SECTOR CIRCULAR
CUADRANTE
EMBECADURA
SEGMENTO CIRCULAR
Perímetro del triangulo Triángulo Equilátero
Triángulo Isósceles
Triángulo Escaleno
Área del triángulo: Conociendo la base y la altura
Conociendo dos lados y el ángulo que forman.
Circunferencia circunscrita a un triángulo
R radio de la circunferencia circunscrita Circunferencia inscrita en un triángulo
r radio de la circunferencia inscrita ! semi!erímetro "órmula de #erón.
! semi!erímetro
Ángulos de un triángulo
$a suma de los ángulos de un triángulo es igual a %&'(. Teoremas
)el cateto
)e la altura
)e Pitágoras
*eme+an,a de triángulos
Criterios de seme+an,a de triángulos %)os triángulos son seme+antes si tienen dos ángulos iguales. - )os triángulos son seme+antes si tienen los lados !ro!orcionales. )os triángulos son seme+antes si tienen dos lados !ro!orcionales y el ángulo com!rendido entre ellos igual. Criterios de seme+an,a de triángulos rectángulos %)os triángulos rectángulos son seme+antes si tienen un ángulo agudo igual. -)os triángulos rectángulos son seme+antes si tienen los dos catetos !ro!orcionales. $os triángulos son seme+antes si tienen !ro!orcionales la /i!otenusa y un cateto.
Perímetro del triangulo Triángulo Triángulo Equilátero Isósceles
Triángulo Escaleno
Área del triángulo Conociendo la base y la altura
Conociendo dos lados y el ángulo que forman.
Circunferencia circunscrita a un triángulo
R radio de la circunferencia circunscrita Circunferencia inscrita en un triángulo
r radio de la circunferencia inscrita ! semi!erímetro "órmula de #erón.
! semi!erímetro
Ángulos de un triángulo
$a suma de los ángulos de un triángulo es igual a %&'(. Teoremas )el cateto
)e la altura
)e Pitágoras
*eme+an,a de triángulos
Criterios de seme+an,a de triángulos
%)os triángulos son seme+antes si tienen dos ángulos iguales. - )os triángulos son seme+antes si tienen los lados !ro!orcionales. )os triángulos son seme+antes si tienen dos lados !ro!orcionales y el ángulo com!rendido entre ellos igual. Criterios de seme+an,a de triángulos rectángulos %)os triángulos rectángulos son seme+antes si tienen un ángulo agudo igual. -)os triángulos rectángulos son seme+antes si tienen los dos catetos !ro!orcionales. $os triángulos son seme+antes si tienen !ro!orcionales la /i!otenusa y un cateto. %. $ongitudes $ongitud de una circunferencia
$ongitud de un arco de circunferencia
-. Áreas
Área del círculo
Área del sector circular
Área de la corona circular
Área del tra!ecio circular
Área del segmento circular
Área del segmento circular 01 Área del sector circular 021 3 Área del triángulo 021 Área de la l4nula
. Ángulos en la circunferencia Central
Inscrito
*emiinscrito
Interior
E5terior
Triángulo
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Tra!ecio
Polígono
P - 6 7a 8 b9
0b6/
Polígono regular
0 T % 8 T - 8 T 8 T
$ongitud de una circunferencia
$ongitud de un arco de circunferencia
Círculo
*ector circular
Corona circular
Tra!ecio circular
*egmento circular
Área del segmento circular 01 Área del sector circular 021 3 Área del triángulo 021 $4nula de #i!ócrates
