Matemática Avançada Para Engenharia - Vol 3 - 3ª Ed 2009

3 Equações diferenciais parciais, métodos de Fourier e variáveis complexas

Z69m

Zill, Dennis G. Matemática avançada para engenharia 3 [recurso eletrônico] / Dennis G. Zill, Michael R. Cullen ; tradução Fernando Henrique Silveira. – 3. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009. Editado também como livro impresso em 2009. Contém: gráficos, desenhos e tabelas. ISBN 978-85-7780-599-0 1. Matemática. 2. Equações diferenciais. 3. Variáveis complexas. I. Cullen, Michael R. II. Título. CDU 517.9

Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922

Loyola Marymount University

Ex-Professor da Loyola Marymount University

Tradução: Fernando Henrique Silveira Doutor em Engenharia Elétrica pela UFMG

Consultoria, supervisão e revisão técnica desta edição: Antonio Pertence Júnior Professor Titular de Matemática da Faculdade de Sabará/MG Membro efetivo da SBM

Versão impressa desta obra: 2009

2009

Obra originalmente publicada sob o título Advanced Engineering Mathematics ISBN 9780763745912 Jones and Bartlett Publishers, Inc. 40 Tall Pine Drive Sudbury, MA 01776, U.S.A. Copyright © 2006 by Jones and Bartlett Publishers All Rights Reserved. Capa: Rogério Grilho, arte sobre capa original Leitura final: Théo Amon Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk Editoração eletrônica: Techbooks

Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à ARTMED® EDITORA S.A. (BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED® EDITORA S.A.) Av. Jerônimo de Ornelas, 670 - Santana 90040-340 Porto Alegre RS Fone (51) 3027-7000 Fax (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora. SÃO PAULO Av. Angélica, 1091 - Higienópolis 01227-100 São Paulo SP Fone (11) 3665-1100 Fax (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL

Prefácio da Terceira Edição Ao contrário de um curso de cálculo ou equações diferenciais, para os quais o conteúdo do curso é bastante padronizado, o conteúdo de um curso intitulado “matemática para engenharia” pode variar consideravelmente entre instituições acadêmicas diferentes. Um livro de Matemática Avançada para Engenharia é, portanto, um compêndio de muitos tópicos matemáticos, todos relacionados pelo fato de serem necessários ou úteis em cursos e carreiras subsequentes em ciência e engenharia. Literalmente não existem limites para a quantidade de tópicos a serem incluídos em um texto como esse. Consequentemente, este livro representa a opinião do autor, neste momento, com relação ao conteúdo da matemática para engenharia.

Conteúdo do livro Para a flexibilidade na seleção dos tópicos, a obra está dividida em três volumes. Será possível observar que acreditamos que a espinha dorsal da matemática relacionada à ciência/engenharia se refere a teoria e aplicações de equações diferenciais parciais e ordinárias.

Volume 1 Equações Diferenciais Elementares Os seis capítulos desse volume constituem um breve curso completo de equações diferenciais elementares.

Volume 2 Vetores, Matrizes e Cálculo Vetorial O Capítulo 1, Vetores, e o Capítulo 3, Cálculo Vetorial, incluem muitos dos tópicos usualmente abordados no terceiro semestre de um curso de cálculo: vetores geométricos, funções vetoriais, derivadas direcionais, integrais de linha, integrais dupla e tripla, integrais de superfície, teorema de Green, teorema de Stokes e o teorema da divergência. O Capítulo 2, Matrizes, é uma introdução aos sistemas de equações algébricas, determinantes e álgebra matricial com ênfase especial naqueles tipos de matrizes que são úteis para a solução de sistemas de equações diferenciais lineares. Seções a respeito de criptografia, códigos de correção de erro, o método dos mínimos quadrados e modelos comportamentais discretos são apresentados como aplicações de álgebra matricial.

vi

Prefácio

Volume 3 Parte 1: Sistemas de Equações Diferenciais Os dois capítulos dessa parte são Sistema de Equações Diferenciais Lineares e Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares. No Capítulo 1, sistemas de equações de primeira ordem lineares são resolvidos utilizando os conceitos de autovalores e autovetores, diagonalização e por meio de uma função matricial exponencial. No Capítulo 2, conceitos de estabilidade são apresentados utilizando duas aplicações: fluxo de fluido em um plano e o movimento de um glóbulo em um fio.

Parte 2: Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais No Capítulo 3, Funções Ortogonais e Séries de Fourier, são destacados os tópicos fundamentais sobre conjuntos de funções ortogonais e expansões de funções em termos de uma série infinita de funções ortogonais. Esses tópicos são então utilizados nos Capítulos 4 e 5, nos quais problemas de valor de contorno em coordenadas retangular, polar, cilíndrica e esférica são resolvidos usando o método da separação de variáveis. No Capítulo 6, Método da Transformada Integral, problemas de valor de contorno são resolvidos por meio das transformadas integrais de Laplace e Fourier.

Parte 3: Análise Complexa Os capítulos dessa parte abrangem os conceitos básicos de números complexos por meio de aplicações de mapeamentos conformes na solução do problema de Dirichlet. Esse material por si só poderia facilmente servir como um curso introdutório de três meses em variáveis complexas.

Principais características do livro • O texto foi totalmente modernizado de modo a dotar engenheiros e cientistas com as habilidades matemáticas necessárias para os desafios tecnológicos atuais. • Novos projetos de engenharia e ciência, contribuições dos melhores matemáticos, foram adicionados. Esses projetos estão amarrados a tópicos matemáticos no texto. • Diversos novos problemas foram adicionados. Além disso, muitos conjuntos de exercícios foram reorganizados e, em alguns casos, completamente reescritos de modo a seguir o fluxo de desenvolvimento na seção e para melhor facilitar a atribuição da tarefa a ser feita em casa. Os conjuntos de exercícios também refletem uma maior ênfase em conceitos. • Como na segunda edição, existe uma ênfase extensiva em equações diferenciais como modelos matemáticos. A idéia de um modelo matemático está indicada ao longo do texto, e as construções e armadilhas de diversos modelos são discutidas.

Projeto do texto Como pode ser facilmente observado, o livro tem um formato grande e é colorido, tornando-o mais prazeroso de ler e aprender. Todas as figuras possuem textos explicativos. Mais Observações e anotações nas margens foram adicionadas ao longo do texto. Cada capítulo tem uma página de abertura que inclui uma lista de conteúdo e uma introdução ao material abordado naquele capítulo. Exercícios de revisão são apresentados ao final de cada capítulo. As respostas dos problemas ímpares selecionados estão na parte final do livro.

Prefácio

Suplementos Os professores que adotarem a obra terão acesso ao material suplementar. Esses professores devem acessar o site www.bookman.com.br e entrar na Área do Professor. Lá encontrarão o Manual de Soluções (em inglês) e lâminas de Power Point (em português).

Agradecimentos Eu gostaria de agradecer às seguintes pessoas que generosamente cederam o tempo das suas agendas ocupadas para fornecer os projetos que aparecem antes do texto principal: Anton M. Jopko, Departamento de Física e Astronomia, McMaster University Warren S. Wright, Departamento de Matemática, Loyola Marymount University Eu gostaria de agradecer às seguintes pessoas por suas informações e sugestões para o aprimoramento em relação às edições anteriores e das versões preliminares da nova edição: Sonia Henckel, Texas Tech University Donald Hartig, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Jeff Dodd, Jacksonville State University Victor Elias, University of Western Ontario Cecilia Knoll, Florida Institute of Technology William Criminale, University of Washington Stan Freidlander, Bronx Community College Herman Gollwitzer, Drexel University Robert Hunt, Humboldt State University Ronald Guenther, Oregon State University Noel Harbertson, California State University Gary Stoudt, Indiana University of Pennsylvania A tarefa de compilar um texto desse tamanho foi, para dizer o mínimo, demorada e difícil. Durante o processo no qual centenas de páginas manuscritas foram passadas por muitas mãos, indubitavelmente alguns erros ocorreram. Peço desculpas antecipadas por isso e certamente gostaria de saber de algum erro que possa ser corrigido. Enviem todas as correções via e-mail para o meu editor Tim Anderson em [email protected]. Dennis G. Zill Los Angeles

vii

Sobre a Capa Quando o viaduto de Millau foi aberto para o tráfego em 16 de dezembro de 2004, ele foi saudado como o mais alto do mundo. Ele se localiza no Vale Rhone na França e atravessa o largo vale do rio Tarn, próximo da conhecida vila de Millau. A ponte de aço e concreto, estaiada por múltiplos cabos, é constituída por oito vãos. Mais de 43 mil toneladas de aço foram utilizadas na construção dos deques de contenção, das torres e dos pilares temporários utilizados durante a construção. O pilar mais alto mede 342 m, o que a torna 21,34 m mais alta do que a torre Eiffel com a sua antena. O viaduto de Millau é celebrado como um trabalho de arte assim como uma realização de engenharia fora de série. Seu aspecto aberto e arejado 271,6 m acima do rio Tarn oferece vistas espetaculares para os passageiros que cruzam os seus 2.574,4 m de comprimento. Durante os meses do verão, mais de 28 mil veículos cruzam por dia essa ligação norte-sul entre Paris e o Mediterrâneo. Quando o arquiteto britânico Norman Foster projetou a ponte, ele queria dar a ela um aspecto arejado e flexível. “A delicadeza de uma borboleta”, dizia Foster. Ela tem que “se fundir com a natureza. Os pilares teriam que se parecer quase orgânicos, como se tivessem crescido a partir da terra”. O presidente da França, Jacques Chirac, proclamou: “Essa inauguração excepcional entrará para a história industrial e tecnológica”. Ele elogiou os projetistas e construtores da ponte por criar “uma maravilha de arte e arquitetura” – um novo emblema da engenharia civil da França.

Sumário Projeto para a Seção 5.3

O átomo de hidrogênio

Projeto para a Seção 6.4

A desigualdade da incerteza em processamento de sinais

Capítulo 1

16


Difração de Fraunhofer por uma abertura circular


Instabilidades de métodos numéricos

Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 1.1 Teoria preliminar

23

24

1.2 Sistemas lineares homogêneos

31

1.2.1

Autovalores reais distintos

1.2.2

Autovalores repetidos

1.2.3

Autovalores complexos

1.3 Solução por diagonalização

32

35 39

44

1.4 Sistemas lineares não homogêneos

47

1.4.1

Coeficientes indeterminados

1.4.2

Variação de parâmetros

1.4.3

Diagonalização

1.5 Exponencial de matriz

Capítulo 2

13

47

50

52 55

Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares 2.1 Sistemas autônomos

61

62

2.2 Estabilidade de sistemas lineares

68

2.3 Linearização e estabilidade local

77

2.4 Sistemas autônomos como modelos matemáticos

86

2.5 Soluções periódicas, ciclos limites e estabilidade global

94

20

18

10

Sumário

Capítulo 3

Funções Ortogonais e Séries de Fourier 3.1 Funções ortogonais 3.2 Séries de Fourier

106

111

3.3 Séries de Fourier do co-seno e do seno 3.4 Série complexa de Fourier

Capítulo 4

105

116

123

3.5 Problema de Sturm-Liouville

127

3.6 Séries de Bessel e Legendre

134

3.6.1

Série de Fourier-Bessel

135

3.6.2

Série de Fourier-Legendre

138

Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares 142 4.1 Equações diferenciais parciais separáveis

143

4.2 Equações clássicas e problemas de valor de contorno 4.3 Equação do calor

152

4.4 Equação de onda

155

4.5 Equação de Laplace

160

4.6 PVCs não homogêneos

165

4.7 Expansões em séries ortogonais

172

4.8 Série de Fourier em duas variáveis

Capítulo 5

147

176

Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas 181 5.1 Problemas em coordenadas polares

182

5.2 Problemas em coordenadas polares e coordenadas cilíndricas: Funções de Bessel

187

5.3 Problemas em coordenadas esféricas: Polinômios de Legendre

Capítulo 6

Método da Transformada Integral 6.1 Função erro

198

199

6.2 Aplicações da transformada de Laplace 6.3 Integral de Fourier

200

208

6.4 Transformadas de Fourier

213

6.5 Transformada rápida de Fourier

Capítulo 7

193

219

Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais 7.1 Equação de Laplace

231

7.2 A equação do calor

236

7.3 A equação de onda

242

230

Sumário

Capítulo 8

Funções de Variáveis Complexas 8.1 Números complexos 8.2 Potências e raízes

247

248 252

8.3 Conjuntos no plano complexo

256

8.4 Funções de uma variável complexa 8.5 Equações de Cauchy-Riemann

259

265

8.6 Funções exponenciais e logarítmicas

270

8.7 Funções trigonométricas e hiperbólicas

276

8.8 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas

Capítulo 9

Integração no Plano Complexo 9.1 Integrais de contorno

284

285

9.2 Teorema de Cauchy-Goursat

290

9.3 Independência do caminho

295

9.4 Fórmulas integrais de Cauchy

Capítulo 10 Séries e Resíduos

308

10.1 Sequências e séries 10.2 Série de Taylor

309

314

10.3 Série de Laurent 10.4 Zeros e pólos

301

320

328

10.5 Resíduos e teorema do resíduo 10.6 Cálculo de integrais reais

Capítulo 11 Mapeamentos Conformes

331

337

345

11.1 Funções complexas como mapeamentos 11.2 Mapeamentos conformes

350

11.3 Transformações fracionais lineares

357

11.4 Transformações de Schwarz-Christoffel 11.5 Fórmulas integrais de Poisson 11.6 Aplicações

Apêndice

363

368

372

381

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados Índice

346

411

387

280

11

das seriam então indicadas pela fórmula de Planck, ⌬E ⫽ បv, onde ⌬E é a diferença de energia entre as órbitas, e ប é a constante de Planck. Tente reproduzir os passos de Bohr solucionando os Problemas 1-3.

PROJETO PARA A SEÇÃO 5.3

O átomo de hidrogênio Matheus Grasselli, Ph.D Departamento de Matemática e Estatística, McMaster University

Próton

No início do século XX, um dos problemas não resolvidos mais importantes da física estava relacionado ao átomo de hidrogênio. Com apenas um próton e um elétron, o átomo de hidrogênio era o exemplo mais simples a ser explicado por qualquer modelo atômico. A figura clássica era a de um elétron orbitando em torno do próton em decorrência da atração elétrica. Essa hipótese, no entanto, era inconsistente, pois o elétron precisava acelerar para se mover ao redor do próton. Qualquer partícula carregada acelerada irradia ondas eletromagnéticas. Assim, com o passar do tempo, o elétron deveria perder energia cinética e acabar se deslocando em direção ao núcleo do átomo. Outro ponto que tornava esse assunto ainda mais incompreensível se referia ao fato de se saber, a partir de dados espectroscópicos, que o gás hidrogênio emitia luz com comprimentos de onda muito específicos, as chamadas linhas espectrais. Além disso, as linhas espectrais que podiam ser observadas na escala visível satisfaziam uma fórmula empírica primeiro descrita por J. J. Balmer em 1885. Considerando que o comprimento de onda fosse representado por ␭, as linhas espectrais passaram a ser denominadas como série de Balmer, sendo definidas por (1) onde RH é uma constante para a qual o melhor valor empí⫺1 rico é 10.967.757,6 ⫾ 1,2m . Qualquer modelo atômico razoável não apenas tem que explicar a estabilidade do átomo do hidrogênio, como também tem que produzir uma explicação para as linhas espectrais com frequências que satisfazem a fórmula. O primeiro modelo desse tipo foi proposto por Niels Bohr em 1913, utilizando uma combinação engenhosa de argumentos clássicos e dois “postulados quânticos”. Bohr considerou que o elétron estivesse restringido a se mover em órbitas com momentos angulares “quantizados” – isto é, múltiplos inteiros de uma dada constante. Veja a Figura 1. Além disso, o átomo emitiria energia na forma de ondas eletromagnéticas somente quando o elétron saltasse de uma órbita fixa para outra. As frequências dessas on-

Elétron

Figura 1 Modelo planetário de Bohr para o átomo de hidrogênio: nesse modelo, um elétron pode ocupar somente determinadas órbitas ao redor de um núcleo constituído por um próton.

Problemas relacionados 1. Suponha, conforme indicado na Figura 1, que o elétron tenha massa m e carga –e e se mova em uma órbita circular de raio r em torno do próton, que tem carga e e uma massa muito maior. Utilize as fórmulas clássicas da força elétrica de cargas pontuais para deduzir que a energia mecânica total (cinética mais potencial) para o elétron nessa órbita é

(2) onde ␧0 é a permissividade do espaço. Ademais, deduza que o momento angular clássico para essa órbita é

(3) 2. Agora vamos aplicar o primeiro postulado de Bohr: considere que o momento angular tenha a forma L ⫽ nប, onde n ⫽ 1, 2,.... Substitua essa expressão na equação (3) e obtenha uma expressão para os níveis quantizados de energia do átomo de hidrogênio. 3. Estamos agora prontos para aplicar o segundo postulado de Bohr. Suponha que um elétron faça uma transição do nível de energia Ek para o nível de energia En, para inteiros k ⬎ n. Use a fórmula ⌬E ⫽ បv e a relação ␭v ⫽ c (onde c é a velocidade da luz) para deduzir que o comprimento de onda emitido por essa transição é

(4)

Coloque n ⫽ 2 na equação (4) e conclua que temos como resultado a série de Balmer com

. Faça ago-

ra uma pesquisa na literatura a respeito dos valores das constantes físicas que aparecem nessa fórmula e calcule RH. Esse valor é comparável ao valor empírico? Finalmente, substitua m pela massa reduzida

(onde M

é a massa do próton) e se impressione com a exatidão formidável do resultado obtido. Além do seu sucesso óbvio, o modelo de Bohr esticava a teoria clássica até onde dava com postulados quânticos ad hoc onde necessário. Essas características foram justamente consideradas insatisfatórias, o que inspirou os físicos a desenvolver uma teoria do fenômeno atômico muito mais abrangente, dando surgimento à mecânica quântica. Em seu núcleo está uma equação diferencial parcial proposta por Erwin Schrödinger em 1926 em um artigo sugestivamente intitulado “Quantização como um Problema de Autovalores.” A equação de Schrödinger independente do tempo para um sistema físico de massa m sujeito a um potencial V(x) é (5) onde ⵜ é o operador Laplaciano e E é o valor (escalar) para a energia total do sistema no estado estacionário ⌿(x). Aqui x ⫽ (x,y,x) representa um ponto no espaço tridimensional. A interpretação correta da função ⌿(x) envolve argumentos probabilísticos sutis. Para o nosso problema, é suficiente dizer que ⌿(x) contém toda a informação que pode ser fisicamente obtida a respeito do sistema em consideração. Nosso propósito agora, no espírito do trabalho original de Schrödinger, é tentar obter os níveis de energia En para o átomo de hidrogênio como os valores possíveis de energia para os quais a equação (5) admite uma solução. Tente agora resolver o próximo problema. 2

4. Como a energia potencial

depende ape-

⫽ R(r)⌰(␪)⌽(␾) para mostrar que a componente radial R(r) satisfaz

(6) onde k é uma constante. Na solução do Problema 4, você deve ter notado que a técnica de separação de variáveis dividiu a equação de Schrödinger em duas partes: uma que depende somente de r e a outra dependendo apenas de ␪ e ␾. Cada uma dessas partes tem que ser igual a uma constante, que denominamos k. Se fôssemos determinar a solução da parte angular (aquela envolvendo ␪ e ␾), obteríamos k como sendo um número quântico relacionado ao momento angular do átomo. Para o restante desse projeto, consideraremos o caso k ⫽ 0, que corresponde a estados com momento angular nulo. Nesse ponto, resolva os Problemas 5-7. 5. Coloque k ⫽ 0 na equação (6) e considere seu limite como sendo r → ⬁. Mostre que e⫺Cr, onde (7) é uma solução para essa equação limite. 6. Com base no exercício anterior, considere uma solução geral da forma R(r) ⫽ f(r)e⫺Cr para uma função analítica f(r). Por analiticidade, a função f(r) possui uma expansão em série

Substitua essa série na equação (6) (com k ⫽ 0) e deduza que os coeficientes ai satisfazem a relação recursiva (8)

onde 7. Mostre que o limite da equação (8) para valores grandes , que é a série de potência para a

de j é 2Cr

nas do raio r, é natural para esse problema considerar coordenadas esféricas (r, ␪, ␾) definidas pelas equações

função e . Conclua que a única forma da função R(r) decair para zero com o aumento de r ocorre quando a série de potência para f(r) termina após um número finito de termos. Finalmente, observe que esse será o caso se e somente se nC ⫽ B para algum inteiro n.

Comece por reescrever a equação (5) nessas coordenadas (recorde a expressão para o operador Laplaciano em coordenadas esféricas indicado em (2) da Seção 15.3). Aplique agora separação de variáveis com ⌿(x)

Nosso problema final nesse projeto resultará nos níveis de energia do átomo de hidrogênio como consequência do trabalho realizado. Você deve observar que, até o momento, a existência de níveis de energia

quantizados não teve que ser postulada, mas sim deduzida a partir da análise matemática da equação de Schrödinger. Como os passos de obtenção são mais difíceis do que aqueles seguidos por Bohr, deve estar claro para você que a eliminação dos axiomas diretos de quantização de Bohr foi uma realização significativa de Schrödinger, pela qual ele foi premiado com o prêmio Nobel de física em 1933.

8. Utilize a condição expressada no exercício anterior e as fórmulas obtidas para C e B para concluir que as energias permitidas para o átomo de hidrogênio em um estado com momento angular nulo são (9) que devem coincidir com os níveis de energia que você obteve para o átomo de Bohr no Problema 2.


A desigualdade da incerteza em processamento de sinais Jeff Dodd, Ph.D Departamento de Matemática, Computação e Ciência da Informação, Jacksonville State University

Engenheiros de comunicação interpretam a transformada de Fourier como decompondo um sinal f(x) que transporta informação, onde x representa o tempo, em uma superposição de “tons” senoidais puros tendo frequências representadas por uma variável real. De fato, engenheiros usualmente pensam a respeito da representação resultante no “domínio da frequência” tanto quanto ou mais do que a respeito da representação no “domínio do tempo” (isto é, o próprio sinal)! Um fato fundamental do processamento de sinais é que quanto mais estreito for um sinal no domínio do tempo, mais largo ele será no domínio da frequência. De modo oposto, quanto mais estreito um sinal no domínio da frequência, mais largo ele será no domínio do tempo. Esse efeito é importante porque na prática um sinal tem que ser enviado em um intervalo de tempo limitado e usando um intervalo limitado, ou “faixa”, de frequências. Nesse projeto, descreveremos e investigaremos esse compromisso entre duração e largura de faixa de modo qualitativo e quantitativo. Os resultados da nossa investigação darão suporte a uma regra prática comum: o número de sinais diferentes que podem ser enviados em uma certa duração de tempo utilizando uma determinada faixa de frequências é proporcional ao produto da duração do tempo e largura da faixa de frequências.

Problemas relacionados Aplicaremos a forma complexa da transformada de Fourier e da transformada inversa de Fourier indicadas em (5) e (6) da Seção 6.4. Utilizaremos a notação para representar a transformada de Fourier de uma função f(x) de uma maneira compacta que torna explícita sua dependência em relação a f – isto é, ⫽ F{f(x)}. Consideramos f como sendo uma função de valores reais. A seguir, você desenvolverá duas propriedades simples que se aplicam a . 1. Mostre que se ␣ ⬎ 0, então . Logo, para qualquer ␣, . (Aqui as notações e |z|

representam o conjugado e o módulo de um número complexo z, respectivamente). 2. Se k for um número real, considere fk(x) ⫽ f(x – k). Mostre que

Assim, deslocar um sinal no tempo não afeta os valores de no domínio da frequência. Mantendo esses fatos em mente, consideramos agora o efeito de estreitar ou alargar um sinal no domínio do tempo simplesmente escalonando a variável temporal. 3. Se c for um número positivo, considere fc(x) ⫽ f(cx). Mostre que

Portanto, estreitar a função do sinal f no domínio do tempo (c ⬎ 1) alarga a sua transformada no domínio da frequência, e alargar a função do sinal f no domínio do tempo (c ⬍ 1) estreita a sua transformada no domínio da frequência. Para quantificar o efeito que observamos no Problema 3, precisamos definir uma medida de “largura” do gráfico de uma função. A medida utilizada mais comum é a largura da raiz da média dos quadrados (ou raiz quadrática média), que quando aplicada a um sinal f nos domínios do tempo e da frequência, resulta em uma raiz quadrática média da duração D(f) e uma raiz quadrática média da largura de faixa B(f) indicadas por

e

Assim, a largura de faixa e a duração são calculadas com relação aos “centros” de ␣ ⫽ 0 e x ⫽ 0, pois, pelos Pro2 blemas 1 e 2, o gráfico de é simétrico em torno de ␣ ⫽ 0 no domínio da frequência, e o sinal pode ser deslocado horizontalmente no domínio do tempo sem 2 afetar o gráfico de no domínio da frequência. 4. Mostre que, para uma família de funções fc(x) definidas no Problema 3, D(fc) · B(fc) é independente de c. 5. Mostre que para a família de funções fc(x) ⫽ e⫺c|x|, (Sugestão: Pelo Problema 4, podemos adotar f(x) ⫽ f1(x). A integral de Fourier neces-

sária pode ser retirada do Exemplo 3 da Seção 6.3. Para calcular as integrais em D( f ) e B( f ), pense a respeito de integração por partes e frações parciais, respectivamente.) A duração e a largura de faixa de um sinal são inversamente proporcionais uma em relação a outra sob o escalonamento da variável de tempo. E em relação à constante de proporcionalidade? Quão pequeno D( f ) · B( f ) pode ser? Notavelmente, existe um limite inferior para esse produto. 6. Obtenha a desigualdade da incerteza: Se

(c) Estabeleça a desigualdade da incerteza. [Sugestão: Primeiro, aplique a desigualdade de Schwartz como segue:

Aplique integração por partes para mostrar que Reescreva a segunda integral que aparece no lado direito da desigualdade utilizando a propriedade operacional (11) da Seção 6.4 e a fórmula de Parseval.] 7. (a) Mostre que se f indicar o mínimo valor possível de D( f ) · B( f ), então

e

então D( f ) · B( f ) ⱖ

Siga esses passos.

(a) Estabeleça a fórmula de Parseval:

[Sugestão: Aplique o teorema da convolução indicado no Problema 20, Exercícios 6.4 com g(x) ⫽ f(⫺x).

onde c é alguma constante. Resolva essa equação diferencial para mostrar que para c ⬍ 0 e d ⫽ uma constante. (Tal função é chamada função gaussiana. Funções gaussianas desempenham papel importante na teoria da probabilidade.) (b) Tome a transformada de Fourier de ambos os lados da equação diferencial do item (a) para obter uma equação diferencial para e mostre que , onde c é a mesma do item (a). Você precisará da seguinte consideração:

Especificamente, aplique a fórmula para a transformada inversa de Fourier apresentada em (6) da Seção 6.4, mostre que ⫽ 0.]

e então adote x

(b) Estabeleça a desigualdade de Schwartz: Para funções reais h1 e h2,

(No Problema 35 dos Exercícios 3.11 do Volume 2, vimos que podemos deduzir que

A partir desse fato, )

Logo, o mínimo valor possível de D( f ) · B( f ) é alcançado para uma função gaussiana, cuja transformada de Fourier é outra função gaussiana! com igualdade ocorrendo somente quando h2 ⫽ ch1, onde c é uma constante [Sugestão: Escreva

como uma expressão quadrática A␭2 ⫹ B␭ ⫹ C na variável real ␭. Note que a expressão quadrática é não negativa para todo ␭ e considere o discriminante B2 – 4AC.]

A palavra “incerteza” está associada com a desigualdade apresentada no Problema 6 pois, a partir de um ponto de vista mais abstrato, ela é matematicamente análoga ao famoso princípio da incerteza de Heisenberg da mecânica quântica. (A interpretação desse princípio de mecânica quântica é uma tarefa sutil, mas ele é comumente compreendido como “quanto mais exata for determinada a posição de uma partícula, com menos exatidão se conhecerá seu momento, e vice-versa”.)


Difração de Fraunhofer por uma abertura circular

a sua origem está onde toda a luz a partir da estrela apareceria na ausência da difração. Em decorrência da difração, no entanto, alguma luz aparecerá também em P. O ponto P é um ponto genérico mas muito próximo de O, estando a apenas poucos arco-segundos de distância.

Anton M. Jopko, Ph.D Departamento de Física e Astronomia, MacMaster University Lente

Como as estrelas no céu estão a uma enorme distância de nós, podemos considerá-las fontes pontuais de luz. Se você olhar para uma estrela por meio de um telescópio, você esperaria ver apenas outro ponto de luz, embora muito mais brilhante, certo? Entretanto, esse não é o caso. Como a luz é uma onda, ela se difrata ao passar pela abertura circular do telescópio e se espalha sobre uma pequena região nebulosa que chamaremos de diagrama de difração. Esse projeto investigará o formato do diagrama de difração para a luz que passa por uma abertura circular de raio R. Para simplificar, consideramos que a luz tenha um comprimento de onda, ou cor, ␭. Próxima à estrela, essa onda tem uma frente de onda esférica, porém, quando ela nos atinge, sua frente de onda tem a forma de uma onda plana. Todos os pontos na frente de onda têm a mesma fase. Vamos agora apontar o telescópio com a sua abertura circular e suas lentes diretamente para a estrela de modo que as frentes das ondas planas incidam pela esquerda, como na Figura 1.

Lente

Figura 2

Na Figura 2, ligamos a abertura e as lentes, pois na prática as extremidades da lente também definem a abertura. Por causa da simetria circular das lentes e do diagrama de difração, é desejável que trabalhemos em coordenadas polares. Considere uma onda sendo emitida a partir de um ponto S na lente com coordenadas (X,Y) ou (␳, ␪) e que chegue em P com coordenadas (L, M) ou coordenadas angulares (w, ␺). Então, X ⫽ ␳ cos␪, Y ⫽ ␳ sen␪, L ⫽ w cos␺ e M ⫽ w sen ␺. Aqui ␳ é a distância radial a partir do centro das lentes para a fonte S da onda emitida, e ␪ é o seu ângulo polar; w é o raio angular de P, e ␺ é o seu ângulo polar. As ondas emitidas na abertura estão em fase e têm a mesma amplitude, porém todas elas viajam distâncias diferentes até o ponto P, se tornando fora de fase lá. A intensidade da luz em P será proporcional ao quadrado da amplitude resultante de todas as ondas que chegam em P. Precisamos agora calcular essa amplitude resultante considerando as diferenças de fase entre as ondas. Definimos o número de onda das ondas incidente e emitida como sendo k ⫽ 2␲/␭. Então, de acordo com o livro Principles of Optics, sétima edição, de Born e Wolf, a amplitude resultante em P a partir de todas as ondas emitidas na abertura é apenas a transformada de Fourier da abertura:

Raio de abertura R

Figura 1

Difração da luz.

A partir do princípio de Huygen, cada ponto na abertura circular emite uma onda em todas as direções. A difração de Fraunhofer requer que as ondas deixem a abertura em um agrupamento paralelo se propagando em direção a um ponto P muito distante. O único propósito das lentes é formar uma imagem pontual desse agrupamento paralelo a uma distância muito mais próxima da abertura. A difração aconteceria mesmo sem as lentes. A linha tracejada unindo as duas origens é também o eixo da abertura e das lentes. O sistema LM de coordenadas está no plano focal da lente, e

onde C é uma constante, proporcional em parte ao brilho da estrela. A intensidade em P será então dada por |U(P)|2. Esse é o diagrama de difração para a estrela em função do raio angular w. Problemas relacionados 1. Mostre que a amplitude resultante em P utilizando os dois sistemas de coordenadas polares pode ser escrita como

2. Utilizando a identidade

7. Qual é o valor da menor raiz não nula de J1? Utilizando ␭ ⫽ 550 nm, R ⫽ 10 cm e a menor raiz anteriormente obtida, calcule o raio angular w (em arco-segundos) do disco de difração central.

onde Jn é a função de Bessel de primeiro tipo, mostre que a amplitude resultante se reduz para

para qualquer ␺. Escolhemos ␺ ⫽ 0. (Essa expressão é também conhecida como transformada de Hankel de uma abertura circular.) 3. Utilizando a relação de recorrência

8. Trace um gráfico de

como uma função de kRw

bem como da intensidade, seu quadrado. O diagrama de difração da estrela consiste de um disco central brilhante envolto por diversos anéis concêntricos finos e de pouca luminosidade. O disco é denominado disco de Airy em homenagem a G.B. Airy, que foi o primeiro a calcular o diagrama de difração de uma abertura circular em 1826. 9. O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o raio R da abertura for duplicado? 10. O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o comprimento de onda ␭ da luz for duplicado? 11. O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o comprimento focal das lentes for duplicado?

mostre que

4. Mostre que

Portanto, a inten-

13. Suponha que o anel no Problema 12 seja muito estreito, de modo que b ⫽ a ⫹ ⌬a, com ⌬a sendo pequeno, mas não infinitesimal. Mostre então que a amplitude resultante aproximada é dada por U(P) ⫽ C(2␲a⌬a)J0(kwa). [Sugestão: Interprete o resultado U(p) do Problema 12

sidade é dada por

5. O que é

12. Suponha que uma abertura circular tenha o formato de um anel com raio interno a e raio externo b. Determine U(P). (Esse resultado tem importância prática, pois telescópios refletores quase sempre têm uma obstrução na parte central da abertura.)

?

6. Qual é o significado físico de I0?

como uma aproximação para u ⫽ kwa.]

com


Instabilidades de métodos numéricos Dmitry Pelinovsky, Ph.D Departamento de Matemática e Estatística, MacMaster University

Métodos de diferenças finitas para soluções numéricas de equações diferenciais parciais podem ser surpreendentemente inapropriados para aproximações numéricas. O problema principal dos métodos de diferenças finitas (especialmente com esquemas de interação explícita) é que eles podem aumentar os ruídos de arredondamento numérico em decorrência de instabilidades intrínsecas. Tais instabilidades ocorrem muito frequentemente em trabalhos de pesquisa. Um engenheiro deve estar preparado para essa situação. Após gastar diversas horas no desenvolvimento de um novo método numérico para modelagem de um problema aplicado e na programação cuidadosa do método em uma linguagem computacional, o programa pode se tornar inútil por causa das suas instabilidades dinâmicas. A Figura 1 ilustra uma solução numérica da equação de onda por um método de diferenças finitas explícito, onde o passo de tempo k excede metade do tamanho de passo quadrado k (veja o Exemplo 1 na Seção 7.2). Espera-se que uma solução de uma equação do calor para uma haste de comprimento infinito com temperaturas nulas nas extremidades exiba um decaimento suave a partir de uma distribuição de calor inicial para o nível constante de temperatura zero. No entanto, a superfície na Figura 1

mostra que o decaimento suave esperado é destruído pelo ruído que cresce rapidamente devido às instabilidades dinâmicas do método explícito. As instabilidades de métodos numéricos de diferenças finitas podem ser compreendidas por uma aplicação elementar da transformada discreta de Fourier, que foi estudada na Seção 6.5. O princípio da superposição linear e a transformada discreta de Fourier nos permitem separar as variáveis em um método de diferenças finitas numérico e estudar a evolução temporal individual (interações) de cada modo de Fourier da solução numérica. Para simplificar, consideraremos o método de diferenças finitas explícito para a equação do calor ut ⫽ uxx no intervalo 0 ⱕ x ⱕ a sujeita às condições de contorno nulas em x ⫽ 0 e x ⫽ a e a uma condição inicial não nula no instante de tempo t ⫽ 0. A discretização numérica resulta no esquema de iteração explícita: (1) onde ui,j é uma aproximação numérica da solução u(x,t) no ponto da malha x ⫽ xi e o instante de tempo t ⫽ tj, enquanto que ␭ ⫽ k/h2 é o parâmetro de discretização. Vamos congelar o instante de tempo t ⫽ tj, j ⱖ 0 e expandir o vetor numérico (u0, j, u1, j,..., ui, j) definido na malha igualmente espaçada xi ⫽ ih, i ⫽ 0, 1,..., n, onde nh ⫽ a, na transformada discreta de Fourier do seno: (2) As condições de contorno u0, j ⫽ un, j ⫽ 0 são satisfeitas para qualquer j ⱖ 0. Em decorrência do princípio da superposição linear, consideraremos cada termo da soma na equação (2) separadamente. Assim, substituímos ui, j ⫽ ul, j sen(␬li), ␬l ⫽ ␲l/n no método explícito (1) e obtemos

(3) Utilizando a identidade trigonométrica,

o fator sen(␬li) é cancelado na equação (3) e obtemos uma fórmula de iteração simples para al, j:

onde (4) Sabendo que o fator Ql é independente de j, pode-se observar que a amplitude al, j do modo de Fourier sen(␬li) se modifica em j ⱖ 0, de acordo com a potência do fator Ql: Figura 1

Superfície da solução numérica.

A amplitude al, j crescerá em j se |Ql| ⬎ 1, e será limitada ou decairá se |Ql| ⱕ 1. Portanto, a instabilidade do método de interação explícita é definida a partir da condição (5) Como Ql ⬍ 1 para ␭ ⬎ 0, a condição de estabilidade (5) pode ser reescrita como (6) que resulta na estabilidade condicional do método explícito para 0 ⬍ ␭ ⱕ 0,5. Quando ␭ ⬎ 0,5, o primeiro modo instável de Fourier corresponde a l ⫽ n, sendo responsável por um padrão alternante de tempo e espaço crescentes para a sequência de ui, j. Esse padrão é claramente visto na Figura 1. Assim, as instabilidades de métodos de diferenças finitas podem ser estudadas utilizando-se a transformada discreta de Fourier, o princípio da superposição linear e fatores explícitos de interação temporal. O mesmo método pode ser aplicado a outros métodos de diferenças finitas para equações do calor e de onda, e em geral para uma discretização de qualquer equação diferencial parcial linear com coeficientes constantes.

Problemas relacionados 1. Considere o método de Crank-Nicholson implícito para a equação do calor ut ⫽ uxx (veja o Exemplo 2 na Seção 7.2):

(7) onde ␣ ⫽ 2(1 ⫹ 1/␭), ␤ ⫽ 2(1 – 1/␭) e ␭ ⫽ k/h . Determine a fórmula explícita para Ql na equação (4) e prove que o método de Crank-Nicholson implícito (7) é incondicionalmente estável para qualquer ␭ ⬎ 0. 2

2. Considere o método de diferença central explícito para a equação do calor ut ⫽ uxx: (8)

Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 1, reduza a equação (8) para um esquema de iteração de dois passos: (9) Utilizando o esquema de interação explícito (4), determine uma equação quadrática para Ql e resolva-a com a fórmula quadrática (veja o Exemplo 1 na Seção 11.2). Prove que o método de diferença central explícito (8) é incondicionalmente instável para qualquer ␭ ⬎ 0. 3. Considere o método de diferença central explícito para a equação de onda utt ⫽ c2uxx (veja o Exemplo 1 na Seção 7.3): (10) onde ␭ ⫽ ck/h é o número de Courant. Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 2, determine e resolva a equação quadrática para Ql. Prove que |Ql| ⫽ 1 quando ambas as raízes da equação quadrática são complexas. Prove que a condição de estabilidade (5) é violada quando ambas as raízes da equação quadrática forem distintas e reais. Prove que o método de diferença central explícito (10) é estável para 0 ⬍ ␭2 ⱕ 1 e instável para ␭2 ⬎1. 4. Considere o método para frente no tempo e para trás no espaço para a equação do transporte ut ⫹ cux ⫽ 0: (11) onde ␭ ⫽ ck/h. Considere a transformada discreta complexa de Fourier com o modo de Fourier

e determine o fator de valor complexo Ql no esquema de iteração de um passo (4). Prove que o método para frente no tempo e para trás no espaço (11) é estável para 0 ⬍ ␭ ⱕ 1 e instável para ␭ ⬎1. 5. Considere o método para trás no tempo e central no espaço para a equação do transporte ut ⫹ cux ⫽ 0: (12) Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 4, prove que o método para trás no tempo e central no espaço (12) é incondicionalmente estável para qualquer ␭ ⬎ 0.

CAPÍTULO

1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Descrição do capítulo 1.1 Teoria preliminar 1.2 Sistemas lineares homogêneos 1.2.1


1.2.2


1.2.3


1.3 Solução por diagonalização 1.4 Sistemas lineares não homogêneos 1.4.1


1.4.2


1.4.3

Diagonalização

1.5 Exponencial de matriz Exercícios de revisão

Vimos pela primeira vez sistemas de EDs no Volume 1, na Seção 2.9, e fomos capazes de resolver alguns desses sistemas nas Seções 3.11 e 4.6 do mesmo volume. Neste capítulo nos concentraremos somente em sistemas de EDs de primeira ordem lineares. Enquanto a maioria dos sistemas considerados pode ser resolvida utilizando eliminação (Volume 1, Seção 3.11) ou transformada de Laplace (Volume 1, Seção 4.6), desenvolveremos uma teoria geral para esses tipos de sistemas e, no caso de sistemas com coeficientes constantes, um método de solução que utiliza alguns conceitos básicos da álgebra matricial. Veremos que essa teoria geral e procedimento de solução são similares àqueles de EDs de ordem elevada lineares considerados na Seção 3.3-3.5 do Volume 1. O material é fundamental também para a análise de sistemas de equações de primeira ordem não lineares (Capítulo 2).

24

CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

1.1 Observação para o estudante.

Teoria preliminar

Notação e propriedades matriciais são utilizadas extensivamente ao longo desse capítulo. Você deve rever o Capítulo 2 do Volume 2 caso não esteja familiarizado com esses conceitos. Introdução Relembre que na Seção 3.1 do Volume 1 ilustramos como resolver sistemas de n equações diferenciais lineares com n incógnitas da forma

(1)

onde Pij são polinômios de vários graus no operador diferencial D. Nesse capítulo, restringiremos nosso estudo a sistemas de EDs de primeira ordem que sejam casos especiais de sistemas que tenham a forma normal

(2)

Um sistema tal como (2) de n equações de primeira ordem é denominado sistema de primeira ordem. Sistemas lineares Quando cada uma das funções g1, g2,..., gn em (2) for linear nas variáveis dependentes x1, x2,..., xn, obtemos a forma normal de um sistema de primeira ordem de equações lineares:

(3)

Fazemos referência a um sistema da forma indicada em (3) simplesmente como um sistema linear. Consideramos que os coeficientes aij(t) bem como as funções fi(t) sejam contínuos em um intervalo comum I. Quando fi(t) 0, i 1, 2,..., n, o sistema linear é dito ser homogêneo; caso contrário, ele é não homogêneo. Forma matricial de um sistema linear

tivas matrizes

Se X, A(t) e F(t) representarem as respec-

1.1 Teoria Preliminar

então o sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares (3) pode ser escrito como

ou simplesmente

(4)

Se o sistema for homogêneo, sua forma matricial é então (5) Exemplo 1 (a) Se

(b) Se

Sistemas escritos em notação matricial então a forma matricial do sistema homogêneo

então a forma matricial do sistema não homogêneo

❑

D E F I N IÇ ÃO 1 . 1

Vetor solução

Um vetor solução em um intervalo é qualquer matriz coluna

cujas entradas são funções diferenciáveis que satisfazem o sistema (4) no intervalo.

Um vetor solução de (4), obviamente, equivale a n equações escalares x1 ␾1(t), x2 ␾2(t),..., xn ␾n(t), podendo ser interpretado geometricamente como um conjunto de equações paramétricas de uma curva espacial. Nos casos n 2 e n 3, as equações x1 ␾1(t), x2 ␾2(t), e x1 ␾1(t), x2 ␾2(t), x3 ␾3(t) representam curvas em duas e três dimensões, respectivamente. Trata-se de uma prática comum designar tal curva solução como trajetória. O plano é também chamado de plano de fase. Ilustraremos esses conceitos na seção a seguir, assim como no Capítulo 2.

25

26


Exemplo 2

Verificação de soluções

Verifique que no intervalo (,)

são soluções de Solução

(6)

A partir de

e

, temos que

❑

e

Grande parte da teoria de sistemas de n equações diferenciais de primeira ordem lineares é similar àquela para equações diferenciais lineares de ordem n. Problema de valor inicial

Seja t0 um ponto em um intervalo I e

onde ␥i, i 1, 2,..., n são constantes dadas. Assim, o problema Resolver: Sujeita a:

(7)

é um problema de valor inicial no intervalo.

TEOREMA 1.1

Existência de uma solução única

Considere as entradas das matrizes A(t) e F(t) como sendo funções contínuas em um intervalo comum I que contenha o ponto t0. Logo, existe uma única solução do problema de valor inicial (7) no intervalo. Sistemas homogêneos

Nas próximas definições e teoremas, estaremos interessados somente em sistemas homogêneos. Sem definir, consideraremos sempre que aij e fi sejam funções contínuas de t em algum intervalo comum I.

Princípio da superposição O resultado apresentado a seguir é um princípio da superposição para a solução de sistemas lineares.

TEOREMA 1.2

Princípio da superposição

Considere X1, X2,..., Xk um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a combinação linear onde os ci, i 1, 2,..., k são constantes arbitrárias, é também uma solução no intervalo.


Decorre do Teorema 1.2 que um múltiplo constante de qualquer vetor solução de um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares é também uma solução. Exemplo 3

Utilizando o princípio da superposição

Você deve praticar verificando que os dois vetores

são soluções do sistema (8) Pelo princípio da superposição, a combinação linear

❑

é outra solução do sistema.

Dependência linear e independência linear Estamos principalmente interessados em soluções linearmente independentes do sistema homogêneo (5).


Dependência/independência linear

Considere X1, X2,..., Xk como sendo um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Dizemos que o conjunto é linearmente dependente no intervalo se existirem constantes c1, c2,... ck, nem todas nulas, de modo que para todo t no intervalo. Se o conjunto de vetores não for linearmente dependente no intervalo, ele será linearmente independente.

O caso no qual k 2 deve estar claro; dois vetores solução X1 e X2 são linearmente dependentes se um for múltiplo constante do outro, e vice-versa. Para k 2, um conjunto de vetores solução é linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um vetor solução como uma combinação linear dos vetores restantes. Wronskiano

Como na nossa consideração inicial da teoria de uma única equação diferencial ordinária, podemos introduzir o conceito do determinante Wronskiano como um teste para a independência linear. Enunciamos o seguinte teorema sem demonstração.

TEOREMA 2.3

Critério para soluções linearmente independentes

Considere

sendo n vetores solução do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Logo, o conjunto de vetores solução será linearmente independente em I se e somente se o Wronskiano

(continua)

27

28


(continuação)

(9)

para todo t no intervalo.

Pode ser mostrado que se X1, X2,..., Xn forem vetores solução de (5), então, para todo t em I, W(X1, X2,..., Xn) ⫽ 0 ou W(X1, X2,..., Xn) 0. Assim, se pudermos demonstrar que W ⫽ 0 para algum t0 em I, então W ⫽ 0 para todo t, e consequentemente o conjunto de soluções é linearmente independente no intervalo. Observe que, ao contrário da nossa definição de Wronskiano na Seção 3.1 do Volume 1, aqui a definição do determinante (9) não envolve diferenciação. Exemplo 4

Soluções linearmente independentes

No Exemplo 2 vimos que

e

são soluções do sistema (6).

Claramente X1 e X2 são soluções linearmente independentes no intervalo (,), pois nenhum vetor é um múltiplo constante do outro. Além disso, temos

❑

para todos os valores reais de t.


Conjunto fundamental de soluções

Qualquer conjunto X1, X2,..., Xn de n vetores solução linearmente independentes do sistema homogêneo (5) em um intervalo I é dito ser um conjunto fundamental de soluções no intervalo.

TEOREMA 1.4

Existência de um conjunto fundamental

Existe um conjunto fundamental de soluções para o sistema homogêneo (5) em um intervalo I.

Os próximos dois teoremas são os equivalentes em sistema linear dos Teoremas 3.5 e 3.6 do Volume 1.

TEOREMA 1.5

Solução geral – Sistemas homogêneos

Considere X1, X2,..., Xn como sendo um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo (5) em um intervalo I. Assim, a solução geral do sistema no intervalo é onde os ci, i 1, 2,..., n são constantes arbitrárias.

Exemplo 5

Solução geral do sistema (6)

A partir do Exemplo 2, sabemos que

são soluções

linearmente independentes de (6) em (,). Portanto, X1 e X2 formam um con-


junto fundamental de soluções no intervalo. A solução geral do sistema no intervalo é então (10) ❑

Exemplo 6

Solução geral do sistema (8)

Os vetores

são soluções do sistema (8) no Exemplo 3 (veja o Problema 16 nos Exercícios 1.1). Agora

para todos os valores reais de t. Concluímos que X1, X2 e X3 formam um conjunto fundamental de soluções em (,). Assim, a solução geral do sistema no intervalo é a combinação linear X c1X1 c2X2 c3X3, isto é, ❑

Sistemas não homogêneos Para sistemas não homogêneos, uma solução particular Xp em um intervalo I é qualquer vetor, livre de parâmetros arbitrários, cujas entradas são funções que satisfazem o sistema (4).

TEOREMA 1.6

Solução geral – Sistemas não homogêneos

Considere Xp uma solução dada do sistema não homogêneo (4) em um intervalo I, e seja a solução geral no mesmo intervalo do sistema homogêneo associado (5). Logo, a solução geral do sistema não homogêneo no intervalo é A solução geral Xc do sistema homogêneo (5) é chamada de função complementar do sistema não homogêneo (4).

Exemplo 7 O vetor

Solução geral – sistema não homogêneo é uma solução particular do sistema não homogêneo (11)

29

30


no intervalo (,). (Verifique isso.) A função complementar de (11) no mesmo in, foi vista em (10) do Exemplo 5 como

tervalo, ou a solução geral de sendo

. Portanto, pelo Teorema 1.6,

é a solução geral de (11) em (,).

EXERCÍCIOS 1.1

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 387.

Nos Problemas 1-6, escreva o sistema linear na forma matricial. 1.

❑

2.

Nos Problemas 11-16, verifique que o vetor X é uma solução do sistema indicado. 11.

3.

4. 12.

5.

13. 14.

15. 6. 16.

Nos Problemas 7-10, escreva o sistema indicado sem utilizar matrizes. 7.

Nos Problemas 17-20, os vetores dados são soluções de um sistema X¿ AX. Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em (,). 17. 18.

8. 19. 9.

10.

1.2 Sistemas Lineares Homogêneos 25. Prove que a solução geral de 20. Nos Problemas 21-24, verifique que o vetor Xp é uma solução particular do sistema dado. no intervalo (,) é

21.

22. 26. Prove que a solução geral de 23.

no intervalo (,) é 24.

1.2

Sistemas lineares homogêneos

Introdução

No Exemplo 5 da Seção 1.1, vimos que a solução geral do sistema

homogêneo Como ambos os vetores solução têm a forma

i 1,2, onde k1, k2, ␭1 e

␭2 são constantes, somos solicitados a dizer se podemos sempre obter uma solução da forma

(1)

para o sistema de primeira ordem linear homogêneo (2) onde a matriz de coeficientes A é uma matriz de constantes n n. Se (1) for um vetor solução do sistema, então X¿ K␭e␭t de modo que (2) se escreve K␭␭e␭t AK␭e␭t. Após cancelar ␭e␭t e rearranjando, obtemos AK ␭K ou AK ␭K 0. Como K IK, a última equação é o mesmo que Autovalores e autovetores

(3)

Trabalharemos somente com sistemas lineares de coeficientes constantes.

31

32


A equação matricial (3) é equivalente às equações algébricas simultâneas

Assim, para obter uma solução não trivial X de (2), temos primeiro que obter uma solução não trivial do sistema anterior; em outras palavras, precisamos calcular um vetor não trivial K que satisfaça (3). Porém, para que (3) tenha outras soluções que não apenas a solução óbvia k1 k2 ... kn 0, temos que ter Essa equação polinomial em ␭ é chamada de equação característica da matriz A; as soluções dessa equação são os autovalores de A. Uma solução K ⫽ 0 de (3) que corresponde a um autovalor ␭ é denominada um autovetor de A. Uma solução do sistema homogêneo (2) é então X Ke␭t. Na discussão que se segue, examinaremos três casos: todos os autovalores sendo reais e distintos (isto é, não existem autovalores iguais), autovalores repetidos, e, finalmente, autovalores complexos.

1.2.1


Quando a matriz A n n tem autovalores reais e distintos ␭1, ␭2,..., ␭n, então um conjunto de n autovetores linearmente independentes K1, K2,..., Kn pode sempre ser obtido e é um conjunto fundamental de soluções de (2) em (,).

TEOREMA 1.7

Solução geral – Sistemas homogêneos

Considere ␭1, ␭2,..., ␭n como sendo n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema homogêneo (2), e K1, K2,..., Kn os autovetores correspondentes. Logo, a solução geral de (2) no intervalo (,) é definida como

Exemplo 1

Autovalores distintos

Resolva

Solução

(4)

Primeiro obtemos os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes. A partir da equação característica

vemos que os autovalores são ␭1 1 e ␭2 4. Agora para ␭1 1, (3) é equivalente a

33

1.2 Sistemas Lineares Homogêneos

Logo, k1 k2. Quando k2 1, o autovetor correspondente é

x 6 5 4

Para ␭2 4, temos

3 2 1 –3

de modo que k1 3k2/2, e portanto, com k2 2, o autovetor correspondente é

–2

–1

0

1

2

3

t

(a) Gráfico de x = e–t + 3e4t y 6 4

Como a matriz de coeficientes A é uma matriz 2 2, e por termos obtido duas soluções de (4) que são linearmente independentes,

2 t

0 –2 –4 –3

concluímos que a solução geral do sistema é

–2

–1

0

1

2

3

(b) Gráfico de y = –e–t + 2e4t

(5) ❑ Devemos ter em mente que uma solução de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares, quando escrito em termos de matrizes, é simplesmente uma alternativa ao método empregado na Seção 3.11 do Volume 1 – ou seja, listar as funções individuais e a relação entre as constantes. Se somarmos os vetores do lado direito de (5) e a seguir as igualarmos às entradas correspondentes no vetor da esquerda, obteremos a definição mais familiar

y 4 2 x

0 –2 –5 –6 –8

Conforme destacado na Seção 1.1, podemos interpretar essas equações como equações paramétricas de uma curva ou trajetória no plano xy ou plano de fase. Os três gráficos ilustrados na Figura 1.1, x(t) no plano tx, y(t) no plano ty, e a trajetória no plano de fase, correspondem à escolha das constantes c1 c2 1 na solução. Um conjunto de trajetórias no plano de fase como mostrado na Figura 1.2 é dito ser um perfil de fase do sistema linear dado. O que parece ser duas retas pretas na Figura 1.2 são na verdade quatro retas-metade definidas parametricamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes pelas soluções X2, X1, X2, e X1, respectivamente. Por exemplo, as equações cartesianas , x 0, e y x, x 0, das retas-metade no primeiro e quarto quadrantes foram obtidas pela eliminação do parâmetro t nas soluções x 3e4t, y 2e4t, e x et, y et, respectivamente. Além disso, cada autovetor pode ser visto como um vetor de duas dimensões se estendendo ao longo de uma das retasmetade. O autovetor e

se localiza ao longo de

–10 0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

(c) Trajetória definida por x = e –t + 3e 4t, y = –e –t + 2e 4t no plano de fase

Figura 1.1 Uma solução particular de (5) resulta em três planos coordenados diferentes.

y

no primeiro quadrante, x

se estende ao longo de y x no quarto quadrante; cada vetor se inicia

na origem, com K2 terminando no ponto (2,3) e K1 terminando em (1,1). A origem não é somente uma solução constante, x 0, y 0, para todo sistema linear homogêneo 22 X¿ AX, mas é também um ponto importante no estudo qualitativo de tais sistemas. Se pensarmos em termos físicos, as pontas das setas em uma trajetória na Figura 1.2 indicam a direção na qual uma partícula com coordenadas (x(t), y(t)) numa trajetória no tempo T se moveria com o aumento do tempo. Observe que as pontas das setas, sendo exceção apenas aquelas das retas-metade no segundo e quarto quadrantes, indicam que uma partícula se moveria para longe da origem com o aumento do tempo t. Se imaginarmos a escala de tempo de a , então a inspeção

Figura 1.2 ma (4).

Um perfil de fase do siste-

34


da solução x c1et 3c2e4t, y c1et 2c2e4t, c1 ⫽ 0, c2 ⫽ 0, mostra que uma trajetória, ou partícula em movimento, “começa” assintótica às retas-metade definidas por X1 ou –X1 (pois e4t é insignificante para t → ) e “termina” assintótica a uma das retas-metade definidas por X2 e –X2 (pois et é desprezível para t → ). Observamos que a Figura 1.2 representa um perfil de fase típico de todos os sistemas lineares homogêneo 22 X¿ AX com autovalores reais de sinais opostos. Veja o Problema 17 nos Exercícios 1.2. Além disso, perfis de fase nos dois casos para os quais autovalores reais distintos têm o mesmo sinal algébrico seriam perfis típicos de todos os sistemas lineares 22; a única diferença é que as pontas das setas indicariam que uma partícula se afastaria da origem em qualquer trajetória com t → quando ambos ␭1 e ␭2 fossem positivos, e se moveria em direção à origem em qualquer trajetória quando ambos ␭1 e ␭2 fossem negativos. Consequentemente, é comum denominar a origem como um repulsor no caso ␭1 0, ␭2 0, e um atrator no caso ␭1 0, ␭2 0. Veja o Problema 18 nos Exercícios 1.2. A origem na Figura 1.2 não é um repulsor nem um atrator. A investigação do caso restante quando ␭ 0 é um autovalor de um sistema linear homogêneo 22 é deixado como um exercício. Veja o Problema 48 nos Exercícios 1.2. Exemplo 2 Autovalores distintos (6)

Resolva

Solução

Utilizando os cofatores da terceira linha, obtemos

e assim os autovalores são ␭1 3, ␭2 4, ␭3 5. Para ␭1 3, a eliminação de Gauss-Jordan resulta em

Então, k1 k3 e k2 0. A escolha k3 1 resulta em um autovetor e o vetor solução correspondente (7) De modo similar, para ␭2 4,

implica k1 10k3 e k2 k3. Escolhendo k3 1, obtemos um segundo autovetor e vetor solução (8)


Finalmente, quando ␭3 5, as matrizes aumentadas

resultam em

(9)

A solução geral de (6) é uma combinação linear dos vetores solução em (7), (8) e (9): ❑

Uso de computadores

Pacotes matemáticos como MATLAB, Mathematica, Maple e DERIVE podem poupar tempo na obtenção dos autovalores e autovetores de uma matriz. Por exemplo, para calcular os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes em (6) aplicando o Mathematica, utilizamos primeiro a definição da matriz por linhas:

Os comandos Eigenvalues[m] e Eigenvectors[m] digitados em sequência resultam em

respectivamente. No Mathematica, autovalores e autovetores podem também ser obtidos ao mesmo tempo por meio do comando Eigensystem[m].

1.2.2


É claro que nem todos os n autovalores ␭1, ␭2,..., ␭n de uma matriz A n n precisam ser distintos, isto é, alguns dos autovalores podem ser repetidos. Por exemplo, a equação característica da matriz de coeficientes no sistema (10) 2 é diretamente mostrada como sendo (␭ 3) 0, e portanto ␭1 ␭2 3 é uma raiz de multiplicidade dois. Para esse valor, obtemos o autovetor único

(11) é uma solução de (10). Porém, como estamos obviamente interessados em determinar a solução geral do sistema, precisamos obter uma segunda solução. Em geral, se m for um inteiro positivo e (␭ ␭t)m for um fator da equação característica enquanto que (␭ ␭1)m+1 não for, então ␭1 é dito ser um autovalor de multiplicidade m. Os próximos três exemplos ilustram os seguintes casos: (i) Para algumas matrizes A nn, pode ser possível obter m autovetores linearmente independentes K1, K2,..., Km que correspondem a um autovalor ␭1 de multiplicidade m n. Nesse caso, a solução geral do sistema contém a combinação linear

35

36


(ii) Caso exista somente um autovetor correspondente ao autovalor ␭1 de multiplicidade m, então m soluções linearmente independentes da forma

onde Kij são vetores coluna, podem sempre ser determinadas. Autovalor de multiplicidade dois Iniciamos considerando autovalores de multiplicidade dois. No primeiro exemplo, ilustramos uma matriz para a qual podemos determinar dois autovalores distintos que correspondem a um autovalor duplo.

Exemplo 3


Resolva

Solução

Expandir o determinante na equação característica

resulta em –(␭ 1)2(␭ 5) 0. Vemos que ␭1 ␭2 1 e ␭3 5. Para ␭1 1, a eliminação de Gauss-Jordan imediatamente nos dá

A primeira linha da última matriz significa k1 – k2 k3 0 ou k1 k2 – k3. As escolhas k2 1, k3 0 e k2 1, k3 1, resultam, respectivamente, em k1 1 e k1 0. Portanto, os dois autovetores correspondentes a ␭1 1 são

Como nenhum autovetor é um múltiplo constante do outro, obtivemos duas soluções linearmente independentes correspondentes ao mesmo autovalor

Por último, para ␭3 5, a redução


implica k1 k3 e k2 k3. Adotando k3 1, temos k1 1, k2 1, e portanto um terceiro autovetor é

Concluímos que a solução geral do sistema é

A matriz de coeficientes A no Exemplo 3 é um tipo especial de matriz conhecido como matriz simétrica. Uma matriz A n n é dita ser simétrica se sua transposta AT (onde as linhas são trocadas pelas colunas e vice-versa) for igual a A, ou seja, se AT A. Pode-se provar que se a matriz A no sistema X¿ AX for simétrica e tiver entradas reais, então sempre podemos determinar n autovetores linearmente independentes K1, K2,... Kn, e a solução geral de tal sistema é dada no Teorema 1.7. Conforme ilustrado no Exemplo 3, o resultado se aplica mesmo quando alguns dos autovalores forem repetidos. Suponha agora que ␭1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que exista somente um autovetor associado a esse valor. Uma segunda solução pode ser obtida na forma

Segunda solução

(12)

onde

Para termos isso, substituímos (12) no sistema X¿ AX e simplificamos:

Como essa equação se aplica a todos os valores de t, temos que ter (13) e

(14)

A equação (13) simplesmente declara que K tem ser um autovetor de A associado . Para obter a com ␭1. Pela solução de (13), determinamos uma solução segunda solução X2, precisamos somente resolver o sistema adicional (14) para o vetor P. Exemplo 4


Determine a solução geral do sistema indicado em (10). Solução A partir de (11), sabemos que ␭1 3 e que uma solução é

Identificando solver

temos a partir de (14) que agora precisamos re-

37

38


Como esse sistema é claramente equivalente a uma equação, temos um número infi. Entrenito de escolhas para p1 e p2. Por exemplo, escolhendo p1 1, temos tanto, para simplificar, adotaremos Assim, a partir de (12), obtemos

, de modo que p2 0. Portanto,

.

A solução geral de (10) é então ❑ y

x

Figura 1.3 ma (10).

Um perfil de fase do siste-

Pela adoção de diversos valores para c1 e c2 na solução do Exemplo 4, podemos traçar trajetórias do sistema em (10). A Figura 1.3 apresenta um perfil de fase de (10). As soluções X1 e –X1 determinam duas retas-metade x 0, e x 0, respectivamente, que estão indicadas em preto na Figura 1.3. Como o único autovalor é negativo e e3t → 0 quando t → em todas as trajetórias, temos (x(t),y(t)) → (0,0) quando t → . É por isso que as pontas das setas na Figura 1.3 indicam que uma partícula em qualquer trajetória se moveria em direção à origem com o aumento do tempo e pelo fato da origem ser um atrator nesse caso. Além disso, uma partícula em movimento em uma trajetória y c1e3t c2te3t, c2 ⫽ 0, se aproxima de (0,0) tangencialmente a uma das retas-metade quando t → . Por outro lado, quando o autovalor repetido for positivo, a situação se reverte e a origem se torna um repulsor. Veja o Problema 21 nos Exercícios 1.2. Análoga à Figura 1.2, a Figura 1.3 é típica de todos os sistemas lineares homogêneos 22 X¿ AX que tenham dois autovalores negativos repetidos. Veja o Problema 32 nos Exercícios 1.2. Autovalor de multiplicidade três

Quando a matriz de coeficientes A tem somente um autovetor associado com um autovalor ␭1 de multiplicidade três, podemos determinar uma solução da forma (12) e uma terceira solução da forma (15)

onde

Substituindo (15) no sistema X¿ AX, temos que os vetores coluna K, P e Q precisam satisfazer (16) (17) e

(18)

Obviamente, as soluções de (16) e (17) podem ser utilizadas para formar as soluções X1 e X2. Exemplo 5 Resolva



A equação característica (␭ 2) 0 mostra que ␭1 2 é um autovalor de multiplicidade três. Resolvendo (A – 2I)K 0, obtemos o único autovetor 3

Solução

A seguir, resolvemos os sistemas (A – 2I)P K e (A – 2I)Q P, obtendo

Utilizando (12) e (15), vemos que a solução geral do sistema é ❑

Observações Quando um autovalor ␭1 tem multiplicidade m, podemos obter m autovetores linearmente independentes ou o número de autovetores correspondentes é menor que m. Logo, os dois casos listados na página 35 não se referem a todas as possibilidades sob as quais um autovalor repetido pode ocorrer. Podemos ter, por exemplo, uma matriz 55 com um autovalor de multiplicidade 5 e existirem três autovetores linearmente independentes correspondentes. Veja os Problemas 31 e 49 nos Exercícios 1.2.

1.2.3


Se ␭1 ␣ ␤i e ␭2 ␣ ␤i, ␤ 0, i2 1, forem autovalores complexos da matriz de coeficientes A, podemos então certamente esperar que os seus autovetores correspondentes tenham também entradas complexas.* Por exemplo, a equação característica do sistema

(19)

é A partir da fórmula quadrática, obtemos ␭1 5 2i, ␭2 5 2i. Agora, para ␭1 5 2i, temos que resolver

* Quando a equação característica tem coeficientes reais, autovalores complexos sempre aparecem em pares conjugados.

39

40


Como k2 (1 –2i)k1,* a escolha k1 1 resulta no seguinte autovetor e um vetor solução:

De modo similar, para ␭2 5 – 2i, obtemos

Podemos verificar por meio do Wronskiano que esses vetores solução são linearmente independentes, e assim a solução geral de (19) é (20) Observe que as entradas em K2 correspondentes a ␭2 são os conjugados das entradas em K1 correspondentes a ␭1. O conjugado de ␭1 é, claramente, ␭2. Escrevemos essa informação como e . Apresentamos o resultado geral a seguir.

TEOREMA 1.8

Soluções correspondentes a um autovalor complexo

Seja A uma matriz de coeficientes com entradas reais do sistema homogêneo (2), e K1 um autovetor que corresponde ao autovalor complexo ␭1 ␣ i␤, ␣ e ␤ reais. Assim

são soluções de (2).

É desejável e relativamente fácil reescrever uma solução tal como (20) em termos de funções reais. Com esse objetivo, aplicamos primeiro a fórmula de Euler para escrever

Então, após multiplicar números complexos, organizar os termos e substituir c1 c2 por C1 e (c1 – c2)i por C2, (20) se escreve (21) onde

e Agora é importante percebermos que os dois vetores X1 e X2 em (21) são eles próprios soluções reais linearmente independentes do sistema original. Consequentemente, se justifica ignorar a relação entre C1, C2 e c1, c2, e podemos considerar C1 e C2 como completamente arbitrárias e reais. Em outras palavras, a combinação linear (21) é uma solução geral alternativa de (19). * Note que a segunda equação é simplesmente (1 2i) vezes a primeira.


O processo anterior pode ser generalizado. Seja K1 um autovetor da matriz de coeficientes A (com entradas reais) que corresponde ao autovalor complexo ␭1 ␣ i␤. Logo, os dois vetores solução no Teorema 1.8 podem ser escritos como

Pelo princípio da superposição, Teorema 1.2, os seguintes vetores também são soluções:

Para qualquer número complexo z a ib, ambos

e

são números reais. Portanto, as entradas dos vetores coluna

e

são números reais. Definindo (22) somos levados ao teorema a seguir.

TEOREMA 1.9

Soluções reais correspondentes a um autovalor complexo

Seja ␭1 ␣ i␤ um autovalor complexo da matriz de coeficientes A no sistema homogêneo (2), e B1 e B2 os vetores coluna definidos em (22). Assim, (23) são soluções linearmente independentes de (2) em (,).

As matrizes B1 e B2 em (22) são muitas vezes descritas como (24) pois esses vetores são, respectivamente, as partes real e imaginária do autovetor K1. Por exemplo, (21) decorre de (23) com

Exemplo 6


Resolva o problema de valor inicial (25) Solução

Primeiro obtemos os autovalores a partir de

41

42


Os autovalores são ␭1 2i e

. Para ␭1, o sistema

resulta em k1 (2 2i) k2. Escolhendo k2 1, obtemos

Agora, a partir de (24) formamos

Como ␣ 0, decorre de (23) que a solução geral do sistema é

(26) y

O perfil de fase da Figura 1.4 apresenta alguns gráficos de curvas ou trajetórias definidas pela solução (26) do sistema. Agora a condição inicial x

ou, de

modo equivalente, x(0) 2, e y(0) 1, resulta no sistema algébrico 2c1 2c2 2, c1 1, cuja solução é c1 1, c2 0. Portanto, a solução do problema é A trajetória específica definida parametricamente pela so-

Figura 1.4 Um perfil de fase do sistema em (26).

EXERCÍCIOS 1.2

lução particular x 2 cos 2t – 2 sen 2t, y cos 2t se refere à curva preta na Figura 1.4. Note que essa curva passa por (2,1). ❑


1.2.1 Autovalores reais distintos

7.

8.

9.

10.

Nos Problemas 1-12, determine a solução geral do sistema indicado. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

11.


12.

Nos Problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial indicado.

25.

26.

27.

28.

43

13. Nos Problemas 29 e 30, resolva o problema de valor inicial indicado.

14.

29.

Tarefas computacionais Nos Problemas 15 e 16, utilize um SAC ou um programa de álgebra linear como auxílio para determinar a solução geral do sistema dado.

30. 31. Mostre que a matriz 5 5

15.

16.

tem um autovalor ␭1 de multiplicidade 5. Mostre que três autovetores linearmente independentes correspondendo a ␭1 podem ser obtidos.

17. (a) Utilize um programa computacional para obter o perfil de fase do sistema no Problema 5. Se possível, inclua as pontas das setas como na Figura 1.2. Além disso, inclua quatro linhas-metade nesse perfil de fase. (b) Obtenha equações cartesianas para cada uma das quatro linhas metade no item (a). (c) Trace os autovetores no seu perfil de fase do sistema. 18. Determine perfis de fase para o sistema nos Problemas 2 e 4. Para cada sistema, obtenha quaisquer trajetória de linhametade que haja e inclua essas linhas em seu perfil de fase.

1.2.2

Tarefas computacionais 32. Determine perfis de fase para o sistema nos Problemas 20 e 21. Para cada sistema, obtenha quaisquer trajetória de linhametade que haja e inclua essas linhas em seu perfil de fase.

1.2.3



34.



20.

35.

36.

21.

22.

37.

38.

23.

24.

39.

40.

44

CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 6. Identifique a curva que passa por (2,1) na Figura 1.4. [Sugestão: Calcule x2, y2 e xy].

42.

41.

43.

51. Examine os perfis de fase do Problema 47. Sob quais condições o perfil de fase de um sistema linear homogêneo 2 2 com autovalores complexos será constituído por uma família de curvas fechadas? E uma família de espirais? Sob quais condições a origem (0,0) é um repulsor? E um atrator?

44.

Nos Problemas 45 e 46, resolva o problema de valor inicial dado.

52. O sistema de equações diferenciais de segunda ordem lineares

(27)

45.

descreve o movimento de dois sistemas massa-mola acoplados (veja a Figura 3.59 do Volume 1). Já resolvemos um caso especial desse sistema nas Seções 3.11 e 4.6 do Volume 1. Nesse problema descrevemos outro método para resolver o sistema.

46.

Tarefas computacionais 47. Obtenha perfis de fase para os sistemas nos Problemas 36, 37 e 38.

(a) Mostre que (27) pode ser escrita como a equação matricial X– AX onde

48. Resolva cada um dos seguintes sistemas lineares. (a) ␻t

(b) Se uma solução tem a forma X Ke , mostre que X– AX resulta em

(b) Determine um perfil de fase para cada sistema. Qual é o significado geométrico da reta y x em cada perfil de fase?

Problemas para discussão 49. Considere a matriz 5 5 apresentada no Problema 31. Resolva o sistema X¿ AX sem o auxílio de métodos matriciais, porém escreva a solução geral usando a notação matricial. Utilize a solução geral como base para discutir como o sistema pode ser resolvido aplicando-se os métodos matriciais dessa seção. Apresente as suas idéias.

(c) Mostre que se m1 1, m2 1, k1 3 e k2 2, uma solução do sistema é

(d) Mostre que a solução no item (c) pode ser escrita como

50. Obtenha uma equação cartesiana da curva definida parametricamente pela solução do sistema linear no Exemplo

1.3

Solução por diagonalização

Introdução

Nessa seção, consideraremos um método alternativo para resolver um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares. Esse método é aplicável a um sistema X¿ AX sempre que a matriz de coeficientes A for diagonalizável.

Sistemas acoplados

Um sistema linear homogêneo X¿ AX,

(1)

no qual cada xi¿ é escrito como uma combinação linear de x1, x2,..., xn, é dito ser acoplado. Se a matriz de coeficientes A for diagonalizável, então o sistema pode ser desacoplado de modo que cada xi¿ possa ser expresso somente em termos de xi.

1.3 Solução por Diagonalização

Se a matriz A tiver n autovetores linearmente independentes, então sabemos a partir do Teorema 2.27 do Volume 2 que podemos obter uma matriz P tal que P1AP D, onde D é uma matriz diagonal. Se fizermos a substituição X PY no sistema X¿ AX, então (2) A última equação em (2) é igual a

(3)

Como D é diagonal, a inspeção de (3) revela que esse novo sistema é desacoplado; cada equação diferencial no sistema é da forma yi¿ ␭iyi, i 1, 2,..., n. A solução de cada uma dessas equações lineares é Logo, a solução geral de (3) pode ser escrita como o vetor coluna

(4)

Como agora conhecemos Y e como a matriz P pode ser construída a partir dos autovetores de A, a solução geral do sistema original X¿ AX é obtida a partir de X PY. Exemplo 1 Resolva

Desacoplando um sistema linear por diagonalização.

Solução

Iniciamos calculando os autovalores e os autovetores correspondentes da matriz de coeficientes. A partir de det(A ␭I) (␭ 2)(␭ 1)(␭ 5), obtemos ␭1 2, ␭2 1 e ␭3 5. Como os autovalores são distintos, os autovetores são linearmente independentes. Resolvendo (A ␭iI)K 0 para i 1, 2 e 3, temos, respectivamente,

(5)

Portanto, uma matriz que diagonaliza a matriz de coeficientes é

As entradas na diagonal principal de D são os autovalores de A que correspondem à ordem na qual os autovetores aparecem em P:

45

46


Conforme vimos anteriormente, a substituição X PY em X¿ AX resulta no sistema desacoplado Y¿ DY. A solução geral desse último sistema é imediata:

Logo, a solução do sistema dado é (6) ❑ Note que (6) pode ser escrita da maneira usual expressando-se a última matriz como uma soma de matrizes colunas:

A solução por diagonalização sempre funcionará desde que possamos determinar n autovetores linearmente independentes de uma matriz A n n; os autovalores de A podem ser reais e distintos, complexos ou repetidos. O método falha quando A tem autovalores repetidos e n autovetores linearmente independentes não podem ser obtidos. É claro que nessa última situação A não é diagonalizável. Como temos que calcular autovalores e autovetores de A, esse método é essencialmente equivalente ao procedimento apresentado na última seção. Na próxima seção, veremos que a diagonalização pode também ser utilizada para resolver sistemas lineares não homogêneos X¿ AX + F(t).

EXERCÍCIOS 1.3


Nos Problemas 1-10, utilize diagonalização para resolver o sistema indicado. 1.

11. Já demonstramos como resolver o sistema de equações diferenciais de segunda ordem lineares que descreve o movimento do sistema massa-mola acoplado na Figura 3.59 do Volume 1,

2.

(7) 3.

4.

5.

6.

de três modos diferentes (veja o Exemplo 4 na Seção 3.11 do Volume 1, o Problema 52 nos Exercícios 1.2 deste Volume e o Exemplo 1 na Seção 4.6 do Volume 1). Neste problema, você percorrerá os passos para os quais (7) também pode ser resolvido utilizando-se diagonalização. (a) Escreva (7) na forma MX– KX 0, onde

7.

8.

Identifique as matrizes M e K. Explique por que a matriz M tem uma inversa. (b) Escreva o sistema do item (a) como

(8) Identifique a matriz B. 9.

10.

(c) Resolva o sistema (7) para o caso especial no qual m1 1, m2 1, k1 3 e k2 2 solucionando (8) utilizando

1.4 Sistemas Lineares Não Homogêneos o método da diagonalização. Em outras palavras, considere X PY, onde P é uma matriz cujas colunas são os autovetores de B.

1.4

(d) Mostre que a solução X no item (c) é igual àquela indicada no item (d) do Problema 52 nos Exercícios 1.2.

Sistemas lineares não homogêneos

Introdução Os métodos dos coeficientes indeterminados e variação de parâmetros utilizados no Capítulo 3 do Volume 1 para determinar soluções particulares de EDOs lineares não homogêneas podem ser adaptados para a solução de sistemas lineares não homogêneos. Dentre os dois métodos, a variação de parâmetros é a técnica mais poderosa. Entretanto, existem casos para os quais o método dos coeficientes indeterminados consiste em um meio mais rápido para se obter uma solução particular. Na Seção 1.1, vimos que a solução geral de um sistema linear não homogêneo X¿ AX + F(t) em um intervalo I é X Xc Xp, onde Xc c1X1 c2X2 ... cnXn é a função complementar ou solução geral do sistema linear homogêneo associado X¿ AX, e Xp é qualquer solução particular do sistema não homogêneo. Vimos como obter Xc na Seção 1.2 quando A era uma matriz de constantes n n; consideramos agora três métodos para obter Xp.

1.4.1


As considerações Como na Seção 3.4 do Volume 1, o método dos coeficientes indeterminados consiste em adotar um palpite embasado a respeito da forma de um vetor solução particular Xp; o palpite é motivado pelos tipos de funções que compreendem as entradas da matriz coluna F(t). Não é surpresa que a versão matricial dos coeficientes indeterminados somente é aplicável a X¿ AX + F(t) quando as entradas de A e de F(t) forem constantes, polinômios, funções exponenciais, senos e co-senos, ou somas e produtos finitos dessas funções.

Exemplo 1


Resolva o sistema Solução

Resolvemos primeiro o sistema homogêneo associado

A equação característica da matriz de coeficientes A,

resulta nos autovalores complexos ␭1 i e última seção, obtemos

47

. Pelos procedimentos da

48


Agora, como F(t) é um vetor constante, consideramos um vetor solução particular Substituindo essa última consideração no sistema original e igualando as entradas, temos

Resolver esse sistema algébrico resulta em a1 14 e b1 11, e assim uma solução A solução geral do sistema original de EDs no intervalo (,

particular é

) é então X Xc Xp ou ❑

Exemplo 2


Resolva o sistema Solução

associado

Os autovalores e os autovetores correspondentes do sistema homogêneo são ␭1 2, ␭2 7,

Portan-

to, a função complementar é

Agora, como F(t) pode ser escrita

, tentaremos determinar uma

solução particular do sistema que tenha a mesma forma:

Substituir essa última consideração no sistema dado resulta em

ou A partir da última identidade, obtemos quatro equações algébricas em quatro incógnitas

Resolvendo as primeiras duas equações simultaneamente, obtemos a2 2 e b2 6. Substituímos então esses valores nas duas últimas equações e resolvemos em relação a a1 e b1. Os resultados são . Segue-se, portanto, que um vetor solução particular é

1.4 Sistemas Lineares Não Homogêneos

A solução geral do sistema em (, ) é X Xc Xp ou

❑

Exemplo 3

Forma de Xp

Determine a forma de um vetor solução particular Xp para o sistema

Solução

Como F(t) pode ser escrita em termos matriciais como

uma consideração natural para uma solução particular seria ❑

Observações O método dos coeficientes indeterminados para sistemas lineares não é tão direto como os últimos três exemplos indicam. Na Seção 3.4 do Volume 1, a forma da solução particular yp foi prevista com o conhecimento anterior a respeito da função complementar yc. O mesmo é válido para a formação de Xp. Porém, existem outras dificuldades: as regras especiais que governam a forma de yp na Seção 4.4 do Volume 1 não se aplicam totalmente à formação de Xp. Por exemplo, se F(t) for um vetor constante como no Exemplo 1 do Volume 1, e ␭ 0 for um autovalor de multiplicidade um, então Xc contém um vetor constante. Segundo a “regra da multiplicação” da página 144 do Volume 1, tentaríamos uma solução particular da forma Essa não é a consideração apropriada para sistemas lineares: deveria ser t

2t

De modo similar, no Exemplo 3, se substituirmos e por e em F(t) (␭ 2 sendo um autovalor), então a forma correta do vetor solução particular é

Em vez de mergulharmos nessas dificuldades, nos voltaremos para o método da variação de parâmetros.

49

50


1.4.2


Uma matriz fundamental Se X1, X2,..., Xn for um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo X¿ AX em um intervalo I, então sua solução geral no intervalo será a combinação linear X c1X1 c2X2 ... cnXn, ou

(1)

A última matriz em (1) é reconhecida como o produto de uma matriz n n por uma matriz n 1. Em outras palavras, a solução geral (1) pode ser escrita como o produto (2) onde C é um vetor coluna n 1 de constantes arbitrárias c1, c2,..., cn, e a matriz n n, cujas colunas são constituídas pelas entradas dos vetores solução do sistema X¿ AX,

é denominada uma matriz fundamental do sistema no intervalo. Na discussão a seguir, precisamos aplicar duas propriedades de uma matriz fundamental: • Uma matriz fundamental ⌽(t) é não singular. • Se ⌽(t) for uma matriz fundamental do sistema X¿ AX, então (3) O reexame de (9) do Teorema 1.3 mostra que det ⌽(t) é o mesmo que o Wronskiano W(X1, X2,..., Xn). Portanto, a independência linear das colunas de ⌽(t) no intervalo I garante que det ⌽(t) ⫽ 0 para todo t no intervalo. Como ⌽(t) é não singular, a inversa multiplicativa ⌽1(t) existe para todo t no intervalo. O resultado indicado em (3) decorre imediatamente do fato de que toda coluna de ⌽(t) é um vetor solução de X¿ AX. Variação de parâmetros

De modo análogo ao procedimento na Seção 3.5 do Volume 1, questionamos se é possível substituir a matriz de constantes C em (2) por uma matriz coluna de funções

(4)

seja uma solução particular do sistema não homogêneo (5) Pela regra do produto, a derivada da última expressão em (4) é (6) Note que a ordem dos produtos em (6) é muito importante. Como U(t) é uma matriz coluna, os produtos U¿(t)⌽(t) e U(t)⌽¿(t) não são definidos. Substituir (4) e (6) em (5) resulta em (7)


Agora, se utilizarmos (3) para substituir ⌽¿(t), (7) se escreve

(8)

ou Multiplicando ambos os lados da equação (8) por ⌽ (t), obtemos –1

Como Xp ⌽(t)U(t), concluímos que uma solução particular de (5) é (9) 1

Para calcular a integral indefinida da matriz coluna ⌽ (t)F(t) em (9), integramos cada entrada. Portanto, a solução geral do sistema (5) é X Xc Xp ou (10)

Exemplo 4


Determine a solução geral do sistema não homogêneo (11) no intervalo (,). Solução

Primeiro resolvemos o sistema homogêneo (12)

A equação característica da matriz de coeficientes é

logo os autovalores são ␭1 2 e ␭2 5. Pelo método usual, temos que os autovetores correspondentes a ␭1 e ␭2 são, respectivamente,

Os vetores solução do sistema (11) são então

As entradas em X1 formam a primeira coluna de ⌽(t), e as entradas em X2 formam a segunda coluna de ⌽(t). Logo,

51

52


A partir de (9), obtemos

Consequentemente, a partir de (10), a solução geral de (11) no intervalo é

❑ Problema de valor inicial A solução geral do sistema não homogêneo (5) em um intervalo pode ser escrito de um modo alternativo

(13) onde t e t0 são pontos no intervalo. A última forma é útil para a solução de (5) sujeita a uma condição inicial X(t0) X0, pois os limites de integração são escolhidos de modo que a solução particular desapareça em t t0. Substituir t t0 em (13) resulta em X0 ⌽(t0)C, a partir do qual temos C ⌽1(t0)X0. Substituindo esse último resultado em (13), obtemos a seguinte solução do problema de valor inicial: (14)

1.4.3

Diagonalização

As considerações Como na Seção 1.3, se a matriz de coeficientes A possuir n autovetores linearmente independentes, então podemos utilizar diagonalização para desacoplar o sistema X¿ AX F(t). Suponha P sendo uma matriz tal que P1AP D, onde D é uma matriz diagonal. Substituir X PY no sistema não homogêneo X¿ AX F(t) resulta em

(15) Na última equação em (15), G P1F é um vetor coluna. Assim, cada equação diferencial nesse novo sistema tem a forma Porém, observe que, ao contrário do procedimento para resolver um sistema homogêneo X¿ AX, agora temos que calcular a inversa da matriz P. Exemplo 2 Resolva Solução

são

Diagonalização por diagonalização. Os autovalores e autovetores correspondentes da matriz de coeficientes Assim, obtemos

e


53

Aplicando-se a substituição X PY e

o sistema desacoplado é

As soluções das duas equações diferenciais

são, respectivamente, tema original é

e

. Portanto, a solução do sis-

(16) Escrita da maneira usual utilizando-se vetores colunas, (16) é ❑

EXERCÍCIOS 1.4 1.4.1



Nos Problemas 1-8, utilize o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema indicado. 1.

10. (a) O sistema de equações diferenciais para as correntes i2(t) e i3(t) na rede elétrica apresentada na Figura 1.5 é

2. Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema considerando R1 2 , R2 3 , L1 1 h, L2 1 h, E 60 V, i2(0) 0 e i3(0) 0. (b) Determine a corrente i1(t).

3.

i1

4.

R1

i2

i3 R 2

L1

E

L2

5.

6.

Figura 1.5

1.4.2 7.


Nos Problemas 11-30, utilize a variação de parâmetros para resolver o sistema indicado. 11.

8.

9. Resolva

Rede no Problema 10.

sujeita a

13.

12.

54

CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Utilize variação de parâmetros para resolver o sistema considerando R1 8 , R2 3 , L1 1 h, L2 1 h, E(t) 100 sen t V, i1(0) 0 e i2(0) 0.

14. 15.

R1

i1

i2

i3

16. E

L1

R2

17. L2

18. Figura 1.6

Rede no Problema 33.

19.

Tarefas computacionais 20. 21.

34. Resolver um sistema linear não homogêneo X¿ AX F(t) por variação de parâmetros quando A for uma matriz 33 (ou maior) é uma tarefa praticamente impossível de ser feita à mão. Considere o sistema

22. 23. 24.

(a) Utilize um SAC ou um programa de álgebra linear para obter os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

25.

(b) Forme uma matriz fundamental ⌽(t) e utilize o computador para calcular ⌽1(t).

26.

(c) Use o computador para realizar os cálculos de

27. onde C é uma

28.

matriz coluna de constantes c1, c2, c3 e c4. (d) Reescreva a saída do computador para a solução geral do sistema na forma X Xc Xp, onde Xc c1X1 c2X2 c3X3 c4X4.

29.

30.

1.4.3

Diagonalização

Nos Problemas 35-38, aplique diagonalização para resolver o sistema indicado. Nos Problemas 31 e 32, utilize (14) para resolver o problema de valor inicial indicado. 31. 32. 33. O sistema de equações diferenciais para as correntes i1(t) e i2(t) na rede elétrica ilustrada na Figura 1.6 é

35. 36. 37. 38.

1.5 Exponencial de Matriz

1.5

Exponencial de matriz

Introdução Matrizes podem ser utilizadas de um modo totalmente diferente para resolver um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares. Recorde que uma equação diferencial de primeira ordem linear simples x¿ ax, onde a é uma constante, tem a solução geral x ceat. Parece natural, então, perguntarmos se podemos definir uma exponencial de matriz eAt, onde A é uma matriz de constantes, de modo que eAt é uma solução do sistema X¿ AX. Sistemas homogêneos

Veremos agora que é possível definir uma exponencial de matriz eAt de modo que o sistema homogêneo X¿ AX, onde A é uma matriz de constantes n n, tenha uma solução (1)

Como C é uma matriz coluna n 1 de constantes arbitrárias, queremos que e seja uma matriz n n. O desenvolvimento completo do significado e teoria da exponencial de matriz exige um conhecimento profundo de álgebra matricial. Assim, uma maneira de definir eAt é inspirada pela representação em série de potências da função exponencial escalar eat. At

(2) A série em (2) converge para todo t. Utilizando essa série, com 1 substituído pela identidade I e a constante a substituída por uma matriz A de constantes n n, obtemos uma definição para a matriz eAt n n.



Para uma matriz A n n, (3)

Pode-se mostrar que a série dada em (3) converge para uma matriz n n para todo valor de t. Além disso, em (3), A0 I, A2 AA, A3 A(A2), e assim por diante. A derivada da exponencial de matriz eAt é análoga àquela da exponencial escalar, isto é, d/dt eat aeat. Para justificar

Derivada de eAt

(4) diferenciamos (3) termo a termo:

Em decorrência de (4), podemos agora provar que (1) é uma solução de X¿ AX para todo vetor C de constantes n 1: (5)

55

56


Se representarmos a matriz eAt pelo símbolo (t), então (4) é equivalente à equação diferencial matricial ¿(t) A (veja (3) da Seção A0 1.4). Além disso, decorre imediatamente da Definição 1.4 que (0) e I e assim det (0) ⫽ 0. Essas duas propriedades são suficientes para concluirmos que (t) é uma matriz fundamental do sistema X¿ AX. e é uma matriz fundamental At

Sistemas não homogêneos

Vimos em (4) da Seção 2.3 do Volume 1 que a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear única x¿ ax f(t), onde a é uma constante, pode ser escrita como

Para um sistema não homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares, pode-se mostrar que a solução geral X¿ AX F(t), onde A é uma matriz de constantes n n, é (6) At Como a exponencial de matriz e é uma matriz fundamental, ela sempre é não sinAs As 1 As At gular e e (e ) . Note que e pode ser obtida a partir de e pela substituição de t por –s.

A definição de eAt dada em (3) pode, é claro, sempre ser utilizada para calcular e . Entretanto, a utilidade prática de (3) está limitada pelo fato de que At as entradas em e são séries de potência em t. Com um desejo natural de trabalharmos com coisas simples e familiares, tentaremos então reconhecer se essas entradas definem uma função de forma fechada. Veja os Problemas 1-4 nos Exercícios 1.5. At Felizmente existem muitas maneiras alternativas de se calcular e . Esboçamos dois desses métodos na discussão que se segue. Cálculo de eAt At

Vimos em (5) que X eAt é uma solução I, X eAt é uma solução do problema de valor

Utilizando transformada de Laplace

de X¿ AX. De fato, como e inicial

A0

(7) Se x(s) ᏸ{X(t)} ᏸ{e }, então a transformada de Laplace de (7) é At

Multiplicar a última equação por (sI – A)1 implica x(s) (sI – A)1I = (sI – A)1. At 1 Em outras palavras, ᏸ{e } (sI – A) ou (8)

Exemplo 1


At Utilize a transformada de Laplace para calcular e para

Solução

Primeiro calculamos a matriz sI – A e então obtemos a sua inversa:

1.5 Exponencial de Matriz

Então decompomos as entradas da última matriz em frações parciais:

(9)

Tomando a transformada de Laplace inversa de (9), obtemos o resultado desejado, ❑ Utilizando potências A

m

Na Seção 2.8 do Volume 2, desenvolvemos um método para calcular uma potência arbitrária Ak, k um inteiro não negativo, de uma matriz A n n. Recorde da Seção 2.8 do Volume 2 que podemos escrever (10)

onde os coeficientes cj são os mesmos em cada uma das expressões anteriores, sendo que a última expressão é válida para os autovalores ␭1, ␭2,..., ␭n de A. Consideramos aqui que os autovalores de A são distintos. Adotando ␭ ␭1, ␭2,..., ␭n na segunda expressão de (10), fomos capazes de determinar cj na primeira expressão pela solução de n equações em n incógnitas. Será conveniente no desenvolvimento que se segue enfatizar o fato de que os coeficientes cj em (10) dependem da potência k se substituirmos cj por cj(k). A partir de (3) e (2), temos (11) A seguir, aplicamos (10) em (11) para substituir A e ␭ como somas finitas seguidas por uma troca de ordem dos somatórios k

k

(12)

(13) onde

. Do mesmo modo que utilizamos os autovalores de A

em (10) para determinar os cj, novamente aplicamos autovalores, porém dessa vez no somatório finito (13) para obter um sistema de equações para determinar os bj; esses coeficientes, por sua vez, são utilizados em (12) para determinar eAt. Exemplo 2


At

Calcule e para Solução

Já vimos a matriz A na Seção 2.8 do Volume 2 e lá calculamos seus autovalores como sendo ␭1 1 e ␭2 2. Agora, como A é uma matriz 22, temos a partir de (12) e (13) (14) Adotando ␭ 1 e ␭ 2 na segunda equação de (14), obtemos duas equações nas duas incógnitas b0 e b1. Resolver o sistema

57

58


resulta em . Substituindo esses valores na primeira equação de (14) e simplificando as entradas, temos (15) ❑ Nos Problemas 25-28 nos Exercícios 1.5, mostramos como calcular a exponencial de matriz eAt quando a matriz A é diagonalizável (veja a Seção 2.11 do Volume 2). Uso de computadores

Para aqueles dispostos a momentaneamente trocar entendimento por velocidade de solução, eAt pode ser calculado de um modo mecânico com o auxílio de um programa computacional; por exemplo, no Mathematica, a função MatrixExp [A t] calcula a exponencial de matriz para uma matriz quadrada At; no Maple, o comando é exponential(A,t); no MATLAB, a função é expm(At). Veja os Problemas 27 e 28 nos Exercícios 1.5.

EXERCÍCIOS 1.5

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 389. At

At

Nos Problemas 1 e 2, use (3) para calcular e e e 1.

.

2.

Nos Problemas 15-18, use o método do Exemplo 1 para calcular eAt para a matriz de coeficientes. Utilize (1) para determinar a solução geral do sistema indicado.

At

Nos Problemas 3 e 4, use (3) para calcular e . 3.

7.

16.

17.

18.

4.

Nos Problemas 5-8, utilize (1) e os resultados dos Problemas 1-4 para obter a solução geral do sistema dado. 5.

15.

6.

Nos Problemas 19-22, use o método do Exemplo 2 para calcular eAt para a matriz de coeficientes. Utilize (1) para determinar a solução geral do sistema indicado. 19.

20.

21.

22.

8.

Nos Problemas 9-12, utilize (6) para calcular a solução geral do sistema indicado. 9. 10.

1

23. Se a matriz A puder ser diagonalizada, então P AP D ou A PDP1. Utilize esse último resultado e (3) para mostrar que eAt PeDtP1.

24. Utilize

e (3) para mostrar que

11. 12. 13. Resolva o sistema no Problema 7 sujeito à condição inicial

14. Resolva o sistema no Problema 9 sujeito à condição inicial

Nos Problemas 25 e 26, utilize os resultados dos Problemas 23 e 24 para resolver o sistema indicado. 25.

26.

Exercícios de Revisão

Tarefas computacionais

59

28. Aplique (1) para calcular a solução geral de

27. (a) Aplique (1) para obter a solução geral de At Utilize um SAC para calcular e . A seguir, use o compu-

tador para determinar autovalores e autovetores da matriz e formar a solução geral do

de coeficientes

modo indicado na Seção 1.2. Finalmente, confira as duas formas da solução geral do sistema. (b) Aplique (1) para obter a solução geral de Utilize um SAC para calcular eAt. No caso da saída ser complexa, use o programa para fazer a simplificação; por exemplo, no Mathematica, se m = MatrixExp [A t] tiver entradas complexas, então tente o comando Simplify[ComplexExpand[m]].

Utilize um SAC para calcular eAt.

Problemas para discussão 29. Releia a discussão do resultado indicado em (8). A matriz sI – A sempre tem uma inversa? Discuta. 30. Nos Exercícios 2.9 do Volume 2, vimos que uma matriz não nula A n n é nilpotente se m for o menor inteiro positivo tal que Am 0. Verifique que

é nilpotente.

Discuta por que é relativamente fácil calcular eAt quando A é nilpotente. Calcule eAt para a matriz dada e então utilize (2) para resolver o sistema X¿ AX.

CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 389. solução geral do sistema considerando que se saiba que ␭1

Nos Problemas 1 e 2, preencha os espaços. 1. O vetor

1 2i é um autovalor e dente?

é uma solução de X¿

para k ______. 2. O vetor

é uma solução do

é um autovetor correspon-

Nos Problemas 5-14, resolva o sistema linear indicado com os métodos desse capítulo. 5.

6.

7.

8.

9.

10.

problema de valor inicial para c1 ______ e c2 ______. 3. Considere o sistema linear Sem tentar resolver o sistema, quais dos seguintes vetores,

11. 12. é um autovetor da matriz de coeficientes? Qual é a solução do sistema que corresponde a esse autovetor?

13.

4. Considere o sistema linear X¿ AX de duas equações diferenciais onde A é uma matriz de coeficientes reais. Qual é a

14.

60


15. (a) Considere o sistema linear X¿ AX de três equações diferenciais de primeira ordem onde a matriz de coeficientes é

(b) Utilize o procedimento do item (a) para resolver

16. Verifique que e ␭ 2 é um autovalor de multiplicidade dois. Determine duas soluções diferentes do sistema que corresponde a esse autovalor sem utilizar qualquer fórmula especial (tal como (12) da Seção 1.2).

é uma solução do sistema linear para constantes c1 e c2 arbitrárias. À mão,

trace um perfil de fase do sistema.

CAPÍTULO

2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares Descrição do capítulo 2.1 Sistemas autônomos 2.2 Estabilidade de sistemas lineares 2.3 Linearização e estabilidade local 2.4 Sistemas autônomos como modelos matemáticos 2.5 Soluções periódicas, ciclos limites e estabilidade global Exercícios de revisão

No Capítulo 1, nos concentramos nas técnicas para solução de EDs lineares da forma X¿ AX F(t). Quando o sistema de equações diferenciais não for linear, usualmente não será possível obter soluções em termos de funções elementares. Nesse capítulo, veremos que informações valiosas a respeito da natureza geométrica das soluções podem ser obtidas analisando-se primeiro soluções constantes especiais denominadas pontos críticos e, a seguir, buscando-se por soluções periódicas chamadas ciclos limites. O importante conceito de estabilidade será introduzido e ilustrado com exemplos da física e biologia.

