Alejandro Olea Díaz Eduardo Basurto Hidalgo Marco Antonio Rivera Paredes
Contexto matemático 2, fue elaborado según el plan del Departamento de Investigación Educativa de Norma Ediciones S.A. de C.V., bajo la dirección de José de Jesús Arriaga Carpio.
Participaron en esta obra: Revisión técnica: Pablo Pulido y Ricardo Strausz Coordinación editorial: Merari Fierro Diseño de interiores: Fusión Diseño (Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo) Diagramación: Fusión Diseño (Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo) Diseño de cubierta: Paulina González Pastrana Lecturas: Gabriela Araujo y Claudia Cabeza de Vaca Fotografía de cubierta: Archivo de Norma Ediciones S. A. de C. V. Ilustraciones: Alfredo de la Rosa Olguín, Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo Fotografía interiores: Archivo AGRAL y Fusión Diseño (Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo) Apoyo iconográfico: Carlos García y Fusión Diseño (Alma R. Ruiz Macías y Martín Morales Badillo) Contexto matemático 2. Matemáticas de segundo grado de secundaria Derechos reservados: © 2008, Alejandro Olea Díaz Eduardo Basurto Hidalgo Marco Antonio Rivera Paredes
© 2008, Norma Ediciones, S.A. de C.V. Avenida Presidente Juárez núm. 2004 Fraccionamiento Industrial Puente de Vigas CP 54090, Tlalnepantla, Estado de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 3074
ISBN 978-970-09-0985-1
El contenido y diseño de Contexto matemático 2. Matemáticas de segundo grado de secundaria son propiedad de la casa editora. La publicación no puede ser reproducida o transmitida de manera parcial o total mediante algún sistema electrónico o mecánico, sin el consentimiento previo y por escrito de la editorial.
Impreso en México Printed in Mexico
Primera edición: 2008 Esta obra se terminó de imprimir en los talleres de ( ), ubicados en ( ), en el mes de ( ), de 2007.
2
Presentación Estimado alumno o alumna:
E
ste libro de texto es un material que tiene como propósito fundamental apoyarte en el aprendizaje de las matemáticas. Pensando en tu curiosidad y en la disposición para enfrentarte a nuevos retos, hemos diseñado este libro de segundo grado, en el que tendrás la oportunidad de explorar (a través de las actividades que se te proponen, del trabajo individual o en equipo y del apoyo de tu profesor) el fascinante mundo de las matemáticas. Esperamos que esto te permita reconocer que las matemáticas son una herramienta interesante y útil presente no sólo en las ciencias, sino también en el arte, los deportes y la vida de todos los días.
En el desarrollo de las lecciones se abordan los ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. Su estudio te permitirá hacer tuyos los conocimientos que se presentan, a la vez que desarrollar habilidades matemáticas. Sabemos que para ello necesitas adquirir la confianza y la seguridad suficiente para resolver problemas mediante el descubrimiento, el análisis, la reflexión y la ejecución de tus propios métodos; pero sobre todo, habrá que hacer a un lado la memorización. Por ello, es importante que al tener una estrategia o un procedimiento para resolver problemas, los comuniques a tus compañeros, argumentando cómo lograste llegar a la solución. Gracias a su estructura este libro te presenta una gran variedad de situaciones, con el propósito de que tengas la oportunidad de analizar, discutir, escuchar a tus compañeros, comunicar y argumentar sobre el trabajo que estén desarrollando a lo largo de las actividades. Esperamos que este libro sea una herramienta útil para el placer de hacer y aprender matemáticas. Los autores
Presentación
3
ÍNDICE Lección
Semana
Contenido
Conocimientos y habilidades
Bloque 1
4
Pág. 10 12
Proyecto 1
1
Multiplicación y división de números con signo.
1. Multiplicación y división de números con signo
1
Division de números con signo.
Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de números con signo.
13
2. Adición y sustracción de expresiones algebraicas
2
Significados de la adición y sustracción con expresiones algebraicas a partir de situaciones concretas. Elaboración y uso de procedimientos para sumar y restar polinomios.
Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.
17
3. Identidades algebraicas
3
Obtención de expresiones algebraicas equivalentes.
Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
21
4. Estimar y medir ángulos
4
Medición de ángulos.
Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos utilizando el grado como unidad de medida.
25
5. Posiciones relativas de dos rectas en el plano
5
Posiciones relativas entre rectas en el plano. Ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Definición de ángulo recto y rectas perpendiculares.
Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
31
6. Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal
6
Ángulos que se forman con dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.
35
7. El factor inverso de una relación de proporcionalidad
7
Proporcionalidad directa; problemas de cuarta proporcional y cálculo de factor inverso.
Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
41
8. Proporcionalidad múltiple
8
Cálculo de factor de proporcionalidad múltiple.
Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.
47
9. Problemas de conteo
9
Uso de arreglos rectangulares en problemas de conteo. Problemas sencillos de conteo: combinación, permutación y variación. Uso de diagramas de árbol en problemas de probabilidad.
Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identificación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectángulares, diagramas de árbol u otros recursos.
51
10. Polígonos de frecuencia
10
Gráficas estadísticas: diagramas y polígonos de frecuencia.
Interpretar y comunicar información mediante polígonos de frecuencia.
57
Conexiones
10
61
¿Qué aprendí?
11
62
Contenido
Lección
Semana
Contenido
Conocimientos y habilidades
Bloque 2
Págs. 64
Proyecto 2
11
Volumen y capacidad de cubos y prismas.
11. Operaciones combinadas
11
Jerarquía de las operaciones. Uso de paréntesis.
Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos.
67
12. Multiplicación y división de expresiones algebraicas
12
Elaboración y uso de procedimientos para multiplicar y dividir polinomios.
Resolver problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.
73
13. Cuerpos geométricos
13
Cubos, prismas y pirámides. Elementos y propiedades. Desarrollos planos. Vistas de un cuerpo geométrico.
Describir las características de cubos, prismas y pirámides. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
77
14. Cubos, prismas y pirámides
14
Justificación de las fórmulas de volumen de cubos, prismas, paralelepípedos rectos y pirámides.
Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.
83
15. Volumen de cubos, prismas y pirámides
15
Equivalencia entre unidades de volumen y capacidad. Volumen de cubos, prismas y pirámides.
Estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Calcular datos desconocidos, dados otros relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad, y analizar la relación entre ellas.
89
16. Comparación de razones con base en la noción de equivalencia
16
Comparación de razones.
Resolver problemas de comparación de razones con base en la noción de equivalencia.
93
17. Medidas de tendencia central
17
Propiedades de la media.
Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, considerando de manera especial las propiedades de la media aritmética.
97
Conexiones
17
103
¿Qué aprendí?
18
104
66
Bloque 3
106
Proyecto 3
18
Teselación.
18. Sucesiones de números con signo
18
Construcción de sucesiones de números con signo a partir de una regla dada y obtención de la regla que genera la sucesión (conjetura de Siracusa).
108
Construir sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo.
Contenido
109
5
Lección
Semana
Contenido
Conocimientos y habilidades
Pág.
19. Ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f
19
Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado de la forma ax + bx + c = dx + ex + f aplicando las propiedades de igualdad. Resolución de ecuaciones con paréntesis.
Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + bx + c = dx + ex + f, con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios, positivos o negativos.
115
20.Cantidades que varían una en función de la otra
20
Uso de tablas y expresiones algebraicas para representar e interpretar funciones lineales.
Reconocer en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, la presencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
121
21. Ángulos internos de polígonos
21
Justificación de la fórmula con que se obtiene la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
Establecer una fórmula que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
127
22. Recubrimientos del plano
22
Recubrimiento del plano.
Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.
131
23. Relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos
23
Gráficas de función lineal.
Construir, interpretar y utilizar gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.
137
24. Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b
24
Análisis del parámetro b en las gráficas de función lineal.
Anticipar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permenece constante.
143
25. Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m
25
Análisis del parámetro m en las gráficas de función lineal.
Analizar el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m mientras el valor de b permenece constante.
149
Conexiones
25
155
¿Qué aprendí?
26
156
Bloque 4
6
158
Proyecto 4
26
Centro de gravedad.
26. Potenciación y notación científica
26
Leyes de los exponentes: productos y cocientes de potencias, potencia de una potencia. Exponentes negativos. Empleo de la notación científica para describir fenómenos expresados mediante números muy grandes o muy pequeños.
Contenido
160
Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
161
Lección
Semana
Contenido
Conocimientos y habilidades
Pág.
27. Congruencia de triángulos
27
Criterios de congruencia de triángulos.
Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
167
28. Puntos y rectas notables en un triángulo
28
Mediatrices, medianas, alturas y bisectrices en triángulos; propiedades y construcción.
Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
171
29. Probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes
29
Eventos independientes. Cálculo de la probabilidad de eventos independientes.
Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.
177
30. Gráficas comparativas
29
Gráficas de línea de datos que varían con el tiempo.
Interpretar y utilizar dos o más gráficas de línea que representan características distintas de un fenómeno o situación, con el fin de obtener información más completa y en su caso tomar decisiones.
183
31. Gráficas formadas por segmentos
30
Gráficas de segmentos de línea de fenómenos de movimiento o llenado de recipientes.
Interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
189
Conexiones
30
195
¿Qué aprendí?
31
196
Bloque 5
198 200
Proyecto 5
31
Traslación y rotación.
32. Sistemas de ecuaciones
32
Resolución de problemas utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales.
Representar con literales los valores desconocidos de un problema. Usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
201
33. Traslación y rotación de figuras
33
Diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y traslación de figuras.
Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinen la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
207
34. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones
34
Gráfica de sistemas de ecuaciones lineales.
Representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretar la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.
213
35. Eventos mutuamente excluyentes
35
Eventos mutuamente excluyentes. Cálculo de la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes.
Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.
219
Conexiones
36
¿Qué aprendí?
36
223 224 226
Bibliografía
Contenido
7
Conoce tu libro Contexto matemático 2 se divide en cinco bloques, cada uno inicia con una imagen acompañada con preguntas generadoras y los aprendizajes esperados.
Proyecto: es una actividad inicial que relaciona uno o
más temas que se abordarán en cada bloque. Para desarrollarla, aplicarás tanto tus conocimientos previos, como los que adquirirás en algunas lecciones.
Piensa y comenta: en esta sección analizas una situación para lograr expresar matemáticamente ciertas situaciones así como utilizar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas.
Al margen: aquí encontrarás pequeñas cápsulas
informativas relacionadas con la historia de las matemáticas, la ciencia u otros aspectos matemáticos.
Para avanzar: es una sección que introduce la teoría y ejemplos de los temas que se desarrollan en la lección.
En equipo: actividades y problemas que te permiten socializar el
conocimiento, compartir las estrategias y procedimientos, para proponer conjeturas, validarlas y comunicarlas al grupo.
8
Conoce tu libro
A investigar: en esta sección te invitamos a que profundices en algún
contenido relacionado con el tema que se aborda en la lección. Su propósito es la consulta en libros, internet, enciclopedias, entre otros.
Tecnología: los ejercicios aquí
propuestos te permiten explorar, reafirmar o validar los contenidos matemáticos abordados en la lección a través de hoja de cálculo, calculadora y Cabri-géomètre.
Por tu cuenta: al finalizar cada lección
te proponemos problemas y actividades para que apliques y reafirmes los contenidos aprendidos.
Conexiones: enlaza las
matemáticas con otras ciencias y con la vida diaria.
¿Qué aprendí?: son actividades y problemas que te permiten consolidar los conocimientos abordados en el transcurso del bloque.
Conoce tu libro
9
Bloque 1 i z d a n j e e s r p A
esperados
Al finalizar el estudio de este bloque podrás~: 1. Resolver problemas que implican efectuar sumas, restas,multiplicaciones y/o divisiones de números con signo. 2. Justificar las propiedades de la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero. 3. Resolver problemas de conteo mediante cálculos numéricos. 4. Resolver problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. 5. Interpretar y construir polígonos de frecuencia.
Torre Eiffel París, Francia 10
P
ra a
empezar…
Quizá medir ángulos, hacer operaciones algebraicas o entender relaciones de proporcionalidad te parezca alejado de la realidad. Sin embargo, el desarrollar la capacidad de resolver problemas es una de las habilidades que se adquieren al estudiar matemáticas. Por ejemplo, Herodoto en sus libros de historia cuenta que Tales de Mileto acompañó al ejército griego en una campaña contra los persas. Al llegar a un río que resultaba difícil de cruzar, Tales propuso una solución ingeniosa. ¿Se te ocurre alguna?
11
1
Lo que necesitas:
E
n este proyecto elaborarás un material que te ayudará a descubrir las reglas de la multiplicación y división de números con signo.
- Regla - Cartulina de colo res - Tijeras - Pegamento
Para elaborar el material: • Reproduce en cartulina 20 cuadrados de 2 cm 2 cm, como los que se muestran a la derecha. Recórtalos. • Pega dos cuadrados por la parte de atrás de manera que tengas un solo cuadrado azul de un lado y uno rojo del otro. • El lado azul de cada cuadrado representará una unidad positiva (), en tanto que el lado rojo representará una unidad negativa (). 1. ¿Qué significa multiplicar 2 por 3?
2. ¿Qué significa dividir 8 entre 4?
La multiplicación es una forma abreviada de escribir una suma repetida; esto es, 3 3 6; o bien, 2 3 6. Esta multiplicación también se puede escribir como (2) (3) 6. El signo del primer factor indicará si volteamos los cuadrados o si se quedan tal como están. Si el primer factor es negativo, se voltean los cuadrados al color rojo; por tanto, el resultado será 6.
1
1
La división determina el número de veces que un número dado contiene a otro. Por ejemplo, 8 contiene a 4 dos veces; por eso, 8 entre 4 es igual a 2; o bien, (8) (4) 2. Dividimos 8 unidades positivas en cuatro grupos iguales. Como el signo del divisor es positivo, los cuadrados se quedan tal como están. De haber sido negativo, se hubieran cambiado al color rojo y el resultado sería 2.
3. De acuerdo con los grupos de cuadrados, escribe la operación que representan. La flecha que aparece en la figura b) significa voltear los cuadrados. Si ambos números tienen signo negativo tienes que voltear dos veces los cuadrados. a) b)
(
)(
)
(
)(
)
4. Utiliza los cuadrados para representar en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones y divisiones de números con signo: a) (3) (4) b) (2) (5) c) (8) (2) d) (5) (4) e) (8) (4) f) (10) (–5) g) (16) (4) h) (12) (3)
• ¿Cómo multiplicarías r (–20) (12), sin utiliza los cuadrados? • ¿Cómo dividirías (–120) ÷÷ (–5), sin utilizar los cuadrados? • ¿Y (40) ÷÷ (–8)?
5. ¿Qué sucede con el signo del producto cuando la multiplicación tiene más de dos factores? ¿Se puede formular una regla? ¿Cuál? 12
Proyecto 1
1
En el curso anterior trabajaste los n meros con signo y sus usos en p rdidas y ganancias, temperaturas sobre y bajo cero y otras situaciones similares. Ahora estudiar s la multiplicaci n y la divisi n de n meros con signo en otro tipo de problemas.
La noción de número negativo nació por la necesidad de calcular operaciones con dinero. Los chinos los utilizaron desde el siglo I de nuestra era y los representaban con varillas negras. Sin embargo, fue Bramagupta, un matemático indio del siglo VII, quien enseñó la manera de hacer sumas y restas usando números positivos y negativos (es decir, usando bienes y deudas).
1. En el siguiente plano cartesiano se ha trazado una recta que sirve para multiplicar algunos números con signo. Si localizas un punto sobre la recta, la abscisa es el número que vas a multiplicar por 4; la ordenada es el resultado de la multiplicación. Por ejemplo, en el punto (3,12) se interpreta que (3)(4) 12. a) De acuerdo con la información anterior, ¿qué resultado se obtiene de multiplicar 3 por 4?, ¿y de 3 por 4? b) ¿Qué número debes multiplicar por 4 para obtener 20? ¿y para obtener 16?, ¿y para obtener 8? c) Completa la siguiente tabla para obtener los resultados de multiplicar algunos números por 4.
Bramagupta
x
–7
4x
–28
–6
–5 –20
–4
bloque 1
n
L
Multiplicación y división de números con signo
ecció
–3
–2
–1
–12
–8
–4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
20
d) En la figura anterior traza una recta de color azul que te sirva para multiplicar los números por 5 y otra recta de color negro para multiplicar los números por 2. Luego determina algunos ejemplos y muéstralos a tus compañeros. e) ¿Crees que con este procedimiento puedes obtener los resultados de multiplicar por un número decimal? Trata de justificar tu respuesta y compárala con las de tu grupo. Multiplicación y división de números con signo • Lección 1
13
2. Ahora, en el siguiente plano se representa la multiplicación por –4. Por ejemplo, en el punto (–6,24) se interpreta que (–6)(–4) 24. a) ¿Qué resultado se obtiene de multiplicar (5)(–4)?, ¿y de (–5) (–4)?, ¿y de (4)(–4)? b) ¿Por cuánto debes multiplicar el número –4 para obtener 28?, ¿y para obtener –16?, ¿y para obtener 12? c) Completa la siguiente tabla para obtener los resultados de multiplicar los números por –4.
x
–7
–6
–5
–4
-4x
–3
–2
–1
16
0
1
2
3
4
–4
–8
–12
–16
5
6
7
8
–20 –24
d) En la figura anterior traza una recta azul que te sirva para calcular los resultados de multiplicar por –8. e) Si (4) (8) 32, ¿entre qué número debes dividir 32 para obtener 8?, ¿y para obtener 4? f) Si (–4) (–7) 28, ¿entre qué número debes dividir 28 para obtener –7?, ¿y para obtener –4? g) Si (4) (–7) 28, ¿entre qué número debes dividir –28 para obtener 4?, ¿y para obtener –7? Comenta tus respuestas con el grupo.
El resultado de la multiplicación (o división) de dos números del mismo signo es positivo.
14
El resultado de la multiplicación (o división) de dos números de signo contrario es negativo.
Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones
1. En la siguiente actividad trabajarán primero por parejas; después, reúnanse en equipos de cuatro integrantes para comparar las estrategias que emplearon sus compañeros para descubrir números. a) Adriana y Claudia han inventado un juego que consiste en que un jugador menciona cuatro números relacionados entre sí y otro jugador debe encontrar el número que sigue, además de explicar cómo lo halló. Por ejemplo: Adriana: —Mis números son 1, 2, 4 y 8. Claudia: —La regla que usaste es multiplicar por 2, porque 1 2 2, y 2 2 4, y 4 2 8. El siguiente número es 16. Mis números son: 405, 135, 45 y 15. Adriana: —Déjame pensar... ¡Ya lo tengo! Dividiste entre 3, porque 405 3 135, 135 3 45, y 45 3 15. Por lo tanto, el siguiente número es 5. Ahora, mis números son: 3, 6, 12 y 24. Claudia: —Le sumaste 9, porque 3 (9) 6, y 6 (9) 15; pero 15 no es el número que sigue. ¿Qué operación utilizaste? Adriana: —¡Te doy una pista! Lo multipliqué por un número negativo. Claudia: —¡Déjame pensar…! 2. A partir del diálogo anterior contesta las preguntas: a) ¿Cuáles son los tres números que continúan en la sucesión de Adriana? b) Ahora, Claudia y Adriana juegan de la siguiente manera: Claudia: —Pensé en un número. Al multiplicarlo por 9 obtuve 36. ¿Qué número pensé? Adriana: —¡Ya sé, es el 4! c) ¿Creen que la respuesta de Adriana es correcta? ¿Por qué? 3. Claudia: —Pensé en un número. Al dividirlo entre 6, obtengo 7. ¿Qué número pensé? • ¿Qué operación tiene que hacer Adriana?, ¿cuál es el número que tiene que encontrar? En tu navegador de internet, entra a la dirección: http://sapiensman.com/matematicas/matematicas5.htm
• Investiga qué significa cada una de las siguientes operaciones. • 3(4)
4(5)
3(7)
Multiplicación y división de números con signo • Lección 1
15
Tecnología En esta actividad aprenderás cómo trabaja tu calculadora al hacer multiplicaciones y divisiones con números positivos y negativos. 1. Con una calculadora que tenga la tecla / realiza lo siguiente: Oprime la secuencia de teclas
3 /
2
a) ¿Qué resultado obtienes al oprimir la primera vez el signo =?, ¿por qué? b) Escribe todos los resultados que obtienes al oprimir, en la secuencia indicada, todos los signos. c) Sin oprimir otras teclas de la calculadora, ¿cuál sería el siguiente número?, ¿cómo lo obtuviste? Oprime la secuencia de teclas
4
8
2
/
d) ¿Cuál es la operación que se introdujo en la calculadora, y cuál es el resultado? e) ¿Qué resultado obtienes después de oprimir tres veces el signo igual?, ¿y después de oprimirlo cinco veces? f) ¿Cuantas veces más tienes que oprimir la tecla para obtener un resultado positivo? En la siguiente secuencia de teclas, escribe lo que falta para obtener –1. 8
1
/
3
Por tu cuenta 1. Encuentra los tres números que continúan en cada una de las siguientes sucesiones: a) 3, 6, 12, 24, , , ... , , ... b) 2, 6, 18, 54, , , ... c) 5, 10, 20, 40, 2. Realiza las siguientes operaciones: a) (3) (1.8) b) (4) (10) (3) d) (5) (2.5) e) (16) (2)
c) (2.5) (1.2) (2) f) (2.8) (2.8)
3. Anota el número que falta en las siguientes operaciones: a) ( 81 ) ( ) 1. b) ( ) (12) 60. e) ( ) (2) 10. d) ( ) ( 4.5) 9.
c) (1.5) ( ) 15. f) ( ) (4) 44.
4. Resuelve los problemas: a) Pensé en un número. Al dividirlo entre 4 y sumarle 2, obtengo 7. ¿Qué número pensé? b) ¿Cuál es el número que al multiplicar por 4 y restarle 3, resulta 1? c) ¿Cuál es el número que al dividir entre 3 y en seguida sumarle 21 da como resultado 0?
16
Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones
2
bloque 1
n
L
Suma y resta de expresiones algebraicas
ecció
En matem ticas es muy com n escuchar enunciados como: el doble de un n mero; un n mero cualquiera; la suma de dos n meros consecutivos, etc. En el lenguaje del lgebra, estos enunciados reciben el nombre de expresiones algebraicas. Utiliza la tabla de números para hacer lo que se te indica.
El tangram es un juego chino de figuras geométricas, una especie de rompecabezas que consta de siete piezas con las cuales se pueden formar numerosas figuras: desde un bailarín hasta una casa. Las siete piezas forman un cuadrado. Con los datos mostrados se obtiene el área, y su suma es 4x2.
x
A6
A1
A3
x
A7
A2
A4 2x Tangram
A1 =
x2 2
A2 =
x2 4
A3 =
x2 2
A4 = x2 A5 =
x2 4
A6 =
x2 2
A7 = x2
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 100
1. Elige tres números consecutivos.
A5
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
a) ¿La suma de los tres es divisible entre tres? b) Si n representa cualquier número natural, y sus dos consecutivos son n 1 y n 2, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la suma de tres números consecutivos? Simplifica la expresión que obtengas. c) ¿La expresión algebraica que obtuviste es divisible entre 3?, ¿por qué? 2. Elige cuatro números consecutivos y responde: a) ¿La suma de los cuatro números es divisible entre 4? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la suma de cuatro números consecutivos? Simplifícala. c) ¿La expresión algebraica anterior es divisible entre 4?, ¿por qué? Compara tus respuestas con las de tu grupo. Suma y resta de expresiones algebaricas • Lección 2
17
3. El área de una superficie rectangular se calcula aplicando la fórmula A b h; mientras que para bh calcular el área de un triángulo se emplea la fórmula A 2 . Obtén el área de las siguientes figuras y calcula la suma de las tres áreas. a)
b)
c)
n
n
45
A
n
8
32
A
A
A TOTAL 4. Calcula el perímetro de la siguiente figura y luego la diferencia entre el largo y el ancho.
2x 2
5x 4
Perímetro
Diferencia entre el largo y el ancho
Compara tus respuestas con las de otros compañeros. En caso de que no coincidan, verifiquen por qué.
La expresión 6a 2a a está formada por tres términos, llamados términos semejantes, ya que contienen la misma parte literal. El número por el cual se multiplica una literal se llama coeficiente por lo que 6a significa 6 por a. Si una literal no tiene escrito el coeficiente, éste es igual a 1. Para sumar términos semejantes, se suman sus coeficientes y se conserva la misma parte literal, por ejemplo: 6a 2a a (6 2 1)a 9a. A las expresiones de dos o más términos se les llama polinomios, como 4x2 3x 6. Puedes sumar polinomios de forma vertical u horizontal haciendo coincidir sus términos semejantes; por ejemplo: (3n 5) (8n 2) ⇒ 3n 5 8n 2 11n 3 Para la resta de polinomios se procede de igual manera que en la suma, pero se toma en cuenta que el signo () antes del paréntesis modifica el signo de todos los términos que se encuentren en su interior; por ejemplo: (3n 5) (8n 2) ⇒ 3n 5 8n 2 5n 7 Al realizar las operaciones es importante que apliques las reglas para la suma de números con signo.
18
Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones
Reúnanse en ternas y realicen las actividades. 1. La siguiente tabla contiene distintas figuras; de color y blancas. Cada una representa una potencia de x; las de color representan cantidades positivas, mientras que las blancas representan cantidades negativas. Por ejemplo, observen el caso del triángulo:
representa x2 representa –x2
Alejandra suma todas las figuras y obtiene el polinomio 6x5 4x4 x3 2x2 3x. 2. Con base en la información anterior contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos triángulos rojos hay y cuántos blancos? b) ¿Qué expresión algebraica obtienen al sumar todos los triángulos que aparecen? c) De acuerdo con el polinomio que obtuvo Alejandra, encuentren cada uno de los términos que lo componen. ¿Qué potencia de x representa cada figura geométrica? d) Si ahora las figuras de colores simbolizan números negativos y las blancas positivos. ¿qué polinomio se obtiene al sumar todas las figuras? ¿Qué polinomio se obtiene si todas son positivas?, ¿y si todas son negativas? Comenten sus respuestas con los demás equipos. Consulta en algún libro de matemáticas o en internet: • ¿Por qué al multiplicar o dividir dos números con diferente signo el resultado siempre es negativo? ¿Qué signo tendrá la potencia de (–2)3? • ¿Cuáles son los términos semejantes de la expresión algebraica: 3xy – 2m – 6xy 7m?
Suma y resta de expresiones algebaricas • Lección 2
19
Tecnología 1. Con ayuda de una calculadora, comprueba que las sumas o restas de las expresiones algebraicas que se te presentan, se han resuelto correctamente. Para ello, agrupa los coeficientes de los términos semejantes y realiza la operación. En cada tecla anota el número o el signo correcto. (3x2 5x 1) (x2 7x 3) (
) x2 (
)x(
)
) x2 (
)x(
)
4x2 12x 2 (3x2 5x 1) (x2 7x 3) ( 2x2 12x 4 (3x2 1) (x3 7x 5x2 3 x3 (
) x2 (
)x(
)=
x3 2x2 7x 4 (3x2 1) (x3 7x 5x2 3) ( (
) x3 (
) x2 (
)x
) x3 8x2 7x 2
Compara tus resultados con tu grupo.
Por tu cuenta 1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:
3y
a
2y
2a
2. Con base en el perímetro de cada una de las siguientes figuras, encuentra las medidas faltantes. 4x 10
? 2x 1
3x 5
3x 5
P 16x 8
P 14x 20
3. Simplifica los polinomios sumando los términos semejantes. a) 4.5x 7.5x b) 3a 9a 5a 6 d) 8 5 3b 2a 5b a
e)
2 3
m
2 5
n
1 2
m
2 5
c) 4x 3y 3x 2y n
f) 2m 3x 5m x
4. Realiza las operaciones con polinomios: a) (3y 2z) (2y z) b) (6x 2y 5z) (2x 4y 3z) c) (4x2 2y) (3x2 1.5y) 20
Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones
d) (4c 8) ( 2c 10)
3
Identidades algebraicas
bloque 1
L
n
ecció
Simplificar expresiones algebraicas permite generar modelos m s sencillos para expresar relaciones como las f rmulas de per metros, reas y vol menes. Recuerda que el perímetro del cuadrado es la suma de sus cuatro lados: l l Un avance importante en el álgebra fue la introducción, que se hizo en el siglo XVI, de símbolos que representaran las incógnitas en las operaciones y las potencias algebraicas. Este avance es notable en el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes.
l l
P = l l l l, o bien P 4 • l, o simplemente P 4l, que son expresiones equivalentes, por lo que: l l l l 4 • l 4 l. El área del rectángulo es el producto del largo por el ancho. En el caso del cuadrado, el ancho y largo son iguales: A l l, o bien A l2. 1. De manera similar a lo anterior, obtén expresiones equivalentes para calcular el área, perímetro y volumen de las siguientes figuras, según sea el caso. b
a) P a b a b. P A a b; o bien, A
a
.
a b l
b) P l l l l l. P ; o bien, A l
A 5 2l a ; o bien, A Imagen del libro de René Descartes (1637)
l
a
l
l
c) V l x l x l. V
l
Área total de las caras l l l l l l . Área total de las caras 2
2
2
2
2
2
l l
Compara tus respuestas con las de tu grupo. Identidades algebraicas • Lección 3
21
2. Con los siguientes modelos geométricos se han formado varias figuras. Escribe las dimensiones de cada una de las figuras formadas; luego calcula el área de cada una de ellas. n
n n
l
l
l
Figura 1
Figura 2
A
Figura 3
A
A
a) ¿Las áreas de las figuras son iguales? ¿Por qué? b) ¿Qué tienen en común las expresiones algebraicas que representan las áreas de las figuras? 3. Sustituye a n por el número 4 en cada una de las expresiones algebraicas y luego realiza las operaciones. ¿Se cumple que las áreas de las figuras son iguales? ¿Por qué? Compara tus respuestas con las de otros compañeros.
El valor numérico de una expresión algebraica es el que se obtiene al sustituir las literales por valores numéricos y realizar las operaciones indicadas. Por ejemplo, el valor numérico de 2n 1, cuando n 5, es 11, porque 2(5) 1 11. Las expresiones algebraicas cuyos valores numéricos son iguales, se denominan identidades algebraicas. Por ejemplo, las siguientes expresiones algebraicas son identidades porque sus valores numéricos son iguales para cualquier valor de n. 4(n 1) 4n 4 2(n 1) 2(n 1). Una expresión algebraica es una combinación de números y literales relacionados por los signos de las operaciones aritméticas. A cada elemento de una expresión se le llama término. A una expresión algebraica formada por un sólo término se le llama monomio; por ejemplo: 2a; 4xy; x Si está formada por dos términos se le llama binomio; por ejemplo: 2x3 y; 3ab 5 Y si tiene tres términos se le llama trinomio; por ejemplo: 2a2 4a 5 Cada elemento de un término tiene un nombre: Exponente 3x2 4 Coeficiente
22
Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones
Literal
Cuando un término no tiene parte literal se le llama: término independiente.
1. Formen equipos de cuatro integrantes. Construyan en una cartulina, algunas piezas como las que se muestran a continuación. Todas las piezas deben tener una cara de color azul y la otra de color rojo; para ello, pueden utilizar pegamento. El color azul representa al signo positivo, y el rojo al signo negativo.
a
a 1
a
1
1
2. Observen las siguientes identidades algebraicas construidas con las piezas de cartulina. El área de cada figura está expresada como el producto de la base por la altura. a 2
2
a
1
2
2
a1
1
2
a
1
3. Ahora, expresen el área de cada una de las siguientes figuras compuestas como el producto de la base por la altura y sobre la línea anoten los resultados. Observen las identidades algebraicas que se obtienen.
a
a a
2 1
a
a
a
2 1
a a
2
1
4. Utilizando el mismo material, representen la siguiente identidad algebraica. 3(a 2) 3a 6 2(a 2) (a 2) 2a 4 a 2. 5. Usen sus piezas azules para demostrar que (a 1)2 = a2 2a 1. Comparen sus repuestas con las de los otros equipos. • Investiga en algún libro de matemáticas por qué a las identidades algebraicas anteriores se les llama factorizaciones. • Comprueba las identidades anteriores dando valores numéricos específicos a cada literal. • Comparte con tu grupo los resultados de tu investigación.
Identidades algebraicas • Lección 3
23
Tecnología 1. Con ayuda de una hoja de cálculo electrónica, construye una tabla similar a la siguiente y contesta las preguntas relacionadas con las dimensiones de la figura de la derecha. 5
m
n
Fórmula 1
Fórmula 2 5
m
n
a) En la celda D2 escribe A1* (B2 C2). Esta fórmula relaciona las columnas A, B y C, donde el valor de la columna A siempre será 5. b) En la celda E2 A1* B2 A1* C2. Esta fórmula es equivalente a la anterior, pero con la cual también se puede obtener el área de la figura relacionando las columnas A, B y C. c) ¿Obtienes el mismo resultado con las dos fórmulas? Explica por qué. d) Si escribieras una tercera fórmula (distinta a las dos anteriores) para obtener el área de la misma figura relacionando las columnas A, B y C, ¿cómo serían entre sí las tres fórmulas?
Por tu cuenta Realiza las actividades: 1. Calcula las dimensiones de las siguientes figuras a partir del área de cada una de ellas. x2
x
A x2 2x
x
x2
x
x2
x
A 2x2 2x
2. Si el área de una figura rectangular es 3x2 2x, ¿cuáles pueden ser sus dimensiones? 3. Escribe dos identidades de cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
24
a) 4(x 5)
b) 6x(x 3)
c) 3a(2a 1)
d) 2x(x 3)
e) 8b(b 4)
e) 4n(n 4)
Bloque 1 • Significado y uso de las operaciones
4
Estimar y medir ángulos
bloque 1
L
n
ecció
En el billar es muy til saber un poco de geometr a, por ejemplo, qu ngulos hay que considerar para hacer un buen tiro.
La ballestilla es un instrumento que usaban los marinos para medir ángulos. El marino colocaba el ojo en un extremo del instrumento, lo dirigía hacia la estrella cuya posición quería medir y deslizaba la vara cruzada hasta que la parte inferior de ésta coincidía con el horizonte y la superior con la estrella. La altura de la estrella (ángulo que forma con el horizonte) se leía en una graduación grabada en la vara principal.
Una mesa de billar está dividida en 18 marcas, llamadas diamantes, colocadas en las bandas o partes rectas de la mesa. En las bandas mayores se encuentran 6 diamantes de cada lado y 3 en las menores. Se dice que cuando una bola toca una banda, sale con el mismo ángulo con el que llega, pero en sentido opuesto. 2
En este caso, labola parte del punto 1 y va hacia el diamante 2. Al tocar la banda describe los ángulos A y B, los cuales son iguales. En este otro caso, la bola sale en línea recta hacia la banda opuesta, tocando el diamante ubicado frente a él.
A
B
C
1
1. Observa los casos anteriores en los que se ha lanzado una bola. Ballestilla
a) Si una bola toca una banda con un ángulo agudo respecto al lado donde se produce su rebote, ¿con qué tipo de ángulo sale? b) Si una bola llega a una banda con un ángulo recto, ¿con qué ángulo rebotará? c) Si una bola llega a una banda con un ángulo de 608, ¿de qué medida será el ángulo de rebote? d) En la primera figura, ¿cuánto suman los ángulos A, B y el comprendido entre ellos?
Estimar y medir ángulos • Lección 4
25
e) Traza en tu cuaderno varias trayectorias que pudieran seguir algunas bolas de billar si son golpeadas desde diferentes puntos; procura indicar distintos ángulos de toque y de rebote con las bandas. f) Escribe de qué tipo de ángulos se trata y estima el valor de cada uno. Explica a tus compañeros cómo obtuviste tus respuestas. 2. Observa la siguiente secuencia de pasos que te permitirá copiar un ángulo utilizando la regla y el compás. ¿Cómo puedes obtener el ∠A’B’C’ a partir del ∠ABC ? Analiza lo que ocurre en cada uno de los pasos. ORIGINAL A
A
C
A
C B
B
C B
COPIA DEL ORIGINAL A’
A’
A’
C’ B’
C’ B’
C’ B’
Comenta con tus compañeros qué se hizo en cada uno de los pasos para copiar el ángulo y redacta en tu cuaderno las conclusiones a las que llegues. Para verificar que ∠ABC ≅ ∠A’B’C’ utiliza tu transportador para medir los ángulos. 3. Cuando anuncian un reloj, generalmente aparecen las manecillas en la posición en que se encuentran en la imagen. a) Si la manecilla de los minutos estuviera en el 12, ¿a qué hora forma un ángulo recto con la manecilla de las horas?, ¿y a qué hora forman un ángulo llano? b) Si las dos manecillas están en movimiento, ¿cuántas veces, en un día completo, formarán un ángulo recto? c) ¿Qué clase de ángulos verás en la carátula del reloj con mayor frecuencia a lo largo del día? Justifica tus respuestas ante tu grupo.
