Instituto Superior de Transportes Transportes e Comunicações Índice ................................ ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... .............................................. ................................... 2 Introdução..................... ............................... ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................ ...... 2 Objectivos.................... ................................ ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................. ....... 3 Resumo Teórico Teórico..................... ............................... ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... ............................. .................. 6 Massa Reduzida ( μ ).................... Exercício Resolvido................ Resolvido.......................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................... ........................ Conclusão ..................... ................................ ...................... ..................... ..................... ..................... ..................... ............................................ ................................. 2
!i"lio#ra$a..................... !i"lio#ra$a................................ ..................... ..................... ..................... ..................... .................................................... ......................................... 3
Tra"al%o Tra"al%o em &rupo 2
Instituto Superior de Transportes e Comunicações Introdução
O presente trabalho ue c! se apresenta " uma pesuisa cient#$ica% $eita em &rupo% por ' estudantes cujos nomes $oram mencionados na capa% com $ins avaliativos da disciplina de #sica I% sob orientação do r* Cardoso Massan&o% ue aborda sobre a massa reduzida de um sistema de duas part#culas sob a acção de uma $orça i&ual + $orça de interacção a partir da lei de ,e-ton* .m /istema de 0art#culas " um conjunto de part#culas cujas propriedades &erais apresentar1se1ão nesta mono&ra$ia2 sob o sistema de part#culas actuam $orças internas (aplicadas +s part#culas do sistema devido +s suas interacç3es com part#culas do mesmo sistema) e $orças e4ternas (aplicadas +s part#culas devido a part#culas ou a&entes ue não pertencem ao sistema)* O desenvolvimento e4plicar! melhor como calcular a massa reduzida de um sistema de part#culas servindo1se% para o e$eito% de um conceito muito importante ue " o Centro de Massa* Objectivos
O presente trabalho tem como principal objectivo estudar a massa reduzida de um sistema de duas part#culas sujeitas a uma $orça de interacção a partir da lei de ,e-ton% o momento linear e o movimento do centro de massa do sistema*
Tra"al%o em &rupo 2 2
Instituto Superior de Transportes e Comunicações
Resumo Teórico
O objectivo central deste trabalho " a aborda&em sobre a Massa Reduzida de um /istema de uas 0art#culas% mas% para uma melhor compreensão do tema ue se pretende abordar% estudar1se1! de $orma breve o movimento do centro de massa de um sistema de part#cula% primeiro* ,o movimento de translação de um corpo% um dos seus pontos% + medida ue o tempo passa% so$re o mesmo deslocamento ue ualuer outro% de tal maneira ue o movimento de uma part#cula " o movimento de todo o corpo2 mesmo uando o corpo roda ou vibra% enuanto se desloca% h! um ponto no corpo% chamado
cento de massa %
ue se desloca
