UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDDE
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E CCOMPUTAÇÃO Professor: Ulrich Schiel Matemática Discreta
Lista de exercícios resolvidos
Parte I: Técnicas de prova e definições indutivas 1)
Vamos provar a conjectura “ Para um número ser primo não é suficiente que seja ímpar ”. ”. Siga os seguintes passos para prová-la: (a) Desconsidere o não do enunciado e coloque o restante na forma “ se P então Q” (b) Para provar a frase original “não ( se se P então Q)” basta refutar “ se P então Q” (a) Como o enunciado fala em suficiência o P será a segunda parte “o número é impar”. Logo, o enunciado sem a negação será “ se um número é ímpar então ele é primo” (b) para (b) para refutar (a) basta encontrar enc ontrar um contra-exemplo. Ora, 9 é ímpar mas não é primo. Logo a conjectura original está provada.
2) Prove que para um inteiro n, n3+5 é ímpar se somente se n é par: a) por contraposição (a par te te ‘se’) Temos que provar que Se n é par então n3+5 é ímpar por por contraposição, ou seja: 3 . Temos que provar que Se n + 5 épar en entt ão n éím par 3 3 3 Se n +5 é par então n +5 = 2k logo n +2.2 + 1 = 2k, logo n3 tem que ser ímpar pois se fosse par daria 2m+2.2 + 1= 2(m+2) + 1 o que é ímpar. Mas, se n3 é ímpar, n não pode ser par pois nesse caso n3=2r.2r.2r = 2(4r 2) que é par. Logo n tem que ser ímpar. c.q.d. Temos que provar que Se n não é par então n3+5 não é ímpar . Como, por hipótese n é ímpar, será da forma n= 2k+1 para algum k. Então n3 +5= (2k+1)3 +5= (4k 2 + 4k+1)(2k+1)+5 = 8k 3+8k+2k+4k 2+4k+1+5 = 8k 3+4k 2+14k+6= 2 (4k 3+2k 714k+3), logo r= 4k 3+2k 714k+3 é um inteiro e temos que n3 +5= 2r, portanto é par. C.Q.D. b) por absurdo ( a parte ‘somente ‘so mente se’) 3 Temos que provar que Se n +5 é ímpar então n é par por por absurdo. 3 Suponhamos que n +5 é ímpar mas n também é ímpar. Mas, se n é ímpar, é da forma 2k+1, nesse caso teríamos n3 +5 = (2k+1)3 = (2k+1) (2k+1) (2k+1) + 5 = (4k 2+ 4k+3)(2k+1) + 5 = 8k 3 + 4k 2 + 8k 2 + 4k + 6k + 3 + 5 = 8k 3 + 12k 2 + 8k + 8 = 2(4k 3 + 6k 2 + 4k + 4) Que é para, em contradição de que n3+5 é ímpar. c.q.d. 3)
4)
Prove que “se x é positivo então x+1 é positivo” a) por contraposição b) por contradição (a) provar que “se x+1 não é positivo po sitivo então x não é positivo”. Ora, se x+1 0, como x
x, teremos x+1 > 0, contradição com a hipótese. (a) Mostre, por contradição, que a função inversa de uma função bijetiva f(x), é única.
Suponhamos que f(x) tem duas inversas f 1-1(y) e f 2-1(y). Como as duas funções são diferentes existe um y tal que f 1-1(y) f 2-1(y). Neste caso, se x1= f 1-1(y) e x2 = f 2-1(y) temos que, f(x1)=y e f(x2)=y, já que as duas são inversas de f(x). Mas neste caso f(x) não é injetiva e, portanto, não é bijetiva! CONTRADIÇÃO. (b) Prove, por indução, que para todo inteiro inteiro positivo n vale que 7n-2n é divisível por 5. Para n=1 temos 7-2=5 OK Supondo que 7n-2n é divisível por 5 existe um k tal que 7n-2n=5k. Agora 7(n+1) – 7(n+1) – 2(n+1)= 2(n+1)= 7n+7-(2n+2)= 7n-2n +7-2 = 5k +7-2=5(k+1). CONFIRMADO 5)
A seqüência de números triangulares é 1, 3, 6, 10, .. é baseada nos triângulos
1 3 6 Encontre a relação de recorrência e a fórmula fechada desta seqüência. Para encontrar a fórmula fechada use o princípio expandir, supor, verificar. A sequência será 1, 3(=1+2), 6(=3+3), 10(=6+4), 15(=10+5), 21(=15+6),.., logo a relação de recorrência será: S(1) = 1 e S(n) = S(n-1) + n. Fórmula fechada: Expandir: S(1) = 1; S(2) = 1 + 2; S(3) = 1 + 2 + 3; S(4) = 1 + 2 + 3 + 4 Supor: S(n) = i=1,..,n i Verificar: S(1)=1 = i=1,..,1 i Supondo verdadeiro que S(n) = i=1,..,n i temos que S(n+1) = S(n) + n+1 = i=1,..,n i + n+1 = i=1,..,n+1 i C.Q.D.O 6)
Mostre, por indução, que para a seqüência de Fibonacci vale a relação F(n) < 2n
(N.B. a seqüência de Fibonacci é dada por F(1)=1; F(2)=2 e F(n)=F(n-1) + F(n-2)) Hipótese de indução: F(1) = 1 < 21, F(2) = 2 < 22, F(n-1) < 2n-1 e F(n) < 2n. Vamos mostrar que F(n+1) = < 2n+1 para n > 2 Por definição temos que F(n+1) = F(n) + F(n-1), substituindo a hipótese de indução, temos que F(n+1) < = 2. 2n-1 + 2n-1. = 3.2n-1 < 4.2n-1 = 2n+1 está provada a conjectura. Na prova acima foi usada ‘indução completa’. A prova p rova por indução simples seria: F(n+1) = F(n) + F(n-1), pela definição de F(n) = F(n-1)+F(n-2) + F(n-1), pela hipótese de indução < 2n + F(n-1) como F(n-1) = F(n) F(n) – – F(n-2) F(n-2) n n n+1 < 2 + 2 – – F(n-2) F(n-2) = 2 – – F(n-2) F(n-2) n+1 Então temos F(n+1) + F(n-2) < 2 e, como F(n-2) > 0 teremos F(n+1) < 2n+1 7) Mostre, por indução, que n3 + 2n é divisível por 3 n=1: 1+2=3 supondo que n3.+ 2n é divisível por 3, temos n3.+ 2n = 3k agora (n+1)3.+ 2(n+1) = (n+1)(n2 + 2n +1)+2n+2 = n3 + 2n2 + n + n2 + 2n + 1 + 2n +2 = 3k + 3n2 + 3n +3 = 3(k + n2 + 3n + 1) 8) Prove que “se x e y são ímpares então x+y é par” a. Por contraposição : Se x+y é impar então x ou y é par.
Pela hipótese x+y = 2n + 1. Mas, para que isso aconteca, x e y não podem ser ambos ímpares pois, neste caso, teríamos x+y = 2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par. Logo x ou y tem que ser par. b. Por contradição Para x e y impares, suponha x+y impar. Mas, se x+y é ímpar, x+y = 2k+1. Nesse caso x e y não podem ser ambos ímpares pois, teríamos x+y =2k+1 + 2r+1 = 2(k+r+1), que é par! 9)
Uma sequência é definida por S(1) = 1, S(n)=n+S(n-1) Encontre a forma fechada, usando o princípio: expandir, supor, verificar.
