Matemática Financeira e Engenharia Econômica.pdf

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA

ENGENHARIA ECONÔMICA

Antonio Victorino Avila Engº Civil, MSc

Cursos de Engenharia Florianópolis-SC 2010-7

 ∴

MatemFinanceira~AULAS~abril2010


Original: INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS Engº Civil Antonio Victorino Avila, MSc. Florianópolis - SC 1ª versão, 1983 – ELETROSUL. ELET ROSUL. Versão 5.2, julho de 2.010. Nº páginas: 165.

Copyright do autor


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O objetivo deste opúsculo é disponibilizar ao aluno dos cursos de engenharia uma expressão documental coerente com o conteúdo a ser ministrado de modo que o mesmo possa acompanhar as discussões realizadas em sala de aula. Visando o bom aproveitamento das aulas é imprescindível que o aluno aluno disponha disponha da ultima ultima versão atualizada do opúsculo. Isto porque, comentários sobre o conteúdo conteúdo teórico, demonstrações demonstrações matemáticas matemáticas e os exercícios a serem resolvidos estão nela contidos. Recomenda-se consultar a bibliografia apresentada, pois o conteúdo exposto não esgota o assunto.

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9.1 - Definições

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9.2 - Decisão 9.3 – Discutindo a TIR e a TMA

107 107

A.1 – Caso: Análise de Fluxo de Caixa.

107

9.4 – Utilização recomendada.

107

A.2 - Caso: Métodos de amortização.

107

A.3 – Caso: Viabilidade de troca de lâmpadas A.4 – Caso: Aquisição de impressora.

107

9.4.1 - Caso de títulos mobiliários 9.4.2 - Caso de financiamentos. 9.4.3 – Caso de investimentos produtivos

9.5 – Calculo da TIR.

9.5.1 – Função Polinomial 9.5.2 - Processo da Bisseção. 9.5.3 – Aplicação da metodologia

9.6 - Existência de múltiplas TIR 9.6.1 – Conceituação. 9.6.2 – Exemplo

9.7 – Exercícios. 10. Métodos Algébricos.

107 107 107

107 107 107

107 107

10.3 - Caso de Prestações Crescentes. 10.4 – Caso de Prestações Decrescentes.

107

10.5 - Exercícios.

107

107 107 107

11.1 – Definição 11.2 – Tipos de comissionamentos

107

11.3 – Metodologia.

107

11.4 - Leasing-back. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

107 107 107

107

11.3.1 – Decisão. 11.3.2 - Compra a vista 11.3.3 - Compra a prazo 11.3.4 - Aluguel com devolução do bem 11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem

107

107

10.1 – Fórmulas de Karpin 10.2 - Caso de Prestações Constantes.

11. – – Comissionamento de Ativos.

11.5 - Exercícios

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9.1 - Definições

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9.2 - Decisão 9.3 – Discutindo a TIR e a TMA

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A.1 – Caso: Análise de Fluxo de Caixa.

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9.4 – Utilização recomendada.

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A.2 - Caso: Métodos de amortização.

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A.3 – Caso: Viabilidade de troca de lâmpadas A.4 – Caso: Aquisição de impressora.

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9.4.1 - Caso de títulos mobiliários 9.4.2 - Caso de financiamentos. 9.4.3 – Caso de investimentos produtivos


9.5.1 – Função Polinomial 9.5.2 - Processo da Bisseção. 9.5.3 – Aplicação da metodologia

9.6 - Existência de múltiplas TIR 9.6.1 – Conceituação. 9.6.2 – Exemplo

9.7 – Exercícios. 10. Métodos Algébricos.

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10.3 - Caso de Prestações Crescentes. 10.4 – Caso de Prestações Decrescentes.

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10.5 - Exercícios.

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11.1 – Definição 11.2 – Tipos de comissionamentos

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11.3 – Metodologia.

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11.4 - Leasing-back.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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11.3.1 – Decisão. 11.3.2 - Compra a vista 11.3.3 - Compra a prazo 11.3.4 - Aluguel com devolução do bem 11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem

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10.1 – Fórmulas de Karpin 10.2 - Caso de Prestações Constantes.

11. – – Comissionamento de Ativos.

11.5 - Exercícios

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1. Introdução 1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. A demanda por fatores necessários à produção de bens e serviços tais como: mão de obra; capital; terra; empresas; ou a capacidade técnica, requer remuneração e, conforme o caso, esta remuneração recebe denominação distinta, segundo o expresso na Fig.1.1.


O objetivo maior deste opúsculo, então, é dispor ao interessado de um conjunto de metodologias que permitam a realização de um coerente processo de decisão quanto à escolha de investimentos produtivos ou a aplicação de capital que atenda, corretamente, aos preceitos da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. 1.2 – Premissas. A matemática financeira e a engenharia econômica, como instrumentos de apoio à tomada de decisão, se apóiam nas seguintes premissas: 1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a matemática financeira é amparar um processo de decisão capaz de eleger a alternativa de investimentos que maximize o lucro, a riqueza dos proprietários, sempre. 2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO. As decisões sempre devem enfocar o quanto uma ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de riqueza no futuro.

Nesta obra será discutida a remuneração do capital empregado, ou seja, os juros. E, os juros, tanto pode se relacionar a um empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica, como ao financiamento tomado na aquisição de bens ou a remuneração do capital de sócios. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Assim, ao ser analisado um empreendimento já em curso, a decisão presente em continuá-lo ou de alterar a sua aplicação ou objetivo deve basear-se em perspectivas futuras e não em resultados passados. 6-167


1. Introdução 1.1 – Remuneração dos Fatores de Produção. A demanda por fatores necessários à produção de bens e serviços tais como: mão de obra; capital; terra; empresas; ou a capacidade técnica, requer remuneração e, conforme o caso, esta remuneração recebe denominação distinta, segundo o expresso na Fig.1.1.


O objetivo maior deste opúsculo, então, é dispor ao interessado de um conjunto de metodologias que permitam a realização de um coerente processo de decisão quanto à escolha de investimentos produtivos ou a aplicação de capital que atenda, corretamente, aos preceitos da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. 1.2 – Premissas. A matemática financeira e a engenharia econômica, como instrumentos de apoio à tomada de decisão, se apóiam nas seguintes premissas: 1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a matemática financeira é amparar um processo de decisão capaz de eleger a alternativa de investimentos que maximize o lucro, a riqueza dos proprietários, sempre. 2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO. As decisões sempre devem enfocar o quanto uma ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de riqueza no futuro.

Nesta obra será discutida a remuneração do capital empregado, ou seja, os juros. E, os juros, tanto pode se relacionar a um empréstimo tomado por pessoa física ou jurídica, como ao financiamento tomado na aquisição de bens ou a remuneração do capital de sócios. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Assim, ao ser analisado um empreendimento já em curso, a decisão presente em continuá-lo ou de alterar a sua aplicação ou objetivo deve basear-se em perspectivas futuras e não em resultados passados. 6-167



No transcorrer deste livro, e para efeitos didáticos, serão utilizadas como nomenclatura apenas as duas primeiras, ou seja, a taxa nominal e a taxa real. f) Juros Descontados - os juros são ditos descontados quanto pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. Considerando que os juros efetivamente pagos são calculados sobre o capital efetivamente recebido, a taxa efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso. g) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados quando pagos na data de vencimento da operação financeira que lhe deu origem. Neste caso, os juros efetivamente pagos e pactuados são equivalentes, situação em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso.

Recomendação! Em estudos financeiros: 1º. Desenhe SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa; 2º. Escreva as formulas disponíveis; 3º. Visualize a solução dos problemas, compatibilizando as fórmulas com os fluxos de caixa!

Atendendo à recomendação, este procedimento facilita a adequada solução dos problemas de engenharia econômica!


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No transcorrer deste livro, e para efeitos didáticos, serão utilizadas como nomenclatura apenas as duas primeiras, ou seja, a taxa nominal e a taxa real. f) Juros Descontados - os juros são ditos descontados quanto pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. Considerando que os juros efetivamente pagos são calculados sobre o capital efetivamente recebido, a taxa efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso.

Recomendação! Em estudos financeiros:

g) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados quando pagos na data de vencimento da operação financeira que lhe deu origem. Neste caso, os juros efetivamente pagos e pactuados são equivalentes, situação em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso.

1º. Desenhe SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa; 2º. Escreva as formulas disponíveis; 3º. Visualize a solução dos problemas, compatibilizando as fórmulas com os fluxos de caixa!

Atendendo à recomendação, este procedimento facilita a adequada solução dos problemas de engenharia econômica!


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2.1 – Conceituações de Juros

Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas de juros acima mencionados, o princípio a ser estabelecido é que a remuneração do capital tomado emprestado, isto é, os juros, serão sempre calculados sobre a importância efetivamente recebida.

Juro, também denominado de interesse, é definido como a remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado como ao capital empregado em atividade produtiva.

Observando esse princípio, é possível verificar quando a taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas ou distintas.

No caso dos juros se referirem a uma operação financeira, alguns parâmetros devem ser estabelecidos ao ser pactuada a operação:

2.2 – Juros Simples

2. Matemática Financeira

  

A taxa de juros referente ao período da operação; As datas de pagamento ou vencimento dos juros; O período de capitalização ou contabilização dos juros.

2.2.1 – Definição O sistema de remuneração de capital sob o sistema de juros simples ocorre quando somente o principal rende juros durante o tempo em que foi pactuado o financiamento.

A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois sistemas, que diferem conforme a incidência dos juros sobre o capital:  Juros Simples;  Juros Compostos.

$

É importante ter em mente, sempre, que a taxa de juros efetivamente paga é aquela que incide sobre o capital efetivamente recebido ou disponível para o próprio manuseio. É comum em operações financeiras existirem taxas de abertura de crédito quando se toma uma importância em bancos ou financeiras. Ou, os juros serem pagos antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título de crédito. Ou, ainda, haver o pagamento de uma entrada no caso de financiamento de bens de consumo. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

S=P+J

1

2

3

n-1

n

P Fig. 2.1 – Diagrama tempo - dinheiro

O sistema de juros simples é caracterizado por serem os juros gerados durante o período pactuado para a operação financeira computados na data do vencimento desta operação. 11-167



2.1 – Conceituações de Juros

Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas de juros acima mencionados, o princípio a ser estabelecido é que a remuneração do capital tomado emprestado, isto é, os juros, serão sempre calculados sobre a importância efetivamente recebida.

Juro, também denominado de interesse, é definido como a remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado como ao capital empregado em atividade produtiva.

Observando esse princípio, é possível verificar quando a taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas ou distintas.

No caso dos juros se referirem a uma operação financeira, alguns parâmetros devem ser estabelecidos ao ser pactuada a operação:

2.2 – Juros Simples

2. Matemática Financeira

  

A taxa de juros referente ao período da operação; As datas de pagamento ou vencimento dos juros; O período de capitalização ou contabilização dos juros.

2.2.1 – Definição O sistema de remuneração de capital sob o sistema de juros simples ocorre quando somente o principal rende juros durante o tempo em que foi pactuado o financiamento.

A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois sistemas, que diferem conforme a incidência dos juros sobre o capital:  Juros Simples;  Juros Compostos.

$

É importante ter em mente, sempre, que a taxa de juros efetivamente paga é aquela que incide sobre o capital efetivamente recebido ou disponível para o próprio manuseio. É comum em operações financeiras existirem taxas de abertura de crédito quando se toma uma importância em bancos ou financeiras. Ou, os juros serem pagos antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título de crédito. Ou, ainda, haver o pagamento de uma entrada no caso de financiamento de bens de consumo.

S=P+J

1

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n-1

P Fig. 2.1 – Diagrama tempo - dinheiro

O sistema de juros simples é caracterizado por serem os juros gerados durante o período pactuado para a operação financeira computados na data do vencimento desta operação.


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E, nesta data de vencimento, ocorre a devolução do capital tomado emprestado acrescidos dos juros pactuados. 2.2.2 - Equações. 2.2.2.1 – Montante dos Juros Pagos. Definindo como P, o Principal ou o Capital inicialmente aplicado; i, a Taxa de juros expressa em porcentagem; n, o número de períodos básicos correspondentes ao tempo total da aplicação; e, S, o Montante final de aplicação, representando a soma (P+J), em que J é o montante dos juros a serem pagos. Partindo da definição de juros simples, o montante de juros a serem pagos na data de quitação da operação financeira é igual ao produto do principal tomado, pela taxa pactuada e pelo número de períodos. O montante de juros gerados após um único período de aplicação de um capital proporcionalmente equivalente à taxa de juros pactuada. Assim: J = P × i No caso do capital for aplicado por “n” períodos, o montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional a esse numero de períodos. Então: J=Pin O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos no período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamente: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

n


Sn = P + J ∴

S=P+Pin

Demonstrando: S1 = P + P× i = P (1+i) S2 = P + P× i + P× i = P (1+ i×2) S3 = P + P× i + P× i + P×i = P (1+ i×3) ………………………………………………………… Sn = P + P×i + P×i + P×i +…+ P×i = P (1+ n × i) Generalizando para n períodos, obtém-se a expressão canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples durante n períodos: Sn = P (1 + n×i) 2.2.2.2 – Equivalência entre Taxas de Juros. Um dos questionamentos decorrentes da utilização de juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros correspondente a um período maior e àquela correspondente a frações inteiras desse mesmo período. No caso dos juros simples, ocorre relação direta entre essas duas taxas de juros. Assim, adotando como nT um dado período e nf uma fração deste período. E, respectivamente, iT e if , as taxas de juros conexas aos períodos considerados, a proporcionalidade entre estas duas taxas é expressa por: nT nf

=

iT if 12-167


E, nesta data de vencimento, ocorre a devolução do capital tomado emprestado acrescidos dos juros pactuados. 2.2.2 - Equações. 2.2.2.1 – Montante dos Juros Pagos. Definindo como P, o Principal ou o Capital inicialmente aplicado; i, a Taxa de juros expressa em porcentagem; n, o número de períodos básicos correspondentes ao tempo total da aplicação; e, S, o Montante final de aplicação, representando a soma (P+J), em que J é o montante dos juros a serem pagos. Partindo da definição de juros simples, o montante de juros a serem pagos na data de quitação da operação financeira é igual ao produto do principal tomado, pela taxa pactuada e pelo número de períodos. O montante de juros gerados após um único período de aplicação de um capital proporcionalmente equivalente à taxa de juros pactuada. Assim: J = P × i No caso do capital for aplicado por “n” períodos, o montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional a esse numero de períodos. Então: J=Pin O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos no período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamente: MatemFinanceira~AULAS~abril2010


Sn = P + J ∴

S=P+Pin

Demonstrando: S1 = P + P× i = P (1+i) S2 = P + P× i + P× i = P (1+ i×2) S3 = P + P× i + P× i + P×i = P (1+ i×3) ………………………………………………………… Sn = P + P×i + P×i + P×i +…+ P×i = P (1+ n × i) Generalizando para n períodos, obtém-se a expressão canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples durante n períodos: Sn = P (1 + n×i) 2.2.2.2 – Equivalência entre Taxas de Juros. Um dos questionamentos decorrentes da utilização de juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros correspondente a um período maior e àquela correspondente a frações inteiras desse mesmo período. No caso dos juros simples, ocorre relação direta entre essas duas taxas de juros. Assim, adotando como nT um dado período e nf uma fração deste período. E, respectivamente, iT e if , as taxas de juros conexas aos períodos considerados, a proporcionalidade entre estas duas taxas é expressa por: nT nf

=

iT if 12-167



Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o valor de face: F iC t = F – P

P = F (1 – iC t )

∴

F

=

∴

P (1 − ict )

NOTA PROMISSÓRIA

R$ 12.500,00

Nº 07/09*

Vencimento: 25 de abril de 2.012. Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e dez,

PAGAREI por esta única via de NOTA PROMISSÓRIA a

2.2.3.2 – Exercícios. a) A importância de R$ 29.345,00 foi recebida após a operação de desconto de uma nota promissória, vincenda em 120 dias. Tendo sido pactuada um taxa de desconto em 42% ao ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes informações: o valor de face do título; e o montante do desconto. (R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30).

Antonio de Souza und Silva, CPF nº 111.222.333-44, ou a sua ordem, a importância supra de doze mil e quinhentos reais, em moeda corrente do País. Pagarei em: Florianópolis-SC. Emitente: Emiten te: Jose João Pedro CPF nº. 555.666.777-88. Rua Elfo dos Santos nº. 100. Florianópolis – SC.

.................................. ....................... ........... assinatura

2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas b) Um Banco pratica operações de desconto de títulos cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguintes informações visando comparar o resultado do desconto racional com o bancário: O deságio relativo à operação de desconto de uma duplicata cujo valor de face é de R$ 12.500,00, vincenda em 90 dias; • O montante a ser recebido pelo interessado na operação de desconto; •

2.2.4.1 - Relações entre Descontos. Neste item é analisada a correlação existente entre o montante do desconto por dentro e o montante do desconto por fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos sejam idênticas, isto é ir = iC . Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, é inferior àquela praticada no desconto por fora, ou bancário. Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as expressões dos descontos:


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Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o valor de face: F iC t = F – P

P = F (1 – iC t )

∴

F

=

∴

P (1 − ict )

NOTA PROMISSÓRIA

R$ 12.500,00

Nº 07/09*

Vencimento: 25 de abril de 2.012. Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e dez,

PAGAREI por esta única via de NOTA PROMISSÓRIA a Antonio de Souza und Silva, CPF nº 111.222.333-44, ou a sua ordem, a importância supra de doze mil e quinhentos reais, em moeda corrente do País.

2.2.3.2 – Exercícios. a) A importância de R$ 29.345,00 foi recebida após a operação de desconto de uma nota promissória, vincenda em 120 dias. Tendo sido pactuada um taxa de desconto em 42% ao ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes informações: o valor de face do título; e o montante do desconto. (R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30).

Pagarei em: Florianópolis-SC. Emitente: Emiten te: Jose João Pedro CPF nº. 555.666.777-88. Rua Elfo dos Santos nº. 100. Florianópolis – SC.

.................................. ....................... ........... assinatura

2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas b) Um Banco pratica operações de desconto de títulos cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguintes informações visando comparar o resultado do desconto racional com o bancário: O deságio relativo à operação de desconto de uma duplicata cujo valor de face é de R$ 12.500,00, vincenda em 90 dias; • O montante a ser recebido pelo interessado na operação de desconto; •

2.2.4.1 - Relações entre Descontos. Neste item é analisada a correlação existente entre o montante do desconto por dentro e o montante do desconto por fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos sejam idênticas, isto é ir = iC . Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, é inferior àquela praticada no desconto por fora, ou bancário. Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as expressões dos descontos:


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Fit Dr = 1 + it E sendo, por convenção:

Dc = F i t,

Então:

Dr =

A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se igualar os dois valores a serem recebidos depois de realizadas as respectivas operações de desconto. a)

Dc (1 + it )

P = F – Dr ∴ P = F ÷ (1 + ir t) b)

2.2.4.2 - Taxas Equivalentes.

DC ≡ DR

Data de Negociação

Como o valor a ser recebido, P, por definição é igual para ambos os casos, podem ser igualadas as expressões acima. F ÷ (1 + ir t) = F (1 – IC t) ∴

F

Data de Vencimento

Fig.2.2 – Equivalência Equivalência entre descontos

Por definição, diz-se que duas taxas de desconto são equivalentes entre si quando, dado o mesmo valor de face, resultar num mesmo valor a ser recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de desconto distintos.


Considerando o desconto comercial tem-se: P = F – DC ∴ P = F (1 – IC t)

Um dos questionamentos efetuados no mercado financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no desconto comercial e no racional.

P

Considerando o desconto racional tem-se:

( 1 - IC t )

(1 – IC t) (1 + ir t) = 1 ∴ =

1 (1

+ i r t)

2.2.5 – Tempo Exato e Comercial Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o rendimento ou montante dos juros apurado em tempo comercial será ligeiramente superior àquele apurado em tempo real ou exato. Essa diferença é devido à diferença do número de dias estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ano comercial, segundo convenção aceita pelo comercio, estabelece que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue o ano calendário com 365 dias. 16-167



Fit Dr = 1 + it E sendo, por convenção:

Dc = F i t,

Então:

Dr =

A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se igualar os dois valores a serem recebidos depois de realizadas as respectivas operações de desconto. a)

Considerando o desconto racional tem-se:

Dc (1 + it )

P = F – Dr ∴ P = F ÷ (1 + ir t) b)

Considerando o desconto comercial tem-se:

2.2.4.2 - Taxas Equivalentes.

P = F – DC ∴ P = F (1 – IC t)

Um dos questionamentos efetuados no mercado financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no desconto comercial e no racional.

Como o valor a ser recebido, P, por definição é igual para ambos os casos, podem ser igualadas as expressões acima.

DC ≡ DR

F ÷ (1 + ir t) = F (1 – IC t) ∴

P

F

Data de Negociação

( 1 - IC t )

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Deste modo, o rendimento i devido a uma aplicação P, durante um intervalo de tempo t tem-se, respectivamente, para o tempo comercial e o tempo exato:

IExato = P × t ×

e

i 365

Efetuando a relação entre as duas expressões, fica demonstrado que a proporcionalidade existente entre o rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido durante ano exato, é função direta do número de dias em que os mesmos foram definidos. Então: =

365 = 1,0139 360

∴

IComercial = 1,0139 IExato

2.2.6 – Exercícios Resolvidos a) Você aplicou a importância de R$ 11.200,00 na aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta operação, resolveu vender o título. Qual o montante a ser recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo mercado for de 2,9% a.m.? S = P (1 + i n) S = 11.200,00 (1 + 0,022 × 14) S = R$ 14.649,60 DC = S × i × n DC = 14.649,60 × 0,029 × (14-8) DC = R$ 2.549,03 VR = S – DC MatemFinanceira~AULAS~abril2010

+ i r t)

Essa diferença é devido à diferença do número de dias estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ano comercial, segundo convenção aceita pelo comercio, estabelece que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue o ano calendário com 365 dias.


IComercial IExato

1 (1

Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o rendimento ou montante dos juros apurado em tempo comercial será ligeiramente superior àquele apurado em tempo real ou exato.

Por definição, diz-se que duas taxas de desconto são equivalentes entre si quando, dado o mesmo valor de face, resultar num mesmo valor a ser recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de desconto distintos.

i 360

=

2.2.5 – Tempo Exato e Comercial

Data de Vencimento

Fig.2.2 – Equivalência Equivalência entre descontos

IComercial = P × t ×

(1 – IC t) (1 + ir t) = 1 ∴

VR = 14.649,60 – R$ 2.549,03 VR = R$12.100,57 a) Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a vista por R$ 23.200,00. Ou, a prazo, sendo 15% de entrada e o saldo dividido em quatro parcelas mensais, consecutivas, corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada prestação; e o montante a ser desembolsado. • • •

Entrada = R$ 3.480,00 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.930,00 Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3,5% a.m.

1º - Calculo do valor da 1ª prestação: VF1 =R1 + (R1 × i × n) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 1) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55) ∴ VF1 = R$ 2º - Calculo do valor da 2ª prestação: VF2 = R2 + (R2 × i × n) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 2) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10) ∴ VF2 = R$ 3º - Calculo do valor da 3ª prestação: VF3 = R3 + (R3 × i × n) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 3) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65) ∴ VF3 = R$ 4º - Calculo do valor o da 4ª prestação: VF4 = R4 + (R4 × i × n) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 4) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20) ∴ VF4=R$ 17-167



Deste modo, o rendimento i devido a uma aplicação P, durante um intervalo de tempo t tem-se, respectivamente, para o tempo comercial e o tempo exato:

IComercial = P × t ×

i 360

IExato = P × t ×

e

i 365

Efetuando a relação entre as duas expressões, fica demonstrado que a proporcionalidade existente entre o rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido durante ano exato, é função direta do número de dias em que os mesmos foram definidos. Então: IComercial IExato

=

365 = 1,0139 360

∴

IComercial = 1,0139 IExato

2.2.6 – Exercícios Resolvidos a) Você aplicou a importância de R$ 11.200,00 na aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta operação, resolveu vender o título. Qual o montante a ser recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo mercado for de 2,9% a.m.? S = P (1 + i n) S = 11.200,00 (1 + 0,022 × 14) S = R$ 14.649,60 DC = S × i × n DC = 14.649,60 × 0,029 × (14-8) DC = R$ 2.549,03 VR = S – DC MatemFinanceira~AULAS~abril2010

VR = 14.649,60 – R$ 2.549,03 VR = R$12.100,57 a) Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a vista por R$ 23.200,00. Ou, a prazo, sendo 15% de entrada e o saldo dividido em quatro parcelas mensais, consecutivas, corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada prestação; e o montante a ser desembolsado. • • •

Entrada = R$ 3.480,00 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.930,00 Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3,5% a.m.

1º - Calculo do valor da 1ª prestação: VF1 =R1 + (R1 × i × n) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 1) VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55) ∴ VF1 = R$ 2º - Calculo do valor da 2ª prestação: VF2 = R2 + (R2 × i × n) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 2) VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10) ∴ VF2 = R$ 3º - Calculo do valor da 3ª prestação: VF3 = R3 + (R3 × i × n) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 3) VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65) ∴ VF3 = R$ 4º - Calculo do valor o da 4ª prestação: VF4 = R4 + (R4 × i × n) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 4) VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20) ∴ VF4=R$ 17-167



Generalizando para n períodos, obtém-se a equação canônica do montante a ser recebido, conhecidos o valor inicial aplicado, o período de capitalização e os juros pactuados: n

Sn = P (1 + i)

O total dos juros gerados, por sua vez, é obtido aritmeticamente, depois de efetuada a diferença entre o montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado, também denominado de Principal. Então: J = Sn – P

Para tanto, ela se ampara no princípio da equivalência de capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos estudos financeiros, quais sejam, o valor presente – VP e o valor futuro – VF equivalente a um dado montante e vice versa. Assim sendo, dado nesta data um principal expresso pelo seu valor presente, P=VPn¬i%, após certo número de períodos e aplicado a taxa de juros i%, gerará uma soma financeiramente equivalente ou seu valor futuro: S=VF n¬i%. (ver Fig.2.4 – Equivalência: Valor Futuro). Deste modo, considerando o conceito de equivalência de capital pode-se escrever: VPn¬i% ≡ VF n¬i%.

Resumindo:

Fórmula do Montante:

sendo o entendimento ser esta a matemática mais adequada para analisar investimentos.

Sn = P ( 1 + i ) n

VP=P

S = VF

Taxa i%

J = Sn – P ou,

Fórmula dos Juros:

Períodos

n

J = P 1 + i - P

0

n

Fig.2.4 – Equivalência - Valor Futuro

2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro. Como comentado, a matemática dos juros compostos é adotada nos estudos financeiros, a exemplo da determinação do valor de ativos produtivos, investimentos em ações, títulos de capitalização, etc.

...................

Financeiramente, então, denomina-se VPn¬i% de VALOR montante de VFn¬i%. De modo análogo, VFn¬i% é denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP n¬i%. PRESENTE do

A assertiva acima ocorre dado o entendimento que investidores e empresas reaplicam os capitais disponíveis, MatemFinanceira~AULAS~abril2010

21-167



Generalizando para n períodos, obtém-se a equação canônica do montante a ser recebido, conhecidos o valor inicial aplicado, o período de capitalização e os juros pactuados: Sn = P (1 + i)n O total dos juros gerados, por sua vez, é obtido aritmeticamente, depois de efetuada a diferença entre o montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado, também denominado de Principal. Então: J = Sn – P

sendo o entendimento ser esta a matemática mais adequada para analisar investimentos. Para tanto, ela se ampara no princípio da equivalência de capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos estudos financeiros, quais sejam, o valor presente – VP e o valor futuro – VF equivalente a um dado montante e vice versa. Assim sendo, dado nesta data um principal expresso pelo seu valor presente, P=VPn¬i%, após certo número de períodos e aplicado a taxa de juros i%, gerará uma soma financeiramente equivalente ou seu valor futuro: S=VF n¬i%. (ver Fig.2.4 – Equivalência: Valor Futuro). Deste modo, considerando o conceito de equivalência de capital pode-se escrever: VPn¬i% ≡ VF n¬i%.

Resumindo:

Fórmula do Montante:

Sn = P ( 1 + i ) n

VP=P

S = VF

Taxa i%

J = Sn – P ou,

Fórmula dos Juros:

Períodos

n

J = P 1 + i - P

0

...................

Fig.2.4 – Equivalência - Valor Futuro

2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro. Como comentado, a matemática dos juros compostos é adotada nos estudos financeiros, a exemplo da determinação do valor de ativos produtivos, investimentos em ações, títulos de capitalização, etc.

n

Financeiramente, então, denomina-se VPn¬i% de VALOR montante de VFn¬i%. De modo análogo, VFn¬i% é denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP n¬i%. PRESENTE do

A assertiva acima ocorre dado o entendimento que investidores e empresas reaplicam os capitais disponíveis, MatemFinanceira~AULAS~abril2010

21-167


2.3.3.1- Valor Futuro - VF. Por definição, o valor futuro – VF correspondente a uma determinada importância P, aplicada durante um período n, é equivalente a esta importância quando capitalizada a taxa de juros pactuada, i%. A expressão do montante dos juros compostos capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela aplicação de um capital, P, denominado de VALOR PRESENTE, quando pactuado à taxa de desconto, i%, após “n” períodos de rendimento.


Partindo da fórmula do montante dos juros compostos, obtém-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalente a um dado montante futuro, VF, quando descontado à taxa de juros i%, durante certo período, n. Taxa i%

S VF

P VP

≡

≡

períodos

n

Sendo: Sn = P (1 + i) , então: VF ≡ VP (1 + i)n Essa operação, comercialmente denominada de capitalização, é utilizada em operações financeiras de título de capitalização, ou seja, de atualização monetária de capital. A expressão (1+i)n é denominada de Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Principal, cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas: VF = VP (1 + i)n = VP s n¬i% = VP s in 2.3.3.2 - Valor Presente – VP. Em operação inversa, o VALOR PRESENTE – VP, nesta data, correspondente a uma determinada importância futura, VF, é equivalente a esta importância quando descontada durante certo período de tempo n a taxa de juros pactuada, i%. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

0

...................

n

Fig.2.5 – Equivalência - Valor Presente

Sabendo-se que VF ≡ VP (1 + i)n, a expressão da equivalência de uma importância no presente, conhecido seu montante numa data futura é dada por:

VP

≡

VF

1

(1 + i) n

Essa operação também é denominada de desconto de um capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer o valor atual relativo a um capital no futuro. A expressão 1/(1+i)n é denominada de Fator de Desconto ou Fator de Valor Presente de um capital, cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas: 22-167



2.3.3.1- Valor Futuro - VF. Por definição, o valor futuro – VF correspondente a uma determinada importância P, aplicada durante um período n, é equivalente a esta importância quando capitalizada a taxa de juros pactuada, i%. A expressão do montante dos juros compostos capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela aplicação de um capital, P, denominado de VALOR PRESENTE, quando pactuado à taxa de desconto, i%, após “n” períodos de rendimento.

Partindo da fórmula do montante dos juros compostos, obtém-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalente a um dado montante futuro, VF, quando descontado à taxa de juros i%, durante certo período, n. Taxa i%

S VF

P VP

≡

≡

períodos

n

Sendo: Sn = P (1 + i) , então:

0

VF ≡ VP (1 + i)n

...................

Fig.2.5 – Equivalência - Valor Presente

Essa operação, comercialmente denominada de capitalização, é utilizada em operações financeiras de título de capitalização, ou seja, de atualização monetária de capital.

Sabendo-se que VF ≡ VP (1 + i)n, a expressão da equivalência de uma importância no presente, conhecido seu montante numa data futura é dada por:

A expressão (1+i)n é denominada de Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Principal, cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas:

VP

2.3.3.2 - Valor Presente – VP. Em operação inversa, o VALOR PRESENTE – VP, nesta data, correspondente a uma determinada importância futura, VF, é equivalente a esta importância quando descontada durante certo período de tempo n a taxa de juros pactuada, i%.

VF ×

(1 + i)

n

=

VF × ( v ni ) = VF × v n


¬i

O quadro a seguir mostra a evolução do montante, ou seja, a situação do saldo devedor no final de cada período.

a) Seja definir o valor atual de um capital aplicado por seis meses a juros de 7% ao mês, gerou o montante de R$ 4.502,19? 1 = S v in P = S× (1 + i)n Utilizando tabela financeira: ⇒ da Tabela Financeira s 67 = 0.6663 6 P = s 7 = 4.502,19 x 0.6663 = 3.000,00 R$ Ou utilizando diretamente o fator de valor presente: 1 1 = 4502,19 × = 3.000,00R$ P = S× (1 + i)n (1,07)6 b) No caso inverso, seja um capital no valor de R$ 3.000,00, qual será o montante a ser recebido após seis meses quando aplicado a taxa de juros de 7% ao mês?

S = Ps jn ⇒

∴

S = Ps76

da Tabela Financeira.

S = 3,000 x 1,5007 = 4.502,19 R$ Ou então: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

(1 + i) n

S = P (1+i)n = 3.000×(1,07)6=4.502,19 R$

2.3.4 - Exemplos.

E, sendo s 67 = 1,5007

1

22-167

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA =

VF

A expressão 1/(1+i)n é denominada de Fator de Desconto ou Fator de Valor Presente de um capital, cuja representação pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas:


VP

≡

Essa operação também é denominada de desconto de um capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer o valor atual relativo a um capital no futuro.

VF = VP (1 + i)n = VP s n¬i% = VP s in

1

n

Período 0 1 2 3 4 5 6

Principal – R$ 3.000,00 3.000,00 -

Juros – 7% --210,00 234,70 240,43 257,26 275,26 294,54

Montante – R$ --3.210,00 3.434,70 3.675,13 3.932,39 4.207,65 4.502,19

2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. Identicamente ao sistema de juros simples, um dos questionamentos sobre juros compostos é quanto a proporcionalidade existente entre a taxa de juros correspondente a um período maior com àquela referente a frações inteiras deste mesmo período. No caso de juros compostos, não há relação direta entre essas duas taxas de juros. Por definição, duas taxas de juros são ditas equivalentes quando, sujeitas a diferentes períodos de capitalização, produzem iguais montantes de juros depois de aplicadas a um mesmo volume de capital. Adotando como nomenclatura: nT para o período total do financiamento ou empréstimo e nF uma fração inteira deste mesmo período. E como iT e i F , respectivamente, as taxas de juros conexas aos períodos considerados. 23-167


VP

=

VF ×

1

(1 + i)

n

=


VF × ( v ni ) = VF × v n

S = P (1+i)n = 3.000×(1,07)6=4.502,19 R$ ¬i

O quadro a seguir mostra a evolução do montante, ou seja, a situação do saldo devedor no final de cada período.

2.3.4 - Exemplos. a) Seja definir o valor atual de um capital aplicado por seis meses a juros de 7% ao mês, gerou o montante de R$ 4.502,19? 1 = S v in P = S× (1 + i)n Utilizando tabela financeira: ⇒ da Tabela Financeira s 67 = 0.6663 6 P = s 7 = 4.502,19 x 0.6663 = 3.000,00 R$ Ou utilizando diretamente o fator de valor presente: 1 1 = 4502,19 × = 3.000,00R$ P = S× n (1 + i) (1,07)6 b) No caso inverso, seja um capital no valor de R$ 3.000,00, qual será o montante a ser recebido após seis meses quando aplicado a taxa de juros de 7% ao mês?

S = Ps jn E, sendo s 67 = 1,5007

⇒

∴

S = Ps76

da Tabela Financeira.

S = 3,000 x 1,5007 = 4.502,19 R$ Ou então:

Período 0 1 2 3 4 5 6

Principal – R$ 3.000,00 3.000,00 -

Juros – 7% --210,00 234,70 240,43 257,26 275,26 294,54

2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. Identicamente ao sistema de juros simples, um dos questionamentos sobre juros compostos é quanto a proporcionalidade existente entre a taxa de juros correspondente a um período maior com àquela referente a frações inteiras deste mesmo período. No caso de juros compostos, não há relação direta entre essas duas taxas de juros. Por definição, duas taxas de juros são ditas equivalentes quando, sujeitas a diferentes períodos de capitalização, produzem iguais montantes de juros depois de aplicadas a um mesmo volume de capital. Adotando como nomenclatura: nT para o período total do financiamento ou empréstimo e nF uma fração inteira deste mesmo período. E como iT e i F , respectivamente, as taxas de juros conexas aos períodos considerados.


23-167



Demonstra-se a proporcionalidade entre estas duas taxas ao serem igualados os montantes devidos pelo tomador na data pactuada para a quitação do contrato, conforme a definição de taxas equivalentes. Ou seja: ST = SF P

ST = SF

S1

iF 1

.........................................

P (1 + iT ) = P ( 1 + iF )F

∴

( 1 + iT ) = ( 1 + iF)F

Da expressão acima surgem duas situações: a) Conhecida a taxa de juros relativa ao período fracionário, deseja-se conhecer a taxa de juros correlata ao período total. Então: iT = ( 1 + iF)F – 1 b) Conhecida a taxa de juros relativa a um período maior, deseja-se conhecer a taxa de juros correlata a uma fração inteira do mesmo. Então:

iT

0

Montante – R$ --3.210,00 3.434,70 3.675,13 3.932,39 4.207,65 4.502,19

n

iF

=F

1 + iT − 1

Fig.2.6 – Equivalência - Taxas de Juros

O montante, ST, a ser pago pela utilização de um capital P contratado por um período nT e remunerado à taxa iT é: ST = P (1+ iT ) Por sua vez, o montante S F, a ser pago pela utilização do mesmo capital P contratado por um número de períodos n F , fração de nT e remunerado à taxa iF é : SF = P (1+ iF )F Como ST = SF, pois os dois montantes referem-se à mesma operação financeira, e sendo i F uma fração de iT , obtém-se a equação de equivalência de juros compostos fazendo: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Esta operação de calcular a taxa menor correlacionada a uma taxa maior é denominada de “pro rata tempore”. Expressão comumente adotada em contratos de financiamento ou aplicação de capital. Exemplificando: Seja calcular a taxa de juros trimestral, calculada “pro rata tempore”, incidente sobre uma aplicação financeira quando pactuada uma taxa de juros de 25% ao ano. Matematicamente:

iTRI = 4 1 + i ANO − 1 = 0,057371 Como um ano dispõe de quatro trimestres, a taxa a ser considerada no pagamento dos juros é de 5,7371% ao trimestre, calculada utilizando a equação de equivalência de juros compostos. 24-167



Demonstra-se a proporcionalidade entre estas duas taxas ao serem igualados os montantes devidos pelo tomador na data pactuada para a quitação do contrato, conforme a definição de taxas equivalentes. Ou seja: ST = SF P

ST = SF

S1

iF 1

.........................................

∴

( 1 + iT ) = ( 1 + iF)F

Da expressão acima surgem duas situações: a) Conhecida a taxa de juros relativa ao período fracionário, deseja-se conhecer a taxa de juros correlata ao período total. Então: iT = ( 1 + iF)F – 1 b) Conhecida a taxa de juros relativa a um período maior, deseja-se conhecer a taxa de juros correlata a uma fração inteira do mesmo. Então:

iT

0

P (1 + iT ) = P ( 1 + iF )F

iF

n

=F

1 + iT − 1

Fig.2.6 – Equivalência - Taxas de Juros

O montante, ST, a ser pago pela utilização de um capital P contratado por um período nT e remunerado à taxa iT é: ST = P (1+ iT ) Por sua vez, o montante S F, a ser pago pela utilização do mesmo capital P contratado por um número de períodos n F , fração de nT e remunerado à taxa iF é : SF = P (1+ iF )F Como ST = SF, pois os dois montantes referem-se à mesma operação financeira, e sendo i F uma fração de iT , obtém-se a equação de equivalência de juros compostos fazendo:

Esta operação de calcular a taxa menor correlacionada a uma taxa maior é denominada de “pro rata tempore”. Expressão comumente adotada em contratos de financiamento ou aplicação de capital. Exemplificando: Seja calcular a taxa de juros trimestral, calculada “pro rata tempore”, incidente sobre uma aplicação financeira quando pactuada uma taxa de juros de 25% ao ano. Matematicamente:

iTRI = 4 1 + i ANO − 1 = 0,057371 Como um ano dispõe de quatro trimestres, a taxa a ser considerada no pagamento dos juros é de 5,7371% ao trimestre, calculada utilizando a equação de equivalência de juros compostos.


24-167



2.3.6 - Cuidados a observar. Nos estudos de viabilidade há que se observar alguns cuidados necessários a evitar a incidência em algum erro conceitual, fato que inviabiliza a confiabilidade nos resultados encontrados:

APLICAÇÕES EM TÍTULOS DO TESOURO NACIONAL Procedimentos:

1º Considerando que empresas, investidores, etc., costumam reinvestir quantias geradas, não se justifica a utilização de juros simples em estudos econômicos. 2º Ao ser utilizada a matemática dos juros compostos, fazse necessária a verificação de qual a efetiva taxa de juros praticada e que correspondente ao período básico de capitalização. É comum não ser a taxa de referência expressa em contrato a taxa de capitalização efetivamente empregada no cálculo dos juros. 3º Efetuar, sempre, um diagrama de fluxo de caixa visando visualizar, claramente, os procedimentos a serem observados. 4º Quando se trata da capitalização de aplicações, a matemática utilizada é a dos juros compostos. 5º Distinguir quando os juros são descontados e quando são postecipados.


1º. Abra uma conta corrente em qualquer banco; 2º. Solicite ao gerente do banco cadastrar sua conta junto ao Tesouro Nacional; 3º. O Tesouro Nacional lhe enviará uma senha que o habilitará a efetuar a aplicação desejada; 4º. Realize sua aplicação, diretamente, através do site: www.tesourodireto.gov.br 5º. O Tesouro Nacional lhe enviará um email informando da aplicação realizada. 6º. Simultaneamente ao procedimento anterior, o Tesouro Nacional efetuará o débito em sua conta corrente da importância aplicada. 7º. Na data aprazada, o Tesouro Nacional creditará, diretamente em sua conta corrente, o valor aplicado acrescido dos encargos pactuados.

25-167



2.3.6 - Cuidados a observar. Nos estudos de viabilidade há que se observar alguns cuidados necessários a evitar a incidência em algum erro conceitual, fato que inviabiliza a confiabilidade nos resultados encontrados:

APLICAÇÕES EM TÍTULOS DO TESOURO NACIONAL Procedimentos:

1º Considerando que empresas, investidores, etc., costumam reinvestir quantias geradas, não se justifica a utilização de juros simples em estudos econômicos. 2º Ao ser utilizada a matemática dos juros compostos, fazse necessária a verificação de qual a efetiva taxa de juros praticada e que correspondente ao período básico de capitalização. É comum não ser a taxa de referência expressa em contrato a taxa de capitalização efetivamente empregada no cálculo dos juros. 3º Efetuar, sempre, um diagrama de fluxo de caixa visando visualizar, claramente, os procedimentos a serem observados. 4º Quando se trata da capitalização de aplicações, a matemática utilizada é a dos juros compostos. 5º Distinguir quando os juros são descontados e quando são postecipados.


1º. Abra uma conta corrente em qualquer banco; 2º. Solicite ao gerente do banco cadastrar sua conta junto ao Tesouro Nacional; 3º. O Tesouro Nacional lhe enviará uma senha que o habilitará a efetuar a aplicação desejada; 4º. Realize sua aplicação, diretamente, através do site: www.tesourodireto.gov.br 5º. O Tesouro Nacional lhe enviará um email informando da aplicação realizada. 6º. Simultaneamente ao procedimento anterior, o Tesouro Nacional efetuará o débito em sua conta corrente da importância aplicada. 7º. Na data aprazada, o Tesouro Nacional creditará, diretamente em sua conta corrente, o valor aplicado acrescido dos encargos pactuados.

25-167



Como será demonstrado no item 2.4.2, a relação entre a taxa nominal de juros, a taxa real e a inflação é dada, matematicamente, pela seguinte expressão:

Ocorrendo Inflação Φ = 40%

(1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) Definindo então estas três taxas que estabelecem o valor das prestações ou a remuneração de um capital aplicado:

0 1

a) A taxa real é definida como sendo a efetiva remuneração desejada por um investidor e é definida em termos de moeda de poder aquisitivo constante. Nesta taxa não esta considerada a incidência de inflação no período do empréstimo. b) A taxa nominal é aquela empregada no calculo das prestações e pagamentos. Ela é expressa em termos de moeda de valor corrente e, matematicamente, equivale à taxa real acrescida da taxa de inflação ocorrida durante o período do empréstimo. c) A inflação corresponde à perda do valor aquisitivo da moeda no tempo, sendo expressa em porcentagem. Uma expedita diferenciação entre estas duas taxas é efetuada no seguinte exemplo: Seja verificar qual a taxa real e a taxa nominal de juros ocorrida, considerando o financiamento relativo à uma importância P=R$ 1.000,00 e que após um determinado período tenha gerado o montante de R$ 1.500,00. Constatou-se, neste período a ocorrência de uma taxa de inflação de 40%?


M1 = R$ 1.500 M0 = R$ 1.071

P = $ 1.000,00

Fig. 2.7 – Efeito da inflação

I - Calculo da Taxa Nominal: A taxa nominal é definida ao se efetuar a razão entre os juros pagos e o montante do principal sobre o qual renderam esses juros. Conceitualmente, ela mede o incremento da moeda em termos de valor corrente e expresso em percentual. A taxa nominal será de 50% no período. Matematicamente: iN = iN

=

M−P P

1 . 500 − 1 . 000 1 . 000

=

∴

1 . 500 1 . 000

iN = −

M −1 P

1

II - Cálculo da Taxa Real: 27-167

∴

iN = 50,00 %



Como será demonstrado no item 2.4.2, a relação entre a taxa nominal de juros, a taxa real e a inflação é dada, matematicamente, pela seguinte expressão:

Ocorrendo Inflação Φ = 40%

(1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) Definindo então estas três taxas que estabelecem o valor das prestações ou a remuneração de um capital aplicado:

0 1

a) A taxa real é definida como sendo a efetiva remuneração desejada por um investidor e é definida em termos de moeda de poder aquisitivo constante. Nesta taxa não esta considerada a incidência de inflação no período do empréstimo. b) A taxa nominal é aquela empregada no calculo das prestações e pagamentos. Ela é expressa em termos de moeda de valor corrente e, matematicamente, equivale à taxa real acrescida da taxa de inflação ocorrida durante o período do empréstimo. c) A inflação corresponde à perda do valor aquisitivo da moeda no tempo, sendo expressa em porcentagem. Uma expedita diferenciação entre estas duas taxas é efetuada no seguinte exemplo: Seja verificar qual a taxa real e a taxa nominal de juros ocorrida, considerando o financiamento relativo à uma importância P=R$ 1.000,00 e que após um determinado período tenha gerado o montante de R$ 1.500,00. Constatou-se, neste período a ocorrência de uma taxa de inflação de 40%?

M1 = R$ 1.500 M0 = R$ 1.071

P = $ 1.000,00

Fig. 2.7 – Efeito da inflação

I - Calculo da Taxa Nominal: A taxa nominal é definida ao se efetuar a razão entre os juros pagos e o montante do principal sobre o qual renderam esses juros. Conceitualmente, ela mede o incremento da moeda em termos de valor corrente e expresso em percentual. A taxa nominal será de 50% no período. Matematicamente: iN = iN

=

M−P P

1 . 500 − 1 . 000 1 . 000

=

∴

1 . 500 1 . 000


Considerando ter a taxa de inflação comportamento equivalente a uma taxa de juros, tem-se: M1 = (1 + Φ) M0 ∴ M0 = M1 ÷ (1 + Φ) ∴ 1500 . = 1.071,43 R$ 1,4

Assim sendo, M1 ≡ M0, ou seja, R$ 1.071,43 é equivalente à R$1.500 quando este valor é deflacionando à uma taxa de 40%. A taxa real de juros, então, é medida pela razão entre o acréscimo de dinheiro e o valor aplicado. =

1 . 071 , 43 − 1 . 000 1 . 000

=

1 . 07143 1 . 000

−

1 ∴ iR= 7,1430%

Analisando os resultados obtidos, a taxa nominal foi calculada em 50% e a taxa real em 7,10%. Pelo exposto é possível verificar que, em face da inflação ocorrida no período 0→1, a taxa nominal, iN, é muito superior à taxa real, iR. Ao entender a correlação existente entre a taxa real e a taxa nominal de juros pode o tomador de recurso financeiro, evitar o comprometimento de sua capacidade de pagamento se o valor de sua renda evoluir na mesma proporção da inflação. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

1

∴

iN = 50,00 %

27-167

Por definição, a taxa real é equivalente à taxa nominal, porém em moeda de poder aquisitivo constante, isto é, descontado o efeito da inflação.

iR

−

M −1 P

II - Cálculo da Taxa Real:


M0 =

iN =


2.4.2 – Relação entre taxas. A seguir é demonstrada a relação entre a taxa nominal e a taxa real de juros, dada à inflação ocorrida em certo período. Adotando como nomenclatura: iN = taxa nominal de juros; iR = taxa real de juros; Φ = taxa de inflação no período; M0 =montante a ser pago sem considerar a incidência da inflação; M1 = montante a ser pago havendo a incidência da inflação; P = Principal ou capital tomado emprestado; Partindo do item anterior (Ver Fig.3 – Efeito da inflação), pode-se afirmar que: M0 = P (1 + iR)

e que

M1 = (1 + Φ) M0

Pode-se afirmar também, considerando ser um período único e a incidência de uma taxa nominal neste período que: M1 = P (1 + iN) Substituindo na expressão acima a variável M 1 em função da sua expressão por M 0: (1 +Φ) M0 = P (1 + iN)

∴

(1 +Φ) P (1 + iR) = P (1 + iN)

Simplificando a variável P em ambos os lados da igualdade chega-se a expressão que relaciona a taxa nominal de juros com a taxa real e a da inflação. (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) Finalizando, pode-se determinar a inflação num dado período, a taxa real e a taxa nominal de juros, a partir de um 28-167


Por definição, a taxa real é equivalente à taxa nominal, porém em moeda de poder aquisitivo constante, isto é, descontado o efeito da inflação. Considerando ter a taxa de inflação comportamento equivalente a uma taxa de juros, tem-se: M1 = (1 + Φ) M0 ∴ M0 = M1 ÷ (1 + Φ) ∴ M0 =

1500 . = 1.071,43 R$ 1,4

Assim sendo, M1 ≡ M0, ou seja, R$ 1.071,43 é equivalente à R$1.500 quando este valor é deflacionando à uma taxa de 40%. A taxa real de juros, então, é medida pela razão entre o acréscimo de dinheiro e o valor aplicado.

iR

=

1 . 071 , 43 − 1 . 000 1 . 000

=

1 . 07143 1 . 000

−


2.4.2 – Relação entre taxas. A seguir é demonstrada a relação entre a taxa nominal e a taxa real de juros, dada à inflação ocorrida em certo período. Adotando como nomenclatura: iN = taxa nominal de juros; iR = taxa real de juros; Φ = taxa de inflação no período; M0 =montante a ser pago sem considerar a incidência da inflação; M1 = montante a ser pago havendo a incidência da inflação; P = Principal ou capital tomado emprestado; Partindo do item anterior (Ver Fig.3 – Efeito da inflação), pode-se afirmar que: M0 = P (1 + iR)

Pelo exposto é possível verificar que, em face da inflação ocorrida no período 0→1, a taxa nominal, iN, é muito superior à taxa real, iR. Ao entender a correlação existente entre a taxa real e a taxa nominal de juros pode o tomador de recurso financeiro, evitar o comprometimento de sua capacidade de pagamento se o valor de sua renda evoluir na mesma proporção da inflação.

