Matematica 3 Armando Venero

donde CP, es una partición del intervalo cerrado [ a , b ]
2.2 DEFINICIÓN.-

Se llama NORMA de la partición

| CP| = máx { |
mayor entre las nor­

mas de (P, y
[ y,-_, . y7 ] }

y en cada uno de ellos f tiene un supremo M ¿- y un ínfimo m,--

-70-

Cap. 2

Matemáticas III M i j = sup { f ( x , y) / ( x , y ) e R m ij =

}

inf { f ( x , y) / ( x , y) € R ¿J- }

La suma de iodos los productos de la forma M,j A A ¡ j = M y A x ¡ A y j

=

Mfj- A ( R i ; )

y de todos los productos de la forma m ij A A ij = m ij A x ¡ A Vj

=

mi_/ A ( R y )

reciben el nombre de SUMA SUPERIOR u f (
n

m

E

E

n

M ^AxjAyj-

=

¿ = i 7=1 L f ( íp) =

¿

m

E

Mi j A A ij

í= i j= i

n m E E míj A x ¡ A y f 1= 1 2=1

n

=

m

E E mij A A iji = l J= 1

Por definición de los M ¿J- y m fj- se tiene que L f (
, para toda partición

EJEMPLO.- Dada la función z = f ( x , y ) = 7 - x - y , sobre el rectángulo = { ( x , y) / l < x < 4 , i < y < 3 } , tomemos la par­ tición

es una partición del intervalo [ 1 , 4 ]


es una partición de [ 1 , 3 ]

Cap. 2

-71 -

Integrales Dobles

De la gráfica, Mü

=

f(V i

mij =

j)

X.

1-1

yj - 1}

V >

= 1 ~ xi ~ yj

o, o

(2, 1)

( 3, 1)

(1,2)

(2,2)

(3, 2)

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

7/2

5/2

3/2

3

2

l

My

5

4

3

9/2

7/2

5/2

( í , j)

0,3)

(2,3)

(3,3)

(1,4)

(2,4)

(3, 4)

A A..

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

5/2

3/2

1/2

2

1

0

4

3

2

7/2

5/2

3/2

(í,

AAÜ mü

mü Mü

3

t m

=

4

E E i

= 1 3 = 1

7 m¡j A A

”

~

4

5 + — + 1 + i4 4 2

+ I + ± + ± + ± + ± + 1+ ± 2

4

4

4

2

=

21 2

10.5

- 72 -

Matemáticas III 3

4

E E M-.'J A A V; . = i = i i =i

Uf

Cap. 2

— + 2

2

+ -2

4- --

4

7 5 „ 3 + — + — + 2 + — + , 4 4 2 2.4

DEFINICIÓN.-

7 4

5 4

Se dice que una función z = f ( x , y )

3 4

39

19.5

2

es INTEGRABLE (se­

gún Riemann) sobre una región ^ del plano XY , si f es acotada sobre ^ , y si existe un único número I que satisface L f «p)

<

I

<

U f (
para toda partición

.

JJ f (x , y)dxdy

se le denota

ó

JJ

f (x , y) dA

5C

=>

m Área l cRJ) < L f (
JJ

f ( x , y ) d x d y < Uf (
% donde

m = M =

in f { f (x , y ) / (x , y) € .<£ } s u p { f ( x , y ) / ( x , y) € 9?, } .

2.5 TEOREMA Sea 9(, un rectángulo cerrado y

i { x , y) una función continua sobre 9(,; entonces f es integrable sobre ^ .

2.6 TEOREMA.-

Una función acotada f es integrable sobre un rectángulo cerrado ^ si y sólo si para cada e > 0 existe una par­ tición

0 < Uf (
2.7

TEOREMA.- Para cada uno de los rectángulos >

de una partición
del rectángulo ^ , sea ( x * , y * ) un punto en R - , cual^

J

*

quiera sea la elección de (x*:, y* ) en R - , entonces n

m

Lf«p) < E E f(**. y j )AA¿. < uf«P) i' = l 7 = 1

Cap. 2

- 73 -

Integrales Dobles

E

J J ( ( x , y)dx dy

E

U f (
í= l j = 1

2.8 PROBLEMA.- Evalúe

k dx dy .,

J J

k constante , sobre el rectángulo

4L 9L = ( (X , y) / X 6 [ a , b ] , y e [ c , d ] } . SOLUCIÓN.-

f ( x , y) = k

Aquí,

Sean
*n } y

dos particiones arbitrarias de

[a,b]

constantepara todo ( x , y ) € ^ . y

,

L f (
j=i

m

E E

entonces

m- = k

m

m

respectivamente;

.

la función sigue siendo constante entonces :

uf«P) = E E k ' A ( R 0 ) ¿ =i

[ c, d ]

=

m m

k

£ E Á re a (R y ) =kÁ rea(«t.) í= i ; = i

k * A ( R 0 ) = k Área (5 0

i= l j = 1

y puesto que entonces

L f (
kdxdy

=

k- Ár ea ( 5 0

para

- 74 2.9

Cap. 2

Matemáticas III

NOTA.-

Si la altura tomase el valor k = 1 , dicho volumen coincidiría numéri­ camente con el valor del área de la región 5^ .

2.10 COROLARIO.-

f f dxdy = J'J' 1 dx dy

=

Área(!P,)

‘H

2.11

Dada una partición

NOTA.-


f ( x , y ) dx dy <

U f (
PROBLEMA.- Para la región evalúe

<

Uf () .

OJ. = { ( x , y ) / x € [ l , 6 ] , y € [ l , 3 ] } (5 - x y ) dx dy

f f

U f (
SOLUCIÓN.- Aquí f O , y ) = 5 - x y .

mediante un proceso de límite.

Sí tomamos particiones regulares (P, y
de [ 1 , 6 ]

y [ 1 , 3 ] tendremos que n m f f (5 — x y ) dx dy = lím £ ) f (x ■ , y *■) A A .. i= l 7 = 1 £

Xf = i +

(P2 : :

yJ = i + m - ,

2 m

,

i = 0 , 1, ... , n

,

7 = 0 , 1 , ... , m

[ i , 6 ] x [ 1 , 3 ] . Luego, tomamos

= Vj ; y entonces =

f ( x ¿,

1

f(x* . y} )

n

A y ,-

II

* yj

5

A x,

* *¿ = *¿ •

,

n ü

y formamos la partición

a)

5i


(« )

xi yj

=

5 - (1 + — ) 0 +

m m r f(x* , [ 5 - (i + ^ ) d £ y } ) A yj = £ n 7= 1 j = i 2 r. ------ L 5 m -

m

[I

+

, iiu ------- ) [ m n

n

Ü) m

+ ^ - )]^ -

m

m

, 2 m (m + 1) -. -i + ---------------------------------- ) J m 2

- 75 -

Integrales Dobles

Cap. 2

,

=

5¡ -.

, m+ 1 ,

n

=

m

n

m

f

m

E L E f ( x * , y * ) Ai/j ] A r í= l J= 1

=

=

[ l 0 - 2 ( 2 m .+..1I ( 1 + Ü ) ] ^

z= 1

=

n

n

E E f (*,•. y) ) Axi ¿= 1 j = 1 =

n

10 _ 2 ( i í 2 - t ! ) ( i + 2 L ) . m

b)

5Í -,

1 0 - 2 ( 1 + -- ) — 2 ( ------ ) ( 1 + --- )

- ! [

m

10n -

2 ( 2 m ....t

n

n

.1..) . ( n

+

A

m

n

.

n (n

n

+ .1) . )

]

2

= 50 — 10(2 + — ) — 25 ( 2 H— — ) ( 1 H — —) m m n n c)

f f (5 - xy)d xd y = lím R 1►00 “ ^ m" —

m

E E f ( x¡ > V*i ) A A 1 = 1 ^j = 1

y¡

= 50 - 20 - 25(2) = - 20 usando la parte (b).

SERIE DE PROBLEMAS. 1.

Determine un valor aproximado de la integral doble J J ( 2 y 2 - 3 x ) d A

donde

E

E es la región rectangular que tiene los vértices

(1,2), ( 1 , - 1 ) , (3,2),

( 3 , - 1 ) . Tome una partición de E formada por las rectas x = 2 , y = 0, y -

2.

1 y tome (x * , y * )

como el centro de la región E y .

Aproxime el valor de J J { x 2 + y ) d x d y , donde E es el rectángulo con vérti-

E ces (o , 0 ), (4 ,

0) ,

(0 , 2 ), (4 , 2)

para la partición

Mediante un proceso de límite calcule el valor exacto de J J (2 - x - y ) d A , E

siendo E el rectángulo de vértices ( o , 0 ) ,

(2 , 0 ) , (o ,

i ) , ( 2 , l) .

- 76 4.

Cap. 2

Matemáticas III

Mediante un proceso de límite calcule el valor exacto de la integral

JJ

( xy + 3x2 ) dA

E siendo E el rectángulo de vértices ( i , i ) , ( i , 5), (3, I) y 5.

Si f ( x , y) = x + 2y

(3,5).

sobre E = { ( x , y) / 0 < x < 2 , 0 < y < i }

y (P es la partición
Halle L f «P)

si

= {0,1,2}

,



b)

Halle u f «P)

si

= {0,1,2}

,


c)

Halle L { m

si

= {0,1,2}

,


d)

Halle u { m

si

= {0,1,2}

,


e)

Halle L f ((P)

si

= { 0, 1, 3/ 2, 2 }

y


f)

Halle U f (
si

= { 0 , 1, 3/ 2, 2 }

y


g)

Halle L f (

. V\ . • • • > ym } son particiones de [ 0 , 2 ] y [ 0, l ] respectivamente h)

Evalúe en base a (g) la integral doble

J

(x + 2y)

dy dx

E dando una interpretación geométrica a la respuesta. 6.

Utilizando particiones arbitrarias de [ 0 , 1 ]

y [0,2]

halle la integral doble

JJ ( x2 + y + 1) dx dy E sobre

E = [o ,i]x[o ,2 ],

CLAVE DE RESPUESTAS. 1.

-25 e)

; 9/4 ,

2.

50 f)

;

23/ 4 ,

3.

1 ; h) 4 ;

4.

152 ;

5. a) 1 , b) 7

6. 14/3 .

Cap. 2

3.

- 77 -

Integrales Dobles

LA INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES MÁS GENERALES DE M 2 Sea E c R~ una región cerrada y acotada como en la figura, tal que z = f U , y ) sea acotada sobre E.

Definiremos la integral doble de la función f ( x , y )

JJ

sobre la región E

f ( x , y) dxdy

E para lo cual encerramos E dentro de un rectángulo f al dominio <¡l definiendo la función

f F U , y)

r f u , y) ,

(x, y)

6

.

( x , y)

6

l es decir, haciendo f = o afuera de E .

. Extendemos la función

o

E E

Esta función f E , que es igual a f sobre

E , resulta también acotada sobre el rectángulo ‘¡ i , de modo que la integral doble

JJ

f { x , ' y ) dxdy

continúa existiendo.

3.1 DEFINICIÓN.-

La integral doble de f sobre E se define como

-7 8 -

3 .2

Matemáticas III

Cap. 2

LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN Y COMO ÁREA Si la función z = f U , y )

es NO NEGATIVA ( f ( x , y ) > o)

y acotada sobre un rectángulo ^ , entonces la gráfica de f representa una superficie en R 3 que se encuentra encima del rectángulo <2?.

y a los valores

my =

inf { f ( x , y) / (x , y) € R¿J- }

Mjj = sup{ f (x , y) / (x, y)

6

R¿J- }

podemos representarlos como alturas:

Así, el volumen V( S) del sólido S limitado superiormente por la superficie z = f ( x , y ) , e inferiormente por el rectángulo <£, del plano XY satisface la des­ igualdad:

- 79 -

Integrales Dobles

Cap. 2 n

m

L f ( ‘P ) =

m ¡ j A (R|j)

<

Volumen (S) <

í = I i' = l n

m

< E E moa (Rí j ) = uf «P) i= i i=i

PARA TODA PARTICIÓN

VOLUMEN (S)

JJ

H x,y)dxd y

f ( x , y ) > 0 sobre 3^..

S IEM PR E Q UE

3.3 NOTA.-

=

también satisface la desigualdad

Ya vimos que cuando f ( x , y ) = 1 sobre 3?, , entonces el volumen del sólido s coincidía numéricamente con el valor del área del rectángu­ lo 3?. pues la altura de s era constante e igual a 1 :

Área( í ^)

=

JJ

1 dxdy =

31

3.4 DEFINICIÓN.-

Sea

E c M2

JJ dxdy 3¡L

una región cerrada y acotada cuya frontera es

una curva C simple y seccionalmente de clase c (1^. Una SUBDIVISIÓN

E, , ... , E n

que no se

traslapan y cuyos bordes son también curvas cerradas simples y seccionalmente de clase C ^ .

Área ( E¿) = AA.

-80-

Cap. 2

Matemáticas III

Si denotamos por A A¡

el área de la región E¿ ,

i = l , . . . , n , el

área de E es la suma de todas las áreas A A ¡ . 3.5

DEFINICIÓN.-

Si E es un conjunto acotado del plano, entonces el conjunto de todas las distancias ef ( P, Q) entre puntos P y Q de E está acotado superiormente. Al supremo de todas estas distancias se le llama DIÁMETRO DEL CONJUNTO E .

d = diam (E)

Se llama NORMA de una SUBDIVISIÓN (P de E y se le denota por |

máximo de los diámetros de los Ef : |

Si f es acotada sobre E entonces es acotada sobre cada E ¿ y por lo tanto existen los números

m ^ f) = inf { f ( i , y) / (x, y) e E¿ } M j ( f ) = s u p { f ( x , y) / ( x , y) £ E¿ } así como las sumas inferior y superior de f : n

Lf (tP) = X) m¡ ( f ) AAj-

,

AA¿ = área(E¿)

i = I

u f i
Sea E una región cerrada y acotada del plano, limitada por una curva cerrada simple y seccionalmente de clase

- 81 -

Integrales Dobles

Cap. 2

C( l ^. Sea f una función continua sobre E, entonces existe la inte­ gral doble de f sobre E y ff

f(x,y)dA

=

lím

E

Es decir, para todo

J2

f(x*,y*)AA-

Í= 1

e > o existe un 8 > o tal que

I JJ f(x,

y)dA

'¡T,

-

E

Hx* , y*)A A i

I<

E

i= 1

para toda subdivisión (P de E con |

i

4.

’ i '

i

PROPIEDADES BASICAS DE LA INTEGRAL DOBLE Recordemos que si E es una región como en la figura, sobre la que está definida la función f

3C = rectángulo

hemos definido la función f E como extensión de f a <¡i tal que

f E U , y)

í f(x , l

y) ,

0

,

Si ( x , y) € E Si

( x , y ) 0 E [ ( x , y ) € 5 L -E ]

en base a la cual definimos la integral doble de f sobre E :

JJ f ( x , y) dxdy E

=

JJ

f(x ,y )d A

E

siempre que la integral de la derecha exista.

=

JJ 4C

^ (x .y J d A

- 82 -

Matemáticas III

Cap. 2

Las propiedades que van a ser enunciadas a continuación pueden ser de­ mostradas sobre un rectángulo 2?, y luego sobre cualquier otra región E via la definición anterior.

Si un conjunto acotado E tiene área, y si ‘¡i, es un rec­

4.1 TEOREMA.-

tángulo tal que E c •

E

(x

, y)

, y si l F es lafunción

=i l

o ,

si

U , y) £ E

si

(x, y) 6
entonces A(E)

= Á re a (E ) =

I I dxc¡y = I I

1e

e

Además,

A( E) > 0 .

4.2 TEOREMA.- Si E y F son conjuntos acotados en R 2 que tienen área, enton­ ces a)

E

b)

A ( E n F) + A (E

c)

Si

C

F

=>

F) = A (E ) + A (F )

U

F) = A (E ) + A (F )

Si <¡1 es un rectángulo tal que E c (R, : Á R E A (P

e)

U

A(E n F) = o , entonces A (E

d)

A (E ) < A (F )

E - F

K

E ) = ÁREA ( 5(, —E ) = ÁREA (<£) - ÁREA (E)

tiene área, y

A (E —F ) = A (E ) — A (E n F)

Cap. 2

4.3

- 83 -

Integrales Dobles

TEOREMA.-

Si un conjunto acotado E del plano tiene área entonces

Esto es razonable pues el área bidimensional de una curva C es cero. 4.4

2 TEOREMA.- Sea E un conjunto acotado en IR que tiene área. Si f

es acotada sobre E y continua en el interior de E , enton

II

ces existe la integral

f( x, y ) d A .

E 4.5

TEOREMA.-

2

Sea E un conjunto cerrado y acotado en R que tiene área. Si f es continua sobre E , entonces existe la inte­ gral doble

JJ

f (x , y) dA .

E

4.6 TEOREMA.- Si C es una función constante de R 2 en R , si E es un

conjunto acotado que tiene área, y si f y g son funcio­ nes integrables sobre E entonces a)

II

C dx dy = C • Área (E) =

JJ

E b)

J[ E

c)

C dA

E C { (x , y) dx dy = C J J f (x , y) dx dy E

// [ f ('* . y) ± g U , y) ] cfA = E

JJ

f (x , y) dA ±

E

d)

f 2 y fg son integrables sobre E .

e)

Si f ( x , y) < g(x,j/)

JJ E

JJ E

para todo (x, y) e E entonces

f (x , y) dA <

JJ E

g (x , y) dA

g (x , i/) dA

- 84 -

Cap. 2

Matemáticas III

f)

La función | f | es integrable y

I JJ

f ( x , y)dA |

< JJ I f (x , y ) |dA

E

.

E

TEOREMA.- Si f es integrable sobre un conjunto acotado E que tie­

4.7

ne área entonces existe un número

c entre los valores

m = inf { f (x , y) / (x , y) 6 E }

y

M = sup { f (x , y) / (x , y ) e E }

tal que

JJ

f ( x , y ) d A — c.Área(E)

E

4.8

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DOBLES.Si f es continua y acotada sobre un conjunto E que tiene área, y si el interior de E es conexo entonces existe un punto x 0 = ( x 0 , y Q) e E tal que

JJ f (x , y) dA = f (xQ) . Área (E) E

4.9

LEMA.-

Si f es una función acotada sobre un conjunto E y si A( E) = o (el área de la región E es igual a 0) entonces f es integrable sobre E y

JJ f(x ,

y) dA =

0

E

4.10

TEOREMA.-

Si f es integrable sobre los conjuntos acotados

E,

y si al menos uno de los conjuntos

E, n E-,

E,

E, , E2

y ó

tiene área, entonces f es integrable sobre

Et n E2 y sobre E¡ u E2 :

JJ

f (x , y) dA

Ei U E j

+ JJ Ej nE- ,

f (x , y) dA

= JJ f (x , y) dA + JJ f(x , y) dA Ej

Ej

Cap. 2

Integrales Dobles

4.11 TEOREMA.-

- 85 -

Si f es integrable sobre los conjuntos acotados E, y E-, , y si ACE, n E2 ) = 0 entonces f es integrable

sobre E | u E , :

JJ

f(x,y)dA

E ,U E 2

= JJ

f(x,y)

dA +

JJ

Ej

f (x , y) dA

E?

