MATEMATICA BÁSICA EMPRESARIAL. 1º PRESENTACION DEL CURSO. Todo aquel aquel que se dedique dedique a los negocios negocios o aspire a ser un simple simple auxiliar, auxiliar, necesita contar con ciertas herramientas, herramientas, para efectuar cálculos con seguridad seguridad y rapi rapide dez. z. Po Porr es eso, o, en este curso curso se pret preten ende de que el es estu tudi dian ante te aprend aprenda a térm términ ino os, signo ignos, s, símb ímbolos, los, pro proce cedi dim mient iento os y habi habili lida dade dess razo razona nan ndo mate atemátic áticam ame ente nte y log logre desa desarr rro ollar llar las las ca cap pac acid idad ade es de utili tiliza zarr el razonamiento lógico-matemático, formular ejemplos, conjeturar, etc; así como ser capaz de aplicar las matemáticas a situaciones prácticas de su entorno y en otras áreas o materias. 2º CAPACIDADES A FORMAR.
CONCEPTUALES. El estudiante para alcanzar los objetivos señalados debe conocer y dominar, tant tanto o teór teóric ica a co como mo prác práctic ticam amen ente te,, los los co conc ncep epto toss relat relativo ivoss a las las razo razone ness y prop propor orci cion ones es,, regl regla a de tres tres,, tant tanto o por por cien ciento to,, inter interés és simp simple le y desc descue uent nto o comercial.
ACTITUDINALES. El estudiante deberá: Apreciar y valorar el lenguaje matemático (numérico, algebraico, gráfico, etc.) para describir y estudiar la realidad y disposición para su uso. Desarrollar confianza en sus propias capacidades y conocimientos matemáticos para enfrentarse a situaciones nuevas. Contar con una disposición favorable para la utilización de métodos matemáticos con tenacidad, flexibilidad y creatividad para la búsqueda de soluciones o la mejora de las ya obtenidas o en la toma de decisiones. Recono Reco noce cerr y es esti tim mar el trab trabaj ajo o en equi equipo po para para abor aborda darr de form forma a efic eficaz az diferentes problemas, respetando opiniones o planteamientos ajenos. Valor Valorar ar la import importanc ancia ia de la res resolu olució ción n de proble problemas mas,, utiliza utilizando ndo distin distintas tas estrategias y procedimientos.
PROCEDIMENTALES. Al finalizar el curso el estudiante deberá ser capaz de: Elaborar y analizar los protocolos protocolos individuales para resolver resolver problemas. Poner Poner en práctic práctica a diferen diferentes tes estrat estrategi egias as gener generale aless rel relati ativas vas al pensa pensamie miento nto científico como: elaboración de conjeturas, justificación, refutación de hipótesis y rigor de las argumentaciones argumentaciones y razonamientos. razonamientos. Utilizar técnicas heurísticas para la solución de problemas: resolviendo casos máss sencillo má sencillos, s, dividie dividiendo ndo los proble problema mass en pequeñ pequeños os proble problema mas, s, hacien haciendo do esquemas, experimentando, reconociendo y formulando problemas a partir de situaciones reales dentro y fuera de las matemáticas.
3º. METODOLOGÍA. Este curso será altamente práctico, sin dejar la teoría que es fundamental, se hará énfasis en su aplicación. Se emplearán diversas lecturas y se reforzará el aprendizaje mediante diferentes ejercicios y un trabajo de investigación que cada alumno elaborará durante el curso; así, los conocimientos previos serán complementados, estimulando siempre la búsqueda autónoma y paulatina de las estructuras matemáticas sencillas que le ayudarán a detectar técnicas concretas de estrategias útiles de pensamiento.
4º. FORMAS DE EVALUACIÓN. (A) CRITERIOS. A lo largo del semestre se desarrollarán trabajos por cada tema del curso, así como un examen examen parcial y un examen final; en los que se valorará la claridad de los los co conc ncep epto toss teór teóric icos os,, el dom dominio inio de los los resu result ltad ados os,, la brev breved edad ad en la exposición, la habilidad en la explicación de los diversos métodos prácticos y la precisión en los cálculos, además de la participación del alumno.
(B) INSTRUMENTOS. Los co Los cono nocim cimien iento toss se eval evalua uará rán n me media diant nte e prue prueba bass es escr crita itass y ac activ tivida idade dess realizadas en aula. Un examen opcional para aquellos alumnos que quieran o deban mejorar la calificación final.
PROCEDIMENTALES. Al finalizar el curso el estudiante deberá ser capaz de: Elaborar y analizar los protocolos protocolos individuales para resolver resolver problemas. Poner Poner en práctic práctica a diferen diferentes tes estrat estrategi egias as gener generale aless rel relati ativas vas al pensa pensamie miento nto científico como: elaboración de conjeturas, justificación, refutación de hipótesis y rigor de las argumentaciones argumentaciones y razonamientos. razonamientos. Utilizar técnicas heurísticas para la solución de problemas: resolviendo casos máss sencillo má sencillos, s, dividie dividiendo ndo los proble problema mass en pequeñ pequeños os proble problema mas, s, hacien haciendo do esquemas, experimentando, reconociendo y formulando problemas a partir de situaciones reales dentro y fuera de las matemáticas.
3º. METODOLOGÍA. Este curso será altamente práctico, sin dejar la teoría que es fundamental, se hará énfasis en su aplicación. Se emplearán diversas lecturas y se reforzará el aprendizaje mediante diferentes ejercicios y un trabajo de investigación que cada alumno elaborará durante el curso; así, los conocimientos previos serán complementados, estimulando siempre la búsqueda autónoma y paulatina de las estructuras matemáticas sencillas que le ayudarán a detectar técnicas concretas de estrategias útiles de pensamiento.
4º. FORMAS DE EVALUACIÓN. (A) CRITERIOS. A lo largo del semestre se desarrollarán trabajos por cada tema del curso, así como un examen examen parcial y un examen final; en los que se valorará la claridad de los los co conc ncep epto toss teór teóric icos os,, el dom dominio inio de los los resu result ltad ados os,, la brev breved edad ad en la exposición, la habilidad en la explicación de los diversos métodos prácticos y la precisión en los cálculos, además de la participación del alumno.
(B) INSTRUMENTOS. Los co Los cono nocim cimien iento toss se eval evalua uará rán n me media diant nte e prue prueba bass es escr crita itass y ac activ tivida idade dess realizadas en aula. Un examen opcional para aquellos alumnos que quieran o deban mejorar la calificación final.
5º TEMARIO. Está distribuido en las siguientes si guientes sesiones: 1º Sesión: 2º Sesión: 3º Sesión: 4º Sesión: 5º Sesión: 6º Sesión: 7º Sesión: 8º Sesión: 9º Sesión: 10º Sesión: 11º Sesión:
Razones y Proporciones. Regla de Tres. Tanto por Ciento. Precio de Costo, Precio de Venta y Precio de Lista. Examen Parcial. Interés simple. Interés simple. Interés simple. Descuento Comercial. Descuento Comercial. Examen Final.
6º DESARROLLO DEL CURSO.
1º SESIÓN: RAZONES Y PROPORCIONES. •
OBJETIVOS.
Se pretende desarrollar el razonamiento proporcional que es la forma de pensar que sabe reconocer cuando dos variables están relacionadas proporcionalmente, por lo tanto nos centraremos en que el alumno: Determine y ejemplifique razones con seguridad. Aplique las razones en ejercicios y problemas. Identifique con interés las proporciones. Resuelva problemas de proporcionalidad directa o inversa. •
ACTIVIDADES DE ENTRADA.
Para rescatar rescatar los saberes saberes que el alumno alumno haya aprendido aprendido en el pasado pasado sobre el tema, se proporcionará al inicio de la sesión un problema u otras operaciones y/o preguntas relacionadas con el tema de la sesión que deberá resolver como máximo en 5 minutos.
Ejemplo: Ejemplo: Ejercicios y Problemas: Resolver: 6 – 2(12 – 8) + 4 /2 496/4 + 10 5/8 – ½*6 12820/4.731 0.3576/7 En cuanto a problemas se dará uno de los indicados en esta sesión.
Ejemplo: Preguntas: ¿Qué es una Razón aritmética y Geométrica? ¿Cómo se forma una Proporción Geométrica? ¿Cuándo una Proporción Geométrica es Discreta? Di screta? ¿Qué es Cuarta Proporcional? ¿Qué es Media Proporcional? ¿Qué es Tercia proporcional? Etc. •
1.
MARCO TEÓRICO. RAZONES Y PROPORCIONES.
El prim primer ero o se origi rigina na en la co com mpara paraci ció ón de ca cant ntid idad ades es,, mien mientr tras as que que el segundo se origina en la comparación de razones.
RAZÓN. Es la comparación de cantidades mediante la diferencia (razón aritmética) o cociente (razón geométrica).
PROPORCIÓN. Es la comparación de dos razones mediante la igualdad. Ejemplo de razón aritmética: 35 - 7 = 28 Ejemplo de razón geométrica: 35/7 = 5 1 Elemento: antecedente = 35 2 Elemento: Elemento: consecuente = 7
RAZONES EQUIVALENTES E IGUALES. Son equivalentes cuando las razones tienen el mismo valor. Ejemplos de razón aritmética: cuando tienen el mismo valor. 4 -3=1 Y 7 -6 =1 Ejemplos de razón geométrica: cuando tienen el mismo valor. 21/7 = 3 Y 9/3 = 3
SERIES DE RAZONES IGUALES. Cuando comparamos dos o más razones equivalentes. Ejemplos de razones aritméticas: 4-3=7-6=9-8 Ejemplos de razones geométricas: 21/7 = 9/3 = 12/4
PROPORCIÓN. Es la comparación de dos razones mediante la igualdad. Ejemplos de razones aritméticas: 4-3=7-6=9-8 Ejemplos de razones geométricas: 21/7 = 9/3 = 12/4
CLASES DE PROPORCIONES. DISCRETA: Cuando los cuatro términos son diferentes. Ejemplo de proporción aritmética: 4 - 3 = 7 - 6 Ejemplo de proporción geométrica: 9/3 = 12/4
CONTINUA: Cuando los términos medios son iguales. Ejemplo de proporción aritmética: 21 - 12 = 12 - 3 Ejemplo de proporción geométrica: 18/6 = 6/2
MEDIA PROPORCIONAL. Es cualquiera de los medios de una proporción continua. Ejemplo basado en la proporción aritmética anterior. la media proporcional es 12. Ejemplo basado en la proporción geométrica anterior. la media proporcional es 6.
TERCIA PROPORCIONAL. Es cualquiera de los extremos de una proporción continua. Ejemplo basado en la proporción aritmética anterior . la tercia proporcional es 21 y 3. Ejemplo basado en la proporción geométrica anterior .la tercia proporcional es 18 y 2.
PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS, 1. Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número. EJEMPLO: 6 - 2 = 4 (6 + 2) - 2 = (4 + 2) 8-2=6 2. Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número. EJEMPLO: 6 - 2 = 4 6 - (2 + 2) = (4 - 2) 6-4=2 3. Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varía. EJEMPLO: 6 - 2 = 4 (6 - 1) - (2 - 1) 5-1=4
PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS. 1. Si al antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número. EJEMPLO: 6/2 = 3 (6*2)/2 =(3*2) 12/2 = 6 EJEMPLO: 8/2 = 4 (8/2)/2 = (4/2)
4/2 = 2
2. Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número. EJEMPLO: 12/2 = 6 12/(2*2) = (6/2) 12/4 = 3 EJEMPLO: 12/2 = 6 12 / (2/2) = (6*2) 12/1 = 12 3. Si el antecedente y consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía. EJEMPLO: Trate el alumno de crear dos ejemplos donde esta propiedad se cumpla
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS. 1. En toda proporción geométrica, el producto de los medios.
producto de los extremos es igual al
EJEMPLO: Así, en la proporción 2/5 = 6/15, ES 2*15 = 5*6 Recíprocamente, Si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, con los cuatro números se puede formar proporción. EJEMPLO: ASI; COMO 5*6 = 3*10, SE FORMARÁ LA PROPORCIÓN 5/3 = 10/6. Consecuencia, en toda proporción geométrica, un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el otro extremo; y un medio es igual al producto de los extremos dividido entre el otro medio. 2. En toda proporción geométrica, la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la primera razón, es a la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la segunda razón, como el antecedente de la primera es al antecedente de la segunda, y como el consecuente de la primera es al consecuente de la segunda.