62

CAPÍTULO 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares

2.1

Sistemas autônomos

Introdução

Introduzimos os conceitos de EDs de primeira ordem autônomas, pontos críticos de uma ED autônoma, e a estabilidade de um ponto crítico na Seção 2.1 do Volume 1. Essas primeiras considerações a respeito de estabilidade foram propositalmente mantidas em um nível bastante intuitivo; agora é o momento de darmos a definição precisa desse conceito. Para fazermos isso, precisamos examinar sistemas autônomos de EDs de primeira ordem. Nessa seção, definimos pontos críticos de sistemas autônomos com duas EDs de primeira ordem; os sistemas autônomos podem ser lineares ou não lineares.

Sistemas autônomos

Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem é denominado autônomo quando o sistema puder ser escrito na forma

(1)

Observe que a variável independente t não aparece explicitamente no lado direito de cada equação diferencial. Compare (1) com o sistema geral dado em (2) da Seção 1.1. Exemplo 1

Um sistema não autônomo

O sistema de equações diferenciais de primeira ordem não lineares

não é autônomo em decorrência da presença de t no lado direito de ambas EDs.

❑

Quando n 1 em (1), uma equação diferencial de primeira ordem única adquire a forma dx/dt g(x). Essa última equação é equivalente a (1) da Seção 2.1 do Volume 1 com os símbolos x e t desempenhando os papéis de y e x, respectivamente. Soluções explícitas podem ser construídas pois a equação diferencial dx/dt g(x) é separável. Faremos uso desse fato para ilustrarmos os conceitos desse capítulo. ED de segunda ordem como um sistema Qualquer equação diferencial de segunda ordem x– g(x,x¿) pode ser escrita como um sistema autônomo. Conforme foi feito na Seção 3.7 do Volume 1, se adotarmos y x¿, então x– g(x,x¿) se transforma em y¿ g(x,y). Assim, a equação diferencial de segunda ordem se torna o sistema com duas equações de primeira ordem

2.1 Sistemas Autônomos

Exemplo 2

A ED do pêndulo como um sistema autônomo

Em (6) da Seção 3.10 do Volume 1, mostramos que o ângulo de deslocamento para um pêndulo satisfaz a equação diferencial de segunda ordem não linear

Se considerarmos x e y ¿, essa equação diferencial de segunda ordem pode ser reescrita como o sistema autônomo

❑ Se X(t) e g(X) representarem os seguintes vetores coluna

então o sistema autônomo (1) pode ser escrito na forma vetor coluna compacta X¿ g(X). O sistema linear homogêneo X¿ AX estudado na Seção 1.2 é um caso especial importante. Nesse capítulo, é conveniente escrevermos (1) utilizando também vetores linha. Se adotarmos

e então o sistema autônomo (1) pode também ser escrito na forma vetor linha compacta X¿ g(X). Deve ser claro a partir do contexto se estamos utilizando a forma vetor linha ou coluna. Portanto, não faremos distinção entre X e XT, a transposta de X. Em particular, quando n 2, é conveniente utilizarmos a forma vetor linha e escrevermos uma condição inicial X(0) (x0, y0). Quando a variável t for interpretada como tempo, podemos nos referir ao sistema de equações diferenciais em (1) como um sistema dinâmico, e a uma solução X(t) como o estado do sistema ou a resposta do sistema no tempo t. Com essa terminologia, um sistema dinâmico é autônomo quando a taxa X¿(t) na qual o sistema varia depende somente do estado atual do sistema X(t). O sistema linear X¿ AX F(t) estudado no Capítulo 10 é então autônomo quando F(t) for constante. No caso n 2 ou 3, denominaremos uma solução como caminho ou trajetória pois podemos considerar x x1(t), y x2(t), z x3(t) como as equações paramétricas de uma curva. Interpretação de campo vetorial Quando n 2, o sistema em (1) é chamado de sistema autônomo plano, e escrevemos o sistema como

O vetor V(x,y) (P(x,y),Q(x,y)) define um campo vetorial em uma região do plano, sendo que uma solução para o sistema pode ser interpretada como o caminho resultante do movimento de uma partícula pela região. Para ser mais específico, considere V(x,y) (P(x,y),Q(x,y)) como sendo a velocidade da correnteza de um rio na posição

63

64


(x,y) e suponha que uma pequena partícula (tal como uma rolha) seja liberada em uma posição (x0,y0) na correnteza. Se X(t) (x(t),y(t)) corresponde à posição da partícula no instante de tempo t, então X¿(t) (x¿(t),y¿(t)) é o vetor velocidade v. Quando forças externas não estiverem presentes e forças de atrito forem desconsideradas, a velocidade da partícula no tempo t será a velocidade da correnteza na posição X(t); isto é, X¿(t) V(x(t),y(t)) ou

Logo, o caminho da partícula é uma solução para o sistema que satisfaz a condição inicial X(0) (x0, y0). Frequentemente faremos referência a essa interpretação simples de um sistema autônomo plano para ilustrar novos conceitos. Exemplo 3

Sistema autônomo plano de um campo vetorial

Um campo vetorial para o fluxo em regime permanente de um fluido em torno de um cilindro de raio 1 é dado por

y

onde V0 é a velocidade do fluido distante do cilindro. Se uma pequena rolha for liberada em (3,1), o caminho X(t) (x(t),y(t)) da rolha satisfaz o sistema autônomo plano

(–3, 1) x

sujeito à condição inicial X(0) (3,1). Veja a Figura 2.1. Figura 2.1 Campo vetorial do fluxo de um fluido em torno de um cilindro.

❑

Tipos de soluções Se P(x,y), Q(x,y) e as derivadas parciais de primeira ordem P/x, P/y, Q/x e Q/y forem contínuas em uma região R do plano, então uma solução para o sistema autônomo plano

X(0)

que satisfaça X(0) X0 é única e é um dos três tipos básicos: (a)

1 P

(i) Uma solução constante x(t) x0, y(t) y(0) (ou X(t) X0 para todo t). Uma solução constante é denominada como um ponto estacionário ou crítico. Quando a partícula for colocada em um ponto crítico X0 (isto é, X(0) X0), ela permanecerá lá indefinidamente. Por essa razão, uma solução constante é também chamada uma solução de equilíbrio. Note que como X¿(t) 0, um ponto crítico é uma solução do sistema de equações algébricas

2 X(0) (b)

Figura 2.2 um arco.

A curva em (a) é designada

(ii) Uma solução x x(t), y y(t) que define um arco – uma curva plana que não cruza a si própria. Logo, a curva na Figura 2.2(a) pode ser uma solução para um sistema autônomo plano, enquanto que a curva na Figura 2.2(b) não pode ser uma solução. Existirão duas soluções que se iniciam a partir do ponto P de interseção.


(iii) Uma solução periódica x x(t), y y(t). Uma solução periódica é chamada um ciclo. Se p for o período da solução, então X(t p) X(t), e uma partícula colocada na curva em X0 circulará em torno da curva e retornará para X0 em p unidades de tempo. Veja a Figura 2.3. Exemplo 4

Determinando pontos críticos

Determine todos os pontos críticos de cada um dos seguintes sistemas autônomos planos.

Solução

Obtemos os pontos críticos igualando a zero o lado direito das equações

diferenciais. (a) A solução para o sistema

é constituída por todos os pontos na reta y x. Logo, existem infinitos pontos críticos. (b) Para resolver o sistema

substituímos a segunda equação, x2 y, na primeira equação para obter y2 y – 6 2 (y 3)(y – 2) 0. Se y 3, então x 3, e assim não existem soluções reais. Se y 2, então x , e portanto os pontos críticos são ( ,2) e ( ,2). (c) Determinar os pontos críticos exige uma cuidadosa análise de casos. A equação 0,01x(100 – x – y) 0 implica x 0 ou x y 100. Considere x 0. Se substituirmos em 0,05y(60 – y – 0,2x) 0, então temos y(60 – y) 0. Assim, y 0 ou 60, e portanto (0,0) e (0,60) são pontos críticos. Se x y 100, então 0 y(60 – y – 0,2(100 – y)) y(40 – 0,8y). Decorre que y 0 ou 50, e assim (100,0) e (50,50) são pontos críticos. ❑ Quando o sistema autônomo plano for linear, poderemos utilizar os métodos do Capítulo 1 para investigar soluções. Exemplo 5

Descobrindo soluções periódicas

Determine se o sistema dinâmico linear indicado possui uma solução periódica.

Em cada caso, esboce o gráfico da solução que satisfaz X(0) (2,0). Solução

(a) No Exemplo 6 da Seção 10.2, utilizamos o método autovalor-autovetor para demonstrar que

X(0)

Figura 2.3 ciclo.

Solução periódica ou um

65

66


Portanto, toda solução é periódica com período p . A solução que satisfaz X(0) (2,0) é

y 3

Essa solução gera a elipse ilustrada na Figura 2.4(a). x –3

3

(b) Utilizando o método autovalor-autovetor, podemos mostrar que

t

Em decorrência da presença de e na solução geral, não existem soluções periódicas (isto é, ciclos). A solução que satisfaz X(0) (2,0) é

–3

(a)

e a curva resultante está indicada na Figura 2.4(b).

❑

y 5 (2, 0) x –5

5

Mudando para coordenadas polares Exceto para o caso de soluções constantes, usualmente não é possível obter soluções explícitas para as soluções de um sistema autônomo não linear. Podemos resolver alguns sistemas não lineares, no entan2 2 2 to, mudando-os para coordenadas polares. A partir da fórmula r x y e 1 tg (y/x), obtemos

(2)

–5

Podemos em alguns casos aplicar (2) para converter um sistema autônomo plano em coordenadas retangulares para um sistema mais simples em coordenadas polares. (b)

Figura 2.4 Curvas solução no Exemplo 5.

Exemplo 6

Mudando para coordenadas polares

Determine a solução para o sistema autônomo plano não linear

satisfazendo a condição inicial X(0) (3,3). Solução

Substituindo dx/dt e dy/dt nas expressões para dr/dt e d/dt em (2), ob-

temos

y 3

Como (3,3) é ( , /4) em coordenadas polares, a condição inicial X(0) (3,3) e (0) /4. Utilizando separação de variáveis, vemos que a se torna r(0) solução do sistema é x

–3

3

para r 0. (Confira!). Aplicando a condição inicial, obtemos –3


A espiral

está esboçada na Figura 2.5.

❑

67


Exemplo 7

Soluções em coordenadas polares

Quando escrito em coordenadas polares, um sistema autônomo plano adquire a forma

y 4

Determine e esboce as soluções que satisfazem X(0) (0,1) e X(0) (3,0) em coordenadas retangulares. Solução Aplicar separação de variáveis em dr/dt 0,5(3 – r) e integrar d/dt resulta na solução

x

Se X(0) (0,1), então r(0) 1 e (0) /2, e portanto c1 2 e c2 /2. A curva solução é a espiral Observe que quando t → , aumenta ilimitadamente e r se aproxima de 3. Se X(0) (3,0), então r(0) 3 e (0) 0, segue que c1 c2 0, e assim r 3 e t. Portanto, x r cos 3 cos t e y r sen 3 sen t, e portanto a solução é periódica. A solução gera um círculo de raio 3 em relação a (0,0). Ambas as soluções estão apresentadas na Figura 2.6.

EXERCÍCIOS 2.1

5. 6.


(a) obtenha a solução geral e determine se existem soluções periódicas.

4.

(b) determine a solução que satisfaz a condição inicial dada, e

para

(c) com o auxílio de uma ferramenta gráfica, trace a solução do item (b) e indique a direção na qual a curva é atravessada.

para

Nos Problemas 7-16, determine todos os pontos críticos do sistema autônomo plano indicado. 7.

–4

Nos Problemas 17-22, para o sistema dinâmico linear dado (obtido a partir dos Exercícios 1.2)

2.

3.

4


Nos Problemas 1-6, escreva a equação diferencial de segunda ordem não linear indicada como um sistema autônomo plano. Determine todos os pontos críticos do sistema resultante. 1.

–4

8.

17. (Problema 1, Exercícios 1.2)

9.

10.

11.

12.

18. (Problema 6, Exercícios 1.2) 19. (Problema 37, Exercícios

13.

14.

15.

16.

1.2) 20. (Problema 34, Exercícios 1.2)

68


21.

[Sugestão: Veja o Exemplo 3 na Seção 2.2 do Volume 1] (Problema 35, Exercícios

Se um sistema autônomo plano tiver uma solução periódica, então tem que existir ao menos um ponto crítico no interior da curva gerada pela solução. Nos Problemas 27-30, utilize esse fato junto com um programa de cálculo numérico para investigar a possibilidade de soluções periódicas.

1.2) 22. (Problema 38, Exercícios 1.2) Nos Problemas 23-26, resolva o sistema autônomo plano não linear dado mudando para coordenadas polares. Descreva o comportamento geométrico da solução que satisfaz a(s) condição(ões) inicial(ais) indicada(s).

27.

28.

29.

23. 30. 24. 31. Se z f(x,y) for uma função com derivadas parciais primeira contínuas em uma região R, então um fluxo V(x,y) (P(x,y), Q(x,y)) em R pode ser definido adotando-se P(x,y)

25. [Sugestão: A equação diferencial resultante em relação a r é uma equação diferencial de Bernoulli. Veja a Seção 2.5 do Volume 1]

. Mostre que se X(t)

(x(t),y(t)) for uma solução do sistema autônomo plano

26. então f (x(t),y (t)) c para alguma constante c. Assim, uma curva solução se localiza nas curvas de nível de f. [Sugestão: Use a regra da cadeia para calcular

2.2

Estabilidade de sistemas lineares

Introdução

Vimos que o sistema autônomo plano

gera um campo vetorial V(x,y) (P(x,y),Q(x,0)), e uma solução X X(t) do sistema pode ser interpretada como o caminho resultante de uma partícula que é inicialmente colocada na posição X(0) X0. Se X0 for um ponto crítico do sistema, então a partícula permanece estacionária. Nessa seção, examinaremos o comportamento de soluções quando X0 for escolhida próxima a um ponto crítico do sistema. Algumas questões fundamentais

Suponha que X1 seja um ponto crítico de um sistema autônomo plano e X X(t) seja uma solução do sistema que satisfaça X(0) X0. Se a solução for interpretada como um caminho de uma partícula em movimento, estaremos interessados na resposta da seguinte questão quando X0 for posicionada próxima de X1: (i) A partícula retornará para o ponto crítico? Mais precisamente, se X X(t) for a solução que satisfaz X(0) X0, limt→X(t) X1? (ii) Se a partícula não retornar para o ponto crítico, ela permanecerá próxima ao ponto crítico ou se afastará do ponto crítico? É concebível, por exemplo, que a partícula possa simplesmente circular o ponto crítico ou mesmo

2.2

Estabilidade de Sistemas Lineares

retornar para um ponto crítico diferente, ou até mesmo para nenhum ponto crítico. Veja a Figura 2.7.

X0

Se em alguma região do ponto crítico, o caso (a) ou (b) na Figura 2.7 sempre ocorrer, chamamos o ponto crítico localmente estável. Se, entretanto, um valor inicial X0 que resulte em comportamento similar a (c) puder ser obtido em qualquer vizinhança dada, denominamos o ponto crítico como instável. Esses conceitos se tornarão mais precisos na Seção 2.3, onde as questões (i) e (ii) serão investigadas para sistemas não lineares.

ponto crítico (a) X0

Análise de estabilidade Investigaremos primeiro essas duas questões de estabilidade para sistemas autônomos planos lineares e lançaremos os fundamentos para a Seção 2.3. Os métodos de solução do Capítulo 1 nos permitem dar uma análise geométrica cuidadosa das soluções para

ponto crítico (b) X0

em termos de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes

Aqui a, b, c e d são constantes. Para garantir que X0 (0,0) é o único ponto crítico, consideraremos que o determinante ad – bc 0. Se a d for o traço* da matriz A, então a equação característica det (AI) 0 pode ser escrita como

Portanto, os autovalores de A são e os três casos usuais para essas raízes ocorrem dependendo de se 24 for positivo, negativo ou zero. No próximo exemplo, utilizaremos um programa de cálculo numérico para descobrir a natureza das soluções que correspondem a esses casos. Exemplo 1

Autovalores e o formato das soluções

Determine os autovalores do sistema linear

em termos de c, e utilize um programa de cálculo numérico para descobrir o formato das soluções que correspondem aos casos , 4, 0 e –9. Solução

A matriz de coeficientes

tem traço 2 e determinante

1 – c. Desse modo, os autovalores são

A natureza dos autovalores é portanto determinada pelo sinal de c. Se , então os autovalores são negativos e distintos, e . Na Figura 2.8(a), utilizamos um programa de cálculo numérico para gerar curvas solução ou trajetórias que correspondem a diversas condições iniciais. Note que, exceto para as trajetórias traçadas em preto na figura, todas as trajetórias parecem se aproximar de 0 a partir de uma direção fixa. Recorde do Capítulo 1 que um conjunto de trajetórias no plano xy ou plano de fase é chamado um perfil de fase do sistema. * Em geral, se A for uma matriz n n, o traço de A é a soma das entradas da diagonal principal.

ponto crítico

ponto crítico (c)

Figura 2.7

Pontos críticos.

69

70


Quando c 4, os autovalores têm sinais opostos, 1 e –3, e um fenômeno interessante ocorre. Todas as trajetórias se afastam da origem em uma direção fixa exceto para as soluções que se iniciam ao longo da reta única desenhada em preto na Figura 2.8(b). Já vimos comportamento como esse no perfil de fase indicado na Figura 1.2. Experimente com o seu programa de cálculo numérico e verifique essas observações. A seleção c 0 nos leva a um autovalor real único 1. Esse caso é muito similar ao caso com uma exceção notável. Todas as curvas solução na Figura 2.8(c) parecem se aproximar de 0 a partir de uma direção fixa com o aumento de t. y

y

0,5

0,5

x

x

– 0,5

– 0,5

– 0,5

0,5 (a) c =

0,5

– 0,5

1 4

(b) c = 4

y

y

0,5

0,5

x

– 0,5

x

– 0,5

– 0,5

0,5 (c) c = 0

Figura 2.8

0,5

– 0,5 (d) c = –9

Perfis de fase do sistema linear no Exemplo 1.

Finalmente, quando . Assim, os autovalores são números complexos conjugados com parte real negativa –1. A Figura 2.8(d) mostra curvas solução movendo-se em forma de espiral em direção à origem 0 à medida que t aumenta. ❑

y K2

Os comportamentos das trajetórias observadas nos quatro perfis de fase da Figura 2.8 no Exemplo 1 podem ser explicados utilizando-se os resultados da solução autovalo-autovetor do Capítulo 1.

K1

Caso I: x

Autovalores reais distintos De acordo com o Teorema 1.7 na Seção 1.2, a solução geral de (1) é dada por (2) onde 1 e 2 são os autovalores e K1 e K2 são os autovetores correspondentes. Observe que X(t) também pode ser escrita como

Figura 2.9

Nó estável.

(3)

2.2

71


(a) Ambos autovalores negativos Nó estável (2 1 0): Como ambos os autovalores são negativos, segue-se de (2) que limt→ X(t) 0. Se considerarmos que 2 1, então 21 0 e assim é uma função com decaimento exponencial. Podemos portanto concluir a partir de (3) que para valores grandes de t. Quando c1 0, X(t) se aproximará de 0 a partir de uma das duas direções determinadas pelo autovetor K1 correspondente a 1. Se c1 0, e X(t) se aproxima de 0 ao longo da reta determinada pelo autovetor K2. A Figura 2.9 mostra um conjunto de curvas solução em torno da origem. Um ponto crítico é denominado nó estável quando ambos os autovalores forem negativos.

y K2 K1

x

(b) Ambos autovalores positivos Nó instável (0 2 1): A análise desse caso é similar ao caso (a). Novamente a partir de (2), X(t) se torna ilimitada com o aumento de t. Além disso, considerando novamente 2 1 e utilizando (3), vemos que X(t) se torna ilimitada em uma das direções determinada pelo autovetor K1 (quando c1 0) ou ao longo da reta definida pelo autovetor K2 (quando c1 0). A Figura 2.10 apresenta um conjunto típico de curvas solução. Esse tipo de ponto crítico, correspondendo ao caso no qual ambos os autovalores são positivos, é designado nó instável.

Figura 2.10

Nó instável.

y K1

(c) Autovalores com sinais opostos Ponto de sela (2 0 1): A análise da solução é idêntica à de (b) com uma exceção. Quando c1 0, e, como 2 0, X(t) se aproximará de 0 ao longo da reta definida pelo autovetor K2. Se X(0) não se localizar na reta determinada por K2, a reta determinada por K1 servirá como uma assíntota para X(t). Portanto, o ponto crítico é instável mesmo apesar de algumas soluções se aproximarem de 0 com o aumento de t. Esse ponto crítico instável é chamado ponto de sela. Veja a Figura 2.11. Exemplo 2

x

K2


Classifique o ponto crítico (0,0) de cada um dos seguintes sistemas lineares X¿ AX como nó estável, nó instável ou ponto de sela.

Figura 2.11

Ponto de sela.

Em cada caso discuta a natureza da solução na vizinhança de (0,0). Solução

(a) Como o traço 3 e o determinante 4, os autovalores são y 2

Os autovalores têm sinais opostos, e portanto (0,0) é um ponto de sela. Não é difícil mostrar (veja o Exemplo 1, Seção 1.2) que os autovetores correspondentes a 1 4 e 2 1 são

x –2

2

y = 2x/3

respectivamente. Se X(0) X0 se localizar na reta y x, então X(t) se aproxima de 0. Para qualquer outra condição inicial, X(t) se tornará ilimitada na direção determinada por K1. Em outras palavras, a reta serve como uma assíntota para todas as curvas solução. Veja a Figura 2.12. (b) A partir de 29 e 100, segue-se que os autovalores de A são 1 4 e 2 25. Ambos autovalores são negativos, e assim (0,0) nesse caso é um nó estável. Como os autovetores que correspondem a 1 4 e 2 25 são

–2

Figura 2.12

Ponto de sela.

72

CAPÍTULO 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares y y=x

x

respectivamente, segue-se que todas as soluções se aproximam de 0 a partir da direção definida por K1, exceto aquelas soluções nas quais X(0) X0 se localiza na reta determinada por K2. Essas soluções se aproximam de 0 ao longo de . Veja a Figura 2.13. ❑ Caso II:

Figura 2.13

Nó estável.

2 Um autovalor real repetido ( 4 0) Nós degenerados: Relembre da Seção 1.2 que a solução geral adquire uma das duas diferentes formas dependendo se um ou dois autovetores linearmente independentes podem ser obtidos para o autovalor repetido 1. (a) Dois autovetores linearmente independentes Se K1 e K2 forem dois autovetores linearmente independentes que correspondem a 1, então a solução geral é dada por

Se 1 0, então X(t) se aproxima de 0 ao longo da reta determinada pelo vetor c1K1 c2K2, sendo o ponto crítico chamado um nó estável degenerado (veja a Figura 2.14(a)). Quando 1 0, as setas na Figura 2.14(a) são revertidas e temos um nó instável degenerado. (b) Um único autovetor linearmente independente Quando somente um único autovetor linearmente independente K1 existir, a solução geral é dada por onde (A 1I)P K1 (veja a Seção 1.2, (12)-(14)), e a solução pode ser escrita como

Se 1 0, então , e segue-se que X(t) se aproxima de 0 em uma das direções determinadas pelo vetor K1 (veja a Figura 2.14(b)). O ponto crítico é novamente denominado nó estável degenerado. Quando 1 0, as soluções se assemelham àquelas da Figura 2.14(b) com as setas revertidas. A reta determinada por K1 é uma assíntota para todas as soluções. O ponto crítico é novamente chamado de nó instável degenerado. y K2

y

c1K1 + c2K2

K1

K1

x

x

(a)

Figura 2.14

Nós estáveis degenerados.

(b)

2.2

Caso III:

73


Autovalores complexos (2 4 0) Se 1 i e i forem autovalores complexos e K1 B1 iB2 for um autovetor complexo que corresponde a 1, a solução geral pode ser escrita como X(t) c1X1(t) c2X2(t), onde

y

x

Veja as equações (23) e (24) na Seção 1.2. Uma solução pode portanto ser escrita na forma Figura 2.15

(4)

Centro. y

e quando 0, temos (5) (a) Raízes imaginárias puras ( 4 0, 0) 2

Centro: Quando 0, os autovalores são imaginários puros e, a partir de (5), todas as soluções são periódicas com período p 2/. Observe que se tanto c12 como c21 forem 0, então (5) se reduziria para

x

que é uma representação paramétrica padrão para a elipse 1. Resolvendo o sistema de equações em (4) em relação a cos t e sent e aplicando a identidade sen2t cos2t 1, é possível mostrar que todas as soluções são elipses com centro na origem. O ponto crítico (0,0) é denominado centro e a Figura 2.15 mostra um conjunto típico de curvas solução. As elipses são todas atravessadas no sentido horário ou todas atravessadas no sentido anti-horário.

(a) y

(b) Parte real não-nula (2 4 0, 0) x

Pontos espirais: Quando 0, o efeito do termo et em (4) é similar ao efeito do termo exponencial na análise do movimento amortecido apresentado na Seção 3.8 do Volume 1. Quando 0, et → 0, e a solução elíptica se move em formato espiral cada vez mais próxima da origem. O ponto crítico é chamado ponto espiral estável. Quando 0, o efeito é oposto. Uma solução elíptica se afasta cada vez mais da origem, e o ponto crítico é agora chamado ponto espiral instável. Veja a Figura 2.16. Exemplo 3

Autovalores repetidos e complexos

Classifique o ponto crítico (0,0) de cada um dos seguintes sistemas lineares X¿ AX.

Em cada caso discuta a natureza da solução que satisfaz X(0) (1,0). Determine equações paramétricas para cada solução. (a) Como 6 e 9, o polinômio característico é 2 6 9 ( 3) , e assim (0,0) é um nó estável degenerado. Para o autovalor repetido Solução

2

3, obtemos um autovetor único

e logo a solução X(t) que satisfaz X(0)

(1,0) se aproxima de (0,0) a partir da direção especificada pela reta y x/3. (b) Como 0 e 1, os autovalores são i, e portanto (0,0) é um centro. A solução X(t) que satisfaz X(0) (1,0) é uma elipse que circula a origem a cada 2 unidades de tempo.

(b)

Figura 2.16 instável.

Pontos espirais estável e

74


A partir do Exemplo 4 da Seção 1.2, a solução geral do sistema em (a) é

y 1

x 1

–1 –1

A condição inicial resulta em c1 0 e c2 2, e assim

são equações paramétricas para a solução. A solução geral do sistema em (b) é

(a) y 1

A condição inicial resulta em c1 0 e c2 1, e assim x –1

1 –1 (b)

Figura 2.17 plo 3.

Curvas solução no Exem-

são equações paramétricas para a elipse. Note que y 0 para valores positivos pequenos de t, e portanto a elipse é atravessada no sentido horário. As soluções de (a) e (b) estão indicadas nas Figuras 2.17(a) e (b), respectivamente. ❑ A Figura 2.18 resume convenientemente os resultados dessa seção. A natureza geométrica geral das soluções pode ser determinada pelo cálculo do traço e do determinante de A. Na prática, os gráficos das soluções são mais facilmente obtidos não pela construção de soluções autovalor-autovetor explícitas, mas sim pela geração numérica das soluções utilizando-se um programa de cálculo numérico e um método tal como o método de Runge-Kutta (Seção 6.2 do Volume 1) para sistemas de primeira ordem. Δ espiral estável

2 = 4Δ

espiral estável

nó estável

nó instável

2 – 4Δ < 0 centro nó estável degenerado

nó instável degenerado

sela

Figura 2.18

Resumo geométrico dos Casos I, II e III.

2.2

Exemplo 4

Classificando pontos críticos

Classifique o ponto crítico (0,0) para cada um dos sistemas lineares X¿ AX indicados a seguir

para constantes positivas a, b, c, d, e . (a) Para essa matriz 0,01, 2,3798, e assim 2 4 0. Utilizando a Figura 2.18, vemos que (0,0) é um ponto espiral estável. (b) Essa matriz surge do modelo de competição de Lotka-Volterra, que será estudado na Seção 2.4. Como (a d ) e todas as constantes na matriz são positivas,

0. O determinante pode ser escrito como ad (1 – bc). Se bc 1, então

0 e o ponto crítico é um ponto de sela. Se bc 1, então 0 e o ponto crítico é um nó estável, um nó estável degenerado ou um ponto espiral estável. Em todos esses três casos, limt→ X(t) 0. ❑ Solução

Podemos agora dar respostas para cada uma das equações postuladas no início da seção para o sistema autônomo plano linear

com ad – bc 0. As respostas estão resumidas no teorema que se segue.

TEOREMA 2.1

Critério de estabilidade para sistemas lineares

Para um sistema autônomo plano linear X¿ AX com det A 0, considere X X(t) a solução que satisfaz a condição inicial X(0) X0, onde X0 0. (a) limt→ X(t) 0 se e somente se os autovalores de A tiverem partes reais negativas. Isso ocorrerá quando 0 e 0. (b) X(t) é periódica se e somente se os autovalores de A forem imaginários puros. Isso ocorrerá quando 0 e 0. (c) Em todos os outros casos, definida qualquer vizinhança da origem, existirá ao menos um X0 na vizinhança para a qual X(t) se torna ilimitada com o crescimento de t.

Observações A terminologia utilizada para descrever os tipos de pontos críticos varia de texto para texto. A tabela a seguir lista muitos dos termos alternativos que você encontrará em seus estudos. Termo

Termos alternativos

Ponto crítico

ponto de equilíbrio, ponto singular, posto estacionário, ponto de repouso

Ponto espiral

foco, ponto focal, ponto de vértice

Nó estável ou ponto espiral

atrator, receptor

Nó instável ou ponto espiral

repulsor, fonte


75

76


EXERCÍCIOS 2.2


Nos Problemas 1-8, a solução geral do sistema linear X¿ AX está indicada. (a) Em cada caso, discuta a natureza das soluções na vizinhança de (0,0).

15.

16.

17. Determine condições para a constante real de modo que (0,0) seja o centro para o sistema linear

(b) Com o auxílio de uma ferramenta gráfica, trace a solução que satisfaz X(0) (1,1). 1. 18. Determine condições para a constante real de modo que (0,0) seja um ponto espiral estável para o sistema linear

2. 3. 4.

19. Mostre que (0,0) é sempre um ponto crítico instável do sistema linear

5.

onde é uma constante real e 1. Quando (0,0) é um ponto de sela instável? Quando (0,0) é um ponto espiral instável? 20. Seja X X(t) a resposta do sistema dinâmico linear

6.

7.

satisfazendo a condição inicial X(0) X0. Determine condições para as constantes reais e que garantirão limt→ X(t) (0,0). (0,0) pode ser um nó ou ponto de sela?

8.

21. Mostre que o sistema linear não homogêneo X¿ AX + F tem um ponto crítico único X1 quando detA 0. Conclua que se X X(t) for uma solução para o sistema não homogêneo, 0 e 0, então limt→ X(t) X1. [Sugestão: X(t) Xc(t) X1.] 22. No Exemplo 4(b), mostre que (0,0) é um nó estável quando bc 1.

Nos Problemas 9-16, classifique o ponto crítico (0,0) do sistema linear indicado calculando o traço e o determinante , e utilizando a Figura 2.18. 9.

Nos Problemas 23-26, um sistema linear não homogêneo X¿ AX + F está indicado. (a) Em cada caso, determine o ponto crítico único X1. (b) Utilize um programa de cálculo numérico para determinar a natureza do ponto crítico em (a).

10.

11.

12.

13.

14.

(c) Investigue a relação entre X1 e o ponto crítico (0,0) do sistema linear homogêneo X¿ AX. 23.

24.

25.

26.

2.3 Linearização e Estabilidade Local

77

2.3 Linearização e estabilidade local Introdução

A idéia principal dessa seção é a linearização. Uma aproximação linear local ou linearização de uma função diferenciável f(x) em um ponto (x1, f(x1)) é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto: y f(x1) f ¿(x1)(x – x1). Para x próximo de x1, os pontos no gráfico de f(x) estão próximos aos pontos da reta tangente de modo que os valores y(x) obtidos a partir dessa equação podem ser utilizados para aproximar os valores correspondentes de f(x). Nessa seção, usaremos a linearização como um meio de analizar EDs não lineares e sistemas não lineares; a idéia é substituí-los por EDs lineares e sistemas lineares. Partícula deslizante

Iniciamos essa seção refinando os conceitos de estabilidade introduzidos na Seção 2.2 de tal modo que eles também sejam aplicados a sistemas autônomos não lineares. Apesar do sistema linear X¿ AX ter somente um ponto crítico quando det A 0, vimos na Seção 2.1 que um sistema não linear pode ter muitos pontos críticos. Portanto, não podemos esperar que uma partícula posicionada inicialmente em X0 permaneça próxima a um dado ponto crítico X1, a menos que X0 tenha sido posicionada suficientemente próxima de X1. A partícula poderia se dirigir a um segundo ponto crítico X2. Para enfatizar essa idéia, consideraremos o sistema físico apresentado na Figura 2.19, no qual uma partícula desliza ao longo da curva z f(x) sob a influência apenas da gravidade. Mostraremos na Seção 2.4 que a coordenada x da partícula satisfaz uma equação diferencial de segunda ordem não linear x– g(x, x¿), e assim adotar y x¿ satisfaz o sistema autônomo não linear

z z = f (x)

x1

x2

x3

Figura 2.19 Partícula deslizante no gráfico de z f(x).

Se a partícula for posicionada em P (x, f(x)) e considerando-se velocidade inicial zero, a partícula permanecerá em P desde que f¿(x) 0. Se a partícula for posicionada próxima ao ponto crítico localizado em x x1, ela permanecerá próxima a x x1 somente se a sua velocidade inicial não a dirigir para a “corcova” em x x2 em direção ao ponto crítico posicionado em x x3. Logo, X(0) (x(0), x¿(0)) tem que estar próxima de (x1,0). Na próxima definição, representaremos a distância entre dois pontos X e Y por |X – Y|. Recorde que se X (x1, x2,..., xn) e Y (y1, y2,..., yn), então


Pontos críticos estáveis

ρ

X0

Seja X1 um ponto crítico de um sistema autônomo, e X X(t) a solução que satisfaz a condição inicial X(0) X0, onde X0 X1. Dizemos que X1 é um ponto crítico estável quando, dado qualquer raio 0, existe um raio correspondente r 0 tal que se a posição inicial X0 satisfizer |X0 – X1| r, então a solução correspondente X(t) satisfaz |X(t) – X1| para todo t 0. Se, além disso, limt→ X(t) X1 sempre que |X0 – X1| r, denominaremos X1 como um ponto crítico assintoticamente estável.

r

(a) estável

ρ

Essa definição é ilustrada na Figura 2.20(a). Dado qualquer disco de raio ao redor do ponto crítico X1, uma solução permanecerá dentro do disco desde que X(0) X0 seja selecionado suficientemente próximo a X1. Não é necessário que uma solução se aproxime do ponto crítico para que X1 seja estável. Nós estáveis, pontos espirais estáveis e centros são todos exemplos de pontos críticos estáveis para sistemas lineares. Para enfatizar que X0 tem que ser selecionado próximo de X1, a terminologia ponto crítico localmente estável é também utilizada. Pela negação da Definição 2.1, obtemos a definição de um ponto crítico instável.

X0

(b) instável

Figura 2.20

Pontos críticos.

x

78



Ponto crítico instável

Seja X1 um ponto crítico de um sistema autônomo, e X X(t) a solução que satisfaz a condição inicial X(0) X0, onde X0 X1. Dizemos que X1 é um ponto crítico instável se existir um disco de raio 0 com a propriedade de que, para qualquer r 0, exista ao menos uma posição inicial X0 que satisfaça |X0 – X1| r, já que a solução correspondente X(t) satisfaz |X(t) – X1| para pelo menos um t 0.

Se um ponto crítico X1 for instável, não importando quão pequena seja a vizinhança próxima a X1, pode sempre ser obtida uma posição inicial X0 resultando na solução que deixa algum disco de raio em algum tempo futuro t. Veja a Figura 2.20(b). Portanto, nós instáveis, pontos espirais instáveis e pontos de sela são todos exemplos de pontos críticos instáveis para sistemas lineares. Na Figura 2.19, o ponto crítico (x2,0) é instável. O leve deslocamento ou a velocidade inicial resultam no deslizamento da partícula para longe do ponto (x2, f (x2)). Exemplo 1

Um ponto crítico estável

Mostre que (0,0) é um ponto crítico estável do sistema autônomo plano não linear

considerado no Exemplo 6 da Seção 2.1. Solução

No Exemplo 6 da Seção 2.1, mostramos que em coordenadas polares

y

é a solução do sistema. Se X(0) (r0,0) for a condição inicial em coordenadas polares, então x

Figura 2.21 Ponto crítico assintoticamente estável.

Note que r r0 para t 0 e que r se aproxima de (0,0) com o aumento de t. Assim, dado 0, uma solução que se inicia a menos de unidades a partir de (0,0) permanece dentro de unidades da origem para todo t 0. Consequentemente, o ponto crítico (0,0) é estável, sendo de fato assintoticamente estável. A Figura 2.21 apresenta uma solução típica. ❑ Exemplo 2

Um ponto crítico instável

Quando escrito em coordenadas polares, um sistema autônomo plano adquire a forma

Mostre que (x,y) (0,0) é um ponto crítico instável. Solução

Como x r cos e y r sen , temos

79


A partir de dr/dt 0,05r(3 – r), vemos que dr/dt 0 quando r 0. Logo, podemos concluir que (x,y) (0,0) é um ponto crítico substituindo r 0 no novo sistema. A equação diferencial dr/dt 0,05r(3 – r) é uma equação logística que pode ser resolvida utilizando-se separação de variáveis. Se r(0) r0, e r0 0, então

y 3

onde c0 (3 – r0)/r0. Como x 3

–3

segue que, não importa quão próximo de (0,0) uma solução comece, a solução deixará um disco de raio 1 ao redor da origem. Portanto, (0,0) é um ponto crítico instável. Uma solução típica que se inicia ao redor de (0,0) está indicada na Figura 2.22. Linearização Raramente é possível determinar a estabilidade de um ponto crítico de um sistema não linear determinando-se soluções explícitas, como nos Exemplos 1 e 2. Em vez disso, substituímos o termo g(X) no sistema autônomo original X¿ g(X) por um termo linear A(X – X1) que mais aproxima g(X) em uma vizinhança de X1. Esse processo de substituição, denominado linearização, será ilustrado primeiro para a equação diferencial de primeira ordem x¿ g(x). Uma equação da reta tangente à curva y g(x) em x x1 é y g(x1) g¿(x1) (x – x1). Se x1 for um ponto crítico de x¿ g(x), teremos

–3

Figura 2.22

Ponto crítico instável.

A solução geral para a equação diferencial linear

é , onde 1 g¿(x1). Portanto, se g¿(x1) 0, então x(t) aproxima x1. O Teorema 2.2 afirma que o mesmo comportamento ocorre na equação diferencial original desde que x(0) x0 seja selecionado suficientemente próximo de x1.

TEOREMA 2.2

Critério de estabilidade para x¿ g(x)

EDs de primeira ordem autônomas foram discutidas na Seção 2.1 do Volume 1.

Considere x1 como sendo um ponto crítico da equação diferencial autônoma x¿ g(x), onde g é diferenciável em x1. (a) Se g¿(x1) 0, então x1 é um ponto crítico assintoticamente estável. (b) Se g¿(x1) 0, então x1 é um ponto crítico instável.

x

Exemplo 3

Estabilidade em uma ED de primeira ordem não linear

Tanto x /4 como x 5/4 são pontos críticos da equação diferencial autônoma x¿ cos x – sen x. Essa equação diferencial é difícil de ser resolvida explicitamente, porém podemos aplicar o Teorema 2.2 para prever o comportamento das soluções próximas desses dois pontos críticos. Como g¿(x) – sen x – cos x, g¿(/4)

0 e g¿(5/4) 0. Logo, x /4 é um ponto crítico assintoticamente estável, mas x 5/4 é instável. Na Figura 2.23, utilizamos um programa de cálculo numérico para investigar soluções que se iniciam próximas de (0, /4) e (0, 5/4). Observe que as curvas solução que começam próximas de (0, 5/4) se afastam mais rapidamente da reta x 5/4, conforme previsto. ❑

5␲/4

␲/4 t

Figura 2.23 /4 é assintoticamente estável; 5/4 é instável.

80


Exemplo 4

Análise de estabilidade da ED logística

Sem resolver explicitamente, analise os pontos críticos da equação diferencial logística (veja a Seção 2.8 do Volume 1) Solução

onde r e K são constantes positivas.

Os dois pontos críticos são x 0 e x K. Como

g¿(0) r e g¿(K) r. Podemos portanto concluir que x 0 é um ponto crítico instável e x K é um ponto crítico assintoticamente estável. ❑ Matriz Jacobiana Uma análise similar pode ser realizada para um sistema autônomo plano. Uma equação do plano tangente à superfície z g(x,y) em X1 (x1,y1) é

e g(x,y) pode ser aproximada por seu plano tangente em uma vizinhança de X1. Quando X1 for um ponto crítico de um sistema autônomo plano, P(x1,y1) Q(x1,y1) 0 e temos

O sistema original X¿ g(X) pode ser aproximado na vizinhança do ponto crítico X1 pelo sistema linear X¿ A(X – X1), onde

Essa matriz é chamada de matriz Jacobiana em X1, sendo representada por g¿(X1). Se adotarmos H X – X1, então o sistema linear X¿ A(X – X1) se torna H¿ AH, que é a forma do sistema linear analisado na Seção 2.2. O ponto crítico X X1 para X¿ A(X – X1) agora corresponde ao ponto crítico H 0 para H¿ AH. Se os autovalores de A tiverem partes reais negativas, então, pelo Teorema 2.1, 0 será um ponto crítico assintoticamente estável para H¿ AH. Se existir um autovalor com parte real positiva, H 0 será um ponto crítico instável. O Teorema 2.3 afirma que as mesmas conclusões podem ser obtidas para o ponto crítico X1 do sistema original.

TEOREMA 2.3

Critério de estabilidade para sistemas autônomos planos

Seja X1 um ponto crítico do sistema autônomo plano X¿ g(X), onde P(x,y) e Q(x,y) tenham derivadas parciais primeiras em uma vizinhança de X1. (a) Se os autovalores de A g¿(X1) tiverem parte real negativa, então X1 é um ponto crítico assintoticamente estável. (b) Se A g¿(X1) tiver um autovalor com parte real positiva, então X1 é um ponto crítico instável.

81


Exemplo 5

Análise de estabilidade de sistemas não lineares

Classifique (se possível) os pontos críticos de cada um dos seguintes sistemas autônomos planos como estável ou instável.

Solução

Os pontos críticos de cada sistema foram determinados no Exemplo 4

da Seção 2.1. (a) Os pontos críticos são (

,2) e (

,2). A matriz Jacobiana é

então

Como o determinante de A1 é negativo, A1 tem um autovalor real positivo. Portanto, ( ,2) é um ponto crítico instável. A matriz A2 tem um determinante positivo e um traço negativo, e assim ambos os autovalores têm partes reais negativas. Segue-se que ( ,2) é um ponto crítico estável. (b) Os pontos críticos são (0,0), (0,60), (100,0) e (50,50). A matriz Jacobiana é

então

Como a matriz A1 tem um determinante positivo e um traço positivo, ambos autovalores têm partes reais positivas. Logo, (0,0) é um ponto crítico instável. Os determinantes das matrizes A2 e A3 são negativos, e assim, em cada caso, um dos autovalores é positivo. Portanto, tanto (0,60) como (100,0) são pontos críticos instáveis. Como a matriz A4 tem um determinante positivo e um traço negativo, (50,50) é um ponto crítico estável. ❑ No Exemplo 5, não calculamos 4 (como na Seção 2.2) nem tentamos classificar os pontos críticos como nós estáveis, pontos espirais estáveis, pontos de sela e assim por diante. Por exemplo, para X1 ( ,2) no Exemplo 4(a), 2 4 0, e se o sistema fosse linear, seríamos capazes de concluir que X1 era um ponto espiral estável. A Figura 2.24 mostra diversas curvas solução próximas de X1 que foram obtidas com um programa de cálculo numérico, sendo que cada solução parece se mover em formato espiral em direção ao ponto crítico. 2

y

Classificando pontos críticos

2

É natural perguntarmos se podemos inferir mais informações geométricas a respeito das soluções próximas a um ponto crítico X1 de um sistema autônomo não linear a partir da análise do ponto crítico do sistema linear correspondente. A resposta está resumida na Figura 2.25. Entretanto, podemos destacar os comentários a seguir: (i) Em cinco casos separados (nó estável, ponto espiral estável, ponto espiral instável, nó instável e ponto de sela), o ponto crítico pode ser categorizado como o ponto crítico no sistema linear correspondente. As soluções têm as mesmas características geométricas gerais das soluções do sistema linear, e quanto menor a vizinhança em torno de X1, mais próxima a semelhança.

1

–2

–1

x

Figura 2.24 O ponto se comporta como um ponto espiral estável.

82

CAPÍTULO 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares Δ espiral estável ?

2 = 4Δ

espiral instável ?

?

nó estável

nó instável

?

?

?

2 – 4Δ < 0 estável

?

?

?

?

instável

? ?

?

sela

Figura 2.25

Resumo geométrico.

(ii) Se 2 4 e 0, o ponto crítico X1 é instável, porém nesse caso-limite não somos ainda capazes de decidir se X1 é uma espiral instável, um nó instável ou um nó instável degenerado. Do mesmo modo, se 2 4 e

0, o ponto crítico é estável, podendo ser ou uma espiral estável, ou um nó estável ou um nó estável degenerado. (iii) Se 0 e 0, os autovalores de A g¿(X) são imaginários puros, e nesse caso-limite X1 pode ser ou um ponto espiral estável, ou uma espiral instável ou um centro. Portanto, ainda não é possível determinar se X1 é estável ou instável. Exemplo 6

Classificando pontos críticos de um sistema não linear

Classifique cada ponto crítico do sistema autônomo plano no Exemplo 5(b) como nó estável, ponto espiral estável, ponto espiral instável, nó instável ou ponto de sela. Para a matriz A1 correspondente a (0,0), 3, 4, e assim 2 4 4. Portanto, (0,0) é um nó instável. Os pontos críticos (0,60) e (100,0) são pontos de sela, pois 0 em ambos os casos. Para a matriz A4, 0, 0 e 2 4 0. Decorre então que (50,50) é um nó estável. Verifique essas conclusões por meio de um programa de cálculo numérico. Solução

Exemplo 7

Análise de estabilidade para uma mola flexível

Recorde da Seção 3.10 do Volume 1 que a equação diferencial de segunda ordem mx– kx k1x3 0, para k 0, representa um modelo geral para oscilações não amortecidas livres de uma massa m conectada a uma mola não linear. Se k 1 e k1 1, a mola é chamada de flexível e o sistema autônomo plano que corresponde à equação diferencial de segunda ordem não linear x– x x3 0 é

83


Obtenha e classifique (se possível) os pontos críticos. Como x3 – x x(x2 – 1), os pontos críticos são (0,0), (1,0) e (1,0). As matrizes Jacobianas correspondentes são Solução

Como det A2 0, os pontos críticos (1,0) e (1,0) são ambos pontos de sela. Os autovalores da matriz A1 são i, e, de acordo com o comentário (iii), permanecemos em dúvida quanto ao status do ponto crítico em (0,0). Ele pode ser ou uma espiral estável, ou uma espiral instável ou um centro. O método do plano de fase O método da linearização, quando bem-sucedido, pode fornecer informações úteis a respeito do comportamento local de soluções próximas aos pontos críticos. Ele é de pouca ajuda se estivermos interessados em soluções cuja posição inicial X(0) X0 não estiver próxima a um ponto crítico, ou se desejarmos obter uma visão global da família de curvas solução. O método do plano de fase se baseia no fato de que

e tenta obter y como uma função de x utilizando um dos métodos disponíveis para resolver equações diferenciais de primeira ordem (Capítulo 2 do Volume 1). Conforme mostraremos nos Exemplos 8 e 9, o método pode algumas vezes ser utilizado para decidirmos se um ponto crítico tal como (0,0) no Exemplo 7 é um ponto espiral estável, uma espiral instável ou um centro. Exemplo 8

Método do plano de fase

Use o método do plano de fase para classificar o ponto crítico único (0,0) do sistema autônomo plano

Solução

O determinante da matriz Jacobiana

é 0 em (0,0), e assim a natureza do ponto crítico (0,0) permanece incerta. Utilizando o método do plano de fase, obtemos a equação diferencial de primeira ordem y

que pode ser facilmente resolvida por separação de variáveis:

Se X(0) (0,y0), segue-se que . A Figura 2.26 apresenta um conjunto de curvas solução que correspondem a diversas escolhas para y0, tornando clara a natureza do ponto crítico. Não importa o quão próxima de (0,0) a solução se inicia, X(t) se afasta da origem com o aumento de t. O ponto crítico em (0,0) é portanto instável. Exemplo 9

2

x –2

2

–2

Análise do plano de fase de uma mola flexível

Use o método do plano de fase para determinar a natureza das soluções de x– x – x3 0 na vizinhança de (0,0).

Figura 2.26 Perfil de fase do sistema não linear no Exemplo 8.

84


Se adotarmos dx/dt y, então dy/dt x3 – x. A partir disso, obtemos a equação diferencial de primeira ordem

Solução

y

que pode ser resolvida por separação de variáveis. Integrar 2

x –2

2

–2

Figura 2.27 Perfil de fase do sistema não linear no Exemplo 9.

EXERCÍCIOS 2.3

Após completar o quadrado, podemos escrever a solução como y2 (x2 – 1)2/2 c0. Se X(0) (x0,0), onde 0 x0 1, então c0 (x02 – 1)2/2, e assim

Note que y 0 quando x x0. Além disso, o lado direito é positivo quando –x0

x x0, e portanto cada x tem dois valores correspondentes de y. A solução X X(t) que satisfaz X(0) (x0,0) é portanto periódica, e assim (0,0) é um centro. A Figura 2.27 mostra uma família de curvas solução ou perfil de fase do sistema original. Utilizamos o sistema autônomo plano original para determinar os sentidos indicados em cada trajetória.


1. Mostre que (0,0) é um ponto crítico assintoticamente estável do sistema autônomo não linear

9. 10.

quando 0, e um ponto crítico instável quando 0. [Sugestão: Transforme para coordenadas polares.] 2. Quando escrito em coordenadas polares, um sistema autônomo plano adquire a forma

Mostre que (0,0) será um ponto crítico assintoticamente estável se e somente se 0. Nos Problemas 3-10, sem resolver explicitamente, classifique os pontos críticos da equação diferencial autônoma de primeira ordem indicada como assintoticamente estável ou instável. Todas as constantes são consideradas como sendo positivas. 3.

4.

5.

6.

7.

Nos Problemas 2-20, classifique (se possível) cada ponto crítico do sistema autônomo plano dado como um nó estável, um ponto espiral estável, um ponto espiral instável, um nó instável ou um ponto de sela. 11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Nos Problemas 21-26, classifique (se possível) cada ponto crítico da equação diferencial de segunda ordem dada como um nó estável, um ponto espiral estável, um ponto espiral instável, um nó instável ou um ponto de sela. 21.

8.

22.


34. A origem é o único ponto crítico da equação diferencial de segunda ordem não linear x– (x¿)2 x 0.

23. 24. 25. 26.

85

[Sugestão:

]

27. Mostre que a equação diferencial de segunda ordem não linear

tem um ponto de sela em (0,0) quando 0. 28. Mostre que o sistema dinâmico

tem um ponto crítico único quando 1 e que esse ponto crítico é estável quando 0. 29. (a) Mostre que o sistema autônomo plano

tem dois pontos críticos esboçando os gráficos de –x y – x3 0 e –x – y y2 0. Classifique o ponto crítico em (0,0). (b) Mostre que o segundo ponto crítico X1 (0,88054, 1,56327) é um ponto de sela. 30. (a) Mostre que (0,0) é o único ponto crítico da equação diferencial de Raleigh

(b) Mostre que (0,0) é instável quando 0. Quando (0,0) é um ponto espiral instável? (c) Mostre que (0,0) é estável quando 0. Quando (0,0) é um ponto espiral estável?

(a) Mostre que o método plano-fase resulta na equação diferencial de Bernoulli dy/dx y – xy1. (b) Mostre que a solução que satisfaz não é periódica.

e x¿(0) 0

35. A solução da equação diferencial de segunda ordem não linear x– x – x3 0 satisfaz x(0) 0 e x¿(0) v0. Use o método plano-fase para determinar quando a solução resultante é periódica. [Sugestão: Veja o Exemplo 9.] 36. A equação diferencial não linear x– x 1 x2 surge da análise do movimento planetário utilizando a teoria da relatividade. Classifique (se possível) todos os pontos críticos do sistema autônomo plano correspondente. 37. Quando um capacitor não linear está presente em um circuito RLC, a queda de tensão não é mais dada por q/C, mas é mais precisamente descrita por q q3, onde e são constantes e 0. A equação diferencial (34) da Seção 3.8 do Volume 1 para o circuito livre é então substituída por

Determine e classifique todos os pontos críticos dessa equação diferencial não linear. [Sugestão: Divida em dois casos 0 e 0.] 38. A equação diferencial de segunda ordem não linear

para k 0, representa um modelo geral para as oscilações não amortecidas livres de uma massa m conectada a uma mola. Se k1 0, a mola é denominada rígida (veja o Exemplo 1 na Seção 3.10 do Volume 1). Determine a natureza das soluções para x– x x3 0 em uma vizinhança de (0,0). 39. A equação diferencial não linear

(d) Mostre que (0,0) é um centro quando 0. 31. Utilize o método do plano de fase para mostrar que (0,0) é um centro da equação diferencial de segunda ordem não linear x– 2x3 0. 32. Utilize o método do plano de fase para mostrar que a solução da equação diferencial de segunda ordem não linear x– 2x – x2 0 que satisfaz x(0) 1 e x¿(0) 0 é periódica. 33. (a) Determine os pontos críticos do sistema autônomo plano

pode ser interpretada como um modelo para um certo pêndulo com uma função de excitação constante. (a) Mostre que (/6,0) e (5/6,0) são pontos críticos do sistema autônomo plano correspondente. (b) Classifique o ponto crítico (5/6,0) utilizando linearização. (c) Use o método do plano de fase para classificar o ponto crítico (/6,0).

e mostre que a linearização não nos dá informação a respeito da natureza desses pontos críticos. (b) Use o método do plano de fase para mostrar que os pontos críticos em (a) são ambos centros. [Sugestão: Adote u y2/x e mostre que (x – c)2 y2 c2 – 1].

40. (a) Mostre que (0,0) é um ponto crítico isolado do sistema autônomo plano

86

CAPÍTULO 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares mas que a linearização não nos dá informação útil a respeito da natureza desse ponto crítico.

[Sugestão: A equação diferencial em x e y é homogênea.]

(b) Use o método do plano de fase para mostrar que x3 y3 3cxy. Essa curva clássica é chamada fólio de Descartes. Equações paramétricas para um fólio são

(c) Utilize uma ferramenta gráfica ou um programa de cálculo numérico para obter curvas solução. Com base em seu perfil de fase, você classificaria o ponto crítico como estável ou instável? Você classificaria o ponto crítico como um nó, um ponto de sela ou um ponto espiral? Explique.

2.4

Sistemas autônomos como modelos matemáticos

Introdução Diversas aplicações da física resultam em equações diferenciais de segunda ordem autônomas não lineares – isto é, EDs da forma x– g(x, x¿). Por exemplo, na análise do movimento amortecido livre de um sistema massa-mola na Seção 3.8 do Volume 1, consideramos que a força de amortecimento era proporcional à velocidade x¿ e o modelo resultante mx– x¿ kx era uma equação diferencial linear. Porém, se a magnitude da força de amortecimento for proporcional ao quadrado da velocidade, a nova equação diferencial mx– x¿| x¿| kx será não linear. O sistema autônomo plano correspondente é não linear:

Nessa seção, analisaremos também o pêndulo não linear, o movimento de uma partícula em uma curva, modelos predador-presa de Lotka-Volterra, e o modelo de competição de Lotka-Volterra. Modelos adicionais são apresentados nesses exercícios. Pêndulo não linear Em (6) da Seção 3.10 do Volume 1 mostramos que o ângulo de deslocamento para um pêndulo simples satisfaz a equação diferencial de segunda ordem não linear

Quando adotamos x e y ¿, essa equação diferencial de segunda ordem pode ser escrita como um sistema dinâmico

(a) = 0, ¿ = 0

(b) = , ¿ = 0

Figura 2.28 instável.

(0,0) é estável; (,0) é

Os pontos críticos são ( k,0) e a matriz Jacobiana é facilmente mostrada como sendo

Se k 2n 1, 0, e então todos os pontos críticos ( (2n 1),0) são pontos de sela. Em particular, o ponto crítico em (,0) é instável conforme esperado. Veja a Figura 2.28. Quando k 2n, os autovalores são imaginários puros e assim a natureza desses pontos críticos permanece incerta. Como consideramos a inexistência de

2.4 Sistemas Autônomos Como Modelos Matemáticos

forças de amortecimento atuando no pêndulo, esperamos que todos os pontos críticos ( 2n,0) sejam centros. Isso pode ser verificado utilizando-se o método do plano de fase. A partir de

87

y

␲

–␲

–3␲

x 3␲

segue-se que Se X(0) (x0,0), então Note que y 0 quando x x0, e que (2g/l)(cos x – cos x0) 0 para |x| |x0| . Assim, cada x tem dois valores correspondentes de y, e portanto X X(t) que satisfaz X(0) (x0,0) é periódica. Podemos concluir que (0,0) é um centro. Observe que x aumenta para soluções, tais como a traçada em preto na Figura 2.29, que correspondem a velocidades iniciais grandes. Nesse caso, o pêndulo gira em círculos completos em torno do seu eixo. Exemplo 1

Figura 2.29 Perfil de fase de um pêndulo não linear.

Soluções periódicas da ED do pêndulo

A um pêndulo em uma posição de equilíbrio com 0 é dada uma velocidade angular inicial de 0 rad/s. Determine sob quais condições o movimento resultante é periódico. Solução

Temos que examinar a solução do sistema autônomo plano que satisfaz X(0) (0, 0). A partir de y2 (2g/l) cos x c, obtemos

Para estabelecer que a solução X(t) é periódica, é suficiente demonstrarmos que existem dois pontos x de interseção x x0 entre e , e que o lado direito é positivo para |x| |x0|. Essa restrição na velocidade angular inicial pode ser escrita como ❑ z

Oscilações não lineares: a partícula deslizante

Suponha, como ilustrado na Figura 2.30, uma partícula com massa m deslizando ao longo de um fio fino cujo formato é descrito pela função z f(x). Uma extensa variedade de oscilações não lineares podem ser obtidas modificando-se o formato do fio e adotando-se diferentes considerações a respeito das forças que atuam sobre a partícula. A força tangencial F em decorrência do peso W mg tem magnitude mg sen, e portanto a componente x de F é Fx mg sen cos . Como tg f ¿(x), podemos aplicar as identidades 1 tg2 sec2 e sen2 1 – cos2 para concluir que

mg sen ␪

z = f (x) ␪

W = mg

␪ x

Figura 2.30 Forças que atuam sobre a partícula deslizante.

Consideramos (como na Seção 3.8 do Volume 1) que uma força de amortecimento D, atuando na direção oposta ao movimento, é um múltiplo constante da velocidade da partícula. A componente x de D é portanto

88


Se ignorarmos a força de atrito entre o fio e a partícula e considerarmos que nenhuma outra força externa atue no sistema, segue-se da segunda lei de Newton que

e o sistema autônomo plano correspondente é

Se X1 (x1,y1) é um ponto crítico do sistema, y1 0 e portanto f ¿(x1) 0. A partícula tem que estar em repouso em um ponto no fio no qual a reta tangente é horizontal. Quando f for duplamente diferenciável, a matriz Jacobiana em X1 é

z z = sen x 3␲/2

–␲/2 ␲

–␲

x

e assim e tados da Seção 2.3, podemos concluir o seguinte:

Utilizando os resul-

(i) f –(x1) 0: Figura 2.31 /2 e 3/2 são estáveis.

(ii) f –(x1) 0 e 0:

x 15 10

Um mínimo relativo ocorre em x x1, e como 0 e 0, X1 (x1,0) é um ponto crítico estável. Se 2 4gm2f –(x1), o sistema é sobreamortecido e o ponto crítico é um nó estável. Se 2 4gm2f –(x1), o sistema é subamortecido e o ponto crítico é um ponto espiral estável. A natureza exata do ponto crítico estável é ainda incerta se 2 4gm2f –(x1).

(–2␲, 15) (–2␲, 10)

5 x

Figura 2.32

(iii) f –(x1) 0 e o sistema é subamortecido ( 0): Nesse caso, os autovalores são imaginários puros, mas o método do plano de fase pode ser usado para mostrar que o ponto crítico é um centro. Portanto, soluções com X(0) (x(0), x¿(0)) próximas de X1 (x1,0) são periódicas.

–5 ␲

–␲

Um máximo relativo ocorre em x x1, e como 0, um ponto de sela instável ocorre em X1 (x1,0).

0,01.

Exemplo 2

x 10

(–2␲, 10)

5 x

␲

–␲

Figura 2.33

0.

Partícula deslizante ao longo de uma onda seno

Uma partícula de 10 gramas desliza ao longo da curva z sen x. De acordo com a conclusão (ii), o mínimo relativo em x1 /2 e 3/2 resulta em pontos críticos estáveis (veja a Figura 2.31). Como f –(/2) f –(3/2) 1, o sistema será sobreamortecido desde que 2 4gm2. Se utilizarmos unidades SI, m 0,01 kg e g 9,8 m/s2, a condição para um sistema sobremortecido se torna 2 3,92 103. Se 0,01 for a constante de amortecimento, ambos pontos críticos serão pontos espirais estáveis. As duas soluções que correspondem às condições iniciais X(0) (x(0), x¿(0)) (2,10) e X(0) (2,15), respectivamente, foram obtidas a partir de um programa de cálculo numérico e estão indicadas na Figura 2.32. Quando x¿(0) 10, a partícula tem momento suficiente pra transpor o aclive em x 3/2, mas não para x /2. A partícula então se aproxima do mínimo relativo baseado em x /2. Se x¿(0) 15, a partícula tem o momento suficiente para transpor ambos os aclives. Porém, após isso, ela passa a subir e descer no vale baseado em x 3/2 e se aproxima do ponto (3/2, 1) no fio. Experimente com outras condições iniciais utilizando um programa de cálculo numérico. A Figura 2.33 mostra um conjunto de curvas solução obtidas a partir de um programa de cálculo numérico para o caso subamortecido. Como 0, os pontos críticos correspondem a x1 /2 e 3/2 são agora centros. Quando X(0) (2,10), a partícula tem momento suficiente para se mover sobre todos os aclives. A figura também indica que quando a partícula for liberada a partir do repouso em uma posição no fio entre x 3/2 e x /2, o movimento resultante será periódico. ❑


89

Modelo predador-presa de Lotka-Volterra

Uma interação predador-presa entre duas espécies ocorre quando uma espécie (o predador) se alimenta de uma segunda espécie (a presa). Por exemplo, a coruja-das-neve se alimenta quase exclusivamente de um roedor ártico chamado lemingo, enquanto esse roedor utiliza as plantas das savanas congeladas como suprimento de comida. O interesse em se utilizar a matemática para ajudar a explicar interações predador-presa foi estimulada pela observação de ciclos de população em muitos mamíferos do ártico. No distrito de MacKenzie no Canadá, por exemplo, a principal presa do lince é a lebre, e ambos os ciclos das populações têm aproximadamente 10 anos. Existem diversos modelos predador-presa que resultam em sistemas autônomos planos com ao menos uma solução periódica. O primeiro desses modelos foi construído de modo independente pelos biomatemáticos pioneiros A. Lotka (1925) e V. Volterra (1926). Se x representa o número de predadores e y representa o número de presas, então o modelo de Lotka-Volterra adquire a forma

onde a, b, c e d são constantes positivas. Note que na ausência de predadores (x 0), y¿ dy, e logo o número de presas cresce exponencialmente. Na ausência da presa, x¿ ax, e assim a população de predadores se extingue. O termo –cxy representa a taxa de morte em decorrência dos predadores. O modelo portanto considera que a taxa de mortes é diretamente proporcional ao número de encontros possíveis xy entre predador e presa em um tempo particular t, e o termo bxy representa a contribuição positiva resultante para a população de predadores. Os pontos críticos desse sistema autônomo plano são (0,0) e (d/c, a/b), e as matrizes Jacobianas correspondentes são

y

presas

O ponto crítico em (0,0) é um ponto de sela. A Figura 2.34 apresenta um perfil típico de soluções que estão no primeiro quadrante e próximas de (0,0). Como a matriz A2 tem autovalores imaginários puros o ponto crítico (d/c, a/b) pode ser um centro. Essa possibilidade pode ser investigada utilizandose o método do plano de fase. Como

podemos separar variáveis e obter x predadores

de modo que

O argumento seguinte estabelece que todas as curvas solução que se originam no primeiro quadrante são periódicas. Gráficos típicos de funções não negativas são indicadas na Figura 2.35. Não é difícil mostrar que F(x) tem um máximo absoluto em x d/c, enquanto que G(y) tem um máximo absoluto em y a/b. Note que, com a exceção de 0 e do máximo absoluto, F e G assumem todos os valores na sua faixa precisamente duas vezes. Esses gráficos podem ser utilizados para estabelecer as seguintes propriedades de uma curva solução que se origina em um ponto não crítico (x0,y0) no primeiro quadrante. 1. Se y a/b, a equação F(x)G(y) c0 tem exatamente duas soluções xm e xM que satisfazem xm d/c xM.

Figura 2.34 (0,0).

Soluções próximas de

90

CAPÍTULO 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares F

G

x1

Figura 2.35

x

y1

a/b gráfico de G(y) (b)

y2

y

Gráficos de F e G auxiliam a estabelecer as propriedades 1-3.

2. Se xm x1 xM e x x1, então F(x)G(y) c0 tem exatamente duas soluções y1 e y2 que satisfazem y1 a/b y2. 3. Se x estiver fora do intervalo [xm, xM], então F(x)G(y) c0 não tem soluções.

y X0

Faremos a demonstração de (1) e indicaremos descrições de (2) e (3) nos exercícios. Como (x0,y0) (d/c, a/b), F(x0)G(y0) F(d/c)G(a/b). Se y a/b, então

a/b

xm

d/c

x1

xM

x

Portanto, F(x) c0/G(a/b) tem precisamente duas soluções xm e xM que satisfazem xm

d/c xM. O gráfico de uma solução periódica simples é mostrado na Figura 2.36.

Figura 2.36 Solução periódica do modelo de Lotka-Volterra.

Exemplo 3

Ciclos de população predador-presa

Se considerarmos a 0,1, b 0,002, c 0,0025 e d 0,2 no modelo predador-presa de Lotka-Volterra, o ponto crítico no primeiro quadrante será (d/c, a/b) (80,50), e sabemos que esse ponto crítico é um centro. Veja a Figura 2.37, na qual foi utilizado um programa de cálculo numérico para gerar esses ciclos. Quanto mais próxima a condição inicial X0 estiver de (80,50), mais as soluções periódicas se assemelharão às soluções elípticas do sistema linear correspondente. Os autovalores de g¿((80,50)) são e portanto as soluções próximas do ponto crítico têm período ou aproximadamente 44,4. ❑

y

presas

x2 d/c gráfico de F(x) (a)

100

50

40

80

120

160

x

predadores

Figura 2.37 Perfil de fase do modelo de Lotka-Volterra próximo ao ponto crítico (80,50).

Modelo de competição de Lotka-Volterra Uma interação competitiva ocorre quando duas ou mais espécies competem por recursos de comida, água, luz e espaço de um ecossistema. O uso de um desses recursos por uma população, portanto, inibe a capacidade da outra população de sobreviver e crescer. Sob quais condições as duas espécies competidoras podem coexistir? Diversos modelos matemáticos foram construídos para oferecer elucidar condições que permitam coexistência. Se x representa o número na espécie I e y representa o número na espécie II, então o modelo de LotkaVolterra adquire a forma

(1)

Note que na ausência da espécie II (y 0), x¿ (r1/K1)x(K1 – x), e assim a primeira população cresce logisticamente e se aproxima da população de regime permanente K1 (veja a Seção 2.8 do Volume 1 e o Exemplo 4 na Seção 2.3 deste Volume). Fato semelhante se aplica para a espécie II crescendo na ausência da espécie I. O termo 21xy na segunda equação é originado a partir do efeito competitivo da espécie I sobre a espécie II. O modelo portanto assume que essa taxa de inibição é diretamente proporcional ao número de pares competitivos possíveis xy em um tempo particular t.

91


Esse sistema autônomo plano tem pontos críticos em (0,0), (K1,0) e (0,K2). Quando 1221 0, as retas K1 – x – a12y 0 e K2 – y – a21x 0 se interceptam para produzir um quarto ponto crítico . A Figura 2.38 indica as duas condições sob as quais está no primeiro quadrante. O traço e o determinante da matriz Jacobiana em são, respectivamente,

y K1/␣12

K2 ˆ y) ˆ (x,

No caso (a), K1/12 K2 e K2/21 K1. Segue-se que 1221 1, 0 e 0. Como

K1

x

K2/␣ 21

(a) ␣ 12␣ 21 < 1 y K2

K1/␣12 ˆ y) ˆ (x,

2 4 0 e assim é um nó estável. Portanto, se X(0) X0 estiver suficientemente próximo de , limt→ X(t) , e podemos concluir que a coexistência é possível. A demonstração de que o caso (b) resulta em um ponto de sela e a investigação da natureza dos pontos críticos em (0,0), (K1,0) e (0,K2) são deixadas como exercício. Quando as interações competitivas entre duas espécies forem fracas, ambos os coeficientes 12 e 21 serão pequenos, e assim as condições K1/12 K2 e K2/21 K1 podem ser satisfeitas. Isso poderia ocorrer quando houvesse uma pequena sobreposição nas escalas de duas espécies de predadores que caçam uma presa em comum. Exemplo 4

Um modelo de competição de Lotka-Volterra

Uma interação competitiva é descrita pelo modelo de competição de Lotka-Volterra

Determine e classifique todos os pontos críticos do sistema. Solução

Os pontos críticos existem em (0,0), (50,0), (0,100) e na solução (20,40)

do sistema

Como 1221 2,25 1, temos o caso (b) na Figura 2.38, e assim o ponto crítico em (20,40) é um ponto de sela. A matriz Jacobiana é

e obtemos

K2/␣ 21

K1

x

(b) ␣ 12␣ 21 > 1

Figura 2.38 Duas condições com pontos críticos no primeiro quadrante.

92


Portanto (0,0) é um nó instável, enquanto que tanto (50,0) como (0,100) são nós estáveis. (Verifique isso!) Como det A3 0, temos uma segunda demonstração de que (20,40) é um ponto de sela. ❑ A coexistência pode também ocorrer no modelo de competição de Lotka-Volterra caso exista ao menos uma solução periódica que se situa inteiramente no primeiro quadrante. É possível mostrar, entretanto, que esse modelo não tem soluções periódicas.

EXERCÍCIOS 2.4


O pêndulo não linear 1. Um pêndulo é liberado em /3, sendo dada a ele uma velocidade angular inicial de 0 rad/s. Determine sob quais condições o movimento resultante é periódico. 2. (a) Se um pêndulo for liberado a partir do repouso em 0, mostre que a velocidade angular é novamente 0 quando 0. (b) O período T do pêndulo é a quantidade de tempo necessária para variar de 0 para 0 e retornar para 0. Mostre que

satisfazem y1 a/b y2. [Sugestão: Primeiro mostre que G(y) c0/F(x1) G(a/b)]. 8. A partir de (1) e (3) das páginas 89 e 90, conclua que o número máximo de predadores ocorre quando y a/b. 9. Em muitos modelos científicos de pesca, a taxa na qual uma espécie é capturada é considerada como sendo diretamente proporcional à sua abundância. Se tanto o predador como a presa forem explorados dessa maneira, a equação diferencial de Lotka-Volterra assume a forma

onde 1 e 2 são constantes positivas.

A partícula deslizante 3. Uma partícula com massa m desliza ao longo de um fio fino cujo formato é descrito pela função z f(x). Se X1 (x1,y1) for um ponto crítico do sistema autônomo plano associado à partícula deslizante, verifique que a matriz Jacobiana em X1 é

4. Uma partícula com massa m desliza ao longo de um fio fino cujo formato é descrito pela função z f (x). Quando f ¿(x1) 0, f –(x1) 0, e o sistema é não amortecido, o ponto crítico X1 (x1,0) é um centro. Estime o período da partícula quando x(0) estiver próximo de x1 e x¿(0) 0. 5. Uma partícula é liberada a partir da posição x(0) x0 na 2 curva z x /2 com velocidade inicial x¿(0) v0 cm/s. (a) Use o método do plano de fase para mostrar que a solução resultante é periódica quando o sistema é não amortecido.

(a) Quando 2 d, mostre que existe um ponto crítico novo no primeiro quadrante, sendo ele um centro. (b) O princípio de Volterra afirma que uma quantidade moderada de exploração aumenta o número médio de presas e reduz o número médio de predadores. Esse modelo de pesca é consistente com o princípio de Volterra? 10. Uma interação predador-presa é descrita pelo modelo de Lotka-Volterra

(a) Determine o ponto crítico no primeiro quadrante e use um programa de cálculo numérico para esboçar alguns ciclos de população. (b) Estime o período das soluções periódicas que estão próximas ao ponto crítico em (a). 11. Uma interação competitiva é descrita pelo modelo de competição de Lotka-Volterra

(b) Mostre que a altura máxima zmax atingida pela partícula é dada por Obtenha e classifique todos os pontos críticos do sistema. 6. Refaça o Problema 5 com z cosh x.

Modelos de interação 7. (Consulte a Figura 2.36.) Se xm x1 xM e x x1, mostre que F(x)G(y) c0 tem exatamente duas soluções y1 e y2 que

12. Em (1), mostre que (0,0) é sempre um nó instável. 13. Em (1), mostre que (K1,0) é um nó estável quando K1 K2 /21, e um ponto de sela quando K1 K2/21. 14. Utilize os Problemas 12 e 13 para estabelecer que (0,0), é um nó (K1,0) e (0,K2) são instáveis quando estável.


15. Em (1), mostre que

é um ponto de sela quando

Modelos não lineares diversos 16. Se considerarmos que uma força de amortecimento atua no sentido oposto ao movimento de um pêndulo e com uma magnitude diretamente proporcional à velocidade angular d/dt, o ângulo de deslocamento para o pêndulo satisfaz a equação diferencial de segunda ordem não linear

93

(b) Investigue os pontos críticos do sistema autônomo plano correspondente. Sob quais condições o ponto crítico é um ponto de sela? E um ponto espiral estável? 19. Uma oscilação subamortecida satisfaz uma equação diferencial de segunda ordem não linear da forma x– f (x) 0, onde f (0) 0 e xf (x) 0 para x 0 e –d x d. Use o método do plano de fase para investigar se é possível para o ponto crítico (0,0) ser um ponto espiral estável. e mostre que y2 [Sugestão: Considere 2F(x) c]. 20. O modelo predador-presa de Lotka-Volterra considera que, na ausência de predadores, o número de presas cresce exponencialmente. Se adotarmos a consideração alternativa de que a população de presas cresce logisticamente, o novo sistema é

(a) Escreva a equação diferencial de segunda ordem como um sistema autônomo plano e determine todos os pontos críticos. (b) Determine uma condição para m, l e que torna (0,0) um ponto espiral estável. 17. Na análise do movimento amortecido livre na Seção 3.8 do Volume 1, consideramos que a força de amortecimento era proporcional à velocidade x¿. Frequentemente a magnitude dessa força de amortecimento é proporcional ao quadrado da velocidade, sendo que a nova equação diferencial é escrita como

onde a, b, c, r e K são constantes positivas e K a/b. (a) Mostre que o sistema tem pontos críticos em (0,0), (0,K) e

onde

(c) Mostre que

(a) Escreva a equação diferencial de segunda ordem como um sistema autônomo plano e determine todos os pontos críticos. (b) O sistema é denominado sobreamortecido quando (0,0) é um nó estável, e é denominado subamortecido quando (0,0) é um ponto espiral estável. Considerações físicas sugerem que (0,0) tem que ser um ponto crítico assintoticamente estável. Mostre que o sistema é necessariamente subamortecido.

18. Uma partícula com massa m desliza ao longo de um fio fino cujo formato pode ser descrito pela função z f (x). Pequenos trechos do fio atuam como um plano inclinado, e em mecânica considera-se que a magnitude da força de atrito entre a partícula e o fio seja diretamente proporcional a mg cos . Veja a Figura 2.30. (a) Explique por que a nova equação diferencial para a coordenada x da partícula é

para alguma constante positiva .

e

(b) Mostre que os pontos críticos em (0,0) e (0,K) são poné um tos de sela, enquanto que o ponto crítico em nó estável ou um ponto espiral estável. é um ponto espiral estável quando

Explique por que esse caso ocorrerá quando a capacidade de carga K da presa for grande. 21. O sistema não linear

surge de um modelo para o crescimento de micro-organismos em um biorreator, um dispositivo de laboratório simples no qual um nutriente flui a partir de uma fonte para uma câmara de crescimento. No sistema, x representa a concentração de micro-organismos na câmara de crescimento, y representa a concentração de nutrientes, e 1 e 0 são constantes que podem ser ajustadas pelo experimentador. Determine condições de e que garantem que o sistema no primeiro quadrante, e tenha um único ponto crítico investigue a estabilidade desse ponto crítico. 22. Utilize os métodos desse capítulo junto com um programa de cálculo numérico para investigar a estabilidade de um sistema massa-mola não linear modelado por

Veja o Problema 8 nos Exercícios 3.10 do Volume 1.

94


2.5

R X0 ? X1

Figura 2.39 Para qualquer X0 em R, X se aproxima de X1 quando t →⬁?

Soluções periódicas, ciclos limites e estabilidade global

Introdução Nessa seção, investigaremos a existência de soluções periódicas para sistemas autônomos planos e introduziremos soluções periódicas especiais denominadas ciclos limites. Vimos nas Seções 2.3 e 2.4 que uma análise de pontos críticos utilizando linearização pode fornecer informações valiosas a respeito de soluções próximas a pontos críticos e percepções em relação a uma variedade de fenômenos biológicos e físicos. Existem, entretanto, algumas limitações inerentes a essa abordagem. Quando os autovalores da matriz Jacobiana forem imaginários puros, não podemos concluir se existem soluções periódicas próximas ao ponto crítico. Em alguns casos, fomos capazes de resolver dy/dx ⫽ Q(x,y)/P(x,y), obter uma representação implícita f (x,y) ⫽ c das curvas solução, e investigar se alguma dessas soluções formavam curvas fechadas. Antes de mais nada, essa equação diferencial não terá soluções na forma fechada. Por exemplo, o modelo de competição de Lotka-Volterra não pode ser trabalhado por esse procedimento. O primeiro objetivo dessa seção é determinar condições sob as quais possamos excluir a possibilidade de soluções periódicas ou garantir a sua existência. Encontramos um problema adicional ao estudar os modelos da Seção 2.3. A Figura 2.39 ilustra a situação comum na qual uma região R contém um único ponto crítico assintoticamente estável X1. Podemos afirmar que limt→⬁ X(t) ⫽ X1 quando a posição inicial X(0) ⫽ X0 está “próxima” de X1, mas sob qual condição temos limt→⬁ X(t) ⫽ X1 para todas as posições iniciais em R? Tal ponto crítico é chamado globalmente estável em R. Um segundo objetivo é determinar condições sob as quais um ponto crítico assintoticamente estável é globalmente estável. Para motivar e discutir os métodos nessa seção, utilizaremos o fato de que o campo vetorial V(x,y) ⫽ (P(x,y),Q(x,y)) pode ser interpretado como definindo um fluxo de fluido em uma região do plano. Além disso, uma solução do sistema autônomo pode ser interpretada como o caminho resultante de uma partícula que se move pela região. Critério negativo

Uma quantidade de resultados pode algumas vezes ser utilizada para estabelecer a não existência de soluções periódicas em uma dada região R do plano. Consideraremos que P(x,y) e Q(x,y) tenham derivadas parciais primeira contínuas em R e que R seja simplesmente conexa. Recorde que em uma região simplesmente conexa, qualquer curva simples fechada C em R engloba somente pontos em R. Portanto, se existir uma solução periódica X ⫽ X(t) em R, então R conterá todos os pontos no interior da curva resultante.

TEOREMA 2.4

Ciclos e pontos críticos

Se um sistema autônomo plano tiver uma solução periódica X ⫽ X(t) em uma região simplesmente conexa R, então o sistema tem ao menos um ponto crítico no interior da curva simples fechada correspondente C. Se existir um único ponto crítico no interior de C, então esse ponto crítico não pode ser um ponto de sela.

C O R O L Á R IO Se uma região simplesmente conexa R não contiver nenhum ponto crítico de um sistema autônomo plano ou contiver um único ponto de sela, então não existirão soluções periódicas em R.

2.5 Soluções Periódicas, Ciclos Limites e Estabilidade Global

Exemplo 1

Nenhuma solução periódica

Mostre que o sistema autônomo plano

não tem soluções periódicas. Se (x,y) for um ponto crítico, então, a partir da primeira equação, x 0 ou y 0. Se x 0, então –1 – y2 0 ou y2 1. De modo semelhante, y 0 implica x2 1. Portanto, esse sistema autônomo plano não tem pontos críticos e, pelo corolário, não possui soluções periódicas no plano. Solução

Exemplo 2

Modelo de competição de Lotka-Volterra

Mostre que o modelo de competição de Lotka-Volterra

não tem soluções periódicas no primeiro quadrante. Solução No Exemplo 4 da Seção 2.4, mostramos que esse sistema tem pontos críticos em (0,0), (50,0), (0,100) e (20,40), e que (20,40) é um ponto de sela. Como somente (20,40) se situa no primeiro quadrante, pelo corolário não existem soluções periódicas no primeiro quadrante. ❑

Outro resultado algumas vezes útil pode ser formulado em termos do divergente do campo vetorial V(x,y) (P(x,y),Q(x,y)):

TEOREMA 2.5

Critério negativo de Bendixson

Se div V P/x Q/y não muda o sinal em uma região simplesmente conexa R, então o sistema autônomo plano não tem soluções periódicas em R.

Suponha, ao contrário, que existe uma solução periódica X X(t) situada em R, e considere C como sendo a curva simples fechada resultante e R1 a região limitada por C. O teorema de Green afirma que Demonstração

sempre que M(x,y) e N(x,y) tiverem derivadas parciais primeira contínuas em R. Se adotarmos N P e M Q, obtemos

Como X X(t) é uma solução com período p, temos x¿(t) P(x(t),y(t)) e y¿(t) Q(x(t),y(t)), e assim

95

96


Como div V P/x Q/y é contínuo e não muda o sinal em R, segue-se que div V 0 em R ou div V 0 em R. Assim ❑ Essa contradição estabelece a não existência de soluções periódicas em R. Exemplo 3

Critério negativo de Bendixson

Investigue possíveis soluções periódicas para cada sistema

Solução

(a) Temos div V P/x Q/y 1 12x2 2 x2 3y2 3, e assim não existem soluções periódicas no plano. (b) Para esse sistema, div V (2 – 3x2 – y2) (2 – x2 – 3y2) 4 – 4(x2 y2). Portanto, se R estiver no interior do círculo x2 y2 1, div V 0, e logo não existem soluções periódicas dentro do disco. Note que div V 0 no exterior do círculo. Se R for qualquer subconjunto simplesmente conexo do exterior, então não existem soluções periódicas em R. Decorre que se existir uma solução periódica no exterior, ela tem que englobar o círculo x2 y2 1. De fato, o leitor pode verificar que X(t) ( sen t, cos t) é uma solução periódica que gera o círculo x2 2 y 2. ❑ Exemplo 4

Partícula deslizante e soluções periódicas

A partícula deslizante discutida na Seção 2.4 satisfaz a equação diferencial

Mostre que não existem soluções periódicas. Solução

O sistema autônomo plano correspondente é

❑

e assim

O teorema apresentado a seguir é uma generalização do critério negativo de Bendixson, sendo deixado para o leitor construir uma função apropriada (x,y).

TEOREMA 2.6

Critério negativo de Dulac

Se (x,y) tiver derivadas parciais primeira contínuas em uma região simplesmente conexa R e

não mudar de sinal em R, então o sistema autônomo

plano não tem soluções periódicas em R.


97

Não existem técnicas gerais para construção de uma função apropriada (x,y). Em vez disso, experimentamos com funções simples da forma ax2 by2, eaxby, xayb e assim por diante, e tentamos determinar constantes para as quais (P)/x (Q)/y é diferente de zero em uma dada região. Exemplo 5


Mostre que a equação diferencial não linear de segunda ordem não tem soluções periódicas. Solução

O sistema autônomo plano correspondente é

Se adotarmos

então

Se adotarmos a 2 e b 0, então (P)/x (Q)/y eaxby, que é sempre negativa. Portanto, pelo critério negativo de Dulac, a equação diferencial de segunda ordem não tem soluções periódicas. ❑ Exemplo 6


Utilize (x,y) 1/(xy) para mostrar que as equações de competição de Lotka-Volterra

não têm soluções periódicas no primeiro quadrante. Solução

Se (x,y) 1/(xy), então

C

V

␪ n R

e assim Para (x,y) no primeiro quadrante, a última expressão é sempre negativa. Portanto, não existem soluções periódicas. ❑ Critério positivo: teoria de Poincaré-Bendixson O teorema de Poincaré-Bendixson é um resultado avançado que descreve o comportamento de longa escala de uma solução limitada para um sistema autônomo plano. Em vez de apresentarmos o resultado em sua generalidade completa, nos concentraremos em um número de casos especiais que ocorrem frequentemente em aplicações. Um desses casos nos levará a um novo tipo de solução periódica chamada de ciclo limite.


Região invariante

Uma região R é denominada região invariante para um sistema autônomo plano se, sempre que X0 estiver em R, a solução X X(t) que satisfaz X(0) X0 permanecer em R.

(a) Região invariante de Tipo I C1

V

␪ n R C2

(b) Região invariante de Tipo II

Figura 2.40 variantes.

Dois tipos de regiões in-

98


A Figura 2.40 apresenta dois tipos padrões de regiões invariantes. Uma região R invariante de Tipo I é limitada por uma curva fechada simples C, e o fluxo no contorno definido pelo campo vetorial V(x,y) (P(x,y),Q(x,y)) está sempre direcionado para dentro da região. Isso previne uma partícula de cruzar o contorno. Uma região invariante de Tipo II é uma região anular limitada pelas curvas simples fechadas C1 e C2, sendo que o fluxo no contorno está novamente direcionado em direção ao interior de R. O teorema a seguir fornece um método para verificar se uma determinada região é invariante.

TEOREMA 2.7

Vetores normais e regiões invariantes

Se n(x,y) representa um vetor normal no contorno apontando para o interior da região, então R será uma região invariante para o sistema autônomo plano desde que V(x,y) · n(x,y) 0 para todos os pontos (x,y) no contorno. Demonstração Se for o ângulo entre V(x,y) e n(x,y), então, a partir de V· n ||V|| ||n|| cos , podemos concluir que cos 0 e logo está entre 0o e 90o. O fluxo está portanto direcionado para o interior da região (ou no mínimo ao longo do contorno). Isso previne que uma solução que se inicie em R deixe R. Portanto, R é uma região invariante para o sistema autônomo plano. ❑

O problema de se obter uma região invariante para um determinado sistema não linear é extremamente difícil. Um excelente primeiro passo consiste em utilizar um programa que trace o campo vetorial V(x,y) (P(x,y),Q(x,y)) em conjunto com as curvas P(x,y) 0 (ao longo das quais os vetores são verticais) e Q(x,y) 0 (ao longo das quais os vetores são horizontais). Isso pode resultar em escolhas para R. Nos exemplos que se seguem, construiremos regiões invariantes limitadas por retas e círculos. Em casos mais complicados, nos contentaremos com oferecer evidências empíricas a respeito da existência de uma região invariante. Exemplo 7

Região invariante circular

Determine uma região circular com centro em (0,0) que sirva como uma região invariante para o sistema autônomo plano

Para o círculo x2 y2 r2, n (2x, 2y) é um vetor normal que aponta em direção ao interior do círculo. Como

Solução

podemos concluir que V· n 0 no círculo x2 y2 r2. Portanto, pelo Teorema 2.7, a região circular definida por x2 y2 r2 serve como uma região invariante do sistema para qualquer r 0. ❑ Exemplo 8

Região invariante anular

Determine uma região anular limitada pelos círculos que servem como uma região invariante para o sistema autônomo plano

99

2.5 Soluções Periódicas, Ciclos Limites e Estabilidade Global Solução Como no Exemplo 7, o vetor normal n1 (2x, 2y) aponta para o interior do círculo x2 y2 r2, enquanto o vetor normal n2 n1 está direcionado em direção ao exterior. Calculando V· n e simplificando, obtemos

Note que r2 – 5r4 r2(1 – 5r2) admite valores positivos e negativos. Se pois o valor máximo de x6 y6 no cír2 2 culo x y 1 é 1. O fluxo está portanto direcionado em direção à região circular x2 y2 1. Se e assim V· n2 V· n1 0. O fluxo está portanto direcionado em direção ao exterior do círculo e logo a região anular R definida por é uma região invariante para o sistema. ❑ Exemplo 9

y P > 0, Q > 0

P > 0, Q < 0

2

x

A equação de Van der Pol

–2

2

A equação de Van der Pol é uma equação diferencial de segunda ordem não linear utilizada em eletrônica. Como um sistema autônomo plano, admite a forma P < 0, Q > 0

A Figura 2.41 mostra o campo vetorial correspondente para 1, junto com as curvas y 0 e (x2 – 1)y x ao longo das quais os vetores são verticais e horizontais, respectivamente. (Por questão de conveniência, esboçamos o campo vetorial normalizado V/||V||.) Não é possível determinar uma região invariante simples cujos contornos são constituídos por retas ou círculos. A figura oferece evidência empírica de que uma região invariante R, com (0,0) em seu interior, existe. A demonstração matemática desse fato exige o uso de métodos avançados.* ❑ A seguir apresentamos dois casos especiais importantes do teorema de PoincaréBendixson que garante a existência de soluções periódicas.

TEOREMA 2.8

Poincaré-Bendixson I

Seja R uma região invariante para um sistema autônomo plano, e considere que R não tenha pontos críticos em seu contorno. (a) Se R for uma região do Tipo I que tenha um único nó instável ou ponto espiral instável em seu interior, então existe ao menos uma solução periódica em R. (b) Se R for uma região do Tipo II que não contenha pontos críticos do sistema, então existe ao menos uma solução periódica em R. Em qualquer um dos dois casos, se X X(t) for uma solução não periódica em R, então X(t) gira em formato espiral em direção a um ciclo que é uma solução para o sistema. Essa solução periódica é denominada ciclo limite.

A interpretação de fluxo destacada na Figura 2.40 pode ser aplicada para tornar o resultado plausível. Se uma partícula for liberada em um ponto X0 em uma região R invariante do Tipo II, então, sem escapar da região e sem pontos de repouso, a partícula começará a girar em torno do contorno C2, definindo uma órbita periódica. Não é possível para a partícula retornar para uma posição anterior a menos que a própria solução seja periódica.

* Veja M. Hirsh e S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra (New York: Academic Press, 1974).

–2 P < 0, Q < 0

Figura 2.41 Campo vetorial para a equação de Van der Pol.

100


Exemplo 10

Existência de uma solução periódica

Utilize o Teorema 2.8 para mostrar que o sistema

tem ao menos uma solução periódica. Solução

Primeiro construímos uma região invariante que seja limitada por círculos. Se n1 (2x, 2y), então V· n1 –2r2(1 – r2). Se adotarmos r 2 e depois r podemos concluir que a região anular R definida por é invariante. Se (x1,y1) for um ponto crítico do sistema, então V· n1 (0,0) · n1 0. Portanto, r 0 ou r 1. Se r 0, então (x1,y1) (0,0) é um ponto crítico. Se r 1, o sistema se reduz para –2y 0, 2x 0, e chegamos a uma contradição. Logo, (0,0) é o único ponto crítico, sendo que esse ponto crítico não está em R. Pelo item (b) do Teorema 2.8, o sistema tem ao menos uma solução periódica em R. O leitor pode verificar que X(t) (cos 2t, sen 2t) é uma solução periódica. ❑ Exemplo 11

Ciclo limite na equação de Van der Pol

Mostre que a equação diferencial de Van der Pol y 3

tem uma solução periódica quando 0.

(3, 3)

Solução

Consideraremos que exista uma região R invariante do Tipo I para o sistema autônomo plano correspondente e que essa região contém (0,0) em seu interior (veja o Exemplo 9 e a Figura 2.41). O único ponto crítico é (0,0), e a matriz Jacobiana é dada por

(0,5, 0,5) x –3

3

–3

Figura 2.42 Duas soluções da equação de Van der Pol se aproximam do mesmo ciclo limite.

Assim, . Como 0, o ponto crítico é um ponto espiral instável ou um nó instável. Pelo item (i) do Teorema 2.8, o sistema tem ao menos uma solução periódica em R. A Figura 2.42 apresenta soluções correspondentes a X(0) (0,5, 0,5) e X(0) (3,3) para 1. Cada uma dessas soluções gira em formato espiral em torno da origem e se aproxima de um ciclo limite. Pode-se mostrar que a equação diferencial de Van der Pol tem um único ciclo limite para todos os valores do parâmetro . ❑ Estabilidade global

Outra versão do teorema de Poicaré-Bendixson pode ser utilizada para mostrar que um ponto crítico localmente estável é globalmente estável:

TEOREMA 2.9

Poicaré-Bendixson II

Seja R uma região invariante de Tipo I para um sistema autônomo plano que não tenha soluções periódicas em R. (a) Se R tiver um número finito de nós ou pontos espirais, então, dada qualquer posição inicial X0 em R, limt→ X(t) X1 para algum ponto crítico X1. (b) Se R tiver um único nó estável ou ponto espiral estável X1 em seu interior e nenhum ponto crítico em seu contorno, então limt→ X(t) X1 para toda posição inicial X0 em R.

No Teorema 2.9, a partícula não pode escapar de R, não pode retornar para qualquer das suas posições anteriores e, portanto, na ausência de ciclos, tem que ser atraída para algum ponto crítico estável X1.


Exemplo 12

101

Um ponto crítico globalmente instável

Investigue a estabilidade global para o sistema do Exemplo 7:

No Exemplo 7, mostramos que a região circular definida por x2 y2 r funciona como uma região invariante do sistema para qualquer r 0. Como P/x Q/y –3x2 – 3y2 não muda o sinal, não existem soluções periódicas pelo critério negativo de Bendixson. Não é difícil mostrar que (0,0) é o único ponto crítico e que a matriz Jacobiana é Solução 2

Como 0 e 1, (0,0) pode ser um ponto espiral estável ou instável (ele não pode ser um centro). O Teorema 1.9, entretanto, garante que limt→ X(t) X1 para algum ponto crítico X1. Como (0,0) é o único ponto crítico, temos que ter limt→ X(t) (0,0) para qualquer posição inicial X0 no plano. O ponto crítico é, portanto, um ponto espiral globalmente estável. A Figura 2.43 mostra duas vistas da solução que satisfaz X(0) (4,4). O item (b) consiste em uma vista maior da curva em torno de (0,0). Observe o quão lenta a solução gira em direção ao ponto (0,0). ❑ y 4

0,5

x –4

4

–0,5

0,5

–0,5

–4

(a)

Figura 2.43

(b)

Detalhe de uma região em torno de (0,0).

EXERCÍCIOS 2.5


Nos Problemas 1-8, mostre que o sistema autônomo plano indicado (ou equação diferencial de segunda ordem) não tem soluções periódicas. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. 8. Nos Problemas 9 e 10, utilize o critério negativo de Dulac para mostrar que o sistema autônomo plano indicado não tem soluções periódicas. Experimente funções simples da forma (x,y) ax2 by2, eaxby ou xayb. 9.

10.

102

CAPÍTULO 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares 19. Seja X X(t) a solução do sistema autônomo plano

11. Mostre que o sistema autônomo plano

que satisfaz X(0) (x0,y0). Mostre que se x0 y0 1, então limt→ X(t) (0,0). [Sugestão: Selecione r 1 com x02 y02 r2 e mostre primeiro que a região circular R definida por x2 y2 r2 é uma região invariante.] 2

não tem soluções periódicas em uma região elíptica em torno da origem. 12. Se g/x¿ 0 em uma região R, prove que x– g(x,x¿) não tem soluções periódicas em R. 13. Mostre que o modelo predador-presa

apresentado no Problema 20 dos Exercícios 2.4 não tem soluções periódicas no primeiro quadrante. Nos Problemas 14 e 15, determine uma região invariante circular para o sistema autônomo plano indicado. 14.

15.

16. Verifique que a região limitada pela curva fechada x 3y 1 é uma região invariante para a equação diferencial não linear de segunda ordem x– x¿ – (x¿)3 – x5. Veja a Figura 2.44. 6

2

2

20. Investigue a estabilidade global para o sistema

21. Evidências empíricas sugerem que o sistema autônomo plano

tem uma região invariante R do Tipo I que se situa no interior do retângulo 0 x 2, 0 y 1. (a) Utilize o critério negativo de Bendixson para mostrar que não existem soluções periódicas em R. (b) Se X0 estiver em R e X X(t) for a solução que satisfaz X(t) X0, use o Teorema 2.9 para obter limt→ X(t). 22. (a) Determine e classifique todos os pontos críticos do sistema autônomo plano

y x 6 + 3y2 = 1

x –0,5

Figura 2.44

0,5

(b) A Figura 2.45 mostra o campo vetorial V/||V|| e oferece evidência empírica de que existe uma região invariante R no primeiro quadrante com um ponto crítico em seu interior. Considerando que tal região exista, prove que há ao menos uma solução periódica.

