MATEMATICAS. Tomo 5. Preparación Del Ejercicio Práctico de Las Oposiciones Al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Braulio de Diego Martín Catedrático de Matemáticas de Enseñanza Secundaria (excedente). Profesor Titular de Escuela Universitaria. Universidad de Alcalá de Henares.

Agustín Llerena Achútegui Catedrático de Matemáticas de Enseñanza Secundaria. Profesor Asociado. Universidad de Alcalá de Henares.

Francisco José Baena Muñoz Profesor de Enseñanza Secundaria.

María Belén Rodríguez Rodríguez Profesora de Enseñanza Secundaria.

José Manuel Gamboa Mutuberría Catedrático de Álgebra. Universidad Complutense de Madrid.

José María Lorenzo Magán Profesor de Enseñanza Secundaria. Profesor Asociado. Universidad Complutense de Madrid.

Bruno Salgueiro Fanego Profesor de Enseñanza Secundaria.

MATEMATICAS

177 PROBLEMAS

Tomo

5

(2006 a 2012) 2.ª EDICIÓN

o i o c c i c c r e e j e l e n d ó ó i c a a r a p e e r P e s n o o i c c i s o p s O a a l e d o c c i i t á c d e p r á s e e r o s e e f o o r e P d o p p r e u C a l ia r i a a d n u c e S E n s e ñ a n z a

© Los autores © Editorial Deimos Glorieta del Puente de Segovia, 3 28011 Madrid Tel.: 91 479 23 42 y 669 31 64 06 www.academiadeimos.es [email protected]

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I.S.B.N: 978-84-86379-32-2 (Obra completa) I.S.B.N: 978-84-86379-88-9 (Tomo 5, 2.ª edición) Depósito legal: M-30155-2 M-30155-2014 014

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Prólogo

&

iempre es motivo de satisfacción que un libro llegue a ver una segunda edición. Complacidos de que haya sido así, presentamos al lector la segunda edición del quinto volumen de la colección Problemas de Oposiciones a Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas , cuyo primer volumen recogía problemas propuestos en las citadas oposiciones desde 1969. En este quinto volumen se resuelven los problemas propuestos desde !!6 a !1 por los tribunales que han "u#gado las oposiciones al Cuerpo de $rofesores de Ense%an#a &ecundaria, en la especialidad de 'atem(ticas, en las diferentes Comunidades )utónomas. En esta segunda edición del quinto volumen de problemas se ha incorporado alguna nueva solución m(s inteligente que la que nosotros escribimos en la primera edición, se han a%adido algunas observaciones a determinados problemas que contribuyen a su me"or entendimiento y, por supuesto, hemos corregido alguna errata que nos pasó desapercibida en nuestras revisiones de la primera edición. El lector encontrar( al inicio del libro un índice cronológico en el que los problemas aparecen ordenados seg*n el a%o de celebración de la +posición y la Comunidad en la que fueron propuestos, adem(s de un índice tem(tico de problemas, en el que el lector podr( encontrar todos aqullos referidos a un mismo concepto matem(tico.

