MATEMATICAS FI NANCI ERAS
DIRECTORIO JOSE ENRIQUE VILLA RIVERA Director General EFREN PARADA ARIAS Secretario General YOLOXOCHITL BUSTAMANTE DIEZ Secretaria Academica JOSE MADRID FLORES Secretario de Extension e Integracion Social LUIS HUMBERTO FABILA CASTILLO Secretario de investigacion y Posgrado HECTOR MARTINEZ CASTUERA Secretario de Servicios Educativos MARIO ALBERTO RODRIGUEZ CASAS Secretario de Administracion LUIS ANTONIO RIOS CARDENAS Secretario Tecnico LUIS EDUARDO ZEDILLO PONCE DE LEON Secretario Ejecutivo de la Comision de Operacion y Fomento de Actividades Academicas JES Ds ORTIZ GUTIERREZ Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones JULIO DI-BELLA ROLDAN Director de XE-IPN TV Canal 11 LUIS ALBERTO CORTES ORTIZ Abogado General ARTURO SALCIDO BELTRAN Director de' Publicaciones
Jorge Rivera Salcedo
~
MATEMATICAS FIN AN C I ERA S
I NSTITUTO
POLlTECNlco NACIONAL MEXIco
Maternaticas financieras Primera edici6n: 1994 Cuarta reimpresi6n: 2007 D.R. © 1994 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Direcci6n de Pu blicaciones Tresguerras 27, 06040 Mexico, DF ISBN 968-29-7536-0 Impreso en Mexico/Printed in Mexico
PREFACIO El estudio de las matematicas financieras otorga al estudiante los conocimientos necesarios para que pueda plantear los modelos matematicos que Ie ayudaran a resolver los problemas que atanen a las finanzas. Y a raiz de la problematica que se ha venido planteando en torno ala aplicacion de las financieras dentro de las ciencias sociales, es que se presenta un estudio adecuado para los estudiantes de primer nivel de esta materia. Ademas, con el objeto de que los alumnos dispongan de esta herramienta tanto para cubrir el programa, como para que les pennita fijar toda su atencion al profesor sin preocuparse de escribir nota alguna, a excepcion~ claro esta, de las notas adicionales que el profesor juzgue conveniente. Con el propos ito de que este libro sea de utilidad en este tiempo yen el venidero, es que no se utiliza una unidad monetaria, dejando la libertad allector para que sea el quien se la asigne. El presente texto abarca desde las bases de los logaritmos hasta su aplicacion a los problemas de interes compuesto y las anualidades. En el primer capitulo se presenta la relacion que existe entre una ecuacion de la fonna exponencial con una ecuacion de la fonna logarftmica. Ademas, se demuestran las propiedades de los logaritmos y se describe la manera como se calculan~ se aborda la aplicacion de estos elementos para el despeje de incognitas de ecuaciones exponenciales. En el segundo capitulo se lleva a cabo el desarrollo de las progresiones, aritmetica y geometrica, pa"ra su posterior aplicacion a los problemas de depreciacion y anualidades. En el tercer capitulo se muestran los problemas de la depreciacion contable, tanto por el metodo lineal, como por el del porcentaje 4'jjo. En el cuarto capitulo se presenta, por un lado, un estudio sobre el interes simple, que abarca desde un interes real y comercial hasta una comparacion
del interes con el monto simple y, por el otro, un breve analisis sobre las ecuaciones de valor equivalente en el interes simple. En el capitulo cinco se desarrollan los problemas del interes compuesto, haciendo una comparacion grafica de este con el interes simple. En el sexto capitulo se definen los aspectos inherentes a las anualidades, haciendo uso de los logaritmos y de las tablas financieras que se refieren a ello. En el septimo capitulo se considera la amortizacion de una deuda mediante anualidades simples y generales, haciendo la construccion de la tabla de amortizacion. ' En el capitulo ocho se hace un breve estudio de los bonos, calculando el valor actual de los mismos comprados a 1a fecha de pago de cupon, premio y descuento, valor en libros y amortizacion de la prima. Ademas, el valor de los bonos comprad6s entre fecha de pago de cupon.
SIMBOLOGiA Sfmbolo
Significado
...
hnplica Por 10 tanto
E
1R
Pertenece Nillneros reales Aproximadamente igual a
>
<
R
Mayor que Menor que Valor presente de una anualidad de "R" pesos Monto Valor presente de un peso en "R" perlodos Valor de la anualidad 0 renta Valor presente de una serle de anualidades de un peso anual Monto de un solo periodo de la anualidad
Nota: La mayoria de las operaciones, estan efectuadas con 6 cifras despues delpunto.
iNnICE pAGINAS CAPiTULO I LOGARITMOS Defuricion ................................... '. . . . . . . . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Decimales 0 comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AIltilogarit:rn.os ............................................ Cologariflnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones exponenciales ................................... Logarit:rn.o de un nUmero en diferentes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
7 10 12 14 15 17 20
CAPiTULOll PROGRESIONES Ariflnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Geometrica ...............................................
25 29
CAPtruLOllI DEPRECIACION Metodo de promedios 0 metodo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Metodo de porcentaje fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35 35
CAPiTULO IV INTERES SIMPLE Y DESCUENTO SIMPLE' Interes simple ............................................. Relacion entre el interes comercial y el interes real . . . . . . . . . . . . . . .. Monto de un capital a interes simple ........................... Descuento real 0 racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Descuento bancario 0 comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Representacion gnifica del interes y del monto simple ............. Ecuaciones de valor equivalentes en el interes simple. . . . . . . . . . . . . .
49 50 55 57 57 65 68
CAPiTULO V UNTERESCOMPUESTO Monto ....................................... -......... . .. Problemas de monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de capital 0 valor presente .......................... Problemas de tasa de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Problemas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tiempo en que se multi plica un capital a interes compuesto . . . . . . . . . Descuento a interes compuesto ............................... Crecimiento comparativo del monte a interes simple con el monte a interes compuesto ............................ . Capitalizacion de intereses en fracciones de atio 0 tiempo fraccionario Relacion entre tasa nominal y tasa efectiva 0 real. . . . . . . . . . . . . . . .. CAPiTULO VI ANUALIDADES Introduccion .............................................. Anualidades ordinarias (ciertas simples-vencidas) ................ Anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Anualidades diferidas vencidas ............................... Anualidades diferidas anticipadas ............................. Anualidades generales ......................................
79 80 82 84 86 90 92 93 94 94
105 106 120 132 139 142
CAPITULO VII AMORTIZACION Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151 Tablas de amortizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151 CAPITULO VIII BONOS Generalidades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tasas de interes y valor actual de los bonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Valor de los bonos comprados a la fecha de pago de cupon ......... . Compra de bonos con premio 0 descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Valor en libros y amortizacion de la prima ...................... Valor de los bonos comprados entre fechas de pago de cupan . . . . . ..
157 158 159 165 168 169
TABLASFINANCIERAS ................................... 179 BIBLIOGRAFIA .......................................... 197 APENDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199
CAPITULO
LOGARITMOS Objetivo Sabemos que los logaritmos representan una herramienta muy importante en todas las areas de las matematicas, en particular en las matematicas aplicadas a las finanzas, ya que con ellos podemos despejar los exponentes, que en esta parte de las finanzas representan el tiempo en el monto a interes compuesto, y las anualidades.
Dejinici6n Si tenemos un nillnero C > 0, C:I: 1 Y un nillnero Y E ecuacion: Cy .... X
mentonces en la
A "Y" se Ie conoce como logaritmo en base "c'" de ..X .... Dicho de otra manera ··Y'" es el exponente de la base "C" para obtener "X". Lo anterior representa que C Y = X y la defInicion 10gcX = Y son equivalentes, es decir, son 10 mismo, solo que C Y = X esta escrita en forma exponencial y 10gcX - Y esta, segun la definicion, en forma logatftmica. Nota. Dado que C > 0 y Y E 7R, entonces C Y es siempre un numero positivo (por propiedad de los exponentes). Sea por ejemplo: 22
=
4
=> 22> 0
2° - 1 =>2° > 0 2- 2
-!
=> 2- 2 > 0 4 En conclusion, solamente existen 10garitmos de nUmeros positivos, ya que, al menos dentro de los nUmeros reales no hay logaritmos de nUmero negativos. 7
EJEMPLOS 1) La ecuaci6n exponencial dellado izquierdo, transfonnemosla a su forma logarftmica dellado derecho. y
Y == log eX
C == X 3
3 == 27
3 = log327
4
3 == 81 4 -log381 -1 1 1 4 =-1 = log o 4 5 = 1 0= 10gs1 -3 -2 1 3 1 9 =-2 = log9 27 27 2) La ecuaci6n logaritmica del lado izquierdo, transfonnemosla a su forma exponencial dellado derecho.
44
y
Y = logcX
C =X
logbb = 1
b =b
1
1
6
log6- =-2 36 logrt9 = 2
-2
1
=-
2 36 7 =49 o 10 == 1 -3 1 9 = 729
log 10 1 == 0 1 log9 729 = -3 3) Calcular la base "C" de loge51
=
5 3
pasandolo a su fonna exponencial tenemos:
s C3 = 51 por propiedad de los exponent.es, tenemos que el numerador "5" pasa como raiz quinta del 51, y el denominador "3~' pasa como potencia, esto es: C=s~
C == 10.581375 1 4) Calcular "Y" de Y == log6 36 pasando a su fonna exponencial tenemos: 6Y 8
=2... 36
Y 1 que se puede escrl°boIr como 6 = '2' 6 Y por propiedad de los exponentes se tiene: 6 Y == 6-2 Y para que 6 Y sea igual a 6- 2 se observa que Y = -2
SERIENool La ecuaci6n exponencial dellado izquierdo, transf6rmela a su forma logaritmica dellado derecho: 1) 5-4=~ 54 1 2) 16 = 16 3)
2 10 == 100
4)
3° = 1
5)
3 7 = 343
La ecuaci6n logaritmica del lado izquierdo, transf6rmela a su forma exponencial dellado derecho: 1)
log21 = 0
2)
log99 == 1
3)
log1515
4)
log31 ... 0
5)
log
=
1
1
18
5832 =-3
Calcular la base "C" 0 el exponente "yn de las siguientes ecuaciones: 1)
loge17 == 3
2)
loge
3)
1 8 = 4 Y = log3 3[9 4rn Y
9
4)
Y
=
log..L 49 343
II
5)
Ioge 315 =
3
Propiedades 1a. Propiedad. Ellogaritmo de un. cociente: Sea:
e
x
=
A
}
por definicio~
eZ=B
eX A eZ = B e X- z = A
I
logeB = Z
A log -=X-Z eB
por defInicion
B
log e A = X
A
log - ::: log A - log. B eB e e
2a. Propiediu1. Ellogaritmo de un producto: Sea:
e
X
-A
x
e
Z
} =B
eX+Z -
10
por definicion
AB
por definicion
=>
log c (AB)
=
I
loge A .... X lo&: B
=
Z
lo&:AB'" X+ Z
log c A + log c B
3a. Propiedad. Ellogai'itmo de una potencia: Sea: x ~ x=A n n [C] = A
I
lo&: A = X n
lo&: A = nX
4a. Propiedad. Ellogaritmo de una rafz (caso particular):
n.fA = A lIn .'.
log
queda:-
c
n.fA n.fA
log
log C
06
n.fA
c
!
=
n
C
o bien,
log A ltn aplicando la propiedad 3'.
=
log A C
log A =
C
n
EJEMPLOS
1) log (58) (31.5) 1031 32 =
=
log 58
+
log 31.5
2)
log
log 1031 -log 32
3)
log 184 = 4 log 18
4)
log ./90=
5)
15 2 (3.4) 2 _ 2 ! _ log 5(17) - log 15 (3.4)2 log 5(17)
'21 log 90 =
log 90 2
I
2
I
.. log 15 + log (3.4)2 - [log 5 + log 17] = 2 log 15 +
'21 log 3.4 -log 5 -log 17
11
SERIENo.2 Aplicar las propiedades de los logaritmos (si es posible) a las siguientes expresiones: 1) log (7.12) 4)
log
7)
log
3
16 {51) 36 8 3-197 4../87
2)
15 log 50(17)
1
4
3)
log (2) 13 {8) 116
6)
log 42 + logn
9)
log 3
3
5) 1 75 .[9 og 25/ 4(7) log 49 8) log 73
rn [log 28]
Para iniciar el calculo nwnerico de los logaritmos, recordemos primero que existen dos sistemas. El sistema decimal y el sistema de los logaritmos naturales. Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es el nUmero lOy los escribiremos con la expresion 10glO A 0 simplemente log A (dando por entendido que si no se indica la base, esta se considera base 10). Los logaritmos naturales son aquellos cuya base es el numero !"e" (2.718281828) y los escribiremos con la expresion "LA". Logaritmos decimales: Los logaritmos decimales constan de dos partes, una entera que puede ser positiva, negativa 0 cero Hamada caracterlstica y otra parte decimal llamada mantisa. Si el nnmero al cual se Ie quiere calcular ellogaritmo tiene parte entera, entonces la caracterfstica es igual (en nnmero) al nUmero de cifras de la parte entera, menos una; por ejemplo, si queremos calcular ellogaritmo del nnmero 4.583, entonces la caracterfstica sera 0 (cero); si el nnmero es 45.83, la caracterfstica sera 1 (uno); si el numero es 458.3, la caracteristica sera 2 (dos). Para aqueHos nnmeros cuya parte entera es cero, la caracterfstica es negativa, tomando en cuenta el valor segUn el lugar que ocupa la primera cifra significativa, por ejemplo: Si queremos calcular el logaritmo del nUmero 0.513, entonces la caracteristica es (-1). Si el nnmero es 0.00513, la caracterfstica es (~3), etcetera. Ahora bien, 10 dicho en los dos parrafos anteriores 10 podemos justificar de la siguiente manera: Calculemos los logaritmos de las potencias de 10. Esto es: 12
Funci6n logar{tmica
Funci6n exponencial 0
10
o = loglO 1
1
=
1
1 - loglO 10
10 - 10 10
2 =0
100
2
3
=
loglO 100
10 = 1000
3 ... loglO 1000
• • • •
• • •
10-1
=
• 1 = 0.1 10
1 - log 10 0.1
10- =
1~0 = 0.01
2
10-3
_1_ 1000
3 - log 10 0.001
2
-4
10
=
=
1
0001 . 0000
= 10000 =.
1
=
loglO 0.01
4 - log10 0.0001
La otra parte de los logaritmos, que se llama mantisa, se obtiene de las tabIas de logaritmos 0 de la calculadora.
En resumen, si queremos calcular el logaritmo de los nillneros 3348 y 0.03348 tenemos: log 3348 = 3.524785
I
caracteristica
~ _____
mantisa
log 0.03348 - 2.524785 Nola: La caracteristica puede ser positiva 0 negativa, pero la mantisa siempre es positiva. Sin embargo, por conveniencia, ellogaritmo de un nUmero 10 podemos expresar como una cantidad total negativa. Por ejemplo:
log 0.0253
II:
2.403121 13
que se puede escribir como log 0.0253 = -2 + 0.403121
-2.000000
aSl:
+0.403121 -1.596879
:::::>
log 0.0253
=
-1.596879
Notese que en el numero 2.403121, el signo negativo 10 colocamos arriba de la caracterfstica, indicando as! que solo la caracterfstica es la negativa, ya que si 10 escri bimos como -2.403121, indicamos que todo el nilmero es negativo y es diferente de -1.596879.
A ntiloga ritm os
Si tenemos que
log A - Y
entonces
A = antilog Y
Esto significa que ellogaritmo de un nilmero y el antilogaritmo, son operaciones inversas, as! que: antilog
=>
log A A
=
=
antilog Y
antilog Y
Porejemplo, si Y = 3.401401, entonces: A
=
antilog 3.401401
Con el numero fraccionario 0.401401, se recurre a la calculadora 0 a la tabla y se obtiene el antilogaritmo 252000 y, con el nilmero entero se ubica el punto decimal de la siguiente manera: Si la caracterfstica es (3.) el resultado consta de 3+ 1 = 4 cifras enteras, as! que: A Si ahora A
14
=
=
2520.0
antilog 2.401401 entonces A = 252.0
si A - antilog 1.401401 entonces A
=
25.20
si A - antilog 0.401401 entonces A
=
2.520
si N
=
antilog 1.401401 entonces N
=
0.2520
si N -= antilog 2.401401 entonces N ... 0.02520 Observese que en las caracteristicas negativas, la primera cifra significativa del resultado ocupani ese lugar despues del punto; es decir, si la caracteristica es T la primera cifra ocupani el primer lugar despues del pun to, si la caracteristica es 11a primera cifra significativa ocupara el segundo lugar despues del punto, etcetera.
Co logaritm os El cologaritmo de un numero UN" es ellogaritmo del recfproco de dicho nlimero. EJEMPLOS Calcular por medio de logaritmos los resultados de las operaciones que se indican. 1)
a
=
283.4 asi: log a 0.085
=
log 283.4 - log 0.085
log 283.4
2.452400
log 0.085 = 2.929419 3.522981 .. log a ... 3.522981 }ptifog ~ a = antilog 3.522981
=> 2)
b
==
(68.7) (986) asf: log b
=
a=
3334.11
log 68.7 + log 986
log 68.7
=
log 986
= +
1.836957 2.993877 4.830834
.. b
=
=>
antilog 4.830834
b = 67738.25 15
3)
C
=
(1.10)4 aSl: log C = 4 log 1.10 log C = 4 (0.041393) = 0.165571 .'. C = antilog 0.165571 ~
C
=
1.464
4) d = (0.90)21 aSl: log d = 21 log 0.90 log d
21(1)-21
=
21 (1.954243)
-
21 (0.954243) - 20.039103
-
:. 21 + 20 - 1 aSl: log d
=
-
1.039103
d = antilog 1.039103 ~
d = 0.10942 -
5)
/0. 020 ,'. Iog g = log 0.020 g= 2
2.301030 2
log g - 2+0.3~1030 - T.150515 g - antilog T.150515
=>
g - 0,14142
6) h = 3 /0.020 :. log h _ log ~.020
=
2.30~030
2+1-1 + 0.301030 log h 3 log h ... -1.433677
=> 7)
h - 0.27144
Calcular el cologaritmo de 385: 1 Esto es: co log 385 - log 385
16
-3+1.301030 3
1 log 385
=
log 1 - log 385
1 log 385" 0 -(2.585461)
Puesto que -2.585461 es tOOo negativo, entonces utilizaremos el siguiente artificio para poner, al menos, positiva la mantisa, as!: -2 + 1 - 1 - 0.585461
=
-3 + 1 -0.585461
1.000000 0.585461 -
colog 385 = 3.414539
0.414539 8) colog 0.823875
=
1 log 0.823875 = - (-
=>
=
0 -log 0.823875
0.084139)
colog 0.823875 = 0.084139
Ecuaciones exponenciales Cuando en una ecuaci6n la variable que queremos despejar se encuentra como exponente, entonces utilizaremos las propiedades de los logaritmos para pOOerla despejar, y recibe el nombre de ecuaci6n exponencial. Esto es: Sea: AX ... B entonces X log A
=
log B
=>
X ... 10gB log A
EJEMPLOS 1) Cuanto vale "X" si 2x - 128 X
=
log 128 ... 2.107210 log 2 0.301030
=>
X-7
17
Notese que "X" se calculo exclusivamente con el cociente de dos logaritmos, motivo por el cual al "1" no se Ie calculo el antilogaritmo, puesto que dicho resultado es el valor de .oX" y no ellogaritmo de "X". 2)
Cuanto vale un" de la ecuacion (1.0 12rn -n log 1.012
=
0.675
log 0.675
=
-0.170696 - n = 0.005 181 .. -n
=> 3)
-32.9465
n
32.9465
=
Calcular "X" en la ecuacion 7 (4)X - 1 = 53 - 2X log 7 + (X - I) log 4 log 7
+
==
X log 4 - log 4
2X log 5 + X log 4
=
(3 - 2X) log 5 =
3 log 5 - 2x log 5
3 log 5 + log 4 - log 7
X(2 log 5 + log 4) = 3 log 5 + log 4 - log 7 :. X X
=
=
3 log5 + log4 - log7 2 logS + log4
2.096910 + 0.602060 - 0.845098 1.397940+0.602060
=> 4)
X
=
1.853872
=
2
0.926936
Resolver la ecuacion logs (2X + 1) + logs (3X-l)= 2 por propiedad,
log 5 [( 2X + 1) (3X - 1 ) ]
2
por definicion de logaritmo, tenemos: (2X+ I) (3X-I)
=
2
6X - 2X + 3X 6X X
18
2
+
X - 26
=
5
2 2
6X + X-I == 25
1 = ;25;
0
-1 ± J 1 - 4(6)(-26) =
12
=
-1± f625 -1±25 12 - -1-2-
.. Xl
26 12
= -
.
(no se torna por ser negatlvo)
Comprobacion: logs [2(2)+1] + logs [3(2)-1]
=
2
log5 5 + logs 5
=
2
=
2
~~
1 +
1
5) Determinar el valor de "X" de modo que:
"21 loge 81 - "21 10& I
10& (81)
-
2
9 + loge 7
1 2 9 +
-
-10&;
=
loge X
10& 7 = 10& X
10&; I8f - loge f9+loge 7 = lo&: X loge 9 - loge 3 + loge 7 por propiedad loge ~ + loge 7 loge 3 + loge 7 por propiedad loge 3(7)
=
=
=
loge X
loge X
loge X loge X
=
loge 21 = loge X
=:>
X
=
21
6) Hallar "X" si log 5 + log (2X-l) = log (X + 13) log 5 (2X-l)
=
log (X + 13)
log (lOX-5)·= log (X+13) Calculando antilogaritmos en ambos miembros queda: lOX - 5
=
X + 13
9X::: 18
=:>
X=2
19
SERlE No. 3 Obtener por medio de logaritmos los resultados de las operaciones que se indican.
3)
I3.4T I34T
5)
(0.82)
7)
7.324 46.51
8)
9)
colog 217
10) co]og 200
1)
16
2)
./3410
4)
(0.0251) 0.088 216 115.3 0.077
6)
11
Obtener el valor de "X" de las siguientes ecuaciones exponenciales. /'
1) 7 x - 343 4) 2 x _1 8 3 x 7) 10 - -1OO 10)
82X 2-3 _ 64x
5 X-2 _ 25 x
5)
3- 2X == 3- 2
6 2X _ (36)4 6) 16x -4 - 256
8)
2 X- 1
9)
2)
os
3)
4- x
11) 5 2X2 -3 __1_ 125
12)
l00x"" 3X 7x __ 1 49
Obtener el valor de "X" de las siguientes ecuaciones exponenciales. I)
4) 7)
x 5 - 9
2)
(0.180)X-l ... 2.93 7 x- 1 _ 6 x
5)
10) 7 x _ 3(17)2X-l
15 x +4 := (72)x-s 2(8)x = 13 x
8)
(0.5) x
11)
(43.8r
=
Y
0.7 -
0~0228
3) 6) 9)
12)
42X ... 6 2X 102X+3 == 5 15x = 2 x 2 - 13
Logaritmo de un mlmero en diferentes bases Si necesitamos cambiar la base de un logaritmo decimal a otra base, podemos hacer 10 siguiente: De 1a ecuaci6n exponencial C Y ... X obtengamos su logaritmo en otra base diferente de "10", digamos en base "a", esto es:
20
y
loga C
=
10ga X
asf: Yloga C = loga X loga X y ... - loga C
(1)
Si ahora Ie aplicamos la definicion de logaritmo a la expresion C Y tonces Y "" loge X. Sustituyendo este ultimo valor en (1) queda:
=
X, en-
10ga X loge X = - 1 C oga Dado que los logaritmos en base distinta de "10" no estan tabulados, hagamos la siguiente consideracion: "C" es la base a que queremos cambiar y "a t, es la base 10, de esta manera se tiene: _logX loge X - log C Considerando 10 anterior, podemos calcular el logaritmo natural de un numero, haciendo el siguiente cambio. loge X
10glO X =
I
ogIO e
que podemos escribir: logIO X LX--..;;..;;;.....loglO e
EJEMPLOS 1)
Hallar el valor de "X" si Le2X) + LeX-I) - 2 por propiedad por defInicion
L [2XeX-I)]
=
2
2X - 2X
=
2 e
2
2
2X - 2X -7.389046 = 0 2
X - X - 3.694523 - 0 X = 1± J 1 + 14.7780 = 1 ± J 15.7780 2 2
1 ± 3.97215 2 21
Xl = 2.48607 X 2 = -1.48607 (valor no pennitido) 2)
Hallar el valor ~'yn si L(4Y) + L(2Y - e 2 ) 2
L(4Y) (2Y - e ) - L(2)
=
=
L(2) + 4
4
2
L [4Y(2Y - e ) ] = 4 2 2
L [ 2Y(2Y - e ) ]= 4
por definicion de logaritmo 2Y(2Y - e 2
2
4Y - 2e Y - e
4 =
2
2
Y I
2e + e 8
) =
e
4
0
2e2 ± .; 4e4 + 16e4 Y=-----8 Y= 2e±e 8
2
2e±~ 8
f20
120
2
Y2 =
3)
2e-e8 120 (va 1or no penult! ' 'd0)
Obtener log5 2 log5 2
=>
=
log 102 log 5 10
log5 2
=
=
0.301010 0,698970
0.430677
SERlE No. 4 Calcular por medio de logaritmos los resultados de las operaciones que se indican. 1) Hallar "W" si L2W + L(W -1)
22
=
0
2) Hallar "X" si LX - L(l5-X)
=
1
3) Obtener logs 6 4) Obtener log7 2 5) Obtener L(l7.1) 6) Obtener IA 7) Hallar "W" si 2LW - L3
=
Le
8) Hallar "H" si LH + L(3H+2)
=
4
9) Obtener log2 7 10) Obtener loge 2.71828
23
CAPITULO II
PROGRESIONES Objetivo Que entiendas que es una progresion aritmetiea y que una progresion geometriea, y comprendas sus diferencias para as! aplicarlas en problemas de depreciacion y anualidades. Progresion aritmetica Es una sueesi6n de terminos que se obtienen del anterior, sumando a este una cantidad constante Hamada razon. Esto es: a, (a+r), (a+2r), (a+3r), ,." a + (n-l)r Ultimo tennino 0 termino enesimo:
I t.. - a
+ (n-l)r
I dande
I
a = primerternrrbno n = nillnero de terminos r
==
razon
Cilculo de la suma de los "n>9 terminos: Sn - a + (a+r) + (a+2r) + .......... + [a + (n-l)r 1 +
Sn - [a +'(n-l)r] + [a + (n-2)r] + [a + (n-3)r 1+ '" + (a+r) + a 2Sn - a + [ a+(n-l)r 1 + {(a+r) + [a+(n-2)r 1 } + {(a+2r) + [ a+(n-3)r] }+ '" ,'. 2Sn - a + [a+(n-l)r] + {a+ [a+(n-l)r] }+ { a+ [a+(n-l)r] }+ ...
25
Observese que los tenninos a + [a + Cn-l)r] aparecen "n" veces, por 10 tanto 2S n = n {a + [a + (n-l)r] }, pero [a + (n-l)r ] es igual al tennino enesirno, por 10 que: 2S
n
=
n (a + t ) n
n ( a+t )
=>
n
Sn
2
EJEMPLOS 1) Calcular el tennino nillnero 12 de la progresion 5,8,11, .... obtener su suma y fonnar la progresion. Datos
Fonnulas
a=5
~= a +
n = 12
Sn
Incognitas
(n-l)r
n ( a+~l)
2
=
Para detenninar la razon, es necesario aplicar la definicion, esto es; que hay que surnarle a 5 para obtener 8 y que hay que sumarle a 8 para obtener 11.
I
5+3 = 8 8+3 = 11 ••
aSl:
=>
=>
t12 =
5 + (12-1)3
t12 =
5 + 33
S12 =
S12 =
=>
12 (5+38) 2
que
t12 = =
r =3
38
6 (43)
258
La progresion es .5,8,11,14,17,20.,23,26,29,32,35,38 2) EI tennino nillnero 5 de una progresion aritrnetica es (-3), Y el tennino nillnero 8 es (-9), calcular el tennino oillnero 12. -,-,-,-,-3-,-,-9,-,-,-,-,
26
a- -3 n-4
suponiendo que la progresion es entre -3 y -9 .·.tt=a+(n-l)r
tt =-9
-9
=
-3 + 3r
3-9 = 3r
=>
-6 = 3r
r = -2
:. -,-,-,-,-3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17
tt2 = -17 n
=
12
-17=a+ll(-2) -17
=
a -22 .'. a
=
22 - 17
=>
a
=
5
asi: 5,3,1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17 3) Calcular el nillnero de tenninos que hay que tomar en la progresion 1315, 1360, 1405, .. " para que su suma sea 20605. Calculemos la razon:
1405 1360
1360 1315
45
45
Sn = 20605 r- 45
a = 1315 .. tn
=
1315 + (n-l)45
tn = 1315+45n-45 tn
=
45n + 1270 --------------------------- (1)
Despejando "tn·' de Sn se tiene: 20605 = n(1315 + tn) 2
41210
-=
1315 + in
n
tn = 41210 - 1315 n
27
41210-1315n
.'. ~ =
n
--------------------------
(2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos: 45n
1270
+
=
41210-1315n n
45n
2
1270n = 41210 - 1315n
+ 2
45n + 2585n = 41210 2
:.45n
+
2585n - 41210 = 0
Resolviendo la ecuacion: -2585±J 6682225 + 7417800
90 -2585 ± 3755 1170 n= 90 =90
n
=
=> Prueba: t13 S
n
=
13
1315 + 12(45) - 1855 = 13(1315+1855) 13 2 ==
=>
S13 =
20605
4) Insertar 5 medias aritmeticas entre 2 y 21 Y formar la progresion. a=2 n- 5+2
(5 que vamos a insertar mas dos rerminos que tenemos, el2 yeI21).
:. n= 7 t,- 21
entonces: t, -= 2 + 6r 21 - 2 - 6r 6r = 19
28
r-
19 6
Calculo de la progresion: 1er. tennino
2 19 ... -31 6 6
2do. tennino
2+ -
3er. tennino
-+-=-
31 19 50 666
50 19 69 666
40. tennino
-+-=-
50. tennino
-+-=-
60. tennino
-+-=--
70. tennino
107 + 12 = 126 = 21 666
69 19 88 666 19 6
88 6
107 6
" 31 50 69 88 107 Por 10 tanto la progreslon es: 2, 6' 6' 6' 6' 6' 21
Progresi6n Geometrica
Es una sucesion de tenninos tales, que se obtienen del anterior multiplicando a este (el anterior) por una cantidad constante Hamada razon. Esto es a, ar, ar2,ar3 ,ar4 , .......... , arJl-I Ultimo tennino 0 tennino enesimo:
I .tn - ar"-I Calculo de la suma de los "n" tenninos: 2
3
4
n-I
Sn co a + ar + ar + ar + ar + .......... + ar Si multiplicamos por r" ambos miembros, queda: U
2
3
4
5
n
rS n .. ar + ar + ar + ar + ar + ........ ar
29
Si restamos estas dos expresiones queda: _ Sn - a
jt;l/ ;;/it>............. + it'
rsn~~~7l~ n
Sn - rS n = a - ar
n n
Sn(l-r) = a(l-r );
S
= n
a(l-r ) 1-r
Multiplicando por (-1) numerador y denominador queda: S
=
n
a«(1-1) r-1
EJEMPLOS
1) Calcular el termino No.8 de la progresion 5, 10, 20, .. fonnular la progresion y obtener su suma. Datos a=5
Formulas n-l ~ = ar
n=8
Sn =
Incognitas t8
a(rl1 -1) r-l
S8
Para determinar la razon, es necesario aplicar la definicion, esto es, por cminto hay que multiplicar a 5 para obtener 10, y por cminto hay que multiplicar a 10 para obtener 20. 5(2)
=
10(2)
10 =
:. t8 = 5(2 t8
30
=
r
20 8-1
7
)
=
5(2 )
5(128)
=
640
=
2
8
5(~_~1)
S8 ""
= 5(256 - 1) = 5(255)
=>
S8"" 1275
Progresion: 5, 10,20,40,80, 160,320,640 2) EI tennino No.4 de una progresion geometrica es 16 y el tennino No.7 es 128, calcular el tennino nllinero 10. --,--,--,16,--,--,128,--,--,-Supongase que la progresion es desde 16 hasta 128, por 10 tanto: a
=
128
16
I
n=4 t4 = 128
=
(4-1) 16r
3
r = 128/16 = 8 3
r= 18 ... r=2
asf: --,--,--,16,32,64,128,256,512,1024 Ahora bien, si n r
=
tlO
=
10
2 =
1024
tenemos: 1024 = a(2 9) 1024 = 512a a = 1024 512
=>
a =2
entonces la progresion es: 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024 3) l,Cuantos tenninos hay que tomar en la progresion 2, 1, I,
2
63
que su suma sea 16 ?
