dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) É bem definida pois para todo inteiro n, 2n é um número par. É injetiva pois para inteiros n e m diferentes, teremos 2n2m. É sobrejetiva, pois para todo par p existe o inteiro p/2 tal que f(p/2) = p. Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y). Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y). Também f -1(x)+ f -1(y)= x/2 + y/2 = (x+y)/2 = f -1(x+y) Logo é bijeção e ambos são homomorfismos, portanto é um isomorfismo. f: dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) Pelos mesmos argumentos acima é uma bijeção. Para ser homomorfismo deve valer f(x) . f(y) = f(x+y). Temos f(x) . f(y) = 2x . 2y = 4xy, mas f(x+y) = 2(x+y). Logo não é homomorfismo nem isomorfismo 2) Dadas as álgebras de Boole B1 = <{0,1}, +, ·, ‘, 0, 1>, com x+y = max(x,y) e x · y = min(x,y), e B4 = <{F,V}, , , , F, V>, então existe um isomorfismo natural h: B1 B4, com h(0) = F e h(1) = V. Resolva, cada expressão a seguir de duas formas: (1) diretamente em B1 e (2) aplicando h(e), resolvendo em B4 e aplicando h-1 ao resultado: a) (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) Forma direta: (0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) = (0+1’)’. ((0+1).0) =(0)’ . (1 . 0) = 1 . 0 = 0 Forma indireta: h(0+(1+1)’)’ · ((0’’+1)· 0) = (F (V V) ((FV) F) = (FV) ((FV) F)= F(VF) =VF=F finalmente h-1(F) = 0 b) 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ Forma direta: 1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ = 0 · 1 + (1+(0))’= 0+(1)’ = 0+ 0 = 0 Forma indireta: h(1’ · 0’ + (1+1+(1· 0))’ = V F (VV(VF)) = F V (VF) = F V = F F = F, logo h-1(F) = 0 3) Prove que para toda Álgebra de Boole vale a) x = y se e somente se x · y’ + y · x’ = 0 i) se x=y temos x · y’ + y · x’ = x · x’ + x · x’ = 0 + 0 = 0 ii) se x · y’ + y · x’ = 0 temos x · y’ = 0 e y · x’ = 0 mas, se x · y’ = 0 y’ é o complemento de x, logo y = x . b) x+y’ = x + (x’ · y + x · y)’ vamos mostrar que y’ = (x’ · y + x · y)’. Mas (x’ · y + x · y)’ = ((x’ + x)·y)’ = (1·y)’ = y’ dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) É bem definida pois para todo inteiro n, 2n é um número par. É injetiva pois para inteiros n e m diferentes, teremos 2n2m. É sobrejetiva, pois para todo par p existe o inteiro p/2 tal que f(p/2) = p. Para ser homomorfismo deve valer f(x) + f(y) = f(x+y). Temos f(x) + f(y) = 2x + 2y = 2(x+y) = f(x+y). Também f -1(x)+ f -1(y)= x/2 + y/2 = (x+y)/2 = f -1(x+y) Logo é bijeção e ambos são homomorfismos, portanto é um isomorfismo. f) f: dada por f(x) = 2x (P é o conjunto de números pares) Pelos mesmos argumentos acima é uma bijeção. Para ser homomorfismo deve valer f(x) . f(y) = f(x+y). Temos f(x) . f(y) = 2x . 2y = 4xy, mas f(x+y) = 2(x+y). Logo não é homomorfismo nem isomorfismo. 