Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf

Matemáticas 2

Matemáticas 2

Recursos didácticos


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Matemáticas Mayra y Martínez de Garayy J i Jaime Omar O Lugo L d de la l Tejera T j Eduardo d d Mancera Martínez

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Matemáticas

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Recursos didácticos Mayra Martínez de Garay, Jaime Omar Lugo de la Tejera Eduardo Mancera Martínez

PROHIBIDA SU VENTA

El libro Matemáticas 2. Recursos didácticos es una obra colectiva creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Antonio Moreno Paniagua

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El libro

Matemáticas 2. Recursos didácticos, fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Guillermo Trujano Mendoza y José Luis Acosta Lectura de pruebas: Eduardo Mendoza Colaboración: Claudia Navarro Castillo y Javier Esquivel Revisión Técnica: José Luis Córdova Frunz Corrección de estilo: José Luis Acosta y Carlos del Razo Diseño de interiores: Carlos Vela Turcott, Rocío Echavarrí Rentería, Mauricio Gómez Morin Fuentes, José Francisco Ibarra Meza, Tania Rendón López y José Luis Acosta Diseño de portada: Francisco Ibarra Meza Coordinación de diagramación: Alejo Nájera Hernández Ilustración: Héctor Ovando Jarquín, Sergio Bourguet, Abelardo Culebro Bahena, Eliud Monroy, Augusto Mora, Israel Ramírez y Susana Inés Morales Juárez Diagramación: Fausto Adrián Urbán Brizuela, Sergio Bourguet, Héctor Ovando Jarquín, Luis Valverde Salvador y Pedro Santiago Cruz Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria


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Eduardo Mancera Martínez

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PROHIBIDA SU VENTA

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Recursos didácticos son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

D. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V. Av. Universidad 767 03100, México, D. F. ISBN: 978-607-01-0114-4 Primera edición: enero 2009

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México

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Presentación ¿Para qué estudiar Matemáticas? Seguramente sus estudiantes se han hecho esta pregunta muchas veces. Este libro de recursos está pensado para apoyarlo en la relación con sus alumnos: para que usted pueda guiarlos a contestar las preguntas que se hacen, a animarlos a seguir cuestionándose, a buscar, explorar, entender y disfrutar el mundo de la matemática. Con base en las orientaciones que contiene este texto, usted podrá guiar a sus alumnos al descubrimiento de los conocimientos de esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que la matemática es mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos. Matemáticas 2. Recursos didácticos es una herramienta que permite a los docentes de la asignatura acompañar el trabajo de los escolares. Este material brinda a los maestros y las maestras elementos para facilitar a los estudiantes el desarrollo de habilidades. Proporciona a los profesores herramientas para despertar la curiosidad y ayudar a los alumnos en el desarrollo de las habilidades como seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores. En esta obra encontrará una dosificación en cinco bimestres de los temas del libro del alumno, prevista para 38 semanas de clases. En ésta se especifican los propósitos de cada bloque y las competencias, además de los conceptos, habilidades, actitudes y aprendizajes esperados de cada tema. Asimismo, con base en las actividades realizadas, el logro de los propósitos previstos, las observaciones de los docentes y la aplicación de exámenes, sugiere los momentos convenientes para evaluar el aprendizaje de las alumnas y los alumnos. Se incluyen, como una propuesta más para la evaluación de los estudiantes, dos modelos de exámenes por bimestre elaborados a partir de la dosificación de los contenidos del libro del alumno y, para facilitar el trabajo de calificación, se añaden las respuestas de los diez exámenes. Además, se adjunta una bibliografía para el docente.

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Este ejemplar también presenta la reproducción del libro del alumno, acompañado de orientaciones para conducir las clases de Matemáticas 2, adecuadas al programa de la asignatura. El propósito es facilitar a las profesoras y los profesores algunos elementos que, sumados a su experiencia y creatividad, les permitan organizar y dirigir el trabajo de los educandos. Deseamos que el libro Matemáticas 2. Recursos didácticos responda a las necesidades de los docentes que dedican su práctica profesional y su entusiasmo a la enseñanza de las matemáticas de los estudiantes de secundaria.

Presentación

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III

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Estructura del libro de recursos En las páginas preliminares encontrará: 1. La dosificación de los contenidos del programa oficial de Matemáticas 2 organizada en 38 semanas de clase y dividida en cinco bimestres. La dosificación contiene: Bimestre que se está trabajando. Número del bloque temático. Propósitos del bloque. Indicación de la semana de trabajo. Temas y subtemas que se están trabajando. Lección y páginas en las que aparecen los temas y subtemas en el libro del alumno. Evidencia de logros con el desarrollo de cada tema. Conceptos que los estudiantes manejarán y comprenderán. Habilidades para el tratamiento de la información. Actitudes que ayudarán a los estudiantes a adquirir conciencia de las cualidades de los seres humanos. Aprendizajes esperados que proporcionan información sobre lo que los alumnos deben lograr. Sugerencia del momento adecuado para aplicar la evaluación bimestral.

Dosificación

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Dosificació

IX

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Guía docente

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2. La evaluación bimestral, en la que se proponen dos modelos de exámenes (A y B). Cada uno está compuesto por dos páginas que pueden ser fotocopiadas para que los estudiantes trabajen con ellas.

5
Incluye espacios para que cada escolar anote sus datos personales, y el docente registre los aciertos y la l calificación correspondiente.

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Grup o: Calif icació n: 1. En la sigu Núm ero de ie al n puntos te guno 8 h totales i s ángu figura se por cu a) ¿C los. O señal brir: 10 uáles an co bserv 0 f 3 de lo n nú b) ¿C a la fi s m án a b uáles gura miden gulos señ y resp eros las re c) ¿C alado onde: ctas uáles 90 gr c d e s y ad m 2 (1 m co 2 punt d) ¿C iden os? iden n letr 9 os) 18 u m ál as 0 ás 2 . En es grado 1 de 0 miden e) ¿Q la sigu s? y men ué re más d iente os de ctas se e 90 gr figura inters 90 y men ados? , las re o ecan ctas 1 y son s de 180 gr y 2 so perpen ados? n par dicula alelas a res? . Anal a) ¿C b c uánto iza y resp 30° 1 onde: mide e (12 pu el án d ntos) g f gulo b) ¿C a? , i 2 ¿por uánto qué? mide 70° el án gulo c) ¿C ff?, ¿p 3. En uál es or qu una el resu é? comp tienda se lt ado d h vend ró un e sum d) ¿C en ca a terc de ga uál es ar los ja era p lletas ángu el resu arte d s de gallet que ti los e ltado as co e las con g? enen d e sum caja na 4. Deb , ¿por Juan ar los y Pilar s que com galletas ca qué? ajo d ángu pró Ju d e cad junto los i co ejem a un an. E a una. Juan s. (10 plo se n h?, a sc pu d ri nt co e mues ¿por b e un os) mpró qué? tra en las siguie a u ex n presi n núm ón al figura la figura a) tes figura gebra ero x de ca s, escr . (16 pu a) ica p ibe u ntos) ara in jas y Pilar na ex dicar presi el tota ón al l gebra x+2 figura ica q ue re b) p x+1 re l sente su ár ea, u x n + x figura + l l c)

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Se indica el factor en que se dividirá la cantidad de aciertos de cada examen.

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XX

Guía

nte

doce

Estructura del libro de recursos

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V

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3. Las respuestas de los exámenes modelo para facilitar al educador la tarea de calificar.

5I
RESP U

ESTAS 1. DE LA EVALU Á ngu ACIÓ lo N DE dos: gg, s que m L PRIM id i, a, e. Á ff. Á ngu en 180 gr ER BI lo ados: MEST n gu s qu los h. Rec c. e RE (A ) tas pe que miden miden m Á ngulos 2. 6. qu rpendi más de ás de 0 cu y m e miden lares: a) Com 90 a) Dos 2 y 5, grados y enos de 90 90 graao la su co 3 y 4, menos grados grad ma de a os: de 6 nductore 5 de , y lo a 6, s +b+ 180: b, án por el 5 y 7. b) D formas di s en las 3 c = 18 gulos inte d, vé enot stin transm rt ice a diente cond ando con tas. ese án °. Luego, b riores de un isione a uctore g gulo s, se pu grados y éste y c m mide 30 gr triángulo s, el di N1 , N2 y ; eden es en id es ad op tonces lo tant agram N3 los e 70 gr de 18 os po presen uesto N no 0 r a a o, ad se po tar y + 1 os a) r la b r el opue lo de por a = 80 +c tabla ticieros y N 70 qued grados = a + 70 vértice al ser corres sto 2 70º po grados an: con L1 , L po + 30 L1 . b) , = a + ángulo de n2 los medid rque es op son compl f = 180 N L2 10 70 3 – L1 ángu a. El ángu uesto por ementarios 70, pues 0 = 18°. Po lo de el vért f r . L2 h es la mis lo e mide ice al c) El ángu y el ángu L1 10 30 lo g m ángu mide 0º porque ma medid º por se lo de ide L2 r al 80º. 3. a. form N L1 an un d) La su terno inte la misma 1 ma de rno al trián Juan gu (L ,N los án ot co N lo co L2 1 tiene mpró x gulos ro 2 n 1) el ca ax ángu (L ,N (L ,N compr galletas. jas con a N lo a, i y 1 c) 2 ) ) 3 que Si fuer 2 1 Por lo ó Juan, en Pilar com galletas ca (L ,N (L ,N distin an 4 noti pró la tonces da un que lo 1 2 4. 3) ci 2) ta a, te s dos co fueran s de pres eros y 3 co (L ,N juntos mpró x/ rcera part por lo qu Expre entar 2 nduc 3 caja m e de e ti 3) Ju no en m si a to an en ax ti la s as de lo x + 2x ón algebr presen cieros y n s conduc res, tendrí + a(x/ y tiene a( s cajas qu x/ am e R cond 3) ga tarlos 1) + x + 2. Expre aica para ESPU lletas 3) galleta uctore tores en lo os 12 fo . la + si suma ón al s. 1. 1. a) Sí rm ESTAS en to s s, serí para gebr tal. de an m noticieros as DE LA so la n dist . presió s tres figu n equivale aica para áreas de la EVALU a) Á n intas Si la ACIÓ gulo forx 2 + x n x 2 + 3x ras, pues re ntes las tr figura c) figura b): 2 N DE ángu b = 11 + es : + x L PRIM lo (x + 1) 2x + 2 = 22 sí es eq presentan expresio x(x + 1) + + diente . b) El án 5º porque ER BI nes al (x + uival x + 3x la +x+ 5. m M gu ente ge is ESTR 1= x 2 +2y 180º, s. c) El án lo c mid es opuest a las ma área. braicas E + 3x x( (B (s gu x e ) dos an b) + 2. c) + 1) + = 125, on compl lo e = 18 115º, po o por el terior La exvé Sí son (x + 1) rq emen Long 360 gr porque la itu tarios 0 – 115 = ue b y c so rtice a di equiva + x + 1 es, pues ch 6 , po lado d O = x 2+ n lentes de lo ados. e) E suma de ). d) Á ngu 65 rigin r que correspo o x+ . al Reprod s ángu lo l án lo 2. ucción los de gulo f = s ángulos a = 360 – c y e sum na de 18 an un 1 11 Repr 0 un cu 5 3/2 trián a) Un oduc adrilá – 65 – 55 gulo – 65 – 55 rectán ción (3/2)2 = es de te b gulo 2 =3 Repr 180 gr 60, porque ro es de de ár oduc (4/3) 5/2 ados. ea a( ción la sum (3/2) b + c) 3 = 12/6 a c 5 sería: =2 (4/3)(5 2/2 = a 3 1

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b

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(4/3) (4/3)2 = 8/3 (4/3)(1 /2) = 4/6 = 2/3

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– 50 = 2x )+x – x) (x – 50 0 (250 x + 20 50) + –x= (2x – + 250 – 50 0) = 2x x – 22 20 0 + (– 0=– 20 22 + – x x 200 – =x+ = 140 + 160 – 20

50

x 2x =

50) x (2x – 250 – + x) – 50 = (200 2x + +x– = 200 220) 220 (2x + –x– = (x) – 20 60 2x –2 100 + =x– 220 60) = 2x + –(– (100) ) 3( – 20 = 160 60 – : = 3x –

2x

2x –

50

Tabla

8p 1p

A

(A , 3)

3

(A , 4)

(D, 4)

(C, 4)

(B, 4)

(E, 3)

(D, 3)

(C, 3)

(B, 3)

(E, 2)

(D, 2)

(C, 2)

(B, 2)

(E, 1)

(D, 1)

(C, 1)

(B, 1)

(A , 2)

2

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E D C B

(A , 1)

1

8/6

1/6

1

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x + 50

100

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(E, 4)

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XXXIX

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd VI

12/12/08 7:23:09 PM

Además, en la reproducción del libro del alumno encontrará:

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BL

2. Las respuestas de todas las actividades que se proponen en cada lección.

EG

1. Sugerencias didácticas en las columnas laterales con propuestas de trabajo y técnicas que reafirman ell contenido. d

3. Al final del libro se encuentra un solucionario con las respuestas de algunas de las actividades.

LECCIÓN 11 t NÚMEROS CON SIGNO

SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO

Ejercicio 1

,

,

,

,

,

Conviene insistir en las regularidades que se …numéricas obtienen a partir de configuraciones geométricas.

7 Con base en cada uno de los siguientes términos generales, encuentra los primeros 10 términos de la sucesión correspondiente.

,…

an = 2n + 4

f)

t an = n - 10

k) t

an = 2n + n

b) t

an = -n + 3

g)

t an = -2n - 5

l) t

an = -3n - n

c)

t an = n + 7

3n -2 n-8 e) t an = 5

,…

,

an =

t an = -4n + n

m)

1

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2

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6

4422 ¸ 67 =

66

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aa as

3

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4

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6

6 1 2

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4 5

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4

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4

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3 4

5

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6

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18

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16

Página 116 14 12 10 8 6

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4 2 0

1

2 3 4 5 6 7 8 Intervalos de calificaciones

Ejercicio 2 Porcentaje

%

50

36

s

Página 116

= 48

14

Ejercicios 1, 2 y 3 5

Se multiplican las parejas de números y el resultado se coloca por debajo del número de la derecha.

444222 ¸ 667 = 666 44442222 6667 = 6666 444442222266667 = 66666 444444222222 666667 = 666666 44444442222222 6666667 = 6666666

Ejercicio 1 Frecuencia Frecuencia absoluta relativa

Conéctate José María Chamoso y William Rawson

Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección. Por ejemplo en http://descartes.cnice.mecd.es/ puedes encontrar muchos apoyos para el estudio; en particular en http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_ didacticos/Sucesiones_de_numeros_reales/Sucesiones_ construccion.htm puedes encontrar lo relacionado con sucesiones diversas.

A vueltas con los números Colección Diálogos de matemáticas Nivola, Madrid, 2003. Inmaculada Vargas-Machuca et al. Números enteros Síntesis, Madrid, 1990. Aurelio Baldor Álgebra Grupo Cultural Patria, México, 2007. Yakov Perelman Álgebra recreativa. En línea: http://www.librosmaravillosos.com/ algebrarecreativa/index.html .

También puedes consultar los siguientes libros. Ricardo Moreno Castillo y José Manuel Vegas

Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimiento Nivola, Madrid, 2006. 205

EGD=>7>96HJK:CI6

EGD=>7>96HJK:CI6

PROHIBIDA SU VENTA

6 Completa el siguiente patrón numérico. Descubre los siguientes 5 números.

2 2 4 3 12 4 ¿?

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3

1

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4 6

2

aa

3

5

1

ss

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4

1

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6

2

sa

ss

,

3

5

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1

8 ¿Qué número falta del siguiente patrón numérico? ¿Existirá alguna fórmula? ,

2

2 6)

aa 5)

n+6 2 -4n + 2 2n - 5 i) t an = n) t an = 2 -4 n + 3n 10 + n j) t an = o) t an = 2 n

h)

1

1

Página 104 Ejercicios 5, 6 y 9

a) t

d) t

,

Bloque 1

Porcentaje

5 Encuentra las 5 figuras siguientes, basándote en las tres primeras. Encuentra la fórmula de cada sucesión.

0

Ejercicio 2

Absoluta Relativa

5

0.128

[11, 15]

4

0.102

[30.3, 39.4]

36

36/100

[15, 21]

7

0.179

[39.4, 48.5]

50

50/100

[21, 26]

5

0.128

[48.5, 57.7]

14

14/100

[26, 31]

5

0.128

[31,36]

4

0.102

5

0.128

[41, 46]

4

0.102

Total

39

Página 117. Ejercicio 1

Frecuencias

[6, 11]

[36, 41]

1 2 3 Intervalos de tiempos

Intervalos de calificaciones

100

Ejercicio 3

Ejercicio 2

Intervalos

Clase

[30, 32]

7

Intervalos

Absoluta

Relativa

[32, 34]

3

[31.9, 39.7]

9

0.3

[34, 36]

10

[39.7, 47.5]

15

0.5

[36, 38]

3

[47.5, 55.4]

6

0.2

[38, 40]

21

Tot.

30

[40, 42]

28

Intervalos

Frecuencia relativa

[42, 44]

7

[30, 32]

5

[44, 46]

7

[32, 34]

3

[46, 48]

3

[34, 36]

13

[48, 50]

0

[36, 38]

8

[50, 52]

10

[38, 40]

15

[42, 44]

21

14

[44, 46]

13

[120, 150]

16

[46, 48]

[180, 240]

8

[48, 50]

[240, 300]

12

Ejercicio 3 Intervalos

Frecuencia relativa

[0, 60]

13

[60, 120]

Frecuencias

Ejercicio 3 Frecuencias

Intervalos

Longitud del intervalo

Absoluta

Relativa

Porcentaje

8

[30.3, 38.0]

7.7

12

12/35

0.34

5

[38.0, 45.7]

7.7

15

15/35

0.42

10

[45.7, 53.5]

7.7

8

8/35

0.22

384

Estructura del libro de recursos

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd VII

VII

12/12/08 7:23:13 PM

Dosificación PRIMER BIMESTRE Bloque temático 1 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Resolverán problemas que requieran efectuar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números con signo. Encontrarán explicaciones para entender por qué la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180º y la de los de un cuadrilátero es de 360°. Resolverán problemas de conteo mediante la realización de cálculos numéricos. Resolverán problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades. Construirán polígonos de frecuencia e interpretarán la información contenida en ellos. Semana

Tema y subtema

Lección y páginas

Evidencia de logros

Tema: Significado y uso de las operaciones Subtema: Problemas multiplicativos

Lección 1: Poner y quitar… tantas veces Páginas: 12 - 47

Plantea problemas que impliquen la multiplicación y división de enteros. Resuelve problemas operando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas.

Tema: Significado y uso de las operaciones Subtema: Problemas aditivos


Plantea problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas. Resuelve problemas operando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas.

Tema: Significado y uso de las operaciones Subtema: Operaciones combinadas


Reconoce y obtiene expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicas a partir de modelos geométricos.

Tema: Significado y uso de las operaciones Subtema: Operaciones combinadas


Resuelve problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimales con signo. Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicas a partir de modelos geométricos.

Tema: Formas geométricas Subtema: Rectas y ángulos

Lección 2: Qué dicen los ángulos y sus medidas Páginas: 48 - 77

El estudiante resuelve y plantea problemas que impliquen el reconocimiento y la medición de ángulos.

Tema: Medida Subtema: Estimar, medir y calcular

Lección 2: Qué dicen los ángulos y sus medidas Páginas: 48 - 77

El alumno deduce la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Deduce las relaciones entre medidas de ángulos interiores de triángulos y de paralelogramos. Resuelve problemas operando con números enteros, fracciones y decimales. Resuelve problemas operando con expresiones algebraicas. Construye expresiones algebraicas a partir de modelos geométricos.

Tema: Análisis de la información Subtema: Relaciones de proporcionalidad

Lección 3: Si uno aumenta, el otro también Páginas: 78 - 97

El estudiante elabora procedimientos para obtener el factor inverso a partir de una relación de proporcionalidad y resuelve problemas de proporcionalidad múltiple.

Tema: Representación de la información Subtema: Diagramas y tablas

Lección 4: Cuentas de cuántos Páginas: 98 - 105

Pronostica resultados en situaciones de conteo reconociendo regularidades. Comprueba resultados usando arreglos rectangulares, diagramas de árbol, etc.

Tema: Representación de la información Subtema: Gráficas

Lección 5: Gráficas que hablan Páginas: 106 - 117

Analiza y representa datos utilizando polígonos de frecuencia. Interpreta y comunica la información mediante polígonos de frecuencias.

1

2

3 4

5

PROHIBIDA SU VENTA

6

A partir de intersecciones de dos rectas en el plano, y de dos rectas paralelas cortadas por una transversal, el estudiante reconoce relaciones entre ángulos del tipo opuestos por el vértice, adyacentes, colaterales, correspondientes, alternos, internos, externos, etcétera.

7

8 9

PRIMERA EVALUACIÓN BIMESTRAL

VIII

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd VIII

12/12/08 7:23:20 PM

PROHIBIDA SU VENTA

Conceptos

Habilidades

Actitudes

Aprendizajes esperados

• Monomio, parte numérica y literal de un monomio. • Término de una expresión algebraica.

• Inferencia de propiedades, características y tendencias. • Expresión y representación numérica.

• Reconocer la importancia del álgebra en la solución de problemas. • Comprender que las matemáticas son, sobre todo, razonar y producir ideas. • Asumir el reto de construir conceptos.

• Deducir y argumentar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. Deducir la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo y de cualquier cuadrilátero; desarrollar argumentos que lo justifiquen. • Usar distintos procedimientos para calcular el producto de números con signo. Deducir las reglas generales para multiplicar números con signo. Resolución de problemas que involucran números con signo.


• Inferencia de propiedades, características y tendencias. • Expresión y representación numérica.


• Deducir y argumentar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros. Deducir la suma de los ángulos interiores de cualquier tri ángulo y de cualquier cuadrilátero; desarrollar argumentos que lo justifiquen. • Usar distintos procedimientos para calcular el producto de números con signo. Deducir las reglas generales para multiplicar números con signo. • Resolución de problemas que involucran números con signo.


• Argumentación. • Anticipar y justificar resultados. • Desarrollo de la intuición.


• Agrupar y simplificar términos semejantes en la simplificación de expresiones y en la resolución de ecuaciones. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos. • Resolver problemas que involucran adición y sustracción de expresiones algebraicas.


• Argumentación. • Anticipar y justificar resultados. • Desarrollo de la intuición.


• Agrupar y simplificar términos semejantes en la simplificación de expresiones y en la resolución de ecuaciones. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos. • Resolver problemas que involucran adición y sustracción de expresiones algebraicas.

• Ángulo, vértice y lados de un ángulo. • Grado. • Ángulo llano, recto, agudo y obtuso.

• • • • •

Estimar, justificar y anticipar resultados. Desarrollo de la intuición. Inferir y deducir. Argumentación. Interpretación de ideas y procedimientos.

• Poner a prueba sus conocimientos. • Razonar y compartir ideas. • Flexibilidad para modificar puntos de vista. • Interés por investigar.

• Identificar, en distintas situaciones, ángulos como abertura entre dos planos. Mediante situaciones simples; identificar ángulo recto, de 360° y de 180° ; identificar mediante comparaciones ángulos menores y mayores, ángulo agudo y ángulo obtuso. Comprender unidades de medida y realizar conversiones. Dadas dos rectas que se intersecan, reconocer las relaciones entre los ángulos que se forman identificando ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes; y establecer si las rectas son perpendiculares o no.

• Ángulos suplementarios. • Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. • Rectas perpendiculares y paralelas. • Ángulos colaterales, correspondientes, alternos internos y externos.

• • • • •

Estimar, justificar y anticipar resultados. Desarrollo de la intuición. Inferir y deducir. Argumentación. Interpretación de ideas y procedimientos.

• Poner a prueba sus conocimientos. • Razonar y compartir ideas. • Flexibilidad para modificar puntos de vista. • Interés por investigar.

• Dadas dos rectas que no se intersecan, y una tercera recta que corte a las dos anteriores, determinar si éstas son paralelas o no. Construir definiciones para distintos tipos de ángulos, con base en sus atributos. • Distinguir, identificar y comparar rectas, semirrecta y ángulos. Deducir cuándo dos ángulos son opuestos y argumentar por qué, sin recurrir a mediciones. Dadas dos rectas paralelas cortadas por una transversal; establecer las distintas relaciones entre esos ángulos; dar argumentos para justificar las relaciones de igualdad.

• Relación de proporcionalidad directa, factor constante de proporcionalidad, directo e inverso. • Proporcionalidad múltiple.

• Expresar, representar, identificar y analizar información. • Elección adecuada de procedimientos. • Argumentación. • Desarrollo de la intuición y el razonamiento.

• Compartir ideas. • Abordar un problema bajo distintas formas. • Apreciar la aplicación de las matemáticas en problemas y situaciones bajo distintos contextos.

• Identificar una relación de proporcionalidad directa, dar la expresión algebraica que la modela y encontrar el factor constante de proporcionalidad. Establecer que toda relación de la forma y=kxx es equivalente a (1/k)y=x, identificando ambas expresiones como relaciones de proporcionalidad directa, y reconociendo a 1/k como factor inverso. Resolver problemas de proporcionalidad directa, identificar el factor directo y el inverso; reconocer bajo qué circunstancias interviene uno y en cuáles el otro; dar la expresión algebraica correspondiente y la gráfica, comparar y reconocer diferencias y similitudes. Resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

• Relación de proporcionalidad directa, factor constante de proporcionalidad, directo e inverso. • Proporcionalidad múltiple.

• Expresar, representar, identificar y analizar información. • Elección adecuada de procedimientos. • Argumentación. • Desarrollo de la intuición y el razonamiento.

• Compartir ideas. • Abordar un problema bajo distintas formas. • Apreciar la aplicación de las matemáticas en problemas y situaciones bajo distintos contextos.

• Desarrollar el razonamiento combinatorio al resolver problemas de conteo, identificar regularidades y utilizar distintos recursos para organizar la información, enumerarla, averiguar el total de combinaciones posibles y enunciar fórmulas de recuento. Comprobar resultados, usando arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros métodos.

• Polígono de frecuencia. • Ubicación de puntos en el plano.

• Organizar, representar e interpretar. • Manejo de técnicas, gráficas y tablas.

• Tomar decisiones y justificarlas, con argumentos razonados.

• Organizar información en tablas, elaborar polígonos de frecuencia con base en la tabla correspondiente; analizar e interpretar la información; distinguir las ventajas de tener la información organizada en tablas y tenerla organizada en polígonos; sacar conclusiones a partir del análisis de la información.

PRIMERA EVALUACIÓN BIMESTRAL Dosificación

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd IX

IX

12/12/08 7:23:21 PM

SEGUNDO BIMESTRE Bloque temático 2 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Evaluarán, con o sin calculadora, expresiones numéricas y expresiones algebraicas en las que se utilicen paréntesis. Resolverán problemas que impliquen operar o expresar resultados mediante expresiones algebraicas. Anticiparán diferentes vistas de un cuerpo geométrico. Resolverán problemas en los que sean necesarios calcular cualquiera de los términos de las fórmulas para obtener el volumen de prismas y pirámides rectos. Establecerán relaciones de variación entre dichos términos. Resolverán problemas que implican comparar o igualar dos o más razones. Resolverán problemas que implican calcular e interpretar las medidas de tendencia central. Semana

Tema y subtema

12

El estudiante jerarquiza las operaciones y los paréntesis en diferentes problemas. Resuelve problemas multiplicativos, usando expresiones algebraicas.

Tema: Medida Subtema: Justificación de fórmulas

Lección 7: Prismas y pirámides Páginas: 144 -163

El alumno reconoce las características de cubos, prismas y pirámides. Elabora desarrollos planos de prismas y pirámides. Distingue diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

Tema: Medida Subtema: Justificación de fórmulas

Lección 8: Encuentra volúmenes de prismas y pirámides Páginas: 164 - 179

Reconoce y utiliza fórmulas para calcular el volumen de prisas y pirámides rectos. Argumenta su utilización.

Tema: Medida Subtema: Estimar, medir y calcular

Lección 8: Encuentra volúmenes de prismas y pirámides Páginas: 164 - 179

Obtiene aproximaciones de volumen de prismas y pirámides a partir de datos relacionados con las fórmulas de volumen. Hace conversión de unidades de volumen.

Tema: Análisis de la información Subtema: Relaciones de proporcionalidad

Lección 9: Las razones de la proporcionalidad Páginas: 180 - 185

El estudiante comprende el significado de una razón, compara razones y dimensiona las situaciones comparadas.

Tema: Representación de la información Subtema: Medidas de tendencia central y de dispersión

Lección 10: Tendencia central y dispersión de datos Páginas: 186 - 193

El alumno analiza las medidas de tendencia central, las interpreta y las utiliza para obtener más información de los datos dados.

Tema: Representación de la información Subtema: Medidas de tendencia central y de dispersión

Lección 10: Tendencia central y dispersión de datos Páginas: 186 - 193

Calcula las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados.

Tema: Formas geométricas Subtema: Cuerpos geométricos

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PROHIBIDA SU VENTA

Evidencia de logros

Lección 6: Operaciones con números y letras Páginas: 120 - 143

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Lección y páginas

Tema: Significado y uso de las operaciones Subtema: Operaciones combinadas

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SEGUNDA EVALUACIÓN BIMESTRAL

X

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd X

12/12/08 7:23:22 PM

Conceptos

Habilidades

Actitudes


Monomio. Binomio. Polinomio. Área.

• Manejo y representación numérica. • Deducir reglas. • Anticipar y justificar resultados.

• Descubrir y construir figuras, ideas razonamientos. Creatividad.

• • • • • • •

Poliedro. Cubo. Prisma. Pirámide. Cara. Arista. Vértice.

• Desarrollo de la imaginación espacial.

• • • •

Abordar un problema bajo distintas formas. • Dadas las características de un cuerpo geométrico, identificarlo y elaborar Investigar, conjeturar y poner a prueba. su desarrollo plano; y viceversa, dado un cuerpo geométrico, describir sus Razonar y construir ideas. características y su desarrollo plano. Socializar y compartir. • Identificar número de caras, aristas y vértices de poliedros, así como deducir la fórmula de Euler que relaciona dichos datos.

• Volumen. • Capacidad. • Decímetro cúbico.

• Uso de fórmulas y manejo algebraico de literales. • Desarrollo de la intuición y la argumentación.

• • • •

Abordar un problema bajo distintas formas. • Deducir y justificar la fórmula para el volumen de un cubo; a partir de ello, Investigar, conjeturar y poner a prueba. construir la fórmula para el volumen de un prisma. Comprobar Razonar y construir ideas. de distintas formas que el volumen de una pirámide es la tercera parte del Socializar y compartir. prisma con base y altura iguales a las de la pirámide.

• Volumen. • Capacidad. • Decímetro cúbico.

• Deducción y justificación de resultados. • Inferir propiedades, características y tendencias.

• • • •

Abordar un problema bajo distintas formas. • Estimar y calcular el volumen de prismas y pirámides. A partir de ciertos Investigar, conjeturar y poner a prueba. datos de un cuerpo geométrico, calcular los datos desconocidos, Razonar y construir ideas. relacionándolos con la fórmula correspondiente de volumen. Identificar Socializar y compartir. y establecer relaciones entre el volumen de dos prismas, así como el volumen de un prisma y una pirámide, al variar la altura y dejar fija la base, y al fijar un lado y variar los demás. • Distinguir volumen y capacidad, realzar conversiones.

• Cociente. • Razón. • Fracción.

• Uso y elección adecuada de procedimientos expertos.

• Análisis de las cosas y los problemas.

• Identificar una razón (fracción) como una relación entre dos cantidades, comprender el significado de esa relación y establecer comparaciones con otras razones que también representan relaciones entre dos datos. Manejar la noción de equivalencia en la comparación de razones. Interpretar y usar razones y razones equivalentes en la resolución de problemas.

• Moda. • Media. • Mediana.

• Manejo de la información. Análisis e interpretación de datos. • Comunicación y argumentación. • Investigación.

• Interés en información estadística sobre problemas socioeconómicos. • Toma de decisiones justificadas, con argumentos razonados.

• Reconocer, en gráficas y tablas, las medidas estadísticas; interpretarlas, analizarlas y sacar conclusiones. Estimar las medidas estadísticas en conjuntos grandes de datos, agrupándolos por intervalos.

• Intervalo de agrupamiento de datos.

• Representar e interpretar datos. • Uso de procedimientos en solución de problemas.

• Investigación. • Actitud positiva hacia la estadística y sus aplicaciones.

• Aplicación de polígonos de frecuencia, medidas estadísticas, así como razón entre dos cantidades y distintos problemas relacionados con comportamientos poblacionales.

PROHIBIDA SU VENTA

• • • •

• Familiarizarse con el uso de paréntesis en operaciones; establecer el orden correcto para efectuar los cálculos numéricos. • Expresar algebraicamente el área involucrada(s) en distintos modelos geométricos. • Dado el producto de dos monomios, el de un monomio con un binomio y el de dos binomios, representarlos con modelos geométricos.

SEGUNDA EVALUACIÓN BIMESTRAL

Dosificación

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XI

XI

12/12/08 7:23:23 PM

TERCER BIMESTRE Bloque temático 3 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Construirán sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Resolverán problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: axx + b =cxx + d; donde los coeficientes son números enteros o fraccionarios, positivos o negativos. Expresarán mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjuntos de cantidades. Establecerán y justificarán la suma de los ángulos internos de cualquier polígono. Argumentarán las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano. Identificarán los efectos de los parámetros m y b de la función y=mxx + b, en la gráfica que corresponde. Semana

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Tema y subtema

Lección 11: Dos pasos adelante y uno atrás Páginas: 196 -205

El estudiante es capaz de crear sucesiones de números con signo a partir del algoritmo. Asimismo, obtiene la fórmula a partir de los términos de una sucesión.

Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Ecuaciones

Lección 12: Cuando las letras se comportan como números Páginas: 206 - 217

Resuelve y plantea problemas que requieran de ecuaciones de la forma axx + bxx + c = dxx + exx + f.


Lección 12: Cuando las letras se comportan como números Páginas: 206 - 217

Resuelve y plantea problemas que requieran de ecuaciones de la forma axx + bxx + c = dxx + exx + f.

Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Relación funcional

Lección 13: La realidad a través de modelos lineales Páginas: 218 - 231

El alumno resuelve y plantea problemas de áreas como biología, economía y física, entre otras problemas relacionados con ecuaciones lineales de la forma y = axx + b. Discute la conveniencia de aplicar modelos lineales a situaciones reales.

Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Relación funcional

Lección 13: La realidad a través de modelos lineales Páginas: 218 - 231

El estudiante resuelve y plantea problemas de áreas como biología, economía y física, entre otras problemas relacionados con ecuaciones lineales de la forma y = axx + b. Discute la conveniencia de aplicar modelos lineales a situaciones reales.


Lección 14: Funciones lineales y sus gráficas Páginas: 232 - 257

Utiliza gráficas con relaciones lineales ligadas a diversos fenómenos para resolver y plantear problemas. Aplica conceptos aprendidos en el bloque a situaciones de la vida cotidiana.


Lección 14: Funciones lineales y sus gráficas Páginas: 232 - 257

Predice el comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mxx + b al cambiar el valor de b cuando m es constante, así como cuando se hace variar m y b permanece constante.

Tema: Formas geométricas Subtema: Justificación de fórmulas Subtema: Figuras planas

Lección 15: Mosaicos y recubrimientos Páginas: 258 - 267

El estudiante obtiene la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Explica y argumenta el porqué una figura geométrica puede recubrir el plano.

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23 PROHIBIDA SU VENTA

Evidencia de logros

Tema: Significado y uso de las literales Subtema: Patrones y fórmulas

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Lección y páginas

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TERCERA EVALUACIÓN BIMESTRAL

XII

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XII

12/12/08 7:23:25 PM

PROHIBIDA SU VENTA

Conceptos

Habilidades

Actitudes


• Sucesión.

• Intuición. • Identificar propiedades, características y tendencias. • Sentido numérico.

• Investigar, conjeturar y poner a prueba. • Descubrir y construir.

• Abordar problemas que involucran sucesiones de números con signo, buscando regularidades, formulándolas, deduciendo una regla general, comprobarla y desarrollar argumentos que la justifiquen. • Dada una regla general, construir la sucesión correspondiente y, viceversa, dada una sucesión, deducir la regla general.

• Eliminación de paréntesis, agrupación y reducción de términos semejantes.

• Anticipar resultados. • Uso de procedimientos expertos.

• Apreciar el uso de ecuaciones como modelos en la solución de situaciones problemáticas.

• Consolidar técnicas en la solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, ensayando las propiedades de la igualdad y usando transposición de términos; eliminando paréntesis y reduciendo términos.

• Eliminación de paréntesis, agrupación y reducción de términos semejantes.

• Anticipar resultados. • Uso de procedimientos expertos.

• Apreciar el uso de ecuaciones como modelos en la solución de situaciones problemáticas.

• Consolidar técnicas en la solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, ensayando las propiedades de la igualdad y usando transposición de términos; eliminando paréntesis y reduciendo términos.

• Relación funcional lineal. Su expresión algebraica, tabla y gráfica.

• Manejo y uso de las literales. • Interpretación y análisis de gráficas, tablas y expresiones algebraicas.

• Reconocer la presencia de las matemáticas en situaciones en diversos contextos. • Razonar y construir ideas.

• Planteado un problema: distinguir si involucra una relación de dependencia lineal o no. Si involucra una relación lineal, identificar las variables dependiente e independiente, establecer cómo el cambio de una implica el cambio de la otra; representar la relación mediante una expresión algebraica; deducir que en cualquier relación lineal la expresión algebraica es de la forma y = axx + b.


• Manejo y uso de las literales. • Interpretación y análisis de gráficas, tablas y expresiones algebraicas.

• Reconocer la presencia de las matemáticas en situaciones en diversos contextos. • Razonar y construir ideas.

• Planteado un problema: distinguir si involucra una relación de dependencia lineal o no. Si involucra una relación lineal, identificar las variables dependiente e independiente, establecer cómo el cambio de una implica el cambio de la otra; representar la relación mediante una expresión algebraica; deducir que en cualquier relación lineal la expresión algebraica es de la forma y = axx + b.


• Uso de procedimientos expertos en la resolución de problemas. • Interpretación de ideas y procedimientos. • Argumentación.

• Confianza en la capacidad de aprender. • Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.

• Ubicar o determinar intervalos de variación; representar la relación mediante tablas y gráficas; comparar distintas gráficas, manteniendo m constante y variando b; deducir que se trata de rectas paralelas que pasan por (0, b); comparar distintas gráficas para y = mx, variando m y deducir que son rectas que pasan por el origen; comparar distintas gráficas, manteniendo b constante y variando m; deducir que son rectas que pasan por (0, b). • Interpretar gráficas asociadas a distintos fenómenos que involucran relaciones lineales, extraer conclusiones.


• Uso de procedimientos expertos en la resolución de problemas. • Interpretación de ideas y procedimientos. • Argumentación.

• Confianza en la capacidad de aprender. • Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.

• Ubicar o determinar intervalos de variación; representar la relación mediante tablas y gráficas; comparar distintas gráficas, manteniendo m constante y variando b; deducir que se trata de rectas paralelas que pasan por (0, b); comparar distintas gráficas para y = mx, variando m y deducir que son rectas que pasan por el origen; comparar distintas gráficas, manteniendo b constante y variando m; deducir que son rectas que pasan por (0, b). • Interpretar gráficas asociadas a distintos fenómenos que involucran relaciones lineales, extraer conclusiones.

• Suma de ángulos interiores de un polígono. • Recubrimiento de superficies planas, repitiendo una pieza o un mosaico.

• Identificar propiedades, características y tendencias. • Desarrollo de la intuición. • Interpretación de ideas y procedimientos. • Creatividad.

• Investigar, conjeturar y poner a prueba. • Descubrir y construir.

• Mediante construcciones basadas en uniones de triángulos, deducir el valor de la suma de los ángulos interiores de los cuadriláteros y los pentágonos construidos. Comprobar la deducción con distintos procedimientos. En el trazado de polígonos, encontrar la relación que hay entre el número de lados del polígono y el número de triángulos en que se subdivide al trazar diagonales desde un vértice; deducir la fórmula para calcular suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. • Mediante construcciones, deducir la condición necesaria para que, al repetir un mismo polígono regular, se pueda recubrir un piso, sin dejar huecos y sin traslapes. Concluir cuáles son los polígonos regulares que cubren una superficie plana sin dejar huecos y sin traslapes. Mediante construcciones, deducir con qué polígonos es posible formar mosaicos que, al repetir, cubran una superficie plana sin dejar huecos y sin traslaparse.

TERCERA EVALUACIÓN BIMESTRAL Dosificación

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XIII

XIII

12/12/08 7:23:26 PM

CUARTO BIMESTRE Bloque temático 4 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Conocerán procedimientos para trabajar con las leyes de los exponentes y de la notación científica; además resolverán problemas relacionados con estos contenidos. Abordarán algunos problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos. Analizarán información registrada por dos o más gráficas de funciones lineales para interpretar y relacionar diferentes características de un fenómeno o situación problemática. Resolverán problemas que impliquen el cálculo de la probabilidad de dos eventos independientes. Relacionarán adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta. Semana

Tema y subtema

Lección y páginas

Evidencia de logros

Tema: Significado y uso de las operaciones Subtema: Potenciación y radicación

Lección 16: La potencia de los números Páginas: 270 - 285

El estudiante puede hacer uso de diferentes métodos para calcular productos, cocientes de potencias enteras, potencias de potencias y justifica tales métodos.

Tema: Significado y uso de las operaciones Subtema: Potenciación y radicación

Lección 16: La potencia de los números Páginas: 270 - 285

Resuelve operaciones de potencias, usando incluso exponentes negativos. Trabaja con notación científica, representando números muy pequeños y muy grandes.

Tema: Formas geométricas Subtema: Figuras planas

Lección 17: Triángulos en todas partes Páginas: 286 - 301

Determina cuáles triángulos son o no congruentes basándose en los diferentes criterios de congruencia.

Tema: Formas geométricas Subtema: Rectas y ángulos

Lección 17: Triángulos en todas partes Páginas: 286 - 301

El alumno traza o reconoce las alturas, bisectrices y mediatrices de un triángulo y resuelve problemas, haciendo uso de sus propiedades.

Tema: Análisis de la información Subtema: Noción de probabilidad

Lección 18: Independencia de eventos Páginas: 302 - 313

El estudiante obtiene la probabilidad de uno o más eventos en diferentes situaciones. Sabe diferenciar entre eventos independientes y aquellos que no lo son.


Lección 18: Independencia de eventos Páginas: 302 - 313

El alumno obtiene la probabilidad de uno o más eventos en diferentes situaciones. Sabe diferenciar entre eventos independientes y aquellos que no lo son.


Lección 19: Poligonales e información Páginas: 314 - 321

Analiza y obtiene información de gráficas. Se apoya en la información que le proporcionan las gráficas para tomar decisiones.


Lección 20: Gráficas segmentadas Páginas: 322 - 327

El estudiante construye gráficas para representar situaciones relacionadas con el movimiento y las interpreta.

