Matemática Matemática I
2
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC CIBERTEC
2
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
3
Índice
Página
Presentación
5
Red de contenidos contenidos
7
Unidad de aprendizaje aprendiz aje 1 LOGICA 1.1 Tema 1
9 11
: LOGICA LOG ICA PROPOSICI PROP OSICIONAL ONAL
1.1.1 : Lógica proposicional proposic ional
11
1.1.2 : Clases de proposic proposicione ioness 1.1.3 : Operadores Operadores lógicos 1.1.4 : Jerarquía Jerarquía de los conectivos conec tivos lógicos
14 14 23
1.1.5 : Tablas de verdad 1.1.6 : Proposiciones Proposic iones equivalentes
23 26
Unidad de aprendizaje aprendiz aje 2 MAGNITUDES MA GNITUDES PROPORCIONALES : PROPORCIONALIDAD
33 35
2.1.1 : Razones proporcionales proporcionales 2.1.2 : Regla de tres simple sim ple
35 37
2.1 Tema 2
2.2 Tema 3 : REGLA DEL TANTO POR CIENTO 2.2.1 : Porcentajes Porc entajes y propiedades
42 42
2.2.2 : Descuento Desc uentoss y aumentos sucesivos suces ivos
44
2.2.3 : Precio de venta, venta, precio de costo, precio de lista, desc descuento uento y ganancia
46
Unidad de aprendizaje aprendiz aje 3 FUNDAM FUND AMENTOS ENTOS DEL ALGEBRA ALGEBRA BASICA
55
TEORIA DE EXPONENTES 3.1 Tema Tem a 4 : TEORIADE 3.1.1 : Potenciación Potenciac ión
56 56
3.1.2 : Radicación 3.2 Tema Tem a 5
: Productos Notables
3.2.1 : Propiedades 3.3. Tema 6 : Factorización
CIBER TEC
59 65 65 73
CARRERAS PROFESIONAL PROFESIONALES ES
4
3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4
: : : :
Factor común com ún Por agrupación Por identidades Por aspa simple sim ple
3.3.5 : Por Ruffini
CARRERA S PROFE SIONALE S
73 73 73 75 76
CIBERTEC CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
5
Presentación
M at em ática I pertenece
a la línea formativa y se dicta en todas las carreras de la Escuela de Computación e Informática de la institución. Todo aquel que se dedique a la Tecnología Informática necesita contar con ciertas herramientas que le permita efectuar cálculos con rapidez y eficiencia. Por ello, el curso de Matemática I pretende que el estudiante maneje los conceptos básicos y fundamentales, así como los procesos aritméticos y algebraicos resolviendo problemas aplicativos, que les permitirán, en ciclos superiores, un mayor dominio en la resolución de problemas. El manual para el curso ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de aprendizaje, las que se desarrollan durante un periodo determinado. En cada una de ellas, se hallarán los logros que debe alcanzar el alumno al final de la unidad; el tema tratado, el cual será ampliamente desarrollado; y los contenidos que deben desarrollar, es decir, los subtemas. Por último, se encuentran las actividades que deberá desarrollar en cada sesión, lo cual le permitirán reforzar lo aprendido en la clase.
El curso es teórico – práctico. En tal sentido, en cada sesión, se ha contemplado la teoría necesaria para la aplicación en la solución de los ejercicios propuestos, y como modelo encontrará varios ejercicios resueltos que le servirá de guía. La solución de ejercicios, en algunos casos, la realizará solamente el profesor quien demostrará las definiciones, propiedades, teoremas, etcétera, que intervienen en la solución del caso; en otros, el profesor los resolverá con los alumnos. Sin embargo , con la práctica directa e indirecta, los alumnos estarán en condiciones de desarrollarlos por cuenta propia. Asimismo, hallará preguntas de prácticas y/o exámenes propuestos en ciclos pasados relacionados con la sesión que se está desarrollando, las mismas que permitirán la autoevaluación y preparación antes de asistir a las evaluaciones calificadas.
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
6
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
7
Red de contenidos
Lógica
Lógica Proposicional
Proporcionalidad Magnitudes Proporcionales Regla del Tanto por Ciento
MATEMATICA I
Teoría de Exponentes Fundamentos del Algebra Básica Productos Notables
Factorización
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
8
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
9
UNIDAD DE APRENDIZAJE
1 LÓGICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la segunda semana, el alumno, elabora el valor de verdad y simplifica los esquemas moleculares a partir de otro haciendo uso de las tablas de verdad de los operadores lógicos y de las leyes del algebra proposicional.
TEMARIO : LOGICA PROPOSICIONAL 1.1 Tema 1 1.1.1 : Lógica proposicional 1.1.2 : Clases de proposiciones 1.1.3 : Operadores lógicos 1.1.4 : Jerarquía de los conectivos lógicos 1.1.5 : Tablas de verdad 1.1.6 : Proposiciones equivalentes ACTIVIDADES PROPUESTAS
Discusión general acerca de lo que es enunciado y proposición. Exposición dialogada. Trabajo de grupos. Como actividad para la casa, se propone desarrollar los ejercicios pendientes del manual.
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
10
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
11
1.1. LÓGICA PROPOSICIONAL 1.1.1. Definición Clásica Es una disciplina formal que tiene por objeto el análisis de la condición de los razonamientos, por lo que se comienza eliminando las ambigüedades del lenguaje ordinario. Se introducen símbolos y conectivos cuyo uso adecuado descarte las contingencias y aporte claridad y economía de pensamiento.
Figura 1.- Lógica Fuente.- Tomado de elpostulante.wordpress.com Se utilizan los siguientes conceptos: 1.1.1.1. Enunciado: Es toda frase, oración o sentencia que usamos en nuestro lenguaje. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
La matemática es base de todas las ciencias. ¿Aprobaremos el curso de Lenguaje de Programación? ¡Arriba Perú! El Perú es grande. Te visitaré mañana. X es un número par. José estudia y canta. 4x + 5 = 6 2x + 5 < 8
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
12
Todas las preguntas, las admiraciones y las órdenes, son “simplemente enunciados” no sufren ninguna transformación o modificación.
1.1.1.2.
Enunciado Abierto
Es aquel enunciado o ecuación con una o más variables, en el cual no se conocen los valores específicos de las variables. Estos enunciados pueden ser modificados a “proposición”(asignándole cualquier val or a la(s) variable(s). Ejemplos: 1) 2) 3) 4)
Algunos alumnos del Primer ciclo son más hábiles en álgebra: 3x + y = 10 x = ?, y=? x + 5 > 20 x=? Ella está estudiando “No se conoce quién es ella”
1.1.1.3.