26
Bloque 1 • Medida
¿Lo habías notado?
Un ángulo se forma por la abertura entre dos líneas. Los ángulos se clasifican, por su medida, de la siguiente forma: Ángulos agudos:
Ángulos rectos:
0
L
0
M A G 0
A
B
F
B
0
Son los que miden menos de 90.
Son los que miden exactamente 90.
Ángulos obtusos:
Ángulos llanos:
0 D
A 0
F
B
T M 0
L
Miden más de 90 y menos de 180.
N 0
Son los que miden exactamente 180.
La medición de los grados se realiza mediante un sistema sexagesimal; es decir, de base 60, como el que utilizamos para medir el tiempo.
Como puedes observar, la unidad de medida que has trabajado con los ángulos es el grado. Consulta en internet o pregunta a tu maestro cuánto mide un ángulo entrante. ¿Y un ángulo perigonal? • ¿A cuántos grados equivale un radián? • ¿A cuántos radianes equivale un grado? Comparte tus respuestas con tu grupo.
Estimar y medir ángulos • Lección 4
27
1. Formen equipos de cuatro integrantes. Para esta actividad necesitarán una hoja blanca en la que marcarán, mediante dobleces, dos líneas rectas (no perpendiculares) que se corten, como se muestra en la figura.
a) ¿Cuántos ángulos se formaron? b) Estimen la medida de cada ángulo y mencionen de qué tipo de ángulos se trata. 2. Ahora, corten la hoja por una de las rectas marcadas y comparen lo que obtuvieron con los demás equipos. a) ¿Cómo son los ángulos que quedan después de hacer el corte? b) Con ayuda del transportador midan los ángulos resultantes y escriban cuánto mide cada uno. ¿Obtienen los mismos resultados que los demás equipos? c) ¿Cuál es la suma de los dos ángulos?
rectos.
d) Describan cómo serían las líneas de los dobleces si se les pide obtener ángulos
Tecnología En el programa Cabrí-géomètre harás algunas construcciones que te permitirán identificar y manipular ángulos. 1. Usando los botones de Recta ( )y Punto ( ) reproduce las rectas de la primera ventana (las dos deben cortarse en un punto). a) ¿Cuántos ángulos se forman en la figura? b) ¿Qué clase de ángulos son? Nombra los ángulos. Para ello, da un clic sobre el botón de Etiqueta ( )y selecciona tres puntos que generen un ángulo. En cada punto escribe una letra para identificar al ángulo. Observa la segunda ventana.
28
Bloque 1 • Medida
c) Con las letras que asignaste, escribe el nombre de cada ángulo. d) ¿Qué ángulos miden menos de 90?, ¿cuáles miden más de 90? Da doble clic sobre el botón de Distancia y Longitud ( )y selecciona la opción Ángulo. Ahora, manteniendo oprimida la tecla shift, selecciona los puntos que corresponden al ∠AOB. e) Describe lo que observas en la pantalla. ¿Cuánto mide el ángulo ∠AOB? f) ¿Cuánto miden los ángulos restantes ∠BOD, ∠COD y ∠AOC?, ¿qué parejas de ángulos miden lo mismo? g) ¿Cuánto suman los ángulos ∠AOB y ∠AOC?, ¿y los ángulos ∠COD y ∠BOD? h) Ahora mueve una de las rectas sobre la pantalla, ¿qué sucede con los ángulos ∠AOB y ∠AOC, y los ángulos ∠COD y ∠BOD? Explica por qué sucede eso. Comenta tus conclusiones con tu grupo.
Por tu cuenta 1. Reproduce los siguientes ángulos utilizando el compás y luego comprueba su medida con el transportador. De acuerdo con lo anterior escribe los nombres que reciben.
P
A M
Q
O
O
C B N
Estimar y medir ángulos • Lección 4
29
2. Completa la siguiente tabla con la medida de los ángulos que forman las manecillas de un reloj, según la hora señalada:
Hora
Ángulo
3:00 7:05 2:45 6:00 1:00 4:00 3. Dibuja en tu cuaderno un triángulo cuyos ángulos midan 45, 38 y 97. 4. Copia la siguiente figura. Utiliza un transportador y una regla para medir sus ángulos y la longitud de sus lados. C
Determina cuánto miden: ∠B = ∠C =
B
D
A
∠A = ∠D =
5. Reproduce el siguiente diseño del arte islámico, para ello emplea transportador y compás.
30
Bloque 1 • Medida
5
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
bloque 1
L
n
ecció
Cuando preguntamos c mo llegar a una calle, o a alg n otro lugar, es muy com n que al darnos la referencia se utilicen frases como: es paralela a o es perpendicular a Los habitantes de la colonia Rosedal disfrutan mucho de las matemáticas. Por ello, decidieron que los nombre de sus calles estarían relacionados con esa disciplina. El nacimiento de la geometría se relaciona con problemas de medición de áreas (campos, terrenos) y construcción de edificios. La geometría empírica floreció en el antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia y fue refinada y sistematizada por los griegos. Ellos introdujeron problemas de construcciones de figuras con regla y compás. Los griegos se preocuparon en demostrar por medio de razonamientos matemáticos las características de algunas figuras.
1. Contesta lo que se pide a partir del plano anterior:
Partenón
a) ¿Al cruzarse qué calles se forman ángulos rectos? b) ¿Qué calles cruzan con la calle Canarios, sin formar un ángulo recto? c) ¿Con qué calle no cruza la calle Canarios? ¿Por qué crees que suceda esto? d) Si sobre cada calle trazas líneas rectas, ¿cuáles serán las distintas posiciones en que pueden cortarse dos rectas entre sí? e) ¿Qué características deben tener dos rectas para que sean perpendiculares? ¿Y para ser paralelas? f) Si caminas sobre la calle Gorriones, ¿cuántas calles perpendiculares a ella vas a encontrar? g) Si caminas sobre la calle Las rosas, ¿con cuántas calles cruzarás? ¿Son perpendiculares o paralelas? Comenta tus respuestas con tu grupo. Posiciones relativas de dos rectas en el plano • Lección 5
31
2. Una habilidad importante en el estudio de la geometría consiste en que utilices las palabras correctas y las relaciones con los símbolos que usas. Observa la siguiente semirrecta: B
A
a) ¿A la semirrecta AB se le podría llamar también semirrecta BA? Justifica tu respuesta. b) Sobre la semirrecta escribe un punto C entre A y B. ¿El punto C pertenece también a la semirrecta BA? c) ¿Qué figura se forma si del punto A trazas otra semirrecta en dirrección distinta de la semirrecta AB?
Cuando tenemos dos rectas en el plano, las posiciones relativas que pueden tener son: S N M A
B
Que sean paralelas; AIIB no se cortan.
R
Que sean perpendiculares; RIS se cortan formando ángulos rectos.
Que sean oblicuas; se cortan formando ángulos no rectos.
3. A partir de la siguiente figura contesta las preguntas. l
. p
a) Dada la recta l y un punto p exterior a ella, ¿cuántas paralelas a l pueden pasar por el punto p?, ¿y cuántas perpendiculares? Haz los trazos en tu cuaderno según tus respuestas. b) Si el punto p estuviera sobre la recta l, ¿cuántas rectas perpendiculares a l pasarían por p? Haz los trazos en tu cuaderno. Argumenta tus respuestas. 32
Bloque 1 • Formas geométricas
1. Formen equipos de tres integrantes. Observen que en la siguiente figura se cortan dos rectas, con lo cual se forman cuatro ángulos.
2. Con base en la figura, contesten lo que se pide: a) A los ángulos y se les llama ángulos adyacentes. ¿Qué características tienen entre sí dichos ángulos? ¿Qué otras parejas cumplen con esas características? b) A los ángulos y se les llama ángulos opuestos por el vértice. ¿Qué características tienen entre sí dichos ángulos? ¿Qué otras parejas cumplen con esas características? c) ¿Cuánto suman los ángulos y ? ¿Y los ángulos y ? Argumenten sus respuestas. d) Suponiendo que ∠ 125. ¿Cuánto mide el ángulo ? ¿Y el ángulo ? ¿Y el ángulo ? e) ¿Qué relación observan entre los ángulos opuestos por el vértice? Expliquen a los demás equipos en qué se basan para establecer dicha relación. f) Si las rectas que forman la figura cambian su posición, ¿se conservará la misma relación entre los ángulos que se formen? Argumenten su respuesta.
El uso de las rectas paralelas y perpendiculares se puede encontrar en diversas actividades de la vida diaria. Indaga sobre la utilidad de ellas y qué tipo de rectas se emplean en: • La construcción de casas o edificios • Los medios de transporte • El deporte Comparte con tu grupo los resultados de tu investigación.
Posiciones relativas de dos rectas en el plano • Lección 5
33
Tecnología En el programa Cabrí-géomètre realizarás construcciones de rectas en diferentes posiciones. a) Pulsando sobre el botón Recta ( ), construye una recta sobre el área de trabajo. b) Da clic sobre la opción Recta paralela ( ). Con esto, construirás la recta paralela a la primera; pero es preciso que indiques el punto por donde quieres que pase. Te debe resultar algo similar a lo que se muestra en la ventana de la derecha. Compara tu construcción con las de tu grupo; si tienes alguna duda, pregúntale a tu profesor. c) Ahora mueve una de las rectas y describe lo que sucede, ¿siguen siendo paralelas las dos rectas? d) Para trazar rectas perpendiculares debes seguir un procedimiento similar al anterior, sólo que para trazar la segunda recta, seleccionarás la opción Recta perpendicular ( ). Manipula las rectas; ¿siguen siendo perpendiculares?
Por tu cuenta 1. De acuerdo con la medida del ángulo que se te da, obtén la medida de los ángulos faltantes.
∠ 45 ∠a ∠b ∠c
a
∠ b
d c
∠d 143
2. Con base en tus respuestas anteriores escribe las parejas de ángulos opuestos por el vértice. 3. Escribe las parejas de ángulos adyacentes. 34
Bloque 1 • Formas geométricas
Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal
6
bloque 1
L
n
ecció
Si observas las vías del tren, las orillas de un puente u otras construcciones, puedes encontrar la representación de dos o más rectas paralelas. 1. En una carretera se necesita construir un puente para el paso de personas; el cual una los puntos A y B, como se observa en la figura. Enuméralas. a) ¿Cuántos ángulos se forman al construir el puente que une los puntos A y B sobre la carretera? Enuméralas. El sextante es un instrumento que permite medir ángulos entre dos objetos, como los dos puntos de una costa o un astro. Conociendo la elevación del Sol y la hora del día se puede determinar la latitud a la que se encuentra el observador. El nombre sextante proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados, o sea, un sexto de un círculo completo.
A Puente
Carretera
B
b) Completa la siguiente tabla con los tipos de ángulos formados; agudos u obtusos, según sea el caso. Ángulo
Tipo
1 2 3 4 5 Sextante
6 7 8
Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal • Lección 6
35
2. Observa la figura; ten en cuenta que las líneas l y m son paralelas y n es una transversal. Después contesta las preguntas.
n
B A
E F
H
C D
m
G
l a) ¿Cuántas parejas de ángulos opuestos por el vértice se formaron? Anota cuáles son. b) ¿Qué parejas de ángulos suman 180? Argumenta tu respuesta. c) ¿Cómo son entre sí los ángulos A y F? ¿Y los ángulos D y E? Justifica tu respuesta. d) ¿Cómo son entre sí los ángulos B y E? ¿Y los ángulos A y H?
3. Traza en una cartulina un triángulo cualquiera y recórtalo. Como se muestra en la figura. Posteriormente recorta dos de los ángulos y únelos con el que no cortaste. ¿Qué ángulo se forma?, ¿cuánto mide?
Realiza el mismo procedimiento con otros tipos de triángulos y verifica si obtienes el mismo resultado. ¿A qué conclusión puedes llegar con respecto a la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo?
Consulta en alguna enciclopedia o en algún libro de matemáticas lo siguiente: • ¿A qué polígonos se les llama cóncavos y a cuáles convexos? • ¿Cuántos triángulos se pueden dibujar dentro de un pentágono si se trazan las diagonales desde un mismo vértice? Comparte tus respuestas con tu grupo.
36
Bloque 1 • Formas geométricas
Si dos líneas rectas paralelas (L1 y L2) son cortadas por una secante (L3), se forman ocho ángulos que tienen relaciones entre sí, los cuales se clasifican en parejas de la siguiente forma: L3 1 2 3
L1
4
5
6
8 7
L2 Ángulos correspondientes 1 2 3 4
y y y y
Ángulos opuestos por el vértice
5 6 7 8
1 2 5 6
y y y y
3 4 7 8
Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos
3 y 5 4 y 6
1 y 7 2 y 8
Ángulos colaterales internos
Ángulos colaterales externos
3 y 6 4 y 5 2 y 7
1 y 8 2 y 7
4. Con base en el dibujo de la derecha, completa la siguiente tabla. Tipo de ángulos
Parejas de ángulos
¿Son iguales? L3
Correspondientes Opuestos por el vértice
A C
Alternos internos E
Alternos externos
G
B D
F H
L1 L2
Colaterales internos Colaterales externos Suponiendo que el ángulo A mide 135, ¿cuál será la medida de los demás ángulos? Argumenta tu respuesta. Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal • Lección 6
37
1. Reúnanse en ternas. Tracen y recorten tres triángulos iguales, identificando cada uno de sus ángulos. 1
1
3
2
1
3
2
3
2
Ahora, ensámblenlos como el rompecabezas que se muestra a continuación: 3
1
2
2
1
3
1
2
3
a) ¿Cómo son los tres ángulos de un triángulo con respecto a los ángulos de los demás triángulos? b) Al unir los tres triángulos coinciden tres ángulos diferentes entre sí. ¿Cuál es la suma de los tres ángulos? Argumenten su respuesta. c) Realicen el mismo procedimiento para otros tres triángulos que sean iguales entre sí y verifiquen si obtienen la misma suma para los ángulos interiores. 2. Otra forma de justificar la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo se puede observar en el siguiente procedimiento: Dado el triángulo ABC, se traza una paralela a cualquiera de sus lados. A
Q A
B
P B
C C
a) ¿Cuánto suman los ángulos PAC, BAC y BAQ? b) ¿Cómo son entre sí los ángulos PAC y ACB? ¿Y los ángulos BAQ y ABC? c) Con base en sus respuestas anteriores, argumenten a qué es igual la suma de los ángulos interiores del triángulo ABC. d) Entonces, ¿cuánto suman los ángulos interiores del siguiente paralelogramo? Justifiquen su respuesta. 2
3
1 3
38
Bloque 1 • Formas geométricas
2
1
Tecnología Con el programa de computación Cabri-géomètre, construye lo que se indica y contesta. 1
1. En la lección 5 aprendiste a trazar rectas paralelas utilizando Cabri-géomètre. a) Siguiendo el mismo procedimiento, construye rectas paralelas de manera que obtengas lo que se muestra en las dos primeras pantallas. b) Selecciona nuevamente el botón de Recta para trazar la recta secante; es decir, aquella que corta a las paralelas como se muestra en la tercer pantalla.
2
3
c) Del botón Distancia y longitud, selecciona la opción Ángulo ( los ocho ángulos que se formaron en la figura.
); mide con él cada uno de
d) Por medio de una etiqueta nombra cada ángulo, utiliza una letra o un número. Escribe los ángulos en parejas (correspondientes, opuestos por el vértice, alternos internos, alternos externos, colaterales internos y colaterales externos) y comprueba las relaciones vistas en esta lección. e) Comprueba la medida de cada ángulo. ¿Las parejas identificadas miden lo mismo? f) ¿Crees que se cumplan las mismas relaciones si trazas otras dos paralelas cortadas por otra secante? Comenta tus respuestas con tu grupo.
Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal • Lección 6
39
Por tu cuenta 1. Si el ángulo P mide 109, encuentra la medida de los ángulos J, K, L, M, N, Q y R, que se indican en siguiente figura:
J L N Q
K M P R
∠ J
∠N
∠ K
∠ P 109
∠L
∠Q
∠M
∠R
2. Contesta las preguntas. a) Dos ángulos de un triángulo miden 50 y 20 respectivamente, ¿cuánto mide el tercer ángulo? b) Dos ángulos de un triángulo miden 47 cada uno, ¿cuánto mide el tercer ángulo? ¿De qué tipo de triángulo se trata? c) ¿Cuánto miden los ángulos iguales de un triángulo rectángulo isóceles? 3. Copia las siguientes figuras en tu cuaderno y traza una diagonal (línea recta que une dos vértices no consecutivos) en cada una.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
a) ¿Cuántos triángulos se forman en cada cuadrilátero? b) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cada triángulo que se formó en la figura 1?, ¿y en la figura 2?, ¿y en la figura 3? c) ¿Cuánto suman los ángulos de todos los triángulos que se formaron en la figura 1?, ¿y en la figura 2?, ¿y en la figura 3? d) ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero? 40
Bloque 1 • Formas geométricas
7
El factor inverso de una relación de proporcionalidad
bloque 1
L
n
ecció
Cotidianamente observamos imágenes ampliadas o reducidas de su tamaño original, como por ejemplo una maqueta o un plano, que son reducciones del modelo real de una construcción. En la siguiente imagen se puede observar el menú de una fotocopiadora que sirve para programar el tamaño al que queremos una copia. 50%
150
La escala es un concepto matemático con aplicación en muchos ámbitos. En un mapa, la escala puede expresarse de tres modos distintos: en forma de proporción o fracción; con una escala gráfica, o con una expresión en palabras y cifras. Cuanto mayor es la escala, más se aproxima al tamaño real de los elementos de la superficie terrestre.
200%
Ampliar/Reducir
Prisma triangular
1. Llevamos a fotocopiar la siguiente hoja:
7 cm 4 cm
Mapa de la República mexicana Escala 1 : 14 200 000
a) Si pedimos que saquen la fotocopia al 100%, ¿cuánto va a medir la altura del prisma? b) Si lo hubiéramos pedido al 200%, ¿cuánto mediría la altura?, ¿y cuánto la base? c) Si en la copia la altura del prisma es de 10.5 cm, ¿a qué porcentaje se pidió? Justifica tu respuesta. d) Si queremos que el prisma salga más pequeño que en el original, ¿qué porcentaje puede indicarse en la fotocopiadora? Explica tu respuesta. e) Si sacamos la fotocopia en la que la base del prisma mide 1 cm, ¿cuánto medirá su altura? ¿Cómo obtuviste tu resultado? ¿Existe alguna otra manera de hacerlo? Comenta con tu grupo tus respuestas. El factor inverso de una relación de proporcionalidad • Lección 7
41
2. Ahora pedimos la copia de un rectángulo cuyas dimensiones son 12 cm de base y 8 cm de alto. a) Si queremos la fotocopia a rectángulo?
3 4
del tamaño original, ¿cuáles serán las dimensiones del nuevo
b) Si a partir de la fotocopia obtenida deseamos otra para tener un rectángulo con las dimensiones del rectángulo original, ¿qué fracción representa? Explica a tu grupo cómo obtuviste las respuestas. 3. Observa las siguientes figuras. 6 cm
5 cm 2 cm
6 cm
7 cm
5 cm 2 cm 4 cm
2 cm
5 cm
Figura 1
Figura 2
a) ¿Cuáles serán las medidas de la figura 2 si para dibujarla se aplicó el factor de proporcionalidad b) ¿Qué factor de proporcionalidad se debe aplicar para obtener la figura 1 a partir de la figura 2? c) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que se aplicó a la figura 1 para obtener la figura 3? 10 3
4
4 3
4
14 3 10 3
4 3 8 3
42
Bloque 1 • Análisis de la información
4 3
10 3
Fig. 3
1 2
?
d) Compara tu procedimiento con los de tus compañeros. e) De lo comparado con tus compañeros, escribe brevemente en tu cuaderno qué procedimiento te parece efectivo y por qué.
Para ampliar, reducir o simplemente reproducir proporcionalmente una figura se utiliza un número llamado factor de proporcionalidad, el cual permite obtener la imagen de la figura original.
A partir de la figura A se obtiene la figura A’, aplicando factor de proporcionalidad
3 2
.
Para obtener la figura A’, a partir de la figura A se aplica el factor de proporcionalidad
Fig. A
2 3
.
Fig. A’
Al determinar el factor de proporcionalidad que te permite encontrar la figura A, a partir de la figura A’, estás aplicando el factor inverso. El factor de proporcionalidad puede expresarse en forma de fracción, número decimal o porcentaje Si dicho factor es mayor que 1, la imagen es más grande que la figura original; si es menor que 1, la imagen es más pequeña que la original; si es 1, la figura original y la imagen son iguales. Por ejemplo, si el factor de proporcionalidad es 3, todas las longitudes de la imagen son tres veces 1 las medidas correspondientes de la figura original. Si es 2 , todas las dimensiones de la imagen serán la mitad de la figura original.
El factor inverso de una relación de proporcionalidad • Lección 7
43
• Formen equipos de cuatro integrantes y realicen las siguientes actividades. En un centro comercial se quiere construir un nuevo edificio. Para ello, se solicitó que un arquitecto hiciera un dibujo a escala de algunas opciones para la construcción. Después de revisar varios dibujos, se presentó a la mesa directiva del centro comercial las siguientes dos opciones:
Escala 1 cm 40 m.
a) ¿Cuál es el área del dibujo azul a escala? b) ¿Cuál es el área del dibujo verde a escala? c) ¿Cuál sería el área real de la construcción azul? Justifiquen su respuesta. d) ¿Cuál sería el área real de la construcción verde? e) ¿Cuál sería el perímetro del dibujo azul si se le aplica un factor de proporcionalidad 3 ?, ¿cuál sería su área? Expliquen su respuesta. 2
f) ¿Cuál sería perímetro del dibujo azul si se le aplica un factor de proporcionalidad 3 de 4 ?, ¿cuál sería su área? Comparen sus respuestas con las de otros equipos.
Logo es un programa computacional en el que puedes hacer construcciones geométricas dándole instrucciones precisas a una tortuga, que es un elemento importante del programa. En el sitio de internet: http://neoparaiso.com/logofe/pages/p01.htm, encontrarás
información interesante acerca de Logo.
• Investiga sobre este programa y comenta tus observaciones con tu grupo.
44
Bloque 1 • Análisis de la información
Tecnología Desarrolla esta actividad en una hoja de cálculo electrónica. 1. El dibujo que sigue corresponde a una bandera. En ella se señalan las medidas que vas a introducir en la hoja de cálculo, según se muestra en la ventana. 50 30
80
a) En las celdas B2, C2 y D2 introduce los valores que se piden, según los títulos de las columnas; para ello, toma en cuenta el valor de la primera columna que se refiere al factor de proporcionalidad. b) Ahora, en la celda E2, anota una fórmula que te permita obtener el área de la bandera. ¿Qué resultado obtuviste?, ¿qué operación te permitió llegar a ese resultado?, ¿qué fórmula anotaste en la celda? c) Introduce los valores de las celdas B3, C3 y D3, según el factor de proporcionalidad en A3. Para obtener el área en la celda E3, copia la fórmula que escribiste en E2. ¿Qué relación hay entre las áreas obtenidas en E2 y E3? d) En la celda A4 escribe el factor de proporcionalidad según los valores de las celdas C4 y D4. ¿Qué valor debe ir en la celda B4?, ¿cuál es el área obtenida en E4?, ¿qué relación hay entre las áreas y los factores de proporcionalidad? Completa la tabla y comenta tus respuestas con tu grupo.
El factor inverso de una relación de proporcionalidad • Lección 7
45
Por tu cuenta 1. De los rectángulos de abajo, encuentra todas las parejas que sean proporcionales. Para cada pareja, obtén el factor de proporcionalidad fraccionario que, dado un rectángulo, te permite obtener el otro. 6 3 3 4
A
2
B
3
C
8
2
7 1
D
2
E
Pareja:
Factor de proporcionalidad:
Pareja:
Factor de proporcionalidad:
Pareja:
Factor de proporcionalidad:
2
F
2. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que se aplicó a la figura 1 para obtener la figura 2? 8 6
4
3
5
15 4
Fig. 1
Fig. 2
a) ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que debes aplicar a la figura 2 para obtener la figura 1? b) Si aplicaras el factor de proporcionalidad figura que se obtiene? 46
Bloque 1 • Análisis de la información
1 3
a la figura 2, ¿cuáles serían las dimensiones de la
8
Proporcionalidad múltiple
bloque 1
L
n
ecció
Cuando organizamos un viaje con la familia o una excursión escolar, debemos tomar en cuenta muchos aspectos, como el número de días que vacacionaremos, la cantidad de dinero que debemos llevar o el tipo de ropa. En el Renacimiento los seres humanos se preocuparon por la proporción, equilibrio y armonía. La perfección de la obra de Leonardo da Vinci se debe, en gran parte, al desarrollo del concepto de proporción áurea, razón dorada, o sección áurea que, por encontrarse en toda la naturaleza, produce mayor sensación de belleza.
Los grupos de segundo grado de una escuela secundaria irán a una excursión. Para visitar algunos sitios tendrán que caminar, por lo que antes deberán calcular la cantidad de agua que necesitarán. 1. Completa la siguiente tabla. Alumnos
Cantidad de agua (litros diarios)
1 2 3 4
6
5 6 a) ¿Cómo calcularías la cantidad de agua necesaria para un alumno durante un día?, ¿y para dos alumnos? b) ¿Cuántos litros necesitarían nueve alumnos durante dos días? c) Ahora calcula la cantidad de agua que requerirían 12 alumnos durante tres días. ¿Cómo obtienes la respuesta? La Gioconda, Leonardo da Vinci (entre 1503 y 1506)
d) Calcula cuántos litros se necesitarían si 120 alumnos salen de vacaciones durante siete días. e) ¿Qué regla utilizarías para calcular la cantidad de agua necesaria para cualquier cantidad de alumnos durante cualquier número de días? Justifica tu respuesta. Compara tus respuestas con las de tu grupo. Proporcionalidad múltiple • Lección 8
47
2. Comenta con tus compañeros el siguiente problema y resuélvanlo completando las tablas que se les proporcionan. bombas
2
horas
4
días
2
2
bombas
2
5
horas
4
días
2
5
1
a) Dos bombas, trabajando cuatro horas diarias, llenan un depósito de agua en dos días. ¿Cuánto días tardarán en llenarla cinco bombas trabajando una hora diaria?
5
b) ¿Cuántas horas tienen que trabajar cinco bombas para llenar el depósito de agua en dos días?
5
1 2
c) ¿En cuántos días llenarán el depósito cinco bombas de agua trabajando tres horas diarias? Convierte a horas el resultado que obtengas.
Algunas de las situaciones anteriores implican relacionar tres conjuntos de cantidades. Es claro que se trata de una relación directa pero, en este caso, hay dos cantidades que hacen que varíe (aumente o disminuya) la cantidad de agua requerida: el número de personas y los días transcurridos. Analiza el siguiente problema: tres obreros pueden fabricar 18 artículos en cinco horas. ¿Cuántos artículos fabricarían 10 obreros trabajando seis horas cada uno? Puedes elaborar una tabla con dos cantidades (el número de obreros y la cantidad de artículos). obreros
3
artículos
18
10
• En la tabla falta el número de días en que los obreros fabrican los artículos. El mismo número de obreros fabricará más artículos en seis horas que en cinco.
• Para considerar el número de horas, se agregan más datos a la tabla.
48
obreros
3
artículos
18
horas
10
10
5
5
6
obreros
3
10
10
artículos
18
60
horas
5
5
6
obreros
3
10
10
artículos
18
60
72
horas
5
5
6
Bloque 1 • Análisis de la información
• Es posible encontrar en la tabla alguno de los valores faltantes. Como se trata de una relación directa, 10 obreros fabricarán 60 artículos en las mismas cinco horas.
10 18
60. Ahora falta encontrar el número de • 3 artículos que fabricarán 10 obreros en seis horas.
6 60
• 72, por lo que 10 obreros fabricarán 5 72 artículos en seis horas.
• Reúnance en ternas y realicen las actividades. 1. Con base en las dimensiones del siguiente prisma contesten las preguntas.
6 cm
a) ¿Qué sucede con el volumen del prisma si el largo se duplica? b) ¿Qué sucede con el volumen del prisma si se duplica lo alto?, ¿y también el largo? c) ¿Cómo deberían ser las dimensiones del prisma para que el volumen sea el triple? d) ¿Qué sucede con el volumen del prisma si una de las dimensiones se duplica y otra se triplica? Prueben las distintas opciones que hay. e) ¿Qué sucede con el volumen si las tres dimensiones se duplican? f) ¿Cómo deberían ser las dimensiones del prisma para que su volumen sea 12 veces mayor que el del original? g) ¿Es proporcional el volumen del prisma a cada una de sus dimensiones?, ¿por qué?
20 cm
8 cm
2. A partir de sus respuestas completen la tabla. Comparen sus respuestas con las de los demás equipos. Largo (cm)
Alto (cm)
Profundidad (cm)
Volumen (cm3)
8
20
6
960
40 16 2 880 16
60
24
40
16
40
18
60
12
40
12 11 520
En matemáticas, la sección áurea se obtiene al dividir un segmento en dos partes, de manera que el cociente de la longitud del segmento mayor y la longitud del segmento inicial sea igual al cociente de la longitud del segmento menor y la del segmento mayor. • ¿A qué se le llama “número de oro” y cuál es su valor? • Indaga sobre el número áureo en la naturaleza y elabora un resumen. Comparte lo que investigaste con tu grupo. Proporcionalidad múltiple • Lección 8
49
Tecnología La hoja de cálculo electrónica es una herramienta muy útil para resolver problemas de proporcionalidad. • Si un automóvil recorre 150 km con 22 litros de gasolina, ¿qué distancia recorrerá con 60 litros? Para resolver este problema en la hoja de cálculo, tienes que relacionar los litros de gasolina con los kilómetros recorridos. En la celda B3 cambia el signo de interrogación por una fórmula que te permita encontrar la respuesta a la pregunta. Ahora, cambia los valores o las fórmulas y contesta lo siguiente:
a) b) c) d)
¿Qué distancia recorrerá el automóvil con 40 litros de gasolina?, ¿y con 100? ¿Cuántos litros de gasolina necesitará para recorrer 450 km?, ¿y para recorrer 210 km? Compara con tus compañeros la fórmula que anotaste en B3. ¿Cuál te parece más adecuada? Justifica tu respuesta.
Comenta tus respuestas con tu grupo.
Por tu cuenta 1. Plantea una regla de tres compuesta que te permita resolver los siguientes problemas de proporcionalidad múltiple: a) En un hospital con 30 pacientes, se gastan $18 000 en 25 días. ¿Cuánto gastarían 42 pacientes en 34 días en idénticas condiciones? b) La alimentación de 12 animales en un zoológico, durante 8 días, cuesta $8 000. ¿Cuál sería el costo de alimentación de 15 animales en 5 días? c) Un libro tiene 120 páginas de 27 líneas con 16 cm de largo cada una. Si se reimprime con 36 líneas de 15 cm de largo por página, ¿cuántas páginas tendría el libro? d) Si 10 máquinas fabrican 4 000 unidades de un producto en 5 días, ¿cuántas máquinas serán necesarias para triplicar la producción en 6 días, trabajando la misma cantidad de horas diariamente? 50
Bloque 1 • Análisis de la información
9
bloque 1
n
L
Problemas de conteo
ecció
Cuando nos enfrentamos a un problema en el que hay que contar, agrupar objetos o personas, combinar eventos o sucesos, es conveniente buscar la mejor estrategia para obtener la solución. En el siguiente arreglo rectangular se anotaron las parejas, compuestas por un hombre y una mujer, que participan en la rifa de un boleto doble para asistir al concierto de uno de los mejores grupos de rock del momento.
Juan Silvia
5o. set
Pierde
Gana Pierde
Gana Pierde
Gana
Gana Pierde
Gana Pierde
Pierde
Gana Pierde
Gana Pierde
Gana
Gana Pierde
Gana Pierde
Pierde
Gana Pierde
Gana Pierde
Gana
Gana Pierde
Gana Pierde
Gana Gana Gana Pierde Jugador Gana Pierde Pierde Pierde
Sergio
Edgar
Luis
Marcos
(Silvia, Edgar)
Andrea
4o. set
3er. set
2o. set
1er. set
No todos los diagramas de árbol son iguales, unos tienen más ramificaciones que otros, lo cual dependerá de lo que se plantea en el problema. Por ejemplo: en el tenis gana el jugador que obtiene ventaja en tres de los cinco sets que constituyen el partido.
1. Completa la tabla para formar todas las parejas posibles que podrían ganar el boleto a) ¿Cuántas parejas se formarían si se incluye un hombre y una mujer? ¿Es lo mismo la pareja Juan y Silvia que Silvia y Juan? ¿Por qué? b) ¿Quién tiene más posibilidades de ir al concierto, ¿un hombre o una mujer? c) ¿Qué operación tendrías que hacer para encontrar el número de parejas que se forman? d) Supón ahora que la pareja puede estar formada por dos hombres o dos mujeres. ¿Cuántas parejas se forman? ¿Tanto hombres como mujeres tendrían la misma oportunidad de ganar el boleto? e) ¿Cómo obtuviste la respuesta de la pregunta anterior? f) ¿Existe otra manera de resolver el problema? ¿Cuál? Comparte con tu grupo tus respuestas y escucha las suyas.
Problemas de conteo • Lección 9
51
2. Una manera útil de representar problemas como el anterior consiste en organizar la información mediante diagramas de árbol. Completa el siguiente diagrama de árbol y redacta un problema que pudiera resolverse con él. Obtén la respuesta de tu problema.
3. Cindy está jugando a las canicas. El juego consiste en lanzar sobre un tablero una canica y meterla en los agujeros que se encuentran al final. a) ¿Cuántas opciones tiene Cindy si sólo juega con una canica? b) Si juega con las canicas roja y verde, ¿cuáles son las distintas formas en que pueden caer en los agujeros? Represéntalas en un diagrama de árbol. c) Si para continuar jugando agrega la canica azul, ¿de cuántas formas diferentes podrán caer las canicas en los agujeros? ¿Resultarán más o menos que en el caso anterior? d) ¿Qué ocurrirá cuando juegue con las 5 canicas? ¿De cuántas formas diferentes podrán acomodarse en los agujeros? Explica tu procedimiento. Compara tus resultados con tu grupo y decidan qué procedimientos son más efectivos. 4. ¿Cuántos números menores de 500 se pueden formar con los dígitos 352? 52
Bloque 1 • Representación de la información
1
2 4
3 5
5. Un candado de combinación tiene cuatro cilindros, cada uno con los números del 0 al 9, como se muestra en la imagen. a) Si las combinaciones para abrir el candado no pueden repetir números, ¿cuántas opciones tendrá el primer número de la combinación? b) Si se elige un número para el primer cilindro, ¿cuántas opciones tendrá el segundo número de la combinación? ¿Cuántas opciones tendrá el cuarto número de la combinación? c) Si las combinaciones pueden repetir números, ¿cuántas combinaciones distintas para abrir el candado se pueden formar? d) Con base en el inciso anterior, si la combinación que abre el candado es un número menor de 5000, ¿cuántas combinaciones posibles hay? e) En el caso anterior, ¿importa el orden de los números? Explica tu respuesta. Compara tus respuestas con las de tu grupo.
En el primer curso viste cómo contar las diferentes maneras de llevar a cabo una serie de acciones, o bien, de escoger entre varios objetos. Estas formas de contar fueron el diagrama de árbol y los arreglos rectangulares. Otra forma de conteo es la regla del producto. La regla del producto consiste en multiplicar el número de opciones de cada conjunto; resulta muy práctica cuando el número de opciones es muy grande. Por ejemplo: • Unos excursionistas cuentan con tres grupos de alimentos: 1° Carne, pescado, pollo (tres opciones) 2° Jugo, agua (dos opciones) 3° Papaya, melón, manzana (tres opciones) Entonces, 3 2 3 18 posibilidades
Problemas de conteo • Lección 9
53
• En parejas realicen la siguiente actividad. Tres pueblos, designados como A, B y C, están intercomunicados por un sistema de carreteras de doble sentido, como el que se muestra en la figura.
C8 C1
C5
C2
C6 A
B
C
C3
C7
C4
C9
a) ¿Cuántos caminos distintos podría tomar Juan para ir del pueblo A al C sin pasar por B? Justifiquen su respuesta. b) ¿Cuántos caminos distintos puede recorrer Juan para ir del pueblo A al B? c) ¿Cuántos caminos distintos puede recorrer Juan para ir del pueblo B al C? d) ¿Cuántos caminos distintos puede recorrer Juan para ir del pueblo A al C y regresar al pueblo A? Explica cómo lo obtuviste. e) ¿El camino A, C2, B, C6, C es lo mismo que A, C2, B, C, C6?, ¿por qué? Expliquen sus procedimientos y compárenlos con los de tus compañeros.