Região invariante no Problema 16.

y

17. O sistema autônomo plano no Exemplo 8 tem apenas um ponto crítico. Podemos concluir que esse sistema tem ao menos uma solução periódica?

y¿ = 0 (2, 6) 6

18. Use o teorema de Poicaré-Bendixson para mostrar que a equação diferencial não linear de segunda ordem 4

tem ao menos uma solução periódica. [Sugestão: Determine uma região anular invariante para o sistema autônomo plano correspondente.]

x¿ = 0

2

x 2

Figura 2.45

Campo vetorial para o Problema 22.



103


Responda os Problemas 1-10 sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso.

14. Determine e classifique (se possível) os pontos críticos do sistema autônomo plano

1. A equação diferencial de segunda ordem x– f(x¿) g(x) 0 pode ser escrita como um sistema autônomo plano. _____ 2. Se X X(t) for uma solução de um sistema autônomo plano e X(t1) X(t2) para t1 t2, então X(t) é uma solução periódica. _____ 3. Se o traço da matriz A for 0 e det A 0, então o ponto crítico (0,0) do sistema linear X¿ AX pode ser classificado como _____. 4. Se o ponto crítico (0,0) do sistema linear X¿ AX for um ponto espiral estável, então os autovalores de A são _____. 5. Se o ponto crítico (0,0) do sistema linear X¿ AX for um ponto de sela e X X(t) for uma solução, então limt→ X(t) não existe. _____ 6. Se a matriz Jacobiana A g¿(X1) em um ponto crítico de um sistema autônomo plano tem traço e determinante positivos, então o ponto crítico X1 é instável. _____ 7. É possível demonstrar que um sistema autônomo plano não linear tem soluções periódicas utilizando linearização. _____ 8. Todas as soluções da equação do pêndulo são periódicas. _____ 9. Se uma região simplesmente conexa R não contiver pontos críticos de um sistema autônomo plano, então não existem soluções periódicas em R. _____ 10. Se um sistema autônomo plano não tiver pontos críticos em uma região invariante anular, então existe ao menos uma solução periódica em R. _____ 11. Resolva o seguinte sistema autônomo plano não linear transformando-o em coordenadas polares, e descreva o comportamento geométrico da solução que satisfaz a condição inicial indicada.

O sistema tem alguma solução periódica no primeiro quadrante? 15. Classifique o ponto crítico (0,0) do sistema autônomo plano que corresponde à equação diferencial de segunda ordem não linear

onde é uma constante real. 16. Sem resolver explicitamente, classifique (se possível) os pontos críticos da equação diferencial de primeira ordem autônoma como assintoticamente estável ou instável. 17. Utilize o método do plano de fase para mostrar que as soluções da equação diferencial de segunda ordem não linear

que satisfazem x(0) x0 e x¿(0) 0 são periódicas. 18. Na Seção 3.8 do Volume 1, consideramos que a força de restauração F da mola satisfez a lei de Hooke F ks, onde s é o alongamento da mola e k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se substituirmos essa consideração pela lei não linear F ks3, então a nova equação diferencial para o movimento amortecido se escreve mx– x¿ k(s x3) mg, onde ks3 mg. O sistema é denominado sobreamortecido quando (0,0) for um nó estável, e é chamado subamortecido quando (0,0) for um ponto espiral estável. Determine novas condições para m, k e que resultarão em sobreamortecimento e subamortecimento. 19. Mostre que o sistema autônomo plano

não tem soluções periódicas. 12. Discuta a natureza geométrica das soluções do sistema linear X¿ AX dada a solução geral.

20. Use o teorema de Poicaré-Bendixson para mostrar que o sistema autônomo plano

(a) (b) 13. Classifique o ponto crítico (0,0) do sistema linear indicado calculando o traço e o determinante . (a)

(b)

tem ao menos uma solução periódica quando 0. O que ocorre quando 0? 21. A haste de um pêndulo está conectada a uma articulação móvel no ponto P e gira a uma velocidade angular (radianos/s) no plano perpendicular à haste (veja a Figura 2.46). Como resultado, o bulbo do pêndulo sofre uma força

104

CAPÍTULO 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares centrípeta adicional. Assim, a nova equação diferencial em relação a se escreve

(d) Determine sob quais condições os pontos críticos nos itens (a) e (b) são pontos espirais estáveis. 22. A equação diferencial de segunda ordem não linear

eixo

ω

surge para modelagem do movimento de um diapasão excitado eletricamente. Veja a Figura 2.47, onde k c 0,1 e 1. Considere que essa equação diferencial possua uma região invariante do Tipo I que contenha (0,0). Mostre que existe ao menos uma solução periódica. y 3 (2, 2)

Figura 2.46

Pêndulo girante no Problema 21.

(a) Estabeleça que não existem soluções periódicas. (b) Se g/l, mostre que (0,0) é um ponto crítico estável, sendo o único ponto crítico no domínio . Descreva o que ocorre fisicamente quando (0) 0, ¿(0) 0, e 0 for pequeno.

x

2

(c) Se g/l, mostre que (0,0) é instável e existem dois no domínio pontos críticos estáveis adicionais . Descreva o que ocorre fisicamente quando (0) 0, ¿(0) 0, e 0 for pequeno.

–3

3

2

–3

Figura 2.47

Curva solução no Problema 22.

CAPÍTULO

3 Funções Ortogonais e Séries de Fourier Descrição do capítulo 3.1 Funções ortogonais 3.2 Séries de Fourier 3.3 Séries de Fourier do co-seno e do seno 3.4 Série complexa de Fourier 3.5 Problema de Sturm-Liouville 3.6 Séries de Bessel e Legendre 3.6.1


3.6.2


Exercícios de revisão

Nosso objetivo agora é resolver determinados tipos de equações diferenciais parciais lineares em um contexto aplicado. Apesar de não solucionarmos qualquer EDP neste capítulo, os conceitos apresentados definem o estado da arte para os procedimentos que serão discutidos futuramente. Em cálculo, você viu que uma função f suficientemente diferenciável poderia ser substituída por uma série de Taylor, que é essencialmente uma série de potências de x. O principal conceito examinado nesse capítulo também envolve a expansão de uma função em uma série infinita. No início dos anos de 1800, o matemático Francês Joseph Fourier antecipou a idéia de expandir uma função f em uma série de funções trigonométricas. Acontece que as séries de Fourier são apenas casos especiais de um tipo mais geral de representação em série para uma função utilizando um conjunto infinito de funções ortogonais. A noção de um conjunto de funções ortogonais nos leva de volta aos autovalores e o conjunto de autofunções correspondente. Como autovalores e autofunções são a chave dos procedimentos nos próximos dois capítulos, aconselha-se que você revise o Exemplo 2 na Seção 3.9 do Volume 1.

106

CAPÍTULO 3 Funções Ortogonais e Séries de Fourier

3.1

Funções ortogonais

Introdução Em determinadas áreas da matemática avançada, uma função é considerada como sendo uma generalização de um vetor. Nessa seção, veremos como os dois conceitos vetoriais de produto interno, ou escalar, e ortogonalidades de vetores podem ser estendidas para as funções. O restante do capítulo é uma aplicação prática dessa discussão.

Recordando, se u u1i u2j u3k e v v1i v2j v3k forem dois vetores em R3 ou tridimensionais, então o produto interno ou produto escalar de u e v é um número real (ou escalar) definido como a soma dos produtos das suas componentes correspondentes: Produto interno

No Capítulo 1 do Volume 2, o produto interno foi representado por u. v.

O produto interno (u,v) possui as seguintes propriedades: (i) (ii) (iii) (iv) Qualquer generalização do produto interno tem essas mesmas propriedades. Suponha que f1 e f2 sejam funções definidas em um intervalo [a,b].* Como uma integral definida no intervalo do produto f1(x)f2(x) possui as propriedades (i)-(iv) do produto interno de vetores, sempre que a integral existir a seguinte definição é válida.


Produto interno de funções

O produto interno de duas funções f1 e f2 em um intervalo [a,b] é o número

Funções ortogonais Motivados pelo fato de que dois vetores u e v são ortogonais sempre que o produto interno deles for nulo, definimos as funções ortogonais de uma maneira similar.


Funções ortogonais

Duas funções f1 e f2 são ditas ser ortogonais em um intervalo [a,b] se (1)

Por exemplo, as funções f1(x) x2 e f2(x) x3 são ortogonais no intervalo [1,1] pois

* O intervalo poderia também ser (, ), [0,), e assim por diante.

3.1 Funções Ortogonais

Ao contrário da análise vetorial, onde a palavra ortogonal é um sinônimo para perpendicular, no contexto presente o termo ortogonal e a condição (1) não têm significado geométrico. Conjuntos ortogonais

Estamos inicialmente interessados em conjuntos infinitos

de funções ortogonais.


Conjunto ortogonal

Um conjunto de funções reais {␾0(x), ␾1(x), ␾2(x),... } é dito ser ortogonal em um intervalo [a,b] se (2)

Conjuntos ortonormais

A norma, ou comprimento ||u||, de um vetor u pode ser escrita em termos do produto interno. A expressão (u,u) ||u||2 é denominada como

norma quadrada, sendo que a norma é quadrada de uma função ␾n é

De modo similar, a norma e assim a norma, ou o seu compri-

Em outras palavras, a norma quadrada e mento generalizado, é a norma de uma função ␾n em um conjunto ortogonal {␾n(x)} são, respectivamente, (3) Se {␾n(x)} for um conjunto ortogonal de funções no intervalo [a,b] com a propriedade de que ||␾n(x)|| 1 para n 0, 1, 2,..., então {␾n(x)} é dito ser um conjunto ortonormal no intervalo. Exemplo 1

Conjunto ortogonal de funções

Mostre que o conjunto {1, cos x, cos 2x,…} é ortogonal no intervalo [␲,␲]. Solução

que ro caso,

Se identificarmos ␾0(x) 1 e ␾n(x) cos nx, precisamos então mostrar e Temos, no primei-

e no segundo,

Exemplo 2

Normas

Determine as normas de cada função no conjunto ortogonal indicado no Exemplo 1.

107

108

CAPÍTULO 3 Funções Ortogonais e Séries de Fourier Solução

Para ␾0(x) 1, temos a partir de (3)

de modo que

Para ␾n(x) cos nx, n 0, segue-se que

Portanto, para Um conjunto ortogonal pode ser transformado em um conjunto ortonormal.

❑

Qualquer conjunto ortogonal de funções não nulas {␾n(x)}, n 0,1,2,..., pode ser normalizado – isto é, ser transformado em um conjunto ortonormal – dividindo-se cada função por sua norma. Decorre dos Exemplos 1 e 2 que o conjunto

é ortonormal no intervalo [␲,␲]. Analogia com vetores

Faremos mais uma analogia entre vetores e funções. Suponha v1, v2 e v3 como sendo três vetores não nulos mutuamente ortogonais em três dimensões. Tal conjunto ortogonal pode ser utilizado como uma base em três dimensões; isto é, qualquer vetor tridimensional pode ser escrito como uma combinação linear (4) onde ci, i 1,2,3, são escalares chamados de componentes do vetor. Cada componente ci pode ser escrita em termos de u e o vetor correspondente vi. Para vermos isso, calculamos o produto interno de (4) com v1:

Logo, De modo similar, temos que as componentes c2 e c3 são dadas por

Portanto, (4) pode ser expressa como (5) Expansão em séries ortogonais Considere {␾n(x)} como sendo um conjunto ortogonal infinito de funções em um intervalo [a,b]. Perguntamos: se y f(x) for uma função definida no intervalo [a,b], é possível determinar um conjunto de coeficientes cn, n 0, 1, 2,..., para o qual

(6) Como na discussão anterior para se obter as componentes de um vetor, podemos determinar os coeficientes cn utilizando o produto interno. Multiplicando (6) por ␾m(x) e integrando no intervalo [a,b], obtemos

3.1 Funções Ortogonais

Por ortogonalidade, cada termo no lado direito da última equação é nulo exceto quando m n. Nesse caso, temos

Segue-se que os coeficientes exigidos são:

Em outras palavras,

(7)

onde

(8)

Com a notação de produto interno, (7) se escreve (9) Logo, (9) é vista como sendo a função análoga do resultado vetorial indicado em (5).


Conjunto ortogonal/função de peso

Um conjunto de funções reais {␾0(x), ␾1(x), ␾2(x),...} é dito ser ortogonal em relação à função de peso w(x) em um intervalo [a,b] se

A consideração usual é que w(x) 0 no intervalo de ortogonalidade [a,b]. O conjunto {1,cos x, cos 2x,...} no Exemplo 1 é ortogonal em relação à função de peso w(x) 1 no intervalo [␲,␲]. Se {␾n(x)} for ortogonal em relação a uma função de peso w(x) no intervalo [a,b], então multiplicar (6) por w(x)␾n(x) e integrar resulta em (10)

onde

(11)

A série (7) com coeficientes definidos por (8) ou (10) é dita ser uma expansão em séries ortogonais de f ou uma série de Fourier generalizada. Conjuntos completos O procedimento destacado para determinar os coeficientes cn era formal; isto é, questões básicas sobre se uma expansão em série ortogonal tal como (7) é ou não de fato possível foram ignoradas. Ademais, para expandir f em uma série de funções ortogonais, certamente é necessário que f não seja ortogonal para cada ␾n do conjunto ortogonal {␾n(x)}. (Se f fosse ortogonal para todo ␾n, então cn 0, n 0,1,2,...). Para evitar esse último problema, consideraremos pelo restante dessa discussão que um conjunto ortogonal é completo. Isso significa que a única função ortogonal contínua para cada membro do conjunto é a função zero.

109

110


Observações Suponha que {f0(x), f1(x), f2(x),...} seja um conjunto infinito de funções reais contínuas em um intervalo [a,b]. Se esse conjunto for linearmente independente em [a,b] (veja a página 57 do Volume 2 para a definição de um conjunto linearmente independente infinito), então ele pode ser transformado em um conjunto ortogonal e, conforme descrito anteriormente nessa seção, pode ser escrito como um conjunto ortonormal. Veja o Problema 22 nos Exercícios 3.1.

EXERCÍCIOS 3.1


Nos Problemas 1-6, mostre que as funções apresentadas são ortogonais no intervalo indicado. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Nos Problemas 7-12, mostre que o conjunto de funções apresentado é ortogonal no intervalo indicado. Determine a norma de cada função no conjunto. 7. 8. 9.

18. A partir do Problema 1, sabemos que f1(x) x e f2(x) x são ortogonais em [2,2]. Determine as constantes c1 e c2 de modo que f3(x) x c1x2 c2x3 seja ortogonal tanto para f1 como para f2 no mesmo intervalo. 2

19. O conjunto de funções {sen nx}, n 1, 2,3,..., é ortogonal no intervalo [␲,␲]. Mostre que o conjunto não é completo. 20. Considere f1, f2 e f3 como sendo funções contínuas no intervalo [a,b]. Mostre que (f1 f2, f3) (f1,f3) (f2,f3). 21. Uma função f real é dita ser periódica com período T se f (x T) f (x). Por exemplo, 4␲ é um período de sen x pois sen(x 4␲) sen x. O menor valor de T para o qual f (x T) f (x) se aplica é denominado período fundamental de f. Por exemplo, o período fundamental de f(x) sen x é T 2␲. Qual é o período fundamental de cada uma das seguintes funções? (a)

10. 11.

(b) (c) (d)

12.

(e) (f)

Nos Problemas 13 e 14, verifique por integração direta que as funções são ortogonais em relação à função de peso indicada no intervalo dado. 13. 14.

An e Bn dependendo somente de n 22. O processo de Gram-Schmidt para a construção de um conjunto ortogonal discutido na Seção 1.7 do Volume 2 se aplica a um conjunto linearmente independente {f0(x), f1(x), f2(x),...} de funções reais contínuas em um intervalo [a,b]. Com o produto interno defina as funções no conjunto B¿ {␾0(x), ␾1(x), ␾2(x),...} como sendo

15. Seja {␾n(x)} um conjunto ortogonal de funções em [a,b] de modo que ␾0(x) 1. Mostre que para n 1, 2,.... 16. Seja {␾ n(x)} um conjunto ortogonal de funções em [a,b] de modo que ␾0(x) 1 e ␾1(x) x. Mostre que para n 2, 3,... e quaisquer constantes ␣ e ␤. 17. Seja {␾n(x)} um conjunto ortogonal de funções em [a,b]. Mostre que

e assim por diante.

3.2 Séries de Fourier (a) Escreva ␾3(x) no conjunto. (b) Por construção, o conjunto B¿ {␾0(x), ␾1(x), ␾2(x),...} é ortogonal em [a,b]. Demonstre que ␾0(x), ␾1(x) e ␾2(x) são mutuamente ortogonais.

Problemas para discussão 2

3

23. (a) Considere o conjunto de funções {1, x, x , x ,...} definido no intervalo [1,1]. Aplique o processo de Gram-Sch-

3.2

111

midt indicado no Problema 22 a esse conjunto e determine ␾0(x), ␾1(x), ␾2(x) e ␾3(x) do conjunto ortogonal B¿. (b) Discuta: você reconhece o conjunto ortogonal? 24. Verifique que o produto interno (f1,f2) na Definição 3.1 satisfaz as propriedades (i)-(iv) dadas na página 106. 25. Em R3, dê um exemplo de um conjunto de vetores ortogonais que não seja completo. Defina um conjunto de vetores ortogonais que seja completo.

Séries de Fourier

Introdução Vimos na seção anterior que se {␾0(x), ␾1(x), ␾2(x),...} for um conjunto de funções reais que seja ortogonal em um intervalo [a,b] e se f for uma função definida no mesmo intervalo, então podemos expandir formalmente f em uma série ortogonal c0␾0(x) c1␾1(x) c2␾2(x) .... Nessa seção, expandiremos funções em termos de um conjunto ortogonal especial de funções trigonométricas. Série trigonométrica No Problema 12 nos Exercícios 3.1, tivemos que demonstrar que o conjunto de funções trigonométricas

(1) era ortogonal no intervalo [p,p]. Esse conjunto terá importância especial mais adiante na solução de determinados tipos de problemas de valor de contorno envolvendo equações diferenciais parciais lineares. Em tais aplicações, precisaremos expandir uma função f definida em [p,p] em uma série ortogonal constituída por funções trigonométricas em (1), isto é, (2) Os coeficientes a0, a1, a2,..., b1, b2,..., podem ser determinados exatamente do mesmo modo da discussão geral da expansões em séries ortogonais nas páginas 108 e 109. Antes de procedermos, note que escolhemos escrever o coeficientes de 1 no conjunto (1) como a0/2 em vez de a0; trata-se de uma questão de conveniência pois assim a fórmula de an se reduz em a0 para n 0. Integrando agora ambos os lados de (2) de –p a p, obtemos (3) Como cos(n␲x/p) e sen(n␲x/p), n 1, são ortogonais em relação a 1 no intervalo, o lado direito de (3) se reduz a um único termo:

Resolver em relação a a0 resulta em (4)

É por isso que a0/2 é utilizado em vez de a0.

112


Agora, multiplicamos (2) por cos(m␲x/p) e integramos:

(5) Por ortogonalidade, temos

Assim, (5) se reduz para e assim

(6)

Finalmente, se multiplicarmos (2) por sen(m␲x/p), integrarmos e fizermos uso dos resultados

obtemos

(7)

A série trigonométrica (2) com coeficientes a0, an e bn definida por (4), (6) e (7), respectivamente, é dita ser a série de Fourier da função f. Os coeficientes obtidos a partir de (4), (6) e (7) são referidos como os coeficientes de Fourier de f. Ao determinar os coeficientes a0, an e bn, consideramos que f era integrável no intervalo e que (2), assim como a série obtida pela multiplicação de (2) por cos(m␲x/p), convergia de tal modo a permitir a integração termo a termo. Até que (2) seja mostrada como sendo convergente para uma dada função f, o sinal de igualdade não deve ser considerado em um sentido estrito ou literal. Alguns textos usam o símbolo ⬃ no lugar de . Partindo do fato de que a maioria das funções nas aplicações é de um tipo que garante a convergência da série, utilizaremos o símbolo de igualdade. A seguir, resumimos os resultados:


Série de Fourier

A série de Fourier de uma função f definida em um intervalo (p,p) é definida como (8) onde

(9) (10) (11)

113

3.2 Séries de Fourier

Exemplo 1

Expansão em uma série de Fourier

Expanda

(12)

em uma série de Fourier. Solução O gráfico de f está indicado na Figura 3.1. Com p ␲, temos a partir de (9) e (10) que

y ␲ −␲

␲

x

Figura 3.1 Função f no Exemplo 1.

De modo similar, temos a partir de (11) que

(13) ❑

Portanto

Note que an definido por (10) se reduz para a0 definido por (9) quando adotamos n 0. Porém, conforme mostrado no Exemplo 1, esse pode não ser o caso após o cálculo da integral em relação a an. Convergência de uma série de Fourier

O teorema a seguir indica as condições suficientes para a convergência de uma série de Fourier em um ponto.

TEOREMA 3.1

Condições para convergência

Considere f e f ¿ contínuas por partes no intervalo (p,p); isto é, admita que f e f ¿ sejam contínuas exceto em um número finito de pontos no intervalo e que tenham, nesses pontos, somente descontinuidades finitas. Assim, a série de Fourier de f no intervalo converge para f(x) em um ponto de continuidade. Em um ponto de descontinuidade, a série de Fourier converge para a média

onde f(x) e f(x) representam os limites de f em x a partir da direita e a partir da esquerda, respectivamente.*

* Em outras palavras, para x sendo um ponto no intervalo e h 0,

114


Para verificar a prova desse teorema, recomenda-se o texto clássico de Churchill e Brown.* Exemplo 2

Convergência de um ponto de descontinuidade

A função (12) no Exemplo 1 satisfaz as condições do Teorema 3.1. Logo, para todo x no intervalo (␲,␲), exceto em x 0, a série (13) convergirá para f(x). Em x 0, a função é descontínua, e assim a série (13) convergirá para ❑ Extensão periódica Podemos considerar que a função f dada seja periódica.

Observe que cada uma das funções no conjunto básico (1) tem um período fundamental diferente,** ou seja, 2p/n, n 1. Porém, como um inteiro positivo múltiplo de um período é também um período, vemos que todas as funções têm em comum o período 2p (verifique). Portanto, o lado direito de (2) é periódico em 2p; de fato, 2p é o período fundamental da soma. Concluímos que uma série de Fourier não apenas representa a função no intervalo (p,p), mas também informa a extensão periódica de f fora do intervalo. Podemos agora aplicar o Teorema 3.1 para a extensão periódica de f, ou podemos considerar a princípio que a função dada é periódica com período T 2p; isto é, f(x T) f(x). Quando f for contínua por partes e as derivadas à direita e à esquerda existirem em x p e x p, respectivamente, a série (8) convergirá para a média [f(p) f(p)]/2 nesses pontos finais e para esse valor estendido periodicamente para 3p, 5p, 7p, e assim por diante. A série de Fourier em (13) converge para a extensão periódica de (12) em todo o eixo x. Em 0, 2␲, 4␲,..., e em ␲, 3␲, 5␲,..., a série converge para os valores

respectivamente. Os pontos sólidos na Figura 3.2 representam o valor ␲/2. y ␲

–4␲ –3␲ –2␲

Figura 3.2

–␲

␲

x 2␲

3␲

4␲

Extensão periódica da função f indicada na Figura 3.1.

Sequência de somas parciais

É interessante vermos como a sequência de somas parciais {SN(x)}de uma série de Fourier aproxima uma função. Por exemplo, as primeiras três somas parciais de (13) são

Na Figura 3.3, utilizamos um SAC para traçar o gráfico das somas parciais S5(x), S8(x) e S15(x) de (13) no intervalo (␲,␲). A Figura 3.3(d) mostra a extensão periódica usando S15(x) em (4␲,4␲).

* Ruel V. Churchill e James Ward Brown, Fourier Series and Boundary Value Problems (New York: McGraw-Hill, 2000). ** Veja o Problema 21 nos Exercícios 3.1.

3.2 Séries de Fourier y

y

3

3

2

2

1

1 x

0 –3

–2

–1

0

1

2

x

0

3

–3

–2

(a) S 5 (x) em (–␲, ␲)

–1

3

2

2

1

1 x

0 –1

0

2

3

1

2

x

0

3

–10

(c) S 15 (x) em (–␲, ␲)

Figura 3.3

1

y

3

–2

0

(b) S 8 (x) em (–␲, ␲)

y

–3

115

–5 5 10 0 (d) S 15 (x) em (–4␲, 4␲)

Somas parciais de uma série de Fourier.

EXERCÍCIOS 3.2


Nos Problemas 1-16, determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.

12.

1. 13. 2. 14. 3. 15. 4. 5.

16. 17. Utilize o resultado do Problema 5 para mostrar

6. 7. 8. 9. 10.

18. Use o Problema 17 para determinar uma série que dê o valor numérico de ␲2/8. 19. Utilize o resultado do Problema 7 para mostrar

11.

116


20. Utilize o resultado do Problema 9 para mostrar

Considerando que a expansão em série de Fourier de f seja dada por (8), mostre que o valor RMS de f no intervalo (p, p) é definido como

*

21. O valor quadrático médio (RMS) de uma função f(x) definida no intervalo (a, b) é definido como sendo onde a0, an e bn são os coeficientes de Fourier em (9), (10) e (11).

3.3 y

Séries de Fourier do co-seno e do seno

Revisão O esforço despendido para o cálculo dos coeficientes a0, an e bn para expandir uma função f em uma série de Fourier é significativamente reduzido quando f for uma função par ou uma função ímpar. Uma função f é:

y = x2

par se f (– x)

f (x )

–x

Figura 3.4

x

y = x3

f (x )

–x f (–x)

ímpar se

Funções par e ímpar A origem das palavras par e ímpar vem do fato de que os gráficos de funções polinomiais constituídas apenas por potências pares de x são simétricos em relação ao eixo y, enquanto que os gráficos de polinômios constituídos apenas por potências ímpares de x são simétricos em relação à origem. Por exemplo,

Função par. y

Figura 3.5

x

e

Em um intervalo simétrico tal como (p, p), o gráfico de uma função par tem simetria em relação ao eixo y, enquanto que o gráfico de uma função ímpar tem simetria em relação à origem.

x

Função ímpar.

x

Veja as Figuras 3.4 e 3.5. As funções trigonométricas co-seno e seno são funções par e ímpar, respectivamente, pois cos(x) cos x e sen(x) sen x. As funções exponenciais f(x) ex e f(x) ex não são ímpar nem par. Propriedades

O teorema a seguir lista algumas propriedades das funções par e

ímpar.

TEOREMA 3.2

Propriedades das funções par/ ímpar

(a) O produto de duas funções pares é par. (b) O produto de duas funções ímpares é ímpar. (c) O produto de uma função par por uma função ímpar é ímpar. (d) A soma (diferença) de duas funções pares é par. (e) A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar. (f) Se f for par, então (g) Se f for ímpar, então

Consideremos que f e g sejam funções ímpares. Então, temos f(x) f(x) e g(x) g(x). Se definirmos o produto de f e g como F(x) f(x) g(x), então

Demonstração de (b)

* N. de T.: A denominação RMS está associada ao termo em inglês root-mean-square

117

3.3 Séries de Fourier do Co-Seno e do Seno

Isso mostra que o produto F de duas funções ímpares é uma função par. As provas das propriedades restantes são deixadas como exercícios. Veja o Problema 52 nos Exercícios 3.3. ❑ Series do co-seno e do seno

Se f for uma função par em (p, p), então, em vista das propriedades anteriores, os coeficientes (9), (10) e (11) da Seção 3.2 se tornam

De modo similar, quando f for ímpar no intervalo (p, p),

Resumimos os resultados na seguinte definição.


(i)

Séries de Fourier do co-seno e do seno

A série de Fourier de uma função par no intervalo (p, p) é a série de co-senos (1) onde

(2)

(3) (ii) A série de Fourier de uma função ímpar no intervalo (p, p) é a série de senos (4) onde

Exemplo 1

(5)

Expansão em uma série de senos

Expanda f(x) x, 2 x 2, em uma série de Fourier.

y

Solução

A inspeção da Figura 3.6 indica que a função dada é ímpar no intervalo (2, 2), e portanto expandimos f em uma série de senos. Com a identificação 2p 4, temos p 2. Assim, (5), após integração por partes, é

x

y = x, –2 < x < 2

Figura 3.6 Função ímpar f no Exemplo 1.

118


(6) ❑

Logo

A função no Exemplo 1 satisfaz as condições do Teorema 3.1. Consequentemente, a série (6) converge para a função em (2, 2) e a extensão periódica (de período 4) ilustrada na Figura 3.7. y

x –10

Figura 3.7

Exemplo 2

1

A função ␲

x

–6

–4

–2

2

4

6

8

10

Extensão periódica da função f ilustrada na Figura 3.6.

y

–␲

–8

Expansão em uma série de senos mostrada na Figura 3.8 é ímpar no intervalo

(␲, ␲). Com p ␲, temos a partir de (5)

–1

Figura 3.8 Função ímpar f no Exemplo 2.

(7) ❑

e assim Fenômeno de Gibbs

Com o auxílio de um SAC, traçamos na Figura 3.9 os gráficos de S1(x), S2(x), S3(x), S15(x) das somas parciais dos termos não nulos de (7). Conforme visto na Figura 3.9(d), o gráfico de S15(x) tem oscilações pronunciadas próximo das descontinuidades em x 0, x ␲, x ␲ e assim por diante. Esse “sobreimpulso” (em inglês, overshooting) pelas somas parciais SN a partir dos valores funcionais próximos a um ponto de descontinuidade não se suavizam, porém permanecem constantes, mesmo quando o valor N é considerado grande. Esse comportamento de uma série de Fourier próxima de um ponto no qual f é descontínua é conhecido como fenômeno de Gibbs. y

y 1

1

0,5

0,5 x

0 –0,5

–0,5

–1

–1 –3

–2

–1

0 1 (a) S1(x)

2

x

0

–3

3

–2

–1

1

1

0,5

0,5 x

0

–0,5

–1

–1

Figura 3.9

–1

0 1 (c) S3(x)

3

2

3

x

0

–0,5

–2

2

y

y

–3

0 1 (b) S2(x)

–3

–2

Somas parciais de séries de senos (7) em (␲, ␲).

–1

0 1 (d) S15(x)

2

3

119


A extensão periódica de f no Exemplo 2 em todo o eixo x é uma função sinuosa (veja a página 239 do Volume 1). Expansão em meia escala Por toda a discussão anterior, considerou-se que uma função f estivesse definida em um intervalo com a origem como sendo o ponto central, isto é, p x p. Entretanto, em diversas aplicações estaremos interessados em representar uma função definida somente para 0 x L por uma série trigonométrica. Isso pode ser feito de muitas maneiras diferentes fornecendo-se uma definição arbitrária da função no intervalo –L x 0. Para abreviar, consideraremos os três casos mais importantes. Se y f (x) for definida no intervalo 0 x L,

(i) reflita o gráfico da função em relação ao eixo y em –L x 0; a função é agora par em –L x L (veja a Figura 3.10); ou

y

x L

–L

Figura 3.10

Reflexão par. y

–L

(ii) reflita o gráfico da função em relação à origem em –L x 0; a função é agora ímpar em –L x L (veja a Figura 3.11); ou

x L

(iii) defina f em –L x 0 por f(x) f (x L) (veja a Figura 3.12). Note que os coeficientes da série (1) e (4) utilizam apenas a definição da função em 0 x p (isto é, metade do intervalo –p x p). Portanto, na prática não existe necessidade de adotarmos a reflexão descrita em (i) e (ii). Se f estiver definida em 0 x L, simplesmente identificamos a metade do período como o comprimento do intervalo p L. As fórmulas dos coeficientes (2), (3) e (5) e a série correspondente determinam uma extensão periódica par ou ímpar de período 2L da função original. As séries de co-seno e seno obtidas desse modo são conhecidas como expansões em meia escala. Por último, no caso (iii), estamos definindo valores funcionais no intervalo –L x 0 como sendo os mesmos valores em 0 x L. Como nos dois casos anteriores, não há necessidade real de se fazer isso. Pode-se mostrar que o conjunto de funções em (1) da Seção 3.2 é ortogonal em a x a 2p para qualquer número real a. Escolhendo a p, obtemos os limites de integração em (9), (10) e (11) daquela seção. Porém, para a 0 os limites de integração são de x 0 para x 2p. Assim, se f for definida no intervalo 0 x L, identificamos 2p L ou p L/2. A série de Fourier resultante dará a extensão periódica de f com período L. Dessa maneira, os valores para os quais a série converge serão os mesmos em –L x 0 e 0 x L.

Figura 3.11

Reflexão ímpar. y

x L

–L

f (x) = f (x + L)

Figura 3.12

Reflexão identidade. y y = x2, 0 < x < L

x

Exemplo 3

Expansão em três séries

L

Expanda f (x) x , 0 x L, (a) em uma série de co-senos, (b) em uma série de senos, (c) em uma série de Fourier. 2

Solução

O gráfico da função está ilustrado na Figura 3.13.

(a) Temos

onde foi aplicada integração por partes duas vezes no cálculo de an. Assim

(8)

(b) Nesse caso, temos novamente que integrar por partes duas vezes:

Logo (c) Com p L/2, 1/p 2L e n␲/p 2n␲/L, temos

(9)

Figura 3.13

Função f no Exemplo 3.

120


e Portanto

(10)

As séries (8), (9), (10) convergem para a extensão periódica 2L par de f, a extensão periódica 2L ímpar de f, e a extensão periódica L de f, respectivamente. Os gráficos dessas extensões periódicas são apresentados na Figura 3.14. ❑ y

x – 4L

–3L

–2L

–L

L

2L

3L

4L

2L

3L

4L

2L

3L

4L

(a) Série de co-senos y

x – 4L

–3L

–2L

L

–L

(b) Série de senos

y

x – 4L

–3L

–2L

–L

L

(c) Série de Fourier

Figura 3.14

Extensões periódicas diferentes da função f.

Força de excitação periódica As séries de Fourier são em alguns casos úteis para se determinar uma solução particular de uma equação diferencial que descreve um sistema físico no qual a entrada ou a força de excitação f(t) seja periódica. No próximo exemplo, determinaremos uma solução particular da equação diferencial

(11) primeiro representando f por uma expansão de senos em meia escala e a seguir considerando uma solução particular da forma (12)

f (t) ␲

Exemplo 4 t 1

2

3

4

5

–␲

Figura 3.15 Função forçante periódica f no Exemplo 4.

Solução particular de uma ED

Um sistema massa mola não amortecido, em que a massa kg e a constante de mola k 4 N/m, recebe a força periódica externa f(t) de período 2 mostrada na Figura 3.15. Apesar da força f(t) atuar no sistema para t 0, note que se estendermos o gráfico da função para o eixo negativo t mantendo o período 2, obteremos uma função ímpar. Em termos práticos, isso significa que precisamos apenas da expansão de senos em meia escala de f(t) ␲t, 0 t 1. Com p 1, decorre de (5) e da integração por partes que


121

A partir de (11), a equação diferencial do movimento é vista como sendo (13) Para obtermos uma solução particular xp(t) de (13), substituímos (12) na equação e igualamos os coeficientes de sen n␲t. Isso resulta em

(14) ❑

Assim

Observe na solução (14) que não existem inteiros n 1 para os quais o denominador 64 – n2␲2 de Bn seja zero. Em geral, se houver um valor de n, por exemplo N, para o qual N␲/p ␻, onde então o sistema descrito por (11) estará em um estado de ressonância pura. Em outras palavras, temos ressonância pura se a expansão em série de Fourier da força excitadora f(t) contiver um termo sen (N␲/L)t (ou cos (N␲/L)t) que tenha a mesma frequência das oscilações livres. É claro que se a extensão periódica 2p da força excitadora f no eixo t negativo resultar em uma função par, então expandiremos f em uma série de co-senos.

EXERCÍCIOS 3.3


Nos Problemas 1-10, determine se a função é par, ímpar, ou nem par nem ímpar. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

20.

21.

7. 22.

8. 9.

10.

Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos. 11.

23. 24. Nos Problemas 25-34, determine a expansão de co-senos ou senos em meia escala da função indicada. 25.

12.

26.

13.

14.

27.

15.

16.

28.

17. 18. 19.

29. 30.

122


31.

(b) Utilize o método do Exemplo 4 para determinar uma solução particular y(x) da equação diferencial.

32.

46. Proceda como no Exemplo 45 para obter uma solução particular y(x) quando a carga por unidade de comprimento for representada pelo gráfico da Figura 3.16.

33.

w(x)

34.

w0

Nos Problemas 35-38, expanda a função dada em uma série de Fourier. 35.

36.

37.

38.

Nos Problemas 39 e 40, proceda como no Exemplo 4 para determinar uma solução particular xp(t) da equação 11 quando m 1, k 10 e a força de excitação f (t) seja como a indicada. Considere que quando f (t) seja estendida ao eixo t negativo de uma maneira periódica, a função resultante seja ímpar. 39. 40. Nos Problemas 41 e 42, proceda como no Exemplo 4 para determinar uma solução particular xp(t) da equação 11 quando k 12 e a força de excitação f(t) seja como a indicada. Considere que quando f(t) seja estendida ao eixo t negativo de uma maneira periódica, a função resultante seja par.

x L/3

Figura 3.16

2L/3

L

Gráfico para o Problema 46.

Tarefas computacionais Nos Problemas 47 e 48, utilize um SAC para traçar o gráfico das somas parciais {SN(x)} da série trigonométrica indicada. Experimente valores diferentes de N e use diferentes intervalos do eixo x. Com base nesses gráficos, apresente uma expressão em forma fechada para uma função f definida para 0 x L que seja representada pela série. 47.

41. 42.

48.

43. (a) Resolva a equação diferencial no Problema 39, x– 10x f(t), sujeita às condições iniciais x(0) 0 e x¿(0) 0.

Problemas para discussão

(b) Utilize um SAC para traçar o gráfico da solução x(t) no item (a). 44. (a) Resolva a equação diferencial no Problema 41, sujeita às condições iniciais x(0) 1 e x¿(0) 0. (b) Utilize um SAC para traçar o gráfico da solução x(t) no item (a).

49. A resposta do Problema 47 ou do Problema 48 é única? Indique uma função f definida em um intervalo simétrico em torno da origem –a x a que tenha a mesma série trigonométrica do Problema 47; e do Problema 48. 50. Discuta por que a expansão em série de Fourier dos co-senos x x de f(x) e , 0 x ␲, converge para e no intervalo ␲ x 0.

onde E, I e w0 são constantes. (Veja (4) na Seção 3.9 do Volume 1).

51. Suponha que f (x) ex, 0 x ␲ seja primeiro expandida em uma série de co-senos e depois seja expandida em uma série de senos. Se as duas séries forem somadas e a seguir divididas por 2 (isto é, a média das duas séries), obteremos uma série com co-senos e senos que também representa x f (x) e no intervalo 0 x ␲. Trata-se de uma série completa de Fourier em f? [Sugestão: O que a média das séries do co-seno e do seno representam no intervalo ␲ x 0?]

(a)

52. Prove as propriedades (a), (c), (d), (f) e (g) no Teorema 3.2.

45. Suponha que uma viga uniforme de comprimento L esteja simplesmente apoiada em x 0 e em x L. Se a carga por unidade de comprimento for dada por w(x) w0x/L, 0 x L, então a equação diferencial para a deflexão y(x) é

Expanda w(x) em uma série de senos em meia escala.

3.4 Série Complexa de Fourier

3.4

Série complexa de Fourier

Introdução

Conforme vimos nas duas seções anteriores, uma função real f pode ser representada por uma série de senos e co-senos. As funções cos nx, n 0, 1, 2,... e sen nx, n 1, 2,...são funções de valores reais de uma variável real x. As três diferentes formas reais da série de Fourier indicadas nas Definições 3.5 e 3.6 serão extremamente importantes nos Capítulos 4 e 5 quando formos resolver equações diferenciais parciais lineares. Entretanto, em certas aplicações, por exemplo na análise de sinais periódicos em engenharia elétrica, é de fato mais conveniente representar uma função f em uma série infinita de funções de valores complexos de uma variável real x tais como funções exponenciais einx, n 0, 1, 2,..., onde i é a unidade imaginária definida como i2 1. Recorde que para um número real x, a fórmula de Euler (1) Nessa seção, utilizaremos os resultados de (1) para reformular a série de Fourier na Definição 3.5 em uma forma complexa e uma forma exponencial. Veremos que é possível representar uma função real por uma série complexa: uma série na qual os coeficientes são números complexos. Com essa finalidade, recorde que um número complexo é um número z a ib, onde a e b são números reais e i2 1. O número é chamado de conjugado de z. Série complexa de Fourier Se primeiro somarmos as duas expressões em (1) e resolvermos em relação a cos x e depois subtrairmos as duas expressões e resolvermos em relação a sen x, obteremos

(2) Utilizando (2) para substituir cos(n␲x/p) e sen(n␲x/p) em (8) da Seção 3.2, a série de Fourier de uma função f pode ser escrita como

(3) onde e Os símbolos a0, an e bn são os coeficientes (9), (10) e (11) na Definição 3.5. Quando a função f for real, cn e cn são complexos conjugados e podem também ser escritos em termos de funções exponenciais complexas: (4)

(5)

123

124


(6) Como os subscritos dos coeficientes e expoentes abrangem todo o conjunto de inteiros não negativos... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,..., podemos escrever os resultados de (3), (4), (5) e (6) em uma maneira mais compacta somando os inteiros negativos e não negativos. Em outras palavras, podemos utilizar um somatório e uma integral que definem todos os três coeficientes c0, cn e cn.


Série complexa de Fourier

A série complexa de Fourier de funções f definidas em um intervalo (p, p) é dada por (7) (8)

onde

Se f satisfizer a hipótese do Teorema 3.1, uma série complexa de Fourier converge para f(x) em um ponto de descontinuidade e para a média

em um ponto de descontinuidade. Exemplo 1

Série complexa de Fourier x

Expanda f(x) e , ␲ x ␲, em uma série complexa de Fourier. Solução

Com p ␲, (8) resulta em

Podemos simplificar os coeficientes cn utilizando a fórmula de Euler:

pois cos n␲ (1)n e sen n␲ 0. Portanto, (9)

3.4 Série Complexa de Fourier

125

A série complexa de Fourier é então (10) ❑ A série (10) converge para a extensão periódica 2␲ de f. Você pode ter a impressão de que apenas tornamos a vida mais complicada ao introduzirmos uma versão complexa de uma série de Fourier. A verdadeira situação é: em certas áreas da engenharia a forma (7) indicada na Definição 3.7 é algumas vezes mais útil do que aquela apresentada em (8) da Definição 3.5. Frequência fundamental A série de Fourier nas Definições 3.5 e 3.7 definem uma função periódica, e o período fundamental daquela função (isto é, a extensão periódica de f) é T 2p. Como p T/2, (8) da Seção 3.2 e (7) se tornam, respectivamente,

(11) onde o número ␻ 2␲/T é denominado frequência angular fundamental. No Exemplo 1, a extensão periódica da função tem período T 2␲; a frequência angular fundamental é ␻ 2␲/2␲ 1. Espectro de frequência

No estudo de sinais periódicos no tempo, engenheiros eletricistas consideram relevante examinar diversos espectros de uma forma de onda. Se f for periódica e tiver período fundamental T, o gráfico dos pontos (n␻, |cn|), onde ␻ é a frequência angular fundamental e cn são os coeficientes definidos em (8), é designado espectro de frequência de f. Exemplo 2

Espectro de frequência

|cn|

No Exemplo 1, ␻ 1 de modo que n␻ admite os valores 0, 1, 2,.... Aplicando temos a partir de (9) que |␣ i␤|

3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5

A tabela a seguir mostra alguns valores de n e o valor correspondente de cn. –3ω –2ω – ω

O gráfico na Figura 3.17, retas com setas que terminam nos pontos, é uma parte de um espectro de frequência f. ❑ Exemplo 3

0

ω

Figura 3.17 Espectro de frequência de f no Exemplo 1.

Espectro de frequência

y

Determine o espectro de frequência do pulso de onda quadrada periódica indicado na Figura 3.18. A onda é a extensão periódica da função f.

x –1

Figura 3.18

Aqui T 1 2p, logo (8) se escreve

Solução

2ω 3ω frequência

. Como f é 0 nos intervalos

e

1

Pulso periódico.

126


Ou seja, Como o último resultado não é válido em n 0, calculamos cada termo separadamente:

A tabela a seguir apresenta alguns valores de |cn|, e a Figura 3.19 mostra o espectro de frequência de f. Como a frequência fundamental é ␻ 2␲/T 2␲, as unidades n␻ na escala horizontal são 2␲, 4␲, 6␲,... As linhas curvas tracejadas foram adicionadas na Figura 3.19 para enfatizar a presença dos valores nulos de |cn|, onde n é um inteiro par não nulo. ❑

|cn| 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 –5ω –4ω –3ω –2ω – ω 0 ω 2ω 3ω 4ω 5ω frequência

Figura 3.19

EXERCÍCIOS 3.4

Espectro de frequência de f.


Nos Problemas 1-6, determine a série complexa de Fourier de f no intervalo indicado. 1.

8. Determine o espectro de frequência da onda periódica que seja a extensão periódica da função f no Problema 3. Nos Problemas 9 e 10, esboce a onda periódica indicada. Determine o espectro de frequência de f.

2.

9.

3.

10.

[Sugestão: Utilize (2).]

11. (a) Mostre que an cn cn e bn i(cn cn). 4. 5.

6.

7. Determine o espectro de frequência da onda periódica que seja a extensão periódica da função f no Problema 1.

(b) Utilize os resultados do item (a) e a série complexa de Fourier no Exemplo 1 para obter a expansão em série de Fourier de f. 12. A função f no Problema 1 é ímpar. Use a série complexa de Fourier para obter a expansão de f em série de Fourier de senos.


3.5

Problema de Sturm-Liouville

Revisão

Por conveniência, apresentamos aqui uma breve revisão de algumas equações diferenciais ordinárias que serão de grande importância nas próximas seções e capítulos.

Em relação às duas formas da solução geral de utilizaremos no futuro a seguinte regra informal: use a forma exponencial quando o domínio de x for um intervalo infinito ou semi-infinito; use a forma hiperbólica y c1 cosh ␣x c2 senh ␣x quando o domínio de x for um intervalo finito. Autovalores e autofunções

Funções ortogonais surgem na solução de equações diferenciais. Além disso, um conjunto de funções ortogonais pode ser gerado ao resolver-se um problema de valor de contorno de dois pontos envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem linear que contenha um parâmetro ␭. No Exemplo 2 da Seção 3.9 do Volume 1, vimos que o problema de valor de contorno (1)

possuía soluções não triviais somente quando o parâmetro ␭ era tomado nos valores 2 2 2 ␭n n ␲ /L , n 1, 2, 3,... chamados autovalores. As soluções não triviais correspondentes y c2 sen(n␲x/L) ou simplesmente y sen(n␲x/L) são denominadas de autofunções do problema. Por exemplo, para (1) temos:

Essa regra será útil nos Capítulos 4-5.

127

128


Para os nossos propósitos nesse capítulo, é importante reconhecermos o conjunto de funções gerado por esse PVC, isto é, {sen(n␲x/L)}, n 1, 2, 3,..., é o conjunto de funções ortogonais no intervalo [0,L] usado como base para a série de Fourier de senos. Exemplo 1

Autovalores e autofunções

Deixa-se como exercício mostrar, considerando os três casos possíveis para o parâmetro ␭ (zero, negativo ou positivo; isto é, ␭ 0, ␭ ␣2 0, ␣ 0 e ␭ ␣2 0, ␣ 0), que os autovalores e autofunções para o problema de valor de contorno (2) são, respectivamente, ␭n n ␲ /L , n 0, 1, 2,..., e y c1 cos(n␲x/L), c1 ⫽ 0. Ao contrário de (1), ␭0 0 é um autovalor para esse PVC e y 1 é a autofunção correspondente. A última vem da solução de y– 0 sujeita às mesmas condições de contorno y¿(0) 0, y¿(L) 0. Note também que y 1 pode ser incorporada à família y cos (n␲x/L) ao permitirmos n 0. O conjunto {cos (n␲x/L)}, n 0, 1, 2, 3,..., é ortogonal no intervalo [0,L]. Veja o Problema 3 nos Exercícios 3.5. ❑ 2

2

2

Problema de Sturm-Liouville regular

Os problemas em (1) e (2) são casos especiais de um problema de valor de contorno de dois pontos geral importante. Considere p, q, r e r¿ como sendo funções contínuas reais em um intervalo [a,b], e r(x) 0 e p(x) 0 para todo n no intervalo. Assim Resolver:

(3)

Sujeita a:

(4) (5)

é dito ser um problema de Sturm-Liouville regular. Os coeficientes nas condições de contorno (4) e (5) são considerados como sendo reais e independentes de ␭. Ademais, A1 e B1 não são ambos zero e A2 e B2 também não são ambos zero. Os problemas de valor de contorno em (1) e (2) são problemas de Sturm-Liouville regulares. A partir de (1), podemos identificar r(x) 1, q(x) 0 e p(x) 1 na equação diferencial (3); na condição de contorno (4), identificamos a 0, A1 1, B1 0; e em (5), b L, A2 1, B2 0. A partir de (2), as identificações seriam a 0, A1 0, B1 1 em (4); b L, A2 0, B2 1 em (5). A equação diferencial (3) é linear e homogênea. As condições de contorno em (4) e (5), ambas uma combinação linear de y e y¿ igual a zero em um ponto, são também chamadas homogêneas. Uma condição de contorno tal como A2y(b) B2y¿(b) C2, onde C2 é uma constante não nula, é não homogênea. Naturalmente, um problema de valor de contorno que seja constituído por uma equação diferencial linear homogênea e condições de contorno homogêneas é homogêneo; de outra forma, é não homogêneo. Como um problema de Sturm-Liouville regular é um PVC homogêneo, ele sempre terá a solução trivial y 0. Entretanto, essa solução não tem interesse para nós. Como no Exemplo 1, ao resolver tal problema buscamos números ␭ (autovalores) e soluções não triviais y que dependem de ␭ (autofunções). Propriedades O Teorema 3.3 lista algumas das mais importantes propriedades de um problema de Sturm-Liouville regular. Provaremos somente a última propriedade.


TEOREMA 3.3

Propriedades do problema de Sturm-Liouville regular

(a) Existe um número infinito de autovalores reais que podem ser arranjados em ordem crescente de modo que ␭n → quando n → . (b) Para cada autovalor existe apenas uma autofunção (exceto para múltiplos constantes não nulos). (c) Autofunções que correspondem a autovalores diferentes são linearmente independentes. (d) O conjunto de autofunções que corresponde ao conjunto de autovalores é ortogonal em relação à função de peso p(x) no intervalo [a,b]. Prova de (d) Considere ym e yn autofunções correspondentes aos autovalores ␭m e ␭n, respectivamente. Assim

(6) (7) Multiplicando (6) por yn e (7) por ym e subtraindo as duas equações, obtemos

Integrando esse último resultado por partes de x a para x b, temos (8) Agora as autofunções ym e yn têm que ambas satisfazer as condições de contorno (4) e (5). Em particular, a partir de (4) temos

Para que esse sistema seja satisfeito por A1 e B1, ambos não sendo zero, o determinante dos coeficientes tem que ser zero:

Um argumento similar aplicado a (5) também resulta em

Aplicando esses dois últimos resultados em (8), temos que ambos os membros do lado direito são nulos. Portanto, estabelecemos a relação de ortogonalidade (9) ❑ Pode também ser provado que o conjunto ortogonal de autofunções {y1(x), y2(x), y3(x),...} de um problema de Sturm-Liouville regular é completo em [a,b]. Veja a página 109.

129

130


Exemplo 2

Um problema de Sturm-Liouville regular

Resolva o problema de valor de contorno (10) Você deve verificar que para ␭ 0 e para ␭ ␣ 0, onde ␣ 0, o PVC em (10) possui apenas a solução trivial y 0. Para ␭ ␣2 0, ␣ 0, a solução geral da equação diferencial y– ␣2y 0 é y c1 cos ␣x c2 sen ␣x. Agora a condição y(0) 0 implica c1 0 nessa solução, e assim temos y c2 sen ␣x. A segunda condição de contorno y(1) y¿(1) 0 é satisfeita se 2

Solução

Escolhendo c2 ⫽ 0, vemos que a última equação é equivalente a (11) Se adotarmos x ␣ em (11), então a Figura 3.20 mostra a plausibilidade de que lá exista um número infinito de raízes da equação tg x x, ou seja, as coordenadas x dos pontos nos quais o gráfico de y x intercepta os ramos do gráfico de y tg x. Os autovalores do problema (10) são então onde n 1, 2, 3,..., são as raízes positivas consecutivas ␣1, ␣2, ␣3,..., de (11). Com o auxílio de um SAC é fácil mostrar que, arredondando-se em quatro casas decimais, ␣1 2,0288, ␣2 4,9132, ␣3 7,9787, y3 sen 7,9787x e y4 sen 11,0855x. Em geral, as autofunções do problema são {sen ␣nx}, n 1, 2, 3,.... y

y = tg x

x1

x2

x3

x4

x

y = –x

Figura 3.20

Raízes positivas de tg x x.

Com as identificações e vemos que (10) é um problema de Sturm-Liouville regular. Logo, {sen ␣nx}, n 1, 2, 3,... é um conjunto ortogonal em relação à função de peso p(x) 1 no intervalo [0,1]. ❑ Em algumas circunstâncias, podemos provar a ortogonalidade das soluções de (3) sem a necessidade de especificar uma condição de contorno em x a e em x b.

3.5 Problema de Sturm-Liouville Problema de Sturm-Liouville singular

Existem diversas outras condições importantes sob as quais buscamos soluções não triviais da equação diferencial (3): • r(a) 0 e uma condição de contorno do tipo indicado em (5) é especificada em x b; (12) • r(b) 0 e uma condição de contorno do tipo indicado em (4) é especificada em x a; (13) • r(a) r(b) 0 e nenhuma condição de contorno é especificada em x a ou em x b; (14) • r(a) r(b) e condições de contorno y(a) y(b), y¿(a) y¿(b). (15)

A equação diferencial (3) junto com uma das condições (12)-(13) é dita ser um problema de valor de contorno singular. A equação (3) com as condições especificadas em (15) é um problema de valor de contorno periódico (as condições de contorno são também periódicas). Observe que se, por exemplo, r(a) 0, então x a pode ser um ponto singular da equação diferencial, e consequentemente uma solução de (3) pode se tornar ilimitada quando x → a. Entretanto, vemos de (8) que se r(a) 0, então nenhuma condição de contorno é necessária em x a para provar a ortogonalidade das autofunções desde que essas soluções sejam limitadas naquele ponto. Essa última exigência garante a existência das integrais envolvidas. Assumindo que a solução de (3) seja limitada no intervalo fechado [a,b], podemos ver a partir da inspeção de (8) que: • se r(a) 0, então a relação de ortogonalidade (9) se aplica sem nenhuma condição de contorno em x a; • se r(b) 0, então a relação de ortogonalidade (9) se aplica sem nenhuma condição de contorno em x b;* • se r(a) r(b) 0, então a relação de ortogonalidade (9) se aplica sem nenhuma condição de contorno em x a ou em x b; • se r(a) r(b), então a relação de ortogonalidade (9) se aplica com as condições de contorno periódicas y(a) y(b), y¿(a) y¿(b). Forma adjunta própria Se realizarmos a diferenciação diferencial em (3) é a mesma que

(16) (17) (18) (19) a equação (20)

Por exemplo, a equação diferencial de Legendre (1 – x )y– 2xy¿ n(n 1)y 0 é exatamente da forma indicada em (20) com r(x) 1 – x2 e r¿(x) 2x. Em outras palavras, outra forma de escrever a ED de Legendre é 2

(21) Porém, se comparássemos outras EDs de segunda ordem (por exemplo, equação de Bessel, equações de Cauchy-Euler, e EDs com coeficientes constantes), você poderia crer que, dado que o coeficiente de y¿ é a derivada dos coeficientes de y–, poucas outras EDs de segunda ordem têm a forma indicada em (3). Ao contrário, se os coeficientes forem contínuos e a(x) ⫽ 0 para todo x em algum intervalo, então qualquer equação diferencial de segunda ordem (22) pode ser rearranjada na chamada forma adjunta própria (3). Para ver isso, procedemos como na Seção 2.3 do Volume 1, onde reescrevemos uma equação de primeira * As condições (16) e (17) são equivalentes a escolher A1 0, B1 0 em (4), e A2 0, B2 0 em (5), respectivamente.

131

132


ordem linear a1(x)y¿ a0(x)y 0 na forma

, dividindo a equação por

a1(x) e multiplicando a seguir pelo fator integrante

, onde, considerando

a inexistência de fatores comuns, P(x) a0(x)/a1(x). Assim, dividimos primeiro (22) por a(x). Os primeiros dois termos são então

, onde, para enfati-

zar, escrevemos Y y¿. Depois, multiplicamos essa equação pelo fator integrante onde considera-se que a(x) e b(x)não tenham fatores comuns

Para concluir, dividindo (22) por a(x) e então multiplicando por

, obtemos (23)

A equação (23) é a forma desejada indicada em (20), sendo igual a (3):

Por exemplo, para escrever 3y– 6y¿ ␭y 0 na forma adjunta própria, escrevemos y– 2y¿ ␭1/3y 0 e a seguir multiplicamos por A equação resultante é

Observe.

Certamente não é necessário colocar uma equação diferencial de segunda ordem (22) na forma adjunta própria (3) para resolver a ED. Para os nossos propósitos, utilizamos a forma indicada em (3) para determinar a função de peso p(x) necessária na relação de ortogonalidade (9). Os próximos dois exemplos ilustram as relações de ortogonalidade para as funções de Bessel e para os polinômios de Legendre. Exemplo 3

Equação de Bessel paramétrica

Na Seção 5.3 do Volume 1, vimos que a solução geral da equação diferencial de Bessel paramétrica é Após dividirmos a equação de Bessel paramétrica pelo coeficiente principal x2 e multiplicarmos a equação resultante pelo fator integrante obtemos a forma adjunta própria

onde identificamos r(x) x, q(x) n2/x, p(x) x e ␭ ␣2. Agora r(0) 0, e das duas soluções Jn(␣x) e Yn(␣x) apenas Jn(␣x) é limitada em x 0. Assim, em vista de (16), o conjunto {Jn(␣ix)}, i 1, 2, 3,..., é ortogonal em relação à função de peso p(x) x no intervalo [0,b]. A relação de ortogonalidade é (24)


133

desde que ␣i, e portanto os autovalores sejam definidos por meio de uma condição de contorno em x b do tipo apresentado em (5): *

(25) ❑

Para qualquer escolha de A2 e B2, ambos não sendo nulos, sabe-se que (25) tem um número infinito de raízes xi ␣ib. Os autovalores são então Mais informações a respeito dos autovalores serão dadas no próximo capítulo. Exemplo 4

Equação de Legendre

A partir do resultado indicado em (21), podemos identificar q(x) 0, p(x) 1 e ␭ n(n 1). Recorde da Seção 5.3 do Volume 1 que quando n 0, 1, 2,... a ED de Legendre tem soluções polinomiais Pn(x). Agora podemos adicionar a informação de que r(1) r(1) 0 ao fato de que os polinômios de Legendre Pn(x) são as únicas soluções de (21) que são limitadas no intervalo fechado [1,1], para concluir a partir de (18) que o conjunto {Pn(x)}, n 0, 1, 2,..., é ortogonal em relação à função de peso p(x) 1 em [1,1]. A relação de ortogonalidade é

Observações (i) Um problema de Sturm-Liouville é também considerado como sendo singular quando o intervalo em consideração é infinito. Veja os Problemas 11 e 12 nos Exercícios 3.5. (ii) Mesmo quando as condições nos coeficientes p, q, r e r¿ são como as consideradas no problema de Sturm-Liouville regular, se as condições de contorno forem periódicas, então a propriedade (b) do Teorema 3.3 não se aplica. Você mostrará no Problema 4 dos Exercícios 3.5 que correspondendo a cada autovalor do PVC

existem duas autofunções linearmente independentes.

* O fator extra de ␣ em (25) vem da regra da cadeia:

EXERCÍCIOS 3.5


Nos Problemas 1 e 2, determine as autofunções e a equação que define os autovalores para o problema de valor de contorno indicado. Utilize um SAC para aproximar os primeiros quatro autovalores ␭1, ␭2, ␭3 e ␭4. Defina as autofunções que correspondem a essas aproximações.

3. Considere y– ␭y 0 sujeita a y¿(0) 0, y¿(L) 0. Mostre que as autofunções são

1. 2.

Esse conjunto, que é ortogonal em [0, L], é a base para a série de Fourier de co-senos.

134


4. Considere y– ␭y 0 sujeita às condições de contorno periódicas y(L) y(L), y¿(L) y¿(L). Mostre que as autofunções são

Esse conjunto, que é ortogonal em [L, L], é a base para a série de Fourier. 5. Determine a norma quadrada para cada autofunção no Problema 1.

11. Considere o problema de Sturm-Liouville regular

(a) Determine os autovalores e as autofunções do problema de valor de contorno. [Sugestão: Considere x tg ␪ e utilize a regra da cadeia] (b) Defina uma relação de ortogonalidade. 12. (a) Determine as autofunções e a equação que define os autovalores para o problema de valor de contorno

6. Mostre que, para as autofunções no Exemplo 2, y é limitada em x 0, y(3) 0.

7. (a) Determine os autovalores e as autofunções do problema de valor de contorno

(b) Use a Tabela 5.1 da Seção 5.3 do Volume 1 para obter os valores aproximados dos primeiro quatro autovalores ␭1, ␭2, ␭3 e ␭4.

Problemas para discussão (b) Coloque a equação diferencial na forma adjunta própria. (c) Defina uma relação de ortogonalidade.

13. Considere o caso especial do problema de Sturm-Liouville regular no intervalo [a,b]:

8. (a) Determine os autovalores e as autofunções do problema de valor de contorno ␭ 0 é um autovalor do problema? Justifique a sua resposta. (b) Coloque a equação diferencial na forma adjunta própria.


(c) Defina uma relação de ortogonalidade.

14. (a) Defina uma relação de ortogonalidade para o problema de Sturm-Liouville no Problema 1.

9. A equação diferencial de Laguerre

tem soluções polinomiais Ln(x). Coloque a equação na forma adjunta própria e defina uma relação de ortogonalidade. 10. A equação diferencial de Hermite

(b) Utilize um SAC como um auxílio para verificar a relação de ortogonalidade para as autofunções y1 e y2 que correspondem aos dois primeiros autovalores ␭1 e ␭2, respectivamente. 15. (a) Defina uma relação de ortogonalidade para o problema de Sturm-Liouville no Problema 2.

tem soluções polinomiais Hn(x). Coloque a equação na forma adjunta própria e defina uma relação de ortogonalidade.

3.6

(b) Utilize um SAC como um auxílio para verificar a relação de ortogonalidade para as autofunções y1 e y2 que correspondem aos dois primeiros autovalores ␭1 e ␭2, respectivamente.

Séries de Bessel e Legendre

Introdução Série de Fourier, série de Fourier do co-seno e série de Fourier do seno são três formas de se expandir uma função em termos de um conjunto ortogonal de funções. Porém, tais expansões são limitadas para conjuntos ortogonais de funções trigonométricas. Vimos na Seção 3.1 que uma função f definida em um intervalo (a, b) podia ser expandida, pelo menos de uma maneira formal, em termos de qualquer conjunto de funções {␾n(x)} que fosse ortogonal em relação a uma função de peso em [a, b]. Muitas dessas expansões em séries ortogonais ou séries de Fourier generalizadas são obtidas a partir de problemas de Sturm-Liouville que, por sua vez, surgem a partir de tentativas para resolver equações diferenciais parciais lineares que servem como modelos para sistemas físicos. Séries de Fourier e expansões em séries ortogonais (as últimas incluem as duas séries consideradas nessa seção) aparecerão nas próximas considerações dessas aplicações nos Capítulos 4 e 5.


3.6.1


Vimos no Exemplo 3 da Seção 3.5 que para um valor fixo de n, o conjunto de funções de Bessel {Jn(␣ix)}, i 1, 2, 3,..., é ortogonal em relação à função de peso p(x) x em um intervalo [0, b] quando os ␣i forem definidos por meio de uma condição de contorno da forma (1) Os autovalores do problema de Sturm-Liouville correspondente são A partir de (7) e (8) da Seção 3.1, a expansão em séries ortogonais ou em séries de Fourier generalizadas de uma função f definida no intervalo (0,b) em termos desse conjunto ortogonal é (2)

onde

(3)

A norma quadrada da função Jn(␣ix) é definida por (11) da Seção 3.1: (4) A série (2) com coeficientes (3) é denominada série de Fourier-Bessel. Relações de recorrência diferencial As relações de recorrência diferencial que foram apresentadas em (20) e (21) da Seção 5.3 do Volume 1 são frequentemente úteis para o cálculo dos coeficientes (3). Por conveniência, reproduzimos essas relações a seguir:

(5) (6) Norma quadrada

O valor da norma quadrada (4) depende do modo no qual os autovalores estão definidos. Se yn Jn(␣x), então sabemos a partir do Exemplo 3 da Seção 3.5 que

Após multiplicarmos por 2xy¿, essa equação pode ser escrita como

Integrando o último resultado por partes em [0, b], obtemos

Como yn Jn(␣x), o limite inferior é zero para n 0 pois Jn(0) 0. Para n 0, a quantidade [xy¿]2 ␣2x2y2 é zero em x 0. Assim (7) onde utilizamos a regra da cadeia para escrever y¿ ␣ Jn¿(␣x).

135

136


Consideraremos agora três casos da condição de contorno (1). Caso I:

Se adotarmos A2 1 e B2 0, então (1) será (8) Existe um número infinito de raízes positivas xi ␣ib de (8) (veja a Figura 5.3 do Volume 1), que define ␣i como ␣i xi/b. Os autovalores são positivos, sendo então Nenhum autovalor novo resulta das raízes negativas de (8), pois Jn(x) (1)nJn(x). (Veja a página 277 do Volume 1.) O número 0 não é um autovalor para qualquer n, pois Jn(0) 0 para n 1, 2, 3,... e J0(0) 1. Em outras palavras, se ␭ 0, obtemos a função trivial (que nunca é uma autofunção) para n 1, 2, 3,..., e para n 0, ␭ 0 (ou, de modo equivalente, ␣ 0) não satisfaz a equação em (8). Quando (6) for escrita na forma segue-se de (7) e (8) que a norma quadrada de Jn(␣ix) é (9)

Caso II:

Se adotarmos A2 h 0, B2 b, então (1) é (10) A equação (10) tem um número infinito de raízes positivas xi ␣ib para cada inteiro positivo n 1, 2, 3,... Como antes, os autovalores são obtidos a partir de não é um autovalor para n 1, 2, 3,.... Substituindo em (7), temos que a norma quadrada de Jn(␣ix) é agora (11)

Caso III:

Se h 0 e n 0 em (10), os ␣i são definidos a partir das raízes de (12) Apesar de (12) ser apenas um caso especial de (10), trata-se da única situação na qual ␭ 0 é um autovalor. Para ver isso, observe que, para n 0, o resultado em (6) implica que J0¿(␣b) 0 seja equivalente a J1(␣b) 0. Como x1 ␣ib 0 é uma raiz da última equação, ␣1 0, e como J0(0) 1 é não trivial, concluímos a partir de que ␭1 0 é um autovalor. Porém, obviamente não podemos usar (11) quando ␣1 0, h 0, n 0 e n 0. Entretanto, a partir da norma quadrada (4), temos (13) Para ␣i 0, podemos usar (11) com h 0 e n 0: (14)

A definição apresentada a seguir resume as três formas da série (2) correspondendo às normas quadradas nos três casos.




A série de Fourier-Bessel de uma função f definida no intervalo (0, b) é dada por (15)

(i)

(16) onde os ␣i são definidos por Jn(␣b) 0. (17)

(ii)

(18) onde os ␣i são definidos por (19)

(iii)

(20) onde os ␣i são definidos por J0¿(␣b) 0. Convergência de uma série de Fourier-Bessel Condições suficientes para a convergência de uma série de Fourier-Bessel não são particularmente restritivas.

TEOREMA 3.4

Condições para a convergência

Se f e f ¿ forem contínuas por partes no intervalo aberto (0, b), então uma expansão Fourier-Bessel de f converge para f (x) em qualquer ponto no qual f seja contínua e para a média [ f (x) f (x–)]/2 em um ponto onde f seja descontínua.

Exemplo 1

Expansão em uma série de Fourier-Bessel

Expanda f (x) x, 0 x 3, em uma série de Fourier-Bessel, utilizando funções de Bessel de ordem um que satisfazem a condição de contorno J1(3␣) 0. Solução

Utilizamos (15) onde os coeficientes ci são definidos por (16) com b 3:

Para calcular essa integral, adotamos

e utilizamos (5)

na forma

Portanto, a expansão desejada é ❑

137

138


Você calculará os primeiros quatro valores de ␣i para a série de Bessel anterior no Problema 1 dos Exercícios 3.6. Exemplo 2

Expansão em uma série de Fourier-Bessel

Se os ␣i no Exemplo 1 forem definidos por então a única coisa que se modifica na expansão será o valor da norma quadrada. Multiplicando a condição de contorno por 3, temos que agora corresponde a (10) quando h 3, b 3 e n 1. Logo, (18) e (17) resultam, respectivamente, em

❑

y 2,5

Uso de computadores

2 1,5 1 0,5 0 0

x 0,5

1 1,5 2 2,5 (a) S5(x), 0 < x < 3

3

y 3 2

Como as funções de Bessel são “funções embutidas” em um SAC, a determinação de valores aproximados dos ␣i e dos coeficientes ci em uma série de Fourier-Bessel é uma tarefa simples. Por exemplo, em (9) podemos imaginar xi ␣ib como uma raiz positiva da equação Assim, no Exemplo 2, utilizamos um SAC para obter as primeiras cinco raízes positivas xi de e a partir dessas raízes obtemos os primeiros cinco autovalores de ␣i: ␣1 x1/3 0,98320, ␣2 x2/3 1,94704, ␣3 x3/3 2,95758, ␣4 x4/3 3,98538 e ␣5 x5/3 5,02078. Conhecendo as raízes xi 3␣i e os ␣i, novamente utilizamos um SAC para calcular os valores numéricos de J2(3␣i), e finalmente os coeficientes ci. Dessa maneira, obtemos a quinta soma parcial S5(x) para a representação de f(x) = x em série de Fourier-Bessel, 0 x 3 no Exemplo 2 como sendo

1 x

0 –1 0

10 20 30 40 (b) S10(x), 0 < x < 50

Figura 3.21 Somas parciais de uma série de Fourier-Bessel.

50

O gráfico de S5(x) no intervalo 0 x 3 está indicado na Figura 3.21(a). Na Figura 3.21(b), traçamos S10(x) no intervalo 0 x 50. Observe que fora do intervalo de definição 0 x 3 a série não converge para uma extensão periódica de f porque as funções de Bessel não são funções periódicas. Veja os Problemas 11 e 12 nos Exercícios 3.6.

3.6.2


A partir do Exemplo 4 da Seção 3.5, sabemos que o conjunto de polinômios de Legendre {Pn(x)}, n 0, 1, 2,..., é ortogonal em relação à função de peso p(x) 1 no intervalo [1, 1]. Além disso, pode-se provar que a norma quadrada de um polinômio Pn(x) depende de n da seguinte maneira:

A expansão em séries ortogonais de uma função em termos dos polinômios de Legendre é resumida na próxima definição.



A série de Fourier-Legendre de uma função f definida no intervalo (1, 1) é dada por (21) onde

(22)


139

Convergência de uma série de Fourier-Legendre Condições suficientes para a convergência de uma série de Fourier-Legendre são apresentadas no próximo teorema.

TEOREMA 3.5

Condições para a convergência

Se f e f ¿ forem contínuas por partes em (1, 1), então a série de Fourier-Legendre (21) converge para f (x) em um ponto de continuidade e para a média [f(x) f (x)]/2 em um ponto de descontinuidade.

Exemplo 3

Expansão em uma série de Fourier-Legendre

Escreva os primeiros quatro termos não nulos da expansão de Fourier-Legendre de

Solução

Os primeiros polinômios de Legendre estão listados na página 282 do Volume 1. A partir deles e de (22), temos

Portanto,

❑

Como as funções de Bessel, os polinômios de Legendre são funções já programadas em sistemas de álgebra computacional tais como o Maple e o Mathematica, e assim cada um dos coeficientes listados anteriormente pode ser calculado com a aplicação de integração de tais programas. De fato, utilizando um SAC, também obtemos c6 0 e A quinta soma parcial da representação de f em série de Fourier-Legendre definida no Exemplo 3 é então

y 1 0,8 0,6 0,4 0,2 x

0 –1

O gráfico de S5(x) no intervalo –1 x 1 está representado na Figura 3.22. Formas alternativas de séries Em aplicações, a série de Fourier-Legendre aparece de uma forma alternativa. Se considerarmos x cos ␪, então x 1 implica ␪ 0, enquanto que x 1 implica ␪ ␲. Como dx sen␪ d␪, (21) e (22) se tornam, respectivamente,

–0,5

0

0,5

1

Figura 3.22 Soma parcial de uma série de Fourier-Legendre.

140


(23) (24) onde f(cos ␪) foi substituída por F(␪).

EXERCÍCIOS 3.6 3.6.1



Nos Problemas 1 e 2, utilize a Tabela 5.1 da Seção 5.3 do Volume 1. 1. Determine os primeiros quatro ␣i 0 definidos por J1(3␣) 0. 2. Determine os primeiros quatro ␣i 0 definidos por Nos Problemas 3-6, expanda f(x) 1, 0 x 2, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfazem as condições de contorno indicadas. 3.

4.

5.

6.

Nos Problemas 7-10, expanda f (x) 1, 0 x 2, em uma série de Fourier-Bessel utilizando funções de Bessel da mesma ordem como indicado na condição de contorno. 7.

8.

9.

10.

(c) Se requerido, trace o gráfico da soma parcial S10(x) em 0 x 4 e em 0 x 50.

Problemas para discussão 13. Se as somas parciais no Problema 12 forem traçadas em um intervalo simétrico como –30 x 30, os gráficos terão alguma simetria? Explique. 14. (a) Esboce, à mão, um gráfico no qual você imagina que a série de Fourier-Bessel no Problema 3 seja convergente no intervalo –2 x 2. (b) Esboce, à mão, um gráfico no qual você imagina que a série de Fourier-Bessel no Problema 3 convergiria no intervalo –4 x 4 se os valores ␣i no Problema 7 fossem definidos por 3J2(4␣) 4␣J2¿(4␣) 0.

3.6.2


Nos Problemas 15 e 16, escreva os primeiros cinco termos não nulos na expansão de Fourier-Legendre da função indicada. Utilize um SAC como auxílio para o cálculo dos coeficientes. Use um SAC para traçar o gráfico da soma parcial S5(x). 15. 16.

Tarefas computacionais 11. (a) Utilize um SAC para traçar o gráfico em um intervalo de modo que os primeiros cinco pontos positivos que interceptam o eixo x do gráfico sejam indicados. (b) Utilize a ferramenta de determinação de raiz do seu SAC para aproximar as primeiras cinco raízes xi da equação (c) Use os dados obtidos no item (b) para calcular os primeiros cinco valores positivos de ␣i que satisfazem

17. Os primeiros três polinômios de Legendre são P0(x) 1, P1(x) x e Se x cos␪, então P0(cos␪) 1 e P1(cos␪) cos␪. Mostre que P2(cos␪) 18. Use os resultados do Problema 17 para obter uma expansão Fourier-Legendre (23) de 19. Um polinômio de Legendre Pn(x) é uma função par ou ímpar dependendo se n for par ou ímpar. Mostre que se f for uma função par em (1,1), então (21) e (22) se tornam, respectivamente,

(25) (Veja o Problema 7.) (d) Determine os primeiros dez valores positivos de ␣i. 12. (a) Utilize os valores de ␣i no item (c) do Problema 11 e um SAC para aproximar os valores dos primeiros cinco coeficientes ci da série de Fourier-Bessel obtida no Problema 7. (b) Use um SAC para traçar o gráfico das somas parciais SN(x), N 1, 2, 3, 4, 5 da série de Fourier-Bessel no Problema 7.

(26) 20. Mostre que se f for uma função ímpar em (1,1), então (21) e (22) se tornam, respectivamente

(27)


(28) As séries (25) e (27) podem também ser utilizadas quando f for definida apenas no intervalo (0,1). Ambas as séries representam f em (0,1); porém, no intervalo (1,0), (25) representa uma extensão par, enquanto (27) representa uma extensão ímpar. Nos Problemas 21 e 22, escreva os primeiros quatro termos não nulos na expansão indicada da função dada. Qual função a série representa no intervalo (1,1)? Utilize um SAC para traçar o gráfico da soma parcial S4(x).


141

21. 22.

Problemas para discussão 23. Por que a expansão de Fourier-Legendre de uma função polinomial que esteja definida no intervalo (1,1) é necessariamente uma série finita? 24. Use as suas conclusões do Problema 23 para obter a série finita de Fourier-Legendre de f (x) x2 e de f(x) x3. Não utilize (21) e (22).


Nos Problemas 1-10, preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso sem consultar o texto. 1. As funções f (x) x2 – 1 e g(x) x5 são ortogonais no intervalo [␲, ␲]. _____ 2. O produto de uma função ímpar f por uma função ímpar g é uma função _____. 3. Para expandir f (x) |x| 1, ␲ x ␲, em uma série trigonométrica apropriada, utilizamos uma série ____. 4. y 0 nunca é uma autofunção de um problema de SturmLiouville. _____ 5. ␭ 0 nunca é uma autovalor de um problema de SturmLiouville. _____ 6. Se a função

12. (a) Mostre que o conjunto

é ortogonal no intervalo 0 x L. (b) Determine a norma de cada função no item (a). Construa um conjunto ortonormal. 13. Expanda

em uma série de Fourier.

14. Expanda

em uma série de Fourier.

15. Expanda em uma série de senos.

em uma série de co-senos e

16. Nos Problemas 13, 14 e 15, esboce a extensão periódica de f para a qual cada série converge. 17. Determine os autovalores e autofunções do problema de valor de contorno

for expandida em uma série de Fourier, a série convergirá para ____ em x 1, para ____ em x 0, e para ____ em x 1.

18. Defina uma relação de ortogonalidade para as autofunções do Problema 17. 19. A equação diferencial de Chebyshev

7. Considere que a função f(x) x 1, 0 x 3, seja expandida em uma série de Fourier, uma série de co-senos e uma série de senos. Em x 0, a série de Fourier convergirá para ____, a série de co-senos convergirá para ____, e a série de senos convergirá para ____.

tem uma solução polinomial y Tn(x) para n 0, 1, 2,.... Especifique a função de peso p(x) e o intervalo no qual o conjunto de polinômios de Chebyshev {Tn(x)} é ortogonal. Defina uma relação de ortogonalidade.

8. A autofunção correspondente para o problema de valor de contorno

20. Expanda a função periódica ilustrada na Figura 3.23 em uma série de Fourier apropriada.

2

y

para ␭ 25 é ____. 9. O conjunto {P2n(x)}, n 0, 1, 2,... de polinômios de Legendre de grau par é ortogonal em relação à função de peso p(x) 1 no intervalo [0,1]. ____ 10. O conjunto {Pn(x)}, n 0, 1, 2,... de polinômios de Legendre de grau par é ortogonal em relação à função de peso p(x) 1 no intervalo [1,1]. Portanto, para n 0, _________ 11. Sem fazer qualquer trabalho, explique por que a série de cosenos de f (x) cos2x, 0 x ␲, é a série finita f(x)

2

x –4

Figura 3.23

21. Expanda

–2

0

2

4

6

Gráfico para o Problema 20.

em uma série de Fou-

rier-Bessel, utilizando funções de Bessel de ordem zero que satisfaçam a condição de contorno J0(4␣) 0. 22. Expanda f (x) x4, 1 x 1, em uma série de FourierLegendre.

CAPÍTULO

4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares Descrição do capítulo 4.1 Equações diferenciais parciais separáveis 4.2 Equações clássicas e problemas de valor de contorno 4.3 Equação do calor 4.4 Equação de onda 4.5 Equação de Laplace 4.6 PVCs não homogêneos 4.7 Expansões em séries ortogonais 4.8 Série de Fourier em duas variáveis Exercícios de revisão

Neste e nos próximos dois capítulos, serão enfatizados dois procedimentos frequentemente utilizados para se resolver problemas envolvendo temperaturas, deslocamentos oscilatórios e potenciais. Esses problemas, denominados problemas de valor de contorno (PVC), são descritos por equações diferenciais parciais (EDP) lineares de segunda ordem relativamente simples. O objetivo de ambos os procedimentos é obter soluções particulares de uma EDP reduzindo-a a uma ou mais equações diferenciais ordinárias (EDO). Iniciamos pelo método de separação de variáveis para EDP lineares. A aplicação desse método em um problema de valor de contorno nos leva naturalmente a importantes tópicos do Capítulo 3, ou seja, os problemas de Sturm-Liouville, autovalores, autofunções, e a expansão de uma função em uma série de funções ortogonais.

4.1 Equações Diferenciais Parciais Separáveis

4.1

143

Equações diferenciais parciais separáveis

Revisão

Equações diferenciais parciais (EDPs), como as equações diferenciais ordinárias (EDOs), são classificadas como lineares ou não lineares. De forma análoga à EDO linear (veja (6) da Seção 1.1 do Volume 1), a variável dependente e as suas derivadas parciais aparecem somente elevadas à primeira potência em uma EDP linear. Nesse e nos próximos capítulos, estaremos interessados apenas em equações diferenciais parciais lineares.

Equação diferencial parcial linear

Se considerarmos u representando a variável dependente e x e y como as variáveis independentes, então a forma geral de uma equação diferencial parcial de segunda ordem linear é indicada por (1)

onde os coeficientes A, B, C,..., G são constantes ou funções de x e y. Quando G(x,y) 0, a equação (1) é dita ser homogênea; de outro modo, ela é não homogênea. Por exemplo, as equações lineares

são homogêneas e não homogêneas, respectivamente. Solução de uma EDP

Uma solução de uma equação diferencial parcial linear (1) é uma função u(x,y) de duas variáveis independentes que possui todas as derivadas parciais ocorrendo na equação e satisfaz a equação em alguma região do plano xy. Não é nossa intenção examinar procedimentos para obter soluções gerais de uma equação diferencial parcial linear. A obtenção de uma solução geral de uma EDP linear de segunda ordem não apenas é difícil como também muitas vezes uma solução geral nem sempre é útil em aplicações. Portanto, nosso foco estará em obter soluções particulares de algumas importantes EDPs lineares, isto é, equações que aparecem em diversas aplicações.

Separação de variáveis Apesar de existirem diversos métodos que podem ser utilizados para a obtenção de soluções particulares de uma EDP linear, no método da separação de variáveis buscamos determinar uma solução particular da forma de um produto entre uma função x e uma função y,

Adotando essa consideração, em alguns casos é possível reduzir uma EDP linear em duas variáveis a duas EDOs. Com esse intuito, observamos que

onde o apóstrofo representa uma diferenciação ordinária. Exemplo 1

Utilizando separação de variáveis

Determine soluções produto de Solução

Substituindo u(x,y) X(x)Y(y) na equação diferencial parcial, obtemos

Estamos interessados apenas em soluções particulares de EDPs.

144

CAPÍTULO 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares

Após dividir ambos os lados por 4XY, separamos as variáveis:

Como o lado esquerdo da última equação é independente de y e é igual ao lado direito, que é independente de x, concluímos que ambos os lados da equação são independentes de x e de y. Em outras palavras, cada lado da equação tem que ser uma constante. Por praticidade, é conveniente escrevermos essa constante de separação real como ␭. A partir das duas igualdades

obtemos as duas equações diferenciais ordinárias lineares (2) Para os três casos de ␭: zero, negativa ou positiva; isto é, ␭ 0, ␭ ␣ 0 e ␭ ␣2 0, onde ␣ 0, as EDOs, em (2) são, respectivamente, 2

Veja o Exemplo 2, Seção 3.9 do Volume 1 e o Exemplo 1, Seção 3.5 deste Volume.

(3) (4) (5) Caso I (␭ 0):

As EDs em (3) podem ser resolvidas por integração. As soluções são . Assim, uma solução produto particular da EDP indicada é (6) onde substituímos c1c3 e c2c3 por A1 e B1, respectivamente.

2 Caso II (␭ ␣ ):

As soluções gerais das ED em (4) são

respectivamente. Logo, outra solução produto particular da EDP é

ou

(7)

onde A2 c4c6 e B2 c5c6. 2 Caso III (␭ ␣ ):

Finalmente, as soluções gerais das EDs em (5) são

respectivamente. Esses resultados geram outra solução particular (8) onde A3 c7c9 e B3 c8c9.

❑

Deixa-se como exercício verificar que (6), (7) e (8) satisfazem a equação diferencial parcial dada uxx 4uy. Veja o Problema 29 nos Exercícios 4.1.

4.1 Equações Diferenciais Parciais Separáveis

A separação de variáveis não é um método geral para obter soluções particulares; algumas equações diferenciais parciais lineares simplesmente não são separáveis. Você deve verificar que a consideração u XY não resulta em solução para Princípio da superposição O seguinte teorema é análogo ao Teorema 3.2 do Volume 1, sendo conhecido como princípio da superposição.

TEOREMA 4.1

Princípio da superposição

Se u1, u2,..., uk forem soluções de uma equação diferencial parcial linear homogênea, então a combinação linear onde ci, i 1, 2,..., k são constantes, é também uma solução.

Por todo o restante do capítulo, consideraremos que sempre que tivermos um conjunto infinito u1, u2, u3,... de soluções de uma equação linear homogênea, podemos ainda construir outra solução u formando a série infinita

onde ck, k 1, 2,..., são constantes. Classificação de equações

Uma equação diferencial parcial de segunda ordem linear com duas variáveis independentes de coeficientes constantes pode ser classificada como uma de três tipos. Essa classificação depende somente dos coeficientes das derivadas de segunda ordem. Assumiremos, é claro, que ao menos um dos coeficientes A, B e C não seja zero.


Classificação de equações

A equação diferencial parcial de segunda ordem linear

onde A, B, C, D, E e F são constantes reais, é dita ser hiperbólica se parabólica se elíptica se

Exemplo 2

2 B – 4AC 0, 2 B – 4AC 0, 2 B – 4AC 0.

Classificando EDPs de segunda ordem lineares

Classifique as seguintes equações:

Solução

(a) Reescrevendo a equação dada como

145

146


podemos adotar as identificações A 3, B 0 e C 0. Como B – 4AC 0, a equação é parabólica. 2

(b) Reescrevendo a equação como

vemos que A 1, B 0, C 1 e B2 – 4AC 4(1)(1) 0. A equação é hiperbólica. (c) Com A 1, B 0, C 1 e B2 – 4AC 4(1)(1) 0, a equação é elíptica. ❑ Uma explicação detalhada do porquê de classificarmos uma equação diferencial parcial de segunda ordem está além do escopo desse texto. Porém, a resposta está no fato de desejarmos resolver equações diferenciais parciais sujeitas a determinadas condições laterais conhecidas como condições de contorno e iniciais. Os tipos de condições laterais apropriadas para uma dada equação dependem se a equação é hiperbólica, parabólica ou elíptica.

EXERCÍCIOS 4.1


Nos Problemas 1-6, use separação de variáveis para obter, se possível, soluções produto para a equação diferencial parcial indicada. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

18. 19. 20. 21.

22.

23.

24. 11. 12.

25.

13.

Nos Problemas 27 e 28, mostre que a equação diferencial parcial dada tem a solução produto indicada.

14. 16.

15. g uma constante

Nos Problemas 17-26, classifique a equação diferencial parcial indicada como hiperbólica, parabólica ou elíptica. 17.

27.

28.

26.

4.2 Equações Clássicas e Problemas de Valor de Contorno

147

29. Verifique que o produto u XY em (6), (7) e (8) satisfaz a EDP de segunda ordem no Exemplo 1.

Problemas para discussão

30. A Definição 4.1 se generaliza para EDPs lineares com coeficientes que sejam funções de x e de y. Determine as regiões no plano xy para as quais a equação

Nos Problemas 31 e 32, discuta se as soluções produto u X(x) Y(y) podem ser obtidas para a equação diferencial indicada. [Sugestão: Use o princípio da superposição.] 31.

32.

é hiperbólica, parabólica ou elíptica.

4.2

Equações clássicas e problemas de valor de contorno

Introdução Para o restante desse capítulo e para o próximo, estaremos interessados em determinar soluções produto de equações diferenciais parciais de segunda ordem

(1) (2) (3) ou de pequenas variações dessas equações. Essas equações clássicas de física matemática são conhecidas, respectivamente, como equação do calor unidimensional¸ equação de onda unidimensional e equação de Laplace bidimensional. “Unidimensional” se refere ao fato de x representar uma dimensão espacial, enquanto que t representa o tempo; “duas dimensões” em (3) significa que x e y são ambas dimensões espaciais. A equação de Laplace é abreviada como 2u 0, onde

é denominado Laplaciano em duas dimensões da função u. Em três dimensões, o Laplaciano de u é

Comparando as equações (1)-(3) com a EDP de segunda ordem linear indicada no Teorema 4.1, com t desempenhando o papel de y, vemos que a equação do calor (1) é parabólica, a equação de onda (2) é hiperbólica, e a equação de Laplace (3) é elíptica. Essa classificação será importante no Capítulo 7. Equação do calor

A equação (1) está associada à teoria do fluxo de calor – isto é, calor transferido por condução em uma haste ou um fio fino. A função u(x,t) é a temperatura. Problemas de vibrações mecânicas muitas vezes levam à equação do calor (2). Para facilitar a discussão, uma solução u(x,t) de (2) representará o deslocamento de uma corda ideal. Finalmente, uma solução u(x,y) da equação de Laplace (3) pode ser interpretada como a distribuição de temperatura de regime permanente (isto é, independente do tempo) por toda uma placa fina bidimensional.

148

CAPÍTULO 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares seção transversal de área A

0

Figura 4.1 sional.

x

x + Δx

L

x

Fluxo de calor unidimen-

Apesar de termos que adotar muitas simplificações, é importante vermos como equações tais como (1) e (2) surgem. Suponha que uma haste circular fina de comprimento L tendo uma área A da seção transversal coincida com o eixo x no intervalo [0,L]. Veja a Figura 4.1. Vamos considerar que: • O fluxo de calor no interior da haste ocorre somente na direção x. • A superfície lateral da haste é isolada; isto é, nenhum calor escapa a partir dessa superfície. • Nenhum calor é gerado no interior da haste. • A haste é homogênea; isto é, a sua massa por unidade de volume (␳) é uma constante. • O calor específico ␥ e a condutividade térmica K do material da haste são constantes. Para obter a equação diferencial parcial que satisfaz a temperatura u(x,t), precisamos de duas leis empíricas de condução de calor: (i) A quantidade de calor Q em um elemento de massa m é (4) onde u é a temperatura do elemento. (ii) A taxa de fluxo de calor Qt através da seção transversal indicada na Figura 4.1 é proporcional à área A da seção transversal e à derivada parcial em relação a x da temperatura: (5) Como o calor flui na direção de decréscimo de temperatura, o sinal de menos em (5) é utilizado para garantir que Qt seja positivo para ux 0 (fluxo de calor para a direita) e negativo para ux 0 (fluxo de calor para a esquerda). Se a fatia circular da haste mostrada na Figura 4.1 entre x e x x for muito fina, então u(x,t) pode ser tomada como a temperatura aproximada em cada ponto no intervalo. Portanto, a massa da fatia é m ␳(A x), e assim decorre de (4) que a quantidade de calor nela é (6) Além disso, quando o calor fluir na direção x positiva, vemos a partir de (5) que o calor surge na fatia a uma taxa líquida (7) Diferenciando (6) em relação a t, vemos que essa taxa líquida é também dada por (8) Igualando (7) e (8), obtemos

(9) Tomando o limite de (9) quando x → 0 finalmente resulta em (1) na forma*

É comum adotarmos k K/␥␳ e denominarmos essa constante positiva como difusividade térmica.

* Relembre do cálculo que

149

4.2 Equações Clássicas e Problemas de Valor de Contorno Equação de onda Considere uma corda de comprimento L, tal como uma corda de violão, esticada entre dois pontos no eixo x – por exemplo, x 0 e x L. Quando a corda começa a vibrar, considere que o movimento ocorra no plano xy de tal maneira que cada ponto na corda se mova em uma direção perpendicular ao eixo x (vibrações transversais). Conforme apresentado na Figura 4.2(a), seja u(x,t) o deslocamento vertical de qualquer ponto na corda medido a partir do eixo x para t 0. Outras considerações:

• A corda é perfeitamente flexível. • A corda é homogênea; isto é, sua massa por unidade de comprimento ␳ é uma constante. • Os deslocamentos u são pequenos em comparação ao comprimento da corda. • A inclinação (coeficiente angular) da corda é pequena em todos os pontos. • A tensão T atua tangente à corda e a sua magnitude T é a mesma em todos os pontos. • A tensão é grande em comparação com a força da gravidade. • Nenhuma outra força externa atua na corda. Agora na Figura 4.2(b) as tensões T1 e T2 são tangentes às extremidades da curva no intervalo [x, x x]. Para ␪1 e ␪2 pequenos, a força vertical líquida que atua no elemento correspondente s da corda é então

* onde T |T1| |T2|. Agora ␳s 艐 ␳x é a massa da corda em [x, x x], e assim a segunda lei de Newton resulta em

u Δs

0

u(x, t)

L x

x x + Δx (a) segmento de corda

T2

u

␪2

Δs ␪1 T1 0

x + Δx

x

x

(b) aumento do segmento

Figura 4.2 Corda ancorada em dois pontos no eixo x. temperatura como uma função da posição em uma placa quente

termômetro

y

(x, y)

Se o limite for adotado como x→ 0, a última equação se escreve uxx (␳/T)utt. Essa equação é (2) com a2 T/␳.

Condições iniciais Como as soluções de (1) e (2) dependem do tempo t, podemos prever o que ocorre em t 0; isto é, podemos definir condições iniciais (CI). Se f(x) representar a distribuição de temperatura inicial por toda a haste na Figura 4.1, então uma solução u(x,t) de (1) tem que satisfazer a condição inicial única u(x,0) f(x), 0 x L. Por outro lado, para uma corda vibrando, podemos especificar seu deslocamento inicial (ou formato) f(x), bem como sua velocidade inicial g(x). Em termos matemáticos, buscamos uma função u(x,t) que satisfaça (2) e as duas condições iniciais:

(10) Por exemplo, a corda poderia ser puxada, como mostra a Figura 4.4, e liberada a partir do repouso (g(x) 0). *

são expressões equivalente para a inclinação.

H

O

Equação de Laplace

Apesar de não apresentarmos a sua definição, a equação de Laplace em duas ou três dimensões ocorre em problemas independente do tempo envolvendo potenciais como o eletrostático, o gravitacional, e velocidade em mecânica dos fluidos. Além disso, uma solução da equação de Laplace pode também ser interpretada como uma distribuição de temperatura de regime permanente. Conforme ilustrado na Figura 4.3, uma solução u(x,y) de (3) poderia representar a temperatura que varia ponto a ponto – mas não com o tempo – de uma placa retangular. Frequentemente desejamos obter soluções das equações (1), (2) e (3) que satisfazem certas condições laterais.

W

x

Figura 4.3 Temperaturas de regime permanente em uma placa retangular. u

h 0

u=0 em x = 0

Figura 4.4

x u=0 L em x = L

Corda puxada.

150

CAPÍTULO 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares Condições de contorno Essa corda na Figura 4.4 está presa ao eixo x em x 0 e x L por todo o tempo. Interpretamos isso por meio de duas condições de contorno (CC):

Note que nesse contexto, a função f em (10) é contínua, e consequentemente f(0) 0 e f(L) 0. Em geral, existem três tipos de condições de contorno associadas com as equações (1), (2) e (3). Em um contorno, podemos especificar um dos seguintes valores:

Aqui u/ n representa a derivada normal de u (a derivada direcional de u na direção perpendicular ao contorno). Uma condição de contorno do primeiro tipo (i) é denominada condição de Dirichlet; uma condição de contorno do segundo tipo (ii) é denominada condição de Neumann; e uma condição de contorno do terceiro tipo (iii) é conhecida como condição de Robin. Por exemplo, para t 0, uma condição típica na extremidade direita da haste na Figura 4.1 pode ser

A condição (i)¿ simplesmente declara que o contorno x L é mantido de algum modo a uma temperatura constante u0 para todo tempo t 0. A condição (ii)¿ indica que o contorno x L está isolado. A partir da lei empírica de transferência de calor, o fluxo de calor através de um contorno (isto é, a quantidade de calor por unidade de área por unidade de comprimento conduzida através da superfície) é proporcional ao valor da derivada normal u/ n da temperatura u. Assim, quando o contorno x L estiver termicamente isolado, não há fluxo de calor para dentro ou para fora da haste, e logo

Podemos interpretar (iii)¿ como o calor perdido a partir da extremidade direita da haste por estar em contato com um meio, como ar ou água, que é mantido a uma temperatura constante. A partir da lei de Newton do resfriamento, o fluxo de calor para fora a partir da haste é proporcional à diferença entre a temperatura u(L,t) no contorno e a temperatura um do meio circundante. Notemos que se o calor for perdido a partir da extremidade esquerda da haste, a condição de contorno será

A mudança no sinal algébrico está consistente com a consideração de que a haste está a uma temperatura maior que a do meio que circunda as extremidades, de modo que u(0,t) um e u(L,t) um. Em x 0 e x L, as derivadas ux(0,t) e ux(L,t) têm que ser positiva e negativa, respectivamente. É claro que nas extremidades da haste podemos especificar condições diferentes ao mesmo tempo. Por exemplo, poderíamos ter

Observamos que a condição de contorno em (i)¿ é homogênea se u0 0; se u0 ⫽ 0, a condição de contorno é não homogênea. A condição de contorno (ii)¿ é homogênea; (iii)¿ é homogênea se um 0 e não homogênea se um ⫽ 0.