..... para
Calculemos la razon: 1 2 1
1 2
1 2
1 2
-
}
=>
1 r= 2
31
" Sl tenemos que Sn Ahora blen,
==
63 16
1 r=2 a=2
63 Entonces', -16
63 16
63 16
2[(~)n_l] =
1
--1 2 2
[(~)n -1] -1 2
-4
[(~)n -1]
," nlog 0~5 -= log 1 - log 64
n-
0-1.806180 log 0,5
Calculando ellog 0.5 con la calculadora, se tiene -1.806180 n - -0.301010 32
=>
n'" 6
Por 10 tanto la progresion consta de 6 tenninos y queda: 1 1 1 1 2, 1, 2' 4' 8' 16 4) Insertar 4 medias geometricas entre 3 y 96 Y formar la progresion. a=3 n = 4 + 2 = 6 (4 que vamos a insertar y 2 que ya se tienen, el 3 y el 96) asi: t() = 96 .. 96 = 3r(6-1) 5
96 - 3r r
r
5 =
=
32 5132
=>
r
=
2
La progresion queda: 3,6, 12,24,48, 96
SERIENo.5 1) Calcular el termino No.8 de la progresion 2,5,8, ..... , obtener su swna y
formular la progresion. 2) Si a-II, r - -2 obtener la progresion aritmetica y la swna de elIas,
con n =- 10 3) Insertar 7 medias aritmeticas entre -9 y 9 . ,. 1 . 7 · 4) Insertar 8 medlas antmetlcas entre '2 y - 10 5) HaHar el tennino No.8 de la progresion y fonnar la progresion.
1 3' 1, 3, ...... , obtener su suma
6) EI termino No.3 de una progresion geometrica es (No.6 es (-
1~) Y el tennino
3~4)' calcular el termino No.9 33
7) (,Cmintos tenninos hay que tomar en la progresion 3,6,12, ... para que su suma sea 381? 8) Insertar 5 medias geometricas entre 3 y 2187. 9) El sexto termino de una progresion geometrica es lIar el primer termino.
l~ y la razon ~. Ha-
10) Hallar la razon entre 2 y 64 en 6 terminos de una progresion geometrica.
34
CAPITULOITI
DEPRECIACION
Es la perdida de valor de un activo fijo (edificios, maquinaria, equipo de oficina, equipo de transporte, etc.), como consecuencia del uso. Ahora bien, tomando en cuenta que ese activo hay que reemplazarlo al final de su vida litil, entonces, cada ano se traspasa parte de las utilidades a un fondo especiaillamado FONDO PARA LA DEPRECIACION. A esos depositos se les llama CARGOS POR DEPRECIACION. (CxD). En un momento determinado, si al costo original del activo Ie restamos el importe del fondo para la depreciacion obtendremos el llamado VALOR EN LIBROS. EI valor en libros de un activo al final de su vida liti! debe ser su valor de salvamento 0 valor de desecho. Este valor, al igual que la vida litil, es estimado, pues es imposible precisar cminto podran damos en el futuro por el activo que vend amos como desperdicio (como fierro, madera, etc.). Como resultado de los elementos estimados que representa la depreciacion, esta es una cifra tambien estimada. Analizaremos dos metod os para depreciar activos, uno conocido como METODO DE PROMEDIOS 0 METODO LiNEAL, Y otro como el METODO DE PORCENTAJE FIJO. En el metodo lineal, que es el metodo mas simple para depreciar acti vos, se efectlian depositos anuales iguales en el fondo para la depreciacion, durante toda la vida litil del activo. EJEMPLO: Se estima que una maquina de 4,000,000.00 tendra una vida litil de 6 anos y al final de dicho perfodo un valor de salvamento de 400,000.00 (a) Encontrar la depreciacion promedio anual, (b) Elaborar una tabla de depreciacion en donde se muestre el valor en libros cada ano.
35
SoIucion: a) Depreciacion total- Cos to -valor de salvamento Depreciacion total - 4,000,000 - 400,000 - 3,600,000.00 ... Depreciacion promedio anual -
36~OOO = 600,000.00
Ahora bien, hagamos el siguiente analisis; como la Depreciacion total - Costo - valor de salvamento (D - C - VS) podrfamos compararla con la ecuacion de la recta en su forma simplificada Y ,. mX + b. Esto es:
Y-mX+b VS - - Dn + C donde: Y - VS (El eje de las yes es el eje de los valores de salvamento 0 rescate)
X- n
(EI eje de las equis es el eje de los tiempos)
b- C
(La ordenada al origen es el costo original)
m - - D (La pendiente "m" es la depreciacion promedio anual o cargo por depreciacion) Que llevados a una grafica tendrfamos:
VS
Recta en donde se marca que el valor de salvamento, nunca puede ser cero
VS {
---+------4---------------------vida util 36
n
Observese que el valor de salvamento nunca puede valer cero, ya que la depreciacion a que nos referimos, es una depreciacion contable y el activo depreciado, tendni entonces, siempre un valor de rescate que depende de la vida uti! y la depreciacion promedio anual. b) La tabla se puede fonnular de la siguiente manera: VS .... -Dn+ C donde D - 600 000 ... 6( 10)5 n
=
VS o =
-
6(10)5(0) + 40(10)5
=
VS 1 =
-
6(10)\1) + 40(10)5
=
VA 2
= -
VS 3 =
-
tiempo en anos 105(40 - 0) = 4 000000 105(40 - 6) = 3 400000
6(10/(2) + 40(10)5 = 10\40 - 12) = 2 800 000 6(10)\3) + 40(10)5 = 10\40 - 18) = 2200 000
y asf sucesivamente hasta el sexto anD:
Por otra parte, puesto que el cargo por depreciacion anual es de 600 000, el fondo para la depreciacion se incrementa en esa cantidad cada ano, mientras que el valor en libros decrece anualmente en esa misma cantidad, esto es: 4 000 000 - 600 000 = 3 400 000 3 400 000 - 600000 = 2 800000 2 800 000 - 600 000 = 2 200 000 y asf sucesivamente hasta el sex to ano.
TABLA DE DEPRECIACION LINEAL Tie~po
n
anos 0 1
2 3 4 5 6
Cargopor Importe del fondo Valor en libros al DEPRECIACI6N Eara DEPRECIACI6N fmal del ano 000000.00 0000000.00 4000000.00 600 000.00 3400000.00 600000.00 1200000.00 2800000.00 600000.00 1800000.00 2200000.00 600000.00 1600000.00 600000.00 2400000.00 600000.00 3000000.00 1000000.00 3600000.00 400000.00 600000.00 37
En el metodo del porcentaje fijo, la depreciacion de un activo en su primer ano de uso es frecuentemente mayor que la del segundo, y la del segundo es mayor que la del tercero, y as! sucesivamente. EI cargo por depreciacion (C x D) que debe hacerse al final de cada ano, es un porcentaje fijo del valor contable al principio del ano. Sean:
C
el costo original del activo
VS
valor de salvamento
n
anos de vida util
p
porcentaje fijo anual
0
tasa de depreciacion
Ahora bien si C es el costo original de un activo Cp sera la depreciacion, por 10 tanto C - Cp es el valor contable. Esto es. Costo original .......................... C Cargo por depreciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ Valor contable al final deller. ano ......... C - Cp factorizando: ........................... C - Cp
=
C (l - p)
Costo al principio del segundo ano ......... C (l - p) Cargo por deprec.iacion ................... C (l - p)p Valor contable al final del 20. ano .......... C(l- p) - C(1 - p)p factorizando: ........................... C(l - p) (1 - p)
=
C(l- p)2
Costo al principio del tercer ano . . . . . . . . . . . . CO _ p)2 Cargo por depreciacion .................. ~ C(1 - p)22 Valor contable al final del 3er. ano ......... C(I - p / -C( 1 _ P)2p factorizando: C(1 - p)2(1 - p) = C(1 - p)3 Y as! sucesivamente, los valores contables durante la vida util del activo, corresponden a los terminos de una progresi6n geometrica, esto es:
por 10 tanto, el valor contable al final de la vida uti! es C(l - p)n, que sera igual al valor de salvamento.
38
Que escribiremos como: VS
=
C(l- pt
EJEMPLOS
1) Se estiina que una caja registradora tiene un costo de 5,000,000.00, una vida util de 5 aiios y un valor de salvamento de 500,000.00 . Determinar el porcentaje fijo de depreciacion y construir la tabla de depreciacion. C
Solucion:
=
5 000000
VS
500000
n = 5 aiios VS
C (1- p)
n
500000 = 5000 000(1- p)
5
500000 5 5000000 = (1 - p)
5 50
-
=
:. (l-p)
(1 - p) 5 =
5
0.1
I_p=5/IT - logO. 1 - -1.00 - 02 1og (1 - P) 5 - 5 - - .
(1 - P )
=
antilog (-0.2)
1 - P = 0.630957
P = 1 - 0.630957
P = 0.369043 :::} p
=
36.90%
39
Para obtener los valores contables al [mal de cada ano se utiliza la siguiente progresion geometrica.
co - p) C(l- p)
C(I- p)
=
5 000 000 (0.630957)
=
5 000000 (0.630957)
1 990533
=
VC2
=
5 000 000 (0.630957) == 1 255 941
=
VC 3
=
5 000000 (0.630957)
2
3
C(l - p)
=
3 154 785
2 =
VC l
=
3
4
s
4 =
792 445 ;: VC 4
s
C(I - p) == 5 000 000 (0.630957) == 499998.65 == VCs
Nota.- EI valor contable resulta 499 998.65-500 000 del valor de salvamento, que es la diferencia debida al redondeo de cifras. Para obtener el cargo por depreciacion 0 depreciacion anual, se utiliza la siguiente fonnula:
I (C x D) = VCn - VC n+l
I
Es decir, el valor contable de un ano menos el valor contable del siguiente
ano.
Asf:
ano 1 C x D == 5 000 000 - 3 154 785 .. 1 845 215 ano 2 C x D = 3 154 785 - 1 990533
ano 3 C x D -
=
1 164 252
1990533 - 1 255941 == 734592
ano 4 C x D .. 1 255 941 - 792 445 ""' 463 496 ano 5 C x D
40
=
792 445 - 499 998.65
<=
292 446. 35
TABLA DE DEPRECIACION DE PORCENTAJE FUO n 0 1 2 3 4 5
Valor contable al final del ano 5000000.00 3 154785.00 1990533.00 1 255941.00 792445.00 499998.65
Cargo por depreciacion o depreciacion anual 0.00 1 845215.00 1 164 252.00 734592.00 463496.00 292446.35
Depreciacion acumulada 0.00 1 845215.00 3009467.00 3744059.00 4207555.00 4500001.35
2) El duefto de una empresa compro una maquina en 2,000,000.00. Tendi-a obligacion de abonar 200,000.00 cada 6 meses y pagani ademas el 30% semestral .s obre saldos insolutos de su obligacion por concepto de interes. Caleular el interes total que debe pagar. Solucion: El nlimero de pagos que debe haeerse sera: 2000000 .. 10 200000 Por concepto de intereses senin: 2 000 000 (0.30) - 600 000 en el primer pago Su deuda se reduce a 2 000 000 - 200 000 - 1 800 000 en el primer pago 1 800 000 (0.30) - 540000 de interes en el segundo pago 1 800 000 - 200 000 == 1 600 000 de deuda en el segundo pago 1 600 000 (0.30) - 480 000 de interes en el tercer pago y asf sucesivamente.
El interes total pagado es la suma de los 10 tenmnos de la progresion aritmetiea siguiente: 600 000, 540 000, 480 000, ...... . por 10 tanto calculemos el termino nlimero 10 (ttO) Y la suma de los 10 terminos de la progresion. Esto es:
no .. 600 000 + (10 -
l)r
41
pero r = -60 000 .'. tlO = 600 000 + 9 (-60 000) tlO
=
600000 - 540000
tlO = 60000
210
asf: S10 = S10
(600000 + 60000)
5 (660000)
3300000
Por 10 tanto el interes pagado es 3,300,000.00 3) En una oferta se compra una computadora con valor de 2,500,000 pagando el 25% de enganche y el saldo en mensualidades durante 12 afios, con un interes del 60% anual sobre saldos insolutos. l,Cwinto se paga en total por la computadora?
Soluci6n: C = 2 500000
n
=
12 afios
=
144 meses
2 500 000 (0.25)
=
625 000
.'. la deuda es de 2500000 - 625 000 asf:
1875000 144
i luego:
==
=
=
1 875000
13020.83333 (valor de los pagos)
60%
a
=
0.05 mensual
1 875 000 (0.05)
=
93 750.00 de interes
1 875000 - 13020.83333 1 861979.167 (0.05)
=
=
1861 979.167 de deuda
93 098.95835 de interes
1 861 979.167 - 13020.83333:: 1 848958.334 (deuda) 1 848958.334 (0.05) = 92447.91670 de interes
De tal modo que: r = -651.041650 a
93750
n= 144
42
t144 =·93750 + (143) (-651.041650) = ultimo tennino tI44 = 651.044050 S144
144 (93750 +2 651.044050) = 72 (94 401.04405)
S144 = 6796875.17 total de intereses
=>
2500000 + 6796875
9296 875 = total de la deuda 4) A un motor con un costo de 150,000.00 se Ie ha estimado un valor de salvamento de 5,000.00 y una vida probable de 30 anos. Detenninar, a) la tasa de depreciacion anual, b) el valor en libros al final del 200. ano y c) el cargo por depreciacion del 250. ano. Solucion:
c
=
150000
VS = 5 000 n a)
=
30 anos
5000 = 150000 (l _ p)30 5 30 150= (1 - p)
1 - P = 30JO.033333 .'. p
=
1 - 0.892817
P = 0.107183
=>
p = 10.718%
b) 150000 (1 - 0.10718)20 = 150000 (0.10358) Valor en libros es 15,537.07 c) ex D = VC del ano anterior - VC de ese ano
.. ex D = 150000 (1 - 0.10718)24 - 150000 (1 -0.1071Sl5 43
CxD
=
=>
9872.454 - 8814.324 CxD
=
1058.13
5) Una maquina troqueladora cuyo costo fue de 1,850,000.00, se Ie supone un valor de salvamento de 35Q,000.00 y se cree capaz de producir 500,000 piezas. La produccion real en el primer ano fue de 45,000 unidades. Determinese la depreciacion del primer ano, corranse asientos y presentese el balance por la compra en efectivo y la depreciacion mencionada. Solucion:
c=
1 850000 VS = 350000 1500000 depreciacion por unidad
=
base a depreciar 1500000 15 5 0000 = == 3
5
°
(fa.c,tor de producclon)
por 10 tanto la depreciacion en el primer ano sera: 3(45000) = 135,000.00 Asientos de diario:
Debe
Maquinariay equipo
1,850,000.00
Haber
1,850,000.00
Bancos Costos indirectos de produccion 135,000.00
Depreciacion Depreciacion acumulada de equipo
135,000.00
Representacion del bal3nce: Activo fijo Maquinaria y equipo Depreciacion acumulada
44
1,850,000.00 135,000.00
1,715,000.00
6) Una maquina se compra en 100,000.00 Y se Ie calcula una producci6n de 400 000 unidades. Su producci6n real en el prinler ano es de 150 000 unidades, en el segundo ano es de 160 000 y, en el tercero de 120 000. Calcular la depreciaci6n de cada ano y c6rranse los asientos. Soluci6n: F d d .. 100000 0 25 actor e pro UCClon = 400000 = . Depreciaci6n:
primer ano 150000 (0.25) segundo ano 160 000 (0.25) tercer ano ............
37,500.00 =
40,000.00
=
22,500.00 100,000.00
Como las unidades producidas excedieron de las que se habian estimado, la depreciaci6n en el tercer ano no se calcula como las de los anos anteriores, puesto que el importe de la depreciaci6n acumulada no debe exceder del costo de la maquinaria. En consecuencia la depreciaci6n en el tercer ano sera la suma de las depreciaciones del primer ano y el segundo restados del costo inicial. Esto es: Unidades de producci6n calculadas 400 000 Unidades producidas
150000 +
160 000 120000 430000
Depreciaci6n en el tercer ano: 100 000 - (37 500 + 40 000) 100 000 - 77 500 Asientos de diario Maquinaria yequipo
=
22500 Debe
Haber
100 000
Bancos
100 000
Costos indirectos de producci6n Depreciacion en el primer ana
37500 45
Debe Depreciacion acumulada de equipo y maquinaria
Haber
37500 40 ()()()
Depreciacion en el 20. ano
40 ()()()
Depreciacion acumulada Depreciacion en el 3er. ano
22500
Depreciacion acumulada
22500
7) Un equipo electrico costa 50,000.00 y tiene una especificacion de 7 anos de vida util al final de los cuales no tiene ningun valor, por 10 cual se debeni reemplazar por otro de igual valor. Calcular el porcentaje de depreciacion. Solucion:
50 ()()() (l - p) 7
=
Se iguala a la unidad y no acero, ya que, para que la formula VS=C (l_p)fl sea iguaI acero, tendria que ser (l-p)=O y eso no es posible, puesto que (l-p) es la razon de una progresion geometrica y por definicion de progresion geometric a la razon no puede ser cero.
1
(1- p)
(1 - p)
1 50000
7
=--
7 =
1- P=
0.000020 7 ';~O-=-. OOOO-=---=--=-20-=1
1 - P = (0.000020)7 1 - P = 0.213166 P = 1 - 0.213166 p = 0.786834
46
=> p= 78.68%
8) Una maquina se compra en 18,000,000.00 y se Ie supone un valor de salvamento de 4,000,000.00, y se estima que podra funcionar 10 000 horas. El tiempo real trabajando fue el siguiente: primer ano 4 000 horas segundo ano 3 000 horas tercer ano 2500 horas cuatro ano 1 000 horas Calcular la depreciacion de 4 anos y suponer que el dfa 10. del 50. ano se vende esta maquina en 3,800,000.00. Corranse asientos. Solucion: C
==
18000000
VS
=
4000000 14000000
d ... h epreclaclOn por ora
=
14000000 10000
base a depreciar
=
1400
depreciacion primer ano 4000 (1 400)
=
5 600 000
segundo ano 3 000 (1 400)
c:
4 200 000
tercer ano 2 500 (1 400)
=
3 500 000
cuarto ano 1 000 (1 400) ... 1 400 000 14700000
Presentaci6n en el balance: Activofijo Maquinaria y equipo
18000000
Depreciacion acumulada
14700 000
Asientos de diario Bancos Depreciacion acumulada Maquinaria y equipo Otros productos
Debe
3300 000 Haber
3800000 14700000 18000000 500000 47
9) Un equipo industrial tiene un cos to de 400,000.00 y una vida util de 10 arios con un valor de salvamento del 20% del costo inicial. Calcular la depreciacion total y la depreciacion anual. Solucion: VS
=
400 000 (0.20)
VS
=
80000
Depreciacion total = 400 000 - 80 000
::::::>
Depreciacion total
=
320 000
'" I 320000 D epreclaclon anua = 10
::::::>
Depreciacion anual
)
48
=
32 000
CAPITULO IV
INTERES SIMPLE Y DESCUENTO SIMPLE
El interes se define como el rendimiento de un capital. Tambien se dice que interes 0 redito es la cantidad de dinero que se cobra 0 se paga por el alquiler 0 compra de un bien, 0 por un dinero tornado en prestamo.
Interis simple Se dice que el interes es simple, cuando los intereses que debe pagar el deudor por cada lapso de tiempo convenido, NO SE INCORPORAN AL CAPITAL, 0 porque el capital que produce interes es siempre el mismo. El interes simple y descuento simple generalmente solo se utilizan en plazos cortos (a menudo con una duracion no mayor a un ano). En realidad observamos en la practica, que el interes 0 redito cobrado 0 pagada a corto plazo depende del tipo de ano cursado, es decir; si utilizamos el llamado ano real manejaremos 365 dias 0 366 si es bisiesto (a cada 4 afios se Ie agrega un dia al 28 de febrero); y si utilizamos el ano comercial 10 consideraremos de 360 dfas. Es facil deducir que el interes
0 redito se obtiene de restarle a una cantidad acumulada Hamada MONTO otra cantidad inicial Hamada CAPITAL, 0 PRINCIPAL. Es decir:
I=M-C
Ahora bien, para conocer el interes es necesario establecer una proporcionalidad que se conoce con el nombre de tasa de interes (i), es decir, es una proporcionalidad que se relaciona con cada 100 unidades (%). 49
Dado que "in es una tasa de interes que depende del tiempo, y el tiempo convenido en un interes simple es de un ano, entonces:
I::z C n i . . pero 1 (tanto por clento) por ejenlplo:
12%
o sea que i % = i
=
=
i 100 (tanto por uno)
~o =
..
0.12 (decimal)
unidades por cada 100
De esta manera, se puede escribir para eI ailo comercial: I
Cni (decimal) 360
=
c
o bien:
I::: Cni(%) 100(360)
c
Para el ano real se tiene: Ir =
Cni(decimal) 365
(no tiene bisiesto)
I r.b-
Cni(decimal) 366
(bisiesto)
Relaci6n entre el interes comercial y el interes real Si hacemos ; calcularemos la relacion existente entre ambos intereses, esto r es .. Cni Ie
=
~
-Ie ~
50
100(360) Cni 100(365) 365Cni 360Cni
..
Ie
365 360
-=-
~
sacando 5a. en el numerador y en el denominador queda:
Ie Ir
Ie ~
73 72 73 ~ 72
=
72 73 Ie
=
EJEMPLOS
1) Calcular el interes simple que produce un capital de 50,000.00 en 3 alios, 6 meses, 15 dfas a120% anual. Solucion: I =?
C
=
50000
i
=
20%
n
=
3(360) = 1080
=
6(30)
0.20
=
180
15 = 15 1275 dfas
=
1275 360 alios
I .... 50000 (~~~) (0.20) o bien:
~ 1= 35416.66
1- 50000 (1275) 20 "" 3541666 100 (360) .
2) Calcular el interes real y el comercial de 2,500.00 prestados al 8 % durante 8 meses. 51
Soluci6n: C = 2 500
i = 8% = 0.08
n
=
8(30)
=
240 dias
Observaci6n: Es costumbre suponer para cuando se da "n" en meses que el mes es de 30 dias cada uno.
Interes real: I = 2500 (240) 8 = 131.50 r 100 (365) .
o bien:
Ir
2500 (~:~) 0.08
=
=
131.50
Interes comercial: I
=
c
2500 (240) 8 100 (360)
133.33
3) Calcular el interes real y comercial de 6,000,000.00 durante 63 dias al 9% anual.
Soluci6n: I = 6000000 (63) 0.09 = 94 500 c 360 72 Ir = 73 (94 500) ~ Ir = 93 205.48
4) Calcular el interes real y ordinario 0 comercial de 1 mi1l6n a una tasa de interes del 8 %, para cobrar del 9 de julio de 1991 al 10. de octubre del mismo ano, a) ambos en fonna exacta y b) en fonna aproximada. Soluci6n: Para calcular el tiempo exacto vease tabla (pag. 195). En dicha tabla se observa que del 9 de julio al 10. de octubre han transcurrido 84 dias, esto es: 274 - 190 = 84. 52
Para calcular el tiempo aproximado, salo al mes completo de agosto se Ie considera de 30 dias, al mes de julio no, ya que no se toma todo el mes, sino a partir del 9 (incluso), por 10 tanto el tiempo aproximado es de 83 dfas. a)
Ie
=
100000~6~4) 0.08
=
18666.66
72 Ir = 73 (18666.66) = 18410.95
b)
I
=
c
1000000 (83) 0.08 = 1844444 360 .
72 Ir = 73 (18 444.44) = 18 191. 7 8
5) Una persona paga 2,500.20 por un pagare de 2,400.00 firmado el10 de abril de 1993 con 4.5% de interes simple. loEn que fecha 10 paga? Solucian: M
=
2 500.20
e
=
2400.00
i
=
4.5%
eni I= 100 (360) I (36000) n=
pero
ei
1= M I
=
e
2 500.20 - 2 400
1=100.20
n=
100.20 (36000) 2400 (4.5)
10 paga en 11 meses ( 3:;
=
n
=
334 dfas
11.13),3 dias (0.13 x 30 = 3.90)
o sea el 14 de marzo de 1994 6) loA que tasa ha estado invertido un capital de 25,000,000.00 que durante 2 afios 6 meses y 15 dfas produjo 5,000,000.00 de interes? 53
Soluci6n: C
25 000000
=
1=5000000 n
720 dfas
=
180 dfas 15 dfas 915 dfas . _ I (36000) _ 5000000 (36000) nC - 915 (25000000)
=>
1-
i= 7.868%
a
7) Calcular el capital que impuesto a interes simple a la tasa del 5 % semestral, durante 6 afios y medio, produce un interes de 41,350.00 Soluci6n: I
=
41 350
n
=
6 afios 6 meses
i I CCZ ---:-
C
= =
ru
=
13 semestres
0.05 semestral 41350 13 x 0.05
=>
C
=
63,615.38
8) "Que capital impuesto durante 3 afios, 18 dfas a la tasa deI5.5% trimestral, produce un interes de 33,218.00? Soluci6n: I
=
33218
n .... 3 (360) + 18 = 1 098 dias
i
=
I
=
~~ donde 90 es el no. de dfas del trimestre
=
I (~O)
.. C
0.055 trimestral
ru
C 54
=
2989620 1098 (0.055)
=>
C
=
49,505.22
Monto de un capital a interes simple
Volviendo a nuestra formula I esto es:
=
M - C podemos obtener el monte simple,
si I = C n i yM=I+C
entonces
M
=
Cni + C
factorizando M = C [ 1 + ni ] Ahora bien, al capital "C" se Ie conoce como valor presente 0 actual de una deuda, ya que es aquel capital que con una tasa de interes determinada es anterior a su vencimiento. EI monte es el valor calculado a la tenninacion de la deuda, por 10 tanto el valor presente estani dado por:
c= -M1+ ni
EJEMPLOS
1) Calcular en forma aritmetica y utilizando la formula, el monte a interes simple para un capital de 10,000.00 a una tasa del 10% en 5 aftosa Solucion: Capital inicial primer perfodo .................... 10000 Interes al final del primer perfodo ................. 1 000 Capital inicial segundo perfodo .................. 10 000 Interes al final del segundo perfodo ................ 1 000 Capital inicial tercer periodo .................... 10 000 Interes al final del tercer periodo .................. 1 000
+
Capital inicial cuarto periodo .................... 10 000 Interes al final del cuarto periodo .................. 1 000 Capitalinicial quinto periodo .................... 10000 Interes al final del quinto periodo .................. 1 000 5000
55
:. Monto
10,000.00 + 5,000.00
=
=>
M
=
15,000.00
Utilizando la fonnula se tiene: M = 10000 [I + 5(0.1) ] = 10000(1.5)
=>
M = 15,000.00
2) Se quiere saber cuanto se invertici para obtener 100,000.00 dentro de 10 meses si se otorga un 9% a interes simple. Solucion:
. C
..
M
=
i
=
0.09
n
=
lQ = ~ de ano
100000
6
12
100000
=
5
1 +"6 (0.09)
100000 1.075
93 023.25
Implica que se deben invertir 93,023.25
3) Si se tiene un capital de 38,277.51 Y despues de 6 meses son 40,000.00 se quiere saber la tasa de interes simple otorgada. Solucion: M
C n
40000
=
= =
40000
38277.51
~= 12
38277.51 (1 + ni)
=
. 1 + 0.51
56
0.5 de ano
=
0.5i
=
i
=
40000 38277.51 1.045000 - 1 0.090
=>
i
=
9%
Descuento: Si el que solicita un prestamo finna un documento de descuento simple 0 bancario, el prestamista deducira el interes del valor nominal del documento al principio, y el que solicita el prestamo recibira el resto. Al final del perfodo de tiempo, aquel que solicito el prestamo pagara al prestamista el valor nominal (cantidad antes de hacerse deducible el interes). En realidad se tienen dos tipos de descuento; el descuento real el descuento bancario 0 comercial.
0
racional y
Descuento real 0 racional Es facil aceptar que si una cantidad a pagar a futuro Ie restamos su valor actual, obtenemos una cantidad Hamada descuento, esto es : D=M-C y dado que
M = C (l
entonces
Dr
=
+ ni)
C + eni - C
Como se puede observar, el descuento racional es igual al interes simple que ya habiamos calculado (I = Dr).
Descuento bancario 0 comerciai Consideremos una tasa de descuento "d~ en lugar de "i" y monto "M" en lugar de "c" , ya que, como dijimos antes, el descuento es la diferencia del monto y el valor presente de un pagare; por 10 tanto si reemplazamos en I = C n i estos valores queda:
57
CALCULO DEL VALOR PRESENTE DE UN DESCUENTO BANCARIO
Si entonces pero as!
Db = M - C C
=
M - Db
Db = Mnd C
M - Mn d
factorizando I c
=
M (1- nd) Inamado tambien valor IIquido
CALCULO DE LA RELACION QUE EXISTE ENTRE EL VALOR PRESENTE DE UN DESCUENTO RACIONAL CON UN DESCUENTO BANCARIO
C
ya que d
=
M 1 + ni M (l-ni)
r
i; entonces: M M (l+ni) (l-ni) Cr Cb
como (1 + ni) (1- ni)
entonces
58
=
= ----
(l+ni) (l-ni)
12 - (ni)2 (dif. de cuadrados) Cr Cb
= ---
.2
1 - (ru)
CALCULO DE LA T ASA DE INTERES SIMPLE "'i~ CONOCIDA LA TASA DE DESCUENTO BANCARIO El valor presente del descuento bancario, esta dado por: C M
ycomo
M(l- nd) =
C(l + ni)
C = C(l + ni) (l - nd)
entonces ..
. C I + ru = C (l-nd) ni=_I_-1 1- nd
ni
=
1 - (l - nd) = 1 - 1 + nd _ _n_d_ 1 - nd 1 - nd 1 - nd
. 1=
nd n(l-nd)
~~ ~
CALCULO DE LA TASA DEL DESCUENTO BANCARIO "d" CONOCIDA LA TASA DE INTERES SIMPLE Despejando "d" de la f6nnula anterior, tenemos: d
=
i(l- nd)
d = i - nid d + nid = i d(1 + ni)
=
i 59
~ I d~ \:ru
I
EJEMPLOS 1) Una persona finna un pagare por 20,000.00 el 15 de mayo con vencimien to al 13 de agosto del mismo ano y recibe solo 19,559.90. Calcular las tasas de descuento racional y bancario, a las que fue descontado el pagare. Solucion: Descuento racional: M = 20000
C = 19559.90 n = 3 meses = .! de ano 4
Dr = 20000 - 19559.90 Dr = 440.1 1 .
:. 440.1 = 19 559.90 (4) 1.