13) Defina a estrutura algébrica de: 1) < *, ||> com: * o conjunto de todas cadeias de caracteres (strings) || a operação de concatenação de strings É associativo pois, se a=a1..an, b=b1..bm e c=c1..ck , teremos a||(b||c)=(a||b)||c = a1..an b1..bm c1..ck Não é comutativo, pois, por exemplo ab||cd = abcd mas cd||ab=cdab Tem neutro, pois para a cadeia vazia vale: a=a para qualquer a Não tem inverso, pois a concatenação só aumenta uma cadeia, logo para toda cadeia não vazia a não pode existir b tal que a||b= Conclui-se que a estrutura é um Monóide. 2) < Z6, +6,.6> com: Z6= {0,1,2,3,4,5} sendo +6 a soma módulo 6 e .6 o produto módulo 6 Analisemos cada operação: < Z6, +>, é associativo pois como a soma é associativa teremos x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z= 6k + r. se x+(y+z) = x +(6q1+r 1) = 6q2 + r 2 e x +6 (y+6 z) = x +6 r 1 = r 2 com r 2 = r Analogamente mostra-se também que (x +6 y)+6 z = r É comutativo por argumento análogo ao acima, decorrente da comutatividade da soma Tem neutro que é o 0, pois x+60=x Tem inverso, pois para todo nZ6, teremos que n+(6-n)=6=0 (mod 6). Logo x’=6-x Logo < Z6, +> é um grupo comutativo. < Z6, .>: Pelos mesmos argumentos acima, vê-se que é associativo e comutativo; Tem neutro que é o 1, pois x.1=x < Z6-{0} .6> não é grupo, pois Z6-{0} só tem inteiros que não têm inverso na multiplicação.
4) Dado S = {1,2,3,4,5}, seja o reticulado R=<{<1,2>,<1,3>, <1,4>,<2,5>,<3,5>,<4,5>},inf,sup>. Porque a estrutura B=, em que ‘ seria dado por x’ = y tal que sup(x,y)=5 e inf (x,y)=1, não é uma Álgebra de Boole (sugestão: na Álgebra de Boole o complemento tem que ser único). E se retirarmos o elemento 4 de S? Não é uma Álgebra de Boole, pois, por exemplo, o elementos 2 tem dois complementos, o 3 e o 4, pois sup(2,3) = 5 e sup(2,4) = 5. Se retirarmos o 4, teríamos 1’=5, 2’=3, 3’=2 e 5’=1. Portanto só tem um complemento. Para ser uma Álgebra de Boole vamos definir o isomorfismo. Seja o morfismo h dado por: x = h(x)=
1
2 {1}
3 {2}
5 {1,2}
E h(sup) = ; h(inf) = Para ser isomorfismo deve valer: 1. h é uma bijeção entre A e B. Isto está claro na tabela da função. 2. h(inf(x,y)) = h(x) h(y) 3. h(sup(x,y)) = h(x) h(y) 4. h(x’) = h(x)” Podemos mostrar as propriedades 2, 3 e 4 pela tabela: x 1 1 1 2 2 3
y
2 3 5 3 5 5
inf(x,y) 1 1 1 1 2 3
h(x)
h(y)
{1} {2}
sup(x,y) 2 3 5 5 5 5
h(x)
h(y) {1} {2} {1,2} {1,2} {1,2} {1,2}
x’
h(x’)
h(x)”
5
[1,2}
{1,2}
3
{2}
{2}
2
{1}
{1}
Não mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos. 5) Dada uma álgebra de Boole B = podemos definir um novo operador (ou exclusivo) como sendo x y = x . y’ + y . x’ . 1. Analise as propriedades de e determine sua estrutura algébrica. Associativa: x (y z) = x (y.z’ + z.y’) = x. (y.z’ + z.y’)’ + (y.z’ + z.y’).x’= x.((y.z’)’.(z.y’)’) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.(y’+z).(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = (x.y’+x.z).(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’(z’+y)+x.z.