Proposición.-
Es todo enunciado, al cual se le puede asignar un valor de verdadero o falso; pero nunca ambos a la vez. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5)
Ramón Castilla fue Presidente del Perú El Perú produce plata 4x2=8 5<0 Todo hombre es mortal
1.1.1.4.
(v) (v) (v) (f ) (v)
Notación.-
Las proposiciones se denotan con las letras minúsculas como p, q, r, s, t, ...etc Ejemplo: 1) 2) 3)
p: El Perú es hermoso q: 2 + 6 8 r: 6 +1 < 5 + 10
CARRERA S PROFE SIONALE S
v (p) = v v (q) = f v (r) = v
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
13
Ejercicios Propuestos 1. Indique cuales de los siguientes 2) Escriba cuatro enunciados son proposiciones o enunciados abiertos. simplemente enunciados. a) Todo hombre es mortal b) ¿Cuántos años tienes? c) ¡ Apúrate ! d) 18 es un número primo.
ejemplos
de
a) ….. b) ….. c) ….. d) ……
3) ¿Cuál es la diferencia entre 4) ¿Cuál es la diferencia entre una simplemente enunciado y enunciado proposición y un enunciado abierto? abierto?
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
14
1.1.2.Clases proposicionales 1.1.2.1 Simples Llamadas también atómicas o elementales. Son aquellas que tienen un solo sujeto y un solo predicado. No llevan conectivo lógico. Ejemplos: 1) Cibertec es un Instituto líder en enseñanza. 2) Electrónica es una especialidad. 3) La pizarra es verde. 4) Los animales mueren. 1.1.2.2 Compuestas Llamadas también moleculares o coligativas. Son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples, las cuales son enlazadas por algún conectivo lógico. Ejemplos: 1) César Vallejo nació en Perú y es poeta. 2) Alberto es técnico electrónico y practica deportes. 3) Si el cielo está despejado, entonces se ve celeste. 4) El sol es grande y emite luz. Además, existen enunciados que no son proposicionales como por ejemplo: Exclamativos : Interrogativo :
Socorro ¿Hasta qué hora dura la clase?
Imperativo Admiración
Fuera ¡Oh!
: :
1.1.3. Conectivos Lógicos Son aquellos símbolos que usamos para enlazar dos o más proposiciones simples. Son los siguientes:
: : , : : :
que se lee “y” que se lee “o” que se lee “o” pero no ambas que se lee “si ... entonces...” que se lee “si y sólo si”
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
15
Ejercicios propuestos 1) Indique que tipo de proposiciones 2) Con las siguientes proposiciones son : simples indique proposiciones a) Dos y tres son números compuestas. consecutivos Sea p: 2 es primo ; q: 3 es impar b) No es cierto que 5 es un número primo o cuatro no es un número a.cuadrado perfecto. b.c) No es cierto que 6 es un cubo perfecto, y que 13 sea un c.número par. d.d) 9 es un impar y si 6 tiene más de 2 divisores, entonces es un e.número compuesto. 3)
Escriba tres ejemplos de 4) Escribe el significado de los siguientes proposiciones simples y tres conectivos: proposiciones compuesta
: ...................................................
: .................................................... :
....................................................
:
....................................................
CIBER TEC
: .................................................... : .....................................................
CARRERAS PROFESIONALES
16
OPERADORES L GICOS 1.1.3.1 Negación de una proposición Negar una proposición consiste en cambiar el valor de verdad que tenía antes. Es el conectivo lógico que se usa para negar el valor de verdad de una proposición cualquiera. Simbólicamente se le denota por: ~p Lógica Clásica P ~p V
F
F
V
Ejemplos: 1)
p: Las rosas no son rojas ~p: Las rosas son rojas
2)
q: 7 es mayor que 5 ~q: 7 no es mayor que 5
o
q: 7 > 5 ~q: 7 5
V(q) = V V(~q) = F
1.1.3.2 Conjunción Definición Es el conectivo lógico que se usa para afirmar simultáneamente la veracidad de dos oraciones componentes. Se le denota por: Lógic a c lásic a P
q
Ejemplo: Sean p: 4 es divisor de 20 V(p) = V q: 20 es múltiplo de 5 V(p) = V pq = p yq = 4 es divisor de 20 y 20 es múltiplo de 5. V(p q) = V Tabla de verdad # de combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples es: #c = 2n, donde
CARRERA S PROFE SIONALE S
n = # de proposiciones simples.
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
17
Su tabla de verdad es: Lógica Clásica p q p q V V F F
V F V F
V F F F
1.1.3.3. Disyunción Inclusiva La llamada disyunción inclusiva o disyunción débil es un conectivo lógico que se usa para afirmar que, por lo menos una de las oraciones componentes, es verdadera. Se le denota por: Lógica clásica pvq Ejemplo: P : 8 es menor que 5 V(p) = F q : 6 es mayor que 3 V(q) = V p v q: 8 es mayor que 5 ó 6 es mayor que 3 V(p v q) = V Su tabla de verdad es: Lógica Clásica p q pvq V V F F
V F V F
V V V F
1.1.3.4 Condicional Es una proposición recíproca, implicación u oración condicional. Una proposición condicional es falsa, cuando la proposición como antecedente es verdadera y la proposición como consecuente es falsa. En cualquier otro caso es verdadero. Se le denota por: Lógica clásica p
q
Ejemplos: 1) Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Nueva York Si p = Patricia consigue visa de turista q = Patricia viajará a Nueva York Entonces la proposición se simboliza por: p q 2) Si los hombres son inmortales, entonces la luna brilla. Si p = Los hombres son inmortales V(p) = F q = La luna brilla V(q) = F
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
18
Luego se simboliza: V ( p q) = V 3) Explique por qué las condicionales siguientes tienen los valores veritativos indicados. a) 2 + 3 = 8 5 < 6 b) 3 – 1 = 42 29 <2 c) Si 5 es primo, entonces es un número par
(V) (V) (F)
Nota: Una implicación puede transformarse en una disyunción, así: p
q ~
pvq
Su tabla de verdad es: Lógica Clásica p q P q V
V
V
V
F
F
F F
V F
V V
1.1.3.5. Bicondicional Es el conectivo lógico que se lee “....si y sólo si ......”. En general una oración bicondicional es llamada también “equivalencia material” que
se usa para afirmar los casos en que p = q en valores de verdad. Se le denota por: Lógica Clásica p q Ejemplo: p: 2 > 4 q: 2 + 6 > 4 + 6 p q: 2< 4 si y solamente si 2 + 6 < 4 + 6
V(p) = F V(q) = F V(p q) = V
También se lee como: “p si y solamente si q” “p es una condición suficiente y necesaria para q”
Nota .- La diferencia que existe entre p q y p = q, está en que una bicondicional es una proposición, pero p = q es una declaración acerca de dos proposiciones más no es una proposición. Su tabla de verdad es: Lógica Clásica p q p q V V F F
CARRERA S PROFE SIONALE S
V F V F
V F F V
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
19
1.1.3.6 Disyunción Exclusiva Es llamada disyunción excluyente o disyunción fuerte. Este conectivo lógico se usa para afirmar que sólo una de las oraciones componentes es verdadera. Además la disyunción excluyente es la negación de una bicondicional. Se le denota por: Lógica clásica p q Ejemplo: p: 3 < 5 q: 2*3 < 2*5
V(p) = V V(q) = V
p q: 3 < 5 2*3 < 2*5
V(pq) = F
Su tabla de verdad es: p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
p
q
Ejemplos: 1) Sean p, q y r proposiciones tales que p = V, q = F y r = F. Indica cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:
( r x) b) ~ p (q t) c) p q ~ p ~ q ~ p q ~ q p d ) ~ p q w ~ t y z a)
p
q
Solución a)
CIBER TEC
b)
CARRERAS PROFESIONALES
20
c)
d)
2) Sean p , q , r, s proposiciones tales que ¿Cuál de las siguientes proposiciones son falsas?
