Matematicas Financieras en Excel.pdf

Universidad centroamericana Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Licenciatura en Administración de Empresas Educación a Distancia

MÓDULO AUTOFORMATIVO NO. 19

Introducción a la Gestión Financiera

Educación a Distancia. UCA

Universidad Centroamericana (UCA) Directora de Educación a Distancia Msc. Rosa Amelia Ruiz Narváez Coordinadora Msc. Sandra Palacios Rodríguez Autor(a) de Contenido Msc. Noel Reyes Alvarado Metodóloga Msc. Lidia María Cortés Revisaron en calidad de especialistas en contenido Catedráticos del Colectivo de asignatura Diagramación Msc. Sandra Palacios Rodríguez Impresión XEROX – UCA Junio 2004

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Módulo autoformativo: “Introducción a la Gestión Financiera”

Índice Presentación General del Módulo Autoformativo No. 19 ........................................................ 7 Objetivos generales del módulo autoformativo .................................................................................. 11 Esquema de contenidos del módulo autoformativo ........................................................................... 12 Orientaciones para el autoaprendizaje del modulo ............................................................................ 13 Sistema de evaluación......................................................................................................................... 14 Evaluación diagnóstica ........................................................................................................................ 14 Unidad Autoformativa I: “Interés Simple y Compuesto”....................................................... 17 Presentación de la Unidad Autoformativa I ........................................................................................ 19 Objetivos de la unidad autoformativa I................................................................................................ 19 Esquema de contenidos ...................................................................................................................... 20 Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa I........................................................ 21 Prueba diagnostica de la unidad autoformativa I ............................................................................... 21 A. CONCEPTOS BÁSICOS ................................................................................................... 23 1. Las matemáticas financieras y su aplicación ................................................................ 23 2. Inversión........................................................................................................................ 24 3. El valor cronológico del dinero ...................................................................................... 24 4. Flujos de caja ................................................................................................................ 24 a. Flujos de caja positivos............................................................................................. 25 b. Flujos de caja negativos ........................................................................................... 25 5. Diagrama de flujo de caja.............................................................................................. 26 6. Tasa de interés.............................................................................................................. 28 7. Interés ........................................................................................................................... 29 8. Capital ........................................................................................................................... 29 9. Tiempo .......................................................................................................................... 30 Actividad de autoaprendizaje No. 1 .................................................................................................... 31 B. INTERÉS SIMPLE ............................................................................................................. 33 1. Interés simple comercial y exacto ................................................................................. 34 2. Clasificación de las tasas de interés ............................................................................. 35 a. Tasa de interés activa............................................................................................... 36 b. Tasa de interés pasiva.............................................................................................. 36 c. Tasa de rentabilidad a interés simple ....................................................................... 36 d. Tasa de interés por mora.......................................................................................... 37 e. Tasa de variación monetaria .................................................................................... 40 3. Valor futuro de una suma de dinero .............................................................................. 41 4. Valor presente de una suma de dinero ......................................................................... 42 5. Descuentos ................................................................................................................... 43 a. Descuento bancario.................................................................................................. 43 b. Descuento racional ................................................................................................... 45 6. Pagos parciales............................................................................................................. 46 a. Regla americana....................................................................................................... 46 b. Regla comercial ........................................................................................................ 49 7. Ecuaciones de valor ...................................................................................................... 51 Actividad de autoaprendizaje no. 2 ..................................................................................................... 55 C. INTERÉS COMPUESTO ................................................................................................... 59 1. Deducción de la formula del monto compuesto ............................................................ 59 2. Valor futuro de una suma de dinero .............................................................................. 60 3. Tasas de interés............................................................................................................ 61 3


a. Tasa nominal ............................................................................................................ 61 b. Tasa efectiva ............................................................................................................ 62 c. Tasas equivalentes................................................................................................... 65 4. Valor presente de una suma de dinero ......................................................................... 66 5. Diferencias entre el interés simple y compuesto ........................................................... 66 a. Uso de factores a través de tablas ........................................................................... 67 b. Cálculo de valor futuro con la forma alternativa ....................................................... 68 c. Cálculo de valor presente con la forma alternativa................................................... 68 6. Numero de periodos capitalizados y plazo.................................................................... 72 7. Tasas de interés efectivas y nominales......................................................................... 74 8. Interés compuesto convertible continuamente .............................................................. 76 a. La convertibilidad continua ....................................................................................... 76 b. Monto a interés convertible continuamente .............................................................. 77 c. Valor presente a interés convertible continuamente................................................. 79 d. Plazo a interés convertible continuamente ............................................................... 79 e. Tasa de interés convertible continuamente .............................................................. 80 9. Tasas equivalentes nominales y efectivas .................................................................... 81 10. Ecuaciones de valor ................................................................................................. 89 Actividad de autoaprendizaje no. 3 ..................................................................................................... 92 Resumen Final de la unidad autoformativa I ...................................................................................... 97 Autoevaluación final de la unidad autoformativa I .............................................................................. 99 Hojas de respuestas de la unidad autoformativa I ........................................................................... 101 Glosario .............................................................................................................................................. 105 Bibliografía ......................................................................................................................................... 107 Unidad Autoformativa II: “Anualidades”............................................................................... 109 Presentación de la unidad autoformativa II....................................................................................... 111 Objetivos de la unidad autoformativa II............................................................................................. 111 Esquema de contenidos .................................................................................................................... 112 Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa II..................................................... 112 Prueba diagnóstica de la unidad autoformativa II ............................................................................ 113 A. ANUALIDADES SIMPLES A PLAZO ............................................................................. 115 1. Anualidad .................................................................................................................... 115 2. Clasificación de las anualidades ................................................................................. 117 3. Anualidades vencidas ................................................................................................. 119 a. Valor presente de anualidad vencida ..................................................................... 119 b. Valor del pago vencido dado P............................................................................... 122 c. Valor futuro de anualidad vencida .......................................................................... 124 d. Valor del pago vencido dado F ............................................................................... 125 e. Tiempo de una anualidad ordinaria vencida........................................................... 127 f. Tasa de interés de una anualidad vencida ............................................................. 129 g. Método de interpolación ......................................................................................... 129 4. Anualidades anticipadas ............................................................................................. 132 a. Valor presente de una anualidad anticipada .......................................................... 132 b. Valor del pago anticipado dado P........................................................................... 134 c. Valor futuro de una anualidad anticipada ............................................................... 135 d. Valor del pago anticipado dado F ........................................................................... 138 5. Anualidades diferidas vencidas ................................................................................... 140 a. Valor presente de una anualidad diferida vencida.................................................. 141 b. Valor del pago diferido dado P ............................................................................... 143 c. Valor futuro de una anualidad diferida vencida ...................................................... 145

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d. Valor del pago diferido dado F................................................................................ 146 Actividad de autoaprendizaje no. 1 ................................................................................................... 149 B. ANUALIDADES PERPETUAS Y EVALUACIÓN DE COSTOS...................................... 153 1. Valor presente anualidad perpetua vencida ................................................................ 153 2. Valor presente anualidad perpetua anticipada............................................................ 155 3. Valor presente de una anualidad perpetua diferida..................................................... 156 4. Valor del pago diferido perpetuo ................................................................................. 157 5. Análisis de valor presente de costos ........................................................................... 158 6. Alternativas con vidas útiles diferentes ....................................................................... 161 7. Costo anual equivalente.............................................................................................. 165 8. Costo capitalizado ....................................................................................................... 168 Actividad de autoaprendizaje no. 2 ................................................................................................... 173 C. ANUALIDADES GENERALES A PLAZO Y PERPETUAS ............................................ 177 1. Ajuste de la tasa equivalente ...................................................................................... 177 a. Método de agrupación de la tasa de interés........................................................... 177 b. Método de distribución de la tasa de interés .......................................................... 178 2. Ajuste del pago equivalente ........................................................................................ 182 a. Factor de distribución ............................................................................................. 183 b. Factor de agrupación.............................................................................................. 184 Actividad de autoaprendizaje no.3 .................................................................................................... 188 Resumen final de la unidad autoformativa II .................................................................................... 191 Autoevaluación final de la unidad autoformativa II ........................................................................... 193 Hojas de respuestas .......................................................................................................................... 195 Glosario .............................................................................................................................................. 199 Bibliografía ......................................................................................................................................... 201 Unidad autoformativa III: “Amortización, Fondos e Inversiones” ...................................... 203 Presentación de la unidad autoformativa III...................................................................................... 205 Objetivos de la unidad autoformativa III............................................................................................ 205 Esquema de contenidos .................................................................................................................... 206 Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa III.................................................... 206 Prueba diagnóstica de la unidad autoformativa III ........................................................................... 207 A. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN.................................................................................... 209 1. Elementos de la amortización ..................................................................................... 209 2. Cuota nivelada ............................................................................................................ 210 a. Cuota nivelada vencida .......................................................................................... 210 b. Cuota nivelada anticipada ...................................................................................... 211 c. Cuota nivelada diferida ........................................................................................... 212 3. Cuota proporcional decreciente .................................................................................. 218 a. Valor de la cuota..................................................................................................... 218 b. Saldo después de la k-ésima cuota........................................................................ 219 4. Cuota con interés flat .................................................................................................. 221 5. Cuotas con corrección monetaria................................................................................ 222 6. Cuota con corrección monetaria proyectada............................................................... 225 Actividad de autoaprendizaje no. 1 ................................................................................................... 228 B. CONSTITUCIÓN DE FONDOS ....................................................................................... 231 1. Cuota vencida para el fondo ....................................................................................... 231 a. Importe del fondo en la k-ésima cuota.................................................................... 231 b. Tabla de capitalización ........................................................................................... 232 2. Cuota vencida para el fondo y cuota inicial ................................................................. 233 Actividad de autoaprendizaje no. 2 ................................................................................................... 234

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C.

EVALUACIÓN DE INVERSIONES.................................................................................. 237 1. Enfoques de la evaluación de inversiones .................................................................. 237 2. Estimaciones básicas de una inversión ...................................................................... 238 a. Inversión inicial ....................................................................................................... 238 b. Beneficios y costos ................................................................................................. 239 c. Vida económica ...................................................................................................... 239 d. Valor de salvamento o residual .............................................................................. 239 e. Depreciación........................................................................................................... 239 3. Flujo de fondos financieros ......................................................................................... 242 a. Flujo de fondos para el proyecto "puro".................................................................. 243 b. Flujo de fondos para el proyecto con financiamiento externo ................................ 243 c. Métodos para evaluar inversiones.......................................................................... 244 4. Valor actual neto: VAN ................................................................................................ 245 5. Tasa interna de retorno: (TIR) ..................................................................................... 247 a. Cálculo de la TIR .................................................................................................... 249 b. Criterio de la TIR para la toma de decisiones......................................................... 250 c. Ventajas y limitaciones de la TIR............................................................................ 250 6. Tasa interna de retorno ajustada: TIRA ...................................................................... 252 a. Calculo de la TIRA.................................................................................................. 252 b. Criterio de la TIRA o TIR Ajustada para la toma de decisiones ............................. 253 7. Relación beneficio costo: RBC .................................................................................... 254 a. Metodología para el cálculo de RBC ...................................................................... 254 b. Criterio de la RBC para la toma de decisiones....................................................... 254 Actividad de autoaprendizaje no. 3 ................................................................................................... 259 Resumen final de la unidad autoformativa III ................................................................................... 263 Autoevaluación final de la unidad autoformativa III .......................................................................... 265 Hojas de respuestas .......................................................................................................................... 267 Glosario .............................................................................................................................................. 281 Bibliografía ......................................................................................................................................... 283

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Presentación General del Módulo Autoformativo No. 19

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Bienvenido futuro profesional: Bienvenido al estudio del Módulo de Introducción a la Gestión Financiera, a través de la modalidad de Educación a Distancia que la Universidad Centroamericana UCA ha organizado para su superación personal y profesional. El contenido de este módulo se refiere al estudio de las Matemáticas Financieras, las cuales son fundamentales para realizar análisis de inversiones financieras y constituye un componente básico específico en la formación de los profesionales en Economía, Administración de Empresas, Contaduría Pública, Banca y Finanzas. El propósito primordial del estudio de esta asignatura es que pueda evaluar de la manera más sencilla posible, la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias, teniendo en cuenta las variables básicas como: el principal o capital, el monto, el pago, el plazo, la tasa de interés entre otras. El estudio de los contenidos de este módulo es importante para usted, dado que le conducirán a obtener las respuestas de las siguientes interrogantes: 1. ¿Cuánto gano al invertir $500 a 6.5% anual interés simple durante 7 meses? 2. ¿Cuánto debo invertir ahora al 7% anual de interés compuesto para tener dentro de 15 meses $800? 3. ¿Qué tasa de interés nominal convertible semestralmente puede devengar un depósito de $200, si le pagan un interés de $15.19 en 9 meses? 4. ¿En qué plazo puedo acumular $1,000, si invierte hoy $500 al 8% anual convertible mensualmente? 5. ¿En cuánto pagos trimestrales iguales y vencidos puedo pagar una deuda contraída hoy de $12,000 al 16% convertible trimestralmente de interés sobre saldos? 6. ¿Qué cantidad puedo recibir hoy como préstamo si puedo pagar una cantidad fija de $230 mensual, en un tiempo de 5 años con interés de 22% convertible mensualmente sobre saldo? 7. ¿Qué cantidad constante debo depositar anualmente en un fondo de inversiones durante 8 años, con el 9% anual para reponer un activo que tendrá un valor de $25,000? 8. ¿Será para mi rentable invertir hoy $200 y obtener durante 5 años una utilidad neta anual de $50, si deseo una tasa mínima de rendimiento de 20%? A estas y otras preguntas usted hallará respuestas y comprobará que el estudio del módulo de Introducción a la Gestión Financieras, se basa en dos métodos fundamentales para determinar el valor del dinero, los cuales facilitan el análisis del rendimiento financiero, estos métodos son: el Interés Simple y el Interés Compuesto. En el primero se parte del hecho de que solo el capital o principal produce intereses, en tanto que el segundo también los intereses, ganan intereses.

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Verificará en el desarrollo de los contenidos, que los métodos mencionados no son equivalentes ni su uso es optativo por parte del inversionista o analista financiero. Existe un uso adecuado de acuerdo a una circunstancia particular. Por ejemplo, usará el Interés Simple, si desea saber los ingresos de un determinado capital invertido para un periodo de 3 años a través de un bono que le paga intereses mensualmente (cupón) a una cierta tasa de interés y no se capitalizan los intereses. Por el contrario, usará el Interés Compuesto si desea saber el monto que tendrá al final de 2 años, de una cantidad de dinero invertida periódicamente y consecutivamente, cuyos intereses se capitalizan por periodo. Para usted el estudio de la asignatura será de gran importancia, ya que le permitirá interpretar y analizar otras asignaturas, por ejemplo: finanzas a corto plazo, finanzas a largo plazo, así mismo le será de mucha utilidad para la preparación y evaluación financiera de proyectos de inversión, debido a esta precedencia se hace necesario que realice un estudio a conciencia y con responsabilidad de los contenidos del programa. En la exposición de contenidos del módulo se vincula la teoría con la práctica, teniendo en cuenta el ambiente del sistema financiero nicaragüense y abordamos casos particulares de las instituciones financieras del país. En el desarrollo de este curso no se hará uso de las tablas financieras de ningún tipo, esto con el objetivo que usted obtenga destreza y habilidades en el manejo de las fórmulas, de las calculadoras y de las hojas electrónicas de cálculo. Para desarrollar el autoestudio, resolver los problemas propuestos y alcanzar los objetivos, usted deberá disponer de: El material didáctico denominado Módulo Autoformativo Un formulario que le permita ubicar rápidamente el modelo que debe emplear en la solución de un problema Una calculadora científica. Una computadora personal (si es posible) dado que la mayoría de los modelos que utilizará se pueden programar en hojas de cálculos de Microsoft Excel. Los conocimientos y habilidades que usted debe tener para acometer con éxito el autoaprendizaje de este módulo son los siguientes: 1. Lectura interpretativa 2. Facilidad para dibujar diagramas con escalas de tiempo - valor 3. Dominio de fundamentos de Matemáticas Básicas, relacionados con: a. Exponentes b. Leyes de exponentes c. Exponente cero, negativo y fraccionario

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d. e. f. g.

Logaritmo Progresiones aritméticas Progresiones geométricas Progresiones geométricas infinitas

4. Conocimientos básicos de contabilidad y microeconomía 5. Uso correcto de una calculadora científica 6. Facilidad para realizar resúmenes y mapas conceptuales 7. Manejo de hojas de cálculo de Microsoft Excel (no es necesario)

Objetivos generales del módulo autoformativo 1. Obtener conocimientos del cálculo financiero para plantear y resolver problemas relacionados con las operaciones financieras más usuales, que me permitan entender la dinámica de negociación del uso del dinero. 2. Aplicar los principios generales de los distintos modelos que determinan el valor del dinero en el tiempo, relacionándolo con casos específicos de las empresas e instituciones que conforman el mercado financiero. 3. Analizar problemas financieros donde esté en juego el dinero invertido, la tasa de interés, el plazo y las condiciones de certeza o incertidumbre, como elementos esenciales para el crecimiento real de las inversiones. 4. Relacionar los conocimientos adquiridos con otros, donde el valor cronológico del dinero esté en juego, específicamente para evaluar inversiones a corto, mediano y largo plazo. 5. Valorar la importancia de ser objetivo y ordenado para la presentación de los trabajos que involucran la resolución de casos y problemas de análisis financiero. 6. Desarrollar la creatividad para la investigación de temas relacionados con sistemas de cálculos financieros, utilizados por instituciones del mercado financiero nacional. 7. Valorar la necesidad de formar profesionales en el campo de la administración empresarial con capacidades financieras para la resolución de problemas y para la gestión financiera de una organización.

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Esquema de contenidos del módulo autoformativo trodduucció cciónnaalalaGGestió estiónnFFininan anciera ciera InIntro

a dAAuuto tofo form rmativ ativa Interé terés imppleleyyCCoommppuueesto UUnnididad a I:I:In s SSim sto A : C oncep to s básicos B : Interés sim ple C : Interés co m puesto idad adAAuuto tofo form rmativa ativaII: II:AAnnuualid alidad ades esCCiertas iertas UUnnid A : A nualidades sim ples a pla zo B : A nualidades p erp etuas, evaluación de costo s C : A nualidades ge nerales a plazo y pe rpe tu as adAAuuto tofo form rmativ ativa III:AAmmoortizació rtizaciónn, ,FFoonnddooeeIn Inve v ersio es UUnnididad a III: rsio nnes A : S istem as d e am ortización B : C onstitución de fondos C : E valuación de inversio nes La primera unidad autoformativa está compuesta por los tema de Interés Simple e Interés Compuesto y constituye la base para el estudio de las demás unidades. En esta unidad usted iniciará con la familiarización de los contenidos, describiendo los conceptos básicos y la terminología que usará a lo largo del estudio del módulo. Podrá realizar cálculos de: interés simple, valor futuro y presente, descuentos, pagos parciales, ecuaciones de valor, tasas de interés simple y compuesta, plazos y tasas equivalentes. La segunda unidad autoformativa es el núcleo del módulo, está constituida por el estudio de las anualidades, por lo que usted deberá tener pleno dominio del Interés Compuesto y las tasas equivalentes. Las anualidades simples y generales a plazo y perpetuas forman parte del contenido que le permitirá efectuar cálculos de: valor presente y futuro, pagos anticipados, vencidos y diferidos, tasas periódicas, plazos y aplicaciones de las anualidades a casos de las operaciones bancarias y análisis de costos. En la tercera unidad autoformativa usted pondrá en práctica sus conocimientos, habilidades y destrezas aplicando las anualidades a plazo y de interés compuesto pago único, es decir todo lo referido al estudio de las amortizaciones, la constitución de fondos y evaluación de inversiones y, para ello deberá realizar cálculos de cuotas fijas o variables para el pago de una deuda a plazo, elaborar la tabla de pago de la amortización de la deuda y saber los saldos en cualquier periodo de pago. También podrá calcular la cuota destinada a la creación de un fondo para acumulación de una cantidad fija en el futuro. Así mismo calcular la rentabilidad de una inversión a través de la aplicación del cálculo financiero, en la determinación de los indicadores

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financieros, lo cual le conducirá a la toma de decisiones. Este último trabajo lo realizará tomando en cuenta el flujo neto del inversionista.

Orientaciones para el autoaprendizaje del modulo 1. Para tener éxito en el autoestudio de este módulo debe tener conciencia de la responsabilidad de su autoaprendizaje, de la capacidad investigativa y resolutiva, espíritu reflexivo, emprendedor y crítico; Es decir; tener confianza en sí mismo para triunfar y ser perseverante para cumplir con la misión encomendada, que una vez cumplida el mayor agradecido será usted. 2. El autoestudio de este módulo le será fácil si cumple con las orientaciones metodológicas, dado que se trata de contenidos donde la actividad práctica juega un papel preponderante y fundamental. La realización de las actividades de autoaprendizaje le conducirán al logro de los objetivos propuestos tanto específicos como generales. 3. Durante el desarrollo de cada unidad autoformativa, después de cada tema abordado, se le presentan a usted ejemplos resueltos, así como ejercicios para que usted aplique y ponga en práctica las destrezas adquiridas y para una mejor comprensión de los contenidos, que le servirán de modelos para el planteamiento y resolución de los problemas propuestos para las actividades de autoaprendizaje. 4. Si en los problemas de las actividades de autoaprendizaje se le presentan dificultades con el planteamiento y resolución, anote las dificultades encontradas para las consultas con el profesor tutor. 5. Cada tema se ha escrito de manera sencilla, para que usted identifique y defina claramente los componentes de los modelos en discusión. En algunos casos se le presenta la demostración de las fórmulas pero esto no es el objetivo, sino su correcta aplicación. Al finalizar cada tema se presentan las actividades de autoaprendizaje, las cuales usted dará cumplimiento siguiendo las orientaciones pertinentes. 6. En cada unidad autoformativa se ilustran conceptos, presentados en cuadros grises para facilitar su rápida ubicación. Así mismo encontrará ejemplos a lo largo de todo el módulo, que estarán encerrados en cuadros de líneas discontinuas o bien solo con líneas discontinuas al iniciar y finalizar los mismos. 7. Es importante que usted anote y exponga en un cuaderno sus dudas, experiencias propias, su propia teoría, definición de problemas, criticas, deducciones, síntesis, comparaciones, análisis y evaluaciones de toda la información que en este cuaderno dejará plasmada. Todo lo anterior es “la forma más productiva de alcanzar el aprendizaje, siempre y cuando esté motivado para investigar y para resolver sus dudas, es así que promueve el trabajo independiente y autosuficiente” (Gutiérrez y Ríos 1984). Sus anotaciones le ayudarán a crear mecanismos inductivos para que logre sus propósitos, le permitan conocer su propio trabajo y pueda recrearse en él, sintiéndose realizado de un hecho concreto.

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Sistema de evaluación En la medida que vaya desarrollando su autoaprendizaje, realizará las actividades evaluativas que serán individuales y permanentes. Las formas evaluativas serán las siguientes: 1. La evaluación diagnóstica le servirá para indagar los conocimientos previos que usted tiene acerca del tema. 2. La evaluación formativa consistirá en preguntas, ejercicios, casos y trabajos que le permitirán conocer sus avances dificultades, de tal manera que le ayude a autorregular su aprendizaje. 3. La evaluación sumativa será calificada y consistirá en la realización de pruebas después de cada tema. Esta evaluación está fuera del módulo debido a que será presencial y las practicará en las sesiones tutoriales planificadas con ese objetivo en el calendario académico.

Evaluación diagnóstica El objetivo de esta prueba es que usted conozca el nivel de conocimientos previos que posee para el autoaprendizaje de los nuevos conocimientos que el módulo Introducción a la Gestión Financiera le plantea. Se dará por enterado cuánto esfuerzo debe desarrollar para aprender el contenido de la asignatura, al mismo tiempo le servirá de motivación para iniciar el proceso de planificación de su aprendizaje. A continuación se le presentan las siguientes actividades que deberá realizar de forma individual. 1.

Simplifique usando exponentes y plantee la respuesta sin radicales

a.

2.

  4  a − a 2b9  −2   ab 3       

      

−2 b.

b2

b5

c.

b3

3 2 5 c c 3 6 c

Resuelva las siguientes operaciones usando una calculadora electrónica a.

4 0.485 3 0.36

b.

27 3 97 4 38

c.

0.25 3 0.64 4 0.82

3.

Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando una calculadora electrónica, la variable i representa la tasa de interés del periodo: a. anual, b. mensual y c. semestral. Escriba la respuesta en porcentaje. 1 60 2 4 a . 100 (1+ i) = 132.25 b . 500 (1 + i) = 1,022.82 c . 75(1+ i) = 76.8 1

4.

Determine usando logaritmos el valor de N que representa el número de pagos periódicos: a. trimestres y b. mensuales

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a.

5.

(1 + 0.03 )

N

−1

0.03

= 26.870374

b.

0.015 1 − (1 + 0.015 ) −N

= 0.0180185

Resuelva utilizando logaritmos las siguientes ecuaciones exponenciales: a.

94 (1 + 0.02)

N

= 139.68

b . 6 (1 + 0.01)

N

= 13.30

c . 85(1 + 0.15)− N = 35.24

6.

Un padre de familia decide formar un fondo de ahorro que paga 10% de interés anual, con el fin de costear los estudios profesionales de su hijo de 8 años. Inicia el fondo con $500.00 y determina depositar en el mismo $2,000 en cada cumpleaños de su hijo, y hasta que éste cumpla dieciocho años. a. ¿Qué cantidad tiene en el fondo en el 15o. aniversario?; b. ¿Qué cantidad tendrá en el 18o. año? y c. ¿Cuánto dinero habrá depositado el padre al cabo del 18o. año?

7.

La moneda de un país se ha devaluado, con respecto al dólar, a razón de 0.94% mensual durante el último año. Suponiendo que este factor de devaluación se mantuviera constante durante el próximo año, ¿cuál será la paridad de dicha moneda al cabo de 12 meses si actualmente es de 55 unidades por un dólar?

8.

La compañía de Aire-Caliente, invirtió $2,500 en un nuevo compresor de aire hace 4 años. Los ingresos anuales que produce el compresor son de $850. Durante el primer año se gastaron $100 en mantenimiento, costo que ha venido aumentando anualmente en $25. La compañía piensa vender el compresor por un valor de salvamento de $150 a finales del próximo año. Prepare el flujo de caja neto anual para este equipo y elabore el diagrama.

9.

Demuestre que le conviene más a un empleado que recibe un aumento salarial; primero de un 18% y poco después un 8% adicional o recibir un 27% en total al inicio.

10. Una empresa tiene tres máquinas A, B y C que producen en total 350,000 tornillos. La producción por máquina es: A el 35%, B el 24% y C el 41% a. ¿Cuántas piezas produce cada máquina? b. ¿Cuántos tornillos defectuosos produce la máquina B, si son el 4% de su producción? c. Si la máquina C produce 148 piezas defectuosas ¿a qué porcentaje corresponde con respecto a su propia producción? ¿y con respecto a la producción total? Una vez que haya resuelto la prueba verifique los resultados en la hoja de respuestas, al final de la unidad autoformativa I, en la página 101. Si ha tenido dificultad en resolver algunos problemas, no se preocupe, siga adelante; pues ha descubierto sus fortalezas y debilidades respecto a los conocimientos previos que debe poseer para comenzar el estudio del módulo. Estos conocimientos básicos, los puede fortalecer consultando a su tutor.

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Unidad Autoformativa I: “Interés Simple y Compuesto”

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Presentación de la Unidad Autoformativa I Con esta unidad usted comenzará a estudiar el módulo de Introducción a la Gestión Financiera, la que constituye una aplicación de las habilidades y destrezas adquirida en la matemática aplicada, puesto que ésta proporciona los elementos y la metodología para determinar en el tiempo, el valor del dinero o capital que interviene en las operaciones de carácter financiero o comercial, ya sea sumando intereses o restando intereses. Inicia con los conceptos básicos que le servirán para entender algunos procedimientos que utilizará a lo largo del estudio del módulo, por ejemplo; aprenderá a dibujar el diagrama del flujo de fondos de una inversión, lo cual es fundamental para la interpretación y resolución de un problema donde los valores o flujos de dinero se proyectan en el tiempo. Las tasa de interés que usted utilizará y aplicará en los ejemplos y ejercicios no necesariamente son tasas actuales, sino aquellas que representan las tasas promedio del ambiente financiero nicaragüense. Durante el desarrollo de los contenidos de dicha unidad usted logrará establecer la diferencia entre los métodos de Interés Simple e Interés Compuesto, estos métodos no son equivalentes, ni su uso es optativo sino que depende de la circunstancia que se presente. Por ejemplo, el Interés Simple, se utiliza si los intereses que genera un determinado capital no se capitalizan sino que se liquidan periódicamente. En caso contrario, usará el Interés Compuesto para calcular el monto de una inversión cuyos intereses generados por período se capitalizan. Las relaciones de equivalencias financieras tanto de cantidades de dinero como de tasas de interés, son necesarias que usted le preste atención, ya que le servirán para enfrentar con éxito las unidades autoformativas II y III. Recuerde que el estudio de este módulo, es el estudio de las relaciones de equivalencias de dinero en diferentes momentos, los cuales están determinados en dependencia de la tasa de interés que esté usando.

Objetivos de la unidad autoformativa I 1.

Explico los conceptos básicos del estudio de las Matemáticas Financieras.

2.

Deduzco el flujo de caja neto de una actividad económica a partir de los egresos e ingresos.

3.

Pongo en práctica algunas habilidades en la construcción del diagrama tiempo y el valor del flujo de caja neto de una inversión.

4.

Desarrollo habilidades relacionadas con la resolución ordenada de problemas entorno al interés simple y al interés compuesto, así como a las variables vinculadas a estos tipos de intereses.

5.

Determino descuentos bancarios, racionales y la tasa de rentabilidad a interés simple, asimismo establezco la diferencia de ambos descuentos.

6.

Valoro la importancia de liquidar deudas a través de pagos parciales con honestidad y eficiencia.

19


7.

Determino las diferencias existentes entre las tasas de interés efectivas, nominales y equivalentes.

8.

Establezco orden, disciplina y veracidad en el planteamiento y resolución de los casos referidos a la matemática financiera y su aplicación.

Esquema de contenidos Unidad autoformativa I: Interés Simple y Compuesto

A. Conceptos básicos

B. Interés simple

C. Interés compuesto

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1. La matemática financiera y su aplicación 2. Inversión o capital 3. El valor cronológico del dinero 4. Flujos de caja 5. Diagrama de flujo de caja 6. Tasas de interés 7. Interés 8. Capital 9. Tiempo 1. Interés simple exacto y comercial 2. Clasificación de las tasas de interés 3. Valor futuro a interés simple 4. Valor presente a interés simple 5. Descuentos bancario y racional 6. Pagos parciales. Regla americana 7. Ecuaciones de valor 1. Introducción 2. Deducción de la fórmula de interés Compuesto 3. Valor futuro de una suma de dinero 4. Valor presente de una suma de dinero 5. Diferencia entre interés simple y compuesto 6. Número de períodos capitalizados y plazo 7. Tasas de interés efectivas y nominales 8. Interés convertible continuamente 9. Tasas equivalentes nominales y efectivas 10. Ecuaciones de valor


Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa I En la presentación de esta primera unidad hacemos referencia a la importancia que tiene el estudio de algunos conceptos básicos fundamentales que forman la base del estudio y aplicación da las matemáticas financieras, tales como: La inversión de capital, el flujo de caja, la tasa de interés, el capital, etc. Así mismo, consideraremos aspectos relacionados al interés simple e interés compuesto. Para que usted obtenga los resultados deseados en el autoestudio de la unidad autoformativa I, dependerá en gran medida de la responsabilidad de su autoaprendizaje. Es por ello que hemos tratado de presentarle de una manera sencilla y clara los contenidos, los que se presentan enriquecidos con ejemplos concretos y adaptados a nuestra propia realidad económica y financiera; por otro lado, se le proponen actividades de autoaprendizaje y de autoevaluación que le permitirán evaluar su autoaprendizaje y para ello será necesario que cumpla lo siguiente: 1. El cumplimiento de las orientaciones metodológicas que se le indican, es un aspecto importante para el logro de los objetivos del autoestudio. 2. Realice resúmenes, dibuje esquemas de mapas de conocimientos, destacando los conceptos más importantes, lleve un orden en los problemas que va estudiando y anote aquellas dudas que resulten. 3. Relacione los contenidos dados, los cuales se presentan en cadena, donde el dominio del conocimiento anterior, es fundamental para la interpretación y asimilación del conocimiento siguiente. 4. Elabore un formulario indicando el número de la fórmula y su utilidad. 5. En el Tema A, preste atención a la construcción y uso del flujo de caja o diagrama tiempo valor. 6. En el Tema B, los contenidos donde debe prestar más atención son: el cálculo de interés simple, los pagos parciales, los descuentos y las ecuaciones de valor. 7. En el Tema C, debe asegurarse de tener dominio sobre: cálculo de valor futuro y presente de una suma de dinero, las tasas efectivas y nominales, las tasas equivalentes y las ecuaciones de valor.

Prueba diagnostica de la unidad autoformativa I Esta prueba tiene como objetivo que usted conozca el nivel de conocimientos previos que posee para el autoaprendizaje de los nuevos conocimientos que exige la presente unidad autoformativa. Se dará cuenta cuánto esfuerzo debe emprender para asimilar y aprender el contenido de la unidad autoformativa, lo cual le ayudará a planificar su autoaprendizaje.

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Antes de comenzar a resolver y contestar los problemas y las preguntas, asegúrese de estar en plena disposición para el estudio. 1. ¿Cuál es objeto de estudio de la Matemáticas Financieras? 2. ¿Qué entiende usted por valor cronológico del dinero? 3. ¿Qué significa para usted inversión? 4. ¿Cuál el interés simple que devengan $500 durante 186 días al 4.5% de interés trimestral? 5. Calcule el descuento bancario de un certificado que tiene un valor final de $36,000 y que vence dentro de 310 días con el 10.2% de descuento anual. 6. Determine el monto de $200 aplazo de 2 años con el 12% capitalizable por mes. 7. Si usted hoy debe pagar $400 y dentro de 8 meses pagará $600, determine el valor del pago único debe hacer dentro de 5 meses para saldar ambas deudas, si la tasa de interés de rendimiento es del 15% CT. 8. Suponga que su negocio obtiene una rendimiento del 1.2% mensual acumulativo ¿cuál es su rentabilidad anual equivalente? 9. ¿Cuánto debe pagar el día de hoy por una deuda de $4,300 que vence dentro de 15 meses, si le reconocen un descuento del 14% CS por el pronto pago? 10. ¿Cuál es la tasa anual a interés compuesto que obtiene de ganancia en una inversión de $500, si 1.5 años después le pagan un interés de $92.65? Al finalizar esta prueba inicial compararé mis respuestas con las dadas al final, en la página 101, para valorar la calidad de mis conocimientos y sobre esa base construir mis nuevos aprendizajes. Nota: Cuando usted realice la comparación de sus conocimientos debe valorarlos reflexivamente y en forma objetiva ubicarse en las alternativas siguientes: Excelente: Muy bueno: Bueno:

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10 a 9 respuestas acertadas 8 a 7 respuestas acertadas 7 a 6 respuestas acertadas


A. Conceptos básicos El propósito de este tema es estudiar algunos conceptos básicos fundamentales que forman la base del estudio de las Matemáticas Financieras y proporcionar la terminología que usaremos en el estudio y análisis financiero. Estudiaremos el significado de los símbolos que se utilizan en las Matemáticas Financieras y construiremos el flujo de caja que nos servirá para simplificar algunos problemas descriptivos complejos. Lo que aprendamos en este tema lo usaremos a lo largo del módulo y nos será de mucha utilidad.

1. Las matemáticas financieras y su aplicación ¿Qué son las Matemáticas financieras? Las Matemáticas Financieras son: Un conjunto de técnicas y procedimientos de carácter cuantitativo que nos sirven para calcular la equivalencia del valor del dinero en cualquier momento. La medición del valor del dinero nos ayuda a tomar decisiones financieras, es decir; para valorar el premio de prescindir por cierto tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado recurso financiero o capital. Las Matemáticas Financieras se ven involucradas en todas las actividades económicas donde pretendamos obtener una ganancia; particularmente la usamos en la medición del rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en juego, es decir; si perdemos o ganamos. Los campos de mayor aplicación son el Mercado Financiero y el Mercado de Valores que es donde se oferta y demanda dinero a un precio que está determinado por la libre competencia. Para medir el valor del dinero en una inversión a parte de los elementos cuantitativos, es importante que tengamos en cuenta las condiciones políticas, sociales, micro y macroeconómicas del escenario donde se invierte para analizar el riesgo. Por eso, es necesario que examinemos algunos aspectos relacionados con el entorno de las empresas o entes ejecutores de las inversiones para disponer de mayores elementos de juicio para tomar una decisión acertada. Por tanto: Recordemos que:

Las M ate m áticas F inan cieras son un conjunto de técnicas y procedim ientos de carácter cuantitativo que nos sirve para calcular la equivalencia del valor del dinero en cualquier m o m ento.

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2. Inversión ¿Qué entiende usted por inversión? Una inversión: Es la colocación de ciertos recursos financieros en una actividad económica a un plazo determinado y con una tasa de interés, en sustitución del consumo actual de esos mismos recursos, es decir; es el aplazamiento del gasto, con el objetivo de obtener un mayor consumo real en el futuro. La diferencia entre el consumo futuro y actual divido por el consumo actual, es lo que conocemos como el porcentaje de rentabilidad del inversionista. Por ejemplo: Si hoy tenemos $100 disponibles se nos presentan dos opciones: la primera, es el consumo de los $100 comprando 5 unidades con un costo de $20 cada una, en este caso no hay rentabilidad. La segunda opción es invertir los $100 a plazo de un año con una tasa de interés del 25%, esto indica que al final del plazo tendremos $125. Si las unidades de consumo después de un año no han aumentado de precio por que no hay inflación en el ambiente, se mantendrán en $20; entonces podremos comprar 6.25 unidades, generando una rentabilidad del 25% de lo invertido. Esto lo podemos comprobar en el siguiente cálculo de la rentabilidad i: i =

Consumo Futuro - Consumo Actual 6.25 - 5 = = 0.25 (100) = 25% Consumo Actual 5

3. El valor cronológico del dinero A menudo decimos que “el dinero produce dinero”. Esta aseveración es realmente verdadera, si nosotros elegimos invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una corporación de ahorro y préstamo, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos invertido originalmente. Este cambio en la cantidad de dinero durante un período de tiempo es lo que se conoce como “el valor cronológico del dinero”. Este concepto es el más importante en el estudio de la Introducción a la Gestión Financiera. También debemos notar, que si una persona o empresa pide hoy dinero prestado, mañana tendrá que pagar una cantidad mayor, debido al valor del dinero en el tiempo. El valor cronológico del dinero podemos verlo desde el punto de vista del valor real, o sea; poder adquisitivo. A como lo veremos más adelante, el valor del dinero puede cambiar a través del tiempo, no solamente debido al efecto de una tasa de interés, sino también por efecto de la tasa de variación monetaria (devaluación) y la tasa de inflación.

4. Flujos de caja Es otro concepto básico, fundamental en el marco de las Matemáticas Financiera y que consiste en lo siguiente: Las personas y empresas tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero (costos) que ocurren particularmente en cada período de tiempo dado. Estos valores que constituyen ingresos y egresos que se producen periódicamente en el tiempo, se denominan “flujos de caja”.

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Para simplificar, suponemos que todos los flujos de caja ocurren al final de cada período. Esto es lo que se conoce como “convención fin de período” de lo contrario debemos especificar el período en que ocurren. Por ejemplo: Todos los ingresos y egresos que se producen de forma anual en la actividad económica de una empresa para efectos del análisis financiero, se registran al final de cada año en el flujo de caja o diagrama tiempo valor, independientemente que dichos flujos se produzcan en otro momento. Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo si es un egreso o desembolso. En cualquier periodo el flujo de caja podremos representarlo como: Flujo de Caja Neto = Ingresos – Egresos

El Flujo de caja puede ser:

Positivo: Ingresos Negativo: Egresos

• •

a. Flujos de caja positivos Estos representan todas las entradas de dinero de la empresa independientemente del origen de donde provengan. En el diagrama tiempo valor, los flujos positivos los señalamos con una flecha hacia arriba. Observe el gráfico 1 (escala dada en años) Flujo positivo $700

$900

$600

0

1

$600

2

3

4

Años

Gráfico 1

b. Flujos de caja negativos Estos representan todas las salidas o egresos de dinero de la empresa independientemente del concepto que los origine. En el diagrama tiempo valor, los flujos positivos los señalamos con una flecha hacia abajo. Observe el gráfico 2 (escala dada en años) Flujo negativo 0

400

1

2

500

550 Gráfico 2

3

4 Años

300 700

25


En adelante, la simbología que utilizaremos para representar los flujos de dinero será (C$) para córdobas y ($) para dólares o cualquier otra unidad monetaria. Para efectos de simplicidad no pondremos en los gráficos o diagramas de tiempo valor, el símbolo de la unidad monetaria. Solamente usaremos el símbolo cuando abordemos casos específicos. Veamos un ejemplo para ilustrar mejor los flujos de caja: Supongamos que un ganadero recurre a un banco y le presta $50,000 para la inversión en su finca de ganado. El préstamo es a plazo de 6 meses y al final del mismo el ganadero devolverá al banco un monto de $56,250 en concepto de pago de capital más intereses. En este caso el banco registra un flujo negativo en el momento del desembolso del préstamo en el mes cero y la administración de la finca registra un flujo de dinero positivo. Al final del plazo en el mes 6, el banco registra un flujo positivo producto del ingreso por el pago que recibe del préstamo. En cambio, la administración de la finca registra un flujo negativo dado que desembolsa dinero para la cancelación del crédito. Esto lo podemos apreciar en el gráfico 3. desde el punto de vista del banco. 56,250

Meses

0

1

2

3

4

5

6

Gráfico 3 50,000

5. Diagrama de flujo de caja El diagrama del flujo de caja es la representación gráfica de un flujo de dinero en una escala de tiempo (Ver gráficos 1, 2 y 3). El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra los valores dados y los que debemos encontrar, es decir; es un instrumento visual para el análisis financiero y nos facilita resolver el problema mirando únicamente el dibujo del diagrama del flujo. Podemos asegurar que el éxito para la resolución de un problema de Matemáticas Financieras, depende de gran manera de la construcción del diagrama de flujo de caja. Los diagramas de flujos de caja 4 y 5 representan los ingresos y egresos netos de un proyecto de inversión.

5,000 0

1

6,000

2

7,000

3

8,000

4

9,000

5 Años

Gráfico 4 20,000

En el diagrama del flujo de caja, la fecha 0 (cero) es el momento actual (hoy. La fecha 1, es el final del período 1. La fecha 2, es el final del período 2. La fecha 3, es el final del período 3 y así sucesivamente hasta el final del periodo de interés n. El final del periodo n es el vencimiento. En vista de que asumimos que el flujo de dinero ocurre al final de cada período (salvo cuando se

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estipule lo contrario), solamente debemos considerar las fechas marcadas con 0, 1, 2, 3,..., n para registrar los flujos en el diagrama. 9,000

8,000 7,000

0

1

2

6,000

3

5,000

4

5 Años

Gráfico 5 20,000

Analicemos en particular los períodos 2 y 5 de la escala del gráfico 6.

1

2

Periodo 2

Inicio período 2 Inicio período 2

4

Final período 2 Final período 2

5

Periodo 5

Inicio período 5 Inicio período 5

Final período 5 Final período 5

Gráfico 6

Reafirmamos que la dirección de las flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante para la solución del problema. Utilizaremos flechas hacia arriba para indicar un flujo positivo (ingreso) y flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (egreso). Estos flujos se muestran en el gráfico 7. Gráfico 7 20,000

Flujo negativo

Flujo positivo

20,000

Los flujos de cajas los podemos presentar de dos formas: diagrama o gráfico (ver gráficos 4 y 5) y tabular (ver tablas 1 y 2) Tabla 1 Año Flujo Neto

0 (20,000)

1 5,000

2 6,000

3 7,000

4 8,000

5 9,000

4 6,000

5 5,000

La tabla 1 muestra el flujo del gráfico 4. Tabla 2 Año Flujo Neto

0 (20,000)

1 9,000

2 8,000

3 7,000

La tabla 2 muestra el flujo del gráfico 5.

27


Ejemplo: Una empresa invierte en una máquina $12,000 que se estima tendrá una vida útil de 6 años. Los ingresos anuales serán de $5,000 y los costos de operación y mantenimiento serán de $1,200 para el primer año y se espera que estos costos aumenten en $300 por año a partir del año 2. La máquina al final de la vida útil tendrá un valor de rescate de $3,000. Elaboremos el flujo de caja en forma tabular y en diagrama. Solución Primero hagamos una tabla reflejando los ingresos y egresos de la actividad económica por año para deducir el flujo neto. (Ver tabla 3). Observe que en el año 6 el ingreso es de $8,000 esto es debido a la venta de la máquina por $3,000. Tabla 3 Año 0 Ingreso 000 Egreso 12,000 Flujo Neto (12,000)

1 5,000 1,200 3,800

2 5,000 1,500 3,500

3 5,000 1,800 3,200

4 5,000 2,100 2,900

5 5,000 2,400 2,600

6 8,000 2,700 5,300

El gráfico 8 muestra el flujo de caja neto. 3,800

5,300

3,500 3,200

0

1

2

3

2,900

4

2,600

5

6 Años

Gráfico 8 12,000

6. Tasa de interés Para comprender el concepto de tasa de interés analizaremos el siguiente ejemplo: a. Suponga que usted acude a un banco y solicita un préstamo por el cual le cobra como rédito $20 anual, por cada $100 unidades monetarias prestadas, entonces la tasa de interés i anual es la razón: 20 i = = 0.20 anual, o sea 0.20(100) = 20% 100 b. SI una cuenta de ahorros devenga un interés de $3 en cada trimestre por cada $100 ahorrados, entonces la tasa de interés i por trimestre es: i =

3 = 0. 03 100

trimestral , o sea 0.03(100) = 3%

c. Por un préstamo bancario pagamos $1.5 mensual por cada $100 unidades que tenemos en saldo, entonces la tasa de interés i mensual es: 1.5 i = = 0. 015 mensual, o sea 0.0 15(100) = 1.5% 100 De los ejemplos anteriores, inferimos que “la tasa de interés” tanto por ciento la definimos como:

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La razón que se establece entre el número de unidades monetarias pagadas como rédito, en un período de tiempo dado, por cada cien unidades monetarias de la suma prestada o ahorrada” (Justin H. Moore “Manual de Matemáticas Financieras” p. 3). En este módulo autoformativo utilizaremos la notación en porcentaje para referirnos a la tasa de interés, sin multiplicar por cien el número que resulta de la operación, por ejemplo podemos decir el porcentaje de la siguiente manera. 25 i= = 0.25 o sea 25% anual 100

7. Interés El interés es la cantidad convenida que pagamos por el uso del dinero en calidad de préstamo o ahorro. La evidencia del valor del dinero en el tiempo se llama interés, y es una medida del incremento entre la suma de dinero prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada. El uso del capital no es gratuito y el concepto de interés surge precisamente de esto, en la actualidad los bancos, las entidades financieras y las personas no están dispuestas a facilitar ninguna cantidad de dinero, sin tener en cuenta cierto margen de ganancia o utilidad; todo esto originado por el concepto de rentabilidad que se mide por el aumento del valor cronológico del dinero. El Interés acumulado o devengado: Es la cantidad de dinero generada al final de cierto período de tiempo por efecto del préstamo o ahorro, lo podemos calcular con el método de Interés Simple o Compuesto. Este interés depende de los factores siguientes: La cantidad de dinero prestada o ahorrada Del plazo del préstamo o depósito De la tasa de interés pactada o establecida De la forma de capitalizar intereses De la forma de pagar intereses: anticipados o vencidos Otros conceptos importantes utilizados en matemáticas financieras, son los que vamos a definir a continuación:

8. Capital El capital: es la suma de dinero que prestamos o que ahorramos en el momento de realizar una inversión. También, el capital es el recurso financiero que tenemos hoy, que no consumimos o gastamos, sino que lo invertimos para consumir más en términos reales en el futuro. Al capital le podemos llamar principal, valor presente, o valor actual. En este módulo autoformativo usaremos indistintamente cualesquiera de los sinónimos anteriores para referirnos al capital: Principal, Valor Presente, Valor Actual.

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9. Tiempo El tiempo: es la duración del lapso para el que se calcula el interés y lo podemos establecer por períodos tales como: anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimensual, mensual y diario. El tiempo medido en año comercial tiene 360 días y cada mes 30 días. Cuando el tiempo es medido en año exacto éste consta de 365 días y 366 si es bisiesto. En síntesis: 1. Matemática

Financiera: Conjunto de técnicas y procedimientos cuantitativos que permiten calcular la equivalencia del valor del dinero en cualquier momento. Con esta podemos valorar el premio de prescindir por cierto tiempo de un Recursos financiero o Capital, a cierta tasa de interés.

2. Inversión: Ubicación de los Recursos Financieros en una actividad económica a un plazo de tiempo determinado y con una tasa de interés.

3. Valor cronológico del dinero: Cambio en la cantidad de dinero durante un período de tiempo.

4. Flujo de caja: Valores que constituyen ingresos y egresos a. Positivo: Ingresos que se producen periódicamente en el tiempo. b. Negativo: Egresos 5. Diagrama de flujo de caja: Representación gráfica de un flujo Conceptos Básicos

de dinero en una escala de tiempo. Plantea el problema y muestra los valores dados, los que debemos encontrar.

6. Tasa de interés: Razón que se establece entre el número de

unidades monetarias pagadas como rédito, en un período de tiempo dado, por cada cien unidades monetarias de la suma prestada o ahorrada.

Interés acumulado o devengado: 7. Interés: Cantidad convenida que pagamos por el uso del Cantidad de dinero generada al dinero en calidad de préstamo o ahorro.

8. Capital (Principal, Valor Presente, Valor Actual): Suma de dinero que prestamos o ahorramos en el momento de realizar una inversión. Recursos financiero que tenemos hoy, que no consumimos o gastamos, sino que invertimos para consumir más en términos reales en el futuro.

9. Tiempo: Duración del lapso para el que se calcula el interés,

establecido por periodos (anual, semestral, cuatrimestral, trimestral, bimensual, mensual y diario)

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final de cierto período de tiempo por efecto del préstamo o ahorro.


Actividad de autoaprendizaje No. 1 1. Explico con mis propias palabras para que me servirá el estudio de la Matemáticas Financieras a la cual se hace referencia en el módulo de Introducción a la Gestión Financiera. 2. Explico ¿Cuáles son los métodos fundamentales en que se basa el estudio de la Matemáticas Financieras, y en que se diferencian? 3. Explico ¿en qué consiste el valor cronológico del dinero? Respondo planteando un ejemplo numérico. 4. Defino con mis propias palabras el concepto de flujo de caja. 5. ¿Qué significa tiene para mi invertir? Argumento mi respuesta con un ejemplo. 6. Para cada uno de los casos siguientes construyo el flujo de caja neto. a. La familia Campuzano – Valdivia compró una casa vieja por $25,000 con la idea de hacerle mejoras, alquilarla y luego venderla. En el primer año, gastaron $5,000 en mejoras, en el segundo gastaron $1,500 en una cerca y $1,200 en el tercero en decoración. Los impuestos anuales fueron de $500 durante los 7 años que les perteneció. Del año 4 hasta el año 7 la alquilaron por $7,200 anuales, finalmente la vendieron en $40,000. . b. Un inversionista compra 3 clases de acciones (identificadas como grupo A, B y C). El inversionista compró 200 acciones de A con un precio de $13.00 cada una, 400 de B a $4.00 cada una y 100 de C a $18.00 cada una. Los dividendos fueron de $0.50 por acción de A durante los 3 años, vendiéndose luego la acción en $15.00. La acción B no produjo dividendos pero se vendió en $5.50, dos años después de su compra. La acción C produjo dividendos de $2.10 por cada una durante 10 años, pero debido a una depresión del mercado de valores su precio de venta fue de $12.00 la unidad. (sugerencia: prepare el flujo para un plazo de 10 años). c. Un proyecto requiere de una inversión inicial de $100,000 para su instalación. Sus gastos de operación y mantenimiento son del orden de $20,000 para el primer año y se espera que estos costos crezcan en el futuro a una razón del 10% anual. La vida económica estimada del proyecto es de 8 años al final de los cuales su valor de rescate se estima en $40,000 después de impuestos. Los ingresos que genera son de $50,000 el primer año y se espera que éstos aumenten a una razón constante de $10,000 por año. (nota: el valor de rescate es un ingreso). d. Una empresa obtuvo un financiamiento de $20,000 hace 4 años para pagarse en un plazo de 6 años a través de cuotas anuales de $5,718. Con este préstamo la empresa ha producido ingresos anuales de $8,300 que no incluyen el pago de la cuota y espera generar $12,000 en el año 5 y $15,000 para el año 6. 7. Elaboro el gráfico o diagrama de tiempo del valor del flujo de caja neto para cada uno de los casos anteriores. En la página 102, de las hojas de respuestas, al final de la unidad autoformativa I, encontraré únicamente las respuestas correctas del ejercicio 6 y 7 de esta actividad, las comparo y me retroalimento. Las primeras 05 actividades son de carácter personal y se espera el discernimiento y reflexión individual de los estudiantes para socializarlas en la sesión tutorial correspondiente.

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B. Interés simple A través del estudio del tema B, usted tendrá la oportunidad de estudiar lo referido al interés simple, exacto y comercial, no sin antes dejar claro que se entiende por: El interés simple: Es un método de cálculo financiero donde el capital invertido no sufre ninguna variación en el tiempo que dura la transacción, es decir la tasa de interés se aplica solamente al principal inicial en base al tiempo estipulado. En consecuencia “el interés es simple cuando sólo el capital gana intereses y es compuesto si a intervalos de tiempo preestablecidos, el interés vencido se agrega al capital, por lo que éste también genera intereses” (J. L. Villalobos “Matemáticas Financieras” p. 64). El interés simple está dado por la fórmula 1,

I = Pin (Formula 1) Donde I: Interés acumulado o devengado P: Principal (cantidad prestada o ahorrada) i: Tasa de interés del periodo (día, mes, trimestre, semestre, año). N: Plazo o número de periodos (día, mes, trimestre, semestre, año). Para el uso correcto de la fórmula 1 es necesario que las variables relacionadas con el plazo (n) y la tasa de interés (i) estén definidas en el mismo período de tiempo. En los ejemplos de la tabla 4 se muestra esta situación. Tabla 4 Caso 1 2 3 4

Plazo n=1 trimestre n=5 Años n=10 meses n=6 meses

Tasa de interés i=4% trimestral i=18% anual i=2% mensual i=20% anual

Conversión 4/100=0.04 18/100=0.18 2/100=0.02 20/100=0.20

En el caso 4, para usar la fórmula 1 debemos convertir 6 meses a 0.5 años o bien 20% anual a 1.6667% mensual. Es decir 6/12 es 0.5 años o bien 0.20/12 es 0.016667 interés por mes. Ver ejemplos 1, 2 y 3 presentados en el siguiente subtema. Si la tasa de interés (i) está definida en año y el plazo (n) en días, usaremos el factor n/360; si (n) está dado en meses usaremos n/12. Cuando el plazo está determinado de una fecha a otra, utilizaremos todos los días efectivos entre las fechas respectivas y se dividen por 360 para convertirlo a año comercial, de esta forma anualizamos el plazo. Por ejemplo, si el plazo de una operación financiera va del día 12 de mayo al 26 de octubre del mismo año, el plazo en año comercial lo podemos determinar por.  167  n = año comercial  = 0.463888  360  Observemos que el número de días efectivos entre el 12 de mayo y el 26 de octubre es de 167. Constate el número de días consultando la tabla

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Transformemos el plazo en año comercial de una operación financiera que inicia el 16 de marzo de 2001 y finaliza el 26 de mayo de 2002. En este caso, el número de días efectivos comprendidos entre las fechas indicadas es de 436, por tanto tenemos:  436   = 1.21111 n =   360   

años comer ciales

1. Interés simple comercial y exacto El interés simple comercial es calculado sobre la base del año comercial que tiene 360 días, y cada mes 30 días, cualquier plazo dado en días efectivos (de fecha a fecha) lo traducimos a año comercial utilizando el factor  n    ; donde n representa el número de días efectivos  360  El interés simple comercial lo calculamos a través de la fórmula 2,  n  I=Pi  (Fórmula 2)  360 

Este cálculo incide en la variación de la fecha de vencimiento de un préstamo, ya que no coincide exactamente con la fecha formalización. Así por ejemplo, un préstamo que se otorgó el 15 de enero de 2001 a plazo de un año, no necesariamente vence el 15 de enero de 2002, sino que vence el día 10 de enero debido a que se utiliza el año comercial compuesto de 360 días. Este es el sistema utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan con crédito. El interés calculado sobre la base anual de 360 días se conoce en la práctica comercial como interés bancario. El interés simple exacto lo calculamos sobre la base de 365 días. Por otra parte, el tiempo lo podemos calcular de manera exacta y de manera aproximada, por consiguiente para determinar el interés, las dos partes involucradas deudor y acreedor deben ponerse de acuerdo respecto al procedimiento que se utilizará. La conversión de los días efectivos a año exacto lo realizamos a través de;  n   ; donde n representa el número de días efectivos  365  El interés en este caso está determinado por la fórmula 3,  n  I = P i  ( Fórmula 3)  365  Ejemplo 1: Calculemos el interés que devenga un depósito de $25,000 en un banco a una tasa de interés simple del 20% a plazo fijo de 10 meses. Solución: Datos: P=$25,000, n=10/12=0.83333 año, i=20%=20/100 anual n 10 Por la fórmula 1 Resulta: I = P i   = 25,000(0.20)  = 4,166.67  12   12 

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Ejemplo 2: El Sr. Adán Pulido planea solicitar un préstamo de $180,000 a 18 meses de plazo a una tasa de interés simple del 30% . Calcular la cantidad que pagará en concepto de interés al final del plazo. Solución: Datos: P=$180,000, n=18/12 años, i=0.30 años  n   18  I = P i  = 180,000 (0.30 )  = 81,00 0  12   12  El resultado es el mismo si hacemos i=0.30/12=0.025 por mes, n=18 meses, o sea:  0.30  I = 1 80,000   (18 ) = 81,000  12  Ejemplo 3: Calculemos el valor de los intereses que devenga un pagaré de valor nominal $50,000 a plazo de 270 días, con una tasa de interés del 0.95% mensual. Solución: Datos: P=$50,000, n=270/360=0.75 años, i=0.0095(12)=0.114 anual  270  Por la fórmula 1 tenemos: I = 50,000 (0.114 )   = 4,275  360  También resulta lo mismo si hacemos la variante:

n=270/30=9 meses, i=0.0095 mensual; nuevamente: I =

50,000 (0.0095 )(9 ) = 4,275

En el cálculo financiero a menudo hacemos referencia a las equivalencias financieras, esto es; “diferentes sumas de dinero se dice que son equivalentes si tienen el mismo valor económico, esto quiere decir, el valor del dinero en el tiempo utilizando conjuntamente una tasa de interés” (L. Blant, A. Tarquin, “Ingeniería Económica” P. 5). El análisis del ejemplo 4 nos ayudará a comprender mejor este concepto. Ejemplo 4: a. Si la tasa de interés es el 25% anual, C$100.00 córdobas de hoy son equivalentes a C$100.00 + C$25.00=C$125.00 dentro de un año y viceversa. b. Si nosotros debemos pagar $1,300 dólares dentro de un año, equivale a que paguemos $1,000 dólares el día de hoy, si utilizamos una tasa de interés del 30%. Esto quiere decir, que con interés de30%, $1,000 de hoy son equivalentes a $1,300 dentro de un año y viceversa.

2. Clasificación de las tasas de interés Como lo definimos anteriormente, la tasa de interés: Es la razón del rédito devengado respecto al capital inicial invertido. En otras palabras, es la cantidad porcentual que si la multiplicamos por el capital inicial, obtenemos como resultado el interés generado.

La determinación de la tasa de interés efectiva o verdadera de un préstamo, depende de lo que hayamos convenido y el método con que el acreedor cargue el interés, si este se paga al vencimiento del préstamo, la tasa convenida es la efectiva. “Las tasas de interés bancarias presentan tres resultados: Interés Compuesto Ordinario, Interés Descontado e Interés a plazo”

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(Lincoyán Portuz “Matemáticas Financieras” P. 70). Las tasas de interés se dividen en cinco categorías: a. Tasa de interés activa

La tasa de interés activa es la cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea; en el otorgamiento de préstamos a las personas naturales y jurídicas para el financiamiento de las actividades económicas. Las tasas de interés corriente y moratorias son tasas activas. b. Tasa de interés pasiva

La tasa de interés pasiva es la pagada por los bancos y las instituciones financieras a los ahorrantes, en la captación de dinero (ahorros en sus diversas formas). La tasa pasiva constituye una tasa de interés de rendimiento baja para los ahorrantes, ya que el ahorro es una inversión de bajo riesgo. Por naturaleza, las tasas de interés activas son mayores que las pasivas, ya que parte de la diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En el mercado financiero Nicaragüense, las tasas activas y pasivas están determinadas según la oferta y demanda de dinero, así como el índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la estabilidad política y social. Estas tasas de interés están definidas para moneda nacional (córdobas) y para moneda extranjera (dólar) de los Estados Unidos. En Nicaragua, al cierre del mes de diciembre de 2001, según informe del Banco Central, el índice promedio de las tasas de interés pasivas y activas en el Sistema Financiero Nacional, a un año de plazo estaba: Tabla 5 Moneda Nacional (Córdoba) Extranjera (Dólar)

Tasa pasiva 12.40% 8.55%

Tasa activa 17.10% 17.38%

c. Tasa de rentabilidad a interés simple

La tasa de rentabilidad o rendimiento es el porcentaje de utilidad obtenido o que se espera obtener de una determinada inversión. La tasa anual de rentabilidad (r) responde a la pregunta de cuánto ganaremos o perderemos en relación con la inversión efectuada. Es por lo tanto, una relación (no anualizada) que a interés simple es:  G  r : rentabilid ad en % , r =   (Fórmula 4)  INV  Donde: G: Ganancia o pérdida de la inversión INV: Capital invertido

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Ejemplo 5: Hoy el señor Martínez, invierte la cantidad de C$80,000 córdobas y dentro de un año espera obtener C$95,000 y como no conoce de finanzas, quiere averiguar cual será su tasa de rendimiento esperada. Solución: La ganancia se define como: G= Ingreso - Egreso. En este caso la ganancia del señor Martínez es: C$95,000 - C$80,000 = C$15,000. Así, la inversión generará un 18.75% de rendimiento anual, como se puede apreciar G 95,000 - 80,000 15,000 r = = = = 0.1875 o sea r = 18.75% 80,000 80,000 INV La operación anterior la podemos visualizar en un diagrama de flujos de caja o de fondos. (gráfico 9). 80,000 15,000

0

Gráfico 9

1

Año

80,000

Si la tasa de rentabilidad (r) la queremos anualizar, dado que no todas las inversiones son anuales, utilizamos el factor de anualización, y el cual está dado por: 360  360      =   Días Vencidos DV     Por tanto, el rendimiento anualizado de la fórmula 1.4 a interés simple de una inversión es:  G  360  r =   (Fórmula 5)   INV  DV  La tasa de rendimiento descrita anteriormente tiene mucha aplicación en el mercado bursátil de Nicaragua y facilita seleccionar la mejor alternativa de inversión en la transacción financiera con títulos valores, sobre todo aquellos títulos que se venden con descuento bancario. d. Tasa de interés por mora En los contratos de pago de obligaciones financieras se establece una tasa de interés adicional a la corriente. Esta tasa adicional se denomina tasa de interés por mora o simplemente tasa de interés moratoria y se entiende como el porcentaje de recargo por el incumplimiento de pago en la fecha programada o establecida. Generalmente, el interés por mora se calcula de acuerdo al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento del pago de la cuota. Analizaremos uno de los procedimientos de cálculo del interés por mora y el ajuste del interés corriente.

Si la cancelación del pago o cuota se retrasa, el interés por mora lo calculamos tomando en cuenta únicamente el principal de la cuota vencida, durante el tiempo de mora del pago.

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Para calcular el interés por mora a través del método de Interés Simple, usamos la fórmula 6 que se deriva de la fórmula 1.

Imo = Pcv ( im )( t m )

(Fórmula 6 )

El retraso de la cancelación de la cuota, conlleva el ajuste del interés corriente aplicado al último saldo de la deuda en el período retrasado. Este ajuste puede ser cobrado junto a la cuota retrasada o bien en la fecha de la próxima cuota, cuyo interés corriente debe ser también ajustado conforme al tiempo que transcurre entre el pago de la cuota retrasada y la fecha programada de la próxima. Este cálculo lo realizamos de acuerdo a la fórmula 7

Ica = S a ( ic )( t m )

(Fórmula 7)

Donde: Imo: Interés por mora Ica: Interés corriente ajustado Pcv: Principal de la cuota retrasada Sa: Saldo anterior a la cuota vencida ic: Tasa de interés corriente pactada im: Tasa de interés moratoria tm: Tiempo de mora de la cuota.

