HP 50g calculadora gráf ica manual del usuario
H Edición 1 Número de parte de HP F2229A A90005
Nota !E"#$%!& $' P!&(')%& EN * +++,re ,reg gister ,-p,com E$%E .AN'A/ )'A/'#E! EE.P/& )&N%EN#(& A'3 $E &F!E)EN 4%A/ )&.& E$% N6 E$% N $'E%&$ A ) A.7 #& $ HE:/E%%P A);A!( N& $#N P!E8#& A8 #$& , /A )&.P A3A HE: &F!E)E " A! AN%3A$ (E N#N"
A)#?N = H E:/E%%P A);A!( )&, N& $E HA! !E$P&N$A7/E (E N#N"
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Historial de impresión Edición 1
Aril de 200C
Pref ac aci o tiene en sus manos una calculadora que es Usted un ordenador (computador, computadora) efectivamente facilita ta el cálcul cálculo o y análisis simbólico y numérico que facili matemáticos de problemas en una gran variedad de disciplinas, desde matemá atemática ticass elemen elementale taless hasta hasta temas temas avanzados de ciencia e ingeniera! "ste manual contiene e#emplos que ilustran el uso de las funciones y operaciones básicas de la calculadora! $os captulos de este manual se organiza organizan n en orden orden de dificultad% comenzando por la selección de los modos de operación de la calculadoras, pasando a cálculos con n&m n&meros eros real reale es y comple#os, operaciones con listas, vectores y matrices, gráficas, aplicaciones en el cálculo diferencial e integral, análisis vectorial, ecuaciones diferenciales, probabilidad, y estadstica! Para e#ecutar operaciones simbólicas la calculadora incluye un poderoso 'istema lgebraico omputacional (omputer lgebraic 'ystem, o '), que permite seleccionar diferentes modos de oper operac ació ión, n, por por e#em e#empl plo, o, n&meros comple#os vs! n&meros reales, o modo e*acto (simbólico) vs! +odo apr apro*imado o*imado (numérico)! $a pan pantall talla a puede a#ustarse para presentar los resultados en notación matemática, lo que puede ser &til cuan cuando do se traba traba#a #a con con matric matrices es,, vectores, fracciones, sumatorias, derivadas, e in inte tegr gra ales les! $as $as gráficas de alta velo veloci cida dad d de la calc calcul ulad ador ora a son son convenientes para producir figuras comple#as en un tiempo mnimo! través de la cone*ión infrarro#a, el cable U', el puerto -' ./. ./. y el cable cable que se le entreg entregará ará con la calcul calculado adora, ra, puede conectar su calcul calculado adora ra a otras otras calcul calculado adoras ras u puttadores, computado orde ordena nado dore ress (com pu computadoras!) ras!) "sto permite permite un rápido y eficiente intercambio de datos con otras calculadoras y ordenadores (computadores, computadoras)! $a calculadora provee un puerto de tar#etas de memoria 0flash1 para facilitar el almacenamiento e intercambio de datos con otros usuarios! "speramos que su calculadora sea una compa2era inseparable para Usted en sus actividades escolares y prof esionales! Nota: $os decimales que encontrará este manual están indicados por un punto decimal en lugar de una coma! 3ste es el a#uste por
defecto de la calculadora! 'i prefiere traba#ar con comas mbiar el el a#uste por def ecto! Para más más decimales, puede cambi información, consulte el aptulo 4!
5ndice de materias hapter 4 6 Preliminares 7peraciones ásicas, 464 ateras, 464 "ncendido y apagado de la calculadora, 46. #ustando el contraste de la pantalla, 46. ontenidos de la pantalla, 46/ +en&s, 46/ "l men& de herramientas (877$), 469 ambiando la hora del da y la fecha , 469 :ntroducción al teclado de la calculadora, 46; ambiando los modos de operación, 46< +odo operativo, 46= >ormato de los n&meros y punto o coma decimal, 464? >ormato "stándar , 464? >ormato con n&mero de decimales fi#o, 4644 >ormato >ormato cient@co, cient @co, 464. >ormato de ingeniera, 464/ oma vs! Punto decimales , 464/ +edidas angulares, 4649 'istema de coordenadas, 464; 'eleccionando opciones del ', 464; "*plicación "*plicación de las opciones del ', 46 4= 'elección de los modos de la pantalla, 464A 'elección del tipo de caracteres (font), 464B 'elección de las propiedades del editor de lnea, 46.? 'elección de las propiedades de la pantalla ('tacC) , 46.? 'elección de las propiedades del escritor de ecuaciones ("DE), 46 .4
-eferencias, 46..
hapter . 6 :ntroducción a la calculadora 7b#etos en la calculadora, .64 "dición de e*presiones en la pantalla, .64 reación de e*presiones aritméticas, .64 reación de e*presiones algebraicas, .69 Uso del escritor de ecuaciones ("DE) para crear e*presiones, .69 reación de e*presiones aritméticas, .6; reación de e*presiones algebraicas, .6= 7rganización de los datos en la calculadora, .6A "l directorio F7+", .6A 'ub6directorios, .6B Gariables, .6B "scritura del nombre de variables , .64? reación de variables, .644 +odo algebraico, .644 +odo -PH, .64. "*aminando el contenido de una variable, .64/ +odo algebraico, .64/ +odo -PH, .64/ Utilizando la tecla seguida de la tecla del men&, .649 $istado de las variables en la pantalla, .649 "liminación de las variables, .64; Usando la función PU-I" en la pantalla en +odo algebraico, .64; Utilizando la función PU-I" en la pantalla en +odo -PH, .64;
$as funciones UHJ7 y +J , .64< 7pciones F77'" bo*es y 'oft +"HU, .64< -eferencias, .64B
hapter / 6 álculos con n&meros reales "#emplos de cálculos con n&meros reales , /64 Utilizando potencias de 4? al escribir datos, /69
$as funciones de n&meros reales en el men& +8F, /6; Usando los men&s de la calculadora% , /6<
$as funciones hiperbólicas y sus inversas, /6< 7peraciones con unidades, /6= "l men& de UH:JJ"' , /6A Unidades disponibles, /6 4? gregando unidades a los n&meros reales, /64? Pre@#os de unidades, /6 44 7peraciones con unidades , /64. onversión de unidades, /64/ onstantes fsicas en la calculadora, /64/ Je@niendo y usando funciones, /64< -eferencia, /64=
hapter 9 6 álculos con n&meros comple#os Je@niciones, 964 'eleccionando el modo comple#o (7+P$"K), 964 "scritura de n&meros comple#os, 96. -epresentación polar de un n&mero comple#o, 96/ 7peraciones elementales con n&meros comple#os, 969 $os men&s +P$K , 969 "l men& +P$K a través del men& +8F , 969 "l men& +P$K en el teclado, 96< >unciones aplicadas a n&meros comple#os, 96< >unción J-7:8"% la ecuación de una lnea recta, 96= -eferencia, 96=
hapter ; 6 7peraciones algebraicas y aritméticas "scritura de los ob#etos algebraicos, ;64 7peraciones elementales con ob#etos algebraicos, ;6. >unciones en el men& $I , ;69 7peraciones con funciones trascendentes, ;6< "*pansión y factorización utilizando las funciones log6e*p, ;6 <
"*pansión y factorización utilizando funciones trigonométricas, ;6= >unciones en el men& -:8F+"8: , ;6A Polinomios, ;6B
$a función F7-H"- , ;6B $a variable GK, ;6B $a función P7">, ;64? $a función P-778, ;64? $as funciones DU78 y -"+:HJ"-, ;64? $a función P"G$, ;644 >racciones, ;644 $a función ':+P., ;644 $a función P-7P>- , ;644 $a función P-8>- , ;64. $a función >7">, ;64. $a función >-778' , ;64. 7peraciones con polinomios y fracciones, paso a paso, ;64/ -eferencia, ;649
hapter < 6 'olución de las ecuaciones 'olución simbólica de las ecuaciones algebraicas, <64 $a función :'7$ , <64 $a función '7$G", <6/ $a función '7$G"GK, <69 $a función L"-7', <6; +en& de soluciones numéricas, <6< "cuaciones polinómicas, <6< 'olución(es) de una ecuación polinómica, <6= Ieneración de coe@cientes de un polinomio dadas las races, <6 =
Ieneración de una e*presión algebraica para el polinomio, <6A álculos financieros, <6B 'olución de ecuaciones con una sola incógnita con el HU+!'$G, <6 B
$a función '8"D, <6B 'olución de ecuaciones simultáneas con +'$G, <644 -eferencia, <64.
hapter = 6 7peraciones con listas reación y almacenamiento de listas, =64 7peraciones con listas de n&meros, =64 ambio de signo , =64 dición, substracción, multiplicación, y división, =64 >unciones aplicadas a listas, =69 $istas de n&meros comple#os, =69 $istas de ob#etos algebraicos, =6; "l men& +8FM$:'8 , =6; $a función '"D, =6= $a función +P, =6= -eferencia, =6A
hapter A 6 Gectores $a escritura de vectores, A64 "scritura de vectores en la pantalla, A64 lmacenamiento de vectores en variables, A6. Utilizando el escritor de matrices (+8-E) para escribir vectores, A6 /
7peraciones elementales con vectores, A6; ambio de signo , A6; dición, substracción, A6; +ultiplicación o división por un escalar, A6< >unción valor absoluto, A6< "l men& +8FMG"87-, A6= +agnitud, A6= Producto escalar (producto punto) , A6= Producto vectorial (producto cruz), A6A -eferencia, A6B
hapter B 6 +atrices y álgebra lineal "scritura de matrices en la pantalla, B64
Utilizando el editor de matrices, B64 omo se hizo con los vectores (véase el aptulo A), las matrices
pueden escribirse utilizando el editor o escritor de matrices! Por e#emplo, para escribir la matriz%, B64 "scribiendo la matriz directamente en la pantalla, B6. 7peraciones con matrices, B6/ dición y substracción, B6/ +ultiplicación, B69 +ultiplicación por un escalar, B69 +ultiplicación de una matriz con un vector, B69 +ultiplicación de matrices, B6; +ultiplicación término6a6término, B6; "levar una matriz a una potencia real, B6< $a matriz identidad, B6< $a matriz inversa, B6= "l men& H7-+ de matrices, B6= $a función J"8, B6= $a función 8-" , B6A 'olución de sistemas lineales, B6A Utilizando la solución numérica de sistemas lineales, B6B 'olución utilizando la matriz inversa, B644 'olución a través de 0división1 de matrices, B644 -eferencias, B644
hapter 4? 6 Irá@cas 7pciones grá@cas en la calculadora, 4?64 Irá@ca de una e*presión de la forma y N f(*), 4?6. 8abla de valores de una función, 4?69 Irá@cas tridimensionales de acción rápida (>ast /J plots), 4?6; -eferencia, 4?6=
hapter 44 6 plicaciones en el álculo "l men& $ (álculo), 4464 $mites y derivadas, 4464 $a función lim, 4464 $as funciones J"-:G y J"-GK, 446/
nti6derivadas e integrales, 446/ $as funciones :H8, :H8GK, -:'F, ':I+ y ':I+GK, 446/ :ntegrales de@nidas, 4469 'eries in@nitas, 446; $as funciones 8O$-, 8O$-?, y '"-:"', 446; -eferencia, 446<
hapter 4. 6 plicaciones en el álculo +ultivariado Jerivadas parciales, 4.64 :ntegrales m<iples, 4.6. -eferencia, 4.6.
hapter 4/ 6 plicaciones en nálisis Gectorial "l operador delQ, 4/64 Iradiente, 4/64 Jivergencia, 4/6. -otacional (url), 4/6. -eferencia, 4/6.
hapter 49 6 $as ecuaciones diferenciales "l men& $MJ:>>, 4964 'olución de las ecuaciones lineales y no lineales, 4964 $a función $J" , 4964 $a función J"'7$G", 496/ $a variable 7J"8OP", 496/ 8ransformadas de $aplace, 4969 8ransformadas de $aplace y sus inversas en la calculadora, 496; 'eries de >ourier, 496< $a función >7U-:"-, 496< 'erie de >ourier para una función cuadrática, 496< -eferencia, 496=
hapter 4; 6 Jistribuciones de probabilidad "l sub6men& +8FMP-7:$:8O!! 6 parte 4, 4;64 >actoriales, combinaciones, y permutaciones, 4;64
H&meros aleatorios, 4;6. "l sub6men& +8FMP-7:$:8O!! 6 parte ., 4;6/ $a distribución normal, 4;6/ $a distribución de 'tudent, 4;69 $a distribución hi cuadrada , 4;69 $a distribución >, 4;69 -eferencia, 4;69
hapter 4< 6 plicaciones "stadsticas "ntrada de datos, 4<64 álculos estadsticos para una sola variable, 4<6. +uestra vs! población, 4<6. álculo de distribuciones de frecuencias, 4<6/ #ustando datos a la función y N f(*), 4<6; +edidas estadsticas adicionales, 4<6< :ntervalos de con@anza, 4<6= Prueba de hipótesis, 4<6B -eferencia, 4<644
hapter 4= 6 H&meros en bases diferentes "l men& '", 4=64 "scritura de n&meros no decimales, 4=6. -eferencia, 4=6.
hapter 4A 6 Utilizando tar#etas de memoria 'J :nsertar y eliminar una tar#eta 'J, 4A64 >ormatear una tar#eta 'J, 4A64 cceder a ob#etos en una tar#eta 'J, 4A6. lmacenando ob#etos en la 8ar#eta 'J, 4A6/ opiando un ob#eto de la tar#eta 'J, 4A6/ "liminando ob#etos de la tar#eta 'J, 4A69 Purgar todos los ob#etos en la tar#eta 'J (reformateando), 4A69 "speci@car un directorio en una tar#eta 'J, 4A69
hapter 4B 6 $a biblioteca de ecuaciones -eference, 4B69 Iaranta $imitada, I64 'ervicio, I6/ -egulatory information, I6; "liminación de residuos de equipos eléctricos y electrónicos por parte de usuarios particulares en la Unión "uropea, I6=
aptulo 4 Preliminare s "l presente captulo está destinado a proveer la información básica sobre la operación de la calculadora! $os e#ercicios que se presentan a continuación permiten al usuario familiarizarse con las operaciones básicas y la selección de los modos de operación de la calculadora!
7peraciones ásicas $os e#ercicios siguientes tienen el propósito de describir la
calculadora misma!
atera s $a calculadora utiliza 9 bateras ($-?/) como fuente de alimentación principal y una batera de litio -.?/. para copia de seguridad de la memoria! ntes de utilizar la calculadora, instale las bateras siguiendo el procedimiento que se describe a continuación! Para instalar las baterías principales a! Compruebe que la calculadora esté apagada. Jeslice la tapa del compartimento de las bateras hacia arriba tal y como se indica la figura!
b! :nserte 9 bateras ($-?/) nuevas en el compartimento principal! seg&rese de que cada batera se inserta en la dirección indicada!
Para
instalar las baterías de seguridad a! Compruebe que la calculadora esté apagada. Presione el elemento de su#eción hacia aba#o! "mpu#e la placa en la dirección mostrada y levántela!
b! :nserte una nueva batera de litio -.?/.! seg&rese de que el polo positivo (R) mira hacia arriba! c! Guelva a colocar la placa y acóplela en su ubicación original! Jespués de instalar las bateras, presione K para activar la alimentación! Advertencia: cuando el icono de batera ba#a aparezca en la pantalla, reemplace las bateras cuanto antes! Ho obstante, intente no retirar la batera de seguridad y las bateras principales al mismo tiempo para evitar la pérdida de datos!
"ncendido y calculadora
apagado
de
la
$a tecla K se localiza en la esquina inferior izquierda del teclado! Pulse esta tecla para encender la calculadora! Para apagar la calculadora, pulse la tecla L (primera tecla en la segunda fila contada de la parte inferior del teclado), seguida de la tecla K! $a tecla K tiene un rótulo indicando 7>> (apagar) en la esquina superior derecha para recalcar la operación de apagar la calculadora!
#ustando el contraste de la pantalla Uno puede a#ustar el contraste de la pantalla al mantener presionada la tecla K mientras pulsa la tecla M ó simultáneamente!
$a combinación K(mantener) M produce una pantalla más oscura! $a combinación K(mantener) produce una pantalla más clara!
Página 46.
ontenidos pantalla
de
la
"ncienda la calculadora una vez más! "n la parte superior de la pantalla encontrará dos lneas de información que describen las caractersti cas operativas de la calculadora! $a primera lnea muestra los caracteres% !A( > HE !O PP $os detalles de estos smboloss se muestran en el aptulo . de esta gua! $a segunda lnea muestra los caracteres% Q H&.E R que indican que el directorio F7+" es el directorio activo para almacenar archivos en la memoria de la calculadora l pié de la pantalla se encuentran varios rótulos, a saber, LE(#% L8#E: LL!)/LL LL$%&L SP'!"E S )/EA!
que están asociados con las seis teclas de menú, >4 a ><% A7)(EF! $os seis rótulos en la parte inferior de la pantalla cambian dependiendo del men& activo! 'in embargo, la tecla A siempre se asocia con el primer rótulo, la tecla 7 se asocial con el segundo rótulo, y as sucesivamente!
+en& s $os seis rótulos asociados con las teclas Aa F forman parte de un men& de funciones de la calculadora! Jado que la calculadora solamente tiene seis teclas de men&, solo se muestran seis rótulos a la vez! 'in embargo, el men& puede tener más de seis opciones! ada grupo de < opciones se conoce como una Página de +en&! Para mostrar la siguiente página de men& (si e*iste), presiónese la tecla / (HeK8, es decir, el siguiente men&)! "sta tecla se localiza en la tercera columna y la tercera fila del teclado!
"l men& de herramientas (8 77$) "l men& activo a este momento, conocido como el men& de herramientas (877$), está asociado con operaciones relacionadas a la manipulación de variables (véase la sección sobre variables in este aptulo)! $as diferentes funciones del men& de herramientas son las siguientes% LE(#% A "J:8ar el contenido de una variable (para información adicional, véase el aptulo . en esta el péndice $ en la gua del usuario) L8#E: 7 7bservar (G:"E) el contenido de una variable LL!)/L ) -ecobrar (-ea$l) el contenido de una variable LL$%&L ( lmacenar ('87re) el contenido de una variable SP'!"E E "liminar o borrar (PU-I") una variable L)/EA! F $impiar ($"-) la pantalla "stas seis funciones forman la primera página del men& de herramientas (877$)! "ste men& tiene actualmente ocho opciones organizadas en dos páginas! $a segunda página se obtiene al presionar la tecla /! "n la segunda página del men& solamente las dos primeras teclas de men& tienen funciones asociadas! "stas funciones son% L)A$). A '+J% ' o+manJ, se utiliza para modificar el ' (omputer lgebraic 'ystem, o 'istema lgebraico omputacional) 7 F"$P, men& informativo que describe las LHE/P f unciones disponibles en la calculadora
l presionar la tecla / nuevamente, se obtiene el men& de 7tra forma de recuperar el herramientas (877$) original! men& de herramientas (877$) es al presionar la tecla # (tercera columna y segunda fila en el teclado)!
ambiando la hora del da y la fecha Géase el aptulo 4 en la gua del usuario para aprender como cambiar la hora del da y la fecha en la calculadora!
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:ntroducción calculadora
al
teclado
de
la
$a figura siguiente muestra un diagrama del teclado de la calculadora enumerando sus filas y columnas! ada tecla tiene tres, cuatro, o cinco funciones asociadas! $a función principal de una tecla corresponde al rótulo más prominente en la tecla! $a tecla de cambio izquierdo, tecla (B,4), la tecla de cambio derecho, tecla (B,4), y la tecla alfa ($PF), tecla (=,4), pueden combinarse con otras teclas para activar las funciones alternas que se muestran en el teclado!
Página 46;
Por e#emplo, la tecla P, tecla(4,4) , tiene las siguientes seis fu nciones asociadas% P >unción principal, para activar el men& de operaciones simbólicas TU >unción de cambio izquierdo, activa el men& de matemáticas (+8F) VN >unción de cambio derecho, activa el 8álogo de funciones >unción $PF, para escribir la letra P Wp may&scula >unción $PF6cambio izquierdo, escribe la WTp letra p min&scula WVp >unción $PF6cambio derecho, escribe el smbolo Je las seis funciones asociadas con una tecla, solamente las cu atro primeras se muestran en el teclado mismo! $a figure siguiente mue stra estas cuatro funciones para la tecla P! Hótese que el color y la posición de los rótulos de las funciones en la tecla, a saber, SYMB, MTH, CAT y P, indican cual es la función principal (SYMB), y cual de las otras tres funciones se asocian con la tecla de cambio izquierdo T(MT H), con la tecla de cambio derecho V(CAT ), y con la tecla W (P)!
Para información adicional sobre la operación del teclado de la calculadora, refiérase al péndice en la gua del usuario!
ambiando operación
los
modos
de
"sta sección asume que el usuario se ha familiarizado con el uso de los men&s y las formas interactivas de entradas de datos (si éste no es el caso, refiérase al péndice en la gua del usuario)!
Presione la tecla H (segunda fila y segunda columna del teclado) para activar la forma interactiva denominada CALCUL AT OR MODES%
Página 46<
Presione la tecla S LL&;XL para recuperar la pantalla normal! "#emplos de los diferentes modos de operación se muestran a continuación!
+odo operativo $a calculadora presenta dos modos de operación% el modo Algebraco, y el modo de !o t ac"n #olaca Re$ersa (Re$erse #ols% !ot at on, R#!)! 'i bien el modo lgebraico es el modo predefinido de operación (como se indica en la figure anterior), usuarios con e*periencia en previos modelos de las calculadoras FP podran preferir el modo -PH! Para seleccionar el modo operativo, actvese la forma interactiva $a titulada $U$87- +7J"' presionando la tecla H! opción O&eratng Mode (+odo 7perativo) es seleccionada automáticamente! 'elecciónese el modo operativo lgebraico o -PH usando, ya sea, la tecla Y (segunda columna y quinta fila en el teclado), o la tecla L)H&& $ (escoger, 7)! 'i se usa el procedimiento ultimo, &sense las teclas direccionales verticales, Z [, para seleccionar el modo operativo, y presiónese la tecla SSLL&;XL para completar la operación! Para ilustrar la diferencia entre los dos modos operativos, a continuación procedemos a calcular la siguiente e*presión en los dos modos operativos%
T
V Z B,0 S B,0 X 2,5 Re
B,0 SY 5,0
W
1
B 2B,0
Para escribir esta e*presión, usaremos el escritor de ecuaciones (e'aton rter ), \&* ntes de continuar, le invitamos a identificar las siguientes teclas, además de las teclas numéricas% SL,X]M^! _`\&b[Zc
"l escritor de ecuaciones representa un ambiente en el que uno puede construir e*presiones matemáticas usando notación matemática e*plcita
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incluyendo fracciones, derivadas, integrals, races, etc! Para escribir la e*presión antes mencionada en el escritor de ecuaciones, utilcense la secuencia de teclas siguiente% \&!B,]S`5, 1,^B,]B, ZZZZZ
^2B,BbbMS_2,5c Jespués de presionar la tecla c la pantalla muestra la siguiente e*presión%
[ (3.*(5.-1/(3.*3.))/23.^3+EXP(2.5)) l presionar la tecla c una vez más produce el siguiente result ado (acepte el cambio a modo ppro*!, de ser necesario, presionando la tecla SSLL&;XL )%
Uno puede escribir la e*presión directamente en la pantalla sin usar el escritor de ecuaciones, como se muestra a continuación% !S`B,]S`5,1^ B,]B,b ^2B,BMS_2,5c
ámbiese el modo operativo a -PH comenzando al presionar la tecla H! 'elecciónese el modo operativo R#! utilizando ya sea la tecla Y, o la tecla L)H&&$ del men&! Presiónese la tecla S LL&;XL ( F) del men& para completar la operación! $a pantalla en el modo operativo -PH se muestra a continuación%
Hótese que la pantalla muestra varios niveles identificados por los n&meros 4, ., /, etc! "sta pantalla se denomina la pila (stac+ ) de la calculadora! $os diferentes niveles se denominan los niveles de la pila, es decir, nivel 4, nivel ., etc!
ásicamente, en el modo operativo -PH en vez de escribir la operación / R . de esta forma% BM2c se escriben primero los operandos, en el orden apropiado, seguidos del operador, por e#emplo, Bc2M medida que se escriben los operandos, éstos pasan a ocupar dif erentes niveles en la pila! l escribirse, por e#emplo, Bc, el n&mero / aparece en el nivel 4! continuación, escrbase 2 para promover el n&mero / al nivel .! >inalmente, al presionar M, se indica a la calculador que aplique el operador, o programa, M a los ob#etos que ocupan los niveles 4 y .! "l resultado, es este caso ;, aparece en el nivel 4!
alc&lense las siguientes operaciones antes de intentar las operaciones presentadas anteriormente usando el sistema operativo algebraico% 12BcB2^ 4./M/. J2 9. [([.=)
/
.=-/\]
7bsérvese <imas! $a la posición de la y y la * en las dos operaciones base en la operación e*ponencial es y (nivel .), mientras que el e*ponente es * (nivel 4) antes de presionarse la tecla 1! Je manera similar, en la operación de la raz c&bica, y (nivel .) es la cantidad ba#o el signo radical, y * (nivel 4) es la raz! "#ec&tese el siguiente e#ercicio involucrando / factores% (;R/) ^. 5cBM alc&lese (; R/) primero! 2N omplétese la operación!
la alc&lese anteriormente%
e*presión
propuesta
1 V T BSY 5 Z S B B W X R e2,5 B 2B
Bc 5c Bc B] muestra en
"scrbase / en el nivel4 "scrbase ; en el nivel4, / pasa al nivel . "scrbase / en el nivel4, ; pasa al nivel ., / pasa al nivel / "scrbase / y e#ec&tese la multiplicación, B se
el nivel4
4M( /^ /), <imo valor en nivel 4_ ; en el nivel._ / en
el nivel/ ; 6 4M( /^/), ocupa el nivel 4_ / en el nivel. /^ (; 6 4M( /^ /)), ocupa el nivel 4 ] 2Bc "scrbase ./ en el nivel4, 49!<<<< pasa al nivel .! B "scrbase /, calc&lese .// en nivel 4! 49!<<< en nivel .! ^ (/^ (;64M(/^ /)))M.// en nivel 4 2,5 "scrbase .!; en el nivel 4 S_ e.!;, pasa al nivel 4, nivel . muestra el valor anterior M N 4.!4A/
/
.!;
4
[((/^ (; 6 4M(/^/)))M.// R e.!;) N /!9B!!!, en nivel 4! Para seleccionar modo operativo $I vs! -PH, uno puede activar M desactivar la se2al de sistema n&mero B; utilizando las siguientes teclas% H LF/A"$S 9[[[[
c
>ormato de los n&meros y punto o coma decimal l cambiar el formato de los n&meros permite mostrar resultados en diferentes formas! "sta opción es muy &til en operaciones que involucran potencias de diez o si se quiere limitar el n&mero de cifras decimales en los resultados! Para seleccionar el formato de los n&meros, actvese primero la forma interactiva denominada $U$87- +7J"' al presionar la tecla H! Utilcese entonces la tecla direccional vertical, [, para seleccionar la opción !mber ormat ! "l valor preseleccionado es Std, o f orm ato estándar! "n este formato, la calculadora mostrará n&meros reales con punto decimal flotante y con la má*ima precisión disponible (4. cifras significativas)Para mayor información sobre n&meros reales en la calculadora véase el aptulo . en la gua del usuario! "#emplos que utilizan el formato estándar y otros formatos se muestran a continuación%
>ormato "stándar
"ste modo es el más utilizado dado que muestra los n&meros en su notación mas com&n! Presiónese la tecla de men& SSLL&;XL , con la opción !mber ormat mostrando el valor Std, para recobrar la pantalla normal! "scrbase el n&mero 4./!9;<=AB?4./9;< (con4< cifras signif icativas)! Presiónese la tecla c! "l n&mero se redondea al má*imo de 4. cifras significativas, y se muestra de la siguiente manera%
>ormato con n&mero de decimales @#o Presiónese la tecla H, y utilcese la tecla direccional vertical, [, para seleccionar la opción !mber ormat ! Presiónese la tecla de men& L)H&&$ ( 7), y selecciónese la opción -.ed utilizando la tecla [!
Presiónese la tecla direccional horizontal, b, y selecciónese el cero en frente de la opción -. ! Presiónese la tecla de men& L)H&& $ y selecciónese el valor / (como e#emplo), utilizando las teclas direccionales verticales, Z[!