. Indica
~ q ) (~ q ~ s ) b) ~ r q w q r s c) p q p q ~ q a) ( ~ p
Solución: a)
b)
c)
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
21
Ejercicios Propuestos 1) Si se cumple: p q r V ; p s F ; q s F Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas: a) p s b) r p q c ) pq s r
R: a) V b) V c) V 2) Si ~ p r q p q s s p t F Halle el valor de: ~ p q r ~ q u p p q
R: ( V ) 3) Si la negación de la siguiente proposición es verdadera:
~ s q s p r ~ p q Halle el valor de verdad de: p q r m p s
4) Si: p r q p q Δm mp n F Determina el valor de verdad de: p q r p r m n
R: ( F )
R: ( V )
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
22
5) Si la negación de la proposición: verdadera,, determine el valor de:
p ~ r ~ p q ~ q es r s p ~ q ~ p r
R: ( F )
6) Si la proposición: p q r t p F Determine el valor de : p ~ t r q p t q
R: ( V )
q s ~ r p V 7) Si la proposición s ~ q r ~ Halle el valor de : ~ s ~ r x ~ q t ~ p
R: ( V )
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
23
1.1.4 Jerarquía de conectivos lógicos Si en una proposición compuesta no aparecen los signos de agrupación como: paréntesis, llaves, corchetes, etc., los con ectivos lógicos: “~”, “”, “” tienen igual jerarquía, y , tienen mayor jerarquía, avanzando de izquierda a derecha. 1.1.5 Tablas de verdad La verdad o falsedad de una proposición se denomina validez (o su valor de verdad). La validez de la negación, de la conjunción, de la disyunción, de la condicional y de la bicondicional se pueden representar en tablas. En consecuencia, dadas dos o más proposiciones simples cuyos valores de verdad son conocidos, el valor de verdad de una proposición compuesta depende de la verdad de cada una de las proposiciones componentes y se determina mediante TABLAS DE VERDAD. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 1.1.5.1 TAUTOLOGÍA ( T ) .- Es toda proposición simple o compuesta cuyo valor de verdad es siempre verdadero, para cualquier combinación de valores veritativas de sus componentes. Ejemplo: 1) La proposición: [(~p v q) p
q
[(~p v q)
~q]
~q]
~p es una tautología.
~p
V V F
V F V
F F F
V V V
F F V
F
F
V
V
V
T = tautología = V
T 1.1.5.2 CONTRADICCIÓN ( C ).- Es toda proposición que tiene como valor de verdad siempre falsa para cualquier combinación de sus valores veritativas de sus componentes. Ejemplo 2) La proposición: [(p q) q] ~q es una contradicción. p
q
V V F F
V F V F
[(p
q) v q] V F V F
~q F F F F
F V F V
C = contradicción = F
C CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
24
1.15.3 CONT INGENCIA ( CONT ).- Cuando la tabla de una proposición tiene al menos una V y una Falsa. Ejemplo: La proposición: (~p ~q) v ~q es una contingencia. p q (~p ~q) v ~q] V V F F
V F V F
F F F V
F F V V F F V V Contigente
Ejercicios Propuestos 1) Por medio de Tabla, determine si los siguientes esquemas moleculares representa una Tautologìa, Contradicción o Contingencia a) p q r ~ ~ q ~ p ~ r
R: ( T )
c) p q r p q ~ r
R: ( C )
CARRERA S PROFE SIONALE S
b) p
q p
R: ( CONT )
d ) p q q r p r
R: ( T )
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
25
p ~ q ~ p m es Falsa. Indique si la 2) Si la siguiente proposición: siguientes proposiciones representan una Tautología, Contradicción o Contingencia. b) q p r m
a) p r m
R: ( T ) c)
R: ( C )
m r n r n
R: ( T )
d )
~ q m s n
R: ( C )
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
26
1.1.6 Proposiciones equivalentes Dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si al ser unidas con el conectivo resulta una tautología; es decir, sus tablas de verdad son idénticas. La equivalencia se denota por “ ”. Se llama también proposiciones equivalentes. Se lee “ P es equivalente a Q” o “Q es equivalente a P”.
Ejemplo: las proposiciones (p q) y [(~q) p
q
V V F F
V F V F
(p
q)
[~q
V F V V
~p] son equivalentes.