EJEMPLO: ASI, EN LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: 3/2 = 6/4; 3+2/6+4 = 3/6 Y 3-2/6-4 = 3/6 O TAMBIEN: 3+2/6+4 = 2/4 Y 3-2/6-4 = 2/4 3. En toda proporción geométrica, la suma o diferencia de antecedentes es a la suma o diferencia de consecuentes, como un antecedente cualquiera es a su respectivo consecuente. EJEMPLO: ASI, EN LA PROPROCIÓN: 8/6 = 4/3 8+4/6+3 = 8/6 Y 8-4/6-3 = 8/6 O TAMBIÉN: 8+4/6+3 = 4/3 Y 8-4/6-3 = 4/3 4. En toda proporción geométrica, la suma de antecedentes es a su diferencia, como la suma de consecuentes es a su diferencia . EJEMPLO: ASI, EN 15/10 = 3/2, ES 15+3/15-3 = 10+2/10-2 5. En toda serie de razones iguales, la suma de antecedentes es a la de consecuentes, como un antecedente cualquiera es a su respectivo consecuente. EJEMPLO: ASI, EN LA SERIE DE RAZONES IGUALES: 2/3 = 4/6 = 8/12 ES 2+4+8/3+6+12 = 2/3: Ó 2+4+8/3+6+12 = 4/6 Ó 2+4+8/3+6+12 = 8/12 6. En toda proporción geométrica la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la primera razón es a su respectivo antecedente o consecuente, como la suma o diferencia de antecedente y consecuente de la segunda razón es a su respectivo antecedente o consecuente. EJEMPLO: ASI, EN LA PROPORCIÓN: 6/2 = 15/5 6+2/2 = 15+5/5, Y, 6+2/6 = 15+5/15 O TAMBIEN: 6-2/2 = 15-5/5, Y, 6-2/6 = 15-5/15
EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 1. LA EDAD DE PEDRO ES 8 AÑOS Y LA DE SU PADRE 56. ¿CUÁL ES LA RAZÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA ENTRE AMBAS EDADES? 2. UN SEGMENTO MIDE 18 CM. Y OTRO 12 CM. ¿EN QUÉ RAZÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA ESTÁN ESTOS SEGMENTOS? 3. UN TERRENO TIENE 480 METROS CUADRADOS DE ÁREA Y OTRO DE 240 METROS CUADRADOS. ¿CUÁL ES LA RAZÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA DE AMBAS ÁREAS? 4 UN AUTOMÓVIL VA A 120 KM. POR HORA Y UN AVIÓN A 840 KM. POR HORA. ¿QUÉ RAZÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA HAY ENTRE AMBAS VELOCIDADES? 5. LA RAZÓN ENTRE LAS DIMENSIONES DE UNA SALA ES LA DE 3 A 4. SI SU ANCHO MIDE 6 METROS, ¿CUÁNTO MIDE EL LARGO?. 6. EN UN TRANVIA VAN 32 PASAJEROS SENTADOS Y 24 EN PIE. CALCULAR LA RAZÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA ENTRE EL NÚMERO DE LOS QUE ESTÁN SENTADOS Y EL TOTAL DE PASAJEROS. 7. HALLAR DOS NÚMEROS CUYA RAZÓN ES 5/4 Y CUYA SUMA ES IGUAL A 27. 8. HALLAR DOS NÚMEROS QUE SON ENTRE SI COMO 9 ES A 2 Y CUYA DIFERENCIA ES IGUAL A 21. 9. DESCOMPONER 176 EN DOS PARTES TALES QUE SEAN ENTRE SI COMO 5 ES A 6. 10. UN RECIPIENTE CONTIENE 3 LITROS DE VINO MÁS QUE OTRO. SI LA RAZÓN DE SUS CONTENIDOS ES 16/15, ¿CUÁNTOS LITROS HAY EN CADA UNO? 11. ¿CUÁL ES EL NÚMERO QUE DISMINUIDO EN DOS UNIDADES ES A SU CONSECUTIVO AUMENTADO EN 3 UNIDADES COMO 3 ES A 4? 12 DON FRANCISCO COSECHÓ 450 QUINTALES DE ARROZ EN TRES PARCELAS DIFERENTES. SI LAS TRES PRODUCCIONES GUARDAN ENTRE SI LA RELACION DE LOS NÚMEROS 4, 5 Y 6. HALLAR LA PRODUCCIÓN DE CADA PARCELA.
13. LA RAZÓN DE UN NÚMERO DE DOS CIFRAS AL NÚMERO INVERTIDO ES 5/6. SI LA CIFRA DE LAS UNIDADES EXCEDE A LA CIFRA DE LAS DECENAS EN UNO, ¿CUÁL ES EL NÚMERO?. 14. POR MEDIO DE UNA BARRA DE TRES METROS DE LONGITUD LLEVAN DOS OBREROS UNA CARGA DE 100 KILOS SUSPENDIDA A 1,80 METROS DEL OBRERO DE ADELANTE. ¿CUÁL ES LA CARGA CORRESPONDIENTE A CADA OBRERO? 15 .EN UNA VARILLA DE 4 METROS DE LONGITUD SE HACEN TRES CORTES, DE MODO QUE LAS LONGITUDES DE LOS SEGMENTOS QUE RESULTAN SON PROPORCIONADOS A 3, 5, 7 Y 10. ¿QUÉ LONGITUD TIENE CADA SEGMENTO? 16. ¿PUEDE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA TENER TRES TÉRMINOS IGUALES? 17. HALLE LOS TÉRMINOS DESCONOCIDOS DE LA PROPORCIÓN 24/X = 8/Y, SABIENDO QUE: X - Y = 10. 18. HALLE LOS TÉRMINOS DESCONOCIDOS DE LA PROPORCIÓN: 5/X = 15/Y SABIENDO QUE: X + Y = 32. 19. HALLE LOS TÉRMINOS DESCONOCIDOS DE LA SERIE DE RAZONES IGUALES: 12/9 = 4/X = 24/Z. 20. HALLE LOS TÉRMINOS DESCONOCIDOS DE LA PROPORCIÓN: X/4 = Y/12 SABIENDO QUE: Y – X = 6. 21 HALLE LOS TÉRMINOS DESCONOCIDOS DE LA PROPORCIÓN: X/10 = Y/50, SABIENDO QUE X + Y = 30. 22. HALLE LOS TÉRMINOS DESCONOCIDOS DE LA PROPORCIÓN: 12/3 = Y/X SABIENDO QUE: Y + X = 10 23. HALLE LOS TÉRMINOS DESCONOCIDOS DE LA PROPORCIÓN: 3/5 = X/Y, SABIENDO QUE: Y – X = 6. 24. EL TRABAJO QUE HACE JUAN ES AL TRABAJO QUE HACE PEDRO COMO 5 ES A 6; SI JUAN HIZO 100 METROS DE LA OBRA. ¿CUÁNTOS METROS HIZO PEDRO? 25. POR CADA 2 METROS QUE TRABAJA LUIS, JOSÉ TRABAJA 5 METROS; SI POR EL METRO DE LA OBRA SE PAGA $ 1.20. ¿CUÁNTO GANA JOSÉ, SI LUIS HA GANADO $ 96? 26. EN EL MAPA, LA DISTANCIA ENTRE DOS CIUDADES ES DE 38 MILIMETROS, PERO LA DISTANCIA REAL ES DE 570 KILÓMETROS. ¿A QUÉ ESCALA HA SIDO DIBUJADO EL MAPA?
27. DOS PERSONAS TIENEN JUNTAS $ 1.500. LA CANTIDAD DE DINERO DE LA PRIMERA ES A LA CANTIDAD DE DINERO DE LA SEGUNDA COMO ¾ ES A ½. ¿CUÁNTO TIENE CADA UNA? 28. DOS NÚMEROS ESTÁN EN LA RELACIÓN DE 3 ES A 4; SI LA SUMA DE ELLOS ES 140. ¿CUÁLES SON ESOS NÚMEROS? 29. DOS NÚMEROS CUYA DIFERENCIA ES 4 ESTÁN EN LA RELACIÓN DE 3 A 2. ¿CUÁLES SON ESOS NÚMEROS? 30, LOS ANTECEDENTES DE UNA SERIE DE RAZONES IGUALES SON: 2, 4, 6 Y LA SUMA DE LOS CONSECUENTES ES 30. ¿CUÁL ES LA SERIE DE RAZONES? 31. TRES NÚMEROS CUYA SUMA ES 104 GUARDAN ENTRE SI LA RELACIÓN DE LOS NÚMEROS 2, 4,7. ¿CUÁLES SON ESOS NÚMEROS? 32. LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE DOS NÚMEROS ES 281, SI LA RAZÓN ENTRE ELLOS ES COMO 2 A 5. ¿CUÁLES SON ESOS NÚMEROS? 33. HALLE LA RAZÓN IGUAL A 5/6 DE TAL MODO QUE LA SUMA DE LOS 4 TÈRMINOS DE LAS DOS RAZONES SEA IGUAL A 55. 34. EL PRODUCTO DE LOS 4 TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN CONTINUA ES 6.561; SI EL 4º TÉRMINO ES 27, ESCRIBA LA PROPORCIÓN. 35. EL PRODUCTO DE LOS 4 TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN DISCRETA ES 11.025; SI EL 1º DE ESTOS TÉRMINOS ES 5. ¿CUÁL ES EL 4º? JMS
2º SESIÓN: REGLA DE TRES. •
OBJETIVOS:
Que el alumno aprenda a resolver la regla de tres, tanto simple como compuesta, ya que puede decirse que es la verdadera base de la mayoría de los cálculos mercantiles y la cual ayuda a resolver la inmensa variedad de los problemas que se presentan en el comercio; como por ejemplo: el reparto de las utilidades obtenidas que corresponde a cada socio en su empresa, etc. •
ACTIVIDADES DE ENTRADA.
En busca de los conocimientos previos, al inicio de la clase se le proporcionará a los alumnos un problema referente a esta sesión y/o se le plantearán algunas preguntas, tanto de regla de tres como de razones y proporciones.
Preguntas: ¿Cuándo dos magnitudes son directa e inversamente proporcionales?. ¿Cómo se forma una proporción con cantidades directa e inversamente proporcionales? ¿Qué concepto tiene de la regla de tres? ¿Qué entiende por regla de tres simple y compuesta? Etc.
Problemas: Se tomará uno de los incluidos en esta sesión. •
MARCO TEORICO
REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA. Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción cuando se conocen tres.
REGLA DE TRES SIMPLE.
Cuando solo intervienen en ella dos magnitudes,
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales. EJEMPLO: Si 5 libros cuestan $15, 10 libros costarán $X. X = 10*15/5=30
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA. Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales. EJEMPLO: Si tres hombres hacen una obra en 8 días, seis hombres harán la misma obra en x días. X=3*8/6=4 DIAS.
REGLA DE TRES COMPUESTA. Cuando intervienen tres o más magnitudes.
REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA. Cuando todas las magnitudes son directamente proporcionales. EJEMPLO: Se han empleado 40 hombres, que en 15 días han hecho 450 metros de obra; ¿Cuánto harán 48 hombres trabajando 25 días? X = 450*48*25/ 40*15 = 900 METROS.
REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA. Cuando todas las magnitudes son inversamente proporcionales. EJEMPLO: 5 hombres realizan un trabajo en 12 días, 1o hombres ¿en cuántos días acabarán la obra, si la destreza de los primeros es a la de los segundos como 3 es a 4? 5H – 12D – 3 DEST. 10H – XD – 4 DEST. X = 12*5*3/10*4 = 180/40 = 4.50 DIAS
REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA
Cuando unas magnitudes son directa y otras son inversamente proporcionales. EJEMPLO: Un avión que sale de Madrid a la velocidad de 400 kilómetros por hora, volando únicamente a razón de 8 horas diarias, tarda 3 días en hacer un recorrido de 9.600 kilómetros. se pregunta: ¿cuántos días tardará en recorrer 38.400 kilómetros . otro avión que vuela a la velocidad de 800 kilómetros por hora, volando únicamente 12 horas diarias?, S: 400 Km./hr--8Hrs/d--3d--9.600 Km. P: 800 Km./hr--12Hr/d--Xd--38.400 Km. X=3*400*8*38400/800*12*9.600=4 DIAS
SUPUESTO (S) Y PREGUNTA (P). EL SUPUESTO (S). Está constituido por los datos de la parte del problema que ya se conoce.
LA PREGUNTA (P). Está constituido por los datos de la parte del problema que contiene la incógnita.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 1. CON 100 KILOS DE HARINA SE OBTIENEN 130 KILOS DE PAN. ¿CUÁNTOS KILOS DE PAN SE OBTENDRÁN CON 80 KILOS DE HARINA DE LA MISMA CALIDAD? 2...UN AUTOMÓVIL QUE MANTIENE UNA VELOCIDAD CONSTANTE RECORRE 300 KM. EN 5 HORAS. ¿QUÉ RECORRIDO HACE EN 12 HORAS? 3. 24 OBREROS HACEN UNA OBRA EN 30 DÍAS. ¿EN CUANTOS DÍAS HARÍAN 18 OBREROS LA MISMA OBRA? 4. A 600 KM. POR HORA UN AVIÓN RECORRE CIERTA DISTANCIA EN 5 HORAS. ¿QUÉ VELOCIDAD DEBE LLEVAR PARA RECORRER LA MISMA DISTANCIA EN 3 HORAS? 5. UN NIÑO DE 1.40 MTS DE ALTURA HACE UNA SOMBRA DE 2.50 MTS EN EL MOMENTO EN QUE LA SOMBRA PRODUCIDA POR UN ÁRBOL MIDE 12.50 MTS. ¿QUÉ ALTURA TIENE EL ÁRBOL? 6. CON CIERTA CANTIDAD DE ALGODÓN SE PUEDE FABRICAR 30 MTS DE TELA DE 90 CM. DE ANCHO. CON LA MISMA CANTIDAD DE ALGODÓN ¿CUÁNTOS METROS DE TELA DE 1.20 MTS DE ANCHO SE PODRÁ FABRICAR? 7. SI UNA DOCENA DE HUEVOS CUESTA 10.80 SOLES, ¿CUÁNTO COSTARÁN 5 CAJONES DE LOS MISMOS CONTENIENDO 120 HUEVOS CADA UNO? 8.EL COCHE DE CARMELA CONSUME 9 GALONES DE GASOLINA EN UN RECORRIDO DE 315 KM. ¿QUÉ CANTIDAD CONSUMIRÍA PARA IR DE LIMA A 1050 KM. AL SUR? 9. UN INTERNADO DE 224 ALUMNOS TIENE PROVISIONES PARA 20 SEMANAS. ¿PARA CUÁNTAS SEMANAS ALCANZARÁN LAS PROVISIONES SI SE AUMENTA EL INTERNADO EN 56 ALUMNOS MÁS?.