4
1
=
440.1 19559.90; ;
1
i
4 (440.1) 19559.90
=
i = 0.09
=>
i=9%
Descuento bancario: Db = 20000 - 19559.90 Db = 440.1 440.1 = 20000
.! 4
d
=
(i)
d d=4(440.1) 20000
440.1 20000
d
=> 60
=
0.08802
d = 8.802%
2) Detenninar el valor presente de una serie de bonos cuyo monto alcanza 5,800.00 y que vencen en dos meses, ~cmil es el descuento racional si se supuso una tasa de interes del 5 %? Solucion: M
5 800
==
i "" 0.05 n
2 meses = 2
12 6"1 de ano
==
=
5800 1.00833
5800
C= - - - I
1+ 6" (0.05)
=>
C
5752.07
EI descuento racional sera: Dr = 5 800 - 5 752.07 Dr = 47.93
=> Dr - 48
3) El senor gamma se compromete a pagar una cantidad de 1,000,000.00 a
una institucion bancaria que de antemano Ie descuenta el 6 % de interes simple. ~Cual es la cantidad real que recibira en prestamo si el compromiso es a 7 meses? Solucion:
El descuento es bancario, por 10 tanto: C
=
M (1- nd)
M= 1000000 d
=
n
0.06 ==
7 meses
=
2.. de ano 12
7 -12 (0.06)]
Cb
=
1 000 000 [l
Cb
=
1 000 000 (0.96500)
=>
C == 965,000.00 61
4) Una persona finna un pagare de 50,000.00 que se Ie deseuenta 120 dias antes de veneer y se Ie apliea una tasa de 24% anual. Calcular el vaJor presente para un deseuento racional y el valor presente para un deseuento baneario, este ultimo, a) por medio de la fonnula direeta y b) haciendo uso de la fonnula de la relacion. Solucion: M = 50000 =
n
Cr
0.24 =
' 120 dlas
50000 --1--1 +"3 (0.24)
=
120 360
= -
1 de ano 3
= -
50000 1.0800
Cr
=
46,296.30
Para ealcular el valor presente con un deseuento baneario tenemos: a)
Cb
=
M (1 - ni)
Cb = 50 000 [I
-i
(0.24) ]
:::::>
Cb = 50000 (0.92)
b) Cb
=
46296.3 [1-
[i
Cb = 46,000.00
(0.24)] 2]
Cb "" 46296.3 (l - 0.0064) Cb - 46 296.3 (0.9936)
Cb
=
46,000.00
5) Se desea saber en que feeha se hizo el deseuento a un doeumento de 10,000.00 que vencio el 17 de noviembre, del eual se recibio Ifquido una eantidad de 9,000.00 y al que se Ie aplieo una tasa de deseuento baneario de 8 %. Solucion: C
=
9 000
M ='10 000 d
62
=
0.08
9000 .... 10000 [ 1 - n(0.08) ] 1 - 0.08n
=
9000 10000
0.9
=
0.08n
n
=
0.1 0.08
n
=
1.25 de ano
n
=
1.25(360)
=
450 dias
EI pagare fue descontado el dia 17 de agosto del ano anterior. 6) Calcular la tasa de interes simple Hi", si el descuento bancario para una transaccion fue de 5 % a 123 dias. Solucion: d = 0.05 n
i=
=
~~~ =
0.341667 de ano
0.05 1 - (0.341667) (0.05) i
==
=
0.05 0.982917
=
0.050869
5.0869%
7) Calcular la tasade descuento bancario "d" si la tasa de interes simple fue de 10.34%, en 120 dias. Solucion: formula i d= l+ni d
0.1034
=
1+
±(0.1034)
::::::>
0.1034 1.034467
=
0.0999
d-IO% 63
8) Un cliente se presenta en una empresa y flrma un pagare por la compra de una mercancia, dicha empresa desconto el valor del docwnento en el banco a un 40% y recibio 500,000.00. l.Cmil es el valor nominal del pagate en la fecha de su vencimiento, si esta era 6 meses despues del descuento? Solucion: C = M(1- nd)
M=~ 1- nd
M = 500000 1
625 000.00
1 - 2 (0.4) 9) Una empresa recibe un pagare finnado y 10 descuenta en el banco a un 45 % y recibe 450,000.00, Se quiere saber cminto tiempo faltaba para que venciera el pagare, si el valor nominal de este era de 790,000.00. Solucion: Formulas
Datos: M
=
790000
D=M-C
C
=
450000
Db=Mnd
d = 0.45 Db = 790 000 - 450 000 = 340 000
Db n=Md
:. 340 000 = 790 000 (n) (0.45) 340000 n - 355500
=>
a::
_ ' 0.956399 anos
n - 11 meses 14 dfas
10) Una persona recibe un cheque de 500,000.00 que vence en 60 dfas y 10 desea negociat con otta persona a14% mensual a fin de recuperar el dinero de inmediato. l.Cminto Ie entregaran?
64
Solucion: M
=
500000
d
=
0.04
n
=
60 dfas
Para hacer la tasa mensual haremos 10 siguiente: 60 n = - = 2meses 30 asf:
D = 500 000(2)(0.04) = 40000
C == valor presente del documento
=>
C
=
=
500 000 - 40 000
460,000.00
Representaci6n grtifica del interes y del monto simple Representemos primero graficamente Y = mx y Y = mx + b Y
__~_____________ X
o
x
Y-mx
Y-mx+b
Ecuacion de la recta en su fonna simplificada y que pasa por el origen del plano (x,y).
Ecuacion de la recta en su fonna simplificada y que tiene una ordenada al origen (b), en el plano (x,y). 65
Ahora bien, si llevamos estas ecuaciones al plano de coordenadas (n,l) para Y - mx, y (n,M) para Y - mx + b, tendremos: Para Y
=
mx: x=n
SI
y
Y
C = 1queda:
si hacemos
I =
I
1= C n i
entonces
Para Y
=
donde i
in
==
=
m (pendiente de la recta)
mx + b:
M "" C(l + ni) si hacemos C =- I queda:
M - 1 + ni donde
M=Y n-x i = m (pendiente de la recta)
I
=
b
M
=
in + 1
Grafiquemos estas rectas para "n" afios y distintos porcentajes de interes. Sea 1 - in, y dado que esta recta pasa por el origen y es funci6n del tiempo, basta con dar valores a "i", esto es: para
i-lO%
para
i - 30%
I ... O.ln
1
0.1
1
0.3
2
0.2
2
0.6
i - 50% 1== 0.5n
1 -= 0.3n
* *
66
para
1
0.5
2
1.0
*
I
1.0
50%
0.9 0.8 0.7 0.6 30% 0.5 0.4 0.3 0.2 10%
0.1 0
1
2
n
( aiios)
Sea M = in + I, y dado que esta ecuacion y la anterior tienen la misma pendiente "i"; entonces son paralelas las rectas de la ecuacion I a las rectas de la ecuacion M, solo que las de M cortan al eje M en uno, esto es:
67
M 1.0
50% 30%
0.5
0.3
10%
b= I 0_._1__~~________________________________ n (anos)
o Ecuaciones de valor equivalenles en el in teres simple
En la practica se presentan frecuentemente casos como el siguiente: Un deudor que se ha comprometido a pagar varios prestamos adquiridos bajo documentos finnados con diferentes cantidades, tiempos y tasas de interes simple, se ve en la posibilidad de hacer un solo pago para cubrir sus deudas, ya sea anticipando 0 difiriendo el pago, para ello se requiere establecer una equivalencia entre los pagos a que se comprometi6 y el pago unico que se pretende; es decir, (,que valor se requiere como pago unico para que en valor y tiempo se produzca el mismo resultado economico? Obviamente el deudor y el acreedor se pondran de acuerdo en la fecha de equivalencia y en la tasa de interes utilizada. Es muy comun Hamar a esta fecha de equivalencia, FECHA FOCAL.
EJEMPLOS 1) Detenrunar el valor requerido 0 pago uruco con fecha focal a) al dia de hoy, b) un ano despues. Con interes simple del 6%; de una persona que finna un pagare de 10,000.00 que vence el dia de hoy, 6 meses despues 68
se venda otro de 20,000.00 con interes del 7%, y un ano despues se venda otro pagare de 38,000.00 con un interes de 9%. Soluci6n: Hagamos una figura donde se muestre el valor requerido 0 el pago linieo y el tiempo, Hamada ORAFICA DE V ALOR-TIEMPO. En dicha grafica anotaremos el valor de los montos con el in teres simple aceptado en cada periodo. Esto es: 1 ano 9%
t
Hoy
ano 7%
~----------------------~------------------~
o
12 meses
6meses
t
,- 38000 [1 + 1(0.09) ]
10000
20000 [1 +
10000
M = 20000(1.035)
M
=
38 OOO( 1.09)
M
M
=
41,420.00
=
(0.07) ]
20,700.00
a) Obviamente el pago \:mico al dia de hoy, quedara formado por la suma de los valores presentes C
=
1M. a16% de los 3 pagares u obligaciones, +nt
como se puede observar en la siguiente figura: 20700
10000
41420
x 1 ano 6%
al dia de hoy
Establezcamos la eeuaci6n de valor:
X= 10000+
20700 I
1 + 2" (0.06)
x=
41420 + ---1 + 1 (0.06)
10000+ 20700 + 41420 1.03 1.06 69
x=
10000 + 20097.087 + 39075.47
=>
X
69,172.55
=
b) Para resolverlo can fecha focal a un ano despues haremos 10 siguiente: Observese en la grafica anterior, que el monto can fecha focal al dia de hoy es un capital "X n , por 10 que de la f6nnula C
1 M. se deduce +ru que "xn a un ano sera X [I + ni ], es decir, X [l + 1(0.06) ] = X(1.06). =
Asi que en este caso, denominaremos con X(1.06) al valor unico dentro de un ano. De 1a misma manera calcu1aremos los montos producidos por los 10,000; 20,700 Y 41,420 Y hagamos su grafica de valor-tiempo.
1 ano 6%
1 ana 6% 2 41420
20700
10000
1 ana 6%
Para C
=
10000;
=> Para C
=
20 700;
n
=
1
i
=
0.06
M
=
M
10000 [I + 1(0.06)]
=
10,600.00
n
=
-
i
=
0.06
1 _ ano 2
M = 20 700 [1 +
=> 70
M
=
21,321.00
!
(0.06) ]
Para C = 41 420;
n = 0 anos
i
=
0.06
M = 41 420 [1 + 0(0.06)]
=>
M = 41,420.00
Por 10 tanto, el pago linico con fecha focal para dentro de un ano sera: X(1.06) = 10600
+
21 321
+
41 420
X = 73341 1.06
=>
X
=
69,189.62
Observese que hay una pequena diferencia entre los valores requeridos de las dos fechas, 10 que significa que el valor limco varia dependiendo de la fecha focal, si esta no es cuidadosamente analizada. 2) Una persona adquiere un prestamo de 9,500.00 que vence dentro de 1.5 aiios; pero requiere de pagarlos a los 2 aiios 1 mes y la tasa de interes simple fue del 2 % mensual, determinar el valor del nuevo prestamo. Soluci6n: Este problema se puede resolver por medio de dos procedimientos; uno llama do de valor actual, y otro Hamado directo. Procedimiento de valor actual:
~8meses2%1~
~----------------~'--------------------------~------~1~~12 anos
Olano
c
=
9500 9500 1 + 18 (0.02) "" 1.36
1.5 anos 9500
2
1 mes
C == 6,985.2941
71
25 meses 2%
o
1
2
1.5
2 afios 1 mes
6985.2941 M = 6985.2941 [ 1 + 25 (0.02)] M
=
M
6 985.2941(1.50)
=
10,477.941
Procedimiento directo: 7meses2%
~
I
0
1
1.5
I
2
~ 2 afios 1 mes
9500
M = 9 500 [1 + 7 (0.02) ]
=>
M
=
9500 (1.14)
10,830.00
Como puede observarse, en el interes simple no hay correspondencia de resultados, esto es: Procedimiento directo
10830.00
Procedimiento de valor actual
10477.94 352.06
Esto se debe a que el capital que sirve de base para el procedimiento directo, ya incluye una capitalizaci6n de intereses, que no se toma en cuenta al operar con el procedimiento de valor actual.
Nota: El descuento verdadero, es el Unico que produce resultados exactos y es el que se obtiene con calculos a INTERESES COMPUESTOS (problemas de este tipo seran resueltos en el capitulo correspondiente). 72
3) Una persona debe 2,000,000.00 con vencimiento a 3 meses y 1,600,000.00 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante 2 pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un ailo respectivamente. Determinar el valor de los nuevos pagares con el 8% de rendimiento (tomese como fecha focalla fecha dentro de un ailo). Solucion:
t
4 MESES
o
3
6
2 000 000
de ailo 8% 12
8
1600000
i
x
de ailo 8%
La ecuacion de valor sera:
1 3 1 X [1 + 2" (0.08) ] + X = 2000000 [1 + 4" (0.08)] + 1 600 000 [1 + 3" (0.08)]
X(1.04) + X
=
2000000(1.06) + 1 600000(1.026667)
2.04X
=
2 120000+ 1 642667.2
X
=>
I:
3762667.2 2.04
X == 1 844444.706
4) Una persona debe los siguientes pagares con el 8% a: 50,000.00 exigibles dentro de 3 meses, pero finnado a 6 meses plazo; 60,000.00 exigibles dentro de 6 meses y finnado a un ailo plazo; y otro de 30,000.00 sin intereses exigible dentro de 9 meses. Su acreedor acepta recibir 3 pagos iguales con el 9% de rendimiento, a cambio de las anteriores obligaciones, as!: EI primer pago de contado, el segundo a 6 meses y el tercero a un ailo plazo. Determinar el valor de estos pagos iguales.
73
Soluci6n:
1 ano 8% 30000
ano 8%
t
50000 [1 +
,
6000 O[ 1+ 1(0.08)]
(0.08) ] /
v
Monto de la deuda:
1 ano
9
6
3
0
64800
52000
Ahora bien, como son exigibles a los 3, 6 Y 9 meses calculemos los valores presentes de dichos montos.
t
'41 deano
ano 8%
3~
0
9
64800 1 1 +"2 (0.08)
52000 1 1 +'4 (0.08) v
~
30000
12 1 ano
v
62,307.692
50,980.392
30000
3 deano-9%
t
o
62307.692
x
X
1 ano
74
1
9
3 50980.392
ano--9%-
30000 1 ano 2
1.
de ano 4 9%
ano
x
X [1 + 1(0.09) ]+ X [ 1 + -iCO.09) ]+ X
=
50980.392 [1 + ~CO.09)] +
+ 62 307.692 [1 + +
X(1.09) + X(1.045) + X
=
=
(0.09)] +
4"1 0.09]
50980.392(1.0675) + 62307.692(1.045) + +
3.135 X
30000 [1 +
t
30 OOO( 1.0225)
54421.5684 + 65 111.5381 + 30675.00 X = 150208.1065 3.135
=>
X
=
47,913.27 (valor de cada uno de los 3 pagos)
5) Una persona debe 50 millones por un prestamo que realizo, con vencimiento a 6 meses y que originalmente fue contratado a un ano y medio con una tasa de 20% y debe, ademas por un prestamo anterior, 5 millones con vencimiento a 9 meses, sin intereses. Esta persona desea pagar 10 millones de inmediato y liquidar el saldo en un solo pago dentro de un ano, con una tasa de rendimiento de 25 %. Solucion: Primero calculemos el monto al vencimiento que originalmente se habfa contratado. M
=
50000000 [ 1 + %(0.20)]
=
50000000(1.30)
M = 65000000
~ ano o 10000000
25%
~~~~ 65000000
5000000
X
25% 75
10000000 [1 + 1(0.25) ]+ X
=
65 000000 [1 + t(0.25) ]+
+ 5 000000 [1 + ±(0.25)]
10000000(1.25) + X = 65000000(1.125) + 5 000000(1.0625) 12500000 + X
=
73 125000 + 5 312500
X = 78437 500 - 12 500000
=>
X
=
65,937,500.00
6) Una persona debe pagar 2,000,000.00 dentro de 4 meses y 8,000,000.00 dentro de 8 meses. l.Que pago Unico necesita efectuar dentro de 6 meses si quiere amortizar por completo la deuda, si se acuerda una tasa de interes del 12% y una fecha focal situada dentro de 6meses? Soluci6n: '61 deano
~
0
~
2000 000
=>
'61 deano
12%
X
X
=
2000000 [1 + 1.(0.12) ]+ 8000000 6 1 + (0.12)
X
=
2040000 + 7 843 137.25
12%
~ 8000 000
i
X == 9,883,137.25
7) EI senor alfa fmna un documento por 1,000,000.00 con vencimiento en un ano a interes del 6%. Tres meses despues de la firma del contra to, el poseedor del documento 10 vende a un tercero, el cual determina su valor a18% de interes simple, l.cuanto recibini el vendedor del docwnento? 76
Soluci6n: 1 ano
6%
---o~ ~lafio M = 1 000000 [1 + 1(0.06) M = 1060000
"43
de ano -
,e
80t
3~
o
x x
=
~lano 1060 000
1060000 3 1 (0.08)
+"4
=>
X
=
1,000,000.00
8) Una persona debe pagar 10,000,000.00 en un ano. Se compromete a pagar 5,000,000.00 en 3 meses y el complemento en 15 meses. Si el rendimiento se val~ra en 15% de interes, i,que cantidad debe desembolsar dentro de esos 15 meses para liquidar completamente la deuda? Considerese como fecha focal 15 meses. Soluci6n:
~
o
12 ---=-====:=4
x 5000000
10000 000
77
x=
10000000 [1 + ±(0.15)] - 5 000 000 [1 + 1(0.15)]
X
10000000(1.0375) - 5750000
=
X = 10 375 000 - 5 750 000
=>
X
=
4,625,000.00
9) Una persona consigui6 un prestamo a130%3 que debera pagar a traves de 2 altemativas, una de ell as es pagar 4,000,000.00 a los 6 meses y 3,000,000.00 a los 9 meses y la otra alternativa es pagar ··X pesos a los 4 meses y U2X" pesos a los 7 meses. M
Considerando que las altemativas mencionadas son equivalentes, obtener los valores de "X" y H2X" tomando como fecha focal 8 meses. Soluci6n:
i
de ano 30%
112 de ano
30%
~9~ ~1 4
7 12 30 % 8 2X
6 4 000 000
9 3 000 000
x~-----
jde ano 1
30% 1
1
X [ 1 + 3(0.30)] + 2X [1 + 12(0.30) ]= 4000000 [1 + "6(0.30) ]+ +
X(1.1) + 2X(1.025) 1.1X + 2.05X
=
=
4000000(1.05) + 3000 000(1.025r 1 4200000 + 2926829.268
3.15X ... 7 126 829.268 X
=
2X 78
2,262,485.48 =
3000000 1 1 + 12 (0.30)
4,524,970.96
CAPITULO V
INTERES COMPUESTO La importancia de este tema, radica en el hecho de que, muchas veces, te-
nemos que ver en la vida con actividades comerciales donde intervienen este tipo de problemas, entre elias tenemos la compraventa de automoviles, compra de una casa 0 condominio, prestamos de instituciones bancarias 0 de credito, etc. Calculemos una formula para obtener el MONTO a un interes compuesto. Supongamos que se quiere saber cmil es elmonto al final de "n" anos, si se tiene un capital de "c" pesos y una tasa de interes anual "i". Capital inicial .......................... C +
Interes al fin de un ano ................... Ci
---
Monto al fin de un ano ................... C + Ci Factorizando: C + Ci
=
C(l + i)
Capital al iniciar el 20. ano ............... C(l + i) +
Interes al fin del 20. ano
................. C( 1 + i)i
Monto al fin del 20. ano .................. C( 1 + i) + C( 1 + i)i Factorizando: C(l + i) (l + i) - Ct 1 + i)2 Capital al iniciar el 3er. ano ............... C(l + i)2 +
Interes al fin del 3er. ano ................. C(l + i)2i Monto al fin del 3er. ano .................. C(l + il + C(l + i)2i Factorizando: C(l + i)2 (l + i)
=
C(l + i)3
Capital al iniciar e140. ano ............... C(1 + i)3 Interes al fin del 40. ano
+
................. C(l + i)3 i 79
Monto al fm del 40. afio .................. C(1 + i)3 + C(1 + i)3i Factorizando: C(1
+
i)3 (1 + i)
=
C(1 + i)4
Y as! sucesivamente, por 10 tanto el monte al enesimo afio sera:
I M = C(l + i)D ! Formula que nos indica el interes compuesto, y que es la acumulacion sucesiva del capital mas el interes al siguiente perfodo. EJEMPLOS
Problemas de monto
1) Se depositan en un banco 5,000,000.00 al 35% do al final del cuarto afio.
ayse desea saber el sal-
Solucion: M - 5 000 000(1 M
=>
=
+
0.35)
4
5 000000(3.321506)
M ""' 16,607,530.00
2) EI primero de febrero de 1975, una persona adquirio un prestamo de 200,000.00 al5 % convertible trimestralmente. i Cminto debe al primero de febrero de 1995? Solucion: C == 200000
i=
~ = 1.25%
n - 20 afios - 80 trimestres ..
M = 200 000(1 + 0.0125)80 M
=>
=
200 000(2.701485)
M == 540,297.00
3) Una persona abri6 una cuenta bancaria con 200,000.00 y durante los 4 primeros afios gano intereses del 10% convertible semestralmente, despues de esos 4 afios la tasa de interes se elevo al 16% convertible se80
mestralmente. i., Cminto habra en la cuenta de esta persona despues de 8 anos de haber cambiado la tasa de interes? Soluci6n: Este problema se refiere a fechas focales en el interes compuesto.
8sem.
5%
~
o
8sem.
200000(1.05)8 \
w
24 semestres
,
295491.00
295491.00
8~
o
8%
/'24 16 sem
M - 295 491(1.08)16
==>
M - 1,012,335,323
4) La senora Casanova tenia planeado formar un capital a 10 anos, abriendo su cuenta en el banco con 5,000,000.00 que Ie redituarfa el 35% anual de intereses capitalizables semestralmente. Pero por necesidades imprevistas tuvo que retirar 2,000,000.00 a los 6 anos y medio. La senora quiere saber cuanto obtendra al finalizar los 10 anos que habfa planeado originahnente. Soluci6n: n" 10 anos
=
20 semestres
i = 0~5 = 0.175 n'" 13 semestres 81
Calculemos primero el monto al finalizar los 6 arIOs y medio: M = 5000000(1.175)
13
- 2000000
M = 38687620
Por 10 tanto: n
=
7 semestres (que es 10 que falta para los 10 arios)
M
=
38687620(1.175)
7
M = 38687620(3.092182)
=>
M
119,629,162.2
=
Problemas de capital 0 valor presente
1) Que cantidad debe depositarse en un banco que abona el 20% de interes anual, para que el saldo de la cuenta al fin de 5 arios sea de 2,000,000.00 Soluci6n:
Si M
=e(l + i)" C=~
entoncestenemos
(1 + i)n
C
o bien:
=
M (l +
irn
Usando la primera fonnula tenemos: C = 2000000 = 2000000 (1.2)5 2.488320
=>
C
=
803,755.14
Usando la segunda f6nnula tenemos:
=> 82
-5
C
=
2000000(1.2)
C
=
2 000 000(0.401878)
c=
803,755 .20
2) Se tiene una emisi6n de 5,000,000.00 reembolsables en un solo pago, con capitalizaci6n de intereses a un plazo de 15 alios y que paga el 7% a de interes, se desea saber el valor de colocaci6n de la emision a una tasa real de 8 % a. Solucion: Se halla primero el monto de la deuda al vencimiento y luego el valor presente del monto encontrado. Datos nominales: C=5000000 n
=
15 afios
i
=
0.07
M
=
5 000000(1.07)
M
=
5 000000(2.759032)
M
=
13,795,160.00
15
Datos reales:
M = 13795 160 i
=
n
=
15 alios
.'. C
=
13 795 160(1.08r
C
=
13 795 160(0.315242)
C
=
=>
0.08 15
4,348,809.759
Resolviendolo de otra manera (como fecha focal):
~~OS7%~ oI
_ 1
M - 5 000000(1.07)
15 anos
15
M - 13795160
83
o~
7115 afios 13795 160
~5atlOS8%~ C - 13795 160(1.08)
=>
-15
C - 4,348,809.69
3) Que eantidad debe depositarse en un banco que abona 35% de interes anual, para que el saldo de 1a euenta al fin de 7 afios 20 dfas sea de 1,250,000.00 Soluci6n: M - 1250000
i - 0.35 n
:a:
7 afios 20 dfas
lano 360 dias
X afios 20 20 dias ; X = 360 = 0.055556
,', n - 7.055556 afios 1250000 C=
7.055556
(1.35)
1250000 C = 8.309544
=>
C= 150,429.43
Problemas de tasa de interes 1) Si se abre una cuenta bancaria eon un capital de 12,500,000.00, y al final de 5 alios se obtiene un monto de 25,000,000,00, se desea saber emil es el valor de la tasa otorgada. Soluci6n:
Si M .. C(l + i) Entonces 84
(1+ it = M C
n
:.l+i=n.../~ => y como M
=
25 000 000
C
=
12500000
n
=
5 alios
. sf 25000000
entonces:
i=
C
1
12500000-
1=
nlM"
i= "~--l
s
12-1
i
=
1.148698 - 1
i
=
0.148698
::::::>
i
=
14.87%
2) Un sefior otorga a su nieta de 8 alios de edad 2,000,000.00 que deposita en el banco, con el objeto de que la jovencita al cumplir los 18 afios pueda retirar el dinero. Si la jovencita al cabo de cumplir los 18 alios recibe 11,345,600.00 i,Cmil fue la tasa de capitalizacion anual que gano? Solucion: M
=
11 345600
C - 2000000
n
=
18 - 8 '"" 10 afios
.'. 11 345 600 == 2 000 000(1 + i) 10 (1 + i)
10
i
... 5.6728 = 10
15.6728-1 1
i = (5.6728)
10 -
1
i - 1.189542 - 1 i - 0.189542
=>
i
a::
18.95%
3) Si se abre una cuenta bancaria con un capital de 50,000.00, se qui ere saber que tasa de interes se otorgo si el capital estuvo en el banco 5 afios y se recibieron 200,000.00 85
Soluci6n: M
=
200000
C
=
50000
n
=
5 afios
.'. i
=
5.[4 - 1
i
=
(4)5 - 1
i
=
0.319508
1
~
i
31.95%
=
Problemas de tiempo 1) En cmintos afios un capital de 5,000,000.00 produce un monto de 75,000,000.00 si se aplica una tasa del 40% anual.
Soluci6n: Si M
C(1 + i)
=
(1+i)
n
n
M C
=-
Por 10 tanto, para despejar "n" tenemos que usar los logaritmos, as! que: n log (l + i)
.
=
log M
C
M loge n=--log (1+ i)
o bien n _ log M - log C log (1 + i)
sustituyendo valores tenemos: log M
=
log 75000000 =
log C == log 5 000000 log (1 + i)
=
6.698970 1.176091
log 1.4 = 0.146128
1.176091 .'. n = 0.146128 86
=
7.875061
n = 8.048362 atlos
=>
n
=
8 afias 17 dias
2) Una persona deposita 7,500.00 en una cuenta de ahorros que paga el 20% a con capitalizacion bimensual, l.en que tiempo tendra un monto de 100,000.00? Solucion:
M
=
100000
C
=
7500
i
=
20%
i
=
o~o = 0.03333
a
. n = log 100 000 - log 7 500 .. log 1.03333 n
5.0 - 3.875061 0.014236
=
1.124939 0.014236
=
. 79.020722 bltnestres
para convertirlos a ailos, tenemos:
79.0~0722
=
0.170120(12) 0.041 (30)
=>
n
=
=
13.170120 ailos =
2.041 meses
1.23 dfas
13 ailos 2 meses 1 dfa
3) Una persona contrajo 2 deudas; una a 90 dfas de 10,000,000.00 y otra de 18,000,000.00 a 180 dfas, pretende cubrir su deuda en un solo pago, pero quiere saber emil es el tiempo equivalente a pagar, si la tasa de interes se estipulo a 30% a. Solucion: Resolvamos este problema de 3 maneras diferentes: A) Coloeamos arbitrariamente la feeha focal en el dfa de hoy. 0.30 1. = -= 12
00 . 25 mensua I 87
C
=
(10 + 18)
M
=
28000000(1.025)
=
28 nllllones n
como se puede observar es una ecuacion con 2 incognitas. Para poder resolverla se plantea la ecuacion de valor, de la siguiente manera:
o
MESES 6 = 180 dias
3 = 90 dias
hoy
10000000
18 000000
EI monto es igual a la suma de los capitales con la tasa y tiempos contratados. Esto es: (10000000 + 18000000) (1.025)
-3
n =
10000000(1.025) + +
(1.025)
9285994.1 + 15 521 343.66 28000000
n
n
(1.025) asi:
=
=
-6
24807337.76 28000000
0.8859763
n log(1.025) = log 0.8859763 n
n
18000 000(1.025)
=
log 0.8859763 log 1.025
=
-0.052578 0.010724
-4.90283
para evitar que el tiempo quede negativo, se ealcula eI cologaritmo de 0.8859763 con el eual el signo negativo se eonvierte en positivo. Esto es: colog 0.8859763
1
= log 0.8859763 - log 1 - log 0.8859763 .... 0 - (-0.052578)
88
•
=
-
.. n
(-0.052578) 0.010724
=>
n
=
4 90283 .
4 meses 27 dias
=
B) Tomando como fecha focal dentro de 6 meses
o
~,6
3 10000000
28000000(1.025)
n =
10000000(1.025)
18000000
3
+
18000000
(l 025t = 10768910 + 18000000 = 28768910
. (1.025) donde:
28 000 000 n
=
28 000 000
1.027461
n = log 1.027461 = 0.011765 log 1.025 0.010724 .'. n
=>
n
=
=
1.097072 1 mes 3 dias
Pero para saber la fecha real, hay que restar esta ultima a la fecha focal establecida. Esto es: 5 meses 30 dfas = 6 meses 1 mes 3 dias 4 27
=>
n
=
4 meses 27 dfas
C) Despejando "n ~ de la formula del monto se tiene: n
=
log M - log C log (l + i)
89
donde M
=
28 000 000
"C~~ se calcula a valor presente Unicamente, Es decir, tomando como fecha focal el dfa de hoy (no se puede hacer tomando otra fecha, como fecha focal), Esto es:
as!: n
C
=
10000000(1.025)
C
=
24 807 337,76
7.447158 - 7.394580 0.010724 .'. n
=
:::::>
-3
+
18000 000(1.025)
-6
0.052578 0.010724
4.90 n = 4 meses 27 dias
Tiempo en que se multiplica un capital a interes compuesto Si de la formula M = C(1 +it sustituimos el manto par 2 veces el capital, considerando que el manto en el caso que nos ocupa a de ser el doble del capital, entonces tenetnos: • n
M
Y hacemos M
C(1 + 1)
=
2C
=
. n
2C = C(l + 1)
entonces
2C C = (1 +
n
2
,', n log (1 + i) n
.n
1)
= =
(1 + i)
log 2
log 2 log (1 + i)
=
Par 10 tanto, se puede entender facilmente que: Para el triple
n
=
log 3 log (1 + i)
Para el cuadruple
n
=
log 4 log (1 + i)
90
Y asf sucesivamente. Observese que en estas fonnulas el capital no interviene. Es decir, nada tiene que ver la cantidad de dinero con el tiempo en que se muitiplica el mismo, solo esta en funcion del interes. EJEMPLOS 1) Calcular el tiempo en que se duplica un capital cualquiera a una tasa de 7% anual. Soludon:
=>
n
=
0.301030 log 1.07
n
=
10 afios 2 meses 28 dias
=
0.301030 0.029384
=
10.244768
2) Cmintos afios se necesitaran para que el monto de 4,000,000.00 sea de.
5,000,000.00 a140% anual, convertible mensualmente. Solucion: M
=
5 000000
C=4000000 i=
O~~O =
0.03333
n = log M - log C log (1 + i)
=
log 5 000 000 - log 4 000 000 log 1.03333
n = 6.698970 - 6.602060 = 0.096910 = 6 805955 0.014239' 0.014239 n = 6.805955 meses
=>
n
=
6 meses 24 dias
3) ;"A que tiempo se debe invertir un capital de 100,000.00 al 20% anual, para obtener un monto del triple que el capital? soludion: n=
=>
n
=
log 3 log 1.2
0.477121 0.079181
=
60256 .
6 afios 9 dias 91
Descuento a interes compuesto Sabemos que el deseuento esta dado por D res eompuesto podemos decir que: si C
=
M - C, por 10 tanto, si es inte-
M
=
n
(1 + i)
M
entonees D
=
M - -(l+it
.'. D
=
M - M(1 + i)
-n
I
D - M [1 - (1 + i) -oJ
I
EJEMPLOS 1) Por un doeumento con valor de 4,100,000.00 con vencimiento dentro de 4 afios, nos han eoneedido un deseuento. Si la tasa de la operaci6n es del 4% anual, l,emil sera el importe de dieho deseuento? Solucion: -4
D
=
4 100 000 [ 1 - (1.04) ]
D
=
4 100000(0.145196)
=>
D
=
595 302.78
2) Se quiere saber emil es el valor del deseuento que nos haran por un pa-
gare de 300,000.00 euya feeha de vencimiento es a 6 meses a un 16% anual. Solucion: M
=
300000
n
=
6 meses
i
=
16%
D
=
300000 [1 - (1.16)
=
1
afio = 0.5
= 0~16
D == 300000(0.071523)
=> 92
D
=
21,456.90
-0.5
]
Crecimiento comparativo delmonto a interes simple con el monto a interes compuesto Dibujemos las grcificas correspondientes a un monto con capital de 1,000.00 a interes simple y a interes compuesto al 8 % anual.
