MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

PROGRAMA DEL MÓDULO I I: IDENTIFICACIÓN NOMBRE DEL MÓDULO: UNIDAD DE COMPETENCIA:

MATEMÁTICA FINANCIERA Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de: Resolver problemas de matemática financiera en el contexto de la actividad empresarial, utilizando eficazmente calculadora científica e interpretar dicha información en el marco de situaciones reales.

DURACIÓN:

72 horas pedagógicas

HORAS AULA:

36 horas pedagógicas (2 horas a la semana, clase expositiva)

HORAS TALLER

36 horas pedagógicas (2 horas a la semana, trabajo en aula)

II: DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITO Área de formación: general diferenciada Ubicación en la malla: 2o semestre Prerrequisito: Matemática I III: UNIDADES DE APRENDIZAJE 1° Unidad: Fundamentos Funcionales de la Matemática Financiera Duración: 24 horas pedagógicas Objetivos Operar con funciones, relacionando su estudio con el ámbito de las matemáticas financieras, demostrando habilidad en el uso de calculadora científica.

Aprendizajes Esperados -Representan la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico.

Contenidos relevantes - Función lineal Características Ecuación representativa Gráfico Aplicaciones financieras - Función cuadrática.

-Representan la parábola en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico.

Características La parábola Elementos Ecuación general y particular Gráfico Aplicaciones financieras - Función exponencial: Gráficos Aplicaciones financieras

-Analizan fenómenos de crecimiento exponencial en forma analítica y gráfica relacionados con el ámbito financiero y económico. -Analizan fenómenos de crecimiento logarítmico en forma analítica y gráfica relacionados con el ámbito financiero y económico.

- Función logarítmica: Gráficos Aplicaciones financieras

2ª UNIDAD: Cálculos financieros básicos Duración: 48 horas pedagógicas Objetivos Operar con fundamentos de interés simple y compuesto, anualidades y amortizaciones, demostrando capacidad para calcular, evaluar y decidir alternativas financieras en casos sencillos, con apoyo de calculadora científica.

Contenidos Relevantes

Aprendizajes Esperados -Calculan interés simple.

Interés simple:

-Calculan monto o valor futuro con interés simple. -Cálculo del interés -Calculan valor actual, utilizando tasa de interés simple.

-Cálculo de la tasa de interés

-Calculan valor actual, utilizando tasa de descuento.

-Valor Futuro o Monto

-Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de interés simple.

-Problemas de interés simple aplicados

-Resuelven problemas de aplicación de interés simple financiera y comercialmente. -Calculan valor futuro, valor actual, interés y número de períodos en situaciones de interés compuesto. -Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de interés compuesto. -Resuelven problemas de aplicación de interés compuesto financiera y comercialmente.

-Cálculo del número de períodos -Valor actual

Interés compuesto: -Cálculo de Valor futuro y valor actual con interés compuesto. -Cálculo de interés y períodos a interés compuesto. -Comparación del interés simple y compuesto. Anualidades: -Anualidades Vencidas, Anticipadas, Diferidas, Perpetuas. -Gráfico de anualidades.

-Resuelven problemas de cálculo de anualidades: vencidas, anticipadas, diferidas, perpetuas. -Comparan tasas de interés de distintas casas comerciales y su impacto en las anualidades. -Confeccionan tablas de amortización según sistema francés. -Identifican particularidades de otros sistemas de amortización.

- Comparan gráficamente las tasas de interés ofrecidas por diversas casas comerciales (mensualmente, trimestralmente, semestralmente etc.) -Construyen tablas de Amortización, para diferentes valores de créditos, tasas y períodos.

Amortización: -Definición. Distinciones de los Sistemas de Amortización y sus características. -Sistema de amortización Francés, Alemán, Americano. Interés y Tablas de Amortización:

I. DESARROLLO

PRIMERA UNIDAD:

CLASE 1 y 2 APRENDIZAJES ESPERADOS

CONTENIDOS

Representan la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico

Función lineal: Características Ecuación representativa Gráfico Aplicaciones financieras

Una función expresa la idea de que una cantidad esté determinada o dependa de otra, es aquí donde decimos que esto está en función de lo otro. Por ejemplo: - El costo mensual de producir un determinado bien depende del número de bienes producidos. Entonces decimos que el costo mensual está en función del número de bienes producidos. - El área de un círculo depende de la longitud de su radio, es decir, si se conoce la longitud del radio, podemos afirmar que el área es una función del radio. Una función se define de la siguiente forma: Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función de X en Y es una regla que se asigna a cada elemento x pertenece X una única y ∈ Y. Si una función asigna y a un x

∈ X particular, decimos que y es el valor de la función en x.

Generalmente una función se denota por f, g, F ó G. En el siguiente caso denotaremos con f una determinada función. El conjunto X para el cual f asigna una única y que pertenece a Y se denomina dominio de la función f. Frecuentemente se

indica mediante Df . El conjunto de valores correspondientes a y ∈ Y se conoce como rango de la función y se anota como Rf

Ejemplo 1: Sea X el conjunto de estudiantes de una clase. Sea f la regla que asigne a cada estudiante su calificación final. Dado que cada uno tiene una sola calificación final, esta regla define una función. En este caso, el dominio es el conjunto de todos los estudiantes de la clase y el rango es el conjunto de todas las calificaciones

Ejemplo 2: El valor de los activos de una empresa es una función del tiempo. Aquí el dominio es el conjunto de valores del tiempo y el rango de la función es el conjunto de valores de los activos

En síntesis una función puede estar definida por casos tales como: •

Le regla que asigna a cada persona el número de hijos.

•

La regla que asigna a cada persona los nombres de sus hijos.

•

Un diccionario de inglés alemán.

• Ejemplo

3:

Dada f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 1 ,

x = a; x = 3; x = − 2; x = − 1

calcule

el

valor

de

f (x) para

4

Solución: Dado que f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 1 , con el objetivo de calcular f(a) reemplazamos x por a en la ecuación, es decir, 2a 2 − 5a + 1 Lo mismo para los casos siguientes: resultados: 4, 19 y 19/8 respectivamente.

x = 3; x = − 2; x = − 1

4

obteniendo como

Ejemplo 4: Consideremos f ( x) = 2 + 0,5 x 2 , el dominio de f es el conjunto de todos lo números reales, ya que podemos evaluar f(x) para cualquier valor real de x. Alguno de los valores de esta función aparecen en la tabla 1, en la cual algunos valores de x están listados en el renglón superior y los valores de y = f(x) están debajo de los valores correspondiente a x. Los puntos correspondiente a los valores de x e y se graficaron como puntos en la figura 1. La gráfica de la función f ( x) = 2 + 0,5 x 2 es una curva con forma de U que pasa por los puntos ya graficados. Tabla 1 x

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

y=f(x)

2

2,5

4

6,5

10

2,5

4

6,5

10

EJEMPLOS

1. El departamento de policía de una pequeña ciudad estudia la compra de un nuevo carro de patrulla. Los analistas de la policía, estiman que el costo del carro, completamente equipado, es de 18.000 dólares. Han estimado un costo promedio de operaciones de 0,40 dólares por milla. a) Determine la función matemática que represente el costo total C de la obtención y operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra. b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida útil? c) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 100.000 millas en su vida útil? Solución: El costo del carro completamente equipado es de 18. 000 dólares. El costo promedio de operaciones es de 0,40 dólares por milla. a) Determinar la función matemática que represente el costo total de la obtención y operación del carro patrulla, en términos del número de millas x que recorra. Solución: Como lo que queremos determinar es una función en x, primero definimos x. X = total de millas recorridas. Entonces la función de costo la denotaremos con la letra C y estará en función de x, es decir, el costo estará en función del total de millas recorridas.

C(x) Y como el costo promedio por milla es de 0.40, entonces tenemos C(x) = 0.40x Y ahora debemos agregarle el total del costo del carro, que son 18.000 dólares. Por lo cual la función nos queda:

C(x) = 0,40x + 18.000

b) ¿Cuál es el costo proyectado si el carro recorre 50.000 millas en su vida útil? Tendremos que evaluar: C (50 .000) = 0,40(50.000) + 18. 000 C (50 000) = 20.000 + 18. 000 C (50 000) = 38 000 El costo proyectado del carro si recorre 50.000 millas será de 38.000 dólares. c) Si recorre 100.000 millas. C (100.000) = 0,40(100.000) + 18 000 C (100 000) = 40 000 + 18.000 C (100.000) = 58. 000 El costo proyectado para el carro cuando recorra 100.000 millas será de 58.000 dólares.

2. Una compañía de seguros cuenta con un método simplificado para determinar la prima anual de una póliza de un seguro de vida. Se cobra un cargo anual de 10 dólares por todas las pólizas más 1,5 dólares por cada mil dólares del importe de la póliza. Por ejemplo, una póliza de 20.000 dólares costará 10 dólares por el cargo fijo más 30 dólares, cantidad que corresponde al valor nominal de la póliza. Si p es la prima anual en dólares y x denota el valor nominal de la póliza (expresado en miles de dólares), a) a) a) Determine la función que puede emplearse para calcular las primas anuales.

b) Determine el importe de la prima anual si la póliza es de 250.000 dólares. Solución: Se cobra un cargo anual de 10 dólares por todas las pólizas. Se cobra 1,5 dólares por cada mil del importe de la póliza.

X = el valor nominal de la póliza.

El importe de la prima anual de la póliza está en función de x, es decir, en función del valor nominal de la póliza. Entonces denotamos como P(x)

Como hay que multiplicar 1,5 por cada mil del importe de la póliza, entonces debemos dividir X entre 1.000 y luego multiplicarlo por 1,5. Lo que nos da la siguiente función:

⎛ x ⎞ P( x) = 1.5⎜ ⎟ + 10 ⎝ 1000 ⎠

Esta es la función para determinar el importe de la prima anual de la póliza.

Ahora determinemos el valor de la prima anual cuando la póliza es de 250.000 dólares. ⎛ 250.000 ⎞ P (250.000) = 1,5⎜ ⎟ + 10 ⎝ 1.000 ⎠ ⎛ 250.000 ⎞ P (250.000) = 1,5⎜ ⎟ + 10 ⎝ 1.000 ⎠

P(250000) = 1.5(250 ) + 10 P ( 250.000) = 375 + 10

P (250000) = 385 El valor anual de la prima de una póliza de 250.000 dólares será de 385 dólares.

CLASE 3 y 4

APRENDIZAJES ESPERADOS Representan la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico

CONTENIDOS Función cuadrática: Características Ecuación representativa Gráfico Aplicaciones financieras

Función Cuadrática Una función de la forma f ( x) = ax 2 + bx + c

( a ≠ 0)

Con a, b y c constantes, se denomina función cuadrática. El dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales.

La función cuadrática más simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en cuyo caso obtenemos f ( x) = a x 2 Las gráficas más comunes de esta función en los casos en que a es positiva o negativa son: El punto más bajo de la gráfica cuando a > 0 ocurre en el origen, mientras que este mismo es el punto más alto si a < 0, a cada una de estas se les denomina parábolas. El origen que es el punto más bajo o alto en los dos casos se denomina vértice.

La función cuadrática general f ( x) = ax 2 + bx + c

( a ≠ 0)

tiene una gráfica idéntica

en tamaño y forma a la correspondiente a f ( x) = a x 2 ; la única diferencia es que el vértice de f ( x) = ax 2 + bx + c

( a ≠ 0) está trasladado fuera del origen.

EJEMPLOS

1.-Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es el área máxima que puede cercarse? Solución: Denotemos los lados del terreno con x e y como se indica en la figura, con el lado y el paralelo ya existente. Se sigue que la longitud de la nueva cerca es:

2x +y = 200 Comparando la expresión anterior con f ( x) = ax 2 + bx + c

, advertimos que A es una

función cuadrática de x, con a=-2, b=200 y c=0. Por lo tanto, dado que a<0, la función cuadrática tiene un máximo en el vértice, este es cuando:

El área máxima que puede encerrarse es de 5.000 metros cuadrados. Las dimensiones de esta área máxima son x=50 e y=100 metros.

CLASE 5

APRENDIZAJES ESPERADOS Analizan fenómenos de crecimiento exponencial en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones del ámbito financiero y económico.

CONTENIDOS Función exponencial: Gráficos Aplicaciones financieras

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función:

f : IR ⇒ IR +

Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:

Ejemplos de funciones exponenciales 1. La función y = 2 x es una función exponencial de base 2. Algunos de los valores que toma esta función

f : IR ⇒ IR + son:

Algunos de los valores que toma esta función

f : IR ⇒ IR + son:

Propiedades de la función exponencial y = a x

1. Para x = 0, la función toma el valor 1: f (0) = a 0 = 1

2. Para x = 1, la función toma el valor a: f (1) = a 1 = a

3. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x)>0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.

4. Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.

5. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente. Representación gráfica de la función exponencial Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función

y =ax A) a > 1 Para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva Como caso particular se representa la función y = 2 x .

B)

0
Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.

CLASE 6 APRENDIZAJES ESPERADOS Analizan fenómenos de crecimiento logarítmico en forma analítica y gráfica relacionados con el ámbito financiero y económico

CONTENIDOS Función logarítmica: Gráficos Aplicaciones financieras

Se llama función logarítmica de base a a la función f ( x) = log a x , siendo a > 0 y a ≠ 1. Ejemplo: Son funciones logarítmicas f ( x) = log 2 x , f ( x) = log10 x (logaritmo decimal), h( x) = ln x (logaritmo neperiano). El dominio de las funciones logarítmicas es (0, + ∞) y las gráficas son similares, dependiendo del valor de a: Si 0 < a < 1, la función f ( x) = log a x es siempre decreciente y su gráfica es del tipo:

Si a > 1, la función f ( x) = log a x es siempre creciente y su gráfica es del tipo:

SEGUNDA UNIDAD: CLASES 7, 8 y 9. APRENDIZAJES ESPERADOS Calculan interés simple Calculan monto o valor futuro con interés simple Calculan valor actual, utilizando tasa de interés simple Calculan valor actual, utilizando tasa de descuento Analiza y comparan valor futuro a distintas tasas de interés. Resuelven problemas de aplicación de interés simple financiera y comercialmente.

CONTENIDOS Interés simple: Cálculo del interés Cálculo de la tasa de interés Cálculo del número de períodos

Matemáticas Financieras Son aplicaciones a las operaciones comerciales que realiza la empresa de manera que a partir de una base matemática y un lenguaje técnico y simbólico podamos interpretar las variables que participan en la evaluación del dinero a través del tiempo. Estas variables son: -

Capital (c): suma de dinero prestado o invertida.

-

Tiempo (t): período durante el cual se usa el capital.

-

Tasa de interés (i): es el precio que se paga por usar el dinero.

Interés Simple En general se da en períodos de corto plazo. La tasa de interés se aplica siempre sobre el mismo capital durante un período de tiempo. Los intereses se capitalizan al final del período en el cual se contrajo esa obligación.

I = c ⋅ i ⋅ t Interés

Interés Real

Comercial Año = 360 días

Año = 365 días

Mes = 30 días

Mes = 28, 30 ó 30 días

Ejercicios

1. Determine el interés pagado por un préstamo de $2.000.000 a una tasa de interés de 4% trimestral durante 2 meses. c = 2.000.000 i = 4% trimestral t = 2 meses I= 2.000.000 * 0.04 * (2/3) I = 53.333//

2. Calcular la cantidad de dinero prestada, si se paga por ella un interés de $15.000 con una tasa de interés semestral de 3,5% durante 145 días. i = 3, 5 % semestral t = 145 días I = 15.000 15.000 = c * 0.035 * (145/180) c = $532.020

3. Determine la tasa de interés mensual aplicada a un capital de $550.000 si éste genera un interés de $6.500 en 7 meses. c = 550.000 t = 7 meses I = $6.500 6.500 = 550.000 * i * 7 i = 0.0016883116883 * 100 i = 0.17%

4. ¿En cuantos meses, un capital de $200.000 genera un interés de $80.000 con una tasa de interés de 5% semestral? I = $80.000 c = $200.000 i = 5% semestral 80.000 = 200.000 * 0.05 * (t/6) t = aproximadamente 50 meses

5. Se deposita un 60% de un capital al 3% de interés simple y el resto se deposita al 3,5% de interés simple durante 8 meses con lo cual se genera un interés de $45.000, calcular el capital. I = $45.000 i = 3% anual t = 8 meses

45.000 = (0, 6 c * 0,03 * (8/12)) + (0,4 c * 0.035 * (8/12)) c = $2.109.375

Monto Simple Es la suma del capital y los intereses.