da mesma maneira ue se deslocaria em 5nica part#cula sujeita ao mesmo sistema de $orças e4ternas* O centro de massa de um sistema de part#culas " o ponto ue se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e todas as $orças e4ternas estivessem aplicadas nesse ponto* 6uando as massas são independentes da sua velocidade% a posição do centro de massa% para um sistema de duas part#culas% " dada por7 r CM = ⃗
m1 r 1+ m2 r 2 ⃗
⃗
m1+ m2
e uma $orma &eral7
r ⃗
CM =
1
n
∑ mi ⃗ri M i =1
/e as part#culas estão distribu#das em duas ou tr8s dimens3es% o vector posição do centro de massa deve ser especi$icado pelas suas componentes% dadas por7 x CM =
1
n
∑ mi x i
M i= 1
y CM =
9ntão o vector posição " e4presso por7
Tra"al%o em &rupo 2 3
1
n
∑ mi y i
M i=1
z CM =
1
n
∑ mi z i
M i =1
Instituto Superior de Transportes e Comunicações r CM ⃗
¿ xCM i + y CM j + z CM k
9mbora o Centro de Massa seja apenas um ponto &eom"trico% ele possui al"m da posição% uma velocidade e aceleração* :s euaç3es de velocidade (;) e a de aceleração (<) do centro de massa são descritas abai4o7 v CM = ⃗
m1 v 1 + m2 v 2 …+ m n ⃗v n ⃗
⃗
m1+ m2 … + mn
( 1 ) ⃗aCM =
m1 a1+ m2 a2 + mn ⃗an ⃗
⃗
m1 + m2 + … mn
( 2 ) 9mbora o CM seja um ponto
&eom"trico% ele move1se como uma part#cula de massa i&ual + massa total do sistema2 se considerarmos uma $orça e4terna% a euação vectorial ue descreve o movimento de um sistema de part#culas% se&undo a <= lei de ,e-ton% "7 F res= M ⃗ aCM ( 3 ) ⃗
Onde7 F res é a resultante detodas asfor ç as externasque actuam sobre o sistema, M é a massatotal do sistema , e⃗ a CM é a
* 9sta euação " euivalente a tr8s euaç3es envolvendo as componentes de aCM ⃗
em relação aos tr8s ei4os coordenados7 F res,x = M ⃗ aCM,x F res,y = M ⃗ aCM ,y F res,z= M ⃗ aCM , z
: euação (') pode ser provada da se&uinte maneira7 r CM = ⃗
m1 r 1+ m2 r 2 + … + mn r n ⃗
⃗
m1 + m2 … + mn
⃗
M r CM =m 1 r 1+ m2 r 2+ … + m n r n ⃗
⃗
⃗
⃗
/e derivarmos duas vezes a euação em relação ao tempo tem1se7
Tra"al%o em &rupo 2 '
F res
e de
Instituto Superior de Transportes e Comunicações M ⃗ aCM = m1 a1 + m2 a2+ … + mn ⃗an ⃗
⃗
e acordo com a <= lei de ,e-ton%
mi a⃗ i
" i&ual + $orça resultante F i ue a&e sobre
a part#cula de ordem i * 0ortanto7 M ⃗ aCM = F 1 + F 2 + … + F n
9ntre as $orças ue contribuem para o lado direito da euação acima estão as $orças ue as part#culas do sistema e4ercem umas sobre as outras ($orças internas) e as $orças e4ercidas sobre as part#culas por a&entes e4ternos ($orças e4ternas)* e acordo com a '= >ei de ,e-ton% as $orças internas $ormam pares do tipo acção1reacção ue se anulam mutuamente na soma do lado direito da euação* O ue resta " a soma vectorial das $orças e4ternas ue actuam no sistema% assim% a euação traduz1se em7 M ⃗ aCM = F res,ext c ! q ! d
e$ine1se Momento >inear " de um sistema de part#culas como sendo o vector soma dos momentos lineares das part#culas individuais do sistema7 n
"s= ⃗
n
" =∑ m ⃗v ∑ = = ⃗
i
i 1
i
i
i 1
n
m i ⃗v i= M ⃗ v CM %9ntão7 ? sabido ue7 ∑ i= 1
"s= M ⃗ v CM
0odendo se a$irmar% assim% ue o momento linear de um sistema de part#culas " i&ual ao produto da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa* 0or outro lado% ta4a de variação com o tempo do momento linear de uma part#cula " i&ual + $orça resultante ue actua sobre a part#cula e tem a mesma direcção ue essa $orça7
Tra"al%o em &rupo 2 (