Debido a que no existe una ley reguladora de la materia, en la práctica bancaria, el cálculo de los intereses por mora difieren de una institución a otra, se efectúan en base a una situación contractual (acreedor – deudor), por eso es importante que el prestatario esté enterado al momento de contraer una obligación financiera, del procedimiento que utilizará el prestamista para calcular dichos intereses. Ejemplo 6: Una empresa está amortizando o pagando una deuda a un banco y paga al final de cada mes una cuota de valor C$17,666.67 la cual está vencida y tiene 20 días de mora. El principal de la cuota es de C$15,000 y los intereses corrientes del mes son de C$2,666.67. El último saldo es de C$45,000. La tasa de interés corriente sobre el préstamo es del 32% anual sobre saldos y la tasa de interés moratoria es del 15% anual. ¿Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse al corriente? Datos: Pc=C$15,000 ic=32 im=15% tm=20 Sa=C$45,000

principal de la cuota tasa de interés corriente tasa de interés por mora días de mora de la cuota último saldo de la deuda

Solución: Aplicando la fórmula 6 calculamos el interés por mora durante 20 días.  20  I = 15,000 (0.15 )   = 125.00 mo  360  El ajuste del interés corriente lo calculamos mediante la fórmula 7, esto es:

 20  45,000 (0.32)   = 800.00  360  De esta manera, el total a pagar con mora se detalla a continuación: I = ca

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C$15,000.00 C$ 2,666.67 C$ 125.00 C$ 800.00 C$18,591.67

principal de la cuota intereses corrientes de la cuota en mora intereses por mora durante 20 días ajuste de intereses corrientes por 20 días Pago total

Ejemplo 7: Un préstamo de $5,000 con interés corriente del 20% y por mora de 18% fue otorgado el día 10 de enero, con vencimiento hasta el día 12 de septiembre del mismo año. El compromiso del crédito era cancelar principal e intereses en la fecha de vencimiento. Si el deudor pagó la obligación hasta el día 9 de octubre del mes siguiente al vencimiento, determinemos el valor total que pagó. Datos: Pcv = $5,000: principal del préstamo y de la cuota ic = 20%: tasa de interés corriente n = 245 días: plazo del préstamo Solución: Con los datos anteriores, calculemos el valor del pago único en la fecha de vencimiento, o sea, el valor futuro. Aplicando la fórmula 1 determinamos los intereses corrientes, los cuales son;  245  I = 5,000 (0.2)   = 680.56  360  Así, el monto de la deuda en la fecha de vencimiento del día 12 de septiembre es;

$ 5,000.00 principal del préstamo y de la cuota $ 680.56 intereses corrientes $ 5,680.56 Monto de la deuda o cuota a pagar Dado que la deuda se liquida hasta el día 9 de octubre hay un tiempo moratorio de 27 días (12 septiembre al 9 de octubre). En este caso el valor total a pagar lo calculamos: Datos: Pcv=$5,000 principal de la cuota ic=20% tasa de interés corriente im=18% tasa de interés por mora tm=27 días de mora de la cuota Sa=$5,000 último saldo de la deuda Solución: Aplicando la fórmula 6 calculamos el interés por mora durante 27 días.  27  = 5,000 (0.18 )  I  = 67.50 mo  360  El ajuste del interés corriente por 27 días sobre último saldo lo hacemos conforme la fórmula 7, esto es:  27  I = 5,000 (0.20)   = 75.00 ca  360  De esta manera, el total a pagar con mora el día 9 de octubre lo detallamos a continuación:

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$ 5,000.00 $ 680.56 $ 67.50 $ 75.00 $ 5,823.06

principal de la cuota intereses corrientes de la cuota en mora intereses por mora durante 27 días ajuste de intereses corrientes por 27 días Total a pagar

e. Tasa de variación monetaria

La tasa de variación monetaria (devaluación) es aquella que hace cambiar el valor de una moneda respecto a otra que se utiliza como patrón. Generalmente se hace con el objetivo de garantizar el valor de las inversiones en moneda de valor constante, (en el caso de Nicaragua la mayoría de las inversiones están dolarizadas respecto al dólar de USA y otras respecto al euro) Por ley, en Nicaragua todos los préstamos o financiamientos que se otorgan en moneda nacional (córdobas), están dolarizados ya que se les aplica el concepto de mantenimiento de valor respecto al dólar. En estos casos, los usuarios de financiamientos necesitan conocer las tasas infladas o nominales anuales teniendo en cuenta dos factores o componentes que inciden directamente en las tasas de interés reales a pagar. Estos factores son: iv: tasa de variación monetaria ic: tasa de interés corriente En lo que respecta al índice de variación monetaria iv es un porcentaje o tasa de “interés” que constantemente hace cambiar la unidad monetaria nacional. Por ejemplo, “en Nicaragua esta tasa de variación oficial (Banco Central de Nicaragua) pasó en el mes de julio de 1999 del 12% al 9% anual y en el mes de abril del año 2000 se redujo al 6% de devaluación del córdoba respecto al dólar” (Indicadores Económicos del Banco Central de Nicaragua, julio de 2000) Si queremos calcular la tasa de variación iv entre dos fechas cualesquiera, podemos tomar dos valores representativos del tipo de cambio oficial (TCO), financiero y no oficial en dependencia del sector en que nos ubiquemos. Ejemplo 8: Determinemos la tasa de variación del córdoba respecto al dólar de los Estados Unidos en el periodo de junio 1997 a diciembre de 2000, tomando como fuente los indicadores del Banco Central de Nicaragua donde se señala que el TCO en las fechas indicadas son las siguientes:

TCO=C$9.44 TCO=C$13.05

por dólar, finales del mes de junio de 1997 por dólar, finales del mes de diciembre de 2000

Solución Asignamos B=C$9.44 Valor anterior Asignamos A=C$13.05 Valor actual

Entonces, la tasa de variación monetaria iv comprendida en estas fechas, la determinamos mediante la fórmula 8.

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iv =

Valor actual - Valor anterior A - B = ( Fórmula 8) Valor anterior B

13.05 - 9.44 3.61 = = 0.382415, o sea iv = 38.241% 9.44 9.44 De esta manera el porcentaje de devaluación oficial o de variación del córdoba respecto al dólar el período de junio 1997 a diciembre del 2000 fue de 38.2415%. iv =

En el mercado financiero (venta de dólares de los bancos) la devaluación promedio en el mismo período fue la siguiente: B=C$9.46, A=C$13.25 13.25 - 9.46 3.79 iv = = = 0.400634, o sea i v = 40.0634% 9.46 9.46 Con la fórmula 8 podemos calcular la devaluación de forma diaria, mensual, trimestral, semestral o entre dos fechas de interés para nuestros análisis; solamente debemos conocer el valor representativo anterior y actual del tipo de cambio.

3. Valor futuro de una suma de dinero El valor futuro F de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo que incluye principal más los intereses. Este valor F se calcula en cualquier fecha antes o en la fecha de vencimiento. Observe el gráfico 10. F

0

n Gráfico 10

P

Si el tiempo n es medido en años, meses o días el valor presente (principal) de una cantidad de dinero es denominado P, su valor después de cierto período de tiempo y a una tasa de interés i está dado por: F = P+ P i n = P[ 1 + i (n)] (Fórmula 9) Lo anterior indica que el valor presente P más los intereses I que devenga en un periodo determinado se llama valor futuro F. Ejemplo 9: El Sr. Santos, deposita en un banco $130,000 en certificados de depósito a término (CDT) a un interés del 15% y 6 meses de plazo.

Determinar: a. Los intereses acumulados b. El valor futuro de los certificados. Observemos el gráfico 11. Datos: P=$130,000, n=6 meses, i=15%, I=?, F=?

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Solución:

 6  I = P i n = 130,000 (0.15 )  = 9,750.00  12    6  F = 130,0001 + 0.15   = 139,750.00  12   F=?

0

6 Meses Gráfico 11

P=130,000

Ejemplo 10: Determinemos el valor final que una persona debe pagar para saldar una deuda de $12,500 a plazo de 80 días a un interés del 21% Datos:

P=12,500, n=80/360 año, i=21% 

 80     = 13,083.33  360  

Solución: Aplicando la fórmula 9 tenemos; F = 12,500  1 + 0.21  

4. Valor presente de una suma de dinero El valor presente o principal P de una suma de dinero a interés simple, es la cantidad al inicio de cierto período de tiempo, no contiene intereses. Este valor P lo podemos calcular en cualquier fecha después o en la fecha de inicio de la operación financiera. Veamos el gráfico 12. De acuerdo a la fórmula 9, donde F=P[1+i(n)], despejando P obtenemos el valor presente el cual está dado por: F P= (Fórmula 10) [ 1 + i ( n )] F 0

n Gráfico 12

P

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Ejemplo 11: Determinemos el valor inicial que recibió el Sr. Pedro Rivas en concepto de un préstamo, si al final del plazo de 90 días pagó principal e intereses por una cantidad de $53,125 a una tasa de interés del 25%? Observemos el gráfico 13. Datos:

F=$53,125, n=90 días, i=25%, P=? P=?

90 días Gráfico 13

F=53,125

Aplicando la fórmula 10 obtenemos la solución de la siguiente forma: 53,125 P= = 53,125 (0.941176) = 50,000 Solución   90    1 + 0.25   360   Entonces, el Sr. Rivas recibió la cantidad de $50,000 por el préstamo. A este valor le llamamos principal prestado y a la cantidad pagada al final del plazo de $53,125 se le denomina monto del préstamo. Ejemplo 12: Un inversionista tendrá que pagar dentro de 8 meses la cantidad de $300,000. Si el banco acreedor aplicó una tasa de descuento simple racional del 15%, calculemos el valor líquido que recibió del banco? Datos:

F=$300,000, n=8 meses, i=15%, P=?

Solución: El valor líquido es P, donde: P=F-I=F-D 300,000 P = Por la fórmula 10 tenemos:   8  1 + 0.15   12 

(D=I);

D: descuento

I: interés

= 272,727.27     Del cálculo anterior deducimos que el descuento simple racional es la diferencia entre el valor futuro $300,000 y el valor presente $272,727.27, o sea; $27,272.73

5. Descuentos En esta sección analizaremos dos tipos de descuentos que son los más importantes con interés simple. Posteriormente abordaremos otros descuentos con interés compuesto. a. Descuento bancario

“Al descuento bancario comúnmente se le denomina descuento (a secas) y consiste en cobrar intereses por anticipado calculado sobre el valor final del documento” (Guillermo B. Currea, “Las Matemáticas Financieras y los Sistemas” p. 7).

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La diferencia entre el valor futuro o final F a pagar y el valor presente P, es el descuento D. Esencialmente consiste en cobrar intereses por adelantado y se calcula con base al valor final del documento en la fecha de vencimiento. En algunos casos el valor final es el valor facial de los documentos que se descuentan, así: D=F–P, pero I=F–P, entonces D=I D=Fdn (Fórmula 11) donde: d: tasa de descuento n: plazo del descuento

El descuento bancario es una práctica de los bancos y también se emplea en las transacciones bursátiles con documento o títulos - valores que se negocian en el mercado de valores, los cuales se colocan por un valor más bajo que el señalado en el título - valor. Una característica de este cálculo es el tiempo de descuento, que a lo sumo es un año de plazo. En otras palabras, lo que se hace es un descuento sobre el valor nominal del documento (pagaré, letra de cambio, certificado etc.). La tasa de descuento es menor que la tasa de rentabilidad de la inversión. Esto ocurre debido al hecho de anticipar el pago de intereses Ejemplo 13: El señor Aquilino Ponderado invierte en un Certificado Negociable de Inversión que emite el Banco Central de Nicaragua; el valor facial es de $10,000.00, tasa de descuento 12.50% a plazo de 270 días. Calculemos: 1) El valor del descuento 2) El valor de la inversión 3) La tasa de rentabilidad del señor Ponderado Datos:

F=$10,000, d=12.50%, n=270 días, 1) D=?, 2) P=?, 3) r=?

Solución 1) Por la fórmula 11 podemos calcular el descuento:  270  D = F d n = 10,000 (0.125)   = 937.50  360  2) El valor de la inversión P es el valor facial F menos el descuento D, esto es: P = F − D = 10,000 − 937.50 = 9,062.50 3) La tasa de rentabilidad a interés simple es:  G  360   937.50  360  r =    = 13.7931% rentabilid ad anual   =   INV  DV   9,062.50  270  De esta manera, el señor Ponderado obtiene una tasa de rendimiento del 13.7931% anualizada, ligeramente superior a la tasa de descuento aplicada en la colocación del certificado. El esquema de la inversión la presentamos en el gráfico 14.

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F =10,000

270 días

Gráfico 14

P=9,062.50

Ejemplo 14: El Banco Sur le descuenta una letra de cambio a una firma de Contadores Pública; el valor nominal es de $50,000 a plazo de 140 días, con tasa de descuento de 17%. Determinemos: 1) El valor del descuento 2) El valor que recibe la firma de contadores 3) La rentabilidad del banco. Datos:

F=$50,000, d=17%, n=150 días, 1) D=?, 2) P=?, 3) r=?

Solución: 1) Nuevamente, por la fórmula 11 calculamos el descuento,  150  D = F d n = 50,000 (0.17 )  = 3,541.67  360 

2) 3)

El valor de la inversión en este caso es; P = F− D = 50,000 − 3,541.67 = 46,458.33 La tasa de rentabilidad del banco;  G  360   3,541.67  360  r =    =   = 18.2960% rentabilid ad anual   INV  DV   46,458.33  150 

b. Descuento racional

El descuento simple racional es de mucho menor uso que el bancario, posiblemente porque la cantidad que se descuenta es menor. Se considera que el interés que se gana con el descuento racional se paga al vencimiento. Debido a esto, el descuento simple se define como la diferencia entre el valor futuro F de una cantidad Presente P, es decir; D = F – P. Donde el valor P a diferencia del descuento bancario se calcula mediante la fórmula 10 reemplazando la tasa de interés i por la tasa de descuento d. El cálculo de descuento simple racional lo realizamos en el ejemplo 12, el cual lo sintetizamos en la fórmula 12 D=F−P = F−

F [1 + d ( n

)]

(Fórmula 12)

Ejemplo 15: Resolvamos nuevamente el problema del ejemplo 13 utilizando el descuento simple racional. Datos:

F=$10,000, d=12.50%, n=270 días, 1) D=?, 2) P=?, 3) r=?

Solución: En este caso primero calculamos, el valor presente P mediante la fórmula 10, o sea:

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P=

10,000   270      1 + 0.125   360   

= 9,142.86

El valor del descuento D es; D = F − P = 10,000 − 9,142.86 = 857.14 La rentabilidad en este caso coincide con la tasa de descuento  857.14   360  r =     = 12.50% rentabilidad anual  9,142.86   270  También el descuento D lo podemos calcular directamente haciendo uso de la fórmula 12 de la siguiente manera: D = 10,000 −

10,000   270    1 + 0.125     360   

= 10,000 − 9,142.86 = 857.14

Si comparamos ambos sistemas de descuentos, notaremos que no es el mismo resultado. Por tanto, el descuento bancario no es lo mismo que el descuento simple; lo que equivale a decir, que en tiempos iguales y a una misma tasa, el valor actual P con descuento racional es siempre mayor, que el valor actual P con descuento bancario. La diferencia se fundamenta en que en el descuento bancario, el interés se paga por anticipado y en el descuento simple racional, el interés se paga de forma vencida.

6. Pagos parciales En las actividades comerciales, es frecuente la costumbre de utilizar obligaciones financieras en las que se aceptan pagos parciales o abonos a buena cuenta, dentro del plazo de la obligación, en lugar de un solo pago en la fecha de vencimiento. En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extinción de la obligación. En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas, el análisis y cálculo de los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las condiciones del comercio y la banca local según el país. Para cancelación de obligaciones con pagos parciales utilizaremos dos métodos muy usuales, tales como la Regla Americana y Regla Comercial. a. Regla americana

“En esta regla conocida como United State Rule o regla americana, el interés se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efectúa un pago parcial. Si el pago es menor que el interés vencido, el pago se lleva sin interés hasta que se hagan otros pagos parciales cuyo monto exceda el interés vencido a la fecha del último de dichos pagos parciales” (Ayres, Frank Jr. "Matemáticas Financieras", p. 62) La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese monto el valor del pago; así, se obtiene el valor del saldo insoluto en esa fecha. Este proceso se repite hasta calcular el saldo en la fecha de vencimiento, que será igual al último pago parcial y que saldará totalmente la deuda.

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= + = =

Algoritmo de la Regla Americana Saldo inicial de la deuda Interés devengado a la fecha de pago Monto de la deuda a la fecha de pago Valor del pago parcial Saldo insoluto

Este procedimiento se repite hasta concluir con el saldo igual a cero. La incógnita del procedimiento es hallar el valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento y que liquida totalmente la deuda o la obligación. Ejemplo 16: La empresa ACB debe pagar una deuda que tiene pendiente con el Banco Neptuno, a continuación detallamos las condiciones de la deuda en la tabla 6. Tabla 6 Concepto Deuda Deuda Interés corriente Primer pago parcial Segundo pago parcial Tercer pago parcial Cuarto pago parcial Interés por mora

Valor $25,000 $25,000 24% $7,000 $7,100 $7,300 $? 20%

Fecha Inicio 02 de agosto de 2001 Finaliza 27 de junio de 2002

Días 0 329

15 de octubre de 2001 12 de diciembre de 2001 20 de marzo de 2002 27 de junio de 2002

74 58 98 99

Solución Para que podamos hallar el valor del cuarto pago parcial es necesario seguir el algoritmo que establece la regla americana, teniendo en cuenta que los intereses a calcular en la fecha de cada pago, los realizaremos con la fórmula 1 de cálculo de interés simple con el factor de año comercial. En el gráfico 15 ilustramos la forma en se cancela la deuda especificando los pagos parciales y la fecha de los mismos. En la tabla 7 presentamos el algoritmo de la regla americana. Tabla 7 Signo = + = = + = = + = = + = =

Concepto Valor inicial de la deuda Intereses del primer pago Monto de la deuda primer pago Primer pago parcial Saldo después del pago Intereses del segundo pago Monto de la deuda segundo pago Segundo pago parcial Saldo después del pago Intereses del tercer pago Monto de la deuda tercer pago Tercer pago parcial Saldo después del pago Intereses del cuarto pago Monto de la deuda cuarto pago Cuarto pago parcial Saldo en la fecha de vencimiento

Fecha 02 – 08 – 01 15 – 10 – 01 15 – 10 – 01 15 – 10 – 01 15 – 10 – 01 12 – 12 – 01 12 – 12 – 01 12 – 12 – 01 12 – 12 – 01 20 – 03 – 02 20 – 03 – 02 20 – 03 – 02 20 – 03 – 02 27 – 06 – 02 27 – 06 – 02 27 – 06 – 02 27 – 06 – 02

Valor $25,000.00 $ 1,233.33 $26,233.33 $ 7,000.00 $19,233.33 $ 743.69 $ 19,977.02 $ 7,100.00 $ 12,877.02 $ 841.30 $ 13,718.32 $ 7,300.00 $ 6,418.32 $ 423.61 $ 6,841.93 $ 6,841.93 $ 0000.00

47


El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar intereses sobre los intereses capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales. Por ejemplo, si un deudor de una obligación con intereses del 24% a un año de plazo, hace pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el 2% mensual con capitalización mensual, es decir intereses compuestos y no simples. P = 25,000

Gráfico 15

02-08-01 15-10-01 $7,000

12-12-01 $7,100

20-03-02 $7,300

27-06-02 x=?

Tabla de pago

Una forma diferente de expresar los resultados del pago de una obligación financiera es, a través de la construcción de la tabla de amortización (no periódica) de la deuda, considerando que todo pago o cuota Ck contiene dos elementos importantes tales como: los intereses devengados o vencidos Ik y la amortización al principal Ak el cual disminuye el saldo insoluto, donde k es un contador y representa el k-ésimo pago parcial con 1 ≤ k ≤ N; así, la cuota y la amortización se expresan en las fórmulas 13 y 14. Ck = A k + Ik (Fórmula 13)

A k = Ck − Ik (Fórmula 14) La amortización de una obligación financiera generalmente se presenta en una tabla de pago, siendo ésta la forma más práctica ya que facilita tanto al deudor como al acreedor observar la disminución de la deuda periodo a periodo. La tabla contiene seis columnas básicas y suministra la información necesaria para los análisis pertinentes. La tabla 8 tiene seis columnas básicas y muestra los resultados de la amortización de la deuda en cada periodo de pago del ejemplo 16. Tabla 8 No. pago No. 0 1 2 3 4 Total

Fecha 02–08–01 15–10–01 12–12–01 20–03–02 27–06–02

Amortización AK $ 0000000 $ 5,766.67 $ 6,356.31 $ 6,458.70 $ 6,418.32 $25,000.00

Intereses IK $ 0000000 $ 1,233.33 $ 743.69 $ 841.30 $ 423.61 $ 3,241.93

Valor del pago CK $ 0000000 $ 7,000.00 $ 7,100.00 $ 7,300.00 $ 6,841.93 $28,241.93

Saldo SK $25,000.00 $19,233.33 $12,877.02 $ 6,418.32 $ 0000000 Pagado

En la tabla 8 podemos observar que el cuarto pago es la suma del tercer saldo más los intereses que genera dicho saldo durante el último periodo.

48


Ejemplo 17: Supongamos en el ejemplo 16 que el deudor se retrasó 23 días en cancelar el tercer pago parcial de $7,300; los intereses por mora se cobran al 20% anual. ¿Qué valor deberá pagar la empresa para ponerse al corriente? Solución: Todo pago o cuota por lo general está compuesto según la fórmula 13 por intereses y amortización al principal. En este caso se trata del pago 3, por tanto tenemos:

Ck=Ak + Ik =7,300, o sea: C3 =A3 +I3 =6,458.70+841.30 En los ejemplos anteriores sobre cálculo de interés por mora, pudimos entender que los intereses por mora se cobran con base al principal vencido (Ak=6,458.70) del pago retrasado, por la fórmula 6 los intereses moratorios son:  23  I = 6,458.70 (0.20 )   = 82.53 mo  360  Debido que el pago tres se retrasa consecuentemente el saldo dos de $12,877.02 también se retrasa; por eso, este último saldo lo tomamos en cuenta para el ajuste de interés corriente. Así, por la fórmula 7 tenemos:

I = ca

 23  12,877.02 (0.24)   = 197.45  360 

El total a pagar con mora lo detallamos a continuación: $6,458.70 $ 841.30 $ 82.53 $ 197.45 $7,579.98

principal de la cuota tres intereses corrientes de la cuota tres intereses por mora durante 23 días ajuste de intereses corrientes por 23 días Pago total

b. Regla comercial

Cuando las obligaciones financieras son cumplidas a través de la regla comercial, “el interés se calcula sobre la deuda original y sobre cada pago parcial a la fecha de vencimiento” (Frank Ayres Jr, “Matemáticas Financieras” p 55). El valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento lo determinamos a través de la diferencia entre el monto de la deuda y suma de todos los demás pagos parciales con sus intereses. La estrategia de solución de este método es la construcción de una ecuación de valor, haciendo que la fecha focal sea la fecha de vencimiento. Ejemplo 18: Una de deuda de $30,000 a 12 meses comerciales de plazo y con interés del 22%, se liquidará a través de los pagos parciales $10,000 en 4 meses, $12,000 en 7 meses. Hallemos el saldo en la fecha de vencimiento el cual constituye el tercer pago parcial. Solución: La representación gráfica de la solución es el gráfico 16. Por la fórmula 9 calcularemos el monto a interés simple de $30,000 a 12 meses de plazo esto es:   12  F = 30,000  1 + 0.22   = 36,600  12  

49


Calculemos el interés simple que genera cada pago parcial a la fecha de vencimiento. Para el pago de $10,000 el tiempo es 12-4=8 meses y para el pago de $12,000 es 12-7=5. Así, el interés de cada pago es:  8  I = 10,000 (0.22)   = 1,466.67  12   5  I = 12,000 (0.22 )   = 1,100.00  12  Para hallar la diferencia establecemos lo siguiente: Deuda original Intereses

$30,000.00 $ 6,600.00

Monto

$36,600.00

Primer pago parcial Intereses Segundo pago parcial Intereses Suma de los pagos

$10,000.00 $ 1,466.67 $12,000.00 $ 1,100.00 $24,566.67

El saldo en la fecha de vencimiento y tercer pago parcial será entonces: X=$36,000.00–$24,566.67=$12,033.33 30,000 Fecha de vencimiento

0

1

2

3

4

10,000

5

6

7

12,000

8

9

10

11

12 meses

X=?

Gráfico 16

Ejemplo 19: Un deudor debe pagar una deuda $15,000 a 6 meses comerciales de plazo y con interés del 25%. La deuda se liquidará a través de dos pagos parciales uno $9,000 en 4 meses y el saldo en el vencimiento. Por la regla comercial hallemos el saldo en la fecha de vencimiento. Solución Para obtener el monto, calculemos el interés simple de $15,000 a 6 meses de 6 plazo, I = 15,000 (0.25)   = 1,875.00  12  El interés simple que gana el pago parcial de $9,000 a la fecha de vencimiento, con el tiempo 2 de 6–4=2 meses es, I = 9,000 (0.25)   = 375.00  12  La diferencia entre el monto y la suma de los pagos es la siguiente: Deuda original $15,000.00 Primer pago parcial $ 9,000.00 Intereses $ 1,875.00 Intereses $ 375.00 Monto $16,875.00 Suma de los pagos $ 9,375.00

El saldo en la fecha de vencimiento que constituye el segundo pago parcial es; X=$16,875.00–$9,375.00=$7,500.00 50


7. Ecuaciones de valor En las operaciones financieras a menudo se nos presentan problemas relacionados con las inversiones equivalentes, es decir; que en tiempo y valor tienen el mismo significado económico; esta situación la podemos expresar a través de las ecuaciones de valor o financieras. “Una ecuación de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fecha que se escoge para la equivalencia” (Guillermo Baca Currea “Las Matemáticas Financieras y los Sistemas” p. 67). A esta fecha se le llama fecha focal que en el diagrama del perfil de flujos de caja lo denotaremos mediante una línea punteada vertical. Todas las cantidades, ya sean deudas o pagos deben ser trasladadas a la fecha focal con una tasa de interés que se denomina tasa de rendimiento. Cuando utilizamos el método de interés simple para formar la ecuación, la fecha focal debe ser un dato del problema, debido a que el valor de las cantidades varían si las fechas son diferentes. Con el método de interés compuesto (esto lo veremos más adelante), la fecha focal puede ser cualquier fecha y los resultados no cambian. Las ecuaciones de valor tienen su importancia para el cálculo de pagos equivalentes, en las reestructuraciones de deudas vencidas o por vencer; donde el proceso o modalidad de pago inicialmente establecido entre el prestamista y prestatario, se ha visto o se verá interrumpido por la incidencia de variables externas al proceso de repago de la deuda. A menudo se nos presentan dificultades en la formulación de la ecuación de valor; la siguiente metodología nos podría ser útil para el planteamiento de dicha ecuación. a. Dibujemos el diagrama del perfil de flujos y calculemos los montos de las deudas si no están dados. b. Traslademos los montos a la fecha focal con la tasa de rendimiento y efectuemos la suma. Ubiquemos este procedimiento sobre la línea del diagrama del perfil de flujos. c. Traslademos los pagos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, y calculemos la suma. Ubiquemos este procedimiento debajo de la línea del diagrama del perfil de flujos. d. Igualemos los resultados de la suma en (2) con la en (3) y despejemos la incógnita X que soluciona el problema de equivalencia financiera.

Para desarrollar los pasos 2 y 3 de la metodología señalada, podemos emplear las fórmulas 9 de valor futuro y 10 de valor presente. Si observamos el gráfico 17 vemos que la cantidad G está a la izquierda de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal es con la fórmula 9. La cantidad Q está a la derecha de la fecha focal, entonces el traslado a la fecha focal es con la fórmula 10. C antidad G

Fórm ula 9 Fecha focal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

m eses

G ráfico 17 Fórm ula 10

C antidad Q

51


Ejemplo 20: La empresa de Soldadores de Estructuras Metálicas S.A. “SEMSA” tiene tres deudas con el banco de Inversiones del Pacífico las cuales se detallan: a. $25,000 a plazo de 4 meses, al 18% de interés y que venció hace 3 meses. b. $28,500 a plazo de 6 meses, al 19% de interés y que vence dentro de 4 meses. c. $22,450.80 es un monto que vence dentro de 8 meses.

Debido a problemas de iliquidez de la empresa, ésta ha acordado con la gerencia del banco, el siguiente plan de pagos equivalentes los cuales reestructuran las deudas anteriores. Acuerdo: la empresa se compromete a lo siguiente: a. Efectuar un pago el día de hoy por $10,000. b. El saldo lo pagará en 3 cuotas iguales a efectuarse dentro de 6, 12 y 15 meses respectivamente.

Por su parte, el banco no cobrará intereses por mora y utilizará una tasa de rendimiento del 20% para el cálculo de los pagos y se acuerda como fecha focal dentro de 9 meses. Solución: Siguiendo la metodología descrita procedemos: 1. Calculemos los montos de cada una de las deudas a su fecha de vencimiento, gráfico 18   4  a . F = 25,000  1 + 0.18   = 26,500.00 venció hace tres meses  12     6  b . F = 28,500 1 + 0.19   = 31,207.50 ven c e dentro de 4 meses  12   c . F = 22,450.80 ven c e dentro de 8 meses 26,500.00

31,207.50

22,450.80

Hoy

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

meses

Gráfico 18

2. Traslademos los montos a la fecha focal dentro de 9 meses, con la tasa de suma de los montos (88,433.11) la señalamos sobre gráfico 19.     12    5  26,500 1 + 0.20    + 31,207.50 1 + 0.20    + 22,450.80 1 + 0.20  12    12      3 1,800 + 33,808.13 + 22,824.98 = 88,433.11 8 8 ,4 3 3 .1 1 2 6 ,5 0 0

3 1 ,2 0 7 .5 0

2 2 ,4 5 0 .8 0

F e c h a fo c a l

Hoy

-3

1 0 ,0 0 0

-2

-1

0

1

2

G rá fic o 1 9

3

4

5

6

7

8

9

10

11

X

1 1 ,5 0 0 + X (2 .9 1 1 4 7 1 )

52

12

X

13

14

15

X

rendimiento. La  1   12

  = 


3. Traslademos los pagos a la fecha focal dentro de 9 meses, con la tasa de rendimiento y determinemos la suma, cantidad debajo del gráfico 19.  10,000 1 + 0.20 

  9     + X 1 12   

11,500 + X (1.05 ) + X (0.952381

        1 1  3  = +X + 0.20   + X   6   3     12    1 + 0.20  12    1 + 0.20  12         ) + X (0.909090 ) = 11,500 + X (2.911471 )

4. Igualando los resultados de 2 y 3 (valores en círculos) y despejando la incógnita X, obtenemos: 88,433.11 − 11,500 76,933.11 88,433.11 =11,500 + X(2.911471) X= = = 26,424.14 2.911471 2.911471 Así, cada pago será de $26,424.14 dentro de 6, 12 y 15 meses con los cuales se cancelan todas las deudas con el banco. Tabla para hallar el número exacto de días entre dos fechas

En la tabla 9 podemos hallar fácilmente el número exacto de días que abarca cualquier periodo de tiempo dentro de un año. Tabla 9 DESDE CUALQUIER FECHA MESES ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE 0CTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE

AL MISMO DIA DE LA PROXIMA FECHA ENE 365 334 306 275 245 214 184 153 122 92 61 31

FEB 31 365 337 306 276 245 215 184 153 123 92 62

MAR 59 28 365 334 304 273 243 212 181 151 120 90

ABR 90 59 31 365 335 304 274 243 212 182 151 121

MAY 120 89 61 30 365 334 304 273 242 212 181 151

JUN 151 120 92 61 31 365 335 304 273 243 212 182

JUL 181 150 122 91 61 30 365 334 303 273 242 212

AGO 212 181 153 122 92 61 31 365 334 304 273 243

SEP 243 212 184 153 123 92 62 31 365 335 304 274

OCT 273 242 214 183 153 122 92 61 30 365 334 304

NOV 304 273 245 214 184 153 123 92 61 31 365 335

DIC 334 303 275 244 214 183 153 122 91 61 30 365

Reglas para usar la tabla 9:

1. Si queremos obtener el número exacto de días comprendidos entre cualquier fecha de un mes y la misma de cualquier otro mes, hallamos el número de la tabla situado en la columna encabezada por el mes terminal y en la línea correspondiente al nombre del mes inicial. Ejemplo: Hallemos el número de días desde:

El 15 de marzo al 15 de octubre

= 214 días

2. Cuando el número del día del mes terminal es mayor que el número del día del mes inicial, hallemos en la tabla el número que corresponde al número de días comprendidos entre las mismas fechas de los dos meses como en el caso (1), y sumémosle la diferencia entre el número del día del mes terminal y el del mes inicial. Ejemplo: Determinemos el número de días desde: El 8 de enero al 20 de agosto

=212+12=224 días

53


3. Cuando el número del día del mes inicial es mayor que el del día del mes terminal, hallamos el número de la tabla que corresponde al número de días comprendidos entre las mismas fechas de los dos meses, como en el caso (1), y retémosle la diferencia entre el número del día del mes inicial y el mes terminal. Ejemplo: Hallemos el número de días desde: El 20 de noviembre al 10 de abril

=151–10=141 días.

Sintetizando tenemos lo siguiente: Concepto Interés Simple

Interés Simple Comercial

Interés Simple Exacto

Cálculo financiero con el que el capital invertido no sufre variaciones en el tiempo que dura la transacción. La tasa de interés se aplica únicamente al principal inicial en base al tiempo estipulado. Calculado sobre la base del año comercial de 360 días y cada mes de 30 días. También conocido como Interés Bancario Calculado sobre la base de 365 días.

Conceptos relacionados

Formula

I: Interés acumulado o devengado P: Principal i: Tasa de interés del periodo N: Plazo o número de periodos

I = Pin

 n     360 

n: Número de días efectiv os I: Interés acumulado o devengado P: Principal n: Número de días exactos

 n  I = Pi    365 

Tasa de interés activa: Cobrada por banco e instituciones financieras al otorgar prestamos a personas naturales y jurídicas para financiar actividades económicas. Tasa de interés pasiv a: Pagada por bancos e instituciones financieras a los ahorrantes al captar dinero. Tasa de Interés

Razón del rédito devengado respecto al capital inicial invertido.

Tasa de rentabilidad a interés simple: Porcentaje de utilidad obtenido o que se espera obtener de una determinada inversión.

 G  r =   INV 

( )( )

Tasa de interés por mora: Porcentaje de recargo por incumplir el pago en la fecha establecida. Ajuste de interés corriente: Aplicado al último saldo de la deuda en el período retrasado. Tasa de Variación monetaria (devaluación): Hace cambiar el valor de una moneda respecto a otra que sirve de patrón. Equivalencias Financieras Valor futuro de una suma de dinero Valor presente de una suma de dinero

Pagos parciales

Cantidad acumulada al final de cierto período de tiempo. Incluye principal más intereses. Cantidad al inicio de cierto periodo de tiempo, no contiene intereses.

Descuento racional: Diferencia entre el valor futuro F de una cantidad presente P Regla Americana: El interés se acumula sobre el saldo pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efectúa un pago parcial. Saldo inicial de la deuda + Interés devengado a la fecha de pago = Monto de la deuda a la fecha de pago - Valor del pago parcial = Saldo insoluto Regla comercial: El interés se calcula sobre la deuda original y sobre cada pago parcial a la fecha de vencimiento.

Ecuaciones de Valor

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( )( )

I =S i t ca a c m i = v

Valor actual - Valor anterior Valor anterior

Diferentes sumas de dinero, equivalentes si tienen el mismo valor económico en el tiempo, utilizando conjuntamente una tasa de interés.

Descuento bancario: Cobra intereses por antic ipado, sobre el valor final del documento (pagaré, letra de cambio, certific ado, etc.) Descuentos

I =P i t mo cv m m

Igualdad de valores, que se ubican en una fecha escogida para la equivalencia. La ecuación de valor permite calcular pagos equivalentes, en las reestructuraciones de deudas vencidas o por vencer; donde el proceso de pago se ha visto o se verá interrumpido por incidencia de variables externas al proceso de repago de la deuda.

F = P+ P i n = P[ 1 + i (n)] P=

[1

F + i ( n )]

D=F–P; I=F–P; D=I D=Fdn

D = F − P = F−

F

[1 + d ( n )]

C = A +I k k k

A = C −I k k k


Actividad de autoaprendizaje no. 2 1. Calculo el interés simple comercial de:$3,100 durante 125 días al 9% semestral. a. $2,500 desde el 8 de septiembre al 12 de febrero del siguiente año al 4% trimestral. b. $6,640 durante 9 meses comerciales y 25 día al 3.1% bimensual. c. $1,600 desde el 13 de enero al 20 de octubre del mismo año bisiesto, al 0.94% mensual. d. $4,000 durante 8 meses al 0.88% mensual. e. $1,350 durante 16 semanas al 25%. 2. En el problema 1 únicamente cambiaré la tasa de interés y calcularé el monto. a. 15% . b. 1.2% mensual c. 7.1% semestral d. 2.5% bimensual e. 0.005% semanal f. 3.5 trimestral. 3. Una inversión de $8,000 genera intereses pagaderos al final de cada mes comerciales por la cantidad de $140 durante 18 meses. Calculo la tasa de rendimiento anual sobre la inversión. 4. Una persona realiza un depósito el día 20 de marzo por $500 y el día 18 de noviembre del mismo año le pagaron intereses por $42.19. Determino la tasa de rentabilidad anual. 5. El 21 de junio se depositan $4,250 en un banco que reditúa el 8.3% ¿cuánto se acumula el 3 de noviembre del mismo año? 6. ¿En qué tiempo un capital de $5,000 produce $1,995 al 9% semestral de interés simple? 7. ¿En qué tiempo un capital de $2,500 alcanza un monto de $2,811.11 al 4% trimestral de interés simple? 8. ¿En qué tiempo un capital de $3,000 produce $72 al 2% bimensual de interés simple? 9. ¿En qué tiempo un capital de $2,800 alcanza un monto de $4,643.33 al 20% de interés simple? 10. El monto de un préstamo es $15,000 que vence dentro de 12 meses a una tasa de 16%. Calculo su valor considerando cada caso de manera independiente: a. El día de hoy. b. Dentro de un año y 26 días. c. Dentro de 8 meses. d. Dentro 5 meses y 18 días. e. Dentro de 15 meses. 11. Calculo la tasa de interés anual a la cual el monto de $10,000 es $11,483.33 en 10 meses. 12. Un empresa adquiere un pagaré de valor nominal $18,000 en el mercado de valores pactado a 9 meses comerciales y un interés del 18.5%. Determino: a. La ganancia del señor Ales b. Asumo que el señor Ales decide vender el documento a los 140 días, c. ¿cuánto recibirá si la tasa en el mercado varía al 20% para esta clase de títulos? d. ¿Qué tasa de rendimiento obtendría sobre la inversión durante los 140 días? 13. Una persona realiza una transacción con un Banco y le queda debiendo $12,000 con vencimiento en 6 meses y $9,400 con vencimiento en 8 meses. Calculo el valor de los pagos para saldar las deudas, si la nueva transacción gana intereses del 20%: a. Se cancelan mediante un pago único inmediato. b. Se cancelan mediante dos pagos iguales, el primero dentro de 6 meses y el segundo dentro de un año. Fecha focal dentro un año. c. Se cancelan mediante 3 pagos iguales, el primero dentro de 6 meses, el segundo dentro de 9 meses y el tercero dentro de un año. Fecha focal dentro de un año. d. Se cancelan mediante pago único dentro de 10 meses. 14. La señora Martínez desea comprar una casa el día de hoy y se le presentan dos ofertas: (1) $10,000 iniciales y $8,000 después de 9 meses, (2) $8,000 iniciales y $10,000 después de un año. Si la tasa de interés es del 20% qué oferta deberá seleccionar? 15. La señora Tercero adquiere un terreno valorado en $8,000 mediante un pago de contado de $2,000. Conviene en pagar el 25% de interés sobre el saldo. Si paga $2,500 tres meses después de la compra, $2,200 seis meses más tarde. ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer 1 año después de iniciada la transacción para liquidar totalmente el saldo? Uso el método de Regla Americana.

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Educación a Distancia. UCA 16. Calculo el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de $10,000 a un año de plazo al 30% si es reducido mediante dos pagos iguales de $3,500 cada uno, efectuados 5 meses y 8 meses antes de la fecha de vencimiento. Uso el método de la Regla Americana. 17. El Sr. Marcelo Alvarado da de cuota inicial $2,500 el día de hoy, por la compra de una casa cuyo precio de contado es de $12,500. posteriormente pagará $2,500 al final de cada trimestre durante 3 trimestres. Encuentro el saldo insoluto al final del año aplicando el método de la Regla Americana con intereses del 20% sobre saldos. 18. En el ejercicio anterior supondré que la casa no se canceló al finalizar el año, sino que se canceló 46 días después. Si la tasa de interés moratoria es del 10%, encuentro el valor del pago que liquida totalmente la casa. 19. Un pagaré con valor nominal de $19,350 se comercializa en $18,500 el 3 de diciembre. ¿Qué día vence si le descuentan el 40.3% de interés simple anual?. 20. ¿Cuánto debe invertir un padre de familia el 12 de septiembre en una cuenta bancaria que paga el 19.8%, para disponer de $16,000 el 15 de diciembre siguiente? 21. El 5 de enero se compra un equipo de cómputo que se paga con una prima de $6,000, un pago de $8,000 el 20 de febrero y el otro el 19 de marzo para liquidar el resto ¿por cuánto será este pago si el precio del equipo fue de $20,600 y se cargan intereses del 26% simple anual? 22. ¿Cuánto paga por intereses un distribuidor de abarrotes si el 10 de junio compra mercancías por $16,500, hace un anticipo del 30% y paga el resto el 25 de septiembre con recargos del 32.3% de interés simple? 23. El Sr. González compra un bono al 97% de su valor nominal de periodicidad 2, que produce en cada período semestral $6,550. Si el valor nominal del bono es de $65,000. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad anual del señor González? 24. Hace 5 meses obtuve un préstamo por $5,000 al 18%. Pagué $1,500 hace 3 meses, hoy pagaré $950, quiero saber cuanto pagaré dentro de 2.5 meses para saldar la deuda. 25. La empresa AVAL emite un certificado de inversión por $10,000 dólares el cual se oferta al público, mediante una tasa de descuento del 12% a un plazo de 270 días. a. Si el Sr. Torres lo compra, determino el precio que paga por el certificado y la tasa de rendimiento que obtiene. b. Suponiendo que transcurrido 144 días el Sr. Torres decide venderlo a una Sociedad Financiera la cual desea ganar el 13% anual sobre el valor facial, determino el valor que recibe por la venta y la tasa de rentabilidad por los 144 días de la inversión. 26. La empresa Agropecuaria San Bernardino ubicada en el Municipio de San Bartolomé, tiene tres deudas pendientes con una institución financiera local de la siguiente manera: a. $10,000 a plazo de 1 año con el 20% de interés y vence dentro de 5 meses b. $8,500 a plazo de 1.5 años con interés de 22% y vence dentro de 9 meses c. $12,000 a plazo de 8 meses con interés de 19.5% y vence el día de hoy La empresa no puede asumir el pago de las deudas de la forma programada, debido a esto el banco le concede una extensión de 1.5 años de plazo a partir de hoy para que cancele las 3 deudas con tasa de rendimiento del 26% debiendo escoger uno de los siguientes sistemas de pagos: a. Un pago de $5,000 el día de hoy y 3 pagos iguales en los meses 6, 12 y 18, con fecha focal en 5 meses. b. Tres pagos en los meses 6, 12 y 18 en la siguiente forma, el segundo es mayor que primero en $3,000 y el tercero es mayor que el segundo en $2,000, fecha focal en el mes 6. c. Un pago dentro de 6 meses por $4,600 y 4 pagos iguales en los meses 9, 12, 15 y 18, fecha focal en 9 meses. d. Cuatro pagos iguales, en los meses 0, 6, 12 y 18 fecha focal en el día de hoy. e. Cinco pagos crecientes en $2,500 cada uno, en los meses 6, 9, 12, 15 y 18 fecha focal en el mes 12. f. Un pago de $6,000 en el mes 6 y dos pagos iguales en mes 9 y 18, fecha focal en el mes 9. g. Un pago de $15,000 en el mes 12 y el saldo en el mes 18, fecha focal mes 18. h. Un pago de $5,000 en el mes 4, otro de $10,000 en el mes 10 y dos pagos iguales en los meses 15 y 18, fecha focal en el mes 10. i. Un pago de $8,000 en el mes 0 y tres pagos iguales en los meses 5, 10 y 15, fecha focal en el mes 5.

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Módulo autoformativo: “Introducción a la Gestión Financiera” 27.La empresa TV-UNO emite un certificado de valor facial (final) de $100,000 a plazo de un año comercial. Hace 145 días fue adquirido por la Cía. de Inversiones Perazza a través de un descuento de 13%. En este momento la Cía. tiene en venta el certificado y tiene dos opciones de compra. (1) El comprador ofrece un descuento del 13.90%; (2) Se paga un valor neto que garantice una rentabilidad del 14.30%. Analizo la opción que le conviene a la Cía., calculando: a. El valor que recibe por la venta en cada caso. b. La rentabilidad que obtiene en cada caso. 28. Un certificado negociable de inversión de valor facial de $25,000 a plazo de 270 días, es comprado por el inversionista A con una tasa de descuento del 12%. Calculo, el valor de la inversión y la rentabilidad de A. 29. En el ejercicio anterior supondré que el documento se vende 120 días antes de su vencimiento y es adquirido por el inversionista B con el descuento del 13.7%. determino: a. El valor de la inversión y la rentabilidad de B. b. La rentabilidad de A. 30. La Sociedad Financiera XS compra un CENI’s emitido por el BCN a una tasa de descuento del 13.70% a plazo de 300 días. Si el valor facial del certificado es de $30,000 determino: a. El valor de la inversión y la tasa de rendimiento de la Sociedad. . b. Supondré que la Sociedad vende el certificado a los 160 días al Grupo Delta con un rendimiento del 13.20% . Determino la cantidad que recibe por la venta y la rentabilidad de la Sociedad XS. Luego de haber realizado esta actividad de autoaprendizaje podré comprobar mis aciertos y desaciertos, buscando las respuestas correctas en la página 102 de las hojas de respuesta.

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C. Interés compuesto ¿Qué es el Interés Compuesto?

Anteriormente abordamos problemas de interés simple, donde el capital permanece invariable o constante durante todo el tiempo que dura la transacción y los intereses se retiran periódicamente. Cuando utilizamos el método de Interés Compuesto, el capital aumenta en cada período; por cuanto el interés se integra al capital, para luego calcular intereses sobre un nuevo monto en cada período. Por ello, es muy corriente decir que en el Interés Compuesto “los intereses ganan intereses”, debido que éstos se capitalizan en cada período de liquidación de interés. Al proceso de integración de los intereses al capital al final de cada período de interés, le conocemos como capitalización de intereses y constituye la esencia del método de interés compuesto. Producto de esta dinámica, el capital invertido con este método crece más rápidamente, convirtiéndose en el sistema de cálculo de intereses más utilizado en las operaciones financieras de las instituciones bancarias y de préstamos.

1. Deducción de la formula del monto compuesto Estamos interesados en deducir la fórmula general que nos permitirá el cálculo del monto de una suma de dinero a interés compuesto. En particular iniciaremos con el ejemplo 21. Ejemplo 21: Una persona acude a un banco y deposita $2,000 en una cuenta de ahorro a plazo fijo de un año. El banco paga interés del 9% convertible trimestralmente (interés compuesto). ¿Cuál será el valor del depósito al final del año? Solución Se trata de hallar el valor futuro del depósito con una tasa de interés del 0.09/4 = 2.25% acumulativo por trimestre. Esta situación se ilustra en la tabla 10. Datos:

P=2,000, i=0.0225 trimestre,

N=4 trimestres Tabla 10

Periodo trimestral No. 1 2 3 4

Valor inicio de periodo P $2,000.00 $2,045.00 $2,091.01 $2,138.06

Interés devengado en el periodo I=Pin 2,000.00(0.0225)= 45.00 2,045.00(0.0225)= 46.01 2,091.01(0.0225)= 47.05 2,138.06(0.0225)= 48.11

2 ,1 3 8 .0 6 2 ,0 4 5

0

1

Valor a final de periodo F=P+Pin $2,045.00 $2,091.01 $2,138.06 $2,186.17

2 ,1 8 6 .1 7

2 ,0 9 1 .0 1

2

3

4 T rim e s tre s

G rá fic o 2 0 1 ,0 0 0

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Los nuevos montos o valores futuros en cada periodo, se muestran en el gráfico 20, observemos que en cada trimestre, el interés se suma al capital a este proceso se le llama capitalización. El flujo mostrado en el gráfico 20 se puede representar a través del gráfico 21 donde la operación se realiza desde el valor presente hasta el valor futuro, o sea, desde el inicio hasta el final del plazo. 2,186.17

0

1

2

3

4 Trimestres

Gráfico 21 1,000

2. Valor futuro de una suma de dinero Para deducir la fórmula general del cálculo de la equivalencia financiera entre una suma de dinero presente P y una suma futura F llamada monto, utilizaremos los resultados del ejemplo 21, los cuales se muestran en la tabla 11. Tabla 11 Periodo de interés No. 1 2 3 4 . . . N

Valor inicio de período P P P(1+i) P(1+i)2 P(1+i)3 . . . P(1+i)N-1

Interés devengado en el periodo I Pi P(1+i)(i) P(1+i)2 (i) P(1+i)3(i) . . . P(1+i)N-1(i)

Valor final de período F F=P(1+i) F=P(1+i)2 F=P(1+i)3 F=P(1+i)4 . . . F=P(1+i)N

De lo anterior se generaliza la fórmula de valor futuro a interés compuesto para N períodos de capitalización de intereses de la siguiente manera: N F = P ( 1 + i ) (Fórmula 15) Donde: F : Valor Futuro o monto a interés compuesto de una deuda P : Valor Presente o principal de una deuda J : Tasa de interés nominal periódica m: Frecuencia de capitalización o liquidación de intereses según el período de la tasa nominal j i : Tasa de interés efectiva para período de capitalización diferente de año n : Plazo en años y total de capitalizaciones anuales de intereses N :Número total de capitalizaciones en el plazo de la operación financiera ie: Tasa de interés efectiva anual La fórmula 15 también se puede escribir en sus formas equivalentes de la siguiente manera: j  F = P  1 + m 

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 m.n (Fórmula 16)  


F = P ( 1 + ie

Donde: j i = m N = m.n

)

n

(Fórmula 17)

Tasa periódica o efectiva Número de periodos de capitalización

j m  ie =  1 +  −1 m  

(Fórmula 18)

En la fórmula 18 el valor de la tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal anual si m=1. Si resolvemos nuevamente el ejemplo 21 por la fórmula 16, obtenemos el mismo resultado; Datos: P=$2,000 j=9% tasa nominal anual m=4 frecuencia de capitalización anual i=j/m=2.25% tasa efectiva trimestral n=1 año de plazo de la operación N=4 periodos capitalización Solución

F = 2,000 ( 1 + 0.0225

)

4

= 2,000(1.093083 ) = 2,186.17

Observemos que el resultado es el mismo, tanto por deducción como por inducción. En la solución anterior debemos señalar que el valor de 0.0225 es lo que gana un dólar en un trimestre y N=4x1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la operación financiera; lo que significa que $2,000 colocados al 2.25% trimestral producen al cabo de 4 trimestres un monto o valor futuro de $1,186.17 dólares.

3. Tasas de interés Por efecto de capitalizar intereses en cada período, definimos dos tasas de interés. a. Tasa nominal

La tasa de interés nominal es la tasa pactada o establecida en toda operación financiera, generalmente es para períodos anuales pero también puede definirse para períodos menores que un año. Esta tasa no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifica la frecuencia de liquidar o capitalizar intereses. Por ejemplo, consideremos las siguientes tasas de interés con su frecuencia de convertir o capitalizar intereses. La tasa nominal la denotaremos por j. 1) 20% convertible trimestralmente, significa que es una tasa nominal anual con 4 conversiones en un año. 2) 18% convertible mensualmente, tasa nominal anual con 12 conversiones anuales.

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3) 24% convertible semestralmente, tasa de interés nominal anual con 2 conversiones en un año. b. Tasa efectiva

La tasa efectiva es periódica y expresa la rentabilidad a interés compuesto, mide el porcentaje de ganancia de la inversión, por tanto tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo. En este texto, la tasa efectiva para periodo diferente de un año la denotaremos como i; para periodo anual, la tasa efectiva la denotaremos por ie. La tasa efectiva periódica i esta dada por: i =

j m

La tasa efectiva anual está por la fórmula 18.

j m  ie =  1 +  − 1 T asa efectiva anual m  

Tasa periódica o efectiva

Ejemplo 22: Para cada uno de los casos determinemos las tasas efectivas. 1) Para 24% convertible mensualmente (CM). Es una tasa nominal j con frecuencia anual m=12 de capitalizar intereses con:

0.24 Tasa periódica efectiva mensual = 2% 12 0.24  12 j m   i = 1 +  − 1 = 26.8242% Tasa efectiva anual  − 1 = 1 + e 12  m    j 0.16 i = = = 4% Tasa periódica efectiva trimestral m 4 j m 0.16  4   i = 1 +  − 1 = 1 +  − 1 = 16.9859% Tasa efectiva anual e m  4    2) 7% semestral. Es una tasa efectiva i=7% por semestre. 3) 16% convertible trimestralmente (CT). Es una tasa nominal j con frecuencia anual m=4 con tasas efectivas; 4) 12% semestral, convertible bimensualmente (CB). Es una tasa nominal j de con frecuencia anual m = 6. j 0.12 i = = = 2% Tasa periódica efectiva bimensual m 6 j m 0.12  6   i = 1 +  − 1 = 12.6163% Tasa efec tiva anual  − 1 = 1 + e m  6    i =

j = m

Concluimos del ejemplo anterior lo siguiente: si una empresa invierte al 24% convertible mensualmente, entonces tiene una ganancia o rentabilidad anual 26.8241% equivalente una rentabilidad mensual del 2% acumulativo, es decir que la ganancia mensual se invierte a la misma tasa. De igual manera, si invierte al 16% convertible trimestralmente, obtiene una ganancia anual de 16.9859% y una rentabilidad equivalente trimestral de 4% acumulativo.

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En la tabla 12 presentamos las notaciones y las frecuencias más usuales de la tasa nominal anual en las operaciones financieras. Tabla 12 Concepto Convertible anualmente Convertible semestralmente Convertible trimestral Convertible bimensualmente Convertible mensualmente Convertible semanalmente Convertible diariamente Convertible continuamente

Notación CA CS CT CB CM CSe CD CC

Frecuencia m =1 m =2 m =4 m =6 m = 12 m = 52 m = 365 m → ∝ (infinito)

Ejemplo 23: Calculemos el monto F de un capital de $6,000 invertido, al 20% CS a 5 años de plazo: Datos: P=$6,000 capital invertido j=20% tasa de interés nominal anual m=2 frecuencia de conversión de intereses anuales i=j/m=0.20/2=10% tasa efectiva del periodo n=5 años de plazo o tiempo N=m.n=2(5)=10 periodos capitalizados semestrales F=? Solución: La solución la hallamos utilizando la fórmula 15. 10 F = 6,000 ( 1 + 0.10 ) = 6,000 (2.593742 ) = $15,562.45 Ejemplo 24: Determinemos el valor final F de un depósito de $10,000 invertido, al 8% CM a 16 meses de plazo: Datos: P=$10,000 j=8% m=12 i=j/m=0.08/12=0.6666% n=16/12=1.33333 N=m.n=12(1.333333)=16 F=?

principal depositado tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva del periodo años de plazo número de periodos capitalizados

Solución: La solución la hallamos utilizando la fórmula 16. 16 0.08  12 (12)  F = 10,000 1 + = 10,000 (1.112169 ) = $11,121.69  12  

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Ejemplo 25: Calculemos el monto F de un préstamo de $15,000 que se concede el día 10 de enero y vence el día 18 de julio del mismo año con el interés del 18% CT. Datos: P=$15,000 j=18% m=4 i=j/m=0.18/4=0.045% n=189/360=0.525 N=m.n=4(0.525)=2.1 F=?

principal prestado tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de interés anual tasa efectiva del periodo años de plazo número de periodos capitalizados

Solución: La solución la hallamos utilizando la fórmula 16. 189 0.18  360 (4 )  F = 15,000 1 + = 15,000 (1.096842 ) = $16,452.63  4   Ejemplo 26: Determinemos el valor final F de un certificado de $30,000 que se adquiere con un interés del 12% CD a plazo de 3 años. Datos: P=$30,000 j=12% m=365 i=j/m=0.12/365=0.032876% n=3 N=m.n=365(3)=1,095 F=?

valor inicial de la inversión tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva del periodo años de plazo número de periodos capitalizados

Solución: La solución la hallamos utilizando la fórmula 16. 0.12  (3 )(365 )  F = 30,000 1 + = 30,000 (1.433244 ) = $42,997.33  365   Ejemplo 27: Hallemos el monto F de un capital de $5,000 invertido, al 0.76% mensual a un año de plazo: Datos: P=$5,000 m=12 i=0.76% n=1 N=m.n=12(1)=12 F=?

principal invertido frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva del periodo año de plazo periodos capitalizados

Solución: La solución la hallamos utilizando la fórmula 15

12 F = 5,000 ( 1 + 0.0076 ) = 5,000(1.09511) = $5,475.55

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Podemos proponernos hacer una comprobación de los resultados de los ejemplos anteriores utilizando las fórmulas 15, 16 y 17 y notaremos que son los mismos para cada operación financiera. Ejemplo 28: Comprobemos el resultado del ejemplo 26 por la fórmula 17. Datos: P=$30,000 j=12% m=365 i=j/m=0.12/365=0.032876% n=3 N=m.n=365(3)=1,095 F=?

valor inicial de la inversión tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva del periodo años de plazo número de periodos capitalizados

Para usar fórmula indicada primero debemos calcular la tasa efectiva anual ie, esto es; 0.12  365  i = 1 + − 1 = 12.7475% efectiva anual  e 365   Así, la solución por la fórmula 17 que obtenemos es: F = 30,000 (1 + 0.127475 ) 3 = 30,000 (1.433244 ) = $42,997.33

La solución que hallamos anteriormente por la fórmula 16 estaba dada por; 0.12  (3 )(365 )  F = 30,000 1 + = 30,000 (1.433244 ) = $42,997.33  365   Concluimos que el resultado es el mismo, lo cual significa que las tasa de interés nominal del 12% CD es equivalente al 12.7475% efectivo anual. c. Tasas equivalentes

Dos o más tasas de interés, tanto nominales como efectivas son equivalentes, si al final del período rinden los mismos intereses y tienen la misma tasa periódica efectiva, es decir; para el inversionista le es indiferente invertir con cualquiera de las tasas dado que al final del plazo el monto es el mismo, como lo vimos en el ejemplo 28. Más adelante abordaremos el cálculo de las tasas equivalentes.

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4. Valor presente de una suma de dinero El valor actual o presente P a interés compuesto, es el valor del dinero el día de hoy o el valor en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del valor presente responde a la pregunta: si se desea una determinada cantidad de dinero en el futuro, ¿cuánto se tendrá que invertir hoy, conociendo la tasa de interés y el plazo de la inversión? Otra forma de uso del valor presente, es para saber el valor actual de una deuda pendiente si deseamos pagarla por adelantado antes de la fecha de su vencimiento. De las fórmulas 15 y 16 al despejar la variable P, obtenemos el valor presente a interés compuesto, de la siguiente manera: P = F (1 + i )− N =

F

(1

+ i )N

( Fórmul a 19)

j  − mn F  P = F  1 + =  m j  mn    1 +  m  

(Fórmula 20 )

Todas las variables básicas definidas en las fórmulas 15 y 16 son válidas para las fórmulas 19 y 20. Ejemplo 29: Una empresa debe pagar dentro de 2 años, 5 meses y 18 días la cantidad de $100,000 a un interés del 16% CS ¿Cuál es su valor presente? Datos: F=$100,000 j=16% m=2 i=j/m=0.16/2=0.08 n=2+5/12+18/360=2.4666666 N=m.n=2(2.4666666)=4.93333

valor futuro CS tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses en el año tasa efectiva por semestre plazo en años total de capitalizaciones semestrales

Solución: Por la fórmula 19 obtenemos el valor presente o actual − 4.933333 P = 100,000 ( 1 + 0.08 ) = 100,000(0.684084) = $68,408.41

El resultado anterior significa que el valor actual de la deuda futura $100,000 es de $68,408.41, cantidad que no contiene intereses y representa el valor del pronto pago el día de hoy.

5. Diferencias entre el interés simple y compuesto Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos métodos: a. La aplicación de los métodos difieren en respuesta al tipo de operación financiera efectuada; si los intereses son pagaderos por período, actúa el interés simple. Si los intereses son integrados al principal en cada período de liquidación de intereses, actúa el método de interés compuesto.

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b. El crecimiento de una inversión específica se da en forma más acelerada si es colocada a interés compuesto que a interés simple para un mismo plazo y una misma tasa de interés. Si observamos el ejemplo, 21 resuelto en la tabla 10 podemos apreciar que el monto a interés compuesto de 2,000 dólares, colocados a una tasa del 2.25% trimestral, durante un año de plazo, resulta $2,186.17. En cambio si realizamos el cálculo a interés simple detectamos que se produce una ligera disminución de $6.17 dólares en el monto de la misma operación. Efectivamente, este resultado lo observamos en la tabla 13 y lo comprobamos a través de:

F = P [ 1 + i(n)] = 2,000 [1 + 0.0225(4 )] = 2,000(1.09 ) = $2,180.00 La diferencia entre el cálculo de interés compuesto y simple es debido a que los intereses devengados con interés simple en cada periodo no ganan intereses, ya que los intereses no se capitalizan. Tabla 13 Período trimestral No. 1 2 3 4

Valor inicio de período P $2,000.00 $2,000.00 $2,000.00 $2,000.00

Interés devengado I=Pin 2,000.00(0.0225)=45.00 2,000.00(0.0225)=45.00 2,000.00(0.0225)=45.00 2,000.00(0.0225)=45.00

F

Valor final de período F=P+Pin $2,045.00 $2,090.00 $2,135.00 $2,180.00

Monto a interés compuesto Monto a interés simple.

P 0

1

2

3

4 5 Gráfico 22

...

n

años

Como ejercicio independiente dejamos al lector que establezca la relación entre las tasas de interés de un cierto capital invertido a interés simple y compuesto. El método de cálculo del interés compuesto, hace crecer a la inversión o principal de forma exponencial, en vista del proceso de capitalización de los intereses. El monto o valor futuro a interés compuesto crece en forma de razón geométrica y su gráfico corresponde a una función exponencial; en cambio, el valor futuro a interés simple crece en forma de progresión aritmética y su crecimiento corresponde a una función lineal, como se aprecia en el gráfico 22. a. Uso de factores a través de tablas

Desde hace buen tiempo ha sido una tradición en la enseñanza de las Matemáticas Financieras, el empleo de las tablas de factores financieros dado que los especialistas en finanzas elaboraron tablas con factores para facilitar los cálculos del valor del dinero.

67


Con el desarrollo de la ciencia y la técnica y el surgimiento de las calculadoras electrónicas, el uso de las tablas financieras han quedado relegadas debido a su limitación para abordar una diversidad de casos relacionados con las operaciones financieras. Por eso, en este texto trataremos en lo adelante no hacer uso de las tablas de factores financieros, ya que éstos serán calculados a partir de las fórmulas estándares, por ello se hace necesario e indispensable que dispongamos de una calculadora que nos facilite realizar dichos cálculos. No obstante, podemos hacer algunos cálculos empleando las tablas de factores, la cual le hemos llamado “forma alternativa de cálculo”. b. Cálculo de valor futuro con la forma alternativa

Como definimos antes el valor futuro F, es la cantidad resultante al final de cierto período de tiempo (cierto número de períodos de capitalización) después de sucesivas adiciones de los intereses al capital o principal. Plantearemos ahora, la fórmula 21 de forma alternativa para el cálculo del monto de la siguiente manera: F=P(F/P, i, n) (Fórmula 21) La expresión (F/P, i, n) se lee “se busca F dado P a la tasa de interés i durante el tiempo n o número de capitalizaciones N y se encontrará en la primera columna (F/P) de las tablas de factores de matemáticas financieras. El valor numérico ( 1 + i ) N =  1 + j m 

de la expresión (F/P, i, n) es exactamente igual al factor  nm  de la fórmula 15 para el cálculo del monto compuesto. 

c. Cálculo de valor presente con la forma alternativa

De la fórmula 19 también podemos determinar el valor presente P, utilizando la fórmula alternativa 22 a través de tablas financieras o sea; P=F(P/F, i, n) (Formula 22) La expresión (P/F, i, n) se lee “se busca P dado F a la tasa de interés i, durante el tiempo n (o períodos de capitalizaciones N)” y se encontrará en la segunda columna (P/F) de la tabla de factores de matemáticas financieras. Esta expresión

(1 + i )− N =

(P/F, i, n) en valor numérico es exactamente igual al factor; 1

(1 + i )N

=

1 correspondiente a la fórmula 19. j  mn   1 + m   

Analicemos los ejemplos que se dan a continuación para comprender mejor los conceptos de valor presente a interés compuesto.

68


Ejemplo 30: Una empresa al final del plazo fijo de 2 años, 3 meses y 20 días obtiene la cantidad de $24,007.26 en concepto de un depósito. Si el interés es del 8% CT. Determines el valor inicial del depósito. Gráfico 23. F = 24,007.26

0

1

2

3

4

. . .

27.67 Meses

Gráfico 23 P=?

Datos: F=$24,007.26 j=8% m=4 i=j/m=0.08/2=0.02 n=2+3/12+20/360=2.305555 N=m.n=4(2.305555)=9.22222 P=?

valor futuro CT tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses tasa efectiva por trimestre años total de capitalizaciones trimestrales

Solución: El valor que tenemos que hallar es el presente. La solución del problema la obtenemos a través de la fórmula 20. 0.08  − (4 )(2.30555 )   P = 24,007.26 1 + = 24,007.26 (0.833081) = $20,000.00 4  

El valor del depósito de la empresa es de $20,000.00 Ejemplo 31: Una persona pagó al final del plazo de 2 años $7,549.00, en concepto de principal más intereses del 18% efectivo anual. Determinemos el valor del préstamo que recibió la persona. Gráfico 24. P=?

0

1

2

Años

Gráfico 24 F = 7,549

Datos: F=5,549 ie=18% n=2 m=1 F=?

valor futuro tasa de interés efectivo anual años de plazo frecuencia de conversión de intereses

69


Solución: Se busca en la tabla de factores financieros, la tasa del 18% en correspondencia al período N=mn=2, encontramos el factor (0.7182) que corresponde al valor de la expresión −(1)(2) 0.18  j  − (m)(n)   1 1 + = +     de factores financieros (P/F, i, n) y que reemplaza al factor   1  m   

de la fórmula 20, esto es; P=F(P/F, i, n)=5,549(P/F, i, n)=5,549(0.7182)=$3,985.29. Si empleamos la fórmula 20 para el cálculo exacto de valor presente, tenemos: 0.18  − (1)(2)  P = 5,549.00 1 + = 5,549.00 (0.718184 ) = $3,985.21  1   Observamos que hay una diferencia mínima entre las dos respuestas. Esto es debido a que estamos usando todos los decimales sin redondear el factor financiero. Cuando utilizamos los factores financieros dados en las tablas, los resultados muchas veces no son exactos por efecto de redondeo de dicho factor. Ejemplo 32: Determinemos el valor presente de un documento por el cual al final de 18 meses, se pagó un monto de $125,310.50 a un interés del 15% CM. Veamos el gráfico 25. P=?

0

1

2

3

...

