eventos elementales?

Producto a elaborar

¿Cuál es la definición clásica de probabilidad?

Representación gráfica.

¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila al lanzar una moneda?

Cálculos.

Rúbrica Para determinar la probabilidad de eventos que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento

Situación didáctica Si se lanzan al mismo tiempo una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra (águila y 6)?

216

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará el portafolio de evidencias para la evaluación del mes.






Trabajo individual




Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Cada equipo debe investigar: ¿Cómo se determina la probabilidad clásica? ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila o sol al lanzar una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número determinado al lanzar un dado? ¿Qué son eventos independientes? ¿Cómo se determina la probabilidad de eventos independientes? ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia (águila al lanzar una moneda)?

Rúbrica Para determinar la probabilidad de eventos que se piden se debe anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento

Todo realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Producto a elaborar Representación gráfica. Cálculos.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará el portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

217

10

BLOQUE



g) Ganar la lotería __________

1. Para los siguientes experimentos, indica si son determinísticos o aleatorios. a) Lanzar una moneda al aire __________ b) Elegir una pelota de un montón de pelotas __________ h) Número de kilómetros recorridos por un auto con 3 litros de gasolina __________ 2. Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos. a) De 12 cartas escoger 3. b) De 7 temas para un examen, el profesor elige 4. c) Determinar cuántas personas usarán un cajero automático __________

c) De 6 partidos de basquetbol, seleccionar 3 para ir a verlos. d) De entre 3 camisas y 2 pantalones escoger una combinación. e) De 8 frutas tomar 3. 3. Calcula cuántas matrículas para los alumnos y empleados de una universidad son posibles de crear si se tienen 1 letra (A o E) y 6 números. 4. Determina de cuántas maneras puede equiparse un equipo de futbol si pueden seleccionar entre 2 tipos de tenis, 4 colores de calceta, 2 colores de short y 3 colores de playera.

d) Lanzar dos dados justos sobre una mesa __________

5. ¿Cuántas formas diferentes hay de elegir 4 figuras diferentes si se tienen 5 triángulos, 6 cuadrados, 2 círculos y 3 rectángulos? 6. Determina de cuántas maneras se puede seleccionar una camioneta si se tienen 4 formas de pago, 9 colores y 6 modelos. 7. Calcula las alternativas que tiene una estudiante para seleccionar su carrera, si en la facultad de Ciencias y Humanidades le interesan cinco carreras, en la de Medicina tres y en la de Derecho dos.

e) El clima del día de mañana _________ f ) Prender un foco __________

8. Claudio solicitó ingresar a 4 universidades con beca, en la primera existen tres becas diferentes, en la segunda tres, en la tercera una y en la cuarta dos. Jimena solicitó ingresar solamente a 2 universidades, una de las cuales le ofrece cinco becas diferentes y la otra cuatro. ¿Quién tiene más posibilidades de recibir una beca? 9. Un grupo de amigos desea ir a una fiesta, pero no saben cómo ir vestidos, para la ocasión Arturo puede escoger 5 sacos, 3 pantalones, 4 camisas, 3 pares de zapatos y 2 corbatas. Lorena puede utilizar 3 vestidos, 2 trajes, 6 boinas y 4 juegos de zapatos y bolsa. Jorge puede usar 3 pantalones, 4 sudaderas, 3 pares de tenis y 5 gorras. ¿De cuántas maneras pueden ir vestidos los amigos a la fiesta (se sugiere usar simultáneamente los principios estudiados).

218


17. Si deseáramos abrir 12 casilleros teniendo las 12 combinaciones correspondientes, ¿de cuántas maneras podríamos intentar abrir los casilleros?

10. Una familia decide ir a comer un domingo a un restaurante que les han recomendado. Si el menú normal ofrece 3 tipos de entradas, 2 tipos de pastas, 4 tipos de ensaladas y 8 platos fuertes y el menú de niños ofrece 2 entradas, 3 pastas, 2 ensaladas, 4 platillos principales y 6 postres, ¿cuántas variantes de menú podría escoger la familia si son 2 adultos y 3 niños (se sugiere usar simultáneamente los principios estudiados).

11. Cuántos números se pueden formar con los dígitos del 0 al 9: a) Si se hacen arreglos de 2 o 5 dígitos. b) Si se hacen arreglos de 4 dígitos y que además sean impares. 12. Dadas 12 letras del abecedario: a) ¿Cuántas claves pueden formarse con 5 letras? b) ¿Cuántas con 3 letras? c) ¿Cuántas con 2 letras?

18. Si se tienen 10 canicas de diferentes colores, ¿cuántas combinaciones de 4 canicas pueden formarse?

19. Y si ahora deseamos hacer combinaciones con 5 de esas 10 canicas, ¿cuántas combinaciones son posibles? 20. Si se extrae una carta de la baraja española, la cual consta de 52 cartas, divididas en cuatro tipos que contienen 13 cartas cada uno, ¿qué posibilidad hay de que esa carta extraída sea un rey?

13. ¿De cuántas maneras pueden estacionarse 4 automóviles en un estacionamiento con 15 lugares disponibles? 14. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 personas en una hilera con 25 lugares? 15. ¿De cuántas formas pueden vestirse 5 personas de la misma complexión si tienen 16 trajes distintos de entre los cuales escoger? 16. ¿De cuántas maneras puede un estudiante acomodar los libros de sus materias en un librero si tiene un libro de cada asignatura: Historia Universal, Geografía, Matemáticas, Literatura, Informática, Ética, Inglés y Educación artística?

21. Si de la baraja anterior se quiere extraer un 5 o un 9 en dos extracciones con reemplazo (es decir, se extrae la primera carta, se ve y se regresa a la baraja, la cual vuelve a revolverse), ¿qué probabilidades hay de que esto suceda? 22. En una reunión se encuentran 4 matrimonios, si escogemos a dos personas al azar (se sugiere usar combinaciones para calcular la cardinalidad del espacio muestral Ω), ¿qué posibilidades hay de que: a) ¿Estén casadas uno con otro? b) ¿Los dos sean hombres? c) ¿No estén casadas entre sí?

219

10

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Introducción Gumaro Hinojosa es un joven de 17 años y está preocupado porque dentro de un año va a iniciar su servicio militar, pero no desea ir a hacer su servicio en la marina (bola azul) porque implicaría trasladarse todos los fines de semana al puerto de Veracruz para realizar las actividades. Investigó con un vecino mayor que él que el número de pelotas que hay disponibles para su colonia cada año son 500; su vecino estima que están distribuidas de la siguiente manera: 200 bolas blancas, 200 bolas negras y 100 bolas azules. Gumaro desea saber qué probabilidades hay de que lo envíen a Veracruz, por lo que se acerca a su profesor de Matemáticas y le plantea su preocupación. Su profesor rápidamente le dice que la probabilidad de que eso ocurra es de 20%. Gumaro queda altamente intrigado sobre cómo hizo su profesor para calcular con tanta rapidez y exactitud la probabilidad que tenía de ser enviado al puerto de Veracruz y decide investigar por cuenta propia la manera de calcularlo.

Coffee House, en St. Martin Lane, en Cranbourn Street, donde ganaba algo de dinero jugando al ajedrez. Su amistad con Newton y Halley supuso un fuerte apoyo en su candidatura para ingresar en la Royal Society. De Moivre no logró hacer fortuna, permaneció en la pobreza trabajando como tutor o consultor de los sindicatos de seguros y de apuestas. Nunca llegó a ocupar un puesto en una universidad. Murió ciego, sin ilusiones y sin que sus trabajos llegaran a ser reconocidos por la comunidad científica. Su obra La doctrina de las suertes (1718) es una auténtica obra maestra. En ella expone la probabilidad binominal o distribución gaussiana, el concepto de independencia estadística y el uso de técnicas analíticas en el estudio de la probabilidad.

Orígenes de la probabilidad

Ejemplos

Abraham de Moivre (1667-1754) De Moivre usó las matemáticas hasta para calcular la fecha de su muerte. A pesar que la posición social de su familia no está clara, su padre, cirujano de profesión, pudo mandarlo a la academia protestante de Sedan (1678-1682). De Moivre estudió lógica en Saumur (1682-1684), asistió al Collège de Harcourt en París (1684) y estudió privadamente con Jacques Ozanam (1684-1685). Es reconocido por la fórmula de Moivre, la cual conecta números complejos y trigonometría, y por su trabajo en la distribución normal y probabilidad. Fue elegido miembro de la Royal Society de Londres en 1697 y tuvo amistad con Isaac Newton y Edmund Halley. Fue un gran matemático, al grado de que cuando iban a consultar a Newton sobre algún tema de matemáticas, él los enviaba con De Moivre diciendo: “vayan con Abraham de Moivre a consultar esto: él sabe mucho más que yo de estas cosas”. Como era calvinista, tuvo que salir de Francia después de la revocación del Edicto de Fontainebleau (1685), y pasó el resto de su vida en Inglaterra. Toda su vida fue pobre y era cliente regular del Slaughter’s

220

La probabilidad es en nuestros días una rama crucial de las matemáticas y tiene aplicación en básicamente todas las ramas de la ciencia, tuvo un origen simple y a la vez extraño en los juegos de azar practicados por la alta sociedad francesa del siglo xvii. Los juegos de azar solían ser complicados y con el tiempo empezaron a complicarse más y más, a tal grado que se inició la búsqueda de una manera de resolverlos racionalmente. La probabilidad, como la conocemos, surgió de un reto hecho por el caballero De Mere al matemático Blaise Pascal referente a encontrar y predecir las respuestas de un conjunto de problemas. Pascal, junto con Pierre Fermat y otros matemáticos obtuvieron como fruto de sus estudios un conocimiento muy peculiar que sentó las bases de la teoría de la probabilidad. Actividad de aprendizaje Desde el punto de vista histórico, ¿cuándo y cómo surge la probabilidad?