-

Problemas de Oposiciones 2006-2012

/os problemas que aparecen en el libro que ya fueron propuestos en anteriores convocatorias y que figuran resueltos en los vol*menes 1, , 0 o  de la colección Problemas de Oposiciones. Matemáticas 2vanse las $ublicaciones del final del libro3 no se resuelven nuevamente, salvo en aquellos casos en los que se nos ha ocurrido una solución distinta de la que figuraba en vol*menes anteriores. En caso contrario, remitimos al lector al volumen de los anteriores en el que figura resuelto el problema. En muchos de los problemas propuestos por primera ve# entre !!6 y !1 hemos presentado m(s de una solución y, en casi todos, hemos incluido unas +bservaciones al final de cada problema en las que se enuncian y demuestran resultados que evitar(n que el lector tenga que recurrir a terceros libros para entender las soluciones que se presentan. Es por ello que algunas soluciones aparecen e4tensas en longitud, producto de nuestro inters en dar tantas e4plicaciones como sean necesarias para que el lector entienda con claridad lo que escribimos. En alguno de los problemas hemos preferido cambiar el enunciado original del problema que se propuso en la +posición por otro m(s general que lo engloba y del que aqul es un caso particular. El lector aprender( así, no sólo a resolver el problema que se propuso, sino que ser( capa# de resolver todo un tipo de problemas similares al que se planteó en la +posición. $or *ltimo, queremos agradecer la colaboración de todos aqullos que han contribuido a que esta segunda edición me"ore a la primera y de todos cuantos confían en nuestra aptitud a la hora de escribir 'atem(ticas. Es posible que nos falte talento o ingenio, pero a buen seguro que no nos falta voluntad para intentar escribir libros me"ores. 'adrid, 5oviembre !1 /+& )7+8E&

ndices de problemas

-

Índice cronológico de problemas

Año 2002 aleares. +pción )::::. !.6, !.;, !.<, !.9, !.1! aleares. +pción ::::. !.11, !.1, !.10, !.1, !.1= aleares. +pción C::::. !.16, !.1;, !.1<, !.19, !.! aleares. 7urno libre:::. !.1, !., !.0, !., !.=

Año 2006 )ndalucía::::::::. !6.6, !6.;, !6.66, !6.;0, !6.
-


Canarias. +pción :::: !6.;1, !6.;, !6.;9, !6.<;, !6.<9, !6.91, !6.90, !6.9=, !6.9;, !6.99 Canarias. +pción >:::: !6.==, !6.=<, !6.6, !6.<, !6.<=, !6.1!1, !6.1!0, !6.1!=, !6.1!;, !6.1!9 Cantabria::::::::. !6.0, !6.09, !6.;, !6.111 Castilla ? /a 'ancha:::. !6.19, !6., !6.<6, !6.11! Castilla y /eón:::::: !6.!, !6.0, !6.<, !6.11 Ceuta:::::::::: !6.1;, !6.!, !6.;!, !6.1!! Comunidad -alenciana::.. !6., !6., !6.;=, !6.1!6 E4tremadura::::::: !6.1!, !6.<, !6.6, !6.=;, !6.69, !6.1! @alicia:::::::::.. !6.0, !6.16, !6.1, !6.00, !6.;, !6.6!, !6.;;, !6.<< /a 8io"a::::::::: !6.1, !6.0;, !6.60, !6.9, !6.1! 'adrid:::::::::. !6.<, !6.0!, !6.=, !6.6, !6.<0, !6.96 'elilla:::::::::.. !6.;, !6.=, !6.<1, !6.9< 'urcia:::::::::.. !6.11, !6.06, !6.=9, !6.;6, !6.11;


A

Año 2008 Comunidad -alenciana::. !<., !<.=, !<.6 'adrid:::::::::. !<.1, !<., !<.0

Año 2009 Comunidad -alenciana::. !9.1, !9., !9.0, !9., !9.=, !9.6, !9.;, !9.<, !9.9, !9.1!, !9.11, !9.1, !9.10, !9.1, !9.1=, !9.16, !9.1;, !9.1<, !9.19, !9.!, !9.1

Año 2010 Comunidad -alenciana::.. 1!.=, 1!.6, 1!.;, 1!.< 'adrid:::::::::.. 1!.1, 1!., 1!.0, 1!.