4.12 TEOREMA.- Si E, y E2 son conjuntos que tienen área y si lafunción

f es integrable sobre Ej u E-, entonces f es integrable sobre E, , E , y E ] n É ,

J [ f ( x , y) dA = E,uE2

JJ Ej

í ( x , y) dA +

JJ e2

:

f ( x , y) dA -

J J f(x,

y)dA

E¡n e 2

Si la función f ( x , y) es NO NEGATIVA SOBRE E y es integrable sobre E entonces la integral doble dé f sobre E representa el vo­ lumen del sólido S limitado superiormente por la superficie z = f ( x , y) , e infe­ riormente por la región E en el plano XY que es la proyección ortogonal de la superficie f sobre el plano XY : 4.13 NOTA.-

- 86 -

Cap. 2

Matemáticas III

4.14 NOTA.- Haciendo

f(x,y) =

JJ

ÁREA (E) =

I

sobre E resulta que

1 dx dy

=

JJ

E

5.

dx dy

=

JJ

E

dA

E

CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS Sea f una función definida sobre el rectángulo <¡f =

{ ( x , y ) / a < x < b , c < y < d } . Para cada x fijo en finimos una función f

f

[c , d]

de­

por f ( y ) = f ( x , y) ,

Asi,

[a , b ]

para

y e [c , d ] .

está definida sobre [ c , d ] . Suponiendo que f es integrable sobre en el sentido de la integración de funciones de una variable, entonces existe

la integral

.y= d A f (y) dy =

py= d

/

I

y= c

f ( x , y) dy

, con x fijo

(«)

J y= c

Como x está fijo en [ a , b ] el valor de esta integral depende del valor de x resul­ tando ser así (») una función de variable x . Supongamos que esta función (*) déla variable x es integrable sobre [ a , b ] entonces existe la integral

y=d

,*= b

T

^ x- a

y que también se escribe como

[

f J y= c

f (x , y) dy ] dx

f (x , y) dy dx

Esta integral es llamada una INTEGRAL ITERADA de f . Observe que la variable y varia en el intervalo [ c , d ] , y que la variable x varía en el intervalo [ a , b ] . > En forma análoga se pudo haber definido la INTEGRAL ITERADA siguiente

f (x , y) dxdy =

/c' [ / , bfiXiÿ)dr] dy-

Cap. 2

- 87 -

Integrales Dobles

5.1 EJEMPLO.- Sea f ( x , y ) = x y 2

una función definida sobre el rectángulo

£ . = { ( * . y ) /. i < x < 4 , i < y < 3 } 4 „ 3 a)

dy dx

xy

CALCULO DE LA INTEGRAL ITERADA:

para lo cual primero calculamos la integral interior respecto a la variable y ; es decir, variando y en [ 1 , 3 ] para x fijo en [ 1 , 4 ] :

//

rI y = 3 xy 2 dy

f ( x , y) dy

xy

y= 3 y= i

J y= t

21x

26

* e [ i , 4]

y vemos que efectivamente esta integral resulta una función de x . Ahora integra­ mos respecto a la variable x (haciendo variar x en [ 1 , 4 ] ) : f (x , y) dy dx =

26

/;

x dx

=

13 „2 ----x

xy 2d y ] d x

=

13 —^(15)

=

65 .

En esta última Integral hemos terminado de tomar todos los puntos del rectángulo 4L=¿ { ( x , y ) / 1 < x < 4 , 1 < y < 3 } de la siguiente forma: i)

Mantuvimos x fijo en [ 1 , 4 ] e hicimos variar y desde y = 3 generando así el segmento vertical de la figura

y = l

hasta

Y*

‘K.

3 (x , y) I I

" X " fijo " y " variando en [ 1 , 3 ]

I I

-J-------- 1—

X ii)

A continuación hicimos variar x € [ 1, 4 ] lo cual produjo el efecto geomé­ trico del barrido del segmento vertical de la figura anterior, paralelamente al eje Y , hasta cubrir todo íí. .

b)

Cap. 2

Matemáticas III

- 88 -

CAMBIANDO EL ORDEN DE LAS VARIABLES , calcularemos la integral iterada

f (x , y) dx dy para lo cual, primero calculamos la integral interior respecto a la variable x ; es decir, variando x entre los valores x = l y x = 4 , para y fija e [ 1 , 3 ] :

f

J1

f (x , y) dx =

f

Jl

xy2 dx = — x 2y2 2

=

- I V 2

resultando ser esta integral una función de la variable y . A continuación integra­ remos respecto a esta variable y e [ i , 3 ] :

f ( x , y) dx ] dy =

f ( x , y) dx dy =

=

( — y 3) 2

|3 11

=

— (26)

=

( - ^ - y 2')dy

65 .

2

En esta última integral hemos terminado de tomar todos los puntos del rectángulo de la siguiente forma: i)

Mantuvimos

y

fija en

e hicimos variar x desde

[1,3]

x = i

x = 4 , generando asi el segmento horizontal de la figura:

Yt 3 -

31

(*,»)

y i -

y fija x variando en [ 1, 4]

__ ______ 1

4

-►

X

hasta

ii)

- 89 -

Integrales Dobles

Cap. 2 ■

Luego hicimos variar y en [ 1 , 3 ] , lo cual produjo el efecto geométrico del ba­ rrido, por parte del segmento horizontal hallado en (i) , paralelamente al EJE X , hasta cubrir todo el rectángulo :

variando y en [ 1, 3 ]

5.2 TEOREMA.- Sea

el rectángulo [ a , b ] x [ c , d ] y sea f integra­ ble sobre . Asumiendo que para cada x e [ a , b ] la

función f (y )

definida por

f ( y ) = f ( x , y) ,

y € [c, d]

es integrable sobre [ c , d ] , entonces lafunción de x dada por H (*)

=

f

d _ f ((y)dy =

J C C

„d

f

J' f ee

f (x ,

y) dy

es integrable sobre [ a , b ] , y b f f f ( x , y ) dA =

JJ

5.3 NOTA.-

f

J a

H ( x) dx =

f

J a

[

f

J c

f ( x , y) dy ] dx

Del EJEMPLO [5.1] y del TEOREMA [5.2] se tiene que para el rec­ tángulo 3J. = { ( x , y ) / l < x < 4 , 1 < y < 3 } 4 i» 3

J J xy2 dx dy = J J xy2 dA

xy¿ dy dx =

65

3?. 5.4 TEOREMA.-

Sea f una función acotada sobre el rectángulo

= { ( * , y) / a < x < b , c < y < d }

3?, =

y continua sobre

excepto sobre un conjunto E de (medida) ÁREA CERO con la propiedad de que toda recta paralela al EJE Y intersecta a E a lo más en un número finito de puntos. Entonces :

- 90

Cap. 2

Matemáticas III

/* b /» d j y

5.5

f (x , y )d A

=

1

I

f ( x , y ) dy dx

INTEGRALES SOBRE REGIONES DEL PLANO

Un conjunto abierto E de ¡R2 es llamado CONEXO si todo par de puntos de E puede ser unido por una curva simple que se en­ cuentre íntegramente contenida en E ’

E CONEXO

5.6 DEFINICIÓN.-

Un conjunto E del plano R 2 es llamado REGIÓN si E es la unión de un conjunto abierto conexo junto con algunos, ningu­ no, o todos sus puntos de la frontera.

Aquí restringiremos este concepto a algo más particular, y llamaremos REGIÓN a la unión de un número finito de regiones de laforma : Ex = { ( x , y) / a < x < b ,

g(x) <

y<

h(x) }

( g y h son funciones contiguas sobre [ a , b ] ) , o delaforma-. Ey -

{(x,y) / a < y < b ,

g(y) <

( g y h son funciones continuas sobre [ c , d ] ).

x <

h(y) }

Cap. 2

5.7 TEOREMA.-

Integrales Dobles

Si la función y = g ( x ) es continua sobre el intervalo cerrado [ a , b ] c R , entonces la gráfica de f tiene , 2 area cero en R " .

5.8 COROLARIO.- Si E es una región en el plano, entonces E tiene área.

5.9 TEOREMA.-

-9 1 -

Si

f( x,y)

es continua sobre la región del plano

- 92 -

Cap. 2

Matemáticas III

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DE 5.9

5.10

Integrar f ( x , y)

sobre la región

Ex = { (x., y) /

a < x < b ,

g ( x ) < y < h ( x ) } consiste en tomar todos los puntos de E^. como sigue : i)

Primero mantenemos x fijo en [ a , b ] y hacemos variar la variable y según: g ( x ) < y < h ( x ) , generando así el segmento vertical de la figura anterior.

ii)

Luego hacemos variar x en todo [ a , b ] produciendo el efecto de un barrido paralelo al eje Y del segmento vertical desde x = a hasta * = b :

5.11 PRUEBA DEL TEOREMA 5.9

Como f es continua sobre la región cerrada E xv entonces la función extendida f Ex P está acotada sobre el rectángulo

<£. = { ( x , y ) / a < x < b ,

c < y < d }

donde c y d son dos números tales que c < g( x ) < d ,

c < h( x ) < d ,

para todo x € [ a , b ] )

excepto posiblemente sobre las gráficas de g y h que tienen área cero. Además cada recta vertical entre x = a , x = b intersecta a las gráficas de g y h sólo una vez a cada una de ellas. Por el Teorema 5.4 :

J J f( x, y)dA = j y Ex

‘K

f E ( x , y) dA

f

“x

(x , y) dA

Cap. 2 >b r g (x)

/

- 92 -

Integrales Dobles

I

a "c

r b r h(jr) 0 dy dx

+

I

I

r b r d f ( x , y ) dy dx

J a J g( x)

+

I

I

0 dy dx

h(x) J h'

Ja

b „ h(x)

I aI J . g(r)

f ( x , y) dy dx

5.12 TEOREMA.- Si f es continua sobre una región del tipo Ey = { (x , y) / x < y < d , g (y ) < x < h(y) >

entonces y=d I

x = h( y) f (x , y) dx dy

I

y = c J x = g(y)

En esta integral se toma todos jos puntos de Ey de la siguiente forma: i)

ii)

Primero se mantiene fija y en [ c , d ] , haciendo variar la variable según: g ( y ) < x < h ( y ) , generando el segmento horizontal de la figura anterior. Luego se hace variar y en todo [ c , d ]

produciendo el efecto de un barrido

paralelo al eje X del segmento horizontal desde y = c hasta

y = d .

5.13 PROBLEMA.- Sea f ( x , y ) = x~ + y 2 . Halle la integral de f sobre la región E acotada por la recta y = x

y la parábola y = x 2 .

- 94 -

Cap. 2

Matemáticas III

SOLUCIÓN.- Intersectando ambas gráficas: y - x = x2

x ( x - 1) = 0

-O-

a:

= 0 , x

obtenemos los puntos de intersección:

x =

0

=>

y =

x =

1

=>

y = \:

0

:

(0 , 0 ) ( 1 , 1)

MÉTODO 1.La región E es de tipo Ex : 0

< x <

1

x 2 < y < x.

=

J*o

[J

2

y2)dy ] dx

(X2 +

y= x siendo la integral

í , ( x 2 + y2 ) dy = ( x 2y + —— ) J x3 3 =

f 3 x 3 -v ( x J + ----- ) -

r 4 x6 i + ------ )

4 3 ■ —X -

=

( X '

3

y = x2

3

4 X

x6 ---------

3

3

que al reemplazar en (*) se obtiene 1

x i_ ^ i _ 5 3

/ ( ± x 3 - x 4- - ^ - ) d x Jn 0

3

3

|1 21

1

1

1

3

3

5

21

35

MÉTODO 2.- Observamos que esta región E es también del tipo Ey : 0 < y < 1 ,

jy

f (x , y) dA

y < x < J~y , = J*

E

y por lo tanto

f (x , y)dx dy

J*

-

y = J

f ' [ 0

d J

V

10

W

) * ] *

Cap. 2

- 95 -

Integrales Dobles

donde la integral interior es igual a :

,

r f7 I J y

,

x =J~y

t

=

( x 2 + y 2)dx

( ---- + y ~ x )

x=y

3

= ( j y 3/2 + y 5 / 2 ) - ( j y 3 + y 3 )

=

j y 3/2 + y 5/2 - - i y 3

que al reemplazar en (*) se tiene que:

/

1

0 0

/- 1 3/2 , ( — y '

3

+

5/2 4 3 , y ' ------ y ) d y 3

=

2 5/2 , 2 7 /2 1 4 — y / + —y '“ - —y 15 7 3 2

2

15 5.14

PROBLEMA.-

1 7

_

3

_3_ 35

Sea f ( x , y ) = x + 2y . Calcule la integral de f sobre la re­ gión E limitada por las rectas y = ( l / 2 ) ( x + l ), y = 3 , y = 1 , x = 7 por dos métodos: a) mediante regiones del tipo E x ,

b) mediante regiones del tipo E

.

SOLUCIÓN.- Graficamos la región E ubicando los puntos de intersección y vértices: a)

MÉTODO!- ( Regiones tipo K^. )

La región E resulta de la unión de E v y E v ; donde *1 x2 3■ r

i < x < 5

y =y(* +

y ■ 1 v

i < y < — ( x + i) 2

i . "

,-'1 1

1 1

lY : 5 < x < 7 , l < y < 3 .

1

1

x-

7

X

*2

Como E = E .^ u E ^

que no se traslapan y puesto que el área del segmento de

recta que divide ambos conjuntos, entonces

J J ( ( x , y) dA =

J J Ux , y ) d A +

JJ f ( x , y ) d A

(*)

-96 -

Matemáticas III

Cap. 2

donde i r 5 „ — ( jt + i)

r r

JJ E,

f ( x . y) dA = J

J

-

(x + 2y)dydx

1 j/ = ± ( x + 0

f 5 — ( x 2 - ¡)dx = 28

dx =

( xy + y1)

Ji

y= i

4

7 /. 3

f f

f ( *> ^>dA =

(x +

2 y)

dy dx

y=3

l Así, de (*)

b)

jy

dx

(.xy + y")

=

f

7 (2x + 8)dx

= 40

y= i (x + 2y) dA

=

28 +

40 =

68

MÉTODO 2.- ( Regiones de tipo Ey ). La región E también es del tipo E = Ey : ! < y < 3 2y - 1 < X < 7 pues la recta

y = — (x + 1) 2

se puede expresar como x = 2y — 1 .

jy =

f(x,y)dA =

f J

f 1

J 2y-l

yy

( x + 2 y)dA

(x + 2y)dxdy =

X = 7 f (-Ì- x + 2 xy ) | dy x = 2y —1 J1 2

Cap. 2

- 97 -

Integrales Dobles

J

(24 + 18y - (>y~ ) dy

=

68

Vemos que en ambos casos (a) y (b) el resultado es el mismo. 5.15

f(j<, y) = xy + x

PROBLEMA.- Halle la Integral de la fundón

a la derecha de x — 0 .

x 2 + y2 < i

parte del disco

, sóbrela

SOLUCIÓN.- El borde de la región E corresponde a la curva x 2 + y2 = 1 que es la unión de las dos curvas siguientes

= ^ I - x2

y = - V

,

1

x > 0

-

Por lo tanto, podemos describir a la región E como

E = {■(*, y) /

< x <

0

1

,

1

1 „ V1

~

+ x) dA = f

f

- x2 < y < V I - x2 }

x

(xy + x) dydx

, l-r'

I

-

/ Jo

i - x 2 ¿c J o

....2

2

y= V 1 dx y = —y i —■

= i - ( 1 - x 2)3 / 2 r = 3 1O

i. 3

-9 8 -

5.16

Matemáticas III

Cap. 2

EJERCICIO.- Verifique que el Problema anterior pudo haberse resuelto también describiendo a la región E como una región del tipo E :

E = E

= { (x, y) / - 1 < y < 1 , i

f f

(*y + *)dA = L

0 < x < V i-

}

* 2

(*y + x)dxdy

„ V i-* 2

L

E x = -J ] - x ‘

f

=

(-2 ^ + ^

d_ 1

2

2

<¡y

x- 0

1 Eli-y2) + iLutil dy = i. 2

5.17 PROBLEMA.-

2

3

Integre la función f ( x , y) = Cos (x + y) sobre el trapecio E definido al conectar mediante segmentos de recta los puntos ( ± n ,

ji / 2

)

y

( ±

ji / 2

, o) .

La región E está representada en la figura.

SOLUCIÓN.-

2

Jt

„„

I

n/2 y + ji^/2 * „ „•/ T I

J q

J-y-n/2

/»

í I Cos(x + y)dA = JJ

/ Jt/2 n

Cos(x + y) dx dy

. x = y + Jt/2 Sen (x + y) | dy x = - y - Jt/2

„Jt/2

=

/

d 0

jt/2 „Jt/2

[ Sen ( 2y + — ) + 1] dy 2

=

I

d o

[ Cos (2y) + 1] dy

Cap. 2

- 99

Integrales Dobles Ji/2

=

71

— Sen (2y) + y

2

I0

5.18 PROBLEMA.-

2

Halle la integral de la función f O , y) = x — y + 1 sobre la reglón E limitada por las gráficas de las curvas

y = (x - l ) 3 + 1 ,

y = 1+

( x - 1)

.

SOLUCIÓN.- Graficaremos la reglón E encontrando los puntos de Intersección :

y = (x - 1)3 + 1 = l + ^ ( * - 1 ) => a)

( * - I ) 3 -= % (x - 1)

x = l

j y

=4-

y = i

f ( x , y) dA = j y

f (x , y) dA + J J * f ( x , y ) d A

(*)

E donde f r

¡I

f( x , y) dA =

V

rr

Jjf(x,y)dA 17

Por lo tanto,

« 1 « 1+

I

ó

3

i

=

------ + 7

I _______ (x - y + l)d y dx = — + — J 0 J 1+ ^ ( x - 1 ) 7 2

/* 2 « 1 + V T *

= J J

^

o"

1 1 -1+ ( X - 1 ) J

f í ( x - y + l)d A

=

( x — y + í) dy dx

3

>

2

(— + —) + ( - — + —) =[T] 7 2 . 7 2 1-----1

- 100 -

Cap. 2

Matemáticas III

5.19 PROBLEMA.- Exprese la suma 1 de integrales con una sola integral (a > 0) :

h (x,y)dxdy

a _ a + V a 2- , 2 + j I h(x,y)dxdy JOJ a

SOLUCIÓN.- Denotando por I, a la primera integral y por l 2 a la segunda : i)

La integral I,

E, :

está definida sobre la región E, descrita por

0 < y < a ,

donde la curva borde cunferencia ii)

a—

a2 — y2

< x < a

x - a -
(x - a) 2 + y2 = a 2

corresponde a una parte de la cir­

( x < a) .