18

Meses

Gráfico 25 F = 125,310.50

Datos: F=$125,310.50 j=15% m=12 i=j/m=0.30/12=0.025 n=1.5 N=m.n=12(1.5)=18 P=?

valor futuro tasa nominal anual frecuencia de conversión de interés anual tasa efectiva del periodo plazo en años números de periodos capitalizados

Solución: Si buscamos en una tabla de factores financieros, la tasa i=0.15/12=0.0125 mensual en correspondencia al período N=m.n=12(18/12)=18 que significan el total de períodos capitalizados, encontramos el factor (0.7996) que es el valor de la expresión (P/F, i, n) y que reemplaza al factor.  18  − (12)  j  − (m)(n) 0.15     12  =  1 +  1 +   m 12    

Por tanto la solución es: P=F(P/F, i, n)=125,310.50(P/F, i, n)=125,310.50(0.7996)=$100,198.27 Si empleamos la fórmula 20 para el cálculo exacto de valor presente, obtenemos;

70


 18  − (12)  0.15   12  = 125,310.50(0.799631) = $100,202.11 P = 125,310.501 +  12   En este caso la diferencia entre ambas respuestas es de $3.85. Ejemplo 33: En la compra de una casa, el Sr. Martínez paga $55,000 de cuota inicial o enganche y acuerda desembolsar $122,500 dos años después para cancelar totalmente la casa. Determinemos el valor de contado de la casa, si la tasa de interés es del 24% CT. Observemos el gráfico 26. Datos: C0=$55,000 F=$125,500 j=16% m=4 i=j/m=0.16/4=0.04 n=2 años N=m.n=8

cuota inicial valor futuro a pagar tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva del periodo de plazo para pagar el saldo periodos de capitalizaciones trimestrales P=?

0

1

2

3

...

8 Trimestres

Gráfico 26 55,000

F = 125,500

Solución: El valor de contado de la casa es el valor presente de todos los pagos que deben realizarse, de esta manera; si buscamos en la tabla de factores financieros, la tasa trimestral del 4% en correspondencia al período N=8, encontraremos el factor (0.7307) que es el valor de la expresión (P/F, i, n) que aparece en las tablas y que reemplaza al factor; j   1 + m 

0.1 6  − (m )(n )  =  1 +  4  

 − (4 )(2 )  

El valor presente de la cuota inicial es su mismo valor, dado que coincide con la fecha focal que es el valor cero en la escala tiempo valor, así la solución es; P=C0+F(P/F, i, n)=55,000+122,500(P/F, i, n)=55,000+89,510.75= P=$ 144,510.75 El cálculo exacto a través de la fórmula 20 es: 0.16  − (12 )(2 )  P = 55,000 + 122,5001 + = 55,000 + 122,500 (0.730690 ) =  12   = 55,000 + 89,509.55 = $144,509.5 5

71


6. Numero de periodos capitalizados y plazo El cálculo del número de períodos capitalizados a interés compuesto es útil que lo conozcamos para estimar el tiempo o plazo que puede alcanzar un monto prefijado de una determinada inversión realizada a partir del día de hoy, sabiendo la tasa de interés que actúa en la operación. Como sabemos N representa el número de períodos capitalizados el cual está dado por;

N = m.n

donde el tiempo o plazo es

Así; de la fórmula 15 sabemos que: F = P

(1

+ i

n=

)

N

N m (1)

Se trata de despejar el exponente N en (1) de la siguiente manera:

(1

+ i)

N

=

F (2) P

Aplicando logaritmo natural (ln) a ambos miembros de la ecuación (2), tenemos; N F ln ( 1 + i ) = ln   (3) P F entonces Nln ( 1 + i ) = ln   P En (3) despejamos N y obtenemos la fórmula deseada para el cálculo de número de periodos capitalizados de interés en la operación desde el inicio hasta el final.

F ln    P  (Fórmula 23 ) N= ln ( 1 + i ) La fórmula 23 tiene sus acepciones, por ejemplo si en la operación financiera interviene una tasa nominal j entonces la fórmula para calcular el plazo es; F ln   1   P n =   (Fórmula 24 )  m  ln  1 + j    m   Si la tasa de interés que utilizamos es la efectiva anual ie entonces la fórmula para determinar el número de periodos que coinciden con el plazo en años es la siguiente: F ln   P n = (Fórmula 25 ) ln ( 1 + ie ) Ejemplo 34: Una persona invirtió en un CDT (certificado de depósito a término) la cantidad de $15,000 y le redimieron $19,438.60. Determinemos el número de periodos y el plazo del certificado, si la tasa de interés fue del 18% CT. Veamos el gráfico 27.

72


F = 19,438.60

0

1

2

3

4

. .

.

n=?

Gráfico 27 P = 15,000

Datos: P=$15,000 F=$19,438.60 j=18% m=4 i=0.18/12=0.045 N=?, n=?

principal invertido valor futuro o valor redimido CT tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de interés anual tasa efectiva del periodo

Solución Por la fórmula 23 calculemos el número de periodos de interés esto es:  19,438.60  ln   15,000  0.259210  N= = = 5.888876 ln ( 1 + 0.045 ) 0.044016

trimestres

Para hallar el plazo utilicemos la fórmula 24 o sea;  19,438.60 ln    1   15,000  0.259210  1  n =   = =  (5.888876) = 1.472219 años 0.044016  4   4  ln  1 + 0.18    4   El valor 1.472219 representa años comerciales. Más exactamente el plazo del CDT se obtiene multiplicando los decimales de año (0.472219) por 12 para obtener meses y multiplicando los decimales de meses (0.666628) por 30 para obtener días; así el plazo es: 1 año, 5 meses, 20 días comerciales aproximadamente. Ejemplo 35: Una empresa paga un monto de $8,300.20 para saldar un préstamo de $5,000 con interés del 16% efectivo anual. Determinemos el plazo y los periodos capitalizados del préstamo. Datos: P=$5,000 principal prestado F=$8,300.20 valor futuro o monto del préstamo ie=16% tasa de interés efectivo anual n=?, N=? Solución En este caso el número de periodos capitalizados coincide con el plazo en años, por la fórmula 25 obtenemos las respuestas;

73


 8,300.20  ln   5,000  0.506842  n = = = 3.4149139 años ln ( 1 + 0.16 ) 0.148420

La respuesta anterior significa que el número de periodos capitalizados y el plazo es 3.4149139 años. En años comerciales es: 3 años, 4 meses y 29 días. Ejemplo 36: Si los periodos capitalizados de cierta operación financiera son de 32.892345 meses, determinemos exactamente el plazo en: años, meses y días comerciales. Datos: N=32.892345 periodos capitalizados mensuales m=12 frecuencia de conversión de intereses anuales n=? Solución: El número de periodos y el plazo se expresan de la siguiente manera; N N = m . n donde el tiempo o plazo es n = m Así, el plazo en años comerciales es; 32.892345 N = = 2.741028 años : 12 m 0.741028 12 = 8.892345 meses :

n=

( )( ) (0.892345)(30) = 26.77 días :

2 a ños 8 meses 27

días

Concluimos que el plazo en año comercial aproximadamente es: 2 años, 8 meses y 27 días.

7. Tasas de interés efectivas y nominales En esta sección abordaremos el cálculo de las tasas de interés efectivas y nominales a partir del conocimiento del valor futuro F de un valor presente P y el plazo n de una operación financiera. Podemos hallar la tasa efectiva de interés i para cualquier período, excepto anual; ésta tasa la definimos anteriormente como la rentabilidad de la inversión a interés compuesto. De la fórmula general 15 despejamos i de la siguiente forma: N N F Como F = P ( 1 + i ) entonces ( 1 + i ) = P de donde la tasa efectiva periódica i es:

1 F N i =   − 1 (Fórmula 26) P La tasa efectiva ie anual la obtenemos de la ecuación:

F = P ( 1 + ie ) n entonces ( 1 + ie ) n =

74

F P


Despejamos 1 F n ie =   − 1 (Fórmula 27) P

Dado que la tasa periódica i=j/m y N=m.n, entonces resulta; j  m.n j  m.n F   F = P  1 + entonces  1 + =   m m P   De la relación anterior obtenemos la tasa nominal j; 1      F  m .n j = m    − 1 (Fórmula   P  

28 )

Ejemplo 36: Si invertimos $2,500 dólares y dentro de 5 años nos pagan intereses y principal por $3,700.61. Hallemos la tasa de interés nominal CS y la tasa efectiva anual que ganamos. Datos: P=$2,500 n=5 j=?, ie=?

valor presente años de plazo

F=$3,700.61 valor futuro m=2 frecuencia de conversión de intereses anuales

Solución: Si utilizamos la fórmula 28 obtenemos la tasa nominal j; 1      3,700.61  (2 )(5) j = 2  − 1 = 0.08 o sea j = 8 % C . S .     2,500   

Por la fórmula 27 calculamos la tasa efectiva ie ; 1  3,700.61 5 ie =   − 1 = 0.0816 o sea ie = 8.16% efectivo anual  2,500  Ejemplo 37: Una persona invirtió $10,000 dólares en un certificado y al final del plazo de 2 años le redimieron $14,845.76. Determinemos las tasas de interés que gana la inversión: a. efectiva mensual b. efectiva anual c. nominal convertible semestralmente (CT) Datos: P=$10,000 valor presente invertido F=$14,845.76 valor redimido o futuro n=2 años de plazo m=12 frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso a) m=1 frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso b)

75


m=4

frecuencia de conversión de intereses anuales ( para solución inciso c)

Solución: a. A través de la fórmula 26 obtenemos la tasa efectiva mensual i;

1  14,845.76 (12)(2) i =  − 1 = 0.0166 o sea i = 1.66 % mensual   10,000  b. La tasa efectiva anual en este caso es: 1  14,845.76 2 ie =   − 1 = 0.218432 o sea ie = 21.8432% efectivo anual  10,000  c. La solución de la tasa nominal CT es a través de la fórmula 28. 1     14,845.76  (4 )(2 )  j = 4 − 1 = 0.202525 entonces j = 20.2525 % C T    10,000     Concluimos en este ejemplo que las tasas de interés: 1.66% efectiva mensual, 21.8432% efectivo anual y 20.2525% nominal CT son tasas equivalentes, ya que para la misma inversión de $10,000 y para el mismo plazo de 2 años producen los mismos intereses de $4,845.76. En la sección 10 de este capitulo abordaremos el cálculo de la tasas equivalentes.

8. Interés compuesto convertible continuamente a. La convertibilidad continua

Estudiaremos en esta sección un tipo de cálculo de intereses de forma continua, es decir; que las capitalizaciones que se producen en un año son infinitas. En este caso la palabra infinito se deriva del concepto de continuidad infinitesimal. Los modelos de interés compuesto estudiados anteriormente se denominan discretos, debido a que las capitalizaciones en el periodo de la tasa de interés nominal son finitas, es decir; podemos saber exactamente el número de ellas, por ejemplo si decimos 20% CM significa que la frecuencia de capitalizar intereses es de 12 veces en el año y el capital invertido en estas condiciones crece en forma discreta, entonces para el cálculo del monto utilizamos los modelos discretos. En cambio si decimos 22% CC (convertible continuamente) significa que las capitalizaciones de interés por periodo de la tasa nominal son infinitas y el capital crece de forma continua. En este caso para el cálculo del monto compuesto es necesario que utilicemos el modelo de capitalización continua. La importancia de las capitalizaciones continuas estriba en el uso que le dan las instituciones financieras para llamar la atención de los ahorrantes. Por ejemplo, es normal escuchar la publicidad de las instituciones ofertando a los ahorrantes, tasas de interés convertibles continuamente, cuando afirman “el dinero depositado en sus cuentas de ahorro crece de día, de noche y en todo momento”, es decir; no se detiene de crecer. Se trata entonces, de tasas

76


de interés convertibles de forma continua. Más adelante aprenderemos a transformar una tasa nominal con frecuencia discreta de capitalizar intereses a una tasa nominal con frecuencia infinita, esto lo lograremos con el cálculo de las tasas equivalentes. b. Monto a interés convertible continuamente

Anteriormente calculamos el valor futuro F con una tasa nominal j con una frecuencia finita m - veces de capitalizaciones de intereses, mediante la fórmula 16. Esta fórmula no la podemos usar cuando la frecuencia de capitalizaciones de la tasa nominal j es continua, ya que la variable m en este caso tenderá a infinito, es decir; crece sin límite. Pero la podemos transformar de tal manera que sea posible aplicarla en estas condiciones. Esta transformación se efectúa a partir de la fórmula 16 que la retomamos:  j  m.n  F = P  1 + m  

(1)

En la ecuación (1) hacemos un cambio de variable, denotamos: w =

m j

entonces m = w j

Si reemplazamos este valor en la ecuación (1) tenemos;    j  wjn = P   1 + F = P 1 +   wj    

1 w

   

w  jn   

(2)

En la ecuación (2) m tiende a infinito (m → ∝) entonces, también w tiende a infinito (w→ ∝). En estas condiciones, podemos aplicar límite al infinito a la expresión que aparece entre corchetes, w   1 + 1   cuando w tiende a infinito (w → ∞), o sea;   w      w  jn  1 F = P lim 1 +   w  w → ∞  

(3)

El resultado e=2.7182818 de (4) lo reemplazamos en la ecuación (3) obtenemos la fórmula,

 w  1   por aproximación del límite lim 1 +   = e = 2.7182818... w  w → ∞  

(4)

del cálculo del monto compuesto continuamente, también llamado modelo continuo;

F =Pe

rn

(Fórmula 29)

77


Donde: F: valor futuro o monto P: valor presente o principal n: plazo de la operación financiera e: constante de valor e=2.7182818 r: tasa periódica nominal convertible continuamente (C.C)

En el gráfico 28 presentamos la forma en que aumenta el capital invertido a interés convertible continuamente. F

P 0

1

2

3

4

, , ,

n

G r á fic o 2 8

Ejemplo 38: El señor Gutiérrez debe cancelar el monto de un préstamo que vence dentro de 5 meses. Si el principal es de $2,450.80 y el interés es del 17.5% CC. Determinemos el monto en la fecha de vencimiento. Datos P=$2,450.80 principal prestado r=17.5% CC tasa de interés convertible continuamente n=5/12=0.416666 año de plazo F=? Solución: Por la fórmula 29 obtenemos la respuesta. F = P e rn = 2,450.80 e 0.175(0.41 6666) = 2,450.80 (1.0756408 ) = $ 2,636.18

El monto esperado será entonces de $2,636.18 Ejemplo 39: Si depositamos $12,000 en una cuenta aplazo fijo de 10 meses con el interés del 10% CC ¿Cuánto tendremos en la cuenta al finalizar el plazo? Datos P=$12,000 r=10% CC n=10/12=0.833333 F=?

principal depositado tasa de interés convertible continuamente año de plazo

Solución: Nuevamente por la fórmula 29 obtenemos la respuesta.

F = P e rn = 12,000 e

0.10(0.833 333)

= 12,000 (1.086904) = $ 13,042.85

Al finalizar el plazo tendremos en nuestra cuenta la cantidad de $ 12,042.85

78


c. Valor presente a interés convertible continuamente

Para determinar el valor presente con interés convertible continuamente partimos de la fórmula 29 donde las variables definidas siguen siendo válidas esto es:   1 P = F  rn e

 − rn   = Fe  

(Fórmula 30 )

Ejemplo 40: Hallemos el valor que pagaríamos hoy por una deuda de $18,000 que vence dentro de 15 meses, si el interés es del 15.6% CC. Datos F=$18,000 r=15.6% CC n=15/12=1.25 F=?

monto o valor futuro de la deuda tasa de interés convertible continuamente años de plazo

Solución: Utilizando la fórmula 30 obtenemos el valor actual de la deuda.

P = F e− rn = 18,000 e

− 0.156(1.25)

= 18,000 (0.822835) = $ 14,811.02

El valor del pronto pago de la deuda hoy sería de $ 14,811.02 d. Plazo a interés convertible continuamente

Si queremos hallar el plazo cuando la operación financiera es con interés convertible continuamente, despejamos la variable n en la fórmula 29 de la siguiente forma; Si

F = P

e

rn

entonces

e

rn

=

F P

Aplicando logaritmo natural a la ecuación derecha obtenemos; ln e

rn

F  = ln   entoces P 

 1  F n =   ln  r  P

F  r n = ln   de donde; P 

  (Fórmula 31) 

La fórmula 31 expresa el plazo de la operación en años si la tasa nominal r es anual, de lo contrario expresará el período en que esté definida dicha tasa de interés.

79


Ejemplo 41: Una empresa invierte $20,000 en un certificado de inversión obtendrá una ganancia por intereses de $3,944.35 si inversión se coloca al12% CC. Hallemos el plazo del certificado. Datos F=P+I=$20,000+$3,944.35=$23,944.35 valor futuro del certificado P=$20,000 valor presente o principal invertido r=12% CC tasa de interés convertible continuamente n=? Solución: Por la fórmula 31 obtenemos el plazo de la inversión.

 1  F   1   23,944.35  n =   ln   =   = (8.3333 )(0.180000 ) = 1.5  ln  r  P   0.12   20,000  Debido a que la tasa nominal es anual, entonces el valor 1.5 es el plazo en años. e. Tasa de interés convertible continuamente

También en algunos casos, se hace necesario que conozcamos la tasa de interés convertible continuamente a partir del valor futuro F, el valor presente P y el plazo n de la operación. De la fórmula 31despejamos la variable r;  1  F r =   ln  n P

  

(Fórmula 32)

De la fórmula anterior concluimos que el periodo de la tasa nominal convertible continuamente, depende de la unidad en que esté expresado el plazo, por ejemplo; si el plazo está definido en meses el período de la tasa r tendrá una expresión en meses; si el plazo es en año el período de la tasa será expresada en años. Ejemplo 42: La sociedad Atlas obtiene un descuento y paga $48,356.90 por una deuda que dentro de 7 meses tendría un valor de $54,978.50. Calculemos la tasa nominal CC que le aplican en el descuento. Datos F=$54,978.50 valor futuro de la deuda P=$48,356.90 valor presente o valor líquido que paga n=7/12=0.583333 año de plazo r=? Solución: A través de la fórmula 32 obtenemos la tasa del descuento continuo. 1   54,978.50   1  F   r =   ln  =   = (8.3333 )(0.128333 ) = 0.22 o sea 22% anual  ln  n   P   0.583333   48,356.90  Concluimos que la tasa resultante de 22% tiene período anual dado que el plazo lo definimos en año.

80


Ejemplo 43: Si resolvemos el ejemplo 41 considerando el plazo en meses y no en año comprobaremos la afirmación anterior. Datos F=$54,978.50 P=$48,356.90 n=7 r=?

valor futuro de la deuda valor presente o valor líquido que paga meses de plazo

Solución: Nuevamente por la fórmula 32 obtenemos la tasa del descuento continuo.  1   F   1   54,978.50 r =   ln  =   ln  = (0.142857)(0.128333) = 0.018333o sea 1.8333% mensual  n   P   7   48,356.90

Ahora concluimos que la tasa nominal resultante de 1.8333% CC tiene período mensual, dado que el plazo lo definimos en meses.

9. Tasas equivalentes nominales y efectivas Al iniciar el tema C abordamos las tasas de interés nominales y efectivas. En este subtema trataremos de establecer la relación de equivalencias existente entre estas tasas. Como definimos antes la tasa nominal es aquella que se pacta o que se establece en todas las operaciones financieras; reafirmamos que esta tasa de interés establece la forma en que se liquidan o que se capitalizan los intereses y no mide rentabilidad. Por ejemplo, j=10% CT significa una tasa nominal anual con capitalización de intereses trimestrales, o sea, tiene una frecuencia anual m=4 y tasa efectiva de período trimestral de i=2.5%. Esto resulta que la tasa nominal, es igual a la tasa del período multiplicada por la frecuencia, es decir; j = i(m) = 0.025(4) = 0.10 = 10% Por otro lado, la tasa efectiva i es la tasa periódica de rentabilidad a interés compuesto, mide el porcentaje de utilidad periódica que realmente se adiciona al capital en el instante en que se liquida. La tasa efectiva puede ser diaria, mensual, trimestral, semestral, anual o cualquier otro período que se defina. Para períodos de interés menores que un año o mayores que un año la tasa efectiva la denotamos en este texto por (i) y cuando el período sea anual la denotaremos por ie Cuando la tasa nominal establece períodos de capitalización una sola vez al año, entonces decimos que la tasa nominal j es igual a la tasa efectiva anual ie. Si los intereses se capitalizan m-veces en un período dado, entonces decimos que la tasa de interés es necesariamente nominal para ese período, pues las tasas efectivas no se capitalizan. Metodología para equivalencias de tasas nominales y efectivas

A continuación abordaremos una metodología que hemos preparado para el cálculo de tasas equivalentes; la cual es producto de la experiencia docente. La comprensión del método y el desarrollo de habilidades en el cálculo de las tasas equivalentes nos será de mucha utilidad para el estudio y tratamiento de las anualidades generales, tema que estudiaremos en la

81


próxima unidad autoformativa. Básicamente esta metodología se compone de cuatro elementos o grupos de tasas:

Grupo 1

Si conocemos la tasa nominal periódica j y su frecuencia m, entonces podemos determinar las siguientes relaciones de equivalencias entre las tasas siguientes: m tasa efectiva del período i = j ie

 = 1 + 

j m

  

m

− 1 = (1 +

i

)m − 1

tasa efectiva anual

Grupo 2

Cuando conocemos o hemos calculado la tasa efectiva anual ie, podemos hallar la relación de equivalencia entre ésta y la tasa efectiva i para cualquier período, utilizando la fórmula 33. 1 m i = ( 1 + ie ) − 1 (Fórmula 33) El resultado de fórmula anterior es a tasa i que tendrá período específico de acuerdo al valor de la frecuencia m, como lo podemos apreciar en la tabla 14. Tabla 14 Valor de la frecuencia m m=1 m=2 M=4 m=6 m=12 m=52 m=365

Período de la tasa efectiva i i anual (ie=i) i semestral i trimestral i bimestral i mensual i semanal i diaria

Grupo 3

Si conocemos por que es un dato dado o por que hemos calculado la tasa efectiva anual ie, podemos establecer la relación de equivalencia entre ésta y la tasa nominal j convertible para cualquier período, a través de la fórmula 34.

82


1     m j = m ( 1 + i e ) − 1  (Fórmula 34)       De igual manera, el resultado de la fórmula anterior (34) es la tasa nominal j que tendrá frecuencia de conversión específica conforme al valor m, como lo podemos apreciar en la tabla 15. Tabla 15 Valor de la frecuencia m m=1 m=2 m=4 m=6 m=12 m=52 m=365

Período de conversión de j j CA (ie=j) j CS j CT j CB j CM j Cse j CD

Grupo 4 Si como dato conocemos porque hemos calculado la tasa nominal r convertible continuamente CC, podemos hallar la tasa efectiva anual ie. Para determinar ésta tasa estableceremos una relación de equivalencia, considerando que si dos tasas son equivalentes, los montos calculados para un mismo principal y plazo son iguales, por tanto, la comparación la hacemos a través las fórmulas 17 y 29 esto es;

(

)

F = P 1 + ie n = P

e

rn

(1)

En la ecuación (1) podemos eliminar P y n, así obtenemos:

(1

+ ie

)

=

e

rn

(2)

En la ecuación (2) despejamos la tasa efectiva anual a partir de la tasa nominal r convertible continuamente y obtenemos la fórmula 35.

ie = e r

−

1

(Fórmula

35 )

Si como dato conocemos porque hemos calculado la tasa efectiva anual ie, podemos calcular la tasa nominal r, CC a través de la fórmula 36 que la obtenemos aplicando logaritmo a ambos miembros de la fórmula 35. Como ( 1 + ie ) = e r entonces ln ( 1 + ie ) = ln e r Por estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas sabemos (lne=1) por tanto r está dado por;

r = ln ( 1 + ie ) (Fórmula

36 )

83


Ejemplo 43: Dada una tasa nominal del 24% CM. Halle la relación de equivalencia entre la tasa nominal, la tasa periódica efectiva mensual y la tasa efectiva anual.

Datos j=24% CM m=12 i=?, ie=?

tasa nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales

Solución: En el grupo 1 tenemos la relación de equivalencia, para tasa nominal dada j=24% con frecuencia m=12. j 0.24 i = = = 0.02 o sea 2% efectivo mensual m 12 12 0.24   ie =  1 + − 1 = 0.268241 es decir 26.8241% efectiva anual  12   Ejemplo 44: Un inversionista desea saber que tasa nominal CT es equivalente a 18% CM

Datos j=18% CM m=12 j=? CT m=4

tasa nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa nominal anual desconocida frecuencia de conversión de intereses anuales de la tasa desconocida 1     4 j = 4 ( 1 + 0.195618) − 1 = 4(0.045678) = 0.182714 o 18.2714%C . T .      

Solución: En el grupo 3 podemos hallar la respuesta calculando primero la tasa efectiva anual. 12 0.18   ie =  1 + − 1 = 0.195618 es decir 19.5618% efectiva anual  12   Después por la fórmula 34 con frecuencia m=4 obtenemos la respuesta Concluimos que las tasas nominales de 18% CM es equivalente a 18.2714% CT, por ser equivalentes le es indiferente al inversionista invertir con cualquiera de ellas, ya que los resultados en términos de rendimientos serán iguales. Ejemplo 45: Un inversionista tiene un capital colocado en negocios financieros a una tasa de interés del 19.5% CD. Calculemos la tasa efectiva o rentabilidad anual y la tasa efectiva mensual.

Datos j=19.5% CD m=265

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tasa nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales


ie=?, i=?

Solución: En el grupo 1 tenemos la relación de equivalencia de la tasa nominal y la tasa efectiva anual. 365 0.195   ie =  1 + − 1 = 0.215248 es decir 21.5248% efectiva anual  365   Ahora que tenemos el resultado anterior, deseamos obtener el valor de la tasa equivalente efectiva mensual; esto lo logramos a través de la fórmula 33 en el grupo 2 con la frecuencia m=12 así, obtenemos; 1 12 i = ( 1 + 0.215248) − 1 = 0.015678 o sea, 1.5678% efectivo mensual Concluimos que las tasas siguientes son equivalentes: Tasa nominal anual de 19.5% CD, tasa efectiva anual de 21.5248% y tasa periódica mensual de 1.5678%. Ejemplo 46: Una libreta de ahorros devenga un interés del 10% semestral CM. Determinar la tasa equivalente efectivo ie. anual

Datos j=10% CM m=6 ie=?

tasa nominal de período semestral frecuencia de conversión de intereses semestrales

Solución: Como la tasa nominal j=10% tiene período semestral, con m=6, primero calculamos la tasa efectiva i mensual y después usamos el resultado para hallar la tasa efectiva anual con m=12, lo cual logramos con las fórmulas del grupo 1 esto es: j 0.10 i = = = 0.016667 o sea 1.6667% efectivo mensual m 6 ie = ( 1 + 0.016667 ) 12 − 1 = 0.219396 o sea, 21.9396% efectiva anual En este caso concluimos que la libreta de ahorros tiene las siguientes tasas equivalentes: tasa nominal semestral de 10% CM, tasa efectiva anual de 21.9396%y tasa periódica mensual de 1.6667%. Con cualquiera de ellas podemos invertir y la ganancia será la misma, como lo comprobaremos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 47: Deseamos saber el valor final de un depósito de $15,000 a plazo fijo de 1.5 años con las siguientes tasas de interés: a. 10% semestral CM b. 1,6667% efectivo mensual c. 21.9396% efectivo anual

Datos P=$15,000 n=1.5 F=?

principal depositado años de plazo

85


Solución: Para el caso a) como la tasa nominal j=10% semestral CM o sea, m=6, tiene dos períodos semestrales en un año y tres períodos en año y medio, por tanto en la fórmula 16, n=3 así, obtenemos el valor futuro; 0.10  6 (3 )  F = 15,000  1 + = 15,000 (1.346533 ) = $20,198.00  6  

Para el caso b) usamos la fórmula 15 con N=m(n)=12(1.5)=18 18 F = 15,000 ( 1 + 0.016667 ) = 15,000 (1.346533 ) = $20,198.00 Para la solución del caso c) utilizamos la fórmula 17 con n=1.5 entonces, 1.5 F = 15,000 ( 1 + 0.219396 ) = 15,000 (1.346533 ) = $20,198.00 Concluimos que las tasas son equivalentes ya que el resultado para el valor final o futuro es el mismo para los tres casos, esto quiere decir; que podemos invertir con cualquier tasa y los intereses serán de $5,198.00 o sea, la diferencia entre lo invertido y el valor final. Ejemplo 48: a. En una inversión que genera el 17.56% efectivo ¿Cuál es la tasa efectiva mensual? b. Un deudor paga mensualmente el 2% acumulativo ¿Cuánto paga realmente de forma anual?

Datos

Caso a.

i e = 17.56% tasa efectiva anual m = 12 i=?

Caso b.

i = 2% tasa efectiva mensual m = 12 ie = ?

Solución a. Como ie=17.56% deseamos calcular i mensual esto lo logramos con la fórmula 33 del grupo 2 con m=12, así tenemos; b. Sabemos que i=0.02 efectivo mensual por la fórmula del grupo 1 donde la frecuencia m=12 tenemos: 12 ie = ( 1 + 0.02 ) − 1 = 0.268242 o sea ie = 26.8242 % efectivo Concluimos que las tasas 2% efectivo mensual es equivalente a 26.8242% efectivo y 17.56% efectivo es equivalente a 1.3573% efectivo mensual. 1     12 i =  (1 + 0.1756 ) − 1 = 0.013573 o sea i = 1.3573% efectivo mensual      

86


Ejemplo 49: Si el Señor Gómez pagó un pagaré a plazo de 4 años con interés del 18% CC. Determinemos las tasas equivalentes: a. efectiva anual b. la tasa nominal CS.

Datos r = 18% CC tasa nominal anual convertible continuamente a. ie=? b.

m = 2 frecuencia de capitalizar intereses de la tasa nominal CS j=?CS

Solución a. Se trata de hallar una tasa anual efectiva que sea equivalente a la tasa del 18% CC. Por la fórmula 35 del grupo 4 de equivalencias obtenemos la solución 1     4 j = 4 ( 1 + 0.195618 ) − 1  = 4(0.045678 ) = 0.182714 o 18.2714% C . T .       ie = 0.18 − 1 = (2.7182818) 0.18 − 1 = 19.7217% efectivo b. Una vez que hemos obtenido el valor de la tasa efectiva anual, utilizamos la fórmula 34 con frecuencia m=2 del grupo 3 para calcular la tasa nominal CS. 1     2 j = 2  (1 + 0.197217 ) − 1 = 0.188348 o sea j = 18.8348% C . S .      

e

Concluimos que las siguientes tasas de interés son equivalentes: 18% CC tasa nominal anual convertible continuamente 19.7217% efectivo anual 18.8348% CS Tasa nominal anual convertible semestralmente Ejemplo 50: Una empresa desea que le calculemos a partir del 20% CT las tasas equivalentes: a. nominal CC b. efectiva semestral

Datos Inciso a.

j = 20% CT tasa nominal anual m = 4 frecuencia de conversión de intereses anuales r = ? CC m = 2 frecuencia de conversión de intereses anuales

Inciso b.

i= ?

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Solución a. Primero calculemos la tasa efectiva anual, grupo 1, 4 0.20   ie =  1 +  − 1 = 0.215506 o sea 21.5506% 4  

efectiva anual

Seguidamente por la fórmula 36 del grupo 4 obtenemos la tasa nominal

r = ln ( 1 + 0.215506 ) = 0.195160 es decir 19.5160% CC b. Debido que conocemos la tasa efectiva anual, calcularemos la tasa efectiva semestral a través de la fórmula 33 del grupo 2, frecuencia m=2 esto es; 1     2  i = (1 + 0.215506 ) − 1 = 0.1025 o sea i = 10.25% efectivo semestral       Concluimos que las tasas de interés son equivalentes 20% CT tasa nominal convertible trimestralmente 21.5506 % tasa efectiva anual 19.5160% CC tasa convertible continuamente 10.25% tasa efectiva semestral Ejemplo 51: Una compañía financiera tiene una tasa efectiva (retorno) del 18% efectivo anual para todas sus inversiones financieras, desea saber las tasas de interés equivalentes con capitalizaciones de interés en la forma: a. Anual d. Trimestral g. diaria b. Mensual e. cada 4 meses h. continuamente c. Bimensual f. semestral i. bienal.

Solución La relación de equivalencias de las tasas de interés de la compañía se muestran en la tabla 15, donde el lector puede comprobar los resultados haciendo uso de las fórmulas de equivalencias ya estudiadas localizadas en los grupos del 1 al 4. Tabla 16 Período de conversión anual mensual bimensual trimestral cuatrimestral semestral diaria continua bienal

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Tasa efectiva ie 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000% 18.0000%

Frecuencia de conversión M 1 12 6 4 3 2 365 m→∝ 1/5

Tasa nominal j 18.0000% 16.6661% 16.7818% 16.8986% 17.0165% 17.2556% 16.5552% 16.5514% 19.6200%

Tasa efectiva del período i 18.0000% 1.3888% 2.7970% 4.2247% 5.6722% 8.6278% 0.0453% i→0 39.2400%


10. Ecuaciones de valor Las ecuaciones de valor a interés simple las estudiamos en el tema B, recordemos que una ecuación de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fecha que se escoge para la equivalencia. A esta fecha le llamamos fecha focal. El procedimiento para el planteamiento y resolución de una ecuación de valor a interés compuesto, es similar al estudiado anteriormente con interés simple, la única diferencia en este caso es que la fecha focal la podemos elegir para cualquier fecha y el resultado no cambia. Como sabemos, todas las cantidades, ya sean deudas o pagos deben ser trasladadas a la fecha focal con una tasa de interés denominada tasa de rendimiento. La metodología que estudiamos anteriormente sigue siendo útil para el planteamiento de la ecuación de valor a interés compuesto 1. Dibujemos el diagrama del perfil de flujos y calculemos los montos compuestos de las deudas si no están dados. 2. Traslademos con interés compuesto los montos a la fecha focal con la tasa de rendimiento y efectuemos la suma. Ubiquemos este procedimiento sobre la línea del diagrama del perfil de flujos. 3. Traslademos con interés compuesto los pagos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, y calculemos la suma. Ubiquemos este procedimiento debajo de la línea del diagrama del perfil de flujos. 4. Igualemos los resultados de la suma en (2) con la en (3) y despejemos la incógnita X que soluciona el problema de equivalencia financiera. Para desarrollar los pasos 2 y 3 de la metodología señalada, podemos emplear las fórmulas 15, 16 y 17 de valor futuro o bien 19 y 20 de valor presente. En el gráfico 29 observamos que la cantidad A está a la izquierda de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal la podemos hacer con las fórmulas 15, 16 o 17. La cantidad B está a la derecha de la fecha focal, entonces el traslado a la fecha focal la realizamos con las fórmulas 19 o 20. Cantidad

A

Fórmula 15,16 y 17

Fecha focal

0

1

2

Gráfico 29

3

4

5

6

7

8

Fórmula 19 y 20

9

10

Cantidad

meses

B

Ejemplo 52: Una empresa tiene tres deudas con el Banco Atlántida: a. $15,800, a plazo de 10 meses, al 18% CM y vence hoy. b. $20,600 a plazo de 12 meses, al 19% CT y vence dentro de 8 meses. c. $26,300.25 monto que vence dentro de 6 meses.

Para saldar las tres deudas se establece el siguiente plan de pagos equivalentes, los cuales reestructuran las deudas anteriores con un plazo a partir de hoy de 1.5 años.

Acuerdo: la empresa debe efectuar los siguientes pagos: a. Un pago hoy por $12,500.

89


b. El saldo se recoge en 3 cuotas iguales a efectuarse dentro de 6, 12 y 18 meses respectivamente. Por su parte, el banco no cobrará intereses por mora y utilizará una tasa de rendimiento del 24% CM para el cálculo de los pagos.

Solución: La fecha focal la elegimos dentro de 6 meses, pero puede ser cualquier fecha. Siguiendo la metodología descrita procedemos: 1. Calculemos los montos de cada una de las deudas a su fecha de vencimiento, gráfico 30  10  12   0.18   12   a . F = 15,800 1 + = 18,336.55 vence hoy  12    12  4  0.19   12   b. F = 20,600 1 + = 24,801.81 vence dentro de 8 meses  4   c . F = 26,300.25 vence dentro de 6 meses 18,336.55

0

24,801.81

1

2

3

4

5

26,300.25

6

7

8 Meses

Gráfico 30

2. Traslademos los montos a la fecha focal dentro de 6 meses, con la tasa de rendimiento. La suma de los montos (70,730.72) la señalamos sobre gráfico 31.      6   2  12  − 12  24  24   12     12  18,336.55 1 + + 24,801.81 + 26,300.25 1 + =   12  12   

20,649.93 + 24,801.81 + 25,278.98 = 70,730.72 70,730.72 18,336.55

0

1

24,801.81

2

3

4

12,500

5

6

26,300.25

7

8

X

9

10

11

12

13

14

15

X

16

17

18

X

Gráfico 31 fecha focal

14,077.03 + X(2.676464)

3. Traslademos los pagos a la fecha focal dentro de 6 meses, con la tasa de rendimiento y determinemos la suma, cantidad debajo del gráfico 31.        12   6   6  12  − 12  − 12  24  24  24   12      12   12  12,500 1 + + X + X 1 + + X 1 + =    12 12 12      

14,077.03 + X(1) + X(0.887971) + X(0.788493 ) = 14,077.03 + X(2.676464 )

90


4. Igualando los resultados de 2 y 3 (valores en círculos) y despejando la incógnita X, obtenemos: 70,730.72=14,077.03 + X(2.676464) 70,730.72 − 14,077.03 56,653.69 X= = = 21,167.36 2.676464 2.676464 Concluimos que cada pago será de $21,167.36 a efectuarse dentro de 6, 12 y 18 meses respectivamente, de esta forma se saldan todas las deudas. Podemos comprobar que si variamos la fecha focal desde hoy hasta dentro de 18 meses, el valor de los pagos no cambia. Sintetizando: Conceptos, variables relacionadas y formulas Interés compuesto

El capital aumenta en cada período; el interés se integra al capital y luego se calculan intereses sobre un nuev o monto en cada período.

Capitalización de intereses: Proceso de integración de intereses al capital f inal de cada período.

Tasa de interés: Capitaliza intereses en cada período Valor f uturo de una suma de dinero

Calcula la equiv alencia f inanciera entre una suma de dinero presente P y una suma f utura F.

Número de períodos capitalizados y plazo

Es útil para estimar el tiempo o plazo que puede alcanzar un monto pref ijado de una determinada inv ersión realizada a partir del día de hoy , sabiendo la tasa de interés que actúa en la operación

N=

P = F(1+ i)-N =

 j P = 1 +   m 

F (1 + i )N

(

−mn

F

=

 j 1 +   m

(1 + i)- N =

mn

nm

 Valor futuro    alternativo 

Valor presente  1 1   =  mn  alternativ o  (1 + i )N  j  1 +   m

)

n=

F ln  P ln(1 + ie )

Número de períodos con  tasa de interés efectiva anual 

Se calculan a partir del conocimiento del v alor f uturo F de   1 1 1  F   un v alor presente P y el plazo n de una operación m.n F  − 1 (Tasa nominal ) f inanciera. i =   N − 1 (Tasa efectiva periódica ) i =  F  n − 1 (Tasa efectiva anual ) j = m  P     e     P P   Conv ertibilidad continua: Las capitalizaciones de interés por período de la tasa nominal que se producen en un año son inf init as y el capital crece de f orma continua. F =Pe

rn

( Monto compuesto Continuame nte)   −rn  = Fe   

  1 P = F rn  e 

Valor presente a interés conv ertible continuamente: Permite determinar el v alor presente con interés conv ertible continuamente

Plazo a interés conv ertible continuamente: Permite encontrar el plazo cuando la operación f inanciera es con interés conv ertible continuamente. Expresa el plazo de la operación en años si la tasa nominal r es anual, de lo contrario expresará el período en que esté def inida dicha tasa de interés.

 1  F  n =   ln  r P

Tasa de interés conv ertible continuamente: Con esta conocemos la tasa de interés conv ertible continuamente a partir del v alor f uturo F, el Valor presente P y el plazo n de la operación. El periodo de la tasa nominal conv ertible continuamente depende de la unidad en que esté expresado el plazo.

 1  F  r =   ln   n P

Si conocemos la tasa nominal periódica j y su f recuencia m, podemos determinar las relaciones de equiv alencia entre la tasa ef ectiv a del período y entre la tasa ef ectiv a anual. Cuando conocemos o hemos calculado la tasa ef ectiv a anual, podemos hallar la relación de equiv alencia entre ésta y la tasa ef ectiv a para cualquier período.

i =

(

m tasa efectiva del período j

i = 1 + ie

Si conocemos porque hemos calculado la tasa ef ectiv a anual, podemos establecer la relación de equiv alencia entre ésta y la tasa nominal j conv ertible para cualquier período. Si conocemos porque hemos calculado la tasa nominal r conv ertible continuamente, podemos hallar la tasa ef ectiv a anual. Si conocemos porque hemos calculado la tasa ef ectiv a anual, podemos calcular la tasa nominal r.

Ecuaciones de Valor

j m 

Trimestral = 4 conv ersiones Mensual = 12 conv ersiones Semestral =2 conv ersiones

F F ln    Perído capitaliza dos  ln   1  P   de interés desde el   P  Plazo con tasa  n =     ln 1 + i   m  ln1 + j  nominal j    inicio al final.   m  

Monto compuesto continuamente: Se aplica cuando la f recuencia de capitalizaciones de la tasa nominal J es continua, y a que la v ariable m tiende a inf init o, es decir, crece sin límite.

Tasa equiv alentes nominales y ef ectiv as

(1 + i )N = 1 +

F=P+PIN

m Tasa ef ectiv a: Es periódica y expresa la rentabilidad a interés compuesto,  j  ie = 1 + mide el porcentaje de ganacia de la inv ersión. Tiene en cuenta el v alor del i = j Tasa periódica  - 1 Tasa anual m   dinero en el tiempo. m Tasa equiv alente: Dos o más tasas de interés (nominal como ef ectiv a) son equiv alentes, si al final del período rinden los mismos intereses y tienen la misma tasa periódica ef ectiv a.

Valor del dinero el día de hoy o el v alor en cualquier f echa anterior a su v encimiento.

Interés compuesto conv ertible

 

F=P(1+i) N Valor futuro a interés compuesto

Tasa nominal: Establecida en toda operación f inanciera. No toma en cuenta el v alor del dinero en el tiempo y especif ic a la f recuencia de liquidar o capitalizar intereses.

Valor presente de una suma de dinero

Tasas de interés ef ectiv as y nominales

I=Pin

)

1m

 j  ie =  1 +  m 

m

( )

− 1 = 1 + i m − 1 tasa efectiva anual

−1

  1m j = m  1 + ie − 1  

(

)

ie = e r − 1

(

r = ln 1 + ie

)

Ecuación v alores a interés sim ple: Igualdad de v alores, que se ubican en una f echa escogida para la equiv alencia, llamada f echa focal. Ecuación v alores a interés compuesto:Igualdad de v alores, en donde podemos elegir la f echa f ocal para cualquier f echa y el resultado no cambia.

91

    


Actividad de autoaprendizaje no. 3 1. ¿Cuál el valor final de un documento de valor nominal $3,000 a un plazo de 2 años y 7 meses comerciales si el interés es del 18% CT? 2. Calculo el monto de $2,000 desde el 10 de mayo al 18 de diciembre del mismo año al 14.965% CD. 3. ¿Qué cantidad de dinero recibe hoy una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por $56,500 que incluye capital e intereses a 28% CD y tiene un vencimiento en 20 meses? 4. Determino el valor actual de $855 que vencen dentro de 300 días con las siguientes tasas de interés: a. 12% CT; b. 14% CB; c. 14% CS y d. 15% CD 5. ¿Qué depósito debe efectuarse hoy en un fondo que paga el 12% CB para tener disponibles $7,000 al cabo de 3 años? 6. ¿Cuál es el valor final de un certificado de valor nominal de $15,500 a un plazo de 8 meses y 12 días si la tasa de interés es de 6.8% CT? 7. ¿Qué valor tiene un depósito el día de hoy en una cuenta para garantizar dos retiros de $2,000 y $3,500 dentro de 7 meses y 1.5 años respectivamente con el interés de 9.5% CD? 8. Una empresa debe pagar hoy una deuda cuyo monto es de $3,870 y dentro de 9 meses tiene que pagar otra por $2,650. Necesita saber cuánto debe pagar dentro de 5 meses si le cargan intereses de 14.5% CD. 9. Determino el valor total de dos depósitos el día 30 de noviembre, si el primero es de $1,400 se efectuó el día 15 de febrero y el segundo por $1,800 se realizó el 26 de junio, el primero con el 12% CD y el segundo con el 13% CS. 10. Una corporación financiera, recibe una letra de cambio por valor nominal de $35,000 con vencimiento en 15 meses y un interés del 24% CT. A los 10 meses solicita que le sea descontada por el Banco de América del Sur que cobra el 2.4% mensual, ¿cuánto recibirá la corporación por la letra? 11. En una operación de exportación una empresa recibe un pagaré por $75,000 a 180 días de plazo y que devenga un interés mensual de 1%. A fin de contar con recursos líquidos, la empresa descuenta el documento en su banco y éste lo acepta cargando un interés de 2.50% trimestral ¿Cuál es el importe neto que recibe la empresa, si el descuentose efectúa 143 días antes del vencimiento? 12. Un inversionista local tiene 3 opciones para invertir su dinero: a. al 28.5% CM; b. al 32% simple y c. al 30% CS ¿Qué opción le sugeriría? 13. ¿En qué tiempo un capital de $48,500 alcanza un valor de $60,000: a. ¿si es invertido al 8.3% CM? Y b. ¿En qué tiempo se duplica? 14. ¿A qué tasa nominal CT el monto de $3,000 será de $9,000 en 3 años? 15. a. ¿A qué tasa efectiva anual se duplica un capital en 2 años?; b. ¿A qué tasa nominal CS se duplica un capital en 2 años? y c. ¿A qué tasa nominal CM se duplica un capital en 2 años? 16. Si un certificado de depósito a término en el mercado primario de la Bolsa de Valores es emitido a $93,677 para ser redimido a $100,000 en 90 días, calculo la tasa de rentabilidad trimestral y la tasa de rentabilidad mensual: a. Sin tomar en cuenta la retención en la fuente y b. Tomando en cuenta la retención del 3.7%. 17. Determino que le conviene más a un empleado si la patronal le ofrece tres opciones para liquidar sus prestaciones por servicio, al 15% CS. (sugerencia: Encuentro el valor actual de cada opción y selecciono la mayor). a. Recibir hoy $3,000 y $3,800 a los 5 meses b. Recibir hoy un solo pago de $6,500 c. Recibir hoy $1,000, $2,000 a los 2 meses y $4,000 a los 6 meses 18. Determino que plan le conviene a una persona para ahorrar cierta cantidad de dinero a los 5 meses, sabiendo que el dinero gana un interés del 22% CT. a. Un solo depósito hoy de $8,000 b. Un depósito hoy de $3,500 y otro depósito de $4,500 a los 4 meses c. Tres depósitos en los meses 1, 2 y 3 de $2,800 cada uno 19. Una persona invierte $4,500 y 15 meses después le devuelven $7,010.85 ¿Qué tasa de interés efectiva mensual y anual gana sobre la inversión? 20. Calculo la tasa nominal CT equivalente al: a. 18% CM y b. 20% CS. 21. a. ¿Cuál es la tasa equivalente convertible continuamente a 24% efectivo?; b. ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente 20% CS?

92


22. a. Determino una tasa de interés CM que rinda lo mismo que 20% convertible continuamente. b. Calculo la tasa nominal convertible continuamente, que genere los mismos intereses que 18% CT. 23. Considero una tasa nominal de 21.50% CM y encuentro el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a. Nominal CT; b. Nominal CD; c. Nominal CC; d. Nominal semestral CC y e. Nominal semestral CM. 24. A partir de 3.2% EM calculo el conjunto de tasas equivalentes siguientes: a. Nominal CT; b. Efectiva ES; c. Nominal trimestral CC; d. Efectiva ED y e. Nominal CB. 25. Si en un negocio su propietario gana 1.2% EM acumulativo ¿qué porcentaje gana en 2 años? ¿cuánto en 5 años? 26. Si el desarrollo o crecimiento económico de un país fue de 28.7377% en 6 años ¿de cuánto fue el crecimiento promedio anual? 27. ¿Es lo mismo términos de la tasa de interés pagar una deuda hoy con el 4.55% nominal trimestral CC, que pagarla dentro de 2 años con el 9.1694% nominal semestral CM? (sugerencias: calculo el monto a los 2 años o la tasa efectiva anual para cada caso). 28. Determino el monto de $12,500 invertidos al 21% de forma continua, durante 18 meses. 29. Un documento por $50,000 se vence dentro de 15 meses, si se descuenta a una tasa: a. del 18% de forma continua b. del 18.10 % CT c. del 18.20% CS. Determino el menor valor al día de hoy. (indicar el inciso) 30. Una entidad financiera local paga en depósitos a término fijo de un año una tasa de interés en dólares de 6.5% CD ¿Cuál es la tasa que paga efectivamente de forma anual? 31. Un préstamo personal por $1,200 se obtuvo hace un mes, se cancela mediante dos pagos uno de $600 el día de hoy y otro por la cantidad que determino dentro de 3 meses si el interés es del 10% semestral. 32. Hoy se contrae una deuda que junto con sus intereses al 8.5% efectivo trimestral al final de 4 años representará $500,000. Determino la cantidad que se deberá pagar si la deuda se cancela al cabo de 18 meses. 33. Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra de contado de un automóvil nuevo, o bien, 50% del precio de contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses ¿qué alternativa debe escogerse si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés mensual de: a. 2% b. 3% c. 4% 34. Una cuenta de ahorros se abre con $500.00, al tercer mes se depositan $150, a los dos y seis meses siguientes se retiran $85 y $100 respectivamente. Si el interés que gana es del 6.30% CM determino la cantidad en la libreta de ahorros un año después de iniciada la cuenta. 35. Si una persona debió pagar hace 1.5 años $580 y tiene que pagar $720 dentro de 8 meses. Si le cobran intereses corrientes del 18% CT y moratorios del 9% anual IC por la cuenta no pagada y el 15% anual por la próxima a vencer ¿Qué pago único debe hacer el día de hoy? 36. Una deuda de $3,600 se contrae el día 26 de febrero para pagarse junto a sus intereses el día 25 de noviembre del mismo año; si los intereses corriente son de 24% CM y los intereses por mora son de 20% efectivo anual, determino: a. el valor del pago en la fecha de vencimiento b. el valor de la deuda el día 28 de marzo del siguiente año. (sugerencia: calculo el interés por mora sobre el principal vencido). 37. ¿En cuánto tiempo se liquidará un crédito de $175,000 con intereses del 24.96% compuesto por quincenas y un pago final de $230,000? 38. Una empresa compra un equipo de computación con $3,500 de cuota inicial y un pago por $10,000 a los dos meses de la compra. ¿Cuál es el precio de contado si se tienen cargos del 33% CM? 39. Un televisor cuyo precio de contado es de $4,500, al crédito se liquida con $5,200 a los tres meses. ¿Cuál es la tasa de interés anual capitalizable por quincenas? 40. Determino el día que se cancela con $21,000 un crédito de $18,750, concedido el 5 de junio con cargos del 36.72% CD. 41. ¿Cuál es el precio de contado de 40 impresoras que se pagan con un anticipo del 30% y dos abonos o cuotas de $7,000 y $9,000 respectivamente a 2 y 3 meses de la compra? Suponiendo intereses del 29% anual con capitalización quincenal. 42. Se compra un refrigerador, que de contado cuesta $7,850 el cual se paga con un anticipo del 35% y un pago adicional de $5,650.¿Cuánto tiempo después de la compra se hace este pago, si se pagan intereses del 28.6% capitalizable por semanas? 93


43. El 2 de junio el señor González compra mercancía por $32,500 y firma un pagaré con valor nominal de $37,250 y vencimiento al 21 de agosto siguiente. ¿Cuál es la tasa de interés anual CD? 44. Encuentro la fecha en que vence un documento con valor nominal de $4,550. Este se firmó por un préstamo de $4,125 el 1 de junio con intereses del 21.6% CD? 45. ¿Cuánto gana por concepto de intereses un inversionista que deposita $320,000 en una cuenta que reditúa el 18.4% CM, en un año y medio de plazo? 46. ¿Qué capital debe invertir para tener $12,000 en una cuenta que produce el 24.8% de interés CM, un año después? 47. ¿Cuál es la tasa nominal anual CB, si un capital de $10,500 genera intereses del 30% global total en 8 meses? 48. ¿Cuál de las siguientes alternativas es más redituable para un inversionista? a. Invertir en una cuenta de ahorros que paga el 32.5% CM; b. Invertir en una cuenta bancaria que paga el 33.5% capitalizable por cuatrimestres o c. Invertir en una cuenta de valores al 30.8% capitalizable por semanas. 49. El contador Pérez compra un televisor con vídeo casetera integrada, con un enganche de 150 dólares que representa el 20% del precio del aparato, y dos abonos iguales para cubrir el 80% restante.¿ De cuánto es cada uno, si se tienen cargos del 32% CM y los pagos se hacen a 2 y 3 meses después de la compra? 50. La señora Ferrer invierte hoy $25,000, ¿cuánto acumula en un semestre, si su inversión reditúa el 2.8% mensual capitalizable por mes? ¿Cuánto dinero gana por intereses? Recuerdo que esta tasa significa que j/m=j/12=0.028 de donde j= 0.336 es la tasa nominal anual CM. 51. ¿Con qué tasa anual compuesta por semanas se triplica un capital en 3 años? 52. Hoy se cumplen dos meses que la empresa Otelo SA consiguió un préstamo de $7,500 a 7 meses de plazo con el Banco Omega. Tres meses antes del primero le concedieron otro por $12,000 a un plazo de 6 meses. El día de hoy la empresa hace un pago de $10,000 y acuerda con el Banco liquidar el resto en 2 cuota iguales dentro de 2 y 5 meses respectivamente. Si le cargan una tasa de interés de 21.84% efectivo anual, determino el valor de cada cuota. 53. Una empresa local tiene 3 deudas así: $5,000 con vencimiento en 5 meses e intereses del 20% CT. $10,000 con vencimiento en 9 meses e intereses del 24% CS $20,000 con vencimiento en 21 meses e intereses del 30% efectivo. Estas deudas se van a cancelar mediante 2 pagos iguales uno el día de hoy y otro al final de 2 años. Suponiendo un rendimiento de 24% CM. Calculo el valor de los pagos. 54. El Señor Restrepo, 3 meses antes de iniciar la construcción de su casa apertura una cuenta de débito para este fin y deposita $25,000 y otros $45,000 al iniciar las obras. Determino el valor del depósito 2 meses después si el presupuesto total es de $120,000 distribuidos de la forma siguiente: 30% al comenzar la construcción, 35% a los 2 meses, 20% 3 meses después y el resto al terminar, es decir 8 meses después del inicio y la cuenta devenga el 15% CM. 55. La administración de un proyecto tiene 4 adeudos de $7,000, $15,000, $12,000, y $13,000 que vencen respectivamente el 15 de abril, el 7 de mayo, el 18 de julio y el 30 de octubre del mismo año y todos devengan intereses de 32.85% CD. Entre deudor y acreedor se acuerda que estos adeudos se liquiden en 3 pagos iguales el quinceavo día de los meses de abril , junio y agosto en sustitución de los primeros ¿de cuánto es cada uno? 56. La Librería Bolívar suscribió 3 operaciones de crédito con la Editorial Nuevo Mundo que vencen el mismo año. La primera se suscribió el 15 de marzo por $75,000 a pagarse el día 30 de noviembre; la segunda el 8 de mayo mediante un pagaré con valor nominal de $50,500 y vencimiento el 10 de diciembre y la última el 1 de junio con un documento con valor nominal de $60,000 y vencimiento el 25 de agosto. Acuerdan reemplazar el compromiso con 2 pagos, uno el 15 de agosto y el otro el 15 de octubre por un valor que es doble del primero. a. De cuánto es cada pago si devengan intereses de 27.375% CD? b. ¿Con cuánto se liquidan las deudas con un pago único el 20 de diciembre? 57. El día 20 de marzo el Señor Dionisio Bello compra un automóvil usado y paga un anticipo del 40% y el saldo se liquida en dos pagos uno de $3,000 el día 19 de mayo y el otro de $2,500 el día 18 de junio del mismo año; a una tasa de interés del 30% CM ¿cuánto se pagaría de contado por el auto, si además se hace un descuento del 6.8% adicional? 58. En el problema 57 ¿En qué fecha después de la compra, el Señor Bello haría un pago de $6,000 en sustitución de los dos de $3,000 y $2,500?

94


59. Determino cuánto debe invertir en una cuenta el 10 de marzo y el 7 de mayo la Empresa de Dulces el Gallito, para disponer de $12,000 el 18 de agosto y de $20,000 el 15 de noviembre del mismo año, sabiendo que la cuenta devenga un interés de 13.87% CD, suponiendo que: a. Los dos depósitos son iguales. b. El segundo depósito es 40% mayor que el primero. 60. En el problema 59, determino el valor de un depósito único efectuado el día 8 de enero del mismo año, si es bisiesto. Me retroalimento y corroboro mis respuestas con las que se me presentan en la página 103, de las hojas de respuesta al final de la unidad autoformativa I.

95


96


Resumen Final de la unidad autoformativa I Conclusiones generales Una vez concluido el estudio de la Unidad autoformativa I, usted está capacitado para: Explicar los conceptos de inversión, interés, valor del dinero en el tiempo, monto, capital, tasa de interés, flujo de caja. Elaborar el diagrama tiempo valor del flujo de caja de un proceso de inversión. Calcular el monto, el valor actual, los intereses, el plazo y la tasa de interés con la fórmula de interés simple: F = P [ 1 + i (n ) ] = P + P i n Determinar el descuento simple racional y bancario, el plazo, y la tasa de rentabilidad a través de las fórmulas:

D=F−P P = F − D = F − Fdn F P = La rentabilid 1 + i (n )

ad es

r =

G 360 Inv dv

Plantear y resolver problemas de liquidación de deudas usando el método de la Regla Americana, los pagos parciales e intereses por mora. Reestructurar una obligación financiera haciendo uso de las ecuaciones de valores equivalentes con interés simple. Explicar los conceptos de interés compuesto, periodo de capitalización, frecuencia de conversión de intereses, tasas efectivas, nominales y equivalente. Evaluar con interés compuesto el monto, capital, plazo, y tasas de interés nominal y efectiva con las fórmulas

F = P (1+ i )

N

=

j   P 1+  m  

mn

= P ( 1 + ie ) = Pe JN n

Realizar cálculos financieros para reestructurar una deuda a través de la construcción de ecuaciones de valores equivalentes con interés compuesto. Calcular las tasas equivalentes tanto nominales como efectivas, teniendo en cuenta la frecuencia de conversión de intereses discreta y continua. Tomar decisiones financieras seleccionando la mejor opción a través de cálculos con interés compuesto. Utilizar el concepto y las fórmulas de interés compuesto para resolver problemas de aplicación

97


98


Autoevaluación final de la unidad autoformativa I Para verificar el logro de los objetivos, resuelvo cada uno de los problemas que se me presentan a continuación, para ellos es necesario disponer de un ambiente adecuado, utilizo una calculadora electrónica, el formulario, papel y lápiz. 1.

Determino el interés simple que devengan las siguientes inversiones a. $800 a 4% trimestral durante 178 días b. $500 a 1.5% bimensual desde el 16 de marzo al 26 de octubre del mismo año c. $1,200 a 12% durante 9 meses comerciales

2.

Calculo la tasa de rentabilidad con interés simple de $2,000 invertidos el 12 de enero hasta el 22 de noviembre del mismo año, si ganan $348.89

3.

Una persona debe pagar hoy $3,000 y dentro de 10 meses pagará $4,600, si decide pagar ambas deudas en dos pagos: uno dentro de 6 meses y el otro el doble del primero dentro de 15 meses, determino la cantidad a pagar en cada uno, si le aplican una tasa de rendimiento de 3% simple mensual y fecha focal dentro de 8 meses.

4.

En que tiempo un capital de $3,213 gana un interés de $1,000 si la tasa es de 12.4% interés simple.

5.

El valor nominal de un certificado de inversión es de $16,000 a plazo de 270 días, se oferta al público a una tasa de descuento del 8.40%. Determino: a. el valor que usted pagaría por el certificado; b. La tasa de rentabilidad anual.

6.

Hago uso de la regla americana para cancelar una deuda de $20,000 a plazo de 15 meses con 22% de interés corriente y 20% de interés por mora, si se acuerdan los pagos parciales siguientes: $8,000 a los 5 meses, $9,000 a los 9 meses y un tercer pago al vencimiento: a. Elaboro la tabla de pago; b. Asumo que el pago 1 se retrasa 28 días ¿cuánto paga en la fecha? ¿Cuál es el valor del pago 2?

7.

¿Cuál es el valor acumulado a interés compuesto de un depósito de $8,000 que realiza una empresa a plazo fijo de 90 días con 9% CD?

8.

Determino la tasa nominal CT que gana una inversión de $5,000 si los intereses son de $556.96 durante 16 meses.

9.

Determino el valor actual del monto $23,500 que vence dentro de 15 meses al 6.5% efectivo semestral.

10. Determino las siguientes tasas equivalentes a 25% efectivo anual: a. Efectivo trimestral ET. b. Nominal semestral CC. c. Nominal CB. d. Efectivo mensual EM

99


11. Una empresa tiene dos deudas pendientes con un banco : 1) Monto de $10,000 vence dentro de 4 meses 2) Monto de $8,500 vence dentro de 10 meses. Se pagarán a través de $5,000 dentro de 3 meses y dos pagos iguales X dentro de 9 y 15 meses respectivamente. Con el 20% CT, encuentro el valor del pago X. 12. Un inversionista tiene $50,000 para invertir a plazo de 16 meses, determino que tasa de interés le conviene más; si 3.3% ET o 5.82689% semestral CC. En la página 104 encontraré las respuesta a esta autoevaluación, me corrijo y retroalimento.

100


Hojas de respuestas de la unidad autoformativa I Respuestas a la evaluación diagnóstica inicial 1.

a.

1 1 − a8 b8 a 6 b 21

2.

a. 0.593658

b. 49.97

1 1 c6 c. 0.41003

3.

a. 15% anual

b. 1.2% mensual

c. 10% semestral

4.

a. 20 trimestres

b. 120 meses

5.

a. 20

b. 80

c. 6.30

6.

a. $19,948.70

b. $33,171.72

c. $20,500

7.

$61.54

750

725

b.

b3

c.

700

675

3

4

8. 0

1

2

año

2,50

9. 10.

Recibir primero 18% y después 8% a. A produce 122,500; B produce 84,000 y C produce 143,500 b. 3,360 tornillos defectuosos de la producción de B c. 0.1031% y 0.04228%

Respuestas a la prueba diagnóstica de la unidad autoformativa I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Las primeras tres preguntas son de carácter personal y se pretende reconocer el nivel de conocimiento y nivel de percepción que los estudiantes poseen sobre la temática. $46.5 $3,162 $253.95 $1,003.62 15.3895% $3,630.86 12% anual

101


Respuestas a la actividad de autoaprendizaje No. 1 A c t iv id a d 6 . y 7 . a.

6 ,7 0 0

0

1

2

3

5 ,5 0 0

2 ,0 0 0

6 ,7 0 0

4

6 ,7 0 0

5

4 6 ,7 0 0

6

7

años

1 ,7 0 0

2 5 ,0 0 0

310

b.

0

2 ,5 1 0

1

3 ,3 1 0

2

210

3

4

210

5

210

210

210

210

7

8

9

1 0a ñ o s

7 4 ,5 6 9

8 1 ,0 2 6

6

1 ,4 1 0

6 ,0 0 0

3 0 ,0 0 0

c.

0

1

3 8 ,0 0 0

4 5 ,8 0 0

2

3

5 3 ,3 8 0

4

6 0 ,7 1 8

5

6 7 ,7 9 0

6

7

a8 ñ o s

1 0 0 ,0 0 0

d.

