MAT. 5TO. (Trigonometría)

Matemática: 5to. de Secundaria

Cap. 1

-1-

GEOMETRÍA PLANA ÁNGULOS Y RECTAS

Introducción.- La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí.

Ángulo.- Abertura formada por dos semirrectas que comparten un punto común llamado vértice (O). B

La recta.- Se nombra con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo. También se usan letras minúsculas.

O A

Notación: Por ejemplo: Si la recta posee dos puntos A y B se escribe: L A

Notación:

B

AOB :

ángulo AOB

m

AOB : medida angular del

m

AOB = 

: recta £

L

AB : recta AB

Clasificación.- Las líneas rectas se clasifican en:

Ángulos opuestos por el vértice.- Al cruzar dos rectas en el plano se forman cuatro ángulos. De ellos, son ángulos opuestos por el vértice aquellos que poseen sólo el vértice en común.

 

a) Segmento o trazo.- Si marcamos dos puntos A y B en una recta, se llama segmento o trazo AB.

Ángulos convexo y cóncavo.- Dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos ángulos:

Recta AB A

B

A

a) Ángulo convexo o saliente: Es el que mide menos de 180º.

B

Segmento AB se denota:

b) Semirrecta.- Un punto cualquiera O en una recta, divide en dos conjuntos llamados semirrectas. Semirrecta A

AOB

b) Ángulo cóncavo, reflejo o entrante: Es el que mide más de 180º y menos de 360º.

Semirrecta O

B

Áng. convexo

Áng. cóncavo

< 180º

> 180º

-2Clasificación de ángulos.- Los ángulos se clasifican de diversas maneras: a) Por su medida:

Matemática: 5to. de Secundaria Bisectriz de un ángulo.- Sea AOB un ángulo cualquiera y P un punto en su interior. Se afirma que el rayo OP es la bisectriz de AOB, si y sólo si, los ángulos AOP y POB son de igual medida.

Posiciones entre rectas: a) Rectas paralelas.- En el plano dos rectas son paralelas si no tienen puntos comunes. b) Por la suma de sus medidas: L1

L2

L1

//

L2

b) Rectas secantes.- En el plano dos rectas son secantes si tienen un punto de intersección. L1

L2

c) Por la posición de sus lados: c) Rectas perpendiculares.- Son rectas secantes que forman un ángulo recto (90°). L2

90º L1

Nota: Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.

L1



L2

Matemática: 5to. de Secundaria Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante: 1. Ángulos correspondientes.Siendo: L1 // L2

L2

-3Rectas paralelas cortadas por una secante.- Si intersecamos dos rectas paralelas con una secante, se forman ocho ángulos, cuatro en cada punto de intersección.

2

1

L1 3

4

L1

6

L2 7

5 8

Ángulos alternos internos: 2. Ángulos alternos internos.Siendo: L1 // L2

L2

L1

3. Ángulos conjugados internos.Siendo: L1 // L2

L2

L1

4. Teorema de Sarrus.- Si el vértice del AOB se sitúa entre las paralelas de L y L', su medida viene dado por: A L

O

x    L’

B

4=6

y

3=5

Ángulos alternos externos:

2=8

y

1=7

Conjugados internos:

3 + 6 = 180º 4 + 5 = 180º

Conjugados externos:

2 + 7 = 180º 1 + 8 = 180º

Correspondientes:

2=6 1=5

y y

3=7 4=8

Propiedades especiales.- Algo para tomar en cuenta, para problemas geométricos y de física. Ángulos de lados perpendiculares: Son iguales por tener lados perpendiculares o haber girado 90º.

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Matemática: 5to. de Secundaria EJERCICIOS RESUELTOS

1.- En la figura, las rectas L’ y L’’ son paralelas. El ángulo x en función de y mide:

En la figura de al lado se muestran todos los ángulos definidos por las condiciones del ejercicio: Igual que en el ejercicio anterior se cumple:

a)

b)

c)

d)

3.- En la figura L’ // L’’, es bisectriz del ángulo AOC. Calcular el ángulo x:

Solución: De acuerdo al teorema de Sarrus: .

Resp: El inciso d)

2.- Las bisectrices en S y R se cortan formando un ángulo x. Si L’ // L’’, entonces la medida de x es:

Solución: Complementando algunas propiedades de ángulos: En el punto O se verifica:

Solución: Aplicando propiedades de ángulos, se tiene:


-5-

EJERCICIOS PARA PRUEBAS DE SUFICIENCIA 1)

Hallar el valor de x:

6)

x

Hallar el valor de x=?

2x – 15

x + 10

100º

50º

a) 30º c) 50º

b) 40º d) 60º 7)

2)

a) 10º c) 20º

b) 15º d) 25º

Hallar el valor de

x=?

Hallar el valor de x: x 5y 35º

x

a) 35º c) 55º 3)

a) 150º c) 130º

b) 45º d) 65º

OP bisectriz del
S

2y + 24

8)

P

2x

x

PQ perpendicular a la recta L.
P

Q

O

b) 140º d) 120º

x

Q

R

a) 36º c) 135º 4)

b) 120º d) 144º

b) 90 – x d) 180 + x

a) 90 + x c) 180 – x

OQ bisectriz del
9)

Si L1 // L2, ¿Cuánto vale ?

R

4x + 15

L1

Q

5x + 21 

110º

S

L2

P

O

a) 55º c) 35º 5)

a) 35° c) 16°

b) 45º d) 25º

OC perpendicular a AD. OB bisectriz del
b) 45° d) 79°

10) Si L1 // L2, determinar el valor de x: 5x – 8

C

L1

B

x D

a) 60º c) 45º

A

O

b) 55º d) 30º

L2

3x + 4

a) 24° c) 25°

b) 23° d) 26°

-6-


11) En la siguiente figura, ángulo ABC recto, determinar el valor de x: B

A

a) 80° c) 70°

b) 75° d) 95°

17) Sea L1 // L2 y M  N. Determinar el valor de x

x + 40

M

2x + 20 C

a) 50° c) 30°

C L1

E

140º

N

45º

12) Hallar la medida del ángulo CED. L1 // L2 60º

L1

x

b) 40° d) 10°

L2

a) 30° c) 60°

b) 45° d) 90°

18) Sean L1 // L2; DC y DE bisectrices. Determinar el valor de x

L2

D

D

a) 100° c) 140°

x

b) 120° d) 160°

120º E

13) Si en la figura L1 // L2, entonces el valor de  es: L1

63º



C

L1

L2

a) 100° c) 90°

b) 92° d) 80°

19) Si L1 // L2, ¿Cuál es el valor de ?

133º

L2 45º

a) 47° c) 110°

b) 70° d) 133° 122º

14) Si a un ángulo se le resta su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento; calcular dicho ángulo. a) 80° c) 15°

b) 45° d) 60°

15) La diferencia de dos ángulos adyacentes es 90. ¿Cuál es la diferencia de los ángulos formados por sus bisectrices? a) 40° c) 45°

 L2

L1

a) 30° c) 77°

b) 68° d) 122°

20) Determinar el valor de x sabiendo que L2  L1 y L3  L4 L2 x

10º

b) 50° d) 30° L4

16) Calcular la medida de un ángulo, sabiendo que su complemento es a su suplemento como 1 es a 10.

170º L3

a) 80° c) 60°

b) 75° d) 20°

L1


-7-

Cap. 2 TRIÁNGULOS Introducción.- Es un polígono el cual está limitado por tres lados los cuales forman entre sí tres ángulos, también se puede definir como el plano limitado por tres rectas las cuales se cortan dos a dos. c) Triángulo Escaleno: Tiene sus tres lados distintos. Sus tres ángulos interiores también son diferentes.

Notación:

ΔABC: triángulo ABC

Clasificación de los triángulos según sus ángulos:

Elementos:

 ,  ,

Ángulos interiores:

__ __ __ Lados del triángulo: AB , BC , CA. Vértices:

a) Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto (mide 90º). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

A,B,C

Clasificación de los triángulos según sus lados: a) Triángulo Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida (congruentes). Los ángulos interiores miden 60º cada uno.

b) Triángulo Oblicuángulo: Es aquel que no tiene ángulo recto (90º). -

Triángulo Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos, (menores a 90º)

-

Triángulo Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (mayor a 90º y menor que 180º)

60º

60º

60º

b) Triángulo Isósceles: Tiene dos lados de igual medida (congruentes). El tercer lado se denomina base. Los ángulos que se oponen a dichos lados son también iguales.

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Teoremas sobre triángulos: 1.- La suma de los tres ángulos interiores es 180º.

      180º

Líneas notables en un triángulo.Tienen mucha aplicación en la solución de ejercicios a) Mediana.- La mediana de un triángulo es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. C

2.- La suma de los tres ángulos exteriores de un triángulo es 360º.

      360º

A

M

B

M es el punto medio del segmento AB CM es la mediana relativa al lado AB

3.- La medida de un ángulo exterior (  ) es igual a la suma de dos ángulos interiores (  ) y (  ) no adyacentes a él:

  

4.- Un lado es mayor que la diferencia pero menor que la suma de los otros dos.

Las medianas, llamadas también TRANSVERSALES DE GRAVEDAD, se cortan siempre en un punto llamado baricentro “G” Propiedad: AG = 2GMa

ac  b  ac

5.- A mayor ángulo se le opone mayor lado y viceversa.

b) Altura.- La altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde cualquiera de sus vértices a la recta que contiene al lado opuesto. C

    a  c

h

A

H

B


-9-

C

h

H

A

B

En las figuras anteriores, CH  AC, entonces CH es la altura (h) relativa al lado AB.

Las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro “I” y la circunferencia que se observa es inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a los tres lados.

d) Mediatriz.- En un plano dado, la mediatriz es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. L

Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro “H”. En un triángulo rectángulo, la altura coincide con los catetos; y el ortocentro se encuentra en el vértice que contiene al ángulo recto. A

c) Bisectriz.- Es la recta que determina con los lados adyacentes, ángulos de igual medida.

M

B

M es el punto medio del segmento AB La recta L es  al segmento AB

Bisectriz interior C

A

D

B

Las tres mediatrices de un triángulo llamadas también SIMETRALES, se cortan en un punto llamado circuncentro “O”. La circunferencia que se observa es la circunscrita al triángulo.

- 10 -


Teoremas relacionados con triángulo y las líneas notables:

el

1.- Teorema de la Bisectriz en un ángulo.- Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.

3.- Teorema de la Mediatriz de un segmento.Cualquier punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.

A

Q

X P

 O

 R

B

L : Mediatriz del segmento AB P : Punto cualquiera de la mediatriz

OX : Bisectriz del

P :

 AOB

Entonces: PA  PB

Punto cualquiera de la bisectriz Además:

AM  BM

Entonces: PQ  PR Además: OQ  OR

2.- Teorema de la Bisectriz en un triángulo.En todo triángulo una bisectriz determina en el lado al cual es relativo segmentos proporcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz. Bisectriz Interior

4.- Teorema de la menor mediana de un triángulo rectángulo.En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa tiene como medida la mitad de la longitud de la hipotenusa.

// //

CM : Mediana relativa a la

hipotenusa

CM  AM  MB  BN : Bisectriz interior relativa a AC

Se cumple:

c m  a n

AB 2


- 11 -

EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Si L’ // L’’, calcular la medida del ángulo . Sabiendo que mide la mitad de .

se reproduce por alternos internos en el interior del triángulo. La condición es:

Solución: 3.- En la figura, L  L’ y L’’. Calcular las medidas de los ángulos α y β.

El ángulo α se reproduce en el triángulo por alternos internos. La suma de los tres ángulos en un triángulo es 180º.

Solución:

La condición del ejercicio:

Resolviendo:

2.- En la figura, calcular si: y siendo L’ // L’’

L, L” y la secante forman un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son 40º y 50º.

EL ángulo correspondientes:

Solución:

En L” se tiene:

De donde se obtiene:

y

50º

son

- 12 -

Matemática: 5to. de Secundaria EJERCICIOS PARA PRUEBAS DE SUFICIENCIA

Las medidas de longitud y ángulo no están dibujadas con exactitud, la solución deberá ser analítica. 1)

Calcular “x”.

5)

Calcular “x”, si: α + θ = 60º

30º

  3

x

20º

x



a) 30º c) 50º 2)

a) 150º c) 100º

b) 40º d) 60º

Calcular “x”.

6)

x

140º

136º

120º

3)

Calcular “x”; si es entero:

x

80º

a) 100º c) 120º

b) 120º d) 20º

a) 180º c) 86º

b) 80º d) 140º

En el triángulo de la figura, el valor de x es:

b) 94º d) 96º

7) Calcular el ángulo “x”: C

C 78º

20º x

46º A

35º B

D 35º

D

25º

x

a) 80º c) 83º 4)

b) 85º d) 89º

El triángulo GHI de la figura, el valor de x es:

a) 70º c) 60º

b) 50º d) 80º

8) HI bisectriz del ≮FHG; ≮FHI = ? H

150º I

45º

x

G 2x – 15

a) 45º c) 135º

25º

F

I

G

H

b) 75º d) 150º

a) 45º c) 20º

b) 25º d) 10º


- 13 -

Cap. 3 TRIGONOMETRÍA PLANA INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA Concepto.- La trigonometría, es la parte de la matemática que trata sobre la resolución analítica de los triángulos, relacionando sus lados y sus ángulos. Tiene mucha aplicación en la Ingeniería, en la agrimensura, en la navegación, etc.

b) Ángulo negativo: Rotación en el mismo sentido de las manecillas del reloj. O

Lado inicial

A

(–)

Ángulo trigonométrico.- Los ángulos definidos en geometría plana no son suficientes para el uso en trigonometría, puesto que en ella se trata con ángulos positivos y negativos. Un ángulo trigonométrico es generado por una semirrecta que gira alrededor de un origen desde una posición inicial hasta otra posición final. La recta que gira se llama generatriz del ángulo y el origen se llama vértice.

B

Observaciones: Entre los ángulos, son: 1) Ángulo de revolución.- Cuando la rotación de la generatriz es en sentido antihorario completando una vuelta.

B

Ángulo de “n” revoluciones

Ángulo de una revolución Ángulo exterior

O

A Lado inicial

La rotación del ángulo se puede efectuar en 2 sentidos:

a) Angulo positivo: Rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

2) Ángulo en posición normal.- Se encuentra en un sistema de ejes coordenados rectangulares; vértice en el origen “O”, su lado inicial en el semieje +X, su lado terminal en cualquiera de los cuadrantes.