Instituto Superior de Transportes e Comunicações F res= ⃗
d "s dt
9m palavras% a euação acima a$irma ue a $orça resultante
F ℜ s
aplicada a uma
part#cula $az variar o seu momento linear " * ,a verdade o momento linear só pode variar se a part#cula estiver sujeita a uma $orça% em outro caso a velocidade da part#cula ser! constante% não ter! aceleração% lo&o o momento linear " constante e a sua derivada% a $orça resultante% ser! nula* ? por essa razão ue no estudo de um sistema de part#culas não se consideram as $orças internas% pois essas $orças% por se anularem% não $azem variar o seu momento linear% o momento linear " constante e a $orça% ue " a derivada do momento linear% " nula* Lei de Conservação do Momento Linear:
/e a $orça resultante das $orças e4ternas ue actuam num sistema de part#culas $or nula% a velocidade do centro de massa " constante e o momento linear do sistema conserva1se7 F res= 0 ⃗
d " =0 "=constante dt ⃗
@! situaç3es em ue se pode considerar o momento linear constante sem ue as $orças e4ternas sejam nulas* 9ssas situaç3es dão1se uando as $orças ue interv8m são $orças impulsivas ($orças interiores de &rande intensidade e de muita curta duração% acuam em intervalos de tempo muito curtos)* 9sses são os casos de colis3es% por e4emplo% em ue mesmo ue a velocidade das part#culas varie% o momento linear conserva1se* ocalizando a&ora no objectivo central do trabalho% $ar1se1! a&ora o estudo da massa reduzida*
Tra"al%o em &rupo 2 6
Instituto Superior de Transportes e Comunicações Massa Reduzida ( μ ) F
Considera1se um sistema isolado
(¿ ¿res=0 ) ¿ ¿ ⃗
$ormado por duas part#culas ue
interactuam entre si* /obre a part#cula de massa m1 actua a $orça F 12 % e sobre a part#cula de massa m2 actua a $orça F
21
* :mbas as $orças são i&uais e de sentidos
contr!rios*
*s e+uações do movimento de cada partícula s,om1 a⃗ 1= F 12 m2 a⃗ 2= F 21
0ela '= >ei de ,e-ton% como F 12=− F 21
% então F + F 12
21
=0
F 12
e
F 21
são $orças de acção1reacção% tem1se
% a $orça resultante ue actua no sistema " nula% o ue
si&ni$ica ue a aceleração do centro de massa tamb"m " nula* 0odendo1se a$irmar ue o centro de massa de um sistema isolado move1se com velocidade constante* v CM =constante ⃗
Tendo F 12
*
e F 21 % o problema de dois corpos pode ser reduzido a um problema de
um só corpo% para isso% calcula1se a aceleração relativa a1− ⃗a2= ⃗
F 12 F 21 m1
−
m2
Tra"al%o em &rupo 2 )
a12= ⃗a1−a⃗2 : ⃗
Instituto Superior de Transportes e Comunicações Mas " sabido ue F 12=− F 21 e F 21=− F 12 % então tem1se7 a12= ⃗
F 12 m1
−
− F 12 F 12 F 12 = + m2
m1
m2
9videnciando o $actor comum ( F 12 )% tem1se7 ⃗ a12= F 12 ⃗
(
1
+
1
m1 m2
)
0or $im% tem1se ue7 1
a12= F ⃗ ⃗
μ
12
0odendo1se escrever tamb"m7 F 12= μ⃗ a 12
O ue em palavras uer dizer ue o movimento relativo de duas part#culas submetidas unicamente a sua interacção m5tua em relação a um observador inercial " euivalente ao movimento de uma part#cula de massa i&ual + massa reduzida do sistema e sob uma $orça i&ual a de interação* : massa reduzida ( μ ) " de$inida como7 1
μ
=
1
+
1
+
1
m 1 m 2 m3
+…+
1
mn
Mas no caso de duas part#culas% como se pretende estudar% a massa reduzida " de$inida por7 1
μ
=
1
+
1
m1 m 2
μ=
m1 m2 m1 + m 2
Tra"al%o em &rupo 2
Instituto Superior de Transportes e Comunicações : massa reduzida ( μ ) realmente tem a dimensão de massa e ter! sempre o seu valor menor do ue ualuer das massas μ < m2