RESP: Expandir : S(1) = 1; S(2) = 2 + 1; S(3) = 3 + S(2) = 3 + 2 + 1; S(4) = 4 + S(3) = 4 + 3 + 2 + 1 Supor : S(n) = i=1,..,n i Verificar : por indução: S(1) = i=1,..,1 i = 1, OK
Supondo que vale S(n) = i=1,..,n i teremos S(n+1) = n+1 + S(n) = n+1 + i=1,..,n i = i=1,..,n+1 i. Verificado! 10)
Demonstre quais das afirmações a seguir são verdadeiras ou mostre quais são falsas: a) O cubo de um número par x é par Verdadeiro. Prova por absurdo: Suponhamos que existe um ímpar n = p3, em que p é um par. Logo n = p.p.p = p2.p Como p é par existe um inteiro q tal que p=2.q. Mas então temos que = p2.q.2 e fazendo p2.q = m temos n = 2.m, contradizendo a suposição de que n é ímpar. b) |x+y| |x| + |y| Verdadeiro: Temos 3 casos principais: (1) x e y positivos, (2) um deles é negativo e (3) ambos negativos. (1) Neste caso, |x| = x e |y| = y, logo |x+y| = |x| + |y| = x+y (2) Seja x< 0 e y 0, neste caso x+y < |x| + y = |x| + |y| e, como para todo número n|n| temos que |x+y| < ||x| + |y|| = |x| + |y| (3) para x e y negativos teremos |x+y| |-(-x + -y)| = |(-x + -y)| |-x| + |-y| = |x| + |y| (4) Os casos em que um deles é 0 podem ser enquadrados nos casos anteriores. c) 1+5+9+ ... + (4n-3) = n(2n-1) {prove por indução que vale para todo inteiro positivo n} Prova: Para n=1 temos 4n-3=1 a sequência terá um só termo como 1=1(2.1-1)= 1. OK Supondo que vale para n, para n+1 sería: 1+5+9+ ... + (4n-3)+(4(n+1)-3) = (n+1)(2(n+1)-1) 2 2 n(2n-1) + 4n+4-3 = 2n -n + 4n +1= 2n + 3n +1 A outra parte fica sendo (n+1)(2n+2-1) = (n+1)(2n+1) = 2n2+n+ 2n+1=2n2+3n+1 C.Q.D. 11) Sabemos que para uma relação de recorrência do tipo S(n) = c.S(n-1) + g(n), podemos encontrar a fórmula fechada pela equação S(n) = cn-1 S(1) + (k=0..n-2) ck g(n-k ). Aplique esta equação à relação de recorrência a S(1) = 2; S(n) = 2.S(n-1) + n2 + 1 a) Determine sua fórmula fechada A equação S(n) = c n-1 S(1) + (k=0..n-2) ck g(n-k), aplicada à relação S(1) = 2 e S(n) = 2.S(n-1) + n 2 + 1 Temos que c= 2, S(1)=2 e g(n) = n 2+1, logo a fórmula será S(n) = 2n-1 2 + (k=0..n-2) [2k ((n-k)2+1)] = 2n + (k=0..n-2) [2k ((n-k)2+1)]
b) Calcule S(4)
Para n=4, temos que S(4) = 2 4-1 2 + (k=0..4-2) [2k ((4-k)2+1)] = 2 3 2 + (k=0..2) [2k ((4-k)2+1)] = 16 + 2 0 (42+1) + 2 1.(32+1) + 22.(22+1) = 16 + 16+1 + 2(9+1) + 4(4+1) = 33 + 20 + 20 = 73
Conferindo: S(1) = 2; S(2) = 4+4+1=9; S(3) = 2.9+9+1= 28; S(4) = 2.28+16+1= 73
Parte II: Conjuntos e Gramáticas 1) Sejam A = {p,q,r,s}; B = {r,t,v} e C = {p,s,t,u}. subconjuntos de S={p,q,r,s,t,u,v,w} Encontre (Obs. A’ é o complemento de A): 1) (A B)’ 2) A’ – (B C) 3) (B-A) A 4) R ={(x,y) B A tal que x precede y no alfabeto} 5) R ={(x,y) B S tal que x divide y} 1) (A B) = {r}, logo (A B)’ = {p,q,s,t,u,v,w} 2) {t,u,v,w} – {p,r,s,t,u,v} = {w} 3) {t,v} {p,q,r,s} = {(t,p), (t,q), (t,r), (t,s), (v,p), (v,q), (v,r), (v,s)} 4) {(r,s)} 5) {(1,1),...,(1,10),(3,3),(3,6),(3,9),(5,5),(5,10)} 2) Sejam A = {2,4,5,6,8}, B = {1,3,5} e C = {x/x Z e 3 x < 5} subconjuntos de S={0,...,10} Encontre: a. (A B)’ (A B)’ = ({2,4,5,6,8} {1,3,5})’ = ({5})’ = {0,1,2,3,4,6,7,8,9,10} b. A’ – (B C) A’ – (B C) = {2,4,5,6,8}’ – ({1,3,5}{3,4}= {0,1,3,7,9,10} – {1,3,4,5}) = {0,7,9,10} c. (B-A) A ({1,3,5} - {2,4,5,6,8}) {2,4,5,6,8}= {1,3} {2,4,5,6,8} = {<1,2>,<1,4>,<1,5>,1,6>,<1,8>, <3,2>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<3,8>} d. R ={(x,y) B A tal que x divide y} R = {<1,2>,<1,4>,<1,5>,1,6>,<1,8>, <3,6>,<5,5>} 3) Sejam: A = {letras do teu primeiro nome} e B = {letras do teu último nome}. a) Encontre (A B’)’ (BA)' Obs. O universo é L={letras do alfabeto} (AB’)’ – (BA)’ AB’ = {U, R} (BA) = [U,L,R,I,C,H,S,E] (AB’)’ – (BA)’ = {A-Z exceto U e R] - {A-Z exceto U L R I C H S E] = {L,I,C,H,S,E} b) Seja l1 = {das duas primeiras letras de teu primeiro nome} e l2 = {das duas primeira letras de teu último nome}. Encontre (A B)(l1 l2). l1={U,L} , L2 = {S,C} logo li X l2 = {, ,, }. Nesse caso teremos A X B – (l1 X l2) todos os pares de letras de {U,L,R,I,C,H} e {S,C,H,I,E,L} exceto os 4 acima. 2) Seja a gramática G = < , L, P>, com = tnt , t = {0,1}, nt= {S }, L= t* e as produções P = { S 0S, S 1} a) Quais sentenças válidas são produzidas por esta gramática? b) E se acrescentarmos a produção S S0? (a) As sentenças válidas são 1, 01, 001, 0001, 00001, ... (b) Agora temos 1, 01, 001, 0001, ... e 10, 100, 1000, ... e 010, 0010, 00010, ... Ou seja, todas cadeias com um ‘1’ e restante ‘0’s. 3) a) Qual a diferença entre ,{}, {}? Dê a cardinalidade de cada um e as possíveis relações {, , ou =} entre eles.
RESP: ||=|{}|=0 e |{}| = 1. = {}, {}, {}, e {} {}. b) Dados os conjuntos A={a, {a}, {{a}}}, B={a} e C={, {a,{a}}}, dê a cardinalidade de cada um e mostre quais afirmações são verdadeiras: CA; BA; BC; {a, {a}}A; A-BC. RESP: |A| = 3, |B| = 1, |C| = 2. CA - falsa; BA - verdadeira; BC - falsa; {a, {a}}A - falsa; A-BC - falsa. 4) Dados 3 conjuntos A, B e C, mostre que a) A X (B C) = (A X B) (A X C). Parte 1: A X (B C) (A X B) (A X C) Se A X (B C) então x A e y (B C). Nesse caso y B e y C). Mas, com x A e y B temos que (A X B) e com x A e y C temos que (A X C). Destes dois fatos deduzimos que < x,y> (A X B) (A X C). Parte 2: O inverso se mostra invertendo todos os argumentos anteriores. b) (A B) C) = A (BC) Parte 1: (A B) C) A (BC) Se (A B) C) então A X B e (A X C). Pela primeira pertinência sabemos que x A e y B. Logo, para valer a relação só é possível se y C. Nesse caso temos x A, y B e y C o que caracteriza a situação (A X (B-C)). c.q.d. Parte 2: similar a anterior
5) Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde: = {+, -, .,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} U {B, S, I, P, F}, sendo B o símbolo inicial. R = {B SIPF, S +|-| λ I ID | D P. F DD D 0|1| 2| 3| 4| 5| 6|7| 8| 9 } 1) Qual a linguagem que esta gramática define? RESP: esta gramática reconhece números com duas casas decimais podendo ter um sinal na frente ou não. Os números poderão começar com um ou mais dígitos ‘0’. Em outras palavras, reconhece sequencias da forma +nn...n.nn ou – n...n.nn ou nn...n.nn. 2) Mostre como ela reconhece o número -459.33 RESP: para testar, basta seguir, em ordem inversa, as regras até chegar a B. Ou seja, temos: -459.33 -459.DD -459.F -459PF -45DPF -4DDPF -DDDPF SDDDPF SIDDPF SIDPF SIPF B (N.B. também pode-se percorrer o caminho inverso) 3) Modifique a gramática para que ela reconheça números inteiros, sem frações. RESP:Para reconhecer só números inteiros, deve-se alterar a primeira regra para BSI e excluir as regras P . e F DD Para reconhecer também números inteiros, a primeira regra fica sendo BSIPF | SI 5) Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde: = nt t sendo t = {+, -, ., /, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 ,0} e nt = {B, EXP, OP, N, D}, com as regras de produção: R = { 1: B EXP; 2: EXP ( EXP ) OP N; 3: EXP N OP N; 4: OP + | - | . | / ; 5: N D | ND; 6: D 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9} a) Qual a linguagem que esta gramática define?