(z’+y) + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’.z’+ x.y’.y + x.z.z’+x.z.y + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’.z’ + x.z.y + (y.z’.x’+z.y’.x’) = x.y’.z’+y.x.z’ + z.x.y+z.x’.y’ = (x.y’+y.x’).z’ + z. (x.y+x’.y’) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x’.y’+y.y’ + x’.x+y.x) = (x.y’+y.x’).z’ + z.((x’+y).y’+(x’+y).x)) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x’+y).(y’+x) = (x.y’+y.x’).z’ + z.(x.y’)’.(y.x’)’= (x.y’+y.x’).z’+z. (x.y’+y.x’)’=(x.y’+y.x’) z = (x y) z Solução tabelar: x y z y z x (y z) x y (x y) z 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
1 1
0 1
1 1
1 0
0 1
1 0
0 1
Comutativa: x y = x . y’ + y . x’ = y.x’ + x.y’ = y x Neutro: x 0 = x . 0’ + 0 . x’ = x.1 + 0 = x, logo 0 é o neutro Inverso: xx = x.x’ + x’.x = 0+0 = 0 logo todo elemento é seu própr io inverso. Conclui-se que é um grupo comutativo. 2. considerando x y uma função booleana, dê suas definições tabelar e esquemática. Tabelar: y x’ y’ x.y’ y.x’ x.y’+y.x’ xy x 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 Esquemático: y
x
6) Em cada caso determine a estrutura algébrica de : e) S = {1, -1, i, -i} e * é a multiplicação com i = -1 e i2= -1. (sugestão: faça a tabela de multiplicação) Tabela: * 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 i i -i -i -i i
* 1 2 3 4
Tabela: 1 2 1 2 2 4 3 1 4 3
i i -i -1 1
pela tabela vê-se que a operação é fechada. É associativo pois a multiplicação de números complexos é associativa. Tem elemento neutro (1), os inversos são -1’=1, 1’=1, i’=-i e –i’=i; pela associatividade da multiplicação ela também é associativa e é comutativa pois a tabela é simétrica. Logo é um grupo comutativo.
-i -í 1 1 -1
3 3 1 4 2
f) S = {1,2,3,4} e * é ·5 o produto modulo 5. 4 4 3 2 1
É fechado (vide tabela). É associativo pois a multiplicação de números módulo n é associativa. É comutativo pois a tabela é simétrica. O elemento neutro é 1. Inversos 1’=1; 2’=3, 3’=2 e 4’=4. Associativo. Também é grupo comutativo. _______________________________________________________ ______________________
7) Assim como existe um isomorfismo entre álgebras (que preserva as operações) pode-se definir isomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados e como uma bijeção f:SS’ que preserva as ordens, ou seja, se xy então f(x)’f(y).
1. Se S=S’={a,b,c, d} defina 3 ordens parciais em S que são isomorfas entre si. a
b
a
a
b c
d
c
c
b
d d
2. Se S tem 4 elementos {a,b,c,d} mostre quantos reticulados distintos (não isomorfos) podem ser formados. (SUGESTÃO: use os Diagramas de Hasse para POSETS para resolver os dois itens.) a a
b c
c d
b d
Dado = {a,e,i}, e S ={1,2,3}. Que determinam duas Álgebras de Boole: 3 , *, +, ‘, , “aei”> com L = < 3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabética;a cadeia vazia; x * y = a cadeia com as letras comuns a x e y, x +y = a cadeia com todas letras de x e y, e x’ = -x, ou seja, a cadeia com todas letras que não estão em x. e S = < P (S), , , ‘,, S> a) Pelo teorema das álgebras booleanas finitas estas duas estruturas são isomorfas, pois |L|=|PS|=8. Defina este isomorfismo; o isomorfismo