2 ,5 8 2

0

1

2 ,5 8 2

2

2 ,5 8 2

3

2 ,5 8 2

6 ,2 8 2

9 ,2 8 2

4

5

6

años

2 0 ,0 0 0

Respuestas a la actividad de autoaprendizaje No. 2 1. a. $193.75 b. $174.44 2. a. $3,261.45 b. $2,657 3. 21% 4. 12.5% 5. $4,382.28 6. 2 años, 2 meses, 18 días 7. 9 meses, 10 días 8. 72 días 9. 3 años, 3 meses, 15 días 10. a. $12,931.03 b. $15,173.33 11. 17.80% 12. a. $2,497.50 b. $19,116.84 13. a.$19,203.21 b. $11,060.32 14. Menor costo presente, oferta 2 15. $2,294.34 16. $5,132.81 102

c. $1,012.05 d. $140.87 c. $7,412.64 d. $1787.33

e. $281.60 f. $103.85 e. $4,693.33 f. $1,408.15

c. $14,240.51 d. $13,820.64 e. $15,600.00 c. $15.9548% c. $7,373.55 d. $22,513.34


17. $3,879.75 18. $4,021.39 19. 11 de enero 20. $15,213.46 21. $7,223.20 22. $1,108.83 23. 20.777% 24. $2,971.66 25. a. $9,100 13.1868% b. $9,564.80 12.7692% 26. a. $12,138.05 b. $11,787.73, $14,787.73, $16,787.73 c. $9,738.52 d. $9,960.86 e. $3,863.60, $6,363.60, $8,863.60, $11,363.60, $13,863.60 f. $18,596.92 g. $30,787.88 h. $14,646.64 i. $10,486.00 27. Opción 1: $91,698.61 13.4086% Opción 2: $92,131.70 14.6446% 28. $22,750 13.1868% 29. a. $23,858.33 14.3556% b. 11.6923% 30. a. $26,575.00 15.4657% b. 16.5962%

Respuestas a la actividad de autoaprendizaje No. 3 1. $4,727.77 2. $2,193.31 3. $35,436.87 4. a. $774.77 b. $761.87 c. $763.82 d. $754.55 5. $4,901.12 6. $16,249.14 7. $4,927.41 8. 6,635.96 9. $3,442.68 10. $41,217.35 11. $76,451.56 12. 28.5% CM? 13. a. 2 años, 6 meses y 27 días b. 8 años, 4 meses, 17 días. 14. 38.349% CT. 15. a. i = 41.42% b. j = 37.84% CS c. j = 35.163% CM 16. a. 6.7497% trimestral, 2.2011% mensual b) 6.4838% trimestral 2.1162% mensual. 17. Opción c. 18. Plan c. $8,862.94 19. 3% mensual y 42,5760% anual. 20. a. 18.27135% b. 19.5235% 21. a. 21.511137% b. 21% 22. a. 20.167596% b. 17.606754% 23. a. 21.8875% b. 21.3158% c. 21.3096% d. 10.6548% e. 10.75% 24. a. 39.6419% b. 20.8031% c. 9.4496% d. 0.103610% e. 39.0144% 25. a. 33.1473% b. 104.5647% 26. 4.3% 27. sí. (sugerencias: calcule el monto a los 2 años o la tasa efectiva anual para cada caso) 28. $17,128.24. 29. Inciso (a) $39,925.81. 30. 6.7153% 31. $649.43 32. $221,142.71 103


33. a. de contado b. de contado c. a plazo 34. $499.91 35. $1,491.29 36. a. $4,308.02 b. $ 4,843.89 37. 28.60 quincenas 38. $12,971.88 39. 58.48% 40. 24 de septiembre 41. $21,493.50 42. 19 semanas 43. 61.4377% 44. 11 de noviembre 45. $100,828.92 46. $9,388.02 47. 40.674% 48. Alternativa a. 49. $ 320.37 50. a. $29,505.21 b. $4,505.21 51. 0.3675% 52. $5,708.20 53. Cada pago $22,022.88. 54. $46,000.74 55. $15,340.62 56. a. $60,112.36 y $120,224.72 b. $192,614.84 57. $8,041.51 58. 15 de septiembre 59. a. $14,885.54 cada depósito b. el primero $12,427.76, el segundo $17,398.86 60. $28,758.45

Respuestas a la autoevaluación de la unidad autoformativa I 1. a. $63.29 b. $25.50 c. $108 2. 20% 3. Pago 1: $2,970.86 Pago 2: $5,941.72 4. 2 años, 6 meses, 4 días 5. $14,992, 8.9648% 6. Pago 3 al vencimiento: $6,491.03 Pago 1 con mora: $8,438.15 Modificación $8,763.30 7. $8,182.02 8. 8% CT 9. $20,076.77 10. a. 5.7371% ET b. 11.1572% CC c. 22.7345% CB d. 1.8769% EM 11. $13,282.10 12. Invertir al 3.3% ET

104

Pago

2:


Glosario Amortización. Proceso mediante el cual disminuye una deuda a través de cuotas programadas. Capital. Recurso financiero disponible para la inversión, valor actual o presente. Capitalización. Proceso en el cual los intereses se agregan al capital en cada periodo. Descuento bancario. Sistema utilizado por los bancos, el cual consiste en cobrar intereses por anticipado calculados sobre el valor final del documento. Diagrama de tiempo. Escala utilizada para representar los flujos de efectivos en el momento que se produce ya sea al inicio o al final de periodo. Descuento racional. Diferencia entre el valor final y el valor presente del documento, es decir, es el interés simple que se deja de percibir por el pronto pago. Ecuación de valor. Igualdad entre valores que representan deudas y pagos calculados en una fecha común, denominada fecha focal. Frecuencia de conversión. Número de veces por año en que los intereses se capitalizan. Inversión. Colocación de los recursos financieros en una actividad económica en reemplazo del consumo actual, con el objetivo de obtener mayor consumo real en el futuro. Interés. Cantidad de dinero que se paga por hacer uso del dinero en calidad de préstamo o ahorro. Interés compuesto. Método de calculo financiero en el cual el interés devengado por periodos se capitaliza; aumenta el principal en el plazo. Interés simple. Método de calculo financiero en el cual el interés devengado se liquida por periodos y no se capitaliza; el capital no aumenta en el plazo. Monto. Suma del capital y los intereses al vencimiento del plazo, valor futuro. Periodo de capitalización de intereses. Tiempo entre dos fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital. Plazo. Tiempo entre la fecha de inicio y final planificado para la operación financiera. Saldo insoluto. Capital no cubierto por las amortizaciones en un sistema de pago de deuda. Tasa de interés. Cantidad de unidades monetarias que se pagan en concepto de interés al final de periodo por cada cien unidades de capital adeudadas a inicio de periodo. Tasas efectivas. Tasas de rendimiento o rentabilidad con interés compuesto, toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

105


Tasas equivalentes. Son aquellas tasas nominales o efectivas que producen la misma tasa de rendimiento o rentabilidad, es decir, producen iguales intereses en el mismo plazo. Tasas nominales. Tasas de interés que se utilizan en las operaciones financieras, no toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo y especifican la frecuencia de conversión de intereses. Valor del dinero en el tiempo. Cambio de la cantidad real del dinero durante un periodo de tiempo ocasionada por la ganancia de interés. Valor futuro de un capital. Monto de un pago único o valor presente. Valor presente de un monto. Valor actual o capital de un pago único en tiempo futuro.

106


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107


108


Unidad Autoformativa II: “Anualidades”

109


110


Presentación de la unidad autoformativa II En esta segunda unidad didáctica, del módulo autoformativo en estudio, denominado “Anualidades” y al igual que en la primera unidad, está escrita conservando la misma estructura metodológica. Si recordamos un poco en la unidad autoformativa I estudiamos, como parte del contenido, el interés compuesto con dos sumas de dinero, el valor futuro o monto F y su correspondiente valor presente o actual P, tomando en cuenta los demás elementos como la tasa de interés nominal y efectiva y el plazo de la operación. Ahora por ejemplo: Podemos verificar que el valor futuro de $1,000 a plazo de 3 años a 18% CM es $1,709.14. En cambio, no podemos responder hasta ahora las siguientes preguntas ¿cuál será el valor futuro de $200 mensuales durante 3 años al 9% CM? ¿cuál será el valor presente de $5,000 anuales durante 5 años al 20% CT?

Para responder las interrogantes anteriores, continuaremos en esta segunda unidad autoformativa el estudio del interés compuesto, aplicado a series de pagos o sumas de dinero para calcular el valor futuro, valor presente, valor de los pagos, tasas de interés y plazos. También estudiaremos algunos métodos que se utilizan para evaluar costos en algunas inversiones con vida útil definidas e indefinidas, como parte de la aplicación de anualidades.

Objetivos de la unidad autoformativa II 1. Explico el concepto de anualidad cierta simple y sus componentes 2. Desarrollo habilidades en el planteamiento y resolución de problemas de anualidades simples vencidas u ordinarias, Simples anticipadas, simples diferidas y simples perpetuas, en cuanto a: Montos, Valor de la renta, tasa de interés del período, valor actual. 3. Aplico el concepto de anualidad para el planteamiento y resolución de problemas relacionados con: costos anuales equivalentes, costos uniformes equivalentes y costos capitalizados

111


Esquema de contenidos

Unidad autoformativa II: “Anualidades” A. Anualidades simples a A. Anualidades simples a plazo plazo

B. Anualidades perpetuas y B. Anualidades perpetuas y evaluación de costos evaluación de costos

C. Anualidades generales a C. Anualidades generales a plazo y perpetuas plazo y perpetuas

1. Conceptos básicos 2. Clasificación de las anualidades 3. Anualidades ordinarias o vencidas 4. Anualidades anticipadas 5. Anualidades diferidas vencidas 1. Anualidad vencida 2. Anualidad anticipada 3. Anualidad diferida 4. Análisis del valor presente de costos 5. Costo anual equivalente 6. Costo capitalizado 1. Anualidad general: ajuste del pago 2. Anualidad general: ajuste de la tasa de interés

Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa II Si usted siguió las orientaciones de la unidad autoformativa I, entonces logró cumplir con los objetivos trazados; nuevamente le invito a seguir de la misma forma y verá que el éxito que usted obtenga en el autoestudio de la unidad autoformativa II depende de la responsabilidad de su autoaprendizaje. Para ello se requiere: 1. El cumplimiento de las orientaciones metodológicas que se le indican son importantes para el logro de los objetivos del autoestudio. 2. Recuerde anotar en una libreta o cuaderno aquellos aspectos relevantes como: conceptos más importantes, resúmenes, esquemas de mapas de conocimientos. Lleve un orden en los problemas que va estudiando y anote aquellas dudas que resulten. 3. Relacione los contenidos, dado que los mismos se presentan en cadena, donde el dominio del conocimiento anterior, es fundamental para la interpretación y asimilación del conocimiento siguiente. 4. Analice detenidamente los ejemplos modelos que se le presentan para resolver los problemas propuestos. 5. Elabore un formulario indicando el número de la fórmula y su utilidad.

112


6. En el Tema A, preste atención a la construcción y uso del flujo de caja o diagrama tiempo valor, para identificar el tipo de anualidad y consecuentemente aplicar la fórmula indicada. 7. En el Tema B, los contenidos donde debe prestar más atención son: el valor presente de la anualidades perpetuas, el costo presente, el costo anual equivalente y el costo capitalizado. 8. En el Tema C, debe asegurarse de tener dominio sobre: cálculo del valor del pago equivalente y la tasa equivalente para resolver problemas de anualidades generales.

Prueba diagnóstica de la unidad autoformativa II Esta prueba tiene por objetivo que usted identifique el nivel de conocimiento previo que posee para lograr el autoaprendizaje de los nuevos conocimientos que le exige la unidad autoformativa II. Se dará cuenta cuánto esfuerzo debe emprender para asimilar y aprender el contenido de la unidad, lo cual le ayudará a planificar su autoaprendizaje de una manera eficaz. Antes de comenzar a resolver los problemas y contestar las preguntas, asegúrese de estar en plena disposición emocional para el estudio. 1. Si la cuota que paga un comerciante cada mes es de $800, determine el valor del financiamiento si la tasa es del 18% CM y plazo de 3.5 años. 2. Calcule el valor de pago trimestral para liquidar una deuda, si el valor actual es de $24,000 la cual devenga un interés del 16% CT y a plazo de 12 años. 3. Una persona abre una cuenta de ahorros con $100 y cada semana ahorra $100, si la tasa de interés que devenga la cuenta es de 8.84% capitalizable por semana, halle el valor de la cuenta a los 5 años. 4. Una empresa desea tener $18,000 al final del año 5, para ello abre un fondo y realiza un depósito inicial en el periodo cero de $2,000 para completar el fondo destinará una cuota constante anual con interés del 10.8% efectivo anual. Halle la cuota anual constante. 5. Un proyecto obtiene un préstamo por $40,000 para pagarse a plazo total de 7 años que incluye 2 años de gracia. Con interés del 16% CT, calcule el valor de la cuota constante anual. 6. Calcule el CAE y el Costo Capitalizado de una inversión que presenta un desembolso inicial en año cero de $500, costos anuales de $50 desde el año 4 al 8 y del año 9 de forma indefinida los costos serán de $75. La tasa de interés del proyecto es de 12% anual. 7. Determine el CAE de los costos de una maquinaría que tiene una inversión inicial de $50,000, los costos de operación y mantenimiento serán de $6,000 anuales durante la vida útil que será de 12 años. Al final de la vida útil la maquinaría se podrá vender a un precio de mercado de $4,500, la tasa de interés es de 16% anual. 8. En la actualidad una deuda se está pagando a través de cuotas de $10,000 anuales ¿de qué tamaño serán las cuotas equivalentes mensuales anticipadas si el interés es de 24% CS? Usted podrá comprobar sus aciertos y desaciertos, buscando las respuestas correctas en la página 195, al final de la unidad autoformativa II.

113


114


A. Anualidades simples a plazo En este tema estudiaremos las anualidades simples a plazo, donde el período de pago coincida con el período de capitalización de interés. Analizaremos las anualidades más comunes que se utilizan en las diversas operaciones financieras bancarias y comerciales. Antes de iniciar el tema referido a las anualidades simples a plazo, es importante que usted tenga claro el concepto de anualidad, por tanto es conveniente preguntarnos: ¿Qué es una anualidad?

1. Anualidad Se define como un valor fijo de dinero que pagamos o recibimos en intervalos iguales de tiempo a una tasa de interés compuesto o continuo, en otras palabras, las personas vinculadas a la actividad financiera en muchos de los casos, reciben o pagan cantidades iguales de dinero a intervalos iguales de tiempo, a una tasa de interés compuesto y ocasionalmente continuo, tales pagos o recibos los denominamos anualidades o rentas. El hecho de llamarse anualidades no significa que los pagos o recibos fijos se realicen anualmente. Las anualidades las podemos programar de forma: diaria, semanal, quincenal, mensual, trimestral, semestral, anual o cualquier otro período que se escoja en la actividad financiera. Por ejemplo: Supongamos que una empresa paga un préstamo a plazo de 5 años a través de cuotas mensuales de $305.20. Entonces, el proceso de pago de la cuota mensual constituye una anualidad como se muestra en el gráfico 1. Gráfico 1 0

1

305.20

2

305.20

3

305.20

4

.

.

305.20

60 meses

305.20

Por otro lado, si supongamos que recibimos un pago mensual de $250 en concepto de intereses que genera un depósito a plazo de 3 años, como se muestra en el gráfico 2, decimos que el proceso de recibir $250 mensuales constituye una anualidad.

0

250

250

1

2

250

3 Gráfico 2

250

4

250

.

.

.

36 meses

Las anualidades son de frecuente utilización en las diversas transacciones, comerciales o financieras tanto del sector público como privado, esto se da en función de: depositar, retirar, 115


amortizar ó abonar igual cantidad de dinero; cancelar primas de seguros de vida, recibir ó pagar salarios nominales fijos, pagos fijos de renta de viviendas, amortizaciones de préstamos nacionales e internacionales. De lo anteriormente descrito podemos definir: “una anualidad de término constante es un valor fijo de dinero que pagamos o recibimos a intervalos iguales de tiempo a una tasa de interés compuesto o continuo” (Hortensia Fontanals Albiol. “Matemáticas Financieras” (Supuestos), P. 53) Del concepto de anualidad inferimos que por tratarse de equivalencias financieras, el período de pago debe tener el mismo período de capitalización de interés, es decir; si un pago es mensual la tasa periódica debe ser mensual, si un pago es semestral la tasa periódica debe ser semestral. No podemos operar con anualidades donde el período de pago difiera del período de interés, en los casos que esto suceda; debemos transformar el pago de forma equivalente al período de interés o el período de interés convertirlo al período de pago. Las anualidades Se utilizan

Se pueden

Tiene

En diferentes transacciones comerciales o financieras.

Programar

La función

que

Tanto

De forma

Pagamos o recibimos en intervalos iguales de tiempo.

En el sector público como privado.

Se definen Como un valor fijo de dinero

a

Diaria Quincenal Trimestral Anual

Semanal Mensual Semestral

De • Depositar • Retirar • Amortizar o abonar igual cantidad de dinero. También para

Una tasa de interés compuesto o continuo.

• Cancelar prima de seguro de vida. • Recibir o pagar salarios nominales fijos. • Pagos fijos de rentas de viviendas. • Amortizaciones de préstamos nacionales e internacionales.

Los elementos de las anualidades son los siguientes:

Pago o recibo periódico: es el valor constante programado en cada período de interés y de pago. Período del pago: es el intervalo de tiempo entre dos flujos sucesivos o período de capitalización de la tasa de interés. El número total de períodos lo designamos por N. Plazo o término de la anualidad: es el intervalo de tiempo transcurrido desde el comienzo del primer período en que se efectúa el primer flujo, hasta el final del último.

116


Tasa de interés de una anualidad: por tratarse las anualidades de equivalencias financieras, las tasas de interés se trabajarán en sus tasas equivalentes efectivas i por períodos de capitalización que deberá coincidir con el período del pago A. Período de capitalización de una anualidad: es el intervalo de tiempo en el cual los intereses acumulados se convierten en capital.

2. Clasificación de las anualidades “Una clasificación bastante detallada de las anualidades toma en cuenta cuatro aspectos básicos que presentamos a continuación” (Alfredo Díaz Mata, “Matemáticas Financieras”, p 126).

C iertas a. T iem p o o p lazo C o n tin g en tes

S im p les b . In tereses G en erales

V en cid as c. P ag o s A n ticip ad as

In m ed iatas d . In iciació n D iferid as

Veamos a continuación cada uno de esos aspectos:

♦ Anualidad cierta: las fechas son fijas y las conocemos de antemano, es decir sabemos cuando comienza el primer pago y cuando termina el último; es una anualidad a plazo definido (ver gráfico 3 y 4) contrario a las anualidades perpetuas donde el plazo es indefinido. ♦ Anualidad contingente: en esta anualidad no sabemos la fecha de inicio del primer pago o la fecha del último, está sujeta a acontecimiento de algún evento que ocurrirá pero no sabemos cuando. Un caso típico de estas anualidades son las rentas vitalicias o pagos de pensiones que comienza a recibir uno de los cónyuges al morir el otro, que no se sabe cuando va a morir también. ♦ Anualidad simple: el período de pago coincide con el período de interés.

117


Por ejemplo: Si una persona paga $500 trimestrales para amortizar una deuda con el interés del 20% CT, a plazo de 8 años, decimos que período de pago igual a período de interés, (pp = pi), esto lo mostramos en el gráfico 3. A=$500 valor del pago fijo mensual i=j/m=0.20/4=0.05 tasa efectiva de período trimestral

0

1

Gráfico 3 3 4 .....

2

500

500

500

32 trimestres

500

500

♦ Anualidad general: es aquella en la cual el período de pago no coincide con el período de interés. Por ejemplo: Una empresa deposita $10,000 anuales durante 10 años, en un fondo de amortización que devenga un interés del 10% CS, En este caso concluimos que el período de pago no es igual a período de interés, (pp ≠ pi), observemos el gráfico 4. A=$10,000 valor del pago fijo (depósito) anual i=j/m=0.10/2=0.05 tasa efectiva de período semestral Gráfico 4 0

1

2

10,000

10,000

3

4 .

10,000

.

.

10 años

10,000

10,000

♦ Anualidad vencida: también llamada ordinaria se caracteriza por que los pagos se efectúan al final de período de interés. Ver gráfico 3 y 4. ♦ Anualidad anticipada: los pagos se realizan al inicio de cada período de interés. ♦ Anualidad inmediata: es la más común, la realización de los pagos o recibos se efectúan de forma inmediata, esto quiere decir que el primer pago debe realizarse de forma anticipada o vencida. Por ejemplo: Si queremos saldar una deuda a plazo de 4 años a través de pagos trimestrales de $3,500 podemos establecer una anualidad inmediata según la formalización del contrato de dos formas: anticipada o vencida, como mostramos en los gráficos 5 y 6 respectivamente. 0

1

3,500

3,500

2

3,500

3

4

3,500

3,500

.

.

. 16 trimestres

3,500

Gráfico 5 0

1

2

3

4

3,500

3,500

3,500

3,500

Gráfico 6

118

.

.

.

16 trimestres

3,500


♦ Anualidad diferida: es el caso en que se posponen los pagos o recibos. Por ejemplo: Hoy obtenemos un crédito y comenzamos a pagarlo cuatro meses después mediante cuotas iguales mensuales; es una anualidad con período de gracia. De acuerdo a las definiciones anteriores, en el siguiente esquema presentamos los diversos tipos de anualidades que estudiaremos en este módulo. Las anualidades contingentes no serán analizadas. A plazo

Vencida Anticipada Diferida

Perpetua

Vencida Anticipada Diferida

Simples

Ciertas A plazo

Anualidades Generales

Perpetua Contingentes

Vencida Anticipada Diferida Vencida Anticipada Diferida

Simples Generales

3. Anualidades vencidas Anteriormente definimos las anualidades ordinarias o vencidas, como aquellas en que el pago de la renta se efectúa al final de cada período de interés, por ejemplo, el pago mensual para saldar una deuda, pago del salario nominal, pago de cuotas de una amortización de préstamo del gobierno etc. Son las anualidades más comunes, ya que generalmente los pagos las actividades económicas los hacemos a final de período.

a. Valor presente de anualidad vencida Calculemos el valor presente de cuatro pagos anuales de $5,000 con interés del 15% efectivo anual que presentamos en el gráfico 7. P=?

Gráfico 7 0

1

5,000

2

3

5,000

5,000

4 años

5,000

119


Para obtener el valor presente de la serie de pagos haremos uso de la fórmula de interés compuesto estudiada anteriormente a través de una ecuación de valor a la fecha focal el día de hoy, así; P = F (1 + i ) − N = 5,000 (1 + 0.15 ) − 1+ 5,000 (1 + 0.15 ) − 2 + 5,000 (1 + 0.15 ) − 3 + 5,000 (1 + 0.15 ) − 4 = 4,347.83 + 3,780.72 + 3,287.58 + 2,858.77 = $14,274.89

Podemos observar que el valor presente de una serie de pagos iguales, es la suma de los valores presentes de cada uno de ellos. Para obtener una fórmula general de cálculo de valor presente, utilizamos en el diagrama de flujos (gráfico 8) el punto cero (hoy) como referencia o fecha focal para formular la ecuación de valor, de esta manera hallamos el valor presente P dada la serie de pagos A, con N períodos de tiempo que coinciden con el número de pagos y una tasa de interés i. P=? Gráfico 8

0

1

2

3

4

A

A

A

A

. . .

N -1

A

N Periodos

A

El valor presente de una serie de flujos uniformes es la suma de todos los valores presentes de cada uno de los flujos a interés compuesto; Aunque no es objetivo de este módulo demostrar la fórmula general para el cálculo del valor presente, vamos a deducir dicha fórmula. Consideremos A=$1 en cada período desde 1 hasta N y establezcamos fecha focal en 0 (cero). Traslademos cada $1 con la fórmula P=F(1 + i)-N con F=1, a la fecha focal. La suma de todos los traslados será Pni= P y lo expresamos en la ecuación de valor. Pni=(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+...+(1+i)-N

(1)

multiplicando la ecuación 1 por (1+i), se tiene la ecuación: Pni(1+i)=1+(1 + i)-1+(1+i)-2+(1+i)-3+...+...+(1+i)-N+1

(2)

si de la ecuación ) le restamos la ecuación 1, obtenemos: Pni(1+i)-Pni=1-(1+i)-N Pni[(1+i)-1]=1-(1+i)-N Eliminando el paréntesis del lado izquierdo, tenemos; Pni(i)=1-(1+i)-N Pni=[1-(1+i)-N]/i

entonces (3)

Si el valor del pago periódico es $A en lugar de $1, entonces la suma de la ecuación 3 recibe el nombre de valor presente P, o sea: P=APni=A[1-(1+i)-N]/i que es lo mismo que

120


 1− ( 1+ i ) − N   P = A i    

(Fórmula 1)

 1− ( 1+ i ) − N   es el factor de descuento de la anualidad. donde, el factor   

 

i

Si resolvemos el ejemplo del gráfico 7 por la fórmula 1 obtenemos el mismo resultado:  1 − ( 1 + 0.15 ) − 4   = 5,000(2.854978 ) = $14,274.89 P = 5,000  0.15     Ejemplo 1: Cuánto deberá invertir hoy una empresa, para obtener un retiro de $20,000.00 cada año durante los próximos 6 años, si la tasa de interés en el mercado financiero es del 8%. Ver gráfico 9. 20,000

0

1

20,000

2

20,000

3

20,000

20,000

4

5

20,000

6 años

Gráfico 9

P=?

Datos: A=$20,000 retiro anual n=6 años de plazo m=1 frecuencia de conversión de intereses anuales

i=8% N=m.n=6 P=?

tasa efectiva anual retiros anuales

Solución: Aplicamos la fórmula 1 obtenemos:  1 − ( 1 + 0.08 ) − 6   = 20,000(4.622880 ) = $92,457.59 P = 20,000  0.08   Observemos que el período pago de $20,000 (retiro) es anual y coincide con el período de interés del 8% anual Ejemplo 2: Una persona está pagando el valor de financiamiento de un vehículo a un banco y cada mes paga $315.45 durante 5 años a un interés del 16.5% CM. Calculemos el valor del financiamiento. Gráfico 2.10

Datos: A=$315.45 j=16.5% C.M. i=j/m=0.165/12=0.01375 N=m.n=60 m=12 n=5

pago mensual tasa nominal anual tasa efectiva mensual pagos mensuales frecuencia de conversión de intereses anuales años de plazo del financiamiento

121


P=? P=? Gráfico 10

0

1

2

315.45

3

315.45

4

315.45

.

315.45

.

. 59 ...

315.45

60 meses

315.45

Solución: Nuevamente aplicamos la fórmula 1 para obtener el valor presente que será el valor financiado  1 − ( 1 + 0.01375 ) − 60   = 315.45 (40.67600 ) = $12,831.24 P = 315.45  0.01375   En el ejemplo anterior nuevamente el período de pago mensual de $315.45 coincide con el período de interés mensual del 1.375%

b. Valor del pago vencido dado P Cuando conocemos el valor presente P de una serie de pagos vencidos, podemos calcular el valor del pago A o renta vencida; para éste cálculo es necesario saber las otras variables como el plazo n, y el interés i. Ver gráfico 11 0

1

2

3

A=?

A=?

A=?

4

.

A=?

.

.

N-1

A=?

N períodos

A=?

Gráfico 11

La fórmula general para determinar el valor A en este caso la obtenemos despejándola en la fórmula 1. Así:   i  (Fórmula 2) A =P  1 − ( 1 + i ) − N    Donde el factor:

  i   1 − ( 1 + i ) − N   

lo definimos como factor de recuperación de capital y es el

valor de la magnitud A de una anualidad que amortiza una deuda de $1 (una unidad monetaria), en N pagos a la tasa de interés i.

Ejemplo 3: La empresa de Artesanías de Nicaragua desea saber cuanto pagará cada trimestre durante 6 años para amortizar una deuda de $50,000 que contraerá próximamente con un banco nacional a un interés del 17% CT. Observemos el gráfico 12.

Datos P=$50,000 122

principal del prestado


j=17% CT m=4 i=j/m=0.17/4=0.0425 n=6 N=m.n=24 A=?

tasa nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva trimestral años de plazo del préstamo pagos trimestrales trimestral

P=50,000 Gráfico 12 0

1

2

3

4

.

A=?

A=?

A=?

A=?

.

.

23

24

A=?

A=?

T.

Solución: El valor del pago trimestral lo obtenemos por la fórmula 2 de la siguiente forma:   0.0425  = 50,000 (0.067276 ) = $3,363.82 A = 50,000  1 − ( 1 + 0.0425 ) − 24    Concluimos que la empresa pagará durante 24 trimestre $3,363.82 para saldar el préstamo de $50,000. Además, notemos que el período de pago es trimestral igual al período de interés. Ejemplo 4: Una persona deposita la cantidad de $80,000 en una institución bancaria que le garantiza el 7.6% efectivo anual sobre capital disponible. El depósito lo agotará a través de retiros iguales anuales en un plazo de 10 años. Determinemos el valor de los retiros. Observe el gráfico 13.

0

A=?

A=?

A=?

1

2

3

A=?

4

A=?

.

.

.

10 años

Gráfico 13

P=80,000

Datos: P=$80,000 depósito n=10 plazo en años ie=7.6% tasa de interés efectiva anual

N=10 número de flujos A=?

Solución: Por la fórmula 2 tenemos lo siguiente:   0.076  = 80,000 (0.146352 ) = $11,708.15 A = 80,000   1 − (1 + 0.076 ) − 10    De esta manera el depósito se agotará en 10 retiros anuales de valor $11,708.15.

123


c. Valor futuro de anualidad vencida Para el cálculo del valor futuro F de una anualidad vencida utilizamos en el diagrama de flujos, la fecha de vencimiento como fecha focal o punto de referencia, es decir; encontrar el valor futuro de la serie de flujos A en N período de tiempo a una tasa de interés i. Gráfico 14. F=?

Gráfico 14 0

1

2

3

4 . . .

A

A

A

A

N-1

N Periodos

A

A

El monto o valor futuro de una serie de flujos A es la suma de todos los valores futuros de cada uno de los flujos a interés compuesto, por ejemplo el valor futuro de la serie de $10,000 anuales durante cuatro años al 10% es F = P(1 + i)N = 10,000 (1 + 0.10 )3 + 10,000 (1 + 0.10 )2 + 10,000 (1 + 0.10 )1 + 10,000 (1 + 0.15 )0 = 13,310 + 12,100 + 11,000 + 10,000 = $46,410

Para obtener la fórmula general del cálculo del valor futuro, consideremos el valor del pago A=$1 en cada período desde 1 hasta N y establezcamos fecha focal en N para trasladar cada valor A=$1 con la fórmula F=P(1+i)N con P=1, a la fecha focal. La suma de todos los traslados será Sni=F y lo expresamos en la ecuación de valor: Sni=1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+. . .+(1+i)N-1 Si la ecuación 1 la multiplicamos por (1+i), obtenemos

(1)

Sni(1+i)=(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+(1+i)4+. . .+(1+i)N-1+(1+i)N

(2)

Si restamos la ecuación 1 de la ecuación 2, tenemos; Sni(1+i)-Sni=-1+(1+i)N=(1+i)N-1 Sni[(1+i)-1]=(1+i)N-1 N Sni(i)=(1+i) -1 entonces Sni=[(1+i)N-1]/i

(3)

Si el valor del pago periódico es $A en lugar de $1, entonces la sumatoria recibe el nombre de valor futuro F. Retomando la ecuación 3 tenemos: F=A Sni=A[(1+i)N-1]/i, que es lo mismo que

 (1 + i )N − 1   F = A i    

(Fórmula

3)

 (1 + i ) N − 1  , lo definimos como el factor de acumulación de capital. donde, el factor   

124

i

 


Ejemplo 5: Verifiquemos el resultado con la fórmula 3 del ejemplo donde el pago trimestral es de $10,000 durante cuatro años al 10% efectivo anual.

Datos A=$10,000 valor del pago trimestral n=1 año de plazo

I=10% tasa de interés efectivo anual m=1 frecuencia de conversión de intereses anuales Solución: La solución la verificamos con la fórmula 3  ( 1 + 0.10 ) 4 − 1  = 10,000 (4.641) = $46,410 F = 10,000  0.10    

Ejemplo 6: Una empresa deposita en un fondo de amortización al final de cada mes la cantidad de $15,000. Determinemos el valor acumulado en el fondo al término del año 8, si el fondo devenga un interés del 9% CM. Gráfico 15. F=? Gráfico 15

0

1

15,000

Datos: A=$15,000.00 j=9% m=12 i=j/m=0.09/12=0.0075 n=8 N=(12)(8)=96

2

15,000

3

15,000

4 . . .

15,000

95

15,000

96 meses

15,000

depósito periódico mensual tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual años de plazo períodos totales mensuales

Solución: Por la fórmula 3 tenemos:  ( 1 + 0.0075 ) 96 − 1  = 15,000 (139.856164 ) = $2,097,842 .46 F = 15,000  0.0075    

Concluimos que el fondo tendrá acumulado a los 8 años una cantidad de $2,097,842.46 a través de 96 depósitos mensuales de $15,000.

d. Valor del pago vencido dado F Si conocemos el valor futuro F podemos encontrar el valor de la magnitud del pago A o renta, si además, sabemos el número de período N o tiempo y la tasa de interés i efectiva por período de capitalización. Gráfico 16

125


F Gráfico 16 0

1

2

3

4

A=?

A=?

A=?

A=?

. .

.

N-1

N

A=?

Periodos

A=?

Para obtener el valor del pago A despejamos en la fórmula 3 y resulta;

  i   A =F  (1 + i )N − 1   donde, el factor:

  i   N  (1 + i ) − 1   

(Fórmula

4)

se llama factor del fondo de amortización.

Ejemplo 7: La empresa avícola “San Martín” tiene planeado invertir al final de cada trimestre una cantidad constante durante 6 años, en un fondo que devenga el 10% CT con el objetivo de acumular el valor de reposición de una máquina que tiene un costo de $28,500. Determinemos el valor a invertir cada trimestre por la empresa. Gráfico 17. F = $ 2 8 ,5 0 0 G rá fic o 1 7 0

1

2

3

4

A=?

A =?

A =?

A =?

.

.

.

23

24 T

A=?

A =?

Datos: F=$28,500 valor futuro que se desea acumular j=10% tasa nominal de interés anual m=4 frecuencia de conversión de intereses anuales i=j/m=0.10/4=0.025 tasa efectiva trimestral n=6 años de plazo N=(4)(6)=28 depósitos trimestres A=? depósito trimestral Solución: Como se desea acumular el valor futuro, entonces por la fórmula 4 se tiene la solución del valor A.   0.025  = 28,500 (0.0309128 ) = $881.02 A = 28,500   ( 1 + 0.025 ) 24 − 1  

126


Ejemplo 8: El Sr. Pérez tiene pensado comprar un terreno dentro de 5 años que cuesta $20,000 para ello ha decidido abrir una cuenta de ahorros donde depositará una cantidad constante al final de cada mes a un interés del 7.2% CM. Calculemos el valor del depósito mensual.

Datos: F=$20,000 j=7.2% m=12 i=j/m=0.072/12=0.006 n=5 N=(12)(5)=60 A=?

valor futuro que se desea acumular tasa nominal de interés anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual años de plazo depósitos mensuales depósito mensual

Solución: Deseamos acumular el valor futuro, nuevamente por la fórmula 4 se tiene la solución del valor A.   0.006  = 20,000 (0.0138956 ) = $277.91 A = 20,000   ( 1 + 0.006 ) 60 − 1   Para tener disponibles $20,000 al término del año 5 el Sr. Pérez deberá depositar $277.91 cada mes. e. Tiempo de una anualidad ordinaria vencida Hay operaciones donde se hace necesario que conozcamos el tiempo en que se acumulará una cantidad F deseada a partir de una serie de pagos o depósitos A y la tasa de interés i. El tiempo lo podemos calcular si despejamos la variable n en la fórmula 3, sabiendo que n=N/m; n estará definida en años si m=1, con la tasa efectiva anual ie, es decir;  F ( ie )  + 1 ln   A  n = (Fórmula 5) ln ( 1 + ie ) Dejamos al lector que compruebe la fórmula 5; notemos que si usamos la tasa de interés i=j/m en sustitución de ie, el resultado de n=N/m significa plazo de períodos anuales, es decir;  F(i )  ln  + 1 1  A  n = m ln ( 1 + i )

(Fórmula 6)

Ejemplo 9: Calculemos el tiempo o plazo que una empresa necesita para acumular $690,116.07 si puede depositar cada mes $3,000 al 12% CM.

Datos: F=$690,116.07 A=$3,000 j=12%CM. m=12

valor futuro que se desea acumular depósito mensual tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales

127


i=0.12/12=0.01 n=?

tasa efectiva mensual

Solución: Por la fórmula 6 calculamos el tiempo que será en años.  690,116.07 (0.01)  ln  + 1 3,000 1   =  1  1.19403970 =  1 120 = 10 n =     12 ln ( 1 + 0.01)  12  0.00995033  12 

El tiempo es de 120 meses o 10 años

Ejemplo 10: Determinemos el plazo para acumular $82,664.89 si depositan al final de cada trimestre $2,500 al 20% CT.

Datos: F=$82,664.89 A=$2,500 j=20% CT m=4 i=0.20/4=0.05 n=?

valor futuro que se desea alcanzar depósito trimestral tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva trimestral

Solución: Nuevamente usamos la fórmula 6 y obtenemos el plazo.  82,664.89 (0.05 )  + 1 ln  2,500 1   =  1  0.9758033 =  1  20 = 5 n =     4 ln ( 1 + 0.05 ) 4  4  0.0487901

En este caso el tiempo es 5 años o 20 trimestres. Con el uso de los logaritmos, también podemos calcular el plazo n si conocemos el valor actual P de la serie de pagos A y la tasa nominal j o efectiva i a través de la fórmula 7 que la obtenemos al despejar n en la fórmula 1.   A ln   1  A − P(i )  n = (Fórmula 7) m ln ( 1 + i )

Ejemplo 11: Deseamos conocer el plazo para pagar un préstamo de $25,000 al 18% CS, si el banco programa un pago constante al final de cada semestre de $3,895.50.

Datos: P=$25,000 A=$3,895.50 j=18% CS m=2

128

valor presente o valor actual del préstamo valor del pago semestral tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales


i=0.18/2=0.09 n=?

tasa efectiva semestral

Solución: En esta situación aplicamos la fórmula 6 para obtener el plazo   3,895.50 ln   1  3,895.50 − 25,000 ( 0.09 )   1  0.8617777 n = =   = 2 ln ( 1 + 0.09 )  2  0.0861777

 1  10 = 5 2

Así, el tiempo es 5 años o 10 semestres de plazo para pagar el préstamo.

f.

Tasa de interés de una anualidad vencida

Cuando estamos interesados en determinar la tasa de interés i, que nos permita acumular cierta cantidad de dinero F, en un tiempo deseado n a través de una serie de depósitos periódicos iguales A, despejamos la tasa de interés en la ecuación de la fórmula 3; sin embargo, en dicha ecuación la variable i se encuentra de forma implícita, y no se puede despejar en función de las demás, debido a que se trata de una ecuación de grado n que puede no tener solución conocida.

g. Método de interpolación En consecuencia en estos casos hallaremos la tasa de interés i mediante el método de interpolación. “En general, interpolar quiere decir obtener de una serie de valores dados otros valores intermedios” (Justin H. Moore “Manual de Matemáticas Financieras” p, 154). El método de interpolación más común consiste en averiguar por medio una simple proporción, la relación que existe entre una cantidad y las dos entre los que se halla comprendida en una tabla numérica o valores calculados a través de la fórmula. El método de interpolación se conoce también con el nombre de "prorrateo". Es común la aplicación del "prorrateo" en el cálculo de la tasa interna de retorno TIR en la evaluación financiera de una inversión.

Ejemplo 12: Una empresa desea que le calculemos la tasa de interés i trimestral a la cual debe invertir para acumular $500,000 dentro de 4 años, si puede depositar $22,000 de forma trimestral en un negocio financiero.

Datos: F=$500,000 A=$22,000 n=4 m=4 N=4(4)=16 i=?

valor futuro de las inversiones valor de las inversiones trimestrales años de plazo frecuencia de capitalizaciones anuales de intereses períodos trimestrales trimestral

Solución: A través de la fórmula 3 con tasa del 4% trimestral, obtenemos el valor futuro a dicha tasa, o sea:

129


 ( 1 + 0.04 ) 16 − 1  = 22,000 (21.824531) = 480,139.69 F = 22,000  0.04    

Entonces con: i=4%: F=$480,139.69 Como el valor F está por debajo del valor que deseamos que es $500,000, aumentamos la tasa al 5% trimestral y nuevamente realizamos los cálculos,  ( 1 + 0.05 ) 16 − 1  = 22,000 (23.657491) = 520,464.82 F = 22,000  0.05    

Ahora con: i=5%: F=$520,464.82 En el nuevo cálculo observamos que el valor F sobrepasó el valor deseado. Lo que indica que el valor de $500,000 se halla comprendido entre las tasas de interés del 4% y 5% trimestral, esto es: i = 4%

:

480,139.68

i=X

:

500,000.00

i = 5%

:

520,464.82

La relación entre los números de la derecha debe ser la misma que entre los números de la izquierda, así establecemos las siguientes relaciones:

Izquierda Diferencia menor Diferencia mayor

4 - X 4 - 5

=

=

Derecha Diferencia menor Diferencia mayor

480,139.68 - 500,000 480,139.68 - 520,464.82

4 - X - 19,860.32 = = 0.492505 - 1 - 40,325.14 4-X =-0.4925, entonces X=4.4926%. De esta forma la empresa puede invertir aproximadamente al 4.5% efectivo trimestral o de forma equivalente al 19.2520% efectivo anual. Concluimos que con el método de interpolación, el valor hallado es aproximado y depende del tamaño del intervalo seleccionado por la izquierda y derecha de donde se halla dicho valor. Con este método, también podemos hallar la tasa de interés de cualquier tipo de anualidad, además de otras variables que se desean calcular como los períodos de capitalización N y el tiempo n.

130


Para el cálculo de la tasa de interés por interpolación, también podemos utilizar el valor presente P, la serie de pagos A y el plazo n, como lo veremos en el ejemplo siguiente.

Ejemplo 13: Una institución pública desea saber la tasa de interés mensual sobre saldos que le aplican en la amortización de un préstamo de $40,000 a un plazo de 3 años, si paga cuotas iguales mensuales de $1,569.31

Datos: P=$40,000 A=$1,569.31 n=3 m=12 N=3(12)=36 i=?

valor presente o actual del préstamo valor de los pagos mensuales años de plazo frecuencia de capitalizaciones anuales de intereses períodos mensuales mensual

Solución: Con la fórmula 1 y la tasa del 1.5% mensual, obtenemos el valor presente, o sea:  1 − ( 1 + 0.015 )− 36 P = 1,569.31  0.015  

  = 1,569.31(27.660684 ) = 43,408.19  

Entonces obtenemos: i=1.5%: P=$43,408.19 En este caso como el valor P está por encima del valor que deseamos que es $40,000, aumentamos la tasa al 2.5% mensual y nuevamente realizamos los cálculos,

 1 − ( 1 + 0.025)− 36 P = 1,569.31  0.025  

  = 1,569.31(23.556251) = 36,967.06  

En el nuevo cálculo tenemos: i=2.5%: P=$36,967.06 Observamos que el valor P está por debajo del valor deseado. Lo que indica que el valor de $40,000 se halla comprendido entre las tasas de interés del 1.5% y 2.5% mensual, esto es: i=1.5% :

43,408.19

i=X

:

40,000.00

i=2.5% :

36,967.06

Como dijimos anteriormente, la relación entre los números de la derecha debe ser la misma que entre los números de la izquierda, por tanto escribimos las siguientes relaciones:

Izquierda Diferencia menor Diferencia mayor

=

Derecha Diferencia menor Diferencia mayor

131


1.5 - X 43,408.19 - 40,000.00 = 1.5 - 2.5 43,408.19 - 36,967.06 1.5 - X 3,408.19 = entonces (− 1)(3,408.19 ) = (1.5 - X )(6,441.13 = ) - 1 6,441.13 − 3,408.19 = 9,661.70 − X(6,441.13 ) o sea, un valor aproximado de

X = 2%

De esta manera concluimos que la tasa de interés del préstamo sobre saldo es 2% efectivo mensual o 24% CM. nominal anual o el 26.8242% efectivo anual.

4. Anualidades anticipadas Las anualidades ordinarias anticipadas son aquellas en que los flujos de dinero se efectúan a principios o inicios de cada período de interés y el último pago se produce en el penúltimo período del plazo de la anualidad. Supondremos que son flujos que se realizan los primeros días de cada período de tiempo.

Ejemplo 14: Determinemos el valor presente de cuatro pagos semestrales anticipados de $6,000 al 8% semestral. Gráfico 18 P=? Gráfico 18 0

1

2

3

4 Semestres

6,000

6,000

6,000

6,000

Si observamos el gráfico notaremos que el primer pago se efectúa en el período cero (0) por lo que el último se realiza en el período 3. El valor presente de la serie la calculamos a través de la suma de todos los valores presente de cada pago, con interés compuesto con la salvedad que el valor actual del primer pago es el mismo, dado que coincide su desembolso con la fecha focal, esto es:

P = F(1 + i)− N = 6,000 + 6,000 (1 + 0.08 )−1 + 6,000 (1 + 0.08 )−2 + 6,000 (1 + 0.08 )−3 = 6,000 + 5,555.55 + 5,144.03 + 4,762.99 = $21,462.58

a. Valor presente de una anualidad anticipada Queremos encontrar el valor presente P de una serie de flujos o pagos uniformes A, el primero a partir del día de hoy y el último un período antes del vencimiento, con la tasa de interés periódica i. Gráfico 19. Para deducir la fórmula consideraremos los siguientes aspectos: El valor presente del flujo A que se produce hoy (valor cero en la escala) es el mismo, o sea; el valor actual de A es A dado que su desembolso coincide con la fecha de cálculo.

132


Los flujos restantes A partir del primer período hasta el penúltimo, (N-1) los podemos analizar como una anualidad ordinaria vencida, por tanto, su valor presente se calcula mediante la fórmula 1 restando un período de capitalización. P=?

Gráfico 19 0

1

A

A

2

3

4

A

A

A

.

.

.

N-1

N Períodos

A

Después de simplificar una serie geométrica, se llega a la expresión que nos permite calcular el valor presente de la anualidad ordinaria anticipada:  1− ( 1+ i ) − N + 1  P = A+ A  i    

(Fórmula

8)

Ejemplo 15: Una empresa de atención a la salud desea comprar de contado un equipo médico que se vende en los siguientes términos: el valor de cada cuota es de $660.40 pagadas por adelantado de forma mensual, por 4 años de plazo y a una tasa de interés del 16% convertible mensualmente. Determinemos el valor efectivo equivalente o valor presente del equipo medico. Gráfico 20. P=?

Gráfico 20 0

660.40

Datos: A=$660.40 j=16% CM m=12 i=0.16/12=0.013333 n=4 N=(4)(12)=48 P=?

1

2

3

4

660.40 660.40 660.40 660.40

.

.

.

47

48 meses

660.40

valor de la cuota mensual anticipada tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual años de plazo pagos mensuales

Solución: Por la fórmula 8 obtenemos el valor de contado que equivale a calcular el valor presente o valor descontado, es decir:  1 − (1 + 0.013333 )− 48 + 1   = 660.40 + 660.40 (34.756185 ) = $23,613.38 P = 660.40 + 660.40  0.013333     Concluimos que si el equipo se compra de contado tiene un valor de $23,613.38, el cual le llamamos valor de financiamiento.

133


Ejemplo 16: Para cancelar un vehículo nuevo una persona paga cuotas mensuales anticipadas de $335.26 durante 5 años de plazo con interés del 15% CM. Determinemos cuanto vale el vehículo de contado, es decir, sin financiamiento.

Datos: A=$335.26 j=15% CM m=12 i=0.15/12=0.0125 n=5 N=(5)(12)=60 P=?


Solución: Nuevamente usamos la fórmula 8 para calcular el valor presente o valor sin financiamiento, es decir:  1 − (1 + 0.0125 )− 60 + 1   = 335.26 + 335.26 (41.560024 ) = $14,268.67 P = 335.26 + 335.26  0.0125    

El vehículo tiene un valor de contado de $14,268.67, que es igual a su valor presente. b. Valor del pago anticipado dado P Cuando conocemos el valor presente P, la tasa de interés efectiva i por período de capitalización y el plazo o números de flujos N, podemos calcular el valor del pago anticipado A. De la fórmula 8 obtenemos el valor A haciendo un despeje sencillo de la siguiente forma:   i  A = P  ( 1 + i ) − ( 1+ i )− N + 1 

(Fórmula

9)

Ejemplo 17: La empresa Ton S.A., debe pagar una deuda de $100,000.00 pendiente con un banco, a través de 16 cuotas iguales semestrales, primer cuota se pagará de forma anticipada. Si la tasa de interés del banco es del 17% CS. Calculemos el valor de cada semestral. En el gráfico 21 observemos que el pago 16 se efectúa en el período 15, debido que son anticipados. P=100,000 Gráfico 21 0

A=

Datos: P=$100,000 j=17% CS m=2 i=0.17/2=0.085 134

1

2

A=?

A=?

3

A =?

4

A=?

...

15

16 Semestres

A=?

valor actual de la deuda tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva semestral


n=4 N=(4)(2)=16 A=?

años de plazo pagos semestrales anticipados

Solución: Con la fórmula 9 obtenemos el valor de la cuota nivelada semestral y anticipada, esto es:   0.085  = 100,000 (0.1074779 ) = 10,747.79 A = 100,000   ( 1 + 0.085 ) − ( 1 + 0.085 )− 16 + 1    Así, el valor de cada cuota semestral anticipada es de $10,747.79 Ejemplo 18: En la firma de un contrato de alquiler de 2 años de plazo de una vivienda se paga $6,615.99; si asumimos un interés del 9% CM, calculemos de forma equivalente, el valor del pago mensual anticipado

Datos: P=$6,615.99 j=9% CM m=12 i=0.09/2=0.0075 n=2 N=(2)(12)=24 A=?

valor de contado o presente del contrato tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual años de plazo pagos mensuales anticipados

Solución: Con la fórmula 9 obtenemos el valor de la cuota nivelada semestral y anticipada, esto es:   0.0075  = 6,615.99 (0.0453446 ) = 300 A = 6,615.99   ( 1 + 0.0075 ) − ( 1 + 0.0075 )− 24 + 1    Concluimos que el valor de la cuota mensual anticipada equivalente es de $300. c. Valor futuro de una anualidad anticipada Para calcular el valor futuro F utilizaremos la fecha de vencimiento N como fecha focal o punto de referencia en el diagrama de tiempo valor (gráfico 22), entonces decimos hallar el valor futuro F de la serie de pagos anticipados A durante N pagos o períodos de tiempo a una tasa de interés efectiva i por período. F=?

Gráfico 22 0

1

2

3

4

A

A

A

A

A

.

.

.

N-1

N Semestres

A

135


Observemos detenidamente el gráfico que corresponden a una anualidad ordinaria anticipada. Dado que queremos realizar un análisis como una anualidad ordinaria vencida, ubicaremos (artificialmente) un pago A en el período N, y un pago en el período (-1) antes de cero. Para efectos únicamente del cálculo del valor futuro F de la anualidad anticipada, definimos el período N-1 en el diagrama del gráfico 23, como período N, ya que hasta ese plazo están estipulados los N pagos o flujos de dinero A que efectivamente se programan. Es por eso que al ubicar un nuevo pago A en el período N en el diagrama de tiempo, afirmamos que lo estamos ubicando de acuerdo al análisis antes expuesto en N+1. F=? Gráfico 23 -1

0

1

A

2

A

A

3

.

.

.

A

N-1 N

N N+1

A

Períodos

A

(Valor artificial)

Si observamos el gráfico 23, obtendremos el monto o valor futuro F de una anualidad ordinaria vencida, de los pagos A pagaderos durante N+1 períodos. Notemos también que se encuentra un pago A de más que corresponde al período agregado N+1, que tenemos que restarlo. Recordemos además, que el valor futuro de un flujo de dinero en su fecha de vencimiento es el mismo valor. Por lo tanto, haciendo una extensión de la fórmula 3, deducimos la fórmula para determinar el valor futuro F de una anualidad anticipada, esto es:  ( 1 + i) N + 1− 1  -A F=A i    

(Fórmula 10)

Ejemplo 19: Una persona deposita mensualmente y de forma anticipada $500 durante 5 años en una cuenta de ahorros que devenga un interés del 6.96% CM. Determinemos el valor final o futuro. Gráfico 24. F=?

Gráfico 24

Datos: A=$850

136

0

1

2

500

500

500

3

4

500

500

.

.

.

59

60

Meses

500

depósitos mensuales anticipados


j=6.96% m=12 i=j/m=0.0696/12=0.0058 n=5 N=(5)(12)=60 F=?

tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual años de plazo depósitos mensuales

Solución: Hacemos un reemplazo de la información en la fórmula 10 para obtener el valor acumulado de los depósitos:  ( 1 + 0.0058 ) 60 + 1 − 1  - 500 = 500(72.933637 ) - 500 = $ 35,966.82 F = 500  0.0058     De esta manera concluimos que, el valor futuro o valor acumulado en la cuenta de ahorros será de $35,966.82, sin tomar en cuenta el depósito del período 60. Ejemplo 20: Supongamos en el ejemplo 15 que el deudor deposita en un fondo la cuota de $335.26 mensuales y anticipadas durante de 5 años, a una tasa de interés del 7.2% CM. Determinemos el valor futuro del fondo y comparemos el costo de oportunidad de comprar el vehículo. Gráfico 25. F=?

Gráfico 25 0

335.26

Datos: A=$335.26 j=7.2% CM m=12 i=0.072/12=0.006 n=5 N=(5)(12)=60 F=?

1

335.26

2

3

335.26 335.26

4

335.36

.

.

.

59

60 Meses

335.26


Solución: La información anterior la reemplazamos en la fórmula 10 para obtener el valor acumulado o futuro;  ( 1 + 0.006 )60 + 1 − 1  - 335.26 = 335.26 (73.396523 ) - 335.26 = $24,271.66 F = 335.26  0.006     Podemos concluir que, el valor futuro o cantidad acumulada en el fondo será de $24,271.66, sin tomar en cuenta el depósito del período 60; así en lugar de pagar el vehículo la persona puede ahorrar y tener disponible esa cantidad que equivale al costo de oportunidad.

137


d. Valor del pago anticipado dado F Pretendemos calcular en esta sección, el valor del pago anticipado A, si conocemos el valor futuro F, los períodos o el número de pagos N y la tasa de interés i del período de pago. Gráfico 26 F Gráfico 26 0

A=?

1

2

3

A=?

A=?

A=?

4

.

.

.

N-1

A=?

N Períodos

A=?

La fórmula resultante 11 para el cálculo de A la obtenemos de la formula 10 haciendo un despeje, esto es:   i  A =F (Fórmula 11)  (1 + i )N + 1 − ( 1 + i )    Ejemplo 21: La empresa M y T desea tener disponible la cantidad de $90,600.00 dentro de 10 años para remodelar un edificio y ha dispuesto efectuar depósitos bimestrales iguales anticipados en un fondo que tiene en un banco y que devenga el 9.60% CB. Determinemos el valor del depósito. Gráfico 27. Datos: F=$90,600 j=9.60% CB m=6 i=0.096/6=0.016 n=10 N=(10)(6)=60 A=?

valor futuro que se desea obtener tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva bimensual años de plazo depósitos bimensuales F = 90,600

Gráfico 27 0

A=?

1

2

3

A=?

A=?

A=?

4 .

A=?

.

.

59

A=?

Solución: Con la fórmula 11 y la información anterior tenemos;

138

60

Bimestres


 A = 90,600   (1 + 0 .016 

)

0.016 60 + 1− ( 1 + 0.016

  = 90,600 (0.0098924 ) 

)=

$896.26

Concluimos que el depósito destinado para el fondo de forma bimensual y anticipado es de $896.26. Ejemplo 22: Una organización empresarial efectúa pagos de $15,700 al final de cada año para amortizar una deuda que tiene con un banco a plazo de 8 años. Hoy cancela la cuota 3 y le quedan por pagar 5 las cuales liquidará a través de pagos equivalentes mensuales anticipados con el interés del 18% CM. Calculemos el valor de la cuota mensual anticipada. Gráfico 28. F = 15,700 Gráfico 28

Datos: F=$15,700 j=18% CM m=12 i=0.18/12=0.015 n=1 N=(1)(12)=12 A=?

0

1

A=?

A=?

2

3

A=?

A=?

4 .

A=?

.

.

11

12

Meses

A=?

valor futuro de la cuota 4 tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual año de plazo de la cuota 4 pagos mensuales anticipadas de la cuota anual 4

Solución: Con la fórmula 11 y la información anterior tenemos;   0.015  = 15,700(0.0755467 ) = $1,186.08 A = 15,700   ( 1 + 0.015 ) 12 + 1 − ( 1 + 0.015 )   Concluimos que el pago equivalente mensual anticipado es de $1,186.08. correspondiente a la distribución del valor de la cuota 4, ya que las demás quedan distribuidas de la misma forma. El primer de pago de la cuota mensual se efectúa el día de hoy.

Otra forma de calcular el valor de la cuota equivalente mensual anticipada es: primero calculamos el valor presente (saldo) de las 5 cuotas anuales restantes con la tasa efectiva anual (período de pago = período de interés) y después proyectamos el valor de la cuota mensual. La tasa efectiva anual es: m 12 j 01.8    i = 1 +  − 1 = 1 +  − 1 = 0.195618 es decir 19.5618% anual e  m 12  

139


P=? Gráfico 29 3

4

5

15,700

6

15,700

15,700

7

15,700

8 Años

15,700

Debido a que se paga hoy la cuota 3, por la fórmula 1 podemos calcula el valor presente de una anualidad vencida de las 5 cuotas anuales pendientes. Gráfico 29. 1 − (1 + 0.195618 )− 5   = 15,700(3.0196798 ) = $47,408.98 P = 15,700  0.195618   Una vez calculado el valor presente, es decir el saldo a la fecha de pago de la cuota anual 3, hallamos el valor de la cuota mensual anticipada con la fórmula 11   0.015  = 47,408.98 (0.0250181) = $1,186.08 A = 47,408.98   (1 + 0.015 ) − (1 + 0.015 )− 59 

De esta forma verificamos que el resultado es el mismo aunque la segunda estrategia de solución es más larga y un poco complicada.

5. Anualidades diferidas vencidas Las anualidades diferidas, son las que contienen períodos de diferimiento o de gracia los cuales constituyen elementos usuales en muchas transacciones financieras. El período de gracia se fundamenta en que se da la cancelación o se capitalizan los intereses de un préstamo, sin afectar el principal, (para el caso de la actualización de los pagos). En otras palabras el período de gracia, es: El tiempo variable entre el desembolso de un prèstamo y el comienzo de las amortizaciones del mismo.

En conclusión, diremos que en las anualidades diferidas los pagos o flujos de dinero comienzan después de transcurrido varios intervalos o períodos de capitalización que forman parte del período de gracia. Gráfico 30. P=? Gráfico 30 Pr

140

0--------1--------2--------3 r

4

5

Período de gracia

A

A

6

7. . .

A

A

Plazo de pago

N-1

A

N Períodos

A


a. Valor presente de una anualidad diferida vencida

Una de las características de estas anualidades es especificar el período de gracia y el valor del último pago A se efectúa en la fecha de vencimiento de la anualidad. (Ver gráfico 30). En todos los gráficos relacionados con anualidades diferidas, el período de gracia lo denotaremos por doble raya marcado con la letra r. Para el cálculo de valor presente P utilizaremos como en casos anteriores, el concepto de anualidad ordinaria vencida. En el gráfico 30 podemos observar lo siguiente: 1) El valor r=3 (en este caso) representa el número de períodos capitalizados correspondientes al período de gracia donde no se produce ningún tipo de pago o flujo A. 2) En los períodos comprendidos entre el valor r y N, la anualidad en referencia es vencida. Por tanto, su valor presente P hasta el valor r de acuerdo a la fórmula 1 es:  1 − ( 1 + i) − N + r   (Fórmula 12) Pr = A  i     3) El valor Pr encontrado en la fórmula anterior no resuelve el problema, ya que realmente estamos interesados en calcular el valor presente P en el periodo (0) cero. Para encontrar dicho valor actualizamos Pr a través de la fórmula de interés compuesto pago único, de la siguiente manera: P = Pr ( 1 + i ) − r (Fórmula 13) SI combinamos las fórmulas (2.12) y (2.13) obtenemos la fórmula de dos factores;  1 − ( 1 + i) − N + r   ( 1 + i ) − r (Fórmula 14) P =A i     Ejemplo 23: Un agricultor a través de un banco, compró un camión el 15 de enero del 2002 para utilizarlo en su finca, acordando que haría pagos mensuales de $500.00 por 60 meses, el primero con vencimiento el 15 de mayo 2002. Determinemos el valor de contado, si el interés de financiamiento del banco es del 18% anual, CM. Ver gráfico 31. P=? Gráfico 31

Pr 0--------1--------2--------3 r

4

5

6

7

. . . 62

500

500

500

500

500

63 Meses

500

Del 15 de enero al 15 mayo hay 4 meses lo que significa que se da un período de gracia de 3 meses, dado que al final del mes 4 se pagará la primera cuota.

141


Datos: A=$500 r=3 j=18% m=12 i=0.18/12=0.015 n=60 N=60+3=63 P=?

valor del pago mensual meses correspondiente al período de gracia tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual meses de plazo de pago tiempo total incluyendo el período de gracia

Solución: El valor de contado corresponde al valor presente o actual, es decir no contiene intereses. Reemplazando los datos en la fórmula 14 tenemos:  1 − ( 1 + 0.015 ) − 63 + 3   ( 1 + 0.015 ) - 3 = $18,830.01 P = 500  0.015    

Por tanto el precio de contado es $18,830.01. Ejemplo 24: En la evaluación de un proyecto relacionado con el cultivo del café, se ha estimado (según flujo neto) que generará ingresos anuales por la cantidad de $60,000 a partir del año 4. La vida útil o explotación del proyecto será de 17 años. Si la tasa de interés de oportunidad es del 26% efectivo, determinemos el valor actualizado de los rendimientos. Ver gráfico 32.

0-------1-------2--------3 r

60

60

60

60

4

5

6

7

60

. . .

19

60 miles

20 Años

Gráfico 32

P=?

Datos: A=$60,000 i=26% n=20 r=3 N=20 N-r=17 P=?

valor de los ingresos anuales tasa de interés efectiva anual plazo total del proyecto en años años de período diferido no hay ingresos años de capitalizaciones flujos anuales de ingresos

Solución: Reemplazando los datos en la fórmula 14, obtenemos:  1 − ( 1 + 0.26 ) − 20 + 3   ( 1 + 0.26 ) - 3 = $113,094.2 8 P = 60,000  0.26     El resultado anterior indica que el valor actual de los beneficios del proyecto es de $113,094.28, y representa su precio si se deseara vender.

142


b. Valor del pago diferido dado P

Estamos interesados en calcula r el valor de la magnitud A de la anualidad, conociendo el valor presente P, el período diferido r, la tasa de interés i y el plazo total n. De la fórmula 14 despejamos la variable A. Ver gráfico 33. P

Gráfico 33 0-------1--------2------3 r

4

A=?

5

6

7

A=? A=?

A=?

.

. N-1

A=?

N Períodos

A=?

Así, al despejar A de la fórmula mencionada, obtenemos: r  i A = P ( 1 + i)  1 − ( 1 + i ) − N + r 

  (Fórmula 15)   La fórmula anterior también se utiliza para calcular el valor de la cuota nivelada A=C, cuando un préstamo tiene período de gracia y no se liquidan los intereses de forma periódica, si no que se capitalizan y posteriormente se cargan en las cuotas que se proyectan en el plazo de pago.

Ejemplo 25: Un organismo internacional otorga al gobierno un préstamo por la cantidad de $30 millones de dólares para la construcción de una carretera. El gobierno liquidará el préstamo con intereses del 3.8% efectivo anual a través de 20 pagos anuales iguales. El primer pago se deberá efectuar a los 11 años de realizada la transacción. Determinemos el valor de cada pago anual. Ver gráfico 34. P=30,000,000

0...........1...........2...........3......

Gráfico 34

. . . .....10

11

12

A=?

A=?

. . .

29

30 Años

r

Datos: P=$30,000,000 i=3.8%=0.038 r=10 N=30 N-r=20 A=?

A=?

A=?

valor del préstamo tasa de interés anual años de período gracia total de períodos anuales capitalizados número de cuotas anuales iguales valor de la cuota anual

143


Solución: Observemos que durante el periodo de gracia el gobierno no liquida los intereses por lo que se capitalizan y el préstamo aumenta de valor. El valor de la cuota anual A lo hallamos a través de la fórmula 15, así; reemplazando la información obtenemos:  10  0.038   = $3,148,764.89 A = 30,000,000( 1 + 0.038)  1 − (1 + 0.038 ) − 30 + 10   

El gobierno de turno a partir del año 11 comenzará a pagar anualmente una suma de $3,148,764.89 en un plazo de 20 años. Ejemplo 26: La empresa Bella Vista adquiere un vehículo en una casa distribuidora de autos nuevos; el valor de contado es de $20,500 al crédito lo obtiene realizando un pago inicial correspondiente al 15% y el saldo lo financia un banco al 17% CM para pagarse en un plazo de 5 años, con la condición que el primer pago se efectúa en el mes 3 posterior a la compra. Se pide que determinemos el valor de la cuota mensual. Ver gráfico 35. P=17,425 Gráfico 35

0...........1...........2

3

4

5

6

. . .

61

62 Meses

A=?

A=?

r

A=?

A=?

A=?

A=?

Datos: P=$20,500-0.15(20,500)=20,500-3,075=$17,425 valor a financiar j=17% tasa de interés nominal anual m=12 frecuencia de conversión de intereses anuales i=0.17/12=0.014166 tasa de interés efectiva mensual r=2 meses de período gracia N=62 total de períodos mensuales capitalizados N-r=60 número de cuotas mensuales iguales A=? valor de la cuota mensual Solución: Nuevamente durante el periodo de gracia el deudor no liquida los intereses por lo que se capitalizan y el préstamo alcanza un valor de $17,922.18. El valor de la cuota anual A, lo hallamos a través de la fórmula 15.  2  0.014166  = $445.40 A = 17,425 ( 1 + 0.014166 )   1 − (1 + 0.014166 ) − 62 + 2    De esta forma la empresa a partir del mes 3 comenzará a pagar una cuota mensual de $445.40 en un plazo de 5 años.

144


c. Valor futuro de una anualidad diferida vencida

Para el cálculo de valor futuro utilizaremos la fecha de vencimiento como fecha focal o punto de referencia, (gráfico 36) para encontrar el valor futuro F de la serie de flujos A diferidos en r períodos de tiempo, con (N - r) períodos capitalizados a una tasa de interés i. En el gráfico 36, notamos que a partir del valor r hasta el valor N, la anualidad en referencia es ordinaria vencida, por lo que la fórmula para hallar el valor futuro en este caso, la deducimos de la fórmula 3, haciéndole el ajuste correspondiente al valor r, donde el exponente (N-r) es el número de flujos efectivos de la anualidad, entonces:  ( 1 + i) N − r − 1  F=A i    

(Fórmula 16)

Si en una serie de flujos diferidos existen flujos diferentes de dinero antes de dicha serie y se desea calcular F de todos los valores presentados, recurrimos a la suma de los valores calculados mediante la fórmula 16 y la fórmula de interés compuesto pago único. Ejemplo 27: Una empresa industrial estima que la utilidad anual que generará un proyecto es de $500,000 dólares a partir del año 3. La tasa de reinversión de los fondos liberados es del 20% anual. El proyecto se agotará al término de 18 años continuos de explotación. Determinemos el monto de la reinversión en el año 18. Ver gráfico 36. F=? Gráfico 36 0.....1......2 r

3

500

Datos: A=$500,000 i=20% r=2 años N=20 N-r=18 F=?

4

5

6

500 500 500

7 . . .

500

19

500

20 Años

500 miles

beneficios anuales a partir del año 3 tasa de interés anual diferidos tiempo total en años del proyecto flujos diferidos

Solución: Podemos observar que en el año 1 y 2 no hay ningún flujo de dinero ya que comienzan en el año 3. Sustituyendo los datos en la fórmula anterior, obtenemos:  ( 1 + 0.20 ) 20 − 2 − 1  = 500,000(12 8.116666) = $64,058,33 3.20 F = 500,000  0.20     Si el proyecto reinvierte los flujos liberados a la tasa de interés de oportunidad del 20% al finalizar la vida útil se tendrá $64.058 millones de dólares.

145


Ejemplo 28: Una cuenta se abre con $1,000 dólares en el período cero y después se depositarán $300 por trimestre, el primer depósito a partir del año 1. Si el plazo total de la cuenta es 10 años y la tasa de interés que devenga es 8% CT. Calculemos el capital acumulado al final de los 10 años. Ver gráfico 37. F=? Gráfico 37 0......1........2

3

4

5

6

7 . . .

39

40 T

300

300

r

1,000

Datos: B=$1,000 A=$300 j=8% m=4 i=0.08/4=0.02 r=3 N=40 N-r=37 F=?