Define expressões aritméticas da forma op1 op op2 em que op é um dos operadores +, -, . ou /, op2 é um número inteiro positivo e op1 é ou também um inteiro ou outra expressão da mesma forma entre parêntesis. b) Mostre como ela reconhece a expressão (30-5)+025. Indique qual regra foi aplicada em cada passo. -(1)-: B EXP -(2)-: ( EXP ) OP N -(4)-: ( EXP ) + N -(5)-: ( EXP ) + ND -(5)-: ( EXP ) + NDD -(5)-: ( EXP ) + DDD -(6*)-: ( EXP ) + 025 -(3)-: ( N OP N ) + 025 -(5)-: ( N OP D ) + 025 -(6)-: ( N OP 5 ) + 025 -(5)-: ( ND OP 5 ) + 025 -(5)-: ( DD OP 5 ) + 025 -(5*)-: ( 30 OP 5 ) + 025 -(4)-: ( 30 - 5 ) + 025 c) Modifique a gramática para que ela: 1. também reconheça expressões entre parêntesis à direita e Alterar a regra (2) para: 2: EXP N OP (EXP) | ( EXP ) OP N; 2. um número não comece com 0 (zero). Substituir as regras 5: e 6: por 5: N P | PD; 6: D DF | F; 7: P 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |7 | 8 | 9; 8: F P | 0 | E acrescentar aos não-terminais os símbolos P e F. 6) Considere a gramática: G = <, L, R >. Onde: R 0R1 | 1R0 | λ a) A palavra 11001 pertence à linguagem geada por G? Não, pois se tentamos produzi-la, p.ex. R 1R011R001100 vai faltar a produção do último ‘1’ a direita. Generalizando, toda regra produz um número par de terminais, logo é impossível produzir uma cadeia com 5 dígitos. b) Qual linguagem definida por G? Cadeias de 1s e 0s tal que para cada dígito na enésima posição da esquerda para a direita ocorre o inverso desse dígito na enésima posição da direita para a esquerda. 7) Considere a gramática: G = <∑, L, R >. Onde: = nt t sendo t = {‘a’, ‘b’, ‘c’,..,’x’, ‘y’, ‘z’, ‘,’, ‘ ‘} e nt = {NC, Nome, Sobrenome, N, Letra}, com as regras de produção: R = {1: NC Nome ´ ´ Sobrenome; 2: Nome N | N ‘ ‘ Nome; 3: Sobrenome N | N ‘ ‘ Nome; 4: N Letra | Letra N; 5: Letra ‘a’ | ‘b’ | .. | ‘z’ ; c) Mostre a sequência de produções para produzir teu nome completo. 1: NC Nome ´ ´ Sobrenome; (2): N ´ ´ Sobrenome; (4): Letra N ´ ´ Sobrenome; (4)5 vezes: Letra Letra Letra Letra Letra Letra ´ ´ Sobrenome; (5)6 vezes: ulrich ´ ´ Sobrenome; (3): ulrich ´ ´ N; Repetindo (4)5 vezes: e (5)6 vezes: obtemos ulrich schiel d) Altere a gramática para produzir o nome na forma inversa sendo que só o último sobrenome aparece antes da vírgula. Basta alterar as regras (1) e (3). Ficarão sendo: 1: NC Sobrenome ´, ´ Nome; 3: Sobrenome N; 8) a) Uma mulher tem 7 blusas, 5 saias e 9 vestidos. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir? (princípios da adição e multiplicação) Existem duas formas de se vestir: (1) blusa e saia ou (2) vestido
(1) Para combinar 7 blusas com 5 saias, pelo princípio da multiplicação, há 35 combinações possíveis (2) Aqui há 9 vestidos diferentes que podem ser vestidos Pelo princípio da adição haverá, ao todo, 35 + 9 = 44 possibilidades b) Queremos criar uma codificação binária para um conjunto de k caracteres. Determine quantas casas binárias são necessárias para codificar todos caracteres (princípio das casas de pombos). Para k=2 bastaria uma posição binária. Para k=3 ou 4, precisaríamos 2 casas, que dão 4 combinações. Para k entre 5 e 8 seriam 3. No geral, em n posições cabem 2 n combinações. Logo, para codificar k caracteres o número de posições n será tal que 2 n-1 < k < 2 n.
9) Uma pesquisa dentre 150 estudantes revelou que 83 são proprietários de carros, 97 possuem bicicletas, 28 têm motocicletas, 53 são donos de carros e bicicletas, 14 têm carros e motocicletas, sete possuem bicicletas e motocicletas, e dois têm todos os três. Resp.: Seja E o conjunto dos Estudantes, C os que têm carro, B os que têm bicicleta e M os que têm motocicleta. Teremos: |E| = 150 |C| = 83 |B| = 97 e |M| = 28; |CCM| = 14 , |BM| = 7 e |CBM| = 2 1) Quantos estudantes possuem apenas bicicletas? Resp.: Os que só têm bicicletas são dados por |B| - |C | - |B| + |C | = = 97 - 53 - 7 + 2 = 41 2) Quantos estudantes não têm qualquer dos três? Resp.: Todos que tê algum veículo são dados por |C | = |C| + |B| + |M| - |C | - |C | - |B| + |C | = = 83 + 97 + 28 - 53 - 14 - 7 + 2 = 136 Logo, os que não têm nada, são 150 – 136 = 14 10) Você está desenvolvendo um novo sabonete e contratou uma empresa de pesquisa de opinião pública para realizar uma pesquisa de mercado para você. A empresa constatou que, em sua pesquisa de 450 consumidores, os fatores a seguir foram considerados relevantes na decisão de compra de um sabonete: Perfume 425 Fácil produção de espuma 397 Ingredientes naturais 340 Perfume e fácil produção de espuma 284 Perfume e ingredientes naturais 315 Fácil produção de espuma e ingredientes naturais 219 Todos os três fatores 147 Você confiaria nesses resultados? Justifique. Resp.: Seja C o conjunto dos consumidores P o conjunto dos que preferem o perfume; E o conjunto dos que preferem a espuma; e N o conjunto dos que preferem ingredientes naturais. Temos |C| = 450, |P| = 425, |E| = 397 e |N| = 340 |PE| = 284, |P+ = 315, |NE| = 219 e |PE+ = 147 Supondo que 'Perfume' significa 'Só Perfume', todos conjuntos serão disjuntos. Nesse caso teremos que |C| E| + |P+ + |NE| + |PE+ 425 + 397+340+284+315+219+147 = 2127, mas |C| = 450!! Mesmo supondo que 'Perfume' significa 'Também Perfume' teríamos |C| = |P | = |P| + |E| + |N| - |P | - |P | - |E| + |P | =
425+397+340- 284 o que ainda é maior que 450
315 - 219 +
147
= 491
10)Quantas vezes dois dados precisam ser lançados para termos certeza que obtivemos algum par duas vezes? (Sugestão: divida as soluções em dois casos: 1.Quando os dados tiverem o mesmo valor 2.Quando os valores forem diferentes) Resp. Como os resultados dos dois dados são independentes e cada dado tem 6 faces há, pelo princípio da multiplicação 6x6=36 possibilidades. Seguindo a sugestão, consideramos dois casos: a) Quando os dois dados têm o mesmo valor, há 6 possibilidades; b) Fora (a) sobraram 30 possibilidades. Para cada par (dado1=n,dado2=m) existe outro lançamento (dado1=m,dado2=n) idêntico. Assim, haverá 15 lançamentos diferentes. Pelo princípio da adição haverá 6+15 = 21 possibilidades de pares diferentes. Logo, pelo princípio da casa do pombo, após 22 lançamentos, um par terá que se repetir. OUTRA SOLUÇÃO: Há 6 casos aditivos, dependentes: 1. se para o dado-1 cair 1, haverá 6 combinações possíveis com o dado-2 2. se para o dado-1 cair 2, além de (2,1)., haverá mais 5 combinações possíveis 3. se cair 3, haverá mais 4 combinações novas 4. para o 4, haverá mais 3 combinações novas 5. para o 5 há mais 2 combinações 6. para o 6 há mais uma combinação, o (6,6). Assim, pelo princípio da adição temos, ao todo, 6+5+4+3+2+1 = 21 combinações distintas.