Año 2012 Cantabria::::::::. 1.1, 1., 1.0, 1., 1.=

A


Índice temático de problemas

Números y combinatoria

&istemas de numeración:::::::. !6.<, !6.==, !6.1!6, !6.1!; Combinatoria. $rincipio de 8efle4ión:. !.0, !.1, !6.0, !6.=, !6.66, !9.< >ivisibilidad en

ℤ

. 5*meros primos:... !.1<, !6.<, !6.1, !6.19, !6.!, !6.<, !6.=, !6.=<, !6.1!6, !9.1<, 1!.=

Congruencias:::::::::::: !6.<, !6.1, !6.19, !6.<, !9.1<, 1!.= $rogresiones aritmticas y geomtricas: !6.16, !6.0;, !6.1, !6.==, !6.91, 1!.<

lgebra Estructuras algebraicas:::::::.. !6., !6.;, !<. Espacios vectoriales::::::::: !6.09, !6., !6.;!, !6.96, !6.11 )plicaciones lineales::::::::: !.;, !6.;!, !6.;1, !9.=, 1.


A

$olinomios. >ivisibilidad y raíces::: !.1, !.6, !.1<, 1.1, !6.1!, !6.11, !6.16, !6.0!, !6.==, !6.11= Ecuaciones algebraicas:::::::: !.11, !.!, !6.=, !6.<, !6.11, !6.1=, !6.16, !6.0, !6.0, !9.19, 1!. &istemas de ecuaciones::::::::!.1, !.6, !6.; Ecuaciones diof(nticas:::::::: !.1<, !6., !6.<, !6.=;, !6.<6, !6.9! 'atrices. >iagonali#ación::::::. !6.9, !6.1!, !6.;, !6.09, !6.=0, !6.<=, !<., !9.=, 1. >eterminantes. 'atri# inversa::::.. !., !.16, !.!, !6.;, !6.9, !6.11, !9.= $roducto escalar ::::::::::. !.1, !.11, !6., !6. $rogramación lineal::::::::: !6.1!1, !9.1

!álc"lo di#erencial

5*meros reales. $arte entera::::: !6.;, !6.<, !6.!, !6.6<, !6.1!9, 1.1, 1.0 &ucesiones recurrentes............................ !.19, !6.6, !6.;<, !6.<<, !6.9, !6.96, !6.11, !6.11, !9., !9.1;

A


/ímites de sucesiones::::::::. !., !.1!, !6.6, !6.01, !6.00, !6.0;, !6.<0, !6.96, !9., !9.1;, 1!.6 &eries numricas.::::::::::. !.=, !.10, !6., !6.0, !6.1, !6.=!, !6.;=, !9.1; 5*meros comple"os:::::::::. !.1=, !6.1!, !6.1, !6.0, !6.==, !6.<=, 1!. Bunciones reales::::::::::.. !.19, !6.6, !6.!, !6.<, !6.11! /ímites y continuidad de una función:. !.;, !.1!, !6.1<, !6.9, !6.=1, !9.16, 1!., /ímites en problemas geomtricos::: !6.01, !6.0, !<. &ucesiones de funciones..::::::: !.1!, !6.< >erivada de una función::::::: !6.;, !6.61, !9.16, 1!. 7eorema del valor medio::.................. !., !.1!, !6.;, !6.=9, 1!. '(4imos y mínimos::::::::: !6.1!1, !9.11, !9.1 '(4imos y mínimos en problemas geomtricos::::::.. !6., !6.0!, !6.=, !6.;6, !6.11=, !9.1, !9.!, 1!.1 >esarrollo limitado de una función::.. !., !6.;


A

@r(fica de una función en coordenadas rectangulares::::: !6.;, !9.16 @r(fica de una función en coordenadas polares:::::::... !6,1, !6.60, !6.69, !6.9= &eries de potencias:::::::::.. !6.;=, !9.11

!álc"lo integral

ntegral definida. $ropiedades::::.. !.=, !.1!, !.10, !.1;, !6.6, !6.!, !6., !6.6, !6.;9, !6.<0, !<.6, !9.1, !9.1, 1., 1.0 C(lculo de primitivas::::::::.. !6.;, !6.<, /ongitud de una curva:::::::.. !6.60, !6.;, !6.;0 rea encerrada por una curva:::::!.=, !.10, !6.1, !6.01, !6.60, !6.69, !6.;0, !6.;9, !<. reas y vol*menes de revolución.::: !.1;, !6.0, !6.6, !9.0, !9.1 ntegrales paramtricas..::::::: !<.6 ntegración apro4imada:::::::. !6.<0, !9.6