10. SI 5 ¾ KG. DE MANTEQUILLA CUESTAN 212.75 SOLES, ¿CUÁNTO COSTARÁN 10 KG? 11.¿CUÁL ES EL NÚMERO CUYOS 3/5 EQUIVALEN A 603? 12. CON 9 MTS. CÚBICOS DE AGUA SE LLENARON LOS 3/8 DE UN TANQUE, ¿CUÁL ES SU CAPACIDAD EN DECALITROS? 13.EN LA COMPRA DE 8 1/3 KG. DE ACEITUNAS SE EMPLEARON 200 SOLES, ¿CUÁNTAS LIBRAS SE PODRÁN COMPRAR CON 2760 SOLES? 14.SI 20 HOMBRES HAN HECHO 180 METROS DE UNA OBRA EN 12 DÍAS, ¿CUÁNTOS METROS HARÁN 24 HOMBRES IGUALMENTE HÁBILES EN 10 DÍAS? 15.CINCO OPERARIOS GANARON 1250 SOLES EN 10 DÍAS, ¿CUÁNTO GANARÁN 12 OPERARIOS EN 15 DÍAS EN LA MISMA PROPORCIÓN? 16.SI 48 OBREROS TARDAN 8 DÍAS EN CAVAR UNA ZANJA DE 64 METROS, ¿CUÁNTO TARDARÁN 32 HOMBRES EN CAVAR OTRA ZANJA SEMEJANTE DE 96 METROS? 17. EN 18 DÍAS UN VIAJERO, CAMINANDO 5 HORAS DIARIAS HA RECORRIDO 900 KM., ¿CUÁNTOS KM. RECORRERÁ EN 15 DÍAS ANDANDO 8 HORAS DIARIAS? 18. SE NECESITAN 60 SASTRES PARA HACER 360 TERNOS EN 25 DÍAS, ¿CUÁNTOS SASTRES SERÁN NECESARIOS PARA HACER 180 TERNOS EN 30 DÍAS? 19. UN DEPÓSITO DE 10 MTS DE PROFUNDIDAD TARDARÍA EN LLENARSE 6 DÍAS, CAYENDO AGUA A RAZÓN DE 40 LITROS POR SEGUNDO. SI CAYESE AGUA A RAZÓN DE 60 LITROS POR SEGUNDO Y EL DEPÓSITO TUVIESE 15 MTS DE PROFUNDIDAD, ¿CUÁNTOS DÍAS TARDARÍA EN LLENARSE? 20. UNA GUARNICIÓN DE 1800 HOMBRES TIENEN VÍVERES PARA 15 DÍAS A RAZÓN DE 2 RACIONES DIARIAS CADA HOMBRE. SI SE RETIRAN 300 HOMBRES, ¿CUÁNTOS DÍAS DURARÁN LOS VÍVERES SI CADA HOMBRE TOMA 3 RACIONES DIARIAS? 21. UNA MÁQUINA CONSUME 210 QUINTALES DE CARBÓN EN 18 DÍAS, FUNCIONANDO 7 HORAS DIARIAS. SI FUNCIONARA 9 HORAS DIARIAS ¿PARA CUÁNTOS DÍAS ALCANZARÍA 2550 QUINTALES DE CARBÓN? 22.SI 5 BOMBAS LEVANTAN 800 TONELADAS DE AGUA EN 12 DÍAS, TRABAJANDO 8 HORAS DIARIAS, ¿CUÁNTAS BOMBAS SERÁN NECESARIAS PARA LEVANTAR 1200 TONELADAS EN 15 DÍAS TRABAJANDO 6 HORAS DIARIAS?
23. LA FACHADA DE UNA CASA QUE TIENE 48 MTS DE LARGO, 7 MTS DE ALTO, LA PINTAN 6 HOMBRES EN 4 DÍAS. AVERIGUAR ¿CUÁNTOS DÍAS TARDARÍAN 5 PINTORES SI TIENEN 21 MTS DE LARGO Y 8 MTS DE ALTO? 24.EN 12 DÍAS DE 8 HORAS DIARIAS 1800 OBREROS PAVIMENTARON UNA CALLE DE 2.5 KM DE LARGO Y 10.50 MTS DE ANCHO. ¿CUÁNTOS DÍAS HABRÍAN TARDADO 360 OBREROS TRABAJANDO 6 HORAS DIARIAS PARA PAVIMENTAR UN CAMINO DE DOBLE LARGO Y 11 MTS DE ANCHO? 25.SE HAN COMPRADO 90 MTS DE PAÑO PARA VESTIR A 30 ALUMNOS DE UN COLEGIO. EL PAÑO TIENE 1.25 MTS DE ANCHO Y CUESTA 150 SOLES EL METRO. PERO HABIENDO CAMBIADO EL UNIFORME Y AUMENTADO EL NÚMERO DE ALUMNOS EN 25, SE DESEA SABER ¿CUÁNTO COSTARÁ LA TELA DEL NUEVO UNIFORME SI TIENE 1.10 MTS DE ANCHO Y EL METRO VALE 180 SOLES?. 26.SI 10 HOMBRES HACEN UN TRABAJO EN 18 DÍAS, ¿CUÁNTOS HOMBRES SON NECESARIOS PARA HACER UN TRABAJO 5 VECES MAYOR EN 3 VECES MENOS TIEMPO? 27.24 OBREROS PUEDEN TERMINAR UN TRABAJO EN 40 DÍAS, TRABAJANDO 9 HORAS DIARIAS. A LOS 15 DÍAS SE AÑADE UN SEGUNDO EQUIPO DE OBREROS Y TRABAJANDO JUNTOS 8 HORAS DIARIAS ACABAN LA LABOR EN 30 DÍAS. ¿DE CUÁNTOS OBREROS SE COMPONE EL SEGUNDO EQUIPO? 28.EN 10 DÍAS 40 OBREROS HAN LEVANTADO UNA PARED DE 30 MTS DE LARGO, 5 MTS DE ALTO Y 0.60 MTS DE ESPESOR. 15 OBREROS ¿CUÁNTOS DÍAS EMPLEARAN PARA HACER OTRA PARED DE 20 MTS DE LARGO, 4.5 MTS DE ALTO Y 0.50 MTS DE ESPESOR, SABIENDO QUE LA DESTREZA DE LOS PRIMEROS ES A LA DE LOS SEGUNDOS COMO 4 ES A 3 Y LA DIFICULTAD DEL TRABAJO PARA LA PRIMERA PARED ES A LA SEGUNDA COMO 3 ES A 2?. 29.12 OBREROS TRABAJANDO 10 HORAS DIARIAS DURANTE 20 DÍAS HAN HECHO UNA OBRA DE 12 MTS DE LARGO Y 5 MTS DE ANCHO, ¿CUÁNTAS HORAS DIARIAS DEBERÁN TRABAJAR 16 OBREROS DURANTE 30 DÍAS, PARA QUE HAGAN UNA OBRA DE 8 MTS DE LARGO Y 4 MTS DE ANCHO? 30.30 OBREROS TRABAJANDO 8 HORAS DIARIAS DURANTE 60 DÍAS HAN ASFALTADO UNA PISTA DE 200 MTS DE LARGO POR 8 MTS DE ANCHO, ¿CUÁNTOS OBREROS MÁS SE HUBIERAN NECESITADO PARA TERMINAR EL MISMO TRABAJO 20 DÍAS ANTES? JMS
02. REGLA DE TRES.
UN VEHÍCULO RECORRE 560 KM. EN 7 HORAS, ¿CUÁNTOS KM. RECORRERÁ EN 12 HORAS, MANTENIENDO LA MISMA VELOCIDAD? UN ESTANQUE DE 3.200 LITROS DE AGUA SE VACÍA EN 8 MINUTOS. ¿EN CUÁNTO TIEMPO SE VACIARÁ CUANDO TENGA SÓLO 720 LITROS? LA DOCENA DE CIERTO ARTÍCULO CUESTA 106.800 ¿CUÁNTO HABRÁ DE PAGARSE POR 7 DE DICHOS ARTÍCULOS? PARA PINTAR UNA PARED DE 64 METROS CUADRADOS SE HAN USADO 8 LITROS DE PINTURA, ¿CUÁNTOS LITROS DE PINTURA HABRÁN DE ADQUIRIRSE PARA PINTAR OTRA PARED DE 120 METROS CUADRADOS? UN AUTOMÓVIL CONSUME UN PROMEDIO DE 8 GALONES DE GASOLINA POR CADA HORA Y MEDIA DE VIAJE. ¿CUÁNTOS GALONES CONSUMIRÁ EN TODO EL VIAJE, SE ÉSTE DURA 15 HORAS? SE HAN COMPRADO 24 ARTÍCULOS DE IGUAL PRECIO POR 114.000. ¿CUÁNTO SE NECESITARÁ PARA COMPRAR 8 DOCENAS Y MEDIA? UN EDIFICIO TIENE 19.500 METROS CUADRADOS CONSTRUIDOS Y ESTÁVALORIZADO EN 200 CADA METRO CUADRADO, AL VENDERLO SE HA DIVIDIDO EN 8 APARTAMENTOS DE LA MISMA EXTENSIÓN. ¿CUÁL ES EL ÁREA Y EL PRECIO DE CADA APARTAMENTO? UN ROLLO DE PLANCHA METÁLICA CUESTA 70.000 Y OTRO ROLLO DE LA MISMA CALIDAD PERO CON 20 METROS MÁS QUE EL PRIMERO CUESTA 72.800. ¿CUÁNTOS METROS DE PLANCHA TIENE CADA UNO DE LOS ROLLOS Y CUÁL ES EL PRECIO DE CADA METRO? CUATRO DOCENAS DE LIBROS VALEN TANTO COMO SEIS DOCENAS DE COMPASES: CINCO DOCENAS DE COMPASES VALEN TANTO COMO UNA DOCENA DE LAPICEROS. ¿CUÁNTO VALE LA DOCENA DE LIBROS SI UN LAPICERO CUESTA 100? UN CONTRATISTA PENSÓ TERMINAR UNA OBRA EN 16 DÍAS TRABAJANDO 10 HORAS DIARIAS PERO POR LAS LLUVIAS TRABAJÓ SOLO 4 HORAS DIARIAS. ¿CUÁNTOS DÍAS DEMORÓ EN TERMINAR LA OBRA? 120 CABALLOS TIENEN FORRAJE PARA 8 DÍAS, SI SE VENDEN 40 CABALLOS, PARA CUÁNTOS DÍAS MÁS TENDRÁN COMIDA LOS RESTANTES? SI 2 OBREROS HACEN UN TRABAJO EN 20 DÍAS ¿QUÉ PARTE DEL TRABAJO HARÁN 6 OBREROS EN 15 DÍAS? SI 24 LATAS DE PROVISIONES SON NECESARIAS PARA 8 PERSONAS EN 5 DÍAS ¿CUÁNTAS LATAS SE NECESITAN PARA 5 PERSONAS EN 9 DÍAS?
UNA VACA ESTÁ ATADA A UNA ESTACA EN UN ALFALFAR Y CONSUME EN UN DÍA EL PASTO QUE HAY EN UN CIRCULO DE 3 METROS DE RADIO. ¿EN CUÁNTOS DÍAS CONSUMIRÁ LA ALFALFA QUE HAY EN UN CIRCULO QUE HAY EN 9 METROS DE RADIO? PARA PONER CÉSPED EN UN JARDÍN CIRCULAR SE PAGA 450. ¿CUÁNTO MÁS SE PAGARÁ SI SE TRATA DE UN JARDÍN CUYO RADIO ES EL TRIPLE? DOCE OBREROS TRABAJANDO 9 HORAS DIARIAS DURANTE 16 DÍAS HAN HECHO 120 METROS DE CAMINO. ¿CUÁNTOS DÍAS NECESITARÁN 18 OBREROS TRABAJANDO 10 HORAS DIARIAS PARA HACER 500 METROS DE LA MISMA OBRA? 8 OBREROS HAN HECHO UNA ZANJA DE 15 METROS DE LARGO POR 2 METROS DE ANCHO Y 3 METROS DE PROFUNDIDAD , TRABAJANDO 9 HORAS DIARIAS EN 40 DÍAS. ¿QUÉ ANCHO DEBERÁ TENER OTRA ZANJA DE 16 METROS DE LAGO, Y TRES METROS DE PROFUNDIDAD PARA QUE PUEDA SER TERMINADA POR 12 OBREROS EN 50 DÍAS, CON UN TRABAJO DIARIO DE 10 HORAS? UN CICLISTA CORRIENDO A 10 KM. POR HORA RECORRE, EN VARIAS ETAPAS, UN CAMINO EMPLEANDO 8 DÍAS A RAZÓN DE 9 HORAS POR DÍA. ¿A QUÉ VELOCIDAD TENDRÁ QUE IR SI DESEA EMPLEAR SOLO 6 DÍAS A RAZÓN DE 10 HORAS DIARIAS? DOS OPERARIOS RECIBIERON 360.000 POR SU TRABAJO HECHO EN CONJUNTO. SI UNO DE ELLOS TRABAJÓ A RAZÓN DE 8 HORAS DIARIAS DURANTE 30 DÍAS Y RECIBIÓ 144.000 ¿CUÁNTOS DÍAS A RAZÓN DE 9 HORAS DIARIAS TRABAJÓ EL OTRO, GANANDO IGUAL POR HORA? 15 OBREROS HAN HECHO LA MITAD DE UN TRABAJO EN 20 DÍAS EN ESE MOMENTO ABANDONAN EL TRABAJO 5 OBREROS ¿CUÁNTO TARDARÁN EN TERMINAR EL TRABAJO LOS OBREROS QUE QUEDAN? JMS
3º SESIÒN: TANTO POR CIENTO. OBJETIVOS.
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Que el alumno adquiera el conocimiento y los procedimientos rápidos para determinar y aplicar el tanto por ciento, puesto que en la práctica es el que más aplicación tiene en el comercio, para determinar los descuentos en facturas cuando se vende o compra, para calcular las comisiones que perciben los vendedores o representantes, para calcular las primas de seguros, los intereses que producen los capitales, para calcular la inflación o deflación, los sueldos reales versus los nominales, etc. •
ACTIVIDAD DE ENTRADA.
Para establecer el nivel del conocimiento previo con que llega el alumno a esta sesión, se le planteará un problema del tanto por ciento, regla de tres simple o compuesto, así como preguntas sobre el tema de la sesión.
Preguntas: ¿Qué es el tanto por ciento? ¿Cómo se encuentra el porcentaje de un número?
¿Cómo se encuentra qué tanto por ciento de un número es otro número? ¿Cómo se encuentra la base, conocidos el tanto por ciento y el porcentaje? ¿Cómo se efectúa la conversión de quebrados comunes a tanto por ciento?
Ejercicios y Problemas. Se hará uso de un problema de los considerados en la sesión. •
MARCO TEÓRICO.
Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir, uno o varios centésimos de un número. También puede expresarse qué es el número de unidades que se toman de un conjunto de 100.
Porcentaje: Es el tanto por ciento de una cantidad. Problemas a que da lugar el tanto por ciento. Encontrar el porcentaje de un número: se multiplica este número por el tanto por ciento y el producto se divide por 100. Ejemplo: Hallar el 15% de 72 15*72/100 = 10.80 Encontrar qué tanto por ciento de un número es otro número: Para encontrar qué tanto por ciento de un número (Base) es otro número (Porcentaje), se multiplica por 100 el porcentaje y el producto se divide por la base. Ejemplo: Hallar que tanto por ciento de 2800 es 126 100*126/2800 = 4.50% Encontrar la base, conocidos el tanto y el porcentaje. Se multiplica por 100 el porcentaje y este producto se divide por el tanto. Ejemplo: ¿Cuál es el importe de una factura cuyo descuento del 4% es de 80 soles?