Definición de probabilidad La probabilidad mide la frecuencia o número de veces con que se obtienen uno o varios resultados al llevar a cabo un experimento


aleatorio un experimento aleatorio; deben de conocerse todos los posibles resultados de este experimento bajo condiciones estándar o estables. La probabilidad se usa ampliamente en áreas de la ciencia tales como matemáticas y física, así como en filosofía, para estudiar, analizar, argumentar y extraer conclusiones sobre la probabilidad de que se presenten sucesos esperados. Entonces podríamos definir a la probabilidad como la rama de las matemáticas que estudia de manera numérica los eventos que generan incertidumbre. Actividad de aprendizaje ¿Cómo se define la probabilidad?

El conjunto debe estar bien definido, es decir, podrá determinarse si un elemento dado pertenece o no al conjunto. De esta manera, si el conjunto está formado por las estaciones del año, entonces primavera es un elemento del conjunto, pero junio no lo es.

Introducción a la teoría de conjuntos Para comprender más fácilmente a la importante rama de las matemáticas llamada probabilidad, debemos apoyarnos en la teoría de conjuntos.

Conjunto Es un conjunto elemental que no se explicará a partir de otros conceptos más sencillos. De manera intuitiva, entendemos que un conjunto es un grupo, una colección o una lista de objetos; a esos objetos se les llama miembros o elementos del conjunto. Un conjunto se puede formar con: los libros de una biblioteca, los alumnos de una escuela, los meses del año, los colores del arco iris, los planetas del Sistema Solar, los músicos de una orquesta, las herramientas de un plomero, los números dígitos, las vocales del alfabeto, las piezas de un motor, etcétera. Para hablar con propiedad de un conjunto se toman en cuenta los siguientes criterios:

Ningún elemento se cuenta más de una vez. Si el conjunto está formado por las letras de la palabra ferrocarril, entonces el conjunto tiene ocho elementos: f, e, r, o, c, a, i, l (la letra r aparece cuatro veces, pero sólo se cuenta una vez). No se toma en cuenta el orden de los elementos de un conjunto. Considerando lo anterior, el conjunto de letras de la palabra casa se puede disponer de distintas formas (c, a, s; a, s, c; s, a, c) y cada una se refiere al mismo conjunto.

Definición por extensión y por comprensión La definición de un conjunto se puede hacer:

Por extensión Por extensión (tabulación, enumeración, listado), que consiste en una lista que contiene todos los elementos del conjunto. Ejemplos 1. El conjunto formado por domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes y sábado. 2. El conjunto formado por primavera, verano, otoño e invierno. 3. El conjunto formado por cabeza, tronco y extremidades.

Por comprensión Por comprensión (descripción, construcción), que consiste en enunciar la propiedad que solamente tienen los elementos del conjunto. Esto nos obliga a precisar la propiedad con toda claridad para evitar ambigüedades e incertidumbre. 221

10

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Ejemplos Por extensión 1. El conjunto de colores primarios tiene como elementos los colores rojo, azul y amarillo.

a ) A 5 (a, e, i, o, u).

2. El conjunto de meses del año cuyo nombre tiene la letra r está formado por enero, febrero, marzo, abril, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.

c ) C 5 (violeta, índigo, azul, verde, amarillo, anaranjado, rojo).

3. Los elementos del conjunto formado por los nombres de los dedos de la mano son pulgar, índice, cordial, anular y meñique.

b ) B 5 (primavera, verano, otoño, invierno). d ) D 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). e ) E 5 (2, 4, 6, 8, …). Por comprensión a ) A 5 (x | x es vocal).

Notación Se ha convenido en representar a los conjuntos con letras mayúsculas y a los elementos con letras minúsculas. Cuando la definición del conjunto se hace por extensión, los elementos se encierran entre llaves y se separan por medio de una coma.

b ) B 5 (x | x es estación del año). c ) C 5 (x | x es color del arco iris). d ) D 5 (x | x es número dígito). e ) E 5 (x | x es número natural par).

Ejemplos 1. A 5 (1, 2, 3) se lee: “A es el conjunto de los elementos 1, 2, 3”. El conjunto A tiene tres elementos, pero de no utilizarse las comas sólo tendría uno, el número 123. 2. B 5 (domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado).

Pertenencia

3. C 5 (Mercurio, Venus, Tierra, …, Plutón).

La relación de pertenencia entre un conjunto y sus elementos se establece por medio del símbolo ∈, que significa: “es elemento de”, “es miembro de”, “está en”. Cuando el símbolo aparece tachado (∉) se niega su significado.

4. D 5 (Aguascalientes, Baja California, Baja California Sur, …, Zacatecas).

Ejemplos

El conjunto B también se puede denotar así: B 5 (domingo, lunes, …, sábado).

5. E 5 (2, 4, 6, 8, …). En el conjunto E los puntos suspensivos se leen: “y así sucesivamente” e indican la inclusión de todos los números pares que siguen al 8. 6. Cuando definimos un conjunto por comprensión, se utiliza la notación siguiente: a) F 5 (x | x es día de la semana). se lee: “F es el conjunto de elementos x tales que x es día de la semana”. La letra x representa un elemento cualquiera del conjunto, en este caso: un día. b) G 5 (x | x es planeta del Sistema Solar) 7. A continuación se presentan varios ejemplos de conjuntos que se definen tanto por extensión como por comprensión.

222

1. Sea V 5 (a, e, i, o, u), entonces: a ∈ V se lee: “a es elemento del conjunto V ”. a ∉ V se lee: “a no es elemento del conjunto V ”. 2. Sea P 5 (△,

,

△ ∈ P;

∉ P;

,

), entonces: ∉ P;

∈ P.

3. Sea I 5 {x | x es estado de la República Mexicana con nombre de insurgente}, entonces: Hidalgo ∈ I ; Michoacán ∉ I ; Guerrero ∈ I ; Sonora ∉ I ; Morelos ∈ I ; Yucatán ∉ I. Si utilizamos el símbolo que establece la relación de pertenencia, el conjunto E queda como sigue:


E 5 {x | x es número natural par}, se puede expresar así: E 5 {x ∈ ℕ | x es par}. El conjunto M, definido por extensión: M 5 {22, 21, 0, 1, 2} puede denotarse por comprensión de las siguientes maneras: M 5 {x ∈ ℤ | 23 , x , 3}. que se lee: “M es el conjunto de elementos x de ℤ, tales que x es menor que 3 y mayor que 23”; o bien: M 5 {x ∈ ℤ | 22 ≤ x ≤ 2} que se lee: “M es el conjunto de elementos x de ℤ tales que x es menor o igual que 2 y mayor o igual que 22.

que desembocan en un océano determinado, según su longitud, según su caudal, que sean navegables, etcétera. 3. Si el problema está relacionado con números, Ω puede formarse con el conjunto de números en el cual se encuentra la solución: números naturales, números enteros, números racionales, numeros irracionales, números reales, números complejos,

Conjunto universal Es aquel que consta de todos los elementos a los que se puede referir el análisis de un problema. El conjunto universal se representa por la letra omega (Ω) del alfabeto griego. Al elegir el conjunto universal se debe considerar que: No es único, varía según la naturaleza del problema que se analiza.

números enteros pares, numeros enteros impares, etcétera. Lo anterior no significa que el conjunto universal (Ω) sea impreciso o variable por naturaleza, sino que en el análisis de un problema, una vez que se ha determinado, permanece fijo y cualquier otro conjunto requerido se forma con elementos de Ω. A Ω también se le llama universo lógico o universo del discurso.