Investiga en internet la siguiente información: • ¿Cuántos caracteres tienen las placas de los automóviles en la ciudad donde vives? • ¿Cuántos de esos caracteres son números y cuántos son letras? • ¿Utilizan todos los signos del alfabeto para cualquiera de los caracteres que son letras? • En el Distrito Federal las placas llevan tres números seguidos de tres letras, si el primer número no puede ser cero y solamente se toman en cuenta 20 letras, ¿cuántas placas distintas se pueden formar? Comparte tus resultados con el grupo.
54
Bloque 1 • Representación de la información
Tecnología El programa Cabri-géomètre te permitirá resolver un problema de conteo. Para ello, construye lo que se indica y contesta las preguntas. 1. Para obtener lo que se muestra en la siguiente ventana oprime el botón de Punto ( ) y sobre la pantalla en blanco coloca dos puntos. Oprime el botón de Recta ( ) y lleva el puntero a cada uno de los puntos haciendo clic sobre ellos.
2. Construye las figuras de las dos ventanas siguientes y contesta las preguntas. a) ¿Cuántas rectas hay en la primera ventana? , ¿y en la segunda? b) ¿Cuántas rectas podrán trazarse si se tienen 5 puntos? ¿Y si se tienen 8 puntos? c) Si una figura tiene n puntos no colineales, ¿cuántas rectas quedarán determinadas? d) ¿Qué regularidad observas? Explica tu respuesta. 3. Con base en lo que hayas realizado, completa la tabla. Comenta tus respuestas con tu grupo.
Figura
Puntos
1
2
Rectas
2 3
4
6
4 5 6 7
8
Problemas de conteo • Lección 9
55
Por tu cuenta 1. ¿Cuántos cuadrados de diferente tamaño se pueden formar con la cuadrícula de la siguiente figura?
2. Resuelve los problemas. a) En cierta ciudad, las matrículas de los camiones se forman con dos vocales distintas, seguidas de 5 dígitos todos diferentes. Calcula cuántas matrículas pueden hacerse. b) Una caja fuerte se abre mediante una clave de cinco dígitos (pueden ser repetidos). ¿Crees poder abrirla si lo haces probando números al azar? ¿Cuántas claves posibles hay? ¿Cuántas claves posibles hay si usas sólo los dígitos del 1 al 6 en vez de usar 10? c) En la elección de los representantes del comité estudiantil se tienen los candidatos A, B, C, D y E. Si el comité solamente debe ser de tres integrantes, ¿cuántos comités distintos se pueden formar con los cinco candidatos? 3. En la figura de abajo, ¿cuántos caminos posibles existen de A a B si todos los movimientos para llegar de un punto a otro se deben hacer a la derecha o hacia abajo? A
B
56
Bloque 1 • Representación de la información
10
Polígonos de frecuencia
bloque 1
L
n
ecció
Tanto los medios de comunicación, como los libros y las revistas especializadas, comúnmente utilizan gráficas para dar significado a un conjunto de datos, de tal manera que resalten ciertos aspectos de alguna información.
La estadística es un poderoso auxiliar de las distintas ciencias. Esta rama de las matemáticas se remonta a los comienzos de la historia, lo cual es observable a través de crónicas, datos escritos o restos arqueológicos. En ese tiempo se estaba formando la sociedad, que necesitaba saber cosas elementales como: cuántos habitantes tenía la tribu o sociedad, con cuántos bienes se contaba. 3 8
1. El gerente de una línea de autobuses desea saber el número de personas que viajaron durante la semana. Uno de los empleados le presenta la siguiente gráfica: a) ¿Aproximadamente, cuántos pasajeros viajaron el día martes? b) ¿Qué día viajaron más pasajeros? c) ¿En qué día viajaron menos pasajeros? Comenta cuál podría ser la causa por la que en determinados días haya más o menos pasajeros. d) ¿En qué días de la semana viajaron más de 600 pasajeros?
Distribución de 100 personas según el mes de su nacimiento
e) Si cada boleto para viajar cuesta $250, ¿en qué día se hizo una venta aproximada de $125 000? f) ¿Crees que durante un periodo vacacional se obtenga una gráfica con el mismo comportamiento? ¿Por qué? Compara tus respuestas con las de tu grupo. Polígonos de frecuencia • Lección 10
57
2. En la escuela Héroes se obtuvo la siguiente gráfica en la que se muestra la asistencia a cursos durante un año. Contesta las preguntas que se plantean.
a) b) c) d) e)
¿En qué mes del año la asistencia fue menor de 15 alumnos? ¿A qué curso asistieron más alumnos durante el mes de enero? ¿En qué meses asistieron más alumnos al curso de computación que al de inglés? ¿Cuál de los dos cursos tuvo mayor asistencia? ¿En qué mes se presentó la misma cantidad de alumnos en los dos cursos?
3. La gráfica de la derecha muestra los resultados de un examen de 100 preguntas que se aplicó a 80 alumnos de secundaria. a) ¿En qué intervalo de respuestas coincide el mismo número de alumnos? b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron el mayor número de respuestas correctas?, ¿y el menor? c) Si un alumno obtuvo 50 respuestas correctas, ¿en qué intervalo se encuentra? ¿Cuántos alumnos más se ubican en el mismo intervalo?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Consulta la página de internet: http://www.inegi.gob.mx/prod_serv/contenidos/espanol/ bvinegi/productos/censos/poblacion/2000/definitivos/Nal/tabulados/ 00mo01.pdf, del INEGI, donde encontrarás tablas con
respecto al total de hijos nacidos de mujeres de 12 años y más.
• Escoge el estado de Jalisco y el Distrito Federal y haz un polígono de frecuencias. • Compara el polígono y elabora tres preguntas para planteárselas a tu grupo.
58
Bloque 1 • Representación de la información
Cuando se trata de datos que varían con el tiempo, es conveniente utilizar gráficas poligonales, ya que nos permiten obtener, de manera aproximada, datos e información. Un ejemplo de este tipo de gráficas es la siguiente:
Fuente: INEGI
En este tipo de gráficas, cada eje del plano cartesiano representa uno de los datos que se desean relacionar. Los puntos que se van ubicando se unen con segmentos para formar la poligonal. La gráfica anterior se refiere a los intereses, comisiones y gastos de la deuda del país del periodo 2000 a 2005. De esta gráfica se podría inferir que en 2002 los gastos de la deuda fueron, aproximadamente, de 135 mil millones de pesos. Los polígonos de frecuencias son gráficas con las que es posible representar las frecuencias de los datos recogidos de un estudio.
• En equipos de cuatro realicen la siguiente actividad. Los grupos 2A y 2B de una escuela secundaria participaron en las olimpiadas juveniles organizadas por los maestros de educación física. Los resultados que obtuvieron en la disciplina de salto de longitud se presentan en la siguiente gráfica. a) ¿En qué grupo se registró el mayor salto? b) ¿Cuántos alumnos lograron saltar 2.60 m? c) ¿Qué longitud lograron más estudiantes en el grupo 2B? d) ¿En qué longitud coinciden el mismo número de alumnos de los dos grupos? e) ¿A partir de qué longitud se aprecia que menos alumnos logran saltarla?, ¿a qué creen que se deba esto? f) ¿Cuántos alumnos de cada grupo saltaron 1.80 m? g) ¿Qué grupo tuvo más dificultades para saltar los 2.40 m? ¿Cómo lo determinaron? Comparen sus respuestas con las de otros equipos y justifiquen sus procedimientos. Polígonos de frecuencia • Lección 10
59
Tecnología 1. En la hoja de cálculo electrónica, copia la siguiente información. Selecciónala como se muestra en la segunda pantalla.
2. Identifica el botón de Asistente para gráficos y oprime sobre él. 3. Selecciona el tipo de gráfico Líneas y oprime Siguiente. Oprime otra vez Siguiente y en seguida Finalizar. La gráfica debe aparecer en tu hoja de cálculo. Imprímela y pégala. 4. Observa la gráfica. a) ¿En qué periodos creció la producción? b) ¿En qué periodos disminuyó? c) ¿Cuál fue la mayor producción y en qué mes? Compara la gráfica que obtuviste con tus compañeros.
Por tu cuenta 1. Observa la información que se presenta en los siguientes polígonos de frecuencia.
a) b) c) d) 60
¿Qué equipo ganó menos partidos en la temporada 2002-2003? ¿Cuál fue la mejor temporada del equipo verde? ¿Cuál fue la peor temporada del equipo morado? ¿Cuál de los dos equipos ha tenido mejor desempeño en esas temporadas?, ¿por qué?
Bloque 1 • Representación de la información
ADMINISTRACIÓN Uno de los conceptos que más se manejan en administración son los inventarios: es decir, cómo distribuir los productos en las bodegas, hasta las mejores rutas que deben seguir los camiones. Las matemáticas se usan aquí para reducir los costos de almacén al lograr mantener inventarios mínimos. La administración es la base de toda empresa ya que si no sabemos administrar no tendremos los resultados deseados; en términos generales, cuando hablamos de administración también nos referimos a saber administrar nuestra vida, nuestro tiempo. En la ciencia de la administración, la cual también es conocida como investigación de operaciones, los administradores utilizan las matemáticas y las computadoras para tomar decisiones racionales en la resolución de problemas. Un ejemplo es
Conexiones • Bloque 1
61
¿Qué aprendí?
¡Muy bien! Ahora que hemos terminado el primer bloque de este curso de matemáticas, revisaremos lo aprendido. Aplica tus conocimientos. 1. En la expresión n3, ¿para qué valor de n la expresión tiene valor cero?, ¿Para qué valores de n la expresión es menor que cero? ¿Para qué valores de n la expresión toma valores mayores que cero? 2. Completa la siguiente tabla: a
b
2
25
3
7
7
15
12
5
6
34
(–a) (b)
(a) (–b)
(–a) (–b) (a) (b) (–a) (b) (a) (–b) (–a) (–b) (a) (b)
3. Escribe las expresiones algebraicas que permitan calcular el perímetro y el área de la zona sombreada de la figura: 2x
4y
2x
2y
4. ¿Cuál es resultado de las siguientes operaciones? a a
( a) ( a)
5. La mancha de tiro penal en un campo de futbol se encuentra a 11 metros de la portería, si ésta mide 7.32 metros de ancho y el ángulo comprendido entre la mancha y cualquiera de los postes es aproximadamente de 76 grados. ¿Cuál es el rango de medidas del ángulo de tiro? 6. Determina la medida de los ángulos indicados con letras en el triángulo isósceles de la derecha.
18
x
y
62
7. ¿Cuánto miden los ángulos marcados en la siguiente figura?
∠a ∠b ∠c ∠d ∠e
8. Si cinco cuadrillas de trabajadores tardan seis días en levantar una cosecha, ¿cuánto tiempo tardarán en realizar el mismo trabajo nueve cuadrillas de trabajadores? 9. En un campamento se tienen provisiones para alimentar 12 personas durante 48 días. Si aumenta al doble el número de personas, ¿cuánto tiempo durarán las provisiones? 10. ¿Cuántos rectángulos de diferente tamaño hay en la figura de la derecha?
11. ¿De cuántas maneras se pueden elegir tres números enteros distintos, del 1 al 15 (el orden no importa), de modo que su suma sea un múltiplo de 3? 12. En la gráfica de la derecha se muestra la cantidad de vehículos que son armados en una planta de ensamble automotriz durante un día de la semana. a) ¿Cuántos autos se ensamblaron a las 13:00 hrs? b) ¿En qué horarios no se armó ningún auto?
¿Qué aprendí? • Bloque 1
63
Bloque 2 i z d a n j e e s r p A
esperados
Al finalizar el estudio de este bloque podrás: 1. Evaluar, con calculadora o sin ella, expresiones numéricas con paréntesis y expresiones algebraicas, dados los valores de las literales. 2. Resolver problemas que impliquen operar o expresar resultados mediante expresiones algebraicas. 3. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico. 4. Resolver problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Establecer relaciones de variación entre dichos términos. 5. Resolver problemas que implican comparar o igualar dos o más razones. 6. Resolver problemas que implican calcular e interpretar las medidas de tendencia central. Cúpula de la Basílica de San Pedro Ciudad del Vaticano, Italia 64
P
ra a
empezar…
¿Cuántos sólidos regulares existen, es decir, sólidos que tengan como cara el mismo polígono regular? El estudio de estos cuerpos, llamados sólidos platónicos, llevó a Kepler a proponer toda una teoría sobre la distribución de los planetas. Euler finalmente demostró que sólo puede haber cinco de ellos. ¿Cuáles son? ¿Qué relación crees que puedan tener con la arquitectura y las carpas geodésicas?
65
2
Lo qué necesitas:
- Un envase transp arente de forma cilíndrica - Un pedazo de ci n este proyecto aprenderás a construir un recipiente graduado para medir el nta adhesiva volumen de objetos sólidos. Este recipiente graduado se conoce como matraz - Dos barras de plas Erlenmeyer. - Una botella con tilina ag - Una regla gradua ua de 250ml da X Formen equipos de cinco integrantes. - Un lápiz
E
1. Viertan agua en una cuarta parte del vaso.
2. Coloquen en el exterior del vaso un pedazo de cinta adhesiva con una marca inicial, que coincida con el nivel del agua contenida en el vaso. 3. Con la plastilina construyan varios cubos y pirámides con las siguientes dimensiones:
4. Coloquen el cubo de 1 cm por lado dentro del agua, cuidando que quede totalmente sumergido. Marquen en la cinta el nuevo nivel del agua. 5. Saquen el cubo, luego viertan más agua de modo que el nivel llegue hasta la segunda marca. Repitan una vez más este proceso y hagan la tercera marca. Retiren el cubo y llenen de agua hasta esta tercera marca. 6. A partir de la tercera marca, introduzcan el cubo de 2 cm por lado y registren la cuarta marca; luego, retiren el cubo. Ahora contesten lo siguiente: a) ¿Cuántos cm3 equivale la distancia comprendida entre la primera y segunda marcas? b) ¿Cuántos cm3 o mililitros (ml) equivale la distancia comprendida entre la tercera y cuarta marcas? 7. Cuidando que el nivel del agua coincida con la tercera marca, introduzcan la pirámide que tiene la misma base y altura del cubo de 2 cm por lado. Marquen el nuevo nivel del agua. a) Esta marca quedó entre la tercera y cuarta registradas anteriormente, ¿por qué? b) Esta marca representa la tercera parte de la distancia entre la tercera y cuarta marca, ¿por qué? c) ¿Qué parte del volumen del cubo es el volumen de la pirámide que tiene entre sí la misma base y altura? 8. Considerando que V1 es el volumen del cubo de 1 cm, V2 el de 2 cm y VP el de la prirámide. a) ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera? a) 3(VI) V2
V2
b) VP 3
c) VP 3V1
d) V2 VP V1
b) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el triple del volumen de los tres cuerpos? a) 3(V2) 66
Proyecto 2
b) 3V1 V2 VP
c) 3(V1 V2 VP)
d) V1 V2 VP
11
bloque 2
n
L
Operaciones combinadas
ecció
En matem ticas com nmente utilizamos signos de agrupaci n, como los par ntesis, con el fin de indicar un orden espec fico al realizar operaciones; de no hacerlo podr amos obtener respuestas err neas. Un ejemplo es la f rmula para calcular el rea de un trapecio: A
La primera máquina sumadora fue inventada en 1642 por el matemático francés Blaise Pascal (1623-1662). En 1693, el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibnitz (16461716) ideó una máquina calculadora que superaba a la de Pascal, porque podía multiplicar por repetición automática de la suma, y dividir por repetición automática de la resta.
(B b) h 2
1. Realiza las siguientes operaciones. Puedes utilizar una calculadora para verificar tus resultados. a) 18 6 40 b) 245 25 5 c) 270 3 18 d) 140 80 10 5 2. Compara tus resultados con los de tus compañeros y explica tu procedimiento. ¿Coinciden sus resultados?, ¿por qué? 3. Observa las siguientes situaciones y contesta: Al oprimir las teclas para realizar las operaciones en una calculadora elemental, conocida como calculadora de bolsillo, resulta lo siguiente:
2
3
4
6
8
2
a) ¿Estás de acuerdo con los resultados de esta calculadora? ¿Por qué? Sumadora inventada en 1642 por Blaise Pascal
b) En la operación 2 3 4, ¿qué realiza primero esta calculadora, la multiplicación o la suma? Operaciones combinadas • Lección 11
67
Al oprimir las teclas para realizar las operaciones en una calculadora científica, resulta lo siguiente:
2
3
4
6
8
2
c) ¿Estás de acuerdo con los resultados de esta calculadora? ¿Por qué? 4. Comenta tus resultados con otros compañeros y juntos escriban una regla que indique el orden en que se deben realizar las operaciones en un cálculo en el que intervienen varias operaciones sin paréntesis.
Cuando se realizan operaciones combinadas, es decir, cuando tenemos a la vez suma, resta, multiplicación, división o potencia, no podemos realizarlas de forma arbitraria. Existe una jerarquía de las operaciones que debe respetarse y es la siguiente: 1. Si hay paréntesis ( ) y corchetes [ ], primero se resuelven las operaciones que hay en su interior. 2. Se realizan las potencias. 3. Se realizan las multiplicaciones y divisiones. 4. Se realizan las sumas y restas. 5. Dos o más operaciones de la misma jerarquía se resuelven de izquierda a derecha. Como te habrás dado cuenta en la actividad inicial, cuando realizaste la operación 2 3 4 en las calculadoras, en una daba como resultado 20, mientras que en la otra daba como resultado 14. Lo que sucede es que las calculadoras sencillas no emplean la jerarquía de operaciones para realizar los cálculos, mientras que una calculadora científica sí aplica la jerarquía de operaciones. Los signos de agrupación, como paréntesis ( ), corchetes [ ] o llaves { }, desempeñan un papel muy importante cuando se desea cambiar el orden o jerarquía de las operaciones. Por ejemplo, si una operación se escribe como 2 (3 4), quiere decir que a 2 hay que sumarle el resultado de 3 4; pero si se escribe como (2 3) 4, quiere decir que el resultado de sumar 2 3 se debe multiplicar por 4.
68
Bloque 2 • Significado y uso de las operaciones
Reúnanse en equipos de cuatro integrantes y resuelvan el siguiente ejercicio. Pueden utilizar la calculadora. 1. ¿En qué orden se deben efectuar los cálculos de las siguientes expresiones para obtener los resultados que se indican? Pongan paréntesis a los cálculos que se hacen primero. a) 420 2 4 70 b) 12 21 3 4 9 c) 25 20 3 10 5 d) 240 6 52 5 8 200 Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Si no coinciden, verifiquen por qué sucede esto. 2. Usen su calculadora. a) En la operación 6 8 2 10, ¿qué realiza primero esta calculadora, la suma o la división? b) ¿Por qué crees que se obtienen resultados distintos en los dos tipos de calculadora? c) Si realizamos las operaciones 54 6 10 y 20 30 2 en las dos calculadoras, ¿qué resultados se obtienen con la calculadora sencilla y cuáles con la calculadora científica? Explica tus respuestas. 3. Observen las siguientes figuras y contesta las preguntas. b h
h B
b
A
(b x h) 2
A
(B + b) h 2
Si b 3u y h 4u
Si B 6u, b 4u y h 3u
A 16u2
A 15u2
a) ¿En qué figura se obtuvo correctamente el área? b) ¿En qué figura se obtuvo incorrectamente el área? ¿Por qué? Investiga cuándo y quién inventó la primera calculadora electromecánica y cómo funcionaba. • ¿Cuándo se inventó la calculadora sencilla? • En la siguiente página de internet podrás encontrar información relevante al respecto. http://www.saber.golwen.com.ar/hcalculadora.htm
Comparte tus resultados con el grupo.
Operaciones combinadas • Lección 11
69
Tecnología 1. Utiliza una hoja de cálculo electrónica y verifica si las siguientes dos expresiones son correctas para obtener el perímetro del rectángulo: P 2a 2b
a
P 2(a b) b
a
b
P 2a 2b
P 2(a b) ¿Qué fórmula debes escribir en D2 para obtener el perímetro?
¿Qué fórmula debes escribir en C2 para obtener el perímetro?
a) ¿El resultado que se obtiene con las dos expresiones es el mismo? Explica tu respuesta. b) ¿Qué fórmula consideras más sencilla?, ¿por qué? c) Construye una hoja de cálculo similar a la anterior para verificar que las siguientes dos expresiones te permitan obtener el área de un trapecio.
A
Bh bh . 2
A
(B b)h . 2
B h b
2. Abre una nueva hoja de cálculo electrónica e introduce en una celda cualquiera la expresión 40 20 5. a) ¿Qué resultado te da? b) ¿Qué realizó la hoja de cálculo? c) ¿Cómo debes ingresar la operación para obtener 10 por resultado?
70
Bloque 2 • Significado y uso de las operaciones
Por tu cuenta 1. Encuentra el resultado de las siguientes operaciones: a) 3 5 4 10 b) 52 2 3 1 c) 25 42 2 8 d) 22 2 4 2 e) (6 9) 3 f) 4 (5 3) 8 2. Utiliza paréntesis para indicar el orden en que se deben efectuar las operaciones para obtener los resultados que se indican. a) 5 3 5 40 b) 42 4 4 5 c) 20 – 3 2 1 35 d) 20 5 23 12 e) 8 6 2 7 31 3. Resuelve los siguientes problemas: a) ¿En 5 9 2, dónde se deben colocar los paréntesis para que el resultado sea 9.5? b) Si a 2, ¿dónde se deben colocar los paréntesis en 2 5a, para que su valor numérico sea 14? c) ¿Cuál es el valor numérico de 4 (b 1) 5 (b 1), si b 1? 4. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 2(x 6) 30 b) 3(x 1) 2(x 4) c)
x5 2
x1
d) 2(x3) x 1 e) 27 3(2x1) Operaciones combinadas • Lección 11
71
5. Calcula cuánto mide por lado el siguiente pentágono regular, si su perímetro es de 125 cm.
2n 3
6. En la figura siguiente ¿puedes justificar la expresión para el número de cubos?
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
1 2 3 .... n n(n 1) 2
7. Observa cómo se resolvieron las siguientes ecuaciones y propón otra manera de realizar el procedimiento para resolverlas: a)
3(x 5) 45 x 5 15 x 10
b)
60 2(x – 10) 30 x – 10 40 x
También 1 2 3 .... n n(n 2 1) 8. Analiza la figura, y realiza lo que se indica: a) Utiliza paréntesis para indicar las operaciones que se deben realizar para calcular el área del rectángulo azul oscuro. b) Calcula la expresión que escribiste cuando a 2. ¿Es correcta?
72
Bloque 2 • Significado y uso de las operaciones
3 5
a 12
12
Multiplicación y división de expresiones algebraicas
bloque 2
L
n
ecció
Com nmente en matem ticas es necesario realizar multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas cuando resolvemos ecuaciones o cuando simplificamos expresiones complejas. 1. Analiza la siguiente figura; luego responde lo que se pide:
El matemático alemán Johann Widmann d’Ege, inventó los símbolos y que utilizamos actualmente, sustituyendo las letras p y m que eran, respectivamente, las iniciales de las palabras plus (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.
(plus)
(minus)
a) b) c) d)
¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo blanco? ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo blanco? ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada? ¿Cuál es la diferencia entre los dos perímetros? Y ¿cuál es la diferencia entre las dos áreas? Al terminar, compara tus respuestas con las de otros compañeros. ¿En qué coinciden? ¿En qué difieren? 2. A partir de los siguientes modelos geométricos se intenta cubrir recuadros rectangulares.
Área x2
Rectángulo 1
Área x
Rectángulo 2
Área 1
Rectángulo 3
a) ¿Cuáles son las dimensiones de cada rectángulo? b) ¿Cuál es el perímetro de cada rectángulo? c) ¿Cuál es el área de cada rectángulo? Al terminar de realizar tus cálculos, compara tus respuestas con las de tu grupo. Multiplicación y división de expresiones algebraicas • Lección 12
73
3. Usa los modelos geométricos anteriores y representa en recuadros rectangulares cada uno de los siguientes productos. Luego, calcula el área de cada uno de ellos. a) 3x (x 3)
b) 2x (4x 1)
c) (x 1)(5x)
Al terminar, compara tus representaciones y tus cálculos con tu grupo; si no coinciden, coméntalos con tu maestro. 4. Resuelve los siguientes problemas: a) Las dimensiones de dos rectángulos son: (4x 2) y (x); (x 4) y (2x), respectivamente. ¿Qué rectángulo tiene mayor área? b) Un rectángulo tiene un área de 2x2 x . Si una de sus dimensiones es (x 3), ¿cuál es su otra dimensión? 5 . Resuelve las siguientes operaciones: a)
24a2 15a 3a
b)
64x2 12x 12x
2 12y c) 44y 4y
Formen equipos de tres integrantes y resuelvan los ejercicios. 1. Representen en sus cuadernos tres recuadros rectangulares con las siguientes características. Pueden auxiliarse de los modelos geométricos anteriores. Recuadro 1: área x2 3x; Ancho x. Recuadro 2: área 4x2 2x; Ancho 2x. Recuadro 2: área 3x2 15x; Largo 3x. 2. Ahora respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la medida del largo del rectángulo 1? b) ¿Cuál es la medida del largo del rectángulo 2? c) ¿Cuál es la medida del ancho del rectángulo 3? Justifiquen y comparen sus respuestas con las de otros equipos. Traten de llegar a conclusiones juntos. 3. En los siguientes ejercicios, ¿cuál es la expresión que representa el área de la parte sombreada. y5
5x 4 a)
b) y
3x
3x 2
c) 2x 5
74
Bloque 2 • Significado y uso de las operaciones
y2
3
Tecnología 1. Usa una hoja de cálculo electrónica y verifica que 2x(x3) 2x4. Para ello, introduce las fórmulas, luego ve introduciendo valores en la columna A y observa cómo son los de las columnas B y C. a) ¿Qué formula debes anotar en B2? b) ¿Y en C2? c) ¿Obtienes los mismos resultados? ¿Por qué? Compara tus respuestas con las de tu grupo.
En general, en la multiplicación un monomio por un binomio, se multiplica el monomio por cada término del binomio. Ejemplo:
3x (x 5) 3x (x) 3x(5) 3x2 15x
En los casos de los problemas donde se da el área de los recuadros rectangulares y se pide encontrar la medida del ancho o largo; una forma de hacer los cálculos es dividir el área entre la medida del ancho o largo conocido. Por ejemplo: Área 3x2 15x, largo 3x Ancho
3x2 15x 3x
3x2 3x
15x 3x
x5
Como puedes observar, se divide cada término del binomio entre el monomio.
Multiplicación y división de expresiones algebraicas • Lección 12
75
En un libro de álgebra, o en internet, investiga: • Leyes de los exponentes • Multiplicación de un binomio por otro binomio
Por tu cuenta 1. En el siguiente diseño, está sombreada la región cuyas dimensiones son: (2x y) y (2y):
a) ¿Cuál es el área del rectángulo sombreado? b) En el mismo diseño sombrea de diferentes colores los rectángulos cuyas dimensiones son: i. (x 3y) y (2y) ii. (2x 3y) y (2x) iii. (x) y (2x 4y) c) Calcula el perímetro y el área de los rectángulos anteriores. 2. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones son correctas para calcular el área total del rectángulo en la siguiente figura? a) (2x 4) (5x1 x 3) b) (2x 4) (5x1) (x 3) c) (2x 4) (5x 1) (2x 4)(x 3)
76
Bloque 2 • Significado y uso de las operaciones
13
Cuerpos geométricos
bloque 2
L
n
ecció
Seguramente has visto que construcciones como casas, edificios o sitios arqueol gicos, tienen forma de cubos, prismas o pir mides, las cuales poseen algunas caracter sticas en com n.
El suizo Leonhard Euler (1707-1783), fue uno de los matemáticos más prolífico, que publicó en más de 500 libros. Una relación que encontró en sus estudios sobre los poliedros es la siguiente: considerando un poliedro, si C representa el número de caras, A el número de aristas y V el número de vértices, entonces se cumple que:
Torre mayor, Ciudad de México
Pirámides de Egipto
1. Observa el siguiente cuerpo geométrico en el que se indican los nombres de los elementos que lo caracterizan. Con base en ello, contesta las preguntas que se plantean.
CVA2 Esta relación se conoce como el teorema de Euler.
6 8 12 2
a) ¿Cuántas caras tiene el cuerpo geométrico? ¿Cuántas aristas? ¿Cuántos vértices? b) ¿Cuántas aristas coinciden en un mismo vértice? c) Si desdoblaras completamente el cuerpo geométrico, ¿cuántas caras se podrán observar? ¿Por qué se ven menos aristas? Argumenta tu respuesta. d) ¿Cuántas caras tendrá un cuerpo geométrico en el que sus bases sean pentágonos regulares? e) Si las caras laterales de un cuerpo geométrico son siete rectángulos iguales, ¿qué figura geométrica serían las bases de dicho cuerpo? Cuerpos geométricos • Lección 13
77
2. Observa cada uno de los siguientes cuerpos geométricos:
a) Describe los tres cuerpos geométricos de acuerdo con la forma de las caras, la cantidad de ellas, de vértices y de aristas. b) ¿Qué características semejantes hay entre el cubo y el prisma cuadrangular recto? c) ¿Qué características diferentes hay entre el prisma cuadrangular recto y la pirámide? d) ¿Cuáles son las semejanzas que hay entre los tres cuerpos geométricos? e) ¿Será posible construir una pirámide con caras laterales rectangulares? Argumenta tu respuesta f) ¿Será posible construir un prisma o una pirámide cuya base sea cualquier polígono regular? Justifica tu respuesta. g) ¿Será posible construir un prisma y una pirámide usando como base un polígono irregular? ¿Por qué? 3. Para cada uno de los siguientes arreglos con cubos, dibuja la vista superior y una vista lateral.
4. Para el siguiente cuerpo geométrico, dibuja la vista superior y las vistas laterales.
78
Bloque 2 • Formas geométricas
5. Utilizando cubos, haz un arreglo que represente las siguientes vistas:
A los cuerpos geométricos que tienen dos bases paralelas y caras laterales rectangulares se les llama prismas:
Un prisma cuyas bases y caras son rectángulos se llama paralelepípedo.
Un cuerpo geométrico cuyas caras laterales son triangulares, y éstas coinciden en un punto común, llamado cúspide, se llama pirámide. Cúspide Caras Base El desarrollo plano de un cuerpo se compone de las caras y de las bases desplegadas. Por ejemplo:
Cuerpos geométricos • Lección 13
79
Formen grupos de cuatro integrantes y dividanse en dos equipos, uno construirá un cuerpo geométrico y lo mantendrá oculto, mientras otro trata de adivinar de qué cuerpos de trata. Para hacerlo, el segundo equipo debe realizar preguntas que sólo pueden contestarse con sí, no o con un número. Una vez que el equipo que pregunta tiene información suficiente, realizará el desarrollo plano para construir el cuerpo en cuestión y compararlo con el original, para saber si acertó. Después, los equipos deben cambiar roles. Ejemplo: Equipo que pregunta
Equipo que contesta
¿El cuerpo es un paralelepípedo?
No
¿El cuerpo es una pirámide?
Sí
¿Cuántas caras tiene el cuerpo?
7
¿Cuántos lados tiene la base de la pirámide?
6
El equipo realiza el desarrollo plano, lo arma y lo compara con el original. ¿Es éste el cuerpo?
Sí
Indaga en internet o en algún libro de geometría: • ¿Cuándo se dice que un prisma es oblicuo? • ¿Cuándo se dice que un prisma es recto? • ¿Qué diferencias y coincidencias existen entre un prisma recto y uno oblicuo? • ¿Cuándo se dice que una pirámide es oblicua? • ¿Cuándo se dice que una pirámide es recta? • ¿Qué diferencias y coincidencias existen entre una pirámide recta y una oblicua? Comparte los resultados de tu investigación con tu grupo.
80
Bloque 2 • Formas geométricas
Tecnología 1. Utilizarás el programa Cabri-géomètre para construir una red en la que representes paralelepípedos en perspectiva.
1. Muestra los ejes coordenados.
2. Define una rejilla con respecto a los ejes.
3. Con Recta, traza tantas rectas paralelas al eje de las y como te lo permita la pantalla.
4. Con Recta, traza tantas rectas paralelas que corten a las anteriores, como se muestra en la figura. Coloca un punto en todas las intersecciones de tres rectas.
5. Una vez terminada tu malla puedes empezar a representar paralelepípedos en perspectiva como el que se muestra. a) ¿Cuáles son las dimensiones del paralelepípedo del ejemplo? b) ¿Cuántos cubitos de dimensión 1 1 1 caben en él? c) ¿Qué otro tipo de sólidos geométricos puedes representar en una malla como ésta?
Por tu cuenta 1. Determina con cuáles de los siguientes desarrollos planos es posible armar un cubo. Reproduce los modelos del tamaño que quieras y verifica tus respuestas. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Cuerpos geométricos • Lección 13
81
2. Traza un cubo y un prisma rectangular en la malla de la derecha.
3. De acuerdo con las vistas que se muestran en seguida, dibuja en la malla el cuerpo geométrico formado por cubos. Vista frontal
Vista lateral derecha
Vista superior
4. Determina el número de cubos que forman el siguiente cuerpo geométrico.
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral derecha
5. Observa los siguientes prismas.
a) ¿Cuántos cubos unitarios se necesitan para armar cada uno de los prismas? b) ¿Qué tienen en común estos dos prismas? Menciona por lo menos tres similitudes. c) ¿En qué son diferentes? Menciona por lo menos tres diferencias.
82
Bloque 2 • Formas geométricas
14
Cubos, prismas y pirámides
bloque 2
L
n
ecció
Para determinar el volumen de un s lido con lados rectos, podemos dividirlo en cubos de menor tama o y despu s contarlos.
En la historia de las matemáticas, han aparecido mujeres muy destacadas. Sin duda, una de ellas fue Grace Chisholm Young, quien, con el apoyo de su padre, comenzó a estudiar matemáticas y después de muchos contratiempos consiguió doctorarse. Escribió la obra Primer libro de geometría en el que opinaba sobre el interés que tenía enseñar geometría utilizando cuerpos en tres dimensiones.
1. En la figura anterior se muestra en el centro un cubo rodeado de otros cubos de menor tamaño. Da una aproximación de cuántos cubos como el de mayor tamaño se pueden construir con los cubos pequeños.
Grace Chisholm Young (1868-1944)
a) Si cada arista de los cubos pequeños mide 1 cm, ¿cuál es el volumen del cubo grande? b) Si sumamos los volúmenes de todos los cubos que hay en la figura, ¿cuál sería el resultado? c) Determina si se podrá formar un cubo ocupando todos los cubos (los chicos y el grande) que se muestran en la figura. De ser así, ¿cuál sería su volumen? De no ser posible, indica por qué. ¿Y si se utilizan sólo los cubos pequeños? d) Si quisieras encontrar el volumen de cualquier cuerpo sólido, ¿podrías hacerlo si divides el cuerpo geométrico en cubos pequeños de 1 cm3? Argumenta tu respuesta. e) Si no es posible dividir exactamente un cuerpo geométrico en cubitos de igual tamaño, ¿qué procedimiento puedes seguir para obtener su volumen? f) Compara tus respuestas con las de tu grupo. Cubos, prismas y pirámides • Lección 14
83
2. ¿Cuántos cubos tiene la figura verde?
3. La siguiente figura formada por cubitos corresponde a un prisma rectangular al que se han quitado algunas piezas. Obsérvala y contesta.
Si completas con cubitos el prisma: a) ¿Cuál es el mínimo número de cubitos que debe tener la base del prisma? b) ¿Cuál es la altura mínima que debe tener el prisma? c) ¿Cuántos cubitos faltan para completarlo? d) ¿Cómo obtendrías una fórmula para determinar el volumen de cualquier prisma?
4. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:
84
Bloque 2 • Medida
5. Reúnete con un compañero y comenten si se puede obtener el volumen de los cuerpos anteriores empleando las fórmulas: Cubo: V l3 (lado al cubo).
Prismas: AB h (área de la base por la altura).
Justifiquen sus respuestas con sus compañeros.
En general, la fórmula que sirve para calcular el volumen de cualquier prisma recto, es: V
B h 3
donde B es el área de la base del prisma y h su altura.