M = C + I Reemplazando

la

fórmula

de

Interés

simple

M = C + (C ⋅ i ⋅ t ) Luego

M = C ⋅ (1 + i ⋅ t ) Capital (c)

Inversión o Préstamo de la empresa.

Capitalizar

calcular Valor Futuro, Valor Final, Monto Futuro o Monto Final.

Monto

Capital

Monto Valor Futuro Valor Final

tenemos

Ejercicios a) Calcular el monto de un capital de $1.800.000 a una tasa de interés de 4% por un período de 245 días. c = 1.800.000 i = 4% trimestral t = 245 días ⎡ 0,04 ⋅ 245 ⎤ M = 1.800.000 ⋅ ⎢1 + 90 ⎥⎦ ⎣

M = $1.996.000 b) Calcular el valor actual de $500.000 pagaderos en 8 meses y 10 días a una tasa de interés del 5,22% semestral. M = 500.000 i = 5,22% semestral t = 8 meses, 10 días

⎡ 0,0522 ⋅ 250 ⎤ 500.000 = c ⋅ ⎢1 + ⎥⎦ 180 ⎣ c = $466.200 c) Calcular la tasa de interés aplicable a un capital de $2.600.000 para obtener un monto de $2.800.000 durante 11 meses y 25 días. (Cuando nada se dice se entiende que la tasa es anual) c = 2.600.000 M = 2.800.000 t = 11 meses, 25 días

355 ⎤ ⎡ 2.800.000 = 2.600.000 ⋅ ⎢1 + i ⋅ 360 ⎥⎦ ⎣ i = 7,8%

Tiempo ¿En cuanto tiempo un capital de $1.200.000 depositado al 4% de interés un monto de $1.236.000?

c = 1.200.000 i = 4% M = 1.236.000 1.236.000 = 1.200.000 ⋅ [1 + 0,04 ⋅ t ]

t = 270días

CLASES 10

APRENDIZAJES ESPERADOS Calculan valor futuro, valor actual, interés y número de períodos en situaciones de interés compuesto. Analizan y comparan valor futuro a distintas tasas de interés compuesto. Resuelven problemas de aplicación de interés compuesto financiera y comercialmente.

CONTENIDOS Interés compuesto: Cálculo de Valor futuro y valor actual con interés compuesto Cálculo de interés y períodos a interés compuesto. Comparación del interés simple y compuesto.

Interés Compuesto En cada período de tiempo se agregan los intereses al capital, con lo cual se forma un nuevo capital.

I = c ⋅ ((1 + i ) − 1) n

n = tiempo c = capital

Ejercicios Si usted deposita hoy $1.950.000 a un tasa de 4,25% durante 3 años ¿Cuál es el monto de interés que recibirá?

[

]

I = 1.950.000 ⋅ (1 + 0,0425) − 1 3

I = $259.341 Monto Compuesto con capitalización Anual Indica que los intereses se transforman en capital en forma anual.

M = c ⋅ (1 + i )

n

Capital

Monto

Capitalización Actualización

Monto ¿Cuánto dinero se recibirá dentro de 5 años si hoy se deposita $2.500.000 a un tasa de 3,75%?

M = 2.500.000 ⋅ (1 + 0,0375)

5

M = $3.005.250

Capital ¿Cuánto tiene que depositar hoy a interés compuesto de un 5,25% anual para obtener $4.200.000 en 3 años?

4.200.000 = c ⋅ (1 + 0,0525)

3

c = $3.602.326 Tasa de interés (usaremos raíces) Un depósito de $550.000 produce un monto de $685.000 durante 4 años, determine la tasa de interés aplicada al depósito.

685.000 = 550.000 ⋅ (1 + i )

4

i = 5,64%

Tiempo (usaremos Log) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para obtener un monto de $1.200.000 si hoy se deposita $1.000.000 a una tasa de i de 3,65%?

1.200.000 = 1.000.000 ⋅ (1 + 0,0365)

n

n = 1831días

Monto compuesto con capitalización anual y tiempo fraccionario

Regla Comercial A interés compuesto se trabaja período anual. A interés simple se trabaja período fraccionario.

M = c ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ⋅ f ) n

Período Anual

Con f = meses

Período Fraccionario

Calcular el monto de una deuda de $3.500.000 pagaderas en 3 años, 5 meses a una tasa de 4,35%

5⎞ ⎛ 3 M = 3.500.000 ⋅ (1 + 0,0435) • ⎜1 + 0,0435 ⋅ ⎟ 12 ⎠ ⎝ M = $4.048.988

Monto compuesto con períodos de capitalización

j⎞ ⎛ M = c ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠

n⋅ m

j = tasa nominal anual m = período de conversión o capitalización dentro el año

E

F M A M J

J

A S

O N D

Período de conversión

Anual Semestral Trimestral Cuatrimestral Bimestral Mensual

m=1 m=2 m=4 m=3 m=3 m = 12

Ejercicios (guía de ejercicios) Guía ejercicios de Interés compuesto con capitalización.doc

Monto 1.- ¿Cuál es el monto de un capital de $300.000 depositado a una tasa de interés del 3% mensual y que se capitalizó mensualmente durante un año?

c = 300.000 j = 3% mensual m = 12 n=1

M = 300.000 ⋅ (1 + 0,03)

1

M = $427.728 √

2.- ¿Cuál será el monto que se obtiene por un capital depositado a 5 años plazo y una tasa del 6% capitalizable trimestralmente, si el capital es de $ 371.235?

c = 371.235 j = 6% m=4 n=5

⎛ 0,06 ⎞ M = 371.235 ⋅ ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

5⋅4

M = $500.000 3.- Ud. necesita obtener un préstamo por $400.000 a 4 años. En el mercado de capitales existen las siguientes ofertas: a) 15% de interés capitalizable trimestralmente

⎛ 0,15 ⎞ M = 400.000 ⋅ ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

4⋅4

M = $720.891

b) 15,375% de interés capitalizable semestralmente

⎛ 0,15375 ⎞ M = 400.000 ⋅ ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝

4⋅2

M = $723.891 c) 15,5% de interés simple M = 400.000 ⋅ (1 + 0,155 ⋅ 4)

M = $648.000 Es más rentable la opción b.

4. Calcular monto con los siguientes datos: c = 100.000 j = 8% semestral m = 2 (períodos de capitalización) n = 3 años

M = 100.000 ⋅ (1 + 0,08)

3⋅2

M = $158.687 √

Monto 5.- ¿Qué cantidad de dinero se deposito hace 2 años, con una tasa de interés del 5% trimestral capitalizable trimestralmente, si hoy se convirtió en $ 30.458? j = 5% trimestral m=4

capitalizable trimestral

n = 2 años M = 30.458

30.458 = c ⋅ (1 + 0,05)

2⋅4

c = $20.615

6.-Calcule el Valor Presente de $360.000 pagaderos dentro de 3 años al 5% capitalizable semestralmente j = 5% m=2

capitalizable semestral

n = 3 años

M = 360.000

⎛ 0,05 ⎞ 360.000 = c ⋅ ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝

3⋅2

c = $310.427

Tasa de interés 7.- ¿A qué tasa de interés semestral estuvo invertido un capital de $220.000, si al cabo de 2 años se convirtió en $364.174, habiéndose capitalizado semestralmente? m=2


n = 2 años M = 364.174 c = 220.000

364.174 = 220.000 ⋅ (1 + j )

2⋅2

j = 13,43% Tasa nominal anual 8.- Determine la tasa nominal anual para: a) $125.000 se transformen en $237.650 en 15 años con capitalización trimestral n = 15 años M = 237.650 c = 125.000 m=4


j⎞ ⎛ 237.650 = 125.000 ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ 4⎠ j = 4,31%

15⋅4

b) $250.000 se transformen en $275.391 en 4 años con capitalización mensual n = 4 años M = 275.391 c = 250.000 m = 12

capitalizable mensual

j⎞ ⎛ 275.391 = 250.000 ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ 12 ⎠

4⋅12

j = 2,42% Tiempo 9.- ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital de $250.000, que con capitalizaciones semestrales y a una tasa del 10% semestral se convirtió en $442.890? M = 442.890 c = 250.000 j = 0.01 m=2


442.890 = 250.000 ⋅ (1 + 0,1)

2⋅n

n = 3semestres ⇒ 540días

10.-Determine el tiempo que es necesario esperar para que:

a) $ 85.000 se transformen en $150.000 al 15% capitalizable semestralmente M = 150.000 c = 85.000

j = 15%


m=2

⎛ 0,15 ⎞ 150.000 = 85.000 ⋅ ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝

2⋅n

n = 3,9 semestres ⇒ 707días

b) $47.500 se transformen en $104.700al 14% capitalizable mensualmente

M = 104.700 c = 47.500 j = 14%

capitalizable mensual

m = 12

⎛ 0,14 ⎞ 104.700 = 47.500 ⋅ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

12⋅n

n = 5,67meses ⇒ 170días

Monto compuesto con períodos de capitalización y tiempo fraccionario

Recordemos que:

j⎞ ⎛ M = c ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠

Período Anual

n⋅m

• (1 + j ⋅ f )

Con f = meses

Período Fraccionario

11- Calcule el valor presente de $280.000 pagaderos en 3 años 2 meses a la tasa de 5% capitalizable trimestralmente. M = 280.000 j = 5% m=4


n = 3 años f = 2 meses ⎛ 0,05 ⎞ 280.000 = c ⋅ ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

4⋅3

2⎞ ⎛ • ⎜1 + 0,05 ⋅ ⎟ 12 ⎠ ⎝

c = $239.229 √

Tasa de interés Efectiva – Tasa de interés Nominal

Tasa Efectiva (i): que NO tiene períodos de capitalización dentro del año.

M = c ⋅ (1 + i )

n

Monto compuesto con capitalización anual

Tasa Nominal (j): que SI tiene períodos de capitalización dentro del año.

j⎞ ⎛ M = c ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠

n⋅m

Monto compuesto con períodos de capitalización en el año.

Igualando

j⎞ ⎛ n c ⋅ (1 + i ) = c ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠

(1 + i )n = ⎛⎜1 + j ⎞⎟ ⎝ m⎠

n⋅m

•c

n⋅m

()

1 n

Nos queda

j⎞ ⎛ 1 + i = ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ Tasa Efectiva

m

Tasa Nominal

Tasa Efectiva

Ejercicios 1- ¿A que tasa efectiva anual equivale una tasa nominal anual de 4% capitalizable trimestralmente?

⎛ 0,04 ⎞ 1 + i = ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝ i = 4,06%

4

2- ¿A que tasa nominal anual capitalizable semestralmente equivale una tasa efectivamente anual de 8,16%?

⎛ 1 + 0,0816 = ⎜1 + ⎝

j⎞ ⎟ 2⎠

2

j = 8%

Tasa de interés Nominal - Tasa de interés Nominal

⎛ j ⎞ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎝ m1 ⎠

m1

⎛ j ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜1 + ⎝ m2 ⎠

Tasa Nominal

m2

( m1 ) Tasa Nominal ( m 2 )

Ejercicios 1- ¿Que tasa nominal anual capitalizable trimestralmente es equivalente a un 5% nominal anual capitalizable mensual?

⎛ ⎜1 + ⎝

4

j ⎞ ⎛ 0,05 ⎞ ⎟ = ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ 4⎠ ⎝

12

j = 5,02% √ 2- ¿A que tasa efectiva anual equivale una tasa nominal anual de 6,25% capitalizable semestralmente?

⎛ 0,0625 ⎞ 1 + i = ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝

2

i = 6,35% 3- ¿Qué tasa nominal anual capitalizable cuatrimestralmente equivale a una tasa efectiva anual de 5,75%?

j⎞ ⎛ 1 + 0,0575 = ⎜1 + ⎟ 3⎠ ⎝

3

j = 5,64% √

4- ¿Qué tasa nominal anual capitalizable bimestralmente es equivalente a un 4,45% nominal anual capitalizable trimestral?

6

j ⎞ ⎛ 0,0445 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ = ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ 6⎠ ⎝ ⎝

4

j = 4,44% √

Tasa de interés Equivalente Dos tasas de interés son equivalentes no iguales si aplicadas sobre el mismo capital durante el mismo tiempo generan intereses iguales. Ejemplo 1- Si tenemos una tasa de 15% anual y la queremos convertir en tasa mensual Interés Simple

i=

0,15 ⇒ i = 1,25%mensual 12

Interés Compuesto

(1 + ie ) = (1 + ia ) i e = TasaEquivalente

ia = TasaAnual

⇒ (1 + ie ) = (1 + 0,15) 12

ie = 1,17%mensual

Tasa Equivalente Mensual

⇒ (1 + ie ) = (1 + i a )

Trimestral

⇒ (1 + ie ) = (1 + i a )

Cuatrimestral

⇒ (1 + ie ) = (1 + i a )

Semestral

⇒ (1 + ie ) = (1 + i a )

Bimestral

⇒ (1 + ie ) = (1 + i a )

Anual

⇒ (1 + ie ) = (1 + i a )

12

4

3

2

6

Ejemplo

ie = mensual

ia = 8%anual ⇒ (1 + ie ) = (1 + 0,08) 12

ie = 0,64% √

Tasa de interés Equivalente con períodos de capitalización

Mensual

i ⎞ ⎛ ⇒ ⎜1 + e ⎟ = (1 + i a ) ⎝ 12 ⎠

Trimestral

⎛ i ⎞ ⇒ ⎜1 + e ⎟ = (1 + i a ) 4⎠ ⎝

Cuatrimestral

⎛ i ⎞ ⇒ ⎜1 + e ⎟ = (1 + i a ) 3⎠ ⎝

Semestral

⎛ i ⎞ ⇒ ⎜1 + e ⎟ = (1 + i a ) 2⎠ ⎝

Bimestral

⎛ i ⎞ ⇒ ⎜1 + e ⎟ = (1 + i a ) 6⎠ ⎝

Anual

⇒ (1 + ie ) = (1 + i a )

12

4

3

2

6

6.- Con las siguientes tasas: 1.- 12,4% anual 2.- 7,5% trimestral con capitalización quincenal 3.- 14% anual con capitalización mensual Calcule las tasas: a.- Equivalente mensual b.- anual con capitalización trimestral c.- efectiva anual capitalización anual d.- efectiva trimestral

1.a)

⇒ (1 + ie ) = (1 + 0,124 ) 12

ie = 0,98% 4

1.b)

⎛ i ⎞ ⇒ ⎜1 + e ⎟ = (1 + 0,124 ) 4⎠ ⎝

ie = 11,86%

1.c)

⇒ (1 + ie ) = (1 + 0,124 ) ie = 12,4%

1.d)

⇒ (1 + ie ) = (1 + 0,124 ) 4

ie = 2,97% 2.a)

⎛ 0,075 ⎞ 12 ⇒ (1 + ie ) = ⎜1 + ⎟ 6 ⎠ ⎝

4⋅ 6

ie = 2,52%

4

2.b)

⎛ 0,075 ⎞ ⎛ i ⎞ ⇒ ⎜1 + e ⎟ = ⎜1 + ⎟ 4⎠ 6 ⎠ ⎝ ⎝

4⋅6

ie = 30,95%

CLASES 11,12, 13 y 14

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Resuelven problemas de cálculo de Anualidades: Anualidades Vencidas Vencidas Gráfico de anualidades Comparan tasas de interés de distintas casas comerciales y su impacto en las anualidades

Rentas o Anualidades

Corresponde a una serie de cuotas iguales que pueden ser percibidas o pagadas en intervalos iguales de tiempo las cuales incluyen intereses determinados con interés compuesto.