Tampoco es único para el mismo problema, pues podemos ampliarlo o reducirlo según convenga. Ejemplos 1. Si lo que se desea analizar está relacionado con estudiantes de preparatoria en México, el conjunto universal se puede formar según la naturaleza del problema, con los preparatorianos: de un grupo determinado, de un grado específico, de todo el plantel, de todo el estado, de todo el país, de una edad establecida, de cierta calificación promedio, de un nivel socioeconómico, etcétera. 2. Si el problema está relacionado con ríos, el conjunto universal puede formarse con los ríos: de un país, de un continente,

Conjunto vacío (nulo) Es un conjunto sin elementos que se denota por ∅ o { }. Ejemplo Supongamos que en un grupo escolar: 1. La lista de los alumnos, ordenada alfabéticamente por apellidos, empieza con la letra p y termina con la letra z. Si queremos formar el conjunto A con los alumnos del grupo cuyo apellido empieza con la letra a, entonces el conjunto A no tiene elementos: A 5 ∅. 2. De una fila de alumnos en la que ninguno de ellos usa lentes, se quiere formar el conjunto C con alumnos que usan lentes; por consiguiente, el conjunto C no tiene elementos: C 5 { }. 3. Las edades de los alumnos están comprendidas entre los 15 y los 17 años; por tanto, los alumnos del grupo que tienen 14 años de edad forman un conjunto E sin elementos: E 5 ∅ 5 { }. Observa que { } ≠ {0}, pues el { } no tiene elemento, mientras que {0} tiene un elemento: el cero.

223

10

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Conjunto unitario Es un conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos

5. Sean los conjuntos: D 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. P 5 {x | x es dígito par}. I 5 {x | x es dígito impar}.

1. Sea el conjunto S 5 {x | x es satélite natural de la Tierra}. El conjunto S sólo tiene un elemento: la Luna. 2. Sea el conjunto L 5 {x | x es estrella de nuestro sistema planetario}. El conjunto L sólo tiene un elemento: el Sol; recuerda que una estrella es un astro con luz propia. 3. Sea el conjunto W 5 {x ∈ ℤ | 21 , x , 1}. El conjunto W sólo tiene un elemento: el cero.

Subconjunto

entonces: P ⊂ D; I ⊂ D; P ⊄ I; I ⊄ P. 6. Sean los conjuntos: 7. A 5 {1, 2, 3, 4}. 8. B 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7}. entonces: A ⊄ B, pues 1 ∈ A, pero 1 ∈ B. En general, A ⊄ B indica la existencia de por lo menos un elemento en A que no es elemento de B. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si todo elemento de A pertenece a B. La relación así establecida se denota con el símbolo ⊂ colocado entre A y B, de la siguiente manera. A⊂B que se lee: “A es subconjunto de B”, o bien: “A está contenido en B”. La relación también se puede escribir así: B⊃A que se lee: “B es un superconjunto de A”, o bien: “B contiene a A”. En ambos casos, para indicar que A no es subconjunto de B se escribe: A⊄B B⊅A

Si existe en B al menos un elemento que no pertenece a A, entonces se dice que A es subconjnto propio de B.

Ejemplos

Ejemplos

1. En una escuela, las alumnas de un grupo forman un subconjunto del conjunto de alumnos integrantes del grupo. 2. Los profesores que imparten la clase de idiomas en una escuela forman un subconjunto del conjunto de profesores que laboran en la escuela. 3. Sean los conjuntos: A 5 {Canadá, EUA, Brasil}. B 5 {x | x es país del Continente Americano}. entonces: A ⊂ B; B ⊄ A. 4. Sean los conjuntos: A 5 {x | x es letra del alfabeto español}. V 5 {x | x es vocal}. C 5 {x | x es consonante}. entonces V ⊂ A; C ⊂ A; V ⊄ C; C ⊄ V.

224

Subconjuntos propios e impropios Dados los conjuntos A y B tales que A ⊂ B.

1. Si A 5 {0, 2, 4, 6, 8} y B 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A es subconjunto propio de B porque B tiene elementos que no pertenecen a A. 2. Si A 5 {a, b, c, d } y B 5 {a, b, c, d, e}, A es subconjunto propio de B porque B tiene un elemento que no pertenece A. 3. Si A 5 {x | x es un número primo dígito} y B 5 {x | x es un número dígito}, A es subconjunto propio de B porque B tiene varios elementos que no pertenecen a A. Si todo elemento de B también es elemento de A, entonces se dice que A es subconjunto impropio de B. Dicho en otras palabras, los símbolos A y B representan al mismo conjunto; por tanto, los conjuntos A y B son iguales {A 5 B }, si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A. 4. Si A 5 {a, e, i, o, u} y B 5 {a, e, i, o, u}, A es subconjunto impropio de B y B es subconjunto impropio de A porque A y B tienen los mismos elementos, es decir, A 5 B.


5. Si A 5 {x ∈ ℕ | x es primer número primo} y B 5 {x ∈ ℕ | x es primer número par }, A 5 B porque ambos tienen como único elemento el número 2, por tanto A es subconjunto impropio de B y viceversa. 6. Sea A 5 (x ∈ ℕ | 3 ≤ x ≤ 15) y B 5 (x ∈ ℕ | 3 ≤ x ≤ 15). Los dos conjuntos tienen los mismos elementos, A es igual a B, por consiguiente cada uno es subconjunto impropio del otro. Algunos autores utilizan los símbolos ⊂ y ⊆ para denotar subconjunto propio e impropio, respectivamente. En este bloque se utilizará la notación ya establecida que no distingue entre subconjunto propio o impropio.

Conjunto potencia Dado un conjunto A se llama conjunto potencia al formado por todos los subconjuntos de A; se denota por 2A. Así, un conjunto unitario tiene dos subconjuntos: él mismo y el conjunto vacío. Un conjunto con dos elementos tiene cuatro subconjuntos: dos conjuntos unitarios, él mismo y el conjunto vacío. Un conjunto con tres elementos tiene ocho subconjuntos: tres conjuntos unitarios, tres conjuntos de dos elementos, él mismo y el conjunto vacío.

{△,

,

{

}, {

{

,

} y ∅; entonces, 2F 5 {(△}, }, {△, }, {△,

}, {△,

},

}, ∅}.

,

7. Sea G 5 {1, 2, 3, 4}. Los subconjuntos de G que se pueden formar son {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4), {2, 3, 4}, {1, 2, 3,4} y ∅; entonces, 2G 5 {{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, ∅}

Diagramas de Venn-Euler Los conjuntos se pueden representar con diagramas de Venn-Euler, o sencillamente diagramas de Venn, de forma rectangular, circular u otras. Dentro del diagrama se anotan los elementos del conjunto. Ejemplos 1. Sea A 5 (c, u, a, t, r, o), entonces el diagrama que lo representa queda así:

A c

En general, para un conjunto de n elementos, el número de subconjuntos que tiene se encuentra por 2n. Entonces, un conjunto unitario tiene 21 5 2 subconjuntos; uno de dos elementos tiene 22 5 4 subconjunto; uno de tres elementos tiene 23 5 8 subconjuntos; y así sucesivamente.

t

a o

u r

Figura 10.1

Ejemplos 1. Sea A 5 {a}. Los subconjuntos de A que se pueden formar son {a} y ∅; entonces, 2A 5 {(a), ∅}.

Los elementos se disponen de tal manera que sea posible distinguir unos de otros; como en este caso no se tiene el recurso de las comas para separarlos, se colocan en desorden pues de ora manera el diagrama quedaría como se ilustra a continuación:

A

2. Sea A 5 {△}. Los subconjuntos de B que pueden formarse son {△} y ∅; entonces 2B 5 {{△}, ∅}. 3. Sea C 5 {a, b}. Los subconjuntos de C que se pueden formar son {a}, {b}, {a, b} y ; entonces, 2C 5 {{a}, {b}, {a, b}, ∅}

cuatro

4. Sea D 5 {△, }. Los subconjuntos de D que se forman son {△}, { }, {△}, { } y ∅; entonces 2D 5 {{△}, { }, {△, }, ∅}. 5. Sea E 5 {a, b, c}. Los subconjuntos de E que se pueden formar son {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} y ; entonces, 2E 5 {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅}. 6. Sea F 5 {△, , }. Los subconjuntos de F que pueden formarse son {△}, { }, { }, {△,

}, {△,

}, {

,

},

Figura 10.2

El primer diagrama nos muestra un conjunto A con seis elementos: c, u, a, t, r, o; mientras el segundo ilustra un conjunto A cuyo único elemento es la palabra cuatro. 2. El conjunto universal se representa con un rectángulo y dentro de éste se representan los subconjntos por medio de círculos u otras figuras cerradas.

225

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5. Sea Ω 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Sea Ω 5 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) A 5 (1, 3, 5, 7, 9) A 5 (0, 2, 4, 6, 8)

P 5 {2, 3, 5, 7} P’ 5 {0, 1, 4, 6, 8, 9} V

V

A’ A 1

5

2

3

2

7

9

4

0

3

P’

0

8

5

6

1 8

7

4 6 9

Figura 10.3

Figura 10.6

El diagrama ilustra la relación A ⊂ Ω. Los elementos de Ω que no pertenecen al conjunto A forman el conjunto A’, el cual es el complemento de A.

Cuando no se sabe de manera específica qué elementos integran los conjuntos dados, los círculos se trazan de tal manera que representen todas las posibles relaciones y operaciones entre ellos.