La integral l 2 está definida sobre la región E2 descrita por

E2 :

0

< ÿ < a ,

donde la curva borde

a < x < a + -ya2 - y2

x = a + -Ja2 - y 2

cunferencia (x - a ) 2 + y2 = a 2

corresponde a otra parte de la cir­

( x > a) .

Por lo tanto,

I

=

J J h (x , y) dA + JJ" h (x , y) dA E,

1

E2 ( pues

E = Ej u E2 )

Cap. 2

Integrales Dobles

- 101 -

(x-aV h ( x , i/) dydx

/ 027 ^%J0,

U o

5.20

PROBLEMA.- Calcule la siguiente integral doble

f f

(1*1 + | y | ) dxdy

1*1 + l » l < 1 SOLUCIÓN.- La región

E = { ( x , y) /

|x | + |y | < l }

está representada

en la figura obtenida graficando el borde

M+|y| =i • Siendo f ( x ,

y)

= |x| +

|y|

,

para poder integrarla debemos descomponer la región E en cua­ tro regiones tales que E = E| U E 2 U E 3 U E 4

a)

I*I +Iy IdA

f f El

b)

f f E3

d) ..

(x + y) dydx = —1 .

O* O

3

0 _ x+ 1

|y| d \ - C /„ (-x + y) dydx = —3 . 1 Ir 0 Ir 0 ( - x - y) dy dx = — 1*1+Iy I ** ( —x —1) 3 |*| +

f f e2

c)

1 „ 1- X

I*I+Iy I dA

f f

1

1~ o

//

J 0 J x -1

(x - y)dydx = — . 3

= f f | x | + | y | cfA = — + — + — + — =

Cap. 2

Matemáticas III

- 102 -

5.21 PROBLEMA.- Sea f la función definida por

f f(x, y) = ■

Calcule

JJ

. . ¡ y — Sen x | ,

si

( x , y ) € [ —Ji,Jt]x[ —2,2]

x + y

Si

n < x < 4 + y.2

1

Si

x > 4 + y- .

f(x,y)dA,

Si

E = [ —J t , 5 ] x [ —2 , 2 ] .

E SOLUCIÓN.- Bosquejemos la región E encontrando las coordenadas de todos los puntos límites:

a)

JJ

f(x,y)dA

E.

/ _

b)

9n

í (y - Sen x)dydx = - ji J Sen x ti n

2

_ Sen ; x —(y — Sen x) dy dx =

J ' J f ( x , y) dA 2

9 jt 2

e2

c) J'J

f (x, y) dA

f

f

(x + y) dydx =

20

-

3n 2

J n J\

ji

2

e3 d)

JJ

f( x, y) dA

/ : / ;

(x + y) dy dx =

5+

3ji _ n 2 2

2

e)

í)

- 103 -

Integrales Dobles

Cap. 2

ff

f(x,y)dA =

ff

( (x , y) dA =

f f

4+ y2

'

43 15

(x + y)dx dy 71

L L.

1

(verifique)

4

dx dy

(verifique)

3

E6

Sumando todos los valores hallados desde (a) hasta (f) :

ff

f(x,y)dA

=

E

9:rt — ji2 + ~ ~ 5

5.22 PROBLEMA.- Al calcular por doble integración el volumen V limitado por encima por la superficie z = f ( x , y) y por la parte inferior por una cier­ ta región E del plano XY se ha llegado a

a Sen c

J h 2- u2

Í '

b Sen c

f“ a Sen c fu y Cot c

f (x , y) dxdy

Siendo 0 < a < b , 0 < c < n/2 , bosquejar la región E indicando las ecuaciones de todas las curvas que constituyen su frontera. SOLUCIÓN.Sean

I, e

l 2 las integrales sobre las regiones E( y

e2

respectivamente don­

de

E, :

J

a 2 — y2 < x <

siendo sus bordes para x,

J

b2 — y2 ,

las curvas

0 < y < a Sene

x 2 + y 2 = a2 ,

x2+ y2 = b2 .

a Sen c < y < b Sen c cuyas representaciones gráficas son como sigue:

SERIE DE PROBLEMAS. 1.

Describir E por segmentos verticales. Describir E por segmentos horizontales.

Dibuje la región E entre las gráficas de y = x , y = x2 . a) b)

3.

'

Dibuje la región triangular E cuyos vértices son ( 0 , 0 ) , (2,-1) y ( 0 , 1 ) . a) b)

2.

Cap. 2

Matemáticas III

- 104 -

Describir E por segmentos verticales. Describir E por segmentos horizontales.

Dibuje la región E = { ( x , y) / o < x < 2 , 2x < y < 3x > y describir­ la por segmentos horizontales.

4.

Dibuje la región

E = { ( x , y) / l < y < e , L n y < x < i }

birla por segmentos verticales. 5.

Dibuje la región E : a) b)

6.

-2 < y < 2 ,

- ^ 4 - y2 < x < -J 4 - y2

Describir E por segmentos verticales. Describir E en coordenadas polares.

Evalúe las siguientes integrales iteradas:

y descri­

________ ;

Cap. 2

Integrales Dobles

- 105 -

2 „y

b)

C)

7.

f

f

dy dx

í

f

(x y 2 )d y d x

J ¡ J x

Jn Jn

* f)

e

f I ' fJ c J

I

I

y

0

x 4 y

Sen ( j t x )

, dx dy

dy dx

0

Calcule la integral de ja función

f (x , y) = x y - y3 , sobre la región E de la figura, de dos maneras.

8.

Evalúe las siguientes integrales: . n /2

i „ 2

a» J/ y J/ \ b)

I

I

"-i

«*0

( x 2y + xy- )dydx

Sen x dx dy

f)

y

I

I

dy dx

*7-1 J 0

i «/ 0 / o

i „ (x + y) dy dx

g)

f

f

(x + y) dy dx

Jo Ji

2 -3

9.

I

0

1 „ l-x^

d)

y

/

(x + y) dy dx

1 /. 2| JCI

f f |x - 21Sen y dxdy Jo J i

Dibuje la región plana Q definida por :

h)

í í J - i J II x| *

x > o,

e

x+ y

dydx

I < x2+ y2 < 2 .

Escribir y calcular la integral sobre esta región de la función f ( x , y ) = x 2 en dos maneras distintas. 10. Evalúe las siguientes integrales: -2 a)

b)

í

f

J 0n J 2ox v

2

( x + y >ay )dy dx ax

Ir 2 Ir 2y x dx dy

J1 Jy

e) r

0 /

31

r

o ^/ o

1 r x | f ' f '

y /x

Jo Jo 2

r 2 Cos 0 dr d0

- 106 -

Cap. 2

Matemáticas III

_ jt „ a Sen 0 I r dx dQ J o Jo

e g)

1

, ■ I I

x dy dx

do

x =

0

,. x =

1

, y =

12. Calcule la integral de

0

x2 J*

En y dy dx

r 1 r 1 / I |x - y |dy dx d0 d0

h)

f ( x , y ) = e y^x

11. Evalúe la integral de

J*

sobre la región

^

limitada por

, y = x2 .

f ( x , y) = 2x - y , sobre la región E que se encuentra

arriba de y = |x - 11 y debajo de y = 4 - | x \. 13. Represente en una sola integral iterada la siguiente suma de integrales:

■i r Cy + 5)/2 I x dx dy + I I x dx dy + I ~9 J - 2 *'e~2 ''L n y J-l 14.

Sea f una función definida en el rectángulo guiente forma: f ( * :. , » > - (............. ' /(' + L

y)

, si

x dx dy I J -2

E = [ 1, 2 ] x [ 1, 4 ]

de la si­

x < y < 2x

, en los demás puntos de E .

o

Indique, mediante un dibujo, la porción de E en la que f es no nula y calcule el valor de la integral doble de f sobre E , supuesta su existencia. 15.

Sea f una función definida en el rectángulo E = [ 0 , 1] x [ 0 , l ]

{

f ( * . y)

i

si

x = y

o

si

x * y

como:

Pruebe que la integral de f sobre E es igual a cero. 16. Calcule la integral de f ( x , y ) = ¡ Cos( x + t/)| E = [o , n ] x [0 , 17. Calcule

JJ

j i]

sobre el rectángulo siguiente:

.

xCos(x + y)dA

siendo E el triángulo de vértices

(0,0),

E ( j i , 0) y (n, n ). 18. Calcule

JJ

(1

+ x ) Sen y dA

E (1,0), (1,2), ( 0, 1 ) .

, siendo E el trapezoide de vértices ( 0 , 0 ) ,

Cap. 2

- 107 -

Integrales Dobles

19. Calcule

JJ

ex + y dA , siendo

E = { ( x , y) / I * I + I y I < i } •

E

20. Calcule

JJ

x2y2 dA , siendo E la porción acotada del primer cuadrante si-

E

xy = 1 , xy = 2

tuada entre las dos hipérbolas

, y las rectas

y = x ,

y = 4x . 21. Calcule

JJ

( x 2- y 2)dA , siendo E la región plano limitada por y = Sen x ,

E

y el intervalo [ o , n ] .

f O , y ) = Sec ( y ) 0 < x < 1 , Are Tan x < y < jt/4 .

22. Calcule la integral doble de

sobre la región plana E :

23. Integre la función f sobre la región indicada: a)

f ( x , y ) = 1/ ( x + y) x = 2 ,

b)

sobre la región acotada por

y = x ,

x = 1 ,

y = 0 .

f ( x , y ) = x 2 - y2 sobre la reglón plana definida por

o < x < I ,

x2- y2 > 0 . c)

f ( x , y ) = x Sen (x y )

d)

f ( x , y) = l / ( x + y + 1)

24. Calcule la integral doble de bre la región sombreada:

sobre el rectángulo [ 0 , j t ] x [ 0 , l ] .

a)

sobre el cuadrado [ o , I ] x [ 0 , l ] .

f(x, y) = 48x ,

b)

f(x, y) = 24, so­

25. Halle la integral de f ( x , y) = x - y sobre la región acotada por la curva y = Senx entre x = 0 , x = n, y = — 1. 26. Halle los limites de la integral iterada de f ( x , y) acotadas de integración E : a)

Paralelogramo cuyos lados son: 3x — 2y + I = 0 .

x = 3 ,x

sobre las siguientes regiones = 5 , 3 x - 2 y + 4 = o,

Cap. 2

Matemáticas III

- J08 -

b)

Triángulo cuyos lados son:

x = 0 ,y

c)

x2 + y2 < 1 , x > 0

,

d)

x+ y < 1 .

e)

y > x2 ,

f)

x

h)

región E limitada por las parábolas y = x 2 ,

i)

Triángulo cuyos lados son y = x , y = 2x , x + y =

j)

Paralelogramo cuyos lados son

2 /4

= 0,x+y

= 2.

y > 0 .

x - y < 1 ,

x > 0

y < 4 - x2 g)

+ y 2 /9 < 1

(x - 2)2 + ( y - 3)2 < 4

x = y2 . 6

.

y = x ,y = x + 3 ,y = l -

2x,

y = 5 — 2x . k)

y —2x <

l)

y2 <

m)

región E limitada por la hipérbola

8x

0

,

2y

—x >

0

, xy <

2

.

, y < 2x , y < 4x - 24 < 0 .

x2+ y2 = 9

y2- x2 = l ,

y por la circunferencia

( E es la región que contiene al origen ( 0 , 0 ) ) .

27. Evalúe J J y 2 dxdy , si E está limitado por el eje de abscisas y el primer ar-

E co de la cicloide x = a (f - Sent) ,

y = a ( l - C ost) , o < t < 2 ji .

28. Calcule las Integrales de las funciones discontinuas: a)

f( x, y) = Sgn(x2- y2+ 2)

b)

f ( x , y ) = [[x + y ]]

sobre E :

sobre E :

0 < x < 2 ,

sobre E : 29. Calcule la integral doble de |x | < 1 , 30.

f ( x , y) =

x2 + y 2 < 4 . 0 < y < 2 .

x2 < y < 4.

-
x2|

sobre la región E :

0 < y < 2 .

Calcule las integrales dobles:

, donde E es la región acotada por las curvas

E

y = x 3, x = y 2 .

Cap. 2

- 109 -

Integrales Dobles

31. Sea

, y E la región plana limitada por las

fó r. y ) =

rectas x = 1 , x = 2 , y = x , y = 3x . Calcule la integral doble de f sobre E . 32. Evalúe

I I II x I - I V I - 11dA , sobre

D = E, u E2 ,

donde

D E] = [ 0 , 3 ] x [ —2 , 2 ]

x =

0

, y = 2, y =

y donde 8

-

2x

E2 es el triángulo formado por las rectas

.

CLAVE DE RESPUESTAS 1.

2.

3.

a)

E = { (x , y ) / 0 < x < 2 , 0 < y < l - (x/2) >

b)

E = { (x , y) / 0 < y < 1 , 0 < X < 1 - 2y >

a)

E = { ( x , y ) / 0 < x < 1 , x2 < y < x }

b)

E = { (x , y) / 0 < y < T, y < * < - f y }

E = AUB

;

A:

0 < y < 4,

B:

4 < y < 6,

y/3
4.

E:

0 < x < 1,

1 < y < ex .

5.

a)

E:

b)

E: 0 < 0 < 2n , 0 < r < 2

a)

2/3 ,

e)

(l/ 2 )(e 4 - 3 e 2 + 2 e ) ,

6.

7.

y/3 < X < y/2 ;

—2 < x < 2 , - V 4 - .x2 < y < V 4 - x 2

b)

(- 23)/40 ; e)

o ,

3/2 ,

8. a)

f) 1 .

C)

11/6 ,

32/3 ,

d) ( 1 6 / 7 - 2 )/21 , f)

b) 1/3

g) (e 2 - l)/4 .

h)

(3t2 - 4)/(23t3) .

, C)

31/60 . d)

3n/8 ; e)

1/2

,

10.

f) o ,

a) 3625/12 ,

1 — Cos2

— e3- — e2+ e -

3

9.

4

b) 7/2 ,

g) (4e3 + 9e2 - 7)/36 ,

2

C) 3ia2/4 , h) 1/3 .

11 6

d) a3

11.

Cap. 2

Matemáticas III

- 110 -

1/2 ;

12. -15/2

;

13. f

xdydx

f

J - 2 J 2x - 5 14.

(Ln 2 )/6 ;

18.

(3/2) + Cos1 + Sen 1- Cos 2 -

2Sen 2 .

19.

(e 2 - I ) / e

;

;

22.

VT - 1¡

23. a) Ln 2

24. a) 5 , 26.

16. 2n ;

- 3n/ 2 ;

17.

20.(7/3) Ln 2

, b)

b) 4 j i - 3 V T ;

n2 - (40/9)

21.

1/3

, c)

5ji/4 +

25.

b)

E: 0 <

x < 2,0 < y <

c)

E: 0 <

x < 1, 0 < y < J 1-

d)

E: 0 <

x < 1, x — 1 < y < 1 — x .

e)

E : —-J~2 <

f)

E: —2 <

g)

E: 0 <

h)

E: 0

i)

x

< 2, - — 2

x < 4 ,3 — J

< x < 1, x 2

<

J r

i/3

X

.

2 —x

jc2

x2

.

< y < 4 —x2 .

V4 -

x 2 < y < — -J 4 2

4x

-

x2

< y < 3 + - f 4x -

y

<

-J~x

.

r 2 r 2x I I f (x,y)dydx+ Jo

16

< y < (3x + l)/2 .

E : 3 < x < 5 , (3 jc + 4)/2

< -J~2 ,

n , d) Ln( — )

ji2/ 2

a)

x

;

x2

.

r 3 r 6 -x | I f ( x,y)dydx J 5 J x

3 px * + t -> I f(x,y)dydx+ - 2/3 *M - 2x

2/3 I

x+ 3 I

f( x,y)dydx

1/3

J \/3 J x 5/3 _ 5- 2i f ( x , y) dy dx + J 2/3

/ 7

k)

x2

.

f (x, y)dy dx

Cap. 2

Integrales Dobles

«2

« 2r

- 1 11 -

- 9/2

f(*,y)dydx +

2/17

I

0 J - 2/! 7

/

J 2

f( x,y)dydx

d - 2/I 7

8

-24-41

/

/

___ f( x, y) dy dx

1/2 J - 2 / 7 7

—2

^

/_ ~ 3

f

^ 9 —x*

/--------

f u . y) dy dx

- J 9 - x2

Jl + X*

2

+/

. , / ~2

r - r . f (x, y ) d y dx —J l + x2 V 9 —j

f 27.

f ( * , y )dydx. ^9-J

35 ji a4 /12 ;

28. a) ± L + 8 L n [ 2 + ¿ L ] 3 / 2 29.

f

(20 + 3ji) / 12

;

.

30. a)

b) 6 .

— a3 ,

c)

b)

± ( 4- 3 / 7 3

+ 4/ 7 )

53 70

31.

6.

6 e ^ - 3 e ^ - 3e

;

32. 52 .

CALCULO DE AREAS Y VOLÚMENES

Por la teoría de las integrales dobles sabemos que si z = f ( x , y) es una función NO NEGATIVA sobre una región E del plano X Y , entonces el volu­ men del sólido S limitado superiormente por la superficie z = f ( x , y ) e inferiormente por la región E está dada por

VOLUMEN (S) = J J f (x , y) dx dy

y el área de la región s está dada por

ÁREA (E ) = J'J" l dx dy

= J 'J ' dx dy

/

-112-

Cap. 2

Matemáticas III

6.1 EJEMPLO.- Halle el área de la región plana E encerrada por la elipse

x2 /a2 + y2/b2 =

1

;

a, b >

0

.

SOLUCIÓN.La región E está descrita por las relaciones:

—a < x < a 2 „2 ■— ■J a2 — x 2 < y < — •/a'1— x* a ’ — a ’

b n ~ — a V ’ az~:

= f f E

dxdy

=

f ‘ / J-a J

* b a

2

1

= ü r a tJ a2 — x 2 dx = a J_ a =

ia

dxdy x2

4b

r r ( 7 ~ - X2 dx a ** Jon

4b

na'

a

4

Jtab

6.2 PROBLEMA.- Calcule el volumen de la región encerrada por el paraboloide

z = 4 - 2x2 - y2 ,

y el plano XY.

Cap. 2

Integrales Dobles

-113-

S0LUC1ÓN.- La región E en el plano XY corresponde a la curva de nivel cero de la función

z = 4 - 2x2 - y2 ;

es decir

2x2 + y2 < 4 (elipse).