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PROHIBIDA SU VENTA

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CUARTA EVALUACIÓN BIMESTRAL

XIV

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XIV

12/12/08 7:23:27 PM

Conceptos

PROHIBIDA SU VENTA

Actitudes


• Base y exponente de un número elevado a una potencia. • Notación científica.

• • • •

Ubicar patrones. Uso de procedimientos recursivos. Sentido numérico. Argumentar.

Habilidades

• Razonar y compartir ideas. • Apreciar el uso de las matemáticas en distintas ciencias.

• Elaborar y usar distintos procedimientos para calcular el producto y el cociente de potencias (enteras, positivas y negativas) de la misma base (natural y decimal); deducir reglas generales y aplicarlo a potencias de expresiones algebraicas. Aplicarlo a cantidades muy grandes y muy pequeñas. • Resolver problemas usando las reglas para calcular productos y cocientes de potencias; la notación científica.

• Base y exponente de un número elevado a una potencia. • Notación científica.

• • • •

Ubicar patrones. Uso de procedimientos recursivos. Sentido numérico. Argumentar.

• Razonar y compartir ideas. • Apreciar el uso de las matemáticas en distintas ciencias.

• Elaborar y usar distintos procedimientos para calcular el producto y el cociente de potencias (enteras, positivas y negativas) de la misma base (natural y decimal); deducir reglas generales y aplicarlo a potencias de expresiones algebraicas. Aplicarlo a cantidades muy grandes y muy pequeñas. • Resolver problemas usando las reglas para calcular productos y cocientes de potencias; la notación científica.

• Altura, mediana, mediatriz y bisectriz de un triángulo. • Gravicentro. • Concurrencia de tres rectas. Circuncentro, incentro y ortocentro. • Circulo inscrito y circunscrito a un triángulo.

• • • • •

Intuición. Argumentación. Inferencia. Manejo de la información. Determinación de procedimientos.

• Razonar y construir ideas. • A partir de construcciones, ubicar el gravicentro de un triángulo; deducir la • Flexibilidad para modificar puntos relación entre la distancia de cada vértice del triángulo al gravicentro y de vista. la distancia del vértice correspondiente al punto medio del lado opuesto. • Autonomía para enfrentar situaciones • Construir el circuncentro de triángulos; deducir la relación que hay entre y problemas. la distancia de un vértice al circuncentro y la distancia de otro vértice al • Uso de conocimientos para formular o circuncentro. rechazar ideas.

• Altura, mediana, mediatriz y bisectriz de un triángulo. • Gravicentro. • Concurrencia de tres rectas. Circuncentro, incentro y ortocentro. • Circulo inscrito y circunscrito a un triángulo.

• • • • •

Intuición. Argumentación. Inferencia. Manejo de la información. Determinación de procedimientos.

• Razonar y construir ideas. • Construir el incentro de un triángulo y deducir cómo es la distancia de cada • Flexibilidad para modificar puntos vértice al incentro. Construcción del ortocentro de distintos triángulos, de vista. deducir el comportamiento de las alturas. • Autonomía para enfrentar situaciones • Resolver problemas de construcción de figuras geométricas que involucran y problemas. triángulos, usando las propiedades de las rectas notables de un triángulo y • Uso de conocimientos para formular o establecer relaciones entre los lados de las figuras construidas. rechazar ideas.

• • • •

Espacio muestral. • Análisis y organización de información. Frecuencia relativa. • Inferir y predecir. Probabilidad de un evento. Eventos independientes, probabilidad de que ocurran dos de ellos simultáneamente.

• • • •

Socializar y divertirse sanamente. Interés por investigar. Toma razonada de decisiones. Actitud positiva hacia la probabilidad y sus aplicaciones.

• Ante distintos experimentos aleatorios, anticipar y determinar el número de resultados posibles; analizar y decidir si todos los resultados del experimento tienen la misma posibilidad de ocurrir; anticipar y determinar el número de casos favorables a que ocurra un evento. • Determinar la probabilidad de que ocurra un evento.

• • • •

Espacio muestral. • Análisis y organización de información. Frecuencia relativa. • Inferir y predecir. Probabilidad de un evento. Eventos independientes, probabilidad de que ocurran dos de ellos simultáneamente.

• • • •

Socializar y divertirse sanamente. Interés por investigar. Toma razonada de decisiones. Actitud positiva hacia la probabilidad y sus aplicaciones.

• Elaborar procedimientos sistemáticos (tablas, diagramas, gráficas) para realizar conteos y comprobar resultados. Distinguir cuando dos eventos son independientes y cuando no lo son; argumentar por qué. Elaborar procedimientos sistemáticos para decidir la probabilidad de que ocurran dos eventos simultáneamente. • Cuando los eventos son independientes, deducir la relación que hay entre la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente y las probabilidades de que cada uno de ellos ocurra por separado.

• • • •

Funciones. Gráficas. Histográmas. Tablas de datos.

• Manejo de técnicas, diagramas y tablas.

• Apreciar el uso de técnicas y herramientas matemáticas en la toma de decisiones.

• Elaborar, analizar e interpretar dos gráficas que modelen una misma situación, con distintas características, así como compararlas y sacar conclusiones para la toma de decisiones.

• • • •

Funciones. Gráficas. Histográmas. Tablas de datos.

• Organizar, representar e interpretar. • Manejo y uso de literales y de técnicas.

• Confianza en la capacidad de aprender. • Apreciar la importancia de usar sus conocimientos al cuestionar y responder situaciones.

• Distinguir fenómenos y situaciones que se pueden modelar mediante graficas formadas por segmentos de rectas; organizar los datos, elaborar la gráfica y sacar conclusiones sobre el desarrollo del fenómeno o la situación que modele; y viceversa, dada la gráfica, analizar los datos, interpretarla y extraer conclusiones.

CUARTA EVALUACIÓN BIMESTRAL

Dosificación

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XV

XV

12/12/08 7:23:28 PM

QUINTO BIMESTRE Bloque temático 5 Propósitos: En este bloque las alumnas y los alumnos: • Resolverán problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Reconocerán algunas transformaciones (traslación, rotación o simetría) que se puedan aplicar a una figura. Realizarán simetrías axiales y centrales y caracterizarán sus efectos sobre las figuras. Abordarán problemas que implican calcular la probabilidad de dos eventos que son mutuamente excluyentes. Semana

Tema y subtema

Lección y páginas

Evidencia de logros


Lección 21: Ecuaciones con dos incógnitas Páginas: 330 - 339

El estudiante es capaz de obtener los valores de las incógnitas de un problema utilizando, para ello, ecuaciones con literales.


Lección 22: Gráficas y sistemas de ecuaciones Páginas: 340 - 349

Define la solución de un sistema de ecuaciones lineales a partir de la interpretación de gráficas.

Tema: Transformaciones Subtema: Movimientos en el plano

Lección 23: Transformaciones y figuras Páginas: 350 - 363

El alumno identifica ejes de simetría, centros de rotación y traslación; además, construye o diseña figuras simétricas a partir de las propiedades de simetría.

Tema: Transformaciones Subtema: Movimientos en el plano

Lección 24: Teselaciones y movimientos en el plano Páginas: 364 - 373

El estudiante identifica ejes de simetría, centros de rotación y traslación; además, construye o diseña figuras simétricas a partir de las propiedades de simetría.


Lección 25: Probabilidad de eventos excluyentes Páginas: 374 - 379

El alumno determina la probabilidad de uno o más eventos; además, hace diferencia entre eventos mutuamente excluyentes y los que no lo son.


Lección 25: Probabilidad de eventos excluyentes Páginas: 374 - 379

Determina la probabilidad de uno o más eventos; además, hace diferencia entre eventos mutuamente excluyentes y los que no lo son.

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PROHIBIDA SU VENTA

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QUINTA EVALUACIÓN BIMESTRAL

XVI

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XVI

12/12/08 7:13:12 PM

Conceptos

Habilidades

Actitudes


• Uso de literales y lenguaje algebraico. • Ponerse a prueba ante variados • Determinación y uso de procedimientos problemas. informales y formales. • Confianza en la capacidad de aprender. • Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.

• Dar las expresiones algebraicas para modelar problemas que llevan al planteamiento de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. • Resolver un problema y el sistema de ecuaciones mediante procedimientos informales. Resolver usando procedimientos formales: método de sustitución y método de igualación.

• Sistema de dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas.

• Uso de literales y lenguaje algebraico. • Ponerse a prueba ante variados • Determinación y uso de procedimientos problemas. informales y formales. • Confianza en la capacidad de aprender. • Autonomía para enfrentar situaciones y problemas.

• Modelar gráficamente problemas que llevan al planteamiento de un sistema de dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas; ubicar los puntos de intersección; determinar y argumentar por qué son puntos “solución” del sistema planteado, así como determinar y argumentar por qué, cuando las rectas son paralelas, no hay solución al sistema planteado. • Ante distintos problemas, determinar el procedimiento que se considere más adecuado.

• • • •

Traslación. Reflexión. Rotación. Simetría.

• Anticipar resultados. • Intuición, deducción y análisis de propiedades. • Argumentación. • Comunicación. • Creatividad.

• Razonar y construir ideas. • Socializar y compartir. • Flexibilidad para modificar puntos de vista. • Reconocer la importancia de usar sus conocimientos para formular o rechazar ideas.

• A partir de construcciones, deducir lo que es una traslación, una reflexión y una rotación; deducir y explicar las propiedades de polígonos que sufren dichas transformaciones. • Realizar reflexiones sucesivas en dos rectas paralelas; identificar este movimiento con una traslación. Realizar dos traslaciones sucesivas en dos rectas que se intersecan; identificar este movimiento con una rotación, si las rectas no son perpendiculares; y con una reflexión, si las rectas son perpendiculares.

• • • •

Traslación. Reflexión. Rotación. Simetría.

• Anticipar resultados. • Intuición, deducción y análisis de propiedades. • Argumentación. • Comunicación. • Creatividad.

• Razonar y construir ideas. • Socializar y compartir. • Flexibilidad para modificar puntos de vista. • Reconocer la importancia de usar sus conocimientos para formular o rechazar ideas.

• Reconocer ejes de simetría de distintos polígonos y figuras geométricas; identificar la simetría como movimiento que deja igual una figura. • Reconocer y construir diseños combinando los distintos movimientos.

• Eventos mutuamente excluyentes. • Eventos independientes.

• Usar conocimientos previos en la solución de problemas. • Argumentación. • Comunicación.

• Actitud positiva hacia la investigación, • Planteado un experimento, identificar los eventos que no pueden ocurrir el trabajo en equipo y la colaboración. simultáneamente; argumentar por qué. Averiguar, mediante procedimientos • Actitud positiva hacia la probabilidad informales, la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B; o bien, y sus aplicaciones. los dos simultáneamente. • Usar procedimientos sistemáticos (tablas, graficas, diagramas) para calcular la probabilidad del evento A o el B; deducir la regla de la suma para eventos A y B mutuamente excluyentes; comparar con la probabilidad de que ocurran los eventos C y D, simultáneamente, cuando dichos eventos son independientes, así como describir las diferencias.

• Eventos mutuamente excluyentes. • Eventos independientes.

• Usar conocimientos previos en la solución de problemas. • Argumentación. • Comunicación.

• Actitud positiva hacia la investigación, • Planteado un experimento, identificar los eventos que no pueden ocurrir el trabajo en equipo y la colaboración. simultáneamente; argumentar por qué. Averiguar, mediante procedimientos • Actitud positiva hacia la probabilidad informales, la probabilidad de que ocurra un evento A o un evento B; o bien, y sus aplicaciones. los dos simultáneamente. • Usar procedimientos sistemáticos (tablas, graficas, diagramas) para calcular la probabilidad del evento A o el B; deducir la regla de la suma para eventos A y B mutuamente excluyentes; comparar con la probabilidad de que ocurran los eventos C y D, simultáneamente, cuando dichos eventos son independientes, así como describir las diferencias.

PROHIBIDA SU VENTA

• Sistema de dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas.

QUINTA EVALUACIÓN BIMESTRAL

Dosificación

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XVII

XVII

12/12/08 7:13:16 PM

EVALUACIÓN PRIMER BIMESTRE (A) Nombre: Fecha:

Grupo:

Calificación: Número de puntos totales por cubrir: 100

5

4

6 g

7 8

i

h

3

f a

1. En la siguiente figura se señalan con números las rectas y con letras algunos ángulos. Observa la figura y responde: (12 puntos) a) ¿Cuáles de los ángulos señalados miden 180 grados? b) ¿Cuáles miden 90 grados? c) ¿Cuáles miden más de 0 y menos de 90 grados? d) ¿Cuáles miden más de 90 y menos de 180 grados? e) ¿Qué rectas se intersecan y son perpendiculares?

b c

d

2 1

e

9

2. En la siguiente figura, las rectas 1 y 2 son paralelas. Analiza y responde: (12 puntos) a) ¿Cuánto mide el ángulo a?, ¿por qué?

a b

1

c

2

g f

30° e d i

b) ¿Cuánto mide el ángulo ff?, ¿por qué?

7 70°

c) ¿Cuál es el resultado de sumar los ángulos e con g?, ¿por qué?

h

d) ¿Cuál es el resultado de sumar los ángulos i con h?, ¿por qué?

3. En una tienda se venden cajas de galletas con a galletas cada una. Juan compró un número x de cajas y Pilar compró una tercera parte de las cajas que compró Juan. Escribe una expresión algebraica para indicar el total de galletas que tienen Juan y Pilar juntos. (10 puntos) 4. Debajo de cada una de las siguientes figuras, escribe una expresión algebraica que represente su área, un ejemplo se muestra en la figura a). (16 puntos) figura a) figura b) figura c)

x+2

PROHIBIDA SU VENTA

x+1

l

x x

l

l

+ +

+ +

+

+

+

+

(x + 1)(x + 2) a) ¿Son equivalentes las expresiones algebraicas para las tres figuras?, ¿por qué? b) La expresión x2 + 3x + 2, ¿es equivalente a las anteriores?, ¿por qué? c) ¿Son equivalentes las expresiones 3ax + 2x2 – 5ax + 8x2 – 5 y 12x2 + 7 + 6ax – 2x2 – 8ax – 12?, ¿por qué?

XVIII

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XVIII

12/12/08 7:13:17 PM

5. Reproduce la figura de la siguiente ilustración, ampliando la longitud de cada lado al doble. Llama reproducción 1 a tu nueva figura. Supón que el lado de cada cuadrito de la cuadrícula mide ½ cm. (30 puntos) Lado

original reproducción 1 reproducción 2 reproducción 3

longitud a longitud b

c

longitud c

d

longitud d

b

longitud e

e a

Supón que después se hace una reproducción 2, ampliando la longitud de cada lado original a 4/3. En la reproducción 3, se amplía cada lado de la reproducción 2, al triple. Llena las tablas. reproducción 1

reproducción 2

Expresión algebraica que relaciona la longitud de los lados de la figura original con la longitud de los lados de la reproducción ¿Es una relación de proporcionalidad directa? El factor de proporcionalidad directa es El factor inverso de proporcionalidad es Para reducirr la reproducción al tamaño de la figura original, debo multiplicar la longitud de cada lado por

6. Una estación de radio transmite tres noticieros al día, cada uno es conducido por un solo locutor. (20 puntos)

PROHIBIDA SU VENTA

a) ¿Cuáles son todas las combinaciones posibles en las que se pueden asignar los noticieros a dos locutores? b) Llamemos N1, N2 y N3 a los noticieros y L1 y L2 a los locutores; haz un diagrama y una tabla, para que compruebes tu respuesta.

Diagrama: c) Si en lugar de tres noticieros fueran cuatro y hubiera tres locutores en la estación, ¿de cuántas formas distintas podemos organizar los noticieros? . Y, ¿si fueran m noticieros y n locutores?

. Y, ¿si fueran tres noticieros y hubiera cuatro locutores? .

Evaluación primer bimestre A

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XIX

XIX

12/12/08 7:13:18 PM

EVALUACIÓN PRIMER BIMESTRE (B) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Observa la figura y responde: (10 puntos) a) ¿Cuánto mide el ángulo b?, ¿por qué?

f

b) ¿Cuánto mide el ángulo c?, ¿por qué? 115° a

c) ¿Cuánto mide el ángulo e?, ¿por qué?

b

55°

d) ¿Cuánto mide el ángulo a?, ¿por qué? e

e) ¿Cuánto mide el ángulo ff?, ¿por qué?

c

2. Dibuja lo que se te pide a continuación. (15 puntos) a) Un rectángulo cuya área sea a(b + c). Indica en tu dibujo los lados del rectángulo. b) El rectángulo a), de forma que puedas expresar su área como la suma de las áreas de dos rectángulos. Indica en tu dibujo los lados de los dos rectángulos y escribe una expresión algebraica que represente la suma de las áreas. ¿Son equivalentes las expresiones algebraicas de los dos incisos?, ¿por qué? 3. Una secretaria lleva una caja chica para gastos menores. Para llevar bien las cuentas, ella registra sus movimientos, por día, en la siguiente tabla. Completa la tabla escribiendo las expresiones algebraicas correspondientes y simplifícalas. (20 puntos)

Movimiento por día 1. Hay cierta cantidad x en caja. Entran $50 y salen $100.

Entra

Sale

50

(x + 50) – (100) = + – =( – )

100

(

)–(

)=(

3. Entran 200 pesos más x. Sale el saldo del día anterior.

( = =

–

)

4. Entra x. Sale el doble de x más 220 pesos.

2x + 220

( = =

5. Entran 100 pesos. Sale el triple del saldo del día anterior.

3( =

( = =

PROHIBIDA SU VENTA

2. Entra el triple de x. Sale el doble de x.

XX

Saldo (saldo anterior) + (movimiento del día)

Movimiento del día (entra)–(sale)

)

) – (2x + 220)

–

)

)

(

–

( =

– –

)

)+(

)

( = =

)+(

)

( = =

)+(

)

( = =

)+(

)

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XX

12/12/08 7:13:20 PM

4. En la siguiente tabla, aparecen los ingredientes necesarios para hacer un flan para seis personas. Completa la tabla si quisiéramos los ingredientes necesarios para hacer el flan para una y para ocho personas respectivamente. (25 puntos) Ingredientes

6p

Leche evaporada (tazas)

1

Leche condensada (tazas)

1

Huevos (unidades)

4

Queso (gramos)

Azúcar (cucharadas)

150 5

1p

8p

a) Si x representa la cantidad que se necesita de cada ingrediente para seis personas, y y representa la cantidad necesaria para una persona, escribe una expresión algebraica que represente la relación que hay entre estas cantidades: b) Escribe una expresión algebraica que represente la relación que hay entre la cantidad de ingrediente para seis personas y la cantidad de ingrediente para ocho personas: c) ¿Son relaciones de proporcionalidad directa? d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en el inciso a)? e) ¿Cuál es su factor de proporcionalidad inverso? f) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en el inciso b)?

g) ¿Cuál es su factor de proporcionalidad inverso? h) Si le ponemos vainilla al flan, 12 cucharadas para 8 personas, ¿qué cantidad hay que ponerle de vainilla para 6 personas?

5. Un candado tiene 2 rodillos. El primer rodillo tiene 5 letras: A, B, C, D y E. El segundo rodillo tiene 4 números: 1, 2, 3 y 4. (15 puntos) a) ¿Cuál es el número de todas las combinaciones posibles entre los dos rodillos? . Elabora un diagrama y una tabla para que compruebes tu respuesta. b) Si el primer rodillo tuviera 3 letras, y el segundo 5 números, ¿cuál sería el número combinaciones? c) Si el primer rodillo tuviera a letras y el segundo n números, ¿cuál sería el número de combinaciones?

PROHIBIDA SU VENTA

6. En el año 2004, la SEP realizó una encuesta a maestros de secundaria. El polígono de frecuencia que aparece a un lado, resume las respuestas que dieron los maestros, al preguntarles su edad (rango de edades en años y número de maestros que está en ese rango). Responde: (15 puntos) a) ¿En qué rango de edades se encontraba, en aquel año, el mayor número de maestros? De a años. b) ¿Era ésta la edad mediana de los maestros? c) Estima la mediana entre el número de profesores: Márcalo en el polígono de frecuencia. d) ¿Entre qué rangos de edades se encontraba ese número de profesores? De a años y de a e) Estima el número de maestros más jóvenes en aquel año: Estima el número de maestros con mayor edad:

100 000 80 000 60 000 40 000 20 000

años.

0 25 o menos

de 26 a 35

de 36 a 45

de 46 a mayores 55 de 55

XXI Evaluación primer bimestre B

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXI

12/12/08 7:13:21 PM

EVALUACIÓN SEGUNDO BIMESTRE (A) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Con base en la siguiente figura escribe dentro del paréntesis la letra correspondiente a la expresión algebraica que represente al enunciado, y escribe el resultado final para cada operación. (15 puntos)

B

5 A

C

D

a) 5 + (2 ¥ 6) + 2 + ÷ 29 =

( ) Área de A + B + C – D

b) 3 ¥ 5 + 2 ¥ 5 =

( ) Doble de área de C + D

c) (5 ¥ 6) - e

( ) El perímetro de la figura completa.

d) 5 ¥ 3 + 6 ¥ 5 = 2 e) 3 ¥ 5 ¥ 3 + 2 ¥ 5 ¥ 2 = 2 2

( ) El triple del área de A más el doble del área de D.

2

6

( ) Área de A + B

= 2 o

2. Escribe las expresiones algebraicas necesarias para hallar x. (20 puntos) a) El área del trapecio es: b) Si a un número le sumas 7 y al resultado lo divides entre 3 da 3. ¿Cuál es ese número?

2

x 3. A partir de las siguientes figuras, responde lo que se te pide: (20 puntos)

3

x

PROHIBIDA SU VENTA

a) Los cubos de la izquierda están hechos a escala. ¿Cuántos cubos azules caben en el cubo verde, si cada lado del cubo azul equivale a 10 u?, ¿cuánto mide cada lado del cubo verde?

b) De los siguientes prismas hechos de queso sin hoyos, ¿cuál tiene mayor volumen? Ayuda al ratón a decidir antes de que llegue el gato. 3

4 4

12

6

12

ii) i)

XXII

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXII

12/12/08 7:13:22 PM

4. Con base en los siguientes poliedros, completa la tabla. (10 puntos)

Figura 1 Número de caras

Figura 2 Número de aristas Número de vértices

Figura 1 Figura 2 5. Analiza los datos de la siguiente gráfica que muestra la rapidez de un móvil y responde: (20 puntos) Rapidez (m/s) y

a) ¿Cuántos datos se representan en la gráfica?

45 40 35 30 25 20 15 10 5

b) Con base en la gráfica, ¿podemos saber la rapidez exacta del móvil en un tiempo determinado?, ¿por qué? c) Calcula la rapidez media en el intervalo de tiempo que va del minuto 2 al minuto 5.

0

d) ¿Entre qué cantidades está la rapidez

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tiempo (min)

mediana?

6. La siguiente tabla muestra el número de saltos realizados por cinco tarántulas y la distancia total recorrida verticalmente. (15 puntos) Tarántulas

PROHIBIDA SU VENTA

Núm. de saltos Distancia recorrida verticalmente

1

2

3

4

5

10

12

9

10

11

50 cm

55 cm

54 cm

60 cm

45 cm

a) ¿Cómo se calcula la longitud vertical de cada salto? b) ¿Qué tarántula saltó más alto?, ¿hay algún empate? c) ¿Qué tarántula saltó menos alto? d) ¿De qué tamaño fueron los saltos de la 2ª tarántula? Evaluación segundo bimestre A

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXIII

XXIII

12/12/08 7:13:23 PM

EVALUACIÓN SEGUNDO BIMESTRE (B) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Resuelve el matematigrama, escribiendo el resultado de cada operación en las casillas correspondientes: (20 puntos) 6) 3)

2)

HORIZONTALES 1) 3 ⫻ 4 + (2 ⫻ 5) 2) 4 + (6 ÷ 2) 3) 7 ⫻ (5 – 3) 4) (18 ÷ 3) ⫻ 8 5) (10 + 35) ÷ 3

7) 4)

5)

VERTICALES 6) 7 ⫻ (8 – 5) 7) (8 ⫻ 9) – (7 ⫻ 5 – 7)

2. Observa el rectángulo y haz lo que se pide: (15 puntos) a–3 a) Expresa el área de los rectángulos A, B y C juntos: b) Expresa el área del rectángulo A: c) Expresa el área del rectángulo B: 3 d) Expresa el área del rectángulo C: e) Si a = 8 y b = 9, sustituye sus valores en las expresiones anteriores y calcula las áreas: Sustitución:

C A b

a B

+

3

Cálculo del área:

i)

=

ii)

=

iii)

=

iv)

=

3. Analiza los desarrollos planos y responde: (20 puntos)

¿Cuáles son desarrollos planos de un cubo? c

PROHIBIDA SU VENTA

b a

d

¿Cuáles son desarrollos planos de un tetraedro? ¿Alguno de los desarrollos no corresponde ni al cubo ni al tetraedro?

Si tu respuesta es afirma-

tiva, di cuál o cuáles:

XXIV

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXIV

12/12/08 7:13:24 PM

4. En la figura aparece una pecera y una pirámide que tienen la misma base y la misma altura. El volumen de la pirámide es de 30 cm3. Haz lo que se pide a continuación: (25 puntos) 2 cm 5 cm a) Calcula el volumen de la pecera: a

b) ¿Cuál es el valor de la altura? a = c) Si variamos la altura de la pecera y dejamos fija, en a, la altura de la pirámide, cómo varía la razón entre el volumen de la pirámide (que permanecerá constante en 30 cm3) y el volumen de la pecera (que variará conforme varíe su altura). Para saberlo, completa la siguiente tabla. Altura de la pecera

a

a/3

2a

na

7 7a

(1/5)a

Volumen de la pecera Razón (Vol. pirámide) ÷ (Vol. pecera)

d) ¿Qué cantidad de agua le cabe a la pecera, si la llenamos completamente? Da la respuesta en decímetros cúbicos, en litros y en mililitros. (Recuerda cuál es la capacidad –en litros– de un recipiente de un decímetro cúbico. Recuerda también que en un decímetro cúbico caben mil centímetros cúbicos). Cantidad de agua en decímetros cúbicos: Cantidad de agua en litros: Cantidad de agua en mililitros:

PROHIBIDA SU VENTA

5. En un taller, el dueño gana $20 000 mensuales, el encargado $10 000, la secretaria $6 000, el jefe de los trabajadores gana $8 000, dos técnicos ganan cada uno $6 000, una empleada gana $3 000, y los 18 trabajadores ganan $ 4 500 mensuales cada uno. (20 puntos) a) ¿Cuántas personas trabajan en el taller? b) ¿Cuál es el salario que más personas ganan en el taller? c) ¿Cómo se llama esta medida? d) ¿Cuál es la mediana salarial? e) ¿Cuál es el salario promedio? f) ¿Cuántas personas ganan un salario que se aproxime al salario promedio? g) ¿Consideras que este dato muestra cuánto gana cada trabajador?, ¿por qué? h) ¿Qué harías para obtener un promedio que se aproxime más a lo que gana cada trabajador? i) ¿Cuál es la proporción entre el salario del dueño y el salario de un trabajador? salario dueño = = salario trabajador 100 salario dueño j) Encuentra el valor de x, a partir de las razones equivalentes: = x=? x salario trabajador Entonces, por cada 100 pesos que gana el dueño, un trabajador gana

pesos. Evaluación segundo bimestre B

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXV

XXV

12/12/08 7:13:25 PM

EVALUACIÓN TERCER BIMESTRE (A) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Escribe los términos de las siguientes sucesiones: (10 puntos) a) Un albañil cubre una pared con mosaicos. Cada vez que unta pegamento, coloca cuatro mosaicos, de modo que el número de mosaicos colocados es 4n. Escribe los primeros 10 términos de esta sucesión. b) Escribe los términos 15, 20 y 30 de la siguiente sucesión 3n – 1: c) Marca con una ✗ aquellos términos que no pertenezcan a la sucesión 9 – 3(n + 1). –12, 10, –9, –2, –3, –1, 3, 0, 9, 10, 12

2. Escribe la regla para obtener el número que ocupa el lugar n en cada una de las siguientes sucesiones. (15 puntos) a)

b)

1

4

9

16

2

5

10

17

c) –4, –6, –8, –10, –12, –14 3. Encuentra el valor de x tal que el perímetro de los dos polígonos sea igual. Plantea la expresión algebraica y resuélvela. (15 puntos).

1+x

1+x

2+x 2x

PROHIBIDA SU VENTA

2

3

2

2

3

3x

3+x

4. Lizet tiene 6 años y su mamá 30. Plantea las ecuaciones correspondientes y resuelve. (15 puntos) a) ¿Dentro de cuántos años la edad de Lizet será igual a la tercera parte de la edad de su mamá? b) ¿Qué edad tendrá Lizet y qué edad tendrá su mamá?

XXVI

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXVI

12/12/08 7:13:26 PM

5. A una temperatura de 0° C, la rapidez del sonido en el aire es de aproximadamente 300 m/s, mientras que en hidrógeno es de aproximadamente 1 200 m/s. (20 puntos) a) Escribe las dos ecuaciones lineales que representen la rapidez del sonido en ambos medios. b) Se emite una onda de sonido que viaja en aire y una vez que la onda ha recorrido 300 metros se mide su velocidad. Se emite otra onda de sonido que viaja en hidrógeno y se mide su velocidad después de los primeros 600 metros recorridos por la onda. Grafica en el plano cartesiano las rectas que representen el movimiento de estas ondas de sonido. Distancia i (m) (m)

2 400 0 1 800 0 1 200 0 300 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

T mp Tie po p ( (s)

6. Las siguientes gráficas muestran la producción P de café en tres fincas en relación con la inversión realizada I. (15 puntos)

P

P

PROHIBIDA SU VENTA

Finca 1

I

P

Finca 2

I

Finca 3

I

a) ¿En cuáles fincas la producción aumentó conforme la inversión aumentó? b) ¿En cuál de las fincas la producción no aumentó? c) ¿En cuál de las fincas hubo mejor producción? d) ¿En cuál de las fincas no se necesitó una inversión inicial para la producción? e) ¿En cuál de las fincas la producción disminuyó? 7. Explica por qué no se puede utilizar el pentágono regular para recubrir un plano, y menciona al menos un polígono regular con el que sí es posible hacerlo. (10 puntos) Evaluación tercer bimestre A

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXVII

XXVII

12/12/08 7:13:27 PM

EVALUACIÓN TERCER BIMESTRE (B) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Escribe los términos que se piden para cada sucesión. (10 puntos) a) 8n – 32 es un número entero. Escribe el término anterior y el término siguiente. 1

b) Escribe los términos 10, 100 y 1 000 correspondientes a la sucesión 10n- n . c) Escribe los primeros cinco términos de la sucesión 5.66 – 1.66n.

2. ¿Cuál es la regla correspondiente a cada una de las siguientes sucesiones? (15 puntos)

a) 7

10

13

16

b)

1

4

9

16

c) –0.1, –0.2 , –0.3 , –0.4 , –0.5 3. Hugo salió de la biblioteca central a las 3 p. m., con una rapidez de un paso por segundo. Alma salió de la misma biblioteca a las 3:10 p. m. con una rapidez de dos pasos por segundo. Suponiendo que ambos caminan en línea recta con la misma dirección y que los pasos son de igual longitud, responde: (20 puntos)

PROHIBIDA SU VENTA

a) Plantea una ecuación que relacione las expresiones para las distancias que recorren los estudiantes, cuando Alma alcanza a Hugo.

b) ¿Cuánto tiempo tardó Alma en alcanzar a Hugo?

c) ¿A cuántos pasos de la biblioteca se encontraron Hugo y Alma?

XXVIII

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXVIII

12/12/08 7:13:28 PM

4. Escribe las expresiones algebraicas correspondientes a cada planteamiento y responde: (15 puntos) a) La suma de tres números pares consecutivos es 96. ¿Cuáles son estos números? Comprueba tu resultado.

b) La suma de tres números enteros consecutivos es igual al resultado que se obtiene al duplicar el entero menor de los tres números, más doce. ¿Cuáles son estos tres enteros? Comprueba tu resultado.

5. Dos personas practican diversos modos de respiración para relajarse. Para iniciar, la primera persona se mantiene 2 segundos sin respirar, después inhala en 3 segundos y exhala en otros 3 segundos. La segunda persona se mantiene 4 segundos sin respirar y a partir de éstos inhala en 5 segundos y exhala en otros 5 segundos. (25 puntos) a) Considerando que una inhalación y una exhalación hacen un ciclo de respiración, ¿cuál de las dos personas hace más ciclos por hora? b) Escribe una expresión algebraica que represente el método de respiración para cada persona.

c) Grafica las ecuaciones del inciso anterior. d) Dado que estas ecuaciones son de la forma y = mxx + b, ¿qué interpretación se puede dar si aumentara el valor de m? e) ¿Cuál sería la interpretación si b = 5?

Tiempo e p () (s) 3 30 2 28 2 26 2 24 2 22 2 20 1 18 1 16 1 14 1 12 1 10 8 6 4 2

PROHIBIDA SU VENTA

1

2

3

4

5

6

Ciclooos d Cic de ressspirrraciiión n

6. Elige una figura geométrica diferente del cuadrado y del rectángulo que sirva para recubrir un plano y dibújala repetidas veces en la cuadrícula para representar el recubrimiento. Explica por qué se puede asegurar que esta figura sirve como modelo para recubrir un plano. (15 puntos)

Evaluación tercer bimestre B

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXIX

XXIX

12/12/08 7:13:32 PM

EVALUACIÓN CUARTO BIMESTRE (A) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Un grupo de artesanos trabaja con alambre de plata, cada uno fabrica cierto número de artesanías por día, como se muestra en la tabla. Se contratará a un artesano del grupo. Para elegirlo, se meten en una bolsa tarjetas con el nombre de cada artesano y se sacará una tarjeta al azar. El nombre del artesano escrito en la tarjeta será la persona por contratar. (20 puntos) a) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: A: Se contrata a una mujer. B: Se contrata a un varón. C: Se contrata a quien hace 4 artesanías o más por día. D: Se contrata a quien hace menos de 3 artesanías por día.

Artesano

Número de artesanías terminadas en un día

Sandra

5

Mayar

4

José

3

Coral

3

Nancy

4

Javier

2

b) Si se contrata a dos de los artesanos y la primera tarjeta tiene el nombre de Javier, calcula la probabilidad de los siguientes eventos: E: ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito el nombre de una mujer? F: ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito el nombre de Sandra? c) Si Mayar no participa en el sorteo y la primera contratada es Nancy, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo contratado sea José? d) Se meten en una bolsa tres tarjetas con los nombres de quienes hacen 5, 4 y 3 artesanías y en otra bolsa tres tarjetas con los nombres de quienes hacen 4, 3 y 2 artesanías, y se saca al azar una tarjeta de cada bolsa. Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: G: Se obtienen los nombres de José y Coral. H: Se obtienen los nombres de dos personas que hacen 5 artesanías por día. I: Se obtienen dos nombres del grupo de artesanos. 2. Determina cuáles de los siguientes triángulos son congruentes y explica el criterio que usaste. (15 puntos)

2

4 45°

1

PROHIBIDA SU VENTA

2

1

100° 2

4 45° 4 45° 45° t4 t5 t7 2 t1 t3 1 t6 t2 1 3. Un papalote está formado por dos parejas de triángulos congruentes como se muestra en la figura. (15 puntos) a) Escribe cuáles son las parejas de triángulos congruentes. A b) Si la bisectriz (en rojo) corta a AB en su punto medio, ¿qué tipo de triángulos son DOA y AOB? D B c) Traza las mediatrices de los triángulos DOC y OBC. ¿Cómo es la distancia de 60° d O x + 15 cada circuncentro al segmento AC? d) ¿Cuánto mide el ángulo d? A 30° e) ¿Cuánto mide x?

XXX

45°

C Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXX

12/12/08 7:13:33 PM

4. La mamá de Gloria acordó con su hija que a partir del 1º de enero leería cada una de ellas una página de un libro, el 2 de enero leerían 2 páginas, el 3 de enero, 4 páginas, de modo que siempre al día siguiente leerían el doble de páginas leídas el día anterior. (10 puntos) a) ¿Cuántas páginas habrán leído entre las dos hasta el 15 de enero? b) ¿Cuántas páginas debe leer cada una el 7 de enero? c) ¿Cuántas veces más es el número de páginas que se tienen que leer el 10 de enero respecto al número de páginas que se deben leer el 5 de enero? 5. Escribe en notación científica las respuestas. (10 puntos) a) En unidades de energía una caloría equivale a 26 130 000 000 000 000 000 electron-volt, es decir, 1 cal = eV. ¿A cuántos eV equivaldrán 2 ⫻ 103cal? b) En unidades de tiempo, 1 año equivale a 31 560 000 segundos, es decir, 1 año = equivale un segundo?

s. ¿A cuántos años

6. En el siguiente triángulo equilátero encuentra: (15 puntos) a) Ortocentro b) Incentro c) Gravicentro d) Circuncentro

o i g c

Describe una característica de cada uno de estos puntos: 7. Las siguientes gráficas muestran la eficiencia de máquinas que realizan trabajo termodinámico y sus costos en porcentajes respecto a un presupuesto establecido. (M = Máquina) (15puntos)

PROHIBIDA SU VENTA

Eficiencia 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

M1

Costo (%)

M2

M3

M4

M5

M6

140 120 100 80 60 40 20 0

M1

M2

M3

M4

M5

M6

a) ¿Cuál es la máquina más eficiente? b) ¿Cuál es la máquina menos eficiente? c) ¿Cuál es la máquina más costosa? d) ¿Cuál es la máquina menos costosa? e) ¿Cuál máquina se debería comprar? Evaluación cuarto bimestre A

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXI

XXXI

12/12/08 7:13:34 PM

EVALUACIÓN CUARTO BIMESTRE (B) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Se elige al azar uno de los siguientes floreros y después, también al azar, se toma una flor del florero. (20 puntos)

f1

f2

f3

a) De los siguientes eventos, escribe I si es independiente o N si no lo es. Explica tu respuesta. A: Se elige el florero f3. B: Se elige una flor amarilla. b) Escribe, para cada florero, la probabilidad de elegir al azar una flor amarilla. c) Se toma al azar una flor de cada florero. ¿Cuál es la probabilidad de elegir tres flores rojas? d) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una flor negra del florero 1, una amarilla del florero 2 y una blanca del florero 3, simultáneamente? e) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una flor amarilla de florero 1, una flor amarilla del florero 2 y una flor amarilla del florero 3 de forma simultánea? f) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una flor roja del florero 1, una flor roja del florero 2 y una flor blanca del florero 3, simultáneamente? 2. Agrupa en parejas los triángulos que son congruentes, justifica tu respuesta. (15 puntos) T1

T2

T3

PROHIBIDA SU VENTA

2 M Sólo una de sus bisectrices corta en el punto medio M de un lado del triangulo T1. T4 60° 2 60° 60°

XXXII

2

2

2

Las bisectrices coinciden con las mediatrices, es decir se cortan en el mismo punto. T5 2

T6 2 60°

30° 60°

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXII

12/12/08 7:14:34 PM

3. Con base en la siguiente figura resuelve: (15 puntos) a) Encuentra el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo de mayor área. b) Encuentra el punto que equidista de los tres lados del triángulo de menor área. 4. Resuelve utilizando la notación científica. (15puntos) a) 1 mol es igual a 6.022 1023 partículas. ¿Cuántas partículas equivalen a 2 102 moles? b) La velocidad de reacción de dos sustancias S1 y S2 es de 1.2 10 –6 m/s mientras que la de S3 y S4 es de 3.6 10 –4 m/s. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad entre las velocidades de reacción? c) Un picómetro equivale a 1 10 –12 metros, es decir, 1 pm = 1 10 –12 m. El radio de un átomo es aproximadamente de 100 pm mientras que el radio del núcleo atómico es sólo de 5 10 –3 pm. ¿Cuántas veces es más chico el radio del núcleo que el del átomo? d) Un estudiante de secundaria recogió una basura del suelo en su escuela, al día siguiente 3 estudiantes siguieron su ejemplo y cada uno recogió una basurita, al tercer día 9 estudiantes hicieron la misma acción de limpieza, al cuarto día cada uno de 27 estudiantes recogió basura. Si siguiera aumentando de la misma forma el número de estudiantes que recogen basura cada día, ¿cuántos estudiantes ayudarían en la limpieza al octavo día? 5. Con base en los siguientes triángulos traza lo que a continuación se pide: (15 puntos) a) Traza una circunferencia circunscrita. b) Traza una circunferencia inscrita.

PROHIBIDA SU VENTA

c) Explica qué características tiene el centro de cada circunferencia. 6. Carla nadaba en una playa del Pacífico cuando vio caminar sobre el malecón a un amigo que tenía muchas ganas de ver. Ella nadó hasta la orilla durante 2 minutos, corrió sobre la arena 30 metros hasta llegar a la calle empedrada sobre la cual recorrió 10 metros más hasta alcanzar a su amigo. Carla nadó 50 metros, corrió sobre la arena 30 segundos y 5 segundos más sobre la calle, siempre de manera uniforme. (20 puntos) a) Haz la gráfica correspondiente al recorrido de Carla al dirigirse a su amigo. b) ¿Cuál fue el tiempo transcurrido desde que Carla empezó a dirigirse hacia su amigo? c) ¿Qué distancia recorrió? d) ¿Cuántos metros nadó cada minuto? e) ¿Cuántos metros recorrió en la playa cada segundo? f) ¿Cuántos metros recorrió en la calle cada segundo?

Evaluación cuarto bimestre B

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXIII

XXXIII

12/12/08 7:14:36 PM

EVALUACIÓN QUINTO BIMESTRE (A) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Esteban sale de su casa rumbo a la escuela con una rapidez de 50 cm/s, pero olvida su libro de Matemáticas 2. La mamá de Esteban sale de su casa 100 segundos más tarde con una rapidez de 90 cm/s para alcanzar a su hijo y darle el libro olvidado. (20 puntos) a) Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que represente la situación planteada. b) ¿A qué distancia alcanza la mamá a Esteban? c) ¿Cuánto tiempo le tomó a la mamá alcanzar a su hijo? 2. Dibuja el siguiente hexágono, con una rotación de 120º respecto al centro O y al hexágono resultante, refléjalo respecto a la recta R y dibújalo también. (15 puntos)

A

F

B

C

O

E

D R

PROHIBIDA SU VENTA

3. Encuentra las coordenadas de los vértices del triángulo ABC. (25 puntos)

y = 3x + 15

C

A

y = 6x + 12

y = –2x – 2

B

XXXIV

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXIV

12/12/08 7:14:37 PM

4. Analiza la siguiente figura y responde: (10 puntos) a) ¿Son congruentes los triángulos ABC y A’B’C’?, ¿por qué?

A

b) Encuentra el centro de rotación.

C

c) Compara la distancia del centro de rotación a cada vértice. ¿Cómo son estas distancias del triángulo ABC en comparación con las del triángulo A’B’C’?