Tabla de áreas y ;ol4menes Tetraedro
2ctaedro
Icosaedro
)odecaedro
Cubo
2rtoedro
Prisma
Pirámide
Tronco de !irámide
Cilindro
Cono
Tronco de cono
Esfera
Área del /uso esf
Área y ;olumen del casquete esf
Área y ;olumen de la ,ona esf
"órmulas de traslaciones> giros y simetrías Traslación de un !unto
Com!osición de traslaciones
?iro de centro 27'>'9
?iro de centro 2@7a>b9
*imetría central de centro 27'>'9
P@ 7A5> Ay9 5@ A5 y@ Ay *imetría central de centro 2@7a> b9
P@ 7A58 -a> Ay8 -b9 5@ A5 8 -a y@ Ay 8 -b *imetría a5ial res!ecto al e+e de ordenadas
P75> y9 P7A5> y9 5 A5@ y y@ *imetría a5ial res!ecto al e+e de abscisas
P75> y9 P75> Ay9 5 5@ y Ay@ DIAGONALES
)iagonales de un !olígono $as diagonales son los segmentos que determinan dos ;
4 · (4 − 3) : 2 = 2
5 · (5 − 3) : 2 = 56 · (6 − 3) : 2 = 9
)iagonal del cuadrado
Calcular la diagonal d !" cuadrado d 5 #$ d lad%&
)iagonal del rectángulo
Calcular la diagonal d !" rectángulo d ' #$ d a* + 6 #$ d al,!-a&
)iagonales de un !oliedro La* diagonales d !" !oliedro *%" segmentos .! !"" dos ;
)iagonal del ortoedro
E+ercicios Calcular la diagonal d !" cubo d 5 #$ d arista&
Calcular la diagonal d !" ortoedro d ' #$ d la-1% 4 #$ d a"#% + 5 #$ d al,%&
Teoremas de los triángulos rectángulos %.)el cateto
-.)e la altura
. )e Pitágoras
0!licaciones del teorema de Pitagoras 0ltura del triángulo equilátero
$ado de un triángulo equilátero inscrito
)iagonal del cuadrado
$ado de un cuadrado inscrito
)iagonal del rectángulo
$ado oblicuo del tra!ecio rectángulo
0ltura del tra!ecio isósceles
0!otema de un !olígono regular
0!otema del /e5ágono inscrito
?eometría analítica !lana Coordenadas de un ;ector
ódulo
Dector unitario
*uma
Resta Producto de un ;ector !or un escalar Producto escalar de ;ectores E5!resión analítica del !roducto escalar
E5!resión analítica del módulo de un ;ector E5!resión analítica del ángulo de dos ;ectores
E5!resión analítica de la ortogonalidad de dos ;ectores Proyección
Combinación lineal de ;ectores
*istema de referencia
)istancia entre dos !untos Coordenadas del !unto medio
*im
)i;isión de un segmento
Puntos alineados
Coordenadas del baricentro
Ecuaciones de la recta Dectorial Param
Continua
Pendiente
PuntoA!endiente ?eneral
E5!lícita Canónica o segmentaria ue !asa !or dos !untos
Paralelas al e+e 2F Paralelas al e+e 2G Rectas !aralelas
Rectas !er!endiculares
Posiciones relati;as *ecantes Paralelas Coincidentes Ángulo que forman dos rectas
)istancia de un !unto a una recta
Ecuaciones de las bisectrices
Ecuación de la mediatri,
Cónicas Ecuación de la circunferencia
Ecuación reducida Ecuación de la eli!se
E5centricidad Ecuación reducida
)e e+e ;ertical
)e e+e /ori,ontal y centro distinto al origen
)e e+e ;ertical y centro distinto al origen
Ecuación de la /i!
E5centricidad 0síntotas Ecuación reducida "@7Ac>'9 y "7c>'9
)e e+e ;ertical "@7'> Ac9 y "7'> c9
)e e+e /ori,ontal y centro distinto al origen
D%"d 0 y 1 tienen signos o!uestos&
)e e+e ;ertical y centro distinto al origen
#i!