300

300

300 300

valor del depósito inicial depósito trimestral a partir del año 1 tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa de interés efectiva trimestral trimestres diferidos tiempo total en trimestres depósitos diferidos

Solución: Podemos notar en el gráfico que hay un depósito inicial el cual le calculamos su valor futuro F1 en la fecha focal en el trimestre 40 con la fórmula de interés compuesto pago único,

esto es; F1 = 1,000 (1 + 0.02 )40 = 1,000(2.20 8040) = $2,208.04

La serie de depósitos trimestrales diferidos comienzan en el año 1. Sustituyendo los datos en la fórmula calculamos el valor futuro F2,:  ( 1 + 0.02 ) 40 − 3 − 1  = 300(54.034 254) = $16,210.28 F2 = 300  0.02    

Por tanto, el valor futuro en la cuenta en la fecha focal trimestre 40 es la suma: F=F1+F2=$2,208.04+$16,210.28=$18,418.32. Notemos que hicimos dos cálculos por separados dado que los $1,000 iniciales no forman parte de la anualidad diferida d. Valor del pago diferido dado F

También podemos calcular el valor del pago diferido A si conocemos el valor futuro F, el periodo diferido r, el número de pagos (N-r) y la tasa de interés i. De la fórmula 16 podemos hallar el valor de la magnitud A realizando un despeje. Ver gráfico 38.

146


F Gráfico 38 0.......1......2.......3

4

5

A=?

A=?

6

7 . . . N-1

N Períodos

r

A=?

A=?



 i   ( 1 + i ) N − r − 1  

En este caso la fórmula es: A = F 

A=?

(Fórmula

A=?

17)

Ejemplo 29: El Sr. Adán Moreno deberá cancelar un préstamo cuyo monto tendrá un valor de $78,367.20 al término del año 8. Si el Sr. Moreno acuerda realizar pagos iguales mensuales al 16% CM. Determinemos el valor del pago, si el primero lo efectúa a los 12 meses después de iniciada la operación. Ver gráfico39. F = 78,367.20 Gráfico 39

0.......1........2........3 . . ..11

12

13

14

. . .

95

96 Meses

r

A=?

A=? A=?

A=?

A=?

Datos: F=$78,367.20 monto de la deuda al vencimiento j=16% tasa de interés nominal anual m=12 frecuencia de conversión de intereses anuales i=0.16/12=0.013333 tasa efectiva mensual r=11 períodos mensuales de gracia N=96 total períodos mensuales N-r=85 pagos mensuales A=? Solución: Sustituyendo los datos anteriores en la fórmula 17 obtenemos el valor del pago:  A = 78,367.20   

 0.013333  = 78,367.20 (0.006402 ) = $501.69 ( 1 + 0.013333 ) 96 − 11 − 1

El valor del pago mensual será entonces de $501.69 comenzando en el primer año.

147


En síntesis: • Anualidad: Valor fijo de dinero que pagamos o recibimos a intervalos iguales de tiempo a una tasa de interés compuesto o continuo. • Pago o recibo periódico: Valor constante programada en cada período de interés y de pago. 1.Conceptos • Período del pago: intervalo de tiempo entre dos flujos sucesivos o período de capitalización de la tasa de interés. • Plazo o término de la anualidad: Intervalo de tiempo transcurrido desde el comienzo del primer período en que se básicos efectúa el primer flujo hasta el final del último. • Tasa de interés de una anualidad: Se trabajan en sus tasas equivalentes efectivas i por períodos de capitalización que coincidan con el período de pago A. • Período de capitalización de una anualidad: Intervalo de tiempo en el cual los intereses acumulados se convierten en capital. 2.Clasificación de a.Tiempo las anualidades o plazo a.Valor presente 3.Anualidades ordinarias o vencidas

Ciertas Contingentes

(

)

  i  A =F  1+ i N − 1  

(

)

f.Tasa de interés de una anualidad vencida a.Valor presente de una anualidad anticipada 4.Anualidades anticipadas c.Valor futuro de una anualidad anticipada

5.Anualidades diferidas vencidas

148

a.Valor presente de una anualidad diferida vencida c.Valor futuro de una anualidad diferida vencida

  i  A =P   1− 1+ i − N   

b.Valor del pago vencido dado P

 1− 1+ i − N   P = A   i  

d.Valor del pago vencido dado F

Vencidas c.Pagos Anticipadas

Simples Generales

b.Intereses

(

e.Tiempo de una anualidad ordinaria vencida

F i  ln e + 1  A  ln 1 + ie

(

(

)

()

n=

1 m

F i  ln + 1  A  ln 1 + i

(

n=

)

)

 1+ iN − 1  F = A   i  

c.Valor futuro de anualidades vencidas

)

( )

n=

Inmediatas Diferidas

d.Iniciación

 A ln  A − P i m ln 1 + i

() ( )

1

  

g.Método de interpolación (prorrateo)

(

)

 1 − 1+ i − N + 1   P = A+ A    i  

(

)

  1 + i N+ 1− 1  F = A -A   i  

( )

  1− 1 + i − N + r  Pr = A    i  

( )

P = Pr ( 1+ i ) −r

  1+ i N − r− 1 F= A    i  

b.Valor del pago anticipado dado P

  i  A = P  1+ i − 1+ i − N + 1   

d.Valor del pago anticipado dado F

 i A =F   1 + i N+ 1 − 1 + i 

( )

 1− 1+ i −N+ r   1+ i − r P = A   i  

( )

(

b.Valor del pago diferido dado P d.Valor del pago diferido dado F

) (

)

( )

( )

   

 r i  A = P 1+ i   1− 1+ i − N+ r   

( )

 A =F  

( ) i

 

( 1 + i ) N − r − 1 


Actividad de autoaprendizaje no. 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15.

16.

17.

18.

Determino el valor actual y final de una serie de depósitos de $100,000 al final de cada año por 10 años, si la tasa de interés es del 15% efectivo anual. Una compañía obtiene ingresos semestrales por $50,000 durante 8 años, si los reinvierte a una la tasa de interés del 12.5% CS, determino el valor final. Determino el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda por $54,443.70 durante 3.75 años, si la tasa de interés que se paga es del 17.2% CT. Una persona ahorra al final de cada mes la cantidad $100.00 en una cuenta que gana el 9% CM. Determino el valor acumulado de la cuenta de ahorros al final de 15 años. Una empresa desea tener disponible dentro de 51 meses $47,395.02 para reponer una maquinaria. ¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo al final de cada trimestre, si el fondo gana una tasa de interés de 16% CT.? Determino el valor de la cuota destinada a un fondo de amortización al final de cada mes durante 5 años, a una tasa de interés del 20% CM para saldar el principal de una deuda de $200,000. Nota. Los intereses se pagan por separado al 1.7% mensual. Una empresa obtiene un préstamo de $18,000 la cual va a cancelar mediante el sistema de cuotas niveladas mensuales ordinarias en un plazo de 15 años. Si la tasa de interés es del 14.5% CM, determino el valor de la cuota. Determino el valor actual y final de una serie de depósitos de $320 al final de cada mes durante 4 años, si la tasa de interés es del 12% CM. Desde hace 5 años una compañía dejó de pagar la cantidad de $4,000 al final de cada semestre, se quiere saber qué valor tendrán esos pagos en la actualidad si la tasa de interés es del 18% CS. ¿Qué tiempo deberá esperar un banco para acumular $9,364,564.02, sabiendo que puede invertir $130,000 al final de cada año y a un interés del 20% anual efectivo?. Determino el principal de una deuda, sabiendo que se efectúan pagos iguales mensuales vencidos por valor de $652.46 durante 5 años a un interés del 23.3352% CM. El alquiler de un lote de terreno es de $150 dólares mensuales anticipados. Un contratista desea alquilar el terreno durante 3 años, si el interés pactado es de 0.5% mensual. Determino el pago por anticipado y al final durante el período establecido. Una persona está amortizando un préstamo personal de $1,811.72 mediante cuotas niveladas semestrales vencidas a una tasa de interés del 16% CS, en un plazo de 5 años. Encuentro un sistema de pago equivalentes mediante cuotas niveladas semestrales anticipadas. La empresa ALSA hace una donación de $30,000 a la Cruz Roja para que sea retirada dentro de 16 meses. Determino la cantidad que deberá invertir la empresa en un negocio financiero mensualmente, comenzando hoy para entregar la cantidad prometida, si la tasa de interés es del 5% mensual acumulativo. Puedo comprar una casa hoy a través de tres opciones (utilizo el menor costo): a. Cuota inicial $6,500 y pagos anticipados anuales durante 3 años de $5,929.82 a un interés del 30% anual. b. A través de pagos mensuales de $667.18, el primero el día de hoy, a plazo de 4 años y a una tasa de interés del 2.2232% efectivo mensual. c. Cuota inicial $10,000 y pagos trimestrales vencidos de $2,343.49 durante año y medio a un interés del 30% CT. Los pagos mensuales anticipados para estudiar una maestría por 2 años en la UPA, es de $300 dólares. La matrícula al inicio de año es de $500.00, derecho de graduación $1,000.00 a los 2 años. Si se le carga un interés del 6.6% CM. Determino el costo de los aranceles de la maestría al final del período y pagando por anticipado. La deuda de un pequeño agricultor con un banco ha crecido hasta el día de hoy en una cantidad de $14,525.90. La propuesta del banco para cancelar la deuda es mediante pagos anticipados semestrales, en un plazo de 5 años comenzando hoy a una tasa de interés del 31.93868% CS. Calculo el valor de la cuota semestral. La reposición de un activo fijo de la empresa Gallo y Asociados dentro de 2.5 años es de $500,000. ¿Qué cantidad deberá depositar mensualmente la empresa (comenzando hoy) en fondo de amortización que devenga el 18% CM para acumular la cantidad deseada?

149


19. ¿Cuál es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor $11,302.31 durante 8 años a una tasa 6.5% trimestral? 20. Determino el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor $13,302.31 durante 8 años a una tasa de interés del 26% CT. 21. Una planta generadora de electricidad es vendida en $6,000 de cuota inicial y 18 pagos de $4,000 al final de cada mes. Si después de haber pagado las 6 primeras cuotas y justamente antes de efectuar el pago de la séptimo cuota decido cancelar en un pago único el saldo de la deuda, cuánto deberé cancelar con intereses al 0.9950% efectivo mensual? 22. Un comerciante compró una mercadería mediante 8 pagos mensuales al principio de cada mes de $3,000 y un pago final de $10,000 al término de un año. Si los intereses fueron del 33% CM ¿Qué cantidad hubiese pagado de contado? 23. En el caso del ejercicio 21 asumo que el comerciante pagó en tiempo las primeras 5 cuotas y dejó de pagar las siguientes 3. Determino el valor de la deuda en la fecha del mes 8 para liquidarla totalmente. No se cobran intereses por mora. 24. El arreglo de pago entre un cliente y un banco sobre una deuda vencida estipula, 18 pagos mensuales de $2,000 al principio de cada mes. Se efectuaron cumplidamente los primeros 4 pagos y luego se dejó de pagar los siguiente 5, cuánto tendrá que pagar el cliente al vencimiento del siguiente para cancelar la totalidad de la deuda si el interés es del 3% efectivo mensual? 25. En el caso del ejercicio anterior supongo que el cliente ha pagado todas las cuotas programadas y desea saldar la deuda: a. Inmediatamente después de efectuar el pago de la cuota 8 ¿cuánto pagaría? b. Justamente en la fecha de pago de la cuota 9 ¿cuánto pagaría? 26. El estado desea capitalizar $1,000,000.00 dentro de 5 años para indemnizar una propiedad intervenida para la construcción de un hospital. Se tiene planeado capitalizar dicha cantidad mediante la creación de un fondo en cual se depositarán cuotas mensuales ordinarias de valor $A y cuotas extraordinarias semestrales, de valor $3A. La primera a los 6 meses, la segunda a los 12 meses y así sucesivamente. Cuando se deposita cuota extraordinaria no habrá cuota ordinaria. La tasa de interés es del 30% CM. Encuentro el valor de las cuotas ordinarias y extraordinarias. 27. Un auto se vende mediante un pago inicial de $3,000 y 60 pagos de $350.00 mensuales, el primero dentro de 3 meses. Si la tasa de interés sobre saldos es del 18% CM. Determino: 28. El valor del auto al contado 29. Al término del último pago mensual. 30. El costo de adquisición de una máquina es de $30,000. Los costos de operación y mantenimiento se estiman en $500.00 mensuales, comenzando en el mes 5 después de iniciar operaciones. Si la tasa que se le carga es del 1.5% mensual, determino hasta el año 5: a. El valor presente de los costos b. El costo mensual equivalente. 31. Determino el valor actual y final de una serie de depósitos de $350.00 trimestrales, realizados para el fondo de inversiones de una empresa consultora, el primer depósito se efectúa al final del primer año y durante 4 años a una tasa de interés del 16% CT. 32. Una empresa obtiene un préstamo de $400,000 para pagarlo en un plazo total de 12 años, determino la cuota según se indique: a. Cuotas anuales a una tasa de interés del 18%, la primera en el año 3 después de iniciada la deuda. b. Cuotas mensuales a una tasa del 16.6661% CM, la primera en el mes 5 después de iniciada la deuda. c. Cuotas trimestrales, la primera al término del año uno a una tasa de interés del 16.8987% CT. d. Cuotas mensuales anticipadas con el interés del 1.3888% efectivo mensual. 33. A un empresario capitalino que va a montar una fábrica, le ofrecen un crédito con un tiempo total de 5 años incluido un período de gracia de 2 años, amortización mediante cuotas iguales mensuales a un interés del 24% CM. Encuentro la cuota para un préstamo de $1,000,000.00. 34. El Sr. Pérez necesita hacer unas reparaciones en su casa de habitación con la llegada del invierno. Necesita el dinero para el primero de mayo, pero sólo puede pagar como máximo $3,000 mensuales y a partir del primero de octubre hasta el primero de junio del siguiente año. A una tasa de interés del 2% efectivo mensual, determino la cantidad máxima que puede recibir en préstamo Don José.

150


35. Una compañía deberá pagar pensiones a sus trabajadores jubilados trimestralmente hasta por una cantidad de $20,000 durante 5 años, el primer pago lo hará dentro de un año. Para este fin la compañía ha decidido hacer un depósito en una institución bancaria para que le permita asumir las obligaciones futuras. Si el depósito devenga un interés del 8.00% CT, determino el valor del depósito. 36. Una empresa desea reunir $3,000,000 en 5 años, haciendo depósitos trimestrales en una cuenta de ahorros que paga el 12% CT por períodos vencidos y completos. Después de 2 años el banco elevó la tasa de interés en sus cuentas de ahorro al 18% CT. De continuar haciendo depósitos de igual cantidad cuál será el capital reunido al final de 5 años? 37. Una persona compra un automóvil valorado de contado en $18,000. Si le exigen una cuota inicial del 10% y el saldo lo cancela en 60 cuotas iguales mensuales, la primera a los 3 meses de iniciada la operación. ¿Cuál es la cuota, si los intereses son del 18% CM? ¿Cuánto pagaría si deseara cancelar el saldo insoluto justamente antes y después de la cuota 28? 38. Una institución desea reunir $300,000 mediante 6 depósitos semestrales iguales vencidos con un interés del 5% efectivo semestral:¿Cuál debe ser el valor de la cuota ? Calculo que tanto del incremento al fondo es debido a intereses en el período. 39. Determino el valor actual y final de una cuenta de ahorros que se abrió con un capital inicial de $1,200 un depósito de $860 a los 3 meses y depósitos mensuales de $324.50 desde el mes 5 hasta el mes 18 inclusive, interés del 6% CM. 40. ¿Cuál es el valor actual y final de una obligación financiera que inicia a los 4 meses a través de pagos de $455.38 que tiene un plazo total de 42 meses con intereses del 21.7051% CM? 41. Determino el valor actual de 36 pagos mensuales de $500 y en pago extra de $5,000 en el año 2 a una tasa de interés del 12% CM. 42. El gobierno obtuvo un préstamo internacional por 40 millones de dólares para el financiamiento de un proyecto de carácter social. El préstamo deberá cancelarse mediante cuotas iguales anuales, en un tiempo total de 20 años que incluyen 5 años de gracia y a un interés del 4% anual. Con el objetivo de que la amortización anual se reduzca, el gobierno se ha comprometido efectuar cuotas extraordinarias de 5 millones en los años 10, 15 y 20 respectivamente; además del pago de la cuota programada correspondiente a dichos años. Calculo: a. El valor de la cuota ordinaria anual. b. El valor de la cuota anual si no se efectúan las cuotas extraordinarias. Comparo las respuestas a esta actividad con las que aparecen en la página 195, al final de la unidad autoformativa II, me retroalimento.

151


152


B. Anualidades perpetuas y evaluación de costos En este segundo tema abordaremos un tipo de anualidades simples que frecuentemente se presentan en los negocios, se trata de las anualidades o rentas a perpetuidad. Por ejemplo: La renta de un terreno; los legados hechos a instituciones de beneficencia; los dividendos que producen las acciones preferentes; las sumas de dinero que es necesario reservar cada año o cada período de tiempo por parte de las empresas para la reposición de activos, gastos de operación y mantenimiento de proyecto que se suponen tienen vida útil indefinida, entre otros.

En síntesis, una renta perpetua es una anualidad, cuyo plazo teóricamente no tiene fin; es decir, es indefinido, para siempre. Ver gráfico 40.

A

0

1

A

A

2

3

A

4

. . . Períodos

Gráfico 40 P

En este tema estudiaremos las rentas perpetuas simples ordinarias, anticipadas, vencidas y diferidas. Posteriormente abordaremos las anualidades perpetuas generales, las cuales convertiremos a simples a través del ajuste de la tasa de interés efectiva equivalente o el ajuste del pago al período de la tasa de interés. Debido a que los pagos de una anualidad perpetua no terminan, resulta imposible calcular su monto, pues su plazo no se sabe, es desconocido y en esto radica el concepto de perpetuidad.

1. Valor presente anualidad perpetua vencida Supongamos una anualidad perpetua o renta A pagadera al final de cada período a la tasa i por período, como se muestra en el gráfico 41. Deducimos que el valor presente P de la renta perpetua, es aquella cantidad que produce como intereses la suma de dinero A en cada período, o sea: A = P ( i ) (Fórmula 18)

De donde:

P=

A i

(Fórmula 19)

La fórmula 19 puede obtenerse también aplicando límite a la fórmula 1 cuando N tiende a infinito, (N→∝) o sea crece indefinidamente, esto es;

153


1 − ( 1 + i ) − N lim P = lim A  i N→∞ N → ∞ 

 (1+i ) −N = A − 0 A  = lim − lim A i i  N→∞ i N→∞  A entonces la fórmula resultante es : P = i

Ejemplo 30: La construcción de una carretera entre dos ciudades A y B tiene un valor inicial $28 millones de dólares. Los proyectistas estiman que es necesario crear un fondo para cubrir el costo de mantenimiento anual a partir del primer año el cual se calcula en aproximadamente 1.26% del valor inicial de la construcción. Determinar el valor que se deberá poner en el fondo para asegurar el mantenimiento, si la tasa de interés es del 10% anual. Gráfico 41. P=? Gráfico 41 0

1

352,800

Datos: C0=$28,000,000 A=28,000,000(0.0126)=$352,800 i=10% P=?

2

3

4

.

.

.

Años

costo anual perpetuo

costo o inversión inicial del proyecto costo anual perpetuo tasa de interés anual

Solución: El valor que se deberá depositar en el fondo es considerado como valor actual P; por tanto, de la fórmula 19 se tiene: 352,800 P= = $3,528,000 0.10 El valor de $3,528,000 constituye el valor actual del fondo que invertido al 10% anual garantizará de forma perpetua una renta de $352,800 cada año. Ejemplo 31: Una persona mayor de 50 años recibe cada mes $2,000 en concepto de pago de intereses que genera un capital depositado a plazo indefinido sin límite de tiempo hasta que muera. Si el interés que devenga el capital es de 8% CM, determinemos el valor del depósito.

Datos: A=$2,000 j=8% m=12 i=0.08/12=0.00666666 P=?

valor de la renta perpetua mensual tasa de interés nominal anual frecuencia de pago de intereses anuales tasa de interés mensual

Solución: El capital que genera la renta perpetua es el valor actual P; por la fórmula 19 tenemos:

154


P=

2,000 = $300,000 0.00666666

Concluimos que el valor de $300,000 invertido al 8% CM, garantizará de forma perpetua una renta de $2,000 cada mes hasta que la persona muera.

2. Valor presente anualidad perpetua anticipada Cuando el pago de la renta perpetua es de inmediato, a como se muestra en el gráfico 42, deducimos que el valor presente P de dicha renta, es aquella cantidad, que disminuida en el primer pago A produce como intereses la suma de dinero A en cada período; es decir:

A

0

A

A

A

A

1

2

3

4

. . . Períodos

Gráfico 42

P=?

A= (P-A)(i) Que al despejar P se tiene;

A i

P = A+

P = C0 +

o bien,

(Fórmula 20)

A (Fórmula 21) i

Donde C0 es un valor que se desembolsa de inmediato y que no es necesariamente igual a la renta perpetua A. Ejemplo 32: Una fundación hace una donación en equipos médicos, a un Hospital de Nicaragua. La donación consiste en un desembolso de $500,000 para la adquisición de los equipos y $8,000 anuales para su mantenimiento. ¿Cuál el valor actual de la donación, si la tasa de interés es de 12% anual? Gráfico 43. P=? Gráfico 43 0

1

2

3

8,000

8,000

8,000

4 .

.

. Años

8,000

C 0 = $500,000

Datos: C0=$500,000 valor de la inversión inicial A=$8,000 valor del costo perpetua anual i=12% tasa de interés anual

155


P=? Solución: Como se trata de hallar el valor presente P, realizamos dicho cálculo sustituyendo los valores anteriores en la fórmula 21. A 8,000 P = C0 + = 500,000 + = 500,000 + 66,666.67 = $566,666.6 7 i 0.12 Concluimos diciendo que el valor $566,666.67 representa el costo capitalizado de la inversión hospitalaria. Ejemplo 33: Determinemos el valor presente de una anualidad perpetua mensual anticipada de $1,500 a una tasa del 15% CM.

Datos: A=1,500 valor del primer pago en el período cero A=$1,500 valor de la perpetua mensual i=j/m=0.15/12=0.0125 tasa de interés mensual P=? Solución: El valor presente P, lo hallamos si sustituimos los valores anteriores en la fórmula 20. 1,500 A P = A+ = 1,500 + = 1,500 + 120,000 = $121,500 i 0.0125 El valor presente de $121,500 representa la inversión que garantiza una anualidad perpetua anticipada al 1.25% mensual.

3. Valor presente de una anualidad perpetua diferida Una anualidad perpetua y diferida es aquella que contiene un período al inicio donde no hay pagos y teóricamente no termina como se muestra en el gráfico 44. P=?

Gráfico 44 0..........1............2...........3

4

5

6

7

A

A

A

A

8 . . . Períodos

r

A

Presentaremos una metodología de cálculo para valor presente P en el período cero de la siguiente manera: Leamos las veces que sea necesario el problema y dibujemos un gráfico de la situación presentada. Calculemos el valor Pr mediante la fórmula 19 hasta el período r. Traslademos el valor anterior a la fecha focal cero con la fórmula de valor presente pago único, que resumimos en la siguiente fórmula de dos factores: A P = ( 1 + i ) − r (Fórmula 22) i

156


Ejemplo 34: El gerente financiero de una empresa desea saber que valor deberá depositar en este momento en un fondo que devenga el 12% CM, para que dentro de un año se comience a retirar de forma mensual una pensión de $10,000 de forma indefinida. Gráfico 45. 10

0..........1............2

...

11 r

12

10

10

10

10 Miles

13

14

15

16 . . .

Períodos

Gráfico 45 P=?

Datos: A=10,000 r=11 j=12% m=12 i=j/m=0.12/12=0.01 P=?

valor del pago mensual diferido Número de meses diferidos tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa de interés mensual

Solución: El valor del depósito corresponde al valor actual P, el cual lo hallamos sustituyendo los datos anteriores en la fórmula 22. A 10,000 P = (1 + i )− r = (1 + 0.01 )− 11 = 1,000,00 (0.896323 ) = $896,323.7 2 i 0.01 Concluimos que el valor $896,323.72 representa la inversión de la empresa puesta en el fondo y que garantiza una anualidad perpetua mensual diferida de $10,000 al 1% mensual. Notemos en el gráfico 45 que en los primeros 11 meses el dinero depositado se capitaliza.

4. Valor del pago diferido perpetuo Si deseamos calcular el valor del pago A diferido y perpetuo, de la fórmula 22 despejamos la variable A, cuando conocemos el valor P, i y el período diferido r, esto es; A = P ( i )( 1 + i ) r (Fórmula 23) Ejemplo 35: Si el valor actual en una cuenta es de $133,446.37 y devenga un interés de 14% CM. Determinemos el valor semestral de pagos en concepto de intereses de forma indefinida, el primer desembolso será al término del año 4. Gráfico 46. P=?

Gráfico 46 0--------1--------2 . . .

7

8

9

10

15

15

15

11

12 . . . Semestres

r

15

15

Miles

157


Datos: P=$133,446.47 j=14% m=2 i=0.14/2=0.07 r=7 A=?

valor actual de la cuenta tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa de interés semestral número de periodos semestrales diferidos

Solución: Sustituyendo los datos en la fórmula 23 obtenemos el valor actual

A = 133,446.47( 1 + 0.07 ) 7 (0.07) = 214,285.87(0.07) = $15,000 El valor de la anualidad diferida perpetua será de $15,000 a partir del semestre 8. Notemos que durante los primeros 7 semestres la cuenta capitaliza los intereses.

5. Análisis de valor presente de costos En este subtema analizaremos el Método de Valor Presente Neto (VPN) para evaluar alternativas de inversión, considerando que son de igual servicio. Como es sabido, las alternativas se pueden evaluar tomando en cuenta una serie de aspectos según convenga el objetivo de la evaluación; abordaremos de una forma sencilla la evaluación financiera, analizando las alternativas a través de sus costos. Este método toma en cuenta la tasa de interés de oportunidad o tasa mínima de rendimiento aceptable Trema y el tiempo para medir el valor del dinero en el horizonte de planeación de la inversión. Nuestro objetivo final desde el punto de vista práctico será utilizar correctamente las fórmulas financieras para realizar los cálculos que contiene la evaluación según el método que se esté utilizando y poder tomar una decisión. Los cálculos del VPN a menudo se denominan como métodos de flujo de caja descontado, así, la tasa de interés utilizada para hacer los cálculos se llama tasa de descuento. Con frecuencia utilizamos la terminología de valor presente neto VPN o valor actual neto VAN, pero indiferentemente de la manera en que sea llamado, los cálculos del valor presente son rutinariamente utilizados para tomar decisiones económicas y financieras. Discutiremos las técnicas de comparación de alternativas de inversión por el método de VPN y aunque se aborda solamente para dos alternativas, el procedimiento podría utilizarse para comparar más de dos alternativas sin pérdida de generalidad. El método del VPN para evaluar financieramente alternativas de inversión, facilita transformar futuros costos e ingresos a valor de dinero equivalente al día de hoy. Cuando se convierte a valores presente, todos los flujos que están asociados con una alternativa de inversión, proporciona resultados que son fáciles de interpretar, dando lugar a establecer la diferencia en términos de análisis económicos, que alternativa es más ventajosa entre todas las que se están evaluando. Es importante hacer dos observaciones:

158


a. La comparación de alternativas que tienen vidas útiles iguales es directa. Si ambas alternativas se utilizan en idénticas condiciones para el mismo período de tiempo, se denominan alternativas de igual servicio. Si, el flujo de caja comprende solamente egresos, caso en el cual es conveniente omitir el signo menos de los costos. Entonces la alternativa que presente el más bajo VPN debe ser seleccionada. b. Cuando en el flujo de caja se consideran egresos e ingresos es conveniente hacer que los ingresos sean positivos y los egresos negativos, en este caso, la alternativa seleccionada debe ser aquella que tenga el VAN más alto. Este tipo de flujos no será analizado en esta sección, ya que será estudiado en el análisis de proyectos de inversión. La metodología para calcular el VPN de una inversión desde el punto de vista de los costos, consiste en: a. Actualizar los flujos de egresos: b. Actualizar los flujos de ingresos: c. Establecer la diferencia:

VPE VPI VPN=VPE-VPI

La actualización de los flujos la podemos realizar utilizando la fórmula que más se ajuste a la situación planteada, ya que en general no existe una fórmula específica para dichos cálculos. Ejemplo 36: Una empresa desea adquirir una máquina y se le presentan dos ofertas A y B cuyas especificaciones se muestran en el cuadro. Realice una comparación a través del VPN utilizando una tasa de interés de 20% anual para decidir cual es la mejor opción. Gráficos 47 y 48. Tipo A $40,000 $ 4,000 $ 8,000 5

Costo inicial Costo anual de operación Valor de salvamento (VS) Vida útil en años

Tipo B $35,000 $ 6,000 $ 5,000 5

$ 8,000 Gráfico 47 0

$ 40,000

Datos: P=$40,000 A=$4,000 i=18% N=5 VS=$8,000

1

$ 4,000

2

3

4

$ 4,000

$ 4,000

$ 4,000

5 Años

$ 4,000

inversión inicial alternativa A costo anual de operación tasa de interés anual vida útil en años valor de salvamento

Solución A: Primero calculamos el valor presente neto de los egresos VPE utilizando la fórmula 24 de anualidad vencida a la cual le sumamos el valor de la inversión inicial, estos es;

159


 1 - (1 + i )- N   (Fórmul a 24) VPE = P+ A   i    VPE=40,000+12,508.68=$52,508.68 valor presente egresos.

Ahora calculamos el VPI el cual está dado por la venta del activo depreciado al final de la vida útil; esto lo logramos a través de: VPI = VS(1 + i)− N = 8,000(1 + 0.18 )−5 = 8,000 (0.437109 ) = $3,496.87  1 - (1 + 0.18)- 5   = 40,000 + 4,000(3.127171) = VPE = 40,000 + 4,000  0.18    

Así el valor presente neto VPN es la diferencia: VPN=VPE-VPI=52,508.68-3,496.87=$49,011.81

tipo A

$ 5,000 Gráfico 48 0

$ 35,000

Datos: P=$35,000 A=$6,000 i=18% N=5 VS=$5,000

1

2

$ 6,000

$ 6,000

3

$ 6,000

4

$ 6,000

5

Años

$ 6,000

inversión inicial de la alternativa B costo anual de operación tasa de interés anual vida útil en años valor de salvamento

Solución B: Nuevamente calculamos el valor presente neto de los egresos VPE utilizando la fórmula 24 sumando el valor de la inversión inicial:  1 - (1 + 0.18)- 5   = 35,000 + 6,000(3.127171) VPE = 35,000 + 6,000  0.18     VPE=35,000+18,763.03=$53,763.03

Calculemos el VPI por la venta del activo depreciado a través de: VPI = VS(1 + i)− N = 5,000(1 + 0.18)−5 = 5,000(0.437109) = $2,185.55 Así el valor presente neto VPN es la diferencia: VPN = VPE – VPI = 53,763.03 - 2,185.55 = $ 51,577.48 Concluimos de acuerdo a los resultados que: El VPN de A es $49,011.81 El VPN de B es $53,763.03 160

tipo B


Por tanto debemos seleccionarse la alternativa A, dado que, su VPN es menor que la de B. Notemos el signo menos del valor de salvamento VS, ya que se trata de un costo negativo. Una suposición inherente a todos los análisis de VPN, es que todos los fondos recibidos de un proyecto, son reinvertidos inmediatamente a la TIR tasa interna de retorno.

6. Alternativas con vidas útiles diferentes Cuando las alternativas tienen vidas útiles diferentes, el cálculo de VPN es igual al anterior, con la excepción que las alternativas deben compararse sobre el mismo número de años, lo cual se debe a que por definición una comparación por VPN conlleva cálculos de VPN equivalentes de todos los flujos de caja futuros de cada alternativa. Se considera un error comparar alternativas de igual servicio pero con vidas útiles diferentes, ya que siempre estaríamos a favor de la vida útil más corta, en vista de que menos períodos de costos serían considerados. Igual servicio requiere satisfacer cualquiera de los siguientes métodos. a. Comparación de alternativas que usan el horizonte de planeación n sin tener en consideración las vidas útiles de las mismas. b. Comparación de alternativas sobre períodos de tiempo iguales al mínimo común múltiplo MCM de años para sus vidas útiles. En el primer método se selecciona un horizonte de tiempo y sobre él se conducirá el análisis económico-financiero, y sólo aquellos flujos de caja ocurridos durante este período se consideran relevantes. Para el segundo método, un servicio semejante se archiva para hacer la comparación sobre MCM de las vidas útiles entre las alternativas que automáticamente hacen extender sus flujos de caja a lo largo del mismo período de tiempo. Es decir, el flujo de caja para un "ciclo” de una alternativa debe multiplicarse por el MCM de años, con lo cual el servicio se compara sobre la misma vida útil de cada alternativa. Por ejemplo, si se desea comparar alternativas con vidas útiles de 2 y 3 años, respectivamente, las alternativas deben compararse sobre la base de un horizonte de tiempo de 6 años” Suposiciones del procedimiento. MCM

Las alternativas en consideración (procesos, máquinas, servicios, equipos etc.) deben necesitar a la larga del MCM de años. Los respectivos costos de las alternativas son los mismos en todos los subsecuentes ciclos de vida que en el primero. Esta segunda suposición es válida mientras el flujo de caja cambie exactamente por las tasas de inflación o deflación aplicados durante el período del MCM. Los valores de salvamento o rescate, cuando existen en una alternativa deben incluirse y mostrarse como ingresos en el diagrama del flujo de caja. De los dos métodos anteriores, usaremos el método del MCM debido a que el análisis del tiempo de horizonte de planeación es relativamente rígido y realmente entendible.

161


Ejemplo 37: El gerente de operaciones de un proyecto desea adquirir una máquina y está tratando de decidir entre dos alternativas, que según estudios realizados presentan las siguientes características: Tipo A $120,000 $ 15,000 $ 10,000 6

Costo inicial P Costo anual de operación Valor de salvamento (VS) Vida útil en años

Tipo B $200,000 $ 25,000 $ 18,000 9

¿Qué máquina debe seleccionar sobre la base de una comparación por valor presente neto VPN, utilizando una tasa de interés del 15% anual? Observación: como las máquinas tienen distintas vidas útiles, deben compararse sobre la base del mínimo común múltiplo MCM de años, es decir, 18 años en este caso. Los respectivos diagramas de flujos de A y B, se ilustran en los gráficos 49 y 52 respectivamente. Análisis de la alternativa A:

Datos: P=$120,000 A=$15,000 i=15% N=6 VS=$10,000

inversión inicial de la alternativa A costo anual de operación tasa de interés anual vida útil en años valor de salvamento $10,000

$10,000

$10,000

0

1

2

4

......

6

15,000

120,000

7

8

9

....

12

15,000

120,000

Gráfica 49

13

14

15

...

18

15,000

120,000

Solución: Para hallar el VPN de cada una de las alternativas calcularemos el VPE y el VPI para cada ciclo y después los trasladamos a su valor presente.

Primero determinamos VPE para cada ciclo por la fórmula 24.  1 - (1 + 0.15)- 6   = 120,000 + 56,767.24 = 176,767.24 VPE = 120,000 + 15,000  0.15    

De esta manera el valor $176,767.24 representa el VPE para cada ciclo, es decir; en el año 0, año 6, y año 12 respectivamente.

162


Los VPE anteriores constituyen una anualidad anticipada de 3 pagos con periodo de 6 años cada uno, esto lo mostramos en el gráfico 50.

0

1

2

4

176,767.24

....

6

7

8

9

....

176,767.24

12

13

14

15

... 18

Años

176,767.24 Gráfica 50

El VPE de la alternativa para tres ciclos, lo hallamos a través de la fórmula de anualidad anticipada a su valor presente con una tasa de interés para un periodo de 6 años, la cual calculamos de la siguiente manera: i = (1 + 0.15 )6 − 1 = 1.313060 tasa cada 6 años  1 - (1 + 1.31306) - 2   = 176,767.24 + 109,460.42 = $286,227.6 6 VPE = 176,767.24 + 176,767.24  1.31306    

Para calcular el VPI, nuevamente utilizamos el valor presente pero de una anualidad vencida con períodos cada 6 años, estos flujos los mostramos en el gráfico 51. $10,000

0

1

2

4 ... 6

$10,000

7

8

9 .... 12

$10,000

13

14

15

...

18

Gráfica 51

 1 - (1 + 1.31306) - 3   = 10,000 (0.70003986 ) = $7,000.40 VPI = 10,000   1.31306   

Como ya calculamos el VPE y VPI para la alternativa A analizando tres ciclos de 6 años cada uno, podemos determinar el VPN, o sea: VPN = VPE – VPI = 286,227.66 - 7,000.40 = $279,227.26

163


Análisis de la alternativa B $ 1 8 ,0 0 0

0

1

2

4

...

6

7

8

9

$ 1 8 ,0 0 0

10

11

2 5 ,0 0 0

12

. . .

17

18

2 5 ,0 0 0 G r á fic a 5 2

2 0 0 ,0 0 0

Datos: P=$200,000 A=$25,000 i=15% N=9 VS=$18,000

2 0 0 ,0 0 0

inversión inicial de la alternativa B costo anual de operación tasa de interés anual vida útil en años valor de salvamento

Solución: Para hallar el VPN calcularemos el VPE y el VPI para cada uno de los dos ciclos que estamos considerando en este caso y después los trasladamos a su valor presente.

Primero determinamos VPE para cada ciclo por la fórmula 24:  1 - (1 + 0.15)- 9   = 200,000 + 119,289.60 = 319,289.60 VPE = 200,000 + 25,000  0.15    

De forma análoga al caso anterior el valor $319,289.60 representa el VPE para cada ciclo; es decir; en el año 0 y año 9 respectivamente y se muestra en el gráfico 53.

Gráfica 53 0

1

2

4 ... 6

7

319,289.60

8

9

10

11

12

...

17

18

319,289.60

VPE = 319,289.60 + 319,289.60 (1 + 0.15) -9 = 319,289.60 + 90,762.03 = $410,051.6 3 $18,000

0

1

2

4

....

6

7

8

9 ....

$18,000

12

Gráfica 54

164

13

14

15

...

18


El VPI en este caso lo calculamos utilizando el valor presente anualidad vencida, de dos flujos cada 9 años, estos flujos los mostramos en el gráfico 54 y la tasa de periodo de 9 años es:

i = (1 + 0.15

)9

− 1 = 2 . 517876

tasa cada 9 años

 1 - (1 + 2.517876 )- 2   = 18,000 (0.3650675 ) = $ 6,571.22 VPI = 18,000  2.517876    

Entonces, el VPN para la alternativa B analizando dos ciclos de 9 años cada uno, es: VPN = VPE – VPI = 410,051.63 - 6,571.22 = $403,480.41 En conclusión, los resultados son: El VPN de A es $279,227.26 El VPN de B es $403,480.41 Concluimos que a través del MCM la alternativa óptima es la A, dado que, su VPN es menor que el de B. Es importante destacar que el término, “costo del ciclo de vida se usa frecuentemente en los estudios de evaluación del VPN de proyectos a largo plazo. Sencillamente los costos de vida significan que todos los costos asociados con una alternativa deben incluirse en la evaluación. Estos costos podrían incluir, por ejemplo, desembolsos para investigación y desarrollo, costos de mantenimiento y costos de producción entre otros” (Blank-Tarquin, “Ingeniería Económica” p, 208).

7. Costo anual equivalente Un criterio adicional para la evaluación financiera de alternativas de inversión, es el costo anual equivalente CAE, también conocido como CUE cuando los períodos del flujo de fondos no son anuales. Este método es particularmente útil en la comparación de diferentes alternativas que no generan ingresos. En dichos caso solo interesa realizar una comparación de los costos. Así mismo, podría ser útil en la comparación de diferentes proyectos que generan el mismo beneficio o satisfacen la misma necesidad, sin producir ingresos diferentes. En este caso, nuevamente sería relevante únicamente un análisis de costos. El costo uniforme equivalente es particularmente útil para un análisis comparativo de costos cuando las vidas útiles de las alternativas a ser comparados son desiguales. La principal ventaja de este método sobre otros es que no requiere que la comparación se lleve a cabo sobre el MCM de años cuando las alternativas tienen diferentes vidas útiles. Es decir, el CAE de una alternativa debe calcularse para un ciclo de vida solamente, debido que el CAE es un costo anual equivalente para toda la vida del proyecto. Si éste continuara durante más de un ciclo, el CAE para el próximo ciclo y subsiguiente será exactamente igual que para el primero, suponiendo que todos los flujos de caja fueran los mismos para cada ciclo. Este nuevo indicador se asocia con el VPN y de hecho, consiste en una equivalencia financiera del flujo de fondos (típicamente del flujo de costos), calculada con la TIO, tasa de interés de oportunidad o tasa de rendimiento mínima TREMA. 165


Una metodología para el cálculo del CAE es través del VPN de los costos el cual consiste en lo siguiente: Calculemos el VPN de cada una de las alternativas utilizando las fórmulas financieras que más se ajusten al flujo de fondos Utilizamos la fórmula 25 para proyectar el CAE o CUE:  i CAE = VPN   1 - (1 + i )- N 

   

(Fórmul a 25)

Ejemplo 38: Una fábrica desea cambiar el sistema de generación de electricidad para ello ha realizado investigación en el mercado y tiene dos opciones. a. Costo inicial $50,000 vida útil de 10 años, costos anuales de operación de $5,000 y valor de salvamento de $6,000 al final de su vida útil. Gráfico 55. b. Costo inicial $40,000, vida útil de 8 años, costos anuales de operación $7,000 y valor de salvamento de $4,000. Gráfico 56.

Las dos alternativas permitirán satisfacer la misma necesidad de la fábrica, con costos y vidas útiles diferentes. ¿Qué alternativa debemos seleccionar, si la tasa de interés de oportunidad de la fábrica es de 16% anual? 6 ,0 0 0 G rá fic o

0

1

5 ,0 0 0

55

2

3

4

5 ,0 0 0

5 ,0 0 0

5 ,0 0 0

. . .

10

Años

5 ,0 0 0

5 0 ,0 0 0

4 ,0 0 0 G r á fic o 5 6

0

1

7 ,0 0 0

2

7 ,0 0 0

3

7 ,0 0 0

4

7 ,0 0 0

. . .

8

Años

7 ,0 0 0

4 0 ,0 0 0

Notemos en el ejemplo que, no podemos aplicar directamente el criterio del VPN a los flujos, pues los beneficios de las dos alternativas serán idénticos en cuanto a su contribución a la producción de la fábrica. Sin embargo, sus vidas útiles son diferentes. Para realizar la conversión a un flujo uniformen CAE, hay que tener en cuenta que cada flujo tiene en este caso, tres componentes básicos. a. Una suma presente negativa que representa la inversión inicial: P.

166


b. Una serie uniforme de costos de operación y mantenimiento: A. c. Una suma futura positiva que representa el valor de salvamento al equipo: VS. Es necesario comparar costos y escoger la propuesta de mínimo costo. Por lo tanto, los costos entran al cálculo con signo positivo, los beneficios lo hacen con signo negativo (un beneficio es un costo negativo) se escoge el proyecto de mínimo costo. Análisis de la alternativa A:

Datos: P=$50,000 A=$5,000 i=16% N=10 VS=$6,000

inversión inicial costos de operación anual tasa de interés anual años de vida útil valor de salvamento

Solución: Calculemos el VPN siguiendo la metodología descrita anteriormente, hallando primero VPE y después VPI. Utilizaremos las fórmulas de valor presente anualidad vencida y pago único, esto es:  1 − (1 + 0.16)− 10   = 50,000 + 24,166.14 = 74,166.14 VPE = 50,000 + 5,000  0.16     VPI = 6,000 (1 + 0.16)-10 = 6,000(0.22668) = 1,360.10

VPN = VPE – VPI = 74,166.14 - 1,360.10 = $72,806.04 Cuando hemos hallado el VPN aplicamos la fórmula 25 y obtenemos el CAE:   0.16  = 72,806.04 (0.206901) = $15,063.65 CAE = 72,806.04   1 - (1 + 0.16 )- 10   

De esta manera, el CAE=$15,063.65, representa el costo uniforme anual incluyendo el costo inicial, para toda la vida útil de la alternativa A. Análisis de la alternativa B:

Datos: P=$40,000 A=$7,000 i=16% N=8 VS=$4,000

inversión inicial costos de operación anual tasa de interés anual años de vida útil valor de salvamento

Solución: Calculemos el VPN de forma similar al caso anterior  1 − (1 + 0.16 )− 8   = 40,000 + 30,405.14 = 70,405.14 VPE = 40,000 + 7,000  0.16    

VPI = 4,000 (1 + 0.16) -8 = 5,000 (0.305025 ) = 1,220.10 167


VPN = VPE – VPI = 70,405.14 - 1,220.10 = $69,185.04 Aplicando nuevamente la fórmula 25 obtenemos el CAE para este caso:   0.16  = 69,185.04 (0.230224 ) = $15,928.07 CAE = 69,185.04   1 - (1 + 0.16 )- 8    Concluimos que el CAE(A)=$15,063.65 y el CAE(B)=$15,928.07 lo cual indica que el costo equivalente anual incluyendo el costo inicial de la opción A es menor que el de B; dado que su valor es menor y constituye la alternativa más atractiva para la fábrica.

8. Costo capitalizado En esta unidad abordamos las anualidades perpetuas simples, no obstante retomaremos algunos elementos. Por ejemplo, recordemos que cuando una inversión genera costos o ingresos periódicos que son desembolsados o pagaderos de forma indefinida, decimos que el flujo A de costos o de ingresos caracteriza una anualidad perpetua, como se muestra en el gráfico 57.

Gráfico 57 0

1

2

A

A

3

A

4

A

. . . Años

Costos indefinidos

Así; el valor de la anualidad A está dado por la fórmula de anualidad perpetua ordinaria; A=P(i) Donde: P: Valor de la inversión inicial o costo presente A: Valor del costo periódico equivalente (anualidad perpetua) I: Tasa periódica de interés. De la fórmula anterior obtenemos el valor presente: P =

A i

Este valor P recibe el nombre de costo capitalizados denotado por PT de una inversión donde no hay inversión inicial, es decir; A (Fórmula 26) PT = i Si tomamos en cuenta la inversión inicial Io, el costo capitalizado será:

168


PT = Io +

A i

(Fórmula 27)

En general, no existe un modelo estándar para calcular el costo capitalizado de una inversión, el analista se auxiliará en aquellas fórmulas que más se ajusten a la estructura del flujo de fondos. El costo capitalizado PT representa el valor actual de todos los costos de una alternativa de inversión, que suponemos tiene una vida útil indefinida, por tanto sus desembolsos o costos son perpetuos, por eso nos apoyaremos en el concepto de anualidad perpetua para realizar los cálculos del costo capitalizado.

Alternativas de inversión con vida útil indefinida

• • • • • • • •

Puentes Carreteras Represas hidroeléctricas Aeropuertos Puertos Instituciones públicas y de beneficencias Edificios Ferrocarriles, otras

Estas inversiones duraderas las podemos evaluar a través del costo capitalizado PT y el costo anual equivalente CAE. Si tuviéramos que tomar una decisión entre dos o más alternativas escogeríamos aquella que presente el menor PT o menor CAE. El cálculo del CAE, el cual representa una anualidad perpetua ordinaria lo podemos hallar a través de la fórmula 28. Gráfico 58. CAE = PT ( i

)

(Fórmula 28)

El resultado anterior nos indica que primero debemos calcular el costo capitalizado y después el CAE. Gráfico 58 0

1

CAE

2

3

CAE

CAE

4

. . .

CAE

Años

Costos perpetuos

169


Ejemplo 39: La construcción de una carretera tiene un valor inicial de $1,000,000, los costos de mantenimiento anuales se estiman en $25,000, si la tasa de interés es del 16% anual. Determinemos el costo capitalizado y el costo anual equivalente. Gráfico 59. Gráfico 59 0

1

25,000

2

3

4

25,000

25,000

25,000

. . .

Años

Costos anuales indefinidos

1,000,000

Datos: I0=$1,000,000 inversión inicial A=$25,000 costos anuales de mantenimiento i=16% tasa de interés anual Solución: Como los costos son indefinidos, decimos que es una anualidad perpetua, por tanto el costo capitalizado lo hallamos por la fórmula 27. A 25,000 PT = = + 1,000,000 = 156,250 + 1,000,000 = $1,156,250 i 0.16 Seguidamente por la fórmula 28 obtenemos el CAE:

CAE = PT ( i ) = 1,156,250(0.16) = $185,000 Del resultado anterior concluimos que el costo anual equivalente CAE perpetuo será de $185,000 el cual incluye el costo de la inversión inicial. En la práctica se presentan dificultades para calcular el costo capitalizado, una metodología general que recomienda Leland Blank y Antony Tarquin en su libro de “Ingeniería Económica” para hallar el costo capitalizado de un proyecto de vida útil indefinida la presentamos a continuación: a. Dibujar el diagrama del flujo de caja que muestre todos los gastos o ingresos no recurrentes y al menos dos ciclos. b. Se encuentra el VP de todos los gastos (ingresos) no recurrentes. c. Se halla el costo anual uniforme equivalente CAE durante un ciclo de todos los gastos recurrentes y de las series de costos anuales uniformes periódicos, ocurridos en el año 1 hasta el infinito para obtener un CAE. d. Se divide el CAE obtenido en (c) por la tasa de interés para obtener el costo capitalizado del CAE. e. Se suma el valor obtenido de (b) al valor obtenido en (d). El cálculo del costo capitalizado debe iniciarse mediante el dibujo del diagrama del flujo de caja. Dicho diagrama en este caso es probablemente más importante que en cualquier otro caso, ya que facilita la distribución entre gastos no recurrentes y gastos periódicos.

170


Ejemplo 40: Determine el costo capitalizado PT del proyecto de una Biblioteca pública en la Ciudad de Chinandega, que tiene un costo inicial $150,000 y un costo adicional de inversión de $40,000 a los 8 años. Los costos anuales de operación son de $3,500 para los próximos 6 años y de $5,000 de allí en adelante. Además se espera que haya un costo recurrente de reoperación de $10,000 cada 10 años. La tasa de interés del proyecto es de 10% anual. Gráfico 60.

Datos: Io=$150,000 I1=$40,000 A1=$3,500 A2=$5,000 A3=$10,000 i=10%

inversión inicial, costo no recurrente reinversión año 8, costo no recurrente costo del año 1 al 6, recurrente costo del año 7 en adelante, recurrente costo cada 10 años, recurrente tasa de interés anual

Gráfica 60 0

1

2

4 . . .

6

7

8

9

10

3,500

150,000

11

12

...

20

Años

5,000 40,000

10,000

10,000

Solución: Utilizaremos el procedimiento descrito anteriormente. a. Primero dibujamos el diagrama de flujo de fondos del proyecto para dos ciclos. b. Hallemos el valor presente P1 de los costos no recurrentes de $150,000 de la inversión inicial y $40,000 en el año 8; lo cual resulta: P1 = 150,000 = 40,000 (1 + 0.10 )−8 = 150,000 + 18,660.30 = 168,660.30

c. Convertiremos el costo recurrente de $10,000 cada 10 años, en un CAE=A4 para los primeros 10 años a través de la fórmula 4, es decir:   0.10  = 10,000 (0.0627454 ) = 627.45 A 4 = CAE = 10,000   (1 + 0.10 )10 − 1   Este valor A4 también se aplica a todos los otros 10 períodos, por tratarse de un costo uniforme equivalente. d. Seleccionamos una anualidad A5 de costos desde el año 1 de forma indefinida por el valor: A5=$ 3,500. Así, nos queda una anualidad por la diferencia de $1,500 desde el año 7 de forma indefinida lo cual representa una anualidad perpetua diferida con r=6 y cuyo valor presente P2 es: A ( 1 + i )− r = 1,500 ( 1 + 0.10 )− 6 = 8,467.11 P2 = i 0.10

171


Los costos anuales perpetuos se convierten en un costo capitalizado P3, sumando A4 con A5 o sea. A + A 5 627.45 + 3,500 P3 = 4 = = 41,274.50 i 0.10 e. El costo total capitalizado PT lo obtendremos sumando P1, P2 y P3 de la forma siguiente; PT=P1+P2+P3=168,660.30+8,467.11+41,274.50=$218,401.91 El costo capitalizado es: PT=$218,401.91.El costo anual equivalente CAE es:

CAE = PT ( i ) = 218,401.91(0.10 ) = $21,840.19 Concluimos que cuando dos o más alternativas se comparan sobre la base de sus costos capitalizados o el costo anual equivalente, seleccionamos el menor PT o el menor CAE. Como el costo capitalizado, representa el costo total presente de financiar o mantener cualquier alternativa dada, automáticamente se comparan las alternativas para el mismo número de años; es decir, infinito. Como síntesis podemos decir que: Una anualidad perpetua es una renta cuyo plazo teóricamente no tiene fin; por tanto, por su naturaleza indefinida, este tipo de anualidad perpetua, puede ser de diferentes tipos: 1. Valor presente anualidad perpetua vencida 2. Valor presente anualidad perpetua anticipada

( )

A=P i ⇒P = P =A+

i

P=

3. Valor presente de una anualidad perpetua diferida 4. Valor del pago diferido perpetuo

A

( )( 1 + i ) r

A i

⇒ P = Co +

A i

(1 + i ) − r

A i

A=P i

  1 - (1 + i )-N  5. Análisis de valor presente de costos VPE = P + A   i   a.Comparación de alternativas que usan el horizonte de planeación n sin tener en consideración la vida útiles de las misma: Seleccionamos un horizonte de tiempo y sobre él se conducirá el análisis económico – financiero, y solo aquellos flujos de caja ocurridos durante este período se consideran relevantes. 6. Alternativas con vidas útiles diferentes b.Comparación de alternativas sobre períodos de tiempo iguales al mínimo común múltiplo MCM de años para su vida útil: Entre las alternativas que automáticamente hacen extender sus flujos de caja a lo largo del mismo período de tiempo. El flujo de caja para un ciclo de una alternativa debe multiplicarse por el MCM de años, con lo cual el servicio se compara sobre la misma vida útil de cada alternativa.   i  CAE = VPN   1 - (1 + i )-N   

7. Costo anual equivalente

8. Costo Capitalizado

172

PT =

A i

PT = Io +

A i

CAE = PT (i)


Actividad de autoaprendizaje no. 2 1. 2. 3.

4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

11.

12.

13.

14.

Determino el valor actual de una renta mensual vencida a perpetuidad de $500.00 si la tasa de interés es del 1% mensual. ¿Cuál es el costo capitalizado y el CAE de una máquina que tiene un costo inicial de $140,000 y costos de mantenimiento de $1,000 por trimestre vencido, si el interés es del 3% trimestral? En un proyecto relacionado con la construcción de un puente se estima que la inversión inicial es de $200,000. Los costos de mantenimiento de $8,000 y comenzarán a partir del año 4 hasta el año 9 y de $6,000 de allí en adelante. A los 12 años se planea una reparación importante a un costo de $30,000. Si el proyecto utiliza una tasa de interés del 15%. Calculo: a. El costo capitalizado b. El costo anual equivalente. Determino el costo anual equivalente de un proyecto agrícola cuyos costos de inversión son de $450,000 y cada 5 años se invertirán de forma permanente $60,000 a una tasa de interés del 18% anual o su equivalente 128.77577% efectivo por quinquenio. La industria metálica S.A. tiene dos alternativas para comprar una máquina guillotina, la primera la ofrecen con un costo inicial $25,000 y tiene una vida útil de 10 años, al final de los cuales deberá ser reemplazada a un costo de $30,000. La segunda tiene un costo inicial de $30,000 y una vida útil de 15 años y su costo de reemplazo es de $36,000. Si la tasa de interés se fija en 12% efectivo, ¿cuál de las dos máquina debe comprarse utilizando el método del costo capitalizado? La inversión inicial de cierto proyecto es de $25,000 y tiene costos permanentes anticipados trimestrales de $400, si la tasa de interés es del 5% trimestral, determino el costo capitalizado. Determino el valor del capital que genera ingresos anticipados anuales de $6,000 de forma indefinida a un interés del 8% efectivo. El valor de adquisición de un activo fijo es de $800,000, suponiendo que se va depreciar de forma permanente a una tasa del 14% anual, ¿cuál será ese valor de depreciación? ¿Qué cantidad de dinero invertida el día de hoy le permite a una persona ingresos pagaderos mensuales indefinidos de 1,200 dólares, si los intereses son del 0.58% mensual? Una persona efectúa un depósito de $1,000,000 en una institución bancaria que le paga el 4% CM. a. Los intereses que devenga el depósito se capitalizan durante un tiempo y la persona realiza retiros mensuales hasta su muerte comenzando en el año 5. ¿Qué tamaño tiene el retiro mensual? b. En los primeros 10 años los intereses devengados se capitalizan. En esta fecha la persona efectúa un retiro correspondiente al 25% del total acumulado y el saldo generará retiros trimestrales indefinidos. Determino el valor del retiro trimestral. Una máquina cuyos gastos de operación y mantenimiento se incrementan a una razón de $20,000 por año, puede ser reparada. Con la reparación cuyo costo es de $150,000 se eliminarían los incrementos en los gastos de operación y mantenimiento. Para una tasa de interés del 20% y un horizonte de planeación de 5 años, determino el VPN de los costos y elijo el menor (Supongo que los ingresos y el valor de rescate no se modifican si la máquina es reparada). Calculo el costo capitalizado y el CAE de un proyecto que tiene un costo inicial de $150,000 y un costo adicional de inversión de $50,000 a los 10 años. Los costos anuales de operación son de $5,000 para los primeros 4 años y $8,000 de allí en adelante. Además se espera que haya un costo recurrente de reoperación de $15,000 cada 13 años. La tasa de interés es del 5% anual. Una compañía minera está considerando la posibilidad de comprar una máquina que cueste $30,000 y que se espera durará 12 años, con un valor de salvamento de $3,000. Se espera que los costos anuales de operación sean de $3,000 durante los primeros 5 años; pero debido al descenso de la producción, se espera que estos también desciendan en $200 anuales durante los siguientes 7 años. Otra alternativa para la compañía es comprar una máquina altamente automatizada a un costo de $30,000. Esta máquina solamente durará 6 años a causa de alta tecnología y diseño delicado y su valor de salvamento sería de $15,000. Debido a la automatización sus costos de operación sólo serían de $4,000 al año. Si la tasa de retorno mínima atractiva para la compañía es de 20% anual ¿qué máquina debe seleccionarse en base al CAE? ¿Cuál es el costo capitalizado de $200,000 hoy, $300,000 dentro de 3 años, $50,000 cada 5 años y una cantidad recurrente de $6,000 empezando dentro de 6 años, si la tasa de interés es de 20% anual?

173


15. ¿Cuál es el costo capitalizado de $75,000 hoy, $60,000 dentro de 5 años y una cantidad anual uniforme de $7,000 desde el año 10 y de allí en delante de forma indefinida, si la tasa de interés es de 16% anual? 16. Una empresa compró un camión en $14,000 y lo vendió 5 años después en $3,000. Los costos de operación y mantenimiento mientras el camión fue de su propiedad fueron de $3,500 anuales. Además, tuvo que efectuar una reparación del motor al final del tercer año con un costo de $600. Calculo su costo anual uniforme equivalente, si la tasa de interés anual fue del 14.7523%. 17. Una fábrica de Managua desea cambiar el compresor que posee actualmente porque está fallando continuamente. Tiene dos alternativas: a. Invertir $ 5,000 en una que tiene vida útil de 5 años, costos anuales de operación de $1,000 y valor de salvamento de $2,000 al final de su vida útil. b. Invertir $10,000 en uno de diferente marca que tiene una vida útil de 10 años, costos de operación de $600 al año y valor de salvamento de $4,000. Las dos alternativas permitirán satisfacer la misma necesidad de la fábrica con costos y vidas útiles diferentes. A un interés del 21.5506% anual y usando el CAE, determino la más ventajosa para la fábrica. 18. Una compañía está analizando la posibilidad de comprar una máquina nueva con el objetivo de cambiar la existente debido a la obsolescencia. Para ello se han iniciado las investigaciones respectivas en el mercado y los resultados obtenidos son los siguientes:

Concepto Inversión Inicial Costos anuales Valor residual Vida útil

Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 $100,000 $ 200,000 $ 170,000 $ 40,000 $ 25,000 $ 30,000 $ 25,000 $ 25,000 $ 25,000 5 años 10 años 10 años

Las tres máquinas resuelven el problema de la compañía, pero solo se puede comprar una. Si la tasa de oportunidad es del 20% anual, ¿cuál de las tres debe comprar usando el CAE? 19. La firma NRA desea que le recomiende que máquina debe seleccionar, sobre la base del CAE. Utilizo un interés del 18% anual.

Concepto Máquina nueva Costo inicial $ 44,000 $ 7,000 Costo anual de operación Costo anual de reparación $ 210 ----------Reparación cada 2 años Reparación cada 5 años $ 2,500 Valor de Salvamento $ 4,000 Vida útil (años) 15

Máquina usada $ 23,000 $ 9,000 $ 350 $ 1,900 --------$ 3,000 8

20. La compañía de Ratones y Cía. está considerando la compra entre dos sistemas de trampas para deshacerse de los gatos vagabundos. Comparo los dos sistemas siguientes a una tasa de interés del 10% de interés, a través del menor costo presente. (Nota: como las vidas útiles de las alternativas son diferentes, se debe duplicar el ciclo de vida del Sistema S, para realizar la comparación en un horizonte de 40 años).

Concepto Costo inicial Costo anual de operación Valor de Salvamento Vida útil (años)

174

Sistema S $25,000 $ 500 $ 1,000 20

Sistema C $ 50,000 $ 200 $ 500 40


21. Determino el costo capitalizado y CAE de cada una de las inversiones siguientes y selecciono la mejor. La tipo A tiene un costo inicial de $1,000,000, costos adicionales de operación anual de $15,000 a partir del año 5 de forma indefinida. Una reinversión de $50,000 en el año 10. La tipo B tiene una inversión inicial $900,000, costos anuales de operación $20,000 a partir del año 4 de forma indefinida. Costo adicional de reinversión $30,000 en el año 8. Asumo una tasa de interés de 20% anual. 22. Actualmente existen dos máquinas que se desean comprar: la máquina A tiene un costo inicial de $120,000 vida útil de 10 años, valor de rescate $8,000 y costos semestrales de operación de $ 2,500. La máquina B tiene un costo inicial de $110,000, vida útil de 10 años, costos mensuales de operación $400 y valor de rescate de $10,000. Si la tasa de interés es del 15% anual. Determino la mejor opción a través de: a. Costos uniformes equivalentes b. El menor costo presente. Comparo las respuestas a esta actividad con las que aparecen en la página 196, al final de la unidad autoformativa II, me retroalimento.

175


176


C. Anualidades generales a plazo y perpetuas En este tema estudiaremos las anualidades generales ciertas vencidas, anticipadas, diferidas y perpetuas. Para efectuar los cálculos con este tipo de anualidades utilizaremos dos métodos, tasa equivalente y pago equivalente para transformarla en una anualidad simple donde el período de capitalización coincida con el período de pago. Reafirmamos: Una anualidad es general si el período de capitalización de intereses que establece la tasa efectiva periódica i no coincide con el período del pago o renta A; en este caso decimos que no hay equivalencia financiera. En la práctica cotidiana de las operaciones financieras las anualidades generales son las más comunes, debido a que no necesariamente los pagos o depósitos deben coincidir con el período de capitalización de intereses. Por ejemplo, una cuenta de ahorros gana un interés del 8% CD, sin embargo los depósitos para la cuenta son de $300 mensuales; también puede suceder lo contrario, se trata entonces de anualidades generales.

1. Ajuste de la tasa equivalente ¿En qué consiste un ajuste de la tasa equivalente? Uno de los métodos para la conversión de la anualidad general en una simple consiste en ajustar el período de la tasa de interés al período de pago, este ajuste lo efectuaremos a través de la metodología de las tasas equivalentes estudiadas en la unidad autoformativa I. Teniendo en cuenta que la tasa resultante de interés sea manipulada con 8 decimales como mínimo para que los cálculos sean los más aproximados.

a. Método de agrupación de la tasa de interés Este método lo utilizamos cuando la anualidad general se nos presenta en los siguientes términos: un número entero de períodos de interés por intervalo de pago. Gráfico 61. Es decir, cuando el período del pago sea mayor que el período de interés (pp > pi). Supongamos que se realizan pagos al final de cada año y la tasa de interés se capitaliza trimestralmente, entonces por cada intervalo de pago se producen 4 períodos de la tasa de interés a como se muestra en el gráfico 61. Entonces, es necesario agrupar el valor de los 4 períodos de la tasa en uno solo, de manera que se ajuste al período del pago. Esta agrupación se realiza por la fórmula 8 ya estudiada o en su forma equivalente la fórmula 29:

i1 = (1 + i2 ) m− 1

(Fórmula 29)

con i1 > i2 donde: i1: tasa de interés periódica efectiva agrupada i2: tasa de interés periódica efectiva conocida m: número de períodos de capitalización de i2 por cada pago A

177


Pago A anual

0

1

2

i

3

i

2

4

i

2

T r im e s t r e s

i

2

2

i1

G r á fic o 6 1

b. Método de distribución de la tasa de interés En este caso, al contrario de la fórmula anterior, la utilizamos cuando el (pp < pi). Si suponemos que se realizan pagos al final de cada mes y la tasa de interés se capitaliza semestralmente, entonces por cada intervalo de pago se producen 6 períodos de la tasa de interés a como se muestra en el gráfico 62, donde es necesario distribuir el valor único de la tasa periódica de interés, en 6 valores periódicos de la tasa, de manera que se ajuste al período del pago. Esta distribución la realizamos por la fórmula 9 o en su forma equivalente la fórmula 30: 1 i2 = (1 + i1) m − 1 (Fórmula 30) con i1 > i2 donde: i1: tasa de interés periódica efectiva conocida i2: tasa de interés periódica efectiva distribuida m: número de pagos A por cada período de i1

G rá fic o 6 2

0

A

A

1

2 i2

A

A

3

i2

A

4

i2

A

5

i2

6

i2

M eses

i2

s e m e s tra l i1

Una anualidad general también se puede analizar utilizando el método del ajuste del pago al período de la tasa de interés, como lo veremos más adelante.