h: 3 S é dado pela tabela: x = e i ae ai ei aei a h(x)= {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} {1} {2} Para mostrar que é isomorfismo, tem que ser um homomorfismo e ser bijetora. b) dada a expressão (’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’)). Calcule o resultado de duas maneiras: (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS , resolvendo em PS , e convertendo o resultado de volta para L. i) direto: (’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’) = (“aei”*”i”)+(“aei”*”ei”) = “i”+”ei”= “ei” ii) indireto: h((’ * (“ai” * ”ei”) + (“aei” * (“a”)’))=(( ’ ({1,3}{2,3}) (S{1}’)= ((S {3}) (S {2,3}) = {3} {2,3} = {2,3}, h-1({2,3} = “ei”. 8)
9) Dados = {a,e,i}, e S ={1,2,3}. Que determinam duas Álgebras de Boole: L = <3, inf, sup, ‘,, “aei”> com 3 sendo todas cadeias de com 0 a 3 vogais em ordem alfabética; a cadeia vazia; inf(x,y)=a cadeia com as letras comuns a x e y, sup(x,y) = a cadeia com todas letras de x e y, e x’ = “aei”-x, ou seja, a cadeia com todas as letras que não estão em x. e PS = < P (S), , , /, , S>
a) Pelo teorema das álgebras booleanas finitas estas duas estruturas são isomorfas, pois |3|=|PS|=8. Defina este isomorfismo; Seja h: <3 -> P(S) dada por: “a” “e” “i” “ae” “ei” “ai” “aei” X h(x) {1} {2} {3} {1,2} {2,3} {1,3} {1,2,3} E as funções: h(sup) = h(inf) = e h(‘) = ‘ ‘ b ) dada a expressão inf(sup(,sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’)). Calcule o resultado de duas maneiras: (i) diretamente em L e (ii) convertendo-a para PS , resolvendo em PS , e convertendo o resultado de volta para 3. Direto: inf(sup(, sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’)) = inf(sup(,(“ae”)’), inf("aei",“ei”)) = inf(sup(,“i”), “ei”) = inf( “i”, “ei”) = “i” Indireto: h(inf(sup(, sup(“a”,”ae”)’), inf(“aei”, (“a”)’))) = (( )) ({1,2,3}{1})) =( ) (({1,2,3}{2,3})) = ( ) ({2,3}) = () ({2,3}) = {3} c) E temos que h-1({3}) = “i” 10) Dado uma Álgebra de Boole qualquer, mostrar, justificando cada passo: a) Se definirmos uma nova operação ( ‘ou exclusivo’) como sendo: xy=x.y’ + y.x’, vale xy = yx e também x1=x’ xy= x.y’ + y.x’=y.x’+x.y’=yx x1= x.1’ + 1.x’=1bx.0+x’.1=4b0+x’=4a x’ b) Propriedades (x.y)+(x.z) = x.[y+(x.z)] e também (x+y.x)’ = x’ x.[y+(x.z)]=3b x.y+x(x.z)=2b x.y+(x.x)z=x.y+x.z (x+y.x)’=3a ((x+y).(x+x))’=6a ((x+y).x)’=7a (x+y)’+x’=1a x’+(x’+y’)=absorção x’ (falta provar a absorção) 11) Dado uma álgebra
Dado uma álgebra , determine para cada caso se temos um semi-grupo, monóide, grupo ou nenhum desses: a. S = R (os reais) e x*y = (x+y)2 Associativo: contra-exemplo 1*(2*3)=(1+(2+3)2)2=(1+25)2 = 262 (1*2)*3=(1+2)2+3)2=(9+3)2 =122 Logo não é semi-grupo, portanto não é monóide nem grupo. b. S = {1,2,4} e x*y é o produto módulo 6