80*100/4 = 2000 soles.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 1. UN AGENTE VENDEDOR REALIZA VENTAS POR 25400 SOLES. ¿CUÁNTO RECIBIRÁ SI SU COMISIÓN ES DEL 4%? 2. SI POR LA VENTA DE REFRIGERADORAS EL VENDEDOR COBRA EL 10%, ¿CUÁL SERÁ SU COMISIÓN EN LA VENTA DE UNA DE 8.550 SOLES? 3. UN COMISIONISTA VENDIÓ VÍVERES POR 12.680,20 SOLES Y COBRÓ 3% DE COMISIÓN, ¿CUÁNTO RECIBIÓ?. 4. ¿QUÉ SUMA RECIBIRÁ UN CORREDOR POR LA VENTA DE UNA CASA EN US$ 360.000, SI COBRA EL 2% DE CORRETAJE? 5. UN CORREDOR VENDIÓ 68 ACCIONES DE UNA COMPAÑÍA, DE 500 SOLES CADA UNA. ¿QUÉ CANTIDAD RECIBIÓ COBRANDO EL 1 ½ % DE CORRETAJE? 6. LA SEÑORA SUSANA COMPRÓ UN TELEVISOR DE 21.500 SOLES, RECIBIENDO UN DESCUENTO DEL 25%. ¿CUÁNTO PAGÓ POR EL TELEVISOR? 7. UN EMPLEADO GANA 2.400 SOLES MENSUALES. ¿CUÁL ES SU PERCIBO LÍQUIDO SI LE DESCUENTAN EL 6% PARA EL FONDO DE SU JUBILACIÓN Y EL 2 ½ % PARA EL SEGURO DE SALUD?. 8. ANTONIO TENÍA 850.825 SOLES E INVIRTIÓ EL 20% EN VARIOS TERRENOS. EL 24% EN ACCIONES, EL 31% EN UNA FINCA RÚSTICA, Y EL RESTO LO DEPOSITÓ EN UN BANCO. ¿CUÁNTO DEPOSITÓ EN EL BANCO? 9. UN COMERCIANTE COMPRÓ 150 PLANCHAS ELÉCTRICAS A 95 SOLES CADA UNA. QUIERE VENDERLAS REALIZANDO UN BENEFICIO DEL 10%. SI VENDE LA MITAD A 110 SOLES CADA UNA, ¿A CUÁNTO DEBE VENDER CADA UNA DE LAS RESTANTES? 10. UN COMERCIANTE COMPRA 250 COPAS DE CRISTAL A 90 SOLES LA DOCENA. AL TRANSPORTARLAS SE LE ROMPEN 15. ¿A QUÉ PRECIO DEBERÁ VENDER LAS RESTANTES PARA OBTENER UN BENEFICIO TOTAL DEL 20%?. 11. A UN AGENTE LE HACEN LAS TRES PROPOSICIONES SIGUIENTES: 1º UN SUELDO FIJO DE 4.200 SOLES MENSUALES; 2º UN SUELDO DE 2.500 SOLES Y ADEMÁS 2% DE COMISIÓN SOBRE LOS PEDIDOS QUE PROPORCIONARÁ A LA CASA, Y 3º UNA COMISIÓN DEL 8% SOBRE LOS PEDIDOS, SIN SUELDO FIJO. SI SE CALCULA UNA VENTA ANUAL DE 560.000 SOLES, ¿CUÁL DE LAS TRES OFERTAS SERÁ PARA ÉL LA MÁS VENTAJOSA?
12. UN EDITOR FACTURA A UN LIBRERO UNA REMESA DE 286 REVISTAS AL PRECIO DE 6.50 SOLES EL EJEMPLAR CON UN DESCUENTO DEL 25% Y ENTREGANDO 13 EJEMPLARES POR DOCENA. CALCULAR EL IMPORTE DE LA FACTURA. 13. UN EMPLEADO GANA 1.500 SOLES MENSUALES, DE LOS CUALES LE DESCUENTAN 90 SOLES PARA EL FONDO DE JUBILACIÓN. ¿QUÉ TANTO POR CIENTO LE DESCUENTAN? 14. EN UN CONCURSO DE TIRO, LUIS ACERTÓ 50 SOBRE 75 TIROS; ANTONIO ACERTÓ 70 SOBRE 90, Y MANUEL ACERTÓ 48 SOBRE 60. ¿CUÁL DE LOS TRES CONSIGUIÓ MAYOR PORCENTAJE DE TIROS ACERTADOS? 15. EN UN VIAJE DE 3.500 KM., UNA PERSONA RECORRIÓ 2.500 KM., EN AUTOMÓVIL, Y EL RESTO EN AUTO VAGÓN . ¿QUÉ TANTO POR CIENTO DE LA DISTANCIA RECORRIÓ EN AUTO VAGÓN? 16. UNA CASA COSTÓ US$. 245.000 FUE VENDIDA EN US$ 225.400. ¿ CALCULAR EL PORCENTAJE DE PÉRDIDA? 17. UN REGIMIENTO DE CABALLERÍA SE DIRIGE DE LA CIUDAD A A LA CIUDAD B, DISTANTES ENTRE SI DE 450 KM., CON UNA VELOCIDAD DE 60 KM. POR DÍA. DESPUÉS DE 3 DÍAS DE MARCHA, ¿QUÉ TANTO POR CIENTO DE LA DISTANCIA HABRÁ RECORRIDO? 18. PEDRO TENIA 16 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS BIEN RESUELTOS. SI ESTE NÚMERO ES EL 80% DE LOS PROPUESTOS, ¿CUÁNTOS LE PROPUSIERON? 19. LUIS GASTÓ 540 SOLES EN LA COMPRA DE SU UNIFORME, O SEA EL 60% DE SUS AHORROS. ¿A CUÁNTO ASCENDÍAN SUS AHORROS? 20. ENRIQUE VENDIÓ UNA MÁQUINA DE ESCRIBIR CON UNA UTILIDAD DEL 5%, GANANDO 175 SOLES. ¿EN CUÁNTO VENDIÓ LA MÁQUINA? 21. EL GERENTE DE UNA NEGOCIACIÓN GANA 2 ½% DE COMISIÓN EN TODAS LAS VENTAS. SI EN CIERTO MES RECIBE 4.820 SOLES POR CONCEPTO DE COMISIÓN. ¿A CUÁNTO ASCENDIERON LAS VENTAS? 22. UN CORREDOR DE BOLSA COBRÓ POR SU CORRETAJE EN LA VENTA DE VARIAS ACCIONES 875 SOLES. SI SU COMISIÓN ERA DE 1 ¾%, ¿CUÁL ERA EL VALOR DE LAS ACCIONES? 23. UNA COMPAÑÍA DE SEGUROS COBRA MENSUALMENTE 1.250 SOLES POR EL SEGURO DE UNA CASA DE COMERCIO, A RAZÓN DE 1 ¼% . ¿QUÉ VALOR REPRESENTA LA CASA?
24. UN HOMBRE POSEÍA EL 75% DE LAS ACCIONES DE UNA COMPAÑÍA Y VENDIÓ EL 48% DE SU PARTE EN 86.400 SOLES. ¿CUÁL SERÍA EL VALOR TOTAL DE LAS ACCIONES A ESE PRECIO? 25. EMMA COMPRÓ UNA BLUSA Y UNA FALDA POR 217 SOLES. SI LA FALDA LE COSTÓ 55% MÁS QUE LA BLUSA, ¿CUÁNTO PAGÓ POR LA FALDA Y CUÁNTO POR LA BLUSA?. 26. UN DEPARTAMENTO ME HA COSTADO 800.000 SOLES. ¿A QUÉ PRECIO LO HE DE OFRECER PARA QUE HACIENDO UN DESCUENTO DEL 5% GANE EL 25% DEL PRECIO DE COMPRA? 27. SI AL VENDER UNA MERCANCÍA EN 540.000 SOLES SE GANA 60.000 SOLES. ¿CUÁL ES EL TANTO POR CIENTO DE GANANCIA? 28. GASTANDO SUCESIVAMENTE EL 20% Y EL 12% DE LO QUE QUEDA DE UN DINERO ME SOBRAN 8.800 SOLES. ¿CUÁNTO TENIA AL PRINCIPIO? 29. LA DIFERENCIA ENTRE 36% Y EL 15% DE UN NÚMERO ES 3.780. HALLAR EL NÚMERO. 30. SI ANDRÉS TUVIESE UN 12% MENOS DE LA EDAD QUE TIENE, TENDRÍA 22 AÑOS. ¿CUÁL ES SU EDAD ACTUAL?
JMS.
02 TANTO POR CIENTO UN VENDEDOR RECIBE DE COMISIÓN EL 8% DE LAS VENTAS QUE REALIZA. ¿CUÁNTO SERÁ EL TOTAL DE COMISIÓN DE UN MES SI HA REALIZADO VENTAS POR 3’ 860,000? SE HA COMPRADO UN ARTÍCULO POR 140,000 Y SE QUIERE VENDER GANANDO EL 25%. ¿A CÓMO DEBE VENDERSE? EN UN COLEGIO DE 4,000 ALUMNOS EL 35% SON FUTBOLISTAS Y EL 25% SON BASQUEBOLISTAS. ¿CUÁNTOS ALUMNOS PRACTICAN EL FÚTBOL Y CUÁNTOS EL BÁSQUET?
SI SE VENDE UNA RESIDENCIA EN 580,000 PERDIENDO EL 20% ¿CUÁL ERA EL COSTO?. UN HOMBRE VENDIÓ UN BARCO GANANDO 450,000, SI ESTA GANANCIA REPRESENTA EL 15% DEL COSTO, ¿CUÁNTO LE COSTÓ EL BARCO? EL 4% DE LOS ALUMNOS DE UN COLEGIO FORMAN UNA SECCIÓN DE 50 ALUMNOS. ¿CUÁNTOS ALUMNOS TIENE EL COLEGIO? LA COMISIÓN DE UN AGENTE ES DEL 12% DE LAS VENTAS QUE HAGA; SI EN CIERTA OPERACIÓN SU COMISIÓN HA SIDO 348,000 ¿CUÁL FUE EL IMPORTE DE LA VENTA? CUÁL ES EL NÚMERO CUYO 25% DISMINUIDO EN 86 DA COMO RESULTADO 114? SI AL 30% DE UN NÚMERO SE LE SUMA EL 12% DE DICHO NÚMERO EL RESULTADO ES 378. ¿CUÁL ES ESE NÚMERO? UN LIBRO Y UN CUADERNO CUESTAN 800, SI EL LIBRO CUESTA 60% MÁS QUE EL PRECIO DEL CUADERNO, ¿CUÁL ES EL PRECIO DE CADA UNO? ¿QUÉ NÚMERO DISMINUIDO EN SUS 8 ¾ % SE CONVIERTE EN 1095? AL VENDER UN EDIFICIO EN 840,000 SE GANA EL 5% DEL PRECIO DE COMPRA. ¿CUÁNTO COSTÓ EL EDIFICIO? AL VENDER UN OBJETO EN 1`200.960 SE GANA EL 8% DEL PRECIO DE COSTO.¿CUÁNTO COSTÓ EL OBJETO? SE COMPRA UN OBJETO EN 520.000 Y SE QUIERE VENDER GANANDO EL 20% DEL PRECIO. ¿EN CUÁNTO SE DEBE VENDER?
03 TANTO POR CIENTO. 1. HALLAR EL 4.5% DE 150. 2. POR VENDER UN ARTÍCULO SE NOS OFRECIÓ EL 20% DE COMISIÓN Y UNA VEZ EFECTUADA LA TRANSACCIÓN RECIBIMOS 11 SOLES ¿CUÁL FUE EL VALOR DE LA VENTA? 3. ¿QUÉ PORCENTAJE DE 36 ES 0, 063?
4. DE QUÉ NÚMERO ES 265 EL 6% MÁS. 5.
DE QUÉ NÚMERO ES 168 EL 4% MENOS.
6. SE HA COMPRADO UN OBJETO EN 5.000 SOLES Y SE DESEA VENDERLO CON EL 12% DE UTILIDAD. ¿A QUÉ PRECIO DEBE VENDERSE? 7. UN COMERCIANTE VENDE UN ARTÍCULO EN 25 SOLES MÁS EL 80% DE SU PRECIO ¿CUÁL ES SU PRECIO? 8. SE HA PAGADO S/. 50 POR UN LIBRO, PUES LE HAN HECHO UN DESCUENTO DEL 15% ¿CUÁNTO COSTABA EL LIBRO? 9. UNA PERSONA COMPRA UNA REFRIGERADORA AL CONTADO Y OBTIENE UNA REBAJA DE 4.250 ¿CUÁL ES EL PRECIO DE VENTA DE LA REFRIGERADORA, SI LE REBAJARON EL 10%? 10. UNA CASA IMPORTADORA DE AUTOMÓVILES HA RECIBIDO 144 UNIDADES A CUENTA DE SU PEDIDO. SI TODAVÍA LE FALTA EL 55% ¿ A CUANTAS UNIDADES ASCIENDE SU PEDIDO? 11. SE VENDIÓ UN ARTEFACTO A S/. 7.920 PERDIENDO EL 12% DEL COSTO. ¿ A CÓMO HABRÍA TENIDO QUE VENDERSE PARA GANAR EL 8% DEL COSTO? 12. ¿QUÉ PORCENTAJE DE COSTO SE HA GANADO CUANDO SE VENDE EN S/. 80.000 UNA MERCADERÍA QUE HA COSTADO S/. 60.000? 13. VENDIENDO UN OBJETO POR S/. 152.50 SE GANA EL 22% ¿QUÉ PORCENTAJE SE GANARÁ VENDIENDO S/. 10.00 MÁS CARO? 14. LA FABRICACIÓN DE UN AUTOMÓVIL HA COSTADO S/. 117.000 Y LA MANO DE OBRA INVERTIDA EN SU FABRICACIÓN S/. 19.500 ¿QUÉ PORCENTAJE REPRESENTA LA MANO DE OBRA CON RESPECTO AL COSTO DE FABRICACIÓN? 15. LAS UTILIDADES EN UN NEGOCIO ASCENDIERON EN UN AÑO A S/. 50.000 Y AL AÑO SIGUIENTE AUMENTARON EN S/. 12.500 ¿QUÉ TANTO POR CIENTO REPRESENTA EL AUMENTO HABIDO EN EL SEGUNDO AÑO? 16. ¿CUÁNTO SE HA PERDIDO EN LA VENTA DE UNA MERCANCÍA QUE COSTÓ S/. 7.800 Y FUE VENDIDA CON UN 11% DE PÉRDIDA? 17. ¿CUÁL SERÁ EL COSTO DE UNA MERCANCÍA QUE SE HA VENDIDO POR S/. 6.560 MÁS QUE EL COSTO, SABIENDO QUE ESTE BENEFICIO REPRESENTA UN 8%? 18. ¿CUÁNTO IMPORTARÁ LA VENTA DE UNA MERCANCÍA QUE HA COSTADO S/. 58.000 SI SE QUIERE GANAR EL 14%?