E:

- / T < x < -/T 4 - 2x2 < y <

v =

V4 -

2x2

J J f ( x , y ) dx dy E 2x

r ■.íl Jr

(4 - 2x2 - y2)dy 4 - 2x

J 4 - 2x2 r (4 - 2x2 - y 2 ) dydx = J _J VT T Jr o

2 r ' 7

= 2-J~2 n = 8.885765

6.3

NOTA.- Sea

f ^ J 0

( Con calculadora o haciendo

(4 - 2x 2 ) 3 / 2 dx

x = -/T s e n G ).

z = f ( x , y ) > o sobre una región E del tipo E:

a < x < b ,

como

g ( x ) < y < h (x ) ,

al calcular la integral doble de f sobre E como una integral iterada, te­ nemos que si x está fijo en [ a , b ] , entonces la integral r h(x)

A (x) =

/ J g(x)

f ( x , y)dy

representa el área de la sección transversal sombreada en la siguiente fi gura.

-114-

Cap. 2

Matemáticas III

z = f(x , y) Área de la sección r hU)

A(x) = I _____g(*) Y

f (x,y)dy

X lo que equivale a barrer la sección transversal A ( x ) , paralelamente al plano YZ , desde x = a hasta x - b generando el sólido de la figura cuyo volumen está da­ do por

VOLUMEN

6.4 PROBLEMA.- Halle el volumen del sólido en el primer octante acotado por los pla­ nos coordenados y el plano 2x + y + z = 6 . SOLUCIÓN.- Debemos bosquejar el sólido y elegir la reglón E de integración. Tomamos las intersecciones del plano dos: z = f ( x , y) = 6 - 2 x - y

2x + y + z = 6 con los planos coordena­

4Z

E: 0 < x < 3

6

0 < y < 6 -2 x

z — 6 — 2x — y sólido

E 3 _

6

- 2x (6

0

- 2x - y) dy dx

x 3

-

2 x) 2

dx

18 X

6

Y

E 2x + y =

6

Cap. 2

Integrales Dobles

- 115-

La recia 2x + y = 6 fue hallada intersectando el plano dado con el plano XY (ha­ ciendo z = o en 2x + y + z = 6). 6.5 NOTA.-

En las Integrales dobles a la región de integración también se le denomi­ na el PISO de integración, y a la superficie encima de E se le deno­ mina el TECHO de integración. En el Problema [ 6 . 4 ] el volumen pedido pudo haberse encontrado inte­ grando sobre otro piso E y por lo tanto bajo otro techo.

Por ejemplo, podemos elegir como piso al triángulo E del plano YZ como en la figura (haciendo x = 0 en 2x + y + z = 6 ).

(6

6.6 NOTA.-

- y - z)dzdy

Si z = f ( a: , y) es una superficie que se encuentra encima de la su­ perficie z = g ( x , y) para ( x , y ) e E , entonces el volumen V del sólido comprendido entre ambas superficies para la región E está dado por V = J J “ [ f ( x , y) - g( x, y) ] dA ,

g ( x , y) < f ( * , y) •

E 6.7 PROBLEMA.- Halle el volumen del sólido en el primer octante limitado por los pla­ nos coordenados XZ , YZ , y por los planos

P, : x + y + 4z = 20 , P2 : 2x + 4y + 4z = 16 , P3 : x + y = 4 .

-116-

Cap. 2

Matemáticas III

SOLUCIÓN.- P3 : x + y = 4 es un plano vertical. El plano P, pasa por los puntos (4 , o , 4 ), ( o , o , 5) y ( 0 , 4 , 4 )

mientras que el plano P,

pasa por los puntos

(4 , o, I) , (0 , 4 , 0) y ( 0 , 0 , 4 ) . El piso de integración E se obtiene proyectando el sólido al plano XY como en la fi­ gura

E :

0 < x < 4 ,

0 < y < 4 —x

f ( * . y ) = — (20 - x - y ) , 4

V =

fí

JJ

E

í

4

f

4

—•x

[ f (x , y ) - g ( x , y ) ] dx dy = — 4 J 0 " 0

= J _ r 4 (40-8, 4 "0

6.8

g ( x , y ) = — (16 - I x - 4 y ) 4 (4

+ 2x + 3y ) dy dx

= ü . 2

3

PROBLEMA.- Halle el área de la región E encerrada por las gráficas de x~ — 4y

, y 2 = 4,

,

x + y = 3 ,

y =3 .

SOLUCIÓN.- Graficamos las curvas y hallamos las coordenadas de los puntos de in­ tersección necesarios resolviendo por pares las ecuaciones dadas:

-117-

Integrales Dobles

Cap. 2

Para calcular el área por integración doble debemos descomponer la región E en E, y

e2

como en la figura anterior

\ < y < 2 , 3 - y < x < 2/ 7

E, :

E2 : 2 < y < 3 ,

A =

6.9

4

< x < 2
r 2 f 2 /7 r 3 » 2/ 7 I i dxdy + dxdy J \ J 3-y J 2 J y~/4

I I

4 i/ 7

53 12

PROBLEMA.- Halle el volumen de intersección de los cilindros

x 2 + y2 = a2 ,

x2 + z2 - a2

(a>0)

SOLUCIÓN.El volumen V del sólido es igual a 8 veces el volumen V, de la parte correspondien­ te al primer octante:

V = 8V, .

Cálculo de V( : la altura corresponde a :

z = f ( x , y) = J a2 - x2

V, =

f í J0J0

J a 2 - x 2 dy dx =

Por lo tanto, V = 8V, = l 6a3 /3 .

f Jo

(a2 — x 2)dx

-118-

6.10

Cap. 2

Matemáticas III

PROBLEMA.- Calcule la integral J J

[ [ x + y ]] dxdy sobre el cuadrado

E E = [0,2] x [0,2] . SOLUCIÓN.- Aquí

f ( x , y) = H * + y j

; recuerde que, si n e Z (enteros),

[[x + y ]] = n (entero )

n < x + y < n

donde los bordes son rectas de la forma :

+ l

x+ y = n .

Como la región E es el cuadrado de la figura debemos separarla en fran­ jas limitadas por las rectas : x + y = n . Asi, vemos que

E = E, u E2 u E3 u E4

Cap. 2

Integrales Dobles

- 119 -

r 0 ,

si

1

,

si

2

,

si

3 ,

si

+y < , \ < x +y < , 2 < x +y < 3 , 2 < x +y < 4 ,

* 4 •

si

( x, y) = ( 2 , 2 ) .

f( x, y) = n = «

1

X

2

a)

JJ

b)

PP A 1 A2- X A2 A2- X ¡ j f ( x , y) dA = I I ldy dx + I I 1dy dx JJ J o J \- x J 1 •» 0

f(x,y)dA =

í f í ( x, y) dA =

c)

v J

JJ

d)

J J

o <

í

0dy dx

f

f

2 dy dx +

w o ^ 2 _x

f ( x , y) dA

= 0

=J J

•/ j

2dy dx = 3

f J 2 _x

3d y d x = ~ .

E4 Por lo tanto,

7

.

JJ

Jx + yJdA

= o+ — + 3+ —

=

6

CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN Con frecuencia una integral iterada puede evaluarse más fácilmente si se invierte el orden de las variables en la integración. Esto se consigue cono­ ciendo perfectamente la región E .

7.1 EJEMPLO.-

Calcule

r 4r 4

2 i e ÿ dy dx . J 0J x

1 = 1

SOLUCIÓN.- La integral interna no puede ser evaluada por funciones elementales, so­ bre la región E descrita por:

E :

0 < x < 4 ,

x < y < 4

( por segmentos verticales )

- 120 -

Cap. 2

Matemáticas 111

Pero si describimos a E por segmentos horizontales tenemos: E :

0 < y < 4 ,

,2

1=f f e y

dydx

=f

0 < x < y

„ 4 „ y

f

..2

ey

dxdy x= y

f 4 [ x e ~ y2] Jo

=

x=0

A

ye

y

\,. - 16 ^ — (1 — e )

1 _ —i

dy =

2

- l 7.2 PROBLEMA.- Demuestre que si E : a < y < b ,

ú

: a

f (.X, y ) dx dy

a < x < y

=

f (x , y) dydx

a

SUG.- Grafique la región E . 7.3 PROBLEMA.- Demuestre que

pb p y I I f (x ) dx dy ** A J i

í (b — x ) f ( x ) dx J a

SUG.- Aplique el resultado del problema 7.2. 7.4 PROBLEMA.- Resuelva la integral „V T

jt/3

I =

(1 J

0 ñ

A •'Are Tan x

J

■) dy dx

+

1 + x-

Cap. 2

Integrales Dobles

- 121 -

SOLUCIÓN.- La región de integración es : E :

o < x < V7

,

Are Tan x < y <

jx/3

.

También podemos describir E como E :

0 < y <

ji/3

,

0 < x < Tan y

y por lo tanto,

„ 1=

jt/

f J O

3 - Tan y f ( 1 + --------- —) dxdy J 0

■

/

l + X 2

[ x + Are Tan x ]

Tanyy I iTan lo

n v2

[ — Ln (Cos y) + ----- ] 2

p *

- / „

i11/3 10

18

'

Tan y + y ] dy

+ Ln2 .

7.5 PROBLEMA.- Evalúe la integral /. 1 /. n /4

1

I =

J0J ]

— Arc Cos x 2

SOLUCIÓN.- E :

0 < x < 1 ,

dy dx

V * + •*

— Are Cos x < y < n/4 . 2

La ecuación del borde

— Are Cos x = y 2

es equivalente a :

Cos 2 y = x

- 122 -

í

Jl/4 _ 1 r f Cos 2y -= l= dXdy = r ‘ '0 V 1+

=

J

=

f J

Cap. 2

Matemáticas III

(2v t t t )

Jo

X

1 ( 2 - / T - 2 V 1 + Cos 2y ) dy =

f

J

q

= 2 Vi" (y — Sen y) I

I Cos 2y

dy

(2 V T - 2 V T Cos y ) dy o

= — [ ji V T — 4 ] .

1o

2

7.6 PROBLEMA.- Encuentre el valor de

M

T + /* + -

- /_1 /,

ey dydx + J

j ' 0

-

W x+

4

y2 e a dy dx

-i +v* +i

R

+ fj 2 * Jf - 2I + / 7 T T

dy dx .

e

SOLUCIÓN.- Las regiones de integración E, , E 2 y E3 descritas por E

4

< x <0

, — -

2

\

x + —

4

< y < - + ,* + -

2

E, : 0 < x < 2 ,

-

<

Y

E-

—1 + / 7 T T < y <

2

:

2 <

X

< 8 ,

1

+ VX +

1

<

y

\

+

4

J~x +

donde las dos fronteras parabólicas son partes de las gráficas de las ecuaciones

Cap. 2

- 123 -

Integrales Dobles

( y - — )2 = x + — 2 4

,

(y + l ) 2 = x + 1 .

y están representadas en la siguiente figura:

de la cual podemos representar E = E, u E2 u E3 como sigue E:

o < y < 2 , ( y - — ) 2 - — < x < (y + i ) 2 2 4

-

1

y por lo tanto , M se reduce a una sola integral doble 2 „y "+ 2 y

(y + 1) - 1 M =

/;/y

e

dxdy =

( y - ± ) 2- ±

4

f 2 y2 . 3 y 2 12 1 3 y e tf dy = — ey

7.7 PROBLEMA.- Sabiendo que A =

2

7

e

/» * 1 e J 0

,2 dt

y 0

calcule la integral iterada

I =

f

r '/2 1 e 0 ~- 1 2

B =

f

J - \/ 2 J x en términos de A y B . SOLUCIÓN.- Por ser

e

f

dxdy

J y1 2- y

— Ce4 - 1) . 2

O

O

fS

=

2

f J o

una función par entonces

2 f

«

e y dy dx

- 124 0

C)

Cap. 2

Matemáticas III

« -1

f

f°

1=

„2

f Xe - y2dydx

' e - y2dydx = -

¡!

J - ]/2 J - ]

J - 1 /2 * i1/2 x que tiene como región de integración a E:

—1/2 < x < o ,

- 1< y < x

Entonces, -

1/2

I = - [ f

(

f

J -1 =

e

y d x )d y +

J -1/2

= - [

y dx dy ]

d -1/2

2

f° -e J -1 2

e

{ —y e ~ y 2 ) d y ]

- [ f ~ ' / 2 ± e - y2d y +

J -1

f í J -\/2 J y

y 2 dy +

f J (o

1/2

-e

y2 dy + —

2

y 2 iO 2

■

1/2

-1 /4

- f e

3/2 dy

2 J -i

+ ~

f°

2 J - ■ 1/2

e

yl dy - — + e 2

2

1/4

=

- —A + —B - — + 2

=

7.8

2

, usando (a) y (b)

2

2

- — (A - B + 1 - e ~ 1 /4 ) .

EJERCICIO.- Con los datos del Problema 7.7 demuestre que

I „ x

f

f

Jo J\/2

2

e

y dy dx = A — B + — (e~ 1 — 1) . 2

(•)

- 125 -

Integrales Dobles

Cap. 2

7.9

SIMETRIAS RESPECTO A UN EJE COORDENADO z = f ( x , y)

Sea

una función definida sobre una re­

gión E en el plano XY . Denotemos por E (Y + ) a la parte de la región E conteni­ da en el semiplano superior Y + ; así también podemos definir E (X + ) , E (X _ ) . E (Y - ) . Si la gráfica de E es SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y , y si f ( - x , y) = - f ( x , y) a)

j y

f (x , y) dA = -

E(X~) b)

yy

j y

función impar en x .

f ( x , y) dA .

E(X+ )

f ( x , y) dA =

E

yy

yy

f(*,y )d A +

E(X+ )

{ Cx, y) dA =

0

E(X—)

Existe una propiedad análoga para el otro eje coordenado X . 7.10

a)

EJEMPLO.- Respecto a 7.9, si E es el disco: x2 + y2 < a2 entonces :

y^

xy6dA = o

, pues E es simétrico respecto al eje Y , y además f ( jc, y) = xy6

E

satisface la condición

f(.-x,y) = - x y b = - U x , y ) b)

(a>0) ,

.

Es obvio que

y ^ [ 1 + ( x 4 + y 4 ) Sen y ]

=

na 2

¿Porqué?

E

f f E

Ȓds * 0

pues la región E es simétrica respecto al eje X y además se cumple que

f(x , y) = ( x 4 + y 4 ) Sen y ,

g (.x , y) = y5

son impares en y .

-126-

Cap. 2

Matemáticas III

7.11 RECOMENDACIÓN.- En las integrales dobles o triples BUSQUE LAS FUNCIONES IMPARES Y LAS SIMETRÍAS DE LAS REGIONES DE INTEGRACIÓN.

SERIE DE PROBLEMAS. 1.

Grafique la región E sobre la cual la integración se lleva a cabo y luego escriba la integral Iterada con el orden de integración invertido.

_ 1 . 2-
„2

fl[x, y)dydx *'0 J 2x

,* 2 —(y2/ * 4)

b) J J2 J - 2 J y2/4

J 64- X 2

4

íJ 0 íJ - 1

f (x, y) dx dy

f

r h *-y 2

3

/

f ( x , y) dy dx

7

* 1

y2 f (x , y) dx dy

^ yr2/3

r i

[STT J o 2.

f (x , y) dy dx

J J 2

/?

f(x, y) dy dx

V 26 - y 2 f(x , y) dx dy .

f ( x , y) dx dy + /TT

" y2/5

En cada una de las integrales iteradas siguientes, invierta el orden de integración y luego evalúe la integral iterada que le parezca más simple.

■>

x dy dx

a0

x

/» rt/2 ~ x , a > 0,

x2 + y2

r 1 r!_ J0

i

r V 2 - 2x2

5 r )/25-X2 f (x , y) dy dx +

,5 J y2/5

- f(x , y) dx dy

h| / J-l / •'O

25- x .2 / ;/ / , -x2

, y) dy dx

l

81

r^ rJ 4 0

f (x, y) dx dy

dx dy / i1 ' ^/ Ln •f i y y

B) J** n

í)

y» rt/2 « f / ** 0 j

p 1 r n¡ 4

9> l

Sen x

J" r0 4 - Sen y Sen y

dy dx

dy dx

y dx dy

J, — Are Cos x V f 1— x 2

i « e

/

1+ X

0 I^ e 3.

- 127 -

Integrales Dobles

Cap. 2

dy dx

.

Demuestre que 2 „

x

f

f

■ Sen (

J /7

J,

) d y dx

+

2y

f

Sen (

f

J2 J /7

)

4(% + 2)

dy dx

2y

SUG.- Invierta el orden de integración.

4.

Sea f ( x , y) = y 2 ey

, y sea E el triángulo limitado por las rectas y = a , y = x/2 , y = x . Si a > 0 , establecer dos integrales iteradas para f ( x , y) sobre E , y evalúe la más sencilla.

5.

Sea E la región limitada por la curva f ( x , y ) = (S e n y )/y si y * 0 , de f sobre E .

6.

Sin evaluar, expresar como una sola integral, la siguiente suma de integrales: 2/3

I J -6

y = -J~x y la recta y = x . Sea f ( x , 0 ) = 1 . Calcule la integral doble

. -y/3

I J y2

r 2

f ( x , y) dx dy +

------ + y - 1

/ 2 f(x,y )d xdy J 2/3 j -z— + y - l 4

2 + V 16 — ( x — 2 ) ^

r 2/3

« 2

f (x , y ) d y d x + I

u 7.

r 2

I

- 2 —/ l i6 - (x - a )

J - 6

Sin evaluar, expresar como una sola integral: a

I =

I J

f -

( x , y ) dx d y

y/3

( a > o) ,

„ a

f 0 ^f a

( x 2 + y 2 ) 1^ 2 dxdy + a « a+

/ /

(x 2 + y 2 ) 1^ 2 dxdy .

Jo J í 8.

Evalúe 2 „ 1

f ' f ’ J 0

9.

xy 2 (x 3 + y 3)

J y/2

Calcule las integrales:

' /2dx

dy + V I 1I «/ "í y1/ 2

xy 2 (xJ+ y 3)

'^~dxdy

128

Cap. 2

Matemáticas III

a)

p

r V n/4

I

I

Jy

JQ

f f

b)

\ Tan ( x 2) dx dy

I I J 0 J,

c)

2 xy dy dx

y e A dxdy

J0 Jy 10. Grafique el dominio de integración en la expresión 2 3~2x-x¿

/ O

I 3u O _t«'n 11.

3 f (x , y) dy dx +

3-y

I

I

f ( x, y) dxdy.

- I ^ 0 J— iJn

Calcule la integral de f ( . v , y ) = sobre la región E limitada por las rec­ tas y — x , y = 2x , x = 1 , x = 2 .

„ I ( 2 a: - l ) / 2 I I x dy dx Jo Jo

12. Demuestre que f(A .-,y ) = x

no es una integral doble de

sobre ninguna reglón plana E .

13. Invertir el orden de integración en

r ¡ p l l

V3 -

y2 f (_x , y ) d x i y .

O J y2/2 14.

Invertir el orden de integración en:

R-/T /2 . a: A

- JJ

/j (O

O 2

/

f ( a:, y) dy dx +

t/ R2- -

J i? -/T /2 J Jí R JÍ (O

f ( a: , y) dy dt:

. Ln a: i------- -— I ( x — 1) \ l + e2y dy dx .