PARA EL INTERES SIMPLE
PARA EL INTERES COMPUESTO M
M = C(l + ni)
Es una progresion aritmetica y su grcifica una linea recta n
o 10 20 25
=
C(1 + i)n
Es una progresion geometrica y su grcifica una curva
M 1000 1 800 2600 3000
M 1000 2 158.92 4660.95 6848.47
n
o 10 20 25
Monto M ... C(1 + i)n
8000
/
7000 6000 5000 4000 3000 2000
n (afios)
1000
o
10
20
25
93
Capitalizacion de intereses enfracciones de afio o tiempo fraccionario Es costumbre enunciar en la practica la tasa diciendo, por ejemplo 8 %
anual capitalizable por semestre, en casos como este debe entenderse que se trata del 4 % semestral. La tasa que se enuncia como anual para capitalizarse varias veces en un ano se simboliza de la siguiente manera:
j J(m) = m La literal ··m~ representa el nillnero de veces que la tasa real "J~ (que para diferenciarla de la tasa real "i·· la llamaremos tasa nominal) se capitaliza en un ano.
Relaci6n entre rasa nominal y tasa efectiva 0 real Si consideramos como tasa efectiva la ganancia y en un ano se obtiene como capital "C~ pesos y designamos esta tasa real con la literal "i~, el monto de "cn pesos en un ano sera C(l + i). Si ahora consideramos una tasa nominal "J~ capitalizada "m~ veces en un ano encontramos el valor del monto a esa tasa nominal de los "m~ perfodos de capitalizacion de un ano. Capital inicial ....................... C Interes al fin deller. periodo ........... C(Jm) Monto al fin deller. periodo ........... C + C(Jm) Factorizando C( 1 + 1m) Capital al iniciar el2o. periodo ......... C(1 + 1m) Interes al fin del 20. perfodo ............ C( I
+
Jm)lm
Monto al fin del 20. perfodo ............ C(l
+
1m) + C(1
Factorizando C(1 + 1m) (1 + 1m)
=
+
Im)lm
C(1 + Im)2
Y as! sucesivamente.
Consideremos una tasa que se va a capitalizar "m" nillnero de veces en un ano y convengamos en representar el exponente del factor de acuerdo tambien con la letra ~'m" entonces el monto al final de un ano seria (1 + Im)m. Si trataramos de establecer la equivalencia entre la tasa real "i" y la tasa nominal "1m", considerando ambos anualmente entenderemos que SERAN EQUIVALENTES SIEMPRE Y CUANDO EN UN ANO PROPORCIONEN EL MISMO MONTO. Esto es: 94
C(I
+
it
=
C(l
+
1m)1II
Si n = 1: (1 + i) = (1 + 1m)1II
Despejando para detenninar la tasa equivalente anual en los casos de operaciones cuya tasa de interes se capitalice varias veces en un ano, se tiene.
[~~~~~,)n~I
J
Ahora calculemos una fonnula que nos pennita encontrar la tasa nominal
j 1m=-. m Si de la formula (l + i)
=
(1 + 1m)tn despejamos 1m queda:
(1 + 1m) =
~
Jm
o bien: si de 1 + i =
HIIT+T
~ "'IT+T - I
1
(I + 1m)Hl elevamos ambos miembros a la Un" se tiene: (1 + i)n
=>
(I +
=
it =
[(1 + 1m)mt (I + 1mt
Ul
E1EMPLOS 1)
a
Si tenemos un capital de 100 al 10% en 3 anos, y hacemos su calculo aritmetico considerando la tasa nominal capitalizable en anos y en semestres, tendremos:
Metodo aritmetico (ayuda para observar el comportamiento de los intereses): A) Capitalizacion anual
c=
100
i
=
10%
n
=
3 arios
a 95
Capital inicial .......................... 100.00 Interes 1er. aiio .........................
10.00
Monto = capital en el2do. afio ............. 110.00 Interes 2do. afio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
11.00
Monto'" capital en el3er. afio ............. 121.00 Interes en el3er. ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
12.10
Monto al fin del3er. afio .................. 133.10 B) Capitalizacion semestral
C
=
100
n
=
3 anos
=
6 semestres
m - 2 (semestres por afio) J(2) =
j
010
2= 2
~
J(2) = 0.05
Capital inicial .......................... 100.00 Interes 1er. semestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.00
Monto'" capital en el2do. semestre ......... 105.00 Interes 2do. semestre ....................
5.25
Monto - capital en el3er. semestte ......... 110.25 Interes 3er. semestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.51
Monto - capital en el40 semestre .......... 115.76 Interes 40. semestre .....................
5.79
Monto - capital en e150. semestre .......... 121.55 Interes 50. semestre .....................
6.08
Monto - capital en el 60. semestre . . . . . . . . .. 127.63 Interes 60. semestre ..................... Monto - capital al fin del 60. semestre 96
6.38 134.01
Podemos decir que la tasa real efectiva es mayor que ellO%, en este ejemplo, cosa que verificaremos aplicando Ia formula. C) Obtengamos el valor real de "i".
i
=
(1 + Jm)m - 1
. 10 donde J(2) _1. = - = 5%
2
2
.'. i - (1
2
+
0.05) - 1
i == 1.1025 - 1 i == 0.1025
=>
i
=
10.25%
D) Obtengamos el valor real de "Jm" Jm == mIT+T
-1
Jm - .ff.1O - 1 Jm - 1.048809 - 1
Jm == 0.048809
=> 2)
Jm-4.88%
l,A que tasa nominal "j" convertible mensualmente, el monto de 200,000.00 sera de 300,000.00 en 2 aiios?
Solucion: n - 2 aiios m - 24meses
M- 300000 C - 200000 . 1-
24 .; 300000 200000 - 1
i_24{3 -1 2
i - 0.017038
=>
i - 1.703% mensual
Ahora bien, podemos observar que: 97
i
donde m
=
=
tasa capitalizable m
i
12 meses por ano
*.*=--L 12
* *
asi que:
=> 3)
j
=
12i
j
=
12(0.017038)
j
=
0.204456
j
20.44% (tasa nominal) anual
=
Hallar la tasa nominal "j", convertible mensualnlente, equivalente al 8% convertible semestrahnente.
Soluci6n: Se tiene que 1m 1m tenemos:
=
--L
A
y segun la f6nllula
m IT+T - 1
= 12'; (l + i)2 - I
12
2
--L =
(l + i) 12 -,I
--L
{l + i)6 - 1
12
1
12
* •
1
= (1.04)6 - 1
A
=
1.006558 - 1
--L = 0 006558 12 . 98
j = 12(0.006558)
j
=>
=
0.078696
j = 7.869%
4) Calcular la tasa efectiva 0 real "i" equivalente a una tasa de interes del 36 % convertible semestralmente. Solucion:
j = 36% = 0.36 m-2 .'. i = (1 + i
=
0.~6
)2 -1
(1.39240) - 1
i = 0.39240
i
=
39.24%
EJERCICIOS 1) i.,A que tanto por ciento mensual de interes cotnpuesto se invirtio un ca-
pital de 100,000.00 si en 3 afios se cuatruplico? Solucion: log 4
n = log (1 + i) pero m" 36 perfodos m=
log 4 log (1 + 1m)
de donde: log (1 + Jm) = log (1 + Jm)
-=
log 4 36 0.016724
De otra fonna: • _ 36 1-
.
=
I 400 000
V. 100000 -1
36
14 -1
1 + Jm = antilog 0.016724
1
J(36)
i = 1.039259 - 1
J(36) = 0.039259
=
1.039259 - 1
=> J(36)
=
3.925%
i
=
0.039259
=>
i
=
3.925 %
99
2) Calcular la cantidad acumulada de 3,000,000.00 por 5 afios y cuarto al 4 % convertible mensuahnente. Soluci6n: C - 3,000,000
i
-=
0~~4 :::
0.003333
n ... 5 ~ anos; pero 5 anos = 60 meses
~de ano = 3 meses
=> M
=
M
=>
M
=
n
=
63
3 000 000 (1 + 0.003333)
63
3 000 000 (1.233221) 3,699,663.0
3) Se quiere saber cU(into tiempo tardo un capital de 40,000.00 colocado a interes compuesto de 2 % semestral, para convertirse en 68,280.00. Solucion: n
log 68280 - log 40000 log 1.02
=
4.834294 - 4.602060 n= 0.008600
0.232234 0.008600
n = 27 semestres
=>
n
=
13 anos 6 meses
4) iCmil es el valor actual de un pagare de 1,000,000.00 pagaderos dentro de un ano 8 meses, si el interes cobrado es del 10% a capitalizado semestralmente? Soluci6n: i-l0%a=O.10 J(2)
100
=
0.05
6meses lsemestre n
=
2 X'
X=
"62 =
0.3333
1 ano 8 meses
m = 3.3333 semestres C
=
1 000000 (1.05)
-3.3333
C - 1000000 (0.849904) C
=
849,904.0
==> C - 850000.0
5) Hallar la tasa nominal "j" convertible cuatrimestralmente en la que
800,000.00 en 2 anos crece hasta alcanzar 2,000,000.00. Solucion: Datos: n
Formulas: (l + i)
2 aiios
=
m
=
3 cuatrimestres por ano
M
=
2 000000
C
=
M
=
n
=
1- mn
(l +
C(1 + i)
m
)
n
800000
(1 + .)fl = M= 2000000 1 C 800000
=
25 .
ycomo entonces ..
(1 +
(1
~)6
. M +;)nID =C - 2.5;
=
2.5
1+
~
1+
i3
=
~
= 0.164993
j
=
=>
-
(2.S)~ 1.164993
3(0.164993)
==
0.494979
j - 49.5% 101
6) Si la tasa nominal de interes es del 8 % capitalizable semestrahnente, se quiere saber emil es la tasa efectiva anual equivalente si se hizo una inversion de 1,000,000.00. Soluci6n: Datos:
Formulas:
m
1=
=
.
2 semestres
n = 1 afio
1. = m
i
:=
i
M
i m
(1 +....L.) - 1
m
=
CO
n
+ i)
0.04 (1.04)2 - 1
=>
= 0.081600
i = 8.16% equivalente anual
Haciendo el calculo de otra manera, se tiene: Si M = 1 000000 (1.04)2 M=10816oo entonces; 1 081 600 - 1 000000 = 81 600 que equivale a una tasa anual de: 81 600 1 000 000
=
0.081600
:::::>
i
=
8.16%
7) Hallar la tasa nominal convertible trimestrahnente equivalente al 20% convertible mensuahnente. Soluci6n:
j = 20% (convertible mensuahnente)
~ = 0.20 = 0016667 12
~-
12
.
? (convertible trirnestrahnente)
.. (1 + 0.016667)12... (l +
~)4
(se hace esta igualaci6n ya que en un afio
debe dar el mismo resultado econ6mico)
102
Sacando raiz 4a. en arnbos miembros queda:
4"; (1.016667) 12
=
4,f (I +i) 4
3
(1.016667)
i
:t ~
j
i .
=
1+
=
1.050839 - 1
co
=
0.050839;
j
c:
4(0.050839)
20.33%
103
CAPiTULO VI
ANUALIDADES
Introducci6n Podemos definir una anualidad como una sucesion de pagos iguales en tiempos iguales, como 10 son las rentas, abonos, sueldos, etc. Las anualidades, se clasifican segUn el tipo de pago en 2 grupos CIERTAS 0 SEGURAS y CONTINGENTES. Las anualidades ciertas son aquellas en las que se conoce la fecha tanto de inicio como de terminacion; y las contingentes son las anualidades en las que por algun motivo no se puede fijar alguna de las dos fechas. Para su clasificacion consideramos tambien que las anualidades pueden ser ANTICIPADAS 0 VENCIDAS. En el primer caso es cuando el pago se hace al principio del periodo, y en el segundo caso es cuando se hace al final. Representemos en unas graficas las anualidades "ciertas 0 seguras" (que tambien reciben el nombre de anualidades a plazo). Existen ademas otros tipos de anualidades, entre ellas estan las perpetuidades, que dado el poco uso que estas tienen no tocaremos en este curso. Anualidad vencida R
R---------R
Anualidad anticipada R
R --------------- R
I Anualidad diferida vencida R
I
R ---------R
I
I
I
I
I 105
Anualidad diferida anticipada R
R --------R
Anualidades ordinarias (ciertas simples-vencidas) Por valor presente 0 actual de una serie de anualidades se entiende el valor calculado en la epoca 0 fecha inicial de pagos de toda la serie (capital que impuesto a tasa y tiempo conocido, produce un monto detenninado). Recordemos las siguientes literales: all] i
=
Valor presente de una serie de anualidades de un peso (lease a sub "nn i). R
=
Valor de la anualidad 0 renta.
Anl i = Valor presente de una anualidad de uR" pesos. i = Tasa de interes. n = NUtnero de ejercicios (tiempo). n V = Valor presente de un peso en "R" periodos, 0 factor de descuento. Mnl i
=
Monto de la anualidad.
Deduccion de la formula del valor presente de una serie de anualidades cualquiera que sea el importe de sus pagos. Esta formula se puede deducir de 2 maneras diferentes: A) Tomando como base una serie de anualidades cuyo valor de los pagos asciende a la cantidad de un peso. De la formula del monto M
=
C (1 + it despejamos "C" y queda: M C=-(1+
Ahora bien, si hacemos que M
=
it
1, entonces C 1 1=-(1+ it
106
=
1, por 10 tanto:
=>
1 = 1(I + i)-n
Sustituyendo el valor de un peso por el valor presente de un peso en "R'" perfodos (Vn), nos queda: v n = (l + i)-n El factor (l + i) -n se llama factor de descuento y nos permite calcular el valor presente de un capital. Si el valor presente de una serie de anualidades de un peso 10 hemos Hamado anl i y ese valor presente es igual a la suma de los valores presentes 0 actuales de un peso en cada una de las anualidades 0 pagos de que se compone la serie, podemos escribir la siguiente igualdad: anl i = (l + i)-I + (l + i)-2 + (l + i)-3 + ... + (1 + i)-(n-I) + (1 + i)-n La igualdad que nos ocupa es una progresi6n geometrica descendiente cuya
raz6n es (1
+
ifl, puesto que: (l + i)-I (l + i)-I
=
(I' + i)-2
(l + i)-2 (1 + i)-I
==
(l + if 3
• • •
• • •
• • •
(1 + i)-(n-I) (l + if I
=
(1 + i)-(n-I)-I
=
(1 + i)-n
Sin embargo, para mayor facilidad de calculo, podemos invertir el orden de los sumandos sin alterar el valor de la igualdad y obtener una progresi6n geometrica ascendente de raz6n (1 + i) I. &toes: a.il i - (1 + ifn + (l + i)-(n-l) + (1 + if(n-2) + ... + (1 + ir3 + (1 + ir2 + (1.+ i)-I
Calculemos la suma de los "n·· terminos de esta progresi6n, haciendo uso de la f6rmula respectiva. S n
=
a(rn_l) r-I
107
Efectuando las sustituciones de acuerdo con los tenninos de nuestra igualdad, tenemos: So = aoli a == (1
+
r= (1 +i)
a~ i =
ifo :. a~
j=
(1 +iro [(1 +i)0 -1] (1 +i) -1
(1 + ir°(1 + it- (1 + iro 1+ i - 1
=
(1 + ir
n
o - (1 + iro
+
Si ahora consideramos la posibilidad de que el valor de los pagos sea de "R"" en sustitucion de $1.00, entonces la fonnula general queda: _
Raol.- R 'ji
1- (1+ iro
.
1
pero "A"" es el valor presente de una anualidad de "R"" pesos
o bien
-
(1)
-
(2)
Para la expresion (I), utilizaremos la calculadora. Para la expresion (2), utili~aremos las tablas financieras B) Tomando como base una serie de anualidades cuyo valor de los pagos asciende ala cantidad de "Rn pesos:
108
R
R
R-----R
R
R
o ----------------------------------------------R 1+ i
R
R
R (1+
it
A~ j= R(1 + ifl + R(l + ir2 + R(l + i)-3 + ... + R(l + i)-(n-l) + R(l + ifn
Anlj= R(l + ifn + R(l + i)-(n- O + ... + R(l + i)-2 + R(l + i)-I a
=
R(1 + ifn
r
=
(1 + i)
S n
=
AT nil
=
R (1+ ifn [(1+ it -1] {l + i)-1
109
CALcULO DEL TIEMPO EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE De la fonnula anterior, tenemos: A(i)
=
R[1 - (1 + if0]
AC i )= 1- (1+ iro R (l + i )
-0
=
1-
~ R
_ l__ R-ACi) (1+ it R
R
=
(1 + i)" (R - Ai)
(1 +i)"= R- : ( i )
aplicando logaritmos queda:
n log(l + i)= log R -log(R - Ai)
n = logR -log(R -Ai) log(1 + i)
CALCULO DE LA RENTA De la fonnula
A
=
Ra~
i
se tiene
que podemos escribir tambien como; R = A [a01 i ]
110
-1
CALCULO DE LA TASA DE INTERES El calculo de la tasa de interes (i), 10 podemos hacer de dos maneras diferentes: Una es despejando a,~ i de la formula
A,~ j= Ra,~ j
,
quedando
A
al~i= R
y luego con base en las tablas financieras haremos una interpolacion. La otra forma es por tanteos, es decir; suponiendo el valor de "i" segun creamos que este sea, 10 sustituimos en la formula, hacemos operaciones y revisamos si el valor presente es el valor dado originalmente en el problema, si no, entonces seguiremos dando valores a "i" hasta llegar al valor presente establecido. CALCULO DEL MONTO Una anualidad, esta formada por una serie de pagos ""R" que a su vez son "montos de la parte vencida", por 10 que el monto de una anualidad es la suma de los montos compuestos por esos pagos ··R". Es decir; como los pagos se hacen en forma vencida, cada pago efectuado capitaliza intereses, excepto el ultimo (puesto que con el se termina la deuda), por 10 tanto el primer pago acumula intereses durante (n - 1) perfodos; el segundo pago acumula durante (n - 2) period os y asf sucesivamente, por 10 tanto podemos escribir la progresion siguiente: M~
i =
R(1 + i)n-l + R(1 + i)n-2 +R (l + i)n-3 + ... + R(1 + i)2 + R(1 + i)l + R
invirtiendo el orden para tener una progresion ascendente queda: Mnl i
=
R + R(1 + i) + R(l + i)2 + ..... + R(l +
it-2 + R(1
+ i)n-l
esta progresion, como puede verse, es geometrica de razon (l + i), por 10 tanto: n
Sn= M~i
y si en la fonnula Sn "'" a(r -11) hacemos las sustituciones correspondientes, queda: r-
IJI
M :1 .= R[(1+ it -1] np (l+i)-1
donde uR" son los pagos iguales. Se puede entender facilmente que el monto de un solo pedodo de la anualidad esta dado por:
.·1
Mnli=Rrnnli
Observaci6n.- Es conveniente subrayar aquella frase que nos indica de alguna manera, el tipo de anualidad de que se trata. EJEMPLOS 1) l,Cual sera el valor de un prestamo que nos harlan eldia de hoy para pagar con 9 letras de 3,500,000.00 cada una, de vencimientos escalonados de un alio y al fin de cada ano transcurrido a la fecha de operaci6n al 30 % anual? Soluci6n:
i R
=
0.30
=
3500000
n
=
9 alios
A =?
A= 3500000 [1- (1.30) -9]
0.30 A= 3500 000 [0.905700]
A
=> 112
A
=
=
0.30 3500000 (3.019001) 10,566,503.50
2) l,Cuantos pagoshabran de hacerse semestralmente de 5,000.00 para poder cerrar una deuda de 40,000.00 con e16% de interes capitalizable semestralmente. Solucion: R
=
5000
A
=
40000
i
=
6%
a
i= ~ = 3 % semestral 2 n= log5000 -log [5000 - (40000 xO.03)] log 1.03 _ 3.698970 -log[50oo - 1200] n0.012837
=:>
3.698970 - 3.579784 0.012837
n - 9.284 periodos semestrales
3) Se pretende comprar un lote de terreno que cuesta 500 millones y se quiere saber a cuanto asciende el monto de los pagos de las anualidades que tendriamos que cubrir, si nos comprometemos a pagar en 5 pagos cada fin de ano, con un interes del 20% anual. Soluci6n: A ... 500 000 000 n
=
5 anos
i
=
0.20
si A == Ranli entonces R ==
~
aflJi
R _ 500 000 000 30]0.20
_ 1 - (1.20r 5 perc a5]O.20 0.20 asl o.20 = 2.990612
1 - 0.401878 0.20
0.598122 0.20
113
R
=>
R
=
500 000 000 2.990612 167,189,859.50 (monto de los pagos)
-=
4) Una nina ha depositado alfinal de cada mes 10,000.00 en su cuenta de ahorros; despues de 3 anos tiene en su cuenta la cantidad de 1,000,000.00. Calcular la tasa promedio que se Ie otorgo. Solucion: M = 1000000 R=10000 n
3( 12)
36 meses
Para encontrar los valores de m361 i usamos Ia tabla II Esto es, de la formula M =
Rml~ i
se tiene:
m36l . = 1 000000 'II 10000
=
100
Se busca e1 100, mismo que observamos que se 10caliza entre los siguientes numeros; 106.76518879 ala tasa 5.5% y 95.83632272 a la tasa 5 % por 10 tanto realizaremos la siguiente interpolacion: 106.76518879
5.5%
100.00000000
95.83632272
5.0%
95.83632272
10.92886607
0.5% _ _ _ _ _
4.16367728 ____ (i - 5%)
. . .
I -
5% _ (0.5) (4.16367728) 0 10.92886607
i - 5 % = 0.190490 i
=> 114
=
O. 190490 + 5
i = 5.19%
5%
5) Hallar el monto de una anualidad de 200,000.00 mensuales durante 2 afios 3 meses a130% convertible mensualmente. Solucion: R
200000 30 = - = 25% mensual 12 . = 0.025
=
n = 27 meses 27 M = 200 000 (1.025) - 1 0.025 M
=
200 000(37.912000)
=>
M
=
7,582,400.00
6) Un hombre de negocios envia a su hijo a otra ciudad, y Ie asigna un presupuesto mensual de 800,000.00. Para evitar frecuentes remesas de dinero hace un solo deposito en una cuenta bancaria que devenga intereses del 3% mensual. l.Cminto debera depositar para cubrir el presupuesto de un afio, si el primer retiro 10 hace su hijo al termino del primermes? Solucion: R
=
800,000
i
=
0.03 mensual
n
=
12 meses -12 A - 800000 1 - (1.03)
..
0.03
A
=>
=
800 000(9.954003)
A - 7,963,202.40
7) En una tienda de autoservicio hay una oferta de un televisor de color, con 200,000.00 de enganche y 100,000.00 mensuales durante un afio. Si se carga un interes de 45 % convertible mensualmente, hallar el valor de contado equivalente. Solucion: Los 200,000.00 de enganche no fonnan parte de la anualidad, por 10 tanto:
115
Valor de contado = 200000 + el valor presente (A) de una anualidad de 12 pagos mensualmente. Esto es: Valor de contado pero
200000 + 100000
1 - (1 + 0-12
-
i = 45% a . 45 ~ I 1 = 12 = 3.75 yo mensua = 0.0375
Valor de contado = 200000 + 100000
::::::>
1 - (1.0375r 0.0375
=
200000 + 100000(9.522693)
=
200000 + 952 269.3
Precio de contado
=
12
1,152,269.30
8) Una persona desea comprar un automovil de 36,000,000.00 los cuales pretende ahorrar en el banco con depositos de 1,000,000 cada fin de meso Quiere saber cmintos depositos debera hacer y a cuanto asciende el valor del ultimo deposito; si este ultimo incluye la renta, una tasa de 2.5 % mensual y una cantidad extra para complementar los 36 millones. Soluci6n: M = 36000000 R = 1000000
i "" 0.0250 mensual Planteando la ecuaci6n equivalente tendremos que: 36 000 000 = monto + una cantidad extra
Por otta parte tenemos que: 36000000 =: ~li n 36000000= 1 000000 (1.0250) - 1 0.0250 Despejando un.... tenemos: n
36 000 000 1 000 000
=
36 (0.0250)
=
(1.0250) - 1 0.0250 n
n
(1.0250) -1
(1.0250) - 0.9 + 1 116
n
(1.0250) = 1.9 n
0.278754 0.010724 = 25.993788 meses
log 1.9 log 1.0250
=
n = 26meses Regresando a nuestra ecuacion equivalente queda: 36000000=~l.+X 26
-II
36 000 000
=
1 000 000 (1.0250) - 1 + X 0.0250
36 000 000 = 36 011 720 + X X
=
X
= -
36000000 - 36011 720 11 720
ultimo pago 1 000 000 - 11 720 = 988,280.00 9) Se va a constituir un fondo de 50,000,000.00 mediante depositos de 9,000,000.00 cada 3 meses. Si el fonda gana 24% convertible trimestralmente, hallar el nillnero de depositos que tendnin que hacerse. Solucion: M
=
R 1.
=
50000000
9000000 24 = 6{)f' 1mente = 10 trimestra 4 n M=R(1+9 -1 1
Mi
'R=
(1 + i) - 1
(1 06t
.
n
=
50 000 000 (0.06) + 1 9000000
n log (1.06) n
= =
log (0.333333 + 1) log (1.333333) log (1.06)
=
0.124939 0.025306
n - 4.93713 perlodos trimestrales
117
n = 4 trimestres 2 meses 24 dias n - 5 depOsitos 10) EI senor Beta compra un automovil nuevo de 37,500,000.00, Y Ie reciben su coche usado en 12,500,000.00 l,Cminto tendni que pagar en efectivo si el saldo restante 10 liquidara mediante el pago de 1,250,000.00 al final de cada mes durante 18 meses, cargandole intereses a16% mensual? Solucion: Costo original
37 500 000 12500 000 25 000 000 Costo definitivo
1250000
R
=
n
::z
18 meses
i
=
0.06 mensual
.'. Pago
=
25 000000 -
_
Ra~
_
. 1
-18
1 - (1.06)
pero A - RaI81o.06 - 1 250000 [
pago
=>
Pago
0.06
=
1 250000 (10.827603)
=
13 534503.50
]
25 000000 - 13 534503.50
=
11,465,496.50
=
11) Con el fin de reunir durante un ano 30,000,000.00 para la gratificacion
de sus trabajadores, una empresa deposita una renta bimestral en una cuenta bancaria que rinde 6% bimestral, l,cminto habra acwnulado en su fondo de amortizacion al final del tercer bimestre? Solucion: M = 30000000
n = 12 meses i 118
=
6% him.
= =
6 himestres 0.06
Primero calculemos el deposito 0 renta bimestral 30000000
M R=---. n (1 + 1) - 1
=>
R
=
6
i 4,300, 879.80
(1.06) - 1 0.06
30000000 6.975317
Ahora obtengamos el monto acumulado al cabo de los 3 bimestres 3
.n
M = R (1 + i) - 1 = 4 300 879 80 [(1.06) - 1 ] i . 0.06. M = 4 300 879.80(3.183600)
=>
M
=
13,692,280.93
12) Encontrar el valor de contado de un motor, del eual se pagaron de enganche 280,000.00 con 10 abonos mensuales vencidos de 25,000.00 y un ultimo pago de 19,000.00 con una tasa anual del 36% convertible mensualmente. Solucion: R = 25 000
i
=
~~
3%
=
0.03
Valor del motor = Enganche + 10 pagos mens. venc.
+
ultimo pago
-10
280000 + 25 000 [ 1 - (1.03) ] + 19000(1.03)-11 0.03 280000 + 25 000(8.530203) + 19000(0.722421) 280000 + 213255.075 + 13725.999 Valor del motor = 506,981.07 13) El senor Cruz, realizQ depositos de 50,000.00 cada bimestre en una cuenta de ahorros; despues de 6 anos retiro un capital de 8,341,023.80 lcmil fue la tasa bimestral que se Ie otorgo?
119
Solucion: M
=
8341023
R - 50000 n
=
6 aiios
=
8341 023 50000
36 bimestres (1 + i)
36
- 1
166.820476
Ahora calculemos Ia tasa, haciendoia por tanteos en Iugar de interpolar. Tasa propuesta 0.0500 0.0650 0.0700 0.0750
95.836322 133.096945 148.913459 166.820476
=>
i
=
Renta
Monto
50000 50000 50000 50000
4 791 81~13 6654847.25 7445672.99 8341023.80
7.5 % bimestral
Anualidades anticipadas
Una anualidad anticipada es aquella que se cubre al comienzo de cada pedodo. Observemos el siguiente diagrama, en donde se puede apreciar con claridad la diferencia entre una anualidad vencida con una anualidad anticipada, y en el que se supone el pago de algunas anualidades ordinarias, en comparacion con algunas anualidades anticipadas: R
R
R ........
R
R
R
0
1
2
3 ........
(n-3)
(n-2)
(n-l)
R
R
R
R ........
R
R
R
R n Anual. ord. Anual. anti.
Se puede advertir que en la anualidad ordinaria, la primera anualidad se paga al final del primer pedodo, mientras que en las anticipadas se paga inmediatamente al iniciarse el plazo. Esto trae por consecuencia que el pago de la ultima anualidad ordinaria eoincida eon la terminacion del tiempo, razon por la eual no devenga intereses y que su inversion se haga solamente para 120
completar el monto de la serie. En cambio cuando las anualidades son anticipadas, la ultima de ell as se paga al principio del ultimo perfodo, por 10 que esta sf causa intereses. Asf, podemos establecer una equivalencia entre ambas anualidades, ya que como se puede observar en la siguiente grafica, que el ultimo pagode una anualidad vencida para que coincida con el ultimo pago de la anticipada se tendni que iniciar en el perfodo (-1). Esto es:
(Vencida)
R
R
R ....... .
R
R
(Antidpada)
R
R
R ....... .
R
R
Observese tambien, que la fecha focal es (n - 1) Y no "n··.
Formula del valor presente: Consideremos que suprimimos el p'rimer pago R de una anualidad anticipada, por 10 que tendremos una anualidad vencida y no anticipada, solo que durante (n - 1) perfodos, por 10 tanto su valor presente sera:
A
=
Ran-tli
Que es el equivalente a una anualidad vencida pero que termina en (n - 1) Y no en "n"
Ahora bien tomando como fecha focalla fecha inicial podemos notar que el primer pago se hace efectivo puesto que es anticipado, por 10 que podemos plantear la siguiente equivalencia: A
=
Ran-1l i + R
donde la segunda R es, de hecho, el primer pago que se habia suprimido.
: : :} I
A - R [an-q ,+ 1]
donde (an-ll i+ 1) es el valor presente de una serie de anualidades de un peso de una anuaHdad anticipada. Tambien podemos hacer 10 siguiente: 121
-n
A = R [ 1 - (1. + i) ](1 + i) 1
A=R[
(1 + i) - (l + i) .
-n + 1
]
1
1 - (1 +
A=R[
i)-(n-l)
+ 1]
.
1
F6nnula del monto: El monto de la ultima anualidad ordinaria es R, mientras que la ultima anualidad ANTICIPADA se convierte en un monto de: R(1 + i). Es decir, el monto de las anualidades ordinarias es igual al valor actual en un perfodo, del monto de las anualidades anticipadas. Ahora bien, tomando en cuenta 10 anterior tenetnos:
Rmnl i Monto de la anualidad anticipada .... M == Rmnl i (1 Monto de la anualidad ordinaria ....... M
=
. n
as1:
M
=
R [(1
+~)
- 1] (1 + i)
1
M= R [
(1 +
it (1 +. i) - (1 + i) ] n+11
M
=
R [(l + i)
. - (l + i)] 1 n+l
M
=
R [(1 + i). 1
M
=
R [ (1 + i). I
122
(1 +
1
n+l
=> pero
- 1 _ ~]
nn i
+ 1-
1 mn+qi
- 1 _ 1]
+
i)
Por 10 tanto la fonnula anterior se puede escribir de la siguiente manera: M=R(m
o+lli
-1)
De Ia formula del valor presente y del monto, despejemos el tiempo "n", A) Del valor presente: -0
Ai = R [1 - (1 + i) ] (1 + i) Ai 1 (1 R(1 + i) = (1 +
1
,-n
1)
=
-
(1 + it
') n Iog (1 + 1
~
n
Ai R(1 + i)
R\1 + i) - Ai R(1 + i)
I (l + i)n
'-0
+ 1)
R(1 + i) R(I + i) - Ai
=
=
'I
[ R(l + i) ] og R(1 + i) _ Ai R(l + i) log [ R{l + i) - Ai ] log (1 + i)
=
B) Del monto:
Mi = R [ (1 Mi R(1 + i)
( II:
n
+
')0
1+1
i) - I ] (1 -
+ i)
1
Mi 1 ')0 R(1 + i) + =: (1 + 1 , Mi + R(l+i) n.log (1 + 1) - log [ R{l + i) ]
123
I [ Mi + R( 1 + i) ] og R(l + i) n= log{l + i)
EJEMPLOS 1) Una persona que hace su testamento, indica al Seguro que irunediatamente despues de morir, Ie sea entregado a sus herederos la cantidad de 25,000,000.00 mas 3 anualidades (necesariamente por la misma cantidad), mismas que les seran entregadas al principio de cada afio. Los beneficiarios quieren saber cuanto recibicin si el dinero se les entregara todo, sin esperar los 3 afios que indica el testamento, y si la tasa de rendimiento en ese momento es de 15 % anual. Solucion: Hagamos el siguiente analisis; primero aritmetico, para observar como recibiran los herederos el dinero y ver cuanto recibiran si se les entregara de inmediato; segundo, calculandolo con la formula directamente. Solucion aritmetica: Cantidad inicial ................................... 25 000000.00 l
1a. anualidad 25 000 OOO(l.lSr (Valor presente) ...... 21 739 130.00 2
2a. anualidad 25000 000(1. 15r
3
3a. anualidad 25000 000(1. 15r
. . . . . . . . . . . . . . . . . .~
18903592.50
•••••••••••••••••••
16437905.00
I
82,080,627.50 Los datos encerrados en la Have, es como recibiran los herederos el dinero, y la suma es cuanto recibirian si se les entregara todo sin esperar los 3 afios. Solucion mediante la formula: Datos; n
=
primer pago + 3 anualidades
R
=
25000 000
n-l
=
3
A
=
25000000 [ 1- (l.15r + 1] 0.15
124
=
3
4
A
=>
A
=
=
25000000(3.283225)
82,080,625.00
2) Una persona desea comprar un terreno por el cual Ie exigen pagos de 30,000,000.00 cada principio de mes, durante 3 meses. Si esta persona esta de acuerdo en abonar el 5 % mensual sobre saldos, (,cuanto pagara en total? Solucion: Resolvamoslo primero aritmeticamente; para ver como se manejan tanto los pagos como el interes; y segundo mediante la formula. Solucion aritmetica: 1a. anualidad (principio ler. mes) ................... 30000 000.00 Interes en el 1er. mes .............................