M1 = P (1 + iN) Substituindo na expressão acima a variável M 1 em função da sua expressão por M 0: (1 +Φ) M0 = P (1 + iN)

∴

(1 +Φ) P (1 + iR) = P (1 + iN)

Simplificando a variável P em ambos os lados da igualdade chega-se a expressão que relaciona a taxa nominal de juros com a taxa real e a da inflação. (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) Finalizando, pode-se determinar a inflação num dado período, a taxa real e a taxa nominal de juros, a partir de um


28-167


montante conhecido e do valor investido ou principal, através das seguintes expressões: M M1 1 + iR = 0 e 1 + iN = P P M1 1+ Φ = M0 Como exemplo de aplicação, seja calcular a taxa de juros a corrigir o valor de um título vencido há trinta dias, tendo sido pactuado que renderia juros de 2% ao mês acrescido da correção monetária no período, definida em 1,5% neste último mês. (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) (1 + iN) = (1 + 0,02) (1 + 0,015) ∴ iN = 3,53%

M1 = (1 + Φ) M0

Pode-se afirmar também, considerando ser um período único e a incidência de uma taxa nominal neste período que:

1 ∴ iR= 7,1430%

Analisando os resultados obtidos, a taxa nominal foi calculada em 50% e a taxa real em 7,10%.

e que


Adotando como nomenclatura: Io para representar o índice da inflação no período definido como data base e, In representar o índice de inflação medido em uma data futura qualquer “n”. E, representando por Φ a taxa de inflação ocorrida no período compreendido entre a data base e a data n. I0

In

→Φ→

0 Data base

n Data n

Fi .2.7 – Infla ão e índices

2.4.3 – Inflação e Índices. A seguir será discutida a metodologia do calculo da inflação passada, partindo do conhecimento de índices inflacionários. Os índices inflacionários representam a evolução do custo de uma mercadoria, de um serviço por unidade de medida. Como exemplo destes índices tem-se: o CUB, que mede o custo unitário básico para a construção civil, medido em R$/metro quadrado; o INPC, que mede o custo para sustentar uma família, medido em R$/cesta de custo incorrido; ou a evolução do custo do aço, medida por R$/kg, todos esses índices definidos para determinado período ou mês. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

A taxa de inflação ocorrida num dado período pode ser facilmente definida através da utilização de índices inflacionários, como os citados, que expressam a evolução da perda do valor aquisitivo da moeda, medida a partir de uma determinada data, definida como data base. Como a inflação entre dois períodos de tempo equivale ao incremento percentual da evolução do preço no período, ∆P Φ= pode-se escrever que, ou, similarmente, P ∆I considerando índices: Φ = . Ao substituir o valor do I incremento pelos índices que lhe deram origem tem-se:

29-167


montante conhecido e do valor investido ou principal, através das seguintes expressões: M M1 1 + iR = 0 e 1 + iN = P P M1 1+ Φ = M0 Como exemplo de aplicação, seja calcular a taxa de juros a corrigir o valor de um título vencido há trinta dias, tendo sido pactuado que renderia juros de 2% ao mês acrescido da correção monetária no período, definida em 1,5% neste último mês. (1 + iN) = (1 + iR) (1 + Φ) (1 + iN) = (1 + 0,02) (1 + 0,015) ∴ iN = 3,53%


Adotando como nomenclatura: Io para representar o índice da inflação no período definido como data base e, In representar o índice de inflação medido em uma data futura qualquer “n”. E, representando por Φ a taxa de inflação ocorrida no período compreendido entre a data base e a data n. I0

In

→Φ→

0 Data base

n Data n

Fi .2.7 – Infla ão e índices

2.4.3 – Inflação e Índices. A seguir será discutida a metodologia do calculo da inflação passada, partindo do conhecimento de índices inflacionários. Os índices inflacionários representam a evolução do custo de uma mercadoria, de um serviço por unidade de medida. Como exemplo destes índices tem-se: o CUB, que mede o custo unitário básico para a construção civil, medido em R$/metro quadrado; o INPC, que mede o custo para sustentar uma família, medido em R$/cesta de custo incorrido; ou a evolução do custo do aço, medida por R$/kg, todos esses índices definidos para determinado período ou mês. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

A taxa de inflação ocorrida num dado período pode ser facilmente definida através da utilização de índices inflacionários, como os citados, que expressam a evolução da perda do valor aquisitivo da moeda, medida a partir de uma determinada data, definida como data base. Como a inflação entre dois períodos de tempo equivale ao incremento percentual da evolução do preço no período, ∆P Φ= pode-se escrever que, ou, similarmente, P ∆I considerando índices: Φ = . Ao substituir o valor do I incremento pelos índices que lhe deram origem tem-se:

29-167



A taxa real de juros é utilizada quando não é considerada a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante. A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio da perda de valor aquisitivo da moeda, no tempo.

Inflação acumulada é aquela ocorrida em determinado espaço de tempo, mesmo tendo ocorrido, a cada período intermediário, um valor diferente dos outros. A inflação acumulada deve ser calculada da forma idêntica à taxa de juros compostos. Como já comentado, a inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo.

P1 Io1

Adotando como nomenclatura:      

2.5 – Inflação Acumulada.

Po

2.5.1 – Fórmulas Básicas.

P2 I12

Pn I2n

Po = preço no tempo 0; P1 = preço no tempo 1; P2 = preço no tempo 2; Pn = preço no tempo n; Φ o1 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-1; Φ o2 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-2.

A definição da taxa de inflação ocorrida entre dois períodos consecutivos pode ser considerada identicamente como o caso de calculo de juros simples incorridos entre dois períodos consecutivos. Então, para definir a inflação para diversos períodos tem-se: P1 = Po + Po Φo1 = Po (1+ Φo1 ) P2 = Po ( 1 + Φo1 ) ( 1 + Φ12 ) = Po ( 1+ Φo2 ) P3 = Po ( 1 + Φo1 ) ( 1 + Φ12 ) ( 1 +Φ23 ) = Po ( 1+Φo3 ) ................................................................................... Pn = Po (1 + Φo1) (1 + Φ12) (1 + Φ23) … (1+Φ (n-1)n) ∴

0

1

2

Fig.2.8 – Inflação por período.


n

Pn = Po ( 1+Φ0n ) A expressão acima que permite atualizar monetariamente Pn, pode ser expressa sob a seguinte notação, em que Φ representa a taxa de inflação medida entre uma data base, denominada zero, e uma data qualquer n. Então: 31-167



A taxa real de juros é utilizada quando não é considerada a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio que a moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante. A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio da perda de valor aquisitivo da moeda, no tempo.

Inflação acumulada é aquela ocorrida em determinado espaço de tempo, mesmo tendo ocorrido, a cada período intermediário, um valor diferente dos outros. A inflação acumulada deve ser calculada da forma idêntica à taxa de juros compostos. Como já comentado, a inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período de tempo.

P1 Io1

Adotando como nomenclatura:      

2.5 – Inflação Acumulada.

Po

2.5.1 – Fórmulas Básicas.

P2

Pn

I12

I2n

Po = preço no tempo 0; P1 = preço no tempo 1; P2 = preço no tempo 2; Pn = preço no tempo n; Φ o1 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-1; Φ o2 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-2.

A definição da taxa de inflação ocorrida entre dois períodos consecutivos pode ser considerada identicamente como o caso de calculo de juros simples incorridos entre dois períodos consecutivos. Então, para definir a inflação para diversos períodos tem-se: P1 = Po + Po Φo1 = Po (1+ Φo1 ) P2 = Po ( 1 + Φo1 ) ( 1 + Φ12 ) = Po ( 1+ Φo2 ) P3 = Po ( 1 + Φo1 ) ( 1 + Φ12 ) ( 1 +Φ23 ) = Po ( 1+Φo3 ) ................................................................................... Pn = Po (1 + Φo1) (1 + Φ12) (1 + Φ23) … (1+Φ (n-1)n) ∴

0

1

2

Pn = Po ( 1+Φ0n )

n

A expressão acima que permite atualizar monetariamente Pn, pode ser expressa sob a seguinte notação, em que Φ representa a taxa de inflação medida entre uma data base, denominada zero, e uma data qualquer n. Então:

Fig.2.8 – Inflação por período.


31-167


Pn


A taxa nominal de juros, como anteriormente visto, é função de dois fatores: a remuneração real e periódica do capital, iR ,e a correção monetária do período, Φ .

n

=

P o (1 + Φ ) ×

0

Considerando que os índices inflacionários, I n, são conhecidos, pois mensalmente determinados e publicados, é possível calcular a taxa de inflação, Φ, ocorrida entre um período inicial, denominado zero, e um período qualquer denominado de n. Como já visto a inflação ocorrida entre dois períodos quaisquer é dada por: n Φ =

0

In Io

−

(1 + iN) = (1 + iR ) ( 1 + Φ ) Operacionalmente, a remuneração do capital pode ser efetuada adotando a matemática dos juros simples ou a dos juros compostos. A correção monetária, ou seja, atualização monetária do valor é realizada segundo o índice pactuado em contrato, sendo considerada nos dois casos da mesma maneira, como será analisado abaixo.

1

P0

Pn

iR

iNT

Como exemplo, seja calcular a inflação acumulada da construção civil, medida em CUB, havida entre os meses de junho de 2005 e março de 2006. n

Φ = 0

In Io

−

1

=

864 ,68 860 ,43

−

1⇒

Φ =

0 ,49 %

0

1

2

.........

n

Fig.2.9 – Atualização de Valores

2.5.2 – Atualização de valores monetários. Basicamente, um valor corrigido, Pn, é equivalente ao valor inicial, P0, multiplicado pela taxa nominal de juros relativa a todo o período da atualização pactuado. Pn = P0 × (1 + iNT)


I. - Atualização adotando juros simples. A atualização do valor de Po, ou seja, Pn, é efetuada partindo da expressão {(1 + i N) = (1 + iR ) ( 1 + Φ )} , generalizada para n períodos. Isto porque, a taxa de juros adotada na atualização de valores monetários é a taxa nominal. E esta, a taxa nominal, é função da taxa real – i R 32-167


Pn


A taxa nominal de juros, como anteriormente visto, é função de dois fatores: a remuneração real e periódica do capital, iR ,e a correção monetária do período, Φ .

n

=

P o (1 + Φ ) ×

0

Considerando que os índices inflacionários, I n, são conhecidos, pois mensalmente determinados e publicados, é possível calcular a taxa de inflação, Φ, ocorrida entre um período inicial, denominado zero, e um período qualquer denominado de n. Como já visto a inflação ocorrida entre dois períodos quaisquer é dada por:

In Io

n Φ =

0

−

(1 + iN) = (1 + iR ) ( 1 + Φ ) Operacionalmente, a remuneração do capital pode ser efetuada adotando a matemática dos juros simples ou a dos juros compostos. A correção monetária, ou seja, atualização monetária do valor é realizada segundo o índice pactuado em contrato, sendo considerada nos dois casos da mesma maneira, como será analisado abaixo.

1

P0

Pn

iR

iNT

Como exemplo, seja calcular a inflação acumulada da construção civil, medida em CUB, havida entre os meses de junho de 2005 e março de 2006. n

Φ = 0

In Io

−

1

=

864 ,68 860 ,43

−

1⇒

Φ =

0 ,49 %

0

1

2

.........

n

Fig.2.9 – Atualização de Valores

2.5.2 – Atualização de valores monetários. Basicamente, um valor corrigido, Pn, é equivalente ao valor inicial, P0, multiplicado pela taxa nominal de juros relativa a todo o período da atualização pactuado. Pn = P0 × (1 + iNT)

I. - Atualização adotando juros simples. A atualização do valor de Po, ou seja, Pn, é efetuada partindo da expressão {(1 + i N) = (1 + iR ) ( 1 + Φ )} , generalizada para n períodos. Isto porque, a taxa de juros adotada na atualização de valores monetários é a taxa nominal. E esta, a taxa nominal, é função da taxa real – i R


32-167


pactuada, e da inflação no período, porém abrangendo todos os n períodos. Então, calculando a atualização monetária em função da taxa nominal de juros a ser aplicada para o número total de períodos n, tem-se: Pn = P0 × (1 + iNT) Sabendo-se que a expressão da correção monetária de um valor é dada por:

Pn


E, utilizando à mesma fórmula da correção da inflação, chega-se à:

Pn

P0 × (1 + Φ )

Pn = P0 × (1 + n × iR )

Substituindo a expressão de P n na expressão anterior, têm-se o caso geral da taxa nominal de juros a corrigir um pagamento único durante n períodos, considerando a incidência da inflação no período e da taxa de remuneração do capital.

Substituindo a expressão representativa da taxa nominal de juros, (1 + iNT), pelas expressões do produto da taxa real de juros para cada período e da correção monetária, chega-se à expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros simples.

Pn

=

P 0 (1 +

n

Φ 0

) × (1 + n × i R )

II. - Atualização adotando juros compostos. Adotando procedimento idêntico ao anterior, define-se a expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros compostos. Sabendo-se que: P n MatemFinanceira~AULAS~abril2010

=

P 0 (1 + i R ) n

0

Pn = P0 × (1+ iNT)

0

E que a expressão do montante dos juros simples pode ser expressa sob a seguinte forma:

P 0 (1 + Φ ) × (1 + i R ) n

Voltando agora para o caso da relação das taxas de juros, conforme discutido no item 2.4.2 e sabendo que:

n

=

n

=

n

(1 + i NT ) = (1 + Φ ) × (1 + i R ) n 0

Ano 2004 Janeiro

CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação Var. (Média em R$) (% Mês) (% Ano) R$ 737,58 0,16 0,16

Var. (% 12 Mês) 11,30

Fevereiro

R$ 737,82

0,03

0,19

9,70

Março

R$ 743,30

0,74

0,93

10,17

Abril

R$ 747,64

0,58

1,52

10,22

Maio

R$ 755,98

1,12

2,66

10,08

Junho

R$ 775,41

2,57

5,29

8,17

Julho

R$ 779,81

0,57

5,89

7,36

33-167



pactuada, e da inflação no período, porém abrangendo todos os n períodos. Então, calculando a atualização monetária em função da taxa nominal de juros a ser aplicada para o número total de períodos n, tem-se: Pn = P0 × (1 + iNT) Sabendo-se que a expressão da correção monetária de um valor é dada por:

Pn

E, utilizando à mesma fórmula da correção da inflação, chega-se à:

Pn

P0 × (1 + Φ )

E que a expressão do montante dos juros simples pode ser expressa sob a seguinte forma:

Pn = P0 × (1 + n × iR )

Substituindo a expressão de P n na expressão anterior, têm-se o caso geral da taxa nominal de juros a corrigir um pagamento único durante n períodos, considerando a incidência da inflação no período e da taxa de remuneração do capital.

Substituindo a expressão representativa da taxa nominal de juros, (1 + iNT), pelas expressões do produto da taxa real de juros para cada período e da correção monetária, chega-se à expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros simples.

Pn

=

P 0 (1 +

Φ 0

) × (1 + n × i R )

Adotando procedimento idêntico ao anterior, define-se a expressão que permite a atualização de um valor monetário em se adotando a matemática dos juros compostos. =

n

(1 + i NT ) = (1 + Φ ) × (1 + i R ) n 0

Ano 2004 Janeiro

II. - Atualização adotando juros compostos.

Sabendo-se que: P n

0

Pn = P0 × (1+ iNT)

0

n

P 0 (1 + Φ ) × (1 + i R ) n

Voltando agora para o caso da relação das taxas de juros, conforme discutido no item 2.4.2 e sabendo que:

n

=

n

=

P 0 (1 + i R ) n

CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação Var. (Média em R$) (% Mês) (% Ano) R$ 737,58 0,16 0,16

Fevereiro

R$ 737,82

0,03

0,19

9,70

Março

R$ 743,30

0,74

0,93

10,17

Abril

R$ 747,64

0,58

1,52

10,22

Maio

R$ 755,98

1,12

2,66

10,08

Junho

R$ 775,41

2,57

5,29

8,17

Julho

R$ 779,81

0,57

5,89

7,36


33-167



Agosto

R$ 795,79

2,05

8,06

8,61

Setembro

R$ 800,14

0,55

8,65

8,84

Outubro

R$ 807,56

0,93

9,66

10,21

Novembro

R$ 815,94

1,04

10,80

Dezembro

R$ 819,80

0,47

11,32

11,30 11,32

Ano 2005 Janeiro

Var. (% 12 Mês) 11,30

CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação % Var. Média em R$ Mês (% Ano) R$ 816,63 -0,39 -0,39

Variação (% 12 Mês) 10,72

Ano 2006 Janeiro

CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação % Variação % (Média em $) no Mês no Ano R$ 862,52 0,48 0,48

Variação % 12 Mês) 5,62

Fevereiro

R$ 818,87

0,27

-0,11

10,99

Fevereiro

R$ 865,74

0,37

0,86

5,72

Março

R$ 821,47

0,32

0,2

10,52

Março

R$ 864,68

-0,12

0,73

5,26

Abril

R$ 824,30

0,34

0,55

10,25

Abril

R$ 861,27

-0,39

0,33

4,49

Maio

R$ 828,23

0,48

1,03

9,56

Maio

R$ 863,55

0,26

0,60

4,26

Junho

R$ 860,46

3,89

4,96

10,97

Junho

R$ 888,65

2,91

3,52

3,28

Julho

R$ 861,11

0,08

5,04

10,43

Julho

R$ 894,85

0,70

4,25

3,92

Agosto

R$ 859,54

-0,18

4,85

8,01

Agosto

R$ 894,81

-0,004

4,242

4,103

Setembro

R$ 863,75

0,49

5,36

7,95

Setembro

R$ 896,91

0,230

4,490

3,840

Outubro

R$ 863,23

-0,06

5,3

6,89

Outubro

R$ 895,86

-0,120

4,360

3,780

Novembro

R$ 861,67

-0,18

5,11

Novembro

R$ 895,50

-0,040

4,322

Dezembro

R$ 858,40

-0,38

4,71

5,60 4,71

Dezembro

R$ 887,73

-0,868

3,417

3,926 3,417


34-167



Agosto

R$ 795,79

2,05

8,06

8,61

Setembro

R$ 800,14

0,55

8,65

8,84

Outubro

R$ 807,56

0,93

9,66

10,21

Novembro

R$ 815,94

1,04

10,80

Dezembro

R$ 819,80

0,47

11,32

11,30 11,32

Ano 2005 Janeiro

CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação % Var. Média em R$ Mês (% Ano) R$ 816,63 -0,39 -0,39

Variação (% 12 Mês) 10,72

Ano 2006 Janeiro

CUB Médio – Sinduscon – Florianópolis Valor do CUB Variação % Variação % (Média em $) no Mês no Ano R$ 862,52 0,48 0,48

Variação % 12 Mês) 5,62

Fevereiro

R$ 818,87

0,27

-0,11

10,99

Fevereiro

R$ 865,74

0,37

0,86

5,72

Março

R$ 821,47

0,32

0,2

10,52

Março

R$ 864,68

-0,12

0,73

5,26

Abril

R$ 824,30

0,34

0,55

10,25

Abril

R$ 861,27

-0,39

0,33

4,49

Maio

R$ 828,23

0,48

1,03

9,56

Maio

R$ 863,55

0,26

0,60

4,26

Junho

R$ 860,46

3,89

4,96

10,97

Junho

R$ 888,65

2,91

3,52

3,28

Julho

R$ 861,11

0,08

5,04

10,43

Julho

R$ 894,85

0,70

4,25

3,92

Agosto

R$ 859,54

-0,18

4,85

8,01

Agosto

R$ 894,81

-0,004

4,242

4,103

Setembro

R$ 863,75

0,49

5,36

7,95

Setembro

R$ 896,91

0,230

4,490

3,840

Outubro

R$ 863,23

-0,06

5,3

6,89

Outubro

R$ 895,86

-0,120

4,360

3,780

Novembro

R$ 861,67

-0,18

5,11

Novembro

R$ 895,50

-0,040

4,322

Dezembro

R$ 858,40

-0,38

4,71

5,60 4,71

Dezembro

R$ 887,73

-0,868

3,417

3,926 3,417


34-167



Solicita-se seja calculado o valor do montante necessário para quitar o título em 30.09.2005, sabendo que o índice adotado para a correção da divida é o INPC, acrescido dos juros de 1,2% ao mês. Efetuar o solicitado utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. z) Uma duplicata relativa à venda de material de construção foi emitida com pagamento para 30/06/2006. No seu valor de face já estava embutida uma remuneração do capital de 1,5% ao mês (juros compostos) e o principal sendo corrigido pela projeção da variação mensal do CUB. Montando o valor de face em R$ 22.597,25, pergunta-se qual seria o valor a ser pago visando a sua quitação sessenta dias antes de seu vencimento. az) Uma empresa negociou uma dívida de R$ 10 mil junto a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais de R$ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada em empréstimos deste tipo é de 32,52% ao ano, pergunta-se: quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? bz) Uma empresa negociou a aquisição de um equipamento no valor de R$ 22.000,00, financiada pelo fabricante e dividido em seis parcelas mensais, iguais e consecutivas, sendo a primeira delas quitada na data da assinatura do contrato. Calcular o valor efetivo de cada uma das parcelas, sabendo que a taxa de juros pactuada é de 3% ao mês.


39-167



Solicita-se seja calculado o valor do montante necessário para quitar o título em 30.09.2005, sabendo que o índice adotado para a correção da divida é o INPC, acrescido dos juros de 1,2% ao mês. Efetuar o solicitado utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros compostos. z) Uma duplicata relativa à venda de material de construção foi emitida com pagamento para 30/06/2006. No seu valor de face já estava embutida uma remuneração do capital de 1,5% ao mês (juros compostos) e o principal sendo corrigido pela projeção da variação mensal do CUB. Montando o valor de face em R$ 22.597,25, pergunta-se qual seria o valor a ser pago visando a sua quitação sessenta dias antes de seu vencimento. az) Uma empresa negociou uma dívida de R$ 10 mil junto a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais de R$ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada em empréstimos deste tipo é de 32,52% ao ano, pergunta-se: quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? bz) Uma empresa negociou a aquisição de um equipamento no valor de R$ 22.000,00, financiada pelo fabricante e dividido em seis parcelas mensais, iguais e consecutivas, sendo a primeira delas quitada na data da assinatura do contrato. Calcular o valor efetivo de cada uma das parcelas, sabendo que a taxa de juros pactuada é de 3% ao mês.


39-167



ROTA NORTE Engenharia e Construções Ltda. FATURA

Valor – R$ 100.000,00

Número 1.325

Rua Don João VI nº 1808 – cj. 007 CGC/MF nº 99.888.777/0001-23 Insc. Estadual – Isento Bairro do Bonaparte – Rio de Janeiro – RJ

Data de emissão: 20 de julho de 2006. VENCIMENTO DUPLICATA Para uso da Instituição Valor – R$ Nº de Ordem Financeira. 20.10.2006

20.000,00

1.433 – C/E

Nota(s) Fiscal(is) nº 2.322/ 2323/2.329. Desconto de: Até . Condições Especiais: a vista desconto de 5%. . . . . Nome do Sacado: Ipsis Literis Editora Ltda. . . . . e Endereço: Rua das Maitacas nº 666. . . t . n Município: Rotunda Ária Estado: ST CEP: 11.111-999 . . e . t . i Praça de Pagamento: . . . m . Insc.Est. nº 31.313-03 . E CGC ou CPF: 123.321.213/0001-02 . . . (vinte mil reais)................................................................................ VALOR o . . . d por extenso ........................................................................................................... . . a . . r . u Reconheço(cemos) a exatidão desta Duplicata de Venda Mercantil, em pagamento . . . t a parcelado na importância acima que pagarei (emos) à Rota Norte Engenharia e . . n . . i . s Construções Ltda., ou a sua ordem, na praça e vencimento indicados. . . . s . A . . . . . . . .

...................................... Data do aceite


................................................................. Assinatura do Sacado

40-167



ROTA NORTE Engenharia e Construções Ltda. FATURA

Valor – R$ 100.000,00

Número 1.325

Rua Don João VI nº 1808 – cj. 007 CGC/MF nº 99.888.777/0001-23 Insc. Estadual – Isento Bairro do Bonaparte – Rio de Janeiro – RJ

Data de emissão: 20 de julho de 2006. VENCIMENTO DUPLICATA Para uso da Instituição Valor – R$ Nº de Ordem Financeira. 20.10.2006

20.000,00

1.433 – C/E

Nota(s) Fiscal(is) nº 2.322/ 2323/2.329. Desconto de: Até . Condições Especiais: a vista desconto de 5%. . . . . Nome do Sacado: Ipsis Literis Editora Ltda. . . . . e Endereço: Rua das Maitacas nº 666. . t . . n Município: Rotunda Ária Estado: ST CEP: 11.111-999 . . e . . t i Praça de Pagamento: . . . . m CGC ou CPF: 123.321.213/0001-02 Insc.Est. nº 31.313-03 . E . . . o (vinte mil reais)................................................................................ VALOR . . d . por extenso ........................................................................................................... . . a . . . r Reconheço(cemos) a exatidão desta Duplicata de Venda Mercantil, em pagamento u . t . . . a parcelado na importância acima que pagarei (emos) à Rota Norte Engenharia e . n . i . . s Construções Ltda., ou a sua ordem, na praça e vencimento indicados. . . s . . A . . . . . . . .

...................................... Data do aceite


................................................................. Assinatura do Sacado

40-167



determinar a prestação quando conhecidas as demais variáveis, fato corriqueiro em empréstimos e vendas a prazo. 3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. Adotando como nomenclatura, P k como sendo o valor presente associado a um pagamento singular qualquer R k, e considerando que, por definição, se dispõe de uma série uniforme de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, têm-se que: R1 = R2 = ... = R n = R. Matematicamente, o valor presente da série de pagamentos, VP, é obtido ao se efetuar o somatório dos valores presentes de cada pagamento singular. Então: VP = P1+ P2 + P3 +····· + Pn Sabendo que o valor presente de cada pagamento singular é dado pela expressão: P k = Rk (1+ i)-k e, relacionando o valor presente para cada “Pk”, com k variando de 1 a n, temse: P1 = R1 ( 1 + i ) -1 P2 = R2 ( 1 + i ) -2 P3 = R3 ( 1 + i ) -3 .......................... Pn = Rn ( 1 + i ) -n Ao ser somado os Pk para k = 1, 2, 3,...,n, obtém-se a expressão geral da soma de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. -1

-2

VP = R (1 + i ) + R (1+ i ) + ... + R (1+ i ) VP = R {(1 + i)-1 + (1+ i)-2 + ... + (1+ i) -n } MatemFinanceira~AULAS~abril2010

-n

A série representativa do segundo termo da expressão acima, colocada entre chaves, pode ser caracterizada como uma progressão geométrica cuja razão é q = (1 + i) -1 e o primeiro termo a = (1 + i)-1. Considerando que a soma de uma progressão geométrica a(1 − qn ) decrescente é dada pela expressão S(PG) = , após 1− q serem substituídos seus termos pelos respectivos valores (1 + i)n − 1 financeiros, chega-se a: S(PG) = , expressão esta i × (1 + i)n denominada de fator de valor presente. Substituindo a expressão da soma da progressão geométrica decrescente, S (PG), na série acima, fica definida a expressão do Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos “R”, no caso do primeiro pagamento ocorrer um período após o início da operação financeira que lhe deu origem:  (1 + i)n − 1   i × (1 + i)n 

VP(sp) = R(sp) × 

O termo entre colchetes expressa um fator que define o valor atual da série postecipada quando o valor da prestação é a unidade. Por motivo de facilidade de notação, este fator de é grafado sob a seguinte notação:  (1 + i) n − 1     i × (1 + i) n 

≡

FVPn ¬ i ≡ a n ¬ i

42-167



determinar a prestação quando conhecidas as demais variáveis, fato corriqueiro em empréstimos e vendas a prazo. 3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. Adotando como nomenclatura, P k como sendo o valor presente associado a um pagamento singular qualquer R k, e considerando que, por definição, se dispõe de uma série uniforme de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, têm-se que: R1 = R2 = ... = R n = R. Matematicamente, o valor presente da série de pagamentos, VP, é obtido ao se efetuar o somatório dos valores presentes de cada pagamento singular. Então: VP = P1+ P2 + P3 +····· + Pn Sabendo que o valor presente de cada pagamento singular é dado pela expressão: P k = Rk (1+ i)-k e, relacionando o valor presente para cada “Pk”, com k variando de 1 a n, temse: P1 = R1 ( 1 + i ) -1 P2 = R2 ( 1 + i ) -2 P3 = R3 ( 1 + i ) -3 .......................... Pn = Rn ( 1 + i ) -n Ao ser somado os Pk para k = 1, 2, 3,...,n, obtém-se a expressão geral da soma de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. -1

-2

VP = R (1 + i ) + R (1+ i ) + ... + R (1+ i ) VP = R {(1 + i)-1 + (1+ i)-2 + ... + (1+ i) -n }

-n

A série representativa do segundo termo da expressão acima, colocada entre chaves, pode ser caracterizada como uma progressão geométrica cuja razão é q = (1 + i) -1 e o primeiro termo a = (1 + i)-1. Considerando que a soma de uma progressão geométrica a(1 − qn ) decrescente é dada pela expressão S(PG) = , após 1− q serem substituídos seus termos pelos respectivos valores (1 + i)n − 1 financeiros, chega-se a: S(PG) = , expressão esta i × (1 + i)n denominada de fator de valor presente. Substituindo a expressão da soma da progressão geométrica decrescente, S (PG), na série acima, fica definida a expressão do Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos “R”, no caso do primeiro pagamento ocorrer um período após o início da operação financeira que lhe deu origem:  (1 + i)n − 1 n  i × (1 + i) 

VP(sp) = R(sp) × 

O termo entre colchetes expressa um fator que define o valor atual da série postecipada quando o valor da prestação é a unidade. Por motivo de facilidade de notação, este fator de é grafado sob a seguinte notação:  (1 + i) n − 1    n  i × (1 + i) 

≡

FVPn ¬ i ≡ a n ¬ i


42-167



Então, dada a notação, o valor presente de uma série postecipada pode ser expresso como: VP(SP) = R × FVP n¬i = R(SP) × a n ¬ i Tanto FVPn¬i como a n¬i são denominados de FATOR DE VALOR PRESENTE ou FATOR DE VALOR ATUAL de uma série de pagamentos. Ver tabelas do Anexo-I. Assim sendo, o fator de valor presente permite determinar o montante do valor presente de uma série postecipada, ou seja, o valor de um bem na data de hoje, quando conhecida a prestação a ser praga, o número de períodos envolvidos e a taxa de juros pactuada. De modo inverso, ao se deseja conhecer o valor da prestação a ser paga, quando conhecidos o capital a ser financiado, a taxa de juros, e o prazo de pagamento, a fórmula acima é utilizada sob a seguinte forma:

 i × (1 + i)n  R(sp) = VP(sp) ×    (1 + i)n − 1  Escrevendo, por facilidade de notação:  i × (1 + i)n    ≡ FRCn¬i ≡ an−1¬i n  (1 + i) − 1

R(SP) = VP(SP) × FRCn¬i MatemFinanceira~AULAS~abril2010

∴

As expressões FRCn¬i e an1 i correspondem à notação resumida da expressão entre colchetes acima e são denominadas de FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL a taxa de juros i para n períodos. Ver Tabelas do Anexo-I. −

¬

MEMORIZE!

O VALOR PRESENTE DA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE NO PERÍODO IMEDIATAMENTE ANTERIOR AO DO PRIMEIRO PAGAMENTO.

3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. O valor futuro de uma série de capitais postecipada corresponde ao valor do somatório de todos os valores integrantes da série, iguais e consecutivos, financeiramente considerados na data do ultimo período da série. Noutras palavras, corresponde ao montante do capital disponível na data do último pagamento da série, capitalizado financeiramente à taxa pactuada. Obtém-se o Valor Futuro equivalente a uma série postecipada de modo similar ao utilizado para o cálculo do Valor Presente, considerando como razão da progressão geométrica o fator q = (1+ i). A expressão da soma de uma progressão geométrica qn − 1 crescente é dada por: S(PG) = em que n representa o q −1 número de termos da progressão. 43-167



Então, dada a notação, o valor presente de uma série postecipada pode ser expresso como: VP(SP) = R × FVP n¬i = R(SP) × a n ¬ i Tanto FVPn¬i como a n¬i são denominados de FATOR DE VALOR PRESENTE ou FATOR DE VALOR ATUAL de uma série de pagamentos. Ver tabelas do Anexo-I. Assim sendo, o fator de valor presente permite determinar o montante do valor presente de uma série postecipada, ou seja, o valor de um bem na data de hoje, quando conhecida a prestação a ser praga, o número de períodos envolvidos e a taxa de juros pactuada. De modo inverso, ao se deseja conhecer o valor da prestação a ser paga, quando conhecidos o capital a ser financiado, a taxa de juros, e o prazo de pagamento, a fórmula acima é utilizada sob a seguinte forma:

 i × (1 + i)n  R(sp) = VP(sp) ×    (1 + i)n − 1  Escrevendo, por facilidade de notação:  i × (1 + i)n    ≡ FRCn¬i ≡ an−1¬i n  (1 + i) − 1

∴

R(SP) = VP(SP) × FRCn¬i

As expressões FRCn¬i e an1 i correspondem à notação resumida da expressão entre colchetes acima e são denominadas de FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL a taxa de juros i para n períodos. Ver Tabelas do Anexo-I. −

¬

MEMORIZE!

O VALOR PRESENTE DA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE NO PERÍODO IMEDIATAMENTE ANTERIOR AO DO PRIMEIRO PAGAMENTO.

3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. O valor futuro de uma série de capitais postecipada corresponde ao valor do somatório de todos os valores integrantes da série, iguais e consecutivos, financeiramente considerados na data do ultimo período da série. Noutras palavras, corresponde ao montante do capital disponível na data do último pagamento da série, capitalizado financeiramente à taxa pactuada. Obtém-se o Valor Futuro equivalente a uma série postecipada de modo similar ao utilizado para o cálculo do Valor Presente, considerando como razão da progressão geométrica o fator q = (1+ i). A expressão da soma de uma progressão geométrica qn − 1 crescente é dada por: S(PG) = em que n representa o q −1 número de termos da progressão.


43-167



Ao se proceder as devidas substituições e de modo idêntico ao caso do valor presente, chega-se a expressão do Valor Futuro, VF(SP), de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. Assim:  (1 + i)n − 1  i  

Valor Futuro:

S(sp) = R(sp) × 

E, em decorrência o valor da prestação é dado por: Valor da Prestação:



 i  n  (1 + i) − 1

R(sp) = S(sp) × 

Identicamente ao caso do Valor Presente, as expressões entre colchetes são denominadas, respectivamente, de Fator de Valor Futuro e Fator de Formação de Capital de uma série postecipada. Por motivo de facilidade de notação, esses fatores podem ser escritos sob forma resumida, quais sejam:  (1 + i)n − 1   ≡ FVFn¬i i  

e,

  i   ≡ FFCn¬i  (1 + i)n − 1

Assim sendo, a expressão do valor futuro de uma série postecipada quando conhecida a prestação e, vice versa, a expressão da prestação quando conhecido o valor futuro de MatemFinanceira~AULAS~abril2010

uma série postecipada, podem ser expressos sob a seguinte notação: S(SP) = R(SP) × FVFn¬i e,

R(SP) = S(SP) × FFCn¬i

O Fator de Valor Futuro, FVFn¬i, permite estabelecer, por unidade de capital, qual será o montante “S” a ser disponível em data futura, quando conhecidos: o valor das prestações, o período de capitalização e a taxa pactuada de juros, “i”. A cultura das áreas econômica e do comércio de capitais adota a denominação de taxa de capitalização para a taxa de juros “i” quando se deseja conhecer o valor disponível após certo número de períodos de aplicação. Analogamente, o Fator de Formação de Capital, FFCn¬i, permite definir qual o valor das prestações, iguais e consecutivas, a serem capitalizadas para que, no final de determinado período se obtenha o montante “S”. Identicamente ao anteriormente comentado, estes dois fatores podem ser calculados e, também, encontrados em tabelas financeiras. Ver Anexo-I. Finalizando, alerta-se que neste caso de série postecipada de pagamentos, o valor futuro da mesma é definido coincidentemente com a data do último pagamento. MEMORIZE!

O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA

OCORRE COINCIDENTEMENTE COM A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO. 44-167



Ao se proceder as devidas substituições e de modo idêntico ao caso do valor presente, chega-se a expressão do Valor Futuro, VF(SP), de uma série de pagamentos iguais e consecutivos. Assim:  (1 + i)n − 1  i  

Valor Futuro:

S(sp) = R(sp) × 

E, em decorrência o valor da prestação é dado por: Valor da Prestação:



 i n   (1 + i) − 1

R(sp) = S(sp) × 

Identicamente ao caso do Valor Presente, as expressões entre colchetes são denominadas, respectivamente, de Fator de Valor Futuro e Fator de Formação de Capital de uma série postecipada. Por motivo de facilidade de notação, esses fatores podem ser escritos sob forma resumida, quais sejam:  (1 + i)n − 1   ≡ FVFn¬i i  

e,

  i   ≡ FFCn¬i n  (1 + i) − 1

Assim sendo, a expressão do valor futuro de uma série postecipada quando conhecida a prestação e, vice versa, a expressão da prestação quando conhecido o valor futuro de

uma série postecipada, podem ser expressos sob a seguinte notação: S(SP) = R(SP) × FVFn¬i e,

R(SP) = S(SP) × FFCn¬i

O Fator de Valor Futuro, FVFn¬i, permite estabelecer, por unidade de capital, qual será o montante “S” a ser disponível em data futura, quando conhecidos: o valor das prestações, o período de capitalização e a taxa pactuada de juros, “i”. A cultura das áreas econômica e do comércio de capitais adota a denominação de taxa de capitalização para a taxa de juros “i” quando se deseja conhecer o valor disponível após certo número de períodos de aplicação. Analogamente, o Fator de Formação de Capital, FFCn¬i, permite definir qual o valor das prestações, iguais e consecutivas, a serem capitalizadas para que, no final de determinado período se obtenha o montante “S”. Identicamente ao anteriormente comentado, estes dois fatores podem ser calculados e, também, encontrados em tabelas financeiras. Ver Anexo-I. Finalizando, alerta-se que neste caso de série postecipada de pagamentos, o valor futuro da mesma é definido coincidentemente com a data do último pagamento. MEMORIZE!

O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA

OCORRE COINCIDENTEMENTE COM A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.


44-167



a) Série Uniforme – Juros Compostos. 3.1.3 - Exemplo. Como exemplo, seja o caso de uma loja de varejo que vende um equipamento, a vista, por R$ 2.500,00. Deseja-se saber o valor do mesmo quando financiado em seis prestações iguais, mensais e consecutivas, sabendo que a loja remunera seus ativos à taxa de 2% ao mês?

R (sp)

=

 i × (1 + i) n  VP (sp) ×    (1 + i) n − 1 

=

Neste caso, o valor a ser financiado monta a R$ 45 mil e o valor da prestação será calculado considerando que os pagamentos se comportam como uma série uniforme postecipada, com o primeiro pagamento ocorrendo trinta dias após a data do financiamento.

R$

 0,02 × (1 + 0,02 ) 6  2500 ×    (1 + 0,02 ) n − 1 

1.888,52 R$/mês

R (SP)= 2.500,00 × 0,1785 = 446,31R$

1........................................................12 mês 15.000

3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos. Seja o caso do financiamento de um automóvel novo no valor de R$ 60 mil. Foi dado como entrada um veículo de mesma marca, usado, no valor de R$ 45.000,00. O financiamento do saldo foi pactuado para ser quitado em 12 parcelas, a juros de 7% ao mês. Pretende-se analisar qual a forma de pagamento permite uma maior economia para o comprador. Para tanto será comparado se o financiamento deverá ser efetuado em parcelas iguais, mensais e consecutivas, o que caracteriza juros compostos. Ou por pagamentos crescentes, com cada parcela sendo atualizada pela matemática dos juros simples. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

R (k)

=

VP (k)

Rk = 15.000,00 ×

×

 i × (1 + i ) n   + n − ∴ 1  (1 i )

0,07 × (1 + 0,07)12 (1+ 0,07)12

= 1.888,52R$

b) Pagamento por juros simples. Neste caso o valor financiado, R$ 15.000,00, será quitado em doze parcelas , mensais e consecutivas no valor de R$ 1.250,00, corrigidas até a data do efetivo pagamento à taxa de juros pactuada: 45-167



a) Série Uniforme – Juros Compostos. 3.1.3 - Exemplo. Como exemplo, seja o caso de uma loja de varejo que vende um equipamento, a vista, por R$ 2.500,00. Deseja-se saber o valor do mesmo quando financiado em seis prestações iguais, mensais e consecutivas, sabendo que a loja remunera seus ativos à taxa de 2% ao mês?

R (sp)

=

 i × (1 + i) n  VP (sp) ×   n  (1 + i) − 1 

=

Neste caso, o valor a ser financiado monta a R$ 45 mil e o valor da prestação será calculado considerando que os pagamentos se comportam como uma série uniforme postecipada, com o primeiro pagamento ocorrendo trinta dias após a data do financiamento.

R$

 0,02 × (1 + 0,02 ) 6  2500 ×   n  (1 + 0,02 ) − 1 

1.888,52 R$/mês

R (SP)= 2.500,00 × 0,1785 = 446,31R$

1........................................................12 mês 15.000

3.1.3 - Comparando Juros Simples e Compostos. Seja o caso do financiamento de um automóvel novo no valor de R$ 60 mil. Foi dado como entrada um veículo de mesma marca, usado, no valor de R$ 45.000,00.

R (k)

=

Rk = 15.000,00 ×

O financiamento do saldo foi pactuado para ser quitado em 12 parcelas, a juros de 7% ao mês. Pretende-se analisar qual a forma de pagamento permite uma maior economia para o comprador. Para tanto será comparado se o financiamento deverá ser efetuado em parcelas iguais, mensais e consecutivas, o que caracteriza juros compostos. Ou por pagamentos crescentes, com cada parcela sendo atualizada pela matemática dos juros simples.

VP (k)

×

 i × (1 + i ) n   + n − ∴ 1  (1 i )

0,07 × (1 + 0,07)12 (1+ 0,07)12

b) Pagamento por juros simples. Neste caso o valor financiado, R$ 15.000,00, será quitado em doze parcelas , mensais e consecutivas no valor de R$ 1.250,00, corrigidas até a data do efetivo pagamento à taxa de juros pactuada:


45-167


1ªParcela: 1.250,00 x (1+1 x 0,07) = 1.337,50 2ªParcela: 1.250,00 x (1+2 x 0,07) = 1.425,00 3ªParcela: 1.250,00 x (1+3 x 0,07) = 1.512,50 4ªParcela: 1.250,00 x (1+4 x 0,07) = 1.600,00 5ªParcela: 1.250,00 x (1+5 x 0,07) = 1.687,50 6ªParcela: 1.250,00 x (1+6 x 0,07) = 1.775,00 7ªParcela: 1.250,00 x (1+7 x 0,07) = 1.862,50 8ªParcela: 1.250,00 x (1+8 x 0,07) = 1.950,00 9ªParcela: 1.250,00 x (1+9 x 0,07) = 2.037,50 10ªParcela: 1.250,00 x (1+10 x 0,07) = 2.125,00 11ªParcela: 1.250,00 x (1+11 x 0,07) = 2.212,50 12ªParcela: 1.250,00 x (1+12 x 0,07) = 2.300,00 Valor total: .....................................R$ 21.825,00 c) Análise econômica. A comparação dos valores obtidos por análise econômica mede, simplesmente, apenas a diferença dos desembolsos efetuados. Total dos desembolsos: Juros compostos = 12 ×1.888,52 = R$ 22.662,24  Juros Simples = Σ parcelas pagas = 21.825,00 R$  Comparativo: ∆ =Juros compostos - Juros simples ∆ = R$ 22.662,24 - 21.825,00 ∆ = R$ 837,24

= 1.888,52R$


3.2.1 – Conceituação. Anuidade perpétua, também denominada série infinita ou perpetuidade de uma série postecipada, é definida como a seqüência de pagamentos “R”, iguais, periódicos e consecutivos, contendo um número muito grande de termos, pelo qual é considerada infinita. Uma série nestas condições é, matematicamente, considerada como infinita porque a influência dos últimos termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo ou irrisório. Como exemplo de perpetuidade, pode-se citar o caso das aposentadorias, prestação da casa própria ou remuneração dos fundos de pensão. Partindo da expressão do valor presente de uma série postecipada formada por pagamentos iguais, periódicos e consecutivos, tem-se: VP(SP) = R(SP) × FVPn¬i



Neste caso, fica demonstrada uma economia de R$ 837,24, caso os pagamentos fossem realizados adotando a matemática dos juros simples.

Quando n → ∞ , tem-se:

VP(si) = R(sp) × Lim FVPn¬i n→ ∞

Como:  (1 + i)n 1 −  n n  (1 + i) − 1 (1 + i) (1 + i)n  Lim FVPn¬i = Lim = Lim  n → ∞ i × (1 + 1)n n→∞  (1 + i)n n→ ∞   i×  (1 + i)n  ∴

3.2 - Anuidade perpétua. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

46-167

     



1ªParcela: 1.250,00 x (1+1 x 0,07) = 1.337,50 2ªParcela: 1.250,00 x (1+2 x 0,07) = 1.425,00 3ªParcela: 1.250,00 x (1+3 x 0,07) = 1.512,50 4ªParcela: 1.250,00 x (1+4 x 0,07) = 1.600,00 5ªParcela: 1.250,00 x (1+5 x 0,07) = 1.687,50 6ªParcela: 1.250,00 x (1+6 x 0,07) = 1.775,00 7ªParcela: 1.250,00 x (1+7 x 0,07) = 1.862,50 8ªParcela: 1.250,00 x (1+8 x 0,07) = 1.950,00 9ªParcela: 1.250,00 x (1+9 x 0,07) = 2.037,50 10ªParcela: 1.250,00 x (1+10 x 0,07) = 2.125,00 11ªParcela: 1.250,00 x (1+11 x 0,07) = 2.212,50 12ªParcela: 1.250,00 x (1+12 x 0,07) = 2.300,00 Valor total: .....................................R$ 21.825,00 c) Análise econômica. A comparação dos valores obtidos por análise econômica mede, simplesmente, apenas a diferença dos desembolsos efetuados. Total dos desembolsos:

3.2.1 – Conceituação. Anuidade perpétua, também denominada série infinita ou perpetuidade de uma série postecipada, é definida como a seqüência de pagamentos “R”, iguais, periódicos e consecutivos, contendo um número muito grande de termos, pelo qual é considerada infinita. Uma série nestas condições é, matematicamente, considerada como infinita porque a influência dos últimos termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo ou irrisório. Como exemplo de perpetuidade, pode-se citar o caso das aposentadorias, prestação da casa própria ou remuneração dos fundos de pensão. Partindo da expressão do valor presente de uma série postecipada formada por pagamentos iguais, periódicos e consecutivos, tem-se: VP(SP) = R(SP) × FVPn¬i

Juros compostos = 12 ×1.888,52 = R$ 22.662,24  Juros Simples = Σ parcelas pagas = 21.825,00 R$  Comparativo: ∆ =Juros compostos - Juros simples ∆ = R$ 22.662,24 - 21.825,00 ∆ = R$ 837,24 

Quando n → ∞ , tem-se:

VP(si) = R(sp) × Lim FVPn¬i n→ ∞

Como:  (1 + i)n 1 −  n n  (1 + i)n − 1 + i) + i) 1 1 ( (  Lim FVPn¬i = Lim = Lim n → ∞ i × (1 + 1)n  n→∞  (1 + i)n n→ ∞   × i  (1 + i)n 

Neste caso, fica demonstrada uma economia de R$ 837,24, caso os pagamentos fossem realizados adotando a matemática dos juros simples.

     

∴

3.2 - Anuidade perpétua. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

46-167


1−

Lim n →∞


1

(1 + i)n i

=

1− 0 i

=

i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0,66667% a.m.