C’ B A’

B B’

5. En la tabla siguiente, se muestra el número de platos que se lavan colectivamente en un campamento de verano en una hora. Para ver quién empieza a lavar platos en la semana de limpieza, se selecciona al azar a uno de los equipos. (15 puntos) a) Calcula la probabilidad de que el equipo seleccionado sea uno que lave: Nombre del equipo

Número de platos lavados en 1 hora

Equipo 1

50

Equipo 2

60

Equipo 3

70

Equipo 4

55

Equipo 5

65

i) Más de 50 platos. ii) Menos de 60 platos. iii) Más de 70 platos. iv) Más de 10 platos. b) Escribe una ✓ al lado de cada inciso si los eventos son mutuamente excluyentes y una ✗ si no lo son. i) El número de equipo es par y lava más de 50 platos. ii) El número de equipo es impar y lava 60 platos. iii) El número de equipo es mayor que 3 y lava 70 platos.

6. Se hace girar la flecha de la siguiente ruleta en una feria. (15 puntos) Calcula la probabilidad de que la flecha se detenga en: a) La región 5.

PROHIBIDA SU VENTA

b) Un número impar. c) Un número par y región azul. d) El número ocho o región verde. e) Un número entre tres y ocho que sea región anaranjada. f) Un múltiplo de tres. g) Una región anaranjada o un múltiplo de cuatro. h) Escribe un evento con probabilidad uno.

Evaluación quinto bimestre A

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXV

XXXV

12/12/08 7:14:38 PM

EVALUACIÓN QUINTO BIMESTRE (B) Nombre: Fecha:

Grupo:


1. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas correspondiente a cada situación y resuelve. (20 puntos)

a) En un estacionamiento hay bicicletas y coches. Hay 110 llantas y 35 vehículos. ¿Cuántas bicicletas y cuántos coches hay? b) Una señora intercambió bolsas con una mandarina por bolsitas de 5 uvas con su vecina. Si en total había 18 bolsas y 50 frutas, ¿cuántas mandarinas y bolsas de uva se intercambiaron? 2. Refleja el polígono en la recta R1 y luego refleja el polígono que obtuviste en la recta R2. (20 puntos) a) Comprueba que el tercer polígono es una rotación del primero.

R2 O

R1

b) Mide el ángulo entre R1 y R2. Compara este ángulo con el ángulo de rotación entre el primero y el tercer polígono. ¿Qué relación hay entre estos ángulos?

PROHIBIDA SU VENTA

3. Traza las rectas que representa el sistema de dos ecuaciones, encuentra la solución y comprueba tus resultados. (20 puntos) x+y =8 2y – 3x = 1

XXXVI

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXVI

12/12/08 7:14:40 PM

4. ¿Cuántas simetrías tiene un triángulo isósceles? Dibújalas y explica. (10 puntos)

5. De la siguiente caja se extrae una canica al azar. (15 puntos) a) Calcula la probabilidad de los siguientes eventos: i) Se extrae una canica verde o roja. ii) Se extrae una canica amarilla o roja. iii) Se extrae una canica blanca o negra. b) Escribe un par de eventos D y E, para los cuales en uno la probabilidad sea igual a 1 y para el otro la probabilidad sea cero.

6. En una caja hay 8 playeras de distintos colores y diversos equipos. Se saca al azar una playera. Escribe dentro de la tabla E si los eventos son mutuamente excluyentes o N si no lo son. (15 puntos) Eventos

Mutuamente excluyentes

A, E A, F Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 1

A, G B, E B, F

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 1

Equipo 2

B, G

PROHIBIDA SU VENTA

C, E C, F Eventos A: Se saca una playera roja. B: Se saca una playera azul. C: Se saca una playera verde. D: Se saca una playera amarilla. E: La playera es del equipo 1. F: La playera es del equipo 2. G: La playera es del equipo 3.

C, G D, E D, F D, G

Evaluación quinto bimestre B

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXVII

XXXVII

12/12/08 7:14:41 PM

RESPUESTAS RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL PRIMER BIMESTRE (A)

6.

1.

a) Dos conductores en las 3 transmisiones, se pueden presentar de 6 formas distintas. b) Denotando con N1, N2 y N3 los noticieros y con L1, L2 los conductores, el diagrama y la tabla quedan:

Ángulos que q miden 180 grados: g c. Ángulos g q que miden 90 ggrados: gg, i, ff. Ángulos g que q miden más de 0 y menos de 90 ggrados: a, e. Ángulos que miden más de 90 grados y menos de 180: b, d, h. Rectas perpendiculares: 2 y 5, 3 y 4, 5 y 6, 5 y 7.

N1

2. a) Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180 grados, a + b + c = 18°. Luego, b mide 30 grados por ser opuesto por el vértice a ese ángulo y c mide 70 grados por ser correspondiente a g y éste es opuesto por el vértice al ángulo de 70 grados; entonces a + b + c = a + 70 + 30 = a + 100 = 18°. Por lo tanto, a) a = 80 grados. b) f = 180 – 70, pues f y el ángulo de 70 grados, son complementarios. c) El ángulo g mide 70º porque es opuesto por el vértice al ángulo de la misma medida. El ángulo e mide 30º por ser alterno interno al otro ángulo de la misma medida. d) La suma de los ángulos i y h es 100º porque forman un triángulo con el ángulo a, que mide 80º.

L1

L1

L2

L1

L2

N1

N2

N3

L1

(L1,N1)

(L1,N2)

(L1,N3)

L2

(L2,N1)

(L2,N2)

(L2,N3)

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL PRIMER BIMESTRE (B)

1. a) Ángulo b = 115º porque es opuesto por el vértice a dicho ángulo. b) El ángulo c mide 115º, porque b y c son correspondientes. c) El ángulo g e = 180 – 115 = 65, por que c y e suman 180º, (son complementarios). d) Ángulo a = 360 – 115 – 65 – 55 = 125, porque la suma de los ángulos de un cuadrilátero es de 360 grados. e) El ángulo f = 180 – 65 – 55 = 60, porque la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados.

4. Expresión algebraica para la suma de áreas de la figura b): x2 + x + 2x + 2. Expresión algebraica para la figura c): x(x + 1) + (x + 1) + x + 1. a) Sí son equivalentes las tres expresiones algebraicas para las tres figuras, pues representan la misma área. b) La expresión x2 + 3x + 2 sí es equivalente a las dos anteriores, pues x2 + x + 2x + 2 = x2 + 3x + 2 y x(x + 1) + (x + 1) + x + 1 = x2 + x + (x + 1) + x + 1= x2 + 3x + 2. c) Sí son equivalentes.

L2

N3

c) Si fueran 4 noticieros y 3 conductores, tendríamos 12 formas distintas de presentar a los conductores en los noticieros. Si fueran m noticieros y n conductores, serían mn distintas formas de presentarlos.

3. Juan compró x cajas con a galletas cada una, por lo que Juan tiene ax galletas. Pilar compró la tercera parte de las cajas que compró Juan, entonces compró x/3 cajas y tiene a(x/3) galletas. Por lo que los dos juntos tienen ax + a(x/3) galletas en total.

N2

2. a) Un rectángulo de área a(b + c) sería:

5.

PROHIBIDA SU VENTA

Longitud Reproducción Original lado 1

Reproducción 2

Reproducción 3

a

3/2

(3/2)2 = 3

(4/3) (3/2) = 12/6 = 2

32=6

b

5/2

5

(4/3)(5/2) = 20/6 = 3.3

3(20/6) = 10

c

2/2 = 1

2

(4/3)

3(4/3) = 4

d

4/2 = 2

4

(4/3)2 = 8/3

3(8/3) = 8

e

1/2

1

(4/3)(1/2) = 4/6 = 2/3

3(2/3) = 2

a b +c b) Un rompecabezas sería: a

+a b

c

Así tenemos dos rectángulos cuya suma de áreas es igual al área del rectángulo del inciso a). La expresión algebraica que representa su área es: ab + ac. Las dos expresiones algebraicas sí son equivalentes, pues representan la misma área. Reproducción 1

Reproducción 2

Expresión algebraica que relaciona la longitud de los lados de la figura original con la longitud de los lados de la reproducción

2x

4/3x

¿Es una relación de proporcionalidad directa?

Sí

Sí

Factor de proporcionalidad directa

2

4/3

Factor inverso de proporcionalidad

1/2

3/4

Para reducirr la reproducción a la figura original, debo multiplicar la longitud de cada uno de sus lados por

1/2

3/4

c d b e a

XXXVIII

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXVIII

12/12/08 7:14:42 PM

3. La tabla de la secretaria queda como sigue: Saldo (saldo anterior) + (movimiento del día)

Movimiento

Entra

Sale

Movimiento del día (entra)–(sale)

1. Hay cierta cantidad x en caja. Entran $50 y salen $100

50

100

x + 50 – 100 = x – 50

(x – 50)

2. Entra el triple de x. Sale el doble de x.

3x

2x

3x – 2x = x

(x – 50) + x = 2x – 50

(200 + x) – (2x – 50) = 200 + x – 2x + 50 = 250 – x

(2x – 50) + (250 – x) = 2x – 50 + 250 – x = x + 200

3. Entran $200 más x. Sale el saldo del día anterior

200 + x

2x – 50

4. Entra x. Sale el doble de x más $220

x

2x + 220

(x) – (2x + 220) = x – 2x –220 = – x – 220

x + 200 + (– x – 220) = x + 200 – x – 220 = – 20

5. Entran $100. Sale el triple del saldo del día anterior

100

3( – 20) = – 60

(100) – ( – 60) = 100 + 60 = 160

– 20 + 160 = 140

Tabla:

4. Ingredientes

6p

1p

8p

Leche evaporada (tazas)

1

1/6

8/6

Leche condensada (tazas)

1

1/6

8/6

Huevos (unidades)

4

4/6

32/6

150

150/6

150 8/6

5

5/6

5 8/6

Queso (gramos) Azúcar(cucharadas)

a) Expresión algebraica: y = x/6. b) Expresión algebraica y=8x/6. c) Las dos son relaciones de proporcionalidad directa. d) La constante de proporcionalidad en el inciso a) es 1/6. e) Su factor de proporcionalidad inverso es 6. f) La constante de proporcionalidad directa en el inciso b) es 8/6. g) Su factor de proporcionalidad inverso es 6/8. h) Si le ponemos vainilla al flan, 12 cucharadas para 8 personas, la cantidad que hay que ponerle de vainilla para 6 personas es (6/8) 12 = 9

A

B

C

D

E

1

(A, 1)

(B, 1)

(C, 1)

(D, 1)

(E, 1)

2

(A, 2)

(B, 2)

(C, 2)

(D, 2)

(E, 2)

3

(A, 3)

(B, 3)

(C, 3)

(D, 3)

(E, 3)

4

(A, 4)

(B, 4)

(C, 4)

(D, 4)

(E, 4)

6. a) Rango de edades en que se encontraba el mayor número de maestros: de 36 a 45 años. b) Sí, ésta era la edad mediana de los maestros. c) Mediana entre el número de profesores: 60 000. Rangos de edades de ese número de profesores: de 26 a 35 años y de 46 a 55. d) Estimación del número de maestros más jóvenes: 10 mil maestros. Estimación del número de maestros con mayor edad: 10 mil maestros. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL SEGUNDO BIMESTRE (A)

1. d) Área de A + B c) Área de A + B + C – D

PROHIBIDA SU VENTA

5.

a) Combinaciones posibles: 4 5 = 20

b) Doble de área de C + D

Diagrama:

a) El perímetro de la figura completa.

A

B

C

D

E

e) El triple del área de A más el doble del área de D. 3+6 2

5

c) ]5

45 = 2 2 5 6 g - b 2 l = 25

b) 3

5+2

5 = 25

d) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 b) Con 3 letras y 5 números serían 15 combinaciones. c) Con a letras y n números serían an combinaciones.

5

a) 5 + ] 2 # 6 g + 2 + 299 = 19 - 29 e) 3

5

2

3

+2#

5

2

2

45 = 2 + 10

Respuestas

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XXXIX

XXXIX

12/12/08 7:14:44 PM

2. a) El área del trapecio es 16, porque 2(3) + 2 x = 16, entonces 2x = 16 – 6 y por tanto 10

x= 2

x=5

b) El número es: x+7 3 =3

x +7=9 x=2 3. a) 6 veces el lado del cubo azul equivale a una vez el lado del cubo verde. Entonces caben 6 6 6 = 216 cubos azules en el cubo verde. El lado del cubo verde mide 60u.

HORIZONTALES 1) 3 4 + (2 5) = 12 + 10 = 22 2) 4 + (6 ÷ 2) = 4 + 3 = 7 3) 7 (5 – 3) = 7 2 = 14 4) (18 ÷ 3) 8 = 6 8 = 48 5) (10 + 35) ÷ 3 = 45 ÷ 3 = 15 VERTICALES 6) 7 (8 – 5) = 21 7) (8 9) – (7 5 – 7) = 44

2. a) Área de los rectángulos g A, B y C juntos: a(b + 3) = ab + 3a. b) El volumen del queso i) es ( 2 ) 12 = 72, mientras que b) Área del rectángulo g A = 3b. c) Área del rectángulo B = 3 3 4 12 = 32 = 9. d) Área del rectángulo C = (a – 3)(b + 3). el volumen del queso ii) es de ( 2 ) 6 = 144, por lo e) Si a = 8 y b = 9, sustituyendo, queda: tanto, el queso ii) tiene mayor volumen. i a(b + 3) = ab + 3a = (8 9) + (3 8) = 72 + 24 = 96 u2 4. ii 3b = 3 9 = 27 u2 iii 32 = 9 u2 iv (a – 3)(b + 3) = (8 – 3)(9 + 3) = 5 + 12 = 60 u2 Número de caras Número de aristas Número de vértices 3. Figura 1 10 24 16 Desarrollos planos del cubo son las figuras b y d. Un desarrollo plano del tetraedro es la figura a. La figura c no es desarrollo plano Figura 2 8 18 12 ni del cubo ni del tetraedro. 4. 5. a) (volumen de la pecera)/3 = volumen de la pirámide = 30, por a) Se representan 9 datos en la gráfica. lo que el volumen de la pecera es de 30 3 = 90 cm3. b) No podemos saber la rapidez exacta del móvil en un tiemb) El volumen de la pecera es (área de la base) a = (2 5)a = po determinado porque sólo se muestran algunos puntos por 10a = 90, por lo que el valor de la altura es a = 9 cm. intervalo. c) El primer punto es (2,5), entonces en el minuto 2 tenemos c) La tabla queda: una rapidez de 5 m/s y al minuto 5 tenemos una rapidez de 20 m/s. Por tanto, la rapidez media en el intervalo del a na Altura de la pecera a/3 2a 7a (1/5)a minuto 2 al 5 es (5 + 20)/2= 25/2 = 12.5 m/s. d) La rapidez mediana es 25 m/s, pues antes y después de este Volumen de la dato hay la misma cantidad de valores (5, 10, 15, 20 antes y 90 cm3 30 cm3 180 cm3 630 cm3 90n 18 cm3 pecera 30, 35, 40 y 45 después). 6. Razón (Vol. 3

4

PROHIBIDA SU VENTA

a) La longitud vertical de cada salto, se calcula dividiendo la distancia recorrida verticalmente entre el número de saltos. b) La razón correspondiente a cada tarántula con base en los datos es T1 = 5, T2 = 4.58, T3 = 6, T4 = 6 y T5 = 4.09, por lo tanto, las tarántulas que saltaron más alto fueron la 3 y la 4, hay un empate. c) La tarántula que saltó menos alto fue la última, la tarántula 5. d) El tamaño de los saltos de la segunda tarántula es de 4.58 cm. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL SEGUNDO BIMESTRE (B)

1. El matematigrama queda: 2

6)

3)

5)

XL

1

2)

2 1

7)

4

4)

4

5

8

pirámide) ÷ (Vol. pecera)

1/3

1

1/6

1/21

1/(3n)

5/3

d) La cantidad de agua que le cabe a la pecera es de 90/1000 = 0.09 decímetros cúbicos; 0.09 litros; que es equivalente a 0.09 1 000 = 90 mililitros. 5. a) 7 + 18 = 25 personas trabajan en el taller. b) Salario que más personan ganan en el taller: $4 500. c) Esta medida se llama moda. d) Para encontrar la mediana, acomodamos los datos en orden descendente (o ascendente):

7

20 000, 10 000, 8 000, 6 000 , 6 000, 6 000, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 4 500, 3 000. El dato que aparece en el centro es la mediana; es decir, mediana = 4 500 e) Salario promedio = suma de todos los datos entre 25: (38 000 + (3 6 000) + (18 4 500) + 3 000)/25 = (38 000 + 18 000 + 81 000 + 3 000)/25 = 140 000/25 = 5 600

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XL

12/12/08 7:14:47 PM

Distancia (m)

f) Número de personas que ganan un salario que se aproxima al salario promedio: 3 (los 3 que ganan 6 mil pesos). g) Este dato NO muestra cuánto gana cada trabajador, porque la diferencia entre el promedio y el salario de un trabajador es de más de mil pesos, de $1 100.

En aire E r

h) Para obtener un promedio que se aproxime más a lo que gana cada trabajador, se podría sacar el promedio sin considerar al dueño y al encargado; de esta forma el salario promedio sería de (140 000 – 30 000)/23 = 4 783.

2 400 1 800 1 200

i) Proporción entre el salario del dueño y el salario de un trabajador: Salario dueño = 20 000/4 500 = 4.44 Salario trabajador j) Para encontrar el valor de x, a partir de las razones equivalentes: 20 000/4 500 = 100/x, usando productos cruzados, se tiene que 20 000 x = (100 4 500) = 450 000; así x = 450 000/20 000 = 22.50. (Otra forma: (20 000 ÷ 200) = (4 500 ÷ 200) = 100/22.50 = 100/x / ; por lo tanto, x = 22.50.) Entonces, por cada 100 pesos que gana el dueño, un trabajador gana 22.50.

En n hiidr d óógeeenoo

300 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tiempo T (s)

6. a) En las fincas 1 y 3 la producción aumentó conforme la inversión lo hizo. b) En la finca 2 la producción no aumentó. c) En la finca 1 hubo mejor producción. d) En las fincas 2 y 3 no se necesitó una inversión inicial para la producción. e) En ninguna de las fincas la producción disminuyó. 7. Los ángulos internos de un pentágono regular no son divisibles entre 360, por lo cual no se puede cubrir el plano. El triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pueden recubrir un plano.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL TERCER BIMESTRE (A)

1. a) Los primeros 10 términos de la sucesión 4n son 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40. b) Los términos 15, 20 y 30 para la siguiente sucesión 3n – 1 son 44, 59, 89.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL TERCER BIMESTRE (B)

1.

c) Los términos que no pertenezcan a la sucesión 9 – 3(n + 1) son: 10, –9, –3, 3, 9 y 10. 2. La regla para cada sucesión es la siguiente: a) n2 b) n2 + 1 c) –2n – 2 = –2(n+1)

c) Los primeros cinco términos de la sucesión 5.66 – 1.66n son: 4, 2.34, 0.68, – 0.98, – 2.64 ...

3. La expresión algebraica para el perímetro del hexágono es 6 + (2 + x) + (3 + x) + 2 x = 11 + 2x + 2x = 9+ 4x. La expresión algebraica para el perímetro del pentágono es (1 + x) + (1 + x) + 3 + 3 + 3x = 8 + 5x. Igualamos ambas expresiones, entonces 9 + 4xx = 8 + 5x. Despejamos x por tanto x = 1 para que los perímetros sean iguales.

PROHIBIDA SU VENTA

4. a) 6 + x = 1/3 (30 + x) entonces 6 + x = 10 + x/3 entonces 3x/3 – x/3 = 10 – 6 entonces 2/3 x = 4 por lo tanto x = 12/2 = 6. Dentro de 6 años Lizet tendrá la tercera parte de la edad de su madre. b) 6 + x = 6 + 6 = 12 30 + x = 30 + 6 = 36

Lizet tendrá 12 años. su madre tendrá 36 años.

5. a) En aire ya = 300x, donde x es el tiempo transcurrido y y representa la distancia recorrida. En hidrógeno, yh = 1200x. b) Gráfica en el plano cartesiano de las rectas que representan el movimiento de las ondas de sonido:

a) El número siguiente es 8(n 1) 32 El número anterior es 8(n 1) 32 b) 1 1 1 100 – 10 1 000 – 100 10 000 – 1000

2. La regla correspondiente a cada una de las sucesiones dadas son: a) 4 + 3n b) n2 c) – n (0.1) 3. a) Cuando Alma sale de la biblioteca, Hugo habrá dado 60(pasos/min) 10min = 600 pasos, entonces si x representa el tiempo y el movimiento de Hugo es x + 600. Mientras que para Alma la expresión algebraica correspondiente es 2x. Cuando Alma alcanza a Hugo están a la misma distancia de la biblioteca, entonces x + 600 = 2x. b) x + 600 = 2x entonces 600 = x Alma tardó 600 segundos en alcanzar a Hugo, o bien 10 minutos. c) Hugo y Alma dieron el mismo número de pasos cuando se encontraron. Como pasaron 600 segundos entonces: 600 2 pasos/s = 1 200 pasos/s. Alma y Hugo se encontraron a 1 200 pasos de la biblioteca.

Respuestas

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XLI

12/12/08 7:14:49 PM

4.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL CUARTO BIMESTRE (A)

a) Un número par es de la forma 2n; el número par anterior es 2n–2 y el sucesor 2n+2, entonces (2n–2) + 2n + (2n+2) = 96 entonces 6n = 96, por tanto, n = 16 Sustituyendo el valor de n tenemos que 2n – 2 = 2(16) – 2 = 32 – 2 = 30 2n = 2(16) = 32 n+ 2 = 2(16) + 2 = 32 + 2 = 34 Por lo tanto, los números pares consecutivos son 30, 32 y 34. Comprobando 30 + 32 + 34 = 96

1. a) A: Se contrata a una mujer, P = 4/6 = 2/3. B: Se contrata a un varón, P = 2/6 = 1/3. C: Se contrata a quien hace 4 artesanías o más por día, P = 3/6 = 1/2. D: Se contrata a quien hace menos de 3 artesanías por día, P = 1/6. b) E: La probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito el nombre de una mujer es P = 4/5. F: La probabilidad de que la segunda tarjeta tenga escrito el nombre de Sandra es P = 1/5. c) La probabilidad de que el segundo contratado sea José es P = 1/4. d) G: Se obtienen los nombres de José y Coral, P = 1/3 1/3 = 1/9. H: Se obtienen los nombres de dos personas que hacen 5 artesanías por día, P = 1/3 0 = 0. I: Se obtienen dos nombres del grupo de artesanos, P = 3/3 3/3 = 1.

b) Tres enteros consecutivos se puede expresar como (n – 1) + n + (n + 1). Duplicar el menor 2(n – 1) y sumarle 12 nos da 2 (n – 1) + 12 Como ambas sumas son iguales, entonces igualamos (n – 1) + n + (n + 1) = 2 (n – 1) + 12 Despejamos n: 3n = 2n + 10 por lo tanto n = 10 Los tres enteros son 9, 10 y 11. Comprobación: 9 + 10 + 11 = 2(9) + 12 30 = 18 + 12 30 = 30. 5. a) La primera persona hace más ciclos por hora porque emplea menos tiempo para respirar. b) Primera persona y1 = 6x + 2

2. Son congruentes: (t1 y t3), (t2 y t5), (t4 y t6). Los criterios pueden ser LAL, ALA y LLL . 3.

Segunda persona y2 = 10x + 4

a) Una pareja de triángulos congruentes es AOB y DOA, y la otra pareja de triángulos congruentes es DOC y OCB. b) Los triángulos DOA y AOB son isósceles. c) Las mediatrices de los triángulos DOC y OBC se muestran en la figura. La distancia de cada circuncentro al segmento AC es igual una respecto a la otra. d) el ángulo d = 60º. e) x = 15º. A

Donde x representa el número de ciclos de respiración y Y, el tiempo en el que se realizan estos ciclos. c) Gráfica: y2 Tiempo mpo (s) 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

D

x = 15°

PROHIBIDA SU VENTA

60° 0

O

B

30° 0

C y1 0

1

2

3

4

5

Ciclos de respiració respiración

4. a) Habrán leído en total entre las dos hasta el 15 de enero 2 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + ) 2 (20 + 21 + 22 + 23 + 214 + … + 214) = = 2 (215–1) páginas. b) 26 es el número de páginas que debe leer cada una el 7 de enero. 10 de enero: 29 29/24 = 25 c) 5 de enero: 24

d) Significa que los ciclos de respiración se realizan en un tiempo mayor. e) Si b = 5 significa que la persona deja de respirar 5 segundos antes de iniciar su método de respiración.

5.

Para recubrir un plano con polígonos regulares sólo sirven el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Si los ángulos internos de una figura son divisores de 360º entonces la figura se puede usar para recubrir un plano.

6.

6.

XLII

d

a) 1 cal = 2.613 1019 eV ; 2 103 cal = 5.226 1022 eV. b) 1 año = 3.156 107 seg; 1 s. = 3.169 10 –8 años. a) Ortocentro b) Incentro c) Gravicentro d) Circuncentro

o i g c

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XLII

12/12/08 7:14:51 PM

3. a) El circuncentro se encuentra en el punto de intersección de las medianas. b) El incentro se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices.

o, i.. g, c

C i

Sólo en triángulos equiláteros, estos puntos coinciden. a) Es el punto de intersección de las alturas. b) El incentro equidista de los 3 lados del triángulo, es donde concurren las bisectrices del triángulo. c) Es el punto donde se cortan las medianas de un triángulo. La distancia de cada vértice al gravicentro es igual a 2/3 de la distancia del vértice al punto medio del lado opuesto. d) Es el punto donde concurren las mediatrices de los 3 lados de un triángulo. Este punto es el centro de una circunferencia que pasa por los 3 vértices del triángulo.

4.

1.2 # 10 100 pm c) = 20 103 veces más chico el radio del núcleo que 5 10- 3

el del átomo.

7. a) La máquina más eficiente es la M5. b) Las máquinas menos eficientes son las M1 y M3. c) La máquina más costosa es la M5. d) La máquina menos costosa es la M1. e) La máquina que se debe comprar es la M4.

a) 2 102 moles = 12.044 1025 partículas. b) La razón de proporcionalidad entre las velocidades de reacción es: 3.6 # 10- 4 10 2 m/s -6 = 3

d) El número de estudiantes que ayudarían en la limpieza al octavo día es de 37 estudiantes. 5. Circunferencia circunscrita.

Circunferencia inscrita.

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL CUARTO BIMESTRE (B)

PROHIBIDA SU VENTA

1. a) A: Se elige el florero f3. I, porque no depende de otro evento. B: Se elige una flor amarilla. N, porque depende del evento anterior, es decir, del florero que se elija. b) Para cada florero, la probabilidad de elegir una flor amarilla es: P1= 1/2, P2 = 1/4 y P3 = 3/4. c) La probabilidad de escoger tres flores rojas, una de cada florero, es cero. d) La probabilidad de elegir una flor negra del florero 1, una amarilla del florero 2 y una blanca del florero 3 es 1/4 1/4 1/4 = 1/64. e) La probabilidad de elegir una flor amarilla de florero 1, una flor amarilla del florero 2 y una flor amarilla del florero 3 1/2 1/4 3/4 = 3/32. f) La probabilidad de seleccionar una flor roja del florero 1, una flor roja del florero dos y una flor blanca del florero tres es 1/4 3/4 1/4 = 3/64. 2. Son congruentes: T1 y T3 porque T1 es isósceles y T3 también además de tener la longitud de dos lados iguales. T2 y T4, porque T2 debe ser equilátero para cumplir tal propiedad y T4 es triángulo equilátero por tener sus tres ángulos iguales, además de tener las longitudes de sus lados correspondientes iguales. T5 y T6, porque son dos triángulos rectángulos con dos ángulos de la misma medida y uno de sus catetos tiene la misma longitud.

El circuncentro pasa por los tres vértices del triángulo. El incentro equidista de los 3 lados del triángulo. 6. a) Gráfica correspondiente al recorrido de Carla al dirigirse a su amigo. D(m)

T(s)

b) El tiempo transcurrido desde que Carla empezó a dirigirse hacia su amigo fue de 2 minutos con 35 segundos. c) Recorrió una distancia de 90 metros. d) Nadó 25 m cada minuto. e) Recorrió en la playa 1 m cada segundo. f) Recorrió en la calle 2 m cada segundo. Respuestas

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XLIII

XLIII

12/12/08 7:14:52 PM

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL QUINTO BIMESTRE (A)

5.

1.

2.

a) Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que representa la situación planteada es: y = 50 (x + 100) y = 90 x. b) La mamá alcanza a su hijo a 112.5 metros de distancia: 90(125) = 11 250cm = 112.5 metros. c) A la mamá de Esteban, le tomó 125 segundos alcanzar a su hijo: 500 50x + 5 000 = 90x x = 4 = 125.

a) La probabilidad para cada evento es: i Lave más de 50 platos. P = 4/5 ii Lave menos de 60 platos. P = 1/5 iii Lave más de 70 platos. P=0 P=1 iv Lave más de 10 platos. b) ✗ i) El número de equipo es par y lava más de 50 platos. ✓ ii) El número de equipo es impar y lava 60 platos. ✓ iii) El número de equipo es mayor que 3 y lava 70 platos. 6. La probabilidad de que la flecha se detenga en:

Primer hexágono con rotación de 120º respecto al centro O y segundo hexágono reflejado respecto a la recta R.

R

E

F

F

O

D

C

A

O

A

B

E

B

1

a) La región 5.

p= 8

b) Un número impar.

p= 8 = 2

c) Un núnero par y región azul.

p= 8

d) El ocho o región verde.

p= 8+8 = 8 =2

e) Un número entre tres y

p= 8

4

1

1 1

3

4

1

2

ocho que sea región anaranjada.

D

C

2

1

3

1

f) Un múltiplo de tres.

p= 8 = 4

g) Una región de anaranjada

p= 8+8= 8

4

o un número múltiplo de cuatro. 3. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son las siguientes: Vértice C: – 2x – 2 = 3x + 15 3x + 15 = 6x + 12 x = – 17/5 x=1 y = 24/5 y = 18 Vértice A (– 17/5, 24/5) Vértice B: – 2x – 2 = 6x + 12 x = – 14/8 y = 3/2 Vértice B: (– 14/8, 3/2) 4.

PROHIBIDA SU VENTA

a) Los triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes porque las rotaciones conservan ángulos y longitudes. b) Ver figura. c) La distancia del centro de rotación a cada uno de los vértices correspondientes de los triángulos ABC y A’B’C’, es siempre la misma por definición.

h) Escribe un evento cuya probabilidad sea uno. RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN DEL QUINTO BIMESTRE (B)

1. a) 2x + 4y =110 x + y = 35, por lo tanto, son 15 bicicletas y 20 coches. b) x + y = 18 x + 5y = 50, por lo tanto, se intercambiaron 8 bolsas de uvas y 10 mandarinas. 2. a) Un polígono P’ es la rotación del polígono P con centro de rotación en O y ángulo de rotación a a si los vértices correspondientes de los dos polígonos están a la misma distancia de O y si cada uno de los ángulos que se forman al unir cualesquiera dos vértices correspondientes con el punto O es igual a a . b) La relación que hay entre esos ángulos es que son iguales.

A Centro entro d de tació C rotación C C’

R2 O

B A’

B B’ R1

XLIV

Guía docente

Guia Ateneo Conaliteg Mate 2.indd XLIV

12/12/08 7:14:54 PM

3.

6. y=8–x a) La probabilidad de los siguientes eventos es: y = 1/2 + 3/2 x x=3 y=5 Comprobación: Sustituimos los valores de x y y encontrados en las ecuaciones x+y=8 2y – 3x = 1 2(5) – 3(3) = 10 – 9 = 1 3+5=8

8 (3, 5)

5

3

8

Eventos

Mutuamente excluyentes

A, E

N

A, F

N

A, G

E

B, E

E

B, F

E

B, G

N

C, E

N

C, F

N

C, G

E

D, E

E

D, F

N

D, G

E

4. Un triángulo isósceles tiene un eje de simetría y una rotación de 360º, por lo tanto un triángulo isósceles tiene dos simetrías.

PROHIBIDA SU VENTA

360°

5. a) La probabilidad de los siguientes eventos es: i) Se extrae una canica P = 4/10 + 3/10 = 7/10 verde o roja. ii) Se extrae una canica P = 2/10 + 3/10 = 5/10 amarilla o roja. iii) Se extrae una canica P = 1/10 + 0/10 = 1/10 blanca o negra.

Respuestas

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XLV

12/12/08 7:14:59 PM

PROHIBIDA SU VENTA

BIBLIOGRAFÍA PARA LOS DOCENTES Alarcón, B., Bonilla, R. et al., Libro para el maestro (educación secundaria), SEP, México, 1994. García, J. y C. Bertrán. Geometría y experiencias, Alhambra Mexicana, México, 1997. Gardner, Howard, La mente no escolarizada. Cómo piensan los niños y cómo deberían enseñar en las escuelas. Fondo Mixto Paidós-SEP, México, 1997. Noger B. Nelsen. Demostraciones sin palabras, ejercicios de pensamiento visual. Proyecto Sur de Ediciones, España, 2001. Perelman Y., Aritmética recreativa, Ediciones de Cultura Popular, México, 1978. Rivaud, Juan José. Matemáticas para todos (compilación), Fomento Mexicano para la Educación y el Desarrollo, A. C., México, 2005. Bibliografía para el escolar Berlanga, Ricardo et al., Las matemáticas, perejil de todas las salsas, FCE, México, 1999. Enzensberger. El diablo de los números, Siruela, México, 1998. Gardner, Martín. Acertijos matemáticos. Selector, México, 2000. Perelman, Y., Álgebra recreativa. Quinto Sol, México, 1983. Perelman Y., Aritmética recreativa, Ediciones de Cultura Popular, México, 1978. Tahan, Malba, El hombre que calculaba, Noriega Editores-Limusa, México, 1988. Páginas de internet http://euler.ciens.ucv.ve/matematicos/kepler.html (sobre matemáticos famosos). http://es.geocities.com/yakovperelman1 (con enlaces a astronomía, matemáticas, geometría y física recreativa, así como vínculos a problemas y experimentos recreativos. Ir al enlace de “matemáticas” y después al de “álgebra recreativa”). http://sepiensa.org.mx/librero/matematicas.html (rica en información matemática para niveles de primaria y secundaria, así como para maestros y padres de familia. En los diferentes vínculos y enlaces se encuentran artículos, lecciones, problemas, actividades y juegos, con contenido matemático). http://redescolar.ilce.edu.mx (ir al enlace de “actividades permanentes”, ahí encontrarán diferentes actividades para diferentes asignaturas, incluida matemáticas). http://interactiva.matem.unam.mx (dedicada a la enseñanza de las matemáticas. En los diferentes vínculos hay talleres y juegos con información de álgebra, geometría e historia de las matemáticas, tanto para jóvenes como para maestros). http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/juegos/juegos.htm (con muchos juegos de matemáticas, mayoritariamente de geometría y álgebra). http://e21.ilce.edu.mx (ir a al enlace de “asignaturas”, donde se encuentran vínculos y enlaces a actividades relacionadas con matemáticas y otras asignaturas. En el enlace “matemáticas” hay diferentes actividades de aritmética, geometría y álgebra). http://redescolar.ilce.edu.mx (ir al enlace de “actividades permanentes”, donde hallarán diferentes actividades para diversas asignaturas, incluidas matemáticas. www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas (ir al vinculo “taller”, donde se presentan dos vínculos: uno sobre información didáctica acerca del juego en matemáticas y a una página con muchos juegos de matemáticas, mayoritariamente de geometría y álgebra). www.juegosmensa.com (en la que se encontrará una colección que reúne juegos de ingenio y problemas de matemática recreativa). http://roble.cnice.mecd.es/jarran2/ (geometría interactiva con el programa Cabri).

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Guía docente

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12/12/08 7:15:01 PM

Matemáticas

2

PROHIBIDA SU VENTA

Eduardo Mancera Martínez

El libro Matemáticas 2 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López. 1

00_Preliminares Matemáticas 2EDITOR.indd 1

12/12/08 3:00:40 PM

PROHIBIDA SU VENTA

2


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Presentación

PROHIBIDA SU VENTA

O

riginalmente ateneo significaba institución literaria o científica. La palabra viene del griego Athenaion, que era el templo de Atenea en Atenas, donde los poetas, oradores y filósofos compartían sus obras. En la Roma antigua, el ateneo era el lugar destinado al estudio de las artes y las técnicas. Por extensión, en la actualidad ateneo significa institución donde se cultiva el conocimiento y el aprecio de las artes. Atenea era la diosa griega de la paz, la serenidad, la inteligencia y la sabiduría. Su imagen representaba, entre otras cosas, la prudencia. De ahí que la palabra ateneo hasta nuestros días se asocie con el progreso intelectual y espiritual del ser humano. Si entendemos la educación como arte moral, razonamiento científico y sabiduría práctica que extiende los límites de la libertad y permite a las personas enriquecerse y enriquecer a quienes las rodean, entonces, el objetivo de la serie Ateneo seguirá siendo transformar a las personas para que ellas transformen el mundo de manera favorable. Desde los primeros ateneos se sabía que el ser humano nunca está completamente hecho, sino en continua marcha, perfeccionándose de un modo inacabable. El sujeto de la educación es una construcción por hacer, para alcanzar más altos niveles de existencia y satisfacer todas las necesidades de su espíritu. Sin embargo, la persona se perfecciona en comunidad; se ve en sus semejantes y en ellos y con ellos descubre su destino. Al mismo tiempo, la comunidad social también se perfecciona en el respeto del individuo. La valoración de la persona es indispensable para equilibrar las partes con el todo. El presente libro de la serie Ateneo tiene como objetivo ofrecerte oportunidades para la construcción del conocimiento matemático, de acuerdo con los planes y programas de estudio vigentes. Se apoya el libro en secuencias didácticas obtenidas de diversas fuentes como la historia de la disciplina y algunos resultados de la investigación y desarrollo educativo, además de que se fomenta el trabajo colegiado con tus compañeros. Para tu maestro este libro ofrece una herramienta de trabajo flexible, con la información básica para cultivar el conocimiento matemático y el aprecio por esta asignatura. Por lo mismo, en el desarrollo de los contenidos se recuperan prácticas del Ateneo, consideradas también en los planes y programas de estudio de la asignatura de matemáticas para la educación secundaria, como son la reflexión, la formulación de argumentaciones y la exploración de diferentes vías para aproximarse al conocimiento y resolver problemas. El enfoque planteado recupera las experiencias en la resolución de problemas, el trabajo colegiado e induce la reflexión sobre temas nodales de la asignatura. También se adelanta a prever la generación de errores a partir de preguntas frecuentes y actividades formuladas para ese propósito. En la medida en que tú estudies y te prepares, serás más capaz de elegir quién quieres ser y de transformar favorablemente el mundo en que te tocó vivir. Por ello, en este texto de la serie para la educación secundaria, queremos revivir el espíritu del Ateneo y participar con estos materiales en una formación que te permita alcanzar las metas que te fijes como ser humano y como ciudadano de un país que necesita personas como tú, en un mundo cuya complejidad exigirá que siempre estés muy preparado y atento. La inauguración de una nueva escuela, como promueven las más recientes tendencias educativas, es una excelente oportunidad para avanzar en lo antes expuesto, así que, bienvenido al ateneo.

Algunas de las ideas básicas de las corrientes constructivistas tienen relación con el cambio constante y la renovación de significados, aspectos que se han incorporado en las lecciones que constituyen el presente texto.

3


12/12/08 3:00:41 PM

Contenido

Bloque

1

2

Poner y quitar… tantas veces

1

Conviene recordar que la educación secundaria es el último paso del nivel de educación básica, en el cual es importante centrar la atención en la formación integral del individuo. En matemáticas, los estudiantes deben tener la oportunidad de reflexionar sobre lo que han aprendido y usar ese conocimiento para abordar nuevos contenidos. Esa posibilidad se tiene desde el inicio del curso; en efecto, al revisar varios contenidos integrados en los bloques 1 y 2, hay algunos contenidos que los estudiantes ya conocen del grado anterior, así que pueden aprovecharse para profundizar sobre relaciones matemáticas nuevas.

Bloque

6

12

• En busca del equilibrio • Operaciones de cuadritos • Caminos entre números y letras • Caminos entre letras y figuras • Expresiones algebraicas equivalentes • Expresiones equivalentes y operaciones algebraicas

• • • • •

Frecuentemente, se presta más atención al manejo simbólico de las entidades matemáticas que a darle significado a esos símbolos; la intención de planes y programas de estudio es invertir esa tendencia y atender a la formación de significados antes de abordar la manipulación simbólica.

4

24 32

7

37

• ¡Que alguien me ayude a calcular!! • Gente calculadora • Uso de los paréntesis • Geometría para calcular • Figuras que dividen

122 123 126 130 140

Prismas y pirámides

144

• Anatomía de los cuerpos… geométricos • Volúmenes de cuerpos geométricos

48

Letras para figuras Clases de ángulos Ángulos y rectas Ángulos entre rectas Suma de los ángulos interiores de un polígono

Si uno aumenta, el otro también

120

34

Qué dicen los ángulos y sus medidas

2

3

14 15

Operaciones con números y letras

50 57 64 66

8

• Áreas y volumen • Volúmenes y fórmulas

69 9

78

• Las buenas proporciones • Cuando lo grande se hace pequeño • Escala tras escala

80

Cuentas de cuántos

98

87 91

Encuentra volúmenes de prismas y pirámides

Las razones de la proporcionalidad • Uso de proporcionalidad

10 Tendencia central

y dispersión de datos

• ¿Qué nos dicen las tendencias?

146 154

164 166 173

180 182

186 188

PROHIBIDA SU VENTA

• Tablas, árboles y posibilidades 100 5

Una tendencia reciente en la didáctica de las matemáticas es la atención a varios “lenguajes” en los que se presenta un contenido matemático. Por ejemplo, en el caso de las funciones, es posible trabajar este contenido con tablas numéricas (lenguaje aritmético), con expresiones algebraicas lineales (lenguaje algebraico) o por medio de representaciones en el plano cartesiano (lenguaje gráfico).

Gráficas que hablan

106

• Histogramas y polígonos de frecuencia

108

4


12/12/08 3:00:42 PM

En los bloques 3, 4 y 5 se abordan contenidos no trabajados en los niveles anteriores por los estudiantes, por ello es importante intentar abordar éstos a partir de relaciones conocidas, aprovechando lo que ya saben los estudiantes.