1 500 000.00
2a. anualidad (principio 2do. mes) ................... 30 000 000.00 Monto al final del 1er. mes ................... , ..... 61 500000.00 Interes en el 2do. mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
3 075 000.00
3a. anualidad (principio 3er. mes) ....... . ........... 30000 000.00 Monto al final del 2do. roes ........................ 94575 000.00 Interes en el 3er. roes ............................. 4 728 750.00 Monto al final del 3er. mes ......................... 99,303,750.00
Soluci6n mediante la formula: Datos:
R = 30 000 000 i
=
0.05 mensual
n'" 3 roeses n+ 1 = 4
4
M = 30 000 000 [ (1.05) - 1 1] 0.05 M
=
30 000 000(3.310120)
=>
M
=
99,303,600.00 125
3) La senora Respigi cobrara un seguro de vida, que Ie deja su esposo, y puede optar por recibir 10 millones de pesos de imnediato 0 preferir el pago de 10 anualidades iguales cada ano, el primero de los cuales tendrfa de inmediato. Si el dinero rinde un 30% anual, l.que monto alcanzarian dichas anualidades? Solucion: A modo de ejercicio y ampliar algunos conceptos financieros, es conveniente resolverlo de 2 maneras: la.) Solucion: A
=
10000 000
= 30% - 0.30 n
=
10
n-l = 9 A = R [ 1 - (1 ~ ir(o-l) + 1 ] 1
10 000 000
=
R [ 1 - (1. 3 0.3
r
9
+ 1]
10000000 .... R(4.0190013) 10000000 R ... 4.0190013
=>
R - 2,488,180.3
2a.) Solucion: Como los 10 millones es un pago de inmediato no es la renta, as! que el monto de esos 10 millones a 9 perfodos, como se puede ver en la siguiente grafica, es M = C( 1 + i)9 y si el beneficiario decide recibir las 10 rentas anuales, entonces su monto sera M = R mlOl i' es decir como anualidad vencida, de esta manera podremos igualar el monto de la anualidad vencida en 10 periodos con el monto de los 10 millones a interes compuesto, pero en el perfodo 9, ya que ambos coinciden. Esto es:
126
n - 9 perfodos
3
2
1
4
, ,
0
1
J
R
R
2
3
R
IR RI
4
7
6
5
,
9
8
5
6
7
R
IR
IR
,
9
R
R
8
t
9
R m101 == C(1 + i) i
asi;
R-
R=
=::)
10000000 (1.3)9 (1.3)10_ 1 0.3
10000000 (10.6044990) 42.619497
=
10000000 (0.248818)
R - 2,488,180.0
127
4) EI duefio de una tienda de abarrotes piensa reunir 100 millones para poder jubilarse, y qui ere saber en cuanto tiempo lograra tal cantidad, si hace depositos mensuales de 500,000.00 en un banco que otorga una tasa de interes de 3.5% mensual. Solucion: Esta anualidad se puede resolver como vencida 0 como anticipada, en este caso la resolveremos como anticipada ya que de esta forma el abarrotero acumulara sus intereses desde el principio del mes y no al final. Datos: M = 100000000
R = 500000 i = 0.035
log [ Mi + R (1 + i) ] R (1 + i) n= log (I + i)
log [ 3 500 ~oo + 517 500] n -
0.890046 n .... 0.014940
::::>
log (7.763285) 0.014940
0.014940
n
=
59.574665 meses
n = 4 afios 11 meses 17 dias
5) AI principio de cada trimestre se realizo un deposito de 10,000.00 y al cabo de 3 afios se retiro una cantidad de 160,000.00. Calculese la tasa de interes trimestral.
128
Soluci6n:
M
=
160000
R
=
10000
n
=
3(4)
=
12 trimestres n+ 1
M
=
R [(1+ i).
-1
-11
1
M
=
R(
mn+ I1 i-I)
Calculemos Mn+ 11 i-I
M
=R
mn+l1i
160000 +1 10000
mn+ 11 j =
16 + 1 = 17
Ahora bien, busquemos en la tabla II el factor 17 en el rengl6n n+ 1 - 12 1 = 13 Y10 encontraremos comprendido entre las tasas siguientes:
17.15991327
- - - - - 4.5%
16.62683768
-----4%
+
Para convertirlos a anticipados Ie restamos la unidad al 17 y al 16 e interpolamos, ya que los factores que dan la tabla son vencidos y no anticipados. Estoes:
16.15991327
0.045
16.00000000
15.62683768
0.040 _
15.62683768 -
0.53307559
0.005
0.37316232
X
=
0.040 X
0.005(0.37316232) = 0.00186581 0.53307559 0.53307559
=> =>
0.040 + X
X
=
.'. i
=
0.040 + 0.0035
i
=
0.0435
0.00350009
i = 4.35% trimestral
129
6) Una persona alquila un departamento dando por adelantado una renta de 500,000.00. Como sale mucho de viaje, propone al arrendatario pagar una renta anual equivalente y tambien por adelantado, el cualle impone unos intereses de 48.5 % anual convertible mensualmente, i.,se quiere saber que monte alcanza dicha renta anual? Solucion: n - 12 n-l "" 11
R
500 000
==
i = 48.5%
a 0.:~5 =
=
0.0404166
1- (l + i)-(n-l)
A
R[
=
A
=
.
1
+ 1] 11
500000 [1- (1.04041r +1] 0.04041
A = 500 000(8.741137 + 1) = 500000(9.741137) ~
A
=
4,870,568.5
7) Una persona desea reunir 10,000,000.00 en 5 afios para dedicarse a viajar. Si puede depositar al 63.3% capitalizable al mes, y suponiendo que en todo ese tiempo no cambia la tasa de interes, i.,cminto debera depositar cada mes con el objeto de reunir la cantidad que desea exactamente antes de realizar el ultimo deposito? Solucion: M
=-
10000000
n - 5(12) = 60 meses
.
1-
R=
63.3 5 I 12= 0.0527 mensua 10000000 61
=
[(1.05275) -1 _ 1 ] 0.05275 ~
130
R = 24,028.38
10000000 416.174483
8) Una jovencita desea ahorrar 50,000.00 al principio de cada mes durante 3 afios. Si sus ahorros ganan 40% convertible mensualmente, i.cminto habra acumulado al mes siguiente del ultimo deposito? Solucion: R
=
50000
n
=
.
1=
3 afios
40 12
=
3(12)
=
36 meses
at 3.33 3333,0
=
0.033333
=
37
M
=>
M
=
=
50000 [(1.033333) -1 -1] - 50000(69928869) 0.033333 .
3,496,443.45
9) En una mueblerfa se vende un antecomedor por 900,000.00 en abonos, mediante pagos mensuales anticipados de 100,000.00. Si el interes es de 48 % convertible mensualmente, i.cwintos pagos es necesario hacer? Solucion:
R
=
100000
A
=
900000
.
1=
48 at 12 = 4,0 = 0.04
100000(1.04) n: 100000 (1.04) - 900000(0.04) log 1.04
10.
log 104000 _ 68000 _ log1.529412 n - 0.017033 - 0.017033
0.184524 0.017033
n = 10.833324
=>
n
=
10 meses 24 dias
10) Un comerciante vende hieleras con valor de 420,000.00 y las ofrece en 18 abonos mensuales de 27,465.57. Obtener el valor de la tasa mensual si no se cobra enganche y el primer pago se hace de inmediato. 131
Solucion: A
=
420000
R
=
27465.57
n
=
18
420000 ... 27465.57 1- (1 ~ i)-17 + 1
n -1 - 17
1
Ahora calculemos la tasa, haciendola por tanteos en lugar de interpolar. 1-(1+i)-17 .
Tasa propuesta
+ 1
1
0.04 0.05 0.03 0.02
13.165670 12.274066 14.166120 15.291870
=>
i
=
Renta
Valor Presente
27465.57 27465.57 27465.57 27465.57
361 602.63 337 114.21 389080.56 419999.92
0.02
Anualidades diferidas
Si una anualidad vencida 0 anticipada se inicia cuando ha transcurrido algun tiempo, en el que no se efedua ninguna condicion en la anualidad, entonces decimos que su pago se ha diferido. En este tipo de anualidades anotaremos 2 tiempos; uno diferido "K" y otro de pago "n", mismos que hay que determinar con cuidado y con el auxilio de un diagrama para poder visualizar en donde se coloca el valor presente y las rentas de la anualidad de que se trata. Anualidades diferidas vencidas
Valor presente: Cuando el primer pago se efectua al final de UK" periodos, se observa que la anualidad se ha diferido (K-l) periodos. En el siguiente diagrama se muestra una anualidad vencida diferida UK" pedodos.
132
o
1
2
3
(K-l)
K
I
(K+l) - - - K + n - l
K+n
I
A
Anli
Ahora bien, si consideramos el valor presente (A) en la fecha inicial (0), entonces se capitalizan intereses al transportar el valor presente (A) los "K'" periodos, por 10 cual podemos escribir: A( 1 + i)K
de dondeA
=
=
Anl i
Ran"'II (1+ i)K
donde : Kesel intervalo diferido n es el tiempo de pago a partir de
"K~'
o sea que: n = (K+n) - K Podemos obtener una formula equivalente a la anterior, pero desde otro punto de vista. Aprovechando el diagrama anterior, podemos calcular los valores presentes como una diferencia entre dos anualidades no diferidas, esto es: Primero. Si colocamos el valor presente en cero y tomamos a 6'n'" como K +n, entonces: A'
=
R a K+nl i
Segundo. Si colocamos el valor presente en cero y tomamos "K'" perlodos, entonces: A" =RaKli 133
Tercero. EI valor presente sera, como habiamos dicho: A=A'-A"
De donde "A'" diferida "K'" perfodos es: A
RaK+nli - RaKli
=
Monto: EI monto de las anualidades diferidas es igual al monto de las anualidades ordinarias, solo que hay que considerar el tiempo en que se aplaza el primer vencimiento. Trataremos de entender este concepto, a traves del siguiente ejemplo. En una institucion de credito que abona el 2.5 % mensual, se hacen depositos de 500,000.00 cada fin de mes durante 3 ailos. Calcular el monto que se tendci 5 ailos despues de haber efectuado el ultimo deposito. Solucion: Esta anualidad es vencida, as! que el monto se calcula con la fonnula Mnl i = R mnl i' pero observese que dicho monto viene siendo el capital inicial despues de "K" perfodos, K = 60, por 10 tanto haremos 10 siguiente:
M
=
donde n
C
=>
=
C(l :::0
+
it
k (fecha focal)
Mnl i
=
RmrJ i
I
M-Rmn',(l +i)K
Luego entonces: K = 5(12) = 60 n = 3(12)
134
=
36
i
=
0.025
R
=
500000
.. M
=
500000 m3610.025 (1.025)60
De la tabla II se tiene que: m3610.Q2S - 57.30141263
.. M
=
500000(57.30141263)(4.399790)
=>
M .... 126,057,091.0 EJEMPLOS
1) Se pretende saber emil es el valor presente de una renta de 30,000.00 anuales al 6% anual cuando el primer pago se obtendni dentro de 2 afios y el ultimo dentro de 8 afios. Soluci6n:
o
R
R
2
3
4
30 000
30 000
30 000
1 K
R
5
6
7
8
30000
A
donde R
=
30 000
i
=
0.06
n=7
K=1 K+n = 1 + 7 = 8
A == 30 000(a81 0.06 - a11 0 .(6 ) De la tabla I se tiene: A == 30 000(6.20979381 - 0.94339623)
A
=>
=0
30 000(5.266398)
A -= 157,991.94
2) Un inversionista desea acumular en su cuenta bancaria 20,000,000.00 al 31 de diciembre de 1990. Para ello hace 4 depOsitos iguales en su cuenta que Ie paga un 36% capitalizable trimestralmente, pagandole los intereses los dias ultimo de marzo, junio, septiembre y diciembre. Si los 135
depositos coincidieron con las 4 fechas de pago de intereses en el ano de 1989, l.cmil fue el valor de cada uno de los depositos? Soluci6n: M
=
20000000
n=4 K=4
i R
= 36%
a = 346 = 0.09 trimestral
M
=
mn 1 (1+
20000000 4.573133(1.411582)
20000000
il [(1.g~;-11(l.09)4
=>
R:: 20000000 6.455352
R
3,098,204.40
3) Una persona hereda 20,000,000.00 y los invierte al 30% anual capitalizable semestraImente, conviniendose que recibira 20 pagos semestrales iguales debiendo recibir el pago inicial dentro de 5 afios. Encontrar a cuanto asciende la anualidad. Solucion: R
n-
~5-19
20
~~~
o
1
2
n= 20 K=9
i
=
30%
a=
15% semestral
=
0.15
A'" 20000000
a291 0 IS =
.
136
1- (1. 15r 0.15
29 =
6 550877
.
__ 1- (1.15r 9 -~----'-~=4.771584 0.15
R
20000000 6.550877 - 4.771584
=>
20000000 1.779293
R = 11,240,419.65
4) Algunos almacenes ofrecen al publico planes de venta para las fiestas decembrinas, en el mes de noviembre. Un trabajador aprovecha esto para comprar un antecomedor, con la promesa que se 10 entregaran el dfa 10. de diciembre y el compromiso de pagarlo a un afio con mensualidades de 50,000.00 empezando su primer pago el primero de febrero del siguiente aiio. La tasa pactada para fa transaccion es de 4 % mensual. i. Cual es el precio de contado del antecomedor? Solucion:
R= 50000 i
=
0.04 mensual
n= 12 K= 1
10. Die.
10. Feb.
10. Ene. n
Aqui 10
A
=
10. Ene.
1---------12
50 000 -
50 000
50 000
recibe
A-50 000 [1_(~::rI2] (l.04rl- 50000(9.385075)(0.961538)
=>
A = 451,205.55
5) Calcular el valor presente de una anualidad diferida 2 afios, de 7 pagos de 150,000.00 cada uno semestralmente, si la tasa de interes es del 6.5 % semestral. Resolverlo con las dos formulas. 137
Soluci6n: Semestre:
0
2
I
3
4
5
6
7
8
K-3
A·
n-7
150000 R i
9
10
~C:V=V=V=Y='vC~
I
150000
150000
=
0.065
=
K=3 n
=
7
Usando la f6nnula A
=
R(aK+n1 j-aK1 j )
A = 150000(7.18883022 - 2.64847551)
=>
A
=
681,053.25
Usando la otra f6nnula tenemos: A = R(I +i)-Kanl i A A
=>
A
= =
=
3
150000(1.065r a71 0 .065 150 000(0.82784909)(5.48451977)
681,053.20
6) Se invierte la cantidad de 70,000.00 y se recibiran despues de 4 anos, una serle de rentas de 20,597.46 a una tasa de interes de 7% anual. Calcular el nUmero de pagos que se recibiran. Soluci6n: A= 70000
R= 20597.46 i- 0.07 K=5
70000 = 20 597.46(1.07rs an10.07
138
a~ ni
=
70000 20597.46 (0.712986)
anl i
=
4.766540
EI factor 4.76654 se encuentra en la tabla I a la altura de 6 periodos, por 10 tanto: n = 6 pagos 0 anualidades
Anualidades diferidas anticipadas Valor presente: Para poder demostrar la f6nnula del valor presente de una anualidad anticipada diferida, nos valdremos del siguiente diagrama. Periodos
0 1 2 -K-l I
K
K+l
I
K+2 - - K+n-2 I I R R
I
Rentas
R
R
K+n-l
K+n
R
Valores actuales: R (1 + i)K
R (1 + i)K+I
R (1 + i)K+ n-2
R (1+ i)K+2
R (1 + i)K+ n-I
Para mayor facilidad de calculo invertimos el orden de la progresi6n y sumamos. Esto es: A=
R (1 + i)K+l
R R + + (1 + i)K+n -1 (1 + i)K+ n -2
+--::..:....- +
R (1+ i)K
Esta progresi6n, como puede verse, es de orden creciente cuya raz6n es (1 + ~) -1- (1 +i); as/ que, aplicando la fonnula de la suma en una progresion geornetrica, se tiene:
s _ a (rP-l) r-l
n
S == A n
R
=
(1 + i)K + n -1
[(I+·t 1] I-
(l+i)-l 139
A=
A
R
R
(1+ i)K+ n -1(1+ if n
(1+ i)K+ n-1
~~~--~--~--~---~----
R (1 + i)K+ n -1-n =
R (1 + i)K+ n-l .
-
1
A
=
R
R
(1 + i)K-l
(1 + i)K+ n -1
->----''----~---'<-----
A~ (1+~K-l [l-~]
=
R[I-(l+ir"] i(1 +il- 1
A
=
R [1-(1+ if n] i(1 + i)K-l
Monto: Considerando nuevamente que durante el tiempo diferido no se efecrua ninguna condicion en la anualidad, entonces el monto de la anualidad diferida anticipada es igual al monto de la anualidad no diferida anticipada, asi que para su calculo establecemos una ecuacion de equivalencia utilizando la fecha final como fecha focal. Esto es: Sea: M = C(l + it donde: C - Mn+ 11·I y; n= K
:. M
=
Mn+ 11 i (l + i)K
y como Mn+l1i = R(mn+l\ -, 1) entonces se tienel,....-M-=-R-(m-n+-l'-.-'--l)-(-I-+-i)=K-----., EJEMPLOS 1) Que capital habra que depositar en una institucion de credito para dis-
poner de 10,000,000.00 pagaderos al principio de cada ano durante 4
140
afios a partir de 3 afios de la fecha del deposito si dicha financiera abona el 28 % anual. Solucion: R= 10 000 000
i= 0.28 n= 4 K=3
K-l = 2 4 A = 10 000 000 1- (1.28r 0.28( 1.28)2 4
A = 10 000 000 1-( 1.28r
0.28 A
=
1
(1.28)2
10 000 000 (2.2409678) 1.63;4000
A"" 22409678
1.6384000
===>
A = 13,677,781.98
2) Una persona desea reunir 47,000,000.00 para comprar un automovil dentro de 5 afios, y empezara a reunirlos a partir de dos afios. Se pre-
gunta cuanto habra de invertir cada principio de afio, si el banco Ie da a ganar 30 % de interes. Solucion: M = 47,000,000
i= 0.30 n= 3 afios n+ 1 =- 4
K =2
Rat
47000000 4
[(1.~~~0 -1 -1](1.30)2. 141
R
=
47000000 (5.187000) (1.690000)
47000000 R = 8.766030
=>
R = 5,361,606.109
Anualidades generales Se consideran anualidades generales aquellas en las que el periodo de capitalizacion no coincide con el periodo de pago. Para resolver problemas de casos de anualidad general es necesario modificar 0 hacer que coincidan los pagos 0 los periodos de capitalizacion, ajustandolos de manera que se puedan usar las formulas ya conocidas de anualidades sencillas. Para poder convertir las anualidades generales a sencillas podemos hacer 10 siguiente: a) Convertir la tasa de interes dada a una tasa equivalente para que coincida el periodo de pago con el de capitalizacion. b) Encontrar el pago 0 renta equivalente para que coincida con la fecha de capitalizacion. Analicemos dos casos: 10. El periodo de pago es mas largo que el de capitalizacion.
20. El periodo de capitalizacion es mas largo que el de pago. Para el caso en el que el periodo de pago es mas largo que el de capitalizacion, la tasa equivalente se calcula con:
i=[I+ J(m)]P-1 Para el caso en el que el periodo de capitalizacion es mas largo que el periodo de pago, la tasa equivalente se calcula con: .E.
J(m)= (1 +i)m -1
142
Donde: p
perfodo de pago
=
m = perfodo de capitalizaci6n Observaci6n.- El decir que el periodo de pagos es mas largo que el de capitalizaci6n, no significa 10 mismo que decir que p > m, ya que, puede suceder que p < myel perfodo de pagos seguir siendo mas largo que el de capitalizaci6n. EJEMPLOS 1) Obtener el monto de 100,000.00 en 6 pagos trimestrales, si eI interes es de 40% convertible mensualmente. Soluci6n: R
o R
=
n
=
i
=
R
1
--------------------------- R
2
3
4
5
6
100000 6 pagos trimestrales
40% =
O~~O = 0.03333 mensual = . ;
Observese que el perfodo de pago es trimestral, y el interes es mensual, asf que la anualidad recae en el caso de que el periodo de pago es mas largo que el de capitalizaci6n. Lo podemos resolver de dos maneras:
a) Haciendo la tasa de interes equivalente: donde m
3 (perfodos por cada trimestre)
=
p = 1 (perfodo de pago trimestral) m
i =[1 + J(m)]"; - 1 i
=
M
(1.03333l- 1 = 0.103360 =
R[(1+
i.t- 1]= 100000[(1.1033600)6- 1] 1
0.103360
143
~
M = 100000 [0.804278] 0.103360 M = 778,132.74
b) Haciendo la renta equivalente: Supongamos que la renta al finalizar un periodo es el monto en ese periodo, o sea: 100 000
I
I
o
R'
R'
R'
1er. trimestre I
M
=
100000
i = 0.03333 m
=
3
R' ... ?
3
100000 = R' [(1.03333) - 1] 0.03333 100000 = R' [0.103360] 0.03333 100 000 = R' (3.101110) .'. R' = 32,246.51
Esta es una renta mensual equivalente a la trimestral, por 10 que ahora detenninaremos el monto para los 6 trimestres.
M ==? R - 32,246.51
n - 6 trimestres por 3 meses cada uno = 6(3) = 18
i - 0.03333 18
M - 32 246.51 [( 1.03333) -1] 0.03333
144
M = 32 246.51 [0.804275] 0.03333 M
=
32246.51(24.130663)
=>
M = 778,129.66
2) Un hombre de negocios quiere saber a cminto ascienden los pagos ven-
cidos de una renta semestral, si originariamente se hacen pagos de 10,000,00 cada fin de mes con una tasa de 10% convertible semestralmente. Solucion:
R'
=
10000 m
=
2 (No. de capitalizacion cada mes)
p
=
12 (No. de pagos por ano)
como el nillnero de capitalizaciones es menor que el nillnero de pagos, entonces:
i
= [
1 + J(m) ] P
-
1 R'
R ' - - - - - R'
1.
I
o pagos semestrales
R'
I I
R
R
Si el monto de la anualidad a un ano es igual al monto de la anualidad a 12 meses, entonces podemos hacer:
~~1+ i)P-J= ~~ 1 + J(m)] m 1
L
J
J(m)L
JJ
como los montos son iguales, entonces (1 + i)P - 1 = [1 + J(m)]m - 1 por 10 R que T
=
R' despeJan . d0 "R" se hene: . J(m)'
i R=R·_-= 10000 J(m)
1 [1 + J(m)f2 - 1
145
pero J(2)
.·.R
==
10%
=
a;
10000 (1.05~ -1 (>
0.05
10 2
=
5% semestral
10000 0.163300
10000 0.008165 0.05
=>
R
=
61,236.98
Una persona desea conocer el monto de su dinero si realiza 12 pagos vencidos de 1,000,000.00 cada 2 meses, comenzando a los 6 meses, si el rendimiento de su dinero es del 25 % capitalizable mensualmente.
3)
Soluci6n: n= 12 R= 1 000000 •
at
= 2510
1
0.25 =12= 0.020833 mens.
dado que el pago es mas largo que cl. de capitalizaci6n, utilizaremos la siguiente f6nnula: In
i =[1 + J(m)]p - 1 donde; m
=
12
p=6 g
"
i =(1.020833)6 - 1 =0.042100
=
4.21% bimestral
12
asi: M
=
1 000 000 [( 1.042100) -1]= 1 000000(15.208076) 0.042100
=> 146
M
=
15,208,076.00
4) Se paga una renta de 1,000,000.00 de pesos por aiio vencido durante 7 aiios. Se quiere saber cmil es el monto y el valor presente de dicha renta, si la tasa es de 16% convertible trimestralmente. Solucion: n= 7 anos p= 1 (pagos por ano) m= 4 (No. de trimestres)
R= 1000000 J(m)
=
16%
=
0~6 = 0.04
Como el nillnero de capitalizaciones es menor que el nillnero de pagos, entonces usamos la formula siguiente: i =[1 + J(m)]p - 1 para calcular la tasa equivalente. 4
..
i
=
(1.04)1 - 1 == 0.169859 M
7
=
1 000000 [(1.169859) -1]= 1 000000 [1.998711] 0.169859 0.169859
M - 1 000000(11.766883)
=>
M .... 11,766,883.00
A ... 1000000 [1-(1.169859 0.169859
A == 1 000 000 (3.923978)
r7 ]= 1000000 [0.666523]
~
0.169859
A
=
3,923,978.00
5) Una persona efectua 20 pagos cada 2 meses de 200,000.00 pesos, si la tasa de interes es de 10% trimestral, calcular el monto y el valor presente de esos pagos.
Soluci6n: n .... 20 pagos bimestrales
R= 200000 i == 10% trimestral 147
p= 2 (No. de pagos) m= 3 (No. de capitalizaciones)
o
I I ler. Bim.
20.
30.
Bim.
Bim.
- - - - - - - 20 avo. Bim.
El tiempo de capitalizacion es mas largo que el tiempo de pago . .£.
...
J(m)'" (1 + i)m - 1
J(3) - (1.1 )2/3 - 1 ... 0.065602 20
M - 200000 [(1.065602) -1] = 200000 [2.563695] 0.065602 0.065602 M
M - 200000(39.079525) A - 200000 [1- (1.065602
r20
] ...
0.065602 A - 200 000(10.966013)
=>
=
7,815,905.00
200000 [0.719392] 0.065602 A
=
2,193,202.60
6) Calcular el monto de una anualidad ordinaria de 2 millones por ano si se dejan 5 anos en el banco. Ademas se consideran unos intereses de 30% anual capitalizable semestralmente. Solucion:
2000000
6 1 ano °Primero calculamos la renta que corresponde a un pago semestral.
i - 30% it .. o~o n .. 2 semestres A - 2 000000 148
... 0.15
R =~ =
2000000 2 1-(1.15r 0.15
a2\.lS
2000000 1.625730
1,230,232.47
=
Ahora calculamos el monto con la nueva renta y n
=
10 semestres
10
MlO10 . 1s
..
=
1 230 232.47
=>
[(1.~~i5 -1] = M
=
1 230232.47(20.303720)
24,978,295.61
7) Se pretende saber cmil es el valor de las rentas mensuales anticipadas que sustituiran a rentas semestrales, tambien anticipadas de 10,000,000.00. Si se tiene una tasa del 35% de interes convertible semestralmente. Solucion: A= R'
=
10000000 sem. anticip.
R = ? mens. anticip. i= 0.175
n= 6 n -1= 5
1.
i=(I+i)m-l
R
R
R
R
R
I
I
I
I
o
1
2
3
I 4
R
I 5
6
.!.
i =(1.175)6 - 1 = 0.027242 mensuales .. 10000000 == R + R(1.027242r 1 + R(l.027242r2 + R(1.027242r 3 +
R(I.027242)-4
10000000 ... R + R(0.973480) +
R(0.898067)
+ +
+
R(1.027242)-5
R(0.947664) + R(0.922533) + R(0.87425 1) 149
Factorizando "R" se tiene: 10000000 = R(1 + 4.615995) R = 10000000 5.615995
=>
150
R = 1,780,628.36
CAPiTULO VII
AMORTIZACION
Concepto
Podemos considerar que el tennino amortizar es la extinci6n gradual de una deuda mediante pagos "R" peri6dicos, es decir realizados en intervalos de tiempos iguales que comprenden el interes y una parte del capital total. Recordemos que la parte de la deuda no pagada en cierta fecha, se Ie conoce como capital insoluto. Dicho capital al inicio del plazo es la deuda original. Ahora bien, para poder llevar un registro que indique tanto el capital pagado, como los intereses y el saldo al principio de cada perfodo, fonnularemos una tabla llamada, TABLA DE AMORTIZACION. Dicha tabla se podci llenar de la siguiente manera: a) Se encuentra el nu.mero de pagos necesarios para amortizar la deuda. b) Se calcula el valor de los pagos "R", que constituyen una anualidad cuyo valor presente es el capital insoluto al inicio del plazoo c) Obtener el interes sobre saldos 0 'capital insoluto. La diferencia de los pagos "R" con interes vencido sera el capital pagado al fmal del perfodo, que en consecuencia disminuinin tanto la deuda como el interes, y por ende, la cantidad destinada para disminuir la deuda aumenta en cada perfodo.
151
Con base en 10 anterior, resolveamos los siguientes ejemplos y fonnemos la tabla de amortizacion. 1) Una deuda de 10,000,000.00 con interes del 40% convertible semestralmente, se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales en los proximos 4 afios, el primero con vencimiento al termino de 6 meses. Solucion:
Formula:
A= 10000000 i
=
40%
a = 0.2 semestral
n= 4 afios
R=
=
8 semestres
10000000 1-(1.2r 0.2
8
10000000 3.837160
=>
R
=
2,606,094.090
CONSTRUCCION DE LA TABLA
N
Capital insoluto al principio del perfodo
Interes vencido al final del periodo sobre capital insoluto
Pago periOdico
1 2 3 4 5 6 7 8
10000 000.000 9393905.910 8666593.002 7793817.512 6746486.924 5 489 690.219 3981 534.173 2 171 746.918
2 000 000.000 1 878 781.182 1 733 318.600 1 558 763.502 1 349297.385 1 097938.044 796306.834 434349.383
2 606 094.090 2 606 094.090 2 606 094.090 2 606 094.090 2 606 094.090 2 606 094.090' 2 606 094.090 2 606 094.090
Suma
Capital pagado al final delperiodo 606094.090 727312.908 872775.490 1 047 330.588 1 256 796.705 1 508 156.046 1 809787.255 2 171 744.706
10.848.754.930 20.848--,-752.720 9,999,997.788
Podemos observar en la tabla que: Suma del pago periodico = Suma del capital pagado + Suma de intereses Ahora bien, si queremos calcular el capital insoluto al finalizar un perfodo determinado, 10 podennos hacer con la siguiente fonnula: 152
donde: n" es el tiempo en que se debe amortizar la deuda. 46
"k" es el tiempo al finalizar el periodo convenido. Tomemos como muestra de la tabla, el periodo 6; es decir, al finalizar e150. semestre: Por 10 tanto: n
8
=
k=5 asf: C = 2 606 094.090 as-sl
0.2
C = 2 606 094.090 a 3 10.2
C C
=
=
:::::> c =
2606 094.090 [1-
~~~r31
2 606 094.090(2.106482) 5,489,690.291
Observese que con esta f6nnula, se pudo calcular el capital insoluto al principio del periodo requerido, sin necesidad de elaborar toda la tabla.