Parte III: Relações 1) Podem ser definidas mais propriedades de relações binárias em um conjunto S: é irreflexiva quando xS temos (x,x) ] é assimétrica quando x,yS temos [(x, y) (y, x) ] a. Construa uma relação binária em S = {1,2,3} que é assimétrica e anti-simétrica. Obtenha o fecho transitivo desta tua relação. b. Analise o conjunto < N , ‘<’>, os naturais com a relação ‘menor que’ em relação às duas propriedades definidas aqui e as outras. a. R={(1,2), (2,3)}, o fecho transitivo é {(1,2), (2,3), (1,3)} b. A relação < N , ‘<’> não é reflexiva e é irreflexiva, pois nenhum n
2. Encontre o fecho transitivo (2) A relação já é transitiva 3) Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relações (a) Diga se a relação entre números naturais x y x = y + 1 é um-para-um, um-para-muitos ou muitos-para-muitos. (b) Mostre se a relação entre cadeias de caracteres dada por x y o comprimento de x é menor ou igual ao comprimento de y, é reflexiva, simétrica, anti-simétrica e/ou transitiva. (c) Crie uma relação qualquer que é reflexiva e simétrica mas não é transitiva; (d) Crie uma relação qualquer que não é reflexiva nem simétrica mas é transitiva; (a)É um-para-um pois para cada natural existe exatamente um que é igual a x+1, e inversamente, exceto o 0 cada um tem um antecessor x-1, nunca mais que um. (b) Reflexiva: pois o comprimento de toda cadeia é igual ao seu comprimento, logo é menor ou igual. Simétrico: Não pois se x é mais longo que y não terá comprimento menor. Anti-simétrica pois se comprimento(x) <= comprimento(y) e vice versa então x=y Transitiva: sim pois se comprimento(x) <= comprimento(y) e comprimento(y) <= comprimento(z) é claro que comprimento(x) <= comprimento(z) (c) Seja a relação x y x=y ou x é par ou y é par. É reflexiva pela condição x=y. É simétrica pois o ou é comutativo. Não é transitiva pois, p.ex. vale 3 4 e 4 5 mas não vale 3 5. (d) A relação x
d.
mesmo-perto(x,y) = perto(x,y) mesmo-bairro(x,y) é reflexiva pois tanto perto(x,y) e mesmo-bairro(x,y) são reflexivas é simétrica pelo mesmo motivo não é anti-simétrica pois ambas não o são não é transitiva pois posso ter x, y e z no mesmo bairro mas contradizendo a propriedade transitiva para perto(x,z) não é relação de ordem nem de equivalência pois não é transitiva
5)
Seja S = {a,b,c,d} e = {(a,a), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)} Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de . Considerando ’ a relação após obter os fechos reflexivo e simétrico, encontre o fecho transitivo de ’? Fecho reflexivo de = {(b,b),(c,c),(d,d)} Fecho simétrico de = {(d,a),(d,b)} Fecho transitivo de = {(c,d),(c,c)} ’ = {(b,b),(c,c),(d,d), (d,a),(d,b)} Fecho transitivo de ”= ’ {(a,b),(b,a),(c,d),(d,c),(b,c)}
6)
Seja P um conjunto finito de pessoas. Considere as relações entre pessoas: i) filho(p,q) p é filho de q (da parte da mãe). ii) irm(p,q) r tal que filho(p,r) filho(q,r) iii) parente(p,q) filho(p,q) irm(p,q) 3) Analise as 3 relações quanto às propriedades reflexiva, simétrica, anti-simétrica e transitiva. Existe uma relação de equivalência? filho(p,q) é anti-simétrica irm(p,q) é reflexiva, simétrica e transitiva parente(p,q) é reflexiva e transitiva 4) O que falta para filho(p,q) ser uma relação de ordem parcial? Tente definir um ‘fecho’ para que se torne uma ordem parcial. Chame este fecho de desc(p,q). Ela não é reflexiva nem transitiva. Podemos definir desc(p,q) filho(p,q) irm(p,q) r (filho(q,r) desc(r,q)) 5) Descreva os elementos maximais e minimais de S max S é maximal p S tal que vale desc(p,max) min S é maximal p S tal que vale desc(min,p) só existirá se for filho único 6) O conjunto P pode ser particionado em famílias. Defina uma relação de equivalência baseada nesta partição. Como ninguém tem duas mães, ou seja, filho(p,q1) e filho(p,q2) implica q1=q2, todo elemento de S está relacionado a um único elemento maximal, max, pela relação desc(p,max). Logo, para cada elemento maximal maxi S teremos uma classe de equivalência [maxi] = { p S tal que vale desc(p,maxi)}. A relação será mesma-fam(p,q) max S tal que vale desc(p,max) desc(q,max)
7)
Sejam A = {p,s,t,u}. e B = {p,q,r,s,t,u,v,w}. Encontre a) R ={(x,y) B A tal que y é a próxima letra no alfabeto após x} R = {(r,s), (s,t), (t,u)} (para quem leu A B): R ={(p,q), (s,t), (t,u), (u,v)} b) Encontre R’ o fechos reflexivo de R e R” o fecho transitivo de R’ R’=R {(r,r), (s,s), (t,t), (u,u)} (para A B) R’=R {(p,p),(q,q),(s,s),(t,t),(u,u), (v,v)} R” = R` {(r,t), (s,u), (r,u)} (para quem leu A B) R”=R’ {(s,u), (t,v),(s,v)} c) R” é uma relação de ordem? parcial ou total?
É uma relação de ordem parcial, pois é fechada reflexivamente e transitivamente e é anti-simétrica, pois para todo par (x,y) de R” com x≠y, x será uma letra anterior a y logo é impossível termos (y,x). 8)
Sejam o conjunto S = {a, b, c, d} e a relação = {(a,a), (a,b), (b,d), (b,a), (b,b), (c,a)}. 1) Determine se a relação é reflexiva, simétrica, transitiva, anti-simétrica, irreflexiva ou assimétrica e justifique para cada caso. Não é reflexiva pois faltam (c,c) e (d,d). Não é simétrica pois tem (b,d) mas falta (d,b). Não é transitiva pois tem (a,b) e (b,d) mas falta (a,d). Não é anti-simétrica pois tem (a,b) e (b,a) mas a b. Não é irreflexiva pois tem (a,a) e (b,b). Não é assimétrica pois tem (a,a) e (a,b) e não deveria ter (a,a) e (b,a). 2) Encontre ’ o fecho reflexivo de , e “ o fecho transitivo de ’. ’ = {(c,c), (d,d)} ’’ = '{(a,d), (c,b), (c,d)} 3) Encontre as reduções anti-simétrica e irreflexivas de . Um redução significa retirar elementos da relação até que ela satisfaça a condição. Redução anti-simétrica: {(b,a)} ou então {(a,b)} Redução irreflexiva: {(a,a), (b,b)}
Parte IIIb: Relações – Bancos de Dados 1)
Seja P um universo de pessoas e um banco de dados formado pelas relações
filho-de(F,P), filha-de(F,P). a) Obtenha uma relação filho-ou-filha-de(F,P), que contém todos os filhos de cada pessoa; b) A partir da relação de a), obtenha a relação unária filhos-de-joão(F) que contém todos os filhos da pessoa ‘João’. c) Ilustre tudo com um pequeno exemplo OBS: lembre-se que sobre estas relações podem ser aplicadas as operações convencionais sobre conjuntos, como união, intersecção, diferença, assim como as operações relacionais: R’=restrição(R, condição), que elimina de R todas tuplas que não satisfazem a condição, e R’=projeção(R(A, A’)) na qual A’ A, o conjunto dos atributos de R, e as tuplas de R são truncadas para os atributos em A’ (a) filho-ou-filha-de(F,P) = filho-de(F,P) filha-de(F,P) (b) R = restrição(filho-ou-filha-de, P=’João’) filhos-de-joão(F) = projeção(R(F)) (c) 2) Seja o banco de dados CURSO(Cur, Disc); EST(MatE, NomeE); MON(MatE, Disc); MAT(MatE, Disc); PROF(NomeP, Disc); Obtenha os dados: 1) Os nomes dos professores do curso de ‘Ciência da Computação’ R1 = CURSO[Cur=’Ciência da Computação’] uma relação com a estrutura R1(Cur, Disc) R2 = PROF.P[P.Disc=R1.Disc]R1 uma relação com a estrutura R2(NomeP, Disc, Cur) RESPOSTA = R2[NomeP] 2) Os nomes de todos monitores existentes R1 = EST.E[E.MatE=M.MatE]MON.M uma relação com a estrutura R1(MatE, NomeE, Disc) RESPOSTA = R1[NomeE] 3) Os nomes dos monitores matriculados em ‘Matematica Discreta’ R2 = MAT[Disc=’Matematica Discreta’] [MatE] nesta operação combinada, selecionamos os alunos matriculados em ‘Matematica Discreta’ e projetamos para definir só os números de matricula.