4.2 Equações Clássicas e Problemas de Valor de Contorno Problemas de valor de contorno

Problemas tais como

Resolva: (11)

Sujeito a:

e Resolva:

Sujeito a:

(12)

são chamados problemas de valor de contorno. Os problemas em (11) e (12) são classificados como PVCs homogêneos pois a equação diferencial parcial e as condições de contorno são homogêneas. Variações As equações diferenciais parciais (1), (2) e (3) têm que ser modificadas

para considerarem influências internas ou externas que atuam no sistema físico. Formas mais gerais das equações do calor e de onda unimensionais são, respectivamente, (13) (14)

e

Por exemplo, se houver transferência de calor a partir da superfície lateral de uma haste para o meio circundante que esteja mantido a uma temperatura constante um, então a equação do calor (13) será

onde h é uma constante. Em (14), a função F poderia representar as várias forças que atuam na corda. Por exemplo, quando forças externas, de amortecimento e elásticas restauradoras são consideradas, (14) assume a forma

(15)

Observações A análise de uma ampla variedade de fenômenos resulta nos modelos matemáticos (1), (2) e (3) ou suas generalizações envolvendo um grande número de variáveis espaciais. Por exemplo, (1) é algumas vezes chamada de equação de difusão, pois a difusão de substâncias dissolvidas em uma solução é análoga ao fluxo de calor em um sólido. A função c(x,t) que satisfaz a equação diferencial parcial nesse caso repre-

151

152

CAPÍTULO 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares senta a concentração de substância dissolvida. De modo similar, a equação (2) e a sua generalização (15) surgem da análise do fluxo de eletricidade em um cabo longo ou uma linha de transmissão. Nesse arranjo, (2) é conhecida como equação telegráfica (ou do telegrafista). Pode-se mostrar que sob certas considerações a corrente i(x,t) e a tensão v(x,t) na linha satisfazem duas equações diferenciais parciais idênticas a (2) (ou (15)). A equação de onda (2) aparece também em mecânica dos fluidos, acústica e elasticidade. A equação de Laplace (3) é utilizada para determinar o deslocamento estático de membranas.

EXERCÍCIOS 4.2


Nos Problemas 1-6, uma haste de comprimento L coincide com o intervalo [0, L] no eixo x. Monte o problema de valor de contorno para a temperatura u(x,t). 1. A extremidade esquerda é mantida à temperatura zero e a extremidade direita está isolada. A temperatura inicial é f(x) por toda a haste. 2. A extremidade esquerda é mantida à temperatura u0 e a extremidade direita é mantida à temperatura u1. A temperatura inicial é zero por toda a haste. 3. A extremidade esquerda é mantida à temperatura de 100o e há transferência de calor a partir da extremidade direita para o meio envolvente à temperatura zero. A temperatura inicial é f(x) por toda a haste. 4. Existe transferência de calor a partir da extremidade esquerda para o meio circundante à temperatura 20o, e a extremidade direita está isolada. A temperatura inicial é f(x) por toda a haste. 5. A extremidade esquerda está a uma temperatura sen(␲t/L), a extremidade direita é mantida em zero, e existe transferência de calor a partir da superfície lateral da haste para o meio circundante à temperatura zero. A temperatura inicial é f(x) por toda a haste. 6. As extremidades estão isoladas e há transferência de calor a partir da superfície lateral da haste para o meio circundante mantido a uma temperatura de 50o. A temperatura inicial é de 100o por toda a haste.

4.3

7. As extremidades estão conectadas ao eixo x. A corda é liberada do repouso a partir do deslocamento inicial x(L – x). 8. As extremidades estão no eixo x. Inicialmente, a corda não está deslocada, mas tem velocidade inicial sen(␲x/L). 9. A extremidade esquerda está conectada ao eixo x, porém a extremidade direita se move de uma maneira transversal de acordo com sen ␲t. A corda é liberada do repouso a partir do deslocamento inicial f(x). Para t 0, as vibrações transversais são amortecidas com uma força proporcional à velocidade instantânea. 10. As extremidades estão conectadas ao eixo x e a corda está inicialmente em repouso naquele eixo. Uma força vertical externa proporcional à distância horizontal a partir da extremidade esquerda atua na corda para t 0. Nos Problemas 11 e 12, monte o problema de valor de contorno para a temperatura de regime permanente u(x,y). 11. Uma placa retangular fina coincide com a região no plano xy definida por 0 x 4, 0 y 2. A extremidade esquerda e a base da placa estão isoladas. O topo da placa é mantido à temperatura zero e a extremidade direita da placa é mantida à temperatura f(y). 12. Uma placa semi-infinita coincide com a região no plano xy definida por 0 x ␲, y 0. A extremidade esquerda é y mantida à temperatura e e a extremidade direita é mantida o à temperatura 100 para 0 y 1 e à temperatura zero para y 1. A base da placa é mantida à temperatura f(x).

Equação do calor

Introdução

Considere uma haste fina de comprimento L com uma temperatura inicial f (x) por toda a haste, cujas extremidades sejam mantidas à temperatura zero para todo o tempo t 0. Se a haste indicada na Figura 4.5 satisfizer as considerações dadas na página 148, então a temperatura u(x, t) na haste é determinada a partir do problema de valor de contorno u=0

0

u=0

L

(1) x

Figura 4.5 Determinação da temperatura u em uma haste finita.

(2) (3)

4.3 Equação do Calor

Na discussão a seguir, mostramos como resolver esse PVC utilizando o método da separação de variáveis introduzido na Seção 4.1. Solução do PVC

Aplicando o produto u(x, t) X(x)T(t), e ␭ como a constante

de separação, temos (4) e

(5) (6)

Agora as condições de contorno em (2) se tornam u(0,t) X(0)T(t) 0 e u(L,t) X(L)T(t). Como a última igualdade tem que ser válida por todo o tempo t, temos que ter X(0) 0 e X(L) 0. Essas condições de contorno homogêneas junto com a EDO homogênea (5) constitui um problema de Sturm-Liouville regular: (7) A solução desse PVC foi discutida em detalhes no Exemplo 2 da Seção 3.9 do Volume 1 e nas páginas 127-128 da Seção 3.5. Naquele exemplo, consideramos três casos possíveis para o parâmetro ␭: zero, negativo e positivo. As soluções gerais correspondentes das EDs são (8) (9) (10) Relembre que quando as condições de contorno X(0) 0 e X(L) 0 são aplicadas em (8) e (9), essas soluções resultam somente em X(x) 0, e assim ficamos com o resultado instável u 0. Aplicando a primeira condição de contorno X(0) 0 à solução em (10), obtemos c1 0. Portanto, X(x) c2 sen␣x. A segunda condição de contorno X(L) 0 agora implica (11) Se c2 0, então X 0 de modo que u 0. Porém, (11) pode ser satisfeita para c2 ⫽ 0 quando sen␣L 0. Essa última equação implica que ␣L n␲ ou ␣ n␲/L, onde n 1, 2, 3,... Logo, (7) tem soluções não triviais quando n 1, 2, 3,.... Os valores ␭n e as soluções correspondentes (12) são autovalores e autofunções, respectivamente, do problema em (7). e assim A solução geral de (6) é (13) onde substituímos as constantes c2c3 por An. Os produtos un(x,t) indicados em (13) satisfazem a equação diferencial parcial (1) assim como as condições de contorno (2) para cada valor do inteiro positivo n. Entretanto, para que a função em (13) satisfaça a condição inicial (3), temos que escolher o coeficiente An de tal modo que (14)

153

154


Em geral, não esperamos que a condição (14) seja satisfeita para uma escolha arbitrária, porém razoável de f. Portanto, somos forçados a admitir que un(x,t) não é uma solução do problema dado em (1)-(3). Agora, pelo princípio da superposição, a função (15) precisa também satisfazer ainda que formalmente, a equação (1) e as condições em (2). Se substituirmos t 0 em (15), então

A última expressão é reconhecida como expansão em meia escala de f em uma série de senos. Se adotarmos a identificação An bn, n 1, 2, 3,..., decorre de (5) da Seção 12.3 que

(16) Concluímos que uma solução do problema de valor de contorno descrito em (1), (2) e (3) é indicada pela série infinita

u 100 80

t = 0,05 t = 0,35

60

t = 0,6

40

t=1

20

t = 1,5

0

0,5

1

1,5

t=0

(17) Para o caso especial no qual a temperatura inicial é u(x,0) 100, L ␲ e k 1, verifique que os coeficientes (16) são definidos por 2

2,5

3

x

(a) gráfico de u(x,t) como uma função de x para vários tempos fixos

e que a série (17) é

u 100

x =␲/2

80

x =␲/4

60

x =␲/6

40

x =␲/12

(18)

20 0

1

2

3

4

x=0 t 5 6

(b) gráfico de u(x,t) como uma função de t para várias posições fixas

Figura 4.6 Determinação da temperatura u em uma haste finita.

EXERCÍCIOS 4.3

Uso de computadores A solução u em (18) é uma função de duas variáveis, de modo que o seu gráfico é uma superfície em três dimensões. Poderíamos utilizar a aplicação de gráficos 3D de um sistema de álgebra computacional para aproximar essa superfície traçando somas parciais Sn(x,t) sobre uma região retangular definida por 0 x ␲, 0 t T. Alternativamente, com o auxílio da aplicação de gráficos 2D de um SAC, traçamos a solução u(x,t) no intervalo x [0, ␲] para valores crescentes de tempo t. Veja a Figura 4.6(a). Na Figura 4.6(b), a solução u(x,t) é traçada no intervalo t [0,6] para valores crescentes de x (x 0 é a extremidade esquerda e x ␲/2 é o ponto central da haste de comprimento L ␲). Ambos os conjuntos de gráficos verificam o que é aparente em (18) – ou seja, u(x,t) → 0 quando t→ .


Nos Problemas 1 e 2, resolva a equação do calor (1) sujeita às condições indicadas. Considere uma haste de comprimento L. 1.

2.

3. Determine a temperatura u(x,t) em uma haste de comprimento L se a temperatura inicial for f(x) por toda a haste e se as extremidades x 0 e x L estiverem isoladas. 4. Resolva o Problema 3 se L 2 e

5. Suponha que calor seja perdido a partir da superfície lateral de uma haste fina de comprimento L para um meio circun-

4.4 Equação de Onda dante a uma temperatura zero. Se a lei linear de transferência de calor se aplicar, então a equação do calor adquire a forma

h uma constante. Determine a temperatura u(x,t) se a temperatura inicial for f(x) por toda a haste e as extremidades x 0 e x L estiverem isoladas. Veja a Figura 4.7. isolada

0

0∞

0∞

isolada

L

x

transferência de calor a partir da superfície lateral da haste

Figura 4.7

Haste no Problema 5.

6. Resolva o Problema 5 se as extremidades x 0 e x L forem mantidas a temperatura zero.

4.4

Tarefas computacionais 7. (a) Resolva a equação do calor (1) sujeita a

(b) Use a aplicação de gráfico 3D do seu SAC para traçar a soma parcial S5(x,t), constituída pelos primeiros cinco termos não nulos da solução no item (a) para 0 x 100, 0

t 200. Considere que k 1,6352. Experimente com várias perspectivas de visão da superfície em três dimensões (chamada opção ViewPoint no Mathematica).

Problemas para discussão 8. Na Figura 4.6(b), temos os gráficos de u(x,t) no intervalo 0

t 6 para x 0, x ␲/12, x ␲/6, x ␲/4 e x ␲/2. Descreva ou esboce os gráficos de u(x,t) no mesmo intervalo, porém para os valores fixos x 3␲/4, x 5␲/6, x 11␲/12 e x ␲.

Equação de onda

Introdução

Estamos agora preparados para resolver o problema de valor de contorno (11) discutido na Seção 4.2. O deslocamento vertical u(x,t) de uma corda de comprimento L que está vibrando livremente no plano vertical ilustrado na Figura 4.2(a) é determinado a partir de (1) (2) (3)

Solução do PVC Com a consideração usual de que u(x,t) X(x)T(t), separando variáveis em (7), temos

de modo que

155

(4) (5)

Como na Seção 4.3, as condições de contorno (2) se traduzem em X(0) 0 e X(L) 0. A EDO em (4) junto com essas condições de contorno é o problema de SturmLiouville regular (6) 2 2 Das três possibilidades usuais para o parâmetro ␭: ␭ 0, ␭ ␣ 0 e ␭ ␣ 0, apenas a última escolha resulta em soluções triviais. A solução geral de (4) que corresponde a ␭ ␣2, ␣ 0, é

156


X(0) 0 e X(L) 0 indicam que c1 0 e c2 sen␣L 0. A última equação novamente implica que ␣L n␲ ou ␣ n␲/L. Os autovalores e as autofunções correspondentes de (6) são

e

A solução geral da

equação de segunda ordem (5) é então

Reescrevendo c2c3 como An e c2c4 como Bn, soluções que satisfazem tanto a equação de onda (1) como as condições de contorno (2) são (7)

e

(8)

Adotando t 0 em (8) e utilizando a condição inicial u(x,0) f(x), temos

Como a última série é uma expansão em meia escala para f em uma série de senos, podemos escrever An bn: (9) Para determinar Bn, diferenciamos (8) em relação a t e então adotamos t 0:

Para que essa última série seja uma expansão de meia escala em senos da velocidade inicial g no intervalo, o coeficiente total Bnn␲a/L tem que ser dado pela forma bn em (5) da Seção 3.3 – isto é,

a partir da qual obtemos (10) A solução do problema de valor de contorno (1)-(3) é constituída pela série (8) com os coeficientes An e Bn definidos por (9) e (10), respectivamente. Notamos que quando a corda é liberada a partir do repouso, então g(x) 0 para todo x no intervalo 0 x L, e consequentemente Bn 0. Corda puxada

Um caso especial do problema de valor de contorno em (1)-(3) é um modelo da corda puxada. Podemos ver o movimento da corda ao traçar a solução ou deslocamento u(x,t) para valores crescentes do tempo t e usando a aplicação de animação de um SAC. A Figura 4.8 mostra alguns quadros de uma animação gerada dessa maneira.

4.4 Equação de Onda

Siga os passos dos resultados na figura traçando uma sequência de somas parciais de (8). Veja os Problemas 7 e 21 nos Exercícios 4.4. u

u

1

1 x

0

x

0 –1

–1 1 2 (a) t = 0 formato inicial

1

3

2

3

(b) t = 0,2

u

u

1

1 x

0

x

0

–1 –1 1

(c) t = 0,7

2

1

3

2

3

u

u 1

1 x

0

x

0 –1

–1 1

Figura 4.8

(d) t = 1,0

(e) t = 1,6

2

3

1

2 (f) t = 1,9

Quadros de uma animação da corda puxada.

Ondas estacionárias

Relembre da obtenção da equação de onda na Seção 4.2 que

a constante a que aparece na solução do problema de valor de contorno em (1), (2) e onde ␳ é massa por unidade de comprimento e T é a magnitude (3) é dada por da tensão na corda. Quando T for grande o suficiente, a corda vibrante produz um som musical. Esse som é o resultado de ondas estacionárias. A solução (5) é uma superposição de soluções produto chamadas ondas estacionárias ou modos normais: Em vista de (6) e (7) da Seção 3.8 do Volume 1, as soluções produto (4) podem ser escritas como (11) e ␾n é definida como sen ␾n An/Cn e cos ␾n Bn/Cn. Para onde n 1, 2, 3,..., as ondas estacionárias são essencialmente os gráficos de sen(n␲x/L), com a amplitude variando com o tempo sendo dada por

De modo alternativo, vemos a partir de (8) que para um valor fixo de x, cada função produto un(x,t) representa o movimento harmônico simples com amplitude Cn|sen(n␲x/L)| e frequência fn na/2L. Em outras palavras, cada ponto em uma onda estacionária vibra com uma amplitude diferente, porém com a mesma frequência. Quando n 1,

3

157

158


L x

0

(a) Primeira onda estacionária nó L x L 2 (b) Segunda onda estacionária

0

é denominada primeira onda estacionária, primeiro modo normal ou modo de vibração fundamental. As primeiras três ondas estacionárias ou modos normais estão ilustradas na Figura 4.9. As curvas tracejadas representam as ondas estacionárias em diversos instantes de tempo. Os pontos no intervalo (0,L), para o qual sen(n␲/L)x 0, correspondem a pontos na onda estacionária nos quais não há movimento. Esses pontos são chamados nós. Por exemplo, nas Figuras 4.9(b) e (c), vemos que a segunda onda estacionária tem um nó em L/2, e a terceira onda estacionária tem dois nós em L/3 e 2L/3. Em geral, o enésimo modo normal de vibração tem n – 1 nós. A frequência

nós L x L 2L 3 3 (c) Terceira onda estacionária

0

Figura 4.9 cionárias.

Primeiras três ondas esta-

do primeiro modo normal é designada como frequência fundamental ou primeiro harmônico, sendo diretamente proporcional à altura do som produzido por um instrumento de cordas. É evidente que quanto maior a tensão na corda, maior a altura do som. As frequências fn dos outros modos normais, que são múltiplos inteiros da frequência fundamental, são chamadas sobretons. O segundo harmônico é o primeiro sobretom, e assim por diante.

EXERCÍCIOS 4.4


Nos Problemas 1-8, resolva a equação de onda (1) sujeita às con-

7.

dições indicadas. 1.

2.

8.

3. u(0,t) 0, u(L,t) 0 u(x,0) f(x), f apresentado na Figura 4.10, f (x)

Esse problema poderia descrever o deslocamento longitudinal u(x,t) de uma barra elástica vibrando. As condições de contorno em x 0 e x L são chamadas condições de extremidade livre. Veja a Figura 4.11. u(x, t)

1 L/3 2L/3 L

x

x 0

Figura 4.10

Figura 4.11

4.

L

Deslocamento para o Problema 3. Barra elástica no Problema 8.

9. Uma corda é esticada e mantida presa no eixo x em x 0 e x ␲ para t 0. Se as vibrações transversais ocorrerem em um meio que proporcione uma resistência proporcional à velocidade instantânea, então a equação de onda adquire a forma

5.

6.

Determine o deslocamento u(x,t) considerando que a corda parta do repouso para o deslocamento inicial f(x).

4.4 Equação de Onda 10. Mostre que uma solução do problema de valor de contorno

159

A última solução pode ser interpretada como uma superposição de duas ondas viajantes, uma se movendo para a direita (isto é, ) e uma se movendo para a esquerda ( ). Ambas as ondas se propagam com velocidade a e têm o mesmo formato básico do deslocamento inicial f(x). A forma u(x,t) destacada em (13) é denominada solução de d’Alembert. Nos Problemas 13-15, use a solução de d’Alembert (13) para resolver o problema de valor inicial no Problema 12 sujeito às condições iniciais indicadas.

é

13. 14. 15. 16. Suponha f(x) 1/(1 x ), g(x) 0 e a 1 para o problema de valor inicial dado no Problema 12. Trace o gráfico da solução de d’Alembert nesse caso nos tempos t 0, t 1 e t 3. 2

11. Considere o problema de valor de contorno indicado em (1), (2) e (3) dessa seção. Se g(x) 0 em 0 x L, mostre que a solução do problema pode ser escrita como

17. O deslocamento transversal u(x,t) de uma viga vibrante de comprimento L é determinado a partir de uma equação diferencial parcial de quarta ordem

[Sugestão: Utilize a identidade

12. O deslocamento vertical u(x,t) de uma corda infinitamente longa é determinado a partir do problema de valor inicial

Se a viga estiver simplesmente apoiada, como mostrado na Figura 4.12, as condições de contorno e inicial são

(12)

Esse problema pode ser resolvido sem o uso de separação de variáveis. (a) Mostre que a equação de onda pode ser escrita na por meio das substituições forma

Resolva para u(x,t). [Sugestão: Por conveniência, use ␭ ␣4 ao separar as variáveis.]

(b) Integre a equação diferencial parcial no item (a), primeiro em relação a ␩ e depois em relação a ␰ para mostrar que u(x,t) F(x at) G(x – at), onde F e G são funções arbitrárias duplamente diferenciáveis, é uma solução da equação de onda. Use essa solução e as condições iniciais dadas para mostrar que

u x 0

Figura 4.12

L

Viga simplesmente apoiada no Problema 17.

Tarefas computacionais onde x0 é arbitrária e c é uma constante de integração.

18. Se as extremidades da viga no Problema 17 estiverem fixadas em x 0 e x L, as condições de contorno se tornam, para t 0,

(c) Utilize o resultado no item (b) para mostrar que

(13) Note que quando a velocidade inicial g(x) 0, obtemos

(a) Mostre que os autovalores do problema são , onde xn, n 1, 2, 3,..., são as raízes positivas da equação cosh x cos x 1.

160

CAPÍTULO 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares (b) Mostre graficamente que a equação no item (a) tem um número infinito de raízes.

de diâmetro. Um modelo para o movimento da corda é dado por (12) com

(c) Utilize um SAC para obter aproximações dos primeiros quatro autovalores. Use quatro casas decimais. 19. Um modelo para uma corda infinitamente longa que está inicialmente presa em três pontos (1,0), (1,0) e (0,1) e depois é liberada simultaneamente dos três pontos no tempo t 0 é dado por (12) com

(a) Trace o gráfico da posição inicial da corda no intervalo [6,6]. (b) Utilize um SAC para traçar a solução de d’Alembert (13) em [6,6] para t 0,2k, k 0, 1, 2,..., 25. Considere a 1. (c) Use a ferramenta de animação do seu sistema de álgebra computacional para fazer uma animação da solução. Descreva o movimento da corda ao longo do tempo. 20. Uma corda infinitamente longa coincidindo com o eixo x é atingida na origem por um martelo cuja cabeça tem 0,2 m

4.5

(a) Use um SAC para traçar a solução de d’Alembert (13) em [6,6] para t 0,2k, k 0, 1, 2,..., 25. Considere a 1. (b) Use a ferramenta de animação do seu sistema de álgebra computacional para fazer uma animação da solução. Descreva o movimento da corda ao longo do tempo. 21. O modelo da corda vibrante no Problema 7 é chamado de corda puxada. A corda é amarrada ao eixo x em x 0 e x L e é segurada em x L/2 a h unidades acima do eixo x. Veja a Figura 4.4. Começando em t 0, a corda é liberada a partir do repouso. (a) Utilize um SAC para traçar a soma parcial S6(x,t), isto é, os primeiros seis termos não nulos da sua solução para t 0,1k, k 0, 1, 2,..., 20. Considere a 1, h 1 e L ␲. (b) Use a ferramenta de animação do seu sistema de álgebra computacional para fazer uma animação da solução do Problema 7.


Introdução

y u = f (x) (a, b) isolado

isolado u=0

x

Suponha que desejemos obter a temperatura de regime permanente u(x,y) em uma placa retangular cujas extremidades verticais x 0 e x a estão isoladas, e cujas extremidades superior e inferior y b e y 0 são mantidas em temperaturas f(x) e 0, respectivamente. Veja a Figura 4.13. Quando nenhum calor escapa a partir da face lateral da placa, resolvemos o seguinte problema de valor de contorno: (1)

Figura 4.13 Determine a temperatura u em uma placa retangular.

(2) (3) Solução do PVC

Com u(x,y) X(x)Y(y), a separação de variáveis em (1) resulta em

(4) (5) As três condições de contorno homogêneas em (2) e (3) se traduzem em X¿(0) 0, X¿(a) 0 e Y(0) 0. O problema de Sturm-Liouville associado com a equação em (4) é então (6)


A investigação dos casos que correspondem a ␭ 0, ␭ ␣2 0 e ␭ ␣2 0, onde ␣ 0, já foi feita no Exemplo 1 da Seção 3.5. Por conveniência, uma versão simplificada daquela análise é apresentada a seguir. Para ␭ 0, (6) se escreve A solução da EDO é X c1 c2x. A condição de contorno X¿(0) 0 implica então c2 0, e assim X c1. Note que para qualquer c1, essa solução constante satisfaz a segunda condição de contorno X¿(a) 0. Impondo c1 ⫽ 0, X c1 é uma solução não trivial do PVC (6). Para ␭ ␣2 0, (6) não possui solução trivial. Para ␭ ␣2 0, (6) se escreve

Aplicando-se a condição de contorno X¿(0) 0, a solução implica c2 0, e assim X c1cos␣x. A segunda condição de contorno X¿(a) 0 aplicada à última expressão então resulta em –c1␣ sen␣a 0. Como ␣ 0, a última equação é satisfeita quando ␣a n␲ ou ␣ n␲/a, n 1, 2,.... Os autovalores de (6) são então ␭0 e Fazendo a correspondência de ␭0 com n 0, as autofunções de (6) são

Temos agora que resolver a equação (5) sujeita à condição de contorno única Y(0) 0. Primeiro, para ␭0 0, a ED em (5) é simplesmente Y– 0, e portanto a sua solução é Y c3 c4y. Mas Y(0) 0 implica c3 0, de modo que Y c4y. A seguir, para

a ED em (5) é

Como 0 y b é um intervalo

finito, escrevemos a solução geral em termos de funções hiperbólicas:

A partir dessa solução, vemos que Y(0) 0 implica novamente c3 0, de modo que Y senh(n␲y/a). Logo, as soluções produto un X(x)Y(y) que satisfazem a equação de Laplace (1) e as três condições de contorno homogêneas em (2) e (3) são

onde reescrevemos c1c4 como A0 para n 0 e como An para n 1, 2,... . A aplicação do principio da superposição resulta em outra solução (7) Finalmente, substituindo y b em (7), vemos que

é uma expansão em meia escala de f em uma série de Fourier de co-senos. Se adotarmos as identificações A0b a0/2 e An senh (n␲b/a) an, n 1, 2,..., decorre de (2) e (3) da Seção 3.3 que

(8)

Por que funções hiperbólicas? Veja a página 127.

161

162


e (9)

A solução do problema de valor de contorno (1)-(3) é constituída pela série em (7), com coeficientes A0 e An definidos em (8) e (9), respectivamente. 100 80 u(x, y) 60 40 20 01 0,8 0,6 0,8 1 0,4 0,4 0,6 y 0,2 0 0,2 x (a) Superfície

Problema de Dirichlet

Um problema de valor de contorno no qual buscamos uma solução para uma equação diferencial parcial elíptica tal qual a equação de Laplace 2u 0 no interior de uma região R (no plano ou em três dimensões) de modo que u assume valores prescritos em todo o contorno da região é denominado um problema de Dirichlet. No Problema 1 dos Exercícios 4.5, você teve que mostrar que a solução do problema de Dirichlet para uma região retangular

y 1 0,8 0,6

era

0,4 0,2

(10)

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

(b) Isotermas

Figura 4.14 A superfície é traçada a partir de somas parciais quando f(x) 100 e a b 1 em (10).

O máximo de u está no contorno da região R.

x

No caso especial quando f(x) 100, a 1, b 1, os coeficientes An são definidos por An

Com o auxílio de um SAC, o gráfico da superfície definida por

u(x,y) sobre a região R: 0 x 1, 0 y 1, está indicado na Figura 4.14(a). Você pode ver na figura que as condições de contorno são satisfeitas; note especialmente que ao longo de y 1, u 100 para 0 x 1. As isotermas ou curvas, na região retangular ao longo da qual a temperatura u(x,y) é constante, podem ser obtidas utilizando-se a ferramenta de gráfico de contorno de um SAC, estando ilustradas na Figura 4.14(b). As isotermas podem também ser visualizadas como as curvas de interseção (projetadas no plano xy) de planos horizontais u 80, u 60, e assim por diante, com a superfície na Figura 4.14(a). Observe que por toda a região a temperatura máxima é u 100 e ocorre na parte do contorno que corresponde a y 1. Isso não é coincidência. Existe um princípio máximo que declara que uma solução u da equação de Laplace no interior de uma região limitada R com contorno B (como um retângulo, círculo, esfera e assim por diante) adquire os seus valores máximos e mínimos em B. Além disso, pode-se provar que u não tem extremo relativo (máximo ou mínimo) no interior de R. Essa última definição é claramente observada na superfície mostrada na Figura 4.14(a). Princípio da superposição

Um problema de Dirichlet para um retângulo pode ser facilmente resolvido por separação de variáveis quando condições de contorno homogêneas são especificadas em dois contornos paralelos. Entretanto, o método de separação de variáveis não é aplicável ao problema de Dirichlet quando as condições de contorno em todos os quatro lados do retângulo são não homogêneas. Para superar essa dificuldade, dividimos o problema

(11)


em dois problemas, cada qual com condições de contorno homogêneas em contornos paralelos, como indicado.

Suponha que u1 e u2 sejam soluções dos Problemas 1 e 2, respectivamente. Se definirmos u(x,y) u1(x,y) u2(x,y), temos que u satisfaz todas as condições de contorno do problema original (11). Por exemplo,

e assim por diante. Além disso, u é uma solução da equação de Laplace pelo Teorema 4.1. Em outras palavras, resolvendo os Problemas 1 e 2 e somando as suas soluções, resolvemos o problema original. Essa propriedade aditiva de soluções é conhecida como princípio da superposição. Veja a Figura 4.15. y

F(y)

y

g (x)

(a, b)

∇2u = 0

G(y)

f (x)

Figura 4.15

=

x

0

g (x)

2

∇ u1 = 0

f (x)

y 0

(a, b)

∇ u2 = 0

G(y)

(a, b) 0

+

F(y)

x

2

0

Solução u Solução u1 do Problema 1 Solução u2 do Problema 2.

Deixamos como exercício (veja os Problemas 13 e 14 nos Exercícios 4.5) mostrar que uma solução do Problema 1 é

e que uma solução do Problema 2 é

x

163

164


EXERCÍCIOS 4.5


Nos Problemas 1-10, resolva a equação de Laplace (1) para uma placa retangular sujeita às condições de contorno indicadas. 1.

Nos Problemas 13 e 14, resolva a equação de Laplace (1) para uma placa retangular sujeita às condições de contorno indicadas. 13.

14. 2. 3.

Nos Problemas 15 e 16, utilize o princípio da superposição para resolver a equação de Laplace (1) para uma placa quadrada sujeita às condições de contorno indicadas.

4.

15.

5.

16.

6.

17. No Problema 16, qual é o valor máximo da temperatura u para 0 x 2, 0 y 2?

Tarefas computacionais 18. (a) No Problema 1, suponha a b ␲ e f(x) 100x(␲ x). Sem utilizar a solução u(x,y), esboce, à mão, como a superfície se pareceria sobre a região retangular definida por 0 x ␲, 0 y ␲.

7.

8.

(b) Qual é o valor máximo da temperatura u para 0 x

␲, 0 y ␲? (c) Utilize a informação do item (a) para calcular os coeficientes da sua resposta no Problema 1. Use então a aplicação de gráficos 3D do seu SAC para traçar a soma parcial S5(x,y) constituída pelos primeiros cinco termos não nulos da solução no item (a) para 0 x ␲, 0 y

␲. Use perspectivas diferentes e então compare com o item (a).

9.

10.

Nos Problemas 11 e 12, resolva a equação de Laplace (1) para a placa semi-infinita que se estende na direção y positiva. Em cada caso, considere que u(x,y) seja limitada em y → . 11.

12. y

y

u=0

u=0

0

␲

(b) Use a aplicação de gráficos 3D do seu SAC para traçar a soma parcial S5(x,y).

isolada

isolada

x

u = f (x)

Figura 4.16 Placa semiinfinita no Problema 11.

19. (a) Utilize a aplicação de gráfico de contorno do seu SAC para traçar as isotermas u 170, 140, 110, 80, 60, 30 para a solução do Problema 9. Use a soma parcial S5(x,y) constituída pelos primeiros cinco termos não nulos da solução.

0

␲

x

u = f (x)

Figura 4.17 Placa semiinfinita no Problema 12.

20. Utilize a aplicação de gráfico de contorno do seu SAC para traçar as isotermas u 2, 1, 0,5, 0,2, 0,1, 0,05, 0, 0,05 para a solução do Problema 10 constituída pelos primeiros cinco termos não nulos da solução.

4.6 PVC Não Homogêneos

Problemas de discussão 21. Resolva o problema de Neumann para um retângulo:

165

Explique por que uma condição necessária para que exista uma solução u é que g satisfaça

Essa condição é algumas vezes chamada de condição de compatibilidade. Faça leituras extras e explique a condição de compatibilidade em aterramentos elétricos.

4.6

PVCs não homogêneos

Introdução

Um problema de valor de contorno é dito ser não homogêneo quando a equação diferencial parcial ou as condições de contorno são não homogêneas. Por exemplo, um PVC não homogêneo típico para a equação do calor é

(1)

Podemos interpretar esse problema como um modelo para a distribuição de temperatura u no interior de uma haste de comprimento L quando calor é gerado internamente a uma taxa F(x,t); as temperaturas nas extremidades da haste variam com o tempo t. O método de separação de variáveis pode não se aplicar a um problema de valor de contorno quando a equação diferencial parcial ou as condições de contorno forem não homogêneas. Por exemplo, quando calor é gerado a uma taxa constante r dentro da haste, a equação do calor (1) adquire a forma (2) A equação (2) claramente não é separável. Por outro lado, suponha que desejemos resolver a equação do calor usual kuxx ut quando os contornos x 0 e x L forem mantidos a temperaturas não nulas u0 e u1. Apesar da substituição u(x,t) X(x)T(t) separar as EDPs, chegamos a um impasse na hora de determinar os autovalores e as autofunções, pois nenhuma conclusão a respeito de X(0) e X(L) pode ser obtida a partir de u(0,t) X(0)T(t) u0 e u(L,t) X(L)T(t) u1. Mudança da variável dependente Nessa seção, consideraremos certos tipos de problemas de valor de contorno não homogêneos que podem ser resolvidos mudando-se a variável dependente u para uma nova variável dependente v por meio da substituição u v ␺, onde ␺ é uma função a ser determinada. EDP e CC independentes do tempo

Consideramos primeiro problemas de valor de contorno tais como (1), onde o termo de fonte de calor F e as condições de contorno são independentes do tempo:

(3)

166


Em (3), u0 e u1 representam constantes. Mudando a variável dependente u para uma nova variável dependente y pela substituição u(x,t) v(x,t) ␺(x), (3) pode ser reduzida para dois problemas:

Observe que a EDO no Problema 1 pode ser resolvida por integração. Além disso, o Problema 2 é um PVC homogêneo que pode ser resolvido diretamente por separação de variáveis. Uma solução do problema original é então Solução u Solução ␺ do Problema 1 Solução v do Problema 2 Nada apresentado nos dois problemas anteriores precisa ser memorizado, mas você deve trabalhar a substituição u(x,t) v(x,t) ␺(x) todas as vezes conforme destacado no próximo exemplo. Exemplo 1

EDP e CC independentes do tempo

Resolva a equação (2) sujeita a

Solução

Tanto a equação diferencial parcial como a condição no contorno direito x 1 são não homogêneas. Se adotarmos u(x,t) v(x,t) ␺(x), então (4) pois ␺t 0. Substituindo esses resultados de (4) em (3), temos (5) A equação (5) se reduz a uma EDP homogênea se exigirmos que ␺ seja uma função que satisfaça a EDO

Integrando a última equação duas vezes, obtemos (6) Além disso,

Temos v(0,t) 0 e v(1,t) 0, desde que escolhamos


Aplicando as duas últimas condições a (6) obtemos, respectivamente, c2 0 e c1 r/2k u0. Consequentemente

Finalmente, a condição inicial u(x,0) v(x,0) ␺(x) implica v(x,0) u(x,0) ␺(x) f(x) ␺(x). Logo, para determinar v(x,t), resolvemos o novo problema de valor de contorno homogêneo

por separação de variáveis. Na maneira usual, obtemos

onde a condição inicial v(x,0) determina os coeficientes da série de Fourier dos senos: (7) Uma solução do problema original é obtida somando-se ␺(x) e v(x,t): (8) onde os coeficientes An são definidos em (7).

❑

Observe em (8) que u(x,t) → ␺(x) quando t → . No contexto do problema de valor de contorno dado, ␺ é denominada uma solução de regime permanente. Como v(x,t) → 0 quando t → , v é chamada de solução transitória. EDP e CC dependentes do tempo

Retornamos agora ao problema indicado em (1), onde o termo de fonte de calor F e as condições de contorno são dependentes do tempo. Intuitivamente, poderíamos esperar que a linha de ataque a esse problema fosse uma extensão natural do procedimento trabalhado no Exemplo 1, ou seja, buscar uma solução da forma u(x,t) v(x,t) ␺(x,t). Apesar da última forma de solução ser correta, usualmente não é possível obter uma função de duas variáveis ␺(x,t) que reduz o problema em v(x,t) a um problema homogêneo. Para entender por que isso ocorre, vamos ver o que acontece quando u(x,t) v(x,t) ␺(x,t) é substituída em (1). Como (9)

(1) é escrita como

(10)

167

168


As condições de contorno de v em (10) serão homogêneas se considerarmos que (11) Se nesse ponto fôssemos seguir os mesmos passos utilizados no Exemplo 1, tentaríamos forçar o problema em (10) a ser homogêneo resolvendo k␺xx F(x,t) ␺t e a seguir impondo as condições de (11) na solução ␺. Como a equação que define ␺ é por si só uma EDP não homogênea, essa expectativa é irreal. Tentaremos uma abordagem totalmente diferente ao construirmos simplesmente uma função ␺ que satisfaça ambas as condições em (11). Tal função é dada por (12) A reinspeção de (10) mostra que ganhamos alguma simplificação adicional com essa escolha de ␺, pois ␺xx 0. Recomeçamos então. Dessa vez, se substituirmos (13) o problema em (1) se torna (14)

onde G(x,t) F(x,t) ␺t. Enquanto o problema em (14) for ainda não homogêneo (as condições de contorno são homogêneas, porém a equação diferencial parcial é não homogênea), ele pode ser resolvido. O método de solução para (14) é um pouco complexo, assim, antes de ilustrarmos com um exemplo específico, destacaremos primeiro a estratégia básica: Considere que os coeficientes dependentes do tempo vn(t) e Gn(t) podem ser obtidos de modo que tanto v(x,t) quanto G(x,t) em (14) podem ser expandidos na série (15) onde sen(n␲x/L), n 1, 2, 3,... são as autofunções de X– ␭X 0, X(0) 0, Esse probleX(L) 0 que correspondem aos autovalores ma de Sturm-Liouville seria obtido se separação de variáveis fosse aplicada ao PVC homogêneo associado de (14). Em (15), observe que a série considerada para v(x,t) já satisfaz as condições de contorno em (14). Agora, substituímos a primeira série de (15) na EDP não homogênea em (14), agrupamos os termos, e igualamos a série resultante com a expansão em séries obtida para G(x,t). O próximo exemplo ilustra esse método. Exemplo 2 Resolva

EDP e CC dependentes do tempo


Ao comparar esse problema com (1), identificamos k 1, L 1, F(x,t) 0, u0(t) cos t, u1(t) 0 e f (x) 0. Começamos pela construção de ␺. A partir de (12), obtemos

Solução

e então, como indicado em (13), utilizamos a substituição (16) para obter o PVC para v(x,t):

(17)

Os autovalores e autofunções do problema de Sturm-Liouville

são e sen Com G(x,t) (1 – x) sen t, consideramos a partir de (15) que para um t fixo, v e G podem ser escritos como uma série de Fourier de senos: (18) e

(19)

Tratando t como um parâmetro, os coeficientes Gn em (19) podem ser calculados:

Portanto,

(20)

Podemos determinar os coeficientes vn(t) substituindo (19) e (20) de volta na EDP em (17). Com essa finalidade, as derivadas parciais de v são (21) Escrevendo a EDP como vt – vxx (1 – x)sen t e usando (20) e (21), temos

Igualamos então os coeficientes de sen(n␲x/L) em cada lado da igualdade para obter

Para cada n, a última equação é uma EDO de primeira ordem linear cuja solução geral é

169

170


onde Cn representa a constante arbitrária. Portanto, a forma considerada de v(x,t) em (18) pode ser escrita como (22) Os Cn podem ser calculados aplicando-se a condição inicial v(x,0) para (22). A partir da série de Fourier dos senos,

vemos que a quantidade entre chaves representa os coeficientes bn da série de Fourier dos senos para x – 1. Isto é,

Logo, Substituindo o último resultado em (22), obtemos uma solução de (17),

Finalmente, decorre de (16) que a solução desejada u(x,t) é ❑

Observações (i) Se o problema de valor de contorno tiver condições de contorno homogêneas e um termo dependente do tempo F(x,t) na EDP, então não há necessidade de mudar a variável dependente substituindo-se u(x,t) v(x,t) ␺(x,t). Por exemplo, se u0 e u1 são 0 em um problema tal qual (1), então temos de (12) que ␺(x,t) 0. O método de solução é basicamente um ataque frontal à EDP assumindo expansões em séries ortogonais apropriadas para u(x,t) e F(x,t). Novamente, se u0 e u1 forem 0 em (1), a solução começa com as considerações em (15), onde os símbolos v e G são naturalmente substituídos por u e 0, respectivamente. Veja os Problemas 13-16 dos Exercícios 4.6. Nos Problemas 17 e 18 dos Exercícios 4.6, você terá que construir ␺(x,t) conforme ilustrado no Exemplo 2. Veja também o Problema 20 nos Exercícios 4.6. (ii) Não coloque nenhuma ênfase especial no fato de termos utilizado a equação do calor por toda a discussão anterior. O método destacado no Exemplo 1 pode ser aplicado à equação de onda, bem como à equação de Laplace. Veja os Problemas 1-12 nos Exercícios 4.6. O método apresentado no Exemplo 2 é baseado na dependência do tempo do problema e, portanto, não se aplica a PVCs envolvendo a equação de Laplace.

EXERCÍCIOS 4.6


EDP e CC dependentes do tempo Nos Problemas 1 e 2, resolva a equação do calor kuxx ut, 0 x 1, t 0, sujeita às condições indicadas. 1.

2.

Nos Problemas 3 e 4, resolva a equação do calor (2) sujeita às condições indicadas. 3.

4.6 PVC Não Homogêneos 4.

171

onde g é a aceleração da gravidade. Resolva para u(x,t).

5. Resolva o problema de valor de contorno

11. Determine a temperatura de regime permanente u(x,y) na placa semi-infinita mostrada na Figura 4.18. Considere que a temperatura seja limitada quando x → . [Sugestão: Use u(x,y) v(x,y) ␺(y).] y 1

u = u0

u=0

onde A é uma constante. A EDP está em uma forma da equação do calor que considera o calor gerado dentro da haste em decorrência do decaimento radioativo do material.

0


Figura 4.18

u = u1

x

Placa semi-infinita no Problema 11.

12. A equação diferencial parcial

A EDP está em uma forma da equação do calor que considera a perda de calor por radiação a partir da superfície lateral de uma haste fina para um meio a temperatura zero.

ocorre em muitos problemas envolvendo potencial elétrico, sendo conhecida como equação de Poisson. Resolva a equação anterior sujeita às condições

7. Determine uma solução de regime permanente ␺(x) do problema de valor de contorno

EDP e CC dependentes do tempo 8. Determine uma solução de regime permanente ␺(x) considerando que a haste no Problema 7 seja semi-infinita se estendendo na direção x positiva, radiando a partir da sua superfície lateral para um meio a temperatura zero e

9. Quando se sujeita uma corda vibrante a uma força vertical externa que varia com a distância horizontal a partir da extremidade esquerda, a equação de onda adquire a forma

onde A é uma constante. Resolva essa equação diferencial parcial sujeita a

10. Uma corda inicialmente em repouso no eixo x é mantida presa ao eixo x em x 0 e x 1. Se for permitido à corda que caia sobre o seu próprio peso para t 0, o deslocamento u(x,t) satisfaz

Nos Problemas 13-18, resolva o problema de valor de contorno indicado. 13.

14.

15.

16.

172

CAPÍTULO 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares que é um modelo para a temperatura u em uma haste de comprimento L. Se u0 e u1 forem constantes diferente de zero, o que você intuitivamente esperaria a respeito da temperatura no centro da haste após um longo período de tempo? Demonstre a sua afirmação.

17.

20. Leia (i) das Observações ao final dessa seção. Discuta então como resolver

18.

Problemas para discussão 19. Considere o problema de valor de contorno Apresente as suas idéias para resolver o PVC acima com k 1, L 1, F(x,t) tx e f(x) 0.

4.7

Expansões em séries ortogonais

Introdução

Para certos tipos de condições de contorno, o método da separação de variáveis e o princípio da superposição resultam na expansão de uma função em uma série infinita que não é uma série de Fourier. Para resolver esses problemas, nessa seção utilizaremos o conceito de expansão em séries ortogonal ou séries de Fourier generalizadas desenvolvido na Seção 3.1. Exemplo 1

Utilizando expansões em séries ortogonais

A temperatura em uma haste de comprimento unitário na qual exista transferência de calor a partir do seu contorno direito para um meio circundante mantido à temperatura constante zero é determinada a partir de

Resolva para u(x,t). Procedendo exatamente como fizemos na Seção 4.3, com u(x,t) X(x) T(t) e ␭ como a constante de separação, obtemos as EDOs separadas e as condições de contorno como sendo, respectivamente,

Solução

(1) (2) (3)

4.7 Expansões em Séries Ortogonais

A equação (1) junto com as condições de contorno homogêneas (3) compreendem o problema de Sturm-Liouville regular: (4) Exceto pela presença do símbolo h, o PVC em (4) é essencialmente o problema resolvido no Exemplo 2 da Seção 3.5. Como naquele exemplo, (4) terá soluções não triviais somente no caso ␭ ␣2 0, ␣ 0. A solução geral da ED em (4) é X(x) c1 cos␣x c2 sen␣x. A primeira condição de contorno em (4) imediatamente resulta em c1 0. Aplicando a segunda condição de contorno em (4) para X(x) c2 sen␣x, obtemos (5) Como os gráficos de y tg x e y x/h, h 0, têm um número infinito de pontos de interseção para x 0 (a Figura 3.20 ilustra o caso h 1), a última equação em (5) tem um número infinito de raízes. É claro que essas raízes dependem do valor de h. Se as raízes positivas consecutivas forem denotadas por ␣n, n 1, 2, 3,..., então os autovalores do problema são e as autofunções correspondentes são X(x) c2 sen␣nx, n 1, 2, 3,.... A solução da ED de primeira ordem é , e assim

Agora, em t 0, u(x,0) 1, 0 x 1, de modo que (6) A série em (6) não é uma série de Fourier de senos; trata-se de uma expansão de u(x,0) 1 em termos das funções ortogonais que surgem a partir do problema de Sturm-Liouville (4). Decorre que o conjunto de autofunções {sen␣nx}, n 1, 2, 3,..., onde os ␣ são definidos por tg ␣ ␣/h, ortogonais, em relação à função de peso p(x) 1 no intervalo [0,1]. Com f(x) 1 e ␾n(x) sen␣nx, segue-se de (8) da Seção 3.1 que os coeficientes An de (6) são (7) Para calcular a norma quadrada de cada uma das autofunções, utilizamos uma identidade trigonométrica: (8) Com o auxílio da fórmula do ângulo duplo sen2␣n 2 sen␣n cos␣n e a primeira equação em (5) na forma ␣ncos␣n h sen␣n, podemos simplificar (8) para

Além disso, Consequentemente, (7) se torna

173

174


Finalmente, uma solução do problema de valor de contorno é ❑

Exemplo 2

Utilizando expansões em séries ortogonais

O ângulo de torção ␪(x,t) de um bastão de comprimento unitário que gira é determinado por

␪

0

1 bastão torcido

Figura 4.19 de torção.

Determinação do ângulo

Veja a Figura 4.19. A condição de contorno em x 1 é denominada uma condição de extremidade livre. Resolva para ␪(x,t). Solução Procedendo como na Seção 4.4 com ␪(x,t) X(x)T(t) e usando ␭ novamente como a constante de separação, as equações separadas e as condições de contorno são

(9) (10) (11) A equação (9) junto com as condições de contorno homogêneas em (11), (12) é um problema de Sturm-Liouville regular. Sugerimos que você verifique que para 2 2 ␭ 0 e para ␭ ␣ , ␣ 0, a única solução de (12) é X 0. Para ␭ ␣ 0, ␣ 0, as condições de contorno X(0) 0 e X¿(1) 0 aplicadas à solução geral X(x) c1 cos␣x c2 sen␣x resultam, respectivamente, em c1 0 e c2 cos ␣ 0. Como cos ␣ é zero apenas quando ␣ for um múltiplo inteiro ímpar de ␲/2, escrevemos ␣n (2n – 1)␲/2. Os autovalores de (12) são e as autofunções correspondentes são X(x) Como a haste é liberada a partir do repouso, a condição inicial ␪t(x,0) 0 se traduz em X(x)T¿(0) 0 ou T¿(0) 0. Quando aplicada à solução geral T(t) c3 cosa␣nt c4 sena␣nt da ED de segunda ordem (10), T¿(0) 0 implica c4 0, resultando em T(t)

Portanto,

Para que a condição inicial restante seja satisfeita, formamos a superposição de ␪n, (13) Quando t 0, temos que ter, para 0 x 1, (14)

4.7 Expansões em Séries Ortogonais

175

Como no Exemplo 1, o conjunto de autofunções é ortogonal em relação à função de peso p(x) 1 no intervalo [0,1]. Apesar da série trigonométrica em (14) se assemelhar mais à série de Fourier do que (6), ela não é uma série de Fourier de senos, pois o argumento da função seno não é um inteiro múltiplo de ␲x/L (aqui L 1). A série é novamente uma expansão em séries ortogonal ou série de Fourier generalizada. Assim, a partir de (8) da Seção 3.1, os coeficientes An em (14) são dados por

Realizando as duas integrações, obtemos

O ângulo de torção é então ❑

EXERCÍCIOS 4.7


1. No Exemplo 1, determine a temperatura u(x,t) quando a extremidade esquerda da haste está isolada. 2. Resolva o problema de valor de contorno

3. Determine a temperatura de regime permanente para uma placa retangular na qual as condições de contorno são

A solução u(x,t) representa o deslocamento longitudinal de uma barra elástica vibrante que está ancorada em sua extremidade esquerda, estando sujeita a uma força constante F0 em sua extremidade direita. Veja a Figura 4.11 na página 158. E é denominado módulo de elasticidade. 7. Resolva o problema de valor de contorno


5. Determine a temperatura u(x,t) em uma haste de comprimento L considerando que a temperatura inicial seja f(x) por toda a haste, a extremidade x 0 seja mantida à temperatura zero, e a extremidade x L esteja isolada. 6. Resolva o problema de valor de contorno

8. A temperatura inicial por toda uma haste de comprimento unitário é f(x). Existe transferência de calor a partir de ambas as extremidades, x 0 e x 1, para um meio circundante mantido a uma temperatura constante zero. Mostre que

onde

176

CAPÍTULO 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares Os autovalores são onde os ␣n são as raízes positivas consecutivas de tg ␣ 2␣h/(␣2 – h2).

Esse problema de valor de contorno serve como um modelo para o deslocamento de uma asa de avião vibrando.

9. Use o método que se inicia por (15) da Seção 4.6 para resolver o problema de valor de contorno não homogêneo

(a) Mostre que os autovalores do problema são determinados a partir da equação cos ␣ cosh ␣ 1. (b) Utilize um SAC para obter aproximações dos primeiros dois autovalores positivos do problema. [Sugestão: Veja o Problema 11 nos Exercícios 4.4]. u

[Sugestão: Veja (i) nas Observações da página 170.]

x 1

Tarefas computacionais 10. Uma viga em balanço vibrando está presa em sua extremidade esquerda (x 0) e livre em sua extremidade direita (x 1). Veja a Figura 4.20. O deslocamento transversal u(x,t) da viga é determinado a partir de

Figura 4.20

Viga em balanço no Problema 10.

11. (a) Determine uma equação que defina os autovalores quando as extremidades da viga no Problema 10 estão fixas em x 0 e x 1. (b) Utilize um SAC para obter aproximações dos primeiros dois autovalores positivos do problema. [Sugestão: Veja o Problema 12 nos Exercícios 4.4].

4.8

y c

Série de Fourier em duas variáveis

Introdução Nas seções anteriores, resolvemos formas unidimensionais das equações do calor e de onda. Nessa seção, estenderemos o método da separação de variáveis para certos problemas que envolvem equações do calor e de onda bidimensionais.

(b, c)

Equações do calor e de onda em duas dimensões

Suponha que a região retangular na Figura 4.21(a) seja uma placa fina na qual a temperatura u seja uma função do tempo t e da posição (x,y). Então, sob certas condições, u(x,y,t) pode satisfazer a equação do calor bidimensional

x b (a) u

(1) c y

b x

Por outro lado, suponha que a Figura 4.21(b) represente um quadro retangular sobre o qual uma membrana fina flexível tenha sido esticada (um tambor retangular). Se a membrana for colocada em movimento, então o seu deslocamento u, medido a partir do plano xy (vibrações transversais), é também uma função do tempo t e da posição (x,y). Quando o deslocamento for pequeno, livre e não amortecido, u(x,y,t) satisfaz a equação de onda bidimensional

(b)

Figura 4.21 (a) Determine a temperatura u em uma placa retangular e (b) determine o deslocamento vertical u de uma membrana retangular.

(2) Como próximo exemplo mostraremos que soluções de problemas de valor de contorno envolvendo (1) e (2) levam ao conceito de uma série de Fourier em duas

4.8 Série De Fourier Em Duas Variáveis

variáveis. Como as análises dos problemas envolvendo (1) e (2) são muito similares, ilustramos uma solução apenas da equação do calor (1). Exemplo 1

Temperaturas em uma placa

Determine a temperatura u(x,y,t) na placa apresentada na Figura 4.21(a) considerando que a temperatura inicial seja f(x,y) por toda a placa e os contornos sejam mantidos à temperatura zero por todo o tempo t 0. Solução

Temos que resolver

sujeita a

Para separar as variáveis da EDP em três variáveis independentes x, y e t, tentamos obter uma solução produto u(x,y,t) X(x)Y(y)T(t). Substituindo, temos (3) Como o lado esquerdo da última equação em (3) depende somente de x e o lado direito depende somente de y e t, temos que ter ambos os lados iguais a uma constante ␭:

e assim

(4) (5)

Pela mesma razão, se introduzirmos outra constante de separação ␮ em (5), então

(6) Agora, as condições de contorno homogêneas

Logo, temos dois problemas de Sturm-Liouville, um na variável x, (7) e o outro na variável y, (8) A consideração usual dos casos (␭ 0, ␭ ␣ 0, ␭ ␣ 0, ␮ 0, ␭ ␤ 0, e assim por diante) resulta em dois conjuntos independentes de autovalores definidos por sen ␭b 0 e sen ␮c 0. Essas equações por sua vez implicam 2

2

2

(9)

177

178


As autofunções correspondentes são (10) Após substituir-se os valores de (9) na ED de primeira ordem em (6), sua solução geral é Uma solução produto da equação do calor bidimensional que satisfaz as quatro condições de contorno homogêneas é então

onde Amn é uma constante arbitrária. Como temos dois conjuntos de autovalores, tentaremos o princípio da superposição na forma de uma soma dupla (11) Em t 0, queremos que a temperatura f(x,y) seja representada por (12) Determinar os coeficientes Amn em (12) realmente não é um problema: simplesmente multiplicamos a soma dupla (12) pelo produto sen(m␲x/b) sen(n␲y/c) e integramos sobre o retângulo definido por 0 x b, 0 y c. Temos que (13) Assim, a solução do problema de valor de contorno é constituída por (11) com Amn definido por (13). ❑ A série (11) com coeficientes (13) é denominada uma série de senos em duas variáveis ou uma série dupla de senos. A série de co-senos em duas variáveis de uma função f(x,y) é um pouco mais complicada. Se a função f for definida sobre uma região retangular definida por 0 x b, 0 y c, então a série dupla de co-senos é dada por

onde

Veja o Problema 2 nos Exercícios 4.8 para um problema de valor de contorno que resulta em uma série dupla de co-senos.


EXERCÍCIOS 4.8

179


Nos Problemas 1 e 2, resolva a equação do calor (1) sujeita às condições indicadas.

Nos Problemas 5-7, resolva a equação de Laplace

(14)

1.

para a temperatura de regime permanente u(x,y,z) no paralelepípedo retangular indicado na Figura 4.22. 2.

z

(a, b, c) y

Nos Problemas 3 e 4, resolva a equação de onda (2) sujeita às condições indicadas. 3.

x

Figura 4.22

Paralelepípedo retangular nos Problemas 5-7.

5. O topo (z c) do paralelepípedo é mantido a uma temperatura f(x,y) e os lados restantes são mantidos à temperatura zero. 6. A base (z 0) do paralelepípedo é mantida a uma temperatura f(x,y) e os lados restantes são mantidos à temperatura zero.

4.

7. O paralelepípedo é um cubo unitário (a b c 1) com o topo (z 1) e a base (z 0) mantidos à temperatura constante u0 e –u0, respectivamente, e os lados restantes mantidos à temperatura zero.



Nos Problemas 1 e 2, use separação de variáveis para obter soluções produto u X(x)Y(y) da equação diferencial parcial indicada. 1.

5. Em t 0, uma corda de comprimento unitário é esticada ao longo do eixo positivo. As extremidades da corda x 0 e x 1 estão presas no eixo x para t 0. Determine o deslocamento u(x,t) se a velocidade inicial g(x) for como mostrado na Figura 4.23. g(x)

2.

h

3. Determine uma solução de regime permanente ␺(x) do problema de valor de contorno

x 1 4

Figura 4.23

1 2

3 4

1

Velocidade inicial no Problema 5.

6. A equação diferencial parcial

4. Dê uma interpretação física para as condições de contorno no Problema 3.

é uma forma da equação de onda na qual uma força externa vertical proporcional ao quadrado da distância horizontal a

180

CAPÍTULO 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares partir da extremidade esquerda é aplicada à corda. A corda está presa em x 0 uma unidade acima do eixo x e em x 1 para t 0. Determine o deslocamento u(x,t) se a corda parte do repouso a partir do deslocamento inicial f(x).

11. (a) Resolva o problema de valor de contorno

7. Determine a temperatura de regime permanente u(x,y) na placa quadrada mostrada na Figura 4.24. y u=0

u = 50

u=0

u(x,0) 100 sen 3x – 30 sen 5x?

x

u=0

Figura 4.24

(b) Qual é a solução do PVC no item (a) se a temperatura inicial for

(␲, ␲)


Placa quadrada no Problema 7.

8. Determine a temperatura de regime permanente u(x,y) na placa semi-infinita mostrada na Figura 4.25. y isolada

␲

13. Determine uma solução em série para o problema

u = 50 x

0 isolada

Figura 4.25

Placa semi-infinita no Problema 8.

9. Resolva o Problema 8 considerando que os contornos y 0 e y ␲ sejam mantidos à temperatura zero por todo o tempo. 10. Determine a temperatura u(x,t) na placa infinita de espessura 2L ilustrada na Figura 4.26 se a temperatura inicial for u0 por toda a placa. [Sugestão: u(x,0) u0, L x L é uma função par de x.]

Não tente calcular os coeficientes da série. 14. A concentração c(x,t) de uma substância que tanto se difunde em um meio como também é conduzida pelas correntes nesse meio satisfaz a equação diferencial parcial

y

onde k e h são constantes. Resolva a EDP sujeita a u=0 –L

Figura 4.26

u=0 L

x

Placa infinita no Problema 10.

onde c0 é uma constante.

CAPÍTULO

5 Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas Descrição do capítulo 5.1 Problemas em coordenadas polares 5.2 Problemas em coordenadas cilíndricas 5.3 Problemas em coordenadas esféricas Exercícios de revisão

No capítulo anterior, utilizamos séries de Fourier para resolver problemas de valor de contorno descritos no sistema de coordenadas cartesianas ou retangular. Neste capítulo, finalmente colocaremos em prática o uso das séries de Fourier-Bessel (Seção 5.2) e de Fourier-Legendre (Seção 5.3) na solução de problemas de valor de contorno descritos em coordenadas cilíndricas ou em coordenadas esféricas.

182

CAPÍTULO 5 Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas

5.1

Problemas em coordenadas polares

Introdução

Todos os problemas de valor de contorno considerados até o momento foram expressos em termos de coordenadas retangulares. Se, entretanto, desejarmos obter temperaturas em um disco circular, em um cilindro circular ou em uma esfera, naturalmente tentaremos descrever os problemas em coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas, respectivamente. Como consideraremos somente problemas de temperatura de regime permanente em coordenadas polares nessa seção, a primeira coisa que temos a fazer é converter a familiar equação de Laplace em coordenadas retangulares para coordenadas polares.

(x, y) ou (r, ␪)

y r

Laplaciano em coordenadas polares

A relação entre coordenadas polares no plano e coordenadas retangulares é indicada a seguir:

y

␪

x x

Figura 5.1 As coordenadas polares de um ponto (x,y) são (r,).

Veja a Figura 5.1. O primeiro par de equações transforma as coordenadas polares (r,) em coordenadas retangulares (x,y); o segundo par de equações nos permite transformar coordenadas retangulares em coordenadas polares. Com essas equações é possível converter o Laplaciano bidimensional da função em coordenadas polares. Recomenda-se que você trabalhe com a regra da cadeia e mostre que

(1)

(2) Somando (1) e (2) e simplificando, obtemos o Laplaciano de u em coordenadas polares:

Nessa seção, nos concentraremos apenas em problemas de valor de contorno envolvendo a equação de Laplace em coordenadas polares:

y u = f (␪)

(3)

c x

Figura 5.2 Problema de Dirichlet para um círculo.

Nosso primeiro exemplo se refere ao problema de Dirichlet para um disco circular. Desejamos resolver a equação de Laplace (3) para a temperatura de regime permanente u(r,) em um disco circular ou uma placa de raio c quando a temperatura da circunferência for u(c, ) f(), 0 2. Veja a Figura 5.2. Considera-se que as duas faces da placa estejam isoladas. Esse problema aparentemente simples é diferente de qualquer outro apresentado no capítulo anterior. Exemplo 1

Temperaturas de regime permanente em uma placa circular

Resolva a equação de Laplace (3) sujeita a u(c, ) f(), 0 2.

5.1 Problemas em Coordenadas Polares Solução

Antes de tentarmos a separação de variáveis, observamos que a única condição de contorno é não-homogênea. Em outras palavras, não existem condições explícitas no enunciado do problema que nos permitem determinar os coeficientes nas soluções das EDOs separadas ou os autovalores exigidos. Entretanto, existem algumas condições implícitas. Primeiro, nossa intuição física nos leva a esperar que a temperatura u(r, ) seja contínua e portanto limitada no interior do círculo r c. Além disso, a temperatura u(r, ) deve ter valor único, significando que o valor de u deve ser o mesmo em um ponto especificado no círculo a despeito da descrição polar daquele ponto. Como (r, 2) é uma descrição equivalente do ponto (r, ), temos que ter u(r, ) u(r, 2). Isto é, u(r, ) tem que ser periódica em com período 2. Se buscarmos uma solução produto u R(r)(), então (0) precisa ser periódica em 2. Com todas essas informações em mente, escolhemos escrever a constante de separação na separação das variáveis como :

As equações separadas são então (4) (5) Buscamos uma solução do problema (6) Apesar de (6) não ser um problema de Sturm-Liouville regular, o problema gera autovalores e autofunções. O último forma um conjunto ortogonal no intervalo [0,2]. Das três possíveis soluções gerais de (5), (7) (8) (9) podemos considerar (8) como inerentemente não periódica a menos que c1 0 e c2 0. De modo similar, a solução (7) é não periódica a menos que definamos c2 0. A solução constante remanescente () c1, c1 0, pode ser designada para qualquer período, e assim 0 é um autovalor. Finalmente, a solução (9) será periódica em 2 se adotarmos n, onde n 1, 2,...* Os autovalores de (6) são então 0 0 e n n2, n 1, 2,.... Se correspondermos 0 0 com n 0, as autofunções de (6) serão Quando n n2, n 0, 1, 2,..., as soluções da ED de Cauchy-Euler (4) são (10) (11) Agora observe em (11) que r 1/r . Na solução (10) ou na solução (11), temos que definir c4 0 para garantir que a solução u seja limitada no centro da placa (que é r 0). Assim, as soluções produto un R(r)() para a equação de Laplace em coordenadas polares são –n

* Por exemplo, note que

n

183

184


onde substituímos c3c1 por A0 para n 0 e por An para n 1, 2,...; a combinação c3c2 foi substituída por Bn. O princípio da superposição então resulta em (12) Aplicando a condição de contorno em r c ao resultado em (12), reconhecemos

como uma expansão de f em uma série de Fourier completa. Consequentemente, podemos adotar as identificações

Isto é,

(13)

(14)

(15) A solução do problema consiste da série dada em (12), onde os coeficientes A0, An e Bn são definidos em (13), (14) e (15). ❑ Observe no Exemplo 1 que correspondendo a cada autovalor positivo, n n2, n 1, 2,..., existem duas autofunções diferentes – ou seja, cos n e sen n. Nessa situação, os autovalores são algumas vezes chamados autovalores duplos. Exemplo 2 y

Temperaturas de regime permanente em uma placa semicircular

Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) na placa semicircular mostrada na Figura 5.3.

u = u0

Solução

c

O problema de valor de contorno é

= x u = 0 em =

Figura 5.3 plo 2.

u = 0 em =0

Placa semicircular no Exem-

Definindo u R(r)() e separando as variáveis, temos

e

(16) (17)

A condição homogênea estipulada nos contornos 0 e se traduzem em (0) 0 e () 0. Essas condições, junto com a equação (17), constituem um problema de Sturn-Liouville regular: (18)

5.1 Problemas em Coordenadas Polares

185

Esse problema familiar* possui autovalores n n e autofunções () c2sen n, n 1, 2,.... Além disso, substituindo por n2, a solução de (16) é R(r) c3rn c4rn. O raciocínio utilizado no Exemplo 1, a saber, esperamos que uma solução u do problema seja limitada em r 0, nos leva a definir c4 0. Logo, un R(r)() Anrn sen n e 2

A condição de contorno restante em r c resulta na série de senos

Consequentemente

e assim Portanto, a solução do problema é dada por ❑ * O problema em (18) é o Exemplo (2) da Seção 3.9 do Volume 1 com L .

EXERCÍCIOS 5.1


Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente u(r, ) em uma placa circular de raio r 1 considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.

7. Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) no anel circular apresentado na Figura 5.4. [Sugestão: Proceda como no Exemplo 1.] y

1.

u = f (␪)

2.

a

3.

b x

4. 5. Resolva o problema de Dirichlet exterior para um disco circular de raio c se u(c, ) f(), 0 2. Em outras palavras, determine a temperatura de regime permanente u(r, ) em uma placa que coincide com o plano xy inteiro no qual um buraco circular de raio c tenha sido feito em torno da origem e a temperatura na circunferência do buraco seja f(). [Sugestão: Considere a temperatura u limitada quando r → .] 6. Resolva o problema de Neumann para um disco circular:

Defina a condição de compatibilidade. [Sugestão: Veja o Problema 21 dos Exercícios 4.5.]

u=0

Figura 5.4

Anel no Exemplo 7.

8. Se as condições de contorno para o anel circular na Figura 5.4 forem u(a, ) u0, u(b, ) u1, 0 2, u0 e u1 constantes, mostre que a temperatura de regime permanente é dada por

[Sugestão: Tente uma solução da forma u(r, ) v(r, ) (r).]

186


9. Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) no anel circular apresentado na Figura 5.4 considerando que as condições de contorno sejam

10. Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) no quarto de placa circular indicado na Figura 5.5. 11. Se os contornos 0 e /2 na Figura 5.5 estiverem isolados, temos então

Determine a temperatura de regime permanente se

14. Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) em uma placa semicircular de raio r 1 se

onde u0 é uma constante. 15. Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) em uma placa semicircular de raio r 2 se

onde u0 é uma constante e as extremidades 0 e estão isoladas.

Tarefas computacionais 16. (a) Determine a solução em séries para u(r, ) no Exemplo 1 quando

y u = f (␪) u=0

(Veja o Problema 1.)

c x

. Figura 5.5

u=0

Quarto de placa no Problema 10.

12. Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) na placa em formato de cunha infinita mostrada na Figura 5.6. [Sugestão: Considere que a temperatura seja limitada quando r → 0 e r → .] y

(b) Utilize um SAC ou uma ferramenta gráfica para traçar a soma parcial S5(r, ) constituída pelos primeiros cinco termos não nulos da solução do item (a) para r 0,9, r 0,7, r 0,5, r 0,3 e r 0,1. Superponha os gráficos nos mesmos eixos coordenados. (c) Aproxime as temperaturas u(0,9, 1,3), u(0,7, 2), u(0,5, 3,5), u(0,3, 4), u(0,1, 5,5). A seguir, aproxime u(0,9, 2 1,3), u(0,7, 2 2), u(0,5, 2 3,5), u(0,3, 2 4), u(0,1, 2 5,5). (d) Qual é a temperatura no centro da placa circular? Por que é apropriado chamar esse valor de temperatura média na placa? [Sugestão: Observe os gráficos no item (b) e os números no item (c).]

y=x u = 30

Problema para discussão x

. Figura 5.6

u=0


13. Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) em um anel semicircular se

17. Considere o anel circular apresentado na Figura 5.4. Discuta como a temperatura de regime permanente u(r, ) pode ser determinada quando as condições de contorno são u(a,) f(), u(b, ) g(), 0 2.

5.2 Problemas em Coordenadas Polares e Coordenadas Cilíndricas: Funções de Bessel

5.2

187

Problemas em coordenadas polares e coordenadas cilíndricas: Funções de Bessel

Introdução

Nessa seção consideraremos problemas de valor de contorno envolvendo formas da equação do calor e de onda em coordenadas polares e uma forma da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Existe um ponto comum em todos os exemplos e exercícios – cada problema de valor de contorno nessa seção tem simetria radial.

Simetria radial

As equações bidimensionais do calor e de onda

escritas em coordenadas polares são, respectivamente,

(1) onde u u(r,,t). Para resolver um problema de valor de contorno envolvendo uma dessas equações por separação de variáveis, temos que definir u R(r)()T(t). Como na Seção 4.8, essa consideração resulta em múltiplas séries infinitas. Veja o Problema 15 nos Exercícios 5.2. Na discussão que se segue, consideraremos os problemas mais simples, porém ainda importantes, que possuem simetria radial – isto é, problemas nos quais a função incógnita u é não dependente da coordenada angular . Nesse caso, as equações do calor e de onda em (1) adquirem, respectivamente, as formas

(2) onde u u(r,t). Vibrações descritas pela segunda equação em (2) são ditas serem vibrações radiais. O primeiro exemplo trabalha com vibrações radiais não amortecidas livres de uma membrana circular fina. Consideramos que os deslocamentos são pequenos e que o movimento é tal que cada ponto na membrana se move em uma direção perpendicular ao plano xy (vibrações transversais) – isto é, o eixo u é perpendicular ao plano xy. Uma modelo físico para se ter em mente enquanto estudamos esse exemplo é o de uma pele de tambor vibrando. Exemplo 1

u

Vibrações radiais de uma membrana circular

Determine o deslocamento u(r,t) de uma membrana circular de raio c presa ao longo de sua circunferência considerando que o seu deslocamento inicial seja f (r) e a sua velocidade inicial seja g(r). Veja a Figura 5.7. Solução

u = f(r) em t = 0

y

u = 0 em r = c x

O problema de valor de contorno a ser resolvido é

Figura 5.7 Deslocamento inicial da membrana circular no Exemplo 1.

Substituindo u R(r)T(t) na equação diferencial parcial e separando as variáveis, temos

(3)

188


Note em (3) que retornamos à nossa constante de separação usual . As duas equações obtidas a partir de (3) são (4) e

(5)

Em decorrência da natureza vibracional do problema, a equação (5) sugere que utilizemos apenas 2 0, 0. Agora, (4) não é uma equação de Cauchy-Euler, mas é uma equação diferencial de Bessel paramétrica de ordem v 0, isto é, rR– R¿ 2rR 0. A partir de (13) da Seção 5.3 do Volume 1, a solução geral da última equação é (6) A solução geral da equação familiar (5) é

Recorde agora que a função de Bessel de segundo tipo de ordem zero tem a propriedade Y0(r) → quando r → 0, e assim a consideração implícita de que o deslocamento u(r,t) deve ser limitado em r 0 nos força a definir c2 0 em (6). Logo, R c1J0(r). Como a condição de contorno u(c,t) 0 é equivalente a R(c) 0, temos que ter c1J0(c) 0. Definimos c1 0, (isso resulta em uma solução trivial da EDP), consequentemente (7) Se xn nc forem raízes positivas de (7), então n xn/c e portanto os autovalores do problema são e as autofunções são c1J0(nr). Soluções produto que satisfazem a equação diferencial parcial e a condição de contorno são (8) onde adotamos a renomeação de constantes usual. O princípio da superposição então resulta em (9) As condições iniciais dadas determinam os coeficientes An e Bn. Aplicando t 0 em (9) e utilizando u(r,0) f (r), temos (10) Esse último resultado é reconhecido como a expansão de Fourier-Bessel da função f no intervalo (0,c). Portanto, por comparação direta de (7) e (10) com (7) e (15) da Seção 3.6, podemos identificar os coeficientes An com aqueles indicados em (16) da Seção 3.6: (11) A seguir, diferenciamos (9) em relação a t, adotamos t 0 e utilizamos ut(r,0) g(r):

Essa é agora uma expansão de Fourier-Bessel da função g. Identificando o coeficiente total anBn com (16) da Seção 3.6, podemos escrever (12)


Finalmente, a solução do problema de valor de contorno dado é a série (9) com coeficientes An e Bn definidos em (11) e (12). ❑ Ondas estacionárias De forma análoga a (8) da Seção 4.4, as soluções produto (8) são chamadas ondas estacionárias. Para n 1, 2, 3,..., as ondas estacionárias são basicamente o gráfico de J0(nr) com a amplitude variando no tempo

As ondas estacionárias para diferentes valores de tempo são representadas pela curvas tracejadas na Figura 5.8. Os zeros de cada onda estacionária no intervalo (0,c) são as raízes de J0(nr) 0 e correspondem ao conjunto de pontos em uma onda estacionária nos quais não há movimento. Esse conjunto de pontos é denominado linha nodal. Se (como no Exemplo 1) as raízes positivas de J0(nc) 0 forem representadas por xn, então xn nc implica n xn/c e consequentemente os zeros das ondas estacionárias serão determinados a partir de

n=1 (a)

Agora, a partir da Tabela 5.2 do Volume 1, os primeiros três zeros positivos de J0 são (aproximadamente) x1 2,4, x2 5,5 e x3 8,7. Assim, para n 1, a primeira raiz positiva de

n=2 (b)

Como estamos buscando zeros de ondas estacionárias no intervalo aberto (0,c), o último resultado significa que a primeira onda estacionária não tem linha nodal. Para n 2, as duas primeiras raízes positivas de são determinadas a partir de

e

Assim, a segunda onda estacionária tem uma linha nodal definida por r x1c/x2 2,4c/5,5. Note que r 艐 0,44c c. Para n 3, uma análise similar mostra que existem duas linhas nodais definidas por r x1c/x3 2,4c/8,7 e r x2c/x3 5,5c/8,7. Em geral, a enésima onda estacionária tem n – 1 linhas nodais r x1c/xn, r x2c/xn,..., r xn1c/ xn. Como r constante é uma equação de um círculo em coordenadas polares, vemos na Figura 5.8 que as linhas nodais de uma onda estacionária são círculos concêntricos. Uso de computadores

É possível ver o efeito de uma batida de tambor para o modelo resolvido no Exemplo 1 por meio das capacidades de animação de um sistema de álgebra computacional. No Problema 14 nos Exercícios 5.2, você deve obter a solução indicada em (6) quando

A Figura 5.9 mostra alguns quadros de uma “animação” de uma pele de tambor vibrando.

Figura 5.9

Quadros de uma “animação” feita por um SAC.

n=3 (c)

Figura 5.8

Ondas estacionárias.

189

190

CAPÍTULO 5 Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas Laplaciano em coordenadas cilíndricas A partir da Figura 5.10, podemos ver que

(x, y, z) são (r, ␪, z)

z

a relação entre as coordenadas cilíndricas de um ponto no espaço e suas coordenadas retangulares é dada por

Decorre imediatamente da derivação do Laplaciano em coordenadas polares (veja a Seção 5.1) que o Laplaciano de uma função u em coordenadas cilíndricas é

z

␪

y

r

x

Figura 5.10 As coordenadas cilíndricas de um ponto (x,y,z) são (r,,z). z

u = u0 em z = 4

Exemplo 2

Temperaturas de regime permanente em um cilindro circular

Determine a temperatura de regime permanente no cilindro circular ilustrado na Figura 5.11. Solução

As condições de contorno sugerem que a temperatura u tem simetria radial. Consequentemente, u(r,z) é determinada por

u=0 em r = 2 y x

u = 0 em z = 0

Figura 5.11 plo 2.

Utilizando u R(r)Z(z) e separando as variáveis, temos

Cilindro finito no Exem-

(13) e

(14) (15)

Para a escolha 0, 0, a solução de (14) é 2

e como a solução de (15) é definida no intervalo finito [0,2], escrevemos a sua solução geral como

Como no Exemplo 1, a consideração de que a temperatura u é limitada em r 0 requer c2 0. A condição u(2,z) 0 implica R(2) 0. Essa equação, (16) define os autovalores positivos c3 0. Assim, temos

do problema. Finalmente, Z(0) 0 implica

e A condição de contorno restante em z 4 resulta na série de Fourier-Bessel


191

De forma que, com base em (16), os coeficientes são definidos por (16) da Seção 3.6,

Para calcular a última integral, primeiro aplicamos a substituição t nr, seguido de A partir de

obtemos

Finalmente, a temperatura no cilindro é ❑

EXERCÍCIOS 5.2


1. Determine o deslocamento u(r,t) no Exemplo 1 se f (r) 0 e considerando que é dada à membrana circular uma velocidade unitária inicial na direção para cima. 2. Uma membrana circular de raio unitário 1 é grampeada ao longo da sua circunferência. Determine o deslocamento u(r,t) considerando que a membrana parta do repouso para 2 o deslocamento inicial f (r) 1 – r , 0 r 1. [Sugestão: Veja o Problema 10 nos Exercícios 3.6.]

7. Quando existe transferência de calor a partir da parte lateral de um cilindro circular infinito de raio unitário (veja a Figura 5.12) em um meio circundante à temperatura zero, a temperatura no interior do cilindro é determinada a partir de

3. Obtenha a temperatura de regime permanente u(r,z) no cilindro do Exemplo 2 se as condições de contorno forem u(2,z) 0, 0 z 4, u(r,0) u0, u(r,4) 0, 0 r 2. 4. Se a parte lateral do cilindro no Exemplo 2 estiver isolada, então

Resolva para u(r,t). z

(a) Determine a temperatura de regime permanente u(r,z) quando u(r,4) f (r), 0 r 2. (b) Mostre que a temperatura de regime permanente no item (a) se reduz para u(r,z) u0z/4 quando f (r) u0. [Sugestão: Utilize (11) da Seção 3.6.]

y 1

5. A temperatura em uma placa circular de raio c é determinada a partir do problema de valor de contorno

x

Figura 5.12

Resolva para u(r,t). 6. Resolva o Problema 5 se a extremidade r c da placa estiver isolada.

Cilindro infinito no Problema 7.

8. Determine a temperatura de regime permanente u(r,z) em um cilindro semi-infinito de raio unitário (z 0) considerando que exista transferência de calor a partir da sua parte lateral para o meio circundante à temperatura zero e que a temperatura da base z 0 seja mantida a uma temperatura constante u0.

192


9. Uma placa circular é composta por dois materiais diferentes na forma de círculos concêntricos. Veja a Figura 5.13. A temperatura na placa é determinada a partir do problema de valor de contorno

x

L

u

Figura 5.14

Resolva para u(r,t). [Sugestão: Considere u(r,t) v(r,t) (r).]

0

Corrente oscilante no Problema 11.

12. Nesse problema, consideramos o caso geral – isto é, com dependência de da membrana circular vibrante de raio c:

y u = 100 2 1

x

(a) Assuma que u R(r)()T(t) e que as constantes de separação sejam – e –v. Mostre que as equações diferenciais separadas são Figura 5.13

Placa circular no Problema 9.

10. Resolva o problema de valor de contorno (b) Considere e v e resolva as equações separadas do item (a). 2

2

(c) Mostre que os autovalores e as autofunções do problemas são como se segue: Autovalores: v n, n 0, 1, 2,...; 11. O deslocamento horizontal u(x,t) de uma corrente pesada de comprimento L oscilando em um plano vertical satisfaz a equação diferencial parcial

autofunções: 1, cos n, sen n. Autovalores: ni xni/c, i 1, 2,..., onde, para cada n, xni são as raízes positivas de Jn(c) 0; autofunções: Jn(nir) 0.

Veja a Figura 5.14. (a) Utilizando como uma constante de separação, mostre que a equação diferencial ordinária na variável espacial x é xX– X¿ X 0. Resolva essa equação por meio da substituição x 2/4. (b) Utilize o resultado do item (a) para resolver a equação diferencial parcial indicada sujeita a

[Sugestão: Considere que as oscilações na extremidade livre x 0 sejam finitas.]

(d) Use o princípio da superposição para determinar uma solução em séries múltiplas. Não tente calcular os coeficientes.

Tarefas computacionais 13. (a) Considere o Exemplo 1 com a 1, c 10, g(r) 0 e f (r) 1 – r/10, 0 r 10. Utilize um SAC como auxílio para obter os valores numéricos dos primeiros três autovalores 1, 2, 3 do problema de valor de contorno e os primeiros três coeficientes A1, A2, A3 da solução u(r,t) indicada em (6). Escreva a terceira soma parcial S3(r,t) da solução em série. (b) Utilize um SAC para traçar o gráfico de S3(r,t) para t 0, 4, 10, 12, 20.

193

5.3 Problemas em Coordenadas Esféricas: Polinômios de Legendre 14. Resolva o Problema 5 com condições de contorno u(c,t) 200, u(r,0) 0. Com essas condições impostas, espera-se intuitivamente que qualquer ponto interior da placa, u(r,t) → 200 quando t → . Assuma que c 10 e que a placa seja de ferro fundido, de modo que k 0,1 (aproximadamente). Utilize um SAC como um auxílio para obter os valores numéricos dos primeiros cinco autovalores 1, 2, 3, 4, 5 do problema de valor de contorno e os cinco coeficientes A1, A2, A3, A4, A5 na solução u(r,t). Considere a solução aproximada correspondente sendo escrita como S5(r,t). Trace S5(5,t) e S5(0,t) em um intervalo de tempo suficientemente grande 0 t T. Use os gráficos de S5(5,t) e S5(0,t) para estimar os tempos (em segundos) para os quais u(5,t) 艐 100 e u(0,t) 艐 100. Repita para u(5,t) 艐 200 e u(0,t) 艐 200.

(b) Mostre que a frequência da onda estacionária un(r,t) é fn an/2, onde n é o enésimo zero positivo de J0(x). Ao contrário da solução da equação de onda unidimensional na Seção 4.4, as frequências não são múltiplos inteiros da frequência fundamental f1. Mostre que f2 艐 2,295f1 e f3 艐 3,598f1. Dizemos que a batida de tambor produz sobretons desarmônicos. Como resultado, a função de deslocamento u(r,t) não é periódica, e assim o nosso tambor idealizado não pode produzir um tom sustentado. (c) Considere a 1, e v0 1 em sua solução do item (a). Utilize um SAC para traçar a quinta soma parcial S5(r,t) para os tempos t 0, 0,1, 0,2, 0,3,..., 5,9, 6,0 no intervalo –1 r 1. Use a capacidade de animação do seu SAC para produzir um filme dessas vibrações.

15. Considere um tambor idealizado constituído por uma membrana fina esticada sobre um quadro circular de raio unitário. Quando esse tambor é atingido em seu centro, ouve-se um som que é frequentemente descrito como uma pancada incômoda em vez de um tom melódico. Podemos modelar uma única batida de tambor utilizando o problema de valor de contorno resolvido no Exemplo 1.

(d) Para um desafio maior, use a capacidade de gráficos 3D do seu SAC para fazer uma animação do movimento da cabeça do tambor circular que é mostrada na seção transversal no item (c). [Sugestão: Existem diversas formas de se proceder. Para um tempo fixo, faça o grá-

(a) Determine a solução u(r,t) indicada em (6) quando c 1, f (r) 0 e

5.3

fico de u em função de x e y usando ou use o comando equivalente CylindricalPlot3D do Mathematica].

Problemas em coordenadas esféricas: Polinômios de Legendre

z (x, y, z) ou (r, ␾, ␪)

Introdução Nessa seção, continuamos nossa investigação de problemas de valor de contorno em diferentes sistemas de coordenadas. Desta vez, consideraremos problemas envolvendo equação do calor, de onda e de Laplace em coordenadas esféricas. Laplaciano em coordenadas esféricas Conforme apresentado na Figura 5.15, um ponto em três dimensões é descrito em termos de coordenadas retangulares e em coordenadas esféricas. As coordenadas retangulares x, y e z do ponto estão relacionadas às suas coordenadas esféricas r, e por meio das equações

(1) Utilizando as equações em (1), pode-se mostrar que o Laplaciano u no sistema de coordenadas esféricas é 2

(2) Como você pode imaginar, problemas envolvendo (1) podem ser bastante formidáveis. Consequentemente, consideraremos somente alguns problemas mais simples que são independentes do ângulo azimutal . Nosso primeiro exemplo corresponde ao problema de Dirichlet para uma esfera.

␪

r y

␾ x

Figura 5.15 As coordenadas esféricas de um ponto (x,y,z) são (r,, ).

194

CAPÍTULO 5 Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas z

Exemplo 1

c y

x

Temperaturas constantes em uma esfera

Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) na esfera ilustrada na Figura 5.16. Solução

A temperatura é determinada a partir de

u = f (␪) em r = c

Figura 5.16 Problema de Dirichlet para uma esfera no Exemplo 1.

Se u R(r)(), a equação diferencial parcial se separa em

e assim

(2) (3)

Após substituirmos x cos , 0 , (3) se escreve como (4) A última equação é uma forma da equação de Legendre (veja o Problema 36 nos Exercícios 5.3 do Volume 1). Agora, as únicas soluções de (4) que são contínuas e têm derivadas contínuas no intervalo fechado [1,1] são os polinômios de Legendre Pn(x) que correspondem a 2 n(n 1), n 0,1,2,.... Logo, tomamos as soluções de (3) como sendo

Além disso, quando n(n 1), a solução geral da equação de Cauchy-Euler (2) é Como novamente esperamos que u(r,) seja limitada em r 0, definimos c2 0. Portanto, un AnrnPn(cos ) e

Em r c, Assim, Ancn são os coeficientes da série de Legendre-Forier (23) da Seção 3.5:

Segue-se que a solução é ❑

5.3 Problemas em Coordenadas Esféricas: Polinômios de Legendre

EXERCÍCIOS 5.3

195

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 396. 7. Resolva o Problema 6 quando a base do hemisfério estiver isolada; isto é,

1. Resolva o problema no Exemplo 1 se

Escreva os primeiros quatro termos não nulos da solução em série. [Sugestão: Veja o Exemplo 3, Seção 3.6.] 2. A solução u(r,) no Exemplo 1 poderia também ser interpretada como o potencial dentro da esfera devido a uma distribuição de carga f() em sua superfície. Determine o potancial fora da esfera.

8. Resolva o Problema 6 para r c. 9. A temperatura dependente do tempo dentro de uma esfera de raio unitário é determinada a partir de

3. Determine a solução do problema no Exemplo 1 considerando f () cos , 0 . [Sugestão: P1(cos ) cos . Use ortogonalidade.] 4. Determine a solução do problema no Exemplo 1 considerando f () 1 cos 2, 0 . [Sugestão: Veja o Problema 16, Exercícios 3.6.] 5. Determine a temperatura de regime permanente u(r, ) dentro de uma esfera oca a r b se a superfície interna r a for mantida à temperatura f () e a sua superfície externa r b for mantida à temperatura zero. A Figura 5.17 mostra a esfera no primeiro octante. u = f (␪) em r = a

z

Resolva para u(r,t). [Sugestão: Verifique que o lado esquerdo da equação diferencial parcial pode ser escrito como Considere ru(r,t) v(r,t) (r). Use apenas funções que sejam limitadas quando r → 0.] 10. Uma esfera sólida uniforme de raio 1 a uma temperatura inicial constante u0 é colocada em um recipiente grande com fluido que está mantido a uma temperatura constante u1 (u1 u0) por todo o tempo. Veja a Figura 5.18. Como existe transferência de calor através do contorno r 1, a temperatura u(r,t) na esfera é determinada a partir do problema de valor de contorno

y

x

u=0 em r = b

Resolva para u(r,t). [Sugestão: Proceda como no Exemplo 9.] Figura 5.17

Esfera oca no Problema 5. 1

6. A temperatura de regime permanente em um hemisfério de raio r c é determinada a partir de

u1

Resolva para u(r, ). [Sugestão: Pn(0) 0 somente se n for ímpar. Veja também o Problema 18, Exercícios 3.6.]

Figura 5.18

Recipiente no Problema 10.

196

CAPÍTULO 5 Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas direção z. O potencial u(r, ) fora da esfera é determinado a partir do problema de valor de contorno

11. Resolva o problema de valor de contorno envolvendo vibrações esféricas:

Mostre que [Sugestão: Escreva o lado esquerdo da equação diferencial parcial como

[Sugestão: Explique por que

Adote v(r,t) ru(r,t).]

para todos os inteiros não negativos exceto n 1. Veja (24) da Seção 3.6].

12. Uma esfera condutora de raio r c é aterrada e colocada em um campo elétrico uniforme que tem intensidade E na



Nos Problemas 1 e 2, determine a temperatura de regime permanente u(r,) em uma placa circular de raio c considerando que a temperatura na circunferência seja conforme indicado.

7.

y=x

y

u=0

1.

u = u0 em r =

isolado em r = 1

1 2

x

2. u=0 em ␪ = 0

Nos Problemas 3-4, determine a temperatura de regime permanente u(r,) em uma placa semicircular de raio 1 considerando que as condições de contorno sejam seja conforme indicado.

Figura 5.19

8.

Placa no Problema 7. y u = u1 em ␪ = β

3.

u = f(␪) em r = b

4. u=0 em r = a x

5. Determine a temperatura de regime permanente u(r,) em uma placa semicircular de raio c se os contornos 0 e estiverem isolados e u(c,) f(), 0 . 6. Determine a temperatura de regime permanente u(r,) em uma placa semicircular de raio c se o contorno 0 for mantido à temperatura zero, o contorno estiver isolado e u(c,) f(), 0 . Nos Problemas 7 e 8, determine a temperatura de regime permanente u(r,) na placa indicada na figura.

u = u0 em ␪ = 0

Figura 5.20

Placa no Problema 8.

9. Se as condições de contorno para um anel circular definido por 1 r 2 forem

mostre que a temperatura de regime permanente é u(r,) [Sugestão: Veja a Figura 5.6. Além disso, aplique a identidade sen2 1/2 (1 – cos2).]

Exercícios de Revisão 10. Determine a temperatura de regime permanente u(r,) na placa infinita ilustrada na Figura 5.21.

197


y u = f (␪)

1 u=0

Figura 5.21

x u=0


11. Suponha que calor seja perdido a partir das superfícies planas de um disco circular de raio unitário muito fino para um meio circundante à temperatura zero. Se a lei linear de transferência de calor for aplicada, a equação do calor adquire a forma

[Sugestão: Proceda como nos Problemas 9 e 10 nos Exercícios 5.3, porém adote v(r,t) ru(r,t). Veja a Seção 4.7.] 17. A função solução da equação de Bessel paramétrica

no intervalo a x b. Se os autovalores definidos pelas raízes positivas da equação Veja a Figura 5.22. Determine a temperatura u(r,t) se a extremidade r 1 for mantida à temperatura zero e ser inicialmente a temperatura da placa for uniforme por toda a placa.

é uma

forem

mostre que as funções

0° u=0 1

são ortogonais em relação à função de peso p(x) x no intervalo [a,b]; isto é,

0°

[Sugestão: Siga o procedimento da página 129]. Figura 5.22

Placa circular no Problema 11.

12. Suponha xk sendo um zero positivo de J0. Mostre que uma solução do problema de valor de contorno

18. Utilize os resultados do Problema 17 para resolver o seguinte problema de valor de contorno para a temperatura u(r,t) em um anel circular:

19. Discuta como resolver 13. Determine a temperatura de regime permanente u(r,z) no cilindro da Figura 5.11 se a parte lateral for mantida à temperatura zero, o topo z 4 for mantido à temperatura 50, e a base z 0 estiver isolada.

com as condições de contorno indicadas na Figura 5.23. u = f (r) em z = L


u = h(z) em r = c

15. Determine a temperatura de regime permanente u(r,) em uma esfera de raio unitário considerando que a superfície seja mantida a

u = g(r) em z = 0

Figura 5.23

[Sugestão: Veja o Problema 20 nos Exercícios 3.5.]

∇2u = 0

Cilindro no Problema 19.

20. Desenvolva as suas idéias e obtenha u(r,z) no Problema 19. [Sugestão: Revise (11) da Seção 3.5.]

CAPÍTULO

6 Método da Transformada Integral Descrição do capítulo 6.1 Função erro 6.2 Aplicações da transformada de Laplace 6.3 Integral de Fourier 6.4 Transformadas de Fourier 6.5 Transformada rápida de Fourier Exercícios de revisão

O método da separação de variáveis que utilizamos nos Capítulos 4 e 5 é um método poderoso, mas não é aplicado de modo universal para a solução de problemas de valor de contorno. Se a equação diferencial parcial em questão for não homogênea, ou se as condições de contorno forem dependentes do tempo, ou ainda se o domínio da variável espacial for infinito (,) ou semi-infinito (a, ), podemos ser capazes de utilizar uma transformada integral para resolver o problema. Na Seção 6.2, resolveremos problemas que envolvem as equações do calor e de onda por meio da familiar transformada de Laplace. Na Seção 6.4, três novas transformadas integrais e transformadas de Fourier serão introduzidas e utilizadas.

6.1 Função Erro

6.1

199

Função erro

Introdução

Existem diversas funções na matemática que são definidas por meio de uma integral. Por exemplo, em muitos textos tradicionais de cálculo, o logaritmo natural é definido da seguinte maneira:

Em capítulos anterio-

res vimos, apesar de brevemente, a função erro erf(x), a função erro complementar erfc(x), a função integral do seno Si(x), a integral de Fresnel do seno S(x) e a função gamma (␣); todas essas funções são definidas em termos de uma integral. Antes de aplicar a transformada de Laplace a problemas de valor de contorno, precisamos conhecer um pouco mais a respeito da função erro e da função erro complementar. Nessa seção, examinaremos os gráficos e algumas das propriedades mais óbvias de erf(x) e erfc(x). Propriedades e gráficos Relembre de (14) da Seção 2.3 do Volume 1 que as definições da função erro erf(x) e função erro complementar erfc(x) são, respectivamente,

(1) Com o auxílio de coordenadas polares, pode ser demonstrado que

Assim, a partir da propriedade de adição de intervalos para integrais definidas, o último resultado é o mesmo que

1

y

0,8

erf(x)

0,6 0,4

(2) Os gráficos de erf(x) e erfc(x) para x 0 estão indicados na Figura 6.1. Note que erf(0) 0, erfc(0) 1 e que erf(x) → 1 e erf(x) → 0 quando x → . Outros valores numéricos de erf(x) e erfc(x) podem ser obtidos a partir de um SAC ou tabelas. Em tabelas, muitas vezes a função erro é referenciada como a integral de probabilidade. O domínio de erf(x) e de erfc(c) é (,). No Problema 11 dos Exercícios 6.1, você terá que obter o gráfico de cada função nesse intervalo e deduzir algumas propriedades adicionais. A Tabela 6.1, de transformadas de Laplace, será útil para os exercícios da próxima seção. Tabela 6.1

erfc(x)

0,2

Isso mostra que erf(x) e erfc(x) estão relacionadas pela identidade

0

0,5

1

1,5

2

Figura 6.1 Gráficos de erf(x) e erfc(x) para x 0.

x

200

CAPÍTULO 6 Método da Transformada Integral

Observações As demonstrações dos resultados na Tabela 6.1 não serão apresentadas pois elas são muito longas e um pouco complicadas. Por exemplo, as provas das entradas 2 e 3 da tabela exigem diversas mudanças de variáveis e a aplicação do teorema da convolução. Para os interessados, consultem Introduction to the Laplace Transform, de Holl, Maple e Vinograde, Appleton-Century-Crofts, 1959, páginas 142-143. Uma visão geral desse tipo de demonstração pode ser obtida através da resolução do Problema 1 nos Exercícios 6.1.

EXERCÍCIOS 6.1

As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 397. 6. Seja a uma constante. Mostre que

1. (a) Mostre que (b) Aplique o teorema da convolução e os resultados dos Problemas 41 e 42 nos Exercícios 4.1 do Volume 1 para mostrar que

[Sugestão: Utilize a definição exponencial do seno hiperbólico. Expanda em uma série geométrica.] 7. Utilize a transformada de Laplace e a Tabela 6.1 para resolver a equação integral

2. Utilize o resultado do Problema 1 para mostrar que


8. Use a terceira e a quinta entradas da Tabela 6.1 para obter a sexta entrada. 9. Mostre que


10. Mostre que

Tarefas computacionais 5. Considere C, G, R e x como sendo constantes. Use a Tabela 6.1 para mostrar que

6.2

11. As funções erf(x) e erfc(x) são definidas para x 0. Utilize um SAC para superpor os gráficos de erf(x) e erfc(x) nos mesmos eixos para –10 x 10. Os gráficos possuem alguma simetria? Quais são os resultados de e

Aplicações da transformada de Laplace

Introdução No Capítulo 4 do Volume 1, definimos a transformada de Laplace de uma função f (t), t 0, como sendo

sempre que a integral imprópria converge. Essa integral transforma uma função f (t) em outra função F do parâmetro de transformação s, isto é, ᏸ{f (t)} F(s). A principal aplicação da transformada de Laplace no Capítulo 4 do Volume 1 se referia à

6.2 Aplicações da Transformada de Laplace

solução de certos tipos de problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes. Recorde que a transformada de Laplace de tal equação reduz a EDO a uma equação algébrica. Nessa seção, iremos aplicar a transformada de Laplace a equações diferenciais parciais lineares. Veremos que essa transformada reduz uma EDP a uma EDO. Transformada de derivadas parciais

Os problemas de valor de contorno considerados nessa seção envolverão as equações de onda e do calor unidimensionais ou pequenas variações dessas equações. Essas EDP possuem uma função incógnita de duas variáveis independentes u(x,t), onde a variável t representa o tempo t 0. Definimos a transformada de Laplace de u(x,t) em relação a t como

onde x é tratado como um parâmetro. Por toda essa seção, consideraremos que todas as propriedades operacionais das Seções 4.3 e 4.4 do Volume 1 se aplicam a funções de duas variáveis. Por exemplo, pelo Teorema 4.4, do Volume 1, a transformada da derivada parcial u/ t é

(1)

isto é,

De modo similar,

(2)

Como a transformação é em relação a t, consideramos ainda que é legítimo intercambiar integração e diferenciação na transformada de 2u/ x2:

isto é,

(3)

Em vista de (1) e (2), vemos que a transformada de Laplace satisfaz problemas com condições iniciais – ou seja, aqueles problemas associados com a equação do calor ou a equação de onda. Exemplo 1

Transformada de Laplace de uma EDP

Determine a transformada de Laplace da equação de onda Solução

A partir de (2) e (3),

se torna

ou

(4) ❑

201

202


A transformada de Laplace em relação a t da equação de onda ou da equação do calor elimina essa variável, sendo que para as equações unidimensionais as equações transformadas são então equações diferenciais ordinárias na variável espacial x. Na resolução de uma equação transformada, tratamos s como um parâmetro. Exemplo 2

Utilizando a transformada de Laplace para resolver um PVC

Resolva sujeita a

Solução

A equação diferencial parcial é reconhecida como a equação de onda com a 1. A partir de (4) e das condições iniciais dadas, a equação transformada é (5) onde U(x,s) ᏸ{u(x,t)}. Como as condições de contorno são funções de t, obtemos também as suas transformadas de Laplace: (6) Os resultados em (6) são condições de contorno para a equação diferencial ordinária (5). Como (5) é definida em um intervalo finito, sua função complementar é

O método dos coeficientes indeterminados resulta em uma solução particular

Logo Porém, as condições U(0,s) 0 e U(1,s) 0 resultam, respectivamente, em c1 0 e c2 0. Concluímos que

❑

Portanto

Exemplo 3

Utilizando a transformada de Laplace para resolver um PVC

Uma corda muito longa está inicialmente em repouso no eixo x não negativo. A corda está presa em x 0 e a sua extremidade direita desliza para baixo em um suporte vertical sem atrito. A corda é posta em movimento deixando-a cair sob o seu próprio peso. Determine o deslocamento u(x,t). Solução Como a força da gravidade é levada em consideração, pode-se mostrar que a equação de onda tem a forma


203

As condições de contorno e inicial são, respectivamente,

A segunda condição de contorno limx→ u/ x 0 indica que a corda é horizontal a uma grande distância a partir da extremidade esquerda. Agora, de (2) e (3),

se torna ou, em vista das condições iniciais,

As transformadas das condições de contorno são

Com o auxílio dos coeficientes indeterminados, a solução geral da equação transformada é

A condição de contorno limx→ dU/dx 0 implica c2 0, e U(0,s) 0 resulta em c1 g/s3. Portanto,

Agora, pelo segundo teorema da translação, temos

u

ou

suporte vertical “no ”

at

x

Para interpretarmos a solução, vamos considerar t 0. Para 0 x at, a corda tem o formato de uma parábola passando por (0,0) e Para x at, a corda é descrita pela reta horizontal Veja a Figura 6.2. ❑ Observe que o problema no próximo exemplo poderia ser resolvido pelo procedimento da Seção 4.6. A transformada de Laplace fornece uma solução alternativa. Exemplo 4

Uma solução em termos de erf(x)

Resolva a equação do calor

sujeita a

(at, –

1 2

gt2)

Figura 6.2 Uma corda comprida caindo sob o seu próprio peso.