E5centricidad Referida a sus asíntotas
Ecuación de la !arábola
Ecuación reducida de la !arábola )e e+es el de abscisas y de ; '9
)e e+es el de ordenadas y de ; '9
Paralela a 2F y ; y ;
ódulo de un ;ector
)istancia entre dos !untos Dector unitario
*uma de ;ectores
Resta de ;ectores Producto de un n4mero !or un ;ector Coordenadas del !unto medio de un segmento
Condición !ara que tres !untos est
*im
Coordenadas del baricentro
)i;isión de un segmento en una relación dada
Combinación lineal de ;ectores
*istema de referencia
Producto escalar de ;ectores E5!resión analítica del !roducto escalar
E5!resión analítica del módulo de un ;ector E5!resión analítica del ángulo de dos ;ectores
E5!resión analítica de la ortogonalidad de dos ;ectores Proyección
0!licaciones de ;ectores )istancia entre dos !untos
Coordenadas del !unto medio
Tres !untos alineados
*im
Coordenadas del baricentro
)i;isión de un segmento
Producto escalar de ;ectores Producto escalar
ódulo de un ;ector Ángulo de dos ;ectores
Dectores ortogonales Proyección
"órmulas de traslaciones> giros y simetrías Traslación de un !unto
Com!osición de traslaciones
?iro de centro 27'>'9
?iro de centro 2@7a>b9
*imetría central de centro 27'>'9
P@ 7A5> Ay9 5@ A5 y@ Ay *imetría central de centro 2@7a> b9
P@ 7A58 -a> Ay8 -b9 5@ A5 8 -a y@ Ay 8 -b *imetría a5ial res!ecto al e+e de ordenadas
P75> y9 P7A5> y9 5 A5@ y y@ *imetría a5ial res!ecto al e+e de abscisas
P75> y9 P75> Ay9 5 5@ y Ay@ COORDENADAS OLARES: C!a"d% * #%"%# l $d!l% dl #,%= + l 7"1!l% H .! 8%-$a #%" l O la* coordenadas d *%":
5 6 cos H y 6 sen H
C%%-d"ada ;
5 6 cos H C%%-d"ada +
y 6 sen H E+em!los Pasar a coordenadas cartesianas: 2'2<
'< = 7%> '9 ''< = 73%> '9 '9< = 7'> %9 '2>< = −7'> 3%9
Paso de coordenadas cartesianas a !olares ódulo 0rgumento o ángulo
E+em!los: Pasar a coordenadas !olares:
-J'(
-%-'(
--'(
-''( 7-> '9
-'(
73-> '9
-%&'( 7'> -9
-K'( ( −2 )
--L'(
Ecuaciones de la recta
Ecuación ;ectorial de la recta Ecuaciones !aram
Ecuación continua de la recta
Pendiente
Ecuación !untoA!endiente de la recta Ecuación general de la recta
Ecuación e5!lícita de la recta Ecuación canónica o segmentaria Ecuación de la recta que !asa !or dos !untos
Rectas !aralelas al e+e 2F Rectas !aralelas al e+e 2G Rectas !aralelas
Rectas !er!endiculares
Posiciones relati;as de dos rectas *ecantes Paralelas
Coincidentes Ángulo que forman dos rectas
)istancia de un !unto a una recta
Ecuación de la mediatri, Ecuaciones de las bisectrices
E+ercicios: E*#-00- la #!a#0" /!",% /"d0", d: % U"a -#,a /a*a /%- l /!",% A(?' 3) + ,0" !" #,%-
d0-#,%-
= (25)&
- U"a -#,a .! /a*a /%- l%* /!",%* A(?2 ?3) + B(42)&
U"a -#,a .! /a*a /%- A(?2 ?3) + ,0" !"a 0"#l0"a#0" d 45@&
E*#-00- la #!a#0" 1"-al d la -#,a .!:
% a*a /%- A ('5) + ,0" #%$% #,%- d0-#,%-
01!al (?2 ')&
- a*a /%- A ('5) + ,0" #%$% /"d0", $=?2&
E*#-0 d ,%da* la* 8%-$a* /%*0l* la #!a#0" d la -#,a .! /a*a /%- l%* /!",%* A(' 2) + B(?2 5)&
E*,!d0a- la /%*0#0" -la,0a d la* -#,a* d #!a#0%"*: % 2; 3+ ? 4 = - ; ? 2+ '= 3; ? 2+ ?9 =
4; 6 + ? = M 2; ? 4+ ? 6 = J 2; 3+ 9 = $as rectas % y son coincidentes /%-.! ,%d%* *!* #%#0",* *%" /-%/%-#0%"al*:
$as rectas - y M y las % y J son !aralelas res!ecti;amente +a .! ;0*, /-%/%-#0%"al0dad ",- l%* #%#0",* d ; + d + /-% "% " l ,-$0"% 0"d/"d0",&
alla- !"a -#,a /a-alla + %,-a /-/"d0#!la- a - ; 2 + 3 = .! /a*" /%- l /!",% A(35)&
alla- la d0*,a"#0a ",- - 3 ; ? 4 + 4 = + * 9 ; ? '2 + ? 4 = &
alla l /!",% *0$,-0#% AF dl /!",% A (3 2) -*/#,% d la -#,a - 2 ; + ? '2 = &
U"a -#,a * /a-alla a la .! ,0" /%- #!a#0" - 5; + ? '2 = + d0*,a 6 !"0dad* dl %-01"& C!7l * *! #!a#0"H
Ecuaciones de cónicas
Ecuación de la circunferencia
Ecuación reducida Ecuación de la eli!se
E5centricidad Ecuación reducida
Eli!se de e+e ;ertical
Eli!se de e+e /ori,ontal y centro distinto al origen
Eli!se de e+e ;ertical y centro distinto al origen
Ecuación de la /i!