1 i

P(si) =

Assim, fica demonstrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua, o que permite calcular o Valor Presente, VP(SI), de uma série infinita de prestações iguais, periódicas e consecutivas:

Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: •

VP (si)

=

R (si) i

Analisando as tabelas financeiras do Anexo-I, é possível verificar que o número de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser considerada como infinita e isto, também, é função direta da taxa de juros praticada. Deste modo, quanto maior a taxa de juros, menor é o número de períodos necessários a caracterizar a série como perpetuidade. Isto porque, qualquer prestação muito distante da data de início, e conforme a taxa de desconto praticada produz um valor presente insignificante ou próximo de zero, não influindo significativamente no aumento do montante do valor presente da série.

•

O montante de R$11.249,94 corresponde ao valor, em termos de valor aquisitivo medido no momento atual, da poupança em termos de moeda de poder aquisitivo constante, já que desconsiderada a inflação no período. Além disto, justifica-se o calculo do valor presente utilizando o conceito de perpetuidade, pois o horizonte das prestações atinge 180 meses e, assim sendo, as ultimas prestações tem reduzida influência no montante do mesmo.

3.3 – Série Uniforme Antecipada. Uma Série Uniforme Antecipada é definida como sendo a sucessão de pagamentos iguais, R, efetuada em intervalos regulares e constantes, cujo primeiro pagamento ocorra na data da operação financeira que lhe deu origem.

VP(SA)

3.2.2 – Exemplo. Ao completar 10 anos, seu avo lhe abriu uma caderneta de poupança programada e passou a depositar a importância de R$ 75 por mês de então até a data de sua formatura, 15 anos depois. Considerando que o banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% ao ano, capitalizados mensalmente, determine o montante disponível na data formatura. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

75 R(si) = = 11.249,94R$ 0 0066667 i ,

VF(SA)

R 1

R(SA) 2

3

4 47-167

5

n


1−

Lim n →∞


1

(1 + i)n i

=

1− 0 i

=

i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0,66667% a.m.

1 i

P(si) =

Assim, fica demonstrada a expressão de uma Perpetuidade ou Série Perpétua, o que permite calcular o Valor Presente, VP(SI), de uma série infinita de prestações iguais, periódicas e consecutivas:

Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: •

VP (si)

=

R (si) i

Analisando as tabelas financeiras do Anexo-I, é possível verificar que o número de períodos a partir dos quais uma série postecipada pode ser considerada como infinita e isto, também, é função direta da taxa de juros praticada. Deste modo, quanto maior a taxa de juros, menor é o número de períodos necessários a caracterizar a série como perpetuidade. Isto porque, qualquer prestação muito distante da data de início, e conforme a taxa de desconto praticada produz um valor presente insignificante ou próximo de zero, não influindo significativamente no aumento do montante do valor presente da série.

•

O montante de R$11.249,94 corresponde ao valor, em termos de valor aquisitivo medido no momento atual, da poupança em termos de moeda de poder aquisitivo constante, já que desconsiderada a inflação no período. Além disto, justifica-se o calculo do valor presente utilizando o conceito de perpetuidade, pois o horizonte das prestações atinge 180 meses e, assim sendo, as ultimas prestações tem reduzida influência no montante do mesmo.

3.3 – Série Uniforme Antecipada. Uma Série Uniforme Antecipada é definida como sendo a sucessão de pagamentos iguais, R, efetuada em intervalos regulares e constantes, cujo primeiro pagamento ocorra na data da operação financeira que lhe deu origem.

VP(SA)

3.2.2 – Exemplo. Ao completar 10 anos, seu avo lhe abriu uma caderneta de poupança programada e passou a depositar a importância de R$ 75 por mês de então até a data de sua formatura, 15 anos depois. Considerando que o banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% ao ano, capitalizados mensalmente, determine o montante disponível na data formatura. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

75 R(si) = = 11.249,94R$ 0,0066667 i

VF(SA)

R 1

R(SA) 2

3

4 47-167

5

n

S(PG) =

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA a(1 − qn )


em que, substituindo pelos respectivos

1− q

(1 + i)n − 1 i × (1 + i)n 1 Substituindo a expressão da soma da progressão geométrica, S(PG), na série acima, fica definida a expressão do Valor Presente, VP(SA) de uma série de pagamentos antecipados: valores financeiros, chega-se a: S(PG) =

VP(sa) = R(sa) ×

−

(1 + i)n − 1 i × (1 + i)n−1

Para tanto determina-se, inicialmente, o Valor Futuro da Série Postecipada - “S”. Estabelecido o valor de “S” para o tempo t(n-1), o Valor Futuro da Série Antecipada – VF é definido ao se levar o valor de “S” para o período t(n).

S

0

1

2

3

n-2

VF

n-1

n

Ao se desejar conhecer o valor da prestação ou pagamento, R(SA), conhecido o montante do Valor Presente, VP(SA), parte-se da expressão acima. Então:

 i × (1 + i)n−1   R(sa)= VP(sa)×   (1 + i)n − 1   

Matematicamente, o valor futuro da série postecipada, é obtido ao se multiplicar o valor futuro da série antecipada, S, pelo fator de valor futuro de um pagamento único. Então: VF(sa) = S × (1 + i)

3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. Por definição, o valor futuro, VF(SA), de uma série de pagamentos antecipada é definido no primeiro período subseqüente ao do último pagamento. A determinação do Valor Futuro da série antecipada poderá ser efetuada, de modo mais expedito, partindo da expressão do Valor Futuro de uma série postecipada. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Isto porque, multiplicado por (1+i) cada termo de uma Série Antecipada, obtém-se o valor de cada termo da série no momento seguinte ao de sua realização, passando, então, a se comportar como uma Série Postecipada, cuja soma já é conhecida.  (1 + i ) n − 1  S (sa) = R (sa) ×   ∴ i  

49-167

S(PG) =

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA a(1 − qn )


em que, substituindo pelos respectivos

1− q

(1 + i)n − 1 i × (1 + i)n 1 Substituindo a expressão da soma da progressão geométrica, S(PG), na série acima, fica definida a expressão do Valor Presente, VP(SA) de uma série de pagamentos antecipados: valores financeiros, chega-se a: S(PG) =

VP(sa) = R(sa) ×

−

(1 + i)n − 1 i × (1 + i)n−1

Para tanto determina-se, inicialmente, o Valor Futuro da Série Postecipada - “S”. Estabelecido o valor de “S” para o tempo t(n-1), o Valor Futuro da Série Antecipada – VF é definido ao se levar o valor de “S” para o período t(n).

S

0

1

2

3

n-2

VF

n-1

n

Ao se desejar conhecer o valor da prestação ou pagamento, R(SA), conhecido o montante do Valor Presente, VP(SA), parte-se da expressão acima. Então:

 i × (1 + i)n−1   R(sa)= VP(sa)×   (1 + i)n − 1   

Matematicamente, o valor futuro da série postecipada, é obtido ao se multiplicar o valor futuro da série antecipada, S, pelo fator de valor futuro de um pagamento único. Então: VF(sa) = S × (1 + i)

3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. Por definição, o valor futuro, VF(SA), de uma série de pagamentos antecipada é definido no primeiro período subseqüente ao do último pagamento. A determinação do Valor Futuro da série antecipada poderá ser efetuada, de modo mais expedito, partindo da expressão do Valor Futuro de uma série postecipada.

Isto porque, multiplicado por (1+i) cada termo de uma Série Antecipada, obtém-se o valor de cada termo da série no momento seguinte ao de sua realização, passando, então, a se comportar como uma Série Postecipada, cuja soma já é conhecida.  (1 + i ) n − 1  S (sa) = R (sa) ×   ∴ i  


49-167

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA  (1 + i)n − 1

VF(sa) = R(sa) ×  


 

× (1 + i)

i

No caso inverso, ao ser conhecido o Valor Futuro de uma série antecipada, o valor da sua prestação, R(SA), é dado por:

R(sa) = VF(sa)×

i {(1 + i)n − 1} × (1 + i)

3.3.3 – Exemplos. a) Você é um profissional liberal e associado a uma cooperativa de crédito. A cooperativa oferece uma remuneração de 1,25% ao mês para aplicação em investimentos programados em títulos de capitalização. Pergunta-se, qual a importância a ser investida visando adquirir um computador cujo preço é de R$ 5 mil no prazo de quatorze meses? i R = VF × n {( 1 + i ) − 1} × (1 + i )

Recomenda-se cuidado na aplicação dessas fórmulas que envolvam o valor futuro da série antecipada, pois ele é medido um período após a conclusão do período de pagamentos. Como exemplo deste caso, seja a aplicação em caderneta de poupança programada ou em título de capitalização. O primeiro pagamento da série ocorre no momento em que é pactuado o contrato de aplicação. O ultimo momento da série ocorre um período após o ultimo pagamento, já que este último pagamento deverá gerar juros por ainda mais um período.

R

O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA É

5000 ×

0,0125 {(1,0125 ) − 1} × (1,0125 ) 14

•

324 ,97 R $

A valores da data de fechamento da operação, ou seja, na data de hoje; E, o montante no final do período.

O valor da prestação contratada foi de D$ 700,00 por mês.

DEFINIDO UM PERÍODO APÓS A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.


=

c) Calcular o montante de capital propiciado pela aquisição de um título de capitalização pactuado à taxa de 2% ao mês e contratado por um período de dois anos, nas seguintes situações:

•

MEMORIZE!

=

50-167

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA  (1 + i)n − 1

VF(sa) = R(sa) × 

 

× (1 + i)

i




No caso inverso, ao ser conhecido o Valor Futuro de uma série antecipada, o valor da sua prestação, R(SA), é dado por:

R(sa) = VF(sa)×

i {(1 + i)n − 1} × (1 + i)

3.3.3 – Exemplos. a) Você é um profissional liberal e associado a uma cooperativa de crédito. A cooperativa oferece uma remuneração de 1,25% ao mês para aplicação em investimentos programados em títulos de capitalização. Pergunta-se, qual a importância a ser investida visando adquirir um computador cujo preço é de R$ 5 mil no prazo de quatorze meses? i R = VF × n {( 1 + i ) − 1} × (1 + i )

Recomenda-se cuidado na aplicação dessas fórmulas que envolvam o valor futuro da série antecipada, pois ele é medido um período após a conclusão do período de pagamentos. Como exemplo deste caso, seja a aplicação em caderneta de poupança programada ou em título de capitalização. O primeiro pagamento da série ocorre no momento em que é pactuado o contrato de aplicação. O ultimo momento da série ocorre um período após o ultimo pagamento, já que este último pagamento deverá gerar juros por ainda mais um período.

R

O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA É

5000 ×

0,0125 {(1,0125 )14 − 1} × (1,0125 )

=

324 ,97 R $

c) Calcular o montante de capital propiciado pela aquisição de um título de capitalização pactuado à taxa de 2% ao mês e contratado por um período de dois anos, nas seguintes situações: • •

MEMORIZE!

=

A valores da data de fechamento da operação, ou seja, na data de hoje; E, o montante no final do período.

O valor da prestação contratada foi de D$ 700,00 por mês.

DEFINIDO UM PERÍODO APÓS A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.


50-167

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA $ Valor Presente


VF

No fluxo de caixa representativo da operação, ficam caracterizadas 24 prestações, pois a primeira delas ocorre na data de fechamento da operação financeira. A última prestação ocorre um mês antes do final do período, ou seja, no 23º mês.

R= D$ 700,00 mês 0

.....

3.4 – Série Diferida.

23 24

Uma série de pagamentos é dita diferida quando a primeira prestação ocorrer após o primeiro período.

a) Valor Presente: VP = R × FVP (24; 2%)

VP = R ×

VP = 700 ×

O processo de calcular seja o valor presente, valor futuro, como a prestação de uma operação financeira em que o primeiro pagamento é diferido, é um processo comum no comércio varejista.

(1 + i)n − 1 i × (1 + i)n −1

(1,02)24 − 1 = 13.504,54D$ 0,02 × (1,02 + i)23

Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida, seja ela uma série uniforme, uma série gradiente ou mesmo uma seqüência qualquer de pagamentos já que, em termos financeiros, diferir significa adiar a data do primeiro pagamento.

b) Valor Futuro: VF = R × FVF (24;2%) VF

VF

=

700

×

=

R

×

 (1  

 (1,02 ) 24  0 , 02 

+

−

1

i) n i

×

−

1

×

(1 +

 (1, 02 )  

=

21 , 721 , 21 D $

Deste modo, a aplicação mensal de D$ 700,00 pactuada por um prazo de 24 meses à taxa de 2% ao mês, corresponderá à importância de D$ 13.504,54 na data da aplicação e de D$ 21.721.21 no final do período. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

1º passo

2º passo

 i )  

VP(0)

0

VP(k)

1

2

............ k

R

k+1

k+2

51-167

.....

n

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA $ Valor Presente


VF

No fluxo de caixa representativo da operação, ficam caracterizadas 24 prestações, pois a primeira delas ocorre na data de fechamento da operação financeira. A última prestação ocorre um mês antes do final do período, ou seja, no 23º mês.

R= D$ 700,00 mês 0

.....

3.4 – Série Diferida.

23 24

Uma série de pagamentos é dita diferida quando a primeira prestação ocorrer após o primeiro período.

a) Valor Presente: VP = R × FVP (24; 2%)

VP = R ×

VP = 700 ×

O processo de calcular seja o valor presente, valor futuro, como a prestação de uma operação financeira em que o primeiro pagamento é diferido, é um processo comum no comércio varejista.

(1 + i)n − 1 i × (1 + i)n −1

(1,02)24 − 1 = 13.504,54D$ 0,02 × (1,02 + i)23

Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida, seja ela uma série uniforme, uma série gradiente ou mesmo uma seqüência qualquer de pagamentos já que, em termos financeiros, diferir significa adiar a data do primeiro pagamento.

b) Valor Futuro: VF = R × FVF (24;2%) VF

VF

=

700

×

=

R

×

 (1  

 (1,02 ) 24  0 , 02 

+

−

1

i) n i

×

−

1

×

(1 +

 (1, 02 )  

=

21 , 721 , 21 D $

Deste modo, a aplicação mensal de D$ 700,00 pactuada por um prazo de 24 meses à taxa de 2% ao mês, corresponderá à importância de D$ 13.504,54 na data da aplicação e de D$ 21.721.21 no final do período.

1º passo

2º passo

 i )  

VP(0)

0

VP(k)

1

2

............ k

R

k+1


A determinação do Valor Presente de uma série diferida, VP(SD), é efetuada em dois passos: 1º passo - calcula-se o valor presente da série postecipada, VP(k), como anteriormente demonstrado; Neste caso, o momento inicial da série corresponde a um momento anterior ao do início de pagamentos; 2º passo – disponível o valor presente da série postecipada, VP(k), calcula-se o Valor Presente desejado, VP(SD). Para tanto, leva-se o valor de VP(k), a valor presente no momento zero, ou seja, VP(SD). VP(k ) VP(SD) = (1 + i)k Por sua vez, sabendo-se que o Valor Presente de uma série uniforme postecipada composta por (n-k) pagamentos iguais e consecutivos de valor R é dada por:

.....

n

51-167


3.4.1 – Metodologia.

k+2


3.4.2 - Exemplo a) Calcular o valor da prestação relativa à venda de um equipamento cujo preço monta a D$ 300 mil, negociado em sete prestações iguais, mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas cento e vinte dias após o fechamento do negócio. A empresa adota uma TMA de 7% ao mês. O primeiro passo é elaborar o diagrama de fluxo de caixa do empreendimento. Isto feito verifica-se que a série de pagamentos inicia no mês 4, sendo seu momento inicial referido ao mês 3.

R 1 2 3 4 5 6

Mês

7 8 9 10

VP(k) = R × FVP (n-k; i%) 300.000,00

Ao se substituir a expressão de VP(k) acima, na expressão de VP(SD), chega-se a expressão geral do valor presente de uma série postecipada diferida.

VP(SD ) =

R × FVP ( n - k, i) k (1 + i)

È importante ressaltar que o momento k corresponde ao “momento zero” da série uniforme, isto é, o período que precede o momento em que se iniciam os pagamentos. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

VP(0) = R × FVP(n − k; i%) × 300.000

= R × FVP ( 7;7 %) ×

300.000 = R × 5,3893 × ∴ R

1 (1 − i)k 1 (1 + i)k

1 = R × 5,3893 × 0,8163 (1 + 0,07)³

= 72.966,12 D$/mês 52-167


3.4.1 – Metodologia. A determinação do Valor Presente de uma série diferida, VP(SD), é efetuada em dois passos: 1º passo - calcula-se o valor presente da série postecipada, VP(k), como anteriormente demonstrado; Neste caso, o momento inicial da série corresponde a um momento anterior ao do início de pagamentos; 2º passo – disponível o valor presente da série postecipada, VP(k), calcula-se o Valor Presente desejado, VP(SD). Para tanto, leva-se o valor de VP(k), a valor presente no momento zero, ou seja, VP(SD). VP(k ) VP(SD) = (1 + i)k Por sua vez, sabendo-se que o Valor Presente de uma série uniforme postecipada composta por (n-k) pagamentos iguais e consecutivos de valor R é dada por:


3.4.2 - Exemplo a) Calcular o valor da prestação relativa à venda de um equipamento cujo preço monta a D$ 300 mil, negociado em sete prestações iguais, mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas cento e vinte dias após o fechamento do negócio. A empresa adota uma TMA de 7% ao mês. O primeiro passo é elaborar o diagrama de fluxo de caixa do empreendimento. Isto feito verifica-se que a série de pagamentos inicia no mês 4, sendo seu momento inicial referido ao mês 3.

R 1 2 3 4 5 6

Mês

7 8 9 10

VP(k) = R × FVP (n-k; i%) 300.000,00

Ao se substituir a expressão de VP(k) acima, na expressão de VP(SD), chega-se a expressão geral do valor presente de uma série postecipada diferida.

VP(0) = R × FVP(n − k; i%) ×

R VP(SD ) = × FVP ( n - k, i) (1 + i) k

300.000

È importante ressaltar que o momento k corresponde ao “momento zero” da série uniforme, isto é, o período que precede o momento em que se iniciam os pagamentos.

300.000 = R × 5,3893 ×


= R × FVP ( 7;7 %) ×

∴ R

1 (1 + 0,07)³

1 (1 − i)k 1 (1 + i)k

= R × 5,3893 × 0,8163

= 72.966,12 D$/mês 52-167



qual será a taxa interna de retorno prevista como resultado do investimento em curso superior? p) Um veículo no valor de R$ 28 mil foi financiado em seis prestações iguais, mensais e consecutivas, no valor de R$ 5.254,71 cada, sendo que a primeira foi quitada na data do fechamento do negócio. A taxa de juros pactuada para o financiamento foi de 3,5% ao mês. Se fosse pactuado a juros simples, deseja-se saber qual o valor da prestação a ser cobrada. q) Um título com valor de face de R$ 290,00, vencido em 31 de março de 2004 foi pago com 27 meses de atraso. O valor pago montou a R$ 1.066,91. Deseja-se saber qual a taxa efetivamente paga, bem como a taxa real de juros já que o mesmo foi corrigido pelo INPC.


56-167



qual será a taxa interna de retorno prevista como resultado do investimento em curso superior? p) Um veículo no valor de R$ 28 mil foi financiado em seis prestações iguais, mensais e consecutivas, no valor de R$ 5.254,71 cada, sendo que a primeira foi quitada na data do fechamento do negócio. A taxa de juros pactuada para o financiamento foi de 3,5% ao mês. Se fosse pactuado a juros simples, deseja-se saber qual o valor da prestação a ser cobrada. q) Um título com valor de face de R$ 290,00, vencido em 31 de março de 2004 foi pago com 27 meses de atraso. O valor pago montou a R$ 1.066,91. Deseja-se saber qual a taxa efetivamente paga, bem como a taxa real de juros já que o mesmo foi corrigido pelo INPC.


56-167



Quando ocorre a dispensa do recolhimento de juros durante a carência eles são incorporados ao principal gerando um novo saldo devedor. E, é sobre esse novo saldo devedor que a amortização deverá ser calculada. Prestação

5º. Calcula-se o novo saldo devedor diminuindo-se do saldo havido no início do período o valor da amortização; 6º. Repete-se sucessivamente esta operação até ser definido o valor da ultima prestação. 4.2.2 - Exemplo. Seja calcular a prestação relativa a um empréstimo no montante de D$100.000,00 cujo prazo da operação foi estabelecido em seis anos. Para tanto, foram pactuados juros de 10% ao ano e um prazo de carência de trinta e seis meses em que os juros incorridos deverão ser pagos durante este prazo.

Juros Amortização 1

n Perí

O calculo da prestação, então, segue a seguinte metodologia: 1º. Define-se o montante a ser financiado. Em caso de carência, os juros poderão ser ou não incorporados ao principal; 2º. Calcula-se o valor da amortização; a =

SaldoDeved or PeríododeA mortização

3º. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; 4º. A prestação do período é definida somando-se o valor da amortização ao valor dos juros calculados; MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Ano 0 1 2 3 4 5 6 Tot.

Saque Saldo 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 75.000,00 50.000,00 25.000,00 -

amortizaçã o =

Amortizaç Juros 10% 10.000,00 10.000,00 25.000,00 10.000,00 25.000,00 7.500,00 25.000,00 5.000,00 25.000,00 2.500,00 100.000,00 45.000,00

100 .000 ,00 4

=

Prestação 10.000,00 10.000,00 35.000,00 32.500,00 30.000,00 27.500,00 145.000,00

25 .000 ,00 D $ / ano

4.3 - Sistemas de prestação constante 4.3.1 - Metodologia

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Quando ocorre a dispensa do recolhimento de juros durante a carência eles são incorporados ao principal gerando um novo saldo devedor. E, é sobre esse novo saldo devedor que a amortização deverá ser calculada. Prestação

5º. Calcula-se o novo saldo devedor diminuindo-se do saldo havido no início do período o valor da amortização; 6º. Repete-se sucessivamente esta operação até ser definido o valor da ultima prestação. 4.2.2 - Exemplo. Seja calcular a prestação relativa a um empréstimo no montante de D$100.000,00 cujo prazo da operação foi estabelecido em seis anos. Para tanto, foram pactuados juros de 10% ao ano e um prazo de carência de trinta e seis meses em que os juros incorridos deverão ser pagos durante este prazo.

Juros Amortização 1

n Perí

O calculo da prestação, então, segue a seguinte metodologia: 1º. Define-se o montante a ser financiado. Em caso de carência, os juros poderão ser ou não incorporados ao principal; 2º. Calcula-se o valor da amortização; a =

SaldoDeved or PeríododeA mortização

3º. Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; 4º. A prestação do período é definida somando-se o valor da amortização ao valor dos juros calculados; MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Ano 0 1 2 3 4 5 6 Tot.

Saque Saldo 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 75.000,00 50.000,00 25.000,00 -

amortizaçã o =

Amortizaç Juros 10% 10.000,00 10.000,00 25.000,00 10.000,00 25.000,00 7.500,00 25.000,00 5.000,00 25.000,00 2.500,00 100.000,00 45.000,00

100 .000 ,00 4

=

Prestação 10.000,00 10.000,00 35.000,00 32.500,00 30.000,00 27.500,00 145.000,00

25 .000 ,00 D $ / ano

4.3 - Sistemas de prestação constante 4.3.1 - Metodologia

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D$100.000,00 a ser quitado em cinco anos, com juros pactuados em 10% ao ano, em que não ocorre prazo de carência. É importante notar que as prestações correspondem à uma série de pagamentos postecipada sendo eles iguais, anuais e consecutivos. O valor da prestação é dado por: R = S × FRC(5¬10%).

4.4 - O sistema americano. 4.4.1 - Metodologia. O Sistema Americano é caracterizado por não ocorrer amortização durante o prazo do contrato. Nestas condições, o principal é quitado juntamente com a quitação da ultima prestação.

Logo: R = 100.000,00 × 0,2637975 = 26.379,75 R$ Per 0 1 2 3 4 5 Σ

Saldo R$ 100.000,00 83.620,25 65.602,53 45.783,03 23.981,58 0,00

Prestação R$ 26.379,75 26.379,75 26.379,75 26.379,75 26.379,75 131.898,75

Amortização R$ 16.379,75 18.017,72 19.819,50 21.801,45 23.981,58 100.000,00

Juros I=10% 10.000,00 8.362,03 6.560,25 4.578,30 2.398,16 31.898,74

Prestação-$ Principal

Juros

4.3.3 - O Sistema Price. O sistema Price é uma variante do Sistema Francês largamente utilizado no comércio e definido com as seguintes características: a) Taxa de juros contratada em termos nominais, normalmente referidas ao período de um ano. b) O pagamento das prestações comumente pactuado em base mensal. c) A taxa de cálculo utilizada é proporcional ao período da prestação, obtida a partir da taxa nominal.


Como o método prevê o pagamento da ultima prestação em valor muito elevado, com os juros do período acrescido ao principal, aumenta o risco do tomador em conseguir quitar a mesma, fato que inibe sua adoção por parte de tomadores de crédito e por organismos financiadores. Ressalta-se que, tanto o sistema financeiro brasileiro, como os organismos internacionais de crédito, via de regra, não adotam esse sistema.

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D$100.000,00 a ser quitado em cinco anos, com juros pactuados em 10% ao ano, em que não ocorre prazo de carência. É importante notar que as prestações correspondem à uma série de pagamentos postecipada sendo eles iguais, anuais e consecutivos. O valor da prestação é dado por: R = S × FRC(5¬10%).

4.4 - O sistema americano. 4.4.1 - Metodologia. O Sistema Americano é caracterizado por não ocorrer amortização durante o prazo do contrato. Nestas condições, o principal é quitado juntamente com a quitação da ultima prestação.

Logo: R = 100.000,00 × 0,2637975 = 26.379,75 R$ Per 0 1 2 3 4 5

Saldo R$ 100.000,00 83.620,25 65.602,53 45.783,03 23.981,58 0,00

Σ

Prestação R$ 26.379,75 26.379,75 26.379,75 26.379,75 26.379,75 131.898,75

Amortização R$ 16.379,75 18.017,72 19.819,50 21.801,45 23.981,58 100.000,00

Prestação-$

Juros I=10% 10.000,00 8.362,03 6.560,25 4.578,30 2.398,16 31.898,74

Principal

Juros

4.3.3 - O Sistema Price. O sistema Price é uma variante do Sistema Francês largamente utilizado no comércio e definido com as seguintes características: a) Taxa de juros contratada em termos nominais, normalmente referidas ao período de um ano. b) O pagamento das prestações comumente pactuado em base mensal. c) A taxa de cálculo utilizada é proporcional ao período da prestação, obtida a partir da taxa nominal.

Como o método prevê o pagamento da ultima prestação em valor muito elevado, com os juros do período acrescido ao principal, aumenta o risco do tomador em conseguir quitar a mesma, fato que inibe sua adoção por parte de tomadores de crédito e por organismos financiadores. Ressalta-se que, tanto o sistema financeiro brasileiro, como os organismos internacionais de crédito, via de regra, não adotam esse sistema.


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4.4.2 - Exemplo.

Prestação

Como exemplo de aplicação do método americano, seja um empréstimo no montante de R$ 100 mil, pactuado por um prazo de quatro anos, a juros de 7,00% ao ano. Per. 0 1 2 3 4 Total

Saldo Devedor 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 -

Amortização 100.000,00 100.000,00

Juros 7% 7.000,00 7.000,00 7.000,00 7.000,00 28.000,00

Prestação 7.000,00 7.000,00 7.000,00 107.000,00 128.000,00

4.5 – O sistema de amortização variável. 4.5.1 – Metodologia. O Sistema de Amortização Variável é um sistema que difere dos anteriores, pois não existe definição de lei de formação na definição das prestações ou da amortização. O objetivo maior desse sistema é adequar a capacidade de pagamento do tomador ao fluxo de caixa a ser gerado pelo projeto, visando o manter superavitário em todos os períodos. Nestas condições, tanto as amortizações como as prestações podem variar a cada período. Os juros são calculados sobre o saldo devedor. E, em havendo prazo de carência, podem ou não ser incorporados ao saldo devedor.


Juros Amortização

Períodos

1

n

Pelo exposto, este é um sistema extremamente flexível, cujo objetivo é manter a capacidade de pagamento do tomador do recurso adequada às condições do fluxo de caixa, visando à estabilidade financeira da empresa. As prestações metodologia:

são

determinadas

segundo

a

1º Define-se o montante a ser financiado. 2º O valor da amortização é estabelecido, para cada período, segundo a capacidade de pagamento do tomador; 3º Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; (Juros)n = iEFT × (Saldo Devedor)n-1 4º Define-se o valor da prestação para o período: Pn = An + Jn 5º Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: Sn+1 = Sn – An 6º Repete-se o processo até se chegar ao valor da ultima prestação.

62-167



4.4.2 - Exemplo.

Prestação

Como exemplo de aplicação do método americano, seja um empréstimo no montante de R$ 100 mil, pactuado por um prazo de quatro anos, a juros de 7,00% ao ano. Per. 0 1 2 3 4 Total

Saldo Devedor 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 -

Amortização 100.000,00 100.000,00

Juros 7% 7.000,00 7.000,00 7.000,00 7.000,00 28.000,00

Prestação 7.000,00 7.000,00 7.000,00 107.000,00 128.000,00

4.5 – O sistema de amortização variável. 4.5.1 – Metodologia. O Sistema de Amortização Variável é um sistema que difere dos anteriores, pois não existe definição de lei de formação na definição das prestações ou da amortização. O objetivo maior desse sistema é adequar a capacidade de pagamento do tomador ao fluxo de caixa a ser gerado pelo projeto, visando o manter superavitário em todos os períodos. Nestas condições, tanto as amortizações como as prestações podem variar a cada período. Os juros são calculados sobre o saldo devedor. E, em havendo prazo de carência, podem ou não ser incorporados ao saldo devedor.


Juros Amortização

Períodos

1

n

Pelo exposto, este é um sistema extremamente flexível, cujo objetivo é manter a capacidade de pagamento do tomador do recurso adequada às condições do fluxo de caixa, visando à estabilidade financeira da empresa. As prestações metodologia:

são

determinadas

segundo

a

1º Define-se o montante a ser financiado. 2º O valor da amortização é estabelecido, para cada período, segundo a capacidade de pagamento do tomador; 3º Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor; (Juros)n = iEFT × (Saldo Devedor)n-1 4º Define-se o valor da prestação para o período: Pn = An + Jn 5º Calcula-se o saldo devedor para o próximo período: Sn+1 = Sn – An 6º Repete-se o processo até se chegar ao valor da ultima prestação.

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O sistema alemão, dado suas características, não apresenta equivalência financeira entre o montante emprestado e as respectivas contraprestações, dada uma taxa pactuada, A equivalência financeira ocorrerá a uma taxa de desconto maior do que a pactuada, assunto a ser discutido no item 4.6.4. M

  

M = a1 + a2+ a3 + ····· + an-1 + an P0 = J0 P1 = P2 = P3 = ····· = Pn-1 = Pn

Relacionando as prestações em função de suas variáveis e sabendo que cada prestação corresponde à soma dos juros e da amortização, tem-se: P = amortização + Juros

1

J0=p

2

3

······

n-1

a1

n Pn = an

J1

As características deste sistema são três: i) o pagamento dos juros vencíveis no período é antecipado, ocorrendo o primeiro pagamento dos juros no momento em que ocorre a operação financeira; ii) as demais prestações são iguais para todos os períodos; iii) ao ser paga a ultima prestação ocorre, apenas, a devolução do resíduo do saldo devedor, porém esse resíduo tem o mesmo valor das demais prestações pactuadas.

P0= M × i P1 = a1 + (M – a1 )× i P2 = a2 + (M – a1 -+ a2) × i P3 = a3 + (M – a1 – a2 - a3) × i ······························································ Pn-1 = an-1 + (M – a1 – a2- a3 - ····· - an-1 ) × i Pn = an + (M – a1 – a2 – a3 - ····· - a n-1 - an) × i = an Como as prestações são todas iguais, por definição, pode-se escrever: Pn-1 = Pn então; an-1 + (M - a1 - a2- a3 - ····· - an-1 ) × i = = an + (M - a1 - a2 - a3 - ··· - an-1 - an) × i ∴

an-1 = an - an × i 4.6.2 – Relação entre Amortizações. Adotando como nomenclatura: M correspondendo ao capital inicial ou montante emprestado; J e a, representando, respectivamente, os juros e a amortização correspondente a cada período. E, P o valor da prestação, pode-se escrever as três principais características do Sistema Alemão: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

an-1 = an × (1- i)

∴ ∴

an

=

an 1 (1 − i) −

4.6.3 – Determinação da Prestação. 64-167



O sistema alemão, dado suas características, não apresenta equivalência financeira entre o montante emprestado e as respectivas contraprestações, dada uma taxa pactuada, A equivalência financeira ocorrerá a uma taxa de desconto maior do que a pactuada, assunto a ser discutido no item 4.6.4. M

  

M = a1 + a2+ a3 + ····· + an-1 + an P0 = J0 P1 = P2 = P3 = ····· = Pn-1 = Pn

Relacionando as prestações em função de suas variáveis e sabendo que cada prestação corresponde à soma dos juros e da amortização, tem-se: P = amortização + Juros

1

J0=p

2

3

······

n-1

n

a1

Pn = an

J1

As características deste sistema são três: i) o pagamento dos juros vencíveis no período é antecipado, ocorrendo o primeiro pagamento dos juros no momento em que ocorre a operação financeira; ii) as demais prestações são iguais para todos os períodos; iii) ao ser paga a ultima prestação ocorre, apenas, a devolução do resíduo do saldo devedor, porém esse resíduo tem o mesmo valor das demais prestações pactuadas.

P0= M × i P1 = a1 + (M – a1 )× i P2 = a2 + (M – a1 -+ a2) × i P3 = a3 + (M – a1 – a2 - a3) × i ······························································ Pn-1 = an-1 + (M – a1 – a2- a3 - ····· - an-1 ) × i Pn = an + (M – a1 – a2 – a3 - ····· - a n-1 - an) × i = an Como as prestações são todas iguais, por definição, pode-se escrever: Pn-1 = Pn então; an-1 + (M - a1 - a2- a3 - ····· - an-1 ) × i = = an + (M - a1 - a2 - a3 - ··· - an-1 - an) × i ∴

an-1 = an - an × i 4.6.2 – Relação entre Amortizações. Adotando como nomenclatura: M correspondendo ao capital inicial ou montante emprestado; J e a, representando, respectivamente, os juros e a amortização correspondente a cada período. E, P o valor da prestação, pode-se escrever as três principais características do Sistema Alemão:

∴

an

=

an 1 (1 − i) −

4.6.3 – Determinação da Prestação.


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A determinação do valor da prestação no Sistema Alemão é efetuada a partir da série de amortizações. Da expressão acima, verifica-se que os valores das amortizações estão em progressão geométrica cuja razão é {(n-1) -1}. Escrevendo a progressão em ordem decrescente dos termos visando facilitar a demonstração e os exprimindo em função do último termo, pode-se escrever a seguinte série: an = an a n-1 = a n × (1- i)1 a n-2 = a n × (1- i) 2 a n-3 = a n × (1- i) 3 ··········· a 2 = a n × (1- i)n-2 a1 = a n × (1- i) n-1 Sabendo-se que o montante do financiamento corresponde à soma das amortizações pode-se escrever, de modo matemático: M = a1 + a2 + a3 + ····· + a n-1 + an ∴

M= an + an × (n-1)1 + an × (n-1)2 + an × (n-1)3 + ····· + an × (n1)n-2 + an × (n-1)n-1 Por característica e definição do sistema alemão, a última amortização apresenta o mesmo valor da ultima prestação, ou seja, p = an. Assim a expressão acima pode ser escrita da seguinte forma: M = p + an × (n-1)1 + an × (n-1)2 + an × (n-1)3 + ···················· + an × (n-1)n-2 + an × (n-1)n-1 MatemFinanceira~AULAS~abril2010

an-1 = an × (1- i)

∴


Como os termos da amortização estão em progressão geométrica, o valor financiado M, corresponde à soma de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e a razão (n-1). Sabendo que a expressão da soma de progressão geométrica decrescente em que “a” corresponde ao primeiro termo, “q” a razão e “n” o número de termos da série, é dada por: a(1 − qn ) S(PG) = 1− q Substituindo na expressão acima os valores da progressão geométrica, obtém-se a expressão que define o valor da prestação no Sistema Alemão: p=

M× i 1 − (1 − i)n

4.6.4 – Equivalência Financeira. Como já comentado anteriormente, o sistema alemão não apresenta uma equivalência financeira quando se compara o valor do empréstimo com a soma das prestações pactuadas à taxa estabelecida. A definição da taxa real ou efetiva de juros, neste sistema, é efetuada de modo mais complexo. Para tanto, recomenda-se utilizar a fórmula de Karpin, o método de Newton Raphson ou da bisseção, para a definição da taxa real de juros, métodos a serem discutidos em capítulos posteriores. 65-167



A determinação do valor da prestação no Sistema Alemão é efetuada a partir da série de amortizações. Da expressão acima, verifica-se que os valores das amortizações estão em progressão geométrica cuja razão é {(n-1) -1}. Escrevendo a progressão em ordem decrescente dos termos visando facilitar a demonstração e os exprimindo em função do último termo, pode-se escrever a seguinte série: an = an a n-1 = a n × (1- i)1 a n-2 = a n × (1- i) 2 a n-3 = a n × (1- i) 3 ··········· a 2 = a n × (1- i)n-2 a1 = a n × (1- i) n-1 Sabendo-se que o montante do financiamento corresponde à soma das amortizações pode-se escrever, de modo matemático: M = a1 + a2 + a3 + ····· + a n-1 + an ∴

M= an + an × (n-1)1 + an × (n-1)2 + an × (n-1)3 + ····· + an × (n1)n-2 + an × (n-1)n-1 Por característica e definição do sistema alemão, a última amortização apresenta o mesmo valor da ultima prestação, ou seja, p = an. Assim a expressão acima pode ser escrita da seguinte forma: M = p + an × (n-1)1 + an × (n-1)2 + an × (n-1)3 + ···················· + an × (n-1)n-2 + an × (n-1)n-1

Como os termos da amortização estão em progressão geométrica, o valor financiado M, corresponde à soma de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é p e a razão (n-1). Sabendo que a expressão da soma de progressão geométrica decrescente em que “a” corresponde ao primeiro termo, “q” a razão e “n” o número de termos da série, é dada por: a(1 − qn ) S(PG) = 1− q Substituindo na expressão acima os valores da progressão geométrica, obtém-se a expressão que define o valor da prestação no Sistema Alemão: p=

M× i 1 − (1 − i)n

4.6.4 – Equivalência Financeira. Como já comentado anteriormente, o sistema alemão não apresenta uma equivalência financeira quando se compara o valor do empréstimo com a soma das prestações pactuadas à taxa estabelecida. A definição da taxa real ou efetiva de juros, neste sistema, é efetuada de modo mais complexo. Para tanto, recomenda-se utilizar a fórmula de Karpin, o método de Newton Raphson ou da bisseção, para a definição da taxa real de juros, métodos a serem discutidos em capítulos posteriores.


65-167


ENGENHARIA ECONÔMICA ∴

M-Mi

1

2

3

···

n-1

n

p

4.6.5 – Exemplo. Seja determinar o valor das prestações de um empréstimo pactuado sob as seguintes condições: montante contratado de R$ 100 mil; taxa de juros pactuada, 5% por período; sete anos de duração, sem carência. Os procedimentos de cálculo devem ser realizados na seguinte ordem:

p= MatemFinanceira~AULAS~abril2010

M×i 1 − (1 − i)n

Sabe-se que a ultima amortização corresponde à ultima prestação. Então: a7 = p7 a an = n 1 (1 − i) ∴ an-1 = an × (1-i) −

∴

a6 = a7 (1-0,05) = 15.746,06 R$

∴

(1-i ) × M = p × FRC (n¬ iREAL%)

a) Calculo da Prestação:

= 16 .574,80

b) Calculo das Amortizações:

A taxa real ou efetiva de juros pode ser equiparada à Taxa Interna de Retorno do financiamento, já que o soma das prestações equivale, financeiramente, ao valor do montante recebido e corresponde a uma série de pagamentos postecipada. Então: M - Mi = p × FRC (n¬ iREAL%)

100 .000 × 0,05 p= 1 − (1 − 0.05 )7

c) Cálculo dos Juros: Os juros podem ser calculados de dois modos. Fazendo incidir a taxa pactuada sobre o saldo devedor ou diminuindo do valor da prestação o valor da amortização. Período

Saldo

0 1 2 3 4 5 6 7 Total

100.000,00 87.816,00 74.990,74 61.490,46 47.279,64 32.320,88 16.574,82 16.574,82 -

Juros 5% 5.000,00 4.390,80 3.749,54 3.074,52 2.363,98 1.616,04 828,74 0,00 -

Amortização

Prestação

12.184,00 12.825,26 13.500,28 14.210,82 14.958,76 15.746,06 16.574,82 100.000,00

5.000,00 16.574,80 16.574,80 16.574,80 16.574,80 16.574,80 16.574,80 16.574,80 -

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ENGENHARIA ECONÔMICA ∴

M-Mi

1

2

3

···

n-1

n

p

M - Mi = p × FRC (n¬ iREAL%)

= 16 .574,80

b) Calculo das Amortizações:

A taxa real ou efetiva de juros pode ser equiparada à Taxa Interna de Retorno do financiamento, já que o soma das prestações equivale, financeiramente, ao valor do montante recebido e corresponde a uma série de pagamentos postecipada. Então:

Sabe-se que a ultima amortização corresponde à ultima prestação. Então: a7 = p7 a an = n 1 (1 − i) ∴ an-1 = an × (1-i) −

∴

a6 = a7 (1-0,05) = 15.746,06 R$

∴

(1-i ) × M = p × FRC (n¬ iREAL%) 4.6.5 – Exemplo. Seja determinar o valor das prestações de um empréstimo pactuado sob as seguintes condições: montante contratado de R$ 100 mil; taxa de juros pactuada, 5% por período; sete anos de duração, sem carência. Os procedimentos de cálculo devem ser realizados na seguinte ordem: a) Calculo da Prestação: p=

100 .000 × 0,05 p= 1 − (1 − 0.05 )7

M×i 1 − (1 − i)n

c) Cálculo dos Juros: Os juros podem ser calculados de dois modos. Fazendo incidir a taxa pactuada sobre o saldo devedor ou diminuindo do valor da prestação o valor da amortização. Período

Saldo

0 1 2 3 4 5 6 7 Total

100.000,00 87.816,00 74.990,74 61.490,46 47.279,64 32.320,88 16.574,82 16.574,82 -


4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE. 4.7.1 – O Sistema O SACRE, ou sistema de amortização crescente, é um sistema de financiamento criado pela Caixa Econômica Federal visando calcular a prestação dos empréstimos de aquisição da casa própria.

Amortização

Prestação

12.184,00 12.825,26 13.500,28 14.210,82 14.958,76 15.746,06 16.574,82 100.000,00

5.000,00 16.574,80 16.574,80 16.574,80 16.574,80 16.574,80 16.574,80 16.574,80 -

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Atenção! Visando corresponder à soma das amortizações, exatamente, ao montante tomado, foi efetuado um ajuste de R$ 0,02 no valor da amortização da ultima prestação.

Juros 5% 5.000,00 4.390,80 3.749,54 3.074,52 2.363,98 1.616,04 828,74 0,00 -


Tanto o CES como o seguro possui uma metodologia própria para sua definição, porém fugindo do escopo deste curso a sua análise. O seguro, por sua vez, é dividido em seguro do imóvel e seguro pessoal, que abrange morte e invalidez e são dois parâmetros a serem considerados no calculo da prestação. Pelas regras da CEF atualmente em vigor, o saldo devedor é atualizado anualmente pelo valor da TR, taxa referencial de juros utilizada no reajuste da poupança. Nos dois primeiros anos do financiamento e pode a, partir do terceiro ano, ser feito trimestralmente, a critério da CEF.

O objetivo do sistema é permitir a amortização de parcela expressiva do empréstimo no menor tempo possível e, caso ocorra uma inadimplência do mutuário, reduzir o risco de perdas para a CEF.

Finalizando, para calcular o saldo devedor a cada período em que ocorre o reajuste da prestação, o sistema utilizado é o de amortização constante. Porém, considerando a variação da TR, a amortização pode variar e mesmo diminuir, quando o valor desta for baixo.

O valor da prestação no sistema SACRE é definido pela soma de duas variáveis básicas, quais sejam: o encargo mensal - EM e o seguro, atendendo ao seguinte modelo:

4.7.2 – A metodologia.

PM = (EM × CES) + Seguro Uma característica do sistema é ter a prestação mensal calculada em função do montante financiado e o seguro sobre o valor de avaliação do imóvel. O CES é um parâmetro referente ao Coeficiente de Equivalência Salarial, periodicamente atualizado pela CEF.

As prestações são determinadas adotando a seguinte metodologia: 1º - Define-se o Encargo Mensal – EM EM = juros + amortização 1 P  EM = (P × i) +    = P × (i + ) n  n 

Em que P corresponde ao saldo devedor e n o número de meses pactuados para amortizar o financiamento. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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Atenção! Visando corresponder à soma das amortizações, exatamente, ao montante tomado, foi efetuado um ajuste de R$ 0,02 no valor da amortização da ultima prestação. 4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE. 4.7.1 – O Sistema O SACRE, ou sistema de amortização crescente, é um sistema de financiamento criado pela Caixa Econômica Federal visando calcular a prestação dos empréstimos de aquisição da casa própria.


Tanto o CES como o seguro possui uma metodologia própria para sua definição, porém fugindo do escopo deste curso a sua análise. O seguro, por sua vez, é dividido em seguro do imóvel e seguro pessoal, que abrange morte e invalidez e são dois parâmetros a serem considerados no calculo da prestação. Pelas regras da CEF atualmente em vigor, o saldo devedor é atualizado anualmente pelo valor da TR, taxa referencial de juros utilizada no reajuste da poupança. Nos dois primeiros anos do financiamento e pode a, partir do terceiro ano, ser feito trimestralmente, a critério da CEF.

O objetivo do sistema é permitir a amortização de parcela expressiva do empréstimo no menor tempo possível e, caso ocorra uma inadimplência do mutuário, reduzir o risco de perdas para a CEF.

Finalizando, para calcular o saldo devedor a cada período em que ocorre o reajuste da prestação, o sistema utilizado é o de amortização constante. Porém, considerando a variação da TR, a amortização pode variar e mesmo diminuir, quando o valor desta for baixo.

O valor da prestação no sistema SACRE é definido pela soma de duas variáveis básicas, quais sejam: o encargo mensal - EM e o seguro, atendendo ao seguinte modelo:

4.7.2 – A metodologia.

PM = (EM × CES) + Seguro Uma característica do sistema é ter a prestação mensal calculada em função do montante financiado e o seguro sobre o valor de avaliação do imóvel.

As prestações são determinadas adotando a seguinte metodologia: 1º - Define-se o Encargo Mensal – EM EM = juros + amortização

O CES é um parâmetro referente ao Coeficiente de Equivalência Salarial, periodicamente atualizado pela CEF.

1 P  EM = (P × i) +    = P × (i + ) n  n 

Em que P corresponde ao saldo devedor e n o número de meses pactuados para amortizar o financiamento. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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2º - Define-se o parâmetro CES.


4º - Define-se o valor da prestação mensal.

O CES é fixado por circular da CEF. Para o exercício de 2006 foi estipulado em 1,12.

Como já definido, a expressão da Prestação Mensal é dada por: PM = (EM × CES) + Seguro

3º - Calcula-se o valor do seguro.

5º - Calcula-se a amortização.

O seguro, ou seja, a taxa do risco a incidir sobre o financiamento é composta pela soma de duas variáveis: uma destinada a cobrir danos físicos ao imóvel e a outra para cobrir o risco de morte ou de invalidez do tomador.

6º - Atualização monetária do financiamento.

Assim sendo, estas taxas de seguro são denominadas, respectivamente, de: DIF, visando cobrir danos físicos ao imóvel; e MIP destinada a cobrir casos de morte ou de invalidez do usuário.

É possível que tenha sito pactuado que para o calculo de cada prestação o valor financiado deva ser atualizado monetariamente, fato a ser considerado quando da quitação das mesmas.

Seguro = DIF + MIP As taxas de seguro, por sua vez, são calculadas em função do valor do imóvel, da taxa de risco e do CES. DIF = valor da avaliação × taxa de risco × CES MIP = valor da avaliação × taxa de risco × CES A definição de cada taxa de risco deverá ser efetuada após consulta à CEF. Ressalta-se que estas taxas variam segundo a categoria em que for classificado o imóvel. Para tanto é leva do em consideração o valor da avaliação do imóvel, a idade do tomador e o prazo de quitação. Como exemplo de taxas e considerando financiamentos realizados após 1994, na Categoria de Risco 6 a taxa definida para a DIF é 0,02402 % e para a MIP é de 0,14429%. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

A=

P × CES n

7º - Calcula-se o novo saldo devedor. SD n+1 = SDn – Amortização do período 4.7.3 – Exemplo. Seja calcular a prestação mensal relativa ao financiamento de um imóvel avaliado em de R$ 500 mil, dos quais R$ 300 mil serão financiados pela CEF. Os juros foram pactuados em 1,5% a.m. e o financiamento previsto para ser quitado em 60 meses. a) Calculo do encargo mensal – EM. EM = 300.000 (0,015 + 1/60) EM = 9.500,00 R$. 68-167


2º - Define-se o parâmetro CES.


4º - Define-se o valor da prestação mensal.

O CES é fixado por circular da CEF. Para o exercício de 2006 foi estipulado em 1,12.

Como já definido, a expressão da Prestação Mensal é dada por: PM = (EM × CES) + Seguro

3º - Calcula-se o valor do seguro.

5º - Calcula-se a amortização.

O seguro, ou seja, a taxa do risco a incidir sobre o financiamento é composta pela soma de duas variáveis: uma destinada a cobrir danos físicos ao imóvel e a outra para cobrir o risco de morte ou de invalidez do tomador.

6º - Atualização monetária do financiamento.

Assim sendo, estas taxas de seguro são denominadas, respectivamente, de: DIF, visando cobrir danos físicos ao imóvel; e MIP destinada a cobrir casos de morte ou de invalidez do usuário.