3. Sea Ω 5 {a, b, c, …, x, y, z} V 5 {a, e, i, o, u}

Operaciones con conjuntos

V’ 5 {x | x es consonante} V c

b

V

a y

g

f h

q

r

k p

j

m

l

o

u

z

d

e

i

Intersección

V’

s w

t

n

v

x

Figura 10.4

Dados dos conjuntos, la intersección es el conjunto formado por los elementos comunes a ambos. Este hecho se simboliza por A ∩ B que se lee “A intersección B” y se define como sigue: A ∩ B 5 {x | x ∈ A y x ∈ B} Utilizando diagramas de Venn, la operación de intersección se puede representar así: A

4. Sea Ω 5 {azul, rojo, amarillo}

B

C5{ } C’ 5 {azul, rojo, amarillo} V C’ C

Figura 10.7

azul rojo amarillo

Figura 10.5

226

La región doblemente con líneas cruzadas corresponde a la intersección de los conjuntos A y B.


Ejemplos H

G

1. Sean los conjuntos:

4

2

A 5 {1, 2, 3, 4, 5} B 5 {4, 5, 6, 7, 8, 9}

3 1

5

6

8

7

de acuerdo con la definición de intersección:

10...

9...

Figura 10.11

Figura 10.12

A ∩ B 5 {4, 5} A

B

6

1

4 2

7

5

8

3

9

Figura 10.8

En los ejemplos anteriores se observa que: A y B tienen elementos comunes. C y D tienen elementos comunes, además C ⊂ D. E y F tienen elementos comunes, además F ⊂ E. G y H no tienen elementos comunes; por tanto, la intersección es el conjunto vacío. Cuando esto ocurre se dice que los conjuntos son ajenos.

2. Sean los conjuntos: C 5 {a, b, c, d, e}

Unión

D 5 {a, b, c, d, e, f, g}

Dados dos conjuntos, la unión es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a por lo menos uno de ambos conjuntos. Esta operación se simboliza por A ∪ B que se lee “A unión B” y se define así:

entonces: C ∩ D 5 {a, b, c, d, e} 5 C D f C a

c

b

d

g

e

A ∪ B 5 (x | x ∈ A o x ∈ B) En este caso, la letra o es inclusiva, es decir, el elemento puede pertenecer a A, a B o a ambos. Si utilizamos diagramas de Venn, la operación de unión se puede representar así:

Figura 10.9


A

B

E 5 {p, q, r, s, t, u} F 5 {p, s, u} entonces: E ∩ F 5 {p, s, u} 5 F E q

r

F p

s

Figura 10.13

t

La región sombreada corresonde a la unión de los conjuntos A y B.

u Figura 10.10

4. Sean los conjuntos: G 5 {x ∈ ℕ | x es par} H 5 {x ∈ ℕ | x es impar} entonces: G ∩ H 5 ∅

Ejemplos 1. Sean los conjuntos: A 5 {1, 2, 3, 4, 5} B 5 {4, 5, 6, 7, 8, 9}

227

10

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entonces: A ∪ B 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

G

además, A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B A

B

6

1

4 2

4

2 6 10...

7

5

Figura 10.17

8

3

8

9

5. Las operaciones de unión e intersección con tres conjuntos pueden representarse con diagramas de Venn de la siguiente manera:

Figura 10.14

A


B

H

C 5 {a, b, c, d, e}

3

D 5 {a, b, c, d, e, f, g}

1

entonces: C ∪ D 5 {a, b, c, d, e, f, g}

5 7

C∪D5D

9... D C

f C a

b

d

g

c

Figura 10.19

La región sombreada representa la unión, y la región triplemente sombreada representa la intersección.

e

Figura 10.15

3. Sean los conjuntos: E 5 {p, q, r, s, t, u} F 5 {p, s, u} entonces: E ∪ F 5 {p, q, r, s t, u} además, E ∪ F 5 E E q

r

F p

Figura 10.18

s

t

6. Sean los conjuntos: A 5 {20, 30, 40, 50} B 5 {40, 50, 60, 70} C 5 {20, 40, 60, 90, 120} entonces: A ∪ B 5 {20, 30, 40, 50, 60, 70} A ∪ C 5 {20, 30, 40, 50, 60, 90, 120} B ∪ C 5 {20, 40, 50, 60, 70, 90, 120} por tanto: A ∪ B ∪ C 5 {20, 30, 40, 50, 60, 70, 90, 120} además, A ∩ B 5 {40, 50} A ∩ C 5 {20, 40} B ∩ C 5 {40, 60} por tanto: A ∩ B ∩ C 5 {40}

u

A

Figura 10.16

B 50

30

4. Sean los conjuntos: G 5 {x ∈ ℕ | x es par}

20

H 5 {x ∈ ℕ | x es impar} entonces: G ∪ H 5 {x | x ∈ ℕ}

60

90

es decir, G ∪ H 5 ℕ

120 Figura 10.20

228

70

40

C



F

P 5 {a, b, c, d, e }

G 5 2

1

Q 5 {c, d, f, g, h, i, j }

6

3

R 5 {d, e, i, j, k, l, m }

4

entonces: P ∪ Q 5 {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j } P ∪ R 5 {a, b, c, d, e, i, j, k, l, m }

7 8

Q ∪ R 5 {c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m }

9 H

por tanto: P ∪ Q ∪ R 5 {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m } además, P ∩ Q 5 {c, d }

Figura 10.22

P ∩ R 5 {d, e } Q ∩ R 5 {d, i, j }

Diferencia

por tanto: P ∩ Q ∩ R 5 {d }

Dados dos conjuntos, la diferencia A 2 B es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B y se define:

P a

c

b

d e k

A 2 B 5 {x | x ∈ A y x ∉ B}

Q

f g

Al utilizar diagramas de Venn, la operación de diferencia se puede representar así:

h

i

A

j

B

l m

R



A

F 5 {1, 2, 3, 4}

B

G 5 {2, 3, 4, 6, 7} H 5 {3, 4, 7, 8, 9} entonces: F ∪ G 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} F ∪ H 5 {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} G ∪ G 5 {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por tanto: F ∪ G ∪ H 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} además, F ∩ G 5 {2, 3} F ∩ H 5 {3, 4} G ∩ H 5 {3, 7} por tanto: F ∩ G ∩ H 5 {3}

Figura 10.24

La región sombreada representa la diferencia entre los conjuntos A y B. Ejemplos 1. Sean los siguientes conjuntos: A 5 {1, 2, 3, 4}, B 5 {1, 3, 5, 7} y C 5 {3, 4, 5, 6}. Halla: a ) A 2 B; b ) B 2 C; c ) C 2 A; d ) B 2 A; e ) A 2 A

229

10

BLOQUE


a) A 2 B 5 {1, 2, 3, 4} 2 {1, 3, 5, 7} 5 {2, 4} A

B 2

5

1

a) A 2 B 5 {1, 2, 3, 4} 2 {2, 4, 6, 8} 5 {1, 3} A

3

4

2. Sean los conjuntos A 5 (1, 2, 3, 4), B 5 (2, 4, 6, 8) y C 5 (3, 4, 5, 6). Halla: a ) A 2 B; b ) B 2 C; c) C 2 A; d ) B 2 A y e ) A 2 A.

7

B 1

Figura 10.25

3

b) B 2 C 5 {1, 3, 5, 7} 2 {3, 4, 5, 6} 5 {1, 7} B

C 1

4

3 5

7

B

C 2

C

A 1

4

5

c) C 2 A 5 {3, 4, 5, 6} 2 {1, 2, 3, 4} 5 {5, 6} C

2

A

6

d) B 2 A 5 {1, 3, 5, 7} 2 {1, 2, 3, 4} 5 {5, 7} B

1

3

Figura 10.27

4

2

A 5

Figura 10.32

2

1 3

7

d) B 2 A 5 {2, 4, 6, 8} 2 {1, 2, 3, 4} 5 {6, 8} B

4

A 6 8

e) A 2 A 5 {1, 2, 3, 4} 2 {1, 2, 3, 4} 5 ∅ A

A Figura 10.33

1 3

2 4

1

2

Figura 10.28

230

6

Figura 10.31

5

Figura 10.29

3

4 8

c) C 2 A 5 {3, 4, 5, 6} 2 {1, 2, 3, 4} 5 {5, 6}

6

8

b) B 2 C 5 {2, 4, 6, 8} 2 {3, 4, 5, 6} 5 {2, 8}

6

3

4

Figura 10.30

Figura 10.26

5

6

2

4

3


e) A 2 A 5 {1, 2, 3, 4} 2 {1, 2, 3, 4} 5 ∅ A

A 1 3

2 4

Figura 10.34

Par ordenado Par ordenado es aquél en el que se ha determinado el orden de sus elementos. Un par ordenado se denota por (a, b), a es el primer elemento o componente y b es el segundo elemento o componente.

que se cumplan dichas probabilidades como el tránsito pesado, un accidente o una ponchadura de llanta. Podemos saber que ese es el tiempo estimado para llegar con tiempo a nuestro destino, pero no sabemos con certeza si lo haremos o no. Aplica lo que sabes El Melate es un juego de azar en el que se puede ganar la bolsa cuando se acierta a los seis números que salen en el sorteo. No se toma en cuenta el orden en que aparecen los números. Para participar se debe comprar un boleto en el que se seleccionan seis de los 56 números que aparecen en la boleta. Si una persona participa con un boleto en el que eligió únicamente seis números, ¿cuál es su probabilidad de ganar?