Clasificación:

De acuerdo a la certeza de la renta.

Cierta: existe la certeza absoluta de que será percibida o pagada. Ej.: Sueldo. -

Incierta: es aquella que ocurrirá solamente si se provoca un evento que no es controlable. Ej.: seguro de vida.

De acuerdo al agotamiento de capital. Temporal: el capital se agota, la duración del pago se fija. Ej.: Préstamo. Perpetua: el capital no se agota, la duración de pagos es indefinida. Ej.: pensión vitalicia.

De acuerdo a la recepción de la renta: Vencida: percibida o pagada al final del período de renta. Ej.: sueldo. Anticipada: percibida o pagada al inicio del período. Ej.: mensualidad escolar. Según convenio o contrato: Inmediatas: percibidas o pagadas por la sola aceptación del contrato.

Diferida: percibida o pagada después de existir un cierto rendimiento. Ej.: período de gracia, pago diferido.

Valor Presente de una serie de flujos

⎡ (1 + i )n − 1⎤ P =R•⎢ n ⎥ ( ) i 1 i ⋅ + ⎣ ⎦

P = valor presente. R= renta o cuota i = tasa de interés n = Nº de cuotas

Ejemplo Una persona solicita un préstamo y debe cancelar la deuda en 2 años con cuotas mensuales iguales de $24.000. ¿Cuál es el valor hoy del préstamo si la tasa de interés es del 1% mensual?

⎡ (1 + 0,01)24 − 1 ⎤ P = 24.000 • ⎢ 24 ⎥ ⎣ 0,01 ⋅ (1 + 0,01) ⎦

P = 509.841

Valor Futuro de una serie de flujos

Corresponde a la ∑ de los valores futuros de cada uno de los flujos que componen la renta.

⎡ (1 + i )n − 1⎤ F= R•⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Ejemplo1 ¿Cuánto se obtiene al depositar durante 6 meses la suma de $150.000 si al final de cada mes se deposita la cuota y la tasa de interés es de 1,25% mensual compuesto?

⎡ (1 + 0,0125)5 − 1⎤ F = 150.000 • ⎢ ⎥ 0,0125 ⎣ ⎦

F = 928.598

Renta, calcular la cuota

Ejemplo2 Determine la cuota mensual vencida a cancelar por un préstamo de $1.200.000 pagadero en 12 cuotas mensuales considerando 1,8% de interés con capitalización mensual.

⎤ ⎡ ⎛ 0,08 ⎞12 ⎟ −1 ⎥ ⎢ ⎜1 + 12 ⎠ ⎥ 1.200.000 = R • ⎢ ⎝ ⎢ 0,08 ⎛ 0,08 ⎞ ⎥ • ⎜1 + ⎟⎥ ⎢ 12 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 12 ⎝

R = 97.029

Renta Cierta Temporal Inmediata Anticipada

Se pagan o perciben al INICIO del período de renta. De ella se calcula:

Valor Presente (Sumatoria de valores presentes de cada uno de los flujos de renta

⎡ (1 + i )n − 1⎤ P =R•⎢ n ⎥ ⎣ i ⋅ (1 + i ) ⎦

Ejemplo Calcular el valor de contado (valor de hoy, valor presente) de una propiedad vendida a 11 años plazo con pago de $350.000 mensuales por mes anticipado a una tasa de interés de 8% convertible mensual.

⎤ ⎡ ⎛ 0,08 ⎞11•12 −1 ⎥ ⎟ ⎢ ⎜1 + 12 ⎠ ⎥ P = 350.000 • ⎢ ⎝ ⎢ 0,08 ⎛ 0,08 ⎞131 ⎥ • ⎜1 + ⎢ ⎟ ⎥ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 12 ⎝

P = 30.864.612

Valor Futuro (Sumatoria de valores futuros de cada uno de los flujos de renta)

⎡ (1 + i )n − 1⎤ F= R•⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Ejemplo Una persona arrienda una casa en $250.000 pagaderos por mes anticipado. Si tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que paga el 1,5% mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?

⎡ (1 + 0,015)12 − 1⎤ F = 250.000 • ⎢ ⎥ 0,015 ⎣ ⎦

F = 3.260.303 √

Renta (Cuota) ¿Qué suma debe depositarse al principio de cada año en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de máquinas, cuyo costo es de $2.000.000 con una vida útil de 5 años y un valor residual estimado de 10% del costo.

Vbien = 2.000.000 Vresidual = 200.000 VidaUtil = 5años i = 6%

Vbien − Vresidual = 1.800.000

⎡ (1 + 0,06 )5 − 1 ⎤ 1.800.000 = R • ⎢ 4 ⎥ ⎣ 0,06 ⋅ (1 + 0,06 ) ⎦

R = 403.126

CLASES 15 y 16

APRENDIZAJES ESPERADOS Confeccionan Tablas de Amortización según sistema francés Identifican particularidades de otros sistemas de amortización - Comparan gráficamente las tasas de interés ofrecidas por diversas casas comerciales (mensualmente, trimestralmente, semestralmente etc.) - Construyen tablas de Amortización, para diferentes valores de créditos, tasas y períodos

CONTENIDOS Amortización: Definición. Distinciones de los Sistemas de Amortización y sus características. Sistemas de amortización Francés, Alemán, Americano

Interés y Tablas de Amortización

Amortización

Extinguir una deuda, pagando una cuota que se compone por los intereses más el capital amortizado. Es la devolución a través de una serie de pagos o plazos regulares del capital prestado pagando también los intereses que sobre ella (deuda) se devengan.

En este sistema cada pago amortiza una parte de la deuda y el interés correspondiente al período. Las cuotas incluyen interés y amortizaciones del capital y por lo general de igual monto.

Ejemplo Se obtiene un préstamo de $20.000.000 se acuerda pagar 48 cuotas mensuales con una tasa del 12% anual capitalizable mensual.

Tasa mensual 2. Calcular la cuota (o renta) (R)

⎤ ⎡ ⎛ 0,012 ⎞ 48 ⎟ −1 ⎥ ⎢ ⎜1 + 12 ⎠ ⎥ 20.000.000 = R • ⎢ ⎝ ⎢ 0,012 ⎛ 0,012 ⎞ 48 ⎥ ⎢ • ⎜1 + ⎟ ⎥ 12 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 12 ⎝

R = 526.677 √

3. Tabla Amortización para los últimos 4 meses.

PERIODO

CUOTA

CAPITAL

DEUDA

AMORTIZADO

RESIDUAL

INTERES 2.055.074

45

526.677

20.551

506.126

1.548.948

46

526.677

15.489

511.188

1.037.760

47

526.677

10.378

516.299

521.461

48

526.677

5.215

521.461

(+1) √

* Para calcular la Deuda Residual: ⎡ (1 + 0,01)4 − 1 ⎤ P = 526.677 • ⎢ 4 ⎥ ⎣ 0,01 ⋅ (1 + 0,06 ) ⎦

P = 2.055.074 √

* Para calcular el capital amortizado:

Cuota − Interes = CapitalAmortizado * Para calcular el Interés:

Deuda Residual • intereses mensuales. Ejercicios 1.- Si Ud. al comprar se compromete a pagar 10 cuotas mensuales de $150.000. Determine el valor contado del artículo si la tasa de interés del crédito es del 2,8% mensual efectiva.

R= 150.000 i = 2,8% mensual n = 10 cuotas mensuales

Re ntaVencida

ValorContado = ValorActual = Valor Pr esente

⎡ (1 + 0,028)10 − 1 ⎤ P = 150.000 • ⎢ 10 ⎥ ⎣ 0,028 ⋅ (1 + 0,028) ⎦

P = 1.292.690

2.- Cuánto se obtiene al depositar durante 5 meses la suma de $100.000. Si al final de cada mes se deposita la cuota y la tasa de interés es del 3% mensual compuesta.

R= 100.000 i = 3% n = 5 meses

Re ntaVencida

ValorFutur o ⎡ (1 + 0,03)5 − 1⎤ F = 100.000 • ⎢ ⎥ 0,03 ⎣ ⎦

F = $530.914

3.-Si Ud. solicita un préstamo de 200 UF pagaderas en 32 cuotas iguales de pago vencido. Si la tasa de interés efectiva del período es de 2,1778%. ¿Cuál es el valor de la cuota a cancelar? R =? i = 2,18% n = 32 cuotas P = 200 UF

ValorContado = ValorActual = Valor Pr esente Re ntaVencida ⎡ (1 + 0,0218)32 − 1 ⎤ 200 = R • ⎢ 32 ⎥ ⎣ 0,0218 ⋅ (1 + 0,0218) ⎦

Agregado en clases

R = 8,75UF (valor cuota)

ValorFutur o

⎡ (1 + 0,0218)32 − 1⎤ F = 8,75 • ⎢ ⎥ 0,0218 ⎣ ⎦

F = 399UF √

4.- Una persona deposita $200.000 al final de cada año, durante 15 años en una cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. Hallar el monto al efectuar el último pago.

Re ntaVencida

P = 200.000 n = 15 años i = 8%

⎡ (1 + 0,08)15 − 1⎤ F = 200.000 • ⎢ ⎥ 0,08 ⎣ ⎦

F = 5.430.423

5.- A cuanto deben ascender los ahorros previsionales de una persona que jubilara dentro de 12 años. Si la AFP ofrece una rentabilidad anual y se deja una pensión mensual de 32 UF por 14 años

Re ntaVencida

R = 32UFmensual • 12

R = 384UFanual

ValorContado = ValorActual = Valor Pr esente ⎡ (1 + 0,034)14 − 1 ⎤ P = 384 • ⎢ 14 ⎥ ⎣ 0,034 ⋅ (1 + 0,034 ) ⎦

P = 4.221,75

6- Determine la cuota mensual vencida a cancelar por un préstamo de $1.200.000 pagaderas en 144 cuotas mensuales, considerando un 8% de interés con capitalización mensual.

Re ntaVencida

P =12.000.000 n = 144 i = 8%

(/12)

⎤ ⎡ ⎛ 0,08 ⎞144 ⎟ −1 ⎥ ⎢ ⎜1 + 12 ⎠ ⎥ 12.000.000 = R • ⎢ ⎝ ⎢ 0,08 ⎛ 0,08 ⎞144 ⎥ • ⎜1 + ⎢ ⎟ ⎥ 12 ⎠ ⎦ ⎣ 12 ⎝

Agregado en clases

R = 129.894 √

ValorFutur o

⎡ ⎛ 0,08 ⎞144 ⎤ ⎟ − 1⎥ ⎢ ⎜1 + 12 ⎠ ⎝ ⎥ ⎢ F = 129.894 • 0,08 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 12 ⎦ ⎣

F = 31.240.671√

7.- Halle el monto y el valor actual de una anualidad de $50.000 pagadera semestralmente durante 7 años y 6 meses al 8,6% capitalizable semestralmente

ValorContado = ValorActual = Valor Pr esente R =50.000 n = 7 años y 1 semestre i = 8,6%

(/2

son semestres)

⎡ (1 + 0,043)15 − 1 ⎤ P = 50.000 • ⎢ 15 ⎥ ⎣ 0,043 ⋅ (1 + 0,043) ⎦

P = 544.437 √

ValorFutur o ⎡ (1 + 0,043)15 − 1⎤ F = 50.000 • ⎢ ⎥ 0,043 ⎣ ⎦

F = 1.023.793 √

8- Una persona viaja fuera de la ciudad deja una propiedad en arriendo por 5 años con la condición que se pague $900.000 por trimestre vencidos que serán consignados en una cuenta de ahorro que paga el 8% anual nominal. Halle el monto en los 5 años y el valor actual del contrato de arriendo

Re ntaVencida

ValorContado = ValorActual = Valor Pr esente R =900.000 n = 5 años (*4 i = 8%

(/4

son trimestres) son trimestres)

⎡ (1 + 0,02 )20 − 1 ⎤ P = 900.000 • ⎢ 20 ⎥ ⎣ 0,02 ⋅ (1 + 0,02 ) ⎦

P = 14.716.290 √

ValorFutur o ⎡ (1 + 0,02 )20 − 1⎤ F = 900.000 • ⎢ ⎥ 0,02 ⎣ ⎦

F = 21.867.633 √

III EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

1. Problemas de Interés Simple Formulas de Interés Simple I=C*t*i VF =C (1 + i * t) C =VF (1 + i * t)-1 VF = C + I I = interés; VF = valor futuro; C = Capital; i = tasa.

Calcular el interés simple comercial de: a $2.500 durante 8 meses al 8%. C = $2.500

I = 2.500 ⋅

t = 8 meses

i= 0,08

8 ⋅ 0,08 = $133 12

b. $60.000 durante 63 días al 9%. I =$60.000

I = 60.000 ⋅

t =63 días

i =0,09

63 ⋅ 0,09 = $945 360

c. $12.000 durante 3 meses al 8½ %. C =12.000

I = 12.000 ⋅

t =3 meses

i =0,085

3 ⋅ 0,085 = $255 12

d. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre. Del mismo año. C =$15.000

i =0,10

t =167 días

I = 15.000 ⋅

167 ⋅ 0,10 = $696 360

Calcular el interés simple comercial de: a. $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual.

C = 5.000

i = 0,0075

t =38,67 meses

⎛ 20 ⎞ 3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + ⎜ ⎟ meses = 38,67 meses ⎝ 30 ⎠ I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Respuesta

Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresada en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses b. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual. C = $8000

7 meses +

t =7,5

i = 0,015

15 = 7,5 meses 30

I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900.

1.2 Un señor pagó $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 1996 a una tasa del 41/2 % de interés. ¿En qué fecha lo pagó? VF = 2.500,20 C =2.400 i = 0.045 t =? VF = C (1 + i * t) 2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 * t)

0,04175=0,045 t t = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 1997

Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?

150 ⎞ ⎛ VF = 120.000 ⋅ ⎜1 + 0,08 ⋅ ⎟ = 124.000 360 ⎠ ⎝ −1

53 ⎞ ⎛ 124.000⎜1 + 0,1 ⋅ ⎟ = 122.201 360 ⎠ ⎝ Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagaré tiene como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?

3⎞ ⎛ VF = 14.000⎜1 + 0,08 ⋅ ⎟ = 14.280 12 ⎠ ⎝ 70 ⎞ ⎛ VF =14.280⎜1 + 0,10 ⋅ ⎟ = $14.558 (Valor de mora) 360 ⎠ ⎝

Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13 de agosto y recibe $19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le descontó el pagaré?

VF = VP(1 + i ⋅ t ) 20.000 =19.559,90 (1 + i ⋅ i =0, 09 o 9%

90 ) 360

Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).

9⎞ ⎛ VF1 = 20.000⎜1 + 0,08 ⋅ ⎟ = 21.200 12 ⎠ ⎝ 4⎞ ⎛ VF2 = 16.000 ⋅ ⎜1 + 0,08 ⋅ ⎟ =16.427 12 ⎠ ⎝ Deuda = 21.200 + 16.427 Deuda = 37.62 Pagos

6⎞ ⎛ P1 = x ⎜1 + 0,08 ⋅ ⎟ = 1,04 x 12 ⎠ ⎝ P2 = x

Pagos = P1 + P2 Pagos =2,04 x Deuda = Pagos 37.626,67=2,04 x Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debes llevarse los de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder operaciones sobre estos valores.

valores efectuar

2. Problemas de Descuento Formulas para Descuento Real D = VP * t * d VN= VP + D VN = VP (1 + d* t) VP = VN (1 + d * t)-1 Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias. i = d tanto por ciento/tasa de descuento I = D descuento VF =VN valor nominal C =VP valor presente Formulas de Descuento Comercial D = VP * t * d VN= VP + D VN = VP (1 + d* t) VP = VN (1 - d * t) Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco

a las tasas y

fechas indicadas a continuación: a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.