E5centricidad 0síntotas Ecuación reducida "@7Ac>'9 y "7c>'9
#i! Ac9 y "7'> c9
#i!
D%"d 0 y 1 tienen signos o!uestos&
#i!
#i!
E5centricidad #i!
Ecuación de la !arábola
Ecuación reducida de la !arábola )e e+es el de abscisas y de ;
)e e+es el de ordenadas y de ;
Parábola con e+e !aralelo a 2F y ; y ;
Ecuación de la circunferencia
Ecuación reducida de la circunferencia E+ercicios: Dada la #0-#!"8-"#0a d #!a#0" ; 2 +2 ? 2; 4+ ? 4 = alla- l #",-% + l -ad0%&
alla- la #!a#0" d la #0-#!"8-"#0a .! /a*a /%- l%* /!",%* A(2) B(23) C(' 3)& S0 *!*,0,!0$%* ; + " la #!a#0" /%- la* #%%-d"ada* d l%* /!",%* * %,0" l *0*,$a: I"d0#a- *0 la #!a#0": 4; 2 4+2 ? 4; ? + ? '' = #%--*/%"d a !"a #0-#!"8-"#0a + " #a*% a-$a,0% #al#!la- l #",-% + l -ad0%& %. C%$% l%* #%#0",* d ; 2 +2 *%" d0*,0",%* a la !"0dad d00d0$%* /%- 4:
-. N% ,0" ,-$0"% " ;+&
. E* !"a #0-#!"8-"#0a +a .! * #!$/l" la* ,-* #%"d0#0%"*& Cal#!la la #!a#0" d la #0-#!"8-"#0a .! ,0" *! #",-% " (2?3) + * ,a"1", al d a*#0*a*&
Cal#!la la #!a#0" d la #0-#!"8-"#0a .! ,0" *! #",-% " (?' 4) + * ,a"1", al d %-d"ada*&
Cal#!la la #!a#0" d la #0-#!"8-"#0a .! ,0" *! #",-% " l /!",% d 0",-*##0" d la -#,a* ; 3+ 3 = ; + ' = + *! -ad0% * 01!al a 5&
alla- la #!a#0" d la #0-#!"8-"#0a #%"#",-0#a #%" la #!a#0" + .! /a*a /%- l /!",% (?34)& %- *- #%"#",-0#a* ,0"" l $0*$% #",-%&
L%* ;,-$%* dl d07$,-% d !"a #0-#!"8-"#0a *%" l%* /!",%* A(?53) + B(3')& C!7l * la #!a#0" d *,a #0-#!"8-"#0aH
alla- la #!a#0" d la #0-#!"8-"#0a #%"#",-0#a a la #0-#!"8-"#0a -#,a 3; ? 4+ > = &
.! *a ,a"1", a la
alla- la #!a#0" d la #0-#!"8-"#0a .! /a*a /%- l%* /!",%* A(2') + B(?23) + ,0" *! #",-% *%- la -#,a: ; + 4 = &
Cal#!la la #!a#0" d la #0-#!"8-"#0a .! /a*a /%- l /!",% (?3) #!+% -ad0% * + #!+% #",-% * alla " la 0*#,-0 dl /-0$- + ,-#- #!ad-a",*&
Ecuación de la eli!se
E5centricidad Ecuación reducida de la eli!se
Eli!se con los focos en el e+e 2G
Eli!se con e+e !aralelos a 2F y sin centro en el origen
Eli!se con e+e !aralelo a 2G y sin centro en el origen
E+ercicios: Re!resenta gráNcamente y determina las coordenadas de los focos> de los ;
-
#alla la ecuación de la eli!se conociendo: Escribe la ecuación reducida de la eli!se que !asa !or el !unto 7-> %9 y cuyo e+e menor mide . $a distancia focal de una eli!se es . On !unto de la eli!se dista de sus focos - y J> res!ecti;amente. Calcular la ecuación reducida de dic/a eli!se. )etermina la ecuación reducida de un eli!se cuya distancia focal es y el área del rectángulo construidos sobre los e+es &' u-. )etermina la ecuación reducida de una eli!se sabiendo que uno de los ; 9 y su e5centricidad es M.