204

CAPÍTULO 6 Método da Transformada Integral Solução

A partir de (1) e (3) e da condição inicial,

se torna

(7)

As transformadas das condições de contorno são (8) Como estamos interessados em um intervalo finito no eixo x, escolhemos escrever a solução geral de (7) como Aplicando as duas condições de contorno em (8), obtemos, respectivamente, c1 0 e Logo

A transformada inversa da última função não pode ser obtida por meio da maioria das tabelas existentes. Entretanto, escrevendo

e utilizando a série geométrica

temos

Se considerarmos que a transformada inversa de Laplace pode ser feita termo a termo, decorre da entrada 3 da Tabela 6.1 que

(9) A solução (9) pode ser escrita em termos da função erro aplicando erfc(x) 1 – erf(x): ❑ A Figura 6.3(a), obtida com o auxílio da função que traça gráficos 3D em um SAC, mostra a superfície sobre a região retangular 0 x 1, 0 t 6 definida pela soma parcial S10(x,t) da solução (10). A partir da análise da superfície e dos gráficos bidimensionais que a acompanham, fica evidente que, em um valor fixo de x (a curva de interseção de um plano partindo a superfície perpendicular ao eixo x no intervalo 0 x 1), a temperatura u(x,t) cresce rapidamente para um valor constante com o aumento do tempo. Veja a Figura 6.3(b) e (c). Para um tempo fixo (a curva de interseção de um plano partindo a superfície perpendicular ao eixo t), a temperatura u(x,t) naturalmente cresce de 0 a 100. Veja a Figura 6.3(d) e (e).


100 75 u(x, t) 50 25 0 0

205

6 4 t

0,2

2

0,4 0,6

x

0,8 1

0

(a) u0 = 100 u(0,2, t) 100

u(0,7, t) 100

80

80

60

60

40

40

20

20 0

1

2

3 4 (b) x = 0,2

5

6

t

0

u(x, 0,1) 120

u(x, 4) 120

100

100

80

80

60

60

40

40

20

1

2

3 4 (c) x = 0,7

0,2

0,4 0,6 (e) t = 4

5

6

t

20 0

0,2

0,6 0,4 (d) t = 0,1

0,8

1

x

0

0,8

1

x

Figura 6.3 Gráfico da solução indicada em (10). Em (b) e (c), x é mantido constante. Em (d) e (e), t é mantido constante.

EXERCÍCIOS 6.2


Nos problemas a seguir, utilize tabelas quando necessário. 1. Uma corda é esticada ao longo do eixo x entre (0,0) e (L,0). Determine o deslocamento u(x,t) se a corda partir do repouso na posição inicial Asen(␲x/L). 2. Resolva o problema de valor de contorno

Resolva para u(x,t). 4. Resolva o problema de valor de contorno no Problema 3 quando

3. O deslocamento de uma corda elástica semi-infinita é determinado a partir de

Esboce o deslocamento u(x,t) para t 1.

206


5. No Exemplo 3, determine o deslocamento u(x,t) quando for dada à extremidade esquerda da corda em x 0 um movimento oscilatório descrito por f (t) A sen ␻t.


6. O deslocamento u(x,t) de uma corda que é excitada por uma força externa é determinado a partir de

Nos Problemas 11-18, utilize a transformada de Laplace para resolver a equação do calor uxx ut, x 0, t 0 sujeita às condições indicadas. 11. Resolva para u(x,t). 7. Uma barra uniforme presa em x 0 está inicialmente em repouso. Se uma força constante F0 for aplicada à extremidade livre em x L, o deslocamento longitudinal u(x,t) de uma seção transversal da barra é determinado a partir de

12. 13.

14. 15. [Sugestão: Utilize o teorema da convolução.] 16. Resolva para u(x,t). [Sugestão: Expanda uma série geométrica.]

em 17.

8. Uma viga elástica semi-infinita uniforme movendo-se ao longo do eixo x com uma velocidade constante –v0 para ao atingir uma parede no tempo t 0. Veja a Figura 6.4. O deslocamento longitudinal u(x,t) é determinado a partir de

18.


Resolva para u(x,t). 20. Mostre que uma solução do problema de valor de contorno viga

parede

v0

x=0

Figura 6.4

x

Viga elástica em movimento no Problema 8.

onde r é uma constante, é dada por

9. Resolva o problema de valor de contorno 21. Uma haste de comprimento L é mantida a uma temperatura constante u0 em suas extremidades x 0 e x L. Se a temperatura inicial da haste for u0 u0sen(x␲/L), resolva a equação do calor uxx ut, 0 x L, t 0 para a temperatura u(x,t).

6.2 Aplicações da Transformada de Laplace 22. Se existir uma transferência de calor a partir da superfície lateral de um fio fino de comprimento L para um meio a uma temperatura constante um, então a equação do calor adquire a forma

onde h é uma constante. Determine a temperatura u(x,t) considerando que a temperatura inicial seja uma constante u0 por todo o fio e as extremidades x 0 e x L estejam isoladas. 23. Uma haste de comprimento unitário está isolada em x 0 e é mantida a uma temperatura zero em x 1. Se a temperatura inicial da haste for uma constante u0, resolva kuxx ut, 0 x 1, t 0 para a temperatura u(x,t). [Sugestão: Expanda em uma série geométrica.]

207

27. Mostre que uma solução do problema de valor de contorno

é

Tarefas computacionais 28. (a) A temperatura em um sólido semi-infinito é modelada pelo problema de valor de contorno

24. Uma placa porosa infinita de espessura unitária é imersa em uma solução de concentração constante c0. Uma substância dissolvida na solução se difunde na placa. A concentração c(x,t) na placa é determinada a partir de

Resolva para u(x,t). Use a solução para determinar analiticamente o valor de limt→ u(x,t), x 0. onde D é uma constante. Resolva para c(x,t). 25. Uma linha de transmissão telefônica muito longa está inicialmente em um potencial constante u0. Se a linha for aterrada em x 0 e isolada na extremidade direita distante, então o potencial u(x,t) em um ponto x ao longo da linha no tempo t é determinado a partir de

(b) Utilize um SAC para traçar o gráfico u(x,t) sobre a região retangular 0 x 10, 0 t 15. Assuma u0 100 e k 1. Indique as duas condições de contorno e a condição inicial em seu gráfico. Utilize gráficos em duas e três dimensões de u(x,t) para verificar a sua resposta do item (a). 29. (a) No Problema 28, se existir um fluxo constante de calor no sólido em seu contorno esquerdo, então a condição de contorno será

Resolva

para u(x,t). Utilize a solução para determinar analiticamente o valor de limt→ u(x,t), x 0. onde R, C e G são constantes conhecidas como resistência, capacitância e condutância, respectivamente. Resolva para u(x,t). [Sugestão: Veja o Problema 5 nos Exercícios 6.1.] 26. Iniciando em t 0, um peso concentrado de magnitude F0 se move com uma velocidade constante v0 ao longo de uma corda semi-infinita. Nesse caso, a equação de onda se torna

onde ␦(t – x/v0) é a função delta de Dirac. Resolva a EDP anterior sujeita a

(a) quando v0 ⫽ a (b) quando v0 a

(b) Utilize um SAC para traçar o gráfico u(x,t) sobre a região retangular 0 x 10, 0 t 15. Assuma u0 100 e k 1. Indique as duas condições de contorno e a condição inicial em seu gráfico. Utilize gráficos em duas e três dimensões de u(x,t) para verificar a sua resposta do item (a). 30. Os humanos recolhem a maior parte das informações do mundo exterior por meio da visão e do som. Porém, muitas criaturas utilizam sinais químicos como meio primário de comunicação: por exemplo, as abelhas, quando amedrontadas, secretam uma substância e batem suas asas fervorosamente para transmitir o sinal de alerta para as abelhas que cuidam da abelha-rainha. Essas mensagens moleculares entre membros da mesma espécie são chamadas feromonas (ou feromônios). Os sinais podem ser transmitidos por ar ou água ou por um processo de difusão no qual o movimento aleatório de moléculas de gás transportam o elemento químico para longe da sua fonte. A Figura 6.5 apresenta uma formiga emitindo um alarme químico no ar do túnel. Se c(x,t) representar a concentração do elemento

208

CAPÍTULO 6 Método da Transformada Integral químico a x centímetros da fonte no tempo t, então c(x,t) satisfaz

sendo k uma constante positiva. O emissão de feromônios como um pulso discreto está relacionada a uma condição de contorno da forma

(b) Utilize um SAC para traçar o gráfico da solução no item (a) para x 0 nos instantes de tempo fixos t 0,1, t 0,5, t 1, t 2, t 5. (c) Para um tempo fixo t, mostre que Logo, Ak representa a quantidade total de elemento químico descarregado.

x

0

Figura 6.5

Formigas no Problema 30.

onde ␦(t) é a função delta de Dirac. (a) Resolva o problema de valor de contorno considerando c(x,0) 0, x 0 e limx→ c(x,t), t 0.

6.3

Integral de Fourier

Introdução

Nos capítulos anteriores, séries de Fourier foram empregadas para representar uma função f definida em um intervalo finito (p, p) ou (0,L). Quando f e f ¿ são contínuas por partes em um tal intervalo, uma série de Fourier representa a função no intervalo e converge para a extensão periódica de f fora do intervalo. Desse modo, justifica-se dizer que as séries de Fourier estão associadas somente a funções periódicas. Obteremos agora, de uma maneira não rigorosa, um meio de representar certos tipos de funções não periódicas que sejam definidas em um intervalo infinito (,) ou em um intervalo semi-infinito (0, ). De série de Fourier para integral de Fourier

Suponha uma função f definida em (p,p). Se utilizarmos as definições de integrais dos coeficientes (9), (10), (11) da Seção 3.2 em (8) daquela seção, a série de Fourier de f no intervalo é (1)

Se adotarmos ␣n n␲/p, ␣ ␣n1 ␣n ␲/p, então (1) se torna (2) Expandimos agora o intervalo (p,p) definido p → . Como p → implica ␣ → 0, o limite de (2) tem a forma Logo, se integral zero e o limite da soma é

que sugere a definição da existir, o limite do primeiro termo em (2) é

(3) O resultado indicado em (3) é denominado integral de Fourier de f em (,). Como mostra o resumo a seguir, a estrutura básica da integral de Fourier é remanescente daquela da série de Fourier.

6.3 Integral de Fourier


209

Integral de Fourier

A integral de Fourier de uma função f definida no intervalo (,) é dada por (4)

(5)

onde

(6)

Convergência de uma integral de Fourier As condições suficientes sob as quais uma integral de Fourier converge para f(x) são similares, porém um pouco mais restritivas, às condições para uma série de Fourier.

TEOREMA 6.1

Condições para convergência

Considere f e f ¿ contínuas por partes em qualquer intervalo finito, e seja f absolutamente integrável em (,).* Assim, a integral de Fourier de f no intervalo converge para f (x) em um ponto de continuidade. Em um ponto de descontinuidade, a integral de Fourier convergirá para a média

onde f (x) e f (x) representam os limites de f em x a partir da direita e da esquerda, respectivamente.

Exemplo 1

Representação por integral de Fourier

Determine a representação por integral de Fourier da função

Solução

A função, cujo gráfico está ilustrado na Figura 6.6, satisfaz a hipótese do Teorema 6.1. Logo, a partir de (5) e (6), temos

y 1

x 2

Figura 6.6 Função no Exemplo 1 definida em (,).

* Isso significa que a integral

converge.

210


Substituindo esses coeficientes em (4), obtemos

Quando aplicamos identidades trigonométricas, a última integral se simplifica para (7) ❑ A integral de Fourier pode ser utilizada para calcular integrais. Por exemplo, em x 1, temos do Teorema 6.1 que (7) converge para f (1); isto é,

O último resultado é digno de observação especial, pois ele não pode ser obtido da maneira “usual”; o integrando (sen x)/x não possui uma antiderivada que seja uma função elementar. Integrais do co-seno e do seno Quando f for uma função par no intervalo (,), então o produto f (x)cos ␣x é também uma função par, enquanto f (x)sen ␣x é uma função ímpar. Como consequência da propriedade (g) da Seção 3.3, B(␣) 0 e assim (4) se torna

Aqui utilizamos também a propriedade (f ) da Seção 3.3 para escrever

De modo similar, quando f for uma função ímpar em (,), os produtos f (x)cos ␣x e f (x)sen ␣x são funções ímpar e par, respectivamente. Portanto, A(␣) 0 e

Resumimos essas informações nas seguinte definição.


Integrais de Fourier do co-seno e do seno

(i) A integral de Fourier de uma função par no intervalo (,) é a integral do co-seno (8)

onde

(9)

(ii) A integral de Fourier de uma função ímpar no intervalo (,) é a integral do seno (10)

onde

(11)

211

6.3 Integral de Fourier

Exemplo 2

Representação por integral do co-seno

Determine a representação por integral de Fourier da função

Solução

É evidente da Figura 6.7 que f é uma função par. Logo, representaremos f pela integral de Fourier do co-seno (8). De (9), obtemos

y 1

x a

–a

(12) ❑

e assim

Figura 6.7 Função no Exemplo 2 definida em (,).

As integrais (8) e (10) podem ser utilizadas quando f não for ímpar e nem par, e definida apenas no eixo metade (0, ). Nesse caso, (8) representa f no intervalo (0, ) e sua extensão par (porém não periódica) para (, 0), enquanto que (10) representa f em (0, ) e sua extensão ímpar para (, 0). O próximo exemplo ilustra esse conceito. y

Exemplo 3

Representações da integral do co-seno e do seno

1

x Represente f (x) e , x 0 (a) por uma integral de co-senos; (b) por uma integral de senos.

Solução

O gráfico da função está indicado na Figura 6.8.

x

Figura 6.8 Função no Exemplo 3 definida em (0,).

(a) Utilizando integração por partes, temos

y

Portanto, a integral do co-seno de f é x

(13) (b) De modo similar, temos

(a) Integral do co-seno y

A integral do seno de f é então x

(14) A Figura 6.9 mostra os gráficos das funções e suas extensões representadas pelas duas integrais. ❑ Forma complexa

A integral de Fourier (4) possui também uma forma complexa ou forma exponencial equivalente, que é análoga à forma complexa de uma série de Fourier (veja a Seção 3.4). Se (5) e (6) forem substituídas em (4), então

(b) Integral do seno

Figura 6.9 (a) é a extensão par de f; (b) é a extensão ímpar de f.

212


(15) (16)

(17) Notamos que (15) existe do fato do integrando ser uma função par de ␣. Em (16), simplesmente somamos zero ao integrando,

pois o integrando é uma função ímpar de ␣. A integral em (17) pode ser escrita como (18) onde y

Essa última forma da integral de Fourier será posta em uso na próxima seção, quando retornaremos à solução de problemas de valor de contorno.

1,5 1 0,5 0

x

–0,5 –1 –3

–2

–1

0

(19)

1

2

3

Uso de computadores

A convergência de uma integral de Fourier pode ser examinada de uma maneira que é similar a traçar gráficos de somas parciais de uma série de Fourier. Para ilustrar, vamos utilizar os resultados dos itens (a) e (b) do Exemplo 3. Por definição de uma integral imprópria, a representação por integral de Fourier do coseno de f(x) ex, x 0 em (13) pode ser escrita como f(x) limb→Fb(x), onde

(a) G20(x) y 1,5 1

sendo x tratado como um parâmetro. De modo similar, a representação por integral de Fourier do seno de f (x) ex, x 0 em (14) pode ser escrita como f (x) limb→Gb(x), onde

0,5 0

x

–0,5 –1 –3

–2

–1

0

1

2

3

(b) F20(x)

Figura 6.10 ciais.

Gráficos de integrais par-

EXERCÍCIOS 6.3

. Como as integrais de Fourier (13) e (14) convergem, os gráficos das integrais parciais Fb(x) e Gb(x) para um valor específico de b 0 serão uma aproximação dos gráficos de f e suas extensões par e ímpar indicadas na Figura 6.9(a) e Figura 6.9(b), respectivamente. Os gráficos de Fb(x) e Gb(x) para b 20 ilustrados na Figura 6.10 foram obtidos utilizando-se o Mathematica e sua aplicação NIntegrate. Veja o Problema 21 nos Exercícios 6.3.


Nos Problemas 1-6, determine a representação por integral de Fourier da função indicada.

1.

2.

3.


213

19. (a) Use (7) para mostrar que

4.

[Sugestão: ␣ é uma variável muda de integração.] 5.

6.

Nos Problemas 7-12, represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.

(b) Mostre em geral que, para 20. Utilize a forma complexa (15) para obter a representação por integral de Fourier de f(x) e|x|. Mostre que o resultado é igual ao obtido a partir de (8).


7.

21. Enquanto que a integral (12) pode ser traçada da mesma maneira discutida na página 212 para obter a Figura 6.10, ela também poderá ser expressa em termos de uma função especial que é construída em um SAC.

8.

9.

10.

11.

12.

Nos Problemas 13-16, determine as representações por integral do co-seno e do seno da função indicada. 13.

14.

15.

16.

(a) Aplique uma identidade trigonométrica para mostrar que uma forma alternativa da representação por integral de Fourier (12) da função f no Exemplo 2 (com a 1) é

(b) Como consequência do item (a),

onde

Mostre que a última integral pode ser escrita como Nos Problemas 17 e 18, resolva a equação integral dada para a função f. onde Si(x) é a função integral do seno. Veja o Problema 49 nos Exercícios 2.3 do Volume 1.

17.

(c) Utilize um SAC e a forma integral do seno obtida no item (b) para traçar o gráfico de Fb(x) no intervalo –3 x 3 para b 4, 6 e 15. Trace depois Fb(x) para valores maiores de b 0.

18.

6.4

Transformadas de Fourier

Introdução

Até o momento, estudamos e aplicamos apenas uma transformada integral: a transformada de Laplace. Porém, na Seção 6.3, vimos que a integral de Fourier tinha três formas alternativas: a integral do co-seno, a integral do seno e a forma complexa ou exponencial. Na presente seção, trabalharemos com essas três formas da integral de Fourier e as desenvolveremos em três novas transformadas integrais naturalmente denominadas transformadas de Fourier. Além disso, expandiremos o conceito de um par de transformadas, isto é, uma transformada integral e sua inversa. Veremos também que a inversa de uma transformada integral é ela própria uma outra transformada integral.

Pares de transformadas

A transformada de Laplace F(s) de uma função f (t) é definida por uma integral, mas até agora temos utilizado a representação simbólica

214


f (t) ᏸ1{F(s)} para representar a transformada inversa de Laplace de F(s). Na verdade, a transformada inversa de Laplace é também uma transformada integral. Se (1) então a transformada inversa de Laplace é (2) A última integral é denominada integral de contorno; seu cálculo exige o uso de variáveis complexas, estando além do escopo dessa discussão. O ponto aqui é: transformadas integrais aparecem em pares de transformadas. Se f (x) for transformada em F(␣) por uma transformada integral (3) então a função f pode ser recuperada por outra transformada integral (4) chamada de transformada inversa. As funções K e H nos integrandos de (3) e (4) são designadas núcleos de suas respectivas transformadas. Identificamos K(s,t) est como o núcleo da transformada de Laplace, e H(s,t) est/2␲i como o núcleo da transformada inversa de Laplace. Pares de transformadas de Fourier A integral de Fourier é a fonte de três novas transformadas integrais. A partir de (8) e (9), (10) e (11), e (18) e (19) da seção anterior, definimos os seguintes pares de transformadas de Fourier.


Pares de transformadas de Fourier

(i) Transformada de Fourier:

(5)

Transformada inversa de Fourier: (ii) Transformada de Fourier do seno: Transformada inversa de Fourier do seno: (iii) Transformada de Fourier do co-seno: Transformada inversa de Fourier do co-seno:

(6) (7)

sen sen

(8) (9) (10)

6.4 Transformadas de Fourier Existência As condições sob as quais (5), (7) e (9) existem são mais severas do que aquelas para a transformada de Laplace. Por exemplo, deve-se verificar que f{1}, fs{1} e fc{1} não existem. Condições suficientes para a existência são que f seja absolutamente integrável no intervalo apropriado e que f e f ¿ sejam contínuas por partes em qualquer intervalo finito. Propriedades operacionais Como nosso objetivo imediato é aplicar essas novas transformadas a problemas de valor de contorno, precisamos examinar as transformadas de derivadas. Transformada de Fourier

Suponha f contínua e absolutamente integrável no intervalo (,) e f¿ contínua por partes em qualquer intervalo finito. Se f (x) → 0 quando x → , então a integração por partes resulta em

isto é, (11) De modo similar, sob as condições adicionadas de que f ¿ seja contínua em (,), f –(x) seja contínua por partes em qualquer intervalo finito, e f ¿(x) → 0 quando x →

, temos (12) É importante estarmos conscientes de que as transformadas do seno e do co-seno não são adequadas para transformar a derivada primeira (ou qualquer derivada de ordem ímpar). É fácil de ver que A dificuldade é evidente: a transformada de f ¿(x) não é escrita em termos da transformada integral original. Transformada de Fourier do seno

Suponha que f e f¿ sejam contínuas, f seja absolutamente integrável no intervalo [0,), e f – seja contínua em qualquer intervalo finito. Se f → 0 e f ¿ → 0 quando x → , então

isto é,

(13)

Transformada de Fourier do co-seno

Sob as mesmas considerações que resultaram em (9), obtemos a transformada de Fourier do co-seno de f –(x) como sendo (14)

215

216


Como sabemos qual transformada usar?

Uma questão natural é: “Como sabemos qual transformada aplicar em um dado problema de valor de contorno?”. Claramente, para utilizar a transformada de Fourier, o domínio da variável a ser eliminada tem que ser (,). Para utilizar uma transformada de seno ou do co-seno, o domínio de ao menos uma das variáveis no problema tem que ser [0,). Porém, o fator determinante para escolher entre a transformada do seno e a transformada do co-seno é o tipo de condição de contorno especificada em zero. Nos exemplos que se seguem, consideraremos sem mencionar que tanto u como u/ x (ou u/ y) se aproximam de zero quando x → . Essa não é uma grande restrição, pois essas condições se aplicam na maioria das aplicações. Exemplo 1

Utilizando a transformada de Fourier

Resolva a equação do calor

sujeita a

Solução

O problema pode ser interpretado como obter a temperatura u(x,t) em uma haste infinita. Como o domínio de x é o intervalo infinito (,), utilizamos a transformada de Fourier (5) e definimos

Transformando a equação diferencial parcial e usando (12),

resulta em Resolvendo a última equação, obtemos condição inicial é

Esse resultado é o mesmo que

Agora, a transformada da

Aplicando essa condição à solu-

ção U(␣,t) resulta em U(␣,0) c (2u0 sen ␣)/␣, e assim

Decorre da integral inversa (6) que

A última expressão pode ser simplificada pela fórmula de Euler ei␣x cos ␣x – i sen ␣x, observando que

, pois o integrando é uma fun-

ção ímpar de ␣. Portanto, temos finalmente (15) ❑ Recomenda-se ao leitor mostrar que a solução (15) pode ser escrita em termos da função erro. Veja o Problema 23 nos Exercícios 6.4.


Exemplo 2

Utilizando a transformada do co-seno

A temperatura de regime permanente em uma placa semi-infinita é determinada a partir de

Resolva para u(x,y). O domínio da variável y e a condição prescrita em y 0 indicam que a transformada de Fourier do co-seno é adequada para o problema. Definimos

Solução

Em vista de (14), se torna

Como o domínio de x é um intervalo finito, escolhemos escrever a solução da equação diferencial ordinária como (16) Agora equivalentes a

são, respectivamente,

Quando aplicamos essas últimas condições, a solução (16) resulta em c1 0 e c2 1/[(1 ␣2) senh ␣␲]. Portanto,

e assim de (10) obtemos (17) ❑ Se u(x,0) tivesse sido indicado no Exemplo 2 em vez de uy(x,0), então a transformada do seno teria sido apropriada.

EXERCÍCIOS 6.4


Nos Problemas 1-21, aplique a transformada integral de Fourier dessa seção para resolver o problema de valor de contorno dado. Faça considerações a respeito dos contornos quando necessário. 1.

2.

217

218


3. Determine a temperatura u(x,t) em uma haste semi-infinita se u(0,t) u0, t 0 e u(x,0) 0, x 0. 4. Utilize o resultado

16.

para mostrar

que a solução no Problema 3 pode ser escrita como

5. Determine a temperatura u(x,t) em uma haste semi-infinita se u(0,t) 0, t 0 e

6. Resolva o Problema 3 se a condição no contorno esquerdo for

Nos Problemas 17 e 18, determine a temperatura de regime permanente u(x,y) na placa ilustrada na figura. [Sugestão: Um modo de proceder é expressar os Problemas 17 e 18 como dois e três problemas de valor de contorno, respectivamente. Aplique o princípio da superposição (veja a Seção 4.5)]. 17. y

u = e –y

7. Resolva o Problema 5 considerando que o contorno x 0 esteja isolado.

9. (a)

x

u = e –x

8. Determine a temperatura u(x,t) em uma haste semi-infinita se u(0,t) 1, t 0, e u(x,0) ex, x 0.

Figura 6.11


18. y u=0

(b) Se g(x) 0, mostre que a solução do item (a) pode ser escrita como

u = e –y 1

10. Determine o deslocamento u(x,t) de uma corda semi-infinita se

u = 100

0 u = f (x)

Figura 6.12

11. Resolva o Problema no Exemplo 2 considerando que as condições de contorno em x 0 e x ␲ sejam trocadas:

12. Resolva o Problema no Exemplo 2 se a condição de contorno em y 0 for u(x,0) 1, 0 x ␲. 13. Determine a temperatura de regime permanente u(x,y) em uma placa definida por x 0, y 0 se o contorno x 0 estiver isolado e, em y 0,

14. Resolva o Problema 13 se a condição de contorno em x 0 for u(0,y) 0, y 0. 15.

␲

x


19. Utilize o resultado o problema de valor de contorno

para resolver

20. Se f{f (x)} F(␣) e f{g(x)} G(␣), então o teorema da convolução para a transformada de Fourier é dado por

Use esse resultado e a transformada indicada no Problema 19 para mostrar que uma solução do problema de valor de contorno

6.5 Transformada Rápida de Fourier 21. Use a transformada indicada no Problema 19 para definir a temperatura de regime permanente u(x,y) na fita infinita mostrada na Figura 6.13.

219

23. Use o Problema 20, a mudança de variáveis v (x ␶)2 e o Problema 9 nos Exercícios 6.1, para mostrar que a solução do Exemplo 1 pode ser expressada como

y u = e –x2 1

Tarefas computacionais x isolada

Figura 6.13


22. A solução do Problema 14 pode ser integrada. Utilize as entradas 42 e 43 da tabela no Apêndice III do Volume 1 para mostrar que

6.5

24. Considere u0 100 e k 1 na solução do Problema 23. Use um SAC para traçar o gráfico u(x,t) sobre a região retangular –4 x 4, 0 t 6. Utilize a ferramenta de gráficos 2D para superpor os gráficos de u(x,t) para t 0,05, 0,125, 0,5, 1, 2, 4, 6 e 15 no intervalo –4 x 4. Use os gráficos para determinar os valores de limt→ u(x,t) e limx→ u(x,t). Demonstre então esses resultados analiticamente aplicando as propriedades de erf(x).

Transformada rápida de Fourier

Introdução

Considere uma função f que seja definida e contínua no intervalo [0,2p]. Se x0, x1, x2,..., xn,... são pontos igualmente espaçados no intervalo, então os valores funcionais correspondentes f0, f1, f2,..., fn,... apresentados na Figura 6.14 representam uma amostragem discreta da função f. O conceito de amostras discretas de uma função é importante para a análise de sinais contínuos. Nessa seção, a forma complexa ou exponencial de uma série de Fourier desempenha um importante papel na discussão. Recomenda-se revisar a Seção 3.4. Transformada discreta de Fourier

Considere uma função f definida no intervalo [0,2p]. A partir de (11) da Seção 3.4, vimos que f pode ser escrita em uma série complexa de Fourier, (1) onde ␻ 2␲/2p ␲/p é a frequência angular fundamental, e 2p é o período fundamental. No caso discreto, entretanto, a entrada é f0, f1, f2,..., que são os valores da função f em pontos igualmente espaçados x nT, n 0, 1, 2,.... O número T é denominado taxa de amostragem ou o comprimento do intervalo de amostragem.* Se f for contínua em t, então a amostra de f em T é definida como sendo o produto f(x)␦(x – T), onde ␦(x – T) é a função delta de Dirac (veja a Seção 4.5 do Volume 1). Podemos então representar essa versão discreta de f, ou sinal discreto, como a soma de impulsos unitários que atuam na função em x nT: (2) Se aplicarmos a transformada de Fourier para o sinal discreto (2), obtemos (3)

* Note que o símbolo T utilizado aqui não tem o mesmo significado que aquele da Seção 3.4.

y

f0

y = f (x)

f1

f2

f (nT )

...

fn 2p

T

Figura 6.14 Amostragem de uma função contínua.

x

220


Pela propriedade de separação da função delta de Dirac (veja as Observações ao final da Seção 4.5 do Volume 1), (3) é igual a (4) A expressão F(␣) em (4) é denominada transformada discreta de Fourier (TDF) da função f. Muitas vezes escrevemos os coeficientes f(nT) em (4) como f(n) ou fn. É importante também observar que como ei␣x é periódica em ␣ e precisamos considerar apenas a função para ␣ em [0, 2␲/T]. Seja N 2␲/T. Isso coloca x no intervalo [0, 2␲]. Assim, como amostramos sobre um período, a soma em (4) é de fato finita. Considere agora os valores funcionais f(x) em N pontos igualmente espaçados, x nT, n 0, 1, 2,..., N – 1, no intervalo [0, 2␲], isto é, f0, f1, f2,..., fN1. A série de Fourier discreta (finita) utilizando esses N termos nos dá

Se adotarmos

, e aplicarmos as leis usuais de ex-

poentes, esse sistema de equação será o mesmo que

(5)

Se utilizarmos notação matricial (veja as Seções 2.1 e 2.2 do Volume 2), (5) então será

(6)

Considere a matriz N N em (6) representada pelo símbolo FN. Definidas as entradas f0, f1, f2,..., fN1, existe um modo fácil de se obter os coeficientes de Fourier c0, c1, c2,..., cN1? Se for a matriz constituída pelos complexos conjugados das entradas de FN, e se I representar uma matriz identidade N N, temos então

Decorre de (6) e da última equação que

6.5 Transformada Rápida de Fourier

221

Par da transformada discreta

Recorde da Seção 6.4 que no par da transformada de Fourier, utilizamos uma função f(x) como entrada e calculamos os coeficientes que dão a amplitude para cada frequência k (ck no caso de funções periódicas de período 2␲) ou calculamos os coeficientes que representam a amplitude para cada frequência ␣ (F(␣) no caso de funções não periódicas). Além disso, definidas essas frequências e coeficientes, podemos reconstruir a função original f (x). No caso discreto, utilizamos uma amostra de N valores da função f (x) como entrada e calculamos os coeficientes que resultam na amplitude para cada frequência amostrada. Definidas essas frequências e coeficientes, é possível reconstruir os n valores amostrados de f (x). O par transformado, ou seja, o par da transformada discreta de Fourier, é dado por (7)

onde

Exemplo 1

Transformada discreta de Fourier

Considere N 4, de modo que a entrada seja f0, f1, f2, f3 nos quatro pontos x 0, ␲/2, ␲, 3␲/2. Como

a matriz F4 é

Logo, a partir de (7), os coeficientes de Fourier são definidos por

Se adotarmos f0, f1, f2, f3 como sendo 0, 2, 4, 6, respectivamente, temos a partir da matriz produto anterior que

|F(␣)| 3 2,5 2 1,5

Note que obtemos o mesmo resultado utilizando (4), isto é, com T ␲/2, ␣ 0, 1, 2, 3. Os gráficos de |cn|, n 0, 1, 2, 3, ou, de modo equivalente, |F(␣)| para ␣ 0, 1, 2, 3, estão destacados na Figura 6.15. ❑ A determinação dos coeficientes envolve a multiplicação pelas matrizes Em decorrência da natureza dessas matrizes, essas multiplicações podem ser feitas de uma maneira computacional muito eficiente, usando a Transformada Rápida de Fourier (FFT*), que será discutida mais a frente nessa seção. * N. de T.: FFT se refere ao termo em língua inglesa Fast Fourier Transform.

1

0,5

Figura 6.15 plo 1.

1

1,5

2

2,5

3

␣

Gráfico de |F(␣)| no Exem-

222

CAPÍTULO 6 Método da Transformada Integral Equação do calor e série de Fourier discreta

Se a função f no problema de valor

inicial (8)

for periódica com período 2␲, a solução pode ser escrita em termos de uma série de Fourier para f (x). Podemos também aproximar essa solução por uma soma finita

Se examinarmos ambos os lados da equação do calor unidimensional em (8), vemos que

e

pois Igualando essas duas últimas expressões, temos a ED de primeira ordem

A tarefa final consiste em determinar os valores cj(0). Entretanto, recorde que e u(x,0) f (x), logo cj(0) são os coeficientes da série discreta de Fourier de f (x). Compara esse resultado com a Seção 4.3. Equação do calor e transformada discreta de Fourier

O problema de valor inicial (8) pode ser interpretado como o modelo matemático para a temperatura u(x,t) em uma barra infinitamente longa. Na Seção 6.4, vimos que podemos resolver (8) aplicando a transformada de Fourier e que a solução u(x,t) depende da transformada de Fourier F(␣) de f (x) (veja a página 216). Podemos aproximar F(␣) adotando uma nova visão da transformada discreta de Fourier. Primeiro aproximamos valores da transformada discretizando a integral f{f (x)} Considere um intervalo [a, b]. Seja f (x) definida em n pontos igualmente espaçados

Agora aproxime:


Se escolhermos um valor conveniente para ␣, por exemplo, ro, temos

sendo M um intei-

onde relembre que ␻n ei2␲/n. Essa é uma aproximação numérica para a transformada com M um inteiro.

de Fourier de f (x) calculada nos pontos Exemplo 2

Exemplo 1, Seção 6.4 – Revisto

Recorde do Exemplo 1 na Seção 6.4 (com u0 1) que a transformada de Fourier de um pulso retangular definido por

é O espectro de frequência está indicado pelo gráfico de |F(␣)| versus ␣ da Figura 6.16(a). Utilizando n 16 pontos igualmente espaçados entre a 2 e b 2, e M de –6 a 6, obtemos a transformada discreta de Fourier de f (x), superposta sobre o gráfico de |F(␣)|, na Figura 6.16(b). ❑ |F(␣)| 2

|F(␣)| 2

1,75

–10

1,5

1,25

1,25

1

1

0,75

0,75

0,5

0,5

0,25

0,25

–5

5 (a)

Figura 6.16

1,75

1,5

10

␣

–10

–5

5

10

␣

(b)

(a) é o gráfico de |F(␣)|; (b) é a transformada discreta de Fourier de f.

Serrilhamento Um problema conhecido como serrilhamento (em inglês, aliasing) pode ocorrer quando um conjunto de dados é amostrado em intervalos igualmente espaçados. Se você já viu uma animação na qual rodas em rotação parecem girar lentamente (ou mesmo para trás!), você está presenciando o efeito do serrilhamento. As rodas podem girar a uma taxa elevada, mas como os quadros da animação são “amostrados” em intervalos igualmente espaçados, vemos uma taxa baixa de rotação. Calculadoras gráficas também sofrem do efeito de serrilhamento em decorrência do modo como os pontos são amostrados para criar os gráficos. Por exemplo, trace a função trigonométrica y sen ␲x com frequência 10 em uma TI-92 da Texas Instrument e você terá o gráfico da Figura 6.17(a). Em frequências elevadas, por exemplo, y sen ␲x com frequência 50, você obtém a quantidade correta de ciclos, porém claramente as amplitudes do gráfico na Figura 6.17(b) claramente são 1. Em uma calculadora como a TI-83 da Texas Instrument, os gráficos na Figura 6.18 mostram o efeito de serrilhmento de modo muito mais claro.

223

224


(a) y = sen 20␲x, escala x: [0,1]; escala y: [–1, 1]

Figura 6.17

(b) y = sen 100␲x, escala x: [0,1]; escala y: [–1, 1]

TI-92.

(a) y = sen 20π x, escala x: [0,1]; escala y: [–1, 1]

Figura 6.18

(b) y = sen 100π x, escala x: [0, 1]; escala y: [–1, 1]

TI-83.

O problema está no fato de que para todos os valores inteiros de n. A série discreta de Fourier não é capaz de distinguir einx de 1, pois essas funções são iguais nos pontos amostrados vista como a menor. Considere as funções

A maior frequência é Se amostrarmos nos

pontos n 0, 1, 2,..., essas duas funções parecem iguais, a frequência mais baixa é considerada, e as amplitudes (coeficientes de Fourier) associadas às frequências mais elevadas são somadas com a amplitude da frequência mais baixa. Se esses coeficientes de Fourier em altas frequências forem pequenos, entretanto, não temos um grande problema. No Teorema da Amostragem apresentado a seguir, veremos o que pode solucionar esse problema. Processamento de sinais Além de resolver EDPs conforme foi feito anteriormente,

as idéias dessa seção são úteis no processamento de sinais. Considere as funções com as quais temos trabalhado como sendo sinais de uma fonte. Gostaríamos de reconstruir um sinal transmitido amostrando-o em pontos discretos. O problema de calcular um número infinito de coeficientes de Fourier e somar uma série infinita para reconstruir um sinal (função) não é prático. Uma soma finita poderia ser uma aproximação decente, porém certos sinais podem ser reconstruídos por um número finito de amostras.

T E O R E M A DA A MO S T R AG E M Se um sinal f (x) tiver faixa limitada, isto é, se a faixa de frequências do sinal estiver localizada de –A k A, então o sinal pode ser reconstruído amostrando-se duas vezes para cada ciclo da frequência mais elevada existente; de fato,


Para justificar esse Teorema da Amostragem, considere a transformada de Fourier F(␣) de f (x) como uma extensão periódica de modo que F(␣) seja definida para todos os valores de ␣, não apenas aqueles em –A k A. Aplicando a transformada de Fourier, temos (9)

(10) Tratando F(␣) como uma extensão periódica, a série de Fourier para F(␣) é (11)

(12)

onde Utilizando (10), observe que

que por (12) é igual a cn. Substituindo

em (11), obtemos

Substituindo essa expressão para F(␣) de volta em (10), temos

Note que utilizamos, sucessivamente, um intercâmbio de somatório e integração (nem sempre permitido, mas válido nesse caso), integração de uma função exponencial, sen ␪

, e o fato de que sen (␪) sen ␪.

225

226


Assim, a partir das amostras nos intervalos de , todos os valores de f podem ser iAx reconstruídos. Note que se permitirmos e (em outras palavras, permitirmos k A), então o Teorema da Amostragem falha. Se, por exemplo, f (x) sen Ax, então todas as amostras serão 0 e f não poderá ser reconstruída, pois o efeito de serrilhamento ocorre novamente.

Sinais com faixa limitada Um sinal contendo muitas frequências pode ser filtrado de modo que restem somente as frequências em um intervalo, tornando-o um sinal com faixa limitada. Considere o sinal f (x). Multiplique a transformada de Fourier F(␣) de f por uma função G(␣) que seja 1 no intervalo que contém as frequências ␣ que você deseja manter, e 0 para o restante. Essas multiplicação de duas transformadas de Fourier no domínio da frequência é uma convolução de f (x) e g(x) no domínio do tempo. Recorde que o Problema 20 nos Exercícios 6.4 enuncia

A integral do lado direito é denominada a convolução de f e g, sendo escrita como f*g. A última definição pode ser escrita de modo mais compacto como

A idéia análoga para a transformada de Laplace está na Seção 4.4 do Volume 1. A função g(x)

tem como sua transformada de Fourier a função pulso

Isso implica que a função (f*g)(x) tenha faixa limitada, com frequências entre –A e A. Cálculo com a Transformada Rápida de Fourier

Retornemos para a transformada discreta de Fourier de f (x), onde temos f amostrada em n pontos igualmente espaçados por uma distância T, ou seja, 0, T, 2T, 3T,..., (n – 1)T. (Utilizamos T ␲/n no início dessa seção.) Substituindo essa informação, a transformada discreta de Fourier

se torna Para simplificar a notação, escrevemos a expressão anterior como

que é semelhante a (6), onde tínhamos

ou f Fnc. A chave para a FFT são as propriedades de ␻n e a fatoração matricial. Se n 2N, podemos escrever Fn da seguinte forma (que não será demonstrada): (13)


onde Ik é a matriz identidade k k e P é a matriz de permutação que rearranja a matriz c de modo que os subscritos pares sejam ordenados no topo e os ímpares sejam ordenados na base. A matriz D é uma matriz diagonal definida por

Note que cada uma das matrizes pode ser fatorada. Ao final, a matriz Fn com n2 entradas não nulas é fatorada no produto de n matrizes mais simples, o que resulta em uma redução significativa do número de cálculos necessários no computador. Exemplo 3

A FFT

Considere n 22 4 e seja F4 a matriz do Exemplo 1:

A partir de (13), a fatoração desejada de F4 é

(14)

Inserirmos retas tracejadas nas matrizes marcadas como A e B de modo que possamos identificar as submatrizes I2, D2, -D2 e F2 comparando (14) diretamente com (13). Aconselhamos a você multiplicar o lado direito de (14) e verificar que F4 é obtida. Agora

❑ 2 Sem entrar em detalhes, o cômputo de Fn exige n cálculos, enquanto utilizar a fatoração matricial (a FFT) significa reduzir o número de cálculos para uma quantidade proporcional a n. Tente valores de n um pouco maiores e você terá uma economia substancial.

227

228


EXERCÍCIOS 6.5


1. Mostre que 2. Prove a propriedade de separação da função delta de Dirac: 7. Escreva a matriz F8 e depois escreva-a na forma fatorada (13). Verifique que o produto dos fatores é F8. Se necessário, use um SAC para verificar esse resultado. [Sugestão: Considere a função

8. Seja

Como e

i2␲k

1, os

têm a propriedade Por causa disso, n – 1, são chamadas enésimas raízes da unidade, sendo soluções da equação zn – 1 0. Determine a oitava raiz da unidade e trace-a no plano xy no qual um número complexo é escrito como z x iy. O que você observa? números

Aplique o teorema do valor médio para integrais e faça ⑀ → 0.] 3. Determine a transformada de Fourier da função delta de Dirac ␦(x). 4. Mostre que a função delta de Dirac é a identidade sob a operação de convolução, isto é, mostre que f *␦ ␦*f f. [Sugestão: Utilize transformadas de Fourier e o Problema 3.]

Tarefas computacionais 9. Use um SAC para verificar que a função f *g, onde f (x) tem faixa limitada. Se o seu SAC

5. Mostre que a derivada da função delta de Dirac ␦¿(x – a) tem a propriedade de separar a derivada de uma função f em a. [Sugestão: Aplique integração por partes.] 6. Utilize um SAC para mostrar que a transformada de Fourier da função

é a função pulso


for capaz, trace os gráficos de f{f*g} e F(␣)G(␣) para verificar o resultado. 10. Se o seu SAC tiver o comando da transformada discreta de Fourier, escolha seis pontos e compare o resultado obtido utilizando esse comando com aquele calculado a partir de


Nos Problemas 1-15, resolva o problema de valor de contorno indicado utilizando uma transformada integral apropriada. Quando necessário, faça considerações a respeito dos contornos.

4.

1. 5.

2.

6.

3. 7.


8.

13.

14.

9.

15. Mostre que a solução do PVC

10.

11.

12.

[Sugestão: Utilize a identidade senh(x – y) senh x cosh y – cosh x senh y, e a seguir use o Problema 6 dos Exercícios 6.1.]

229

CAPÍTULO

7 Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais Descrição do capítulo 7.1 Equação de Laplace 7.2 A equação do calor 7.3 A equação de onda Exercícios de revisão

Na Seção 6.5 do Volume 1, vimos que uma maneira de aproximar uma solução de um problema de valor de contorno de segunda ordem consistia em substituir uma equação diferencial ordinária por uma equação de diferenças finitas. A mesma ideia se aplica às equações diferenciais parciais. Nas seções respectivas deste capítulo, construiremos uma substituição de equação diferença para a equação de Laplace, equação do calor unidimensional e equação de onda unidimensional substituindo as derivadas parciais uxx uyy, utt e ut por quocientes de diferença.

231


7.1


Introdução Recorde da Seção 4.1 que EDPs de segunda ordem lineares com duas variáveis independentes são classificadas como elíptica, parabólica e hiperbólica. Aproximadamente, EDPs elípticas envolvem derivadas parciais em relação apenas a variáveis espaciais, e, como consequência, as soluções de tais equações são determinadas apenas pelas condições de contorno. Equações parabólicas e hiperbólicas envolvem derivadas parciais em relação a variáveis espaciais e temporais, e assim as soluções dessas equações geralmente são determinadas a partir de condições de contorno e iniciais. Uma solução de uma EDP elíptica (tal como a equação de Laplace) pode descrever um sistema físico cujo estado está em equilíbrio (regime permanente); uma solução de uma EDP parabólica (tal como a equação do calor) pode descrever um estado de dispersão, enquanto que uma EDP hiperbólica (tal como a equação de onda) pode descrever um estado vibracional. Nessa seção, iniciamos a nossa discussão com métodos de aproximação apropriados para equações elípticas. Nosso foco estará na EDP mais simples, mas provavelmente a mais importante: a equação de Laplace. Substituição por equação de diferença

y

C R

∇2u = 0

Suponha que estejamos buscando uma

solução u(x,t) da equação de Laplace x

em uma região planar R que seja limitada por uma curva qualquer C. Veja a Figura 7.1. De modo análogo à Seção 6.5 do Volume 1, utilizando as diferenças centrais

Figura 7.1 torno C.

Região planar R com con-

aproximações para as derivadas parciais segundas uxx e uyy podem ser obtidas usandose os coeficientes de diferença y

(1)

7h C 6h

(2) Agora, somando (1) e (2), obtemos uma aproximação de cinco pontos para o Laplaciano:

R 5h 4h P13

3h

P12 P22

2h

P11 P21 P31

h

P20

Logo, podemos substituir a equação de Laplace pela equação de diferença

h

2h

(3) Se adotarmos a notação u(x,y) uij e

x 3h 4h (a)

5h

6h

h Pi, j + 1 h

Pi – 1, j

Pi j

Pi + 1, j

então (3) se torna (4) Para compreender (4) um pouco melhor, considere que uma malha retangular constituída por retas horizontais espaçadas por h unidades e retas verticais espaçadas também por h unidades é posta sobre a região R. O número h é denominado de tamanho da malha. Veja a Figura 7.2(a). Os pontos Pij P(ih, jh), i e j inteiros, da interseção das retas horizontais e verticais, são denominados pontos da malha ou pontos de

Pi, j – 1

(b)

Figura 7.2 Região R sobreposta por uma malha retangular.

232

CAPÍTULO 7 Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais

lattice. Um ponto da malha será um ponto interior se os quatro pontos de malha mais próximos forem pontos de R. Pontos em R ou em C que não sejam pontos interiores são chamados pontos de contorno. Por exemplo, na Figura 7.2(a), temos

e assim por diante. Dos pontos listados, P21 e P22 são pontos interiores, enquanto que P20 e P11 são pontos de contorno. Na Figura 7.2(a), pontos interiores são os pontos indicados em colorido e os pontos de contorno são apresentados em preto. Agora, a partir de (4) vemos que (5) e assim, conforme mostrado na Figura 7.2(b), o valor de uij em um ponto do interior da malha de R é a média dos valores de u em quatro pontos de malha vizinhos. Os pontos vizinhos Pi1, j, Pi, j1, Pi1, j e Pi, j1 correspondem, respectivamente, aos quatro pontos em uma bússola L, N, O e S. Problema de Dirichlet Recorde que no problema de Dirichlet para a equação de Laplace 2u 0, os valores de u(x,y) são definidos no contorno C de uma região R. A idéia básica é obter uma solução aproximada da equação de Laplace nos pontos de malha interiores substituindo a equação diferencial parcial nesses pontos pela equação de diferença (4). Portanto, os valores aproximados de u nos pontos de malha – ou seja, os uij – estão relacionados um com o outro, e possivelmente, a valores conhecidos de u considerando que um ponto de malha se localize no contorno C. Dessa maneira, obtemos um sistema de equações algébricas lineares que resolvemos para a incógnita uij. O exemplo a seguir ilustra o método para uma região quadrada.

Exemplo 1

Um PVC revisto

No Problema 14 dos Exercícios 4.5, você resolveu o problema de valor de contorno

y

0 0

2 3

2 3

P12 P22 P11 P21

8 9 8 9

x 0

0

Figura 7.3 Região quadrada R para o Exemplo 1.

utilizando o princípio da superposição. Para aplicar o método numérico apresentado, vamos começar com um tamanho de malha Conforme vemos na Figura 7.3, a escolha resulta em quatro pontos interiores e oito pontos de contorno. Os números listados próximos aos pontos de contorno são os valores exatos de u obtidos a partir da condição especificada ao longo daquele contorno. Por exemplo, em , temos e e assim a condição u(2,y) resulta em De modo similar, em a condição u(x,2) resulta em Aplicamos agora (4) em cada ponto interior. Por exemplo, em P11, temos i 1 e j 1. Portanto, (4) se torna

Como e a equação anterior é escrita como –4u11 u21 u12 0. Repetindo isso respectivamente em P21, P12 e P22, obtemos três equações adicionais:

(6)

233


Utilizando um sistema de álgebra computacional para resolver o sistema, obtemos as temperaturas aproximadas nos quatro pontos interiores como sendo

❑ Como na discussão das equações diferenciais ordinárias, esperamos que um menor valor de h melhore a exatidão da aproximação. Entretanto, a utilização de uma malha de menor tamanho significa, é claro, que existem mais pontos interiores de malha, e, de modo correspondente, existe um sistema de equações muito maior a ser resolvido. Para uma região quadrada cujo comprimento de lado seja L, um tamanho de malha h L/n resultará em um número total de (n – 1)2 pontos interiores de malha. No Exemplo 1, para n 8, o tamanho da malha é razoável ( ), porém o número de pontos interiores é (8 – 1)2 49. Portanto, temos 49 equações com 49 incógnitas. No próximo exemplo, utilizamos um tamanho de malha Exemplo 2

Exemplo 1 com mais pontos de malha

Conforme pode ser observado na Figura 7.4, com n 4, um tamanho de malha para o quadrado no Exemplo 1 resulta em 32 9 pontos interiores de malha. Aplicando (4) nesses pontos e utilizando as condições de contorno indicadas, obtemos nove equações em nove incógnitas. Assim, para que você possa verificar os resultados, apresentamos o sistema em uma forma não simplificada:

(7) Nesse caso, o uso de um SAC resulta em

❑ Após simplificarmos (7), é interessante observar que a matriz de coeficientes 99é y

0 0

(8)

0

1 2

1

1 2

P13 P23 P33 P12 P22 P32 P11 P21 P31

3 4

1 3 4

x 0

0

0

Figura 7.4 Região R no Exemplo 1 com pontos de malha adicionais.

Trata-se de um exemplo de uma matriz esparsa na qual uma grande parte das entradas é nula. A matriz (8) é também um exemplo de uma matriz limitada. Esses tipos

234


de matrizes são caracterizados pela entradas da diagonal principal e nas diagonais (ou faixas) paralelas à diagonal principal serem todas não nulas. As faixas indicadas em colorido em (8) estão separadas por diagonais que são totalmente constituídas por zero ou não. Interação de Gauss-Seidel Problemas que exigem aproximações para as soluções de equações diferenciais parciais invariavelmente resultam em sistemas grandes de equações algébricas lineares. Não é incomum termos que resolver sistemas envolvendo centenas de equações. Apesar de um método direto de solução tal como a eliminação gaussiana não modificar as entradas nulas fora das faixas em uma matriz como a indicada em (8), esse tipo de método preenche as posições entre as faixas com números diferentes de zero. Como a armazenagem de matrizes muito grandes ocupa uma quantidade significativa de memória do computador, é comum resolvermos sistemas dessa natureza de maneira indireta. Um método indireto popular é denominado interação de Gauss-Seidel.

Exemplo 3

Interação de Gauss-Seidel

Passo 1: Resolva cada equação para as variáveis na diagonal principal do sistema. Isto é, em (6), resolva a primeira equação em relação a x1, a segunda equação em relação a x2, e assim por diante:

(9)

Essas equações podem ser obtidas diretamente utilizando-se (5) em vez de (4) nos pontos interiores. Passo 2: Iterações. Iniciamos pela escolha de valores iniciais de x1, x2, x3 e x4. Se tivermos simplesmente um sistema de equações lineares e não conhecermos nada a respeito da solução, podemos começar com x1 0, x2 0, x3 0, x4 0. Porém, como a solução de (9) representa aproximações para uma solução de um problema de valor de contorno, seria razoável utilizar como palpite inicial para os valores de x1 u11, x2 u21, x3 u12 e x4 u22 a média de todas as condições de contorno. Nesse caso, a média dos números nos oito pontos de contorno indicados na Figura 7.2 é aproximadamente 0,4. Portanto, nosso palpite inicial é x1 0,4, x2 0,4, x3 0,4 e x4 0,4. Interações do método de Gauss-Seidel utilizam os valores de x tão logo eles sejam calculados. Note que a primeira equação em (9) depende somente de x2 e x3; assim, substituindo x2 0,4 e x3 0,4, obtemos x1 0,2. Como a segunda e a terceira equações dependem de x1 e x4, utilizamos os novos valores calculados x1 0,2 e x4 0,4 para obter x2 0,3722 e x3 0,3167. A quarta equação depende de x2 e x3, logo utilizamos os novos valores x2 0,3722 e x3 0,3167 para obter x4 0,5611. Em resumo, a primeira interação resultou nos valores

Observe o quão próximo esses números estão dos valores reais apresentados ao final do Exemplo 1. A segunda interação começa pela substituição de x2 0,3722 e x3 0,3167 na primeira equação. Isso resulta em x1 0,1722. A partir de x1 0,1722 e do último valor calculado de x4 (ou seja, x4 0,5611), a segunda e terceira equações resultam, respectivamente, em x2 0,4055 e x3 0,3500. Utilizando esses dois valores, temos a partir da quarta equação x4 0,5678. Ao final da segunda interação, temos

235


A Tabela 7.1 resume da terceira à sétima iterações. Iterações

Tabela 7.1

3

4

5

6

7

❑ Para aplicarmos a iteração de Gauss-Seidel para um sistema geral de n equações lineares em n incógnitas, a variável xi precisa de fato aparecer na i-ésima equação do sistema. Além disso, após a solução de cada equação para xi, i 1, 2,..., n, o sistema resultante adquire a forma X AX B, onde todas as entradas na diagonal principal de A são nulas.

Observação.

Observações (i) Nos exemplos apresentados nessa seção, os valores de uij foram determinados utilizando-se valores conhecidos de u nos pontos de contorno. Porém, o que fazemos se a região é tal que os pontos de contorno não coincidem com o contorno real C da região R? Nesse caso, os valores exigidos podem ser obtidos por interpolação. (ii) Algumas vezes é possível reduzir o número de equações a ser solucionadas utilizando-se simetria. Considere a região retangular 0 x 2, 0 y 1, ilustrada na Figura 7.5. As condições de contorno são u 0 ao longo dos contornos x 0, x 2, y 1, e u 100 ao longo de y 0. A região é simétrica em relação às retas x 1e e os pontos interiores P11 e P31 são equidistantes em relação aos pontos de contorno vizinhos nos quais os valores especificados de u são os mesmos. Consequentemente, consideramos u11 u31, e assim o sistema de três equações em três incógnitas se reduz para duas equações em duas incógnitas. Veja o Problema 2 nos Exercícios 7.1. (iii) No contexto de aproximar uma solução à equação de Laplace, a técnica de interação ilustrada no Exemplo 3 é muitas vezes referida como método de Liebman. (iv) Pode não se notar em um computador, mas a convergência da interação de GaussSeidel (ou método de Liebman) pode não ser particularmente rápida. Além disso, em um conjunto mais geral, a interação de Gauss-Seidel pode não convergir por completo. Recomenda-se a consulta de livros de análise numérica para uma idéia das condições suficientes que garantam a convergência da interação de Gauss-Seidel.

EXERCÍCIOS 7.1

y y = 12

0

0

0

0

P11 P21 P31

0 x

100 100 100

Figura 7.5

Região retangular R.


Nos Problemas 1-8, utilize um computador para auxiliar nos cálculos. Nos Problemas 1-4, aplique (4) para aproximar a solução da equação de Laplace nos pontos interiores da região indicada. Use simetria quando possível.

2.

tamanho de malha: 3.

1. tamanho de malha: tamanho de malha:

x=1

236

CAPÍTULO 7 Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais interiores da região da Figura 7.7. O tamanho de ma-

4.

em qualquer ponto ao longo de lha é ABCD, e u 0 em qualquer ponto ao longo de DEFGA. Utilize simetria e, se necessário, interação de Gauss-Seidel.

tamanho de malha: Nos Problemas 5 e 6, utilize (5) e interação de Gauss-Seidel para aproximar a solução da equação de Laplace nos pontos interiores de um quadrado unitário. Use o tamanho de malha No Problema 5, as condições de contorno estão indicadas; no Problema 6, os valores de u nos pontos de contorno estão apresentados na Figura 7.6.

y F

G

A

5.

B C y

6.

10

20

40

P13 P23 P33

20

P12 P22 P32

40

P11 P21 P31

20

D

70

Figura 7.7

60

Figura 7.6

20

ximar a solução da equação de Poisson

30

Região no Problema 6.

7. (a) No Problema 12 dos Exercícios 4.6, resolvemos um problema de potencial aplicando uma forma especial da equação de Poisson


8. Utilize o resultado do item (a) do Problema 7 para apro-

50 x

10

x

E

nos pontos interiores da região na Figura 7.8. A malha é e u 0 em qualquer ponto no contorno da região. Se necessário, utilize a interação de Gauss-Seidel. y

Mostre que a

substituição da equação de Poisson por uma equação de diferença é

x

(b) Use o resultado do item (a) para aproximar a solução da equação de Poisson

nos pontos

7.2

Figura 7.8


A equação do calor

Introdução

A idéia básica na discussão que se segue é a mesma da Seção 7.1: aproximamos uma solução de uma EDP – dessa vez uma EDP parabólica – pela substituição da equação por uma equação de diferença finita. Porém, ao contrário da seção anterior, consideraremos dois métodos de aproximação por diferenças finitas para equações diferenciais parciais parabólicas: um chamado método explícito e o outro denominado método implícito. Para facilitar a definição, consideraremos somente a equação do calor unidimensional.

Substituição por equação de diferença

Para aproximar a solução u(x,t) da equa-

ção do calor unidimensional (1) substituímos novamente as derivadas por quocientes de diferença. Utilizando a aproximação por diferença central (2) da Seção 7.1,

7.2 A Equação do Calor

237

e a aproximação por diferença para frente (3) da Seção 6.5 do Volume 1,

a equação (1) se torna (2) Se adotarmos ␭ ck/h2 e

então, após simplificar, (2) é (3) t T

...

No caso da equação da equação do calor (1), as condições de contorno típicas são u(0,t) u1, u(a,t) u2, t 0, e uma condição inicial é u(x,0) f (x), 0 x a. A função f pode ser interpretada como a distribuição de temperatura inicial em uma haste homogênea que se estende de x 0 a x a; u1 e u2 podem ser interpretadas como temperaturas constantes nas extremidades das hastes. Apesar de não demonstrarmos, o problema de valor de contorno constituído por (1) e essas duas condições de contorno e uma condição inicial terá uma solução única quando f for contínua no intervalo fechado [0,a]. Essa última condição será considerada, e assim substituímos a condição inicial por u(x, 0) f(x), 0 x a. Além disso, em vez de trabalharmos com a região semiinfinita no plano xt definida pelas igualdades 0 x a, t 0, utilizamos a região retangular definida por 0 x a, 0 t T, onde T é algum valor específico de tempo. Sobre essa região, posicionamos uma malha retangular constituída por retas verticais espaçadas por h unidades e retas horizontais afastadas k unidades entre si. Veja a Figura 7.9. Se escolhermos dois inteiros positivos n e m e definirmos

3k 2k k 0

h

Figura 7.9 xt.

2h

3h

...

a

x

Região retangular no plano

então as retas verticais e horizontais da malha são definidas por

Conforme ilustrado na Figura 7.10, o plano é aplicar a fórmula (3) para estimar os valores da solução u(x,t) nos pontos na (j 1)-ésima reta de tempo utilizando somente valores a partir j-ésima reta de tempo. Por exemplo, os valores na primeira reta de tempo (j 1) dependem da condição inicial ui,0 u(xi,0) f (xi) indicada na reta de tempo zero (j 0). Esse tipo de procedimento numérico é chamado método das diferenças finitas explícito. Exemplo 1

Utilizando o método das diferenças finitas

Considere o problema de valor de contorno

Primeiro, identificamos c 1, a 1 e T 0,5. Se escolhermos, por exemplo, n 5 e m 50, então

(j+1)-ésima reta de tempo j-ésima reta de tempo

ui, j + 1 k ui – 1, j

uij

ui + 1, j

h

Figura 7.10 u em t j é determinado a partir de três valores de u em t j.

238


Logo, (3) se torna

Adotando j 0 nessa fórmula, obtemos uma fórmula para as aproximações da temperatura u na primeira reta de tempo:

Se adotarmos i 1,..., 4 na última equação, obtemos, respectivamente,

A primeira equação dessa lista é interpretada como

A partir da condição inicial u(x,0) sen ␲x, a última linha é escrita como

Esse número representa uma aproximação para a temperatura u(0,2, 0,01). Como seria necessária uma tabela com mais de 200 elementos para contemplar todas as aproximações sobre a malha retangular determinada por h e k, apresentamos apenas alguns valores selecionados na Tabela 7.2. Tabela 7.2

Tempo

Aproximação por equação de diferença explícita com h 0,2, k 0,01, ␭ 0,25 x ⴝ 0,20

x ⴝ 0,40

x ⴝ 0,60

x ⴝ 0,80

❑ Você deve verificar, aplicando os métodos do Capítulo 4, que uma solução exata do problema de valor de contorno no Exemplo 1 é dada por Utilizando essa solução, comparamos na Tabela 7.3 uma amostra de valores exatos com suas aproximações correspondentes. Tabela 7.3

Exato

Aproximação


239

Estabilidade Essas aproximações são comparáveis aos valores exatos e precisas o suficiente para alguns propósitos. Porém, existe um problema com o método anterior. Relembre que um método numérico é instável se erros de arredondamento ou qualquer outro erro crescerem muito rapidamente com a realização dos cálculos. O procedimento numérico no Exemplo 1 pode exibir esse tipo de comportamento. Pode-se provar que o procedimento é estável se ␭ for menor ou igual a 5, mas é instável caso contrário. Para obter ␭ 0,25 0,5 no Exemplo 1, temos que escolher o valor k 0,01; a necessidade de se utilizar tamanho de passos muito pequenos na direção do tempo é o principal defeito desse método. Você deve trabalhar o Problema 12 nos Exercícios 7.2 e testemunhar a instabilidade prevista quando ␭ 1. Método de Crank-Nicholson

Existem métodos de diferenças finitas implícitos para resolver equações diferenciais parciais parabólicas. Esses métodos exigem que resolvamos um sistema de equações para determinar os valores aproximados de u na (j1)-ésima reta de tempo. Entretanto, métodos implícitos não sofrem de problemas de instabilidade. O algoritmo introduzido por J. Crank e P. Nicholson em 1947 é utilizado principalmente para resolver a equação do calor. O algoritmo consiste em substituir a derivada parcial segunda em

por uma média de dois quocientes de diferença

central, um calculado em t e o outro em t k: (4) Se novamente definirmos ␭ ck/h , então, após rearranjarmos os termos, podemos escrever (4) como (5) 2

onde Para cada escolha de j, a equação de diferença (5) para i 1, 2,..., n – 1 resulta em n – 1 equações em n – 1 incógnitas ui,j1. Em decorrência das condições de contorno prescritas, os valores de ui,j1 são conhecidos para i 0 e para i n. Por exemplo, no caso n 4, o sistema de equações para determinar os valores aproximados de u na (j1)-ésima reta de tempo é

(6)

Em geral, se utilizarmos a equação de diferença (5) para determinar valores de u na (j1)-ésima reta de tempo, precisaremos resolver um sistema linear AX B, no qual a matriz de coeficientes A é uma matriz tridiagonal,

240


e as entradas da matriz coluna B são

Exemplo 2

Utilizando o método de Crank-Nicholson

Use o método de Crank-Nicholson para aproximar a solução do problema de valor de contorno

aplicando n 8 e m 30. Solução

A partir das identificações e c 0,25, obtemos ␭ 0,04. Com o auxílio de um computador, obtemos os resultados da Tabela 7.4. Como no Exemplo 1, os elementos dessa tabela representam apenas um número selecionado das 210 aproximações sobre a malha retangular determinada por h e k.

Tabela 7.4

Tempo

Método de Crank-Nicholson com h 0,25, k 0,01, ␭ 0,25 x ⴝ 0,25

x ⴝ 0,50

x ⴝ 0,75

x ⴝ 1,00

x ⴝ 1,25

x ⴝ 1,50

x ⴝ 1,75

❑ Como no Exemplo 1, o problema de valor de contorno no Exemplo 2 também tem uma solução exata dada por As comparações de amostras listadas na Tabela 7.5 mostram que os erros absolutos são da ordem de 102 ou 103. Erros menores podem ser obtidos reduzindo-se h ou k. Tabela 7.5

Exato

Aprox.


EXERCÍCIOS 7.2

241


Nos Problemas 1-12, utilize um computador para auxiliar nos cálculos. 1. Use a equação de diferença (3) para aproximar a solução do problema de valor de contorno

(b) (c) (d)

7. Resolva o Problema 6 pelo método de Crank-Nicholson com n 10 e m 10. Aplique n 8 e m 40. 2. Utilizando a solução em série de Fourier obtida no Problema 1 dos Exercícios 4.3 com L 2, é possível somar os primeiros 20 termos para estimar os valores de u(0,25, 0,1), u(1, 0,5) e u(1,5, 0,8) para a solução u(x,t) do Problema 1 acima. Um estudante escreveu um programa computacional com esse objetivo e obteve os resultados u(0,25, 0,1) 0,3794, u(1, 0,5) 0,1854, e u(1,5, 0,8) 0,0623. Considere que esses resultados sejam precisos para todos os dígitos dados. Compare esses valores com as aproximações obtidas no Problema 1 acima. Determine os erros absolutos em cada caso. 3. Resolva o Problema 1 pelo método de Crank-Nicholson com n 8 e m 40. Use os valores para u(0,25, 0,1), u(1, 0,5) e u(1,5, 0,8) indicados no Problema 2 para calcular os erros absolutos. 4. Repita o Problema 1 usando n 8 e m 20. Utilize os valores para u(0,25, 0,1), u(1, 0,5), e u(1,5, 0,8) ) indicados no Problema 2 para calcular os erros absolutos. Por que nesse caso as aproximações são tão imprecisas? 5. Resolva o Problema 1 pelo método de Crank-Nicholson com n 8 e m 40. Use os valores para u(0,25, 0,1), u(1, 0,5) e u(1,5, 0,8) indicados no Problema 2 para calcular os erros absolutos. Compare os erros absolutos com aqueles obtidos no Problema 4. 6. Mostrou-se na Seção 4.2 que se uma haste de comprimento L for feita de um material com condutividade térmica K, calor específico ␥ e densidade ␳, a temperatura u(x,t) satisfaz a equação diferencial parcial

8. Repita o Problema 6 considerando que as temperaturas nas extremidades sejam u(0,t) 0, u(L,t) 20, 0 t 10. 9. Resolva o Problema 8 pelo método de Crank-Nicholson. 10. Considere o problema de valor de contorno no Exemplo 2. Assuma n 4. (a) Determine o novo valor de ␭. (b) Utilize a equação de diferença de Crank-Nicholson (5) para determinar o sistema de equações para u11, u21 e u31, isto é, os valores aproximados de u na primeira reta de tempo. [Sugestão: Adote j 0 em (5) e i com os valores 1, 2, 3.] (c) Resolva o sistema de três equações sem o auxílio de um programa computacional. Compare os resultados com as entradas correspondentes na Tabela 7.4. 11. Considere uma haste cujo comprimento seja L 20 para a qual K 1,05, ␳ 10,6 e ␥ 0,056. Suponha

(a) Utilize o método apresentado na Seção 4.6 para obter a solução de regime permanente ␺(x). (b) Utilize o método de Crank-Nicholson para aproximar as temperaturas u(x,t) para 0 t Tmax. Selecione Tmax grande o suficiente para permitir que as temperaturas se aproximem de valores de regime permanente. Compare as aproximações para t Tmax com os valores de ␺(x) apresentados no item (a). 12. Utilize a equação de diferença (3) para aproximar a solução do problema de valor de contorno

Considere o problema de valor de contorno constituído pela equação anterior e as condições

Utilize a equação de diferença (3) dessa seção com n 10 e m 10 para aproximar a solução do problema de valor de contorno quando (a)

Aplique n 5 e m 25.

242


7.3

A equação de onda

Introdução Nessa seção, aproximaremos uma solução de uma equação de onda unidimensional utilizando o método das diferenças finitas aplicado nas duas seções anteriores. A equação de onda unidimensional é o protótipo da equação diferencial parcial hiperbólica. Substituição por equação de diferença

Suponha u(x,t) representando uma solu-

ção da equação de onda unidimensional (1) Utilizando duas diferenças centrais,

substituímos a equação (1) por (2) Resolvemos (2) para u(x, t k), que é ui, j1. Se ␭ ck/h, então (2) resulta em (3) para i 1, 2,..., n – 1 e j 1, 2,..., m – 1. Para o caso no qual a equação de onda (1) é um modelo para os deslocamentos verticais u(x,t) de uma corda vibrando, as condições de contorno típicas são u(0,t) 0, u(a,t) 0, t 0, e as condições iniciais são u(x,0) f (x), u/t|t0 g(x), 0 x a. As funções f e g podem ser interpretadas como a posição inicial e a velocidade inicial da corda. O método numérico baseado na equação (3), como o primeiro método considerado na Seção 7.2, é um método de diferenças finitas explícito. Como antes, aplicamos a equação de diferença (3) para aproximar a solução u(x,t) de (1), utilizando as condições de contorno e iniciais, sobre uma região retangular no plano xt definida pelas desigualdades 0 x a, 0 t T, onde T é algum valor específico de tempo. Se n e m forem inteiros positivos e

as retas verticais e horizontais da malha nessa região são definidas por ui, j + 1 (j + 1)-ésima reta de tempo j-ésima reta de tempo (j – 1)-ésima reta de tempo

ui – 1, j k

uij

ui + 1, j

Conforme ilustrado na Figura 7.11, (3) nos permite obter a aproximação ui,j1 na (j 1)-ésima reta de tempo a partir dos valores indicados na j-ésima e (j – 1)-ésima retas de tempo. Além disso, utilizamos

ui, j – 1 h

Figura 7.11 u em t j 1 é determinado a partir de três valores de u em t j e um valor em t j – 1.

Existe um pequeno problema no início do processo. Pode-se notar a partir de (3) que, para j 1, precisamos conhecer os valores de ui,1 (isto é, as estimativas de u na primeira reta de tempo) para obter ui, 2. Porém, a partir da Figura 7.11, com j 0,

7.3 A Equação de Onda

vemos que os valores de ui, 1 na primeira reta de tempo depende dos valores de ui, 0 na zero-ésima reta de tempo e dos valores de ui, 1. Para calcular esses últimos valores, fazemos uso da condição de velocidade inicial ut(x,0) g(x). Em t 0, temos de (5) da Seção 6.5 do Volume 1 que (4) Para que o termo u(xi, k) ui, 1 faça sentido em (4), temos que imaginar u(x,t) estendido para trás no tempo. Decorre de (4) que

Esse último resultado sugere que definamos (5) na iteração de (3). Substituindo (5) em (3) quando j 0, obtemos o caso especial

(6) Exemplo 1

Utilizando o método das diferenças finitas

Aproxime a solução do problema de valor de contorno

aplicando (3) com n 5 e m 20. Adotamos as identificações c 2, a 1 e T 1. Com n 5 e m 20, obtemos e ␭ 0,5. Portanto, com g(x) 0, as equações (6) e (3) são escritas, respectivamente, como Solução

(7) (8) Para i 1, 2, 3, 4, a equação (7) resulta nos seguintes valores para os ui, 1 na primeira reta de tempo:

(9)

Note que os resultados indicados em (9) foram obtidos a partir da condição inicial u(x, 0) sen ␲x. Por exemplo, u20 sen (0,2␲), e assim por diante. Agora, j 1 em (8) resulta em

243

244


e assim, para i 1, 2, 3, 4, obtemos

Utilizando as condições de contorno, as condições iniciais e os dados obtidos em (9), obtemos a partir dessas equações as aproximações para u na segunda reta de tempo. Esses últimos resultados e um resumo dos cálculos restantes estão apresentados na Tabela 7.6. Tabela 7.6

Aproximação por equação de diferença explícita com h 0,2, k 0,05, ␭ 0,5

Tempo

x ⴝ 0,20

x ⴝ 0,40

x ⴝ 0,60

x ⴝ 0,80

❑ Verifica-se facilmente que a solução exata do PVC no Exemplo 1 é u(x,t) sen ␲x cos 2␲t. Com essa função, podemos comparar os resultados exatos com as aproximações. Por exemplo, algumas comparações selecionadas estão indicadas na Tabela 7.7. Como é possível ver, as aproximações estão no mesmo “campo” dos valores exatos, mas a exatidão não é particularmente impressionante. Podemos, no entanto, obter resultados melhores. A exatidão desse algoritmo varia com a escolha de ␭. É claro que o valor de ␭ é determinado pela escolha dos inteiros n e m, que por sua vez determinam os valores dos tamanhos de passo h e k. Pode-se provar que a melhor exatidão é sempre obtida a partir desse método quando a razão ␭ kc/h for igual a um – em outras palavras, quando o passo na direção do tempo for k h/c. Por exemplo, a escolha n 8 e m 16 resulta em e ␭ 1. Os valores amostrados listados na Tabela 7.8 claramente mostram uma melhor exatidão. Tabela 7.7

Exato

Tabela 7.8

Aprox.

Exato

Aprox.

Estabilidade Notamos na conclusão que esse método de diferenças finitas explícito para a equação de onda é estável quando ␭ 1 e instável quando ␭ 1.


EXERCÍCIOS 7.3

245


Nos Problemas 1, 3, 5 e 6, utilize um computador para auxiliar nos cálculos.

4. Dado o problema de valor de contorno

1. Utilize a equação de diferença (3) para aproximar a solução do problema de valor de contorno

use ui, 1 à mão.

na equação (6) para calcular os valores de

5. Mostrou-se na Seção 4.2 que a equação de uma corda vibrando é

quando (a) (b)

onde T é a magnitude constante da tensão na corda e ␳ é a sua massa por unidade de comprimento. Considere uma corda de 60 cm de comprimento presa ao eixo x por suas extremidades, sendo liberada a partir do repouso com deslocamento inicial

(c)

2. Considere o problema de valor de contorno

Aplique a equação de diferença (3) dessa seção para aproximar a solução do problema de valor de contorno quando h , onde ␳ 0,0225 g/cm, T 1,4 10 10, dinas. Utilize m 50.

7

(a) Utilize os métodos do Capítulo 4 para verificar que a solução do problema é u(x,t) sen ␲x cos ␲t.

6. Repita o Problema 5 usando

(b) Utilize o método dessa seção para aproximar a solução do problema sem o auxílio de um programa computacional. Use n 4 e m 5. (c) Calcule o erro absoluto em cada ponto interior de malha. 3. Aproxime a solução do problema de valor de contorno no Problema 2 utilizando um programa computacional com (a) n 5, m 10

e h 10,

Utilize m 50.

(b) n 5, m 20



1. Considere o problema de valor de contorno

2. Resolva o Problema 1 utilizando tamanho de malha Aplique interação de Gauss-Seidel. 3. Considere o problema de valor de contorno

Aproxime a solução da equação diferencial nos pontos interiores da região com tamanho de malha Aplique eliminação gaussiana ou interação de Gauss-Seidel.

246

CAPÍTULO 7 Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais (a) Note que a temperatura inicial u(x,0) x indica que a temperatura na extremidade direita x 1 deveria ser u(1,0) 1, enquanto as condições de contorno implicam u(1,0) 0. Escreva um programa computacional para o método de diferenças finitas explícito de modo que as condições de contorno prevaleçam para todos os tempos considerados, incluindo t 0. Utilize o programa para completar a Tabela 7.9.

(b) Modifique o seu programa computacional de modo que a condição inicial prevaleça nos contornos em t 0. Utilize esse programa para completar a Tabela 7.10. (c) As Tabelas 7.9 e 7.10 se relacionam de algum modo? Utilize um intervalo de tempo maior se necessário.

Tabela 7.9

Tempo

x ⴝ 0,00

x ⴝ 0,20

x ⴝ 0,40

x ⴝ 0,60

x ⴝ 0,80

x ⴝ 1,00

x ⴝ 0,00

x ⴝ 0,20

x ⴝ 0,40

x ⴝ 0,60

x ⴝ 0,80

x ⴝ 1,00

Tabela 7.10

Tempo

CAPÍTULO

8 Funções de Variáveis Complexas Descrição do capítulo 8.1 Números complexos 8.2 Potências e raízes 8.3 Conjuntos no plano complexo 8.4 Funções de uma variável complexa 8.5 Equações de Cauchy-Riemann 8.6 Funções exponenciais e logarítmicas 8.7 Funções trigonométricas e hiperbólicas 8.8 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas Exercícios de revisão

Em disciplinas de álgebra elementar, você aprendeu a respeito da existência e algumas das propriedades de números complexos. Porém, em disciplinas como Cálculo é provável que você nunca tenha visto um número complexo. Cálculo introdutório consiste basicamente no estudo de funções de uma variável real. Em disciplinas avançadas, você pode ter utilizado números complexos ocasionalmente (veja as Seções 3.3 do Volume 1, 2.8 do Volume 2 e 1.2 deste volume). Entretanto, nos próximos quatro capítulos, introduziremos a análise complexa, isto é, o estudo de funções de uma variável complexa. Apesar de existirem similaridades entre essa análise e a análise real, existem muitas diferenças interessantes e algumas surpresas.

248

CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas

8.1

Números complexos

Introdução

Com certeza você se deparou com números complexos em disciplinas anteriores de matemática. Quando você aprendeu pela primeira vez a resolver uma equação quadrática ax2 bx c 0 pela fórmula quadrática, você viu que as raízes da equação não são reais, ou seja, são complexas, quando o discriminante b2 – 4ac é negativo. Assim, equações simples tais como x2 5 0 e x2 x 1 0 não têm soluções reais. Por exemplo, as raízes da última equação são Se considerarmos

, então as raí-

zes são escritas Uma definição

Duzentos anos atrás, quando os números complexos estavam ganhando alguma respeitabilidade na comunidade matemática, o símbolo i foi originalmente utilizado para substituir o símbolo embaraçoso Hoje, dizemos simplesmente que i é a unidade imaginária, sendo definida pela propriedade i2 1. Utilizando a unidade imaginária, construímos um número complexo geral a partir de dois números reais.


Número complexo

Um número complexo é qualquer número da forma z a ib, onde a e b são números reais e i é unidade imaginária.

Terminologia Observe: A parte imaginária de z 4 – 9i é –9, e não –9i.

O número i na Definição 8.1 é denominado unidade imaginária. O número real x em z x iy é chamado de parte real de z; o número real y é chamado de parte imaginária de z. As partes real e imaginária de um número complexo z são abreviadas como Re(z) e Im(z), respectivamente. Por exemplo, se z 4 – 9i, então Re(z) 4 e Im(z) 9. Um múltiplo constante real da unidade imaginária é designado número imaginário puro. Por exemplo, z 6i é um número imaginário puro. Dois números complexos são iguais se suas partes real e imaginária forem iguais. Como esse conceito simples é algumas vezes útil, formalizamos a última declaração na próxima definição.


Igualdade

Os números complexos z1 x1 iy1 e z2 x2 iy2 são iguais, z1 z2, se Re(z1) Re(z2) e Im(z1) Im(z2).

Um número complexo x iy 0 se x 0 e y 0. Operações aritméticas Números complexos podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos. Essas operações são definidas a seguir, considerando z1 x1 iy1 e z2 x2 iy2.

8.1 Números Complexos

As familiares leis comutativa, associativa e distributiva se aplicam aos números complexos.

Em vista dessas leis, não há necessidade de se memorizar as definições de adição, subtração e multiplicação. Para somar (subtrair) dois números complexos, simplesmente somamos (subtraímos) as partes reais e imaginárias correspondentes. Para multiplicarmos dois números complexos, aplicamos a lei distributiva e o fato de que i2 1. Exemplo 1

Adição e multiplicação

Se z1 2 4i e z2 3 8i, determine (a) z1 z2 e (b) z1z2. Solução

(a) Somando as partes real e imaginária dos dois números, obtemos

(b) Utilizando a lei distributiva, temos

❑ Não há também a necessidade de se memorizar a definição de divisão, porém, antes de discutirmos isso, precisamos introduzir outro conceito. Conjugado Se z for um número complexo, então o número obtido pela mudança de sinal da sua parte imaginária é chamado o complexo conjugado ou, simplesmente, o conjugado de z. Se z x iy, então o seu conjugado é

Por exemplo, se z 6 3i, então ; se z –5 –i, então Se z for um número real, por exemplo, z 7, então A partir da definição da adição, pode-se mostrar facilmente que o conjugado de uma soma de dois números complexos é a soma dos conjugados:

Além disso, temos as três propriedades adicionais

As definições de adição e multiplicação mostram que a soma e o produto de um número complexo z e seu conjugado são também números reais: (1) (2)

249

250


A diferença entre um número complexo z e seu conjugado é um número imaginário puro: (3) Como x Re(z) e y Im(z), (1) e (3) resultam em duas fórmulas úteis:

Entretanto, (2) é a relação importante que nos permite aproximar a divisão de uma maneira mais prática: para dividir z1 por z2, multiplicamos tanto o numerador como o denominador de z1/z2 pelo conjugado de z2. Isso será ilustrado no próximo exemplo. Exemplo 2

Divisão

Se z1 2 – 3i e z2 4 6i, calcule Solução

Nos dois itens desse exemplo, multiplicaremos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e então utilizaremos (2).

❑ y z = x + iy

x

Figura 8.1

z como um vetor posição.

Interpretação geométrica Um número complexo z x iy é determinado unicamente por um par ordenado de números reais (x,y). A primeira e segunda entradas dos pares ordenados correspondem, respectivamente, às partes real e imaginária do número complexo. Por exemplo, o par ordenado (2, 3) corresponde ao número complexo z 2 – 3i. De modo recíproco, z 2 – 3i determina o par ordenado (2, 3). Dessa maneira, somos capazes de associar um número complexo z x iy com um ponto (x,y) em um plano coordenado. Porém, conforme vimos na Seção 1.1 do Volume 2, um par ordenado de números reais pode ser interpretado como sendo as componentes de um vetor. Portanto, um número complexo z x iy pode também ser visto como um vetor cujo ponto inicial está na origem e cujo ponto terminal é (x,y). O plano coordenado ilustrado na Figura 8.1 é denominado plano complexo, ou simplesmente plano z. O eixo horizontal ou x é chamado de eixo real, e o eixo vertical ou y é chamado de eixo imaginário. O comprimento de um vetor z, ou a distância a partir da origem para o ponto (x,y), é claramente A esse número real, é dado um nome especial.


Módulo ou valor absoluto

O módulo ou valor absoluto de z x iy, denotado por |z|, é o número real (4)

Exemplo 3

Módulo de um número complexo

Se z 2 – 3i, então

❑

251

8.1 Números Complexos

Como a Figura 8.2 indica, a soma dos vetores z1 e z2 é o vetor z1 z2. Para o triângulo apresentado na figura, sabemos que o comprimento do lado do triângulo correspondente ao vetor z1 z2 não pode ser maior do que a soma dos dois lados restantes. Em termos de símbolos, isso significa

y z1

(5) O resultado em (5) é conhecido como desigualdade do triângulo e se aplica a qualquer soma finita:

z1 + z2 z1 z2 x

Figura 8.2

Soma de vetores.

(6) Aplicando (5) em z1 z2 (z2), obtemos outra importante desigualdade: (7)

Observações Muitas das propriedades do sistema real se aplicam ao sistema de números complexos, porém existem algumas diferenças importantes. Por exemplo, não podemos comparar dois números complexos z1 x1 iy1, y1 ⫽ 0, e z2 x2 iy2, y2 ⫽ 0, por meio de desigualdades. Em outras palavras, definições tais como z1 z2 e z2 z1 não têm sentido exceto no caso para o qual os dois números z1 e z2 são reais. Podemos, entretanto, comparar os valores absolutos de dois números complexos. Assim, se z1 3 4i e z2 5 – i, então |z1| 5 e e consequentemente, |z1| |z2|. Essa última desigualdade significa que o ponto (3,4) está mais próximo da origem do que o ponto (5,1).

EXERCÍCIOS 8.1


Nos Problemas 1-26, escreva o número indicado na forma a ib. 1. 2. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

24. 25.

26.

Nos Problemas 27-32, seja z x iy. Determine a expressão indicada.

9.

10.

27.

28.

11.

12.

29.

30.

13.

14.

31.

32.

15.

16.

Nos Problemas 33-36, use a Definição 8.2 para obter um número complexo z que satisfaça a equação indicada. 33.

34. 36.

17.

18.

35.

19.

20.

Nos Problemas 37 e 38, determine qual número complexo está mais próximo da origem.

21.

22.

37. 23.

38.

39. Prove que |z1 – z2| é a distância entre os pontos z1 e z2 no plano complexo. 40. Mostre para todos os números complexos z no círculo x2 2 y 4 que |z 6 8i| 12.

252


8.2

Potências e raízes

Introdução Recorde de cálculo que um ponto (x,y) em coordenadas retangulares pode também ser escrito em termos de coordenadas polares (r, ␪). Veremos nessa seção que a possibilidade de expressar um número complexo z em termos de r e ␪ facilita bastante a determinação de potências e raízes de z.

As coordenadas retangulares (x, y) e as coordenadas polares (r, ␪) estão relacionadas pelas equações x r cos ␪ e y r sen ␪ (veja a Seção 5.1). Assim, um número complexo não nulo z x iy pode ser escrito como z (r cos ␪) i(r sen ␪) ou

Forma polar

(1)

y z = x + iy r

r sen θ

θ

x

r cos θ

Figura 8.3

Coordenadas polares.

Exemplo 1

y

Expresse

5␲/3 x –␲/3

1 – √3i

Figura 8.4 .

Dizemos que (1) é a forma polar do número complexo z. Vemos a partir da Figura 8.3 que a coordenada polar r pode ser interpretada como a distância a partir da origem para o ponto (x, y). Em outras palavras, adotamos a convenção de que r nunca seja negativa de modo que possamos tomar r como sendo o módulo de z, isto é, r |z|. O ângulo de inclinação ␪ do vetor z medido em radianos a partir do eixo real positivo é positivo quando medido no sentido anti-horário e negativo quando medido no sentido horário. O ângulo ␪ é denominado argumento de z e escrito como ␪ arg z. A partir da Figura 8.3, vemos que um argumento de um número complexo tem que satisfazer a equação tg ␪ y/x. As soluções dessa equação não são únicas, pois se ␪0 for um argumento de z, então necessariamente os ângulos ␪0 2␲, ␪0 4␲,..., são também argumentos. O argumento de um número complexo no intervalo ␲ ␪ ␲ é chamado de argumento principal de z, sendo representado por Arg z. Por exemplo, Arg (i) ␲/2. Um número complexo na forma polar em forma polar.

Com x 1 e obtemos Agora, como o ponto se localiza no quarto quadrante, podemos tomar a solução de tg como sendo ␪ arg z 5␲/3. Decorre de (1) que uma forma polar do número é Solução

Dois argumentos de z 1

Conforme vemos na Figura 8.4, o argumento de que se estende no intervalo (␲, ␲], o argumento principal de z, é Arg z ␲/3. Logo, uma forma polar alternativa do número complexo é ❑ Multiplicação e divisão A forma polar de um número complexo é especialmente conveniente para ser utilizada na multiplicação e divisão de dois números complexos. Suponha

onde ␪1 e ␪2 são quaisquer argumentos de z1 e z2, respectivamente. Logo (2) e para z2 ⫽ 0, (3)

8.2 Potências e Raízes

A partir das fórmulas de adição da trigonometria, (2) e (3) podem ser reescritas, respectivamente, como (4) (5)

e A inspeção de (4) e (5) mostra que

(6)

(7)

e

Exemplo 2

Argumento de um produto e de um quociente

Vimos que Arg z1 ␲/2 para z1 i. No Exemplo 1, vimos que Arg z2 ␲/3 para Assim, para

decorre de (7) que ❑ No Exemplo 2, utilizamos os argumentos principais de z1 e z2 e obtivemos arg(z1z2) Arg(z1z2) e arg(z1/z2) Arg(z1/z2). É importante observar, no entanto, que isso foi uma coincidência. Apesar de (7) ser verdadeira para qualquer argumento de z1 e z2, não é verdade, em geral, que Arg(z1z2) Arg z1 Arg z2 e Arg(z1/z2) Arg z1 Arg z2. Veja o Problema 39 nos Exercícios 8.2. Potências de z Podemos determinar potências inteiras do número complexo z a partir dos resultados de (4) e (5). Por exemplo, se z r(cos ␪ i sen ␪), então, com z1 z e z2 z, (4) resulta em

Como z3 z2z, temos que Além disso, como arg(1) 0, segue-se de (5) que

Continuando dessa maneira, obtemos uma fórmula para a enésima potência de z para qualquer inteiro n: (8) Exemplo 3

Potência de um número complexo

3 Calcule z para

Solução

No Exemplo 1, vimos que

253

254


Logo, a partir de (8) com r 2, ␪ ␲/3 e n 3, obtemos

❑ Fórmula de De Moivre

Quando

temos |z| r 1 e assim (8)

resulta em (9) Esse último resultado é conhecido como fórmula de De Moivre e é útil para a obtenção de determinadas identidades trigonométricas. Raízes Um número w é dito ser uma raiz enésima de um número complexo não nulo z se wn z. Se adotarmos w ␳ (cos ␾ i sen ␾) e z r (cos ␪ i sen ␪) como sendo as fórmulas polares de w e z, então, com base em (8), wn z se torna

A partir disso, concluímos que ␳n r ou ␳ r1/n e

Igualando as partes real e imaginária, obtemos dessa equação

Essas igualdades implicam que n␾ ␪ 2k␲, onde k é um inteiro. Assim,

Com k adquirindo valores inteiros sucessivos k 0, 1, 2,..., n – 1, obtemos n raízes distintas com o mesmo módulo porém argumentos diferentes. Mas para k n obtemos as mesmas raízes, pois seno e co-seno são periódicos em 2␲. Para ver isso, suponha k n m, onde m 0, 1, 2,.... Assim,

e portanto Resumiremos esse resultado. A enésima raiz de um número complexo não nulo z r (cos ␪ i sen ␪) é dada por (10) onde k 0, 1, 2,..., n – 1. Exemplo 4

Raízes de um número complexo

Determine as três raízes cúbicas de z i. Solução Com r 1, ␪ arg z ␲/2, a forma polar do número indicado é z cos(␲/2) i sen(␲/2). A partir de (10) com n 3, obtemos

8.2 Potências e Raízes

255

Logo, as três raízes são

❑ A raiz w de um número complexo z obtida por meio do argumento principal de z com k 0 é algumas vezes denominada enésima raiz principal de z. No Exemplo 4, como Arg (i) ␲/2, é a terceira raiz principal de i. Como as raízes indicadas por (8) têm o mesmo módulo, as n raízes de um número complexo não nulo z se situa em um círculo de raio r1/n centrado na origem do plano complexo. Além disso, como a diferença entre os argumentos de quaisquer duas raízes sucessivas é 2␲/n, as n raízes estão igualmente espaçadas nesse círculo. A Figura 8.5 apresenta as três raízes de i igualmente espaçadas em um círculo unitário; o ângulo entre as raízes (vetores) wk e wk1 é 2␲/3. Como será mostrado no próximo exemplo, as raízes de um número complexo não têm que ser números “agradáveis” como no Exemplo 3. Exemplo 5

y w1

w0 x w2

Figura 8.5

Três raízes cúbicas de i.

Raízes de um número complexo

Determine as quatro raízes quartas de z 1 i. Solução

e ␪ arg z ␲/4. De (10) com n 4, obtemos

Nesse caso,

Assim,

❑

EXERCÍCIOS 8.2


Nos Problemas 1-10, escreva o número complexo indicado na forma polar. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Nos Problemas 11-14, escreva o número indicado em notação polar na forma a ib. 11.

256


32.

12.

31.

13.

Nos Problemas 33 e 34, calcule todas as soluções da equação indicada. 34. 33. Nos Problemas 35 e 36, escreva o número complexo indicado primeiro na forma polar e a seguir na forma a ib.

14. Nos Problemas 15 e 16, determine z1z2 e z1/z2. Escreva o número na forma a ib.

35.

15. 36. 16.

Nos Problemas 17-20, escreva cada número complexo na forma polar. A seguir, use (4) ou (5) para obter a forma polar do número indicado. Escreva a forma polar na forma a ib. 17.

18.

19.

20.

38. Utilize o resultado (cos ␪ i sen ␪)3 cos 3␪ i sen 3␪ para obter identidades trigonométricas para cos 3␪ e sen 3␪. 39. (a) Se z1 1 e z2 5i, verifique que Arg(z1z2) ⫽ Arg(z1) Arg(z2)

Nos Problemas 21-26, use (8) para calcular a potência indicada. 21. 23.

37. Utilize o resultado (cos ␪ i sen ␪)2 cos 2␪ i sen 2␪ para obter identidades trigonométricas para cos 2␪ e sen 2␪.

22. 24.

25.

(b) Se z1 1 e z2 5i, verifique que Arg(z1/z2) ⫽ Arg(z1) Arg(z2) 40. Para os números complexos indicados no Problema 39, verifique nos itens (a) e (b) que

e

26. Nos Problemas 27-32, aplique (10) para calcular todas as raízes. Esboce essas raízes em um círculo apropriado centrado na origem. 27.

28.

29.

30.

8.3

Conjuntos no plano complexo

Introdução

Nas seções anteriores, examinamos alguns fundamentos da álgebra e da geometria dos números complexos. Porém, apenas arranhamos a superfície do assunto conhecido como análise complexa; o impulso principal do nosso estudo está adiante. Nosso objetivo nas seções e capítulos que se seguem é examinar funções de uma única variável complexa z x iy, além do cálculo dessas funções. Antes de introduzir a noção de uma função de uma variável complexa, precisamos apresentar algumas definições e terminologias a respeito de conjuntos no plano complexo.

8.3 Conjuntos no Plano Complexo Terminologia

Antes de discutir o conceito de funções de uma variável complexa, precisamos introduzir alguma terminologia essencial a respeito de conjuntos no plano complexo. é a distância Considere z0 x0 iy0. Como entre os pontos z x iy e z0 x0 iy0, os pontos z x iy que satisfazem a equação

z0

ρ |z – z0| = ρ

Figura 8.6

Círculo de raio ␳.

␳ 0, estão localizados em um círculo de raio ␳ centrado no ponto z0. Veja a Figura 8.6. Exemplo 1

Círculos

(a) |z| 1 é a equação de um círculo unitário centrado na origem. (b) |z – 1 – 2i| 5 é a equação de um círculo de raio 5 centrado em 1 2i.