Presiónese la tecla de men& S LL&;XL para completar la selección%
Presiónese la tecla de men& SSLL&;XL para recobrar la pantalla normal! "l n&mero que se utilizó anteriormente se muestra ahora como%
Hótese que la parte decimal es redondeada, y no truncada! Por e#emplo, con este formato, el n&mero 4./!9;<=AB?4./9;< se muestra como 4./!9;=, y no como 4./!9;
>ormato cient@co Para seleccionar este formato, presiónese primero la tecla H! continuación, utilcese la tecla direccional vertical, [, para seleccionar la opción !mber ormat ! Presiónese la y selecciónese la opción Scent c tecla L)H&&$ ( 7), utilizando la tecla [! +anténgase el n&mero / en frente de Sc! ("ste n&mero puede cambiarse de la misma manera en que se cambió la opción -.ed en el e#emplo anterior)!
Presiónese la tecla S LL&;XL para recobrar la pantalla normal! "l n&mero utilizado anteriormente se muestra ahora de la forma siguiente%
"ste resultado, 4!./"., es la versión de la notación de potencias de diez, es decir /*012 ^ /3 , proveda por la calculadora! "n este
.
formato cient fi co, el n&mero 1 en frente de la opción Sc representa el n&mero de
cifras significativas que siguen al punto decimal! $a notación cientfica siempre incluye una cifra entera como se mostró anteriormente! "n este e#emplo, por lo tanto, el n&mero de cifras significativas es cuatro!
>ormato ingeniera
de
"l formato de ingeniera (engineering format) es muy similar al cientfico, e*cepto que el e*ponente en la potencia de diez es un m<iplo de /! Para seleccionar este formato, presiónese primero la tecla H, y utilcese la tecla direccional, [, para seleccionar la opción !mber ormat ! Presiónese la tecla L)H&&$ (7), y selecciónese la opción Engneerng con la tecla [! +anténgase el n&mero / delante de la opción Eng! ("ste n&mero puede cambiarse de la misma manera en que se cambió para la opción -. del formato de n&mero)!
Presiónese la tecla S LL&;XL para recuperar la pantalla normal! "l n&mero utilizado en los e#emplos anteriores se muestra ahora de la siguiente manera%
Jado que este n&mero posee tres cifras en la parte decimal, se muestra con cuatro cifras significativas y un e*ponente de cero cuando se utiliza el formato de ingeniera! Por e#emplo, el n&mero ?!??.;< se muestra como%
oma vs! decimales
Punto
Puntos decimales en n&meros reales pueden re6e mplazarse con comas, si el usuario está acostumbrado a esa notación! Para re6 em plazar los puntos decimales con comas, cámbiese la opción -M en la forma interactiva denominada $U$87- +7J"'
como se muestra a continuación (Hótese que hemos cambiado el formato de n&meros a estándar, Std)% Presiónese primero la tecla H! Jespués, presiónese la tecla direccional vertical, [, una vez, y la tecla direccional horizontal, b, dos veces,
-M,! Para seleccionar comas, seleccionando as la opción (7)! $a forma interactiva presiónese la tecla de men& lucirá como se muestra a continuación%
Presiónese la tecla de men& S LL&;XL para recobrar la pantalla normal! Por e#emplo, el n&mero 4./!9;<=AB?4./9;<, utilizado anteriormente, se mostrará de la forma siguiente utilizando comas%
+edidas angulares $as funciones trigonométricas, por e#emplo, requieren $a argumentos que representan ángulos en el plano! calculadora provee tres modos diferentes de medidas angulares, a saber% 5rados (Degrees)% "*isten 163 grados (163o ) en un
crculo!
Radanes% "*isten 0 radianes (0 ) en un
r
crculo! 5rados decmales (5rades)% "*isten 433 grades (433g ) en un
crculo! $as medidas angulares afectan los resultados de funciones tales como seno(':H), 7', 8H y funciones asociadas! Para seleccionar las medidas angulares utilcese el procedimiento siguiente% Presiónese primero la tecla H! continuación, utilcese la tecla
[, dos veces! 'elecciónese la opción Angle Measre u tilizando ya sea la tecla Y (segunda columna en la quinta fila contando de aba#o hacia arriba), o la tecla de men& L)H&&$ (7)! 'i se utiliza la <ima opción, utilcense las teclas direccionales verticales, Z [, para seleccionar la medida angular, y presiónese la tecla SSLL&;XL para completar la operación! Por e#emplo, en la siguiente pantalla, se selecciona -adianes como la medida angular%
'istema coordenadas
de
$a selección del sistema de coordenadas af ecta la forma en se escriben y se muestran vectores y n&meros comple#os! Para mayor información sobre n&meros comple#os y vectores, véanse los aptulos 9 y A, respectivamente, en esta gua! "*isten tres sistemas de coordenadas en la calculadora% (-"8), ilndricas (O$:H), y "sféricas -ectangulares ('PF"-")! Para seleccionar el sistema de coordenadas utilcese el procedimiento siguiente% Presiónese primero la tecla H! continuación, utilcese la tecla direccional vertical, [, tres veces! Una vez seleccionada la opción Coord S7stem, selecciónese la medida angular utilizando la tecla Y, o la tecla L)H&&$ (7)! 'i se sigue la <ima opción, utilcense las teclas direccionales verticales, Z [, para seleccionar el sistema de coordenadas, y presiónese la tecla SSLL&;XL (F) para completar la operación! Por e#emplo, en la siguiente pantalla se seleccionan coordenadas polares%
'eleccionando opciones del ' "l término ' significa Computer Algebraic System, o 'istem a lgebraico omputacional! "l ' es el centro matemático de la calculadora donde residen las operaciones y funciones simbólicas de la misma! "l ' presenta un n&mero de
opciones que pueden a#ustarse de acuerdo a la operación de interés! Para ver las opciones del ' utilcese el procedimiento siguiente%
Presiónese la tecla H para activar la forma interactiva denominada $U$ 87- +7J"'!
Para cambiar las opciones del ' presiónese la tecla de men& LL)A$LL!
$os valores predefinidos de las opciones del ' se muestran en la figura siguiente%
Para navegar a través de las diferentes opciones en la forma interactiva denominada ' +7J"', utilcese las teclas direccionales% b[Z ! Para seleccionar o remover cualquiera de las opciones indicadas anteriormente, selecciónese la lnea que precede a la opción de interés, y presiónese la tecla de men& hasta que se obtenga la opción apropiada! Una vez seleccionada cierta opción, aparecerá una marca de aprobado () en la lnea que precede a la opción seleccionada (por e#emplo, véanse las opciones Rgoros y Sm& !o n8 Ratonal en la pantalla mostrada anteriormente)! "n las
opciones que no han sido seleccionadas no se mostrarán marcas de aprobado (d) en la lnea precedente (por e#emplo, en las opciones 9!merc, 9A&&ro., 9Com&le., 9:erbose, 9St e &;S t e&, y 9
$U$ 87- +7J"'! Para recobrar la pantalla normal presiónese la tecla de men& LLL&;LLL una vez más!
"*plicación de las opciones del ' :ndep var% $a variable independiente para las aplicaciones del '!
Usualmente, GK N KQ! +odulo% Para operaciones en la aritmética modular esta variable almacena el módulo del anillo aritmético (véase el aptulo ; en la gua del usuario de la calculadora)! Humeric% uando se selecciona esta opción la calculadora produce resultados numéricos en las operaciones! 7bserve que las constantes siempre se evaluarán numéricamente! ppro*% uando se selecciona esta opción, la calculadora usa el modo denominado apro*imado (ppro*) y produce resultados numéricos en las operaciones! 'i esta opción no es seleccionada, el ' utiliza el modo e*acto ("*act), el cual produce resultados simbólicos en las operaciones algebraicas! ompl e*% uando se selecciona esta opción, las operaciones con n&meros comple#os son activadas! 'i no se selecciona esta opción, la calculadora opera en modo -eal, lo que significa que se activan las operaciones con n&meros reales! Para mayor información sobre operaciones con n&meros reales véase el aptulo 9 en esta gua! Gerbose% 'i se selecciona esta opción la calculadora provee información detallada al realizar ciertas operaciones del '! 'tepM 'tep% 'i se selecciona esta opción, la calculadora provee resultados intermedios detallados (paso6a6paso) en ciertas operaciones que usan el '! "sta opción puede ser &til para obtener pasos intermedios en sumatorias, derivadas, integrales, operaciones con polinomios (por e#emplo, divisiones sintéticas), y operaciones m atriciales! :ncr Po% Potencia creciente (:ncreasing Poer), significa que, si se selecciona esta opción, los términos de los polinomios se mostrarán con un orden reciente de las potencias de la variable independiente! -igorous% 'i se selecciona esta opción la calculadora no simplifica la función valor absoluto K a K! 'imp Hon6-ati onal% 'i se selecciona esta opción la calculadora intentará simplificar e*presiones no racionales tanto como sea posible!
'elección de los modos de la pantalla $a pantalla de la calculadora posee un n&mero de opciones que el usuario puede a#ustar a su gusto! Para ver las opciones disponibles, use el procedimiento siguiente% Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma denominada $U$87- +7J"! Jentro de esta forma interacti va, presiónese la tecla de men& LL(#$PL (() para activar la forma denominada J:'P$O +7J"'%
Para navegar a través de las diferentes opciones en la forma interactiva J:'P$O +7J"' utilcense las teclas direccionales% b[ Z! Para seleccionar o remover cualquiera de las opciones mostradas en la figura anterior (las opciones selectas se indican con la marca de aprobado, d), selecciónese la lnea previa a la opción de interés, y presiónese la tecla de men& hasta conseguir la opción deseada! uando se selecciona una opción, se muestra una marca de aprobado, d, en la lnea precedente (por e#emplo, en oo+ en la lnea Stac+= en la figura anterior)! la opción Te . tb 7pciones no seleccionadas no mostrarán la marca de aprobado, d, en la lnea precedente (por e#emplo, las opciones 9Small, 9-ll &age, e 9ont) para la pantalla, selecciónese la opción -ont= en la forma interactiva denominada J:'P$O +7J"', y utilcese la tecla de men& L)H&&$ (7)! Jespués de haber seleccionado yMo removido todas las opciones deseadas en la forma interactiva J:'P$O +7J"', presiónese la tecla de men& LLL&;LLL! "sta acción permite al usuario recobrar la forma interactiva denominada $U$87-
+7J"' en la pantalla! Para recobrar la pantalla normal, presiónese la tecla de men& LLL&;LLL una vez más!
'elección del tipo de caracteres (font) Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma Jentro de esta forma interacti va $U$87- +7J"'! interactiva, presiónese la tecla de men& LL(#$PL (() para activar la forma interactiva denominada J:'P$O +7J"'! $a pantalla indicará que la opción -t>93=s7stem > ha sido seleccionada para la lnea -ont= en la forma interactiva J:'P$ O +7J"'! "ste es el valor pre6selecto para la lnea -ont ! l presionar la tecla de men& L)H&&$ (7), la pantalla proveerá todas las opciones posibles para el tipo de caracteres%
"*isten tres opciones estándares disponibles S7stem -onts (de tama2os >, ?, y 6) y una cuarta opción, @rose**! "sta <ima opción permite al usuario a buscar tipos adicionales que pueden ser creados por el usuario o copiados en la memoria de la calculadora de otras f uentes! Practique cambiar el tama2o de los caracteres a ? y 6! Presiónese la tecla LL&;LL para aceptar la selección del tama2o de los caracteres! Una vez seleccionado el tama2o de los caracteres, la tecla de men& LLL&;LLL para recobrar la forma interactiva denominada Para recobrar la pantalla normal, $U$87- +7J"'! presiónese la tecla de men& LLL&;LLL una vez más! 7bsérvese como la pantalla se a#usta al tama2o de caracteres seleccionado por el usuario!
'elección de las propiedades del editor de lnea Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma Jentro de esta forma interacti va $U$ 87- +7J"'! interactiva, presiónese la tecla de men& LL(#$PL (() para activar la forma interactiva J:'P$ O +7J"'! Presiónese la tecla direccional vertical, [, una vez, para alcanzar la lnea Ed t ! "sta lnea muestra tres propiedades del editor que pueden ser modificadas! uando se seleccionan estas propiedades (se muestra una marca de aprobado, d) se activan las siguientes opciones% 'e cambia el tama2o de los caracteres a peque2o 9Small 9-ll &age Permite posicionar el cursor al final de una lnea 9
'elección de las propiedades de la pantalla ('tacC) Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma Jentro de esta forma interacti va $U$ 87- +7J"'! interactiva, presiónese la tecla de men& LL(#$PL (() para activar la forma interactiva J:'P$ O +7J"'! Presiónese la tecla direccional vertical, [, dos veces, para alcanzar la lnea Stac+ ! "sta lnea muestra dos propiedades del editor que pueden ser modificadas! uando se seleccionan estas propiedades (se muestra una marca de aprobado, d) se activan las sigu ientes opciones% 9Small ambia el tama2o de los caracteres a peque2o! "sta opción ma*imiza la cantidad de información presentada en la pantalla! "sta selección precede a la selección del tama2o de los caracteres de la pantalla! 9Te.tboo+ +uestra las e*presiones matemáticas en notación matemática propia Para ilustrar estas opciones, ya sea en modo algebraico o -PH, utilcese el escritor de ecuaciones para escribir la siguiente e*presión%
\&V50bTebT_YIbI
"n modo algebraico, la siguiente pantalla muestra este resultado cuando no se selecciona ni la opción 9Small ni la opción 9Te.tboo+ en la lnea Stac+ %
uando se selecciona la opción 9Small solamente, la pantalla muestra lo siguiente%
on la opción 9Te.tboo+ seleccionada (este es el valor predefinido), ya sea que se seleccione la opción 9Small o no, la pantalla muestra el siguiente resultado%
'elección de las propiedades del escritor de ecuaciones ("DE) Para empezar, presiónese la tecla H para activar la forma Jentro de esta forma interacti va $U$87- +7J"'! interactiva, presiónese la tecla de men& LL(#$PL (() para activar la forma interactiva J:'P$ O +7J"'! Presiónese la tecla direccional vertical, [, tres veces, para activar la lnea EB ("quation Eriter)! "sta lnea muestra dos propiedades del editor que pueden ser modificadas! uando se seleccionan estas propiedades (se muestra una marca de aprobado, d) se activan las siguientes opciones% ambia el tama2o de los caracteres a 9Small peque2o cuando se utiliza el escritor de ecuaciones 9Small St ac+ Ds& +uestra tama2o peque2o de caracteres después de utilizar el escritor de ecuaciones :nstrucciones detalladas del uso del escritor de ecuaciones ("DE) se presentan en otras secciones de esta gua! "n el e#emplo de la integral
e U
0
d , que se presentó anteriormente,
el
seleccionar la opción 9Small St ac+ Ds& en la lnea EB de la forma J:'P$O +7J"' produce el siguiente resultado%
-eferencia s -eferencias adicionales sobre las materias cubiertas en este aptulo pueden encontrarse en el aptulo 4 y en el péndice de la gua del usuario!
aptulo . :ntroducción calculadora
a
la
"n este aptulo se presentan las operaciones básicas de la computadora incluyendo el uso del escritor de ecuaciones ("quation Eriter) y la manipulación de los ob#etos (datos) en la calculadora! nalcense los e#emplos en este aptulo para conocer me#or la operación de la calculadora en futuras aplicaciones!
7b#etos en calculadora
la
"l término 0ob#eto1 se refiere un los n&meros, listas, matrices, etc! que se usan en la calculadora! $os ob#etos más comunes son% los reales (n&meros reales, escritos con un punto decimal, por e#emplo, 6?!??./, /!;<), los enteros (n&meros enteros, escritos sin un punto decimal, por e#emplo, 4./., 64./.4.4./ ), los números com&leos (escritos como $os pares ordenados, por e#emplo, (/,6.)), las lstas, etc! ob#etos en la calculadora se describen en los aptulos . y .9 de la gua del usuario!
"dición de e*presiones en la pantalla "n esta sección se presentan e#emplos de la edición de e*presiones directamente en la pantalla de la calculadora!
reación de aritméticas
e*presiones
Pare e#ecutar este e#emplo, selecciónese el modo operativo lgebraic y el formato -. con / decimales para la pantalla! "scrbase la e*presión%
1,0 1,0 R , 5 5,0 S Página .64
B,0 2,0
/
Para escribir esta e*presión, utilcense las siguientes teclas% 5,]T`1,M1^g,5b^ T`!B,2,B $a e*presión resultante es% ;( 4R4M=!;)M([/6 .g /)!
Presiónese pantalla% la tecla c
para mostrar la e*presión en la
Hótese que, es la opción "K8 se selecciona para el '
(véase el péndice en la gua del usuario) y se escribe la e*presión utilizando n&meros enteros para los valores enteros, el resultado es una e*presión simbólica, por e#emplo, 5]T`1M1^g,5b^ T`!B2B ntes de producirse el resultado, se solicita que el usuario cambie
el modo a ppro*imate (apro*imado)! céptese el cambio para obtener el resultado mostrado a continuación (mostrado con formato >i* con tres decimales véase el aptulo 4)%
"n este caso, cuando la e*presión se escribe directamente en la pantalla, en cuanto se presiona la tecla c= la calculadora intentará calcular el valor de la e*presión! 'i la e*presión va precedida por un ticC, la calculadora simplemente reproduce la e*presión tal y como fue escrita! Por e#emplo% h5]T`1M1^g,5b^ T`!B2B "l resultado se muestra a contin uación%
Para evaluar la e*presión en este caso, utilcese la función "G$% iTjc
'i la opción E. act ha sido seleccionada para el ', se solicita que el usuario cambie el modo a ppro*imate (apro*imado)! céptese el cambio para obtener la evaluación de la e*presión como se demostró en un e#emplo anterior! Una forma alternativa para evaluar la e*presión escrita entre apóstrofes en el e#emplo anterior, consiste en utilizar la función Vk! continuación, se escribe la e*presión utilizada anteriormente
con la calculadora utilizando el modo operativo -PH! oo+ 'elecciónese la opción E. act para el ', la opción Te . tb para la pantalla, y el formato numérico a St andar d! Utilcense las siguientes teclas para escribir la e*presión entre apóstrofes utilizada anteriormente, es decir, h5]T`1M1^g,5b^ T`!B2B "l resultado se muestra en la siguiente pantalla%
una vez más para producir dos Presiónese la tecla c copias de la e*presión en la pantalla! "val&ese la e*presiónprimero pulsando% iSjc or Lk "sta e*presión es sem i6sim bólica en el sentido de que e*isten componentes reales (n&meros reales) en el resultado, as como la e*presión simbólica [/! continuación, intercámbiense las posiciones de los niveles 4 y . en la pantalla y eval&ese la e*presión u tilizando la función lHU+, es decir, bVk!
"ste <imo resultado es puramente numérico, de manera que, los dos resultados en la pantalla, aunque representan la evaluación de la misma e*presión, aparecen en formas diferentes! Para verificar que el valor resultante es el mismo, obténgase la diferencia de estos dos valores y eval&ese esta
diferencia usando la función "G$% i! "l resultado es cero(?!)! Para obtener información adicional en la edición de e*presiones aritméticas en la pantalla, véase el aptulo . en la gua del usuario de la calculadora!
Página .69
reación de e*presiones algebraicas $as e*presiones algebraicas incluyen no solamente n&meros, sino también variable! Por e#emplo, escrbase la siguiente e*presión algebraica%
I 2/ 1 R ! R2 / !R 'elecciónese el modo operativo lgebraico en la calculadora, la oo+ para la pantalla! opción E. act en el ', y la opción Te . tb "scrbase la e*presión propuesta utilizando las siguientes teclas% h2]Wl]!T`1MWTI^ Wr b^T` MWTAbM2]Wl^WTF Wr para obtener el siguiente Presiónese la tecla c result ado%
"sta e*presión puede escribirse con la calculadora en modo operativo -PH de la misma forma especificada anteriormente para el modo operativo algebraico ($I)! Para obtener información adicional en la edición de e*presiones algebraicas en la pantalla, véase el aptulo . en la gua del usuario de la calculadora!
Uso del escritor de ecuaciones ("DE) para crear e*presiones "l escritor de ecuaciones es una herramienta muy importante que permite al usuario no solamente escribir o ver una ecuación, sino tam bién modificar y manipular e*presiones, y aplicar funciones a las mismas! "l escritor de ecuaciones se activa al presionar \& (la tercera tecla en la cuarta fila del teclado)! $a pantalla resultante
es la siguiente! Presiónese la tecla / para acceder la segunda página del men&%
$as seis teclas de men& del escritor de ecuaciones activan las funciones "J:8, U-', :I, "G$, >87-, ':+P$:>O, +J', y F"$P! :nf orm ación detallada sobre estas funciones se presenta en el aptulo / de la gua del usuario de la calculadora!
reación de aritméticas
e*presiones
$a escritura de e*presiones en el "scritor de ecuaciones es muy similar a la escritura de e*presiones entre apóstrofes en la pantalla! $a diferencia principal es que en el "scritor de ecuaciones las e*presiones producidas se presentan en el estilo 0te*tbooC1 (libro de te*to, es decir, utilizando notación matemática similar a la de un libro de te*to) en vez de escribirse como en el editor de lnea en la pantalla! Por e#emplo, escrbase el siguiente e#ercicio en el escritor de ecuaciones% 5^5M2! "l resultado es la e*presión
"l cursor se muestra como una flecha apuntando hacia la izquierda! "l cursor indica la posición de edición actual en la Por e#emplo, con el pantalla del escritor de ecuaciones! cursor en la posición mostrada anteriormente, escrbase% ]T`5M1^B
$a e*presión as editada lucirá ahora de la siguiente manera%
'upóngase que se desea reemplazar la e*presión entre paréntesis en el . .borrar ( ) borrar la de para fracción 4M/, y utilcese tecla R M.)la (es decir, ;R4M/) con (; denominador empezar, a Utilcense e ! Para l t .! las siguientes c s% reemplazarla con M
T2 este punto, la pantalla lucirá de la siguiente manera%
. Jespués, b sola vez! escrbase% ,el una 0 deba#o"sto horizontal necesario Para escribir de se , es denominador la tecla direccional presionar la . completa! al consigue seleccionar e*presión
^2
$a e*presión resultante es%
'upóngase que se quiere sumar la cantidad 4M/ a esta e*presión para obtener%
5 5 R 2 S 5 R
2 2
R
1 B
Para empezar, es necesario seleccionar todo el primer término utilizando, ya sea, la tecla direccional horizontal (b) o la tecla que la repetidamente, hasta direccional vertical (Z), e*presión completa haya sido seleccionada, es decir, siete veces%
N!A% omo forma alternativa, comenzando en la posición original del cursor (a la derecha del . en el denominador de .M.), se puede utilizar la combinación de teclas \Z, que se interpreta como (\ q )! Una vez seleccionada la e*presión como se mostró para agregar la anteriormente, escrbase M1^B fracción 4M/ a la e*presión! "l resultado es%
reación de algebraicas
e*presiones
Una e*presión algebraica es muy similar a una e*presión aritmética, e*cepto que en la <ima se pueden incluir letras castellanas y griegas! "l procedimiento de creación de una e*presión algebraica sigue la misma idea que el crear una e*presión aritmética, e*cepto que se tiene que utilizar el teclado alfanumérico! Para ilustrar el uso del escritor de ecuaciones para escribir una e*presión algebraica se utilizará el siguiente e#emplo! 'upóngase que se quiere escribir la e*presión%
2 k Re /N Y B
ST I R 21 ^ BS jZ V X W
Utilcense las siguientes teclas% 2^!Bbb]W\nMT_YW\m bb]\WTIM2]W\m]W\c WTAZZZ^W\t1^B
"l resultado siguiente%
es
el
"n este e#emplo se utilizan varias letras min&sculas del astellano, por e#emplo, * griegas, por (WTI), varias letras e#emplo, k (griegas, W\n ), e inclusive una combinación de letras castellanas y j 7 (W\cWTA)! 7bsérvese que para escribir una letra en min&scula es necesario u tilizar la combinación de castellana teclas WT seguida de la tecla de la letra a escribirse! s mismo, se pueden copiar caracteres especiales utilizando el men& F-' (V) si no se desea memorizar la combinación de teclas que produce el carácter deseado! Para mayor información sobre la edición, evaluación, factorización, y simplificación de e*presiones algebraicas usando el escritor de ecuaciones, véase el aptulo . de la gua del usuario de la calculadora!
7rganización calculadora
de los
datos
en la
"s posible organizar los datos en la calculadora al almacenar $a base de esta variables en una colección de directorios! colección es el directorio F7+", que se describe a continuación!
directorio "l F7+" Para acceder al directorio F7+", presiónese la función UPJ:(T) 66 reptase cuantas veces sea necesario 66 hasta que la especificación
QH &.ER se muestra en la segunda lnea del encabezado de la pantalla! omo una alternativa, utilcese T (manténgase presionada la tecla) ! "n este e#emplo, el directorio F7+" contiene solamente el sub6 directorio 'J:-! Presiónese la tecla para mostrar las variables en las teclas de men&%
'ub6 directorios Para almacenar datos en una colección de directorios bien organizada, el usuario podra crear una serie de sub6directorios dentro del directorio F7+", y a&n más sub6directorios dentro de estos sub6directorios, hasta formar una #erarqua de directorios similar a los directorios en un ordenador $os sub6directorios pueden (computador, o computadora)! identificarse con nombres que refle#en el contenido de los mismos, o con cualquier nombre que el usuario quiera darles! Para mayor información sobre la manipulación de directorios en la calculadora véase el aptulo . en la gua del usuario!
Gariable s $as variables en la calculadora son similares a los archivos en el disco duro de un ordenador (computador, o computadora)! "s posible almacenar un ob#eto (valores numéricos, e*presiones algebraicas, listas, vectores, matrices, programas, etc!) en una variable! $as variables se identifican por un nombre, el cual puede ser cualquier combinación de caracteres alfabéticos o numéricos, comenzando siempre por una letra (ya sea castellana o griega)! lgunos caracteres no alfabéticos, tales como la flecha (), pueden utilizarse elson% nombre de una si conpara carác alfabético! Por lolo tanto, Q es er en combinan tvariable un nombre válido Q no es! una pero "#emplos de se para Q, Q, aQ, bQ,variable, Q, Q, nombres una variable, QL?Q, Qz4Q,válidos l 4. Q,un 4Q, 4.Q, QGelQ, etc!
Ho se puede asignar a una variable un nombre igual al de una función en la calculadora! lgunos de los nombres reservados por la calculadora son los siguientes% $-+J 8, '8, "D, "KP-, :"--, :7P-, +K-, +:H-, P:8, PP-, P-8P-, GP-, LP-, der, e, i, n4,n., , s4, s., , J8, P-, ,
$as variables aptulo . en pueden organizarse en sub6directorio (véase el la gua del usuario de la calculadora para mayor inf orm ación)!