19. ¿CUÁL ES EL COSTO DE UNA MÁQUINA DE ESCRIBIR QUE SE VENDIÓ POR S/. 5.820 CON UN 20% DE BENEFICIO? 20. UN LIBRO HA COSTADO AL EDITOR S/. 200.75, EL EJEMPLAR Y DESEA VENDERLO A UN PRECIO QUE LE PERMITA DAR UN 20% DE COMISIÓN AL CORREDOR SOBRE EL PRECIO DE VENTA Y GANAR ÉL UN 25% SOBRE EL CITADO PRECIO ¿A CUÁNTO DEBERÁ VENDER EL LIBRO? 21. UNA PIEZA DE PAÑO SE VENDIÓ A S/. 127.50 EL METRO CON UN 15% DE PÉRDIDA ¿CUÁL FUE SU COSTO? 22. UN COMERCIANTE HA COMPRADO UNA PARTIDA DE GÉNEROS EN S/. 5.400,A PAGAR EN 30 DÍAS, PERO AL RECIBIR LA FACTURA DE SU PROVEEDOR LEE LAS SIGUIENTES CONDICIONES “ A PAGAR EN 30 DÍAS. AL CONTADO, 8% DE DESCUENTO”. DESEANDO APROVECHARSE DEL BENEFICIO, DECIDE PAGAR LA FACTURA AL CONTADO. ¿CUÁNTO TIENE QUE ABONAR? 23. UN COMERCIANTE COMPRA UN ARTÍCULO EN S/. 20 Y LO VENDE EN S/. 32,50. EXPRESAR LA UTILIDAD COMO PORCENTAJE DEL PRECIO DE COSTO Y DEL PRECIO DE VENTA. 24. EN CIERTO ESTADO SE HA IMPLANTADO UN IMPUESTO DEL 4% SOBRE EL IMPORTE DE LAS VENTAS. ENCONTRAR EL IMPUESTO SOBRE UN AUTOMÓVIL FACTURADO EN S/. 3.500. 25. UNA TIENDA DE ROPA ADQUIERE TRAJES EN S/. 60 Y LA MARCA PARA SU VENTA EN UNA CANTIDAD TAL, QUE LE PRODUZCA UN MARGEN DE UTILIDAD DEL 40% SOBRE EL PRECIO DE VENTA. ENCONTRAR EL PRECIO DE VENTA.
4º SESIÓN: PRECIO DE COSTO, PRECIO DE VENTA, PRECIO DE LISTA.
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OBJETIVOS.
Lograr que el alumno sea capaz de determinar el beneficio o utilidad de una operación comercial, el precio de costo, precio de venta o precio de lista. •
ACTIVIDAD DE ENTRADA.
A los alumnos se le proporcionará un ejercicio correspondiente al tema de la sesión, o del tanto por ciento, o regla de tres, para determinar el nivel de conocimiento con que llega. •
MARCO TEÓRICO.
En esta sesión veremos la aplicación de los porcentajes problemas de pérdidas y ganancias.
a la resolución de los
Las transacciones desarrolladas en el comercio podemos reducirlas básicamente a dos operaciones: ventas y compras. la primera consiste en “entregar mercancías por dinero”, y la segunda en “entregar dinero por mercancías”. Las transacciones indicadas se efectúan con la idea de lograr un beneficio o utilidad, el cual se alcanza cuando el precio de venta es mayor que el precio de compra; aunque a veces por diversas circunstancias, solo se obtiene pérdida, la cual se da cuando el precio de compra es mayor que el precio de venta.
PRECIO DE COSTO: Es el precio de adquisición o precio de compra de una mercancía.
CLASES PRECIO DE COSTO: El precio de costo puede ser de dos clases:
Costo Neto, incluye solamente el precio de compra de una mercancía. Costo Total, cuando al precio de costo neto, se le incluye los gastos de transporte hasta el almacén, carga, descarga, etc, Precio De Lista: Es el precio de lista o catálogo al que debe venderse un bien y/o servicio. Precio De Venta: La cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe, constituye el precio de venta. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Se pueden presentar los siguientes casos:
1º CASO: Determinación del precio de venta de una mercadería. Conocido el costo total y el tanto por ciento de utilidad o pérdida. EJEMPLO 01: ¿A cuánto asciende la venta de una mercadería si esta fue efectuada con un 15% de pérdida, sabiendo que costó8.200 soles? VENTA – COSTO = UTILIDAD (PÉRDIDA) VENTA = COSTO – PÉRDIDA 8.200 * 15% = 8.200*0.15= 1.230 SOLES DE PÉRDIDA. LA MERCADERIA FUE VENDIDA A: 8.200-1.230=6.970 SOLES. EJEMPLO 02: ¿Cuál es el importe de la venta de una mercadería que ha costado 135.000 soles si se quiere ganar el 25%? VENTA – COSTO = UTILIDAD (PÉRDIDA) VENTA = COSTO + UTILIDAD VENTA = 135.000 + (135.000*25%) VENTA = 135.000 + 33.750= 168.750 Rpta:
2º CASO: Determinar el tanto por ciento de costo total y el importe de la venta.
utilidad o pérdida.conocido el
EJEMPLO: Si una empresa obtuvo durante el año antepasado utilidades de 65.000 soles y al año siguiente aumentaron a 17.500 soles. ¿qué tanto por ciento representa el aumento alcanzado el segundo año? POR REGLA DE TRES SIMPLE SABEMOS QUE: 65.000 ES A 100 COMO 17.500 ES AX 65.000/100=17.500/X, DE DONDE: X = 17.500*100/65.000 = 26,92% Respta.
3º CASO: Determinar el costo de una mercadería, conocido el importe de la venta y el tanto por ciento de utilidad o pérdida. Consiste en multiplicar el costo por el tanto por ciento invertido. EJEMPLO 01: ¿Cuál sera el costo de un producto que se ha vendido por 8.975 soles más que el costo, sabiendo que la utilidad representa el 22%? VENTA – COSTO + UTILIDAD COSTO = VENTA – UTILIDAD COSTO =( COSTO + 8.975) – (COSTO*22%) COSTO = COSTO + 8.975 – 0,22COSTO COSTO – COSTO + 0,22COSTO = 8,975 0,22COSTO = 8.975 COSTO = 8.975/0,22= 40795,45 SOLES. Rpta. EJEMPLO 02: ¿Cuál será el costo de una máquina que se vendió en 7.945 soles con un 20% de utilidad? VENTA – COSTO + UTILIDAD COSTO = VENTA - UTILIDAD COSTO = 7.945 – (COSTO*20%) COSTO (COSTO*0,25) = 7.945 1,25 COSTO = 7.945 COSTO = 7.945/1.25 = 6.356 Respta. EJEMPLO 03. Una pieza de paño se vendió en 157 soles el metro con 20% de pérdida. ¿Cuál fue su costo? VENTA – COSTO = PÉRDIDA VENTA = COSTO - PÉRDIDA 157 = COSTO - (COSTO*15%) 157 = COSTO – 0,15COSTO 157 = 0,85COSTO 157/0,85 = COSTO 184,7 = COSTO Rpta.
CÁLCULO DE LA UTILIDAD SOBRE EL PRECIO DE VENTA. Algunas veces la utilidad se calcula sobre el precio de venta y esto es debido a que los gastos de colocar un producto al alcance de los clientes son calculados sobre dicho precio. Este caso nos lleva a determinar a qué precio deberá venderse un producto para obtener una utilidad sobre el precio de venta. EJEMPLO. Un libro ha costado al editor 500 soles el ejemplar y desea venderlo a un precio que le permita dar un 25% de comisión al corredor sobre el precio de venta y ganar él un 25% sobre dicho precio. ¿A cuanto deberá vender el libro? VENTA = COMPRA + UTILIDAD VENTA = 500 + (25% + 25%) VENTA VENTA = 500 + 50% VENTA VENTA = 500 +0,50VENTA VENTA – 0,50VENTA = 500 0,50 VENTA = 500 VENTA = 500/0,50= 1.000 SOLES Respta. Diferencia entre el tanto por ciento calculado sobre el precio de costo y el precio de venta. La diferencia entre el porcentaje calculado sobre el precio de venta y compra es considerable y será tanto mas considerable cuanto mayor sea la utilidad calculada sobre la venta. EJEMPLO: Un producto que ha costado 100 soles se quiere vender con un 30% de utilidad sobre el precio de costo, por lo que se deberá vender a 130 soles. esta utilidad de 30 soles sobre el precio de venta solo representaría 30/130= 0,23076923*100=23,08%; en lugar del 30% que representa sobre el precio de costo.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. SI SE AUMENTA EN SU 8% EL PRECIO DE UN ARTÍCULO, EL NUEVO PRECIO ES 1,62. ¿CUÁL ERA EL PRECIO INICIAL? 2. DESPUÉS DE REBAJARME EL 18% DEL PRECIO DE UNA CAJA DE TABACO, TENGO QUE PAGAR POR ELLA 2,87. ¿CUÁL ERA EL PRECIO INICIAL? 3. AL VENDER UNA CASA DE 63.000 SE GANA EL 5% DEL PRECIO DE COMPRA. ¿CUÁNTO HABÍA COSTADO LA CASA? 4. UN CABALLO Y SU SILLA HAN COSTADO 210. SABIENDO QUE EL PRECIO DE LA SILLA ES EL 40% DEL PRECIO DEL CABALLO, HALLAR EL VALOR DEL CABALLO Y DE LA SILLA? 5. UN COMERCIANTE COMPRA SOMBREROS A 18 SOLES. ¿A CÓMO TIENE QUE VENDERLOS PARA GANAR EL 20% DEL COSTO? 6. UN COMERCIANTE COMPRA SOMBREROS A 18 SOLES. ¿A CÓMO TIENE QUE VENDERLOS PARA GANAR EL 20% DE LA VENTA? 7. AL VENDER UNA CASA EN 75.000 SE PIERDE EL 25% DEL COSTO. ¿CUÁNTO HABRIA COSTADO LACASA? 8. AL VENDER UNA CASA EN 75.000 SE PIERDE EL 25% DE LA VENTA. ¿CUÁNTO HABÍA COSTADO LA CASA? 9. SE COMPRA ARTÍCULOS A UN 10% MENOS QUE EL PRECIO DE COSTO Y SE VENDE A UN 10% MÁS QUE EL PRECIO DE LISTA. ¿QUÉ PORCENTAJE DEL COSTO SE GANA? 10. VENDÍ DOS CASAS A 7200 CADA UNA. EN UNA PERDÍ EL 25% DEL PRECIO DE VENTA Y EN LA OTRA GANE 25% DEL COSTO. ¿GANÉ O PERDÍ EN TOTAL Y CUÁNTO? 11. SE VENDE UNA BICICLETA EN 960 PERDIENDO EL 20% DE SU VALOR. ¿CUÁNTO HABÍA COSTADO? 13. ENMA COMPRÓ UNA BLUSA Y UNA FALDA POR 217. SI LA FALDA LE COSTÓ 55% MÁS QUE LA BLUSA, ¿CUÁNTO PAGÓ POR LA FALDA Y CUÁNTO PAGÓ POR LA BLUSA?
JMS 5º SESIÓN.
EXAMEN PARCIAL
El alumno deberá resolver un examen compuesto por cinco preguntas correspondientes a los temas tratados en las 4 sesiones anteriores. 6º SESIÓN: INTERÉS SIMPLE. •
OBJETIVOS.
Se pretende que al finalizar estas sesiones, el alumno domine uno de los más importantes cálculos mercantiles, por la gran aplicación que tiene en la mayoría de las operaciones comerciales y, por lo tanto, sea capaz de determinar los intereses, el capital, la tasa de interés, el tiempo y monto comprometidos en dichas operaciones. •
ACTIVIDAD DE ENTRADA.
A loa alumnos se les planteara un problema de los que cuenta esta sesión y/o adicionalmente, preguntas relacionadas con al interés simple, proporciones, tanto por ciento, con el objeto de medir el nivel de conocimientos previos con los llega a esta 6º sesión.
PREGUNTAS: ¿Qué noción tiene del interés simple? ¿Cómo está dividido el interés? ¿Cuáles son los elementos del interés? ¿Cómo se efectúan los cálculos para determinar el interés, capital, tanto por ciento, el tiempo y el monto?
PROBLEMAS: Ejemplos: ¿A qué tanto por ciento se deben prestar 3567,40 soles para obtener 637,50 soles de interés en tres años y siete meses? ¿Qué capital producirá 1354.20 soles de intereses en 2 años, 5 meses y 10 días, al 6%? •
MARCO TEÓRICO.
INTERÉS SIMPLE.
Es la ganancia que produce una cantidad de dinero (capital inicial) a un tanto por ciento y en un tiempo determinado, sin que el capital inicial varíe. La Regla de Interés es una operación por medio de la cual se halla la Ganancia o interés que produce una suma de dinero o Capital prestado a un Tanto Por Ciento dado y durante un Tiempo determinado.