 = Ángulo positivo

 = Ángulo negativo y

B

α

(+) O

O

A Lado inicial

x

- 14 -


3) Ángulos coterminales.- Dos o más ángulos son coterminales cuando tienen el mismo lado inicial y el mismo lado Terminal.

y

B B

O



α

= 1 vuelta

s

r O

A

r

A

x



Ejem.- Un ángulo mide,   60º y es un ángulo normal. Hallar dos ángulos positivos y negativos que sean coterminales con  . 1er. ángulo coterminal positivo:

5) Ángulos complementarios.- Dos ángulos son complementarios cuando sumados dan 90º. Los ángulos de la complementarios porque:

figura

son

60º + 360º = 420º x + y = 90º 2do. ángulo coterminal positivo: 60º + 720º = 780º y

1er. ángulo coterminal negativo:

x

60º – 360º = –300º

2do. ángulo coterminal negativo: 60º– 720º = –660º 4) Ángulo central.- El vértice se encuentra en el centro de una circunferencia; los lados vienen a ser el radio de dicha circunferencia. s

=

arco de A a B



=

ángulo central

r

=

radio

O

=

Centro o vértice

6) Ángulos suplementarios.- Dos ángulos son suplementarios cuando sumados dan 180º. Los ángulos de la suplementarios porque:

figura

son

x + y = 180º

y

x

Sistemas de medidas angulares.Existen varios sistemas de medidas:


- 15 -

a) Sistema Sexagesimal.- La unidad de medida es el “grado sexagesimal” y es una de las 360 divisiones de la circunferencia. Cada grado está divido en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos.

0 2

90º

0º 360º

180º

270º

La longitud de equivale a 2

1 vuelta

= 360º (grados)

1 grado

= 60 ’ (minutos)

1 minuto

= 60 ‘’ (segundos)

b) Sistema Centesimal.- La unidad de medida es el “grado centesimal” y es una de las 400 divisiones de la circunferencia. Cada grado está divido en 100 minutos centesimales, y cada minuto en 100 segundos centesimales. 90 g

270 g

1 vuelta = 400g (grados centesimales) 1 grado = 100min 1 minuto = 100

1radian 

una

circunferencia

360º  57.3  57º17º 45' 2

Conversión de ángulos: 1) Entre el sexagesimal:

sistema

2  rad  360º

circular

y

 rad  180º S R  180º 

Donde “R” es un ángulo medido en radianes y “S” es el mismo ángulo medido en grados sexagesimales. 2) Entre el sistema circular y el centesimal:

2  rad  400g

(minutos) (segundos)

c) Sistema Circular o Radial.- La unidad de medida es el “radián” y es igual a un arco de una longitud igual a la de su radio.

de

1 vuelta = 2π Dónde: π = 3.14159

Se tiene, la proporción: seg

radio

una

Se tiene, la proporción: 0g 360 g

180 g

En trigonometría el circunferencia es 1.

 rad  200g C R  200 g 

3) Entre el sistema sexagesimal y el centesimal: 360º = 400 g Se tiene, la proporción:

180º = 200 g S C  180º 200 g

- 16 -


La medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y segundos, o en una sola unidad: 8º 30' 36''

8.51º

Forma compleja

Forma decimal

Longitud de un arco.- Recordamos que un arco es una parte de una circunferencia. La longitud de un arco es una de las aplicaciones del radian como unidad de medida angular. s

B

A

r 2  2

Ejemplos: 1. Expresar 60º en radianes:

R

S   rad . 60º  rad . 1    rad . 180º 180º 3

1  rad. en sexagesimales: 4 1  rad .  180º R  180º 4 S   45º  rad .  rad .

2. Expresar

r A O

r

3. Calcular el ángulo en radianes de la siguiente figura:

y

s : Longitud del arco r : Radio de la circunferencia θ : Ángulo central en radianes

s  r La longitud del arco de una circunferencia es igual al producto del ángulo central expresado en radianes por la longitud del radio. La unidad radian es adimensional, observe la siguiente transformación.

L  r





L 25 m   1.25  1.25 rad . r 20 m

4. Calcular el área del sector circular en la figura anterior.

Área de un sector circular.- El área de un sector circular depende de dos parámetros, el radio y el ángulo central expresado en radianes.

s

B

r 2    20 m   1.25 rad  2 2 2

A

r A O

r y

r 2    20 m   1.25 rad  2 2 2

A


- 17 -


Convertir de 15º a radianes: a) π c) 15π

9)

b) 0.26 d) π/2

Un ángulo de un triángulo mide 35º y el otro 5 rad. ¿Cuánto mide el 9 tercer ángulo en el sistema centesimal?

2) Convertir de 150º a radianes: a) 2.62 c) 26.2

3)

a) 50 g c) 75 g

b) 0.262 d) 262

10) La suma de dos ángulos es

Convertir de 90º a radianes: a) π c) π/2

a) 59º y 21º c) 45º y 54º

4) Convertir de 45º a radianes b) 2π d) π/4

a) 62º c) 51.24º

b) 56º d) 90º

7)

a) 0º c) 180º

8) Convertir de

π/2

radianes

a

b) 40 m2 2 d) 80 m

13) Calcular el área del sector circular sombreado:

b) 90º d) 270º

17 rad a 4

sexagesimales: a) 765º c) 760º

a) 160 m2 2 c) 60 m

b) 15º d) 18º

Convertir de sexagesimales

b) 77º d) 47º

12) Si la longitud del arco de un sector circular es 20 m y su radio 8 m. Calcular el área de dicho sector circular:

6) Convertir de π/10 radianes a sexagesimales: a) 10º c) 20º

b) 49º y 31º d) 63º y 37º

11) En un triángulo ABC, A = 60º y B = 1.2 rad. Determinar la medida del ángulo C

5) Convertir de π / 5 a sexagesimales: a) 46º c) 36º

b) 755º d) 800º

4 y 9

su diferencia es 18º. Determinar la medida de dichos ángulos.

b) 2π d) 3π/2

a) π c) π/2

b) 45 g d) 83 g

a) 6 m2 c) 4 m2

b) 2 m2 d) 5 m2

- 18 -


14) Hallar la longitud de la circunferencia, si a un arco de 4 m le corresponde un ángulo central de 30º a) 24 m c) 16 m

b) 32 m d) 48 m

15) El área de un sector circular de 90° es 4π cm2. Calcular el radio del círculo al que pertenece. a) 4 cm c) 6 cm

20) Calcular el valor de x: (4x  11)º 

a) 2 c) 4

3 rad 20

b) 3 d) 5

21) Expresa en grados: π/6 rad a) 15º c) 30º

b) 20º d) 45º

b) 5 cm d) 7 cm 22) Expresa en grados: 3π/4 rad

16) Calcular el radio de una circunferencia de tal manera que un arco de 15 m de longitud, subtiende un ángulo central de 3 rad.

a) 270º c) 145º

b) 135º d) 180º

23) Expresa en grados: 3π rad a) 5 m c) 6 m

b) 4 m d) 7 m

17) Dos ángulos en el centro de un círculo son complementarios y las longitudes de los arcos que subtiende suman 4 m. Calcular la longitud del radio del círculo. a) 7 m c) 8 m 18) El arco

a)

b) 9 m d) 5 m

 15

1 15º

c) 18º

es equivalente a:

b) 12º d)

1 12º

19) La medida en radianes del ángulo 230º es:

a) 23π/8 c) 23π/18

b) 20π/18 d) 2π

a) 0º c) 330º

b) 540º d) 600º

24) Expresa en radianes: 60º a) 0 rad c) π/5 rad

b) π/3 rad d) 2π/3 rad

25) Expresa en radianes: 120º a) 0 rad c) 3π/5 rad

b) 2π/3 rad d) 2π rad

26) Expresa en radianes: 300º a) π/2 rad c) 3π/5 rad

b) 2π/3 rad d) 5π/3 rad

27) Expresa en radianes: 240º a) 3π/2 rad c) 4π/3 rad

b) 2π/3 rad d) 5π/3 rad


- 19 -

Cap. 4 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS Triangulo rectángulo.- Es un triángulo que tiene un ángulo de 90º. B

c

a

C

A b

AC = b = BC = a = AB = c =

Cateto Cateto Hipotenusa

Propiedades del triángulo rectángulo: 1) Teorema de Pitágoras: El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. En el ABC :

c2 = a2 + b2

2) Ángulos agudos complementarios: La suma de los ángulos agudos da un recto.

"Memorizar las definiciones trigonométricas en palabras ya que las letras que designan los catetos y la hipotenusa pueden variar".

    90º

Razones trigonométricas.- Se obtienen dividiendo las longitudes entre los lados de un triángulo rectángulo. Referencia el ángulo

:

Razones trigonométricas recíprocas.Se denominan a las siguientes funciones trigonométricas:  cos ecante seno  cos eno  sec ante tan gente  cot angente 

Ejemplos:

sen   tg  

5 3

1 3

 

csc   cot  

3 5

3 3 1

- 20 -

Matemática: 5to. de Secundaria EJERCICIOS PROPUESTOS

USO DE CALCULADORA: Para hallar las razones trigonométricas con la calculadora lo primero que tenemos que mirar es en que unidades la tenemos.

3) Utilizando la calculadora, halla los ángulos (en grados y en radianes) de las siguientes razones trigonométricas: a) sen  = 0.3456 Resp:  = 20º 13’ 7”

Si nos dan los ángulos en radianes, el símbolo que debe aparecer en la parte superior de la calculadora es R o RAD.

b) cos  = 0.5555 Resp:  = 56º 15’ 17”

Si nos lo dan en grados deberá aparecer D o DEG.

c) tg  = 1.4572

ˆ y Cˆ 1) Averigua los ángulos Aˆ , B (en grados) sabiendo: a)

Resp:  = 55º 32’ 24”

ˆ = 2.5 tg A

d) cos  = 0.25 Resp:  = 75º 31’ 21”

Resp: 68º 11’ 55” b)

e) sen  = 0.0525

ˆ = 0.3 sen B

Resp: 17º 27’ 27”

Resp:  = 3º 34”

ˆ = 0.6 sen C

GRADOS Y RADIANES

c)

Resp: 36º 52’ 12”

4) ¿A cuántos radianes equivalen 115° 38' 27"?

2) Utilizando la calculadora, halla las siguientes razones trigonométricas redondeando a 4 decimales: a) sen 34º 35’ 57”

Resp: 2.02 rad

5) ¿A cuántos grados sexagesimales equivalen 2 radianes?

Resp: 0.5678

Resp: 114° 35' 29"

b) cos 85º 7’ 23” Resp: 0.0850 c) tg 87º 33” Resp: 19.1397 d) sen 43º 35’ Resp: 0.6894

6)

Completar con calculadora la tabla siguiente:

ˆ A

45º

30º

75º

º ’ ’’

ˆ A

 3

radianes

ˆ tg A

2.3

 6

0.6


- 21 12) Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan y el ángulo :

7) Resuelve los siguientes apartados:

ˆ = 1/2 a) Si cos A

ˆ y tg A ˆ Calcular: sen A

1 3

sen 

2 3

cos 

ˆ = 4/5; b) Si sen A

tg 

ˆ y tg A ˆ Calcular: cos A



8) Sabiendo que sen  2 , halla el 3 resto de las razones trigonométricas. 5

Resp: cos  

, tg 

2

13) Calcular las razones trigonométricas de los ángulos A, C, ABD y CBD.

2 5

3

5

3 , halla el 4 resto de las razones trigonométricas.

9) Sabiendo que cos  

Resp: sen 

7

, tg 

4

A

7 3

sen

C

ABD

CBD

12/15

cos

5 tg  , halla el 4

10) Sabiendo que

tg

resto de las razones trigonométricas. 14) Resp: cos   4 41 , sen   5 41 . 41

41

Se sabe que en un triángulo rectángulo se cumple: cot   0.75 .

11) Completa la haciendo uso fundamentales:

siguiente tabla, de la relaciones

E  5 sen   3 sec   1

sen2   cos2   1

Resp: 10

sen tg  cos  sen  cos  tg 

4 5

0.94

Determine el valor de la expresión:

3 2

0.82 3.5

1

- 22 -


1)

En la figura, calcula “sen”.

6) a) 1 c) 3/4

2)

a)

7 3

b)

2 10 7

c)

3 10 20

d)

2 10 3

Si tg x = 1/2 entonces sen x es igual a:

b) 2 d) 4/5

15 Siendo: . Calcular el sen  17 valor de “x” en la igualdad:

x cos   7  sen

7)

a)

5

b)

c)

5 5

d) 5 5

Si

cos ec x 

” a) –9 c) –13

3)

b) 8 d) 15

Calcular:

5 entonces “ cot x 3

es igual a:

a) 3/4 c) 3/5

b) 4/3 d) 15/4

0°    90°

sen  0.75

Si:

2

E  3 7 cot 

8)

cot  

Si:

1 ; (  es agudo) 4

Calcular: a) 1 c) 3

4)

M  17  sen  cos  

b) 2 d) 7 a) 2 c) 4

3 Sabiendo que sen   , 5 entonces el valor de: E = cos   tan   sen 

9)

Si: sen  

b) 3 d) 5

2 ; (  es agudo) 3

Calcular: cot  a) 20/19 c) 5/3

5) Si

sen  

de la

b) 19/20 d) 4/3

3 , 7

tg  es:

a) c) entonces el valor

5 5 2

b) 2 5 d) 5 5

Matemática: 5to. de Secundaria 10) Si: sec  

- 23 14) En un triángulo rectángulo ABC recto en C reducir:

5 ; 2

E  a.tgB  c.senA  b.tgA

(  es agudo). Determinar:

E  5 sen  cot 

a) 1 c) 3

a) b c) c

b) 2 d) 4

15) En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir:

11) Si se tiene que (  ) es agudo y 3 cos   4 2 Calcular: E  csc  

a) 1

b) 2

12) Calcular:

b) a d) a + b

4

a) 1

b) 2

cot 

7

c) 3

E  senA  sec C  cosC  csc A

16) Si:

d) 4

P  cot  . tg



tg 

c) 3

2

0°    90º

3

P  3sec 2   2csc 2 

Calcula:

a) 5 c) 15

b) 10 d) 20

17) En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que:



cos A 

a) 1 c) 2/3

d) 4

b) 2 d) 3

Calcular:

P  csc 

13) De la figura, halla:

csc B 5

P  sec A  cot B

b) 5  2 d) 2

a) 5 c) 5  2

18) En un triángulo rectángulo ABC (recto en C) reducir: H   tgB  cot B    cot A  tgA  2

a)

6

b)

11

c)

13

d)

17

a) 4

b) 5

c) 6

2

d) 8

- 24 -


cos  

19) Si:

5 4

0º    90º

y

24) De la figura, calcular: E

L  csc   cot 

Calcular:

a) 1

tg  tg sen

B

b) 2

3

3

c) 1

d) 3

17

C

2

A

20) En un triangulo rectangulo ABC recto en B. Reducir:

α

E D I------------------ 18 ----------------I

E  senA sec C  senC sec A

a) 1 a) 1

b) 2

21) Si: sec x 

c) 3

7.

d) 4

b) 2

c) 3

d) 4

25) De la figura, hallar: tg

Calcular:



E  tg x  42 senx 2

a) 10

b) 12

22) Si: tg  

Calcular:

a) 1

c) 14

8 ; (  es agudo) 15

E

a)

1 sen   2 cos  2

b) 2

c) 3

30°

d) 18

d) 4

c)

1 2 3 2

b) d)

3 3 2 2

26) De la figura, hallar: cot 



23) A partir de la figura, calcular: N  tg  tg



a) 1 c) 3

a) 16

b) 18

c) 20

d) 22

b) 2 d) 2


- 25 -

Cap. 5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Triángulos notables.- Son aquellos triángulos rectángulos donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. 1. Triángulo notable de 45º.- Se parte de un cuadrado de lado, cuyo valor podemos asumir 1:

2. Triángulo notable de 30º y 60º.- Se parte de un triángulo equilátero de lado 2. Se forma un triángulo rectángulo de ángulos agudos 30º y 60º, la altura (cateto) se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

Se forma un triángulo rectángulo isósceles de catetos igual a 1, la hipotenusa se con el teorema de Pitágoras.