A partir do resultado R1 da questão anterior, que contém uma relação de todos monitores, determinamos os monitores de ‘Matematica Discreta’ pela junção com R2: R3 = R1[R1.MatE=R2.MatE]R2 uma relação com a estrutura R3(MatE, NomeE, Disc), e finalmente 3) RESPOSTA = R3[NomeE]. 3) Crie um banco de dados de produtos, clientes e vendas. Para o cliente temos um número, o nome e o ano desde qua está cadastrado. Dos produtos temos um código, nome e total em estoque e das vendas é registrado a data, nr. do cli e código do produto, quantidade e preço unitário. Crie operações relacionais para responder às perguntas: a) Quais os clientes que efetuaram compras em um valor superior a R$ 1000,00. b) Dado uma relação R a função count(R) determina o número de tuplas contidas em uma relação. Determine quantos produtos não foram vendidos no ano corrente. Sugestão: calcule quantos produtos já foram vendido Contando todos produtos existentes, da para determinar quantos não foram vendidos. Temos CLIENTE(NR, NOME, ANO), PROD(CÓD, NOME, ESTOQUE) e VENDAS(DATA, CLIENTE, CÓD, QUANT, PREÇO). a) RESP = VENDAS[QUANT*PREÇO > 1000)[CLIENTE] b) PV = VENDAS V[V.COD=PROD.P]PROD VENDIDOS = PV[COD] RESP = count(PROD) - count(PV)
Parte IV: Funções 1) Dada uma função f: S T, seja a relação em SxS dada por x y f(x)=f(y). a) Mostre que é uma relação de equivalência b) Dadas as funções f(x)=x2+2 e g(x) = sen(x). O que seria a classe de equivalência [] para cada uma dessas funções c) Se S é o conjunto dos números reais, descreva as partições de S criadas por sob f(x) e sob g(x) d) Qual seria a expressão das combinações f°g e g°f . (a) Reflexiva: para todo x, x x, pois f(x)=f(x) Simétrica: se x y, então f(x)=f(y) e, neste caso, também temos y x Transitiva: se x y então f(x)=f(y), e se y z, temos f(y)=f(z) logo, com as duas igualdades, temos f(x)=f(z) o que implica em x z (b) Para f(x), [] sería {, -}, pois f() = f(-) = 2+2. Já para g(x), teríamos sen()=0, logo [] = {0, , -, 2, -2, 3, -3,...} (c) A partição de R sob f(x) sería que, para todo r R, {r, -r} é uma parte. para g(x) cada parte sería determinado pela classe [k ], com 0 k < (d) f°g(x) = sen2(x) + 2 e g°f(x) = sen(x2+2). 2)
Sejam os conjuntos S = {1, 2, 3, 4}, T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e U = {6, 7, 8, 9, 10} e as funções f: S T com f = {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 6)} e g: T U com g = {(1, 7), (2, 6), (3, 9), (4,7), (5, 8), (6, 10)}. a. Defina a função g o f g o f:S U, com g o f = {(1,6), (2,7), (3,9), (4,10)} b. Mostre quais das funções f, g e g o f são injetivas e/ou sobrejetivas. f é injetiva pois cada valor de U vai para um valor distinto de T mas não é sobrejetiva pois os valores 1 e 5 de T não são imagem de f;
g não é injetiva pois g(1) = g(4) = 7 mas é sobrejetiva pois todo valor de U é imagem de algum valor de T por g. g o f é injetiva pois cada valor de S é levado a um valor distinto em U mas não é sobrejetiva pois o valor 8 não é imagem de nenhum valor de S. 3)
c) Seja a função f:S R dada por f(x) = x2 diga se ela é injetiva ou sobrejetiva e dê o conjunto imagem f(S) para S=Z; S=N e S=R. S=Z: não é injetiva nem sobrejetiva, f(Z)={0,1,2,4,9,16,..} S=N: é injetiva mas não é sobre. f(N)={0,1,2,4,9,16,..} S=R: não é injetiva nem sobrejetiva, f(R)={xR | (x) R } d) Uma expressão aritmética pode ser representada como um grafo de funções. Por exemplo, (x+y)/(y*z) seria
x
+
x+y /
y *
res
y*z
z
O que resulta em uma composição de funções div(som(x,y),mult(y,z)). Crie um grafo de funções e a respectiva composição de funções para a expressão: (x+sen2(y))/(sen(x) + 2x). RESPOSTA: sen
y
+
z
/
res
+ x
sen 2x
A expressão ficaria: som(div(som(x,quad(sem(x)),sen(x)),mult(2,x)) 4)..Quais das funções a seguir são bem definidas, injetivas e/ou sobrejetivas? Para as que não são bijetivas reduza o domínio ou o contradomínio para se tornar bijetiva e defina a função inversa. a) f:Z N dada por f(x) = x2 + 1 f não é injetiva pois para todo xZ, f(x)=f(-x); f não é sobrejetiva pois para todo x, f(x) será o quadrado de um número mais um. Logo, p.ex. 3, 7 e 8 não estão em f(Z); Para tornar a função injetiva, basta reduzir o domínio aos números positivos e o zero, o N. Para torná-la sobrejetiva, analisemos f(x). Em N, teremos;f(0)=1, f(1)=1; f(2)=5; f(3)=10, f(4)=17 e assim por diante. Então, para tornar f(x) uma bijeção consideramos N* o conjunto dos naturais com o zero e D={x/x=n2 + 1, para algum n N*} e f:N* D será uma bijeção. A inversa será f -1:D N tal que f -1(y)= (y-1) b) f:Z Q dada por f(x) = 1/x
f não é bem definida, pois para 0Z, f(0) não está definida. Reduzindo o domínio para Z-{0}, teremos que f é injetiva, pois para quaisquer inteiros x e y, se xy certamente 1/x 1/y f não é sobrejetiva pois a imagem de qualquer xZ-{0} f(x) será um número entre -1 e 1, logo todos número maiores que 1 ou menores que -1 não estão na imagem de f. Para tornar a função bijetiva notamos que a imagem de f(Z-{0}) = {y/ y é um racional que pode ser escrito da forma 1/x com xZ{0}}. Se chamarmos esse conjunto de D, teremos uma bijeção f: Z-{0} D. Nesse caso f -1(x)=f(x)=1/x. c) f:N N N dada por f(x) = (x,x2) f será injetiva pois se xy, é claro que (x,x2) (y,y2). f não é sobrejetiva, pois do contradomínio N N, o primeiro N será todo coberto por f mas no segundo só os quadrados perfeitos serão imagem de f. Logo, para tornar a função uma bijeção definimos D N N como D={(y,z)/ z=y2}. Temos, então, f:N D, com f(x)=(x,x2) e f -1: D N, com f -1(x,x2)=x d) f: N N N dada por f(x,y) = (x+y)2 Esta função está bem definida mas não é injetiva (p.ex. f(1,2)=f(2,1)) e não é sobrejetiva (p.ex. 3 não é imagem de nenhum par (x,y) N N. Para torná-la injetiva pode-se reduzir o primeiro domínio a um único número, p.ex. 0 (zero) e o contradomínio aos quadrados perfeitos P={0,1,2,4,8,16,..}. Assim teríamos f: {0} N P e a inversa f -1:P {0} N tal que f -1(z) = (0, z)
Parte V: Estruturas algébricas 1) Em cada caso abaixo, mostre se as funções definidas são bijeções, homomorfismos ou isomorfismos. Se for isomorfismo, mostre o homomorfismo inverso. f: dada por f(x) = 1/x É bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso. É injetiva pois se xy também temos 1/x 1/y É sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1/x. Nesse caso f(1/x) = x, logo x pertence à imagem f(R-{0}). Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) já que dos dois lados a operação é a soma. A primeira parte é 1/x + 1/y = (y+x)/(x.y) e a segunda será 1/(x+y), logos são diferentes. P.ex. para x=1 e y=2 teríamos (y+x)/(x.y) = 3/2 e 1/(x+y) = 1/3. Concluímos que é bijetora mas não é homomorfismo. f: dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) É bem definida pois para todo inteiro n, 2n é um número par. É injetiva pois para inteiros n e m diferentes, teremos 2n2m. É sobrejetiva, pois para todo par p existe o inteiro p/2 tal que f(p/2) = p. Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y). Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y). Também f -1(x)+ f -1(y)= x/2 + y/2 = (x+y)/2 = f -1(x+y) Logo é bijeção e ambos são homomorfismos, portanto é um isomorfismo. f: dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) Pelos mesmos argumentos acima é uma bijeção. Para ser homomorfismo deve valer f(x) . f(y) = f(x+y). Temos f(x) . f(y) = 2x . 