~p] F V F V
V F V V
F F V V
Idénticas
Ejercicios Propuestos ¿La proposición p q q r es equivalente a cuál de las siguientes proposiciones? ( Use Tablas ) b) p q p r q
a) p p r q
R: ( si es )
CARRERA S PROFE SIONALE S
R: ( Si es )
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
27
GU A DE EJERCICIOS EJERCICIOS RESUELTOS: 1)
Si la proposición ~(~r v s)
[(p q) r] F
Halla el valor de: a) b) c)
~ r p q ~ s q ~ s r s ~ q ~ ~ r ~ s q ~ p s
~ q
Solución
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
28
2) Si se sabe que: s p r s q p
V F F
Determina el valor de verdad de: a) b)
~ r q s p p ~ s r p q r
Solución:
Valores veritativos: s =V
a)
r=F
~ r q s F
V
V
p
q =V
b)
p= F
p
V
F
F
F
q r
V
F
~ s r p
F
V F
F
F
F
F
V
F
V
V
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
29
3) Si la negación de la siguiente fórmula lógica es verdadera:
p s p r ~
q
s
Hallar el valor de verdad de: ~
r
s ~ p q ~ s
Solución:
R: ( V )
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
30
4. Si se sabe que:
t r s q r p q s
F F V F
Halla el valor de verdad de la siguiente proposición:
k r x p s
m
t n
Solución:
La proposición es falsa.
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
31
5. Sean las proposiciones p , q, r, y s tales que: p s r
q es F p es V s es F
Determina el valor de las siguientes proposiciones: a) r x ~ p c)
w p p V
x
s
~ w p s V
b) ( s q) x
d) p q s r q ~ p r F
q F
Luego:
a
b
c
d
p q s r q ~ p
Es verdadero (Tautología)
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
32
Resumen
Un enunciado es cualquier expresión.
La proposición es un enunciado que puede ser Verdad o Falsa.
Operadores Lógicos:
p V F
~p F V
p V V F F
q V F V F
p q
pq
p q
p q
p q
V V V F
F V V F
V F F F
V F V V
V F F V
Tipos de proposiciones 1. Tautológica: significa Verdad. 2. Contradicción: significa Falso. 3. Contingencia: significa que no es Verdad ni Falso.
Proposiciones
equivalentes.- dos proposiciones son equivalentes cuando sus tablas de verdad sin idénticas.
Si
desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas. Aquí encontrará toda la información relativa a la lógica. http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/ En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos. http://www.guiamath.net/ Aquí
encontrará ejercicios sobre álgebra de proposiciones. http://www.guiamath.net/ejercicios_resueltos/01_03_01_03-Logica_AlgProposiciones/0_algebra-proposiciones.html En esta página, hallará algunos ejercicios resueltos. http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
33
UNIDAD DE APRENDIZAJE
2 MAGNITUDES PROPORCIONALES LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el alumno resuelve problemas de porcentajes y fracciones, aplicados a los distintos conceptos del precio, haciendo uso de la regla de tres simple.
2.1 TEMA 2 :
Proporcionalidad 2.1.2 Razones proporcionales 2.1.2. Regla de tres simple.
Regla del tanto por ciento
2.2 TEMA 3 :
2.2.1 Porcentajes y propiedades. 2.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos 2.2.3 Precio de venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
Los alumnos aplican los conceptos de fracciones, razones y regla de tres simple.
Los alumnos diferencian, de acuerdo con el enunciado de los problemas, si se trata de una regla de tres s imple directa o inversa.
Resuelven los ejercicios y problemas propuestos bajo la asesoría del profesor.
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
34
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
35
2.1 PROPORCIONALIDAD 2.1.1 Razones proporcionales Una razón es la comparación que se establece entre dos cantidades, si dicha comparación se da por medio de una división será una razón geométrica Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:
12 : 15 o
. Simplificando se observa que están en la relación:
Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:
Es una proporción, se cumple que el producto de términos extremos es igual al producto de términos medios : 12 • 5 = 4 • 15 Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es: 2.1.1.1. Proporcionalidad directa Dos magnitudes están en proporcionalidad directa si el cociente de sus valores correspondientes permanece constante:
Donde: k es la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
36
Ejemplo: Un vehículo tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km? Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta; por lo tanto, son directamente proporcionales).
Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:
Entonces, 16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante)
2.1.1.2. Proporcionalidad inversa Dos magnitudes están en proporcionalidad inversa si el producto de sus valores correspondientes es una constante.
Donde : k es la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.
Analizando el gráfico, se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
37
Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros? La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:
Entonces, 3 x 5 = 15 (constante) y 4 x 3,75 = 15(constante)
2.1.2. Regla de tres simple La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales; es un procedimiento basado en la relación proporcional de dos magnitudes. La regla de tres consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos magnitudes proporcionales. 2.1.2. Regla de tres simple directa: Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (DP). Procedimiento: Magnitudes:
M
Supuesto: Pregunta:
a c
(DP)
Q b x
Como son DP su cociente es constante. Luego: a b
c x
Ejemplo: 1) Una persona puede caminar normalmente 9 kilómetros en 2 horas. En una caminata normal de 6 horas, ¿cuántos kilómetros puede cam inar? Solución: Horas 2 6
x
CIBER TEC
km 9 x 69 2
Los kilómetros caminados son DP a las horas de caminata.
27 km
CARRERAS PROFESIONALES
38
2.1.2.1. Regla de tres simple inversa: Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP). Procedimiento: Magnitudes:
M
Supuesto: Pregunta:
a c
(IP)
Q b x
Como son IP su producto es constante a b c x Luego: Ejemplo: 2) Se ha calculado que para construir un edificio se necesita 80 obreros y 60 días. Pero se cuenta solamente con 75 obreros. ¿Cuántos días se tardará en construir el edificio? Soluciòn: # obreros días El # de obreros que 80 60 intervienen en una obra y 75 x el tiempo que demoran en ejecutarla son IP. 80 60 x 64 días 75
CARRERA S PROFE SIONALE S
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
39
Ejercicios Propuestos
1. Para pintar una pared de forma cuadrada se necesitan 14 tarros de pintura ¿Cuántos tarros de pintura se necesitará? Para pintar otra pared cuadrada cuya lado mida tres veces el lado de la pared anterior
2. La eficiencias de Juan y Pedro están en la relación de 2 a 3 . Si Juan demora 15 días en hacer una obra .¿En qué tiempo? realizarían la misma obra trabajando juntos.
3. Las eficiencias de Juan y Luis están en la relación de 2 a 3 y juntos realizan una obra en 21 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Luis redujera a su tercera parte su eficiencia ¿en qué tiempo harían la misma obra?
4. Se sabe que 10 obreros pueden realizar una obra en 22 días. Si al cabo de 4 días son despedidos 4 obreros ¿En qué tiempo se culminará toda la obra?