É possível que tenha sito pactuado que para o calculo de cada prestação o valor financiado deva ser atualizado monetariamente, fato a ser considerado quando da quitação das mesmas.

Seguro = DIF + MIP As taxas de seguro, por sua vez, são calculadas em função do valor do imóvel, da taxa de risco e do CES. DIF = valor da avaliação × taxa de risco × CES MIP = valor da avaliação × taxa de risco × CES A definição de cada taxa de risco deverá ser efetuada após consulta à CEF. Ressalta-se que estas taxas variam segundo a categoria em que for classificado o imóvel. Para tanto é leva do em consideração o valor da avaliação do imóvel, a idade do tomador e o prazo de quitação. Como exemplo de taxas e considerando financiamentos realizados após 1994, na Categoria de Risco 6 a taxa definida para a DIF é 0,02402 % e para a MIP é de 0,14429%. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

A=

P × CES n

7º - Calcula-se o novo saldo devedor. SD n+1 = SDn – Amortização do período 4.7.3 – Exemplo. Seja calcular a prestação mensal relativa ao financiamento de um imóvel avaliado em de R$ 500 mil, dos quais R$ 300 mil serão financiados pela CEF. Os juros foram pactuados em 1,5% a.m. e o financiamento previsto para ser quitado em 60 meses. a) Calculo do encargo mensal – EM. EM = 300.000 (0,015 + 1/60) EM = 9.500,00 R$. 68-167


o saldo devedor do período anterior, SC n-1,apos ser abatido o valor de amortização amortização do saldo devido nesse período anterior. SDn = (SCn-1 – amortizaçãon-1) × (1+Φ)

4.8.2 – Metodologia. Seja definir o valor da prestação, dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo a ser quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as seguintes condições: • • •

A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; O sistema de pagamentos ocorrerá por amortização constante, SAC; O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC.

Adotando como nomenclatura: SDn representando o saldo devedor num período qualquer n; SCn-1 exprimindo o saldo devedor no período anterior ja corrigido segundo o índice pactuado; a, sendo o valor da amortização; n, o número de períodos a amortizar, Jn correspondente ao montante dos juros devidos no período n; e I n o índice pactuado relativo ao período n, qualquer. Os procedimentos necessários à determinação das prestações são os seguintes: 1º) Calcula-se o valor valor da amortização para o primeiro período: SCn 1 an = per.amortizar −



2º) Calcula-se o montante dos juros do primeiro período relativo ao capital tomado: Jn = i × SCn-1 3º) Define-se o valor da prestação: prestação: Pn = an + Jn 4º) Calcula-se o novo saldo devedor: SDn = SCn-1 - a 5º) Atualiza-se o índice de correção e define-se o fator de correção do saldo devedor. 6º) Corrige-se o saldo devedor: SCn

=

SDn ×

In In 1 −

7º) Repete-se o procedimento até ser obtida a ultima prestação. Os juros e a amortizações de qualquer período subseqüente são calculados tendo por base o saldo devedor corrigido.

4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC. Como aplicação, seja calcular as prestações de um financiamento de um equipamento no valor de R$ 250 mil, a ser quitado em cinco anos, com juros pactuados a 10% ao período, sob o sistema da amortização constante. O saldo devedor deverá ser corrigido segundo a variação anual do INPC ocorrida no período. 70-167



o saldo devedor do período anterior, SC n-1,apos ser abatido o valor de amortização amortização do saldo devido nesse período anterior. SDn = (SCn-1 – amortizaçãon-1) × (1+Φ)

3º) Define-se o valor da prestação: prestação: Pn = an + Jn

4.8.2 – Metodologia. Seja definir o valor da prestação, dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo a ser quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as seguintes condições: • • •

2º) Calcula-se o montante dos juros do primeiro período relativo ao capital tomado: Jn = i × SCn-1

A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; O sistema de pagamentos ocorrerá por amortização constante, SAC; O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC.

Adotando como nomenclatura: SDn representando o saldo devedor num período qualquer n; SCn-1 exprimindo o saldo devedor no período anterior ja corrigido segundo o índice pactuado; a, sendo o valor da amortização; n, o número de períodos a amortizar, Jn correspondente ao montante dos juros devidos no período n; e I n o índice pactuado relativo ao período n, qualquer. Os procedimentos necessários à determinação das prestações são os seguintes: 1º) Calcula-se o valor valor da amortização para o primeiro período: SCn 1 an = per.amortizar −

4º) Calcula-se o novo saldo devedor: SDn = SCn-1 - a 5º) Atualiza-se o índice de correção e define-se o fator de correção do saldo devedor. 6º) Corrige-se o saldo devedor: SCn

=

SDn ×

Como aplicação, seja calcular as prestações de um financiamento de um equipamento no valor de R$ 250 mil, a ser quitado em cinco anos, com juros pactuados a 10% ao período, sob o sistema da amortização constante. O saldo devedor deverá ser corrigido segundo a variação anual do INPC ocorrida no período. 70-167


primeiras prestações. Solicita-se que o interessado realize os cálculos das prestações faltantes.

INPC Índice 1,8798 2,0573 2,3605 2,6056 2,7654 2,9050

Fator de Correção 1,094. 425 1,147. 378 1,103. 834 1,061. 329 1,050. 481

Calculo do Saldo Corrigido Saldo Períodos Fator de Devedor a amortizar Amortização Correção 250.000,00 200.000,00 5 50.000,00 1,094425 164.163,75 4 54.721,25 1,147378 125.571,91 3 62.785,96 1,103834 69.305,27 2 69.305,28 1.061329 72.803,87 1 72.803,87 1,050481

Per 0 1 2 3 4 5

Saldo Amortizado 250.000,00 200.000,00 164.163,75 125.571,92

Determinação das Prestações Saldo AmortiJuros Corrigido zação 10% 218.885,00 50.000,00 50.000,00 25.000,00 188.357,88 54.721,25 54.721,25 21.888,50 138.610,55 62.785,96 62.785,96 18.835,79

Saldo Corrigido 218.885,00 188.357,87 138.610,54 72.803,87 ---

Prestação 75.000,00 76.609,75

Por facilidade de entendimento dos procedimentos efetuados na determinação das prestações expostos da tabela acima demonstra-se, a seguir, os cálculos das três MatemFinanceira~AULAS~abril2010

−1

4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC.


Exercício 01.01.2001 01.01.2002 01.01.2003 01.01.2004 01.01.2005 01.01.2006

In

7º) Repete-se o procedimento até ser obtida a ultima prestação. Os juros e a amortizações de qualquer período subseqüente são calculados tendo por base o saldo devedor corrigido.


Período 0 1 2 3 4 5

In

1ª Prestação: Na primeira prestação, tanto os juros como a amortização são calculados sobre o capital inicial tomado, ou seja, R$ 250 mil. Não incide correção sobre este valor. Valor da 1ª prestação: P1 = a1 + J1 P1 = 50.000+25.000 = 75.000,00 R$ Amortização: SC0 a1 = per.amortizar

=

250.000,00 5

=

50.000,00R$

Montante dos Juros: J1 = 250.000,00 × 0,10 = 25.000,00R$. Saldo Devedor: SD1 = SD0 – a1 SD1 = 250.000,00 – 50.000,00 = 200.000,00 R$ Saldo Corrigido: 2,0573 I = 218.885,00R$ SC1 = SD1 × 1 = 200.000 × 1,8798 I0 2ª Prestação: Valor da 2ª prestação: P2 = a2 + J2 P2 = 54.721,25 + 21.888,50 = 76.609,75 R$ Amortização: 71-167



primeiras prestações. Solicita-se que o interessado realize os cálculos das prestações faltantes.

INPC Período 0 1 2 3 4 5

Exercício 01.01.2001 01.01.2002 01.01.2003 01.01.2004 01.01.2005 01.01.2006

Índice 1,8798 2,0573 2,3605 2,6056 2,7654 2,9050

Fator de Correção 1,094. 425 1,147. 378 1,103. 834 1,061. 329 1,050. 481

Calculo do Saldo Corrigido Saldo Períodos Fator de Devedor a amortizar Amortização Correção 250.000,00 200.000,00 5 50.000,00 1,094425 164.163,75 4 54.721,25 1,147378 125.571,91 3 62.785,96 1,103834 69.305,27 2 69.305,28 1.061329 72.803,87 1 72.803,87 1,050481

Per 0 1 2 3 4 5

Saldo Amortizado 250.000,00 200.000,00 164.163,75 125.571,92

Determinação das Prestações Saldo AmortiJuros Corrigido zação 10% 218.885,00 50.000,00 50.000,00 25.000,00 188.357,88 54.721,25 54.721,25 21.888,50 138.610,55 62.785,96 62.785,96 18.835,79

Saldo Corrigido 218.885,00 188.357,87 138.610,54 72.803,87 ---

Prestação 75.000,00 76.609,75

Por facilidade de entendimento dos procedimentos efetuados na determinação das prestações expostos da tabela acima demonstra-se, a seguir, os cálculos das três

1ª Prestação: Na primeira prestação, tanto os juros como a amortização são calculados sobre o capital inicial tomado, ou seja, R$ 250 mil. Não incide correção sobre este valor. Valor da 1ª prestação: P1 = a1 + J1 P1 = 50.000+25.000 = 75.000,00 R$ Amortização: SC0 a1 = per.amortizar

=

54.721,25R$

Saldo Devedor: SD2 = SD1 – a2 SD2 = 218.885,00 – 54.721,25 = 164.163,75 R$ Saldo Corrigido: I SC2 = SD1 × 2 I1 SD2 = 164.163,75 × 1,147378 = 188.357,88 R$ 3ª Prestação. Valor da 3ª prestação: P3 = a3 + J3 P3 = 62.785,96 + 18.835,79 = 76.609,75 R$

=

188.357,88 3

=

62.785,96R$

Montante dos Juros: J3 = SD2 × i J3 = 188.357,88 × 0,10 = 18.835,79 R$. Saldo Devedor: SD3 = SD2 – a3 SD3 = 188.357,88 – 62.785,96 = 125.571,92 R$ MatemFinanceira~AULAS~abril2010

50.000,00R$

Saldo Corrigido: 2,0573 I = 218.885,00R$ SC1 = SD1 × 1 = 200.000 × 1,8798 I0 2ª Prestação: Valor da 2ª prestação: P2 = a2 + J2 P2 = 54.721,25 + 21.888,50 = 76.609,75 R$ Amortização: 71-167

Montante dos Juros: J2 = SD1 × i J2 = 218.885,00 × 0,10 = 21.888,50R$.

Amortização: SD2 a3 = per.amortizar

=

Saldo Devedor: SD1 = SD0 – a1 SD1 = 250.000,00 – 50.000,00 = 200.000,00 R$


218.885,00 = 4

250.000,00 5

Montante dos Juros: J1 = 250.000,00 × 0,10 = 25.000,00R$.


SC1 a2 = per.amortizar

=


Saldo Corrigido: I SC3 = SD2 × 3 I2 SD3 = 125.571,92 × 1,103. 834 = 138.610,55R$ 4.9 – Exercícios. a) Seja um empréstimo de 1 milhão de reais a ser quitado em sete anos, com pagamentos anuais, a juros de 9% a.a. e carência de dois anos. Durante o prazo de carência, também não ocorrerá o recolhimento dos juros devidos. Calcular as prestações e os juros a serem pagos pelo credor considerando: • O sistema de amortização constante; • O sistema de prestações constantes. b) Comparar o montante dos juros pagos, bem como o montante do valor das prestações, face os sistemas especificados para o calculo de cada financiamento considerado no exercício “a”. c) Uma construtora contraiu junto ao BNH um empréstimo de 200 mil CUB a ser pago em 10 prestações anuais e consecutivas. Qual será a composição da prestação anual, juros e principal, no Sistema Francês quando os juros pactuados são de 8% ao ano? (Estabeleça a data da operação financeira). d) Partindo dos dados especificados no exercício “b”, pede-se calcular as prestações devidas. O saldo devedor deverá ser atualizado anualmente, segundo a taxa anual de inflação abaixo. 72-167


a2

=

SC1 per.amortizar

=

218.885,00 4

=

54.721,25R$

Montante dos Juros: J2 = SD1 × i J2 = 218.885,00 × 0,10 = 21.888,50R$. Saldo Devedor: SD2 = SD1 – a2 SD2 = 218.885,00 – 54.721,25 = 164.163,75 R$ Saldo Corrigido: I SC2 = SD1 × 2 I1 SD2 = 164.163,75 × 1,147378 = 188.357,88 R$ 3ª Prestação. Valor da 3ª prestação: P3 = a3 + J3 P3 = 62.785,96 + 18.835,79 = 76.609,75 R$ Amortização: SD2 a3 = per.amortizar

=

188.357,88 3

=

62.785,96R$

Montante dos Juros: J3 = SD2 × i J3 = 188.357,88 × 0,10 = 18.835,79 R$. Saldo Devedor: SD3 = SD2 – a3 SD3 = 188.357,88 – 62.785,96 = 125.571,92 R$ MatemFinanceira~AULAS~abril2010


Saldo Corrigido: I SC3 = SD2 × 3 I2 SD3 = 125.571,92 × 1,103. 834 = 138.610,55R$ 4.9 – Exercícios. a) Seja um empréstimo de 1 milhão de reais a ser quitado em sete anos, com pagamentos anuais, a juros de 9% a.a. e carência de dois anos. Durante o prazo de carência, também não ocorrerá o recolhimento dos juros devidos. Calcular as prestações e os juros a serem pagos pelo credor considerando: • O sistema de amortização constante; • O sistema de prestações constantes. b) Comparar o montante dos juros pagos, bem como o montante do valor das prestações, face os sistemas especificados para o calculo de cada financiamento considerado no exercício “a”. c) Uma construtora contraiu junto ao BNH um empréstimo de 200 mil CUB a ser pago em 10 prestações anuais e consecutivas. Qual será a composição da prestação anual, juros e principal, no Sistema Francês quando os juros pactuados são de 8% ao ano? (Estabeleça a data da operação financeira). d) Partindo dos dados especificados no exercício “b”, pede-se calcular as prestações devidas. O saldo devedor deverá ser atualizado anualmente, segundo a taxa anual de inflação abaixo. 72-167

ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA comissão de abertura de crédito. Carência Quatro (4) quadrimestres. Juros durante a carência Serão pagos Prazo do financiamento 5 anos Sistema de amortização SAC Período de amortização Quadrimestral

Prazo do financiamento Sistema de amortização Período de amortização Saldo devedor

ENGENHARIA ECONÔMICA 5 anos Prestação constante Semestral O saldo devedor é reajustado semestralmente pela variação do INPC.

g) Seja definir o valor da prestação, dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo no montante de R$ 300 mil, a ser quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as seguintes condições: • A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; • O sistema de pagamentos ocorrerá por prestação constante; • O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. h) Uma empresa visando implantar um novo projeto de produção obteve um financiamento no montante de R$ 750 mil. Solicita-se a elaboração do diagrama de fluxo de caixa associado ao empreendimento, bem como o valor das prestações, da amortização e dos juros incorridos. Cláusulas pactuadas item Taxa nominal de juros Período de capitalização Comissão de abertura de crédito sobre o valor total do financiamento. Taxa de administração

Condições Contratuais 9 % ao ano Semestral. 0,5% do valor do contrato cobrado no ato de adjudicação do contrato de financiamento. 0,25% do saldo devedor, paga junto com a prestação. Imposto sobre 1% sobre o total geral. operações financeiras – Valor tomado, valor dos juros e da IOF. Valor financiado comissão de abertura de crédito. junto com as prestações Carência Dois semestres. Juros durante a carência Serão pagos MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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ENGº CIVIL ANTONIO VICTORINO AVILA comissão de abertura de crédito. Carência Quatro (4) quadrimestres. Juros durante a carência Serão pagos Prazo do financiamento 5 anos Sistema de amortização SAC Período de amortização Quadrimestral

Prazo do financiamento Sistema de amortização Período de amortização Saldo devedor

ENGENHARIA ECONÔMICA 5 anos Prestação constante Semestral O saldo devedor é reajustado semestralmente pela variação do INPC.

g) Seja definir o valor da prestação, dos juros e da amortização referentes a cada período de um empréstimo no montante de R$ 300 mil, a ser quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as seguintes condições: • A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; • O sistema de pagamentos ocorrerá por prestação constante; • O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. h) Uma empresa visando implantar um novo projeto de produção obteve um financiamento no montante de R$ 750 mil. Solicita-se a elaboração do diagrama de fluxo de caixa associado ao empreendimento, bem como o valor das prestações, da amortização e dos juros incorridos. Cláusulas pactuadas item Taxa nominal de juros Período de capitalização Comissão de abertura de crédito sobre o valor total do financiamento. Taxa de administração

Condições Contratuais 9 % ao ano Semestral. 0,5% do valor do contrato cobrado no ato de adjudicação do contrato de financiamento. 0,25% do saldo devedor, paga junto com a prestação. Imposto sobre 1% sobre o total geral. operações financeiras – Valor tomado, valor dos juros e da IOF. Valor financiado comissão de abertura de crédito. junto com as prestações Carência Dois semestres. Juros durante a carência Serão pagos MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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h) Calcular o valor das prestações dos financiamentos abaixo qualificados. I – Sistema de Amortização Constante – SAC. 1. - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos. Per. 0 1 2 3 4 5 6 7 Total

Saldo 250.000,00

SAC sem carência Saldo Amortizado Amortização

2. - Financiamento com carência de três anos e Juros quitados durante a carência. Operação de sete anos. Per. 0 1 2 3 4 5 6 7 Total

Saldo 250.000,00

SAC com carência Saldo Amortizado Amortização


Juros – 10%

Prestação

NÃO

Juros – 10%

Prestação

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h) Calcular o valor das prestações dos financiamentos abaixo qualificados. I – Sistema de Amortização Constante – SAC. 1. - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos. Per. 0 1 2 3 4 5 6 7 Total

Saldo 250.000,00

SAC sem carência Saldo Amortizado Amortização

2. - Financiamento com carência de três anos e Juros quitados durante a carência. Operação de sete anos. Per. 0 1 2 3 4 5 6 7 Total

Saldo 250.000,00

SAC com carência Saldo Amortizado Amortização

Juros – 10%

Prestação

NÃO

Juros – 10%

Prestação


75-167



3. – Financiamento com três anos de carência. Juros de 10% ao ano não quitados durante a carência. Prestação corrigida pela variação anual do INPC. Operação pactuada em janeiro de 2.000. Prestações anuais.

Per.

1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total

Saldo Amortizado AS

Índice de Inflação

250.000,00

SAC com correção monetária e carência Índice de Saldo Corrigido Correção AMORTIZAÇÃO SC = AS x IC IC = ÍN ÷ I0

-

-

-

Juros - 10% aa

Prestação P=A+J

-

-

Metodologia: 1º Passo:

2º Passo:

1º - Calcular a amortização para o 1º período sobre o saldo financiado; 2º - Definir o valor dos juros; 3º - Calcular a prestação: P = A + J. 4º - Calcular o saldo amortizado; 5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado;

1º - Para o 2º período calcular o valor da amortização sobre o saldo corrigido do 1º período. ............. Repetir o processo anterior. Obs: a amortização do período subseqüente é sempre calculada sobre o saldo corrigido.


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3. – Financiamento com três anos de carência. Juros de 10% ao ano não quitados durante a carência. Prestação corrigida pela variação anual do INPC. Operação pactuada em janeiro de 2.000. Prestações anuais.

Per.

1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total

Saldo Amortizado AS


250.000,00

SAC com correção monetária e carência Índice de Saldo Corrigido Correção AMORTIZAÇÃO SC = AS x IC IC = ÍN ÷ I0

-

-

-

Juros - 10% aa

Prestação P=A+J

-

-


2º Passo:

1º - Calcular a amortização para o 1º período sobre o saldo financiado; 2º - Definir o valor dos juros; 3º - Calcular a prestação: P = A + J. 4º - Calcular o saldo amortizado; 5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado;

1º - Para o 2º período calcular o valor da amortização sobre o saldo corrigido do 1º período. ............. Repetir o processo anterior. Obs: a amortização do período subseqüente é sempre calculada sobre o saldo corrigido.


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II – Método da Prestação Constante – Francês. 1 - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos.

Per.

Saldo

0 1 2 3 4 5 6 7 Total

250.000,00

Sistema Francês sem carência Saldo Amortizado Prestação Juros – 10%

2. - Financiamento com carência de três anos. Juros quitados durante a carência. Operação de sete anos. Per.

Saldo

0 1 2 3 4 5 6 7 Total

250.000,00

NÃO

Sistema Francês com carência Saldo Amortizado Prestação Juros – 10%


Amortização

Amortização

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II – Método da Prestação Constante – Francês. 1 - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos.

Per.

Saldo

0 1 2 3 4 5 6 7 Total

250.000,00

Sistema Francês sem carência Saldo Amortizado Prestação Juros – 10%

2. - Financiamento com carência de três anos. Juros quitados durante a carência. Operação de sete anos. Per.

Saldo

0 1 2 3 4 5 6 7 Total

250.000,00

Amortização

NÃO

Sistema Francês com carência Saldo Amortizado Prestação Juros – 10%

Amortização


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3. – Financiamento de R$ 250.000,00 com três anos de carência, com base em prestações anuais. Juros de 10% ao ano, pactuados para não serem quitados durante o prazo de carência. As prestações deverão ser corrigidas pela variação anual do INPC. Operação pactuada em janeiro de 2.000.

Per.

1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total

Saldo Amortizado SA

250.000,00


Prestação constante com atualização monetária Índice de Saldo Corrigido PRESTAÇÃO Correção SC = AS x IC P IC = I ÷ I

-

N

0

-

-

Juros - 10% AA J

Amortização A=P-J

-

-


2º Passo:

1º - Calcular a prestação para o 1º período sobre o saldo financiado; 2º - Definir o valor dos juros; 3º - Calcular a amortização: A = P - J 4º - Calcular o saldo amortizado; 5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado;

1º - Para o 2º período calcular o valor da prestação sobre o saldo corrigido do 1º período. ............. Repetir o processo anterior. Obs: a prestação do período subseqüente é sempre calculada sobre o saldo corrigido do período anterior.


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3. – Financiamento de R$ 250.000,00 com três anos de carência, com base em prestações anuais. Juros de 10% ao ano, pactuados para não serem quitados durante o prazo de carência. As prestações deverão ser corrigidas pela variação anual do INPC. Operação pactuada em janeiro de 2.000.

Per.

1/00 1/01 1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07 Total

Saldo Amortizado SA


250.000,00

Prestação constante com atualização monetária Índice de Saldo Corrigido PRESTAÇÃO Correção SC = AS x IC P IC = I ÷ I

-

N

0

-

Juros - 10% AA J

Amortização A=P-J

-

-

-


2º Passo:

1º - Calcular a prestação para o 1º período sobre o saldo financiado; 2º - Definir o valor dos juros; 3º - Calcular a amortização: A = P - J 4º - Calcular o saldo amortizado; 5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária sobre o saldo amortizado;

1º - Para o 2º período calcular o valor da prestação sobre o saldo corrigido do 1º período. ............. Repetir o processo anterior. Obs: a prestação do período subseqüente é sempre calculada sobre o saldo corrigido do período anterior.


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5. –Engenharia Econômica. 5.1 – Conceituação. Por definição, a engenharia econômica corresponde à área do conhecimento cujo objeto é a decisão sobre alternativas financeiras de investimentos. Como premissa para a tomada de decisão é que este processo só ocorrerá havendo a existência de alternativas de investimentos possíveis de serem comparadas. Não havendo alternativas não haverá decisão a tomar. As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na ciência denominada Matemática Financeira que, com já visto, descreve as relações da equivalência de capital sob a ótica do binômio TEMPO E DINHEIRO. Para que qualquer alternativa seja considerada num processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e, deste modo, responder aos seguintes questionamentos: 1. Qual o incremento de riqueza que uma alternativa propiciará se implementada; 2. Qual o tempo de retorno do capital inicialmente aplicado; 3. Qual a máxima taxa de desconto possível de ser adotada e o projeto permanecer viável; 4. Qual a taxa de rentabilidade adotada em proposta de investimento. 5. Qual a taxa de rentabilidade de uma aplicação financeira.



Cabe ao analista de investimentos propor, desenvolver e hierarquizar o conjunto de alternativas de investimentos disponíveis. Porém, deve ter em mente que a decisão de eleger qualquer delas é prerrogativa do empresário, ou do decisor, a quem caberá a palavra final sobre aquela a ser eleita e a melhor oportunidade em deflagrar esse processo.

ATENÇÃO Dada a assertiva acima, toda a metodologia de análise de investimentos se apóia no sistema de juros compostos quando trata do estabelecimento de padrões de comparação de capital ou na decisão quanto à escolha da melhor das alternativas propostas de projetos de investimentos. 5.2 – Análise de Viabilidade 5.2.1 - Definição de Viabilidade. Estudar a viabilidade de um projeto significa quantificar suas premissas, construir a projeção dos fluxos de caixa e verificar se o projeto propicia um aumento de riqueza. 79-167


5. –Engenharia Econômica. 5.1 – Conceituação. Por definição, a engenharia econômica corresponde à área do conhecimento cujo objeto é a decisão sobre alternativas financeiras de investimentos. Como premissa para a tomada de decisão é que este processo só ocorrerá havendo a existência de alternativas de investimentos possíveis de serem comparadas. Não havendo alternativas não haverá decisão a tomar. As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na ciência denominada Matemática Financeira que, com já visto, descreve as relações da equivalência de capital sob a ótica do binômio TEMPO E DINHEIRO. Para que qualquer alternativa seja considerada num processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e, deste modo, responder aos seguintes questionamentos: 1. Qual o incremento de riqueza que uma alternativa propiciará se implementada; 2. Qual o tempo de retorno do capital inicialmente aplicado; 3. Qual a máxima taxa de desconto possível de ser adotada e o projeto permanecer viável; 4. Qual a taxa de rentabilidade adotada em proposta de investimento. 5. Qual a taxa de rentabilidade de uma aplicação financeira.



Cabe ao analista de investimentos propor, desenvolver e hierarquizar o conjunto de alternativas de investimentos disponíveis. Porém, deve ter em mente que a decisão de eleger qualquer delas é prerrogativa do empresário, ou do decisor, a quem caberá a palavra final sobre aquela a ser eleita e a melhor oportunidade em deflagrar esse processo.

ATENÇÃO Dada a assertiva acima, toda a metodologia de análise de investimentos se apóia no sistema de juros compostos quando trata do estabelecimento de padrões de comparação de capital ou na decisão quanto à escolha da melhor das alternativas propostas de projetos de investimentos. 5.2 – Análise de Viabilidade 5.2.1 - Definição de Viabilidade. Estudar a viabilidade de um projeto significa quantificar suas premissas, construir a projeção dos fluxos de caixa e verificar se o projeto propicia um aumento de riqueza. 79-167


consideradas alternativas que apresentem a mesma taxa de risco. 5.2.2.5 – Fontes de Recursos.


O processo de análise financeira e a elaboração do fluxo de caixa projetado podem ser realizados disponíveis as seguintes informações: Avaliação da variação da demanda do produto durante o horizonte de projeto; • Preço de Venda do Produto; • Custos de Produção a cada nível de demanda; • Alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro e o faturamento; • Utilização do capital próprio ou de terceiros; • Valor residual dos ativos imobilizados a serem alienados; • Taxa de mínima atratividade ou de retorno do capital; • Horizonte do projeto. •

Consideram-se fontes de recursos os fornecedores dos capitais necessários à implantação de um projeto e, basicamente, são: • •

Capital Próprio; Capital de Terceiros.

O custo do capital próprio corresponde à remuneração desejada pelo proprietário da empresa ou pelo acionista pela utilização do capital empregado em qualquer projeto capital empregado. O custo de capital de terceiros corresponde à remuneração dos capitais constituídos por empréstimos ou financiamentos de longo prazo. 5.3 – Fluxo de Caixa. 5.3.1 – Conceituação. A análise da viabilidade financeira de investimentos é realizada através do estudo do fluxo de caixa projetado associado a cada uma das alternativas desenvolvidas. Conceitua-se fluxo de caixa, como uma série de pagamentos e recebimentos de dinheiro, distribuídos no tempo.


5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. O “diagrama de fluxo de caixa” é um instrumento que permite visualizar clara e concisamente uma série de fluxos de caixa. Graficamente ele é representado em um gráfico cartesiano onde, em abscissas, fica determinada a linha dos tempos e, em ordenadas, o valor monetário de cada fluxo de caixa singular. Ver Fig. 5.1 – Diagrama de Fluxo de Caixa. Neste diagrama, receitas ou entradas de dinheiro são representadas por setas voltadas para cima, sinal (+). Pagamentos ou saídas de dinheiro representadas por setas voltadas para baixo, sinal (-).

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consideradas alternativas que apresentem a mesma taxa de risco. 5.2.2.5 – Fontes de Recursos.

O processo de análise financeira e a elaboração do fluxo de caixa projetado podem ser realizados disponíveis as seguintes informações: Avaliação da variação da demanda do produto durante o horizonte de projeto; • Preço de Venda do Produto; • Custos de Produção a cada nível de demanda; • Alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro e o faturamento; • Utilização do capital próprio ou de terceiros; • Valor residual dos ativos imobilizados a serem alienados; • Taxa de mínima atratividade ou de retorno do capital; • Horizonte do projeto. •

Consideram-se fontes de recursos os fornecedores dos capitais necessários à implantação de um projeto e, basicamente, são: • •

Capital Próprio; Capital de Terceiros.

O custo do capital próprio corresponde à remuneração desejada pelo proprietário da empresa ou pelo acionista pela utilização do capital empregado em qualquer projeto capital empregado. O custo de capital de terceiros corresponde à remuneração dos capitais constituídos por empréstimos ou financiamentos de longo prazo.

5.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. O “diagrama de fluxo de caixa” é um instrumento que permite visualizar clara e concisamente uma série de fluxos de caixa.

5.3 – Fluxo de Caixa. 5.3.1 – Conceituação. A análise da viabilidade financeira de investimentos é realizada através do estudo do fluxo de caixa projetado associado a cada uma das alternativas desenvolvidas. Conceitua-se fluxo de caixa, como uma série de pagamentos e recebimentos de dinheiro, distribuídos no tempo.

Graficamente ele é representado em um gráfico cartesiano onde, em abscissas, fica determinada a linha dos tempos e, em ordenadas, o valor monetário de cada fluxo de caixa singular. Ver Fig. 5.1 – Diagrama de Fluxo de Caixa. Neste diagrama, receitas ou entradas de dinheiro são representadas por setas voltadas para cima, sinal (+). Pagamentos ou saídas de dinheiro representadas por setas voltadas para baixo, sinal (-).


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O diagrama de fluxo de caixa, então, expressa graficamente o resultado ou saldo das movimentações de caixa havidas em determinado período. R$

F2

F3

F4

F5

F6

Fn

1 2

3

4

5

6

tempo

ii - Lançar como investimento, apenas os capitais demandados pelo projeto; iii - A priori, não há a consideração de risco ou incerteza. iv - O montante de capital próprio empregado no projeto e o pagamento de dividendos; v - A entrada de capital de dívidas, juros e amortizações, não vinculados ao projeto; vi - O reinvestimento de fundos gerados pelos projetos. vii - Decisões financeiras realizadas antes do início anterior do projeto em análise. A representação gráfica dos fluxos de caixa atender às seguintes convenções:

deve

n

•

F1 F0 Fig.5.1 – Diagrama de Fluxo de Caixa

Recomenda-se, especialmente ao iniciante no assunto, elaborar o diagrama de fluxo de caixa dos projetos em análise visando facilitar o acompanhamento e entendimento do comportamento do fluxo associado a cada alternativa em análise e realizar um adequado tratamento matemático ao processo de calculo. 5.3.2.1 – Premissas e Convenções.

• •

Seta voltada para cima representando um fluxo de caixa superavitário ou positivo; Seta voltada para baixo representando um fluxo de caixa negativo ou deficitário; Todo fluxo de caixa é lançado no diagrama no momento final do período em que tenha ocorrido.

5.3.2.2 – Calculo do Fluxo de Caixa. Considerando que um fluxo registra o somatório líquido do resultado das saídas e entradas de caixa que ocorrem em um período, k, genérico. Tendo por nomenclatura:

A correta montagem dos diagramas de fluxo de caixa – DCF exigem o cumprimento das seguintes premissas:

a) Receitas, Rec, que correspondem ao faturamento ou ganhos a serem auferidos pelo projeto;

i - O fluxo de caixa de um período equivale à soma algébrica das entradas e saídas de caixa que ocorrem durante o mesmo. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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O diagrama de fluxo de caixa, então, expressa graficamente o resultado ou saldo das movimentações de caixa havidas em determinado período. R$

F2

F3

F4

F5

F6

Fn

1 2

3

4

5

6

tempo

ii - Lançar como investimento, apenas os capitais demandados pelo projeto; iii - A priori, não há a consideração de risco ou incerteza. iv - O montante de capital próprio empregado no projeto e o pagamento de dividendos; v - A entrada de capital de dívidas, juros e amortizações, não vinculados ao projeto; vi - O reinvestimento de fundos gerados pelos projetos. vii - Decisões financeiras realizadas antes do início anterior do projeto em análise. A representação gráfica dos fluxos de caixa atender às seguintes convenções:

deve

n

•

F1 F0 Fig.5.1 – Diagrama de Fluxo de Caixa

Recomenda-se, especialmente ao iniciante no assunto, elaborar o diagrama de fluxo de caixa dos projetos em análise visando facilitar o acompanhamento e entendimento do comportamento do fluxo associado a cada alternativa em análise e realizar um adequado tratamento matemático ao processo de calculo. 5.3.2.1 – Premissas e Convenções.

• •

Seta voltada para cima representando um fluxo de caixa superavitário ou positivo; Seta voltada para baixo representando um fluxo de caixa negativo ou deficitário; Todo fluxo de caixa é lançado no diagrama no momento final do período em que tenha ocorrido.

5.3.2.2 – Calculo do Fluxo de Caixa. Considerando que um fluxo registra o somatório líquido do resultado das saídas e entradas de caixa que ocorrem em um período, k, genérico. Tendo por nomenclatura:

A correta montagem dos diagramas de fluxo de caixa – DCF exigem o cumprimento das seguintes premissas:

a) Receitas, Rec, que correspondem ao faturamento ou ganhos a serem auferidos pelo projeto;

i - O fluxo de caixa de um período equivale à soma algébrica das entradas e saídas de caixa que ocorrem durante o mesmo. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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expressa em valores monetários e medida na data de sua análise. O Valor Presente Líquido, então, é a metodologia proposta para medir o acréscimo, ou incremento, de riqueza propiciada pela implantação de um projeto de investimento. VP(p) = ∆ RIQUEZA

A metodologia leva esta denominação de valor presente líquido, pois considera todas as entradas e saídas de caixa associadas ao projeto, fato que permite medir o incremento de riqueza por ele propiciado e expresso em valor monetário. 5.3.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. a) Valor Presente de Fluxo de Caixa Único. $

VF


Como já visto no item 2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro, o valor presente VP de um único fluxo de caixa, VF, é dado pelo modelo abaixo, em que VP e VF correspondem, respectivamente, a uma única saída ou entrada de caixa.

VP

VF

1

(1 + i) n

E, “n”, representa o número de períodos em que ocorrerá a entrada de caixa e “i”, a taxa de desconto ou TMA, pactuada. b) Valor Presente de Múltiplos Fluxos de Caixa. No caso de se dispor de múltiplos fluxos de caixa, conforme Fig.5.1, o valor presente líquido associado a um projeto p corresponde ao somatório dos fluxos de caixa individuais. De modo sintético, pode ser expresso pela seguinte expressão matemática canônica, em que, F 0, corresponde ao fluxo de caixa inicial no momento zero e F k o fluxo de caixa previsto para ocorrer no período k: VP ( p )

n

≡

n

∑

=

Fo

+

F2 (1 + i ) 2

período

+

Fk

k = 1 (1 +

i) k

Ou, de forma extensiva: VP Fig.5.2 – Valor Presente Fluxo Único

VP ( p )

=

Fo

+

F1 (1 + i ) 1

+

F3 (1 + i ) 3

+

L

+

Fn (1 + i ) n

Alerta-se para se ter o cuidado de, ao ser analisado qualquer projeto de investimento ou um conjunto de MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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expressa em valores monetários e medida na data de sua análise. O Valor Presente Líquido, então, é a metodologia proposta para medir o acréscimo, ou incremento, de riqueza propiciada pela implantação de um projeto de investimento. VP(p) = ∆ RIQUEZA

A metodologia leva esta denominação de valor presente líquido, pois considera todas as entradas e saídas de caixa associadas ao projeto, fato que permite medir o incremento de riqueza por ele propiciado e expresso em valor monetário. 5.3.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. a) Valor Presente de Fluxo de Caixa Único. $

VF


Como já visto no item 2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro, o valor presente VP de um único fluxo de caixa, VF, é dado pelo modelo abaixo, em que VP e VF correspondem, respectivamente, a uma única saída ou entrada de caixa.

VP

1

VF

(1 + i) n

E, “n”, representa o número de períodos em que ocorrerá a entrada de caixa e “i”, a taxa de desconto ou TMA, pactuada. b) Valor Presente de Múltiplos Fluxos de Caixa. No caso de se dispor de múltiplos fluxos de caixa, conforme Fig.5.1, o valor presente líquido associado a um projeto p corresponde ao somatório dos fluxos de caixa individuais. De modo sintético, pode ser expresso pela seguinte expressão matemática canônica, em que, F 0, corresponde ao fluxo de caixa inicial no momento zero e F k o fluxo de caixa previsto para ocorrer no período k: VP ( p )

n

≡

Fo

+

F2 (1 + i ) 2

período

Fk

n

∑

=

+

k = 1 (1 +

i) k

Ou, de forma extensiva: VP

VP ( p )

=

Fo

+

Fig.5.2 – Valor Presente Fluxo Único

F1 (1 + i ) 1

+

F3 (1 + i ) 3

+

L

+

Fn (1 + i ) n

Alerta-se para se ter o cuidado de, ao ser analisado qualquer projeto de investimento ou um conjunto de MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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alternativas de investimentos, elaborar o diagrama de valor presente de cada um deles, no intuito de visualizar o comportamento de cada fluxo de caixa singular. Tal procedimento evita surpresas no processo de tomada de decisão, conforme será visto em capítulo posterior. 5.3.3 – Diagrama de Valor Presente. Um importante instrumento utilizado para a análise co comportamento de qualquer fluxo de caixa é o Diagrama de Valor Presente. Este diagrama exprime, no eixo das abscissa as taxas de desconto ou TMA e, em ordenadas, o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa de “i%” ao período.


O exemplo da Fig.5.3, mostra o diagrama de um fluxo de caixa descontado a taxas de desconto que variam entre 4 a 20% e onde é evidenciado o Valor Presente vinculado à taxa de desconto de 4% ao período. Como será visto no Capítulo-6, disponíveis os diagramas de valor presente das alternativas vinculadas a um projeto, torna-se mais fácil e definir adequadamente qual delas propicia o maior incremento de riqueza. 5.3.4 – Exemplo de Aplicação. Seja, como exemplo de obtenção de um diagrama de valor presente, um projeto representado pelo seu fluxo de caixa: 850 450 520 570 630 680 320 VP = −1200 − + + + + + + 1 2 3 4 5 6 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)7 Resolvendo o polinômio acima para cada uma das seguintes taxas de desconto: 0,0 %; 3%; 6%; 9% e 12%; obtém-se o valor presente líquido associado a cada uma das taxas, conforme disposto na tabela abaixo. Per. 0 1 2 3 4 5 6 7 ∑


i = 0% - 1.200,00 - 850,00 450,00 520,00 570,00 630,00 680,00 320,00 1.120,00

Valores Presentes em R$ i = 3% i =6% i =9%

754,36

449,67 86-167

194,25

12%

-21,08


alternativas de investimentos, elaborar o diagrama de valor presente de cada um deles, no intuito de visualizar o comportamento de cada fluxo de caixa singular. Tal procedimento evita surpresas no processo de tomada de decisão, conforme será visto em capítulo posterior. 5.3.3 – Diagrama de Valor Presente. Um importante instrumento utilizado para a análise co comportamento de qualquer fluxo de caixa é o Diagrama de Valor Presente. Este diagrama exprime, no eixo das abscissa as taxas de desconto ou TMA e, em ordenadas, o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa de “i%” ao período.


O exemplo da Fig.5.3, mostra o diagrama de um fluxo de caixa descontado a taxas de desconto que variam entre 4 a 20% e onde é evidenciado o Valor Presente vinculado à taxa de desconto de 4% ao período. Como será visto no Capítulo-6, disponíveis os diagramas de valor presente das alternativas vinculadas a um projeto, torna-se mais fácil e definir adequadamente qual delas propicia o maior incremento de riqueza. 5.3.4 – Exemplo de Aplicação. Seja, como exemplo de obtenção de um diagrama de valor presente, um projeto representado pelo seu fluxo de caixa: 850 450 520 570 630 680 320 VP = −1200 − + + + + + + (1 + i)1 (1 + i)2 (1 + i)3 (1 + i)4 (1 + i)5 (1 + i)6 (1 + i)7 Resolvendo o polinômio acima para cada uma das seguintes taxas de desconto: 0,0 %; 3%; 6%; 9% e 12%; obtém-se o valor presente líquido associado a cada uma das taxas, conforme disposto na tabela abaixo. Per. 0 1 2 3 4 5 6 7 ∑

Valores Presentes em R$ i = 3% i =6% i =9%

i = 0% - 1.200,00 - 850,00 450,00 520,00 570,00 630,00 680,00 320,00 1.120,00

754,36

449,67


Com estes dados pode-se traçar o diagrama de valor presente expresso na Fig.5.4. Analisando o diagrama do valor presente, pode-se constatar que o projeto em questão passa a ser viável para investidores que praticam taxa de desconto, ou seja, uma TMA abaixo dos 11,6%.


1.200,00

1.120,00

1.000,00 800,00

754,36

600,00 449,67

400,00 200,00

194,25 -21,08

0,00

Para investidores que praticam uma Taxa de Mínima Atratividade superior a 11,6%, o projeto torna-se inviável, já que o valor presente passa a apresentar valores negativos.

-21,08

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Solicita-se ao interessado preencher os dados faltantes na tabela abaixo, o que permite estabelecer o valor presente do projeto para as TMA’s especificadas.

194,25

12%

-200,00 -400,00 0

3

6

9

12

Taxa de Desconto - i%

Fig. 5.4 - Diagrama de Valor Presente

5.4 – A Taxa de Mínima Atratividade – TMA. A Taxa de Mínima Atratividade, TMA, corresponde à menor rentabilidade desejada para a remuneração de um projeto. Assim, ela é utilizada como taxa de desconto, i, ao se calcular o valor presente líquido, VP(p) associado às diversas alternativas do projeto. VP ( p ) = Fo


Fk k k = 1 (1 + i ) n

+

∑

87-167



Solicita-se ao interessado preencher os dados faltantes na tabela abaixo, o que permite estabelecer o valor presente do projeto para as TMA’s especificadas.

1.200,00

1.120,00

1.000,00

Com estes dados pode-se traçar o diagrama de valor presente expresso na Fig.5.4.

800,00

754,36

600,00

Analisando o diagrama do valor presente, pode-se constatar que o projeto em questão passa a ser viável para investidores que praticam taxa de desconto, ou seja, uma TMA abaixo dos 11,6%.

449,67

400,00 200,00

194,25 -21,08

0,00

Para investidores que praticam uma Taxa de Mínima Atratividade superior a 11,6%, o projeto torna-se inviável, já que o valor presente passa a apresentar valores negativos.

-200,00 -400,00 0

3

6

9

12

Taxa de Desconto - i%

Fig. 5.4 - Diagrama de Valor Presente

5.4 – A Taxa de Mínima Atratividade – TMA. A Taxa de Mínima Atratividade, TMA, corresponde à menor rentabilidade desejada para a remuneração de um projeto. Assim, ela é utilizada como taxa de desconto, i, ao se calcular o valor presente líquido, VP(p) associado às diversas alternativas do projeto. VP ( p ) = Fo

Fk k k = 1 (1 + i ) n

+

∑


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Como já comentado, havendo diversas alternativas de investimentos propostas para a aplicação de um mesmo capital, deverá ser adotada a mesma TMA ≡ i para o calculo do valor presente líquido de cada uma delas. Isto porque, não há sentido financeiro comparar valores presentes associados à alternativas de investimentos descontados à taxas distintas ou, noutras palavras, remunerados segundo parâmetros diferentes. Obtidos os valores presentes de cada alternativa, as mesmas podem ser hierarquizadas segundo o aumento de riqueza quer propiciam. Basicamente, a alternativa que apresentar o maior incremente de riqueza será considerada como a mais interessante. A TMA poderá ser estabelecida sob a ótica do investidor ou da empresa. a) Se investidor: Neste caso, o investidor singular determina, a seu talante, a remuneração desejada pra o capital a ser investido.


TMA ≡ i =

Lucro PL + ELP

Em que PL corresponde ao patrimônio líquido, o ELP, o exigível de longo prazo e o Lucro expressos nos balanços de cada exercício. 5.5 – Exercícios. 5.6.1 – Exercícios Resolvidos. a) Valor Presente: Calcular o Valor Presente e o Valor Futuro do projeto abaixo, representado pelo seu Diagrama de Fluxo de Caixa. A Taxa de Desconto é de 10% por período. R$

580

b) Se empresa: No caso de empresas, a TMA corresponde à remuneração desejada pelos acionistas, e corresponde ao representada custo médio ponderado do capital da empresa. (GITMAN, 2001). O custo médio ponderado de capital expressa o custo dos capitais mobilizados para financiar a empresa, a saber: capital próprio, capital de terceiros e financiamentos de curto e longo prazos. Matematicamente e partindo dos balanços da empresa pode-se definir a TMA como:

R$ 490,00/período

0

1

2

3

4

5

6

8

9 períodos

1º - Calculo do Valor Presente. VP = 580 ×

1 (1 + i) 2

+ 490 ×

1 × FVP6 (1 + i)3

∴


7

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¬10%


Como já comentado, havendo diversas alternativas de investimentos propostas para a aplicação de um mesmo capital, deverá ser adotada a mesma TMA ≡ i para o calculo do valor presente líquido de cada uma delas. Isto porque, não há sentido financeiro comparar valores presentes associados à alternativas de investimentos descontados à taxas distintas ou, noutras palavras, remunerados segundo parâmetros diferentes. Obtidos os valores presentes de cada alternativa, as mesmas podem ser hierarquizadas segundo o aumento de riqueza quer propiciam. Basicamente, a alternativa que apresentar o maior incremente de riqueza será considerada como a mais interessante. A TMA poderá ser estabelecida sob a ótica do investidor ou da empresa. a) Se investidor: Neste caso, o investidor singular determina, a seu talante, a remuneração desejada pra o capital a ser investido.


TMA ≡ i =

Lucro PL + ELP

Em que PL corresponde ao patrimônio líquido, o ELP, o exigível de longo prazo e o Lucro expressos nos balanços de cada exercício. 5.5 – Exercícios. 5.6.1 – Exercícios Resolvidos. a) Valor Presente: Calcular o Valor Presente e o Valor Futuro do projeto abaixo, representado pelo seu Diagrama de Fluxo de Caixa. A Taxa de Desconto é de 10% por período. R$

580

b) Se empresa: No caso de empresas, a TMA corresponde à remuneração desejada pelos acionistas, e corresponde ao representada custo médio ponderado do capital da empresa. (GITMAN, 2001). O custo médio ponderado de capital expressa o custo dos capitais mobilizados para financiar a empresa, a saber: capital próprio, capital de terceiros e financiamentos de curto e longo prazos. Matematicamente e partindo dos balanços da empresa pode-se definir a TMA como:

R$ 490,00/período

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 períodos

1º - Calculo do Valor Presente. VP = 580 ×

1 (1 + i) 2

+ 490 ×

1 × FVP6 (1 + i)3

¬10%

∴


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VP = 580 × 0,8264 + 490 × 0,7513 × 4,3553 = 2.082,66 $ 2º - Calculo do Valor Futuro. VF = 580 (1+ 0,10) 7 + 490 × FVF (6; 10% ) ∴ VF = 580 × 1,9847 + 490 × 7,7156 = 4.931,77 $ É importante lembrar, que o Valor Futuro é dado no 9º período, coincidentemente com o ultimo período do fluxo de caixa. b) Exemplo de Previsão de Fluxo de Caixa. A definição do fluxo de caixa é um processo de previsão dos recebimentos e pagamentos futuros, investimentos a serem realizados, tributos a serem pagos, etc. a cada período vindouro. O exemplo da Fig.5.5, mostra a composição de quatro fluxos de caixa projetados, na tabela denominados de Fluxo de Caixa Líquido, relativos aos meses de agosto a novembro de 2.010. Disponível a previsão dos fluxos de caixa, o gestor dispõe de informações para avaliar os saldos disponíveis de caixa e, deste modo, ter condições para: i) Analisar a viabilidade de projetos; ii) Verificar a necessidade de investimento em capital de giro quando a projeção do fluxo de caixa do projeto prever a ocorrência de saldo negativo; iii) Estabelecer a época e a oportunidade de implantar novos projetos ou aplicação de capital em havendo previsão de expressivo saldo de caixa. MatemFinanceira~AULAS~abril2010


iv) Conhecer o saldo final de caixa ao fim de cada período ao se somar o saldo de caixa existente em período anterior. O calculo do fluxo de caixa é realizado utilizando o seguinte modelo: Fk =Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Valor Residual Fluxo de Caixa Exercício 2.010

R$ mil Ago

R$ mil Set

R$ mil Out

R$ mil Nov

Recebimentos Vendas a vista Contas a Receber Outros

191 42 149 0

307 48 179 80

283 58 215 10

355 65 275 5

Despesas Fornecedores Honorários Salários Aluguel Impostos

203 77 50 29 25 22

226 89 60 30 25 22

245 106 60 32 25 22

260 118 60 35 25 22

Investimentos Equipamentos Capital de Giro

97 67 30

32 32 0

94 94 0

94 94 0

Fluxo Caixa Líquido -109 49 -57 Saldo Caixa Anterior 145 36 85 Saldo Final de Caixa 36 85 28 Fig.5.5 – Previsão de Fluxo de Caixa

1 28 29

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iv) Conhecer o saldo final de caixa ao fim de cada período ao se somar o saldo de caixa existente em período anterior.