Si el prisma es un cubo de lado l, entonces B l2 y h l. Por tanto: V l3 Del experimento de la página 66 pudieron comprobar que el volumen de una pirámide, de base cuadrada y altura h, es una tercera parte del volumen de un prisma de la misma base y altura. Esta conclusión es válida para cualquier tipo de pirámide. V
B h 3
Cubos, prismas y pirámides • Lección 14
85
Formen equipos de tres integrantes. Para la siguiente actividad necesitarán dos envases iguales de un litro con forma de prisma rectangular y arena suficiente para llenar uno de ellos.
a) Con uno de los envases construyan una pirámide rectangular, para ello retiren una de las bases y corten cada una de las caras laterales en forma de triángulo isósceles; procuren dejar pestañas para realizar el pegado de las caras. Del otro envase sólo retiren una de las bases y comprueben que tiene la misma altura que la pirámide, si no es así corten lo necesario para que queden de la misma altura. b) Llenen con arena la pirámide que construyeron, y vacíen con cuidado el contenido en el envase (prisma) que no sufrió modificaciones. Repitan el procedimiento llenando la pirámide en el prisma y vaciándola hasta que el prisma se llene por completo. c) ¿Cuántas veces fue necesario llenar la pirámide para rellenar el prisma? Comenten con otros equipos las estrategias que siguieron para convertir uno de los envases en pirámide; comparen sus resultados con los de los demás equipos y expongan al grupo sus resultados, conclusiones y comentarios.
• ¿Cuál es la diferencia entre volumen y capacidad? • ¿Cuáles son las unidades de volumen y cuáles son las unidades de capacidad? ¿Cuáles son sus equivalencias? Comparte la información que hayas encontrado con el grupo.
86
Bloque 2 • Medida
Tecnología 1. Con ayuda del programa Cabri-géomètre construye la representación de una pirámide, encuentra el área de su base y su altura.
2. Con el botón Polígono regular ( ) traza un pentágono. Posteriormente, marca un punto P fuera del pentágono utilizando el botón Punto ( ). a) Traza segmentos desde cada uno de los vértices del pentágono hasta el punto P con el botón Segmento ( ). Para representar la altura de la pirámide, traza un segmento desde el punto donde concurren las aristas de las caras triangulares hasta el centro del pentágono. Después, con el botón Área ( ) calcula el área del pentágono, que representa la base de la pirámide; con ayuda del botón Etiqueta ( ) anota la palabra Área, introduciendo en la ventana el valor calculado. Marca el punto P con el botón Etiqueta ( ). Finalmente, con el botón Distancia y longitud ( ) calcula la longitud de la representación de la altura. b) ¿Cómo calcularías el volumen de la pirámide construida? c) Si tuvieras un prisma recto con la misma base y la misma altura, ¿cómo calcularías su volumen?
Cubos, prismas y pirámides • Lección 14
87
Por tu cuenta 1. Determina, la cantidad de cubos, de 1 cm de lado, que contiene la siguiente figura.
Escribe algunas conclusiones respecto a la forma de determinar el volumen del cubo, así como de prismas rectos de base cuadrada y rectangular. 2. Determina el volumen del siguiente prisma.
a 5 cm
c 3 cm b 10 cm
3. Determina el volumen del siguiente cubo.
36 m
4. Determina el volumen de la siguiente pirámide de base cuadrada.
13 cm
7.5 cm
88
Bloque 2 • Medida
15
Volumen de cubos, prismas y pirámides
bloque 2
L
n
ecció
Hoy en d a los contenedores de muchos alimentos son elaborados con cart n aluminizado y tienen formas de cubos o prismas; por ejemplo los envases de jugos, galletas, chocolates, leche, entre otros. 1. Una caja de galletas mide 15 cm de ancho, 9 cm de alto y 25 cm de largo. a) ¿Cómo se puede obtener el volumen de la caja? Explica tu procedimiento y resultado. Una verdadera joya geométrica construida por la naturaleza son los prismas basálticos, ubicados en el municipio de San Miguel Regla, en el estado de Hidalgo. Su nombre se debe a la semejanza que existe entre los afloramientos de roca volcánica y las figuras geométricas denominadas prismas.
9 cm
25 cm 15 cm b) Si la caja fuera un cubo, ¿cuánto deberían aumentar o disminuir sus dimensiones para conservar el mismo volumen? Ancho: Alto: Largo: c) Si las dimensiones de la caja fueran 9 cm, 16 cm y 8 cm, ¿cuál sería su volumen?
Compara tus respuestas con las de algunos compañeros del grupo. Completa la siguiente tabla:
Prismas basálticos, en el estado de Hidalgo, México
Forma de la base
Cuadrado Rectángulo
Dimensiones de la base (cm)
Lado = 4.2 Base = 5.6 Lado = 9.75 Lado = 15 Lado = 21.8 Altura = 2.1 Apotema = 1.74 Apotema =2.07 Apotema = 3
Altura del prisma (cm) Volumen del prisma (cm3) Volumen de una pirámide (cm3) de la misma base y altura que el prisma
12
8.7
Pentágono
8
Hexágono
Octágono
12.5
339.3
348.8
a) Si el área de la base de una pirámide es de 256 cm2 y su altura es de 12 cm, ¿qué altura debe tener una prisma con la misma Volumen de cubos, prismas y pirámides • Lección 15
89
base para que los volúmenes de ambos cuerpos geométricos sean iguales? Justifica tu respuesta. b) Si un prisma tiene una base de 571.32 cm2 y un volumen de 10 626.552 cm3, ¿cuál será el volumen de una pirámide con la misma base y la misma altura? ¿Cuál el de una pirámide con la misma base y la mitad de la altura? ¿Cuál el de una pirámide con la misma base y el triple de la altura? Argumenta tus respuesta. 2. Una cisterna con forma de prisma rectangular, tiene una capacidad de 9000 litros para almacenar agua. Su base mide 3 m por 2 m. De acuerdo con esta información: a) ¿Cuál es la profundidad de la cisterna? b) ¿Cuál es la cantidad de agua que contiene la cisterna si el nivel de agua está justamente a la mitad de la profundidad? Muestra tus procedimientos a tu grupo y comparen sus resultados.
Volumen del prisma
Volumen del cubo
Volumen de la pirámide
arista altura
altura base
base
Volumen prisma VBh
Volumen del cubo V l3
Volumen de la pirámide Bh V 3
• En equipos de dos integrantes realicen las actividades. 1. Completen las siguientes tablas. Utilicen su calculadora.
Cuerpo
90
Bloque 2 • Medida
Datos de la base Altura del Largo (cm) Ancho (cm) cuerpo (cm) 10 8 10 2.5 8 5 5 3 2.5 12 5
Volumen (cm3) 250 640 1000 3600 400 400 375 540
2. Las siguientes pirámides tienen las mismas dimensiones que los prismas anteriores. Completen la tabla. Datos de la base Altura del Largo (cm) Ancho (cm) cuerpo (cm) 10 8 10 2.5 8 5 5 3 2.5 12 5
Cuerpo
Volumen (cm3) 250 640 1000 3600 400 400 375 540
Comparen sus respuestas con las de otros equipos y argumenten sus estrategias de resolución.
Tecnología Con ayuda de una hoja de cálculo electrónica podrás obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides. POTENCIA (A3,3)
B3*0.001
E3*F3
G3*H3
I3*0.001
(G17*H17)/3 I17*0.001
Volumen de cubos, prismas y pirámides • Lección 15
91
a) Para realizar el ejemplo anterior, en la celda B3 debes introducir la fórmula POTENCIA(A3,3). Esto significa que se elevará el contenido de la celda A3 a la tercera potencia, que es la fórmula para determinar el volumen de un cubo. Posteriormente, en la celda C3 puedes poner la fórmula B3*0.001, con la cual conviertes los cm3 a litros. Finalmente, para la tabla del volumen del cubo debes copiar hacia abajo las fórmulas de C3 y B3. b) Para determinar el volumen de los prismas, en las celdas E3 a E12 introduce distintos valores en el ancho, en las celdas F3 a F12 asigna los valores del largo. Para calcular el área de la base, introduce en la celda G3, la fórmula E3*F3 y cópiala en las celdas de abajo. En seguida, introduce distintos valores para la altura, y en la celda I3, la fórmula que calcule el volumen en cm3, que es G3*H3 y cópiala hacia abajo; introduce en la cela J3 la fórmula que convierta los cm3 en litros y cópiala hacia abajo. c) Para obtener el área de la base en la tabla correspondiente a las pirámides, sigue un procedimiento similar a los anteriores; ten cuidado de colocar el nombre correcto de las celdas que quieras multiplicar. Para calcular el volumen, divide entre 3 el área de la base por la altura. Para este ejemplo en particular, la fórmula a introducir es (G17*H17)/3 y para el cálculo del volumen en litros sólo se multiplica este resultado por 0.001. Recuerda que éste es sólo un ejemplo, tú debes determinar los valores a introducir y las celdas en las que quieras trabajar.
Por tu cuenta 1. Si un bote de un litro de leche mide 9.7 cm de ancho, 6.5 cm de largo y 16 cm de altura, ¿qué volumen ocupa? 2. Determina el volumen de una pirámide hexagonal que mide 5 cm de lado en la base, 4.33 cm de apotema y 11 cm de altura. 3. En el laboratorio de física de una escuela secundaria se dispone de diversos prismas, para realizar prácticas de refracción de la luz. Si uno de estos prismas tiene una base cuadrada de 5 cm por lado y ocupa un volumen de 387. 5 cm3, ¿cuánto mide de altura? 11 cm 4. Una caja de chocolates tiene forma de cubo. Si el volumen de la caja es de 4 096 cm3, ¿cuánto mide su lado? 5. Determina la profundidad de una alberca que mide 8 m de largo y 5 m de ancho, si tiene una capacidad de 60 000 lt de agua. 4.33 cm 5 cm 6. ¿Qué altura debe tener un contenedor de aceite en forma de pirámide invertida de base rectangular si puede almacenar 32 000 lt, sabiendo que en la base mide 3 m de ancho por 4 m de largo? 7. Una réplica no exacta de la pirámide egipcia de Keops, construida en un casino de las Vegas, Nevada, EUA, tiene su base cuadrada de 46 m por lado y una altura de 62 m. Determina su volumen. Investiga en internet en qué otras partes del mundo se presentan formaciones de prismas basálticos. • ¿Qué volumen, en promedio, tiene una roca en forma de prisma de las que se encuentran en el estado de Hidalgo? • ¿En dónde encontramos representaciones de prismas formados por la naturaleza? Presenta tus respuetas al grupo.
92
Bloque 2 • Medida
16
Comparación de razones con base en la noción de equivalencia
bloque 2
L
n
ecció
Seguramente has escuchado expresiones como 3 de 5 , 4 por cada 10 ... Sabes qu significan este tipo de afirmaciones? 1. En una excursión organizada por la secundaria, Iván se encargó de hacer el agua de naranja para todos. La preparó mezclando agua y concentrado de jugo de naranja. Para encontrar la mezcla exacta hizo algunas pruebas en diferentes jarras. Con frecuencia usamos algunas palabras para hacer comparaciones, por ejemplo: “más rápido”, “más fuerte”, “más alto”. En ciertos casos esta información necesita ser ampliada; por ejemplo: ¿cuánto es más caro un automóvil que el otro? Este tipo de preguntas usualmente involucran la comparación de información.
Jarra A 2 vasos de concentrado de jugo de naranja 3 vasos de agua fría
Jarra B 1 vaso de concentrado de jugo de naranja 4 vasos de agua fría
Jarra C 4 vasos de concentrado de jugo de naranja 8 vasos de agua fría
Jarra D 3 vasos de concentrado de jugo de naranja 5 vasos de agua fría a) ¿En qué jarra la bebida tiene más sabor a naranja? Explica tu respuesta. b) ¿En qué jarra la bebida tiene menos sabor a naranja? Justifica tu respuesta. c) ¿Qué cantidad de concentrado de jugo de naranja y qué cantidad de agua se necesita para hacer un vaso con agua de naranja de acuerdo con la mezcla de cada jarra? Explica tu respuesta. Comenta tus estrategias con tu grupo. Comparación de razones con base en la noción de equivalencia • Lección 16
93
2. Se tienen dos jarras de la misma capacidad, una con agua de jamaica y la otra con agua de horchata. Pasamos un cucharón de agua de jamaica a la jarra de agua de horchata y se hace la mezcla. Posteriormente de esa mezcla sacamos un cucharón y lo agregamos a la jarra de agua de jamaica y hacemos la mezcla. Al final de nuestro procedimiento, ¿hay más porcentaje de agua de horchata en la jarra de agua de jamaica o hay más porcentaje de agua de jamaica en la jarra de agua de horchata? 3. En la excursión organizada por la secundaria, Lorena hizo una encuesta a todos los estudiantes sobre sus pasatiempos; reportó lo siguiente:
a) 50 estudiantes ven la televisión. ¿A cuántos estudiantes entrevistó? b) ¿Cuál es el pasatiempo que más les gusta a los estudiantes? ¿Y cuál es el que menos les gusta? Explica tus respuestas. c) ¿Uno de cada cuántas estudiantes lee un libro en la población entrevistada? Justifica tu respuesta. d) Si tomamos 25 estudiantes al azar de los que se entrevistaron, ¿cuántos se espera que su pasatiempo favorito sea leer un libro? Explica tu respuesta. Compara tus respuestas con las de tu grupo.
¿Cuántos habitantes hay en la República mexicana?, ¿cuál es el área (km2) que tiene? • A la razón entre el número de habitantes de una región y su área se le llama densidad demográfica o densidad de población. Obtén la densidad de población de nuestro país. • ¿Cuáles son los cinco países con mayor densidad de población a nivel mundial?, ¿y cuáles los cinco con menor densidad de población?
94
Bloque 2 • Análisis de la información
• En parejas analicen la siguiente tabla y juntos determinen: a) ¿Qué alimento de la lista es más rico en carbohidratos? Justifiquen su respuesta. b) ¿Qué alimento de la lista es más rico en proteínas? Expliquen su respuesta. c) ¿Qué alimento de la lista es más rico en lípidos? Justifiquen su respuesta.
Al terminar, comparen sus respuestas con las de otros equipos, ¿existen distintas maneras de obtener las respuestas? ¿Cuáles?
Uno de los usos que se le da a la fracción fracción
a b
a b
es para expresar una relación entre dos cantidades. La
puede interpretarse como una razón cuando se comparan dos cantidades de una misma
magnitud o de magnitudes diferentes. Por ejemplo, cuando decimos:? “la razón entre alumnos y alumnas en una escuela es 4 a 3”, esto quiere decir que por cada 4 alumnos hay 3 alumnas. Esta razón se puede escribir así: 4 : 3 . También podemos escribir la razón como 3 : 4, que significa que por cada 3 alumnas hay 4 alumnos. Cuando se interpreta la fracción como razón también permite la comparación con otras razones. Por ejemplo: En un recipiente A se han mezclado 2 litros de jugo de mandarina y 3 litros de agua. Y en un recibiente B, 3 litros de jugo de mandarina y 5 litros de agua. ¿Cuál de las dos mezclas sabe más a mandarina? En este caso se expresan primero las dos razones 2 : 3 y 3 : 5 Para saber cuál de las dos mezclas sabe más a mandarina, podemos comparar las razones buscando fracciones equivalentes, o expresar el resultado de la división correspondiente. 2 3
3 5
Comparación de razones con base en la noción de equivalencia • Lección 16
95
Tecnología 1. En una receta, para elaborar un postre para 12 personas, se necesitan 6 manzanas, 3 cucharadas de crema y 24 cucharadas de azúcar, ¿qué cantidad de cada ingrediente se necesitarán para preparar dicho postre para 5 personas? a) ¿Qué cantidad de cada ingrediente se necesita para preparar el mismo postre a 18 personas? b) ¿Qué cantidad de cada ingrediente se necesita a fin de preparar dicho postre para 8 personas? c) ¿Por qué es más sencillo obtener las cantidades de ingredientes para 18 personas que para 8? Explica tu respuesta. A B C D 2. Construye la siguiente hoja de cálculo electrónica: 1 Personas Manzanas Cdas. crema Cdas. azúcar a) ¿Qué fórmula debes escribir en la celda B3 para obtener la cantidad de 2 12 6 3 24 manzanas que se necesitan para 18 personas?, ¿y cuál en C3?, ¿y en D3? 3 18 b) Utiliza las fórmulas que escribiste en las celdas B3, C3 y D3 de modo que 4 8 obtengas las cantidades de ingredientes para ocho personas. 5 6 c) ¿Qué fórmulas que debes colocar en 6 5 las celdas B5, C5 y D5 a fin de obtener las cantidades para seis 7 1 personas? d) ¿Qué cantidades de cada ingrediente se ocupan para una persona? e) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad por el que debes multiplicar el número de personas para obtener la cantidad de manzanas que necesitas? Explica tu respuesta. g) Si tienes 15 manzanas, ¿para cuántas personas puedes elaborar el postre?, ¿y si tuvieras el doble de manzanas?, ¿y si tuvieras el triple? h) Si tuvieras 10 manzanas, cinco cucharadas de crema y 32 cucharadas de azúcar, ¿para cuántas personas puedes elaborar el postre?, ¿sobra alguna cantidad de algún ingrediente?
Por tu cuenta 1. Para hacer una ensalada de atún, compras siete latas por $60. Más tarde ves en la televisión que otra tienda anuncia cinco latas por $45. ¿Cuál de las dos es la mejor oferta? 2. Alejandro compra en promoción cinco cajas de cereal por $82.50. Le sugiere a su hermano que aproveche la oferta, quien le comenta que ya compró dos cajas del mismo cereal por $35. ¿Quién de los dos obtuvo una mejor oferta? 3. En una escuela secundaria hay un grupo que tiene 18 hombres y 12 mujeres, ¿cuál es la razón de hombres por mujeres?, ¿cuál es la razón de mujeres por hombres?, ¿cuál es la razón de hombres por estudiantes del grupo? 4. Encuentra otro ejemplo que te permita explicar el uso de razones para comprar cantidades. 96
Bloque 2 • Análisis de la información
17
Medidas de tendencia central
bloque 2
L
n
ecció
Cuando se realiza un estudio sobre personas u objetos es poco pr ctico observar la totalidad de los casos, sobre todo cuando se trata de grupos numerosos. Es preferible examinar una peque a parte a la que se denomina muestra.
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas. Hacia el año 3000 (a.n.e.) los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque.
1. A un grupo de 20 alumnos se les hizo una prueba para evaluar qué tanto habían aprendido de matemáticas. Para ello se les aplicó un examen de 35 preguntas. Los aciertos de los alumnos fueron los siguientes: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 10, 12, 12, 15, 34, 34, 35, 35.
a) ¿Cuál es el promedio de aciertos? b) ¿Cuál fue el número de aciertos que más se presentó en el examen?
Escritura en tablillas de arcilla
c) ¿Cuál es el número de aciertos registrado entre el número de aciertos más bajo y el número de aciertos más alto? d) ¿Por qué es importante conocer el promedio de aciertos del grupo? Explica. Compara tus respuestas con las de otros compañeros; si no coinciden, verifiquen por qué. Medidas de tendencia central • Lección 17
97
Las medidas de tendencia central son ciertos números que se obtienen a partir de un conjunto de datos enlistados o representados en una gráfica. Hay tres principales medidas de tendencia central: la media, la moda y la mediana. El promedio o la media de un conjunto de datos, es el número que se obtiene de sumar los datos y dividir el resultado entre el número total de datos de la lista. Ejemplo: Datos: 8, 7, 4, 10, 5, 4, 8, 6, 10 y 6 8 7 4 10 5 4 8 6 10 6 10
6.8
La mediana es el valor que se encuentra justo en medio de los datos ordenados. Para calcular la mediana, se ordenan los datos en forma ascendente (o descendente) y se busca el dato de en medio. Si el número de datos es par, se suman los dos valores de en medio y el resultado se divide entre dos. Ejemplo: Datos: 7, 10, 6, 5, 9, 9, 4, 7 y 6
Mediana 7
Ordenados: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 9 y 10 La moda es el dato que más se repite en un conjunto dado. Ejemplo: Datos: 4, 10, 7, 5, 7, 5, 8, 7, 6 y 8
Mo 7
Veamos cada una de las medidas de tendencia central con un ejemplo: A una muestra de 10 estudiantes se preguntó el número de hermanos que tienen; sus respuestas fueron, después de ordenar los datos, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5. El promedio es 0111223345 10 La mediana es 2. La moda es 1.
98
Bloque 2 • Representación de la información
2.2
2. En la siguiente tabla se muestran algunos datos sobre las 10 últimas sedes de los Juegos Olímpicos de Verano. Juegos Olímpicos de Verano Edición
Año
Sede
Países
Participantes
Deportes
Pruebas
XIX
1968
Cd. de México
113
6 626
19
152
XX
1972
Munich
122
10 088
22
195
XXI
1976
Montreal
88
6 189
22
198
XXII
1980
Moscú
81
5 872
22
203
XXIII
1984
Los Ángeles
140
6 708
22
226
XXIV
1988
Seúl
160
9 581
23
237
XXV
1992
Barcelona
169
9 367
25
257
XXVI
1996
Atlanta
197
10 744
26
271
XXVII
2000
Sydney
199
10 438
28
297
XXVIII
2004
Atenas
202
11 100
28
301
a) ¿Cada cuántos años se celebran los Juegos Olímpicos de Verano? b) ¿Cuántos Juegos Olímpicos de Verano, de los últimos 10, se han celebrado en nuestro continente? c) ¿Cuál es el promedio de países que asisten a los Juegos Olímpicos de Verano? d) ¿Cuál es el promedio del número de participantes?, ¿y la media del número de pruebas en las que han participado? e) ¿Cuál es el promedio de todos los deportes que se han practicado en las 10 últimas ediciones de los Juegos Olímpicos de Verano?, ¿y la moda? moda Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras. f) Si en Atenas el número de participantes aumentara, ¿se modificaría el valor de la media? ¿Por qué? g) Si en Atlanta el número de deportes fuera 28, ¿se alteraría la moda de los deportes que se han practicado? ¿Por qué? Medidas de tendencia central • Lección 17
99
• Por ternas realicen las siguientes actividades. 1. Una compañía de videojuegos realizó un estudio mercadotécnico para obtener información sobre la edad de las personas que compran sus productos. Obtuvo los datos que se presentan en la siguiente gráfica:
2. Con base en la información de la gráfica, completen la siguiente tabla:
a) ¿Cuál es la edad promedio de los compradores de videojuegos? b) ¿Cuál es la edad que corresponde a la mediana de los compradores? c) ¿Qué dato estadístico (media, mediana, moda) representa el grupo de edad de 10 a 20 años en la gráfica? d) En general, expliquen cuál es el comportamiento de los datos según la gráfica. e) ¿Qué medida de tendencia central es más útil para los vendedores? ¿Por qué? Comparen sus respuestas con las de otros equipos y juntos traten de llegar a conclusiones. 100
Bloque 2 • Representación de la información
Tecnología 1. La hoja de cálculo electrónica es una herramienta útil para resolver problemas como el siguiente. Una fábrica de tenis realizó un estudio de mercado para saber las tallas de calzado de algunos estudiantes de secundaria. Los resultados se aprecian en la siguiente tabla.
a) Copia los datos contenidos en la hoja de cálculo para obtener la media, la moda y la mediana. b) Para calcular el promedio, en la celda G4 escribe la fórmula =promedio ( ). En los paréntesis escribe A1:F7, esto significa que va a obtener el promedio de todos los valores que hay entre A1 y F7. ¿Qué resultado obtienes? Compara tu respuesta con tus compañeros. c) Ahora escribe en lugar del promedio moda y mediana en las celdas H4 e I4, respectivamente, ¿qué resultados obtienes? d) ¿Cuál es la talla que se acerca más al promedio? e) Si se van a fabricar tres tallas de cierto modelo de tenis, ¿cuáles resultarían más convenientes producir? Explica tu respuesta. f) ¿Por qué consideras que para un vendedor sería importante conocer la moda de los datos anteriores? Justifica tu respuesta.
Haz una encuesta a tus compañeros, maestros, vecinos y familiares acerca de su edad y el programa de televisión que ven con más frecuencia. Para ello, puedes clasificar los programas en: musicales, caricaturas, telenovelas, etcétera. • Pregunta a 20 o 30 personas de diferentes edades con el fin de que obtengas suficientes datos. • Pide a tu profesor que te ayude a elaborar una gráfica donde anotes conclusiones de la forma: “las personas de edad x prefieren programas de tipo y”.
Medidas de tendencia central • Lección 17
101
Por tu cuenta 1. Encuentra cinco números enteros que tengan un promedio de 4, una mediana de 3 y que la moda sea 2. Comenta tu estrategia con tus compañeros y compañeras. 2. Calcula el promedio, la moda y la mediana de las calificaciones de matemáticas de los alumnos de un grupo de secundaria: 6, 8, 7, 6, 6, 8, 9, 9, 10, 8, 6, 5, 10, 9, 6, 5, 8, 9, 9 ,10, 8, 7, 8, 8. 3. Uno de los deportes más atractivos en los Juegos Olímpicos es la gimnasia. La siguiente tabla corresponde a las calificaciones obtenidas en la ronda final de ejercicios de piso en Atlanta 1996; en la que seis jueces califican a cada gimnasta de 1 hasta 10 puntos. Las calificaciones más altas y más bajas no las usan, así que para elegir a la ganadora, promedian las 4 calificaciones restantes.
Dominique Dawes, USA
Lilia Podkopayeva, UKR
Simona Amonar, ROM
Calificaciones de los jueces 9.85
9.90
9.85
9.80
9.90
9.80
9.80
9.85
9.80
9.85
9.85
9.90
9.85
9.90
9.90
9.85
9.90
9.85
a) ¿Cuál es el promedio de cada gimnasta? b) ¿Consideras que el promedio de la calificación es representativa de lo que obtuvo cada gimnasta? c) ¿Quién ganó la medalla de oro?, ¿quién la de plata y quién la de bronce? Verifica tus resultados con los de tus compañeros. d) Al considerar todas las calificaciones, ¿cuál es la moda? e) ¿Consideras que la mediana puede ser demayor o menor utilidad a los jueces que la media? ¿Por qué?
102
Bloque 2 • Representación de la información
ECOLOGÍA El clima de la Tierra está en constante cambio. En la época de los dinosaurios (hace 100 millones de años) el clima era muy diferente al que había en la Tierra durante la era del hielo (hace 1800 años) y éste también era diferente al que vivimos hoy en día. Estos cambios se deben a la naturaleza misma de la Tierra pero también a la actividad humana. Las matemáticas se aplican en la ecología para estimar los efectos que los gases de invernadero puedan tener sobre el clima de la Tierra. Existen, por ejemplo, los modelos de circulación general que representan matemáticamente los procesos terrestres, atmosféricos y oceánicos.
Tierra io climático en la e provocan el camb Algunos factores qu
Los trabajos de investigación de la ecología se diferencian de las demás ramas de la biología por su mayor uso de herramientas matemáticas, como la estadística y los modelos matemáticos. El modelo exponencial de la curva logística, usado en demografía, es muy popular. Estos modelos corresponden a las llamadas Dinámicas poblacionales.
Conexiones • Bloque 2
103
¿Qué aprendí?
¡Muy bien! Ahora que hemos terminado el segundo bloque de este curso de matemáticas, revisaremos lo aprendido. Aplica tus conocimientos. 1. Coloca los paréntesis en las siguientes operaciones, de tal forma que el resultado sea el que se muestra en cada caso. 3 5 15 8 56 3 5 15 8 70 2. Encuentra el volumen del siguiente paralelepípedo recto:
13
5x
6
3. ¿Cuál es el área de la región sombreada de la figura? 7
2x 1
4. Los siguientes dibujos corresponden a desarrollos planos de cubos. ¿En cuál de ellos cada dos regiones triangulares comparten un lado del mismo color?
a)
b)
c)
d)
e)
5. Dibuja las vistas laterales del siguiente sólido.
6. ¿Cuál es el número de cubitos que le faltan a la siguiente figura para formar un cubo?
104
7. Completa la siguiente tabla: Pirámide Altura Largo
Ancho
1 2 3 4
Base Largo
Ancho
5 3
4
12
Altura 9 10 7
8 15
Volumen 80 81 400
8. Una caja de chocolates en forma de prisma pentagonal, una vez vacía se quiere rellenar con café en polvo. El recipiente de café es una pirámide pentagonal con la misma altura y base que la caja de chocolates. ¿Cuántas veces contiene la caja de chocolates el contenido del recipiente con café? Justifica tu respuesta.
6 cm
6 cm
4 cm
4 cm
9. Si la altura de la pirámide del ejercicio anterior aumenta al doble, ¿cuánto debe medir el lado del pentágono de la base para que el volumen sea el mismo que antes? 10. Para realizar un estudio sobre la temperatura de cierto lugar de la República mexicana, se registra la temperatura de un día. Los datos se presentan en la siguiente gráfica:
a) ¿Cuál fue la temperatura promedio registrada? b) ¿Cuál es la mediana y la moda del conjunto de datos? c) ¿Qué medida de tendencia central es representativa del conjunto de datos? Justifica tu respuesta. d) Explica el comportamiento de la temperatura registrada. ¿Qué aprendí? • Bloque 2
105
Bloque 3 i z d a n j e e s r p A
esperados
Al finalizar el estudio de este bloque podrás: 1. Elaborar sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. 2. Resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax b cx d, donde los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos. 3. Expresar mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjuntos de cantidades. 4. Establecer y justificar la suma de los ángulos internos de cualquier polígono. 5. Argumentar las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano. 6. Identificar los efectos de los parámetros m y b de la función y mx b, en la gráfica que corresponde. Bonampak, Chiapas, México 106
P
ra a
empezar…
Las matemáticas , la química y el futbol también están emparentados. ¿Has observado la forma en la que están hechos los balones a base de hexágonos y pentágonos? Esta misma configuración se presenta en el arreglo de los átomos de algunas moléculas importantes, los fullerenos.
107
3 En este proyecto harás diseños, llamados, teselaciones, en los que se combinan algunos polígonos para cubrir una superficie..
X Usa tu imaginación y creatividad para realizar tus propios diseños.
Lo qué necesitas: - Juego de geomet - Papel lustre de ría varios colores - Tijeras - Hojas blancas - Pegamento
1. Las teselaciones han sido utilizadas desde los tiempos más antiguos en todo el mundo para recubrir pisos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etcétera. Observa la teselación de la derecha. a) ¿Qué figuras la componen?, ¿son iguales? b) Reproduce en papel lustre 4 figuras como las de la teselación, de manera que sean iguales entre sí, pero de diferente color. c) Acomódalas sin que queden huecos entre ellas y pégalas en una hoja blanca tamaño carta. Muéstralo a tu grupo. 2. Existen diseños más complejos e interesantes, como el de la derecha. Sigue las indicaciones para hacerlo. a) Dibuja varios triángulos equiláteros y en su interior; haz los trazos que se muestran en la figura 1. b) Une dos triángulos, como se indica en la figura 2, y continúa hasta formar un hexágono. Luego, acomoda los hexágonos de manera que se complete el diseño. Para obtener un diseño similar al de la derecha, decora e ilumina las figuras que se muestran. Fig. 1
3. Dibuja los siguientes diseños.
108
Proyecto 3
Fig. 2
rece • ¿Cuál de los diseños tecepar?, más complicado de ha ¿por qué? sy • ¿Con un triángulo isóscealleizar un hexágono puedes re un teselado? yos • Dibuja un cuadrilátero curalelos; lados opuestos sean pa no debe ser cuadrado o brir rectángulo, ¿se puede cu el plano con la figura?
18
Sucesiones de números con signo
bloque 3
L
n
ecció
Un ejemplo pr ctico de las sucesiones lo encontramos al calcular los intereses que genera cierto capital. Si se invierten los intereses cierto n mero de a os, la cantidad de dinero inicial se habr incrementado. 1. Completa la tabla de la sucesión donde n representa la posición de cada término. Augusta Ada Byron (1815-1852), inventó un juego muy interesante que consiste en un tablero octagonal, como el del dibujo de abajo, con 37 casillas en las posiciones que se muestran, con una ficha en cada una. Se debe quitar una ficha para comenzar, y entonces se salta y se come una ficha. Las fichas sólo se pueden mover saltando sobre otras y siempre en línea recta, nunca en diagonal. El reto es dejar únicamente una ficha en el tablero. Ada afirmaba que existía algún patrón o regla mediante la cual se diera la solución.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
31
32
33
35
36
37
1
2
3
4
5
Sucesión
6
7
8
–5
9
10
–1
a) ¿Qué hiciste para obtener los valores del primero, segundo y tercer término de la sucesión? b) ¿Cuál sería el término 20 de la sucesión?, ¿y el término 30? ¿Y el término 100? c) ¿Cuál es la diferencia de un término a otro?
1
30
Término (n)
34
d) ¿A partir de qué término de la sucesión los valores son positivos? e) ¿Cuál de las siguientes expresiones es la regla general que genera la sucesión? n
n 10
n n
2n 15
f) ¿Qué valores puede tomar n? Explica tu respuesta.
Tablero del juego de Ada Byron
Comenta tus respuestas con el grupo.
Sucesiones de números con signo • Lección 18
109
2. Observa los primeros cinco términos de la sucesión y contesta las preguntas: –5, –4, –3, –2, –1,… a) ¿Cómo se obtiene el segundo término a partir del primero? b) ¿Cómo se obtiene el tercer término a partir del segundo? c) Completa la siguiente tabla y en los recuadros escribe la relación que existe entre cada pareja de términos que se indican. Término
1
2
3
4
5
Sucesión
–5
–4
–3
–2
–1
6
7
8
9
n
d) ¿El término 10 de la sucesión es menor o mayor que 10? e) ¿A partir de qué término los valores de la sucesión son positivos? f) ¿Qué harías para obtener cualquier término de la sucesión apartir del termino anterior? g) Utiliza n para representar al término enésimo y escribe una expresión para obtener cualquier término de la sucesión. h) Evalúa la expresión que escribiste para comprobar que sea correcta. Comenta tus respuestas con tu grupo.
Ingresa a la página de internet y explora las actividades que en ella aparecen. Contesta las siguientes preguntas: • ¿Qué son las sucesiones alternadas? Escribe un ejemplo. • ¿Cuál es la característica principal de una sucesión alternada? • En las reglas o fórmulas que generan sucesiones alternadas, ¿qué parte de la regla genera la alternancia de signos? Explica tu respuesta. http://descartes.cnice.mecd.es/materialesdidacticos/Sucesiones_de _numeros_reales/Sucesiones_construccion.htm
Comenta tu investigación con tu grupo.
110
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
3. Observa la siguiente sucesión y contesta las preguntas: –0.9, –1.9, –2.9, –3.9, –4.9,… a) ¿Cómo obtienes el segundo término a partir del primero, y cómo el tercer término a partir del segundo? b) ¿Cuáles son los siguientes cinco términos de la sucesión? c) ¿Qué sucede de un término a otro en la sucesión? d) ¿Cuál sería el término 50 de la sucesión?, ¿y el término 100? e) ¿Qué se debe hacer para obtener cualquier término de la sucesión? f) Escribe la regla general para obtener cualquier término de la sucesión. Compara tus respuestas con las de tu grupo.
Cuando la diferencia entre los términos de una sucesión es una constante, se dice que dicha sucesión tiene una progresión aritmética. Por ejemplo, en la sucesión: 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,… La diferencia entre los términos es 1, porque:
Término
1
2
3
4
5
6
7
Sucesión
–3
–2
–1
0
1
2
3
1
1
1
1
1
1
Esto significa que cada término de la sucesión se obtiene sumando 1 al término anterior. Por otro lado, cuando en una sucesión existe una razón constante entre sus términos, se dice que tiene una progresión geométrica. Por ejemplo, en la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48,… la razón entre sus términos es 2, porque: –6 –3
2
–12 –6
2
–24 –12
2
–48 –24
2
Lo anterior significa que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando por 2 el término anterior. Es decir, 3 2 6, 6 2 12, etcétera.
Sucesiones de números con signo • Lección 18
111
Formen equipo de cuatro integrantes para resolver las actividades. 1. El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los términos de una sucesión. ¿Cuáles son los cinco primeros términos de la sucesión que arroja la máquina? Escríbanlos.
Entrada
Máquina
Salida
Regla general Posición de cada término 1, 2, 3, 4, 5,...
Sucesión
2–n ,
,
,
,
;…
a) ¿Qué números arrojará la máquina para las posiciones 101, 102, 103? b) Si de la máquina han salido los números 120, 121 y 122, ¿qué números se introdujeron?
2. El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión. Escriban la regla general que aplica la máquina para generar la sucesión que se muestra.
Entrada
Máquina
Salida
Regla general Posición de cada término 1, 2, 3, 4, 5,...