Ecuación de la /i!
E5centricidad 0síntotas
Ecuación reducida de la /i!'9 y "7c>'9
Ecuación de la /i! Ac9 y "7'> c9
Ecuación de la /i! sin centro el origen
D%"d 0 y 1 tienen signos o!uestos&
Ecuación de la /i! sin centro el origen
Ecuación de la /i!
E5centricidad Ecuación de la /i!
E+ercicios: R/-*",a 1-7#a$", + d,-$0"a la* #%%-d"ada* dl #",-% d l%* 8%#%* d l%* -,0#* + la ;#",-0#0dad d la* *01!0",* 0/-%la*: alla- la #!a#0" d !"a 0/-%la d 8%#al + d0*,a"#0a 8%#al '& El /-0"#0/al d !"a 0/-%la $0d '2 + la #!-a /a*a /%l /!",% ( '4)& alla- *! #!a#0"&
Cal#!la- la #!a#0" -d!#0da d la 0/-%la #!+a d0*,a"#0a 8%#al * 34 + la d0*,a"#0a d !" 8%#% al -,0# $7* /-;0$% * 2& D,-$0"a la #!a#0" -d!#0da d !"a 0/-%la .! /a*a /%l /!",% + *! ;#",-0#0dad * & D,-$0"a la #!a#0" -d!#0da d !"a 0/-%la *a0"d% .! !" 8%#% d0*,a d l%* -,0#* d la 0/-%la 5 + 2& El /-0"#0/al d !"a 0/-%la $0d '2 + la ;#",-0#0dad * 4J3& Cal#!la- la #!a#0" d la 0/-%la& Cal#!la- la #!a#0" d !"a 0/-%la .!0l7,-a *a0"d% .! *! d0*,a"#0a 8%#al * & El "% 8%#al d !"a 0/-%la $0d + la* #!a#0%"* d la* a*K",%,a* *%": & Cal#!la- la #!a#0" d la 0/-%la *!* * 8%#%* + -,0#*&
Ecuación de la !arábola
?eometría en el es!acio
Dectores en el es!acio Com!onentes de un ;ector en el es!acio ódulo de un ;ector
)istancia entre dos !untos Dector unitario
*uma de ;ectores
Producto de un n4mero real !or un ;ector Dectores linealmente de!endientes
Dectores linealmente inde!endientes
Producto escalar
E5!resión analítica del módulo de un ;ector E5!resión analítica del ángulo de dos ;ectores
Dectores ortogonales Proyección
Cosenos directores
Producto ;ectorial
Área del !aralelogramo
Área de un triángulo
Producto mi5to
Dolumen del !aralele!í!edo
Dolumen de un tetraedro
Puntos Coordenadas del !unto medio de un segmento
Coordenadas del baricentro de un triángulo
Puntos alineados Tres o más !untos esán alineados *0 *,7" " !"a misma recta + /%- ,a",% l rango de los ;ectores d,-$0"ad%* /%ll%* * %& Puntos co!lanarios D%* % $7* ;ectores *%" co!lanarios *0 *%" linealmente de!endientes + /%- ,a",% *!*com!onentes *%" !ro!orcionales + *! rango * -& D%* % $7* !untos *%" co!lanarios *0 l%* ;ectores d,-$0"ad%* /%- ll%* ,a$0" *%" co!lanarios& Rectas en el es!acio Ecuación ;ectorial de la recta Ecuaciones !aram
Ecuaciones continuas de la recta
Ecuaciones im!lícitas de la recta
El !lano Ecuación ;ectorial del !lano
Ecuaciones !aram
Ecuación general o im!lícita del !lano
Ecuación canónica o segmentaria del !lano
Ángulos: Ángulo entre dos rectas
)os rectas *%" !er!endiculares *0 ;ectores directores *%" ortogonales& Ángulo entre dos !lanos
)os !lanos *%" !er!endiculares *0 ;ectores directores *%" ortogonales& Ángulo entre recta y !lano
S0 la -#,a - + l /la"% *%" /-/"d0#!la-* l #,%- d0-#,%d la -#,a + l #,%- "%-$al dl /la"% ,0"" la $0*$a d0-##0" + /%- ,a",% *!* #%$/%"",* *%" /-%/%-#0%"al*&
)istancias: )istancia entre un !unto y una recta
)istancia entre rectas !aralelas
)istancia entre rectas que se cru,an Sa" - + *&
+
la* d,-$0"a#0%"* l0"al* d la* -#,a*
)istancia de un !unto a un !lano
)istancia entre !lanos !aralelos
Puntos en el es!acio