I ** o 16. Halle el volumen del sólido cuya sección transversal por un segmento perpendicu­ lar al plano XY tiene la longitud z dada, y cuya proyección sobre el plano XY es la región E : a)

z = xy \ E : limitada por y = x 2 , el eje X

b)

z = x 2 + 2y2 \ E :

rectángulo con vértices

x = 2 .

( 0 , 0 ), (3, 0 ), (3 , 2)

y

(0 , 2) c) d)

z = y ; E : porción del círculo de radio a , centro ( 0 , 0 ) , arriba del eje X. z = xy ; E limitada por y = Ln x , el eje X , el eje Y y la recta y = l .

Cap. 2

e)

Integrales Dobles

z = x y ; E : limitada por y = Sen x

- 129 -

, eje X , el eje Y , y la recta

x = n/2 .

17. Halle el volumen de la región en el espacio limitado superiormente por z = i — x2 — y 2 i y debajo por el plano XY. 18. Halle el área de cada una de las siguientes regiones planas E : a)

Limitada por la parte de arriba por x 2 + y 2 = 2 , y en la parte de abajo por y = x 2 .

b)

Limitada por y = x 2 , x = y 2

c)

Limitada por y = x 2 + 2 , >ti/2 p y

/

19.

I

i ~ Cos 2 y y 1 — k “ Sen~x dx dy ,

Halle el volumen del sólido cuya base es la región en el plano curvas y = 4 - x 2 ,

21 .

0 < k~ < 1 .

J0

0

20 .

y = x + 4 .

La base de un sólido es la región en el plano x 2 + y 2 = a2 ,

xy

XY

que está acotado por

mientras que el techo es elparaboloide

Halle su volumen.

22 . Halle el área de la región acotada por y = x 2 , 23.

y - x + 2.

Halle el área de la región acotada por las curvas: a)

* = y 2 » X == 2 y - y 2

P:

, x = —a , y = - ¡

II Sí)

-x 2 ,

b) c)

X

d)

y2+ x = o

e)

x 2 = 4y .

f)

y =

g)

y2 = 2x .

h)

y = x 3 - 2x , y = 6x - x 3

■y = y - y~ .

X

,

X

x = a + y = 0

y = x+ 2

,

2y — X

—

4 = 0

4y 3 = X2 + y2-

O II

'y

Rp:

9/2

Rp: 9 Rp: 1/160

-3-

X

acotada por las

y = 3x , y cuyo techo es el plano z = x + 4 .

Rp: (3 jt - 4)/3 Rp: 16

az = x 2 + y 2 .

- 130 -

Cap. 2

Matemáticas III

24. Al calcular por doble integración el volumen V situado debajo del paraboloide z = x2 + y2 , y limitado inferiormente por una cierta región S del plano XY se ha obtenido 2- y

v = JfQ JfQ

(x 2

+ y2)dxdy + Jf| Jf0

(x 2

+y )dx dy 2

Grafique la región s , y exprese V mediante una sola integral iterada con el or­ den de integración invertido. Calcule V . 25. Al calcular por doble integración el volumen V limitado por encima por la superfi­ cie z = f ( x , y) , y por la parte inferior por una cierta región s del plano XY se ha obtenido 2

V =

x^

í* f J] Jx

8

f (x ,y )d y d x +

8

f f f(x ,y )d y d x . J2 Jx

Dibuje la región S y exprese V mediante una integral iterada con el orden de in­ tegración invertido. Calcule V cuando f ( x , j / ) = ex ( x / y ) ’ ^2 . 26. Determine el volumen del sólido limitado por las superficies

z = x2 ,

4 — z — x" = 0 , z + 2y — 4 = 0 , y = 0 . 27. Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies y+ z

x 2 + y2 = b 2 28.

z

= 0

, a

> 0

, b

> 0

Dado el sólido encerrado entre las superficies z = 2x , y = 2 x 2 , y = 3 — x — z , z = 0 , halle a)

El volumen V del sólido

b)

Si E es la proyección del sólido sobre XY , halle su área.

29. Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies y = 2x , y = 2x2 x + y + z = 3 , x + y + z = 4 . 30. Halle el volumen encerrado entre las superficies

x 2 + 3 y2 - z

= o ,

4 —y2—z = o . 31. Halle el volumen del sólido limitado por las superficies a)

z + y2 = 4 , y

b)

z = y ,

+ z = 2 ,

x = 0 ,x

= 2

z = x2 + y2 .

32. Halle el área de la región plana comprendida entre las curvas x

y = Sennx

Cap. 2

Integrales Dobles

- 131

C LA V E DE R E SPU ESTAS.

1

.

p2 p

a)

I

I

i{x ,y )d x d y

J 0 J y 1 ¡4

b)

p°

p2

I

I

J -|

<> ^ /> 2 f (x,y)d yd x+

I

I

f ( x , y ) dy dx .

Jn ir2 0 7jJ X

p 1 p tf~y c)

I

/

f ( x , y ) dx dy .

J0 Jy 1 - -flic d)

f

ij 4 - :

f

f(x,y)d yd x+

J0 J0 1

I

(i

í

f(x,y)d yd x

J1 Jo

>/ x __ f ( x , y ) d y d x + J 0 J -2 jx p

e)

í

_

2

I

I

*

2

^ 2 —x

2

___ ___ f (ar, y )d jf dx J - 2/7-7 I

/ 2VT - 4

4VT

I , -------- -- f ( x , y ) d x d y +

J - J\6- y2

O

4

I

i

f (x,y)dxdy

J 2ifJ J 2 - 2 -/1 ?

- V 64- y 2 f(x , y)dxdy

* * 4 /7 p -'T T 9)

I

/

r 3 i6 - x 2

,___ i

JJ f ( x , y ) d y dx +

J - vis J 1

•* 2

I

•* _ / 7 «*1

_ / u * * /7 h)

O< y < VT

.

~ / 7 7 ( y Z/2 )

< x <

f(x ,y )d x d y +

¡

/ J 0

p

j)

/

¡ I ------- 7 *'V 4-!/

4 r

1

1

j o J O

5x

f ( x , y ) dy dx

V 16 - f(* , y)dydx.

J 1 ( y 2/

2

)

.

r 5 S r a/ 25- y 2

/» 2 p h $ - y 2 O

3

¡

f ( * , y) dydx

4*

I J 2 J O

f ( x , y ) dx dy .

p ^ p 3/ 36 — .

I J

4

1 ^ (

f(x , y jd y d x .

- 132 -

2.

4.

a)

( V 7 — l) a 2 /2 ;

e)

( Ln 3 ) / 4

„ 2 +^

L - 6l^ 2a

7.

;

f)

l

;

b)

1/2;

g)

jt2

c)

(4e - 9)/2 ;

5. 1 - Sen (1) .

16 - (y + 2) 2 f (x , y ) dx dy .

(y 2 + 4y - 4)/4

_ ■»/2 ax —x

Cf, O

d)

8/3;

/16 .

(1/2) [ 1 + (a 2 - l) e a ] 2

6.

Cap. 2

Matemáticas 111

(x 2 + y 2)'/2 dydx

;

8.

4 (3 -/7 )/2 1 ;

c)

Ln (3/2 ) ;

" O

9.

a)

11.

3 e ( e - l) /2 ;

13.

f JQ

b)

(Ln 2) / 4 ;

(e — l) /6

;

1/2 ^ -JTx

f JQ

f (x,y)dydx+

f

í "1/2

f (x,y)dydx

•'O 3 —X f (x , y) dy dx .

r n r'r J/T Jo ^ . R / 7 / 2 j ^ R 2- y 2 14.

+ L n ^ t i - ]

2 16. a)

V 2+1 16/3 ;

b) 34 ;

jt/ 2

19.

((1 - k 2 ) 3/ 2 - ■ 1) /( 3 k 2 ) ,

22.

9/2 ;

24.

4/3 ; 25. 4e° + 2e/3 ;

;

18. a)

jt/ 2

23. a) i/3

+ 1/3 ;

;

b) 20.

7ta2b 2 ;

31. a) 9,

28. a)

b) jt/32 ;

d) (i + 1/3

26.

21

827/30 , b) 1/3;

;

/

9/2 .

21 . ;

J i a3 / 2

C) 4/3 ;

4- *2 4- z

29. 1/3 ;

32. (2 /n ) + (1/6) .

e) (JI2 + 4)/32 .

;

C)

625/12

b) (7i + 4 ) a 2 / 2

J 0

27.

- L ( 5 V 2 _ 2 3/ 2 ) .

6

c) 2a 3/3 ;

17.

-

oo

± [ 2 / T - / T

InJ

15.

f ( x , y ) dx d y

— dz d x ■

2 30. 4n ;

1 6 /7 3

Cap. 2

El Teorema de Pappus

- 133 -

CENTROIDES Y EL TEOREMA DE PAPPUS De la teoría de las funciones de una variable sabemos que el volu­ men de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje X (que es ia recta y = 0 ) una región E entre dos funciones g y h como en la figura: 0

< g < h , x

6

[ a, b]

8.1 NOTA.- En general si E es una región plana cualquiera

entonces

- 134 -

a)

Matemáticas III

Cap. 2

El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar la región E alrededor de una recta L : y = c , que no intersecte a la región E está dado por

V E b)

El volumen del sólido de revolución generado al hacer rotar la región E alrededor de la recta L : x = c , que no intersecte a la región E está dado por

V =

2 ji

J'J' |x — c |dA . E

8.2 EJEMPLO.- Halle el volumen de revolución generado al hacer girar alrededor del eje X la región E limitada inferiormente por el eje X , superiormente por y = x2 y a la derecha por la recta vertical x = \ . SOLUCIÓN.La recta L :

y = o (eje X)

l --

E

o

8.3 PROBLEMA.- Halle el volumen generado al hacer girar la región E del ejemplo 8.2 alrededor de la recta x = 2 . SOLUCIÓN.- L : v =

E

x= 2

Cap. 2

8.4

El Teorema de Pappus

- 135

VALOR MEDIO 0 PROMEDIO

Si una función f ( x , y) es continua sobre una región E del pla­ no, su valor medio en E sabemos que está dado por f f

f ( x , y)dA

E

i f f

Área (E)

f f

f ( x , y)dA .

E

8.5 EJEMPLO.- Halle el promedio de las coordenadas z debajo del plano 2x + y + z = 2 situado en el primer octante. SOLUCIÓN.- z = f ( x , y) = 2 - 2x - y

8.5

CENTROIDE El centroide de una región plana E es el punto (x , y)

donde x

es la

coordenada promedio de los x , e y es la coordenada media de los y de los puntos de E . Es decir,

= -Área(E) J— ff JJ

x dA

Cap. 2

Matemáticas III

- 136 -

8.7 PROBLEMA.- Halle el centroide del semidisco superior

a

Xf

_ y a2—: ’ dy dx = — f

2a

2

Área (E) = jta2 /2 . Luego, el centroide ( x , y )

Je =

8.8

(a 2 — x 2)dx =

.

0

y =

está dado por

2aJ/3

4a

na2/2

3n

PROBLEMA.- Encuentre el centroide de la región E en el primer cuadrante limita­ da por la parábola y2 = 4ax , el eje X y el lado recto de esta parábola (y > 0) .

SOLUCIÓN.-

Area (E) =

r 2a p a I I dx dy J 0 " y2 /4a

= 4a¿/3 2a

_a

f f * d A - f 0~ f „ i ^ x ‘k d y E

í í JJ

'

y dA =

í J 0

f J !)¿ /4a

=

y dx dy =

Cap. 2

El Teorema de Pappus

- 137 -

Por lo tanto, el centroide ( x , y ) está dado por

8 .9

?

= — J ------ f f Área (E) dJ E

x dA =

y

= ——

y dA = — a . 4

----------

f f

Área (E) J J

i - a

5

TEOREMA DE PAPPUS.- Sea E una región en un plano y sea L

una recta en el plano que no tenga puntos en común con el interior de E ; entonces el volumen del sólido de revolución generado al girar E alrededor de L es igual al produc­ to del área de E por la longitud de la circunferencia cuyo radio es la distancia de L al CENTROIDE de E . PRUEBA.- Sea L el eje X ( y = 0) alrededor del cual gira la región E :

E = 2n •y • Área (E) . 8.10 PROBLEMA.-

Un TORO se genera al girar un círculo de radio a alrededor de una recta coplanaria L que se encuentra a una distancia b de su centro , b > a > o . Halle el volumen del toro.

SOLUCIÓN.- Consideramos L = Eje X : Se verifica previamente que el cen­ troide del disco E está dado por ( x , y ) = (0 , b) , el centro. Luego: y = b , y el volumen del toro: V = 2 ny - Ár e a ( E ) = 2 n b - j r a ” = 2jt2a"b

8.11 NOTA.- Si una región E tiene un eje de simetría, entonces el CENTROIDE se encuentra sobre este eje de simetría.

- 138 -

Cap. 2

Matemáticas 111

SERIE DE PROBLEMAS 1.

Halle el centroide ( x , y ) de la región plana limitada por las curvas y = Sen x , y — 0 , x = 0 , x = n . Rp: ( n / 2 , ji/8 ) .

2.

Halle el centroide ( x , y ) a)

de la región plana limitada por las curvas:

y = Sen x , y = Cos x , 0 < x < n/4.

Rp: (JL+ 2

« 2 V2

4

b)

y = x 2 , x + y = 2.

c)

y2 = 5 —x ,

d)

x - 2y + 8 = 0 , x + 3y + 5 = 0 , Rp: (18/13 , 50/39) .

e)

y = Ln x , y = 0 , 1 < x < e

f)

-Í7

g)

x2¡ 3 + y 2^3 = i , x = 0 ,

+ / V

=

Rp:

( - 1 / 2 , 8/5) .

y2 = 3 + x

1 .

x=

0 ,

.

Rp:

(1, 0) x = -2 ,

* = 4.

Rp: ( (e 2 + l) /4 , (e - 2)/2 ) .

y = 0.

Rp:

( 1 / 5 , 1/5 ) .

y = 0 , en el 1er cuadrante.

Rp: x = y = 28 /(3 1 5 ji) . 3.

Si f ( jc , y) representa la densidad de una lámina plana S y si f es integrable sobre S, entonces la MASA m(S) se define como

m(S) = f f f ( x, y) dx dy S y al cociente m(S)/Área (S) se le llama la d e n s i d a d m e d i a de la lámina. Si una lámina delgada está limitada por la parábola y = 2x - x2 , o < x < 2 , determine su masa si la densidad en cada punto ( x , y ) (1 - y ) / ( l + x ) . Rp: (26/3) - (15/2) Ln 3 . 4.

5.

es

Encuentre el centroide de las regiones limitadas por las curvas: a)

x ' / 2 + y 1/ 2 = a ' / 2

b)

la parte superior de la elipse 2 5 x 2 + i 6 y 2 = 400 , y por la parte inferior por el eje X. Rp: ( 0 , 20/(3 jt) ) .

c)

y2 = x3 ,

y —x .

Halle el centroide de la región

ylosejesX .Y.

Rp: (10/21,10/24)

Rp: ( a / 5 , a / 5 ) .

Cap. 2.

a)

Integración en Coordenadas Polares

b) 6.

x2 + y2 = 2 e interiormente por la parábola

limitada superiormente por

y = x2 .

Rp:

- 139 -

( 0 , 44/(15?t + 10)) .

limitada por y = x2 ,

x = y2 .

Rp: ( 9 / 2 0 , 9 / 2 0 )

Halle el centroide de la región en el 1er cuadrante limitada por la parábola

y2 - 4ax , el eje X y el lado recto de esta parábola. Rp: (3a/5 , 3a/4) . 7.

Halle el centroide de la región limitada por las curvas:

y = (e* - e~*)/2 . jc = 0 , y = 0 , X = 1 . Pp. ^ Cosh(l) — Senh(l) Cosh(I) - 1 8.

Senh(2) — 2 ^ ’

8

Cosh (1) -

8

' '

Un triángulo equilátero cuyos lados miden 6 unidades gira alrededor de una recta que se encuentra en su mismo plano; esta línea es paralela a la base y está a 8 unidades de ella. Use el Teorema de Pappus para encontrar el volumen del sólido generado. Rp: 27t(8 + / T ) 9 V T .

9.

El círculo con ecuación (x - i ) 2 + y 2 = i volumen del sólido generado.

gira alrededor del eje Y . Halle el

Rp: 2n2 .

INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES En esta sección estudiaremos cómo se realiza el cambio de varia­ bles de una función f ( x , y) de las coordenadas ( x , y) a las coordenadas polares ( r , 0 ) al pasar obviamente por la transformación T del plano R - 0 al plano X Y :

T :

x = r Cos 0 ,

siendo los rangos de r y 0 0

< r< o o ,

y = r Sen 0

maximales:

or<0 < a +

2ji,

a

arbitrario en K .

Esta transformación ya fue estudiada en un capítulo anterior pero aquí veremos su efec­ to sobre las integrales dobles. (REPASE: El Capitulo de TRANSFORMACIONES POLARES.) Consideramos las regiones B y E siguientes:

- 140 -

Cap. 2

Matemáticas III

y las particiones

c =

0O

< 9, ... <

0

tales que los intervalos [ 8 j _ , ,

n = d ; a = r0 < r, ... < rm = b 0

], t r j _ , ,

] determinen la región siguiente

' i —1

Área (E ,-j) =

=

diferencia de áreas de sectores circulares

T ( ei - 0i - i ) r ; ír¿+ r ¿ - i )

haciendo

Además,

<

- T

( e« - 0« - * ) r 22->

* rj - i H 0 , - e , _ , )

=

r} ( rj — rj _ j ) (0¿ — 0 j _ , )

r;

r • + r = — ------- ------ e [ r .

J

O

. , r ]

J~x

f (x , y) = f ( x ( r , 0 ), y ( r , 0 ) ) = f ( r Cos 0 , r Sen 0 ) .

J

.

Cap. 2

- 141 -

Integración en Coordenadas Polares

Luego, si tomamos la suma de Riemann:

m

n

j= l

i=l

53 53 =

53

y)Área(El; )

¿

f(r* Cos0* , rj Sen0*.)r* (r;. - r^. _ , ) ( 0 ¿- 0f _ ,.)

2=1 ¿=1 y al tender n y m

.

al infinito obtenemos

f f f( x E

y)dxdy = JJ" f (r Cos 0 , r Sen 0 ) r dr d0

/ FACTOR DE CORRECCIÓN

9.1

NOTA.- En general, si B y E son regiones más generales como las de la si­ guiente figura

entonces

J'J' f ( x , y ) d x d y = J'J' f (r Cos 0 , r Sen 9) r dr de E

B

y/ FACTOR DE CORRECCIÓN

donde x = r Cos 0 , 9.2

y = r Sen 0 ,

x 2 + y2 = r 2 .