45 ⎞ ⎛ 20.000 ⋅ ⎜1 − 0,1 ⋅ ⎟ = 19.750 360 ⎠ ⎝ b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

2⎞ ⎛ 18.000 ⋅ ⎜1 − 0,09 ⋅ ⎟ = 17.730 12 ⎠ ⎝ c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de 18 de septiembre del mismo año.

vencimiento es para el

95 ⎞ ⎛ 14.000 ⋅ ⎜1 − 0,08 ⋅ ⎟ =13.704 360 ⎠ ⎝ d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de

vencimiento es

para el 14 de febrero del año siguiente.

86 ⎞ ⎛ 10.000 ⋅ ⎜1 − 0,1 ⋅ ⎟ = $9.761 360 ⎠ ⎝ 2.2. Se vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año: a. $20.00 de contado b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año. c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor

año. real de

la venta. a. 20.000 contado

92 ⎞ ⎛ b. 20.000⎜1 − 0,09 ⋅ ⎟ = 19.540 360 ⎠ ⎝ 153 ⎞ ⎛ c. 30.000⎜1 − 0,09 ⋅ ⎟ = 28.853 360 ⎠ ⎝ Total =20.000 + 19.540 + 28.853 = $68.393

Un pagaré de $10.000 se descuenta al 10% y se reciben del banco Calcular la fecha de vencimiento del pagaré. 10.000=9.789 (1+0.1 * t) t = 0,21 años 0,21 años * 12 meses = 2,52 meses

$9.789.

El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes

de su

vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.

90 ⎞ ⎛ 80.000⎜1 − 0,1 ⋅ ⎟ = 78.000 360 ⎠ ⎝ 75 ⎞ ⎛ 80.000⎜1 − 0,09 ⋅ ⎟ = 78.500 360 ⎠ ⎝ Utilidad 78.500-78.000=$ 500

¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700 dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares netos?

60 ⎞ ⎛ 700 = 666,67 ⎜1 + ⎟ ⎝ 360 ⎠ i = 0.30 o 30%

¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?

85 ⎞ ⎛ 146,52 = VF ⎜1 − 0,49 ⋅ ⎟ 360 ⎠ ⎝ VF = 165,68 dólares. 3. Transformación de Tasas Método de igualación Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmente

⎛ 0,18 ⎞ ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

4

12

⎛ ntmn ⎞ = ⎜1 + ⎟ 3 ⎠ ⎝

12

12

T. nominal trimestral capitalizable mensualmente = 0, 17 o 17,01% R.

l capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente. ⎛ 0,12 ⎞ ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

4

4

⎛ nsct ⎞ = ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝

4

4

Tasa nominal semestral capitalizable trimestralmente =0,06 o 6% R.

Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

(1 + 0,22) 6 2

= (1 + eb )

6

6

Tasa efectiva bimensual = 0,06852 o 6,85%

Del 52% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

(1 + 0,52) 2 1

= (1 + ntcs ⋅ 2)

2

2

Tasa nominal capitalizable semestralmente = 0,1164 o 11,54%.

4. Problemas de Interés Compuesto Formulas de Interés Compuesto:

M = C (1 + i )

n

C = M (1 + i )

−n

M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años. i = 0,15 efectiva trimestral n = 10 años M = 20.000 C =?

⎛ 0,15 ⎞ C = 20.000 ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

−10⋅4

C =4.586,75 Respuesta

¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de paga el 3% anual, para que se convierta en $7.500? n =? C = 2.000 i = 0, 03 M =7.500 7.500 = 2.000 (1 +0, 03) n ln 15/4 = n ln 1,03 n = 44,71 años 44,71 años * 12 meses = 536,52 meses

Respuesta.

$2.000 que

Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años: a. al 5% efectivo anual M = 100 (1 + 0,05) 10 = 162,89 Respuesta b. al 5% capitalizable mensualmente

⎛ 0,05 ⎞ M =100 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

10⋅(12 )

M = 164,20 c. al 5% capitalizable trimestralmente

⎛ 0,05 ⎞ M =100 ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

10⋅( 4 )

M =164,36 d. al 5% capitalizable semestralmente

⎛ 0,05 ⎞ M =100 ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝

10⋅( 2 )

M = 163,86

Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente durante 10 años 4 meses.

VF = 20.000 (1 + 0,08)

10⋅ 4

12

VF = 44.300,52 ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable trimestralmente? ⎛ 0,08 ⎞ ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

4

2

⎛ n.c.s ⎞ = ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ ⎝

2

2

i =0,0808 o 8,08% Respuesta

Hallar la tasa nominal capitalizable semestralmente, a la cual $10.000 se convierten en $12.500, en 5 años.

⎛ 12.500 = 10.000 ⎜1 + ⎝

i⎞ ⎟ 2⎠

10

i =0,0451 o 4,51%

¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000? 10.000=6.000 (1+ 0,08) n n = 13,024 /2 n = 6,512 años

¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente? M =2 C=1 2=1(1+ i) 10 i = 7,17% sociedad maderera --------------

⎛ 0,06 ⎞ M = 1 ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝

40

M =1,8140 no duplico Respuesta es más conveniente la sociedad maderera

Una inversionista ofreció comprar un pagaré de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido. C = 120.000(1 + 0,08) −3 C = 95.259,87

Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, capitalizable mensualmente. VF = 20.000(1 + 0,05)

⎛ 0,05 ⎞ VF = 20.000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝

10

= 32.577,89

120

=

32.940,19 capitalizable mensualmente.

5. Problemas de Anualidades Vencidas Formulas de Anualidades Vencidas

⎡ (1 + i )n − 1⎤ F = A⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Valor Futuro

⎡1 − (1 + i )− n ⎤ P = A⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Valor presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo

Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes

anualidades ciertas

ordinarias.

(a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.

⎡ (1 + 0,04 )17 − 1⎤ F = 2.000 ⎢ ⎥ 0,04 ⎣ ⎦

F =47.395,07 valor futuro

⎡1 − (1 + 0,04 ) P = 2.000 ⎢ 0,04 ⎣

P = $24.331,34

−17

⎤ ⎥ ⎦

valor presente

(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

⎡ (1 + 0,073)6 − 1⎤ F = 4.000⎢ ⎥ 0,073 ⎣ ⎦

F = 28.830,35 valor futuro

⎡1 − (1 + 0,073)−6 ⎤ P = 4.000⎢ ⎥ 0,073 ⎣ ⎦ P = 18.890,85 valor presente

(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización

mensual.

⎡ (1 + 0,0067 )40 − 1⎤ F = 200⎢ ⎥ 0,0067 ⎣ ⎦ F = 9.139,68 valor futuro

⎡1 − (1 + 0,0067 )−40 ⎤ P = 200⎢ ⎥ 0,0067 ⎣ ⎦

P = 6.997,26 valor presente

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las

siguientes

condiciones: 20.000 dólares de contado; 1.000 dólares por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de 2.500 dólares un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.

i =0,09/12=0,0075

⎡1 − (1 + 0,0075)−30 ⎤ P =1.000⎢ ⎥ = 26.775,08 0,0075 ⎣ ⎦

2.500(1 + 0,0075) −31 =1.983,09 26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 dólares

¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: 14.000 dólares de cuota inicial; 1.600 dólares mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de 2.500 dólares, si se carga el 12% con capitalización mensual?

i =0,12/12=0,01

⎡1 − (1 + 0,01)−30 ⎤ P =1.600⎢ ⎥ = 41.292,33 0,01 ⎣ ⎦

2.500 (1 + 0,01) −31 =1.836,44 41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 dólares

Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la

producción, si el rendimiento

del dinero es del 8%.

⎡1 − (1 + 0,08)−10 ⎤ P = 8.000.000 ⎢ ⎥ = 53.680.651,19 0,08 ⎣ ⎦ En el ejercicio 5.4. Se estima que al agotarse la mina habrá activos

recuperables

por el valor de $1.500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.

1.500.000 (1 + 0,08)

−10

= 694.790,23

53.680.651,19 ⋅ 0,25 =13.420162,8 694.790,23 + 13.420.162,80 = $14.114.953,03

En el momento de nacer su hija, un señor depositó 1.500 dólares en una

cuenta

que abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus consignaciones a 3.000.dólares. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

⎡ (1 + 0,08)11 − 1⎤ F =1.500⎢ ⎥ = 24.968,23 0,08 ⎣ ⎦

24.968,23 (1 + 0,08) = 42.791,16 7

⎡ (1 + 0,08)7 − 1⎤ F = 3.000 ⎢ ⎥ = 26.768,41 0,08 ⎣ ⎦

1.500(1 + 0,08)18 = 5.994,03 42.791,16 + 26.768,41 + 5994,03 = 75.553,60 dólares

Una persona deposita 100 dólares al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.

0,06 /12 =0,005 tasa mensual

⎡ (1 + 0,005)240 − 1⎤ F = 100⎢ ⎥ = 46.204,09 Dólares 0 , 005 ⎣ ⎦ 6. Problemas de Anualidades Anticipadas Formulas de Anualidades Anticipadas

⎡ (1 + i )n − 1⎤ F = A (1 + i ) ⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Valor Futuro

⎡1 − (1 + i )− n ⎤ P = A(1 + i )⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Valor Presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de 3.000 dólares mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% capitalizable mensualmente.

⎡1 − (1 + 0,01) P = 3.000(1 + 0,01)⎢ 0,01 ⎣

−180

⎤ ⎥ = 252.464.64 Dólares ⎦

Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) 400.000 euros de contado; (b) 190.000 euros de contado y 50.000 euros semestrales, durante 2 ½ años (c) 20.000 euros por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de 250.000 euros , al finalizar el cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual? Oferta b

⎡1 − (1 + 0,04)−5 ⎤ P = 50.000(1 + 0,04)⎢ ⎥ = 231.494,76 0,04 ⎣ ⎦

P = 231.494,76 + 190.000 = 421.494,76

Oferta c

⎡1 − (1 + 0,02)−12 ⎤ P = 20.000 (1 + 0,02) ⎢ ⎥ = 215.736,96 0,02 ⎣ ⎦

250.000 (1 + 0,08)

−4

= 183.757,46

215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42 Respuesta = Oferta b es la más conveniente.

¿Cuál es el valor presente de una renta de 500 euros depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, capitalizable mensualmente?

⎡1 − (1 + 0,0075) P = 500 (1 + 0,0075) ⎢ 0,0075 ⎣

−180

⎤ ⎥ = 49.666,42 Euros ⎦

¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?

2.000.000 * 0.10= 200.000 2.000.000 - 200.000 = 1.800.000

⎡ (1 + 0,06)5 − 1⎤ 1.800.000 = A (1 + 0,06) ⎢ ⎥ 0,06 ⎣ ⎦ A = 301.239,17 Respuesta.

Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% capitalizable mensualmente.

⎡ (1 + 0,0075)12 − 1⎤ 8.000 = A (1 + 0,0075) ⋅ ⎢ ⎥ 0,0075 ⎣ ⎦ A = 634,85 Respuesta.

Un empleado consigna 300 dólares

al principio de cada mes en una cuenta de

ahorros que paga el 8%, mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000 Respuesta:

n = 76,479 meses

7. Problemas de Anualidades Diferidas Formulas para anualidades diferidas Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un periodo de gracia.

Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia

anual de

$2.400.000. Suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera obtenerse.

⎡ (1 + 0,08)15 − 1⎤ VF = 2.400.000⎢ ⎥ 0,08 ⎣ ⎦ VF = 65.165.073,43 En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el momento de la adquisición de los yacimientos.

⎡1 − (1 + 0,08) VP = 2.400.000⎢ 0,08 ⎣

−15

⎤ ⎥ = 20.542748,85 ⎦

20.542.748,85 (1 + 0,08) −6 = 12.945.416

Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.

⎡1 − (1 + 0,06) VP = 400.000⎢ 0,06 ⎣

−20

⎤ ⎥ = 4.587.968,487 ⎦

VP = 4.587.968,487 (1 + 0,06) −5 = 3.428.396,90

Una persona deposita 100.000 euros en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se pague, a él o a sus herederos, una renta de 2.500 euros, a principio de cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% capitalizable mensualmente?

VF = 100.000 (1 + 0,005) 120 = 181.939,67

⎡1 − (1 + 0,005)− n ⎤ 181.939,67 = 2.500 (1 + 0,005) ⎢ ⎥ 0,005 ⎣ ⎦ n = 90,13 Respuesta = 7 años 7meses

8. Problemas de Rentas Perpetuas Formulas de Rentas Perpetuas

P=

A i

P= A+

A i

CC = Co +

Com i

P = perpetuidad; A = anualidad; Co = costo inicial; CC = costo capitalizado; i = interés

Hallar el valor actual de una perpetuidad de $5.000, cuyo primer pago se hará dentro de 6 meses, con tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente

P=

5.000 = 500.000 0,01

M =500.000(1 + 0,01) −5 = 475.732,84

Hallar el valor actual de una renta de $156.000 por año vencido, interés de: a. 6% efectivo

156.000 = 2.600.000 0,06 b. 6% convertible semestralmente

⎡ (1 + 0,03)2 − 1⎤ 156.000 = A ⎢ ⎥ 0,03 ⎣ ⎦

A = 76.847,29 P=

76.847,29 = 2.561.576,35 0,03

suponiendo un

c. 6% convertible mensualmente.

⎡ (1 + 0,005)12 − 1⎤ 156.000 = A ⎢ ⎥ 0,005 ⎣ ⎦ A = 12.646,36

P=

12.646,36 = 2.529.272,61 0,005

Los ex alumnos de una universidad deciden donarle un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial de $200.000 y el mantenimiento se estima en $35.000 anuales, hallar el valor de la donación, si la tasa efectiva es del 7%.

P = 200.000 +

35.000 = 700.000 0,07

Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo a fin de proveer las reparaciones futuras, que se estiman en $300.000 cada 5 años. Hallar el valor del fondo, con la tasa efectiva del 6%.

⎡ (1 + 0,06 )5 − 1⎤ 300.000 = A⎢ ⎥ 0,06 ⎣ ⎦

300.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1] 0,06 A = 53.218,92

P=

53.218,92 = 886.982 0,06

Calcular el costo capitalizado de un equipo industrial que cuesta $800.000 y tiene una vida útil de 12 años, al final de los cuales debe remplazarse, con el mismo costo. Calcular con la tasa del 6%.

⎡ (1 + 0,06)12 − 1⎤ 800.000 = A ⎢ ⎥ 0,06 ⎣ ⎦ A = 47.421,62

CC = 800.000 +

47.421,62 0,06

CC = 1.590.360,39 Respuesta.

En el problema anterior, calcular el costo capitalizado, suponiendo

un valor de

salvamento igual al 15% del costo original.

800.000 ⋅ 0,15 = 120.000 ⎡ (1 + 0,06)12 − 1⎤ 680.000 = A ⎢ ⎥= 0,06 ⎣ ⎦ A = 40.308,38

CC = 800.000 +

40.308,38 0,06

CC = 1.471.806,33 Respuesta

Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquina, ambas de igual rendimiento. La primer oferta es por $380.000 y las maquinas tiene una vida útil de 7 años; la segunda oferta es de $510.000 por maquinas que tienen una vida útil de 10 años. Si el

precio del dinero es el 6% efectivo, ¿qué oferta es más conveniente?