A-


$eometr%a

Bórmulas y ecuaciones trigonomtricas: !.9, !6.0!, !6., !6.1!6, !6.1!<, 1!. &eme"an#a. 7eorema de 7hales::::. !., !.<, !.16, !.1;, !6.0!, !6.6, !6.9< @eometría del tri(ngulo :::::....... !., !.<, !.16, !6.1, !6.1, !6.1;, !6.9, !6.0!, !6.01, !6.0=, !6.6, !6.6;, !6.9;, !6.9<, !6.1!6, !6.110, !9., !9.1!, !9.!, 1!.1, 1!.< $olígonos. reas de polígonos::::.. !6.1, !6.=, !6.9, !6.0!, 1!.< Circunferencia. ngulos. $otencia.::.. !.<, !6.1;, !6.0, !6.01, !6.00, !6.=6, !6.<;, !<.= $roblemas de tangencia:::::::. !6.1;, !6.0, !6.=6, !6.6, !6.90, !6.1!6, !<.1, !9.0, !9.9, !9.1!, !9.1; reas de segmentos y sectores::::...!6.01, !<., !9.0, !9.1; 'ovimientos en el plano. Domotecias..: !6.1! Curvas planas. Envolventes:::::. !6.00, !6., !9.10, 1!.= $roblemas mtricos en el plano:::: !6.10, !6., !6.110, !9.1, !9.;, !9.1!


A-

/ugares geomtricos en el plano:::: !6.0, !6.6, !6.69, !6.<;, !6.9, !<.1, !9.;, !9.9 Elipse, par(bola e hiprbola:::::.. !6.0, !6., !6.=6, !6.;6, !6.;;, !6.90, !<.1, !9.10 Clasificación de cónicas:::::::.. !6.0, !6.6, !6.;;, !9.9, !9.10 &ólidos platónicos y arquimedianos::. !6.116 $roblemas mtricos en el espacio:::..!.1, !6.;6, !6.1!=

&stad%stica y Probabilidad $robabilidad. 8egla de /aplace:::: !.0, !.1, !6.06, !6.0<, !6.=!, !6.=, !6.<1, !6.99, !6.1!, !6.111, !<.0, !9.1=, 1!.0 $robabilidades geomtricas:::::.. !6.0<, !6.<1, !6.1!, !6.111, !9., !9.1=, !9.19, 1!.; $robabilidad compuesta, 7eorema de la probabilidad total, 7eorema de ayes :::::::::. !6.06, !6.6!, !6.6=, !6.;=, !6.
A-


-ariables aleatorias discretas.::::.. !6.06, !6.6!, !6.;=, !6.<9, !6.1!!, !9.11 -ariables aleatorias continuas .:::: !6.<9, !6.1!!, !6.1!, !6.0<, !6.<1, !9.19, 1. 7est de hipótesis::::::::::. !6.1!0

'idáctica de las (atemáticas Currículo de &ecundaria y achillerato. $ropuestas did(cticas:::::::: !6.6, !6.;, !6.66, !6.;0, !6.
A-


)n par de problemas e*tra%dos del +ol"men , Problema 06-.1- /páginas 19 a 1,1 &e dibu"an rosetas regulares de n ptalos en el interior de un círculo 2 n >  3. Cada arco de ptalo se obtiene al dividir una circunferencia en n partes iguales. /a figura ad"unta muestra el caso n = < . Cu(l es el límite de la fracción del (rea del círculo que ocupan las rosetas cuando n tiende a infinitoF /Ast"rias ol"ción3 $or evidentes ra#ones de seme"an#a, podemos suponer que el radio del círculo de la figura es 1. &eg*n el enunciado, cada ptalo es la unión dis"unta de dos segmentos circulares idnticos, cada uno de los cuales se obtiene al dividir una circunferencia de radio r n a determinar en n partes iguales. El (ngulo central que abarca dicho segmento sobre la citada circunferencia es n , así es que como la longitud de la correspondiente cuerda es 1, deducimosG π