Ejemplos 1. Si para indicar una fecha del año se anotan los datos en el orden día, mes, el par ordenado (4, 3) indica el día 4 del tercer mes (marzo), mientras (3, 4) se refiere al día 3 del cuarto mes (abril); de ahí se deduce que: (4, 3) Z (3, 4). 2. Si en un edificio escolar a cada aula se le asocia un número de dos cifras que indican: la primera el piso y la segunda el número de aula (piso, aula), entonces el número 23 se refiere al aula 3 del piso, mientras el número 32 indica el aula 2 del piso 3; por consiguiente, el orden de las cifras establece la diferencia, por tanto, los números 23 y 32 se refieren a aulas y pisos diferentes. 3. Si en una unidad habitacional a cada casa se le asocian 2 números que indican: el primero el condominio y el segundo la vivienda (condominio, vivienda), entonces la casa 5-3 (5, 3) es la vivienda 3 del condominio 5; la casa 3-5 (3, 5) es la vivienda 5 del condominio 3, y se comprende que (5, 3) Z (3, 5). 4. Si una persona usa pantalones cuyas medidas de cintura y largo (cintura, largo) son 30 y 31 (30, 31), entonces un pantalón (31, 30) le quedará ancho en la cintura y corto, pues (30, 31) Z (31, 30). En general, el par ordenado (x, y) es diferente del par (y, x), es decir (x, y) Z (y, x) a menos que y 5 x.

Todos usamos diariamente la probabilidad sin darnos cuenta. Por ejemplo, al salir en la mañana de nuestras respectivas casas a la escuela o el trabajo, lo hacemos con un tiempo que nosotros tenemos más o menos cuantificado y en ese tiempo sabemos que es muy probable que lleguemos a tiempo a nuestros lugares de destino; cabe mencionar que no forzosamente llegaremos siempre a tiempo porque no tenemos control sobre cosas que puedan afectar

Son muy frecuentes las situaciones en las que no podemos predecir con certeza lo que pasará, para estos casos se llevan a cabo predicciones probabilísticas, las cuales se miden abarcando toda una gama de posibilidades que van desde lo imposible hasta lo seguro o inevitable, pasando por “muy probable” y “poco probable”. Con este bloque del libro lo que se pretende es introducir y estudiar las diversas metodologías existentes para conocer la probabilidad de que sucedan los eventos. Por definición la probabilidad se centra específicamente en el intervalo de los números reales entre 0 y 1, es decir [0, 1], donde el 0 representa lo imposible y el 1 representa al evento seguro o que siempre ocurre, ambos extremos expresan certeza sobre lo que ocurrirá y lo que no, entre estos extremos existe siempre la duda o incertidumbre entre lo que podría o no ocurrir. 231

10

BLOQUE


Eventos deterministas y aleatorios La manera más conveniente y clara de entender los conceptos básicos es a través de un ejemplo básico en el que estos conceptos salgan a flote. Supongamos que un entrenador de un equipo de basquetbol desea saber cuántas faltas cometerá un jugador suyo durante los partidos. Esto no podrá saberlo mientras no lo revise directamente. Los valores que podría tomar para este experimento es la variable número de faltas en el partido son 0, 1, 2, 3, 4, 5. El interés del entrenador radica en saber la probabilidad de que su jugador no cometa ninguna falta en el partido, o que cometa 1, 2 o hasta 5 faltas en el partido, lo cual ameritaría la expulsión del jugador. El conjunto comprendido por los números {0, 1, 2, 3, 4, 5} es el espacio muestral de la variable. Consideremos que puede haber más de una variable en consideración. Por ejemplo, digamos que además de saber cuántas faltas comete un jugador, quiere saber el estatus del jugador, es decir si ese jugador es titular (T) o de reserva (R), de esta manera pueden considerarse las siguientes posibles combinaciones con un valor de cada una de las variables consideradas: 0T, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 0R, 1R, 2R, 3R, 4R, 5R. Las combinaciones anteriores forman el espacio muestral para este caso. Experimento: Es un procedimiento mediante el cual se genera un resultado, que puede ser numérico o no numérico, los experimentos se clasifican en dos grandes grupos: Experimentos aleatorios: son aquellos experimentos cuyo resultado no puede ser predicho con exactitud. Experimentos determinísticos: los experimentos en los cuales el resultado ocurre siempre de la misma manera bajo las mismas condiciones.

Espacio muestral discreto: es aquel conjunto de datos o espacio que es finito o numerable. Espacio muestral continuo: si el espacio está formado por un intervalo o un conjunto de intervalos, se le conoce como continuo. Actividad de aprendizaje ¿Cómo se determina el espacio muestral?

En el ejemplo consideramos al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5} como espacio muestral. Antes de comprobarlo directamente, el entrenador no sabe con certeza cuántas faltas cometerá su jugador y podría plantearse las siguientes preguntas: ¿cometerá a lo más tres faltas? o, tal vez ¿cometerá cinco faltas y será expulsado?, estas preguntas como puede verse, generan los conjuntos {0, 1, 2, 3] y {5] respectivamente, los cuales son a su vez subconjuntos del espacio muestral Ω. Evento: Es cualquier elemento o subconjunto perteneciente al espacio muestral Ω. Cardinalidad de un evento: si definimos a X como un evento finito, la cardinalidad de X no es otra cosa que el número de elementos que conforman al evento X, y se representa como #(X). Actividad de aprendizaje ¿A qué se le llama evento?

Actividad de aprendizaje ¿Qué diferencia existe entre un experimento aleatorio y uno determinista?

Pueden distinguirse varios tipos de eventos: Evento simple: un evento es simple o elemental si y sólo si su cardinalidad es igual a 1. Evento aleatorio: es aquel experimento cuyo resultado no puede ser predicho con exactitud.

Espacio muestral de diversos tipos de eventos

Evento compuesto: se le conoce así al evento conformado por 2 o más elementos, es decir, su cardinalidad es mayor a 1.

Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados que un experimento arroje, se representa por la letra griega Ω y sus elementos pueden enlistarse de manera abreviada o explícita. Puede ser de dos tipos: discreto o continuo.

Evento imposible: es llamado así el evento que nunca puede ocurrir.

232

Evento seguro: se le conoce así al evento que ocurre con certeza, ocurre siempre.

10 5 5 ≈ 0 . 28 → 28 %. 36 18 Grupo Editorial Patria® 10 5 P( E)5 5 ≈ 0 . 29 → 2 9 %. 36 18 1 3 P( M )5 5 ≈ 0 . 083 → 8 . 3 %. 36 12 9 1 P( F )5 5 ≈ 0 . 2 5 → 25 %. 36 4 P(U )5

Eventos mutuamente excluyentes: si hay dos elementos definidos dentro del mismo espacio muestral, se dice que son eventos mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir nunca al mismo tiempo. Actividad de aprendizaje ¿Cómo se representa la cardinalidad de un evento?

10.1 Probabilidad clásica Se conocen diversas definiciones o conceptos de la probabilidad, pero son más reconocidas dos definiciones en particular: la clásica y la axiomática. Aquí estudiaremos solamente la probabilidad clásica. En una mesa de juego Ulises (U) reta a 3 amigos suyos a que si él gana una apuesta no pagará la cena esta noche. Ulises dice que él apuesta que si se lanzan 2 dados honestos a la mesa la suma de los números que muestran las caras superiores de los dados será menor a que si él gana una apuesta no ganará o igual a 5, Edgar (E) acepta el reto y él a su vez asegura que la suma de los números de los dados será de 7 u 8, Mariano (M) por su parte decidió apostar por números altos y dijo que serán 11 o 12, por último, Fabián (F) dijo que él apostaba a que la suma de los dados sería específicamente 6 o 9. ¿Cuál de estos amigos tiene mejores posibilidades de cenar gratis el día de hoy? Empezaremos analizando las posibilidades de Ulises; todos los amigos saben que los dados pueden caer de 36 (Ω) formas diferentes, las combinaciones ganadoras para Ulises son: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) o (4, 1)}, es decir, 10 de las 36 combinaciones posibles, lo cual le da bastante ventaja. Edgar, por su parte apuesta a que los dados caerán en: {(3, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (6, 1) o (6, 2)}, lo que le da también bastantes posibilidades de ganar la apuesta. Mariano sabe que ganará si los dados muestran las caras: {(5, 6), (6, 5) o (6, 6)}, mientras que Fabián ganará si las caras tienen los números: {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (3, 6), (4, 5), (5, 4) o (6, 3)}. Entonces calculemos las probabilidades de que gane cada uno: 10 5 5 ≈ 0 . 28 → 28 %. 36 18 10 5 P( E)5 5 ≈ 0 . 29 → 2 9 %. 36 18 3 1 P( M )5 5 ≈ 0 . 083 → 8 . 3 %. 36 12 9 1 P( F )5 5 ≈ 0 . 2 5 → 25 %. 36 4 P(U )5