EJEMPLO.- Halle la integral de la función f ( x , y ) = J x2 + y2 disco E = { O , y) /

x 2 + y2 < I > .

sobre el

- 142 -

231 „ l

f •»o

Cap. 2

Matemáticas III

f

3

2n r-rdrdO

=

f *'0

=

±

•'O

3

11

— d0 3 lo r 2* d e

J 0

= i». 3

9.3 PROBLEMA.- Halle la integral de la función f ( x , y) = y , sobre la región E encerrada por la cardioide r = i + Cos 8 , sobre el eje X .

9.4 NOTA.-

No debe olvidarse de reemplazar el término dxdy ( ó dA ) por rdrdQ , x por r Cos 6 , y por r Sen 0 , al pasar una integral doble del sistema de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.

Cap. 2

9.5

Integración en Coordenadas Polares

143 -

PROBLEMA.- Halle el volumen de la región en el espacio limitada superiormente por el cono :

z = J x 2 + y2 ,

lateralmente por el cilindro :

x 2 + y2 = 1 , y sobre el eje X . SOLUCIÓN.- De acuerdo a la gráfica, vemos que

9.6

PROBLEMA.- Halle la integral doble J J

V = f f

f ( x , y)dA

9 1/3

(i + x + y ) '

dA sobre el sec-

E tor circular E de la figura

SOLUCIÓN.- La región E en coordenadas polares está determinada por: 0 < r < 1 , 0 < 0 < it/3 , r dr d0

= / o”7 0l
- 144 -

Cap. 2

Matemáticas 111

9.7 PROBLEMA.- Halle el volumen de la región que se encuentra sobre el disco E : ( x - i ) 2+ y 2 < i

y acotada superiormente por la superficie z = x2 + y2.

SOLUCIÓN.-

El volumen está dado por la integral de la función z = f ( x , y) = x2 + y 2 sobre E

rr

V =

I l f(x,y)d A

r n/2 I

=

- 2 Cos6

I

r2 • r dr d0

E I» n/ 2

I

eos4 e de

J -n/2

9.8

r n/2

.

4

=

8J

Cos4 0d0 = — 0

PROBLEMA.- Halle el área de la región encerrada por la lemniscata

(x2+ y 2) 2 = a2 (x2- y 2)

(a>0).

SOLUCIÓN.- La gráfica es simétrica respecto a ambos ejes coordenados. Como

x 2 > y2 , pasamos a coordenadas polares la ecuación dada: r4 = a 2 ( r2) ( Cos2 0 — Sen2 0 )

=í*

y como Cos 20 debe ser > o . entonces ~

es decir

r 2 = a2Cos 20 20 e [ — — , — ] u 2 2

-^ 2 -] 2 2

0 e [ - — , — ] u [ — , — ] , y la gráfica es como sigue 4 4 4 4

Cap. 2

Integración en Coordenadas Polares

E, : - — < 0 < — 4

4

- 145 -

, 0 < r < a J Cos 20 .

El área corresponde a

__ „ = 2 I I dx dy — 2 I

_ a V Cos 20 I r dr d0 J _ n/4 J q

JJ

I 9.9

ji/

4

a/4

4

a 2 Cos 20 d0 = -2— Sen 20 - íi/4

—ir/4

=

PROBLEMA.- Transformando a coordenadas polares , 0 < p <

I

a Sen ß =

f

f ' ' J y Cot ß

J0

Ln

;

jt/

2 , calcule

(x2+ y2) dx dy

SOLUCIÓN.- La reglón de integración está descrita por E :

y Cot /? < x < J a 2 - y 2

a2 .

o < y < a Sen/? ,

los bordes corresponden a las rectas

y - 0 , y = a Sen ß , y = x Tan ß , y la curva x 2 + y 2 = a 2 . Por lo tanto,

E: 0 < 0 < /? , 0 < r < a

1 = 1 C P Ir a Ln(r J o J o

2

)-rd rd 0

Cap. 2

Matemáticas III

- 146 -

=

1/r

lím

=

r-4 0 + - 2 / r 3

l í m ------- = 2 r —►O+

O

Por lo tanto,

/

,

y Pj

2

0 9.10

|

[ (a2 Ln a ) ---- -— ]d0 = y?a2 [Lna - — ] 2

2

PROBLEMA.- Halle el volumen de la región limitada por los planos z = V T , z = o y por el hiperboloide

SOLUCIÓN.El sólido pedido consta del ci­ lindro con base

e2

y altura

V 7 , cuyo volumen es

V = -/T Área (E2) = V T n ( i ) 2 = jt V T y del sólido limitado superior­ mente por el plano z = f ( x , y) =

VT, e

interiormente por la superficie x2 + y 2 - z 2 = l

que ori­

x2 + y 2- z 2 = l .

Cap. 2

Integración en Coordenadas Polares

gina la función z = g ( x , y) = y x2 + y2- i

- 147 -

sobre la región E, descrita por

E, : 1 < x2 + y2 < 2 , que al pasar a coordenadas polares se tiene:

Vj = J J [ f ( x, y) - g(x, y)]dA E ,

, 2n „ 2

/

I

o

i----------

(-/T - V r2- 1 ) r dr de =

jt/ 7 .

J i

V = V, + V2 = n -JT + n -JT = 2jt -J~T .

Por lo tanto,

9.11 PROBLEMA.- Halle el volumen dentro del cilindro x2 + (y - a 2 ) = a2 y en­ tre el plano z = o y el paraboloide 4az = x2 + y 2. ( a > 0) SOLUCIÓN.-

Pasando a coordenadas polares la superficie y la circunferencia tenemos: 4az = r 2 ' y r = 2 a SenG , respectivamente.

1

y

y

Como z = f ( x , y ) = — (x + y ) , entonces el volumen está dado por 4a

V =

rr ¡ i 1 „rt 2a SenG f 2 I / ---- (x 2 + y2 ) dx dy = 1 1 ------rdrd0 J J 4a Jo Jo 4a E

, Jt

/

_

ji/2

Sen4 0 d0 = 2a3 | 0 Jo

Sen4 0d0 =

3jt 3 — a .

- 148 -

9.12

Cap. 2

Matemáticas III

PROBLEMA.- Utilizando coordenadas polares evaluar I = JJ“

SOLUCIÓN.-

x~ + y~ dA

sobre

x = rCosG , y = r Sen 0

E = . { ( * , y) / x 2 < y <: 1 }

=£■

y =

1

:

r Sen 0

i

y = xr Sen 0 = r Cos20 Sen 0 r = Cos20

Observe bien de la figura que al pasar a coordenadas polares: ji/4

■

- /

Jo

_ Sen e/Cos^G r • r dr d0 +

/ J o

3ti/4 _ l/Sen 9 r • r dr d0 f f J ji/4 J 0

/ = — ( -Í2 -f 1) + 45

3

,n

- Sen 9/Cos2 9

J

3Ti/ 4 J 0

+ — Ln ( - / T + 1) + — ( V T + 1) 3 45

Aquí hemos utilizado la fórmula siguiente:

r dr d0

Cap. 2

- 149 -

Integración en Coordenadas Polares

J

Csc3 0 dO =

-!(- CseO Ctg +Ln|Csc 00

Ctg 0 |

).

9.13 PROBLEMA.- Halle el área de la región plana E ubicada en el interior del circulo r = 3Cos 0 y en el exterior de la cardioide r = l + Cos 0 . SOLUCIÓN.=>

r = 3Cos 0 =>- x 2 + y2 = r 2 = 3rCos0 = 3r : (x - 3/2) 2 + y2 = 9/4

Los límites para 0 los encontramos haciendo

SERIE DE PROBLEMAS 1.

Halle el área de la región limitada por la curva r = del círculo r = 1 .

2.

Halle el área exterior a

2

Cos 30 , y que está fuera

Rp: 2 ji/9 + 1 /V T . r 2 = 9 Cos 2 0 , e interior a

r = 2 -C o s 0 .

Rp: 21-/3Ò"/17 - 9 + 9n/2 - (9/2) Are Cos (13/17). 3.

Expresando como una sola integral evalúe ( a > 0 ) :

(x 2 + y2) 1//2 dx dy +

2 0.1/2 (x + y ) dx dy Rp: 16a3/3 .

- 150 4.

Cap. 2

Matemáticas III

Halle el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide cuya ecuación es

z = 4 - (.v 2 /4) - y2 , e interiormente por el disco Rp: 5.

Halle el volumen del sólido comprendido entre el plano z = 2x + i , e interior­ mente por el disco (x - l ) 2 + y2 <

6.

Rp:

3;r .

Rp: ( o , 11/6 + 9 - / T / ( 1 6 ji ) ) .

Interior al circulo r = 6 y a la derecha de la recta Rp:

b)

c)

12 ji

r Cos 0 = 3.

- 9 VT.

Interior al circulo r = Cos0 Rp:

y exterior a la cardioide r = 1 - Cos0.

( 3 - / T - i t ) / 3.

Limitada por el bifolio r = a Sen 0 Cos2 0.

Rp:

Jia2/32.

Halle el centroide de la región limitada por una hoja de la lemniscata r2 =

9.

.

Halle el área de la región: a)

8.

1

Halle el centroide de la región plana interior al círculo r = 3 Sen 0 , y exterior a lacardioide r = 1 + Scn0 .

7.

x2+ (y - i ) 2 < i .

9n/l6.

2a2 Cos20.

Rp:

(jia/4,0).

Halle el volumen del segmento esférico de una sola base, limitado por la esfera r 2 + z 2 = a2 y el plano z = a - h , Rp:


0

(?t/3)(3a - h)h2.

10. Halle el volumen de la región del primer octante limitada superiormente por z = x , y lateralmente en el interior por r = 1 + Sen 0 y en el exterior por r = 3Sen 0 . Rp: 115/96. 2

2

11. Evalúe la integral doble de la función f ( x , y ) = e~^x + y ^ sobre el disco: x 2 + y 2 < 1.

Rp:

n (e — l) /e •

Rp. [12] : 4tta3 /3

12. Halle el volumen de una esfera de radio a >

0

: x2 + y2 + z 2 = a 2 .

13. Calcule el volumen del sólido limitado superiormente por z = 2 - r , e inte­ riormente por la región plana o < r < 2Cos0 , - n / 2 < 0 < ji/2 . Rp:

2n - (32/9) .

14. Halle el volumen del sólido limitado inferiormente por el plano XY , superiormente por el elipsoide de revolución b 2 ( x2 + y 2 ) + a 2 z 2 = a 2 b 2 y lateralmente por el cilindro

2

x + y~ - ay = o .

2 ”

Rp:

2 2 — a b(3jr - 4).

9

Cap. 2-

Integración en Coordenadas Polares

15. Halle la integral doble de f ( x , y ) = (i + x 2 + y 2 ) gulo de vértices ( 0 , 0 ) , ( 1, 0) y (1,1) .

- 151 -

3^2 sobre todo el trián­ Rp: m/ 12 .

16. Halle el área de la región interior a la circunferencia r = 3Cos 6 , pero exterior a la circunferencia r = Cos 0 . Rp: 271. 17. Halle el área de la región interior a la circunferencia r = i ,y exterior ala pará­ bola r (1 + Cos 0) = 1 . Rp: ( ti/2 ) — (2/3) . 18. Halle el área de la región interior a

4r Cos 0 = 3.

r = 3/2 , a la derecha de la gráfica de:

Rp: (3n/4) - (9 V T /1 6 ) .

19. Halle el volumen del sólido limitado superiormente por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , inferiormente por el plano XY y lateralmente por el cilindro

y2 = 1 .

Rp: (16 - 6 V T ) ji/3 .

20. Halle el volumen del sólido limitado superiormente por la gráfica de i

x2+

z =

- ( x 2 + y 2 ) , inferiormente por el plano XY y lateralmente por el cilindro

x2+ y2-

Rp: 3ji /32 .

x = 0.

21. Halle el volumen del sólido limitado superiormente por el cono de ecuación z2

= x 2 + y 2 e inferiormente por la región del plano XY interior a la curva

x2

+ y 2 = 2ax , a >

0

Rp: 32a3/9 .

.

22. Transforme la integral a coordenadas polares y calcule su valor, para a > o : , 2 a _ -J 2ax —x 2

/

Jo

,a „ x

/

Rp: 3tia4/4

(x 2 + y 2 ) d y d x .

I

0

I

i------------y x 2 + y 2 dy dx .

Rp: a 3 ( -J~2 + Ln (1 + -J~2 ) ) / 6 0 "0

i „x

/ /

c> J 0 J ;

d |

íJ 0s J (

23.

(x 2 + y 2)

dydx . Rp:

VT - l

'I a2- y 2 ( x 2 + y2) dx dy .

Transforme cada integral a coordenadas polares:

Rp: jta4 /8 .

- 152 -

:VTf

b)

f f J c\ J Y

e)

J 'J ' f (x, y) dy dx

f fO

d)

x 2 + y2 )dydx

f(x,y)dydx

J o

E limitado por :

E

24.

Cap. 2

Matemáticas III

(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x2- y2) , x >

0

Calcule el área de la región limitada por las curvas:

y2)2 = 2a2 (x 2 - y2) , x2+y2 > a 2 , a>0.

a)

(x 2 +

b)

(x 2 + y 2 ) 2 = a (x 3- 3xy2) , a > O .

c)

(x 2 + y 2 ) 2 = 8 a2xy ,

d)

(x 3 +

(x - a ) 2 + (y - a) 2 < a2

y3)2 = x 2 + y2 ,

x >

0

,

y

>

( a > 0) .

0.

25. Calcule los volúmenes de los cuerpos limitados por las superficies:

a)

z = x + y , (x 2 + y 2 ) 2 =

b)

z = x 2 + y2 ,

c)

x 2 + y 2 + z 2 = a2 , x 2 + y2 > a|x| ,

d)

x 2 + y 2 - az =

e)

z = e - ( * 2+3/2) ,

f)

z = c Cos ”

I

a > 0 , c > 0 ,

2 xy

, z=

0

x 2 + y2 = x , x 2 + y 2 -

0

(x > 2x

(a >

0

,y >

, z= 0

2

0

.

0

, (a >

)

, (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 - y2) , z = z= o ,

0).

0

)

x 2 + y 2 = R2 .

2

+- ^— , z = 0 , y = (Tan a)x , y = (Tan/?)x , 2a 0 < a < /3 < 2n.

Rp.: 2a2 c(/3 - a r)(ji - 2) / ji 2 .

26. Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies x 2 + y 2 = 2x , 2

— x2— y 2 — z =

0

, z=

0

.

Rp.: 5ji/8 .

27. Halle el volumen del sólido limitado por el paraboloide 2az = x 2 + y 2 y la es­ fera x 2 + y 2 + z 2 = 3a2

(a >

0)

.

Rp.: na3 (

6

-/T - 5)/3 .

28. Halle el volumen de la región comprendida debajo de 4z = 16 - 4x2- y2 , encima de z = o y dentro de x 2 + y 2 =

2 ax

, a> o. Rp.: na2(64 - 21a2)/16 .

Cap. 2

29.

integración en Coordenadas Polares

- 153 -

Calcule el volumen del cono de radio a y altura h . SUG:

z = h — (h /a )

J

x2+ y2 .

a a 2 h /3 .

Rp.:

CLAVE DE RESPUESTAS , a /4

/

Sec 6

I

0

f ( r Cos 0 , r Sen G) r dr dQ +

‘ 'o , ji/ 2 „ Csc 0

/

I

Jl/4

f( r C o s 0 , r S e n 0 )r d r d 0 .

J 0

r Jt/3 _ 2Sec 0

b)

f

f (r) i d r dQ ;

I

J Jl/4 J ' r

*/2

c)

J1o

d)

f J0

e)

f

0

ir» 1 | f (r Cos 0 , r Sen 0) r dr d0 l/(Cos 0 + Sen 0)

« Jl/4 „ l/Cos 0 1

J’ Sen 0/Cos2 0

„ a -J Cos 20 I f (r Cos 0 , r Sen 0) r dr dö ji/4 J 0

Jl/4

r

=

24. a)

f (r Cos 0 , r Sen 0) r dr dQ

i Are Cos (r 2 /a2) _a I i f (r Cos 0, r Sen 0) r d0 dr ~ u -----Are Cos (r¿/a¿)

(3 ■/T — it) a2 / 3 , b)

n a2

/4 ,

c)

a 2

+ Are Sen (

( 2

d)

)

)

8

jt/6 + ( V T /3) Ln (1 + - / T ) . 2

25. a)

jt / 8

,

b)

45JI/32

,

c)

1 6 a 3 /9

,

d)

n a 3 /8

»■ vc0» 0 . / 7 " [ 1. - > L r ] r „ de = i ^ j L . •> o *» o

a

3

,

e)

jt( 1 -

e- R

)

- 154 -

Cap. 2

Cambio de Variables: Int. Dobles

CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES DOBLES

10.

Recordemos las condiciones para el cambio de variables en una in­ tegral de una función f ( x ) de una variable: Si f ( x )

es una función integrable sobre [ a , b ]

y x = q>(u) es una función di-

ferenciable univalente que aplique el intervalo [ c , d ] sobre [ a , b ] entonces

r b / f (x)dx =

Ja donde

r

**

tp (c ) = a ,

d f ( t p ( u ) ) * vp '(u )

I

ip (d ) = b , es decir,

de modo que, integrar la función f ( x ) la función compuesta

f o v

du

c tp ( [ c , d ] ) =

[a,b].

sobre el intervalo [ a , b ]

sobre el intervalo

[ c, d]

equivale a integrar

con un FACTOR DE CO­

RRECCIÓN t p ' ( u ) . x = b

f,

f (x )

dx

f ( t p ( u ) ) • t p '( ii)

du

\ FACTOR DE CORRECCIÓN y al cambiar la variable

x

a la variable u mediante

vos límites en términos de u , y se reemplaza

dx

x

Buscaremos una fórmula análoga para funciones reales bles.