Bloque

Bloque

3

4

5

• Los números negativos en la historia • Negativos y positivos en todos lados • Sucesiones de números con signo

196 198 199 201

12 Cuando las letras

se comportan como números

• Ecuaciones de las fichas 13 La realidad a través

de modelos lineales

• De rectas y costos • Funciones lineales en distintas disciplinas 14 Funciones lineales

y sus gráficas

• Funciones crecientes y decrecientes • La recta que sube y que baja • Cuando las rectas giran

206 208

218 220 225

232

258

• Sólo para convexos • Para no perder el piso

260 263

PROHIBIDA SU VENTA

16 La potencia

de los números

• • • • •

La bacteria prolífica Bases y exponentes Multiplicación de potencias Potencias de potencias División de cantidades expresadas en potencias, el caso de los exponentes negativos • Notación científica (cálculos con cantidades grandes o pequeñas)

17 Triángulos

en todas partes

• Preámbulo: ¿Cómo se hacen los triángulos? • Congruencia de triángulos • Puntos y rectas notables en el triángulo 18 Independencia

234 237 242

y recubrimientos

de eventos

270 272 273 275 277

279

19 Poligonales e

información

21 Ecuaciones

con dos incógnitas

286 288 289 294

302

314

• Lo que una gráfica dice

316

20 Gráficas segmentadas

322

• Cobros y su modelación

324

330

• El papiro Rhind y las matemáticas antiguas que estudias hoyy 332 • Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 333 • Métodos para solucionar ecuaciones con dos incógnitas 333 22 Gráficas y sistemas

de ecuaciones

281

• ¿Cuándo son independientes dos eventos? 304 • ¿Cuándo son dependientes dos eventos? 308

• Ecuaciones extrañas • Gráficas de rectas que se cortan: una solución al sistema de ecuaciones • Gráficas de rectas que no se cortan: ninguna solución al sistema de ecuaciones • Gráficas de rectas que se enciman: infinidad de soluciones al sistema de ecuaciones 23 Transformaciones

• • • •

340 342

343

344

345

y figuras

350

Geometría y movimiento Traslación Rotación Reflexión

352 352 354 358

24 Teselaciones

y movimientos en el plano

• La geometría de los tapices 25 Probabilidad

de eventos excluyentes

5


Algunas actividades pueden ser inventadas por los propios estudiantes; no basta que ellos repitan lo que se les plantea en clase, es muy importante que diseñen sus propias actividades.

Bloque

11 Números con signo

15 Mosaicos

Las ecuaciones de primer grado dan la oportunidad de utilizar algunas actividades para analizar desde otra perspectiva algunos procesos y conocimientos.

364 366

374

• Eventos que no son mutuamente excluyentes • Eventos mutuamente excluyentes

376

Glosario Simbología Bibliografía generall

380 381 382

377

En general, las lecciones se han diseñado a fin de apoyar al maestro en su planeación de clase. El docente puede identificar los contenidos que se pueden trabajar y la cantidad de páginas por abordar.

12/12/08 3:00:43 PM

Índice temático En este índice se muestra cómo es posible abarcar todo el programa de estudios con las lecciones que contiene este texto.

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico

T E MA

Subtema

Significado y uso de las operaciones

Operaciones combinadas

Lección

Página

1

12

6

120

Problemas aditivos

1

12

Problemas multiplicativos

1

12

Potenciación y radicación

16

270

Lección

Página

11

196

12

206

21

330

13

218

Lección

Página

2

48

17

286

Cuerpos geométricos

7

144

Justificación de fórmulas

15

258

15

258

17

286

T E MA

Subtema

Significado y uso de las literales

Patrones y fórmulas

Esta relación de temas puede ser de utilidad para que el maestro diseñe diferentes secuencias de contenidos y adapte el desarrollo del curso a las condiciones del grupo.

PROHIBIDA SU VENTA

En este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa de estudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarrollan dichos temas en la obra.

Ecuaciones Relación funcional

Eje T E MA

Forma, espacio y medida Subtema

Formas geométricas Rectas y ángulos El maestro puede observar en este índice el espacio que se ha dado a cada eje en el programa, lo cual puede serle útil para la toma de decisiones respecto a sus planes de clase y sobre el espacio que requiere cada eje en las evaluaciones o exámenes parciales.

Figuras planas

6


12/12/08 3:00:44 PM

Subtema

T E MA Medida

Lección

Página

2

48

8

164

7

144

Lección

Página

23

350

24

364

Lección

Página

3

78

9

180

18

302

25

374

Lección

Página

4

98

5

106

14

232

19

314

20

322

22

340

10

186

Estimar, medir y calcular Justificación de fórmulas Subtema

T E MA Transformaciones Con este índice se pueden generar varias ideas para la integración de contenidos, de tal modo que el maestro puede utilizar el texto con varias propuestas de organización de contenidos, dado que existe flexibilidad en el manejo de los temas.

Eje T E MA

Movimientos en el plano

Manejo de la información Subtema

Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad

PROHIBIDA SU VENTA

Noción de probabilidad T E MA

Subtema

Representacìón de la información

Diagramas y tablas

Además de una secuencia de contenidos, en el índice se muestra uno de los puntos importantes de los planes y programas: el que se refiere al avance espiral, en el cual un aspecto de un contenido se trabaja desde el inicio y a medida que se avanza, se profundiza; se recomienda leer con detenimiento el enfoque descrito en planes y programas de estudio.

Gráficas

Medidas de tendencia central y de dispersión Al intentar realizar una evaluación global del curso, el índice ayudará a decidir el tipo de contenidos por considerar. Además, se encontrarán algunas ideas para construir ítems que reflejen las competencias mencionadas en los documentos oficiales al consultar las lecciones respectivas.

7


12/12/08 3:00:44 PM

Estructura de la obra Al inicio de cada bloque se incluye una frase célebre, en parte para recordar personajes importantes, o para conocer algunos que son desconocidos pero que han contribuido en el desarrollo de la ciencia, o también para resaltar aspectos relacionados con el desarrollo del conocimiento matemático.

En cada entrada de bloque se incluyen los propósitos señalados en los programas de estudio, resaltando la importancia de éstos para el estudiante.

Entrada de bloque La entrada del bloque permite al maestro relatar anécdotas o situaciones que conoce sobre el desarrollo de las matemáticas y la importancia de algunos temas; incluso a partir de las secciones incluidas en dichas entradas se puede recordar lo que deben conocer los estudiantes y hacer planes para superar deficiencias de manera conjunta, de acuerdo con las estrategias preferidas del maestro.

Bloque 4 “Conocimientos puede tenerlos cualquiera, pero el arte de pensar es el regalo más escaso de la naturaleza.” Federico II

Conocerás procedimientos para trabajar con las leyes de los exponentes y de la notación científica; además resolverás problemas relacionados con estos contenidos.

Las entradas de lección se componen de tres apartados:

Abordarás algunos problemas geométricos que implican el uso de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos. Analizarás información registrada en varias gráficas de funciones lineales para interpretar y relacionar diferentes características de un fenómeno o situación problemática.

• Mis Retos informa al estudiante los conocimientos que se espera que adquiera o amplíe al terminar la lección. • ¿Qué sé?? recuerda al estudiante los contenidos trabajados en cursos anteriores que están relacionados con el desarrollo de la lección que inicia. • ¿Qué lograré aprender?? plantea cuestiones específicas al estudiante que lo ayudarán a determinar su dominio de los contenidos al terminar la lección.

Entrada de lección

PROHIBIDA SU VENTA

11

Números ú e os con co signo sg o

Resolverás problemas que impliquen el cálculo de la probabilidad de dos eventos independientes. Podrás representar mediante una gráfica compuesta por distintos segmentos de rectas el comportamiento de un fenómeno.

La sección “Algo de lo que me enseñaron” puede ser aprovechada de varias formas: para revisar el uso eficiente de procedimientos y el manejo de conceptos necesarios para abordar la lección; plantear discusiones sobre contenidos ya estudiados y, en general, confirmar habilidades útiles para trabajar esta lección.

“Algo de lo que me enseñaron”

ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Se tiene un grupo de 15 troncos de madera apilados en 5 filas como lo muestra la figura. ¿Cuántos troncos se pueden apilar de manera semejante en 10 filas? ¿Cuántos troncos podrían apilarse en tres filas?

Mis retos Utilizarás las ideas del curso anterior para construir sucesiones de números, pero ahora incorporarás números negativos, de modo que podrás obtener la regla para construir cualquiera de los términos de una determinada sucesión.

¿Qué sé? Ya pudiste analizar, en el curso anterior, varias sucesiones de números naturales, algunas de ellas relacionadas con configuraciones geométricas. Con base en regularidades que detectaste en determinadas sucesiones pudiste plantear una fórmula o regla para obtener cualquier miembro de ellas sin tener que partir siempre del primer término.

¿Qué lograré aprender? Aprenderás algunas estrategias para detectar regularidades en sucesiones de números con signo. También podrás representar algebraicamente la regla para encontrar términos de la sucesión.

2 ¿Qué número sigue en la secuencia 1, 6, 36, …?

3 De la siguientes secuencias numéricas determina la fórmula general y anota otros tres números. 5, 15, 25

1 5 9 , , 3 7 11

2, 8, 32

4 Dadas las siguientes fórmulas, encuentra los cinco primeros términos de la sucesión que generan. Sn = 2n + 2

Sn =

4n +1 2

Sn = 3 ´ 5 n - 1

5 Encuentra los primeros 10 términos de una sucesión cuyo primer término es 5 y donde el siguiente es siempre el triple del anterior menos la mitad del anterior. ¿Qué sucesión se formará si la regla es más bien que cada término sea el anterior menos la mitad del anterior?

196

En este bloque…

Emperador prusiano

197

“Algo de lo que me enseñaron” propone actividades sobre contenidos que es conveniente tener claros antes de abordar los temas de la lección. También sirve como evaluación diagnóstica. Las actividades planteadas en las secciones “Algo de lo que me enseñaron” y “Demuestro lo que sé y hago” (p. 9) deben dosificarse de acuerdo con el criterio del maestro. No es indispensable resolver todos los incisos, sino sólo aquellos necesarios para asignar tiempos adecuados al tratamiento de los contenidos y de acuerdo con el avance del curso.

8


12/12/08 3:00:45 PM

Desde el inicio de cada lección, el texto induce a utilizar la resolución de problemas para el tratamiento de contenidos.

El desarrollo de la lección atiende de manera preferencial al manejo de imágenes pues “una imagen dice más que cien palabras”.

Apertura de lección

Desarrollo de lección

BLOQUE 2

Al final de cada lección se incluyen las siguientes dos secciones:

BLOQUE 3

Argumenta tu respuesta. . También puedes utilizar el resultado de los cuadriláteros para segmentar polígonos convexos de más de 5 lados y así calcular la suma de sus ángulos interiores. Observa la figura 8.

¡Que alguien me ayude a calcular!

B D

360°

360° A

D

180°

A

360°

E

Suma de los ángulos interiores del polígono ABCDE: +

Figura 8

=

F

E

Suma de los ángulos interiores del polígono ABCDEF: +

=

Ahora completa la siguiente tabla cuyos datos se refieren a polígonos convexos:

Algunos utilizan los dedos de la mano, incluso partes de la mano como las falanges.

“Demuestro lo que sé y hago”

C

B

C

¿Cuántas formas de hacer cálculos tenemos?

Antes se usaban tablas de contar o ábacos de diferentes tipos.

Algunos hacen mentalmente los cálculos.

Pero en la actualidad muchos cálculos se realizan con calculadoras o computadoras.

Número de lados

Suma de los ángulos interiores

Expresión que relaciona el número de lados con la suma de los ángulos interiores

3

180°

(3 - 2)180° = 1 ´ 180° = 180°

4

360°

(4 - 2)180° = 2 ´ 180° = 360°

4 140°

(25 - 2)180° = 23 ´ 180° = 4 140°

5 6

Independientemente del recurso que usemos para calcular se deben tener en cuenta algunas reglas, pues de no hacerlo, aunque parezca increíble, se pueden obtener diferentes resultados en cada ocasión. Por ejemplo, si tú y tus compañeros realizan operaciones con pocos términos, como 123 + 35 ´ 76 o 34 - 56 ´ 93, no sería extraño que obtuvieran resultados diferentes. Lo anterior se complica cuando se requiere realizar operaciones complicadas como:

7 8

Es una evaluación sumaria en la que se integran los diversos contenidos estudiados en la lección. El maestro encontrará aquí actividades con las cuales puede plantear tareas o construir exámenes de acuerdo con sus necesidades.

9 10

3 + 5 ´ 7 - 2 ´ (-4 + 7) ´ (-3) + (-7) ¸ 5 + 2 - 7 + 4 ¸ 2 ´ 7 - (-12),

8 + (-3)

2 2 - 3 ´ (-5) + 4 + (2 + 7 - 8) 3 -3 5 3 -1 (- 3) - 2 + 7 - ´ 9 4 5

25 56

.

43

n

La expresión a la que llegarás al completar el último renglón de la tabla es la fórmula para obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo.

262

122

Este apartado, específico de la primera lección de cada bloque, explora algunas situaciones didácticas indicadas en los planes y programas de estudio.

Secciones particulares

Cada contenido planteado en el programa de estudios constituye un tema o subtema de la lección, los cuales se resaltan para su mejor identificación.

Las secciones “Para curiosos”, son “proyectos” que se plantean a los estudiantes como oportunidades para profundizar en aspectos relevantes del conocimiento o para escudriñar aspectos interesantes del conocimiento, además de mostrar algunas formas de plantearse preguntas cuando se aborda algún tema.

EN

“Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipo para buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual los involucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico.

EL ATEN

EO

PROHIBIDA SU VENTA

Para curiosos

“En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que se recomienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en su cuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí también se invita a la reflexión y se hace hincapié en las partes operativas cuando se considera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”.

9


“Conéctate”

127

Trata de resolver los casos sencillos y los complicados para comprobar si llegan a resultados diferentes. ¿Por qué se obtienen resultados diferentes, tanto en casos sencillos como complicados?

Esta sección presenta opciones de consulta en Internet o en libros que permiten profundizar en algunos contenidos. Considerando que los contenidos de Internet cambian o desaparecen sin previo aviso, las direcciones que se ofrecen sólo son un ejemplo de lo que se puede encontrar en este medio de información. Se recomienda utilizar un “motor de búsqueda” para hallar otras páginas sobre el tema de interés. Por otra parte, aun cuando algunas referencias bibliográficas que se sugieren son publicadas por editoriales extranjeras, son parte de las fuentes que se pueden obtener en idioma español y se han detectado en bibliotecas de varias instituciones o en librerías. Se pueden obtener artículos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en revistas especializadas, como las incluidas en el índice de revistas de excelencia sobre investigación del CO N A C Y T . También se cuenta con revistas digitalizadas de distribución gratuita, como la revista Uno, y otras publicaciones periódicas en hemerotecas de servicio gratuito en línea, como Redalyc.

La sección “Conéctate” abre las puertas para el autoaprendizaje, para utilizar los medios como fuente de información o ideas que complementan los temas vistos o resolver posibles dudas.

12/12/08 3:00:49 PM

Bloque 1 “En la medida en que las leyes de la matemática se refieren a la realidad no son ciertas, y en la medida que son ciertas no se refieren a la realidad”. Albert Einstein

PROHIBIDA SU VENTA

La cita incorporada provoca una reflexión importante pues indica algo que puede ir en contra de nuestras creencias más fuertes; la utilidad inmediata de las matemáticas. En realidad, las estructuras matemáticas se pueden desarrollar totalmente desligadas de problemas de la vida o de los que nacen en las sociedades; pueden ser el producto de razonamientos acuciosos sobre objetos abstractos regidos por las reglas de inferencia de la teoría; en ese nivel el rigor matemático es extremo y no se permiten ambigüedades. Sin embargo, al aplicar las matemáticas, se requiere flexibilizar las exigencias sometidas a los objetos matemáticos en la teoría y a veces hasta se hace necesario pasar por alto algunas características de los objetos matemáticos para ajustarlos a los sucesos que se presentan en diversas problemáticas en el mundo.

El maestro puede aprovechar esta cita para plantear a los alumnos la importancia del conocimiento teórico como un modelo riguroso. Por ello, una habilidad que deben desarrollar los estudiantes con el trabajo en la asignatura de Matemáticas, es que puedan reconocer formas de modelar o aplicar el conocimiento matemático, que pongan en juego diversos contenidos y no se restrinjan a uno solo, esto es, que puedan enfrentar las mismas situaciones y problemáticas parecidas con diferentes contenidos; adquirir esta competencia es necesaria para la vida.

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12/12/08 3:06:07 PM

Los aprendizajes esperados se enlistan en este apartado. Es bueno tenerlos a la mano para conocer el avance que debe lograrse en este bloque.

En este bloque… Resolverás problemas que requieran efectuar sumas, restas, multiplicaciones o divisiones de números con signo. Encontrarás explicaciones para entender por qué la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180∞ y la de los de un cuadrilátero es 360∞. Hallarás la solución de problemas de conteo mediante la realización de cálculos numéricos.

PROHIBIDA SU VENTA

Determinarás el valor faltante en problemas en los que intervienen más de dos conjuntos de cantidades. Construirás polígonos de frecuencia e interpretarás la información contenida en ellos. El maestro puede revisar el programa de estudios y compararlo con los propósitos de este inicio. Podrá observar que en algunos se ha modificado un poco la redacción, pues se considera que además de lograr lo que se pide en planes y programas de estudio, pueden lograrse otros conocimientos o competencias adicionales.

Una actividad que puede ser interesante es compartir con los estudiantes los propósitos y pedirles que al final del bloque se recapitule sobre lo que se alcanzó y lo que requiere un esfuerzo adicional.

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12/12/08 3:06:14 PM

1

Poner o e y quitar… q qu ta … tantas ta tas veces eces La sección “Mis retos” presenta los contenidos del curso organizados como “Conocimientos y habilidades” para enfatizar el enfoque de construcción de significados por parte de los alumnos, con base en la resolución de problemas.

Mis retos Ya has trabajado con números con signo, pero solamente realizaste adiciones y sustracciones con ellos. En esta lección aprenderás a realizar operaciones de multiplicación y división con este tipo de números, además de resolver problemas que los involucren. También, empleando las reglas que se han obtenido para operar con números con signo, y usando figuras geométricas y sus relaciones, abordarás procedimientos para obtener expresiones algebraicas equivalentes, sumarlas y restarlas.

PROHIBIDA SU VENTA

Aquí se establecen los contenidos aprendidos en cursos anteriores y que se utilizarán en la presente lección. Los alumnos y el maestro pueden hacer actividades para recordar algunos de ellos.

Los retos establecidos al inicio se desglosan en preguntas, las cuales serán un punto de referencia para los alumnos, pues al final podrán ofrecer respuestas a estos cuestionamientos.

¿Qué sé? En el curso anterior realizaste operaciones aditivas, sumas y restas, de números de varios tipos: naturales, fracciones, decimales e incluso números con signo; para ello utilizaste modelos como la recta numérica. También elaboraste la representación algebraica de situaciones relacionadas primordialmente con funciones lineales y expresiones de la forma ax + b = c. Así mismo, pudiste resolver problemas en los que las letras representan relaciones numéricas vinculadas a configuraciones geométricas, y también trabajaste con otros donde las letras representan incógnitas.

¿Qué lograré aprender? Algunos contenidos en esta lección sintetizan otros que abordaste en el primer año y sirven para repasar algunos procedimientos. Utilizando figuras geométricas aprenderás algunos elementos de álgebra elemental que sentarán las bases para abordar contenidos de mayor complejidad. En esta lección las literales representan números y se pueden operar como tales aunque no se conozca su valor numérico. Las reglas de este tipo de manipulación algebraica las podrás descubrir empleando agrupaciones de figuras geométricas.

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12/12/08 3:06:19 PM

La sección “Algo de lo que me enseñaron” puede utilizarse como tarea al inicio de una lección y ser resuelta individual o colectivamente; también sirve como tema de discusión en clase para resolver dudas y asegurar el manejo adecuado de conceptos o procedimientos necesarios para desarrollar los temas de la lección. No debe usarse como evaluación con fines de acreditación.

ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Encuentra el resultado de las siguientes operaciones y efectúa las comprobaciones. Es decir, si obtienes por ejemplo que (-3) + (+8) = (+5), esto se comprueba con la operación (-3) = (+5) - (+8). Representa las operaciones en una recta numérica con la escala adecuada. Interpreta las operaciones usando “ganar” para cantidades positivas y “perder” para cantidades negativas; escribe tus interpretaciones. • • • • • • • •

=8 (+3) + (+5) = -4 (+5) + (-9) = -8 (-2) + (-6) = -1 (-4) + (+3) (+15) + (+23) = 38 (-12) + (-34) = -46 (+67) + (-123) = -56 (-467) + (+456) = -11

• • • • • • • •

= -3 (-6) - (-3) = -11 (-4) - (+7) = -2 (+3) - (+5) = 21 (+12) - (-9) (+12) - (+25) = -13 (+34) - (-43) = 77 (-122) - (-345) = 223 (-456) - (+127) = -583

Como ya se trabajaron algunos aspectos de las operaciones con números con signo con el modelo de la recta numérica, es necesario conocer lo que saben los estudiantes sobre este punto y qué ideas tienen sobre este tipo de operaciones.

PROHIBIDA SU VENTA

2 Analiza cada una de las siguientes expresiones numéricas en las cuales hay un valor desconocido, simbolizado por un pequeño recuadro. Encuentra dicho valor faltante y escribe, con tus propias palabras, la forma de encontrarlo. •

2

+7=9

•

•

6

+ 12 = 18

• 8-

(–9)

+ 4 = -5

10

• 4+

35

= 39

•

–9

•

32

- 3 = 29

•

2 + 3

•

7 4

-

1 3 = 4 2

-6=4

5 3

= 17

=

7 3

El enfoque que se ha dado a las ecuaciones de primer grado enfatiza el manejo de las relaciones aritméticas entre las cantidades, pues los procedimiento tradicionales aún no se han trabajado, por ello se requiere conocer cómo resuelven los estudiantes este tipo de situaciones.

• 7.4 + 11.2 = 18.6

Empleando el mismo procedimiento sugerido en el enunciado de la actividad 1, comprueba cada una de tus respuestas.

3 En las siguientes ecuaciones encuentra el valor de x. Comprueba cada una de tus respuestas. x=2

• 4x + 2 = 10

→ 4x = 8

• 7x - 2 = 12

→ 7x = 14 x = 2

13

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12/12/08 3:06:20 PM

del equilibrio

En busca Poner y quitar La balanza se desequilibra.

Si tienes una balanza equilibrada y quitas peso de uno de los platos, ¿qué sucede con la balanza? Si en cambio pones más peso en un plato, ¿qué sucede con la balanza? El plato con más fichas baja. Premisas importantes en ciertas corrientes pedagógicas se refieren a que “el aprendizaje se logra de lo sencillo a lo complejo” y que “se debe partir de lo concreto para arribar a lo abstracto”, por ello, se trabajarán las operaciones con enteros a partir de casos sencillos y concretos.

Ganar y perder Algo similar sucede cuando ganas y pierdes.

Si en la balanza equilibrada quitas tres fichas de uno de los platos, ¿cómo equilibrarías la balanza de nuevo? Quitando 3 fichas al otro plato.

PROHIBIDA SU VENTA

Si los signos en los números se asocian a “ganar” o “perder”, como se hizo en el grado anterior, también pueden asociarse a “poner” (signo + en el número) o “quitar” (signo − en el número).

• Si tienes cinco monedas de $1.00 y ganas en un juego ocho monedas más, pero pierdes nueve monedas en otro juego, ¿con cuántas te quedas? 4 monedas. • Si pierdes 10 monedas y ganas otras 10, ¿cuánto te queda? 10 monedas. • Si ganas tres veces cuatro monedas, ¿cuántas monedas tendrás? 12 monedas. • ¿Ganar tres monedas y perder cuatro da el mismo resultado que ganar siete monedas y perder seis? No.

Si pones cinco fichas en uno de los platos, ¿cómo equilibrarías la balanza de nuevo? Poniendo 5 fichas en el otro plato.

En esta primera lección veremos cómo podemos representar y resolver lo que se plantea en situaciones como las anteriores mediante el uso de los números con signo.

Con las interpretaciones formuladas para los signos en los números, el cero se considerará no como ausencia de cantidad, sino como equilibrio entre poner y quitar.

14

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12/12/08 3:06:20 PM

LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES

Operaciones de cuadritos Para estudiar los números negativos trabajaste con la recta numérica en cursos anteriores. Ahora, para comprender mejor la adición y sustracción de números con signo podemos recurrir a representaciones diferentes a la recta numérica; tal es el caso de la siguiente actividad, en la que emplearemos fichas de dos colores. Tú mismo puedes elaborar las fichas. De una cartulina recorta 20 fichas azules y 20 amarillas, todas de forma cuadrada y de 1 cm de lado, como las que se muestran en la figura 1. Ahora bien, si tomas al azar varias de estas fichas recortadas, ¿cómo sabrás que tienes un “equilibrio” en el número de fichas de cada color? Si conviniéramos en que una ficha azul indica “ganar” una vez y una ficha amarilla “perder” una vez, ¿cómo representarías cuándo ganaste y perdiste lo mismo? ¿Qué instrucciones darías a un compañero para representar mediante agregados de fichas el resultado de un partido de futbol? Con nuestro material podemos investigar algunos hechos interesantes sobre las operaciones de números con signo. Asignaremos el valor (+1) a cada ficha azul y (-1) a cada ficha amarilla.

-

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm Figura 1 Los equilibrios se pueden representar con fichas de colores; la forma de las fichas no importa siempre y cuando sea la misma para todas y no incluyan diferencias entre ellas que desvíen la atención de los estudiantes en los signos.

Figura 2

+

De esta forma, el cero se representará con un equilibrio de fichas: es decir, un agrupamiento compuesto por una misma cantidad de fichas de cada color, como se ilustra en la figura 3.

0

0

Figura 3 Tres formas de representar el cero con “equilibrios” de fichas.

0

PROHIBIDA SU VENTA

Observa que cada número puede representarse de varias maneras con las fichas (figura 4).

-

-

Este modelo servirá para cantidades pequeñas, pero es sencillo y muestra ejemplos concretos de los números negativos.

-

-

-

-

+

+

+

Conviene trabajar mucho las representaciones de un número con signo, a partir de las fichas pues continuamente las utilizarán los estudiantes.

Figura 4

15

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12/12/08 3:06:25 PM

(-5)

BLOQUE 1

0

Las fichas no necesariamente tienen que ser cuadradas. Los colores pueden ser diferentes. Las fichas pueden tener otro orden. El orden que se propone aquí es semejante al de la recta numérica.

(-2)

Para curiosos

0

(4)

Discute con tus compañeros la manera de representar números con signo de distintas maneras.

0

(7) 0

• Encuentra varias representaciones con fichas para los siguientes números: (-5), (-2), (+4) y (+7). Respuesta modelo. • ¿Las fichas tienen que ser necesariamente cuadradas? ¿Pueden ser de otra forma? Las fichas no necesariamente tienen que ser cuadradas, podrían ser de otra forma. • ¿Los colores tienen que ser azul y amarillo? Los colores pueden ser otros • ¿Las fichas amarillas siempre deben estar a la izquierda y las azules a la derecha? Las fichas pueden estar en otro orden pero el orden propuesto asemeja a la recta numérica que es una línea. • ¿Es necesario colocar las fichas en línea? No.

La sección “Para curiosos” propicia que el alumno asuma la responsabilidad de buscar al menos una manera de resolver cada problema que se plantea. Junto con ello, crea condiciones para que los alumnos vean la necesidad e importancia de formular argumentos que den sustento al procedimiento o solución con base en las reglas del debate. Este mecanismo es básico para que los estudiantes aprendan a construir y fundamentar los conceptos.

PROHIBIDA SU VENTA

En este proyecto, los estudiantes deben analizar si la actividad depende de aspectos secundarios como la forma o el color de las fichas.

Mientras el signo en el número se reserva para “poner”, el signo de la operación de suma sigue teniendo la misma connotación de “añadir” o “juntar”.

Ya que hemos asignado valores a las fichas que nos servirán como unidades, y que determinamos representar al cero mediante un equilibrio de éstas, vamos a representar operaciones de números con signo empleando las fichas. Comencemos por la adición. Considera que sumar una cantidad a otra se puede interpretar como “añadir” o “juntar” una cantidad con otra: a partir de esta interpretación puedes usar las fichas para representar la suma de números con signo. Observa los siguientes ejemplos. Anticipa tu resultado y después compruébalo con el uso de fichas de colores: • (+3) + (+2) = (

5

): A

sse añade

y resulta

cinco.

• (+3) + (-2) = (

1

): A

sse añade

y resulta

uno.

Recuerda que las fichas de distintos colores se “equilibran”. • (-3) + (+2) = (

–1

): A

sse añade

y resulta

menos uno.

• (-3) + (-2) = (

–5

): A

sse añade

y resulta

menos cinco.

También puedes usar las fichas para representar sustracciones o restas de números con signo. Esta operación implica lo contrario de “añadir”, esto es, “retirar”. • (+3) - (+2) = (

1

): A

se s le retiran

y resulta

uno.

¿Puedes hacer esto usando fichas de los dos colores? Se recomienda que los alumnos no trabajen varias sumas de un solo tipo, luego otras tantas de otros tipos, etc. En vez de ello, conviene hacer todas las posibilidades de operaciones con ciertos números para que los estudiantes discriminen y traten de encontrar reglas para entender lo que se debe hacer en cada caso. Los estudiantes deben hacer sus conjeturas y el maestro debe evitar a toda costa darles el procedimiento.

• (+3) - (-2) = ( amarillas!

5

): A

se s deben retirar

, ¡pero no tiene fichas

¿Es posible agregar un cero con fichas suficientes para retirar lo necesario? Explica tu respuesta: SÍ. Utilizando el mismo número tanto de fichas azules como amarillas no altera el equilibrio.

De acuerdo con lo anterior, la operación puede replantearse como sigue:

16

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12/12/08 3:06:29 PM


A

sse le retiran

• (-3) - (+2) = ( – 5 ): A azules para retirar de (-3)! )!

y resulta

sse deben retirar

También, la resta conserva la interpretación de “retirar”, “sustraer” o “eliminar”.

cinco.

, ¡pero no hay fichas

¿Podrás recurrir nuevamente a un “cero”? Explica tu respuesta: Se añade un cero para de ahí retirar dos.

De acuerdo con lo anterior, la operación puede replantearse como sigue: A

sse le retiran

y resulta

menos cinco.

¿Con cuántas fichas podrías iniciar para no tener que agregar? Con otro “cero”, digamos un par: una ficha azul y una amarilla.

• (-3) - (-2) = (

–1

): A

se s le retiran

y resulta

menos uno.

Con el tratamiento de los números con signo a partir de fichas de colores, tienes otra forma de visualizar las operaciones aritméticas, aparte de la que estudiaste en el grado anterior, la cual se basa en la recta numérica, y que recordamos en “Algo de lo que me enseñaron”.

Para curiosos

Aunque el enfoque del tema apunta principalmente al desarrollo del sentido numérico y del pensamiento algebraico, no podemos dejar de lado el desarrollo de la competencia de “Manejo de técnicas”, es decir, el uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos con el apoyo de la tecnología o sin él. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la diferencia entre quienes resuelven un problema de manera óptima y quienes no alcanzan una solución eficiente.

Después de realizar varias actividades con números chicos y las fichas, el maestro observará que los estudiantes se desprenden poco a poco de las fichas y realizan las operaciones mentalmente.

Discute con tus compañeros los procedimientos para sumar y restar números con signo empleando las fichas.

PROHIBIDA SU VENTA

Realiza operaciones como las siguientes, comprueba los resultados y discútelos con tus compañeros. Primero utiliza números “pequeños” para que te alcancen las fichas. Intenta anticipar el resultado de cada operación, luego compáralo con el resultado obtenido al utilizar el material. • • • •

(+5) + (+4) (+5) + (-4) (-5) + (+4) (-5) + (-4)

=9 =1 =–1 =–9

• • • •

(+5) - (+4) (+5) - (-4) (-5) - (+4) (-5) - (-4)

=1 =9 =–9 =–1

Posteriormente, plantea con tus compañeros operaciones de números con signo “grandes”, donde tus fichas no te alcancen, por ejemplo: • • • •

(+13) + (+22) (+15) + (-34) (-25) + (+14) (-35) + (-44)

= 35 = – 19 = – 11 = – 79

• • • •

(+25) - (+14) (+17) - (-24) (-35) - (+14) (-35) - (-41)

Finalmente, conviene que los estudiantes realicen operaciones con cantidades “grandes” de tal modo que manejar las fichas no sea sencillo; esto ayudará a que tengan la necesidad de encontrar reglas o procedimientos generales.

= 11 = 41 = – 49 =6

Discute con tus compañeros la redacción de una regla para sumar y restar números con signo, de tal forma que la puedan entender otros compañeros de tu grupo. Compara el método que redactaste con el que elaboraron otros compañeros y consulta otros libros para que analices los procedimientos que en ellos se plantean y los compares con tu método.

En este tipo de operaciones es fundamental “agregar un cero” para poder realizar la operación.

17

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BLOQUE 1

Cuando se trabaja la multiplicación, se utiliza la forma de interpretar una multiplicación con números naturales (en matemáticas: lo “nuevo”, siempre debe parecerse a lo conocido), lo cual implica partir de lo sencillo a lo complejo.

Lo anterior te ayudará a utilizar las fichas para analizar las operaciones de multiplicación y división de números con signo. Es importante recordar cómo se interpreta la multiplicación de dos números naturales. Por ejemplo, la operación 3 ¥ 2 se interpreta como “tres veces dos” o “dos veces tres”. ¿Cómo interpretarías —en términos de “poner o quitar tantas veces”— las siguientes multiplicaciones? (+5) ¥ (+3) y (-4) ¥ (+2). Ponemos tres veces cinco y quitamos cuatro veces dos.

Puedes multiplicar números con signo empleando la siguiente interpretación: El primer número indica, con su signo, si “se pone o se quita”, y la cantidad. • (+7) indica

La interpretación de números con signo de “poner tantas veces…” o “quitar tantas veces…” es relevante para mostrar ejemplos concretos de las operaciones de multiplicación de números con signo, pues a veces se piensa que no existe representación posible en este caso. Además, se conservan las ideas que se han manejado en las operaciones de suma y resta, es decir, no se introducen nuevas interpretaciones.

Se pone

7.

Se quita

6.

.

Analiza los siguientes casos: • (+3) ¥ (+2) = ( 1ª

6

) se interpreta como “Poner tres veces (+2)”, y resulta:

2ª

(+2)

PROHIBIDA SU VENTA

• (-6) indica

Como el primer factor indica el número de veces que se “pone o quita”, al inicio no hay fichas, es decir, se parte de un cero.

3ª

= No hay que confundir el modelo que se utiliza para enseñar con el contenido, el modelo solamente sirve para “introducir” o “motivar”, no es el concepto abstracto que suele comportarse de maneras diversas y sin las limitaciones del modelo. Las fichas son una manera de aproximarse al contenido, pero no son el contenido en sí, los estudiantes deben llegar a manejar las relaciones matemáticas en abstracto; la diferencia es partir de lo abstracto dando solamente reglas o dándoles la oportunidad de que ellos construyan sus propias reglas por medio de un modelo sencillo.

.

(+2)

• (+3) ¥ (-2) = ( 1ª

–6

(+2)

) se interpreta como “Poner tres veces (-2)”, y resulta:

2ª

3ª

= (-2)

• (-3) ¥ (+2) = (

2+2+2

(-2) –6

–2–2–2

(-2)

) se interpreta como “Quitar tres veces (+2)”, y resulta: 1ª

2ª

3ª

= (-6)

(+2)

(+2)

–6+2+2+2

(+2)

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• (-3) ¥ (-2) = ( 1ª

6

2ª

) se interpreta como “Quitar tres veces (-2)”, y resulta: 3ª

= ((-2) 2)

((-2) 2)

((-2) 2)

En este proyecto, se pide hacer varios tipos de operaciones con números con signo y no caer en la repetición de casos que no permiten a los estudiantes discernir ni construir sus propios procedimientos generales.

–2–2–2+6 También en el proyecto, se pide que los estudiantes trabajen con cantidades pequeñas y mayores para desprenderse del material y construyan sus propias reglas, las cuales deben escribir en lenguaje común y posteriormente simbolizar lo que han planteado como regla o procedimiento general.

(+6)

Para curiosos Discute con tus compañeros este procedimiento de multiplicación y experimenta con él usando otros números con signo. Primero usa números “pequeños” y luego números “grandes”. Redacta un método para multiplicar números con signo y luego discútelo con tus compañeros. Cuando multiplicas dos números que tienen signos contrarios, ¿qué signo tendrá el resultado? Negativo.

Para multiplicar números con signos, se sigue la siguiente regla: – – + +

⫻– ⫻+ ⫻– ⫻+

= + = – = – =+

Signos iguales da +. Signos diferentes da –.

Si multiplicas dos números con el mismo signo, ¿qué signo tendrá el resultado? Positivo.

Para entender la división de números con signo puedes apoyarte en el mismo modelo de las fichas, pero recuerda para empezar cómo se interpreta la división de dos números naturales. Por ejemplo, la operación 6 ∏ 2 se interpreta como “¿cuántas veces cabe 2 en 6?” o “¿por cuál cantidad se debe multiplicar 2 para obtener 6?”: 6÷2=3

6∏2=?

fi

2⫻3=6

2 ¥ ? = 6.

PROHIBIDA SU VENTA

En el caso de los números con signo es similar, pero debe considerarse el signo que tiene cada número, así como su interpretación (“poner” o “quitar”). Así, las divisiones con estos números se pueden realizar como sigue: • (+6) ∏ (+2) = (+3) se interpreta como “¿cuántas veces hay que poner o quitar (+2) para obtener (+6)?” ¿De dónde se “quita” o se “pone”? ¡Pues de un cero!:

Ponemos tres veces (+2):

+

+

+

La división entre números con signo puede introducirse como una “ecuación”, atendiendo a reglas aritméticas, es decir, se puede trabajar la división como una relación de multiplicación con una cantidad desconocida, o de otra manera como la operación inversa de la multiplicación, lo cual ayuda a repasar términos como divisor, dividendo, residuo o cociente, además del algoritmo de la división con números naturales.

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BLOQUE 1

El cero se vuelve (+6):

+

• (+6) ∏ (-2) = (-3) se interpreta como “¿cuántas veces hay que poner o quitar (-2) para obtener (+6)?” ¿De dónde se “quita” o se “pone”? ¡De un cero!: La división se presenta un poco más difícil que la multiplicación, pero la forma de trabajo será muy útil para proponer procedimientos en la resolución de ecuaciones.

Quitamos tres veces (-2):

-

-

-

+

El cero se vuelve (+6):

La idea de “adivinar” el signo del resultado es muy útil, no importa que los estudiantes se confundan y cometan errores, pues discutir la actividad será muy importante para su formación matemática.

+

• (-6) ∏ (+2) = (-3) se interpreta como “¿cuántas veces hay que poner o quitar (+2) para obtener (-6)?” ¿De dónde se “quita” o se “pone”? ¡Pues de un cero!:

PROHIBIDA SU VENTA

Quitamos tres veces (+2):

+

+

+

-

El cero se vuelve (-6):

-

En este tipo de situaciones se puede constatar la necesidad de trabajar todas las combinaciones posibles de los mismos números con signo, para hacer una misma operación.

• (-6) ∏ (-2) = (+3) se interpreta como “¿cuántas veces hay que poner o quitar (-2) para obtener (-6)?” ¿De dónde se “quita” o se “pone”? ¡Pues de un cero!:

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Ponemos tres veces (-2):

-

-

Nuevamente, del trabajo con números chicos se pasa a números grandes y al final se escribe una regla general para realizar las operaciones que se trabajan; discutir la regla general propiciará en los alumnos un mejor entendimiento del contenido matemático.

-

El cero se vuelve (-6):

-

Para curiosos Discute con tus compañeros este procedimiento de división y ponlo a prueba con otros números con signo. Recuerda que, en principio, debes utilizar números chicos y después números grandes.

La división se puede ver como una multiplicación, de ahí que el tratamiento con signos sea igual que para la multiplicación. Ejemplo: –a –b

(– 1)a (–1)(–1)a (1) a = – = = ( 1) b b b

Escribe un método para dividir números con signo y discútelo con tus compañeros. Además aplícalo a diversas cantidades. La división es una operación inversa de la multiplicación, esto es, (+8) ∏ (+2) = (+4) porque (+8) = (+4) ¥ (+2) (+8) ∏ (-2) = (-4) porque (+8) = (-4) ¥ (-2) (-8) ∏ (+2) = (-4) porque (-8) = (-4) ¥ (+2) (-8) ∏ (-2) = (+4) porque (-8) = (+4) ¥ (-2)

PROHIBIDA SU VENTA

• De acuerdo con lo anterior, cuando divides dos números que tienen signos contrarios, ¿qué signo tendrá el resultado? ¿Por qué? Negativo. • Si divides dos números con el mismo signo, ¿qué signo tendrá el resultado? ¿Por qué? Positivo.

Se sigue la misma regla que con la multiplicación: –⫻–=+ –⫻+=– +⫻–=– +⫻+=+

En una de las actividades anteriores se mostró que: (+6) ∏ (+2) = (+3) se escribe (+6) = (+3), y puede omitirse el signo “+” 6 = 3. (+2) 2 (+6) ∏ (-2) = (-3) se escribe (+6) = (-3), y puede omitirse el signo “+” 6 = -3. (-2) -2 (-6) ∏ (+2) = (-3) se escribe (-6) = (-3), y puede omitirse el signo “+” -6 = -3. (22) 2 (-6) ∏ (-2) = (+3) se escribe (-6) = (+3), y puede omitirse el signo “+” -6 = 3. (-2) -2 ¿Entonces podemos decir que: -6 = 6 = - 6 y -6 = 6 ? ¿Por qué? 2 -2 2 -2 2

Porque al aplicar la regla de los signos la igualdad se mantiene.

21

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1

En algunas actividades los estudiantes pueden utilizar las fichas y en otras no, pero al no presentarse en orden de dificultad los obligará a que las trabajen sin fichas.

Efectúa las siguientes operaciones, comprueba en cada caso el resultado obtenido y discútelo con tus compañeros. ¿Coincidieron todos? Si hubo diferencias, ¿a qué se debió? • (+4) + (-2 )

=2

• (-5) + (-6)

= – 11

• (+9) + (+8)

= 17

• (-12) + (+14)

=2

• (-18) + (-17)

= – 35

• (+24) + (-15)

=9

• (-144) + (-50) = – 194 • (+232) + (+62) = 294

• (+358) + (-125) = 233

• (+3) - (-4)

=7

• (+7) - (+6 )

=1

• (+10) - (-5)

= 15

• (-16) - (+19)

= – 35

• (-25) - (-13)

= – 12

• (-32) - (-17)

= – 15

• (-111) - (+44) = – 155 • (+369) - (-31) = 400

• (-670) - (-270) = – 400

• (-3) (-5)

= – 15

• (-7) (+6)

= – 42

• (+4) (-8)

= – 32

• (+11) (-7)

= – 77

• (+38) (-4)

= – 152

• (-57) (-9)

= 513

• (+250) (-12) = – 3000

• (-421) (-43) = 18103

• (+682) (-62) = – 42284

• (+12) ∏ (+6)

=2

• (-28) ∏ (+7) = – 4

• (+36) ∏ (-12) = – 3

• (-20) ∏ (+5)

=–4

• (-48) ∏ (-6) = 8

• (+50) ∏ (+5)

= 10

• (-24) ∏ (+4)

=–6

• (-72) ∏ (+9) = – 8

• (-30) ∏ (+6)

=–5

•

2

(-44) (+11)

=–4

• (

PROHIBIDA SU VENTA

•

(+60) = 6 (+10)

•

(+25) (-5)

=–5

•

(-72) (-8)

=9

Encuentra el número faltante en las siguientes expresiones. • (+3) + ( +6

+9

) = +12

• (

12

10

–5

• (+2) (

6

) = +7

–1

2

) = -5

2

14

) - (-4) = +6

• (-4) - (+5) =

–1

• (+7) + ( – 18 ) = -11

6

• (-5) ( • (

15

) = +12

• (-7) (+2) = • (+5) (

• (

) (-4) = +20

• (-5) (-3) =

) + (-5) = -9

• (+6) - (-8) =

+ 11

• (+10) - (+4) =

–4

• (-7) + (

) - (-3) = -9

• (-3) + (

• (

• (

) + (+4) = +10

• (+4) - (-7) =

Se insiste en la búsqueda de cantidades, no como ecuaciones, sino atendiendo a las relaciones aritméticas; el maestro puede llamar la atención hacia los casos que considere conveniente.