Esto quiere decir que los que más posibilidades tienen de ganar la apuesta son Ulises y Edgar, ya que entre los 2 sus posibilidades de ganar son de 54% con 27% cada uno, Mariano por su parte solamente tiene 8.3% de probabilidades, mientras que Fabián tiene 25% de probabilidades. Aunque no debemos olvidar que la posibilidad de que ninguno de ellos gane es de 11%, lo cual no le haría gracia a ninguno de ellos. Del ejemplo anterior podemos afirmar que si se considera para el estudio un experimento aleatorio con n número de posibles resultados, de esos n posibles resultados, k representa un evento particular que es de interés; si decimos que A es el evento de interés, su probabilidad de ocurrir se escribe como P(A). P( A )5

k n

La definición de la probabilidad clásica indica lo siguiente: si se considera al evento A definido en un espacio muestral Ω, la probabilidad de que el evento A ocurra está expresada por: P ( A )5

#( A ) #(Ω)

Es decir que para calcular la probabilidad de que ocurra un evento se calcula la cantidad de elementos, o cardinalidad, que definen al evento A entre la fracción de elementos que definen al espacio muestral Ω. También debe de entenderse de que si la probabilidad de que ocu#( A ) , la probabilidad de que no ocurra, rra el evento A es P( A )5 #(Ω) es decir, de que ocurran los eventos complementarios al evento A es: P(AC) 5 1 2 P(A). Aplica lo que sabes En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Si continuamos alterándolas nos destruiremos. Recordemos que formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. El uso del agua en el baño. ¿Cómo puedes determinar, por minuto, el volumen de agua que sale del lavabo? ¿Cuánto tiempo tardas en bañarte?

233

( D)

)

ado ( P )

10

BLOQUE


¿Cómo puedes determinar la cantidad de litros de agua que consumes al bañarte? ¿Qué cantidad de agua consumes en el baño a la semana?¿Al mes? ¿Qué se puede hacer para usar de manera eficiente el agua?

Como Alfredo no sabe mucho sobre motocicletas decidió dejar al azar la selección de la configuración. Para esto hizo un diagrama con las posibles combinaciones; de esta manera escribió en 18 papeles las distintas posibilidades: (AD, MV, LD), (AC, ML, LP)… (AP, ML, LP), y escogió una configuración de entre esos papeles.    LD   MV  LT    LP  AD   LD     ML  LT  LP      LD   MV  L T    LP  AC    LD   ML  LT    LP       LD   MV  LT    LP  AP   LD   ML  LT      LP

¿Qué medidas concretas se pueden adoptar para contribuir al ahorro de agua?

Esto demuestra que si un suceso S1 ocurre de M1 maneras y un suceso S2 se presenta a su vez de M2 maneras, el suceso que comprende (S1 y S2), ocurre de (M1 3 M2) maneras diferentes; para este caso tenemos que:

Probabilidad de eventos compuestos Técnicas de conteo Se conocen varias técnicas del análisis combinatorio que permiten establecer cuántos elementos tiene un espacio muestral dado. Dichas técnicas se explican y ejemplifican a continuación.

Principio de la multiplicación Alfredo quiere comprar una nueva motocicleta y sabe que ésta puede configurarse con 3 tipos de asiento (Deportivo, Clásico, Personalizado), 2 tipos de motor (V, L) y 3 tipos de llantas (Deportivas, Todo terreno, Planas). Él debe analizar todas las posibles configuraciones para tomar una decisión, para lo que organizó sus datos como se muestra:  Deportivo ( D)  Asiento ( A )Clásico (C )  Personalizado ( P )  V Motor ( M ) L

234

V Motor ( M ) L

 Deportivas ( D)  Llantas ( L )Todo terreno (T )  Planas ( P ) 

3 3 2 3 3 5 18 configuraciones distintas

Principio de la adición Una familia que ha decidido comprar una camioneta para hacer sus viajes de manera más cómoda, ha reunido el dinero suficiente para comprarla y sus opciones son:  Escape  Ford  Explorer  Expedition   Deportivas ( D)

Actividad de aprendizaje 

Llantas ( L )Todo terreno (T )  Planas ( P )  qué consiste el conteo? ¿En

Town Country Chrysler   Aspen


En Ford tienen 3 opciones a elegir, mientras que en Chrysler tienen sólo 2 alternativas, es decir que en total tienen 3 + 2 5 5 opciones. Debe de notarse que la opción que decidan será de Ford o de Chrysler. Así podemos demostrar que si el suceso S1 ocurre de k1 diferentes maneras y el suceso S2 pasa de k2 formas, entonces el suceso (S1 o S2) puede ocurrir de (k1 + k2) diferentes formas. Se puede generalizar la regla de la siguiente manera si los sucesos S1, S2, S3, …, Sn, ocurren de n1, n2, n3, …, nn formas diferentes, entonces el suceso (S1 o S2 o S3 o … Sn) se presenta de (n1 + n2 + n3 + … nn) distintas maneras.

Preguntas 1. ¿En qué consiste el principio de la adición?

2. ¿Qué diferencia o similitud tienen entre ellos el principio de la multiplicación y el principio de la adición?

Para entender mejor la probabilidad y hacer más fácil el cálculo combinatorio de las diversas opciones de un caso en particular pueden ser de mucha utilidad las siguientes herramientas.

Ordenaciones Si se tiene un conjunto Z, del cual conocemos el número de elementos que lo conforman, se dice que el subconjunto Y de Z es una muestra de tamaño k obtenida sin reemplazo si cada elemento de Z puede formar parte de Y una sola vez. Si se diera el caso de que cada elemento de Z puede estar repetido en Y se dice que es un muestreo con reemplazo.

Ordenaciones con repetición Si lanzamos una moneda al aire, sabemos que los posibles resultados son águila (H) o sol (T), es decir Ω 5 {H, T}. Si se lanza por segunda vez la moneda los posibles resultados serán: ( H , H ), (T , H )    ( H , T ), (T , T )  Si se lanza la moneda por tercera vez, entonces los posibles resultados son:

( H , H , H ), (T , H , H ), ( H , T , H ), (T , T , H )    ( H , H , T ), (T , H , T ), ( H , T , T ), (T , T , T )  Notemos que al principio solamente se tenía un conjunto con dos elementos: {H, T}, y que en los lanzamientos consecutivos el número de elementos del conjunto pueden calcularse fácilmente multiplicando el número de elementos que conforman el conjunto anterior, por el número de elementos del conjunto original, en esta caso, el número 2. Si se analiza ahora el conjunto original conformado por tres elementos: {A, B, C}, se pueden obtener inmediatamente tres arreglos de un solo elemento, es decir: {A}, {B}, {C}. A partir de estos tres arreglos de un elemento pueden generarse los siguientes arreglos de 2 elementos: {A, A}, {A, B}, {A, C}, {B, A}, {B, B}, {B, C}, {C, A}, {C, B}, {C, C}, que son 3 3 3 5 9 arreglos; si de estos arreglos se escogieran arreglos de 3 elementos, entonces se tendrían 9 3 3 5 27 arreglos. De manera general con los ejemplos anteriores se puede decir que de un conjunto original de n elementos pueden obtenerse n arreglos de 1 elemento y hasta nk21(n) 5 nk arreglos de k elementos. Los arreglos con repetición de k elementos de un conjunto original con n elementos son las ordenaciones de los n elementos de un conjunto tomándolos de k en k y se simbolizan de la siguiente manera: (OR )nk = n k , donde k > 0

Factorial de un entero no negativo Si tenemos cualquier número entero no negativo n, el factorial de n se representa con n!, y se define como n! 5 n(n 2 1)(n 2 2)… (n 2 n + 1), es decir, que el factorial de un número es igual al producto o multiplicación de todos los números naturales enteros anteriores al mismo. Su importancia radica en que es una herramienta muy útil para cálculos combinatorios. 7! , enDigamos que deseamos calcular los valores de 5! y de (6 – 2)! tonces realizamos las siguientes operaciones: 5! 5 5(4)(3)(2)(1) 5 120 7! 7! 7 36 3 5 3 4 333 2 31 5 210 5 5 (6 2 2)! 4 ! 4 333 2 31

Permutaciones Un pastelero tiene disponibles 4 sabores distintos de pasteles: fresas con crema (1), chocolate (2), tres leches (3) y piñón (4), y ha decidido repartirlos con 4 conocidos suyos: Juan (J), Xóchitl (X), Luis (L) y Manuel (M) para que prueben sus nuevos pasteles, de manera que cada uno de sus pasteles sea probado por cada uno de sus conocidos de sabor en sabor. Si puede hacer uno de 235

10

BLOQUE


cada uno de los pasteles al día y los reparte entre sus conocidos, ¿cuántos días durará su reparto de muestras gratis?


La primera asignación podría ser: {(J, 1), (X, 2), (L, 3), (M, 4)}, al día siguiente la combinación sería tal vez: {(J, 3), (X, 4), (L, 1), (M, 2)}, y así sucesivamente. El procedimiento y el criterio para hacer las asignaciones son muy similares a los de las ordenaciones sin repetición.

¿Qué es una permutación y qué una combinación?