La Regla de Interés es una de las más importantes en los cálculos mercantiles por la multitud de aplicaciones prácticas que tiene en la mayoría de las operaciones que se conciertan en el comercio Su objeto es calcular la ganancia que produce cualquier cantidad que se presta durante cierto tiempo a condición de que produzca, a quien la ha prestado, cierto beneficio que se estipula en un Tanto Por Ciento de la cantidad prestada, con arreglo al tiempo que haya permanecido en su poder. En esta regla se llama:
CAPITAL o PRINCIPAL: A la cantidad que se presta o deposita. ( C )
TASA DE INTERÉS : Al Tanto Por Ciento que produce esta cantidad durante el tiempo que está en poder del prestatario ( i ). INTERÉS : A la ganancia que produce al prestador por el Capital Prestado o colocado a la Tasa establecida y durante el Tiempo fijado. ( I ). TIEMPO : A los días, meses, trimestres, semestres o años durante los cuales ha estado la cantidad en poder del prestatario. Se considera el lapso comprendido entre la fecha del préstamo y la fecha de vencimiento. ( t ) CLASES DE INTERÉS El interés puede ser SIMPLE o COMPUESTO. Es SIMPLE cuando el interés o rédito, es decir, la ganancia que produce el Capital prestado, se percibe al final de períodos iguales de tiempo, sin que el capital varíe. Es COMPUESTO cuando los intereses que produce el capital se suman al capital, al final de cada período de tiempo, formando de este modo un nuevo capital.
INTERÉS SIMPLE
Fórmula: I=C*i*t Siendo el tiempo 1 año, diremos: S/. 100 producen i al año S/. C * 1 producirá I al año
t=1
Como el Capital y el Interés son directamente proporcionales, porque a doble Capital, doble Interés, formaremos la proporción: 1. 100 / C * 1 = i / I 2. 100 * I = C * 1 * i 3. Tendremos: I = C * i * 1/100 C = I / i * 1/100
,
Despejando: i = I / C * 1/100
Siendo el tiempo varios años. El Interés que produce un Capital C durante t años es C* t. , por lo tanto diremos: S/. 100 S/. C * t
producen producirán
I
i
al año al año
Formando la proporción: 100 / C * t = i / I
y despejando tendremos:
I = C * i * t / 100
C = I // i * t / 100
i = I // C * t / 100
t = ( I / C * i ) 100
Si la tasa de interés se expresa según el método del tanto por uno las fórmulas se simplificarían de la siguiente manera ( i / 100 ) : I=C*i*t
C=I/i*t
i=I/C*t
t=(I/C*i)
Siendo el tiempo meses S/. 100 producen S/. C * t / 12 producirán
I
i al año
Formando la proporción: 100 / C * t / 12 = i / I y despejando tendremos:
I = C * i * t / 1200 i = I // C * t / 1200
C = I // i * t / 1200 t = ( I / C * i ) 1200
Como en el caso anterior, si expresamos la tasa de interés según el método del tanto por uno, las fórmulas se simplificarían aún más como sigue: I = C * i * t / 12
C = I // i * t / 12
i = I // C * t / 12
t = ( I / C * i ) 12
Siendo el tiempo días. S/. 100 producen i al año S/. C * t / 360 producirían I Formando la proporción: 100 / C * t / 360 = i / I I = C * i * t / 36000 i = I // C * t / 36000
y despejando tendremos: C = I // i * t / 36000 t = ( I / C * i ) 36000
Como en los casos anteriores, estas fórmulas quedarían simplificadas como sigue ( tanto por uno ) : I = C * i * t / 360
C = I // i * t / 360
i = I // C * t / 360
t = ( I / C * i ) 360
Resumiendo las fórmulas vistas hasta el momento, estas pueden quedar resumidas en las siguientes tres: I = C * i * Años
I = C * i * Meses / 12
I = C * i * días / 360
EJERCICIOS DE APLICACIÓN. 1.¿A CUÁNTO ASCIENDE EL INTERÉS GANADO POR UN CAPITAL DE S/. 1.200 DURANTE 3 AÑOS A UNA TASA ANUAL DE 14%? S/. 504.00 RPTA. 2 .HALLAR EL INTERÉS DE S/. 600 AL 3 ½ % ANUAL EN 4 AÑOS. S/. 84.00 RPTA. 3. UN CAPITAL DE S/. 5.000 SE HA INCREMENTADO EN UN 15% POR RAZÓN DE INTERÉS SIMPLE AL 6% ANUAL. HALLE EL TIEMPO DE OPERACIÓN. 2.50 AÑOS. RPTA. 4. ¿QUÉ CAPITAL AL 36% ANUAL DURANTE 3 AÑOS PRODUJO UN INTERÉS DE S/. 34.506? .31.950 RPTA. 5. SE COLOCAN DOS CAPITALES EN EL BANCO. UNO DE LOS CAPITALES ERA S/3.000 INFERIOR AL OTRO. EL MAYOR FUE COLOCADO AL 8% ANUAL Y EL MENOR AL 12% ANUAL. LOS INTERESES VENCIDOS PRODUJERON S/. 38.200 EN UN AÑO. ¿CUÁLES FUERON LOS CAPITALES? .192.800 RPTA. 1 189.800 RPTA. 2 6. HALLAR LOS INTERESES DE S/. 38.000 AL 29% ANUAL DE INTERÉS SIMPLE, ENTRE EL 5 DE ABRIL Y EL 14 DE JUNIO I = 2.142. 78 RPTA. 7. DETERMINAR EL INTERÉS SIMPLE SOBRE S/. 750.00 AL 4% DURANTE ½ AÑO. A 15.00 RPTA. 8. ¿QUÉ CAPITAL PRODUCE EN 8 MESES ( A ) S/. 48 AL 6%, ( B ) S/. 50 AL 5% 1.200 RPTA. 1.500 RPTA. 9. ¿HALLAR EL INTERÉS SIMPLE DE S/. 900 DURANTE 120 DÍAS AL 5%? 10. HALLAR LA TASA DE INTERÉS SIMPLE SABIENDO QUE EL CAPITAL DE S/. 1.650 ES: ( A ) S/. 1.677,50 EN 4 MESES, ( B ) 1.705 EN 10 MESES ( A ) 5,00% R. ( B ) 4,00% R. 11. ¿QUÉ CAPITAL PRODUCE EN 8 MESES, ( A ) S/. 48 AL 6%, ( B ) S/.50 AL 5%? I=C*I*T C=I/I*T ( A ) 1.200 RPTA. ( B ) 1.500 RPTA
12.¿CUÁNTO SE HABRÁ ACUMULADO AL CABO DE 6 AÑOS SI SE COLOCÓ UN CAPITAL DE S/. 3.000 AL 8% DE INTERÉS SIMPLE ANUAL? .4.440 RPTA. 13. HALLE EL MONTO QUE GENERA UN CAPITAL DE S/. 7.000 COLOCADO DURANTE 215 DÍAS A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DEL 36% 8.505 RPTA. 14.¿QUÉ CAPITAL FUE COLOCADO AL 5% DE INTERÉS SIMPLE ANUAL QUE AL CABO DE 3 AÑOS SE CONVIRTIÓ EN S/. 23.000? . 20.000 RPTA. 15.¿A QUÉ TASA ANUAL FUE COLOCADO UN CAPITAL DE S/. 5.000 PARA QUE AL CABO DE 5 AÑOS SE TRIPLIQUE? 40 % RPTA. 16.¿ EN CUÁNTO TIEMPO UN CAPITAL, QUE REPRESENTA EL 75% DE UN MONTO DE S/. 8.000, FUE COLOCADO A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DEL 36%? 11 MESES Y 3.3 DÍAS. RPTA. 17. HALLAR LOS INTERESES DE S/. 38.000 AL 29% DE INTERÉS SIMPLE ANUAL, ENTRE EL 5 DE ABRIL Y EL 14 DE JUNIO. 2.142, 78 RPTA. 18. ¿QUÉ CAPITAL AL 36% DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DURANTE 3 AÑOS PRODUJO UN INTERNÉS DE 34.506? 31.950 RPTA. 19. ¿CUÁL ES LA TASA ANUAL DE INTERÉS SIMPLE QUE SE HA APLICADO PARA QUE UN CAPITAL DE S/. 8.000 COLOCADO EN 2 AÑOS Y 6 MESES HAYA GANADO S/. 6.000? 30% RPTA. 20. UN CAPITAL DE S/. 5.000 SE HA CONVERTIDO EN S/. 5.750 Y LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DEL 21%. HALLAR TIEMPO DE LA OPERACIÓN. 257.14 DÍAS. RPTA. 21. UNA COOPERATIVA DE CRÉDITO OTORGA UN PRÉSTAMO DE S/. 20.000 PARA SER DEVUELTOS EN 18 MESES A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DEL 32%. DETERMINAR LA CANTIDAD A SER DEVUELTA. 29.600 RPTA. 22. HALLAR LOS INTERESES QUE COBRARÁ UN ACREEDOR POR PRESTAR S/. 3.250 A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE SEMESTRAL DEL 24% , DURANTE 9 MESES. 1. 170 RPTA. 23. UNA PERSONA COLOCA DURANTE 8 MESES EN UN BANCO ASOCIADO LAS 2 / 5 PARTES DE SU CAPITAL A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DEL 22% Y EL RESTO A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DEL 24 % DURANTE EL MISMO TIEMPO. SI EN LA PRIMERA OPERACIÓN DESEA COBRAR S/. 7.672 DE INTERÉS ¿CUÁNTO GANARÁ DE INTERESES EN TOTAL? 20.226.18 RPTA. 24. UN CAPITAL DE S/. 250.000 SE PRESTA EN LAS SIGUIENTES CONDICIONES: EL 20% DEL TOTAL A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DEL 21% DURANTE 18
MESES, EL 25% DEL TOTAL A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL DEL 23% DURANTE 15 MESES, EL RESTO A LA TASA DE INTERÉS SIMPLE ANUAL 50.402,08 RPTA. 25. UNA PERSONA DEPOSITA S/. 350.000 EN TRES BANCOS: EN EL PRIMER BANCO DEPOSITA EL 20% DEL CAPITAL DURANTE 7 MESES, EN EL SEGUNDO BANCO EL 45% DEL CAPITAL DURANTE 8 MESES Y EN EL TERCER BANCO EL CAPITAL RESTANTE DURANTE 8 MESES Y 10 DÍAS. HALLAR EL TOTAL DE INTERESES A COBRAR, TENIENDO EN CUENTA QUE LOS BANCOS PAGAN EL 46%, 54% Y 55% DE INTERÉS SIMPLE ANUAL RESPECTIVAMENTE. RPTA.122.271,52 26. UNA PERSONA DEPOSITA SUS AHORROS DE S/ 20.000 DURANTE UN AÑO EN UNA FINANCIERA DE LA SIGUIENTE FORMA: UNA PARTE AL 26% DE INTERÉS SIMPLE ANUAL Y EL RESTO AL 24.50% DE INTERÉS SIMPLE ANUAL. LA PRIMERA PARTE LE PRODUCE S/. 1.550 MÁS QUE LA SEGUNDA. ¿QUÉ CANTIDAD TENÍA IMPUESTA A CADA TANTO POR CIENTO? 1.550, 00 RPTA-
7º Y 8º SESIÓN: INTERÉS SIMPLE EN ESTA SÉTIMA Y OCTAVA SESIÓN SE RESOLVERÁN PROBLEMAS ADICIONALES DE INTERÉS SIMPLE CON EL OBJETIVO DE REFORZAR LOS CONOCIMIENTOS. PROBLEMAS DE INTERÉS SIMPLE 1. CALCULAR EL INTERÉS DE 35675 SOLES DURANTE 7 MESES Y 18 DÍAS, A TASAS QUE VAN DECRECIENDO DE 1/8 EN 1/8, DE 5%, HASTA 4%. (Método de las partes alícuotas). R: 2. UNA MÁQUINA DE VAPOR, COMPLETAMENTE INSTALADA, COSTO 141000 SOLES. SI SE VA A TOMAR EN CUENTA UN INTERÉS DE 5% Y UNA AMORTIZACIÓN DEL 10% EN EL PRECIO DE VENTA DE LA ENERGÍA MECÁNICA, DÍGASE: 1º¿ AL CABO DE CUANTOS AÑOS QUEDARÁ AMORTIZADA LA MÁQUINA?; 2º¿ A CUÁNTO SE ELEVAN LOS INTERESES Y AMORTIZACIONES AL CABO DE 5 MESES? R: 10 AÑOS Y 8812.50 3. UN CONTRATISTA DE OBRAS PÚBLICAS CUENTA EN SU PARQUE DE MAQUINARIAS CON UNA APISONADORA A VAPOR QUE LE COSTÓ 60000 SOLES Y QUE PUEDE TRABAJAR 100 DÍAS AL AÑO. CALCULANDO 6% DE INTERÉS DEL CAPITAL Y 4000 SOLES ANUALES POR CONCEPTO DE AMORTIZACION (depreciación) DE LA MÁQUINA, ¿A QUÉ PRECIO DEBE CALCULAR, EN SUS PRESUPUESTOS, CADA DÍA DE TRABAJO DE LA APISONADORA? R: 76 SOLES
4. UN CAPITAL DE 40000 SOLES ESTUVO IMPUESTO DURANTE UN CIERTO NÚMERO DE AÑOS, MESES Y DÍAS; POR LOS AÑOS SE ABONÓ EL 5%; POR LOS MESES, 4% Y POR LOS DÍAS, EL 3%. CALCULAR EL INTERÉS PRODUCIDO POR DICHO CAPITAL, SABIENDO QUE SI SE HUBIERA IMPUESTO DURANTE TODO EL TIEMPO AL 5%, HABRÍA PRODUCIDO 3840 SOLES MÁS QUE SI SE HUBIERA IMPUESTO TODO EL TIEMPO AL 3%. R: 9260 SOLES 5. UN CAPITAL DE 289080 SOLES HA ESTADO IMPUESTO AL 6% ANUAL DURANTE LOS MESES DE SETIEMBRE, OCTUBRE Y NOVIEMBRE. ¿QUÉ BENEFICIO O PERJUICIO REPRESENTA EN LOS INTERESES, AL APLICAR, COMO ES COSTUMBRE, EL AÑO COMERCIAL EN VEZ DEL AÑO NATURAL? R: 4336.20 – 4324.32 = 11.88 6. DURANTE LOS MESES DE SETIEMBRE, OCTUBRE Y NOVIEMBRE SE HA TENIDO IMPUESTO UN CAPITAL DE 144540 SOLES AL 6% ANUAL. ¿QUÉ BENEFICIO O PERJUICIO REPRESENTA EN LOS INTERESES AL APLICAR, COMO DE COSTUMBRE EL AÑO COMERCIAL EN VEZ DEL AÑO NATURAL? R: para el prestamista un beneficio y para el prestatario un perjuicio de S/6.94. 7. UN CAPITALISTA GASTA LOS 5/13 DE SU FORTUNA EN LA COMPRA DE CASAS, 2/5 EN LA ADQUISICIÓN DE TIERRAS Y EL RESTO, EN ACCIONES DE COMPAÑIAS INDUSTRIALES. LAS CASAS LE REPORTAN UN INTERÉS ANUAL DEL 10%, LAS TIERRAS 7% Y LAS ACCIONES, 14%. SABIENDO QUE SU RENTA ANUAL ES DE 18840 SOLES, DIGASE ¿CUÁL ES LA FORTUNA Y QUÉ PARTE INVIRTIÓ EN CADA NEGOCIO? R: 195000, 75000, 78000 y 42000 8. ¿QUÉ CAPITAL ES AQUEL QUE IMPUESTO AL 4% ANUAL DURANTE 5 MESES, PRODUCE 1100 SOLES MENOS QUE SI SE IMPUSIERA AL 4% MENSUAL DURANTE EL MISMO TIEMPO? R: 6000 SOLES 9. ¿CUÁL ES EL CAPITAL QUE COLOCADO AL 4.50% DURANTE 7 MESES, 9 DÍAS Y DESPUÉS AL 5.40% DURANTE UN AÑO, 5 MESES Y 12 DIAS, HA PRODUCIDO EN TOTAL 126.81 SOLES? R: 1200 SOLES 10. LOS 5/7 DE UNA FORTUNA COLOCADA AL 3% DA ANUALMENTE 420 SOLES MÁS QUE EL RESTO COLOCADO AL 4%. ¿CUÁL ES LA FORTUNA? R: 42000 SOLES 11. LA DIFERENCIA ENTRE LAS FORTUNAS DE DOS PERSONAS ES DE 8000 SOLES; LA PRIMERA IMPONE SU DINERO AL 4% Y LA SEGUNDA, AL 5%. SIENDO LOS INTERESES DE AMBAS FORTUNAS IGUALES, SE DESEA SABER CUÁLES SON ESTAS.