Primera oferta

⎡ (1 + 0,06)7 − 1⎤ 380.000 = A⎢ ⎥ 0,06 ⎣ ⎦ A = 45.271,30

CC = 380.000 +

45.271,30 0,06


Segunda Oferta

⎡ (1 + 0,06 )10 − 1⎤ 510.000 = A ⎢ ⎥ 0,06 ⎣ ⎦ A = 38.692,66

CC = 510.000 +

38.692,66 0,06


Respuesta = El CC de la primera oferta en menor en 20.355,86

9. Problemas de Amortización Formulas para anualidades diferidas

⎡ (1 + i )n −1 ⎤ F = A⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Valor Futuro

⎡1 − (1 + i )− n ⎤ P = A⎢ ⎥ Valor Presente i ⎣ ⎦ F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

9.1 Una deuda de 20.000 dólares debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros meses.

(1 + 0,08)

1 12

⎛ em ⎞ = ⎜1 + ⎟ ⎝ 12 ⎠

12

i = 6,43 ⋅ 10 −3 ⎡1 − (1 + 0,0064)−12 ⎤ 20.000 = A ⎢ ⎥ 0,0064 ⎣ ⎦ A = 1.737,19 Respuesta

Fecha

Periodo

Cuota

Interés

Amortización

Saldo

0

0

1.737,19

0

0

20.000

0

1

1.737,19

128,68

1.608,50

18.391,49

0

2

1.737,19

118,33

1.618,85

16.772,63

0

3

1.737,19

107,91

1.629,27

15.143,36

0

4

1.737,19

97,43

1.639,75

13.503,60

0

5

1.737,19

86,88

1.650,30

11.853,30

0

6

1.737,19

76,26

1.660,92

10.192,37

0

7

1.737,19

65,57

1.671,61

8.520,26

0

8

1.737,19

54,82

1.982,36

6.838,40

0

9

1.737,19

43,99

1.693,18

5.145,21

0

10

1.737,19

33,10

1.704,08

3.441,13

0

11

1.737,19

22,14

1.715,04

1.726,08

0

12

1.737,19

11,10

1.726,08

0

Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago 300.000 – 100.000 = 200.000

300.000 − 100.000 = 200.000 ⎡1 − (1 + 0,05)−8 ⎤ 200.000 = A ⎢ ⎥ 0,05 ⎣ ⎦ A = 30.944,36

⎡ (1 + 0,05)−5 − 1⎤ F = 30.944,36 ⎢ ⎥ 0,05 ⎣ ⎦ F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ] 0,05 F = 170.987,13 M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31 Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17

D. comprador + 84.269,17 = 300.000 D comprador = 215.730.83

¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de 9.500 dólares se pagaría la adquisición de un terreno que cuesta 29.540 dólares si se carga una tasa anual de 34% capitalizable mensualmente?

Conversión de la tasa 6

⎛ 0,36 ⎞ ⎟ = (1 + i s ) ⎜1 + 12 ⎠ ⎝ Interés semestral = 0,1825

⎡1 − (1 + 0,1825)− n ⎤ 29.540 = 9.500 ⎢ ⎥ 0,1825 ⎣ ⎦ ln 0,4325 = - n ln(1,1825) -0,838 = -n (0,1676) n = 5 pagos semestrales Respuesta

Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a crédito de un automóvil que cuesta 48.000 euros y se vende con un enganche de 45% y el resto a pagar en mensualidades vencidas de 1.254,75 euros con interés al 39% capitalizable mensualmente. Enganche: 21.600 euros Quedan:

i=

26.400 euros

0,39 12

i = 0,0325

⎡1 − (1 + 0,0325)− n ⎤ 26.400 =1.254,75 ⎢ ⎥ 0,0325 ⎣ ⎦ n = 36 mensualidades Respuesta

10. Problemas de Fondo de Amortización Formulas para anualidades diferidas

⎡ (1 + i )n − 1⎤ F = A⎢ ⎥ i ⎣ ⎦ ⎡1 − (1 + i )− n ⎤ P= A⎢ ⎥ i ⎣ ⎦

Valor Futuro

Valor Presente

F = Valor futuro; A = anualidad; n = tiempo Nota: Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas.

10.1 Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo.

0,06 = 0,03 2 ⎡ (1 + 0,03)10 − 1⎤ F = 5.000 ⎢ ⎥ = 57.319,39 0,03 ⎣ ⎦ Fecha Periodo

Cuota

Interés

Valor

Saldo

agregado al fondo 0

0

0

0

0

0

0

1

5.000

0

5.000

5.000

0

2

5.000

150

5.150

10.150

0

3

5.000

304,5

5.304,5

15.454,5

0

4

5.000

463,63

5.463,63

20.918,13

0

5

5.000

627,54

5.627,54

26.545,67

0

6

5.000

796,37

5.796,37

32.342,04

0

7

5.000

970,26

5.970,26

38.312,31

0

8

5.000

1.149,36

6.149,36

44.461,68

0

9

5.000

1.333,85

6.333,85

50.795,53

0

10

5.000

1.523,86

6.523,86

57.319,39

Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 años plazos, se establecen reservas anuales en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%. Hallar las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

⎡ (1 + 0,06)5 − 1⎤ 80.000 = A⎢ ⎥ 0,06 ⎣ ⎦ A = 14.191,71 Primeros dos años

⎡ (1 + 0,06 )2 − 1⎤ F =14.191,71 ⎢ ⎥ 0,06 ⎣ ⎦ F = 29.234,92 M = 29.234,92 (1+ 0,07) 3 = 35.814,04

⎡ (1 + 0,07 )3 − 1⎤ 44.185,95 = A ⎢ ⎥ 0,07 ⎣ ⎦

A =13.744,11 Los tres últimos años Fecha

Periodo

Cuota

Interés

Valor

Saldo

agregado al fondo 0

0

0

0

0

0

0

1

14.191,71

0

14.191,71

14.191,71

0

2

14.191,71

851,502

15.043,21

29.234.92

0

3

13.744,11

2.046,44

15.790,56

45.025,48

0

4

13.744,11

3.151,78

16.895,89

61.921,38

0

5

13.744,11

4.334,49

18.078,61

80.000

Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.000.000 que devengan el 8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y que egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda?

2.000.000 ⋅ 0,08 =160.000 ⎡ (1 + 0,06)10 − 1⎤ 2.000.000 = A ⎢ ⎥ 0,06 ⎣ ⎦ A = 151.735,92 depósitos anuales 151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respuesta total egreso anual

Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de interés, para cancelar en 25 años una deuda de $100.000.

⎡ (1 + 0,07 )25 − 1⎤ 100.000 = A ⎢ ⎥ 0,07 ⎣ ⎦ A = 1.518,05 depósitos anuales

Se deben pagar $29.000 dentro de 12 meses por una deuda con anterioridad. Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿cuál sería el importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26% convertible mensualmente?

(1 + 0,26)

12

6

= (1 + i bimestral )

6

6

i = 0,04380

⎡ (1 + 0,04380)6 − 1⎤ 29.000 = A ⎢ ⎥ 0,04380 ⎣ ⎦ A = 4330,4922 Respuesta.

Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15.000 contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual efectivo.

(1 + 0,0279)

12

24

= (1 + e.q )

24

24

Efectiva quincenal = 0,0134

⎡ (1 + 0,0134)6 − 1⎤ 16.872,96 = A ⎢ ⎥ 0,0134 ⎣ ⎦ A = 2719,34677 Respuesta.

Fecha

Periodo

Cuota

Interés

Valor

Saldo

agregado al fondo 0

0

0

0

0

0

0

1

2.719,34

0

2.719,34

2.719,34

0

2

2.719,34

36,46

2.755,81

5.475.16

0

3

2.719,34

73,42

2.792,76

8267,92

0

4

2.719,34

110,87

2.830,22

11.098,14

0

5

2.719,34

148,82

2.868,17

13.966,32

0

6

2.719,34

187,28

2.906,63

16.872,96

IV EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

EJERCICIOS INTERES SIMPLE

Nº 1.- Se tienen dos capitales que suman $1.500.000. Se colocan a tasas diferentes y la diferencia de las tasas es de 0,04. Los intereses que se obtienen al cabo de un año son de $110.000. Si el primer capital se hubiera colocado a la tasa del segundo y viceversa, los intereses obtenidos serían de $130.000. Determine los capitales y las tasas. R: P 1 = $500.000, P 2 =$1.000.000, i 1 =0.1, i 2 =0.06

Nº 2.- Una persona adeuda $500.000 que debe liquidar dentro de 8 meses y que ya incluye los intereses, y $400.000 contratados hoy al 51 % para pagar dentro de seis meses. Si decide saldar sus deudas con dos pagos iguales, uno dentro de 10 meses y otro dentro de un año, y la operación se calcula al 55%, ¿cuál será el importe de esos dos pagos iguales? a)

Resuelva el problema utilizando la fecha para realizar los cálculos (Fecha Focal)

la del primer pago. b)

Haga los mismos usando la fecha del segundo pago.

R: a) $594.910,49, b) $588.868,52

Nº 3.- Colocamos $3.000.000 al 52% anual de interés simple. A los cuatro meses la tasa de interés baja al 36% anual, por lo cual decidimos retirar $1.000.000 de capital. Determine el monto que retiraremos 14 meses después de haber efectuado la colocación. R: $3.120.000

Nº 4.- Dos capitales iguales se colocaron a interés simple. El primero al 45% anual durante 5 meses y el segundo al 32% anual durante 9 meses. Determine la cantidad de cada capital invertido si los montos recibidos de los dos capitales suman 8.496.250. R: $3.500.000 Nº 5.- .Disponemos de 6.000.000 de euros para invertirlos en tres negocios a interés simple. El primero de ellos devenga intereses a una tasa de 36% anual; el segundo gana intereses al 30% anual; y el tercero a una tasa de 45% anual. ¿ Qué cantidad debe colocarse en cada uno de los tres negocios, si se desea que

cada uno de ellos gane al año los mismos intereses?. R: P 1 =$2.000.000, P 2 =$2.400.000, P 3 =$1.600.00 Nº 6.- Una persona deposita $100.000 en una cuenta que paga 30% de interés anual. Transcurrido un mes retira $ 20.000 y dos meses después retira $30.000. a)

Elabore el diagrama temporal

b)

Halle el saldo disponible a los seis meses contados a partir de la fecha del

depósito. R: $60.250

Nº 7.- Elabore el diagrama temporal para una deuda que dentro de un año es de $6.000.000. La tasa de interés simple aplicada a la operación es de 30% anual y se quiere cancelar así: un pago de $4.000.000 a los seis meses y el saldo a un año. Calcule

el

monto

pago.

del

último R:

$1.400.000

Nº 8.- Hoy se cumplen dos meses de que una persona consiguió un préstamo por $750.000 con un recargo del 45 % anual y vencimiento a cinco meses. Hace cuatro meses, la misma persona, firmó un pagaré con un valor nominal de $1.500.000 a un plazo de seis meses e intereses del 24 % anual. Hoy hace un abono de $1.200.000 y acuerda con el banco liquidar su deuda con otro pago dentro de cuatro meses y con recargos del 40 %. ¿Por cuánto será ese pago? Use como fecha focal: El día de hoy

b) El día del pago R:

$1.188.365; $1.160.312

Nº 9. Una persona tiene dos capitales que ha colocado durante el mismo tiempo, el primero le produce el 7 % de interés simple anual y el segundo el 10 % de interés simple anual. El primero produce de intereses $ 1.000, el segundo que excede al primero en $ 1.000 le produce en intereses $ 2.000. Halle: a) Tiempo de colocación

b) Valor de cada capital

R: 68,5 meses; $3.500 y $2.500

Nº 10. Una persona coloca su fortuna al 8 % anual, un año después retira la cuarta parte del capital inicial y deja el resto producir intereses durante cuatro meses, después de este tiempo retira una cuarta parte del capital inicial que quedaba entonces colocado y deja el capital restante durante ocho meses más. El total de intereses ha subido a $ 10.000. ¿Cuál era el capital inicial? R: $76.923

Nº 11.- Se coloca un capital al 19% anual de interés simple. Cuando termina el primer año, se recogen los intereses y se retira del capital un monto equivalente a 7/3 de los intereses. Al finalizar el segundo año, se vuelven a retirar los intereses y se retira del capital un monto equivalente a 13/6 de los intereses. De este modo se logra que el capital disminuya en 268.997,77. Hallar el capital inicial colocado. R: $400.000

Nº 12.- Se colocan $4.000.000 a interés simple durante 3 años. El primer año a una tasa de 24% anual y en los dos siguientes al 36% anual. Al final del mes 10 se retira del capital el 50% de los intereses ganados hasta el mes ocho y al final del segundo

año se deposita una cantidad igual al 75% del monto acumulado al final del mes 16. Calcular el monto acumulado al final de los tres años.

INTERES SIMPLE

Problema Nº 1.Calcular el interés que ganará un capital de 5.000.000 euros, colocado a una tasa del 36 % anual de interés simple durante un año y siete meses.

Solución: 2.850.000 euros

Problema Nº 2.Calcular la tasa de interés simple trimestral a la que debe colocarse un capital de 1.000.000 de dólares durante 9 meses para que produzca

240.000

dólares de

intereses Solución: 8%

Problema Nº 3.¿Durante cuantos semestres debe colocarse un capital de 1.200.000 euros para que a una tasa de 15% semestral de interés simple devengue . 540.000 euros de intereses? Solución: 3 semestres Problema Nº 4.¿Qué cantidad debe colocarse durante 5 cuatrimestres, a una tasa de 27% anual de interés simple, para que pueda reunirse un capital final de 5.800.000 euros

Solución: 4.000.000 euros

Problema Nº 5.Dos capitales iguales se colocan a interés simple durante 7 meses; el primero al 30% anual y el segundo al 18% anual. Calcular el valor de los capitales iniciales si los montos recibidos al final de los 7 meses suman 5.700.000 dólares

Solución: 2.500.000 dólares

Problema Nº 6.Un inversionista coloca el 20% de su capital al 25% anual de interés simple; el 50% al 12% anual y el 30% al 10% anual. Al cabo de un año, el interés devengado por el inversionista

es de 700.000 dólares. Calcular la cantidad de dinero que el

inversionista colocó en cada operación.

Solución: 1.000.000; 2.500.000; 1.500.000 dólares

Problema Nº 7.Se invierte un capital al 30% anual de interés simple. Transcurridos dos años y tres meses se retira la mitad del capital invertido. Ocho meses más tarde se retira una cantidad de dinero equivalente a la cuarta parte del capital invertido inicialmente. Después de 10 meses contados a partir del último retiro comprobamos que el total de intereses ganados asciende a 50.250.000 euros. Calcular el capital invertido

inicialmente. Solución: 60.000.000 euros

Problema Nº 8.Se colocó un capital a interés simple durante dos años. El primer año al 24% anual y el segundo año al 36% anual. A los 7 meses se aportó una cantidad de dinero igual a los intereses ganados hasta esa fecha. El monto al final de los dos años es de 3.157.700 dólares. Calcular el capital inicial.

Solución: 1.750.000 dólares

Problema Nº 9.Se invierten $6.000.000 al 14% de interés simple durante 3 años y 6 meses para pagar una deuda que vence al final de ese mismo lapso. Cuando han transcurrido 18 meses la tasa de interés disminuye a 11% anual. Calcular el depósito adicional que debe hacerse para cumplir con la obligación en el tiempo convenido.

Solución: $295.081,96

Problema Nº 10.-

Para reunir $2.700.000 en un plazo de 48 meses hace el depósito necesario en un instituto financiero que paga el 20% anual de interés simple. Al solicitar la cantidad ahorra al final de los 48 meses, recibo $2.600.000. Al preguntar la causa me contestan que a partir de cierto momento la tasa disminuye a 12% anual de interés simple y 6 meses antes de vencerse el plazo, la tasa volvió a su valor inicial de 20%

anual. Calcular en cuáles meses se aplicó la tasa de 12% anual.

Solución: Entre el mes 32 y el mes 42

Problema Nº 11.-

Se coloca $5.000.000 a interés simple durante 6 años. En los dos primeros años a una tasa de 24% anual; en el tercer año al 36% anual y en los tres últimos años al 33% anual. A los 18 meses se realiza un aporte de capital igual al monto acumulado hasta finales del mes 9 y al término del quinto año se efectúa un retiro de capital igual a los intereses ganados hasta el final del cuarto año. Calcular el monto acumulado al final de los 5 años.

Solución: $14.586.430

Problema Nº 12.-

Se coloca un capital a interés simple durante 3 años a una tasa de 24% anual. Al final del mes 10 se retira del capital el 50% de los intereses ganados hasta el mes seis y al final del segundo año se deposita una cantidad igual al 25% del monto acumulado al final del mes 15. Al final de los tres años el monto acumulado es de $6.034.020. Calcular el capital invertido. Solución: $3.000.000

Problema Nº 13.-

Se colocaron $ 5.000.000 a interés simple durante dos años. El primer año al 24% anual y el segundo año al 30% anual. A los 15 meses se retiró una cantidad de dinero igual al 10% del monto acumulado hasta los seis primeros meses. Calcular el monto acumulado al final de los dos años.