2) Una deuda de 100,000,000.00 se debe amortizar en 10 aiios con pagos semestrales a una tasa de 18% semestral. HaHar el capital insoluto al final del 70. aiio. Soluci6n: A = 100000000 i = 0.18 semestral n = 10(2) = 20 semestres .'. R
0=
100000000 = 100000000 a2010.18 5.352747
=
18,681,996.37
EI cal'ital insoluto al finalizar e170. ano sera: C
=
c=
18681 996.37 a20-1410.18 18681996.37 a61o.18 153
C = 18681 996.37(3.497603)
=>
C
=
65,342,206.55
3) Una deuda alcanza un monto total de 4,501,776.00 que debe ser cubierta el dia 20 de julio, para ella se realizan depositos de 500,000.00 mensuales al 48.5 % anual. Se quiere saber cmindo se debe hacer el primer deposito. Solucion: M= 4501 776
R
=
500000
i = 48.5 % a (tasa efectiva anual) Como el periodo de capitalizacion es mas largo que el periodo de pago, entonces calcularemos la tasa efectiva mensual de la siguiente manera: J(m) donde:
= (
. .E. I + l)m - 1
P = 1 (mes)
m
=
12 (meses por ano)
.. J(12)
=
(1.485)1/12 - 1 = 0.033500
Ahora, calcularemos el nUmero de pagos que se deben hacer para poder conocer el mes en el que hay que realizar ese primer deposito. 4501 776 =500 000 [ (1.0335)n-l ] 0.0335 9.003552(0.0335)
=
(1.0335)n - 1
0.301619 + 1 = (1.0335)n n log 1.0335 = log 1.301619 n = log1.301619 logl.0335
=> 154
n=8meses
=
0.114484 0.014310
De tal manera, que si la deuda debe ser cubierta el 20 de julio, entonces ese dia se hace el ultimo pago, asi que el primer deposito se realizara el dia 20 de diciembre del ano anterior. 4) Con motivo de las ventas de primavera, una bodega ofrece al publico lotes de ropa de segunda en 500,000.00 dando faeilidades de pagar en 3 meses con abonos mensuales iguales y no de inmendiato, a una tasa de interes de 5 % mensual. Si un cliente aprovecha la citada faeilidad ellS de mayo pero puede efectuar su primer pago el dia 15 de agosto; se quiere saber cmil es la amortizacion mes ames. Solucion: Como los abonos son mensuales iguales y no de irunediato, la operaci6n se convierte en una anualidad diferida vencida. Esto es: R
R
R
n=~ Mayo
Junio
Julio
Agosto
Sept.
Detubre
15
15
15
15
15
15
K=
1
2
Dia compra
A
pago Fonnula
n - 3 (No. de pagos)
A = Ra~ i (1+irk
K = 2 (tiempo diferido) A ...... 500000 .. 0.05 mensual 500000
-3 =
R [ 1-
6~O~5)
] (1.05)-2
500000 = R (2.723248) (0.907029)
155
500000 = R (2.470066)
..
500 000 R = 2.470066
=>
R = 202,423.74
CONSTRUCCION DE LA TABLA
Periodo Jun. 15 Jul. 15 Ago. 15 Sep. 15 Oct. 15 Suma
Cap. insoluto al principio del periodo 500000.00 525000.00 551250.00 376388.76 192784.45
Int. vencido (5%) 25000.00 26250.00 27562.50 18819.43 9639.22 107271.15
Pago periodico
Capital pagadoo amortizacion
-------------------------
-------------------------
202423.74 202423.74 202423.74 607271.22
174861.24 183604.30 192784.51 551250.05
Hagamos un analisis de los resultados de la tabla: Observemos que 607,271.22 - 107,271.15 = 500,000.00 es el capital insoluto al principio del periodo 0 bien ell1amado "saldo 0 deuda original" y la "amortizacion" total de 551,250.05 es, obviamente, la deuda al dia que vence el primer pago.
156
CAPITULO VIII
BONOS
Generalidades Las inversiones llamadas BONOS u OBLIGACIONES son promesas escritas de pago. Por ejemplo, la sociedad 0 gobiemo que requiere de mover grandes capitales, no puede en muchas ocasiones, obtener dichos capitales de una sola fuente, entonces tiene que recurrir a la inversion de muchos individuos 0 companfas. De tal manera que puede solucionar su problema emitiendo dichos bonos u obligaciones. Se dice que los inversionistas que adquieren los bonos, estan prestando su dinero a esa sociedad que los emitio, por 10 tanto se hacen acreedores a recibir sus INTERESES PAGADEROS EN PERIODOS REGULARES DE TIEMPO.
Diversos tipos de bonos: Los bonos son documentos de credito que pueden ser transferidos a otras personas, unos por simple venta 0 al portador, y otros por endoso. En caso de que un bono cambie de dueno por simple venta, se Ie llamara BONO NO REGISTRADO; y aquel bono que tiene el nombre de su propietario, y que carece de valor para cualquier otra persona se Ie llamani BONO REGISTRADO. Todos aquellos bonos al portador 0 registrados pagaran el valor nominal (capital 0 principal) y los intereses; al portador, con la presentacion de un cupon que esta impreso y va unido a la obligacion (son desprendibles), y el bono registrado no requiere de dicho cupon, ya que tanto el capital como los intereses solo se pagaran a la persona registrada como tenedor del bono.
157
Tenninologfa: Valor Nominal. Es el capital que esta sefialado en el bono. Valor de Redenci6n. Es el valor que el tenedor del bono rescata cuando se Ie reintegra su dinero. Nota: Cuando el valor de redencion es igual al valor nominal se dice que el bono es redimible a la par, y si no, dicho valor de redencion se anota como un porcentaje de valor nominal del bono u obligacion, y se les suele denominar;BONOS SOBRE LA PAR 0 PREMIO, Y BONOS BAJO LA PAR 0 CON DESCUENTO. Los bonos generalmente son multiplos de 10, y los valores mas utilizados son 100; 500; 1000; 10000 Y 50000. Tasas de interes y valor actual de los bonos
Al comprar un bono en una fecha de pago de intereses, se espera que produzca un rendimiento sobre el precio de compra, 10 cual involucra DOS TASAS DE INTERES; una, la tasa que la empresa emisora paga sobre el valor nominal (sobre el bono) 6'rH; y la otra, es el rendimiento hasta el vencimiento (sobre inversion) "in, Esto es: Valor actual de los bonos = Valor actual de los intereses + Valor actual del principal EI valor actual del principal = C (1
+
irn
El valor actual de los intereses 0 anualidad, esta constituida por los cupones
Franl i Donde: V = Valor 0 precio de compra del bono para obtener un rendimiento "in.
F:= Valor nominal (0 a la par) del bono r
=
Tasa de interes que se paga sobre el bono por perfodo
i = Tasa de rendimiento sobre la inversion porpedodo de cup6n (en realidad es 10 que el inversionista gana por su inversion) 158
Fr =R = Anualidad vencida nominal a la tasa r "
0
valor de los intereses sobre el valor
U
A = Valor presente de la anualidad C
=
n
=
Precio de redencion (igual al valor nominal del bono, salvo que se senale 10 contrario) Numero de perfodos de interes (0 numero de cuponc3) hasta que se redima 0 venza el titulo
Podemos calcular el valor de los bonos a 2 fechas; uno a Lafecha de cupon, el otro entre fechas de pago de cupon, esto es: VaLor de Los bonos comprados a La fecha de pago de cupon
Sabemos que el poseedor de un bono obtiene dos beneficios que son: a) El valor 0 precio de redencion, en una fecha Hamada FECHA DE REDENCrON b) Pago periodico de intereses, a traves de un cUpOn a medida que vence. Sea: Precio al
Fr
Fr
Fr
Fr
dia de hoy
I I
I
I
1 0
1
3
2
n-1
Fr+ C
I
n
Donde la anualidad vencida es: A = Ranli ycomo entonces
interes compuesto es
R-Fr A = Franli
ademas C ... Valor nominal del bono que a C = C (1 + i)-n (1 + i)n
159
Por 10 tanto el valor del bono comprado a la fecha de pago de cup6n es:
v= v
o bien;
=
Franli + C (l + i)-n
Fr [ 1 - (1. + ifn ] +
-- - - - - - (1) C
1
Ahora bien, esta formula se puede expresar de la siguiente manera: d e arlJ i da:
=
1 - (1. + i)-n despeJamos . (1 + 1.)-n para poderI f' a actonzar y que1 -n
ianl i = 1 - (1 (1 + i)
-n =
+
i)
1 - i anl i
si ahora multiplicamos ambos miembros por "c" queda: -n
C (1 + i)
=
C [ 1 - ianlJ
=
C - Cianli ----- 2
-n
C (1 + i)
sustituyendo 2 en 1 queda: V = Franlt
[C - Cianli ]
Factorizando aD] i queda: V = anl i (Fr - Ci) + C V
=
C + (Fr - Ci) anl i -n
o bien:
V = C + (Fr _ Ci) 1 - (1. + i) 1
EJEMPLOS 1) Un bono de 10,000 redimible a 10250, se anota como UN BONO DE 10,000 REDIMIBLE A 102.5. De hecho; como el bono no es a la par, entonces tiene un potcentaje del valor nominal, esto es:
160
\og~oo
=
1.025%, pero no se acostumbra escribir la palabra porciento, asi
10250 que 10 que se hace es 10000 x 100 = 102.5
2) De un bono de 1,000 a16% redimible (pagadero) el10. de enero, 10. de mayo y 10. de septiembre de cada afio, desde su emision hasta el 10. de septiembre de 1992 inclusive que se estipula a 105, se quiere obtener el pago all0. de septiembre de 1992 y los pagos cuatrimestrales. Solucion: El pago al10. de septiembre de 1992 es de: 1,000 (1.05)
=
1050
Los pagos cuatrimestrales son de 1,000 (6%) = 1,000(0.02) = 20 los dfas primero de los meses de 3 enero, mayo y septiembre de cada ano basta 1992 inclusive.
3) Un bono de 500 al 8% en los meses julio y diciembre redimible ellS
de diciembre de 1994 a 110, marca el pago al 15 de die. de 1994 de 500( 1.1 0) - 550. Y pagos semestrales de:
5oo(O.~8) -
500(0.04) - 20 los dias 15 de los meses de julio y
dicietnbre de cada aiio hasta 1994. 4) Un bono de 50,000 aI5%, reditnible por 1020 a 10 aiios y con un renditniento de 7%, estipula un valor 0 precio de: Solucion: Datos
F6nnula
C - 1020
paa 50,000 n - 10
r
=
v - C + (Fr -
Ci)
anl
i
0.05 161-
i = 0.07 .'. V
1020 +[50000(0.05) - 1020(0.07~alO 10.07
=
=>
V
V
=
1020 + (2500 - 71.4)(7.023581)
V
=
1020 + 17057.46882
=
18,077.468
Dado que el valor del bono "V" es mayor que el precio de redenci6n "c se dice que es un bono SOBRELAPAR n
5) Obtener el valor que se puede pagar por un bono de 100,4%, febrero mayo - agosto - noviembre redimible a la par el 10. de noviembre de 1995, fue comprado el dia 10. de febrero de 1985 con una tasa de rendimiento sobre la inversion y por perfodo de cupon de 6% convertible trimestralmente.
Solucion: Por un lado, se comprende que el comprador recibira 100 ello. de noviembre, ya que el bono es a la par; por otro lado el valor del bono sera:
Datos: n
=
11 atlos (de 1985 a 1995 inclusive)
aSl: n
=
1 1(4)
=
44 trimestres - 1 del trimestre de noviembre de
1984 a febrero de 1985 n
=
43 trimestres
r
=
0.04 anual 6% trimestral
0.06 4
0.015
C=I()()=F
Fr .. V
=
=
1, esto es
1()() (0.04) 4' trIm.
4
-=1 4
Franl i + ('(1 + i) -11 ya que el bono fue comprado a la fecha de pago de cuprin.
aSl; V = 1 a4310.015 + 100 (l.OlSr
162
43
v
= 31.521233 + 100 (0.527182)
-=>
V = 84.239 (BAJO LA PAR)
6) Un bono de 1,000,4% redimible 0 pagadero semestralmente con 6 pagos y con un rendimiento de 5 % sobre la inversion. Obtener el precio del bono. Solucion:
c= 1,000 =
F
no:: 6 r= 2 % semestral i
=
5% anual
.. i = 2.5% sem.
Fr = 1 000(0.02) Usando la fonnula V
=
=
0.025
20
Franli + C(1 + i)-H tenemos: 6 V- 20a61 0.02.5 + l000(1.025r =
V= 20(5.508124) + 1 000(0.862297) V= 110.16248 + 862.297
=>
V = 972.46
Verifiquemos este resultado usando la otra f6nnula: V= C + (Fr - Ci)anli ; esto es: V= 1000+ [20 - l000(0.025)]a610.02.5 V= 1000+ (20 - 25) (5.508124) V= 1000 - 27.540620
=>
V = 972.46
7) Una empresa emite 2000 obligaciones de 1,000.00 cada una, con cupones semestrales de 70.00 para ser reembolsados al fro de 6 afios con una tasa de 4 % semestral. Calcular el valor de la emisi6n.
163
Solucion: F= C
=
2000( 1000)
=
2,000,000.00
n = 6 afios = 12 semestres 70 r= 1000 0.07 = 7% i= 4% semestral =- 0.04 Usemos ahara una formula equivalente a las usadas en los problemas anteriores.
1
V = Fr [
(1+0-n] i
F + (1 +ir
V = 2 000 000(0.07) 1- (1. O4 ) 0.04
-12 +
2000000 (1.04)12
V= 140000(9.385075) + 2000000
1.601032
V= 1 313910.50 + 1 249 194.27
=>
V = 2,563,104.77 Emision sabre la par
8) Se compra un bono de 1,000.00 redimible a la par, para ser reembolsado al fin de 3 anos. Dicho bono paga intereses semestrales de 40% anual. Obtener el valor del bono si la tasa de rendimiento es de 30% convertible trimestralmente. Solucion: F- C ... 1,000 40 r= 40% =2 = 0.20 semestral
i= 30% =30 ... 7.5%
4 n= 3 anos - 6 semestres
m= 2 trimestres (de un semestre)
:. i -=[ 1 + J(m) ]m -1 i- (1.075)2 -I "" 0.1556 164
(l~ i)-n]+ F (1 + if"
V= Fr [1 -
1
6
V= 1 000(020) [1- (1. 1556r ]+ looo(ll556f6 . 0.1556 . V= 200(3.728094) + 1 000(0.419909) V= 745.6188 + 419.909
=>
V
=
1,165.52
Compra de bonos con premio 0 descuento
Si e1 valor de un bono "V" es menor que el valor de redencion "C", se dice que fue comprado con DESCUENTO. Esto sucede si 1a tasa de interes del bono (r) es menor que 1a tasa de rendimiento sobre la inversion (i). Esto es: D=C
V
Un bono se compra a PRIMA 0 PREMIO si su valor de compra "V" es mayor que su valor de redencion 0 a la par "C". Esto sucede si la tasa de interes del bono (r) es mayor que la tasa de rendimiento sobre 1a inversion (i). Esto es: P=V-c
Ahora calculernos una formula en la que obtengamos el valor del descuento y el valor de la prima en forma directa, simplificando as! un poco las operaciones. Esto es: Dado que V = Franli + F(l
+
i)-n
y D-C-V donde C
F ya que estamos considerando un bono redimible a la par
=
entonces D :. D
= =
D
F-V F - Fr anl i =
-
F (1 + i)-n
F[1 - (1 + i)-n]- Franl i
Observemos en esta ultima expresion que si [1 - (1 + i)-n] estuviera dividido entre "i", entonces seria igual a anl i (valor presente de una serie de anualidades de un peso), por 10 que si multiplicamos por 44i" Y dividimos entre "i", queda:
165
~ [1 -
(1 +irn]
I
[
1- (1+ i)-n
.
I
]
. 1- (1 + i)-n .. D
FI
=
D
i
Fianl i
=
- Franl i -
Franl i
Factorizando anl i tenemos:
D
=
(Fi - Fr) anl i
Haciendo las mismas consideraciones para calcular la prima tenemos: n V = Franli + F(1 + ir P=V -F
:. P = Franl i + F (1 + i)-n
-
F
P= Franl i - F [ 1 - (1 + irn] P= Franli - Ft [1- (I + irn] n p~ Franl i - Fi [ 1- ir 1
(\+
P= Franl i - Fianl i
EJEMPLOS 1) Detenninar el descuento para una emisi6n de 1,000.00 obligaciones de 50,000.00 cada una, con cupones semestrales de 5,000.00 reembolsables al fm de 5 aiios con una tasa de rendimiento de 15% semestral.
166
Solucion: Resolvamos este problema en 2 formas diferentes. a)
F= C
=
Calculemos primero el valor del bono y luego el descuento
1,000(50,000)
5000 r= 50000 0.10
=
50 000 000
10%
=
i= 15% = 0.15 n= 5 anos
=
10 semestres
Fr = 50 000 000(0.10)
Ci ::: Fi
=
5 000 000
=
50 000 000(0.15 )= 7 500 000
1O
V = 50000000 + (5000000 - 7 500000) 1- (1.15r
.. V= 50 000 000 + (-2,500,000) (5.018769)
0.15
V = 50 000 000 - 12 546 922.50
V= 37,453,077.50 Por 10 que aplicando la formula D
D
=
=
C - V queda:
50 000 000 - 37 453 077.50
=>
D
12,546,922.50
b) Ahora, calculemos el descuento directamente
FOrmula
Datos F= C
=
50 000 000
r= 10%
i= 15%
D == (Fi - Fr) an'li
n= 10 semestres Fr = 5000000
Fi .. D
=
=
7500 000 (7 500 000 - 5 000 000) awl 0.15
167
D= (2500000) (5.018769) D = 12,546,922.50 2) Detenninar la prima para una emision de 1,000 bonos, de 1,000.00 cada uno, con cupones anuales de 500.00 por titulo, reembolsables al fin de 6 anos con una tasa de rendimiento del 25 % anual. Solucion: Datos
Formula
F= 1 000(1 000) 1000000 500 r= 1000 0.5 = 50% i= 0.25 n= 6 anos .'. p
= [
1 000 000 (0.5) - 1 000 000 (0.25) ]
a61
0.25
p= (500000 - 250000) (2.951424) p= (250000) (2.951424)
=>
p
=
737,856.00
Valor en libros y amortizaci6n de la prima Cuando un bono se compra con premio 0 con descuento, al transcurrir el tiempo su valor varia hasta llegar a su valor de redencion, esto se puede calcular haciendo una tabla de inversion donde se muestre el cambio del valor en libros de los bonos. En dicha tabla se puede observar que la inversion siempre gana la tasa de rendimiento "i" Y 10 que sobra del cupon se utiliza para amortizar la prima. Sea por ejemplo: Se tiene una obligacion de 1,000, valor nominal que vence a la par dentro de 2 anos al 5 % semestral. Paga un rendimiento de 8 %. Hacer la tabla de inversiones 0 valores. Soluci6n: Se calcula primero el valor de compra del bono, esto es: C
=0
F .. 1 000 por ser a Ia par
.'. Fr - 1 000(0.05) "" 50
168
r= 5% = 0.05 i= 0.~8
=
0.04
n= 2 (2 ) = 4 semestres as1: V
=
1 000 +
1 000 (0.05) - 1 000 (0.04) ] a410.04
V = 1 000
+
(50 - 40) (3.62989)
[
V = 1 000 + 36.2989 V= 1,036.29 (valor en libros con prima) (la. columna)
Perfodo 1 2 3 4
3a Interes sobre elbono "Fr"
2a
la
Valor en Interes sobre libros inversion "i ... "V" 1,036.29 1,027.74 1,018.85 1,000.60
Total
4a Amortizacion de la prima
41.45 41.11 40.75 40.38
50 50 50 50
8.55 8.89 9.25 9.62
163.69
200
36.31
Sa Valor en libros al final del perfodo 1,027.74 1,018.85 1,009.60 1,000.00
Calculo de las columnas: 1a. columna: 1,036.29 = V 2a. columna: 1,036.29 (0.04) = 41.452 3a. columna: Fr = 50 4a. columna: 50 - 41.45
=
8.55
Sa. columna: 1,036.29 - 8.55
=
1,027.74
Valor de los bonos eomprados entre feeMs de pago de eupon Hasta ahora, hemos analizado situaciones en que la compra del bono se ha hecho exaetamente en la fecha de pago de cupon, pero si hacemos la compra de un bono entre dos fechas de pago, es obvio que una parte del cupon no vencido pertenece al vendedor, y la otra parte al comprador, as! que para calcular el precio total que se pagara por la compra del bono, haremos 10 siguiente: 169
a) Detenninar el precio " P " de cotnpra de un bono sin aCUlnular el valor del cupon. b) Detenninar el precio II P /I de cotnpra de un bono aCUlnulando el valor del cupon (recibe el notnbre de precio efectivo, neto 0 flat). Este ultimo se puede calcular a traves de 3 tnetodos, que son: 1) Metodo exacto 0 de interes cotnpuesto 2) Metodo aproxitnado 0 de interes sitnple 3) Metodo por interpolacion a) Precio de cotnpra de un bono sin aCUlnular el valor del cup6n. Representeruos en la siguiente figura, los precios de cotnpra del bono exactatnente en la fecha de pago de cup6n /I Po" Y II PI " 0
1
K
Kl
I
Po
P
I
I
PI
donde:
Po es el precio en la fecha de pago inmediatamente anterior a la fecha de venta. P es el precio del bono despues de transcurrido un tiempo "K" (entre fechas de cup6n). PI es el precio en la ultitna fecha de pago 0 valor de redenci6n. Kesel tietnpo transcurrido despues de la pritnera fecha (Po). KI es el tietnpo por transcurrir. Ahora bien, establezcatnos la siguiente raz6n:
p-p
__ 0
K
de donde se concluye que:
170
Kl (P - Po) - K (PI - P) KP-KP -KP -KP 1
I
I
0
de esta exptesion despojamos lip II que es el precio que andamos buscando, asf:
KP+KP-KP +KP 1
1
P(K + K) 1
pero Kl + K
=
=
1
0
KP + K P 1
1
0
I
.', Kl -= 1- K
asf
P(l)
=
KPI + (l - K)P0
P = Kl'l + Po - PoR
po: P + K(P - P) o
1
0
EJEMPLO 1) Una obligacion de la compania JIGA S.A. de 1,000 tiene cupones fechados el10. de enero con precio del bono de 950.10, y ello. de julio con precio de 950.80. Se quiere saber el precio del bono sin el valor acumulado del cupon, si dicho bono se vende el 5 de abril. Solucion: Datos Po= 950.10 PI ... 950.80 Los dfas transcurridos del dfa 10. de enero al5 de abril son 94 (considerando los meses de 30 dias), as! que: K
=
94 180
donde 180 - 6 meses x 30 dfas
171
P P
=>
=
950.10
=
94 (950.80 - 950.10) 180
950.10 + 0.3655
P = 950.465
Observacion: el valor del bono se obtuvo por medio de una interpolacion. b) Precio de compra de un bono acumulando el valor del cupon.
EJEMPLOS 1) Un bono emitido por RICO, S.A. de 500 con interes del 4% semestral, redimible a la par el 10. de febrero de 1995 se pago el 10. de agosto de 1980. Se desea, con un rendimiento del 6% semestral, obtener el precio al 10. de noviembre de 1980. Calcularlo por: a) el metodo de interes compuesto y b) el metodo aproximado 0 de interes simple.
Solucion: Calculemos primero el valor de "Po". Datos: C= F = 500 por ser a la par i= 6% r= 4% n= 29 semestre (Ver siguiente grafica) Nov.
=
fecha de transaccion
1 I
10. de agosto
/ 1980 febrero
2
28
3
29
~ 94
agosto
febrero _
1993 febrero
a
f aqui redime C II
1994 -1980 (porque es desde el principio del ano) 14
2 (semestres) 28 + 1
X
172
II
.'. n = 28 + 1 semestre de la fecha inmediatamente anterior a la fecha de transaccion = 29 asi: V V
=
Po'" 500
=
Po
500 + 135.9072
=
=> a)
[500(0.04) - 500(0.06) ] a291 0,06
500 + (20 - 30 (13.59072)
=
Po
+
Po = 364.0928
Para obtener "P" en forma exacta, utilizaremos la formula del monto a interes compuesto; esto es:
M= C (l
+ i)n
o sea P = PoCl
+
i)K
de tal modo que: P
364.09( 1 + 0.06)K
=
Ahora bien, para conocer "K" haremos 10 siguiente: oct.
sept. I
I
10. de nov.
10. de agosto
agosto, sept. yoct.
30 (3)
1995
90 dias
K=---~~--
180 (diasdesem.)
1
2 (de semestre)
1
luego P
=
364.09(1.06)2
P
=
364.09(1.029)
=>
P = 374.65
Por otra parte, calculando Pi se tiene: PI == 500 + (20 - 30)a2810,06
Pi
=
365.94
y utilizando la formula P
=
Po + K(P. - Po), se tiene:
P= 364.09 + 0.5(365.94 - 364.09)
=>
P = 375.0l 173
b) Obtengamos "P por el metoda aproximado 0 de interes simple. /I
M= CO + ni) o sea P
=
Po(l + Ki)
P = 364.09 [ I + 0.5 (0.06)]
=> P
=
375.01
2) Se tiene un bono de 5,000 con 4 % de intereses capitalizables semestralmente y pagaderos los dias primeros de mayo y noviembre de 1991. Dicha obligacion fue negociada ello. de septiembre de 1989: con la intencion de obtener un 6% de interes, capitalizable semestrahnente. Se desea conocer el precio de compra si vence el 10. de mayo.
Solucion: En este caso no puede aplicarse la fottnula P = Po + K (PI - Po) directamente, por no ser perfodos exactos entre fechas de cupon, as! que se tendria que calcular Po Y PI con V - C + (Fr Ci) anl i pero tampoco esta ultima se puede manejar, ya que los periodos NO SON exactamente semestrales. Sabemos que hay que tomar en cuenta que para calcular el precio, hay que detenninar el valor del bono a las fechas de cupon irunediatamente antes y despues de la fecha de compra, obteniendo primero sus primas y luego interpolando. Esto es: Para ello. de mayo de 1989
P = (Fi - Fr) all] i donde n
=
No. de semestres de 1989 a 1991 n
1989
1989
I
I
Mayo
Nov.
= 4 sem. 1990
I
Mayo n = 3sem.
.. p = [ 5000(0.03) - 5000 (0.02) ] aJ 3~
p
=
(150 - 1(0) (3.717098)
p ... 185.85
Para ello. de noviembre de 1989
P - (50) a313~ 174
1990 I
Nov.
1991 I
Mayo
P = 50(2.828610) P = 141.43
Asi, tenemos un incremento en el precio desde:
5000 - 185.85 = 4,814.15 del 10. de mayo hasta 5000 - 141.43 = 4,858.57 el 10. de noviembre de 1989, 10 cual representa una diferencia de: 4,858.57 - 4,814.15 = 44.42 y como dijimos, vamos a interpolar entre mayo y noviembre para saber cminto a aumentado a septiembre, esto es: 1 1 -1 3 3 3 Mayo Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. I
I
I
Septiembre se encuentra a
I
I
~ partes de distancia del
I
I
10. de mayo al 10. de
noviembre, entonces 44.42 10 multiplicamos por ~ puesto que es proporcional, y queda: 29.61 Luego el precio all0. de septiembre es: 4,814.15
+
29.61
=
4,843.76
Ahora bien, tambien al 10. de septiembre ha devengado el .interes del cupon, 10 cual hace que el pago de Fr = 5000(0.02) = 100 sea 100 (~ )= 66.66, asf que el precio real de venta allo. de septiembre de 1989 sera: 4,843.76 + 56.66 = 4,910.42 3) Se compra un bono de 10,000 a la par siete meses antes de redimir, con un interes sobre bono de 8 % bimestra. Se quiere saber el valor del bono con un rendimiento sobre inversion de 15 % pagadero bimestralmente.