CIBER TEC
CARRERAS PROFESIONALES
MATEMATIC A I
40
Guía de Ejercicios 1. Las edades de Juan y Pedro (juntos) con las edades de Pedro y Luis (juntos) están en la relación de 8 a 7. Si las edades de Juan y Luis están en la relación de 5 a 3, halle ¿Cuánto tiene cada uno? , si las edades de los tres suman 57 años. Rpta 9 , 15 y 33 años 2. Las eficiencias de A y B están en la relación de 2 a 3. y se sabe que ambos pueden realizar una obra en 33 días. Si B reduce su eficiencia a la mitad y A lo duplica ¿En qué tiempo harían la misma obra? Rpta 30 días 3. Juan es el doble de eficiente que Enrique y ambos pueden realizar una obra en 32 días. Si Juan triplicara su eficiencia y Enrique duplicara el suyo ¿en qué tiempo ambos harían la misma obra? Rpta 12 días 4. Pedro realiza una obra en 55 días. Se sabe además que Juan y sus dos hermanos tienen el doble, triple y mitad de eficiencia que Pedro respectivamente. ¿En qué tiempo Juan y sus hermanos harían la misma obra? Rpta 10 días 5. Juan puede realizar un trabajo contable en 15 días. Julia es 50% más eficiente que Juan. Si juntos realizan el mismo trabajo contable ¿En qué tiempo lo terminarían?
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
41
2.2 TEMA 4: TANTO POR CIENTO 2.2.1 Regla del tanto por ciento, porcentajes y propiedades Es una aplicación de la regla de tres simple. Se denomina “Tanto por ciento” porque es el número de unidades que se toman en
cuenta de cada 100. Es decir:
Total : 100 partes .........................................
............ “ a “ partes
Se toma “a” partes de “100” partes.
Representación:
a por ciento
a%
a 100
Ejemplo:
5
5% nos indica que tomamos:
100
de una cantidad cualquiera.
5%
2 5
5 100
0,05
2
% nos indica que tomamos:
2 5
%
5 100
2
de una cantidad cualquiera.
1
5 100
2 500
0,004
Se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad. NOTA
Ejemplo: a) 25% de A + 63% de A = 88% de A b) 58% de P +126% de P – 20% de P = (58+126-20)
¡ATENCIÓN! : Las palabras “de”, “del” o “de los” matemáticamente significan Ejemplos: 1) Halle el 0,008% de 0,2
multiplicación y la palabra “es” significa igualdad.
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
42
Ejercicios Propuestos 1. Hallar el 10% del 20% del 75% de 40000
2. Operar : 12% A + 13% (2A) - 5% (3A) + 18% (4A)
3. Se tiene un deposito con dos tipos de líquidos: 7 L del primero y 28 L del segundo ¿Qué tanto por ciento representa cada uno de estos líquidos respecto al total?
ESCUELA DE TECNOLO GIA
4. Cierta empresa gasta primero el 20 % de su presupuesto, luego gasta el 25% de resto del presupuesto, quedándose con 12000 soles ¿Cuánto fue dicho presupuesto?
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
43
2.2.2 Descuentos y aumentos sucesivos Es cuando a una cantidad se le aplica más de un descuento o aumento, por lo cual se puede utilizar la siguiente fórmula: Descuento:
100 D1 100 D2 100 D3 ... 100% n 1 100
Du
Donde: D 1, D2, D3,… Son los descuentos sucesivos n: Es el número total de descuentos Du: Es el descuento único equivalente a todos los descuentos realizados.
Aumento:
100 A1 100 A2 100 A3 ... 100% n 1 100
Au
Donde: A1, A2, A3,… Son los aumentos sucesivos n: Es el número total de aumentos Au: Es el aumento único equivalente a todos los aumentos realizados.
Aplicaciones : 1. Dos descuentos sucesivos del 40% y 20% equivalen a un descuento único de:
100 40100 20 100 % 21 100 6080 100 % Du 100 Du 48 100% Du 52% Du
Nota: El signo (-) nos indica el descuento, por lo que los descuentos sucesivos del 40% y 20% equivalen a una
CIBER TEC
2. Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de:
100 20100 30 100% 2 1 100 120130 100 % Au 100 Au 156 100% Au 56% Au
El signo (+) nos indica aumento, por lo que los aumentos sucesivos del 30% y 20% equivalen a un aumento único del 56%.
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
3.
44
Roberto compra un refrigerador y le hacen 3 descuentos sucesivos del 20%, 20% y 30%. En lugar de estos tres descuentos, pudieron haberle hecho uno solo. ¿De cuánto sería este descuento? Solución: Du
100 20100 20100 30 100 31
100 %
Du = [ 44,8 – 100 ]% = -55,2 % El
4.
descuento único sería de 55,2 %.
El director del programa académico de Cibertec le dice a un profesor de la carrera de Computación: “Por tu esfuerzo, durante el año pasado, voy a sugerir que te otorguen tres aumentos sucesivos del 30%, 10% y 20% en el presente año ”. ¿A qué aumento único equivale? Solución:
100 30100 10100 20 100 % 100 3 1 Au 171,6 100% 71,6 % Au
El
aumento único equivale 71,6 %.
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
45
2.2.3 Precio de Venta, precio de costo, precio de lista, descuento y ganancia 2.2.3.1 Precio de venta Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es:
Pv Pc G Donde:
o
Pv Pc Pe
Pc : Precio de costo del bien o servicio G : Ganancia Pe : Pérdida
2.2.3.2 Precio de costo Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases: Costo neto.- En el cual se incluye sólo el precio de compra de una mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los gastos de transporte hasta el almacén, carga y descarga. 2.2.3.3
Ganancia y pérdida Ganancia : Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio. Pérdida : Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo.