Sucesión –0.5, –1, –1.5, –2, –2.5,…
a) ¿Cuáles serán los siguientes cinco números que muestre la máquina en la salida? b) Inventen una sucesión en un esquema similar al del ejemplo anterior, preséntenla a otro equipo para que responda cuál es la regla que aplica la máquina para generar la sucesión. Comparen sus procedimientos con los demás equipos.
112
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
Tecnología 1. En una calculadora elemental, oprime las siguientes teclas y completa la tabla: 1
.
5
Sigue oprimiendo la tecla
y determina los siguientes 10 términos de la sucesión.
Número de veces que se oprime la tecla
Número que aparece en la pantalla
1
–1.5
2
–3
3
–4.5
4 5 6 … n
(
a) ¿Puedes relacionar el número de veces que se oprime de la sucesión del resultado correspondiente?
)n
con la posición de un término
b) En la última fila de la tabla, ¿qué número debe multiplicar a n para obtener cualquier término de la sucesión? ¿Ocurre lo mismo con los demás términos de la sucesión? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la regla general de la sucesión? 2. Escribe los 10 primeros términos de la sucesión que se genera al oprimir la tecla
en cada
uno de los siguientes casos. Luego, escribe algebraicamente la regla general de cada sucesión.
a)
2
.
4
Sucesión:
5
Sucesión:
Regla general: b)
3
.
Regla general:
Sucesiones de números con signo • Lección 18
113
Por tu cuenta 1. Encuentra los 10 primeros términos de la sucesión que se genera con cada una de las siguientes reglas, donde n representa el número de la posición de cualquier término de la sucesión. a) Regla general: n – 7
Sucesión:
b) Regla general: – 3n
Sucesión:
2. Escribe la sucesión o la regla general, según sea el caso, en cada una de las situaciones descritas: a) El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión. Escribelos.
Entrada
Máquina
Salida
Regla general Posición de cada término 1, 2, 3, 4, 5,...
b)
3
Sucesión
n – 2.5
Sucesión:
Regla general: c) 0, 2, 4, 6, 8,… Regla general: 3. Indica qué teclas numéricas se deben operar en una calculadora elemental para que al oprimir consecutivamente la tecla
a)
, se genere cada una de las siguientes sucesiones:
0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 2,…
b) 5.2, 10.4, 15.6, 20.8,…
114
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
19 El epitafio de Diofanto dice: “¡Viajero! Aquí reposan los restos de Diofanto, padre del álgebra. Los números demostrarán cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su infancia; su juventud, la doceava parte; la séptima parte, su matrimonio estéril; cuando pasaron cinco años más tuvo su primer hijo, éste murió a la mitad de la edad del padre; cuatro años después sobrevino la muerte de Diofanto. ¿Cuantos años vivió?”
Ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f Las ecuaciones son herramientas muy tiles cuando deseamos modelar situaciones en las que se presentan igualdades. Asimismo, nos permiten encontrar de manera r pida y efectiva la soluci n de problemas en los que se desconoce alg n valor pero se conocen las relaciones que mantienen con valores conocidos. Jorge tiene ahorrados $200 y piensa ahorrar $15 cada semana. Pablo tiene ahorrados $140 y se propone ahorrar $25 cada semana, ¿en cuántas semanas Jorge y Pablo habrán ahorrado la misma cantidad? 1. La siguiente tabla muestra cómo van aumentando los ahorros de Jorge y Pablo. Complétala. Semana
Jorge
1
$215
Para resolver el acertijo de Diofanto, plantea la siguiente ecuación:
2
4 x.
4
x 6
x 12
x 7
5
x 2
bloque 3
L
n
ecció
Pablo $190
3 5 a) b) c) d) e) f)
Diofanto de Alejandría (200 y 290 a.n.e.)
¿Cuánto dinero tendrá ahorrado Jorge en la tercera semana. ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado Pablo a la cuarta semana? ¿Quién de los dos tendrá más dinero ahorrado a la quinta semana? Si Jorge ha ahorrado $350, ¿cuántas semanas han pasado? ¿Cuántas semanas han pasado si Pablo tiene ahorrado $440? Escribe una expresión algebraica que te permita obtener la cantidad de dinero que tendrá ahorrado Jorge en cualquier número de semanas. g) Escribe una expresión algebraica para obtener la cantidad de dinero que Pablo habrá ahorrado en cualquier número de semanas. h) Escribe una expresión algebraica que muestre la igualdad entre las cantidades ahorradas por Jorge y Pablo. i) Compara tu expresión algebraica con la de tus compañeros. ¿Obtuvieron la misma expresión? j) ¿Cómo resolverías la ecuación que escribiste para solucionar el problema? Compara tus respuestas con tu grupo. Ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f • Lección 19
115
2. Ixchel y Claudia tienen igual número de lápices. Ixchel tiene 3 cajas y 2 lápices sueltos, mientras que Claudia tiene 2 cajas y 14 lápices sueltos. ¿Cuántos lápices hay en cada caja? a) Si representas con x el número de lápices por caja, escriban una expresión algebraica para el número de lápices que tiene Ixchel. b) Escribe una expresión algebraica para el número de lápices que tiene Claudia. c) Con las expresiones algebraicas que escribiste, representa el hecho de que Ixchel y Claudia tengan igual número de lápices. 3. Piensa en la ecuación como si fuera una balanza en equilibrio, donde los miembros de la ecuación representan los platillos de la balanza, y el signo , el equilibrio de la balanza.
a) ¿Qué pueden quitar de un plato u otro, de manera que la balanza no pierda el equilibrio y puedan conocer cuántos lápices contiene cada caja? b) Completa la tabla en la que se describe de manera gráfica y algebraica la solución de una ecuación: Descripción verbal
Descripción gráfica
Descripción algebraica
Se representa la ecuación en una balanza en equilibrio.
Se quitan dos lápices en cada platillo.
Se suprimen dos cajas en cada platillo.
c) ¿Qué cantidad de lápices contiene cada caja? d) ¿Cuántos lápices tiene Ixchel, y cuántos Claudia? Presenta al grupo tus procedimientos y respuestas. 116
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
3x 2 2 2x 14 2 3x = 2x 12
Para resolver una ecuación es recomendable pensar en ella como vamos a resolver la siguiente ecuación: Si se dividen entre una misma cantidad, distinta de 0, los dos miembros de una igualdad, ésta no se altera. Ejemplo 1.- Vamos a resolver la siguiente ecuación.
4x 2x 6 Solución 4x 2x 2x 6 2x
Resta 2x a ambos miembros.
2x 6 6 2x 2 2
Divide por 2 a ambos miembros.
x3 En este ejemplo se puede observar que una expresión que esté sumando en un miembro puede pasar restando, esto es lo mismo que restar ambos miembros de la ecuación. De manera similar si un término está dividiendo todo un miembro de la ecuación pasa multiplicando. Si está multiplicando todo un miembro de la ecuación pasa dividiendo al otro miembro. Ejemplo 2.- Resuelve la siguiente ecuación: x 1 3 (x 5) x 1 3x 15 x 1 15 3x 14 3x x 14 2x 14 2
x
7 x
Elimina primero los paréntesis. Pasa el 15 sumando al otro miembro (equivale a sumar 15 a ambos miembros de la ecuación). Pasa el x restando al otro miembro (equivale a restar x a ambos miembros de la ecuación). Pasa el 2 dividiendo al otro miembro (equivale a dividir por 2 a ambos miembros de la ecuación).
En la página de internet http://www.fpolar.org.ve/matematica2/ investiga, las formas en que algunos matemáticos de distintas épocas han empleado las ecuaciones. • Menciona alguna forma anterior de escritura de ecuaciones que sea muy distinta a la que usamos actualmente. • Menciona alguna que sea muy parecida a la que usamos actualmente. • En el transcurso del tiempo, ¿la escritura de las ecuaciones se ha simplificado o se ha vuelto más extensa?
Ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f • Lección 19
117
En equipos de cuatro integrantes resuelvan las siguientes actividades. 1. En un resorte A de 14 cm de longitud se suspendieron objetos de diferentes pesos. Las longitudes del resorte estirado se registraron en la tabla de abajo.
Peso del objeto (kg)
0
1
2
3
4
5
Longitud del resorte (cm)
14
15.5
17
18.5
20
21.5
En otro resorte B de 10 cm de longitud se suspendieron los mismos objetos, con lo que se obtuvo la siguiente información: Peso del objeto (kg)
0
1
2
3
4
5
Longitud del resorte (cm)
10
12
14
16
18
20
a) ¿Cuánto se estira el resorte A por cada kilogramo de peso que se agrega? b) ¿Cuánto se estira el resorte B por cada kilogramo de peso que se agrega? c) ¿Cuál de los dos resortes tiene mayor resistencia? 2. Con base en la información anterior, contesten las preguntas: a) Escriban una expresión algebraica que modele la longitud del estiramiento del resorte A respecto al peso que se le aplica. b) Escriban una expresión algebraica que modele la longitud del estiramiento del resorte B respecto al peso que se le aplica. c) ¿Qué peso deben colocar en el resorte A para que alcance una longitud de 18 cm?, ¿y para que alcance una longitud de 24 cm? d) ¿Qué peso deben colocar en el resorte B para que alcance una longitud de 13 cm?, ¿y para que alcance una longitud de 19 cm? e) Planteen una ecuación que, al resolverla, permita averiguar qué peso deben colocar en cada resorte para que los dos tengan la misma longitud de estiramiento. f) Comprueben su resultado sustituyendo en la ecuación el valor que obtuviste. Comparen sus respuestas con otros equipos.
118
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
Tecnología Utiliza una hoja de cálculo para resolver el siguiente problema: 1. Dentro de tres años Edgar tendrá el doble de la edad que tenía hace 11 años, ¿cuál es la edad actual de Edgar?
Edad de Edgar
1er. miembro
2o. miembro
a) En las celdas A2, A3, A4,… escribe los números 1, 2, 3,… que representan las edades que ha ido cumpliendo Edgar. b) En la celda B2 escribe una fórmula que represente el doble de la edad de Edgar hace 11 años. c) En la celda C2 escribe una fórmula que represente la edad de Edgar dentro de tres años. Copia estas fórmulas hacia abajo, tanto como creas necesario. d) ¿Qué obtienes en las celdas B2 y C2 cuando la edad de Edgar es de un año? e) Identifica en las tres columnas cuál es la edad correcta de Edgar. Explica tu respuesta. f) Resuelve la ecuación para comprobar tu respuesta. Compara tus respuestas con las de tu grupo.
Por tu cuenta 1. Representa algebraicamente lo que se indica en cada balanza:
Ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f • Lección 19
119
2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x 10 x 2 c)
1 2
x3
1 4
b) 2x 15 4x 3 d) 4x x 3 2x 3x 7
x9
e) 4(3x 2) 2(3x 5) 20
f)
3 5
x4
1 5
x2
3. Considera que los siguientes rectángulos tienen el mismo perímetro y contesta las preguntas:
1
2x 2
2 x5 3
x 2 3 x4 2
a) ¿Cuál es el valor de x? b) ¿Cuáles son las dimensiones (ancho y largo) de los rectángulos? 4. Una compañía de alquiler de automóviles A cobra $100 por día, más $8.50 por cada kilómetro recorrido; mientras que la compañía B cobra $150 por día, más $5.50 por cada kilómetro recorrido. a) ¿Para qué número de kilómetros se pagaría lo mismo en ambas compañías si se alquila un automóvil por un día? b) ¿Qué compañía conviene escoger si deseamos alquilar un automóvil para hacer un recorrido aproximado de 140 kilómetros en un día? 5. Roque tiene 21 años y su padre 50, ¿en cuántos años la edad de Roque será la mitad de la de su papá?
120
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
20
Cantidades que varían una en función de la otra
bloque 3
L
n
ecció
En muchas actividades encontramos relaciones entre dos cantidades en las que cuando una var a, la otra tambi n lo hace; por ejemplo, conforme transcurre el tiempo en una carrera de autos, aumenta el n mero de kil metros recorridos.
El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar la potencia xn de la variable x. Su uso más generalizado lo definió, en 1829, el matemático alemán Peter Dirichlet, quien entendió la función como una variable y, llamada dependiente, cuyos valores son fijados o determinados según los valores que se asignen a la variable independiente x.
1. Miguel, Mario y Marcos participaron en una competencia de ciclismo. En la tabla de abajo se muestra la distancia que cada uno recorrió durante las tres primeras horas.
Distancia (km) Tiempo (horas)
Miguel
Mario
Marcos
0
0
0
0
1
5
7
9
2
10
14
18
3
15
21
27
a) ¿A qué velocidad corrió cada ciclista durante las tres primeras horas? b) Si cada uno conserva la misma velocidad promedio, ¿qué distancia habrá recorrido cada uno en cinco horas? Peter Dirichlet (1805-1859)
c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido si Mario ha recorrido 50 km?, ¿Cuántos kilómetros han recorrido Miguel y Marcos en ese mismo tiempo?
Cantidades que varían una en función de la otra • Lección 20
121
2. Edgar participó en la misma competencia de ciclismo que Miguel, Mario y Marcos. En la siguiente tabla se muestran las distancias que recorrió durante el primer día.
Tiempo (horas)
Distancia (km) Edgar
0
0
1
6.5
2
13
3
19.5
a) Si Edgar conserva la misma velocidad promedio durante la carrera completa, escribe una expresión algebraica que te permita encontrar la distancia recorrida después de t horas. b) Comenta con tus compañeros cómo puedes encontrar la distancia recorrida por Edgar en cinco y en siete horas. Anota cuáles serían las ventajas y cuáles las desventajas de trabajar con una tabla y con una expresión algebraica. c) Si las velocidades continúan igual hasta el final de la carrera, ¿en qué posiciones llegará cada uno?
Las funciones pueden usar para describir a fenómenos de distintas disciplinas como la física o la biología. En la dirección, http://newton.cnice.mec.es/4eso/mru/rect12.htm?0&1 Puedes experimentar, de manera interactiva, cómo se construye una tabla a partir del movimiento rectilíneo de un cuerpo. Ingresa a la página y trabaja en ella. Posteriormente comenta con tu grupo las observaciones que hiciste. No olvides registrar las conclusiones a las que llegues.
122
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
a) La Ley de Hooke menciona que si se mantiene un objeto en el extremo de un resorte fijo, éste sufre un alargamiento directamente proporcional al peso del objeto. Un resorte mide 5 cm y se alarga 2 cm por cada kilogramo suspendido en él. x = Peso (kg)
y = Longitud (cm)
0
5
1
7
2
9
3
11
4
13
5
15
b) La expresión algebraica que expresa la regla de correspondencia es la siguiente: Alargamiento por cada kilogramo Peso suspendido Longitud del resorte y 2x 5 cuando se suspenden por kilogramos Medida inicial del resorte
3. Lee los planes de ahorro de Diana y Erika, y, estima quién piensas que alcanzará primero la meta de ahorrar $1,000. Diana
Erika
Quiero ahorrar: $1000.00 Quiero ahorrar: $1 000.00 Tengo ahorrados: $2 00.00 Al final de cada mes voy a ahorrar: $30.00
Tengo ahorrados: $140.00 Al final de cada mes voy a ahorrar: $50.00
Cantidades que varían una en función de la otra • Lección 20
123
a) Completa y extiende la tabla en tu cuaderno para que veas cómo será el ahorro de Diana durante el primer año de su plan. Plan de ahorros de Diana Número de meses
Cantidad ahorrada
0
200
1
230
2 b) Usa la tabla para encontrar el número de meses que le tomará a Diana ahorrar los $1000.00. Explica cómo lo hiciste. c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener la cantidad ahorrada por Diana en cualquier número de meses? d) Si continúa ahorrando, ¿cuánto dinero tendrá a los 2 años? e) Construye en tu cuaderno la tabla y la expresión algebraica para el caso de Erika. f) ¿Quién logrará primero su meta? Compara tus resultados con el grupo.
Por parejas resuelvan lo siguiente: 1. En 1996 la tarifa de los taxis en la Ciudad de México era de $3.00 el banderazo (cuota inicial por abordar el taxi) y $1.20 por cada kilómetro recorrido. En el 2006 las tarifas vigentes eran de $6.40 el banderazo y $3.12 por cada kilómetro recorrido.
a) ¿Cuánto se pagaba en 1996 por un viaje de 8 km? ¿Cuánto se pagaba en el 2006? b) Si en el 2006 se gastaban $84.40 por un viaje, ¿cuántos kilómetros se habían recorrido? ¿Cuánto se pagaba en 1996 por recorrer la misma distancia?
124
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
2. Completen las siguientes tablas con los datos del problema anterior. Distancia (km)
Costo en 1996 ($)
Distancia (km)
Costo en 2006 ($)
0
3.00
0
6.40
1
4.20
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
25.12
a) Con base en lo que observan en las tablas, si en 1996 tomaban un taxi para ir a su escuela que estaba a 5 km de su casa, ¿qué cantidad pagaban? ¿Qué distancia podían recorrer en el 2006 por la misma cantidad de dinero? b) El costo en el 2006 por recorrer 5 km era de $22, ¿cuál era el costo por recorrer 10 km? c) Encuentren la expresión algebraica que les permita obtener el costo del viaje para cualquier número de kilómetros recorridos tanto en 1996 como en el 2006. Comenten sus respuestas y estrategias con los demás equipos.
Una función es una relación entre dos variables, las cuales, habitualmente, se denominan x y y. A la y la llamamos variable dependiente pues depende de los valores de x, a la cual se la denomina variable independiente. Como observaste en la situación inicial, una función puede representarse de distintas maneras.
Cantidades que varían una en función de la otra • Lección 20
125
Tecnología Resuelve el siguiente problema con una hoja de cálculo. 1. Manuel vende teléfonos celulares y recibe un sueldo de $400.00 semanales, más $30.00 de comisión por cada aparato vendido. En la siguiente hoja de cálculo vas a registrar el sueldo de Manuel conforme al número de celulares que venda. a) ¿Qué fórmula debes escribir en B2 para conocer el sueldo de Manuel?, ¿qué resultado se obtiene? ¿Qué resultado obtendrías en la celda B3 si escribes la misma fórmula? Comenta con el grupo por qué escribiste esa fórmula. b) Copia la fórmula de la celda B2 hasta la celda B11. Escribe en tu cuaderno tus observaciones. ¿Cuánto ganaría Manuel si vendiera nueve teléfonos celulares? ¿Qué tendrías que hacer para saber cuánto ganaría vendiendo más de nueve aparatos? c) ¿Cuántos teléfonos celulares vendió si recibió $940?, ¿cuál fue su comisión? d) Si desea que su comisión sea igual que su sueldo, ¿cuál es la cantidad de teléfonos celulares que debe vender?, ¿cómo obtienes la respuesta a partir de la tabla? e) Escribe una expresión algebraica que te permita obtener el sueldo de Manuel. Relaciona esta expresión con la fórmula que escribiste en la celda B2. Comenta tus resultados con el grupo.
Por tu cuenta 1. Para la siguiente pareja de variables, menciona si y está en función de x. Explica tu respuesta. x número de boletos vendidos para un concierto a un precio de $12. y cantidad de dinero reunido por la venta de los boletos. 2. Supón que tienes ahorrado $150 y obtienes un trabajo en el que te van a pagar $370 a la semana. Decides ahorrarlo todo. a) Identifica cuáles son las variables. b) Construye en tu cuaderno la tabla que muestre cuánto vas a horrar por semana hasta la semana 10. c Escribe una expresión algebraica que modele la situación.
126
Bloque 3 • Significado y uso de las literales
21
Ángulos internos de polígonos
bloque 3
L
n
ecció
En la naturaleza existen muchas formas geom tricas que se parecen a los pol gonos regulares. 1. ¿Cómo sería la representación geométrica de la siguiente flor? ¿Cuántos ángulos internos tiene?
Pappus (Papo) de Alejandría, fue el último gran geómetra griego. Su trabajo más importante fue un estudio de geometría que se publicó en una colección de ocho libros alrededor del año 340. Toda esta recopilación abarcó casi todos los temas y las técnicas matemáticas; además, es un trabajo de gran importancia para el estudio de la geometría griega.
2. En la representación geométrica de la flor traza las diagonales desde un solo vértice y contesta las preguntas. a) ¿Cuántos triángulos se formaron? b) Si sumas los ángulos internos de los triángulos resultantes ¿cuánto obtienes? c) Con base en esa información, ¿cuánto mide la suma de los ángulos internos de un pentágono? Pappus de Alejandría (Papo) 290-350 a.n.e.
d) ¿Cuánto mide un ángulo interno de un pentágono regular? e) ¿Crees que exista un método más sencillo para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono? Justifica tu respuesta. Comenta tus respuestas con tu grupo.
Ángulos internos de polígonos • Lección 21
127
3. Traza las diagonales, desde un mismo vértice de los polígonos que se menciona a continuación. Completa la tabla y contesta las preguntas:
Polígono
Número de lados
Números de diagonales desde un vértice
Números de triángulos formados
Suma de los ángulos internos (grados)
Triángulos
3
0
1
180
Cuadrilatero
4
Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono
a) ¿Cuál es la expresión algebraica para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono cualquiera? b) Si se tratara de polígonos regulares, ¿cuánto mediría cada uno de sus ángulos internos? Justifica tu respuesta. Compara tus resultados con tus compañeros.
¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular el número de diagonales que se pueden trazar en un polígono convexo desde todos sus vértices? n(n – 3) 2
4(n – 2) 2
180 – 2 n
• Investiga el nombre de los polígonos de 11 a 20 lados: • ¿Qué prefijos se utilizan para nombrar un polígono de entre 20 y 100 lados? • ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la medida de un ángulo interno de un polígono convexo regular? n(n – 3) 2
128
Bloque 3 • Formas geométricas
180 – 2 n
n(n – 3) 2
180 (n – 2) n
En un polígono regular o irregular, una diagonal es el segmento de recta que une dos de sus vértices no consecutivos. Para saber cuántas diagonales se pueden trazar desde un mismo vértice de cualquier polígono basta con restar 3 al número de lados de la figura, es decir hay: n – 3 diagonales. Para saber cuántos triángulos se forman al trazar diagonales desde un vértice basta con restar 2 al número de lados de la figura, es decir hay: n – 2 triángulos. Endecágono irregular Dodecágono regular Hexágono regular Hexágono irregular
Número de lados: n 6 Número de lados: n 6
Número de lados: n 11 Número de lados: n 12
Diagonales desde un vértice: 6 3 3
Diagonales desde un vértice: 6 3 3
Diagonales desde un vértice: 11 3 8
Diagonales desde un vértice: 12 3 9
Triángulos formados: 624
Triángulos formados: 624
Triángulos formados: 11 2 9
Triángulos formados: 12 2 9
Formen equipos de cuatro integrantes. 1. En varias hojas de papel blancas o de color, tracen los siguientes polígonos regulares: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, heptágono, octágono, nonágono, decágono. 2. Marquen los ángulos internos con algún color, mídanlos con el transportador y súmenlos. 3. En una hoja de papel tracen el pentadecágono convexo regular de la derecha y determinen: a) La suma de sus ángulos internos. b) La medida de un ángulo interno. c) El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice. d) El número total de diagonales que se pueden trazar desde todos sus vértices. Comenten sus estrategias de solución a los otros grupos. Ángulos internos de polígonos • Lección 21
129
Tecnología 1. Con el programa Cabri-géométre traza con el botón Polígono regular ( de los lados que desees y realiza lo siguiente:
), un polígono regular
a) Calcula la medida de cada uno de sus ángulos con el botón Ángulo ( ). b) Calcula la suma de sus ángulos internos, para esto, basta con que multipliques el valor de un ángulo por el número de ángulos. c) Traza las diagonales desde un solo vértice con el botón Segmento ( ) y cuéntalas. d) Cuenta los triángulos que se forman. e) Calcula el número total de diagonales y trázalas utilizando el botón Segmento ( ). La figura que aquí aparece fue realizada con el programa Cabri-géomètre y corresponde a un polígono regular de 12 lados. Recuerda que éste es sólo un ejemplo, tú tienes que realizar tus propias construcciones con ayuda de tu profesor o profesora.
Por tu cuenta 1. ¿Cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos internos es igual a 140°? 2. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar cinco diagonales desde uno de sus vértices? 3. Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde un sólo vértice de un tridecágono convexo (polígono de 13 lados). 4. ¿Cuánto mide un ángulo interno de un polígono regular de 32 lados? 130
Bloque 3 • Formas geométricas
22
Recubrimientos del plano
bloque 3
L
n
ecció
Com nmente los pisos son cubiertos por mosaicos con diversos dise os, los cuales permiten una vista m s est tica de los interiores de un inmueble. 1. Observa los siguientes recubrimientos de un piso con mosaicos:
Maurits Cornelis Escher es uno de los más grandes artistas gráficos del siglo XX. Sus obras más populares, figuras imposibles, fondos reticulados con diversos patrones y mundos imaginarios, han sido reproducidas en portadas de libros, revistas, campañas publicitarias y en todo tipo de formatos.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
a) ¿Qué polígono se usó para realizar el recubrimiento del piso en la figura 1?, ¿cuál en la figura 2 y cuál en la figura 3? c) Verifica si es posible realizar el mismo tipo de recubrimiento con varios pentágonos regulares. Dibújalos en una hoja de papel. ¿Pudiste realizar el recubrimiento?, ¿por qué? d) ¿Con qué otro polígono podrías recubrir un plano sin dejar huecos? e) Intenta recubrir un plano combinando distintos polígonos regulares. f) Muestra tu diseño a tu grupo.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972)
2. Observa que en cada una de las figuras siguientes se ha encerrado en un círculo blanco la parte donde se unen los polígonos.
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 6 Recubrimientos del plano • Lección 22
131
• Con base en cada una de las figuras, contesta: a) ¿Cuántos lados concurren dentro del círculo?, ¿cuántos ángulos se forman? ¿Cuál es la medida de cada uno de esos ángulos?, ¿cuánto suman? b) Con base en lo que has realizado hasta ahora, ¿qué característica debe tener un polígono regular para que sea posible cubrir el plano con él? Argumenta tu respuesta. 3. Completa la siguiente tabla y contesta las preguntas:
Polígono regular
Número de lados
Suma de ángulos interiores
Ángulo interior
360 ángulo interior
Se cubre el plano
Triángulo equilátero
3
180
60
6
Si
2.6
No
Cuadrado
5
Hexágono
7
1 080
a) ¿Cuánto mide cada ángulo interno de un hexágono? b) ¿Cuánto mide cada ángulo interno de un heptágono? c) ¿Cuánto deben sumar los ángulos que concurren en un punto cuando se colocan varios polígonos para cubrir un plano? d) Si el ángulo interior de un polígono es de 144, ¿es posible recubrir un plano con él?, ¿por qué? Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
132
Bloque 3 • Formas geométricas
Si queremos cubrir totalmente un plano con polígonos regulares, la medida de sus ángulos interiores debe ser un divisor de 360 para que una vez que se combinen los ángulos sumen 360. Por ejemplo, las medidas de cada uno de los ángulos interiores del triángulo equilátero, del cuadrado y del hexágono regular son divisibles entre 360, y al concurrir los ángulos suman 360.
360 60 6
360 90 4
360 120 3
No es posible cubrir el plano con un pentágono regular, porque la medida de sus ángulos interiores no divide a 360. 360
360
360 108 3.33
Cuando se recubre un plano con polígonos diferentes, la suma de los ángulos interiores que concurren un mismo punto debe ser 360.
Investiga información acerca de los mosaicos de Penrose, en la página. http://alerce.pntic.mec.es/aars0003/geo/mosa7.html
• ¿Quién inventó los mosaicos de Penrose? • ¿Por qué se dice que un mosaico de Penrose es un recubrimiento no periódico de un plano? • ¿Con qué tipo de figuras se realizan los mosaicos de Penrose? • ¿Cuánto miden los ángulos interiores de los polígonos que forman los mosaicos de Penrose? • Intenta realizar un mosaico de Penrose. Comparte tus resultados con el grupo.
Recubrimientos del plano • Lección 22
133
1. En equipos de cuatro integrantes reproduzcan 10 figuras iguales a cada una de las siguientes, después contesten las preguntas:
Fig. 1
Fig. 5
Fig. 2
Fig. 6
Fig. 3
Fig. 7
Fig. 4
Fig. 8
a) ¿Con cuáles de las figuras anteriores es posible recubrir el plano? b) ¿Con cuáles de las figuras anteriores no es posible recubrir el plano?, ¿por qué? c) ¿Es posible recubrir el plano combinando las figuras 1 y 2? d) ¿Es posible recubrir el plano combinando las figuras 6 y 7? e) Si desearas recubrir el plano con la combinación de tres de las figuras anteriores, ¿cuáles escogerías? ¿Y si fuera con cuatro? 2. Ahora, reproduzcan 10 de cada una de las siguientes figuras:
a) Verifiquen si es posible cubrir el plano mediante la combinación de ellas. b) ¿Qué tienen en común estas figuras? c) ¿Se podría cubrir el plano mediante la combinación de estos polígonos si sus lados tuvieran diferentes medidas? Comparen sus respuestas con las de otros equipos, en conjunto lleguen a conclusiones y escríbanlas. 134
Bloque 3 • Formas geométricas
Tecnología Con el programa Cabri-géomètre vas a crear el siguiente diseño para recubrir un plano:
1. Con Polígono regular construye un hexágono.
2. Con Simetría Axial construye un hexágono simétrico al primero respecto a alguno de sus lados.
3. Obtén el Punto Medio de una de las diagonales mayores del hexágono, y con Polígono construye los rombos.
4. Con Rellenar puedes colorear los distintos rombos.
5. Termina el diseño propuesto y contesta las preguntas. a) ¿Por qué es posible cubrir el plano con los hexágonos? b) ¿En cuántos rombos se dividió cada hexágono? c) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de los rombos? d) ¿Se puede recubrir un plano con los rombos? ¿Por qué? Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Recubrimientos del plano • Lección 22
135
Por tu cuenta 1. Reproduce dos de los siguientes diseños y cubre media cartulina blanca con cada uno de ellos.
2. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica tus respuestas. a) Con cualquier tipo de triángulo es posible cubrir el plano. b) Con cualquier cuadrilátero es posible cubrir el plano. c) Con cualquier polígono regular es posible cubrir el plano. d) Se puede cubrir el plano si se combinan varias figuras con la condición de que la suma de los ángulos que concurren en un mismo punto sea igual a 360. 3. ¿Qué característica debe cumplir el ángulo interior de un polígono para que pueda cubrir el plano?
136
Bloque 3 • Formas geométricas
23
Relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos
bloque 3
L
n
ecció
En la lecci n 20 trabajaste con tablas y expresiones algebraicas que te permitieron analizar alguna informaci n. En esta lecci n utilizar s las gr ficas de l neas para estudiar relaciones asociadas a diversos fen menos. 1. Dos puntos de referencia importantes para la temperatura son el punto de ebullición y el punto de congelación del agua: hierve a 100 C o 212 F y se congela a 0 o 32 F. La temperatura desempeña un papel importante para determinar las condiciones de supervivencia de los seres vivos. Una de las primeras escalas de temperatura, todavía empleada en los países anglosajones, fue diseñada por el físico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit (16861736). En 1714 él construyó el primer termómetro con mercurio en vez de alcohol y con el uso de este termómetro concibió la escala de temperatura conocida por su nombre. La escala centígrada o Celsius fue ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius (1701-1744).
Si se sabe que 0 F es aproximadamente igual a 18 C, se puede construir la siguiente gráfica.
2. Construye la gráfica anterior en papel milimétrico para que visualices mejor lo que se te pide: 0 C o 32 F
100 C o 212 F
a) ¿Cómo obtendrías, a partir de la gráfica, la temperatura en grados Fahrenheit cuando el termómetro marca 37 C? Comenta tu estrategia con tu grupo. b) ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen, aproximadamente, –9 C? Justifica tu respuesta. c) ¿Cómo utilizarías la gráfica para encontrar el punto de ebullición del agua en C y en F? Explica tu procedimiento. Relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos • Lección 23
137
d) ¿Cómo debe ser la temperatura en grados Celsius para que la expresada en grados Fahrenheit sea mayor que 0?, ¿y para que sea menor que 0? e) Si la temperatura en grados Celsius varía entre 0 C y 20 C, ¿cuál será la variación, aproximadamente, en grados Fahrenheit? f) ¿En qué punto la recta se intersecta con el eje Y? g) En una ciudad la temperatura fue de 100 F, ¿cuánto equivale en grados Celsius, aproximadamente? Explica cómo obtienes la respuesta a partir de la gráfica que construiste. i) Si la expresión algebraica que permite encontrar la temperatura en grados Fahrenheit se escribe en la forma y mx b, se tendría: F (1.8) (C) 32. ¿Qué relación hay entre el valor de b y la gráfica? Comenta tus respuestas con tu grupo. 3. Con la finalidad de reducir los índices de accidentes automovilísticos en la Ciudad de México, se implantó un reglamento que penaliza a los conductores en quienes se detecte cierto grado de alcohol en la sangre; esto se hace con un aparato llamado alcoholímetro. Se sabe que la eliminación de alcohol en la sangre depende del tiempo que ha transcurrido desde que se ingirió, lo cual se puede modelar mediante una función lineal. En la siguiente tabla se muestran algunos datos de esta variación cuando una persona ha ingerido cinco cervezas junto con alimento. Tiempo en horas
grados litros de alcohol
1
0.92
4
0.46
7
0
a) Si el reglamento penaliza manejar con 0.75
grados litros de alcohol
en la sangre,
¿aproximadamente cuánto tiempo tendrá que esperar una persona para poder manejar? b) Construye en papel milimétrico la gráfica que corresponda a esta situación. c) ¿Cuántos
grados litros de alcohol
en la sangre tendrá la persona en cuestión cuando han transcurrido
tres horas? Justifica tu respuesta. d) ¿Cuántos en cinco y seis horas? Comenta tus procedimientos con los de tus compañeros. 138
Bloque 3 • Representación de la información
Algunos ejemplos de relaciones lineales, como el de las temperaturas, son los siguientes: yx
y 2x y 45 x
y 5 0.5x y 3x 6
Todas las relaciones lineales anteriores están escritas en la forma y mx b. Para la relación lineal y x, el valor de m es 1 y el de b es 0. En la relación lineal y 2x, el valor de m es 2 y el de b es 0. Para la relación lineal y 5 0.5x, el valor de m es 0.5 y el de b es 5. En la relación lineal y 45 x, el valor de m es 1 y el de b es 45. Para la relación lineal y 3x 6, el valor de m es 3 y el de b es 6. Si se sustituye 0 por x, en y mx b, se obtiene y b. Lo cual significa que el punto (0, b) se encuentra sobre la recta. Al punto (0, b) se le llama ordenada al origen y es aquel donde la recta corta al eje Y. Para efectos prácticos, cuando hablamos de la intersección con el eje Y nos referimos al número b, más que al punto (0, b). Si el número b en y mx b es 0 (en otras palabras, si la relación lineal es de la forma y mx la intersección con el eje Y es (0, 0); es decir, el origen.
Relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos • Lección 23
139
• En grupos de cuatro realicen la siguiente actividad. 1. En la colonia donde vive Rosario se abrieron nuevas salas de cine que ofrecen una membresía anual por $500; gracias a ésta, sólo se pagarán $10 por película. Los que no sean miembros pagarán $45 por película. Rosario está pensando comprar la membresía, para lo cual escribe las siguientes expresiones algebraicas que representan los costos: CM 10n 500
CN 45n
CM es el costo para usuario con membresía anual y CN es el costo para los que no sean miembros. a) ¿Qué representa el coeficiente n en cada una de las dos situaciones? b) Si Rosario viera 10 películas al año, ¿cuánto pagaría en cada uno de los planes? c) Construyan Y en un mismo plano cartesiano la gráfica de cada una de las dos situaciones. d) ¿Cuántas películas tendría que ver Rosario en el año para que le convenga obtener la membresía? e) ¿Cuál de las dos gráficas se intersecta con el eje Y en un punto que no sea el origen?, ¿en qué punto lo hace? f) Si Rosario compra su membresía, ¿cuánto habrá pagado si ve entre 10 y 20 películas?, ¿cuánto pagaría si no la compra? g) Si ha gastado $720, ¿adquirió su membresía?, ¿cuántas películas ha visto? Justifiquen sus respuestas y compárenlas 2. En el siguiente plano cartesiano elabora la gráfica de cada una de las expresiones que representan los costos.
140
Bloque 3 • Representación de la información
Tecnología Trabaja la siguiente actividad en una hoja de cálculo electrónica, te permitirá seguir revisando las relaciones lineales. En la relación lineal que verás enseguida, mientras una de las cantidades crece, la otra decrece. 1. Para ir de la Ciudad de México a Acapulco se tienen que recorrer 400 kilómetros aproximadamente. Si se han recorrido 150 kilómetros, ¿cuántos faltan por recorrer? Construye una tabla similar a la siguiente y complétala.