"scritura del variables
nombre
de
Para identificar variables es necesario escribir una cadena de letras en un solo tirón, las cuales pueden ser combinadas con n&meros! Para escribir cadenas de caracteres es posible asegurar el teclado de la calculadora en el modo alfabético de la siguiente manera% alfabético en may&sculas! WW asegura el teclado uando se asegura el teclado alfabético de esta manera, es antes de escribir la letra necesario presionar la tecla T correspondiente en min&scula, mientras que al presionarse la antes de presionar una letra produce un carácter tecla \ especial! 'i el teclado alfabético está ya asegurado en may&sculas, para asegurarlo en min&sculas utilcese TW WWTW asegura el teclado alfabético en min&sculas! uando se asegura el teclado alfabético de esta manera, es antes de escribir la letra necesario presionar la tecla T correspondiente en may&scula! Para remover el teclado asegurado en min&sculas, presiónese TW Para remover el teclado asegurado en may&sculas, presiónese W "#ec&tense los siguientes e#ercicios% WWmat- WWmTaTtT-c WWmTWatT-c
$a calculadora muestra los siguientes resultados (a la izquierda en modo lgebraico, a la derecha en modo -PH)%
de
reación variables
$a forma más simple de crear una variable es a través de la tecla ; $os e#emplos siguientes muestran como almacenar los ob#etos listados en la tabla que se muestra a continuación (Presiónese , de ser necesario, para ver el men& de variables)%
Nombre Contenido 6?!.; 4. /^ 4? rM(m R;r) D /,.,4 z4 /R;i
!ipo
real real algebraico vector comple#o programa
s
p4
r r. ``
"scó#ase e#ercicios!el modo algebraico o -PH para e#ecutar estos
+odo algebraico Para
almacenar el
valor
?!.;
utilcese% ! 0,25Y;W\a la pantalla manera%
luce
de
en
la
variable
,
l terminar este e#ercicio
esta
Presiónese c para crear la variable! $a variable se muestra en las teclas de men& %
$os siguientes son los procedimientos requeridos para almacenar las variables restantes% 4.% B85;Wa12c D% WTr ^T`
WTmMWTrbb;Wu -% TvB\2\1b;Wrc z4% BM5]Tw;WTx1c (ceptar cambio a modo Com&le. , de ser necesario)!
hTn] p1* y\zWTr WTr2bbb;WTp1c , Al terminar estos e {er cicios la pantalla lucirá de la forma siguiente*
Nótese ue las teclas de menú muestran seis ariales* p1= x1= != = A12= |,
.odo !PN 'tilcese HYLL&;LL para camiar el modo operatio a !PN, 'tilcense las teclas siguientes para almacenar el alor }0,25 en la ariale |* ,25YchW\ac, Al finalixar este e{ercicio= la pantalla muestra lo siguiente*
)on }0,25 en el niel 2 de la pila P|P en el niel 1 de la pila= puede usar la tecla ; para crear la ariale, /a ariale se muestra en las teclas del menú cuando presione *
Par a almacenar el alor B~105 en la ariale A12= se puede utilixar *
B85hWa12; He au una forma de almacenar el contenido de la ariale * * WTr^T` WTmMWTr bbhWuc; Par a almacenar el contenido de != utilcese= por e{emplo* !* TvBX2X1bhWr ;
Página 212
Hótese que para separar los elementos de un vector en modo -PH se puede utilizar la tecla de espaciar (X), en vez de la coma (\H) como se requiere en modo algebraico! z4% hBM5]TwhWTx1; p4% \y\zWTrhTn] WTr12bbbh WTp1b;! l terminar estos e#ercicios la pantalla -PH lucirá de esta manera%
$as teclas de men& mostrarán seis de las variables% &/, /, R, ,
A/0, !
"*aminando el contenido de una variable $a forma más simple de e*aminar los contenidos de una variable consiste en presionar la tecla de men& correspondiente al nombre de la variable! Por e#emplo, para las variables utilizadas anteriormente, e#ec&tense las siguientes instrucciones%
+odo algebraico LLL!LL cLLL1LLL Presiónense las siguientes teclas% LLx1LL c c! l finalizar este e#ercicio la pantalla lucirá de esta forma%
+odo -PH
"n modos -PH, es necesario solamente presionar las teclas correspondientes al nombre de las variables para e*aminar el contenido de las mismas! Para el caso de interés, e*amnese el contenido de las variables /, R, , A/0, , y , creadas anteriormente, de la forma siguiente% LLx1LL LLL!LL LLL1LL LLA12LL LL•LL
l finalizar este e#ercicio, la pantalla lucirá de esta manera%
Página .649
Utilizando la tecla seguida de la tecla del men& "ste procedimiento para e*aminar el contenido de las variables puede utilizarse ya sea en modo algebraico como en modo -PH! "#ec&tense los siguientes e#emplos en cualquiera de los modos de operación% \LLp1LL \LLx1LL \LLL!LL \LLLLL \ LLA12LL $os resultados se muestran a continuación (+odo algebraico a la izquierda, modo -PH a la derecha)%
Hótese que en este caso el programa contenido en la variable p4 se lista
en la pantalla! Para ver el contenido de , util cese% LLL•LL/\ LLL ALL
$istado de las variables en la pantalla Utilcese la combinación \[ para listar el contenido de todas las variables en la pantalla! Por e#emplo%
Presiónese K norm al!
para recobrar la pantalla
"liminación variables
de
las
$a forma más simple de eliminar variables es utilizando la función PU-I" (eliminar)! "sta función puede accederse directamente al utilizar el men& 877$' (#), o al utilizar el men& >:$"' (archivos) T€LL&;LL !
Usando la función PU-I" en la pantalla en +odo algebraico Huestra lista de variables contiene las variables &/, /, , R, 7
! continuación variable &/ y se utiliza la función PU-I" para eliminar las ! Presiónese #LP'!"EL LLp1LL c, y a continuación # LP'!"EL LLp1LL c! $a pantalla indica que las variables &/ y A han sido eliminada%
$a función PU-I" puede utilizarse para eliminar más de una variable al colocar sus nombres en una lista que pasa a ser el argumento de la función! Por e#emplo, si quisiéramos eliminar las variables R y , simultáneamente, se puede utilizar % # LP'!"EL ThLLL!S LLb\HhLLLSLL $a pantalla muestra la función PU-I" a punto de activarse para eliminar las variables - y D%
Para completar el e#ercicio, presiónese c! muestra las variables restantes%
$a pantalla
Utilizando la función PU-I" en la pantalla en +odo -PH sumiendo que nuestra lista de variables contiene &/, /, , R, 7 !
Utilizaremos Presiónense la función PU-I" para eliminar la variable &/!
las siguientes teclas h indica que &/ ha sido eliminada de memoria%
LLp1LL
c#
LP'!"EL!
$a pantalla
la
Para eliminar dos variables simultáneamente, por e#emplo, las variables R y , créese primero una lista (en +odo -PH, los elementos de lista no necesitan estar separados por comas como se requiere en +odo algebraico)% Th
LLL!SLL bh LLL1SLL c
continuación, presiónese #LP'!"EL para eliminar las dos variables! :nformación adicional sobre la manipulación de variables se presenta en el aptulo . de la gua del usuario de la calculadora!
$as funciones UHJ7 y +J $as funciones UHJ7 y +J son &tiles para recobrar instrucciones previas o para recobrar una operación en caso de que se haya cometido un error! "stas funciones están asociadas con la tecla , mientras que +J resulta F:'8% UHJ7 resulta al escribir \‚ al escribir Tƒ!
7pciones F77'" bo*es y 'oft +"HU "n algunos de los e#ercicios presentados en este aptulo hemos presentado listas de funciones en la pantalla! "stas listas de funciones se denominan, en inglés, CHOOSE bo.es (listas de men&)! "l e#ercicio siguiente indica como cambiar la opción (F77'" bo*es) a 'oft +"HU (teclas de men&), y viceversa! unque el presente e#ercicio no se aplica a un e#emplo especfico, el mismo muestra las dos opciones para los men&s de funciones en la calculadora (F77'" bo*es y soft +"HUs)! "n este e#ercicio, se busca la función 7-J"-, la cual
se utiliza, en modo $I, para reordenar las variables en un directorio%
+ostrar el men& P-7I! 'eleccionar
T„[
+"+7-O!
LL&;LL
[[[[
'eleccionar
LL&;LL ZZ
7-J"-!
LL&;LL
7-J"-!
+ostrar
el men&
+"+7-O!
J:-"87-O!
+ostrar men& J:-"87-O! 'eleccionar
ctivar la función
Una forma alternativa de mostrar las funciones de un men& es a través de teclas de men& (sot ME!U), al manipular la se2al de sistema n&mero //? (system flag 44=)! (Para información adicional sobre se2ales de sistema véanse los aptulos . y .9 en la gua del usuario)! Para seleccionar esta se2al utilcese% HLF/A"$S ZZZZZZZ
$a pantalla muestra la se2al de sistema n&mero 44= sin seleccionar (es decir, con la opción CHOOSE bo.es activa)%
Presiónese Presiónese la tecla para selecciona seleccionarr esta se2al de stem a activando la opción sot ME!U! $a pantalla refle#ará esta siste selección%
&; L L dos veces para recobrar la pantalla Presiónese LL&;L normal! continuación, se busca la función 7-J"- utilizando teclas de men&! men&! Para Para comenzar, presiónese T„! Hótese que en vez de una lista de men& se obtienen ahora teclas de men& para el men& P-7I, es decir,
Presiónese 7 para seleccionar el men& +"+7-O (LL.E.LL)! pantalla muestra las siguientes teclas de men&%
Presiónese E para seleccionar el men& J:-"87-O (LL(#!LL)
$a
$a función 7-J"- no se muestra en esta página de men&! Para encontrar esta función presiónese /%
Para activar la función 7-J"-, presiónese la tecla de men& )(L&!(E!)!
-eferencia s Para mayor información sobre la escritura y manipulación de e*presiones en la pantalla o en el escritor de ecuaciones véase el aptulo . de la gua del usuario! Para información sobre las opciones del ', véase el péndice en la gua del usuario! Para información sobre las se2ales de sistema (system flags) en la calculadora, véase el aptulo .9 en la gua del usuario!
aptulo / álculos reales
con
n&meros
"ste aptulo demuestra el uso de la calculadora para operaciones y las funciones relacionadas un los n&meros reales! 'e asume que el usuario está familiarizado con el teclado para identificar ciertas fu funciones disponibles en el mismo (por 8H, etc!)! s mismo, mismo, se asume que el e#emplo, ':H, 7', 8H, lector sabe como seleccionar el sistema operativo de la calculadora (aptulo 4), como usar men&s y listas de selección (aptulo 4), y como u tilizar variables (aptulo .)!
"#emplos de cálculos con n&meros reales Para e#ecutar cálculos con n&meros reales es preferible que el ' tenga activa la opción Real (en contraste con la opción Com&le. )! act es la opción pre6seleccionada por la )! $a opción E. ac calculadora para para la mayo mayor ra a de las las opera operaci cion ones es!! continuación se ilustran algunos cálculos con n&meros reales! Use la tecla Y para cambiar el signo de un n&mero! Por e#emplo, en modo $I, Y 2,5c! "n modo -PH, 2,5Y! Use la tecla para calcular el inverso de un n&me ro! Por e#emplo, en modo $I, 2c 2 c! "n modo -PH, J!
Para adición, adición, substracción, multiplicación, división, use la tecla apropiada para esas operaciones, es decir, M]^! "#emplos en modo $I% B,gM5,2c C,B…,5c J,2]2,5c 2,B^J,5c "#emplos en modo -PH%
Página /64
B,gc C,Bc J,2c 2,Bc
5,2M …,5
2,5] J,5^
lternativamente, en modo -PH, uno puede separar los operandos con la tecla espaciadora (X) antes de presionar la tecla de la operación! "#emplos% B,gX5,2M C,BX…,5 J,2X2,5] 2,BXJ,5^ $os paréntesis (T`) pueden utilizarse para agrupar operaciones, as como para contener argumentos de funciones! "#emplo en modo $I% T`5MB,2b^T`g 2,2c
"n modo -PH uno no siempre necesita usar paréntesis, dado que los cálculos se realizan directamente en la pantalla (stacC)% 5cB,2Mgc2,2^ "n modo -PH, el escribir una e*presión entre apóstrofes permite al usuario a escribir e*presiones como en el modo algebraico% hT`5MB,2b^ T`g2,2ci
Para ambos modos, $I y -PH, uno puede utilizar el escritor de ecuaciones en el cálculo% \&5MB,2b^g2,2 $a ecuación puede ser evaluada dentro del escritor de ecuaciones al utilizar las siguientes teclas%
ó, \ZLE8A/L $a función valor absoluto, ', se calcula usando T†! "#emplo en modo $I% T†Y2,B2c "#emplo en modo -PH% 2,B2YT† $a función cuadrado, 'D, se calcula usando T‡! "#emplo en modo $I% ZZZZLE8A/L
T‡Y2,Bc
"#emplo en modo -PH% 2,BYT‡
$a función raz cuadrada, [, está disponible en la tecla -!
uando se calcula en la pantalla en modo $I, escrbase la función antes del argumento, por e#emplo, !12B,Jc "n +odo -PH, escrbase el n&mero primero, seguido por la función, por e#emplo, 12B,J! $a función potencia, g, se encuentra disponible en la tecla 1! uando se calcula en la pantalla en modo $I, escrbase la base ( 7 ) seguida de la tecla 1, y del e*ponente ( . ), por e#emplo, 5,21,25c "n +odo -PH, escrbase el n&mero primero, seguido por la función, por e#emplo, 5,2c1,25 $a función raz, K-778(7,.), está disponible a través de la combinación de teclas \•! uando se calcula en la pantalla en modo $I, escrbase la función K-778 seguida por los argumentos ( 7,. ), separados por comas, por e#emplo, \•B\H2gc "n +odo -PH, escrbase el argumento 7 , primero, después, . , y finalmente la función, por e#emplo, 2gcB\• $os logaritmos de base 4? se calculan a través de la combinación de teclas \ˆ (función $7I) mientras que su inversa ($7I, o antilogaritmo) se calcula utilizando T‰ ! "n modo $I, la función se escribe antes del argumento% \ˆ2,J5c T‰Y2,Bc
"n +odo -PH, el argumento se escribe antes de la función% 2,J5\ˆ 2,BYT‰
Utilizando potencias de 4? al escribir datos Potencias de diez, es decir, n&meros de la forma 6 9!;^ 4?6.,
etc!, se escriben u tilizando la tecla 8! Por e#emplo, en modo $I% YJ,58Y2c
7, en modo -PH%
J,5Y82Yc
$os logaritmos naturales se calculan utilizando \r (función $H) mientras que la función e*ponencial ("KP) se calcula utilizando T_! "n modo $I, la función se escribe antes del argumento% \2,J5c T_Y2,Bc "n +odo -PH, el argumento se escribe antes de la función% 2,J5c\ 2,BYcT_ 8res funciones trigonométricas se encuentran disponibles en el teclado% seno ($), coseno (%), y tangente (')! $os argumentos de estas funciones son ángulos ya sea en grados, radianes, o grados decimales! $os siguientes e#emplos usan ángulos en grados (J"I)%
"n +odo $I% $B0c %J5c
'1B5
"n +odo -PH%
B0$ J5% 1B5' $as funciones trigonométricas inversas disponibles en el teclado son el arco seno (TŠ), el arco coseno (T‹), )! $os resultados de estas y la arco tangente (TŒ funciones se darán en la medida angular seleccionada por el usuario (J"I, -J, I-J)! lgunos e#emplos se muestra a
continuación%
"n +odo $I% TŠ0,25c T‹0,…5c TŒ1,B5c
"n +odo -PH%
0,25TŠ 0,…5T‹ 1,B5TŒ 8odas las funciones descritas anteriormente, es decir, ',
'D, [, g, K-778, $7I, $7I, $H, "KP, ':H, 7', 8H, ':H, 7', y 8H, pueden combinarse con las operaciones fundamentales (M ]^) para formar e*presiones más comple#as! "l escritor de ecuaciones ("quation Eriter), cuya operación se describe en el ap tulo ., es el ambiente ideal para construir tales e*presiones, sin importar el modo operativo de la calculadora!
$as funciones de n&meros reales en el men& +8F "l men& +8F (TU) incluye un n&mero de funciones matemáticas que se aplican principalmente a los n&meros reales! Utilizando la opción de listas de funciones (CHOOSE bo.es) para la se2al de sistema n&mero 44= (véase el aptulo .), el men& +8F muestra las siguientes funciones%
$as funciones se agrupan por el tipo de argumento (4! vectores, .! matrices, /! listas, =! probabilidad, B! comple#os) o por el tipo de función (9! hiperbólicas, ;! reales, ourier, o fast >ourier transform)! "l
men& contiene as mismo una opción para las constantes matemáticas disponibles en la calculadora, opción n&mero4?! "n general, téngase cuidado del n&mero y orden de los argumentos requeridos para cada función, y téngase en cuenta que, en el modo $I uno debe seleccionar primero la función y después escribir el o los argumentos, mientras que en +odo -PH, uno debe escribir el argumento en la pantalla primero, y después seleccionar la función!
Usando los calculadora%
men&s
de
la
4! Jescribiremos en detalle el uso del men& 4* H#ER@OL
$as funciones hiperbólicas y sus inversas l seleccionar la opción 4* H#ER@OL
Por e#emplo, en +odo $I, la secuencia de teclas para calcular t an%( 0*2 )
es siguiente %
la TUJ LL&;LL 5 LL&;LL 2,5c
"n el modo -PH, las teclas para esta operación son las siguientes% 2,5cTUJ
LL&;LL 5
LL&;LL
$as operaciones mostradas anteriormente asumen que uno utiliza la opción pre6def inida para la se2al de sistema n&mero 44= (CHOOSE bo.es)! 'i uno ha cambiado esta se2al de sistema (véase el aptulo .) a SO-T men, el men& +8F resulta ser como se muestra a continuación (a la izquierda en modo $I, a la derecha en +odo -PH)%
Presiónese la tecla / opciones%
para mostrar las demás
Por lo tanto, para seleccionar, por e#emplo, el men& de las funciones hiperbólicas, en este formato de men& presiónese la tecla LLH0PL! "sta acción produce el men&%
>inalmente, para seleccionar, por e#emplo, la función tangente hiperbólica (tanh), simplemente presiónese la tecla LL% ANHL!
Nota: Para ver opciones adicionales en este formato de men&s, presiónese la tecla $ o las teclas T! Por e#emplo, para calcular t an%( 0*2 ), en modo $I, cuando se usan men&s de teclas (SO-T mens) en vez de men&s de listas (CHOOSE bo.es), utilcese el procedimiento siguiente% TULLH0PL LL%ANHL 2,5c "n +odo -PH, el mismo valor se calcula
utilizando%
2,5cTU LLH0PL LL%ANHL omo e#ercicio de aplicación de las funciones hiperbólicas, verifquense los siguientes valores%
':HF (.!;) N
7peraciones unidades
con
$os n&meros reales en la calculadora pueden escribirse con unidades de medida! Por lo tanto, es posible calcular resultados
que involucren un sistema de unidades consistentes y producir un resultado con la combinación de unidades apropiadas!
"l men& UH:J J"'
de
"l men& de unidades (UH:8' menu) se obtiene a través de la combinación de teclas \Ž(asociada con la tecla C)! on la se2al de sistema n&mero 44= indicando listas de men& (CHOOSE bo.es), el resultado es el siguiente men&%
$s opción /* Tools** (herramientas) contiene las funciones usadas para operar en unidades (se presentan más adelante)! t !! contiene men&s con $as opciones 0* Lengt%** a/?*: scos 7 varias unidades para cada una de las cantidades descritas! Por e#emplo, al seleccionarse la opción >* -orce** se muestra el siguiente men& de unidades%
"l usuario reconocerá la mayora de estas unidades de sus estudios de fsica o qumica (algunas, por e#emplo, la dina (dyne), ya no se u tilizan muy com&nmente)% ! N netons, d7n N dynes (dinas), g N gramos fuerza (distinto de gramos6masa, ó simplemente gramos, una unidad de masa), +& N Cilo6poundal (4??? libras), lb F libra6f uerza (distinto de libra6masa), &dl F poundal!
Para ad#untar unidades a un n&mero, el n&mero debe seguirse de una lnea subrayada! Por lo tanto, una fuerza de ; H se escribe como ;H!
"l uso de teclas de men& ('7>8 menus) provee una forma más conveniente de agregar unidades cuando se utilizan n&meros con unidades! ámbiese la se2al de sistema n&mero 44= a la opción '7>8 menus (véase el aptulo .), y utilcese la combinación de teclas \Ž para obtener los siguientes men&s! Presiónese la tecla / para activar la siguiente página del men&!
l presionarse la tecla de men& apropiada se abrirá el sub6 men& de unidades para esa selección particular! Por e#emplo, para el men& L$P EE( (rapidez, velocidad), se encuentran disponibles las siguientes unidades%
l presionarse la tecla L'N#%$ se reactiva el men& de UH:JJ"'! $as opciones de un men& pueden listarse en la pantalla al usar las teclas \[, por e#emplo, para las unidades LEN!" (energa) se listan las siguientes opciones%
Nota: Utilcense las teclas / ó T través de los diferentes men&s!
para navegar a
Unidades disponibles Géase el aptulo / en la gua del usuario!
gregando unidades a los n&meros reales Para ad#untar unidades a un n&mero, el n&mero debe seguirse de una lnea subrayada (\, tecla (A,;))! Por lo tanto, una fuerza de ; H se escribe como ;H! $a siguiente secuencia de teclas permite escribir este n&mero con unidades en modo $I (la se2al de sistema n&mero 44= utiliza la opción CHOOSE bo.es)% 5\•\Ž… LL&;LL LL&;LL c Nota% 'i se olvida uno de escribir la lnea subrayada, el resultado es la e*presión algebraica ;H, en la cual H representa una variable y no las unidades de fuerza, Hetons! Para escribir esta misma cantidad, con la calculadora en +odo -PH, utilcense las teclas siguientes% 5\Ž…LL&;LL LL&;LL Hótese que la lnea subrayada se escribe automáticamente al usarse el modo -PH!
$a secuencia de teclas para escribir unidades cuando la opción SO-T men ha sido seleccionada, en ambos modos, $I y -PH, se ilustran a continuación! Por e#emplo, en +odo $I, para escribir la cantidad ;H use% 5\•\Ž/LLF&!)E LLLNLL c $a misma cantidad escrita en +odo -PH utiliza las siguientes teclas% 5\Ž/LLF&!)E L LLNLL
Nota: Uno puede escribir una cantidad con unidades utilizando el teclado alfanumérico W, por e#emplo, 5\Wn produce la cantidad% 5• N!
Prefi#os unidades
de
Uno puede escribir prefi#os para las unidades de acuerdo con la siguiente tabla de prefi#os del 'istema :nternacional ('!:!)! $a abreviatura del prefi#o se muestra primero, seguida del nombre, y del e*ponente * en el f actor 4?* correspondiente a cada prefi#o%
Prefi#o Hombre * R.9 O yotta R.4 zetta L " e*a R4A peta R4; P R4. 8 tera RB giga I + mega R< R/ C,x Cilo hecto R. h,F deCa R4 J()
Prefi#o Hombre * 64 d deci 6. c centi 6/ m milli micro 6< nano 6B n 64. p pico f f em to 64; 64A atto a z zepto 6.4 y yocto 6.9
() en el sistema ':, este prefi#o se escribe da en vez de D!
calculadora, sin embargo, utilcese J en vez de deca! Para escribir estos prefi#os, simplemente utilcese el teclado alfanumérico W! Por e#emplo, para escribir 4./ pm (picómetro), use%
"n la
12B\WTpWTm
$a función U'" (escriba el nombre de la función), que se usa para convertir a la unidad base (4 m), produce lo siguiente%
7peraciones unidades
con
continuación se presentan algunos e#emplos de cálculos con unidades en el modo $I! 8éngase en cuenta que, cuando se multiplican o dividen cantidades con unidades, uno debe encerrar esas cantidades entre paréntesis! Por lo tanto, para escribir, por e#emplo, el producto 4.!;m ^ ;!. c% yd, &sese (4.!;m)(;!.yd)
resulta ensistema que <;(mSyd)! Para la convertir resultado funcióneste unidades U'" (use ela ':, utilcese catálogo dedel funciones para ubicarla, \N)%
Nota: -ecuérdese que la variable H'(4) se encuentra (asociada disponible a través de la secuencia de teclas Tj con la tecla c)! Para calcular una división, por e#emplo, /.;? mi M ;? h, escrbase como (/.;?mi)M(;?h) c
la cual, transformada a unidades ': con la función U'", produce%
$a adición y la substracción pueden e#ecutarse, en modo $I, sin usar paréntesis, por e#emplo, ; m R /.?? mm, se escribe simplemente como%
;m R /.??mm c! "*presiones más complicadas requieren el uso de paréntesis, por e#emplo, (4.mm)(4cm.)M(.s) c%
álculos en la pantalla (stacC) en modo -PH, no requieren que se encierren los términos entre paréntesis, por e#emplo, 4. LLLmLLL c 4!; LLdLL c] /.;? LLmiLL c ;? LLL-LLL c^
"stas operaciones producen los siguientes resultados%
onversión unidades
de
"l men& de unidades (UH:8' menu) contiene un sub6men& de herramientas (877$'), el cual provee las siguiente f unciones% 7HG"-8(*,y)% convierte unidades * a unidades y U'"(*)% convierte unidades * a unidades ': e*trae el valor de la cantidad, *, con UG$(*)% unidades f actoriza las unidades y de la U>8(*,y)% cantidad * lUH: 8(*,y)% combines valor de * con unidades de y "#emplos de aplicación de la función 7HG"-8 se muestran a continuación! "#emplos de otras funciones del sub6 men& UH:8M877$' se presentan en el aptulo / de la gua del usuario de la calculadora! Por e#emplo, para convertir // atts a btu utilcese una de las siguientes operaciones% 7HG"-8(//E,4hp) c 7HG"-8(//E,44hp) c
onstantes calculadora
fsicas
en
la
$as constantes fsicas en la calculadora se localizan en una biblioteca de constantes (constants lbrar7 ) que se activa con la función 7H$:! Para activar esta función escrbase en la pantalla el nombre de la función% WWconliFc, o, selecciónese la función 7H$: en el catálogo de funciones siguiendo este procedimiento% Primero, ábrase el catálogo de funciones utilizando% \NWc! continuación, utilcense las teclas direccionales verticales Z [ para seleccionar 7H$:! >inalmente, presiónese LL&;LL! Presiónese c, de ser necesario! utilcense las teclas direccionales verticales (Z[) para navegar a través de la lista de constantes en la calculadora!
$as teclas de men& correspondientes a la biblioteca de constantes (7H'8H8' $:-- O) incluyen las siguientes fu nciones% ': cuando se selecciona esta opción, se usan unidades ': () "HI$ cuando se selecciona esta opción, se usan unidades inglesas () UH:8 cuando se selecciona esta opción, se muestran unidades () G$U" cuando se selecciona esta opción, no se muestran unidades l' 8x copia el valor (con ó sin unidades ) a la pantalla abandona la biblioteca de unidades DU:8
() ctivada solamente si la opción G$U" (valor) ha sido seleccionada! $a pantalla de la biblioteca de constantes (7H'8H8' $:-- O) aparece como se muestra a continuación si se ha seleccionado la opción G$U" (unidades en el sistema ':)%
Para ver los valores de las constantes en el sistema inglés (o sistem a imperial), presiónese la opción LEN"/ %
'i se remueve la opción UH:8' opción (presiónese L'N#%$) se m uestr an solamente los valores de las constantes (en este caso, en unidades inglesas)%
Para copiar el valor de Gm a la pantalla, selecciónese el nombre de la constante y presiónese L‘$%;, después, presiónese L'#%L ! uando se utiliza el modo $I, la pantalla mostrará el siguiente resultado%
$a pantalla muestra lo que se denomina un valor rotulado (tagged $ale), 8m*B5 9,0B9J! "n este resultado, Gm, es el rótulo (tag) del resultado! ualquier operación aritmética que utilice este n&mero simplemente ignora el rótulo en el resultado! Por e#emplo% \r2]Tjc produce%
"sta misma operación en +odo -PH requiere las siguientes teclas (después de e*traer el valor de Gm de la biblioteca de constantes)% 2c]\r
Je@niendo funciones
y
usando
$os usuarios pueden definir sus propias funciones a través de la partcula J">:H" disponible a través de las teclas T’ (asociada con la tecla 2)! $a función deberá escribirse en el siguiente f orm ato% !ombre9de9la9nc"n(argmentos ) F &r es"n9cont anendo9ar gmen e . t os
Por e#emplo, definamos una función relativamente simple, H(.) F ln(.G/) G e . &( 8 .)
'upóngase que uno tiene que evaluar esta función para un n&mero de valores discretos y que, por lo tanto, se requiere simplemente presionar una tecla para esa evaluación! "n el siguiente e#emplo, asumimos que la calculadora opera en modo $I! "scrbase la siguiente secuencia de teclas% T’hW-T`WTIb\“ \WTIM1bMT_WTIc $a pantalla lucirá como se muestra a contin uación%
Presiónese la tecla , nótese la e*istencia de una nueva variable en las teces de men& (LLLHLL)! Para e*aminar el contenido de esta variable presiónese \LLLHLL! $a pantalla mostrará lo siguiente%
$a variable F, por lo tanto, incluye el siguiente programa% vv l * $H(*R4) R "KP(*)Q ``
"sto es un programa simple en el lengua#e de programacion del def ecto de lacalculadora! "ste lengua#e de programación se denomina User-P$ (Géanse los aptulos .? y .4 en la gua del usuario de la calculadora)!
"l programa mostrado anteriormente es relativamente simple y consiste de dos partes, contenidas entre los smbolos ””% "ntrada% l * I Procesamiento% $H(*R4) R "KP(*) "stas dos partes se interpretan de esta manera% escrbase un valor que se asigna temporalmente al smbolo . (denominado una variable local), eval&ese la e*presión entre apóstrofes que contiene a la variable local, y e*presión muéstrese la evaluada!