❑

Os pontos z que satisfazem a desigualdade |z – z0| ␳, ␳ 0, estão localizados no interior (mas não no perímetro) de um círculo, de raio ␳ centrado no ponto z0. Esse conjunto é denominado vizinhança de z0 ou um disco aberto. Um ponto z0 é dito ser um ponto interior de um conjunto S de um plano complexo quando existir alguma vizinhança de z0 que se estenda inteiramente dentro de S. Se todo ponto z de um conjunto S for um ponto interior, então S é um conjunto aberto. Veja a Figura 8.7. Por exemplo, a desigualdade Re(z) 1 define um plano metade à direita, que é um conjunto aberto. Todos os números complexos z x iy para os quais x 1 estão nesse conjunto. Se escolhermos, por exemplo, z0 1,1 2i, então uma vizinhança de z0 se localiza inteiramente no conjunto que é definido por |z – (1,1 2i)| 0,05. Veja a Figura 8.8. Por outro lado, o conjunto S de pontos no plano complexo definido por Re(z) 1 não é aberto, pois toda vizinhança de um ponto na reta x 1 tem que conter pontos dentro de S e pontos fora de S. Veja a Figura 8.9. |z – (1,1 + 2i)| < 0,05 y

y

em S fora de S z = 1,1 + 2i x

x x=1

Figura 8.8 Vista ampliada do conjunto aberto de um ponto próximo de x 1.

x=1

Figura 8.9

Conjunto S não é aberto.

z0

Figura 8.7

Conjunto aberto.

257

258


Exemplo 2

Conjuntos abertos

A Figura 8.10 ilustra alguns conjuntos abertos adicionais. y

y x

Im(z) < 0 plano metade inferior (a)

x

–1 < Re(z) < 1 faixa infinita (b)

y y

x

|z| > 1 exterior do círculo unitário (c)

Figura 8.10

x

1 < |z| < 2 anel circular (d)

❑

Quatro exemplos de conjuntos abertos.

O conjunto de números que satisfazem a desigualdade

z2

z1

Figura 8.11

Conjunto conexo.

tal como ilustrado na Figura 8.10(d), é também chamado de anel aberto. Se toda vizinhança de um ponto z0 contiver ao menos um ponto que esteja em um conjunto S e ao menos um ponto que não esteja em S, então z0 é um ponto de contorno de S. O contorno de um conjunto S é o conjunto de todos os pontos de contorno de S. Para o conjunto de pontos definido por Re(z) 1, os pontos na reta x 1 são pontos de contorno. Os pontos no círculo |z – i| 2 são pontos de contorno para o disco |z – i| 2. Se qualquer par de pontos z1 e z2 em um conjunto aberto S puder ser conectado por uma reta poligonal que se estenda inteiramente no conjunto, então o conjunto aberto S é dito ser conexo. Veja a Figura 8.11. Um conjunto conexo aberto é denominado domínio. Todos os conjuntos abertos na Figura 8.10 são conexos e portanto são domínios. O conjunto de números que satisfaz Re(z) ⫽ 4 é um conjunto aberto mas não é conexo, pois não é possível juntar pontos em qualquer lado da reta vertical x 4 por uma reta poligonal sem deixar o conjunto (tenha em mente que os pontos em x 4 não estão no conjunto). Uma região é um domínio no plano complexo com todos, alguns ou nenhum dos seus pontos de contorno. Como um conjunto conexo aberto não contém quaisquer pontos de contorno, ele é automaticamente uma região. Uma região contendo todos os seus pontos de contorno é dita ser fechada. O disco definido por |z – i| 2 é um exemplo de uma região fechada, sendo referida como um disco fechado. Uma região pode ser nem aberta nem fechada; a região anular definida por 1 |z – 5| 3 contém apenas alguns dos seus pontos de contorno e, assim, não é aberta nem fechada.

8.4 Funções de Uma Variável Complexa

259

Observações Muitas vezes na matemática a mesma palavra é utilizada em contextos inteiramente diferentes. Não confunda o conceito de “domínio” definido nessa seção com o conceito de “domínio de uma função”.

EXERCÍCIOS 8.3


Nos Problemas 1-8, esboce o gráfico da equação indicada. 1.

2.

3. 4. 5.

6.

7.

8.

Nos Problemas 9-22, esboce o conjunto de pontos no plano complexo satisfazendo a desigualdade indicada. Determine se o conjunto é um domínio. 10. 9. 11.

12.

13.

14.

8.4

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23. Descreva o conjunto de pontos no plano complexo que satisfaz |z 1| |z – i|. 24. Descreva o conjunto de pontos no plano complexo que satisfaz |Re(z)| |z|. 25. Descreva o conjunto de pontos no plano complexo que satisfaz 26. Descreva o conjunto de pontos no plano complexo que satisfaz |z i| |z i| 1.

Funções de uma variável complexa

Introdução Um dos conceitos mais importantes na matemática é o de funções. Você deve se lembrar de disciplinas anteriores que uma função é um determinado tipo de correspondência entre dois conjuntos; mais especificamente, uma função f de um conjunto A para um conjunto B é uma regra de correspondência que determina para cada elemento em A um e somente um elemento em B. Se b for o elemento no conjunto B relacionado ao elemento a no conjunto A por f, dizemos que b é a imagem de a e escrevemos b f (a). O conjunto A é denominado domínio da função f (porém não é necessariamente um domínio no sentido definido na Seção 8.3). O conjunto de todas as imagens em B é chamado de contradomínio da função. Por exemplo, suponha que o conjunto A seja um conjunto de números reais definidos em 3 x e que a função seja dada por então f (3) 0, f (4) 1, e assim por diante. Em outras palavras, o contradomínio de f é o conjunto dado por 0 y . Como A é um conjunto de números reais, dizemos que f é uma função de uma variável real x. Funções de uma variável complexa Quando o domínio A na definição anterior de função for um conjunto de números complexos z, dizemos naturalmente que f é uma função de uma variável complexa z ou uma função complexa. A imagem w de um número complexo z será algum número complexo u iv, isto é,

(1) onde u e v são as partes real e imaginária de w, sendo funções de valores reais. Inerente à definição matemática (1) está o fato de que não podemos traçar um gráfico de

260


y

v

w = f (z) z

contradomínio de f

domínio de f

uma função complexa w f (z), pois um gráfico exigiria quatro eixos em um sistema de quatro dimensões. A seguir temos alguns exemplos de funções de uma variável complexa:

w x

u

(a) plano z

(b) plano w

Figura 8.12 Mapeamento do plano z para o plano w.

Cada uma dessas funções pode ser escrita na forma (1). Por exemplo, v

y

u = 1 – v2/4 x

Assim, u(x, y) x2 – y2 – 4x, e v(x,y) 2xy – 4y. Apesar de não ser possível traçar um gráfico, uma função complexa w f (z) pode ser interpretada como um mapeamento ou transformação do plano z para o plano w. Veja a Figura 8.12.

u

x=1 (a) plano z

(b) plano w

Figura 8.13 parábola.

A imagem de x 1 é uma

Exemplo 1

Para a função f (z) z , temos u(x,y) x – y e v(x,y) 2xy. Portanto, Re(z) x, e assim, pela substituição de x 1 nas funções u e v, obtemos u 1 – y2 e v 2y. Essas são equações paramétricas de uma curva no plano w. Substituindo-se y v/2 na primeira equação, elimina-se o parâmetro y e obtém-se u 1 – v2/4. Em outras palavras, a imagem da reta na Figura 8.13(a) é a parábola apresentada na Figura 8.13(b). ❑ Solução

y

i x –i

Figura 8.14

f1(z)

(normalizada)

2

x

f2(z) z2 (normalizada).

2

2

No Capítulo 20, investigaremos em detalhes a ideia de f (z) como um mapeamento. Deve-se notar que uma função complexa é completamente determinada pelas funções reais u e v. Isso significa que uma função complexa w f (z) pode ser definida especificando-se arbitrariamente u(x, y) e v(x, y), embora u iv não possa ser obtida por meio de operações familiares apenas sobre o símbolo z. Por exemplo, se u(x, y) xy2 e v(x,y) x2 – 4y3, então f (z) xy2 i(x2 – 4y3) é uma função de uma variável complexa. Para calcularmos, por exemplo, f (3 2i), substituímos x 3 e y 2 em u e v para obtermos f (3 2i) 12 – 23i. Funções complexas como fluxos

y

Figura 8.15

Imagem de uma reta vertical

Determine a imagem da reta Re(z) 1 sob o mapeamento f(z) z2.

Podemos também interpretar uma função complexa w f (z) como um fluxo de fluido bidimensional considerando o número complexo f (z) como um vetor baseado no ponto z. O vetor f (z) especifica a velocidade e o sentido do fluxo em um determinado ponto z. As Figuras 8.14 e 8.15 apresentam os fluxos correspondentes às funções complexas f1(z) e f2(z) z2, respectivamente. Se x(t) iy(t) for uma representação paramétrica para o caminho de uma partícula no fluxo, o vetor tangente T x¿(t) iy¿(t) tem que coincidir com f(x(t) iy(t)). Quando f (z) u(x,y) iv(x,y), o caminho da partícula tem que satisfazer o sistema de equações diferenciais

261


Chamamos a família de soluções desse sistema como linhas de fluxo do fluxo associado a f (z). Exemplo 2

Linhas de fluxo

Determine as linhas de fluxo associadas às funções complexas (a) f1(z) e (b) f2(z) z2. Solução

(a) As linhas de fluxo que correspondem a f1(z) x – iy satisfazem o

sistema

e portanto x(t) c1et e y(t) c2e-t. Multiplicando essas duas equações paramétricas, vemos que o ponto x(t) iy(t) se localiza na hipérbole xy c1c2. 2 2 (b) Para obter as linhas de fluxo que correspondem a f2(z) (x – y ) i2xy, observe 2 2 que dx/dt x – y , dy/dt 2xy, e assim

Essa equação diferencial homogênea tem a solução x2 y2 c2y, uma família de círculos que têm centros no eixo y e que passam pela origem. ❑ Limites e continuidade A definição de um limite de uma função complexa f (z) quando z → z0 tem a mesma aparência externa do limite para variáveis reais.


Limite de uma função

Suponha que a função f seja definida em alguma vizinhança de z0, exceto possivelmente no próprio z0. Então f é dito possuir um limite em z0, escrito como

se, para cada ⑀ 0, existir um ␦ 0 tal que |f (z) – L| ⑀ sempre que 0 |z – z0| ␦.

Em palavras, limz→z0 f (z) L significa que os pontos f(z) podem estar arbitrariamente próximos do ponto L se escolhermos o ponto z suficientemente próximo, mas não igual, ao ponto z0. Conforme indicado na Figura 8.16, para cada vizinhança ⑀ de L (definida por |f (z) – L| ⑀), existe uma vizinhança ␦ de z0 (definida por |z – z0| ␦) de modo que as imagens de todos os pontos z ⫽ z0 nessa vizinhança se localizam na vizinhança ⑀ de L. A diferença fundamental entre essa definição e o conceito de limite em variáveis reais está no significado de z → z0. Para uma função f de uma única variável real x, limx→x0 f (x) L significa que f (x) se aproxima de L quando x se aproxima de x0 a partir da direita de x0 ou a partir da esquerda de x0 na reta de números reais. Porém, como z e z0 são pontos no plano complexo, quando dizemos que limz→z0 f (z) existe, isso significa que f (z) se aproxima de L quando os pontos z se aproximam de z0 a partir de qualquer direção. O teorema a seguir resumirá algumas propriedades dos limites:

y

v

z0

f (z)

z ␦

␧ L

D x (a) vizinhança ␦

u (b) vizinhança ␧

Figura 8.16 Significado geométrico de um limite complexo.

262


TEOREMA 8.1

Limite da soma, produto e quociente

Considere limz→z0 f (z) L1 e limz→z0 g(z) L2. Então: (i) (ii) (iii)


Continuidade em um ponto

Uma função f é contínua em um ponto z0 se

Como consequência do Teorema 8.1, se duas funções f e g forem contínuas em um ponto z0, então a soma e o produto delas serão contínuas em z0. O quociente das duas funções será contínuo em z0 desde que g(z0) ⫽ 0. Uma função f definida por (2) onde n é um inteiro não negativo e os coeficientes ai, i 0, 1,..., n, são constantes complexas, é chamada função polinomial de grau n. Apesar de não demonstrarmos isso, o resultado do limite indica que a função polinomial simples f (z) z é contínua em todos os lugares – isto é, em todo o plano z. Com esse resultado em mente e com aplicações repetidas de (ii) e (i) do Teorema 8.1, temos que uma função polinomial (2) é contínua em qualquer lugar. Uma função racional

onde g e h são funções polinomiais, é contínua exceto naqueles pontos nos quais h(z) é zero. Derivada A derivada de uma função complexa é definida em termos de um limite. O símbolo z usado na definição a seguir corresponde ao número complexo x iy.


Derivada

Considere a função complexa f definida em uma vizinhança de z0. A derivada de f em z0 é (3) desde que o limite exista.

Se o limite em (3) existir, a função f é dita ser diferenciável em z0. A derivada de uma função w f (z) é também escrita dw/dz. Do mesmo modo que em variáveis reais, diferenciação implica continuidade: Se f for diferenciável em z0, então f é contínua em z0.


Além disso, as regras de diferenciação são as mesmas do cálculo com variáveis reais. Se f e g forem diferenciáveis em um ponto z, e c for uma constante complexa, então: (4) (5) (6) (7) (8) A regra usual para a diferenciação de potências de z também é válida: (9)

Exemplo 3

Utilizando as regras da diferenciação

Diferencie Solução

(a) Utilizando a regra da potência (9) junto com a regra da soma (5),

obtemos

(b) A partir da regra do quociente (7), ❑ Para que uma função complexa f seja diferenciável em um ponto z 0, tem que aproximar do mesmo número complexo a partir de qualquer direção. Assim, no estudo de variáveis complexas, garantir a diferenciação de uma função é mais importante do que para variáveis reais. Se uma função complexa for composta, tal como f(z) x 4iy, existe uma boa chance dela não ser diferenciável. Exemplo 4

Uma função que não é diferenciável em nenhum lugar

Mostre que a função f (z) x 4iy não é diferenciável em nenhum lugar. Solução

e assim

Com z x iy, temos

(10)

Agora, se adotarmos z → 0 ao longo de uma reta paralela ao eixo x, então y 0 e o valor de (10) é 1. Por outro lado, se considerarmos z → 0 ao longo de uma reta paralela ao eixo y, então x 0 e o valor de (10) é visto como sendo (4). Portanto, f (z) x 4iy não é diferenciável em nenhum ponto z. ❑

263

264

CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas Funções analíticas As exigências para diferenciação são severas. No entanto, existe uma classe de funções de grande importância cujos membros satisfazem exigências ainda mais severas. Essas funções são denominadas funções analíticas.


Analiticidade em um ponto

Uma função complexa w f (z) é analítica em um ponto z0 se f for diferenciável em z0 e em todo ponto em alguma vizinhança de z0.

Uma função f é analítica em um domínio D se ela for analítica em todo ponto em D. O estudante deve ler a Definição 8.7 atentamente. Analiticidade em um ponto é uma propriedade de vizinhança. Analiticidade em um ponto não é, portanto, o mesmo que diferenciabilidade em um ponto. Deixa-se como exercício mostrar que a função f (z) |z|2 é diferenciável em z 0 mas não em qualquer outro ponto. Consequentemente, f (z) |z|2 não é analítica em nenhum ponto. Contrastando, o polinômio simples f (z) z2 é analítico em todos os lugares. Uma função que é analítica em qualquer ponto z é uma função completa. Funções polinomiais são diferenciáveis em qualquer ponto z, e portanto são funções complexas.

Observações Recorde da álgebra que um número c é um zero de uma função polinomial se e somente se x – c for um fator de f (x). O mesmo resultado se aplica para a análise complexa. Por exemplo, como f (z) z4 5z2 4 (z2 1)(z2 4), os zeros de f são –i, i, 2i e 2i. Assim, f (z) (z i)(z – i)(z 2i)(z – 2i). Além disso, a fórmula quadrática é também válida. Por exemplo, utilizando essa fórmula, podemos escrever

Veja os Problemas 21 e 22 nos Exercícios 8.4.

EXERCÍCIOS 8.4


Nos Problemas 1-6, determine a imagem da reta indicada sob o mapeamento f (z) z2. 1. 2. 3. 5.

4. 6.

Nos Problemas 7-14, expresse a função indicada na forma f (z) u iv. 7.

15. 16. 17. 18.

8. 9.

10.

11.

12.

13.

14.

Nos Problemas 15-18, calcule a função dada nos pontos indicados.

Nos Problemas 19-22, o limite indicado existe. Determine o seu valor. 19. 20.

8.5 Funções Exponenciais e Logarítmicas

22.

35.

36.

Nos Problemas 23 e 24, mostre que o limite indicado não existe.

37.

38.

21.

23.

24.

Nos Problemas 25 e 26, use (3) para obter a derivada indicada da função dada. 25. 26. Nos Problemas 27-34, aplique (4)-(8) para determinar a derivada f ¿(z) para a função indicada. 27.

39. Mostre que a função nhum lugar.

265

não é diferenciável em ne-

40. A função f (z) |z|2 é contínua em todo o plano complexo. Mostre, no entanto, que f é diferenciável somente no ponto z 0. [Sugestão: Aplique (3) e considere dois casos, z 0 e z ⫽ 0. No segundo caso, considere que z se aproxime de zero ao longo da reta paralela ao eixo x e a seguir que z se aproxime de zero ao longo da reta paralela ao eixo y.] Nos Problemas 41-44, determine as linhas de fluxo associadas à função complexa indicada. 41. 42.

28. 29. 30.

44.

43.

31.

32.

33.

34.

Nos Problemas 45 e 46, utilize uma calculadora gráfica ou um computador para obter a imagem da parábola indicada sob o mapeamento f (z) z2.

Nos Problemas 35-38, defina os pontos nos quais a função indicada não será analítica.

8.5

45.

46.

Equações de Cauchy-Riemann

Introdução

Na seção anterior, vimos que uma função f de uma variável complexa z é analítica em um ponto z quando f for diferenciável em z e em qualquer ponto em alguma vizinhança de z. Essa condição é mais severa do que simplesmente diferenciabilidade em um ponto, pois uma função complexa pode ser diferenciável em um ponto z e em mais nenhum ponto. Uma função f é analítica em um domínio D se f for diferenciável em todos os pontos em D. Desenvolveremos agora um teste para analiticidade de uma função complexa f(z) u(x,y) iv(x,y).

Uma condição necessária para analiticidade

No próximo teorema, veremos que se uma função f (z) u(x,y) iv(x,y) for diferenciável em um ponto z, então as funções u e v têm que satisfazer um par de equações que relaciona suas derivadas parciais de primeira ordem. Isso resulta em uma condição necessária para a analiticidade.

TEOREMA 8.2

Equações de Cauchy-Riemann

Suponha f (z) u(x,y) iv(x,y) diferenciável em um ponto z x iy. Então, em z, as derivadas parciais de primeira ordem de u e v existem e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann (1)

Prova

Como f ¿(z) existe, sabemos que (2)

266


Escrevendo f (z) u(x,0) iv(x,y) e z x iy, temos a partir de (2) (3) Como esse limite existe, z pode se aproximar de zero a partir de qualquer direção conveniente. Em particular, se z→0 horizontalmente, então z x, e assim (3) se torna (4) Como f ¿(z) existe, os dois limites em (4) existem. Porém, por definição, os limites em (4) são as derivadas parciais primeiras de u e v em relação a x. Assim, mostramos que (5) Agora, se adotarmos z→0 verticalmente, então z iy e (3) se torna (6) que é o mesmo que (7) Igualando as partes real e imaginária de (5) e (7), obtemos o par de equações em (1). ❑ Se uma função complexa f (z) u(x,y) iv(x,y) for analítica por todo um domínio D, então as funções reais u e v têm que satisfazer as equações de Cauchy-Riemann (1) em todo ponto em D. Exemplo 1

Utilizando as equações de Cauchy-Riemann

O polinômio f (z) z2 z é analítico para todo z e f (z) x2 – y2 x i(2xy y). Assim, u(x,y) x2 – y2 x e v(x,y) 2xy y. Para qualquer ponto (x,y), vemos que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas: ❑

Exemplo 2

Utilizando as equações de Cauchy-Riemann

Mostre que a função f (z) (2x2 y) i(y2 – x) não é analítica em qualquer ponto. Solução

Identificamos u(x,y) 2x2 y e v(x,y) y2 – x. Agora a partir de

vemos que u/ y v/ x, mas que a igualdade u/ x v/ y é satisfeita somente na reta y 2x. Entretanto, para qualquer ponto z na reta, não há nenhuma vizinhança ou disco aberto próximo de z no qual f é diferenciável. Concluímos que f não é analítica em nenhum lugar. ❑


Por si só, as equações de Cauchy-Riemann não são suficientes para garantir analiticidade. Entretanto, quando adicionamos a condição de continuidade para u e v e as quatro derivadas parciais, pode-se mostrar que as equações de Cauchy-Riemann implicam analiticidade. A demonstração é longa e complicada, e portanto apresentaremos apenas o resultado.

TEOREMA 8.3

Critério para analiticidade

Suponha as funções reais u(x,y) e v(x,y) contínuas e tendo derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D. Se u e v satisfizerem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos de D, então a função complexa f (z) u(x,y) iv(x,y) é analítica em D.

Exemplo 3

Utilizando o Teorema 8.3

Para a função

, temos

Em outras palavras, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, exceto no ponto onde x2 y2 0, isto é, em z 0. Concluímos a partir do Teorema 8.3 que f é analítica em qualquer domínio que não contenha o ponto z 0. ❑ Os resultados em (5) e (7) foram obtidos sob a consideração básica de que f era diferenciável no ponto z. Em outras palavras, (5) e (7) nos dão uma fórmula para calcular f ¿(z): (8) Por exemplo, sabemos que f (z) z2 é diferenciável para todo z. Com u(x,y) x2 – y2, u/ x 2x, v(x,y) 2xy e v/ x 2y, vemos que

Recorde que analiticidade implica diferenciabilidade, mas a recíproca não é verdadeira. O Teorema 8.3 tem um análogo que apresenta condições suficientes para a diferenciabilidade: Se as funções reais u(x,y) e v(x,y) são contínuas e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma vizinhança de z, e se u e v satisfizerem as equações de Cauchy-Riemann no ponto z, então a função complexa f (z) = u(x,y) + iv(x,y) é diferenciável em z, e f¿(z) é dada por (8). A função f (z) x2 – y2i não é analítica em nenhum lugar. Com as identificações u(x,y) x2 e v(x,y) y2, vemos a partir de

que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas apenas quando y x. Porém, como as funções u, u/ x, u/ y, v, v/ x e v/ y são contínuas em todos os pontos, temos que f é diferenciável na reta y x, sendo que (8) define a derivada f ¿(z) 2x 2y. Vimos no Capítulo 4 que a equação de Laplace u/ x u/ y 0 ocorre em certos problemas que envolvem temperaturas de regime permanente. Essa equação diferencial parcial também desempenha um importante papel Funções harmônicas 2

2

2

2

Importante.

267

268


em muitas áreas da matemática aplicada. De fato, conforme veremos, as partes real e imaginária de uma função analítica não podem ser escolhidas arbitrariamente, pois tanto u quanto v têm que satisfazer a equação de Laplace. É essa ligação entre funções analíticas e a equação de Laplace que torna as variáveis complexas tão essenciais no estudo da matemática aplicada.


Funções harmônicas

Uma função de valor real ␾(x,y) que tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em um domínio D e que satisfaça a equação de Laplace é dita ser harmônica em D.

TEOREMA 8.4

Uma fonte de funções harmônicas

Suponha f (z) u(x,y) iv(x,y) analítica em um domínio D. Assim, as funções u(x,y) e v(x,y) são funções harmônicas.

Demonstração Nessa demonstração, consideraremos que u e v têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Como f é analítica, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas. Diferenciando ambos os lados de u/ x v/ y em relação a x e diferenciando ambos os lados de u/ y v/ x em relação a y, obtemos

Considerando continuidade, as derivadas parciais trocadas são iguais. Portanto, adicionando essas duas equações temos

Isso mostra que u(x,y) é harmônica. Agora diferenciando ambos os lados de u/ x v/ y em relação a y e diferenciando ambos os lados de u/ y v/ x em relação a x, e subtraindo, obtemos ❑ Se f (z) u(x,y) iv(x,y) for analítica em um domínio D, então u e v são harmônicas em D. Suponha agora que u(x,y) seja uma função harmônica em D. É possível então obter outra função v(x,y) que seja harmônica em D de modo que u(x,y) iv(x,y) seja uma função analítica em D. A função v é chamada função harmônica conjugada de u.

Funções harmônicas conjugadas

Exemplo 4

Função harmônica/função harmônica conjugada

(a) Verifique que a função u(x,y) x3 –3xy2 – 5y é harmônica em todo o plano complexo. (b) Obtenha a função harmônica conjugada de u. Solução

(a) A partir das derivadas parciais

vemos que u satisfaz a equação de Laplace:


269

(b) Como a função harmônica conjugada v tem que satisfazer as equações de Cauchy-Riemann, temos que ter (9) A integração parcial da primeira equação de (9) em relação a y resulta em v(x,y) 3x2y – y3 h(x). A partir disso, temos

Substituir esse resultado na segunda equação de (9) resulta em h¿(x) 5, e portanto h(x) 5x C. Consequentemente, a função harmônica conjugada de u é v(x,y) 3x2y – y3 5x C. A função analítica é ❑

Observações Suponha que u e v sejam funções harmônicas que compreendem as partes real e imaginária de uma função analítica f (z). As curvas de nível u(x,y) c1 e v(x,y) c2 definidas por essas funções formam duas famílias de curvas ortogonais. (Veja o Problema 32 nos Exercícios 8.5.) Por exemplo, as curvas de nível geradas pela função analítica simples f (z) z x iy são x c1 e y c2. A família de retas verticais definidas por x c1 é claramente ortogonal à família de retas horizontais definidas por y c2. Em eletrostática, se u(x,y) c1 define as curvas equipotenciais, então a outra (e ortogonal) família v(x,y) c2 define as linhas de força.

EXERCÍCIOS 8.5


Nos Problemas 1 e 2, a função indicada é analítica para todo z. Mostre que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos. 1. 2. Nos Problemas 3-8, mostre que a função indicada não é analítica em qualquer ponto. 3.

4.

5.

6.

7. 8.

14. Nos Problemas 15 e 16, determine constantes reais a, b, c e d de modo que a função indicada seja analítica. 15. 16. Nos Problemas 17-20, mostre que a função indicada não é analítica em qualquer ponto, porém é diferenciável ao longo da(s) curva(s) indicada(s). 17.

; eixo x

Nos Problemas 9-14, utilize o Teorema 8.3 para mostrar que a função indicada é analítica em um domínio apropriado. 9.

18.

; eixos coordenados

10.

20.

11.

21. Utilize (8) para obter a derivada da função no Problema 9.

12. 13.

19.

; eixos coordenados

22. Utilize (8) para obter a derivada da função no Problema 11.

270


Nos Problemas 23-28, verifique que a função indicada u é harmônica. Determine v, a função harmônica conjugada de u. Forme a função analítica correspondente f (z) u iv.

30. Considere a função f (z) 1/z. Descreva as curvas de nível.

23.

32. Suponha que u e v sejam funções harmônicas formando as partes real e imaginária de uma função analítica. Mostre que as curvas de nível u(x,y) c1 e v(x,y) c2 são ortogonais. [Sugestão: Considere o gradiente de u e o gradiente de v. Ignore o caso no qual o vetor gradiente é o vetor zero.]

24.

25. 26. 27. 28.

31. Considere a função f(z) z 1/z. Descreva a curva de nível v(x,y) 0.

29. Esboce as curvas de nível u(x,y) c1 e v(x,y) c2 da função analítica f (z) z2.

8.6

Funções exponenciais e logarítmicas

Introdução

Nessa e na próxima seção, examinaremos as funções exponencial, logarítmica, trigonométrica e hiperbólica de uma variável complexa z. Apesar das definições dessas funções complexas serem motivadas pelo análogo de suas variáveis reais, as propriedades dessas funções complexas resultam em algumas surpresas.

Função exponencial

ex tem as propriedades

Recorde que em variáveis reais a função exponencial f(x) (1)

Certamente queremos a definição da função complexa f (z) e , onde z x iy, reduza ex para y 0 e que possua as mesmas propriedades de (1). Já utilizamos uma função exponencial comum com um expoente imaginário puro. A fórmula de Euler z

(2) desempenhou um papel importante na Seção 3.3 do Volume 1. Podemos estabelecer formalmente o resultado em (2) utilizando a série de Maclaurin para ex, substituindo x por iy e rearranjando os termos:

Para z x iy, é natural esperarmos que

e assim, de (2), Inspirados por esse resultado formal, apresentamos a seguinte definição:


Função exponencial (3)

A função exponencial ez é também representada pelo símbolo exp z. Note que (3) se reduz para ex quando y 0.


Exemplo 1 Calcule e

271

Valor complexo da função exponencial

1,7 4,2i

.

Com as identificações x 1,7 e y 4,2, e com o auxílio de uma calculadora, temos, arredondando para quatro casas decimais,

Solução

❑

A partir de (3), temos

As partes real e imaginária de e , u(x,y) e cos y e v(x,y) e sen y, são contínuas e têm derivadas parciais primeira contínuas em todo ponto z do plano complexo. Além disso, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos do plano complexo: z

x

x

A partir do Teorema 8.3, temos que f (z) e é analítica para todo z; em outras palavras, f é uma função completa. Demonstraremos que ez possui as duas propriedades desejadas indicadas em (1). Primeiro, a derivada de f é dada por (5) da Seção 8.5: z

y z + 4␲i 3␲i z + 2␲i

Conforme desejado, estabelecemos que z x

A seguir, se z1 x1 iy1 e z2 x2 iy2, então, pela multiplicação dos números complexos e as fórmulas de adição da trigonometria, obtemos

z – 2␲i

–␲i

–3␲i

Figura 8.17 Os valores de f (z) ez nos quatro pontos são os mesmos.

Em outras palavras,

(4)

Deixa-se como exercício demonstrar que

y ␲i

Periodicidade Ao contrário da função real e , a função complexa f(z) e é perix

z

ódica como período complexo 2␲i. Como e cos 2␲ i sen2␲ 1 e, em vista de (4), ez2␲i eze2␲i ez para todo z, temos f(z2␲i) f(z). Em decorrência dessa periodicidade complexa, todos os valores possíveis de f(z) ez são considerados em qualquer faixa horizontal infinita de largura 2␲. Logo, se dividirmos o plano complexo em faixas horizontais definidas por (2n – 1)␲ y (2n 1)␲, n 0, 1, 2,..., então, conforme ilustrado na Figura 8.17, para qualquer ponto z na faixa ␲ y ␲, os valores f(z), f(z 2␲i), f(z 2␲i), f(z 4␲i), e assim por diante, são os mesmos. A faixa ␲ y ␲ é denominada região fundamental para a função exponencial f(z) ez. O fluxo correspondente sobre a região fundamental está apresentado na Figura 8.18. 2␲i

Forma polar de um número complexo Na Seção 8.2, vimos que o número complexo z poderia ser escrito na forma polar como z r(cos ␪ i sen␪). Como ei␪ cos ␪ i sen ␪, podemos agora escrever a forma polar de um número complexo como

x

–␲i

Figura 8.18 damental.

Fluxo sobre a região fun-

272


Por exemplo, em forma polar, z 1 i é Comentários

Em matemática aplicada, matemáticos e engenheiros frequentemente resolvem o mesmo problema de formas completamente diferentes. Considere, por exemplo, a solução do Exemplo 10 na Seção 3.8 do Volume 1. Nesse exemplo, utilizamos estritamente análise real para obter a corrente de regime permanente ip(t) em um circuito série RLC descrito pela equação diferencial

Engenheiros eletricistas muitas vezes resolvem problemas de circuitos tais como esse utilizando análise complexa. Para ilustrar, vamos primeiro representar a unidade imaginária pelo símbolo j para evitar confusão com a corrente i. Como a corrente i está relacionada à carga q por i dq/dt, a equação diferencial é igual a

Além disso, a tensão de alimentação E0 sen ␥t pode ser substituída por Im(E0ej␥t), onde Im significa a “parte imaginária de”. Por causa dessa última forma, o método dos coeficientes indeterminados sugere que assumamos uma solução na forma de um múltiplo constante da exponencial complexa – isto é, ip(t) Im(Aej␥t). Substituímos essa expressão na última equação diferencial, utilizamos o fato de que q é uma antiderivada de i, e igualamos os coeficientes de ej␥t:

A quantidade Z R j(L␥ 1/C␥) é chamada de impedância complexa do circuito. Note que o módulo da impedância complexa, foi representado no Exemplo 10 da Seção 3.8 do Volume 1 pela letra Z e denominado impedância. Agora, em forma polar, a impedância complexa é

Portanto, A E0/Z E0/(|Z|ej␪), e assim a corrente de regime permanente pode ser escrita como

O leitor é encorajado a verificar que essa última expressão é a mesma de (35) da Seção 3.8 do Volume 1. O logaritmo de um número complexo z x iy, z ⫽ 0, é definido como o inverso da função exponencial – isto é,

Função logarítmica

(5) Em (5), notamos que ln z não é definido para z 0, pois não existe valor de w para o qual ew 0. Para obter as partes real e imaginária de ln z, escrevemos w u iv e aplicamos (3) e (5): A última igualdade implica x eu cos v e y eu sen v. Podemos resolver essas duas equações para u e v. Primeiro, elevando ao quadrado e somando as equações, obtemos


onde loge|z| representa o logaritmo natural real do módulo de z. Depois, para resolver em relação a v, dividimos as duas equações para obter

Essa última equação significa que v é um argumento de z, isto é, v ␪ arg z. Porém, como não há argumento único para um dado número complexo z x iy, se ␪ for um argumento de z, então ele é ␪ 2n␲, n 0, 1, 2,....

D E F I N IÇ ÃO 8 . 1 0

Logaritmo de um número complexo

Para z ⫽ 0 e ␪ arg z, (6)

Como está claramente indicado em (6), existem infinitos valores do logaritmo de um número complexo z. Isso não deve ser uma grande surpresa, pois a função exponencial é periódica. Em cálculo real, logaritmos de números negativos não são definidos. Como o próximo exemplo mostrará, esse não é o caso em cálculo complexo. Exemplo 2

Valores complexos da função logarítmica

Determine os valores de (a) ln (2), (b) ln i e (c) ln (–1 – i) Solução

(a) Com ␪ arg (2) ␲ e loge|2| 0,6932, temos de (6)

(b) Com ␪ arg (i) ␲/2 e loge|i| loge1 0, temos a partir de (6) que

Em outras palavras, ln i ␲i/2, 3␲i/2, 5␲i/2, 7␲i/2, e assim por diante. (c) Com ␪ arg(–1 – i) 5␲/4 e loge|–1 – i| loge

0,3466, temos de (6) ❑

Exemplo 3

Resolvendo uma equação exponencial

z Determine todos os valores de z de modo que e

Solução

i). Agora | em

i.

A partir de (5), com o símbolo w substituído por z, temos z ln( i| 2 e tg ␪ 1/ implica arg( i) ␲/6. Assim, (6) resulta

❑ Valor principal É interessante notar que, como consequência de (6), o logaritmo de um número real positivo tem muitos valores. Por exemplo, em cálculo real, loge 5 tem apenas um valor: loge 5 1,6094, enquanto que em cálculo complexo, ln 5

273

274


1,6094 2n␲i. O valor de ln 5 que corresponde a n 0 é o mesmo do logaritmo real loge 5, sendo denominado valor principal de ln 5. Relembre que na Seção 8.2 estipulamos que o argumento principal de um número complexo, escrito Arg z, se localiza no intervalo (␲, ␲]. Em geral, definimos o valor principal de ln z como aquele logaritmo complexo que corresponde a n 0 e ␪ Arg z. Para enfatizar o valor principal do logaritmo, adotaremos a notação Ln z. Em outras palavras, (7) Como Arg z é único, existe somente um valor de Ln z para cada z ⫽ 0. Exemplo 4

Valores principais

Os valores principais dos logaritmos no Exemplo 2 são indicados a seguir. (a) Como Arg (2) ␲, precisamos apenas adotar n 0 no resultado apresentado no item (a) do Exemplo 2:

(b) De modo similar, como Arg(i) ␲/2, adotamos n 0 no resultado do item (b) do Exemplo 2 para obter

(c) No item (c) do Exemplo 2, arg (–1 – i) 5␲/4 não é o argumento principal de z –1 – i. O argumento de z que se localiza no intervalo (␲, ␲] é Arg (–1 – i) –3␲/4. Logo, a partir de (7) temos ❑ Até esse ponto, evitamos utilizar a palavra função pela razão óbvia de que ln z definida em (6) não é uma função na interpretação estrita da palavra. Apesar disso, é comum escrevermos f (z) ln z e nos referirmos a f (z) ln z pela frase aparentemente contraditória função de múltiplos valores. Apesar de não investigarmos os detalhes, (6) pode ser interpretada como um conjunto infinito de funções logarítmicas (sentido padrão da palavra). Cada função no conjunto é chamada ramo de ln z. A função f (z) Ln z é então denominada ramo principal de ln z, ou função logarítmica principal. Para minimizar a confusão, a partir de agora utilizaremos as palavras função logarítmica quando nos referirmos a f (z) ln z ou f (z) Ln z. Algumas propriedades familiares da função logarítmica se aplicam ao caso complexo:

(8) As equações (8) e (9) são interpretadas no sentido de que se valores forem determinados para dois dos termos, então um valor correto será designado para o terceiro termo. Exemplo 5

Propriedades dos logaritmos

Suponha z1 1 e z2 1. Então, se adotarmos ln z1 2␲i e ln z2 ␲i, obtemos

❑ Como (7) da Seção 8.2 não era válida quando arg z era substituído por Arg z, (8) também não é verdadeira, em geral, quando ln z é substituído por Ln z. Veja os Problemas 45 e 46 nos Exercícios 8.6.

275

8.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas Analiticidade A função logarítmica f (z) Ln z não é contínua em z 0, pois f (0) não é definida. Além disso, f (z) Ln z é descontínua em todos os pontos do eixo real negativo. Isso ocorre porque a parte imaginária da função, v Arg z, é descontínua somente nesses pontos. Para ver isso, suponha x0 sendo um ponto no eixo real negativo. Quando z → x0 a partir do plano metade superior, Arg z → ␲, enquanto que se z → x0 a partir do plano metade inferior, então Arg z → ␲. Isso significa que f (z) Ln z não é analítica no eixo real não positivo. Entretanto, f(z) Ln z é analítica por todo o domínio D constituído por todos os pontos no plano complexo exceto aqueles no eixo real não positivo. É conveniente pensar D como o plano complexo a partir do qual o eixo real não positivo foi retirado. Como f (z) Ln z é o ramo principal de ln z, o eixo real não positivo é referido como corte de ramificação para a função. Veja a Figura 8.19. Deixa-se como exercício mostrar que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas por todo esse plano cortado e que a derivada de Ln z é dada por

y corte de ramificação x

Figura 8.19 Ln z.

Corte de ramificação para

y

(9) para todo z em D. A Figura 8.20 mostra w Ln z como um fluxo. Note que o campo vetorial não é contínuo ao longo do corte de ramificação. i

Inspirados pela identidade xa ea ln x em variáveis reais, podemos definir potências complexas de um número complexo. Se ␣ for um número complexo e z x iy, então z␣ é definida como Potências complexas

x –i

(10) Em geral, z␣ tem múltiplos valores pois ln z tem também múltiplos valores. No entanto, no caso especial quando ␣ n, n 0, 1, 2,..., (10) tem valor único, pois existe apenas um valor para z2, z3, z1 e assim por diante. Para ver isso, suponha ␣ 2 e z rei␪, onde ␪ é qualquer argumento de z. Então, Figura 8.20

w Ln z como um fluxo.

Se utilizarmos Ln z no lugar de ln z, então (10) retorna o valor principal de z␣. Exemplo 6

Potência complexa

2i Determine o valor de i .

Solução

Com z i, arg z ␲/2 e ␣ 2i, a partir de (9) temos

onde n 0, 1, 2,.... A inspeção da equação mostra que i2 é real para todo valor de n. Como ␲/2 é o argumento principal de z i, obtemos o valor principal de i2i para n 0. Arredondando para quatro casas decimais, esse valor principal é i2i e␲ 0,0043. ❑

EXERCÍCIOS 8.6


Nos Problemas 1-10, espresse e na forma a ib. z

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Nos Problemas 11 e 12, expresse o número indicado na forma a ib. 11.

12.

Nos Problemas 13-16, use a Definição 8.9 para expressar a função indicada na forma f (z) u iv. 13.

14.

276


15.

16.

Nos Problemas 43 e 44, determine o valor principal da quantidade dada. Expresse as respostas na forma a ib.

Nos Problemas 17-20, verifique o resultado indicado.

43.

17.

18.

45. Se z1 i e z2 1 i, verifique que

19.

20.

um inteiro

21. Mostre que f (z) ez não é analítica em nenhum lugar. 22. (a) Use o resultado do Problema 15 para mostrar que é uma função completa. (b) Verifique que u(x,y)

44.

é uma função harmônica.

46. Determine dois números complexos z1 e z2 tais que

47. Determine se a definição indicada é verdadeira.

Nos Problemas 23-28, expresse ln z na forma a ib.

(a)

23.

24.

(b)

25.

26.

27.

28.

(c) 48. As leis de expoentes se aplicam aos números complexos ␣ e ␤:

Nos Problemas 29-34, expresse Ln z na forma a ib. 29.

30.

31.

32.

33.

34.

um inteiro Entretanto, a última lei não é válida se n for um número complexo. Verifique que (ii)2 i2i, mas (i2)i ⫽ i2i.

Nos Problemas 35-38, determine todos os valores de z que satisfazem a equação indicada. 35.

36.

37.

38.

Nos Problemas 39-42, determine todos os valores da quantidade dada. 39.

40.

41.

42.

49. Para números complexos z que satisfazem Re(z) 0, mostre que (7) pode ser escrita como

50. A função indicada no Problema 49 é analítica: (a) Verifique que u(x,y) loge(x2 y2) é uma função harmônica. (b) Verifique que v(x,y) tg1(y/x) é uma função harmônica.

8.7

Funções trigonométricas e hiperbólicas

Introdução Nessa seção, definiremos funções trigonométricas e hiperbólicas complexas. De modo análogo às funções complexas ez e Ln z definidas na seção anterior, essas funções estarão de acordo com as suas contrapartidas reais para valores reais de z. Além disso, mostraremos que as funções trigonométricas e hiperbólicas complexas têm as mesmas derivadas e satisfazem muitas das mesmas identidades que as funções trigonométricas e hiperbólicas reais. Funções trigonométricas

Se x for uma variável real, então temos da fórmula de

Euler que

Subtraindo e a seguir somando essas equações, vemos que as funções reais sen x e cos x podem ser expressas como uma combinação de funções exponenciais: (1)

8.7 Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

Utilizando (1) como modelo, definimos agora o seno e o co-seno de uma variável complexa:

D E F I N IÇ ÃO 8 . 1 1

Seno e co-seno trigonométricos

Para qualquer número complexo z x iy, (2)

Como na trigonometria, definimos quatro funções trigonométricas adicionais em termos de sen z e cos z: (3) Quando y 0, cada função em (2) e (3) se reduz à sua contraparte real. iz

Analiticidade

iz

Como as funções exponenciais e e e são funções completas, temos então que sen z e cos z são também funções complexas. Agora, conforme veremos brevemente, sen z 0 somente para números reais z n␲, n um inteiro, e cos z 0 apenas para os números reais z (2n 1)␲/2, n um inteiro. Portanto, tg z e sec z são analíticas exceto nos pontos z (2n 1)␲/2, e cotg z e cosec z são analíticas exceto nos pontos z n␲. Derivadas iz

iz

ie e (d/dz)e

Como (d/dz)e e , a partir da regra da cadeia temos que (d/dz)e ieiz. Assim, z

z

iz

De fato, mostra-se facilmente que as formas das derivadas das funções trigonométricas complexas são as mesmas das funções reais. A seguir, resumimos os resultados.

(4) Identidades As identidades trigonométricas familiares são também as mesmas para o caso complexo.

277

278

CAPÍTULO 8 Funções de Variáveis Complexas Zeros Para obter os zeros de sen z e cos z, precisamos expressar ambas as funções na forma u iv. Antes de procedermos, recorde de cálculo que se y for real, então o seno e o co-seno hiperbólicos são definidos em termos das funções exponenciais reais ey e ey:

(5) Agora, a partir da Definição 8.11 e da fórmula de Euler, obtemos, após simplificarmos,

Logo, a partir de (5), temos (6) Deixa-se como exercício mostrar que (7) De (6), (7) e cosh y 1 senh y, temos 2

2

(8) (9)

e

Agora um número complexo é zero se e somente se |z| 0. Portanto, se sen z 0, então a partir de (8) temos que ter sen2x senh2y 0. Isso implica sen x 0 e senh y 0. Logo, x n␲ e y 0. Assim, os únicos zeros de sen z são os números reais z n␲ 0i n␲, n 0, 1, 2,.... De modo similar, temos a partir de (9) que cos z 0 apenas quando z (2n 1)␲/2, n 0, 1, 2,.... 2

Exemplo 1

Valor complexo da função seno

A partir de (6), temos, com o auxílio de uma calculadora, ❑ Em trigonometria normal, estamos acostumados ao fato de que |sen x| 1 e |cos x| 1. A inspeção de (8) e (9) mostra que essas desigualdades não se aplicam para o seno e co-seno complexos, pois senh y pode variar de a . Em outras palavras, é perfeitamente possível termos soluções para equações tais como cos z 10. Exemplo 2

Resolvendo uma equação trigonométrica

Resolva a equação cos z 10. A partir de (2), cos z 10 é equivalente a (eiz eiz)/2 10. Multiplicando-se a última equação por eiz, obtém-se a equação quadrática em eiz:

Solução

A partir da fórmula quadrática, temos 1, 2,..., temos indicada como z 2n␲ i loge(10

Assim, para n 0, Dividindo por i e utilizando podemos expressar as soluções da equação ). ❑

8.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas Funções hiperbólicas

Definimos seno e co-seno hiperbólicos complexos de uma maneira análoga às definições reais apresentadas em (5):

D E F I N IÇ ÃO 8 . 1 2

Seno e co-seno hiperbólicos

Para qualquer número complexo z x iy, (10)

As funções tangente, co-tangente, secante e co-secante hiperbólicas são definidas em termos de senh z e cosh z: (11) O seno e o co-seno hiperbólicos são funções completas, e as funções definidas em (11) são analíticas exceto nos pontos nos quais os denominadores são zero. É também fácil ver de (10) que (12) É interessante observar que, ao contrário do cálculo real, as funções trigonométricas e hiperbólicas estão relacionadas em cálculo complexo. Se substituirmos z por iz em todas as fórmulas de (10) e compararmos os resultados com (2), veremos que senh(iz) i sen z e cosh (iz) cos z. Essas equações nos permitem expressar sen z e cos z em termos de senh(iz) e cosh(iz), respectivamente. De modo similar, substituindo z por iz em (2), podemos expressar, respectivamente, senh z e cosh z em termos de sen(iz) e cos(iz). Resumimos os resultados a seguir: (13) (14) Zeros As relações ilustradas em (14) nos permitem obter identidades para as funções hiperbólicas utilizando resultados das funções trigonométricas. Por exemplo, para espressar senh z na forma u iv, escrevemos senh z i sen(iz) na forma senh z i sen(y ix) e utilizamos (6):

Como sen(y) sen y e cos(y) cos y, a equação anterior se simplifica para (15) Similarmente,

(16)

Decorre também diretamente de (14) que os zeros de senh z e cosh z são imaginários puros, sendo, respectivamente,

Periodicidade Como sen x e cos x são periódicas em 2␲, podemos demonstrar facilmente que sen z e cos z são também periódicas com o mesmo período real 2␲. Por exemplo, a partir de (6), observe que

isto é, sen(z 2␲) sen z. Exatamente da mesma maneira, segue-se de (7) que cos(z 2␲) cos z. Além disso, as funções hiperbólicas senh z e cosh z têm o período imaginário 2␲i. Esse último resultado decorre da Definição 8.12 e do fato de que ez é periódica com período 2␲i, ou a partir de (15) e (16) e substituindo-se z por z 2␲i.

279

280


EXERCÍCIOS 8.7


Nos Problemas 1-12, expresse a quantidade indicada na forma a ib. 2. 1. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

19.

20.

Nos Problemas 21 e 22, utilize a definição de igualdade de números complexos para obter todos os valores de z que satisfazem a equação dada. 22. 21. 23. Demonstre que 24. Demonstre que 25. Demonstre que 26. Demonstre que 27. Demonstre que 28. Demonstre que 29. Demonstre que

Nos Problemas 13 e 14, verifique o resultado indicado.

30. Demonstre que tg z u iv, onde

13. 14. Nos Problemas 15-20, determine todos os valores de z que satisfazem a equação indicada. 15.

16.

17.

18.

8.8

31. Prove que tgh z é periódica com período ␲i. 32. Prove que

Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas

Introdução

Como funções de uma variável complexa z, vimos que as funções trigonométricas e hiperbólicas são periódicas. Consequentemente, essas funções não possuem inversas que sejam funções na interpretação estrita da palavra. As inversas dessas funções analíticas são funções de múltiplos valores. Conforme fizemos na Seção 8.6 para a investigação da função logarítmica, retiraremos o adjetivo “múltiplos valores” em toda a discussão que se segue.

Seno inversa

A função seno inversa, escrita sen1z ou arcsen z, é definida por (1)

A função seno inversa pode ser expressa em termos da função logarítmica. Para ver isso, aplicamos (1) e a definição da função seno:

A partir da última equação e da fórmula quadrática, obtemos então (2) Note em (2) que não utilizamos o simbolismo comum pois sabemos da Seção 8.2 que (1 – z2)1/2 tem dois valores. Resolvendo (2) para w então resulta em (3)

8.8 Funções Trigonométricas e Hiperbólicas inversas

Procedendo de uma maneira similar, obtemos as inversas do co-seno e da tangente como sendo (4) (5)

Exemplo 1

Valores de uma função seno inversa

Determine todos os valores de Solução

A partir de (3), temos

Com

a expressão anterior se torna

Esse resultado pode ser simplificado observando-se que loge( (

)) loge(

) loge(1/

). Assim, para n 0, 1, 2,..., (6) ❑

Para obtermos valores particulares de, por exemplo, sen1z, temos que escolher uma raiz específica de 1 – z2 e um ramo específico do logaritmo. Se escolhermos (1 2 1/2 1/2 –( ) ) (4) 2i e o ramo principal do logaritmo, então (6) resulta no valor único

Derivadas

As derivadas das três funções trigonométricas inversas consideradas anteriormente podem ser obtidas por diferenciação implícita. Para obter a derivada da função seno inversa w sen1z, iniciamos por diferenciar z sen w:

Utilizando a identidade trigonométrica cos2w sen2w 1 (veja o Problema 28 nos Exercícios 8.7) na forma cos w (1 – sen2w)1/2 (1 – z2)1/2, obtemos (7) De modo similar, temos que

(8)

(9)

281

282


Deve-se observar que as raízes quadradas utilizadas em (7) e (8) têm que ser consistentes com as raízes quadradas utilizadas em (3) e (4). Exemplo 2

Calculando uma derivada

Determine a derivada de Solução No Exemplo 1, se usarmos então a mesma raiz tem que ser utilizada em (7). O valor da derivada consistente com essa escolha é indicado por

❑ Funções hiperbólicas inversas As funções hiperbólicas inversas podem também ser escritas em termos de logaritmo. Resumimos esses resultados para seno, co-seno e tangente hiperbólicas inversas junto com suas derivadas:

(10) (11) (12) (13)

(14)

(15)

Exemplo 3

Valores de um co-seno hiperbólico inverso 1

Determine todos os valores de cosh (1), Solução

A partir de (11) com z 1, obtemos

Como loge1 0, temos para n 0, 1, 2,..., ❑

EXERCÍCIOS 8.8


Nos Problemas 1-14, determine todos os valores da quantidade indicada. 1. 2. 3. 4. 5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.




Responda os Problemas 1-16 sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso. 1. Re((1 i)10) ____ e Im((1 i)10) ____. 2. Se z for um ponto no terceiro quadrante, então ____ quadrante. 3. Se z 3 4i, então 4. i

127

1

– 5i 2i 9

está no

Nos Problemas 27 e 28, determine todas as soluções da equação indicada.

____

27.

_____ então Arg z _____

8. Se

então z é um número imaginário puro. _____

11. O valor principal de

é _____

12. Se f (1 2i) _____

28.

29. Se f (z) z24 – 3z20 4z12 – 5z6, calcule

9. Se ez 2i, então z _____ 10. Se

26. Considere z e w números complexos de modo que |z| 1 e |w| ⫽ 1. Demonstre que

____

6. Descreva a região definida por 7.

25. Veja as definições de seções cônicas em um texto de cálculo. Descreva agora o conjunto de pontos no plano complexo que satisfaz a equação |z – 2i| |z 2i| 5.

_____

então |z| _____

5. Se

283

então

na forma f(z)

30. Escreva u(x,y) iv(x,y).

Nos Problemas 31 e 32, determine a imagem da reta x 1 no plano w sob o mapeamento indicado.

13. Se as equações de Cauchy-Riemann forem satisfeitas em um ponto, então a função é necessariamente analítica nesse ponto. _____

31.

14. f (z) ez é periódica com período _____

Nos Problemas 33-36, determine todos os números complexos para os quais a declaração indicada é verdadeira.

15. Ln(ie ) _____ 3

16. f (z) sen(x – iy) não é analítica em nenhum lugar. _____ Nos Problemas 17-20, escreva o número indicado na forma a ib. 17.

18.

19.

20.

32.

33.

34.

35.

36.

37. Mostre que a função f (z) (2xy 5x) i(x – 5y – y ) é analítica para todo z. Determine f¿(z). 2

38. Determine se a função

é diferenciável. Ela é analítica?

Nos Problemas 21-24, esboce o conjunto de pontos no plano complexo que satisfaz a desigualdade indicada.

Nos Problemas 39 e 40, verifique a igualdade indicada.

21.

22.

39.

23.

24.

40.

2

CAPÍTULO

9 Integração no Plano Complexo Descrição do capítulo 9.1 Integrais de contorno 9.2 Teorema de Cauchy-Goursat 9.3 Independência do caminho 9.4 Fórmulas integrais de Cauchy Exercícios de revisão

Para definir uma integral de uma função complexa f, consideramos f definida ao longo de alguma curva C ou contorno no plano complexo. Veremos nessa seção que a definição de uma integral complexa, suas propriedades e o método de cálculo são bastante similares àqueles referentes a uma integral de linha real no plano.

9.1 Integrais de Contorno

9.1

Integrais de contorno

Introdução

Na Seção 3.8 do Volume 2, vimos que a definição da integral definida começa por uma função real y f (x) definida em um intervalo [a, b] no eixo x. Como uma curva planar é o análogo bidimensional de um intervalo, generalizamos então a definição da integral definida para integrais de funções reais de duas variáveis definidas em uma curva C no plano cartesiano. Veremos nessa seção que uma integral complexa é definida de uma maneira muito similar àquela de uma integral de linha no plano cartesiano. No caso de você não ter estudado as Seções 3.8 e 3.9 do Volume 2, recomenda-se a revisão dessas seções. Uma definição

Integração no plano complexo é definida de um modo similar àquele de uma integral de linha em um plano. Em outras palavras, estaremos lidando com uma integral de uma função complexa f(z) definida ao longo de uma curva C no plano complexo. Essas curvas são definidas em termos de equações paramétricas x x(t), y y(t), a t b, onde t é um parâmetro real. Utilizando x(t) e y(t) como partes real e imaginária, podemos também descrever uma curva C no plano complexo por meio de uma função complexa de uma variável real t: z(t) x(t) iy(t), a t b. Por exemplo, x cos t, y sen t, 0 t 2␲, descreve um círculo unitário centrado na origem. Esse círculo também pode ser descrito por z(t) cos t isen t, ou mesmo de modo mais compacto por z(t) eit, 0 t 2␲. As mesmas definições de curva suave, curva suave por partes, curva fechada e curva fechada simples indicadas na Seção 3.8 do Volume 2 se aplicam a essa discussão. Como antes, consideraremos a direção positiva em C correspondendo a valores crescentes de t. Em variáveis complexas, uma curva suave por partes C é também chamada contorno ou caminho. Uma integral de f (z) em C é descrita como se o contorno C for fechado; ela é referida como integral de contorno ou integral de linha complexa.

f (z) u(x,y) iv(x,y)

z*n

zn –1

1. Considere f definida em todos os pontos de uma curva C definida por x x(t), y y(t), a t b. 2. Divida C em n subarcos de acordo com a partição a t0 t1 ... tn b de [a, b]. Os pontos correspondentes na curva C são z0 x0 iy0 x(t0) iy(t0), z1 x1 iy1 x(t1) iy(t1),..., zn xn iyn x(tn) iy(tn). Adote zk zk – zk1, k 1, 2, …, n. 3. Seja ||P|| a norma da partição – isto é, o valor máximo de |zk|. 4. Escolha um ponto

C

z0 z*1

z2 z1

em cada subarco.

5. Forme o somatório


zn

Integral de contorno

Seja f definida em pontos de uma curva suave C, por sua vez definida por x x(t), y y(t), a t b. A integral de contorno de f ao longo de C é (1)

O limite em (1) existe se f for contínua em todos os pontos em C e se C for suave ou suave por partes. Consequentemente, daqui para frente consideraremos essas condições como dadas.

z*2

285

286

CAPÍTULO 9 Integração no Plano Complexo Um método de cálculo

Voltaremos agora para a questão do cálculo de uma integral de contorno. Para facilitar a discussão, vamos suprimir os subscritos e escrever (1) na forma abreviada

Isso significa

(2)

Em outras palavras, uma integral de contorno integrais de linha reais y(t), a t b, o lado direito de (2) é o mesmo que

é uma combinação de duas Agora, como x x(t) e y

Porém, se utilizarmos z(t) x(t) iy(t) para descrever C, o último resultado é o mesmo que quando separada em duas integrais. Assim, obtemos um meio prático de calcular uma integral de contorno:

TEOREMA 9.1

Cálculo de uma integral de contorno

Se f for contínua em uma curva suave C dada por z(t) x(t) iy(t), a t b, então (3)

Se f for escrita em termos do símbolo z, então para calcular f (z(t)) simplesmente substitui-se o símbolo z por z(t). Se f não estiver escrita em termos de z, então para calcular f (z(t)) substitui-se x e y sempre que eles forem representados por x(t) e y(t), respectivamente. Exemplo 1 Calcule Solução

Calculando uma integral de contorno onde o contorno C é definido por x 3t, y t2, 1 t 4. Escrevemos z(t) 3t it2 de modo que z¿(t) 3 2it e Assim,

❑

Exemplo 2 Calcule

Calculando uma integral de contorno onde o C é círculo x cos t, y sen t, 0 t 2␲.

287

9.1 Integrais de Contorno Solução

Nesse caso,

Portanto,

❑ Para algumas curvas, a própria variável real x pode ser utilizada como parâmetro. Por exemplo, para calcular escrevemos e integramos da maneira usual. Propriedades As seguintes propriedades de integrais de contorno são análogas às

propriedades de integrais de linha:

TEOREMA 9.2

Propriedades de integrais de contorno

Suponha f e g contínuas em um domínio D, e C sendo uma curva suave localizada inteiramente em D. Assim: (i)

, k uma constante

(ii) (iii)

, onde C é a união das curvas suaves C1 e C2.

(iv)

, onde –C denota a curva tendo a orientação oposta à de C.

As quatro partes do Teorema 9.2 também se aplicam quando C for uma curva suave por partes em D. Exemplo 3 Calcule Solução

y

Calculando uma integral de contorno

1 + 2i

, onde C é o contorno apresentado na Figura 9.1.

C2

Em vista do Teorema 9.2(iii), escrevemos

1+i C1

Como a curva C1 é definida por y x, faz sentido utilizar x como parâmetro. Assim, z(x) x ix, z¿(x) 1 i, f (z(x)) x2 ix2 e

x

Figura 9.1 Contorno suave por partes no Exemplo 3.

A curva C2 é definida por x 1, 1 y 2. Usando y como um parâmetro, temos z(y) 1 iy, z¿(y) i e f (z(y)) 1 iy2. Portanto,

Finalmente, temos

❑

288

CAPÍTULO 9 Integração no Plano Complexo

Existem casos na aplicação de integração complexa que é útil determinar um limite superior para o valor absoluto de uma integral de contorno. No próximo teorema, usaremos o fato de que o comprimento de uma curva plana é Porém, se z¿(t) x¿(t) iy¿(t), então mente s

TEOREMA 9.3

e consequente-

Um teorema limite

Se f for contínua em uma curva suave C e se |f (z)| M para todo z em C, então onde L é o comprimento de C.

Demonstração A partir da desigualdade do triângulo (6) da Seção 8.1, podemos

escrever (4) Agora, |zk| pode ser interpretado como o comprimento da corda unindo os pontos zk e zk1. Como a soma dos comprimentos das cordas não pode ser maior do que o comprimento de C, (4) se torna Logo, como ||P|| → 0, a última desigualdade resulta em ❑ O Teorema 9.3 é frequentemente utilizado na teoria de integração complexa, sendo algumas vezes referido como desigualdade ML. Exemplo 4

Um limite para uma integral de contorno

Determine um limite superior para o valor absoluto de

, onde C é o

círculo |z| 4. Solução

Primeiro, o comprimento s do círculo de raio 4 é 8␲. A seguir, a partir da desigualdade (7) da Seção 8.1, temos e assim (5)

Além disso, |ez| |ex (cos y i sen y)| ex. Para pontos no círculo |z| 4, o máximo valor de x é 4, e assim (5) se torna

Portanto, a partir do Teorema 9.3, temos ❑ Circulação e fluxo líquido

Considere T e N como sendo o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário a um contorno fechado simples orientado positivamente C. Quando interpretamos a função complexa f (z) u(x,y) iv(x,y) como um vetor, as integrais de linha (6)

e

(7)

9.1 Integrais de Contorno

289

têm interpretações especiais. A integral de linha em (6) é chamada de circulação em torno de C e mede a tendência do fluxo a rotacionar a curva C. Veja a Seção 3.8 do Volume 2 para derivação. O fluxo líquido através de C é a diferença entre a taxa à qual o fluxo entra e a taxa à qual o fluxo sai da região limitada por C. O fluxo líquido através de C é dado pela integral de linha em (7), e um valor não nulo para indica a presença de fontes ou escoadouros para o fluxo dentro da curva C. Note que

e assim (8)

(9) y

Logo, essas duas quantidades-chave podem ser obtidas pelo cálculo de uma única integral complexa. Exemplo 5

Fluxo líquido

Dado o fluxo f (z) (1 i)z, calcule a circulação ao redor e o fluxo líquido através do círculo C: |z| 1. Solução

Como

temos

Logo, a circulação em torno de C é 2␲, e o fluxo líquido através de C é 2␲. Veja a Figura 9.2. ❑

EXERCÍCIOS 9.1

2.

4.

, onde C é o caminho poligonal constituído pelos segmentos de reta de z 0 para z 2 e de z 2 para z 1 ␲i

12.

, onde C é o caminho poligonal constituído pelos segmentos de reta de z 0 para z 1 e de z 1 para z 1 i

13.

, onde C é o caminho poligonal constituído pelo arco circular ao longo de |z| 1 de z 1 para z i e o segmento de reta de z i para z 1

14.

, onde C é a metade esquerda da elipse x2/36 y2/4 1 de z 2i para z 2i

15.

, onde C é o quadrado com vértices z 0, z 1, z 1iezi

, onde C é a metade direita do círculo |z| 1 a partir de z i para z i.

7.

, onde C é x t , y 1/t, 1 t 2. 2

, onde C é o círculo |z| 1 , onde C é o círculo |z i|

8.

16.

1, 0 t 2␲ 9. 10.

Fluxo f (z) (1 i)z.

11.

3.

6.

Figura 9.2


Nos Problemas 1-16, calcule a integral dada ao longo do contorno indicado. 1.

5.

x C

, onde C é a reta de z 1 para z i , onde C é a metade inferior do círculo |z| 1 de z 1 para z 1

, onde

e C é a parábola y

x de z 1 i para z 1 i 2

Nos Problemas 17-20, calcule a integral dada ao longo do contorno C indicado na Figura 9.3. 17.

18.

290


19.

20.

Nos Problemas 25-28, determine um limite superior para o valor absoluto da integral dada ao longo do contorno indicado.

y 1+i

1

Contorno nos Problemas 17-20.

Nos Problemas 21-24, calcule 1 ao longo dos contornos indicados. 21.

22.

y i

y

27.

, onde C é o segmento de reta a partir de z 0 para z 1 i.

28.

, onde C é um quarto do círculo |z| 4 a partir de z 4i para z 4.

(b) Use o resultado do item (a) para verificar a resposta do Problema 14.

1+i

x

x 1

30. Utilize a Definição 9.1 para mostrar que para qualquer curva suave C entre z0 e zn. [Sugestão: A integral existe, então escolha ] 31. Use os resultados dos Problemas 29 e 30 para calcular onde C é: (a) A reta a partir de 1 i para 2 3i

Figura 9.5 Contorno no Problema 22.

24.

y i

, onde C é a metade direita do círculo |z| 6 a

29. (a) Use a Definição 9.1 para mostrar que para qualquer curva suave C entre z0 e zn.

1

23.

26.

a partir de i para

i


, onde C é o círculo |z| 5.

partir de z 6i para z 6i.

x

Figura 9.3

25.

y i

y = 1 – x2

(b) O contorno fechado x4 y4 4. Nos Problemas 32-35, calcule a circulação e o fluxo líquido para o fluxo dado e o contorno fechado indicado. 32. f (z) 1/z, onde C é o círculo |z| 2

x2 + y2 = 1

33. f (z) 2z, onde C é o círculo |z| 1 34. x

x

1


1

, onde C é o círculo |z – 1| 2

35. f (z) , onde C é o quadrado com vértices z 0, z 1, z 1 i, z i.


9.2

Teorema de Cauchy-Goursat

Introdução Nessa seção, nos concentraremos em integrais de contorno nas quais o contorno C é uma curva fechada simples com uma orientação positiva (sentido anti-horário). Especificamente, veremos que quando f for analítica em um tipo especial de domínio D, o valor da integral de contorno é o mesmo para qualquer curva fechada simples C que se localize inteiramente no interior de D. Esse teorema, denominado teorema de Cauchy-Goursat, é um dos resultados fundamentais da análise complexa. Antes de discutirmos o teorema de Cauchy-Goursat e alguns dos seus desdobramentos, precisamos primeiro distinguir dois tipos de domínios no plano complexo: simplesmente conexos e multiplamente conexos.

291

9.2 Teorema de Cauchy-Goursat Domínios simplesmente e multiplamente conexos

Na discussão que se segue nos concentraremos em integrais de contorno onde o contorno C é uma curva fechada simples com uma orientação positiva (sentido anti-horário). Antes de procedermos, precisamos distinguir dois tipos de domínios. Um domínio D é dito ser simplesmente conexo se todo contorno fechado simples C que se estende inteiramente em D puder ser contraído para um ponto sem deixar D. Em outras palavras, em um domínio simplesmente conexo, todo contorno fechado simples C engloba somente pontos do domínio D. Expressandose ainda de um modo diferente, um domínio simplesmente conexo não tem “buracos” dentro dele. O plano complexo completo é um exemplo de um domínio simplesmente conexo. Um domínio que não é simplesmente conexo tem “buracos”. Veja a Figura 9.8. Como na Seção 3.9 do Volume 2, chamamos um domínio com um “buraco” duplamente conexo, um domínio com dois “buracos” triplamente conexo, e assim por diante.

D

(a) Domínio simplesmente conexo

D

Teorema de Cauchy

Em 1825, o matemático francês Louis-Augustin Cauchy provou um dos mais importantes teoremas em análise complexa. O teorema de Cauchy diz: Suponha que uma função f seja analítica em um domínio simplesmente conexo D e que f ¿ seja contínua em D. Então, para todo contorno fechado simples C em D,

(b) Domínio multiplamente conexo

Figura 9.8

Dois tipos de domínios.

A demonstração desse teorema é uma consequência imediata do teorema de Green e das equações de Cauchy-Riemann. Como f ¿ é contínua em D, as partes real e imaginária de f (z) u iv e suas derivadas primeira parciais são contínuas em D. De (2) em termos de integrais de linha reais e aplicada Seção 9.1, escrevemos mos o teorema de Green em cada integral de linha:

(1) Agora, como f é analítica, as equações de Cauchy-Riemann, u/x v/y e u/y v/x, implicam que os integrandos em (1) são identicamente nulos. Portanto, temos Em 1883, o matemático francês Edouard Goursat demonstrou o teorema de Cauchy sem a consideração da continuidade de f ¿. A versão modificada resultante do teorema de Cauchy é conhecida como teorema de Cauchy-Goursat:

TEOREMA 9.4

Teorema de Cauchy-Goursat

Suponha uma função f analítica em um domínio simplesmente conexo D. Então, para todo contorno C simples fechado em D,

Como o interior de um contorno fechado simples é um domínio simplesmente conexo, o teorema de Cauchy-Goursat pode ser definido de uma maneira mais prática: Se f for analítica em todos os pontos dentro e no contorno fechado simples C, então Exemplo 1 Calcule

y

(2)

, onde C é a curva mostrada na Figura 9.9.

A função f (z) e é completa, e C é um contorno fechado simples. A partir da forma do teorema de Cauchy-Goursat indicada em (2), temos que ❑ Solução

C

Aplicando o Teorema de Cauchy-Goursat

x

z

Figura 9.9

Contorno no Exemplo 1.

292

CAPÍTULO 9 Integração no Plano Complexo y

Exemplo 2

i

Calcule x 1

–1

Aplicando o Teorema de Cauchy-Goursat , onde C é a elipse

A função racional f (z) 1/z é analítica em todo lugar, exceto em z 0. Mas z 0 não é um ponto interior ao contorno C. Assim, de (2), temos ❑

Solução

2

–i

Exemplo 3 Figura 9.10

Fluxo f (z)

Aplicando o Teorema de Cauchy-Goursat

, calcule a circulação em torno e o fluxo líquido através de Dado o fluxo C, onde C é o quadrado com vértices z 1, z i, z 1 e z i.

.

Solução Temos que calcular e então tomar as partes real e imaginária da integral para obter a circulação e o fluxo líquido, respectivamente. A função cos z é analítica em todo lugar, e assim a partir de (2). A circulação e o fluxo líquido são portanto ambos nulos. A Figura 9.10 mostra o fluxo e o contorno C. ❑ C1

D

Teorema de Cauchy-Goursat para domínios multiplamente conexos Se f for analítica em um domínio multiplamente conexo D, então não podemos concluir que para todo contorno fechado simples C em D. Para começar, suponha que D seja um domínio duplamente conexo e que C e C1 sejam contornos simples fechados de modo que C1 cerque o “buraco” no domínio e seja interior a C. Veja a Figura 9.11(a). Suponha, também que f seja analítica em cada contorno e em cada ponto interior a C, mas exterior a C1. Quando introduzimos o corte AB apresentado na Figura 9.11(b), a região limitada pelas curvas é simplesmente conexa. Agora a integral de A para B tem valor oposto ao da integral de B para A, e assim a partir de (2) temos ou

C (a)

A B

D

(3)

C (b)

Figura 9.11 nexo D.

Domínio duplamente co-

y –2 + 4i

4i 2 + 3i

C

O último resultado é algumas vezes chamado de princípio da deformação de contornos, pois podemos pensar o contorno C1 como uma deformação contínua do contorno C. Sob essa deformação de contornos, o valor da integral não muda. Logo, em um nível prático, (3) nos permite calcular uma integral sobre um contorno fechado simples complicado substituindo esse contorno por um que seja mais conveniente. Exemplo 4

Aplicando deformação de contornos

C1

Calcule i x –2

–2i

2 – 2i

Figura 9.12 Utilizamos o contorno mais simples C1 no Exemplo 4.

, onde C é o contorno exterior indicado na Figura 9.12.

Solução

Em vista de (3), escolhemos o contorno circular mais conveniente C1 na figura. Tomando o raio do círculo como sendo r 1, garantimos que C1 se localize no interior de C1. Em outras palavras, C1 é o círculo |z – i| 1, que pode ser parametrizado por x cos t, y 1 sen t, 0 t 2␲, ou de modo equivalente por z i eit, 0 t 2␲. A partir de z – i eit e dz ieit dt, obtemos ❑

293

9.2 Teorema de Cauchy-Goursat

O resultado no Exemplo 4 pode ser generalizado. Aplicando o princípio da deformação de contornos (3) e procedendo como no exemplo, podemos mostrar que se z0 for qualquer número complexo constante interior a qualquer contorno fechado simples C, então (4) O fato da integral em (4) ser zero quando n for um inteiro ⫽ 1 decorre apenas parcialmente do teorema de Cauchy-Goursat. Quando n for zero ou um inteiro negativo, 1/(z – z0)n é um polinômio (por exemplo, n 3, 1/(z – z0)3 (z – z0)3), e portanto completo. O Teorema 9.4 implica então Deixa-se como exercício mostrar que a integral é ainda zero quando n for um inteiro positivo diferente de um. Veja o Problema 22 nos Exercícios 9.2. Exemplo 5

Aplicando a fórmula (4) , onde C é o círculo |z – 2| 2.

Calcule

Como o denominador é fatorado z 2z – 3 (z – 1)(z 3), o integrando não é analítico em z 1 e z 3. Desses dois pontos somente z 1 se localiza no interior do contorno C, que é um círculo centrado em z 2 de raio r 2. Assim, por frações parciais, Solução

2

D

(5)

e portanto

C1

Em vista do resultado indicado em (4), a primeira integral em (5) tem o valor 2␲i. Pelo teorema de Cauchy-Goursat, o valor da segunda integral é zero. Logo, (5) se torna

C2

C

❑ Se C, C1 e C2 forem os contornos fechados simples apresentados na Figura 9.13 e se f for analítica em cada um dos três contornos, bem como em cada ponto interior a C mas exterior tanto a C1 como a C2, então, introduzindo cortes, obtemos a partir do Teorema 9.4 que Logo,

O próximo teorema resumirá o resultado geral para um domínio multiplamente conexo com n “buracos”:

TEOREMA 9.5

Teorema de Cauchy-Goursat para domínios multiplamente conexos

Considere C, C1,..., Cn curvas fechadas simples com uma orientação positiva de modo que C1, C2,..., Cn sejam interiores a C porém as regiões interiores a cada Ck, k 1, 2,..., n, não tenham pontos em comum. Se f for analítica em cada contorno e em cada ponto interior a C porém exterior a todos Ck, k 1, 2,..., n, então (6)

Figura 9.13 nexo D.

Domínio triplamente co-

294


Exemplo 6

Aplicando o Teorema 9.5 onde C é o círculo |z| 3.

Calcule

Nesse caso, o denominador do integrando é fatorado como z2 1 (z – i)(z i). Consequentemente, o integrando 1/(z2 1) não é analítico em z i e z i. Esses pontos se localizam no interior do contorno C. Aplicando decomposição em frações parciais mais uma vez, temos Solução

y

C i

C1 x

–i

e

C2

Cercamos agora os pontos z i e z i por contornos circulares C1 e C2, respectivamente, que se localizam inteiramente no interior de C. Especificamente, a escolha para C1 e para C2 é suficiente. Veja a Figura 9.14. A partir do Teorema 9.5, podemos então escrever Figura 9.14


(7) Como 1/(z i) é analítica em C1 e em cada ponto em seu interior, e como 1/(z – i) é analítica em C2 e em cada ponto em seu interior, a partir de (4) temos que a segunda e terceira integrais em (7) são nulas. Além disso, decorre de (4) que, com n 1,

❑

Assim, (7) é escrita como

Observações

D C

Figura 9.15 O contorno C é fechado mas não é simples.

EXERCÍCIOS 9.2


Nos Problemas 1-8, demonstre que função dada e C é o círculo unitário |z| 1. 1.

Por toda a discussão anterior, consideramos C como sendo um contorno fechado simples; em outras palavras, C não interceptava a si próprio. Apesar de não apresentarmos a demonstração, pode-se mostrar que o teorema de Cauchy-Goursat é válido para qualquer contorno fechado C em um domínio simplesmente conexo D. Conforme ilustrado na Figura 9.15, o contorno C é fechado, porém não é simples. Apesar disso, se f for analítica em D, então

2.

, onde f é a

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.3 Independência do Caminho

9. Calcule

, onde C é o contorno mostrado na Figura

295

14.

9.16. 15.

y

16. C x

17.

2

18. 19. Figura 9.16

Contorno no Problema 9.

10. Calcule

, onde C é o contorno mostrado na

20.

Figura 9.17. 21. Calcule

y x 4 + y 4 = 16

, onde C é o contorno fechado ilustra-

do na Figura 9.18. [Sugestão: Expresse C como a união de duas curvas fechadas C1 e C2.]

C

y C

x

x 1

Figura 9.18 Figura 9.17



Nos Problemas 11-20, use qualquer um dos resultados dessa seção para calcular a integral dada ao longo do(s) contorno(s) fechado(s) indicado(s).

22. Suponha que z0 seja qualquer número complexo constante interior a qualquer contorno fechado simples C. Mostre que

11. Nos Problemas 23 e 24, calcule a integral indicada por qualquer meio.

12.

, C é o círculo unitário |z| ⫽ 1.

23. 13.

24. 0, z ⫽ 1 ⫹ 2i, z ⫽ 1.

9.3

Independência do caminho

Introdução Em cálculo real, quando uma função f possui uma antiderivada elementar, isto é, uma função F para a qual F¿(x) ⫽ f (x), uma integral definida pode ser calculada pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

(1)

, C é o triângulo com vértices z ⫽

296


Note que depende somente dos números a e b nos pontos inicial e final do intervalo de integração. Em contraste, o valor de uma integral de linha real geralmente depende da curva C. No entanto, vimos na Seção 3.9 do Volume 2 que existem integrais de linha cujos valores dependem apenas do ponto inicial A e do ponto final B da curva C, e não da própria C. Nesse caso, dizemos que a integral de linha é independente do caminho. Essas integrais podem ser calculadas pelo teorema fundamental das integrais de linha (Teorema 3.8 do Volume 2). Parece então natural perguntarmos: Existe uma versão complexa do Teorema Fundamental do Cálculo? Uma integral de contorno pode ser independente do caminho? Nessa seção, veremos que a resposta a ambas as questões é sim. Uma definição

Conforme mostra a próxima definição, a definição de independência do caminho para uma integral de contorno é essencialmente a mesma da integral de linha real


Independência do caminho

Considere z0 e z1 pontos em um domínio D. Uma integral de contorno é independente do caminho se o seu valor for o mesmo por todo o contorno C em D com um ponto inicial z0 e um ponto final z1.

z1 C1

Ao final da seção anterior, notamos que o teorema de Cauchy-Goursat também se aplicava a contornos fechados, não apenas contornos fechados simples, em um domínio simplesmente conexo D. Suponha agora, conforme indicado na Figura 9.19, que C e C1 sejam dois contornos em um domínio simplesmente conexo D, ambos com ponto inicial z0 e ponto final z1. Observe que C – C1 forma um contorno fechado. Logo, se f for analítica em D, a partir do teorema de Cauchy-Goursat temos

C

D

(2)

z0

Figura 9.19 Se f for analítica em D, as integrais em C e C1 são iguais.

Mas (2) é equivalente a (3) O resultado em (3) é também um exemplo do princípio da deformação de contornos introduzido em (3) da Seção 9.2. Resumimos o último resultado como um teorema:

TEOREMA 9.6 y

Analiticidade implica independência do caminho

Se f for uma função analítica em um domínio simplesmente conexo D, então é independente do caminho C.

–1 + i C1 x –1

Exemplo 1 C

Figura 9.20


Escolhendo um caminho diferente

, onde C é o contorno com ponto inicial z 1 e ponto terminal z Calcule 1 i ilustrado na Figura 9.20. Como a função f (z) 2z é completa, podemos substituir o caminho C por qualquer contorno C1 conveniente juntando z 1 e z 1 i. Em particular,

Solução


escolhendo C1 como o segmento de reta x 1, 0 y 1, mostrado em preto na Figura 9.20, temos z 1 iy, dz i dy. Portanto, ❑ Uma integral de contorno que seja independente do caminho C é usualmente escrita , onde z0 e z1 são os pontos inicial e final de C. Logo, no Exemplo 1, podemos escrever Existe um modo mais fácil de calcular a integral de contorno no Exemplo 1. Mas antes de prosseguirmos, precisamos de outra definição.


Antiderivada

Suponha que f seja contínua em um domínio D. Se existir uma função F tal que F¿(z) f (z) para cada z em D, então F é chamada de antiderivada de f.

Por exemplo, a função F(z) cos z é uma antiderivada de f (z) sen z, pois F¿(z) sen z. Como em cálculo real, a antiderivada mais geral, ou integral indefinida, de uma função f (z) é escrita , onde F¿(z) f (z) e C é alguma constante complexa. Como uma antiderivada F de uma função f tem uma derivada em cada ponto de um domínio D, ela é necessariamente analítica e, portanto, contínua em D (recorde que diferenciabilidade implica continuidade). Estamos agora prontos para provar o análogo complexo de (1).

TEOREMA 9.7

Teorema fundamental para integrais de contorno

Suponha que f seja contínua em um domínio D, e que F seja uma antiderivada de f em D. Então, para qualquer contorno C em D com ponto inicial z0 e ponto final z1, (4)

Provaremos (4) para o caso quando C é uma curva suave definida por z z(t), a t b. Utilizando (3) da Seção 9.1 e o fato de que F¿(z) f (z) para cada z em D, temos

Demonstração

❑

297

298


Exemplo 2

Utilizando uma antiderivada

No Exemplo 1, vimos que a integral , onde C é apresentada na Figura 9.20, é independente do caminho. Agora como f(z) 2z é uma função complexa, ela é contínua. Além disso, F(z) z2 é uma antiderivada de f, pois F¿(z) 2z. Logo, de (4) temos ❑

Exemplo 3 Calcule z 2 i.

Utilizando uma antiderivada , onde C é qualquer contorno com ponto inicial z 0 e ponto final

Solução F(z) sen z é uma antiderivada de f (z) cos z, pois F¿(z) cos z. Portanto, a partir de (4) temos

Se desejarmos um número complexo da forma a ib como uma resposta, podemos utilizar sen (2 i) 1,4031 – 0,4891i (veja o Exemplo 1 na Seção 8.7). Assim, ❑ Podemos retirar diversas conclusões imediatas a partir do Teorema 9.7. Primeiro, observe que se o contorno C for fechado, então z0 z1 e consequentemente (5) A seguir, como o valor de depende apenas dos pontos z0 e z1, esse valor é o mesmo para qualquer contorno C em D conectando esses pontos. Em outras palavras: Se uma função contínua f tiver uma antiderivada F em D, então é independente do caminho.

(6)

Além disso, temos a seguinte condição suficiente para a existência de uma antiderivada: Se f for contínua e for independente do caminho em um domínio D, então f tem uma antiderivada em qualquer lugar em D.

D

(7)

O último enunciado é importante e merece uma demonstração. Considere que f seja contínua, seja independente do caminho em um domínio D, e F seja uma função definida por onde s representa uma variável complexa, z0 é um ponto fixo em D, e z representa qualquer ponto em D. Queremos mostrar que F¿(z) f (z); isto é, F é uma antiderivada de f em D. Agora,

z s z + Δz

z0

(8) Como D é um domínio, podemos escolher z de modo que z z esteja em D. Além disso, z e z z podem ser ligados por um segmento direto localizado em D, como mostra a Figura 9.21. Trata-se do contorno que utilizamos na última integral em (8). Com z fixo, podemos escrever* (9)

Figura 9.21 Contorno utilizado na demonstração de (7). * Veja o Problema 29 nos Exercícios 9.1.

299


A partir de (8) e (9), temos

Agora f é contínua no ponto z. Isso significa que para qualquer ⑀ 0, existe um ␦ 0 tal que |f(s) – f (z)| ⑀ sempre que |s – z| ␦. Consequentemente, se escolhermos z de modo que |z| ␦, temos

Logo, mostramos que

Se f for uma função analítica em um domínio simplesmente conexo D, ela é necessariamente contínua por todo D. Esse fato, quando posto junto com os resultados no Teorema 9.6 e (7), resulta em um teorema que declara que uma função analítica possui uma antiderivada analítica.

TEOREMA 9.8

Existência de uma antiderivada

Se f for analítica em um domínio simplesmente conexo D, então f tem uma antiderivada em D; isto é, existe uma função F tal que F¿(z) f (z) para todo z em D.

Em (9) da Seção 8.6, vimos que 1/z é a derivada de Ln z. Isso significa que, sob algumas circunstâncias, Ln z é uma antiderivada de 1/z. Deve-se ter cuidado ao utilizar esse resultado. Por exemplo, suponha que D seja o plano complexo completo sem a origem. A função 1/z é analítica nesse domínio multiplamente conexo. Se C for qualquer contorno fechado simples contendo a origem, não decorre de (5) que De fato, a partir de (4) da Seção 9.2 com a identificação z0 0, vemos que

Nesse caso, Ln z não é uma antiderivada de 1/z em D, pois Ln z não é analítica em D. Relembre que Ln z falha em ser analítica no eixo real não positivo (o corte de ramificação do ramo principal do logaritmo). Exemplo 4 Calcule

Utilizando a função logarítmica

y 2i

C

, onde C é o contorno mostrado na Figura 9.22.

Suponha D sendo o domínio simplesmente conexo definido por x Re(z) 0, y Im(z) 0. Nesse caso, Ln z é uma antiderivada de 1/z, pois ambas essas funções são analíticas em D. Portanto, a partir de (4),

x

Solução

3

Figura 9.22


300


De (7) da Seção 8.6, temos

❑

e assim

Observações Suponha f e g analíticas em um domínio simplesmente conexo D que contenha o contorno C. Se z0 e z1 forem os pontos inicial e final de C, então a fórmula de integração por partes é válida em D:

Isso pode ser provado de uma maneira direta aplicando-se o Teorema 9.7 na função (d/dz)(fg). Veja os Problemas 21-24 nos Exercícios 9.3.

EXERCÍCIOS 9.3


Nos Problemas 1 e 2, calcule a integral dada, onde C é o contorno indicado na figura, (a) obtendo um caminho alternativo de integração e (b) aplicando o Teorema 9.7. 1.

2. y

y i

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

3 + 3i

x 3+i –i

|z| = 1

x 0

Figura 9.23 Problema 1.

Contorno no

Figura 9.24 Problema 2.

17.

, C é o arco do círculo z 4eit, ␲/2 t ␲/2

18.

, C é o segmento de reta direto entre z 1 i e z

Contorno no

Nos Problemas 3 e 4, calcule a integral dada ao longo do contorno C indicado. 3.

4 4i 19.

, C é qualquer contorno que não passe pela origem

20.

, C é qualquer contorno no plano meta-

4. de direito Re(z) 0 Nos Problemas 5-24, aplique o Teorema 9.7 para calcular a integral indicada. Escreva cada resposta na forma a ib. 5.

6.

21.

22.

23.

24.

9.4 Fórmulas Integrais de Cauchy

9.4

Fórmulas integrais de Cauchy

Introdução Nas últimas duas seções, vimos a importância do teorema de Cauchy-Goursat no cálculo das integrais de contorno. Nessa seção, examinaremos diversas outras consequências do teorema de Cauchy-Goursat. Inquestionavelmente, a mais significativa corresponde ao seguinte resultado:

O valor de uma função analítica f em qualquer ponto z0 de um domínio simplesmente conexo pode ser representado por uma integral de contorno. Depois de estabelecida essa proposição, ela será utilizada para mostrar que: Uma função analítica f em um domínio simplesmente conexo possui derivadas de todas as ordens. As consequências desses dois resultados nos manterão ocupados não apenas pelo restante dessa seção, mas também no próximo capítulo. Primeira fórmula Iniciamos pela fórmula integral de Cauchy. A ideia para o próximo teorema é a seguinte: se f for analítica em um domínio simplesmente conexo e z0 é qualquer ponto D, então o quociente f (z)/(z – z0) não é analítico em D. Como consequência, a integral de f (z)/(z – z0) em torno de um contorno fechado simples C que contenha z0 não é necessariamente zero, porém tem, conforme veremos agora, o valor 2␲i f (z0). Esse resultado notável indica que os valores de uma função analítica f em pontos dentro de um contorno fechado simples C são determinados pelos valores de f no contorno C.

TEOREMA 9.9

Fórmula integral de Cauchy

Seja f analítica em um domínio simplesmente conexo D, e seja C um contorno fechado simples localizado inteiramente no interior de D. Se z0 for qualquer ponto dentro de C, então (1)

Demonstração Considere D sendo um domínio simplesmente conexo, C um contorno fechado simples em D, e z0 um ponto interior de C. Além disso, seja C1 um círculo centrado em z0 com raio pequeno o suficiente para que esteja no interior de C. Pelo princípio da deformação de contornos, podemos escrever

(2) Queremos mostrar que o valor da integral à direita é 2␲i f (z0). Com esse objetivo, somamos e subtraímos a constante f(z0) no numerador:

(3) Agora, a partir de (4) da Seção 9.2, sabemos que

301

302


Portanto, (3) é escrita como (4) Como f é contínua em z0 para qualquer ⑀ 0 arbitrariamente pequeno, existe um ␦ 0 tal que |f (z) – f (z0)| ⑀ sempre que |z – z0| ␦. Em particular, se escolhermos o círculo C1 como sendo |z – z0| ␦/2 ␦, então, pela desigualdade ML (Teorema 9.3), o valor absoluto da integral do lado direito de (4) satisfaz

Em outras palavras, o valor absoluto da integral pode ser feito arbitrariamente pequeno considerando-se o raio do círculo C1 suficientemente pequeno. Isso pode ocorrer somente se a integral for zero. A fórmula integral de Cauchy (1) decorre de (4) dividindo-se ambos os lados por 2␲i. ❑ A fórmula integral de Cauchy (1) pode ser utilizada para o cálculo de integrais de contorno. Como muitas vezes trabalhamos problemas sem um domínio simplesmente conexo definido explicitamente, uma declaração mais prática do Teorema 9.9 é: Se f for analítica em todos os pontos no interior e em um contorno fechado simples C, e z0 for qualquer ponto interior a C, então (5)

Exemplo 1 Calcule

Utilizando a fórmula integral de Cauchy , onde C é o círculo |z| 2.

Primeiro, identificamos f (z) z – 4z 4 e z0 i como um ponto dentro do círculo C. A seguir, observamos que f é analítica em todos os pontos dentro e no contorno C. Assim, pela fórmula integral de Cauchy, obtemos

Solução

2

❑

Exemplo 2 Calcule

Utilizando a fórmula integral de Cauchy , onde C é o círculo |z – 2i| 4.

Fatorando o denominador como z2 9 (z – 3i)(z 3i), vemos que 3i é o único ponto dentro do contorno fechado para o qual o integrando falha em ser analítico. Veja a Figura 9.25. Agora, escrevendo Solução

y C

3i

x

podemos identificar f (z) z/(z 3i). Essa função é analítica em todos os pontos dentro e no contorno C. A partir da fórmula integral de Cauchy, temos então

–3i

❑ Figura 9.25



Exemplo 3

y

Fluxo e fórmula integral de Cauchy

, onde k a ib e z1 são números complexos, A função complexa resulta em um fluxo no domínio z ⫽ z1. Se C for um contorno fechado simples contendo z z1 em seu interior, então a partir da fórmula integral de Cauchy temos

Assim, a circulação em torno de C1 é 2␲b e o fluxo líquido através de C é 2␲a. Se z1 estivesse no exterior de C, tanto a circulação como o fluxo líquido seriam nulos pelo teorema de Cauchy. Note que quando k for real, a circulação em torno de C será zero, porém o fluxo líquido através de C será 2␲k. O número complexo z1 é denominado fonte para o fluxo quando k 0, e escoadouro quando k 0. Campos vetoriais que correspondem a esses dois casos são apresentados na Figura 9.26(a) e (b). ❑

z1

x

(a) Fonte: k > 0 y

Segunda fórmula

Podemos agora usar o Teorema 9.9 para demonstrar que uma função analítica possui derivadas de todas as ordens; isto é, se f for analítica em um ponto z0, então f¿, f–, f‡ e assim por diante são também analíticas em z0. Além disso, os valores das derivadas f (n) (z0), n 1, 2, 3,..., são definidos por uma fórmula similar a (1).

TEOREMA 9.10

Considere f analítica em um domínio simplesmente conexo D, e C um contorno fechado simples localizado inteiramente dentro de D. Se z0 for qualquer ponto interior a C, então (6)

Demonstração parcial Demonstraremos (6) somente para o caso n 1. O restante da demonstração pode ser completado utilizando-se o princípio da indução matemática. Iniciamos pela definição da derivada e (1):

Antes de procedermos, vamos definir alguns pontos. Como f é contínua em C, ela é limitada; isto é, existe um número real M tal que |f (z)| M para todos os pontos z em C. Além disso, seja L o comprimento de C e considere ␦ como sendo a menor distância entre pontos em C e o ponto z0. Logo, para todos os pontos z em C, temos

Agora,

z1

x

Fórmula integral de Cauchy para derivadas

Além disso, se escolhermos |z| ␦/2, então

303

(b) Escoadouro: k < 0

Figura 9.26 plo 3.

Campos vetoriais no Exem-

304


Como a última expressão se aproxima de zero quando z → 0, mostramos que ❑ Se f (z) u(x,y) iv(x,y) for analítica em um ponto, então suas derivadas de todas as ordens existem naquele ponto e são contínuas. Consequentemente, a partir de

podemos concluir que as funções reais u e v têm derivadas parciais contínuas de todas as ordens em um ponto de analiticidade. Como (1), (6) pode algumas vezes ser utilizada para calcular integrais. Exemplo 4 Calcule

Utilizando a fórmula integral de Cauchy para derivadas , onde C é o círculo |z| 1.

Solução A inspeção do integrando mostra que ele não é analítico em z 0 e z 4, mas apenas z 0 se localiza dentro do contorno fechado. Escrevendo o integrando como

podemos identificar z0 0, n 2 e f (z) (z 1)/(z 4). Pela regra do quociente, f –(z) 6/(z 4)3, e assim de (6) temos ❑

Exemplo 5

Utilizando a fórmula integral de Cauchy para derivadas

y

Calcule

C2

, onde C é o contorno apresentado na Figura 9.27.

Solução Apesar de C não ser um contorno simples fechado, podemos pensá-lo como a união de dois contornos simples fechados C1 e C2 como indicado na Figura 9.27. Escrevendo

i x

0 C1

Figura 9.27


estamos em posição de usar tanto (1) como (6). Para calcular I1, identificamos z0 0 e f (z) (z3 3)/(z – i)2. De (1), temos


Para calcular I2, identificamos z0 i, n 1, f (z) (z3 3)/z, e f ¿(z) (2z3 – 3)/z2. A partir de (6), obtemos

Finalmente, temos ❑ Teorema de Liouville

Se considerarmos o contorno C como sendo o círculo |z – z0| r, decorre de (6) e da desigualdade ML que (7)

onde M é um número real tal que |f (z)| M para todos os pontos z em C. O resultado em (7), denominado desigualdade de Cauchy, é usado para demonstrar o próximo resultado.

TEOREMA 9.11

Teorema de Liouville

As funções completas somente limitadas são constantes.

Suponha que f seja uma função completa e limitada, isto é, |f (z)| M para todo z. Então, para qualquer ponto z0, (7) resulta em |f ¿(z0)| M/r. Assumindo r arbitrariamente grande, podemos fazer |f ¿(z0)| tão pequeno quanto desejarmos. Isso significa f ¿(z0) 0 para todos os pontos z0 no plano complexo. Portanto, f tem que ser uma constante. ❑ Demonstração

Teorema Fundamental da Álgebra O teorema de Liouville nos permite demonstrar um resultado que é aprendido em álgebra elementar: se P(z) for um polinômio não constante, então a equação P(z) 0 tem ao menos uma raiz. Esse resultado é conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra. Para demonstrá-lo, vamos supor que P(z) ⫽ 0 para todo z. Isso implica que o recíproco de P, f(z) 1/P(z), é uma função completa. Agora, como |f(z)| → 0 quando |z| → , a função f tem que ser limitada para todo z finito. Decorre do teorema de Liouville que f é uma constante e portanto P é constante. Porém, isso é uma contradição da nossa consideração de que P não é um polinômio constante. Concluímos que tem que existir ao menos um número z para o qual P(z) 0.

EXERCÍCIOS 9.4


Nos Problemas 1-24, aplique os Teoremas 9.9 e 9.10, quando apropriado, para calcular a integral dada ao longo do(s) contorno(s) fechado(s) indicado(s). 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7.

305

306


8.

21.

9.

22.

10.

23.

; C está indicado na Figura 9.28. y

11.

C

12.

x

0

2

13. 14.

Figura 9.28

15.


24.

; C está indicado na Figura 9.29. y

16. i x

17. –i

18. C

19. Figura 9.29

20.



Responda os Problemas 1-12 sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso. 1. O setor definido por ␲/6 arg z ␲/6 é um domínio simplesmente conexo. _____ 2. Se


4. Se g for completa, então

, onde C

é o círculo |z| 3 e C1 é a elipse x2 y2/9 1. _____ 5. Se f for um polinômio e C for uma curva simples fechada,

para todo contorno fechado simples C, então

_____.

então f é analítica dentro e em C. _____ 3. O valor de

é o mesmo para qualquer caminho C

no plano metade direito Re(z) 0 entre z 1 i e z 10 8i. _____

6. Se i) _____.

, onde C é |z| 3, então f (1

Exercícios de Revisão 7. Se f (z) z e e C for o contorno z 8e , 0 t 2␲, 3

z

então

307

it

19.

_____.

8. Se f for completa e |f (z)| 10 para todo z, então f (z) _____.

20.

C é o segmento de reta de 0 a 2i C é o círculo |z| 1

21.

9.

para todo contorno fechado

C é o círculo |z| 2

22.

simples C que englobe os pontos z0 e z1. _____ 10. Se f for analítica dentro e no contorno fechado simples C, e z0 for um ponto dentro de C, então _____.

C é o círculo |z 1| 3

23. 24.

11.

C é o círculo C é a elipse x /4 y 1 2

25. onde n é um inteiro e C é |z| 1. _____.

Nos Problemas 13-28, calcule a integral indicada utilizando as técnicas consideradas nesse capítulo. 13.

C é o retângulo com vértices 1 i, 1 – i, 2

26.

12. Se |f(z)| 2 em |z| 3, então

2

i, 2 – i 27.

C é o contorno mostrado na Figura 9.31

C é o contorno mostrado na Figura 9.30.

y C

y

x

C

–2

3

x 3

–4

Figura 9.30



28. 14.

C é o contorno mostrado na Figura 9.30. 29. Considere f (z) z g(z), onde n é um inteiro positivo, g(z) é completa, e g(z) ⫽ 0 para todo z. Seja C um círculo com n

15. 16. 17. 18.