1  sen = n r n π

⇒

r n =

1 sen n π

1H  π

n

r n

A-


El (rea del segmento circular puede obtenerse como la diferencia entre el (rea de un sector circular y el (rea de un tri(ngulo. El (rea del sector es la n Isima parte del (rea del círculo, es decir, r n  π = π n n sen  n

π

El (rea del tri(ngulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del (ngulo que forman, esto es, sen n 1   1 1  r sen = ⋅ ⋅ sen =  n n   sen  n < sen  n n π

π

π

π

π

El (rea del segmento circular es asíG sen n

π

π



n sen n

π

−



< sen n

π

 − n sen n π

π

=

y el (rea que encierra cada ptalo de la roseta esG

⋅

 − n sen n

π

π

π


π

=

n sen  n π

/os ptalos de la roseta no se superponen los unos a los otros, pues si es el (ngulo que forman las tangentes a los dos arcos de cada ptalo en el centro del círculo de α

radio 1, es  = n 2los lados que forman el (ngulo  son respectivamente perpendiculares a los lados que forman el α

π

α

H

α

π

n

AA


(ngulo n 3. )sí, = n y cada ptalo es tangente en el centro del círculo de radio 1 al ptalo contiguo. π

π

α

El (rea de la roseta es n veces el (rea de cada ptalo, a saberG

n ⋅

 − n sen n

π

π



n sen n

π

π

=

π

 − n sen n  sen  n π

y la fracción pn del (rea del círculo de radio 1 que ocupa la roseta esG pn =


π

 sen  n π

π

fracción a la que debemos calcular el límite cuando n → ∞ . 8ecordando que lim n →∞ n sen n = limn →∞ n ⋅ n =  por ser sen ! ∼ ! cuando ! → ! , el límite a calcular es una indeterminación !! . $ara resolverla, usamos desarrollos limitados de las funciones JsenoK y Jseno cuadradoK en el origen. $or un lado, π

π

π

sen ! = ! − y por otro, como es sen !

∼

! 0 + o (! 0 ) , 6

! cuando ! → ! , tambin es sen !

∼

!  , es

decir, sen  ! = !  + o (!  ) cuando ! → ! , y podemos concluir queG   1  < 0    n o − − +  − n sen  0  0  1 n 6n n  = n =  lim p n = lim ⋅ lim  n →∞ n →∞  n → ∞ 1  sen  + o   n  n   n π

π

π

π

π

π

π

π

π

AA


1  0 + o     1 1 1 n   0 n = ⋅ lim = ⋅ ⋅ lim  1   n →∞   0 n → ∞ + o    n   n π

π

π

π

=

1 + 0n  ⋅ o   1 1  n   = ⋅ ⋅ π =   π  0 1  π + n  ⋅ o    n   π

0

1 0

pues

( )

o 1   1 lim n  ⋅ o    = lim 1n = !  n  n →∞ n →∞ n 

Problema 06-90- /páginas .60 a .62 &i de una urna que sólo contiene bolas blancas y bolas negras, idnticas salvo en el color, e4traemos dos bolas al a#ar sin reempla#amiento, la probabilidad de que sean del mismo color es 1 . Cu(ntas bolas de cada color contiene la urnaF

/4aleares- 5pción A n problema muy similar a ste es el !6.<6 de este mismo volumen.

ol"ción3 +btendremos todas las configuraciones de la urna que proporcionan la probabilidad 1H del enunciado. &ea b el n*mero de bolas blancas y n el n*mero de bolas negras en la urna. )ceptamos, seg*n una lectura rigurosa del enunciado, que son b, n ≥ 1 . /a probabilidad de obtener dos bolas del mismo color es la suma de la probabilidad de obtener dos bolas blancas y la de obtener dos negras, es decir,