175
Soluci6n: Como el bono se compra entre fechas de pago de cup6n, entonces calcularemos primero los valores de Po Y PI
o - - 1. - - - - 1. ---- 1. - - 1. 24
24
I
'I
I
Po Para Po: n
24
24
I
P
=
4
Para PI: n == 3
K=1. 4
Datos para obtener Po = F
=
e=
10,000
r = 0,08
i
=
0.15
n=4 ,', Po = Franl i + e(l + i)-n Po
~ 10000(0.08) [1- (1.1:)-4 ] + 10000 (l.1Sr4 0,1
Po = 800 (2.854979) + 5 717,532 Po = 2283,9832 + 5717.532
=>
Po
=
8,001.5152
Datos para obtener PI: F
=
C
=
10,000
r = 0,08
i
0,15
=
n=3 ,', PI = Franli +
e (1 + i)-n
PI - 10 000(0,08) [ 1- ~\~r3
176
]
+
10 000 (US)
-3
1
PI
=
800(2.283225) + 6575.162
PI
=
1 826.580 + 6575.162
=>
PI = 8,401.742
Para obtener "P" aplicamos la formula P
=
Po + K(PI - Po)
as!:
P = 8001.5152 + -!- (8 401.742 - 8 001.5152) P
=
=>
8001.5152 + 100.0567 P
=
8,101.57
177
TABLA I
Valor presente de una anualidad de 1 par periodo 1 - (1 +
n 1 2 3 4 !5
!,., 4
1,., 3
5
12%
irn
!,., 2
0,99750623 1,9925 2492 2,98.50 6727 3,97512446 4,96271766
0,99661774 1,99004426 2,98011056 3,9668 8700 4,9S038631
0,99585062 1,98756908 2,97517253 3,9586 7804 4,93810261
0,99502488 1,98.50 9938 2,97024814
5,94784804
7
12%
1% 3
n
4,92586633
0,99420050 1,98263518 2,96533732 3,94234034 4,91361722
0,99331748 1,98017631 2,9604 4004 3,9342lJ96 4,901!5 3506
1 2 3 4 5
5,91346318 6,88477661 7,85205970 8,81!532916 9,17460165
5,89638441 6,86207404 7,82295924 8,77906392 9,73041186
5,87938083 6,8394 8384 7,7940 1874 8,7430 1780 9,6865 1314
!5,86245205 6,81700535 7,76523710 8,70718917 9,64290315
6 7 8 9 10
3,95049~
6 7 8 9 10
7,91074487 8,8885 2357 9,86386391
5,93061759 6,907!5 9228 7,8813 2121 8,85181516 9,&190 8487
11 12 13 14 IS
10,83677198 11,8072 5384 12,1753 1S55 13,74096314 14,70420264
10,78314107 11,74399442 12,70165557 13,65613512 14,60744364
10,72989376 11,68122200 12,62860283 13,5720 5261 14,51158766
10,65702673 11,61893207 12,55615131 13,48870717 14,4166 2665
10,62453667 11,55712014 12,48429509 13,4000 9288 14,32254470
10,5724 2035 11,49578180 12,4130 2828 13,32420028 14,22938802
11 12 13 14 15
Hi 17 18 19 20
15,66S0 4004 16,62348133 17,6795 3250 18,533199SO 19,4844 882&
U,5S!559167 16,50058970 17,44244821 18,3&11 1762 19,31678832
15,44722422 16,37897848 17,3068 6654 18,2209 0443 19,15110815
15,3399 2S02 16,2586 3186 17,17276802 18,0823 5624 18,9874 1915
15,2336 8156 16,13953427 17,040133SO 17,93!55 0969 18,8256 9315
15,1284 8J48 16,02167035 16,9089440S 17,7903 4J 17 18,66590242
16 17 18 19 20
21 22 23 24
20,2492 9069 21,1786 9504 22,1050 1167 23,0282 SOB3 23,9484 2275
20,0674 9359 20,9800 7661 21,88887297 22,79389839 23,69516853
19,88797925 20,7440 5896 21,6756 8055 22,5628 6622 23,4456 3802
19,7107 1398 20,5906 0213 21,46338738 22,3350 9930 23,19976732
19,53566466 20,3996 6688 21,26794723 22,110!5 4361 22,9574 9365
21 22 23 24
25
20,43340417 21,3799 5488 22,32414452 23,2659 7957 24,20S4 6591
25
26 27 28 29 30
25,14260939 26,0174 1585 27,0098 911 2 27,94004102 28,86787134
24,865!5 3763 25,17960561 26,6906 3682 27,5986 4135 28,5036 2925
24,59269895 25,4865 05 17 26,3766 0266 27,26300680 28,14573291
24,3240 1794 25,1980 2780 26,0676 8936 26,9630 2423 27,7940!5397
24,OS94 2070 24,9140 8852 25,7637 9968 26,6085 8295 27,4484 6689
23,79983475 24,6346 0406 25,4648 3847 26,289!5 7464 27,10884898
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
29,7933 8787 30,71659638 31,63750262 32,5561 1234 33,47243126
29,4056 1055 30,3045 9523 31,20059325 32,09361454 32,9836 6898
29,02479626 29,90021205 30,77199540 31,64016139 32,504 7 2.S04
28,6S07 9997 29,50328355 30,35155392 31,19555818 32,0353 7132
28,2838 7993 29,1136 SOlO 29,39900610 30,7595 7524 31,57538549
27,92269766 29,53426154 30,33204789 31,1245 S088
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
34,3864 6S 10 35,2982 1955 36,2077 0030 37,11491302 lS,01986336
33,8707 6642 34,7549 1670 35,63612960 36,5144 1488 37,38978228
33,J6S70128 34,22310501 35,076951OS 35,92725416 36,1740 2904
32,87101624 33,702S 0372 34,5298 5445 35,3530 8900 36,17222786
32,3864 6445 33,192& 3955 33,9945 3808 34,7915 &716 3!5,5840 1374
31,911805S1 32,6938 4653 33,47070848 34,2424 2564 35,0090 3209
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
38,9225 5697 39,82299947 40,7211 9648 41,6171 !5359 42,5108 7640
38,26224147 39,13180213 39,9984 7388 40,86226633 41,72318903
37,6172 9033 38,45705261 39,2933 3040 40,12618816 40,9554 9028
36,9872 9140 37,79829991 38,0052 7354 39,40822338 40,2071 9640
36,37184465 37,15510653 37,93382588 38,70802904 39,41774221
35,77056168 36,52714803 37,2785 2453 38,0250 2487 38,7665 BOSO
41 42 43
46 47 48 49
43,4223 7047 44,29164137 45,1786 9463 46,0635 3!580 46,9461 7037
42,58125153 43,4364 6332 44,2888 3387 45,1383 7263 45,9850 8900
41,7&140111 42,00388492 43,4229 5594 44,2386 2832 45,0509 1617
41,00218547 41,7932 1937 42,5803 1778 43,3635 0028 44,14278635
40,24299143 41,00380258 41,70020241 42,5122 1349 43,2598 6428
39,5032~
40,2349 9238 40,9619 1296 41,7840 1949 42,4013 4387
46 47 4& 49 50
so
6,9~2174
28.7311~2
44
45
179
TABLA I
Valor presente de una anualidad de 1 por periodo 1 - (1 + i)-n 7
~%
n
44,0031 7907 44,74218301 45,47690103 46,20735816 46.9335 7895
43,11391775 43,8217 7260 44,~249 3967 45,2234 6000 45,91733444
51 52 53 54 55
48.7377 5657 49.49030505 50,2391 0950 50,9841 8855 51,72556075
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1.%
1.%
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1/
~1
~2
5.1 54 5~
56 57 58 59 ()()
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180
4
1..%
1.%
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5~,11~3 ~106
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61S4873299
12
46,66~3
2
12%
3
99 100
TABLA I
Valor presente de una anualidad de 1 por periodo 1 - (1 + 5
irn
1.%
7
1%
n
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n
1.%
1.%
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106 107 108 109 110
93.01611755 93.78166339 94,54530014 95.30703256 96,06686539
89.1732 4606 89,87366717 90.57176130 91,26753618 91.96099951
85.54699928 86,18788310 86,82610765 87,46168397 88.0946 2304
111 112 113 114 115
96.82480338 97,5808 5126 98,3350 1372 99.0872 9548 99,8377 0123
92.65215898 93,34102224 94,0275 9692 94.71189062 95,3939 1092
116 117 118 119 120
100,5862 3564 101.33290338 102.0777 0911 102.8206 5747 103,56175308
121 122 123 124 125
4
3
12%
2
12%
3
181
TABLA I
Valor presente de una anualidad de 1 por periodo 1 - (1 +
n
~% 4
irn
1%
lL~
}1% 2
1~%
4
4
2%
n
1 2 3 4 5
0,9925 5583 1,9777 2291 2,95555624 3,92611041 4,8894 3961
0,99009901 1,97039506 2,94098521 3,90196555 4,8534 3124
0,98765432 1,96311538 2,9265 3371 3,87805798 4,81783.504
0,98522167 1,95588342 2,91220042 3,85438455 4,78264497
0,98280098 1,94869875 2,89798403 3,83094254 4,74785508
0,98039216 1,94156094 2,88388327 3,80772870 4,7134 5951
1 2 3 4 5
6 7 8
5,84559763 6,7946 3785 7,73661325 8,67157642 9,59957958
5,7954 7647 6,72819453 7,65167775 8,S660 1758 9,47130453
5,74(i() 0992 6,66272585 7,56812429 8,46234498 9,34552591
5,69718717 6,59821396 7,48592S08 8,36051732 9,22218455
5,64899762 6,53464139 7,4050 5297 8,26049432 9,10122291
5,60143089 6,47199107 7,3254 8144 8,16223671 8,9825 8501
6 7 8 9 10
10,5206 7452 11,43491267 12,34234508 13,2430 2242 14,13699495
10,36762825 11,25527747 12,13374007 13,00370304 13,86505252
10,2178 0337 ll,07931197 11,9301 8466 12,77055275 13,6005 4592
10,0711 1779 10,90750521 ll,73153222 12,54338150 13,3432 3301
9,92749181 10,73954969 11,53764097 12,32200587 13,0928 8046
9,7868 480S 10,57534122 11,3483 7375 12,10624877 12,84926350
11
12 13 14 IS
12 13 14 15
16 17 18 19 20
15,0243 1261 15,9150 2492 16,7791 8107 17,64682984 18,5080 1969
14,71787378 15,56225127 16,39826858 17,2260 0850 18,04555297
14,42029227 15,22991829 16,02954893 16,81930759 17,59931613
14,13126405 14,90764931 15,67256089 16,4261 6837 17,1686 4931
13,8504 9677 15,32686272 16,0460 5673 16,75288130
13,5777 0931 14,29187188 14,99203125 15,6784 6201 16,35143334
16 17 18 19 20
21 22 23 25
19,36279870 20,2112 1459 21,0533 1473 21,88914614 22,71875547
18,85698313 19,66037934 20,45582113 21,24338726 22,02315570
18,3696 9495 19,13056291 19,88203744 20,62423451 21,3572 6865
17,90013673 18,6208 2437 19,33086145 20,0304 0537 20,71961120
17,44754919 18,13026948 18,80124764 19,4606 8S6S 20,,0878196
17,01120916 17,6580 4820 18,28220412 18,91392560 19,52345647
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
23,54218905 24,3594 9286 25,17071251 25,97589331 26,7750 8021
22,79520366 23,5596 0759 24,31644316 25,0657 8530 25,8077 0822
22,08125299 22,79629925 23,5025 1778 24,2000 1756 24,8889 0623
21,3986 3172 22,0676 1746 22,7267 1671 23,3760 7558 24,01583801
20,74573166 21,37172644 21,98695474 22,59160171 23,18584934
20,12103576 20,71689780 21,28127236 21,84438466 22,3964 55S5
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
27,5683 1783 28,3556 S045 29,1311 2203 29,91277621 30,6826 5629
26,5422 8537 27,26958947 21,9896 9255 28,7026 6589 29,40858009
25,56929010 26,241274.18 26,9049 6215 27,5604 S644 28,2078 5822
24,64614582 25,2671 3874 25,8789 5442 26,48172849 27,07559458
23,76981650 24,3438 5897 24,90796951 25,4623 7789 26,0072 5100
22,93110152 23,4683 3482 23,9885 6355 24,4985 9172 24,99861933
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
31,44680525 32,20526576 32,9580 8016 33,70529048 34,4469 3844
30,4175 0S04 30,7995 0994 31,48466330 32,1630 3298 32,8346 8611
28.84726737 29,4787 8259 30,10250133 30,71851983 31,32693316
27,6606 8431 28,23712740 28,8050 5163 29,36458288 29,91584520
26,5427 5283 27,0690 4455 27,5862 8457 28,0946 2857 28,59422955
25,4888 4248 25,96945341 26,4406 4O(i() 26,9025 8883 27,3554 7924
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
35,18306545 35,91371260 36,6389 2070 37,35873022 38,07318136
33,4996 8922 34,15810814 34,81000806 35,4554 5352 36,0945 0844
31,92783522 32,5213 1874 33,10747530 33,68639536 34,25816825
30,45896079 30,9940 5004 31,52123157 32,0406 2223 32,55233718
29,08523789 29,56780136 30,04206522 30,50817221 30,96626261
27.7994 8945 28,23479358 28,66156233 29,49015987
41 42 43 44 45
46 47 48 49
38,7823 1401 39,4861 6775 40,18478189 40,8781 9542 41,5664 4707
36,7272 3608 37,35369909 37,9739 5949 38,5880 7871 39,1961 1753
34,8228 8222 35,3806 2442 35,93148091 36,4755 3670 37,01287575
33,0564 8983 33,55319195 34,0425 5365 34,5246 8339 34,9996 8807
31,4164 7431 31,85894281 32,29380129 32,7211 8063 33,14120946
29,8923 1360 30,28658196 30,6731 1957 31,0520 7801 31,42360589
9
10 11
24
so
182
14,595082~
29,O799~
46 47 48 49
so
TABLA I
Valor presente de una anualidad de 1 por periodo
aol i
=
1 - (1 + if° 1~%
2%
n
35.4656 7298 35,92874185 36,3829 9690 36,8305 3882 37,27146681
33,5540 1421 33,9597 1913 34,3584 4632 34,7S03 1579 35,135445SO
31,78784892 32,14494992 32,49SO 4894 32,8382 8327 33,17478752
51 52 53 54 55
40,1004 3128 40,59301855 41.07952449 41,SOOO2419 42,03459179
37,70587863 38.13387058 38,55553751 38.9709 7292 39.38026889
35,51395135 35,88594727 36,25154523 36,61085526 36,9639 8552
33,5046 9365 33,82813103 34,145226SO 34,45610441 34,76088668
56 57 58 59 60
45,.50113803 46,0396 4161 46,57390258 47,10987385 47.62660777
42,.50330054 42,96622275 43,4234 2988 43,87499247 44,3209 8022
39,78351614 40,1808040& 40,57222077 40,9578 5298 41,3377 8618
37,31104228 37,65213000 37,98735135 38,3168 0723 38,6405 9678
35,0596 9282 35,3526 4002 35,63984316 35.9214 1486 36,19746555
61 62 63 64 65
51.9069 5497 52,51310667 53,11474607 53.71190677 54,30462210
48.14515621 48,6585 7OSO 49,16690149 49.6701 9949 SO,16851435
44,76146195 45,1965 0563 45,62617840 46,OS05 4656 46,4696 7562
41.71210461 42,08089125 42,4442 2783 42,8021 9490 43,15487183
38,95881748 39,27156S09 39,5789 3375 39,8810 1597 40,17790267
36,46810348 36,73343478 36,99356351 37,24859168 37,49861929
66 67 68 69 70
71 72 73 74 75
54.89292516 55.47684880 56,0564 2561 56,63168795 57,2026 6794
SO,66189539 51,1S039148 51,6340 S097 52,11292175 52,58705124
46,8836 3024 47,29247431 47,69627093 48,0950 8240 48,48897027
43,50233678 43,8446 6677 44,18193771 44,51422434 44,84160034
40,4696 8321 40,7564 4542 41,03827560 41,31525857 41,58747771
37.74374441 37,9840 6314 38,2196 6975 38,4506 5662 38,6771 1433
71 72 73 74 75
76 71 78 79 80
57,76939746 58,33190815 58,89023141 59.44439842 59.99444012
53,0564 8638 53,52127364 53,98145905 54,43708817 54,8882 0611
48,87799533 49,26221761 49,64169640 SO,OI64 9027 SO,3866 5706
45,16413826 45,48190962 45,79498485 46,10303335 46,4073 2349
41,85501495 42,1179 S081 42,3763 6443 42,6303 3359 42,8799 3474
38,8991 3170 39.1177 9578 39,33019194 39,5394 0386 39,7445 1359
76 77 78 79 80
81 82 83 84 85
60,5403 8722 61.08227019 61,6204 1930 62,15396456 62,6838 3519
55,33485753 55,77708676 56,21493729 56,6484 5276 57,0776 7600
SO,75225389 51,11333717 51,46996264 51,8221 8532 52,1700 5958
46,70672265 47,00169720 47,2923 1251 47,5786 3301 47,86072218
43,12524298 43,36633217 43,6032 7486 43,8361 4237 44,06S00419
39,9456 0156 40,14274663 40,3360 2611 40,5255 1519 40,71128999
81 82
86 87 88 89 90
63,2097 6257 63,73177427 64,2499 0002 64,76416875 65,27460918
57,50264951 57,9234l.S35 58,3400 1S20 58,7524 9030 59,16088148
52,5236 3909 52,8529 7688 53,1881 2531 53,5191 3611 53,84ro 6035
48,1386 4254 48.41245571 48,6822 2237 48,9480 0234 49,2098 5452
44,2899 3099 44,5109 8869 44,72824441 44,9417 6355 45,15161037
40.89342156 41,07198192 41,24704110 41,4186 6774 41,58692916
86 87 89 90
91 92 93 95
65,78124981 66,28411892 66,78324458 67,2786 5467 67,77037685
59,56522819 59,96557346 60,36195392 60,7544 0982 61,14298002
54,168948SO 54,4878 S037 54,8028 1S18 55,11389154 55,4211 2744
49,4678 3696 49.72200686 49,9724 2055 SO,2191 3355 SO,4622 0054
45.35784803 45,5605 3860 45,75974310 45,95552147 46,16793265
41,75189133 41,91361895 42,07217545 42,22762299 42,8800 2254
91 92 93 94 95
96 97 98 99 100
68,2584 3856 68,74286105 69,22368938 69,7009 3239 70,1746 2272
61,5277 0299 61,90861682 62,2857 5923 62,6591 6755 63,0288 7877
55,72451031 56,0242 6698 56,3202 6368 56,61260610 56,90133936
SO,70167541 SO,93761124 51,17006034 51,3990 7422 51,62470367
46,3370 3455 46,5228 8408 46,10553118 46,88S0 4882 41,04147304
42,5294 3386 42,6759 ISSS 42,81952505 42,96031867 43,09835164
96 97 98 99 100
n
.L",
1%
1!% 4
1!% 2
51 52 53 54 55
42.2495 7525 42.92761812 43.6006 1351 44,2685 9902 44,93161193
39.708[ 3617 40.3941 9423 40,9843 S072 41,5686 6408 42.14719216
37,54358099 38,06773431 38,5854 1660 39,09670776 39,60168667
56 57 58 59 60
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61 62 63 64 65
48,8073 1863 49,4365 4455 SO,061O 8640 SO,68197906 51,29625713
66 67 68 69 70
94
4
4
83 84 85
88
183
TABLA I
Valor presente de una anualidad de 1 por periodo
anl i
1 - (1 + =
irn
n
2.!.% 2
1 2 3 4 5
0,97560976 1,92742415 2,8S602356 3,76197421 4,64582850
0,97087379 1,91346970 2,8286 1135 3,71709840 4,57970719
0,96618357 1,89969428 2,80163698 3,67307921 4,51505238
0,96153846 1,88(i() 9467 2,77509103 3,62939522 4,45182233
0,9569 3780 1,87266775 2,74896435 3,58752570 4,3899 7674
0,95238095 1,3594 1043 2,72324803 3,54595050 4,3294 7667
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
5,50812536 6,34939060 7,17013717 7,97086553 8,75206393
5,41719144 6,23028296 7,01969219 7,78610892 8,53020284
5,32855302 6,11454398 6,87395554 7,00768651 8,31660532
.5,24213686 6,00205467 6,73274487 7,43533161 8,11089578
5,15787248 5,89270094 6,59588(i()7 7,26879050 7,9127 1818
5,07669207 5,78637340 6,46321276 7,10732168 7,72173493
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
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9,25262411 9,95400399 10,6349.5.533 11,,29607314 11,93793509
9,00155104 9,66333413 10,3027 3849 10,920.5 2058 11,51741090
8,7004 7671 9,38507376 9,98.56 4785 10,.56312293 11,11838743
8,52891692 9,11858078 9,68285242 10,22282528 10,73954573
8,3064 1422 8,86325164 9,39357299 9,89864094 10,3796 5804
11 12 13 14 15
It? 17 18 19 20
13,05500266 13,71219772 14,35336363 14,97889134 15,58916229
12,.5611 0203 13,1661 1847 13,75351308 14,32379911 14,87747486
12,0941 1681 12,65132059 13,1896 8173 13,71983742 14,21240330
11,65229561 12,16566885 12,65929697 13,13393940 13,5903 2634
11,2340 1505 11,70719141 12,1599 9180 12,59329359 13,0079 3645
10,8377 6956 11,2740 6525 11,6896 8690 12,08532086 12,4622 1034
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
16,18454857 16,7654 1324 17,33241048 17,88498582 18,42437642
15,4150 2414 15,9369 1664 16,44360839 16,93554212 17,41314769
14,69797420 15,1671 2484 15,6204 1047 16,05&36700 16,48161459
14,0291 5995 14,45111533 14,85684167 15,24696314 15,62207994
13,40472388 13,78442476 14,14777489 14,49547837 14,82820896
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21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
18,9506 1114
19,4640 1087 19,96488866 20,453.54991 20,93029259
17,87684242 18,32702147 18,76410823 19,1884 5459 19,6004 4135
16,89035226 17,28536451 17,66701835 18,03576700 18,3920 4541
15,98276918 16,3295 3575 16,66306322 16,9837 1463 17,29203330
15,1466 1145 15,45130282 15,74287351 16,02188853 16,28888854
14,3751 3530 14,6430 3362 14,89812726 15,14107358 15,37245103
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
21,39540741 21,8491 7796 22,2918 8094 22,7237 8628 23,14515734
20,0004 2849 20,38876553 20,76579178 21,1318 3668 21,4872 2007
18,73627576 19,06886547 19,39020818 19,7006 8423 20,00066110
17 ,5884 9356 17,87355150 18,14764567 18,4JJ19776 18,6646 1323
16,54439095 16,78889086 17 ,0228 6207 17,24675796 17,4610 1240
15,59281050 15,80267667 16,00254921 16,19290401 16,37419429
31 32 3l 34 35
3
23,55625107 23,9573 1812 24,34860304 24,73034443 25,10277505
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17 ,6660 4058 17 ,8622 3979 18,0499 9023 18,2296 5572 18,20158442
16,54685171 16,71128734 16,86789271 17,01704067 17,1S90 8635
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
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21,59910371 21,83488281 22,0626 8870 22,28279102 22,49.54 5026
19,99305181 20,13562674 20,37079494 20,5488 4129 20,7200 6970
18,56610949 18,7235 4975 18,8742 1029 19,01838305 19,15634742
17,2943 6796 17,42320758 17,54.591198 17,66277331 17,77406982
41 42 43 44 45
46 47 48 49
27,1S41 6962
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20,8846 5356 21,04293
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46 47 48 49
so
184
27,46748255 27,77315371 28,0713 6947 28,3623 1168
3%
3.!.% 2
4%
4.!.% 2
5%
n
so
TABLA I
Valor presente de una anualidad de 1 por periodo anli =
1 - (l +
irn
n
2.! % 2
3%
3.! % 2
4%
4.! % 2
5%
n
51 52 53 54 55
28.6461 5774 28,9230 8072 29,19324948 29.4568 2876 29,11397928
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23.6286 1630 23.79576454 23.9572 6043 24,11329510 24,2640 5323
21.61748521 21.74758193 21.87267493 21,9929 5667 22,1086 1218
19,86795003 19.96933017 20.0663 4466 20,15918149 20,2480 2057
18,33897663 18,4140 7298 18.49340284 18,56514556 18,63347196
51 52 53 54 55
56 57 58 59 60
29,96485784 30,2096 1740 30,4484 0722 30,68137290 30,9086 5649
26,96546373 27,1509 3566 27,3310 0549 27,50583058 27,67556367
24,4097 1327 24,5504 4760 24,6864 2281 24,8177 9981 24,94473412
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56 57 58 59 60
61 62 63 64 6!1
31,13039657 31,34672836 31,5577 8377 31,76369148 31,96457705
27,84035307 28,0003 4279 28,15567261 28,3064 7826 28,45289152
25,06737596 25~1858 7049 25.3003 5796 25.4109 7388 25,51784916
22.71489421 22,8027 8289 22,8872 9124 22.9685 4927 23,0466 8199
20,70624118 20,77152266 20,83399298 20,89377319 20,9509 7913
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61 62 63 64 65
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21,00572165 21,05810684 21,10823621 21,15620690 21,2021 1187
19,20101936 19,2390 6606 19,27530101 19,3098 1048 19,34267665
66
67 68 69 70
71 72 73 74 75
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21,2460 4007 21,2880 7672 21.3283 0298 21,36679711 21,40363360
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19,50949519 19,53285757 19.55509768 19,57628351 19,5964 6048
76 77 78 79 80
81 82 83 84 85
34,5871 3875 34,71915976 34,84796074 34,9736 2023 35,0962 1486
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23,95710754 23.9972 1879 24,03578730 24,0728 7240 24,10853116
21.59363151 21,62070001 21,64660288 21,67139032 21,6951 1035
19,61567665 19,63397776 19,65140739 19,66800704 19,68381623
81 82 83 84 85
86 87
35,21581938 35,33250671 35,4463 4801 35,55741269 35,66576848
30,71985537 30,78626735 30,8604 5374 30,9324 7936 31.00240714
27,0886 9926 27,13883986 27,1872 8489 27,2340 9168 27,2793 1564
24,14281842 24,17578694 24.20748745 24,23796870 24,2672 7759
21,71780895 21,73953009 21.7603 1588 21,78020658 21,79924075
19,69887260 19,7132 1200 19.72686857 19,73987483 19,75226174
86 87 88 89 90
95
35,77148144 35,8746 1604 35,97523516 36.07340016 36, 169f7089
31,07029820 31,1362 1184 31,20020567 31,2623 3560 31,32265592
27.3230 1028 27,36522732 27,4060 1673 27.4454 2680 27,48350415
24,2954 5923 24,3225 5695 24,3486 1245 24.37366582 24,3977 5559
21,81745526 21.83488542 21,85156499 21,86752631 21,8828 0030
19,76405880 19.77529410 19.78599438 19.7961 8512 19,80589059
91 92 93 94 95
96 97 98 99 100
36,26260574 36,35376170 36,4426 9434 36,52945790 36,61410526
31,38121934 31,4380 7703 31,4932 7867 31,5468 7250 31,5989 0~34
27,52029387 27,5558 3948 27,5901 8308 27,6233 6529 27,65542540
24,4209 1884 24,44319119 24,46460692 24,4851 9896 24,50499900
21,8974 1655 21,91140340 21,9247 8794 21,937~ 9612 21,94985274
19,81513390 19,8239 370~ 19,83232100 19,84030571 19,8479 1020
96 97 98 99 100
88
89 90 91 92 93 94
185
TABLA I
Valor presente de una anualidad de 1 por periodo 1 - {l +
n
s!% 2
1 2 3 4 5
0,94786730 1,84631971 2,6979 3338
6 7 8 9 10
6%
6!% 2
irn
7%
71.% 2
8%
n
4,2702 8448
0,94339623 1,83339267 2,6730 1195 3,46510561 4,21236379
0,93896714 1,8296 2642 2,6484 7551 3,42579860 4,15567944
0,93457944 1,8080 1817 2,62431604 3,3872 1126 4,10019744
0,9302 3256 1,79556517 2,60052574 3,34932627 4,04588490
O,92S92593 1,78326476 2,57709699 3,31212684 3,99271004
1 2 3 4 5
4,99553031 5,6829 6712 6,33456599 6,95219525 7,53762583
4,91732433 5,58238t44 6,20979381 6,80169227 7,36008705
4,84101356 5,48451977 6,08875096 6,65610419 7,18883022
4,76653966 5,3892 8940 5,97129851 6,61523225 7,02358154
4,69384642 5,29660132 5,85730355 6,3788 '8703 6,8640 8096
4,62287966 5,20637006 5,7466 3894 6,24688791 6,7100 8140
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
8,09253633 8,6185 1785 9,11707853 9,58964790 10,0375 8094
7,8868 7458 8,38384394 8,85268296 9,29498393 9,71224899
7,68904246 8,15872532 8,59974208 9,01384233 9,40266885
7,4986 7434 7,94268630 8,35765074 8,7454 6799 9,10791401
7,3154 2415 7,73527827 8,12584026 8,48915373 8,82711974
7,13896426 7,53607802 7,90377594 8,24423698 8,5594 7869
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
10,46216203 10,86460856 11,24607447 11,6076 5352
10,10589527 10,4772 S969 10,82760348 11,1581 1649 11,4699 2122
9,76776418 10,11057670 10,4324 6638 10,7347 1022 11,01850725
9,4466 4860 9,7632 2299 10,0590 8691 10,33559524 10,5940 1425
9,14150674 9,43395976 9,70600908 9,95907821 10,1944 9136
8,8513 6916 9,12163811 9,37188714 9,60359920 9,81814741
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
12,27524406 12,5831 1673
11,7640 7662 12,04158172 12,30337898
13,15169895 13,41393266
12,55035753
12,78335616
11,28498333 11,53519562 11,77013673 11,99073871 12,19787673
10,8355 2733 11,06124050 1i,27218738 11 ,4693 3400 11,65358318
10,41348033 10,61719101 10,8066 8931 10,98296680 11,1469 4586
10,0168 0316 10,20074366 10,37105895 10,52875828 10,67477619
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
13;66249541 13,8980 9991 14,12142172 14,33310116 14,53374517
13,00316619 13,21053414 13,40616428 13,59072102 13,76483115
12,39237251 12.57499766 12,7464 7668 12,90748984 13,0586 7591
11,8257 7867 11,98670904 12,13711125 12,277674{f7 12,4090 4148
11,2994 8452 11,4413 8095 11,57337763 11,69616524 11,81038627
10,80997795 10,93516477 11,0510 7849 11,1584 0601 11,2577 8334
26 27 28 29 30
31 32 33
14,72392907 14,90419817 15.0750 6936
13,2006 3465 13,33392925 13,4590 88SO 13,5766 0892 13,6869 5673
12,53181419 12,64{;55532 12,75379OOl 12,8540 0936 12,94767230
11,9166 3839 12,01547757 12,10742099 12,19294976 12,2725 1141
11,3497 9939 11,4349 9944 11,51388837 11,5869 3367 11,65456822
31 32 33 34 35
3,50515012
11,9503 8248
12.8750 4239
35
15,2370 3257 15,3905 5220
13,9290 8599 14,0840 4339 14,23022961 14,36814114 14,49824636
36 37 38 39 40
15,53606843 15,67399851 15,8047 3793 1!!,9286 6154 16,0461 2469
14,62098713 14,73678031 14,8460 1916 14,9490 7468 15.046296&7
13,79056970 13.88785887 13.97921021 14,06498611 14.1455 2687
13,0352 0776 13,11701660 13,1934 7345 13,2649 2846 13,33170884
12,34655524 12,41536952 12,4794 1351 12,53898931 12,5944 0866
11,71719272 11,77517851 11,8288 6899 11,&785 &240 11,92461333
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
16,l5746416 16,2629 9920 16,3630 3242 16,45785063
15,1380 1592 15,2245 4332 15,30617294 1~.3831 8202 15,45583209
13,3941 2041 13,4524 4898 13,5069 6167 13,55790810 13,60552IS9
12,64596155 12,69391772 12,73852811 12,7800 2615 12,8186 2898
11 ,9672 3457 12,0066 9867 12,04323951 12,07707362 12,10840ISO
41 42 43 44
16,5477 2572
14,22115199 14,29216149 14,35883708 14,42144327 14,48022842
16,6329 1537 16,7136 6386 16,7902 0271 16,86275139 16,931!! 1790
15,52436990 15,58902&21 15,6S002661 15,70757227 15,76186064
14,53542575 14,63591946 14,6816 1451 14,724!! 2067
13,6S002018 13,69160764 13,7304 7443 13,76679853 13,8007 4629
12,&5453&53 12,88764287 12,9190 1662 12,94792244 12,9748 1157
12,13740880 12,16426741 12,18913649 12,2121 6341 12,2334 8464
34
46 47
48 49
so
186
14,s872 5422
4S
46 47 48 49
so
TABLA II
Monto de una anualidad de 1 por periodo
mnli n
!% 4
!% 3
5
12%
(1+it-l !% 2
7 12
%
1% 3
n
1 2 3 4 5
1,00000000 2,00250000 3,00750625 4,OIS02S02 5,02.SO 6258
1,00000000 2,00333338 3,0100 1111 4,02004448 5,0334 4463
1,00000000 2,00416667 3,0125 1736 4,02S06952 5,04184064
1,00000000 2,OOSOOOOO 3,01SO 2SOO 4,03010013 S,0502 5063
1,00000000 2,00583333 3,01753403 4,03513631 5,0686 7460
1,00000000 2,00666667 3,02004444 4,04017807 5,067112S9
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
6,03762523 7,05271930 8,07035110 9,09052697 10,1132 5329
6,OS022278 7,07039019 8,09395816 9,1209 3802 10,15134114
6,06284831 7,08811018 8,11764397 9,15146749 10,18959860
6,07SS0188 7,10587939 8,14140879 9,1821 U83 10,2280 2641
6,08818354 7,12369794 8,16525285 9,21288349 10,2666 2531
6,10089335 7,14156597 8,18917641 9,24377092 10,30539606
6 7 8 9 10
11
12 13 14 15
11,13853642 12,16638277 13,19679872 14,22979072 15,26536520
11,18517895 12,22246288 13,2632 0442 14,30741510 IS,3S510648
11,23205S26 12,27885549 13,3300 1739 14,38555913 15,44549896
11,27916654 12,33556237 13,3972 4018 14,46422639 15,53654752
11,3265 1396 12,39258529 13,46487537 14,54342048 15,62825710
11,3740 9870 12,4499 2602 13,5329 2553 14,62314S03 15,7206 3267
11 12 13 14 IS
16 17 18 19 20
16,30352861 17,34428743 18,38764815 19,43361727 20,48220131
16,40629017 17,4609,7781 18,51918107 19,5809 1167 20,64618137
16,50985520 17,5786 4627 18,65189063 19,72960684 20,8118 1353
16,61423026 17,69730141 18,78578791 19,8797 1685 20,97911544
16,71942193 17,81695189 18,92088411 20,0312 5593 21,14810493
16,82543688 17 ,93760646 91,0571 9051 20,18423844 21,31880003
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
21,53340682 22,5872 4033 23,64730843 24,7028 1770 25,76457475
21,71S00198 22,78738532 23,8633 4327 24,9428 8775 26,0269 3071
21,89852942 22,9897 7330 24,0855 6402 25,18592053 26,29086187
22,0840 1101 23,1944 3107 24,3104 0322 25,43195524 26,5591 1502
22,27146887 23,4013 8577 24,5378 9386 25,68103IS7 26,83083759
22,4609 2536 23,6106 6487 24,7680 6930 25,9331 8976 27,1060 7769
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
26,82898619 27,8960 5865 28,9657 9880 30,0382 1330 31,11330883
27,11278414 28,2031 6009 29,29717062 30,39482786 31,4961 4395
27,4004 0713 28,51457549 29,6333 8622 30,75685866 31,88S0 1224
27,69191059 28,83037015 29,9745 2200 3112439461 32,2800 1658
27,9873 S081 29,1506 1035 30,3206 5558 31,49752607 32,68126164
28,2867 8488 29,47536344 30,67186587 31,87634497 33,08885394
26 27 28 29 30
31 32 33 35
32,19109210 33,2715 6983 34,35474876 35,4406 3563 36,5292 3722
32,6011 3110 33,70980154 34,82216754 35,93824143 37,0580 3557