178


Ejemplo 41: Una distribuidora local de automóviles oferta una marca y estilo de auto en las siguientes condiciones: $16,750 si se compra de contado o el 25% de prima y el saldo se cancela mediante cuotas iguales mensuales en un plazo de 4 años con una tasa de interés del 16% efectivo anual. Si se compra al crédito determinemos el valor de la cuota mensual. Datos: P0=$16,750 valor de contado C0=16,750(0.25)=$4,187.50 cuota inicial P=$16,750-$4,187.50=$12,562.50saldo inicial ie=16% tasa de interés efectiva anual n=4 plazo en años m=12 frecuencia de conversión intereses anuales N=4(12)=48 meses o períodos de capitalización i=? tasa efectiva mensual A=? pago mensual

Solución: Podemos observar en los datos que hay una inconsistencia entre el período de la tasa de interés que es anual y el intervalo del pago o cuota que es mensual (pp
)

  = 12,562.50 (0.0277973 ) = $351.71 − 48  

Para hacer el cálculo deseado logramos transformar la tasa de interés de período anual a una tasa de período mensual. Ejemplo 42: Una persona ahorra al final de cada trimestre $1,000 dólares en una institución financiera que le paga el 1% mensual para cuentas de ahorro. Determinemos la cantidad acumulada en 3 años, si al año y medio realizó un retiro de $1,200

Datos: A=$1,000 valor del depósito trimestral R=$1,200 valor del retiro al 1.5 año i=1% tasa de interés efectiva mensual n=3 años de plazo m=4 frecuencia de conversión de intereses anuales N=3(4)=12 número de depósitos o períodos capitalizados N=1.5(4)=6 períodos capitalizados del retiro F=? Solución: El período de la tasa de interés es i2=1% mensual y el período del depósito es trimestral, es decir; (pp > pi). Ajustaremos por agrupación, el valor de la tasa al intervalo del depósito mediante la fórmula 29, teniendo en cuenta que por cada período de pago hay 3 período de la tasa, esto es m=3. Gráfico 63.

179


i1 = (1 + 0.01 ) 3 − 1 = 0.030301 = 3.0301% G rá fic o 6 3 0

1

2

i2

3

i2

M eses

i2 A

T rim e s tra l

La solución final la hallamos a través de F=F1–F2 cuando calculamos el valor futuro F1 de los depósitos por la fórmula 3 y luego restamos el valor futuro F2 a interés compuesto pago único del retiro en la fecha focal en el año 3, de la siguiente manera:  (1 + 0.030301) 12 − 1  = 1,000 (14.216322 ) = $14,216.32 F1 = 1,000  0.03301     6 F2 = 1,200 ( 1 + 0.030301) = 1,200 (1.196147 ) = $1,435.38

Saldo a los 3 años: F=14,216.32-1,435.38=$12,780.94 Notemos que el valor futuro del retiro es $1,435.38 lo cual significa que tenemos que restárselo al valor futuro total de los depósitos, para obtener el saldo neto acumulado. Dejamos al lector buscar otra forma de obtener la misma respuesta. Ejemplo 43: Determinemos el valor de contado de un equipo de computación que adquiere una empresa en los términos siguientes: prima o pago inicial $2,400 y 30 pagos mensuales de $300 el primero a los 3 meses después de la compra, con el interés del 20% C.S. Gráfico 64. P=?

Pr

0----------1----------2 r

Gráfico 64 3

300

4

5

6

7

300

300

300

300

. . .

31

32

300

300

2,400

Datos: Co=$2,400 valor del pago inicial en período cero A=$300 valor del pago mensual j=20% tasa de interés nominal anual m=2 frecuencia de conversión de intereses anuales i=j/m=0.20/2=0.10 tasa de interés efectiva semestral r=2 meses de gracia n=32/12=2.666666 años de plazo total 180

Meses


N-r=30 número de pagos P=? Solución: En ejemplo anterior aclaramos que el valor de contado corresponde al valor presente o actual y no contiene intereses. En los datos observamos que la tasa periódica efectiva conocida es 10% por semestre, entonces dado que los pagos son mensuales, necesitamos hallar una tasa efectiva mensual, esto lo logramos a través de la fórmula de distribución de la tasa de interés donde m=6 pagos por período de interés. 1 i2 = (1 + 0.10 ) 6 − 1 = 0.016011 = 1.6011% mensual De esta manera el pago y la tasa de interés están en el mismo período mensual, reemplazando los datos en la fórmula 14 y sumándole la cuota inicial, tenemos la respuesta:  1 − ( 1 + 0.016011) − 32 + 2   ( 1 + 0.016011 ) - 2 = $9,280.45 P = 2,400 + 300  0.016011     Por tanto el precio de contado del equipo es $9,280.45. Ejemplo 44: Determinemos el valor futuro de 10 pagos semestrales anticipados de $550 que sirven para liquidar al vencimiento un contrato de arriendo de una bodega, con el interés del 24% C.M. Gráfico 65. F=? Gráfico 65

0

1

2

3

4

5

6

7

8

550

550

550

550

550

550

550

550

550

9

10

Semestres

550

Datos: A=$550 valor del pago semestral j=24% tasa de interés nominal anual m=12 frecuencia de conversión de intereses anuales i=j/m=0.24/12=0.02 tasa de interés efectiva mensual n=5 años de plazo N=2(5)=10 número de pagos semestrales anticipados F=? Solución: Podemos observar que la tasa periódica efectiva conocida es 2% por mes, entonces dado que los pagos son semestrales, necesitamos hallar una tasa efectiva semestral, la cual logramos a través de la fórmula de agrupación de la tasa de interés donde m= 6 períodos de interés por período de pago i1 = (1 + 0.02 ) 6 − 1 = 0.126162 = 12.6162% semestral El pago y la tasa de interés están en el mismo período semestral, reemplazando los datos en la fórmula de valor futuro anualidad anticipada obtenemos la respuesta:

181


 ( 1 + 0.126162 ) 10 + 1 − 1  − 550 = $11,198.60 F = 550   0.126162   

El valor futuro del contrato es $11,198.60. Ejemplo 45: Calculemos el valor actual de una serie de pagos anuales perpetuos vencidos de $10,000 que se utilizan para el pago de impuesto de una propiedad urbana, con interés del 16% C.T. Gráfico 66.

0

1

10,000

Datos: A=$10,000 j=16% m=4 i=j/m=0.16/4=0.04 n→∝: P=?

Gráfico 66 4

2

3

10,000

10,000

. . .

Años

10,000

valor del pago anual perpetuos tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa de interés efectiva trimestral años de plazo (perpetuo)

Solución: Se trata de una anualidad perpetua ordinaria general donde la tasa periódica efectiva conocida es 4% por trimestre, como los pagos son anuales, queremos hallar una tasa efectiva anual, la cual obtenemos haciendo uso de la fórmula de agrupación de la tasa de interés donde m=4 períodos de interés por período de pago. i1 = (1 + 0.04 ) 4 − 1 = 0.169859 = 16.9859% anual Hemos logrado convertir el período de la tasa de interés al período de pago anual, reemplazando los datos en la fórmula de valor presente anualidad perpetua ordinaria, obtenemos la respuesta: A 10,000 P= = = $ 58,872.36 i 0.169859 El valor presente de la serie anual perpetua es $58,872.36.

2. Ajuste del pago equivalente Otro método para la conversión de la anualidad general en una simple es el recíproco del método anterior y consiste en el ajuste del pago equivalente al período de la tasa de interés; este ajuste lo realizaremos a través del uso de dos factores: distribución y agrupación del pago vencido. La transformación de los pagos A en pagos equivalentes X hechos al final del período de interés i, es un procedimiento bien aceptado por las instituciones financieras, debido a que los períodos de interés son la mejor unidad de tiempo. 182


a. Factor de distribución Este factor lo utilizaremos para transformar una anualidad general en una simple, cuando se nos presenta el intervalo o período de pago mayor que el período de la tasa de interés (pp>pi). Observemos el gráfico 67. Este factor es:   i  (Fórmula 31) X=A  (1 + i ) h − 1   Donde: X: Valor del pago equivalente A: Valor del flujo o pago conocido i: Tasa por período de interés: i=j/m h: Número de períodos de interés por intervalo del pago conocido Supongamos que los pagos se efectúan al final de cada 6 meses y el período de la tasa de interés es mensual, luego por cada período de pago existen 6 períodos de interés. Gráfico 67.

0

1

2

3

4

5

i

i

i

i

i

i

6 Meses

Gráfico 67

Pago A semestral

Ejemplo 46: Si el interés es de 24% C.M, reemplacemos un pago de $20,000 al final de cada año por pagos X al final de cada mes. Gráfico 68. Gráfico 68 0

1

2

3

X

X

X

4

X

. . .

11

12 Meses

X

X

A = 20,000

Datos: A=$20,000 valor del pago al final de cada año j=24% tasa nominal de interés anual m=12 frecuencia de conversión de intereses anuales i=j/m=0.24/12=0.02 tasa efectiva mensual h=12 número de períodos de interés por cada pago A X=? pagos equivalentes mensuales Solución: Dado que el período de la tasa de interés i es mensual y el pago A es anual, distribuimos de forma equivalente el valor $20,000 en 12 pagos iguales al final de cada mes, para ello reemplazamos los datos en la fórmula 31, esto es:

183


  0.02  = 20,000(0.0745596 ) = $1,491.19 X = 20,000   (1 + 0.02)12 − 1   La respuesta anterior equivale decir: podemos pagar $20,000 al final de cada año o bien de forma equivalente $1,491.19 al final de cada mes con el interés del 24% C.M. Notemos que el pago a distribuir es un valor futuro.

b. Factor de agrupación Este factor es útil para transformar una anualidad general en una simple, cuando se nos presenta el intervalo o período de pago menor que el período de la tasa de interés (pp
Donde: X: Valor del pago equivalente A: Valor del flujo o pago conocido i: Tasa por período de interés: i=j/m p: Número de pagos por períodos de interés Si suponemos que los pagos se efectúan al final de cada mes y el período de la tasa efectiva de interés es semestral entonces por cada período de interés existen 6 pagos. Gráfico 69. i :Tasa de interés semestral 0

1

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

Meses

A Pago m ensual

Gráfico 69

Ejemplo 47: Con una tasa de interés de 18% efectivo anual, sustituir pagos de $2,500 al final de cada mes por pagos equivalentes X al final de cada año. Gráfico 70. G ráfico 70 0

1

2,500

2

2500

3

2500

4

.

2500

.

12 M eses

2500

X

184


Datos: A=$2,500 j=18% m=1 i=j/m=0.18/1=0.18 p=12 X=?

pago al final de cada mes tasa nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva anual número de pagos por periodo de interés

Solución: Notemos que el período de la tasa i es anual y el período de A es mensual entonces no coinciden; debido a esto agruparemos de forma equivalente 12 pagos de $2,500 efectuados al final de cada mes en un sólo pago X al final de un año, de la siguiente manera:     0.18  = 2,500(12.960428 ) = $32,401.07 X = 2,500    1    (1 + 0.18 ) 12 − 1 Concluimos que el valor del pago equivalente anual es $32,401.07 que resulta lo mismo que $2,500 mensuales durante un año. Para una buena respuesta la fracción 1/p debemos escribirla con 6 decimales mínimo para que el cálculo sea lo más exacto posible. Después de distribuir o agrupar los flujos periódicos dados para tener un flujo al final de cada período de interés, el valor presente P de una anualidad general vencida se encuentra utilizando la fórmula 33 intercambiando el valor del flujo A por el valor equivalente X y ajustando el exponente N de acuerdo al nuevo número de pagos equivalentes X. Entonces la fórmula es:  1 − ( 1 + i) − N   P=X (Fórmula 33) i     Lo mismo podemos hacer para efectuar el cálculo que deseamos con los distintos tipos de anualidades que hemos estudiados. Ejemplo 48: Determinemos el valor de un depósito a efectuarse hoy para realizar retiros de $4,000 al final de mes durante 10 años, si la tasa de interés es del 8% C.S. Gráfico 71, flujo de retiros. 4,000

0

1

4,000

2

4,000 4,000

3

4

4,000

5

4,000

6

4,000

.

.

.

120

M eses

G ráfico 71

P = ?

Datos: A=$4,000 j=8% m=2

valor del retiro mensual tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales

185


i=j/m=0.08/2=0.04 tasa efectiva semestral n=10 años de plazo N=10(12)=120 retiros mensuales o N=20 P=?

pagos X semestrales equivalentes

Solución: Primero debemos calcular el valor equivalente X semestral, que agrupe 6 retiros o pagos mensuales de $4,000 dado que la el período de tasa y el período de pago no coinciden, esto es:     0.04   = 4,000 (6.09924 ) = $24,396.95 semestral X = 4,000   1    (1 + 0.04 ) 6 − 1 El valor presente de todos los valores agrupados X lo hallamos por la fórmula 33 o sea:  1 − ( 1 + 0.04) − 20   = 24,396.95 (13.590326 ) = $331,562.51 P = 24,396.95  0.04     El valor del depósito es de $331,562.51 lo cual permitirá retiros mensuales por $4,000 durante 10 año ya que en esa fecha se agotará y su valor será cero. Para el cálculo de valor futuro F de una anualidad general vencida, donde la fórmula 3 se transforma en:  ( 1 + i ) N − 1  F=X (Fórmula 34) i     Ejemplo 49: Una empresa realiza depósitos de $8,000 al final de cada 6 meses para un fondo de inversiones. Si la tasa de interés que devenga el fondo es de 7.2% C.M. Determinemos el valor acumulado de los depósitos a los 10 años. Gráfico 72. F=? Gráfico 72 0

1

8,000

Datos: A=$8,000 j=7.2% m=12 i=j/m=0.072/12=0.006 n=10

186

2

8,000

3

8,000

.

.

.

20 Semestres

8,000

valor del depósito semestral tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual años de plazo


N=10(2)=20 F=?

depósitos semestrales o N=120 pagos X mensuales equivalentes

Solución: De forma análoga al ejemplo anterior, primero distribuiremos el depósito semestral de $8,000 en 6 pagos X equivalentes mensuales, esto es:   0.006  = 8,000 (0.164184 ) = $1,313.47 mensual X = 8,000   ( 1 + 0.006 ) 6 − 1   Una vez que hallamos el valor de X, utilizamos la fórmula 34, para saber el valor futuro, o sea:  ( 1 + 0.006 ) 120 − 1  = 1,313.47 (175.0030 ) = $229,861.2 0 F = 1,313.47  0.006     Entonces el valor futuro en el fondo de inversiones a los 10 años es de $229,861.20 Ejemplo 50: Una compañía está pagando al final de cada año un máximo de $50,000 de forma indefinida, en concepto de prestaciones sociales a sus empleados; a una tasa del 1% mensual determinemos el valor de los pagos mensuales equivalentes y el valor actual de dichos desembolsos. Gráfico 73. Gráfico 73 0

1

50,000

Datos: A=$50,000 i=1% h=12 X=?

2

50,000

3

4

50,000

. . .

Años

50,000

valor del pago anual tasa efectiva de interés mensual número de períodos de interés por cada pago anual valor del pago equivalente mensual

Solución: Dado que los desembolsos son perpetuos de forma anual, entonces por la fórmula de 31, cada pago de $50,000 lo distribuimos en 12 pagos equivalentes X mensuales y perpetuos. Gráfico 74.   0.01  = 50,000 (0.0788487 ) = $3,942.44 X = 50,000   ( 1 + 0.01) 12 − 1

Gráfico 74 0

1

3,942.44

2

3,942.44

3

3,942.44

4

. . . Meses

3,942.44

187


El valor equivalente X=$3,942.44 es mensual a perpetuidad, así calculamos el valor presente P, o sea; A 3,942.44 P= = = $39,424.40 i 0.01 En resumen podemos decir que una anualidad es general si el período de capitalización de intereses que establece la tasa efectiva periódica i no coincide con el período del pago o renta A; en este caso no hay equivalencia financiera. Existen varios métodos para la conversión de una anualidad general en una simple:

( (

  i  X =A  1 + i h− 1   

b. Factor de agrupación

      i X =A  1     p − 1   1 + i

(

(

⇒

1 m i 2 = 1 + i1 −1

a. Factor de distribución 2.Ajuste del pago equivalente

)

i1 = 1 + i 2 m − 1

a. Método de agrupación de la 1.Ajuste de la tasa tasa de interés equivalente b. Método de distribución de la tasa de interés

)

i 1 > i2 ⇒

i 1 > i2

)

   

)

)

(

 1 − 1 + i −N P=X  i 

(

)

  1 + i N − 1 F=X   i  

Actividad de autoaprendizaje no.3 1.

Encuentro el valor actual y final de una serie de depósitos de $20,000 al final de cada semestre durante 12 años, si la tasa de interés es del 9.2% efectivo anual. 2. Para cancelar una deuda por $ 35,478.21 se efectúan pagos mensuales durante 3.5 años, si la tasa de interés que se paga es del 18% CT. ¿De qué tamaño son los pagos? 3. Una persona ahorra al final de cada mes la cantidad $170.00 en una institución bancaria que le garantiza el interés del 7.35% efectivo anual. Determino el valor acumulado de la cuenta de ahorros al final de 4 años. 4. Una empresa desea tener disponible dentro de 39 meses $20,000 para reponer una maquinaria. ¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo al final de cada trimestre, si el fondo gana una tasa de interés de 8% CS? 5. Un préstamo por $25,000 se va a cancelar mediante el sistema de cuotas niveladas mensuales, la primera un mes después a una tasa de interés del 16% CT durante 12 años. Determino el valor de la cuota. 6. Determino el valor actual y final de una serie de depósitos de $500 al final de cada mes durante 6 años, si la tasa de interés es del 12% CC. 7. Una empresa desde 1.5 año no ha pagado la cuota trimestral de $10,000 en concepto de arriendo de un edificio; si el dueño aplica una tasa de interés del 9% nominal semestral CC a los retrasos ¿Qué valor tendrán esos pagos en la actualidad? 8. Se quiere conocer el principal prestado, si se efectúan pagos iguales mensuales vencidos por valor de $652.46 durante 5 años a un interés del 24.5% CS. 9. Un terreno se alquila en $1,000 dólares mensuales anticipados. ¿Qué valor actual y final tendrá un contrato para 2.5 años, si el interés es de 5.5% ES? 10. La compañía TSP hace una donación de $30,000 a la Cruz Roja para que sea retirada dentro de 16 meses. Determino la cantidad que deberá invertir la compañía en un negocio financiero mensualmente, comenzando hoy para entregar la cantidad prometida, si la tasa de interés es del 5% mensual acumulativo.

188

Módulo autoformativo: “Introducción a la Gestión Financiera” 11. Una tienda se compra a través de tres opciones: (a) cuota inicial $6,500 y pagos anticipados anuales durante 3 años de $5,929.82 a un interés del 14.0175% semestral, (b) mediante pagos mensuales de $ 667.18, el primero el día de hoy, en un plazo de 4 años y a una tasa de interés del 2.2232% efectivo mensual y (c) cuota inicial $10,000 y pagos trimestrales vencidos por $2,343.49 durante año y medio a un interés del 30% CT. (La mejor opción es la de menor costo presente). 12. La deuda de un comerciante con un banco ha aumentado y hasta el día de hoy suma la cantidad de $19,359.20. La propuesta del banco para cancelar la deuda es mediante pagos anticipados mensuales, en un plazo de 2 años comenzando hoy a una tasa de interés del 30%, sin recargo por mora. Calculo el valor de la cuota mensual. 13. Un ciudadano desea tener dentro de 10 años $30,000 para comprarse una casa ¿Qué cantidad deberá depositar mensualmente (comenzando hoy) en fondo que devenga el 2% nominal trimestral CC para acumular la cantidad deseada? 14. ¿Cuál es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor $11,302.31 durante 8 años a una tasa 25.1899% CC? 15. Determino el valor del pago anticipado trimestral que sustituya pagos anuales vencidos de $10,000 durante 12 años a una tasa de interés del 15% CM. 16. Una comunidad compra una planta generadora de electricidad con $6,000 de cuota inicial y 24 pagos de $3,500 al final de cada mes. Si después de haber pagado las primeras 8 cuotas y justamente antes de efectuar el pago de la novena cuota decide cancelar en un pago único el saldo de la deuda, ¿cuánto deberá cancelar con intereses al 25.2325% CS? 17. Para cancelar una deuda una persona se compromete efectuar 8 pagos mensuales al principio de cada mes de $3,000 y un pago extra de $10,000 al finalizar el año. Si los intereses se cobran al 8.4790% trimestral. Determino el valor de la deuda al inicio del contrato. 18. El arreglo de pago entre un cliente y un banco sobre una deuda vencida estipula, 18 pagos mensuales de $2,000 al principio de cada mes. Se efectuaron cumplidamente los primeros 4 pagos y luego se dejó de pagar los siguiente 5, cuánto tendrá que pagar el cliente al vencimiento del siguiente para cancelar la totalidad de la deuda si el interés es del 6.09% efectivo bimensual? 19. Un automóvil se oferta a través de un pago inicial de $1,600 y 50 cuotas de $287.40 mensuales, el primero al término del mes 3. Si la tasa de interés sobre saldos es del 18.2714% CT. Determino: (a) el valor del auto al contado y (b) al término del último pago mensual. 20. El costo de adquisición de una máquina es de $30,000. Los costos de operación y mantenimiento se estiman en $500.00 mensuales, comenzando en el mes 6 después de iniciar operaciones. Si la tasa que se le carga es del 1% mensual, determino: (a) el costo anual equivalente y (b) costo uniforme equivalente semestral. Ambos cálculos hasta el año 3. 21. Determino el valor final en el fondo de inversiones de una sociedad anónima si abre el fondo con $10,000, efectúa 17 depósitos de $8,000 trimestrales, el primero al final del primer año al 8.2432% efectivo anual. Debido a un incremento en los intereses del 9% CT, decide realizar depósitos semestrales de $12,000 durante los siguientes 3 años. 22. Un préstamo de $350,000 se amortizará mediante cuotas niveladas anuales, la primera al término del año 3 después de haber obtenido el préstamo. A una tasa del 14.22323% CT y un tiempo total de 12 años, calculo: (a) el valor de la cuota anual y (b) un sistema de pago equivalente mediante cuotas niveladas vencidas mensuales comenzando un mes después. 23. La Sra. Espino necesita una cantidad de dinero para el 10 de junio, pero sólo puede pagar como máximo $150 mensuales y a partir del 10 de octubre hasta el 10 de julio del siguiente año. A una tasa de interés del 9.5445% efectivo semestral, determino la cantidad máxima que puede recibir en préstamo la Sra. Espino. 24. Una compañía deberá pagar pensiones a sus trabajadores jubilados trimestralmente hasta por una cantidad de $20,000 durante 5 años, el primer pago lo hará dentro de un año. Para este fin la compañía ha decidido hacer un depósito en una institución bancaria para que le permita asumir las obligaciones futuras. Si el depósito devenga un interés del 8.24321% efectivo, determino el valor del depósito. 25. Cuando su hijo cumple 10 años, un padre hace un depósito de $X en una fiducidaria con el objeto de asegurar sus estudios universitarios, los cuales iniciará cuando cumpla 18 años. Para esa época el valor de los aranceles y otros gastos pagados por adelantados se estiman en: Matrícula semestral $100.00 Pago mensual docencia $ 50.00 Gastos en libros por semestre $145.00

189

Educación a Distancia. UCA Transporte por semestre $180.00 Alimentación y vivienda mensual $250.00 Vestuario semestral $120.00 Gastos imprevistos mensuales $ 25.00 Derechos de graduación al final del último semestre de la carrera $ 800.00 Asumiendo que la carrera durará 5 años continuos y la tasa interés es del 8% efectivo anual. ¿Cuál será el valor del depósito? 26. Una empresa adquiere un automóvil valorado de contado en $52,000. Si le exigen una cuota inicial del 12% y el saldo lo cancela en 60 cuotas iguales mensuales, la primera a los 2 meses de iniciada la operación. ¿Cuál es la cuota, si los intereses son del 8.9332% semestral CC? ¿Cuánto pagaría si deseara cancelar el saldo insoluto justamente antes y después de la cuota 30? 27. Una institución desea reunir $300,000 mediante 6 depósitos semestrales iguales vencidos con un interés del 10.25% efectivo. (a) ¿Cuál debe ser el valor de la cuota ? y (b) Calculo que tanto del incremento al fondo es debido a intereses en el período 4. 28. Determino el valor actual y final de una cuenta de ahorros que se abrió con un capital inicial de $1,200, depósito de $860 a los 3 meses y depósitos mensuales de $324.50 desde el mes 5 hasta el mes 18 inclusive, interés del 6.030% CT. 29. ¿Cuál es el valor actual y final de una obligación financiera que inicia a los 4 meses mediante pagos de $455.38 y tiene una duración total de 42 meses e intereses del 24% efectivo? 30. Determino el valor actual de una renta mensual vencida a perpetuidad de $500.00 si la tasa de interés es del 12.6825% anual. 31. ¿Cuál es el costo capitalizado y el CAE de una máquina que tiene un costo inicial de $140,000 y costos de mantenimiento de $1,000 por trimestre vencido, si el interés es del 12.18% CS? 32. En un proyecto relacionado con la construcción de un puente se estima que la inversión inicial es de $200,000. Los costos de mantenimiento de $8,000 comenzarán a partir del año 4 hasta el año 9 y de $6,000 allí en adelante. A los 12 años se planea una reparación importante a un costo de $30,000. Si el proyecto utiliza una del 14.0579% CM; calculo: (a) el costo capitalizado y b) el costo anual equivalente. 33. Determino el costo anual equivalente de un proyecto agrícola cuyos costos de inversión son de $450,000 y cada 5 años se invertirán de forma permanente $60,000 a una tasa de interés del 18% anual. 34. La industria metálica S.A. tiene dos alternativas para comprar una máquina guillotina, la primera la ofrecen con un costo inicial $25,000 y tiene una vida útil de 10 años, al final de los cuales deberá ser reemplazada a un costo de $30,000. La segunda tiene un costo inicial de $30,000 y una vida útil de 15 años y su costo de reemplazo es de $36,000. Si la tasa de interés se fija en 11.4949% CT ¿Cuál de los dos máquina debe comprarse utilizando el método del costo capitalizado? 35. La inversión inicial de cierto proyecto es de $300,000 y costos permanentes anticipados trimestrales de $10,000, si la tasa de interés es del 9.7580% semestral CC, determino el costo capitalizado. 36. Determino el valor del capital que genera ingresos anticipados anuales de $6,000 de forma indefinida a un interés del 7.7208% CM. 37. Determino la renta mensual indefinida que produce un capital de $1,000,000 a una tasa de interés del 0.192123% semanal CC. 38. ¿Qué cantidad de dinero invertida el día de hoy le permite a una persona ingresos pagaderos mensuales indefinidos de $2,500 dólares, si el interés es del 1.79462% trimestral CC. 39. ¿Cuál es el valor futuro de 30 depósitos mensuales de $60 a una tasa de interés del 3% efectivo semestral? 40. ¿Qué pagos equivalentes trimestrales reemplazan pagos anuales de $20,000 si el interés es el 4.4 trimestral CC? Encuentro las respuestas a esta actividad en la página 196, al final de la unidad autoformativa II. Comparo mis resultados y me corrijo.

190


Resumen final de la unidad autoformativa II Una vez concluido el estudio de la Unidad autoformativa II usted está capacitado para: 1.

Explicar los conceptos de: Anualidad Anualidad simple a plazo Anualidad simple perpetua Anualidad general simple y perpetua

2.

Describir la clasificación de las anualidades.

3.

Elaborar el diagrama del flujo de una anualidad a plazo y perpetua.

4.

Calcular el valor futuro, el valor actual, el pago, la tasa y el plazo de anualidades simples a plazo.

5.

Calcular el valor futuro, el valor actual, el pago, la tasa y el plazo de anualidades generales a plazo.

6.

Determinar el valor actual, el pago y la tasa de anualidades simples y generales perpetuas.

7.

Determinar el Costo Anual Equivalente CAE, el Costo Capitalizado PT para alternativas de inversión con vida útil definida e indefinida.

8.

Evaluar y comparar dos o más alternativas de inversión a través del CAE y PT para seleccionar la mejor opción.

191


192


Autoevaluación final de la unidad autoformativa II Resuelva cada uno de los problemas que se le presentan a continuación, disponga de una calculadora electrónica, el formulario papel y lápiz. 1. Determine el valor de la cuota nivelada semestral que una empresa debe efectuar para saldar un préstamo bancario por $60,000 en un plazo de 10 años a un interés del 18% CS. 2. Una persona efectúa durante 2 años pagos anticipados mensuales de $300 para saldar una con interés del 20% CM, además en el primer año paga un extra de $2,500. Determine: (a) el valor del principal en mes cero y (b) el valor futuro de todos los pagos. 3. Si un auto se vende mediante un pago inicial de $3,000 en el mes cero y cuotas mensuales de $450, la primera a los 4 meses. Si la tasa de interés sobre saldos es del 18% CM y el plazo total es de 5 años, determine el valor de contado (presente) del auto. 4. Una empresa debe comprar una máquina y tiene dos opciones. La máquina A tiene un costo inicial de $18,000, costos anuales de $2,000, valor de rescate de $5,000, vida útil 5 años. La máquina B tiene inversión inicial de $20,000, costos anuales $2,500, valor de rescate $5,000, vida útil 10 años. Al 14% decida a través del CAE que opción conviene. 5. Determine el CAE y Costo Capitalizado PT de una de $200 en el año cero, costo anuales de $80 del año 4 al 8 y de $100 desde el año 9 de forma indefinida, interés del 10% anual. 6. Un ahorrante deposita cada semana $50 durante 3 años sin efectuar ningún retiro, si la tasa pasiva es del 5% CM, calcule cuánto tiene en su cuenta suponiendo que cada año tiene 52 semanas. 7. Una mercadería se compra mediante 8 pagos mensuales anticipados de $2,000 y un pago extra $4,000 a los 15 meses. A un interés del 30% CC, determine el valor presente o de contado de la mercadería. 8. Una deuda con un banco en la actualidad es de $100,000 y se va a cancelar en un plazo total de 10, años que incluye 2 años de gracia donde los intereses se capitalizan. A un interés del 14% CS, determine el valor de la cuota trimestral nivelada. Comparo las respuestas de esta autoevaluación con las que aparecen en la página 197, al final de la unidad autoformativa II, me retroalimento.

193


194


Hojas de respuestas Respuestas a la prueba diagnóstica de la unidad autoformativa II 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

$24,795.24 $1,132.34 $32,716.23 $2,363.37 $17,105.05 a. $880.72 $15,474.87 $900.00

b. $105.69

Respuestas a la actividad de autoaprendizaje no. 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

a. $501,876.86 b. $2,030,371.82 $1,310,342.80 $5,000.00 $37,840.57 $2,000.00 a. $1,965.44 b. $3,400 $245.79 a. $12,151.67 b. $19,591.23 $60,771.72 15 años $22,987.17 a. $4,955.30 b. $5,929.92 $250.00 $1,207.71 El menor costo es la opción b a. $9,820.87 b. $8,609.55 $2,588.61 $13,122.75 $160,500 $188,901.24 $43,147.39 $29,089.56 $18,475.79 $26,976.20 a. $17,060.41 b. 17,572.22 a. $5,600.03 b. $16,800.09 a. $16,378.72 b. $41,226.32 a. $47,762.94 b. $1,212.86 a. $3,625.60 b. $ 7,638.58 a. $123,931.75 b. $6,865.93 $63,103.58 $22,621.94 $269,351.20 $3,410,192

c. $22,651.11

d. $6,350.58

195


35. 36. 37. 38. 39. 40.

a. $423.81 a. $44,105.24 a. $6,337.85 a. $12,000 $19,142.12 a. $3,453,948.47

b. Saldo antes $11,132.28 b. $6,952.09 b. $6,933.16 b. $25,477.62

c. Saldo después $10,708.47

b. $4,377,084.03

Respuestas a la actividad de autoaprendizaje no. 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

$50,000 CAE=$5,200 PT=$173,333,33 a. $236,884.58 b. $35,532.69 $89,386.67 La segunda tiene un costo capitalizado de $38,047.27 $33,400.00 $81,000.00 $112,000 $206,896.55 a. $4,056.47 b. 11,218.56 Convendría la reparación CAE=$17,349.73 PT=$346,994.60 CAE(1)=$9,543.22 CAE(2)=$ 11,510.58 $419,262.35 $115,070.97 CAE=$7,322.57 CAE(a)=$2,468.57 CAE(b)=$2,969.14 CAE(3)=$69,585.81 CAE(MN)=$16,135.85 CAE(MU)=$15,666.45 PC=$51,945 PS=$33,435 CAE(A)=$208,849 PT(B)=$964,847 PT(A)=$1,044,244 a. CAE(A)=$28,697 CAE(B)=$26,547 b. PA=$144,025

Respuestas a la actividad de autoaprendizaje no. 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 196

a. $289,944.18 $1,139.90 $9,407.31 $1,364.01 $388.04 a. $25,534.29 $67,342.79 $22,987.17 a. $26,437.62 $1,207.71 Opción 2 $1,025.43 $162.65 $160,500 $2,641.44 $48,472.42 $29,089.56

b. $833,654.41

b. $52,458.49 b. $34,552.91

CAE(B)=$192,969 PB=$133,233


18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40.

$26,976.20 a. $11,363.80 b. $24,646.64 a. $17,956.24 b. $8,710.24 $309,206.72 a. $92,228.80 b. $5,042.74 $1,319.57 $269,351.20 $11,558.75 a. $1,179.43 b. Saldo antes $29,504.43 a. $44,105.24 b. $6,952.09 a. $6,337.85 b. $6,933.16 a. $12,000 b. $25,477.62 $50,000 a. $173,333,33 b. CAE $5,200 a. $236,884.58 b. $35,532.69 $89,386.67 La segunda tiene costo de $38,047.27 $510,000 $81,000 $8,360.08 $416,666.67 $1,935.04 $4,473.76

c. Saldo después $28,325.00

Respuesta a la autoevaluación final de la unidad autoformativa II 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

$6,572.79 a. $8,042.84 $19,410.63 CAE(A)=$6,486.69 PT=$894.36 $8,410.00 $17,432.72 $6,820.55

b. 11,959.02 CAE(B)=$6,075.70 CAE=$89.44

197


198


Glosario Anualidad. Serie de pagos iguales o diferentes que se efectúan en intervalos de tiempos iguales con interés compuesto. Anualidad anticipada. Los pagos programados se efectúan al inicio de cada periodo. Anualidades ciertas y contingentes. Es cierta cuando se planifica el inicio y el final, o sea; se conocen las fechas extremas del plazo. Es contingente cuando no se fija el inicio, el final o ambos. Anualidad diferida. Cuando los pagos comienzan después del primer periodo, es decir, se posponen. Anualidad inmediata. Los pagos se efectúan desde el primer periodo ya sean anticipados o vencidos. Anualidad perpetua. Son aquellas en las cuales se fija el inicio de los pagos y se efectúan por tiempo ilimitado o indefinido. Anualidad vencida u ordinaria. Es aquella en que los pagos se efectúan al final de cada periodo. Alternativa de inversión. Opción que se elige entre dos o más vías para resolver un problema o satisfacer una necesidad, en función del mejoramiento de la calidad de vida de los beneficiarios directos e indirectos. Anualidad simple y anualidad general. Es simple cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses y es general cuando ocurre lo contrario. Costo Anual Equivalente. Conjunto de valores anuales constantes que tienen el mismo valor presente o futuro de los costos de una alternativa de inversión. Costo Capitalizado. El valor presente de los costos de una alternativa de inversión que se supone tendrá una vida útil indefinida. Frecuencia de capitalización de intereses. Es el número de capitalizaciones de intereses por año que coincide con el número de pagos. Intervalo de pago de la anualidad. Es el tiempo que existe entre dos pagos sucesivos. Pagos o rentas equivalentes. Conjuntos de pagos con diferentes frecuencias que producen el mismo monto o el mismo valor presente. Plazo de la anualidad. Es el tiempo planificado de los pagos que comprende el inicio y el final. Tasa de interés de la anualidad. Es la tasa efectiva cuyo periodo coincide con el periodo o intervalo de pago. Valor futuro de una anualidad. Es la suma de los valores futuros de todos los pagos con interés compuesto.

199


Valor presente de una anualidad. Es la suma de los valores presentes de todos los pagos con interés compuesto. Valor Presente Neto. Valores futuros de ingresos y costos de una alternativa de inversión transformados a través de una tasa de descuento, en dinero equivalentes el día de hoy.

200


Bibliografía 1. Ayres, Frank Jr. "Matemáticas Financieras", Mcgraw-Hill, México, 1993. 2. Baca, Currea Guillermo, "Las Matemáticas Financieras y los Sistemas", Limusa Noriega Editores, Bogotá Colombia, 1997. 3. Blank, Leland T/Tarquin, Anthony J. "Ingeniería Económica", Mcgraw-Hill, Tercera edición, México, 1992. 4. Díaz Mata, Alfredo “Matemáticas Financieras”, Mcgraw-Hill, Tercera Edición, México, 1999 5. Fontanals Albiol, Hortensia “Matemáticas Financieras (Supuestos). Romanya /valls S.A. , Barcelona España, 1992. 6. Moore, Justin H. "Manual de Matemáticas Financieras", Hispano-América, España, 1970. 7. Portus G., Lincoyán "Matemáticas Financieras", Mcgraw-Hill, Tercera edición, México, 1990. 8. Villalobos, José Luis “Matemáticas Financieras” , Pearson Educación, Segunda Edición, México, 2001

201


202


Unidad autoformativa III: “Amortización, Fondos e Inversiones”

203


204


Presentación de la unidad autoformativa III En esta última unidad autoformativa estudiaremos el proceso de amortización de deudas, analizaremos los sistemas más utilizados en el mercado financiero para saldar deudas con interés sobre saldos y con interés flat. Abordaremos el estudio de la creación de fondos como una forma de acumular una cantidad de dinero en el futuro, que las empresa e instituciones utilizan para diversos fines. Finalmente estudiaremos el análisis de inversiones desde el punto de vista del rendimiento del capital invertido, es decir; realizaremos una evaluación financiera de inversiones a través de métodos clásicos que toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

Objetivos de la unidad autoformativa III 1.

Explico el concepto de amortización y fondo de amortización, establezco la diferencia y semejanzas entre ambos procesos.

2.

Distingo las situaciones donde se aplica tanto la amortización como el fondo de amortización.

3.

Distingo el proceso de cálculo de cuotas niveladas y cuotas proporcionales con interés sobre saldos.

4.

Efectúo cálculos de cuotas para amortizar deudas que contienen períodos de gracia.

5.

Desarrollo habilidades en el cálculo del valor de las cuotas para el proceso de amortización y de los depósitos del fondo de amortización.

6.

Desarrollo habilidades en la construcción de tablas de pagos para la amortización y en la creación fondos de amortización para sistemas de hasta 10 cuotas.

7.

Determino el valor de interés por mora para sistemas de amortización con interés sobre saldos y flat.

8.

Encuentro los saldos pendientes del deudor y/o acumulados en cualquier momento de un proceso de amortización o de fondo de amortización.

9.

Proyecto cuotas con corrección monetaria para saldar deudas con mantenimiento de valor y elaboro la tabla de pago.

10. Aplico el método de depreciación de un activo fijo e identifico los elementos importantes del flujo de caja de una inversión. 11. Desarrollo destrezas y habilidades en el análisis financiero de inversiones aplicando los métodos clásicos que toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo y una tasa de interés de oportunidad.

205


12. Evalúo inversiones aplicando los métodos auxiliares aplico los criterios para tomar la decisión de invertir.

Esquema de contenidos Unidad Autoformativa III: Amortización, fondos e inversiones

A. Sistemas de amortización A. Sistemas de amortización

1. Elementos de la amortización 2. Cuota nivelada interés sobre saldos 3. Cuota proporcional 4. Cuota nivelada con interés flat 5. Cuota con corrección monetaria 6. Cuota con inflación monetaria

B. Fondos B. Fondos

1. Cuota constante vencida 2. Cuota constante anticipada 3. Cuota constante y cuotas extras

C. Inversiones C. Inversiones

1. Enfoque en la evaluación de inversiones 2. Estimaciones básicas de una inversión 3. Estimación del flujo de fondos 4. Valor Actual Neto 5. Tasa Interna de Retorno 6. Tasa Interna Ajustada 7. Índice de Deseabilidad

Orientaciones para el aprendizaje de la unidad autoformativa III 1. El éxito en el alcance de los objetivos de aprendizaje de la unidad autoformativa depende de la responsabilidad de su autoestudio A lo largo del autoestudio que ha realizado hasta el momento ha podido comprender la importancia que tiene la disciplina del estudio responsable. 2. El cumplimiento de las orientaciones metodológicas que se le indican son importantes para el logro de los objetivos del autoestudio. 3. Anote en un cuaderno los conceptos más importantes, haga resúmenes, dibuje esquemas de mapas de conocimientos, lleve un orden en los problemas que va estudiando, haga comparaciones con otros problemas ya resueltos y anote aquellas dudas que resulten. Relacionando contenidos previos con los nuevos por aprender, para asegurarse del dominio del conocimiento anterior, aspecto fundamental para la interpretación y asimilación del conocimiento siguiente. Es importante recordar que debe elaborar un formulario indicando el número de la fórmula y su utilidad. 206


4. En el Tema A, preste atención a la construcción y uso del diagrama tiempo valor, para identificar el tipo de sistema de amortización y consecuentemente aplicar la fórmula indicada, asimismo debe saber elaborar la tabla de pago para los primeros periodos. 5. En el Tema B, debe prestar más atención a la forma de construcción de fondos, identificar los valores de los depósitos y el uso de las fórmulas correspondientes, la elaboración de la tabla del fondo es importante para verificar el objetivo de acumular la cantidad prefijada. 6. En el Tema C, debe diferenciar el tipo de flujo de fondos de una inversión, con financiamiento y sin financiamiento. Debe asegurarse de tener dominio en el cálculo de los métodos de evaluación financiera del VAN, TIR ID. Así mismo debe conocer el criterio de la toma decisión para invertir en un proyecto.

Prueba diagnóstica de la unidad autoformativa III Esta prueba tiene como objetivo que usted descubra el nivel de conocimientos previos que posee para el autoaprendizaje de los nuevos conocimientos que le exige la unidad autoformativa III. Se dará cuenta cuánto esfuerzo requerirá para asimilar y aprender el contenido de la presente unidad, lo cual le ayudará a planificar su autoestudio. Antes de comenzar a resolver y contestar los problemas y las preguntas, asegúrese de estar en plena disposición para el estudio. 1. Determine el valor de la cuota trimestral constante que un agricultor tiene que pagar por un financiamiento de $12,000 (córdobas) con el 31% flat anual y plazo de 15 meses. 2. Un préstamo de $24,000 con interés del 16% CS y a plazo total de 5 años que incluyen 1.5 años de gracia donde se liquidarán los intereses de forma semestral; la deuda se podrá amortizar a través de: (a) cuotas semestrales niveladas y (b) cuotas semestrales proporcionales. Elabore la tabla de pago para cada caso. 3. Dado el siguiente flujo de fondos netos del inversionista de un proyecto de turismo, determine los indicadores de rentabilidad financiera: VAN, TIR, ID, TRC y PRI con iop=20% y haga sus comentarios. Año FNI

0 (500)

1 100

2 200

3 (150)

4 350

5 400

4. Una empresa obtiene un préstamo por $30,000 para pagarse a plazo total de 7 años que incluye 2 años de gracia, con interés del 18%. En el periodo de gracia los intereses se capitalizan y el pago de la deuda será a través de cuotas niveladas anuales. Construya la tabla de pago. 5. Una empresa desea tener $18,000 al final del año 5, para ello abre un fondo y realiza un depósito inicial en el periodo cero de $2,000 para completar el fondo destinará una cuota constante anual con interés del 10.8% efectivo anual. Elabores la tabla de capitalización del fondo.

207


6. El financiamiento de un pequeño comerciante es por $15,000 (córdobas) con intereses del 30% CM y mantenimiento de valor del 6% anual. Se pagará mediante 4 cuotas mensuales niveladas en dólares o cuotas mensuales iguales prorrateadas en córdobas. El TCO era C$14.9669 por dólar en la fecha de formalización del préstamo el día 5 de mayo del 2003. Elabore la tabla de pago y considere 30 días entre cada cuota para proyectar el TCO. 7. En una urbanización sobre Carretera a Masaya, una casa de contado cuesta $60,000, se puede obtener a través de una cuota inicial de $10,000 y el saldo se financia a través de una línea de crédito de un Banco Regional para pagarse en un plazo total de 15 años que incluye 4 meses de gracia con interés del 9% CM. En el periodo de gracia los intereses se capitalizan y el pago de la deuda será a través de cuotas niveladas mensuales. (a) Calcule la cuota nivelada mensual; (b) Determine el saldo pendiente de la deuda justamente al cumplirse 8 años; (c) Determine el valor de la casa al finalizar el plazo, asumiendo que todos los pagos efectuados se invierten a la misma tasa y (d) Elabore la tabla de pago hasta la cuota mensual 5. 8. Si la inflación monetaria promedio para los próximos 6 años es de 10% anual ¿De qué valor será la cuota anual nivelada para amortizar un préstamo de $100,000 (córdobas) si el interés real es del 22% anual sobre saldos? Elabore la tabla de pago. Comparo las respuestas obtenidas de esta prueba diagnóstica con las que se me proporcionan en la página 267, al final de la unidad autoformativa III y me retroalimento.

208


A. Sistemas de amortización Iniciamos el estudio de los sistemas de amortización más utilizados por las instituciones financieras que otorgan créditos a las personas naturales y jurídicas con cálculos de intereses sobre saldos insolutos e intereses flat y con mantenimiento de valor por inflación monetaria. “La palabra amortización viene el latín mors, mortis, muerte. Esta etimología da ya una idea del significado del término” (Justin H. Moore, “Manual de Matemáticas Financieras” P.370). En el mercado financiero la expresión amortización se utiliza para denominar el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser iguales o diferentes en intervalo de tiempos iguales o diferentes.

Estos pagos son realizados para liquidar tanto el capital o principal, así como los intereses y demás conceptos que genera determinada deuda. La parte del principal no cubierta por las amortizaciones en una fecha dada se conoce como saldo insoluto o principal insoluto en esa fecha. El principal insoluto al inicio del plazo es la deuda original. El principal que resultará al final de la última cuota o pago al término del plazo es cero y de esta manera la deuda queda pagada. El proceso de amortización de una deuda es un elemento importante para el financiamiento interno o externo de una inversión; en el proceso amortización el inversionista necesita conocer el proceso de cálculo que es necesario seguir para estimar el monto del servicio de la deuda, así como también el período de reembolso y el factor de recuperación de capital. El sistema financiero nacional y bancos internacionales que proporcionan dinero en préstamo, generalmente calculan los intereses por período en base al saldo actualizado de la deuda (saldos insolutos); este procedimiento es conocido como amortización con intereses sobre saldos; no obstante, también hay instituciones que cobran intereses sobre principal original, es lo que se conoce como amortización con interés flat. Este último sistema es muy usado por las casas comerciales que operan en Nicaragua y que otorgan financiamiento a sus clientes a través de bancos y microfinancieras. A interés flat la disminución del saldo no incide en la disminución del interés que se paga como lo veremos más adelante. En todos los procesos de amortización, una vez que se ha seleccionado el modelo o sistema a utilizar, se procede a elaborar la tabla de amortización también conocida como calendario de pago de la deuda. La tabla es administrada por las partes involucradas (acreedor - deudor) en la operación financiera para facilitar el seguimiento al cumplimiento de todos los pagos acordados, así como la elaboración de los flujos de caja de proyectos que son objeto de financiamiento.

1. Elementos de la amortización En el estudio de los pagos parciales analizamos que toda cuota o pago en el proceso de amortización estándar de una obligación financiera, está compuesta por los elementos que se detallan en la fórmula 1, de la siguiente forma:

C = A +I k k k

(Fórmula 1)

209


donde: CK: Valor de la cuota periódica nivelada o proporcional. AK: Principal de la cuota, es una cantidad que es aplicable directamente a la deuda y la disminuye. IK: Intereses de la cuota, es una cantidad de dinero que devenga el saldo del préstamo o principal adeudado. k: Número de período o pago que queremos cancelar (contador de cuotas). El sistema de “Pagos parciales”, ya estudiado, es un método de amortización flexible, que establece una serie de pagos parciales iguales o diferentes en períodos iguales o diferentes comprendidos en el plazo de la deuda; los intereses se calculan sobre saldos actualizados a la fecha de cada pago parcial. La incógnita es hallar el valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento de la deuda y para ello utilizamos el algoritmo de la Regla Americana.

2. Cuota nivelada Este es un sistema gradual de amortización con intereses sobre saldos, donde los pagos son iguales y periódicos constituyendo una anualidad vencida. Esta forma de amortización fue creada en Europa y es la más usada en el campo de las finanzas para recuperar los préstamos. En este sistema pueden presentarse variantes como: a. Cuota nivelada vencida b. Cuota nivelada anticipada c. Cuota nivelada diferida o con período de gracia Para la interpretación y cálculo de la cuota en cualquiera de sus formas recurrimos a las anualidades ya estudiadas en la Unidad Autoformativa II.

a. Cuota nivelada vencida Cuando se acuerda cancelar un préstamo mediante cuotas niveladas vencidas, cada cuota a pagar es constante, es decir; es de igual valor y se efectúa al final de períodos de tiempos iguales. Ver gráfico 1. P Saldos

0

1

2

3

4

C

C

C

C

.

.

.

N-1

N

C

C

Períodos

Gráfico 1

1) Valor de la cuota Definimos CK como el valor de la cuota, la cual contiene la amortización al principal o abono AK y los intereses IK devengados en el pago k con 1≤ k ≤N. El proceso que se sigue de la forma de pago se muestra en el gráfico 1; donde CK=C y representa una serie de flujos C (anualidad ordinaria vencida).

210


Así, reemplazando C por A en la fórmula 2 (estudiada en la unidad autoformativa II) obtenemos el valor de la cuota nivelada, entonces:   i  (Fórmula 2) C = P  1 − (1 + i) − N    donde: C: Cuota nivelada a pagar durante el plazo del préstamo i: Tasa efectiva de interés corriente por período de cuota; i=j/m N: Número total de períodos o cuotas vencidas acordadas; N=mn P: Deuda original o principal prestado 2) Saldo Insoluto Como cada cuota C contiene principal e interés necesitamos calcular algunos valores importantes para la elaboración del calendario de pago. Debido que todos los pagos son iguales y periódicos, es decir constituyen una anualidad vencida o anticipada, podemos calcular el saldo insoluto Sk después de la cuota k, como el valor presente de los N-k pagos restantes por la fórmula 3. 1 − (1 + i)− N+ k   S = C k i  

(Fórmula

3)

3) Interés de la k-ésima cuota Si queremos hacer la distribución de la cuota pagada Ck entre intereses Ik y abono al principal Ak, sin construir toda la tabla de amortización, utilizamos el siguiente procedimiento: primero calculamos el saldo insoluto del período anterior por la fórmula 4 ajustada, es decir: 1− (1 + i)− N+ k− 1  = C S (Fórmula 4) k− 1 i     Como el interés Ik se calcula sobre saldo insoluto, o sea, del período anterior entonces: 1 − (1 + i)− N+ k − 1   (i) I =S ( i ) = C (Fórmula 5) k k− 1 i     Simplificando la expresión anterior obtenemos la fórmula que determina el interés de una cuota k que se elija. I = C 1 − (1 + i)− N+ k − 1 (Fórmula 6) k  

b. Cuota nivelada anticipada Este sistema es poco utilizado por los bancos debido que no es usual que el deudor pague la primera cuota deducida del financiamiento, más bien es aplicable en aquellos casos en que la deuda se ha atrasado y para establecer un nuevo sistema de pago se tenga adelantar la primera cuota, como requisito de la extensión del plazo para saldar la obligación. Ver gráfico 2.

211


P Saldos

0

C

1

2

C

C

3

4

C

.

Gráfico 2

.

.

N-1

C

N

Períodos

C

1) Valor de la cuota La cuota anticipada se calcula por fórmula 7 siguiente:

  i  C = P  (1 + i ) − (1 + i)− N+ 1 

(Fórmula

7)

2) Saldo Insoluto El saldo insoluto justamente después de efectuar la k-ésima cuota es calculado con la fórmula descrita anteriormente, teniendo en cuenta que son cuotas anticipadas. 3) Interés de la k - ésima cuota Este interés lo calculamos con la fórmula 6, teniendo en cuenta que el interés de la cuota 1 es cero, o sea IK=I1=0. c. Cuota nivelada diferida

Este sistema de amortización tiene período de gracia y se pueden presentar dos situaciones que analizaremos a continuación:

1) Se capitalizan intereses en el periodo de gracia Este es el caso en que el principal de una deuda aumenta en el periodo de gracia debido que los intereses devengados se capitalizan, dado que el deudor no los liquida. Pr P

Saldos

0-----1------2------3

4

5

6

7

C

C

C

C

. . . N-1

N Períodos

r Gráfico 3

212

C

C


a) Valor de la cuota La cuota nivelada diferida se calcula por la fórmula 8, la cual fue estudiada en el tema de anualidades. Gráfico 3.   i  C=P  (Fórmula 8) r − N+ r  1 − (1 + i)  Donde: P = P( 1 + r

i)

r

ajuste del principal en el período de gracia

El valor de la variable r indica el número de periodos diferidos o de gracia del préstamo. En el periodo de gracia el valor del principal inicial aumenta de valor debido a que no se efectúa ningún pago, es decir Pr > P

b) Saldo insoluto Cuando el sistema adoptado de amortización estipula período de gracia, el saldo justamente después de efectuar la k-ésima cuota está dado por la fórmula 9. 1 − S =C k  

(1

+

i i

) − ( N − r) + k 

(Fórmula

 

9)

c) Interés de la k-ésima cuota Podemos calcular el interés de la k-ésima cuota nivelada que al inicio tiene período de gracia, a través de la fórmula 10. − (N − r) + k − 1 I =  1 − ( 1 + i ) (Fórmula 10)  k 

2) Se liquidan los intereses en el periodo de gracia Si los intereses que devenga la deuda en el período de gracia, el deudor los liquida por período, el capital no aumenta y permanece invariable P = Pr entonces la cuota nivelada la calculamos a través de fórmula 11. Gráfico 4.

P

Pr Saldos

0-----1------2------3

4

5

6

7

C

C

C

C

. . . N-1

N Períodos

r Gráfico 4 C

C

213


a) Valor de la cuota Para calcular el valor de la cuota tomamos en cuenta el principal inicial P dado que no ha aumentado debido que los intereses del periodo de gracia fueron liquidados.   i  C=P (Fórmula 11) 1 − ( 1 + i ) − N + r    Los intereses que se liquidan en el período de gracia los calculamos haciendo uso de la expresión:

I = P(i )

b) Saldo insoluto Cuando el sistema adoptado de amortización estipula período de gracia, el saldo en la késima cuota está dado por la fórmula 9.

c) Interés de la k- ésima cuota De manera análoga, cuando la cuota nivelada se acuerda con período de gracia, el interés justamente después de la k-ésima cuota está dado por la fórmula 10. Ejemplo 1: El Banco Pacífico otorga un crédito a la Empresa ROCA de $200,000 para el financiamiento de un proyecto industrial. El préstamo se cancelará en un plazo de 5 años, mediante 10 cuotas iguales semestrales. Se estipula una tasa anual del 16.64% efectivo y que el primer pago ocurra un semestre después de recibido el préstamo: a. Calcular el valor de cada cuota semestral b. Calcular el saldo justamente después de la cuota 6 c. Calcular el saldo justamente antes de la cuota 6 d. Construir el calendario de amortización para el préstamo

Datos: P=$200,000 valor actual o principal del préstamo ie=16.64% tasa de interés efectiva anual n=5 años de plazo m=2 frecuencia del pago por año N=m(n)=2(5)=10 número de cuotas periódicas semestrales i=? Semestral C=? Solución: Como la tasa de interés dada es efectiva anual, primeramente hallaremos la tasa i periódica semestral equivalente, esto es: 1 2

i = (1 + 0.1664 ) − 1 = 0.08 o sea 8% semestral a. El valor de la cuota semestral se calcula por la fórmula 2, esto es;   0.08  = $29,805.90 C = 200,000  1 − ( 1 + 0.08 ) − 10    b. El saldo justamente después de la cuota 6 se calcula por la fórmula 4, teniendo en cuenta que N = 10 y k = 6, el valor presente de las 4 cuotas restantes es el saldo siguiente:  1 − ( 1 + 0.08 ) − 10 + 6   = $98,720.92 S = 29,805.90  6 0.08    

214


c. El saldo justamente antes de la k-ésima cuota (en este caso la número 6), se determina calculando el saldo del período anterior por la fórmula 4. A este saldo se le suma el valor de los intereses del período siguiente, así; El saldo después de la quinta cuota es; 1 − S = 29,805.90  5 

(1

+ 0.08 0.08

) − 10 + 5  

=

$119,006.3 2

Los intereses sobre saldos correspondientes al período 6 por la fórmula 6 es; I 6

=

1 − 

(1

0.08 )

+

− 10 + 6 − 1  = $9,520.51

El saldo que queremos hallar es: $119,006.32 + $9,520.51 = $128,526.83 d. La tabla de amortización se presenta en la tabla 1. En esta tabla podemos observar lo siguiente: El valor de la cuota permanece constante y cada una contiene principal e intereses devengados sobre saldos. La columna de amortización aumenta en cada pago, debido a que la columna de los intereses disminuye; causa-efecto interés sobre saldos. Los saldos calculados anteriormente coinciden con los presentados en la tabla. La tasa interna de retorno del préstamo es el 16.64% efectivo anual, ya que es la tasa de interés que se paga sobre saldos insolutos. Tabla 1 Período

Am ortización al principal

Interés devengado

Cuota nivelada

Saldo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 0000000 $13,805.90 $14,910.37 $16,103.20 $17,391.46 $18,782.77 $20,285.40 $21,908.23 $23,660.89 $25,553.76 $27,598.02

$ 0000000 $16,000.00 $14,895.53 $13,702.70 $12,414.44 $11,023.13 $ 9,520.51 $ 7,897.67 $ 6,145.01 $ 4,252.14 $ 2,207.84

$ 0000000 $29,805.90 $29,805.90 $29,805.90 $29.805.90 $29,805.90 $29,805.90 $29,805.90 $29,805.90 $29,805.90 $29,805.90

200,000.00 186,194.10 171,283.73 155,180.53 137,789.07 119,006.30 98,720.90 76,812.67 53,151.78 27,598.02 00,000.00

Total

$200,000.00

$98,059.00

298,059

Saldo Pagado

Ejemplo.2: La empresa Téllez compra un camión para el transporte de sus productos a los supermercados. El valor de éste es de $25,000. Le exigen una cuota inicial del 20% y el resto lo cancela en 12 cuotas iguales mensuales. Para reducir el costo de la cuota mensual, ofrece dar 2 cuotas extraordinarias de $4,000 y $4,500 a los 6 y 12 meses respectivamente. Construir la tabla de amortización a una tasa de interés del 18% CM.

Datos: $25,000 valor de contado del camión P0=25,000-5,000=$20,000 saldo a financiar i=0.18/12=0.015 mensual N=n(m)=12 pagos mensuales C2=$4,500 cuota extra mes 12

C0=25,000(0.20)=$5,000 cuota inicial m=12 frecuencia de capitalizar intereses n=1 año C1=$4,000 cuota extra mes 6 C=? valor de la cuota ordinaria

Solución: Como la empresa se compromete a pagar dos cuotas extraordinarias, en un tiempo futuro, necesitamos calcular el valor actual de ambas. A esta suma actual le denominaremos P1 y se la deduciremos al saldo inicial P0, de la siguiente forma:

215


−6 P = 4,000 (1 + 0.015 ) + 4,500 (1 + 0.015 ) − 12 = 3,658.17 + 3,763.74 = $7,421. 91 1 Así; el valor actual P de la deuda considerando las cuotas extraordinarias es: P = P0 - P1 = 20,000 - 7,421.91 = $12,578.09 Por la fórmula 2 calculamos el valor de la cuota nivelada mensual, esto es;  C = 12,578.09  1 − 

   

0.015

(1

+ 0.015 )

− 12

= $1,153.16

El calendario de pago o de amortización se presenta en la tabla 2. Tabla 2 Amortización Al principal

Período 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

Interés devengado

$ 000000 $5,000.00 $ 853.16 $ 865.96 $ 878,95 $ 892,13 $ 905,51 $4,919,09 $ 992,88 $1,007.78 $1,022.89 $1,038.24 $1,053.82 $5,569.60

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

00000 00000 300.00 287.20 274.21 261.03 247.65 234.06 160.28 145.38 130.27 114.92 99.35 83.54

$ 25,000.00

$ 2,337.89

Cuota nivelada

Saldo

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$25,000.00 $20,000.00 $19,146.84 $18,280.88 $17,401.93 $16,509.80 $15,604.29 $10,685.19 $ 9,692.31 $ 8,684.53 $ 7,661.64 $ 6,623.40 $ 5,569.60 $00,000.00

0000000 5,000.00 1,153.16 1,153.16 1,153.16 1,153.16 1,153.16 5,153.16 1,153.16 1,153.16 1,153.16 1,153.16 1,153.16 5,653.16

$27,337.89

Saldo Pagado

Ejemplo 3: Un agricultor obtiene un préstamo de $200,000 para renovar 100 manzanas de café; el contrato del financiamiento estipula lo siguiente: en el período de gracia que es 3 años el agricultor pagará intereses de forma anual, el plazo para pagar la deuda será de 7 años a través de cuotas niveladas anuales que incluyen amortización e intereses, la tasa de interés es de 15% efectivo anual. Construir la tabla de pago para el plazo total de 10 años.

Datos: P=$200,000 n=10 años de plazo total

i=15% tasa de interés efectiva anual r=3 años de período de gracia Tabla 3

P eríodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

216

Am ortización al principal $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

00000000 00000000 00000000 00000000 18,072.07 20,782.88 23,900.31 27,485.36 31,608.16 36,349.31 41,802.46

$ 200,000

Interés devengado $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

00000.000 30,000.00 30,000.00 30,000.00 30,000.00 27,289.19 24,171.75 20,586.71 16,463.91 11,722.76 6,270.37

$ 196,504.69

C uota nivelada $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

00000000 30,000.00 30,000.00 30,000.00 48,072.07 48,072.07 48,072.07 48,072.07 48,072.07 48,072.07 48,072.07

$396,504.60

S aldo $200,000.00 $200,000.00 $200,000.00 $200,000.00 $181,927.93 $161,145.05 $137,244.73 $109,759.93 $ 78,151.77 $ 41,802.46 $00000000 S aldo P agado


Solución: Primero calculemos el valor de los intereses anuales del período de gracia con la fórmula de interés simple: I = Pin = 200,000 (0.15 )(1) = $30,000 Así, en el período de gracia los intereses anuales pagaderos son de $30,000. La cuota anual nivelada la calculamos con la fórmula 11.  0.015 C = 200,000  1 − (1 + 0.015 ) − 7 

  = 200,000 (0.240360 ) = $48,072.07  

La tabla 3 representa la amortización del préstamo. Observemos en dicha tabla los siguientes aspectos: Durante el período de gracia el agricultor solamente paga intereses anuales. En el período de gracia no hay abono al principal, por tanto el capital no decrece. A partir del año 4 comienza a amortizar la deuda y el saldo disminuye en cada año. Ejemplo 4: El financiamiento para una actividad comercial es de $20,000 con el 18% efectivo anual sobre saldos a plazo total de 6 años que incluye 1 año de gracia. En el período los intereses se capitalizan de forma anual y deuda se pagará en 5 cuotas niveladas anuales que incluyen amortización e intereses. Construir la tabla de pago , veamos el gráfico 5.

Datos P=$20,000 N=6 años de plazo total

i=18% tasa de interés efectiva anual r=1 años de período de gracia P r = 23,600

P =20,000 Saldos

0------------ 1

2

3

4

C

C

C

5

6 Años

r

C

C

Gráfico 5

La cuota nivelada diferida se calcula por la fórmula 8.   0.18  = 23,600 (0.3197777 ) = $7,546.76 C = 23,600  1 − ( 1 + 0.18 ) − 6 + 1    1 P = P = 20,000 (1 + 0.18 ) = 23,600 ajuste del principal en el período de gracia r 1 La tabla de pago 4 la mostramos a continuación:

217


Tabla 4 Amortización al principal

Período 0 1 2 3 4 5 6

$ $ $ $ $ $ $

Total

0000000 0000000 3,298.76 3,892.54 4,593.19 5,419.99 6,395.54

Interés devengado $ $ $ $ $ $ $

$ 20,000

00000.00 3,600.00 4,248.00 3,654.22 2,953.57 2,126.79 1,151.20

$ 17,733.78

Cuota nivelada $ $ $ $ $ $ $

0000000 0000000 7,546.76 7,546.76 7,546.76 7,546.76 7,546.74

Saldo $20,000.00 $23,600.00 $20,301.24 $16,408.70 $11,815.51 $ 6,395.54 $ 0000000

$37,733.78

Saldo Pagado

3. Cuota proporcional decreciente Este es un sistema de amortización constante Ak, el valor de la cuota Ck es proporcional decreciente debido a que los intereses Ik decrecen en cada período por que se calculan en base al saldo. Gráfico 6. P S aldos G ráfic o 6

0

1

2

3

4 . . .

N -1

C N -1

C1

C2

C3

N

P eríodos

CN

C4

Es un sistema utilizado en los préstamos personales, de la pequeña empresa (Industria, Servicio y Comercio), empresas individuales, sociedades, cooperativas entre otras. Cuando el prestatario liquida obligaciones con este sistema paga menos intereses debido que en los primero períodos abona cantidades mayores que en el sistema de la cuota nivelada. a. Valor de la cuota

La cuota proporcional CK se calcula en dos partes, de la siguiente manera:

La amortización Ak:

C = A +I k k k P Principal de la deuda A = = k N Número de pagos

( Fórmula 12)

Intereses Ik: Los intereses se calculan por la fórmula 6. ( i ) = ( Saldo del período anterior ) (tasa del período ) I = S k k− 1

218


Es importante tener presente que el saldo Sk, es reducido únicamente por la cantidad correspondiente a la amortización Ak. Por otro lado, podemos establecer otras relaciones importantes en este sistema tales como: La diferencia entre dos cuotas sucesivas es una constante: h = C − C k k+ 1 La diferencia entre las cuotas sucesivas representa la disminución de intereses por el abono constante al capital. h = A (i) k b. Saldo después de la k-ésima cuota

El saldo después de efectuar el valor de la cuota k está dado por la fórmula 13. S = P− K A k k

(Fórmula 13)

Ejemplo 5: Un banco concede un préstamo de C$225,000 a la empresa “San Marcos” que comercia camarones. La tasa de interés es del 30% CM sobre saldo. El plazo de la deuda es de 12 meses y la forma de pago es mediante cuotas mensuales vencidas proporcionales con amortización constante. Determine el valor de las cuotas y elaborar la tabla de amortización.