C é o segmento de reta de z i para z 1 i C é a elipse x2/100 y2/64 1

centro na origem. Calcule 30. Seja C o segmento de reta direto de i para 2 i. Mostre que

CAPÍTULO

10 Séries e Resíduos Descrição do capítulo 10.1 Sequências e séries 10.2 Série de Taylor 10.3 Série de Laurent 10.4 Zeros e pólos 10.5 Resíduos e teorema do resíduo 10.6 Cálculo de integrais reais Exercícios de revisão

A fórmula integral de Cauchy para derivadas indica que se uma função f for analítica em um ponto z0, então essa função possui derivadas de todas as ordens naquele ponto. Como consequência desse resultado, veremos que f pode sempre ser expandida em uma série de potências centrada naquele ponto. Por outro lado, se f não for analítica em um ponto z0, podemos ainda ser capazes de expandi-la em um tipo diferente de série denominada série de Laurent. A noção de série de Laurent nos leva ao conceito de resíduo, e esse, por sua vez, leva a outra forma de se calcular integrais complexas.

309

10.1 Seqüências e Séries

10.1

Sequências e séries

Introdução

A maior parte da teoria de sequências e séries complexas é análoga àquela encontrada em cálculo real. Nessa seção, exploraremos as definições de convergência e divergência para sequências complexas e séries infinitas complexas. Além disso, apresentaremos alguns testes para convergência de séries infinitas. Você deve prestar atenção especial ao conteúdo referente às séries geométricas, pois esse tipo de série será importante nas últimas seções desse capítulo.

y

ε

Sequências Uma sequência {zn} é uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros positivos; em outras palavras, para cada inteiro n 1, 2, 3,..., designamos um número complexo zn. Por exemplo, a sequência {1 in} é

L

(1) x

Se lim n→ zn L, dizemos que a sequência {zn} é convergente. Em outras palavras, {zn} converge para o número L se, para cada número positivo ⑀, um N puder ser determinado de modo que |zn – L| ⑀ sempre que n N. Conforme indicado na Figura 10.1, quando uma sequência {zn} converge para L, todos os termos da sequência (exceto um número finito) estão no interior de qualquer vizinhança ⑀ de L. A sequência {1 in} ilustrada em (1) é divergente, pois o termo geral zn 1 in não se aproxima de um número complexo fixo quando n → . De fato, os primeiros quatro termos dessa sequência se repetem infinitamente à medida que n cresce.

Figura 10.1 Se {zn} converge para L, todos os termos da sequência (exceto um número finito) estão em qualquer vizinhança ⑀ de L.

y

Exemplo 1

Uma sequência convergente

A sequência

converge, pois

i 4 1 3

–1 5 –1

Conforme vemos de e da Figura 10.2, os termos da sequência giram em formato espiral em direção ao ponto z 0. ❑ O seguinte teorema é intuitivo:

TEOREMA 10.1

Critério para convergência

Uma sequência {zn} converge para um número complexo L se e somente se Re(zn) convergir para Re(L) e Im(zn) convergir para Im(L).

Exemplo 2 A sequência partir de

Ilustrando o teorema 10.1 converge para i. Note que Re(i) 0 e Im(i) 1. Assim, a

– i 2

Figura 10.2 Os termos da sequência giram em formato espiral em direção a zero.

x

310

CAPÍTULO 10 Séries e Resíduos

vemos que Re(zn) 2n/(n 4) → 0 e Im(zn) n /(n 4) → 1 quando n → . ❑ 2

Séries

2

2

Uma série infinita de números complexos

é convergente se a sequência de somas parciais {Sn}, onde convergir. Se Sn → L quando n → , dizemos que a soma da série é L. Série geométrica

Para a série geométrica (2)

o enésimo termo da sequência de somas parciais é (3) n Multiplicando Sn por z e subtraindo esse resultado de Sn, obtemos Sn – zSn a – az . Resolvendo em relação a Sn, obtemos

(4) Como zn → 0 quando n → , sempre que |z| 1, concluímos a partir de (4) que (2) converge para

quando |z| 1; a série diverge quando |z| 1. A série geométrica especial (5) ,

e

(6)

válida para |z| 1, terá utilidade particular nas próximas duas seções. Além disso, utilizaremos (7) na forma alternativa (8) nas provas dos dois principais teoremas desse capítulo. Exemplo 3 A série

Série geométrica convergente


é uma série geométrica com a ⫽ (1 ⫹ 2i)/5 e z ⫽ (1 ⫹ 2i)/5. Como a série converge e podemos escrever

❑

TEOREMA 10.2

Condição necessária para convergência

, então limn→⬁ zn ⫽ 0.

Se

Uma forma equivalente do Teorema 10.2 se refere ao familiar teste do enésimo termo para divergência de uma série infinita.

TEOREMA 10.3

O teste do enésimo termo para divergência

Se limn→⬁ zn ⫽ 0, então a série

diverge.

Por exemplo, a série diverge, pois zn ⫽ (n ⫹ 5i)/n → 1 quando n→⬁. A série geométrica (2) diverge quando |z| ⱖ 1, pois, nesse caso, limn→⬁ |zn| não existe.

D E F I N IÇ ÃO 1 0 . 1 Uma série infinita

Exemplo 4

Convergência absoluta é absolutamente convergente se

convergir.

Convergência absoluta

é absolutamente convergente, pois |ik/k2| ⫽ 1/k2 e a série real converge. Recorde de cálculo que uma série real da forma é denominada série p, e converge para p ⬎ 1 e diverge para p ⱕ 1. ❑

A série

Como em cálculo real, Convergência absoluta implica convergência. Assim, no Exemplo 4, a série

converge.

311

312


Os dois testes seguintes são as versões complexas dos testes da razão e da raiz encontrados no cálculo:

TEOREMA 10.4 Suponha

Teste da razão

sendo uma série de termos complexos não nulos de modo que (9)

(i) Se L 1, então a série converge absolutamente. (ii) Se L 1 ou L , então a série diverge. (iii) Se L 1, o teste não é conclusivo.

TEOREMA 10.5 Suponha

Teste da raiz

sendo uma série de termos complexos tal que (10)

(i) Se L 1, então a série converge absolutamente. (ii) Se L 1 ou L , então a série diverge (iii) Se L 1, o teste não é conclusivo.

Estamos principalmente interessados em aplicar esses testes às séries de potências. Série de potências A noção de uma série de potências é importante no estudo de funções analíticas. Uma série infinita da forma

(11) onde os coeficientes ak são constantes complexas, é chamada série de potências em z – z0. A série de potências (11) está centrada em z0, e o ponto complexo z0 é referido como o centro da série. Em (11), é conveniente também definir (z – z0)0 1 mesmo quando z z0. y

Círculo de convergência

Toda série de potências complexa tem um raio de convergência R. Análogo ao conceito de um intervalo de convergência no cálculo real, quando 0 R , uma série de potências complexa (11) tem um círculo de convergência definido por |z – z0| R. A série de potências converge absolutamente para todo z que satisfaz |z – z0| R e diverge para |z – z0| R. Veja a Figura 10.3. O raio R de convergência pode ser:

|z–z0| = R convergência z0 R

(i) zero (nesse caso (11) converge somente em z z0), divergência x

Figura 10.3 Uma série de potências converge em todos os pontos do interior do círculo de convergência.

(ii) um número finito (nesse caso (11) converge em todos os pontos interiores do círculo |z – z0| R), ou (iii) (nesse caso (11) converge para todo z). Uma série de potências pode convergir em alguns, todos ou nenhum dos pontos no verdadeiro círculo de convergência.


Exemplo 5

Círculo de convergência Pelo teste da razão (9),

Considere a série de potências

Assim, a série converge absolutamente para |z| 1. O círculo de convergência é |z| 1 e o raio de convergência é R 1. Note que, no círculo de convergência, a série não converge absolutamente, pois a série de valores absolutos é a conhecida série harmônica divergente Tenha em mente, porém, que isso não quer dizer que a série diverge no círculo de convergência. De fato, em z 1, é a série harmônica alternada convergente. Pode ser mostrado que a série converge em todos os pontos no círculo |z| 1 exceto em z 1. ❑ cias

Deve estar claro do Teorema 10.4 e do Exemplo 5 que para uma série de potêno limite (9) depende apenas dos coeficientes ak. Logo, se o raio de convergência é R 1/L;

(i) (ii)

o raio de convergência é ;

(iii)

o raio de convergência é R 0.

Constatações similares podem ser feitas para o teste da raiz (10) utilizando-se

Exemplo 6

Raio de convergência


Identificando an ( 1)n1

/n!, temos

Assim, o raio de convergência é ; a série de potências com centro 1 i converge absolutamente para todo z. ❑ Exemplo 7

Raio de convergência


Com

o teste

da raiz na forma

mostra que o raio de convergência da série é a série converge absolutamente para

O círculo de convergência é ❑

313

314


EXERCÍCIOS 10.1


Nos Problemas 1-4, escreva os primeiros cinco termos da sequência indicada. 1.

2. Nos Problemas 21-28, determine o círculo e o raio de convergência da série de potências indicada.

3. 4.

20.

19.

[Sugestão: Escreva em forma polar.]

Nos Problemas 5-10, determine se a sequência indicada converge ou diverge. 5.

6.

7.

8.

21. 22. 23. 24.

9.

10. 25.

Nos Problemas 11 e 12, mostre que a sequência indicada {zn} converge para um número complexo L calculando lim n→⬁ Re(zn) e lim n→⬁ Im(zn).

26.

11.

12.

27.

Nos Problemas 13 e 14, utilize a sequência de somas parciais para mostrar que a série indicada é convergente.

28.

13.

29. Mostre que a série de potências

não é absoluta-

mente convergente em seu círculo de convergência. Determine ao menos um ponto no círculo de convergência para o qual a série de potências converge.

14. Nos Problemas 15-20, determine se a série geométrica indicada é convergente ou divergente. Se for convergente, determine a sua soma. 15.

16.

17.

18.

30. (a) Mostre que a série de potências

converge em todo

ponto do seu círculo de convergência. (b) Mostre que a série de potências

converge em

todo ponto do seu círculo de convergência.

10.2

Série de Taylor

Introdução

A correspondência entre um número complexo z dentro do círculo converge tem valor de convergência e o número para o qual a série único. Desse modo, uma série de potências define ou representa uma função f; para um z especificado no interior do círculo de convergência, o número L para o qual a série de potências converge é definido como sendo o valor de f em z, isto é, f (z) ⫽ L. Nessa seção, apresentamos alguns fatos importantes a respeito da natureza dessa função f. Na seção anterior, vimos que toda série de potências tem um raio de convergência R. Consideraremos nas discussões dessa seção que uma série de potências tem um raio de convergência R positivo ou infinito. Os próximos três

10.2 Série de Taylor

teoremas apresentarão alguns fatos importantes a respeito da natureza de uma série de potências dentro do seu círculo de convergência |z – z0| R, R ⫽ 0.

TEOREMA 10.6

Continuidade

Uma série de potências representa uma função contínua f no interior do seu círculo de convergência |z – z0| R, R ⫽ 0.

TEOREMA 10.7

Integração termo a termo

Uma série de potências pode ser integrada termo a termo no interior do seu círculo de convergência |z – z0| R, R ⫽ 0, para qualquer contorno C que se localize inteiramente dentro do círculo de convergência.

TEOREMA 10.8

Diferenciação termo a termo

Uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo no interior do seu círculo de convergência |z – z0| R, R ⫽ 0. Série de Taylor Suponha que uma série de potências represente uma função f para |z – z0| R, R ⫽ 0; isto é,

(1) Decorre do Teorema 10.8 que as derivadas de f são (2)

(3)

(4) e assim por diante. Cada uma das séries diferenciadas tem o mesmo raio de convergência da série original. Além disso, como a série de potências original representa uma função diferenciável f dentro do seu círculo de convergência, concluímos que, quando R ⫽ 0, uma série de potências representa uma função analítica no interior do seu círculo de convergência. Existe uma relação entre os coeficientes ak e as derivadas de f. Calculando (1), (2), (3) e (4) em z z0, obtemos respectivamente. Em geral, f (n)(z0) n!an ou (5) Quando n 0, interpretamos a zeroésima derivada como f (z0) e 0! 1. Substituindo (5) em (1), temos (6)

315

316


Essa série é denominada série de Taylor para f centrada em z0. Uma série de Taylor com centro z0 0, (7) é referida como série de Maclaurin. Vimos que uma série de potências com raio de convergência não nulo representa uma função analítica. Por outro lado, se nos for dada uma função f que seja analítica em algum domínio D, podemos representá-la por uma série de potências da forma (6) e (7)? Como uma série de potências converge em um domínio circular, e um domínio D geramente não é circular, a questão se torna: podemos expandir f em uma ou mais séries de potência que sejam válidas em domínios circulares, todos contidos em D? A questão será respondida afirmativamente no próximo teorema.

TEOREMA 10.9

Teorema de Taylor

Considere f analítica no interior de um domínio D e seja z0 um ponto em D. Então f tem a representação em série (8) válida para o maior círculo C com centro em z0 e raio R que se localiza inteiramente no interior de D. Demonstração Considere z como um ponto fixo no interior do círculo C, e s como a variável de integração. O círculo C é então descrito por |s – z0| R. Veja a Figura 10.4. Para começar, aplicamos a fórmula integral de Cauchy para obter o valor de f em z:

s z0 z

R

C

(9)

D

Substituindo z por (z – z0)/(s – z0) em (8) da Seção 10.1, temos Figura 10.4 Contorno circular C utilizado na demonstração do Teorema 10.9.

e portanto (9) é escrita como

(10)

Utilizando a fórmula integral de Cauchy para derivadas, podemos escrever (10) como

(11)


onde A equação (11) é chamada fórmula de Taylor com resíduo Rn. Queremos agora mostrar que Rn(z) → 0 quando n → . Como f é analítica em D, |f (z)| tem um valor máximo M no contorno C. Além disso, como z é interior a C, temos |z – z0| R e, consequentemente,

onde d |z – z0| é a distância de z a z0. A desigualdade ML então resulta em

Como d R, (d/R)n → 0 quando n → , concluímos que |Rn(z)| → 0 quando n → . Assim, a série infinita

converge para f (z). Em outras palavras, o resultado em (8) é válido para qualquer ponto z interior a C. ❑ Podemos obter o raio de convergência de uma série de Taylor exatamente da mesma maneira ilustrada nos Exemplos 5-7 da Seção 10.1. Entretanto, podemos simplificar ainda mais, observando que o raio de convergência é a distância a partir do centro z0 da série para a singularidade isolada mais próxima de f. Elaboraremos mais esse conceito na próxima seção, porém uma singularidade isolada é um ponto no qual f não é analítica, mas é, apesar disso, analítica em todos os outros pontos de alguma vizinhança do ponto. Por exemplo, z 5i é uma singularidade isolada de f (z) 1/(z – 5i). Se a função f for completa, então o raio de convergência de uma série de Taylor centrada em qualquer ponto z0 é necessariamente infinito. Utilizando (8) e o último fato, podemos dizer que as representações em série de Maclaurin (12)

(13)

(14) são válidas para todo z. Se duas séries de potência com centro z0:

representam a mesma função e têm o mesmo raio de convergência não nulo, então ak bk, k 0, 1, 2,.... Dito de outra forma, a expansão em séries de potência de uma função com centro z0 é única. Em um nível prático, isso significa que uma expansão em série de potências de uma função analítica f centrada em z0, a despeito do método utilizado para obtê-la, é a expansão em série de Taylor da função. Por exemplo, podemos obter (14) simplesmente diferenciando (13) termo a termo. A série de Maclaurin para pode ser obtida substituindo-se o símbolo z em (12) por z2.

317

318


Exemplo 1

Série de Maclaurin

Determine a expansão em série de Maclaurin de Solução

Poderíamos, é claro, começar calculando os coeficientes a partir de (8). Entretanto, sabemos de (5) da Seção 10.1 que, para |z| 1, (15) Diferenciando ambos os lados do último resultado em relação a z, obtemos

Como estamos utilizando o Teorema 10.8, o raio de convergência dessa última série é o mesmo da série original, R 1. ❑ Exemplo 2

Série de Taylor

Expanda

em uma série de Taylor com z0 2i.

Solução

Resolveremos esse problema de duas formas. Inicialmente, utilizamos (8). A partir das primeiras diversas derivadas,

concluímos que f (n)(z) n!/(1 – z)n1 e assim f (n)(2i) n!/(1 – 2i)n1. Logo, a partir de (8), obtemos a série de Taylor (16) Como a distância a partir do centro z0 2i até a singularidade mais próxima z 1 é concluímos que o círculo de convergência para a série de potências em (16) é Isso pode ser verificado pelo teste da razão da seção anterior. Solução alternativa

Nessa solução, novamente utilizamos a série geométrica (15). Somando e subtraindo 2i no denominador de 1/(1 – z), podemos escrever

Escrevemos agora

como uma série de potências aplicando (15) com o

símbolo z substituído por (z – 2i)/(1 – 2i):

O leitor deve verificar que essa última série é exatamente a mesma de (16).

❑


Em (15) e (16), representamos a mesma função 1/(1 – z) por duas séries de potência diferentes. A primeira série

y

319

|z – 2i| = √5

tem centro zero e raio de convergência um. A segunda série z* x

tem centro 2i e raio de convergência Os dois círculos de convergência diferentes estão ilustrados na Figura 10.5. O interior da interseção dos dois círculos (parte sombreada) é a região na qual ambas as séries convergem; em outras palavras, em um ponto especificado z* nessa região, ambas as séries convergem para o mesmo valor f (z*) 1/(1 – z*). Fora da região sombreada, ao menos uma das duas séries tem que divergir.

EXERCÍCIOS 10.2

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

22. Nos Problemas 23 e 24, use (7) para obter os primeiros três termos não nulos da série de Maclaurin da função indicada. 23.

11. 12.

[Sugestão: Use uma identidade trigonométrica.]

Nos Problemas 13-22, expanda a função dada em uma série de Taylor centrada no ponto indicado. Defina o raio de convergência de cada série. 13. 14. 15.

25.

27. 28. Nos Problemas 29 e 30, expanda a função dada na série de Taylor centrada nos pontos indicados. Defina o raio de convergência de cada série. Esboce a região no interior da qual ambas as séries convergem.

17.

30.

20. 21.

26.

Nos Problemas 27 e 28, sem de fato expandir, determine o raio de convergência da série de Taylor da função dada centrada no ponto indicado.

29.

19.

24.

Nos Problemas 25 e 26, utilize frações parciais como um auxílio para obter a série de Maclaurin da função indicada. Defina o raio de convergência da série.

16.

18.

Figura 10.5 Ambas as séries (15) e (16) convergem no interior da região sombreada.


Nos Problemas 1-12, expanda a função indicada em uma série de Maclaurin. Defina o raio de convergência de cada série. 1.

|z| = 1

31. (a) Suponha que o ramo principal do logaritmo f (z) Ln z loge|z| i Arg z seja expandido em uma série de Taylor com centro z0 1 i. Explique por que R 1 é o raio do maior círculo centrado em z0 1 i dentro do qual f é analítica.

320

CAPÍTULO 10 Séries e Resíduos (b) Mostre que no interior do círculo |z – (–1 i)| 1, a série de Taylor para f é

(d) Determine uma série de Maclaurin para Nos Problemas 33 e 34, aproxime o valor da expressão utilizando o número de termos indicados de uma série de Maclaurin.

(c) Mostre que o raio de convergência para a série de potências no item (b) é Explique por que isso não contradiz o resultado do item (a). 32. (a) Considere a função f (z) Ln(1 z). Qual é o raio do maior círculo centrado na origem dentro do qual f é analítica? (b) Expanda f em uma série de Maclaurin. Qual é o raio de convergência dessa série? (c) Use o resultado do item (b) para obter uma série de Maclaurin para Ln(1 – z).

10.3

33. e(1 i)/10, três termos

34.

dois termos

35. Na Seção 6.1, definimos a função erro como

Determine uma série de Maclaurin para erf(z). 36. Utilize a série de Maclaurin de eiz para provar a fórmula de Euler para z complezo:

Série de Laurent

Se uma função complexa f não for analítica em um ponto z z0, então esse ponto é dito ser uma singularidade ou um ponto singular da função. Por exemplo, os números complexos z 2i e z 2i são singularidades da função f(z) z/(z2 4), pois f é descontínua em cada um desses pontos. Recorde da Seção 8.6 que o valor principal do logaritmo, Ln z, é analítico em todos os pontos exceto aqueles pontos no corte da ramificação constituído pelo eixo x não positivo; isto é, o ponto de ramificação z 0, bem como todos os números reais negativos, são pontos singulares de Ln z. Nessa seção, estaremos interessados em um novo tipo de expansão em “série de potências” de f em torno de uma singularidade isolada z0. Essa nova série envolverá potências inteiras negativas e não negativas de z z0. Introdução

Singularidades isoladas Suponha que z z0 seja uma singularidade de uma função complexa f. O ponto z z0 será uma singularidade isolada da função f se existir alguma vizinhança retirada, ou disco aberto perfurado, 0 |z – z0| R de z0 para os quais f seja analítica. Por exemplo, vimos que z 2i e z 2i são singularidades de f (z) z/(z2 4). Tanto 2i como –2i são singularidades isoladas, pois f é analítica em todo ponto na vizinhança definida por |z – 2i| 1 exceto em z 2i e em todo ponto na vizinhança de definida por |z – (–2i)| 1 exceto em z –2i. Em outras palavras, f é analítica na vizinhança retirada 0 |z – 2i| 1 e 0 |z 2i| 1. Por outro lado, o ponto de ramificação z 0 não é uma singularidade isolada de Ln z, pois qualquer vizinhança de z 0 tem que conter pontos no eixo x negativo. Dizemos que um ponto singular z z0 de uma função f é não isolado se qualquer vizinhança de z0 contiver ao menos uma singularidade de Ln z, pois toda vizinhança de z0 contém pontos no eixo real negativo. Um novo tipo de série Se z z0 for uma singularidade de uma função f, então certamente f não pode ser expandida em uma série de potências com z0 como o seu centro. Entretanto, em torno de uma singularidade isolada z z0 é possível representar f por um novo tipo de série envolvendo potências inteiras negativas e não negativas de z – z0; isto é

10.3 Série de Laurent

Utilizando notação de somatório, a última expressão pode ser escrita como a soma de duas séries (1) As duas séries no lado direito de (1) possuem nomes especiais. A parte com potências negativas de z – z0, isto é, , é denominada parte principal da série (1) e convergirá para |1/(z – z0)| r*, ou, de modo equivalente, para |z – z0| 1/r* = r. A parcela constituída pelas potências não negativas de z – z0,

é denominada parte analítica da série (1) e convergirá para |z – z0| R. Portanto, a soma dessas partes converge quando z tanto |z – z0| r como |z – z0| R, isto é, quando z for um ponto em um domínio anular definido por r |z – z0| R. Somando sobre os inteiros negativos e não negativos, (1) pode ser escrita de modo compacto como

O próximo exemplo ilustra uma série da forma (1) na qual a parte principal da série consiste em um número finito de termos não nulos, porém a parte analítica é constituída por um número infinito de termos não nulos. Exemplo 1

Um novo tipo de série

A função f (z) (sen z)/z3 não é analítica em z 0 e portanto não pode ser expandida em uma série de Maclaurin. No entanto, sen z é uma função completa, e a partir de (13) da Seção 10.2 sabemos que sua série de Maclaurin,

converge para todo z. Dividindo essa série de potências por z3, obtemos a seguinte série com potências inteiras negativas e não negativas de z: (2) Essa série converge para todo z exceto z 0, isto é, para 0 |z|.

❑

Uma representação em série de uma função f que tenha a forma indicada em (1), e (2) é um exemplo, é chamada série de Laurent ou uma expansão Laurent de f.

TEOREMA 10.10

Teorema de Laurent

Seja f analítica no interior do domínio anular D definido por r |z – z0| R. Assim, f tem a representação em série (3)

321

322


válida para r |z – z0| R. Os coeficientes ak são definidos por

C

(4) R

z0

onde C é uma curva fechada simples que se localiza inteiramente dentro de D e tem z0 em seu interior (veja a Figura 10.6).

r

Demonstração Considere C1 e C2 como sendo círculos concêntricos com centro z0 e raios r1 e R2, onde r r1 R2 R. Seja z um ponto fixo em D que também satisfaz r1 |z – z0| R2. Veja a Figura 10.7. Introduzindo um corte transversal entre C2 e C1, obtemos a partir da fórmula integral de Cauchy que

D

Figura 10.6 10.10.

Contorno no Teorema

(5) Procedendo como na prova do Teorema 10.9, podemos escrever (6) C2 C1

z0

onde

(7)

Utilizando agora (5) e (8) da Seção 10.1, temos z

Figura 10.7 cêntricos.

C1 e C2 são círculos con-

(8)

onde

(9)

e Considere agora d como a distância de z para z0, isto é, |z – z0| d, e M como o valor máximo de |f (z)| no contorno C1. Como |s – z0| r1,

A desigualdade ML então resulta em


323

Como r1 d, (r1/d)n → 0 quando n → , assim |Rn(z)| → 0 quando n → . Portanto, mostramos que (10) onde os coeficientes a k estão indicados em (9). Combinando (6) e (10), vemos que (5) resulta em (11) Finalmente, somando sobre os inteiros não negativos e negativos, podemos escrever Entretanto, (7) e (9) podem ser escritas como (11) como uma integral única:

onde, em vista de (3) da Seção 9.2, substituímos os contornos C1 e C2 por qualquer contorno fechado simples C em D com z0 em seu interior. ❑ No caso para o qual a k 0 para k 1, 2, 3,..., a série de Laurent (3) é uma série de Taylor. Por causa disso, uma expansão Laurent é uma generalização de uma série de Taylor. O domínio anular no Teorema 10.10 definido por r |z – z0| R não precisa ter o formato em “anel” ilustrado na Figura 10.7. Outros domínios anulares possíveis são: (i) r 0, R finito; (ii) r ⫽ 0, R → ; e (iii) r 0, R → . No primeiro caso, a série converge no domínio anular definido por 0 |z – z0| R. Trata-se do interior do círculo |z – z0| R exceto o ponto z0. No segundo caso, o domínio anular é definido por r |z – z0|; em outras palavras, o domínio consiste em todos os pontos exteriores ao círculo |z – z0| r. No terceiro caso, o domínio é definido por 0 |z – z0|. Trata-se da representação do plano complexo completo exceto o ponto z0. A série obtida em (2) é válida nesse último tipo de domínio. Na prática, a fórmula em (4) para os coeficientes de uma série de Laurent é raramente utilizada. Como consequência, determinar a série de Laurent de uma função em um domínio anular específico geralmente não é uma tarefa fácil. Muitas vezes utilizamos as séries geométricas (5) e (6) da Seção 10.1 ou, conforme fizemos no Exemplo 1, outra série conhecida. Porém, a despeito de como uma expansão Laurent de uma função f é obtida em um domínio anular especificado, ela é a série de Laurent; isto é, a série obtida é única. Exemplo 2

y

0

Expansões Laurent

Expanda

y

1

x

x

0

1

em uma série de Laurent válida para (a) 0 |z| 1, (b) 1

|z|, (c) 0 |z – 1| 1, e (d) 1 |z – 1|. Solução

Os quatro domínios anulares especificados estão apresentados na Figura 10.8. Nos itens (a) e (b), queremos representar f em uma série envolvendo somente potências inteiras negativas e não negativas de z, enquanto que nos itens (c) e (d) queremos representar f em uma série que envolva potências inteiras negativas e não negativas de z – 1.

(a)

(b)

y

0

y

x 1

0

x 1

(a) Escrevendo podemos aplicar (5) da Seção 10.1:

(c)

Figura 10.8 Exemplo 2.

(d)

Domínios anulares para o

324


A série entre colchetes converge para |z| 1. Porém, após a multiplicação dessa expressão por 1/z, a série resultante

converge para 0 |z| 1. (b) Para obtermos uma série convergente para 1 |z|, começamos por construir uma série que seja convergente para |1/z| 1. Com esse objetivo, escrevemos a função f dada como

e novamente utilizamos (5) da Seção 10.1 com z substituído por 1/z:

A série entre colchetes converge para |1/z| 1 ou, de modo equivalente, para 1 |z|. Logo, a série de Laurent exigida é

(c) Esse é basicamente o mesmo problema do item (a) exceto que queremos todas as potências de z – 1. Com esse objetivo, somamos e subtraímos 1 no denominador e usamos (6) da Seção 10.1 com z substituído por z – 1:

A série entre colchetes converge para |z – 1| 1, e portanto a última série converge para 0 |z – 1| 1. (d) Procedendo como no item (b), escrevemos

Como a série dentro dos colchetes converge para |1/(z – 1)| 1, a série final converge para 1 |z – 1|. ❑ Exemplo 3

Expansões Laurent

Expanda 2 e (b) 0 |z 3| 2.

em uma série de Laurent válida para (a) 0 |z 1|

10.3 Série de Laurent Solução

(a) Como nos itens (c) e (d) do Exemplo 2, queremos apenas potências de z – 1, e assim precisamos expressar z – 3 em termos de z – 1. Isso pode ser feito expressando-se

e a seguir aplicando-se (5) da Seção 10.1 com z substituído por (z – 1)/2:

(12)

(b) Para obter potências de z – 3, escrevemos z – 1 2 (z – 3) e

Nesse ponto, podemos expandir

em uma série de potências utili-

zando o teorema binomial geral:

A série binomial é válida para |(z – 3)/2| 1 ou |z – 3| 2. Multiplicando essa série por 1/4(z – 3), obtemos uma série de Laurent que é válida para 0 |z – 3| 2: ❑

Exemplo 4 Expanda Solução

Uma expansão Laurent em uma série de Laurent válida para 0 |z| 1. De (5) da Seção 10.1, podemos escrever

Multiplicamos então a série por 8 1/z e agrupamos os termos iguais:

A série geométrica converge para |z| 1. Após multiplicá-la por 8 1/z, a série de Laurent resultante é válida para 0 |z| 1. ❑ Nos exemplos anteriores, o ponto no centro do domínio anular de validade para cada série de Laurent era uma singularidade isolada da função f. Um novo exame do Teorema 10.10 mostra que esse não precisa ser o caso.

325

326


Exemplo 5 Expanda

em uma série de Laurent válida para 1 |z 2| 2.

Solução

y

0

Uma expansão Laurent

1

2

x

O domínio anular especificado está mostrado na Figura 10.9. O centro desse domínio, z 2, é um ponto de analiticidade da função f. Nosso objetivo agora é obter duas séries envolvendo potências inteiras de z – 2; uma convergindo para 1 |z – 2| e a outra convergindo para |z – 2| 2. Para conseguirmos, iniciamos com a decomposição de f em frações parciais: (13)

Agora, Figura 10.9 Exemplo 5.

Domínio anular para o

Essa série converge para |(z – 2)/2| 1 ou |z – 2| 2. Além disso,

converge para |1/(z – 2)| 1 ou 1 |z – 2|. Substituindo esses dois resultados em (13), temos então

Essa representação é válida para 1 |z – 2| 2. Exemplo 6

❑

Uma expansão Laurent

3/z Expanda f (z) e em uma série de Laurent válida para 0 |z|:

Solução

A partir de (12) da Seção 10.2, sabemos que, para todo z finito, (14)

Substituindo z em (14) por 3/z, z ⫽ 0, obtemos a série de Laurent

Essa série é válida para 0 |z|.

❑

327


Observações Concluindo, destacamos um resultado que terá importância particular para nós nas Seções 10.5 e 10.6. Substituindo a variável complexa s pelo símbolo usual z, vemos que quando k 1, (4) para os coeficientes da série de Laurent resulta em

ou, mais importante, a integral pode ser escrita como (15)

EXERCÍCIOS 10.3


Nos Problemas 1-6, expanda a função dada em uma série de Laurent válida para o domínio anular indicado.

Nos Problemas 17-20, expanda

em uma

série de Laurent válida para o domínio anular indicado. 1.

17.

18.

19.

20.

2. Nos Problemas 21 e 22, expanda

em uma série

3. de Laurent válida para o domínio anular indicado. 4.

21.

5.

Nos Problemas 23 e 24, expanda

22. em

uma série de Laurent válida para o domínio anular indicado.

6.

23.

Nos Problemas 7-12, expanda

em uma série de

Laurent válida para o domínio anular indicado. 7.

8.

9.

10.

11.

12.

Nos Problemas 13-16, expanda série de Laurent válida para o domínio anular indicado. 13.

14.

15.

16.

24.

Nos Problemas 25 e 26, expanda

em uma série

de Laurent válida para o domínio anular indicado. 25.

26.

Nos Problemas 27 e 28, expanda em uma

série de Laurent válida para o domínio anular indicado. 27.

28.

em uma

328


10.4

Zeros e pólos

Introdução

Suponha que z z0 seja uma singularidade isolada de uma função

f e que (1) seja a representação em série de Laurent de f válida para o disco aberto perfurado 0 |z – z0| R. Vimos na seção anterior que uma série de Laurent (1) é constituída por duas partes. A parte da série em (1) com potências negativas de z – z0, ou seja, (2) é a parte principal da série. Na discussão que se segue, apresentaremos nomes diferentes para a singularidade isolada z z0 de acordo com o número de termos da parte principal. A um ponto singular isolado z z0 de uma função complexa f é dado uma classificação que depende de se a parte principal (2) da sua expansão Laurent (1) contém zero, um número finito, ou um número infinito de termos.

Classificação de pontos singulares isolados

(i) Se a parte principal for nula, isto é, todos os coeficientes a k em (2) forem nulos, então z z0 é denominado singularidade removível. (ii) Se a parte principal contiver um número finito de termos não nulos então z z0 é denominado pólo. Se, nesse caso, o último coeficiente não nulo em (2) for a n, n 1, então dizemos que z z0 é um pólo de ordem n. Se z z0 for um pólo de ordem 1, então a parte principal (2) contém exatamente um termo com coeficiente a 1. Um pólo de ordem 1 é comumente chamado pólo simples. (iii) Se a parte principal (2) contiver infinitos termos não nulos, então z z0 é denominado singularidade essencial. A tabela a seguir resume as formas da série de Laurent para uma função f quando z z0 for um dos tipos anteriores de singularidades essenciais. É claro que R na tabela poderia ser . z = z0

Série de Laurent

Singularidade removível Pólo de ordem n Pólo simples Singularidade essencial

Exemplo 1

Descontinuidade removível

Procedendo como em (2) da Seção 10.3, vemos a partir de (3) que z 0 é uma singularidade removível da função f (z) (sen z)/z.

❑

10.4 Zeros e Pólos

Se uma função f tiver uma singularidade removível no ponto z z0, então poderemos sempre fornecer uma definição apropriada para o valor de f (z0) de modo que f se torne analítica no ponto. Por exemplo, como o lado direito de (2) é 1 em z 0, faz sentido definir f (0) 1. Com essa definição, a função f (z) (sen z)/z no Exemplo 1 é agora analítica em z 0. Exemplo 2

Pólos e singularidade essencial

(a) De

0 |z|, vemos que a 1 ⫽ 0, e assim z 0 é um pólo simples da função f (z) (sen z)/z2. A função f (z) (sen z)/z3 representada pela série em (2) da Seção 10.3 tem um pólo de ordem 2 em z 0. (b) No Exemplo 3 da Seção 10.3, mostramos que a expansão Laurent de f (z) 1/ (z – 1)2(z – 3) válida para 0 |z – 1| 2 era

Como a 2 ⫽ 0, concluímos que z 1 é um pólo de ordem 2. (c) No Exemplo 6 da Seção 10.3, vimos a partir da série de Laurent que a parte principal da função f (z) e3/z contém um número infinito de termos. Logo, z 0 é uma singularidade essencial. ❑ No item (b) do Exemplo 2 na Seção 10.3, mostramos que a representação em série de Laurent de f (z) 1/z(z – 1) válida para 1 |z| é

O ponto z 0 é uma singularidade isolada de f, e a série de Laurent contém um número infinito de termos envolvendo potências inteiras negativas de z. Isso significa que z 0 é uma singularidade essencial de f? A resposta é não. Para essa função particular, um novo exame de (1) mostra que a série de Laurent em que estamos interessados é aquela cujo domínio anular 0 |z| 1. A partir do item (a) desse mesmo exemplo, vimos que

era válida para 0 |z| 1. Assim, vemos que z 0 é um pólo simples. Zeros Recorde que z0 é um zero de uma função f se f (z0) 0. Uma função analítica f tem um zero de ordem n em z z0 se

(3) Por exemplo, para f (z) (z – 5) temos f (5) 0, f ¿(5) 0, f –(5) 0, porém f ‡(5) 6. Logo, z 5 é um zero de ordem 3. Se uma função analítica f tiver um zero de ordem n em z z0, decorre de (3) que a expansão em série de Taylor de f centrada em z0 tem que ter a forma 3

onde an ⫽ 0.

329

330


Exemplo 3

Ordem de um zero

2 2 A função analítica f (z) z senz tem um zero em z 0. Substituindo z por z em (13) da Seção 10.2, obtemos

e assim Portanto, z 0 é um zero de ordem 3.

❑

Um zero z0 de uma função analítica não trivial f é isolado no sentido de que existe alguma vizinhança de z0 para a qual f (z) ⫽ 0 em todo ponto z nessa vizinhança exceto em z z0. Como consequência, se z0 for um zero de uma função analítica não trivial f, então a função 1/f (z) tem uma singularidade isolada no ponto z z0. O resultado seguinte nos permite, em algumas circunstâncias, determinar os pólos de uma função por inspeção.

TEOREMA 10.11

Pólos de ordem n

Se as funções f e g forem analíticas em z z0 e f tiver um zero de ordem n em z z0 e g(z0) ⫽ 0, então a função F(z) g(z)/f (z) terá um pólo de ordem n em z z0.

Exemplo 4

Ordem dos pólos

(a) A inspeção da função racional

mostra que o denominador tem zeros de ordem 1 em z 1 e z 5, e um zero de ordem 4 em z 2. Como o numerador não é zero nesses pontos, decorre do Teorema 10.11 que f tem pólos simples em z 1 e z 5, e um pólo de ordem 4 em z 2. (b) No Exemplo 3, vimos que z 0 é um zero de ordem 3 de f (z) z sen z2. A partir do Teorema 10.11, concluímos que a função F(z) 1/(z sen z2) tem um pólo de ordem 3 em z 0. ❑ A partir da discussão anterior, deve ser intuitivamente claro que se uma função tiver um pólo em z z0, então |f (z)| → quando z → z0 a partir de qualquer direção.

EXERCÍCIOS 10.4


Nos Problemas 1 e 2, mostre que z 0 é uma singularidade removível da função indicada. Forneça uma definição de f (0) de modo que f seja analítica em z 0. 1.

2.

Nos Problemas 3-8, determine os zeros e suas ordens para a função indicada. 3.

4.

5.

6.

7.

8.

Nos Problemas 9-12, o número indicado é um zero de uma função. Utilize uma série de Maclaurin ou de Taylor para determinar a ordem do zero. 9. 10.

10.5 Resíduos e Teorema do Resíduo 11.

19.

20.

21.

22.

331

12. Nos Problemas 13-22, determine a ordem dos pólos para a função indicada. 13.

14.

15.

16.

17.

18.

10.5

23. Determine se z 0 é uma singularidade isolada ou não isolada de f (z) tg (1/z). 24. Mostre que z 0 é uma singularidade essencial de f(z) z3 sen(1/z).

Resíduos e teorema do resíduo

Introdução Vimos na última seção que se a função complexa f tiver uma singularidade isolada no ponto z0, então f possui uma representação em série de Laurent

que converge para todo z em torno de z0. Mais precisamente, a representação é válida em alguma vizinhança retirada de z0, ou disco aberto perfurado, 0 |z – z0| R. Nessa seção, nosso foco estará no coeficiente a 1 e sua importância no cálculo de integrais de contorno. Resíduo O coeficiente a 1 de 1/(z – z0) na série de Laurent indicada anteriormente é chamado resíduo da função f na singularidade isolada z0. Utilizaremos a notação

para representar o resíduo de f em z0. Relembre, se a parte principal da série de Laurent válida para 0 |z – z0| R contiver um número finito de termos com a n sendo o último coeficiente não nulo, então z0 é um pólo de ordem n; se a parte principal da série contiver um número infinito de termos com coeficientes não nulos, então z0 é uma singularidade essencial. Exemplo 1

Resíduos

(a) No Exemplo 2 da Seção 10.4, vimos que z 1 é um pólo de ordem 2 da função f (z) 1/(z – 1)2(z – 3). A partir da série de Laurent indicada naquele exemplo, vimos que o coeficiente de 1/(z – 1) é (b) O Exemplo 6 da Seção 10.3 mostrou que z 0 é uma singularidade essencial de f (z) e3/z. A partir da série de Laurent indicada naquele exemplo, vimos que o coeficiente de 1/z é a 1 Res(f(z), 0) 3. ❑ Mais adiante nessa seção, veremos por que o coeficiente a 1 é tão importante. Enquanto isso, examinaremos maneiras de obter esse número complexo quando z0 for um pólo de uma função f sem a necessidade de expandir f em uma série de Laurent em z0. Iniciaremos pelo resíduo em um pólo simples.

332


TEOREMA 10.12

Resíduo em um pólo simples

Se f tiver um pólo simples em z z0, então (1)

Demonstração Como z z0 é um pólo simples, a expansão Laurent de f em torno do ponto tem a forma

Multiplicando ambos os lados por z – z0 e então tomando o limite como z → z0, obtemos

❑

TEOREMA 10.13

Resíduo em um pólo de ordem n

Se f tiver um pólo de ordem n em z z0, então (2)

Demonstração Como f é considerada como tendo um pólo de ordem n, sua expansão Laurent para 0 |z – z0| R tem que ter a forma

Multiplicamos a última expressão por (z – z0)n:

e então diferenciamos n – 1 vezes: (3) Como todos os termos no lado direito após o primeiro envolvem potências inteiras positivas de z – z0, o limite de (3) quando z → z0 é

Resolvendo a última equação em relação a a 1, obtemos (2).

❑

Note que (2) se reduz para (1) quando n 1. Exemplo 2 A função

Resíduo em um pólo tem um pólo simples em z 3 e um pólo de ordem

2 em z 1. Utilize os Teoremas 10.12 e 10.13 para obter os resíduos.

10.5 Resíduos e Teorema do Resíduo Solução

Como z 3 é um pólo simples, aplicamos (1):

Agora, no pólo de ordem 2, a partir de (2) temos que

❑ Quando f não for uma função racional, o cálculo de resíduos por meio de (1) pode algumas vezes ser tedioso. É possível projetar fórmulas alternativas de resíduos. Em particular, suponha que uma função f possa ser escrita como um quociente f (z) g(z)/h(z), onde g e h são analíticas em z z0. Se g(z0) ⫽ 0 e se a função f tiver um zero de ordem 1 em z0, então f terá um pólo simples em z z0 e (4) Para ver esse último resultado, utilizamos (1) e o fato de que h(z0) 0 e de que limz→z (h(z) – h(z0))/(z – z0) é uma definição da derivada h¿(z0): 0

Fórmulas análogas para resíduos em pólos de ordem maior que 1 são complicadas e não serão apresentadas. Exemplo 3

Utilizando (4) para calcular um resíduo

O polinômio z4 1 pode ser fatorado como (z – z1) (z – z2) (z – z3) (z – z4), onde z1, z2, z3 e z4 são as quatro raízes distintas da equação z4 1 0. Decorre do Teorema 10.11 que a função

␲i/4

tem quatro pólos simples. Agora, a partir de (10) da Seção 8.2, temos z1 e , z2 e3␲i/4, z3 e5␲i/4, z4 e7␲i/4. Para calcular os resíduos, usamos (4) e a fórmula de Euler:

❑

Um método alternativo para calcular um resíduo em um pólo simples.

333

334

CAPÍTULO 10 Séries e Resíduos Teorema do resíduo Vamos apresentar agora a razão da importância do conceito de resíduo. O próximo teorema declara que, sob algumas circunstâncias, podemos somando os resíduos nas singularidades isolacalcular integrais complexas das de f dentro do contorno fechado C.

TEOREMA 10.14 zn Cn

C

Teorema de Cauchy do resíduo

Considere D um domínio simplesmente conexo, e C um contorno fechado simples localizado inteiramente em D. Se uma função f for analítica em e no interior de C, exceto em um número finito de pontos singulares z1, z2,..., zn dentro de C, então (5)

C2 z1 D

z2

C1

Suponha que C1, C2,..., Cn sejam círculos centrados em z1, z2,..., zn, respectivamente. Além disso, suponha que cada círculo Ck tenha um raio rk pequeno o suficiente para que C1, C2,..., Cn sejam mutuamente separadas e estejam no interior da curva fechada simples C. Veja a Figura 10.10. Relembre que (15) da Seção 10.3 implica e portanto o Teorema 18.5 resulta em Demonstração

❑

Figura 10.10 n pontos singulares dentro do contorno C.

Exemplo 4 Calcule

Cálculo pelo teorema do resíduo , onde

(a) o contorno C é o retângulo definido por x 0, x 4, y 1, y 1, e (b) o contorno C é o círculo |z| 2. (a) Como ambos os pólos z 1 e z 3 se localizam dentro do quadrado, temos a partir de (5) que

Solução

Obtivemos esses resíduos nos Exemplos 2 e 3, e assim

(c) Como apenas o pólo z 1 se localiza dentro do círculo |z| 2, temos a partir de (5) que ❑

Exemplo 5 Calcule

Cálculo pelo teorema do resíduo , onde o contorno C é o círculo |z – i| 2.

Escrevendo z2 4 (z – 2i)(z 2i), vemos que o integrando tem pólos simples em –2i e 2i. Agora, como somente 2i se localiza dentro do contorno C, temos a partir de (5) que Solução

10.5 Resíduos e Teorema do Resíduo

Porém

❑

Portanto,

Exemplo 6

Cálculo pelo teorema do resíduo , onde o contorno C é o círculo |z| 2.

Calcule

Como z 5z z (z 5), vemos que o integrando tem um pólo de ordem 3 em z 0 e um pólo simples em z 5. Como somente z 0 se localiza no interior do contorno dado, temos a partir de (5) e (2) Solução

4

3

3

❑

Exemplo 7 Calcule


O integrando tg z sen z/cos z tem pólos simples nos pontos nos quais cos z 0. Vimos na Seção 8.7 que os únicos zeros para cos z são os números reais z (2n 1)␲/2, n 0, 1, 2,.... Como apenas ␲/2 e ␲/2 estão dentro do círculo |z| 2, temos Solução

Agora, a partir de (4) com g(z) sen z, h(z) cos z e h¿(z) sen z, vemos que

❑

Portanto,

Exemplo 8 Calcule


Conforme vimos, z 0 é uma singularidade essencial do integrando f(z) e3/z, e portanto nem a fórmula (1), nem a fórmula (2) se aplicam para que um resíduo de f seja determinado naquele ponto. Apesar disso, vimos no Exemplo 1 que a série de Laurent de f em z 0 resulta em Res(f(z), 0) 3. Assim, a partir de (5), temos Solução

❑

335

336


Observações Na aplicação das fórmulas de limite (1) e (2) para o cálculo de resíduos, pode-se obter a forma indeterminada 0/0. Apesar de não provarmos, deve-se destacar que a regra de L’Hôpital é válida em análise complexa. Se f (z) g(z)/h(z), onde g e h são analíticas em z z0, g(z0) 0, h(z0) 0 e h¿(z0) ⫽ 0, então

EXERCÍCIOS 10.5


Nos Problemas 1-6, utilize a série de Laurent para obter o resíduo indicado.

19.

1. 20.

2. 3.

Nos Problemas 21-32, utilize o teorema do resíduo de Cauchy, quando apropriado, para calcular a integral dada ao longo dos contornos indicados.

4. 5.

21.

6. 22. Nos Problemas 7-16, utilize (1), (2) ou (4) para obter o resíduo em cada pólo da função indicada.

23.

7.

8.

24.

9.

10.

25.

11.

, C é a elipse 16x2 y2 4

26.

12.

27.

13.

14.

15.

16.

28. 29.

Nos Problemas 17-20, utilize o teorema do resíduo de Cauchy, quando apropriado, para calcular a integral dada ao longo dos contornos indicados.

, C é o retângulo definido por

, x ␲, y

1, y 1 , C é o retângulo definido por x 2, x

30.

17.

1, 31.

18. 32.

,y1

10.6 Cálculo de Integrais Reais

10.6

Cálculo de integrais reais

Introdução Nessa seção, veremos como a teoria de resíduos pode ser utilizada para calcular integrais reais das formas

(1)

(2)

(3) onde F em (1) e f em (2) e (3) são funções racionais. Para a função racional f (x) p(x)/q(x) em (2) e (3), consideraremos que os polinômios p e q não têm fatores comuns. Integrais da forma

F(cos ␪, sen ␪) d␪ A idéia básica aqui é converter uma integral da forma (1) em uma integral complexa na qual o contorno C é o círculo unitário centrado na origem. Esse contorno pode ser parametrizado por z cos ␪ i sen ␪ ei␪, 0 ␪ 2␲. Utilizando

substituímos d␪, cos ␪ e sen ␪, respectivamente, por (4) A integral em (1) então se torna

onde C é |z| 1. Exemplo 1

Uma integral trigonométrica real

Calcule Solução

Utilizando as substituições em (4) e simplificando, obtemos a integral

de contorno

Com o auxílio da fórmula quadrática, podemos escrever

onde tário C, temos

e

Como somente z1 é interior ao círculo uni-

337

338


Agora z1 é um pólo de ordem 2, e assim, a partir de (2) da Seção 10.5,

Logo,

❑

e finalmente Integrais da forma

f(x) dx Quando f for contínua em ( , ), relembre

de cálculo que a integral imprópria distintos:

é definida em termos de dois limites

(5) Se ambos os limites de (5) existirem, a integral é convergente; se um ou ambos os limites não existirem, a integral é divergente. No caso de sabermos (a priori) que uma integral converge, podemos calculá-la por meio de um único processo de limite: (6) É importante notar que o limite simétrico em (6) pode existir apesar da integral imprópria ser divergente. Por exemplo, a integral é divergente pois Entretanto, aplicando (6), obtemos (7) O limite em (6) é denominado valor principal de Cauchy da integral, sendo escrito como

y CR

zn

z2

z1

z3 –R

0

z4

R

Figura 10.11 Contorno fechado C constituído por um semicírculo CR e o intervalo [ R, R].

x

Em (7), mostramos que V.P. Para resumir, quando uma integral da forma (2) converge, seu valor principal de Cauchy é igual ao valor da integral. Se a integral divergir, ela pode ainda possuir um valor principal de Cauchy. Para calcular uma integral , onde f (x) P(x)/Q(x) é contínua em ( , ), pela teoria do resíduo substituímos x pela variável complexa z e integramos a função complexa f sobre um contorno fechado C que consiste no intervalo [ R, R] no eixo real e um semicírculo CR de raio grande o suficiente para englobar todos os pólos de f (z) P(z)/Q(z) no plano metade superior Re(z) 0. Veja a Figura 10.11. Pelo Teorema 10.14, temos

onde zk, k 1, 2,..., n, representa os pólos no plano metade superior. Se pudermos mostrar que a integral quando , então temos (8)


Exemplo 2

339

V.P. de Cauchy de uma integral imprópria

Calcule o valor principal de Cauchy de

Solução

Seja f (z) 1/(z2 1)(z2 9). Como

y CR 3i

consideramos C como sendo o contorno fechado constituído pelo intervalo [ R, R] no eixo x e o semicírculo CR de raio R 3. Conforme vemos da Figura 10.12,

i –R

Figura 10.12 o Exemplo 2.

Nos pólos simples z i e z 3i, obtemos, respectivamente,

de modo que

(9)

Queremos agora adotar R → em (9). Antes de fazermos isso, observamos que, em CR,

e assim, a partir da desigualdade ML da Seção 9.1, podemos escrever

Esse último resultado mostra que |I2| → 0 quando R → , e portanto concluímos que lim R→ I2 0. A partir de (9), temos que lim R→ I1 ␲/12; em outras palavras, ❑ Mostrar que a integral de contorno ao longo de CR se aproxima de zero quando R → é uma tarefa muitas vezes tediosa. A seguir são indicadas as condições suficientes sob as quais essa condição é sempre verdadeira:

TEOREMA 10.15

Comportamento da integral quando R →

Suponha que f (z) P(z)/Q(z), onde o grau de P(z) é n, e que o grau de Q(z) seja m n 2. Se CR for um contorno semicircular z Rei␪, 0 ␪ ␲, então quando R → .

Em outras palavras, a integral ao longo de CR se aproxima de zero com R → quando o denominador de f for de uma potência ao menos maior por 2 do que a do seu numerador. A demonstração desse fato decorre da mesma maneira indicada no Exemplo 2. Observe que naquele exemplo as condições estipuladas no Teorema 10.15 são satisfeitas, pois o grau de P(z) 1 é 0 e o grau de Q(z) (z2 1)(z2 9) é 4.

R

x

Contorno fechado C para

340


Exemplo 3

V.P. de Cauchy de uma integral imprópria

Calcule o valor principal de Cauchy de Solução

Por inspeção do integrando, vemos que as condições dadas no Teorema 10.15 são satisfeitas. Além disso, sabemos a partir do Exemplo 3 da Seção 10.5 que f tem pólos simples no plano metade superior em z1 e␲i/4 e z2 e3␲i/4. Vimos também naquele exemplo que os resíduos nesses pólos são

Assim, de (8), ❑ Integrais das formas f(x) cos ␣x dx ou f(x) sen ␣x dx Encontramos integrais desse tipo na Seção 6.4 para o estudo de transformadas de Fourier. Consequentemente, são referidas como integrais de Fourier. Integrais de Fourier aparecem como partes real e imaginária na integral imprópria Utilizando a fórmula de Euler , obtemos

(10) sempre que ambas as integrais no lado direito convergirem. Quando f (x) P(x)/Q(x) for contínua em ( , ), podemos calcular ambas as integrais de Fourier ao mesmo tempo considerando a integral onde ␣ 0 e o contorno C novamente consiste do intervalo [ R, R] no eixo real e um contorno semicircular CR com raio grande o suficiente para englobar os pólos de f (z) no plano metade superior. Antes de prosseguirmos, indicamos, sem demonstrar, as condições suficientes sob as quais a integral de contorno ao longo de CR se aproxima de zero quando R → :

TEOREMA 10.16

Comportamento da integral quando R →

Suponha que f (z) P(z)/Q(z), onde o grau de P(z) é n, e que o grau de Q(z) seja m n 1. Se CR for um contorno semicircular z Rei␪, 0 ␪ ␲ e ␣ 0, então quando R → .

Exemplo 4

Utilizando simetria

Calcule o valor principal de Cauchy de Observe primeiro que os limites de integração não são de a conforme exige o método. Isso pode ser corrigido observando-se que, como o integrando é uma função par de x, podemos escrever

Solução

(11) Com ␣ 1, formamos agora a integral de contorno

341


onde C é o mesmo contorno apresentado na Figura 10.12. Pelo Teorema 10.14,

onde f (z) z/(z2 9). A partir de (4) da Seção 10.5,

Portanto, em vista do Teorema 10.16, concluímos que → , e assim

quando R

Porém, a partir de (10),

Igualando as partes real e imaginária na última linha, obtemos o resultado extra

Finalmente, com base em (11), obtemos o valor da integral prescrita: ❑ y

Contornos endentados

As integrais impróprias da forma (2) e (3) que consideramos até o momento eram contínuas no intervalo [ , ]. Em outras palavras, a função complexa f(z) P(z)/Q(z) não tinha pólos no eixo real. No caso evento em que f tem pólos no eixo real, precisamos modificar o procedimento utilizado nos Exemplos 2-4. Por exemplo, para calcular por resíduos quando f(z) tem um pólo em z c, onde c é um número real, utilizamos um contorno endentado conforme ilustrado na Figura 10.13. O símbolo Cr representa um contorno semicircular centrado em z c e orientado na direção positiva. O próximo teorema é importante para essa discussão.

CR –Cr –R

Figura 10.13

TEOREMA 10.17

Comportamento da integral quando r → 0

Suponha que f tenha um pólo simples z c no eixo real. Se Cr for o contorno definido por z c rei␪, 0 ␪ ␲, então

Demonstração

Como f tem um pólo simples em z c, sua série de Laurent é

onde a 1 Res(f (z), c) e g é analítica em c. Utilizando a série de Laurent e a parametrização de Cr, temos (12) Primeiro, vemos que

c

R

Contorno endentado.

x

342


A seguir, g é analítica em c, e assim ela é contínua nesse ponto e limitada em uma vizinhança do ponto; isto é, existe um M 0 para o qual |g(c rei␪)| M. Logo,

Decorre da última desigualdade que limr → 0 I2 0. Tomando o limite de (12) para r → 0, demonstramos o teorema. ❑ Exemplo 5

Utilizando um contorno endentado

Calcule o valor principal de Cauchy de Solução

Como a integral é da forma (3), consideramos a integral de contorno A função f (z) 1/z(z2 – 2z 2) tem pólos simples em z 0 e em z 1 i no plano metade superior. O contorno C mostrado na Figura 10.14 é endentado na origem. Adotando uma notação óbvia, temos (13) Tomando os limites de (13) para R → e r → 0, obtemos a partir onde dos Teoremas 10.16 e 10.17 que

y CR

–R

–r

Agora,

1+i

–Cr r

R

x

Portanto, Figura 10.14 Contorno endentado C para o Exemplo 5. 1i

1

Usando e e (cos 1 i sen 1), simplificando e então igualando as partes real e imaginária, obtemos a partir da última igualdade

❑

e

EXERCÍCIOS 10.6


Nos Problemas 1-10, calcule a integral trigonométrica indicada. 1.

2.

3.

4.

6. 7. 9.

5.

[Sugestão: Considere

] 10.

8.

Exercícios de Revisão Nos Problemas 11-30, calcule o valor principal de Cauchy da integral imprópria indicada. 11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

343

33. Estabeleça o resultado geral

e use essa fórmula para verificar a resposta no Exemplo 1. 34. Estabeleça o resultado geral

e use essa fórmula para verificar a resposta do Problema 7. 35. Use o contorno apresentado na Figura 10.15 para mostrar que

y 2␲i

23.

24. ␲i

25.

26.

27.

28.

r

–r

Figura 10.15

C x


36. A temperatura de regime permanente u(x, y) em uma placa semi-infinita é determinada a partir de 29. 30. Nos Problemas 31 e 32, utilize um contorno endentado e resíduos para estabelecer o contorno indicado. Utilize uma transformada de Fourier e o método do resíduo para mostrar que

31. 32.



Responda os Problemas 1-12, sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso.

4. As únicas singularidades possíveis de uma função racional são pólos. ______

1. Uma função f é analítica em um ponto z0 se f puder ser expandida em uma série de potências convergente centrada em z0. ______

5. A função f (z) e1/(z 1) tem uma singularidade essencial em z 1. ______

2. Uma série de potências representa uma função contínua em todos os pontos dentro e em seu círculo de convergência. ______ 3. Para f (z) 1/(z – 3), a série de Laurent válida para |z| 3 é z 1 3z 2 9z 3 .... Como existe um número infinito de potências negativas de z z – 0, z 0 é uma singularidade essencial. ______

6. A função f (z) z/(ez – 1) tem uma singularidade removível em z 0. ______ 7. A função f (z) z(ez – 1) possui um zero de ordem 2 em z 0. ______ 8. A função f (z) (z 5)/(z3sen2z) tem um pólo de ordem ______ em z 0. 9. Se f (z) cotg ␲z, então Res (f(z), 0) ______.

344


10. A série de Laurent de f válida para 0 |z – 1| é dada por

, C é o quadrado definido por x 2, x

26. 2, y 0, y 1.

A partir dessa série, vemos que f tem um pólo de ordem _____ em z 1 e Res(f (z), 1) ______.

27. Maclaurin para z(ez – 1).]

11. O círculo de convergência da série de potências 28.

é ______. 12. A série de potências

.[Sugestão: Utilize a série de

converge em z 2i. ______

13. Determine uma expansão Maclaurin de f (z) e cos z. [Sugestão: Utilize a identidade cos z (eiz e iz)/2.]

29.

z

14. Mostre que a função f (z) 1/sen (␲/z) tem um número infinito de pontos singulares. Algum desses pontos são pontos singulares isolados?

30.

,C é o retângulo definido por y 1, y 1

Nos Problemas 31 e 32, calcule o valor principal de Cauchy da integral imprópria indicada.

Nos Problemas 15-18, utilize resultados conhecidos como um auxílio para expandir a função dada em uma série de Laurent válida para a região anular indicada.

31.

15.

32.

16.

[Sugestão: Considere ]

17.

Nos Problemas 33 e 34, calcule a integral trigonométrica indicada.

18.

33.

19. Expanda

em uma série apropriada vá-

34.

lida para 35. Utilize um contorno endentado para mostrar que

20. Expanda para

em uma série apropriada válida 36. Mostre que considerando a integral complexa ao longo do contorno C mostrado na Figura 10.16. Utilize o resultado conhecido

Nos Problemas 21-30, utilize o teorema do resíduo de Cauchy para calcular a integral dada ao longo do contorno indicado.

y

21.

b i 2a2

, C é a elipse x /4 y 1. 2

22.

2

C r

–r

x

23. Figura 10.16


37. A expansão Laurent de f (z) e válida para 0 |z| pode ser mostrada como sendo , onde Jk(u) é a função de Bessel de primeiro tipo de ordem k. Use (4) da Seção 10.3 e o contorno C: |z| 1 para mostrar que os coeficientes Jk(u) são definidos por (u/2)(z – 1/z)

24.

, C é o retângulo definido por x 1, x 1, y 4, y 1.

25.

CAPÍTULO

11 Mapeamentos Conformes Descrição do capítulo 11.1 Funções complexas como mapeamentos 11.2 Mapeamentos conformes 11.3 Transformações fracionais lineares 11.4 Transformações de Schwarz-Christoffel 11.5 Fórmulas integrais de Poisson 11.6 Aplicações Exercícios de revisão

Neste capítulo, estudaremos as propriedades de mapeamento das funções elementares introduzidas no Capítulo 8 e desenvolveremos duas novas classes de mapeamentos especiais denominadas transformações fracionais lineares e transformações de Schwarz-Christoffel. Em capítulos anteriores, utilizamos séries de Fourier e transformadas integrais para resolver problemas de valor de contorno envolvendo a equação de Laplace. Os métodos de mapeamento conforme discutidos nesse capítulo podem ser utilizados para transferir soluções conhecidas para a equação de Laplace de uma região para outra. Além disso, fluxos de fluidos em torno de obstáculos e através de canais podem ser determinados utilizando-se mapeamentos conformes.

346

CAPÍTULO 11 Mapeamentos Conformes

11.1

Funções complexas como mapeamentos

Introdução

No Capítulo 8, enfatizamos definições algébricas e propriedades de funções complexas. Para darmos uma interpretação geométrica de uma função complexa w f (z), posicionamos um plano z e um plano w lado a lado e imaginamos que um ponto z x iy no domínio de definição de f é mapeado (ou transformado) no ponto w f (z) no segundo plano. Assim, a função complexa w f (z) u(x,y) iv(x,y) pode ser considerada como a transformação planar

e w f (z) é chamada de imagem de z sob f. A Figura 11.1 indica as imagens de um número finito de números complexos na região R. Informação mais útil é obtida ao se determinar a imagem da região R junto com as imagens de uma família de curvas que se localiza dentro de R. Escolhas comuns para as curvas consistem em famílias de retas, famílias de círculos, e o sistema de curvas de nível para as partes real e imaginária de f.

(a) plano z

Figura 11.1

w1, w2, w3 são imagens de z1, z2, z3

Imagens de curvas Note que se z(t) x(t) iy(t), a t b, descrever uma curva C na região, então w f (z(t)), a t b, é uma representação paramétrica da curva correspondente C¿ no plano w. Além disso, um ponto z na curva de nível u(x,y) a será mapeado em um ponto w que se localiza na reta vertical u a, e um ponto z na curva de nível v(x,y) b será mapeado em um ponto w que se localiza na reta horizontal v b.

y i

Exemplo 1 x (a) v

u

Arg w =

(b) plano w

Arg w = 0 (b)

Figura 11.2 Imagens de retas vertical e horizontal no Exemplo 1.

Mapeamento f (z) ez

A faixa horizontal 0 y ␲ se estende na região fundamental da função exponencial f (z) ez. Um segmento de reta vertical x a nessa região pode ser descrito por z(t) a it, 0 y ␲, e assim w f (z(t)) eaeit. Logo, a imagem é um semicírculo com centro em w 0 e com raio r ea. De modo similar, uma reta horizontal y b pode ser parametrizada por z(t) t ib, t , e assim w f (z(t)) eteib. Como Arg w b e |w| et, a imagem é um raio emanando a partir da origem, e como 0 Arg w ␲, a imagem da faixa horizontal complexa é o plano metade superior v 0. Note que as retas horizontais y 0 e y ␲ são mapeadas no eixo u positivo e negativo, respectivamente. Veja a Figura 11.2 para o mapeamento por f (z) ez. A partir de w exeiy, podemos concluir que |w| ex e y Arg w. Portanto, z x iy loge|w| iArg w Ln w. A função inversa f1(w) Ln w consequentemente mapeia o plano metade superior v 0 de volta à faixa horizontal 0 y ␲. ❑

11.1 Funções Complexas Como Mapeamentos

Exemplo 2

347

y

O mapeamento f (z) 1/z

A função complexa f(z) 1/z tem domínio z ⫽ 0 e partes real e imaginária u(x,y) x/(x2 y2) e v(x,y) y/(x2 y2), respectivamente. Quando a ⫽ 0, uma curva de nível u(x,y) a pode ser escrita como

b=– 1 2

a= – 1 2

a= 1 2 x

b= 1 2

A curva de nível é portanto um círculo com seu centro no eixo x e passando pela origem. Um ponto z nesse círculo, que não seja zero, é mapeado em um ponto w na reta u a. De modo semelhante, a curva de nível v(x,y) b, b ⫽ 0, pode ser escrita como

(a) v 2

e um ponto z nesse círculo é mapeado em um ponto w na reta v b. A Figura 11.3 mostra o mapeamento por f (z) 1/z. A Figura 11.3(a) ilustra os dois conjuntos de curvas de nível circulares, e a Figura 11.3(b) apresenta suas imagens correspondentes no plano w. Como w 1/z, temos z 1/w. Logo, f 1(w) 1/w, e assim f f 1. Podemos portanto concluir que f mapeia a reta horizontal y b no círculo e f mapeia a reta vertical x a no círculo ❑ A função linear elementar f (z) z z0 pode ser interpretada como uma translação no plano z. Para ver isso, adotamos z x iy e z0 h ik. Como w f (z) (x h) i(y k), o ponto (x,y) é transladado h unidades na direção horizontal e k unidades na direção vertical para a nova posição em (x h, y k). Em particular, a origem O é mapeada em z0 h ik. A função elementar pode ser interpretada como uma rotação por ␪0 graus. Se z rei␪, então Note que se o mapeamento complexo for aplicado a uma região R que esteja centrada na origem, a região imagem R¿ pode ser obtida primeiro rotacionando-se R por ␪0 graus e depois transladando-se o centro para a nova posição z0. Veja a Figura 11.4 para o mapeamento por

u –2

2

–2 (b)

Translação e rotação

Exemplo 3

Figura 11.3 Exemplo 2.

y R x

Rotação e translação

(a)

Determine uma função complexa que mapeie a faixa horizontal –1 y 1 na faixa vertical 2 x 4.

R¿

Se a faixa horizontal –1 y 1 for rotacionada por 90 , obtemos a faixa vertical –1 x 1, sendo que a faixa vertical 2 x 4 pode ser obtida deslocando-se essa faixa vertical 3 unidades para a direita. Veja a Figura 11.5. Como ei␲/2 i, obtemos h(z) iz 3 como o mapeamento complexo desejado. o

Solução

4

2

2

–2

2

4

z0

θ0

–2

2 –2 –4

–4 (a)

Imagem da faixa horizontal no Exemplo 3.

(b)

4

u

(b)

u –4

–2

Figura 11.5

v

v

y 4

x –4

Imagens de círculos no

Figura 11.4

Translação e rotação.

348

CAPÍTULO 11 Mapeamentos Conformes y

0

R x

Aumento Uma função aumentada é uma função complexa da forma f (z) ␣z, onde ␣ é um número real positivo fixo. Note que |w| |␣z| ␣|z|, e assim f modifica o comprimento (mas não a direção) do número complexo z por um fator fixo ␣. Se g(z) az b e então o vetor z é rotacionado por ␪0 graus, aumentado por um fator r0 e então transladado utilizando-se b.

Exemplo 4

Contração e translação

Determine uma função complexa que mapeie o disco |z| 1 no disco Solução Primeiro, temos que contrair o raio do disco por um fator de 1/2 e a seguir transladar o seu centro para o ponto 1 i. Portanto, mapeia |z| 1 no disco ❑

(a) v

R

u

(b)

Figura 11.6 angular R.

Uma função complexa da forma f (z) z␣, onde ␣ é um número real positivo fixo, é chamada função de potência real. A Figura 11.6 mostra o efeito da função complexa f (z) z␣ na cunha angular 0 Arg z ␪0. Se z rei␪, então w f (z) r␣ei␣␪. Logo, 0 Arg w ␣␪0 e a abertura da cunha é modificada por um fator ␣. Não é difícil mostrar que um arco circular com centro na origem é mapeado em um arco circular similar, e que raios emanando a partir da origem são mapeados em raios similares.

Funções de potências

0

R¿ é imagem da cunha

Exemplo 5

A função de potência f (z) z1/4

Determine uma função complexa que mapeie o plano metade superior y 0 na cunha 0 Arg z ␲/4. O plano metade superior y 0 pode também ser descrito pela desigualdade 0 Arg z ␲. Temos portanto que obter um mapeamento complexo que reduz 1/4 o ângulo de ␪0 ␲ por um fator Logo, f (z) z . ❑

Solução

Mapeamentos sucessivos Para determinar um mapeamento entre duas regiões R e R¿, muitas vezes é conveniente primeiro mapear R em uma terceira região R–, e então obter um mapeamento complexo de R– em R¿. Mais precisamente, se ␨ f (z) mapeia R em R–, e w g(␨) mapeia R– em R¿, então a função composta w g(f (z)) mapeia R em R¿. Veja a Figura 11.7 para um diagrama de mapeamentos sucessivos. R¿

R

plano w

plano z f

g

R–

plano

Figura 11.7

R¿ é imagem de R sob mapeamentos sucessivos.

11.1 Funções Complexas Como Mapeamentos

Exemplo 6

349

Mapeamentos sucessivos

Determine uma função complexa que mapeie a faixa horizontal 0 y ␲ na cunha 0 Arg w ␲/4. Vimos no Exemplo 1 que a função complexa f (z) ez mapeou a faixa horizontal 0 y ␲ no plano metade superior 0 Arg ␨ ␲. A partir do Exemplo 5, o plano metade superior 0 Arg ␨ ␲ é mapeado na cunha 0 Arg w ␲/4 por g(␨) ␨1/4. Portanto, a função composta w g(f (z)) g(ez) ez/4 mapeia a faixa horizontal 0 y ␲ na cunha 0 Arg w ␲/4. ❑ Solução

Exemplo 7

Mapeamentos sucessivos

Determine uma função complexa que mapeie a faixa horizontal ␲/4 Arg z 3␲/4 no plano metade superior v 0. Solução Primeiro rotacionamos a cunha ␲/4 Arg z 3␲/4 de modo que ela fique na posição padrão mostrada na Figura 11.6. Se ␨ f(z) ei␲/4z, então a imagem dessa cunha é a cunha R– definida por 0 Arg ␨ ␲/2. A função de potência real w g(␨) ␨2 expande a abertura de R– por um fator 2 para resultar no plano metade superior 0 Arg w ␲ como sua imagem. Portanto, w g(f(z)) (ei␲/4z)2 iz2 é o mapeamento desejado. ❑

Nas Seções 11.2-11.4, expandiremos nosso conhecimento de mapeamentos complexos e mostraremos como eles podem ser utilizados para resolver a equação de Laplace no plano.

EXERCÍCIOS 11.1


Nos Problemas 1-10, indica-se uma curva no plano z e um mapeamento complexo w f (z). Em cada caso, determine a curva imagem no plano w. 1. y x sob w 1/z

15. Círculo |z| 1 sob w z 4i 16. Círculo |z| 1 sob w 2z – 1 18. Primeiro quadrante sob w (1 i)z

3. Hipérbole xy 1 sob w z

2

4. Hipérbole x – y 4 sob w z 2

2

5. Semicírculo |z| 1, y 0 sob w Ln z 6. Raio ␪ ␲/4 sob w Ln z 7. Raio ␪ ␪0 sob w z

z

17. Faixa 0 y 1 sob w iz

2. y 1 sob w 1/z 2

14. Retângulo 0 x 1, 0 y ␲ sob w e

1/2

8. Arco circular r 2, 0 ␪ ␲/2, sob w z1/2 9. Curva e cos y 1 sob w e x

z

19. Cunha 0 Arg z ␲/4 sob w z3 20. Cunha 0 Arg z ␲/4 sob w z1/2 Nos Problemas 21-30, determine um mapeamento complexo a partir da região R indicada no plano z para a região imagem R¿ no plano w. 21. Faixa 1 y 4 para a faixa 0 u 3 22. Faixa 1 y 4 para a faixa 0 v 3

10. Círculo |z| 1 sob w z 1/z

23. Disco |z – 1| 1 para o disco |w| 2

Nos Problemas 11-20, indica-se uma região no plano z e um mapeamento complexo w f (z). Em cada caso, determine a região imagem no plano w.

24. Faixa 1 x 1 para a faixa 1 v 1

11. Primeiro quadrante sob w 1/z

26. Faixa 0 y 4 para o plano metade superior v 0

12. Faixa 0 y 1 sob w 1/z

27. Faixa 0 y ␲ para a cunha 0 Arg w 3␲/2

13. Faixa ␲/4 y ␲/2 sob w e

z

25. Cunha ␲/4 Arg z ␲/2 para o plano metade superior v 0

28. Cunha 0 Arg z 3␲/2 para o plano metade u 2

350


29. y

(a) Mostre que a transformação de Joukowski mapeia qual2 2 2 quer círculo x y R na elipse

v R

v=1

i

R⬘ x

u

(b) Qual é a imagem do círculo quando R k?

Figura 11.8

2 (c) A importância da transformação w z k /z não está no seu efeito nos círculos |z| R centrados na origem, mas sim nos círculos com centro no eixo real. Mostre que a transformação de Joukowski pode ser escrita como

Regiões R e R¿ para o Problema 29.

30. y

v y=

v= R¿

R x

Figura 11.9

u


31. Projeto O mapeamento no Problema 10 é um caso especial 2 do mapeamento w z k /z, onde k é uma constante positiva, denominado transformação de Joukowski.

11.2

C2 z1¿ C1 (a) plano z C2¿

Mapeamentos conformes

Um mapeamento complexo w f (z) definido em um domínio D é chamado conforme para z = z0 em D quando f preserva os ângulos entre quaisquer duas curvas em D que se interceptam em z0. Mais precisamente, se C1 e C2 interceptam em D para z0, e C1¿ e C2¿ são as imagens correspondentes no plano w, exigimos que o ângulo ␪ entre C1 e C2 seja igual ao ângulo ␾ entre C1¿ e C2¿. Veja a Figura 11.10. Esses ângulos podem ser calculados em termos de vetores tangentes às curvas. Se z1¿ e z2¿ representarem vetores tangentes às curvas C1 e C2, respectivamente, então, aplicando a lei dos co-senos ao triângulo determinado por z1¿ e z2¿, temos Mapeamentos com preservação de ângulo

x

v

www.ae.su.oz.au/aero/jouk/jouk.html

Introdução Na Seção 11.1, vimos que um mapeamento linear não constante f (z) az b, a e b números complexos, atua rotacionando, aumentando e transladando pontos no plano complexo. Como resultado, é fácil mostrar que o ângulo entre quaisquer duas curvas que se interceptam no eixo z é igual ao ângulo entre as imagens dos arcos no plano w sob um mapeamento linear. Outros mapeamentos complexos que têm essa propriedade de preservação de ângulo são o assunto do nosso estudo nessa seção.

z2¿

y

Com k 1, essa transformação particular mapeia um círculo passando por z 1 e contendo o ponto z 1 dentro de uma curva fechada com uma extremidade acentuadamente pontiaguda. Esse tipo de curva, que se assemelha a uma seção transversal de uma asa de avião, é conhecida como aerofólio de Joukowski. Escreva um texto a respeito do uso da transformação de Joukowski no estudo do fluxo de ar em torno de um aerofólio. Existe muita informação desse tópico na Internet; por exemplo, você pode iniciar sua pesquisa pela URL:

w2¿

C1¿ w1¿ u (b) plano w

Figura 11.10 se ␪ ␾.

Mapeamento conforme

ou

(1)

11.2 Mapeamentos Conformes

De modo similar, se w1¿ e w2¿ representarem vetores tangentes às curvas C1¿ e C2¿, respectivamente, então

(2) O próximo teorema apresentará uma condição simples que garante ␪ ␾.

TEOREMA 11.1*

Mapeamento conforme

Se f (z) for analítica no domínio D e f¿(z0) ⫽ 0, então f é conforme em z z0.

Demonstração Se uma curva C em D for parametrizada por z z(t), então w f (z(t)) descreve a curva imagem no plano w. Aplicando a regra da cadeia em w f(z(t)), temos w¿ f¿(z(t))z¿(t). Se as curvas C1 e C2 se interceptam em D para z0, então w1¿ f ¿(z0)z1¿ e w2¿ f ¿(z0)z2¿. Como f ¿(z0) ⫽ 0, podemos usar (2) para obter

Podemos aplicar as leis de valor absoluto para fatorar |f ¿(z0)|2 no numerador e no denominador e obter

Portanto, a partir de (1), ␪ ␾. Exemplo 1

❑

Mapeamentos conformes

(a) A função analítica f (z) ez é conforme em todos os pontos no plano z, pois f ¿(z) ez nunca é zero. 2 (b) A função analítica g(z) z é conforme em todos os pontos exceto z 0, pois g¿(z) 2z ⫽ 0 para z ⫽ 0. A partir da Figura 11.6, vemos que g(z) dobra o ângulo formado pelos dois raios na origem. ❑

Se f ¿(z0), porém f –(z0) ⫽ 0, é possível mostrar que f dobra o ângulo entre quaisquer duas curvas em D que se interceptam em z z0. Os próximos dois exemplos introduzirão dois mapeamentos complexos importantes que são conformes em todos os pontos, exceto um número finito, em seus domínios. Exemplo 2

f (z) sen z como um mapeamento conforme

A faixa vertical ␲/2 x ␲/2 é chamada de região fundamental da função trigonométrica w sen z. Uma reta vertical x a no interior dessa região pode ser descrita por z(t) a it, t . A partir de (6) da Seção 8.7, temos

e assim A partir da identidade cosh2t senh2t 1, temos

* Também é possível demonstrar que f preserva o senso de direção entre os vetores tangentes.

351

352

CAPÍTULO 11 Mapeamentos Conformes y B

E

A – 2

D 2

C

F

x

(a) v

B¿ C¿

E¿ A¿

u

F¿

D¿

A imagem da reta vertical x a é portanto uma hipérbole com sen a quando u é interceptada, e como ␲/2 a ␲/2, a hipérbole cruza o eixo u entre u 1 e u 1. Note que se a ␲/2, então w cosh t, e assim a reta x ␲/2 é mapeada no intervalo (, 1] do eixo u negativo. De modo semelhante, a reta x ␲/2 é mapeada no intervalo [1, ) do eixo u positivo. Um argumento similar estabelece que o segmento de reta horizontal descrito por z(t) t ib, ␲/2 t ␲/2, é mapeado na parte superior ou inferior da elipse

de acordo com b 0 ou b 0. Esses resultados estão resumidos na Figura 11.11, que mostra o mapeamento por f (z) sen z. Note que utilizamos cuidadosamente letras maiúsculas para indicar onde as partes do contorno são mapeadas. Assim, por exemplo, o segmento de contorno AB é transformado em A¿B¿. Como f ¿(z) cos z, f é conforme em todos os pontos na região, exceto em z

␲/2. As hipérboles e elipses são portanto ortogonais, pois elas são imagens das famílias ortogonais de segmentos horizontais e retas verticais. Observe que o ângulo de 180o em z ␲/2 formado pelos segmentos AB e AC é dobrado para formar um único segmento de reta em w 1. ❑ Exemplo 3

(b)

Figura 11.11 Imagem da faixa vertical no Exemplo 2.

f (z) z 1/z como um mapeamento conforme

O mapeamento complexo f (z) z 1/z é conforme em todos os valores de z exceto em z 1 e z 0. Em particular, a função é conforme para todos os valores de z no plano metade superior que satisfazem |z| 1. Se z rei␪, então e portanto

y

(3)

B D

A

C

E

x

(a) v

Note que se r 1, então v 0 e u 2cos ␪. Consequentemente, o semicírculo z it e , 0 t ␲, é mapeado no segmento [2,2] do eixo u. Decorre de (3) que se r 1, então o semicírculo z reit, 0 t ␲, é mapeado na metade superior da elipse u2/a2 v2/b2 1, onde a r 1/r e b r – 1/r. Veja a Figura 11.12 para o mapeamento por f (z) z 1/z. Para um valor fixo de ␪, o raio z tei␪, para t 1, é mapeado para a parte da hipérbole u2/cos2␪ v2sen2␪ 4 no plano metade superior v 0. Isso decorre de (3), pois

u D¿

A¿

B¿

C¿

E¿

(b)

Figura 11.12 Imagem de raios e círculos no Exemplo 3.

Como f é conforme para |z| 1, e um raio ␪ ␪0 intercepta um círculo |z| r em um ângulo reto, as hipérboles e elipses no plano w são ortogonais. ❑ Mapeamentos conformes utilizando tabelas

O Apêndice I apresenta mapeamentos conformes. Os mapeamentos foram classificados como mapeamentos elementares (E-1 a E-9), mapeamentos em planos metade (H-1 a H-6), mapeamentos em regiões circulares (C-1 a C-5) e mapeamentos diversos (M-1 a M-10). Alguns desses mapeamentos complexos serão obtidos nas Seções 11.3 e 11.4. As entradas indicam não apenas as imagens da região R, mas também as imagens das várias partes do contorno de R. Isso será especialmente útil quando tentarmos resolver problemas de valor de contorno utilizando mapas conformes. Você deve usar o apêndice do mesmo modo que você utiliza uma tabela de integrais para obter antiderivadas. Em alguns casos, uma única entrada pode ser aplicada para determinar um mapeamento conforme entre duas regiões dadas R e R¿. Em outros casos, transformações sucessivas podem ser necessárias para mapear R em R¿.


Exemplo 4

Utilizando uma tabela de mapeamentos conformes

Use os mapeamentos conformes do Apêndice I para determinar um mapeamento conforme entre a faixa 0 y 2 e o plano metade superior v 0. Qual é a imagem do eixo x negativo? Solução Um mapeamento apropriado pode ser obtido diretamente a partir da entrada H-2. Adotando a 2, temos f (z) e␲z/2, e observando as posições E, D, E¿ e D¿ na figura, podemos mapear o eixo x negativo no intervalo (0,1) no eixo u.

Exemplo 5

Utilizando uma tabela de mapeamentos conformes

Use os mapeamentos conformes do Apêndice I para determinar um mapeamento conforme entre a faixa 0 y 2 e o disco |w| 1. Qual é a imagem do eixo x negativo? O Apêndice I não tem uma entrada que mapeie a faixa 0 y 2 diretamente no disco. No Exemplo 4, a faixa foi mapeada por f (z) e␲z/2 no plano metade

Solução

superior e, a partir da entrada C-4, o mapeamento complexo no metade superior para o disco |w| 1. Portanto,

mapeia o plamapeia a

faixa 0 y 2 no disco |w| 1. O eixo x negativo é primeiro mapeado para o intervalo (0,1) no plano ␨, e a partir da posição dos pontos C e C¿ em C-4 o intervalo (0,1) é mapeado para o arco circular w ei␪, 0 ␪ ␲/2, no plano w. ❑ Funções harmônicas e o problema de Dirichlet Uma função harmônica limitada u u(x,y) que assume valores prescritos no contorno completo de uma região R é denominada solução para um problema de Dirichlet em R. Nos Capítulos 4-6, introduzimos diversas técnicas para resolver a equação de Laplace no plano, e interpretamos a solução de um problema de Dirichlet como a distribuição de temperatura em regime permanente no interior de R a qual é resultado das temperaturas fixas no contorno. Existem ao menos duas desvantagens em relação às séries de Fourier e métodos de transformada integral apresentados nos Capítulos 4-6. Os métodos funcionam somente para regiões simples no plano, e as soluções tipicamente adquirem a forma de séries infinitas ou integrais impróprias. Como tal, elas são difíceis de serem calculadas. Na Seção 8.5, vimos que as partes real e imaginária de uma função analítica são ambas harmônicas. Como temos um estoque grande de funções analíticas, podemos obter soluções fechadas para muitos problemas de Dirichlet e usar essas soluções para esboçar as isotermas e retas de fluxo da distribuição de temperatura. Mostraremos a seguir como os mapeamentos conformes podem ser utilizados para resolver um problema de Dirichlet em uma região R uma vez conhecida a solução para o problema de Dirichlet na região imagem R¿ correspondente. O método depende do teorema a seguir:

TEOREMA 11.2

Teorema da transformação para funções harmônicas

Seja f uma função analítica que mapeia um domínio D em um domínio D¿. Se U for harmônica em D¿, então a função de valor real u(x,y) U(f(z)) é harmônica em D.

Apresentaremos uma prova para o caso especial no qual D¿ é simplesmente conexa. Se U tiver um conjugado harmônico V em D¿, então H U iV é analítica em D¿, e assim a função composta F(f (z)) U(f (z)) iV(f (z)) é analítica em D. Pelo Teorema 8.4, a parte real U(f (z)) é harmônica em D, completando a demonstração.

Demonstração

353

354


Para estabelecer que U tem um conjugado harmônico, adotamos g(z) U/x – i U/y. A primeira equação de Cauchy-Riemann (/x)(U/x) (/y)(U/y) é equivalente à equação de Laplace 2U/x2 2U/y2 0, que é satisfeita porque U é harmônica em D¿. A segunda equação de Cauchy-Riemann (/y)(U/x) (/x) (U/y) é equivalente à igualdade das derivadas parciais trocadas de segunda ordem. Portanto, g(z) é analítica no domínio simples conexo D¿ e assim, pelo Teorema 9.8, tem uma antiderivada G(z). Se G(z) U1 iV1, então g(z) G¿(z) U1/x – i U1/y. Como g(z) U/x – i U/y, U e U1 têm derivadas parciais primeira iguais. Logo, H U iV1 é analítica em D¿ e portanto U tem um conjugado harmônico em D¿. ❑ O Teorema 11.2 pode ser utilizado para resolver um problema de Dirichlet em uma região R transformando o problema para uma região R¿ na qual a solução U é evidente ou pode ser obtida por métodos anteriores (incluindo a série de Fourier e métodos de transformada integral dos Capítulos 4-6). Os passos principais estão resumidos a seguir. Resolvendo problemas de Dirichlet utilizando mapeamento conforme

1. Determine um mapeamento conforme w f (z) que transforme a região original R na região imagem R¿. A região R¿ pode ser uma região para a qual muitas soluções explícitas dos problemas de Dirichlet são conhecidas. 2. Transfira as condições de contorno do contorno de R para o contorno de R¿. O valor de u em um ponto de contorno ␰ de R é determinado como o valor de U no ponto de contorno correspondente f (␰). Veja a Figura 11.13 para uma ilustração de transferência de condições de contorno. B

u=1

U=1

f

B¿

f() U( f()) = u()

A

A¿ C

R

u=0

R¿

C¿

U=0 u=2 E¿ E u = –1

Figura 11.13 B

E

y

u=1

u=0

A D x – u=1 O u=0 2 2 (a)

A¿

O¿

D¿ U = –1

R¿ é a imagem de R sob um mapeamento conforme f.

3. Resolva o problema de Dirichlet correspondente em R¿. A solução U pode ser aparente a partir da simplicidade do problema em R¿ ou pode ser obtida utilizando-se métodos de Fourier ou de transformada integral. (Métodos adicionais serão apresentados nas Seções 11.3 e 11.5). 4. A solução para o problema de Dirichlet original é u(x,y) U(f (z)). Exemplo 6

Resolvendo um problema de Dirichlet

A função U(u,v) (1/␲) Arg w é harmônica no plano metade superior v 0, pois ela é a parte imaginária da função analítica g(w) (1/␲) Ln w. Use essa função para resolver o problema de Dirichlet na Figura 11.14(a).

v

B¿

U=2

D

D¿

E¿ u U=1 U=1 U=0 U=0 (b)

Figura 11.14 Imagem da faixa vertical semi-infinita no Exemplo 6.

A função analítica f (z) sen z mapeia a região original no plano metade superior v 0 e mapeia os segmentos do contorno nos segmentos indicados na Figura 11.14(b). A função harmônica U(u,v) (1/␲) Arg w satisfaz as condições de contorno transferidas U(u,0) 0 para u 0 e U(u,0) 1 para u 0. Portanto, u(x,y)

Solução


355

U(sen z) (1/␲) Arg (sen z) é a solução do problema original. Se tg1(v/u) for escolhida para se estender entre 0 e ␲, a solução pode também ser escrita como ❑

Exemplo 7


A partir de C-1 no Apêndice I de mapeamentos conformes, a função analítica f (z) (z – a)/(az – 1), onde mapeia a região exterior aos dois discos abertos |z| 1 e na região circular r0 |w| 1, onde A Figura 11.15(a) apresenta o problema de Dirichlet original, e a Figura 11.15(b) mostra as condições de contorno transferidas. U=0 v

y

A¿ u=0

u=1

A B

B¿

x 1

2

3

(b)

(a)

Figura 11.15

u

U=1

Imagem do problema de Dirichlet no Exemplo 7.

Nos Problema 10 dos Exercícios 5.1, descobrimos que U(r,␪) (loger)(loger0) é a solução para o novo problema de Dirichlet. A partir do Teorema 11.2, podemos concluir que a solução do problema de valor de contorno original é

z

❑ Uma região imagem R¿ favorita para uma região simples conexa R é o plano metade superior y 0. Para qualquer número real a, a função complexa Ln(z – a) loge|z – a| i Arg(z – a) é analítica em R¿. Assim, Arg(z – a) é harmônica em R¿, sendo uma solução para o problema de Dirichlet ilustrado na Figura 11.16. Segue que a solução em R¿ para o problema de Dirichlet com

Arg(z – a) U=

Figura 11.16 de Dirichlet.

a

U=0

Imagem de um problema

é a função harmônica U(x,y) (c0/␲)(Arg(z – b) – Arg(z – a)). Um grande número de problemas de Dirichlet no plano metade superior y 0 pode ser resolvido somandose juntamente as funções harmônicas dessa forma.

EXERCÍCIOS 11.2


Nos Problemas 1-6, determine onde o mapeamento complexo indicado é conforme. 1.

2.

3.

4.

5. 6.

Nos Problemas 7-10, utilize os resultados dos Exemplos 3 e 4. 7. Aplique a identidade cos z sen(␲/2 – z) para obter a imagem da faixa 0 x ␲ sob o mapeamento complexo w cos z. Qual é a imagem de uma reta horizontal na faixa? 8. Aplique a identidade senh z i sen(iz) para obter a imagem da faixa ␲/2 x ␲/2, x 0, sob o mapeamento complexo w senh z. Qual é a imagem de um segmento de reta vertical na faixa?

356


9. Determine a imagem da região definida por ␲/2 x ␲/2, y 0, sob o mapeamento complexo w sen(z)1/4. Qual é a imagem do segmento de reta [␲/2, ␲/2] no eixo x?

15.

v

R¿

C

10. Determine a imagem da região definida por |z| 1 no plano metade superior sob o mapeamento complexo w z 1/z. Qual é a imagem do segmento de reta [1, 1] no eixo x? Nos Problemas 11-18, utilize os mapeamentos conformes do Apêndice I para obter um mapeamento conforme a partir da região indicada R no plano z para a região-alvo R¿ no plano w, e determine a imagem da curva de contorno dada.

y

R i A

Figura 11.21

16.

u

x

B


y

v

11. y A

v R

R¿

B

R

R¿

A 1

x u

B

2

u

x

Figura 11.22 Figura 11.17

17.


Regiões R e R¿ para o Problema 16. v

y

12. v

y A

B

R¿

i

R

u

R

–1

R¿ x

Figura 11.18

u

1

A

B

1

x

Regiões R e R¿ para o Problema 12. Figura 11.23

13.

18.

v

y

Regiões R e R¿ para o Problema 17. v

y

v=u

B

R¿

R A 1

B

u

x

y=

A

i

R¿

R

Figura 11.19


u

x

14. v

y

Figura 11.24

B i R

A 1

x

R¿ u


Nos Problemas 19-22, utilize um mapeamento conforme apropriado e a função harmônica U (1/␲) Arg w para resolver o problema de Dirichlet indicado. 19.

y u=1

Figura 11.20


R u=0

Figura 11.25

x

Problema de Dirichlet no Problema 19.

11.3 Transformações Fracionais Lineares 20.

24.

y u=1

357

y

u=1 u=0 R

R 1 u=0

u=0

i

x

u=5 x

Figura 11.26

21.

u=0

1

Problema de Dirichlet no Problema 20. y u=0

Figura 11.30

u=0


25.

y

R 1 u=1

Figura 11.27

u = 10

x

R

u=1 u = 10


22.

u=0 i

u=0

x

y

Figura 11.31


26.

y

R u=1

u=0 u=0 1 u=0

u=1

u=0

x x

Figura 11.28

u=4


Nos Problemas 23-26, utilize um mapeamento conforme apropriado e a função harmônica U (c0/␲)[Arg (w – 1) – Arg (w 1)] para resolver o problema de Dirichlet indicado. y 23.

Figura 11.32

2


27. Uma função de valor real ␾(x,y) é denominada bi-harmônica em um domínio D quando a equação diferencial de quarta ordem

u=0 R

i u=1 u=1

Figura 11.29

1

u=0

x


em todos os pontos em D. A função tensão de Airy em mecânica de sólidos e potenciais de velocidade para a análise de fluxo de fluido viscoso são exemplos de funções bi-harmônicas. (a) Mostre que se ␾ for bi-harmônica em D, então u 2␾/x2 2␾/y2 é harmônica em D. (b) Se g(z) for analítica em D e tre que ␾ é bi-harmônica em D.

11.3

Transformações fracionais lineares

Introdução

Em diversas aplicações que envolvem problemas de valor de contorno associados com a equação de Laplace, é necessário obter um mapeamento conforme que mapeie um disco no plano metade v 0. Tal mapeamento teria que mapear o contorno circular do disco para a reta de contorno do plano metade. Uma classe importante de mapeamentos conformes elementares que mapeiam círculos em retas (e vice-versa) se refere às transformações fracionais. Nessa seção, definiremos e estudaremos essa classe especial de mapeamentos.

mos-

358

CAPÍTULO 11 Mapeamentos Conformes Transformação fracional linear Se a, b, c e d forem constantes complexas com ad – bc ⫽ 0, então a função complexa definida por

é denominada transformação fracional linear. Como

T é conforme em z desde que ad – bc ⫽ 0 e z ⫽ d/c. (Se 0, então T ¿(z) 0 e T(z) seria uma função constante.) Transformações fracionais lineares têm como característica a “preservação de círculo” em um sentido que esclareceremos nessa seção e, conforme vimos no Exemplo 8 da Seção 11.2, elas podem ser úteis na solução de problemas de Dirichlet em regiões limitadas por círculos. Note que quando c ⫽ 0, T(z) tem um pólo simples em z0 d/c, e assim

Escreveremos de modo simplificado T(z0) para esse limite. Além disso, se c ⫽ 0, então

e escrevemos T() a/c. Exemplo 1

Uma transformação fracional linear

Se T(z) (2z 1)/(z – i), calcule T(0), T() e T(i). Note que T(0) 1/(i) i e T() lim|z|→ T(z) 2. Como z i é um pólo simples para T(z), temos limz→i |T(z)| e escrevemos T(i) . ❑

Solução

Se c 0, a transformação fracional linear se reduz para uma função linear T(z) Az B. Vimos na Seção 11.1 que esse mapeamento complexo pode ser considerado como a composição de uma rotação, aumento e translação. Como tal, uma função linear mapeará um círculo no plano z em um círculo no plano w. Quando c ⫽ 0, podemos dividir az b por cz d para obter Propriedade de preservação do círculo

(1) Se adotarmos A (bc – ad)/c e B a/c, T(z) pode ser escrita como a composição de transformações: (2) Uma transformação fracional linear geral pode portanto ser escrita como a composição de duas funções lineares e a inversão w 1/z. Note que se |z – z1| r e w 1/z, então (3) Não é difícil mostrar que o conjunto de todos os pontos w que satisfazem (4)

11.3 Transformações Fracionais Lineares

é uma reta quando ␭ 1, e um círculo quando ␭ 0 e ␭ ⫽ 1. Decorre de (3) que a imagem do círculo |z – z1| r sob a inversão w 1/z é um círculo exceto quando r 1/|w1| |z1|. No último caso, o círculo original passa pela origem e a imagem é uma reta. Veja a Figura 11.3. A partir de (2), podemos deduzir o seguinte teorema:

TEOREMA 11.3

Propriedade de preservação do círculo

Uma transformação fracional linear mapeia um círculo no plano z em uma reta ou em um círculo no plano w. A imagem será uma reta se e somente se o círculo original passar por um pólo da transformação fracional linear.

Mostramos que uma transformação linear mapeia um círculo em um círculo, enquanto que uma inversão mapeia um círculo em um círculo ou uma reta. A partir de (2), temos que um círculo no plano z será mapeado em um círculo ou em uma reta no plano w. Se o círculo original passar por um pólo z0, então T(z0) , e assim a imagem será ilimitada. Portanto, a imagem desse círculo tem que ser uma reta. Se o círculo original não passar por z0, então a imagem será limitada, tendo que ser um círculo. ❑ Demonstração

Exemplo 2

Imagens de círculos

Determine as imagens dos círculos |z| 1 e |z| 2 sob T(z) (z 2)(z – 1). Quais são as imagens dos interiores desses círculos? O círculo |z| 1 passa pelo pólo z0 1 da transformação fracional linear, logo a imagem é uma reta. Como e podemos concluir que a imagem é a reta A imagem do interior |z| 1 é o plano metade ou o plano metade Utilizando z 0 como um ponto de teste, T(0) 2, e assim a imagem é o plano metade O círculo |z| 2 não passa pelo pólo, logo a imagem é um círculo. Para |z| 2,

Solução

Portanto, é um ponto no círculo imagem, e assim o círculo imagem é simétrico em relação ao eixo u. Como T(–2) 0 e T(2) 4, o centro do círculo é w 2 e a imagem é o círculo |w – 2| 2 (veja a Figura 11.33). A imagem do interior |z| 2 é o interior ou o exterior do círculo imagem |w – 2| 2. Como T(0) 2, podemos concluir que a imagem é |w – 2| 2. v T(z)

u –2

2

T(z)

Figura 11.33

Imagens dos pontos de teste no Exemplo 2.