La Ganancia o Pérdida generalmente se expresa como un tanto por del precio de costo Los aumentos o descuentos generalmente se expresa como un tanto por del precio de lista
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
46
Guía de Ejercicios 1. Si al vender uno de mis libros de matemática a S/.35.00, gano S/.10.00, ¿cuál es el porcentaje de ganancia? Solucion: (i) Según fórmula: Pv Pc G , entonces :35 = Pc + 10, Luego Pc = S/.25 (ii)
Como G está en función de Pc, luego: %G
10 25
0.4 ;
por tanto %G = 40 % 2. Calcule el precio de venta de un Televisor LCD, si costó S/.4 000 y al vender se perdió el 20%. Solución : (i)
Calculamos la pérdida: 20%(4 000) = S/.800.00
(ii)
Según fórmula: Pv
Pc Pe , se tiene: Pv = 4000 – 800
Por lo tanto, el precio de venta fue : Pv= S/. 3 200.00
3. ¿A cuánto asciende la venta de un departamento que costó $60 000.00, si se quiere ganar el 25%? Resolución : (i) (ii)
Calculamos la ganancia: 25%(60 000) = S/.15 000.00 Según fórmula: Pv Pc G , se tiene: Pv = 60 000 + 15 000 Por lo tanto, el precio de venta fue : Pv= S/. 75 000.00
4. Determine el porcentaje de utilidad o pérdida, conociendo el precio de costo e importe de la venta, si en el 2007 la empresa ATAJA obtuvo una utilidad de S/.50 000.00 y, al año siguiente, su utilidad se incrementó a S/. 80 000.00. ¿Cuánto fue el porcentaje de incremento? Resolución: Como el incremento es de S/. 30 000.00, entonces: %Incremento =
30000 80000
0,375
Por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 37.5%. 5. Calcule el costo de un artículo que se vendió en S/. 6 000.00, con un 20% de utilidad (ganacia) Resolución:
(i)
Según fórmula: Pv
Pc G , entonces : 6 000 = Pc + (20%
Pc)
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
(ii)
47
Resolviendo: Pc = S/. 5 000.00
Precio de Venta, Precio de Lista y Descuento 2.2.3.4
Precio de Lista. - Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:
Pl Pv D
Pl : Precio de lista en el catálogo D : Descuento Pv : Precio de venta
Prob 1. Si el precio de lista de un perfume de Ebel es de S/.65.00, calcule el precio de venta si el perfume tuvo un descuento del 30%. Resolución : (i) (ii)
CIBER TEC
Como: Pl Pv D , entonces: 65 = Pv + (30% Pv)
Resolviendo: Pv = S/. 50.00
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
48
Ejercicios propuestos 1. Compré un artículo a $54. ¿A cómo debo 2. Vendiendo un libro por $1.44 se gana el vender para ganar el 30% del precio de 20% del costo. ¿Cuánto costó el libro? costo más el 10% del precio de venta?
3. Un señor vendió dos casas en $15000 cada 4. Carmen quiere vender su escritorio que le una. En la primera ganó el 25% y en la costó $270 y ganar el 20% del precio de segunda perdió el 25%. ¿En este negocio costo más el 10% del precio de venta más ganó o perdió? $81.
5. ¿A cómo debo vender mi computadora que 6. ¿Qué precio se debe fijar a un artículo que me costó $ 2 700 para ganar el 20% del costó $420 para que aún descontando el precio de costo, más el 10% del precio de 20% se gane el 40%? venta , más $180?
Problemas de aplicación: 1. La empresa “Exportación A” ha destinado el 22% de su presupuesto del
presente año en la reparación de su equipo automotor.
Halle dicho
presupuesto, si el resto del presupuesto que asciende a 11700 soles lo destina a sus otras áreas. 2. La corporación telefónica destina el 10 % de su presupuesto a su unidad de negocio “cable mágico” , el 20% de lo restante lo destina a su unidad “Atento”
y lo restante que asciende a 36000 soles los destina al resto de sus unidades de negocios. Halle dicho presupuesto. 3. Halle el 10% del 25% del 75% del 30% de 320000. 4. Perdí el 40% de mi dinero y luego recuperé el 25% de lo que perdí, con lo
cual tengo la suma de 490 soles. ¿Cuánto tenía al inicio? ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
49
5. Si del total de alumnos que llevan Matemática I aprobaron el 80% de ellos, y en un examen sustitutorio aprobó el 10% de los que habían desaprobado ¿Qué tanto por ciento de los alumnos han aprobado al finalizar? 6. En la venta de un producto se realizan 2 descuentos sucesivos del 20% y 30% y aun así se gana el 20%. Si el precio fijado y precio de costo suman 4400 soles, halle el precio de costo. 7. En la venta de un producto se gana el 30% a pesar de un descuento del 40%. Halle el precio de venta si el precio fijado y precio de costo se diferencian en 700 soles. 8. En la venta de un producto se gana el 20% del precio de venta. Halle el precio de costo si el precio de venta excede al precio de costo en 200 soles. 9. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 20% y 20% respectivamente y aun así se está ganado el 30%. Halle el precio de costo si se sabe que el precio fijado y precio de costo suman 9700. 10. En la venta de un producto se gana el 10% del Pv , si el precio de costo y el precio de venta suman 3800 soles ¿Cuánto es el precio de costo?
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
50
Ejercicios de aplicación 1) No quise vender una casita cuando me ofrecían por ella $3840, con lo cual hubiera ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750 ¿Qué porcentaje del costo gané al hacer la venta? Rpta. 17,19% 2) Compré un auto a $10 000. ¿A cómo debo vender para ganar el 25% del precio de costo más el 10% del precio de venta, más $1000 en trámites documentarios? Rpta. 15 000 3) ¿A cómo debo vender un televisor LCD que me costó S/. 840 para ganar el 20 % del precio de costo, más 10 % del precio de venta, más S/ 63 por gastos administrativos? Rpta. 1190 4) Un vendedor le hace a un cliente descuentos sucesivos del 15% y 20% sobre un producto de $200. ¿Cuánto pagó dicho cliente por su compra?
Rpta. 138
5) Gabriel desea comprar un auto usado y reclama un descuento. La tienda accede a su pedido y le otorga 3 descuentos sucesivos sobre el precio de venta del 20%, 10% y 5%. Él observa que el descuento efectivo ha sido de $ 316. ¿Cuál será el precio de venta de dicho auto? Rpta. 1000 6) ¿Cuál es el precio de lista de un artículo, que tuvo un descuento del 10% al venderlo, si el costo del artículo es de $45 y la ganancia es el 20% del precio de compra más el 20% del precio de venta?
Rpta
75
7) Julio compró un objeto que vendió después a 300 nuevos soles y obtuvo una ganancia igual al 14% del precio de compra más el 5% del precio de venta. ¿Cuánto costó el objeto? Rpta 250 8) Se venden dos caballos en $9,600 c/u. En uno de ellos se gana el 20% y en el otro se pierde el 20%. ¿Se ganó o se perdió, y cuánto? Rpta. se perdió 8 soles 9) Un comerciante vende un artículo con un descuento de 30% del precio de lista, ganando así el 20% del precio de costo ¿cuánto es el precio de lista? si el precio de lista y costo suman 1900. Rpta 1200
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
51
10) ¿A cómo debo vender mi computadora que me costó $ 1 450 para ganar el 20% del precio de costo, más el 10% del precio de venta , más $60 por gastos administrativos?