Datos: P=C$225,000 j=30% m=12 i=j/m=0.30/12=0.025% N=12

valor actual o principal del préstamo tasa de interés nominal anual frecuencia de conversión de intereses anuales tasa efectiva mensual Número de pagos acordados

Solución: La amortización constante es: P 225,000 A = = = C $18,750 Amortización constante k N 12

S0 = P = C$ 225,000 principal inicial, período 0 I = S (i) = 225,000 (0.025 ) = C $5,625 Interés del periodo 1 1 0 C = A + I = 18,750 + 5,625 = C $24,375.00 Cuota número 1 1 1 1 S = S − A = 225,000 - 18,750 = C $206,250.0 0 Saldo del periodo 1 1 0 1 I = S (i) = 206,250 (0.025 ) = C $5,156.25 Interés del periodo 2 2 1 C = A + I = 18,750 + 5,156.25 = C $23,906.25 Cuota número 2 2 2 2 S = S − A = 206,250 - 18,750 = C $187,500.0 0 Saldo del periodo 2 2 1 2 I = S (i) = 187,500 (0.025 ) = C $4,687.50 Interés del periodo 3 3 2 C = A + I = 18,750 + 4,687.50 = C $23,437.50 Cuota número 3 3 3 3 . . .

219


. . . . . . S = S − A = 37,500 - 18,750 = C $18,750.00 Saldo del periodo 11 11 10 2 I = S (i) = 18,750 (0.025 ) = C $468.75 Interés del periodo 12 12 11 C = A + I = 18,750 + 468.75 = C $19,218.75 Cuota número 12 12 12 12 El calendario de pago se presenta en tabla 5. Mediante la fórmula 14 de la suma n-ésima de una sucesión decreciente a un valor constante, podemos determinar la cantidad total que se paga por concepto de intereses en el préstamo. N I = S = [2 ( a ) − (N − 1) d ] (Fórmula 14) n 2 donde: N: Número de pagos o términos a: Intereses ganados en el primer mes (primer término) d: Diferencia común de intereses en cada pago Sn: Total de intereses pagados (suma de la sucesión) De acuerdo al ejemplo anterior tenemos: N = 12 pagos a = C$5,625.00, d = C$468.75, entonces: 12 [ 2 ( 5,625 ) − ( 12 − 1 ) 468.75 ] = C $36,562.50 I=S = n 2 Tabla 5 No. de Pago

Amortización al principal

Interés devengado

Cuota proporcional

Saldo insoluto

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C$ 0000000 C$18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00 18,750.00

C$ 000000 C$5,625.00 5,156.25 4,687.50 4,218.75 3,750.00 3,281.25 2,812.50 2,343.75 1,875.00 1,406.50 937.50 468.75

C$ 0000000 C$24,375.00 23,906.25 23,437.50 22,968.75 22,500.00 22,031.25 21,562.50 21,093.75 20,625.00 20,156.25 19,687.50 19,218.75

C$225,000.00 C$206,250.00 187,500.00 168,750.00 150,000.00 131,250.00 112,500.00 93,750.00 75,000.00 56,250.00 37,500.00 18,750.00 00000000

Total

C$225,000

C$36,562.2

261,562.25

Saldo pagado

Es un error calcular la tasa de interés que realmente actúa sobre el préstamo, si se realiza de la siguiente forma: i=36,562.50/225,000 = 0.1625 = 16.25%, debido a que los intereses no se desembolsan de una sola vez, es decir, no se toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

220


4.

Cuota con interés flat

Este sistema se aplica con frecuencia en la política de créditos de las casas comerciales de Nicaragua y muy poco en préstamos bancarios. También es utilizado por las Microfinancieras que financian actividades de comercio y de agricultura debido que es fácil el manejo de la deuda para los acreedores. Existen diversas formas de aplicar el interés en la amortización de un crédito, el más común es el valor constante de la cuota Ck a pagar en cada periodo durante el plazo de pago de la deuda. En este caso, tanto la parte que amortiza al principal Ak como los intereses IK en cada cuota son iguales. Las amortizaciones no reducen los intereses en cada cuota, por eso se llama interés flat, o sea, son intereses fijos sobre principal inicial. En este sistema de amortización, la cuota se calcula de forma similar que la cuota proporcional, la diferencia es la forma de calcular los intereses flat o fijos. El interés se calcula sobre el saldo original; debido a esto, la tasa de interés efectiva que se paga por un préstamo es elevada.

Cálculo de la cuota con interés flat Como sabemos la cuota es: C = A +I k k flat Donde, la parte de amortización Ak se calcula utilizando la fórmula 15 o sea; P Principal de la deuda A = = k N Número de pagos

(Fórmula 15)

Los intereses iguales Ik en cada cuota se determinan mediante: I P i n I = = flat N Número de pagos

(Fórmula 16)

Ejemplo 6: Una persona recibe la oferta de una casa comercial para comprar un equipo de sonido de marca reconocida en el mercado nacional e internacional. La oferta consiste en lo siguiente: valor de contado con 3% de descuento (10 de diciembre 2001, TCO = C$13.7944 x $1.00) es C$7,782.48 córdobas. Si se adquiere al crédito se paga una prima de C$500 y el saldo mediante cuotas iguales mensuales hasta un plazo de 20 meses a un interés del 5% flat mensual. La persona se decidió por el crédito a 12 meses de plazo. Elabore el calendario de pago.

Datos: C0=C$500 P=C$7,782.48-C$500=C$7,282.48 i=5% N=12

cuota inicial o prima saldo a financiar tasa de interés flat mensual número de pagos programados

La tabla 6 es de amortización de la deuda.

221


Tabla 6 Amortización al principal

Interés devengado flat

Cuota con interés Flat

Saldo

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C$ 000000 C$ 500.00 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87 C$ 606.87

C$ 000000 C$ 000000 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12 C$ 364.12

C$ 0000000 C$ 500.00 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99 C$ 970.99

C$ C$ C$ C$ C$ C$ C$ C$ C$ C$ C$ C$ C$ C$

Total

C$ 7,782.48

C$4,369.44

C$12,151.92

Saldo pagado

Fin de período Mensual

7,782.48 7,282.48 6,675.61 6,068.74 5,461.87 4,855.00 4,248.13 3,641.26 3,034.39 2,427.52 1,820.65 1,213.78 606.87 0,000.00

Solución: El valor de la amortización constante será: P 7,282.48 A = = = C $606.87 Amortización constante k N 12 El valor del interés flat en cada cuota lo determinamos de la siguiente forma: I P i n 7,282.48 (0.05)(12) I = = = = C $364.12 flat N Número de pagos 12 La cuota mensual constante es; C = A +I = 606.87 + 364.12 = C $971.00 k k flat Observaciones correspondientes a la tabla 6: La cuota es nivelada a interés flat La amortización es constante El interés es fijo en cada cuota aunque diminuya el saldo

5. Cuotas con corrección monetaria En los países donde son comunes los programas de ajustes estructurales, la devaluación permanente del valor de las monedas locales se vuelve una necesidad permanente. Debido a esta situación los gobiernos haciendo uso de los instrumentos de política monetaria, en la búsqueda de un desarrollo económico sostenido se ven obligados a estimular y proteger las inversiones mediante la creación de leyes. Por lo general, en estos países, los préstamos bancarios son inversiones que están protegidos mediante la ley de mantenimiento de valor de las UPAC (unidades de poder adquisitivo de valor constante). Es importante señalar que las inversiones a mediano y largo plazo se protegen tanto de la devaluación monetaria como de la inflación nacional como internacional. En el caso de Nicaragua, la política de paridad de cambio se ha mantenido por los últimos 10 años, (1992-2002) estableciendo un índice de variación monetaria o devaluación anual del 12%, 9% y 6% de la moneda córdoba respecto al dólar de los Estados Unidos, convirtiendo al córdoba 222


en moneda de valor corriente y al dólar en moneda de valor constante y mediante ley aprobada por la Asamblea Nacional, todos los préstamos que otorga el Sistema Financiero Nacional, están protegidos a través del mantenimiento de valor del dólar. Las cuotas para amortizar préstamos que llevan la cláusula de mantenimiento de valor, se determinan en la misma forma que los préstamos comunes ya estudiados y los resultados se convierten a las unidades monetarias que correspondan; según el Factor de Corrección Monetaria (FCM) que rija o esté vigente en la fecha de cada cuota. En Nicaragua, el mantenimiento de valor de los préstamos o créditos en córdobas es respecto al dólar; éstos se dolarizan, de acuerdo al Tipo de Cambio Oficial (TCO) en la fecha de formalización y luego se realizan todos los ajustes en la moneda córdoba o corriente en la fecha de cada pago.

Factor de corrección monetaria El FCM en una fecha dada se determina, a través de la fórmula: n   FCM =  1 + i  (Fórmula 17) v  Donde: iv: tasa de variación monetaria del período (tasa de deslizamiento) n: número de períodos El tipo de cambio oficial TCO de un período a otro se calcula a través de la fórmula 18 y para varios períodos , por ejemplo diario, es a través de la fórmula 19. Así, tenemos:

(

)( FCM) TCO = ( TCO )( FCM) n 1 0

TCO = TCO 1 0

(Fórmula 18) (Fórmula 19)

Donde: TCO1: Tipo de cambio oficial en la fecha actual TCO0: Tipo de cambio oficial en la fecha anterior FCM: Factor de corrección monetaria periodo n: Número de periodos (días, semanas, meses, años etc) Por ejemplo, si en Nicaragua el córdoba se devalúa a una tasa de variación del 6% efectivo anual, entonces la tasa de variación efectiva mensual es: 1 i = ( 1 + 0.06 ) 12 − 1 = 0.486755% tasa de deslizamie nto por me s m

De esta manera el FCM mensual será: FCM = (1.00486755) Nuevamente la tasa de variación diaria se calcula de forma equivalente sobre la base del número de días que tiene el año. Sí el año es bisiesto tiene 366 días y si es año normal tiene 365. Por ejemplo, el año 2000 fue bisiesto y la tasa de deslizamiento diaria utilizada por el Banco Central de Nicaragua se calculó mediante la siguiente expresión: 1 i = ( 1 + 0.06 ) 366 − 1 = 0.0159217% tasa de deslizamie nto por día d

223


De forma análoga, el FCM diario en el 2000 es de: FCM = (1.000159217) El año 2002 es normal de 365 días y la tasa de deslizamiento diario es: 1 i = ( 1 + 0.06 ) 365 − 1 = 0.0159654% tasa de deslizamiento por día d Por tanto, el FCM diario para el año 2002 es de: FCM = (1.000159654) Para comprender mejor el proceso de cálculo del TCO del dólar respecto al córdoba de una fecha a otra, tomaremos como ejemplo el periodo comprendido entre el primero de julio de 2000 y el primero de enero de 2001. Los datos que siguen son conforme "Indicadores Económicos" del mes de diciembre 2000 del BCN. Por la fórmula 18 utilizando el factor de corrección diaria, tenemos los siguientes resultados publicados en los avisos del Tipo del Cambio Oficial. Nótese que se toma en cuenta el número de días exactos entre fechas. TCO = C$12.6824 por dólar primero de julio de 2000. TCO = ( 12.6824 )(1.00015921 7 ) 31 = 12.7451 primero de agosto de 2000 TCO = ( 12.7451 )(1.00015921 7 ) 31 = 12.8082 primero de septiembre de 2000 TCO = ( 12.8082 )(1.00015921 7 ) 30 = 12.8695 primero de octubre de 2000 TCO = ( 12.8695 )(1.00015921 7 ) 31= 12.9332 primero de noviembre de 2000 TCO = ( 12.9332 )(1.00015921 7 ) 30 = 12.9951 primero de diciembre de 2000 TCO = ( 12.9951 )(1.00015921 7 ) 31= 13.0594 primero de enero de 2001 Directamente para calcular el TCO desde el primero de julio de 2000 hasta el primero de enero de 2001, utilizamos la fórmula 18 teniendo en cuenta que el número de días es 184 entre las fechas mencionadas, por tanto obtenemos el mismo valor: TCO = ( 12.6824 )(1.00015921 7 ) 184 = 13.0594 primero de enero de 2001

Ejemplo 7: La cooperativa "El Águila" de transporte terrestre del municipio Tipitapa, obtuvo un préstamo para reactivar dos camiones por parte del banco "Buen Fin" el día 3 de diciembre de 2001 por la cantidad de 40,000 C$, al TCO=C$13.7790, a plazo de 8 meses y pagadero mediante 8 cuotas niveladas mensuales en dólares o cuotas en córdobas ajustadas por el TCO al momento de efectuar los pagos. La tasa de interés corriente fue del 20.4% CM., interés moratorios del 10% y tasa de variación controlada (deslizamiento) es 6%. Las fechas de las cuotas se establecen alrededor los días 10 de cada mes. Construir el calendario de pago.

Datos: P=C$40,000 préstamo en córdobas corrientes TCO=C$13.7790x$1.00 P=40,000/13.7790=$2,902.97 valor en dólares del préstamo iv=6% tasa de deslizamiento anual im=10% interés anual por mora j=20.4% tasa de interés nominal anual m=12 frecuencia de conversión de intereses en el año

224


i=j/m=0.20/4=0.017 n=8/12 N=m(n)=12(8/12)=8 id=0.0159654% C=?

tasa de interés efectiva mensual sobre saldos plazo en años número de pagos mensuales deslizamiento diario de la moneda

Solución: Por la fórmula 2 calculamos el valor de la cuota nivelada en dólares, esto es:   0.017  = 2,902.97 (0.134750 ) = $391.17 C = 2,902.97  1 − (1 + 0.017 )− 8  Para efectuar los ajustes de las cuotas en dólares a córdobas en la fecha de pago, se calculan los TCO respectivos o simplemente utilizamos los TCO que las autoridades monetarias (BCN) determinen y fijen para efectos de las transacciones financieras. Los TCO que se utilizaron en estas operaciones fueron de acuerdo al 6% anual o equivalentemente al 0.0159654% diario, de esta manera el FCM=(1.000159654). El calendario de la amortización se presenta en la tabla 7 donde el lector puede verificar toda la información contenida. Tabla 7 N° de Cuota

Fecha de cuota

N° de días

Valor de la cuota en dólares

Tipo de cambio en dólares

Valor de la cuota en dólares

Saldo en dólares

Saldo en Córdobas

0 1

03 – 12 – 01

0

$ 00000

13.7790

$ 0000000

$2,902.97

$40,000.00

03 – 01 – 02

31

$391.17

13.8474

$5,416.69

$2,561.15

$35,465.27

2

04 – 02 – 02

32

$391.17

13.9183

$5,444.42

$2,213.52

$30,808.44

3

04 – 03 – 02

28

$391.17

13.9807

$5,468.83

$1,859.98

$26,003.82

4

03 – 04 – 02

30

$391.17

14.0478

$5,495.08

$1,500.43

$21,077.74

5

03 – 05 – 02

30

$391.17

14.1152

$5,521.44

$1,134.76

$16,017.36

6

03 – 06 – 02

31

$391.17

14.1852

$5,548.82

$ 762.88

$10,821.60

7

03 – 07 – 02

30

$391.17

14.2533

$5,575.46

$ 384.68

$ 5,482.30

8

03 – 08 – 02

31

$391.17

14.3240

$5,603.12

$

$ 000000

00000

Metodología para construir la tabla 7 a. Dolarizar el préstamo según el TCO en la fecha de formalización del crédito. b. Construir la tabla de pago en dólares según el tipo de cuota que se haya acordado. c. Proyectar el TCO en la fecha prevista del pago de la cuota, teniendo en cuenta la tasa de devaluación. d. Ajustar las cuotas y saldos en dólares a córdobas equivalentes. e. Calcular la cuota prorrateada en córdobas.

6. Cuota con corrección monetaria proyectada Cuando un proyecto necesita financiamiento para llevar adelante las inversiones, en un escenario de inflación o devaluación monetaria, es común que los analistas financieros, realicen las proyecciones en moneda corriente, tanto del pago de las cuotas, como los egresos e ingresos, utilizando la tasa de interés inflada d estudiada anteriormente:

225


( )

d = i + i + (i) i (Fórmula 20 ) v v En este caso la fórmula se traduce en: d: tasa de interés inflada o nominal periódica iv: tasa de variación o deslizamiento monetario periódica (devaluación) i: tasa de interés real del período

La fórmula 21 es la que se utiliza para las proyecciones de las cuotas en moneda corriente para liquidar los préstamos de financiamiento de los proyectos a mediano y largo plazo. Esta tasa inflada d se puede calcular teniendo en cuenta las estimaciones promedio anual de la tasa de variación monetaria, que prevalecerá a lo largo de la vida útil del proyecto y representa una buena aproximación para la proyección de la cuota en valores monetarios o inflados en el futuro. La cuota nivelada con la devaluación proyectada incluida se calcula a través de la fórmula 2 reemplazando en dicha fórmula, la tasa de interés i por la tasa de interés inflada d. Primero calculamos la tasa de interés inflada d por y posteriormente la cuota C con la fórmula 21.   d  C = P 1 − (1 + d)− N 

(Fórmula

21)

Ejemplo 8: Un proyecto agropecuario necesita un financiamiento de C$1,500,000 para utilizarlo en inversiones en equipos y mobiliarios. Supongamos que la devaluación controlada del córdoba para los próximos 6 años se estima en promedio 12% anual. EL horizonte de planeación es de 6 años y la tasa de interés real del préstamo es del 18% . Elabore el calendario de pago utilizando el sistema de cuotas niveladas en córdobas corrientes y que contengan el ajuste por deslizamiento monetario.

Datos P=C$1,500,000 i=12% ie=18% N=6 C=? d=?

valor del préstamo tasa de variación monetaria o devaluación tasa efectiva de interés anual número de cuotas anuales valor de la cuota nivelada corriente tasa de interés inflada

Solución: Para proyectar el valor de la cuota C en córdobas corrientes utilizamos la fórmula 20, calculando primero la tasa inflada o nominal d esto es: d=i+iv+(i)(iv)=0.18+0.12+(0.18)(0.12), entonces, d=32.16% Ahora calculamos la cuota nivelada anual la cual contiene el interés real, el mantenimiento de valor y la amortización del principal.   0.3216  = C $593,848.9 0 C = 1,500,000  1 − (1 + 0.1632 )− 6  Observaciones tabla 8 • El valor del préstamo nominalmente no se altera. • El valor del pago de intereses contiene intereses reales y mantenimiento de valor.

226


• El valor de la cuota nivelada contiene amortización al principal, intereses reales y mantenimiento de valor. • Este sistema de amortización se utiliza en la preparación y evaluación de proyectos en un escenario de inflación y devaluación. • El porcentaje de variación monetaria (devaluación) se estima para el horizonte de planeación de la actividad económica o vida útil del proyecto. El programa de amortización del préstamo se presenta en la tabla 8. Tabla 8 Fin de período anual

Amortización al principal

Intereses inflados

Cuota inflada

Saldo insoluto

0 1 2 3 4 5 6

$ 0000000000 C$111,448.90 C$147,290.86 C$194,659.60 C$257,262.14 C$339,997.64 C$449,340.88

C$0000000000 C$482,400.00 C$446,558.03 C$399,189.29 C$336,586.76 C$253,851.26 C$144,508.01

C$0000000000 C$593,848,90 C$593,848.90 C$593,848.90 C$593,848.90 C$593,848.90 C$593,848.90

C$1,500,000.00 C$1,388,551.10 C$1,241,260.23 C$1,046,600.62 C$ 789,338.48 C$ 449,340.88 C$0000000000

Total

C$1,500,000.

C$2,063,093.35

C$3,563,093.40

Saldo pagado

A manera de síntesis: Amortización Proceso mediante el cual se extingue gradualmente una deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser iguales o diferentes, en intervalo de tiempos iguales o diferentes.

1.Elementos de la Ck = Ak + Ik Amortización a.Cuota nivelada vencida

1)Valor de la cuota

 i C = P 1− 1+ i − N 

2)Saldo insoluto

 1 − 1 + i − N+ k Sk = C  i 

( )

   

( )

   

( )

 1 − 1 + i −N + k − 1   Sk − 1 = C    i     1 − (1 + i)− N + K −1  IK = Sk −1(i) = C  (i)   i  

3)Interés de la Késima cuota 1)Valor de la cuota b.Cuota nivelada anticipada

1)Se capitalizan intereses en el período de gracia c.Cuota nivelada diferida o con período de gracia

( ) ( )

2)Saldo insoluto 3)Interés de la Késima cuota

2. Cuota nivelada

  IK = C 1 − (1 + i)− N + K −1  

  i  C = P  1+ i − 1+ i − N + 1   

  IK =C1−(1+i)−N+K−1  

a)Valor de la cuota

 i C = Pr   1 − 1 + i − N+ r 

( )

   

( )

b)Saldo insoluto c)Interés de la Késima cuota

( )

  Ik =1− 1+i −(N−r)+k−1    

i

C=P 2)Se liquidan a)Valor de la cuota  1 − (1 + i)− N + r  intereses en período de b)Saldo insoluto gracia. c)Interés de la K-ésima cuota

   

 1 − 1 + i −(N − r) + k Sk = C   i 

⇒ I = P (i )

227

   


a.Valor de la cuota

3.Cuota proporcional decreciente

Ak =

P N

=

b.Saldo después de la Késima cuota

4.Cuota con interés flat

Ak =

(

)n

FCM = 1 + iv

6.Cuota con corrección monetaria proyectada

d = i + iv + i iv

()( )

Número de pagos

S k = P − K Ak

P Principal de la deuda = N Número de pagos

5.Cuota con corrección monetaria

Principal de la deuda

Iflat =

(

TCO1 = TCO0

I = Sn =

[

N 2(a) − (N − 1)d 2

]

I Pin = N Número de pagos

)( FCM)

(

TCO1 = TCO0

)( FCM) n

  d  C = P  1− 1+ d − N   

(

)

Actividad de autoaprendizaje no. 1 1. Un banco local ofrece financiamiento para la compra de automóviles. El Ing. Gutiérrez adquiere un vehículo en $12,000 con el 15% de prima y el saldo lo cancelará mediante el sistema de cuotas niveladas mensuales a un plazo de 48 meses y una tasa de interés del 20% efectivo anual sobre saldos. a. Determino el valor de la cuota mensual. b. ¿Cuánto pagaría el Ing. Gutiérrez si desea cancelar el saldo después de pagar la cuota 28? c. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5 inclusive. 2. Un Banco estatal concede un préstamo personal por la cantidad de $50,000 a 24 meses de plazo al 18% CM anual, con intereses moratorios del 9% y pagaderos mediante cuotas iguales mensuales, la primera con vencimiento dentro de un mes. a. ¿Cuál es el valor de cada cuota? b. Si el pago de la cuota 12 se retrasa 18 días, ¿qué pago deberá realizarse para ponerse al corriente? c. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5. 3. Un agricultor obtiene un préstamo de $1,000,000 con intereses del 18% capitalizable semestralmente. El préstamo comenzará a amortizarse un año después de haber sido concedido, mediante pagos trimestrales vencidos de igual valor durante un plazo total de 5 años. a. ¿Cuál es el valor de cada pago? b. ¿Cuál es el saldo insoluto justamente después del 6to pago? c. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5. 4. En el problema anterior supongo que el agricultor desea amortizar la obligación financiera en 7 cuotas iguales semestrales, la primera dentro de dos años. a. ¿Cuál es el valor de cada cuota? b. ¿Cuál es el capital insoluto después del pago de cuota 5?. c. Elaboro el calendario de pago para esta situación? 5. Una Sociedad Anónima desea $5.4 millones para la inversión inicial de un proyecto, de los cuales el 60% se obtienen a través de un préstamo bancario a un interés del 15% CS con 2.5 años de gracia sin liquidar intereses. El préstamo se pagará en 10 cuotas semestrales iguales. Determino: a. El valor de cada pago b. El saldo insoluto justamente después de pagar la cuota 6. c. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5 inclusive. 6. En el ejercicio anterior supongo que los intereses se liquidan durante el período de gracia de forma semestral. Calculo: a. El valor de la cuota. b. El saldo insoluto justamente antes de pagar la cuota 5. c. El valor del pago de intereses en el periodo de gracia.

228


d. Elaboro la tabla de pago hasta la cuota 4 inclusive. 7. Un Banco otorga un crédito a una Cooperativa por la cantidad de $20,000 a una tasa de interés del 20% CM e intereses moratorios del 10% anual. Plazo total del préstamo 4 años. Determino la cuota para los siguientes sistemas de pagos: a. El valor de la cuota mensual nivelada, 2 meses de gracia. b. El valor de la cuota trimestral nivelada, no hay periodos de gracia. c. El valor de la cuota proporcional mensual, 3 meses de gracia. d. El valor de la cuota proporcional trimestral no hay periodos de gracia. 8. Un Banco Comercial otorga un préstamo a un médico para la compra de un moderno equipo médico, que será instalado en su consultorio particular en la ciudad de Managua. El préstamo es por la cantidad de $12,500 a una tasa del 18% anual, capitalizable mensualmente y a un plazo de 12 meses. La cancelación del principal y sus intereses será mediante 12 cuotas niveladas mensuales, interés sobre saldos, la primera un mes después de haber recibido el préstamo. a. Calculo el valor de cada cuota. b. Calculo el saldo insoluto justamente antes de la décima cuota. 9. Una Compañía amortizará la suma de $1,000,000 mediante pagos mensuales vencidos iguales durante 20 años con intereses al 20% CM. Encuentro la distribución del pago 150 entre intereses y amortización al principal. 10. El financiamiento de un agricultor es de $10,000 (córdobas) con el 32% flat anual y plazo de 8 meses para pagarse en cuotas bimensuales iguales. Elaboro la tabla de pago. 11. Una cooperativa obtiene financiamiento de una micro financiera por $16,000 con el 28% de interés flat anual para pagarse en un plazo de 15 meses a través cuotas iguales trimestrales. Elaboro la tabla de pago. 12. Un proyecto obtiene un préstamo por $34,000 para pagarse a plazo total de 7 años que incluye 2 años de gracia, con interés del 18% CT. En el periodo de gracia los intereses se capitalizan y el pago de la deuda será a través de cuotas anuales niveladas. Construyo la tabla de pago. 13. Un préstamo de $24,000 con interés del 15% CT y a plazo total de 10 años que incluyen 3 años de gracia donde se liquidarán los intereses de forma trimestral; la deuda se podrá amortizar a través de cuotas trimestrales. Determino: a. El valor de la cuota trimestral nivelada. b. El valor de la cuota 1 proporcional trimestral. 14. Una persona compra una casa cuyo valor de contado es $ 800,000, (córdobas) para pagarse a plazo, le exigen una cuota inicial correspondiente al 40% del valor de contado y El resto lo cancelará mediante 120 cuotas mensuales iguales. Para reducir el costo de la cuota mensual, ofrece dar tres cuotas extraordinarias de $75,000.00 cada uno, a los 40, 80 y 120 meses respectivamente. Si el interés es de 30% efectivo. Determino: a. El valor de la cuota mensual. b. El saldo justamente después de pagar la cuota ordinario y extraordinaria en el mes 40. 15. El valor del préstamo otorgado a una empresa para financiar un proyecto es de $ 50,000.00 el cual debe pagarse mediante de sistemas de cuotas proporcionales semestrales en un plazo total de 10 años que incluye un periodo de gracia de 1 año un interés del 18% CS. Elaboro el calendario de pago hasta la cuota 5. 16. En el problema anterior, supongo que la Empresa solicita a su acreedor un período de gracia de dos años y se compromete pagar los intereses por semestre en ése periodo. Elaboro el calendario de pagos hasta la cuota 6 de amortización. 17. Construyo la tabla de pago hasta la cuota 4 de una amortización en la cual se paga un préstamo de $8,000 a plazo de 3 años con cuotas proporcionales mensuales y el 30% CM. Calculo el saldo insoluto de la deuda inmediatamente después de efectuar la cuota 26. 18. Una deuda de $35,000 se paga en cuota iguales semanales durante 2 años al 24.96% convertible por semana. a. Construyo la tabla de pago hasta la cuota 5. b. Determino el saldo después de la cuota 40. 19. ¿Cuál es saldo insoluto luego de efectuar el pago número 20, si un crédito bancario se amortiza con 28 cuotas quincenales de $135? Supongo que la tasa de interés es del 26.4% convertible por quincena. a. Realizo la tabla de hasta la cuota 4.

229


b. Calculo el interés de la cuota 16. c. Determino el saldo después de efectuar la cuota 18. 20. El financiamiento de un proyecto es de $150,000 (córdobas) con interés del 15% más mantenimiento de valor del 10% anual por inflación monetaria. Si el plazo es de 8 años. Construyo la tabla de pago. 21. Una cooperativa recibe financiamiento de una micro financiera por la cantidad de $20,000 (córdobas) para pagarse en cuotas mensuales de 30 días cada una con una tasa de interés del 28% CM y mantenimiento de valor del 6% anual. El TCO en la fecha de formalización del crédito fue de 15.0321. Construyo la tabla de pago si el plazo del préstamo es de 6 meses o sea 180 días. Luego comparo mis respuestas con las que aparecen en la página 268, al final de la unidad autoformativa III y me retroalimento.

230


B. Constitución de fondos El fondo de amortización es una cantidad que se capitaliza (crece) mediante pagos periódicos que devengan cierto interés, de modo que en un número finito de depósitos se obtenga un monto deseado o prefijado. En la práctica financiera, la creación del fondo de amortización puede obedecer a los siguientes objetivos: 1. Pagar el principal de una deuda a su vencimiento mediante cuotas periódicas, los intereses corrientes que devenga la deuda se pagan por separado. 2. Acumular por parte de las empresas cierta cantidad de capital para reemplazar activos fijos, que se desmeritan con el uso. 3. Tener reservas para proveer el pago de las pensiones de jubilación y vejez a los trabajadores de compañías. 4. Retirar a su vencimiento los fondos de la emisión de obligaciones, entre otras. En un fondo de amortización, cada pago que se reserva periódicamente es una anualidad que gana intereses compuesto en cada período. Todos los problemas relacionados al cálculo de cuota para el fondo, son similares a los ya estudiados en las anualidades. Es importante establecer la diferencia entre el fondo de amortización y la amortización propiamente dicha, si bien ambos son métodos para pagar a plazos un préstamo o liquidar una obligación. En el primero, el importe de los plazos sirve únicamente para pago de capital; en el segundo, por el contrario, los plazos son suficientes para pagar el capital y el interés corriente sobre el mismo. Otra diferencia consiste en que; en el fondo de amortización la deuda permanece constante hasta que se completa el fondo, mientras que en el caso de la amortización, la deuda disminuye en cada pago sucesivo.

1. Cuota vencida para el fondo Para el cálculo de la cuota Dk al final de cada período, partimos del conocimiento del valor o monto F que deseamos acumular, la tasa periódica de interés i que devenga el fondo y la cantidad de períodos de capitalización N. De esta manera mediante la siguiente fórmula calculamos el pago, o sea;   i  D =F  (Fórmula 22)  (1 + i )N − 1 

a. Importe del fondo en la k-ésima cuota Cuando se han venido haciendo pagos a un fondo de amortización por espacio de algunos años o períodos, resulta útil calcular rápidamente el monto total acumulado Sk, justamente después del k-ésimo pago Dk, donde 1 ≤ k ≤ N. Para realizar este cálculo, usamos la fórmula 3 (de la unidad autoformativa II) intercambiando la A por D y N por k, de esta forma resulta:

231


 (1+ i ) k− 1 S =D  k i 

  (Fórmula 23) 

b. Tabla de capitalización La tabla de capitalización del fondo de amortización, sirve para mostrar el crecimiento período a período del capital y contiene de forma estándar 5 columnas, a como se muestra en la tabla 3.8 Ejemplo 9: Una empresa industrial estima que dentro de 10 años tendrá que cambiar cierto tipo de maquinaria por motivo de desgaste debido a su uso. Este cambio tendrá un costo de $850,000, y con el objetivo de disponer de este capital en su momento ha decido crear un fondo de amortización en un banco local, que devenga una tasa de interés del 9.5%. a. Determinar el valor del pago anual al fondo de amortización. b. Calcular el monto acumulado después del pago 7 y el respectivo saldo. c. Elaborar la tabla de capitalización del fondo.

Datos: F=$850,000 i=9.5% N=10 D=? S7=?

Valor que se desea acumular tasa de interés efectivo anual número de pagos anuales programados valor del pago anual para el fondo monto acumulado después del pago 7

Solución: a. El valor del pago al fondo de amortización lo calculamos mediante la 22, esto es:

  0.095  = $54,626.2 3 D = 850,000   ( 1 + 0.095 ) 10 − 1    b. El monto acumulado después del pago k=7 lo hallamos por 23, se trata de calcular el valor futuro F de 7 pagos que constituyen una anualidad vencida.  ( 1 + 0.095 ) 7 − 1   = 54,626.23 (9.342648 ) = $510,353.6 7 S = 54,626.23  7 0.095   El saldo Fk después de k pagos se determina mediante: Fk=F-Sk, donde F es el valor o monto que se quiere acumular. Así el saldo es; S7=F-Sk=850,000-510,353.66=$339,646.34 c. Tabla del fondo La tabla de acumulación del fondo contiene 5 columnas. -Las cifras que aparecen en la columna B representan los pagos periódicos para el fondo de amortización. -La columna E muestra el total en el fondo después de cada pago. Una línea más abajo en la columna C, aparece el interés de un período sobre cada cifra de la columna E.

232


-Cada pago periódico de la columna B, más el interés correspondiente de la columna C, suman el total incrementado al fondo al final de cada período de la columna D. La tabla 9 muestra la capitalización del fondo de amortización. Tabla 9 A

B

C

D

E

Fin de período Anual

Pago del fondo

Interés sobre el fondo

Incremento al fondo

Capital en el fondo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

$ 54,626.23 $ 54,626.23 $ 54,626.23 $ 54,526.23 $ 54,626.23 $ 54,626.23 $ 54,626.23 $ 54,626.23 $ 54,626.23 $ 54,626.23

$ 0000000 $ 5,189,49 $ 10,871.98 $ 17,094.32 $ 23,907.77 $ 31,368.50 $ 39,538.00 $ 48,483.59 $ 58,279.03 $ 69,005.04

$ 54,626.23 $ 59,815.72 $ 65,498.22 $ 71,720.55 $ 78,534.00 $ 85,994.73 $ 94,164.23 $ 103,109.83 $ 112,905.26 $ 123,631.27

$ 54,626.23 $ 114,441.95 $ 179,940.16 $ 251,660.70 $ 330,194.70 $ 416,189.42 $ 510,353.64 $ 613,463.47 $ 726,368.73 $ 850,000.00

Total

$546,262.30

$303,737.70

$ 850,000.00

Monto deseado

2. Cuota vencida para el fondo y cuota inicial Cuando el fondo se abre con una cuota inicial D0, la cuota Dk al final de cada período la calculamos a partir del valor o monto F que deseamos acumular menos el valor futuro de la cuota inicial, la tasa periódica de interés i que devenga el fondo y la cantidad de períodos de capitalización N. Esto lo realizamos por la fórmula 24.    D = F− D 0 1 + i N     

(

)

i

( 1+ i )

  N −1 

(Fórmula 24)

El Importe del fondo en la k-ésima cuota El importe o cantidad acumulada en el fondo justamente después de k-ésima cuota o pago Dk, donde 1 ≤ k ≤ N lo encontramos por medio de la fórmula 25, o sea:

 ( 1+ i ) k− 1   + D0 (1 + i ) K (Fórmula 25) S =D k i   La construcción de la tabla del fondo es de la misma forma que la tabla 9, debemos tener en cuenta el primer depósito en el periodo cero, el cual genera intereses en el periodo 1.

233


Actividad de autoaprendizaje no. 2 1. 2. 3. 4.

5.

6. 7.

8. 9.

10.

11.

12. 13.

14.

234

Una empresa desea capitalizar $20,000 al final del año 5, para ello abre un fondo y realiza un depósito inicial en el periodo cero de $3,500 para completar el fondo destinará una cuota constante anual con interés del 9.5% efectivo anual. Elaboro la tabla de capitalización del fondo. Una empresa constituye un fondo de $50,000 en un plazo de 50 meses a través de cuotas mensuales iguales, en un banco que le ofrece una tasa del 10% CM. Construyo la tabla hasta la cuota 5. Un agricultor debe pagar el principal de una deuda por $40,000 a través de la creación de un fondo el cual lo abre con $5,000 y cada semestre destinará una cuota constante en un plazo de 3 años con interés del 12% CS. Elaboro la tabla del fondo. Una empresa desea tener disponible dentro 7 años la cantidad de $200,000 para realizar nuevas inversiones en la infraestructura de sus plantas. Para ello se ha propuesto crear un fondo en una institución que le paga el 12% CT a través de cuotas trimestrales iguales. Elaboro la tabla de capitalización hasta la cuota 5. El Ingeniero Barrera desea disponer en el año 6 de la cantidad de $12,400 para comprarse un automóvil y reponer el que tiene actualmente, para ello abre un fondo y depositará cada trimestre anticipado una cantidad constante. Si el interés que devenga el fondo es del 15% efectivo, elaboro la tabla del fondo hasta la cuota 5. Una Cía. desea reunir $150,000 dentro de 4 años y abre un fondo con $24,000 en el mes cero. Después, en el mes 5 comienza a depositar una cantidad constante mensual. Si el interés es del 16% CM, calculo el valor de la cuota mensual y elaboro la tabla de capitalización hasta la cuota 4. Con el propósito de contar con $18,000 para comprar muebles para su casa, el matemático López crea un fondo de ahorros semanales. ¿Cuánto debe depositar si gana intereses a una tasa del 8% compuesto por semanas y el dinero lo necesita al término de 2 años? (un año igual a 52 semanas). Construyo la tabla hasta la cuota 5. La señora Aguilar pone a disposición de una casa de empeño un televisor, por el que le prestan $1,500 incluyendo los intereses de 6 meses del plazo, ¿cuánto deberá depositar cada quincena en un fondo que le genera intereses a una tasa del 36% compuesto por quincenas durante los 6 meses? Para los gastos de su graduación dentro de 5 semestres, una estudiante de administración de empresas de la UCA crea un fondo con cuotas mensuales de $450. ¿Cuánto acumulará si empieza ahora y gana el 27% de interés nominal mensual? Elaboro la tabla del fondo en cuotas semestrales vencidas equivalentes. Para ampliar su negocio el señor González consigue un préstamo hipotecario de $114,000 que incluye los intereses, a un plazo de un año y medio. Al mismo tiempo constituye un fondo de ahorro con depósitos bimestrales que devengan intereses a una tasa del 22% CB, ¿de cuánto es cada uno? Elaboro la tabla hasta la cuota 5. Una compañía Siderúrgica crea un fondo de jubilación con 5 cuotas anuales anticipadas de $50,000 y una cuota extra de $100,000 en el año 3 ganando intereses a una tasa del 9% CS. a. ¿De qué monto dispondrá en el año 5? Elaboro la tabla del fondo. b. Supongo que deposita $50,000 anuales anticipados y una cuota extra de $80,000 en el año 8 ¿qué monto tendrá en el año 12? Para recuperar un pagaré con valor nominal de $142,500 una farmacia crea un fondo con 10 pagos quincenales e intereses a una tasa del 0.27% efectivo por quincena. ¿De cuánto es cada uno de los depósitos? El concesionario de un aeropuerto crea un fondo con reservas bimestrales de 0.3 millones de dólares cada una, ganando intereses a una tasa del 12% CB. a. ¿En cuánto tiempo iniciará un nuevo proyecto de ampliación, si se estima que requerirá de 1.892 millones de dólares? b. Elaboro la tabla del fondo. Para instalar un laboratorio de computación, un colegio de secundaria de Managua constituye un fondo de 6 cuotas mensuales. a. ¿De cuánto es cada cuota si se necesita $120,000 y la tasa de interés es del 5.48% CM? b. Elaboro la tabla.


15. Con una duración de 24 meses, hoy se inician las obras de construcción del hospital para ancianos de una ciudad. Para comprar los equipos de especialidades se crea, hoy mismo, un fondo de reservas cuyos depósitos mensuales son de $25,000 cada uno a una tasa de Interés del 9% CM. a. ¿Cuánto se acumula en los 22 meses? b. Construyo la tabla hasta la cuota 5. 16. Para construir dentro de 5 años un nuevo estadio de béisbol en Managua, la federación necesita de un capital de $7.2 millones de dólares. Con este fin se constituye un fondo iniciando hoy con 0.5 millones, el cual es un aporte de la federación internacional, el gobierno se compromete dentro de 2 años a un aporte de $1.5 millones para el fondo, asimismo un país amante de este deporte aportará en el año 4 $1.8 millones, el resto serán cuotas anuales iguales producidas por las entradas a los estadios de la liga nacional y complementadas por la alcaldía de Managua. Si el fondo devenga una tasa interés preferencial como aporte de un banco del 18% efectivo. a. ¿De cuánto es la cuota anual complementaria? b. Elaboro la tabla del fondo. 17. El día de hoy se constituye un fondo con interés del 10% efectivo para disponer de ciertos recursos financieros para invertir en la instalación de un proyecto habitacional en el cual se necesitan $50,000 en el año 2 y $100,000 en el año 3. a. ¿Con que cantidad se debe abrir el fondo si se programa un depósito de $60,000 en el año 1? b. Elaboro la tabla del fondo. 18. Un especulador financiero obtiene un préstamo de $500,000 para actividades de agricultura a través de una línea de crédito especial que maneja el Banco del Campo; el crédito se pagará en 5 cuotas anuales niveladas con interés del 8% efectivo. Una vez obtenido el préstamo el especulador lo coloca en un fondo que abre en la Financiera Omega que le paga un interés del 15% efectivo y autoriza debitar del fondo el pago de la deuda. a. Determino la utilidad al finalizar el plazo de 5 años. b. Elaboro la tabla del fondo. 19. Para construir un centro vacacional, la compañía Desarrollos Turísticos Silvana constituye un fondo con 5 cuotas semestrales anticipadas de 2.5 millones y una cuota adicional de 3.00 millones al término de 1.5 años. El primer desembolso de la construcción será a los 2.5 años por 8.1 millones. a. ¿Cuánto acumula en el año 3 si devenga una tasa de interés del 5.4% CS? b. Elaboro la tabla del fondo. 20. Para la remodelación de un edificio se necesitan el año 5 la cantidad de $120,000 para ello se abre un fondo con 5 cuotas semestrales anticipadas de $10,000 cada una y se completará con 2 cuotas iguales en año 3 y 4 respectivamente. Si el interés que devenga el fondo es del 7% efectivo. Determino: a. La cuota anual vencida equivalentes a las 5 cuotas semestrales anticipadas. b. La cuota del año 3 y 4. c. Construyo la tabla del fondo en cuotas anuales según resultados del inciso a y b. Luego comparo mis respuestas con las que aparecen en la página 272, al final de la unidad autoformativa III y me retroalimento.

235


236


C. Evaluación de inversiones Con mucha frecuencia nos estamos refiriendo a realizar proyectos, pero; ¿Qué entendemos por proyecto de inversión? Una definición podría ser: "Es un paquete discreto de inversiones, insumos y actividades diseñados con el fin de eliminar o reducir varias restricciones al desarrollo, para lograr uno o más productos o beneficios, en términos del aumento de la productividad y del mejoramiento de la calidad de vida de un grupo de beneficiarios dentro de un determinado período de tiempo" (Mokate, Karen Marie. "Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión" P. 46). Un proyecto surge de la identificación de unas necesidades de la sociedad; su bondad depende de su eficiencia en la satisfacción de estas necesidades, teniendo en cuenta el contexto social, económico, cultural y político.

En términos generales, el proyecto forma parte de programas o planes más amplios, contribuyendo a un objetivo global de desarrollo. Concientiza los propósitos y objetivos generales de los planes y programas, ya sean gubernamentales o privados. De lo anterior, deducimos que los inversionistas, tanto estatales como privados, frecuentemente comparan las diversas alternativas de inversión que se presentan en el ambiente. La necesidad de llevar a cabo estas comparaciones surge del hecho de que se desea optimizar el uso de los recursos económicos y financieros disponibles en el sentido, generalmente, de ahorro de divisas, o de eficiencia de las inversiones. Antes de abordar los métodos de evaluación financiera de inversiones, analizaremos algunos elementos importantes para tener una mejor comprensión de los resultados de la evaluación. Los aspectos que trataremos en este capítulo, serán de forma superficial, ya que se pueden ampliar consultando la bibliografía indicada, al final de esta unidad autoformativa, a fin de tener un conocimiento más amplio.

1. Enfoques de la evaluación de inversiones Los enfoques más importantes en la evaluación de proyectos de inversión son: a. Financiero o privado, en el cual se hace un análisis micro económico de la rentabilidad. b. Económico o público, se realiza un análisis macroeconómico en función de la contribución al desarrollo nacional. c. Social, se realiza un análisis de las bondades que genera el proyecto desde el punto de vista social. d. Impacto ambiental, se realiza un análisis de la afectación del medio ambiente y las medidas de mitigación. En la evaluación de un proyecto de inversión, por lo general se comienza con análisis financiero y luego se complementa con los ajustes necesarios para convertirlo en una evaluación económica social y del impacto ambiental. Abordaremos únicamente el aspecto de la evaluación financiera que facilita poder responder las siguientes preguntas: a. ¿Es rentable el proyecto de inversión? 237


b. ¿En cuáles de los proyectos de inversión, que se han identificados, se puede invertir los recursos financieros limitados disponibles de la empresa? c. ¿Qué alternativas de inversión que se han detectados se debe escoger desde el punto de vista financiero? Para evaluar un proyecto desde el punto de vista financiero se utilizan precios de mercado, en cambio si la evaluación es desde la perspectiva económica y social los precios a tomar en cuenta son los llamados precios sombra o de cuenta y precios sociales. Por otro lado, la evaluación financiera de proyectos implica la determinación de la tasa de interés de oportunidad TIO. Las alternativas de inversión se evalúan sobre el pronóstico de que puede esperarse una tasa de retorno razonable, convirtiéndose en una tasa de rendimiento mínima aceptable de retorno TREMA, o sea la tasa base para proyectos. Generalmente esta tasa es mucho más alta que la tasa promedio del sistema financiero debido a que esta última responde al riesgo mínimo de la inversión. Todo inversionista tiene en mente una tasa de rendimiento mínima aceptable sobre la inversión. La pregunta sería. ¿En qué debe basarse un inversionista para fijar su propia TREMA? Un inversionista seguramente le pediría a una inversión una TREMA que le garantice dos factores: primero, debe ser tal su ganancia, que compense los efectos inflacionarios, y en segundo término, debe ser un premio o sobre tasa por arriesgar su dinero en la inversión y que le haga crecer de forma real su capital.

2. Estimaciones básicas de una inversión Las estimaciones básicas en un proyecto de inversión son fundamentales para la elaboración del flujo de fondos del proyecto y es el resultado de diversos estudios. a. Inversión inicial

El término de inversión o desembolso inicial se refiere generalmente a los flujos negativos que ocurren de una sola vez al comienzo de la vida económica de un proyecto y que representan desembolsos de efectivo para la adquisición de: 1) Activos fijos o tangibles, que están constituidos por la adquisición de terrenos, edificios, maquinarias, equipos, mobiliario, vehículos de transporte, herramientas y otros como la construcción de pilas sépticas para mitigar el impacto de deterioro al medio ambiente. 2) Activos diferidos o intangibles, que constituyen el conjunto de bienes de propiedad de la empresa y que incluyen: patentes de invención, marcas, diseños comerciales o industriales, nombres comerciales, asistencia técnica o transferencia de tecnología, gastos preoperativos y de instalación y puesta en marcha, contratos de servicios (como energía, teléfonos, télex, agua, servicios notariales), capacitación de recursos humanos; así mismo se destacan los diversos estudios que tiendan a mejor el presente y futuro de la empresa. 3) Capital de trabajo, que es un recurso financiero o activo circulante disponible en caja y bancos para la adquisición de materias primas e insumos para el primer ciclo de producción

238


del proyecto. Este activo se recupera al final de cada ciclo y se tiene disponible para el siguiente hasta su recuperación final al concluir la vida útil del proyecto. b. Beneficios y costos

La proyección de los beneficios y costos a lo largo de la vida útil del proyecto es lo que verdaderamente presenta dificultades y la calidad de la evaluación está en dependencia de estas estimaciones que resultan de los estudios técnicos y de mercado, aunque también contribuyen los otros estudios que se consideren conveniente. c. Vida económica

La vida económica del proyecto es el horizonte de tiempo que se adopta para su evaluación. Algunos proyectos tienen fechas terminales bien definidas, después de las cuales los flujos operativos dejan de existir. El término vida económica se refiere al período de tiempo a través del cual la inversión permanece económicamente superior a la inversión alternativa con que pudiera ser comparada para el mismo fin. Es decir, el período durante el cual la inversión no se vuelve obsoleta. Con frecuencia se considera que horizontes de 10 a 12 años son adecuados en los proyectos de vida indefinida, sin embargo la definición del horizonte dependerá en último término de la naturaleza e importancia de la inversión, del tiempo disponible para el análisis y del comportamiento de los flujos del proyecto. d. Valor de salvamento o residual

Al finalizar la vida económica deberán tomarse en cuenta los flujos positivos producidos por los valores residuales o salvamentos de los activos fijos depreciables y no depreciables. Los impuestos relacionados con los valores residuales de los activos fijos deben ser incluidos en el análisis como flujos negativos o positivo según el caso. e. Depreciación

La depreciación está basada en el reconocimiento de que los fondos fijos se desgastan con el uso y el tiempo, sufriendo una pérdida de su valor debido a la transferencia del mismo al nuevo producto. La depreciación se debe al desgaste gradual del fondo fijo (maquinaria, equipos, edificios, otros) o al principio de obsolescencia, el cual expresa que el artículo se vuelve anticuado cada año debido a la disponibilidad en el mercado de equipos más modernos. Puesto que la mayoría de estos elementos no se desgastan en un sólo año, el valor de la depreciación se trata de distribuir en un período de años, el cual corresponde a la vida útil del activo. 239


Los métodos de depreciación de activos tangibles más comunes son los de línea recta, suma de los dígitos, doble tasa sobre saldo decreciente y unidades de producción. Ejemplo 10: Una maquinaria se adquirió en $1,100 y tiene un valor residual al término de 5 años de vida útil de $100 (valor comercial), ello significa que en los 5 años perderá $1,000 de valor. En consecuencia, la depreciación total será de $ 1,000.

a. Método de línea recta: Este método supone que la depreciación se efectúa en partidas anuales iguales. Es decir: V D = d (Fórmula 26 ) N donde: D: Depreciación del período. N: Número de años de vida útil del activo. . Vd: Valor a depreciar Siguiendo el ejemplo: 1,000 = 200 5 Luego, la depreciación anual será de $200 y la depreciación acumulada al término de los 5 años será de $ 1,000 que se deseaba depreciar. D =

La suma de las depreciaciones anuales D corresponde a los $1,000 de valor por depreciar Vd (ver tabla de depreciación lineal 10). b. Método de la suma de los dígitos: Este método permite depreciar inicialmente una cuota mayor, que equivale a adelantar parte de la depreciación de los últimos años. El método consiste en dividir, período a período, el número de años restantes por la suma de los dígitos de los años de vida útil y multiplicar este resultado por el valor por depreciar. La suma de los dígitos de los años de vida útil (1+2+3+...+N) se puede obtener de: N ( N + 1) S = (Fórmula 27 ) 2 S representa la suma de los años dígitos. En el ejemplo que se sigue, S = 15, lo obtenemos de: 5 ( 5 + 1) S = = 15 2 La depreciación anual, para cada período es: (ver tabla 11) Tabla 10 AÑO 0 1 2 3 4 5

240

DEPRECIACION D $200 200 200 200 200

DEPRECIACIÓN ACUMULADA $200 400 600 800 1,000

VALOR ACTUAL $1,100 900 700 500 300 100


Tabla 11 AÑO

CALCULO

1 2 3 4 5

5/15(1,000)= 4/15(1,000)= 3/15(1,000)= 2/15(1,000)= 1/15(1,000)=

DEPRECIACION 333.33 266.67 200.00 133.33 66.67

Notemos en la tabla 11 que al cargar en los períodos iniciales una mayor depreciación, las utilidades se verán reducidas y en consecuencia, el monto del impuesto pagadero será menos en estos períodos y mayor a futuro, lográndose así un "préstamo" sin costo financiero. Los otros métodos de depreciación se les deja al lector para que los investigue. c. La depreciación y los impuestos de las ganancias gravables: Para fines de impuestos una inversión es tratada como un gasto prepagado y la cuota de depreciación, distribuye este gasto a lo largo del horizonte de planificación. Las depreciaciones de un proyecto y las amortizaciones de los gastos de organización (activo diferido) no representan flujos de efectivo, puesto que el flujo verdadero se presentó cuando los activos fueron adquiridos y las depreciaciones en los períodos contables subsiguiente representan un costo pero no un desembolso. Sin embargo, debemos observar que la depreciación y otros costos que no son desembolsos tienen un efecto en los flujos de un proyecto a través del impacto que producen en el impuesto sobre la renta, que sí es claramente un flujo de efectivo. Dicho impuesto se calcula de la siguiente forma: IM=t(Y-C-D)

(Fórmula 28)

donde: IM: monto de impuestos directos t: tasa del impuesto sobre la renta (IR) Y: ingresos gravables C: costos deducibles de operación D: depreciación

Así, cada córdoba de depreciación reduce el impuesto sobre la renta correspondiente en t córdobas, donde t es la tasa marginal del impuesto sobre la renta. Como ilustración consideramos el siguiente ejemplo: una maquinaria nueva representa una inversión de $50,000 y se despreciará en línea recta , en 10 años sin valor residual al término de su vida económica. Suponiendo que la tasa impositiva marginal es del 30%, los cargos por depreciación reducirán los impuestos que pagaría la empresa en $1,500 por año. El efecto fiscal que produce la depreciación se conoce con el término de escudo fiscal de la depreciación. Observemos que a mayor cuota de depreciación declarada el ingreso imponible es menor y el impuesto a pagar, por lo consiguiente lográndose así obtener una cantidad mayor de dinero disponible para una posible reinversión, por supuesto que el valor de la cuota de depreciación debe calcularse de acuerdo a los métodos permitidos por la Dirección General de Ingresos (DGI). 241


Hasta aquí hemos estudiado dos de los métodos de depreciación que existen y se han reflejado sus aplicaciones con ejemplos sencillos pero queremos aclarar que sea cual fuere el método de depreciación que se utilice, tanto si es desacelerada, en cuyo caso la cancelación será menor durante los primeros años, como de línea recta, con la que la cantidad será la misma todos los años, o acelerada, en la que la cantidad es mayor durante los primeros años, la cantidad total de depreciación y por consiguiente, las erogaciones por impuestos, serán iguales para todos los métodos. Aunque la cancelación total y los impuestos totales son los mismos, el valor cronológico del dinero establece una ventaja para la cancelación rápida, sobre la lenta.

3. Flujo de fondos financieros La evaluación financiera se realiza a través de la presentación sistemática de los costos y beneficios financieros de un proyecto, los cuales se resumen por medio de un indicador de rentabilidad, que se define con base en un criterio determinado. Así el proyecto podrá compararse con otros, para luego tomar una decisión respecto a la conveniencia de realizarlo. La evaluación tiene entonces dos grandes pasos: • La sistematización y presentación de los costos y beneficios en el flujo de fondos efectivos o de caja. • El resumen de estos costos y beneficios es un indicador que permite compararlos con los de otros proyectos. Este paso consiste en el descuento intertemporal por medio de la tasa mínima de rendimiento como cálculo paramétrico de evaluación, que refleja la rentabilidad del proyecto. En toda evaluación financiera de inversiones es fundamental la estimación del flujo de caja que generará cada proyecto. La bondad del resultado final a que se llegue dependerá del cuidado que se ponga en esa estimación. Para los primeros años de la vida económica de un proyecto la estimación de los flujos es más fácil que para los últimos años, y en la medida que las estimaciones se efectúan en un horizonte más lejano las dificultades aumentan. Afortunadamente, a medida que los errores de cálculo se producen en los años más lejanos del proyecto, su efecto en las estimaciones del rendimiento de la inversión es menor. Los cuatro elementos básicos que componen el flujo de fondos son: a. b. c. d.

Los beneficios (ingresos) de operación. Los costos (egresos) de inversión o montaje, o sea, los costos iniciales. Los costos (egresos) de operación. El valor de desecho o salvamento de los activos del proyecto, en el momento final del mismo.

Cada uno de estos elementos tiene que ser caracterizado según: a. Su monto o magnitud. b. Su ubicación en el tiempo. En otras palabras, el flujo de fondos es sencillamente un esquema que presenta en forma sistemática los costos e ingresos, registrados año por año (o período por período). Estos costos e ingresos se obtienen de los estudios que forman parte de formulación y evaluación de un proyecto. Entre ellos podemos mencionar los siguientes: técnico, de mercado, legal, institucional, organizacional, financiero, socioeconómico y ambiental. Por lo tanto, el flujo de fondos puede 242


considerarse como una síntesis de todos estos estudios realizados como parte de la etapa de preinversión o como parte de la etapa de post-inversión o ejecución. a. Flujo de fondos para el proyecto "puro"

La Tabla 12 muestra este flujo sin financiamiento externo, ya que el total de las inversiones será mediante capital contable de la empresa ejecutora. Tabla 12 + + = + + + = + + =

CONCEPTO Ingresos de Operación Ingresos Financieros Costos de Operación Depreciación y amortización intangibles GANANCIAS GRAVABLES Impuestos sobre ganancias (IR) (20%) Valores salvamento gravables Impuestos venta de activos Ingresos no gravables Costos de operación no deducibles Valor libros activos vendidos (ing. no gravable) GANANCIAS NETAS Depreciación y amortización intangibles Valor salvamento activos no vendidos Costos de inversión Inversiones financieras FLUJO DE FONDOS NETOS (INVERSIONISTA)

Año 0

1,180 -----1,180

Añ0 1 1,200 ---400 100 700 140

560 100 ------------660

Año 2 1,200 ---400 100 700 140 50 10 250 ----40 890 100 120 --------1,110

Nuestro objetivo no es construir un flujo de fondos, sino calcular los indicadores financieros a partir del flujo neto del inversionista; sin embargo presentamos dos esquemas básicos con valores hipotéticos para un proyecto de dos años: El resultado del flujo de fondos netos del inversionista presentados en la tabla 12 son los valores que tomaremos en cuenta para medir la rentabilidad del proyecto. En este caso usaremos una TREMA del 25%, está resuelto más adelante en el ejemplo 16. b. Flujo de fondos para el proyecto con financiamiento externo

La Tabla 13 muestra esta situación donde el aporte de capital propio de los inversionistas es importante para la realización de la inversión, o sea es un esquema desde el punto de vista de la entidad ejecutora o dueños del proyecto. Nuevamente, el resultado del flujo de fondos netos del inversionista presentados en la tabla 13 son los valores que tomaremos en cuenta para medir la rentabilidad del proyecto, con la misma TREMA del 25%, el cual está resuelto en el ejemplo 17 Notemos que el financiamiento es del 50% del total de las inversiones y la tasa de interés es del 20% sobre saldos y cuotas proporcionales anuales.

243


Tabla 13 + + = + + + = + + + + =

CONCEPTO Ingresos de Operación (ventas) Ingresos Financieros Costos de Operación Intereses sobre préstamos recibidos (20%) Depreciación y amortización intangibles GANANCIAS GRAVABLES Impuestos sobre ganancias (IR) (20%) Valores salvamento gravables Impuestos venta de activos Ingresos no gravables Costos de operación no deducibles Valor libros activos vendidos (ing. no gravable) GANANCIAS NETAS Depreciación y amortización intangibles Valor salvamento activos no vendidos Costos de inversión Inversiones financieras Ingresos por emisiones de Bonos, Acciones Dividendos pagados Préstamos recibidos, créditos Amortización de préstamos y créditos recibidos FLUJO DE FONDOS NETOS (INVERSIONISTA)

Año 0

1,180 ---------------590 - 590

Año 1 1,200 ----400 118 100 582 116.4 -------------------------465.6 100 ------------------------------295 369.6

Año 2 1,200 ----400 59 100 641 128.2 50 10 250 -----40 842.8 100 120 ------------------------------295 767.8

c. Métodos para evaluar inversiones

Uno de los problemas fundamentales, en la programación de inversiones es, la determinación de la rentabilidad de los proyectos de inversión. Esto es importante ya que si disponemos de un criterio o medida de rendimiento, estaremos en capacidad de decidir cuales convienen aceptar y cuales se deben rechazar. Los criterios o métodos que se utilizan para medir la rentabilidad de los proyectos de inversión se clasifican en dos grupos importantes y cuya diferencia radica en que: El primer grupo, reconoce que el momento en el tiempo en que entran y salen recursos (flujos de fondos) es de importancia para la evaluación. Se incluyen los métodos que utilizan los procedimientos de actualización o descuento y que por lo tanto toman en cuenta la cronología de los flujos de fondos, es decir, le conceden al dinero importancia en función del tiempo. En este grupo se incluyen los siguientes métodos: Valor Actual neto (VAN), Tasa Interna de Retorno (TIR), Relación Beneficio Costo (RBC) y Costo Anual equivalente (CAE). Estos métodos dependen de dos variables: la tasa de actualización y el tiempo. El segundo grupo, no toma en cuenta el impacto del tiempo sobre el flujo de fondos. En este grupo tenemos los métodos de Periodo de Recuperación de la Inversión (PRI), el cual se refiere al número de años necesarios para recuperar el capital invertido y el método de la Rentabilidad Contable (RC), que utiliza una metodología y terminología meramente contable y consiste en relacionar la utilidad neta anual promedio con la inversión promedio. Estos métodos no los analizaremos.

Además de la clasificación anterior, los métodos de evaluación financiera de proyectos se pueden clasificar en Clásicos y Auxiliares de la siguiente manera:

244


1) Métodos clásicos • Valor Actual Neto • Tasa Interna de Retorno • Tasa Única de Rendimiento

VAN TIR (TIR única) TUR (TIR ajustada)

2) Métodos auxiliares • Relación Beneficio Costo • Costo Anual Equivalente • Período de Recuperación de Inversión • Rentabilidad Contable

R:B/C (Índice de deseabilidad) CAE (Costo Uniforme Equivalente) PRI RC

En la evaluación financiera de los proyectos de inversión se utilizan con mucha frecuencia los métodos clasificados en el primer grupo por tomar en cuenta la tasa de descuento (TREMA) y el tiempo, es decir; facilita valorar el dinero a través del descuento intertemporal del flujo de fondos de los proyectos.

4. Valor actual neto: VAN Este método se basa en el descuento del flujo de fondos y considera la importancia de dichos flujos en función del tiempo. Consiste en encontrar la diferencia entre el valor actualizado de las inversiones. Su valor depende de la tasa de interés que se use para calcularlo. La tasa que se utiliza para actualizar o descontar los flujos es la rentabilidad mínima aceptable TREMA del inversionista. En general, el Valor Actual Neto (VAN) lo podemos calcular de la siguiente forma: Se determinan los beneficios netos anuales de cada uno de los años de la vida útil del proyecto, restando los costos de los beneficios: BNn= Bn-Cn (Fórmula 29) donde: BNn: Beneficio neto en el año n Bn: Beneficio o ingreso bruto en el año n Cn: Costo o egreso en el año n n: 1,2,3,...,N (Años de la vida útil) N: Ultimo año de la vida útil del proyecto K: Tasa de descuento: (k=TREMA)

Luego, cada uno de estos beneficios netos se convierte a su equivalencia en el año de referencia: VAN(k)=BN0+BN1 /(1+K)+BN2 /(1+K)2+BN3 /(1+k)3+...+...+BNN /(1+k)N o lo que es lo mismo: VAN (k ) =

N ∑ n=0

BN

n (1+ k ) n

(Fórmula

30 )

Un proyecto que presenta un flujo de fondos positivos después del periodo cero, el valor actual neto se calcula a través de la fórmula 30 considerando la inversión inicial I0 como un beneficio negativo de la siguiente forma. (ver gráfico 7).

245


BN B1

B2

B3

B4

BN-1

Gráfico 7 I0

BN N n (Fórmula 31) VAN(k ) = − I0 + ∑ n n = 1 (1 + k ) Debemos observar que el (VAN) así calculado traduce todo costo y todo beneficio a su valor equivalente en el año cero “0”. Si el evaluador ha seleccionado otro año como base (o año de referencia), tendrá que ajustar la fórmula 31 en la forma correspondiente. Señalamos también, que para el cálculo del VAN, además de aplicar las fórmulas 30 y 31 se pueden aplicar las fórmulas referentes a anualidades, según sea la definición del flujo de fondos financieros. Criterio del método VAN para la toma de decisiones

El método del VAN nos conduce a la toma de decisiones sobre invertir o no en el proyecto. El criterio para la toma de decisiones es el siguiente: a. Si el VAN es mayor que cero (VAN > 0), el proyecto es atractivo y debe ser aceptado. b. Si el VAN es igual a cero (VAN = 0) la inversión es indiferente. En este caso el proyecto de inversión genera un interés exactamente igual a la k (Tasa de Actualización); además, esta tasa coincide con la TIR (Tasa Interna de Retorno). c. Si el VAN es menor que cero (VAN < 0) el proyecto no vale la pena ya que hay alternativas de inversión que arrojan mayor beneficio; (éstas son las que se reflejan en el costo de oportunidad del dinero). Por ejemplo, si el VAN (15%) = 0 a una k = TREMA = 15%, el capital invertido en el proyecto gana un 15% de interés por período, donde TREMA = TIR. Otra forma de expresar estos criterios de aceptación, es decir que el proyecto de inversión se aceptará si el (VAN) de los ingresos es mayor que el (VAN) de los egresos, o sea: VANB > VANC

48

48 40 38

0

1

2 Gráfico 8

100

246

3

4

años


Ejemplo 11: Si la tasa de rendimiento mínima aceptable (TREMA) es 22% y si consideramos un proyecto de inversión inicial de $100,000 que presenta flujos de fondos netos positivos de $48,000 en el año 1, $40,000 en el año 2, $38,000 en el año 3 y $48,000 en el año 4. (ver gráfico 8, cifras en miles).

Solución: La estructura del flujo de fondos es de un proyecto convencional. Así aplicando la fórmula 31, tenemos el VAN.

VAN(22%)=-100+48 /(1+0.22)+40 /(1+0.22)2+38 /(1+0.22)3+48 /(1+0.22)4 VAN(22%)=-100,000+39,344+26,874+20.926+21,667 VAN(22%)=-100,000+108.811=$8.811 Observamos que el proyecto de inversión tiene un VAN positivo (VAN=$8.811>0), y por consiguiente el proyecto debe aceptarse. El VAN es considerado como un método excelente para medir la efectividad financiera y determina el mérito del proyecto, puesto que él representa en valores actuales el total de los recursos que se quedan en manos del inversionista al final de toda su vida útil. Además, supone que los beneficios netos generados y liberados por el proyecto, serán reinvertidos a la tasa de Interés de oportunidad o TREMA. En otras palabras, el VAN representa el retorno líquido actualizado generado por el proyecto. El VAN no es tomado de una manera general como criterio básico para la determinación del mérito del proyecto, debido a la dificultad en determinar el valor exacto de la tasa de descuento a ser aplicada para la actualización. El VAN supone la reinversión de los retornos, a la tasa de descuento (TREMA) que es la tasa de rendimiento mínimo aceptable por la empresa.