Kilómetros recorridos
50
100
150
200
250
300
350
400
Kilómetros que faltan
a) ¿Se trata de una relación lineal?, ¿por qué? b) ¿Qué expresión escribirías para relacionar los kilómetros recorridos con los que faltan por recorrer? c) Con el asistente para gráficos construye una gráfica que modele el problema. Pide ayuda a tu profesor y compara tu gráfica con la que obtuvieron tus compañeros. d) ¿En qué punto interseca la recta al el eje Y?, ¿qué significado tiene ese punto en el problema? e) Si utilizas la gráfica para localizar los kilómetros que faltan cuando ya se han recorrido 600 km, ¿qué valor obtienes?, ¿por qué? Compara tus respuestas con las de tu grupo.
No sólo en la clase de matemáticas trabajarás con temperaturas, también lo harás en otras asignaturas. Investiga las expresiones algebraicas que te permiten convertir temperaturas de grados Celsius a Fahrenheit y viceversa. • ¿Cuál es la expresión algebraica para convertir grados Celsius a grados Fahrenheit? • ¿Cuál es la expresión algebraica para convertir grados Fahrenheit a grados Celsius? Comparte tu investigación con el grupo.
Relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos • Lección 23
141
Por tu cuenta 1. Imagina que en tu grupo están organizando una fiesta para celebrar el cumpleaños de una compañera y quieren que sea en un lugar donde puedan patinar. Como fuiste elegido para investigar precios de lugares posibles para celebrar a tu compañera, presentas las siguientes propuestas, considerando que en tu grupo hay 45 alumnos. Pista de patinaje A: se cobra $50 por persona. Pista de patinaje B: se cobra un cargo general de $1 000 más $20 por persona. a) ¿Qué pista escogerías si quieres gastar lo menos posible? Explica la razón de tu elección. b) Para cada pista de patinaje escribe una expresión algebraica que relacione el número de alumnos y el costo. c) Haz la gráfica para ambas pistas de patinaje en un mismo plano cartesiano. d) ¿Qué intervalo de valores usaste para el número de alumnos?, ¿cuál para el costo de la renta? ¿Por qué seleccionaste esos intervalos? e) ¿En qué gráfica se encuentra el punto (8, 400)?, ¿qué significa este punto en términos del costo por persona? f) ¿Qué significa el punto de intersección de las dos gráficas? 2. Si un automóvil viaja a una velocidad constante de 80 km por hora, ¿qué distancia habrá recorrido después de 2 horas, de 2 horas y cuarto, de 3 horas y de 3 horas y media? La siguiente gráfica te ayudará a contestar las preguntas:
a) ¿Cuál es la expresión algebraica que te permite encontrar la distancia recorrida para cualquier número de horas t? b) ¿Qué distancia habrá recorrido el automóvil después de 5 horas? c) ¿Cuánto tiempo ha transcurrido si ha recorrido 540 km?, ¿y si ha recorrido 660 km? ¿Cómo obtuviste las respuestas? 142
Bloque 3 • Representación de la información
24
bloque 3
Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b
n
L
ecció
Las gr ficas de funciones sirven para modelar fen menos y situaciones de nuestra vida cotidiana, tambi n estudiados en otras materias, como f sica, biolog a, qu mica o econom a.
Nicole de Oresme fue uno de los Maestros de París. En 1358 consideró la representación gráfica de la velocidad contra el tiempo, para lo cual dibujó el diagrama de un móvil con aceleración constante. Éste es uno de los primeros antecedentes que se conocen para tratar de dar una definición de función.
1. Un garrafón de agua de 20 litros se llena a razón de 2 litros por minuto. Esta situación se puede representar matemáticamente por medio de una tabla, de una gráfica o de una expresión algebraica.
a) Completa la tabla en la que se indica el tiempo de llenado y los litros de agua.
Nicole de Oresme (1323-1382)
Tiempo (min)
1
Litros
2
2
3
7 8
20
b) Con los datos de la tabla elabora en tu cuaderno la gráfica que indique el llenado del garrafón. Representa al tiempo en el eje de las abscisas y la cantidad de agua en el de las ordenadas. c) ¿Cuál será la expresión algebraica que representa la situación anterior? Explica tu respuesta. d) Realiza una tabla y una gráfica de la situación, considerando que el garrafón ya tuviera 6 litros cuando se comienza a llenar. Comenta tus respuestas con las de tu grupo. Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b • Lección 24
143
2. En el laboratorio de física se realizó un experimento para determinar el punto de ebullición de una sustancia, la cual fue calentada controladamente a razón de 10 grados Celsius cada minuto hasta llegar al punto requerido en 15 minutos. • Determina la temperatura que alcanzó la sustancia y elabora la tabla y la gráfica correspondientes. Para esto, considera que al inicio de la práctica la sustancia se encontraba a una temperatura de 25 C. a) ¿La gráfica es una línea recta? b) ¿En qué punto la gráfica corta al eje de las ordenadas? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que define el experimento? 3. Es posible determinar el tamaño de un bebé, antes de nacer mediante un ultrasonido. El crecimiento de un feto a partir de 12 semanas se puede aproximar mediante una expresión algebraica, en la que X se ubica la edad en semanas y en Y, la longitud en centímetros. La siguiente gráfica muestra el crecimiento aproximado de un feto. Obsérvala y contesta las preguntas.
a) Si el crecimiento de un feto fuera lineal, ¿en qué punto cortaría la recta el eje de las abscisas? b) Si tardara 39 semanas en nacer, ¿qué longitud tendría? c) ¿Cuántas semanas de gestación tiene un feto cuya longitud es de 32 cm? d) Qué longitud tendrá un feto a las 20 semanas de gestación. Justifica tu respuesta. 4. Para trazar la gráfica de la función y = 2x 7: a) ¿Cuántos puntos como mínimo debes conocer? b) ¿Qué punto puedes conocer con sólo ver la expresión algebraica que representa una función lineal? c) ¿Cómo serían dos rectas que tienen la misma pendiente o inclinación, pero diferente ordenada al origen? 5. Dada la recta y mx b, ¿en qué punto corta ésta al eje x? 144
Bloque 3 • Representación de la información
En una función lineal a cada número x se asocia el número y mx b, donde m y b son dos valores fijos (cualesquiera dentro de los números reales); m es la inclinación de la recta y se llama pendiente, mientras que b es la ordenada al origen (una constante), a saber, el número en el cual la recta corta el eje de las ordenadas (eje de las y). Si el valor de b 0, la función se expresa con la forma y mx. Si variamos el parámetro b (u ordenada al origen), el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas (eje y) varía y toma el valor de b. Es decir, si b 6, entonces la recta corta el eje de las y en el punto (0, 6). Si b 9, entonces la recta corta el eje de las y en el punto (0, 9).
6. Con base en las gráficas que se muestran en el siguiente plano completa las expresiones algebraicas correspondientes a cada una. a) y 2x b) y 2x c) y 2x d) y 2x e) y 2x f) y 2x
Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b • Lección 24
145
• En grupos de cuatro realicen las siguientes actividades. 1. Juan tiene dos opciones para invitar a sus amigos a un concierto: pagar $300 para ser socio del club organizador del concierto y así pagar los boletos de entrada en sólo $120 cada uno; o bien, pagar cada entrada a $1 60. a) Si Juan invita al concierto a siete amigos, ¿qué le conviene? b) ¿Cuál consideran la mejor opción para Juan si va a llevar al concierto a 10 amigos? c) Escriban las expresiones que representan las dos opciones que tiene Juan para invitar a sus amigos. d) Elaboren en un solo plano cartesiano las gráficas que representan las dos opciones. Comenten sus respuestas con el resto de los equipos. 2. En un solo plano cartesiano tracen las gráficas de las siguientes funciones: a) y 2x b) y 2x 5 c) y 2x 1 d) y 2x 7 e) y 2x 8 a) Asignen valores positivos y negativos a la x, y calculen los de y. b) ¿Qué observan en las gráficas que obtuvieron? Comenten sus observaciones con otros equipos y en su cuaderno escriban una conclusión al respecto.
• Además de los ejemplos vistos hasta esta parte de la lección, ¿qué otras situaciones de la vida diaria se pueden modelar con una gráfica lineal? • ¿En qué otras asignaturas existen situaciones que se puedan representar por medio de una función lineal? Comenta tus respuestas con el grupo.
146
Bloque 3 • Representación de la información
Tecnología 1. Con ayuda de una calculadora graficadora o un emulador de la misma (se consigue gratuitamente en internet, en la página de Texas Instruments: www.ti.com) se pueden representar gráficas de funciones de la forma y mx b.
Para esto, primero debes entrar al editor de funciones presionando la tecla de segunda función (
) y luego la tecla (
). Así aparecerá la pantalla de la fig. 1. Introduce 2x, después presiona
la tecla (
), y para cada valor de Y1 hasta Y5 introduce una expresión; cada vez deberás
marcar (
), así obtienes la pantalla de la figura 2. Posteriormente, presiona la tecla de segunda
función (
) y la tecla (
), para que visualices las gráficas, con lo que obtendrás la pantalla
de la figura 3. Ahora, con el mismo procedimiento, trata de graficar otras funciones a partir de la función y 3x, variando el parámetro b.
Fig. 1
Fig. 3
a) ¿Cómo son entre sí las líneas rectas que se obtienen en cada caso? b) ¿Qué ventajas y desventajas observas al trazar las gráficas de las funciones en la calculadora y en tu cuaderno? Explica. Fig. 2
Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b • Lección 24
147
Por tu cuenta Trata de predecir los puntos por los cuales debe pasar la gráfica de los siguientes problemas. Realiza en tu cuaderno la tabla y la gráfica correspondientes. 1. Biólogos estadounidenses han encontrado que el número de chirridos por minuto emitidos por los grillos de cierta especie están relacionados con la temperatura. La relación es casi lineal. A 68 F, los chirridos son de casi 124 por minuto. A 80 F los chirridos son alrededor de 172 por minuto. a) Determina una ecuación que represente la temperatura Fahrenheit (t) en función del número de chirridos (c) por minuto. b) Si se cuentan los chirridos en sólo 15 segundos, ¿cómo puedes estimar la temperatura? 2. Una fábrica de artículos de belleza disminuyó su producción porque cambiaría de sede en vista del crecimiento de la demanda de sus productos. La siguiente gráfica representa esta situación.
a) ¿En qué mes deja de producir la fábrica? b) ¿Cuántos productos dejó de producir al mes? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación? Justifica tu respuesta. 3. Completa la expresión y x para que su gráfica solamente pase por los cuadrantes II, III y IV del plano cartesiano y contesta las preguntas: a) ¿Existen más posibilidades? b) ¿Cuántas? c) Explica tu respuesta. 4. La expresión y 5x 3, ¿pasa por el cuadrante IV del plano cartesiano? ¿Por qué? 148
Bloque 3 • Representación de la información
25
Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m
bloque 3
L
n
ecció
Las gr ficas de funciones nos sirven para modelar muchas situaciones de la vida cotidiana, de investigaci n cient fica, de experimentos en laboratorios, entre otras.
Leonhard Euler dio la siguiente definición de función: “Una función de una cantidad variable es una expresión analítica, compuesta de alguna manera por esta cantidad variable y números o cantidades constantes”. Según Euler, una función conceptuada, simplemente como una expresión analítica se forma, mediante una clase de operaciones admisibles en la que intervienen operaciones aritméticas, potencias, raíces y soluciones de ecuaciones algebraicas.
1. Considera que en condiciones controladas (en un laboratorio) una sustancia se encuentra a una temperatura de 80 C, pero se requiere bajar de manera constante hasta cero grados en un tiempo de 40 minutos. La gráfica que representa este experimento es la siguiente:
a) ¿Qué temperatura tenía la sustancia después de transcurridos 10 minutos? b) ¿Qué temperatura alcanzó la sustancia cuando el experimento llevaba 30 minutos? Justifica tu respuesta. c) ¿Cuál fue el cambio de temperatura entre 10 y 30 minutos? d) Si divides el cambio producido en Y entre el cambio correspondiente producido en X, ¿cuál es el resultado? Leonhard Euler (1707-1783)
e) ¿Cuál es la ordenada al origen de la recta? f) Con base en estos datos, ¿qué expresión algebraica determina el comportamiento de la temperatura? Compara tus respuestas con las de tu grupo.
Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m • Lección 25
149
2. En una carrera de motocicletas, después de las primeras ocho vueltas en un circuito, un competidor decide mantener una velocidad constante de 75 km por hora hasta terminar la competencia. El circuito tiene una longitud total de 15 km y la competencia consta de 33 vueltas. a) Completa la siguiente tabla: Tiempo (horas)
0
Distancia recorrido
0
2
4
6
300
b) ¿Cuál es la distancia total que debe recorrer el competidor? c) Con los valores obtenidos en la tabla, traza una gráfica en el siguiente plano cartesiano, ¿qué gráfica obtuviste?
d) Escribe una expresión algebraica que represente la situación del competidor. Representa la distancia con la letra d y el tiempo con la letra t. e) ¿Cómo sería la gráfica y cuál sería la expresión algebraica si la velocidad fuera de 100 km por hora? ¿Y si fuera de 150 km por hora? Justifica tu respuesta. f) ¿Qué sucede con la gráfica cuando la velocidad aumenta?, ¿y si disminuye? 3. La siguiente tabla corresponde al desgaste que sufre, durante 15 días, una pieza metálica de alta precisión, la cual forma parte de una máquina ensambladora de componentes para microcirugía. Complétala. Tiempo en días
1
Desgaste en micras
8
2
4
5
7
10
12
13
15
14
4. Elabora la gráfica correspondiente al ejercicio anterior y contesta las preguntas. a) ¿Cuántas micras de desgaste tiene la pieza en cuatro días? b) ¿Cuántas micras de desgaste tiene la pieza en 12 días? c) Indica el resultado de restar las micras de desgaste en cuatro días menos las micras de desgaste en 12 días. d) ¿Cuántos días trascurren en ese intervalo? e) ¿Cuál es el cociente de dividir el incremento en el desgaste entre el incremento en días? f) Grafica los puntos de la tabla y traza la recta. g) Si prolongas la recta, ¿en qué punto corta el eje de las ordenadas? Compara tus resultados con los de tu grupo. 150
Bloque 3 • Representación de la información
5. Reflexiona con tus compañeros y contesta: a) Traza las gráficas de las siguientes funciones: y 3x 5; y x 5; y 6x 5; y 4x 5 b) Cuando la pendiente es mayor que cero, ¿qué tipo de ángulo forma la recta con respecto al eje de las abscisas (eje horizontal), en sentido inverso a las manecillas del reloj? c) Cuando la pendiente es menor que cero, ¿qué tipo de ángulo forma la recta con respecto al eje de las abscisas (eje horizontal), en sentido inverso a las manecillas del reloj? d) ¿Cómo es la gráfica cuando la pendiente toma un valor igual a cero en una recta? e) ¿Cuándo es más grande la pendiente? ¿Cómo es la inclinación de la recta? Explica tu respuesta.
Según la aritmética, si en una fracción aumentamos el valor del numerador, el valor completo de la fracción también aumentará. Por tanto, si en una recta apreciamos un mayor desplazamiento vertical, la inclinación de la recta será mayor. De hecho, un mayor valor de la inclinación equivale a un mayor parecido con una recta vertical y cuanto más cercano a 0 sea la inclinación, mayor será el parecido con una recta horizontal. Además, si la inclinación es positiva, la recta se moverá hacia arriba. Si la inclinación es negativa, la recta experimentará un movimiento hacia abajo (descendente conforme X aumenta). El número m de la ecuación y mx b es la inclinación de la recta, es decir la pendiente. Ésta se calcula tomando dos puntos cualesquiera de la recta, dividiendo el cambio en y (y2 y1) entre el cambio en x (x2 x1), cuyo resultado es un número sin unidades. La definición puede hacerse así: la pendiente es el cociente del incremento vertical entre el desplazamiento horizontal
m
y2 y1 x2 x1
m
62 42 42 2
El parámetro m de la ecuación de una recta puede ser positivo o negativo. Cuando dicho parámetro se acerca a 0, la función se parece más a una recta horizontal. Si la gráfica resultante es una horizontal no hay inclinación, por lo tanto el valor de m es cero y su ecuación se convierte en una de la forma y b, es decir, la función es una constante.
Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m • Lección 25
151
• En parejas realicen la siguiente actividad. 1. Tracen en un plano cartesiano la gráfica de las siguientes funciones. Determinen para cada una el valor de los parámetros m y b. a) y 3x 4 x x4 b) y 2 c) y
4
d) y x 4 e) y 4x 4 f) y 6x 4 2. Con base en sus gráficas contesten: a) ¿Todas las rectas pasan por un punto en común? b) Mientras la inclinación m es mayor, ¿qué pasa con la gráfica? c) Mientras la inclinación m es menor, cercana a 0 o bien menor negativa y grande en valor absoluto, ¿qué pasa con la gráfica? d) ¿Qué pasa con la gráfica si la inclinación es mayor que cero, es decir, positiva? e) ¿Qué pasa con la gráfica si la inclinación de la recta es negativa? Explica tu respuesta. f) ¿Cómo son las inclinaciones de las rectas?, ¿por qué? Comenten sus respuestas con otros equipos.
• Investiga el promedio de veces que pestañea un hombre adulto durante un minuto. Considera que esa relación es constante. Elabora la gráfica correspondiente, determina su pendiente y la ecuación que define el pestañeo del sujeto. • ¿Las mujeres pestañean igual que los hombres? Comenta los datos obtenidos con tu grupo.
152
Bloque 3 • Representación de la información
Tecnología • Con el programa Cabri-géomètre traza una familia de funciones de la forma y mx b, mantén fijo el parámetro b y varía sólo el parámetro m. Para ello, oprime primero el botón Mostrar ejes (
) aparecerán en la pantalla los ejes de un
plano cartesiano. Después, con el botón Recta (
) traza varias rectas con diversas pendientes
que pasen por un punto común que corte el eje de las ordenadas. Con el botón Ecuación y coordenadas (
) marca las ecuaciones de las rectas.
Como podrás observar en la figura 1, todas las rectas pasan por el punto 2.46 y tienen diferentes pendientes positivas y negativas. Recuerda que éste sólo es un ejemplo, los valores deben variar al momento que tú y tus compañeros manipulen el programa sugerido.
a) ¿Qué significa que todas las rectas tengan un punto en común? b) ¿Qué procedimiento debes seguir para cambiar la pendiente de cada recta que trazaste en el programa Cabri-géomètre? c) Después de analizar lo que se puede hacer con las gráficas en un programa de computación, ¿a qué conclusiones llegas al compararlo con tu trabajo en el cuaderno o con el del profesor en el pizarrón? Compara tus respuestas con tus demás compañeros. Gráficas de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m • Lección 25
153
Por tu cuenta 1. ¿Qué tienen en común las siguientes expresiones? a) y 3x 5
b) y 2x 5
c) y x 5
d) y 4x 5
2. ¿Cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas?
3. Elabora la gráfica y determina la ecuación de una recta de pendiente 2 que pasa por el punto (3, 4). 4. Encuentra la pendiente de la recta determinada por el par de puntos (2, 1) y (3, 4). 5. Un tren se desplaza con una velocidad constante de
65 km . h
Elabora la gráfica
correspondiente, determina la pendiente de la recta y escribe su ecuación. 6. Completa la siguiente tabla y, con base en ella, determina la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación de la recta. Después elabora la gráfica correspondiente. x
y
6
24
4
14
2 0
6
2 4 6
36
8 10 12
66
7. Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3, 2) y (4, 1) y traza la gráfica correspondiente. 154
Bloque 3 • Representación de la información
COMPUTACIÓN Desde los primeros pasos de las ciencias de la computación (con el ábaco y las varillas de Napier) hasta su máximo desarrollo con las computadoras personales, las matemáticas han estado presentes. Parte de la motivación para este trabajo era el desarrollar máquinas que computaran, y que pudieran automatizar el tedioso y lleno de errores trabajo de la computación humana. Conforme iba quedando claro que las computadoras podían usarse para más cosas que solamente cálculos matemáticos, el campo de la ciencia de la computación se fue ampliando para estudiar a la computación (informática) en general. Para muchos, las ciencias de la computación guardan una muy estrecha relación con las matemáticas en comparación con otras disciplinas científicas. La ciencia computacional estuvo influida por el trabajo de matemáticos de la talla de Kurt Gödel y Alan Turing, y a la fecha sigue habiendo un intercambio de ideas útil entre ambos campos
Conexiones • Bloque 3
155
¿Qué aprendí?
¡Muy bien! Ahora que hemos terminado el tercer bloque de este curso de matemáticas revisaremos lo aprendido. Aplica tus conocimientos. 1. ¿Cuál es el décimo término de la siguiente sucesión? 5 7
,
1 21
, 13 , 21
9 7
,…
2. En el siguiente triángulo escaleno el ángulo más pequeño es la tercera parte del mayor y la mitad del mediano. Calcula la medida de sus ángulos.
3. En un expendio de café se cuenta con granos de dos clases: de Veracruz, que cuesta $105 por kilogramo, y de Chiapas, con un precio de $125 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase para obtener una mezcla de $120 el kilogramo, si de la clase Chiapas se han tomado 20 kg más que de la clase Veracruz? 4. ¿Cuál es polígono cuya suma de sus ángulos internos es 3 240? 5. ¿se puede hacer una teselación con pentágonos regulares ?, ¿por qué?
6. Describe el procedimiento para elaborar una teselación como la siguiente:
156
7. Un automóvil gasta gasolina a razón de 15 km por litro. Representa esta situación mediante una expresión algebraica. 8. ¿En qué punto la gráfica y 2x 8 corta el eje de las ordenadas? Dibuja la gráfica. 9. Si en una función de la forma y mx b, el parámetro b es cero, ¿qué puedes decir de la recta? 10. ¿Cuál es el valor del parámetro b en la siguiente gráfica?
11. La siguiente tabla corresponde al consumo de energía de un equipo de calefacción. Complétala y encuentra la expresión algebraica que modela esta situación.
Tiempo (horas)
0
Consumo (watts)
80
4
110
10
170
200
14
16
18
20
260
12. ¿Cuál es el valor del parámetro m de la ecuación anterior? 13. Un estanque con capacidad de 3 600 litros se llena con una llave a razón de 25 litros por minuto; si la bomba de abastecimiento de agua se abre a las 13:00 horas, con el tanque lleno a una cuarta parte de su capacidad, ¿a qué hora llega al 90% de su capacidad? Representa la situación con una gráfica.
¿Qué aprendí? • Bloque 3
157
Bloque 4 i z d a n j e e s r p A
esperados
Al terminar el estudio de este bloque podrás: 1. Resolver problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. 2. Resolver problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos. 3. Interpretar y relacionar la información proporcionada por dos o más gráficas de línea que representan diferentes características de un fenómeno o situación. 4. Resolver problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos independientes. 5. Relacionar adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta.
Opera House, Sydney, Australia 158
P
ra a
empezar…
En 1726 Jonathan Swift publicó su obra Los viajes de Gulliver, en la que aparecen enanos y gigantes. Pero, ¿es posible que existieran los gigantes? Un argumento matemático muestra que las propiedades de resistencia de los materiales, en particular de los huesos, no son proporcionales al tamaño. Por lo tanto los gigantes no podrían existir, pues sus esqueletos no podrían soportarlos. ¿Y entonces por qué sí hubo dinosaurios que fueron enormes?
159
4 En este proyecto explorarás algunas propiedades de las rectas y los puntos notables en un triángulo. Para ello, sigue las instrucciones.
X Por medio de trazos geométricos ubica el centro de gravedad de un triángulo.
Lo qué necesitas: - Dos octavos de p apel ilustración - Un metro de hilo cáñamo - Una aguja - Juego de geome tría
1. En el papel ilustración dibuja cualquier triángulo. 2. Une el punto medio de cada lado del triángulo con el vértice opuesto. Después, recorta el triángulo. Estas rectas se llaman medianas del triángulo. • ¿Cuántos triángulos diferentes se forman? • ¿Cuántas parejas de triángulos iguales se formaron? • ¿Cómo podrías justificar que los triángulos de dichas parejas efectivamente son iguales?
3. Marca el punto donde coinciden las tres rectas; pasa el hilo con la aguja por ese punto y haz un nudo del otro lado para que no se salga.
4. En otro triángulo, repite el mismo procedimiento que realizaste con el triángulo anterior, pero en vez de medianas, traza las bisectrices.
a) Al sostener cada triángulo por el extremo del hilo que no tiene nudo, ¿cuál de los dos crees que se mantenga en equilibrio? Compruébalo. b) ¿Qué características tiene el punto de equilibrio de un triángulo? c) Prueba el punto de equilibrio apoyando el triángulo en uno de tus dedos.
160
Proyecto 4
Nudo
•ª ¿Qué utilidad le puedes dar a lo que acabas de aprender? • ¿En qué otra asignatura lo puedes utilizar?
26
Potenciación y notación científica
bloque 4
L
n
ecció
Por lo general, los cient ficos trabajan con n meros muy grandes o muy peque os, como las distancias a las estrellas o las dimensiones de organismos microsc picos, respectivamente. Para expresar esas distancias deben emplear las potencias.
Nuestra galaxia, llamada Vía Láctea, está compuesta por unos 100 000 millones de estrellas que giran alrededor de un centro común. Dentro de la Vía Láctea se encuentra el Sol, el cual está situado a unos 30 000 años luz de su centro y viaja a una velocidad de unos 210 km/s, por lo que completa una revolución entera cada 200 millones de años.
Centro de la Vía Láctea
Juan está investigando sobre su árbol genealógico. Para esto, tiene que recolectar el nombre de sus padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos, etc... Está claro que cada uno de ellos tiene un padre y una madre. Observa el árbol genealógico que ha dibujado Juan, completa la tabla de abajo y contesta las preguntas que le siguen.
Generación
Miembros de esa generación
Antecesores en la generación anterior
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
20 1 21 2
21 2
8
• Dados los miembros de una generación ¿cómo obtienes el número de miembros de la generación anterior? • Dados los miembros de alguna generación ¿cómo encuentran el número de miembros de tres generaciones atrás? • ¿Cuántos antecesores tiene Juan, que pertenecen a 10 generaciones atrás? • ¿Cuál de las siguientes igualdades es la correcta? 24 23 27 24 23 27 24 23 212 Compara tus respuestas con las de tus compañeras y compañeros. Potenciación y notación científica • Lección 26
161
3. Observa las siguientes operaciones y contesta las preguntas. 21 22 2 4 8 23
22 23 4 8 32 25
23 24 8 16 128 27
a) ¿Cuál es el resultado de 23?, ¿y de 24? b) ¿Cuál es el resultado de 23 x 24? c) ¿Cómo se expresó en potencia el resultado de 23 24? ¿Qué relación observas entre los exponentes de los factores y el exponente del producto?, ¿sucede lo mismo en las demás operaciones? d) ¿Cuál es el resultado de 31 32? Exprésalo como una potencia. e) Escribe los exponentes que hagan correcta la siguiente operación: 4 4 64 256 4 4. Observa la operación. 56 555555 54 5555
a) ¿Cuál es el resultado de 56?, ¿y de 54? ¿Qué resultado obtienes al dividirlos? Exprésalo con una potencia. b) ¿Qué operación debes realizar con los exponentes para que resulte el exponente de la potencia que obtuviste en el inciso anterior? c) Escribe los exponentes que hagan correcta cada una de las siguiente operaciones: 6 6
666 666
6
7 7
77777 7777
7
d) ¿Qué significa cuando el exponente es cero?, ¿y cuando es 1? Compara tus respuestas con las de tu grupo. 5. Observa la siguiente operación. 84 8x8x8x8 1 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 8 82 86
a) ¿Cuántas veces se repite como factor el 8 en el numerador?, ¿y cuántas veces en el denominador? b) Si la diferencia de los exponentes es 2, ¿qué significa que sea negativo? 6. De acuerdo con la operación 5 5 5 5 5 5, ¿cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes a ella?, ¿por qué? Subráyalas. 53 53
53 52
52 52 52
a) Las potencias (52)3 y (53)2 corresponden a las siguientes operaciones. Anota, después del signo igual, la que corresponda a cada una. 53 53
52 52 52
b) ¿Cuál es el resultado de cada una de las potencias anteriores? 162
Bloque 4 • Significado y uso de las operaciones
El producto 16 384 tiene todos sus factores iguales 4 4 4 4 4 4 4 ; se puede indicar en forma abreviada así: 47. El factor 4 se llama base y el 7, que es el número de veces que se repite el factor, se llama exponente. 4 4 4 4 4 4 4 47 16 384
a a a a a a a a7
El producto de dos o más potencias con la misma base es otra potencia que tiene la misma base, y su exponente es la suma de los exponentes de los factores. 54 56 510
am an am+n
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base, y su exponente es la diferencia de los exponentes. 65 62
6
5–2
am an
6
3
am–n
Todo número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a 1. 40 1
a0 1
Todo número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número. 71 7
a1 a
Todo número elevado a una potencia con exponente negativo es igual al cociente de la unidad entre la potencia con exponente positivo. 3–2
1 32
a–m
1 am
La potencia de una potencia es igual a otra potencia que tiene la misma base, y el exponente es el producto de los exponentes. (43)2 43 2 46
(ab)c ab c
Potenciación y notación científica • Lección 26
163
1. Formen equipos de tres integrantes. En la siguiente tabla observen las potencias positivas y negativas de 10. Complétenla y contesten las preguntas.
Desarrollo
Desarrollo
Resultado
105
1 10 10 10 10 10
100 000
104
1 10 10 10 10 1 000
103 1 10 10
100
101
1 10
10
100
1
1
10–1
1 101
1 10
10–2
1 102
1
10–3
1 103
10–4
1 104
10–5
1 105
10 10
1 10 10 10 10
a) ¿Cuál es el resultado de 104?, ¿y de 10–4? b) ¿Cuál es el resultado de 1010?, ¿y de 10–10? c) ¿Cómo escribirían el número 1 000 000 000 000 000 utilizando una potencia de 10?, ¿y el número 0.00000000000000001?, ¿por qué? d) ¿Por qué número tienen que multiplicar el 25 para obtener 25 000 000?, ¿cómo lo escribirían con una potencia de 10? e) ¿Por qué número tienes que multiplicar el 14 para obtener 0.00000000014?, ¿cómo lo escribirías con una potencia de 10? f) Si quieren obtener 345 000 000 000, ¿qué potencia de 10 tienen que multiplicar por 345?, ¿y por 34.5?, ¿y por 3.45? g) Si quieren obtener 0.00000000287, ¿qué potencia de 10 tienen que multiplicar por 287?, ¿y por 28.7?, ¿y por 2.87? Comparen sus respuestas con los otros equipos. 164
Bloque 4 • Significado y uso de las operaciones
2. La siguiente lista corresponde a la masa de algunos planetas del Sistema Solar: Urano: 86 700 000 000 000 000 000 000 000 kg Saturno: 569 000 000 000 000 000 000 000 000 kg Tierra: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg Neptuno: 102 900 000 000 000 000 000 000 000 kg a) Ordenen los planetas de mayor a menor con respecto a su masa. b) Escriban en notación científica la masa de cada uno de los planetas anteriores. Exprésenlas en kilogramos y en gramos. c) ¿Qué sucede con el exponente de 10 cuando cambian de kilogramos a gramos? Comparen sus respuestas con las de otros equipos.
La notación científica es muy útil para expresar números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, el número 3 548 000 000 000 es más práctico expresarlo en notación científica como 3.548 1012. El número 0.000000000000000000055491 es muy pequeño, por lo que es más práctico escribirlo en notación científica como 5.5491 10–20. Expresar un número en notación científica consiste en escribirlo como el producto de un número comprendido entre 1 y 10 por una potencia de 10 con exponente entero. 3 548 000 000 000 = 3.548 1012
Se deja una sola cifra entera que se multiplica por una potencia de 10.
0.000000000000000000055491 = 5.5491 10–20
El orden de magnitud es la potencia de 10.
Cuando el número que se representa en notación científica es menor que 1, la potencia de 10 se expresa con exponente negativo.
En astronomía, y particularmente en el estudio del Sistema Solar, hay relaciones interesantes en las que se emplea la notación científica para poder expresarlas de una manera más sencilla. Investiga las siguientes y compártelas con tus compañeros y compañeras. • ¿Cuál es el diámetro del Sol, de la Tierra, de la Luna? Exprésalos en notación científica. • ¿Cuál es el valor de la velocidad de la luz? ¿Para que se emplea el año luz y a cuánto equivale?
Potenciación y notación científica • Lección 26
165
Tecnología En esta actividad vas a utilizar una calculadora científica, es decir, una que tenga la tecla para exponentes (
xy
) y la que permite multiplicar números por potencias de 10 ( EXP ).
a) ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir en forma de potencia utilizando sólo tres 7? Ingresa los números a la calculadora utilizando la tecla xy . ¿Qué observas? Escribe el resultado que aparece en la pantalla de la calculadora. b) Oprime la siguiente secuencia de teclas. ¿Qué número aparece en la pantalla de la calculadora?, ¿por qué? 1
.
3
7
EXP
6
c) ¿Qué secuencia de teclas debes oprimir para que en la pantalla de la calculadora aparezca 3280000000?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Por tu cuenta 1. Se tienen los factores 4 4 4 4 4 4 4 4 cuyo producto es: a) Escríbelo en forma de potencia y señala cuál es la base y cuál el exponente. 2. En una papelería hay 12 cajas que a su vez tienen 12 cajas pequeñas con 12 lápices cada una. Expresa la cantidad de lápices con una potencia. ¿Cuántos lápices hay en total? 3. Realiza las siguientes operaciones con potencias. a) 84 83 82
b) (52)5
e) 23 33
f)
(42)6 (4–2)–2
c) 47 4–2 g)
54 54
d) (7–2) –1 h)
27 211
4. La distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros, aproximadamente, y de la Tierra a la Luna es de unos 400 000 kilómetros. Expresa esas cantidades en notación científica. También indica cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al Sol que de la Tierra a la Luna. 5. Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas. a) Masa de la Luna: 7.34 1023 kg b) Tamaño del virus de la gripe: 1.2 10–5 m 166
Bloque 4 • Significado y uso de las operaciones
27
Congruencia de triángulos
bloque 4
L
n
ecció
En nuestro entorno existen construcciones, objetos, obras de arte o dise os publicitarios, en los que podemos observar figuras iguales en forma y tama o a las que se les conoce como figuras congruentes. 1. Construye un triángulo de acuerdo con cada una de las condiciones que se proponen. Dentro de Los elementos de Euclides (300 a.n.e), en el “Libro I” se encuentran 48 proposiciones que tratan sobre, los fundamentos de la geometría y la Teoría de los triángulos, paralelas y el área. Las primeras 26 proposiciones de este libro estudian las propiedades de los triángulos. Específicamente las proposiciones 4, 8 y 26 establecen los criterios sobre los distintos casos de congruencia de triángulos.
a) En el primer triángulo dos de sus lados deberán medir lo mismo que los siguientes segmentos: 6 cm 4 cm
b) En el segundo triángulo, sus lados tendrán las dimensiones de los siguientes segmentos: 7 cm 5 cm 3 cm
2. Con base en los triángulos que trazaste contesta las preguntas:
Primera Edición en español de Los Elementos, 1576
a) ¿Cuánto mide el tercer lado del primer triángulo que construiste? b) Compara con tu grupo el primer triángulo que trazaste. En los triángulos que construyeron tus compañeros, ¿el tercer lado mide lo mismo que el tercer lado de tu triángulo? c) Compara con tu grupo el segundo triángulo que trazaste, ¿todos construyeron el mismo triángulo? d) Si las medidas de los lados de dos triángulos son iguales, ¿puedes afirmar que los dos son iguales sin conocer las medidas de sus ángulos? Justifica tu respuesta. e) Si las medidas de los ángulos de dos triángulos son iguales, ¿puedes afirmar que los dos son iguales sin conocer las medidas de sus lados? Explica tu respuesta. Compara tus respuestas con tu grupo.
Congruencia de triángulos • Lección 27
167
1. Formen equipos de cuatro integrantes y construyan un primer triángulo de manera que uno de sus lados mida 10 cm, otro 15 cm y el ángulo comprendido entre ellos sea de 30. 2. Construyan un segundo triángulo de manera que uno de sus ángulos mida 70, otro 30 y que el lado comprendido entre ellos mida 6 cm. a) ¿Cuánto mide el tercer lado del primer triángulo que construyeron, ¿cuánto miden los otros dos ángulos? b) Comparen sus trazos con los de los demás equipos, ¿construyeron todos los mismos triángulos? Expliquen su respuesta. c) Con las condiciones dadas para el primer triángulo, ¿cuántos triángulos distintos se pueden construir? e) Con las condiciones dadas para el segundo triángulo. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir? f) Si dos triángulos tienen las mismas medidas en dos de sus lados y el mismo ángulo comprendido entre ellos, ¿pueden afirmar que son iguales sin conocer la medida del tercer lado y de los otros dos ángulos? g) Si dos triángulos tienen las mismas medidas en dos de sus ángulos y el lado común a dichos ángulos mide lo mismo, ¿pueden afirmar que son iguales sin conocer la medida del tercer ángulo y la medida de los otros dos lados? Comparen sus respuestas con otros equipos.