VP = 580 × 0,8264 + 490 × 0,7513 × 4,3553 = 2.082,66 $ 2º - Calculo do Valor Futuro. VF = 580 (1+ 0,10) 7 + 490 × FVF (6; 10% ) ∴ VF = 580 × 1,9847 + 490 × 7,7156 = 4.931,77 $

O calculo do fluxo de caixa é realizado utilizando o seguinte modelo: Fk =Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Valor Residual

É importante lembrar, que o Valor Futuro é dado no 9º período, coincidentemente com o ultimo período do fluxo de caixa.

Fluxo de Caixa Exercício 2.010

b) Exemplo de Previsão de Fluxo de Caixa. A definição do fluxo de caixa é um processo de previsão dos recebimentos e pagamentos futuros, investimentos a serem realizados, tributos a serem pagos, etc. a cada período vindouro. O exemplo da Fig.5.5, mostra a composição de quatro fluxos de caixa projetados, na tabela denominados de Fluxo de Caixa Líquido, relativos aos meses de agosto a novembro de 2.010. Disponível a previsão dos fluxos de caixa, o gestor dispõe de informações para avaliar os saldos disponíveis de caixa e, deste modo, ter condições para: i) Analisar a viabilidade de projetos; ii) Verificar a necessidade de investimento em capital de giro quando a projeção do fluxo de caixa do projeto prever a ocorrência de saldo negativo; iii) Estabelecer a época e a oportunidade de implantar novos projetos ou aplicação de capital em havendo previsão de expressivo saldo de caixa. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

R$ mil Ago

R$ mil Set

R$ mil Out

R$ mil Nov

Recebimentos Vendas a vista Contas a Receber Outros

191 42 149 0

307 48 179 80

283 58 215 10

355 65 275 5

Despesas Fornecedores Honorários Salários Aluguel Impostos

203 77 50 29 25 22

226 89 60 30 25 22

245 106 60 32 25 22

260 118 60 35 25 22

Investimentos Equipamentos Capital de Giro

97 67 30

32 32 0

94 94 0

94 94 0

Fluxo Caixa Líquido -109 49 -57 Saldo Caixa Anterior 145 36 85 Saldo Final de Caixa 36 85 28 Fig.5.5 – Previsão de Fluxo de Caixa

1 28 29

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5.6.2 - Exercícios Propostos. a) Calcular o valor presente e o valor futuro do projeto representado pelo diagrama dos fluxos de caixa. Adotar a taxa de 10% ao mês como custo de oportunidade.

Recebimentos diversos/mês 6.000,00 Venda de produtos/mês 33.000,00 Venda de equipamento 3.400,00 Aluguel de Terreno/mês 4.000,00 Aquisição de Máquina 3.000,00 Investimentos em imobilizado podem ser vendidos por 25% do valor de aquisição findo o prazo do projeto.

c) Calcular o valor presente de um projeto cujas características operacionais estão relacionadas a seguir. Sabe-se que: O tempo de vida do projeto foi estimado em sete anos; − A taxa de mínima atratividade adotada é de 15% ao ano; − Os dados relacionados no Quadro 1 mostram o percentual de utilização da capacidade instalada em cada ano; − A previsão de vendas evoluirá segundo as estimativas expressas no Quadro 2. −

b) Determinar o valor presente de um projeto com horizonte de quatro anos, cujos dados estão relacionados no quadro abaixo. Individualizar o que é receita, despesa ou investimento. item Investimentos capital de giro Salários diretores/mês Salário pessoal da produção/mês Salário pessoal administrativo/mês Previdência Social/mês Material de consumo/mês Matérias primas p/ 4 meses. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Valor R$ mil 3.250,00 8.000,00 12.500,00 7.500,00 5.900,00 900,00 6.900,00

Quadro 1 – Informações Contábeis Investimento inicial Salários diretores/ mês Salário pessoal da produção/mês Salário pessoal administrativo/mês Previdência Social - mês Material de consumo - mês Matérias primas - mês Venda de produtos c/ capacidade total – mês Valor residual do item 1, Investimento.

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Valor R$ mil 240.555,00 8.000,00 18.500,00 3.500,00 3.900,00 1.150,00 7.900,00 63.000,00 48%



5.6.2 - Exercícios Propostos. a) Calcular o valor presente e o valor futuro do projeto representado pelo diagrama dos fluxos de caixa. Adotar a taxa de 10% ao mês como custo de oportunidade.

Recebimentos diversos/mês 6.000,00 Venda de produtos/mês 33.000,00 Venda de equipamento 3.400,00 Aluguel de Terreno/mês 4.000,00 Aquisição de Máquina 3.000,00 Investimentos em imobilizado podem ser vendidos por 25% do valor de aquisição findo o prazo do projeto.

c) Calcular o valor presente de um projeto cujas características operacionais estão relacionadas a seguir. Sabe-se que: − O tempo de vida do projeto foi estimado em sete anos; − A taxa de mínima atratividade adotada é de 15% ao ano; − Os dados relacionados no Quadro 1 mostram o percentual de utilização da capacidade instalada em cada ano; − A previsão de vendas evoluirá segundo as estimativas expressas no Quadro 2.

b) Determinar o valor presente de um projeto com horizonte de quatro anos, cujos dados estão relacionados no quadro abaixo. Individualizar o que é receita, despesa ou investimento. item Investimentos capital de giro Salários diretores/mês Salário pessoal da produção/mês Salário pessoal administrativo/mês Previdência Social/mês Material de consumo/mês Matérias primas p/ 4 meses.

Valor R$ mil 3.250,00 8.000,00 12.500,00 7.500,00 5.900,00 900,00 6.900,00

Quadro 1 – Informações Contábeis Investimento inicial Salários diretores/ mês Salário pessoal da produção/mês Salário pessoal administrativo/mês Previdência Social - mês Material de consumo - mês Matérias primas - mês Venda de produtos c/ capacidade total – mês Valor residual do item 1, Investimento.


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Quadro 2 - Previsão Anual de Faturamento sobre a Capacidade Instalada Total Ano 1 2 3 4 5a7 Percent.l 40% 50% 60% 70% 100%

d) Uma empresa remunera seus ativos a uma TMA de 12% ao período, esta analisando um projeto de investimento representado pelo respectivo fluxo de caixa projetado. Assim sendo deseja-se saber se a implantação deste projeto é viável para a empresa. Solicita-se, também, definir o fator de valor presente associado e o valor presente associado a cada fluxo de caixa, bem como traçar o diagrama de valor presente. Período. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∑

Fluxo de Caixa $ -1.400,00 -1.000,00 -420,00 0,00 450,00 510,00 550,00 605,00 680,00 790,00 (+)765,00

×

1

(1 + i)n

Valor Presente $

Ao ser descontado o fluxo de caixa de cada período a TMA de 12%, verifica-se que o projeto é financeiramente inviável pois seu valor presente líquido é de (-) 940,37 R$. 5.6 – Classificação dos Investimentos. Os investimentos podem ser classificados segundo a variação dos fluxos de caixa ou conforme a disponibilidade dos recursos para investimentos. 5.6.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. Segundo a variação do sinal dos fluxos de caixa os investimentos podem ser divididos em: • • •

Investimento Simples ou Empréstimo; Investimento Convencional; Investimento Não Convencional.

a) Investimento Simples ou Empréstimo. O investimento simples ou empréstimo é caracterizado por apresentar uma única variação de sinal em seu fluxo de caixa. Ver o projeto nº S1 da Fig.5.4 – Tipificação dos Fluxos de Caixa. (-) 940,37

Havendo, simplesmente, a soma dos fluxos de caixa projetados, o projeto parece viável por se mostra positivo em R$ 765,00. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Valor R$ mil 240.555,00 8.000,00 18.500,00 3.500,00 3.900,00 1.150,00 7.900,00 63.000,00 48%

Além disto, o primeiro fluxo de caixa deve ser caracterizado por uma saída de caixa, ou seja, um movimento negativo, seguido por uma série de fluxos de caixa positivos.

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Quadro 2 - Previsão Anual de Faturamento sobre a Capacidade Instalada Total Ano 1 2 3 4 5a7 Percent.l 40% 50% 60% 70% 100%

d) Uma empresa remunera seus ativos a uma TMA de 12% ao período, esta analisando um projeto de investimento representado pelo respectivo fluxo de caixa projetado. Assim sendo deseja-se saber se a implantação deste projeto é viável para a empresa. Solicita-se, também, definir o fator de valor presente associado e o valor presente associado a cada fluxo de caixa, bem como traçar o diagrama de valor presente. Período. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∑

Fluxo de Caixa $ -1.400,00 -1.000,00 -420,00 0,00 450,00 510,00 550,00 605,00 680,00 790,00 (+)765,00

×

1 (1 + i)n

Valor Presente $

5.6 – Classificação dos Investimentos. Os investimentos podem ser classificados segundo a variação dos fluxos de caixa ou conforme a disponibilidade dos recursos para investimentos. 5.6.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. Segundo a variação do sinal dos fluxos de caixa os investimentos podem ser divididos em: • • •

Investimento Simples ou Empréstimo; Investimento Convencional; Investimento Não Convencional.

a) Investimento Simples ou Empréstimo. O investimento simples ou empréstimo é caracterizado por apresentar uma única variação de sinal em seu fluxo de caixa. Ver o projeto nº S1 da Fig.5.4 – Tipificação dos Fluxos de Caixa. (-) 940,37

Havendo, simplesmente, a soma dos fluxos de caixa projetados, o projeto parece viável por se mostra positivo em R$ 765,00. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Ao ser descontado o fluxo de caixa de cada período a TMA de 12%, verifica-se que o projeto é financeiramente inviável pois seu valor presente líquido é de (-) 940,37 R$.

Além disto, o primeiro fluxo de caixa deve ser caracterizado por uma saída de caixa, ou seja, um movimento negativo, seguido por uma série de fluxos de caixa positivos.

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capazes de permitir a comparação e hierarquização das alternativas de investimento segundo o incremento de riqueza proporcionado por cada uma das alternativas ou a rentabilidade das mesmas. São eles: Valor Presente Líquido; Retorno do Capital ou Pay-Back; • Custo Anual Equivalente ou Beneficio Anual Equivalente; • Taxa Interna de Retorno. • •

É muito possível que a adoção de um único método, isoladamente, não satisfaça as exigências de um bom processo decisório. Visando melhor amparar o processo decisório, recomenda-se ao analista que elabore a hierarquização das alternativas considerando, conjuntamente, vários dos métodos apresentados e não se limitar a simples adoção de apenas um deles, procedimento que vem a enriquecer a qualidade de sua analise.


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capazes de permitir a comparação e hierarquização das alternativas de investimento segundo o incremento de riqueza proporcionado por cada uma das alternativas ou a rentabilidade das mesmas. São eles: Valor Presente Líquido; Retorno do Capital ou Pay-Back; • Custo Anual Equivalente ou Beneficio Anual Equivalente; • Taxa Interna de Retorno. • •

É muito possível que a adoção de um único método, isoladamente, não satisfaça as exigências de um bom processo decisório. Visando melhor amparar o processo decisório, recomenda-se ao analista que elabore a hierarquização das alternativas considerando, conjuntamente, vários dos métodos apresentados e não se limitar a simples adoção de apenas um deles, procedimento que vem a enriquecer a qualidade de sua analise.


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caixa inicial, F0, e de uma única entrada de caixa projetada, Fn. Ver Fig.6.1.

Critérios de Decisão VP(p) > 0 → Projeto Viável VP(P) = 0 → Projeto é Indiferente VP < 0 → Pro eto Inviável. No caso de haver a análise de um conjunto de alternativas mutuamente exclusivas, o critério de decisão deverá eleger a alternativa que apresentar o MAIOR valor presente líquido. Esse critério de decisão é coerente com o exposto na 1ª Premissa da matemática financeira, a que trata da maximização da riqueza. TMA%

F períodos

F0 0

...................

n

Fig.6.1 – Valor Presente Líquido

O conceito de se adotar o método do valor presente líquido como medida do incremento de riqueza, pode ser facilmente entendido ao se analisar um projeto de investimento qualquer, P, que disponha, apenas, de um fluxo de saída de MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Comentando as três situações possíveis de ocorrer: I - Quando VP(P)=0. Para que o valor presente líquido de um investimento seja zero, há que ocorrer: k

Fn n n=1 (1 + TMA )

VP(P) = −F0 + ∑

=

0.

Nesta condição, o valor presente do retorno esperado é equivalente ao valor do capital investido. Esta situação configura um caso de indiferença financeira, pois, sob a ótica do investidor, a remuneração oferecida pelo projeto é equivalente a que vem obtendo tradicionalmente para a remuneração de seus ativos. Depreendem-se da assertiva acima dois fatos: 1º) a margem de retorno estabelecida, ou taxa de mínima atratividade é mantida sem haver acréscimo de riqueza além do habitualmente obtido; 2º) o projeto foi descontado à maior taxa de remuneração que ele possa oferecer, taxa esta denominada de TIR e que, neste caso, é igual à TMA. Assunto a ser discutido no capítulo 9. 98-167



caixa inicial, F0, e de uma única entrada de caixa projetada, Fn. Ver Fig.6.1.

Critérios de Decisão

Comentando as três situações possíveis de ocorrer:

VP(p) > 0 → Projeto Viável VP(P) = 0 → Projeto é Indiferente VP < 0 → Pro eto Inviável.

I - Quando VP(P)=0.

No caso de haver a análise de um conjunto de alternativas mutuamente exclusivas, o critério de decisão deverá eleger a alternativa que apresentar o MAIOR valor presente líquido. Esse critério de decisão é coerente com o exposto na 1ª Premissa da matemática financeira, a que trata da maximização da riqueza. TMA%

Fn n n=1 (1 + TMA )

F0 n

O conceito de se adotar o método do valor presente líquido como medida do incremento de riqueza, pode ser facilmente entendido ao se analisar um projeto de investimento qualquer, P, que disponha, apenas, de um fluxo de saída de

Nesta condição, o valor presente do retorno esperado é equivalente ao valor do capital investido.

2º) o projeto foi descontado à maior taxa de remuneração que ele possa oferecer, taxa esta denominada de TIR e que, neste caso, é igual à TMA. Assunto a ser discutido no capítulo 9.


98-167



Visando um melhor entendimento dos conceitos efetuados e uma análise do resultado obtido, a seguir é efetuado um exemplo numérico do caso em questão, atribuindo valores aos dois fluxos de caixa, F 0 e Fn.

343,16 150,00=VP

Seja, então, uma empresa ou investidor que dispõe da importância de R$ 150,00 e que analisa os seus investimentos adotando uma TMA de 18% ao período. Ao ser aplicado este capital em um determinado investimento produtivo pelo prazo de cinco períodos, é previsto um retorno de R$ 343,16. Descontado este fluxo de caixa de R$343,16 a 18%, obtém-se um valor presente de R$ 150,00.

TMA

= −150,00 +

343,16 =0 (1,18)5

Aparentemente, como se pode constatar, o projeto é rentável já que apresenta um retorno bem superior ao investimento inicial de R$ 343,16. Porém, ele não aumenta a riqueza do investidor já que remunera o capital investido exatamente na porcentagem que o investidor vem obtendo tradicionalmente pela aplicação de seus recursos, ou seja, no valor da TMA de 18%. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

1

2

3

4

5

-150 00

FIg.6.2 – Caso da Indiferença de Decisão

de

Somado este valor ao investimento inicial o resultado corresponde ao valor presente líquido do investimento efetuado, cujo valor é zero. Assim sendo, o investimento não propiciou um aumento de riqueza maior do que o tradicionalmente obtido pelo aplicador Ver Fig. 6.2 – Caso da Indiferença de Decisão.

Fn (1 + TMA)n

0.

1º) a margem de retorno estabelecida, ou taxa de mínima atratividade é mantida sem haver acréscimo de riqueza além do habitualmente obtido;

Fig.6.1 – Valor Presente Líquido

VP(P) = F0 +

=

Depreendem-se da assertiva acima dois fatos:

períodos ...................

k

VP(P) = −F0 + ∑

Esta situação configura um caso de indiferença financeira, pois, sob a ótica do investidor, a remuneração oferecida pelo projeto é equivalente a que vem obtendo tradicionalmente para a remuneração de seus ativos.

F

0

Para que o valor presente líquido de um investimento seja zero, há que ocorrer:

O investimento em pauta, sob a ótica do aplicador que deseja uma remuneração de 18% sobre o capital investido, simplesmente corrige o capital inicial a uma taxa igual a da TMA habitualmente praticada. Quando o valor presente líquido de uma alternativa de investimento for zero, não é o caso de abandonar pura e simplesmente a alternativa, pois ela pode ser a única oportunidade dentro da margem de risco desejada. Finalizando, quando ocorre o caso de VP(P)=0, projeto pode não propiciar um incremento de riqueza, mas remunera os ativos investidos à taxa habitualmente praticada, a TMA. II - Quando VP(P)>0. Considerando o modelo de calculo do Valor Presente: 99-167



Visando um melhor entendimento dos conceitos efetuados e uma análise do resultado obtido, a seguir é efetuado um exemplo numérico do caso em questão, atribuindo valores aos dois fluxos de caixa, F 0 e Fn.

343,16 150,00=VP

Seja, então, uma empresa ou investidor que dispõe da importância de R$ 150,00 e que analisa os seus investimentos adotando uma TMA de 18% ao período. Ao ser aplicado este capital em um determinado investimento produtivo pelo prazo de cinco períodos, é previsto um retorno de R$ 343,16. Descontado este fluxo de caixa de R$343,16 a 18%, obtém-se um valor presente de R$ 150,00.

TMA

Fn (1 + TMA)n

= −150,00 +

2

3

4

5

-150 00

FIg.6.2 – Caso da Indiferença de Decisão

de

Somado este valor ao investimento inicial o resultado corresponde ao valor presente líquido do investimento efetuado, cujo valor é zero. Assim sendo, o investimento não propiciou um aumento de riqueza maior do que o tradicionalmente obtido pelo aplicador Ver Fig. 6.2 – Caso da Indiferença de Decisão.

VP(P) = F0 +

1

343,16 =0 (1,18)5

Aparentemente, como se pode constatar, o projeto é rentável já que apresenta um retorno bem superior ao investimento inicial de R$ 343,16. Porém, ele não aumenta a riqueza do investidor já que remunera o capital investido exatamente na porcentagem que o investidor vem obtendo tradicionalmente pela aplicação de seus recursos, ou seja, no valor da TMA de 18%.

O investimento em pauta, sob a ótica do aplicador que deseja uma remuneração de 18% sobre o capital investido, simplesmente corrige o capital inicial a uma taxa igual a da TMA habitualmente praticada. Quando o valor presente líquido de uma alternativa de investimento for zero, não é o caso de abandonar pura e simplesmente a alternativa, pois ela pode ser a única oportunidade dentro da margem de risco desejada. Finalizando, quando ocorre o caso de VP(P)=0, projeto pode não propiciar um incremento de riqueza, mas remunera os ativos investidos à taxa habitualmente praticada, a TMA. II - Quando VP(P)>0. Considerando o modelo de calculo do Valor Presente:


99-167


k

Fn n n=1 (1 + TMA )

VP(p) = F0 + ∑

Para que ocorra VP(P)>0, deve-se ter: k

Fn n. n=1 (1 + TMA )

F0 < ∑

Financeiramente, significa que o valor presente do retorno previsto, descontado à TMA, é financeiramente superior ao valor do capital investido. 395,00 172,66=VP

1

2

3

4


sendo tradicionalmente obtido. Ver Fig. 6.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto. Exemplificando numericamente, seja um projeto que oferece uma projeção de retorno após cinco períodos no montante de R$ 395,00. Quando descontado este valor à taxa de 18% ao ano obtêm-se um valor presente de R$172,66. O valor presente líquido do projeto é calculado em R$ 22,66. Matematicamente, o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa é dado por:

VP(P) = F0 +

Fn (1 + TMA )n

= −150,00 +

395,00 (1,18)5

= +22,66R$

Como pode se constatar, o projeto é rentável e aumenta a riqueza em valor superior ao da simples correção do capital investido tendo como taxa de rentabilidade a TMA. Assim sendo, deve ser considerado como viável.

5

F0= -150,00

III - Quando VP(P)<0. Para que ocorra VP(P)<0, deve-se ter:

Fig.6.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto

k

Fn n. n=1 (1 + TMA )

F0 > ∑ Nestas condições, fica caracterizado que o projeto produz um incremento de riqueza em proporção superior ao habitualmente obtido. Logo, é uma situação que caracteriza a aceitabilidade do projeto sendo o mesmo considerado viável, pois propicia um incremento de riqueza em valor superior aquele que vem MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Nesta situação, o valor presente líquido do fluxo de caixa projetado descontado à TMA é inferior ao valor do investimento inicial. Configura-se o caso de rejeição do projeto, pois ele não remunera o investimento inicial. Noutros termos, o retorno 100-167



sendo tradicionalmente obtido. Ver Fig. 6.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto.

k

Fn n n=1 (1 + TMA )

VP(p) = F0 + ∑

Exemplificando numericamente, seja um projeto que oferece uma projeção de retorno após cinco períodos no montante de R$ 395,00. Quando descontado este valor à taxa de 18% ao ano obtêm-se um valor presente de R$172,66. O valor presente líquido do projeto é calculado em R$ 22,66.

Para que ocorra VP(P)>0, deve-se ter: k

Fn n. n=1 (1 + TMA )

F0 < ∑

Financeiramente, significa que o valor presente do retorno previsto, descontado à TMA, é financeiramente superior ao valor do capital investido. 395,00

2

3

4

VP(P) = F0 +

Fn (1 + TMA )n

= −150,00 +

395,00 (1,18)5

= +22,66R$

Como pode se constatar, o projeto é rentável e aumenta a riqueza em valor superior ao da simples correção do capital investido tendo como taxa de rentabilidade a TMA. Assim sendo, deve ser considerado como viável.

172,66=VP

1

Matematicamente, o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa é dado por:

5

III - Quando VP(P)<0.

F0= -150,00

Para que ocorra VP(P)<0, deve-se ter: Fig.6.3 – Caso da Aceitabilidade do Projeto

k

Fn n. n=1 (1 + TMA )

F0 > ∑ Nestas condições, fica caracterizado que o projeto produz um incremento de riqueza em proporção superior ao habitualmente obtido. Logo, é uma situação que caracteriza a aceitabilidade do projeto sendo o mesmo considerado viável, pois propicia um incremento de riqueza em valor superior aquele que vem

Nesta situação, o valor presente líquido do fluxo de caixa projetado descontado à TMA é inferior ao valor do investimento inicial. Configura-se o caso de rejeição do projeto, pois ele não remunera o investimento inicial. Noutros termos, o retorno


100-167



previsto do investimento, do ponto de vista financeiro, é inferior ao do investimento inicial.

remunera o investimento efetuado, quando o retorno for descontado à taxa de mínima atratividade, ou seja, 18%.

Retomando o exemplo anterior e considerando uma projeção de retorno, após cinco períodos, no valor de R$ 320,00, o valor presente deste fluxo de caixa é de R$ 139,87.

Logo, sendo o valor presente líquido associado ao fluxo de caixa projetado de um investimento um valor menor do que zero, ou seja, negativo, ele deverá ser considerado inviável.

Calculado o valor presente líquido do projeto, obtém-se um valor de investimento R$ (-) 10,13. Ver Fig. 6.4 – Caso da rejeição do projeto.

Os exemplos acima discutidos consideraram o caso de um projeto isolado. Os resultados obtidos podem ser facilmente visualizados e entendidos. É interessante notar que, nos três casos analisados, o ganho de capital é superior ao investimento inicial. Porém, segundo a remuneração desejada de 18% ao período pode ser ou não interessante ao aplicador realizar este investimento de capital.

320,00 139,87=VP

1

2

3

4

Generalizando o caso analisado, quando se tem projetos que apresentem uma seqüência de fluxos de caixa, especialmente em projetos não convencionais, torna-se o método do valor presente um forte instrumento para amparar a tomada decisão. Isto porque, os resultados obtidos são de fácil interpretação e levam em consideração a dimensão financeira do investimento ao invés de, simplesmente, um ganho econômico.

5 períodos

-150,00

Fig.6.4 – Caso da rejeição do projeto

caixa:

Efetuando o calculo do valor presente líquido do fluxo de

VP(P ) = F0 +

6.2.3 – Diagrama de valor presente. 6.2.3.1 – Traçado do Diagrama.

Fn (1 + TMA )n

= −150,00 +

320,00 (1,18)5

= −10,13R$

Mesmo sendo previsto um retorno superior ao investimento inicial, ocorre uma perda financeira, pois ela não MatemFinanceira~AULAS~abril2010

O diagrama de valor presente é um forte instrumento para amparar a análise de decisão de um projeto conforme modelo da Fig.6.5. Ele exprime, em diagrama cartesiano, a curva do polinômio associado ao fluxo de caixa quanto se determina em abscissas 101-167



previsto do investimento, do ponto de vista financeiro, é inferior ao do investimento inicial.

remunera o investimento efetuado, quando o retorno for descontado à taxa de mínima atratividade, ou seja, 18%.

Retomando o exemplo anterior e considerando uma projeção de retorno, após cinco períodos, no valor de R$ 320,00, o valor presente deste fluxo de caixa é de R$ 139,87.

Logo, sendo o valor presente líquido associado ao fluxo de caixa projetado de um investimento um valor menor do que zero, ou seja, negativo, ele deverá ser considerado inviável.

Calculado o valor presente líquido do projeto, obtém-se um valor de investimento R$ (-) 10,13. Ver Fig. 6.4 – Caso da rejeição do projeto.

Os exemplos acima discutidos consideraram o caso de um projeto isolado. Os resultados obtidos podem ser facilmente visualizados e entendidos. É interessante notar que, nos três casos analisados, o ganho de capital é superior ao investimento inicial. Porém, segundo a remuneração desejada de 18% ao período pode ser ou não interessante ao aplicador realizar este investimento de capital.

320,00 139,87=VP

1

2

3

4

Generalizando o caso analisado, quando se tem projetos que apresentem uma seqüência de fluxos de caixa, especialmente em projetos não convencionais, torna-se o método do valor presente um forte instrumento para amparar a tomada decisão. Isto porque, os resultados obtidos são de fácil interpretação e levam em consideração a dimensão financeira do investimento ao invés de, simplesmente, um ganho econômico.

5 períodos

-150,00

Fig.6.4 – Caso da rejeição do projeto

caixa:

Efetuando o calculo do valor presente líquido do fluxo de

6.2.3 – Diagrama de valor presente. 6.2.3.1 – Traçado do Diagrama.

Fn VP(P ) = F0 + (1 + TMA )n

= −150,00 +

320,00 (1,18)5

= −10,13R$

Mesmo sendo previsto um retorno superior ao investimento inicial, ocorre uma perda financeira, pois ela não

O diagrama de valor presente é um forte instrumento para amparar a análise de decisão de um projeto conforme modelo da Fig.6.5. Ele exprime, em diagrama cartesiano, a curva do polinômio associado ao fluxo de caixa quanto se determina em abscissas


101-167



as taxas de desconto e em ordenadas o valor presente associado à cada taxa de desconto. O diagrama permite visualizar o comportamento do fluxo de caixa, o valor da TIR, fato importante, pois há casos em que o fluxo de caixa apresenta mais do que uma TIR. Fato este em que a análise do valor presente associado a uma determinada TMA deve ser analisada com cuidado. Escrevendo a expressão do valor presente liquido sob forma polinomial tem-se:

VP(P ) = F0 +

F1 (1 + i)

1

+

F2 (1 + i) 2

+

F3 (1 + i) 3

+L+

Com o diagrama traçado pode-se verificar, claramente, o comportamento do fluxo de caixa, a taxa de desconto equivalente à TIR e o campo de viabilidade do projeto. 6.2.3.2 – Exemplo de Procedimento. Seja determinar o diagrama de valor presente representativo de um dado fluxo de caixa, seja o caso de um projeto A, definido pelo seu conjunto de fluxos de caixa projetados, conforme abaixo.

Fn (1 + i) n

O diagrama da Fig.6.5 é obtido ao descontar o fluxo de caixa a varias taxas “i”.

FC(A) = { -1.200; 450; 400; 350; 300} A função valor presente líquido deste fluxo de caixa, expressa em forma polinomial, é dada por: VP( A ) = −1200 +

$ - Valor Presente Este ponto define a TIR, a maior taxa de remuneração de um projeto viável. ≥

P V

item

10

15

20

TMA Fig.6.5- Modelo de Diagrama


+

350 300 + (1 + i)3 (1 + i)4

Calculando o valor presente para a função VP(A), considerando uma série de taxas de desconto préestabelecidas, obtêm-se os valores presentes expressos no quadro abaixo:

0

5

450 400 + (1 + i) (1 + i)2

i

1 2 3 4 5 6

Taxa de Desconto i(%) 0 3 6 9 10,31  TIR 12

Valor Presente Líquido ($) 300,00 200,78 112,02 32,31 0,00 (-) 39,56

102-167



as taxas de desconto e em ordenadas o valor presente associado à cada taxa de desconto. O diagrama permite visualizar o comportamento do fluxo de caixa, o valor da TIR, fato importante, pois há casos em que o fluxo de caixa apresenta mais do que uma TIR. Fato este em que a análise do valor presente associado a uma determinada TMA deve ser analisada com cuidado. Escrevendo a expressão do valor presente liquido sob forma polinomial tem-se:

VP(P ) = F0 +

F1 (1 + i)

1

+

F2 (1 + i) 2

+

F3 (1 + i) 3

+L+

Com o diagrama traçado pode-se verificar, claramente, o comportamento do fluxo de caixa, a taxa de desconto equivalente à TIR e o campo de viabilidade do projeto. 6.2.3.2 – Exemplo de Procedimento. Seja determinar o diagrama de valor presente representativo de um dado fluxo de caixa, seja o caso de um projeto A, definido pelo seu conjunto de fluxos de caixa projetados, conforme abaixo.

Fn (1 + i) n

O diagrama da Fig.6.5 é obtido ao descontar o fluxo de caixa a varias taxas “i”.

FC(A) = { -1.200; 450; 400; 350; 300} A função valor presente líquido deste fluxo de caixa, expressa em forma polinomial, é dada por: VP( A ) = −1200 +

$ - Valor Presente Este ponto define a TIR, a maior taxa de remuneração de um projeto viável. ≥

P V

item

10

15

i

20

TMA Fig.6.5- Modelo de Diagrama

1 2 3 4 5 6

Taxa de Desconto i(%) 0 3 6 9 10,31  TIR 12


300 (1 + i)4


No exemplo, o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa i=3% é dado por: 450 400 + VP( A ) = −1200 + (1,03) (1,03)2

350 + (1,03)3

300 + (1,03)4

=

200,78$

Lançando o par i(%)×VP($), dispostos na tabela, em diagrama cartesiano, chega-se à curva conforme exposto na Fig.6.6. Fig.6.6 - Diagrama de Valor Presente

Diagrama de Valor Presente

+

102-167

O diagrama de valor presente desta função VP(A) é efetuado ao se traçar um gráfico elaborado em coordenadas cartesianas, em que no eixo das abscissas tem-se o domínio das taxas de desconto. E, no das ordenadas, o domínio do valor presente em expressão monetária.

400 300 200 100 0 -100

350 (1 + i)3

Valor Presente Líquido ($) 300,00 200,78 112,02 32,31 0,00 (-) 39,56


$ e t n e s e r P r o l a V

+

Calculando o valor presente para a função VP(A), considerando uma série de taxas de desconto préestabelecidas, obtêm-se os valores presentes expressos no quadro abaixo:

0

5

450 400 + (1 + i) (1 + i)2

6.2.3.3 – Metodologia do VPL. A metodologia proposta para a elaboração de um diagrama de valor presente é a seguinte: 1º - Calcula-se o valor presente à taxa i=0. Este procedimento corresponde a desconsiderar o valor da moeda no tempo. Caso este valor seja igual ou menor do que zero, a alternativa deve ser descartada, pois não apresenta rentabilidade para qualquer taxa de desconto. Ela não apresenta ganho financeiro nem econômico; 2º - Arbitra-se uma taxa de desconto e desconta-se fluxo de caixa à taxa arbitrada; 3º - Repete-se o processo definido no item 2º tantas vezes quanto o for necessário, de modo a resultar em uma curva a mais contínua e representativa possível da função polinomial desejada. 4º - O processo deve ser interrompido ao ser obtido um valor presente menor do que zero. 5º - No ponto em que a curva cortar o eixo das abscissas, fica definida a taxa interna de retorno – TIR.

1 2 3 4 300 200,8 112 32,31

5 0

6 -39,6

Esta é a maior taxa de desconto, ou de oportunidade, que um projeto pode apresentar enquanto viável.

Taxa de Desconto - i

6.3 - Análise de Sensibilidade - Risco. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

103-167



O diagrama de valor presente desta função VP(A) é efetuado ao se traçar um gráfico elaborado em coordenadas cartesianas, em que no eixo das abscissas tem-se o domínio das taxas de desconto. E, no das ordenadas, o domínio do valor presente em expressão monetária. No exemplo, o valor presente do fluxo de caixa descontado à taxa i=3% é dado por: 450 400 + VP( A ) = −1200 + (1,03) (1,03)2

350 + (1,03)3

300 + (1,03)4

=

200,78$

Lançando o par i(%)×VP($), dispostos na tabela, em diagrama cartesiano, chega-se à curva conforme exposto na Fig.6.6. Fig.6.6 - Diagrama de Valor Presente $ e t n e s e r P r o l a V

400 300 200 100 0 -100 Diagrama de Valor Presente

6.2.3.3 – Metodologia do VPL. A metodologia proposta para a elaboração de um diagrama de valor presente é a seguinte: 1º - Calcula-se o valor presente à taxa i=0. Este procedimento corresponde a desconsiderar o valor da moeda no tempo. Caso este valor seja igual ou menor do que zero, a alternativa deve ser descartada, pois não apresenta rentabilidade para qualquer taxa de desconto. Ela não apresenta ganho financeiro nem econômico; 2º - Arbitra-se uma taxa de desconto e desconta-se fluxo de caixa à taxa arbitrada; 3º - Repete-se o processo definido no item 2º tantas vezes quanto o for necessário, de modo a resultar em uma curva a mais contínua e representativa possível da função polinomial desejada. 4º - O processo deve ser interrompido ao ser obtido um valor presente menor do que zero. 5º - No ponto em que a curva cortar o eixo das abscissas, fica definida a taxa interna de retorno – TIR.

1 2 3 4 300 200,8 112 32,31

5 0

6 -39,6

Esta é a maior taxa de desconto, ou de oportunidade, que um projeto pode apresentar enquanto viável.

Taxa de Desconto - i

6.3 - Análise de Sensibilidade - Risco. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

103-167


6.3.1 – Conceituação. A análise de sensibilidade é uma técnica que possibilita verificar o domínio da viabilidade financeira de um projeto e, consequentemente, realizar uma análise do risco de sua implantação. Para tanto, deve-se definir a máxima e a mínima capacidade ou quantidade de produção dentro da qual um projeto possa ser financeiramente viável. A técnica recomenda que se efetue o calculo do valor presente para cada situação limite, em função da quantidade a ser produzida.

VP(p) = Fo +

F1 F2 F3 Fn + + + L+ 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

Fk =Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Valor Residual Partindo do princípio que cada nível de produção possa ser definido como uma alternativa, a priori, pode ocorrer três situações: 1º. Produção sob capacidade máxima; 2º. Produção sob a quantidade mais provável; 3º. Produção realizada sob quantidade mínima viável. Elaborando, num mesmo diagrama cartesiano, o gráfico de valor presente para cada uma das alternativas, pode-se estabelecer o campo de domínio financeiro do projeto. Ver Fig.6.7.



Assim, como primeira alternativa, considera-se a produção sendo realizada sob capacidade máxima. Neste caso, adotase como quantidade máxima de produção a capacidade que corresponda à capacidade instalada do projeto ou a máxima produção possível de ser efetuada com o mesmo.

Quantidade Provável

VP

Corte p/ TMA Quantidade Máxima

Quantidade Mínima

i1

TIRMIN

i3

i4

i5

i

Fi . 6.7 – Cam o de Domínio Financeiro

Como segunda alternativa, ou seja, a quantidade mais provável de ocorrer, o recomendável é adotar a quantidade de produção média historicamente utilizada pela indústria onde a empresa esta inserida. A terceira alternativa, relativa à quantidade mínima de produção, deve corresponder àquela capacidade, q MIN, cujo valor presente líquido do fluxo de caixa ao ser descontado pela TMA seja zero. Matematicamente: VP f(qMIN) = 0. A particularidade desta última alternativa é que a sua TIR corresponde à TMA da empresa. 104-167



6.3.1 – Conceituação. A análise de sensibilidade é uma técnica que possibilita verificar o domínio da viabilidade financeira de um projeto e, consequentemente, realizar uma análise do risco de sua implantação. Para tanto, deve-se definir a máxima e a mínima capacidade ou quantidade de produção dentro da qual um projeto possa ser financeiramente viável. A técnica recomenda que se efetue o calculo do valor presente para cada situação limite, em função da quantidade a ser produzida.

VP(p) = Fo +

F1 F2 F3 Fn + + + L+ 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

Assim, como primeira alternativa, considera-se a produção sendo realizada sob capacidade máxima. Neste caso, adotase como quantidade máxima de produção a capacidade que corresponda à capacidade instalada do projeto ou a máxima produção possível de ser efetuada com o mesmo.

Quantidade Provável

1º. Produção sob capacidade máxima; 2º. Produção sob a quantidade mais provável; 3º. Produção realizada sob quantidade mínima viável. Elaborando, num mesmo diagrama cartesiano, o gráfico de valor presente para cada uma das alternativas, pode-se estabelecer o campo de domínio financeiro do projeto. Ver Fig.6.7.

Corte p/ TMA Quantidade Máxima

Quantidade Mínima

i1

Fk =Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Valor Residual Partindo do princípio que cada nível de produção possa ser definido como uma alternativa, a priori, pode ocorrer três situações:

VP

TIRMIN

i3

i4

i5

i

Fi . 6.7 – Cam o de Domínio Financeiro

Como segunda alternativa, ou seja, a quantidade mais provável de ocorrer, o recomendável é adotar a quantidade de produção média historicamente utilizada pela indústria onde a empresa esta inserida. A terceira alternativa, relativa à quantidade mínima de produção, deve corresponder àquela capacidade, q MIN, cujo valor presente líquido do fluxo de caixa ao ser descontado pela TMA seja zero. Matematicamente: VP f(qMIN) = 0. A particularidade desta última alternativa é que a sua TIR corresponde à TMA da empresa.


104-167



Noutras palavras, o valor do fluxo da caixa relativo à alternativa que adote a quantidade mínima de produção e que viabilize financeiramente o projeto, quando descontado à TMA da empresa, é zero. E, nesta situação, tem-se: TIR≡TMA.

Para tanto, deve-se efetuar um corte no campo de viabilidade de um projeto na altura da TMA desejada. E, com os dados obtidos traçar um gráfico “quantidade versus valor presente”, em coordenadas cartesianas, mostrado na Fig.6.8.

6.3.2 – Domínio viável de produção.

No citado gráfico da Fig.6.8, devem ser lançadas, em ordenadas, as quantidades a serem produzidas e em abscissas, o valor presente líquido de cada alternativa desenvolvida, descontada à TMA previamente estabelecida.

O objetivo deste item é mostrar um procedimento derivado do método do valor presente líquido que permite mostrar o domínio das quantidades de produção financeiramente viáveis, estabelecida uma TMA. O primeiro passo do processo é dispor do diagrama de valor presente de uma alternativa de investimento considerando diversas quantidades a serem produzidas, conforme exposta na Fig. 6.7. Como segundo passo, traçar a curva que contemple o domínio das quantidades viáveis de produção, quando estabelecida uma TMA. Ver Fig. 6.8. VP f(qK)

Da análise da curva obtida depreende-se: a) O limite inferior da curva indica o limite de viabilidade corresponde à quantidade mínima viável de produção, qMIN, caso em que a TMA=TIR. b) O limite superior corresponde à quantidade máxima de produção, qMAX , correspondente à capacidade instalada, quantidade esta em que o projeto oferece o maior valor presente líquido. c) Se o projeto operar a uma capacidade de produção entre a máxima e a mínima, apresentará um valor presente líquido maior do que zero. Logo, este é o domínio viável de produção. 6.4 – Aplicação. Uma empresa está estudando a aquisição de um sistema destinado à confecção de perfis moldáveis.

qMIN

qprov

qMAX

qK

Fig. 6.8 – Limites de viabilidade para determinada TMA. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

O equipamento em questão produz perfis com 6,00 metros de comprimento sendo a capacidade instalada de produção prevista para 45 mil metros mensais. 105-167



Noutras palavras, o valor do fluxo da caixa relativo à alternativa que adote a quantidade mínima de produção e que viabilize financeiramente o projeto, quando descontado à TMA da empresa, é zero. E, nesta situação, tem-se: TIR≡TMA.

Para tanto, deve-se efetuar um corte no campo de viabilidade de um projeto na altura da TMA desejada. E, com os dados obtidos traçar um gráfico “quantidade versus valor presente”, em coordenadas cartesianas, mostrado na Fig.6.8.

6.3.2 – Domínio viável de produção.

No citado gráfico da Fig.6.8, devem ser lançadas, em ordenadas, as quantidades a serem produzidas e em abscissas, o valor presente líquido de cada alternativa desenvolvida, descontada à TMA previamente estabelecida.

O objetivo deste item é mostrar um procedimento derivado do método do valor presente líquido que permite mostrar o domínio das quantidades de produção financeiramente viáveis, estabelecida uma TMA.

Da análise da curva obtida depreende-se: a) O limite inferior da curva indica o limite de viabilidade corresponde à quantidade mínima viável de produção, qMIN, caso em que a TMA=TIR.

O primeiro passo do processo é dispor do diagrama de valor presente de uma alternativa de investimento considerando diversas quantidades a serem produzidas, conforme exposta na Fig. 6.7.

b) O limite superior corresponde à quantidade máxima de produção, qMAX , correspondente à capacidade instalada, quantidade esta em que o projeto oferece o maior valor presente líquido.

Como segundo passo, traçar a curva que contemple o domínio das quantidades viáveis de produção, quando estabelecida uma TMA. Ver Fig. 6.8.

c) Se o projeto operar a uma capacidade de produção entre a máxima e a mínima, apresentará um valor presente líquido maior do que zero. Logo, este é o domínio viável de produção.

VP f(qK)

6.4 – Aplicação. Uma empresa está estudando a aquisição de um sistema destinado à confecção de perfis moldáveis. qMIN

qprov

qMAX

qK

Fig. 6.8 – Limites de viabilidade para determinada TMA.

O equipamento em questão produz perfis com 6,00 metros de comprimento sendo a capacidade instalada de produção prevista para 45 mil metros mensais.


105-167


Dados disponíveis: Item Preço do sistema Vida útil (anos) Valor residual Comprimento da peça (m) Custo operacional (anual) Insumos (unidade) Preço de venda (unidade) Produção média Capacidade Máxima (unidades) Custo de oportunidade

Valor R$ 2.600.000,00 10 R$ 260.000,00 6 R$ 1.100.000,00 R$ 80,00 R$ 125,00 83,00% 45.000 14,00% ao ano

A vida média do equipamento em análise é de 10 anos e, vencido este período, poderá ser vendida a 10% do seu valor de aquisição. Como informação orçamentária, estima-se que ocorrerá um incremento no custo administrativo e de vendas da empresa na ordem de R$ 1,1 milhão por ano. O custo direto de produção orçado em R$ 80,00 por unidade produzida. E, o investimento em ativos imobilizados no valor de R$ 2.600.000,00. Um levantamento efetuado no segmento de mercado em pauta indicou que as empresas vêm operando, em média, com 83% da capacidade instalada. Porém, existe campo da expansão dado a inexistência de produção similar na região. E, que o preço de comercialização do produto é de R$ 125,00 por unidade.


Informações oriundas da contabilidade da empresa indicam que ela vem remunerando os seus ativos à taxa de 14% a.a. Dado o exposto solicita-se: a) A quantidade anual de produção, em metros, para que a aquisição seja viável; b) O fluxo de caixa propiciado pelo projeto; c) O maior e o mais provável acréscimo de riqueza propiciado pelo projeto; d) A elaboração de um diagrama lucro/produção; e) A confecção de um diagrama que mostre o campo de viabilidade do projeto. Considerando que se deseja conhecer a quantidade a ser produzida, denominou-se de q, a variável respectiva. Assim, o projeto será analisado sob três níveis possíveis de produção: produção mínima ou viável; produção máxima; e produção mais provável. a) Produção viável: A quantidade mínima de produção que permita tornar viável o projeto, quando descontado à TMA da empresa, é aquele que zera a função valor presente líquido a ele associado. Nesta situação, o VP f(qMIN) = 0. −

2.600.000 + (125q − 80 q ) ⋅ FVP (10;14% ) − 1.100.000 ⋅ FVP (10;14% ) +

q = 35.222 peças O comprimento total dos tubos a serem produzidos é dado por: L = 6 × q = 211.332 metros/ano.


260.000 (1 + 0,14 )10

106-167

=

0


Dados disponíveis: Item Preço do sistema Vida útil (anos) Valor residual Comprimento da peça (m) Custo operacional (anual) Insumos (unidade) Preço de venda (unidade) Produção média Capacidade Máxima (unidades) Custo de oportunidade

Valor R$ 2.600.000,00 10 R$ 260.000,00 6 R$ 1.100.000,00 R$ 80,00 R$ 125,00 83,00% 45.000 14,00% ao ano

A vida média do equipamento em análise é de 10 anos e, vencido este período, poderá ser vendida a 10% do seu valor de aquisição. Como informação orçamentária, estima-se que ocorrerá um incremento no custo administrativo e de vendas da empresa na ordem de R$ 1,1 milhão por ano. O custo direto de produção orçado em R$ 80,00 por unidade produzida. E, o investimento em ativos imobilizados no valor de R$ 2.600.000,00. Um levantamento efetuado no segmento de mercado em pauta indicou que as empresas vêm operando, em média, com 83% da capacidade instalada. Porém, existe campo da expansão dado a inexistência de produção similar na região. E, que o preço de comercialização do produto é de R$ 125,00 por unidade.


Informações oriundas da contabilidade da empresa indicam que ela vem remunerando os seus ativos à taxa de 14% a.a. Dado o exposto solicita-se: a) A quantidade anual de produção, em metros, para que a aquisição seja viável; b) O fluxo de caixa propiciado pelo projeto; c) O maior e o mais provável acréscimo de riqueza propiciado pelo projeto; d) A elaboração de um diagrama lucro/produção; e) A confecção de um diagrama que mostre o campo de viabilidade do projeto. Considerando que se deseja conhecer a quantidade a ser produzida, denominou-se de q, a variável respectiva. Assim, o projeto será analisado sob três níveis possíveis de produção: produção mínima ou viável; produção máxima; e produção mais provável. a) Produção viável: A quantidade mínima de produção que permita tornar viável o projeto, quando descontado à TMA da empresa, é aquele que zera a função valor presente líquido a ele associado. Nesta situação, o VP f(qMIN) = 0. −

2.600.000 + (125q − 80 q ) ⋅ FVP (10;14% ) − 1.100.000 ⋅ FVP (10;14% ) +

260.000 (1 + 0,14 )10

=

q = 35.222 peças O comprimento total dos tubos a serem produzidos é dado por: L = 6 × q = 211.332 metros/ano.


106-167



VPMAX = 2.295.040,36 R$ b) Fluxo de Caixa do Projeto:

d) Mais provável acréscimo de riqueza: Esta situação ocorre em sendo possível produzir uma quantidade equivalente à capacidade esperada de produção durante o tempo de vida do projeto. Ou seja, 83% da capacidade instalada. Quantidade Esperada = 45.000 × 0,83 = 37.350.

(125 − 80 ) ⋅ 45 .000 ⋅ 0,83 ⋅ FVP (10;14 %) 260 .000 − 1 .100 .000 ⋅ FVP (10;14 % ) + (1 + 0,14 )10 VPMP

= −2.600 .000 +

VPMP = 499.392,55 R$ e) Campo de Viabilidade do Projeto. Fig. 6.9 – Fluxo de Caixa do Sistema de Perfis

c) Máximo acréscimo de riqueza: A máxima produção de riqueza ocorre sendo possível produzir uma quantidade igual à capacidade instalada, durante todo o tempo de vida do projeto. A expressão abaixo exprime, algebricamente, o exposto no desenho da Fig.6.9.

VPMAX

= − 2 . 600 . 000 +

(125

−

− 1 . 100 . 000 ⋅ FVP (10;14 % ) +


80 ) ⋅ 45 .000 ⋅ FVP (10;14 % ) 260 .000 (1 + 0,14 )10

O diagrama de valor presente a seguir, Fig.6.10, mostra campo de viabilidade do projeto, com o desenvolvimento de cada alternativa de produção: em capacidade mínima de produção, quando a maior taxa de retorno corresponde à TMA; a capacidade mais provável; e a capacidade máxima, quando ocorre a utilização da capacidade instalada durante toda a vida do projeto. Considerando as curvas de máxima e mínima quantidade de produção mostradas na Fig.6.10 e, traçando uma reta perpendicular à taxa de 14%, se obtêm o campo de variação dos valores presentes das possíveis quantidades viáveis de produção. 107-167

0



VPMAX = 2.295.040,36 R$ b) Fluxo de Caixa do Projeto:

d) Mais provável acréscimo de riqueza: Esta situação ocorre em sendo possível produzir uma quantidade equivalente à capacidade esperada de produção durante o tempo de vida do projeto. Ou seja, 83% da capacidade instalada. Quantidade Esperada = 45.000 × 0,83 = 37.350.

