Contoh Soal Markov Chain

Suatu Suatu survei survei dilaku dilakukan kan di sebuah sebuah wilaya wilayah h di kota kota Jakarta Jakarta.. Diketa Diketahui hui bahwa bahwa wilayah tersebut terdiri dari 1000 keluarga. Dari survei tersebut, diperoleh data  bahwa 600 keluarga merupakan pelanggan toserba ‘Serba’ dan 00 keluarga merupakan pelanggan toserba ‘!da’. "ada bulan itu, diketahui bahwa # •

Dari 600 keluarga pelanggan toserba ‘Serba’ diperoleh data bahwa 00 00 kelua keluarg rgaa tetap tetap berb berbela elan$ n$aa di toser toserba ba ‘Ser ‘Serba ba’’ dan dan %00 %00 lainn lainnya ya  berbelan$a di toserba ‘!da’.

•

Dari 00 keluarga pelanggan toserba ‘!da’ dinyatakan bahwa 1&0 kelu keluar arga ga tetap tetap berb berbela elan$ n$aa di toser toserba ba ‘!da ‘!da’. ’. Seda Sedang ng %&0 %&0 lainn lainnya ya  berbelan$a di toserba ‘Serba’.

'itunglah # 1.

(atr (atrik ikss pro proba babi bilit litas as trans transis isii unt untuk uk perm permasa asala laha han n di atas) atas)

%.

"rob "robab abili ilita tass untu untuk k toko toko *Se *Serb rba+ a+ dan dan *!d *!da+ a+ pad padaa bula bulan n keti ketiga ga apa apabi bila la  pada bulan pertama keluarga tersebut memilih untuk berbelan$a di toko *Serba+

.

"rob "robab abili ilita tass untu untuk k toko toko *Se *Serb rba+ a+ dan dan *!d *!da+ a+ pad padaa bula bulan n keti ketiga ga apa apabi bila la  pada bulan pertama keluarga tersebut memilih untuk berbelan$a di toko *!da+

.

-ila -ilaii prob probab abil ilit itas as pel pelan angg ggan an dal dalam am kea keada daan an tet tetap ap))

&.

Jum Jumlah lah perk perkir iraa aan n pela pelang ngga gan n dalam alam $ang $angka ka pan pan$an $ang untu untuk k masin asing g masing toserba tersebut)

Jawab:

a. /ang /angka kah h perta pertama ma yang yang perl perlu u dila dilaku kuka kan n untu untuk k meny menyele elesai saikan kan selur seluruh uh  pertanyaan di atas adalah dengan menentukan matriks matr iks transisi untuk menghitung nilai probabilitas •

"rob "robab abili ilita tass bula bulan n pert pertama ama *Serb *Serba+ a+ dan dan bula bulan n kedu keduaa *Ser *Serba ba++  00600  0.662

•

"robabilitas bulan pertama *Serba+ dan bulan kedua *!da+  %00600  0.

•

"robabilitas bulan pertama *!da+ dan bulan kedua *Serba+  %&000  0.6%&

•

"robabilitas bulan pertama *!da+ dan bulan kedua *Serba+  1&000  0.2&

Sehingga matriks transisi yang diperoleh adalah#

3eterangan# 4aris pertama kolom pertama # 4ulan pertama *Serba+, bulan kedua *Serba+ 4aris pertama kolom kedua # 4ulan pertama *Serba+, bulan kedua *!da+ 4aris kedua kolom pertama # 4ulan pertama *!da+, bulan kedua *Serba+ 4aris kedua kolom kedua

# 4ulan pertama *!da+, bulan kedua *!da+

 b. !pabila pada bulan pertama, keluarga tersebut memilih untuk berbelan$a di toko *Serba+ artinya keluarga tersebut pasti memilih untuk berbelan$a di toko *Serba+, $adi probabilitas keluarga tersebut datang ke toserba *Serba+ adalah 1, dan probabilitas keluarga tersebut datang ke toserba *!da+ adalah 0. Sehingga matriks probabilitas untuk bulan pertama adalah 5 1 0 !pabila dilakukan perkalian antara matriks probabilitas pada bulan pertama dengan matriks transisi pada kasus ini maka akan diperoleh data#

"robabilitas pada bulan kedua yang diperoleh memiliki nilai yang sama dengan matriks transisi pada baris pertama. 7entu sa$a demikian, karena perhitungan yang dilakukan adalah matriks pada bulan pertama dengan matriks transisi yang dibentuk dari data probabilitas pada bulan kedua.

3emudian, untuk menghitung probabilitas pada bulan ketiga adalah dengan mengoperasikan perkalian matriks antara matriks probabilitas bulan kedua dengan matriks transisinya. Sehingga diperoleh#

Jadi diperoleh probabilitas bulan ketiga, apabila pada bulan pertama memilih di toko *Serba+, untuk toserba *Serba+ adalah 0.6&, dan toserba *!da+ adalah 0.2.  NB: Ingat bahwa jumlah probabilitasnya harus selalu satu (1) 8. !pabila pada bulan pertama, keluarga tersebut me milih untuk berbelan$a di toko *!da+ artinya keluarga tersebut pasti memilih untuk berbelan$a di toko *!da+,  $adi probabilitas keluarga tersebut datang ke toserba *!da+ adalah 1, dan  probabilitas keluarga tersebut datang ke toserba *Serba+ adalah 0. Sehingga matriks probabilitas untuk bulan pertama adalah# 51 0 !pabila dilakukan perkalian antara matriks probabilitas pada bulan pertama dengan matriks transisi pada kasus ini maka akan diperoleh data#

Sedangkan untuk probabilitas bulan ketiga#

Jadi diperoleh probabilitas bulan ketiga, apabila pada bulan pertama memilih di toko *!da+, untuk toserba *Serba+ adalah 0.6&1, dan toserba *!da+ adalah 0.9 d. (enghitung probabilitas keadaan tetap bisa dilakukan dengan melakukan operasi perhitungan persamaan sebagai berikut#

"ersamaan 1#

"ersamaan %#

3arena $umlah probabilitas adalah satu maka "ersamaan #

Dari ketiga persamaan tersebut, kita substitusikan sehingga nilai probabilitas S dan ! akan diperoleh. "robabilitas yang kita peroleh itulah yang merupakan  probabilitas keadaan tetap. Dari persamaan , maka bisa dikonversikan men$adi

Substitusikan ke persamaan 1#

Substitusikan hasil nilai S tersebut ke dalam persamaan %#

Jadi probabilitas keadaan tetap :steady state; nya adalah# 7oserba *Serba+  0.6&% 7oserba *!da+  0.< e. Jumlah perkiraan pelanggan dalam $angka pan$ang bisa dihitung dengan mengalikan probabilitas keadaan tetap dengan $umlah total pelanggannya 7oserba *Serba+  0.6&% = 1000  6&% pelanggan 7oserba *!da+  0.< = 1000  < pelanggan