Coordenadas del !unto medio de un segmento Sa" A (;' +' ') + B (;2 +2 2) l%* ;,-$%* d !" *1$",% l !unto medio dl *1$",% 0" dad% /%-:
Coordenadas del baricentro de un triángulo Sa" A (;' +' ') B (;2 +2 2) + C (;3 +3 3) l%* -,0#* d !" ,-07"1!l% la* coordenadas del baricentro *%":
Puntos alineados Tres o más !untos esán alineados *0 *,7" " !"a misma recta + /%- ,a",% l rango de los ;ectores d,-$0"ad%* /%ll%* * %& Puntos co!lanarios D%* % $7* ;ectores *%" co!lanarios *0 *%" linealmente de!endientes + /%- ,a",% *!*com!onentes *%" !ro!orcionales + *! rango * -& D%* % $7* !untos *%" co!lanarios *0 l%* ;ectores d,-$0"ad%* /%- ll%* ,a$0" *%" co!lanarios& E+ercicios %. Dad%* l%* /!",%* A(3 −2 5) + B(3 ' >) alla- la* #%%-d"ada* dl /!",% $d0% dl *1$",% .! d,-$0"a"&
-. Sa" A = (2 ' ) B = (' ' ') + C = (4 ' −2) l%* -,0#* d !" ,-07"1!l%& D,-$0"a- la* #%%-d"ada* dl baricentro&
. C%$/-%a- *0 l%* !untos A(2 3 ') B(5 4 3) + C(2 ' 2) *,7" alineados&
L%* /!",%* "% *,7" al0"ad%*& . C%$/-%a- *0 l%* !untos A(' 2 3) B(4 > ) C(3 5 5) D(−' −2 −3) + E(2 2 2) *%" co!lanarios& L%* !untos A B C D + E *%" co!lanarios *0:
L%* /!",%* A B C D + E "% *%" #%/la"a-0%*&
El !lano
Ecuación ;ectorial del !lano a-a d,-$0"a- !" !lano del es!acio * "#*0,a #%"%#!" !unto P + !" !ar de ;ectores .! 8%-$" !"a a* * d#0- .! *a" l0"al$", 0"d/"d0",*&
a-a .! l /!",% /-,"#a al /la"% l #,%.! *- #%/la"a-0% #%" l0"al$", d
+
+
,0"
* d#0- .! d/"da
&
Ecuaciones !aram
Ecuación general o im!lícita del !lano U" /!",% *,7 " l /la"% *0 ,0" *%l!#0" l *0*,$a:
E*, *0*,$a ,0" .! *- #%$/a,0l d,-$0"ad% " la* 0"#1"0,a* + · %- ,a",% l d,-$0"a", d la $a,-0 a$/l0ada dl *0*,$a #%" la #%l!$"a d l%* ,-$0"%* 0"d/"d0",* ,0" .! *- 01!al a #-%&
D*a--%lla"d% l d,-$0"a", %,"$%*:
Da$%* l%* al%-*:
S!*,0,!0$%*: Ral0a$%* la* %/-a#0%"* + l da$%* a D l al%-: O,"$%* la ecuación general de !lano:
Ecuación canónica o segmentaria del !lano
Sa" l%* /!",%* A(a ) B( ) + C( #) la ecuación canónica 0" dada /%-:
E+ercicios %.alla- la* ecuaciones !aram
+
&
-.A alla- la* ecuaciones !aram
&
. alla- la* ecuaciones !aram
. Sa l /la"% d ecuaciones !aram
S /0d #%$/-%a- *0 l%* /!",%* A (2 ' 9J2) + B( 9 −') /-,"#" al /la"%&
M. alla- la ecuación segmentaria dl /la"% .! /a*a /%l%* /!",%* A(' ' ) B(' ') + C( ' ')&
D00d0"d% /%- −2 %,"$%* la ecuación segmentaria:
J. alla- la ecuación del !lano .! /a*a /%- l /!",% A(2 ' + #%",0" a la -#,a d #!a#0":
D la #!a#0" d la -#,a %,"$%* l /!",% B + l #,%-
L. alla- la #!a#0" dl /la"% .! /a*a /%- l%* /!",%* A(' −2 4) B( 3 2) + * /a-all% a la -#,a:
&. Dada* la* -#,a* D,-$0"a- la ecuación del !lano .! #%",0" a - + * /a-all% a *&
&
Posiciones relati;as
Posiciones relati;as de dos rectas Rectas deNnidas !or un !unto y un ;ector S0 la -#,a - 0" d,-$0"ada /%+ + la -#,a * /%+ la !osición relati;a de r y s 0" dada /%- la /%*0#0" d S0
& a+ d%* /%*00l0dad*:
%. Rectas coincidentes *0
&
-. Rectas !aralelas *0 &
S0
a+ %,-a* d%* /%*00l0dad*:
. Rectas secantes *0
. Rectas que se cru,an *0
&
&
Rectas deNnidas !or sus ecuaciones im!licitas
S0: r = rango de la matri, de los coeNcientes& r@= rango de la matri, am!liada& La* !osicones relati;as de dos rectas 0"" dada /%- la *01!0", ,ala:
)I*T0BCI0*.