Assoc: x*(y*z)=x.q1, sendo q1 (= o resto da divisão de y.z por 6) = q2 (= o resto da divisão de x.q1 por 6) Observe que se y*z está fora de S só pode ser 8, que daria q1=1 ou pode ser 16 dando q1 = 4. Em ambos os casos pode-se mostrar, por exaustão, que x*(y*z)=x.y.z mod 6. Analogamente pode-se mostrar que (x.y).z também coincide com x.y.z. Logo x.(y.z) = x.y.z = (x.y).z Neutro: é o 1, pois x*1=x=1*x para todo x em S Inverso: nem o 2 nem o 4 possuem inverso, pois 2.x=2 para todo x e 4.1=4, 4.2+2 e 4.4=4, logo nunca 4.x=1. Concluindo, é um monóide. c. S = N (os naturais) e x*y = min(x,y) min(x,min(y,z)) = min (x,y,z) = min(min(x,y),z) – logo é associativa min(x,y) = min(y,x) – logo é comutativa não existe um natural n tal que min(x,n) = x para todo x, pois basta tomar x=n+1 e teremos min(n+1,n) = n e não n+1. – logo não tem neutro Conclusão: é um semi-grupo comutativo d. S = N N e (x1,y1)* (x2,y2) = (x1,y2) ((x1,y1)* (x2,y2))*( x3,y3) = (x1,y2)*( x3,y3) = ( x1,y3) e (x1,y1)* ((x2,y2)*( x3,y3)) = (x1,y1)*( x2,y3) = ( x1,y3), logo é associativa (x1,y1)* (x2,y2) = (x1,y2) mas (x2,y2)* (x1,y1) = (x2,y1), logo não é comutativa Como o resultado da operação sempre terá um componente do segundo operando, não é possível haver um (i2,i2) tal que (x1,y1)* (i2,i2) = (x1,y1), logo não tem identidade e, consequentemente, não tem inverso. Conclusão: é um semi-grupo não comutativo e. S = {f/ f:N N} (conjunto das funções naturais} e f*g(x) = f(x)+g(x) Associativa: (f*g)*h(x) = (f(x)+g(x))+h(x) = f(x)+g(x)+h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f*(g*h)(x) Identidade: seja i(x)=0, teremos f*i(x) = f(x) + i(x) = f(x) + 0 = f(x) Neutro: seja g(x) = – f(x) então f*g(x) = f(x) + -f(x) = 0 = i(x) Comutativa: como f(x)+g(x) = g(x) + f(x) será comutativa. Logo é um grupo comutativo 13)
14)
Mostre que a) , é um monóíde comutativo Pela propriedade 1a é comutativo pela 2a é associativo, e pela 4a o neutro é 0. A operação ‘ não determina um inverso em relação a +, pois a+a’ = 1 e dever ia ser 0.
Em cada caso abaixo, mostre quais das funções definidas são bem definidas, bijeções, homomorfismos e quais são isomorfismos. Para o isomorfismo, mostre o isomorfismo inverso. a) f:
Não é homomorfismo pois se x+y=z deveríamos ter f(x).f(y)=f(z) ou seja x.y=z Logo também não é isomorfismo. d) f:
Logo < Z6, .> é um monóide comutativo e < Z6,+, .> será um anel comutativo com neutro na multiplicação. 3)
5
>, com:
Z5 = {0,1,2,3,4} x +5 y = (x+y) mod 5, e x *5 y = (x.y) mod 5 como x +5 (y+5z)=(x+y+z) mod 5, e (x +5 y)+5z =(x+y+z) mod 5 A soma módulo 5 é associativa. Análogamente a multiplicação também o é. Como a soma e multiplicação normais são comutativas estas operações módulo 5 também o serão. O neutro de +5 é o 0. O neutro de *5 é o 1. Os inversos em +5 serão: 0’= 0, 1’=4, 2’= 3, 3’=2 e 4’=1. Em *5 5 não haverá inverso x’ com x.x’=1. Mesmo para Z 5 – {0}. A distributividade que vale para as soma e multiplicação normais pode ser aplicado às operações de módulo pois, teremos x*5 (y+5z) = (x.(y+z)mod 5) mod 5 = (x.(y+z))mod 5 = (x.y+xz))mod 5 = ((x.y)mod 5+(xz)mod 5))mod 5 = (x*5 y)+5 (x*5z). Concluimos que a estrutura é um Anel Comutativo.