Digamos que el pastelero decide darle a probar a Juan sus pasteles primero, entonces Juan puede elegir cualquiera de las 4 rebanadas, entonces si el pastelero va después con Xóchitl, ella solamente podrá escoger entre 3 rebanadas distintas, ya que la primera la tomó Juan, Posteriormente Luis podrá escoger entre sólo dos rebanadas y finalmente Manuel tendrá que probar la rebanada que haya quedado. Si se aplica el principio de la multiplicación visto anteriormente, entonces podemos obtener el número total de asignaciones así: 4 3 3 3 2 3 1 5 24 posibles asignaciones Es decir que el pastelero tendrá que dedicar 24 días a su experimento. De manera general podemos decir que si se tiene un conjunto de n elementos, una permutación de tamaño k, con k ≤ n, se define como un subconjunto con k elementos arreglados de tal manera que: El arreglo tiene exactamente k elementos. Los k elementos son diferentes. El orden en que aparecen los k elementos es importante. El número de permutaciones de n elementos, formando arreglos de tamaño k es representado por Pkn. n! (n 2 k )! Si se desea saber cuál es el número de permutaciones de tamaño 2 que pueden hacerse con 4 frutas, digamos: guayaba, manzana, pera y durazno. Pkn 5

En este caso sabemos que n 5 4 y k 5 2, entonces calculamos el número de permutaciones posibles que es: 4! 4 ! 4 333 2 31 n! 512 Pkn 5 5 5 5 (n 2 k )! ( 4 2 2)! 2! 2 31

Combinaciones Una empresa de consultoría para la construcción tiene 8 consultores expertos, los cuales normalmente van en parejas a visitar a sus distintos clientes; si por el momento la empresa tiene 25 clientes y quieren que cada cliente sea visitado por una pareja distinta, ¿son suficientes los consultores para llevar a cabo estas visitas? Si definimos a los consultores como {C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8}, entonces si seleccionamos al consultor C1 , éste puede ir acompa236

ñado de cualquiera de los otros siete consultores restantes, lo que daría origen a las siguientes posibles parejas: (C1, C2), (C1, C3), (C1, C4), (C1, C5), (C1, C6), (C1, C7), (C1, C8); si se selecciona al consultor C2 , éste podría ir acompañado por los demás agentes formando las parejas: (C2, C1), (C2, C3), (C2, C4), (C2, C5), (C2, C6), (C2, C7), (C2, C8), pero no debemos pasar por alto que la pareja (C1, C2), es igual a la pareja (C2, C1), porque son los dos mismos agentes seleccionados, por lo que con el consultor número 2 sólo se han formado 6 parejas diferentes a las que formó el consultor número 1; si seguimos con este ejercicio podemos ver que con C3 se forman cinco parejas nuevas, con C4 sólo cinco parejas diferentes y así sucesivamente hasta que vemos que con el agente C8 no se forma ninguna pareja nueva. Entonces, aplicando el principio de la adición sabemos que pueden formarse 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 5 28 parejas distintas, por lo que los agentes de la consultora son suficientes para visitar a sus 25 clientes por parejas, siendo cada pareja diferente. En un conjunto de n elementos, una combinación de tamaño k, con k ≤ n, se define como un arreglo de k elementos de tal forma que: El arreglo tiene exactamente k elementos. Los k elementos son diferentes. No importa el orden en que aparecen los k elementos. El número de combinaciones de n elementos, formando arreglos de tamaño k es representado por C kn. C kn 5

n! k ! (n 2 k )!

Si queremos saber cuántas combinaciones pueden hacerse con las letras o, p, q, r y s, considerando arreglos de 3 elementos, se tendría que proceder como sigue: Se sabe que n 5 5 y k 5 3, con estos datos ya nos es posible calcular el número de posibles combinaciones resultantes: 5 3 4 333 2 31 n! 5! 5! 510 C kn 5 5 5 5 k !(n 2 k )! 3!(5 23)! 3! ⋅ 2! (33 2 31)(2 31)

Pregunta 1. ¿Cuál es la principal diferencia entre las permutaciones y las combinaciones?


Aplicación de las TICs 1. Utiliza el navegador de tu preferencia y busca en qué consiste la probabilidad clásica. 2. Investiga: a) ¿Cómo se expresa el modelo matemático de la probabilidad clásica? b) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien de tu grupo cumpla años el mismo mes que tú? c) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien de tu escuela cumpla años el mismo día que tú? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1. Necesito ayuda.


Desempeños

1

2


3

Debo mejorar en…

Distingo entre eventos deterministas y aleatorios. Utilizo las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades.


237

10

BLOQUE



2. Bien

1. Regular

0. Deficiente


1

2

3



238

4

5



Apellido materno

Nombre

Grupo


1. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral Ω si se lanzan dos dados honestos?

6. Si la probabilidad de que ocurra el evento F es de P (F ) 5 0.14, ¿cuál es la probabilidad de que no suceda?

a ) 6.

a ) P (F c ) 5 0.36

b ) 12.

b ) P (F c ) 5 0.48

c ) 24.

c ) P (F c ) 5 0.67

d ) 36.

d ) P (F c ) 5 0.86

2. Si el evento A tiene más de un elemento que lo conforme, se dice que es un:

7. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse 8 carros en un estacionamiento con 8 lugares disponibles?

a ) Evento simple.

a ) 240.

b ) Evento compuesto.

b ) 1 440.

c ) Evento seguro.

c ) 5 040.

d ) Evento imposible.

d ) 4 0320.

3. Un auto para venta puede configurarse con 2 tipos de asiento, 3 tipos de motor, 6 colores y 3 tipos de llantas. ¿Cuántas configuraciones posibles existen?

8. Si se consideran las 27 letras del alfabeto y los 10 dígitos, ¿cuántas claves de 6 elementos pueden hacerse si debe haber 3 letras y 3 números?

a ) 108.

a ) 50 000 000

b ) 256.

b ) 19 663 317

c ) 288.

c ) 56 789 876

d ) 300.

d ) 75 643 987

4. Si hay 5 colores de tela diferentes, ¿cuántas combinaciones de 2 colores pueden hacerse? a ) 5. b ) 7. c ) 10. d ) 14. 5. Si se lanzan 2 dados honestos al aire, la posibilidad de que la suma de las caras superiores sea menor o igual a 4 (evento E ) es:

1 6 1 b ) P( E)5 12 1 c ) P( E)5 24 1 d ) P( E)5 36 a ) P( E)5

9. ¿Qué probabilidad hay de que una persona X sea elegida entre 200 personas si 40 van vestidas de color amarillo, 60 de color rojo y 100 de color negro? No importa el color del que vayan vestidas:

1 200 1 b ) P( X )5 100 1 c ) P( X )5 60 1 d) P( X )5 40 a ) P( X )5

239

10

BLOQUE


10. Si de las mismas 200 personas se eligen 2 personas al azar, ¿qué probabilidad hay de que al menos una de las personas esté vestida de color rojo?

1 20 79 b ) P( R )5 200 394 c ) P( R )5 995 1 187 d ) P( R )5 1 990 a ) P( R )5

Rúbrica Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del Bloque 10. Nombre del alumno:

Bueno (3)

Regular (2)

Eventos deterministas Conoce y distingue con claridad los eventos y aleatorios deterministas y aleatorios

Conoce y distingue eventos deterministas y aleatorios

Conoce y distingue algunos eventos deterministas y aleatorios

No conoce ni distingue los eventos deterministas y aleatorios

Espacio muestral de diversos tipos de eventos

Conoce y determina el espacio muestral de diversos tipos de eventos

Conoce el espacio muestral de diversos tipos de eventos

Conoce el espacio muestral de algunos tipos de eventos

Conoce y determina el espacio muestral de diversos tipos de eventos

Probabilidad clásica de un evento aleatorio

Conoce, obtiene y aplica la probabilidad clásica de un evento aleatorio

Conoce y aplica la probabilidad clásica de un evento aleatorio

Conoce la probabilidad clásica de algunos eventos aleatorios

No conoce, no obtiene, ni aplica la probabilidad clásica de un evento aleatorio

Probabilidad de eventos compuestos

Conoce, obtiene y aplica la probabilidad de eventos compuestos

Conoce y aplica la probabilidad de eventos compuestos

Conoce la probabilidad de algunos eventos compuestos

No conoce, no obtiene, ni aplica la probabilidad clásica de un evento aleatorio

Aspecto a evaluar

Criterios

240

Excelente (4)

Deficiente (1)


Autoevaluación:

Cada alumno se evalúa a sí mismo con base en las notas realizadas en su portafolio. Coevaluación

Se realiza por medio del portafolio. Cada alumno presenta su portafolio a otro y el evaluador hará un registro de sus observaciones. Heteroevaluación: A través de una rúbrica se evaluará el cómo resolvieron los alumnos los problemas. Por equipos, cada compañero evalúa a otro por medio de una escala de rango. Escala de rango Aspectos a evaluar

1

2

3

4

5

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Equipo 5

Explica el problema, con claridad Explica sus ideas y procedimientos Investiga y propone más de una solución Argumenta en la discusión del resultado de una solución Participa con preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de resolverlo?, ¿es ésta la única solución posible?, ¿qué pasa si...? Contesta las preguntas realizadas por sus demás compañeros/as Está atento y respeta la participación de sus compañeros Nunca = 1; Raramente = 2; Algunas veces = 3; Casi siempre = 4; Siempre = 5 Hoja de observación para el trabajo por equipos Criterios

Equipo 1

Intercambian ideas antes de iniciar las actividades acordadas Colaboran en la investigación de datos, conceptos, definiciones, ejemplos, etcétera Atienden y respetan las opiniones de los demás Comparten y discuten la información aportada Proponen explicaciones y aplicaciones de lo investigado Aplican el razonamiento con una base científica Registran y sistematizan sus observaciones Claves: NS (No Suficiente), S (Suficiente), B (Bien), MB (Muy bien) 241

Glosario Ángulo semiinscrito de una circunferencia. El que está formado por una cuerda y una tangente. Altura de un triángulo. Segmento de recta perpendicular que se traza desde un vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste. Ángulo. Figura del plano formada por la unión de dos rayos que tienen el origen común, donde los rayos son los lados del mismo.