(125 − 80 ) ⋅ 45 .000 ⋅ 0,83 ⋅ FVP (10;14 %) 260 .000 − 1 .100 .000 ⋅ FVP (10;14 % ) + (1 + 0,14 )10 VPMP

= −2.600 .000 +

VPMP = 499.392,55 R$ e) Campo de Viabilidade do Projeto. Fig. 6.9 – Fluxo de Caixa do Sistema de Perfis

c) Máximo acréscimo de riqueza: A máxima produção de riqueza ocorre sendo possível produzir uma quantidade igual à capacidade instalada, durante todo o tempo de vida do projeto. A expressão abaixo exprime, algebricamente, o exposto no desenho da Fig.6.9.

VPMAX

= − 2 . 600 . 000 +

(125

−

− 1 . 100 . 000 ⋅ FVP (10;14 % ) +

80 ) ⋅ 45 .000 ⋅ FVP (10;14 % ) 260 .000 (1 + 0,14 )10

O diagrama de valor presente a seguir, Fig.6.10, mostra campo de viabilidade do projeto, com o desenvolvimento de cada alternativa de produção: em capacidade mínima de produção, quando a maior taxa de retorno corresponde à TMA; a capacidade mais provável; e a capacidade máxima, quando ocorre a utilização da capacidade instalada durante toda a vida do projeto. Considerando as curvas de máxima e mínima quantidade de produção mostradas na Fig.6.10 e, traçando uma reta perpendicular à taxa de 14%, se obtêm o campo de variação dos valores presentes das possíveis quantidades viáveis de produção.


107-167


.

Campo de Viabilidade Q. Máx

Q. Méd

Q. Mín

R$ 6.000.000,00 R$ 5.000.000,00


O diagrama da Fig.6.11, derivado do diagrama da Fig. 6.10, relaciona as quantidades de produção viáveis e os respectivos valores presentes líquidos considerando uma mesma TMA. Ele exprime todo o conjunto de quantidades variando de um limite qMIN= 35.222,44 unidades e um limite superior qMAX = 45.000 unidades se mostram viáveis considerando a TMA de 14,00% ao ano. Implantado o projeto e as quantidades produzidas e vendidas oscilando entre o valor mínimo e máximo citados, a empresa tem garantida a ocorrência de um positivo incremento de riqueza.

R$ 4.000.000,00 R$ 3.000.000,00 R$ 2.000.000,00

2.500.

R$ 1.000.000,00 R$ 0,00

2.000

-R$ 1.000.000,00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 , , 2 0 , 5 , 8 0 , 1 , 4 0 , 7 , 0 0 , 1 1 2 2 2 3 -R$ 2.000.000,00 3 6 9 1

Fig.6.10 – Campo de Viabilidade do Projeto

f) Diagrama Lucro Produção Dados de Produção Produção – em peças 35.222 37.350 45.000


³ 0 1 $ R e t n e s e r P r o l a V

1.500 1.000 500. 0,00 35.222,44

37.350,00

45.000

Fig.6.11 - Quantidade de Produção x Valor Presente Lucro VPL – R$ 0,00 499.392,55 2.295.040,36

108-167


.

Campo de Viabilidade Q. Máx

Q. Méd

Q. Mín

R$ 6.000.000,00 R$ 5.000.000,00


O diagrama da Fig.6.11, derivado do diagrama da Fig. 6.10, relaciona as quantidades de produção viáveis e os respectivos valores presentes líquidos considerando uma mesma TMA. Ele exprime todo o conjunto de quantidades variando de um limite qMIN= 35.222,44 unidades e um limite superior qMAX = 45.000 unidades se mostram viáveis considerando a TMA de 14,00% ao ano. Implantado o projeto e as quantidades produzidas e vendidas oscilando entre o valor mínimo e máximo citados, a empresa tem garantida a ocorrência de um positivo incremento de riqueza.

R$ 4.000.000,00 R$ 3.000.000,00 R$ 2.000.000,00

2.500.

R$ 1.000.000,00 R$ 0,00

2.000 ³ 0 1 $ R e t n e s e r P r o l a V

-R$ 1.000.000,00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 6 0 , 9 , 2 0 , 5 , 8 0 , 1 , 4 0 , 7 , 0 0 , 3 1 1 1 2 2 2 3 -R$ 2.000.000,00

Fig.6.10 – Campo de Viabilidade do Projeto

f) Diagrama Lucro Produção Dados de Produção Produção – em peças 35.222 37.350 45.000

1.500 1.000 500. 0,00 35.222,44

37.350,00

45.000

Fig.6.11 - Quantidade de Produção x Valor Presente Lucro VPL – R$ 0,00 499.392,55 2.295.040,36


108-167


6.5 - Equalização de tempos de projetos.


aplicação quando a equalização dos horizonte dos projetos se mostram muito grantes, ou seja, muitos distantes da data atual.

Como já comentado, para se comparar alternativas de investimentos com vidas úteis distintas, há que se adotar artifício que iguale os horizontes de projeto de todas as alternativas.

Projeto A FA(0) FA(1)

FA(2)

1

2

FA(3)

FA(n)

O objetivo do artifício é suprir a lacuna de informações existentes quanto a possíveis fluxos de caixa entre os finais das alternativas, de modo lógico. Ver Fig. 6.12. Ao serem analisados investimentos mutuamente exclusivos, três situações podem ocorrer, sendo distintas as premissas propostas para igualar os tempos de projeto: • • •

Caso de re-investimento em ativos semelhantes; Caso de rigidez das alternativas; Caso de outras oportunidades futuras.

0

..........

3

n

Projeto B FB(0) FB(1)

FB(2)

1

2

FB(3)

FB(n)

FB(z)

6.5.1 – Re-investimento em ativos semelhantes. Neste caso ocorre o pressuposto da continuidade de vida ou produção do ativo em análise. Isto é, findo o período de vida do ativo, a firma reinvestira em outro ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado. O horizonte de planejamento será, então, o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas em comparação. A metodologia a ser utilizada no caso de re-investimento em ativos semelhantes será discutida no Capítulo 8 – Valor Uniforme Equivalente, que mostra um método de fácil MatemFinanceira~AULAS~abril2010

0

3

. . . . ........

z-1

...

z

Fig. 6.12 – Alternativas com vidas úteis distintas.

6.5.2 – Caso de Rigidez das Alternativas. É considerado haver rigidez na continuidade de alternativas de investimentos quando não há previsão de 109-167


6.5 - Equalização de tempos de projetos.


aplicação quando a equalização dos horizonte dos projetos se mostram muito grantes, ou seja, muitos distantes da data atual.

Como já comentado, para se comparar alternativas de investimentos com vidas úteis distintas, há que se adotar artifício que iguale os horizontes de projeto de todas as alternativas.

Projeto A FA(0) FA(1)

FA(2)

1

2

FA(3)

FA(n)

O objetivo do artifício é suprir a lacuna de informações existentes quanto a possíveis fluxos de caixa entre os finais das alternativas, de modo lógico. Ver Fig. 6.12. Ao serem analisados investimentos mutuamente exclusivos, três situações podem ocorrer, sendo distintas as premissas propostas para igualar os tempos de projeto: • • •

Caso de re-investimento em ativos semelhantes; Caso de rigidez das alternativas; Caso de outras oportunidades futuras.

0

..........

3

n

Projeto B FB(0) FB(1)

FB(2)

1

2

FB(3)

FB(n)

FB(z)

6.5.1 – Re-investimento em ativos semelhantes. Neste caso ocorre o pressuposto da continuidade de vida ou produção do ativo em análise. Isto é, findo o período de vida do ativo, a firma reinvestira em outro ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado. O horizonte de planejamento será, então, o mínimo múltiplo comum das vidas das alternativas em comparação. A metodologia a ser utilizada no caso de re-investimento em ativos semelhantes será discutida no Capítulo 8 – Valor Uniforme Equivalente, que mostra um método de fácil

0

3

. . . . ........

Como o princípio a ser mantido é o de aumento de riqueza do proprietário, a equalização dos tempos de vida das alternativas em análise é feita considerando que, ao fim da vida útil de cada ativo, a firma reinvestirá os lucros oriundos do projeto que apresentar a menor duração. Estes lucros serão aplicados em ativos que rendam tanto quanto o valor da moeda no tempo até alcançar o período do projeto de maior duração.

É considerado haver rigidez na continuidade de alternativas de investimentos quando não há previsão de 109-167


j

VF = Pj (1+i ) , variando j de 1 até “n” e sendo “i” a taxa de retorno adotada para o projeto. E, Pt = (1+ i) (t-n) Nestes casos duração de projetos com prazos rigidamente determinados, o processo de decisão deve ser efetuado através do método do valor presente, utilizando o artifício proposto.

n-2

n-1

n

O diagrama exposto na Fig. 6.13, mostra um modelo de diagrama de fluxo de caixa recomendado para o caso em análise.

P(n-2)

P(n-1)

Pn

Nesta situação, VF equivale à reaplicação dos lucros obtidos com o projeto, equivalente ao Valor Futuro dos lucros do projeto de menor duração no momento “n”, momento em que ocorre o fim de utilização deste projeto.

n-2

E, Pt, o valor do fluxo de caixa atribuído ao projeto de menor duração no momento “t”, momento este coincidente com o término do projeto de maior duração.

z

6.5.2 – Caso de Rigidez das Alternativas.


Os exemplos clássicos desta situação são os investimentos em minas ou em poços de petróleo, quando esgotada a jazida os respectivos equipamentos de exploração ficam impossibilitados de serem removidos ou reaproveitados.

...

Fig. 6.12 – Alternativas com vidas úteis distintas.


manutenção na continuidade de um projeto ou na impossibilidade de manutenção em operação do ativo em análise, pois não há sentido ou possibilidade técnica em continuar a exploração do ativo.

z-1

n-1

n

t-1

t

Pt

Período a Considerar

t

VF Fig6.13 – Rigidez de Alternativas

Então: Alerta-se que, neste caso, não cabe a utilização do método do Benefício Anual Equivalente, pois o mesmo MatemFinanceira~AULAS~abril2010

110-167


manutenção na continuidade de um projeto ou na impossibilidade de manutenção em operação do ativo em análise, pois não há sentido ou possibilidade técnica em continuar a exploração do ativo. Os exemplos clássicos desta situação são os investimentos em minas ou em poços de petróleo, quando esgotada a jazida os respectivos equipamentos de exploração ficam impossibilitados de serem removidos ou reaproveitados.


j

VF = Pj (1+i ) , variando j de 1 até “n” e sendo “i” a taxa de retorno adotada para o projeto. E, Pt = (1+ i) (t-n) Nestes casos duração de projetos com prazos rigidamente determinados, o processo de decisão deve ser efetuado através do método do valor presente, utilizando o artifício proposto.

Como o princípio a ser mantido é o de aumento de riqueza do proprietário, a equalização dos tempos de vida das alternativas em análise é feita considerando que, ao fim da vida útil de cada ativo, a firma reinvestirá os lucros oriundos do projeto que apresentar a menor duração. Estes lucros serão aplicados em ativos que rendam tanto quanto o valor da moeda no tempo até alcançar o período do projeto de maior duração.

n-2

n-1

n

O diagrama exposto na Fig. 6.13, mostra um modelo de diagrama de fluxo de caixa recomendado para o caso em análise.

P(n-2)

P(n-1)

Pn

Nesta situação, VF equivale à reaplicação dos lucros obtidos com o projeto, equivalente ao Valor Futuro dos lucros do projeto de menor duração no momento “n”, momento em que ocorre o fim de utilização deste projeto.

n-2

n-1

n

t-1

t

Pt

Período a Considerar

t

VF

E, Pt, o valor do fluxo de caixa atribuído ao projeto de menor duração no momento “t”, momento este coincidente com o término do projeto de maior duração.

Fig6.13 – Rigidez de Alternativas

Então: Alerta-se que, neste caso, não cabe a utilização do método do Benefício Anual Equivalente, pois o mesmo MatemFinanceira~AULAS~abril2010

110-167



pressupõe a repetição dos projetos, fato que é obstado pela própria caracterização dos projetos em pauta.

6.6 – Exercícios.

6.5.3 – Caso de Outras Oportunidades.

a) Considerando as seguintes propostas de investimentos: Qual a mais interessante? Adotar uma taxa de Descontos de 7% ao período.

Neste caso, finda a vida do ativo ou o interesse em sua exploração, a firma tem interesse de considerar outras oportunidades de investimento disponíveis no futuro, tais como a mudança de sistema de produção, o lançamento de novos produtos ou mesmo a mudança de ramo.

Proposta A R$ 500,00 R$ 250,00

Ao analista de investimentos, nestes casos, recomendase criatividade e lógica ao utilizar a metodologia disponível. Esta recomendação visa alertar quanto à possibilidade do processo de decisão transcender a área da Análise de Investimentos e haver necessidade ou possibilidade, para maior sofisticação e confiabilidade do processo decisório, do uso de algum processo de otimização.

1

2

3

4

Período

R$ 1.000 R$ 330,00

Pro osta B

Assim sendo, recomendamos consultar a bibliografia que trata especificamente do assunto, pois foge ao escopo deste curso.

R$ 380,00 1

2

3

4

R$ 1.200

b) José da Silva pensa alugar uma loja por R$ 24.000,00 mensais. Porém, fazendo alguns melhoramentos no prédio poderá alugar por R$ 31.000,00. Um orçamento de reforma apresentou um valor de R$ 600 mil. Sendo sua taxa de atratividade mínima de 1,2% a.m., pergunta-se: seria financeiramente interessante a execução dos melhoramentos? MatemFinanceira~AULAS~abril2010

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pressupõe a repetição dos projetos, fato que é obstado pela própria caracterização dos projetos em pauta.

6.6 – Exercícios.

6.5.3 – Caso de Outras Oportunidades.

a) Considerando as seguintes propostas de investimentos: Qual a mais interessante? Adotar uma taxa de Descontos de 7% ao período.

Neste caso, finda a vida do ativo ou o interesse em sua exploração, a firma tem interesse de considerar outras oportunidades de investimento disponíveis no futuro, tais como a mudança de sistema de produção, o lançamento de novos produtos ou mesmo a mudança de ramo.

Proposta A R$ 500,00 R$ 250,00

Ao analista de investimentos, nestes casos, recomendase criatividade e lógica ao utilizar a metodologia disponível. Esta recomendação visa alertar quanto à possibilidade do processo de decisão transcender a área da Análise de Investimentos e haver necessidade ou possibilidade, para maior sofisticação e confiabilidade do processo decisório, do uso de algum processo de otimização.

1

2

3

4

Período

R$ 1.000 R$ 330,00

Pro osta B

Assim sendo, recomendamos consultar a bibliografia que trata especificamente do assunto, pois foge ao escopo deste curso.

R$ 380,00 1

2

3

4

R$ 1.200

b) José da Silva pensa alugar uma loja por R$ 24.000,00 mensais. Porém, fazendo alguns melhoramentos no prédio poderá alugar por R$ 31.000,00. Um orçamento de reforma apresentou um valor de R$ 600 mil. Sendo sua taxa de atratividade mínima de 1,2% a.m., pergunta-se: seria financeiramente interessante a execução dos melhoramentos? MatemFinanceira~AULAS~abril2010

111-167



Solicita-se efetuar o processo de decisão utilizando o método do Valor Presente. g) O executivo chefe de uma empresa distribuidora de concreto usinado esta analisando a modernização de uma das suas unidades. Essa unidade vem apresentando uma queda de produtividade. Devido à idade dos equipamentos, apresentam paralisações constantes e uma crescente evolução dos custos com manutenção. Para tanto, dois novos processos de fabricação foram considerados e que propiciam níveis de faturamento semelhantes. Sendo a taxa de oportunidade praticada pela empresa de 15% ao ano, deseja saber qual das alternativas é a melhor!



Verificar se praticada a taxa de desconto 14,6439%, o projeto pode ser aprovado; Fluxo de caixa Fo F1 F2 F3 F4 F5 F6

Equipamentos Custo Operacional Anual Custo de Manutenção Anual Valor Residual do Projeto Vida Estimada em anos

Processo Alfa R$ 50.000,00 13.000,00 2.000,00 25.000,00 10

Processo Beta R$ 30.000,00 18.800,00 1.300,00 16.000,00 10

h) Dado o fluxo de caixa representativo de um projeto, solicitase: 

Demonstrar que, se praticada a taxa de desconto de 12% o projeto pode ser viável;


Situação Investimento inicial Investimento no 1º período Fluxo de caixa líquido idem idem idem idem

i) Deseja-se saber qual o mínimo valor residual de um equipamento usado, para que possa ser dado como entrada na aquisição de um similar, porém novo e que, financeiramente, o processo comercial seja viável. Para tanto, dispõem-se das seguintes informações: • •

Investimento

Valor R$ - 255,00 - 95,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00

• •

Custo de capital da empresa: 15% ao ano; Vida útil do equipamento: 5 anos; Receitas anuais líquidas: 7,00 mil reais; Preço do equipamento novo: 30,00 mil reais.

j) Você como diretor técnico de uma empresa de engenharia deve decidir entre dois diâmetros de uma adutora necessária à implantação de uma pública; Com base nos dados apresentados no quadro a seguir, solicita-se: - O monte o fluxo de caixa dos empreendimentos; - O calculo do Valor Presente (VP) de cada alternativa; - Decidir qual a alternativa a ser selecionada. 113-167



Solicita-se efetuar o processo de decisão utilizando o método do Valor Presente. g) O executivo chefe de uma empresa distribuidora de concreto usinado esta analisando a modernização de uma das suas unidades. Essa unidade vem apresentando uma queda de produtividade. Devido à idade dos equipamentos, apresentam paralisações constantes e uma crescente evolução dos custos com manutenção. Para tanto, dois novos processos de fabricação foram considerados e que propiciam níveis de faturamento semelhantes. Sendo a taxa de oportunidade praticada pela empresa de 15% ao ano, deseja saber qual das alternativas é a melhor!



Verificar se praticada a taxa de desconto 14,6439%, o projeto pode ser aprovado; Fluxo de caixa Fo F1 F2 F3 F4 F5 F6

Equipamentos Custo Operacional Anual Custo de Manutenção Anual Valor Residual do Projeto Vida Estimada em anos

Processo Alfa R$ 50.000,00 13.000,00 2.000,00 25.000,00 10

Processo Beta R$ 30.000,00 18.800,00 1.300,00 16.000,00 10

h) Dado o fluxo de caixa representativo de um projeto, solicitase: 

Demonstrar que, se praticada a taxa de desconto de 12% o projeto pode ser viável;


Situação Investimento inicial Investimento no 1º período Fluxo de caixa líquido idem idem idem idem

i) Deseja-se saber qual o mínimo valor residual de um equipamento usado, para que possa ser dado como entrada na aquisição de um similar, porém novo e que, financeiramente, o processo comercial seja viável. Para tanto, dispõem-se das seguintes informações: • •

Investimento

Valor R$ - 255,00 - 95,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00

• •

Custo de capital da empresa: 15% ao ano; Vida útil do equipamento: 5 anos; Receitas anuais líquidas: 7,00 mil reais; Preço do equipamento novo: 30,00 mil reais.

j) Você como diretor técnico de uma empresa de engenharia deve decidir entre dois diâmetros de uma adutora necessária à implantação de uma pública; Com base nos dados apresentados no quadro a seguir, solicita-se: - O monte o fluxo de caixa dos empreendimentos; - O calculo do Valor Presente (VP) de cada alternativa; - Decidir qual a alternativa a ser selecionada. 113-167


1) Investimento em Imobilizado 1.1 - Terrenos 1.2 - Edificações 1.3 - Estoques 1.4 - Equipamentos

R$ 100.000,00 120.000,00 75.800,00 240.000,00


Condições

Juros de 8% ao ano. Financiamento em seis anos com dois de carência. Prestações constantes.

2) Custos Operacionais 2.1 – Matérias Primas 2.2 – Mão de Obra Direta 2.3 – Vendas – Adm. Central – Custos Indiretos 2.4 – Eletricidade 2.5 - Embalagens

3) Informações Gerenciais 3.1 – Taxa Mínima de Atratividade 3.2 – Tempo de vida do produto 3.3 – Preço de venda mínimo/médio 3.4 – Impostos sobre a Renda 3.5 – Depreciação da Edificação 3.6 – Depreciação dos Equipamentos 3.7 – Impostos incidentes sobre o faturamento

próprio da empresa, vem sofrendo uma valorização real de 5% ao ano. 4.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da projetada para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. 4.4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos daqueles em estudo informam que seu valor comercial decresce a taxa de 7,5% ao ano. 4.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa de 30% ao ano.

R$ 3.500,00/ unidade 10.500,00/ mês 23.000,00/ mês 3.950,00/ mês 90,00/ unidade

Dados 1,1714917 % am 10 anos 6.380,00 R$/unidade 15,00 % 20 anos 5 anos 10,50 %

4) Informações Estratégicas & Comerciais 4.1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após a vida do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades industriais. 4.2 – Terrenos situados na área industrial, onde esta localizado o MatemFinanceira~AULAS~abril2010

118-167


1) Investimento em Imobilizado 1.1 - Terrenos 1.2 - Edificações 1.3 - Estoques 1.4 - Equipamentos

R$ 100.000,00 120.000,00 75.800,00 240.000,00


Condições

Juros de 8% ao ano. Financiamento em seis anos com dois de carência. Prestações constantes.

2) Custos Operacionais 2.1 – Matérias Primas 2.2 – Mão de Obra Direta 2.3 – Vendas – Adm. Central – Custos Indiretos 2.4 – Eletricidade 2.5 - Embalagens

3) Informações Gerenciais 3.1 – Taxa Mínima de Atratividade 3.2 – Tempo de vida do produto 3.3 – Preço de venda mínimo/médio 3.4 – Impostos sobre a Renda 3.5 – Depreciação da Edificação 3.6 – Depreciação dos Equipamentos 3.7 – Impostos incidentes sobre o faturamento

próprio da empresa, vem sofrendo uma valorização real de 5% ao ano. 4.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da projetada para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. 4.4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos daqueles em estudo informam que seu valor comercial decresce a taxa de 7,5% ao ano. 4.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à taxa de 30% ao ano.

R$ 3.500,00/ unidade 10.500,00/ mês 23.000,00/ mês 3.950,00/ mês 90,00/ unidade

Dados 1,1714917 % am 10 anos 6.380,00 R$/unidade 15,00 % 20 anos 5 anos 10,50 %

4) Informações Estratégicas & Comerciais 4.1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após a vida do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades industriais. 4.2 – Terrenos situados na área industrial, onde esta localizado o MatemFinanceira~AULAS~abril2010

118-167


presentes de seus fluxos de caixa segundo o quadro a seguir, visando à facilidade de entendimento do leitor. Alerta-se que alguns autores efetuam o somatório dos fluxos de caixa desconsiderando o valor da moeda no tempo. Este autor, porém, entende que deva ser considerado o valor da moeda no tempo pois, em assim sendo, reduz-se a influência dos fluxos de caixa futuros que possam apresentar valores sensivelmente superiores aos iniciais e, também, maior risco em sua realização. No exercício da Tab.7.1, nas colunas discriminadas como Valor Presente dos Fluxos de Caixa, o valor aposto já expressa o valor presente de cada fluxo de caixa relativo ao período especificado, ambos descontados à mesma TMA. As colunas denominadas “Fluxo Acumulado”, indicam o somatório acumulado dos dados indicados nas colunas “Valor Presente – Fluxo de Caixa”. No caso em pauta, em ambos os projetos há a previsão ocorrer o investimento de idêntica quantia, bem como os dois projetos oferecem o mesmo VPL, R$ 220,00.


Projeto A Projeto B Valor Valor Fluxo Fluxo Presente Presente Acumulado Acumulado Fluxo de Fluxo de $ $ Caixa Caixa 0 -180,00 -180,00 -180,00 -180,00 1 -40,00 -220,00 -40,00 -220,00 2 +45,00 -175,00 +30,00 -190,00 3 +56,00 -119,00 +30,00 -160,00 4 +84,00 +40,00 -120,00 -35,00 ⇐ 5 +84,00 49,00 +40,00 -80,00 6 +60,00 109,00 +80,00 0,00 ⇐ 7 +40,00 149,00 80,00 80,00 8 +21,00 170,00 70,00 150,00 9 +20,00 190,00 50,00 200,00 10 +20,00 210,00 20,00 220,00 VPL(A) 220,00 VPL(B) 220,00 Tab.7.1 – Recuperação de Capital o d o í r e P

Pelo exposto, fica demonstrado que o método do MRC adotado em complementação ao do VPL permite atender à exigibilidade do retorno do capital inicial.

Adotando como critério de decisão o MRC, o projeto a ser escolhido deverá ser o “A”, dado apresentar um retorno de do capital inicialmente investido durante o 5º período, em comparação com o projeto “B” cujo retorno acontecerá no 7º período. Sendo realizado o Projeto - A, o investidor disporá do capital investido dois períodos antes do que se adotar o Projeto – B. O ultimo fluxo acumulado indica o valor presente líquido dos dois projetos que monta a $220,00, e apresentam o mesmo valor. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

120-167


presentes de seus fluxos de caixa segundo o quadro a seguir, visando à facilidade de entendimento do leitor. Alerta-se que alguns autores efetuam o somatório dos fluxos de caixa desconsiderando o valor da moeda no tempo. Este autor, porém, entende que deva ser considerado o valor da moeda no tempo pois, em assim sendo, reduz-se a influência dos fluxos de caixa futuros que possam apresentar valores sensivelmente superiores aos iniciais e, também, maior risco em sua realização. No exercício da Tab.7.1, nas colunas discriminadas como Valor Presente dos Fluxos de Caixa, o valor aposto já expressa o valor presente de cada fluxo de caixa relativo ao período especificado, ambos descontados à mesma TMA. As colunas denominadas “Fluxo Acumulado”, indicam o somatório acumulado dos dados indicados nas colunas “Valor Presente – Fluxo de Caixa”. No caso em pauta, em ambos os projetos há a previsão ocorrer o investimento de idêntica quantia, bem como os dois projetos oferecem o mesmo VPL, R$ 220,00.


Projeto A Projeto B Valor Valor Fluxo Fluxo Presente Presente Acumulado Acumulado Fluxo de Fluxo de $ $ Caixa Caixa 0 -180,00 -180,00 -180,00 -180,00 1 -40,00 -220,00 -40,00 -220,00 2 +45,00 -175,00 +30,00 -190,00 3 +56,00 -119,00 +30,00 -160,00 4 +84,00 +40,00 -120,00 -35,00 ⇐ 5 +84,00 49,00 +40,00 -80,00 6 +60,00 109,00 +80,00 0,00 ⇐ 7 +40,00 149,00 80,00 80,00 8 +21,00 170,00 70,00 150,00 9 +20,00 190,00 50,00 200,00 10 +20,00 210,00 20,00 220,00 VPL(A) 220,00 VPL(B) 220,00 Tab.7.1 – Recuperação de Capital o d o í r e P

Pelo exposto, fica demonstrado que o método do MRC adotado em complementação ao do VPL permite atender à exigibilidade do retorno do capital inicial.

Adotando como critério de decisão o MRC, o projeto a ser escolhido deverá ser o “A”, dado apresentar um retorno de do capital inicialmente investido durante o 5º período, em comparação com o projeto “B” cujo retorno acontecerá no 7º período. Sendo realizado o Projeto - A, o investidor disporá do capital investido dois períodos antes do que se adotar o Projeto – B. O ultimo fluxo acumulado indica o valor presente líquido dos dois projetos que monta a $220,00, e apresentam o mesmo valor. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

120-167


No caso de estar em pauta uma análise de custos, sendo o CAE (X1) > CAE (X2), então será considerada como alternativa mais interessante a X2, dado que os custos praticados são menores que a de X1, desde que reconhecida a repetitividade do projeto.


Fig. 8.1, composto por uma série de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, S 1, e, também, outros dois fluxos representados por pagamentos únicos, P2 e P3. FC(P)

Σ

P3 S1

8.3 – Metodologia. A metodologia para determinar o valor da série uniforme equivalente, tanto em termos de BAE como de CAE, segue os seguintes procedimentos: 1º Passo: Elaborar o conjunto de fluxos de caixa do projeto;

1

3º Passo: Calcular ao valor valor da série periódica periódica equivalente. VUE(p) = VP(p) × FRC(n¬i%) Ou, em termos de variáveis características da série:

VUE ( p ) = VP ( p ) ×

i × (1 + i) n (1 + i ) n − 1

Como exemplo de aplicação, seja o projeto representado pelo seu fluxo de caixa, conforme expresso na MatemFinanceira~AULAS~abril2010

4

5

6

período

Valor Presente≡ ΣFC(P)

2º Passo: Calcular o respectivo valor presente líquido;

F1 F2 F3 Fn + + +L+ 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

3

F0

Fk =Σ Rec (p)K - Σ Desp (p)K – I (p)K + VR(k)

VP(p) = Fo +

2

P2

Beneficio Beneficio Anual Anual E uivalente uivalente

1

6

Fig. 8.1 – Metodologia Metodologia da serie uniforme equivalente

Neste caso a série anual equivalente será expressa em termos de BAE, pois dispõe, predominantemente, de entradas de caixa. 1º Passo – Levar todos os fluxos de caixa a valor presente; VP(p) = −FO + S1 × FVP(3; i%) +

P2 P3 + 4 (1 + i) (1 + i)6

123-167

t


No caso de estar em pauta uma análise de custos, sendo o CAE (X1) > CAE (X2), então será considerada como alternativa mais interessante a X2, dado que os custos praticados são menores que a de X1, desde que reconhecida a repetitividade do projeto.


Fig. 8.1, composto por uma série de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, S 1, e, também, outros dois fluxos representados por pagamentos únicos, P2 e P3. FC(P)

Σ

P3 S1

8.3 – Metodologia. A metodologia para determinar o valor da série uniforme equivalente, tanto em termos de BAE como de CAE, segue os seguintes procedimentos: 1º Passo: Elaborar o conjunto de fluxos de caixa do projeto;

1

2

VUE ( p ) =

Fig. 8.1 – Metodologia Metodologia da serie uniforme equivalente

Neste caso a série anual equivalente será expressa em termos de BAE, pois dispõe, predominantemente, de entradas de caixa. 1º Passo – Levar todos os fluxos de caixa a valor presente; VP(p) = −FO + S1 × FVP(3; i%) +



VP(p) = Σ { - F0 + VP(S1)+ VP(P2) + VP(P3)} 3º Passo – calcular o valor da serie uniforme equivalente, postecipada, relativa ao valor presente calculado no passo anterior. BAE(p) = VP(p) × FRC(6¬i%) = M R$/período. 8.4 - Exemplo. Uma empresa está estudando a produção de um novo produto com possibilidade de vir a ser industrializado através dois processos alternativos cujas características estão especificadas abaixo. Os equipamentos a serem utilizados são previstos para serem repostos periodicamente, dado o desgaste contínuo e o alto valor do custo de manutenção e operação. Considerando o custo de capital da firma de 7% a.a., calcular os custos anuais equivalentes.


1º passo: define-se o diagrama de fluxo de caixa de cada processo; 2º passo: calcula-se a série uniforme equivalente ao fluxo de caixa inicial; 3º passo: calcula-se o valor presente de cada fluxo de caixa; 4º passo: calcula-se a série anual equivalente associada à soma dos valores presentes dos fluxos de caixa definidos no passo anterior. Neste caso, o resultado do processo se dará em termos de Benefício Anual Equivalente, já que estão em consideração entradas e saídas de caixa associadas a cada processo. 5º passo: a decisão, então, elegerá o processo que apresentar o maior benefício anual equivalente. Resolução do problema: I – Processo A a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo A. Para este processo o diagrama de fluxo de caixa foi montado lançando, diretamente na escala de tempo, as entradas e saídas de caixa previstas. -65000

PROCESSO B 130.000,00 30.000,00 50.000,00 Variável Ver diagrama 6 anos

Procedimentos para a resolução do problema: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

P2 P3 + 4 (1 + i) (1 + i)6

123-167

2º Passo – efetuar o somatório dos valores presentes de todos os fluxos de caixa;

PROCESSO A R$ 65.000,00 0,00 R$ 50.000,00 Fixo R$ 30.000,00 4 anos

período

6

Como exemplo de aplicação, seja o projeto representado pelo seu fluxo de caixa, conforme expresso na

item Investimento Inicial Valor Residual Retorno Anual Custo anual de Operação Vida útil:

6

1

3º Passo: Calcular ao valor valor da série periódica periódica equivalente.

i × (1 + i) n VP ( p ) × (1 + i ) n − 1

5

Beneficio Beneficio Anual Anual E uivalente uivalente

F1 F2 F3 Fn + + +L+ 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

Ou, em termos de variáveis características da série:

4

Valor Presente≡ ΣFC(P)

2º Passo: Calcular o respectivo valor presente líquido;

VUE(p) = VP(p) × FRC(n¬i%)

3

F0

Fk =Σ Rec (p)K - Σ Desp (p)K – I (p)K + VR(k)

VP(p) = Fo +

P2

50.000 -30.000

1

50.000 –30.000

2

50.000 –30.000

3

50.000 –30.000

4

Fig.8.2 - Diagrama do Fluxo de Caixa do Processo A 124-167

t


2º Passo – efetuar o somatório dos valores presentes de todos os fluxos de caixa; VP(p) = Σ { - F0 + VP(S1)+ VP(P2) + VP(P3)} 3º Passo – calcular o valor da serie uniforme equivalente, postecipada, relativa ao valor presente calculado no passo anterior. BAE(p) = VP(p) × FRC(6¬i%) = M R$/período. 8.4 - Exemplo. Uma empresa está estudando a produção de um novo produto com possibilidade de vir a ser industrializado através dois processos alternativos cujas características estão especificadas abaixo. Os equipamentos a serem utilizados são previstos para serem repostos periodicamente, dado o desgaste contínuo e o alto valor do custo de manutenção e operação. Considerando o custo de capital da firma de 7% a.a., calcular os custos anuais equivalentes.


1º passo: define-se o diagrama de fluxo de caixa de cada processo; 2º passo: calcula-se a série uniforme equivalente ao fluxo de caixa inicial; 3º passo: calcula-se o valor presente de cada fluxo de caixa; 4º passo: calcula-se a série anual equivalente associada à soma dos valores presentes dos fluxos de caixa definidos no passo anterior. Neste caso, o resultado do processo se dará em termos de Benefício Anual Equivalente, já que estão em consideração entradas e saídas de caixa associadas a cada processo. 5º passo: a decisão, então, elegerá o processo que apresentar o maior benefício anual equivalente. Resolução do problema: I – Processo A a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo A. Para este processo o diagrama de fluxo de caixa foi montado lançando, diretamente na escala de tempo, as entradas e saídas de caixa previstas. -65000

item Investimento Inicial Valor Residual Retorno Anual Custo anual de Operação Vida útil:

PROCESSO A R$ 65.000,00 0,00 R$ 50.000,00 Fixo R$ 30.000,00 4 anos

PROCESSO B 130.000,00 30.000,00 50.000,00 Variável Ver diagrama 6 anos

Procedimentos para a resolução do problema: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

50.000 -30.000

1

50.000 –30.000

2

50.000 –30.000

3

50.000 –30.000

4

Fig.8.2 - Diagrama do Fluxo de Caixa do Processo A 124-167


repetitivos, recomenda-se efetuar o processo de decisão atendendo as considerações realizadas no capítulo 5.

ENGENHARIA ECONÔMICA TMA de

de caixa é o mais lucrativo, sendo adotada uma ano. Período 0 Projeto “A” -20 Projeto “B” -60 Valores em 10 4 R$

8.5 - Caso de Reinvestimento. 8.5.1 – Procedimentos. Neste caso existe a pressuposição da continuidade de utilização do ativo ou a manutenção do bem em produção, finda a vida útil do projeto original.

25

40

50

1 -25 25

25

2 45 40

40

3 45 50

50

10% ao

4 45

25

40

50

Para tanto, findo o período de vida de um ativo, ocorrerá a imediata reaplicação do capital gerado pelo projeto em outro ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado. O horizonte de planejamento previsto que permite a equalização dos tempos de vida dos ativos será equivalente ao mínimo múltiplo comum, MMC, das vidas úteis de cada alternativa disponível. Vide Fig. 9.7, que mostra a repetição dos fluxos de caixa dada a continuidade de utilização de um ativo. 8.5.2 – Exemplo. Um exemplo de procedimento para o caso em pauta é discutido na análise a seguir. Uma empresa esta analisando a eleição de dois processos produtivos que visam à produção de um mesmo bem. Esses processos são representados por seus fluxos de caixa e apresentam tempos de vida útil, distintos. O objetivo é definir qual destes dois projetos, representados por seus fluxos MatemFinanceira~AULAS~abril2010

-60

- 60

-60

Fig. 8.5 – Continuidade de Utilização de Ativo

Havendo a pressuposição da continuidade de produção, a compatibilidade dos tempos de vida útil é efetuada após a equalização dos tempos de vida dos projetos utilizando o mínimo múltiplo comum dos períodos em consideração. Como o Projeto A apresenta quatro anos de vida útil e o Projeto B três anos, o mínimo múltiplo comum dos tempos é de doze anos. Assim sendo, o Projeto A deverá ser repetido três vezes e o Projeto B quatro vezes para que os seus períodos de vida sejam equalizados.

127-167


repetitivos, recomenda-se efetuar o processo de decisão atendendo as considerações realizadas no capítulo 5.

ENGENHARIA ECONÔMICA TMA de

de caixa é o mais lucrativo, sendo adotada uma ano. Período 0 Projeto “A” -20 Projeto “B” -60 Valores em 10 4 R$

8.5 - Caso de Reinvestimento. 8.5.1 – Procedimentos. Neste caso existe a pressuposição da continuidade de utilização do ativo ou a manutenção do bem em produção, finda a vida útil do projeto original.

25

40

50

1 -25 25

25

2 45 40

40

3 45 50

50

10% ao

4 45

25

40

50

Para tanto, findo o período de vida de um ativo, ocorrerá a imediata reaplicação do capital gerado pelo projeto em outro ativo com características semelhantes à do ativo desmobilizado. O horizonte de planejamento previsto que permite a equalização dos tempos de vida dos ativos será equivalente ao mínimo múltiplo comum, MMC, das vidas úteis de cada alternativa disponível. Vide Fig. 9.7, que mostra a repetição dos fluxos de caixa dada a continuidade de utilização de um ativo. 8.5.2 – Exemplo. Um exemplo de procedimento para o caso em pauta é discutido na análise a seguir. Uma empresa esta analisando a eleição de dois processos produtivos que visam à produção de um mesmo bem. Esses processos são representados por seus fluxos de caixa e apresentam tempos de vida útil, distintos. O objetivo é definir qual destes dois projetos, representados por seus fluxos MatemFinanceira~AULAS~abril2010

-60

- 60

-60

Fig. 8.5 – Continuidade de Utilização de Ativo

Havendo a pressuposição da continuidade de produção, a compatibilidade dos tempos de vida útil é efetuada após a equalização dos tempos de vida dos projetos utilizando o mínimo múltiplo comum dos períodos em consideração. Como o Projeto A apresenta quatro anos de vida útil e o Projeto B três anos, o mínimo múltiplo comum dos tempos é de doze anos. Assim sendo, o Projeto A deverá ser repetido três vezes e o Projeto B quatro vezes para que os seus períodos de vida sejam equalizados.

127-167



de riqueza propiciado pelo tempo em que o projeto será explorado, há que ser calculado o Valor Presente do mesmo, para o tempo originalmente estabelecido. 8.6 – Exercício. Qual o tempo ótimo de manter comissionado um equipamento de terraplanagem cujo catálogo de especificação define sua vida útil em 7 (sete) anos e o valor de aquisição de uma unidade nova esta orçada US$ 20 mil? Os valores de mercado de equipamentos usados e os custos anuais de manutenção estão apresentados no quadro abaixo. Como premissas do problema, considerar o custo de capital da empresa estipulado em 15% a.a.; Além do acima solicitado, elabore uma curva tempo×custo para melhor visualizar os resultados obtidos. Tempo de uso

Valor de Mercado US$

Manutenção Anual US$

1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 5 anos 6 anos 7 anos

18.000,00 16.000,00 14.600,00 13.500,00 12.000,00 10.500,00 8.000,00

2.000,00 2.400,00 2.700,00 3.500,00 3.900,00 4.300,00 4.700,00


130-167



de riqueza propiciado pelo tempo em que o projeto será explorado, há que ser calculado o Valor Presente do mesmo, para o tempo originalmente estabelecido. 8.6 – Exercício. Qual o tempo ótimo de manter comissionado um equipamento de terraplanagem cujo catálogo de especificação define sua vida útil em 7 (sete) anos e o valor de aquisição de uma unidade nova esta orçada US$ 20 mil? Os valores de mercado de equipamentos usados e os custos anuais de manutenção estão apresentados no quadro abaixo. Como premissas do problema, considerar o custo de capital da empresa estipulado em 15% a.a.; Além do acima solicitado, elabore uma curva tempo×custo para melhor visualizar os resultados obtidos. Tempo de uso

Valor de Mercado US$

Manutenção Anual US$

1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 5 anos 6 anos 7 anos

18.000,00 16.000,00 14.600,00 13.500,00 12.000,00 10.500,00 8.000,00

2.000,00 2.400,00 2.700,00 3.500,00 3.900,00 4.300,00 4.700,00


130-167



Do ponto de vista econômico, a TIR corresponde à maior taxa de rentabilidade oferecida por um projeto a partir da qual ele passa a ser antieconômico.

9. Taxa Interna de Retorno

Matematicamente, a taxa interna de retorno é definida como aquela taxa, i*, que zera a função valor presente líquido.

9.1 - Definições. Este método, comumente denominado de Taxa Interna de Retorno - TIR exige a descrição de qualquer proposta de alternativa de investimento em termos do fluxo de caixa projetado, onde sejam externados os custos e as receitas a ele associados, levando-se em consideração os momentos em que os mesmos efetivamente ocorrerem.

VP( A ) = Fo +

F1 F2 + (1 + i*) (1 + i*)2

+

F3 Fn +L+ 3 (1 + i*) (1 + i*)n

=

0

Noutras palavras, a TIR ≡ I* corresponde às raízes do polinômio expresso pela função valor presente. Ver Fig.9.1.

Valor Presente - $

9.2 - Decisão Valor Presente descontado pela TMA

Quando se dispõe de várias alternativas de investimento em julgamento, o processo de decisão adotando a TIR como parâmetro de decisão deve atender a duas premissas: i* =TIR

i TMA

Fig. 9.1– Caracterização da TIR e da TMA.

A TIR pode ser definida sob duas óticas: a econômica e a matemática.


1ª Premissa: Para haver a aceitabilidade de qualquer projeto singular, a TIR deverá superar a taxa de mínima atratividade, a TMA. Taxa esta que recebe, também, as denominações de: custo de capital da empresa, taxa de oportunidade, custo de oportunidade da empresa ou taxa de desconto do projeto. Neste caso, ocorrem três situações, quais sejam: I) Quando a TMA apresentar valor inferior à TIR, o projeto é considerável como viável. Financeiramente falando, a maior taxa de rentabilidade que um projeto pode apresentar supera a taxa de atratividade exigida pelo investidor; 131-167



Do ponto de vista econômico, a TIR corresponde à maior taxa de rentabilidade oferecida por um projeto a partir da qual ele passa a ser antieconômico.

9. Taxa Interna de Retorno

Matematicamente, a taxa interna de retorno é definida como aquela taxa, i*, que zera a função valor presente líquido.

9.1 - Definições. Este método, comumente denominado de Taxa Interna de Retorno - TIR exige a descrição de qualquer proposta de alternativa de investimento em termos do fluxo de caixa projetado, onde sejam externados os custos e as receitas a ele associados, levando-se em consideração os momentos em que os mesmos efetivamente ocorrerem.

VP( A ) = Fo +

F1 F2 + (1 + i*) (1 + i*)2

+

F3 Fn +L+ (1 + i*)3 (1 + i*)n

=

0

Noutras palavras, a TIR ≡ I* corresponde às raízes do polinômio expresso pela função valor presente. Ver Fig.9.1.

Valor Presente - $

9.2 - Decisão Valor Presente descontado pela TMA

Quando se dispõe de várias alternativas de investimento em julgamento, o processo de decisão adotando a TIR como parâmetro de decisão deve atender a duas premissas: i* =TIR

i TMA

Fig. 9.1– Caracterização da TIR e da TMA.

A TIR pode ser definida sob duas óticas: a econômica e a matemática.


1ª Premissa: Para haver a aceitabilidade de qualquer projeto singular, a TIR deverá superar a taxa de mínima atratividade, a TMA. Taxa esta que recebe, também, as denominações de: custo de capital da empresa, taxa de oportunidade, custo de oportunidade da empresa ou taxa de desconto do projeto. Neste caso, ocorrem três situações, quais sejam: I) Quando a TMA apresentar valor inferior à TIR, o projeto é considerável como viável. Financeiramente falando, a maior taxa de rentabilidade que um projeto pode apresentar supera a taxa de atratividade exigida pelo investidor; 131-167


O método da taxa interna de retorno é recomendado para ser utilizado quando se analisa:   

Aplicações financeiras efetuadas nos mercados de títulos mobiliários ou bursátil; Análise das taxas de juros praticadas no financiamento de bens; Definição da maior taxa de remuneração possível por projetos de investimentos produtivos.

Nos itens seguintes serão analisadas as condições de aplicação dos casos acima citados.


conhecida a política de dividendos, de bonificações regularmente pagas sobre o capital investido e do valor de vendas previsto. Neste caso, entende-se que o preço a ser pago pela ação seja equivalente ao somatório dos valores presentes dos dividendos, das bonificações e do valor de vendas previsto para ocorrer em determinado futuro. Adotando como nomenclatura: VC = valor de compra da ação; VV = valor previsto para venda de uma ação; • Bk = valor da bonificação referente ao período k, com k variando de um a n; • Dk = valor do dividendo referente ao período k; • n = o número de períodos previstos para manter a ação em carteira; • i* = valor da taxa interna de retorno, TIR. • •

9.4.1 - Caso de títulos mobiliários O método é adequado para ser utilizado pelo investidor no mercado mobiliário ao desejar conhecer a rentabilidade de sua aplicação financeira. A TIR demonstra, no caso da aplicação em títulos mobiliários, a remuneração a ser obtida pelo capital aplicado e a equivalência quanto aos retornos previstos. E, no caso de financiamento, a equivalência entre o capital tomado e os pagamentos a serem efetuados. Pelo exposto, verifica-se ser a TIR um instrumento adequado para análise da rentabilidade de projetos quando utilizada pela ótica do investidor ou tomador de empréstimo. Como exemplo de aplicação no mercado imobiliário, temse o caso da compra de ações. Ao se efetuar a aplicação em ação de qualquer empresa, o preço e a rentabilidade da mesma e estabelecida ao ser MatemFinanceira~AULAS~abril2010

O valor da ação é dado por: 

Bk + Dk  VV k + n  k 1 (1 + i*)  (1 = i*) n

VC = ∑ =

Por sua vez, o valor da tir=i* é aquele que resolve o polinômio: 

Bk + Dk  VV k + n  k 1 (1 + i*)  (1 = i*) n

VC − ∑

=

0

=

No item 5.5.4 serão apresentados alguns métodos de calculo da TIR. 133-167



O método da taxa interna de retorno é recomendado para ser utilizado quando se analisa:   

Aplicações financeiras efetuadas nos mercados de títulos mobiliários ou bursátil; Análise das taxas de juros praticadas no financiamento de bens; Definição da maior taxa de remuneração possível por projetos de investimentos produtivos.

Nos itens seguintes serão analisadas as condições de aplicação dos casos acima citados.

conhecida a política de dividendos, de bonificações regularmente pagas sobre o capital investido e do valor de vendas previsto. Neste caso, entende-se que o preço a ser pago pela ação seja equivalente ao somatório dos valores presentes dos dividendos, das bonificações e do valor de vendas previsto para ocorrer em determinado futuro. Adotando como nomenclatura: VC = valor de compra da ação; • VV = valor previsto para venda de uma ação; • Bk = valor da bonificação referente ao período k, com k variando de um a n; • Dk = valor do dividendo referente ao período k; • n = o número de períodos previstos para manter a ação em carteira; • i* = valor da taxa interna de retorno, TIR. •

9.4.1 - Caso de títulos mobiliários O método é adequado para ser utilizado pelo investidor no mercado mobiliário ao desejar conhecer a rentabilidade de sua aplicação financeira. A TIR demonstra, no caso da aplicação em títulos mobiliários, a remuneração a ser obtida pelo capital aplicado e a equivalência quanto aos retornos previstos. E, no caso de financiamento, a equivalência entre o capital tomado e os pagamentos a serem efetuados. Pelo exposto, verifica-se ser a TIR um instrumento adequado para análise da rentabilidade de projetos quando utilizada pela ótica do investidor ou tomador de empréstimo. Como exemplo de aplicação no mercado imobiliário, temse o caso da compra de ações. Ao se efetuar a aplicação em ação de qualquer empresa, o preço e a rentabilidade da mesma e estabelecida ao ser

O valor da ação é dado por: 

Bk + Dk  VV k + n 1 1  k 1 ( + i*)  ( = i*) n

VC = ∑ =

Por sua vez, o valor da tir=i* é aquele que resolve o polinômio: 

Bk + Dk  VV k + n  k 1 (1 + i*)  (1 = i*) n

VC − ∑

=

0

=

No item 5.5.4 serão apresentados alguns métodos de calculo da TIR.


133-167



VB − VB × FVP(n, i * %) ou, 9.4.2 - Caso de financiamentos.  (1 + i*) n

Neste segundo caso, o método é recomendado para definir a taxa de juros efetivamente adotada em projetos de investimentos simples ou empréstimos, correspondendo a uma série postecipada, em que os pagamentos sejam iguais, periódicos e consecutivos. A taxa de juros, então, é definida sob a ótica do tomador do recurso. Para o tomador do recurso, a TIR corresponde à taxa de juros que faz a equivalência entre o valor do montante financiado e o valor das prestações pactuadas. Ver. Fig. 9.2. Como exemplo cita-se o financiamento eletrodomésticos ou veículos vendidos a prestação.