EL ATEN

EO

EN

BLOQUE 1

–2

2

) = -10

) (-4) = +8

• (+2) (+10) = • (

– 14

) = -5

3

• (-9) (

20

) (+4) = +12 2

) = -18

22

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12/12/08 3:27:39 PM


• (-8) ∏ (+2) = • (+15) ∏ (

) = -5

–3

• (-18) ∏ (

• (-96) ∏ (-6) =

• ( – 34 ) ∏ (-2) = +17

16

)=-5

–1

• (-122) ∏ (

11

– 12

) = -2

Se ha convenido en omitir el signo “+” en los números con signo positivo; tomando en cuenta esto realiza las siguientes operaciones. • (12) + (23)

= 35

• (20) - (31)

= – 11

• (-26) + (14)

= 12

• (-38) + (18)

= – 20

• (-42) - (36)

= – 78

• (+55) - (15)

= 40

• (364) - (234)

= – 130

• (-580) - (220) = – 800

• (21) (11)

= 231

• (-30) (15)

= – 450

• (41) (-18)

= – 738

• (-160) (13)

= – 2080

• (455) (-29)

= – 13195

• (-386) (-63)

= 24318

• (135) ∏ (15)

=9

• (-126) ∏ (18) = – 7

• (264) ∏ (-24)

= – 11

• (-294) ∏ (21)

= – 14

• (168) ∏ (-42) = – 4

• (-639) ∏ (-71) = + 9

Se han omitido signos de multiplicación y ahora se omiten los signos positivos a fin de que los estudiantes centren su atención en el manejo de los números negativos; incluso el maestro podría preguntar si también se pueden omitir los signos de los números negativos sin causar confusión.

Las reglas para operar con números con signo son válidas también para fracciones y decimales. Encuentra los resultados de las siguientes operaciones con este tipo de números. • •

3 1 + 4 2

5 4

=

•

冉 13 冊 + 冉 23 冊

•

=1

• 0.8 + 0.2 = 1

PROHIBIDA SU VENTA

) = -9

2

• (+84) ∏ (-7) =

• (-248) + (122) = – 126

4

) ∏ (+4) = +3

12

• ( – 80 ) ∏ (-4) = +20 • (+5) ∏ (

3

• (

–4

• •

7 2 3 3

5 3

=

=

• 0.9 - 0.63 = 0.27

冉 23 冊冉 16 冊 5 2 • 冉冊冉冊 -6 3 •

2 18

=

=

– 10 18

• (0.2)(0.4) = 0.08

4 11

28 15

=

•

冉 -54 冊 + 冉 -25 冊

• 0.9 + 0.4

= 1.3

6 3 5 4

9 20

•

冉 118 冊 - 冉 114 冊

2 6 + 3 5

•

=

–6 5

=

•

冉 -26 冊 - 冉 13 冊

=

冉 45 冊冉 17 冊 4 3 • 冉冊冉冊 7 -4

4 35

=

=

– 12 28

• (-0.5)(0.4) = – 0.2

11 10

•

冉 -23 冊 + 冉 -25 冊

=

– 16 15

• 0.7 + 0.3 = 1.0

–4 6

• -0.6 + 0.2 = – 0.4

•

•

1 3= + 2 5

•

3 1= 2 3

7 6

•

冉 -73 冊 - 冉 -314 冊

冉 58 冊冉 39 冊 -6 3 • 冉冊冉冊 7 -8 =

=

冉 -74 冊 + 冉 -43 冊

=

37 28 Siempre será importante generalizar los procedimientos a otro tipo de números como las fracciones y los decimales. El maestro puede pedir a los estudiantes los representen en la recta o que modifiquen cantidades, para que analicen lo que sucede.

–3 14

•

8 1= 9 2

7 18

冉 -512 冊 + 冉 -102 冊

=

26 10

• -0.9 + 1.8 = 0.9

15 72

=

5 8

• 0.1 + 0.5 = 0.6

• 2.4 - 0.5 = 1.9

•

•

3 1= + 8 4

冉 67 冊冉 12 冊 -5 -4 • 冉冊冉冊 -2 -7 •

18 56

• (0.6)(-0.8) = – 0.48

=

6 14

=

20 14

• (-0.4)(-0.7) = 0.28

23

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12/12/08 3:27:40 PM

BLOQUE 1 En estas actividades, el maestro puede resaltar lo que implica considerar a una fracción negativa en tanto el numerador o denominador sea negativo.

• •

45 = 9 5

冉 46 冊 ∏ 冉 -14 冊

2 5 • 1 4 5

•

=

=

– 16 6

•

56 -8

冉 -52 冊 ∏ 冉 -16 冊

-3 7 • 1 6

8 5

=

12 5

•

•

=7

冉 -35 冊 ∏ 冉 -28 冊

5 -8 • -2 6

– 18 7

冉 -31 冊冉冊 = 冉 -29 冊 -1 3 • 冉冊冉 =冉冊冊 2 -14

=

=

24 10

•

-189 21

冉 -89 冊 ∏ 冉 -63 冊

4 9 • -2 3

30 16

=–9

=

48 27

=

– 12 18

冉冊冉 -2-5 冊 = 冉 206 冊 -3 -2 • 冉冊冉冊 = -4 5

–3

•

–2

6

–3

• (

–2

– 20

) (-0.5) = +1.0

• (-0.8) (-0.1) = • (+0.5) (

.4

• (-0.3) (

0.8

) = -0.24

• ( – 1.1 ) (-2.2) = +2.42

.08

) = +0.2

• (-4.2) ∏ (+1.05) =

–3 –4

–7

PROHIBIDA SU VENTA

=

-77 -11

Encuentra el número faltante en las siguientes operaciones. •

Resulta adecuado en la enseñanza partir de una operación y que los estudiantes planteen problemas relacionados con esa operación, cambiando el lugar de la incógnita, para ver el efecto que se produce en el texto del problema y en el proceso de resolución.

•

=–7

• (+2.4) (+0.5) = • (

–4

2.25

1.2

) ∏ (+0.5) = + 4.5

• (+1.5) ∏ ( – 0.3 ) = -5

• (-0.14) ∏ ( .028 ) = -0.2

• ( – 0.25 ) ∏ (-0.2) = +1.25

• (+5.8) ∏ (-0.2) =

– 29

Caminos entre números y letras La suma 2 + 7 = 9 puede representar la forma de resolver un problema, ¿como cuál? Discute con tus compañeros y redacta varios problemas que se resuelvan con dicha suma.

Respuesta modelo:

Omar toma dos cucharadas de azúcar con café, pero su mamá no sabía que ya estaba endulzado y le echó siete más. ¿Cuántas cucharadas de azúcar tiene el café de Omar?

Redacta varios problemas que se relacionen con la resta 8 - 5 = 3. En el grupo de 2° A hay ocho alumnos de los cuales cinco son mujeres. ¿Cuántos hombres hay?

24

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Si tienes una operación como 6 + 11 = 17, redacta un problema donde los datos sean 11 y 17. También redacta un problema donde los datos sean 6 y 17. Datos 11 y 17:

Es más importante que los estudiantes comprendan las relaciones aditivas, que aprender procedimientos estereotipados de resolución.

Julián tiene en su casa 17 arbolitos de aguacate.Si su papá sembró 11 de esos árboles y el resto Julián, ¿cuántos árboles plantó Julián?

Datos 6 y 17:

Julian y su papá cosecharon 17 kilos de café de los cuales 6 fueron recolectados por su mamá.¿Cuántos kilos de café recolectaron Julián y su papá?

Mediante los números con signo puedes expresar relaciones aditivas con las cuales, a su vez, puedes modelar situaciones que implican el uso de adiciones y sustracciones. Comencemos por analizar una situación que se modela mediante una adición en la que intervienen números con signo positivo y a partir de la cual podemos construir algunos problemas.

Se pueden hacer representaciones del problema con objetos concretos y, posteriormente, plantearlos sin ellos.

Si Pedro tiene $63.00 y gana $15.00 al realizar un trabajo, obtiene en total $78.00. La expresión numérica con que se representa esta situación es: 63 + (+15) = 78. Este primer planteamiento de problemas con la suma 63 + (+15) = 78 (la cual también se puede escribir: 63 + 15 = 78) lo puedes resolver con los conocimientos adquiridos en primer grado. A partir de una expresión como la anterior, que modela la relación entre los datos, se pueden plantear varios problemas en los cuales se desconoce alguna de las tres cantidades. Es decir, una de las tres cantidades se propone como incógnita. Analiza los siguientes problemas —cuyo planteamiento tiene como base la relación 63 + (+15) = 78— y sigue el desarrollo de su solución.

PROHIBIDA SU VENTA

1) Si Pedro tiene $63.00 y gana $15.00 al realizar un trabajo, ¿cuánto tiene en total?

+

=? Figura 5

Esta situación se puede modelar mediante la siguiente expresión, que indica que se desconoce la cantidad final después de haber ganado $15.00: 63 + (+15) = ? Se puede representar la cantidad desconocida por una letra: 63 + (+15) = x.

Los procesos de resolución también se pueden presentar a los estudiantes, de manera que observen que no se está haciendo nada extraño, sino que el proceso de resolución debe representar la situación planteada en el problema.

25

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12/12/08 3:27:42 PM

BLOQUE 1

La forma de resolver el problema consiste solamente en realizar la operación indicada: 63 + (+15) = x

Ecuación que modela la relación entre los datos.

63 + 15 = x x=

Se puede omitir el signo + de (+15).

78

78 Así, Pedro tiene finalmente $ . La ecuación anterior la pudiste resolver con lo que ya sabías del primer grado de secundaria. Será la base para lo que viene más adelante. En este caso, la incógnita fue el resultado de la operación. El siguiente caso también lo puedes resolver con lo ya aprendido, pero es el inicio de otras situaciones que veremos después. Ahora analiza lo que sucede si la incógnita es uno de los dos sumandos.

2) Juan tenía algo de dinero, ganó $15.00 al realizar un trabajo; ahora tiene $78.00. ¿Cuánto dinero tenía originalmente? Al inicio no importa que los estudiantes utilicen el lenguaje cotidiano para referirse al problema o su resolución, pues a partir de ello se pueden elaborar convenciones necesarias para llegar al uso del lenguaje algebraico.

?+

=

Figura 6

No se conoce la cantidad que inicialmente tenía Juan:

PROHIBIDA SU VENTA

x + 15 = 78. La solución se puede obtener considerando que, si a la cantidad desconocida se le suma 15 y da como resultado 78, entonces la cantidad desconocida debe obtenerse restando 15 a 78. x + 15 = 78

Ecuación que modela la relación entre los datos.

x = 78 - 15 x=

Si a 78 le quitamos 15 se obtiene el valor de x.

63

Entonces Juan tenía originalmente $

63

.

3) José Luis tenía $63.00. Después de realizar un trabajo le pagan una cierta cantidad y al final tiene $78.00. ¿Cuánto ganó?

26

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+?= Figura 7

El modelo correspondiente se representa con la expresión 63 + x = 78. Para resolverlo se procede como sigue: 63 + x = 78 x = 78 - 63 x=

Ecuación que modela la relación entre los datos. Si a 78 le quitamos 63 se obtiene el valor de x.

15

Es decir, José Luis ganó $

15

.

Veamos ahora algunas situaciones que se pueden modelar mediante relaciones aditivas en las que intervienen números con signo negativo. 1) Pablo tiene 18 lapiceros en su tienda. Su primo Jaime tiene 7 lapiceros menos que él, de ahí que Jaime tiene 11 lapiceros.

Hay relaciones de comparación que son más complejas de interpretar, esto ayuda a que los alumnos no utilicen objetos concretos para plantear problemas y busquen formas simbólicas de representar las relaciones entre los datos del problema.

Escribe la relación numérica que modela la situación anterior: 7 + 11 = 18

PROHIBIDA SU VENTA

Para curiosos Discute con tus compañeros sobre lo siguiente. • ¿Es necesario usar siempre x para representar una incógnita? No. Podemos usar cualquier letra pero generalmente se usa x. Cada vez que sea necesario, • ¿Qué sucede si utilizas otra letra? ¿Cambia el proceso de resolución? ¿Cambia el resultado final? No cambia nada, es exactamente lo mismo.

Considera la siguiente situación: Alguien tenía $63.00 y pagó $15.00; le quedaron $48.00. • ¿Cuál es la relación numérica correspondiente? $15 + $48 = $63 • Usando dicha relación, redacta con tus compañeros problemas modelados por cada una de las siguientes expresiones: Yo tenia 63 gatos y murieron 15. ¿Cuántos gatos tengo?

a) 63 + (-15) = x (se puede escribir como 63 - 15 = x) b) x + (-15) = 40 (se puede escribir como x - 15 = 40) c) 63 + x = 40 Nota : para ser consecuente deberia decir 48 en vez de 40 (con el desarrollo y el ejemplo del cual se partió)

es importante recalcar a los estudiantes que las literales empleadas son convencionales y el uso de la “x ” para representar la incógnita en una ecuación es parte de dichas convenciones. Una competencia importante que deben desarrollar los estudiantes es plantear problemas sujetos a condiciones previas.

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2) José le debía $381.00 a Manuel y le devuelve $123.00. Ahora solamente le debe $258.00. Puedes expresar esta relación numérica como: 381.00 – 123.00 = 258 En el curso anterior se dio sentido a los números enteros a través de la representación en la recta numérica de diversas situaciones de comparación, adición y sustracción. Puesto que no abundan los problemas reales que impliquen operaciones de números con signo, el plantear situaciones en base a “deber y pagar”, facilitará la comprensión de este tema a los alumnos.

3) Pablo le debe 12 estampillas a Felipe, pero Felipe le debe 7 a Pablo, así que Pablo solamente le debe 5 estampillas a Felipe. La relación entre los números implicados es la siguiente: 12 – 7 = 5

Para curiosos Se ha convenido utilizar el signo + para la adicion y – para la sustracción, sin embargo, una resta es una suma de un número negativo.

Discute con tus compañeros por qué siempre se utiliza el signo + para plantear la relación aditiva. ¿Se podría hacer utilizando el signo -?

Considerando los tres incisos anteriores y las relaciones aditivas que se determinaron en ellos, retoma la situación original y plantea tres problemas que tengan la incógnita en el lugar indicado, encuentra el valor de la incógnita en cada caso y determina la solución del problema. Situación aditiva del inciso 1): Pablo tiene 38 lapiceros en su tienda. Su primo Jaime tiene 17 lapiceros menos que él, de ahí que Jaime tiene 21 lapiceros. a) Plantea un problema en el que la incógnita sea el primer sumando: A la hora de la cena la familia se comió un total de 17 panes. Si se compraron 38 panes, ¿cuántos quedan para el desayuno?

PROHIBIDA SU VENTA

Resolución del problema: • Ecuación:

x+

17

=

38

• Operaciones: x = 38 – 17

• Resultado: x = 21 • La solución del problema es:

21

.

panes quedan para el desayuno

b) Plantea un problema en el que la incógnita sea el segundo sumando: Rodrigo tiene 38 años y tuve a su hijo a los 21 años. ¿Cuántos años tiene el hijo?


21

+x=

38

28

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•

peraciones:

21 + x = 38

21 – 21 + x = 38 – 21


x = 38 – 21

.

17

c) Plantea un problema en el que la incógnita sea el resultado de la suma: Si Andrea y Ximena tenían 21 estampitas de colección y las juntaron con las de Carlos y Jorge que contaban ya con 17, ¿cuántas estampas tenían en total? Los aspectos algorítmicos del álgebra no van separados del proceso de modelación. Esto es, se propone que los alumnos vayan aprendiendo a operar con expresiones algebraicas a medida que sean necesarias en la resolución de problemas.


17

+

21

=x

• Operaciones:

17

+

21

= 38


.

38

Situación aditiva del inciso 2): José le debía $570.00 a Manuel y le devuelve $356.00. Ahora solamente le debe $214.00. a) Plantea un problema en el que la incógnita sea el primer sumando: El uniforme de la escuela cuesta $570. Alfredo solo tiene $214, ¿cuánto le falta para poder comprar el uniforme?

Resolución del problema: • Ecuación: • Operaciones:

x+

214

=

x + 214 – 214 = 570 – 214


PROHIBIDA SU VENTA

570

$ 356

.

b) Plantea un problema en el que la incógnita sea el segundo sumando: En una escuela se cuenta con 570 estudiantes de los cuales 356 se fueron de excursión al bosque. ¿Cuántos alumnos se quedaron estudiando en la escuela suponiendo que nadie faltó?


356

• Operaciones:

356 – 356 + x = 570 – 356

+x=


570

214

estudiantes

29

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BLOQUE 1

c) Plantea un problema en el que la incógnita sea el resultado de la suma: La primera semana doña Gonzala gastó en despensa $356 y la segundo $214. ¿Cuánto gastó en total las dos semanas?

Resolución del problema:

Siempre que se trabajen temas algebraicos es conveniente insistir en que los alumnos interpreten, simbolicen y manipulen las variables incluidas en los problemas.

• Ecuación:

356

+

214

=x

• Operaciones:

356

+

214

= x


.

570

Situación aditiva del inciso 3): Pablo le debe 27 estampillas a Felipe, pero Felipe le debe 9 a Pablo, así que Pablo solamente le debe 18 estampillas a Felipe. a) Plantea un problema en el que la incógnita sea el primer sumando: En una fiesta se partió un pastel en 27 rebanadas pero sólo se comieron 18. ¿Cuántas rebanadas de pastel quedaron?


x+

• Operaciones:

18

=

27

x + 18 – 18 = 27 – 18

• Resultado: x= 9 • La solución del problema es:

9

.

rebanadas.

b) Plantea un problema en el que la incógnita sea el segundo sumando: En un establo tienen 27 bestias, de las cuales 9 son vacas y el resto caballos y becerros.

PROHIBIDA SU VENTA

¿Cuántos animales distintos a las vacas hay en esl establo?


9

+x=

• Operaciones:

9–9+x

=


27 27 – 9

18

.

animales.

c) Plantea un problema en el que la incógnita sea el resultado de la suma: En Io A se clasificaron 17 insectos diferentes en 2° B se clasificaron 9 insectos diferentes. ¿Cuántos clasificaciones se tienen en los dos grupos en total?

30

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9

• Operaciones:

9 + 18 =

+

18

=x

x


1

• • • • • • •

PROHIBIDA SU VENTA

EL ATEN

Resuelve los siguientes problemas utilizando adiciones y sustracciones de números con signo. Discute los resultados con tus compañeros. • • • •

• •

2

. clasificaciones.

EO

EN

27

La resolución de problemas implica, en la perspectiva del autor, una estimación del resultado antes de resolverlo, aplicar varios procedimientos, discutir los procedimientos empleados, modificar los datos para valorar los procedimientos de resolución, plantear una solución diferente, encontrar los datos que se acomodan a dicha solución y plantear problemas similares referidos a otros contextos.

Si Andrés tiene $81.00 y gana $50.00 en una apuesta, ¿cuánto tiene en total? $ 131 A Miguel le pagaron $350.00 y perdió $125.00. ¿Con cuánto dinero se queda? $ 225 Juan tiene $250.00 y le deben $75.00. ¿Cuánto dinero tendrá cuando le paguen?$ 325 Silvia tiene 32 estampas, Miriam tiene 6 más que Silvia. ¿Cuántas estampas tiene Miriam? 38 estampas Rosa tiene 18 muñecas, Elvira tiene 6 menos que Rosa. ¿Cuántas muñecas tiene Elvira? 12 muñecas Gerardo ganó 5 boletos para el cine, y en una rifa ganó otros 3. ¿Cuántos boletos tiene? 8 boletos para el cine Leonardo ganó 25 estampas en un volado, y perdió 6 en otro volado. ¿Con cuántas estampas se quedó? 19 estampillas Luis perdió 11 canicas, y al jugar perdió otras 6. ¿Cuántas canicas perdió en total? 17 canicas Rodolfo realizó dos trabajos para una empresa. De uno le deben $310.00 y del otro, $160.00 ¿Cuánto dinero le deben en total? $ 470 Ernesto ganó $460.00 y le debe a Yolanda $540.00. ¿Cuánto dinero le seguirá debiendo a Yolanda si le paga todo lo que ganó? $ 80 Beto tenía $82.00 y después cobró una cantidad que le debían; al final tiene $98.00. ¿Cuánto le debían? $ 16 Jorge le debía $175.00 a José y le devuelve $58.00. ¿Cuánto le debe todavía? 117 Antonio tenía ahorrado un poco de dinero. Le debían y le pagaron $94.00 de una venta, con lo que ahora tiene $132.00. ¿Cuánto dinero tenía? $ 38

Resuelve los siguientes problemas en los que realizarás adiciones y sustracciones de números decimales o fracciones con signo. • Roberto le debe $20.00 a Luis, y si Roberto le da $30.00 a Luis, ¿quién debe a quién y cuánto? Luis debe a Roberto $10.00. • Si Francisco tiene ahorrados $250.00, y le pagan por una venta la mitad de lo que tiene, ¿cuánto dinero tiene ahora? $ 375 1 • Manuel le debe a su hermano $750.00, y a Pedro le debe de lo que le debe a su 3 hermano. ¿Cuánto dinero debe en total? $ 1 000

Siempre que sea posible hay que incluir números decimales y fracciones, sobre todo para resaltar las relaciones numéricas y que los estudiantes no centren su atención en el tipo de números empleados.

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BLOQUE 1

PROHIBIDA SU VENTA

Más que resolver un problema particular, los estudiantes deben aprender a plantearlo y resolverlo con las modificaciones que han incorporado; ese tipo de actividad es más relevante que repetir un procedimiento de resolución muchas veces.

3 • Si de lo que tenía de lápices doy a Jorge y me quedan 12 lápices, ¿cuántos lápi4 ces tenía? 48 lápices. • Un albañil cobra $500.00 por un trabajo, y Tito tiene 3 veces lo que le cobra el albañil, ¿con cuánto dinero se queda Tito después de pagar el trabajo? $ 1000. 2 • José cobra $1600.00 por un trabajo, y si le piden que haga solamente de ese 3 trabajo, ¿cuánto tendrá que cobrar? $1 066.67. 2 • Brenda tiene 46 estampas, y jugando con Gloria pierde de ellas. ¿Cuántas estam5 pas obtiene Gloria? 18 estampas. 3 • Un carpintero tiene una tabla que mide 2.54 m de largo y necesita usar de esa 7 longitud. ¿Cuánto mide el pedazo de tabla que le queda? 0.66 m. 1 • Para pintar un muro de 3 m2 se utiliza L de pintura. ¿Cuántos m2 se pintarán con 3 9 L de pintura? 8.1m2. 10 3

Resuelve los siguientes problemas en los que se puede utilizar una multiplicación o división de números con signo. • Pongo $35.00 en una apuesta y gané 5 veces ese valor. ¿Cuánto dinero gané? $75. • Si paso libros de un librero a otro empleando una caja a la que le caben 15 libros, ¿cuántos libros cambié de librero si realicé 7 viajes? 105 libros. • En una apuesta puse $1500.00, y me prometieron que si ganaba me darían 6.5 veces lo apostado. ¿Cuánto dinero me ganaría? $9 750. • Toño tiene 36 canicas y en secreto sus padres le pusieron en el costal de canicas 4.5 veces la cantidad que originalmente tenía. ¿Cuántas canicas tiene ahora Toño en su costal? 198 canicas 36 X 4.5 162 + 36 = 198 canicas. 3 • Mariana tiene una colección de 424 estampillas y por accidente perdió de esa 8 cantidad. ¿Cuántas estampas perdió? Perdió 159 estampillas. 1 • Marcos tiene de los 123 libros que tiene Marta. ¿Cuántos libros le faltan a Marcos 3 para tener la misma cantidad que Marta? 82 libros. • Guillermo y Octavio juntaron dinero para comprar un boleto de avión para Guiller5 mo. Guillermo puso $426.00 y Octavio puso de lo que puso Guillermo. ¿Cuánto 6 costó el boleto de Guillermo? $781. 2 1 • De 350 aves que tiene una granja, son gallinas, son gansos, el resto son patos. 5 2 ¿Cuántas aves hay de cada especie? 140 gallinas, 175 gansos, 35 patos. • ¿Cuántos lápices son la mitad de las tres cuartas partes de 64 lápices? 24 lápices.

Se inicia el proceso para introducir la manipulación algebraica, dado que en los problemas anteriores debieron prevalecer solamente las relaciones aritméticas: “si a este número se le debe sumar (restar, multiplicar o dividir) un número para que me dé este valor, entonces dicho número debe ser tal”.

Caminos entre letras y figuras Después de analizar los procedimientos para realizar operaciones aritméticas con números con signo, puedes utilizar las mismas reglas para efectuar operaciones con literales, a fin de cuentas pueden representar números también.

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Para ello realizaremos una actividad. Comencemos por ampliar el material utilizado en el primer apartado de esta lección. De un material rígido recorta 10 piezas azules y 10 amarillas de cada una de las unidades que se muestran en la figura 8, siguiendo las medidas que ahí se indican. 1 cm

1 cm

1 cm

3.3 cm

1 cm

1 cm

1 cm

3.3 cm

3.3 cm

3.3 cm

3.3 cm

1 cm

1 cm

3.3 cm

1 cm

3.3 cm

1 cm

1 cm

1 cm

3.3 cm

3.3 cm

PROHIBIDA SU VENTA

Se describen materiales similares a los que Dienes presentó en la década de 1950 y en los cuales basó sus propuestas para la enseñanza del álgebra.

3.3 cm

3.3 cm

3.3 cm

Para trabajar con los bloques algebraicos de Dienes se utilizaron algunos elementos que presentó Bruner por la misma época, en particular tres modos básicos mediante los cuales el ser humano representa la realidad, los modos enactivo, icónico y simbólico. Representación enactiva: consiste en representar cosas mediante la reacción inmediata de la persona, en la cual se fusionan la acción con la experiencia externa. En este caso la representación es meramente concreta, como sucede en las matemáticas naturales. Representación icónica: consiste en representar cosas mediante una imagen o esquema. Sin embargo tal representación sigue teniendo algún parecido con la cosa representada. La elección de la imagen no es arbitraria. Representación simbólica: consiste en representar una cosa mediante un símbolo arbitrario que en su forma no guarda relación con la cosa representada.

Figura 8

Anteriormente asignamos a cada cuadrado pequeño de color azul el valor (+1) y a cada cuadrado amarillo el valor (-1). Ahora, a cada rectángulo de color azul le asignaremos el símbolo “x” y al de color amarillo, “-x”. Así mismo, cada cuadrado grande azul se asociará con “x 2”, y cada cuadrado grande amarillo con “-x 2 ”. Como cada triángulo se obtiene al dividir por la mitad, respectivamente, el cuadrado pequeño, el rectángulo y el cuadrado grande (según se aprecia en la figura 8), les asignaremos la mitad del valor que tenga el cuadrilátero que les corresponda. Así pues, en la figura 9 se muestra el valor asociado a cada pieza.

33

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BLOQUE 1

1

Las representaciones geométricas son un modelo claro de las expresiones algebraicas. Estas representaciones ayudan a los alumnos a comprender notaciones y procesos algebraicos a partir de elementos gráficos sencillos.

-1

x

-x

x2

-x2 -

1 2

-

1 2

1 x 2

1 - x 2

1 2 x 2

1 - x2 2

Figura 9

PROHIBIDA SU VENTA

Expresiones algebraicas equivalentes Para que veas cómo se manejan las piezas, a las que llamaremos fichas, analiza el siguiente ejemplo y discútelo con tus compañeros. Toma las siguientes piezas: No todo lo que se puede hacer en álgebra se podrá hacer con el material sugerido, hay que recordar que el material solamente ayuda al inicio y que el objetivo es que los estudiantes se desprendan de él para realizar el trabajo formal con símbolos.

Figura 10

Toma en cuenta cada pieza y haz una lista de las que tienes: x, x, 1, 1

Si juntas las piezas, ¿cuántas fichas de cada una tendrías? ¿cómo simbolizarías el juntar todas las piezas? ¿qué operación aritmética está asociada a juntar las piezas? Si las juntamos tendríamos 2x y 2. La operación aritmética al asociar las piezas es una suma 2x + 2.

34

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Entonces, el resultado de juntar todas las piezas puede ser expresado simbólicamente como: 2x + 2 . ¿Con cuáles piezas representarías: 2x + 2; 3x + 5; x + 1; -3x + 2; -2x - 1; 4 4x - 5? Con las piezas de la figura 10 se puede formar el rectángulo mostrado en la figura 11. ¿Cómo expresarías, con las denominaciones de las piezas, cada uno de sus lados? ¿Qué operación utilizarías para representar el área del rectángulo? ¿Cómo expresarías, usando las denominaciones de las piezas, el área del rectángulo?

x

x

1

1

2x2

x

x

x

Para representar el área del rectángulo multiplicamos base por altura. (x + 1) ⫻ (x + 1)

1

1

1

1

3x5

Figura 11

Como con las mismas piezas x, x, 1 y 1 construimos distintas cosas, las diferentes expresiones para representar la misma cantidad de piezas se les llama expresiones equivalentes.

1

x

1

x1

x + x + 1 + 1 = 2x + 2 = 2 ¥ (x + 1). También podemos construir expresiones equivalentes con otras fichas. Analiza lo que ocurre con las sigiuientes configuraciones de las fichas. Las fichas que tenemos en la figura 12 son: x x2

x

,

,

x

,

x

,

x

,

,

1

1

,

1

.

x

x

1

1

3x2

x

x

1

2x1

PROHIBIDA SU VENTA

Figura 12

Sumando términos semejantes, se obtiene la siguiente expresión: x2

+

4x

+

3

.

Se puede partir de un conjunto de fichas y agregar o quitar fichas para representar simbólicamente los cambios. También, se pueden hacer actividades en las cuales algunos estudiantes muestren a otros expresiones algebraicas y estos últimos indiquen las fichas que pueden servir para representar lo que se indica.

Figura 13

Si se forma un rectángulo con las fichas (figura 14), se obtiene:

4x5

x

(

x

+

3

)¥(

x

+

1

x

x

x

). 1

1

1

1

1

35

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BLOQUE 1

Figura 14

De esta forma, tenemos que con las fichas x2, x, x, x, x, 1, 1, 1 se pueden obtener las siguientes expresiones equivalentes: (x +3) (x + 1) = x2 + 4x + 3

En el caso de la suma se usa la conocida idea de “juntar”, pero en el caso de la resta conviene utilizar la idea de “eliminar”.

Con tus compañeros, encuentra expresiones equivalentes para las configuraciones que se pueden obtener con las siguientes fichas:

Figura 15

PROHIBIDA SU VENTA

(3x – 6) = – 1 + 3x – 5

Figura 16 (–x 2 + 4x) = 2x – x2 + 2x

Figura 17 (x2 + x) – 1 + x = x2 + 2x – 1

36

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Para curiosos Con tus compañeros, encuentra expresiones equivalentes a las siguientes: • (+3x) = 3x

冉

冊

1 • + x2 2

= x2/2

• (+4x 2 ) = (2x)2

• (-2x) = – 2x

冉

3 • - x2 2

冊

= – 3x2/2

冉冊

3 • + x 2

• (-3x 2 ) = – (3x)2

冉冊

1 • - x 2

= 3x/2

= – x/2

Expresiones equivalentes y operaciones algebraicas Habiendo asignado valores a las piezas que nos servirán de unidades, procedamos ahora a representar operaciones con ellas. Considera, para empezar, que puedes agrupar y combinar piezas del mismo tipo pero no de tipos diferentes. Observa la figura 18. Las identidades algebraicas son un concepto central del álgebra y constituyen la base para la transformación de expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones y en la simplificación de expresiones. Este modelo geométrico permite establecer algunas identidades algebraicas elementales.

PROHIBIDA SU VENTA

Figura 18

Con las fichas de la figura 18 se forman tres agrupamientos distintos. Tomados por separado son: 2x2

,

5x

,

.

3

Tomadas las piezas en conjunto y dado que sumar es juntar, se puede escribir la expresión algebraica: 2x2

+

5x

+

3

.

En la figura 19 el conjunto de los tres agrupamientos de representar con la adición: x2

+

(– 2x)

+

1

+ x2

,

– 2x

,

1

se pue-

.

37

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BLOQUE 1

Figura 19

La relación entre la formación de figuras con las piezas y su representación en el lenguaje algebraico es un punto importante en el uso de este tipo de materiales.

Puedes usar las piezas triangulares, que representan partes de las piezas cuadradas o rectangulares, para expresar de diversas maneras una misma situación. Por ejemplo, escribe en el recuadro una expresión algebraica asociada a las piezas mostradas en la figura 20: x2 + ½ x2

.

Figura 20

Esta expresión también se puede escribir como:

PROHIBIDA SU VENTA

3/2 x2

La representación de algunos polinomios sencillos es el comienzo para reconocer términos semejantes y constatar que no se pueden operar de manera arbitraria.

o

1.5x2

o

3x2/2

,

por lo tanto, se pueden obtener varias expresiones equivalentes. Con tus compañeros discute as posibles expresiones equivalentes y escribe en tu cuaderno las igualdades correspondientes. En este tipo de fichas también se aplican los equilibrios entre colores, es decir, el mismo número de fichas semejantes azules con el mismo número de fichas semejantes amarillas se equilibran y forman un cero, como se hizo anteriormente en esta lección. Escribe expresiones equivalentes relacionadas a la figura 21: -x

1 x 2

+x

-x

= – 3x + x + ½ x + ½ x

-x

= – 2x + 2/2x

Figura 21

1 x 2

= – 2x + x =–x

38

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LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES Las maneras de escribir una expresión algebraica asociada a las mismas piezas, pero acomodadas de diferente forma, ayuda a entender algunas equivalencias entre expresiones algebraicas.

Observa que:

Figura 22

Esto conduce a: – 3x + x + ½ x + ½ x = – x

.

Respuesta modelo.

Para curiosos

a)

Discute con tus compañeros lo siguiente. Encuentra diversas formas de representar las siguientes expresiones algebraicas. En cada caso dibuja al menos dos disposiciones que representen la misma expresión algebraica. •

5 2 3 x + x 2 2

• -2x 2 +

5 x 2

= ½ x2 + 2x2 + x + ½ x

• -4x 2 + 3x -

= – 2x2 + 1/2x + 2x

• x2 -

3 2

5 2

= 4x2 + 3x – 2 – ½

= x2 – 1 – ½

b)

c)

d)

e)

¿Cómo representarías las siguientes operaciones usando fichas de los dos colores?

PROHIBIDA SU VENTA

f)

• (2x + 4) + (-x + 2) • (-3x + 2) + (4x - 5) • (x2 - 2x + 1) + (-2x2 + 3)

g)

¿Cuál sería el resultado si al juntar las piezas en cada caso no consideras los equilibrios? ¿Por qué no importa considerar los equilibrios? Porque con las fichas el orden no afecta el resultado. Una manera de obtener expresiones equivalentes es realizar operaciones. Con los procedimientos para sumar números con signo puedes sumar expresiones algebraicas apoyándote también en el uso de las piezas. Por ejemplo, para sumar las expresiones La escritura de expresiones 3x2 - 2x - 5 algebraicas que se pueden + 2 reducir es un tema importante. -x + x + 3 La reducción de piezas se puede hacer manualmente a partir de las reglas y equilibrios con fichas de colores que se emplearon en el trabajo de los números enteros.

se procederá de la siguiente manera:

39

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1

Representamos cada sumando con piezas.

3x2 - 2x - 5

2

3

Para sumar, juntamos todo.

+

PROHIBIDA SU VENTA

-x 2 + x + 3

Los estudiantes deben trabajar constantemente en la transformación de expresiones algebraicas para que se familiaricen con el manejo de las fichas. En esta parte pueden emplear fracciones y decimales.

Posteriormente, eliminamos las piezas que forman equilibrios. (Solamente podemos “equilibrar” piezas del mismo tipo, es decir, piezas semejantes.)

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3

+

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3 2x2 - x - 2

La suma que acabamos de realizar también se puede hacer en forma escrita, prescindiendo de las piezas, pero operando solamente con términos semejantes, columna por columna: +

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3

+

2x2

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3 2x2 – x

+

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3 2x2 - x – 2

Así obtuvimos expresiones equivalentes, expresadas de la siguiente manera: (3x2 - 2x - 5) + (-x2 + x + 3) = 2x2 - x - 2. La sustracción de expresiones algebraicas la puedes realizar de manera similar. Tomemos el siguiente ejemplo: -

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3

40

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1

En este caso, al minuendo (la expresión de arriba) hay que “quitarle” el sustraendo (la expresión de abajo).

– x2 + x + 3

3x2 – 2x – 5

(minuendo)

2

(sustraendo)

La suma de polinomios es un buen punto de partida para trabajar con las fichas. El maestro debe ir elaborando preguntas para reducir términos semejantes y resaltar el procedimiento “usual” empleado para realizar esta operación a partir del uso exclusivo de términos.

Tal y como se procedió en la sustracción con números enteros, si se tiene un minuendo que carece de las piezas necesarias para quitarle el sustraendo, se le agregan ceros.

0

x2 – x2 + x – x + 3 – 3 = 0

Para obtener el resultado retiramos del minuendo las piezas que conforman el sustraendo.

PROHIBIDA SU VENTA

3

Se deben utilizar las fichas del minuendo para ir eliminando fichas que se indiquen en el sustraendo; en el caso de faltar fichas solamente se añadirá un cero o un equilibrio con el número de fichas suficientes para poder realizar la operación.

-

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3 4x2 – 3x – 8

41

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12/12/08 3:28:16 PM

BLOQUE 1

En símbolos, esta operación también se lleva a cabo por columnas de términos semejantes: -

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3

-

4x2

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3 4x2 – 3x

-

3x2 - 2x - 5 -x2 + x + 3 4x2 - 3x – 8

Se obtuvieron las siguientes expresiones equivalentes: (3x2 - 2x - 5) - (- x2 + x + 3) = 4x 4 2 - 3x - 8. Por la regla de los signos es posible. Ejemplo. 4x2 – 8x + 3 – – 2x2 – 6x – 1 6xx2 – 2xx + 4

Para curiosos Observa que en el ejemplo anterior se puede obtener el mismo resultado sumando el sustraendo con los signos cambiados:

Es lo mismo que: +

+

4x2

– 8x + 3 2x2 + 6x + 1 6xx2 – 2xx + 4

3x2 - 2x - 5 x2 - x - 3 4x2

+

¿Esto es válido en general?

PROHIBIDA SU VENTA

3x2 - 2x - 5 x2 - x - 3 4x2 - 3x - 8

Escribe dos expresiones que si se suman o se restan, considerando que la suma y la resta son expresiones de signo contrario, den el mismo resultado. ¿Es posible?

EL ATEN

EO

1

+

Sí, por la ley de los signos.

EN

El maestro debe ir señalando momentos que indican pasos generales para resolver la operación de manera simbólica.

3x2 - 2x - 5 x2 - x - 3 4x2 - 3x

Para cada uno de los siguientes 12 agrupamientos de piezas escribe la expresión algebraica que le corresponda. Además, cuando sea el caso, encuentra expresiones equivalentes en cada inciso.

(a)

(b)

(c)

5

5x + 2x = 7x

– 3x2

(e) – 4x – 5x = – 9x

(f ) 2/2 x2 + 5/2 x2 = 7/2 x2

(d)

½ x + ½ x + ½ x + ½ x = 2x

(g)

(h)

5 + 5 = 10

5x2

42

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12/12/08 3:28:19 PM

LECCIÓN 1 • PONER Y QUITAR… TANTAS VECES Es importante trabajar las piezas triangulares junto con las piezas cuadradas y rectangulares.

( j)

(i ) 5/2 x2

2

3

(k)

5

(l)

– 5/2x – 4/2x = – 9/2x

3+5=8

Representa con piezas las siguientes expresiones algebraicas. • -3x 2 + 2x - 1

• 2x 2 - x + 2

• 4x 2 + 3x + 4

• -5x 2 - 4x + 6

• -2x 2 - 7x - 5

• x 2 - 6x + 3

Para cada uno de los siguientes 9 agrupamientos de piezas escribe al menos dos expresiones algebraicas equivalentes.

– 2x – ½ x – ½ x = – 3x

(a) –

2x2/2

=–

x2

–½

x2

–½

x2

=–

(g) –

(c)

(e)

(f )

3/2x + x = 5/2 x

3x

x2/2

(b) 2x2

(d)

PROHIBIDA SU VENTA

–

x2

+ 3/2

x2

+

(h) 2x2

–

x2

=

–1 – 3/2 = – 5/2

2x2

Conviene insistir en que los estudiantes deben trabajar una configuración de fichas considerando varias representaciones algebraicas; por lo menos una tomando en cuenta todas las fichas y otra después de reducir el número de fichas por equilibrios o reacomodos de las fichas.

5/2 + 1 = 7/2 4 – 2 + 5/2 – 5/2 = 2

(i)

3/2 x – 4/2x – x + 3x = 3/2 x

4 – 2 + 5/2 – 5/2

43

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12/12/08 3:28:22 PM

BLOQUE 1

4

Dadas las siguientes expresiones algebraicas, encuentra dos expresiones algebraicas equivalentes. 3 • - x 2 = – ½ x2 – x2 2 1 • x =x–½x 2 1 =½+½+½+½+½ • 2 2

5

1 • 2 x 2 = 2x2 + x2/2 2 5 • - x = – 1/2x – x 2 1 • -4 = – 4 –½ 2

x2 + 2x + 4 • + -3x2 - 3x + 1

– x2 – 5x – 5

-4x 4 2 + 3x - 5 • - -2x2 - x - 3

– 2x2 – x + 5

-2a2 + 2a - 3 • - -4a2 - 5a + 2

– 2x2 + 4x – 2

4w2 + 3w - 1 • + -2w2 - 3w + 4

2a2 (1) + 7a – 5

6

1 • - x 2 = x2 – 3/2 x2 2 6 • x = 3x 2 1 = –3–½ • -3 2

Realiza con las piezas las siguientes operaciones entre las expresiones algebraicas dadas y escribe el procedimiento que emplearías si las resolvieras simbólicamente. -5x2 - 2x - 7 • + 4x 2 - 3x + 2

Conviene usar una sustracción para comprobar una suma de polinomios e inversamente, usar una suma para comprobar una sustracción de polinomios.