Solución: $7.042.000

EJERCICIOS INTERES COMPUESTO

Nº 1.- Una persona pide prestada la cantidad de 800 euros. Cinco años después devuelve 1.020 euros. Determine la tasa de interés nominal anual que se le aplicó, si el interés es: a)

Simple

b)

Capitalizado anualmente

c)

Capitalizado trimestralmente

d)

Compuesto mensualmente

R: a)

5,5%, b) 4,979%, c) 4,889%, d) 4,869%

Nº 2.- Una letra de $17.000 que vence en 10 años, es ofrecida por $10.000. Estando el dinero al 6% efectivo anual, ¿cuál será la utilidad o pérdida que se puede producir en la compra de la letra? R: -$507,29

Nº 3.- ¿Cuánto tiempo tardará una suma de dinero en quintuplicarse, si el interés a que está invertida es el 6% nominal anual compuesto cada cuatro meses? R: 27,09 años

Nº 4.- Un capital de $10.000 se acumula durante 30 años. El interés durante los primeros 10 años es del 5% efectivo. Durante los 10 años siguientes, el 6% y los últimos 10 años del 7%. ¿Qué capital tendrá al finalizar el tiempo? R: 57.383,83

Nº 5.- Al comprar una persona un terreno, tiene las siguientes opciones: a)

5.000 dólares de contado y 25.000 dólares dentro de cinco años, o

b)

$25.000 de contado.

Si el dinero puede invertirse al 6% anual capitalizado trimestralmente, ¿cuál de las opciones es más ventajosa? R: La primera por 1.438,24 dólares

N °6.- Un padre, al nacimiento de su hijo, deposita en una institución financiera la cantidad de 5.000 dólares. La institución le abona el 2% nominal anual compuesto trimestralmente. Cinco años más tarde, nace una niña y entonces divide el monto del

depósito en dos partes: una de 3/10 para el hijo y el resto para la hija. ¿Qué cantidad tendrá cada uno cuando cumplan 21 años? R: 5.879,48 y 2.280,55 dólares

Nº 7.- Una compañía de seguros, al morir uno de sus asegurados, y de acuerdo con un contrato, tiene que pagar a las hijas igual cantidad cuando lleguen a la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada y que debe pagar la compañía por la muerte de su asegurado es de 100.000 dólares. El interés que abona la empresa aseguradora el tiempo que el dinero se encuentre en su poder es del 2% nominal anual compuesto semestralmente. A la muerte del asegurado, sus hijas tienen las edades de 16 y 18 años respectivamente. Si cumplen la mayoría de edad a los 21 años, ¿qué cantidad ha de recibir cada una? R: 54.132,11 dólares

Nº 8.- Usted compra una póliza de vida con un valor de 25.000 dólares y paga por ella una prima única de 15.000 dólares. Si usted no se muere antes, la compañía le pagará dentro de 20 años la cantidad de 25.000 dólares. ¿A qué interés nominal anual compuesto semestralmente debe invertir la empresa aseguradora su capital, para realizar una utilidad de 2.000 dólares en la póliza, si los gastos que ésta le ocasiona son de 500dólares ?. R: 3,06%

Nº 9.- ¿Cuál será el monto final acumulado en una cuenta que paga el 29% anual compuesto mensualmente, si usted realiza depósitos anuales de 100.000 dólares al final de cada uno de los próximos tres años, abriendo su cuenta con la misma cantidad hoy?.

R: 646.793,106 dólares

Nº 10.- ¿Cuánto dinero tendré que depositar hoy en una cuenta de ahorros que paga el 25% nominal anual capitalizado mensualmente, para poder hacer retiros de 200.000 euros al final de los próximos cuatro años, quedando en la cuenta 100.000 euros una vez transcurridos los cuatro años?. R: 484.799,328 euros

Nº 11.- Una persona coloca el 60% de su capital a razón del 18% anual capitalizable semestralmente durante 15 años y el resto a razón del 20% nominal anual capitalizable trimestralmente durante 15 años. Si se conoce que el total de intereses devengados durante el segundo quinquenio fue de 750.000 dólares , determine: a)

Capital inicial para cada inversión.

b)

El monto total acumulado a l finalizar el décimo año.

R: a) 202.872,42, b) 1.253.476,04

Nº 12.- Se invierten 250.000 euros a

una determinada tasa anual capitalizable

semestralmente para que al transcurrir 12 años se obtenga como capital final 1.012.233,36 euros. Si al final de cada trienio a lo largo de toda la operación financiera la tasa anual se reduce en 1%, determine las cantidades adicionales iguales a ser colocadas al final de los años 6 y 10 para seguir disponiendo del mismo capital final original.

R: 54.087,78 euros

Nº 13.- Un inversionista coloca dos capitales en un banco. Uno de ellos al 24% anual con capitalización cuatrimestral y el otro al 24% anual con capitalización trimestral. Al transcurrir 12 años los montos de los dos capitales son iguales. Además se conoce que la diferencia de los intereses ganados en el segundo año por los dos capitales es de 1.538,576 dólares. Determine la cantidad de dinero que recibirá el inversionista al final de los 12 años. R: 5.588.976,28 dólares

Nº 14.- Un Banco presta a un cierto tipo de interés compuesto. Sabiendo que si se cancela un préstamo a los cuatro años, la cantidad a cancelar es un 21 % superior a la cantidad necesaria para cancelar el mismo préstamo a los dos años, ¿cuál sería el tipo de interés nominal para pagos de frecuencia trimestral?. R: 9,64 % nominal anual

Nº 15.- Se invierte un capital a razón de 36 % nominal anual capitalizado cuatrimestralmente. Si se conoce que los intereses ganados durante un cierto año son de $500.000, determine el capital al final de ese año. R: $ 1.734.872,80

Nº16. Una persona deposita 20.000 euros en un Banco que abona el 6% de interés compuesto anualmente. Si desde el fin del primer año hasta el fin del cuarto año retira cada vez 1/5 de los intereses devengados en cada uno de esos años. Determine el monto acumulado al final del año 9. R: 32.285,28 euros

Nº 17.- Se coloca una cantidad de dinero así: durante 9 meses a 20 % anual capitalizado semestralmente, por los siguientes 4 meses a 30 % anual capitalizado mensualmente, por 8 meses más a una tasa de 27 % anual capitalizado cuatrimestralmente y, finalmente, por 15 meses más a una tasa de 24 % anual capitalizado trimestralmente. El monto al término de la operación fue de 4.049.457,10 euros. Determine el capital inicial y la tasa efectiva anual de la operación. R: P=2.000.000 euros; tasa efectiva anual = 26,5 %

Nº 18.- En una institución financiera se colocan 100.000 dólares al 30% nominal anual con capitalización mensual durante 20 años. Al finalizar los años 5 y 10 se retiraron 200.000 y

500.000 dólares

respectivamente. Si la tasa de interés

disminuye a 18 % nominal anual capitalizado trimestralmente a partir de finales del séptimo año, determine la cantidad adicional que se debe depositar a principios del año 15, para compensar los retiros y la disminución de la tasa de interés y lograr reunir la misma cantidad que se hubiese obtenido de no producirse ningún cambio. R: 12.552.332,12 dólares

Nº 19.- Un deudor conviene en tomar prestados 1.000 dólares

y en pagar por

anticipado el 10%, devolviendo al cabo del primer mes los 1.000 dólares Si no lo hace, puede renovar el préstamo mediante el pago de otros 100 dólares. El préstamo se renueva mensualmente hasta que al fin del año cancela los 1.000 dólares ¿Cuál es la tasa nominal anual y la tasa efectiva de interés para el acreedor si se considera capitalización mensual?.

R: tn = 133,33%; te = 253,65%

Nº 20.- ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad? a)

90.000 dólares de contado.

b)

$40.000 dólares de contado y el saldo en tres pagarés iguales de 20.000 dólares

cada uno a uno, dos y tres años de plazo, si el rendimiento del dinero es del 8% capitalizable semestralmente. R: b) superior por 1.393,50 dólares

Nº 21.- ¿A qué tasa efectiva, un pago único de $20.000 hoy sustituye dos pagarés de $11.000 cada uno, con vencimiento a uno y dos años respectivamente?

R: 6,6 %

Nº 22.- Se coloca un capital de $1.000.000 en una cuenta por espacio de 18 meses a razón del 40% nominal anual con capitalización mensual. Al observar hoy el saldo final, 18 meses después, nos damos cuenta de que hay $99.993,89 de menos, y al preguntar al banco al respecto nos informa que la diferencia proviene de dos conceptos. Primero, a finales del mes tres fueron retirados erróneamente $100.000 de nuestra cuenta, los cuales fueron reintegrados tres meses más tarde y segundo, la tasa de interés fue disminuida a partir de finales del mes seis. Averiguar cuál fue la nueva tasa de interés y cuánto debemos solicitarle al banco de reintegro hoy, por habernos

debitado

distintas. R: 35% y $14.595,69

y

acreditado

la

misma

suma

en

dos

fechas

Nº 23.- Se invierte una cantidad de $500.000 durante tres años a una tasa de 60% nominal anual capitalizable

mensualmente. Al final de cada año se retiran los

intereses; el 55% de ellos se invierten a una tasa de 68,02% nominal anual con frecuencia semestral, y el resto a una tasa de 58,548% nominal anual capitalizado trimestralmente.

Determine

la

tasa

efectiva

anual

de

la

operación. R: 78,43 % Nº 24.- ¿A qué tasa efectiva, un pago único de 1.500 dólares hecho hoy es equivalente a dos pagos de 800 dólares cada uno hechos a 1 y 2 años respectivamente.

R:

4,41

%

INTERES COMPUESTO

Problema Nº 1: Calcular la tasa efectiva anual que es equivalente a una tasa de 36% minina anual con capitalización mensual. Solución: 42,576%

Problema Nº 2: Calcular la tasa efectiva anual que es equivalente a una tasa efectiva trimestral de 8%.

Solución: 36,05%

Problema Nº 3: Calcular la tasa efectiva mensual que es equivalente a una tasa efectiva semestral de 15%. Solución: 2,3576%

Problema Nº 4: Calcular la tasa efectiva anual que es equivalente a una tasa de 24% nominal anual con capitalización trimestral. Solución: 26,82%

Problema Nº 5.Calcular la tasa efectiva bimestral que es equivalente a una tasa efectiva cuatrimestral de 15%. Solución: 7,238 %

Problema Nº 6.Calcular el monto final de 4 años de un capital de $5.000.000 colocado a una tasa de interés de 36 % nominal anual capitalizable mensualmente. Solución: $20.661.259,39

Problema Nº 7.Calcular la tasa nominal anual con capitalización trimestral que es equivalente a un tasa de 36% nominal anual con capitalización mensual. Solución: 37,09%

Problema Nº 8.Calcular la tasa nominal anual con capitalización bimestral que es equivalente a una tasa efectiva anual de 28%. Solución: 25,20%

Problema Nº 9.Calcular el capital que será necesario colocar a una tasa de interés de 20 % nominal anual capitalizable trimestralmente para reunir $10.000.000 en dos años. Solución: $6.768.393,62

Problema Nº 10.Un capital de $3.000.000 se coloca al 24% nominal anual con capitalización trimestral durante 5 años. Al finalizar el segundo año la tasa de interés se aumenta a 30% nominal anual con capitalización mensual. Calcular el monto al final de los 5 años. Solución: $11.631.275,18

Problema Nº 11.Una persona recibe un préstamo de $24.000.000 que cancelará en cuatro pagos de la siguiente manera: $10.000.000 dentro de dos meses; $ 8.000.000 dentro de 6 meses; $ 2.000.000 dentro de diez meses y el resto dentro de un año. La tasa de interés es de 24% nominal anual con capitalización mensual. Calcular el valor del último pago. Solución: $7.157.759,52 Problema Nº 12.-

Se coloca $1.000.000 al 12% anual de interés compuesto. Calcular la cantidad que deberá depositarse a finalizar el sexto año para que en los años 21, 22 y 23 pueda retirarse al final de cada año $4.000.000, $5.000.000 y $ 6.000.000 respectivamente. Solución: $446.436,60 Problema Nº 13.Hace cinco años contraje la primera de 3 deudas en años consecutivos, por $1.000.000, $1.5001.000 y $1.800.000, al 15%, 18% y 20% efectivo anual para cancelarlas en 10, 8 y 12 años respectivamente. Hoy puedo hacer una inversión al 24% anual para cancelar las deudas en el tiempo previsto. Calcular el valor de la inversión. Solución: $6.080.358,38

Problema Nº 14.Un capital de $1.000.000 se coloca a la tasa de 24% nominal anual de capitalización trimestral durante los primeros 4 años y a la tasa efectiva de 19,25% anual durante los siguientes seis años. ¿Qué cantidad de dinero se debe depositar a finales del sexto año para poder retirar exactamente . $5.000.000 y $ 8.000.000 a finales de los años 8 y 10 respectivamente. Solución: 3.859.208,74

Problema Nº 15.Un capital de $1.000.000 se coloca a la tasa de 24% nominal anual de capitalización trimestral durante 8 meses y a la tasa efectiva de 19.25% anual durante los siguientes 10 meses. ¿Qué cantidad de dinero se debe depositar a finales del primer año para poder retirar exactamente $2.000.000 y $800.000 en los meses 15 y 18 respectivamente.

Solución: 1.407.906,43

Problema Nº 16.Se coloca una cantidad de dinero a una tasa efectiva de 3 % mensual para cancelar tres obligaciones por $2.000.000, $3.000.000 y $4.000.000 que vencerán en los meses 6, 9 y 14 respectivamente. En el mes 12 se retiran . $1.500.000 y aun así se puede cancelar la tercera obligación sin que sobre ninguna cantidad de dinero. Calcular la cantidad colocada inicialmente. Solución: $7.670.759,75

Problema Nº 17.Un inversionista coloca un capital a una tasa de 18% nominal anual capitalizable semestralmente durante 12 años. Si el total de intereses devengados entre el final del año 5 y el final del año 10 es de $16.185.235,47, calcular el capital al final de los 12 años. Solución: $39.555.415,87

Problema Nº 18.Se coloca $1.000.000 al 30 % nominal anual capitalizable mensualmente para reunir un capital a los 20 años. Si la tasa cambia a 24% anual capitalizable trimestralmente a partir de finales del séptimo año, calcular la cantidad que debe depositarse al término del año 14 para reunir el mismo capital al final del año 20. Solución: $83.066.404

Problema Nº 19.Dos capitales que suman $9.000.000 se colocaran a una tasa de 12% efectivo anual. El primer capital por 10 años y el segundo capital por 5 años. Los intereses producidos por las dos colocaciones fueron iguales. Calcular el valor de los dos capitales. Solución: $2.392.127,80 y $6.607.872,20

Problema Nº 20.Se coloca $1.000.00 al 1% efectivo mensual. Al finalizar el quinto año se retiró cierta cantidad de dinero. Al término del séptimo año se retiraran $200.000. Al final de los años 9, 10 y 11 se depositaran $100.000, $120.000 y $150.000 respectivamente. Calcular la cantidad retirada el quinto año si el monto al finalizar el año 20 fue de $2.000.000 y la tasa al comienzo del décimo año aumentó a 15% nominal anual con capitalización semestral. Solución: $1.602.631,24

Problema Nº 21.Se coloca una cantidad de dinero hoy a una tasa de 28% nominal anual con capitalización trimestral para reunir $10.000.000 dentro de 5 años. Sin embargo desde el mes 15 hasta el mes 24, ambos inclusive, se retiraran los intereses ganados en esos meses y a finales del mes 40 se efectuó un depósito igual a los intereses ganados en los 7 meses anteriores. ¿Que cantidad debe depositarse al final del mes 50 para alcanzar el objetivo de reunir los $10.000.000 al término del año 5?