❑

Construindo mapeamentos especiais Para aplicarmos transformações fracionais lineares para resolver problemas de Dirichlet, temos que construir funções especiais que mapeiem uma dada região circular R em uma região-alvo R¿ na qual o problema de Dirichlet correspondente é solucionável.

359

360


Como um contorno circular é determinado por três desses pontos, precisamos obter uma transformação fracional linear w T(z) que mapeie três pontos dados z1, z2 e z3 no contorno de R em três pontos w1, w2 e w3 no contorno de R¿. Além disso, o interior de R¿ tem que ser a imagem do interior de R. Veja a Figura 11.34. R

R¿

z1 z2

w = T(z)

z3

w1

Figura 11.34

w2

w3

R¿ é a imagem de R sob T.

Métodos matriciais Métodos matriciais podem ser utilizados para simplificar muitos dos cálculos. Podemos associar a matriz

com T(z) (az b)/(cz d).* Se T1(z) (a1z b1)/(c1z d1) e T2(z) (a2z b2)/ (c2z d2), então a função composta T(z) T2(T1(z)) é dada por T(z) (az b)/(cz d), onde (5) Se w T(z) (az b)/(cz d), podemos resolver em relação a z para obter z (dw – b)/(cw a). Portanto, a inversa da transformação fracional linear T é T1(w) (dw – b)/(cw a) e associamos a matriz (6) 1 com T . A matriz adj A é a matriz adjunta de A (veja a Seção 2.6 do Volume 2), a matriz para T.

Exemplo 3 Se Solução

Logo,

Utilizando matrizes para obter uma transformada inversa e

1

obtenha S (T(z)).

A partir de (5) e (6), temos S1(T(z)) (az b)/(cz d), onde

❑

* A matriz A não é única, pois o numerador e o denominador em T(z) podem ser multiplicados por uma constante não nula.

11.3 Transformações Fracionais Lineares Triplo a triplo

A transformação fracional linear

tem um zero em z z1, um pólo em z z3, e T(z2) 1. Portanto, T(z) mapeia três números complexos distintos z1, z2 e z3 em 0, 1 e , respectivamente. O termo é denominado razão cruzada dos números complexos z, z1, z2 e z3. De modo similar, o mapeamento complexo

remete w1,

1

w2 e w3 a 0, 1 e , e assim S mapeia 0, 1 e em w1, w2 e w3. Assim, a transformação fracional linear w S1(T(z)) mapeia o triplo z1, z2 e z3 em w1, w2 e w3. A partir de w S1(T(z)), temos S(w) T(z) e podemos concluir que (7) Na construção de uma transformação fracional linear que mapeie o triplo z1, z2 e z3 em w1, w2 e w3, podemos aplicar métodos matriciais para calcular w S1(T(z)). Alternativamente, podemos substituir em (7) e resolver a equação resultante em relação a w. Exemplo 4

Construindo uma transformação fracional linear

Construa uma transformação fracional linear que mapeie os pontos 1, i e –1 no círculo |z| 1 para os pontos –1, 0 e 1 no eixo real. Solução

Substituindo em (7), temos

ou Resolvendo em relação a w, obtemos w –i(z – i)/(z i). Alternativamente, poderíamos usar o método matricial para calcular w S1(T(z)). ❑ Quando zk desempenha o papel de um dos pontos em um triplo, a definição da razão cruzada é modificada substituindo-se cada fator que contém zk por 1. Por exemplo, se z2 , ambos z2 – z3 e z2 – z1 são substituídos por 1, resultando em (z – z1)/(z – z3) como razão cruzada. Exemplo 5

Construindo uma transformação fracional linear

Construa uma transformação fracional linear que mapeie os pontos , 0 e 1 no eixo real para os pontos 1, i e –1 no círculo |w| 1. Solução Como z1 , os termos z – z1 e z2 – z1 no produto cruzado são substituídos por 1. Assim

ou

361

362


Se utilizarmos o método matricial para obter w S1(T(z)), então

y A

u=0

u=0

C B

D

x

1

Exemplo 6

u=1 u=0 (a) v

Cada um dos círculos de contorno |z| 1 e passa por z 1. Podemos portanto mapear cada círculo de contorno em uma reta, selecionando uma transformação fracional linear que tenha z 1 como um pólo. Se além disso exigirmos que T(i) 0 e T(1) 1, então

Solução U = 1 D¿ U = 1

B¿

A¿ U=0


Resolva o problema de Dirichlet da Figura 11.35(a) utilizando mapeamento conforme construindo uma transformação fracional linear que mapeie a região dada no plano metade superior.

u=0

U = 1 C¿

❑

e assim

U=0

U=0

u

(b)

Figura 11.35 Imagem do problema de Dirichlet no Exemplo 6.

Como T(0) 1 i e T mapeia o interior do círculo |z| 1 no plano metade superior e mapeia o círculo na reta v 1. A Figura 11.35(b) mostra as condições de contorno transferidas. A função harmônica U(u,v) v é a solução do problema de Dirichlet simplificado no plano w, e assim, pelo Teorema 11.2, u(x,y) U(T(z)) é a solução do problema de Dirichlet original no plano z. Como a parte imaginária de

y

a solução

é dada por 0,2 0,4 1

x

0,6

As curvas de nível u(x,y) c podem ser escritas como

0,8

Figura 11.36 Círculos e curvas de nível no Exemplo 6.

sendo portanto círculos que passam por z 1. Veja a Figura 11.36. Essas curvas de nível podem ser interpretadas como as isotermas da distribuição de temperatura de regime permanente induzidas pelas temperaturas de contorno. ❑

EXERCÍCIOS 11.3


Nos Problemas 1-4, uma transformação fracional linear é indicada. (a) Calcule T(0), T(1) e T(). (b) Determine as imagens dos círculos |z| 1 e |z – 1| 1. (c) Determine a imagem do disco |z| 1. 1.

Nos Problemas 5-8, use o método matricial para calcular S1(w) e S1(T(z)) para cada par de transformações fracionais lineares. 5. 6.

2. 7.

3.

4.

11.4 Transformações de Schwarz-Christoffel

8. Nos Problemas 9-16, construa uma transformação fracional linear que mapeie o triplo indicado z1, z2 e z3 para o triplo w1, w2 e w3. 9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

18. Use a transformação fracional linear que mapeia –1, 1, 0 em 0, 1, para resolver o problema de Dirichlet na Figura 11.38. Explique por que, com uma exceção, todas as curvas de nível têm que ser círculos. Qual curva de nível é uma reta? y

17. Utilize os resultados no Exemplo 2 e a função harmônica U (loge r)/(loge r0) para resolver o problema de Dirichlet na Figura 11.37. Explique por que as curvas de nível têm que ser círculos. y u=1 2 – 0,5

Figura 11.37

u=0

u=1

–1

1

x

R

Figura 11.38


19. Obtenha o mapeamento conforme H-1 com base nos mapeamentos conformes do Apêndice I.

R

u=0

363

x 2


20. Obtenha o mapeamento conforme H-5 com base nos mapeamentos conformes do Apêndice I, primeiro mapeando 1, i, 1 em , i, 0. 21. Mostre que a composição de duas transformações fracionais lineares é uma transformação fracional linear e verifique (5). 22. Se w1 ⫽ w2 e ␭ 0, mostre que o conjunto de todos os pontos w que satisfazem |w – w1| ␭|w – w2| é uma reta quando ␭ 1 e um círculo quando ␭ ⫽ 1. [Sugestão: Escreva como |w – w1|2 ␭2|w – w2|2 e expanda.] z4

11.4

Transformações de Schwarz-Christoffel

Introdução Se D¿ for um domínio simplesmente conexo com ao menos um ponto de contorno, então o famoso teorema do mapeamento de Riemann afirma a existência de uma função analítica g que mapeia conformemente o disco aberto unitário |z| 1 em D¿. O teorema do mapeamento de Riemann é um teorema de existência pura que não especifica uma fórmula para o mapeamento conforme. Como o plano metade superior y 0 pode ser mapeado conformemente no disco utilizando uma transformação fracional linear, existe um mapeamento conforme f entre o plano metade superior e D¿. Em particular, existem funções analíticas que mapeiam o plano metade superior em regiões poligonais dos tipos apresentados na Figura 11.39. Ao contrário do teorema do mapeamento de Riemann, a fórmula de Schwarz-Christoffel especifica uma forma para a derivada f ¿(z) de um mapeamento conforme a partir do plano metade superior em uma região poligonal limitada ou ilimitada.

4

z5

3 1

z3

2 z2

z1

(a) Região limitada

4

Casos especiais Para motivar o uso da fórmula geral de Schwarz-Christoffel, primeiro examinamos o efeito do mapeamento f (z) (z – x1)␣/␲, 0 ␣ 2␲, no plano metade superior y 0 ilustrado na Figura 11.40(a). Esse mapeamento é a composição da translação ␨ z – x1 e a função de potência real w ␨␣/␲. Como w ␨␣/␲

3 1 z1

2 z2

(b) Região ilimitada

Figura 11.39

Regiões poligonais.

z4

z3

364


modifica o ângulo em uma cunha por um fator ␣/␲, o ângulo interior na região imagem é (␣/␲)␲ ␣. Veja a Figura 11.40(b). Note que f ¿(z) A(z – x1)(␣/␲)1 para A ␣/␲. A seguir, consideramos f (z) como sendo uma função analítica no plano metade superior e que tenha a derivada

A

(1)

B

x1

onde x1 x2. Para determinar as imagens dos segmentos de reta no eixo x, utilizaremos o fato de que uma curva w w(t) no plano w é um segmento de reta quando o argumento do seu vetor tangente w¿(t) for constante. De (1), um argumento de f ¿(t) é dado por

(a)

A

(2) B

0

Como Arg(t – x) ␲ para t x, podemos obter a variação de arg f ¿(t) ao longo do eixo x. Os resultados estão apresentados na seguinte tabela.

(b)

Figura 11.40 Imagem do plano metade superior. w = f (t), t > x2

– 2

Intervalo

arg f ¿(t)

w = f (t), x1< t < x2 2

– 1 1

w = f (t), t < x1

Como arg f ¿(t) é constante nos intervalos da tabela, as imagens são segmentos de retas. A Figura 11.41 mostra a imagem do plano metade superior. Observe que os ângulos interiores da região imagem poligonal são ␣1 e ␣2. Essa discussão se generaliza para produzir a fórmula de Schwarz-Christoffel.

TEOREMA 11.4 Figura 11.41 superior.

Mudança no argumento

Imagem do plano metade

Fórmula de Schwarz-Christoffel

Seja f (z) uma função analítica no plano metade superior y 0 e que tenha a derivada (3) onde x1 x2 ... xn e todo ␣i satisfaz 0 ␣i 2␲. Então f (z) mapeia o plano metade superior y 0 em uma região poligonal com ângulo interior ␣1, ␣2,..., ␣n.

Ao aplicar essa fórmula a uma região-alvo poligonal particular, o leitor deve observar cuidadosamente os seguintes comentários: (i) Pode-se selecionar a posição de três dos pontos xk no eixo x. Uma escolha inteligente pode simplificar o cálculo de f (z). A seleção dos pontos restantes depende do formato do polígono-alvo. (ii) Uma fórmula geral para f (z) é

e portanto f (z) pode ser considerada como a composição do mapeamento conforme

e a função linear w Az B. A função linear w Az B nos permite aumentar, rotacionar e transladar a imagem poligonal produzida por g(z). (Veja a Seção 11.1.)


(iii) Se a região poligonal for limitada, apenas n – 1 dos n ângulos interiores devem ser incluídos na fórmula de Schwarz-Christoffel. Como exemplo, os ângulos interiores ␣1, ␣2, ␣3 e ␣4 são suficientes para determinar a fórmula de Schwarz-Christoffel para o pentágono indicado na Figura 11.39(a). Exemplo 1

365

y

Construindo um mapeamento conforme

Utilize a fórmula de Schwarz-Christoffel para construir um mapeamento conforme a partir do plano metade superior para a faixa |v| 1, u 0. Podemos selecionar x1 1 e x2 1 no eixo x e construiremos um mapeamento conforme f com f (1) i e f (1) i. Veja a Figura 11.42. Como ␣1 ␣2 ␲/2, a fórmula de Schwarz-Christoffel (3) resulta em Solução

A

(a) v B¿

i 2

Portanto, f (z) Ai sen1z B. Como f (1) i e f (1) i, obtemos, respectivamente,

x

1 B

–1

–i

u

2 A¿ (b)

1

e concluímos que B 0 e A 2/␲. Assim, f (z) (2/␲)i sen z. Exemplo 2

❑

Figura 11.42 Imagem do plano metade superior no Exemplo 1.


y

Utilize a fórmula de Schwarz-Christoffel para construir um mapeamento conforme a partir do plano metade superior para a região mostrada na Figura 11.43(b). Solução Novamente selecionamos x1 1 e x2 1 e exigiremos que f(1) ai e f(1) 0. Como ␣1 3␲/2 e ␣2 ␲/2, a fórmula de Schwarz-Christoffel (3) nos dá

2

1/2

Se escrevermos f ¿(z) como A(z/z – 1)

A

1/(z – 1) ), temos 2

1/2

1 B

–1

x

(a) v

Note que cosh1(1) ␲i e cosh1 1 0 e assim ai f(1) A(␲i) B e 0 f(1) B. Portanto, A a/␲ e f (z) (a/␲)[(z2 – 1)1/2 cosh1 z]. ❑ O próximo exemplo mostrará que nem sempre é possível obter f (z) em termos de funções elementares. Exemplo 3

ai

B¿


Utilize a fórmula de Schwarz-Christoffel para construir um mapeamento conforme a partir do plano metade superior para o interior do triângulo equilátero apresentado na Figura 11.44(b). y

v

A⬘

A

0 (a)

Figura 11.44

A¿

1 B

x

B

1

0 (b)

Imagem do plano metade superior no Exemplo 3.

u

u

(b)


366

CAPÍTULO 11 Mapeamentos Conformes Solução

Como a região poligonal é limitada, somente dois dos três ângulos ano teriores de 60 devem ser incluídos na fórmula de Schwarz-Christoffel. Se x1 0 e x2 1, obtemos f ¿(z) Az2/3(z – 1)2/3. Não é possível calcular f (z) em termos de funções elementares; entretanto, podemos utilizar o Teorema 9.8 para construir a antiderivada

Se exigirmos que f(0) 0 e f(1) 1, temos que B 0 e

Pode-se mostrar que essa última integral é (1/3), onde representa a função gamma. Portanto, o mapeamento conforme necessário é ❑ A fórmula de Schwarz-Christoffel pode algumas vezes ser utilizada para sugerir um mapeamento conforme possível a partir do plano metade superior para uma região não poligonal R¿. Um primeiro passo importante é aproximar R¿ por regiões poligonais. Isso será ilustrado no exemplo final. y

Exemplo 4


Utilize a fórmula de Schwarz-Christoffel para construir um mapeamento conforme a partir do plano metade superior para o plano metade superior com a reta horizontal v ␲, u 0, retirada. Solução A

0

–1

B

x

(a)

A região-alvo não poligonal pode ser aproximada por uma região poligonal juntando-se um segmento de reta a partir de w ␲i para um ponto u0 no eixo u negativo. Veja a Figura 11.45(b). Se exigirmos f (1) ␲i e f (0) u0, a transformação de Schwarz-Christoffel satisfaz

v

v=

A

1

2 B

u0

u

(b)


Note que quando u0 se aproxima de , os ângulos interiores ␣1 e ␣2 se aproximam de 2␲ e 0, respectivamente. Isso sugere que examinemos mapeamentos conformes que satisfaçam w¿ A(z 1)1z1 A(1 1/z) ou w A(z Ln z) B. Primeiro determinamos a imagem do plano metade superior sob g(z) z Ln z e então transladamos a região imagem se necessário. Para t real,

Se t 0, Arg t ␲ e u(t) t loge|t| varia de – a –1. Decorre que w g(t) se move ao longo da reta v ␲ de – a –1. Quando t 0, Arg t 0 e u(t) varia de – a . Portanto, g mapeia o eixo x positivo no eixo u. Podemos concluir que g(z) z Ln z mapeia o plano metade superior no plano metade superior com a reta horizontal v ␲, u 1, retirada. Assim, w z Ln z 1 mapeia o plano metade superior na região-alvo original. Muitos dos mapeamentos conformes do Apêndice I podem ser obtidos utilizando-se a fórmula de Schwarz-Christoffel, e mostraremos na Seção 11.6 que esses mapeamentos são especialmente úteis na análise de fluxos bidimensionais de fluidos.


EXERCÍCIOS 11.4

367


Nos Problemas 1-4, use (2) para descrever a imagem do plano metade superior y 0 sob o mapeamento conforme w f(z) que satisfaz as condições dadas. Não tente determinar f(z).

8. f (1) i, f (0) 0 v

1. 2. 3.

i

4.

4

Nos Problemas 5-8, determine f ¿(z) para a região poligonal dada utilizando x1 1, x2 0, x3 1, x4 2, e assim por diante. Não tente determinar f (z). Figura 11.49

5. f (1) 0, f (0) 1

Região poligonal para o Problema 8.

9. Utilize a fórmula de Schwarz-Christoffel para construir um mapeamento conforme a partir do plano metade superior y 0 para a região na Figura 11.50. Exija f (1) ␲i e f (1) 0.

v i

1

Figura 11.46

u

v i

u


6. f (1) 1, f (0) 0

u v

Figura 11.50 ma 9.

10. Utilize a fórmula de Schwarz-Christoffel para construir um mapeamento conforme a partir do plano metade superior y 0 para a região na Figura 11.51. Exija f(1) ai e f(1) ai.

3

v u

–1

Figura 11.47

Imagem do plano metade superior no Proble-


ai

7. f (1) 1, f (0) 1

u v

2 3 –1

Figura 11.48

– ai

Figura 11.51 ma 10.

2 3 1

u



11. Utilize a fórmula de Schwarz-Christoffel para construir um mapeamento conforme a partir do plano metade superior y 0 para a faixa horizontal 0 v ␲ primeiro aproximando a faixa pela região poligonal indicada na Figura 11.52.

368

CAPÍTULO 11 Mapeamentos Conformes e f(1) 0 e ado-

Exija te w1 → na direção horizontal. v

13. Verifique M-4 no Apêndice I primeiro aproximando a região R¿ pela região poligonal mostrada na Figura 11.54. Exija f (1) u1, f (0) ai e f (1) 1 e adote u1 → 0 ao longo do eixo u.

i

v

w2

w1 u

R¿ ai

Figura 11.52 ma 11.


12. Utilize a fórmula de Schwarz-Christoffel para construir um mapeamento conforme a partir do plano metade superior y 0 para a cunha 0 Arg w ␲/4 primeiro aproximando a cunha pela região indicada na Figura 11.53. Exija f (0) 0 e f (1) 1, e adote ␪ → 0. v

–u1

Figura 11.54 ma 13.

u1

u


14. Mostre que se uma curva no plano w for parametrizada por w w(t), a t b, e arg w¿(t) for constante, então a curva será um segmento de reta. [Sugestão: Se w(t) u(t) iv(t), então tg(arg w¿(t)) dv/du.]

u

1

Figura 11.53 ma 12.


11.5

Fórmulas integrais de Poisson

Introdução O sucesso do método de mapeamento conforme depende da identificação da solução do novo problema de Dirichlet na região imagem R¿. Seria portanto útil se uma solução geral pudesse ser obtida para problemas de Dirichlet no plano metade superior y 0 ou no disco unitário |z| 1. A fórmula integral de Poisson para o plano metade superior fornece essa solução ao expressar o valor da função harmônica u(x, y) em um ponto no interior do plano metade superior em termos de seus valores no contorno y 0. Fórmulas para o plano metade superior Para desenvolver a fórmula, primeiro consideramos que a função de contorno é dada por u(x,0) f (x), onde f (x) é a função degrau indicada na Figura 11.55. A solução do problema de Dirichlet correspondente no plano metade superior é

z (z)

Arg(z – b) Arg(z – a) u=0 a

Figura 11.55 em y 0.

u = ui

b u=0

Condições de contorno

x

(1) Como Arg(z – b) é um ângulo exterior no triângulo formado por z, a e b, Arg(z – b) ␪(z) Arg(z – a), onde 0 ␪ ␲, e podemos escrever (2)

11.5 Fórmulas Integrais de Poisson

O princípio da superposição pode ser utilizado para resolver o problema de Dirichlet mais geral na Figura 11.56. Se u(x,0) ui para xi1 x xi e u(x,0) 0 fora do intervalo [a,b], então, a partir de (1), (3) Note que Arg(z – t) tg1(y/(x – t)), onde tg1 é selecionada entre 0 e ␲, e portanto (d/dt) Arg (z – t) y/((x – t)2 y2). A partir de (3),

369

z n 1 2

a = x0 x1 x2 u = 0 u = u1 u = u 2

•• •

x xn–1 xn = b u = un u=0

Figura 11.56 Condições de contorno gerais em y 0.

Como u(x,0) 0 fora do intervalo [a,b], temos (4) Uma função contínua por partes limitada pode ser aproximada por funções degrau, e assim nossa discussão sugere que (4) seja a solução do problema de Dirichlet no plano metade superior. Esse é o conteúdo do Teorema 11.5.

TEOREMA 11.5

Fórmula integral de Poisson para o plano metade superior

Seja u(x,0) uma função contínua por partes em qualquer intervalo finito e limitada em x . Então a função definida por

é a solução do problema de Dirichlet correspondente no plano metade superior y 0.

Existem poucas funções para as quais é possível calcular a integral em (4). Em geral, são necessários métodos numéricos para o cálculo da integral. Exemplo 1


Determine a solução do problema de Dirichlet no plano metade superior que satisfaz a condição de contorno u(x,0) x quando |x| 1, e u(x,0) de outra forma. Solução

Pela fórmula integral de Poisson,

Utilizando as substituições s x – t, podemos mostrar que

que pode ser simplificada por ❑ Na maioria dos exemplos e exercícios, u(x,0) é uma função degrau, e utilizaremos a solução integrada (3) em vez de (4). Se o primeiro intervalo for (, x1), então o termo Arg(z – x1) – Arg(z – a) na soma seve ser substituído por Arg(z – x1). De modo

370


similar, se o último intervalo for (xn1, ), então Arg(z – b) – Arg(z – xn1) deve ser substituído por ␲ Arg(z xn1).

y u=0 u=1

Exemplo 2

u=1 x

–2

2 (a) v


O mapeamento conforme f (z) z 1/z mapeia a região no plano metade superior e fora do círculo |z| 1 para o plano metade superior v 0. Use esse mapeamento e a fórmula integral de Poisson para resolver o problema de Dirichlet apresentado na Figura 11.57(a). Solução

U=1

U=0

U=1 u

–2

2

Utilizando os resultados do Exemplo 4 na Seção 11.2, podemos transferir as condições de contorno para o plano w. Veja a Figura 11.57(b). Como U(x,0) é uma função degrau, utilizaremos a solução integrada (3) em vez da integral de Poisson. A solução para o novo problema de Dirichlet é

(b)

Figura 11.57 Imagem do problema de Dirichlet no Exemplo 2.

e portanto

❑

que pode ser simplificada para Fórmula para o disco unitário

Uma fórmula integral de Poisson pode também ser desenvolvida para resolver o problema geral de Dirichlet para o disco unitário:

TEOREMA 11.6

Fórmula integral de Poisson para o disco unitário

Seja u(e ) limitada e contínua por partes para ␲ ␪ ␲. Então, a solução para o problema de Dirichlet correspondente no disco unitário aberto |z| 1 é dada por i␪

(5)

Interpretação geométrica A Figura 11.58 mostra uma membrana fina (tal como uma película de sabão) que foi esticada sobre de uma armação definida por u u(ei␪). O deslocamento u na direção perpendicular ao plano z satisfaz a equação de onda bidimensional

u = u(x, y)

armação

|z| < 1

e assim, em equilíbrio, a função deslocamento u u(x,y) é harmônica. A fórmula (5) fornece uma solução explícita para o deslocamento u e tem a vantagem da integral ser sobre o intervalo finito [␲, ␲]. Quando a integral não puder ser calculada, os procedimentos de integração numérica padrão podem ser aplicados para estimar u(x,y) em um ponto fixo z x iy com |z| 1. Exemplo 3

Figura 11.58 armação.

Membrana fina em uma

Deslocamento de uma membrana

Uma armação para uma membrana é definida por u(ei␪) |␪| para ␲ ␪ ␲. Estime o deslocamento de equilíbrio da membrana em (0,5, 0), (0,0) e (0,5, 0). Solução

Utilizando (5), temos (0,0), obtemos

Quando (x,y)

11.5 Fórmulas Integrais de Poisson

371

Para os outros dois valores de (x,y), a integral não é elementar e tem que ser estimada utilizando-se um procedimento de integração numérica. Usando a regra de Simpson, obtemos (para quatro casas decimais) u(0,5, 0) 2,2269 e u(0,5, 0) 0,9147. Forma em série de Fourier A fórmula integral de Poisson para o disco unitário é de fato uma forma compacta de se escrever a solução em série de Fourier para a equação de Laplace que desenvolvemos no Capítulo 5. Para ver isso, primeiro observe que un(r, ␪) rn cos n␪ e vn(r, ␪) rn sen n␪ são harmônicas, pois essas funções são as partes real e imaginária de zn. Se a0, an e bn forem escolhidas como sendo os coeficientes de Fourier de u(ei␪) para ␲ ␪ ␲, então, pelo princípio da superposição,

(6) é harmônica e solução do problema de Dirichlet é também dada por (5), temos

Como a

estrutura u(ei␪) = sen 4␪

Determine a solução do problema de Dirichlet no disco unitário que satisfaz a condição de contorno u(ei␪) sen 4␪. Esboce a curva de nível u 0.

plano z

Exemplo 4


Solução

Em vez de trabalharmos com a integral de Poisson (5), utilizaremos a solução em série de Fourier (6), que reduz para u(r, ␪) r4 sen 4␪. Portanto, u 0 se e somente se sen 4␪ 0. Isso implica u 0 nas retas x 0, y 0 e y x. Se mudarmos para coordenadas retangulares, u(x,y) 4xy(x2 – y2). A superfície u(x,y) 4xy(x2 – y2), a estrutura u(ei␪) sen 4␪ e o sistema de curvas de nível foram esboçados utilizando-se programas gráficos, estando indicados na Figura 11.59. ❑

EXERCÍCIOS 11.5

Figura 11.59 plo 4.

Curvas de nível no Exem-


Nos Problemas 1-4, utilize a solução integrada (3) da fórmula integral de Poisson para resolver o problema de Dirichlet dado no plano metade superior. 1.

curvas de nível

3.

y

y

–2

1

–1

u = 0 u = –1 u = 1 u = 0 u = 5 –1 u=0

Figura 11.60

Figura 11.62

1

u = –1 u = 1

u=0

x

x


4.

y


2.

y –2

–1

1

u = 1 u = –1 u = 1 u = 1 u = 0 1

–2 u=0

Figura 11.61

u=5

u=1 u=0

Figura 11.63 x


x


5. Determine a solução do problema de Dirichlet no plano metade superior que satisfaz a condição de contorno u(x,0) x2 quando 0 x 1, e u(x,0) 0 caso contrário.

372


6. Determine a solução do problema de Dirichlet no plano metade superior que satisfaz a condição de contorno u(x,0) cos x. [Sugestão: Adote s t – x e use as fórmulas da Seção 10.6

y

u=1

u=0 R

u=0

u=1 1

x

10. Figura 11.67 Problema de Dirichlet no Problema 10. Nos Problemas 7-10, resolva o problema de Dirichlet indicado obtendo um mapeamento conforme a partir da região dada no plano metade superior v 0. 7.

y

8.

u=5 i

R

u=1

u=0

u=1

x u=1

1

u=0

u=0

Figura 11.64 Problema de Dirichlet no Problema 7.

9.

u=0

12. Uma armação para uma membrana é definida por u(ei␪) e|␪| para ␲ ␪ ␲. Utilize a fórmula integral de Poisson para o disco unitário para estimar o deslocamento de equilíbrio da membrana em (0,5, 0), (0,0) e (0,5, 0).

y

R

3

x

Figura 11.65 Problema de Dirichlet no Problema 8. y

u=1 R

Figura 11.66

13. Utilize a fórmula integral de Poisson do disco unitário para mostrar que u(0,0) é o valor médio da função u u(ei␪) no contorno |z| 1. Nos Problemas 14 e 15, resolva o problema de Dirichlet indicado para o disco unitário utilizando a forma em série de Fourier da fórmula integral de Poisson e esboce o sistema de curvas de nível. 14.

x

u=0

11. Uma armação para uma membrana é definida por u(ei␪) ␪2/␲2 para ␲ ␪ ␲. Utilize a fórmula integral de Poisson para o disco unitário para estimar o deslocamento de equilíbrio da membrana em (0,5, 0), (0,0) e (0,5, 0).

15.

u=1


11.6

Aplicações

Introdução Nas Seções 11.2, 11.3 e 11.5, demonstramos como a equação diferencial parcial de Laplace pode ser resolvida por meio de métodos de mapeamento conforme, e interpretamos uma solução u u(x,y) do problema de Dirichlet como a temperatura de regime permanente no ponto (x,y) ou o deslocamento de equilíbrio de uma membrana no ponto (x,y). A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial fundamental que surge em uma variedade de contextos. Nessa seção, estabeleceremos uma relação geral entre campos vetoriais e funções analíticas, e utilizaremos nossas técnicas de mapeamento conforme para resolver problemas envolvendo campos de força eletrostáticos e fluxos bidimensionais de fluidos.

Um campo vetorial F(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j em um domínio D pode também ser escrito na forma complexa

Campos vetoriais

e pensado como uma função complexa. Recorde do Capítulo 3 do Volume 2 que ·F P/x Q/y e F (Q/x P/y)k. Se exigirmos que ambos ·F 0 e F = 0, então (1) Esse conjunto de equações relembra o critério de Cauchy-Riemann para analiticidade apresentado no Teorema 8.3 e sugere que examinemos a função complexa g(z) P(x, y) – iQ(x, y).

11.6 Aplicações

TEOREMA 11.7

Campos vetoriais e analiticidade

(i) Suponha que F(x,y) P(x,y) iQ(x,y) seja um campo vetorial em um domínio D e P(x,y) e Q(x,y) sejam contínuas e tenham derivadas parciais primeira contínuas em D. Se ·F 0 e F 0, então a função complexa

é analítica em D. (ii) De modo oposto, se g(z) for analítica em D, então campo vetorial em D para o qual ·F 0 e F 0.

define um

Demonstração Se u(x,y) e v(x,y) representam as partes real e imaginária de g(z), então u P e v Q. Portanto, as equações em (1) são equivalentes às equações

isto é,

(2)

As equações em (2) são as equações de Cauchy-Riemann para analiticidade. Exemplo 1

❑

Um campo vetorial resulta em uma função analítica

2 O campo vetorial definido por F(x,y) (kq/|z – z0| )(z – z0) pode ser interpretado como o campo elétrico produzido por um fio perpendicular ao plano z em z z0, e que transporta uma carga de q coulombs por unidade de comprimento. A função complexa correspondente é

Como g(z) é analítica para z ⫽ z0, ·F 0 e F 0. Exemplo 2

❑

Uma função analítica resulta em um campo vetorial

A função complexa g(z) Az, A 0, é analítica no primeiro quadrante, e assim resulta no campo vetorial , que satisfaz ·F 0 e F 0. Mostraremos ao final dessa seção que V(x,y) pode ser interpretado como a velocidade de um fluido que se move em torno da extremidade produzida pelo contorno do primeiro quadrante. ❑ A interpretação física das condições ·F 0 e F 0 dependem do conjunto. Se F(x,y) representar a força em um campo elétrico que atua em uma carga de teste unitária posicionada em (x,y), então, pelo Teorema 3.9 do Volume 2, F 0 se e somente se o campo for conservativo. O trabalho feito para transportar uma carga de teste entre dois pontos em D tem que ser independente do caminho. Se C for um contorno fechado simples localizado em D, a lei de Gauss afirma que a integral de linha Ds é proporcional à carga total encerrada pela curva C. Se D for simplesmente conexa e toda a carga elétrica estiver distribuída no contorno de D, então para qualquer contorno fechado simples em D. Pelo teorema da divergência na forma (1) da Seção 3.16 do Volume 2, (3)

373

374


onde R é a região encerrada por C, e podemos concluir que ·F 0 em D. De modo oposto, se ·F 0 em D, a integral dupla é zero e portanto o domínio D não contém carga. Funções potenciais Suponha que F(x,y) seja um campo vetorial em um domínio

D simplesmente conexo com ambos ·F 0 e F 0. Pelo Teorema 9.8, a função analítica g(z) P(x,y) – iQ(x,y) tem uma antiderivada

(4) em D, que é chamada de potencial complexo para o campo vetorial F. Note que e assim

(5) Portanto, F ␾ e, como na Seção 3.9 do Volume 2, a função harmônica ␾ é denominada função potencial (real) de F.* Quando o potencial ␾ for especificado no contorno de uma região R, podemos usar técnicas de mapeamento conforme para resolver o problema de Dirichlet resultante. As linhas equipotenciais ␾(x,y) c podem ser esboçadas e o campo vetorial F pode ser determinado utilizando-se (5). y

Exemplo 3

=0

1

x

=1

=0

Vimos no Exemplo 3 da Seção 11.2 que a função analítica z sen w mapeia a faixa 0 u ␲/2 do plano w na região R em questão. Logo, f (z) sen1z mapeia R na faixa, e a Figura 11.68(b) apresenta as condições de contorno transferidas. O problema de Dirichlet simplificado tem a solução U(u,v) (2/␲)u, e assim ␾(x,y) U(sen1z) Re((2/␲)sen1z) é a função potencial em D, e G(z) (2/␲)u sen1z é um potencial complexo para o campo de força F. Note que as linhas equipotenciais ␾ c são as imagens das linhas equipotenciais U c no plano w sob o mapeamento inverso z sen w. No Exemplo 3 da Seção 11.2, mostramos que a reta vertical u a é mapeada em um ramo da hipérbole Solução

0,75 0,25

0,5 (a)

v

U=0 2

u

U=1

U=0

Potencial complexo

O potencial ␾ no plano metade x 0 satisfaz as condições de contorno ␾(0,y) 0 e ␾(x,0) 1 para x 1. Veja a Figura 11.68(a). Determine um potencial complexo, as linhas equipotenciais, e o campo de força F.

0,25 0,5 0,75

Como a linha equipotencial U c, 0 c 1, é a reta vertical u ␲/2c, decorre que a linha equipotencial ␾ c é o ramo direito da hipérbole

(b)

Figura 11.68 Imagens das condições de contorno no Exemplo 3.

Como

e (d/dz) sen1z 1/(1 – z2)1/2, o campo de força é dado por ❑

O vetor V(x,y) P(x,y) iQ(x,y) também pode ser interpretado como o vetor velocidade de um fluxo bidimensional de fluido para um ponto (x,y) em um domínio D. A velocidade em todos os pontos no

Fluxo de fluido em regime permanente

* Se F for um campo elétrico, a função potencial elétrico é definida como sendo ␾ e F .

11.6 Aplicações

375

domínio é portanto independente do tempo, e todo movimento ocorre em planos que são paralelos ao plano z. A interpretação física da condição ·V 0 e V 0 foi discutida na Seção 3.7 do Volume 2. Recorde que se V 0 em D, o fluxo é denominado irrotacional. Se uma pequena roda de pá circular for colocada no fluido, a velocidade angular líquida no contorno da roda será zero, e assim a roda não girará. Se ·V 0 em D, o fluxo é denominado incompressível. Em um domínio simplesmente conexo D, um fluxo incompressível tem a propriedade especial de que a quantidade de fluido no interior de qualquer contorno simples fechado C independe do tempo. A taxa na qual o fluido entra no interior de C é igual à taxa na qual ele sai, e consequentemente não pode haver fonte ou escoadouro de fluido em pontos de D. Se ·V 0 e V 0, V tem um potencial de velocidade complexo

que satisfaz . Nesse conjunto, especial importância é dada às curvas de nível ␺(x,y) c. Se z(t) x(t) iy(t) for o caminho de uma partícula (tal como uma rolha pequena) que foi colocada em um fluido, então

(6)

Logo, dy/dx Q(x,y)/P(x,y) ou –Q(x,y)dx P(x,y)dy 0. Essa equação diferencial é exata, pois ·V 0 implica (Q)/ y P/x. Pelas equações de Cauchy-Riemann, ␺/x ␾/y Q e ␺/y ␾/x P, e assim todas as soluções de (6) satisfazem ␺(x,y) c. A função ␺(x,y) é portanto chamada função de fluxo, e as curvas de nível ␺(x,y) c são linhas de fluxo. Exemplo 4

V

V

Fluxo uniforme

O fluxo uniforme no plano metade superior é definido por V(x,y) A(1,0), onde A é uma constante positiva fixa. Note que |V| A, e assim uma partícula no fluído se move a uma velocidade constante. Um potencial complexo para o campo vetorial é G(z) Az Ax iAy, e portanto as linhas de fluxo são retas horizontais Ay c. Veja a Figura 11.69(a). Note que o contorno y 0 da região é ele próprio uma linha de fluxo. Exemplo 5

y

x (a) y

Fluxo em torno de uma extremidade

2 (2x, 2y) no A função analítica G(z) z gera o campo vetorial V(x,y) primeiro quadrante. Como z2 x2 – y2 i(2xy), a função de fluxo é ␺(x,y) 2xy e as linhas de fluxo são as hipérboles 2xy c. Esse fluxo, chamado fluxo em torno de uma extremidade, está destacado na Figura 11.69(b). Como no Exemplo 4, as retas de contorno x 0 e y 0 no primeiro quadrante são elas próprias linhas de fluxo.

Construindo fluxos especiais

O processo de construção de um fluxo irrotacional e incompressível que permanece dentro de uma dada região R é denominado demarcação de fluxo. Como as linhas de fluxo são descritas por ␺(x,y) c, duas linhas de fluxo distintas não se interceptam. Portanto, se o contorno for uma linha de fluxo, uma partícula que inicie o movimento dentro de R não pode sair de R. Esse é o conteúdo do próximo teorema:

TEOREMA 11.8

Demarcação de fluxo

Suponha que G(z) ␾(x,y) i␺(x,y) seja analítica em uma região R, e que ␺(x,y) seja constante no contorno de R. Então, define um fluxo de fluido irrotacional e incompressível em R. Além disso, se uma partícula for colocada no interior de R, seu caminho z z(t) permanece em R.

V

V

x (b)

Figura 11.69 (a) Fluxo uniforme no Exemplo 4; (b) fluxo em torno de uma extremidade no Exemplo 5.

376

CAPÍTULO 11 Mapeamentos Conformes y

V

Exemplo 6

–1

1

Fluxo em torno de um cilindro

A função analítica G(z) z 1/z mapeia a região R no plano metade superior e fora do círculo |z| 1 no plano metade superior v 0. O contorno de R é mapeado no eixo u, e assim v ␺(x,y) y – y/(x2 y2) é zero no contorno de R. A Figura 11.70 mostra as linhas de fluxo do fluxo resultante. O campo velocidade é dado por e assim

x

Figura 11.70 Fluxo em torno de um cilindro no Exemplo 6.

Decorre que V 艐 (1,0) para valores grandes de r, e portanto o fluxo é aproximadamente uniforme a longas distâncias do círculo |z| 1. O fluxo resultante na região R é chamado fluxo em torno de um cilindro. A imagem espelhada do fluxo pode ser adicionada para resultar no fluxo em torno de um cilindro completo. ❑ Se R for uma região poligonal, podemos aplicar a fórmula de Schwarz-Christoffel para obter um mapeamento conforme z f (w) a partir do plano metade superior R¿ em R. A função inversa G(z) f1(z) mapeia o contorno de R no eixo u. Consequentemente, se G(z) ␾(x,y) i␺(x,y), então ␺(x,y) 0 no contorno de R. Note que as linhas de fluxo ␺(x,y) c no plano z são as imagens das retas horizontais v c no plano w sob z f (w). Exemplo 7

Linhas de fluxo definidas parametricamente

A função analítica f (w) w Ln w 1 mapeia o plano metade superior v 0 para o plano metade superior y 0 com a reta horizontal y ␲, x 0, retirada. Veja o Exemplo 4 na Seção 11.4. Se G(z) f1(z) ␾(x,y) i␺(x,y), então G(z) mapeia R no plano metade superior e mapeia o contorno de R no eixo u. Portanto, ␺(x,y) 0 no contorno de R. Não é possível obter uma fórmula explícita para a função de fluxo ␺(x,y). As linhas de fluxo, entretanto, são as imagens das retas horizontais v c sob z f (w). Se escrevermos w t ic, c 0, então as linhas de fluxo podem ser representadas na forma paramétrica

y

y= x

Figura 11.71

Fluxo no Exemplo 7.

isto é, Utilizou-se um programa gráfico para gerar as linhas de fluxo na Figura 11.71.

❑

Uma função de fluxo ␺(x,y) é harmônica, porém, ao contrário de uma solução para um problema de Dirichlet, não exigimos que ␺(x,y) seja limitada (veja os Exemplos 4-6) ou assuma um conjunto fixo de constantes no contorno. Portanto, podem existir muitas funções de fluxo diferentes para uma dada região que satisfazem o Teorema 11.8. Esse fato será ilustrado no exemplo final. Exemplo 8

Linhas de fluxo definidas parametricamente

A função analítica f (w) w ew 1 mapeia a faixa horizontal 0 v ␲ na região R apresentada na Figura 11.71. Logo, G(z) f1(z) ␾(x,y) i␺(x,y) mapeia R de volta para a faixa e, a partir de M-1 nos mapeamentos conformes do Apêndice I, mapeia a reta de contorno y 0 no eixo u e mapeia a reta de contorno y ␲, x 0, na reta horizontal v ␲. Portanto, ␺(x,y) é constante no contorno de R.

11.6 Aplicações

As linhas de fluxo são as imagens das retas horizontais v c, 0 c ␲, sob z f (w). Como no Exemplo 7, uma representação paramétrica das linhas de fluxo é

377

y

y=

ou As linhas de fluxo estão ilustradas na Figura 11.72. Ao contrário do fluxo no Exemplo 7, o fluxo aqui emerge a partir da faixa 0 y ␲, x 0. ❑

EXERCÍCIOS 11.6

x

Figura 11.72

Fluxo no Exemplo 8.


Nos Problemas 1-4, verifique que ·F 0 e F 0 para o campo vetorial indicado F(x,y) examinando a função complexa correspondente g(z) P(x,y) – iQ(x,y). Determine um potencial complexo para o campo vetorial e esboce as linhas equipotenciais. 1. 2.

8. Utilize o mapeamento conforme C-1 no Apêndice I para determinar o potencial ␾ na região exterior aos dois círculos |z| 1 e |z – 3| 1 se o potencial for mantido zero em |z| 1 e um em |z – 3| 1. Aplique as propriedades de mapeamento das transformações fracionais lineares para explicar por que as linhas equipotenciais são, com uma exceção, círculos.

3.

Nos Problemas 9-14, uma potencial de velocidade complexo G(z) é definida em uma região R.

4.

(a) Determine a função de fluxo e verifique que o contorno R é uma linha de fluxo.

5. O potencial ␾ na cunha 0 Arg z ␲/4 satisfaz as condições de contorno ␾(x,0) 0 e ␾(x,x) 1 para x 0. Determine um potencial complexo, as linhas equipotenciais e o campo de força correspondente F. 6. Utilize o mapeamento conforme f (z) 1/z para determinar um potencial complexo, as linhas equipotenciais e o campo de força correspondente F para o potencial ␾ que satisfaz as condições de contorno indicadas na Figura 11.73.

(b) Determine o campo vetorial velocidade correspondente V(x,y). (c) Use uma ferramenta gráfica para esboçar as linhas de fluxo. 9. G(z) z4 y y=x

y

R x

=1

i

=0

Figura 11.73

=1

Figura 11.74 Região R para o Problema 9.

1 =0

x

10. G(z) z2/3 y

Condições de contorno no Problema 6.

R

7. O potencial ␾ no semicírculo |z| 1, y 0, satisfaz as condições de contorno ␾(x,0) 0, 1 x 1 e ␾(ei␪) 1, 0 ␪ ␲. Mostre que

e use as propriedades de mapeamento das transformações fracionais lineares para explicar por que as linhas equipotenciais são arcos de círculos.

x

Figura 10.75

Região R para o Problema 10.

378


11. G(z) sen z

(a) Verifique que o contorno de R é uma linha de fluxo para o fluxo.

y

(b) Determine uma representação paramétrica para as linhas de fluxo do fluxo. (c) Utilize uma ferramenta gráfica para esboçar as linhas de fluxo do fluxo.

R

15. M-9 no Apêndice I 16. M-4 no Apêndice I; use a 1 2

– 2

Figura 11.76

17. M-2 no Apêndice I; use a 1

x

18. M-5 no Apêndice I 19. Um ponto de estagnação em um fluxo é um ponto no qual V 0. Determine todos os pontos de estagnação para os fluxos nos Exemplos 5 e 6.


12. G(z) i sen1z y

R x –1

1

20. Para quaisquer dois números reais k e x1, a função G(z) k Ln(z – x1) é analítica no plano metade superior e, portanto, é um potencial complexo para um fluxo. O número real x1 é chamado escoadouro quando k 0 e fonte para o fluxo quando k 0. (a) Mostre que as linhas de fluxo são raios emanando a partir de x1. (b) Mostre que V (k/|z – x1|2)(z – x1) e conclua que o fluxo é direcionado a x1 precisamente quando k 0.

Figura 11.77

21. Se f (z) for um mapeamento conforme a partir de um domínio D no plano metade superior, um fluxo com uma fonte em um ponto ␰0 no contorno de D é definido pelo potencial complexo G(z) k Ln (f (z) – f (␰0)), onde k 0. Determine as linhas de fluxo para um fluxo no primeiro quadrante com uma fonte em ␰0 1 e k 1.


13. G(z) z2 1/z2 y

22. (a) Construa um fluxo na faixa horizontal 0 y ␲ com um escoadouro no ponto de contorno ␰0 0. [Sugestão: Veja o Problema 21.]

R i

(b) Utilize uma ferramenta gráfica para esboçar as linhas de fluxo do fluxo. x 1

Figura 11.78


14. G(z) e

z

23. O potencial complexo G(z) k Ln (z – 1) – k Ln(z 1) com k 0 gera um fluxo no plano metade superior com uma única fonte em z 1 e um único escoadouro em z 1. Mostre que as linhas de fluxo correspondem à família de círculos x2 (y – c)2 1 c2. Veja a Figura 11.80.

y i R

x

x

Figura 11.79

–1


Nos Problemas 15-18, um mapeamento conforme z f(w) a partir do plano metade superior v 0 para uma região R no plano z é indicado e o fluxo em R com potencial complexo G(z) f1(z) é construído.

Figura 11.80

1

Linhas de fluxo no Problema 23.

24. O fluxo com vetor velocidade é denominado vórtice em z 0, e a natureza geométrica das linhas de fluxo dependem da escolha de a e b.

379


vessadas no sentido horário se e somente se b 0. Veja a Figura 11.81.

(a) Mostre que se z x(t) iy(t) for o caminho de uma partícula, então

y

x

(b) Mude para coordenadas polares para estabelecer que dr/dt a/r e d␪/dt b/r2, e conclua que r cea␪/b para b ⫽ 0. [Sugestão: Veja (2) da Seção 2.1]. (c) Conclua que as espirais logarítmicas do item (b) giram para dentro se e somente se a 0 e as curvas são atra-


Figura 11.81

Espiral logarítmica no Problema 24.


Responda os Problemas 1-10, sem consultar o texto. Preencha os espaços ou responda verdadeiro/falso.

12. v

y

1. Sob o mapeamento complexo f (z) z , a curva xy 2 é mapeada na reta _____. 2

A

2. O mapeamento complexo f (z) iz é uma rotação de _____ graus. 3. A imagem do plano metade superior y 0 sob o mapeamento complexo f (z) z2/3 é _____.

B

4. A função analítica f (z) cosh z é conforme exceto em z _____. 5. Se w f (z) é uma função analítica que mapeia um domínio D no plano metade superior v 0, então a função u Arg(f (z)) é harmônica em D. _____

u

x

Figura 11.82


13. v

y

6. A imagem do círculo |z – 1| 1 sob o mapeamento complexo T(z) (z – 1)/(z – 2) é um círculo ou uma reta? _____ 7. A transformação fracional linear

R¿

i

R

A R¿

R

ma-

1

peia o triplo z1, z2 e z3 para _____. 8. Se f ¿(z) z1/2(z 1)1/2(z – 1)1/2, então f (z) mapeia o plano metade superior y 0 no interior de um retângulo. _____ 9. Se F(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j for um campo vetorial em um domínio D com ·F 0 e F 0, então a função complexa g(z) P(x,y) iQ(x,y) é analítica em D. _____ 10. Se G(z) ␾(x,y) i␺(x,0) for analítica em uma região R e então as linhas de fluxo do fluxo correspondente são descritas por ␾(x,y) c. _____

u

B x 1

Figura 11.83


Nos Problemas 14 e 15, use um mapeamento conforme apropriado para resolver o problema de Dirichlet indicado. 14. y

11. Determine a imagem do primeiro quadrante sob o mapeamento complexo w Ln z loge|z| i Arg z. Quais são as imagens dos raios ␪ ␪0 que se localizam no primeiro quadrante?

u=0

u=1

Nos Problemas 12 e 13, utilize os mapeamentos conformes do Apêndice I para obter um mapeamento conforme a partir da região dada R no plano z para a região-alvo R¿ no plano w, e determine a imagem da curva de contorno indicada.

ei/4 R

u=1

Figura 11.84

1

u=0

x


380


15.

v u1 + ii

y u=1

2i

u=1 –u1 + i 2

R

i 2

i u=0

u=0

u1

x

Figura 11.85


16. Determine o mapeamento conforme C-4 do Apêndice I construindo a transformação fracional linear que mapeia 1, 1, em i, i, 1. 17. (a) Aproxime a região R¿ em M-9 do Apêndice I pela região poligonal mostrada na Figura 11.86. Exija que f (1) u1, f (0) ␲i/2 e f (1) u1 ␲i. (b) Mostre que quando u1 → ,

(c) Se exigirmos que Im(f (t)) 0 para t 1, Im(f (t)) ␲ para t 1 e f (0) ␲i/2, conclua que

Figura 11.86 ma 17.

u


18. (a) Determine a solução u(x,y) do problema de Dirichlet no plano metade superior y 0 que satisfaz a condição de contorno u(x,0) sen x. [Sugestão: Veja o Problema 6 nos Exercícios 11.5.] (b) Determine a solução u(x,y) do problema de Dirichlet no disco unitário |z| 1 que satisfaz a condição de contorno u(ei␪) sen ␪. 19. Explique por que as linhas de fluxo na Figura 11.72 podem também ser interpretadas como as linhas equipotenciais do potencial ␾ que satisfaz ␾(x,0) 0 para x e ␾(x,␲) 1 para x 0. 20. Verifique que o contorno da região R definida por y2 4(1 – x) é uma linha de fluxo para o fluxo do fluido com po-

tencial complexo G(z) i(z1/2 – 1). Esboce as linhas de fluxo do fluido.

APÊNDICE

I Mapeamentos Conformes Mapeamentos elementares

E-1

y

v z0

w = z + z0 x

E-2

u

v

y

w = eiz

x

E-3

u

v

y w = z, > 0

u

x

E-4

y

v

C w = z , > 0

0 B

A

x

0

C¿ B¿

A¿

u

382

APÊNDICE I Mapeamentos Conformes

E-5 v

y

i

B

A w = ez z = Ln w

C

D

x

A¿

B¿

C¿

D¿

u

E-6 v

y B

E

A

– 2

D

w = sen z x z = sen–1 w

2

C

A¿ D¿

B¿ C¿

E¿ u F¿

–1 1

F

E-7 v

y

C¿

B A

w = 1z

x

u

A¿

C B¿

E-8 v i

y

C w = loge|z| + i Arg z a>1 x

F D

E

a

b

E¿

D¿

F¿

C¿

ln a

ln b

E-9 v

y D

i C

B

A

w = cosh z x

–1 D¿

1

C¿ B¿

A¿

u

Mapeamentos em planos metade

H-1 v

y B A 1

C

D

x

z w = i 11– +z

–1

1

D¿A¿

B¿

u

u


H-2 v

y

ai B

C

A w = e z /a

largura = a E

D

–1

x

F

A¿

1

B¿ C¿ D¿E¿

F¿

u

H-3 y

v

(

w = a2 z + 1z x

B A

–1

C

1

( A¿

–a

B¿

a

C¿

u

H-4 y

v

A

D largura = a

w = cos z a

((

C¿

C a x

B

D¿

B¿ 1

–1

A¿

u

H-5 v

y

B w= x

A

C 1

D

(11 –+ zz(

2

A¿

1 –1 B¿ C¿ D¿

u

H-6 v

y

C B

/z

1 D

A

E

–/z

w = e/z + e–/z e –e x

1

–1 A¿

B¿ C¿ D¿

E¿

u

Mapeamentos em regiões circulares

C-1 y

v A¿

A

B 1 b

a = bc + 1 +b√+(bc –1)(c 2

c

2

–1)

x

z–a w = az – 1

B¿ r0

r0 =

1

bc – 1 – √ (b2 –1)(c2 –1) c–b

u

383

384


C-2 y

v

A

B¿ B b

x

1

c

r0 = 1 – bc + √c – b

(1– b2)(1– c2)

(1– b2)(1– c2)

y

A

B

u

r0

1

a = 1 + bc + √c + b

C-3

A¿

z–a w = az – 1

v i E¿ E w=e z

C

1

x

D

B¿ A¿ C¿ D¿

u

C-4 y

v C

w= A

–1

1

B

C

D

D¿ A¿

i–z i+z

1

u

1 D¿

u

B¿

x

C-5 y

v A¿ w=i

A

B

1 D

C

z 2 +2iz+1 z 2 –2iz+1

B¿

x C¿

Mapeamentos diversos

M-1 v

y A

B

y=

C

E

M-2

u F¿ D¿

F

y

E¿

–i

v

A¿

A

B¿ i

x w=z+e z +1

y =– D

A¿ C¿

–1

1

B

C

D w = a

x [(z2–1)1/2 + cosh–1 z]

B¿

C¿

ai

D¿

u


M-3

y

v

–1 A

a u C¿ D¿

–a B¿

A¿

1 x C D 2 1/2 + sen–1(1/z)] w = 2a [(z –1)

B

M-4

y

v

C¿ ai –1 C

B

A

M-5

1 D

x A¿ E w = a(z2–1)1/2

B¿ D¿

y

v A¿ C¿

–1 B C D

A

u

E¿

x

E

B¿ i

D¿

u

E¿

–1 w = 2 + Ln +1 1/2 = (z + 1)

( (

M-6

v

y

i

A¿

–

E¿

F¿

C¿

D¿

B¿

–1

1 B C D E

A

x

F

w = i Ln 1+ i + Ln 1+ 1– i 1– 1/2 z – 1 = z + 1

(

(

y

v

A¿

–1

1 B C D E

A

B

y=

B¿

C¿ x D¿ F w = z + Ln z +1

M-8 y

(

(

(

M-7

(

u

i

E¿ F¿

u

v E¿

A

C D E F

x

G

y=–

H

F¿ G¿ H¿ z + 1 C¿ B¿ A¿ 1 e w= z e –1 D¿

u

385

386


M-9

v

y

i

G¿

i/2 –1 A

B

D¿

1 x A¿ C D E F G 1 w = i – 2 [Ln(z +1) + Ln(z–1)]

M-10

E

E¿ C¿ B¿

u

v

yA D¿

D B

F¿

a

1

x

F C 0< a <1

v = a/(1 – a) E¿ F¿

w = (1–

–i i) zz –1

A¿

B¿

C¿

u

Exercícios 1.1, página 30 7. 1.

3.

5.

9.

11.

7.

13. 9.

19. 21.

17. Sim; W(X1, X2) 2e8t 0 implica que X1 e X2 são linearmente independentes em (, ). 19. Não; W(X1, X2, X3) 0 para qualquer t. Os vetores solução são linearmente dependentes em (, ). Note que X3 2X1 X2.

23.

25.

Exercícios 1.2, página 42 1. 3. 5.

27.

RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES SELECIONADOS, CAPÍTULO 1

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados

388


29.

9.

31. Os autovetores que correspondem ao autovalor λ1 2 de multiplicidade cinco são 11. Como M é uma matriz diagonal com m1 e m2 não nulos, ela tem uma inversa.

(b) 33. (c)


35. 37.

Exercícios 1.4, página 53 39.

1. 3.

41.

43.

5.

7.

9. 45. 11. 13.

Exercícios 1.3, página 46

15.

1.

17.

3.

19. 21.

5.

7.

23.


389

25.

29.

17.

19.

31. 21. 33.

35. 37.

25.


Capítulo 1 – Exercícios de revisão, página 59

1.

3.

5.

7.

1. 7.

9.

11. 13.

9. 11. 15. 13.

15.


27.

390



Exercícios 2.2, página 76 1. (a) Se X(0) X0 se localiza na reta y 2x, então X(t) aproxima-se de (0,0) ao longo dessa reta. Para todas as outras condições, X(t) aproxima-se de (0,0) a partir da direção determinada pela reta y x/2

1. sen x, pontos críticos em 3.

3. (a) Todas as soluções são espirais instáveis que se tornam ilimitadas com o aumento de t.

5.

5. (a) Todas as soluções se aproximam de (0,0) a partir da direção especificada pela reta y x 7. (a) Se X(0) X0 se localiza na reta y 3x, então X(t) se aproxima de (0,0) ao longo dessa reta. Para todas as outras condições iniciais, X(t) se torna ilimitada e y x serve como uma assíntota.

7.


9.

9. ponto de sela

11. 13.

11. ponto de sela

13. nó estável degenerado

arbitrário

15. espiral estável

15. (0,0), (0,1), (0,1), (1,0), (1,0)

17.

17.

19. ␮ < 1 para um ponto de sela; 1 < ␮ < 3 para um ponto espiral instável 23. (a) (3,4) (b) nó instável ou ponto de sela (c) (0,0) é um ponto de sela

19.

25. (a) (b) ponto espiral instável (c) (0,0) é um ponto espiral instável 21.

Exercícios 2.3, página 84 1. 3. x 0 é instável; x n1 é assintóticamente estável 5. T T0 é instável 7. x ␣ é instável; x ␤ é assintóticamente estável

23. a solução gira em formato espiral em direção à origem com o aumento de t.

9. P a/b é assintóticamente estável; P c é instável 11. 13.

25. (ou x cos t e y sen t) é a solução que satisfaz é a solução que satisfaz X(0) (2,0). Essa solução gira em formato espiral em direção ao círculo r1 com o aumento de t. 27. Não existem pontos críticos e portanto não existem soluções periódicas. 29. Parece haver uma solução periódica englobando o ponto crítico (0,0).

é um ponto espiral estável e espiral estável.

são pontos de sela;

é um ponto

15. (1,1) é um nó estável; (1,1) é um ponto de sela; (2,2) é um ponto de sela; (2,2) é um ponto espiral instável 17. (0,1) é um ponto de sela; (0,0) não é classificado; (0,1) é estável porém não somos capazes de classificá-lo. 19. (0,0) é um nó instável; (10,0) é um ponto de sela; (0,16) é um ponto de sela; (4,12) é um nó estável. 21. ␪ 0 é um ponto de sela. Não é possível classificar ␪ ␲/3 e ␪ ␲/3 23. Não é possível classificar x 0. 25. Não é possível classificar x 0, porém são pontos de sela. 29. (a) (0,0) é um ponto espiral estável.

e

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 5. falso

33. 35.

11.

37. Se ␤ > 0, (0,0) é o único ponto crítico, sendo estável. Se ␤ < 0, (0,0), ( ,0), e ( ,0), onde ␣/␤, são pontos críticos. (0,0) é estável, enquanto ( ,0) e ( ,0) são pontos de sela. 39. (b) (5␲/6, 0) é um ponto de sela. (c) (␲/6, 0) é um centro.

7. falso

391

9. verdadeiro

a curva solução gira em formato espiral em direção à origem

13. centro; nó estável degenerado 15. nó estável para ␮ < 2; ponto espiral estável para –2< ␮ < 0; ponto espiral instável para 0 < ␮ < 2; nó instável para ␮ > 2 17. Mostre que 19.


21. (a) Sugestão: Use o critério negativo de Bendixson

1.

9. (a) O novo ponto crítico é (d/c – ␧2/c, a/b ␧1/b)

espirais estáveis quando

(b) sim 11. (0,0) é um nó instável, (0,100) é um nó estável, (50,0) é um nó estável e (20,40) é um ponto de sela


17. (a) (0,0) é o único ponto crítico

9.

Exercícios 2.5, página 101 1. O sistema não tem pontos críticos

11.

3.

21. 5. 7. O único ponto crítico (0,0) é um ponto de sela


9. 1.

11.

3.

13. Use ␦(x,y) 1/(xy) e mostre que 15. Se n (2x,2y), mostre que V· n 2(x – y) 2y . 2

4

5.

17. Sim; o único ponto crítico (0,0) se localiza fora da região e assim o Teorema 2.8(ii) se invariante aplica. 2 2 2 2 2 19. V· n 2y (1 – x ) 2y (1 – r ) e ∂P/∂x ∂Q/∂y x – 1 < 0. O único ponto crítico é (0,0), sendo um ponto espiral estável. Portanto, o Teorema 2.9(ii) se aplica

7.

21. (a)

9.

(b)

um ponto espiral estável

Capítulo 2 – Exercícios de revisão, página 103 1. verdadeiro

3. um centro ou um ponto de sela

11.


(d) Em (b), (0,0) será um ponto espiral estável quando Em (c), ( ,0), ( ,0) serão pontos

5. (a) Primeiro mostre que

392


13.

33.

15.

35.

19. Adote x ␲/2

37.


Exercícios 3.3, página 121 1. ímpar

3. nem par nem ímpar

7. ímpar

9. nem par nem ímpar

39. 5. par 41.

11. 43. 13. 45. 15.


1.

19. 3. 21. 23.

5.

Exercícios 3.5, página 133 1. y cos ␣nx; ␣ definida por cot␣ ␣;

25.

5. 27. 7.

9. 29.

31.

11.


393

11.


13. 5. 7.

15. Para λ ␣2 > 0, existem três possibilidades: (i) Para 0 < ␣ < 1, 2

9. 15.

(ii) Para ␣2 > 1,


3. co-seno

5. falso

7. 5,5, 1, 0

(iii) Para ␣ 1, 2

13.

Os resultados para o caso λ ␣2 são similares. Para λ 0, u (c1x c2)(c3 cosh y c4 senh y)

15.

17. elíptica

19. parabólica

21. hiperbólica

23. parabólica

25. hiperbólica 17.


19.

3. 21.

Exercícios 4.1, página 146 1. Os casos possíveis podem ser resumidos em uma forma onde c1 e c2 são constantes. 3.

5.

5.

7. não é separável 9.

7.


21.

394


9. 13. 15.


11.

17.



3.

3. 5.

5. 7.

Exercícios 4.4, página 158 1. 9. 3.

5. 11. 7. 13. 9.


395

17.


onde ␣n são

1.

as raízes positivas consecutivas de cotg ␣ ␣/h 3. e ␣n são

5.


7.

5. 9.


1.

9.

3. 11.

5. 13.

15. 7. Utilize a b c 1 com f (x,y) u0 no Problema 5 e f (x,y) u0 no Problema 6. Some as duas soluções.


as raízes positivas consecutivas de tg ␣a ␣/h

17. A temperatura máxima é u 1

396


Capítulo 4 – Exercícios de revisão, página 179 1.

3.

5. 11. 7.

13.

9. 15.


11. 13.



3. 5.

3. 5.

7.

9. 11. 7.


3.

9.

5.


7.

397

3. 5.

9.

9.

Capítulo 5 – Exercícios de revisão, página 196 1.

11.

3.

13.

5.

15. 17. 19.

7. 11. 13.

21.

15.

23.


25.

1. (a) Adote ␶ u na integral erf 2

7. 9. Use a propriedade




7.

11.

398


13. 15. 5.

17.

7.

19.

9.

21.


11. 13.

Exercícios 6.5, página 228 3. 1 7. 15.

17. 19. Adote x 2 em (7). Utilize uma identidade trigonométrica e substitua ␣ por x. No item b, faça a mudança de variável 2x kt.


Capítulo 6 – Exercícios de revisão, página 228 1. 3.

3.

5.

5.

7.

7.

9.

9. 11. 13. 11.



399

3.

1. 3. 5. 7.

Exercícios 7.2, página 241 As tabelas dessa seção apresentam uma seleção do número total de aproximações 1. 5.

Os erros absolutos são aproximadamente 1,8 102, 3,7 102, 1,3 102.

7. (a)

(b)


Os erros absolutos são aproximadamente 2,2 102, 3,7 102, 1,3 102.

400

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados (c)


(d)

9. (a)

(b)

(c)


401

(d)

(b)

Exercícios 7.3, página 245 1. (a)

(c)

(b)


11. (a)

402


3. (a)

Capítulo 7 – Exercícios de revisão, página 245 1. u11 ⫽ 0,8929, u21 ⫽ 3,5714, u31 ⫽ 13,3929 3. (a)

(b)


(b)

(c) Sim; a tabela do item (b) é igual à tabela do item (a) deslocada para baixo 5.


3. 1

7. 13. 19.

11.

15.

17. 21.

25.

27.

29.

31.

33.

5.

9.

23.

35.

37.


5.

7. Nota: Tempo expressado em milissegundos.

9. 11. 15.

13.

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 17. Não é um domínio

17.

403

19. É um domínio y

19. y

21.

23.

x

25.

27.

x

29. 21. É um domínio

31.

y

35. x

37.


3.

y

23. A reta y –x

y x

x=5


x

25. A hipérbole x2 – y2 1

3.

v

v

y = –3

5.

v2 u = 16 – 4

7. y

y

x

u≤0 v=0

u

u

(4, –3) x

9. É um domínio

11. É um domínio

5.

y

v

y v≥0 u=0

x

u

x

13. É um domínio

15. Não é um domínio

y

7. 9. 11.

y

13.

x x

15. 17.

19.

21.

27.

29.

31.

33.

35.

37.


33.

404


41. x(t) c1e2t e y(t) c2e2t; as linhas de fluxo se estendem nas retas através da origem 43. y cx; as linhas de fluxo são as retas através da origem v

41.

43.

47. não; não; sim


3.

5.

7.

9. 1

11.

u

15. 17.


45.

19.

21.



15. a 1, b 3

1.

3.

21. 23. 25.

5.

7.

9.

11.

27.


29.

y

v = c2

1.

3.

5. 11.

9. x

13. falso 19. 21.

u = c1

7. falso

15.

17.

23.

y

y

31. o eixo x e o círculo |z| 1 x

x


3.

5.

7.

9.

11.

25. uma elipse com foco (0,2) e (0,2) 27.

13.

29.

31. a parábola v u2 – 2u

15.

33. 1, 1 37.

35. números imaginários puros

23. 25.


27.

7.

29.

31.

13.

33.

35.

21.

37.

39.

27.

3. 9.

5. 11.

15. 0 23.

17.

19. 0 25.

31.

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 33. circulação 0, fluxo líquido 4␲


35. circulação 0, fluxo líquido 0

1.


11.

3.

13. 0 17.

15. 19.

405

21.

5. 23. 7.


5.

9. 15. 0

7. 0 13.

11. 17.

9. 11.

19. 23.

21.


1.

13.


3.

15.

5.

7.

9.

11.

13. 17.

15. 19.

21. 0

23.

17. 19.


3. verdadeiro

9. verdadeiro 13.

15.

7.

17. 0

25.

21. 23.

21.

19. 23.

5. 0

11.

25.

27.

29. 27.

Exercícios 10.1, página 314 1. 5. converge 11.

29.

3. 7. converge

9. diverge

13. A série converge para 1/(1 2i). 15. divergente 17. convergente,

y

19. convergente, 21. 23.

x

25. 27. 29. A série converge em z 2 i

31. (a) A distância de z0 para o corte do ramo é de uma unidade.

406

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados (c) A série converge dentro do círculo Apesar da série convergir na região sombreada, ela não converge para (ou representa) Ln z nessa região. y

3. –2 i é um zero de ordem 2. 5. –i e i são zeros de ordem 1; 0 é um zero de ordem 2. 7. 2n␲i, n 0, 1,..., são zeros de ordem 1 9. ordem 5 11. ordem 1 13. –1 2i são pólos simples

–1 + i

15. –2 é um pólo simples; –i é um pólo de ordem 4 17. (2n 1)␲/2, n 0, 1,..., são pólos simples x

19. 0 é um pólo de ordem 2 21. 2n␲i, n 0, 1,..., são pólos simples


33.

35.


23. não isolada


3.

5. 0

7. 3.

9.

5.

11.

7.

13.

9.

15. 17.

11.

23. 0

19.

21.

25.

27.

29.

31.

13.


3. 0

5.

7.

9.

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

15. 17. 19. 21. 29. 23. 25.


27.

Exercícios 10.4, página 330 1. Defina f(0) 2.

9.

13.

3. falso 11.

5. verdadeiro

7. verdadeiro

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 11.

15.

407

utilizando H-4 v

17. R¿ B¿

19.

u A¿

1

13.

utilizando H-5 e v

A¿ v=u

23.

25.

27.

R¿

B¿


21.

u B¿ = ei␲/4

31.

29.

15.

33.

v A¿

Exercícios 11.1, página 349 1. a reta v u

utilizando H-6 e

3. a reta v 2 R¿

5. segmento de reta aberto de 0 a ␲i 7. o raio ␪ ␪0

B¿

9. a reta u 1

i u

C¿

11. o quarto quadrante 13. a cunha ␲/4 Arg w ␲/2 15. o círculo com centro w 4i e raio r 1

17.

17. a faixa –1 u 0

19.

19. a cunha 0 Arg w 3␲/4 21.

21.

23.

25.

27.

29.

é o intervalo real

23. 25.

Exercícios 11.2, página 355 1. conforme em todos os pontos exceto z 1 3. conforme em todos os pontos exceto z ␲i 2n␲i 5. conforme em todos os pontos exteriores ao intervalo [1,1] no eixo x 7. A imagem é a região apresentada na Figura 20.11(b). Um segmento horizontal z(t) t ib, 0 < t < ␲, é mapeado na parte inferior ou superior da elipse

Exercícios 11.3, página 362 e a reta v

1. 3.

a reta o plano metade

5. 7.

de acordo se b > 0 ou b < 0. 9. A imagem da região é a cunha 0 Arg w ␲/4. A imagem do segmento de reta [␲/2, ␲/2] é a união dos segmentos juntando ei␲/4 para 0 e 0 para 1.

9.

11.

e o círculo

408


13.

9.

15. 17.

As curvas de nível são as imagens dos círculos |w| r, 1 < r < 2, sob a transformação fracional linear T(w) (w 2)/(w – 1). Como os círculos não passam pelo pólo em w 1, as imagens são círculos.

11. 13. Mostre que 15.


19. Construa a transformação fracional linear que transforma 1, i, i em 0, 1, 1

y 1,2 0,8 0,4

21. Simplifique –1

x

1 0

–0,8 –1,2 –0,4

Exercícios 11.4, página 367 1. Primeiro quadrante 3. v


ai

é analítica em toda parte e é um potencial complexo. As linhas equipotenciais são as retas x cos␪0 ysen␪0 c.

u

0

5.

y ␪0 = ␲ 6

para alguma constante A

7.

6

para alguma constante A 4

e conclua que f (z)

9. Mostre que cosh1z.

2

1/2

z(z – 1)1/2 Az/(z2 – 1)1/2

–2

–6 –4

11. Mostre que f ¿(z) → A/z quando w1 → e conclua que f(z) Ln z. 13. Mostre que f ¿(z) → A(z 1) quando u1 → 0.

x

0

3. g(z) 1/z é analítica para z ≠ 0 e G(z) Ln z é analítica exceto para z x 0. As linhas equipotenciais são os círculos x2 y2 e2c.


y

1.

0,5

1

0,75 0

3.

x

5. 5.

é um potencial complexo. As linhas equipotenciais são os raios

7. 7. As linhas equipotenciais são as imagens dos raios ␪ ␪0 sob as transformações sucessivas ζ w1/2 e z (ζ 1) (ζ

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 1). A transformação ζ w mapeia o raio ␪ ␪0 para o raio ␪ ␪0/2 no plano ζ, e z (ζ 1) (ζ 1) mapeia esse raio em um arco de um círculo que passa por z 1 e z 1.

Portanto, Im(G(z)) ␺(x,y) 0 no contorno de R.

1/2

9. (a) ␺(x,y) 4xy(x2 – y2) ou, em coordenadas polares, ␺(r,␪) r4sen4␪. Note que ␺ 0 no contorno de R. (b) (c) y

409

(b)

(c)

y

y=␲

y = ␲/2

17. (a)

x

11. (a) ␺(x,y) cos x senh y e ␺ 0 no contorno de R. (b) (c) y

Portanto,

no contorno de R.

(b)

␲ 2

–␲ 2

13. (a)

(c)

x

y

ou, em coordenadas polares, ␺(r,␪) (r2 – 1/r2)sen 2␪. Note que ␺ 0 no contorno de R.

(b) (c)

x

0

19. z 0 no Exemplo 5; z 1, z 1 no Exemplo 6

y

2

21. As linhas de fluxo são os ramos da família de hipérboles x Bxy – y2 –1 0 que se localiza no primeiro quadrante. Cada membro da família passa por (1,0). 23. Sugestão: Para z no plano metade superior,

1

x


15. (a) e assim

1. v 4 5. verdadeiro

3. a cunha 0 Arg w 2␲/3 7. 0, 1,

9. falso

11. A imagem do primeiro quadrante é a faixa 0 < v < ␲/2. Raios ␪ ␪0 são mapeados em retas horizontais v ␪0 no plano w.


x

410

Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 15.

13.

17. (a) Note que ␣1 → 0, ␣2 → 2␲ e ␣3 → 0 quando u1 → . v

(b) Sugestão: Escreva

A¿ 1

R¿ 1


B′

u

19. G(z) f (z) mapeia R na faixa 0 v ␲, e U(u,v) v/␲ é a solução para o problema de contorno transferido. Portanto, ␾(x,y) (1/␲) Im(G(z)) (1/␲)␺(x,y), e assim as linhas equipotenciais ␾(x,y) c são as linhas de fluxo ␺(x,y) c␲.

Índice

412

Índice

A Aerofólio de Joukowski, 350 Amostragem de uma função, 219 Amplitude, variante no tempo, 189 Análise qualitativa de sistemas de equações diferenciais, 69-84 Analiticidade de um ponto, 264 critério para, 265 Anel no plano complexo, 258 Animação, 156-157, 189 Antiderivada de uma função complexa, 297-299 existência de, 299 Aplicações de equações diferenciais corrente vibratória, 160 distribuições de temperatura, 149 populações, 90 presa-predador, 89-92 relógio de água, 160 Aproximação de cinco pontos para a equação de Laplace, 231 Aproximação linear local, 76 Arco, 64 Argumento de um número complexo, 252 Argumento principal de um número complexo, 252 Átomo de hidrogênio, 13-15 Atrator, 34 Aumento no plano z, 348 Autofunções do problema, 127-128 Autovalores complexos, 39-42 de multiplicidade dois, 36-38 de multiplicidade m, 35-36 de multiplicidade três, 38-39 duplos, 184 e o formato das soluções, 69-71 reais distintos, 32-35 repetida, 35-39

B Bastão torcido, 174

C Cálculo de integrais reais por meio de resíduos, 337-342 Campos vetoriais e analiticidade, 373-374 sistema autônomo plano de, 63-64 velocidade, 376, 377 Centro, 73 Ciclo, 94 Ciclo limite, 99 Circulação, 288-289 Círculo de convergência, 312-313 em um plano complexo, 257 Coeficientes de Fourier, 112

Condição de compatibilidade, 165 Condição de Dirichlet, 150 Condição de Neumann, 150 Condição de Robin, 150 Condições de contorno dependente do tempo, 167-170 homogêneas, 150 independente do tempo, 165-167 não homogêneas, 150 Condições iniciais, 149 Condições para a extremidade livre, 158, 174 Conjugado de um número complexo, 249-250 Conjunto aberto, 257-258 Conjunto completo de funções, 109 Conjunto conexo, 258 Conjunto de funções normalizadas, 108 Conjunto de funções ortonormais, 107-108, 134 Conjunto fundamental de soluções de um sistema de equações diferenciais lineares, 28 existência de, 28 Conjunto ortogonal de funções, 107-108 de vetores, 108 em relação a uma função de peso, 109 Constante amortecida, 88 Constante de separação, 144 Continuidade de uma função complexa, 262 Contorno, 214, 284, 285 endentado, 340-342 Contorno de um conjunto, 258 Contornos isolados, 150 Convergência critério para, 309 de uma integral de Fourier, 209 de uma integral imprópria, 339-340 de uma série de Fourier, 113-114 de uma série de Fourier-Bessel, 137-138 de uma série de Fourier-Legendre, 139 Convergência absoluta de uma série complexa, 311 Coordenadas cilíndricas, 187-193 Laplaciano em, 190-191 Coordenadas esféricas, Laplaciano em, 193-194 Coordenadas polares, 66-67, 182-186, 187-193 Laplaciano em, 182-184 Coordenadas retangulares, 142-182 Corrente puxada, 156-157, 160 Corte de ramificação, 275 Critério de estabilidade para equações autônomas de primeira ordem, 79-80 para sistemas autônomos planos, 75, 80 para sistemas lineares, 68-76 Critério negativo, 94-102 Critério negativo de Bendixson, 95-96 Critério negativo de Dulac, 96-98 Critério positivo, 97-100 Curvas ortogonais, 269

Índice

D Deformação de contornos, 292 Demarcação do fluxo, 375-377 Derivadas de funções complexas de função exponencial complexa, 55 de funções hiperbólicas complexas, 279 de funções hiperbólicas inversas complexas, 281-282 de funções trigonométricas complexas, 276-278 de funções trigonométricas inversas complexas, 277 de logaritmo complexo, 272-274 definição de, 262 regras para, 263 Derivadas de funções reais, 277 Desigualdade da incerteza, 16-17 Desigualdade de Cauchy, 305 Desigualdade do triângulo, 251 Desigualdade ML, 288-289 Determinante do Wronskiano, 27-28 Diferenciação, regras de, 263 Diferencial, relações de recorrência, 135 Difração de Fraunhofer, 18-19 Difusão térmica, 148 Disco aberto, 257 Domínio de uma função, 259 no plano complexo, 258 Domínio duplamente conexo, 291, 292 Domínio simplesmente conexo, 291, 294, 296, 299-303, 334, 354, 363, 374-375 Domínio triplamente conexo, 293

E Eixo imaginário, 250 Eixo real, 250 Enésima raiz da unidade, 228 Enésima raiz de um número complexo não zero, 254 Enésima raiz de z, de um número complexo não zero, 255 Enésima raiz principal de um número complexo, 255 Enésimo termo para divergência, teste, 311 Equação característica de uma matriz, 32 Equação da difusão, 151 Equação de Bessel paramétrica, 132-133 Equação de diferença substituição para equação de Laplace, 231-232 substituição para equação de onda, 242-244 substituição para equação do calor, 236-238 Equação de Laplace, 231-236 Equação de Laplace em duas dimensões, 147 Equação de onda, 147, 155 duas dimensões, 176 obtenção da equação unidimensional, 202 solução de, 155-160 substituição por equação de diferença, 242 uma dimensão, 147, 149 Equação de onda bidimensional, 370-371

413

Equação de onda unidimensional, 147, 149 obtenção da, 157 Equação diferencial autônoma, 62-67 Equação diferencial de Bessel paramétrica, 132-133 Equação diferencial de Chebyschev, 141 Equação diferencial de Hermite, 134 Equação diferencial de Laguerre, 134 Equação diferencial de Legendre, 133 Equação diferencial de Raleigh, 85 Equação diferencial de Van der Pol, 99-100 Equação diferencial linear não homogênea parcial, 143 Equação diferencial ordinária autônoma, 62-67 homogênea, 261 Equação diferencial parcial (EDP) classificação de segunda ordem linear, 145 dependente do tempo, 167-170 de segunda ordem linear, 62 de segunda ordem linear homogênea, 143 de segunda ordem linear não homogênea, 143 elíptica, 231 hiperbólica, 231, 232 homogênea, 166-168 independente do tempo, 165-167 não homogênea, 165, 168 parabólica, 231, 239 princípio da superposição para linear homogênea, 145 separável, 143-147 solução de, 143 Equação diferencial parcial de Laplace, 147, 148, 231-236 princípio máximo para, 162 solução de, 160-165 Equação diferencial parcial de Poisson, 171 Equação do calor bidimensional, 176-178 e série discreta de Fourier, 222 e transformada discreta de Fourier, 222-223 em coordenadas polares, 187 obtenção da equação unidimensional, 148 solução da, 152-154 substituição por equação diferencial, 236-238 unidimensional, 147-148 Equação telegráfica, 152 Equações de Cauchy-Riemann, 265-270 Equações diferenciais ordinárias lineares, 144, 169 primeira ordem, 24-25 solução particular de, 120-121 Equações diferenciais parciais de segunda ordem lineares, 143-147 homogêneas, 143 não homogêneas, 143 princípio da superposição para, 145 solução de, 143 Erro(s), propagação, 239 Espectro de frequência, 125-126 Estado de um sistema, 63 Existência de transformadas de Fourier, 215

414

Índice

Expansão de uma função de meia escala, 119 em termos de funções ortogonais, 118-121 em três séries, 119 em uma série complexa de Fourier, 124-125 em uma série de co-senos, 117 em uma série de Fourier, 113 em uma série de Fourier-Bessel, 137-138 em uma série de Fourier-Legendre, 138 em uma série de Laurent, 323-326 em uma série de senos, 117-118 Expansão em séries ortogonais, 172-176 Extensão periódica, 114

F Fenômeno de Gibbs, 118-119 Fluido incompressível, 375 Fluxo de calor, 148 em torno de um cilindro, 376 em torno de uma extremidade, 375 fluido em estado estacionário, 374-375 Fluxo de fluido em regime permanente, 374-375 Fluxo do fluido em duas dimensões, 260 Fluxo e a forma integral de Cauchy, 303 Fluxo irrotacional, 375 Fluxo líquido, 289 Fluxo uniforme, 375 Fonte, 303 Força externa, 120, 151 Força motriz periódica, 120-121 Forma adjunta própria, 131-133 Forma complexa de séries de Fourier, 123-126 Forma exponencial, 123, 211 Forma matricial de um sistema de equações algébricas lineares, 24-25 Forma matricial de um sistema de equações diferenciais lineares, 24-26 Forma normal de um sistema de equações de primeira ordem lineares, 24 Forma polar de um número complexo, 252, 271-272 Fórmula de De Moivre, 254 Fórmula integral de Cauchy, 301-305 para derivadas, 303-305 Fórmula integral de Poisson para o disco unitário, 370-371 para o plano metade superior, 368-370 Frequência angular fundamental, 110, 125 Frequência fundamental, 125, 158 Função complementar, 29 complexa, ver Função complexa de potência real, 348 domínio da, 259 escala da, 259 harmônica, ver Função harmônica

ímpar, 116 ortogonal, 106-111 par, 116 periódica, 110 potencial, 374 produto interno da, 106 tendência, 375 Função analítica, critério para, 265 definição de, 264 derivadas de, 303 Função bi-harmônica, 357 Função complexa analítica, 264 como mapeamento, 260, 346-350 como um fluxo de fluido, 260-261 como uma transformação, 260 completa, 264 contínua, 197, 262 definição de, 260, 262, 264, 358 derivada de, 262 diferenciável, 262 domínio de, 259 escala de, 259 exponencial, 270 hiperbólica, 279 hiperbólica inversa, 280-283 limite de, 261-262 logarítmica, 272-274 polinomial, 262 racional, 262 trigonométrica, 276-278 trigonométrica inversa, 281 Função de fluxo, 375 Função erro, 199-200 Função erro complementar, 199 Função exponencial definição de, 270 derivada de, 55 período de, 271 propriedades de, 270 região fundamental para, 271 Função harmônica, 267-269 conjugada, 268-270 teorema da transformação para, 353-354 Função inteira, 264 Função logarítmica principal, 274 Função par, 116 Função peso, ortogonalidade em relação a, 109 Função racional, 262 Função seno inversa, 280-281 Funções de Bessel, 187-193 ortogonalidade de, 132 relações de recorrência diferencial para, 135 Funções hiperbólicas, 279 Funções hiperbólicas inversas, 280-283 derivadas de, 281-282

Índice Funções trigonométricas inversas, 245, 280 derivadas de, 281-282

G Glóbulo deslizante, 77-79, 87-88, 96 Glóbulo incrustado, 159

I Identidades trigonométricas, 277-278 Imagem, 346-347 Impedância, 272 Independência do caminho, 295-300 definição de, 296 Integração por partes, 300 Integrais de linha complexa, 285 no plano complexo, 285 Integrais reais, cálculo por meio de resíduos, 337-342 Integral complexa, 285, 289, 337, 344 Integral de contorno, 285-290 definição da, 285 método de cálculo, 286-287 propriedades de, 287 teorema fundamental para, 297-298 teorema limite para, 288-289 Integral de Fourier, 208-213 condições para convergência, 209 forma complexa, 211-212 forma do co-seno, 210-211 forma do seno, 210-211 Integral de probabilidade, 199 Integral indefinida, 51, 297 Interação competitiva, 90 Interação de Gauss-Siedel, 234-235

L Laplaciano em coordenadas cilíndricas, 190-191 em coordenadas esféricas, 193-194 em coordenadas polares, 182-184 Laplaciano em duas dimensões, 147 Limite de uma função de uma variável complexa, 261-262 Linearização de um sistema não-linear de equações diferenciais, 77-86 Linha nodal, 189 Linhas de fluxo, 261, 375-377 Logaritmo de um número complexo corte de ramificação para, 275 definição de, 273-274 derivada de, 272-274 propriedades de, 274 ramificação de, 274, 275 valor principal de, 273-275

M Malha, 232 Mapeamento conforme, 350-357 e o problema de Dirichlet, 353-355 Mapeamentos com ângulo preservado, 350-352 Mapeamentos sucessivos, 348-349 Matriz (matrizes) derivada de, 55 diagonalizável, 44, 52-53 equação característica de, 32 esparsa, 233 exponencial, 55-58 fundamental, 50, 56 integral de, 51 inversa multiplicativa, 50 Jacobiana, 80 limitada, 233 nilpotente, 59 tridiagonal, 239 utilizada para obter uma transformada inversa, 360 Wronski, 50 Matriz simétrica, autovalores para, 37 Método da diferença finita, 243-244 implícito, 239 Método da variação de parâmetros, 50-52 Método das diferenças finitas explícito, 237-238 Método das diferenças finitas implícito, 239 Método de Crank-Nicholson, 239-240 Método de Liebman, 235 Método do plano de fase, 83-84 Método numérico instável, 239 Métodos dos coeficientes indeterminados, 47-49 Métodos numéricos estabilidade de, 239 instabilidades de, 20-21 método de Crank-Nicholson, 239-240 métodos da diferença finita, 243-244 Modelo predador-presa de Lotka-Volterra, 89-92 modelo de competição, 90-92, 95 Modo fundamental de oscilação, 158 Modos normais, 157-158 Módulo de um número complexo, 250 Mola flexível, 82-84 Multiplicação conexa, domínio, 292-294 Multiplicativa inversa, 50 Multiplicidade de autovalores, 35-39

N Norma de uma função, 107, 108 de uma partição, 285 quadrada, 107, 135-137 Norma quadrada, 107, 135-136 Nós de um sistema autônomo plano, 71, 72 Nós de uma onda estacionária, 158

415

416

Índice

Nós degenerativos, 72 Núcleo de uma transformação integral, 214 Número(s) complexo(s) adição de, 249 argumento de, 252 argumento principal de, 252 conjugado de, 249-250 definição de, 248 desigualdade do triângulo para, 251 divisão de, 249, 252-253 enésima raiz principal de, 255 forma polar de, 252, 271-272 igualdade de, 248 imaginário puro, 248 interpretação geométrica de, 250 interpretação vetorial, 250 lei comutativa para, 249 leis associativas para, 249 leis distributivas para, 249 logaritmo de, 272-274 módulo de, 250 multiplicação de, 249, 252-253 parte imaginária de, 248 parte real de, 248 potências complexas de, 275, 312 potências inteiras de, 253-254 raízes de, 254-255 subtração de, 249 unidade imaginária, 248

O Onda seno retificada, 88 Ondas estacionárias, 157-158, 189 Ondas viajantes, 159 Orientação de uma curva, 287 Oscilações não lineares, 87-88

P Par da transformada discreta de Fourier, 221 Par transformado, 214, 221 Parte analítica de uma série de Laurent, 321 Parte principal da série de Laurent, 321, 328 Pêndulo não linear, 86-87 Perfil de fase, 33 para sistemas de duas equações diferenciais de primeira ordem lineares, 69-70 para sistemas de duas equações diferenciais de primeira ordem não lineares, 83, 84 Período fundamental, 110, 125 Plano complexo, 250 conjuntos em, 256-259 eixo imaginário de, 250 eixo real de, 250 Plano de fase, 25, 33, 69-70 Plano z, 250, 347

Plano(s), fase, 83-84 Polinômios de Hermite, 134 Polinômios de Legendre, 193 Pólo de ordem n, 328, 330 definição de, 328 resíduo no, 332 simples, 328 Ponto crítico globalmente estável, 94, 100-101 Ponto crítico instável, 69 Ponto crítico localmente estável, 69 Ponto de cela, 71 Ponto de contorno, 232 Ponto de estagnação, 75 Ponto de ramificação, 320 Ponto de vórtice, 75 Ponto espiral instável, 73 Ponto interior de um conjunto no plano complexo, 257 Ponto singular de uma função complexa definição de, 320 essencial, 328 pólo, 328-329 removível, 328 Ponto singular isolado, 320 classificação de, 328 Ponto singular não isolado, 320 Pontos críticos para sistemas autônomos planos, 64-66 assintoticamente estável, 77 definição de, 77 estável, 77, 78 globalmente estável, 94, 100-101 instável, 78-80 localmente estável, 69, 77 Pontos críticos para sistemas lineares autônomos atrator, 34 centro, 83 classificação, 75, 81-83 definição de, 77 instável, 69 localmente estável, 69 nó estável, 71 nó instável, 71 nós degenerativos, 72 ponto de sela, 71 ponto espiral estável, 73 ponto espiral instável, 73 repulsor, 34 Pontos de Lattice, 232 Pontos do interior da malha, 232 Pontos espirais, 73 Pontos estáveis, 73 População, modelos matemáticos para, 90 Potência de uma matriz, 57 Potencial complexo, 374 função, 374 velocidade complexa, 375

Índice Potências complexas, 275 Predador-presa, 89-92 Primeira onda estacionária, 158 Primeiro harmônico, 125, 158 Primeiro modo normal, 158 Princípio da superposição, 26-27 para o problema de Dirichlet para um prato retangular, 162-163 para sistemas de equações diferenciais lineares, 145 Princípio de Volterra, 92 Princípio máximo, 162 Problema de Dirichlet, 162, 232-234 funções harmônicas e, 353-354 para um disco circular, 182-184 princípio da superposição para, 162-163 solução utilizando mapeamento conforme, 354-355 Problema de Neumann para um disco circular, 185 para um retângulo, 165 Problema de Sturm-Liouville, 127-134 ortogonalidade de soluções, 128-130 propriedades de, 128-130 regular, 128-130 singular, 131, 133 Problema de valor de contorno (PVC) homogêneo, 167 métodos numéricos para EDP, 232-234, 237, 238, 240 não homogêneo, 165-172 para uma equação diferencial parcial, 142-182 Problema de valor de contorno em dois pontos, 127, 128 Problema de valor de contorno periódico, 131 Problema de valor de contorno singular, 131 Processamento de sinal, 224-226 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, 110-111 Propriedade de preservação do círculo, 358-359 Pulso retangular, 223

R Raio angular, 18 Raio de convergência, 312, 313 Raiz quadrada principal, 116 Raízes de um número complexo, 254-255 Ramo do logaritmo complexo, 274 Ramo principal do logaritmo, 274 Razão cruzada, 361 Região fechada, 258 invariante, 97-99 no plano complexo, 258 Região fundamental, 271 Regra da cadeia de derivadas parciais, 263 Regra da soma, 263 Regra de L’Hôpital, 336 Regra do produto, 263 Regra do quociente, 263 Regras constantes, 263 Relação de recorrência diferencial, 135

Repulsor, 34 Resíduo (s) cálculo de integrais por, 334-335, 337-342 definição, 331 em um pólo de ordem n, 332 em um pólo simples, 332 Resposta de um sistema, 63 Rotação e translação, 347 Rotação no plano z, 347

S Sequência convergente, 309-310 definição de, 309 Sequência complexa, 309 Sequência de somas parciais, 114-115 Série (infinita) absolutamente convergente, 311 convergente, 310 de Fourier, ver Série de Fourier de Fourier-Bessel, 135-138 de Fourier-Legendre, 138-140 de Laurent, 320-327, 328 de Maclaurin, 316, 318 de potências, ver Série de potências de Taylor, 314-319 geométrica, 310-311 testes para convergência, 309 Série complexa, 123 Série de co-senos, 117-118 em duas variáveis, 178 Série de Fourier, 111-126 complexa, 123-126 condições para convergência, 113-114 co-seno, 117-118 definição, 112 em duas variáveis, 176-179 expansão em, 113 generalizada, 109 seno, 117-118 Série de potências centro, 312 círculo de convergência, 312-313 de Maclaurin, 316, 318 de Taylor, 314-319 diferenciação de, 315 integração de, 315 raio convergência, 312, 313 representando uma função contínua, 315 Série de senos em duas variáveis, 178 Série dupla de co-senos, 178 Série dupla de senos, 178 Série geométrica, 309-311, 318, 323, 325 Série trigonométrica, 111-112 Serrilhamento, 223-224 Simetria radial, 187 Sinais com faixa limitada, 224-226

417

418

Índice

Sinais filtrados, 226 Singularidade essencial, 328 Singularidade removível, 328 Sistema autônomo plano de campos vetoriais, 63-64 Sistema de primeira ordem, 24 Sistema degenerativo de equações diferenciais, 72, 73 Sistema dinâmico, 63 Sistema homogêneo associado, 47 Sistema linear desacoplado, 44-46 Sistema sobreamortecido, 88 Sistema sobredeterminado para sistemas lineares, 47-49 Sistemas acoplados, 44-46 Sistemas autônomos, 62-67 Sistemas homogêneos de equações diferenciais lineares, 24, 26-29, 31-44 autovalores complexos, 39-42 autovalores reais distintos, 32-35 autovalores repetidos, 35-39 Sistemas lineares de equações diferenciais, 23-60 Sistemas não homogêneos de equações diferenciais lineares, 24, 47-54, 56 Sobreamortecimento, 88 Sobretom desarmônico, 193 Sobretons, 158 Solução constante, 64 Solução de D’Alembert, 159 Solução de equilíbrio, 64 Solução de uma equação diferencial parcial linear definição de, 143 particular, 143-145 Solução geral da equação de Bessel paramétrica, 127 da equação de Cauchy-Euler, 127 de equações lineares, 127 de um sistema de equações diferenciais lineares homogêneas, 2829, 32 de um sistema de equações diferenciais lineares não homogêneas, 29-30 utilizando variação de parâmetros, 51-52 Solução particular, 29 da equação de Legendre, 127 por variação de parâmetros, 50-51 Solução periódica de um sistema autônomo plano, 65-66 Solução transitória, 167

Teorema de Cauchy, 291 Teorema de Cauchy do resíduo, 334-335 Teorema de Cauchy-Goursat, 290-295 para domínios multiplamente conexos, 292-294 Teorema de Laurent, 321-322 Teorema de Liouville, 305 Teorema de Taylor, 316 Teorema do contorno para integrais complexas, 288-289 Teorema do contorno para integrais de contorno, 288-289 Teorema do mapeamento de Riemann, 363 Teorema do resíduo, 334-335 Teorema fundamental da álgebra, 305 para integrais de contorno, 297-298 Teoremas de Poincare-Bendixson, 97-100 Teste da raiz, 312 Teste da razão, 312 Traço de uma matriz, 69 Trajetórias, 25, 33, 63 Transformação de Joukowski, 350 Transformação de Schwartz-Christoffel, 363-368 Transformação fracional linear, 357-363 Transformação planar, 346 Transformada de Fourier, 213-219 Transformada de Fourier do co-seno, 215-217 Transformada de Fourier do seno, 215-216 Transformada de Laplace de uma derivada parcial, 201-208 exponencial de uma matriz, 56-58 tabelas de, 199 Transformada discreta de Fourier, 219-220 Transformada integral Fourier, 213-219 Fourier co-seno, 215 Fourier seno, 215-216 par, 214 Transformada integral inversa Fourier, 216 Fourier co-seno, 215 Fourier seno, 215-216 Transformada rápida de Fourier, 221 cálculo com, 226-227 Translação e contração, 348 Translação e rotação, 347 Translação no plano z, 347 Triplo a triplo, 361

T Tabelas de mapeamentos conformes, 352-353 de transformadas de Laplace, 199 Temperatura em um quadrado, 180 em um retângulo, 149 em uma haste, 172 Temperatura em regime permanente, 149, 160, 182, 184, 194, 353, 362, 372 Teorema da Amostragem, 224-225 Teorema da convolução para a transformada de Fourier, 218

V Valor absoluto de um número complexo, 250 Valor principal da função logarítmica, 273-275 de uma integral, 338 de uma potência complexa, 273-275 Valor principal de Cauchy, 338 Variação de parâmetros para sistemas de equações diferenciais lineares, 50-52 Variáveis dependentes, 165-167

Índice Variáveis independentes, 165-167 Variáveis separáveis, 143-145 Velocidade complexo, potencial, 375 Vetor coluna, 63 Vetores como soluções de sistemas de equações diferenciais lineares, 25 Vibrações radiais, 187-189 Vibrações transversas, 149, 158, 176, 187 Viga simplesmente apoiada, 159 Viga vibrando, 149, 157, 160, 242, 245 Vizinhança, 257 Vórtice, 378

419

W Wronskiano para um conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo, 27, 28

Z Zeros de ordem n, 329 de uma função, 329 do co-seno e seno complexos, 278 do co-seno e seno hiperbólicos complexos, 279

Matemática Avançada Para Engenharia - Vol 3 - 3ª Ed 2009

Recommend Documents