2y = 4xy, mas f(x+y) = 2(x+y). Logo não é homomorfismo nem isomorfismo 2) Dadas as álgebras de Boole B1 = <{0,1}, +, ·, ‘, 0, 1>, com x+y = max(x,y) e x · y = min(x,y), e B4 = <{F,V}, , , , F, V>, então existe um isomorfismo natural h: B1 B4, com h(0) = F e h(1) = V. Resolva, cada expressão a seguir de duas formas: (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e), resolvendo em B4 e aplicando h-1 ao resultado: a) (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) Forma direta: (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) = (0+1’)’. ((0+1).0) =(0)’ . (1 . 0) = 1 . 0 = 0 Forma indireta: h(0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) = (F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F finalmente h-1(F) = 0 b) 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ Forma direta: 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ = 0 · 1 + (1+(0))’= 0+(1)’ = 0+ 0 = 0 Forma indireta: h(1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ = V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F, logo h-1(F) = 0 3) Prove que para toda Álgebra de Boole vale a) x = y se e somente se x · y’ + y · x’ = 0 i) se x=y temos x · y’ + y · x’ = x · x’ + x · x’ = 0 + 0 = 0 ii) se x · y’ + y · x’ = 0 temos x · y’ = 0 e y · x’ = 0 mas, se x · y’ = 0 y’ é o complemento de x, logo y = x . b) x+y’ = x + (x’ · y + x · y)’ vamos mostrar que y’ = (x’ · y + x · y)’. Mas (x’ · y + x · y)’ = ((x’ + x)·y)’ = (1·y)’ = y’
4) Dado S = {1,2,3,4,5}, seja o reticulado R=<{<1,2>,<1,3>, <1,4>,<2,5>,<3,5>,<4,5>},inf,sup>. Porque a estrutura B=, em que ‘ seria dado por x’ = y tal que sup(x,y)=5 e inf (x,y)=1, não é uma Álgebra de Boole (sugestão: na Álgebra de Boole o complemento tem que ser único). E se retirarmos o elemento 4 de S? Não é uma Álgebra de Boole, pois, por exemplo, o elementos 2 tem dois complementos, o 3 e o 4, pois sup(2,3) = 5 e sup(2,4) = 5. Se retirarmos o 4, teríamos 1’=5, 2’=3, 3’=2 e 5’=1. Portanto só tem um complemento. Para ser uma Álgebra de Boole vamos definir o isomorfismo. Seja o morfismo h dado por: x = h(x)=
1
2 {1}
3 {2}
5 {1,2}
E h(sup) = ; h(inf) = Para ser isomorfismo deve valer: 1. h é uma bijeção entre A e B. Isto está claro na tabela da função. 2. h(inf(x,y)) = h(x) h(y) 3. h(sup(x,y)) = h(x) h(y) 4. h(x’) = h(x)” Podemos mostrar as propriedades 2, 3 e 4 pela tabela: x 1 1 1 2 2 3
y
2 3 5 3 5 5
inf(x,y) 1 1 1 1 2 3
h(x)
h(y)
{1} {2}
sup(x,y) 2 3 5 5 5 5
h(x)
h(y) {1} {2} {1,2} {1,2} {1,2} {1,2}
x’
h(x’)
h(x)”
5
[1,2}
{1,2}
3
{2}
{2}
2
{1}
{1}
Não mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos. 5) Dada uma álgebra de Boole B = podemos definir um novo operador (ou exclusivo) como sendo x y = x . y’ + y . x’ . 1. Analise as propriedades de e determine sua estrutura algébrica. Associativa: x (y z) = x (y.z’ + z.y’) = x. (y.z’ + z.y’)’ + (y.z’ + z.y’).x’= x.((y.z’)’.(z.y’)’) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.(y’+z).(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = (x.y’+x.z).(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’(z’+y)+x.z.(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’.z’+ x.y’.y + x.z.z’+x.z.y + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’.z’ + x.z.y + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’.z’+y.x.z’ + z.x.y+z.x’.y’ = (x.y’+y.x’).z’ + z. (x.y+x’.y’) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x’.y’+y.y’ + x’.x+y.x) = (x.y’+y.x’).z’ + z.((x’+y).y’+(x’+y).x)) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x’+y).(y’+x) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x.y’)’.(y.x’)’= (x.y’+y.x’).z’+z. (x.y’+y.x’)’=(x.y’+y.x’) z = (x y) z Solução tabelar: x y z y z x (y z) x y (x y) z 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
1 1
0 1
1 1
1 0
0 1
1 0
0 1
Comutativa: x y = x . y’ + y . x’ = y.x’ + x.y’ = y x Neutro: x 0 = x . 0’ + 0 . x’ = x.1 + 0 = x, logo 0 é o neutro Inverso: xx = x.x’ + x’.x = 0+0 = 0 logo todo elemento é seu própr io inverso. Conclui-se que é um grupo comutativo. 2. considerando x y uma função booleana, dê suas definições tabelar e esquemática. Tabelar: y x’ y’ x.y’ y.x’ x.y’+y.x’ xy x 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Esquemático: y
x
6) Em cada caso determine a estrutura algébrica de : e) S = {1, -1, i, -i} e * é a multiplicação com i = -1 e i2= -1. (sugestão: faça a tabela de multiplicação) Tabela: * 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 i i -i -i -i i
* 1 2 3 4
Tabela: 1 2 1 2 2 4 3 1 4 3
i i -i -1 1
pela tabela vê-se que a operação é fechada. É associativo pois a multiplicação de números complexos é associativa. Tem elemento neutro (1), os inversos são -1’=1, 1’=1, i’=-i e –i’=i; pela associatividade da multiplicação ela também é associativa e é comutativa pois a tabela é simétrica. Logo é um grupo comutativo.
-i -í 1 1 -1
3 3 1 4 2
f) S = {1,2,3,4} e * é ·5 o produto modulo 5. 4 4 3 2 1
É fechado (vide tabela). É associativo pois a multiplicação de números módulo n é associativa. É comutativo pois a tabela é simétrica. O elemento neutro é 1. Inversos 1’=1; 2’=3, 3’=2 e 4’=4. Associativo. Também é grupo comutativo. _______________________________________________________ ______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre álgebras (que preserva as operações) pode-se definir isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados e como uma bijeção f:SS’ que preserva as ordens, ou seja, se xy então f(x)’f(y).
1. Se S=S’={a,b,c, d} defina 3 ordens parciais em S que são isomorfas entre si. a
b
a
a
b c
d
c
c
b
d d
2. Se S tem 4 elementos {a,b,c,d} mostre quantos reticulados distintos (não isomorfos) podem ser formados. (SUGESTÃO: use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens.) a a
b c
c d
b d
Dado = {a,e,i}, e S ={1,2,3}. Que determinam duas Álgebras de Boole: 3 , *, +, ‘, , “aei”> com L = < 3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabética;a cadeia vazia; x * y = a cadeia com as letras comuns a x e y, x +y = a cadeia com todas letras de x e y, e x’ = -x, ou seja, a cadeia com todas letras que não estão em x. e S = < P (S), , , ‘,, S> a) Pelo teorema das álgebras booleanas finitas estas duas estruturas são isomorfas, pois |L|=|PS|=8. Defina este isomorfismo; o isomorfismo h: 3 S é dado pela tabela: x = e i ae ai ei aei a h(x)= {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} {1} {2} Para mostrar que é isomorfismo, tem que ser um homomorfismo e ser bijetora. b) dada a expressão (’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’)). Calcule o resultado de duas maneiras: (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS , resolvendo em PS , e convertendo o resultado de volta para L. i) direto: (’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’) = (“aei”*”i”)+(“aei”*”ei”) = “i”+”ei”= “ei” ii) indireto: h((’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’))=(( ’ ({1,3}{2,3}) (S{1}’)= ((S {3}) (S {2,3}) = {3} {2,3} = {2,3}, h-1({2,3} = “ei”. 8)
9) Dados = {a,e,i}, e S ={1,2,3}. Que determinam duas Álgebras de Boole: L = <3, inf, sup, ‘,, “aei”> com 3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabética; a cadeia vazia; inf(x,y)=a cadeia com as letras comuns a x e y, sup(x,y) = a cadeia com todas letras de x e y, e x’ = “aei”-x, ou seja, a cadeia com todas as letras que não estão em x. e PS = < P (S), , , /, , S>