− 1

=0 n  i * ×(1 + i*) 

R$

Valor presente da série Valor financiado ≡

1 .........................................................................n

tem o

de

Há o entendimento, então, que valor presente das prestações corresponde ao valor do bem adquirido, financeiramente falando. A taxa interna de retorno, em decorrência, exprime a taxa de juros efetivamente paga pelo tomador. Dado o entendimento acima, pode-se escrever a seguinte expressão matemática: Valor do Bem ≡ Σ das Prestações a Valor Presente {Valor do Bem} - {Σ das Prestações a Valor Presente} = zero Considerando que a série de pagamentos, conforme visto na figura 9.2, corresponde a uma série de pagamentos postecipada, a expressão acima toma a seguinte forma: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

VB − VB × 

Prestações

Fig.9.2 – Equivalência de valores.

Em operações de financiamento, como é conhecido o valor do bem, VB, a financiar e pactuado o número de prestações, ao se resolver a expressão acima tem-se o valor da TIR≡ i*. No Capítulo 10 - Métodos Algébricos, apresentados alguns métodos de calculo da TIR. 9.4.3 – Caso de investimentos produtivos. 9.4.3.1 – Recomendações. 134-167

serão



VB − VB × FVP(n, i * %) ou, 9.4.2 - Caso de financiamentos.  (1 + i*) n

Neste segundo caso, o método é recomendado para definir a taxa de juros efetivamente adotada em projetos de investimentos simples ou empréstimos, correspondendo a uma série postecipada, em que os pagamentos sejam iguais, periódicos e consecutivos. A taxa de juros, então, é definida sob a ótica do tomador do recurso. Para o tomador do recurso, a TIR corresponde à taxa de juros que faz a equivalência entre o valor do montante financiado e o valor das prestações pactuadas. Ver. Fig. 9.2. Como exemplo cita-se o financiamento eletrodomésticos ou veículos vendidos a prestação.

− 1

n  i * ×(1 + i*) 

R$

=0

Valor presente da série Valor financiado ≡

1 .........................................................................n

tem o

de

Há o entendimento, então, que valor presente das prestações corresponde ao valor do bem adquirido, financeiramente falando. A taxa interna de retorno, em decorrência, exprime a taxa de juros efetivamente paga pelo tomador. Dado o entendimento acima, pode-se escrever a seguinte expressão matemática: Valor do Bem ≡ Σ das Prestações a Valor Presente {Valor do Bem} - {Σ das Prestações a Valor Presente} = zero Considerando que a série de pagamentos, conforme visto na figura 9.2, corresponde a uma série de pagamentos postecipada, a expressão acima toma a seguinte forma: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

VB − VB × 

Prestações

Fig.9.2 – Equivalência de valores.

Em operações de financiamento, como é conhecido o valor do bem, VB, a financiar e pactuado o número de prestações, ao se resolver a expressão acima tem-se o valor da TIR≡ i*. No Capítulo 10 - Métodos Algébricos, apresentados alguns métodos de calculo da TIR. 9.4.3 – Caso de investimentos produtivos. 9.4.3.1 – Recomendações. 134-167

serão



Esse resultado indica ser o projeto B superior ao projeto A, fato que coincide com a decisão quanto se tem a TIR como parâmetro de decisão. Analisando os dois diagramas expostos na Fig. 9.3, verificase que o projeto A é superior ao Projeto B a taxas de desconto inferiores àquela definida pela interseção de Fischer, isto é, de zero a 12%. Já o projeto B é superior ao projeto A para taxas situadas entre a interseção de Fischer, 12%, e a TIR (B), 29%. Pela análise acima efetuada, constata-se a possibilidade de ocorrer duas soluções tendo como ponto limite a taxa de desconto conexa conexa à intersecção de Fischer. A análise em questão foi realizada ao se comparar dois diagramas de valor presente. Havendo um conjunto de alternativas alternat ivas de investimento em julgamento, pode ocorrer mais de duas soluções, fato que requer uma análise criteriosa do decisor. VP-$ 153,00

Projeto A

44,00 37,00

i% 12

15 TIR A= 22%

9.5.1 – Função Polinomial. Como visto, matematicamente, a taxa interna de retorno é aquela taxa que iguala a zero a função valor presente líquido associado aos fluxos de caixa de um projeto.

VP( A ) = Fo +

Projeto B

8


Considerando que a função valor presente líquido pode ser representada por um polinômio de grau equivalente ao do número de períodos do fluxo de caixa, a TIR corresponde às raízes desta função polinomial.

Intersecção

110,00

Finalizando, cabe ao analista se precaver quando julga diversas alternativas possíveis destinadas à realização de um investimento produtivo e deseja adotar a TIR como parâmetro de decisão. Visando manter a consistência de sua análise, recomenda-se efetuar um desenho onde conste o diagrama de valor presente de cada alternativa disponível e, deste modo, se certificar do campo de domínio de cada uma delas.

TIR B = 29%

F1 F2 F3 Fn + + +L+ 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

Da teoria dos polinômios, sabe-se que, um polinômio dispõe de tantas raízes quanto for o seu grau. Logo, um polinômio do n-ésimo grau dispõe de n raízes. Então, quando ocorrer o caso de i* = função polinomial passa a ser zero.

Fig. 9.3 - Consistência TIR e VPL. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

136-167

TIR,

o valor da



Esse resultado indica ser o projeto B superior ao projeto A, fato que coincide com a decisão quanto se tem a TIR como parâmetro de decisão. Analisando os dois diagramas expostos na Fig. 9.3, verificase que o projeto A é superior ao Projeto B a taxas de desconto inferiores àquela definida pela interseção de Fischer, isto é, de zero a 12%. Já o projeto B é superior ao projeto A para taxas situadas entre a interseção de Fischer, 12%, e a TIR (B), 29%. Pela análise acima efetuada, constata-se a possibilidade de ocorrer duas soluções tendo como ponto limite a taxa de desconto conexa conexa à intersecção de Fischer. A análise em questão foi realizada ao se comparar dois diagramas de valor presente. Havendo um conjunto de alternativas alternat ivas de investimento em julgamento, pode ocorrer mais de duas soluções, fato que requer uma análise criteriosa do decisor. VP-$ 153,00

Projeto A

44,00 37,00

i% 12

15 TIR A= 22%

9.5.1 – Função Polinomial. Como visto, matematicamente, a taxa interna de retorno é aquela taxa que iguala a zero a função valor presente líquido associado aos fluxos de caixa de um projeto.

VP( A ) = Fo +

Projeto B

8


Considerando que a função valor presente líquido pode ser representada por um polinômio de grau equivalente ao do número de períodos do fluxo de caixa, a TIR corresponde às raízes desta função polinomial.

Intersecção

110,00

Finalizando, cabe ao analista se precaver quando julga diversas alternativas possíveis destinadas à realização de um investimento produtivo e deseja adotar a TIR como parâmetro de decisão. Visando manter a consistência de sua análise, recomenda-se efetuar um desenho onde conste o diagrama de valor presente de cada alternativa disponível e, deste modo, se certificar do campo de domínio de cada uma delas.

TIR B = 29%

F1 F2 F3 Fn + + +L+ 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i)n

Da teoria dos polinômios, sabe-se que, um polinômio dispõe de tantas raízes quanto for o seu grau. Logo, um polinômio do n-ésimo grau dispõe de n raízes. Então, quando ocorrer o caso de i* = função polinomial passa a ser zero.

Fig. 9.3 - Consistência TIR e VPL. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

136-167

TIR,

o valor da



Neste processo, para cada nova taxa de desconto a ser utilizada dever-se-á adotar o resultado da média aritmética obtida entre as seguintes taxas: aquela ultima taxa cujo valor presente tenha sido negativo e aquela cujo ultimo valor presente tenha se apresentado como positivo. inova

=

Arbitrar uma taxa

im ( VP < 0) + in ( VP > 0) 2

Repetido o processo tantas vezes quantas forem necessárias, ter-se-ão valores de “i” que propiciam valores presentes cada vez mais próximos de zero. O processo de iteração como ser dado como concluído ao se obter uma taxa de desconto associada a um valor presente líquido irrisório ou, financeiramente, próximo a zero. A bibliografia, comumente, indica o processo da tentativa bisseção para o cálculo da TIR. É possível, porém, calcular algebricamente a os métodos discutidos no Capítulo 10.

TIR,

Calcular VP

Tentar taxa maior

VP > 0

VP<0

Comparar VP com zero

utilizando

Ressalta-se que os métodos apresentados permitem definir, apenas, uma das raízes do polinômio, ou seja, uma das TIR associadas ao projeto de investimento. Recomenda-se, assim, que seja elaborado um diagrama de valor presente para que, graficamente, seja verificado se um apresenta mais de uma única TIR.


Tentar taxa menor

VP = 0

FIM Fig. 9.4 - Fluxograma para a determinação da TIR

138-167



Neste processo, para cada nova taxa de desconto a ser utilizada dever-se-á adotar o resultado da média aritmética obtida entre as seguintes taxas: aquela ultima taxa cujo valor presente tenha sido negativo e aquela cujo ultimo valor presente tenha se apresentado como positivo. inova

=

Arbitrar uma taxa

im ( VP < 0) + in ( VP > 0) 2

Repetido o processo tantas vezes quantas forem necessárias, ter-se-ão valores de “i” que propiciam valores presentes cada vez mais próximos de zero. O processo de iteração como ser dado como concluído ao se obter uma taxa de desconto associada a um valor presente líquido irrisório ou, financeiramente, próximo a zero.

Tentar taxa menor

Calcular VP

TIR,

VP > 0

VP<0

A bibliografia, comumente, indica o processo da tentativa bisseção para o cálculo da TIR. É possível, porém, calcular algebricamente a os métodos discutidos no Capítulo 10.

Comparar VP com zero

utilizando

VP = 0

Ressalta-se que os métodos apresentados permitem definir, apenas, uma das raízes do polinômio, ou seja, uma das TIR associadas ao projeto de investimento. Recomenda-se, assim, que seja elaborado um diagrama de valor presente para que, graficamente, seja verificado se um apresenta mais de uma única TIR.

FIM Fig. 9.4 - Fluxograma para a determinação da TIR


138-167



i +i i3 = 1 2 2

9.5.3 – Aplicação da metodologia Seja determinar a presente:

TIR associada

à seguinte função de valor

450 400 + VP( A ) = −1200 + (1 + i) (1 + i)2

350 + (1 + i)3

300 + (1 + i)4

O processo da bisseção é um procedimento iterativo e segue os procedimentos abaixo. Ver, também, a Fig.9.4. Viabilidade – Inicia-se verificando a viabilidade do projeto para alguma taxa de desconto. Para tanto, faz-se i=0. Sendo VP>0, o projeto é viável e o processo pode prosseguir. Caso ocorra VP<0, o projeto é inviável para qualquer TMA e deve ser abandonado. 1ª iteração – Arbitra-se uma taxa de desconto. Nesta primeira iteração foi adotada uma taxa de desconto i=10%. Calculado o valor presente obteve-se VP = +7,53R$. 2ª iteração – Como na iteração anterior obteve-se VP>0, arbitra-se uma taxa maior visando obter um VP<0. Nesta iteração foi adotada uma taxa de desconto de i=12%. Calculado o valor presente chegou-se a VP = -39,56R$. 3ª iteração – A próxima taxa de desconto adotada, utilizando a metodologia da bisseção, corresponde ao resultado da média aritmética definida entre as taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Tentar taxa maior

=

10 + 12 = 11 2

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -16,41 R$. 4ª iteração - A taxa de desconto a seguir adotada corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo. Então: i + i 10 + 11 i4 = 1 3 = = 10.50 2

2

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -4,54 R$. 5ª iteração – Considerando que na iteração anterior obteve-se um VP= - 4,54, repete-se o procedimento efetuado. Logo: i + i 10 + 10,50 i5 = 1 4 = = 10,25 2

2

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= +1,47 R$. 6ª iteração - A taxa de desconto a ser adotada nesta iteração corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo. Ou seja, i4= 10,50 e i5 =10,25. Então: i6

=

i4 + i5 2

=

10,50 + 10,25 = 10,3750 2

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -1,54 R$. 139-167



i3 =

9.5.3 – Aplicação da metodologia Seja determinar a presente:

TIR associada

à seguinte função de valor

450 400 + VP( A ) = −1200 + (1 + i) (1 + i)2

350 + (1 + i)3

300 + (1 + i)4

O processo da bisseção é um procedimento iterativo e segue os procedimentos abaixo. Ver, também, a Fig.9.4. Viabilidade – Inicia-se verificando a viabilidade do projeto para alguma taxa de desconto. Para tanto, faz-se i=0. Sendo VP>0, o projeto é viável e o processo pode prosseguir. Caso ocorra VP<0, o projeto é inviável para qualquer TMA e deve ser abandonado. 1ª iteração – Arbitra-se uma taxa de desconto. Nesta primeira iteração foi adotada uma taxa de desconto i=10%. Calculado o valor presente obteve-se VP = +7,53R$. 2ª iteração – Como na iteração anterior obteve-se VP>0, arbitra-se uma taxa maior visando obter um VP<0. Nesta iteração foi adotada uma taxa de desconto de i=12%. Calculado o valor presente chegou-se a VP = -39,56R$. 3ª iteração – A próxima taxa de desconto adotada, utilizando a metodologia da bisseção, corresponde ao resultado da média aritmética definida entre as taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo:

i1 + i2 2

4ª iteração - A taxa de desconto a seguir adotada corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo. Então: i + i 10 + 11 i4 = 1 3 = = 10.50 2

5ª iteração – Considerando que na iteração anterior obteve-se um VP= - 4,54, repete-se o procedimento efetuado. Logo: i + i 10 + 10,50 i5 = 1 4 = = 10,25 2

2

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= +1,47 R$. 6ª iteração - A taxa de desconto a ser adotada nesta iteração corresponde à média aritmética entre as duas ultimas taxas que apresentaram, respectivamente, o menor valor presente positivo e o maior valor presente negativo. Ou seja, i4= 10,50 e i5 =10,25. Então: i6

=

i4 + i5 2

=

10,50 + 10,25 = 10,3750 2

Calculado o valor presente, chega-se a: VP= -1,54 R$.



VP – R$ +300,00 +7,53 -39,56 -16,41 -4,54 1,47 -1,54 -0,0360 0,71730 0,34053 ................. 0,00

9.6 - Existência de múltiplas TIR.

Justifica-se a assertiva acima já que a função valor presente associada a um fluxo de caixa pode ser representado por uma função polinomial do enésimo grau. Assim, apresenta um número de raízes igual ao do grau do polinômio. Como o número de raízes é igual ao do grau do polinômio, existe um número de TAXAS INTERNAS DE RETORNO correspondente ao do grau do polinômio associado ao fluxo de caixa. Porém, sendo a maioria delas múltiplas ou não pertencentes ao conjunto dos números reais. Deste modo, um projeto pode apresentar uma ou várias o comportamento do fluxo de caixa. E, o que define o comportamento do fluxo de caixa é o número de variações de sinal que ele apresenta. TIR segundo

Valor Presente - $ Valor Presente descontado p/ TMA

9.6.1 – Conceituação. Quando se utiliza a TIR como parâmetro de decisão, é recomendável a verificação de que ela seja ÚNICA, caso contrário poderá o analista incorrer em erro de avaliação. Esta unicidade de TIR é garantida quando o polinômio representativo do projeto se apresenta como uma função contínua, decrescente e convexa, a exemplo dos diagramas mostrados na Fig. 9.1. Tal situação ocorre quando o projeto é do tipo de investimento convencional. No caso de projetos tipo “não convencional”, pode ocorrer a existência de diversas TIR, nada se podendo afirmar a priori. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

2


139-167

Enésima iteração - repetindo o procedimento exposto por n-vezes, chega-se ao valor da TIR = 10,3110%. Taxa de desconto – i% 0,00 10,00 12,00 (10+12)/2 = 11 (10+11)/2 = 10,50 (10+10,50) = 10,25 (10,50+10,25) = 10,3750 (10,25+10,3750)/2 = 10,3125 (10,25+10,3125)/2 = 10,28125 (10,3125+10,28125)/2=10,29688 ................................................. TIR → 10,3110

10 + 12 = 11 2



iteração viável 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ......... n

=

i =TIR1

TMA2

i TMA1

i=TIR2

Fig.9.5 – Existência de múltiplas

140-167

TIR



Enésima iteração - repetindo o procedimento exposto por n-vezes, chega-se ao valor da TIR = 10,3110%. iteração viável 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ......... n

Taxa de desconto – i% 0,00 10,00 12,00 (10+12)/2 = 11 (10+11)/2 = 10,50 (10+10,50) = 10,25 (10,50+10,25) = 10,3750 (10,25+10,3750)/2 = 10,3125 (10,25+10,3125)/2 = 10,28125 (10,3125+10,28125)/2=10,29688 ................................................. TIR → 10,3110

VP – R$ +300,00 +7,53 -39,56 -16,41 -4,54 1,47 -1,54 -0,0360 0,71730 0,34053 ................. 0,00

9.6 - Existência de múltiplas TIR.

Justifica-se a assertiva acima já que a função valor presente associada a um fluxo de caixa pode ser representado por uma função polinomial do enésimo grau. Assim, apresenta um número de raízes igual ao do grau do polinômio. Como o número de raízes é igual ao do grau do polinômio, existe um número de TAXAS INTERNAS DE RETORNO correspondente ao do grau do polinômio associado ao fluxo de caixa. Porém, sendo a maioria delas múltiplas ou não pertencentes ao conjunto dos números reais. Deste modo, um projeto pode apresentar uma ou várias o comportamento do fluxo de caixa. E, o que define o comportamento do fluxo de caixa é o número de variações de sinal que ele apresenta. TIR segundo

Valor Presente - $ Valor Presente descontado p/ TMA

9.6.1 – Conceituação. Quando se utiliza a TIR como parâmetro de decisão, é recomendável a verificação de que ela seja ÚNICA, caso contrário poderá o analista incorrer em erro de avaliação. Esta unicidade de TIR é garantida quando o polinômio representativo do projeto se apresenta como uma função contínua, decrescente e convexa, a exemplo dos diagramas mostrados na Fig. 9.1. Tal situação ocorre quando o projeto é do tipo de investimento convencional. No caso de projetos tipo “não convencional”, pode ocorrer a existência de diversas TIR, nada se podendo afirmar a priori. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

i =TIR1

TMA2

i TMA1

i=TIR2

Fig.9.5 – Existência de múltiplas

140-167

TIR



230 132 VPL = −100 + − (1 + i) (1 + i) 2

b) Calcular a taxa de juros embutida nos projetos de financiamento representados pelos seguintes conjuntos de fluxos de caixa:

VPL - $

FC(A) = {-1.200; 500; 450; 400; 350; 300} FC(B) = {-350; -480; 0; 155; 248; 320; 340; 365; 395}

TIR 1

TIR 2

c) Dentre os cinco projetos de investimentos abaixo, qual deles VOCE escolheria para ser implantado? Justifique a sua opinião! Projeto

Fi .9.6. – Exem lo de ro eto

O diagrama de fluxo de caixa deste investimento, Fig.9.6, evidencia a existência das duas TIR. 9.7 – Exercícios. a) Comparando os projetos representados pelos conjuntos de fluxo de caixa solicita-se: os polinômios representativos dos mesmos; o diagrama do valor presente dos dois projetos representados em um único diagrama cartesiano e, aquele a ser recomendado para implantação, sabendo que a empresa pratica uma TMA=15% ao período. P(A) = [-100, 16, 20, 30, 45, 55, 100] e P(B) = [-35, - 45, 35, 45, 55, 55, 45] MatemFinanceira~AULAS~abril2010

A1 B2 C3 D4 E5

V. Presente Líquido 10³ R$ 123.456,00 132.675,99 132.529,78 101.199,99 125.678,90

TIR - % 22,07 19,44 19,00 29,56 31,44

Pay Back anos 7,20 6,40 5,00 4,10 6,90

d) Qual a diferença conceitual entre TMA e TIR? Quando se deve utilizar, num processo de decisão ou de comparação de alternativas, cada uma delas? e) Você é um dos diretores de uma empresa quando, em reunião de diretoria, foi discutida a ampliação e implantação de mais uma linha de produção. Para tanto quatro alternativas de investimentos foram apresentadas. Sabe-se que apenas um dos projetos será escolhido, pois os recursos disponíveis são limitados. 142-167


VPL = −100 +


230 132 − (1 + i) (1 + i) 2

b) Calcular a taxa de juros embutida nos projetos de financiamento representados pelos seguintes conjuntos de fluxos de caixa:

VPL - $

FC(A) = {-1.200; 500; 450; 400; 350; 300} FC(B) = {-350; -480; 0; 155; 248; 320; 340; 365; 395}

TIR 1

TIR 2

c) Dentre os cinco projetos de investimentos abaixo, qual deles VOCE escolheria para ser implantado? Justifique a sua opinião! Projeto

Fi .9.6. – Exem lo de ro eto

O diagrama de fluxo de caixa deste investimento, Fig.9.6, evidencia a existência das duas TIR. 9.7 – Exercícios. a) Comparando os projetos representados pelos conjuntos de fluxo de caixa solicita-se: os polinômios representativos dos mesmos; o diagrama do valor presente dos dois projetos representados em um único diagrama cartesiano e, aquele a ser recomendado para implantação, sabendo que a empresa pratica uma TMA=15% ao período. P(A) = [-100, 16, 20, 30, 45, 55, 100] e P(B) = [-35, - 45, 35, 45, 55, 55, 45] MatemFinanceira~AULAS~abril2010

A1 B2 C3 D4 E5

V. Presente Líquido 10³ R$ 123.456,00 132.675,99 132.529,78 101.199,99 125.678,90

TIR - % 22,07 19,44 19,00 29,56 31,44

Pay Back anos 7,20 6,40 5,00 4,10 6,90

d) Qual a diferença conceitual entre TMA e TIR? Quando se deve utilizar, num processo de decisão ou de comparação de alternativas, cada uma delas? e) Você é um dos diretores de uma empresa quando, em reunião de diretoria, foi discutida a ampliação e implantação de mais uma linha de produção. Para tanto quatro alternativas de investimentos foram apresentadas. Sabe-se que apenas um dos projetos será escolhido, pois os recursos disponíveis são limitados. 142-167



Além disso, Você sabe que sua empresa adota uma TMA no valor de 17,7% aa. Justifique, conceitualmente e á luz de seus conhecimentos, qual será a sua decisão! Especificações Equipamento Modelo Preço de Compra Vida Útil TIR BAE Manutenção Valor Presente

unidades 5 10³ R$/un anos % 10³ R$/ano 10³ R$/ano 10³ R$/ano


Prefax PCM-32 420,0 7,0 27,99 844,0 76,0 3.511,39

Empresa Terrapac TCON-K9 340,0 5,0 30,68 844,0 64,0 2.829,22

Complus CP-X5 495,0 9,0 36,40 798,0 45,0 3.807,72

144-167



Além disso, Você sabe que sua empresa adota uma TMA no valor de 17,7% aa. Justifique, conceitualmente e á luz de seus conhecimentos, qual será a sua decisão! Especificações Equipamento Modelo Preço de Compra Vida Útil TIR BAE Manutenção Valor Presente

unidades 5 10³ R$/un anos % 10³ R$/ano 10³ R$/ano 10³ R$/ano


Prefax PCM-32 420,0 7,0 27,99 844,0 76,0 3.511,39

Empresa Terrapac TCON-K9 340,0 5,0 30,68 844,0 64,0 2.829,22

Complus CP-X5 495,0 9,0 36,40 798,0 45,0 3.807,72

144-167



VP(P) = −S +

10.2 - Caso de Prestações Constantes.

Q1 (1 + i)1

Q2 (1 + i) 2

+

+

Q3 (1 + i) 3

+L+

Qn (1 + i) n

10.2.1 – O método. O modelo proposto é recomendado para utilização em projetos convencional tipo financiamento ou empréstimo com retornos constantes, correspondendo a uma série postecipada, e destinado a definir a taxa de juros sob a ótica do tomador do recurso.

Em que, por definição:

Q1 = Q2 = Q3 = … = Qn = Q

O processo de obtenção da TIR ocorre em duas etapas: 1º Etapa – Define-se uma constante denominada “a”:

Q1

Q2

Q3

a=

Qn

2º Etapa – Calcular-se a TIR:

-S Fig.10.1 – Diagrama de prestação constante

Disponível o valor da constante a, pode-se determinar a TIR, utilizando o modelo abaixo. TIR(P) ≅

Como exemplo deste tipo de aplicação seja o caso de aquisição de bens de consumo realizado no comércio varejista, quando os pagamentos realizados à prestação constante. Estabelecendo a seguinte nomenclatura: S correspondendo ao valor a ser financiado; Q representando a prestação; e, n o numero de prestações. E, considerando um projeto de financiamento representado por deu fluxo de caixa: Projeto: {-S, Q1, Q2, Q3,..., Qn }

nQ − S S

2a × (3 + a) 2na + 3 × (n + 1)

10.2.2 – Aplicação. Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento de um bem cujo preço ofertado é de R$ 1.800,00, a ser pago em dez prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de R$ 195,00. a=

nQ − S S

=

nQ 10 × 195 −1= − 1 = 0,08333 S 1800

Ou, em forma polinomial, MatemFinanceira~AULAS~abril2010

146-167



VP(P) = −S +

10.2 - Caso de Prestações Constantes.

Q1 (1 + i)1

Q2 (1 + i) 2

+

+

Q3 (1 + i) 3

+L+

Qn (1 + i) n

10.2.1 – O método. O modelo proposto é recomendado para utilização em projetos convencional tipo financiamento ou empréstimo com retornos constantes, correspondendo a uma série postecipada, e destinado a definir a taxa de juros sob a ótica do tomador do recurso.

Em que, por definição:

Q1 = Q2 = Q3 = … = Qn = Q

O processo de obtenção da TIR ocorre em duas etapas: 1º Etapa – Define-se uma constante denominada “a”:

Q1

Q2

Q3

a=

Qn

2º Etapa – Calcular-se a TIR:

-S Fig.10.1 – Diagrama de prestação constante

Disponível o valor da constante a, pode-se determinar a TIR, utilizando o modelo abaixo. TIR(P) ≅

Como exemplo deste tipo de aplicação seja o caso de aquisição de bens de consumo realizado no comércio varejista, quando os pagamentos realizados à prestação constante. Estabelecendo a seguinte nomenclatura: S correspondendo ao valor a ser financiado; Q representando a prestação; e, n o numero de prestações. E, considerando um projeto de financiamento representado por deu fluxo de caixa: Projeto: {-S, Q1, Q2, Q3,..., Qn }

nQ − S S

2a × (3 + a) 2na + 3 × (n + 1)

10.2.2 – Aplicação. Seja calcular a taxa de juros embutida no financiamento de um bem cujo preço ofertado é de R$ 1.800,00, a ser pago em dez prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de R$ 195,00. a=

nQ − S S

=

nQ 10 × 195 −1= − 1 = 0,08333 S 1800

Ou, em forma polinomial, MatemFinanceira~AULAS~abril2010

146-167


TIR(P) ≅

2a(3 + a) 2na + 3(n + 1)

=


2 × 0,08333 × (3 + 0,08333) = 0,0148 2 × 10 × 0,08333 + 3(10 + 1)

TIR(P) = 1,48% ao mês.

−

De modo similar ao caso anterior, a definição da taxa interna de retorno também é obtida em duas etapas:

10.3 - Caso de Prestações Crescentes. 10.3.1 – O Método. Neste caso, as prestações são crescentes e variam segundo uma taxa constante. O fluxo de caixa, então, se comporta como uma série em progressão geométrica que cresce à razão “q”.

R-$

geométrica, a razão da progressão, ou seja, da série crescente de prestações é dada por: R j Rj = q × R j-1 ∴ q = R j 1

Rn

1ª Etapa – Define-se uma constante denominada de a: nR1 − qS nR1 = −1 a= qS qS 2º Etapa: Calcula-se a TIR: Disponível o valor do parâmetro a, calcula-se a TIR utilizando o modelo. 

 2a(3 + a) + 1 − 1  2na + 3(n + 1) 

TIR(P) ≅ q ×  R1

10.3.2 – Aplicação. 0

1 .................................................... ...n

tempo

10.4 – Caso de Prestações Decrescentes. -S Fig.10.2 – Diagrama de prestação em progressão geométrica

Sendo Q j um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo, então, por definição, e sendo esse um dos termos de uma progressão MatemFinanceira~AULAS~abril2010

Neste caso, as prestações são decrescentes e variam segundo um valor constante. O fluxo de caixa, então, pode ser considerado como uma série em progressão aritmética decrescente a um valor constante K. Há, porém, para que o modelo possa ser aplicado, verificar se a primeira prestação atende à seguinte condição: 147-167


TIR(P) ≅

2a(3 + a) 2na + 3(n + 1)

=


2 × 0,08333 × (3 + 0,08333) = 0,0148 2 × 10 × 0,08333 + 3(10 + 1)

TIR(P) = 1,48% ao mês.

geométrica, a razão da progressão, ou seja, da série crescente de prestações é dada por: R j Rj = q × R j-1 ∴ q = R j 1 −

De modo similar ao caso anterior, a definição da taxa interna de retorno também é obtida em duas etapas:

10.3 - Caso de Prestações Crescentes. 10.3.1 – O Método. Neste caso, as prestações são crescentes e variam segundo uma taxa constante. O fluxo de caixa, então, se comporta como uma série em progressão geométrica que cresce à razão “q”.

R-$

Rn

1ª Etapa – Define-se uma constante denominada de a: nR1 − qS nR1 = −1 a= qS qS 2º Etapa: Calcula-se a TIR: Disponível o valor do parâmetro a, calcula-se a TIR utilizando o modelo. 

 2a(3 + a) + 1 − 1  2na + 3(n + 1) 

TIR(P) ≅ q ×  R1

10.3.2 – Aplicação. 0

1 .................................................... ...n

tempo

10.4 – Caso de Prestações Decrescentes. -S Fig.10.2 – Diagrama de prestação em progressão geométrica

Sendo Q j um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo, então, por definição, e sendo esse um dos termos de uma progressão

Neste caso, as prestações são decrescentes e variam segundo um valor constante. O fluxo de caixa, então, pode ser considerado como uma série em progressão aritmética decrescente a um valor constante K. Há, porém, para que o modelo possa ser aplicado, verificar se a primeira prestação atende à seguinte condição:


147-167


Q1 =


S + (n × K ) n

TIR ( P )

Então, sendo Qj um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo, então, por definição e sendo esse um dos termos de uma progressão aritmética, ele é definido por: Qj = Q j-1 - K e,

K = Q j-1 - Q j

Q-$

Q1 0

Qn

1 ................................................n

tempo

-S Fig.10.3 – Diagrama de prestação em progressão aritmética

Para que seja valida a aplicação do modelo, o primeiro termo da série de pagamentos, ou seja, a primeira prestação deve atender a condição definida:

S Q1 = + (n × K ) n Atendida a condição estabelecida para a primeira prestação da série de pagamentos pode, então, ser calculada a Taxa Interna de Retorno utilizando a seguinte expressão: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

≅

nK S

Ressalta-se que, em a primeira prestação não atender a condição acima, o modelo não pode ser aplicado, cabendo ao interessado utilizar outra metodologia para a definição da TIR. 10.5 - Exercícios. a) Um equipamento é vendido, à vista, por R$ 480.000,00. Calcular as taxas de juros cobradas sob as seguintes condições:  Financiamento realizado em 10 prestações iguais e consecutivas no valor de R$ 78.118,00 mensais;  Em 10 pagamentos iguais, mensais e consecutivos, com a primeira prestação no valor de R$ 45.000,00 e as demais apresentando uma variação crescente segundo um coeficiente de 10% ao mês;  Em dez prestações decrescentes, mensais e consecutivas, pactuadas segundo a seqüência abaixo: R$ 73.000,00 R$ 63.000,00 R$ 53.000,00

R$ 70.500,00 R$ 60.500,00 R$ 50.500,00

R$ 68.000,00 R$ 58.000,00

R$ 65.500,00 R$ 55.500,00

b) Calcular a TIR vinculada ao financiamento de um automóvel nas seguintes condições de pagamento e venda.  Preço do Veículo: R$ 28.000,00  Entrada: R$ 5.000,00  Em trinta dias (1º pagamento): R$ 3.000,00  Saldo: cinco prestações mensais, iguais e consecutivas no valor de R$ 5.987,00. 148-167


Q1 =


S + (n × K ) n

TIR ( P )

Então, sendo Qj um termo qualquer do fluxo de caixa representado pelo diagrama de fluxo de caixa abaixo, então, por definição e sendo esse um dos termos de uma progressão aritmética, ele é definido por: Qj = Q j-1 - K e,

K = Q j-1 - Q j

Q-$

Q1 0

Qn

1 ................................................n

tempo

-S Fig.10.3 – Diagrama de prestação em progressão aritmética

Para que seja valida a aplicação do modelo, o primeiro termo da série de pagamentos, ou seja, a primeira prestação deve atender a condição definida:

S Q1 = + (n × K ) n Atendida a condição estabelecida para a primeira prestação da série de pagamentos pode, então, ser calculada a Taxa Interna de Retorno utilizando a seguinte expressão: MatemFinanceira~AULAS~abril2010

≅

nK S

Ressalta-se que, em a primeira prestação não atender a condição acima, o modelo não pode ser aplicado, cabendo ao interessado utilizar outra metodologia para a definição da TIR. 10.5 - Exercícios. a) Um equipamento é vendido, à vista, por R$ 480.000,00. Calcular as taxas de juros cobradas sob as seguintes condições:  Financiamento realizado em 10 prestações iguais e consecutivas no valor de R$ 78.118,00 mensais;  Em 10 pagamentos iguais, mensais e consecutivos, com a primeira prestação no valor de R$ 45.000,00 e as demais apresentando uma variação crescente segundo um coeficiente de 10% ao mês;  Em dez prestações decrescentes, mensais e consecutivas, pactuadas segundo a seqüência abaixo: R$ 73.000,00 R$ 63.000,00 R$ 53.000,00

R$ 70.500,00 R$ 60.500,00 R$ 50.500,00

R$ 68.000,00 R$ 58.000,00

b) Calcular a TIR vinculada ao financiamento de um automóvel nas seguintes condições de pagamento e venda.  Preço do Veículo: R$ 28.000,00  Entrada: R$ 5.000,00  Em trinta dias (1º pagamento): R$ 3.000,00  Saldo: cinco prestações mensais, iguais e consecutivas no valor de R$ 5.987,00. 148-167



c) Uma empresa varejista oferta uma geladeira gel-max em dez prestações iguais, mensais e consecutivas, no valor de R$ 599,90, vencendo a primeira delas 30 dias após a data de aquisição. O preço a vista do produto é de R$ 5.999,00, e a empresa não pratica desconto algum sobre este valor. Assim sendo, pergunta-se: O montante do lucro realizado; O custo do produto, CD. Para o calculo do preço, você dispõem dados gerenciais abaixo. A empresa fixa seu preço adotando o seguinte modelo matemático: • •

P = CD( 1+k ) e, k =ML + TR + DI. Taxa de financiamento a clientes Margem de lucro = ML Tributos = TR Despesas administrativas indiretas = DI


R$ 65.500,00 R$ 55.500,00

26,6750% ao ano 15% 22,50% 4,4%

149-167



c) Uma empresa varejista oferta uma geladeira gel-max em dez prestações iguais, mensais e consecutivas, no valor de R$ 599,90, vencendo a primeira delas 30 dias após a data de aquisição. O preço a vista do produto é de R$ 5.999,00, e a empresa não pratica desconto algum sobre este valor. Assim sendo, pergunta-se: O montante do lucro realizado; • O custo do produto, CD. Para o calculo do preço, você dispõem dados gerenciais abaixo. A empresa fixa seu preço adotando o seguinte modelo matemático: •

P = CD( 1+k ) e, k =ML + TR + DI. Taxa de financiamento a clientes Margem de lucro = ML Tributos = TR Despesas administrativas indiretas = DI

26,6750% ao ano 15% 22,50% 4,4%


149-167


ENGENHARIA ECONÔMICA •

11. – Comissionamento de Ativos.

• • •

11.1 – Definição. Este item trata do comissionamento de ativos e do leasing-back. Comissionar, no contexto em discussão, significa eleger um bem ou equipamento destinado a realizar uma determinada função ou serviço por um determinado período de tempo. A análise de investimentos permite incluir no processo de decisão da escolha de equipamentos a dimensão financeira. Dimensão esta que permite estabelecer uma política de aquisição, comissionamento e alienação de ativos que transcende à análise técnica dos mesmos. Considerando que as alternativas analisadas nos estudos de comissionamento, comumente, são destinadas a comparação de equipamentos que realizarão um mesmo serviço é comum analisar somente os custos a serem incorridos, nesses casos.

•

O leasing-back, é uma modalidade de financiamento de ativos, a partir da aquisição de um bem da empresa a ser financiada. Neste caso a empresa vende um ativo de sua propriedade para a financiadora que, imediatamente, lhe aluga ou financia o mesmo. 11.3 – Metodologia. 11.3.1 – Decisão. O processo de decisão adotado para aplicação na escolha da melhor das alternativas acima elencadas é o método do valor presente líquido. Para tanto, devem ser definidas as seguintes variáveis: • • •

Assim sendo, pode-se considerar, apenas, os custos associados a cada alternativa, procedimento que facilita o processo de tomada de decisão.

Compra a vista; Compra a prazo ou financiamento; Aluguel com devolução, ou leasing; Aluguel sem devolução; E, o leasing-back.

• • •

O valor do bem, ou seja, o seu preço de aquisição; A T.M.A. da empresa; A vida útil do bem ou equipamento; O valor residual; A taxa de juros do financiamento; O valor do aluguel.

11.2 – Tipos de comissionamentos.

A decisão será efetuada segundo a alternativa que apresentar o melhor Valor Presente Líquido - VPL.

O comissionamento pode se realizar sob as seguintes alternativas:

E, o valor presente líquido e os fluxos de caixa das alternativas são calculados segundo o modelo abaixo:


150-167



Compra a vista; Compra a prazo ou financiamento; Aluguel com devolução, ou leasing; Aluguel sem devolução; E, o leasing-back.

•

11. – Comissionamento de Ativos.

• • • •

11.1 – Definição. Este item trata do comissionamento de ativos e do leasing-back. Comissionar, no contexto em discussão, significa eleger um bem ou equipamento destinado a realizar uma determinada função ou serviço por um determinado período de tempo. A análise de investimentos permite incluir no processo de decisão da escolha de equipamentos a dimensão financeira. Dimensão esta que permite estabelecer uma política de aquisição, comissionamento e alienação de ativos que transcende à análise técnica dos mesmos. Considerando que as alternativas analisadas nos estudos de comissionamento, comumente, são destinadas a comparação de equipamentos que realizarão um mesmo serviço é comum analisar somente os custos a serem incorridos, nesses casos.

O leasing-back, é uma modalidade de financiamento de ativos, a partir da aquisição de um bem da empresa a ser financiada. Neste caso a empresa vende um ativo de sua propriedade para a financiadora que, imediatamente, lhe aluga ou financia o mesmo. 11.3 – Metodologia. 11.3.1 – Decisão. O processo de decisão adotado para aplicação na escolha da melhor das alternativas acima elencadas é o método do valor presente líquido. Para tanto, devem ser definidas as seguintes variáveis: O valor do bem, ou seja, o seu preço de aquisição; A T.M.A. da empresa; A vida útil do bem ou equipamento; O valor residual; A taxa de juros do financiamento; O valor do aluguel.

• • •

Assim sendo, pode-se considerar, apenas, os custos associados a cada alternativa, procedimento que facilita o processo de tomada de decisão.

• • •

11.2 – Tipos de comissionamentos.

A decisão será efetuada segundo a alternativa que apresentar o melhor Valor Presente Líquido - VPL.

O comissionamento pode se realizar sob as seguintes alternativas:

E, o valor presente líquido e os fluxos de caixa das alternativas são calculados segundo o modelo abaixo:


150-167


VP ( p ) = Fo

Fk k k = 1 (1 + i ) n

+

∑

Em que o valor do fluxo de caixa – FK, genérico, é definido pelo seguinte modelo: Fk = ΣReceitas – ΣDespesas – Investimentos + Deduções + VR


operação do bem. Um exemplo de fluxo de caixa desta operação é exposto na Fig.11.1. Além disso, deve considerar a vida útil do bem, ou seja, o tempo em que o mesmo estiver em comissionamento. Para tanto há que se considerar os tributos e taxas incidentes, custos e despesas necessárias à operação do mesmo, taxas e a depreciação legal, esta última, que melhora o fluxo de caixa.

Ou, $ - Valor Presente

Fk = Lucro – Investimentos + Deduções + valor residual Valor Residual

Alerta-se que, no calculo do valor presente de cada alternativa, a taxa de desconto i corresponde à TMA da empresa interessada. Nos itens a seguir serão discutidos os diagramas de fluxo de caixa típicos de cada uma das modalidades de comissionamento elencadas no item 11.2. A decisão da escolha da melhor alternativa, como já comentado, deverá ser realizada utilizando o método do Valor Presente Líquido. 11.3.2 - Compra a vista.

Deduções/depreciação 1

Tributos – taxas- manutenção

n

Meses/anos

Valor do bem Fig.11.1 – Fluxo de Caixa de Compra

Ao final da vida útil do projeto, o bem pode ser vendido e, deste modo, haver uma melhoria no ultimo fluxo de caixa, fato que pode vir a beneficiar sensivelmente o projeto.

A compra a vista é recomendável quando a empresa dispõe de caixa suficiente para a aquisição do bem e não prejudicar o nível do capital de giro.

11.3.3 - Compra a prazo.

Na compra a vista, o fluxo de caixa deve considerar o investimento inicial correspondendo ao valor do bem adquirido e todas as entradas e saídas de caixa propiciadas pela

Na compra a prazo, ou financiamento, o bem também é considerado, para efeitos legais, como propriedade da empresa.


151-167


VP ( p ) = Fo

Fk k k = 1 (1 + i ) n

+

∑

Em que o valor do fluxo de caixa – FK, genérico, é definido pelo seguinte modelo: Fk = ΣReceitas – ΣDespesas – Investimentos + Deduções + VR


operação do bem. Um exemplo de fluxo de caixa desta operação é exposto na Fig.11.1. Além disso, deve considerar a vida útil do bem, ou seja, o tempo em que o mesmo estiver em comissionamento. Para tanto há que se considerar os tributos e taxas incidentes, custos e despesas necessárias à operação do mesmo, taxas e a depreciação legal, esta última, que melhora o fluxo de caixa.

Ou, $ - Valor Presente

Fk = Lucro – Investimentos + Deduções + valor residual Valor Residual

Alerta-se que, no calculo do valor presente de cada alternativa, a taxa de desconto i corresponde à TMA da empresa interessada. Nos itens a seguir serão discutidos os diagramas de fluxo de caixa típicos de cada uma das modalidades de comissionamento elencadas no item 11.2. A decisão da escolha da melhor alternativa, como já comentado, deverá ser realizada utilizando o método do Valor Presente Líquido. 11.3.2 - Compra a vista.

Deduções/depreciação 1

Tributos – taxas- manutenção

n

Meses/anos

Valor do bem Fig.11.1 – Fluxo de Caixa de Compra

Ao final da vida útil do projeto, o bem pode ser vendido e, deste modo, haver uma melhoria no ultimo fluxo de caixa, fato que pode vir a beneficiar sensivelmente o projeto.

A compra a vista é recomendável quando a empresa dispõe de caixa suficiente para a aquisição do bem e não prejudicar o nível do capital de giro.

11.3.3 - Compra a prazo.

Na compra a vista, o fluxo de caixa deve considerar o investimento inicial correspondendo ao valor do bem adquirido e todas as entradas e saídas de caixa propiciadas pela

Na compra a prazo, ou financiamento, o bem também é considerado, para efeitos legais, como propriedade da empresa.



O fluxo de caixa associado a uma compra a aprazo deve levar em consideração: o valor da prestação, ai especificando o montante dos juros a serem pagos e o valor da amortização a cada período. Deve-se adicionar ao fluxo de caixa, também, os tributos e taxas incidentes, bem como a depreciação legal. Ver modelo de fluxo de caixa de compra a prazo na Fig.11.2. Neste caso, conforme já comentado no capitulo amortização de dívidas, o pagamento das prestações do financiamento deve ser decomposto na parcela dos juros e na de amortização. Prestação = Juros + Amortizações. Isto porque, os juros são considerados como despesas do exercício e susceptíveis à ação do imposto de renda.

151-167


A atratividade das alternativas de compra a prazo e, também, de aluguel é a possível disponibilidade do bem sem ocorrer a necessidade de descapitalização. Além disso, neste caso de financiamento ou aluguel sem a devolução do bem no final do período contratual, o pagamento do bem ocorre na medida em que vai sendo realizado o fluxo de receitas da empresa. 11.3.4 - Aluguel com devolução do bem. No caso de ocorrer aluguel com a devolução do bem no final do período de locação, operação comumente conhecida como leasing, o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. No final do período o bem retorna à posse do locador.

E, os valores das amortizações considerados como investimento. Contabilmente integram o ativo da empresa.

Neste caso o bem é considerado como propriedade do locador e o custo do aluguel contabilmente tratado como despesa do exercício. Ver modelo de fluxo de caixa na Fig.11.3. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

152-167


O fluxo de caixa associado a uma compra a aprazo deve levar em consideração: o valor da prestação, ai especificando o montante dos juros a serem pagos e o valor da amortização a cada período. Deve-se adicionar ao fluxo de caixa, também, os tributos e taxas incidentes, bem como a depreciação legal. Ver modelo de fluxo de caixa de compra a prazo na Fig.11.2. Neste caso, conforme já comentado no capitulo amortização de dívidas, o pagamento das prestações do financiamento deve ser decomposto na parcela dos juros e na de amortização. Prestação = Juros + Amortizações. Isto porque, os juros são considerados como despesas do exercício e susceptíveis à ação do imposto de renda.


A atratividade das alternativas de compra a prazo e, também, de aluguel é a possível disponibilidade do bem sem ocorrer a necessidade de descapitalização. Além disso, neste caso de financiamento ou aluguel sem a devolução do bem no final do período contratual, o pagamento do bem ocorre na medida em que vai sendo realizado o fluxo de receitas da empresa. 11.3.4 - Aluguel com devolução do bem. No caso de ocorrer aluguel com a devolução do bem no final do período de locação, operação comumente conhecida como leasing, o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. No final do período o bem retorna à posse do locador.

E, os valores das amortizações considerados como investimento. Contabilmente integram o ativo da empresa.

Neste caso o bem é considerado como propriedade do locador e o custo do aluguel contabilmente tratado como despesa do exercício. Ver modelo de fluxo de caixa na Fig.11.3. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

152-167


O valor do aluguel é definido por uma série uniforme postecipada, com prestações iguais, mensais e consecutivas. 11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem. No caso de ocorrer aluguel sem a devolução do bem, o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. E, durante o período de locação, o valor da mesma é considerado como despesa do exercício. Após expirar o contrato de aluguel, porém, o bem passa a integrar o patrimônio da empresa locatária avaliado pelo valor residual do mesmo. Neste caso pode haver uma operação de compra ou, simplesmente, a doação do bem pela arrendadora à empresa financiada. Ver Fig. 11.4.


11.4 - Leasing-back. O leasing-back é uma operação de leasing financeiro em que o próprio cliente atua também como fornecedor. Ele vende um ativo de sua propriedade para a empresa arrendadora que, em seguida, lhe arrenda o bem. Ao fim do contrato, o cliente recompra o bem pelo valor residual garantido (VRG3). O valor residual garantido corresponde a uma porcentagem do valor de aquisição, segundo condições contratualmente estabelecidas. Na prática, o leasing-back funciona como uma maneira simples e rápida de se obter capital de giro de longo prazo com garantia real e sem incidência de Imposto sobre Operações Financeiras, IOF. A empresa vende um bem do seu ativo imobilizado sem perder o uso do mesmo, e depois o recompra.

Em decorrência deste fato, ao final do projeto, há que se considerar o valor do mesmo como uma entrada de caixa, segundo o valor previsto para aquela época. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

(3) Fonte: http://www.unibanco.com.br/epd/emp/rei/bac/index.asp. 20.10.2009. 153-167


O valor do aluguel é definido por uma série uniforme postecipada, com prestações iguais, mensais e consecutivas. 11.3.5 - Aluguel sem devolução do bem. No caso de ocorrer aluguel sem a devolução do bem, o custo do aluguel ocorre durante toda a vida do projeto. E, durante o período de locação, o valor da mesma é considerado como despesa do exercício. Após expirar o contrato de aluguel, porém, o bem passa a integrar o patrimônio da empresa locatária avaliado pelo valor residual do mesmo. Neste caso pode haver uma operação de compra ou, simplesmente, a doação do bem pela arrendadora à empresa financiada. Ver Fig. 11.4.


11.4 - Leasing-back. O leasing-back é uma operação de leasing financeiro em que o próprio cliente atua também como fornecedor. Ele vende um ativo de sua propriedade para a empresa arrendadora que, em seguida, lhe arrenda o bem. Ao fim do contrato, o cliente recompra o bem pelo valor residual garantido (VRG3). O valor residual garantido corresponde a uma porcentagem do valor de aquisição, segundo condições contratualmente estabelecidas. Na prática, o leasing-back funciona como uma maneira simples e rápida de se obter capital de giro de longo prazo com garantia real e sem incidência de Imposto sobre Operações Financeiras, IOF. A empresa vende um bem do seu ativo imobilizado sem perder o uso do mesmo, e depois o recompra.