Para establecer la congruencia entre dos triángulos rectángulos existen casos especiales. Con ayuda de tu profesor, indaga los criterios de congruencia que se utilizan en los triángulos rectángulos: • Cuándo se trata de dos triángulos rectángulos, ¿de qué elemento tenemos la certeza de que existe igualdad? Argumenta tu respuesta. • Enuncia los casos especiales de congruencia que se establecen para triángulos rectángulos.
168
Bloque 4 • Formas geométricas
Dos figuras son congruentes si al colocar una sobre otra todos sus puntos coinciden, es decir, si tienen la misma forma y tamaño. El símbolo de congruencia es ≅.
Criterio LLL (lado-lado-lado) Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Si C
D
E
AB DE BC EF
A
CA FD
B
F
Entonces: ΔABC ≅ ΔDEF
Criterio LAL (lado-ángulo-lado)
Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales a dos lados de otro triángulo y al ángulo comprendido entre ellos, entonces los dos triángulos son congruentes. C Si AB DE A
B
D
E
AC DF
∠BAC ∠EDF Entonces: ΔABC ≅ ΔDEF
F
Criterio ALA (ángulo-lado-ángulo) Si un lado de un triángulo y los ángulos adyacentes a él son respectivamente iguales al lado de otro triángulo y a los ángulos adyacentes a él, entonces los dos triángulos son congruentes. C
Si
B
AB DE
D
∠BAC ∠EDF
A F
E
∠ABC ∠DEF Entonces: ΔABC ≅ ΔDEF
Congruencia de triángulos • Lección 27
169
Tecnología Con el programa Cabri-géomètre explorarás la congruencia que existe entre los triángulos que se forman al trazar las diagonales de un paralelogramo. 1. Sigue la secuencia: a) Traza el segmento AB. Después, con centro en A construye una circunferencia cuyo radio no sea mayor al segmento.
A
b) Traza un radio de la circunferencia cuyos extremos sean A y C. Luego, traza una paralela al segmento AB que pase por C. C
B
A
c) Con Compás traza una circunferencia con centro en C y radio AB. Llama D al punto donde la circunferencia corte a la recta paralela. Une con Segmento los puntos. C
D
B
d) Oculta la recta paralela y las circunferencias. Traza las diagonales del paralelogramo y llama E al punto donde se cortan. Con el puntero mueve los puntos B y C para modificar el paralelogramo. C
A
D
B A
B
2. Contesta las preguntas: a) ¿Cuántos triángulos se forman en el paralelogramo? b) De los triángulos que se forman, ¿cuáles son congruentes? c) ¿Qué criterios de congruencia aplicas para afirmar la congruencia de triángulos? Explica tus respuestas. d) Para confirmar tus respuestas mide los lados y los ángulos de cada uno de los triángulos que se forman. e) Con base en lo realizado, ¿puedes afirmar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio? Justifica tu respuesta. Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Por tu cuenta 1. Con la información que se te proporciona determina en cada uno de los siguientes ejercicios si los triángulos son congruentes. Justifica tu respuesta. a) AD es bisectriz de los ángulos CAB y BDC.
b) El triángulo ABD es isósceles, y AC es bisectriz del ángulo DAB.
c) AB //DE, y C es el punto medio de BD.
A
A
B
D
C
C A
D
B
170
Bloque 4 • Formas geométricas
C
B
D
E
28
bloque 4
n
L
Puntos y rectas notables en un triángulo
ecció
El tri ngulo es una de las figuras geom tricas m s interesantes ya que tiene una gran cantidad de propiedades, entre ellas las que se refieren a las rectas y puntos que se forman con respecto a sus lados y a sus ngulos, las cuales han servido de base para el desarrollo de conceptos en geometr a. 1. Observa los siguientes cuatro triángulos iguales en los que se ha dibujado una línea de color diferente. El triángulo es una figura fundamental en el desarrollo de la industria y la construcción, debido a que una de sus características principales es la estabilidad. Esto significa que si a una estructura en forma de triángulo se le aplica una fuerza en uno de sus vértices no se deforma, lo cual no sucede con otras figuras.
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
a) b) c) d)
Plataforma Tramos de varillaje Polea y gancho móvil Manguera de inyección de lodo Mesa de rotación Tanque de lodo
Fig. 1
Controlador de erupción
Esquema de un pozo petrolero cuya construcción se basa en triángulos
¿Qué características observas en la recta de la figura 1? ¿Cuáles características notas en la recta de la figura 2? ¿Qué observas en la recta de la figura 3? ¿Y en la recta de la figura 4?
2. Con base en lo que observaste, ¿cuál de las siguientes afirmaciones corresponde a cada una de las rectas anteriores? I. Recta que divide un ángulo en dos iguales. II. Recta que pasa por un vértice del triángulo y el punto medio de su lado opuesto. III. Recta que pasa por un vértice del triángulo y es perpendicular a su lado opuesto. IV. Recta perpendicular que pasa por el punto medio de un lado del triángulo. 3. ¿Cuál es el nombre de cada una de las rectas antes descritas? Comenta tus respuestas con tus compañeros. Puntos y rectas notables en un triángulo • Lección 28
171
4. Observa las siguientes construcciones geométricas y realiza lo que se te pide. a) En el siguiente triángulo se trazaron las mediatrices de dos de sus lados. O
A
B C
¿La tercera mediatriz del triángulo pasará por el punto O? ¿Sucederá lo mismo en cualquier tipo de triángulo? Verifícalo trazando las mediatrices de distintos tipos de triángulo y con base en ello, argumenta una propiedad de las mediatrices. b) En el siguiente triángulo JKL se trazaron las bisectrices de dos de sus ángulos.
K
L
J
¿La tercera bisectriz pasará por la intersección de las otras bisectrices? ¿Sucederá lo mismo en cualquier tipo de triángulo? Verifícalo trazando las bisectrices de otros triángulos y con base en ello, argumenta una propiedad de las bisectrices. c) En los triángulos de abajo se trazaron dos medianas y dos alturas, respectivamente. Si se traza la tercera mediana y la tercera altura, ¿pasarán por el punto en donde se cortan las anteriores? Argumenta tu respuesta y verifícalo con otros triángulos. M
P
T R Q N
172
Bloque 4 • Formas geométricas
Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de sus lados (o sus prolongaciones) trazadas desde el vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares que pasan por el punto medio de cada uno de sus lados. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita en un triángulo.
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que bisectan cada uno en sus ángulos internos. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, el cual es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo.
Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.
Explora o consulta algún texto de matemáticas: • ¿Cuál es el radio que debe tomarse al trazar la circunferencia circunscrita a un triángulo? • ¿Cuál es el radio que debe tomarse al trazar la circunferencia inscrita a un triángulo? • ¿En qué tipo de triángulo coinciden el incentro, circuncentro, ortocentro y bariocentro o algunos de ellos? Justifica tus respuestas. Puntos y rectas notables en un triángulo • Lección 28
173
Reúnanse en equipos de cuatro integrantes. Lean las siguientes afirmaciones; y contesten las preguntas. 1. Cualquiera de las alturas de un triángulo siempre es menor que uno de sus lados. a) ¿Es cierto o falso? b) Realicen varios trazos para comprobar su respuesta. c) Escriban un argumento para convencer al resto de su grupo. d) ¿Cualquiera de las alturas de un triángulo siempre es menor que los lados no perpendiculares a ella? 2. En un triángulo rectángulo, el ortocentro siempre está en el vértice del ángulo recto. a) ¿Es cierto o falso? b) Realicen varios trazos para comprobar su respuesta. c) Escriban un argumento para convencer al resto de su grupo. d) ¿Dos de las alturas son perpendiculares? 3. En un triángulo obtusángulo, el ortocentro se encuentra en el interior del triángulo. a) ¿Es cierto o falso? b) Realicen varios trazos para comprobar su respuesta. c) Escriban un argumento para convencer al resto de su grupo. d) ¿Sucede lo mismo en un triángulo acutángulo ? 4. La altura de cualquier triángulo siempre es menor que la mediana que corresponde al mismo lado. a) ¿Es cierto o falso? b) Realicen varios trazos para comprobar su respuesta. c) Escriban un argumento para convencer al resto de su grupo. d) ¿Sucede lo mismo con la bisectriz? 5. ¿En cuál de los siguientes triángulos coinciden las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices? Argumenten su respuesta.
b)
a)
174
Bloque 4 • Formas geométricas
c)
Tecnología Por medio del programa Cabri-géomètre explora una de las relaciones que existen entre los puntos notables de un triángulo, llamada La recta de Euler. 1. Sigue la secuencia. a) Con Triángulo construye cualquier triángulo y con Recta perpendicular traza sus alturas.
c) Con Mediatriz traza las mediatrices del triángulo.
b) Con Punto medio y Recta traza las medianas del triángulo.
d) Con Punto marca el ortocentro, el baricentro y el circuncentro. Con ¿Alineados?, verifica si los tres puntos están alineados; traza una recta que pase por ellos.
La recta que acabas de trazar es la Recta de Euler. 2. Realiza lo que se pide y contesta las preguntas. a) b) c) d)
Con Puntero mueve los vértices del triángulo y observa lo que sucede. ¿Los puntos siguen alineados a pesar de manipular el triángulo? Con base en la construcción que realizaste, describe las características de la Recta de Euler. ¿En qué tipo de triángulo la Recta de Euler coincide con una altura y una mediatriz?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Puntos y rectas notables en un triángulo • Lección 28
175
Por tu cuenta 1. Traza las alturas, mediatrices, medianas y bisectrices en los triángulos.
2. Encuentra el centro de los círculos.
3. Comprueba que en un triángulo la distancia de cada vértice al baricentro es vértice al punto medio del lado opuesto.
2 3
de la distancia del
4. ¿En qué punto debes colocar un balón de futbol para que esté a la misma distancia de los tres jugadores?
176
Bloque 4 • Formas geométricas
29
Probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes
bloque 4
L
n
ecció
El c lculo de probabilidades puede ayudar en la toma de decisiones. Por ejemplo, si el reporte del clima indica que hay 75% de probabilidad de que llueva, tal vez decidas salir con un paraguas. 1. Se va a realizar una rifa con 300 boletos que han sido numerados del 1 al 300. Todos los boletos se vendieron, y el ganador será el primero que se extraiga de una urna.
La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo, saber cuántos dados hay que lanzar para que la probabilidad de que salga algún seis supere el 50%.
a) Si Ricardo compró un boleto, ¿qué posibilidades tiene de ganar el premio? Escribe tu respuesta como fracción. b) ¿Cuál es la probabilidad de que Sonia gane el premio si compró cinco boletos? 1 c) Si Óscar comentó a sus amigos que tenía 30 de probabilidad de ganar el premio, ¿cuántos boletos compró? d) Bertha y Lety querían saber quién de las dos tenía más posibilidades de ganar el premio. Bertha compró los boletos 69, 70, 71, 72 y 73, en tanto que Lety compró los boletos 20, 40, 60, 80 y 100. ¿Quién tiene más oportunidades de ganar?, ¿por qué? e) El día del sorteo Óscar se enteró de que la última cifra del boleto ganador era 0. Si la mitad de los boletos de Óscar terminan en cero, ¿tiene más posibilidades que Lety de ganar el premio? Justifica tu respuesta. Compara tus respuestas con las de tu grupo.
Probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes • Lección 29
177
2. Karen y Diego juegan a girar una ruleta y a lanzar un dado.
a) Completa la siguiente tabla que muestra todos los resultados posibles del juego. Dado 1
2
3
4
5
6
Ruleta
1
1, 1
1, 3
2
3
2, 6
3, 1
b) ¿Qué probabilidad hay de que salga 1 tanto en la ruleta como en el dado? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no salga 1 en el dado ni en la ruleta? d) ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1 en el dado o en la ruleta? Justifica tu respuesta. e) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el mismo número en el dado y en la ruleta? f) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma del número de la ruleta y del dado sea mayor que 8? g) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto del número de la ruleta y del dado sea igual a 0? h) ¿Cuál es la probabilidad de que al dividir el número del dado entre el de la ruleta, dé como resultado un número natural? Justifica tu respuesta. i) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta caiga en número impar y el dado en par? Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 178
Bloque 4 • Análisis de la información
3. Luis organizó un juego con una ruleta y una moneda. En cada turno, giraba la ruleta una vez y enseguida arrojaba, también una vez, la moneda. Por ejemplo, un posible resultado es azul, águila.
a) En tu cuaderno realiza un diagrama de árbol para encontrar todos los posibles resultados del juego. b) ¿Todos los resultados son igualmente probables? Justifica tu respuesta. c) ¿Cuál es la probabilidad de que al girar la ruleta y lanzar la moneda al mismo tiempo, se obtenga color verde y sol? d) Si registras por separado la probabilidad de cada evento, ¿cuál es la probabilidad de que la ruleta caiga en verde?, ¿y cuál la probabilidad de que la moneda caiga en sol? ¿Qué relación observas entre estos resultados y el que obtuviste en el inciso anterior? Explica tu respuesta. e) ¿Cuál es la probabilidad de que al girar la ruleta y lanzar la moneda al mismo tiempo se obtenga rojo, águila? 4. La bolsa de Alfonso contiene tres bolas negras, dos bolas rojas y cinco bolas blancas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Alfonso saque una bola roja sin volverla a meter a la bolsa? ¿La probabilidad de sacar otra bola roja es la misma o cambia? Explica tu respuesta. b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero una bola negra y despues una roja, regresando la primera antes de realizar la segunda extracción? c) Si en el caso anterior Alfonso no hubiera regresado la bola de la primera extracción, ¿la probabilidad del evento sería la misma?, ¿por qué? d) ¿El extraer una bola y no regresarla a la bolsa afecta las probabilidades de las siguientes extracciones? Explica tu respuesta. e) ¿Consideras que al sacar una bola y después sacar otra sin regresar la primera a la bolsa son eventos independientes o no independientes? Comenta tus respuestas con tu grupo.
Probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes • Lección 29
179
Si todos los resultados de un experimento son igualmente probables, se usa la siguiente razón para encontrar la probabilidad clásica de un evento: Probabilidad clásica
número de resultados de un evento (casos favorables) número total de posibles resultados (casos posibles)
Si el resultado de un evento no afecta ni es afectado por el de otro evento, se dice que los dos eventos son independientes. Probabilidad de eventos independientes:
Si se lanzan simultáneamente un dado y una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4? Probabilidad = (probabilidad del primer evento) (probabilidad del segundo evento). P=
1 6
P=
1 12
1 2
En México, la Lotería Nacional para la Asistencia Pública se encarga de efectuar diversos sorteos en los que interviene la probabilidad. Indaga lo siguiente: • ¿Qué es un billete o un cachito?, ¿qué es una serie? • ¿Cuántos números se emiten para efectuar un sorteo? • ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio mayor si compras una serie?, ¿y cuál si compras un cachito? • Comenta tu respuesta y menciona la diferencia de comprar uno u otro.
180
Bloque 4 • Análisis de la información
• En parejas analicen la siguiente actividad. Adriana invitó a sus amigos y amigas a jugar La ruleta del dinero. El juego consiste en girar una ruleta que ella diseñó dividiendo un círculo en varias partes en las que escribió cierta cantidad de dinero. En una parte de la ruleta escribió la palabra bancarrota; si un jugador cae en ella, pierde su turno y todo su dinero. La ruleta de Adriana quedó de la siguiente manera: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador que gira la ruleta una vez, caiga en bancarrota? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al girar la ruleta un jugador obtenga $500 o más? c) Mariana giró la ruleta y obtuvo $350, ¿cuál es la probabilidad de que en su próximo turno obtenga la misma cantidad? Justifiquen su respuesta. d) ¿Cuál es la probabilidad de que al girar la ruleta se obtenga una cantidad igual o inferior a $400? Expliquen su respuesta. e) Si se cambia la cantidad de 250 por 400, ¿qué probabilidad hay de que al girar la ruleta caiga en 400? Justifiquen su respuesta. Comparen sus respuestas con los demás equipos.
Tecnología 1. En una hoja de cálculo electrónica como la que se muestra, obtén la probabilidad de que al lanzar simultáneamente un dado y una moneda, caiga sol y un número par. a) ¿Qué número debes introducir en las celdas A3 y B3? b) En la celda B5 escribe una fórmula para obtener la probabilidad del evento de que caiga sol y un número par. ¿Qué resultado obtuviste? c) Si vas a obtener la probabilidad del evento de que caiga número mayor que 2 y águila, ¿cuáles valores tienes que modificar?, ¿por qué? ¿Qué probabilidad obtuviste? Comenta tus respuestas con tus compañeros.
Probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes • Lección 29
181
Por tu cuenta 1. Si se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ha caído águila, ¿cuál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga águila? 2. Una ruleta está dividida en seis partes, cada una etiquetada con un número entre 1 y 10. La probabilidad clásica de que al lanzar un dardo caiga en un número menor que 8 es 1. La probabilidad 1 1 de que caiga en un múltiplo de 3 es 3 ; de que caiga en un múltiplo de 4 es 6 ; y de que 2 caiga en un número impar es 3 . Dibuja la ruleta y compárala con la de tus compañeros. 3. ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener sólo águilas o sólo soles cuando se lanza una moneda tres veces? ¿Y cuando se lanza cuatro veces? ¿Cuando se lanza cinco veces?, ¿y cuando se lanza 50 veces? 4. Se meten en una urna nueve canicas: dos negras, tres azules y cuatro rojas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una canica se extraiga una azul? b) Si la canica que se extrajo se vuelve a introducir a la urna para extraer otra, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?, ¿y de que sea negra? 5. Los maestros de una escuela secundaria encuestaron a los estudiantes de segundo grado para saber cuáles son sus pasatiempos. Una de las preguntas fue: ¿cuánto te interesan los videojuegos? Las siguientes gráficas de barras muestran los resultados correspondientes a 44 niñas y 42 niños. Interés en los videojuegos
a) Según los resultados de la encuesta, ¿cuál es la probabilidad de que una niña afirme que le interesan mucho los videojuegos? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño afirme que le gustan poco los videojuegos? b) Con base en los resultados de la encuesta, ¿cuál es la probabilidad de que a un estudiante (niño y niña) no le gusten los videojuegos? 182
Bloque 4 • Análisis de la información
30
Gráficas comparativas
bloque 4
L
n
ecció
Existen fen menos que se pueden relacionar y analizar mediante la interpretaci n de gr ficas; estas relaciones pueden ser un comparativo entre dos informaciones que dependen una de otra.
En los antiguos monumentos egipcios se encontraron interesantes documentos que muestran la sabia organización y administración de este pueblo; por ejemplo, la cuenta de los movimientos poblacionales y la continua elaboración de censos. Tal era su dedicación por llevar siempre una relación de todo que hasta tenían una diosa llamada Seshat, relacionada con los libros y las cuentas.
1. La siguiente gráfica muestra la producción nacional de aguacate en el año 2001 y los precios por tonelada que se pagaron a los productores.
Fuente: SAGARPA, Servicio de Información y Estadística Agroalimentaria y Pesquera
Diosa Seshat
a) De acuerdo con la gráfica, ¿disminuye o aumenta el precio cuando hay mayor producción? b) ¿En qué mes hay una recuperación del precio pagado al productor? c) ¿En qué mes la producción de aguacate alcanzó su punto más alto? d) ¿En qué mes la producción alcanzó su punto más bajo? e) ¿Durante qué meses hay mayor producción de aguacate? f) ¿Qué relación existe entre el precio pagado al productor y la producción de aguacate? Explica tu respuesta. Comenta tus respuestas con tu grupo. Gráficas comparativas • Lección 30
183
2. En las siguientes gráficas se comparan la producción de guayaba de 2001 y la precipitación pluvial media mensual del mismo año.
Fuente: SAGARPA, Servicio de Información y Estadística Agroalimentaria y Pesquera.
Fuente: SEMARNAT. CNA. Estadísticas del Agua en México, 2005. México, D.F., 2005.
a) ¿Qué relación tienen las dos gráficas? Explica tu respuesta. b) ¿En qué meses es más propicia la producción de guayaba? c) ¿En qué meses es menor la producción de guayaba? d) ¿Crees que en la producción de guayaba influye la lluvia?, ¿por qué? e) ¿Si lloviera todo el año la producción de guayaba aumentaría? Justifica tu respuesta. 184
Bloque 4 • Representación de la información
Los periódicos contienen mucha información en tablas y gráficas comparativas que superponen varios datos, pero es preciso observar con atención qué tipo de representaciones son y a qué se refieren. Un ejemplo de esto son las informaciones estadísticas después de una consulta electoral, en que la distribución de votos y las gráficas comparativas de los aumentos y disminuciones de los diferentes partidos políticos, presentan muy claras visualizaciones de la distribución del poder político. En la siguiente gráfica se muestra la disminución de la preferencia electoral que tuvo el PRI desde 1991 hasta el 2003. En cuanto al PAN, se muestra el aumento en la preferencia electoral con una tendencia similar entre 1994 y 1997. Si vemos las gráficas relativas a los partidos PDM, PPS o PARM, se nota que tuvieron porcentajes menores al 10%; estos partidos políticos ya desaparecieron.
Resultados Nacionales
Gráficas comparativas • Lección 30
185
• En grupos de cuatro realicen la siguiente actividad. 1. En la Ciudad de México existen muchos contaminantes del aire, las llamadas partículas suspendidas: monóxido de carbono (CO), anhídrido sulfuroso (SO2), dióxido de nitrógeno (NO2) y ozono (gas incoloro de olor acre cuya forma molecular es O3). • La gráfica muestra el porcentaje de los años en que la contaminación del aire rebasó los niveles establecidos por la norma del Índice Metropolitano de Contaminación del Aire (IMECA), en lo que se refiere a ozono y partículas suspendidas.
Fuente: www.sma.df.gob.mx (23 de mayo de 2005)
a) ¿Durante qué años el porcentaje de ozono y de partículas suspendidas fue el más alto? b) De acuerdo con la gráfica, ¿se puede determinar qué año fue el menos contaminado en la Ciudad de México? c) ¿A qué creen que se deba que en los últimos años la contaminación haya disminuido? d) ¿En qué segmentos o tramos de la gráfica que corresponde a la contaminación por ozono la inclinación de la recta es menor? Explica tu respuesta. e) ¿En qué tramos o segmentos de la gráfica que corresponde a la contaminación por partículas suspendidas la inclinación es ascendente? f) ¿Qué interpretación se puede dar a los diferentes tipos de inclinación que muestran los segmentos de las gráficas? Justifica tu respuesta. Comenten sus respuestas con los demás equipos. El Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (INEGI), es un organismo que se dedica a sistematizar la información de todos los sectores productivos de nuestro país, su página en internet es: http://www.inegi.gob.mx • Investiga el promedio de las calificaciones obtenidas por los alumnos de secundaria en el examen ENLACE de junio de 2006 (www.dgep.sep.gob.mx), así como el promedio anual de libros que leen los estudiantes de ese nivel en tu localidad y compáralos. De acuerdo con tus resultados, ¿los alumnos que leen más tienen mejores resultados en la asignatura de español? 186
Bloque 4 • Representación de la información
Tecnología 1. Con la ayuda de una hoja de cálculo grafica los siguientes datos y contesta las preguntas. Las tablas se refieren a la absorción y deserción de alumnos en secundaria. Indicador Porcentaje de absorción en secundaria Hombres
1996
1998
2000
2002
2003
2004
86.7
90
91.8
94.1
94.7
95
89
91.9
93.3
95.4
96
96.2
Mujeres
84.3
88.1
90.3
92.8
93.3
93.7
Fuente: SEP. Dirección General de Planeación, Programación y Presupuesto
Indicador Porcentaje de alumnos que no terminan secundaria Hombres
1996
1998
2000
2002
2003
2004
25.2
23.9
25.1
21.6
21.1
21.2
27.7
28.3
29.7
26
25.6
25.3
Mujeres
22.4
19
20.1
17
16.4
16.8
Fuente: SEP. Dirección General de Planeación, Programación y Presupuesto
a) Explica los pasos a seguir para que en la hoja de cálculo puedas obtener las gráficas con las tablas anteriores. b) ¿En qué año la diferencia en el porcentaje de alumnos que no terminan la secundaria es menor entre hombres y mujeres? Gráficas comparativas • Lección 30
187
Por tu cuenta • Observa las gráficas de producción de pescado a nivel nacional y de consumo por persona en un histórico de 1990 a 2005.
Fuente: PR. Quinto Informe de Gobierno, 2005. México, D. F., 2005
Fuente: PR. Quinto Informe de Gobierno, 2005. México, D. F., 2005
a) ¿Durante qué año fue mayor la producción de pescado? b) ¿En qué año consumieron menos pescado las personas en México? c) ¿Se puede decir que el menor consumo de pescado se debe a que la producción fue baja? d) ¿Cómo calcularías el promedio de la producción anual de pescado? e) ¿Cómo calcularías el promedio del consumo de pescado por persona en México? f) ¿Qué relación existe entre los dos promedios? g) ¿A qué conclusión te conduce la información presentada? 188
Bloque 4 • Representación de la información
31
Gráficas formadas por segmentos
bloque 4
L
n
ecció
Con la ayuda de gr ficas podemos modelar muchas situaciones que se presentan en la vida diaria, como los movimientos. Por ejemplo: 1. Los lunes, antes de llegar a la escuela, Juan pasa primero a la casa de su abuelita. La gráfica que describe el recorrido de Juan para llegar a la escuela es la siguiente.
Los egipcios dejaron en sus papiros muchos problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refieren a ningún objeto concreto. En éstos obtenían soluciones a partir de operaciones con los datos, de forma parecida a las funciones lineales de nuestros días.
a) ¿Cómo describirías la trayectoria del movimiento de Juan? b) ¿A qué velocidad camina Juan de su casa a la de su abuelita? c) ¿Cuánto tiempo permanece Juan en la casa de su abuelita? d) Si Juan sale siempre de su casa a las 12:40, ¿a qué hora llega a casa de su abuelita?, ¿y a la escuela?
Papiro egipcio
e) Todos los días Juan sale de la escuela a las 21:00 h y se dirige directamente a su casa, excepto el viernes que pasa 30 minutos a visitar a su abuelita. Si el recorrido lo realiza a una velocidad de 5 km , ¿a qué hora llega a su casa ese día? ¿y los demás días h de la semana? Explica tu respuesta. f) Elabora la gráfica correspondiente a la situación del inciso anterior. Comenta tus respuestas con tu grupo. Gráficas formadas por segmentos • Lección 31
189
Frecuentemente nos encontramos con fenómenos o situaciones que se pueden modelar por medio de segmentos de funciones lineales. Este tipo de gráficas se llaman gráficas de segmentos, por ejemplo: Un alpinista muestra mediante la siguiente gráfica el plan que tiene pensado para llegar a la cúspide de una montaña de 700 m de altitud. Su propósito es subir 400 m en cuatro días, es decir, avanzar un promedio de 100 m por día. Después, piensa descansar dos días para reponerse. Por último, pretende alcanzar la cima en seis días avanzando a un promedio de 50 m por día. Obtener algunos valores concretos puede ayudarte a interpretar una gráfica. Sin embargo, la gráfica nos ofrece un resumen visual del comportamiento de la situación.
2. Considera un automóvil que parte del reposo y se desplaza con una velocidad constante con un movimiento rectilíneo. a) ¿Cómo es la gráfica del tiempo contra la distancia que recorre? b) Si el automóvil se detiene, ¿qué sucede con la gráfica que representa su movimiento? c) Si comienza a avanzar nuevamente pero con una velocidad menor, ¿qué sucede en la gráfica? d) Si el automóvil regresa al lugar donde salió, ¿cómo se observa esta situación en la gráfica?
190
Bloque 4 • Representación de la información
3. Un competidor de triatlón, tiene que recorrer 10 km nadando para cruzar un lago, después continúa 15 km en bicicleta y finalmente corre 20 km para llegar a la meta. De acuerdo con las siguientes gráficas contesta las preguntas.
a) ¿En cuánto tiempo ha recorrido el atleta los primeros 5 km en cada gráfica? b) ¿Qué distancia había recorrido en cada gráfica cuando llevaba 3 horas de competencia? c) ¿Cuál fue la velocidad en cada gráfica de su recorrido en bicicleta? d) ¿Cuánto tiempo le llevó en cada gráfica el recorrido en bicicleta? Explica tu respuesta. e) ¿Cuál fue la velocidad de su recorrido corriendo en cada gráfica? f) ¿Cuánto tiempo tardó corriendo en cada gráfica? g) Si salió a las 6:25 hrs, ¿a qué hora terminó su recorrido en bicicleta en cada gráfica? Justifica tu respuesta. Gráficas formadas por segmentos • Lección 31
191
• En grupos de cuatro realicen la siguiente actividad. 1. Un ciclista inicia una carrera a una velocidad de 30 km h en un tramo recto de su ruta; a los 25 min tiene que parar por una avería en una llanta, la reparación le lleva 10 minutos. Después de recorrer otro tramo de 5 km a la misma velocidad, inicia la subida por una pendiente que hace disminuir la velocidad a 12 km en una parte de la subida, h cuando llevaba 20 min, se detiene 5 min para tomar agua y descansar. Continúa y llega a la cima después de 45 min de iniciada la escalada e inmediatamente empieza el descenso y el camino de regreso a la meta a una velocidad de 60 km h . Después de 15 min se detiene durante 10 min para cambiar el freno trasero. Continúa su camino y después de 10 min hace otra escala para tomar agua que le lleva 5 min. Finalmente, los 10 km restantes los recorre a una velocidad de 40 km h . a) Elaboren la gráfica del recorrido del ciclista. b) Si la carrera la inició a las 7:00, ¿a qué hora llegó a la mitad del recorrido? c) ¿A qué hora terminó su trayecto? d) Si el ganador realizó la carrera en 2 horas con 15 minutos. ¿Cuánto tiempo después llegó nuestro ciclista a la meta? e) ¿Qué velocidad promedio presentó el ciclista en los tramos de ida? Justifica tu respuesta. 2. En la gráfica se representa el consumo de agua de una cisterna en una escuela secundaria. En un inicio contenía 2 000 litros. a) ¿Entre qué horas se consumió más agua en la escuela? b) ¿Qué cantidad de agua se gastó en ese periodo? c) ¿Con qué rapidez se consumió agua en los distintos segmentos de la gráfica? Explica tu respuesta. d) ¿Por qué en el periodo de las 8:00 y las 10:00 horas; y entre las 11:00 y 12:00 horas, los segmentos de la gráfica tienen pendiente 0°? Justifica tu respuesta.
192
Bloque 4 • Representación de la información
Tecnología 1. Utilizando una hoja de cálculo electrónica elabora una gráfica parecida a la siguiente.
a) Explica cómo puedes elaborar una gráfica como la anterior. b) Trata de imaginar una situación problemática que esté descrita por la gráfica presentada. c) Indica con respecto a la situación que inventaste, cómo van variando las inclinaciones de los segmentos de recta que forman la gráfica. Compara tus respuestas con las de tu grupo.
¿Cómo podemos utilizar las graficas de línea (con segmentos) en la clase de historia? • Investiga cómo podríamos representar este tipo de gráficas en una calculadora graficadora. • ¿Qué programas informáticos existen para representar una gráfica de funciones y específicamente una gráfica de segmentos o de línea?
Gráficas formadas por segmentos • Lección 31
193
Por tu cuenta 1. La siguiente gráfica corresponde al recorrido de ida y vuelta que realiza una persona en su automóvil a una tienda. Analízala y contesta lo que se pide.
a) b) c) d) e) f)
¿A qué velocidad realiza el viaje de ida? ¿Cuánto tiempo tardó en la tienda, haciendo sus compras? ¿Cuál es la velocidad con la que realizó el viaje de regreso? ¿Qué representa el segmento horizontal de la gráfica? ¿El viaje de regreso, fue más rápido que el de ida? Si esta persona salió de su casa a las 13:45 h, ¿a qué hora llegó a la tienda? ¿A qué hora regresó a su casa?
2. Cambia la distancia por otra variable y con los mismos valores inventa una situación que se visualice con esta gráfica. 3. Elabora una gráfica de la distancia contra el tiempo que muestre tu recorrido a la escuela, tu permanencia en ella y el regreso a tu casa como lo haces habitualmente.
194
Bloque 4 • Representación de la información
FILOSOFÍA Suele pensarse que Descartes desarrolló su nueva filosofía tomando como modelo los procedimientos deductivos de las ciencias exactas, concretamente de la aritmética y la geometría. Se considera que Aristóteles fue el que fundó la lógica como un medio de conocimiento es una herramienta básica para todas las ciencias. La lógica plantea certezas y la razón busca la verdad mediante el uso de certezas descritas por la lógica. La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y Aristóteles
técnicas determina si un argumento es válido. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico; por ejemplo, para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. La lógica es pues muy importante, ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano. Utilizando solamente
René Descar tes
Conexiones • Bloque 4
195
¿Qué aprendí?
¡Muy bien! Ahora que hemos terminado el cuarto bloque de este curso de matemáticas, revisaremos lo aprendido. Aplica tus conocimientos. 1. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones? a)
m5n8 m2n2
b) (m2) (m3) (m)
2. Traza en tu cuaderno los triángulos que se indican y menciona cuáles son congruentes: a) Triángulos con las medidas de sus lados igual a 3 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente. b) Triángulo en el que dos de sus lados midan 14 cm y el ángulo comprendido entre ellos sea de 908. c) Triángulo en el que dos de sus ángulos internos midan 378 y 538, respectivamente, y el lado comprendido entre ellos sea de 5 cm. d) Triángulo cuyos dos de sus lados midan 14 y 25 cm, respectivamente. 3. En el experimento de lanzar tres dados, ¿cuál es la probabilidad de que caigan los números 1, 2, 3 en cualquier orden?
4. En el experimento de lanzar dos monedas y dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que caigan dos soles y dos números primos?
196
5. Los alumnos de segundo grado de secundaria realizaron una encuesta a 200 personas de diversas edades, hasta 20 años como máximo en la que les preguntaban su peso. En la siguiente gráfica se relaciona el peso con la edad de las mujeres y los hombres de hasta 20 años de edad.
a) ¿Entre qué edades ganan peso más rápidamente los hombres?
b) ¿Qué significan los puntos de intersección de las dos gráficas?
6. Dos automóviles recorren la misma trayectoria. El primero tarda 65 min y el segundo 95 min. Las siguientes gráficas relacionan la velocidad que llevaron estos vehículos con el tiempo que emplearon en recorrer esa distancia. Describe ambas gráficas.
7. Epifanio va a jugar al parque con sus amigos después de terminar su tarea. Sale de su casa y los espera en la tienda. Por fin van al parque y, después de un partido y otras actividades, vuelven a su casa, pero antes se detienen a tomar un refresco en la tienda. La siguiente gráfica muestra su recorrido:
a) Si Epifanio y sus amigos llegan al parque a las 6 de la tarde, ¿entre qué horas esperó a sus amigos en la tienda? b) ¿A qué hora salió Epifanio de casa y a qué hora regresó? ¿Qué aprendí? • Bloque 4
197
Bloque 5 i z d a n j e e s r p A
esperados
Al terminar el estudio de este bloque podrás: 1. Resolver problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 2. Determinar el tipo de transformación (traslación, rotación o simetría) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. 3. Identificar y ejecutar simetrías axiales y centrales y caracterizar sus efectos sobre las figuras. 4. Resolver problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes.
La Alhambra Granada. España 198
P
ra a
pensar…
Las matemáticas y las artes visuales tienen mucho que ver. Por ejemplo, el poder crear patrones para decorar superficies de manera regular es un problema antiguo. Los árabes fueron maestros en este arte (de ahí la palabra arabescos). La Alhambra en España es un ejemplo muy claro de esto.
199
5 X En este proyecto vas a trabajar en el plano cartesiano para explorar algunas propiedades de la traslación y rotación de figuras. 1. Dibuja en papel cuadriculado un plano cartesiano. También, dibuja en cartulina un triángulo como el del plano de la figura 1 y recórtalo.