Rpta 2000
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
52
Problemas de Repaso 1. Luis hace limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Qué tanto por ciento de zumo de limón hay en la limonada? 2. En una granja, la peste porcina mata al 18 % de los cerdos, y quedan 164. ¿Cuántos han muerto? 3. Si depositamos 300 euros en una cuenta y el banco nos ofrece un 2,5 % anual sobre la cantidad que hay al principio de cada año, ¿qué ganancia obtendremos al cabo de un año? ¿Y después de 4 años? 4. Una botella de aceite sube su precio un 20 %. La botella cuesta finalmente 4,08 euros. ¿Cuánto costaba antes de la subida? 5. Una mercancía se encareció en un 10 % y luego se abarató también un 10 %. ¿Cuándo vale menos: antes o después de todo el proceso? 6. En la venta de un producto se ganó el 25% del precio de venta a pesar de realizar dos descuentos sucesivos del 10% y del 20%.respectivamente. Hallar el precio fijado del producto si este costó 540 soles. 7. En la venta de un producto se hacen dos descuentos sucesivos del 10% y 20%, respectivamente, y aún así se está ganado el 35%. Halle el precio de costo, si se sabe que el precio fijado y precio de costo suman 23000 soles. 8. En la venta de un producto que costó 4800 se realizan dos descuentos sucesivos del 20 % y 25 % respectivamente y así se obtiene una ganancia del 20% del precio de venta. Calcula el precio fijado para la venta. 9. Un comerciante compra pantalones en Gamarra a S/. 45 cada uno. ¿A cómo deberá vender cada uno de ellos si desea ganar el 20% del precio de costo más el 10% del precio de venta? 10. Una persona vende dos televisores a 990 soles cada uno. En una de ellas gana el 10% y en el otro pierde el 10%. Al final ¿ gana o pierde y cuánto?.
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
53
Resumen Regla de tres simple directa : Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales Magnitudes: M (DP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son DP su cociente es constante:
a b
c x
Regla de tres simple inversa: Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales Magnitudes: M (IP) Q Supuesto: a b Pregunta: c x Como son IP su producto es constante, Luego:
a b c x
Precio de venta.- Es la cantidad de dinero que paga un consumidor por los bienes y/o servicios que recibe. Su fórmula es:
Pv
Pc G
Precio de costo.- Es el precio por la compra de una mercancía. Pueden ser de dos clases: Costo neto .- En el cual se incluye sólo el precio de compra de una mercancía. Costo Total.- Cuando al precio de costo neto se le incluye los gastos de transporte hasta el almacén, carga y descarga. Ganancia y pérdida Ganancia .- Es la utilidad que se obtiene al vender un bien y/o servicio. .- Es el monto que se pierde al vender por debajo del precio costo. Pérdida Precio de Lista.- Es el precio que figura en el catálogo al que debe venderse un bien y/o servicio. Su fórmula es:
Pl Pv D
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
ESCUELA DE TECNOLO GIA
54
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
55
UNIDAD DE APRENDIZAJE
3 FUNDAMENTOS DEL ALGEBRA BASICA LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad, el alumno, calcula el valor de una variable a través de la simplificación de las expresiones algebraicas Para ello, debe aplicar las teorías de exponentes, los productos notables, racionalización y los procesos de factorización.
TEMARIO 3.1 Tema 4
: TEORIADE EXPONENTES
3.1.1 : Potenciación 3.1.2 : Radicación 3.2 Tema 5 : Productos Notables 3.2.1 : Propiedades 3.3. Tema 6 : Factorización 3.3.1 : Factor común 3.3.2 : Por agrupación 3.3.3 : Por identidades 3.3.4 : Por aspa simple 3.3.5 : Por Ruffini ACTIVIDADES PROPUESTAS
Los alumnos aplican las leyes del álgebra básica Los alumnos identifican qué ley van a utilizar y explican cada paso realizado. Por equipos, trabajan los ejercicios y se comprueban los resultados obtenidos.
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
56
3.1 Tema 5: TEORÍA DE EXPONENTES 3.1.1 Propiedades de potenciación Potenciación
Radicación
exponente raíz
índice base
radicando
potencia
bn = b b b b..........b
" n" veces
Kbn =
n n n b b n b .......... b " K " veces
3.1.1.1. Leyes de potenciación: 1.
a0 = 1 ,
2.
am . an = am + n
am 3.
4.
an
a R , a 0 ,
a m n , a 0
a- n =
1 a
n
, a 0
n
n
5.
a b
6.
(a . b )n = an . bn
ESCUELA DE TECNOLO GIA
b ,a 0,b 0 a
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
57
n
a
n
b
n
7.
a b
8.
(am )n = am n = (an )m
,b 0
Ejemplos:
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
58
Ejercicios propuestos 1) Realice lo siguiente: a) Efectúe:
M
216.353.803 4
9
15 .14 .30
2
x 3
16
45
b) Simplifique: P
06
2
x 5 2 x 2 4.2 x 2 x x 2 3 2 4.2
1
1 3 2 2 4 1 1 1 2 2 ) Halle: R 5 23 10 3
3) Efectúe: (a) S
(b) Calcule el valor de:
M
4) Si
x 4
x 1
22 2
2
x 2
5 x
. 32
3
5
1
64
3
1 3
MN
138 x 69 x 46 x x
x 2
36(2 ) 2 x 5 2 x 4 4(2 x 1 ) 6( 2 x 1 ) 2
40 2 x 3 3 2 x 1 12 2 x 2
y
N x
92
5 x 3 7 y 2
7 y , Calcule el valor de: 7 y 1 5 x 1
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
59
3.1.2 Propiedades de la radicación n
a
n: índice a: radicando b: raíz : operador
b
3.1.2.1. Leyes de Radicación: 1 n
1.
an
a
m n
2.
am
a n
a p .n b
3.
n
4.
n
5.
ab n a .n b n
a
m n
a
n ,b 0
b
6.