33,0178 6646 34,lS544090 35,2977 5524 36,4448 2922 37,5966 8268
33,4414 1666 34,6086 2375 35,78166686 36,96OS 7520 38,14537807
33,87190233 35,0694 8843 36,2740 6045 37,48565913 38,7043 2548
34,3094 4630 35,5381 7594 36,nS09711 38,0202 6443 39,27J73286
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
37,26056031 38,71461171 39,81139824 40,9109 2673 42,0132 040S
38,18lS 6236 39,30883423 40,4398 6368 41,57466322 42,71324543
38,753335'2 39,91480775 41,0811 1945 42,2522 9078 43,42834199
39,3361 0496 40,5327 8549 41,73544942 42,94412666 44,IS88473O
39,93010071 41,1630 2630 42,4031 4395 43,6504 9562 44,9051 2352
40,5355 5774 41,80579479 43,0845 0009 44,3717 3009 4',66754163
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
43,11823706 44,2260 3265 45,33659774 46,4499 3923 47,5660 6408
43,8556 2292 45,0018 0833 46,1.5181436 47,3056 '374 48,4633 3925
44,6092 9342 45,79516547 46,9859 7866 48,1817 5357 49,38251088
45,3796 4153 46,6065 3974 47,83957244 49,07877030 SO,3241 64.1S
46,16707007 47,43637798 48,71309018 49,9972 4988 S 1,2889 OOSO
46,97199191 48,2851 3852 49,60703944 SO,9377 5304 52,2773 3806
41 42 43 44 45
46 47 48 49
48,6849 7924 49,8066 9169 SO,9312 0842 52,0585 3644 53,1886 8278
49,6248,8371 51.9'96 0099 52,13279966 54,3099 0899
SO,5882 7134 51,7990 5581 '3,01488521 54,2357 8056 55,4617 6298
51,57578497 52,8336 6390 54,0978 3222 55,36832138 56,6451 6299
52,5880 8575 '3,89484959 5',2092 3621 56,53129009 57,8610 5595
53,6258 5365 54,9833 5934 56,3499 1507 57,725' 8117 59,1104 1837
46 47 48 49
34
so
SO,7902 9999
so
187
TABLA II
Manto de una anualidad de 1 par periodo
mnli
(I + i)n - 1
n
!%
.!.c~
51 52 53 54 55
54,32165449 55,45745862 56,59610227 57,78759252 58,88193650
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56,6928 5366 57,9290 7388 59,1704 4502 60,41698854 61,66872600
57,92838880 59,2180 3075 60,51412090 61,8166 9150 62,12577496
56 57 58 59 60
60,02914135 61,17921420 62,3321 6223 63,48799264 64,64671262
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62,9256 7902 64,18786935 65,45531831 66,7280 4930 68,0060 8284
61 62 63 64 65
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66 67 68 69 70
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71 72 73 74 75
5
~%
n
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51 52 53 54 55
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66,0041 4040 67,38916455 68,78226801 70,1834 9791 71,51290165
67,61548744 69,06625736 70,5266 9907 71 ,9968 7706 73,47685625
56 57 58 59 60
69,28944152 70,57814753 71,87222314 73,17169074 74,47657278
71,11888066 72,47447507 73,83684744 75,20603168 76,58206184
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61 62 63 64 65
73,6862 7959 74,93190052 76,18167352 77,43561243 78,69373114
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77,96497215 79,35479701 8O,7S157099 82,15532885 83,56610549
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66 67 68 69 70
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82,4208 3844 83,76425860 85,11327634 86,4679 1499 87,8281 9797
84,98393602 86,4088 5570 87,8408 9998 89,28010448 90,72650500
87,6496 5394 89,1609 4359 90,68104909 92,21002188 93,74791367
90,42250837 92,0253 2510 93,6388 2726 95,2630 8611 96,89817335
71 72 73 74 75
76 77 78 79 80
83,5851 6505 84,7941 2797 86,0061 1329 87,2211 2857 88,4391 8139
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89,19414880 90,56579108 91,94314855 93,3262 4500 94,71710435
92,18013752 93,64103821 95,10924340 96,58478962 98,0677 1357
95,29477650 96,8506 6270 98.41562490 99,9897 1604 101,57298939
98,54416118 100,2011 2225 201,86912973 103,5482 5726 105,2385 7898
76 77 78 79 80
81 82 83 84 85
89,6602 7934 90,8844 3004 92,11164112 93,34192022 94,5752 7502
92,81292164 94,12229804 95,4360 3904 96,7541 5917 98,0766 7303
96,10975062 97,5102 0792 98,91650045 100,3286 5253 101,7466&859
99,5580 5214 101,05584240 102,56112161 104,07392722 105,59429685
103,16549849 104,7672 9723 106,3784 3980 107,9989 8070 109,62897475
106,9401 6950 108,65310397 110,37745799 112,11330771 113,86072977
81 82 83 84 85
86 87 &8 89 90
95,81171321 97,05124249 98.2938 7060 99,3396 0527 100,7884 5429
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103,1706 3312 104,6005 1076 106,0363 4622 107,47816433 108,9259 9002
107,12226834 108,6!i787968 110,20116908 111,75217492 113,3109 3580
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86 87 88 89 90
91 92 93 94 95
103,0404 2542 103,2955 2649 104,55376530 105,81514972 107,0796 8759
106,10484821 107,45853104 108,81672614 110,1794 4856 111,5467 1339
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91 92 93 94 95
96 97 98 99 100
108,34738681 109,61825528 110,89230091 112,16953167 113,4499 5550
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96 97 98 99 100
188
4
3
118,4517 OS37
12%
!% 2
7
12%
3
TABLA II
Monto de una anualidad de I por periodo (l+it-l
n
1%
1%
~%
1%
.2.%
101 102 103 104 105
114,73358038 1J6,0204 1434 117,3104 6537 118,60374153 119,9002 S089
119,84654439 121,2460 3287 122,6501 8632 124,0590 2027 125,4725 S034
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106 107 108 109 110
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126,8907 92 I 7 128,31376148 129,74147402 131,17394560 132,6111 n08
132,9289 7990 134,48211 5065 136,0431 '),S1I6 137,6100 4251 139,111341769
111 112 113 114 115
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134,0532 2939 135,5000 7349 136,95174040 138,4082 4620 139,8696 0702
116 117 118 119 120
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121 122 123 124 125
~%
n
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101 102 J03 104 105
U9,33SO 3594 141,03472612 142,73989975 144,4:B59925 14(),17586725
146,143100.17 147,995()()178 149,115119 0'J46 IS I ,7.1:1011643 15J,Clllil 'XIIO
153,37110415 155,39.1571118 157,42953537 159,4790 6560 161,54225937
106 107 1011
140,76334!1S9 142,34986255 143,94298697 145,5427 4942 147,1491 7754
147 ,906746511 149,646211032 151,39451172 153,15148428 154,91724170
1.'i.'i.514H1125 I.H,42 14 ()')(JI 1.'i
IC,I ,2()92 42115 Hd,20'J98010
16:1,{)192 0777 HJ5,7100 0249 167,1114735114 ItJ9,'J3J5 0074 172 ,()(J(,3 9075
III 112 113 114 115
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148,76229911 1SO,38214203 152,00873429 153,64210401 155,28227945
15(J,69 I II 2791 158,47528704 160,26766348 162,0690 OISO 163,87934681
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116 117 118 119 120
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165,69874354 167,5272 3726 169,36487344 171,21169781 173 ,0677 5630
175,094461181 177,11585321 179,1490 2902 1111,19406502 1113,2510 3040
1115,165<: 7541 187,4001 1325 189,64944734 191,91377699 194,19320217
121 122 123 124 125
126 127 128 129 130
147,88330990 149,2580 3068 150,631 I 7575 152,0077 5369 153,3877 7308
156,2696 7458 157,79057349 159,31654207 160,84759721 162,38375587
165,267114819 168,6521 1616 170,3548 3331 172,06464512
174,93309508 176,11077 6056 178,6917 9936 1110,5852 5836 1112,481118465
1115,3199 9475 187,4{)102805 189,49420071 191,59958355 193,71724779
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126 127 128 129 130
131 132 133 134 135
154,77124251 156,1581 7062 157,54856604 158,94243746 160,33979355
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208,1924 4228 2IO r 'i803 9190 212,98426117 215,40415625 217,8401 8396
131 132 133 134 135
136 137 138 139 140
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136 137 138 139 14()
141 142 143 144 145
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146 147 148 149 150
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146 147 148 149 ISO
4
3
12
166,9564 64:l3
2
12
3
J()<)
110
189
TABLA II
Monto de una anualidad de 1 por periodo mn
li
(l+it-l
n
1%
}%
}1% 4
}1% 2
.1%
1 2 3 4 5
I ,()(X)() ()(X)() 2,0075 ()(X)() 3.0215 5615 4.04521542 5,07556461
1,()(X)() ()(X)() 2,0100 ()(X)() 3,0301 ()(X)() 4.0604 0100 5.10100501
I.()(x)()()(x)() 2.0115 ()(X)() 3.03765615 4,07562695 5.1265 7229
I.()(x)()()(x)() 2.0ISO()(x)() 3.04522S00 4.09090338 5.15226693
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1 2 3 4 5
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6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
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11,5668 3467 12.68250301 13,80932804 14,94742132 16.0968 9554
11.71393720 12.86036142 14.0211 1594 15,19637988 16,3863 3463
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12,01484394 13,22510371 14.45654303 lS,7095 3253 16.9844 4935
12.1687 1S42 13.41208973 14,68033152 15,97393815 17,29341692
11 12 13 14 IS
16 17 18 19 20
16,93228183 18,05927394 19,19471849 20,3386 7888 21.49121897
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16 17 18 19 20
21 22 23 24 15
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23,8450 1577 15,1430 7847 26,4573 6695 27,7880 8403 29,1354 3508
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21 22 23 24 lS
26 27 28 29 30
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26 27 28
31 32 33 34 35
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42,3794 4079 44,22702961 46,11157020 48,03380160 49,99447763
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
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45,11550550 46,6794 4932 48,29264243 49,88622921 51,49855708
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36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
47,79483026 49,15329148 SO,52194117 51,90085573 53,2901 1215
SO,3752 3709 51,87898946 53,39777936 54,93175715 56,48107472
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41 42 43 44 45
46 47 48 49
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46 47 48 49
so
190
4
4
2%
n
29
30
so
TABLA II
Manto de una anualidad de 1 par periodo mn
li
(1 +
it - 1
n
l% 4
1%
l!% 4
I! % 2
}l% 4
2%
n
~1
70,74281226 72,62709741 74,53493613 76,4666 2283 78.4224 5562
75,7880 7046 77,9248 91~2 80,09376489 82,29517136 84,.52959893
81,2830 1861 83, 70~4 663,5 86,17031201 88,67829247 91,230162.59
87,2709 8948 90,0164 0927 92,81673746 95,6730 7221
53 .54
~2
61,8472 1424 63,31106835
~3
64,7~90136
54 55
66,2717 9562 67,76883409
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98,.586~ 33~
~5
so
74,.5809 8192 76.32679174 78,0900 ~966 79,8709 602~ 81,6696 6986
80,40218631 82.40777052 84,43786765 86,4933 4099 88,57450776
4292 89,09950606 91,4359 9865 93,8075 3863 96,21465171
93,8266 9043 96,4686 5752 99,IS085902 101,89210405 104,67.52 1588
101,.5~82 6432 104,.5894 2961 107,68121820 110,834842,57 1I4,051~ 3942
so
60
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59 60
61 62 63 64 65
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90,68168910 92,8152 1022 94,97540034 97,16259285 99,37712526
98,65787149 101,1377 39SO 103,65480565 106,2096 2774 108,80271215
107,.50703215 110,3384 0522 113,3202 0231 116,30330585 119,3386 1370
117,3325 7021 120,6792 2161 124,09280604 127,.57466216 131,12615541
61 62 63 64 6.5
66 67 68 69 70
84,9961 3353 86,63360453 88.2833 .56~7 89,9454 8274 91,620072~
92,8460 1531 94.77447546 96,7222 lOU 98,6894 4242 100,6768 3684
101,61933933 103,88958107 106,18820083 108,.51555334 110.8719 9776
111,4348 1374 114,10633594 116,82793098 119,.57019995 122,3637.5295
122,42703944 125,.569.5 1263 128,7669 7910 132,0204 0124 135,3307 5826
134,7486 7852 138,4436 5209 142,212.5 2513 146.0S077S03 149,9779J 114
66 67 68 69 70
7~
93,3072 2340 95,00702758 96.71958029 98.44497714 100,1833 1446
102,68310021 104.7099 3121 106,75703052 108,8246 0083 110,91284684
113,25789773 115,67362145 118,11954172 120,.5960 3599 123,10348466
125,1992 0924 128.07719738 130,9983 ~534 133,9633 3067 136,9727 8063
138,6990 4653 142,12627984 145,6134 8974 149,16172581 152,7720.5601
1.53,97746937 158.0~70 1875 162,2181.5913 166,462.5 2231 170,79177276
71 72 73 74 75
76 77 78 79 80
101,9346 8932 103.6991 1949 105,4769 4349 107,2680 2OSO 109,072.5 3072
113,02197530 11.5.15219.506 117,30371701 119,4767.5418 121,671.5 2172
125,64228002 128,21280852 130,81546863 133,4.506 6199 136,11879526
140,02737234 143,1277 8292 146,2746 9967 149.46882016 152.11085247
lSO,44S56699 160.18336441 163,98657329 167,~63 3832 171,79382424
175,20760821 179,71176038 184,30599558 188,9921 1.549 193,7719.5780
76 77 78 79 80
IlO,8~7470
123,88823694 126,1271 1931 128,3883 9050 130.67227440 132,9789971.5
138,8202 8020 141,.5.5553370 144,32497787 147,1290 4010 149,9681.5310
lSO,OO15 1.525 1.59,341.5 3798 162.73166105 166,17263.597 169,66.52 2.5.51
17.5.8002 1617 179,8767 199.5 184,024~ 62.5.5 188,24499239 192,.5392 7976
198,64739696 203.62034490 208.6927.5180 213,8666 0683 219,14393897
81 82 83 84
~1 ~8 ~9
71 72 73 74
81 82 83 84
86,797~
51 ~2
~7 ~8
8.5
112,7222 S401 1l4,S6767091 116,4269 284~ 118,30013041
86 87 88 89 90
120,18138139 122,0&87 8675 124,0044 .52~ 12.5,9344 8604 127,87899469
13~,.3087
8712 137,66187499 140,0384 9374 142,4388 7868 144,86326746
1.52,8427.5501 155,7.5328945 158,7002 05.57 161,6839.5814 164.70500762
173,2102 0389 176,8083 569.5 180,4604 8230 184,1673 89.54 187,9299 0038
196,90871716 201,3546 1971 2OS,8783 2.555 210,4811 962.5 21.5.16461718
224,.5268 177.5 230,0173.5411 235,6177 0119 241,33005.521 247,1.566 S082
86 87 88 89 90
91 92 93 94 9.5
129,8380 871.5 131,81187280 133,8004 628.5 13.5,8039 OS31 137,8224 950.5
147,31190014 149,7850 1914 152,28286933 1.54,80SO 9803 157 ,3.537 ~501
167,76382021 170,8608 6796 173,9966 2881 177,1715 8667 180,38623151
191,7488 4889 195.6250 8162 199,.5594 5784 203,.55284971 207,60614246
219,92999788 224,7787 7295 229,71240148 234,73236850 239,8401849.5
2.53.0997 8944 2.59.1617 8.523 26S,345O 2094
91 92 93
271,~192lJ.5
9'l
278,0&49 ~978
9.5
96 97 98
139,8.S616377 141,9050 8499 143,9693 7313 146,0491 4343 148.144.5 1201
159,9272 92SO 162.s2~ 6548 1~,IS18 3114 167,80334945 170,48138294
183,64105940 186,936.5 7264 190,27327980 193.65169580 197,07234200
211,7202 3459 215,8960 3811 220,1344 7868 224,4364 9586 228,8030 4330
245,03738819 250,325.5 4248 2.55,7061 3947 261,1810 9866 266,75176789
284,6466 .5898 291,339~ 9216 298,16638400 3OS,12971168 312,23230591
96 97 98
99 100
~
99 100
191
TABLA II
Manto de una anualidad de 1 por periodo mn li
n
21% 2
3%
31 % 2
(1 + i)n - 1
4%
41 % 2
5%
n
1 2 3 4 5
1,00000000 2,02500000 3,0756 2500 4.1525 1563 5.25632852
1,00000000 2,03000000 3,09090000 4,1836 2700 5.30913581
1,00000000 2,03500000 3,10622500 4,21494288 5,36246588
1,00000000 2,04000000 3,12160000 4,2464 6400 5.41632256
1.00000000 2,04500000 3,13702500 4,27819113 5,47070973
1,00000000 2.05000000 3,1525 0000 4.31012500 5,5256 3125
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
6,38773673 7.54743015 8,73611590 9,95451880 11,2033 8177
6,46840988 7,66246218 8,89233605 10,15910613 11,46387931
6,55015218 7.77940751 9,05168677 10,36849581 11.7313 9316
6,63297546 7,89829448 9.21422626 10,58279531 12,00610712
6,71689166 8,01915179 9.3800 1362 10,8021 1423 12,28820937
6,80191281 8.14200845 9,54910888 11,02656432 12.57789254
6 7 8 9 10
11
12 13 14 15
12.48346631 13,79555297 15.1404 4179 16,51895284 17,93192666
12,8077 9569 14.19202956 15,6177 9045 17,08632416 18,5989 1389
13,14199192 14,60196164 16,11303030 17,67698636 19,29568088
13,48635141 15,02580546 16,62683768 18,29191119 20,0235 8764
13,8411 7879 15,46403184 17,1599 1327 18,93210937 20,7840 5429
14,20678716 15,91712652 17,71298285 19,5986 3199 21,57856359
12 13 14 15
16 17 18 19 20
19,38022483 20,864 7 3045 22,38634871 23,9460 0743 25,54465761
20,15688130 21.76158774 23.41443537 25.11686844 26.8703 7449
20,97102971 22,7050 1575 24,49969130 26.35718050 28,2796 8181
21,82453114 23,69751239 25,6454 1288 27.6712 2940 29.7780 7858
22,71933673 24,7417 0689 26,8550 8370 29,0635 6246 31.37142277
23,6574 9177 25,84036636 28,13238467 30,5390 0391 33,06595410
18 19 20
21 22 23 24 25
27,18327405 28,8628 5590 30,5844 2730 32,3490 3798 34,1577 6393
28.6764 8572 30.53678030 32.45288370 34.4264 7022 36,4592 6432
30,2694 7068 32,32890215 34,4605 1373 36,66652821 38,9498 5669
31,96920172 34,24796979 36,61788858 39,08260412 41,6459 0829
33,7831 3680 36,3033 7795 38,93702996 41,68919631 44,5652 1015
35,71925181 38,50521440 41,4304 7512 44,50199887 47,72709882
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
36,0117 0803 37,91200073 39,85980075 41,85629577 43,90270316
38.55304225 40,7096 3352 42,9309 2252 45,21885020 47,5754 1571
41,31310168 43,7590 6024 46,2906 2734 48,91079930 51,6226 7728
44,3117 4462 47,08421440 49,9675 8298 52,9662 8630 56,0849 3775
47,5706 4460 50,71132361 53,9933 3317 57,4230 3316 61,0070 6966
51,11345376 54,6691 2645 58.4025 8277 62,32271191 66,43884750
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
46,0002 7074 48,15027751 50,3540 3445 52,61288531 54,92820744
50,00267818 52.50275852 55.07784128 57.73017652 60.46208181
54,4294 7098 57,3345,0247 60,34121005 63,4531 5240 66,6740 1274
59,3283 3526 62,70146867 66.20952742 69,85790851 73,6522 2486
64,75238779 68,6662 4524 72,75622628 77 ,0302 5646 81.49661800
70,7607 8988 75,2988 2937 80,06377084 85,06695938 90,32030736
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
57,3014 1263 59,73394794 62,2272 9664 64,78297906 67,40255354
63,2759 4427 66,17422259 69,15944927 72,2342 3275 75,40125973
70,00760318 73,4578 6930 77,02889472 80.72490604 84,5502 7775
77,5983 1385 81,70224640 85,9703 3626 90,4091 4971 95.0255 1570
86,16396581 91,0413 4427 96,13820476 101,4644 2398 107,0303 2306
95,8363 2272 101,6281 8886 107,70954580 114,0950 2309 120,7997 7424
36 37 38 39 40
41 42
45
70,0876 1737 72,83980781 75,66080300 78,5523 2308 81,51613116
78,66329753 82,0231 9645 85,48389234 89,04840911 92,71986189
88,5095 3747 92.60737128 96.8486 2928 101,23833130 105.78167290
99,8265 3633 104,81959778 110,01238169 115,41287696 121.02939204
112,8466 8760 118,92478854 125,2764 0402 131,91384220 138,84996510
127,8397 6295 135,23175110 142,99333866 151,14300559 159,7001 5587
41 42 43 44 45
46 47 48 49 50
84,55403443 87,66788530 90,8595 8243 94,1310 7199 97,48434879
96,50 14 5723 100,39650095 104,40839598 108,5406 4785 112,79686729
110,4840 3145 115,3509 7255 120,38825659 125,60184557 130,9979 1016
126,87056772 132,94539043 139,26320604 145,83373429 152,66708366
146,09821353 153,67263314 161,58790163 169,85935720 178,5030 2828
168,68516366 178,1194 2185 188,0253 9294 198,4266 6259 209,34799572
46 47 48 49 50
43 44
192
11
16 17
TABLA I I
Monto de una anualidad de 1 por periodo (1 + i)n - 1 mn
li
n
21% 2
3%
31 % 2
4%
41 % 2
5%
n
51 52 53 54 55
100,92145751 104,4444 9395 108,0556 0629 111,7569 9645 115,5509 2136
117,18077331 121,69619651 126,34708240 131,13749488 136,07161972
136,5828 8702 142,36323631 148,34594958 154,5380 5782 160,9468 8984
159,77376700 167,1647 1768 174,8513 0639 182,8453 5865 191,15917299
187,5356 6455 196,97476946 206,8386 3408 217,14637262 227,9179 5938
220,815395SO 232,8561 6528 245,49897354 258,77392222 272,7126 1833
51 52 53 54 55
56 57 58 59 60
119,4396 9440 123,4256 8676 127,51132893 131,6991 1215 135,99158995
141,15376831 146,38838136 151,7800 3280 157,33343379 163,0534 3680
167,5800 3099 174,44533207 181,5509 1869 188,9052 0085 196,51688288
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287,3482 4924 302,7156 6171 318,85144479 335,7940 1703 353,5837 1788
56 57 58 59 60
61 62 63 64 65
140,39137970 144,9011 6419 149,52369330 154,26178563 159,11833027
168,94SO 3991 175,01339110 181,26379284 187,70170662 194,33275782
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248,5 103 1261 259,45072511 270,82875412 282,66190428 294,9683 8045
303,52536190 318,18400319 333.so22 8333 349,50988608 366,23783096
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61 62 63 64 65
66 67 68 69 70
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66 67 68 69 70
71 72 73 74 75
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300,0506 8985 311,55246400 323,4568 0024 335,7777 8824 348,5300 1083
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483,65381513 506,41823681 530,20705747 555,0663 7505 581,04436193
618,95493625 6SO,9026 8306 684,44781721 719,6702 0807 756,6537 1848
71 72 73 74 75
76 77 78 79 80
221,26050447 227,79201709 234,48681751 241,34898795 248,38271265
281,80978126 291,2640 7469 301,00199693 311 ,0320 5684 321,3630 1855
361,7285 6121 375,3890 6085 389,52767798 404,1611 4671 419,30678685
467,57662118 487,2796 8603 S07,77087347 529,08170841 551,24497675
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76 77 78 79 80
81 82 83 84 85
255,5922 8047 262,98208748 270,5566 3966 278,3205 5566 286,2785 6955
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81 82 83 84 85
86 87 88 89 90
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86 87 88 89 90
91 92 93 94 95
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91 92 93 94 95
96 97 98
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96 97 98
99
100
99
100
193
TABLA II
Monto de una anualidad de 1 pot petiodo mn
n
.~;-!. % 2
6%
li 6.!.% 2
(l+it-l
7%
7!%
2
8%
n
I 2 3 4 5
1.000> 0000 2,05500000 3.1680 2500 4,34226638 5,58109103
1,000> 000> 2,06000000 3,1836 000> 4,3746 1600 5,63709296
1,000>,000> 2,0650 000> 3,19922500 4,40717463 5,69364098
1,000> 000> 2,0700 000> 3,2149000> 4,4399 4300 5,75073901
1,000> 000> 2,0750 000> 3,2306 2400 4,47292188 5,80839102
1,00000000 2,08000000 3,2464 0000 4,50611200 5,86660096
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
6,88805103 8,26689334 9,72157300 11,25625951 12,87535379
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7,1532 9074 8,6540 2100 10,25980257 11,97798875 13,8164 4796
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6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
14,58349825
14,97164264
16,3~59065
16,~994120
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15,78359932 17,88845127 20,14064286 22,5504 8786 25,1290 2201
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11 12 13 14 IS
16 17 18 19 20
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16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
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39,99272668 43,39229028 46,9958 2769 50,8155773.5 54.864.5 1200
42,3489537J 46,10163573 .50.0982 420.5 54.3546 2778 58,8876 7859
44,8651 7678 49,00.573916 53,4361 4090 58,1766 7076 63.2490 3772
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.50,42292144 .55.45615516 60,8932 9551 66,16415922 13,10.593995
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
54,96.59 8051 58,98910943 63,2335 1045 67,7113.SH3 72,43547797
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26 27 28 29 30
31 32 33 35
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102,0730 4137 110,21815426 118,9334 2506 128,2.5876481 138,2368 7835
112,15435771 121,56593454 131,68337963 142,5596 3310 154,25160.558
123,34586800 134,213S 3744 145,9506 2044 1.58,6266 7007 172,3168 0368
31 32 33 34 35'
36 )1 38 39 40
106,76518819 113,63721411 120,88132425 128,53612708 136.6056 1401
119,1208 6666 )21,268) )866 135,90420.578 145,0.584 5813 154.76196562
133,0969 4.513 )42,74824656 1.53,0268 8259 163.9736 2996 175.63191590
148,9134 .5984 160,33740202 172,5610 2017 185.6402 9158 199,63.51 1199
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36 )1 38 39 40
41 42 43
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165.04768356 115,9S0S 4457 187.so15 7724 199,1580 3188 212,7435 1379
188.04 79 9044 201,2711 0981 215,35373195 230,3517 2453 246,3245 8662
214.60956983 230,6322 3972 247,7764 96SO 266,1208 512.5 285,7493 1084
245,JOO1 5SS7 264,69831546 2~,5506 8912 307,9669 9080 332,0645 1.5 11
280,7810,4021 304,2435 2342 329,5830 0530 356,9496 4572 386,50.S6 1138
41 42 43
195,24571936 206,9842 3392 219,36836679 232,4336 2696 246,21747645
226,50812462 241,0986 1210 2S6,564S 2882 272,9.584 005S 290,3359 0458
263,33.56 8475 281,452.5 0426 300,7469 1704 321,2954 666S 343,17961198
306,1617 6260 329,2243 8598 353,2700 9300 378,9989,9951 406,5289 2947
3S7,9693S)7S 385,81705528 41S,7S3) 3442 447,934834.51 482,5299 4709
418,4260 6677 452,9001 .5211 490,13216428 530.,3427 3742 573,7701 5642
46 47 48 49
34
44
45 46 47 48 49
so
194
44
45
so
INTERES SIMPLE
TABLA DE DiAS FEB
MAR
ABR
MAY
ruN
1UL
AGO
SEP
<>C.'T
NOV
DIe
1 2 3 4 .5
1 2 3 4 5
32 33 34 3.5
60 61 62
91 92 93 94 95
121 122 123 124 125
152 153 154 1.55 156
182 183 184 185 186
213 214 21.5 216 217
244 245 246 247 248
274 275 276
J05 J06 307
278
308 309
335 336 337 338 339
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
6 7
96 97 98
9 10
37 38 39 40 41
1.57 158 159 160 161
187 188 189 190 191
218 219 220 221 222
249 2SO 2.51 2.52 2.53
279 280 281 282 293
310 311 312 313 314
340 341 342 343 344
6 7 8 9 10
11 12 13 14 1.5
162 163 164
192 193 194 19.5 196
223 224 22S
2S4 2.55 256 2.57 2.58
284 285 286 287 288
31.5 316 317 318 319
345
12 13 14 15
347 348 349
11 12 13 14 1.5
197 198 199 200 201
228 229 230 231 232
2.59
289 290 291 292 293
320 321 322 323 324
350 3.51 352 3.53 354
16 17 18 19 20
202 203 204
233 234 23.5 236 237
264
294 295 296 297 298
32.5 326 327 328 329
35.5 356 3.57 358 359
21 22 23 24
330 331 332 333 334
360
26 21 28 29 30 31
No.
ENE
8
11
16 17 18 19 20
18 19 20
21 22 23 24 2.5
21 22 23 24 2.5
26 27 28 29 30 31
16
17
26 27 28 29 30 31
36
63 64
6S
68
99
69
100
126 127 128 129 130
42 43 44 45 46
70 71 72 73 74
101 102 103 104 10.5
131 132 133 134 13.5
47 48 49 50 .51
75 76
106 107 108 109 110
136 137 138 139 140
171
111 112 113 114 115
141 142 143 144 145
172 173 174 175 176
146 147 148 149 150 1.51
In
52 .53
.54 .5.5 56 .57 .58 .59
-
-
-
66 67
n
78 79 80
81 82 83 84 8S 86 87 88 89 90
116 117 118 119 120
-
165 166 167 168 169 170
178 179 180 181
-
20.5 206 207 208 209 210 211 212
226 227
238 239 240 241 242 243
260 261 262 263
265 266 267 268 269 270 271 272 273
-
2n
299 300 301 302 303
304
-
346
361 362 363 364
365
No.
2S
195
BIBLIOGRAFIA ELementos de Matematicas Financieras, C.P. Carlos Morales Felgueres, Edit. ECASA Fundamentos de Matematicas Financieras, Delfin Zennan, Edit. ECASA Matematicas Financieras, Lineoyan Portus Goviden, Edit. Nc. Graw-Hill Matematicas Financieras, Frank Ayres, Jr., Edit. Me. Graw-Hill Algebra Elemental, Gordon Fuller, Edit. CECSA Matematicas para La Administracion y Ciencias SociaLes, R. A. Barnett, Edit. Interamerieana Matematicas Financieras, Cissel Cissel Flaspohler, Edit. CECSA Matematicas Financieras, Diaz Mata y Aguilera Gomes, Edit. Me. GrawHill Matemtiticas Financieras, Benjamin de la Cueva, Edit. Porrua, S.A.
197
APENDICE Respuesta a los problemas de las series
CAPiTULO I Serie No. 1. Pagina 9 lao Parte: 1
1)
logs 54
4)
log31
=
=
-4
0
2)
log16 16 = 1
5)
log7343
2)
91 = 9
5)
18
2)
c
5)
c =5
=
3)
loglO 100 = 2
3)
151 = 15
3)
Y =-
3
2a. Parte: 1) 2° = 1
-3
=
1 5832
3a. Parte: 1)
c
m
= 3
2 4) Y =-3
=
8
2
3
Serie No.2. Pagina 12 1) 3 log 7.12 3)
3"1 log 2 + 4 log 8 - log 116
2)
log 15 -log 50 -log 17
4)
log 16 + log 51 - log 36 199
log 4 + log 7 5) 1og 75 + log 9 3 25 7) 9)
[log 8 + log 97] _ log 87 3 4
10;
6)
8)
log 42 + log 7 2
. d d log 4 9 . log 73 (no tlene prople a )
78 (log 28)
Serle No.3. Pagina 20 1a. Parte: 1)
1.84
2)
58.395
3)
18.466
4)
2.491213
5)
0.04178
6)
0.000407
8)
1497.4005
9)
0.004608
1) x=3
2)
x =-2
3) x=4
4) x =-3
5)
x= 1
6)
7) x=5
1 8) x=3
10) xl = 1.822876
x2 = -0.822876
11) xl = 0, x2 = 0
12) x =-2
7) 0.15747 10) 0.0050 2a. Parte:
x=6
9) x=o
3a. Parte:
200
1) x = 1.365213
2) x
=
20.537554
3) x=o
4) x = 0.373102
5) x
=
1.427677
6)
x - -1.150515
7) x = 12.62428
8)
10)
11) x = -1.00036
x
0.466225
=
x = 0.514573
x = 0.255958
9) 12)
x
=
3.70044
Serle No.4.. Pagina 22 1) w l == 1.366025, w 2
=
-0.366025
2)
3) 0.861654
4) 0.356207
6)
7)
1.386296
WI =
= 14.816537, x2 = 0.18346
Xl
5) 2.839078
2.855669, w 2 = -2.855669
8) Hl = 3.94574, Hz = -4.612410 10)
9) 2.807355
1
CAPITULO II Serle No.5. Pagina 33 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23
23, S8 = 100
1)
t8
2)
11, 9, 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, S10 = 20
3)
8' 8' &' 9 1. !! .l 2..- _1- _~ _~ _11
=
54
4)
-9,
36
18
-&' -&' -&'
2' 30' 30' 30'
30'
18 36 54
.
0,
30'
30'
30'
17 30'
7 10
3280 1 5) t8 == 729, S8 = -3-' 3' 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729
6)
~
-1 =
8748
9) a - 2
7) n = 7 10) r
8) ==
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187
2
201
Impreso en los Talleres GrMicos de la Oirecci6n de Publicaciones del INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL,
Tresguerras 27, 06040 Mexico, OF Noviembre 2007. Edici6n: 1 000 ejemplares.