AA


b −1 n n −1 1 + ⋅ = b + n b + n − 1 b + n b + n − 1  b

⋅

o bien, b (b − 1) + n (n − 1 ) 1 =  (b + n )(b + n − 1)

)l quitar denominadores en la ecuación anterior y agrupar convenientemente, se tieneG b (b − 1) + n (n − 1) = (b + n )(b + n − 1 ) ⇔

b  − bn + n  = b + n

⇔

⇔ 

(b − n ) = b + n

Lueda así una ecuación diof(ntica para cuya resolución resulta apropiado llamar b − n = " , y por tanto, b + n = "  , donde " ∈ ℤ y "  ≥  por ser b, n ≥ 1 . El n*mero de bolas de cada color en la urna se obtiene así resolviendo el sistemaG b + n = "   b − n = " 

cuyas soluciones sonG b=

donde " ∈ ℤ y " ≥  .

" (" + 1) , 

n =

" (" − 1) 

AA


+&E8-)C+5E& &i las e4tracciones de las dos bolas se llevasen a cabo con reempla#amiento, la probabilidad de obtener dos bolas del mismo color es, como antes, la suma de las probabilidades de obtener dos bolas blancas y la de obtener dos bolas negras, es decir, 



 b   n  b + n 1   = ⇔  +   = b + n  b + n  b + n   ( ) ⇔

b  − bn + n  = !

⇔

b  + n  = b  + bn + n  ⇔



(b − n ) = !

⇔

b=n

&ignifica esto que la urna debe contener igual n*mero de bolas blancas que negras para que la probabilidad de e4traer dos bolas blancas al sacar de la urna dos bolas con reempla#amiento sea 1 .

PUBLICACIONES

PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 1: 1969 a 1980. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas.

Tercera edición. I.S.B.N. 978-84-86379-33-9. Autores: Braulio de Diego y Elías J. Gordillo. Obra dedicada a la resolución, con todo detalle, de los 509 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 592 pág., ofreciéndose dos métodos de resolución cuando se ha considerado oportuno.


Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-36-0. Autores: Braulio de Diego y Elías J. Gordillo. Contiene, en 768 páginas, 773 problemas totalmente1 resueltos que fueron propuestos en las citadas oposiciones, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.


Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-34-6. Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena y Mariano Llerena. Contiene totalmente1 resueltos 551 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 672 pág., convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.


Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-86-5. Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena, Francisco Baena, Mª Belén Rodríguez, José Manuel Gamboa y José Mª Lorenzo. Contiene totalmente1 resueltos 378 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 1004 páginas, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías.


Segunda edición. I.S.B.N. 978-84-86379-88-9 Autores: Braulio de Diego, Agustín Llerena, Francisco Baena, Mª Belén Rodríguez, José Manuel Gamboa, José Mª Lorenzo y Bruno Salgueiro. Contiene totalmente1 resueltos 177 problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 656 páginas, convocadas tanto por el M.E.C. como por diferentes Autonomías

PROBLEMAS DE OPOSICIONES. Tomo 6: 2014. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas.

I.S.B.N. 978-84-86379-87-2 Autores: Braulio de Diego, Francisco Baena, Agustín Llerena, Mª Belén Rodríguez, José Manuel Gamboa, José Mª Lorenzo y Bruno Salgueiro. Contiene totalmente1 resueltos los problemas propuestos en las citadas oposiciones, en 168 páginas, convocadas por las diferentes Autonomías 1

Los problemas propuestos en convocatorias de años anteriores no se resuelven otra vez, sino que se indica un volumen de la misma colección donde figuran resueltos.

TEMAS DE OPOSICIONES A PROFESOR DE ENSEÑANZA SECUNDARIA. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas.