, m1
ou m2 individualmente% ou seja% μ < m1 e
*
0ara um simples teste% supondo
m 1 =m
e
m 2 =m
μ=
tamb"m% teremos
m 2
% ou seja%
a massa euivalente de dois corpos " a metade da massa se cada corpo oscilasse individualmente% motivo pelo ual recebeu a denominação de massa reduzida* .m dos c!lculos ue envolve o conceito de massa reduzida " o c!lculo do momento linear do sistema de part#culas no Re$erencial Centro de Massa* 0ara a compreensão do c!lculo ue envolve o momento linear no Re$erencial CM% começaremos por de$inir os vectores posição e velocidade no Re$erencial CM* Re$erencial Centro de Massa " um re$erencial resultante da li&ação de um re$erencial inercial ao centro de massa de um sistema isolado de part#culas% estando o CM em repouso em relação ao RCM* Tanto para o vector posição como para a velocidade tem1se ue7 #
#
r = r + r CM e ⃗v =⃗v + ⃗v CM ⃗
⃗
⃗
r
Onde7
⃗
#
v ⃗
e
#
são
os
vectores
posição
e
velocidade
no
Re$erencial
CM%respectivamente% e r CM e v⃗ CM são os vectores posição e velocidade do centro de ⃗
massa% tamb"m respectivamente* Tem1se pelas euaç3es acima ue7 #
(
r 1= r 1 − r CM = r 1− ⃗
⃗
⃗
⃗
m 1 r 1+ m2 r 2 ⃗
⃗
m 1+ m2
Tra"al%o em &rupo 2 /
)
=
m 1 r 1 + m 2 r 1−m 1 r 1 − m 2 r 2 ⃗
⃗
m1 +m 2
⃗
⃗
=
m2 ( r 1− r 2 ) ⃗
⃗
m1 + m 2
=
m2 m 1 + m2
r 12 ⃗
Instituto Superior de Transportes e Comunicações #
(
r 2= r 2 − r CM =r 2− ⃗
⃗
⃗
⃗
#
⃗
⃗
=
m 1+ m2
(
m1 ⃗v 1+ m2 ⃗v2
(
m 1 v⃗ 1 + m 2 v⃗ 2
v 1= ⃗v 1− ⃗v CM = ⃗v 1− ⃗
#
)
m 1 r 1+ m2 r 2
v 2= ⃗v 2− ⃗v CM = ⃗v 2− ⃗
m1 + m 2
m1 + m2
)
m 1 r 2+ m2 r 2−m 1 r 1−m 2 r 2
=
)
=
⃗
⃗
⃗
m1 + m 2
⃗
=
m1 ⃗v 1 + m2 ⃗v 1−m1 ⃗v 1−m2 ⃗v 2 m1 + m2
m1 v⃗ 2 + m 2 v⃗ 2−m 1 v⃗ 1−m 2 v⃗ 2 m1 + m 2
m 1 ( r 2 −r 1 ) ⃗
⃗
m1 + m 2
=
=
m2 m1 + m2
− m1
m1 + m 2
=
−m 1
m1 + m2
r 12 ⃗
v 12 ⃗
v 12 ⃗
9ntão% momento linear de cada part#cula do sistema% no Re$erencial CM ser!7 #
#
"1=m 1 ⃗v 1=m1 ⃗
#
#
"2=m 2 ⃗v 2=m 2 ⃗
#
#
(
(
m2 m1 + m 2
−m1
m 1+ m 2
v12 ⃗
)
=
)
⃗ v 12 =
m1 m2 m1+ m2
−m1 m 2
m1+ m 2
v 12= μ ⃗v 12 ⃗
⃗ v 12=− μ ⃗v 12
#
"t = " 1+ "2 = 0. ⃗
⃗
⃗
,as euaç3es acima% usou1se o conceito de massa reduzida para determinar os momentos lineares de cada part#cula% num sistema de duas part#culas% no re$erencial CM e conclui1se ue o momento linear total do sistema de duas part#culas% no re$erencial CM% " nuloA 0or outro lado% o conceito de massa reduzida pode tamb"m ser aplicado num sistema de dois corpos cuja interacção seja descrita pela >ei da Bravitação .niversal7
Ondeovect or
r ⃗
éa
pos i ç ãor el at i v ada
i&*; F ( r)=
−$ m1 m2
μ 1 massa
⃗
r
par t í c ul a1em r el aç ãoà
2
reduida Tra"al%o em &rupo d r 2−$ m m = 0 2
1
2 ⃗
Instituto Superior de Transportes e Comunicações 9sta " a mesma euação para o movimento de uma 5nica part#cula sujeita a uma $orça central re&ida por uma $orça dependente do inverso do uadrado da distncia* 0or e4emplo% podemos reduzir o problema da >ua relativamente a Terra a um problema de uma 5nica part#cula usando a massa reduzida do sistema Terra1>ua e a $orça de atracção da Terra sobre a >ua* 0ode1se supor% como e4emplo% um sistema isolado $ormado por duas estrelas em órbita circular ao redor de seu centro de massa% como ilustra a $i& ;* O movimento das duas estrelas " euivalente ao movimento de uma part#cula de massa reduzida
m %
sob a ação
da $orça F ue descreve a interação m5tua% a $orça de atracção entre duas massas separadas de uma distncia
r=r 1+r 2.