Solución: $514.703,15

Problema Nº 22.Se colocan hoy $20.000.000 en una institución financiera, a una tasa efectiva de 32% anual, para cancelar una deuda que vence dentro de 34 meses. El deudor se propone hacer ajustes inmediatos (depósitos o retiros) cuando se modifique la tasa de interés de la colocación, a fin de cancelar la deuda en la fecha prevista. Al final del mes 14 la tasa de interés bajó a 20% nominal anual capitalizable trimestralmente y al final del mes 29 la tasa aumentó a 27% efectiva anual. Calcular le valor de los dos ajustes. Solución: $733.160,14

Problema Nº 23.Una persona deposita hoy en una institución financiera una determinada cantidad de dinero a una tasa de 36% nominal anual con capitalización mensual, para cancelar dos deudas por $50.000.000 y $70.000.000 que vence a finales de los meses 18 y 26 respectivamente. Al comienzo del segundo año, la tasa que paga la institución financiera disminuye a 21% efectivo anual y al término del mes 16 el deudor realiza un depósito de $5.000.000 en el mismo fondo. Al momento de cancelar la primera deuda, el deudor decide depositar en el fondo la cantidad que le falta para cancelar exactamente la segunda deuda que vence al final del mes 26. Calcular el valor de este depósito. Solución: $9.529.998

EJERCICIOS DESCUENTO

Nº 1.- Si un banco desea ganar 65% anual en el descuento racional de documentos, ¿qué tasa de descuento comercial debe utilizar si el plazo es de : a)

3 meses

b)

9 meses.

R: a) 55,91%, b) 43,69%

Nº 2.- El banco M descuenta a un cliente al 60% anual, un pagaré con valor nominal de $2.500.000 que vence en 60 días. Ese mismo día el banco M descuenta al banco H ese mismo documento al 53%. ¿Cuál fue la utilidad del banco M? (Suponga que ambos descuentos son comerciales). R: $29.166,67

Nº 3.- El señor A le debe al señor B la cantidad de $5.000.000. Este acepta como pago un documento a 90 días. Si el señor B puede descontar este documento de inmediato en un banco que aplica un tipo de descuento racional del 50% anual. ¿Cuál debe ser el valor nominal del documento para que el señor B reciba del banco hoy $5.000.000? R: $5.625.000

Nº 4.- Una persona firma una letra por $385.000 con vencimiento en 6 meses. A esta persona se le entrega el valor actual de dicha letra aplicando un descuento comercial del 25% anual. Sin embargo, una vez transcurridos 2 meses descontamos esta letra a una tasa del 20% anual de descuento racional. Determine la ganancia o pérdida en la operación y la tasa anual de interés simple de toda la operación. R: $24.062,50, 42,86%

Nº 5.- Un documento que vence en 120 días tiene un valor actual de $1.000.000 y paga un interés de 24% anual de interés simple al vencimiento. a)

Si un comprador lo adquiere 30 días antes de su vencimiento por $1.050.000,

¿cuál es la tasa anual de descuento comercial aplicada? b)

¿Qué tasa anual de interés simple obtiene?

R: a) 33,33%, b) 34,29%

Nº 6.- A una persona se le vence hoy un pagaré por $1.200.000, dentro de 30 días se le vence otro pagaré por $1.000.000. Sesenta días después del vencimiento del primer pagaré, conviene pagar a su acreedor $1.500.000 y recoger los dos pagarés firmados reemplazándolos por uno solo a 90 días, contados a partir de ese momento, Si la tasa de interés simple acordada es de 9 % mensual, determine el pago convenido usando como fecha focal el

momento del acuerdo.

R: $1.277.620

Nº 7. Una compañía desea obtener un préstamo que hoy sea de $1.000.000 y firmar por el un pagaré con vencimiento a 6 meses. Para ello se dirige a dos bancos de los

cuales recibe las siguientes proposiciones: Banco A: Tasa de descuento comercial del 10 % anual más una comisión del 5 % sobre los primeros $500.000 y el 1 % sobre el resto del valor nominal. Banco B: Tasa de descuento comercial del 9% anual mas una comisión del 7 % sobre los primeros $500.000 y ½ % sobre el resto del valor nominal. ¿Cuál es el banco que más le conviene a la compañía? R: Banco A

Nº 8. Una empresa firma un documento de crédito a noventa días, cuyo valor al vencimiento es de 198.900 dólares. A los 15 días lo descuenta comercialmente al 38% anual en el banco A. Un mes más tarde, el banco A lo redescuenta comercialmente en el banco B al 39% anual. Determine la tasa de interés simple anual que gana el banco A y la tasa de interés simple anual que gana el banco B. ¿Cuál es la tasa de interés simple que paga la empresa? R: 39,64% / 41% / 34,39%

Nº 9.- Un inversionista realiza las siguientes operaciones durante un año: a)

Durante los tres primeros meses coloca un capital de $3.000.000 en un FAL al

37% nominal anual con capitalización diaria (360). b)

Con el capital final compra un giro que vencerá dentro de cuatro meses, que le

rinde 39% anual de interés simple. c)

A los dos meses descuenta el giro al 42% de descuento comercial.

d)

Los fondos obtenidos al descontar el giro los invierte en un depósito a plazo fijo al

40% anual capitalizable mensualmente. e)

¿Cuál es la tasa efectiva de toda la operación?

R: 45%

Nº 10.- Calcule el rendimiento anual obtenido al adquirir una letra del Tesoro al 95 % de su valor nominal, cuando faltan 270 días para su vencimiento, sabiendo que en este tipo de operaciones se utiliza el descuento racional. R: 7,02 %

Nº 11.- Un documento que vence en 120 días tiene un valor actual de Bs. 1 MM y paga un interés de 24 % anual simple al vencimiento. a)

Si un comprador lo adquiere 30 días antes de su vencimiento por 1.050.000,

¿cuál es la tasa de descuento comercial anual aplicada? b) R:

¿Qué tasa de interés anual simple obtiene? 33,33 %; 34,29 %

Nº 12.- Se adquiere una letra cuyo valor nominal es de $300.000 con vencimiento en 10 meses; descontada a una tasa de descuento comercial del 30 % anual. Transcurridos 3 meses se descuenta esta letra a una tasa de descuento racional de 28 % anual. El dinero obtenido se coloca en una cuenta en un banco cuyo saldo en ese momento es de $500.000 a una tasa nominal de 38 % anual con capitalización mensual. Cuatro meses mas tarde con el dinero de esa cuenta se adquiere otra letra con vencimiento en 9 meses y con un valor nominal de $961.443,80. Determine la tasa de interés compuesto con capitalización mensual aplicada en la adquisición de esta última letra. Nº 13.- Un banco carga el 6 % de interés simple por adelantado en un préstamo a corto plazo. Determine la cantidad recibida por una persona que solicita $1.500.000 a 60 días y la tasa de interés anual de la operación. R: $.1.485.000 y 6,06 %

Nº 14.- Se tienen 3 giros por 2.000, 5.000 y 7.000 dólares, que vencen a 30, 60 y 90 días respectivamente. Se quieren sustituir por un giro que venza a los 72 días. Determine el valor nominal del nuevo giro si el descuento es racional al 6% anual. R: 14.000 dólares

Nº 15.- Se poseen dos pagarés de 4.000 y 8.000 dólares, con vencimiento a 3 y 5 años respectivamente y se les desea sustituir por dos pagos iguales con vencimiento a 2 y 4 años. Suponiendo un interés del 5% capitalizable trimestralmente, halle el valor de los pagos

R: $5.527,32

Nº 16.- Se debe efectuar el pago de 10.000 dólares, dentro de 40 días y queremos hacer un pago dentro de 20 días y otro dentro de 90 días. ¿Qué cantidad se debe hacer efectiva en cada fecha si aplicamos una tasa de descuento comercial de 10 % anual, y suponemos que 40 días es el vencimiento medio? R: 7.159,22 y 2.840,78 dólares

Nº 17.- Deseamos sustituir un giro de 20.000 dólares, con vencimiento a 80 días por otros tres: uno de 3.000 dólares a 20 días, otro de 8.000 dólares a 45 días y un tercer giro que venza a 80 días. Calcule el valor del último giro, si la tasa de descuento comercial es de 7 % anual. R: 8.909,15 dólares

Nº 18.- Un cliente nos debe 80.000 dólares, que vencieron hace 5 meses, 125.000 dólares, con vencimiento en el día de hoy, 200.000 dólares que vencen en 14 meses y 235.000 dólares, con vencimiento en 18 meses. Para pagar su deuda este cliente acepta una letra de cambio a 8 meses. A esta operación se le aplicó una tasa de 1,5% efectivo mensual. Una vez transcurridos 4 meses se descuenta la letra a una tasa de 25% nominal anual con capitalización mensual. Determine la cantidad de dinero que se recibe al descontar la letra. R: 573.951,21

Nº 19.- Una persona tiene las siguientes obligaciones: 10.000 dólares dentro de 36 meses, 40.000 dólares dentro de 20 meses y un giro de 50.000 dólares, que venció hace 17 meses. Hoy abona 20.000 dólares, mas el 25 % del valor actual de la deuda y pide al acreedor que emita dos letras de valores nominales iguales que consoliden las deuda al cabo de 8 meses y 15 meses a partir de ahora. ¿Cuánto será el valor de los pagos requeridos si la tasa de interés es de

12%

efectivo anual con capitalización semestral? R: 30.195,70 dólares

Nº 20.- Se tienen tres giros, uno vencido hace año y medio, otro de 10.000 euros que vence dentro de año y medio, y otro de 5.000 euros, con vencimiento dentro de 40 meses. Se reemplazan estas obligaciones por dos giros de 15.000 euros cada uno, que vencen uno dentro de dos años y el otro dentro de 30 meses. Determine el valor del primer giro si el interés es: a)

12 % anual con capitalización trimestral

b)

12 % efectivo anual con capitalización bimensual

R: $9.427,00 y $9.612,25

Problema Nº 1.-

¿Cuál es el valor actual de un documento de crédito, cuatro meses antes de su vencimiento, si su valor nominal es de $2.000.000 y se descuenta comercialmente a una tasa de 39% anual? R: $1.740.000

Problema Nº 2.-

¿Cuál es el valor nominal de un pagaré que se descuenta por $650.000, cinco meses antes de su vencimiento, en un banco que aplica una tasa de 48% anual de descuento comercial? R: $812.500

Problema Nº 3.-

Un banco "A" descuenta un pagaré por $8.000.000 al 10% anual de descuento comercial, 90 días antes de su vencimiento. Quince días después el banco "A" lo redescuenta en otro banco "B" a una tasa de 9% anual de descuento comercial. Calcular la utilidad del banco "A". R: $50.000

Problema Nº 4.-

Compramos una máquina por $5.400.000. Entregamos $2.400.000 de inicial y por el resto firmamos dos letras de cambio del mismo valor nominal cada una para ser canceladas a 90 y 180 días respectivamente. Si se aplica a la operación una tasa de 12% anual de descuento comercial, calcular el valor nominal de cada letra. R: $1.570.680

Problema Nº 5.Un comerciante vende una mercancía y recibe una letra de cambio con un valor nominal de $1.000.000 y vencimiento en 4 meses. La letra produce intereses simples a razón de 18% anual. Un mes después el comerciante descuenta la letra en un banco que aplica una tasa de descuento comercial de 24% anual. Calcular la tasa de interés simple que gana el banco. R: 25,53%

Problema Nº 6.-

Una letra de cambio con vencimiento en 9 meses se adquiere a una tasa de descuento comercial de 20% anual. Transcurridos 6 meses se descuenta esta letra a una tasa de 30% anual de descuento comercial. El dinero obtenido se coloca en un banco a una tasa de 36% nominal anual con capitalización mensual. Diez meses más tarde, con el dinero que tiene esa cuenta se adquiere una letra de cambio, aplicando una tasa de 48% anual de descuento comercial. Esta segunda letra tiene un valor

nominal de $12.000.000 y vence a los 15 meses. Calcular el valor nominal de la primera letra. R: $3.571.650

Problema Nº 7.-

Se adeudan tres letras a 30, 60 y 180 días. El valor nominal de la primera letra es dos veces el valor nominal de la segunda letra y cuatro veces el valor nominal de la tercera. Se propone sustituir estas tres letras por dos letras a 60 y 120 días respectivamente, aplicando una tasa de 24% anual de descuento comercial. Si el valor nominal de cada una de las dos letras propuestas es de $1.000.000, ¿cuál es el valor nominal de cada una de las letras?

R: $1.119.047; $559.523; $279.761

Problema Nº 8.-

Se emiten tres letras con los montos y plazos que se describen a continuación: la primera por $8.000.000 a 6 meses, la segunda por

$5.000.000 a 9 meses y la

tercera por $6.000.000 a 10 meses. Transcurridos tres meses se decide sustituir estas tres letras por una cancelación única de $18.000.000. La tasa es de 36% anual de descuento comercial. Determinar el vencimiento común y el vencimiento medio de la nueva obligación. R: 3,48 meses; 5,05 meses

Problema Nº 9.-

Se tiene un documento de crédito por 180.000 euros con vencimiento a 90 días que gana intereses simples al 42% anual. A los 15 días es descontado comercialmente al 38% anual en el banco A. Un mes más tarde es redescontado comercialmente en el banco B al 39% anual. Calcular la tasa anual de interés simple que gana el banco A y la tasa anual de interés simple que gana el banco B. R: 39,64%; 41%

Problema Nº 10.Se tienen las siguientes deudas: $350.000 con vencimiento a los 15 meses, $450.000 con vencimiento a los 36 meses y $550.000 con vencimiento a los 48 meses. Se desea refinanciar estas deudas mediante tres pagos cada uno con 12 meses de diferencia a partir de hoy, de tal forma que el primer pago sea la mitad del segundo y el doble del tercero. Calcular el valor de cada pago asumiendo una tasa de descuento de 36% de descuento racional. R: $319.450; $638.901; $159.725

Problema Nº 11.-

Uno de nuestros clientes nos firma una letra por $3.850.000 con vencimiento en 6 meses. A este cliente se le entrega el valor actual de dicha letra aplicando una tasa de descuento comercial de 25% anual. Una vez transcurridos dos meses descontamos esa letra a una tasa de 20% anual de descuento racional. Calcular la ganancia o pérdida obtenida en la operación. R: $240.625

EJERCICIOS DE RENTAS

Problema Nº 1.-

Se obtuvo un préstamo de $10.000.000 para cancelarlo mediante 16 cuotas trimestrales a una tasa de 31.125 % nominal anual capitalizable semestralmente. Calcular la cuota trimestral. R: $1.093.911

Problema Nº 2.-

Obtenemos un préstamo de $5.000.000 a una tasa de 30% nominal anual con capitalización mensual para cancelarlo en 24 mensualidades. Al pagar la décima cuota, decidimos amortizar el saldo deudor. Calcular la cantidad que debemos pagar. R: $3.268.359

Problema Nº 3.-

Se obtiene un préstamo por $20.000.000 a una tasa de 36% nominal anual

capitalizable mensualmente para cancelarlo en 24 cuotas mensuales y dos cuotas anuales extraordinarias de $5.000.000 cada una. Calcular el valor de las cuotas mensuales. R: $828.637

Problema Nº 4.-

Un banco le concede un préstamo hipotecario de $50.000.000 para la compra de un apartamento. El préstamo se cancelará en diez años en diez años mediante el pago de cuotas mensuales de $500.000 y cuotas especiales que se pagarán al final de cada año. La tasa afectiva de interés es de 2% mensual. Calcular el valor de las cuotas anuales. R: $8.079.465

Problema Nº 5.-

Con el fin de construir un fondo para nuestro retiro depositamos en una institución financiera, al final de cada mes, la suma de $50.000 durante 20 años a una tasa efectiva de 1% mensual. Al final de los 20 años esperamos retirar de dicho fondo la cantidad de

$709.647 mensuales durante 10 años. Calcular la cantidad que

tendremos disponibles en el fondo luego de transcurridos 25 años contados a partir de hoy. R: $31.902.211