Lo qué necesitas: - Cartulina - Papel cuadricula do - Tijeras - Transportador
2. El triángulo ABC se traslada de manera que el vértice A corresponda con el vértice A’ en la coordenada (6, 3). Contesta las preguntas: a) ¿Cuáles serán las coordenadas de los vértices B’ y C’? b) Con tu transportador mide los ángulos de cada triángulo. ¿Miden lo mismo en los dos? 3. El triángulo ABC de la figura 2 gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, manteniendo fijo el vértice C.
figura 1
• El lado BC del triángulo ABC coincide con el eje y del plano cartesiano de manera que se obtiene el lado B’C’. Contesta: a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A’ y B’? b) ¿Cuál fue el ángulo de giro? c) Si se hubiera girado con un ángulo de 270, ¿en qué coordenada estarían los vértices del triángulo? d) ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo ABC?, ¿miden lo mismo en los triángulos que resultan de los giros? ¿Por qué?
figura 2
4. El rombo ABCD de la figura 3 se gira en sentido de las manecillas del reloj, con el vértice C fijo hasta que la diagonal mayor coincide con el eje x. a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del rombo que se obtiene del giro? b) Si se continúa girando hasta que la diagonal mayor coincida con cada eje en su parte positiva y negativa, ¿cuáles son las coordenadas de los nuevos vértices en cada caso?, ¿y cuál es el ángulo de giro que se aplica?
200
Proyecto 5
• Si en el triángulo de la figura 2 prolongas de ambos extremos los el lados AB y AC, ¿cuál es sistema de ecuaciones que se forma? ¿Cuál es la solución?
figura 3
32
Sistemas de ecuaciones
bloque 5
L
n
ecció
Es posible modelar varias situaciones de la vida cotidiana con sistemas de ecuaciones lineales con dos inc gnitas; por ejemplo, determinar la velocidad de un avi n y del aire si conocemos la distancia recorrida y el tiempo empleado cuando el viento es favorable y cuando est en contra. 1. Una caja contiene en total 36 chocolates, de los cuales algunos están rellenos de nuez y otros de cereza. El signo igual, tan importante en el álgebra, fue escrito por primera vez por el médico y matemático inglés Robert Recorde. Él, así como muchos médicos de aquellos siglos, se interesó por las matemáticas y publicó varios libros, entre ellos, The Whetstone of Witte, una obra de álgebra publicada en 1557 en la que aparece el signo que hoy utilizamos.
a) ¿Cuántos chocolates rellenos de nuez y cuántos de cereza hay en la caja? b) Si la cantidad de chocolates rellenos de nuez que hay en la caja es 10 unidades más que la cantidad de chocolates rellenos de cereza, ¿cuántos chocolates rellenos de nuez y cuántos rellenos de cereza hay en la caja? Comenta y compara tus resultados con el grupo. Robert Recorde (1510 - 1558)
2. Encuentra dos números tales que, el triple del primero más el segundo es igual a 820. El doble del primero menos el segundo es igual a 340. Comenta y compara tus resultados con el grupo.
Sistemas de ecuaciones • Lección 32
201
3. Un avión que vuela con el aire a su favor recorre 1 200 kilómetros en dos horas. El viaje de regreso, contra el aire, lo realiza en 2 21 horas. ¿Cuál es la velocidad del avión y cuál la del aire? Supón que ambas velocidades son constantes.
Para resolver este problema primero recuerda que la expresión para calcular la velocidad es: v donde: v velocidad d distancia t tiempo
d t
,
Teniendo en cuenta que dos fuerzas, en la misma dirección se suman y en dirección contraria se restan, podemos modelar el problema con las ecuaciones, x y 1 200
Km 2h
y x y 600
x y 1 200
Km 2.5h
x y 480
a) ¿Qué representa la letra x, ¿qué representa la letra y? b) Resuelve el sistema de ecuaciones: ¿Cuál es la velocidad del avión? ¿Cuál es la velocidad del viento? Comenta y compara tus resultados con tu grupo.
Se pueden resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas mediante diversos métodos de simplificación algebraica, según las características del sistema. Ejemplo 1: 2x y 14 x y1
202
Bloque 5 • Significado y uso de las literales
Para resolver este sistema, se sustituye el valor de x en la primera ecuación, luego realiza las operaciones necesarias para determinar el valor de y. 2( y 1) y 2y 2 y 3y y
14 14 12 4
Luego se sustituye el valor de y en la segunda ecuación para determinar el valor de la segunda incógnita. x y1 x 41 x 5 Este método de solución se le conoce como de sustitución. Ejemplo 2: x y 195 2x y 60 En este caso, si se suman las dos ecuaciones se elimina la incógnita y. x y 195 2x y 60 3x 255 Se determina el valor de x. Luego se determina el valor de y sustituyendo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones originales. 3x 255 3x
255 3
x 85
x y 195 85 y 195 y 110
Al procedimiento anterior se le llama método de reducción por suma o resta. Ejemplo 3:
x y 5 3x 2y 15
En este caso, conviene multiplicar por 2 a la primera ecuación porque con ello se igualan los términos de la incógnita y. Luego, se puede aplicar el método anterior porque se puede eliminar por suma. 2(x y 5)
2x 2y 10
3x 2y 15
3x 2y 15
Este procedimiento de reducción se le llama método de reducción por multiplicación.
Sistemas de ecuaciones • Lección 32
203
Reúnanse en equipos de tres integrantes y resuelvan: 1. Dos tiendas de videojuegos tienen servicio de renta y en cada una se ofrecen distintos planes. En el Super Game hay una cuota de suscripción de $80 y $6 por la renta de cada juego. En Star Game la suscripción es gratuita, pero la renta de cada video cuesta $10. En la gráfica se observa la relación de ambas tiendas. Con base en la gráfica, contesten las preguntas.
2. Considerando la cuota de suscripción. ¿Cuánto se pagará en la tienda Super Game por rentar 10 videojuegos? a) ¿Cuánto se pagará en la tienda Star Game por la renta de 15 videojuegos? b) Si un cliente pagó $152 ¿en qué tienda rentó videojuegos?, ¿cuántos rentó? c) ¿Cuál es la ecuación de la recta correspondiente a cada tienda de videojuegos, respecto a la renta de los mismos? d) ¿Cuál es la ordenada al origen de cada una?
Super Game
Inscripción $ 80 Renta $ 6
Existen otros métodos para resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. • Investiga en qué consiste el método de igualación. • Haz una exposición de las ventajas y desventajas de este método.
204
Bloque 5 • Significado y uso de las literales
Tecnología Con ayuda de una hoja de cálculo, resuelve el siguiente problema por el método de tanteo: 1. En un concierto del grupo más famoso de hip-hop se vendieron boletos de $500 y $300. Al evento asistieron 1 200 personas con boleto pagado y se recaudaron por la venta $464 000. ¿Cuántas personas pagaron boletos de $300 y cuántas pagaron de $500? Para resolver esta situación podemos elaborar una tabla que represente los intentos que realizamos para resolver el sistema.
• En la celda B4, escribe “Personas con boleto de $300”, en la celda B5, escribe “Personas con boleto de $500”. • En B6 escribe “Totales”. • En la celda C4 escribe el número de personas que pagaron boleto de $300. • En la celda C5 escribe una fórmula que permita calcular el número de personas que pagaron boleto de $500. • En la celda C6 escribe el número total de personas que asistieron. • En D4 anota una fórmula que permita calcular el total del dinero pagado por personas con boleto de $300. • En D5 escribe una fórmula para calcular el total del dinero pagado por personas con boleto de $500. • En D6 escribe una fórmula para calcular el total de dinero recaudado. 2. Realiza varios intentos y contesta las preguntas: a) ¿Cuántas personas pagaron $300 y cuántas $500? b) Si es posible, elabora más intentos con este mismo problema. c) Inventa otro problema que puedas resolver con este método en una hoja de cálculo.
Sistemas de ecuaciones • Lección 32
205
Por tu cuenta 1. En un grupo de una escuela hay 35 alumnos en las listas oficiales. Por sus buenas calificaciones les regalaron dos plumas a cada alumna y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos alumnos y alumnas en el grupo de Patricia?
2. Entre Daniel y Estela tienen $1 730. Estela tiene el doble de lo que tiene Daniel menos $70. ¿Cuánto tiene cada uno?
3. En la tienda de doña Mary, Carolina compró cuatro refrescos y ocho paquetes de galletas y pagó $100. Cristina compró en la misma tienda seis refrescos y tres paquetes de galletas y pagó $60. ¿Cuánto cuesta el paquete de galletas?
4. Una fábrica de perfume, ofrece dos tipos de producto. Uno de ellos (perfume A) contiene 12% de materia activa y el otro (perfume B) 20% de materia activa. ¿Cuántos litros de cada uno deben utilizarse para producir 100 litros de agua lavandina con 15% de materia activa?
5. El dígito de las decenas de un número de dos cifras es el doble que la cifra de las unidades. Encuéntralo, sabiendo que si le sumas el número formado por sus cifras cambiadas de lugar el resultado es 99.
6. En un examen de 20 preguntas la calificación de Martha fue 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Martha?, ¿cuántas ha fallado?
7. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2a b 9 a 2b 8
206
b) m 2 n m 4 3n
d) 2x 300 3y
e) x
10 – y 2
x y 25
x
6y 2
Bloque 5 • Significado y uso de las literales
c) 2x y 240 x 2y 255
33
Traslación y rotación de figuras
bloque 5
L
n
ecció
La geometr a no s lo estudia las figuras y sus propiedades, sino tambi n los movimientos de las mismas. Deslizarse en una patineta, trasladarse en una escalera mec nica o dar vuelta en un auto son movimientos f sicos.
Muchos objetos en la naturaleza contienen distintas simetrías. En la siguiente figura encontramos varios ejes de simetría por su centro (horizontal y vertical). La imagen de abajo representa el núcleo central del grupo hemo, que es el centro activo de la hemoglobina (líneas negras) que oxigena nuestras células. El átomo de hierro es rojo, los azules son nitrógenos y los morados, átomos de carbono.
1. Traza la figura simétrica al triángulo ABC con respecto a la recta l, nombra los puntos de la figura resultante A’, B’ y C’ respectivamente. Después traza otra figura simétrica al triángulo A’B’C’ pero con respecto a m, llama los puntos de la figura resultante A’’, B’’ y C’’ respectivamente.
A
l
m
B
C
Núcleo central del grupo hemo
2. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué semejanzas y qué diferencias hay entre los triángulos ABC y A’B’C’ ? b) ¿Qué semejanzas y qué diferencias hay entre los triángulos ABC y A’’B’’C’’? c) ¿Cuáles de los tres triángulos tiene la misma orientación? d) ¿Cómo son entre sí las distancias de A a l?, ¿y la de B a l y de l a B? e) ¿Qué procedimiento realizarías para obtener la tercera figura a partir de la primera, pero sin tener que trazar la segunda?
Compara tus respuestas con las de tu grupo.
Traslación y rotación de figuras • Lección 33
207
3. Traza la figura simétrica al triángulo DEF con respecto a la recta l. Llama los puntos de la figura resultante D’, E’ y F’ respectivamente. Después traza otra figura simétrica al triángulo D’E’F’ pero con respecto a m. Nombra los puntos de la figura resultante D’’, E’’ y F’’ respectivamente. D
l
m E
F
O
60
a) ¿Qué semejanzas y qué diferencias hay entre los triángulos DEF y D’E’F’? b) ¿Qué semejanzas y qué diferencias hay entre los triángulos DEF y D’’E’’F’’? c) Une con un segmento D con O, y O con D’’, ¿cuál es la medida del ángulo DOD’’?, ¿y la del ángulo EOE’’?, ¿y la de FOF’’? Compara tus respuestas con las de tu grupo.
1. Reúnanse en parejas y construyan el siguiente diseño:
• En un cuadrado tracen líneas paralelas a los lados como se muestra en la figura, también tracen las diagonales.
• Por medio de rotación coloquen las figuras que se desprenden del cuadrado sobre los lados horizontales.
2. Recubran un plano como se muestra en la figura de la derecha y contesten las preguntas: a) Con base en la posición de la figura original, ¿qué movimiento se realizó para obtener la figura 1?, ¿y para obtener la figura 3?, ¿y para obtener la figura 4? b) Con base en la posición de la figura original, ¿qué movimiento realizaron para obtener la figura 2?, ¿y para obtener la figura 6? c) Con base en la posición de la figura 1, ¿qué movimiento se realizaron para obtener la figura 7?, ¿y para obtener la figura 5? 208
Bloque 5 • Transformaciones
• La figura que resulta es similar a la de arriba.
Las isometrías de figuras (iso: igual, metría: medida) son transformaciones en las que no cambian el tamaño ni la forma de la figura, sino sólo su posición.
l
C D
Dentro de las isometrías más comunes están las siguientes:
D’
E’
E
• La reflexión con respecto a un eje que produce simetría axial es la reflexión de una figura con respecto a una recta llamada eje de simetría.
C’
B
B’ A
A’
La figura ABCDE es simétrica a la A’B’C’D’E’ con respecto a la recta l, ya que si doblamos en dicha recta las partes de ambas figuras hay coincidencia. C
• La reflexión con respecto a un punto que produce la simetría central es aquella en la que una figura es simétrica a otra respecto a un punto (centro de simetría).
D E B
La simetría central de una figura puede ser respecto a un punto externo a ella como en la figura 1, o por uno de sus vértices como en la figura 2. • La figura ABCDE (fig. 1) es simétrica a A’B’C’D’E’ con respecto al punto O, ya que cualquier segmento que va de un punto de la figura a su homólogo en la figura simétrica pasa por O, que es el punto medio del segmento.
fig. 1
B A 0 A’ C
A B’ C’
fig. 2
E’
C’
La traslación es el desplazamiento de una figura a lo largo de una misma dirección. Cada uno de sus puntos se desplaza en la misma distancia y en la misma dirección. La figura ABCDE se trasladó respecto a la longitud y dirección del vector m. Para ello, se trazan rectas paralelas al vector por cada vértice de la figura y se considera la longitud del vector a partir de cada vértice de la figura, el resultado son los vértices de la figura trasladada A’, B’, C’, D’ y E’.
D’
B’
C’
D’
D
C
E’
B’
E
A’
B A
m
Traslación y rotación de figuras • Lección 33
209
El resultado de aplicar una doble reflexión a una figura respecto a dos ejes paralelos, es una traslación. Si a una figura se le aplica una doble reflexión, la figura original se traslada el doble de la distancia entre los dos ejes.
l
C
m
C’ D’
D E’
E B
B’ A’
A
La rotación es la acción de desplazar una figura cierta cantidad de grados alrededor de un punto que sirve como centro de giro. Para la rotación de una figura se une cada vértice de la misma con el centro de giro O. Después se trazan arcos con centro en O tomando como radios las distancias de O a cada vértice. Luego se forman ángulos de la misma medida que el ángulo de giro.
C
D E
B
A
E’
A’
80
D’ O
C
D
El resultado de aplicar una doble reflexión a una figura respecto a dos ejes que se cortan en un punto llamado O es una rotación con centro en O. Al aplicar una doble reflexión a una figura respecto a ejes que se cortan en un punto O, el ángulo de rotación es el doble del ángulo formado por la intersección de los ejes en el punto O.
C’
B’
l
E
B
m B’
A
C’
A’ O
E’ D’
Para celebrar las fiestas tradicionales en nuestro país, como el día de la Independencia, el Día de muertos o las Posadas, entre otras, comúnmente se realizan decoraciones con papel picado que sirve de adorno. • Investiga la técnica con que los artesanos elaboran estos diseños y menciona qué clase de transformaciones geométricas utilizan para realizar las figuras en el papel picado. • Elabora un diseño en papel picado en el que se observen distintos tipos de transformaciones geométricas.
210
Bloque 5 • Transformaciones
Tecnología Por medio del programa Cabri-géomètre exploraremos la formación de un diseño mediante el movimiento de una misma figura. 1. Sigue la secuencia que se indica. a) Con Polígono regular construye un triángulo, llama O al centro del mismo. Con centro en O traza una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo.
b) Traza una recta que pase por O y cualquier vértice del triángulo. Con centro en O construye otro triángulo del mismo tamaño que el anterior (utiliza Polígono regular), de tal manera que los dos estén en el mismo círculo y corten a la misma recta.
c) Oculta la recta y construye un triángulo como se muestra en la figura de abajo.
d) Utiliza los iconos, Simetría axial, Simetría central, Traslación y Rotación para cubrir la estrella con triángulos iguales al que construiste en el inciso c). Puedes presionar la tecla F1 si tienes duda sobre el uso de esos iconos.
2. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué tipo de simetría aplicaste al primer triángulo para cubrir la punta superior del centro, la punta superior izquierda y la punta superior derecha? b) Para obtener un triángulo invertido al primero, ¿qué tipo de simetría aplicas? c) ¿Podrías llenar todo el diseño si sólo realizas reflexiones? Describe tu procedimiento. d) ¿Si únicamente realizas rotaciones podrías llenar todo el diseño? Describe tu procedimiento. Compara tus respuestas con las de tu grupo. Traslación y rotación de figuras • Lección 33
211
Por tu cuenta 1. Indica en cada dibujo qué tipo de movimiento se realizó en el cuadrado de la izquierda para obtener el de la derecha: reflexión, traslación o rotación. En el caso de rotación indica el ángulo y el punto de rotación. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
2. Realiza en tu cuaderno lo que se pide a continuación. a) Realiza una rotación de 60 en el sentido de las manecillas del reloj, del triángulo ABC respecto al punto O.
3. Observa el diseño de la derecha y contesta las preguntas. a) ¿En qué pares de brazos se presenta simetría central? b) Si todas las rotaciones se hicieron considerando la misma medida del ángulo, ¿cuál es la medida del ángulo de rotación? c) ¿Cuánto debe girar la figura 1 para que se desplace al mismo lugar? d) ¿A cuántos grados equivale la rotación de la simetría central?
212
Bloque 5 • Transformaciones
7)
34
Representación gráfica de un sistema de ecuaciones
bloque 5
L
n
ecció
Como hemos visto, hay muchos fen menos que se pueden modelar con funciones lineales; stas, cuando las graficamos en el plano cartesiano, se representan con l neas, de ah su nombre. Cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales, estamos encontrando el punto de intersecci n de esas l neas.
En diversas excavaciones arqueológicas realizadas en lo que se conoció como Babilonia en la época del rey Hammurabi, se han encontrado tablillas de arcilla en las que se plantean sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Dichos sistemas de ecuaciones lineales fueron resueltos por los babilonios, quienes nombraban con palabras a las incógnitas.
1. Arturo y Bernardo tienen juntos $600, pero Bernardo tiene el doble de dinero que Arturo, ¿cuánto dinero tiene cada uno? a) Si llamamos x a la cantidad de dinero que tiene Arturo y nombramos y a la que tiene Bernardo, escribe el sistema de ecuaciones que representa la situación. b) Completa las siguientes tablas; que te permitirán graficar las ecuaciones del problema. y x 600 x
y
y 2x x
200
y 0
600
100
c) Con los datos anteriores traza la gráfica de ambas rectas en un solo plano cartesiano. d) Prolonga las rectas y observa qué sucede.
Tablilla de arcilla babilónica
f) En este problema, ¿qué significa el cruce de las rectas? Explica. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones • Lección 34
213
2. Considera la siguiente ecuación: 2x 3y 12
a) Multiplica por un mismo número entero el miembro izquierdo de la ecuación. Con la ecuación resultante y la ecuación propuesta forma un sistema y resuélvelo por el método gráfico. ¿Cuántas rectas resultaron? b) Multiplica por el mismo número entero ambos miembros de la ecuación. Con la ecuación resultante y la propuesta forma un sistema y resuélvelo por el método gráfico. ¿Qué tipo de sistema se formó? c) Multiplica por números enteros diferentes los coeficientes de x, de y, así como el miembro derecho de la ecuación. Con la ecuación resultante y la propuesta forma un sistema y resuélvelo por el método gráfico. ¿Qué observas con las gráficas obtenidas? d) Ahora, ¿podrías identificar, analizando los coeficientes de las variables, de qué tipo se trata cualquier sistema de ecuaciones lineales? Justifica tu respuesta. e) ¿Qué características tienen los coeficientes de cada tipo de sistemas? f) Usando el método gráfico para resolver ecuaciones en un sistema incompatible, las rectas resultan paralelas; en un sistema indeterminado, las rectas son coincidentes, y en un sistema compatible, las rectas se cruzan. ¿Cómo se relacionan esas distintas posiciones con los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales y con las posiciones de las rectas? Explica tu respuesta.
El método gráfico es útil para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas presentándose tres casos:
Caso 1 Si trazamos 2x 4y 12 y 4x 8y 10 en un plano cartesiano, las rectas resultantes son paralelas.
214
Bloque 5 • Representación de la información
Caso 2 Si trazamos 3x 4y 17 y 6x 8y 34, las rectas se superponen, es decir se obtiene una sola recta.
Caso 3 Si trazamos x 3y 1 y 2x y 5, entonces las dos rectas se cortan en el punto (2, 1).
Caso 1 Cuando en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas las rectas resultantes son paralelas se dice que es un sistema incompatible; es decir, que no tiene solución. Caso 2 Cuando la representación gráfica de dos rectas en el plano es la misma recta se dice que es un sistema indeterminado; es decir, que tiene infinitas soluciones. Caso 3 Cuando en la representación gráfica de dos rectas en el plano ésta se cortan en un punto, se dice que es un sistema compatible; es decir, que tiene una solución, que es precisamente el punto donde se intersecan ambas rectas.
Representación gráfica de un sistema de ecuaciones • Lección 34
215
• En ternas realicen la siguiente actividad. La gráfica representa los viajes de cuatro lanchas. Tres de ellas van del Puerto de Araban a la isla Barrilazo, separados 120 kilómetros. La cuarta lancha va de la isla Barrilazo al puerto de Araban. Consideren que las rutas son rectas.
a) ¿Qué lanchas viajan a la misma velocidad?, ¿cuál es esta velocidad? b) ¿Cuál es la lancha que viaja más lentamente?, ¿a qué velocidad viaja? c) ¿A qué hora se cruzan las lanchas 1 y 2? d) ¿A qué hora se cruza la lancha 2 con la 3? e) ¿A qué hora se cruza la lancha 2 con la 4? f) ¿De qué tipo es el sistema de ecuaciones formado por la trayectoria de las lanchas 1 y 3? g) ¿Cuántas soluciones tiene?, ¿cuáles son? Justifiquen su respuesta. h) ¿De qué tipo es el sistema de ecuaciones formado por la trayectoria de las lanchas 1 y 4? ¿Cuántas soluciones tiene?, ¿cuáles son? i) ¿De qué tipo es el sistema de ecuaciones formado por la trayectoria de las lanchas 3 y 4?, ¿cuántas soluciones tiene? Justifiquen su respuesta.
En internet existen varias páginas que muestran cómo resolvían en la antigüedad problemas con sistemas de ecuaciones. Investiga: • ¿Cómo resolvían los babilónicos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas? • ¿Cómo nombraban los babilónicos a las incógnitas? • ¿Cómo resolvían los chinos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas? • ¿Qué herramienta utilizaban los chinos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas?
216
Bloque 5 • Representación de la información
Tecnología Con ayuda del programa Cabri-géomètre construye sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: uno compatible, uno indeterminado y uno incompatible. 1. Para construir la figura 1 da un clic en el botón Mostrar ejes ( ) y define una cuadrícula con respecto a las mismas. Enseguida, traza una recta que pase por dos puntos de la cuadrícula, con el botón Recta paralela ( ) traza una paralela a la recta anterior. Con el botón Ecuación y coordenadas ( ) obtén la ecuación de cada recta. • ¿Cómo puedes verificar con las ecuaciones que las dos rectas son paralelas?
Fig. 1
2. Para la figura 2 traza una recta con el mismo procedimiento de la figura 1. Ahora describe cómo trazarías una recta que coincida con la primera que trazaste.
Fig. 2
Representación gráfica de un sistema de ecuaciones • Lección 34
217
3. En la figura 3, describe cómo trazar un sistema compatible determinado como el mostrado. Describe cada una de las gráficas que trazaste con el software. Compara tus gráficas con las de tu grupo.
Fig. 3
Por tu cuenta Trabaja en tu cuaderno para resolver por el método gráfico los siguientes problemas. 1. Un moderno buque de turismo tiene camarotes dobles (dos camas) y sencillos (1 cama). Si se ofrecen 65 camarotes que en total tienen 105 camas, determina el número de camarotes de cada tipo. 2. Encuentra la base y la altura de un rectángulo del cual se sabe que si se aumenta 3 cm a la altura y se disminuye 2 cm a la base, su área no aumenta ni disminuye; además; la altura es 2 cm mayor que la base. 3. Si Bernabé le da cinco juguetes a Arturo, éste tendrá el triple de los que le quedan a Bernarbé. Si Arturo le da seis a Bernabé, ambos quedan con el mismo número de juguetes. ¿Cuántos juguetes tiene Arturo y cuántos Bernabé? 4. Descompón el número 150 como suma de dos números tales que al dividirlos, la parte entera del cociente y el residuo sea 4. 5. Por tres lápices y dos cuadernos, Antonio pagó $20, y en la misma papelería Arturo pagó $42 por cuatro cuadernos y cinco lápices, ¿cuánto vale cada artículo?
6. Pedro tiene ahorrados $530 en monedas de $5 y $10. Al sumar el total de monedas obtiene 69, ¿cuántas monedas tiene de cada denominación? 218
Bloque 5 • Representación de la información
35
Eventos mutuamente excluyentes
bloque 5
L
n
ecció
Algunos casos donde se aplica la probabilidad es en los sorteos de loter a, la posibilidad de obtener un empleo entre varios aspirantes, y en la probabilidad de que haya un d a soleado o no. 1. Completa la tabla donde se muestran los resultados posibles de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos que aparezcan en las caras superiores. Suma
Posibilidades
1 36
2 La palabra “probable” se emplea con frecuencia en el lenguaje cotidiano. Se usa para expresar con qué grado de certidumbre se piensa que sucederá un evento. Por ejemplo, cuando se dice “es probable que llueva”, se debe a que las condiciones climatológicas están dadas para ello.
Probabilidad
3 4 5
(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)
6 7 8 9 10
(4, 6) (5, 5)
11 12
1 36
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 10? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 2 o 3? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que 5 o mayor que 10? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 5 o 6?, ¿cómo obtuviste la respuesta? 5 e) Si tienes una probabilidad de 36 , ¿qué sumas pudiste haber obtenido? f) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 8 o mayor que 7? Justifica tu respuesta. Compara tus respuestas con las de tu grupo. Eventos mutuamente excluyentes • Lección 35
219
2. Ramiro tiene 15 tarjetas que ha coloreado y escrito un número en cada una, como las que aquí se muestran; las revuelve y escoge una tarjeta al azar. Según el color y el número de cada tarjeta, contesta las preguntas.
1
2
3
4
5
10
15
20
25
30
20
30
40
50
60
a) b) c) d)
¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta que escoja Ramiro sea verde o roja? Justifica tu respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta sea roja o que tenga un número divisible entre 15? ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta sea azul o mayor que 40? ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta tenga un número menor que 20 o que sea roja? Explica tu respuesta. e) ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta sea roja o azul? Comenta tus respuestas con el grupo.
La probabilidad se calcula dividiendo el número de eventos favorables entre el número de eventos 1 posibles; por ejemplo, la probabilidad de obtener el número uno al tirar un dado es 6 . Cuando dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo se denominan eventos mutuamente excluyentes. Al lanzar un dado, los eventos número par y número impar son mutuamente excluyentes dado que no hay un número que sea par e impar a la vez. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno u otro es igual a la suma de las probabilidades de que cada uno ocurra. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces
P(A o B) P(A) P(B)
Investiga otros sorteos que se realizan en Pronósticos para la
Asistencia Pública.
• ¿Qué sorteos realiza? • ¿Cuál es la mecánica de cada uno? • ¿En cuál de ellos se tienen más posibilidades de obtener un premio?, ¿por qué? • Selecciona uno de los sorteos y obtén la probabilidad de obtener el premio mayor que ofrece. 220
Bloque 5 • Análisis de la información
• En parejas realicen la siguiente actividad. 1. Observen los números y letras del teclado de un teléfono. Si oprimen al azar un botón del teléfono, calculen la probabilidad de obtener cada uno de los siguientes eventos: a) Un número par b) La letra Z c) Un divisor de 12 d) Una tecla sin número e) Un número menor que 6 f) Un número impar 2. Calculen las siguientes probabilidades de eventos mutuamente excluyentes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al oprimir al azar una tecla del teléfono, ésta sea una vocal o una tecla sin número? Justifica tu respuesta. b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una vocal o una tecla sin letras? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número impar o las últimas tres vocales? Expliquen. Comparen sus respuestas con las de otros equipos.
Tecnología En una hoja de cálculo electrónica, obtén la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes. Para ello, introduce correctamente las fórmulas que sean requeridas. Se hace girar la siguiente ruleta que contiene números del 1 al 10.
a) ¿Qué fórmula debes introducir en la celda A3 para obtener la probabilidad de que al girar la ruleta se detenga en un número menor que 4? b) ¿Qué fórmula debes introducir en B3 para obtener la probabilidad de que al girar la ruleta se detenga en un número mayor que 8? c) En la celda B5 introduce una fórmula para calcular la probabilidad de que al girar la ruleta se detenga en un número menor que 4 o mayor que 8? Con la misma ruleta, pide a tus compañeros que calculen la probabilidad de dos eventos mutuamente excluyentes utilizando la hoja de cálculo. Comparen sus respuestas.
Eventos mutuamente excluyentes • Lección 35
221
Por tu cuenta 1. Se pintó de blanco la cara de 2 puntos de un dado. En otro dado se pintó de blanco la cara de 5 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar los dados la suma de los puntos sea 6? 2. Verónica y su hermano están entre 10 hombres y 16 mujeres que se han propuesto para ocupar cargos en la sociedad de alumnos de una escuela secundaria. Si se elegirá al azar a un hombre y a una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que sean Verónica o su hermano? 3. Diana y cuatro de sus compañeros de grupo están entre 40 candidatos para ir a una excursión que organiza la escuela. Si van a elegir al azar a un estudiante, ¿cuál es la probabilidad de que Diana o alguno de sus compañeros vayan a la excursión? 4. Con base en la siguiente ruleta, contesta las preguntas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en color verde o amarillo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en un número terminado en 2 o 6? c) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en color rosa o azul? d) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en menor que 16 y mayor que 50? e) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en color rosa o amarillo? f) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en color azul o verde? 5. En un programa de concursos se van a dar 30 premios: 12 boletos para el cine, 10 boletos para el teatro, seis discos compactos y dos boletos para un viaje. Cada premio está marcado con un número del 1 al 20. Los números de los premios se introducirán en una urna, de donde los participantes sacarán sólo uno por persona para conocer su regalo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que obtengas un disco compacto o un boleto para el cine? b) ¿Cuál es la probabilidad de que obtengas un boleto para el teatro o para un viaje? 6. Pregunta entre tus compañeros qué día cumplen años. ¿Existen al menos dos que cumplen años el mismo día? ¿Cuál es la probabilidad de que dos compañeros de tu clase cumplan años el mismo día? 222
Bloque 5 • Análisis de la información
INGENIERÍA Los ingenieros utilizan el conocimiento de la ciencia y la matemática y la experiencia apropiada para resolver problemas concretos. Nuestro país, desde la época prehispánica, ha recurrido a la ingeniería para resolver problemas sociales y mejorar las condiciones de vida de la población. Fundada en un islote, la antigua Tenochtitlan sobrevivió en el agua gracias a la ingeniería hidráulica prehispánica, que era respetuosa del entorno. Los científicos trabajan con la ciencia y los ingenieros con la tecnología. Sin embargo, puede haber puntos de contacto entre la ciencia y la ingeniería. No es raro que los científicos se vean implicados en las aplicaciones prácticas de sus descubrimientos. De modo análogo, durante el proceso de desarrollar tecnología, los ingenieros se encuentran a veces explorando nuevos fenómenos.
Conexiones • Bloque 5
223
¿Qué aprendí?
¡Muy bien! Ahora que hemos terminado el quinto bloque de este curso de matemáticas revisaremos lo aprendido. Aplica tus conocimientos. 1. En una papelería hay 61 cuadernos de dos tipos; los de un tipo se venden a $8 y los del otro a $12. Si por la venta de todos los cuadernos el dueño piensa obtener $632, ¿cuántos cuadernos de cada tipo tiene? Completa la tabla para resolver el problema. Número de cuadernos
Precio por cuaderno
51 20
25
8 12 8 12 8 12 8 12 8 12
Suma parcial del precio
372 184
Precio total
640
2. Una línea de camiones viaja de la Ciudad de Mexicali al Puerto de Ensenada, con escala en Tecate. Cobra $75.00 por el pasaje a Tecate y $90 de Mexicali a Ensenada. En Mexicali abordaron el autobús un total de 38 pasajeros, y los ingresos totales fueron de $3 255, ¿cuántos pasajeros bajaron en Tecate?
3. Reproduce la siguiente figura y usa un transportador para dibujar una rotación de 120 alrededor del punto P.
224
4. Refleja la siguiente figura respecto a dos ejes de simetría paralelos.
5. Puedes resolver los dos siguientes problemas con el método gráfico de sistemas de ecuaciones. a) Una empresa agrícola tiene una granja de 100 hectáreas en la que cultiva zanahoria y tomate. Cada hectárea de tomate necesita 600 horas de trabajo y cada hectárea de zanahoria, 400 horas. Si se dispone de un total de 45 000 horas y se deben usar todos los recursos del terreno y mano de obra, ¿cuántas hectáreas se deben cultivar de cada verdura?
6. Una lancha de motor, que navega en un río con el acelerador a fondo, realizó un viaje de 4 km contra corriente en 15 min. Si en el viaje de regreso, con la misma corriente y la misma velocidad, tardó 12 min, ¿cuál sería la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente de la lancha en aguas tranquilas? d Recuerda que la expresión para calcular la velocidad es v t , por lo que para calcular la distancia será: d vt. 7. De una bolsa opaca que contiene canicas idénticas, excepto por el color (4 rojas, 3 verdes y 5 amarillas) se extrae al azar una canica. Calcula la probabilidad de: a) Sacar una verde o una amarilla. b) Extraer una roja o una amarilla. c) Que no se saque una amarilla. d) Que se pueda sacar una roja, una amarilla o una verde. e) Sacar una canica blanca. ¿Qué aprendí? • Bloque 5
225
Bibliografía Bibliografía para el maestro Clark, D. Evaluación constructiva en matemáticas, , Grupo Editorial Iberoamérica, México, 2002. Cohén Mochón, Simón, Desarrollando conceptos de álgebra por medio de actividades de construcción y exploración en la hoja de cálculo, McGraw-Hill Interamericana, México, 2004. Gutierrez, K y Sanchez, C. (Aprobado Secundaria) Matemáticas Libro para el maestro. Editorial Santillana, México, 2008. Hans Magnus Enzensberger. El diablo de los números. Ediciones Siruela, México, 1997. Hitt Espinosa, Fernando, Funciones en contexto, Pearson Educación de México, México, 2002. Hitt, F. Funciones en Contexto, Prentice Hall, México, 2002. Perero, Mariano. Historia e Historias de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1994. Rivaúd, Juan José. Matemáticas para todos, Fondo Mexicano para la Educación y el Desarrollo, A.C., México, 2003. SEP. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, México, 2000. SE. Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México. 2000. Ursini, S. et al. Enseñanza del álgebra elemental. Una propuesta alternativa, Trillas, México, 2005. Ursini, S y Rojano, Ma. Teresa. Enseñar Álgebra con Logo. Ed. Mc Graw Hill, México, 2005.
Bibliografía para el alumno Bosch, C. et al. Una aventura a las formas. Biblioteca juvenil ilustrada, Santillana, México, 2004.
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Bibliografía
________ Una aventura a la incertidumbre. Biblioteca juvenil ilustrada, Santillana, México, 2004. De la Peña, J. A. Geometría y el mundo. Biblioteca juvenil ilustrada, Santillana, México. 2002. Gutierrez, K y Sanchez, C. Matemáticas Libro para el alumno. Aprobado Secundaria Editorial Santillana, México, 2008. Hans Magnus Enzensberger. El diablo de los números. Ediciones Siruela, México, 1997. Tahan, M. El hombre que calculaba. Noriega Editores, México, 1994.
Revistas ¿Cómo ves?, Revista de divulgación de la ciencia, UNAM, México. Educación matemática, Santillana, México
Direcciones electrónicas http://descartes.cnice.mecd.es/index.html http://www.ilce.edu.mx http://www.sep.gob.mx http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx http://www.aulaclic.es/excel2003/ http://www.recursosmatematicos.com/ http://www.inegi.gob.mx http://www.geocities.com/algebrarecreativa/index.html http://fisicarecreativa.net/aritmeticarecreativa/aritmeticarecreativa 01.html http://www.rmm.cl/index.php
Bibliografía
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