Para activar esta función en modo $I, escrbase el nombre de la función seguida por los argumentos entre paréntesis, por e#emplo, LLLHLLL T`2c ! Fe aqu algunos e #emplos%
Para activar la función en modo -PH, escrbase primero el argumento, seguido de la tecla de men& con el nombre de la función, LLLHLLL ! Por e#emplo, e#ec&tese esta operación% 2LLLHLLL! $os otros e#emplos mostrados anteriormente pueden escribirse en modo -PH utilizando% 1,2LLLHLLL , 2cB^LLLHLLL!
-eferenci a :nformación adicional sobre operaciones con n&meros reales con la calculadora se presenta en el aptulo / del gua del usuario!
Página /64=
aptulo 9 álculos comple#os
con
n&meros
"ste aptulo muestras e#emplos de cálculos y aplicación de funciones a n&meros comple#os!
Jef inicione one s Un n&mero comple#o z es un n&mero N . R 7 , donde . e 7 son n&meros reales, reales, e es la unida imaginaria definida por N 4! "l n&mero comple#o . R 7 tiene una parte real, . N -e( ), y una parte ), )! imaginaria, 7 N :m( )! "l n&mero comple#o N . R 7 se utiliza a menudo para representar un punto P(*,y) en el plano . 7 , conociéndose el e#e . como e#e e#e rea real, l, y el el e# e#e 7 como e#e imaginario! 'e dice de un n&mero comple#o en la forma . R 7 que está está en repr repres esen enta taci ción ón rectanglar ! Una representación alternativa es el par ordenado N ( . )! Un n&mero comple#o . , 7 7 )! también puede representarse en coordenadas polares (representación &olar ) como N re N r cos cos R i 2 2 es la magnitud del R I r sin, sin, en donde r N n&mero N
) N arctan( 7 7 M . ) es el argumento del comple#o , y N rg(
n&mero comple#o D ! $a relación entre la forma cartesiana y la representación polar de los n&meros comple#os se da en la fórmula "uler% e N cos R sin ! $a N . R 7 N re ) es con#ugación comple#a de un n&mero comple#o ( N .
7 N re i! $a con#ugación comple#a de puede considerarse como el )! :gualmente, el negative de , N refle#o . )! . 7 de sobre el e#e real ( . N re , puede considerarse como el refle#o de sobre el origen!
i
'eleccionando el modo comple#o (7+P$"K) Para operaciones con n&meros comple#os selecciónese el modo comple#o (7+P$"K) del '% HLL)A$L [[b
"l modo 7+P$"K estará activo en la forma interactiva denominada ' ' +7J"' si se muestra un ticC de aprobado ( ) en la opción 9Com&le. %
Página 964
Presione LL&;LL , dos veces, para recobrar la pantalla normal de la calculadora!
"scritura comple #os
de
n&meros
$os n&meros comple#os en la calculadora pueden escribirse en un una a de dos representaciones artesianas% .G7 , o (.,7)! $os resultados comple#os en la calculadora se muestran el formato de par ordenado, es decir, (.,7)! P o r e#emplo, con la calculadora in (1*2,8/*0 /*0), ), se escribe con las modo $I, el n&mero comple#o (1*2,8 siguientes teclas (accepte el cambio de modo a omple*)% T`B,5\HY1,2c
Un n&mero comple#o puede escribirse también en la forma .G7 ! Por e#emplo, en modo $I, 1*28/*0 se escribe con las siguientes teclas% B,51,2]Twc
Nota: para entrar el n&mero unitario imaginario solamente, teclee Tw, y la tecla :! "n modo -PH, estos n&meros pueden escribirse de esta manera% T`B,5\H1,2Yc
(Hótese que la tecla de cambio de signo se escribe después n&mero 4!., en el orden contrario al del e#ercicio anterior realizado en modo $I)!
-epresentación polar de un n&mero comple#o $a representación polar del n&mero comple#o /!;64!.i, que se anteriorme mente nte,, se obtiene al cambiar el sist u tilizó anterior sistem ema a de coorde coordenada nadass de artesianas (o rectangulares) a cilndricas (o polares) usando la función O$:H! "sta función se puede obtener a través del catálogo de funciones (\N)! Puede cambiarse a coordenadas polares (polar) usando H! ambiando las coordenadas coordenadas a polares polares y las medidas angulares angulares a radianes, produce el siguiente resultado en modo -PH%
formato unaángulo y delante un ángulo, "ste magnitud, muestra ?!//?. ?!//?.B! B! "l incluye (∠) se /!=, de la smbolo de angular! medida ámbiense las coordenadas de vuelta a artesianas o rectangu angula lare ress utilizando la función -"8 (disponible en el catálogo de funciones, comple#o en representación polar se escribe \N)! Un n&mero iθ r S N como z 'e puede escribir este n&mero comple#o ! e un par pa r de la (r, uángulo forma ∠θ)! "l smbolo de ordenado tilizando (∠) puede escribirse las teclas W\C! Por e#emplo, el n&mero u tilizando la comple#o z N ;!.e4!;i, puede escribirse como se muestra a continuación (las figur guras muestran la pantalla -PH, es decir, el stacC, antes y después de escribir el n&mero)%
Jado que el sistema de coordenadas activo es el sistema rectangular (o artesiano), la calc calcul ulad adora ora auto automá mática ticame mente nte convie convierte rte el n&mero a oordenadas artesianas, es decir, * N r cos θ, y N r sin θ, resultando, para este caso, en el valor (?!/<=A, ;!4A)! hora bien, si el sistema de coordenadas activo es el de coordenadas coordenadas cilndr cilndricas icas (utilcese (utilcese la función función O$:H para activarlo), al escribirse un n&mero comple#o (*,y), en el cual * y
y son n&meros reales, se producirá una represen representació tación n polar! Por e#emplo, en coordenadas cilndricas, escrbase el n&mero (/!,.!)! $as figuras siguientes muestran la pantalla -PH (stacC), antes y después de escribir este n&mero%
Página 96/
7peraciones elementales con n&meros comple#os $os n&meros comple#os pueden combinarse usando las cuatro $os resultados operaciones fundamentales (M]^ )! obtenidos siguen las reglas del álgebra con la particularidad de que 0F 8/! $as operaciones con n&meros comple#os, por lo tanto, son similares a las operaciones con n&meros reales! Por e#emplo, con la calculadora en modo $I y la opción Com&le. activa en el ', e#ec&tense las siguientes operaciones% (/R;i) R (< 6/i) N (B,.)_ (;6.i) 6 (/R9i) N (.,6<) (/6i)(.6 9i) N (.,649)_ (;6.i)M(/R9i) N (?!.A,6 4! ?9) 4M(/R9i) N (?!4., 6?!4<) _ 6(;6/i) N 6; R /i
$os +P$K
men&s
"*isten dos
men&s
+P$K (H&meros comple#os) en la calculadora! Uno de ellos se encuentra disponible a través del men& +8F (véase el aptulo /) y el otro se encuentra disponible directamente en el teclado (\)! $os dos men&s +P$K se describen a continuación!
"l men& +P$K a través del men& +8F sumiendo que la opción lista de men& (C"S# bo$es) esta activa en la se2al de sistema n&mero 44= (véase el aptulo .), el sub6m en& +P$K dentro del men& +8F se activa utilizando las teclas% TU9 Página 969
$as funciones disponibles son las siguientes% LL&;LL
!
"l primer men& (opciones 4 a <) muestra las siguientes f u nciones% -"(z) Parte real de a n&mero comple#o Parte imaginaria de a n&mero +(z) comple#o -(z) 'epara las partes real e imaginaria de un n&mero comple#o -(*,y) >orma el n&mero comple#o (.,7) dados los n&meros reales *yy alcula la magnitud de un n&mero '(z) comple#o! alcula el argumento de un n&mero -I(z) comple#o! ':IH(z) alcula un n&mero comple#o de magnitud unitaria, es decir, zMdzd! ambia el signo H"I(z) de z Produce el con#ugado comple#o 7H{(z) de z "#emplos de aplicación de estas funciones se muestran a continuación en coordenadas artesianas! -ecuérdese que, en el modo $I, la función precede al argumento, mientras que en modo -PH, se debe escribir el argumento primero, y después activar la función! -ecuérdese también que estas funciones están disponibles en las teclas de men& si la se2al de sistema n&mero 44= tiene activa la opción '7>8 menus (véase el aptulo .)!
"l men& +P$K en el teclado "l segundo men& +P$K es accesible al utilizar las teclas \! si la se2al de sistema n&mero 44= tiene activa la opción F77'" bo*es, el men& +P$K en el teclado muestra las siguientes opciones%
"l men& mostrado incluye algunas de las funciones presentadas anteriormente, a saber, -I, ', 7H{, :+, H"I, -", y ':IH! "ste men& incluye as mismo la función que representa el mismo resultado que las teclas Tw!
>unciones aplicadas a n&meros comple#os +uchas de las funciones del teclado y del men& +8F definidas en el aptulo / para n&meros reales (por e#emplo, 'D, $H, e*, etc!), pueden aplicarse a n&meros comple#os! "l resultado es otro n&mero comple#o como se ilustra en los siguientes e #emplos!
Nota: uando se utilizan las funciones trigonométricas y sus inversas con n&meros comple#os los argumentos de estas no representan ángulos como en el caso de los n&meros reales! Por lo tanto, la medida angular activa no tiene ning&n efecto en los resultados de las funciones antes mencionadas en el dominio de los n&meros comple#os!
>unción J-7:8"% la ecuación de una lnea recta $a función J-7:8" utiliza como argumentos dos n&meros comple#os, por e#emplo, *4Riy4 y *.Riy., y la ecuación de una lnea recta, es decir, y N aRb*, que contiene los puntos (*4,y4) y (*.,y.)! Por e#emplo, la lnea recta comprendida entre los puntos (;,6/) y (<,.) se puede obtener usando la función J-7:8" como se muestra a continuación (el e#emplo se e#ecuta en el modo algebraico)%
$a función J-7:8" se puede activar u tilizando el catálogo de funciones (\N)! 'i se activa el mode PP-7K, el resultado sera O N ;!f(K6; !) 6 /!
-eferenci a :nformación adicional sobre las operaciones con n&meros comple#os se presenta en el aptulo 9 de la gua del usuario de la calculadora!
aptulo ; 7peraciones aritméticas
y
algebraicas
Un ob#eto algebraico es cualquier n&mero, nombre de variable, o e*presión algebraica sobre el que se pueden efectuar operaciones, que puede manipularse, o combinarse de acuerdo a las reglas del álgebra! lgunos e#emplos de ob#etos algebraicos se presentan a continuación% 4.!/, 4;!.m, Q, Un n&mero% eQ, iQ Un nombre de variable% aQ, u*Q, etc! idthQ, Una e*presión% pJ .M9Q, Qf($MJ)(G. M (.g))Q,
Una ecuación%
pG N n-8Q,
DN(uMn)(y)-(y)(.M/)['oQ
de "scritura algebraicos
los
ob#etos
$os ob#etos algebraicos pueden crearse al escribir el ob#eto entre apóstrofes directamente en la pantalla, o utilizando el escritor de ecuaciones ("DE)! Por e#emplo, para escribir el ob#eto algebraico J.M9Q directamente en la pantalla utilcese%
hTn]Wd2^Jc
Un ob#eto algebraico puede construirse en el escritor de ecuaciones ("quation Eriter) y después enviado a la pantalla, o manipulado en el "scritor de ecuaciones mismo! $a operación del "scritor de ecuaciones se describió en el aptulo .! omo e#ercicio, constr&yase el siguiente ob #eto algebraico en el "scritor de ecuaciones%
Página ;64
Jespués de construir el ob#eto algebraico, presiónese c para mostrarlo en la pantalla (las pantallas en modos $I y -PH se muestran a continu ación)%
7peraciones elementales con ob#etos algebraicos $os ob#etos algebraicos pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse (e*cepto por cero), elevarse a una potencia, usarse como argumentos de funciones (por e#emplo, e*ponenciales, logartmicas, tr igonométricas, hiperbólicas, etc!), como se hara con cualquier n&mero real o comple#o! Para demostrar las operaciones básicas con ob#etos algebraicos, constr&yanse un par de ob#etos algebraicos, por e#emplo, -.Q y aptulo gftg. M9 Q., y almacénense en las variables 4 y . (véase el
para aprender como crear variables y almacenar valores en ellas)! Fe aqu el procedimiento para almacenar la variable 4 en modo $I% "l es%
hT]Wr2b;Wa1 resultado
$as instrucciones correspondientes en modo -PH son% TnWr c2]Wa1; Jespués de almacenar la variable ., la pantalla mostrará las variables como se muestra a continuación%
"n modo $I, las siguientes instrucciones muestran varias operaciones elementales con los ob#etos algebraicos contenidos en las variables LLA1LL y LLA2LL (presiónese para recobrar el men& de variables)%
LLA1LL M LL A2LL c
LLA1LL
c
LL A2LL
LLA1LL ]LL A2LL c
LLA1LL
^
LL A2LL
c
\rLLA1LL
T_LLA2LL
$os mismos resultados se obtienen en modo -PH si se utilizan las instrucciones siguientes% LLA1LL LLA2LL Mi LLA1LL LL A2LL i LLA1LL LL A2LL ] LLA1LL LL A2LL ^i LLA1LL \ ri LLA2LL T _i
>unciones en el men&
$I
"l men& $I (lgebraico) se activa utilizando las teclas \~ (asociado con la tecla J)! Fabiendo escogido la opción CHOOSE bo.es para la se2al de sistema n&mero 44=, el men& $I muestra las siguientes funciones%
Utilcese la función informativa (F"$P) de la calculadora para ver la e*plicación de las diferentes funciones del men& $I! Para activar la función informativa (F"$P) utilcense las siguientes teclas% #/ LHE/PL c ! Para localizar una función particular en la función informativa, escrbase la primera letra del nombre de la función! Por e#emplo, para localizar la función 7$$"8, utilcense las teclas Wc, y después utilcense las teclas direccionales verticales Z[ para localizar la palabra 7$$"8 dentro de la lista de la función informativa! Para completar la operación presiónese la tecla LL&;LL! Fe aqu la definición de la función 7$$"8 en la función informativa (F"$P) de la calculadora%
Hótese que la <ima lnea contiene el te*to 0'ee% "KPHJ >87-1 (traducción% Géase% "KPHJ >87-)! "sta lnea sugiere enlaces a otras definiciones dentro de la función informativa (F"$P)% las funciones "KPHJ y >87-! Para acceder esas funciones directamente, presiónese la tecla de men& L$EE1S o L$EE2! Presiónese L$EE1S para la definición de la función "KPHJ! Presiónese L$EE2S para la definición de la función >87-!
Para copiar a la pantalla los e#emplos mostrados en la definición presiónese la tecla de men& LE)H&S! Por e#emplo, presiónese la tecla LE)H& en la definición de la función "KPHJ, mostrada anteriormente, para obtener el e#emplo que se muestra a continuación (presiónese c para e#ecutar el e#emplo)%
'e invita al usuario a e*plorar las diferentes funciones en el men& $I utilizando la función informativa (F"$P)! $as siguientes listas muestra todas las funciones en ese men&%
Por e#emplo, la función informativa (F"$P) provee la siguiente definición y e#emplo para la función 'U'8%
Nota: -ecuérdese que para utilizar estas, y otras, funciones en el modo -PH, debe escribirse primero el argumento de la función y después activarse la misma! Por e#emplo, para el caso de la función 8"KPHJ, mostrado anteriormente, utilcese% hT_MWIMWAc continuación, actvese la función 8"KPHJ en el men& $I (o, directamente, en el catálogo de funciones \N), para completar la operación!
7peraciones trascendentes
con
funciones
$a calculadora provee ciertas funciones que se utilizan para
reemplazar e*presiones que contienen funciones logartmicas y e*ponenciales (T–), as como funciones trigonométricas (\)!
"*pansión y factorización utilizando las funciones log6e*p "l men& T– fu nciones%
contiene las siguientes
$as definiciones de estas funciones, as como los e#emplos correspondientes, se encuentran disponibles en la función inf orm ativa (F"$P) de la calculadora (#/ LHE/PL c)! Por e#emplo, la descripción de la función "KP$H se muestra en la
figura siguiente a la izquierda, mientras que el e#emplo correspondiente se muestra en la figura siguiente a la derecha%
"*pansión y factorización utilizando funciones trigonométricas "l men& 8-:I, que se obtiene utilizando \, muestra las sigu ientes funciones%
"stas funciones permiten la simplificación de e*presiones al reemplazar ciertas categoras de funciones trigonométricas por otras categoras! Por e#emplo, la función 7'.' permite reemplazar la función arco coseno (acos(*)) por una e*presión que involucra la función arco seno (asin(*))! $as definiciones de estas funciones, as como los e#emplos correspondientes, se encuentran disponibles en la función inf orm ativa (F"$P) de la calculadora (#/LHE/PL c)! 'e invita al usuario a investigar esa información por su propia cuenta!
Funciones en el menú A!#%H.E%#) El menú A!#%H.E%#) se actia utilixando T— asociada con la tecla 1, )on la opción )H&& $E oIes seleccionada para la seGal de sistema número 11= la cominación T— muestra el siguiente menú*
(e esta lista= las opciones 5 a 9 (#8#$= FA)%&!$= /")(= P!&PF! A)= $#.P2 corresponden a f unciones ue aplican a números enteros o a polinomios, /as opciones restantes 1, #N%E"E!= 2, P& /N& . #A/= B, .&('/& = J, PE!.'% A%#&N son en realidad su menús de f unciones ue aplican a o {etos matemáticos especf icos, )on la opción $&F% menus seleccionada para la seGal de sistema número 11= la cominación T— muestra el siguiente menú*
A continuación se muestran las definiciones de las f unciones FA)%&!$ $#.P2 en el A!#%H.E%#) menu#/LHE/P * $#. P2* FA)%&!$*
Par a
er las f unciones disponiles en los sumenús del menú A!#%H.E%#)* #N%E"E!= P&/N& .#A/= .& ('/& = PE!. '% A%#&N = selecciónese el sumenú apropiado, (efiniciones e {emplos se otienen en la función informatia HE/P de la calculador a,
Página 5…
:nformación adicional sobre las aplicaciones de las funciones del men& -:8F+"8: se presenta en el aptulo ; en la gua del usuario de la calculadora!
Polinomio s $os polinomios son e*presiones algebraicas consistente de uno o más términos que contienen potencias decrecientes de una variable o función! Por e#emplo, K/R.K.6/KR.Q es un polinomio del tercer orden (c&bico) de la variable K, mientras que ':H(K)g.6.Q es un polinomio de segundo orden (cuadrático) de la función ':H(K)! $as funciones 7$$"8 y "KPHJ, mostradas anteriormente, pueden utilizarse con polinomios! 7tras aplicaciones de polinomios en la calculadora se
muestran a continuación!
$a F7-H"-
función
función F7-H"- (T—, P7$ OH7+:$, F7-H"-) produces la división sintética de un polinomio P(K) por el factor (K6a), es decir, F7-H"-(P(K),a) N |D(K), a, P(a)}, en la cual P(K) N D(K)(K6a)RP(a)! Por e#emplo, F7-H"-(K/R .Kg .6 /KR 4Q,.) N |PKg .R 9fKR ;Q . 44}, es decir, K/R. K.6/KR 4 N (K.R9KR;)(K6.)R44! s mismo, F7-H"-(K/R .Kg .6/KR 4Q,.) N |Kg .R9fKR; . 44} $a
es decir, K/R. K.6/K R4 N (K.R9 KR;)(K6.)R44! lso, F7-H"-(K<64Q,6 ;)N |K;6;Kg9 R. ;K/64.;K.R<.;K 6/4.; 6; 4;<.9} es decir, K< 64 (KR;)R4;<.9!
$a
N
(K;6;K9R. ;K/64.;K.R< .;K6/4.;)
variable
GK $a mayora de los e#emplos con polynomios fueron escritos usando la variable K! "sto es porque, en el directorio |F7+" 'J:-} de la calculadora, e*iste una variable denominada GK cuyo valor preseleccionado es KQ! "ste es el nombre de la variable independiente preferida para aplicaciones en el álgebra y
en el cálculo! "vtese utilizar la variable GK en programas y ecuaciones, de manera que no se confunda con la variable GK del ' (omputer lgebraic 'ystem, o 'istema lgebraico omputacional)! Para obtener información adicional sobre las variables del ' véase el péndice en la gua del usuario de la calculadora!
Página ;64?
$a P7">
función
Jado un vector que contiene las races de un polinomio, la función P7"> genera un vector que contiene los coeficientes del polinomio correspondiente! $os coeficientes corresponden al orden decreciente de las potencias de la variable independiente! Por e#emplo% P7">(6., 4, ?, 4, 4, .) N 4! 4! ;! ;! 9! 9! ?!, "ste resultado representa el polinomio K<6K;6
;K9R; K/R9K.69K!
$a P-77 8
función
Jado un vector que contiene lo coef icientes de un polinomio en orden decreciente de las potencias, la función P-778 provee las races del polinomio! Por e#emplo, para el polinomio K.R;KR
$as funciones -"+:HJ "-
DU78
y
$as funciones DU78 (cociente) y -"+:HJ"- (residuo) proveen, respectivamente, el cociente D(K) y el residuo -(K), que resulta de la división de dos polinomios, P4(K) y P.(K)! "s decir, estas funciones proveen los valores de D(K) y -(K) en la e*presión P4(K)MP.(K) N D(K) R -(K)MP.(K)! Por e#emplo,
DU78 (K/6.KR.Q, K64Q) N K.RK 6 4Q -"+:HJ"-(K/6.KR.Q, K64Q) N 4!
Para este caso, por lo tanto% (K/6.KR.)M(K64) N K.RK 64 R 4M (K64)! Nota% "ste <imo resultado se puede obtener usando la función P-8>-% P-8>-((K/6.KR.)M(K64)Q) N K.RK64 R 4M(K6 4) Q!
$a función P"G$ $a función P"G$ (Polynomial "G$uation) se utiliza para
evaluar un polinomio
&(.)
F
an S. Gan8 / S.
n
G
n64
HG
a0S . Ga/S .G a3,
.
dado un vector de coef icientes an, an8/, a0, a/, a3 y un valor . 3! "l resultado es la evaluación &(. 3 )* $a función P"G$ no está disponible en el men& -:8F+"8:, sino en el men& $MJ"-:G~:H8"I! "#emplo% N P"G$(4,;,<,4,;) .A4!
plicaciones adicionales de las funciones relacionadas con polinomios se presentan en el aptulo ; en la gua del usuario de la calculadora!
>raccione s $as fracciones pueden e*pandirse y f actorizarse utilizando las funciones "KPHJ y >87-, localizadas en el men& $I (\~)! Por e#emplo% "KPHJ((4RK)g /M((K64)(KR/))Q)N (K/R/K.R/KR4)M(K.R.K6/)Q "KPHJ((K.)(KRO)M(.K 6 K.).)Q) N (KRO)M(K.6 9KR9)Q >87-((/K /6.K .)M( Kg. 6 ;KR<)Q) N K.(/K 6.)M((K6.)f(K6/))Q >87-((K/6BK)M(K.6 ;KR<)Q ) N K(KR/)M(K6.)Q
$a ':+P.
función
$a función ':+P., en el men& -:8F+"8:, u tiliza como argumentos dos n&meros o dos polinomios, los cuales representan el numerador y el denominador de una fracción racional, y produce, como resultados, el numerador y denominador simplificados! Por e#emplo% ':+P.(K/64Q,QK.6 9fKR/ Q) N | K.RKR4 Q,K6 /Q}
función $a P-7P>- "l función P-7P>- convierte una función racional en una función 0propia1, es decir, una parte entera sumada a una parte fraccional, si tal descomposición es posible! Por e#emplo% P-7P>-(;M9Q) N 4R4M9Q P-7P>-((*.R4)M*.Q) N 4R4 M*.Q
función $a P- 8>- $a función P-8>- descompone una fracción racional en fracciones parciales que, al sumarse, producen la fracción
original! Por e#emplo% P- 8>-((.Kg< 649K;R.BK96/=K g/R94 K. 64<KR; )M (K ;6 =K9R44K/6=fKg.R4?K)Q) N
. KR(4 M.M(K6.)R;M(K6;)R4M.MKRKM (K.R4))Q
$a >7">
función
$a función >7">, en el disponible men& -:8F+"8:MP7$OH7+:$, se utiliza par obtener una fracción racional dados las races y los polos de la misma!
Nota% 'i la e*presión >(K) N H(K)MJ(K) representa una función racional, las races de la fracción se encuentran al resolver la ecuación H(K) N ?, mientras que los polos de la fracción se encuentran al resolver la ecuación J(K) N ?! "l argumento de esta función es un vector que incluye las races de la fracción seguidas de su multiplicidad (es decir, cuantas veces la raz se repite), y los polos de la fracción, también seguidos de su multiplicidad, esta <ima representada como un n&mero negativo! Por e#emplo, si queremos formar la fracción que tiene las races . con multiplicidad 4, ? con multiplicidad /, y 6; con multiplicidad ., y los polos 4 con multiplicidad . y / con multiplicidad ;, utilcese% >7">(.,4,?,/,;,.,4,.,/,;)N(K66;).K/( K6.)M(KR/);(K 6 4)g. Q 'i se presiona iTjc(or, simplemente i, in -PH mode) se obtiene% (K
$a >-77 8'
función
$a función >-778', en el men& -:8F+"8:MP7$OH7+:$, se utiliza para obtener las races y los polos de una fracción! Por e#emplo, al aplicar la función >-778' a la fracción racional obtenida en el e#emplo anterior, se obtiene el resultado% 4 .! / ;! ? /! . 4! ; .!! "ste vector muestra primero los polos seguidos de su m ultiplicidad (representada por un n&mero negativo), y, a continuación, las races seguidas por su multiplicidad (representada por un n&mero positivo)! "n
este caso, los polos son (4, 6/) con multiplicidades (.,;), respecti vamente, y las races son (?, ., 6;) con multiplicidades (/, 4, .), respecti vamente! onsidérese también este segundo e #em plo% >-77 8'((K.6;fKR<)M(K;6K. )Q) N ? .! 4 4! / 4! . 4!!
"n este caso, los polos son ? (.), 4(4), y las races son /(4), .(4)! 'i se hubiese seleccionado la opción omple* para el ', el resultado de este e#emplo hubiese sido%
? .! 4 4! ((4Ri[/)M.) 4! ((4i[/)M.) 4! /
7peraciones fracciones, a paso paso
4! . 4!!
con
polinomios
y
uando se selecciona la opción 'tepMstep en el ', la calculadora mostrará las simplificaciones de fracciones o la operaciones con polinomios detalladas paso a paso! "sta selección es &til, por e#emplo, para ver los diferentes pasos de una división sintética! $a división
/ U 5 . R B U2 U2 se en detalle en el péndice la gua del usuario de muestra la calculadora! "l siguiente e#emplo muestra otra división sintética, paso a paso! Presiónese • para e#ecutar los pasos consecutivos! $a función J:G. se encuentra disponible en el men& -: 8F+" 8:MP7$ OH7+:$!
B 1
U
K. 4
-eferenci a :nformación adicional, definiciones, y e#emplos de operaciones algebraicas y aritméticas se presentan en el aptulo ; de la gua del usuario de la calculadora!
aptulo < 'olución ecuaciones
de
las
sociados con la tecla g e*isten dos men&s de funciones ), para la solución de ecuaciones, el 'ymbolic '7$Ger (T˜ o soluciones simbólicas, y el HU+erical 'o$Ger (\™), o soluciones numéricas! continuación se presentan algunas de las funciones disponibles en estos men&s!
'olución simbólica de las ecuaciones algebraicas "n esta sección se utiliza el men& de soluciones simbólicas ('ymbolic 'olver)! ct vese el men& u tilizando las teclas T˜ ! on la opción F77'" bo*es activa en la se2al de sistema n&mero 44=, el men& de soluciones simbólicas muestra las siguientes funciones%
$as funciones :'7$ y '7$G" se utilizan para obtener la incógnita de una ecuación polinómica! $a función '7$G"GK se u tiliza para resolver una ecuación polinómica en la que la incógnita es la variable independiente del ' GK (usualmente la KQ)! >inalmente, la función L"-7' provee los ceros o races de una ecuación polinómica!
$a :'7$
función
$a función :'7$("cuación, variable) produce la solución(es) de la Por e#emplo, con la Ecac"n al despe#ar la $arable! calculadora en modo $I, para despe#ar t en la ecuación at/6bt N ? u tilcese%
uando la calculador usa el modo -PH, la solución se obtiene escribiendo primero la ecuación en la pantalla (stacC), seguida por la variable, antes de activarse la función :'7$! $a figura de la izquierda muestra la pantalla -PH antes de aplicar la función :'7$, mientras que la figura de la derecha muestra la pantalla después de aplicar la función :'7$!