5 2 = x2 + ½ x2 x 2 1 • -1 x = x – ½ x 2 5 =2+½ • 2 •

2w2

3m2 - 2m + 5 • - -2m2 + 6m - 2 m2

+3

– 8m

+7

Resuelve con símbolos las siguientes operaciones representadas con piezas. • Adición:

– 4x2 – 3x – 3 + 2x2 + 2x + 5 = – 2x2 – x + 2

Primer sumando

• Sustracción:

4x2 – 5x – 4

Segundo sumando (– 2x2 + 3x + 3) =

–

PROHIBIDA SU VENTA

No son necesarias largas listas de operaciones, basta partir de algunas de las que se plantean, modificarlas y analizar lo que sucede.

Minuendo

Sustraendo

• Adición:

Primer sumando

Segundo sumando

44

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12/12/08 3:28:26 PM


Demuestro lo que sé y hago 1 Resuelve las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones siguientes.

3 Resuelve los problemas siguientes.

= –35 8=

• (-10) + (+18) • (-21) + (-14) • (+26) + (-13)

= 13

– 45 =

• (-16) - (+29) • (-15) - (-17) = 2• (-30) - (-18)

= – 12

• (+21)(-9)

(-42)(-8)

= 336

(+60) ∏ (-15)

=–4

– 189 = –2=

• (+25)(-4)

= – 100•

• (-22) ∏ (+11) • (-42) ∏ (-6) •

冉 -21 冊冉 56 冊

冉 -47 冊冉 -38 冊

= – 5/12 •

• (0.2)(1.5) = 0.3

= 7•

= 3/14•

冉 -25 冊冉 -52 冊

= 4 /25

• (-0.8)(6.2)= – 4.96• (-0.3)(-3.2) = 0.96

• (

6

) = +12

4

) + (+6) = +12

• (+9) - (-8) = • (

25

• (+7)(

5

) + (-4) = -15

• (-6) - (

• (-5)( • (

8

) = +35

–3

4

50

• (-90) ∏ (-5) =

• (

) = -4

–1

– 28

6

) = -24

冉 -31 冊冉冊 = 冉 -29 冊 • 冉冊冉 -2 冊 = 冉 206 冊 -5 -1 -3 -2 • 冉冊冉冊 = 冉 -143 冊 • 冉 -4 冊冉 5 冊 = 冉冊 2 2 4 1 4 • 冉冊冉冊 = 冉 • 冉 =冉冊冊冉冊冊 9 -5 -8 -40 •

–2

–3

–3

–4

–3

6

–7

20

• (-0.8)(+0.5) = • (+0.4)(

–1

8

4

– 45

5

• (

– .4

) = -0.4

• (-0.25) ∏ (-0.5) =

3.8

• Sandra tiene una colección de 536 estampillas y 2 por accidente perdió de ellas. ¿Cuántas estam5 pillas perdió? 214.4. 1 • Si María tiene de los 693 libros que tiene Elsa, 3 ¿cuántos libros le faltan para tener la misma cantidad que Elsa? 462 libros. 1 de los $725.00 que tiene Gonzalo • Aída puso 3 para completar el costo de su viaje. ¿Cuánto pagó Gonzalo por su viaje? $483.33. 2 • De 550 aves que tiene una granja, son gallinas, 5 1 son gansos, el resto son patos. ¿Cuántas aves 2 hayy de cada especie? 220 gallinas.

)(+0.9) = +3.42

• (-1.6)(

3.4

) = -5.44

0.5

• (– 0.94 ) ∏ (-0.13) = +3.8 • (+0.18) ∏ ( – 0.6 ) = -0.3 • (-0.936) ∏ (

0.36

275 gansos. 55 patos

) = -2.6

45

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• Alfonso tenía $52.00 y después cobra una suma que le debían; al final tiene $720.00. ¿Cuánto ganó? $668.

• Un carpintero tiene una tabla que mide 3.25 m de largo y tiene que cortarla en dos partes para usar 4 de la longitud total. ¿Cuánto mide el pedazo de 7 tabla que le queda? 1.39.

–5

) ∏ (-2) = +14

• (-144) ∏ (

• Raúl ganó $420.00 por un trabajo, y le debían por otro trabajo $210.00. ¿Cuánto dinero tendrá? $630.

• Luis cobra $3 400 por un determinado trabajo, y 3 si le piden que solamente haga de ese trabajo, 4 ¿cuánto tendrá que cobrar? $2 250.

)(-4) = +12

• (+35) ∏ (-7) =

18

20

) = -20

• (+5)(+10) =

• Jorge tiene $450.00 y le deben $65.00. ¿Cuánto dinero tendrá después de cobrar esa deuda? $115.

• Si un albañil cobra $2 500 por un trabajo, y Tomás tiene 4 veces lo que le cobra el albañil, ¿con cuánto dinero se queda Tomás después de pagar por ese trabajo? $7 500.

) = -6

0

• ( – 40 ) ∏ (-2) = +20 • (+4) ∏ (

PROHIBIDA SU VENTA

– 11

• (+13) - (-7) =

17

)(-5) = +20

• (-4)(-2) =

• (

• A Manuel le pagaron $650.00 y perdió $225.00. ¿Con cuánto dinero se queda? $425.

• Javier le debía $850.00 a Susana, le devuelve $230.00. ¿Cuánto le debe todavía? $620. 1 • Si de lo que tengo de lápices le doy a Jessica y 2 me quedan 19 lápices, ¿cuántos lápices tenía? 38 lápices.

2 Encuentra el número faltante en las siguientes operaciones. • (+8) + (

Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de diversas formas; como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades por resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.

El maestro puede elegir solamente algunas de las actividades: no es necesario que se resuelvan todas.

12/12/08 3:28:29 PM

En la actividad 8, el maestro puede solicitar que los términos no se sumen solamente, sino que también se resten en el orden que se presentan e invirtiendo los términos de la operación a fin de comparar los resultados obtenidos.

BLOQUE 1

8 Resuelve con símbolos las siguientes operaciones representadas con piezas.

4 Escribe la expresión algebraica que corresponda a cada uno de los siguientes agrupamientos de piezas.

• Adición:

+

5x2 – 4x – 5 – 7x2 + 8x + 8 – 2xx2 + 4xx + 3

5x + x = 6x

– 4x2

Primer sumando

5+1=6

5+3=8

5 Para cada uno de los siguientes agrupamientos de piezas escribe al menos dos expresiones algebraicas equivalentes.

Segundo sumando 2 + – 3x – 5x – 4 3x2 + 5x – 3 –7

• Adición: x2 + x2/2 = 3/2x2

4x + ½ x + ½ x = 5x

3 + 5/2 = 11/2

6 Resuelve con símbolos las siguientes operaciones. •+

2x2 + 3x + 2 -3x2 - 4x + 3 – x2 – x +5

Primer sumando

2x2 + 4 4x - 2 •-2x2 - 3x - 1

PROHIBIDA SU VENTA

4x2 + 7x – 1

•+

-6x2 - 3x - 9 3x2 - 2x + 5 – 3x2 – 5x – 4

7 Resuelve los siguientes problemas.

Segundo sumando

• En la mesa de un restaurante se han colocado 9 En un rectángulo el largo es cuatro veces el ancho, y 12 cucharas más que cuchillos. Si en total son el perímetro es 30 cm. ¿Cuánto mide cada lado? 32 cuchillos. 76 cubiertos, ¿cuántos son de cada uno? 44 cucharas. • Corté una tabla de 60 cm de largo en dos partes. y Si una mide 14 cm más que la otra, ¿cuánto mide cada parte? 23 cm una parte. x

37 cm la otra.

2x + 2 (4) (x) = 30 10x = 30 x = 3 cm y y = 12 cm

46

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12/12/08 3:28:30 PM


10 Calcula el valor de cada lado que se pide. (P P corresponde al perímetro de la figura.)

11 Encuentra el valor de la cantidad desconocida en las siguientes figuras.

x+5

x

h h

*h

h h

x

x = 6 cm

r = 5 cm

*&Yc

P = 34 cm x+5

2x

1 1 d 2

2x

1 2 d 2

d

d = 2 cm

x = 21/5 cm

P = 26 cm

x+5 '&Yc

w+3

d = 2 cm

w+3

w = 7 cm

w+3

Lo que se ha trabajado con geometría y expresiones algebraicas se puede generalizar para trabajar otras situaciones geométricas.

P = 40 cm w+3

PROHIBIDA SU VENTA

Conéctate Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

• Edouard Lucas

El laberinto y otros juegos matemáticos Zugarto Ediciones, Madrid, 1996. • Eduardo Mancera Matematebloquemática: el arte de aprender matemáticas haciéndose la vida de cuadritos gei, México, 2001. • Yakov Perelman Álgebra recreativa. En línea: http://www.librosmaravillosos.com/ algebrarecreativa/index.html. • Inmaculada Vargas-Machuca et al. Números enteros Síntesis, Madrid, 1990.

• http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html En este sitio encontrarás opciones de materiales virtuales de enseñanza en varios grados y temas.

También puedes consultar los siguientes libros. • Aurelio Baldor

Álgebra Grupo Cultural Patria, México, 2007. • José María Chamoso y William Rawson A vueltas con los números Colección Diálogos de matemáticas Nivola, Madrid, 2003. 47

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En Internet hay diversos sitios en los cuales se enlistan varias operaciones con polinomios que se pueden trabajar con las fichas. También hay textos clásicos que tratan sobre la enseñanza con manipulativos, de donde el maestro puede obtener ideas valiosas.

12/12/08 3:28:34 PM

2

Qué dicen los ángulos y sus medidas ed das Mis retos Ya conoces los ángulos, ahora utilizarás sus medidas para estimar, medir y calcular en diversas situaciones. Las medidas de ángulos las realizarás con una unidad que conoces, los grados. Haciendo uso de los ángulos podrás analizar las relaciones que se establecen entre varias rectas en virtud de sus posiciones relativas en el plano (rectas paralelas, perpendiculares u oblicuas). El conocimiento de esas relaciones es fundamental en algunas construcciones geométricas. Utilizarás criterios para reconocer ángulos opuestos por el vértice o adyacentes. Además, establecerás relaciones entre los ángulos que se forman al cortar dos rectas paralelas por una transversal, lo cual es muy útil para justificar relaciones entre los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

¿Qué sé? En el primer grado ya trabajaste con los ángulos, con bisectrices y mediatrices. También abordaste varios aspectos de la geometría que implicaron el uso de figuras con ángulos de diversos tipos.

PROHIBIDA SU VENTA

¿Qué lograré aprender? Muchas propiedades de las figuras geométricas provienen de considerar los ángulos que forman sus lados, ya que a partir de ellos se establecen criterios para clasificarlas o para obtener unas figuras a partir de otras.

48

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12/12/08 3:14:12 PM

ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON Los estudiantes pueden responder usando el lenguaje cotidiano; sin embargo, la idea es que conozcan la terminología que se emplea en estos casos.

1 Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. • • • • • • • • • • •

¿Qué es un ángulo? Es la abertura entre dos rectas que se intersecan. ¿Cuántos grados mide un ángulo recto? 90°. ¿Cuántos grados mide un ángulo colineal? 180°. ¿Qué instrumento de medición usamos para saber cuántos grados mide un ángulo? Transportador. ¿Qué es una bisectriz? Recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. La mediatriz de un segmento está formada por todos los puntos que equidistan ¿Qué es una mediatriz?de los extremos del segmento. ¿Cuáles son los ángulos complementarios? La suma de dos ángulos que son complementarios es siempre igual a 90°. la suma de las medidas de dos ángulos es 180°, ¿Cuáles son los ángulos suplementarios? Cuando se dice que son suplementarios. ¿Cuáles son las rectas paralelas? Aquéllas que se cruzan en el infinito. ¿Cuáles son las rectas perpendiculares? Los que forman un ángulo de 90° entre sí. ¿Qué es la simetría? Un par de figuras son simétricas respecta de una recta l si cada par de puntos correspondientes de las figuras es simétrica respecto a l.

2 Traza la bisectriz de los ángulos DEF y XYZ. P

:

N

<

;

O

3 Traza la mediatriz de los segmentos LM y CD.

PROHIBIDA SU VENTA

M

C

D

L

4 En la figura (a) y en la figura (b), respectivamente, ¿cómo son entre sí los pares de ángulos ADC y CDB? La suma de los ángulos ADC y CDB es igual a 180°.

La suma de los ángulos ADC y CDB es igual a 90°.

7

En la escuela primaria los alumnos estudiaron el ángulo como giro y como elemento de las figuras geométricas. El desarrollo de este tema permite plantear situaciones en las que, mediante deducciones simples, se pueda calcular la medida de un ángulo. Es importante que los alumnos manejen el transportador y utilicen el compás para trazar ángulos.

9 9 8

7

:

:

W

X

8

49

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BLOQUE 1

Letras para figuras

La simbología que actualmente se utiliza en geometría permite referirse a los objetos geométricos sin causar confusiones, es conveniente iniciar desde los objetos más sencillos hasta los más complejos.

Discute con tus compañeros la forma en que te referirías a una línea recta que pasa por dos puntos diferentes A y B, sin usar palabras y sin hacer dibujos. En el mismo sentido: ¿cómo te referirías al segmento de extremos A y B?, ¿a la distancia entre A Un segmento con extremos A y B se denota como AB, la distancia y B?, ¿cómo te referirías a un ángulo? como AB y a un ángulo como ü AB o ü AOB Como vimos anteriormente, las letras nos sirven para representar números. ¿Nos servirán también para referirnos a figuras geométricas? Sí, también. Dibuja un triángulo en tu cuaderno y da instrucciones a otro de tus compañeros para que, sin ver tu triángulo, pueda reproducir uno igual. (PA) Ahora conviene hacer algunas precisiones. Por dos puntos pasa una y sólo una recta.

Figura 1 Recta AB

A

B

Una recta que pasa por los puntos A y B se denota por AB. Un segmento de recta cuyos extremos están en los puntos A y B se denota como AB. La longitud del segmento o la distancia entre los puntos extremos se simboliza por AB. Figura 2 Segmento AB

A

B

De esta forma, un punto R está entre A y B si se cumple que AR + RB = AB, siendo R π A y R π B. A

Figura 3

PROHIBIDA SU VENTA

Un par de letras puede servir para nombrar muchos objetos geométricos: rectas, segmentos, distancias entre dos puntos, semirrectas o rayos, por ello se utilizan otros elementos gráficos para resaltar el tipo de objetos a los que refieren un par de letras.

Figura 4 La diferencia entre rayo y semirrecta es solamente un punto, pero es importante notar esto porque en los programas de cómputo se utilizan semirrectas en vez de rayos, dada la imposibilidad de eliminar un punto de un trazo.

Figura 5 Rayo OR

R

B

Un punto O en una recta divide a ésta en dos partes. Cada parte se denomina semirrecta y el punto O que divide a la recta se conoce como origen de semirrectas. Cada semirrecta queda determinada por el origen y un punto por donde pasa. Cabe aclarar, sin embargo, que las semirrectas no incluyen a su punto de origen; en otras palabras, el origen de una semirrecta no es un punto de ella. ¿Por qué el origen no puede ser punto de ninguna g de las semirrectas? En la figura 4 el punto O divide a la recta MN en dos semirrectas, que se denotan como OM y ON respectivamente.

M

O

N

Cuando una semirrecta incluye su origen se denomina rayo, de tal modo que un rayo queda determinado por su punto de origen y otro punto por donde pasa. El rayo con origen en O y que pasa por R se denota como OR (figura 5). La flecha indica la dirección hacia donde continúa el rayo indefinidamente. O

R

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12/12/08 3:14:14 PM

LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS Vale la pena dedicar un espacio en el curso a manejar adecuadamente la notación en geometría.

Para curiosos Discute con tus compañeros las siguientes preguntas, haz los dibujos necesarios. • • • • • • •

¿Por qué el origen de las semirrectas no se incluye en ninguna? Porque por definición, el origen de una semirrecta no es punto de ella, de lo ¿La recta AB es la misma que la recta BA ? Sí. contrario la llamaríamos rayo. ¿El segmento AB es el mismo que el segmento BA B ? Sí. ¿La distancia AB es la misma que la distancia BA? Sí. ¿La semirrecta AB es la misma que la semirrecta BA ? Sí. ¿El rayo AB es el mismo que el rayo BA ? No. Si un punto M está entre A y B, ¿será punto de la semirrecta AB ?, ¿de la semirrecta BA ?, ¿del rayo BA ?, ¿o del rayo AB ? Sí a todo salvo que M fuera el origen, en su caso, EL ATEN

EO

EN

no pertenecería a la semirrecta pero sí al rayo.

R

1

2

Dadas las siguientes expresiones simbólicas, explica a qué se refieren y haz una figura que corresponda con lo que simbolizan. • La recta RS

• El rayo QL

• El segmento RS

• El rayo AB

• El segmento EF

• La recta WX

Escribe el nombre y la notación correspondiente a las siguientes seis figuras. E

D

A

Rayo JG.

L

Segmento EF. EF.

F

B

W

Segmento AB.

Y

U

Y

Semirrecta WY.

PROHIBIDA SU VENTA

Rayo QZ. QL.

B

E E

G J

Q

Rayo AB. AB.

Rayo DE.

D

Recta DE.

A

S RS. Recta que pasa por los puntos RS.

Recta UY.

Los ángulos y sus medidas Ya sabes, del curso anterior, que un ángulo es una figura geométrica formada por dos rayos, denominados lados del ángulo, que tienen un origen común llamado vértice del ángulo. Esto se ilustra en la figura 6. A Lado

R

Segmento RS. RS

S

W Recta que paso por los puntos WX WX: recta WX. WX

X

Una de las nociones en las que se detectan muchos errores es en el manejo de los ángulos dado que los alumnos confunden esta figura con la medida de la figura y los manejan indistintamente.

Vértice O

Lado

Figura 6 Ángulo AOB

B

51

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BLOQUE 1

Además de los grados, las unidades utilizadas para la medida de los ángulos en el plano son: Radián: se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Es usado oficialmente en el sistema internacional de unidades.

Denotaremos un ángulo mediante tres puntos: el vértice y un punto en cada uno de los rayos, ubicando en medio el punto que indica el vértice. Así, por ejemplo, el ángulo de la figura 6 se denota como ü AOB. Aun cuando hemos definido los ángulos en términos de rayos, que son semirrectas de longitud infinita, en adelante representaremos los ángulos usando segmentos de rectas, por comodidad, prescindiendo de las flechas. A los ángulos se les asigna una medida. Esta medida es un número que se denota anteponiendo una “m” al nombre del ángulo. La medida del ángulo representado en la figura 6 se denota como m(ü AOB). Para medir ángulos se utiliza un instrumento que consiste en un semicírculo dividido en 180 partes, llamado transportador. Cada una de las 180 divisiones de ese semicírculo se denomina grado. Observa la figura 7.

La cantidad de grados que abarque un ángulo será su medida.

Grado centesimal: resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades.

PROHIBIDA SU VENTA

El proceso de medición de ángulos es parecido al de medición de longitudes, solamente que en el caso de longitudes el instrumento no representa muchas dificultades por sus dimensiones, pero con los ángulos el tamaño y la forma del transportador puede plantear algunas dudas a los estudiantes.

Figura 7 El transportador

']hWZe

Eh_][dZ[b[`[ Z[h[\[h[dY_W

Generalmente cuando mides la longitud de un segmento rectilíneo, colocas el cero de la escala en uno de los extremos del segmento e identificas el número que se corresponde con el otro extremo (figura 8).

Figura 8 Medición de un segmento

Medir ángulos no difiere mucho de ese procedimiento: se hace coincidir el origen del eje de referencia del transportador con el vértice del ángulo, de tal modo que los dos lados pasen por la zona graduada. Un lado debe corresponder con la marca del cero en la escala y se observa por qué marca pasa el otro lado: ésa será la medida en grados del ángulo. Observa un ejemplo en la figura 9.

52

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12/12/08 3:14:16 PM

LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS BWc[Z_ZWZ[b|d]kbeFHG [iZ['(&° G ''& -&

/&

.& '&&

-& ''&

, '(&&

BWb[YjkhWi[^WY[[dbW[iYWbW j[d_[dZe[dYk[djW[bi[dj_Ze Z[b|d]kbe + ') & &

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'.& &

La medición de los ángulos se realiza tomando en cuenta el interior del ángulo, lo cual implica mediciones entre cero y 180°.

H

F

BWc[Z_ZWi[b[[[dbW[iYWbW gk[Yec_[dpWYedY[he [d[ij[YWiebWc|i[nj[h_eh

Figura 9 Medición de un ángulo con el transportador

El tratamiento de ángulos mayores de 180° se reservará para otros niveles educativos.

Para curiosos Discute con tus compañeros lo que sigue. En la figura, ¿el ángulo AOB es igual al ángulo SOR? En otras palabras, verifica si m(ü AOB) = m(ü SOR).

R

Los ángulos AOB y SOR son iguales, es decir m (ü AOB) = m (ü SOR) porque A y R son colineales y lo son S y B también. Por tanto, forman el mismo ángulo.

A

O

S

B Exterior Interior

Tal vez has podido observar que en la medición de ángulos queda por determinar lo que se está midiendo. Hay dos posibilidades: lo de “afuera” (llamado el exterior del ángulo) o lo de “adentro” (llamado el interior del ángulo). Observa la figura 10 y responde ¿a qué región corresponde la medida?

PROHIBIDA SU VENTA

Para curiosos Discute con tus compañeros cómo caracterizar geométricamente el interior de un ángulo. Puedes apoyarte en la siguiente figura:

Figura 10

Casos especiales serán los de los ángulos de cero grados y 180° que no tienen interior pues corresponden a rayos colineales; en esos casos solamente se indica la medida sin referirse al interior.

?dj[h_eh ;nj[h_eh

¿Qué observas? ¿Cada segmento trazado en dónde está respecto al ángulo?

Los segmentos dividen al interior del exterior del ángulo.

53

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12/12/08 3:14:17 PM

BLOQUE 1

¿Cómo son los segmentos de recta, es decir qué posición relativa tienen, si son los lados de un ángulo de 90∞? A un ángulo que mide 90∞ se le denomina ángulo recto.

Al trazar la bisectriz de un ángulo recto cada ángulo debe medir 45° .

90∞

PROHIBIDA SU VENTA

La comparación de ángulos requiere conocer las figuras que corresponden a ángulos familiares.

Al dividir un ángulo recto en tres partes iguales, cada parte debe medir 30° .

Dos terceras partes de un ángulo recto corresponde a una medida de 60° .

Un ángulo que indica media vuelta se le denomina ángulo llano y le corresponde a una medida de 180° .

Un ángulo que indica una vuelta completa le corresponde a una medida de 360° .

54

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12/12/08 3:14:18 PM

LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Para curiosos Discute con tus compañeros las siguientes preguntas. Si en un círculo se trazó un ángulo recto, con vértice en su centro, ¿qué parte o fracción del círculo abarca el interior del ángulo? ¿Cuál parte el exterior? ¼ del interior, ¾ del exterior ¿Un ángulo que mida 180∞ tiene interior y exterior?

No, sería indistinto

Considera que tienes tres transportadores para medir un ángulo. ¿Puedes usar cualquiera de ellos?, es decir, ¿la medida del ángulo ngulo será la misma mis si utilizas cualquiera de los transportadores? ¿Por qué?

En este proyecto se requiere que los estudiantes discutan las secciones del círculo que representan ciertas medidas de ángulos y que también discutan si se modifican las mediciones por el tamaño del transportador.

Sí, porque están hechos bajo el mismo principio.

PROHIBIDA SU VENTA

1

EL ATEN

EO

EN

Para medir un ángulo, ¿debes elegir uno o de sus dos lados en particular para ubicarlo en el cero de la escala circular del transportador? Sí.

Estima la medida de cada uno de los siguientes ángulos. Posteriormente determina su medida con un transportador y denota cada ángulo utilizando la notación de tres letras.

Es importante que los alumnos se acostumbren a medir ángulos sin lados paralelos a la horizontal, dado que eso puede conducirles a errores.

M

Q F

70°

O

23°

P

L T

V

66° 15°

U

G

H

N

55

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12/12/08 3:14:19 PM

BLOQUE 1

Estima la medida de cada uno de los ángulos interiores de los siguientes polígonos. Suma dichas estimaciones y compara ese resultado con el que obtienes al medir los ángulos con tu transportador y calcular la suma con esas medidas.

2

F

108 ?

Las mediciones de ángulos interiores en polígonos son importantes, por ello se requiere que los estudiantes se involucren y empiecen a hacer estimaciones de la medida de este tipo de ángulos.

<

31

E

G

K

E

=

120

=

33

A

L

53

120

O

120

97

86

103

I

L

60

B

74

278

J

125 ?

@

M

N

@

B

9 7

G

F

J

>

230

95

85

<

H

H

120

;

;

I

>

41

C

A

E

A :

25

D

20

C

255

D

60 8

B

Traza el lado faltante para que los ángulos así formados tengan las medidas indicadas.

3

PROHIBIDA SU VENTA

X Esta actividad ayuda a que los estudiantes reconozcan el vértice del ángulo y se enfrenten a problemas con más de una solución.

A

175

A

G

24

F

G

B

B

X

m(ü ABC ) = 24∞

S

85

F

m(ü FGH ) = 175∞

Y

m(ü XYZ) = 85∞

160

S R

17 R

T

Y

O

O

m(ü ORG) = 160∞

m(ü STU ) = 17∞ T

56

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12/12/08 3:14:23 PM


4

A los siguientes ángulos les falta el vértice, complétalos y obtén sus medidas.

50

120

Clases de ángulos Entre los ángulos se presentan diferentes tipos de relaciones que es importante conocer pues ayudan a estudiar las propiedades de distintas figuras geométricas.

Ángulos congruentes

Dos ángulos con la misma medida se dice que son ángulos congruentes.

Esta actividad está orientada a que los estudiantes determinen la figura completa conociendo algunas de sus partes, además de que vean que es importante encontrar el vértice para determinar la medida del ángulo. El maestro puede sugerir que encuentren la medida del ángulo sin determinar el vértice, para provocar una discusión en el grupo acerca de la relevancia del vértice.

El tema de la congruencia de ángulos es una noción que se empleará en varios contenidos relacionados con figuras geométricas a lo largo de la escuela secundaria y por ello debe prestársele atención.

Observa que en la figura 11, el ángulo PQR es congruente al ángulo MTN, pues m(ü PQR) = m(ü MTN). N J

F

(,$.°

PROHIBIDA SU VENTA

G

D

(,$.° H

C

A veces la noción de congruencia se basa en la superposición de figuras, pero el plantear este concepto en términos de la medida del ángulo resulta más conveniente.

Figura 11

El signo @ se utiliza para expresar la congruencia de ángulos. Con los ángulos de la figura 11, tendríamos que ü PQR @ ü MTN.

Cómo copiar ángulos Tal vez conoces los pasos para copiar un ángulo con regla y compás. Para que lo recuerdes, observa la secuencia de pasos de la figura 12, en la que a partir del ü AOB se obtiene el ü A¢O¢B ¢ ¢. Discute con tus compañeros qué se hizo en cada paso para copiar el ángulo en la figura 12, y escríbelo en tu cuaderno. Comprueba además que ü AOB @ ü A¢O¢B ¢ ¢; para ello puedes utilizar un transportador.

57

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12/12/08 3:14:25 PM

BLOQUE 1

1

3

ORIGINAL

A

5

A

B

B

O

B

O

O

4

COPIA

2

A

F A¢

6

B¢

B¢

B¢

O¢

O¢

O¢

Al copiar ángulos es importante recalcar que el ángulo que es copia de otro puede estar en cualquier posición.

Figura 12 Copia del ángulo AOB

Para curiosos Son ciertas las relaciones ü QRP @ ü NTM y ü PQR @ ü NMT porque si dos ángulos y dos pares de segmentos son congruentes, entonces los triángulos formados por éstos, son congruentes.

Analiza con tus compañeros lo siguiente. Si se sabe que dos ángulos cumplen con la relación ü PRQ @ ü MTN, siendo PR = MT y RQ = TN , ¿será cierto que ü QRP @ ü NTM? ¿Será cierto que ü PQR @ ü NMT ? Redacta brevemente una explicación de tu respuesta. Conjuntamente con algunos de tus compañeros, dibuja un ángulo y cópialo en otra hoja. Posteriormente encima las figuras de los ángulos y observa a contraluz si coinciden. También puedes recortar uno de los ángulos y sobreponer su interior con el del otro para saber si son congruentes o no.

EN

En esta actividad los estudiantes pueden encimar figuras o medir ángulos e incluso tratar de ver si los pasos para copiar a un ángulo se pueden reproducir en otro; las estrategias pueden ser diversas.

1

EL ATEN

EO

PROHIBIDA SU VENTA

En este proyecto se pide que los estudiantes analicen lo que se realiza con regla y compás y se les prepara para otras relaciones de congruencia entre figuras geométricas.

Haz una copia de cada uno de los siguientes ángulos, pero en diferentes posiciones.

D

Q

O

J

b a B

A

K

P

L

E F

58

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12/12/08 3:14:26 PM

W LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

D

G

O

W

D

G

P

Z

M

L

Y

E

F

O

T

P

B

X Y

C

N

A

V

B

P

A

D

C

N

N

C U

Q

Relaciones entre pares de ángulos Estudia las siguientes figuras:

K

K

C

B

A R

M

M D

P

Q

L

U

E

M

M

X

V

N

F

U

Detecta en cada una de las siguientes figuras ángulos congruentes, si los hay.

2

Z

R X

T

A

A B

Los alumnos deberán construir sus definiciones para diferentes tipos de ángulos a partir de la descripción de las figuras propuestas. El maestro deberá pedir todas las representaciones geométricas de cada definición para ver si se puede considerar matemáticamente correcta y, en caso de que no sea así, deberá hacer uso de contraejemplos que ayuden a los alumnos a reconstruir sus propias definiciones.

B

PROHIBIDA SU VENTA

O

C

Figura 13

Con tu transportador, mide los ángulos ü AOB, ü BOC y ü AOC. • ¿Hay alguna relación entre esas medidas? ü AOB + ü BOC = ü AOC

• ¿La suma de dos de esas medidas es igual a alguna de ellas? Sí.

• ¿La diferencia de dos medidas es igual a una de ellas? Sí, ü AOC ⫺ ü BOC = ü AOB y ü AOC ⫺ ü AOB = ü BOC

59

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12/12/08 3:14:27 PM

BLOQUE 1

Q R

P S

Figura 14

Con tu transportador, mide los ángulos ü PSQ, ü QSR y ü PSR. • ¿Hay alguna relación entre esas medidas? Esta actividad permitirá a los alumnos elaborar una lista de los atributos relevantes de los ángulos adyacentes y, a partir de esta lista, construir su propia definición. Es probable que definan ángulos adyacentes como “ángulos que comparten un lado y un vértice”, “ángulos que tienen un vértice común” o “ángulos que tienen un lado común”, el profesor deberá usar contraejemplos que ayuden a los alumnos a elaborar una definición correcta.

Sí. ü PSQ + ü RSQ = ü PSR

• ¿La suma de dos de esas medidas es igual a alguna de ellas? Sí.

• ¿La diferencia de dos medidas es igual a una de ellas? Sí, ü PSR – ü PSQ = ü RSQ y ü PSR – ü RSQ = PSQ

Dado el siguiente rayo, dibuja un par de ángulos que tengan el vértice y un lado común y que la suma de sus medidas sea 90 grados.

V V

Z

Figura 15 R

Z

¿Cuánto suman las medidas de cualquiera de los ángulos que se forman en cada una de las siguientes figuras? 732697196

97 O

R

PROHIBIDA SU VENTA

90

N

L

82 P

15

V

O Q

U

V P

6

N

L

73 M

Z

U

O

M

26

Z

Figura 16

M

267399

Traza dos ángulos que tengan como lado común el segmento de la figura 17, que su vértice sea común y que sus medidas sumen 180 grados.

60

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12/12/08 3:14:29 PM


V V

180

Z

Z

Figura 17

¿Cuánto suman las medidas de cualquier par de los ángulos que se forman en cada una las siguientes figuras?

V

102 152 7527102 102 L 7775152 7725102

V P

U

U

P

O

77

Z

Z

75

N

N

O 27

O M

Q

M Q

M

Figura 18

F

Ángulos adyacentes, complementarios y suplementarios

adyacentes si comparten el vértice y un lado (uno de los rayos que los conforman).

D *-$.°

PROHIBIDA SU VENTA

Nótese que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes es la medida del ángulo total que conforman. Esto se ilustra en la figura 19, donde m(ü MQN ) + m(ü PQN) = m(ü PQM) ; es decir, 47.8∞ + 23.6∞ = 71.4∞.

Se ha preferido introducir medidas de ángulos que no sean necesariamente números enteros, pues en la práctica casi siempre se presentan en medidas decimales.

H I

()$,°

,,$*°

Por ejemplo, en la figura 20 las medidas de ü RWS y ü SWT T suman 90∞:

66.4∞ + 23.6∞ = 90∞.

C

Figura 19 ü PQN N y ü MQN N son adyacentes

Dos ángulos cuyas medidas suman 90∞ se dice que son complementarios.

m(ü RWS) + m(ü SWT) = m(ü RWT )

()$,°

G

M

J

Figura 20 ü RWS y ü SWTT son complementarios

61

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12/12/08 3:14:30 PM

BLOQUE 1

Cuando la suma de las medidas de dos ángulos es 180∞ se dice que son suplementarios. El maestro puede presentar ángulos no adyacentes, incluso sin tener partes en común para señalar ángulos complementarios y suplementarios, puede formar algunas figuras geométricas con los estudiantes para adelantar resultados que posteriormente se trabajarán.

Observa que, en la figura 21, las medidas de ü RWSS y ü SWT T suman 180∞: m(ü RWS) + m(ü SWT) = m(ü RWT ) 156.4∞ + 23.6∞ = 180∞. I

Figura 21 ü RWS y ü SWTT son suplementarios

'+,$*° H

()$,°

J

M

Para curiosos ° ‘ “ 1 grado 1° 60’ 3 600” 1 minuto 1.667 x10-2 1 60 1 segundo 2 778 x 10-4 1.667 x 102 1

Discute con tus compañeros cómo las medidas de ángulos escritas en forma decimal (por ejemplo, 37.56∞) se pueden convertir a expresiones equivalentes en grados, minutos y segundos. Por ejemplo, 37.56∞ = 37∞ 33.6¢ = 37∞ 33¢ 36≤.

1

EL ATEN

EO

EN

Si un ángulo se expresa en grados, minutos y segundos, ¿cómo se puede encontrar su expresión en forma decimal? Basta con hacer las conversiones.

¿Puede haber ángulos complementarios o suplementarios que no sean adyacentes? ¿Por qué?

PROHIBIDA SU VENTA

Sí, basta que sumen 90° o 180°.

Es importante que los alumnos reconozcan ángulos congruentes utilizando diversos criterios.

2

Considera dos ángulos con lados correspondientes paralelos (es decir, las rectas que contienen a sus lados son respectivamente paralelas de un ángulo a otro). ¿Estos ángulos serán congruentes? Sí. Comprueba si lo son o no usando el transportador, también puedes copiar uno de los ángulos sobre el otro, o puedes recortar uno de ellos para sobreponerlo al otro. Sí lo son. F 7 H

AB es paralela a PQ BC es paralela a QR

9 G

8

62

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12/12/08 3:14:32 PM


A

¿Son congruentes dos ángulos que tienen sus lados paralelos?

3

a y b son congruentes y a es congruente con b.

4

b

Cuando dos ángulos tienen lados paralelos, hay que saber la relación que se puede establecer entre dichos ángulos, pues ese tipo de relaciones se requieren al estudiar las propiedades de varias figuras geométricas.

a

B

Dos ángulos que tienen sus lados perpendiculares ¿serán congruentes? Sí y serían suplementarios.

5

Si se intersecan dos segmentos de recta perpendiculares ¿cuántas parejas de ángulos adyacentes se forman?, ¿cuánto miden cada uno de ellos? 4 de 90° cada uno.

6

Cuando los ángulos tienen lados perpendiculares, también se requiere reconocer la relación que se puede establecer entre esos ángulos.

¿Cuántas parejas de ángulos adyacentes forman dos rectas paralelas? ¿Por qué? Ninguna porque no se cruzan.

En cada una de las siguientes figuras identifica pares de ángulos que sean complementarios o suplementarios, si los hay. Compara ángulos interiores que provengan de una misma figura. Puedes usar un transportador o reproducir cada figura y recortar sus ángulos para ver cuáles de ellos forman ángulos rectos o llanos; también puedes copiarlos con regla y compás de tal forma que queden adyacentes, y ver si forman un ángulo recto o llano; otra forma de reproducir los ángulos es doblando un papel. ac180

7

ab180 cd180 bd180 ad180 cb180

abc180 b

b

a

c

d c

b

a

d

a

PROHIBIDA SU VENTA

c

Los estudiantes podrán conjeturar sobre algunas relaciones entre los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros; no importa que se equivoquen en sus conjeturas, pues deben ponerlas a prueba analizando si se cumplen en otras situaciones.

abc180 b a

c

abc180 abc180

b

b a

a

c

c

rs90 r

s

63

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12/12/08 3:14:33 PM

BLOQUE 1 b) B

8

C

En la figura, los segmentos rectilíneos AC y BD son perpendiculares. Con esta información encuentra la medida de los siguientes ángulos. O

A

D

c)

• • • •

El cálculo de medidas de ángulos, conociendo otros en una figura, es una parte necesaria al estudiar figuras geométricas y establecer la manera de emplearlas en algunas aplicaciones, por ello este tipo de actividad debe ser ampliada por el maestro.

ü AOG ü BOI = 30° ü HOB = 50° ü COJ = 64° 30´

U

R

7

= 20°

= >

R

T

O S

T

*&°

O

W d)

-&°

V

8

U T

X

W

?

,&°

E

:

(+°)&Ô R

O

@

S

9

9

En los siguientes pares de ángulos suplementarios encuentra la medida del ángulo que se pide. • • • •

ü GHJ ü BCA ü RST ü NLM

7

150°

=

@ >

)&°

90°

/&°

? 8

:

9

H F

')+°

A

B

45°

C

((°

I

158°

J

D

PROHIBIDA SU VENTA

Ángulos y rectas En las siguientes figuras, elige los puntos necesarios y denomínalos con letras para determinar, con la medida de ángulos o mediante regla y compás, las parejas de ángulos que son congruentes, complementarios y suplementarios. a) N

M P

R

Figura 22

ü MON + ü NOP = 180° ü POR + ü ROM = 180°

64

01_02_OK.indd 64

12/12/08 3:17:05 PM

Un problema interesante consiste en pedir a los alumnos que busquen argumentos para justificar que los ángulos opuestos por el vértice son iguales, sin recurrir a la medición. LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

b)

b)

B

C O

A

D

ü AOB + ü BOC = 180° ü AOD + ü DOC = 180° c)

U

R

O

T

S

R

Figura 23

T

b)

O

c)

B

C

W

d)

O

A

D

V U X

T

W

ü ROS + ü UOR = 180° ü RÓ´W + ü S O‘R‘ = 180° ü ROU + ü VOT = 180° ü ROS + ü SOT = 180°

c)

U

R

R

O

O

S

T

S

R

T O W

d) V U T

X

W

Figura 24

ü XOV + ü VOU = 180° ü WOT + ü ROT = 180° ü WO´S + ü RO´S = 180 ° ü UTO + ü TOX = 180°

S

Figura 25

Para curiosos Si varías la posición de alguna de las rectas en:

PROHIBIDA SU VENTA

R

O

los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complementarios y suplementarios. Si varías la posición de la recta que corta al par de rectas paralelas:

Respecto a los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una secante, no sólo se trata de que los alumnos recuerden los nombres, sino también de que establezcan relaciones de igualdad entre ellos y que busquen argumentos para justificarlos.

los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complementarios y suplementarios. Construye dos rectas que se intersecten y formen un par de ángulos de 90 grados. Esas rectas tienen alguna relación? ¿Cómo se les denomina a ese tipo de rectas? Son perpendiculares. Si dos rectas al cortarse forman solamente un ángulo de 90 grados, ¿son perpendiculares?

Sí.

Dibuja dos rectas que al ser cortadas por otra recta que sea perpendicular a una de ellas, sea perpendicular a la otra recta. ¿Cómo se denomina a ese par de rectas? L

65

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R

Son paralelas. LyR

12/12/08 3:17:06 PM

BLOQUE 1 Muchas veces se detectan ángulos en configuraciones geométricas que implican varias figuras, por ello es indispensable que los estudiantes aprendan a detectar ángulos congruentes en varias posiciones relacionadas con rectas paralelas o que se intersecan.

Ángulos entre rectas Ángulos determinados por dos rectas oblicuas Dibuja dos rectas que se intersequen, ¿cuántos ángulos se forman? Dibuja dos rectas paralelas y otra recta que corte ambas, ¿cuántos ángulos se forman? 4. Para referirnos a dichos ángulos hay terminología que conviene conocer. Dos rectas que se cortan y no son perpendiculares se denominan oblicuas. Estas rectas forman varias parejas de ángulos adyacentes, como se observa en la figura 26. <

P

Forman 4 ángulos.

Figura 26 Las rectas FY y EZ son oblicuas

F O ;

Z y ü FPE E se denominan ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos ü YPZ También ü ZPF F y ü YPE E son opuestos por el vértice. Observa que los ángulos opuestos por el vértice tienen sus lados en semirrectas opuestas respecto al vértice.

Para curiosos A

Con algunos de tus compañeros dibuja varias parejas de rectas oblicuas y comprueba que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Usa el transportador o algún otro recurso de medición para hacer esta comprobación.

B

ü AOC + ü AOB = 180° ü COD + ü BOD = 180°

O C

D

Figura 27

En la figura 27 hay varias parejas de ángulos suplementarios adyacentes, ¿cuáles son? ¿Es posible que con dos rectas perpendiculares u oblicuas se formen ángulos complementarios? Faltaría una más.

PROHIBIDA SU VENTA

Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una secante El maestro puede simplificar la notación utilizando letras griegas para las medidas de los ángulos, pero a veces eso hace que los estudiantes no reconozcan al ángulo como una figura, sino como la medida de una “abertura”. Se recomienda usar la notación con letras de nuestro alfabeto para identificar ángulos.

Figura 28 La recta CF es secante a las paralelas AE y BD

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta se forman varios ángulos (figura 28). La recta que corta las paralelas es una recta secante a ellas. <

F

7

E

8

;

:

9

Vamos a identificar a continuación cuáles de estos ángulos son congruentes, para lo cual conviene clasificarlos por parejas según su ubicación respecto a la secante y las dos paralelas dadas.