Segunda edición. Tomo 1, I.S.B.N. 978-84-86379-48-3. Tomo 2, I.S.B.N. 978-84-86379-47-6. Tomo 3, I.S.B.N. 978-84-86379-49-0. Autores: Braulio de Diego, Francisco Padilla y Agustín Llerena. Obra de 3 volúmenes en la que se desarrollan todos los temas del Temario de Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria, especialidad de Matemáticas

PROGRAMACIONES Y UNIDADES DIDÁCTICAS. Oposiciones al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria. Matemáticas.

Tomo 1, I.S.B.N. 978-84-86379-74-2. Tomo 2, I.S.B.N. 978-84-86379-75-9. Tomo 3, I.S.B.N. 97884-86379-76-6. Tomo 4, 978-84-86379-77-3. Autores: Fernando García, Antonio J. López, Manuel López, José Mª Lorenzo, Jorge Quereda, Manuela Redondo y Mª Teresa Sánchez Figuran desarrolladas las programaciones de las asignaturas de Matemáticas de 1º y 2º de E.S.O. en el Tomo 1; 3º y 4º (Opciones A y B) de E.S.O. en el Tomo 2; las Matemáticas I y II del Bachillerato de Ciencias y Tecnología en el Tomo 3; y las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II en el Tomo 4. Además, con cada programación se desarrollan al menos quince unidades didácticas.

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL. Primer curso de Escuelas Técnicas, Escuelas Universitarias y Facultades de Ciencias.

Cuarta edición. I.S.B.N. 978-84-86379-00-1. Autores: Braulio de Diego, Elías J. Gordillo y Gerardo Valeiras. Obra dirigida por José Luis Vicente Córdoba (Catedrático de Álgebra de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla). Contiene 427 problemas totalmente resueltos y más de 848 cuestiones. Cada capítulo se inicia con un resumen teórico. Capítulo 1: Matrices. Operaciones elementales. Determinantes. Matriz inversa. Rango o característica de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción de Gauss. Capítulo 2: Espacios vectoriales. Subespacios. Dependencia lineal. Espacio cociente. Base y dimensión. Coordenadas. Cambio de base. Escalonamiento de vectores. Aplicaciones del Teorema de Rouché-Fröbenius. Capítulo 3: Aplicaciones lineales. Núcleo e imagen. Matrices asociadas a una aplicación lineal. Formas lineales. Espacio dual. Capítulo 4: Autovectores y autovalores. Polinomios característico y mínimo. Matrices diagonalizables. Diagonalización de matrices simétricas reales. Formas canónicas de Jordan: métodos de la partición de multiplicidades y de los divisores elementales. Aplicaciones.

EJERCICIOS DE ANÁLISIS (CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL). Primer curso de Escuelas Técnicas, Escuelas Universitarias y Facultades de Ciencias.

Quinta edición. I.S.B.N. 978-84-86379-02-5. Autor: Braulio de Diego. Capítulo 1: Interpolación. Capítulo 2: Sucesiones y topología en la recta real. Límites. Capítulo 3: Números complejos. Transformaciones. Capítulo 4: Límites y continuidad de funciones reales de variable real. Capítulo 5: Derivada y diferencial. Capítulo 6: Teoremas del valor medio. Regla de L’Hôpital. Fórmulas de Taylor y Mac Laurin. Curvas. Capítulo 7: Cálculo de primitivas. Integral definida. Integrales impropias. Convergencia. Capítulo 8: Series numéricas. Sucesiones y series funcionales. Convergencia uniforme. Desarrollos en series de potencias. Capítulo 9: Ecuaciones algebraicas. Aproximación de raíces. Eliminación de incógnitas.

Distribución y pedidos a:

Editorial DEIMOS Glorieta del Puente de Segovia, n.º 3 28011 MADRID Teléfonos: 91 479 23 42 y 669 31 64 06 www.academiadeimos.es [email protected]

MATEMATICAS. Tomo 5. Preparación Del Ejercicio Práctico de Las Oposiciones Al Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

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