Las razones trigonométricas para 30º

Las razones trigonométricas para 45º: sen45º 

cos 45º 

tg45º 

1 2 1 2

1 1 1

Sus inversas son:

csc 45º  2

sec 45º  2 cot 45º  1





2 2 2 2

sen30º 

1 2

cos 30º 

3 2

tg30º 

1 3

Sus inversas son:

csc 30º  2 sec 30º 

2 3 3

cot 30º  3



3 3

- 26 -


53º

5

3

37º

4

Las razones trigonométricas para 60º

Las razones trigonométricas para 37º:

3 5

sen60º 

3 2

sen37º 

cos 60º 

1 2

cos 37º 

tg60º 

3  1

tg37º 

3

3 4

Las razones trigonométricas para 53º:

Sus inversas:

sen53º 

2 3 csc 60º  3 sec 60º  2 cot 60º 

4 5

3 3

3. Triángulo notable de 3; 4 y 5.Uno de los triángulos más utilizados tanto en física como en matemáticas, cuyos catetos miden 3 y 4, la hipotenusa 5. Los ángulos agudos aproximadamente 37º y 53º

4 5

cos53º 

3 5

tg53º 

4 3

4. Otros triángulos:

miden 8º

16º 25

7a

24

82º

74º 7

a


- 27 -

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Grados

30º

45º

60º

37º

53º







6

4

3

0.646

0.925

sen 

1 2

2 2

3 2

3 5

4 5

cos 

3 2

2 2

1 2

4 5

3 5

tg 

3 3

1

3

3 4

4 3

cot 

3

1

3 3

4 3

3 4

sec 

2 3 3

2

2

5 4

5 3

csc 

2

2

2 3 3

5 3

5 4

Radianes

Ejemplos de aplicación: 1.

Calcular: E = sen230º + tg37º

3.

Reemplazando valores: 2 3 1 E   4 2

1 3  4 4



 E1

Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo α, sin usar calculadora (0° < α ≤ 90°):

sen α

3 2 2 2

cos α

2. Evaluar:

sen2 45º  cos 60º E csc 30º

Reemplazando valores: 2

 2    1  2  2  E =  2



2 1  4 2 2

tg α

0

α

30º

Solución:



1 2

sen α

3 2

0

cos α

1/2

1

3

0

60º

0º

tg α α

1/2 3 2 3 3

30º

2 2 2 2

1 45º

- 28 4.


Calcula el valor de las siguientes expresiones: a) cos 30º – sen 60º + tg 45º

3 3  1  1 2 2

cos(x + y) . sec(x + y) = 1

2. Razones trigonométricas ángulos complementarios:

de

Si: y   son dos ángulos complementarios, siempre se cumple que:

b) cos2 60º – sen2 45º 2  1  2   2    2     



1 2 4



2

1 2  4 4





c

1 4

b sen  cos  tg  cot  sec   csc 

c) tg 60º + sen 45º – cos2 30º

2 3 2



 3   2   

a

2



3

2 3  2 4

4 3 2 2 3 4

"La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su complemento". Es decir, se cumple: Ejemplos:

Propiedades de trigonométricas:

las

razones

1. Razones trigonométricas recíprocas:

sen 60º = cos 30º sen 75º = cos 15º

sen Para un mismo ángulo, siempre se cumple:

sen . csc   1

cos  . sec   1 tg . cot   1 Ejemplos: sen 10º . csc 10º = 1 tg A . cot A = 1

   cos 6 3

tg 30º = cot 60º tg

3   cot 10 5

    90º


- 29 -

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Determinar el valor de:

Solución: Reemplazar los valores de acuerdo a la tabla de los ángulos notables:

La respuesta es:

3. Resolver el menor valor positivo de “x” verifique:

sen 5x = cos x 2. Si y Hallar

.

Solución: Dada la ecuación, se observa que son funciones complementarias, los ángulos deben sumar 90º, entonces:

. 5x + x = 90º

→

x = 15º

Solución: Reemplazando los valores de las funciones trigonométricas:

4. Resolver “x” el menor positivo que verifique: sen 3x – cos y = 0 tg 2y . cot 30º – 1 = 0 Solución: El sistema planteado es equivalente a: (complem.) (recíprocos)

Ahora se puede dibujar un triángulo rectángulo con los siguientes datos:

Se obtiene: Reemplazando en la primera igualdad: 3x + 15º = 90º 3x = 75º x = 25º

- 30 -


1)

La cotangente de



es igual a:

6)

La tangente de  es igual a:

6

a)

1

3

b) 0

a)

d) 1

c) 1

3

c)

3

3 2

b)

3

d) 0

2

2)

7)

El seno de 

El coseno de  es igual a:

es igual a:

4

4

a) a)

b) 2 2 1 d) 2

3 2

c) 1 3

3)

El seno de  es igual a:

c)

8)

b) 1

2 2 3 2

d)

4 1

3

El coseno de  es igual a: 6

3

a) 1

b)

2 1 c) 3

4)

d)

a)

2 2 3 2

El coseno de  es igual a:

9)

b) 1

3 2

4

c) 1

d) 1

3

2

La tangente de  es igual a: 4

3

a) 1

b)

2 c) 1 4

d)

3 2 2 2

a)

b) 1

3

c) 1 2

d) N.A.

10) El valor de, es: 5)

El seno de  es igual a: 6

a) 1

b)

2 1 c) 3

d) 1

3 2

4

 sen30º  a) 2 c)

1 2

2

  sen60º    sen90º  2

b)

3 4

d) 0

2


- 31 -

11) El valor de la expresión, es:

15) Si sen30º  1 , calcular 2

sen2 45º  cos2 30º

a)



2 3



2

5 4

c)

b) d)



2 3 4

a)

1 2 3 2

c)

5 4


b)

3

d)

2 3

16) Calcular:



tg 45º  sen30º



E  sec 2 45º tg45º cot 37º 2 cos 60º

b) –2/3 d) –3/2

a) 2/3 c) 3/2



2

cos 30º sen30º


a) 0

b) 1

c) 2

cot 17) Calcular:

 4

 cos

sen  sen

   tg 3 6   1  tg  tg 3 6 tg

d) 3

 4



6

b) 1

a) 1

2

a) c)



3 3

b)

3 3 2

d)



3 3

c)

2 2

d) -1

18) Calcular: “x” 3x sec 53º tg45º  sec 60º  sec 45º sen45º 

csc 30º

14) Determine el valor de: sen 60º cos 30º tg 30º

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

19) Calcular: a)

3 6

c) 3

b)

3

E   tg60º  sec 30º sen60º 

d) 3 3 a) 25/12 c) 49/12

b) 25/24 d) 49/24

sec 60º

- 32 -


20) Calcular: E

a)

25) Resolver:

tg30º sec 60º sen37º cos30º sen2 45º 3 5

b) 11 3 15

c) 3 3 15

d)

5 3 3

5 x sen53º 2 sec 60º  x tg45º  sec 2 45º

a) 1 c) 3

b) 2 d) 1/2

26) Indicar el valor de “x” en:

tg(2x  5º )  sen2 30º sen2 60º 21) Calcular:

E   sen30º  cos60º  tg37º

a) 1 c) 1/4

b) 2 d) 3/4

a) 15º c) 25º

27) Del gráfico hallar: cot 

22) Calcular: F

b) 20º d) 30º

45º

3

4 sen30º  3 tg60º 10 cos 37º  2 sec 45º

a) 1 c) –1/3

b) 1/2 d) 2

a) 7/3 c) 7

b) 7/5 d) 7/4

23) Calcular:

E  6 tg30º sec 45º 3sec 53º

a) 3 c) 7

b) 5 d) 9

28) Del gráfico hallar: cot 

5 53º

24) Calcular:

10

E  sec 37º  cot 53º 2 sen30º

a) 0 c) 2

b) 1 d) 3

a) 7/3 c) 7

b) 7/2 d) 7/4

Matemática: 5to. de Secundaria 29) Calcular:

- 33 a) 8 c) 60

x+ 3

12

b) 64 d) 49

33) En la figura. Hallar: BC. Si : AB = 10

30º B

x a) 6 3

b) 7 3

c) 8 3

d) 9 3

30º

45º

C

A

30) Calcular:

x + 2 10 a) 8 2

b) 10 2

c) 5

d) 5 2

8 5

34) En la figura: Hallar : BC. Si: AB = 5

45° x

B

a) 4 5

b) 4 10

c) 6 10

d) 8 10 37º

30º

A

31) Calcular:

x+y a) 3 c) 10

16

b) 6 d) 12

x 37º

a) 22.1 c) 22.3

32) Calcular:

35) Hallar “x”.

b) 22.2 d) 22.4 x2 – 4

17 x 15

a) 5 c) 7

b) 6 d) 8

C

- 34 -


36) En un triángulo ABC, mA = 30°, mC = 45° y AB = 16. Hallar BC a) 8

b) 8 2

c) 8 3

d) 6 3

37) En un triángulo ABC de modo que: mA = 53° , mC = 45° y AC = 21. Hallar AB

a) 5 c) 15

b) 10 d) 20

41) Sabiendo que: tg5x . cot(x  40º )  1

Calcular: cos3x

a) 1

b) 1

c)

d)

2 3 2

3

42) Hallar “x”. Si:

cos(3x  12º ) . sec(x  36º )  1

38) Hallar “x”. a) 12º c) 36º

b) 24º d) 48º

43) Determinar “x” en: sen(3x  25º ) . csc(x  35º )  1

a) 4 c) 10

b) 8 d) 4 2

a) 5º c) 10º

b) 8º d) 15º

44) Calcular: 39)

Hallar “m”.

E  (7 tg10º 2 cot 80º )(cot10º tg80º )

a) 5 c) 10

b) 14 d) 12

45) Calcular: a) 10 c) 18

b) 20 d) 16

E

sen10º 2 tg20º 3 sec 40º   cos80º cot 70º csc 50º

40) Señale el valor de “x”. Si:

sen2x . csc 40º  1 a) 10º c) 15

b) 5º d) 20º

a) 1 c) 0

b) 2 d) –1


- 35 -

Cap. 6 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTANGULOS Introducción.- Uno de los temas más importantes de la trigonometría es la resolución de triángulos.

La dirección de B respecto de A es: N 30º E

o

E 60º N

La dirección de C respecto de A es: S 56º O Resolver un triángulo es hallar los valores numéricos de sus tres lados, los tres ángulos y su área.

o

O 34º S

Rumbos

Ángulos verticales.- Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formado por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual: Ángulos de elevación y depresión El rumbo de Q respecto de P: 47º al oeste del norte. El rumbo de M respecto de P: 27º al este del sur. Ángulos horizontales.- Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales Norte (N), Sur (S), Este (E) y Oeste (O). Ejes cardinales (para dirección)

Pendiente o inclinación de una carretera.- Existen algunas señales en las carreteras como indica la figura: Pendiente prolongada de 10%. Significa que cada 100 m recorridos en horizontal, subimos (o bajamos) 10 m en vertical.

- 36 -


Resolución de un triángulo rectángulo.- Para resolver un triángulo rectángulo es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

a) Teorema de Pitágoras:

c 2  a 2  b2 b) Relación de ángulos:

    90º

c) Área de un triángulo rectángulo:

A 

ab 2

d) Funciones trigonométricas principales:

sen  

a c

cos  

b c

tg  

a b

sen  

b c

cos  

a c

tg  

b a

Ejemplos: 1. Se conocen la hipotenusa y un cateto: Cálculo de “b”:

Cálculo de “α”:

b  62  4 2

sen  

b  36  16 b  20 b  4.5 m

4 6

  sen1(4 / 6)   42º 6'

Cálculo de “β”:

Cálculo del área:

  90º  ba A   90º 42º 6' 2   47º 54'

A

4.5  4 2

A  9 m2


- 37 -

2. Se conocen los dos catetos: Cálculo de “c”:

Cálculo de Cálculo de “α”: “β”:

c  202  302

tg  

c  400  900 c  1300

Cálculo del área:

  90º  ba A   90º 33º 36' 2

20 30

  tg1(2 / 3)

  56º 24'

A

  33º 36'

30  20 2

A  300 m2

c  36.1m

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo: Cálculo de “a”:

sen  

a 5

Cálculo de “b”:

cos  

b 5

a  5  sen 

b  5  cos 

a  5  sen 37º

b  5  cos 37º

a3m


Cálculo del área:

  90º    90º 37º

  53º

A

ba 2

A

43 2

A  6 m2

b4m

4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo: Cálculo de “a”:

tg  

a 2.5

a  2.5  tg 

Cálculo de “c”:

cos   c

2.5 cos 

c

2.5 cos60º

a  2.5  tg 60º a  4.3 m

2.5 c

c 5m


Cálculo del área:

  90º    90º 60º

A

  30º

ba 2

2.5  4.3 2 A  5.4 m2

A

- 38 -


1) Un teodolito mide 1.5 m, está ubicado a 8 m de la base de un árbol, se observa la parte alta del árbol con un ángulo de elevación de 30º. Hallar la altura del árbol.

Altura = 38 m + 80 m = 118 m

3) Desde una cierta distancia de un edificio, se observa la parte alta, con un ángulo de elevación de 43º, se camina 100 m hacia el edificio y se vuelve a observar la parte alta con un ángulo de elevación de 74º. Hallar la altura del edificio. Solución:

2) Desde el cuarto piso de una casa se observa un edificio, la parte baja se observa con un ángulo de depresión de 11.1º y la parte alta con un ángulo de elevación de 22º. ¿Cuál es la altura del edificio?

Solución:

Combinando (1) y (2):

Solución:


- 39 -

EJERCICIOS PROPUESTOS 1)

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 47º y el cateto opuesto 8 cm, halla la hipotenusa. Resp: 10.94 cm

2)

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 26 cm y un ángulo 66º. Calcula los catetos. Resp: 23.7 cm y 10.6 cm

3)

4)

10) La apotema de un polígono regular de 9 lados mide 15 cm, calcula el lado. Resp: 10.9 cm

Resp: 15.4 cm

12) La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 36º, mide 11 m. ¿Cuál es la altura del árbol?

En un triángulo rectángulo los catetos miden 15 y 8 cm, halla los ángulos agudos.