R: 40000 Y 32000 12. LOS 2/7 DE UN CAPITAL SE HAN IMPUESTO AL 4% Y EL RESTO AL 4.50%; AL CABO DE UN AÑO, EL CAPITAL CON SUS INTERESES ASCENDIÓ A 36525 SOLES. ¿CUÁL FUE EL CAPITAL PRIMITIVO? R: 35000 13. LOS 3/5 DE UN CAPITAL HA SIDO IMPUESTO AL 4% Y EL RESTO AL 5%. AL CABO DE UN AÑO ENTRE CAPITAL E INTERESES HAY UNA SUMA DE 1200 SOLES. CALCULAR DICHO CAPITAL. R: 1149.43 14. UNA PERSONA IMPUSO DOS CAPITALES A INTERÉS SIMPLE: EL PRIMERO AL 4% Y EL SEGUNDO AL 5% ANUAL. RETIRÓ AL CABO DE 7 AÑOS Y 9 MESES, 23800 SOLES ENTRE CAPITAL Y RÉDITOS. ¿CUÁLES HAN SIDO LOS CAPITALES IMPUESTOS, SI EL PRIMERO ES LOS 5/6 DEL SEGUNDO? R: 8000 Y 9600 15- PRESTO LOS 2/3 DE MI CAPITAL AL 6% Y EL RESTO AL 4 Y ½%. EL INTERÉS ANUAL RECIBIDO ES IGUAL A LOS 4/5 DEL INTERES QUE PRODUCE 33000 SOLES AL 5% DURANTE UN AÑO. ¿CUÁL ES MI CAPITAL? R: 24000 SOLES
16. SE HA COLOCADO A INTERÉS SIMPLE UNA CANTIDAD AL 6% Y OTRA AL 8%. EL PRIMER CAPITAL ESTÁ CON EL SEGUNDO EN LA RELACIÓN DE 3/5 A 2/7: LOS CAPITALES E INTERESES REUNIDOS HAN SUMADO AL TÉRMINO DE 10 AÑOS Y 10 MESES, 159950 SOLES. ¿CUÁLES HAN SIDO LOS CAPITALES? R: 63000 Y 30000 17. HABIENDO COLOCADO LOS 7/12 DE SUS FONDOS AL 5% Y LO RESTANTE AL 4.50%, UN COMERCIANTE COBRA UNA RENTA ANUAL DE 34000 SOLES. AVERIGUAR LOS CAPITALES Y CALCÚLESE LA TASA ÚNICA A QUE DEBIERAN ESTAR COLOCADOS PARA PRODUCIR EL MISMO INTERÉS. R: 413965.22 Y 295652.27; 4.80% 18. UNA PERSONA IMPONE LOS ¾ DE SU CAPITAL AL 4.75% Y EL RESTO AL 5.50% Y EN 72 DÍAS OBTIENE UN INTERÉS DE 493 SOLES. HALLAR EL VALOR DEL CAPITAL. R: 49924.05 19. UN INDIVIDUO COLOCA LA MITAD DE SU CAPITAL AL 6%; LA TERCERA PARTE AL 5%, Y EL RESTO AL 4%. GANA UN RÉDITO ANUAL DE 1600 SOLES. ¿CUÁL ES ESTE CAPITAL? R: 30000 SOLES
20. SE TIENEN DOS CAPITALES: EL PRIMERO COLOCADO AL 6% , HA PRODUCIDO 9000 SOLES DE INTERÉS ; EL OTRO, QUE ES MAYOR QUE EL PRIMERO EN 20000 SOLES, COLOCADO AL 4% PRODUCE 10000 SOLES DE INTERÉS. SUPONIENDO QUE LOS DOS HAN ESTADO IMPUESTOS DURANTE EL MISMO TIEMPO, DÍGASE: 1º CUÁLES SON LOS CAPITALES Y 2º EL TIEMPO COMÚN DE IMPOSICIÓN. R: 30000 Y 50000; 5 AÑOS. 21. UNA PERSONA COLOCA PARTE DE SU CAPITAL AL 5%: OTRA AL 4% Y EL RESTO AL 3%, LA PRIMERA PARTE ES LOS 3/5 DE LA SEGUNDA Y LA TERCERA ES IGUAL A LA SUMA DE LAS OTRAS DOS. HALLAR LAS TRES PARTES, SABIENDO QUE AL FIN DEL AÑO SE RETIRA, ENTRE CAPITAL E INTERESES 15926.40 SOLES. R: 2880, 4800, Y 7680 22. UN CAPITALISTA COMPRA CON LOS 3/8 DE SU FORTUNA UN TERRENO QUE, CON TODOS SUS GASTOS, LE RESULTA A 3528 SOLES LA HECTÁREA; LOS 3/8 DEL RESTO SE EMPLEAN EN LA COMPRA DE UNA CASA. LO QUE SOBRA PRODUCE UNA RENTA DE 2805 SOLES, ESTANDO COLOCADOS SUS 3/8 AL 4.50% Y LO DEMÁS AL 6%. SE PIDE LA EXTENSIÓN DEL TERRENO, EL CAPITAL TOTAL, EL VALOR DE LA CASA Y LAS CANTIDADES COLOCADAS A INTERÉS. R: 14Ha, 140800 SOLES, 33000 SOLES AL 4.50% Y 22000 SOLES AL 6%. 23. SE HA IMPUESTO UN CAPITAL AL 4%; AL FINAL DEL PRIMER AÑO SE RETIRAN LOS INTERESES Y UNA PARTE DEL CAPITAL IGUAL A LOS INTERESES; LO MISMO SE HACE AL FINAL DEL SEGUNDO AÑO, QUEDANDO ENTONCES AL CAPITAL DISMINUIDO EN 6742.40. HALLAR EL CAPITAL. R: 86000 SOLES. 24. SE TIENE IMPUESTO UN CAPITAL AL 4%. AL FINAL DEL PRIMER AÑO SE RETIRAN LOS INTERESES Y SE RETIRA DEL CAPITAL UNA CANTIDAD IGUAL A LOS INTERESES; AL FINAL DEL SEGUNDO AÑO SE HACE LA MISMA OPERACIÓN Y RESULTA QUE EL CAPITAL HA DISMINUIDO EN 3371.20. ¿CUÁL ERA EL CAPITAL PRIMITIVO?. R: 43000 SOLES. 25. UNA PERSONA HA INVERTIDO UN TOTAL DE 29000 SOLES EN TRES PARTES TALES QUE, COLOCADAS AL 4%, 3% Y 4 1/2% , RESPECTIVAMENTE, LE PRODUCEN ANUALMENTE EL MISMO INTERÉS. 1º ¿CUÁLES SON LAS SUMAS COLOCADAS A CADA UNA DE ESAS TASAS; 2º ¿QUÉ INTERÉS PRODUCE CADA PARTE? R: 1º 9000, 12000 Y 8000 SOLES, 2º 360 SOLES. 26. SE HA VENDIDO UN TERRENO DE SUPERFICIE IGUAL A 5 Ha. 17 ÁREAS. LOS 2/3 DEL IMPORTE DE LA VENTA SE HAN IMPUESTO A INTERES SIMPLE DURANTE 2 AÑOS, 9 MESES Y 10 DÍAS; AL 4.50% Y, AL CABO DE ESTE TIEMPO, EL CAPITAL E INTERESES HAN SUMADO 43040.25 SOLES. CALCULAR EL PRECIO A QUE SE VENDIÓ EL METRO CUADRADO.
R: 1.11 SOLES. 27. UNA PERSONA COMPRA UNA CASA; POR CONCEPTO DE GASTOS DE TRANSFERENCIA, PAGA AL CONTADO EL 12 Y ¼% DEL PRECIO Y, AL CABO DE 2 AÑOS Y 9 MESES, PAGA TODO EL PRECIO MÁS LOS INTERESES AL 5%. HABIENDO GASTADO EN TOTAL 194040 SOLES, DÍGASE ¿CUÁL HA SIDO EL PRECIO DE LA CASA? R: 154000 SOLES. 28. UN CAPITAL DE 12000 SOLES HA SIDO IMPUESTO EN LA SIGUIENTE FORMA: UNA PARTE AL 5% Y LA OTRA AL 8%; EL INTERÉS EN UN AÑO ES DE 840 SOLES. ¿QUÉ PARTE DEL CAPITAL HA SIDO IMPUESTA AL 5% Y QUÉ PARTE AL 8%? R: 4000 Y 8000 SOLES. 29. UNA PERSONA DIVIDE UN CAPITAL DE 4000 SOLES, EN DOS PARTES: LA PRIMERA LA COLOCA AL 6% DURANTE 5 AÑOS Y LA SEGUNDA AL 5% DURANTE 4 AÑOS. LA SUMA DE LOS INTERESES PRODUCIDOS ES IGUAL AL INTERÉS QUE PRODUCIRÍA EL CAPITAL TOTAL AL 5.50% DURANTE 4 AÑOS. CALCULAR LAS DOS `PARTES DEL CAPITAL. R: 3200 SOLES AL 6% Y 800 SOLES AL 5%. 30. UNA EMPRESA RECIBE EN DEPÓSITO LOS AHORROS DE SUS EMPLEADOS, POR LAS QUE PAGA UN INTERÉS DE 5% HASTA LOS 1000 SOLES; DE 4% POR LO QUE EXCEDA HASTA 2000 SOLES Y DE 3% POR LO QUE PASE DE ESTA CANTIDAD HASTA 20000 SOLES. UN EMPLEADO COBRÓ EN UN AÑO UN INTERÉS DE 180.30 SOLES. ¿CUÁLES FUERON SUS AHORROS? R: 5010 SOLES. 31. UN CAPITALISTA PRESTA CIERTA SUMA AL 5% POR DOS AÑOS; TERMINADO EL PLAZO RECOGE EL CAPITAL Y LOS INTERESES Y COLOCA EL TOTAL AL ½% MENSUAL, CONSIGUIENDO 495 SOLES DE INTERESES AL AÑO. ¿CUÁL FUE EL CAPITAL PRIMITIVAMENTE PRESTADO? R: 7500 SOLES. 32. UN INDIVIDUO VIVE DE LOS INTERESES QUE LE PRODUCE UN CAPITAL IMPUESTO AL 5% ANUAL. DURANTE 8 AÑOS Y AL FINAL DE CADA UNO, RETIRA LOS INTERESES PARA CUBRIR SUS GASTOS; PERO, AL FINAL DEL OCTAVO AÑO, TIENE QUE RETIRAR ADEMÁS 2000 SOLES DEL CAPITAL. HECHAS LAS CUENTAS AL EMPEZAR EL DÉCIMO AÑO, SE DEDUCE QUE EL CAPITAL PRIMITIVO, SUMADO CON TODOS LOS INTERESES RECIBIDOS, DAN EN TOTAL 137650 SOLES. ¿CUÁL ES EL CAPITAL QUE SE POSEE ÚLTIMAMENTE? R: 93000 SOLES.
9º SESIÓN: DESCUENTO COMERCIAL. •
OBJETIVOS.
El alumno deberá aprender a determinar el descuento o interés que se perdería en los casos de cobrar una cuenta antes de su vencimiento a través de un banco y, que adicionalmente, tome conocimiento que esta operación no es otra cosa que un caso particular del interés. •
ACTIVIDAD PREVIA.
Como en los casos anteriores, se le proporcionará a los alumnos un problema de los incluidos en esta sesión y/o algunas preguntas con el fin de evaluar el nivel
de conocimientos que tienen del tema o de la base necesaria para comprenderlo.
Preguntas: ¿Qué concepto tienen del descuento comercial? ¿Cuáles son los elementos del descuento comercial? ¿Cómo se calcula el descuento comercial? ¿Qué concepto tienen del valor nominal y cómo se calcula? ¿Qué concepto tiene del valor actual y cómo se calcula? ¿Cómo se calcula el tanto por ciento de descuento?
Problemas. Se tomará uno de los incluidos en este tema.
Ejemplo: Una letra de 1500 soles pagadera a los 90 días, se desea cobrar al contado. Calcular el descuento comercial al 3%. De = 1500*0.03*90/360 = 11.25 soles. •
MARCO TEÓRICO.