4) < C, sup, inf> com: C um reticulado finito ordenado por uma relação £ e inf(x,y) é o ínfimo de x e y e sup(x,y) é o supremo de x e y. Associativa: dados 3 elementos de um reticulado podemos definir inf 3(x,y,z) como o ínfimo de x,y e z. Agora deve valer inf(x,inf(y,z)) = inf 3(x,y,z) assim como inf(inf(x,y),z). Pode ser provado por absurdo. Analogamente vale para sup(x,y); Neutro: Já que C é reticulado finito terá um elemento máximo MAX e um mínimo MIN. Nesse caso teremos inf(x,MAX) = x e sup(x
0 0 1 a b
1 1 1 1 1
a a 1 a 1
b b 1 1 b
* 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a a 0
b 0 b 0 b
15) Dado S = {1,2,3,5}, seja o reticulado R= <{<1,2>,<1,3>, <2,5>,<3,5>, inf, sup>. Mostre que a estrutura B=, é uma Álgebra de Boole definindo um isomorfismo entre B e < P ({1,2}), , , “, , {1,2}>. Para mostrar isso deve ser definido uma bijeção h entre S e P ({1,2}) e mostrado a conservação das operações. Para isso crie uma tabela com todas combinações possíveis de x e y em S e mostre que vale h(inf(x,y)) = h(x) h(y); h(sup(x,y)) = h(x) h(y) h(x’) = h(x)” Para ser uma Álgebra de Boole vamos definir o isomorfismo. Seja o morfismo h dado por:
x = h(x)=
1
2 {1}
3 {2}
5 {1,2}
E h(sup) = ; h(inf) = Para ser isomorfismo deve valer: 1. h é uma bijeção entre A e B. Isto está claro na tabela da função. 2. h(inf(x,y)) = h(x) h(y) 3. h(sup(x,y)) = h(x) h(y) 4. h(x’) = h(x)” Podemos deduzir as propriedades 2, 3 e 4 pela tabela: x 1 1 1 2 2 3
inf(x,y) 1 1 1 1 2 3
y
2 3 5 3 5 5
h(inf(x,y))
h(x)
{1} {2}
h(y) {1} {2}
sup(x,y) 2 3 5 5 5 5
h(x)
h(y) {1} {2} {1,2} {1,2} {1,2} {1,2}
x’
h(x’)
h(x)”
5
[1,2}
{1,2}
3
{2}
{2}
2
{1}
{1}
Não mostrei os valores triviais quando x=y e os inversos. 16) Dado uma álgebra , para cada operação mostre quais das propriedades ANIC ela satisfaz e que tipo de álgebra é: 1. S = {inteiros} e (x,y) = (x+y)2 Não é associativa, pois, p.ex. ((1+1)2+3)2 = (4+3)2 = 49 e ((1+(1+3)2) 2= (1+16)2 =172= 289 Não tem neutro pois, p.ex. com x=2 o neutro sería y tal que (2+y)2= 2 teríamos y = 2 – 2 o que não é um número inteiro. É comutativa pois (x+y)2= (y+x)2 Logo a estrutura é só comutativa e nada mais. 2. S = {cadeias de caracteres} e (x,y) = x || y a concatenação de cadeias É associativa pois ((x || y) || z) = (xy || z) = xyz = ((x || (yz)) (x || (y || z)) Tem neutro, a cadeia vazia , pois x || = x Não tem inverso pois nenhuma cadeia reduz o tamanho de uma cadeia para , e tamanho 0. Não é comutativa, pois p.ex. “a“||”b” = “ab” e “b” || “a” = “ba” Logo é um monoide não-comutativo 17) Uma extensão da lógica proposicional considera 3 valores possíveis: Verdade(V), Falso(F) ou Nulo(N). Nesta lógica os operadores , e são definidos como p q pq
V V V
V F F
V N N
F V F
F F F
F N F
N V N
N F F
N N N
p q pq
V V V
V F V
V N V
F V V
F F F
F N N
N V V
N F N
N N N
p p
V F
F V
N N
Mostre que a lógica de 3 valores <{F,V,N}, , , , F, V>. não é uma álgebra de Boole. Analise, para o , as propriedades comutativa, neutro e inverso; e a distributiva x(y z) =(xy) (xz). Sugestão: para analisar o faça a matriz da operação.