En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 78º y la altura 28 cm, halla el lado desigual.

Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 41 cm y los ángulos iguales 72º, calcula el otro lado. Resp: 25.3 cm

7)

Resp: l  40 3 cm; a  20 cm

11) El lado de un hexágono regular mide 30 cm, calcula la apotema.

Resp: 11.9 cm

6)

Calcular el lado y la apotema del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 40 cm.

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 44º y el cateto adyacente 16 cm, calcula el otro cateto.

Resp: 28.º y 61.9º

5)

9)

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4.8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54º. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.

Resp: 25.98 cm

Resp: 8 m

13) Calcular el ángulo que forma la diagonal de un cubo de aristas 10 cm con la diagonal de la base. Resp:

14) Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. Resp: lado = 8.6 cm; A = 35º 32’; B = 54º 28’

15) ¿Cuál es la inclinación de los rayos del sol si un mástil de una bandera de 3 m de altura proyecta una sombra sobre el suelo de 1.2 m? Resp:

Resp: a = 3.49 cm; A = 36º; b = 4.8 cm; B = 54º; c = 5.93 cm; C = 90º

8)

Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, y forman un ángulo de 60º. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área? Resp: h  6 3 m ; A  120 3 m2

35.3º

68.2º

16) Juan y Pedro ven un árbol en la otra orilla del río que está frente a ellos. Al caminar Juan por la orilla una distancia de 150 metros observa que el ángulo formado entre la orilla y el árbol es de 62º. ¿Cuál es el ancho del río? Resp:

h = 282 m

- 40 -


17) Desde una cierta distancia de un castillo, se observa su parte alta, con un ángulo de 35º, se camina 10 m hacia el castillo y vuelve a observar la parte alta con un ángulo de elevación de 63º. Hallar la altura del castillo y el valor de X.

20) En la figura, calcular la altura de la torre.

Resp:

h = 40.37 m

21) En la figura, calcular la altura del edificio rojo. Resp: h = 10.88 m; x = 5.54 m

18) Dos personas “A” y “B” separadas por 20 m, observan la parte alta de una iglesia. “A” observa con un ángulo de 60º y “B” lo observa con un ángulo de elevación de 45º. ¿Cuál es la altura de la iglesia?

Resp:

h = 99.63 m

22) Se recorren 150 m en una carretera salvando un desnivel de 10 m. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la carretera? Resp: 3.8º 60º

45º A I------------- 20

Resp:

B

m -----------I

h = 47.61 m

19) Desde un globo aerostático que está a 3000 m de altura se observan dos buques con ángulos de depresión de 40º y 25º. Hallar la distancia entre los buques.

23) Un piloto que vuela a una altitud de 300 m señala que su ángulo de depresión a la torre de control es de 18°. Si el avión sigue volando a esta altitud hacia la torre de control, ¿cuantos metros tiene que recorrer para llegar a la torre? Resp:

923.3 m

24) Se quiere medir la anchura de un río. Para ello se observa un árbol que está en la otra orilla a la parte más alta y se obtiene un ángulo de elevación de 55º. Alejándose 5 m del río en la misma dirección del árbol se vuelve a medir el ángulo de elevación y se obtiene 42º. Calcula la anchura del río y la altura del árbol. Resp: h = 2858.3 m

Resp:

x = 8.53 m; y = 12.18 m


- 41 -


Desde un punto en el suelo, dos estudiantes observan la parte más alta de la catedral de Sucre con un ángulo de elevación de 37° cuando se encuentran a 40 m de su base. ¿Cuál es la altura de la catedral?

a) 10 m c) 15 m

4)

a) 25 m c) 30 m

2)

Calcular la longitud de la diagonal del cubo:

b) 28 m d) 34 m

Una persona de 2 m de estatura ubicada a 32 m de la base de una torre, que tiene una altura de 34 m, divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de:

5)

a) 30º c) 45º

3)

b) 12 m d) 17 m

a) 5 2

b) 5 3

c) 15

d) 10 3

Calcule, cosα

b) 27º d) 60º

Desde la parte más alta de una vieja casona, un niño observa un perro que se encuentra en la calle con un ángulo de depresión de 37". Si la altura de la casa es de 9 m, ¿a qué distancia de la base de la casa se encuentra el perro?

a) 1/2 c) 2/5

b) 3/4 d) 1

- 42 6)

Calcule, cot α – tg α

a) 1

7)


b) 2

c) 3

9)

d) 4

El ángulo de elevación de la parte superior de un edificio es de 30°, si acercándose 100 m, se encuentra que el ángulo de elevación es de 60°, ¿cuál es su altura?

2

Calcule, cos α

a) 2/3 c) 5/6

10) Calcule AB en términos de “a” “α”:

a) b) c) d) a) 50 3 m c) 50 2 m

8)

b) 40 3 m d) 70 3 m

b) 3/4 d) 1/2

a(cos α + tg α) a(cos α + cot α) a(sen α + cos α) a(csc α + tg α)

11) Hallar “x”:

Desde lo alto de un faro de 96 m de alto, se divisan dos barcos a un mismo lado con ángulos de depresión de 37° y 45°. ¿Cuál será la distancia entre los barcos? a) 25

b) 50

c) 24

d) 36

12) Hallar “x”

a) 25 m c) 32 m

b) 28 m d) 35 m

a) 12

b) 8

c) 10

d) 9

y

Matemática: 5to. de Secundaria 13) Hallar “x”

- 43 18) Un barco se encuentra frente a un acantilado de 60√3. m de altura. Al dirigir la vista hasta la cumbre del acantilado, se obtiene un ángulo de elevación de 30°. Halla la distancia entre el barco y la base del acantilado. a) 100 m c) 150 m

a) 12 b) 12.5

c) 20.5 d) 25

14) Desde lo alto de un faro, se ve un barco a 24 m de su base con un ángulo de depresión de 53°. ¿Cuál es la altura del faro? a) 30 m c) 34 m

b) 300 m d) 50 m

16) Una escalera apoya su pie a 3 m de un muro y la parte superior se apoya justo en el borde del muro. Si el ángulo formado entre el piso y la escalera mide 60°, ¿cuáles el largo de la escalera? a) 6 m c) 8 m

b) 7 m d) 10 m

17) Desde un punto en el suelo, se observa la parte alta y baja de una antena con un ángulo de elevación de 45° y 37°, respectivamente. Si la antena mide 4 m y está en la azotea de un edificio. ¿Cuál es la altura de dicho edificio? a) 10 m c) 14 m

19) Desde lo alto de un poste, se observan en direcciones opuestas a dos objetos en el suelo con ángulos de depresión de 45° y 16°. Si el poste mide 14 m, ¿qué distancia separa a los objetos? a) 55 m c) 62 m

b) 60 m d) 65 m

b) 32 m d) 36 m

15) Desde lo alto de un faro, se observa dos barcos en direcciones opuestas con ángulo de depresión de 16° y 37°. Si la altura del faro es 21 m, ¿qué distancia separa a los barcos? a) 200 m c) 100 m

b) 120 m d) 180 m

b) 12 m d) 16 m

20) Si a 28 m de un poste se observa la parte más alta con un ángulo de elevación de 37° y luego nos acercamos al poste una distancia igual que su altura, el nuevo ángulo de elevación es "β': Calcula tg β. a) 1 c) 3

b) 2 d) 4

21) Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 60º y la parte superior del pedestal con un ángulo de elevación de 30º. Calcule la altura de la estatua si la altura del pedestal es de 2 m. a) 2 m c) 4 m

b) 3 m d) 5 m

22) Una escalera de bomberos que mide 20 m de longitud se apoya sobre una fachada. El ángulo que forma el suelo con la escalera es de 74°. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la fachada? a) 20.5 m c) 15.8 m

b) 18.4 m d) 19.2 m

- 44 -

Matemática: 5to. de Secundaria CONSTRUCCIÓN DE UN MEDIDOR DE ÁNGULOS TEODOLITO CASERO

En muchos problemas de aplicación de la trigonometría, cuando queremos medir alturas de objetos, intervienen los ángulos de elevación. Existen instrumentos específicos para la medición de ángulos, llamados inclinómetros o teodolitos. Una versión casera, hecha con materiales que se puede encontrar y obviamente su precisión es limitada, pero sirve para nuestro caso se muestra en los siguientes gráficos.

Materiales: -

Un tubo delgado (puede ser de un bolígrafo, antena de radio, etc.) Un transportador de ángulos Un trozo de hilo resistente. Un "peso" que puedas atar a la cuerda (tuerca, arandela o similar) Cinta adhesiva Tijeras

Procedimiento de medición: Se llama línea de visión a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado cuando éste está situado arriba del observador. Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión. Para los ángulos de elevación o depresión:



-

Se mide el ángulo

-

Luego el ángulo de elevación o depresión es:

  90º


- 45 -

Aplicación práctica MEDICIÓN DE ALTURAS USANDO EL TEODOLITO CASERO Objetivos: -

-

Conocer una aplicación práctica de la trigonometría, de forma que el(la) estudiante perciba la utilidad de la matemática Medir las alturas de algunos edificios de la ciudad de Sucre Comprender la importancia de la matemática en diferentes procesos de la vida

1) Desarrollo de contenidos teóricos -

2) Construcción del teodolito -

Conocimientos previos: -

-

Formación de grupos de 5 o 6 integrantes (un responsable)

El encargado de grupo debera coordinar la construción del teodolito casero, pag. 33 o buscar información en el internet Presentación inicial del goniómetro (teodolito).

Definiciones de las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras Resolución de triángulos rectángulos Definición de ángulo de elevación y depresión Técnicas para medir alturas y distancias Funcionamiento de los teodolitos, investigar

3) Trabajo de cmpo

Una de las técnicas, consiste en resolver la siguiente figura:

-

-

Cada grupo deberá contar con el siguiente material: • • • •

Metodología:

•

Escoger un punto C, de la parte superior del edificio, del que se va a medir su altura sobre el nivel del suelo.

•

Marcar dos puntos A y B en linea recta y en dirección con el edficio. Llamese A al punto más lejano (los puntos A y B deben estar separados entre 10 a 20 m.

Desarrollo de la experiencia: Forma trigonométrica de medir alturas Por ejemplo, se mediran las alturas de los edificios Careaga ubicados en la plazuela San Matías (1), Garcilazo (2) y la calle Canadá (3).

Teodolito o geniómetro debidamente construido Trípode o pedestal estable donde se apoyará el teodolito Cinta métrica de 30 m profesional o casera Tizas y cuaderno de campo

- 46 •


Ubicar el trípode con el teodolito sobre el punto A y medir a continuación el ángulo de elevación α del punto C

•

Ubicar el trípode con el teodolito sobre el punto B y medir a continuación el ángulo de elevación β del punto C

-

Todos los integrantes de cada grupo deben realizar las medidas de los ángulos de elevacion α y β desde los puntos A y B respectivamente. Llenar la siguiente tabla: En caso de existir muchas variaciones, el responsable de grupo debe encargarse de que se realice la repetición de la toma de medidas.

-

Nombre

Punto A (ángulo α)

Punto B (ángulo β)

Promedio:

-

Finalmente se sutituyen los valores de α y β en la fórmula despejada para calcular alturas: d  tg   tg  H tg   tg 

C

H=?

D B A

4) Criterios de evaluación El informe: (50 puntos) El teodolito: (50 puntos) -

Graduación adecuada del cuadrante (elevación) y de la base horizontal Verticalidad, movilidad y firmeza del soporte, estética, etc.

- Se evaluaran todos los puntos especificados del informe - Coherencia de los resultados obtenidos - Capacidad de reflexión sobre los errores cometidos


- 47 -

Cap. 7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Resolución de un triángulo oblicuángulo.- Para resolver un triángulo oblicuángulo es necesario conocer tres elementos donde uno de ellos por lo menos debe ser un lado del triángulo.

Teorema del seno.Sea un triángulo Teorema del coseno.- Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c; ángulos cualquiera con lados a, b y c; ángulos interiores α, β , γ interiores α, β , γ Los ángulos son opuestos a los lados, Los ángulos son opuestos a los lados, respectivamente. respectivamente. Entonces, se cumple la relación:

a sen 



b sen 



c sen 

Entonces, se cumplen las relaciones:

a2



b2  c 2  2  b  c  cos 

b2



a2  c 2  2  a  c  cos 

c2



a2  b2  2  a  b  cos 

Relación de ángulos:

      180º

- 48 -


Ejemplos: 1. Se conoce un lado y dos ángulos adyacentes a él:

Cálculo del tercer ángulo:


Cálculo de “b”:

c 10  sen 120º sen A

b 10  sen 30º sen A

A  B  C  180º A  180º B  C A  180º 30º 120º A  30º

c

10  sen120º sen A

b

10  sen30º sen A

c

10  sen120º sen30º

b

10  sen30º sen30º

c  17.3 m

c  10 m

2. Se conoce dos lados y el ángulo comprendido:


Cálculo de “B”:

Cálculo de “A”:

c  52  32  2  5  3  cos60º

b c  sen B sen C

A  B  C  180º A  180º B  C

c  34  15  19 c  4.4 m

sen B 

3  sen60º 4.4

B  sen1 0.5905 B  36º 42'

A  180º 36º 42' 60º

A  83º 18'


- 49 -

3. Se conoce dos lados y un ángulo opuesto:


Cálculo de “C”:


b a  sen B sen A

A  B  C  180º C  180º A  B

c a  sen C sen A

C  24º 48'

c

sen B 

25  sen100º 30

C  180º 100º 55º12'

B  sen1 0.8207

30  sen 24º 48' sen 100º

c  12.8 m

B  55º 12'

4. Se conoce los tres lados:

Cálculo de “C”:


Cálculo de “A”:

c 2  a2  b2  2  a  b  cosC

b c  sen B sen C

A  B  C  180º A  180º B  C A  180º 52º 36' 44º

cosC 

cosC 

a2  b2  c 2 2ab

senB 

b  sen C c

102  72  82 2  10  7

senB 

7  sen 62º 36' 8

C  cos1 0.6071

B  sen1 0.6951

B  52º 36' B  44º

C  83º 24'

- 50 -


1) Hallar la longitud del faro inclinado si se sabe que en el triángulo ABC que se observa el lado “b” mide 9.9 m, los ángulos A, B miden 42° y 53º

3) Hallar la distancia que existe entre el paquete y el obrero en el instante que en el triángulo ABC se cumple: A = 37°, B = 80°, a = 4.5 m y c = 7.2 m.

Solución:

Solución: 2) Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 km en los puntos A y B. Se encuentra una boya situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 53º° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 67°, ¿a qué distancia está la boya de la costa?

5) En el gráfico halla la distancia que existe entre las personas.

Solución:

Solución:


- 51 -

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Hallar los elementos del triángulo que faltan.

2) Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes datos (2 ángulos y el lado común):

a) A = 60º; B = 40º, c = 5 cm Resp: C = 80º; a = 4.40 cm; b = 3.26 cm

3) b)

Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes datos (2 lados y el ángulo comprendido): A = 40º; b = 7 cm, c = 10 cm Resp: A = 6.46 cm; B = 44º 09’; C = 95º 51’

c)

4)

Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes datos a = 35 m; b = 20 m, c = 40 m Resp: B = 30º; A = 61º 2’ ; 88º 57’

5) d)

Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes datos (2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos): C = 140º; b = 11 cm, c = 17 cm Resp: B = 24º 35’; A = 15º 25’; a = 7 cm

Resp: a) b) c) d)

A = 35.8º; C = 97.19º; c = 13.56 A = 31.5º; B = 38.5º; b = 5.97 A = 42.9º; C = 66.10º; c = 96.69 C = 35.46º; A = 48.54º; c = 9.09

6)

Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes datos (2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos) : B = 20º; b = 3 cm, c = 8 cm Resp: C = 65º 47’ o 114º 13’; A = 94º 13’ o 45º 47’; a = 8.75 cm o 6.29 cm

- 52 7)


Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes datos (2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos): A = 40º; a = 430 cm, b = 40 cm Resp: B = 58º 59’ o 121º 0’; C = 81º 0’ o 18º 59’; c = 46.1 cm o 15.18 cm

Resp:

8) Un punto P a nivel del suelo está a 3.0 km al norte del punto Q. Un corredor avanza en dirección N 25° E desde Q al punto R, y luego de R a P en dirección S 70° O. Calcula la distancia recorrida. R P

10) Una lancha de motor navegó a lo largo de una ruta de ida y vuelta; con recorridos de 2, 4 y 3 km. El primer tramo en dirección N 20° O, el segundo en dirección S 𝜃° O, donde θ° es la medida de un ángulo agudo en grados. Calcular, la dirección en el tercer tramo. N 55.6º E

11) Dos puntos A y B son los extremos de un túnel que pasa debajo de una montaña. Desde un punto C, lejos de la montaña, un topógrafo puede ver esos puntos y determina que AC mide 480 m; CB mide 320 m y el ángulo C mide 72º. ¿Cuál es la longitud entre la entrada y salida del túnel?

70º

B 25º

72º

S Q

C Resp:

AC = 487.7 m

Resp: 5.8 km

9) Dos puntos A y B están señalados en la orilla de un lago. Un topógrafo se encuentra en un punto C tal que AC = 120 metros y BC = 80 metros y determina que ACB mide 52°. ¿Cuál es la distancia entre A y B?

12) Dos guardabosques separados 3 km en los puntos A y B observan un incendio en un punto C del bosque. El guardabosques A mide un ángulo de 44.3º, mientras el B mide un ángulo de 76.5º. ¿A qué distancia está el fuego vistos desde A y B?

B

C 44.3º

76.5º

Resp: 100.45 m Resp:

AC = 3.4 km; BC = 2.4 km


- 53 -

EJERCICIOS PARA PRUEBAS DE SUFICIENCIA Para todos los ejercicios, los vértices y lados del triángulo oblicuángulo tienen los siguientes nombres.

x=? A

50º

40 m

B

50 m

45º C a) x  40  sen 45º sen 50º b) x2

1) Si en un problema de triangulo oblicuángulo nos dan dos lados y un ángulo: a) Ley de senos b) Ley de cosenos c) Cualquiera de los dos, ley de senos o ley de cosenos d) Teorema de Pitágoras 2)

3)

d) x  (sen 45º )(sen 50º ) 40

5)

Ley de senos Ley de cosenos La función seno del ángulo Teorema de Pitágoras

Se les proporcionó a cuatro estudiantes el triángulo de la figura y se les pidió que plantearan maneras de calcular la distancia de A hasta B. ¿Cuál de los estudiantes no ha planteado la solución correcta?

En un ABC. Calcular: E = b senC – c senB a) a c) c

6)

b) b d) 0

En un ABC. Simplificar: E= a) 1 c) b

Si en un problema de triangulo oblicuángulo nos dan dos ángulos y un lado: a) b) c) d)

4)

c) x  50  sen 45º sen 85º

Si en un problema de triangulo oblicuángulo nos dan tres lados del triángulo aplico: a) Ley de senos b) Ley de cosenos c) Cualquiera de los dos, ley de senos o ley de cosenos d) Teorema de Pitágoras

 402  502  2  40  50  cos 45º

7)

b) a d) 0

En un ABC: a = 2, ∢B = 60º. Calcular: b a) 7 c) 5

8)

b  c  senB c senC

c = 3,

b) 5 d) 7

En un ABC: a = 3; b = 4; ∢C= 120º Calcular: “c” a) 1 9 c) 37

b) d)

26 43

- 54 9)


Uno de los lados de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido vale 60°, entonces, los otros dos ángulos miden: a) 30° y 90° c) 80° y 40°

b) 80° y 50° d) 75° y 45

10) En un ABC: a = 2 ; ∢C=135º. Calcular: c

16) En un triángulo cualquiera ABC el ángulo A = 45º, el lado b = 10√2 y la diferencia de los otros dos lados: c – a = 8. Encontrar la longitud del lado “c”: a) 36 c) 32

a) 30º c) 45º

b) 6 d) 6

b) 60º d) 90º

18) En el triángulo dado, si el valor del lado “a” es 12 m, el valor del lado “b” es 10 m y el ángulo “A” es 37º, entonces el valor del ángulo “C” será:

12) En un ABC: ∢A = 2∢C a = 3 y c = 2 . Calcular: Cos C a) 1/3 c) 1/2

C

b) 3/4 d) 1/4 b = 10 m

13) En un triángulo ABC, se sabe que: C = 60º , b = 2√3 , c = 3√2. Hallar la medida del ángulo “A”: a) 30º c) 45º

a) 1/3 c) 24/25

b) 24/7 d) 7/24

B

a) 90º c) 113º

b) 120º d) 115º

19) Hallar el ángulo P R x2 + x + 1 x2 – 1

P

15) Hallar el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados son proporcionales a 7, 8 y 13.

a = 12 m

37º

A

b) 37º d) 60º

14) En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se tiene cos A  3 . 5 Calcular: tg B

6

Calcular la medida del ángulo B

b

2

∢A = π ;

a = 1; b = 3

Calcular: E = a

2

b) 34 d) 30

17) En un ABC se tiene:

11) En un triángulo ABC: ∢A = 60º ; ∢B = 45º.

a) 3 c) 3

b) 90º d) 135º

b = 1;

b) 6 d) 2 3

a) 3 c) 5

a) 60º c) 120º

a) 150º c) 130º

2x + 1

b) 120º d) 300º

Q


- 55 -

Aplicación práctica MEDICIÓN DE ALTURAS Y DISTANCIAS DESCONOCIDAS Objetivos: -

Conocer una aplicación práctica de la trigonometría, de forma que el(la) estudiante perciba la utilidad de la matemática Medir las alturas de algunos cerros que circundan la ciudad de Sucre Medir distancias desconocidas de tramos inaccesibles. Comprender la importancia de la matemática en diferentes procesos de la vida

Conocimientos previos: -

Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos Definición de ángulo de elevación y depresión Técnicas para medir alturas y distancias Funcionamiento de los teodolitos, investigar Una de las técnicas, consiste en resolver las siguientes figuras: D

B A

H=?

C

A

D

d

B

Primera experiencia: Elegir un cerro para medir su altura, puede ser el Sica Sica u otro cualquiera. Calcular su altura desconocida a cuya base no se puede llegar. Procedimiento:

D

H=? 1

A C

d B

C

- 56 -


1. Fijamos dos puntos B y C y medimos su distancia “d” 2. Medimos con el teodolito los ángulos ABD, (α); DBC, (θ); y BCD, (β) 3. Calculamos el ángulo BDC (γ) por diferencia:   180º    4. Aplicamos el teorema de los senos para calcular el lado “c”, BD. BC sen 



BC sen 



5. Calculamos H en el triangulo BAD:

c sen  sen 

d sen 





H c



 H



d  sen  sen 



c

c  sen 

Segunda experiencia: Calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B. Puede ser las cimas de dos cerros Procedimiento: B A

d

D

1. 2. 3. 4.

C

d

Fijamos dos puntos D y C y medimos su distancia “d” Medimos con el teodolito los ángulos ACB, (ρ); ACD, (γ); ADB, (𝛿) y BDC, (θ) Para calcular la distancia desconocida (x), se realizan tres pasos: Aplicamos dos veces el teorema del seno y por último el teorema del coseno. B B

A

q=?

D

d

C

D

d

C

A

q p

C

Presentación del informe: Los estudiantes deberán presentar sus trabajos detallando todos los pasos, de acuerdo a la práctica realizada en el anterior tema o las recomendación del(la) docente


- 57 -

Cap. 8 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICION NORMAL ,  y  son las medidas de los ángulos en posición normal mostrados.

Coordenadas rectangulares: Y IIC

IC

O

X

Ángulo cuadrantal.- Es aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. n . 90 = 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

IIIC

IVC

El siguiente gráfico muestra algunos ángulos cuadrantales y su medida.

Dónde: x : y : IC : IIC : IIIC : IVC : O :

n . 90 = –270º; –180º; –90º

Eje de Abscisas Eje de Ordenadas Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante Origen del Sistema

Ángulo cuadrantal:  n.90º; n  1,2,3,... y 90º 180º

Ángulo en posición normal.- Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal.

x

–90º

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.- Para hallar las R. T. de un ángulo en posición normal; se debe conocer un punto perteneciente a su lado final. Los valores encontrados son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar el lado terminal. Sea “θ” un ángulo en posición normal y P un punto de su lado final; “x” es la abscisa de P; e “y” la ordenada de P.

- 58 -

Matemática: 5to. de Secundaria Radio vector: r

x 2  y 2  ( 3)2  ( 4)2  5

sen 

Radio vector “r” es la distancia de P al origen de coordenadas. r

x2  y2

y 4 4   r 5 5

cos  

x 3 3   r 5 5

tg 

y 4 4   x 3 3

Se define: csc  

r y

x r

sec  

r x

y x

cot  

sen 

cos  

tg 

y r

x y

Las R.T. pueden tener signo negativo; dependiendo del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado.

Signos de las R. T.- Dependiendo del cuadrante en el que se ubique un ángulo en posición normal; podemos establecer el siguiente criterio práctico para los signos:

Propiedad: Las Razones trigonométricas de los ángulos coterminales son respectivamente iguales. Ejemplo: Para el ángulo “θ”; hallar las R. T.

sen cos tg -

sen + cos + tg +

sen cos tg +

sen cos + tg -

y x

Ejemplos:

(–3; –4)

Solución: Coordenadas del punto: P = (x ; y) = (–3; –4)

1) sen 100º

es ( + )

2) cos 200º

es ( - )

3) tg 300º

es ……..

4) sec 210º

es ……

5) cot -300º

es ……..

6) sen -120º

es …….

7) csc 60º

es ……..

8) sen 300º

es …….


- 59 -

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales se calculan con las mismas definiciones aplicadas a cualquier ángulo en posición normal.

Grados

0º

90º

180º

270º

360º

Radianes

0





3 2

2

sen 

0

1

0

-1

0

cos 

1

0

-1

0

1

tg 

0



0

-

0

cot 



0

-

0



sec 

1



-1



1

csc 



1



-1



Ejemplos: 1)

2

3)

tg 90º 

Determinar las funciones trigonométricas para 90º:

y r



r   0

La división de un número entre 0 (cero) es una operación no definida.

2)

Determinar el signo de:

E

1)

sen90º 

y r



r  1 r

sen200º  cos300º tg100º

Según a los cuadrantes a los que pertenecen los ángulos, se tiene:

E 2)

cos 90º 

x 0   0 r r

( )  (  )  () ( )

- 60 -


1. Del siguiente gráfico calcular:

3. Indicar el cuadrante al que pertenece la medida angular “” si: tg < 0  csc > 0

Solución: tg  = ( – )

{ IIC  IVC }

csc  = ( + )

{ IC  IIC }

Para la condición:

Solución: a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”: r2 = 12 + (-3)2



4. Calcular:

r=

b) Reemplazamos las definiciones:

Solución: Reemplazando valores:

= -3 + 4 E=1 

E=1

2. Si   IIIC ¿En qué cuadrante está 2/3? 5. Simplificar: Solución: Si   IIIC  180º <  < 270º

Dividimos entre 3: Solución: Reemplazando valores: 60º

<

< 90º

Multiplicamos por 2:

120º <

< 180º

 Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al: IIC


- 61 -


Si el punto P(-2; 1) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “” calcular:

5)

Calcular: M  5 (sen  cos)

E = 5 sen . cos a) – 5

2)

Calcular:

b) – 3

c) – 4

d) – 2

E = 25 sen + tg a) 1

6)

b) 2

c) 3

d) 4

Si el punto P(1; 3 ) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “” calcular: E = cot + csc

a) 9

3)

b) 3

c) 5

d) 7

Del gráfico calcular “tg”

7)

a) -1

4)

b) -2

c) -3

a)

3 2

b)

3 3

c)

3 4

d)

3 5

Si el punto A(3; -4) pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar cuya medida es “” calcular: M = 6tg + 5cos.

d) -4 a) -1

Calcular: M = sen – 2cos + 3tg 8)

Si:

b) -2 cos  = –0.3

c) -3

  IIC

Calcular: E = tg2 + sec

a) 61/5 c) 61/7 a) -1

b) -2

c) -3

d) -4

d) -5

b) 61/3 d) 61/9

- 62 9)

Calcular:

Matemática: 5to. de Secundaria E  10sen  12cot 

13) Por el punto P( 2;

5 ) pasa el

lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es “”. “sec ”

Calcular: a) -1/2 c) -3/4

b) -2/3 d) -3/2

14) Por el punto Q(  2 ; 

a) 1

b) 2

10) Calcular: E 

c) 3

d) 4

1 1 cos   6 2tg

7 ) pasa el lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “”.

p

Calcular:

a) 1

b) 2

sen  

15) Si:

7 csc 

c) 3

d) -3

2    IIIC 3

Calcular: a) 1

11) Calcular:

b) 2

c) 3

d) 4

E = csc  + cos 

E

5 (tg  sec )

a) -1

b) -2

cot   

16) Si:

c) -3

d) 2

3    IVC 2

Calcular:

E  21 sec   7 sen a) 1

b) 2

c) 3

d) 4 a) 2

12) Calcular:

E

b) 3

c) 4

d) 5

5 sec   4 cot 17) Calcular:

E

(a  b)3 sen90º (a  b)3 cos360º

a) a a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

a2 sec 0º 3b2 csc 90º

b) b

c) 2a

d) 2b


- 63 -

18) Calcular:

24) Señale el signo de: 2

E=(3sen90º–cos180º) +(sen270º–cos360º)

2

A 

a) 16

b) 17

c) 18

d) 20

a) (+) c) (+) y (–)

19) Reducir:

m

C

2

5 3 4 Cos 160º.Tg 217º.Sen 310º 3 5 Sec 316º.Sen 190º

b) (–) d) N.A.