)istancia entre un !unto y una recta La distancia de un !unto a una recta - * la $"%- d la d0*,a"#0a d*d l /!",% a l%* 0""0,%* /!",%* d la -#,a& E*,a d0*,a"#0a #%--*/%"d a la !er!endicular tra,ada desde el !unto /asta la recta&
)istancia entre rectas !aralelas La distancia de una recta - a otra !aralela * * la d0*,a"#0a d*d !" /!",% #!al.!0-a d - a *&
)istancia entre rectas que se cru,an La distancia entre dos sectas que se cru,an * $0d *%- la !er!endicular com4n&
Sa" - + *&
+
la* d,-$0"a#0%"* l0"al* d la* -#,a*
)istancia de un !unto a un !lano La distancia d !" !unto a !" !lano * la $"%- d la d0*,a"#0a d*d l /!",% a l%* 0""0,%* /!",%* dl /la"%& E*,a d0*,a"#0a #%--*/%"d a la !er!endicular tra,ada desde el !unto al !lano&
)istancia entre !lanos !aralelos a-a #al#!la- la distancia entre dos !lanos !aralelos * alla la d0*,a"#0a d !" /!",% #!al.!0-a d !"% d ll%* al %,-%& Ta$0" Ta$0" * /!d #al#!la- d *,a %,-a 8%-$a:
E+ercicios %. alla- la distancia d*d l !unto (' 3 −2) a
la recta
&
-. alla- la distancia d*d l !unto (' 2 3) a la recta
&
. alla- la $K"0$a distancia entre las rectas:
. alla- la d0*,a"#0a dl /!",% (3 ' −2) a l%* /la"%*
+
&
M. alla- la d0*,a"#0a dl /!",% (5 5 3) al /la"%
&
J. Cal#!la- la d0*,a"#0a ",- l%* /la"%* +
&
L%* d%* /la"%* *%" /a-all%*& T-a"*8%-$a$%* T-a"*8%-$a$%* la #!a#0" dl *1!"d% /la"% /a-a .! l%* d%* /la"%* ,"1a" l $0*$% #,%- "%-$al&
Áreas y ;ol4menes
Área de un triángulo
Área del !aralelogramo G%$,-0#a$", l módulo del !roducto ;ectorial d d%* #,%-* #%0"#0d #%" l área del !aralelogramo !aralelogramo .! ,0" /%- lad%* a *%* #,%-*&
Dolumen de un tetraedro El ;olumen de un tetraedro * 01!al a %J del !roducto mi5to " al%- a*%l!,%&
Dolumen del !aralele!í!edo
G%$,-0#a$", l al%- a*%l!,% dl !roducto mi5to -/-*",a l ;olumen del !aralele!í!edo #!+a* a-0*,a* *%" ,-* #,%-* .! #%"#!--" " !" $0*$% -,0#&
E+ercicios %. D,-$0"a- l área del triángulo #!+%* -,0#* *%" l%* /!",%* A(' ' 3) B(2 −' 5) + C(−3 3 ')&
-. Dad%* l%* #,%-*
+
alla- l
7-a dl /a-all%1-a$% .! ,0" /%- lad%* l%* #,%-*
+
. O,"- l ;olumen del tetraedro #!+%* -,0#* *%" l%* /!",%* A(3 2 ') B(' 2 4) C(4 3) + D(' ' >)&
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