"l primer argumento en la función :'7$ puede ser una e*presión (sin el signo igual), como en el e#emplo anterior, o una ecuación! Por e#emplo, en modo $I, e#ec&tese el siguiente e#emplo%
Nota: Para escribir el signo igual (N) en una ecuación, utilcense las teclas \“ (asociada con la tecla Y)! "l mismo problema puede resolverse en modo -PH como se ilustra a continuación (las figuras siguientes muestran la pantalla -PH antes y después de aplicar la función :'7$)%
$a '7$G"
función
$a función '7$G" tiene la misma sinta*is que la función :'7$, e*cepto que '7$G" puede utilizarse para resolver un sistema de ecuaciones polinómicas! $a función informativa de la calculadora (función F"$P, que se activa utilizando #/LHE/P ) muestra la siguiente referencia para la función '7$G", incluyendo la solución de la ecuación K9 4 N /%
$os siguientes e#emplos muestran el uso de la función '7$G" en modo $I (use modo omple* en el ')%
$a figura anterior muestra dos soluciones!
"n la primera,
'7$G"(9 6; N4.;), no produce soluciones | }! "n la segunda solución, '7$G"( 6 ; 9 N <), produce cuatro soluciones, que se muestran en la lnea
inferior de la pantalla! $a <ima solución en la lnea no es visible porque el resul tado ocupa más caracteres que el ancho de la pantalla! 'in embargo, uno puede ver todas las soluciones al activar el editor de lnea utilizando la tecla direccional vertical [ ("sta operación puede utilizarse para acceder a cualquier lnea de la pantalla que sea más ancha que la pantalla misma%
$as pantallas -PH correspondientes a los dos e#emplos anteriores, antes y después de aplicar la función '7$G", se muestran a continuación%
Página <69
función $a '7$G"GK $a función '7$G"GK se utiliza para resolver una ecuación cuando la incógnita es la variable ' contenida en el registro GK! "l valor pre6 definido de GK es el smbolo KQ! lgunos e#emplos, en el modo $I y con la variable GK N KQ, se muestran a continuación%
"n el primer caso, '7$G"GK no pudo encontrar una solución! "n el segundo caso, '7$G"GK encontró una solución &nica, K N .! $as siguientes figuras muestran la pantalla -PH en la solución de los e#emplos anteriores (antes y después de aplicar la función '7$G"GK)%
función $a L"-7' $a función L"-7' se utiliza para encontrar las races (o ceros) de una ecuación polinómica, sin mostrar la multiplicidad de las mismas! $a función L"-7' requiere como argumentos una ecuación o e*presión y la variable a despe#arse! "#emplos
en modo $I se muestran a continuación%
Para utilizar la función L"-7' en modo -PH, escrbase primero la e*presión o ecuación polinómica, seguida de la variable a ser despe#ada! Jespués de esto, se deberá activar la función L"-7'! $as siguientes figuras muestran la pantalla -PH en la solución de los e#emplos anteriores (antes y después de aplicar la función L"-7', con modo omple* seleccionado para el ')%
$as funciones de soluciones simbólicas ('ymbolic 'olver) presentadas anteriormente producen soluciones para ecuaciones racionales ecuaciones (principalmente, polinómicas)! 'i la ecuación a resolverse tiene solamente coeficientes numéricos, es posible obtener una solución numérica u tilizando las funciones de soluciones numéricas (Humerical 'olver) en la calculadora!
de +en& numéricas
soluciones
calculadora provee un ambiente para la solución numérica de ecuaciones algebraicas o trascendentes! Para activar este ambiente, actvese primero el men& de soluciones numéricas (HU+!'$G) utilizando \™, "sta acción produce una lista de opciones incluyendo% $a
continuación se presentan aplicaciones de las opciones 1* Sol$e &ol7**, 2* Sol$e nance, y /* Sol$e e'aton**, en ese orden! "l péndice , en la gua del usuario, contiene instrucciones para el uso de las formas interactivas con e#emplos basados en las soluciones numéricas de las ecuaciones! :tem 6* MSL: (+ultiple equation 'o$Ger) ill be presented in página <644! Notas:
4! uando se resuelve una ecuación utilizando las soluciones numéricas en el men& HU+!'$G, la solución se mostrará en la pantalla después de terminarse la operación! "sta acción es &til si se requiere utilizar la solución numérica más reciente en otras operaciones de la calculadora! .! $as aplicaciones de soluciones numéricas (HU+!'$G) usu alm ente crean una o más variables en la calculadora!
"cuaciones polinómicas uando se utiliza la opción Sol$e &ol7 en el ambiente SOL:E de la calculadora uno puede% (4) "ncontrar la(s) solución(es) de una ecuación polinómica_ (.) 7btener los coeficientes de un polinomio, dadas las races_ y (/) 7btener una e*presión algebraica para un polinomio como función de la variable ', usualmente KQ!
'olución(es) polinómica
de
una
ecuación
Una ecuación polinómica es una ecuación de la forma% an . n G an8 n8/
/ .
G
HG a/ .
sR4
G
a3
F
3! Por e#emplo, resuélvase la ecuación% /s9 R .s/
6
N ?!
$os coeficientes de la ecuación deberán escribirse como el siguiente vector% /,.,?,64,4! Para resolver esta ecuación polinómica, utilcese lo siguiente% 'eleccionar Sol$e \™[[ &ol7 TvB\H2\H0 coef icientes \H1Y\H1 LL&;LL L$&/8EL
Gector
de
-esolver la
ecuación $a pantalla mostrará la solución de la forma siguiente%
Presiónese c para recobrar la pantalla normal! $a pantalla mostrará los siguientes resultados en modo $I o en modo -PH%
8odas las soluciones o races son n&meros comple#os para este caso% (?!9/.,6?!/AB), (?!9/.,?!/AB), (6?!=<<, ?!
Ieneración de coe@cientes de un polinomio dadas las races 'upóngase que se desean generar los coeficientes de un polinomio cuyas races son los n&meros 4, ;, 6., 9! Para utilizar
la calculadora con este propósito, sganse las siguientes instrucciones% 'eleccionar Sol$e \™[[ &ol7
[Tv1\H5 races
\H2Y\HJ LL&;LL L$&/8EL coef icientes
Gector de alcular
Presiónese c para recuperar la pantalla normal! $os coeficientes se mostrarán también en esa pantalla!
Presiónese la tecla [ para activar el editor de lnea y poder ver el vector de coeficientes en su totalidad!
Ieneración de una e*presión algebraica para el polinomio Uno puede u tilizar la calculadora para generara una e*presión algebraica de un polinomio dados los coeficientes o las races del polinomio! $a e*presión que resulta está dada en términos de la variable ', usualmente KQ! "l siguiente e#emplo muestra como obtener la e*presión algebraica de un polinomio dados los coef icientes! s&mase que los coeficientes del polinomio son 4,;,6.,9! Utilcense las siguientes instrucciones% 'eleccionar Sol$e \™[[ &ol7
Tv1\H5 coef icientes \H2Y\HJ LL&;L LZL$0.7L e*presión c norm al
Gector de Ienerar
simbólica -ecobrar pantalla
$a e*presión generada se muestra en la pantalla como% K/R;K.R6 .KR9 !
"l siguiente e#emplo muestra como obtener la e*presión algebraica de un polinomio dadas las races del mismo! s&mase que las races del polinomio son 4,/,6.,4! Utilcense las siguientes instrucciones% \™[[LL&;LL 'eleccionar Sol$e &ol7
[Tv1\HB races
\H2Y\H1 LL&;L L[L$0 .7L
simbólica c norm al
Gector de Ienerar
e*presión
-ecobrar pantalla
$a e*presión generada se muestra en la pantalla como% s( K64)f(K6/)(KR.)f(K6 4)s! Para e#ecutar las multiplicaciones en esta e*presión, utilcese la función "KPHJ! $a e*presión que resulta es% K9R6/fKg /R 6/Kg. R44K 6
álculos f inancieros $os cálculos en la opción 2* Sol$e nance** en el men& de soluciones numéricas (Humerical 'olver, !UM*SL: ) se utilizan para determinar el valor del dinero con el tiempo! "ste tipo de cálculos es de interés en la disciplina de la ingeniera económica y otras aplicaciones financieras! $os cálculos financieros se activan a través de las teclas Tš (asociada con la tecla 9)! $os detalles de estos cálculos se muestran en el aptulo < del gua del usuario!
'olución de ecuaciones con una sola incógnita con el HU+!'$ G "l men& HU+!'$G provee la opción /* Sol$e e'aton** para resolver ecuaciones de una sola incógnita, incluyéndose algebraicas no6lineales, y ecuaciones ecuaciones trascendentes! Por e#emplo, resuélvase la ecuación% e.8sn( .;1) F 3*
'implemente algebraico y escrbase la e*presión como un ob#eto almacénese la misma en la variable "D! $os pasos a seguir en modo $I son los siguientes% hT_WTIb $Tn ]WTI^Bb\“ 0b ;WeWuc
$a ' 8 "D
función
$a función '8"D se utiliza para almacenar el argumento en la
variable "D, por e#emplo, en modo $I%
"n modo -PH, escrbase primero la ecuación entre apóstrofes y act vese la función '8"D! $a función '8"D puede u tilizarse, por lo tanto, como una forma simple de almacenar e*presiones en la variable "D! Presiónese para ver la variable "D que se acaba de crear%
continuación, actvese el ambiente '7$G" y selecciónese la opción Sol$e e'aton, utilizando% \™LL&;LL! $a pantalla mostrará lo siguiente%
$a ecuación almacenada en la variable "D se muestra en la opción E' de la forma interactiva denominada '7$G" "DU8:7H! s mismo, se provee una opción denominada . , que representa la incógnita a resolverse! Para encontrar una solución a la ecuación es necesario seleccionar la región de la forma interactiva correspondiente a la *% utilizando la tecla [, y presionar la tecla L$&/ 8EL! $a solución proveda es K% 9!;??<"6.%
"sta, sin embargo, no es la &nica solución posible para esta ecuación! Para obtener, por e#emplo, una solución negativa, escrbase un n&me ro negativo en la opción *% antes de resolver la ecuación! Por e#emplo, BYLLL&;LL [L$&/8EL! $a nueva solución es *% 6/!?9;!
'olución de ecuaciones simultáneas con +'$G $a función +'$G está disponible en el men& \™ ! $a función función informativ informativa a de la calculad calculadora ora (#/LHE/P) muestra la siguiente referencia para la función +'$G%
7bsérvese que la función +'$G requiere tres argumentos% 4! Un vector que contiene las ecuaciones, Gg!, ':H(K) ,K R ':H( O O)N4Q RO,KR .! Un vector que contiene las incógnitas, Gg!, K,OQ /! Un vector que contiene valores iniciales de la solución, Gg!, los valores iniciales de K y O son ambos cero en este e#emplo! "n modo $I, presiónese LE)H& para copiar el e#emplo a la pantalla, presiónese c para e#ecutar el e#emplo! Para ver todos los elementos de la solución, es necesario activar el editor de lnea al presionar la tecla direccional vertical [%
"n modo -PH, la solución de este e#emplo requiere lo siguiente antes de activar +'$G%
l act activar la función +'$G se producen los siguientes resultados%
'e habrá observado que, mientras se produce la solución, la pantalla muestra información intermedia relacionada a la solución en la esquin esquina a superior izquierda! omo la solución proveda por la función +'$G es numérica, la información en la esquina superior izquierda muestra los resultados del proceso iterativo $a utilizado en la solución del sistema de ecuaciones! solución producida por +'$G para este caso es I F /*>01>, 83*J6>/!
F
-eferenci a :nformación adicional sobre la solución de ecuaciones &nicas y m<iples se presenta en los aptulos < y = de la gua del usuario!
aptulo = 7peraciones listas
con
$as listas son un tipo de ob#eto utilizado por la calculadora que tienen mucha utilidad en el procesamiento de datos! "n este aptulo se presentan e#emplos de operaciones con listas! Para e#ecutar los e#emplos en este aptulo utilizaremos el ' en modo apro*imado (ppro*, véase el aptulo 4)!
reación y almacenamiento de listas Para crear una lista en modo $I, escrbanse primero las llaves T, a continuación escrbanse los elementos de la lista, comas (\H)! "n el siguiente e#emplo se separados por com escribe la lista |4!,.!,/!,9!} y se almacena en la variable $4! T1\H2\HB\HJ b;Wl1c
Para crear y almacenar la misma lista en modo -PH utilcese% T1X2XBXJc hWl1c;
7peraciones n&m n& meros
con
listas
de
Para demostrar oper operac acio ione ness con con listas de n&meros escrbanse y almacénense las siguientes listas en las variables correspondientes! $. N |6/,.,4,;} $/ N |6<,;,/,4,?,/,6 9} $9 N |/ ,6 .,4,;,/,.,4}
ambio signo
de
uando se aplica la tecla de cambio de signo (Y) a una lista de n&meros, se cambia el signo de cada elemento de la lista! Por e#emplo%
dición, substracción, multiplicación, y división $a multiplicación o división de una lista por un n&mero real se distribuye miembro a miembro de la lista, por e#emplo%
Página =64
$a subs substr trac acció ción n de un n&mero de una lista se interpreta sustrayendo el n&mero de cada elemento de la lista, por e#emplo%
$a adición de un n&mero a una lista produce una lista con un elemento adicional (el n&mero adicionado), y no la adición del n&mero a cada elemento de la lista! Por e#emplo%
'ubstracción, multiplicación, y división de listas de n&meros del mismo tama2o resulta en una lista del mismo tama2o con las operaciones respectivas e #ecutadas miembro a miembro bro! "#emplos%
$a división $9M$/ producirá un resultado infinito porque uno de los elementos en la lista $/ es cero!
Nota: "n este caso se produce un mensa#e indicando un error en el cálculo! 'i se hubiesen escrito las listas $9 y $/ en modo "*acto ("*act), el smbolo de infinito se mostrara en el miembro de la lista donde ocurre la división por cero, por e#emplo,
'i las listas involucradas en una operación tienen tama2os diferentes, se produce un mensa#e de error (:nvalid Jimensions, dimensiones incompatibles)! :nténtese, por e#emplo, la operación $46$9! "l signo de suma (M), cuando se aplica a listas, produce un operador de concatenac"n que liga o concatena dos listas, en vez de sumar los elementos miembro a miembro! Por e#emplo%
Para forzar la adición de dos listas del mismo tama2o miembro a miembro, se necesario utilizar el operador o función JJ (sumar)! "ste operador puede activarse utilizando el catálogo de funciones (\N)! $a pantalla que se muestra a continuación muestra la aplicación del operador JJ a las listas $4 y $., produciendo la suma de las mismas miembro a miembro%
>unciones aplicadas a listas $as funciones de n&mero reales en el teclado (', e*, $H, 4?*, $7I, ':H, * , [, 7', 8H, ':H, 7', 8H, y ) as como aquellas en el
.
*
men& -7$: (':HF, 7'F, 8HF, ':HF, 7'F, 8HF), y +8FMFOP" en el men& +8FM-"$ (€, etc!), pueden aplicarse a listas, por e#emplo, ABS %N&#'S# ()*$+
de $istas comple #os
n&meros
Una lista de n&meros comple#os puede crearse, por e#emplo, utilizando la operación $; N $4 JJ i$.! "n modo -PH, podra entrar estos datos como $4 i $. JJ ! -esultado%
>unciones tales como $H, "KP, 'D, etc!, pueden aplicarse también a una lista de n&meros comple#os, por e#emplo,
de $istas algebraicos
ob#etos
$os siguientes son e#emplos de listas de ob#etos algebraicos a los que se aplica la función seno (':H) (utilcese el modo "*act para estos e#emplos véase el aptulo 4)%
"l men& +8FM$:' 8 "l men& +8F provee un n&mero de funciones que se aplican e*clusivamente a las listas! on la opción F77'" bo*es activa en la se2al de sistema n&mero 44=, el men& +8FM$:'8 provee las siguientes funciones%
on la opción '7>8 menus activa en la se2al de sistema n&mero 44=, el men& +8FM$:'8 provee las siguientes funciones%
operación de las funciones del men& +8FM$:'8 se muestra a continuación% j$:'8% alcula el incremento entre elementos $a
consecutivos en la lista $:'8% alcula la suma de los elementos en la lista
•$:'8% la lista '7-8% creciente -"G$:'8% la lista
alcula el producto de los elementos en 7rdena los elementos de la lista en orden :nvierte el orden de los elementos en
JJ%
Produce la suma miembro a miembro de dos listas del mismo tama2o (e#emplos de esta función se presentaron anteriormente) lgunos e#emplos de aplicación de estas funciones en modo $I se muestra a continuación%
$as funciones '7-8 y -"G$:'8 se pueden combinar para ordenar una lista en orden decreciente%
'i está traba#ando en modo -PH, entre l alista en la pantalla y, a continuación, seleccione la operación que desea! Por e#emplo, para calcular el incremento entre elementos consecutivos en la lista $/, presione% lBcSU[[X&;X X& ;X
"sto coloca a $/ en la pantalla y selecciona la operación j$:'8 del
men& +8F!
$a '"D
función
$a función '"D, disponible a través del catálogo de funciones (\N), utiliza como argumentos una e*presión en términos de un ndice, el nombre del ndice, y los valores inicial, final, e incremento para el ndice! $a función produce una lista cuyos elementos resultan de la evaluación de la e*presión antes mencionada para todos los valores posibles del ndice! $a forma de esta función es% '"D(e.&res"n, Kndce, ncal, nal, ncr ement o) Por e #em plo%
$a lista as creada corresponde a los valores |4., .., /., 9.}!
$a +P
función
$a función +P, disponible a través del catálogo de funciones (\N), utiliza como argumentos una lista de n&meros y una función f(K), o un programa, y produce una lista cuyos elementos resultan de la aplicación de esa función a la lista de n&meros! Por e#emplo, en el siguiente e#ercicio la función +P aplica la función ':H(K) a la lista |4,.,/}%
"n modo $I, la sinta*is es% WWmapWS`S•1LH2LHBb LH$WNc "n modo -PH, la sinta*is
es%
S•1L2LBh$WW Wmap
"n ambos casos, puede teclear el commando +P (como en los e#emplos anteriores) o seleccionar el comando del men& 8!
-eferencia Para referencias adicionales, e#emplos, y aplicaciones de listas véase el aptulo A en la gua del usuario de la calculadora!
aptulo A Gectore s "n este aptulo presentan e#emplos de creación y operaciones con vectores, tanto vectores matemáticos de varios elementos, como vectores fsicos de . y / com ponentes!
$a escritura vectores
de
"n la calculadora, los vectores se representan por secuencias de n&meros escritos entre corchetes en la forma de vectores filas! $os corchetes se obtienen utilizando las teclas Tv , asociada con la tecla ]! $os siguientes son e#emplos de vectores en la calculadora% ›B,5= 2,2= 1,B= 5,C= 2,B œ Un vector fila general ›1,5=2,2œ Un vector .6J (bidimensional) Un vector /6J ›B=1=2œ (tridimensional) ›tP=Pt•2P=P$#NotPœ Un vector de ob#etos algebraicos
"scritura de vectores en la pantalla on la calculadora en modo $I, un vector se escribe en la pantalla abriendo primero un par de corchetes (Tv) y escribiendo después los elementos del vector separados por comas (\H)! $as figuras siguientes muestran la escritura de un vector numérico seguido de un vector algebraico! $a figura de la izquierda muestra el vector algebraico antes de presionar c! $a figura de la derecha muestra el vector algebraico después de presionar c!
"n modo -PH, se escriben los vectores abriendo los corchetes y separando los elementos de los vectores ya sea con comas (\H) o espacios (X)! Hótese que después de presionar c, en cualquiera de los dos modos, la calculadora mostrará los elementos de un vector separados por espacios!
Página A64
lmacenamiento de vectores en variables $os vectores pueden almacenarse en variables! $as figuras mostradas a continuación indican la forma de almacenar los siguientes vectores% u. N›1= 2œ, u/ N ›B= 2= 2œ, v. N ›B=1œ, v/ N ›1= 5= 2œ $os vectores se almacenan en las variables LLLu2LL, LLLuBLL, LLL2LL, y LLL BLL, respectivamente! Primero, en modo $I%
Jespués en modo -PH (antes de presionar la tecla ;, repetidamente)%
Nota% Ho se necesitan apóstrofes () para escribir los nombres de las variables u., v., etc! en modo -PH! "n este caso, los apóstrofes se u tilizan para reemplazar las variables e*istentes que se crearon anteriormente en el modo $I! Por lo tanto, los apóstrofe deben ser utilizados si no se eliminan las variables e*istentes antes de almacenar otros valores en ellas!
Utilizando el escritor de matrices (+8-E) para escribir vectores $os vectores pueden escribirse también utilizando el escritor de matrices T‘ (tercera tecla en la cuarta fila del teclado)! "ste comando genera una especie de ho#a de cálculo correspondiendo a las filas y columnas de una matriz! (:nformación detallada sobre el uso del escritor de matrices se presenta en el aptulo B)! Para escribir un vector, se necesita solamente escribir los elementos de la primera fila! l activarse el escritor de matrices, la casilla en la primera fila y primera columna es seleccionada automáticamente! "n el men& al pié de la ho#a de cálculo se encentran las siguientes teclas% LE(#%S
$a tecla LE(#% se utiliza para editar el contenido de la casillas $a tecla , si está activa, producirá un vector, en lugar de una matriz conteniendo una fila y varias columnas! se utiliza para reducir el ancho de las columnas $a tecla en la ho#a de cálculo! Presione esta tecla un par de veces para verificar que se reduce el ancho de las columnas! se utiliza para incrementar el ancho de las $a tecla columnas en la ho#a de cálculo! Presione esta tecla un par de veces para verificar que se incrementa el ancho de las columnas! , si está activa, automáticamente selecciona la $a tecla siguient e casilla a la derecha de la casilla actual al presionar la tecla c! "sta opción es la opción pre6seleccionada por el escritor de matrices! 'i se desea utilizar esta opción, la misma deberá ser seleccionada antes de comenzar a escribir los elementos de la matriz o vector! , si está activa, automáticamente selecciona la $a tecla siguiente casilla deba#o de la casilla seleccionada cuando se presiona la tecla c! 'i se desea utilizar esta opción, la misma deberá ser
seleccionada antes de comenzar a escribir los elementos de la matriz o vector!
Navegando ,acia la derec,a o ,acia aba-o en el escritor de matrices ctvese el escritor de matrices y escrbase lo siguiente% Bc5c2cc habiendo seleccionado la tecla ! continuación, escrbase la misma secuencia de n&meros habiendo seleccionado la tecla ,y nótese la diferencia en el resultado! "n el primer e#ercicios, se escribió un vector de tres elementos! "n el segundo e#ercicio, se escribió una m atriz de tres files y una columna (es decir, un vector columna)! ctvese el escritor de matrices una vez más utilizando las teclas T‘, y presiónese la tecla / para acceder a la segunda página del men&! $as teclas disponibles serán las siguientes% LM! &:L L!&: LM)&/L L)&/L
L"& %&L
$a tecla LM! &:L agrega una fila de ceros a la matriz actual! $a tecla L!&: elimina una fila de la matriz actual! $a tecla LM) &/L agrega una columna de ceros a la matriz actual! $a tecla L)& /L elimina una fila de la matriz actual! copia el contenido de una casilla a la pantalla $a tecla normal (stacC)! $a tecla L"&%&, solicita del usuario el n&mero de una fila y columna de la casilla a seleccionar l presionarse la tecla / una vez más se accede al <ima página del men&, la cual contiene solamente la función LL(E/L (remover)! $a función LL(E/L elimina el contenido de la casilla reemplazándolo con un cero! Para verificar la operación de estas funciones, sgase el e#ercicio que se muestra a continuación% (4) ctvese el escritor de matrices utilizando las teclas T‘! y seg&rese que las teclas han sido seleccionadas! (.) "scrbase lo siguiente%
1c2cBc /L"&%&L 2LL&;LL 1 LL&;LL LL&;LL
Jc5cCc
gc…c9c (/) +uévase el cursor dos filas hacia arriba utilizando ZZ!
Presiónese la tecla L!&:! $a segunda fila desaparecerá! (9) Presiónese LM!&:L ! Una fila de tres ceros aparece en la segunda fila! (;) Presiónese L)&/L! $a primera columna desaparecerá! (<) Presiónese LM)&/L! Una columna de dos ceros aparece en la primera columna! (=) Presiónese L"&%&L BLL&;LL BLL&;LL LL&;LL para mover el cursor a la casilla (/,/)! (A) Presiónese ! "sta acción coloca el contenido de la casilla (/,/) en la pantalla principal (stacC), aunque este resultado no será visible inmediatamente! Presiónese c para recuperar la pantalla normal! "l n&mero B, elemento (/,/), y la matriz recientemente escrita se mostrarán en la pantalla!
7peraciones vectores
elementales
con
Para ilustrar operaciones con vectores utilizaremos los vectores u., u/, v., y v/, almacenados en un e#ercicio previo! s mismo, almacénese el vector N64,6.,6/,69,6; para utilizarse también en los siguientes e#ercicios!
ambio signo
de
Para cambiar de signo a un vector, utilcese la tecla Y, por e#emplo,
dición, substracción $a adición y substracción de vectores requiere que los vectores operandos tengan el mismo n&mero de elementos%
'i se intentan sumar o restar vectores de diferentes n&meros de elementos se produce un error (0:nvalid Jimension1, Jimensión :ncom patible)%
+ultiplicación o división por un escalar "#emplos de multiplicación o muestran a continuación%
>unción absoluto
división por un escalar se
valor
$a función valor absoluto ('), cuando se aplica a un vector, calcula la magnitud del vector! Por e#emplo% A7$›1= 2=Cœp, A7$oA, A7$ouB, se mostrarán en la pantalla de la siguiente manera%
"l men& +8FMG"87"l men& +8F (TU) contiene un men& de funciones que aplican especficamente a los vectores%
"l men& G"87- contiene las siguientes funciones (la opción F77'" bo*es ha sido seleccionada para la se2al de sistema n&mero 44=)%
+agnitu d $a magnitud de un vector, tal como se indicó anteriormente, se calcula con la función '! "sta función se encuentra disponible directamente en el teclado (T†)! "#emplos de aplicación de la función ' se presentaron anteriormente!
Producto punto)
escalar
(producto
$a función J78 (opción . en el men& mostrado anteriormente) se utiliza para calcular el producto escalar, o producto punto, de dos vectores con el mismo n&mero de elementos! lgunos e#emplos de aplicación de la función J78, utilizando los vectores , u., u/, v., y v/, almacenados anteriormente, se muestran a continuación en el modo $I! "l producto escalar de vectores con diferente n&mero de elementos produce un error!
Producto vectorial (producto cruz) $a función -7'' (opción / el men& +8FMG"87-) se utiliza para calcular el producto vectorial, o producto cruz, de dos vectores .6J, de dos vectores /6J, o de un vector .6J con un vector /6J! Para calcular el producto vectorial, un vector bidimensional (.6J) de la forma *, y, se convierte en un vector tridimensional (/6J) de la forma *, y,?! "#emplos del producto vectorial se muestran a continuación en el modo $I! Hótese que el producto vectorial de dos vectores bidimensionales produce un vector en la dirección z solamente, es decir, un vector de la forma ?, ?, z%
"#emplos de productos vectoriales (productos cruz) de un vector /6 J con un vector .6J, o viceversa, se presentan a continu ación!
"l tratar de calcular un producto vectorial (producto cruz) de vectores con más de / componentes produce un error%
-eferenci a :nformación adicional sobre operaciones con vectores, incluyendo aplicaciones en las ciencias fsicas, se presenta en el aptulo B de la gua del usuario!
aptulo B +atrices y álgebra lineal "ste aptulo muestra e#emplos de la creación de matrices y de sus operaciones, incluyendo aplicaciones del álgebra lineal!
"scritura de matrices en la pantalla "n esta sección se muestran dos formas diferentes de escribir matrices en la pantalla% (4) u tilizando el editor de matrices, y (.) escribiendo las matrices directamente en la pantalla!
Utilizando el editor de matrices omo se hizo con los vectores (véase el aptulo A), las matrices pueden escribirse utilizando el editor o escritor de matrices! Por e#emplo, para escribir la matriz%
‚U .!; 9!. .!?„ ƒ ?!/ 4!B .!A…, †ƒ . U ?!4 ?!;…‡ Primero, act vese el escritor de matrices T‘! seg&rese que la opción ha sido seleccionada! continuación utilcense las siguientes teclas% 2,5YcJ,2c2c[ ,Bc1,9c2,…c 2c,1Yc,5c l terminar este e#ercicio, se visualiza la pantalla del escritor de matrices como se muestra a continuación%
Presiónese c una vez más para colocar la matriz en al pantalla (stacC)! Utilizando el modo $I, las siguientes figuras muestran la pantalla antes y después de presionar la tecla c una vez!