Ángulos adyacentes. Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común situado entre los lados no comunes. Ángulos alternos externos. Dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos).

Ángulo agudo. Es aquél cuyo valor es menor de 90°.

Ángulos alternos internos. Ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos).

Ángulo central de una circunferencia. El que está formado por dos radios.

Ángulos colaterales externos. Dos ángulos situados en el mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos).

Ángulo central de un polígono regular. Aquel que se opone a cada lado del polígono.

Ángulos colaterales internos. Dos ángulos situados en el mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos).

Ángulo exterior de una circunferencia. El que está formado por dos segmentos secantes que se cortan en un punto fuera del círculo. Ángulo exterior de un polígono. El que se forma cuando se prolongan los lados de un polígono en un mismo sentido entre estas prolongaciones y los lados del polígono. Ángulo exterior de un triángulo. El que se forma por la prolongación de un lado y el siguiente. Las prolongaciones de los lados del triángulo se hacen en un mismo sentido. Ángulo inscrito de una circunferencia. El que está formado por dos cuerdas y tiene su vértice sobre la circunferencia.

Ángulos complementarios. Dos ángulos cuya suma de medidas es de 90°. Cada uno de los ángulos es el complemento del otro. Ángulos opuestos al vértice. Ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. Ángulos suplementarios. Dos ángulos cuya suma de medidas es de 180°. Cada uno de los ángulos es el suplemento del otro. Cardinalidad de un evento. Número de elementos que conforman al evento X, se representa como #(X). Círculo. Es la superficie del plano limitada por una circunferencia.

Ángulo interior de una circunferencia. Aquel que está formado por dos cuerdas que se cortan.

Círculo trigonométrico. Aquél cuyo radio es la unidad de longitud, r = 1.

Ángulo interior de un polígono regular. El que está formado por dos lados consecutivos.

Circunferencia. Curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior llamado centro de la circunferencia.

Ángulo llano. Aquél cuyo valor es de 180°. Ángulo obtuso. Aquél cuyo valor es mayor de 90°, pero menor de 180°. Ángulo recto. Aquél cuyo valor es de 90°. 242

Clasificación de ángulos. Según su amplitud son agudo, recto, obtuso y llano. Combinación. Número de formas diferentes que se pueden seleccionar de n objetos de un total de N objetos distintos.


Congruencia de dos o más figuras. Significa que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Criterios de congruencia de triángulos. Son los que establecen las condiciones por la cuales se puede afirmar que dos triángulos son congruentes. Criterios de semejanza de triángulos. Son los que establecen las condiciones por las que se puede afirmar que dos triángulos son semejantes. Cuerda. Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Desviación estándar. Es la raíz cuadrada del cuadrado medio de las desviaciones a la media.

Eventos mutuamente excluyentes. Si hay dos elementos definidos dentro del mismo espacio muestral, se dice que son eventos mutuamente excluyentes si ambos eventos no pueden ocurrir nunca al mismo tiempo. Experimento. Procedimiento mediante el cual se genera un resultado, el cual puede ser numérico o no numérico. Los experimentos se clasifican en dos grandes grupos: aleatorios y determinísticos. Experimentos aleatorios. Experimentos cuyo resultado no puede ser predicho con exactitud. Experimentos determinísticos. Experimentos en los cuales el resultado ocurre siempre de la misma manera bajo las mismas condiciones.

Diámetro. Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Frecuencia absoluta. Número de veces que aparece cierto valor en un estudio estadístico.

Elementos homólogos de dos o más figuras. Son los elementos que se corresponden, ya sea ángulo con ángulo o lado con lado.

Frecuencia acumulada. Es la suma de todas las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Espacio muestral. Es el conjunto de todos los posibles resultados que un experimento arroje, se representa por la letra griega Ω y sus elementos pueden enlistarse de manera abreviada o explícita. Puede ser de dos tipos: discreto o continuo.

Frecuencia relativa. Cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.

Espacio muestral continuo. Si el espacio está formado por un intervalo o un conjunto de intervalos, se le conoce como continuo. Espacio muestral discreto. Conjunto de datos o espacio que es finito o numerable.

Funciones trigonométricas. Entre los lados de un triángulo rectángulo se pueden establecer seis relaciones por cociente o relaciones geométricas cuyo valor depende del ángulo respecto del cual se establecen.

Evento. Es cualquier elemento o subconjunto perteneciente al espacio muestral Ω.

Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo comprendido.

Evento aleatorio. Experimento cuyo resultado no puede ser predicho con exactitud.

Ley de los senos. En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Evento compuesto. Es el evento conformado por 2 o más elementos, es decir, su cardinalidad es mayor a 1.

Media de un conjunto de datos. Cociente de la suma de datos entre el número de datos.

Evento imposible. Es el evento que nunca puede ocurrir.

Mediana de un conjunto ordenado de datos. Valor central de la colección si es impar o el cociente de la suma de los dos valores centrales entre dos si es par.

Evento seguro. Evento que ocurre con certeza, que ocurre siempre. Evento simple. También conocido como evento elemental, si y sólo si, su cardinalidad es igual a 1.

Moda de un conjunto de datos. Valor que aparece con mayor frecuencia. Muestra. Subconjunto de la población.

243

Glosario

Ordenación. Disposición habitual de cosas o personas. Pares de ángulos. Pueden ser opuestos por el vértice, adyacentes. Por la suma de sus medidas pueden ser complementarios, suplementarios. Permutación. Cada arreglo de datos donde el orden es importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos contenidos en el grupo. Población. Conjunto sobre el cual estamos interesados en obtener conclusiones. Poligonal. Es la figura formada por segmentos rectilíneos colocados uno a continuación de otro y siguiendo distintas direcciones, en la que el extremo final del primero es coincidente con el extremo inicial del segundo, el extremo final de éste es el extremo inicial del tercero y así sucesivamente. Así, dos segmentos consecutivos sólo tienen un punto común y un segmento cualquiera sólo tiene en común con otros dos sus puntos extremos. Polígono. Es la figura delimitada por una poligonal cerrada donde los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono. Polígono cóncavo. Aquél en el que una recta secante puede cortarlo en más de dos puntos. Polígono convexo. Aquél en el que cualquier recta secante sólo lo corta en dos de sus lados.

Radio. Segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Rango. Diferencia entre los valores máximo y mínimo de un conjunto de datos. Secante. Recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes). Semejanza de dos o más figuras. Indica que tienen la misma forma. Semicírculo. Mitad de un círculo. Semicircunferencia. Mitad de una circunferencia. Suma de los ángulos interiores de un triángulo. Es igual a 180°. Tangente. Recta que toca a la circunferencia en un punto. Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Triángulo. Está formado por tres puntos no alineados en el plano y los segmentos que lo determinan. Triángulo equilátero. Aquel que tiene sus tres lados iguales. Triángulo escaleno. Es el que no tiene lados iguales.

Polígono equiángulo. El que tiene sus ángulos interiores iguales.

Triángulo isósceles. Aquel que tiene por lo menos dos lados iguales.

Polígono equilátero. El que tiene sus lados iguales.

Triángulo rectángulo. Es el que tiene un ángulo recto.

Polígono irregular. Aquél que no es a la vez equilátero y equiángulo.

Triángulos congruentes. Son aquellos que tienen congruentes sus elementos homólogos.

Polígono regular. Aquél que es a la vez equilátero y equiángulo.

Triángulos semejantes. Aquellos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

Probabilidad. Rama de las matemáticas que estudia de manera numérica los eventos que generan incertidumbre. Probabilidad clásica. Aquella que se toma de manera objetiva. La probabilidad de un evento A, P(A), es la medida de la posibilidad de que ese evento ocurra.

244

Variable. Atributo que nos interesa estudiar en una muestra o población. Varianza. Cuadrado de la desviación estándar.


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Vínculos en Internet

Vínculos en Internet http://www.mathworks.com http://www.wolframresearch.com http://www.geoan.com

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Matematicas2 OrtizCOBATABNov2015 Op

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