a) Pelo teorema das álgebras booleanas finitas estas duas estruturas são isomorfas, pois |3|=|PS|=8. Defina este isomorfismo; Seja h: <3 -> P(S) dada por: “a” “e” “i” “ae” “ei” “ai” “aei” X h(x) {1} {2} {3} {1,2} {2,3} {1,3} {1,2,3} E as funções: h(sup) = h(inf) = e h(‘) = ‘ ‘ b ) dada a expressão inf(sup(,sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’)). Calcule o resultado de duas maneiras: (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS , resolvendo em PS , e convertendo o resultado de volta para 3. Direto: inf(sup(, sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’)) = inf(sup(,(“ae”)’), inf("aei",“ei”)) = inf(sup(,“i”), “ei”) = inf( “i”, “ei”) = “i” Indireto: h(inf(sup(, sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’))) = (( )) ({1,2,3}{1})) =( ) (({1,2,3}{2,3})) = ( ) ({2,3}) = () ({2,3}) = {3} c) E temos que h-1({3}) = “i” 10) Dado uma Álgebra de Boole qualquer, mostrar, justificando cada passo: a) Se definirmos uma nova operação ( ‘ou exclusivo’) como sendo: xy=x.y’ + y.x’, vale xy = yx e também x1=x’ xy= x.y’ + y.x’=y.x’+x.y’=yx x1= x.1’ + 1.x’=1bx.0+x’.1=4b0+x’=4a x’ b) Propriedades (x.y)+(x.z) = x.[y+(x.z)] e também (x+y.x)’ = x’ x.[y+(x.z)]=3b x.y+x(x.z)=2b x.y+(x.x)z=x.y+x.z (x+y.x)’=3a ((x+y).(x+x))’=6a ((x+y).x)’=7a (x+y)’+x’=1a x’+(x’+y’)=absorção x’ (falta provar a absorção) 11) Dado uma álgebra , sendo Z os inteiros, defina operações tal que: a. Comutativa mas não associativa (x,y) = (x+y)2 é comutativa, pois (x+y)2 = (y+x)2 e não é associativa pois, p.ex. ((1+2)2 +3)2 = (32 +3)2 = (9 +3)2 = 122 ((1+(2 +3)2)2 = (1+ 52)2 = 262 b. Forma só um semi grupo (n,m)=n. É associativa pois ((x,y),z) = (x,z) = x e (x, (y,z)) = (x,y) = x Mas não é comutativa, pois (x,y) = x e (y,x) = y. Não tem neutro, pois deveria valer (x,i) = (i,x) = x mas, para xi teremos (i,x)=i x! c. forma só um monóide (x,y) = x.y é claramente associativa e tem neutro, o 1 (um). Mas, como o domínio é Z os inteiros não têm inverso tal que n.n-1 = 1 12)
Dado uma álgebra , determine para cada caso se temos um semi-grupo, monóide, grupo ou nenhum desses: a. S = R (os reais) e x*y = (x+y)2 Associativo: contra-exemplo 1*(2*3)=(1+(2+3)2)2=(1+25)2 = 262 (1*2)*3=(1+2)2+3)2=(9+3)2 =122 Logo não é semi-grupo, portanto não é monóide nem grupo. b. S = {1,2,4} e x*y é o produto módulo 6
Assoc: x*(y*z)=x.q1, sendo q1 (= o resto da divisão de y.z por 6) = q2 (= o resto da divisão de x.q1 por 6) Observe que se y*z está fora de S só pode ser 8, que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4. Em ambos os casos pode-se mostrar, por exaustão, que x*(y*z)=x.y.z mod 6. Analogamente pode-se mostrar que (x.y).z também coincide com x.y.z. Logo x.(y.z) = x.y.z = (x.y).z Neutro: é o 1, pois x*1=x=1*x para todo x em S Inverso: nem o 2 nem o 4 possuem inverso, pois 2.x=2 para todo x e 4.1=4, 4.2+2 e 4.4=4, logo nunca 4.x=1. Concluindo, é um monóide. c. S = N (os naturais) e x*y = min(x,y) min(x,min(y,z)) = min (x,y,z) = min(min(x,y),z) – logo é associativa min(x,y) = min(y,x) – logo é comutativa não existe um natural n tal que min(x,n) = x para todo x, pois basta tomar x=n+1 e teremos min(n+1,n) = n e não n+1. – logo não tem neutro Conclusão: é um semi-grupo comutativo d. S = N N e (x1,y1)* (x2,y2) = (x1,y2) ((x1,y1)* (x2,y2))*( x3,y3) = (x1,y2)*( x3,y3) = ( x1,y3) e (x1,y1)* ((x2,y2)*( x3,y3)) = (x1,y1)*( x2,y3) = ( x1,y3), logo é associativa (x1,y1)* (x2,y2) = (x1,y2) mas (x2,y2)* (x1,y1) = (x2,y1), logo não é comutativa Como o resultado da operação sempre terá um componente do segundo operando, não é possível haver um (i2,i2) tal que (x1,y1)* (i2,i2) = (x1,y1), logo não tem identidade e, consequentemente, não tem inverso. Conclusão: é um semi-grupo não comutativo e. S = {f/ f:N N} (conjunto das funções naturais} e f*g(x) = f(x)+g(x) Associativa: (f*g)*h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f*(g*h)(x) Identidade: seja i(x)=0, teremos f*i(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x) Neutro: seja g(x) = – f(x) então f*g(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x) Comutativa: como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) será comutativa. Logo é um grupo comutativo 13)
14)
Mostre que a) é um corpo comutativo Mostrar que é um anel, ou seja: é grupo comutativo (vale ANIC) e é semi-grupo. É fácil mostrar isso. além de ser semi-grupo possui neutro, logo é um monóide. também possui inverso 1/x para todo x R-{0}, logo é grupo comutativo. b) Em uma álgebra de Boole , é um monóíde comutativo Pela propriedade 1a é comutativo pela 2a é associativo, e pela 4a o neutro é 0. A operação ‘ não determina um inverso em relação a +, pois a+a’ = 1 e dever ia ser 0.
Em cada caso abaixo, mostre quais das funções definidas são bem definidas, bijeções, homomorfismos e quais são isomorfismos. Para o isomorfismo, mostre o isomorfismo inverso. a) f: dada por f(x) = 0 é um homomorfismo pois se x+y=z, temos f(x)+f(y)=0+0=0=f(z). Não é isomorfismo pois não é injetiva nem sobrejetiva. b) f: dada por f(x) = x + 1 Não é homomorfismo, pois se x+y=z, temos f(x)+f(y)=x+1 + y+1 = x+y+2 enquanto f(x+y)=x+y+1x+y+2. Se não é homomorfismo também não pode ser isomorfismo. c) f: dada por f(x) = x
Não é homomorfismo pois se x+y=z deveríamos ter f(x).f(y)=f(z) ou seja x.y=z Logo também não é isomorfismo. d) f: dada por f(x) = 1/x É bem definida pois todo real diferente de zero tem um inverso. É injetiva pois se xy também temos 1/x 1/y É sobrejetiva pois todo real diferente de zero x tem um inverso 1/x. Nesse caso f(1/x) = x, logo x pertence à imagem f(R -{0}). Para ser um homomorfismo tem que valer f(x) + f(y) = f(x+y) já que dos dois lados a operação é a soma. A primeira parte é 1/x + 1/y = (y+x)/(x.y) e a segunda será 1/(x+y), logos são diferentes. P.ex. para x=1 e y=2 teríamos (y+x)/(x.y) = 3/2 e 1/(x+y) = 1/3. Concluímos que é bijetora mas não é homomorfismo. e) f: dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) É bem definida pois para todo inteiro n, 2n é um número par. É injetiva pois para inteiros n e m diferentes, teremos 2n2m. É sobrejetiva, pois para todo par p existe o inteiro p/2 tal que f(p/2) = p. Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y). Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y). Também f -1(x)+ f -1(y)= x/2 + y/2 = (x+y)/2 = f -1(x+y) Logo é bijeção e ambos são homomorfismos, portanto é um isomorfismo. f) f: dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) Pelos mesmos argumentos acima é uma bijeção. Para ser homomorfismo deve valer f(x) . f(y) = f(x+y). Temos f(x) . f(y) = 2x . 2y = 4xy, mas f(x+y) = 2(x+y). Logo não é homomorfismo nem isomorfismo. 13) Defina a estrutura algébrica de: 1) < *, ||> com: * o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings) || a operação de concatenação de strings É associativo pois, se a=a1..an, b=b1..bm e c=c1..ck , teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1..an b1..bm c1..ck Não é comutativo, pois, por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab Tem neutro, pois para a cadeia vazia vale: a=a para qualquer a Não tem inverso, pois a concatenação só aumenta uma cadeia, logo para toda cadeia não vazia a não pode existir b tal que a||b= Conclui-se que a estrutura é um Monóide. 2) < Z6, +6,.6> com: Z6= {0,1,2,3,4,5} sendo +6 a soma módulo 6 e .6 o produto módulo 6 Analisemos cada operação: < Z6, +>, é associativo pois como a soma é associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r. se x+(y+z) = x +(6q1+r 1) = 6q2 + r 2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r 1 = r 2 com r 2 = r Analogamente mostra-se também que (x +6 y)+6 z = r É comutativo por argumento análogo ao acima, decorrente da comutatividade da soma Tem neutro que é o 0, pois x+60=x Tem inverso, pois para todo nZ6, teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6). Logo x’=6-x Logo < Z6, +> é um grupo comutativo. < Z6, .>: Pelos mesmos argumentos acima, vê-se que é associativo e comutativo; Tem neutro que é o 1, pois x.1=x < Z6-{0} .6> não é grupo, pois Z6-{0} só tem inteiros que não têm inverso na multiplicação.