Em decorrência deste fato, ao final do projeto, há que se considerar o valor do mesmo como uma entrada de caixa, segundo o valor previsto para aquela época. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

(3) Fonte: http://www.unibanco.com.br/epd/emp/rei/bac/index.asp. 20.10.2009. 153-167



O fluxo de caixa para análise desta operação deve considerar como entrada de caixa o valor de venda do bem no momento da operação. E, como saídas de caixa: os custos do aluguel/leasing; as possíveis despesas de manutenção; e o valor de recompra no final do período. Ver Fig. 11.5. A vantagem neste tipo de operação financeira é que ela possibilita o alongamento do perfil do endividamento de curto para longo prazo. Além disso, possibilita à empresa a realização de planejamento fiscal e tributário, pois o cliente utiliza-se das vantagens contábeis e fiscais do leasing financeiro para bens anteriormente incorporados ao seu ativo imobilizado. 11.5 - Exercícios a) O Diretor Financeiro da MORSA Construções & Engenharia esta estudando a substituição e padronização de sua frota de automóveis, pois deseja adquirir dez novas unidades.

•

•

•

•

• •

A instrução normativa nº 162 da Receita Federal permite depreciar um automóvel em 5 (cinco) anos; Taxas e imposto sobre propriedade de veículos montam a 3% ao ano sobre o valor do mesmo, variando segundo o tempo de uso; O Diretor dispõe de uma proposta de leasing no valor de R$ 1.888,00 mensais, por veículo. A empresa CV-leasing substitui os veículos a cada dois anos; A Fightwell, empresa coligada à concessionária de veículos, se propõe a financiar os veículos pelo prazo de 60 (sessenta) meses, ao custo de 1.335,00 mensais por veículo. Tributos e taxas não estão inclusos neste valor. Uma análise dos custos anuais de manutenção de veículos da empresa mostra que evoluem, anualmente, sendo de: 4% do valor do veículo novo no primeiro ano, 5% do valor do veículo novo no segundo ano; e crescendo 1% a cada período. Após o quinto ano é política da empresa alienar seus veículos. A soma das alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro, imposto de renda e contribuição social sobre o lucro líquido, montam a 24%.

Estude, analise e recomende qual será a ação financeiramente mais interessante de comissionamento possível. Para tanto, estão disponíveis as seguintes informações: • • •

A MORSA adota uma TMA de 15% ao ano; O preço de um veículo novo é de R$ 45.300,00. O mesmo veículo com cinco anos de uso pode ser negociado a 20% do valor do novo;


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O fluxo de caixa para análise desta operação deve considerar como entrada de caixa o valor de venda do bem no momento da operação. E, como saídas de caixa: os custos do aluguel/leasing; as possíveis despesas de manutenção; e o valor de recompra no final do período. Ver Fig. 11.5. A vantagem neste tipo de operação financeira é que ela possibilita o alongamento do perfil do endividamento de curto para longo prazo. Além disso, possibilita à empresa a realização de planejamento fiscal e tributário, pois o cliente utiliza-se das vantagens contábeis e fiscais do leasing financeiro para bens anteriormente incorporados ao seu ativo imobilizado. 11.5 - Exercícios a) O Diretor Financeiro da MORSA Construções & Engenharia esta estudando a substituição e padronização de sua frota de automóveis, pois deseja adquirir dez novas unidades.

•

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• •

A instrução normativa nº 162 da Receita Federal permite depreciar um automóvel em 5 (cinco) anos; Taxas e imposto sobre propriedade de veículos montam a 3% ao ano sobre o valor do mesmo, variando segundo o tempo de uso; O Diretor dispõe de uma proposta de leasing no valor de R$ 1.888,00 mensais, por veículo. A empresa CV-leasing substitui os veículos a cada dois anos; A Fightwell, empresa coligada à concessionária de veículos, se propõe a financiar os veículos pelo prazo de 60 (sessenta) meses, ao custo de 1.335,00 mensais por veículo. Tributos e taxas não estão inclusos neste valor. Uma análise dos custos anuais de manutenção de veículos da empresa mostra que evoluem, anualmente, sendo de: 4% do valor do veículo novo no primeiro ano, 5% do valor do veículo novo no segundo ano; e crescendo 1% a cada período. Após o quinto ano é política da empresa alienar seus veículos. A soma das alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro, imposto de renda e contribuição social sobre o lucro líquido, montam a 24%.

Estude, analise e recomende qual será a ação financeiramente mais interessante de comissionamento possível. Para tanto, estão disponíveis as seguintes informações: • • •

A MORSA adota uma TMA de 15% ao ano; O preço de um veículo novo é de R$ 45.300,00. O mesmo veículo com cinco anos de uso pode ser negociado a 20% do valor do novo;



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABREU, Paulo F. Simas P. de & STEPHAN, Christian. "Análise de Investimentos". Editora Campus Ltda. 1982. AVILA, Antonio V. e JUNGLES, Antonio E. Gerenciamento na Construção Civil. Editora Argos. Chapecó. SC. 2006. BIERMAN Jr., Harold and SMIDT Seymour.The Capital Budgeting Decision. MacMillan, 1975. CARVALHO, Fernando M; RODRIGUES, José A.; PINTO, Luiz F., RODRIGUES, Sérgio F. – “Análise e Administração Financeira”, IBMEC, 1980. DE FARO, Clóvis – “Engenharia Econômica” Editora APEC. Rio de Janeiro. 1972. ................................ Curso de Engenharia de Produção. Disciplina Modelos Aplicados à Análise de Investimentos. Notas de Aula. Pontifícia Universidade Católica. Departamento de Engenharia Industrial. Rio de Janeiro. RJ. 1980.

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MAITAL, Shlomo. “Economia Para Executivos”, Editora Campus. Rio de Janeiro. 1996. MATHIAS, Washington F., GOMES, José M. – “Matemática Financeira”, ATLAS, 1977. MAYER, Raymond R. – “Análise Financeira de Alternativas de Investimento”, ATLAS, 1972. SANVICENTE, Antonio Z. – “Administração Financeira”, ATLAS, 1978. SOTO COSTA, Paulo H. O problema do Capital de Giro na Análise de Viabilidade de Projetos. DEI / PUC – Rio, 1979. SOTO COSTA, Paulo H. Introdução à Análise Investimentos. DEI / PUC. Rio de Janeiro. RJ. 1.979.

-----------------------, ATTIE, Eduardo Vieira. Análise de Projetos de Investimentos. Editora da Fundação Getúlio Vargas. Rio de Janeiro. RJ. 1984.

GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. 2ª Edição. Editora Bookman. Porto Alegre, RS. 2001. LIMA JUNIOR, João da Rocha. “Formação da Taxa de Retorno em Empreendimentos de Base Imobiliária”. Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP. BT/PCC/218. EPESP. São Paulo. 1998.


de

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MAITAL, Shlomo. “Economia Para Executivos”, Editora Campus. Rio de Janeiro. 1996.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABREU, Paulo F. Simas P. de & STEPHAN, Christian. "Análise de Investimentos". Editora Campus Ltda. 1982. AVILA, Antonio V. e JUNGLES, Antonio E. Gerenciamento na Construção Civil. Editora Argos. Chapecó. SC. 2006. BIERMAN Jr., Harold and SMIDT Seymour.The Capital Budgeting Decision. MacMillan, 1975. CARVALHO, Fernando M; RODRIGUES, José A.; PINTO, Luiz F., RODRIGUES, Sérgio F. – “Análise e Administração Financeira”, IBMEC, 1980. DE FARO, Clóvis – “Engenharia Econômica” Editora APEC. Rio de Janeiro. 1972. ................................ Curso de Engenharia de Produção. Disciplina Modelos Aplicados à Análise de Investimentos. Notas de Aula. Pontifícia Universidade Católica. Departamento de Engenharia Industrial. Rio de Janeiro. RJ. 1980.

MATHIAS, Washington F., GOMES, José M. – “Matemática Financeira”, ATLAS, 1977. MAYER, Raymond R. – “Análise Financeira de Alternativas de Investimento”, ATLAS, 1972. SANVICENTE, Antonio Z. – “Administração Financeira”, ATLAS, 1978. SOTO COSTA, Paulo H. O problema do Capital de Giro na Análise de Viabilidade de Projetos. DEI / PUC – Rio, 1979. SOTO COSTA, Paulo H. Introdução à Análise Investimentos. DEI / PUC. Rio de Janeiro. RJ. 1.979.

-----------------------, ATTIE, Eduardo Vieira. Análise de Projetos de Investimentos. Editora da Fundação Getúlio Vargas. Rio de Janeiro. RJ. 1984.

GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. 2ª Edição. Editora Bookman. Porto Alegre, RS. 2001. LIMA JUNIOR, João da Rocha. “Formação da Taxa de Retorno em Empreendimentos de Base Imobiliária”. Boletim Técnico da Escola Politécnica da USP. BT/PCC/218. EPESP. São Paulo. 1998.


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1.6. Adote, a seu critério, uma taxa de desconto para efetuar sua decisão.

ANEXOS - Trabalhos A.1 – Caso: Análise de Fluxo de Caixa. Equipe n.º Aluno –

Rubrica:

Aluno –

Rubrica:

1 - Exercício Proposto: Comparar e analisar os projetos abaixo. Para tanto pede-se: 1.1. Calcular o Valor Presente e a Taxa Interna de Retorno; 1.2. Efetuar relatório comparativo da analise dos resultados obtidos por cada método. Informar qual sua decisão; 1.3. Apresentar num mesmo gráfico e em papel milimetrado – A4, os diagramas de valor presente de cada projeto, bem como o quadro correspondente a cada ponto calculado da curva; 1.4. Calcular o Custo Anual Equivalente/Beneficio Anual Equivalente. 1.5. Apresentar num mesmo gráfico utilizando o EXCEL, as curvas representativas de cada projeto, bem como o quadro correspondente a cada ponto calculado da curva;


de

2 – Condições: 2.1. Cada equipe será integrada, no máximo, por dois alunos; 2.2. Esta folha de instrução será a CAPA DO TRABALHO; 2.3. O trabalho será realizado em papel A4; 2.4. O Número da Equipe, preenchido no quadro acima, equivale ao número do EXERCÍCIO indicado na folha dos fluxos de caixa, anexa. Esta folha anexa não precisa ser devolvida. 2.5 Copiar do Quadro dos Fluxos de Caixa, abaixo, os projetos que lhes couber, antes de iniciar a apresentação da memória de cálculo.; 2.6. O trabalho será entregue, impreterivelmente, no início da 15ª aula. 2.7. Haverá desconto de dois (02) pontos por dia de atraso de entrega. 3 – Julgamento: 3.1. 3.2. 3.3.

Qualidade e Apresentação do Trabalho; 2 pts. Memória de cálculo; 4 pts. Exatidão dos resultados. 4 pts.

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1.6. Adote, a seu critério, uma taxa de desconto para efetuar sua decisão.

ANEXOS - Trabalhos A.1 – Caso: Análise de Fluxo de Caixa.

2 – Condições: 2.1. Cada equipe será integrada, no máximo, por dois alunos; 2.2. Esta folha de instrução será a CAPA DO TRABALHO; 2.3. O trabalho será realizado em papel A4; 2.4. O Número da Equipe, preenchido no quadro acima, equivale ao número do EXERCÍCIO indicado na folha dos fluxos de caixa, anexa. Esta folha anexa não precisa ser devolvida. 2.5 Copiar do Quadro dos Fluxos de Caixa, abaixo, os projetos que lhes couber, antes de iniciar a apresentação da memória de cálculo.; 2.6. O trabalho será entregue, impreterivelmente, no início da 15ª aula. 2.7. Haverá desconto de dois (02) pontos por dia de atraso de entrega.

Equipe n.º Aluno –

Rubrica:

Aluno –

Rubrica:

1 - Exercício Proposto: Comparar e analisar os projetos abaixo. Para tanto pede-se: 1.1. Calcular o Valor Presente e a Taxa Interna de Retorno; 1.2. Efetuar relatório comparativo da analise dos resultados obtidos por cada método. Informar qual sua decisão; 1.3. Apresentar num mesmo gráfico e em papel milimetrado – A4, os diagramas de valor presente de cada projeto, bem como o quadro correspondente a cada ponto calculado da curva; 1.4. Calcular o Custo Anual Equivalente/Beneficio Anual Equivalente. 1.5. Apresentar num mesmo gráfico utilizando o EXCEL, as curvas representativas de cada projeto, bem como o quadro correspondente a cada ponto calculado da curva;

3 – Julgamento: 3.1. 3.2. 3.3.

Qualidade e Apresentação do Trabalho; 2 pts. Memória de cálculo; 4 pts. Exatidão dos resultados. 4 pts.


Exercic Projeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B

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F0

F1

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-100 -100 -80 -155 -10 25 -80 -70 -20 -50 -60 -112 -19 -100 -45 -20 -20 -40 -100 -125 -445 -125 -145 -174 -96 -140 -72 -50 -50 -45 -56 -50 -285 -280 -20 0

-100 -90 -90 -320 -300 25 -45 -20 -65 -78 -63 -30 -80 -40 -50 -50 -240 -100 25 15 -100 -245 -174 -108 -140 -64 -124 -75 -60 -55 -56 -40 -35 -30 -30 -55

-30 -50 -100 25 -200 -200 45 -20 65 78 63 -45 -20 -20 0 -10 -80 -15 21 60 -30 -80 -90 -120 21 32 -25 -15 -40 -65 -45 -60 20 -30 -30 -30

25 -32 -50 -30 -100 -200 47 40 125 148 66 14 30 10 10 50 60 -15 50 60 33 -20 -14 66 21 8 25 15 20 20 -40 -70 20 40 10 0

33 15 55 90 80 -150 48 40 -46 58 67 16 40 30 10 50 70 70 50 -45 44 90 107 66 62 17 25 15 20 20 -35 -80 -30 40 20 20

44 30 55 90 90 50 -33 -12 -48 -57 -50 16 40 50 20 50 80 70 50 -40 60 120 136 66 -28 20 26 16 20 20 50 -80 -30 40 30 30

55 45 55 150 120 -45 -33 42 -15 -50 -20 20 50 50 20 50 70 90 50 60 55 100 120 77 -30 -15 25 25 30 25 60 70 30 -15 30 30

60 60 55 120 150 80 -30 -15 120 145 -50 30 80 80 50 30 190 90 50 80 -70 -100 100 100 100 -7 20 10 30 25 70 70 40 -15 30 30

65 75 75 120 320 80 80 60 130 150 120 40 80 80 50 20 180 120 63 119 -30 120 -136 90 112 125 -15 -15 30 40 80 75 40 60 40 30

80 90 175 190 320 200 88 70 155 180 125 50 50 80 50 20 170 120 75 165 80 120 -88 95 112 124 40 24 40 50 90 75 50 60 40 30

60 105 180 110 450 200 90 80 150 170 130 60 54 61 21 20 15 120 80 222 122 120 113 136 122 112 34 50 40 50 100 75 50 70 40 30

30 120 160 110 400 200 25 90 180 120 35 70 60 -20 25 30 60 100 84 333 50 80 124 192 140 122 75 45 20 20 100 90 60 70 40 30

-20 135 160 120 40 200 20 100 200 120 30 -45 80 -15 25 50 50 100 91 321 200 80 39 -24 123 123 124 77 10 15 90 90 60 80 20 20

-10 150 -20 100 -20 100 15 145 125 -30 30 30 20 10 -15 50 -77 80 98 55 200 60 63 245 112 125 123 75 5 10 80 100 65 80 -5 -5

4 -50 25 20 -15 -12 10 -10 15 -15 30 -20 -20 20 -10 -30 5 -20 -45 -30 200 50 -23 -10 -20 -40 -55 10 -10 -15 80 120 -50 20 -10 -10


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Exercic Projeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B

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-100 -100 -80 -155 -10 25 -80 -70 -20 -50 -60 -112 -19 -100 -45 -20 -20 -40 -100 -125 -445 -125 -145 -174 -96 -140 -72 -50 -50 -45 -56 -50 -285 -280 -20 0

-100 -90 -90 -320 -300 25 -45 -20 -65 -78 -63 -30 -80 -40 -50 -50 -240 -100 25 15 -100 -245 -174 -108 -140 -64 -124 -75 -60 -55 -56 -40 -35 -30 -30 -55

-30 -50 -100 25 -200 -200 45 -20 65 78 63 -45 -20 -20 0 -10 -80 -15 21 60 -30 -80 -90 -120 21 32 -25 -15 -40 -65 -45 -60 20 -30 -30 -30

25 -32 -50 -30 -100 -200 47 40 125 148 66 14 30 10 10 50 60 -15 50 60 33 -20 -14 66 21 8 25 15 20 20 -40 -70 20 40 10 0

33 15 55 90 80 -150 48 40 -46 58 67 16 40 30 10 50 70 70 50 -45 44 90 107 66 62 17 25 15 20 20 -35 -80 -30 40 20 20

44 30 55 90 90 50 -33 -12 -48 -57 -50 16 40 50 20 50 80 70 50 -40 60 120 136 66 -28 20 26 16 20 20 50 -80 -30 40 30 30

55 45 55 150 120 -45 -33 42 -15 -50 -20 20 50 50 20 50 70 90 50 60 55 100 120 77 -30 -15 25 25 30 25 60 70 30 -15 30 30

60 60 55 120 150 80 -30 -15 120 145 -50 30 80 80 50 30 190 90 50 80 -70 -100 100 100 100 -7 20 10 30 25 70 70 40 -15 30 30

65 75 75 120 320 80 80 60 130 150 120 40 80 80 50 20 180 120 63 119 -30 120 -136 90 112 125 -15 -15 30 40 80 75 40 60 40 30

80 90 175 190 320 200 88 70 155 180 125 50 50 80 50 20 170 120 75 165 80 120 -88 95 112 124 40 24 40 50 90 75 50 60 40 30

60 105 180 110 450 200 90 80 150 170 130 60 54 61 21 20 15 120 80 222 122 120 113 136 122 112 34 50 40 50 100 75 50 70 40 30

30 120 160 110 400 200 25 90 180 120 35 70 60 -20 25 30 60 100 84 333 50 80 124 192 140 122 75 45 20 20 100 90 60 70 40 30

-20 135 160 120 40 200 20 100 200 120 30 -45 80 -15 25 50 50 100 91 321 200 80 39 -24 123 123 124 77 10 15 90 90 60 80 20 20

-10 150 -20 100 -20 100 15 145 125 -30 30 30 20 10 -15 50 -77 80 98 55 200 60 63 245 112 125 123 75 5 10 80 100 65 80 -5 -5

4 -50 25 20 -15 -12 10 -10 15 -15 30 -20 -20 20 -10 -30 5 -20 -45 -30 200 50 -23 -10 -20 -40 -55 10 -10 -15 80 120 -50 20 -10 -10


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A.2 - Caso: Métodos de amortização. Aluno (forma):

Rubrica:

Aluno (forma):

Rubrica: 1 – Calcular as prestações (juros + amortização) do financiamento indicado. 2 – Entrega do trabalho – 15ª aula. 3 – Apresentar memória de calculo e a metodologia utilizada para o calculo das prestações; 4 – Anexar esta folha ao trabalho, bem como a tabela de correção monetária. 5 – Definir a prestação mensalmente. 6 – Efetuar, APENAS, o calculo relativo às cinco primeiras prestações completas ( juros + amortizações) e monetariamente corrigidas. 7 – Mesmo quando os juros não são pagos durante a carência, eles são devidos. 8 – Índices de correção monetária: FTTP://www.debit.com.br Equipe

Montante R$ mil

Prazo do Contrato Anos

Carência Meses

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 135 155 180

5 anos 5,5 6,5 7,0 8,0 9,0 10,0 8,5 7,5 6,5 7,00 9,0 6,00 7,5 6,0 5,0

6 9 12 11 12 12 10 12 11 15 8 10 8 15 9 6


Juros Pagos na Carência Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim

Juros Mensais % 3,5 3,0 2,5 2,0 3,3 2,4 2,0 2,0 2,5 3,0 3,5 2,5 2,0 3,0 1,5 2,0

Método Amortização Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante

Atualização Monetária Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Quadrimestral Trimestral Quadrimestral semestral

158-167

Inflação Mensal % INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC

A.2 - Caso: Métodos de amortização. Aluno (forma):

Rubrica:

Aluno (forma):

Rubrica:

1 – Calcular as prestações (juros + amortização) do financiamento indicado. 2 – Entrega do trabalho – 15ª aula. 3 – Apresentar memória de calculo e a metodologia utilizada para o calculo das prestações; 4 – Anexar esta folha ao trabalho, bem como a tabela de correção monetária. 5 – Definir a prestação mensalmente. 6 – Efetuar, APENAS, o calculo relativo às cinco primeiras prestações completas ( juros + amortizações) e monetariamente corrigidas. 7 – Mesmo quando os juros não são pagos durante a carência, eles são devidos. 8 – Índices de correção monetária: FTTP://www.debit.com.br Equipe

Montante R$ mil

Prazo do Contrato Anos

Carência Meses

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 135 155 180

5 anos 5,5 6,5 7,0 8,0 9,0 10,0 8,5 7,5 6,5 7,00 9,0 6,00 7,5 6,0 5,0

6 9 12 11 12 12 10 12 11 15 8 10 8 15 9 6

Juros Pagos na Carência Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim Não Sim


Juros Mensais % 3,5 3,0 2,5 2,0 3,3 2,4 2,0 2,0 2,5 3,0 3,5 2,5 2,0 3,0 1,5 2,0

Método Amortização Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante Amortização constante Prestação constante

Atualização Monetária Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Bimestral Trimestral Quadrimestral Anual Quadrimestral Trimestral Quadrimestral semestral

Inflação Mensal % INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC IPC-A IGPM INPC

158-167

A.3 – Caso: Viabilidade de troca de lâmpadas. EQUIPE: Nome do Aluno

Rubrica

Nome do Aluno

1- Objeto do trabalho Elaborar um estudo de viabilidade técnico econômico cujo objetivo é a substituição de luminárias incandescentes por lâmpadas fluorescentes eletrônicas, sem prejuízo para a qualidade de iluminação.

3 – Do julgamento: • Qualidade e Apresentação do Trabalho: 2 pts. • Entendimento do processo: 4 pts. • Exatidão dos resultados: 3 pts. • Esta folha deverá ser entregue anexa ao relatório (1ª FOLHA): 1 pto.

1 – Exigibilidades Acadêmicas: Cada equipe será composta por DOIS alunos, no máximo. Data de entrega do relatório: no início da 15ª aula. Cada dia de atraso, penalidade de (02) dois pontos. A correção será efetuada se o aluno cumprir todos os requisitos solicitados;

Obs: Para realizar suas recomendações ou conclusões há que definir: - o tempo de utilização diária de cada equipamento; - o tempo ideal de substituição dos investimentos em análise; - Ou, o tempo em que os dos equipamentos se equivalem.

2 - Do Trabalho 2.1 - Apresentar em forma de relatório técnico. 2.2 - Especificar as condições de utilização de cada equipamento Descrição (especificações técnicas) dos equipamentos analisados. 2.3 - Forma do relatório. • Objeto do Relatório. • Conclusão Efetuada. • Relatar e justificar o método de análise, explicando o motivo da adoção do método eleito; • Explicitar as premissas adotadas. • Memória de Cálculo.


159-167

A.3 – Caso: Viabilidade de troca de lâmpadas. EQUIPE: Nome do Aluno

Rubrica

Nome do Aluno

1- Objeto do trabalho Elaborar um estudo de viabilidade técnico econômico cujo objetivo é a substituição de luminárias incandescentes por lâmpadas fluorescentes eletrônicas, sem prejuízo para a qualidade de iluminação.

3 – Do julgamento: • Qualidade e Apresentação do Trabalho: 2 pts. • Entendimento do processo: 4 pts. • Exatidão dos resultados: 3 pts. • Esta folha deverá ser entregue anexa ao relatório (1ª FOLHA): 1 pto.

1 – Exigibilidades Acadêmicas: Cada equipe será composta por DOIS alunos, no máximo. Data de entrega do relatório: no início da 15ª aula. Cada dia de atraso, penalidade de (02) dois pontos. A correção será efetuada se o aluno cumprir todos os requisitos solicitados;

Obs: Para realizar suas recomendações ou conclusões há que definir: - o tempo de utilização diária de cada equipamento; - o tempo ideal de substituição dos investimentos em análise; - Ou, o tempo em que os dos equipamentos se equivalem.

2 - Do Trabalho 2.1 - Apresentar em forma de relatório técnico. 2.2 - Especificar as condições de utilização de cada equipamento Descrição (especificações técnicas) dos equipamentos analisados. 2.3 - Forma do relatório. • Objeto do Relatório. • Conclusão Efetuada. • Relatar e justificar o método de análise, explicando o motivo da adoção do método eleito; • Explicitar as premissas adotadas. • Memória de Cálculo.


Equipe

159-167

Situação Existente

Categoria Consumidora

A1

5 × 60 watts

Residência Baixa Renda

B2

7 × 60 + 1 100 watts


C3

4 × 40 watts + 2 × 60 w


D4

12 x 100 watts + 13× 60 W+ 25 W (3T)

Residência Alta Renda

E5

2 × 40W + 8 × 60 w + 3 × 100 w + 2× 100(N)


F6

4 × 60 W(N) + 5×100 W+ 4×200 W


G7

12×60 W+ 10 × 100 w + 3 × 100 w + 4× 250(N)


H8

15×40W+1 6 × 60 w + 6 × 100W (E1T) + 8 × 200W


I9

10 × 60 w (E) + 5 × 250 w+ 2× 100 W

Comercial – 1 turno

J10

20 × 100 w(E) + 4 x 60 w(N)

Comercial – 2 turnos

K11

50 × 100 w(E) + 30 × 200 w


L12

15 × 100 W(E) + 25 × 200 W + 4× 100 W (N)


M13 N14

45 × 100 w + 50 x 200 W+12 × 60 w (E2T) 45 × 100 W (E) +10 × 60(N)

Comercial – 3 turnos Comercial – 1 turno

O15

50 × 100 W + 25 × 200 W + 6 × 100 (E-1T)

Comercial – 24 horas

P16

40×100 W + 50× 200 W + 20 × 60 W


Q17

Supermercado – 2 turnos

R18

100 × 60 W + 75× 100 W + 10 x100 W (N) 100 × 100 W + 70× 200 W + 25 x100W (E-2T)

S19

180 × 200 W + 100 × 200 W + 85 x 100 W (E-1T)

Industrial – 2 turnos

T20

90 × 200 W + 30 × 100 W + 45 × 150 W (E-2T)


Supermercado 24 horas

3 – Nomenclatura. No quadro, as abreviaturas indicam: 3.1 (E1T) correspondem à iluminação dos escritórios utilizados durante 1ou 2 Turnos. T = turno de trabalho. 3.2 (N) corresponde a equipamento de segurança utilizado exclusivamente durante a noite visando proteção noturna, 12horas. 3.3 Constitucionalmente, 1 turno de trabalho corresponde a 8 horas p/ dia, com 44 horas semanais de jornada, com duas horas de intervalo para refeição. 3.4 No caso de turno corrido, a jornada é de 6 horas diárias. 3.5 No caso de residências, arbitre o número de horas em que cada tipo de lâmpada ficará acesa, baseando-se na sua observação do cotidiano de uma família. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

160-167

Equipe

Situação Existente

Categoria Consumidora

A1

5 × 60 watts


B2

7 × 60 + 1 100 watts


C3

4 × 40 watts + 2 × 60 w


D4

12 x 100 watts + 13× 60 W+ 25 W (3T)


E5

2 × 40W + 8 × 60 w + 3 × 100 w + 2× 100(N)


F6

4 × 60 W(N) + 5×100 W+ 4×200 W


G7

12×60 W+ 10 × 100 w + 3 × 100 w + 4× 250(N)


H8

15×40W+1 6 × 60 w + 6 × 100W (E1T) + 8 × 200W


I9

10 × 60 w (E) + 5 × 250 w+ 2× 100 W


J10

20 × 100 w(E) + 4 x 60 w(N)


K11

50 × 100 w(E) + 30 × 200 w


L12

15 × 100 W(E) + 25 × 200 W + 4× 100 W (N)


M13 N14

45 × 100 w + 50 x 200 W+12 × 60 w (E2T) 45 × 100 W (E) +10 × 60(N)

Comercial – 3 turnos Comercial – 1 turno

O15

50 × 100 W + 25 × 200 W + 6 × 100 (E-1T)

Comercial – 24 horas

P16

40×100 W + 50× 200 W + 20 × 60 W


Q17

Supermercado – 2 turnos

R18

100 × 60 W + 75× 100 W + 10 x100 W (N) 100 × 100 W + 70× 200 W + 25 x100W (E-2T)

S19

180 × 200 W + 100 × 200 W + 85 x 100 W (E-1T)


T20

90 × 200 W + 30 × 100 W + 45 × 150 W (E-2T)


Supermercado 24 horas

3 – Nomenclatura. No quadro, as abreviaturas indicam: 3.1 (E1T) correspondem à iluminação dos escritórios utilizados durante 1ou 2 Turnos. T = turno de trabalho. 3.2 (N) corresponde a equipamento de segurança utilizado exclusivamente durante a noite visando proteção noturna, 12horas. 3.3 Constitucionalmente, 1 turno de trabalho corresponde a 8 horas p/ dia, com 44 horas semanais de jornada, com duas horas de intervalo para refeição. 3.4 No caso de turno corrido, a jornada é de 6 horas diárias. 3.5 No caso de residências, arbitre o número de horas em que cada tipo de lâmpada ficará acesa, baseando-se na sua observação do cotidiano de uma família. MatemFinanceira~AULAS~abril2010

160-167

A.4 – Caso: Aquisição de impressora. EQUIPE: Nome do Aluno

Rubrica

Nome do Aluno

1- Objeto do trabalho Elaborar um estudo de viabilidade técnico econômico necessário a aquisição da impressora para computador mais econômica, financeiramente, a ser utilizada em empresa de consultoria onde você atua! 2 – Informações de Produção da Empresa. Nº cópias pretas por mês: Nº cópias coloridas por mês: 3- Condições: 1. Cada equipe será composta por dois alunos, no máximo. 2. Data de entrega do relatório: no início da 16ª aula. Cada dia de atraso, penalidade de (02) dois pontos. 3. Especificar as condições de utilização de cada equipamento. 4. Apresentar em forma de relatório técnico. 5. Forma do relatório. 5.1 - Objeto do Relatório. (1 pto.) 5.2 - Conclusão Efetuada. (1pto) 5.3 - Explicitar as premissas adotadas. ( 1 pto). 5.4 -Memória de Cálculo. (4 pts) 5.5 - A apresentação será julgada como parte do valor do relatório de viabilidade. (2 pts). 6. Esta folha deverá ser entregue anexa ao relatório (1ª FOLHA) – (1pto); 7. A correção será efetuada se o aluno cumprir todos os requisitos solicitados; 8. Para realizar suas recomendações ou conclusões há que: 8.1 - Definir o método de análise, explicando o motivo da adoção do método eleito; 8.2 – Estabelecer uma taxa de desconto.


161-167

A.4 – Caso: Aquisição de impressora. EQUIPE: Nome do Aluno

Rubrica

Nome do Aluno

1- Objeto do trabalho Elaborar um estudo de viabilidade técnico econômico necessário a aquisição da impressora para computador mais econômica, financeiramente, a ser utilizada em empresa de consultoria onde você atua! 2 – Informações de Produção da Empresa. Nº cópias pretas por mês: Nº cópias coloridas por mês: 3- Condições: 1. Cada equipe será composta por dois alunos, no máximo. 2. Data de entrega do relatório: no início da 16ª aula. Cada dia de atraso, penalidade de (02) dois pontos. 3. Especificar as condições de utilização de cada equipamento. 4. Apresentar em forma de relatório técnico. 5. Forma do relatório. 5.1 - Objeto do Relatório. (1 pto.) 5.2 - Conclusão Efetuada. (1pto) 5.3 - Explicitar as premissas adotadas. ( 1 pto). 5.4 -Memória de Cálculo. (4 pts) 5.5 - A apresentação será julgada como parte do valor do relatório de viabilidade. (2 pts). 6. Esta folha deverá ser entregue anexa ao relatório (1ª FOLHA) – (1pto); 7. A correção será efetuada se o aluno cumprir todos os requisitos solicitados; 8. Para realizar suas recomendações ou conclusões há que: 8.1 - Definir o método de análise, explicando o motivo da adoção do método eleito; 8.2 – Estabelecer uma taxa de desconto.


Marca

Preço Impressora


161-167

Preço Cartucho Preto

Cópias por cartucho preto

Preço Cartucho Colorido

Cópias por Colorido

162-167

Cópias impressora

por

Preço Impressora

Marca

Preço Cartucho Preto

Cópias por cartucho preto

Preço Cartucho Colorido

Cópias por Colorido


Cópias impressora

por

162-167

2,00%

Período

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Pagamento Único Valor Valor Presente Futuro 1 (1

+

i)

n

0,98039 0,96117 0,94232 0,92385 0,90573 0,88797 0,87056 0,85349 0,83676 0,82035 0,80426 0,78849 0,77303 0,75788 0,74301 0,72845 0,71416 0,70016 0,68643 0,67297 0,65978 0,64684

(1 + i )

n

1,02000 1,04040 1,06121 1,08243 1,10408 1,12616 1,14869 1,17166 1,19509 1,21899 1,24337 1,26824 1,29361 1,31948 1,34587 1,37279 1,40024 1,42825 1,45681 1,48595 1,51567 1,54598

Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Fator de Fator de Fator de Fator de Valor Atual Recuperação Acumulação Formação (1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n

FVP 0,98039 1,94156 2,88388 3,80773 4,71346 5,60143 6,47199 7,32548 8,16224 8,98259 9,78685 10,57534 11,34837 12,10625 12,84926 13,57771 14,29187 14,99203 15,67846 16,35143 17,01121 17,65805

i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1

FRC 1,02000 0,51505 0,34675 0,26262 0,21216 0,17853 0,15451 0,13651 0,12252 0,11133 0,10218 0,09456 0,08812 0,08260 0,07783 0,07365 0,06997 0,06670 0,06378 0,06116 0,05878 0,05663

(1 + i )

n

−

i

1

i

FAC 1,00000 2,02000 3,06040 4,12161 5,20404 6,30812 7,43428 8,58297 9,75463 10,94972 12,16872 13,41209 14,68033 15,97394 17,29342 18,63929 20,01207 21,41231 22,84056 24,29737 25,78332 27,29898

(1

+

i)

n

−

1

FFC 1,00000 0,49505 0,32675 0,24262 0,19216 0,15853 0,13451 0,11651 0,10252 0,09133 0,08218 0,07456 0,06812 0,06260 0,05783 0,05365 0,04997 0,04670 0,04378 0,04116 0,03878 0,03663

2,00%

Período

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 54 60 72 84 100


+

i)

n

0,98039 0,96117 0,94232 0,92385 0,90573 0,88797 0,87056 0,85349 0,83676 0,82035 0,80426 0,78849 0,77303 0,75788 0,74301 0,72845 0,71416 0,70016 0,68643 0,67297 0,65978 0,64684 0,63416 0,62172 0,60953 0,59758 0,58586 0,57437 0,56311 0,55207 0,54125 0,53063 0,52023 0,51003 0,50003 0,49022 0,48061 0,47119 0,46195 0,45289 0,44401 0,43530 0,38654 0,34323 0,30478 0,24032 0,18949 0,13803

(1 + i )

n

1,02000 1,04040 1,06121 1,08243 1,10408 1,12616 1,14869 1,17166 1,19509 1,21899 1,24337 1,26824 1,29361 1,31948 1,34587 1,37279 1,40024 1,42825 1,45681 1,48595 1,51567 1,54598 1,57690 1,60844 1,64061 1,67342 1,70689 1,74102 1,77584 1,81136 1,84759 1,88454 1,92223 1,96068 1,99989 2,03989 2,08069 2,12230 2,16474 2,20804 2,25220 2,29724 2,58707 2,91346 3,28103 4,16114 5,27733 7,24465


FVP 0,98039 1,94156 2,88388 3,80773 4,71346 5,60143 6,47199 7,32548 8,16224 8,98259 9,78685 10,57534 11,34837 12,10625 12,84926 13,57771 14,29187 14,99203 15,67846 16,35143 17,01121 17,65805 18,29220 18,91393 19,52346 20,12104 20,70690 21,28127 21,84438 22,39646 22,93770 23,46833 23,98856 24,49859 24,99862 25,48884 25,96945 26,44064 26,90259 27,35548 27,79949 28,23479 30,67312 32,83828 34,76089 37,98406 40,52552 43,09835

i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1

FRC 1,02000 0,51505 0,34675 0,26262 0,21216 0,17853 0,15451 0,13651 0,12252 0,11133 0,10218 0,09456 0,08812 0,08260 0,07783 0,07365 0,06997 0,06670 0,06378 0,06116 0,05878 0,05663 0,05467 0,05287 0,05122 0,04970 0,04829 0,04699 0,04578 0,04465 0,04360 0,04261 0,04169 0,04082 0,04000 0,03923 0,03851 0,03782 0,03717 0,03656 0,03597 0,03542 0,03260 0,03045 0,02877 0,02633 0,02468 0,02320

(1 + i )

n

−

i

1

i

FAC 1,00000 2,02000 3,06040 4,12161 5,20404 6,30812 7,43428 8,58297 9,75463 10,94972 12,16872 13,41209 14,68033 15,97394 17,29342 18,63929 20,01207 21,41231 22,84056 24,29737 25,78332 27,29898 28,84496 30,42186 32,03030 33,67091 35,34432 37,05121 38,79223 40,56808 42,37944 44,22703 46,11157 48,03380 49,99448 51,99437 54,03425 56,11494 58,23724 60,40198 62,61002 64,86222 79,35352 95,67307 114,05154 158,05702 213,86661 312,23231

(1

+

i)

n

−

1

FFC 1,00000 0,49505 0,32675 0,24262 0,19216 0,15853 0,13451 0,11651 0,10252 0,09133 0,08218 0,07456 0,06812 0,06260 0,05783 0,05365 0,04997 0,04670 0,04378 0,04116 0,03878 0,03663 0,03467 0,03287 0,03122 0,02970 0,02829 0,02699 0,02578 0,02465 0,02360 0,02261 0,02169 0,02082 0,02000 0,01923 0,01851 0,01782 0,01717 0,01656 0,01597 0,01542 0,01260 0,01045 0,00877 0,00633 0,00468 0,00320

MatemFinanceira~AULAS~abril2010 163-167

8,00%

Período n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 49 54 60 72 84 100


+

i)

n

0,92593 0,85734 0,79383 0,73503 0,68058 0,63017 0,58349 0,54027 0,50025 0,46319 0,42888 0,39711 0,36770 0,34046 0,31524 0,29189 0,27027 0,25025 0,23171 0,21455 0,19866 0,18394 0,17032 0,15770 0,14602 0,13520 0,12519 0,11591 0,10733 0,09938 0,09202 0,08520 0,07889 0,07305 0,06763 0,06262 0,05799 0,05369 0,04971 0,04603 0,04262 0,03946 0,02487 0,02303 0,01567 0,00988 0,00392 0,00156 0,00045

(1 + i )

Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Fator de Fator de Fator de Fator de Acumulação Valor Atual Recuperação Formação n

1,08000 1,16640 1,25971 1,36049 1,46933 1,58687 1,71382 1,85093 1,99900 2,15892 2,33164 2,51817 2,71962 2,93719 3,17217 3,42594 3,70002 3,99602 4,31570 4,66096 5,03383 5,43654 5,87146 6,34118 6,84848 7,39635 7,98806 8,62711 9,31727 10,06266 10,86767 11,73708 12,67605 13,69013 14,78534 15,96817 17,24563 18,62528 20,11530 21,72452 23,46248 25,33948 40,21057 43,42742 63,80913 101,25706 254,98251 642,08934 2199,76126

(1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n

i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1

FVP 0,92593 1,78326 2,57710 3,31213 3,99271 4,62288 5,20637 5,74664 6,24689 6,71008 7,13896 7,53608 7,90378 8,24424 8,55948 8,85137 9,12164 9,37189 9,60360 9,81815 10,01680 10,20074 10,37106 10,52876 10,67478 10,80998 10,93516 11,05108 11,15841 11,25778 11,34980 11,43500 11,51389 11,58693 11,65457 11,71719 11,77518 11,82887 11,87858 11,92461 11,96723 12,00670 12,18914 12,21216 12,30410 12,37655 12,45098 12,48053 12,49432

FRC 1,08000 0,56077 0,38803 0,30192 0,25046 0,21632 0,19207 0,17401 0,16008 0,14903 0,14008 0,13270 0,12652 0,12130 0,11683 0,11298 0,10963 0,10670 0,10413 0,10185 0,09983 0,09803 0,09642 0,09498 0,09368 0,09251 0,09145 0,09049 0,08962 0,08883 0,08811 0,08745 0,08685 0,08630 0,08580 0,08534 0,08492 0,08454 0,08419 0,08386 0,08356 0,08329 0,08204 0,08189 0,08127 0,08080 0,08031 0,08012 0,08004

(1 + i )

n

−

i

1

i

(1 + i )

FAC 1,00000 2,08000 3,24640 4,50611 5,86660 7,33593 8,92280 10,63663 12,48756 14,48656 16,64549 18,97713 21,49530 24,21492 27,15211 30,32428 33,75023 37,45024 41,44626 45,76196 50,42292 55,45676 60,89330 66,76476 73,10594 79,95442 87,35077 95,33883 103,96594 113,28321 123,34587 134,21354 145,95062 158,62667 172,31680 187,10215 203,07032 220,31595 238,94122 259,05652 280,78104 304,24352 490,13216 530,34274 785,11408 1253,21330 3174,78140 8013,61677 27484,51570

n

−

1

FFC 1,00000 0,48077 0,30803 0,22192 0,17046 0,13632 0,11207 0,09401 0,08008 0,06903 0,06008 0,05270 0,04652 0,04130 0,03683 0,03298 0,02963 0,02670 0,02413 0,02185 0,01983 0,01803 0,01642 0,01498 0,01368 0,01251 0,01145 0,01049 0,00962 0,00883 0,00811 0,00745 0,00685 0,00630 0,00580 0,00534 0,00492 0,00454 0,00419 0,00386 0,00356 0,00329 0,00204 0,00189 0,00127 0,00080 0,00031 0,00012 0,00004


10,00%

Período n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 49 54 60 72 84 100


+

i)

n

0,90909 0,82645 0,75131 0,68301 0,62092 0,56447 0,51316 0,46651 0,42410 0,38554 0,35049 0,31863 0,28966 0,26333 0,23939 0,21763 0,19784 0,17986 0,16351 0,14864 0,13513 0,12285 0,11168 0,10153 0,09230 0,08391 0,07628 0,06934 0,06304 0,05731 0,05210 0,04736 0,04306 0,03914 0,03558 0,03235 0,02941 0,02673 0,02430 0,02209 0,02009 0,01826 0,01031 0,00937 0,00582 0,00328 0,00105 0,00033 0,00007

(1 + i )

Série de Pagamentos Uniformes Postecipada Fator de Fator de Fator de Fator de Valor Atual Recuperação Acumulação Formação n

1,10000 1,21000 1,33100 1,46410 1,61051 1,77156 1,94872 2,14359 2,35795 2,59374 2,85312 3,13843 3,45227 3,79750 4,17725 4,59497 5,05447 5,55992 6,11591 6,72750 7,40025 8,14027 8,95430 9,84973 10,83471 11,91818 13,10999 14,42099 15,86309 17,44940 19,19434 21,11378 23,22515 25,54767 28,10244 30,91268 34,00395 37,40434 41,14478 45,25926 49,78518 54,76370 97,01723 106,71896 171,87195 304,48164 955,59382 2999,06275 13780,61234

(1 + i ) n − 1 i (1 + i ) n

FVP 0,90909 1,73554 2,48685 3,16987 3,79079 4,35526 4,86842 5,33493 5,75902 6,14457 6,49506 6,81369 7,10336 7,36669 7,60608 7,82371 8,02155 8,20141 8,36492 8,51356 8,64869 8,77154 8,88322 8,98474 9,07704 9,16095 9,23722 9,30657 9,36961 9,42691 9,47901 9,52638 9,56943 9,60857 9,64416 9,67651 9,70592 9,73265 9,75696 9,77905 9,79914 9,81740 9,89693 9,90630 9,94182 9,96716 9,98954 9,99667 9,99927

i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1

FRC 1,10000 0,57619 0,40211 0,31547 0,26380 0,22961 0,20541 0,18744 0,17364 0,16275 0,15396 0,14676 0,14078 0,13575 0,13147 0,12782 0,12466 0,12193 0,11955 0,11746 0,11562 0,11401 0,11257 0,11130 0,11017 0,10916 0,10826 0,10745 0,10673 0,10608 0,10550 0,10497 0,10450 0,10407 0,10369 0,10334 0,10303 0,10275 0,10249 0,10226 0,10205 0,10186 0,10104 0,10095 0,10059 0,10033 0,10010 0,10003 0,10001

(1 + i )

n

−

i

1

i

FAC 1,00000 2,10000 3,31000 4,64100 6,10510 7,71561 9,48717 11,43589 13,57948 15,93742 18,53117 21,38428 24,52271 27,97498 31,77248 35,94973 40,54470 45,59917 51,15909 57,27500 64,00250 71,40275 79,54302 88,49733 98,34706 109,18177 121,09994 134,20994 148,63093 164,49402 181,94342 201,13777 222,25154 245,47670 271,02437 299,12681 330,03949 364,04343 401,44778 442,59256 487,85181 537,63699 960,17234 1057,18957 1708,71948 3034,81640 9545,93818 29980,62754 137796,12340

(1 + i )

n

−

FFC 1,00000 0,47619 0,30211 0,21547 0,16380 0,12961 0,10541 0,08744 0,07364 0,06275 0,05396 0,04676 0,04078 0,03575 0,03147 0,02782 0,02466 0,02193 0,01955 0,01746 0,01562 0,01401 0,01257 0,01130 0,01017 0,00916 0,00826 0,00745 0,00673 0,00608 0,00550 0,00497 0,00450 0,00407 0,00369 0,00334 0,00303 0,00275 0,00249 0,00226 0,00205 0,00186 0,00104 0,00095 0,00059 0,00033 0,00010 0,00003 0,00001


1

12,00%

Período n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 48 49 54 60 72 84 100

Pagamento Único Valor Valor Presente Futuro

1 (1 + i )

n

0,89286 0,79719 0,71178 0,63552 0,56743 0,50663 0,45235 0,40388 0,36061 0,32197 0,28748 0,25668 0,22917 0,20462 0,18270 0,16312 0,14564 0,13004 0,11611 0,10367 0,09256 0,08264 0,07379 0,06588 0,05882 0,05252 0,04689 0,04187 0,03738 0,03338 0,02980 0,02661 0,02376 0,02121 0,01894 0,01691 0,01510 0,01348 0,01204 0,01075 0,00960 0,00857 0,00434 0,00388 0,00220 0,00111 0,00029 0,00007 0,00001

(1

+

i)

n

1,12000 1,25440 1,40493 1,57352 1,76234 1,97382 2,21068 2,47596 2,77308 3,10585 3,47855 3,89598 4,36349 4,88711 5,47357 6,13039 6,86604 7,68997 8,61276 9,64629 10,80385 12,10031 13,55235 15,17863 17,00006 19,04007 21,32488 23,88387 26,74993 29,95992 33,55511 37,58173 42,09153 47,14252 52,79962 59,13557 66,23184 74,17966 83,08122 93,05097 104,21709 116,72314 230,39078 258,03767 454,75054 897,59693 3497,01610 13624,29079 83522,26573


i (1 + i ) n (1 + i ) n − 1

FVP 0,89286 1,69005 2,40183 3,03735 3,60478 4,11141 4,56376 4,96764 5,32825 5,65022 5,93770 6,19437 6,42355 6,62817 6,81086 6,97399 7,11963 7,24967 7,36578 7,46944 7,56200 7,64465 7,71843 7,78432 7,84314 7,89566 7,94255 7,98442 8,02181 8,05518 8,08499 8,11159 8,13535 8,15656 8,17550 8,19241 8,20751 8,22099 8,23303 8,24378 8,25337 8,26194 8,29716 8,30104 8,31501 8,32405 8,33095 8,33272 8,33323

FRC 1,12000 0,59170 0,41635 0,32923 0,27741 0,24323 0,21912 0,20130 0,18768 0,17698 0,16842 0,16144 0,15568 0,15087 0,14682 0,14339 0,14046 0,13794 0,13576 0,13388 0,13224 0,13081 0,12956 0,12846 0,12750 0,12665 0,12590 0,12524 0,12466 0,12414 0,12369 0,12328 0,12292 0,12260 0,12232 0,12206 0,12184 0,12164 0,12146 0,12130 0,12116 0,12104 0,12052 0,12047 0,12026 0,12013 0,12003 0,12001 0,12000

(1 + i ) n − 1 i FAC 1,00000 2,12000 3,37440 4,77933 6,35285 8,11519 10,08901 12,29969 14,77566 17,54874 20,65458 24,13313 28,02911 32,39260 37,27971 42,75328 48,88367 55,74971 63,43968 72,05244 81,69874 92,50258 104,60289 118,15524 133,33387 150,33393 169,37401 190,69889 214,58275 241,33268 271,29261 304,84772 342,42945 384,52098 431,66350 484,46312 543,59869 609,83053 684,01020 767,09142 860,14239 964,35948 1911,58980 2141,98058 3781,25451 7471,64111 29133,46753 113527,42322 696010,54772

i (1 + i )

n

−

1

FFC 1,00000 0,47170 0,29635 0,20923 0,15741 0,12323 0,09912 0,08130 0,06768 0,05698 0,04842 0,04144 0,03568 0,03087 0,02682 0,02339 0,02046 0,01794 0,01576 0,01388 0,01224 0,01081 0,00956 0,00846 0,00750 0,00665 0,00590 0,00524 0,00466 0,00414 0,00369 0,00328 0,00292 0,00260 0,00232 0,00206 0,00184 0,00164 0,00146 0,00130 0,00116 0,00104 0,00052 0,00047 0,00026 0,00013 0,00003 0,00001 0,00000


Matemática Financeira e Engenharia Econômica.pdf

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