Se entiende por descuento la cantidad que se rebaja de una suma que quiere cobrarse antes de su vencimiento. Lo más frecuente se da en la negociación de letras y documentos de comercio. por ejemplo, el tenedor de una letra que vence a noventa dias necesita de dicho importe en el acto para pagar a su personal; entonces recurre a su banco, el cual le entrega el importe de la letra rebajándole una cantidad equivalente a los intereses de la cantidad que se anticipa durante los noventa días que faltan para el vencimiento. esta cantidad que rebaja el banco se conoce como descuento. El descuento es un caso especial del interés, ya que esto se reduce a lo que ha de producir un capital. en el caso de un préstamo o ahorro, el interés será añadido al capital para determinar la cantidad que ha de recibir el banco o el ahorrista. en el caso de un adelanto de dinero ya sea `por un prestamista o banco, el interés será deducido del capital siendo esta deducción del que proporcionó el adelanto.
CLASES DE DESCUENTO. En la práctica solo se usa un tipo de descuento, de los dos que se conocen como:
Descuento real o matemático, verdaderamente se anticipa.
es el interés
que producirá la cantidad que
EJEMPLO: Si una letra de 20.000 soles es presentada a un banco para ser descontada y el banco descuenta 200 soles, el descuento real o matemático, es el interés que producirían los 19.800 soles. (20.000 – 200) durante los días que el banco tendrá que esperar para poder cobrar el adelanto. Descuento comercial, es el interés que se calcula sobre la cantidad de la letra o documento de comercio. Por esta razón se le conoce también como descuento abusivo. En la práctica es el usado porque es más fácil de calcular. EJEMPLO DE DESCUENTO COMERCIAL. ¿Cuánto recibirá un comerciante que presenta ante su banco una letra de 6.000 soles que vence a los 90 días, si el banco ofrece descontársela al 5%? Aplicando la tasa de interés simple, obtendremos el interés que el banco ha de descontar: I = C*t*i/360 = 6.000*90*0,05/360= 75 EL COMERCIANTE RECIBIRÁ: 6.000-75= 5.925 Rpta. La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año). EJEMPLO DE DESCUENTO REAL O MATEMÁTICO. ¿Cuánto recibirá un comerciante que presenta ante su banco una letra de 6.000 soles que vence a los 90 días, si el banco ofrece descontársela al 5%? 100 SOLES EN 360 DÍAS PRODUCEN 5 SOLES 100 SOLES EN 90 DÍAS PRODUCIRAN X SOLES X = 5*90/360 = 1,25 SOLES. De este cálculo se desprende que 100 soles que se cobran al cabo de 90 días, tendrán un valor de 101,25 . 101,25 SOLES AHORA, VALDRÁN EN LA FECHA DE VENCIMIENTO 100 SOLES. 6000 SOLES QUE ES EL VALOR DE LA LETRA VALDRÁN X SOLES.
X = 6000*100/101,25=5.925,926 SOLES. 5.925,93 SOLES ES EL IMPORTE QUE SE ADELANTARÁ AL COMERCIANTE Y POR CONSIGUIENTE EL DESCUENTO SERÁ: 6.000 - 5.925,93 =74,07 SOLES Respta. POR ÚLTIMO PODEMOS OBSERVAR QUE LA DIFERENCIA ENTRE AMBOS DESCUENTOS ES: 75 – 74,07 = 0,93
EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 01 DESCUENTO BANCARIO, COMERCIAL, SIMPLE CALCULAR EL DESCUENTO POR ANTICIPAR UN CAPITAL DE 800.000 POR 7 MESES A UNA TASA DEL 12%.
CALCULAR EL CAPITAL FINAL (VALOR ACTUAL) QUE QUEDARÍA DE LA OPERACIÓN ANTERIOR(PROBLEMA 1). SE DESCUENTAN 200.000 POR 6 MESES Y 900.000 POR 5 MESES A UN TIPO DE INTERÉS DEL 15%. CALCULAR EL CAPITAL ACTUAL TOTAL (VALOR ACTUAL) DE LAS DOS OPERACIONES. ¿QUÉ IMPORTE ACTUAL (VALOR ACTUAL) ES MAS ELEVADO, EL QUE RESULTA DE DESCONTAR 1.000.000 POR 6 MESES AL 12% O AL DESCONTAR 1.200.000 POR 9 MESES AL 15%? SE DESCUENTAN 800.000 POR UN PLAZO DE 4 MESES Y LOS INTERESES DEL DESCUENTO SON 40.000. CALCULAR LA TASA DE INTERÉS A LA QUE SE HIZO EL DESCUENTO. HALLAR EL DESCUENTO SIMPLE SOBRE UNA DEUDA DE 1.500 CON VENCIMIENTO EN 9 MESES A UNA TASA DE DESCUENTO DEL 6%. ¿CUÁL ES VALOR PRESENTE (VALOR ACTUAL) DE LA DEUDA? HALLAR EL VALOR ACTUAL AL 5% DEL DESCUENTO SIMPLE DE: 1000 CON VENCIMIENTO EN 1 AÑO. 1.200 CON VENCIMIENTO EN ½ AÑO. 800 CON VENCIMIENTO EN 3 MESES. UN BANCO CARGA EL 6% DE INTERÉS POR ADELANTADO (6% DE DESCUENTO SIMPLE). SI PERICLES FIRMA UN DOCUMENTO POR 2000 A 5 MESES, ¿QUÉ CANTIDAD RECIBIRÁ EL BANCO? UN DOMUMENTO DE 3.000 A 270 DÍAS CON INTERÉS AL 5% FECHADO EL 10 DE AGOSTO DEL 2004 FUE DESCONTADO EL 16 DE FEBRERO DE 2005 AL 4%. HALLAR EL IMPORTE DE LA OPERACIÓN (VALOR ACTUAL). DETERMINAR EL DESCUENTO SIMPLE SOBRE: 3.500 POR 60 DIAS AL 4% DE DESCUENTO SIMPLE. 5.000 POR 90 DIAS AL 3 ½% DE DESCUENTO SIMPLE. 1.200 POR 4 MESES AL 5% DE DESCUENTO SIMPLE. 2.500 DEL 5 DE MARZO DE 2005 AL 10 DE ABRIL DE 2005, AL 6% DE DESCUENTO SIMPLE. 4.000 DEL 10 DE OCTUBRE DE 2004 AL 13 DE NOVIEMBRE DE 2004 AL 5 ½% DE DESCUENTO SIMPLE. 3.000 DEL 15 DE SETIEMBRE DE 2004 AL 30 DE OCTUBRE DE 2004 AL 4 ½% DE DESCUENTO SIMPLE. UN BANCO CARGA EL 6% DE INTERÉS SIMPLE POR ADELANTADO (EL 6% DE DESCUENTO SIMPLE), EN PRESTAMOS A CORTO PLAZO, DETERMINAR LA CANTIDAD RECIBIDA POR UNA PERSONA QUE SOLICITA:
1.500 POR 60 DÍAS. 1.750 POR 6 MESES 2.000 POR 8 MESES DEL 1 DE MARZO DE 2005 AL 20. DE ABRIL DE 2005. 2.550 DEL 5 DE MAYO DE 2005 AL 16 DE JULIO DE 2005. 3.000 DEL 1 DE JUNIO DE 2004 AL 18 DE NOVIEMBRE DE 2004. ¿QUÉ TASA DE INTERÉS SIMPLE PAGA PERICLES EN EL PROBLEMA N° 8? DETERMINAR EL VALOR DEL DOCUMENTO (VALOR NOMINAL) A 5 MESES QUE. PERICLES DEBE FIRMAR CON EL OBJETO DE RECIBIR 2.000 DEL BANCO, DEL PROBLEMA N° 8. UN PAGARÉ DE 1.000 A TRES MESES, SIN INTERESES, FIRMADO EL 5 DE MAYO DE 2005, FUE DESCONTADO EL 26 DE JUNIO DE 2005 AL 6%. DETERMINAR EL VALOR DE LA TRANSACCIÓN (VALOR ACTUAL). UN DOCUMENTO POR 2.500 A 6 MESES, CON INTERESES AL 6%, FECHADO EL 20 DE MARZO DE 2005, FUE DESCONTADO EL 7 DE JULIO DE 2005 AL 5%. HALLAR EL IMPORTE DE LA OPERACIÓN. UN BANCO CARGA EL 5% DE DESCUENTO SIMPLE EN PRÉSTAMOS A CORTO PLAZO. DETERMINAR EL VALOR DEL DOCUMENTO, SIN INTERESES, DADO AL BANCO SI AL PRESTARLO RECIBE: 2.500 POR 60 DÍAS. 1.250 POR 3 MESES. 1750 POR 5 MESES. 1500 DEL 20 DE SETIEMBRE DE 2004 AL 4 DE NOVIEMBRE DE 2004. 2.000 DEL 21 DE JUNIO DE 2005 AL 1 DE SETIEMBRE DE 2005. 3.000 DEL 11 DE JUNIO DE 2004 AL 18 DE NOVIEMBRE DE 2004. EL BANCO CENTRAL DESCUENTA AL 5% UN DOCUMENTO SIN INTERESES DE 5.000 CON VENCIMIENTO EN 60 DÍAS. EL MISMO DÍA, EL DOCUMENTO ES VUELTO A DESCONTAR POR EL BANCO DE AHORRO AL 4%; PERO UTILIZÁNDOSE UN AÑO DE 365 DÍAS EN EL CÁLCULO. DETERMINAR LA UTILIDAD OBTENIDA POR EL BANCO CENTRAL EN LA OPERACIÓN. DETERMINAR EL IMPORTE DE LA OPERACIÓN EN LA FECHA DE DESCUENTO DE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES DOCUMENTOS:
VALOR NOMINAL
FECHA
PLAZO
FECHA DE TASA DE DESCUENTO DESCUENTO
2.000 3.500 1.000 4.500
19.04 05.06 10.07 15.03 VALOR NOMINAL
%
3 MESES 4 MESES 75 DIAS 90 DIAS
30.05 19.09 25.07 26.05
6% 5% 5 ½% 8%
FECHA
PLAZO
TASA DE FECHA DE TASA DE INTERÉS DESCUENTO DESCUENTO
3.000 800
12.01 09.02
6 MESES 45 DIAS
4% 5%
28.04 01.03
5% 6½
1.200 2.700 2.500 3.000
01.11 01.11 30.03 10.06
4 MESES 120 DIAS 90 DIAS 5 MESES
6% 6% 7% 4 ½%
04.02 24.01 14.05 29.08
5% 5% 8% 4%
CUÁL ES EL VALOR NOMINAL DE UNA LETRA QUE NEGOCIADA 90 DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO AL 5%, SUFRE UN DESCUENTO DE 56,25? ¿CUÁL ES EL VALOR ACTUAL DE UNA LETRA DE 3.600 DESCONTADA AL 10% ANUAL, 60 DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO? UN PAGARÉ DE 6.480 SUSCRITO EL 15 DE MAYO A 120 DÍAS DE PLAZO Y NEGOCIADO EL 14 DE JUNIO, DISMINUYO EN 145,80. ¿A QUÉ TANTO POR CIENTO SE HIZO EL DESCUENTO? UNA LETRA DE 2.400 AL SER DESCONTADA AL 6%, SUFRIÓ UN DESCUENTO DE 18%. ¿A CUÁNTOS DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO FUE DESCONTADA? ¿CUÁL ES EL VALOR NOMINAL DE UN DOCUMENTO QUE DESCONTADO AL 6%, 60 DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO, QUEDA REDUCIDO A 4.455?
10º SESIÓN: DESCUENTO COMERCIAL.
EN ESTA DÉCIMA SESIÓN SE RESOLVERÁN PROBLEMAS ADICIONALES DE DESCUENTO COMERCIAL CON LA FINALIDAD DE REFORZAR LOS CONOCIMIENTOS. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: ¿CUÁNTO DEBE ENTREGAR UN BANQUERO A UNA PERSONA A QUIEN LE HAN DESCONTADO UNA LETRA DE 1254 SOLES AL 3% PAGADERA EN 9 MESES? UNA LETRA DE CAMBIO DE 3600 SOLES DESCONTADA A 5 MESES SE HA REDUCIDO A 3525 SOLES ¿CUÁL HA SIDO LA TASA DEL DESCUENTO? ¿CUÁNTOS DIAS ANTES DE SU VENCIMIENTO FUE DESCONTADA UNA LETRA DE 2700 SOLES QUE AL 2% SEMESTRAL SUFRIÓ UN DESCUENTO DE 36 SOLES? ¿CUÁL ES EL VALOR NOMINAL DE UNA LETRA, QUE DESCONTADA 126 DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO, AL 4%, SE HA REDUCIDO A 320450 SOLES? HALLAR EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL VALOR ACTUAL DE UNA LETRA DE 1500 SOLES QUE VENCE EL 20 DE AGOSTO Y QUE HA SIDO DESCONTADA EL 16 DE MAYO DEL MISMO AÑO, AL 4%. A QUÉ TANTO POR CIENTO HA SIDO DESCONTADA UNA LETRA DE 18000 SOLES SESENTA DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO, PARA TENER UN DESCUENTO DE 60 SOLES. UNA LETRA DE 18000 SOLES DESCONTADA AL 5% HA SUFRIDO UNA REBAJA DE 300 SOLES. POR QUÉ TIEMPO HA SIDO DESCONTADA? EN UNA LETRA DE 4800 SOLES PAGADERA EN 90 DÍAS, UN BANQUERO HA REBAJADO 60 SOLES. HALLAR LA TASA DE DESCUENTO. UN COMERCIANTE HA HECHO DESCONTAR UNA LETRA A 4 MESES AL 6%, HA RECIBIDO DEL BANQUERO 3920 SOLES. ¿CUÁL ERA EL MONTO DE LA LETRA? ¿CUÁL ES EL DESCUENTO QUE SUFRE UN PAGARÉ DE 4800 SOLES AL 5% DESCONTADO 90 DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO? CUANTOS DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO HA SIDO DESCONTADA UNA LETRA DE 4000 SOLES QUE AL 3% SE HA REDUCIDO A 3982 SOLES? ¿CUÁL ES EL VALOR NOMINAL DE UNA LETRA, QUE DESCONTADA FALTANDO 80 DÍAS PARA SU VENCIMIENTO, AL 12%, HA TENIDO UN DESCUENTO DE 40 SOLES?
¿CUÁL ES EL VALOR ACTUAL DE UNA LETRA DE 8600 SOLES, DESCONTADA 90 DÍAS ANTES DE SU VENCIMIENTO AL 8%? 11º SESIÓN: EXAMEN FINAL. El alumno deberá resolver un examen compuesto por cinco preguntas correspondientes a los temas tratados en las sesiones anteriores. JMS.