5. Tasa interna de retorno: (TIR) Cuando se pide prestado dinero, la tasa de interés se aplica al saldo insoluto de tal manera que el monto total del crédito y los intereses quedan cancelados exactamente con el último pago. Si alguien presta dinero para un proyecto o invierte en él, existe un saldo no recuperado en cada período de tiempo. La tasa de interés es el retorno sobre este saldo no recuperado de tal manera que el crédito total y los intereses se recuperan exactamente con el último pago. La tasa interna de retorno define ambas situaciones. La TIR que la denominaremos j es la tasa de interés pagada sobre saldos insolutos de dinero tomado en préstamo o la tasa de interés ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión (préstamo), lo cual ocasiona que el pago o ingreso final, lleva el saldo a cero, considerado el interés. Por otro lado, la tasa interna de retorno TIR es la tasa de actualización que permite que el valor actual neto VAN del proyecto de inversión sea igual a cero o lo que equivale a decir, que iguala el valor actual de los flujos de egresos al valor actual de los flujos de ingresos. El cálculo de la TIR puede ser un proceso complicado si la vida útil del proyecto es mayor que dos años, ya que la solución se encuentra despejando tasa k de la fórmula 30 del VAN, cuando esta ecuación se iguala a cero, es decir: BN N n = 0 (Fórmula 32) VAN(k ) = ∑ n n = 0 (1 + k ) En la ecuación anterior al resolver para k resulta: k = j = TIR

247


La ecuación llega a ser un polinomio de grado N y la TIR es una de las raíces positivas del polinomio. Cuando N>2, el polinomio se vuelve difícil de solucionar y se puede buscar la solución en forma manual a través de un proceso de aproximación, o de prueba error, mediante interpolaciones o extrapolaciones lineales. Se busca una tasa de interés para la cual el VAN es positivo; se busca otra para la cual el VAN es negativo. La TIR aproximada está situada entre las dos tasas. El valor de k, que soluciona la fórmula 32, nos lleva a determinar cual es la tasa de descuento que debemos utilizar para actualizar el flujo de fondo del proyecto, y poder igualar el valor de todos los egresos del proyecto con todos los ingresos del mismo. 70

0

50

50

1

2

3

En general la ecuación de la fórmula 32, posee múltiples soluciones, sin embargo en la práctica dicha ecuación posee solución única, si se trata de proyectos clasificados como convencionales, en los cuales los egresos netos anuales se dan en los primeros años del proyecto y luego se producen los ingresos, manteniéndose así durante el resto de la vida útil del proyecto. (ver gráfico 9).

años

TIR = 29.94% 100

Gráfico 9

También los proyectos, en los cuales los ingresos netos se presentan inicialmente y luego siguen los egresos. En estos casos no se presenta dificultad en el cálculo de la TIR. (Ver gráficos 10). Puede darse el caso para proyectos donde todos los flujos son positivos, o bien negativos. En estos casos la TIR no existe, ya que resulta imposible que el VAN sea igual a cero. En los proyectos donde hay más de un cambio de signo de los flujos netos anuales (se cambian de negativos a positivos, y nuevamente se hacen negativos, positivos o viceversa). En estos casos se presenta la posibilidad de ninguna o múltiples TIRES y entonces se dice que la ecuación de la fórmula 32 no presenta ninguna raíz real. 100

Gráfico 10 0

1

2

3 TIR = 23.37%

50

50

50

Existen nociones de rentabilidad que debemos tener muy claras para evitar caer en equivocaciones al evaluar la TIR. La tasa interna de rentabilidad o de retorno TIR es una característica propia del proyecto, totalmente independiente de la situación del inversionista, es decir de la tasa de interés de oportunidad. Para los casos en los cuales no hay claridad sobre el 248


valor de la tasa de oportunidad, el cálculo de la TIR facilita el análisis, ya que únicamente es necesario determinar si la tasa relevante es mayor o menor que el valor de la TIR. No hay necesidad de identificar un valor preciso de la tasa de interés; sencillamente se identifica el rango de esta tasa. a. Cálculo de la TIR

Para el cálculo de la TIR aproximada, seguiremos un proceso iterativo (prueba y error) y aplicaremos la fórmula de interpolación. Para ello, consideremos los pasos siguientes: 1) Seleccionamos una tasa de interés i1, que proporcione un valor actual neto mayor que cero, que denominamos: VAN1 >0. 2) Seleccionamos una tasa de interés i2, que proporcione un valor actual neto menor que cero, que denominamos: VAN2< 0. 3) Encontrados el VAN1 y el VAN2 aplicamos cualquiera de las fórmulas de interpolación siguientes: i −i VAN 2 1 1 TIR = i + (Fórmula 33) 1 VAN + VAN 1 2 o bien la fórmula alternativa i − i   2 1   (Fórmula 34) TIR = i − VAN  2 2  VAN − VAN  2 1 

(

)(

)

Ejemplo 12: Supondremos el siguiente diagrama de flujos netos anuales de un proyecto. Para la determinar la TIR seguiremos los pasos siguientes:

a. Primeramente asumimos una tasa de actualización en forma arbitraria, por ejemplo i1 = 22% y procedemos a actualizar los flujos de fondo, (ver gráfico 11) así: 70 60

50 40

0

1

2

3

4

años

G r á f ic o 1 1

135

Calculemos el VAN1 (22%), por la fórmula 31 tenemos: VAN1 (22%)=-135+60 /(1+0.22)+50 /(1+0.22)2+40 /(1+0.22)3+70 /(1+0.22)4 VAN1 (22%)=-135,000+49,180+40,983+22,028+31,598 VAN1 (22%)=-100,000+143,789=$8,789

249


b. Si la tasa del 22% proporciona un VAN1 mayor igual a cero, entonces la TIR sería 22% pero como podemos observar el VAN1 obtenido es mayor que cero, por tanto, la TIR será, necesariamente mayor que el 22%. Para buscar un VAN2 negativo, consideramos la tasa i2 = 30% y procedamos a actualizar dichos flujos. Calculemos el VAN2 (30%), esto es: VAN2 (30%)=-135+60 /(1+0.30)+50 /(1+0.30)2+40 /(1+0.30)3+70 /(1+0.30)4 VAN2 (30%)=-135,000+46,154+38,461+18,206+24,509 VAN2 (30%)=-100,000+127,330=- $7,670 c. Dado que el VAN2 encontrado es negativo la TIR se localiza entre el intervalo (22% - 30%). Una vez que hemos obtenido los datos anteriores procedemos a aplicar la fórmula (34). Por tanto:  0.30 − 0.22   = 26.27% aproximadamente TIR = 0.30 − (− 7,670)   − 7,670 − 8,789    Este resultado lo podemos representar gráficamente. Observemos gráfico 12:

Gráfico 12

VAN1=8,789

TIR

VAN=0

+

0

-

22%

26.27%

30%

i

VAN2=-7,670

b. Criterio de la TIR para la toma de decisiones

Un criterio para la toma de decisiones a través de la TIR, es decir para aceptar o rechazar la inversión, siempre que el proyecto sea convencional; o sea, mientras consista de unos flujos negativos iniciales seguidos únicamente por flujos positivos. 1) Si la TIR > TREMA, el proyecto es atractivo, se acepta y el VAN del proyecto es mayor que cero. 2) Si la TIR < TREMA, el proyecto no es atractivo, se rechaza y el VAN del proyecto es menor que cero. 3) Si la TIR = TREMA, el proyecto es indiferente realizarlo y el VAN del proyecto es igual a cero c. Ventajas y limitaciones de la TIR

La tasa interna de retorno es una medida fundamental en la determinación del mérito del proyecto y esto es debido a las siguientes ventajas:

250


1) La TIR no refleja la dificultad de los otros criterios de actualización los cuales exigen opiniones acerca de las variables externas del proyecto, tal es el caso de las tasas de actualización. 2) La TIR brinda una información más fácil de comprender en términos relativos; al evaluador le resulta más fácil hablar de una TIR del 25% que de un VAN de $8,000. Cabe mencionar que la TIR presenta algunos inconvenientes que, como el VAN, no le permiten ser el criterio absoluto en la selección y clasificación de los proyectos de inversión. 3) En el caso de proyectos de inversión que reflejen diferencias considerables entre los valores de las inversiones se pueden dar contradicciones entre los métodos del VAN y TIR (ver gráfico 13). Esto ocurre porque un pequeño proyecto (baja inversión) puede originar una alta tasa interna de retorno y a la vez mostrar un bajo valor actual neto. G rá fic o 1 3 A lte rn a tiv a 2

A lte rn a tiv a 1 8 ,0 0 0 5 ,0 0 0

0

1

6 ,0 0 0

5 ,0 0 0

2

0

3 años

TR EM A=8% V A N (8 % )= $ 6 6 3 T IR = 1 0 :6 5 %

3 ,0 0 0

1 2 TR EM A=8% V A N (8 % )= $ 5 0 9

3 ,0 0 0

3 años

T IR = 1 1 .2 2 % 1 0 ,0 0 0

1 5 ,0 0 0

La decisión de aceptar un proyecto de inversión analizado por el método del VAN será la misma si la analizamos por el método de la TIR, pero como podemos observar en la gráfico 13, existen casos en que ambos métodos entran en contradicción dado las diferencias significativas en los flujos del proyecto. Así, la alternativa 1 es más conveniente que la alternativa 2 por el método del VAN, pero la alternativa 2 es más favorable que la alternativa 1 por el método de la TIR. En este caso la mejor alternativa se selecciona por el resultado del VAN, ya que nadie garantiza que las reinversiones de los recursos liberados y los no utilizados, sean a la TIR sino mas bien a la TREMA o tasa de oportunidad. Ejemplo 13: Si suponemos que dos proyectos A y B, dan origen a las siguientes curvas al graficar las correspondientes relaciones entre el VAN y la TIR: VAN de B TIR de B

VAN de A

TIR de A

+

VAN=0 0

j1

j2

i

-

Curva del proyecto A Gráfico 14 Curva del proyecto B

Comparación del VAN y la TIR como criterios de decisión.

251


De acuerdo al gráfico 14, la TIR de A (j1) es mayor que la TIR de B, (j2), pero el VAN de B, es mayor que el VAN de A. Anteriormente, la fórmula 32 que facilita encontrar la TIR puede contener en ciertos casos soluciones múltiples (TIRES MULTIPES) que no nos permiten seleccionar los proyectos de inversión. Esto sucede cuando el proyecto no es convencional y el perfil de flujos netos de la inversión se comporta como en el gráfico 15 y no como en el gráfico 12, analizado anteriormente.

T IR 1

T IR 4

T IR 2

T IR 5

T IR 3

años

G rá fico 1 5

6. Tasa interna de retorno ajustada: TIRA Con el fin de resolver los problemas inherentes en el uso de la TIR en la selección de proyectos de inversión, se ha definido la TIR Ajustada, TIRA que también se le conoce como Tasa Única de Retorno, TUR. Concretamente el ajuste de la TIR busca resolver los problemas de inexistencia o existencia múltiple de TIR y reinversión de los flujos de excedentes a la tasa de interés interna del proyecto y no a la tasa de interés de oportunidad. Con la TIR Ajustada, se garantizará la existencia de una sola tasa, independientemente de la estructura de los flujos. Además, se elimina el supuesto de que todos los recursos excedentes se reinvierten a la misma TIR y se introduce la reinversión a la tasa de interés de oportunidad o TREMA a. Calculo de la TIRA

La TIRA la calculamos a través de la conversión del perfil de flujos netos del proyecto en un flujo simplificado de la siguiente forma: (ver gráfico 16). a. Calculemos el valor futuro equivalente F de los ingresos (beneficios) del proyectos a su último año N con la TREMA o tasa iop. b. Calculemos el valor presente equivalente P de los egresos (costos) del proyecto con la iop. c. La TIRA es aquella tasa que expresa una relación entre los valores F, P y el plazo o años N del proyecto; para denominar el criterio establecemos: F = P (1 + TIRA ) N

(Fórmula 35)

Así, la TIRA resulta ser el valor positivo de la N-ésima raíz de la razón entre F y P, es decir: 1 F   TIRA =   N - 1 (Fórmul a 36 ) P

252


F : V a lo r F u tu ro in g re s o s G rá fic o 1 6 0

1

2

3

4

...

N -1

N

P : V a lo r P re s e n te c o s to s

b. Criterio de la TIRA o TIR Ajustada para la toma de decisiones

La TIRA nos puede ayudar a determinar la rentabilidad de un proyecto y el criterio es el siguiente: 1) Si la TIRA > TREMA, el proyecto es atractivo, ya que sus ingresos reponen los costos y generan recursos adicionales a los que se obtendrían en el uso alternativo. 2) Si la TIRA < TREMA, el proyecto no es atractivo, ya que hay alternativas de inversión que generan mayor beneficio. 3) Si la TIRA = TREMA, el proyecto es indiferente realizarlo. Ejemplo 14: Consideremos el siguiente caso para lo cual no fue posible encontrar una TIR, dadas las características del flujo del proyecto, donde la tasa mínima de rendimiento del inversionista que estudia el proyecto es del 10% anual. Ver gráfico 17. Gráficos 17 150

100

0

1

Para este flujo de fondos la TIR no existe

2 años

200

Simplificando el flujo del proyecto de acuerdo al procedimiento, obtenemos: (ver gráfico 18)

253


F=271

0

1

2 años

Gráfico 18

P=181.81

1 1 F N  271  2 TIRA =   - 1 =   - 1 = 22% P  181.81  En este caso, la TIR Ajustada o TIRA es mayor que la TREMA. Esto quiere decir que la rentabilidad del proyecto, asumiendo reinversiones de los recursos excedentes a la TREMA, es mayor que el rendimiento de las alternativas de inversión que rinden un 10%. Si la TIRA fuera igual a la tasa de rendimiento mínima aceptable, TREMA realizar el proyecto sería equivalente a seleccionar las alternativas financieras y, por tanto, se asumiría una actitud de indiferencia frente al proyecto.

7. Relación beneficio costo: RBC Otro indicador de la rentabilidad de un proyecto de inversión es la Relación Beneficio-Costo RBC, también llamado Índice de Deseabilidad ID. Este indicador se apoya en el Método del Valor Actual Neto VAN y su utilización es muy frecuente en estudios de proyectos de carácter público. a. Metodología para el cálculo de RBC

1) Determinemos el Valor Actual Neto de los Beneficios (Ingresos) VAN(B), con la TREMA o tasa de rendimiento mínima aceptable. 2) Determinemos el Valor Actual Neto de los Costos VAN(C), a la tasa de rendimiento mínima aceptable de los egresos del proyecto de inversión. 3) Establezcamos una relación entre el VAN(B) de los beneficios y el VAN(C) de los costos, al dividir la primera cantidad por la segunda. El resultado de esta división es la Relación Beneficio-Costo. Es decir: VAN(B) RBC = (Fórmula 37) VAN(C) Debemos observar que la RBC o ID (Índice de Deseabilidad) prácticamente es una función de la tasa de interés TREMA que se emplea para el cálculo del VAN de los ingresos y egresos, de tal forma que al calcular este indicador con propósitos decisorios, es necesario utilizar la rentabilidad mínima aceptable. b. Criterio de la RBC para la toma de decisiones

El criterio para toma de decisiones con base en la RBC es el siguiente: 1) Si la RBC >1, se acepta el proyecto, ya que el VAN(B) de los ingresos es mayor que el VAN(C) de los costos.

254


2) Si la RBC < 1, se rechaza el proyecto, ya que el VAN(B) de los ingresos es menor que el VAN(C) de los costos. 3) Si la RBC = 1, es indiferencia realizar o rechazar el proyecto. Los beneficios netos a penas compensan el costo de oportunidad del dinero, o sea, la ganancia neta del proyecto es igual a la ganancia de inversiones alternativas. De los anterior deducimos: 1) Cuando el valor de la RBC es mayor a la unidad; significa que el VAN de todo el proyecto de inversión es positivo y por lo tanto el proyecto es atractivo. Además significa que por cada unidad invertida se recupera ése valor. 2) Cuando el valor de la RBC es menor que la unidad, tenemos un proyecto en el cual el VAN(B) de los ingresos es menor que el VAN(C) de los egresos, lo cual refleja que el VAN de todo el proyecto es negativo, es decir que el proyecto no es atractivo. 3) Cuando la RBC es igual a la unidad, el VAN(B) de los ingresos es igual al VAN(C) de los egresos y cuando esto ocurre, el VAN de todo el proyecto es igual a cero. En tales circunstancias el proyecto es indiferente y la tasa de interés TREMA utilizada en los cálculos es la tasa interna de retorno del proyecto. La RBC se utiliza especialmente en proyectos relacionados con obras públicas o con inversiones financiadas por organismos internacionales tales como el BID o el Banco Mundial (BIRF). Estas entidades por lo general establecen el uso de este indicador como resultado de la práctica prevaleciente en las agencias gubernamentales de los Estados Unidos que exigen, por ley, una comparación explícita de los beneficios y de los costos. Por otra parte, la RBC también es útil para adelantar la evaluación económico-social del proyecto, ya que este enfoque requiere que se hagan explícito los beneficios y los costos para poder afectarlos con los factores de ajuste. Ejemplo 15: El gobierno está interesado en un proyecto de adecuación de tierras para cultivos, los cuales requieren de la siguiente inversión: En el primer año $ 50,000 año cero En el segundo año $100,000 año 1 En el tercer año $100,000 año 2

Se proyecta que durante 15 años más, se deben invertir $20,000 anuales para mantenimiento. Se estima que con este proyecto se recuperarán 100 hectáreas, cada una de las cuales pueden producir ingresos netos de $1,000 en productos agrícolas por 15 años a partir del término del año 3. Los ingresos son después deducir los costos de fertilizantes, equipos, fungicidas etc. $100,000: Ingresos Anuales

0

1

2

3

4

5

6

. . .

16

17 años

$20,000: Costos Anuales de Mantenimiento

$50,000 $100,000

Gráfico 19

255


El costo de mano de obra no se tiene en cuenta, ya que el gobierno le ha asignado un valor de oportunidad de cero. ¿Cuál es la relación Beneficio-Costo de este proyecto, si el gobierno utiliza una TREMA del 10% anual? (ver gráfico 19). Solución: 1) El cálculo del VAN(10%) B=VAN(10%) Beneficios: En este caso, hacemos uso de las fórmulas de valor presente de una Anualidad Diferida Vencida, es decir: 1 − (1 + 0.10 ) − 17 + 2   (1 + 0.10 )− 2 = $629,39 4 VAN(10%) B = 100,000  0.10    

2) El cálculo del VAN(10%) C=VAN(10%) Costos: Aquí utilizamos una combinación de valor presente a Interés Compuesto pago único y valor presente Anualidad Diferida Vencida. Así: − 15   1 − (1 .10 ) − 2   (1.10 )− 2 = $349,26 4  + 20,000 1 − (1.10 ) VAN(10%) C = 50,000 + 100,000  0.10 0.10        

Por lo tanto, de los resultados obtenidos en (1) y (2), tenemos que: VAN(10%) B 629,394 RBC(10%) = = = 1.8020 > 1 VAN(10%) C 349,264 Este resultado indica que el proyecto de adecuación de tierras es atractivo, ya que el valor de RBC obtenido es mayor que la unidad. Se debe tener en cuenta que el valor de la RBC depende de la forma como se definen los costos y beneficios. En ciertas aplicaciones (como las del gobierno de los Estados Unidos, por ejemplo) se calcula la relación como el cociente del valor presente de los flujos netos positivos (ingresos netos) y el valor de los flujos netos negativos (costos netos). Para el ejemplo que acabamos de analizar, entonces, se definiría el flujo en la siguiente forma: (ver gráfico 20). $80,000: Ingresos Netos Anuales

0

1

2

3

4

5

6 . . .

16

17 años

Gráfico 20 $50,000 $100,000

Realizando los cálculos de forma análoga obtenemos: 1) El cálculo del VAN(10%) B=VAN(10%) Beneficios: Nuevamente hacemos uso de las fórmulas de valor presente de una Anualidad Diferida Vencida, es decir: 1 − (1 + 0.10 ) − 17 + 2   (1 + 0.10 )− 2 = $502,881.26 VAN(10%) B = 80,000  0.10     2) El cálculo del VAN(10%) C=VAN(10%) Costos

256


1 − (1 .10 ) − 2   = $223,553.72 VAN(10%) C = 50,000 + 100,000  0.10    

Por tanto, de acuerdo a los resultados obtenidos en (1) y (2), tenemos: VAN(10%) B 502,881.26 RBC(10%) = = = 2.25 > 1 VAN(10%) C 223,553.72 Observamos que el proyecto sigue mostrando una relación beneficio-costo atractiva. Sin embargo, su valor es diferente por haber modificado la definición de VAN(B) y VAN(C). No hay ningún criterio teórico ni conceptual que nos indique que una de las definiciones de VAN(B) y VAN(C) sea mejor que la otra. Para el analista evaluador individual, lo importante es tener cuidado en ser consistente en la forma como se define la relación, es decir, seleccionar una de las formas. Ejemplo 16: El flujo de fondos netos del inversionista proyecto sin financiamiento, presentado en la tabla 12 se muestra en el gráfico 21. Con una TREMA del 25% determinaremos: 1) El valor actual neto: VAN 2) La tasa interna de retorno: TIR 3) La relación beneficio costo: RBC 1,110 660

0

1

2

años

G ráfico 21 1,180

Solución:

1) El cálculo del VAN(25%) lo efectuamos por la fórmula 31 de la siguiente forma: 660 1,110 VAN (25%) = - 1,180 + + (1 + 0.25 ) (1 + 0.25 )2 VAN (25%)= -1,180+528+710.40=58.40>0 (resultado positivo) 2) Para el cálculo de la TIR, utilizaremos como tasa i1=25% entonces, VAN1 (25%)=58.40>0. Seleccionamos la tasa i2=35% y obtenemos un VAN2 negativo, 1,110 660 + VAN 1 (35%) = - 1,180 + (1 + 0.35 ) (1 + 0.35 )2 VAN2 (35%)=-1,180+488.89+609=-82<0 Por la fórmula 33 de interpolación la TIR es: ( 0.35 − 0.25 ) (58.40 ) = 29% > TREMA del 25% TIR = 0.25 + 58.40 + 82 3) La relación beneficio costo RBC es:

257


RBC(25%) =

VAN(25%) B 1,238.40 = = 1.050 > 1 VAN(25%) C 1,180

En el resultado de la RBC podemos interpretar lo siguiente: por cada unidad monetaria invertida hoy a la tasa TREMA, la ganancia es de 5 centavos. Podemos observar entonces que los tres indicadores anteriormente calculados satisfacen el criterio de rentabilidad del proyecto sin financiamiento. Ejemplo 17: En la tabla 13, presentamos el flujo de fondos netos del inversionista del proyecto con financiamiento del 50% de la inversión inicial. Este flujo se muestra en el gráfico 22. Con una TREMA del 25% determinaremos: 1) El valor actual neto: VAN 2) La tasa interna de retorno: TIR 3) La relación beneficio costo: RBC

767.8 369.6

0

1

2

años

G ráfico 22 590

Solución:

1) El cálculo del VAN(25%) es: 369.6 767.8 + (1 + 0.25 ) (1 + 0.25 )2 VAN (25%)= -590+295.68+491.39=197>0 (resultado positivo) VAN (25%) = - 590 +

2) Para el cálculo de la TIR, seleccionamos una tasa i1 =40% entonces, 369.6 767.8 + VAN 1 (40%) = - 590 + (1 + 0.40) (1 + 0.40)2 VAN1 (40%)= -590+264+391.73=65.73>0 Nuevamente seleccionamos una tasa i2=60% y obtenemos un VAN negativo, 767.8 369.6 + VAN2 (60%) = - 590 + (1 + 0.60) (1 + 0.60 )2 VAN2 (60%)= -590+231+299.92= -59<0 Análogamente por la fórmula 33 de interpolamos la TIR es:

258


TIR = 0.40 +

( 0.60 − 0.40 ) (65.73 )

= 50% > TREMA del 25% 65.73 + 59 3) La relación beneficio costo RBC se calcula teniendo en cuenta el VAN(25%) de los beneficios que es la suma de: $295.68+$491.39=$787.07 y el VAN(25%) de los costos que son de $590 correspondiente a la inversión inicial. Por tanto; VAN(25%) B 787 RBC(25%) = = = 1.33 > 1 VAN(25%) C 590 Los indicadores de rentabilidad nos demuestran, que el proyecto con financiamiento del 50% es más rentable que sin financiamiento, como se observa en la tabla 14 donde establecemos la comparación.

Tabla 14 Indicadores

Sin financiamiento

Con financiamiento

Resultado

VAN (25%)

$58.40

$197

Se acepta

TIR

29%

50%

Se acepta

RBC(25%)

1.05

1.33

Se acepta

Actividad de autoaprendizaje no. 3 1.

2.

3.

Un proyecto requiere de una inversión inicial de $100,000 para su instalación. Sus gastos de operación y mantenimiento son del orden de $20,000 para el primer año y se espera que estos costos crezcan en el futuro a una razón del 10% anual. La vida económica estimada del proyecto es de 8 años al final de los cuales su valor de rescate se estima en $ 40,000 después de impuestos. Los ingresos que genera son de $50,000 el primer año y se espera que éstos aumenten a una razón constante de $10,000 por año. Si la tasa mínima de rendimiento de los inversionistas es de 25% anual y la tasa impositiva es de 30%. Determino los indicadores de rentabilidad e indico mis comentarios: VAN, TIR y RBC. La compañía INTERCASA tiene un paquete de proyectos de inversión y para que sean ejecutados se necesita realizar un análisis financiero. Cada proyecto está diseñado para un horizonte de 8 años y tasas de interés de oportunidad distintas debido a la actividad específica a los cuales están destinados. Los flujos de fondos netos por año se presentan en la siguiente tabla. Determinar para cada proyecto: a. VAN b. TIR o TIR Ajustada c. RBC Proyecto/Año

I0 ...0

1

2

3

4

5

6

7

8

A : 20% B : 18% C : 15% D : 18% E : 17% F : 15% G :16% H : 22%

(500) (450) (560) (230) (620) (300) (1300) (800)

140 --120 50 --300 300 ---

140 --120 60 180 (120) 300 175

140 205 120 70 185 135 300 (275)

140 205 120 80 190 --280 375

140 205 150 70 200 150 280 400

140 205 150 60 205 (80) 280 (165)

140 205 150 50 210 150 280 200

150 225 170 80 240 400 270 580

La inversión en el año cero de un proyecto es de $100,000. Los flujos netos del inversionista (utilidades) son las siguientes: del año 1 al 4 $25,000 y del año 5 al 8, $30,000. El proyecto tiene una vida útil de 8 años y al final de los cuales tendrá un valor de salvamento de $50,000. Si la tasa de interés de oportunidad es del 18% anual, determino: a. El VAN b. La TIR c. La RBC

259


4.

5.

6.

7.

8.

Los ingresos brutos de un proyecto son de $120,000 anuales y los costos de operación son de $75,000 desde el año 1 hasta el 5 y de $60,000 del año 6 hasta el 10. Los impuestos sobre ganancias gravables son del 20%. La vida útil del proyecto es de 10 años y tiene un valor residual de $80,000. La inversión inicial en el año cero es de $200,000 y la tasa de interés de oportunidad es del 15% anual. Determino: a. El VAN b. TIR c. RBC El proyecto de cultivo de piña en la zona de Ticuantepe tiene una inversión inicial del $25,000, los ingresos netos son de $7,000 desde el año1 hasta el 5 y de $8,000 desde el año 6 hasta el 10. Si la tasa de oportunidad es del 21%, determino y aplico el criterio de: a. VAN b. TIR c. RBC Un proyecto industrial trabaja con una tasa de interés del 25% y tiene el siguiente flujo de caja del inversionista, Año

Flujo

Año

Flujo

Año

Flujo

0 1 2 3

(1,000) (400 ) 100 500

4 5 6 7

500 600 600 600

8 9 10 10

600 200 700 300

Calculo y aplico el criterio de: a. VAN b. TIR c. RBC En la región central del país, un organismo internacional promotor de la ecología y el medio ambiente, está estudiando la posibilidad de desarrollar un proyecto agroforestal, que incluye un programa reforestación del bosque y financiamiento a pequeños agricultores de la zona. El proyecto contempla una inversión inicial de $70,000 y una reinversión adicional de $50,000 en el año 5 que permitirá darle continuidad al proyecto por otros 5 años para un total de 10 años de vida útil, que al final de los cuales el valor de salvamento se estima en $30,000. Los beneficios que se esperan obtener serán de $25,000 el primer año con un aumento del 10% hasta el año 5. Durante los próximos 5 años se espera que haya ingresos de $25,000 con aumentos de $5,000 por año hasta el final de la vida útil. Los costos de operación serán de $8,000 anuales. Si la tasa de interés es de 20%, determino. a. VAN b. TIR c. RBC d. Comento desde el punto de vista del rendimiento financiero. La Corporación "FINSA" está estudiando tres inversiones posibles que se caracterizan por los datos incluidos en la tabla adjunta. Observo que las tres inversiones tienen la misma asignación inicial de efectivo, la misma duración e iguales rendimientos monetarios; además los flujos de fondos son distintos en las tres inversiones. Todas las cifras son dadas en miles de córdobas. Proyectos

9.

260

Concepto

1

2

3

Años

Inversión Inicial Entradas de efectivos Entradas de efectivos Entradas de efectivos

$400 $200 $200 $200

$400 $240 $200 $160

$400 $160 $200 $240

0 1 2 3

La corporación dispone de un capital limitado y no puede desarrollar las tres inversiones. ¿Qué proyecto es el más rentable? Utilizo el 15% de rendimiento mínimo y calculo: VAN, TIR y RBC. Selecciono el más rentable. Una Sociedad Anónima aporta un capital de $500 (millones de dólares) para el desarrollo de un proyecto de inversión maderera. Se estima que el proyecto genere ingresos netos anuales por el orden $170 por 6 años. La Sociedad está interesado en que personalmente le calcule y le oriente en los siguientes aspectos: Calculo los indicadores de rentabilidad financiera.


10. Un inversionista de bienes raíces compra una propiedad en $6,000 y la vende 8 años más tarde por $30,000. Los impuestos sobre la propiedad fueron de $80 el primer año, $90 el segundo y $10 más cada año hasta que fue vendida. Determino la tasa interna de retorno de la inversión. 11. La familia Bel-Moreno compró una casa vieja por $25,000 con la idea de hacerle mejoras, alquilarla y luego venderla. En el primer año, gastaron $5,000 en mejoras, en el segundo gastaron $1,500 en una cerca y $1,200 en el tercero en decoración. Los impuestos anuales fueron de $500 durante los 7 años que les perteneció. Del año 4 hasta el año 7 la alquilaron por $7,200 anuales, finalmente la vendieron en $40,000. Determino la tasa de retorno que obtuvieron de la inversión durante los 7 años. 12. Si una compañía gasta $5,000 hoy y $800 anuales durante 7 años, con el primer desembolso en el año 4, ¿qué tasa de retorno recibirá la compañía, si los ingresos durante los 10 años fueron de $3,000 al final del año 3, y $2,000 anuales de allí en adelante? 13. Una persona está decidiendo si comprar árboles de navidad artificiales o continuar cortando árboles. El árbol artificial le cuesta $34.00 y puede utilizarlo durante 8 años después de lo cual se tira como basura. La otra alternativa es continuar cortando árboles con un costo de $8.00 hoy, $9.00 el próximo año, $10.00 en el siguiente, etc., y así durante esos mismos 8 años. ¿Si compra el árbol artificial, qué tasa de retorno logra con la inversión? 14. Un inversionista compra 3 clases de acciones (identificadas como grupo A, B y C). El inversionista compró 200 acciones de A a $13.00 cada una, 400 de B a $4.00 cada una y 100 de C a $ 18.00 cada una. Los dividendos fueron de $ 0.50 por acción de A durante los 3 años, vendiéndose luego la acción en $ 15.00. La acción B no produjo dividendos pero se vendió en $5.50, dos años después de su compra. La acción C produjo dividendos de $2.10 por cada una durante 10 años, pero debido a una depresión del mercado de valores su precio de venta fue de $12.00 la unidad. Determino: a. La tasa interna de retorno sobre cada grupo de acciones. b. La tasa interna de retorno sobre la inversión global de acciones. 15. La cooperativa San Jacinto está interesada en desarrollar un proyecto de cultivo de 20 manzanas de “pitahaya rosa” en el Municipio de la Concepción de Masaya, que requiere de una inversión inicial de $600 de los cuales $200 se obtienen a través de una fuente de financiamiento bancaria con interés de 20% sobre saldos y pagaderos en 5 cuotas proporcionales anuales. Los ingresos estimados por venta de la producción anual serán de $500 y los costos operativos serán de $200. El proyecto tiene activos fijos de $350 de los cuales $250 se depreciarán totalmente en línea recta en 5 años. Los otros activos de $100 no se deprecian y tendrán un valor de salvamento de $120 después de impuesto al final del año 5. Los estudios previos del proyecto fueron de $30 y la inversión en activos diferidos se programan en $50, ambos se amortizarán a una tasa del 20% anual. El capital de trabajo es de $200 y servirá para la adquisición de materias primas, insumos y labores agrícolas. La tasa impositiva es del 30% y la tasa de interés de oportunidad se fija en 22%. Determino los indicadores de rentabilidad y realizo un análisis financiero de los resultados para una vida económica de 5 años. Al final de esta unidad encontraré las respuestas a esta actividad, en la página 276, con lo cual podré comparar mis respuestas y corregirlas si no son las apropiadas.

261


262


Resumen final de la unidad autoformativa III Una vez concluido el estudio de la Unidad autoformativa III no debe olvidar que para estar en capacidad de aplicar los sistemas de amortización, los fondos y para poder evaluar inversiones deberá: 1. Explicar los conceptos: Amortización de deudas Fondo de amortización Cuota para la amortización y el fondo, su diferencia Saldo insoluto y general Saldo acumulado del fondo Interés sobre saldos y flat Proyecto de inversión privada y social Vida económica de un proyecto Depreciación de activos 2. Describir la clasificación de los sistemas de amortización de deudas 3. Construir la tabla de amortización de una deuda 4. Construir la tabla de capitalización de un fondo 5. Calcular el valor de la cuota para amortizar una deuda según el sistema de pago y los saldos insolutos 6. Calcular el valor de la cuota para el fondo y los saldos acumulados 7. Conocer los elementos esenciales para la construcción del flujo de fondos de un proyecto de inversión privada con y sin financiamiento 8. Calcular los indicadores de rentabilidad financiera Valor Actual Neto Tasa Interna de Retorno Relación Beneficio Costo 9. Usar correctamente el criterio de toma de decisiones de inversión en base a los resultados de los indicadores de rentabilidad financiera 10. Desarrollar destrezas y habilidades en la resolución de casos y problemas relacionados con: Amortizaciones de deudas Constitución de fondos Evaluación de inversiones

263


264


Autoevaluación final de la unidad autoformativa III Resuelva cada uno de los problemas que se le presentan a continuación, disponga de una calculadora electrónica, el formulario papel y lápiz. 1. El financiamiento de un comerciante es de $30,000 (córdobas) con el 12% flat semestral y plazo de 15 meses para pagarse en cuotas trimestrales iguales. Elabore la tabla de pago. 2. Un préstamo de $50,000 con interés del 18% CS y a plazo total de 8 años que incluyen 1 año de gracia donde se liquidarán los intereses de forma semestral; la deuda se podrá amortizar a través de cuotas niveladas semestrales. Elabore la tabla hasta la cuota 3 3. Dado el siguiente flujo de fondos netos del inversionista de un proyecto de pesca, determine los indicadores de rentabilidad financiera con iop=18% y haga sus comentarios. Año FNI

0 (800)

1 200

2 250

3 300

4 350

5 400

4. Un proyecto obtiene un préstamo por $60,000 para pagarse a plazo total de 10 años que incluye medio año de gracia, con interés del 18% CT. En el periodo de gracia los intereses se capitalizan y el pago de la deuda será a través de cuotas trimestrales niveladas. Construya la tabla de pago hasta la cuota 5. 5. Una empresa desea tener $30,000 al final del año 6, para ello abre un fondo con $5,000 y para completar el fondo destinará una cuota constante mensual con interés del 7% efectivo. Elabore la tabla de capitalización del fondo hasta la cuota 5. 6. La empresa XS desea saldar una deuda de $40,000 en un plazo de 8 años con 15% CM anual sobre saldos a través de cuotas proporcionales decrecientes mensuales. Construya la tabla de pago hasta la cuota 5. En la página 278, al final de la unidad autoformativa III encontrará las respuestas a esta Autoevaluación.

265


266


Hojas de respuestas Respuestas a la prueba diagnóstica de la unidad autoformativa III

1. 2.

$3,330 a. Cuotas niveladas semestrales. En el periodo de gracia cada semestre se liquida un interés de $1,920 No. CUOTA PRINCIPAL 0 0.00 1 2 3 4 5 6 7

2,689.74 2,904.92 3,137.31 3,388.29 3,659.36 3,952.11 4,268.28

INTERES 0.00

CUOTA 0.00

1,920.00 1,704.82 1,472.43 1,221.44 950.38 657.63 341.46

4,609.74 4,609.74 4,609.74 4,609.74 4,609.74 4,609.74 4,609.74

SALDO 24,000 24,000.00 21,310.26 18,405.35 15,268.04 11,879.74 8,220.38 4,268.28 0.00

b. Cuotas proporcionales semestrales. No. CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7

3.

4.

3,428.57 3,428.57 3,428.57 3,428.57 3,428.57 3,428.57 3,428.57

1,920.00 1,645.71 1,371.43 1,097.14 822.86 548.57 274.29

SALDO 24,000.00 24,000.00 20,571.43 17,142.86 13,714.29 10,285.71 6,857.14 3,428.57 0.00

5,348.57 5,074.29 4,800.00 4,525.71 4,251.43 3,977.14 3,702.86

Resultados evaluación inversión Indicador VAN (20%)

Resultado - $ 35.00

Criterio Menor que cero

Decisión Se rechaza

RBC(20%)

0.94

Menor que 1

Se rechaza

TIRA

18.53%

Menor 20%

Se rechaza

Cuotas niveladas anuales No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 0.00 0.00 1 2 3 4 5

5.

CUOTA 0

5,838.80 6,889.78 8,129.95 9,593.34 11,320.14

7,518.96 6,467.98 5,227.81 3,764.42 2,037.62

CUOTA 0.00 13,357.76 13,357.76 13,357.76 13,357.76 13,357.76

SALDO 30,000 41,772.00 35,933.20 29,043.42 20,913.47 11,320.14 0.00

Tabla de la capitalización del fondo

267


No. CUOTA CUOTA 0 1 2 3 4 5

INTERES

2,000.00 2,363.37 2,363.37 2,363.37 2,363.37 2,363.37

INCREMENTO CAPITAL

0.00 216.00 494.57 803.23 1,145.22 1,524.15

0 2,579.37 2,857.94 3,166.59 3,508.59 3,887.51

2,000 4,579.37 7,437.30 10,603.90 14,112.49 18,000.00

6. Cuotas mensual nivelada en dólares o en córdobas al TCO de la fecha de pago CUOTA 0 1 2 3 4

7.

PRINCIPAL INTERES: $ CUOTA: $ SALDO: $ TIPO CAM. CCM: C$ SCM: C$ 0.00 0.00 0.00 1,002.21 14.9669 0.00 15000.00 241.35 25.06 266.41 760.86 15.0388 4006.41 11442.40 247.38 19.02 266.41 513.48 15.1109 4025.64 7759.12 253.57 12.84 266.41 259.91 15.1835 4044.97 3946.31 259.91 6.50 266.41 0.00 15.2564 4064.39 0.00

a. $528.17

b. $36,052.06

c. $230,285.60

No. CUOTA PRINCIPAL 0 10000.00 1 2 3 4 5

141.79 142.85 143.92 145.00 146.09

INTERES 0.00

CUOTA 0.00

386.38 385.31 384.24 383.16 382.08

528.17 528.17 528.17 528.17 528.17

SALDO 50,000 51,516.96 51,375.17 51,232.32 51,088.40 50,943.39 50,797.30

8. Cuota $37,293.27 No. CUOTA 0 1 2 3 4 5 6

PRINCIPAL INTERES C$ CUOTA : C$ SALDO : C$ 0.00 0.00 0.00 100,000.00 7,973.27 29,320.00 37,293.27 92,026.73 10,311.03 26,982.24 37,293.27 81,715.71 13,334.22 23,959.05 37,293.27 68,381.49 17,243.81 20,049.45 37,293.27 51,137.67 22,299.70 14,993.57 37,293.27 28,837.97 28,837.97 8,455.29 37,293.27 0.00

Respuestas a la actividad de autoaprendizaje No. 1

1. a.$301.61

b. $5,162.30

c. Tabla de pago

No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 1 2 3 4 5

268

0 145.45 147.68 149.94 152.23 154.57

0.00 156.16 153.93 151.67 149.37 147.04

CUOTA

SALDO

0 301.61 301.61 301.61 301.61 301.61

10,200 10,054.55 9,906.87 9,756.93 9,604.70 9,450.13


2. a. $2,496.21

b. $2,769.02

c. Tabla de pago

No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 1 2 3 4 5

3. a. $96,488.95

1,746.21 1,772.40 1,798.98 1,825.97 1,853.36

b. $827,204.59 No CUOTA PRINCIPAL 0 1 2 3 4 5

4. a. C$ 257,309.98

46,382.23 48,424.48 50,556.64 52,782.69 55,106.75

1 2 3 4 5

5. a. $677,649.21

140,757.37 153,425.53 167,233.83 182,284.88 198,690.52

CUOTA

SALDO

2,496.21 2,496.21 2,496.21 2,496.21 2,496.21

50,000.00 48,253.79 46,481.40 44,682.41 42,856.44 41,003.09

c. Tabla de pago

INTERES -

CUOTA -

50,106.72 48,064.47 45,932.31 43,706.26 41,382.20

96,488.95 96,488.95 96,488.95 96,488.95 96,488.95

b. C$452,636.86

No CUOTA PRINCIPAL 0 -

6. a. $472,022.40

750.00 723.81 697.22 670.24 642.85

c. Tabla de pago

INTERES -

CUOTA -

116,552.61 103,884.45 90,076.15 75,025.10 58,619.46

257,309.98 257,309.98 257,309.98 257,309.98 257,309.98

b. $2,269,668.30

SALDO 1,000,000.00 1,137,993.73 1,091,611.50 1,043,187.02 992,630.38 939,847.69 884,740.94

c. Tabla de pago

No CUOTA 0

PRINCIPAL -

INTERES -

CUOTA -

1 2 3 4 5

328,791.28 353,450.63 379,959.42 408,456.38 439,090.61

348,857.93 324,198.58 297,689.78 269,192.83 238,558.60

677,649.21 677,649.21 677,649.21 677,649.21 677,649.21

b. $2,381,770.70

SALDO 1,000,000.00 1,295,029.00 1,154,271.63 1,000,846.09 833,612.26 651,327.38 452,636.87

SALDO 3,240,000.00 4,651,439.02 4,322,647.74 3,969,197.11 3,589,237.69 3,180,781.30 2,741,690.70

c. $243,000 Tabla de pago

269


No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 1 2 3 4

229,022.40 246,199.09 264,664.02 284,513.82

7. a. $647.02

b. $1856.02

8. a. $1,146.00

b. $3,387.44

243,000.00 225,823.32 207,358.39 187,508.59

CUOTA 472,022.40 472,022.40 472,022.40 472,022.40

SALDO 3,240,000.00 3,240,000.00 3,010,977.60 2,764,778.51 2,500,114.49 2,215,600.68

c. $817.31 y $809.52

9. Intereses:$13,213.42 Amortización principal: $3,774.83 10. a. Cuota $3,033.33

b. Tabla de pago No CUOTA PRINCIPAL INTERES 1 2,500.00 533.33 2 2,500.00 533.33 3 2,500.00 533.33 4 2,500.00 533.33

CUOTA 3,033.33 3,033.33 3,033.33 3,033.33

SALDO 10,000.00 7,500.00 5,000.00 2,500.00 -

11. a. Valor de la cuota fija $4,320 b. Tabla de pago No. CUOTA PRINCIPAL INTERES 1 3,200.00 1,120.00 2 3,200.00 1,120.00 3 3,200.00 1,120.00 4 3,200.00 1,120.00 5 3,200.00 1,120.00

12. a. $15,902.35

SALDO 16,000.00 12,800.00 9,600.00 6,400.00 3,200.00 -

b. Tabal de pago No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 0.00 0.00 1 2 3 4 5

6,593.79 7,863.22 9,377.04 11,182.30 13,335.10

9,308.57 8,039.14 6,525.32 4,720.07 2,567.26

13. a. $1,399.09

b. $1,757.15

14. a. $10,253.90

b. $308,200.59

15. a. Cuota 1 $8,646.73

b. Tabla de pago

270

CUOTA 4,320.00 4,320.00 4,320.00 4,320.00 4,320.00

CUOTA 0.00 15,902.36 15,902.36 15,902.36 15,902.36 15,902.36

SALDO 34,000 48,351.45 41,757.66 33,894.44 24,517.40 13,335.10 0.00

d. $2,266.76


No. CUOTA PRINCIPAL INTERES CUOTA 0 0 0 0 Valor alcanzado en el Periodo de gracia 1 3,300.28 5,346.45 8,646.73 2 3,300.28 5,049.43 8,349.70 3 3,300.28 4,752.40 8,052.68 4 3,300.28 4,455.38 7,755.65 5 3,300.28 4,158.35 7,458.63

16. a. Cuota 1 $7,625.00

59,405.00 56,104.72 52,804.44 49,504.17 46,203.89 42,903.61

b. Tabla de pago

No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 0 0 1 2 3 4 5 6

17. a. Tabla de pago

SALDO 50,000.00

3,125.00 3,125.00 3,125.00 3,125.00 3,125.00 3,125.00

4,500.00 4,218.75 3,937.50 3,656.25 3,375.00 3,093.75

CUOTA 0 7,625.00 7,343.75 7,062.50 6,781.25 6,500.00 6,218.75

SALDO 50,000.00 50,000.00 46,875.00 43,750.00 40,625.00 37,500.00 34,375.00 31,250.00

b. Saldo después de la cuota 26, $833.42 No. CUOTA PRINCIPAL INTERES CUOTA SALDO 0 0 0 0 3,000 1 83.33 75.00 158.33 2,916.67 2 83.33 72.92 156.25 2,833.33 3 83.33 70.83 154.17 2,750.00 4 83.33 68.75 152.08 2,666.67 5 83.33 66.67 150.00 2,583.33 6 83.33 64.58 147.92 2,500.00

18. a. Cuota $428.29

b. Saldo cuota 40, $23, 552.00 No CUOTA PRINCIPAL INTERES CUOTA 0 1 2 3 4 5

19. a. Cuota $135

260.29 261.54 262.79 264.06 265.32

b. $1,032.28

168.00 166.75 165.50 164.23 162.97

428.29 428.29 428.29 428.29 428.29

c. $16.62

SALDO 35,000.00 34,739.71 34,478.17 34,215.38 33,951.32 33,686.00

d. Tabla de pago

271


No CUOTA PRINCIPAL INTERES CUOTA 0 1 2 3 4 5

101.74 102.78 103.82 104.87 105.94

33.26 32.23 31.19 30.13 29.07

135.01 135.01 135.01 135.01 135.01

SALDO 3,276.00 3,174.26 3,071.48 2,967.66 2,862.78 2,756.84

20. Tabla de pago. No CUOTA 0 1 2 3 4 5 6 7 8

PRINCIPAL INTERES: C$ 0.00 0.00 8,476.07 32,850.00 10,332.33 30,993.74 12,595.11 28,730.96 15,353.44 25,972.63 18,715.84 22,610.23 22,814.61 18,511.46 27,811.00 13,515.06 33,901.61 7,424.45

CUOTA C$ 0.00 41,326.07 41,326.07 41,326.07 41,326.07 41,326.07 41,326.07 41,326.07 41,326.07

SALDO: C$ 150,000.00 141,523.93 131,191.60 118,596.50 103,243.06 84,527.23 61,712.62 33,901.61 0.00

21. Tabla de pago CUOTA PRINCIPAL INTERES $ CUOTA $ SALDO $ 0 0.00 0.00 0.00 1,330.49 1 209.16 31.04 240.21 1,121.33 2 214.04 26.16 240.21 907.28 3 219.04 21.17 240.21 688.25 4 224.15 16.06 240.21 464.10 5 229.38 10.83 240.21 234.73 6 234.73 5.48 240.21 0.00

TCO 15.0321 15.1043 15.1768 15.2496 15.3228 15.3964 15.4703

CCM C$ 0.00 3628.12 3645.54 3663.04 3680.62 3698.29 3716.05


1. Tabla AÑO

CUOTA

INTERES

INCREMENTO

CAPITAL

0 1 2 3 4 5

3,500 2,397.20 2,397.20 2,397.20 2,397.20 2,397.20

0.00 332.50 591.82 875.78 1,186.71 1,527.18

0 2,729.70 2,989.02 3,272.98 3,583.91 3,924.38

3,500 6,229.70 9,218.72 12,491.70 16,075.62 20,000.00

2. Tabla del fondo hasta cuota 5.

272

SCM C$ 20000.00 16936.80 13769.66 10495.56 7111.39 3613.97 0.00


MES

CUOTA

1 2 3 4 5

810.19 810.19 810.19 810.19 810.19

INTERES INCREMENTO CAPITAL 0.00 6.75 13.56 20.42 27.35

810.19 816.95 823.75 830.62 837.54

810.19 1,627.14 2,450.89 3,281.51 4,119.05

3. Tabla del fondo. SEMESTRE

CUOTA

INTERES INCREMENTO CAPITAL

0 1 2 3 4 5 6

5,000 4,717.69 4,717.69 4,717.69 4,717.69 4,717.69 4,717.69

0.00 300.00 601.06 920.19 1,258.46 1,617.03 1,997.11

0 5,017.69 5,318.75 5,637.88 5,976.15 6,334.72 6,714.80

5,000 10,017.69 15,336.45 20,974.32 26,950.48 33,285.20 40,000.00

4. Tabla del fondo hasta cuota 5. TRIMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL 1 2 3 4 5

4,658.65 4,658.65 4,658.65 4,658.65 4,658.65

139.76 283.71 431.98 584.70

4,658.65 4,798.41 4,942.36 5,090.63 5,243.35

4,658.65 9,457.05 14,399.41 19,490.04 24,733.39

5. Tabla del fondo hasta la cuota 5. TRIMESTRE CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL 0 1 2 3 4

324.27 324.27 324.27 324.27 324.27

11.53 23.47 35.84 48.64

324.27 335.80 347.74 360.11 372.91

324.27 660.07 1,007.81 1,367.92 1,740.83

6. Tabla hasta la cuota 4. MES 0 1 2 3 4 5 6 7 8

CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL 24,000.00 0 0 0 0 1,818.57 1,818.57 1,818.57 1,818.57

0 320.00 324.27 328.59 332.97 337.41 366.16 395.29 424.81

0 320.00 324.27 328.59 332.97 2,155.98 2,184.73 2,213.86 2,243.38

24,000.00 24,320.00 24,644.27 24,972.86 25,305.83 27,461.81 29,646.54 31,860.40 34,103.78

273


7. Tabla del fondo hasta la cuota 5. SEMANA CUOTA INTERES INCREMENTO 1 2 3 4 5

159.73 159.73 159.73 159.73 159.73

0.25 0.49 0.74 0.99

159.73 159.98 160.22 160.47 160.72

CAPITAL 159.73 319.71 479.94 640.41 801.12

8. Valor de la cuota quincenal $115.02 9. Tabla del fondo en cuotas semestrales vencidas equivalentes. SEMESTRE CUOTA 1 2 3 4 5

2,920.78 2,920.78 2,920.78 2,920.78 2,920.78

INTERES INCREMENTO CAPITAL 417.16 893.91 1,438.74 2,061.39

2,920.78 3,337.94 3,814.69 4,359.52 4,982.17

2,920.78 6,258.72 10,073.41 14,432.93 19,415.10

10. Tabla del fondo hasta la cuota 5. BIMESTRE 0 1 2 3 4

CUOTA INTERES INCREMENTO CAPITAL 10,533.95 10,533.95 10,533.95 10,533.95 10,533.95

11. a. Tabla del fondo en el año 5

386.24 786.65 1,201.74 1,632.05

10,533.95 21,454.14 32,774.74 44,510.43 56,676.43

b. $1,276,864.50

AÑO

CUOTA

INTERES INCREMENTO CAPITAL

0 1 2 3 4 5

50,000 50,000 50,000 150,000 50,000 00

4,601.25 9,625.93 15,113.00 30,307.53 37,697.83

12. Valor del depósito quincenal $14,077.72

274

10,533.95 10,920.19 11,320.60 11,735.69 12,166.00

50,000 54,601.25 59,625.93 165,113.00 80,307.53 37,697.83

50,000 104,601.25 164,227.18 329,340.19 409,647.72 447,345.55


13. a. Aproximadamente 6 bimestres

b. Tabla del fondo

BIMESTRE

CUOTA

1 2 3 4 5 6

300,000.00 300,000.00 300,000.00 300,000.00 300,000.00 300,000.00

INTERES INCREMENTO 6,000.00 12,120.00 18,362.40 24,729.65 31,224.24

14. Valor de cuota $19,772.88

300,000.00 306,000.00 312,120.00 318,362.40 324,729.65 331,224.24

b. Tabla del fondo

MES

DEPOSITO

1 2 3 4 5 6

19,772.88 19,772.88 19,772.88 19,772.88 19,772.88 19,772.88


15. a. Capital en el fondo $ 1,055,395.37 MES

CUOTA

0 1 2 3 4

40,000.00 40,000.00 40,000.00 40,000.00 40,000.00

19,772.88 19,863.18 19,953.88 20,045.01 20,136.55 20,228.50

AÑO

CUOTA

0 1 2 3 4 5

500,000 172,146.63 1,672,146.63 172,146.63 2,172,146.63 172,146.63

INTERES INCREMENTO CAPITAL 0 300.00 602.25 906.77 1,213.57

INTERES

40,000.00 40,300.00 40,602.25 40,906,77 41,213.57

40,000.00 80,300.00 120,902.25 161,809.02 203,022.59

b. Tabla del fondo INCREMENTO

CAPITAL

0 500,000 500,000 90,000.00 262,146.63 762,146.63 137,186.39 1,809,333.02 2,571,479.65 462,866.34 635,012.97 3,206,492.62 577,168.67 2,749,315.30 5,955,807.92 1,072,045.45 1,244,192.06 7,200,000.00

17. a. Cuota inicial $61,908.33 AÑO CUOTA

19,772.88 39,636.06 59,589.94 79,634.95 99,771.49 120,000.00

b. Tabla hasta la cuota 5

16. valor de la cuota complementaria $172,146.63

0 1 2 3

CAPITAL 300,000.00 606,000.00 918,120.00 1,236,482.40 1,561,212.05 1,892,436.29

b. Tabla del fondo INTERES INCREMENTO CAPITAL

61,908.33 0.00 60,000 6,190.83 0.00 12,809.91 0.00 9,090.91

61,908.33 66,190.83 12,809.91 9,090.91

RETIRO

61,908.33 0.00 128,099.16 0.00 90,909.09 50,000.00 0.00 100,000.00

275


18. a. Utilidad $161,342.13

b. Tabla del fondo

AÑO

DEBITO

0 1 2 3 4 5

0.00 125,228.23 125,228.23 125,228.23 125,228.23 125,228.23

19. a. Acumula $8,846,457.96

INTERES INCREMENTO CAPITAL 0.00 75,000 67,465.77 58,801.40 48,837.37 37,378.74

500,000 449,771.77 392,009.31 325,582.48 249,191.62 161,342.13

b. Tabla del fondo

SEMESTRE

CUOTA

INTERES

0 1 2 3 4 5 6

2,500,000 2,500,000 2,500,000 5,500,000 2,500,000 0.00 0.00

0.00 67,000.00 136,822.50 208,016.71 362,133.16 439,410.75 232,574.84

20. a. $25,874.99

0.00 -50,228.23 -57,762.46 -66,426.83 -76,390.86 -87,849.49

INCREMENTO

CAPITAL

0.00 2,500,000 2,567,000.00 5,067,500 2,636,822.50 7,704,322.50 5,708,016.71 13,412,339.21 2,862,133.16 16,274,472.37 439,410.75 8,613,883.12 232,574.84 8,846,457.96

b. $24,554.24

c. Tabla del fondo

AÑO DEBITO INTERES INCREMENTO CAPITAL 1 2 3 4 5

25,874.99 25,874.99 24,554.24 24,554.24 0.00

0.00 1,811.25 3,749.29 5,730.53 7,850.48

25,874.99 27,686.24 28,303.53 30,284.77 7,850.48

25,874.99 53,561.22 81,864.74 112,149.52 120,000.00


1. Indicador VAN (25%)

Resultado $ 19,084

Criterio Mayor que cero

Decisión Se acepta

RBC(25%)

1.19

Mayor que 1

Se acepta

TIR

30.33%

Mayor 20%

Se acepta

2. Proyecto A B C D E F G H

276

VAN $39.52 $70.25 $34.00 $29.12 $37.83 $186.03 ($41.93) ($398.73)

TIR 22.75% 21.80% 16.77% 22.10% 18.80% ----15% -----

TIR Ajustada --------------------20.34% -------14.50%

RBC 1.08 1.16 1.06 1.13 1.06 1.44 0.97 0.50

RETIRO 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 8,100,000 0.00


3. Indicador

Resultado

VAN (18%)

$ 22,179


Decisión Se acepta

RBC(18%)

1.22

Mayor que 1

Se acepta

TIR

25%

Mayor que 18%

Se acepta

4. Indicador

Resultado $ 16,495


Decisión Se acepta

VAN (15%) RBC(15%)

1.08

Mayor que 1

Se acepta

TIR

17%

Mayor que 15%

Se acepta

Indicador

Resultado

VAN (21%)

$ 4,506.63

RBC(21%)

1.18

5. Criterio Decisión Mayor que cero Se acepta Mayor que 1

Se acepta

TIR

27%

Mayor que 21% Se acepta

Indicador

Resultado

VAN (25%)

- $ 80.60

Criterio Decisión Menor que cero Se rechaza

RBC(25%)

0.92

6. Menor que 1

Se rechaza

TIR

23.5%

Menor que 25% Se rechaza

Indicador

Resultado

VAN (20%)

$ 9,309.35

Criterio Decisión Mayor que cero Se acepta

RBC(20%)

1.12

7.

TIR

21.35%

Mayor que 1

Se acepta


8. Proyectos Concepto VAN(15%) TIR RBC(15%) Decisión

1 56.65 23.50% 1.14 Se acepta

2 65.13 25.50% 1.16 Se acepta

3 48.16 21.60% 1.12 Se acepta

Criterio Mayor que cero Mayor que 15% Mayor que 1

9. Indicador

Resultado

VAN (25%)

$ 65.35

RBC(25%)

1.13

TIR

25.2%

Criterio Decisión Mayor que cero Se acepta Mayor que 1

Se acepta


10. Indicador TIR

Resultado 21,44%

Indicador TIR

Resultado 11.92%

Indicador TIR

Resultado 16.12%

11. 12. 13. Indicador Resultado TIR 25.60%

277


14. Indicador TIR TIR TIR TIR

Grupo A B C A, B, C

Resultados 8.50% 17.60% 9.50% 10.5%

15. Indicador Resultado VAN (22%) $ 259.34 RBC(22%)

1.65

TIR

43.5%

Criterio Decisión Mayor que cero Se acepta Mayor que 1

Se acepta


Respuestas a la autoevaluación final de la unidad autoformativa III

1. No. CUOTA PRINCIPAL INTERES 1 6,000.00 1,800.00 2 6,000.00 1,800.00 3 6,000.00 1,800.00 4 6,000.00 1,800.00 5 6,000.00 1,800.00

CUOTA 7,800.00 7,800.00 7,800.00 7,800.00 7,800.00

SALDO 30,000.00 24,000.00 18,000.00 12,000.00 6,000.00 -

2. No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 1 2 3 4 5

1,921.66 2,094.61 2,283.12 2,488.60 2,712.58

4,500.00 4,327.05 4,138.54 3,933.05 3,709.08

CUOTA SALDO 50,000.00 50,000.00 6,421.66 48,078.34 6,421.66 45,983.73 6,421.66 43,700.61 6,421.66 41,212.01 6,421.66 38,499.43

3. Indicador

Resultado $ 87.00


Decisión Se acepta

VAN (18%) RBC(18%)

1.11

Mayor que 1

Se acepta

TIR

22.54%

Mayor 18%

Se acepta

4. No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 1 2 3 4 5

278

681.53 712.20 744.25 777.74 812.74

2,948.47 2,917.80 2,885.75 2,852.26 2,817.26

CUOTA 3,630.00 3,630.00 3,630.00 3,630.00 3,630.00

SALDO 60,000.00 65,521.50 64,839.97 64,127.76 63,383.51 62,605.77 61,793.02


5. No CUOTA CUOTA 1 2 3 4 5

5,000.00 254.02 254.02 254.02 254.02 254.02


282.29 283.89 285.50 287.11 288.73

5,000.00 5,282.29 5,566.19 5,851.68 6,138.79 6,427.53

6. No CUOTA PRINCIPAL INTERES 0 1 416.67 500.00 2 416.67 494.79 3 416.67 489.58 4 416.67 484.38 5 416.67 479.17

CUOTA 916.67 911.46 906.25 901.04 895.83

SALDO 40,000.00 39,583.33 39,166.67 38,750.00 38,333.33 37,916.67

279


280


Glosario Amortización. Procero mediante el cual se reduce una deuda hasta convertirla en cero al vencimiento del plazo Amortización gradual. Sistema que se utiliza para liquidar una deuda a través de cuotas fijas o niveladas que incluyen intereses sobre saldo. Amortización constante. Sistema para liquidar una deuda a través de cuotas decrecientes o proporcionales que incluyen intereses sobre saldo. Corrección monetaria. Efecto de convertir un pago o saldo en moneda constante a moneda corriente a través del factor de corrección monetaria o tipo de cambio oficial. Depreciación de activos. Valor de desgaste de los activos fijos por efectos de su uso en la actividad productiva de bienes y servicios. Fondo de amortización. Cantidad de dinero que se capitaliza mediante cuotas periódicas iguales o diferentes que devengan intereses hasta alcanzar un monto deseado o prefijado. Gasto no desembolsado. Valor resultante por periodo de las depreciaciones de activos fijos y amortizaciones de activos diferidos en el flujo de caja de un proyecto. Índice de deseabilidad o relación beneficio costo. Indicador financiero que expresa el cociente entre el valor actual neto de beneficios entre el valor actual neto de costos de un proyecto. Mide en valores actuales, las cantidades unitarias que se pierden o que se ganan por cada unidad monetaria invertida en un proyecto. Interés flat. Interés fijo calculado sobre principal inicial de una deuda y no sobre saldos. Interés sobre saldo. Interés calculado sobre principal no liquidado al final de cada periodo de pago. Proyecto de inversión privada. Cuando la inversión es privada, además de resolver problemas sociales y satisfacer una necesidad; incluye el factor de rentabilidad o crecimiento real del dinero. Proyecto de inversión social. Inversiones, insumos y actividades con el fin de resolver un problema o satisfacer una necesidad en función de mejorara el nivel de vida de un grupo de beneficiarios (véase alternativa de inversión). Saldo acumulado del fondo. Capital en el fondo, producto de las cuotas más los intereses capitalizados. Saldo Insoluto y general. Saldo insoluto es el principal adeudado no cubierto por las amortizaciones y saldo general es el saldo insoluto más los cargos por seguros, comisiones, manejo de deuda, otros.

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Tasa de variación monetaria. Tasa de inflación monetaria que hace variar el precio de la divisa en moneda de valor corriente (en nuestro medio ésta tasa es conocida como tasa de deslizamiento). Tasa inflada o nominal. Tasa de interés que se utiliza para efectuar operaciones financieras en la cual se incluye la tasa de inflación y la tasa real de interés. Tasa interna de retorno. Tasa que se gana sobre capital no recuperado de una inversión o tasa que se paga sobre saldo adeudado de un crédito. Indicador financiero que convierte el valor actual neto de un proyecto en valor cero. Valor actual neto. Indicador financiero que compara en valores actuales con una tasa de interés de rendimiento mínimo, los beneficios y costos de un proyecto (véase valor presente neto). Valor de salvamento. Valor en libro o comercial de los activos depreciados. Vida económica de una inversión. Tiempo en el cual la inversión es rentable y competitiva.

282


Bibliografía 1. Baca, Currea Guillermo, "Las Matemáticas Financieras y los Sistemas", Limusa Noriega Editores, Bogotá Colombia, 1997. 2. Blank, Leland T/Tarquin, Anthony J. "Ingeniería Económica", Mcgraw-Hill, Tercera edición, México, 1992. 3. Buchholz Todd G. "Nuevas ideas de Economistas de ayer", Librería el Ateneo, Buenos Aires, Argentina, 1993. 4. Delp, Peter y otros "Análisis de Proyectos" ICAP, Costa Rica, 1992. 5. Díaz Mata, Alfredo “Matemáticas Financieras”, Mcgraw-Hill, Tercera Edición, México, 1999 6. Documentos: "Indicadores Económicos trimestrales. Anuarios", Banco Central de Nicaragua, Años 98, 99, 00, 01, 02 7. Grant Eugene L. y otros “Principios de Ingeniería Económica” Ed. Continental S.A. México, 1989 8. Mokate, Karen Marie. "Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión", Universidad de los Andes Santafé de Bogotá, Colombia, 1994. 9. Portus G., Lincoyán "Matemáticas Financieras", Mcgraw-Hill, Tercera edición, México, 1990. 10. Ramírez C., Jesús A. "Matemáticas Financieras para proyectos", Universidad de la Amazonía Florencia Caquetá, Colombia, 1994. 11. Villalobos, José Luis “Matemáticas Financieras” , Pearson Educación, Segunda Edición, México, 2001 Reseñas del autor Nombre:

Noel Reyes Alvarado

Experiencia:

23 años de docencia universitaria.

Grados Académicos:

Master en Matemáticas Aplicadas a la Economía y Administración. Licenciado en Matemáticas.

Cargos Académicos:

Profesor Titular, Departamento de Matemáticas y Estadísticas, Facultad de Ciencias Económicas, UNAN-Managua. (23) Profesor de los Programas de Maestrías y Post-Grados - Facultad de Ciencias Económicas UNAN-Managua. (12) Profesor de los Programas de Maestría y Post-Grados área de Economía, Administración y Proyectos de la UCA. (9) Profesor Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la UCA. (10)

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Matematicas Financieras en Excel.pdf

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