'i se ha seleccionado la opción 8e*tbooC para la pantalla (utilizando HL(#$PS y marcando la opción d Textbook ), la matriz lucirá como se mostró anteriormente! Je otra manera, la pantalla luce de la siguiente forma%
$a pantalla en modo -PH lucirá muy similar a estas pantallas!
"scribiendo la matriz directamente en la pantalla Para escribir la matriz anterior directamente en la pantalla utilcese% Tv Tv2,5Y\HJ,2\H2b \H Tv,B\H1,9\H2,…b \H Tv2\H,1Y\H,5c Je tal manera, para escribir una matriz directamente en la pantalla ábranse un par de corchetes (Tv) y enciérrese cada fila en la matriz dentro de un par de corchetes adicionales Utilcense comas (\H, ) para separar los (Tv)! elementos de cada fila, as como para separar los corchetes entre filas de la matriz!
Para futura referencia, almacénese esta matriz en la variable ! "n modo $I, utilcese ;Wa! "n modo -PH, utilcese hWa;!
7peraciones matrices
con
$as matrices, como otros ob#etos matemáticos, pueden sumarse y restarse! 8ambién pueden ser multiplicadas por un escalar o multiplicarse la una con la otra y elevarse a una potencia real! Una operación importante en el álgebra lineal es la inversa de una matriz! Jetalles de estas operaciones se muestran a continuación! Para ilustrar las operaciones matriciales, se crearán un cierto n&mero de matrices que se almacenarán en las variables siguientes! Fe aqu las matrices .., .., ./, ./, // y // (estas matrices aleatorias serán diferentes en su calculadora)%
"n modo -PH, los pasos a seguir son los siguient es% Q2=2Rc !AN. PA22Pc; Q2=2Rc !AN. P722Pc; Q2=BRc !AN. PA2BPc; Q2=BRc !AN. P72BPc; QB=2Rc !AN. PAB2Pc; QB=2Rc !AN. P7B2Pc; QB=BRc !AN. PABBPc; QB=BRc !AN. P7BBPc;
dición substracción
y
continuación se muestran cuatro e#emplos de operaciones que utilizan las matrices almacenadas anteriormente (modo $I)!
"n el modo -PH, intente los siguientes ocho e #emplos% 72 2cM A22 c A22 c 722c A2B c 72 BcM A2B 7B 2cM c c 72Bc AB2 7B2c ABB c AB2 c 7B BcM ABB c 7BBc
+ultiplicació n una cantidad de operaciones de multiplicación que involucran matrices! "stas operaciones se describen a continuación! $os e#emplos se presentan en modo algebraico! "*iste
+ultiplicación escalar
por
un
lgunos e#emplos de multiplicación escalar se muestran a continuación%
de una matriz por un
+ultiplicación de una matriz con un vector $a multiplicación de una matriz con un vector es posible solamente si el n&mero de columnas de la matriz es igual al n&mero de elementos del vector! "#emplos de multiplicación de una matriz con un vector se presentan a continuación%
$a multiplicación de un vector por una matriz, sin embargo, no está definida! "sta multiplicación puede e#ecutarse, como un
caso especial de la multiplicación de matrices como se define a continuación!
+ultiplicación de matrices $a multiplicación de matrices se define por la e*presión Cm^n
N
Am^pSBp^n!
7bsérvese que la multiplicación de matrices es
posible solamente igual al si el n&mero de columnas en el primer operand es n&mero de filas en el segundo! "l elemento genérico ci# del producto se escribe% p
ci{ N ž aiD S D{ = for i N 1=2=;= mŸ { N 1=2=;= n,
C N 4 $a multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, en general, ASB ˆ BSA! "s posible que uno de los productos ASB o BSA no e*ista! $as figuras muestran multiplicaciones de las matrices siguientes que se almacenaron anteriormente%
+ultiplicación término
término6a6
$a multiplicación térm ino6a6térm ino de dos matrices de las mismas dimensiones es posible gracias a la función FJ+-J! "l resultado es, por supuesto, una matriz de las mismas dimensiones que los operandos! $a función FJ+-J está disponible a través del catálogo de funciones (\N), o a través del sub6men& + 8-:"'M7P"- 8:7H' (T)!
lgunas aplicaciones de la función FJ+-J se presentan a continuación%
"levar una matriz a una potencia real Puede elevar una matriz a cualquier potencia siempre y cuando la potencia sea un n&mero real! "l e#emplo siguiente muestra el resultado de elevar la matriz .., creada anteriormente, a la potencia de ;%
8ambién puede elevar una matriz a una potencia sin guardarla primero como variable%
"n modo algebraico, deberá teclear % entrar o seleccionar la matriz 1 entre la potencia c! "n modo -PH, deberá teclear% entrar o seleccionar la matriz ¡ entre la potencia !
$a matriz identidad $a matriz identidad % se define de manera que AS% N %SA N A! $os
siguientes (disponiblee#ercicios verifican esta definición! $a función :JH en el men& +8FM+ 8-:KM+x") se utiliza para generar la matriz identidad como se muestra en las figuras siguientes%
$a matriz inversa $a inversa de una matriz cuadrada A es la matriz
64 tal que
A
AS A
64 N A SA N %, en la cual % es la matriz identidad de las mismas 64 ones dimensi de A! $ala inversa de a matriz se obtiene en la calculadora utilizando función :HG (es decir, la tecla )! "#emplos involucrando la inversa de las matrices almacenadas anteriormente se presentan a continuación%
Para verificar las propiedades de la matriz inversa se presentan las siguientes multiplicaciones%
"l men& matrices
H7-+
de
"l men& H7-+ (H7-+$:L-) de matrices se obtiene "ste men& se describe utilizando las teclas TU! detalladamente en el aptulo 4? de la gua del usuario! lgunas de estas funciones se presentan a continu ación!
$a
función
J" 8 $a función J"8 se utiliza para calcular el determinante de una
matriz cuadrada! Por e#emplo,
$a función 8-" $a función 8-" se utiliza para calcular la traza de una matriz cuadrada, definida como la suma de los elementos en la diagonal principal, o sea,
trA N
n
ža
ii
iN4 "#em plos %
'olución de sistemas lineales sistema de n ecuaciones lineales en m variables puede escribirse de la siguiente manera% * 64m64 RS*a4. RS*a4/ RS*R R aR aRS*a mS* S* N a R S* R S* R R b a,.4 S* aR.. aR./ a64.,Sam , .S* S* S* 4 .aS* /aS* 4,m N44 RaR a m64m644,m 4 . / .,m m 4b b N , /,m64 /4 4 /. . // / /,m m / ! ! ! ! ! ! R aR N R an6 a an6 4,am64S* Sm64 S*4 S* S*.S*R aRn6 4,/ S*S* b n6 n6 4,. / R R 4,a m S* m n6b4,4 R R * a a R S* 4n,!an4 N 4 n. . n/ / m64 6 n, m 4 n,m "ste sistema de ecuaciones lineales puede escribirse como unam ecuación matricial, An^mS$m ^4 N bn^4, si se definen los siguientes matriz y vectores%
‚ I1 „ ‚ a11 a12 / a1m „… ƒI … ƒa a22 / a2m … 2… ƒ 21 I N A N ƒ ƒa. a. & ƒ .… $ a. … ƒ … ƒ … † ‡ † ‡ † n1 n 2 ‡ nm n^m
,
*m
m^4
bn
,
n^4
‚ 1 „ ƒ … 2 Nƒ … ƒ.… ƒ …
Utilizando la solución numérica de sistemas lineales "*isten muchas formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales con la calculadora! Por e#emplo, uno puede utilizar el men& de solu ciones numéricas \™! 'elecciónese la opción 4* Sol$e ln s7s** en la lista de soluciones numéricas (figura de la izquierda) 7 presiónese la tecla $a siguiente forma interactiva (figura de la LLL&;LLL! derecha) será producida%
escrbase para el sistema la matriz A, resolver lineal A S$, Nb,! el a , a en la opción % de formato utilizando 44 4., la forma inte ractiva! s mismo, escrbase el vector b en la opción % de la forma interactiva! uando se seleccione la opción K%, presiónese la 'i e*iste una solución e vector solución $ se tecla L$&/8E! mostrará en la opción K% de la forma interactiva! $a solución se reproduce también en la pantalla normal! lgunos e#emplos se muestran a continuación! "l sistema de ecuaciones lineales .*4 R /*. ;*/ N 4/, *4 /*. R A*/ N 64/, .*4 .*. R 9*/ N 6<,
puede escribirse como la ecuación matricial AS$ N b, si se usa
‚2 B U 5„ ‚ I1 „ ‚ 1B „ A N ƒ 1 U B … …= I N ƒ I 2… = and N ƒ U 1B… , ƒ … ƒ … ƒ … ƒ† C …‡ ƒ† 2 U 2 J …‡ ƒ† I B …‡ "ste sistema tiene el mismo n&mero de ecuaciones e incógnitas, y se conoce como un sistema cuadrado! "n general, habrá una solución &nica del sistema! $a solución representa la
intersección de los tres planos representados por las ecuaciones lineales en el sistema de coordenadas (*4, * ., */)!
Para escribir la matriz A uno puede activar el escritor de matrices cuando el cursor se encuentra en la opción % de la forma interactiva! $a siguiente pantalla muestra el escritor de matrices utilizado para escribir la matriz A, as como la forma interactiva de la solución después de escribir la matriz A (presiónese c en el escritor de matrices para retornar a la forma interactiva)%
Presiónese la tecla [ para seleccionar la opción % en la forma interactiva! "l vector b puede escribirse como un vector file con un solo par de corchetes, es decir, ›1B=1B=Cœ LLL&;LLL! Jespués de escribir la matriz y el vector b, selecciónese la opción K%, y presiónese la tecla L$&/ 8ES para obtener una solución para este sistema de ecuaciones%
$a solución del sistema se muestra a continuación!
'olución utilizando inversa
la matriz
64calculadora matriz delpuede enNel es una $a solución sistema A solución sese encontrar en la lo laS$ N b,$ utilizado anteriormente, A cual e#emplo S b!APara cuadrada, el utilizando obtiene utilizando siguient e (escrbanse la matriz A y el vector b una vez más)%
'olución a través de 0división1 de matrices 'i bien la operación de división de matrices no está definida, es posible utilizar la tecla ^ de la calculadora para 0dividir1 el vector b por la matriz A con el propósito de determinar $ en la ecuación matricial AS$ N b! ilustra"la procedimiento para la 0división1 de b sobre A se continuación para el e#emplo utilizado anteriormente (escrbanse la matriz A y el vector b una vez más)%
-eferencia s adicional sobre la creación de matrices, :nformación operaciones con matrices, y aplicaciones de matrices en el álgebra lineal se presenta en los aptulos 4? y 44 de la gua del usuario de la calculadora!
aptulo 4? Irá@ca s "n este aptulo se presentan algunas de las aplicaciones gráficas de la calculadora! 'e incluyen gráficas de funciones en coordenadas artesianas y gráficas tridimensionales (fast /J plots)!
7pciones gráficas calculadora
en
la
Para tener acceso a la lista de formatos gráficos disponibles en la calculadora, &sese la secuencia de teclas T¢(()! 8éngase cuidado que si se usa el modo -PH estas dos teclas deben presionarse simultáneamente para activar las funciones gráficas! Jespués de activar la función .JM/J, la calculadora produce la forma interacti va denominada P$78 '"8UP, la cual incluye la opción 8OP" (tipo) como se ilustra a continuación!
"n frente de la partcula 8OP" se encuentra, con toda seguridad, que la opción >unction (función) ha sido seleccionada! "ste es el tipo de gráfica preseleccionado en la calculadora! Para ver la lista de formatos gráficos disponibles, presione la tecla de men& denominada L)H&&$ (escoger)! "sta selección produce una lista de men& con las siguientes opciones (&sense las teclas direccionales verticales para ver todas las opciones)%
Irá@ca de una e*presión de la forma y N f(*) omo e#emplo grafquese la función,
1 I2 eIp f I N 2 2 ctvese el ambiente P$78 '"8UP (dise2o de la gráfica) al presionar T¢! 'elecciónese la opción >unction en la especificación TYPE, y la variable KQ como variable independiente (INDEP )! Presione /LLL&;LLL para recuperar la pantalla normal! "l ambiente P$78 '"8 UP luce como se muestra a continuación%
ctvese el ambiente P$78 (gráfica) al presionar TG (simultáneamente si se usa el modo -PH)! Presione la tecla LA(( para activar el escritor de ecuaciones! $a calculadora requiere que se escriba el lado derecho de la ecuación ! "scrbase la O4(*) N función a ser graficada de manera que el escritor de ecuaciones muestre lo siguiente%
Presiónese c para regresar al ambiente P$78! $a e*presión O4(K) N "KP(6K.M.)M[(.f)Q será seleccionada! Presiónese /LLL&;LLL para recuperar la pantalla normal! ctvese el ambiente P$78 E:HJ7E (ventana gráfica) al presionar T£ (simultáneamente si se usa el modo -PH)! Use un rango de 9 a 9 para la especificación F6G:"E (vista horizontal), presione después L A'%& para generar automáticamente el rango vertical, G6G:"E! $a pantalla P$78 E:HJ7E deberá lucir como se muestra a continuación%
Jib&#ese la gráfica% LE!A$E L(!A: (esperar hasta que se termina de dibu#ar la gráfica) Para ver los rótulos de los e#es coordenados% LE(#% / L/A7E/ L.EN'
Para recuperar el primer men& gráfico% //LP#)% Para recorrer o trazar la curva% L%! A)E LLN=LL ! ‰sense las teclas direccionales horizontales (b) para recorrer la curva! $as coordenadas de los puntos trazados se mostrarán al pié de la pantalla! Gerifquense las siguientes coordenadas% * N 4!?; , y N ?!?./4, y * N 64!9A , y N ?!4/9! $a figura se muestra a continuación%
Para recuperar el men& y regresar al ambiente P$78 E:HJ7E, presiónese /L)AN)/! Presione /LL&;LL para regresar a la pantalla normal!
8abla de valores de una función $as combinaciones de teclas T¤(E) y T¥(F), presionadas simultáneamente si se usa el modo -PH, permiten al usuario producir la tabla de valores de una función! Por e#emplo, para producir una tabla de la función O(K) N KM(KR4?), en el rango 6; K v ;, sganse las siguientes instrucciones% 'e generarán valores de la función f(*), definida anteriormente, para valores de * de 6; a ;, en incrementos de ?!;! Para empezar, aseg&rese que el tipo de gráfica seleccionado en el ambiente P$78 '"8UP (T¢, simultáneamente si se usa el modo -PH) es /NC!%N! 'i ese no es el tipo seleccionado, presiónese la tecla L)H&&$ y selecciónese la opción /NC!%N, presiónese LLL&;LLL para terminar la selección! Presiónese [ para seleccionar la opción "D, y escrbase la e*presión% KM(KR4?)Q! Pressione c! Para aceptar los cambios realizados en el ambiente P$78 '"8UP y recuperar la pantalla normal, presiónese / LLL&;LLL!
"l siguiente pase es acceder el ambiente 8able 'et6u p (dise2o de tabla) usando la combinación de teclas T¤ (es decir, la tecla E) simultáneamente si se usa el modo -PH! $a pantalla resultante perm it e al usuario seleccionar el valor inicial (Start ) y el incremento (Ste&)! "scrbanse los siguientes valores% 5Y LLL&;LLL 0,5 LLL&;LLL 0,5 LLL&;LLL (es decir, factor de amplificación N ?!;)! Presiónese la tecla hasta que aparezca la marca d en frente de la opción Small -ont (caracteres peque2os) de ser necesario! Presione LLL&;LLL para terminar y regresar a la pantalla normal! Para ver la tabla, presiónese T¥(es decir, la tecla F) simultáneamente si se usa el modo -PH! "sta acción producirá una tabla de valores de . F 82, 8 4*2, , y los valores correspondientes de f(*), listados ba#o el encabezado O4! Utilcense las teclas direccionales verticales para mover el cursor en la tabla! Hótese que no tuvimos que indicar el valor final de la variable independiente *! $a tabla continua mas allá del valor má*imo sugerido de * N ;! lgunas de las opciones disponibles cuando la tabla es visible incluyen L>&&., LL7# "L, y L(EFN % Página 4?6
uando se selecciona la opción L(EFN, la tabla muestra la definición de la función calculada! $a tecla LL7#"L cambia el tama2o de los caracteres! Presione esta tecla para verificar su operación!
uando se selecciona la opción L>&&. (amplificar), se obtiene un men& con las opciones% &&., selecciónese &&. ZLLL&;LLL para seleccionar la opción Un8 D oom ! "n este e#emplo, el incremento en * se incrementa a ?!.;! Para recuperar el incremento original de ?!;, selecciónese n 8 D oom una vez más, o &sese la opción oom ot (reducir amplificación) al presionar L>&&. [LLL&;LLL! $a opción Jecimal en L>&&. produce incrementos de ?!4?! $a opción :nteger en L>&&. produce incrementos de 4! $a opción 8rig en L>&&. produce incrementos relacionados a fracciones de ! "sta opción es &til en tablas de funciones trigonométricas! Para recuperar la pantalla normal presiónese la tecla c!
Irá@cas tridimensionales de acción rápida (>ast /J plots) "stas gráficas se utilizan para visualizar superficies tr idimensionales representadas por ecuaciones de la forma z N f(*,y)! Por e#emplo, si se desea visualizar la función z N f(*,y) N *.Ry., sganse los siguientes pasos% Presiónese T¢, simultáneamente si se usa el modo -PH, para acceder el ambiente P$78 '"8UP!
ámbiese la opción
TYPE
a
Fast3D.
(L)H&&$S, seleccionar
-ast 1D,
LL&; LL)!
Presiónese [ LLL&;LLL!
y escrbase K.RO.Q
seg&rese que se ha seleccionado la KQ como la variable independiente (Ine!") y la OQ como la variable dependiente (De!n" )! Presiónese /LLL&;LLL para recuperar la pantalla normal! Presiónese T£, simultáneamente si se usa el modo -PH, para acceder al ambiente P$78 E:HJ7E! céptense los valores siguientes para los parámetros de la gráf ica% X-#e$t"-1
X-%&'t"1
Y-Nea)"-1
Y-Fa)" 1
-#o" -1 te! Ine!" 1
-,&'(" 1 De!n"
Nota% $os valores 'tep :ndep% y Jepnd% representan el n&mero de incrementos en la malla gráfica a utilizarse! medida que se incrementan estos n&meros, la producción de la gráfica se hace más lenta, aunque el tiempo necesario para producirla es relativamente corto! Presiónense las teclas LE!A $E L(!A: para dibu#ar la superficie tridimensional! "l resultado de esta operación es un diagrama de las trazas de la malla gráfica sobre la superficie! $a figura incluye el sistema de coordenadas de referencia en la esquina inferior izquierda! l presionar las teclas direccionales (b Z[) uno puede cambiar la orientación de la superficie! $a orientación del sistema de coordenadas de referencia también se cambia al moverse el punto de vista de la superficie! $as siguientes figuras muestran dos vistas de la superficie definida anteriormente!
Para finalizar, presiónese la tecla LE#%! Presiónese L) AN)/ para regresar al ambiente P$78 E:HJ7E! ámbiese la información siguiente% te! Ine!" 2 De!n" 10
Presiónese LE!A$E L(!A: para dibu#ar la superficie nu evamente!
Para finalizar, presiónese la tecla LE#%! Presiónese L) AN)/ para regresar al ambiente P$78 E:HJ7E! Presiónese K, o /LLL&;LLL, para recuperar la pantalla normal! Fe aqu otro e#ercicio del tipo de gráfica -ast 1D, z N f(*,y) N sin (*.Ry.) Presiónese T¢, simultáneamente si se usa el modo -PH, para acceder al ambiente P$78 '"8UP! Presiónese [ y escrbase la función ':H(K.RO.)Q LLL&;LLL! Presiónese LE!A$E L(!A: para dibu#ar la superficie! Presiónese LE#% L) AN)/ para regresar a la forma P$78 E:HJ7E! Presiónese K, o /LLL&;LLL, para regresar a la pantalla normal!
-eferencia :nformación adicional sobre las gráficas se puede encontrar en los aptulos 4. y .. de la gua del usuario!
aptulo 44 plicaciones álculo
en
el
"ste aptulo discute las aplicaciones de la calculadora a operaciones relacionadas al cálculo diferencial e integral, es decir, lmites, derivadas, integrales, series de potencias, etc!
"l men& (álculo)
$
$a mayora de las funciones utilizadas en este aptulo se presentan en el men& $ de la calculadora! "ste men& está a través de la secuencia de teclado T¦ disponible (asociada con la tecla J)%
$as primeras cuatro opciones en este men& son en realidad sub6 men&s que se aplican a (4) derivadas e integrales, (.) lmites y series de potencias, (/) ecuaciones diferenciales, y (9) gráficas! $as funciones en las opciones (4) y (.) se presentan en este aptulo! $as funciones J"-GK e :H8GK se discuten en más detalle en las página 446/, respecti vamente!
$mites derivadas
y
"l cálculo diferencial se orienta principalmente al estudio de las derivadas de funciones y a sus aplicaciones en el análisis matemático! $a derivada de una función se define como el lmite de la diferencia de la función a medida que el incremento en la variable independiente tiende a cero! $os lmites se utilizan as mismo para verificar la continuidad de las funciones!
$a lim
función
$a calculadora provee la función lm para calcular lmites de funciones! "sta función utiliza como argumento una e*presión que representa una función y el valor de la variable independiente donde se evaluará el lmite! $a función lm se obtiene a través del catálogo de funciones de la calculadora (\NWTl ) o, a través de la opción .! $:+:8' ~ '"-:"' del men& $, que se presentó anteriormente!
Página 4464
oIp=IOa $a función lm se escribe en modo $I como limf
para calcular elIm almite lim f I ! "n modo -PH, escrbase primero la función, seguida de la e*presión *NaQ, y actvese finalmente la función lm! lgunos e#emplos en modo $I se presentan a continuación, inclu yendo algunos lmites al infinito! "l smbolo del infinito se asocia con la tecla 0, es decir, Te!
Para calcular lmites unilaterales, a2ada R? ó 6? al valor a la variable! Un 0R?1 significa lmite desde la derecha, mientras que un 06?1 significa seg&n se lmite desde la izquierda! Por e#emplo, el . U lmite de 4
acerca . a 4 desde la izquierda puede determinarse teclenado (modo $I)% \NWTl[ K&;K !S`N
1bLNL“1M0
-esul tado %
$as funciones J"-:G y J"-GK $a función J"-:G se utiliza para calcular derivadas de cualquier variable independiente, mientras que la función J"-GK calcula derivadas con respecto a la variable independiente definida por el ' (usualmente definida por KQ)! +ientras la función J"-GK se encuentra disponible directamente en el men& $, ambas funcione se encuentran disponibles en el sub6men& J"-:G!~:H8"I dentro del men& $ ( T¦)! $a función J"-:G requiere una función, por e#emplo f(t), y una variable independiente, t, mientras que la función J"-GK requiere solamente una función de la variable GK! lgunos e#emplos en modo $I se presentan a continuación! -ecuérdese que en el modo -PH los argumentos de la función deben listarse antes de aplicar la función!
e
nti6derivadas integrales
Una anti6derivada de la función f(*) es la función >(*) tal que f(*) N d>Md*! Una anti6derivada se puede representar como una integral indefinida, es decir,
f IdI N F I R ) si y tasólo nte! si, f(*) N d>Md*, y N cons
$as funciones :H8, :H8GK, -:'F, ':I+ y ':I+GK $a calculadora provee las funciones :H8, :H8GK, -:'F, $as y ':I+GK para calcular anti6derivadas! ':I+
funciones :H8, -:'F, y ':I+ operan con funciones de cualquier variable, mientras que las funciones :H8GK y ':I+GK utilizan funciones de la variable ' GK (usualmente, KQ)! $as funciones :H8 y -:'F requieren, por lo tanto, no solamente la e*presión de la función a integrar, sino también el nombre de la variable independiente! $a función :H8 requiere también el valor de * donde se evaluará la integral! $as funciones :H8GK y ':I+GK requieren solamente la e*presión de la función a integrarse en términos de la variable GK! $a función :H8 requiere también el valor de * donde se
Página 446
evaluará la integral! $as funciones :H8GK y ':I+GK requieren solamente la e*presión de la función a integrarse en términos de la variable GK! $as functions :H8GK, -:'F, ':I+ y ':I+GK se localizan el men& $M J"-:G~:H8"I, mientras que :H8 está disponible en el catálogo de funciones! lgunos e#emplos en modo $I se presentan a continuación (escriba el nombre de la función para activarla)%
Hótese que las funciones ':I+GK y ':I+ están dise2adas a operar en integrandos que incluyen ciertas funciones de n&meros enteros como la función factorial (Š) como se indica en un e#emplo anterior! "l resultado representa la llamada derivada discreta, es decir, una derivada definida para n&meros enteros solamente!
:ntegrales de@nidas "n la integral definida de una función, la antiderivada que resulta se eval&a en los lmites superior e inferior de un intervalo (a,b), y los valores evaluados se sustraen! 'imbólicamente esto se indica como%
a
f IdI N F F a= donde f(*) N d>Md*!
$a función P-"G$(f(*),a,b) del ' puede simplificar dicho cálculo retornando f(b) 6f(a), donde * es la variable GK del '!
'eries in@nitas Una función f(*) se puede e*pandir en una serie infinita alrededor de un punto *N*? usando una serie de 8aylor, es decir, n
f I N f
ž
Io
SII n
nN0
nS
o
en la cual f (n)(*) representa la n6sima derivada de f(*) con respecto a *, y f (?)(*) N f(*)! 'i *? N ?, la serie se denomina una serie de +aclaurin!
$as funciones 8O$-, 8O$-?, y '"-:"' $as funciones 8O$-, 8O$-?, y '"-:"' se utilizan para generar polinomios de 8aylor, as como series 8aylor con residuos! "stas funciones se encuentran disponibles en el men& $M$:+:8'~'"-:"' descrito anteriormente! $a función 8O$7-? produce una serie de +aclaurin, es decir, alrededor de K N ?, de une e*presión de la variable ' GK (usualmente KQ)! $a e*pansión utiliza una potencia relativa del 9to orden, es decir, la diferencia entre las má*ima y mnima potencias en la e*pansión es 9! Por e#emplo,
$a función 8O$- produce una serie de 8aylor de una función f(*) de cualquier variable * alrededor del punto * N a de orden C especificado por el usuario! $a función sigue el formato 8 O$-(f(*6a),*,C)! Por e#emplo,
$a función '"-:"' produce un polinomio de 8aylor utilizando como argumentos la función f(*) a e*pandirse, el nombre de
una variable
solamente (para series de +aclaurin) o una e*presión de la forma variable N valorQ que indica el punto de e*pansión de una serie de 8aylor, y el orden de la serie a producirse! $a función '"-:"' produce dos resultados, una lista de cuatro elementos, y una e*presión de la forma h N * 6 a, si el segundo argumento de la función es *NaQ, es decir, una e*presión del incremento h! $a lista en el primer resultado incluye los siguientes elementos% 4 6 "l lmite bi6direccional de la función en el punto de e*pansión,
lim f I *a . 6 "l valor equivalente de la función cerca del valor
*Na / 6 $a e*presión del polinomio de 8aylor 9 6 "l orden del residuo del polinomio de 8aylor Jebido a la cantidad de resultados, esta función se puede observar más fácilmente en el modo -PH! Por e#emplo, las siguientes ilu straciones muestran la pantalla -PH antes de usar la función 8O$-, como se ha indicado anteriormente%
Para generar este e#emplo en particular deberá teclear% WSscSn2^ $WSscCS¦[K&;K [[[[K&;K
-eferenci a Jefiniciones y aplicaciones adicionales de las operaciones del cálculo se presentan en el aptulo 4/ en la gua del usuario!
aptulo 4. plicaciones +ultivariado
en
el
álculo
"l cálculo multivariado se aplica a funciones de dos o más variables! "n este aptulo se discuten los conceptos básicos conceptos del cálculo multivariado% derivadas parciales e integrales m<iples!