=

ip (u ) , se hallan los nue­

por vp' (u )

du .

z = f ( x , i/) de dos varia­

Cap. 2

Cambio de Variables: Int. Dobles

10.1 TEOREMA.-

T:

Sea

R2

—f

R2

- 155 -

una transformación, falque

(x , y ) = T (u , v) = ( x ( u , v ) , y (u , u) ) , de clase

sobre un conjunto abierto Í2 del plano UV y que, excepto posible­ mente para un conjunto de área cero, es univalente conjacobiano no nulo J ( u , u) =

*

0.

d (u , v)

c

Sea D 2 ( C Plano UV ) un conjunto cerrado y acotado que tiene área y sea E = T ( D) (en el plano X Y ) la imagen del conjunto D por la transformación T

H x.y)

Entonces, si f ( x , y) es integrable sobre E , la función integrable sobre D , y

j y

f(x,y)d xd y

= J J

f [ x ( u , v ) , y (u , v ) ]

f o T ( u , v)

d ( x , y)

es

du dv

d ( u , v)

Nótese que aquí, el factor de corrección es el Valor Absoluto deljacobiano (o valor absoluto del determinante jacobiano) : 9 ( x , y)

9 ( u , t>)

10.2 NOTA.- Esta sección requiere revisar el capítulo de TRANSFORMACIONES DE

-15610.3

Cap. 2

Matemáticas III

EJEMPLO.- Sabiendo que el área de un círculo de radio R es igual a :

jtR

,

calcule el área de la región E

E = { (x , »)/

- ^ - + - 4 - < i }• a2 b2

SOLUCIÓN.Si definimos la transformación T : UV —> XY

tal que x = au , y = b v , es

decir { x , y ) = T ( u , v ) = ( a u , b u ) , entonces, en el plano u v correspondiente a la elipse de la frontera de E —— + —— = 1

es

la ecuación

u2 + v2 = 1

obteniéndose la región D correspondiente en el plano UV D = { ( u , u) / u2 + v2 < l } = círculo de radio 1 de modo tal que su imagen vía la transformación T es la región E : aV

► X

Como el jacobiano de la transformación T es : d ( x , y)

d(u,v)

= det

xu xv yu yv

a

0

0

b

= ab

,

para calcular el área de E mediante una integral doble tomamos constante

Área(E) =

J'J' f ( x , y ) d x d y E

=

= J J Idxdy = J J “ dx dy E

í*r f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) h

JJ

f ( x , y) = 1 ,

9 ( X ’ y) Q (u , v )

du dv

- 157 -

Cambio de Variables: Int. Dobles

Cap. 2

9( x, y)

f f

d (u ,

D

ab

J'J'

dudv

du dv

V)

J'J"ab

du dv

D

— a b - Área (D) = a b j i ( l ) 2 =

Jtab

D 10.4 COROLARIO.- Con las hipótesis del TEOREMA 10.1 , y haciendo f (x ,y.) = 1

ÁREA (E) = j y E

10.5

T : UV —> XY

PROBLEMA.- Sea

dxdy

ö ( x , y) = / /

D

d (u ,

du dv

V)

la transformación de R 2 en R 2 tal que

( x , y ) = T ( u , v ) =í ( uv , u2 - v 2) y sea D = { (u , i>) /

l < u < 2 , 0 < u < l }

a)

Bosqueje la región E = T (D ) , la imagen del rectángulo D vía T .

b)

Calcule el jacobiano

9—

y ^ de la transformación T .

d ( u , v

c)

f f f 4X2 + y 2

Calcule

)

dx dy

.

SOLUCIÓN.- En el plano UV , la región D es como sigue

X

=

y =

a)

uv u

2

-

v

2

Gradearemos la imagen de D (que debe ser otro conjunto cerrado) encontrando la frontera de T (D) : i)

La imagen de la recta

u = 1:

-158-

x = v

2 y = i - X

y = i - v2 ii)

La imagen de la recta

x =

u = 2 :

x2

2v

y = 4 — v2 iii)

Cap. 2

Matemáticas III

La imagen de la recta X

=

O

4

v = O :

EJE Y :

pues

1 < u < 2 .

y = u 2 e [1, 4 ] iv)

La imagen de la recta

v = 1:

La región en el plano XY encerrada por las cuatro imágenes tiene la siguiente gráfica.

b)

9 i x ’ y) d{ u, v)

= det

= det

dx/du

dx/dv

dy/du

dy/dv

v

u

2u

— 2v

— 2 ( u 2 + ir2 )

Cap. 2

9 ( x , y)

2 ( u 2 + v 2) *

ö ( u , u) _* C)

.2 .2 2 4x = 4u u , =?• j y

- 159 -

Cambio de Variables: Int. Dobles

y¡ 4 x 2 +

y

2

0

sobre D .

, 2 2. 4 , 2 2 , 4 = (u — o ) = u — 2u v + v

a 2 , 2 2 2u + t>4 = (u . 2 ,+ v 2,2 4x + y = u4 +, 2u )

y2 dxdy

=

JJ" J

(u 2

+

¿>U, y)

u2 ) 2

du dv

a ( u , o)

f

2 Í

(u2 + v2) ( u 2 + v2)dvdu

J ¡ J 0

= 2

r

2 _ I

f

( u4 + 2u2 v2 +

) dv du

V*

J1 J 0 = 716/45 .

10.6

CASO PARTICULAR: COORDENADAS POLARES Si T es la transformación en coordenadas polares definida por T ( r , 0) = ( x , y ) = ( r C os0 , r S e n 0) , es decir =>

x = r Cos 0 ,

y si D es una región en el plano R 0 en el plano XY entonces

y = r Sen 0

tal que su imagen es la región E = T (D )

- el jacobiano de T es

= 3 ( r , 0)

det

Cos 0

Sen 0

— r Sen 0

r Cos 0

= r

- para una función f ( x , y) tenemos que

jy

f(x ,y )d x d y

=

f (r Cos 0 , r Sen 0)

9{x,y)

drd0

9 ( r , 0) = y y

f (r Cos 0 , r Sen 0) • r dr d0

(fórmula que ya conocíamos de la sección 9).

- 160 -

Cap. 2

Matemáticas III

APLICACIÓN.- Halle el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie az + y 2 = a2 , lateralmente por el cilindro x 2 + y 2 e inferiormente por el plano z = o .

=

r 27 "O

,

a [ar--ri(-L ^i® )]d rd 9

"o

JO

f

a2 .

a

2

[ J Í _ • i ( , - c » 2e)]de - 2 2 Í .

2 '

2

8

4

10.7 PROBLEMA.- Evalúe la integral doble

f f C os( — • — — — ) dA

JJ

2

E

x+ y

donde E es la región del plano XY limitada por las rectas

x+ y = 1 , SOLUCIÓN.-

x+ y = 4 ,

dA = dxdy. Elegimos como cambio de variables:

x- y x+ y a)

x = 0 ,

x+ y = I

:

v = 1

x+ y = 4 :

ir = 4

x = 0

:

u = - 1 ,

y = O :

v = x+ y

u = 1

y= 0 .

Cap. 2

c)

Cambio de Variables: Int. Dobles

9(x,y)

xu

xv

d ( u , V)

yu

yv

ff

v/2

-

0

v/2

f

Cos ( —--------- 1 )dx dy = 2 x + y

+ u) / 2

(1 -

f

i J i

- 161 -

u)/2

Cos ( — u ) — dv du 2

2

is r 30 „ Ji !1 = Cos ( — u ) du = ----- Sen — u 4 JJ i 2 4ji 2 '- 1 is r 1 Cos ( — u ) du = 4 */_! 2

2n

- Sen ( — u ) 2

' -1

-

il 71 ■

10.8 PROBLEMA.- Sea T la transformación

(.x , y) = T (u , v) = ( u2 + v , u - v) nV

y sea D el triángulo de la figura.

l u+ v =

1

Bosqueje la región E = T (D ) plano XY , y halle su área.

en el

- 162 -

Cap. 2

Matemáticas 111

SOLUCIÓN.- D está limitado por las curvas

u = 0 ,

y = 0 ,

u+ v = 1 ,

cuyas imágenes son halladas como sigue X

2

= U +

V

,

y = u- v

,

X

=

X

= u2 ,

V

,

1

v = - y ----- + 2

J

y

= -v

:

y = -x

y

= u

:

y 2

I

1

x + y+ —

4

1

= x

3 4

APLICACIÓN DE [10.8] Para la región E y la transformación T del Ejercicio [10.8] compruebe que r r

E

2 dA 4x + 4y + 1

Pruebe que

-

H

D

— L n (3) - 1

2u + 1 ~

x + y = u2 + u ,

2

4x + 4y + 1 = ( 2 u + 1) 2 .

Cap. 2 10.9

- 163 -

Cambio de Variables: Int. Dobles

PROBLEMA.-

= x 2 + y2

Halle la integral de la función f ( x , y ) región E del plano

x2 - y2 = 9 ,

XY

limitada por

sóbrela

x2 - y2 = 1

,

xy = 1 , xy = 3 .

SUG..- Considere la transformación tal que ( x , y ) = T ( u , u )

u = x 2— y2 , v = 2 x y

donde

y calcule su jacobiano.

SOLUCIÓN.- Por propiedades de los jacobianos (Capítulo de Transformación):

9{x,y)

=

d( u, v)

y por lo tanto

+ y2) 2 = u 2 -f u 2 ,

d ( x , y)

d ( u , e) 0 ( x , y)

( x2 + y2) 2 = ( x 2 - y2) 2+ (2 x j/) 2

y por cumplirse la identidad

d ( u , v)

>/

x2+ y2

Ux

Uy

2x

-2 y

vx

vy

2y

2x

d ( x , y)

1

d ( u , v)

4 (.x2 + y 2 )

entonces

1

4 ^ u 2 -f e2

Además, la región D del plano UV cuya imagen es E la obtenemos como sigue: (N

1

X


II 3

2

x - y

2

=

u = 1

:

x2 - y2 = 9 :

2 xy

u =

1

,

u = 9 ,

xy =

1

:: v = 2

xy = 3 : v =

6

- 164 -

JJ'

(x

Cap. 2

Matemáticas III

2 + y 2)dxdy

=

JJ

0 ( x J u2 +

,

y)

du dv

d( u, v)

/ 7 6^ 1

v2

W

■du du 4

2

- f 9 f 6 dudv 4 « / 1 «/■>

=

8

u2 + u2 .

NOTA.* Existe un conjunto similar a E en el tercer cuadrante del plano XY. Ubíquelo. Cualquiera de los dos es válido como conjunto E . 10.10 PROBLEMA.- Si E = { ( x , y) / x 2 + y2 < 1 } , pruebe que

I =

SOLUCIÓN.-

e- (*2+ x y + y 2 ~)d x d y

V3

e

Si ü es el vector unitario de rotación de coordenadas

(Cos a , Sen a )

ü =

que diagonaliza la forma cuadrática, entonces se prueba por los

métodos de la Geometría Analítica, que al rotar los Ejes a = Jt/4

=

/ /

XY

en un ángulo de

radianes, se tiene que la relación de diagonalización es:

(x , y) = u u + v ux = u ( Cos — , Sen — ) + u ( —Sen — , Cos — ) 4 4 4 4 ^ » - v fJLU L)

41 ’ 41 2 . . 2 x* + xy + y

3»2

(u - u) 2 , ( u - v ) ( u + v) , (u + u) 2 = -------------+ ---------------------- + --------------

2

Asi, el conjunto E tiene su correspondiente D en el plano UV: D = { ( u , u) / i u2 + v2 < 2 }

0 (X, y)

xu

0 ( u , v)

yu yv

xv

\/4! - i / V 7 i/41 \/41

=

1

t u2 2

Cap. 2.

Cambio de Variables: Int. Dobles

- 165 -

- ( ± u 2+ - l o 2) Así,

=

J J e

~

• 1 du dv .

~

D Ahora, volvemos a cambiar de variables a COORDENADAS POLARES MODIFICADAS: V 3 u = r Cos 0

v

i 7 7 3u2 + u2 = r 2 ( < 2)

:

= rSen 0

El correspondiente a D , en el plano R 0 , es D' : D' = { ( r , 0) /

d\u , v)

ur

9 (r,

vr

0)

0 < r < -/T

ue ve

0 e [ 0 , 2n ] ) }

( para todo

(Cos0)/-/7

- ( r S e n 0 )/VT

Sen 0

r Cos 0

2jt - V T

■ = Í K ' 2 V7

drd0

-I I ° 0

■r¿ /2

r

r

VT dr d0

VT

‘ 'O

-4 ^ 0 - — )

V3

10.11

PROBLEMA.- Calcule

i,

3)

J'J' y dA

x = 5 _ J L + ey ' 2

x - y = e

y/2

e

,

E:

región limitada por las curvas:

2)

x + — = ey/2

4)

x + 5= y+ e

y/2

Cap. 2

Matemáticas III

- 166 -

SOLUCIÓN.- Haciendo

y y/2 u = x + —---- e

2 ir = e

.

,

=>

3

u + v = — y

« / 2+, y — x

2

la reglón correspondiente a E en u v está limitada por las curvas: (1) u = 5 ,

(2)

u = 0 ,

(3)

ir = 0 ,

(4)

ir = 5 .

Además,

i _____L 2 2

1 9 ( u , ir)

0 ( x , y)

, i y/2 l + — e 2

-1

9 { x , y)

1/

9 ( u , ir)

a * "'2

9 ( u , ir)

2

a ( r t , y)

3

II ydA

2 2 — (u + ir ) ---- dv du 3 3

E

10.12 PROBLEMA.- Evalúe

JJ* te

500 9

(X + !Ó

¿A _ sobre la región

E E = { (x, y) / 0 < x < o o , 0 < i / < o o } usando la transformación :

SOLUCIÓN.-

x

x > 0 : y

>

=

y

=

u —x

( u > 0 , v > 0)

0 : a) ó

uv ,

Si u > 0 :

b) Si

u < 0 :

Ó

u = x + y ,

=>■ (u <

l > ir > 0 l < tr

y = u ( l — ir)

0 , ir < 0) por el primer paréntesis;

ir < o

a

v = x/(x + y)

absurdo, por el segundo paréntesis

0 ( x , y)

u

9 ( u , tr)

1 — ir

u — ti

= -u

Asi, la región en u v correspondiente a E es

,

9 ( x , y)

9 ( u , ir)

Cap. 2

11 .

- 167 -

Cambio de Variables: Int. Dobles

COORDENADAS POLARES MODIFICADAS Rangos :

0 < r < oo ,

a < & < a + 2n

,

a arbitrario.

La transformación de coordenadas cartesianas a pojares modificadas está dada por: * = a r Cos 0

y = b r Sen 0

a , b > 0

CARACTERÍSTICAS DE LAS COORDENADAS POLARES MODIFICADAS:

- 168 -

Cap. 2

Matemáticas III

El jacobiano de estas coordenadas polares modificadas es Igual a 0 ( x , y)

xt

(r,0)

yr

0

*6

%

a Cos 0

—arScn0

b Sen 0

brCosO

'-II

PROBLEMA.- Evalúe

dA

E

con

a , b > 0 ,

donde E es la región limitada por la elipse

x2/a2 + y2/b 2 =1 .

S O LU C IÓ N .-

E = { (x , y) /

v2

-L r a2

.I2

+ J L -< 1 > b2

Y, i

Transformamos la integral I a coordenadas polares modificadas

b = 1

x = ar Cos 0

ÄlP ¡p # a

y = br Sen 0 donde

0 < r < l 0

<

0

<

2 ji

1» 2ji p 1 . i I ---------------• abrdrdQ

J r2+ 4 pues

- i— +

a2

ab f Jo

11.2

d ( x , y)

= r2 ,

•»/ r 2 + 4 1 ^9 >o

abr

f l ( r , 0)

b2

=

2 ji ab ( V T - 2 )

OTRA VARIANTE INTERESANTE

Una astroide es una curva con ecuación

Cap. 2

Cambio de Variables: Int. Dobles

d (x , y)

= 3r Cos2 0 Sen2 0

ö ( r , 0)

r = a

Aquí, la ecuación

- 169 -

representa la astroide

2/3 , 2/3 x ' + y ' = a 2/3 '

(*).

11.3 EJEMPLO.- Si E = { ( x , y ) / x2^ + y 2^3 < 22^ , x > 0 } es la re­ gión encerrada por la semiastroide derecha (») con a = 2 , y el Eje Y , con el cambio de variables

x = rCos

0 0

< r <

2

— < 0 < —

y = rSen30 podremos calcular la integral: „ Jt/2

y2/3)3dA = I

- 2

/

(r Cos3 0) r 2 •3r Cos2 0 Sen2 0 dr d0

J -jt/2 J 0

E =

f

í

,2

J - ir/2 J 0 512 175

3r4 ( Sen 2 0 — 2Sen40 + Sen6 0 ) Cos 0 dr d0 >

11.4

Cap. 2

Matemáticas III

- 170 -

NOTA.-

En lugar de la variante [ l l - 2 ]

originada por la astroide :

también se puede considerar la transformación:

x = arCos3 0 ,

y = arSen30

cuyas características son:

2/3 2/3 2/3 2/3 x ' + y ' = a ' r

1)

2)

=

3a2 r Cos2 0Sen2 0

9( r, 0)

3)

astroide:: Para cualquier a > O , la astroide

x 2^3 + y2^3 = a * ^ 3

estará representada por la ecuación r = 1 . 11.5 EJERCICIO.- Resuelva el ejemplo 11.3 con el cambio de variables de la Nota 11.4

11.6 PROBLEMA.- Halle el volumen de la región limitada superiormente por el parabox2

u2

z = 4 — ( — - + —— ) , sobre el plano XY. 9 4

loide elíptico :

SOLUCIÓN.- La intersección del paraboloide con el plano XY es la elipse:

x2

v2

-í— + - i— = 4 4 9 con semiejes a = 6 ,

2 rSen 0

O < 0 < 2n

= (3) ( 2 ) r =

9 (r,

para

4

x = 3r Cos 0

0

,

6r

0)

— + — 9 4

r2 X

La curva (*) de la frontera de E

z = O ,

b = 4 .

Haciendo:

y =

(»)

z = 4 —r

2

Cap. 2

Cambio de Variables: Int. Dobles

- 171 -

está dada por

=

9r2 Cos26

4r2 Sen2 0

9

4

t_2

= 4

=£►

r

r =

= 4

2

-2

í í [ 4 - ( —— + —— ) ] dA = í* f (4 - r 2 ) • 6r dr dQ = 48ti JJ 9 J Q J Q 44

Note que la expresión entre corchetes en la integral no es cero , es

4

- r 2 , pues

X2 u2 z = f(x,y) = 4 - ( - i — + ) 9

4

que al pasar a las nuevas variables resulta:

z = f (3r Cose, 2r Sen6 ) =

4- ( ílÍS 2 ¿ * +

)

= 4 —r 11.7 PROBLEMA.- Evalúe la integral doble

J J -- !Xy ^

I =

dx dy

x2 + y2 2

sobre la región E :

2

—— + —— *< 1 a2 b2

,

a > 0

b > 0

SOLUCIÓN.- Resolveremos el problema en dos etapas : PRIMER PASO:

x = au ,

x a

ASI,

,

2

y

ab

;

. = 1 .

b

..... y a"u 2 + b V

sobre el disco

=

9

,

a b

2

un du dv

JXVyla2u2+ b 2v2

F = { (u , v) / u 2 + u2 < l } .

u = rCosG , v = rSenG :

Primer cuadrante:

=

2 ,2 u + u

2 + ,2

au bu Iab du di»

SEGUNDO PASO :

d (u , v)

2

- / / J i Ü Ü

p

i)

y = bv ,

u > o ,

u > o :

0 < r < I , 0 < G < 2 j i

0 < r < l , o < 6 <

n/2

- 172 1,

Cap. 2

Matemáticas III

i , ? /*/* = a-b- II J pJ

a2 b 2

f 71/2 J 0

a b 3 (b

uv du dv ------------ =

y/a 2 ií 2 i .b , 2 u 2

r 3 Cos 0 Sen 0 dr c/0 • 'o

■J a2 + (b 2 — a 2 )Sen2 8 ,2 kb2 a

6 = n/2

— ? . J* a2 + (b 2 — a 2 ) Sen

e

3( a + b)

e= o

—a ")

Se puede verificar que en los otros tres cuadrantes se obtiene el mismo valor que para el primer cuadrante. Por lo tanto ,

11.8 PROBLEMA.-

f

° °

Jo x = rCosB" , E:

3(b + a)

Calcule el valor de

I =

SOLUCIÓN.-

4a 2 b 2

I

r

f Jo

00

°°

f

,

..2

.

k >

0

.

y — rSen0

0 < 0 < ji/2 ,

I =

, 2 /• „2

i

e~ k2 ( * 2 + y 2) dxdy

0 < r < oo

k2 x2 dx =

,

k >

' °°

/

n

e

0

.