66

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12/12/08 3:17:07 PM


Ángulos correspondientes F

F

P

A O

B

E

A

D

B

F

P O

C

E

A

D

B

P O

C

ü APF @ ü BOP

ü FPE @ ü POD

B

O

A

D

B

O

E

A

E

O

D

C

D

B

P O

C

ü APO @ ü POD

B

ü COD @ ü OPE

F

P

C

D

ü BOC @ ü APO

F E

A

Ángulos alternos externos

F P

E

C

Ángulos alternos internos

A

F P

F E

A

D

B

C

ü BOP @ ü OPE

ü APF @ ü COD

P O

E D

C

ü FPE @ ü BOC

Para curiosos En la siguiente figura identifica, junto con tus compañeros, todas las parejas de ángulos suplementarios y de ángulos opuestos por el vértice. Opuestos por el vértice. F P

A

E

O

B

D

C

ü FPE @ ü APO ü APF @ ü OPE ü BOC @ ü POD ü BOP @ ü COD

El maestro puede trabajar con rectas paralelas cortadas por una secante en diversas posiciones y completar algunas figuras geométricas en ellas para resaltar congruencias con los ángulos que se forman.

Parejas de ángulos suplementarios. ü APF, ü FPE ü APO, ü OPE ü BOC , ü COD ü BOP, ü POD

EN 1

EL ATEN

EO

PROHIBIDA SU VENTA

¿Será posible dibujar dos rectas paralelas y una secante que corte a ambas de tal modo que se formen parejas de ángulos complementarios? No. Faltaría uno más.

Completa la figura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos correspondientes de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

67

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12/12/08 3:17:08 PM

BLOQUE 1

2

Completa la figura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos internos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

3

Completa la figura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos externos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

4

En cada una de las siguientes figuras considera las rectas que contienen a sus lados y, en donde sea posible, identifica algunos ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos.

Resulta importante que los estudiantes tengan la oportunidad de conocer propiedades de diversas figuras geométricas a partir de las relaciones entre sus ángulos.

Correspondientes.

Alternos internos. Correspondientes.

Alternos externos.

Alternos externos.

En las siguientes actividades hay situaciones en las que el trazo de paralelas es relevante, y en caso de no usarlas puede complicarse mucho su resolución. Por eso, primero intenta resolverlas sin usar paralelas.

PROHIBIDA SU VENTA

5

También es necesario que los alumnos reconozcan algunas de las propiedades de figuras trazadas entre paralelas, como es el caso de los triángulos y las relaciones entre sus áreas si están entre paralelas y tienen la misma base.

Utiliza el trazo de paralelas para encontrar cinco triángulos que tengan la misma área que el siguiente:

Para ello, observa la siguiente figura, donde se ha trazado ABB paralela al segmento MN. E 7

8

C

D

68

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6

Para cada uno de los siguientes cuadriláteros construye un triángulo que tenga la misma área que él.

Problemas de este tipo generalmente no son resueltos por los estudiantes de varios niveles educativos, porque casi siempre se enfatizan relaciones algebraicas en las figuras geométricas y se hacen de lado las relaciones esencialmente geométricas.

Para ello, observa la siguiente construcción, donde BZ se construyó paralela a AC, C y DZ paralela a DC . P 8

8

8

9

7

P

:

9

7

:

9

7

:

Suma de los ángulos interiores de un polígono

PROHIBIDA SU VENTA

Toma un triángulo cualquiera como el de la figura 29.

Haz dobleces siguiendo las líneas punteadas (figura 30).

Figura 29

Figura 30

69

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BLOQUE 1 Hay argumentaciones sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo que pueden realizarse directamente manipulando algunos materiales.

Obtendrás algo como lo siguiente (figura 31):

Los tres vértices coinciden.

Figura 31

¿Coinciden los tres vértices? ¿Siempre coincidirán con este tipo de dobleces? ¿Cuál sería la suma de los ángulos que tienen vértice en el punto donde concurren los vértices? 180°.

Figura 32

Ahora dibuja un triángulo, recorta dos de sus ángulos y colócalos de cada lado del ángulo que no se recortó, como se ilustra en la figura 33. ¿Qué ángulo se forma?

180°.

Figura 33

PROHIBIDA SU VENTA

También pueden aprovecharse construcciones geométricas para reproducir un triángulo las veces que sea necesario y encontrar relaciones entre los ángulos internos.

T bié puedes También d recortar tres triángulos iá l iguales i y ensamblarlos como en un rompecabezas; observa la figura 34.

Figura 34

De acuerdo con lo anterior, ¿cuánto debe medir la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo? 180°.

70

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En la figura 35 se muestran las medidas de los ángulos interiores de tres triángulos diferentes. Suma los ángulos en cada triángulo y anota el resultado.

54.3°

Las argumentaciones que se construyen con los métodos de la página 70, si bien se basan en casos particulares de una prueba física, sirven como apoyo al establecer relaciones más formales; aunque no se planteen como una meta en la enseñanza en secundaria, tampoco se trata de limitar las posibilidades de los alumnos en la búsqueda de argumentos.

180°. 180°.

87.4°

60.5° 36.2°

El trabajo con paralelas permitirá iniciar el estudio del comportamiento de las medidas de ángulos interiores en los polígonos.

65.2°

56.4° 180°.

13.6°

14.1° 152.3°

Figura 35

¿Lo que obtuviste concuerda con la respuesta que diste a la pregunta anterior soLa suma de los ángulos interiores de cualquier bre la suma de los ángulos interiores de un triángulo? ¿Qué concluyes? Sí. triángulo, suman siempre 180°. Los procedimientos anteriores parecen arrojar un mismo resultado para la suma de los ángulos interiores de un triángulo; discute con tus compañeros cuánto debe ser dicha suma. Observa las siguientes figuras. ¿Cómo debe ser la recta “verde” para que exista congruencia de algunos de los ángulos? ¿Por qué? Paralela a una de las bases del triángulo, en 41.9°

111.9°

este caso de la base horizontal. Ocurre esto por las propiedades de una secante que corta a dos paralelas.

26.2°

21.7°

102.3°

26.2°

41.9°

21.7°

14.4°

14.4°

PROHIBIDA SU VENTA

56°

39.3°

56°

126.3°

126.3°

Figura 36

Considera cualquier triángulo y traza la recta “verde” de manera conveniente para tener congruencia de ángulos, como en las figuras anteriores.

Figura 37

¿Qué infieres de estas figuras respecto a la suma de los ángulos interiores de un triángulo? La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

71

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BLOQUE 1

Para curiosos La demostración es una argumentación como la que se presenta, en la cual las afirmaciones del inicio apoyan a las siguientes y así sucesivamente hasta obtener el resultado deseado.

Comencemos con el triángulo ABC C que se ilustra en la siguiente figura: B

C A

PQ a la recta que contiene al lado AC C y que pase por el vértice B del triángulo como se muestra a continuación: Q

B P C A

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas y elabora con ellos una respuesta para cada una (los datos se refieren a la figura 24). • ¿Por qué ü ABP @ ü BAC C y ü QBC @ ü BCA? • ¿Por qué m(ü ABP) = m(ü BAC) y m(ü QBC) = m(ü BCA)? • ¿Por qué m(ü ABP) + m(ü ABC) + m(ü QBC) = 180∞? • ¿Por qué m(ü BAC) + m(ü ABC) + m(ü BCA) = 180∞? ¿La conclusión hubiera sido la misma si en la figura 24 se hubiera trazado PQ paralela a cualquier otro lado del triángulo ABC ? Sí. 8

8

Las demostraciones se pueden desarrollar apoyándose en otros elementos de la figura o en otras figuras y la conclusión no debe variar.

G F

9

9 7

7 F

G

PROHIBIDA SU VENTA

¿Qué pasaría si se usa cualquiera de los siguientes triángulos? Lo mismo. El resultado y análisis es el mismo. B

C

180°.

C

B

180°.

A B

A 180°.

C

A

72

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Considera el cuadrilátero ABCD de la figura 38. B C

A

Figura 38

D

¿Cuál debe ser la suma de los ángulos internos del ese cuadrilátero?

360°.

Considera la siguiente figura:

Dada una demostración, el resultado obtenido se puede usar en otras figuras para deducir propiedades en éstas. El uso de trazos auxiliares para dividir una figura en dos figuras conocidas es algo frecuente en geometría. A veces dichos trazos deben hacerse en partes específicas o en ocasiones no importa en dónde se realice el trazo, pero este asunto no se debe determinar por advertencia del maestro, los estudiantes deben tener la oportunidad de hacer los trazos donde deseen y constatar si son de utilidad para encontrar el resultado deseado.

B C

A

Figura 39

D

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cada triángulo?

180°.

Completa las siguientes relaciones: • m(ü ABC) + m(ü BCA) + m(ü CAB) =

PROHIBIDA SU VENTA

• m(ü ADC) + m(ü DCA) + m(ü CAD) =

180°.

180°.

• m(ü ABC) + m(ü BCA) + m(ü CAB) + m(ü ADC) + m(ü DCA) + m(ü CAD) = 360°.

• m(ü CAB) + m(ü CAD) = • m(ü BCA) + m(ü DCA) =

90°.

60°.

• m(ü ABC) C + m(ü BCD) + m(ü ADC) C + m(ü DAB) =

360°.

De lo anterior obtenemos que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD es 360° . Si hubieras utilizado alguno de los cuadriláteros mostrados en la figura 40, ¿valdrían todos los elementos que utilizaste, es decir, la conclusión sería la misma? Sí.

73

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BLOQUE 1 A

Como estudiamos, D comprobamos y demostramos que la suma de los ángulos internos de todo triángulo es igual a 180°, podemos estar seguros. Podemos deducir que la suma de cualquier cuadrilátero es igual a 360°: esto lo podemos demostrar triangulando al cuadrilatero. Obtenemos dos triángulos 180 ⫻ 2 = 360°

B

C A

B

D

C Para dar consistencia a la argumentación, cada paso de la demostración debe tener razones para llevarse a cabo; esta parte es en la que el maestro debe llamar la atención, no al tipo de figuras o letras empleadas, sino a las razones que sustentan cada paso.

A

B

D

Figura 40

C

PROHIBIDA SU VENTA

Para curiosos Por las relaciones entre ángulos congruentes, alternos internos y alternos externos; esto gracias a las propiedades que tienen dos rectas paralelas cortadas por una recta secante.

ángulos interiores de ABCD se cumple cada una de las siguientes igualdades. • m(ü DAC) + m(ü ACD) + m(ü CDA) = 180∞ • m(ü BAC) + m(ü ACB) + m(ü CBA) = 180∞ • m(ü BAC) + m(ü ACB) + m(ü CBA) + m(ü DAC) + m(ü ACD) + m(ü CDA) = 360∞ • m(ü BAC) + m(ü DAC) = m(ü DAB) • m(ü ACB) + m(ü ACD) = m(ü BCD) • m(ü ABC) + m(ü BCD) + m(ü CDA) + m(ü DAB) = 360∞

74

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EL ATEN

EO

EN


Dados el siguiente triángulo y cuadrilátero, calcula las medidas de los ángulos que faltan:

1

Varias propiedades de los triángulos pueden utilizarse en cuadriláteros, pues éstas pueden “triangularse” de tal modo que lo que debe quedar claro a los alumnos son dichas propiedades de los triángulos y la forma de utilizarlas para analizar propiedades en los cuadriláteros.

Q

P

52.3°

81.3°

O

134.8

R

46.4 P

A

31.9

52.3

36.4

D

A

81.3

C 156.9

134.8°

R

D

B

31.9°

B

36.4°

PROHIBIDA SU VENTA

C

2

Si te dicen que un triángulo tiene dos ángulos congruentes cuyas medidas suman 120∞, ¿de que tipo es el triángulo? Equilátero.

3

En un triángulo, dos de sus ángulos son complementarios. ¿Qué tipo de triángulo es? Rectángulo.

4

En un triángulo, la suma de dos de sus ángulos es 133∞ y uno de ellos mide 86∞. ¿De qué tipo es el triángulo? Escaleno.

5

En un cuadrilátero, dos de los ángulos opuestos miden 34∞. ¿De qué tipo es el cuadrilátero? Uno diferente al cuadrado y rectángulo.

6

En un cuadrilátero, todos los ángulos internos miden lo mismo. ¿Qué tipo de cuadrilátero es? Un cuadrado o rectángulo.

7

¿Puede trazarse un triángulo isósceles cuyas medidas de los tres ángulos internos sean diferentes? No. Dos de sus ángulos son iguales.

8

En un triángulo rectángulo, ¿cuál es la suma de los dos ángulos que no son rectos? 90°.

9

¿Puede haber un triángulo con dos ángulos internos rectos?

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No.

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Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de diversas formas, como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades por resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.

BLOQUE 1

Demuestro lo que sé y hago 1

Con la ayuda del transportador traza la bisectriz de los siguientes ángulos: H

J

H

I

6 Dados los siguientes lados de ángulos, traza el lado faltante de modo que el ángulo resultante tenga la medida que se indica. D

G

J

E

G

A

B

F

D

m(ü ABD) = 90∞

C

D

H I

m(ü IJK) = 14∞

C

2 Con ayuda de la regla y el transportador, traza la mediatriz de los siguientes segmentos:

G N

J M

K

S

m(ü MNG) = 125∞

R

3 Traza lo que se indica • La recta MN • El rayo TU • El segmento CD M

T

N

U

C

D

4 Anota el nombre de las siguientes figuras. Rayo JK

H

K

Segmento HG

J G

7 Con ayuda del transportador, traza una paralela a la recta dada que satisfaga las condiciones pedidas: • Que pase por el punto señalado en rojo • Que al cortarlas por una transversal, tenga dos ángulos alternos internos de 65∞. • Que al cortarlas por una transversal, tenga dos ángulos alternos externos de 123∞.

B Recta AB

PROHIBIDA SU VENTA

A

5 Dados los siguientes ángulos que tienen como un lado el del dibujo, completa la figura que corresponda.

8 Si en la figura el segmento CG G es perpendicular al segmento AE , encuentra el valor de los siguientes C ángulos. • • • •

34.9° 61.7° Completa el triángulo

ü BOC = 70∞ ü EOD = 10∞ ü FOG = 40∞ ü GOH = 55∞E

D

B

80∞ 50∞

O

57.4° 61.7°

20∞ 35∞

A H

F

Completa el cuadrilátero G

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9 Encuentra las medidas de todos los ángulos formados por las tres rectas.

11 Calcula los ángulos interiores del siguiente paralelogramo:

14.14

55.8° 14.14 14.14

38.6° 14.14

10 Dadas las parejas de ángulos suplementarios encuentra el valor de los siguientes ángulos. J

• ü GHJ • ü BCA G 80∞

J

H I

A

G H

140∞

I

A

B

C

PROHIBIDA SU VENTA

Conéctate

D

B

C

Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

D


Geometría y trigonometría Grupo Cultural Patria, México, 2007 • José María Chamoso y William Rawson Contando la geometría Nivola, Madrid, 2004. • Ana Millán Gasca Euclides. La fuerza del razonamiento matemático Nivola, Madrid, 2004. • Yakov Perelman Geometría recreativa. En línea: http://www.librosmaravillosos.com/ geometriarecreativa/index.html.

• http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm • http://www.eneayudas.cl/optentrada.htm#angulo

En Internet hay diversos sitios con configuraciones geométricas en las que se pueden calcular algunos ángulos internos o la suma de ellos. El maestro puede utilizar esas figuras para plantear algunos diseños de pirámides o artesanías.

77

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3

Si uno aumenta, e otro el ot o también ta b é Mis retos Las relaciones de proporcionalidad son muy importantes para abordar distintas clases de problemas. En esta lección aprenderás a trabajar con factores de proporcionalidad fraccionarios. Si tienes una cantidad y que varía proporcionalmente con relación a otra cantidad x, aprenderás cómo se establece un factor inverso para conocer cómo varía x si es y la que cambia de valores. Al final podrás encontrar procedimientos para relacionar más de dos conjuntos de cantidades por medio de relaciones de proporcionalidad múltiples.

¿Qué sé? En el curso anterior estudiaste varias relaciones de proporcionalidad directa e inversa, y las aplicaste a la solución de algunos problemas. También trabajaste con tablas, expresiones algebraicas y gráficas asociadas a relaciones de proporcionalidad.

PROHIBIDA SU VENTA

¿Qué lograré aprender? Establecerás relaciones de proporcionalidad como las que se manejan frecuentemente en el dibujo a escala. Por otra parte, si hay una cantidad que varía proporcionalmente con respecto a otra, pero esta última también varía proporcionalmente respecto a otra cantidad, y así sucesivamente se relacionan varias cantidades, podrás conocer la relación que se puede establecer entre la primera cantidad y la última.

78

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ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 ¿Qué es una variación directamente proporcional? Es una variación de la forma y = xk, donde k es la constante de proporcionalidad.

2 ¿Qué es una variación inversamente proporcional?

Es una variación donde si x aumenta, y disminuye (a diferencia de la directamente proporcional donde si x aumenta y aumenta) y viceversa, si x disminuye, y crece.

3 Si tu mamá invierte $85 en una comida para 10 personas, ¿cuánto tendrá que invertir en una comida para 24 personas sin disminuir la ración que le corresponde a cada una? $204

4 Si tienes un cubo de 4 cm de arista, ¿cuántos cubos de 1 cm de arista necesitas para igualar su volumen? ¿Cuántos de 2 cm de arista? ¿Cuántos para incrementar 10 el volumen? 64 cubos de 1 cm de arista. 8 cubos de 2 cm de arista. Para incrementar 10 veces el volumen se necesitan 640 cubos de 1 cm de arista, 80 cubos de 2 cm de arista.

4 cm

El trabajo con proporciones se realizó durante todo el grado anterior. Se requiere conocer si los alumnos manejan o reconocen algunos elementos de la variación proporcional directa.

5 ¿Cuántos kilogramos pesan 30 metros de alambre, si 120 metros pesan 10 kilogramos?

PROHIBIDA SU VENTA

Tienen 2.5 kilogramos.

1 6 Si Elia compró un tramo de tela de 1 m2 a $120, ¿cuánto le costará m2? 2 ¿Cuánto 14 m2 ? $1680

$60.

7 Se asignó la tarea de pintar tres bardas a tres jóvenes. Hugo tarda 3 días en 2 pintar su barda, Luis tarda de lo que tarda Hugo en completar la suya, y 3 3 Paco se lleva de lo que tarda Hugo en terminar la suya. 5 • ¿Cuánto tardan Paco y Luis en pintar sus bardas? Luis 2 días y 1.2 días Paco. • Si Hugo puede pintar una casa en 11 días, ¿cuánto se tardarían respectivamente Paco y Luis en llevar a cabo la misma tarea? Luis 7.3 días y Paco 13.2 días.

79

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BLOQUE 1

Las buenas proporciones En el mismo tipo de problemas que trabajaste en “Algo de lo que me enseñaron” considera la siguiente situación: Varios amigos se juntan para planear una fiesta y deciden que la bebida que se repartirá será agua de sabores. Saben que cada sobre del sabor requerido se debe preparar con litro y medio de agua. Con tus compañeros completa la siguiente tabla.

Nuevamente se trabajan varias representaciones simultáneamente: aritméticas (por medio de tabulaciones), algebraicas (con expresiones algebraicas) y geométricas (con las gráficas); la coordinación de estas representaciones permitirá enriquecer los significados relacionados con la variación proporcional directa.

Usando fracciones Sobres de sabor

Litros de agua requeridos

1 2

1/2 x 3/2 = 3/4

0.5

0.75

1

1 x 3/2 = 3/2

1

1.5

3/2 x 3/2 = 9/4

1.5

2.25

1 x 1/2 x 2 = 3/2 x 2 = 6/2 = 3

2

1.5 x 2 = 3

5/2 x 3/2 = 15/4

2.5

3.75

3 x 3/2 = 9/2

3

4.5

7/2 x 3/2 = 21/4

3.5

5.25

4 x 3/2 = 12/2 = 6

4

6

9/2 x 3/2 = 27/4

4.5

6.75

5 x 3/2 = 15/2

5

7.5

1

1 2

2 2

1 2

3 3

1 2

4 4

PROHIBIDA SU VENTA

Usando decimales

1 2

5

Sobres de sabor

Litros de agua requeridos

Especificando el valor de los sobres requeridos, se determina la cantidad de litros de agua. De la tabla anterior se sacan los elementos necesarios para contestar las siguientes preguntas: • Considerando las cantidades de los renglones de la tabla, ¿cuál es el resultado de los cocientes del tipo sobres de sabor ? = 0.6 litros de agua requerida

80

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

Fracciones

Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de sobres

1/2

1

1 1/2

2

2 1/2

3

Cantidad de litros

3/4

3/2

9/4

3

15/4

9/2

4/6

4/6

2/3

2/3

20/30

6/9

Cociente

sobres litro

Decimales


Cantidad de sobres

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Cantidad de litros

0.75

1.5

2.25

3

3.75

4.5

sobres Cociente litro

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente.

¿Lo anterior indica que hay proporcionalidad en los datos? Sí. En su caso, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? La constante es 0.6 2

En fracciones:

3

.

En decimales:

0.6

Si hay 12 sobres de sabor y hay 5 litros de agua, ¿se utilizarán los 12 sobres?

.

Si hay 17 sobres y 23 litros de agua, ¿se utilizarán todos los litros de agua?

Si conoces la cantidad de sobres de sabor, ¿puedes calcular la cantidad de litros de agua que se necesitan? Sí. Si se representa la cantidad de sobres con la letra x, y con y a la cantidad de litros de agua, ¿cuál sería su expresión algebraica? Sí. Y

=

2

x

,

o bien con decimales

y

=

0.6

x

La constante de proporcionalidad es 3/2, o bien 1.5. La expresión algebraica es y = 3x/2, o bien y = 1.5x. El 2 indica la cantidad de sobres y el 3 indica la cantidad de litros.

,

3

PROHIBIDA SU VENTA

cuya gráfica se muestra en la figura 1. Los puntos marcados en la recta de dicha gráfica, ¿qué representan? Por ejemplo, ¿cómo se interpreta el punto (2, 3)? El 2 indica El 3 indica

,"/

. -

Cantidad de sobres.

*$+",$-+

,

Litros de agua.

B_jhei Z[W]kW

En la pareja (4.5, 6.75), ¿que representan cada uno de los números?:

+ * )

(")

(

El 4.5 indica

Cantidad de sobres.

El 6.75 indica

Litros de agua.

' &

En la pareja (6, 9), ¿que representan cada uno de los números?: El 6 indica

Cantidad de sobres.

El 9 indica

Litros de agua.

'

(

)

*

+

,

-

.

/

N

9Wdj_ZWZZ[ieXh[i

Figura 1

81

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O /

Es importante que los alumnos entiendan que los puntos de la gráfica son una relación de valores entre dos elementos del problema, no solamente como puntos en el plano. Conviene recordar que al resolver problemas, un tema a trabajar es modificar los datos para valorar los procedimientos de resolución, pedir a los estudiantes que planteen problemas similares o encuentren datos que se acomodan a una solución dada. De esta manera se enfatizará el tipo de relación entre variables que define una proporcionalidad directa.

12/12/08 3:32:08 PM

BLOQUE 1 Los estudiantes deben aprender a plantearse preguntas y atreverse a modificar las situaciones que ya enfrentaron; solamente de esta manera descubrirán las relaciones más importantes. 33/8 litro y 75/8 litro 11/4 ⫻ 3/2 = 33/8 y 25/4 ⫻ 3/2 = 75/8

Para curiosos Discute con tus compañeros cómo saber, aproximadamente, los litros de agua que se 3 1 necesitan para 2 y 6 sobres. Basta multiplicar por 3/2. 4 4 Usa la expresión algebraica que relaciona la cantidad de sobres con la cantidad de li3 1 tros de agua para saber los valores exactos correspondientes para 2 y 6 sobres. 4 4 Para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, ¿es preferible usar decimales o fracciones? ¿Por qué? Depende. Ambos se pueden usar indistintamente, sólo que con decimales a veces se pierde información por la cola infinita de cifras decimales y sólo podemos aproximar, mientras que con fracciones tenemos el resultado exacto.

¿Qué sucedería si tienes 10 litros de agua para preparar las bebidas de la fiesta? ¿Cuántos sobres necesitarías? 6.6 sobres. Con tus compañeros considera que tienes varios litros de agua y determina la cantidad de sobres que se requieren. También puedes suponer que tienes varios sobres para hacer la mezcla, determina los litros de agua necesarios en cada caso. La cantidad de sobres y la cantidad de agua están relacionados, encuentra la expresión algebraica correspondiente y determina si hay o no una relación de proporcionalidad entre dichas cantidades. Sí hay una relación de proporcionalidad. La expresión algebraica es 3/2 y = x Construye la siguiente tabla (algunos valores incluidos en ella son aproximaciones).

Usando fracciones

PROHIBIDA SU VENTA

El uso de distintos números es un tema para trabajar siempre, pues por lo general las aplicaciones requieren de fracciones o decimales, no necesariamente se presentan con números enteros.

Usando decimales

Litros de agua

Sobres de sabores

Litros de agua

Sobres de sabores

1

2 3

1

0.67

2

4/3

2

1.3

3

6/3 = 2

3

2

4

8/3

4

2.6

5

10/3

5

3.3

6

12/3 = 4

6

4

7

14/3

7

4.6

8

16/3

8

5.3

9

18/3 = 6

9

6

10

20/3

10

6.6

11

22/3

11

7.3

82

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12/12/08 3:32:09 PM


De acuerdo con las cantidades que calculaste, por cada renglón de la tabla, ¿cuál es el resultado de lo cocientes del tipo: litros de agua requeridos ? sobres de sabor Fracciones


Cantidad de litros Cantidad de sobres Cociente

litros sobre

Decimales

1

2

3

4

5

6

2/3

4/3

2

8/3

10/3

4

3/2

6/4

3/2

12/8

15/10

6/4


Cantidad de litros Cantidad de sobres Cociente

= 3/2

litros sobre

1

2

3

4

5

6

0.67

1.3

2

2.6

3.3

4

1.49

1.5

1.5

1.5

1.5

1.5

¿Hay proporcionalidad entre los datos? ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? En fracciones:

Hay proporcionalidad entre los datos. El factor de proporcionalidad es 3/2.

3

.

2

En decimales:

1.5

.

En este caso, para calcular la cantidad de sobres (x) si conoces la cantidad de agua (y), se observa que se puede utilizar la expresión algebraica: 3

x=

y,

2

PROHIBIDA SU VENTA

Hacer ensayos y modificar lo realizado es una forma de trabajo que ayuda a ordenar los pensamientos y desarrollar habilidades que no solamente servirán en matemáticas, sino que tienen repercusiones importantes en otros campos y en el pensamiento crítico.

La constante de proporcionalidad es 2/3. La expresión algebraica es x = 2y/3. El 2 indica la cantidad de sobres y el 3 indica la cantidad de litros. Algunos puntos en la recta son (3, 2), (7, 4.67) y (12, 8).

En los siguientes ejes coordenados construye una gráfica de esta relación e interpreta las coordenadas de cada punto en términos de la situación analizada. 9 8 7

Cantidad 6 de sobres 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Litros de agua

83

01_03_OK.indd 83

12/12/08 3:32:10 PM

BLOQUE 1 En este proyecto se promueve que los alumnos partan de relaciones gráficas para conocer las relaciones numéricas y algebraicas, lo cual se logra si se comprende el papel que juegan los puntos en la recta.

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente. ¿Qué es más útil para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, usar decimales o fracciones? ¿Por qué? Depende de lo que se quiera analizar. Observando la gráfica es posible encontrar la expresión algebraica de una relación de proporcionalidad y algunos valores en forma aproximada. Utiliza la siguiente gráfica para determinar la expresión algebraica correspondiente y encontrar algunos valores de y a partir de los de x. O

(6, 8)

. ,

y = 4/3 x

+ *

(3, x)

) ( ' &

'

(

)

*

+

,

-

.

/

N

PROHIBIDA SU VENTA

Analiza lo que sucede con el punto (6, 8) que está sobre la recta.

8/6 = 4/3 = pendiente.

Cuando a partir de la cantidad de sobres requeridos (x) se determinó la cantidad de litros de agua ( y), la expresión algebraica correspondiente fue: 3 y = x. 2 3 En este caso, el factor de proporcionalidad es . 2 Sin embargo, cuando invertimos la relación entre las cantidades, es decir, cuando a partir de la cantidad de litros de agua ( y) se determinó la cantidad de sobres requeridos (x), la expresión algebraica correspondiente fue: 2 x= y. 3 2 En este caso, el factor de proporcionalidad es . 3 Como 3 2 ¥ = 2 3

Resulta que

3

¥

2

2

¥

3

=

6

=

1

6

3 2 es el recíproco (también llamado inverso multiplicativo) de . En 2 3

el grado anterior ya trabajaste con este tipo de números. 2 3 Por analogía podemos decir que es el factor de proporcionalidad inverso de . 3 2 84

01_03_OK.indd 84

12/12/08 3:32:10 PM


Para curiosos Analiza y responde con tus compañeros: 3 2 es el factor de proporcionalidad inverso de ? Sí, pues 3/2 ⫻ 2/3 = 1. 2 3 3 3 3 Si y = x = x ¥ , ¿es correcto que y = x ∏ ? ¿Por qué? No, porque la multiplicación de x por 3/2 2 2 2 no es igual a x entre 3/2 a menos que x = 0.

1

EL ATEN

EO

EN

¿Podemos decir que

Dada la relación de proporcionalidad encuentra los valores que faltan en las tablas.

En estas actividades se pone énfasis en la relación de proporcionalidad asegurada solamente por pocos elementos de las tablas.

• Un vendedor de autos recibe por cada unidad vendida de cierto modelo y marca 2 de su costo, que es de $123 589.00. Llena la siguiente tabla: Recibe por unidad 49 435.6 5 Unidades vendidas (x)

3

5

7

12

34

45

60

Pago que recibe (y)

148 306

247 175

346 045

593 220

1 680 790

2 224. 575

2 966. 100

¿Cuál es la expresión algebraica correspondiente para hacer los cálculos? 49 435 ⫻ n, donde n es el número de unidades vendidas.

Elabora una gráfica de la situación.

y

¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa? 49 435 ⫻ n, donde n es el número de unidades vendidas.

PROHIBIDA SU VENTA

¿Qué parte de la venta de cada unidad, de otra marca y modelo, recibe el vendedor si se conoce que el precio de cada unidad es de: $154 978.00? Llena los espacios vacíos de la siguiente tabla:

ykx k49 435

x

Unidades vendidas (x)

1

4

7

12

34

45

60

Pago que recibe (y)

$21 697

$ 88 788

155 379

266 364

754 698

998 865

1 331. 820

¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?

22 197 ⫻ n, donde n es el número de unidades vendidas.

Elabora una gráfica de la situación. ¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?

85

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12/12/08 3:32:11 PM

BLOQUE 1 y

• Un enfermo debe consumir 456 gramos de carbohidratos diarios. Cada gramo de 1 comida proporciona de gramo de carbohidratos. Llena la siguiente tabla: 4 y 1/4x 1

4

x

Gramos de comida por día (x)

375

528

786

142

348

555

Gramos de carbohidratos (y)

93.75

132

196.5

35.5

87

138.75


460 115

y=¼x

Elabora una gráfica de la situación. ¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa? 1 • Un automóvil consume de tanque de gasolina en un día. ¿Cuánto consume en 3 7 días?

y

1

y 1/3x

3

X

Días

1

2

3

4

5

6

7

Tanque de gasolina

1 3

2/3

3/3

4/5

5/3

6/3

7/3


y = 1/3 x

Elabora una gráfica de la situación. ¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?

PROHIBIDA SU VENTA

2 Se trabajan las relaciones gráficas para determinar las relaciones aritméticas y algebraicas, pues en los cursos de matemáticas, generalmente se presentan las relaciones algebraicas para obtener las numéricas y las gráficas, cuando en la práctica lo que se debe interpretar es el comportamiento contenido en gráficas y a partir de ello determinar los modelos algebraicos correspondientes.

Dadas las siguientes gráficas encuentra la relación de proporcionalidad.

y 12

Y 2x

11 10 9

y

8 7 6

6

5

5 (2,4)

4

4 3

3 (1,2)

2

2

(4,2)

1

1 0

y 1/2x

1

2

3

4

5

6

X

0

(2,1) 1

2

3

4

5

6

7

8

X

Observa que en la gráfica de la izquierda (1, 2) y (2, 4), están sobre la recta. Observa que en la gráfica de la derecha (2, 1) y (4, 2), están sobre la recta. ¿Las gráficas anteriores tienen alguna relación? ¿Una es inversa de la otra? Dada la siguiente gráfica llena los valores faltantes de la tabla. No son inversas.

86

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12/12/08 3:32:11 PM


Aquí se hace énfasis en la relación que tienen los puntos de la gráfica para determinar los valores en una tabla, sin mediar la expresión algebraica.

3 O '&

x

y

1

2

1.5

3

4

8

5

10

3

6

3.5

7

/ . , + * ) ( ' &

'

(

)

*

+

,

N

Encuentra expresiones con un factor de proporcionalidad inverso al de las siguientes expresiones algebraicas.

4

• y = 4x 1/4

•

P =L 4

•

4

h =b 3

• m=

3

3n 4

4/3

Las relaciones de proporcionalidad directa no siempre aparecen escritas en forma explícita, por ello es importante que los estudiantes sepan reconocerlas y realizar las manipulaciones algebraicas necesarias para determinar las constantes de proporcionalidad respectivas.

PROHIBIDA SU VENTA

Cuando lo grande se hace pequeño Recorta un dibujo sencillo de un periódico y trata de reproducirlo al doble de su tamaño original. Toma dos puntos cualesquiera en el dibujo original y mide la longitud del segmento que los une. ¿Qué longitud deberá tener la réplica de ese segmento en el dibujo que hiciste al doble del tamaño? El doble Si ahora intentas reproducir el dibujo pero para que sea más pequeño, digamos a la tercera parte, ¿qué longitud deberá tener la réplica del segmento en el dibujo más pequeño? 1/3. Procedimientos como estos son muy frecuentes al reproducir figuras a escala. Por ejemplo, en la figura 2 el triángulo grande (ABC) se utiliza para dibujar otro más pequeño (PRQ), a escala.

Las constantes de proporcionalidad se pueden expresar con números menores que uno y la situación equivalente, puede representarse con una constante de proporcionalidad con un coeficiente mayor que uno; por ello los estudiantes deben analizar ambas situaciones y encontrar relaciones entre dichas representaciones.

9

'&Yc

H ,Yc +Yc )Yc

7 .Yc

8

F

*Yc

G

Figura 2

87

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12/12/08 3:32:12 PM

BLOQUE 1

Las longitudes de los lados del triángulo pequeño equivalen a la mitad de las longitudes de los lados del triángulo grande. También es posible establecer una expresión algebraica en estos casos. Denotemos por x la longitud de cada lado del triángulo grande ABC, y por y la de cada lado del triángulo chico PQR. En la tabla siguiente se describe el procedimiento por el que se obtienen los lados del triángulo chico a partir de los del grande. Lados del triángulo grande ( x)

Cálculo de los lados del triángulo chico

AB = 8 cm

8/2

PQ =

4

BC = 6 cm

6/2

QR =

3

CA = 10 cm

10/2

RP =

5

Fig

Lados del triángulo chico (y)

Generalizando este procedimiento llegamos a que la relación proporcional que se da entre las longitudes de los lados del triángulo chico y el grande está dada por 1

y= donde

En los dibujos a escala todas las partes de una figura son afectadas por la misma constante de proporcionalidad. El profesor debe plantear situaciones donde esto sea evidente.

1 2

,

es el factor de proporcionalidad.

Nota que cualquier longitud medida dentro del triángulo mantiene dicha relación, como se ilustra en la figura 3. 9

C

Yc

'&

PROHIBIDA SU VENTA

x

2

c

/Y

,Yc

7

8 .Yc

PN = H

Yc

+

Figura 3

F

Yc D

*$+

*Yc

1 AM 2

)Yc

G

Inversamente, si se parte del triángulo chico para dibujar el triángulo grande, se establecería una relación inversa (figura 4).

88

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN 9

'&Yc

El maestro puede analizar una situación en la que se detecte una relación de proporcionalidad directa con constante de proporcionalidad mayor que uno e intercambiar el papel de las variables implicadas para obtener otra relación de proporcionalidad directa con constante menor que uno.

H ,Yc +Yc )Yc

7

Figura 5

F

8

.Yc

G

*Yc

Figura 4

El resultado es que la longitud de los lados del triángulo chico debe ser del doble para construir el triángulo grande. Si x es la longitud de los los lados del triángulo chico y y es la longitud de los lados del triángulo grande, llena la tabla siguiente: Valores de x

Cálculos

Valores de y

PQ = 4 cm

4⫻2

AB =

8

QR = 3 cm

3⫻2

BC =

6

RP = 5 cm

5⫻2

CA =

10

La expresión algebraica correspondiente es: y=

2

x

.

En este caso también, cualquier longitud medida en el triángulo chico será el doble en el triángulo grande (figura 5).

Puede trabajarse en clase lo que sucede con algunos cuadriláteros o polígonos.

H c +Y D ($*

'&

C

*Yc

Yc

QN = 7 .Yc

G

,Yc

*$.

PROHIBIDA SU VENTA

F Yc

)Yc

Yc

9

1 BM 2

8

Figura 5

¿Qué sucedería si hubiera que agrandar cada parte del triángulo 2.56? Se tiene y = 2.56x ¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso? 2.56, 1/ 2.56 = 0.39 Escribe las expresiones algebraicas correspondientes: y = 2.56 x , y = 0.39x

89

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BLOQUE 1

¿Que sucedería si hubiera que agrander cada parte del cuadrilátero 0.46? Se hace y = x (0.46) ¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso? 0.46, 1/0.46 Escribe las expresiones algebraicas correspondientes: En este proyecto se incorporan algunas preguntas que los estudiantes se formulan y son importantes en la comprensión del concepto de proporcionalidad.

y = 0.46 x

y = x / 0.46

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente.

PROHIBIDA SU VENTA

1

EL ATEN

EO

EN

• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es mayor que 1? ¿Qué se está haciendo? Se agranda. • ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es igual a 1? ¿Qué se está haciendo? Queda igual. • ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es menor que 1? ¿Qué se está haciendo? Se reduce. • Si en un dibujo a escala sabes que cualquier longitud es un décimo del tamaño real, y mides en ese dibujo un segmento de 12 cm, ¿cuánto mide la longitud correspondiente en el objeto real? 1.2 cm. 1 • Si la escala de un mapa es de y una carretera en el mapa mide 28 cm de lon1000 gitud, ¿cuál es la longitud de la carretera real? 2 800 cm.

Toma las medidas necesarias de las figuras y, en cada caso, encuentra el factor de proporcionalidad que se aplicó. También encuentra el factor de proporcionalidad inverso y las expresiones algebraicas asociadas.

x 1/3

x1.61

x1/3

3x

x1.57

x3

90

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2

Las longitudes de los lados de un rectángulo son 12 y 23 cm. Si se hace un dibujo 36 a escala de éste de tal modo que las longitudes de sus lados sean 5.14 ª 7 69 y 9.86 ª . 7

冉冊

冉冊

Con mucha frecuencia en mapas o catálogos de diseño se emplean relaciones de proporcionalidad con constante de proporcionalidad menor que uno, por ello conviene hacer énfasis en este tipo de situaciones.

+Yc

'(Yc

/Yc -Yc

()Yc

¿Cuál sería el factor de proporcionalidad directa e inversa? 2.3 y 0.42 ¿Cuáles serían las expresiones algebraicas correspondientes a los dos factores? En la reducción, ¿qué longitudes tendrían los segmentos marcados en la figura?

y = 2.3x,

y = 0.42x

9 N 3.78 cm,

5 N 2.1cm

7 N 2.94 cm

26 cm

Se hizo un dibujo a escala de un rectángulo usando un factor de proporcionalidad 3 de . Si el rectángulo a escala tiene dimensiones de 9.75 cm por 4.5 cm, dibuja el 8 rectángulo original. Tendría dimensiones de 26 cm x 12 cm.

3

Escala tras escala

El trabajo con escalas repetidas se puede motivar con el diseño de mantas o carteles, en los cuales se modifican las dimensiones de letras y figuras, ello suele ser el resultado de la aplicación de diferentes escalas.

PROHIBIDA SU VENTA

Una empresa que fabrica carteles educativos desarrolla cuatro versiones del aparato circulatorio: la original, una que debe tener una altura de la mitad del original, otra que debe ser la tercera parte de la primera versión y una más que se reduce a una cuarta parte de la segunda versión.

12 cm

Figura 6

91

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12/12/08 3:38:05 PM

BLOQUE 1

Para cerciorarte de que todas las partes del cartel se redujeron proporcionalmente, escribe las expresiones algebraicas y encuentra también la expresión algebraica correspondiente a las situaciones inversas, que corresponderían a: • La reducción de la versión original a la primera versión: Es importante encontrar una relación entre las dimensiones del objeto inicial y el resultado de la última reducción o ampliación, la cual se puede calcular a partir de las reducciones o ampliaciones sucesivas del efecto final.

Y = 1/2 x

El proceso inverso sería y = 2x.

• La reducción de la versión original a la segunda versión: y = 1/3 x

El proceso inverso sería y = 3x.

• La reducción de la versión original a la tercera versión: y = 1/8 x.

El proceso inverso y = 8x.

• La reducción de la primera versión a la segunda versión: y = 0.6x

PROHIBIDA SU VENTA

y = 1/0.6 x

• La reducción de la segunda versión a la tercera versión: y = 0.75 x

y = 1.33 x

• Si el cartel tiene dimensiones de 50 por 35 cm, encuentra el tamaño de la primera, segunda y tercera versión. 25 ⫻ 17.5 16.6 ⫻ 11.66 4.15, 2.9 , y .

92

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12/12/08 3:38:07 PM


• Si la tercera versión debe ser de 5 por 3 cm, ¿cuál debe ser el tamaño de la segunda y primera versión, así como el original? 20, 12, 13.33, 8 40, 24 , y . Primera versión, segunda versión original.

Se edita un libro de arte y las reproducciones de las pinturas deben quedar enmarcadas con cuadros de dimensiones 2.75 por 1.56. Las reducciones deben ocupar media cuartilla impresa en tamaño carta (21.59 por 27.94 cm) con márgenes de 2.5 cm en cada orilla.

Las reproducciones a escala son buenas oportunidades para desarrollar la habilidad de determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

• ¿Cuál sería el tamaño de la reproducción que mejor se acomodaría? 22.94 ⫻ 5.79 cm . • ¿Con qué fórmula se calcularían las reducciones necesarias de otras obras de arte para ocupar el mismo espacio? Y = 1/12x

• Para promoción, se quieren imprimir folletos que contengan reducciones de algunas obras de arte en un octavo de cuartilla, con los márgenes antes señalados. Encuentra la fórmula que acomodaría mejor a esta situación

PROHIBIDA SU VENTA

y = 1/8x

Compara los resultados con tus compañeros. Pueden variar, pero en conjunto seguramente encontrarán la mejor solución para esta situación. A veces se aplican relaciones de proporcionalidad de manera reiterada. Por ejemplo, si se desea incluir en un libro una imagen a escala de una pintura que tiene dimensiones de 2 m (200 cm) de largo por 1 m (100 cm) de alto, y se tiene que 1 ocupar un espacio de 20 cm ¥ 10 cm, se aplica una escala de . 10 También se quiere imprimir un folleto promocional que contenga dicha imagen en un espacio de 10 cm por 5 cm. En este caso, a la reproducción de la pintura en el 1 libro se le aplica una escala de . 2 Finalmente, se desea hacer estampas de 2 cm por 1 cm a partir de la imagen del 1 folleto. Para lograr esto, se aplica a dicha imagen una escala de . 5 Así pues, la imagen de la pintura original ha sufrido varias reducciones hasta su impresión en las estampas, como se aprecia en la figura 7. La primera reducción fue 1 1 1 de , a la cual se le aplicó después una escala de y a esta última una escala de . 10 2 5 Esto quiere decir que la imagen original se redujo en una escala de

Esta actividad permite relacionar datos de más de dos conjuntos y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

1 1 1 1 ¥ ¥ = . 10 2 5 100

93

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BLOQUE 1

H[fheZkYY_d[d[bb_Xhe

;iYWbW F_djkhWeh_]_dWb0 (c´'c

1 10

'&Yc

(&Yc

1 2

1 5

+Yc

'Yc (Yc H[fheZkYY_d [dbWi[ijWcfWi

'&Yc

EN

H[fheZkYY_d[d[b\ebb[je

Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades para resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.