Jerivadas parciales Para calcular derivadas parciales de funciones multivariadas, &sense las reglas de las derivadas ordinarias con respecto a la variable de interés, mientras se consideran las demás variables como constantes! Por e#emplo,
‹
‹ (I cos ) N cos (I cos ) N U I sin ‹
= ‹I Uno puede utilizar las funciones de derivadas de la calculadora% J"-GK, J"-:G, ‹, descritas en el aptulo 44 de este manual, para calcular derivadas (J"-GK utiliza la variable ' GK, usualmente, parciales KQ)! lgunos e#emplos de derivadas parciales del primer orden se muestran a continuación! $as funciones utilizadas en los primeros dos e#emplos son f(*,y) N * cos(y), y g(*,y,z) N (*.Ry.)4M.sin(z)!
Página 4.64
Para definir las funciones f(*,y) y g(*,y,z), en modo $I, use%
J">(f(*,y)N*7'(y)) J">(g(*,y,z)N[(*.Ry.)':H(z) •
•
Para escribir el smbolo de derivadas, use \ derivada
‹
§!$a
f I= , por e#emplo, se escribe como ‹*(f(*,y)) c
en la
pantalla
‹I
en $I!
modo
:ntegrales m<iples $a interpretación fsica de la integral doble de una función f(*,y) sobre una región - en el plano *6y es el volumen del sólido superficie f(*,y) f(*,y) encima de la región región -! $a contenido ba#o la superficie región - puede describirse como - N |a*b, f(*)yg(*)}, o como - N r(y) r(y)*s *s(y (y)} )}!! $a integral doble |cvyd , correspondiente se puede escribir como sigue% g I
d s
ΠI= dA N ΠI= ddI N !
a f I
c
ΠI= ddI r
$a eval evalua uaci ción ón de una integral doble en la calculadora es relativame amente simple! Una integral doble puede escribirse en el escritor de ecuaciones (véase el e#emplo en el aptulo . de la gua del usuario), usuario), como como se muestra muestra a continuación! "sta integral doble puede calcularse directamente en el escritor de ecuacion ecuaciones es al seleccion seleccionar ar la e*presión e*presión completa y utilizar la función LE8A/! "l resultado es /M.!
-eferenci a
Jetalles adicionales de las operaciones del cálculo multivariado y sus aplicaciones se presentan en el aptulo 49 de la gua del usuario!
aptulo 4/ plicaciones en nálisis Gectorial "ste captulo describe el uso de las funciones F"'', J:G, y U-$ utilizadas en operaciones del análisis vectorial!
"l operador delQ "l operador que se muestra a continuación, llamado el operador delQ o nablaQ, es un operador vectorial que puede aplicarse a una función escalar o vectorial%
•t
S
u
Ni
‹
‹ ‹ t u R { t u R D S t u ‹x ‹
S ‹I
uando este operador se aplica a una función escalar se obtiene el gradiente de la función, y cuando se aplica a una función vectorial se puede obtener obtener la divergenci divergencia a y el rotacional (curl) de la función! $a combinación del gradiente y la divergencia producen el $aplaciano de una función escalar!
Iradient e "l gradiente de una función escalar Œ(*,y,z) es la función vectorial definida com gradŒ N •Œ •Œ ! $a función F"'' puede utilizarse para o obtener el gradiente de una función! $a función F"'' toma como argumentos una función de n variables independientes, Œ(*4, *., ,*n), y un vector de las variables *4Q * .QQ*nQ! $a función F"'' produce la matriz F essiana de *"sta la lame#or función *. ‹*4visualiza respecto ‹ŒMse ‹ŒM‹de ‹Œ con a"las nh f Nel gradiente M‹*en variables delafunción Q,,Q* Q!M‹grad y lista Œ,* i# N n‹Œ i‹* #,función n, 4Q,N * .variables, el modo -PH! 8óm 8ómes ese e como e#emplo la función Œ(K,O,L) N K. R KO R KL! $a aplicación de la función F"'' produce el resultado siguiente ($a figura Página 4/64
muestra la pantalla antes y después de aplicar la función F"'' en
modo -PH)%
"l gradiente que resulta es .KRORL, K, K! $a función J"-:G puede utilizarse para calcular el gradiente de la forma sigui siguiente%
Jivergencia f(*,y,z)i $a divergencia de una función vectorial, (*,y,z) N f(*,y,z)i
Rg(*,y,z) Rh(*,y,z)0 , se define como el producto escalar (o producto punto) del operador 0del1 con la diF N F ! $a función J:G se función, utiliza para calcular la divergencia de una función vectorial en la calculadora! Por e#emplo, para la función (K,O,L) N KO,K.RO.RL.,OL, se calcula la divergencia, en modo $I, OL, .ROg.R g. R Lg ., OL como se muestra a continuación% J:G(Kf O,K.RO K,O,L)
-otacional (url) "l de un cam campo po o func funció ión n vectorial rotacional (*,y,z) N f(*,y,z)i f(*,y,z)iRg(*,y,z) -Rh(*,y,z) -Rh(*,y,z)0 0 , se def define como el producto vectorial (o producto cruz) del operador delQ con el campo vectorial, curlF N
^ F !
"l rotacional U-$! Por de un campo vectorial se calcula con la función e#emplo, para la función (K,O,L) N KO,K.RO.RL.,OL, se calcula el de la forma siguiente% rotacional OL ,K,O,L) U-$ (KO,Kg .RO .ROg.R Lg ., OL
-eferenci a Para mayor información sobre aplicaciones de la calculadora en el análisis vectorial, cons<ese el aptulo 4; en la gua del usuario!
aptulo 49 $as ecuaciones dif erenciales "n este aptulo se presentan e#emplos de la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias ("J7) utilizando funciones de la calculadora! Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de la variable independiente! "n la mayora de los casos, se busca una función dependiente que satisface la ecuación diferencial!
"l $MJ:>>
men&
"l sub6men& J:>>"-"H8:$ "DH'!! dentro del men& $ (T¦) provee funciones para la solución de las ecuaciones diferenciales! "l men& $MJ:>> que resulta cuando la opción F77'" bo*es se selecciona para la se2al de sistema 44= es el siguiente%
"stas funciones se describen brevemente a continuación! $as funciones se describen en forma detallada más adelante en este aptulo! >unción para resolver ecuaciones diferenciales, J"'7$G"% de ser posible :$P% 8ransformada inversa de $aplace, $64>(s) N f(t) $P% 8ransformada de $aplace, $f(t)N>(s) $J"% >unción para resolver ecuaciones diferenciales lineales
'olución de las ecuaciones lineales y no lineales Página 4964
Una ecuación en la cual la variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado se conoce como una ecuación di ferencial lineal! Je no ser as, la ecuación se dice que es no lineal!
$a
función
$J" $a calculadora provee la función $J" para determinar la solución general de una "J7 lineal de cualquier orden con coeficientes constantes,
a sea ue la E(& es -omogznea o no, Esta función reuiere dos argumentos ¨ El lado derec-o de la E(& ¨ /a ecuación caracterstica de la E(& Estos dos argumentos deerás escr iir se en tzrminos de la ariale del )A$ usualmente , El r esultado de la función es la solución general de la E(&, /os e {emplos mostrados a continuación se e{ecutan en el modo !PN* E {emplo 1 } !esuzlase la E(& -omogznea dB ^dI B JSd2 ^dI 2 p11Sd^dIMB0S O 0, Escrase*
0cP•BJ]•211]M B0P c /(E) i /a solución es esta figura se construó a partir de figuras del escritor de ecuaciones= E:*
en la cual c)0= c)1= c)2 son constantes de integración, Este r esultado es euialente a* O ;1Se }BI M ;2Se5I M ;BSe2I , E {emplo 2 } 'tilixando la función /(E)= resuzlase la E(& no -omogznea* dB ^dIB JSd 2 ^dI 2 p11 Sd^dIMB0S O I2, Escrase* P2PcP•BJ]211]MB0Pc/(E)i /a solución es*
la cual es euialente a O ;1Se }BI M ;2Se5I M ;BSe2I M J50 SI 2MBB0 SIM2J1^1B500,
Página 1J2
$a
función
J"'7$G" $a calculadora provee la función J"'7$G" para resolver cierto tipo de ecuaciones diferenciales! $a función requiere como argumentos la ecuación diferencial y el nombre de la función incógnita! $a función J"'7$G" produce la solución a la ecuación diferencial, de ser posible! Uno puede también proveer como primer argumento de la función J"'7$G" un vector que contenga la ecuación diferencial y las condiciones iniciales del problema, en vez de proveer solamente una ecuación diferencial! $a función J"'7$G" está disponible en el men& $MJ:> >! "#emplos de aplicaciones de la función J"'7$G" se muestran a continuación utilizando el modo -PH! "#emplo 4 -esuélvase la "J7 de primer
orden%
dyMd* R * Sy(*) N
.
;!
"scrbase calculadora%
en
la
Pd1o IMI•2]oIpO5P c
PAoIP c
(E$&/8E
$a solución proveda es |Py(*) N (:H 8(;f"KP(*t/M/),*t,*)R c?)4M" KP(*/M/)}Q }, es decir, 7 ( . ) N ; S
e*p( U . /
M
/) S (
M
/) S d. R C ? )!
e*p( . /
variable $a 7J "8 OP" Hótese la e*istencia de una nueva variable denominada L&( E% (7J"8OP")! "sta variable se produce al utilizar la función y contiene una cadena de caracteres que J"'7$G" identifican el tipo de "J7 utilizada como argumento de la función J"'7$G"! Presiónese la tecla de men& L&(E%0 para obtener el te*to 01st o)e) &nea) 1 (lineal de primer orden)!
"#emplo . -esuélvase la siguiente ecuación su#eta a condiciones iniciales! $a ecuación es d.yMdt. R ;y N . cos(tM.), su#eta a las condiciones y(?) N 4!., yQ(?) N 6?!;! "n la calculadora, utilcese d4d4y(t)R;y(t) N .7'(tM.)Q y(?) N
"
Página 496
Hótese que las condiciones iniciales se definen con valores e*actos, es decir, y(?) N
Presiónese ii para simplificar el resultado! LE(#% para obtener% y(t) N 6((4B[;' :H([;t) 6(49Af7'([;ft)
Use [
RA?7'(tM.)))M4B?)Q!
Presiónese cc st oe$$1
L&(E%
para obtener el te*to 0#&nea)
/
(lineal, con coeficientes constantes) para el tipo de "J7
en este caso !
8ransformadas $aplace
de
$a transformada de $aplace de una función f(t) produce una función >(s) in el dominio imagen que puede utilizarse para encontrar, a través de métodos algebraicos, la solución de una ecuación diferencial lineal que involucra a la función f(t)! $os pasos necesarios para este tipo de solución son los siguientes% (4) Utilizando la transformada de $aplace se convierte la "J7 lineal que involucra a f(t) a una ecuación algebraica equivalente! (.) $a incógnita de esta ecuación algebraica, >(s), se despe#a en el dominio imagen a través de la manipulación algebraica! (/) 'e utiliza una transformada inversa de $aplace para convertir la función imagen obtenida en el paso anterior a la solución de la ecuación diferencial que involucra a f(t)!
8ransformadas de $aplace y sus inversas en la calculadora $a calculadora provee las funciones $P y :$P para calcular transformadas de $aplace y transformadas inversas de $aplace, respectivamente, de una función f(GK), en la cual GK es la variable independiente del ' (usualmente KQ)! $a calculadora produce la transformada de $aplace o la inversa como una la función de K! $as funciones $P y :$P se encuentran disponibles en el men& $MJ:> >! $os e#emplos siguientes se presentan en modo -PH! 'u conversión a modo $I es relativamente simple! "#emplo 4 Para obtener la definición de la transformada de $aplace en la calculadora utilcense las siguientes instrucciones% $a f oQc /AP en modo -PH, o /AP oFom odo $I! calculadora produce los resultados siguientes (modo -PH, a
la izquierda_ modo $I, a la derecha)%
ompare estas e*presiones con la definición siguiente%
/|f t }N F s N 0
f t S e st dt =
Hótese que en la definición de la calculadora la variable ', K, en la pantalla reemplaza a la variable s in esta definición! Por lo tanto, cuando se utiliza la función $P se obtiene una función de K que representa la transformada de $aplace de f(K)! " #emplo . Jetermnese la transformada inversa de $aplace de la función >(s) N4M(sR4).! Utilcese% 4M(KR4).Q c :$P
"l resultado es KSe6KQ, que se interpreta como $ 64|4M (sR4).} N tSe6t!
'eries de >ourier Una serie comple#a de >ourier se define por la e*presión R
f (t)
en la cual
c ž eIp
n
S
2in t
%
=
nN N
N cdt= n
%
2S i SnS S t S
f t S eIp
0
$a >7U-:"-
%
n N =,,,=U2=U1=0=1=2=,,,,
función
$a función >7U-:"- provee los coeficientes cn de la forma comple#a de la serie de >ourier dada la función f(t) y el valor de n! $a función >7U-:"- requiere que el valor del perodo, 8, de la función 86periódica, se almacene en la variable ' denominada P"-:7J antes de activar la función >7U-:"-! $a función >7U-:"- está disponible en el sub6men& J"-:G dentro del men& $ (T¦)!
'erie de >ourier para una función cuadrática Jetermnense los coeficientes c?, c4, y c. para la función g(t) N (t 6 4).R(t64), con perodo 8 N .! Utilizando la calculadora en modo $I, se definen las funciones f(t) y g(t) muestra se a como continuación%
continuación, se selecciona el sub6directorio 'J:- ba#o el directorio F7+" para cambiar el valor de la variable P"-:7J% (mantener presionada) c L)A$(# c2; T LPE!#&( c
'elecciónese nuevamente el sub6directorio donde se definieron las funciones f y g, y calc&lense los coeficientes! 'elecciónese el modo omple* para el ' (véase el aptulo .) antes de e#ecutar el e#ercicio! $a función 7$$"8 se encuentra disponible en el men& $I (\~)!
"n este caso,
c? N 4M/, c4 N (SiR.) M , c. N (SiR4)M
.
(. )!
.
$a serie dede>ourier para este case se escribe, utilizando tres elementos, la forma siguiente%
g(t) Ž -e(4M/) R (SiR.)M.Se*p(iSSt)R (SiR4)M
-eferenci a
(..)Se*p(.SiSSt)!
Para ver definiciones adicionales, aplicaciones, y e#ercicios en la solución de las ecuaciones diferenciales, utilizando transformadas de $aplace, y series y transformadas de >ourier, as como métodos numéricos y gráficos, véase el aptulo 4< en la gua del usuario de la calculadora!
aptulo 4; Jistribuciones probabilidad
de
"n este aptulo se proveen e#emplos de aplicaciones de las distribuciones de probabilidad predefinidas en la calculadora!
"l sub6men& +8FMP-7:$:8O!! parte 4
6
"l sub6men& +8FMP-7:$ :8 O!! es accesible a través de la secuencia de teclas TU! Fabiendo seleccionado la opción 1F77'" bo*es1 para se2al de sistema n&mero 44=, el men& P-7:$ :8 O!! presenta las siguientes funciones%
"n esta sección se discuten las funciones 7+, P"-+, Š (f actorial), -HJ, y -JL!
>actoriales, permutaciones
combinaciones,
y
"l factorial de un n&mero entero n se define como% nŠ N nS (n6 4) S (n6
.)/S.S4! 'e adopta la convención de que, ?Š N 4!
se utilizan en el cálculo del n&mero $os factorialesy permutaciones combinaciones de ob#etos y elementos! Por e#emplo, el n&mero de permutaciones de r elementos tomados de una colección de n elementos distintos se calcula como
P N nn U 1n U 1,,,n
n r
r R 1 N nS ^n U r S
s mismo, el n&mero de combinaciones de r elementos de una colección de n elementos distintos se calcula como%
TY n ZV N nn U 1n U 2,,,n U r R N nS rSn U r S r
W X
1
r S
"n la calculadora se pueden calcular combinaciones, permutaciones, y factoriales utilizando las funciones 7+, P"-+, y Š localizadas en el
Página 4;64
sub6men&
+8FMP-7:$ :8 O!!!
$a
operación de
estas
funciones se describe a continuación% 7+(n,r)% ombinaciones de n elementos tomados de r en r P"-+(n,r)% Permutaciones de n elementos tomados de r en r nŠ% >actorial de un n&mero entero positivo! uando * no es entero, *Š alcula la función (*R4), en la cual (*) es la función Iamma
(véase el aptulo la /)! "l smbolo del factorial (Š) se puede obtener usando secuencia de teclas W\2! lgunos e#emplos de aplicación de estas funciones se muestran a continuación%
H&meros aleatorios $a calculadora posee un generador de n&meros aleatorios que produce un n&mero real uniformemente distribuido entre ? y 4! Para generar un n&mero aleatorio, utilcese la función -HJ (0-HJom1 es 0aleatorio1 en inglés) en el sub6men& +8FMP-7:$ :8 O! $a siguiente figure m uestr a varios n&meros aleatorios producidos con la función -HJ!
adicionales sobre n&meros aleatorios en la Jetalles calculadora se proveen en el aptulo 4= de la gua del usuario! "specficamente el uso de la función -JL para recomenzar listas de n&meros aleatorios se presenta en detalle en el captulo 4= de la gua del usuario!
"l sub6men& +8FMP-7:$:8O!! parte .
6
"n esta sección se presentan cuatro distribuciones de probabilidades que se utilizan regularmente para resolver problemas relacionados a la inferencia estadstica, a saber% la distribución normal, la distribución de 'tudent, la distribución de hi cuadrada ( ), y la distribución
.
>! $as en la calculadora para evaluar funciones disponibles en probabilidades estas distribuciones son HJ:'8, U8PH, U8P8, U8P, y U8P>! "stas funciones están disponibles in el men& +8FMP-7:$:8O presentado anteriormente! Para obtener estas funciones actvese el men& +8F (TU) y selecciónese la opción P-7:$ :8 O%
distribución $a normal $as funciones HJ:'8 y U8PH están relacionadas con la distribución normal (o de Iauss) con media y
varianza ‘ ! . calcular oelfdp,valor Para probabilidades, f(*),
para
la
de la función de densidad de
distribución
HJ:'8(,‘ ,*)! Por . e#emplo, verifquese normal,
normal,
utilcese
la
función
que para una distribución HJ:'8(4!?,?!;,.!?) N ?!.?=;;/=9! $a función HJ:'8 es &til si se desea graficar la fdp de la distribución normal! Página 4;6/
calculadora as mismo provee la función U8PH para calcular la probabilidad del e*tremo superior de la distribución normal, es decir, U8PH(,‘., *) N P(K`*) N 4 6 P(K*), en la cual P() $a
representa una probabilidad! Por e#emplo, verifquese que para una distribución normal,
con parámetros N 4!?, ‘. N ?!;, U8PH(4!?,?!;,?!=;) N ?!
$a distribución 'tudent $a distribución
de
de 'tudent6t, o distribución
t, posee un solo
parámetro ’, que se conoce como 0los grados de libertad1 $a distribución!
de la e*tremo superior de la
calculadora provee valores del función de distribución cumulativa, utilizando la función U8P8, dados los valores de ’ y t, es decir, U8P8(’,t) N P(8`t) N 46P(8t)! U8P8(;,.!;) N .!=.9;"6 .!
$a distribución cuadrada
Por e#emplo,
hi
$a distribución hi cuadrada (.) posee un solo parámetro ’,
que se conoce como 0los grados de libertad1 de la distribución! $a calculadora provee valores del e*tremo superior de la función de distribución cumulativa, función utilizando lafunción U8P, dados los valores NdeP(K`*) ’ y esta definición *!4 $6 aP(K*)! de la U8P(’,*) N siguiente% e#emplo, U8P(;, Por .!;)es N ?!==<9B;
$a distribución > requiere . parámetros grados de libertad $a $a de del distribución de libertad deldeNdenominador! numerador, provee valoresy> ’J delN grados e*tremo superior’H la función calculadora distribución función U8P>, parámetros dados los ’H Ny cumulativa, ’J, y el `>) valor de esta es $aladefinición función U8P>(’H,’J,>) N P(“ 4 >!6 P(“ Por .!;) N de >)! e#emplo, U8P>(4?,;, =utilizando ?!4<4A/9
-eferenci a
"l aptulo 4= en la gua del usuario presenta información adicional sobre estas distribuciones y otras distribuciones de probabilidades!
aptulo 4< plicaciones "stadsticas $a calculadora provee las siguientes opciones de cálculos estad sticos accesibles a través de la combinación de teclas \© (la tecla 5)%
"ntrada datos
de
$as operaciones numeradas 4, ., y 9 en la lista anterior requieren que los datos a operarse estén disponibles como columnas de la
matriz J8! Una manera de llevar esto a cabo es teclear los datos en columna s utilizando el escritor de matrices, T‘, y posteriormente utilizando la función '87 para almacenar la matriz en la variable J8! Por e#emplo, escrbanse los siguientes datos usando el escritor de matrices (véanse los aptulos A ó B en esta gua), y almacénense los datos en J8 % .!4 4!. /!4 9!; .!/ .!;! 4!4 .!/ 4!; 4!< .!. 4!. $a pantalla en este e#ercicio lucirá como se muestra a continu ación%
Hótese la e*istencia de la variable Lª(A% en la lista de las teclas del men&! Una manera más simple de entrar datos estadsticos es lanzar la aplicación de estadstica (como por e#emplo Single-var , Frequencies o Summary st at s, consulte la ilustración anterior) y presione XE(#%X! "sto lanzará el escritor de matrices! "ntre los datos como lo ha hecho anteriormente! "n este caso, cuando salga del escritor de
matrices,
los
datos
entrados
automáticamente en J8!
Página 4<64
se
guardarán
álculos estadsticos para una sola variable Jespués de almacenar los datos en la variable J8, presiónese \©
para seleccionar la opción ). Single1var.. variable)! $a calculadora provee la siguiente forma interactiva% LLL&;LL
(una
sola
$a muestra los (la enpara J8, indica que la datos variable haensido J8 columna 4interactiva contiene una caso)! lasseleccionada seleccionar las Utilcense teclas direccionales solaforma este columna dif erentes L opciones en la forma interactiva! Presiónese la tecla para seleccionar las medidas estadsticas que se desean (+ean +edia, 'tandard Jeviation Jesviación "stándar, Gariance Garianza, 8otal number of data points n&mero de datos, +a*imum valor má*imo y +inimum valor mnimo)! Una vez finalizada la selección, presiónese la tecla LLL&;LL! $as medidas estadsticas seleccionadas serán listadas en la pantalla, con la identificación apropiada! Por e#emplo%
+uestra población
vs!
$as funciones para estadsticas de una sola variable que se presentaron anteriormente pueden aplicarse a una población finita al seleccionar la opción T!e" Po!4at&on en la forma interactiva titulada IN#E- 67%I78#E T7TITI9 ! $as diferencias principales entre estadsti cas de una muestra y de una
población son los valores de la varianza y de la desviación estándar, los cuales se calculan usando n en el denominador de la varianza en lugar de (n64)! "n el e#emplo anterior, utilcese la tecla L)H&&$ (escoger) para seleccionar la opción 8ype% Population y re6 calcular las medidas estadsticas%
álculo de frecuencias
distribuciones
de
$a operación 2. requencies.. en el men& '88 puede utilizarse para obtener la distribución de frecuencias de una colección de datos! $os datos deben e*istir en la forma de un vector columna almacenado en la variable J8! Para empezar la operación, presiónese \©[ LLL&;LLL! $a forma interactiva que resulta contiene las siguientes
opciones% 3A!:
interés Col: escrutinio 41Min: utilizarse en la
matriz que contiene los datos de columna de J8 ba#o
valor mnimo del lmite de clase a
distribución de frecuencias (valor básico N 6
la
Jada una colección de datos% |*4, *., , *n} listados sin atención al orden de los valores, se pueden agrupar estos datos en clases, o recipientes (bins), al contar la frecuencia o n&mero de valores que corresponden a cada clase! $a
operación 2. requencies.. en el men& '88 efect&a esta evaluación de frecuencias, y lleva cuenta de aquellos valores menores que el lmite mnimo y mayores que el lmite má*imo de las clases! "stos <imos se refieren, en inglés, con el término outl iers! omo e#ercicio, genérese una colección de datos, por e#emplo, unos .?? valores, usando la función -H+(|.??,4})! lmacénese el resultado en la variable J8, utilizando la función '87 (véase el e#emplo anterior)! continuación, una sola
obténganse la
información estadstica
para
Página 4<69
variable utilizando la secuencia de teclas% \© LLL&;LLL! resultados son los siguientes%
$os
"sta información indica que los datos se e*tienden entre los valores de 6B a B! Para producir la distribución de frecuencias utilizaremos el intervalo (6 A,A) que se dividirá en A clases, cada una con una longitud igual a .! 'elecciónese la opción 2. requencies.. utilizando \©[LLL&;LLL! $os datos se encuentran ya almacenados en la tener y la J8 opción ol deberá el valor asignado, dado queJ8, lalos columna! matriz K6+in 6A, sola ámbiense valores variable de posee auna in a A, y4 in ount Eidth a ., y después presiónese la tecla LLL&;LLL! uando se utiliza el modo -PH, los resultados de la distribución de frecuencias se muestran como un vector columna en el nivel . de la pantalla, y como un vector fila de dos componentes en el nivel 4! "l vector en el nivel 4 representa el n&mero de valores e*tremos (outliers) localizados fuera del intervalo usado para definir las clases, es decir, fuera del intervalo (6A,A)! Para el presente e#emplo, el autor obtuvo los valores 49! A!, lo que indica la e*istencia de 49 valores menores que 6A y A valores mayores que A! en el vector J8
vector! Presiónese en el para remover el vector en el nivel 4! "l resultado nivel 4 es el conteo de frecuencias en los datos en J8! $as para esta distribución de frecuencias son las siguientes% 6A a clases 6<, 6< a 6 9, , 9 a <, y < a A, es decir, A clases, con conteos de frecuencias correspondientes, para este e#emplo, de% ./, .., .., 4=, .<, 4;, .?, //!
"ste resultado implica que hay ./ valores en la clase 6A,6<, .. en 6< ,6 9,
.. en 6 9,6., 4= en 6.,?, .< en ?,., 4; en .,9, .? en 9,<, y // en <,A! Uno puede verificar que al sumar estas
frecuencias #unto con los valores e*tremos indicados anteriormente, 49 y A, se obtiene el n&mero total de datos en la muestra, es decir, .??!
#ustando datos a la función y N f(*) $a opción 6. it data.., disponible en el men& '88, puede utilizarse para a#ustar funciones de tipo lineal, logartmico, e*ponencial, y de potencia a una colección de datos (*,y), almacenados en la matriz J8! Para esta opción se necesitan al menos dos columnas de datosutilizar en la variable J8! Por e#emplo, para a#ustar una relación lineal a los siguientes datos% * ? 4 . / 9 ;
y ?!; .!/ /!<
de la J8 lmacénense datos en el escritor de6. ycolumnas la función '87! matrices, utilizando Para activar la los opción it las data.., lasmatriz utilcense siguientes teclas% \©[[ LLL&;LLL $a forma interactiva mostrará la matriz J 8,
ya e*istente! Je ser necesario, la f orm acámbiense los valores en interactiva de manera que luzca como se muestra a continuación%
Para efectuar el a#uste de datos a la función LL&;LL! "l resultado de esta función, que se muestra a continuación para este e#emplo en particular, consiste de las siguientes tres lneas en modo -PH% 3" :.1;523;523 + 2.5<2=25<*X: 2" 9o))eat&on" .;3<1=2==05
1" 9o>a)&ane" <.3
"l nivel / muestra la forma de la ecuación resultante! "l nivel . muestra el coeficiente de correlación de la muestra, y el nivel 4 muestra la co 6
varianza de *6y! $as definiciones de estos parámetros se presentan en el aptulo 4A de la gua del usuario! "#emplos e información adicionales en lo que se refiere al a#uste de datos a funciones se presentan as mismo en el aptulo 4A de la gua del usuario!
+edidas adicionales
estadsticas
$a función 7. Summar8 stats.. en el men& '88 puede utilizarse en el cálculo de medidas estadsticas adicionales de la muestra! Para comenzar, presiónense las teclas \© una vez más, selecciónese la cuarta opción en la lista utilizando a tecla direccional vertical [, y presiónese LLL&;LLL! $a forma interactiva que resulta contiene las siguientes opciones% 3A!: la matriz con los datos de
interés! 41Col9 la matrizY1Col: estas opciones se aplican en el caso de que J8 tenga más de dos columnas! "n principio, la columna columna* es la columna 4, y la columna y es la
.! 'i e*iste solamente una columna, la &nica opción posible es 41Col: )! 4 Y;: medidas estadsticas que uno puede escoger como resultado de esta función al seleccionar las opciones en la deseadas presionando la tecla opción apropiada! "stas medidas estadsticas se utilizan para calcular estadsticas de las dos variables (*,y) que pueden estar relacionadas a un a#uste de datos a la función y N f(*)! $a presente función, por lo tanto, puede considerarse como complementaria a la función 6. it data.. que se presentó anteriormente! Por e#emplo, para los datos *6y data almacenados en la variable J8, se obtendrán manera% medidas estadsticas adicionales de la siguiente Para activar la opción summar8 stats;, utilcense las teclas%
\©[[[LLL&;LLL
'elecciónense los n&meros de las columnas en J8
correspondiente a *6y! "n el presente e#emplo selecciónese% K6ol% 4, y O6 los ol%datos .!