3 2 5 sen 90º  n cos 180º 25) A qué cuadrante pertenece ””, si:

m sen90º  n cos0º

a) m + n

b) m – n

c) mn

d)

cos < 0

2 2 m n

a) IC c) IIIC

mn

y

sen < 0 b) IIC d) IVC

20) Calcular: 26) Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x 2

E=(2sen180º–sen90º) +(3cos180º– cos90º)

2

 f( ) 2

Calcular: a) 8

b) 9

c) 10

d) 11 a) 0

21) Reducir:

27) Si:   IIC,   IIIC 3

J

b) 1

m sen90º  n cos360º 2

2

3

a) m – n c) m

sen 270º

b) m + n d) n

a) (+) c) (+) y (–)

(a  b) 2 Sec360º  (a  b) 2 Cos180º

b) -2

c) 3

23) Señale el signo de:

d) -3

28) Calcular:

a) –1

b) (–) d) N. A.

b) 1

c) – 2

d) 3

29) Señale el signo de:

Sen 340º.Ctg124º Cos 316º

b) (–) d) N.A.

 2sen    cos  2 E  3  cot    sec 2  2 

2ab Csc270º

a) (+) c) (+) y (–)

  IVC

csc   cos  tg  sec 

22) Calcular:

P



El signo de es: E

a) 2

d) -1

3

m cos0º  mn sen270º - n

E

c) 2

A

3 5 2 Sen 170º.Cos 214º.Tg 160º 4 3 Sec 200º.Cos 170º

a) (+) c) (+) y (–)

b) (–) d) N.A.

- 64 -


30) Un ángulo



está en el segundo

35) Calcular el valor de “E” para: x = 45º

cuadrante. El

sen  

E

1 ; Entonces el cos  : 2

sen 2x  cos 6x tg 4x  cos 8x

a) 1 a)

3 2

c)

3  2

cos   

31) Si

b)

3 4

d)

3  4

4 5

E   cos 270º 

sen90º

a) 1

El valor de sen es:



tg 360º cot 270º   sec 180º  cos 0º

b) 2

c) 0

d) 4

37) Reducir:

b) 1/5 d) -3/5

S

32) Siendo “x” un ángulo del IVC y

sec x 

d) 4

es

positiva.

a) 3/5 c) -2/5

c) 3

36) Calcular el valor de:

tg θ

y

b) 2

5 el valor de cos ec x 3

a  b

2

 3 2   a  b  sen5 2 2 2 ab cos 

sen8

b) –2

a) 2

c) 4

d) 5

es: 38) Simplificar:

b) –0.8 d) –1.25

a) 1.25 c) 0.8

sec 0º  csc 90º  cos   csc b) –2

a) 1 es un punto que 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “θ”, calcular “k”:

c) 2

3 2 d) 4

33) Si: (–2;

tg  

39) Calcular:

  3  sen2  2   sen2    sen2   2  2 

k  cot  csct 

a) 6 a) 7 c)  7 / 6

b) d)

b) 4

c) 2

d) 8

7/6 6 /7

40) Simplificar:

cos  2  sen 90º  tg 0º tg     3  sen  2   csc    2 

34) Calcular:

L a) 0

sen 90º  cos5 180º 3 sen2 270º b) 2

c) 1/2

d) – 1

a) 1

b) 2

c) 0.5

d) 3


- 65 -

Cap. 9 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Círculo trigonométrico.El círculo trigonométrico es un círculo que tiene su centro en el origen de coordenadas y cuyo radio mide uno (1).

Observación: Las coordenadas de P son (x , y), luego se tiene:

 x , y



(cos  , sen)

P(x , y) (–cosθ ; senθ)

O O

(cosθ ; –senθ)

El radio del circulo es: r = 1

Cálculo de las razones trigonométricas.De la definición se tiene:

Líneas trigonométricas.Las razones trigonométricas se pueden representar mediante segmentos de recta, llamadas líneas trigonométricas.

Recordando:

sen 

Ordenada y y   y Radio r 1

 sen  y

a) Seno.- Segmento vertical trazado desde el punto P. En el

Absisa x x cos     x Radio r 1

OEP se tiene:

 cos   x

sen   Ordenada y tg   Abscisa x



y tg  x

cot  

Absisa x  Ordenada y

 cot  

x y

sec  

Radio r 1   Absisa x x

 sec  

1 x

cs c  

Radio r 1   Ordenada y y

 csc  

1 y

PE OP



PE  PE 1



sen   PE

Primer cuadrante P

α O

(sen α)

E

positivo

- 66 -

Matemática: 5to. de Secundaria Segundo cuadrante P

b) Coseno.- Segmento horizontal trazado desde el punto P. En el

OEP se tiene:

α E

cos  

O

OE OP



OE  OE 1



cos   OE

Primer cuadrante (sen α)

positivo

P

α

Tercer cuadrante O

E

α E

O (cos α)

P

positivo

Segundo cuadrante

(sen α)

negativo

P

α Cuarto cuadrante E

O

α O

E (cos α)

P (sen α)

negativo

Tercer cuadrante

negativo

α Extensión: Si un arco recorre toda la circunferencia trigonométrica, se tiene:

E

O

1  sen    1 -

El máximo valor del seno es: 1 El mínimo valor del seno es: –1

P

(cos α)

negativo

Matemática: 5to. de Secundaria Cuarto cuadrante

- 67 Segundo cuadrante P

α

O

α

E E

B

O

P

(cos α)

Q

positivo

(tg α)

Extensión: Si un arco recorre toda la circunferencia trigonométrica, se tiene:

negativo

Tercer cuadrante

1  cos    1 -

Q

El máximo valor del coseno es: 1 El mínimo valor del coseno es: –1

α E O

c) Tangente.- Segmento vertical trazado desde el punto Q, que es prolongación del segmento OP hasta cortar la línea tangente trazada por B. En el

OBQ se tiene:

tg  

QB OB



QB  QB 1

P (tg α)



tg   QB

B

positivo

Cuarto cuadrante

α Primer cuadrante

O

E

B

P

Q

Q

P

α O

E

B

(tg α)

negativo

Extensión: Si un arco recorre toda la circunferencia trigonométrica, se tiene: (tg α)

positivo

  tg     La tangente no tiene máximo ni mínimo valor.

- 68 -


d) Cotangente.- Segmento horizontal trazado desde el punto B, que es prolongación del segmento OP hasta cortar la línea tangente trazada desde A. En el

B

OCB se tiene:

P

α

OC

AB cot     AB 1 BC 

O

C D

A

cot   AB

A

B P


  sec    1



1  sec    

α O

D

C

f) Cosecante.- Se traza la tangente al círculo trigonométrico desde el punto P hasta cortar el diámetro prolongado en D. El segmento vertical comprendido entre O y D, es la cosecante. En el

OPD se tiene:


  cot     La cotangente no tiene máximo ni mínimo valor. e) Secante.- Se traza la tangente al círculo trigonométrico desde el punto P hasta cortar el diámetro prolongado en C. El segmento horizontal comprendido entre O y C, es la secante. En el OPC se tiene:

OC

OC sec     OC 1 OP 

csc  



OD OP



OD  OD 1

csc   OD

D

α P

α O

E

B

sec   OC Extensión: Si un arco recorre toda la circunferencia trigonométrica, se tiene:

  csc    1  1  csc    


- 69 -

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y = sen x

y = cot x

y = cos x

y = sec x

y = tan x

y = cosec x

- 70 -

Matemática: 5to. de Secundaria EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Trace el ángulo, las funciones seno, coseno y tangente (a color). Utiliza una calculadora para conocer los valores, redondea a dos decimales. 1)

β = 30º

2)

β = 120º

sen 30º =…..… cos 30º =…..… tg 30º = …..… 3)

β = 220º

sen 220º =….… cos 220º =…. tg 220º = ….. 5)

β = –120º

sen -120º =…… cos -120º =….. tg -120º = …..

sen 120º =….… cos 120º =…. tg 120º = ….. 4) β = 300º

sen 300º =….… cos 300º =…. tg 300º = ….. 6)

β = – 200º

sen -200º =..… cos -200º =…. tg -200º = …..


- 71 -

Cap. 10 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE Definición.- Consiste en relacionar las razones trigonométricas de ángulos que se encuentran en los II, III y IV cuadrantes con las razones trigonométricas de ángulos agudos (ángulos que pertenecen al IC). El procedimiento mediante el cual se determina las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que si lo es el siguiente: R.T. (α)

R.T. (θ)

α: no es agudo

θ: sí es agudo

Ejemplos: El complemento de: 70º es 90º – 70º = 20º

sen 75º =

cos 15º

cos 80º =

sen 10º

tg 35º

=

cot 55º

cot 70º

=

tg 20º

sec 23º =

csc 67º

csc 58º =

sec 32º

1. Ángulos complementarios Ángulos que suman 90o: “α” y “ 90o – α”

Cofunciones trigonométricas.- La cofunción del seno es el coseno, la del coseno es el seno, la de la tangente es la cotangente, la de la cotangente es la tangente, la de la secante es la cosecante y viceversa. Las funciones de un ángulo agudo son iguales a las cofunciones del ángulo complementario.

sen (90o – α) = cos α cos (90o – α) = sen α tg (90o – α)

= cotg α

- 72 -


Ej e mp l o s :

sen 150º  sen (180º 30º )  sen30º

1 2



Hallar las razones trigonométricas de 60o 3 2

sen 60º  cos (90º 60º )  cos30º 

cos 60º

 sen (90º 60º )  sen 30º

1 2



tg 60º  cot (90º 60º )  cot 30º 

3

3 2

cos 150º  cos (180º 30º )   cos 30º  

tg 150º  tg (180º 30º )   tg 30º  

3. Paso del primero

tercer

cuadrante

3 2

al

Ángulos que difieren en 180o: 2. Paso del segundo cuadrante al primero

“α” y “α + 180o”

Ángulos suplementarios: “α” y “180o – α”

sen (180o + α) = –sen α cos (180o + α) = –cos α tg (180o + α)

= tg α

sen (180o – α) = sen α cos (180o – α) = –cos α tg (180o – α)

= –tg α

Ej e mp l o s : Hallar las razones trigonométricas de 150º

Ej e mp l o s : Hallar las razones trigonométricas de 225o sen 225º  sen (180º 45º )   sen 45º  

2 2

cos 225º  cos (180º 45º )   cos 45º  

2 2

tg 225º

 tg (180º 45º )  tg 45º  1


- 73 -

4. Paso del cuarto cuadrante al primero

5. Ángulos opuestos negativos

o

ángulos

Ángulos que suman 360o

sen (– α ) = –sen α o

sen (360 – α) = –sen α

cos (– α ) = cos α

cos (360o – α) = cos α

tg (– α)

tg (360o – α)

= –tg α

= –tg α

Ej e mp l o s :

Ej e mp l o s : Hallar las razones trigonométricas de 300º sen 300º  sen (360º 60º )   sen 60º  

3 2

1 cos 300º  cos (360º 60º )  cos 60º  2

tg 300º  tg (360º 60º )   tg 60º   3

Hallar las razones trigonométricas de –60º sen ( 60º )   sen (60º )  

cos ( 60º )  cos (60º ) 

3 2

1 2

tg (60º )   tg (60º )   3

6. Ángulo positivo mayor que 360º

- 74 -


Se divide el ángulo entre 360º para finalmente tomar en cuenta el residuo

Ejemplos: 1) Calcular:

R.T. (θ)

sen 1500º

R.T. (α) Solución:

θ : no es agudo

α : sí es agudo

Residuo



360 º



q 

sen1500º  sen60º 

“” y “” son ángulos coterminales.

3 2

SEGUNDA MANERA DE REDUCIR ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE a) Utilizando la cofunción

b) Utilizando la misma función Permanece igual

Cambia

 90º    R.T.    270º   

 180º  R.T.   360º 

 Cofunción R.T. ()

  

 R.T. ( ) Signo: Depende del cuadrante

Signo: Depende del cuadrante 90º

IIC

IIC

IC

180º

IC

0º

0º

IIIC

IVC

IIIC

IVC

Nota: El signo ± dependen en que cuadrante se encuentra el ángulo que se desea reducir.

Nota: El signo ± dependen en que cuadrante se encuentra el ángulo que se desea reducir.

Ejemplos:

Ejemplos:

Reducir al primer cuadrante:

Reducir al primer cuadrante:

1.

sen 110º  sen(90º 20º )  cos20º

1.

sen 110º  sen(180º 70º )  sen70º

2.

cos 260º  cos(270º 10º )  sen10º

2.

cos 260º  cos(180º 80º )   cos80º

3.

tg 320º  tg(270º 50º )   cot 50º

3.

tg 320º  tg(360º 40º )   t g40º

4.

 2  sen       cos  3  

4.

sen  2     sen


- 75 -

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Calcular:

sen 120º

Solución:

2) Calcular:

3) Calcular:

cos 240º

Solución:

tg 300º

4) Calcula las razones de los siguientes ángulos:

Solución: a) Ángulo 225º

Solución:

El arco se encuentra en el cuarto cuadrante.

- 76 -


b) Ángulo 330º Solución: El arco se encuentra en el cuarto cuadrante.

5) Calcular las funciones trigonométricas de sabiendo que: y Solución: Usar un triángulo rectángulo para los valores de las demás funciones.

c)

Ángulo 2655º

Del triángulo: Solución: El arco se encuentra en el segundo cuadrante.

El ángulo se encuentra en el segundo cuadrante:


- 77 -


Calcular el valor de:

6)

Calcular:

N  cos(60º ) . sen(240º )

E  sen120º . cos330º

a) a)

3 4

3 2

b)

c) 1

d) 3

4

4

c)

7) 2)

Calcular el valor de: M  sen225º . cos300º

a) c)

3)

6 4 2 4

b)



d)

2  4

6 4

8)

4)

C  tg150º . sen315º

6 4

b)  6

c)

6 6

d)

4

6  6

Calcular:

9)

b)  3  1 d) 3

Calcular: E  sen150º  cos240º tg315º

Simplificar: E  sec(1230º ).sen(945º ).tg(750º )

a) 2

b)

5

c)

5)

d)

3 3 3  3

a)

a)  3 c)  3  1

E  sen150º  cos120º tg135º

b) –1 d) 1

Calcular:

b)

E  sen140º  cos230º tg300º

Calcular:

a) –2 c) 0

3 4 3  4



2 3

d)

2 2 2 3

a) 2 c) 2

2 sen3375º  sec1845º csc 2490º

b) –2 d)  2

b) 0 d) 2

10) Calcular: E  cos150º  sen240º tg300º

a) 3 c) 2 3

Hallar: E

a) –2 c) 1

11) Simplificar:

a) –2 c) 2tg40º

b)  3 d) 0 sen140º  cos50º cos130º

b) 2cot 50º d) 2tg40º

- 78 -


12) Calcular:

E

17) Simplificar:

4sen2 300º  cos120º 3tg3135º

a) 1 c) 7/6

b) – 7/6 d) 7/3

E

sen(90º  x) tg(270º  x)   3    sen   x tg   x  2 2    

b) –1 d) 1

a) 0 c) –2

13) Simplificar: 18) Simplificar:

sen2 45º  cos2  / 6  tg2  / 4 E 1/ 4 sec 400º . cos1840º

a) 3 c) 9

b) 6 d) 12

14) Calcular:

E

sen(  x)  tg(180º  x) cos(  x)

a) 2 tg x c) –2 cot x

b) –2 tg x d) 0

19) Reducir:

sen( 37º ) csc( 30º )  cos( 60º ) sec( 53º )

a) 0 c) –12/5

M

  sen(   x).tg   x  2   Q cot(2  x).sen(2  x)

b) 1 d) 12/5 a) 1 c) –1

15) Reducir: sen40º cos20º tg80º P= + + sen140º cos160º tg100º

b) 2 d) –2

20) Calcular: M   cos8100º  cot 405º .sen4500º

a) 01 c) 0

b) –1 d) 3

16) Reducir:

E

sen150º . tg225º . cos( 210ª ) sen( 120º )

a) 1/2 c) 3/2

b) 2 d) –3/2

a) 1 c) –1

b) 2 d) –2


- 79 -

Cap. 11 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Definición.Las identidades trigonométricas son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor del ángulo, siempre y cuando la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.