EL ATEN

EO

PROHIBIDA SU VENTA

Figura 7

Discute con tus amigos lo siguiente. 1

2 3 1 3 Una foto primero se reduce , luego ; posteriormente y finalmente . Si la foto 3 5 7 4 original tiene dimensiones de 30 cm por 20 cm, ¿cuáles son las dimensiones de cada reducción y cuál será el factor que indica la reducción del original a la última reducción? 20 ⫻ 13.33, 12 ⫻ 7.99; 1.7 ⫻ 1.19, 1.27 ⫻ 0.85 La reducción total fue de 18/420.

2

Si se tiene una foto de 15 cm por 30 cm después de haber sufrido las mismas reducciones que en el inciso anterior, ¿cuál era el tamaño del original? 350 ⫻ 700 cm.

94

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12/12/08 3:38:07 PM


Demuestro lo que sé y hago 1 De la siguiente gráfica, encuentra la relación de proporcionalidad.

2 Dada la siguiente gráfica llena los valores faltantes de la tabla. y

y 12

20

11

19

10

18

y 4x

17

9 8

16

7

15

6

14

5

13

4

12

3

11

2

10

1

9

0

8

1

2

3

4

5

6

7

x

7 6 5 4 3

x

1

y

2

1

2 1

PROHIBIDA SU VENTA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

1 2

2

3

1 2

3

5

1 2

7

4 8

4

1 2

9

5 10

x La posibilidad de representar una situación de diferentes maneras es una habilidad importante en todo el estudio de la matemática. Por ello, una vez que los alumnos han resuelto problemas mediante el uso de tablas, la expresión algebraica y con la representación gráfica, hay que integrar estos aspectos. Estos problemas permiten hacer esa integración.

3 Alberto cobra por cada hora de trabajo $150. ¿Cuánto cobrará en 7 horas? $1,050

Horas

1

2

3

4

5

6

7

Cobro

$150

300

450

600

750

900

1 050

95

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12/12/08 3:38:09 PM

BLOQUE 1

4 A partir de cada uno de los siguientes triángulos, dibuja otro a escala usando el factor de proporcionalidad que se pide.

8 Reproduce a escala las siguientes figuras usando un 1 factor de proporcionalidad de . 3

Es importante que los estudiantes manejen situaciones en las que el álgebra sea el primer contexto por utilizar y otras donde se haga referencia a figuras geométricas.

Factor r =

1 3

15

15

9

5

3

Factor r = 4

4 Queda enorme, de 20, 16 y 12 unidades en cada lado.

3 de litro se requieren para 4 embotellar 240 litros de aceite? 320 botellas.

PROHIBIDA SU VENTA

5 ¿Cuántas botellas de

9 En una medicina se agregan 30 ml de la sustancia A, a 76 ml de la sustancia B.

2 6 En un poblado, del total de los varones están casa3 2 dos con del total de las mujeres. ¿Qué parte de la 5 población total está soltera? 8/15

• Si se tienen 12, 17, 34, 56 ml de la sustancia A, ¿con cuántos ml de la sustancia B se pueden mezclar cada uno? 30.4, 43.06, 86.1, y 141 ml, respectivamente. • Encuentra la fórmula para calcular los ml de sustancia B que se necesitan, dadas ciertas cantidades de ml de la sustancia A. B = 76/30 x • Si se tienen 56, 89, 102, 306 ml de la sustancia B, ¿cuántos ml de la sustancia A se requieren para mezclar en cada caso? 22.1, 35.1, 40.2 y 120 ml, respectivamente. • Encuentra la fórmula para calcular los ml de sustancia A que se necesitan, dadas ciertas cantidades de ml de la sustancia B A = 30 / 76 x

7 Una máquina para retirar lirio acuático retira 2 to2/3 de tonelada neladas por día. • ¿Cuántas toneladas retira en la tercera parte de un día? • ¿Cuántas toneladas retira en 4 días y medio? 9 • ¿Cuántos días se requieren para retirar 13 toneladas? 6.5 días. 96

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12/12/08 3:38:09 PM


10 Mi reloj se adelanta 8 minutos al día, ¿cuánto se adelantará en 3 horas? 1 minuto.

• Encuentra una fórmula para calcular las dimensiones de distintas partes de la reducción. y = 2.33 x • Si del auto de pedales se desea hacer una reducción, como adorno, donde su altura sea de 5 cm, ¿cuánto deben reducirse las otras dimensiones? 3.2 m • Encuentra una fórmula para calcular las dimensiones de diversas partes de la reducción del auto de pedales al auto de adorno. y = 3.2 x • Encuentra una fórmula para calcular las dimensiones de distintas partes de la reducción del auto original al auto de adorno. y = 0.31 x

11 Dada la siguiente gráfica, encuentra la relación de proporcionalidad. y = 3x y y 3x

12 11 10 9 8

13 Dada la siguiente gráfica, encuentra la relación de proporcionalidad. y = 1/2 x

7 6

y

5 4 12

3

11

2

0

y 1/2x

10

1 1

2

3

4

5

6

7

9

x

8 7 6

12 Una empresa de juguetes decide hacer un modelo a escala de un auto que ocupa un espacio de 2.8 m de largo por 1.5 m de ancho y 1.6 m de altura.

5 4 3

• Quiere hacer un modelo, en un auto de pedales que debe reducir el largo del vehículo a 1.2 m. ¿Cuánto deberán reducirse las otras dimensiones?

2 1 0

Reducción de 2.33 m.

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

x

PROHIBIDA SU VENTA

Conéctate • Grupo Beta

fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

Proporcionalidad geométrica y semejanza Síntesis, Madrid, 1990. • María Luisa Fiol y Josep Maria Fortuny Proporcionalidad directa Síntesis, Madrid, 1990. • Yakov Perelman Geometría recreativa En línea: http://www.librosmaravillosos.com/ geometriarecreativa/index.html. Matemática recreativa En línea: http://www.librosmaravillosos.com/ matematicarecreativa/index.html.

• http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/ documentos/10021635.pdf Encontrarás información sobre el manejo de escalas en distintas situaciones.


Geometría y trigonometría Grupo Cultural Patria, México, 2007 En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden obtener imágenes que se pueden modificar de diversos modos con un solo factor o por medio de la aplicación de varios, lo cual podrá ayudar a los estudiantes a conocer con mayor profundidad los efectos que tienen la aplicación de uno o varios factores de proporcionalidad.

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4

Cue tas de cuántos Cuentas cuá tos Se presenta de manera genérica lo que se espera que los estudiantes aprenderán en esta lección.

Mis retos En esta lección abordarás situaciones de conteo apoyándote en el uso de arreglos rectangulares y diagramas de árbol, entre otros recursos, con el fin de determinar el número de casos posibles en diversos problemas.

¿Qué sé? En el curso anterior trabajaste con algunas técnicas de conteo, empleando tablas y diagramas. Además abordaste diversas situaciones en las cuales se presentan regularidades numéricas. Aquí se establecen los contenidos ya aprendidos en la escuela primaria y que se utilizarán en la presente lección; los alumnos y el maestro pueden recordar algunos de ellos.

Abordarás problemas de conteo en los cuales, para organizar la información y averiguar el total de combinaciones posibles, utilizarás recursos asociados a la multiplicación de números, como es el caso de los arreglos rectangulares y los denominados diagramas de árbol, gracias a los cuales puedes analizar todas las posibilidades de organización de un conjunto de datos. Esto conducirá a la deducción de un principio fundamental de conteo.

PROHIBIDA SU VENTA

Los retos establecidos al inicio se desglosan en preguntas por responder, lo cual será un punto de referencia para los alumnos, pues al final deberán poder responder estos cuestionamientos.

¿Qué lograré aprender?

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12/12/08 3:40:35 PM

Esta sección puede considerarse una prueba escrita o utilizarse como tarea al inicio de una lección, la cual puede ser resuelta individual o colectivamente, asimismo, se puede usar como temas de discusión en clase para resolver dudas y asegurar cierto nivel del manejo de conceptos o procedimientos necesarios para los temas de la lección. La manera en que se emplee tiene como único fin homogeneizar los conocimientos básicos del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación con fines de acreditación.

ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Si echo volados con dos monedas a la vez, una de $10 y otra de $1, ¿de cuántas maneras distintas pueden caer esas monedas? 4

2 Si tengo 2 playeras, una verde y otra amarilla, y también tengo 3 pantalones cortos: uno rojo, otro blanco y otro verde, ¿cuántas formas distintas de combinar ambos tipos de prendas tengo? 6

3 Si se deben etiquetar varias cajas con tres dígitos del 000 al 999 seguidos de la letra A o la letra B. ¿Cuál es el número máximo de cajas que se pueden etiquetar utilizando este sistema? 2 000

4 ¿Qué es un diagrama de árbol? Es una gráfica que sirve para analizar todas las combinaciones posibles. Se le llama así porque gráficamente se va ramificando como un árbol.

Las técnicas de conteo se basan en diagramas rectangulares o de árbol, por ello una exploración inicial antes de avanzar en el tema es necesario, sobre todo dado que el tema ya se ha trabajado anteriormente.

5 Una señora gana dos boletos para viajar a Cancún, Puerto Vallarta o Ixtapa, y solamente puede llevar a su esposo, hija o hermana. ¿Cuántos lugares y combinaciones posibles tendrá la señora para elegir?

PROHIBIDA SU VENTA

9

6 Si un mago tiene escondidas en una bolsa 3 pelotas, una verde, una roja y una amarilla, ¿cuántas maneras diferentes tiene para sacar las 3 pelotas? Recuerda que las pelotas no se regresan a la bolsa después de sacarlas. 6

7 En una cafetería venden 3 tipos de café y 5 tipos de sándwich. ¿Cuántos almuerzos diferentes se pueden formar con un tipo de café y un tipo de sándwich? 15

8 En una eliminatoria hay 5 boxeadores de Asia que deben pelear con 7 boxeadores europeos. ¿Cuántas parejas de contrincantes se pueden formar? 35

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BLOQUE 1

Tablas, árboles y posibilidades En una escuela se está organizando un baile para conmemorar la Revolución mexicana. A uno de los grupos le toca organizar una presentación de bailes regionales. En él hay dos hombres y tres mujeres dispuestas a participar (figura 1).

Figura 1 Debido a que los estudiantes ya han trabajo aspectos relacionados con los diagramas rectangulares y de árbol, conviene que “jueguen” con este tipo de herramientas de conteo, lo cual se logra ampliando o disminuyendo el número de componentes para determinar el número de posibilidades.

¿Cómo se podrán organizar las parejas para el baile? 1 2

A

3 Se pueden formar 6 parejas. 1 2

B

3

Figura 2

Hay muchas posibilidades para realizar la asignación de parejas. ¿Cuántas parejas se pueden formar en total?

PROHIBIDA SU VENTA

6, si no son del mismo sexo. En muchas situaciones se utilizan estrategias de conteo que ayudan a planear eventos o a realizar presupuestos, de tal modo que las estrategias y ejemplos planteados pueden servir de pauta para que los estudiantes planteen situaciones análogas pero de otros contextos.

Si en cada baile debe actuar por lo menos una pareja diferente, ¿cuántos bailes se podrían montar? 6

Si después de algún tiempo ya se cuenta con cinco hombres y tres mujeres, ¿cuántas parejas se podrían formar? 15 parejas.

¿Cuántos bailes se podrían considerar en la función con la condición de que por lo menos una pareja fuera diferente? 6

100

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LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS

¿Empleaste diagramas de árbol o rectangulares como en la sección “Algo de lo que me enseñaron”? Si no fue así, trata de utilizarlos para resolver las preguntas y analiza qué tipo de diagrama es más adecuado para cada pregunta. ¿Qué operación utilizarías para hacer los cálculos en las preguntas anteriores? Multiplicación 3 ⫻ 2 _= 6 3 ⫻ 5 = 15

y

Veamos otro ejemplo. Analiza con tus compañeros la siguiente situación y responde las preguntas. En el periodo de elecciones de una escuela, para determinar cuáles serán los dos estudiantes que se encargarán de la organización estudiantil, hay 4 candidatos de un grupo A y 3 de otro grupo, el B. Ambos grupos están de acuerdo en lanzar candidaturas conjuntas. ¿Cuántas parejas de posibles contendientes se pueden formar? 12 ¿Cómo utilizarías un diagrama rectangular para resolver esta situación? A1 A2 A3 A4

1 B

2

A1 A2

A1 A2 A3 A4

3

Diagrama de árbol.

A3 A4

¿Puedes utilizar un diagrama de árbol? ¿Cómo?

A

A2

A3

A4

B1

A1B1

A2B1

A3B1

A4B1

B2

B2A1

A2B2

A3B2

A4B2

B3

A1B3

A2B3

A3B3

A4B3

Diagrama rectangular.

PROHIBIDA SU VENTA

¿Qué operación harías para determinar el número de casos posibles? Multiplicación. 3 ⫻ 4 = 12

Para curiosos Discute con tus compañeros: ¿Cuántas parejas se pueden formar para tener planillas si en cada grupo (A y B) hay 5 estudiantes para formar la planilla? 25 parejas. ¿Cuántas parejas se pueden formar para tener planillas si hubiera 7 estudiantes en el grupo A y 12 en el B? 84 parejas. ¿Cuántas ternas se pueden formar para tener planillas si se trataran de poner de acuerdo tres grupos, uno con 2 candidatos, otro con 4 y otro con 5? 40 ternas.

101

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BLOQUE 1

Analiza otra situación. Se organiza un torneo de yudo entre dos clubes deportivos, el Club A y el Club B. En el Club A hay cinco competidores y en el Club B, 12 competidores. ¿Cuántas parejas se podrán formar en el primer encuentro eliminatorio? 60 parejas

Si usas un diagrama rectangular, ¿cuántas filas y columnas se forman? 5 filas, 12 columnas o viceversa.

Si usas un diagrama de árbol, ¿de cuántos puntos inicias las ramas? ¿En cuántas ramas se despliega cada una? De 5 con 12 ramas o 12 con 5 ramas cada uno.

¿Con qué operación aritmética se calcula el resultado del total de posibilidades? Con la multiplicación.

Se van a mezclar 5 tonos de pintura verde con tres tonos de pintura café ¿Cuántos colores se obtendrían de todas las combinaciones posibles? 15

¿Se pueden realizar operaciones aritméticas para obtener la solución? Sí, 5 ⫻ 3 = 15.

¿Cómo calcularías el total de colores que se obtendrían con las combinaciones? Multiplicando 3 x 5.

5 + 5 + 5 = 15

PROHIBIDA SU VENTA

Plantea la solución empleando solamente sumas. o 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 Plantea el procedimiento para resolver la situación con una multiplicación. 5 ⫻ 3 = 15 Utiliza un diagrama de árbol y un diagrama rectangular para comprobar tus respuestas

V1 V2 V3 V4 V5

C1 C2 C3

Tonos de pintura verde.

C1

C2

C3

V1

V1C1

V1C2

V1C3

V2

V2C1

V2C2

V2C3

V3

V3C1

V3C2

V3C3

V4

V4C1

V4C2

V4C3

V5

V5C1

V5C2

V5C3

V1

Tonos de pintura café.

c1 c2 c3 V2

c1 c2 c3 V3

V5

V4 c1 c2 c3

c1 c2 c3

c1 c2 c3

Lo anterior se resume en lo que se denomina el principio de multiplicación: si tienes dos grupos con determinado número de elementos, el total de parejas que se pueden formar con un elemento de cada grupo, sin considerar permutaciones, es 102

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igual al producto de las cantidades que indican los elementos de cada uno de los grupos. Este principio se puede aplicar a más de dos grupos. ¿Cuántas parejas se puede formar con cinco hombres y siete mujeres? 5

¥

=

7

35

.

Si fueran 32 hombres y 45 mujeres, ¿cuántas parejas se formarían? Respuesta modelo. 32

¥

=

45

1440

.

Plantea un problema que se resuelva con una tabla como esta: Respuesta modelo.

Tienes 10 galletas de animalitos diferentes y 6 chocolates con distintos rellenos. ¿De cuántas maneras te puedes comer una pareja de galleta y chocolate? El maestro debe llamar la atención a los estudiantes en el método de cálculo que se desprende de los diagramas rectangulares y de árbol.

¿Cuántas parejas se pueden formar? 10

¥

=

6

60

.

Plantea un problema que se resuelva con el diagrama de árbol de la figura 3. Tienes 4 playeras de distinto color y 3 faldas con diferente estampado. ¿De cuántas maneras diferentes te puedes vestir?

PROHIBIDA SU VENTA

EL ATEN

EO

EN

El uso de cantidades “grandes” inhibe el uso de tablas o diagramas de árbol, por ello deben plantearse con dichos números, además de incluir más de dos componentes y generalizar así el método.

En las siguientes actividades, analiza con tus compañeros si es más útil un diagrama de árbol o uno cartesiano (la tabla) para resolver los problemas. 1

Unos amigos llegaron a un expendio de tacos. En él se ofrecen tacos de bistec y pollo, con cebolla, con salsa y cilantro. ¿Cuántas posibles combinaciones de tacos se pueden elegir? 6

2

¿Cuántas maneras hay para contestar un examen de 6 preguntas que sólo admite como opciones de respuesta verdadero o falso? 12 Si el examen tiene 15 preguntas y cada una con 5 opciones de respuesta, ¿cuántas maneras hay para responderlo? 75

103

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BLOQUE 1 Hay varias situaciones que pueden analizarse con los diagramas rectangulares y de árbol, pero más que hacer que los estudiantes abarquen muchas situaciones, es importante que ellos las diseñen y resuelvan, de tal modo que las actividades aquí planteadas sirven de ejemplo para que los alumnos imaginen nuevas situaciones.

3

¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

4

Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que sólo pueden abrirse por dentro. ¿De cuántas formas puede una persona entrar y salir de la tienda? 35

5

Para el lanzamiento de dos monedas y un dado:

12

águila. • Construye el diagrama de árbol y enumera todos los casos posibles. as == sol. • ¿Cuántas veces saldrá dos soles y el uno? En el diagrama aparece una sola vez. p = 1/ 24

6

Construye el diagrama de árbol para el lanzamiento de tres dados.

7

¿Cómo podrías distribuir en un diagrama cartesiano todas las posibles formas en que pueden caer tres monedas que se lanzan? ¿Cuántas combinaciones se obtienen? Tres columnas, 8 renglones. Hay 8 combinaciones.

8

Ahora se tienen cuatro monedas de distinto valor, al lanzarse generan diferentes combinaciones. ¿Cuántas combinaciones se obtienen? 16 combinaciones

9

Construye el diagrama de árbol para dos dados de diferente color y una moneda.

10

Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde $100. El hombre empieza con un billete de $100 y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su dinero o si gana $300, esto es, si tiene cuatro billetes de $100. Hace el siguiente diagrama para delinear su estrategia.

$100

$200

Juego 1

$300

PROHIBIDA SU VENTA

Juego 2

Juego 3

$400

$300

Juego 4

Juego 5

$0

$400

$200

$100

$200

$200

$100

$300

$200

$0

$400

$200

$0

$100

$200

$0

• Después de cinco juegos, ¿en cuántos puede ganar $400, en cuántos puede ganar $200 y en cuánEn 3 o en 5 puede ganar $400. tos no gana? En 1, 3 o 5 puede ganar $200. En 1, en 3 y 5 puede quedarse con $0.

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SOLUCIONARIO


Demuestro lo que sé y hago 1 De cuántas formas diferentes se puede responder un examen que consta de 12 preguntas de falso y verdadero. 24 formas

2 De cuántas formas diferentes se puede responder un examen de 6 opciones por pregunta, si consta de 25 preguntas.

Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de diversas formas, como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades para resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.

8 Si arrojamos un dado y una moneda al mismo tiempo, ¿de cuántas formas distintas podrán caer? 12

9 En un problema de arrojar dos dados de distinto color, ¿cuántas combinaciones existen en donde aparece un cinco? 10

150 formas

3 ¿Cuántas palabras de siete letras se podrán formar utilizando solamente las cinco vocales? En castellano no existen esas palabras. Si no importa que no tenga ningún sentido, podemos formar 35 palabras.

P1

4 ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, incluyendo repeticiones? 30

5 Eduardo tiene 6 camisas y 4 pantalones que combinan perfectamente. Haciendo un diagrama de árbol, ¿cuántas combinaciones tendrá para elegir?

P2 C= P= P3

24

6 Se tiene un dado verde y un rojo, al arrojarlos se producen diferentes combinaciones. ¿Cuántas son? 36

P4

7 ¿De cuántas maneras puede acomodarse una enciclopedia de 4 volúmenes en el anaquel de un librero?

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 C2 C3 C4 C5 C6

24

PROHIBIDA SU VENTA

Conéctate Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

También puedes consultar los siguientes libros. • Juan Díaz Godino et al.

Azar y probabilidad Síntesis, Madrid, 2001. • Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro Kolmogórov: el zar del azar Nivola, Madrid, 2003.

• http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm Encontrarás elementos para analizar las técnicas de conteo que se aplican en diagramas como los de árbol. Cuando se hacen búsquedas en Internet para obtener datos se suelen encontrar pocas situaciones en las que se utilicen diagramas de árbol o rectangulares, pero pueden adaptarse algunas para ser utilizadas en clase.

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5

G á cas que Gráficas Gráfi q hablan ab a Se presenta de manera genérica lo que se espera que los estudiantes aprenderán en esta lección.

Mis retos Conocerás un nuevo tipo de gráfica que te ayudará a interpretar información contenida en conjuntos de datos.

¿Qué sé? En el curso anterior trabajaste con representaciones gráficas básicas, las cuales pueden ayudar a abordar otro tipo de representaciones gráficas y a partir de ello analizar la conveniencia de utilizar unas u otras.

¿Qué lograré aprender? Aprenderás a leer nuevos tipos de gráficas que te permitirán interpretar las características de un conjunto particular de datos, lo cual resulta relevante cuando se quiere comparar dos conjuntos de datos.

PROHIBIDA SU VENTA

Aquí se establecen los contenidos ya aprendidos en la escuela primaria y que se utilizarán en la presente lección; los alumnos y el maestro pueden recordar algunos de ellos.

Los retos establecidos al inicio se desglosan en preguntas por responder, lo cual será un punto de referencia para los alumnos, pues al final deberán poder responder estos cuestionamientos.

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Esta sección puede considerarse una prueba escrita o utilizarse como tarea al inicio de una lección, la cual puede ser resuelta individual o colectivamente, asimismo, se puede usar como temas de discusión en clase para resolver dudas y asegurar cierto nivel del manejo de conceptos o procedimientos necesarios para los temas de la lección. La manera en que se emplee tiene como único fin homogeneizar los conocimientos básicos del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación con fines de acreditación.

ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Define los términos “frecuencia absoluta” y “frecuencia relativa”.

Frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un evento y la relativa es la frecuencia absoluta entre el número total de veces que se realizó el experimento. Con el cociente

2 Si tienes el valor de la frecuencia relativa en una tabla de datos, ¿cómo calculas el porcentaje correspondiente? Con el cociente.

3 En un estudio se recolectaron los siguientes datos:

Deporte favorito

Frecuencias absolutas

Frecuencias relativas

Porcentajes

G

Golf

13

13/610

2%

V

Voleibol

81

81/610

13%

F

Futbol

235

235/610

38%

B

Beisbol

167

167/610

27%

N

Natación

114

114/610

18%

Total

610

610 /610

98%

Para interpretar gráficas es importante saber si los estudiantes manejan algunos temas relacionados con las frecuencias absolutas y relativas.

240 220 200 180

Frecuencias

160

• Completa la tabla, calculando las frecuencias relativas y los porcentajes faltantes.

140 120 100 80 60

PROHIBIDA SU VENTA

• Elabora una gráfica de barras que presente la información recabada en la tabla.

40 20 G

V

F Deporte

B

N

4 La siguiente tabla muestra la cantidad de veces que se obtuvo un número al lanzar un dado.

Resultado del lanzamiento Frecuencia absoluta

12

11

16.41%

15%

12

15

11

12

Total: 73.

20.5%

• Elabora una gráfica circular para representar esta información. 1 16.4 % 3

6

16.4 %

16.4 %

15 %

15 % 5

2

107

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20.5 % 4

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BLOQUE 1

Histogramas y polígonos de frecuencia Se realizó una encuesta con estudiantes de secundaria. En una parte se les preguntó qué volumen (en litros) de agua pura y de bebidas gaseosas que toman al día. Los datos recabados se encuentran en la siguiente tabla. Llena las columnas de frecuencia relativa y porcentaje de cada una de las tablas mostradas abajo. Elabora una gráfica de barras con los datos de cada tabla, usando los valores de las frecuencias relativas.

Distribución de frecuencias para consumo de agua pura Litros de agua bebidos

Una dificultad de trabajar interpretaciones de gráficas en clase es que muchos datos son ficticios o poco reales, pero sobre todo generalmente son pocos datos, los cuales no requieren tantos elementos para ser analizados, por ello debe iniciarse con situaciones que impliquen una cantidad importante de datos.

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentajes

1. Cero

25

25/256

9.7 %

2. Más de cero hasta medio litro

16

16/256

6.2 %

3. Más de medio litro hasta un litro

54

54/256

21 %

4. Más de un litro hasta un litro y medio

76

76/256

29 %

5. Más de un litro y medio hasta dos litros

45

45/256

17 %

6. Más de dos litros hasta dos litros y medio

23

23/256

8.9 %

7. Más de dos litros y medio hasta tres litros

12

12/256

4.6 %

5

5/256

1.9%

8. Más de tres litros Total:

256

Distribución de frecuencias para consumo de gaseosas

PROHIBIDA SU VENTA

Litros de gaseosas bebidos

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentajes

1. Cero

15

15/257

5.8 %

2. Más de cero hasta medio litro

28

28/257

10.8 %

3. Más de medio litro hasta un litro

69

69/257

26.8%

4. Más de un litro hasta un litro y medio

71

71/257

27.6%

5. Más de un litro y medio hasta dos litros

30

30/257

11.6%

6. Más de dos litros hasta dos litros y medio

21

21/257

8.1%

7. Más de dos litros y medio hasta tres litros

19

19/257

7.4%

4

4/257

1.5%

8. Más de tres litros

Total: 257

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a) Los estudiantes beben en su mayoría, entre medio y litro y medio de gaseosas. LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN La mayoría bebe entre un litro y litro y medio de agua.

b) Se consume más agua. c) De agua entre litro y litro y medio, de gaseosas entre litro y litro y medio.

Frecuencia relativa para consumo de agua pura

p

1

g

p

1

0.9

09

0.8 08

0.7

07

0.6

06

0.5

05

0.4

04

0.3

03

0.2

02

0.1

01

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

Frecuencia relativa para consumo de gaseosas

5

6

p

1

1

0.9

09

0.8

08

0.7

07

0.6

06

0.5

05

0.4

04

0.3

03

0.2

02

0.1

01

7

8

g

0

0 1

2

3

4

5

6

7

1

8

2

3

4

5

6

7

8

PROHIBIDA SU VENTA

Al comparar las gráficas, ¿qué observas respecto al consumo de agua o gaseosas? Puedes plantearte preguntas como: ¿Qué bebida se consume más? ¿Qué cantidades de agua o gaseosas son más bebidas? Elabora una gráfica que incluya las dos gráficas. 1 0.9

Figura 1 Gráfica con barras encimadas

1

0.8

09

0.7

08

0.6

07

0.5

06

0.4

05

0.3

04

0.2

03 02

0.1

01

0 1

2

3

4

5

6

7

8

0 1

2

3

4

5

6

7

8

109

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12/12/08 3:43:25 PM

BLOQUE 1

¿Qué problemas se presentan al intentar hacer la gráfica de barras de dos conjuntos de datos? Si en la gráfica que integra a las dos gráficas, en lugar de dibujar las barras completas, solamente dibujas la parte superior de las barras y enlazas los escalones resultantes mediante segmentos de recta, ¿cómo se verá ahora la gráfica? 1

Figura 2 Gráfica con escalones de colores unidos por segmentos de recta

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Si en lugar de escalones utilizas el punto medio de cada escalón y los enlazas mediante segmentos de recta, ¿cómo queda la gráfica ahora? A la gráfica resultante de este caso se le denomina polígono de frecuencias. 1 0.9 0.8

Figura 3 Gráfica con el punto medio del escalón unidos por segmentos de recta

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

PROHIBIDA SU VENTA

0.1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Para curiosos Supongamos que agregas 20 a cada frecuencia absoluta en las dos tablas. ¿Cambiaporque al aumentar la misma cantidad se rán las frecuencias relativas y los porcentajes? No conserva la proporcionalidad. ¿Se modificarán las gráficas?

No.

Si en vez de usar en las gráficas frecuencias relativas, usas frecuencias absolutas o porcentajes, ¿se modificarán en su forma las gráficas? La forma es la misma, la más alta corresponde a la de mayor frecuencia que corresponda a la de mayor porcentaje. Son formas de representar lo mismo.

110

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LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN

Considera ahora los siguientes datos obtenidos de un estudio sobre las longitudes del cuerpo de cierta especie de serpientes. Se recolectaron los siguientes datos: 43, 41, 17, 24, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 10, 17, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 19, 44, 38, 28, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 44, 13, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 24, 19, 16, 43, 25, 39. Si te piden elaborar una tabla que indique la frecuencia de cada medición, ¿cuántos renglones tendría la tabla? ¿Cuántas barras tendría la gráfica? Como acabas de deducir, sería impráctico hacerlo de esta manera. ¿Qué convendría hacer entonces? El menor dato es 10 , el mayor dato es 45 . Quiere decir que todos los datos se encuentran entre 10 y 45 . Puedes dividir el segmento con extremos menor dato y mayor dato en varias partes y considerar en cada una a los datos que caen en ellas. Divide en dos partes el espacio entre el menor y mayor dato. Así, el número que es el punto medio entre el dato mayor y el menor es 27.5 . ¿Cuántos datos caen en la primera parte (de 10 a 27.5 ) y cuántos caen en la segunda parte (de 27.5 a 45 ). Pero, 27.5 ¿en qué parte se considera? La posibilidad que más se usa es: La primera parte es de 10 hasta antes de 27.5 (esto se simboliza de la siguiente manera: ó 10 , 27.5 à). La segunda parte es desde 27.5 hasta 45 (esto se simboliza: ó 27.5 , 45 ò). Llena la siguiente tabla: Frecuencia absoluta

ó

10

,

27.5

à

47

ó

27.5

,

45

ò

45

Total: 92

PROHIBIDA SU VENTA

Haz una gráfica con esta información, pero usando las frecuencias relativas. 1 1

0.9

09

0.8

08

0.7

07

0.6 06

0.5

05

0.4

04

0.3

03

0.2

02

0.1

01 0

0 1

2

3

4

5

6

7

8

1 10, 27.5

2

3

4

5

6

7

8

27.5, 45

111

01_05_OK.indd 111

12/12/08 3:43:27 PM

BLOQUE 1

Puedes dividir el espacio entre 10 y 45 en más partes; por ejemplo, en cinco partes. Llena la siguiente tabla y elabora una gráfica con los datos de la tabla: Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

(10, 17)

19

19/92

20.6 %

(17, 24)

14

14/92

15.2 %

(24, 31)

14

15/92

16.3 %

(31, 38)

11

11/92

11.9 %

(38, 45)

33

33/92

35.8 %

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Divide le espacio entre 10 y 45 , en 12 partes iguales. Llena la siguiente tabla y elabora una gráfica con los datos de la tabla:

PROHIBIDA SU VENTA

Para que el espacio entre 10 y 45 se pueda dividir en partes iguales, se tendrían que hacer intervalos de 2.916 de diferencia entre datos, lo cual NO es posible. Por ello aproximamos para hacerlo de 3 en 3.

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

(10, 13)

5

5/92

5.4

(13, 16)

6

6/92

6.5

(16, 19)

13

13/92

14.1

(19, 22)

9

9/92

9.7

(22,25)

7

7/92

7.6

(25, 28)

7

7/92

7.6

(28, 31)

1

1/92

1.0

(31, 34)

5

5/92

5.4

(34, 37)

6

5/92

6.5

(40, 43)

11

11/92

11.9

(43, 44)

13

13/92

14.1

(44, 45)

9

9/92

9.7

112

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12/12/08 3:43:27 PM

LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN 1 0.9 0.8 0.7 1

0.6

09 08

0.5

07

0.4

06

0.3

04

05

03

0.2

02 01

0.1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 1

2

3

4

5

6

7

8

Sobre las gráficas que elaboraste, traza un polígono de frecuencias. La siguiente tabla muestra la información recabada en un estudio sobre el tiempo que los empleados de una fábrica dedicaron a aprender una tarea de carpintería. Distribución de frecuencias Intervalo (en minutos)

Punto medio


Frecuencia absoluta (empleados)

[20, 25)

22.5

5

2

0.6

[25, 30)

27.5

5

4

1.1

[30, 35)

32.5

5

52

14.4

[35, 40)

37.5

5

74

20.6

[40, 45)

42.5

5

108

30.0

[45, 50)

47.5

5

64

17.8

[50, 55)

52.5

5

46

12.8

[55, 60)

57.5

5

8

2.2

[60, 65)

62.5

5

2

0.6

360

100.0

PROHIBIDA SU VENTA

Totales

Porcentaje (empleados)

Tiempo de aprendizaje de la tarea

Cada intervalo abarca un rango de tiempo en el que se logró aprender dicha tarea. Los paréntesis rectangulares indican que el valor adjunto se incluye y los circulares indican que se excluye. La información de la tabla se registra en la gráfica de la figura 4. A este tipo de gráficas se les denomina histograma. En la figura 4 se observa que muy pocos empleados aprendieron muy rápido, y también muy pocos aprendieron muy lento. La mayor parte requirió entre 30 y 55 minutos para lograrlo y, de éstos, la mayoría logró aprender la tarea entre 40 y 45 minutos.

35 30 25

Porcentaje de empleados

20 15 10 5 0 20

25

30

35

40

45

50

Tiempo (en minutos)

55

60

65

Figura 4

113

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12/12/08 3:43:27 PM

BLOQUE 1

Si en cada barra se identifica el punto medio de cada intervalo y se unen dichos puntos con una línea recta se obtiene lo que se conoce como polígono de frecuencias, el cual se muestra, con barras y sin ellas, en las gráficas de la figura 5.

35

35

30

30

25

25



Tiempo de aprendizaje de la tarea (polígono de frecuencias)

20 15 10 5

20 15 10 5

0

0 20

25

30

35

40

45

50 60 55 65 60

65

20

25

Tiempo (en minutos)

30

35

40

45

50

55

60

65

Tiempo (en minutos)

Figura 5

Para curiosos Discute con tus compañeros los siguiente.

La diferencia es sólo la forma gráfica pues presenta los mismos datos

¿Hay diferencias entre un diagrama de barras y un histograma? Si las hay, ¿cuáles son? ¿Es necesario tener la gráfica de barras para dibujar el polígono de frecuencias correspondiente? No. Basta tener los datos. Dado un polígono de frecuencias, ¿será posible dibujar la gráfica con las barras?

PROHIBIDA SU VENTA

En la tabla, une dos intervalos y elabora la tabla de frecuencias. Intervalos

Punto medio


Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1o

[20, 30]

25.5

10

6

6/360

2o

[30, 40]

35.5

10

126

126/360

3o

[40, 50]

40.5

10

172

172/360

4o

[50, 60]

50.5

10

54

54/360

5o

[60, 70]

60.5

10

2

2/360

114

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12/12/08 3:43:28 PM

También elabora el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias para la actividad que propusiste utilizando los datos de la tabla anterior. Ahora veamos otro ejemplo. Dada la importancia que tiene la capacitación para mejorar la productividad en las empresas, cierta fábrica decidió evaluar las calificaciones obtenidas por el personal matutino (grupo A) y el vespertino (grupo B) para cierto curso impartido. El informe final de la evaluación incluyó las calificaciones de los dos grupos que recibieron capacitación y una gráfica, las cuales se muestran a continuación:



35

15

5 0 1

2

3

4

5

Intervalos de tiempo

Calificaciones Grupo A

Grupo B

35

25

86

38

45

79

79

81

65

40

83

31

28

29

18

14

23

45

45

48

Las gráficas que se pueden desarrollar con datos brutos requieren de mucho esfuerzo para sistematizar y ordenar los datos, hasta conformar las clases y la escala necesaria para realizar el dibujo necesario. Por ello, es adecuado partir de una tabla de frecuencias para obtener histogramas.

Calificaciones de capacitación 100

Grupo A

90

Grupo B

80

Los polígonos de frecuencias se presentan como una alternativa para obtener una representación gráfica de datos que muestre el comportamiento global de una variable, sin recurrir a muchos efectos visuales como se logra con las barras.

70

PROHIBIDA SU VENTA

60

Personal evaluado

50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 6

Calificaciones

¿Cuál de los dos grupos es el más estable porque tiene menos variaciones? Grupo B. ¿En cuál de los grupos la gente está mejor capacitada? Grupo B. ¿En qué grupo se conglomeran más las calificaciones bajas? Grupo A. ¿En cuál las más altas? Grupo B.

115

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12/12/08 3:43:29 PM

BLOQUE 1

1

EL ATEN

EO

EN

SOLUCIONARIO

Se obtuvieron los siguientes resultados en un examen de matemáticas en una escuela (el puntaje máximo era de 50): 6, 7, 14, 31, 32, 30, 25, 17, 13, 25, 6, 8, 14, 30, 31, 26, 40, 17, 20, 45, 7, 15, 24, 26, 36, 41, 35, 17, 20, 39, 12, 24, 24, 38, 26, 43, 41, 17, 36, 17. • Construye una tabla de frecuencias, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias, para ello utiliza intervalos de longitud 5.

2

Se registraron los siguientes tiempos (en minutos) para completar un examen:

Solamente analizando diversas situaciones será posible conocer el aprovechamiento de las gráficas que se pueden construir como histogramas o polígonos de frecuencia, pues cada tipo de gráficas tienen ventajas y limitaciones.

36.3 40.6 38.4 39.4 35.1 38.6 41.0 38.2 34.4 31.3

44.9 41.0 41.4 51.0 38.0 41.7 47.8 43.5 42.7 41.4

49.1 52.5 39.8 33.9 45.6 45.3 52.5 33.2 37.7 40.1

49.4 41.1 42.4 41.7 43.4 53.5 34.3 32.8 31.5 38.8

35.2 47.6 33.8 31.9 36.2 40.3 47.3 41.3 52.3 49.1

30.3 36.3 35.7 33.9 50.7 44.9 41.7 40.4 38.4 50.8

37.8 43.1 37.8 46.7 43.0 35.5 51.5 45.0 35.4 43.5

46.6 48.1 45.3 55.4 41.2 34.8 53.9 44.1 43.1 42.7

36.4 53.5 57.7 41.9 42.3 37.2 35.1 47.2 44.3 42.4

46.5 42.9 43.8 34.8 45.1 30.8 41.1 44.1 32.7 29.5

• Construye una tabla de frecuencias con tres intervalos, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias. Determina la longitud del intervalo. • Construye una tabla de frecuencias con cinco intervalos, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias. Determina la longitud del intervalo. Para cada uno de los siguientes polígonos de frecuencias reconstruye el histograma correspondiente y la tabla de frecuencias relativas.

15

34 25 20

10 Porcentaje

3

Porcentaje

PROHIBIDA SU VENTA

Esta actividad presenta una situación en la cual será necesario reconstruir una tabla de la cual se extrajo la gráfica original y con esa información poder construir otra representación gráfica como el histograma. En general se construye el histograma y luego el polígono de frecuencias, pero si se conocen las relaciones entre estos dos tipos de representaciones gráficas se podrá pasar de una a otra sin problemas.

5

15 10 5 0

0

60

120

180

240

30

300

34

38

42

46

50

116

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12/12/08 3:43:29 PM

Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de diversas formas, como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades para resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.


SOLUCIONARIO

Demuestro lo que sé y hago 1 Para el siguiente polígono de frecuencias relativas encuentra la tabla de frecuencias absolutas y relativas y el histograma correspondiente.

3 Se obtuvieron los siguientes datos sobre el tiempo (en minutos) para completar un examen: 35.1 38.6 41.0 38.2 34.4 31.3 30.3

Porcentaje 30 Histograma

25

38.0 41.7 47.8 43.5 42.7 41.4 37.8

45.6 45.3 52.5 33.2 37.7 40.1 46.6

43.4 53.5 34.3 32.8 31.5 38.8 36.4

36.2 40.3 47.3 41.3 52.3 49.1 46.5

20

•

15 10 5

• 0 30

34

38

42

46

50

Utiliza el punto medio de cada intervalo como representante de toda la clase o intervalo.

Construye una tabla de frecuencias con tres intervalos, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias. Determina la longitud de los intervalos. Construye una tabla de frecuencias con cinco intervalos, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias. Determina la longitud de los intervalos.

4 La siguiente gráfica corresponde a dos grupos evaluados de acuerdo con diferentes de tareas.

2 Elabora un polígono de frecuencias con los siguientes datos:

Trabajos manuales 100 Grupo A

80

33.9

41.7

31.9

33.9

46.7

55.4

60

45.6

43.4

36.2

50.7

43.0

41.2

40

45.3

53.5

40.3

44.9

35.5

34.8

20

52.5

34.3

47.3

41.7

51.5

53.9

PROHIBIDA SU VENTA

33.2

32.8

41.3

40.4

45.0

0 1

• • •

Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Calificaciones

44.1

Conéctate

Grupo B

¿Qué grupo tuvo mejor desempeño? Grupo A. ¿Qué grupo obtuvo las puntuaciones más altas? Grupo A. ¿Hubo algún momento en que los grupos se emparejaron? Sí, en 3 de calificación.

También puedes consultar los siguientes libros. • Carmen Azcárate y Jordi Deulofeu

Funciones y gráficas Síntesis, Madrid, 1990. • Shell Centre for Maths (ed.) El lenguaje de las funciones y gráficas Universidad del País Vasco y mec, Madrid, 1990.

• http://www.mty.itesm.mx/dia/profs/anavarro/ Cap6NAV.htm • http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/ guia_estadistica/modulo_2.htm En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden encontrar datos para usar en clase, también será posible localizar software gratuito para construir graficas y tabulaciones, lo cual ayuda a los estudiantes a experimentar y hacer cambios libremente en los datos originales.

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Matemáticas 2

Matemáticas 2



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2


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Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf

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