Utilizando la tecla estadsti cas,
selecciónense todas las medidas
disponibles en la forma 'U++-O '88:'8:', es decir, K, O, etc!
Presiónese LLL&;LLL para obtener los siguientes resultados%
:ntervalos de con@anza $a función <. Con= %nterval puede activarse al presionar las teclas \©ZLLL&;LLL! "sta función ofrece las siguientes opciones%
"stas opciones se interpretan como se muestra a continuación% 4! L6:H 8% 4 !% :ntervalo de confianza para la media de la
población, , cuando se conoce la varianza de la población, o, si ésta es desconocida, cuando la muestra es una muestra grande!
.!
confianza diferencia deson L6:H 8 % 4.!% 6 ., yapara poblaciones, medias dede dos :ntervalo sea la se conozcan 4desconocidas, que varianzas zlas utililas cuando an las poblaciones, o si éstas se de muestras grandes! /! L6:H8% 4 p!% :ntervalo de confianza para una proporción, p, para muestras grandes cuando la varianza de la población es desconocida! 9! L6:H8% p4 p.!% :ntervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones, p46p., para muestras grandes cuando las varianzas de
las poblaciones son desconocidas!
;! 86:H 8% 4 !%
:ntervalo de confianza para la media de la
población, , para una muestra peque2a cuando es la varianza de la población
desconocida!
de ⎯ * N ./!/, y la desviación estándar es s N ;!.! Utilcese un valor de N ?!?;!
"l nivel de confianza es N 46 N ?!B;!
'elecciónese presionar la la opción 4 del men& mostrado anteriormente al tecla LLL&;LLL! "scriba los datos conocidos en la forma interactiva titulada
7H>! :H8!% 4 , xH7EH s, como se muestra en la siguiente @gura%
Presiónese la tecla LHE/P para mostrar una pantalla que e*plica el significado del intervalo de confianza en términos de n&meros aleatorios generados por la calculadora! Para ver el resto de la pantalla e*plicativa, utilcese la tecla direccional vertical [! Presiónese LLL&;LLL para abandonar la pantalla e*plicativa y regresar a la forma interacti va mostrada anteriormente! Para calcular el intervalo de confianza, presiónese LLL&;LLL! $os resultados mostrados en la pantalla son los siguientes%
Presiónese la tecla L"!APH para ver una gráfica mostrando el intervalo de confianza calculado%
$a gráfica muestra la fdp (función de densidad de probabilidades) de la distribución normal estandarizada, la ubicación de los puntos crticos ”zM. , el valor medio (./!.) y los lmites del intervalo
correspondiente Presiónese la tecla L%E% para (.4!BA9.9 y .9!<4;=<)! regresar a la pantalla de resultados, yMo presiónese LLL&;LLL para abandona la función de intervalos de confianza! $os resultados de estos cálculos se mostrarán en la pantalla de la calculadora! "#emplos adicionales sobre intervalos de confianza se presentan en el aptulo 4A de la gua del usuario!
Prueba hipótesis
de
Una hipótesis es una declaración manifestada en relación a una población (por e#emplo, con respecto a la media)! "l aceptar, o no, la hipótesis se basa en una prueba estadstica de una muestra aleatoria e*trada de la población! $a acción y toma de decisión consecuente se denomina una prueba de hipótesis! $a calculadora ofrece procedimientos para la prueba de hipótesis ba#o la función 2* H 7 &ot %* tests** del men& '88, la cual puede activarse utilizando las teclas \©ZZLLL&;LLL! omo en el caso de los intervalos de confianza, la función de prueba de hipótesis ofrece las siguientes < opciones%
$a interpretación de estas opciones es similar a la de los intervalos de confianza%
6 est% 4 !% 4! L 8
Prueba de hipótesis para la muestra de la
población, , cuando se conoce la varianza de la población, o para muestras grandes cuando no se conoce la varianza de la población! Prueba 6 st% 4.!% diferencia .! medias lacuando delas las dos L 8e 46 ., para poblaciones, cuando de de dos se conocen varianzas dos de éstas poblaciones, desconocidas, olas si sonhipótesis se utilizan muestras grandes! 6 est% 4 p!% Prueba de hipótesis para una proporción, p, /! L 8 para muestras grandes cuando no se conoce la varianza de la población! 6 est% p4 p.% Prueba de Fipótesis para la diferencia 9! L 8
de dos proporciones, p46p., para muestras grandes cuando se desconocen las varianzas de las poblaciones! 6 est% 4 !% ;! 8 8 Prueba de hipótesis para la muestra de la población, , se desconoce la varianza de la población y la muestra cuando es peque2a!
el
siguiente
N 4?, " #e, musando pde lo 4 laJado 4;A, n N F;?, N 4;?, N nivel significado ?!?;,‘F4pruébese % con ? Nalterna, ˆ ⎯ % ! *laN hipótesis hipótesis ? ? ? Presiónese \©ZZLLL&;LLL para activar la opción de prueba de hipótesis! Presiónese LLL&;LLL para seleccionar la opción 4! L6
8est% 4 !
"scrbanse los datos siguientes y presiónese la tecla LLL&;LLL%
$a calculadora solicita una hipótesis alterna%
'elecciónese ˆ 4;?,
y presiónese la tecla
\\\7x\\\! "l resultado es%
N 4;?, Por la F?%zde a* favor tanto, rechazamos hipótesis 6A valor N hipó Nˆ 4!;9 4;?! "l la prueba es de z? la alterna tlo esis z4P%M.es ”F la prueba son ⎯ crticos ” rango al4? para de |49=!. 4!B;BB<9, que corresponden ^ $os valores valor ;!<;
4;.!A}! puede observarse gráficamente al presionar la "sta de tecla información men& L"!APH%
-eferenci a :nformación adicional sobre los análisis estadsticos, incluyendo definiciones y aplicaciones estadsticas más avanzadas, se presentan en el aptulo 4A de la gua del usuario!
aptulo 4= H&meros diferentes
en
bases
demás de nuestro sistema decimal (base 4?, dgitos N ?6B), es posible utilizar un sistema binario (base ., dgitos N ?,4), un sistema octal (base A, dgitos N ?6=), o un sistema he*adecimal (base 4<, dgitos N? 6 B,6>), entre muchos sistemas numéricos! Je la misma manera en que el n&mero entero de base 4?, /.4 representa la operación /*4?.R.*4?4R4*4??, el n&mero 4??44?, en notación binaria, representa la operación% 4*.; R ?*.9 R ?*./ R 4*.. R 4*.4 R ?*.? N /.R?R?R9R.R? N /A!
"l men& '" "l men& '" se activa a través de las teclas \«(la tecla B)! Fabiendo seleccionado la opción F77'" bo*es para la se2al de sistema n&mero 44= (véase el aptulo 4), el men& '" mostrará las siguientes opciones%
Por otro lado, si se selecciona la opción '7>8 menus para la se2al de sistema n&mero 44=, el men& '" muestra entonces las siguientes opciones%
"sta figura indica que las opciones $7I:, :8, y O8" en el sub6men&s y no simplemente men& '" representan
funciones! "stos men&s se presentan en detalle en el aptulo 4B de la gua del usuario!
Página 4=64
"scritura de decimales
n&meros
no
en sistemas no decimales, a los que se les refiere como enteros b inarios (binary integers), se escriben en la calculadora precedidos del smbolo (T¬)! Para seleccionar la base numérica para los enteros binarios, &sese una de las siguientes funciones F"K (adecimal), J" (imal), 78 (al), o :H (ario) en el men& '"! Por e#emplo, si se selecciona , los enteros binarios serán n&meros $os n&meros
he*adecimales, por e#emplo, ;/, ;, etc! medida que se seleccionan diferentes numéricos, los sistemas n&meros se convierten automáticamente a la nueva base! Para escribir un n&mero en un sistema particular, escrbase el n&mero comenzando con el smbolo y terminando con la letra h (he*adecimal), d (decimal), o (octal), ó b (binario)! lgunos e#emplos se muestran a continuación! "l sistema numérico activo se identifica encima de las figuras! F"K
J"
78
:H
-eferencia Para mayor información sobre n&meros en diferentes bases nu m éricas véase el aptulo 4B en la gua del usuario!
)aptulo 1… 'tilixando tar{etas de memoria $( /a calculadora
cuenta con una ranura para tar{eta de memoria en la cual se puede insertar una tar{eta $( flas- para copiar o {etos de resera= o para transferir o {etos de otros euipos a la calculadora, /a {eta $( en la calculadora aparecerá como Puer to número B, %ar
#nsertar eliminar una tar{eta $( $( está situada en la parte inferior de la calculadora= {usto dea{o de las teclas, /as tar {etas $( deen insertarse mirando -acia aa{o, /a maora tienen una etiueta en lo ue podra consider ar se normalmente como parte superior de la tar{eta, $i está sosteniendo la HP 50g con el teclado mirando -acia arria= este lado de la tar{eta $( deera mirar -acia aa{o o ale {ándose de usted mientr as la inserta a la HP 50g, %/a tar{eta entra en la ranura en casi toda su longitude necesitará algo más de fuerxa para inser tarla totalmente, 'na tar{eta totalmente insertada ueda casi nielada con la carcasa= de {ando únicamente el orde super ior isile, Para eItraer la tar{eta $(= apague la HP 50g= pr esione suaemente en el lado ue ueda eIpuesto de la tar{eta empu{e -acia el interior, /a tar{eta deera saltar de la ranura un poco= permitiendo en este momento una sencilla eItracción, /a ranura
For matear una tar{eta $( de las tar{eta $( a ienen f or mateadas= pero se podran formatear de nueo con un sistema de f ic-eros incompatile con la HP 50g, /a HP 50g solo funciona con tar {etas en el formato F A%1C o F A%B2, Puede formatear una tar{eta $( en un P)= o desde la calculadora, $i utilixa la calculadora para ello siguiendo el mztodo ue descr iimos a continuación= asegúrese de ue su calculadora tiene pilas nueas o casi nueas, /a maora
Nota* formatear una tar{eta $( orrará todos los datos ue contenga en ese momento, 1, #nserte la tar{eta $( en la ranura como se eIplicó en la sección anterior,
Página 1…1
2, .antenga pr esionada la tecla =a continuación= pr esione la tecla (, $uelte la tecla ( = a continuación= pulse la tecla , Aparecerá el menú del sistema= en donde o ser ará dier sas opciones, B, Pr esione 0 para F&!.A%, )omenxará el pr oceso de formateo, J, 'na ex termiando el pr oceso de formateo= erá aparecerá el mensa{e ®F&!.A% F#N#$HE(, P!E$$ AN ;E %& E#%® en la HP 50g, Para salir del menú del sistema= mantenga pulsada la tecla = presione suelte la tecla ) = a continuación= pulse la tecla , /a tar{eta $( estaU lista para ser utilixada, $e -ará formateado en el f or matoF A%B2,
Acceder a o{etos en una tar{eta $( Acceder a un o{eto en la tar{eta $( es un procedimiento similar al ue se produce cuando -a un o{eto situado en los puertos 0= 1= ó 2, No ostante= el Puer to B no aparecerá en el menú cuando estz utilixando la función /#7 \á, /os fic-eros de la $( solo pueden manipular se con el Filer = o File .anager Administrador de Fic-er os T€, )uando lo inicie= la ista de tipo árol sera*
tar {etas $( sopor tan f ic-er os de nomres largos= pero se isualixan en formato …,B en el Filer es decir= sus nomres uedan truncados a … caracteres se aGade una eItensión de carácter como suf i{o, Aparecerá en pantalla el tipo de cada o{eto= eIcepto cuando sea un o{eto P) o un o{eto de tipo desconocido, En estos casos= se lista su tipo como una $tr ing, Además de utilixar las oper aciones del File .anager= puede utilixar sus f unciones $%& !)/ para almacenar o {etos r ellamar loscomo se muestra a continaución, /as
Página 1…2
lmacenando ob#etos en la 8ar#eta 'J Uno puede almacenar ob#etos solamente en la raz de la tar#eta 'J, es decir, no se puede construir un sistema de directorios en el Puerto / ("sta opción podra incluirse en una futura versión del sistema operativo -7+)! Para almacenar un ob#eto, utilcese la función '87 como se muestra a continu ación% "n modo algebraico% "scrbase el ob#eto, presiónese ;, escrbase el nombre del ob#eto utilizando puerto / (por e#emplo, *B*8A!1), presiónese c! "n modo -PH% "scrbase el ob#eto, escrbase el nombre del ob#eto utilizando puerto / (por e#emplo, *B*8 A!1), presiónese ;! 7bserve que si el nombre del ob#eto que intenta almacenar en una tar#eta 'J supera los A caracteres,aparecerá en formato J7' A!/ J7' en el puerto / en el >iler una vez que se guarde en la tar #eta!
opiando un ob#eto de la tar#eta 'J Para copiar un ob#eto de la tar#eta 'J a la pantalla, utilcese la función -$, como se muestra a continuación% "n modo algebraico% Presiónese T@, escrbase el nombre del ob#eto utilizando el Puerto / (por e#emplo, *B*8 A!1), presiónese c! "n modo -PH% "scrbase el nombre del ob#eto utilizando el Puerto / puerto / (por e#emplo, *B*8 A!1), presiónese T@! Utilizando la función -$ es posible reinstalar variables indicando una referencia con directorios, por e#emplo, en modo -PH% *B* Qpat- R c-$! $a referencia de directorios, similar a aquellas utilizadas en J7', es una serie de nombres de directorios que, Página 4A6/
#untos, especifican las variables dentro del sistema de directorios! Je be indicarse, sin embargo, que algunas variables almacenadas en un ob#eto de reserva no pueden relacionarse con una referencia de directorio! "n este caso, el ob#eto de reserva completo (por e#emplo, un directorio) tendrá que reinstalarse, y, posteriormente, accederse a las variables individuales en pantalla! 7bserve que en el caso de los ob#etos con nombres largos, puede especificar el nombre complete del ob#eto, o su nombre truncado en A!/, al emitir un comando -$!
"liminando ob#etos de la tar#eta 'J Para eliminar un ob#eto de la tar#eta 'J en la pantalla, utilcese la función PU-I", como se muestra a continuación% "n modo algebraico% Presiónese # LP'!"E, escrbase el nombre del ob#eto utilizando el Puerto / (por e#emplo, *B*8 A!1), presiónese c! "n modo -PH% "scrbase el nombre del ob#eto utilizando el Puerto / (por e #emplo, *B*8 A!1), presiónese # LP'!"E! 7bserve que en el caso de los ob#etos con nombres largos, puede especificar el nombre complete del ob#eto, o su nombre truncado en A!/, al emitir un comando PU-I"!
Purgar todos los ob#etos en la tar#eta 'J (reformateando) Puede purgar todos los ob#etos de la tar#eta 'J reformateándola! uando se inserta una tar#eta 'J, verá aparecer LF&!.A como tem adicional en el men& en el >ile +anager! 'eleccionar esta opción reformateará toda la tar#eta, un proceso en el cual también se borran todos los ob#etos de la tar#eta!
"specificar un directorio tar#eta 'J
en
una
Puede almacenar, rellamar, evaluar y prugar ob#etos de los directorios de una tar#eta 'J! -ecuerde que para traba#ar con un ob#eto en el nivel root de una tar#eta 'J, se debe usar la tecla h! Pero al traba#ar con un ob#eto en un subdirectorio, el nombre del path del directorio debe incluirse también usando las teclas V¯ ! Por e#emplo, suponga que guarda un ob#eto llamado P-7I4 en un directorio llamado P-7I' en una tar#eta 'J! on este ob#eto en el primer nivel de la pantalla, presione% ogsV^ S°BbV¯WWpr og1; pr
' se guardará el ob#eto que anterioremente se hallaba en la pantalla en la tar#eta 'J en el directorio llamado P-7I' en un ob#eto P-7I4! Hota% 'i no e*iste el directorio P-7I', se creará automáticamente!
Puede especificar cualquier n&mero de subdirectorios anidados! Por e#emplo, para referirse a un ob#eto en un subdirectorio de tercer nivel, la sinta*is sera% %/%1J:-4MJ:-.MJ:-/MH+"1 7bserve que presionar WV^ produce el carácter barra hacia adelante!
aptulo 4B $a biblioteca ecuaciones
de
$a biblioteca es un con#unto de ecuaciones y comandos que le perm itirá resolver simples problemas cientficos y de ingeniera! $a biblioteca consiste de más de /?? ecuaciones agrupadas en 4; temas técnicos en los que se cuentan más de 4?? ttulos de problemas! ada ttulo de problema contiene una o más ecuaciones que le ayudarán a resolver el tipo de problema al que se enf renta!!
Nota: los e#emplos que encontrará en este captulo asumen que el modo de operación es el -PH y que se ha seleccionado la bandera 44= (Jebera seleccionarse la bandera 44= siempre que use el resolvedor numéricos para resolver ecuaciones en la biblioteca de ecuaciones)! #-emplo% "*aminar la ecuación establecida para +ovimiento de un proyectil! >i#e la pantalla a . decimales y abra la aplicación de #aso /= iblioteca de ecuaciones! ('i no hay bandera en y X'N#%X con peque2os cuadros, presione X$#X cualquiera de las teclas de men& correspondientes una vez)! H[Wfb2c "ZXE/#7 XEN/#
#aso 0=
Página 4B64
'eleccione el área +otion y abra su catálogo! Wm[c
#aso 1=
'eleccione Pro#ectile +otion y observe el diagrama que describe el problema!
[[XP#)X
#aso 4=
Gisualice las cinco ecuaciones del con#unto Pro#ectile +otion! 'e utilizan las cinco y pueden intercambiarse para poder resolver las variables que falten (véase el e#emplo siguiente)! XENX XNEX XNEX XNEX XNEX
#aso 2=
ecuación!
"*amine las variables usadas por el con#unto de la X8A!$X
y Zseg&n [se necesite
Use ahora este con#unto de ecuaciones para responder las cuestiones del siguiente e#emplo! #-emplo:Je acuerdo con sus estimaciones, un portero profesional puede chutar la pelota a una distancia (R) de <; metros por el campo a un ángulo de elevación (?) de ;? grados! § qué velocidad ($ ?) la puntean± §Dué altura alcanza la pelota a mitad de camino en su vuelo± §Dué distancia alcanzara la pelota si se golpease con la misma velocidad pero con una elevación de sólo /? grados de elevación± (:gnore los efectos de la fuerza inversa de la pelota)!
Ste& /=
:niciemos la resolución del problema! X$&/8X
Ste& 0=
"ntre los valores conocidos y presione la tecla del men& correspondiente a la variable! (Puede asumir que . ? e 7 ? son cero!) 7bserve que las etiquetas del men& cambian a negro seg&n guarda valores! (Hecesitará presionar / para ver las variables mostradas inicialmente)! ? ]SSSSSSN0SSSSSM ? ]SSSSSS0SSSSSM ;? ]SSSSSSv0SSSSSM /<;]SSSSSS!SSSSSM
-esuelva la velocidad, $ ?! (resuelve una variable presionando S y, a continuación, la tecla de la variable)! S]SSSSSS80SSSSSM Ste& 1=
Ste& 4=
-ellame la gama, R, divida por . para obtener la mitad de la distancia y éntrela como coordnada . ! 7bserve que presionar la versión cambiada a la derecha de la tecla del men& de una variable causa que la calculadora rellame su valor a pantalla! ("l peque2o cuadro cerca de la - en la etiqueta del men& indica que se usó en el cálculo anterior)! LXX!X
.^//]SSSSSSNSSSSSM
Ste& 2=
-esuelva la altura, 7 ! 7bserve que la calculadora encuentre los valores de las demás variables seg&n los
necesite (mostrados por los peque2os cuadros) para resolver la variable especfica!
Página 4B6/
Ste& 6=
S ]SSSSSS0SSSSSM "ntre el nuevo valor del ángulo de la elevación (/? grados), guarde la velocidad previamente computada ($ ?) y resuelva R! /? XX²0X b$ ]SSSSSS80SSSSSM S ]SSSSSSSS!SSSSSSSM
-eference >or additional details on the "quation $ibrary, see hapter .= in the calculatorQs UserQs Iuide!
"aranta /imitada Perodo de garanta de HP 50g calculadora gráfica* 12 meses,
1, HP le garantixa a usted= cliente usuario final= ue el -ard+are HP= accesor ios complementos están lir es de defectos en los mater iales mano de ora tras la fec-a de compra= durante el perodo ar ri a especif icado, $i HP recie notificación sore algún defecto durante el perodo de garanta= HP decidirá= a su propio {uicio= si reparará o camiará los pr oductos ue prueen estar defectuosos, El camio de pr oductos puede ser por otros nueos o seminueos, 2, HP le garantixa ue el soft+are HP no fallará en las instr ucciones de programación tras la fec-a de compra durante el perodo ar r ia especif icado= estará lire de defectos en material mano de ora al instalarlo usarlo, $i HP recie notificación sore algún defecto durante el perodo de garanta= HP camiará el sof t+ar e cuas instr ucciones de programación no funcionan deido a dic-os def ectos, B, HP no garantixa ue el funcionamiento de los pr oductos HP será de manera ininterrumpida o estará lire de errores, $i HP no puede= dentro de un perodo de tiempo raxonale= reparar o camiar cualuier producto ue estz en garanta= se le deolerá el importe del precio de compra tras la deolución inmediata del producto {unto con el comproante de compra, J, /os pr oductos HP pueden contener partes f ar icadas de nueo euialentes a nueas en su rendimiento o ue puedan -aer estado su {etas a un uso incidental, 5, /a garanta no se aplica a defectos ue resulten de a un mantenimiento o caliración inade cuados o inapr opiados= sof t+ar e= inter faces= partes o complementos no suministr ados por HP= c modificación no autorixada o mal uso= d operación fuera de las especif icaciones amientales pulicadas para el producto= o e preparación del lugar o mantenimiento inapr opiados, C, HP N& &F!E)E &%! A$ "A!AN%3A$ EP!E$ A$ & )&N(#)#&NE$ A $EAN P&! E$)!#%& ' &!A/E$, $E"
tener otro derechos legales especficos que varan de pas a pas, estado a estado o provincia a provincia! =! '"I‰H $7 "'8$":J7 P7- $' $"O"' $7$"', $7' -"+"J:7' J" "'8" 7+UH:J7 J" I-H85 '7H ‰H:7' O "K$U':G7' P- U'8"J! "K"P87 $7 :HJ:J7 --:, "H H:HI‰H '7 FP 7 'U' P-7G""J7-"' '"-–H -"'P7H'$"' P7- $ P3-J:J J" J87' 7 P7- J—7' J:-"87', "'P":$"', :H:J"H8$"', 7H'"U"H8"' (:H$UO"HJ7 $ P3-J:J J" "H">::7' 7 J87') U otros J—7', 'J7' "H 7H8-87', I-G:7 "838"-! lgunos pases, estados o provincias no permiten la e*clusión o limitación de da2os incidentales o consecuentes, por lo que la limitación o e*clusión anterior puede que no se aplique a usted! A! $as &nicas garantas para los productos y servicios FP están e*puestas en los comunicados e*presos de garanta que acompa2an a dichos productos y servicios! FP no se hará responsable por omisiones o por errores técnicos o editoriales contenidos aqu! PA'A >AS !'ANSACC%N#S 3#> C>%#N!# #N A/S!'A>%A Y N/#&A ?#>AN3A: >S !@'M%NS 3# A'AN!A CN!#N%3S #N #S!# CM/N%CA39 #4C#P! > P#'M%!%3 P' >A >#Y9 N #4C>/Y#N9 '#S!'%N#N M3%%CAN >S 3#'#C"S 3# #S!A!/!S 3# MAN3A!'%A AP>%CAB>#S A >A &#N!A 3# #S!# P'3/C! PA'A /S!#3 Y S# A'#AN A #>>S.
'ervicio "uropa
H&meros de te léf ono Pas% R 9/646 /inlandia R //646 9BB/B??< >rancia R 9B6rancia) R/ B6?.6=;94B=A. R 9.?6;6 949..;./ (:talia) 8urqu˜a R 996.?=6 9;A?4<4 -U -ep&blica heca R9.?6;6 949..;./ 'udáfrica R.=6446./=<.?? R /.6.6= 4.<.4B $u*emburgo 7tros R9 .?6;6 949..;./
pases europeos sia del Pacfico Pas % ustralia 'ingapur
H&meros de te léf ono R <46 /6BA946;.44 R <46 /6BA946;.44
América >atina País : rgentina rasil +é#ico
Nmeros de telé= ono ?6A4?6;;;6;;.? 'ao Paul o/=9=6==BB_ -JP ?6A??6 4;===;4 iudad de +é#ico ;.;A6BB.._
-JP ?46A??6 9=.6<
Genezuela hile olombia Per& mérica central y el 46A??6=446.AA9 aribe Iuatemala 46A??6BBB6;4?; Puerto -ico 46A==6./.6?;AB ?6A??6?446?;.9 osta -ica Norteamérica País : ""!UU! anadá or
Nmeros de telé= ono 4A??6FP :HG"H8 (B?;).?<6 9<
-JPN-esto del pas
onéctese a http%MM!hp!com para conocer la información más reciente sobre servicio y soporte al cliente!
-egulatory inf ormation ederal
Communications
Commission
Notice
8his equipment has been tested and found to comply ith the limits for a lass digital device, pursuant to Part 4; of the > -ules! 8hese limits are designed to provide reasonable protection against harmful in terf erence in a residential installation! 8his equipment generates, uses, and can radiate radio frequency energy and, if not installed and used in accordance ith the instructions, may cause harmful interference to radio communications! Foever, there is no guarantee that interference ill not occur in a particular installation! :f this equipment does cause harm f ul interference to radio or television reception, hich can be determined by turning the equipment off and on, the user is encouraged to try to correct the interference by one or more of the folloing measures% -eorient or relocate the receiving antenna! :ncrease the separation beteen the equipment and the receiver! onnect the equipment into an outlet on a circuit different from that to hich the receiver is connected! onsult the dealer or an e*perienced radio or television technician for help! ModiDcation s
8he > requires the user to be notified that any changes or modif ications made to this device that are not e*pressly approved by Felet t6PacCard ompany may void the userQs authority to operate the equipment! Cable s
onnections to this device must be made ith shielded cables ith metallic ->:M"+: connector hoods to maintain compliance ith > rules and regul ations! 3eclaration o= Con=ormit8 =or Products Mar0ed Eit, .CC >ogo9 /nited States nl8 8his device complies ith Part 4; of the > -ules! 7peration is sub#ect to the folloing to conditions% (4) this device may
not cause harm f ul interference, and (.) this device must accept any interference received, including interference that may cause undesired operation! >or questions regarding your product, contact% Felett6PacCard ompany P! 7! o*
Página I6<
7r, call 46A??6 9=96
>or questions regarding this > declaration, contact% Felett6PacCard ompany P! 7! o*
8o identify this product, refer to the part, series, or model number found on the product! Canadian Notice
8his lass digital apparatus meets all requirements of the anadian :nterference6ausing "quipment -egulations! Avis Canadien et appareil numérique de la classe respecte toutes les e*igences du -™glement sur le matériel brouilleur du anada! #uropean /nion 'egulator8 Notice 8his product complies ith the folloing "U Jirectives% $o Goltage Jirective =/M./M"" "+ Jirective ABM//
8his marCing is valid for non 8 6 el ecom prodcts and "U harmonized 8elecom products (e!g! luetooth)!
Fapanese Notice
* * * *
8his marCing is valid for "U non6har m onized 8elecom prod ucts! Hotif ied body number (used only if applicable 6 refer to the product label)
こ の装置は、 情報処理装置等電波障害自主規制協議会 （G :） の基準に基づ く ク ラ 情報!"装置 # $% こ の装置は、 &'() #*+ $ , こ - . /0 - 1 2 3 4 $5、 こ の装 置5 ラ 6 78 9 : ; 6 < = >?@ にAB 1 2*+ C D , F G こ $ こ - 5 H I 4 $% JKšLMにN O 2P 1 3J I K3 . 1 2 く Q C 3%
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