Problema Nº 6.-

Una Entidad de Ahorro y Préstamo ofrece un fideicomiso que consiste en depositar 1.000 dólares mensuales, al principio de cada mes durante 20 años a cambio de 40.000.000 de dólares, pagaderos dentro de 20 años. Una compañía de seguros ofrece un plan de jubilación con cuotas de 5.000 dólares trimestrales durante 20 años y al cabo de 20 años entrega 55.000.000 de dólares ¿Cuál es la tasa de interés efectiva aplicada en cada caso? R: 42,31% y 41,20%

Problema Nº 7.-

Un préstamo se debe cancelar en 5 años mediante cuotas mensuales. La tasa de interés es de 24% nominal anual capitalizable mensualmente y el saldo por pagar al final del tercer año es de $8.161.727,53. Calcular la cuota mensual y la cantidad prestada. R: $15.000.000

Problema Nº 8.-

Un inversionista coloca en un Banco 40.000 euros anuales, al final de cada año, durante diez años al 28% efectivo anual. Calcule los intereses devengados en el

segundo quinquenio. R: $995.705

Problema Nº 9.-

Una empresa debe

hacer

10 pagos

trimestrales de $5.000.000 cada uno,

comenzando dentro de tres meses. La empresa decide cambiar este plan de pago por otro en el que hará 18 pagos mensuales vencidos. La tasa efectiva de interés es de 30% anual. Calcular el valor de los pagos mensuales R: 2.410.475

Problema Nº 10.-

Dentro de siete años queremos comenzar a disfrutar de una renta vencida de 1.000 dólares, durante diez años. Para ello depositamos al final de cada mes, durante cuatro años 1.000 dólares y efectuamos un depósito especial de 22.477,41 dólares. Si la tasa de interés es del 6% anual con capitalización mensual, ¿en qué fecha debe hacerse el depósito especial? R: a los 60 meses

Problema Nº 11.-

Se solicita un préstamo de $10.000.000 para cancelarlo en 5 años, mediante cuotas mensuales y una cuota especial de $43.000.000 que será cancelada al final del quinto

año. Si la tasa de interés es de 48% nominal anual de capitalización mensual, calcular el valor de las cuotas mensuales y la cantidad total de intereses pagados durante los 5 años. R: $429.412,92 $18.764.774,95

Problema Nº 12.-

Con el fin de constituir un fondo para nuestro retiro depositamos al final de cada mes, durante treinta años, la suma de 5.000 euros, en una cuenta que capitaliza sus intereses mensualmente. A partir del final de los treinta años esperamos retirar de dicha cuenta la suma de 150.000 euros mensuales por espacio de 20 años. Determinar la cantidad que tendremos disponible en nuestro fondo luego de transcurridos 40 años contados a partir de hoy. La operación se realiza a una tasa de interés de 12% nominal anual de capitalización mensual. R: 23.167.865,69 euros

Problema Nº 13.-

Se deposita una renta durante 15 años. Determine el valor final de la renta si se depositan cuotas anuales vencidas de 10.000 euros, durante los primeros cinco años, cuotas anuales vencidas de 20.000 euros, durante los siguientes cinco años y cuotas anuales vencidas de 30.000 euros, durante los últimos cinco años. Las respectivas tasas de interés son 12% anual con capitalización mensual durante los cinco primeros años, 8% anual con capitalización trimestral los cinco años siguientes y 6% anual con capitalización semestral los cinco últimos años. R:

Problema Nº 14.-

Una empresa se endeuda con un banco por un monto de 50.000.000 dólares a una tasa de 12% nominal anual con capitalización mensual. La empresa pagará cuotas semestrales vendidas durante 15 años. Cuando han transcurrido 6 años, contados desde el inicio de la operación, la empresa se ve obligada a renegociar el pago de su deuda. El banco y la empresa acuerdan las siguientes condiciones a partir de ese momento: 1)

El banco concede tres años de gracia.

2)

Se reduce la tasa de interés a 5% efectiva semestral.

3) Se aumenta el plazo a 20 años contadas desde el inicio de la operación. Calcular el valor de la nueva cuota. R: 4.004.168 dólares

Problema Nº 15.Se quiere reunir un capital de $20.000.000 dentro de 5 años mediante depósitos constantes y vencidos realizados a finales de cada mes, a una tasa de 36% nominal anual de capitalización mensual. A finales del año 3 la tasa disminuye a 26,824% efectivo anual y durante todo el año no se realizan depósitos. Calcular el valor de los depósitos mensuales que deben hacerse durante el año 5 para reunir los $20.000.000 al finalizar el quinto año. . R: $560.416,10

Problema Nº 16.Una caja de ahorros establece en sus estatutos que la tasa de interés mensual de los

préstamos hipotecarios será de 18% nominal anual con capitalización mensual. Sin embargo, si el socio se retira de la caja de ahorros

la tasa de interés que se le

colocará sobre los saldos deudores será de 42,57% efectiva anual por el período que falta para amortizar el préstamo. Uno de los socios obtuvo un préstamo de $8.000.000 para cancelarlo en 10 años, mediante cuotas mensuales. El socio decide retirarse de la caja de ahorros después de pagar la cuota 70. Calcular la nueva cuota mensual que debe pagar.

R: $196.081 Problema Nº 17.-

Se desea recibir una renta mensual vencida de 100.000 dólares, durante 120 meses dentro de 5 años, ¿qué renta anual anticipada se debe depositar durante 5 años a partir de ahora a una tasa del 36% nominal anual con capitalización mensual? R: 197.629,15 dólares

Problema Nº 18.-

Se desea recibir una renta trimestral vencida de $4.000.000 durante 15 años dentro de 20 años, ¿qué renta mensual anticipada se debe depositar durante 20 años a partir de ahora a una tasa del 40% efectivo anual? R: $1.498,40

Problema Nº 19.-

Encuentre la cuota de una renta anual anticipada, de valor final 10.000 dólares,

durante 30 años si el banco paga 6% efectivo anual durante los 10 primeros años y 8% efectivo anual durante los 20 años restantes. R: 87 dólares

Problema Nº 20.-

Una persona contrajo una deuda por 41.000.000

para cancelarla

en 60

cuotas constantes, mensuales y vencidas a la tasa de 36% nominal anual con capitalización mensual. Durante los primeros dos años los pagos se realizaron mensualmente, pero en los siguientes 6 meses sólo se pagan los intereses correspondientes. En los diez meses siguientes se continuó pagando la cuota original del préstamo más 10.000 dólares adicionales cada mes, y al final de dicho periodo se interrumpieron los pagos, durante 5 meses. Al término de este último período, el deudor comenzó a pagar una nueva cuota para cancelar el préstamo en el tiempo previsto. Calcular el valor de la nueva cuota. R: 51.594 dólares

Problema Nº 21.-

Una empresa se endeuda con un banco por un monto de $5.000.000 a una tasa de 12% nominal anual capitalizable

semestralmente. La empresa pagará cuotas

semestrales vencidas durante 15 años. Cuando han transcurrido 6 años contados

desde el inicio de la operación, la empresa se ve obligada a renegociar el pago de su deuda. El banco y la empresa acuerdan las siguientes condiciones a partir de ese momento: 1) El banco concede tres años de gracia. 2) Se reduce la tasa de interés a 5% efectivo semestral 3) Se aumenta el plazo a 20 años, contados a partir del inicio de la operación Se pide: a.-) Hallar el valor de la nueva cuota b.-) Calcular el total de interés pagados en cada una de las dos etapas de la operación.

R: $400.416; $3.933.067

RENTAS VARIABLES

Problema Nº 22.-

Una maquinaria tiene un costo inicial de $1.000.000 y costo de mantenimiento anual de $100.000 el primer año con un incremento del 25% anual durante 5 años, al final del cual se vende por $200.000 (valor de salvamento). a)

¿Cuál es el valor presente de los costos a una tasa de 30% efectiva anual?

b)

¿Cuál es el costo mensual equivalente? R:

$1.302.280 y $39.393

Problema Nº 23.-

Un ingeniero estima que un grupo de pozos producirá petróleo durante 20 años. La producción actual es de 3.000.000 de barriles a partir del primer año, disminuyendo 150.000 barriles por año. Se estima un precio de 18 dólares por barril los próximos 5 años y de 25 dólares por barril del sexto año en adelante. Calcule el valor presente de la producción total con una tasa del 12%

R: 322,60 MM

Problema Nº 24.-

Un activo tiene ingresos anuales de $14.000.000 al final del primer año, incrementándose $1.000.000 anual y costos de $8.000.000 al final del primer año, incrementándose 20% anual. Si el activo está en funcionamiento mientras que el ingreso supera al costo, calcule el valor futuro neto en el último año de operación con una tasa de 10% anual. Grafique Ingreso y Costo en función del número de años n. R: 26.297 MM

Problema Nº 25.Para cancelar una deuda de 5.000 dólares, se efectúa un pago de 500 dólares al final

del primer año, aumentando 500 dólares anuales hasta el cuarto año más una cuota especial al final del quinto año. Halle el monto de la cuota especial si la tasa de interés es de 8% efectivo anual. Si se ofrece como alternativa cancelar 2.000 dólares en el 5º año y cuatro cuotas iguales los años anteriores ¿cuáles serían estas? R: 1.497,22 y 1.098,64 dólares

EJERCICIOS DE AMORTIZACION

Nº 1.-Una deuda de $5.000.000 se debe cancelar en 10 años por medio de cuotas mensuales y de acuerdo al sistema de amortización progresiva. Si la tasa es de 30% efectivo anual, calcule el balance al final del 5º año. R: $3.938.870; $31.404; $87.743

Nº 2.- Una deuda de $4.000.000 se debe cancelar en 5 años por medio de cuotas mensuales iguales, además de 5 cuotas especiales

anuales de $500.000. Si la

tasa es de 48% nominal anual capitalizable mensualmente, calcule la cuota mensual constante. R: $143.529

Nº 3.- Una deuda de 100.000 dólares se debe cancelar en cuatro años con cuotas anuales iguales. Si la tasa es de 10% efectiva anual, calcule a)

la cuota anual

b)

la nueva cuota si al final del 2º año la tasa cambia al 15% efectiva anual

R: 31.547; 33.678 dólares

Nº 4.- Una deuda puede ser cancelada por el método de amortización progresiva en 6 cuotas mensuales iguales y vencidas de $92.298,75. Si la tasa de interés aplicada es del 3% efectivo mensual, ¿cuál es el monto de la deuda y el total de los intereses pagados? Si la misma deuda fuese cancelada por el método de amortización constante en 5 pagos mensuales vencidos, ¿cuál sería el total de los intereses pagados? Haga el cuadro de amortización. R: $500.000 y $53.793; $45.000

Nº 5.- Se solicita un préstamo de $6.000.000 a pagar en 24 cuotas mensuales vencidas al 24% anual capitalizable mensualmente por el método de amortización constante. a)

¿Cuál es el saldo deudor y la cuota total al final del mes 12?

b)

Si el segundo año la tasa baja al 18% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál

sería la cuota final?, calcule el valor presente de los intereses cancelados en los dos años. R: $3.000.000; $ 315.000; $253.750; $1.402.500

Nº 6.- Para cancelar un préstamo de 100.000 dólares, se pagan intereses del 12% anual capitalizable mensualmente durante 12 meses y además se crea un fondo de amortización mediante depósitos mensuales anticipados que generan intereses del 6% anual con capitalización mensual para obtener un monto final igual al principal de la deuda. Construya el cuadro de amortización y halle la tasa real de toda la operación.

i= 20% efectiva anual Nº 7.-Un préstamo de 15 MM es cancelado mediante cuotas mensuales vencidas de 533.597,49 euros, durante 10 años. a)

¿Cuál es la tasa efectiva anual aplicada? ¿Cuál es el monto total de los intereses

pagados? Determine el balance de los intereses y la amortización al final del quinto año. b)

Si el préstamo se cancela mediante cuotas de amortización mensuales y

constantes, ¿cuál es el valor actual de los intereses totales cancelados manteniendo la tasa de interés? c)

Si se desea pagar anualmente sólo intereses y amortizar los 15 MM al final de los

10 años, se puede crear un fondo con depósitos semestrales anticipados que ganan una tasa de interés de 36% anual con capitalización mensual. ¿Cuál sería el valor de los depósitos semestrales? ¿Cuál es la tasa de interés de la operación? 51,11% anual; 49.031.698; 31.762.500; 72.268 euros Tasa: 42,58%

Nº 8.- La caja de ahorros de una empresa otorga un préstamo de $100.000 a uno de sus afiliados a pagar en 5 meses y ofrece tres alternativas para cancelar la deuda: 1) La primera (A) consiste en amortizar el capital mediante cinco cuotas iguales pagaderas al final de cada mes más el 1,5% mensual sobre el saldo deudor. 2) En la segunda (B) el capital se paga al final pero los intereses se cancelan mensualmente sobre el saldo deudor a la misma tasa. 3) En la tercera (C) el capital y los intereses acumulados se pagan al final. Construya las tablas de amortización.

Nº 9.- Se solicita un préstamo para ser cancelado mediante cuotas constantes

mensuales durante 10 años a razón de 24% anual capitalizado mensualmente por el sistema francés. Cuando han transcurrido 4 años decidimos cambiar al sistema alemán con pagos mensuales a razón de 20% anual con capitalización mensual, respetando el plazo original de vencimiento. Cuando faltan dos años para terminar de cancelar la obligación decidimos nuevamente modificar la forma de cancelación y constituimos un fondo de amortización con pagos quincenales constantes que paga un interés de 30% anual con capitalización quincenal, cuyo saldo a los dos años nos permitirá cancelar la deuda , y cancelar intereses de forma mensual a razón de 2% efectivo mensual. Si la cuota de este fondo de amortización es de $17.538,26, calcule el monto del préstamo R: $4.098.000

Nº 10.- Un banco hipotecario ofrece un préstamo para vivienda a pagar en 10 años mediante cuotas mensuales de 30.000 dólares y pagos especiales anuales de 100.000 dólares. Si el banco aplica una tasa efectiva anual de 50%, ¿cuál es el monto del préstamo? R: 1.053.560 dólares

Nº 11.- Nos ofrecen dos opciones para la cancelación de un préstamo de $1.000.000. La primera consiste en el pago de 60 cuotas mensuales inmediatas y vencidas de $28.767,97 cada una.

La segunda supone la constitución de un fondo de

amortización de cuotas mensuales inmediatas y vencidas por 5 años y pagos de intereses mensuales hasta la cancelación total del préstamo a razón del 25% anual. Calcule cuál es la tasa mínima que debe pagar el fondo para que resulte conveniente la segunda opción R: 1,62% mensual

V RECURSOS COMPLEMENTARIOS

ARYA,JADINSH C. y LARDNER, ROBIN W. Matemáticas aplicada ala administración y economía. Pearson educación, México, 2002. Páginas 219, 220 y 221

http://filemon.upct.es/~juan/docencia/matbas/problemas

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía Primaria ARYA, JADINSH C. y LARDNER, ROBIN W. Matemáticas aplicada ala administración

y economía. Pearson educación, México, 2002.

AYRES, JR. FRANK. Matemáticas Financieras, Mc Graw Hill, México 27

GARCÍA, JAIME A. Matemáticas financieras con ecuaciones de diferencia finita. 5ta edición, Pearson Educación de Colombia Ltda, 2008

LINCOYAN PORTUS G. Matemáticas Financieras, 4° edición 1998

DÍAZ MATA ALFREDO y AGUILERA G. VÍCTOR MANUEL. Matemáticas Financiera. Segunda Edición. Editorial Mc. Graw Hill. Ejercicios Propuestos. 1.998

Recursos de Internet

http://www.matematicas-financieras.com/ http://www.geocities.com/funcion_ve/ http://www.aulafacil.com/ http://www.estudiagratis.com/ http://ar.emagister.com/cursos-gratis/problemas-resueltos-matematicas-financiera http://ar.emagister.com/cursos-gratis/problemas-resueltos-matematicas-financieracursos-2511386.htm http://ares.unimet.edu.ve/faces/matfin/guias.html

MATEMÁTICA FINANCIERA MAT - 121

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