Observando a matriz pq V F N Vê-se que pq é comutativo pois a matriz é simétrica. V F N V O elemento neutro é V, observando a primeira linha ou F F F F primeira coluna. N F N N Não tem inverso, pois não há nenhuma linha que leva todos valores em V. Distributiva: um exemplo V(N F) = V N = N e (V N) (VF)= N F = N Completo (as combinações de V e F são as clássicas. Mostramos as combinações de V com pelo menos um valor N): x y z y z x(y z) xy xz (xy) (xy) V V N V N N
V N V N N N
N V V N V N
V V V N V N
V V N N N N
V N N N N N
N V N N N N
V V N N N N
Não é álgebra de Boole pois, como V é o neutro de , deve valer x x = V. Mas, pela tabela temos que N N = N N = N V! 18) Dada a expressão booleana (x.y’).(y’+z) a) escreva ela apenas com operadores NAND (x.y’).(y’+z) =(x.y’).y’ + (x.y’).z = (( (x.y’).y’+(x.y’).z )’)’ = (( ((x.y’).y’)’ . ((x.y’).z)’ )’)’ = (((x.y’) ’. y’) . ((x.y’) ’. z))’ = ((x.y’) ’. y) ’. ((x.y’) ’. z) = (((x.y’)’)’ ’. y) ’. (((x.y’)’)’ ’. z) = (( ((x ’. y’)’ ’. y) ’. ((x ’. y’)’ ’. z) )’)’ = ( ((x ’. y’) ’. 1) ’. y) ’. (((x ’. y’) ’. 1) ’. z) )’= ( (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) )’ = (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) ‘. 1 b) escreva ela apenas com operadores NOR (x.y’).(y’+z) = (x’+y)’.(y’+z) = ((x’+y) + (y’+z)’)’ = (x’ + y) ‘+ (y’ ‘+ z) = (((x’ + y))’)’ ‘+ (y’ ‘+ z) = ((x’ ‘+ y))’ ‘+ (y’ ‘+ z) = (((x ‘+ 0) ‘+ y) ‘+ 0) ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z) c) Calcule o valor da expressão para x=1, y=0 e z=0. Use primeiro a expressão original e depois a só com NAND e a só com NOR Para x=1, y=0 e z = 0, teremos Original: (x.y’).(y’+z) = (1.0’).(0’+0) = 1.(1+0) = 1.1 = 1 NAND: (((x ’. (y ’. 1)) ’. (y ‘. 1)) ‘. y) ‘. (((x ‘. (y ‘. 1)) ‘. 1) ‘. z) ‘. 1 = (((1 ’. (0 ’. 1)) ’. (0 ‘. 1)) ‘. 0) ‘. (((1 ‘. (0 ‘. 1)) ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1= (((1 ’. 1) ’. 1) ‘. 0) ‘. (((1 ‘. 1) ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1 = ((0 ’. 1) ‘. 0) ‘. ((0 ‘. 1) ‘. 0) ‘. 1= (1 ‘. 0) ‘. (1 ‘. 0) ‘. 1 = (1 ‘. 1) ‘. 1 = 0 ‘. 1 = 1 NOR: (((x ‘+ 0) ‘+ y) ‘+ 0) ‘+ ((y ‘+ 0) ‘+ z) = (((1 ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ ((0 ‘+ 0) ‘+ 0) = ((0 ‘+ 0) ‘+ 0) ‘+ (1 ‘+ 0) = (1 ‘+ 0) ‘+ 0 = 0 ‘+ 0 = 1