—k 2 2

y dy .

Cap. 2

Cambio de Variables: Int. Dobles

- 173 -

Por lo tanto, si multiplicamos I por I :

I2 = 4 /*

00

>.2 „2

Jo

f

,.2..2 e“ k y dy

^J o

~e-kV

4 f ~ ( f J

r °°

e_ k ~ x dx

J

n

00

00

= 4 /

d x ) e ~ ^ 2y2 dy

n

_

2

e

I

2

k

_ k2 „ 2

•e

k y dx dy

J 0 Jo OO

= 4

^/ o

A

OO

^/ o

s- k 2 Cx2+ y 2) dardy

= 4it/(4k2) = Jt/k2 ,

por el problema anterior.

= -J~ñ/ k

I

11.10 PROBLEMA.- Si

/

OO

4ac — b 2 > O ,

n OO

-(a a c2+bary + c y 2)

- 00 ^/ —OO e

SOLUCIÓN.-

a > 0 ,

c > 0 , ,

dar dy

pruebe que

=

2 jt 4ac — b '

Mediante una rotación de coordenadas del sistema XY al

un vector de rotación (unitario) aar2 + b x y + c y 2

ü = (Cosa, Sena)

se transforma en

X' y ' por

sabemos que la expresión

aar2+ bary + c y 2 = A, a:'2 + A2 y '2 ,

(ar, y) = ar'ü + y'ü1(x , y) = ( ar'Cos a - y'Sen a , ar'Sen a + y'Cos a ) y donde

A, , A2

son las ralees de la ecuación característica

A~ — (a + c)A — ( b 2 — 4 a c ) / 4 A¡ , A2 = [ a + c ± lo que implica

(*)

=

0

(a + c ) 2 - (4ac — b 2 ) ] / 2

A, > o y A-, > o debido a las hipótesis.

(**)

- 174 -

De (*) :

Cap. 2

Matemáticas III

x = x' Cos a — y' Sen a ; 0 (x , y)

Jacobiano :

y = x' Sen a + y' Cos a : = 1

(verifícalo)

8 { i ' , y') Además, de (* *) :

A | A 2 = ~ ( k 2 — 4 ac ) / 4

= (4ac — b 2 ) / 4 > 0

Por el Ejercicio anterior,

I =

r°°

r°° j- 0 0

r°°

e

( V ' 2+ A2 « ' 2) . l1.• dx' dy'

,2 —A, x‘ 1

00

/2

i

V ~ jT

dy'

-J~ñ

f 2 jt

71

■J 4ac — b 2

■y(4ac-b")/4

11.11 PROBLEMA.-

Evalúe I

/ / i 36- ' * -

y)2_

dA

;

donde

E es la región plana limitada por las curvas : C, : 4 (x - y ) 2 + y2 - 24* + 24y = o , C , : 4 (x - y ) 2 + y 2 = 36

( < o ) , interior a C,

( > 36) : exteriora C2 .

SOLUCIÓN.- Observando ambas ecuaciones intentamos el cambio de variables:

x' = x — y = r Cos 0 , x = r (2 Sen 0 + Cos 0) Ì

y’ = y = 2r Sen 6

r Jacobiano =

1/ = 2rSen0

¿>U, y) = 2r 0( r , 0)

(verifique)

,/2

Características:

x'~ +

El integrando se transforma en: 1 * ^ *—

= r¿ , 4 (x - y ) " + y ^ 36 - r 2

= 4 r*

(*)

Cap. 2

- 175 -

Cambio dc Variables: Int. Dobles

6r

Cos 6

x ' 2+ ^ -( * ' - 3)2

=

6

x'

t y '2 36

,

C2 : r = 3 , de ( *).

3n/2 - 3

IB =

f

f

n

it/ 2 Jt

Jn **0

-J

36 - r 2 • 2 r dr dB = (144 - 54 V

_ 3 , 531/3 3JI/J /» 1

/

T

)

JX

/---------- — J

36 - r 2 - 2 r d r dB

=

- 66 - 9 V T jt .

3ji/2 ‘'ó Cose

1 = r A + I B + ! c = 72 * ( 2 - V T ) .

11.12

PROBLEMA.- Halle el área de la región E limitada por la curva 2

C:

a2 donde

2

A - + JL-

b2

— + — h k

a > 0, b > 0, h > 0, k > 0

SOLUCIÓN.- Definimos la transformación :

,..(*)

x = arCos0 , y = brSenG

- 176 -

£_

J ¿ =

a 2 + b2 De (*) :

Cap. 2

Matemáticas III

2

r

y > - ( — )x

h

a Cos 0 b Sen 0 C : r = ----------+ ----------l i l i l í = abr 0 (r,0)

Si

a = ArcTan(k/h):

E :

0 6 [-« , * - « ]

,

„ , . a Cos 0 b Sen 0 0 < r < ----------+ -----------

Cos 0 + — Sen 0

3

r h

-a

/ J0

11.13 PROBLEMA.-

SOLUCIÓN.-

k

abrdrc/0 =

nab , 4

bJ h2

k2

)

Halle el área de la región E limitada por las cuatro curvas

x> o ,

x' = — = r Cos4 0 , a

y > o (1er. cuadrante). Sea

y' = — = r Sen4 0 b

=>

Cap. 2

J J

_ 4 „ Arc Tan V 2

A =

-177-

Cambio de Variables: lnt. Dobles

1

4 abr Sen3 9 Cos3 0 d9 dr 7i / 4

"

f Sa h = -------108

SERIE DE PROBLEMAS T.

JJ" (x + y -

Calcule

1)

(x - y) 67dx dy ;

E : |x | + |y \ <

1

.

E SUG.2.

u - x —y ; v = x + y :

If

Calcule

— 1

< u<

Cm 2

E,

x - y ) dx dy , x + y

1

, —1 < u <

1

. Rp: 2/7

sobre la reglón E limitada por

x + y = 1 , x + y = 4 , x = 0, SUG.- u = (x — y)/(x + y) , v = x + y . 3.

4.

Mediante la transformación T:

Rp: 1 5 /jt .

x = u , y = u(i + u 2 ) ,

J (u , u) .

a)

Calcule

b)

Un cuadrado D en el plano u v tiene vértices ( 0 , 1 ) . Grafique en XY la imagen E = T (D) .

c)

Calcule

xy

I I

7+ x

Rp:

■dy dx

Rp:

3/8 .

u- o, v = o , u + v = l .

0

n \-y í J x 2 — y2 dx dy . SUG: •'y

í

í

1/2

Halle

f "

Evalúe

J x 2 + y2 dy dx ,

Rp: 5/6

(x, y) — (u — uv , uv) .

a) mediante coordenadas polares.

J 0 n ^J 0n

b) 7.

y

Sea T la transformación (x , y) = T (u , v) = ( u2 + v , u - v) y sea D el

Halle el área de la imagen E = T (D) en el plano XY .

6.

1 + u"

(0 , o ) , ( l , 0 ), ( l , l)

de dos maneras.

triángulo en el plano UV encerrado por:

5.

y= 0.

mediante

Evalúe

// p

x = u , y = uv. ( x 2 + y 2) d A

Rp: ( / T + L n ( / 7 + 1) ) / 6 .

, donde E es el paralelogramo con vértices (1, 1), (5 , 2), (6, 5), (2 , 4) .

- 178 -

Cap. 2

Matemáticas III

SUG.-

Rp: 517/2.

(x , y) = ( 1 , 1) 4- u(4, 1) 4- u(l,*3). x+ y

8.

Calcule

f f l

2x— —L eI ’ 2x + 3y ¿A x+ y

por y = (4 - 2 x)/3

9.

donde E es el triángulo limitado

y los ejes coordenados.

SUG.-

“ _ ^ ++^3y

f f e ~ (2* 2~ 2xy + Sy2) Are Tan ( ^ ± J L ) dA

Calcule

x — 2y

JJ

E

E = { (x , y ) / 1 < 2 x 2 — 2xy + Sy2 < 9, ( I - - / T ) x 4 ( l4 - 2 - /T ) y < 0, V T ( x 4- y ) > x - 2y } .

u - x + y ,

SUG.-

u = x - 2y ;

2 x 2 - 2xy + y 2 -

y pase luego a coordenadas polares. 10. Calcule

Rp:

u2 + v 2

( n 2 / I 4 4 ) ( e ~ 1 - e“ 9 ).

j'J' 2n( x 2— y2) S e n [ n ( x — y ) 2 ] dA ,

donde

E E = { ( x , y ) / | x | 4- | y | < 1 } . SUG.-

11. Calcule

u = x —y ,

v = x 4- y .

J'J* e^y~

Rp. 0 .

+x’>dA ,

donde E es la región encerrada por

E x 4- y = 2 , x 4- y = 4 , el eje X y el eje Y .

12. Evalúe

JJJE Je * ^

x + 2y = 4 , x 13.

Calcule

2y

dA , siendo =

0

J J ( x 2+ y 2) 2dA

E

y el eje X .

Rp: 3 (e 2 - l ) / e .

la región limitada por las rectas

Rp: e2 4- 3 .

donde E es la región limitada por las curvas

E X 2

4- y 2 = 2x ,

SUG.-

u =

2

X 2

x2+ y

4- y 2 = 4x ,

2

X 2

4- y2 = 2y , x 2 4- y2 =

2 2 x 2 + IT

6y

.

Cap. 2

14.

Dada la transformación

( x , y) = T ( . u , u ) = ( e u Cosu, eu Senu) ,

y el

o < u < n/2 } .

conjunto D = { ( u , i > ) / o < u < i , a)

- 179 -

Cambio de Variables: Int. Dobles

Halle el área de la imagen E = T ( D ) .

Rp:

n(e2 - i ) / 4 .

Rp:

ri (e3 — l )/ 6 .

E y2Cos( xy)

JJ

15. Calcule

dA

,

E :

reglón limitada por las parábolas

E x 2/y = 1 , y2/x = 1 , x 2 = 4y , y2 = 4x . SUG.-

16.

u = x 2/y , v = y2/x

Dada la función

halle

I

=

f(x,y) = <

JJ

f ( x , y)dA ,

siendo E la región limitada por las curvas

E

17. Halle

JJ

Cos [ (2 x — y ) 2 + 2 (x + y ) 2 ] dA

,

siendo E la región en

E el primer cuadrante acotada por 2 x2 + y2 = 4 SUG.- x = rCosB , y = V T r Sen 0 ; 18. Evalúe

JJ

y los ejes coordenados.

O < 0 < 2

4( x2 + y2) Cos [ x 2 + 2xy - y2] dA

ji

, 0 < r <

■/T .

siendo E la región en el

E primer cuadrante, limitado por las curvas :

xy - 1 = 0 , 19. Halle el a > 0 .

xy — 2 = 0 .

área del lazo (bucle) del FOLIO DE DESCARTES : x2+ y2 = 3a xy , SUG:

x = r Cos 2 / 3 0 ,

20. Halle laintegral de f ( x , y ) = x rábolas

x2 - y2 = l , x2 ~ y2 = 2 ,

IJ = x2 ,

y = rS e n 2 /3 0

, 0 e [ 0,

h /2

] .

sobre la reglón plana encerrada por las pa­

x = y2 , (y - I) = (x - l ) 2 , (y - l ) 2 = X - 1 .

- 180 -

SUG.- x = u2 — v , 21.

Cap. 2

Matemáticas 111

y = u + v2 ; J (u , v) = 4uv + I .

Calcule el área de la imagen del rectángulo con vértices ( 0 , 1) , ( 2 , 0 ) y ( 2 , 1 ) por la transformación:

xl yI"

3

U

2

1

v

T:

x = u + v , y = u2 - v .

región en UV acotada por el Eje U , el Eje V y la recta a)

Dibuje la imagen T ( D ) .

b)

Calcule la integral doble de Rp:

- 1/3.

(u , u) = ( 0 , 0 ) ,

2

22. Considere la transformación

Rp:

Sea D la

u + v = 2 .

f ( x , y ) = \/J 1 + 4 * . + 4y sobre T ( D ) .

b) 2 .

23. Dada la transformación T : x = u , y = tr(l + u 2 ) , y la región D en UV : 0 < u < 3 , 0 < t> < 2 . b) Calcule 0 ( x , y) / 9 ( u , v) .

a)

Dibuje la imagen T ( D )

,

c)

Transforme la integral de f ( x , y ) = x sobre T (D) , en una integral so­ bre D y calcule las dos integrales.

7

24. Calcule

X2

- y2 dx dy

Rp:

sobre la región

99/2 .

E encerrada por las rectas

E x = 1, y = x , y 25. Evalúe la integral

=

—x .

SUG

x = u , y = u Sen

J J (2 x + y ) e *

u

.

Rp:

n /6

.

sobre el paralelogramo de-

y dxdy

E vértices (0 , 0), ( 1, 1 ) . ( l , — 2) y (2, - l ) , eligiendo un cambio lineal de variables apropiado. 26. Sea

T: x = u ,

y = u (1 + v) , y D el rectángulo :

0 < u < 2

0 < v < 3 . Dibuje la imagen T ( D) y halle el centroide de esta región. 27. Sea D el cuadrado unitario en el plano U V :

o < u < l ,

y sea T la transformación x = u , y = u + v2 . a)

Dibuje la imagen T ( D) .

o < u < i

Cap. 2 .

b)

28.

Cambio de Variables: Int. Dobles

Calcule la integral doble de f ( x , y ) - x sobre T( D) del cambio de variables.

usando la fórmula Rp: 1/2 .

Sea E el paralelogramo con vértices ( 0 , 0 ) , ( 1, 1) , ( 1 , - 1 )

y (2,0) .

J J * [ (x + y)2 + (x - y ) 2 ] dx dy .

Calcule la Integral

29.

- 181 -

Rp: 1/3.

Calcule la integral doble de f ( x , y ) = xy sobre el dominio E limitado por la .2 j, b l2 elipse x2/a2 + y1 l = i, situado en el primer cuadrante.

30.

xy

Calcule la integral doble de f ( j t , y ) =

2 4 por la curva ( ----- + —— )

=

xy

2 v. 2 Rp: a2 b 2 /8

sobre el dominio E limitado

> 0, y > 0 .

Rp:

1 / i f T.

VT 31.

Halle el volumen del cuerpo limitado por el cilindro

x 2 /4 + y2 = i , el plano

12 — 3x - 4y , y el plano z = l 32.

Rp: 22jt

Halle el volumen del sólido limitado por el cilindro los planos y = ( b / a ) x , y = 0 ,

x 2/a 2+ z 2/c 2 = 1 , y Rp: abc/3 .

z = 0 (x > 0)

33. Halle el volumen del sólido limitado por el plano z = 0 y por el paraboloide z = (a 2 - x 2 — 4 y 2 ) / a .

Rp:

34. Halle el área de la región limitada por la curva

( x 2 + y 2)3 = 2ax3,

U2

X2 ( ----- +

35. Halle el área de la región limitada por

2

xy = —~

,

n a 3 /4 a>0. a>0,

b b > o , c > o . •2 L 2 x“ u~ x 2 + u2 ( ------ 1) = ----------— 4 9 25

36.

Halle el área de la región limitada por

37.

Halle el área de la región limitada por las curvas siguientes:

f 38.

F+4/t

1,

x = 0 , y = 0 ,

a > 0 , b > 0

Rp: a b / 70

Halle el área de la región limitada por las cuatro curvas siguientes: X 2/3 (— ) +

y ( —

2/3 )

=

! ,

x (—

2/3 )

y + ( —

2/3 )

=

4

,

-

-182-

Cap. 2

Matemáticas III

8x

a >

b >

O

O

.

Rp:

16

a

ab

[ Are Tan ( —

)

+

3

]

25

CLAVE DE RESPUESTAS

5.

1/9

;

13. 1 /12 .

I. u 2 + v2 = 1/ ( x 2+ y 2).

Noteque

15. [ 15Cos (4) - Cos (16) - 4 Cos (1) ] / 12 16.

x'

A : B :

=

a: — 1

= r Cos 0 , y' = y — 1 = r Sen 0 ,

0 < 0 < n ji

< 0 < 2

0 < r < 2 //7 + T

, ji

,

cos^ 0

I = 1A + IB : . 71 + -- .

871

0 < r < 1

9

/ I

17. jr(VT/6)Sen!2 . 18.

u = x 2 — y2 ,

v = 2xy ,

Rp:

Cos 5 — Cos 6 + Cos 4 — Cos 3

19. x = r Cos2/30 , y = rSen2^30 , _4/3

J(r, 0) = Sen,/3(20) Rp: 25.

3a2 /2 .

3 (e 3 — l)/2 .

26. x = 4/3 , y = 10/3 34.

5jta2 /8

35. a 2 b 2 / (2c2 ) . 36. 39ji/25 .

0 < r < — Sen2/3(20) - .2/3

Cap. 3

Integrales Triples

- 183 -

3 INTEGRALES TRIPLES INTRODUCCION La integral doble originalmente fue presentada sobre rectángulos en K 2 y luego para conjuntos más generales del plano En este capítulo presentaremos a las integrales sobre conjuntos del espacio y las llamaremos INTEGRALES TRIPLES. Son Integrales de funciones de tres va­ riables continuas en alguna región E de! espacio y las denotaremos por

I J J f (x , y , z) dx dy dz E ó

JJJ f( x, y , z) dV E

donde d v = dxdydz es el diferencial de volumen. Como ya sabemos manejar las integrales dobles, entonces nos será fácil estudiar a las Integrales triples. Comenzaremos estudiando las integrales triples sobre PARALELE­ PÍPEDOS o CAJAS RECTANGULARES

de K 3 de la forma

= { (*» V . z) /

c < y < d ,

sobre la cual estará definida una función real

f ( x , y , z) .

e < z < f

}

- 184 -

Cap. 3

Matemáticas III

Definimos una partición {c, d] y


(P en base a particiones


de

[ a, b] ,


de

de [ e , f ] , entonces