/e esta part#cula descreve um movimento circular de raio r % sua aceleração " w ·r * : se&unda lei de ,e-ton " escrita da se&uinte maneira7 2
2
μ ' r =$
: uantidade
w ·r " 2
3
m1 m2 r
2
constante% o ue nos indica ue o uadrado do period
% =
2 &
'
"
proporcional ao cubo do raio r (terceira lei de Depler para órbitas circulares)7 2
2
% =
4 & r
3
$ ( m 1+ m 2)
.ma vez determinado o movimento relativo% lo&o% o raio r ue descreve a part#cula de massa reduzida m% o movimento de cada uma das estrelas " o se&uinte7
Tra"al%o em &rupo 2
Instituto Superior de Transportes e Comunicações •
: estrela de massa
m1
descreve um movimento circular de raio
r 1=
m2 r m1+ m2
ao
redor do centro de massa de per#odo % *
•
: estrela de massa
m2
descreve um movimento circular de raio
r 2=
m1 r m1+ m2
ao
redor do centro de massa e de mesmo per#odo* 9studada a massa reduzida de um sistema de duas particulas e al&uns e4emplos de sua aplicação% " che&ada a hora da resolução de um e4erc#cio ue envolva esse conceito*
Eerc!cio Reso"vido #$ uas part#culas com < e ' E& de massas estão se movendo em relação a um
observador% com velocidades de F*G mHs ao lon&o do ei4o e de J*G mHs $ormando um n&ulo de ;
94prima a velocidade de cada part#cula na $orma vectorial* etermine a velocidade do centro de massa* Calcule a massa relativa do sistema* Reso"ução
a)
%ados: m1=2 k( )
v 1= 5
m s
m 2=3 k(
ao lon&o do ei4o 4
Tra"al%o em &rupo 2 2
Instituto Superior de Transportes e Comunicações v 2= 4
m s
e $orma um n&ulo de ;
:s velocidades vectoriais serão7 v 1= 5 i ⃗ ⃗
( ) porue move1se ao lon&o do ei4o 4 apenas* m s
v 2=−2 i + 2 √ 3 j ⃗ ⃗
⃗
0ois7
b)
v 2, x =−v 2 cos60 * = 4 +
v CM = ⃗
⃗ v CM ,x =
c)
4i ⃗
5
μ=
m1 v 1 + m2 v 2 ⃗
⃗
m1 + m2
e ⃗v CM, y =
=
1 2
=2
m m √ 3 =2 √ 3 e v 2, y = v 2 sin60 * = 4 + 2 s s
2.5 i + 3 (−2 i + 2 √ 3 j ) ⃗
⃗
2 +3
⃗
=
10 i −6 i + 6 √ 3 j ⃗
⃗
5
⃗
=
4 i + 6 √ 3 j m ⃗
⃗
5
s
6 √ 3 j
⃗
5
m1 m 2
2 3 6 = + = k( m 1+ m 2 2 + 3 5
Conc"usão
0ode1se concluir com este trabalho ue7 •
o movimento relativo de duas part#culas submetidas unicamente a sua interacção m5tua em relação a um observador inercial " euivalente ao movimento de uma part#cula de massa i&ual + massa reduzida do sistema e sob uma $orça i&ual a de interação*
Tra"al%o em &rupo 2 3
Instituto Superior de Transportes e Comunicações •
a massa reduzida $acilita o estudo de um sistema de part#culas% tornando o problema de duas em problema de uma 5nica particula% servindo1se% para o e$eito% do movimento relativo das duas particulas*
•
Com o conceito de massa reduzida pode1se calcular clara e $acilmente o momento linear de cada part#cula do sistema no re$erencial centro de massa e comprovar ue esse momento linear " nulo* 9sta pesuisa cient#$ica proporcionou aos elaboradores desa$ios ue e4i&iram &rande dedicação e uma aprendia&em bastante si&ni$icativa* Laleu muito o en&ajamento na sua elaboração% na tentativa de elaborar um trabalho com in$ormação completa% bem detalhada e ue a&radasse ao corpo docente% pois pudemos reter muita in$ormação*
&ib"io'raia •
http7HH---*ual*esHmnavarroHTema<inamicadeunsistemadeparticulas*pd$ 2 Consultado as <<7FJmin do dia
Instituto Superior de Transportes e Comunicações •
• • •
• •
http7HH---*$isica*u$m&*brHmec$undHapostilaHapostila*pd$* consultado pelas <'@ do dia >I:Q (ivros T"cincos e Cient#$icos 9ditora% RU% Vrasil :lonso e inn (;WN<)% S.m Curso .niversit!rio% Lolume ;% 9ditora 9d&ar VlXcher >td R* R9/,ICD e * @:>>I:Q (;W')% S#sica% Lolume ;% J= edicao% >ivros T"cincos e Cient#$icos 9ditora% RU% Vrasil
Tra"al%o em &rupo 2 (