Logo < Z6, .> é um monóide comutativo e < Z6,+, .> será um anel comutativo com neutro na multiplicação. 3)
5
>, com:
Z5 = {0,1,2,3,4} x +5 y = (x+y) mod 5, e x *5 y = (x.y) mod 5 como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5, e (x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5 A soma módulo 5 é associativa. Análogamente a multiplicação também o é. Como a soma e multiplicação normais são comutativas estas operações módulo 5 também o serão. O neutro de +5 é o 0. O neutro de *5 é o 1. Os inversos em +5 serão: 0’= 0, 1’=4, 2’= 3, 3’=2 e 4’=1. Em *5 5 não haverá inverso x’ com x.x’=1. Mesmo para Z 5 – {0}. A distributividade que vale para as soma e multiplicação normais pode ser aplicado às operações de módulo pois, teremos x*5 (y+5z) = (x.(y+z)mod 5) mod 5 = (x.(y+z))mod 5 = (x.y+xz))mod 5 = ((x.y)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x*5 y)+5 (x*5z). Concluimos que a estrutura é um Anel Comutativo.
4) < C, sup, inf> com: C um reticulado finito ordenado por uma relação £ e inf(x,y) é o ínfimo de x e y e sup(x,y) é o supremo de x e y. Associativa: dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf 3(x,y,z) como o ínfimo de x,y e z. Agora deve valer inf(x,inf(y,z)) = inf 3(x,y,z) assim como inf(inf(x,y),z). Pode ser provado por absurdo. Analogamente vale para sup(x,y); Neutro: Já que C é reticulado finito terá um elemento máximo MAX e um mínimo MIN. Nesse caso teremos inf(x,MAX) = x e sup(x não é anel. 14) . Seja B={0,1,a,b}. Defina uma álgebra de Boole sendo que ‘ é definido como: 0’=1, 1’=0, a’=b e b’=a. Defina as operações + e * por duas tabelas. + 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 1 1 1
a a 1 a 1
b b 1 1 b
* 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a a 0
b 0 b 0 b
15) Dado S = {1,2,3,5}, seja o reticulado R= <{<1,2>,<1,3>, <2,5>,<3,5>, inf, sup>. Mostre que a estrutura B=, é uma Álgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B e < P ({1,2}), , , “, , {1,2}>. Para mostrar isso deve ser definido uma bijeção h entre S e P ({1,2}) e mostrado a conservação das operações. Para isso crie uma tabela com todas combinações possíveis de x e y em S e mostre que vale h(inf(x,y)) = h(x) h(y); h(sup(x,y)) = h(x) h(y) h(x’) = h(x)” Para ser uma Álgebra de Boole vamos definir o isomorfismo. Seja o morfismo h dado por:
x = h(x)=
1
2 {1}
3 {2}
5 {1,2}
E h(sup) = ; h(inf) = Para ser isomorfismo deve valer: 1. h é uma bijeção entre A e B. Isto está claro na tabela da função. 2. h(inf(x,y)) = h(x) h(y) 3. h(sup(x,y)) = h(x) h(y) 4. h(x’) = h(x)” Podemos deduzir as propriedades 2, 3 e 4 pela tabela: x 1 1 1 2 2 3
inf(x,y) 1 1 1 1 2 3
y
2 3 5 3 5 5
h(inf(x,y))
h(x)
{1} {2}
h(y) {1} {2}
sup(x,y) 2 3 5 5 5 5
h(x)
h(y) {1} {2} {1,2} {1,2} {1,2} {1,2}
x’
h(x’)
h(x)”
5
[1,2}
{1,2}
3
{2}
{2}
2
{1}
{1}
Não mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos. 16) Dado uma álgebra , para cada operação mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e que tipo de álgebra é: 1. S = {inteiros} e (x,y) = (x+y)2 Não é associativa, pois, p.ex. ((1+1)2+3)2 = (4+3)2 = 49 e ((1+(1+3)2) 2= (1+16)2 =172= 289 Não tem neutro pois, p.ex. com x=2 o neutro sería y tal que (2+y)2= 2 teríamos y = 2 – 2 o que não é um número inteiro. É comutativa pois (x+y)2= (y+x)2 Logo a estrutura é só comutativa e nada mais. 2. S = {cadeias de caracteres} e (x,y) = x || y a concatenação de cadeias É associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z)) Tem neutro, a cadeia vazia , pois x || = x Não tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para , e tamanho 0. Não é comutativa, pois p.ex. “a“||”b” = “ab” e “b” || “a” = “ba” Logo é um monoide não-comutativo 17) Uma extensão da lógica proposicional considera 3 valores possíveis: Verdade(V), Falso(F) ou Nulo(N). Nesta lógica os operadores , e são definidos como p q pq
V V V
V F F
V N N
F V F
F F F
F N F
N V N
N F F
N N N
p q pq
V V V
V F V
V N V
F V V
F F F
F N N
N V V
N F N
N N N
p p
V F
F V
N N
Mostre que a lógica de 3 valores <{F,V,N}, , , , F, V>. não é uma álgebra de Boole. Analise, para o , as propriedades comutativa, neutro e inverso; e a distributiva x(y z) =(xy) (xz). Sugestão: para analisar o faça a matriz da operação.
Observando a matriz pq V F N Vê-se que pq é comutativo pois a matriz é simétrica. V F N V O elemento neutro é V, observando a primeira linha ou F F F F primeira coluna. N F N N Não tem inverso, pois não há nenhuma linha que leva todos valores em V. Distributiva: um exemplo V(N F) = V N = N e (V N) (VF)= N F = N Completo (as combinações de V e F são as clássicas. Mostramos as combinações de V com pelo menos um valor N): x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V N N
V N V N N N
N V V N V N
V V V N V N
V V N N N N
V N N N N N
N V N N N N
V V N N N N
Não é álgebra de Boole pois, como V é o neutro de , deve valer x x = V. Mas, pela tabela temos que N N = N N = N V! 18) Dada a expressão booleana (x.y’).(y’+z) a) escreva ela apenas com operadores NAND (x.y’).(y’+z) =(x.y’).y’ + (x.y’).z = (( (x.y’).y’+(x.y’).z )’)’ = (( ((x.y’).y’)’ . ((x.y’).z)’ )’)’ = (((x.y’) ’. y’) . ((x.y’) ’. z))’ = ((x.y’) ’. y) ’. ((x.y’) ’. z) = (((x.y’)’)’ ’. y) ’. (((x.y’)’)’ ’. z) = (( ((x ’. y’)’ ’. y) ’. ((x ’. y’)’ ’. z) )’)’ = ( ((x ’. y’) ’. 1) ’. y) ’. (((x ’. y’) ’. 1) ’. z) )’= ( (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) )’ = (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) ‘. 1 b) escreva ela apenas com operadores NOR (x.y’).(y’+z) = (x’+y)’.(y’+z) = ((x’+y) + (y’+z)’)’ = (x’ + y) ‘+ (y’ ‘+ z) = (((x’ + y))’)’ ‘+ (y’ ‘+ z) = ((x’ ‘+ y))’ ‘+ (y’ ‘+ z) = (((x ‘+ 0) ‘+ y) ‘+ 0) ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z) c) Calcule o valor da expressão para x=1, y=0 e z=0. Use primeiro a expressão original e depois a só com NAND e a só com NOR Para x=1, y=0 e z = 0, teremos Original: (x.y’).(y’+z) = (1.0’).(0’+0) = 1.(1+0) = 1.1 = 1 NAND: (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) ‘. 1 = (((1 ’. (0 ’. 1)) ’. (0 ‘. 1)) ‘. 0) ‘. (((1 ‘. (0 ‘. 1)) ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1= (((1 ’. 1) ’. 1) ‘. 0) ‘. (((1 ‘. 1) ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1 = ((0 ’. 1) ‘. 0) ‘. ((0 ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1= (1 ‘. 0) ‘. (1 ‘. 0) ‘. 1 = (1 ‘. 1) ‘. 1 = 0 ‘. 1 = 1 NOR: (((x ‘+ 0) ‘+ y) ‘+ 0) ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z) = (((1 ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ ((0 ‘+ 0) ‘+ 0) = ((0 ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ (1 ‘+ 0) = (1 ‘+ 0) ‘+ 0 = 0 ‘+ 0 = 1