Sugerencia para resolver ejercicios.Algunas guías o sugerencias que te servirán para desarrollar ejercicios:

Relaciones fundamentales: Resumen de las identidades fundamentales de la trigonometría.

-

-

-

Recíprocas csc  

1 sen

sec  

1 cos 

cot  

1 tg

Escoger el miembro más complicado de la identidad. Colocar el miembro escogido en términos de senos y cosenos. Hacer uso de identidades algebraicas, según sea el caso. Cuando haya potencias puede ser útiles hacer factorizaciones. De las identidades fundamentales se podrán deducir otras.

Clasificación de las identidades.- Se resumen de la siguiente forma: a) Identidades fundamentales:

Por cociente tg 

sen cos 

cot  

cos  sen

 Re ciprocas   Por cociente  Pitagòrica s  b) Identidades de ángulos compuestos:

Pitagóricas sen2  cos2   1 1  tg2  sec 2  1 cot   csc  2

2

Propiedad: Si multiplicamos a los ángulos de una identidad trigonométrica por un factor numérico cualquiera, la identidad sigue cumpliéndose. Ejemplos: sen2 (2x)  cos2 (2x)  1 1 tg (x / 2)  sec (x / 2) 2

tg(10x) 

2

sen(10x) cos(10x)

 Suma de ar cos   Diferenvcia de ar cos c) Identidades de ángulos múltiples:

 Arco mitad   Arco doble  Arco triple  d) Factorización trigonométrica:

 Transformaciòn de suma  y diferencia a producto    Transformaciòn de producto   a suma o diferencia e) Ecuaciones trigonométricas:

 Aplicaciòn de las identidade s   antes estudiadas .  Soluciones particular es y generales 

- 80 -


1. Demostrar: cos  tg Solución:

cos 

 sen 

sen cos 

 sen 

sen

 sen

2. Demostrar:

sen tg  cos   sec

senx 1  cos x  1  cos x senx

Solución: senx 1  cos x  1  cos x senx

sen  cos   sec  cos  sen 2  cos 2   sec  cos 

sec 

 sec 

3. Simplificar:

sec  cos ec  tan 

Solución: 1 sec  cos   1 sen  cos ec  tan  sen  cos 



sen  cos   1 sen  cos 

Solución:

 2 cos ecx

2 1  cos x 

 2 cos ecx

1  cos x  senx 2 senx

 2 cos ecx

2 cos ecx  2 cos ecx

7. Demostrar:

sec  cos  sec  cos  

 tg 2  sen2

Solución: sec2   cos2 

 tg 2  sen2

1  tg 2  cos 2 

 tg 2  sen 2

(1  cos 2  )  tg 2

 tg 2  sen2

sen 2  tg 2

 tg 2  sen 2

5. Demostrar:

cos ec  sen   cot  cos 

 2 cos ecx

2  2 cos x 1  cos x  senx

sen

 sec 

 2 cos ecx

sen 2 x  1  2 cos x  cos 2 x 1  cos x  senx

Solución:

1 cos 

 2cos ecx

8. Demostrar:

cos ec cot   tg

 cos 

Solución:

1  sen sen

 cot  cos 

1  sen 2 sen

 cot  cos 

cos 2  sen

 cot  cos 

cos  cos  sen cot  cos  6. Demostrar:

 cot  cos   cot  cos 

1 sen cos  sen  sen cos 

cos 



1 sen cos 2   sen 2 sen cos 



cos 

1 sen 1 sen cos 



cos 

cos 



cos 


- 81 -

EJERCICIOS PROPUESTOS Demostrar las siguientes identidades fundamentales: 1.

2 1  cos2    cos2   1  sen2

17. 1  2 sen2  cot   tg tg  cot 

2.

1  sen 1  sen   cos2 

3.

cos   sen  cot 

18. 1  sen   cos  cos  1  sen 

4.

cos ec   cot   sec 

5.

sen  cos   1 cos ec  sec 

6.

sec   sen2  sec   cos 

7.

sec   sen  tg   cot 

8.

sen   tg  sen2  cos  cot   cos ec 

9.

tg   cot  

cos ec  cos 

10. sec   tag   1  sen  1  sen 

19. 1  cos x  sen x  2 cos x sen x 1  cos 20. sec x  csc x  tg x  1 sec x  csc x tgx  1 21.

2 22. sen 2 x  1  tg x  cos 2 x sec 2 x

23.

1  sec x  tgx sec x  tgx

24.

1 1  csc x  csc x  cot x tgx

25. tgx  senx  sec x 1  cos x sen 3 x 26.

11.

sec x  1 sec x  1  cos x sen 2 x

1 1 2   1  sen  1  sen  cos2 

cot 2 x  csc x  sen 2 x  cos 2 x csc x  1

27. tgx  cot x  12.

1  sec   tg  sec   tg 

13. 1  cos   sen   2 sen  1  cos  sen  14.

1  sen  sec   tg 

 1  sen 

3 3 15. sen   cos   1  sen  cos  sen   cos 

16.

sen  1  cos   0 1  cos  sen 

28.

1 senx. cos x

csc x  cos x tgx  cot x

29. 1  sen 2 x 1  tg 2 x   1 30.

1 1   2 sec 2 x 1  senx 1  senx

2 2 31. sen x  cos x  sec x  tgx sec x  tgx

32.

senx  tgx  senx.tgx cot x  csc x

- 82 -


1)

La expresión equivalente a, es:

6)

P   a senx  b cos x    b senx  a cos x 

(1  tg  ) 2  (1  tg  ) 2

2

2 b) cos 

a) 4tg 2 c) 2

d)

a) 1 c) ab

2sec  2

7) 2)

En un triángulo cumple que:

rectángulo

se

a) 0º c) 45º

3)

8)

b) 30º d) 60º

E   senx  cos x    senx  cos x 

2

b) 2 d) 3

Simplificar:

b) sec A d) cot A

Q  sen2 x  tg x  cot x 

a) 1 c) cot x

b) tg x d) sec x

Reducir:

E   tan x  cot x    tan x  cot x  2

a) 1 c) 3

5)

El equivalente de, es:

a) csc A c) tg A

9)

4)

b) 1 d) 3

cos A  senA tgA senA sec A

Reducir:

a) 1 c) 1/2

Reducir:

a) 0 c) 2

 es:

2

b) a + b d) a2 + b2

A  tg x 1  cot 2 x   cot x 1  tg 2 x 

2cos   cot  Entonces el valor de

Reducir el valor de:

b) 2 d) 4

a) 1 c) 3

10) Simplificar: S 

a) 1 c) csc x

sen x  cot x 1  cos x b) sen x d) cos x

11) Simplificar:

Reducir:

E

2

1  senx 

2

 cos 2 x  2

senx b) 2 d) 4

 sen x 1  cos x  E  sen x sen x  1  cos x

a) 1 c) sen x

b) 2 d) cos x

2

Matemática: 5to. de Secundaria 12) Si: sen2 x  4cos x  4

b) 1/2 d) 2/3

13) Simplificar:

b) cos x d) csc x

14) Simplificar:

sen x cos x  1  cot x 1  tgx A sen x  cos x

a) sen x c) 1

b) 2 d) –2

15) Simplificar:

R

a) sec2 x

tg 2 x

c) sec2 x

d) cos ec 2 x

1  tgx 1  cot x   tgx  cot x   sen2 x  cos2 x  b) –1 d) –2

21) Simplificar:

y

1  cot x  cos ecx 1  cot x  cos ecx  b) 2cot x d) cot x

2

d) cot x

a) 1 c) 2

16) El equivalente de la expresión:

a) 2tg x c) tg x

b) cos 2 x

20) Reducir:

1 1 1   2 2 cot x sec x cos ec 2 x b) cos 2 x

b) csc x d) 2 sen x

 sen x   sec x  tgx  P  cot x    1  cos x   cos x  cot x 

E

a) sen2 x

senx  cos x cot x

19) Reducir:

c) a) 1 c) –1

b) –1 d) –2

a) 1 c) 2

18) Simplificar:

sec x    sec 2 x  csc 2 x   tgx  cot x   

a) sen x c) sec x

17) Calcular: P  sec x  sec x  cos x  cos ecx  cos ecx  sen x 

Hallar “cos x”

a) 1 c) 1/3

- 83 -

a) 0 c) 2

1  tg x 1  cot x  1  tg x 1  cot x

b) 1 d) –1

- 84 -


22) La expresión siguiente es igual a:

 1  cot x  2 cos x senx     csc x  a) 2tg x c) 2 cot x

27) Simplificar:

K

sec 2 x  tg 2 x  tgx sec x  tgx

a) cos x c) sec x

b) sen x d) tg x

2

b) –1 d) 1

28. Simplificar:

23) Simplificar:

C

cot 4 x  1 1 csc 2 x

E  1  2sec2 xtg 2 x  sec4 x a) a)

tg 6 x

b) tg 4 x

c)

3tg 4 x

d) tg x

c)

cot x 2

cot x

25) La expresión: es igual a:

a) 1 c) 2

a) sec x c) tg x b) sen d) cot 

tg 2 x  sec2 x

b) –1 d) –2

26) Simplificar: 2  sec x  cos x  1  sen x   K   2  csc x  senx  1  cos x 

tgx cos x

E  sen2x.secx  cosx

b) cot x d) 1

b) csc x d) cot x

30) Simplificar: E  sec x  tg x  1 csc x  cot x  1

a) tg x c) secx

b) csc x d) cot x

31) Reducir:

E

a) c)

tg 2 x

E  tg   csc   sen 

,es igual a:

a) tg c) cos

d)

2

29) Reducir: 23) La expresión

b) tgx

1 1 1   1  c os2 x c sc 2 x  1 1  sen2 x

a) tg2 x

2 b) sec x

2 c) csc x

2 d) cot x

32) Reducir: G  sec x  cos x  tg x 1  sen x

a) sen x c) cot x

b) tg x d) cos x

Matemática: 5to. de Secundaria 33) Reducir: W   sen x  cos x  1 sen x  cos x  1

- 85 39) Si: senx . cos x  1 4 Calcular:

a) 2 c) cos x

b) sen x d) 2 sen x cos x

34) Reducir: G 

3

csc x  senx sec x  cos x

a) 2 c) 8

b) 4 d) 1/2

40) Si: senx . cos x  1 3 Calcular:

a) cot x c) 1

E  tgx  cot x

E  sec 2 x  csc 2 x

b) tg x d) sec x a) 1 c) 6

b) 3 d) 9

35) Reducir: K = cot x . cos x – csc x(1 – 2 sen2 x)

a) sen x c) tg x

36) Simplificar:

b) cos x d) cot x tg2 x  sen2 x cot 2 x  cos2 x

41) Si: tgx  cot x  3 Calcular:

E  sec 2 x  csc 2 x

a) 3 c) 9

b) 6 d) 10

42) Si: senx . cos x  a) sen2 x c) sen4 x

37) Simplificar:

a) 2cos x c) 2sec x

b) cos4 x d) tg6 x

1  senx cos x  cos x 1  senx b) 2tg x d) 2sen x

38) Reducir:

Calcular:

a) 1 c) 2

E  sen4 x  cos4 x

b) 1/2 d) 1/4

43) Si: senx . cos x 

1 3

Calcular:

J  cos   sec 3   csc   tg3   cot   cot 4  

a) 1 b) 2cot  c) 2cos d) 2sen

1 2

E  sen6 x  cos6 x

a) 1 c) 2/3

b) 1/3 d) 4/3

- 86 -


44) Reducir:

a) sen x c) sec x

1  sen x  tgx 1  sen x

R

a) sec x c) sen x

b) csc x d) cos x

45) Simplificar:

sec x  cos x csc x  senx

a) cos3 x c) tg3 x

b) cos3 x d) cot3 x

b) cos x d) csc x

50) Simplificar:

M

sec x  tgx  1  tgx tgx  sec x  1

a) sec x c) sen x

b) csc x d) cos x

51) Hallar “x” que cumple: tgx  cot x  2csc x

46) Hallar “x” que cumpla:

2cosx . t gx  1

a) 30º c) 60º

b) 45º d) 75º

a) 30º c) 45º

b) 37º d) 60º

52) Hallar “x” que cumple: sec 2 x  csc 2 x  2  2cot 2 x

47) Calcular “x” si:

 senx  cos x 2  1 cot x  1   a) 30º c) 60º

b) 37º d) 45º

a) 30º c) 45º

b) 37º d) 60º

53) Simplificar: M

1  sec x(1  cos x) 1  csc x(1  senx)

48) Reducir: R

1  2 sen  cos   sen  1  2 sen  cos   cos 

a) sec θ c) sen θ

b) cot θ d) cos θ

a) cot x c) sen x

b) tg x d) cos x


tgx cot x  1  tgx 1  cot x


 tg x  cot x  csc x sec 2 x  csc 2 x

a) tg x c) –1

b) cot x d) 1


- 87 -

Cap. 12 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Introducción.En ocasiones se presentan razones trigonométricas de ángulos que se pueden descomponer, como por ejemplo: sen 82º

tg 8º

Se observa que:

82º = 37º + 45º Suma de ángulos

Sin llegar a demostrar, las formulas trigonométricas de la suma de dos ángulos, son las siguientes:

sen(  )  sen cos   sen cos 

cos(  )  cos  cos   sen sen 8º = 45º – 37º

tg(  ) 

Resta de ángulos

Entonces surge la necesidad de utilizar identidades para la suma y/o diferencia de dos ángulos.

tg  tg 1  tg tg

II) Para la diferencia de ángulos      : Procediendo en forma analógica, se demuestra que:

Fórmulas básicas.- En el gráfico se tiene: OQ = 1 y que QS es perpendicular a OS. Los ángulos  son iguales porque sus lados son perpendiculares. I) Para la suma de ángulos      :

sen(  )  sen cos   sen cos 

cos(  )  cos  cos   sen sen

tg(  ) 

tg  tg 1  tg tg

- 88 -


1. Calcular:

sen75º

4. Calcular:

tg 8º

Solución:

Solución:

Se tiene:

5. Calcular:

sen 67º

Solución: 2. Reducir:

Solución:

6. Demostrar:

Solución:

3. Reducir: Si:

Solución: Como: Aplicando la función tangente a los dos miembros, se tiene: Reemplazando:


- 89 -

EJERCICIOS PARA PRUEBAS DE SUFICIENCIA 1) Calcular: sen 67º

6)

Ayuda: (67º = 37º + 30º)

a) c)

2)

3 34 10 3 3 5 10

b) d)

3 3 4 10 34 10

  sen     2 

es igual a:

a) cos  c) sen

7)

b) sen d)  cos 

tg     es igual a:

Calcular: tg 29º a) tg

Ayuda: (29º = 45º – 16º)

b) 1 tg

c)  1

3)

31

31

c) 17

d) 18

31

31

Reducir:

a) sen x c) cot y

E

8)

sen(x  y)  tgy cos x.cos y

b) sen y d) tg x 9)

4)

Si:

tg (37º  x)  4 .

a) 11

5)

  tg     2 

es igual a:

a) tg

b) 1 tg

c)  1 tg

d) tg

cos     es igual a:

Hallar “tg x”

b) 13

16

16

c) 13

d) 11

15

15

  cos     es igual a: 2  a)  cos  c) sen

d) tg

tg

b) 16

a) 15

a)  cos  c) sen

b) sen d) cos

10) La expresión, es igual:

sen  30º  x   sen  30º  x 

a) sen x c) sen 30º

b) cos x d) cos 30º

b) sen d) cos 11) Calcular:

tg8º

(clave 53º – 45º)

a) 1/4 c) 1/5

b) 1/3 d) 1/7

- 90 -


12) Reducir: P

17) Simplificar:

cos(150º  x)  cos(150º  x) cos(120º  x)  cos(120º  x)

sen( x  30º )  cos(60º  x) sen( x  60º )  sen( x  60º )

a) tgx

b) cot x

c) 1

d)

3

13) Si: tg ( x  45º )  2 . Calcular: tg (53º  x)

a)  tgx c)  cot x

18) Sabiendo que “α” agudos, tales que: sen 

a) 3 c) 1/2

b) 1/3 d) 2

b) tgx d) cot x

3

“β”

1

sen 

13

Calcular:

y

5

tg(  )

14) Simplificar:

sen30º  x   cos60º  x  a) cos2 x c) sen x

b) sen2 x d) cos x

a) 3/7 c) 4/7

19) Si: sen   1 ;   IIC 2 cos  

15) Simplificar:

cos60º  x   cos60º  x  a) cos x c)

3 sen x 2

b) 2 cos x

b) 7/3 d) 2/7

1 2

;

  IVC

Calcular: sen (  )

a)

6 2 4

b)

c)

2 6 4

d)  6  2

d) senx

6 2 4

4

16) Simplificar:

cos45º  x   sen45º  x 

a) c)

2senx

3 cos x

b)  2senx d) 2 cos x

20) Si: tg(45º  x)  1 . 3 Calcular “tg x”

a) 1 c) 1/3

b) 1/2 d) 2

son

Matemática: 5to. de Secundaria 21) Sabiendo que “α” agudos, tales que:

cos  

2

Calcular:

a) 16/11 c) 6/11

29

y

cos  

“β”

- 91 son

24) ABCD es un cuadrado. M es punto medio de BC. Halla: “ tg ”

2 13

tg(  ) b) –16/11 d) – 6/11

22) Del gráfico hallar “x”:

A

a) 1 c) 3

b) 2 d) 4

25) En la figura, hallar “x”.

x

a) 3 c) 6

Si se cumple: tg  2 3

b) 4 d) 7

23) Del gráfico hallar “x”:

a) 1 c) 3

b) 2 d) 4

26) Con la información dada, calcular: tg(α + β) y

a) 11 c) 15

b) 13 d) 17

O

x

- 92 -


a) 3/4 c) –1/4

b) 1/4 d) –3/4

3 , 5

30) Sabiendo que sen  

con

0º    90º .

27) En la figura, ABCD es un cuadrado y EC = 3DE. Calcular el valor de: sen .

D

E

Calcula:

a)

cos    45º 

3 2 10

c) 

b) 

2 10

d)

3 10

2 10


A

0º    90º . a)

b) 7 2

7 2 11

Calcular:

15

c) 3 2 10

d)

7 2 10

3 , con 5

tg    60º 

a) 3  4 3

b) 3  4 3

c) 3  4 3

d)  3  4 3

43 3

43 3

28) Simplificar:

sen(x  y)  sen(x  y) C senx . seny

a) tg y c) cot y

b) 2 tg y d) 2 cot y

43 3

32) Sabiendo que sen   Y


0º    90º . Calcula:

3 , con 5

sen    30º 

43 3

tg  

1 , 2

4 con 3

90º    180º y 180º    270º Calcular:

sen     

3 34 a) 10

3 3 4 b) 10

a)

34 3 10

b) 

3 34 c) 5

2 34 d) 10

c)

34 3 10

d)

34 3 10

3  4 3 10


- 93 -

Cap. 13 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Introducción.En ocasiones se presentan razones trigonométricas como por ejemplo: sen 32º

tg 90º

cos 74º

De forma similar en (2):

  , reemplazando

cos(  )  cos  cos   sen sen

cos2  cos2   sen2 Se observa que:

32º = 2(16º)

90º = 2(45º)

cos2  ………………………….. cos40º  …………………………..

Entonces surge la necesidad de utilizar identidades para ángulos dobles.

Fórmulas básicas.- El seno, el coseno y la tangente del ángulo doble se obtienen a partir de la suma de dos ángulos, es decir: sen(  )  sen cos   sen cos 

tg  tg 1  tg tg

Haciendo    , reemplazando en (3):

tg(2) 

tg  tg 2 tg   1  tg tg 1  tg2 

(1)

cos(  )  cos  cos   sen sen (2) tg(  ) 

cos 4  …………………………..

(3)

tg 2 

2 tg 1  tg2 

tg2  ………………………….. tg40º  …………………………..

Hagamos    , con lo que se obtiene en (1): sen(  )  sen cos   sen cos 

sen2  2sen cos  sen2  ………………………….. sen40º  ………………………….

sen4  …………………………..

tg4  …………………………..

- 94 -



- 95 -

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE SUFICIENCIA Cap. 1.- Ángulos y rectas 1.- a 6.- d 11.- d 16.- a

2.- c 7.- b 12.- a 17.- b

3.- c 8.- b 13.- c 18.- c

Cap. 7 Resolución oblicuángulos

4.- c 9.- d 14.- d 19.- c

5.- c 10.- b 15.- c 20.- a

4.- b

5.- b

1.- c 6.- a 11.- d 16.- b

2.- b 7.- d 12.- b 17.- b

3.- a 8.- c 13.- c 18.- c

de

triángulos

4.- d 5.- d 9.- a 10.- c 14.- b 15.- c 19.- b

Cap. 2.- Triángulos 1.- c 6.- d

2.- d 7.- d

3.- d 8.- d

Cap. 3 Introducción a la trigonometría 1.- b 6.- d 11.- c 16.- a 21.- c 26.- d

2.- a 7.- b 12.- d 17.- c 22.- b 27.- c

3.- c 8.- a 13.- c 18.- b 23.- b

4.- d 9.- a 14.-d 19.- c 24.- b

5.- c 10.- b 15.- a 20.- c 25.- b

Cap. 4 Razones trigonométricas de ángulos agudos 1.- d 6.- c 11.- d 16.- b 21.- b 26.- b

2.- c 7.- b 12.- b 17.- b 22.- b

3.- d 8.- d 13.- d 18.- a 23.- b

4.- b 9.- c 14.-a 19.- a 24.- a

5.- c 10.- c 15.- b 20.- b 25.- c

Cap. 5 Razones trigonométricas de ángulos notables 1.- c 6.- b 11.- d 16.- d 21.- d 26.- c 31.- d 36.- b 41.- c

2.- b 7.- a 12.- c 17.- c 22.- b 27.- b 32.- c 37.- c 42.- b

3.- d 8.- a 13.- b 18.- b 23.- c 28.- d 33.- d 38.- b 43.- a

Cap. 6 Resolución rectángulos 1.- c 6.- a 11.- b 16.- a 21.-c

2.- c 7.- a 12.- b 17.- b 22.- d

3.- b 8.- c 13.- b 18.- d

4.- a 9.- b 14.- c 19.- c 24.- b 29.- b 34.- b 39.- d 44.- c de

4.- b 9.- c 14.- b 19.- c

5.- a 10.- d 15.- b 20.- b 25.- b 30.- c 35.- c 40.- d 45.- c triángulos

5.- b 10.- c 15.- c 20.- c

Cap. 8 Razones trigonométricas de ángulos en posición normal 1.- d 6.- b 11.- b 16.- d 21.- a 26.- a 31.- d 36.- a

2.- a 7.- d 12.- c 17.- c 22.- b 27.- a 32.- d 37.- b

3.- d 8.- d 13.- d 18.- d 23.- a 28.-d 33.- b 38.- c

4.- b 9.- a 14.-d 19.- b 24.- a 29.- a 34.- a 39.- c

Cap.10 Reducción primer cuadrante

de

1.- d 6.- a 11.- a 16.- a

4.- d 9.- c 14.- c 19.- a

2.- d 7.- c 12.- b 17.- c

3.- c 8.- a 13.- c 18.- b

5.- a 10.- a 15.- a 20.- c 25.- c 30.- c 35.- a 40.- a

ángulos

al

5.- d 10.- b 15.- b 20.- a

Cap. 11 Identidades trigonométricas fundamentales 1.- d 6.- d 11.- b 16.- b 21.- a 26.- a 31.- d 36.- d 41.- c 46.- a 51.- d

2.- b 7.- a 12.- a 17.- a 22.- d 27.- c 32.- b 37.- c 42.- b 47.- d 52.- c

3.- b 8.- a 13.- a 18.- b 23.- b 28.- c 33.- d 38.- a 43.- c 48.- b 53.- b

4.- d 9.- b 14.- a 19.- a 24.- c 29.- a 34.- a 39.- b 44.- a 49.- b 54.- c

5.- b 10.- c 15.- c 20.- a 25.- b 30.- a 35.- a 40.- d 45.- c 50.- a

Cap. 12 Identidades trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos 1.- a 6.- a 11.- d 16.- b 21.- b 26.- d

2.- c 7.- a 12.- d 17.- c 22.- a 27.- d

3.- d 8.- b 13.- a 18.- c 23.- d 28.- d

4.- b 9.- a 14.- d 19.- a 24.- c 29.- a

5.- c 10.- b 15.- a 20.- a 25.- b 30.- d

- 96 -

Matemática: 5to. de Secundaria BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

31.- a 32.- b

Ernesto Quispe Rodríguez Luis Ubaldo Caballero

Problemas de Trigonmetría y cómo resolverlos. Primera edición 2000. Colección RACSO

Academia ADUNI

Razonamiento Matemático. Teoría y práctica. 2da. edición. Lumbreras editores S. R. L.

Cap. 14 Identidades trigonométricas de los ángulos mitad y triple

Luis Rubiños Torres

1.- a 6.- d 11.- b 16.- d 21.- a 26.- b 31.- b 36.- d

Razonamiento matemático. Tomos I, II, III, IV. Primera edición 2000. Editorial MOSHERA.

Academia ADUNI

Libro de problemas solucionados. Aptitud académica Lumbreras editores S. R. L. 2000

Cap. 13 Identidades trigonométricas del ángulo doble 1.- b 6.- b 11.- a 16.- b 21.- b 26.- c 31.- d 36.- b 41.- a

2.- d 7.- d 12.- c 17.- a 22.- c 27.- d 32.- d 37.- b 42.- c

2.- a 7.- b 12.- a 17.- c 22.- a 27.- c 32.- a 37.- a

3.- b 8.- c 13.- c 18.- c 23.- c 28.- b 33.- a 38.- b

3.- d 8.- d 13.- a 18.- d 23.- c 28.- b 33.- d 38.- c

4.- d 9.- c 14.- c 19.- c 24.- a 29.- d 34.- d 39.- b

4.- b 9.- b 14.- c 19.- b 24.- c 29.- a 34.- c

5.- c 10.- d 15.- d 20.- d 25.- b 30.- c 35.- b 40.- c

5.- c 10.- d 15.- a 20.- b 25.- a 30.- d 35.- d

Cap. 15 Transformaciones de la suma y resta de funciones trigonométricas a productos y viceversa

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Cap. 16 Ecuaciones trigonométricas 1.- c 6.- b 11.- a 16.- c 21.- b 26.- b 31.- b 36.- c

2.- c 7.- c 12.- d 17.- b 22.- b 27.- d 32.- b 37.- b

3.- d 8.- a 13.- b 18.- a 23.- a 28.- d 33.- b 38.- d

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http://www20.brinkster.com/fmartinez/alge bra4.htm


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PARA MEMORIZAR VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES La tabla de valores es la siguiente:

5. Ya podemos saber el seno o el coseno de cualquiera de estos ángulos notables. El procedimiento es bastante sencillo. El resultado va a ser la raíz de un número entre 2, y ese número es el que corresponde a la fila del “sen” o del “cos” (según queramos calcular el seno o el coseno) y a la columna del ángulo notable en cuestión.

Será suficiente conocer las funciones Seno y Coseno, los valores de la Tangente se obtiene dividiendo el primero entre el segundo. Un camino más sencillo que nos ayude a recordar los valores, es el siguiente:

Después tan solo tenemos que simplificar el resultado obtenido, si se puede. Ejemplos: 5. Calcular el valor de

sen30º = ?

6. Calcular el valor de

cos45º = ?


sen60º = ?


sen90º = ?

1. Primero dibujamos un símbolo de raíz grande, tal como éste:

2. Escribimos dentro dos filas de números, en la parte superior una que vaya del 0 al 4, y en la parte inferior otra que vaya al revés, del 4 al 0.

3.

Dibujamos una barra grande debajo y un 2 bajo ella:

4. Ahora completamos con lo que nos interesa saber:

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Matemática: 5to. de Secundaria RESUMEN DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Relaciones fundamentales e inversas:

Funciones del ángulo mitad:

Transformación de sumas y restas de funciones trigonométricas en productos: Funciones de la suma y diferencia de dos ángulos:

Funciones del ángulo doble:

Transformación de producto a suma o diferencia:

Funciones auxiliares del ángulo doble:

Funciones del ángulo triple:

Identidades auxiliares:

MAT. 5TO. (Trigonometría)

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