n a pn .b
b
a
mn a
Problemas propuestos para la clase 1) Halle X + M si: 12 48 300
X
75 147
M
;
32
3 / 5
64
1 / 3 1 / 3
2) ( a ) Halle A – S A
3
x
2 12
( b ) Halle :
CIBER TEC
x x
3
; S
E
a b
a b
xa xb
3m
b c
xb xc
c a
a b
4m 2a
a b
3m 2b
4m
xc xa
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
3 ) Calcule: a) 2
60
31 n
9 n 1
4 n 1
3
3
3m a b 4m 2 a
2
a b 2 4m a b 3m b
1
1 3 1 5 b) 27 32 2
4
1 2
7
n
7
n
n
5n 5 n
4 ) Halle P + Q si: x 5 7 P x 5 75 x
3x 5 ; 5x 3
Q
4 a 26 3 8
44 a 2
Ejercicios de aplicación 1) Efectúe: 2
E= 2)
n
n 2
n 1
4
4
n
n
20 n 1 4 n 2 2 2 n 2
Simplifique la siguiente expresión: 1/ 2
1 3 2 2 4 1 5 11 3 3)
93 42 2 x
x
Halle el valor de A si
A 5
16
4)
x 1
3 6 x 1 23 x 3
4
50
5
n 3
5n
5 .5 n 1
mn
12 4
mn nm
15m n 5n m
Reduzca la siguiente expresión:
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
61
64 8
5)
9
2
5
0
2
n 3
2
3
5
2 2
3
2 2n 2
a a a a a
5
5
3
. 1259
1
3
3
70 42
3 3
92 138 x
x
x
69 46 x
x
Simplifique la siguiente expresión:
5
8)
n
32 64 1
Reduzca: 2 3
7)
Calcule B si: B
6)
4
1 / 2 1 / 3 6
x 5
3
x 2
4
x 4
4
x 3
3
x 3
x 2
5
x 4
16
. 81
0, 2 5
x 5
Calcule el valor de E + F, si: 2 05 7 2
E 32
8
1259
0 , 33 3...
9) Simplifique:
E x
2 x1.4 2 x1 2 x.4 2 x 23.4 x
4 x
4
2 2 2 2 4 2 1 / 2 2 5 20
1
10 ) Reduzca
x y
CIBER TEC
5 x y .4 x
5 y .4 x y 5 2 x.4 y 5 x.4 2 y
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
62
Resumen de Potenciación y Radicación Potenciación 1
0
a = 1 , a R , a 0 ,
am . an = am + n
am a
n
1
a- n =
a b
m n
a
a
Radicación
n
n
n
an m
n ,a 0
a
am
a p .n b
a n
n a pn .b
, a 0 n
ab n a .n b
n
b ,a 0,b 0 a
(a . b )n = an . bn
a a n ,b 0 b bn
(am )n = am n = (an )m
n
n
a b
m n
n
a
n ,b 0 b
a
mn a
Si
desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.
http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm Aquí encontrará información de la Teoría de Exponentes.
www.sectormatematica.cl/ppt/Raices.pps
En esta página, encontrará ejercicios sobre potenciación, radicación y racionalización.
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
63
Teoría de exponentes y radicación 1.-
Calcule el valor de:
MN
2 x 4
36(2 x 2 ) M x 5 2 2 x 4 4(2 x 1 ) 6(2 x 1 ) 2.-
x
x
69
x
138 46
x
x
Encuentre A+B 3
A = 3.-
N
92
2
1 2 4 3 5 11
5 164
1 1 / 2
5
B=
0
5 n 3 5n
5 5 n 1
Halle K K
49
32
1 252
1
2
x
2
2
x
2
21 12 35 20 x
x
2
x
4.- Halle E, aplicando propiedades de potenciación y radicación: m
E
4 1 125 3 243 2 1 2 m 2 5 3
362 x2 A x5 2 22 x3 42 x 1 62 x1 2 x 4
5.- Halle el valor de :
6.- Halle el valor de M si:
M
81
2 1
1
2 1 16 4
16 7.-
243
0 , 2 1
3 1 1 27
Reducir:
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
64
6n2 6n 5n3 5n2 + n n 3 .2 .5 5n 8.-
+
4.2a 4.2a2
2a 5
Simplifica :
40 .2 x 3 3.2 x 1 12 .2 x 2 22 .2 x 1 2 x 2 9.-
Simplificar:
10.-
Calcula el valor de
M :
M
ESCUELA DE TECNOLO GIA
n 1 32 2
2n 3
12
16
n
n
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
65
3.2 PRODUCTOS
NOTABLES
3.2.1 Propiedades 3.2.1.1 CUADRADO DE UN BINOMIO SUMA a b2
a2
2ab
b 2
EJEMPLOS: 1.
x 72
2.
2 12 4 2 2 x 3x (3x) 2 2 (3x) 9x 2 5 5 25 5 5
3.
x 2
x2
2(x) (7) 7 2 x 2 14x 49
2
3
2
2 (x 2 ) 2
2 2( x ) ( 3 )
( 3)
2
x
4
2 3x
2
3
EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA EL ALUMNO Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto. 1.
2
x
2
x
1 4
2.
2
x
2
2
2 x
2
3.2.1.2 Cuadrado de un binomio diferencia 2
a
b
a2
1.
x 12
x2
2.
1 1 2 1 1 y 2 ( y) y 2 y y 4 2 2 2
3.
x
2ab
b 2
EJEMPLOS: 2( x) (1) 1 x 2 2x 1
2
CIBER TEC
2
2
7
2
(x 2 )2
2x 2 7
7
2
x4
2 7 x2
7
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
66
EJERCICIOS PROPUESTOS Halle el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto: 1.
2
2.
2
x2 x
2 3x
2
4
x 3
3.
2
x2
3
4 9
1
2x
2
3.2.1.3. Producto de la suma de dos términos por diferencia (binomios conjugados) b)
(a
b)
(a
a2
….
b 2
(diferencia de cuadrados )
EJEMPLOS:
x 8x 8
x2
x
6
x2
(4
6x 3
6
x
6x 3 y 2 ) ( 4
64
6
y2 )
16
36x 6
y4
EJERCICIOS PROPUESTOS Observe y escriba directamente el producto de los binomios 1. y 2. y 3.
3x
2
0.2 y
0.2 ______________________________________________
3
y
y
3
______________________________________________
13x 2
y
_____________________________________
1
3.2.1.4 Cubo de la suma de dos términos (a + b ) 3 = a 3 + 3a²b + 3ab² + b 3
EJEMPLOS:
3 x 2 5 3 x 52 53 x3 15 x 2 3 x 25 125 x3 15 x 2 75 x 125
1. (x 5)3 x 3
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
67
x 3 2. 2
3
2
3 3 3 x 3x 3x 2 2 2 9 2 9 27 3 x x 3x 2 4 8
x
3
9 x
2
2
3. (x 0.5)3
3
2
3
27 x 4
27 8
x 3 3 x 2 0.5 3 x0.52 0.53 x 3 1.5 x 2 3 x 0.25 0.125 x 3 1.5 x 2 0.75 x 0.125
3.2.1.5 Cuadrado de un trinomio
a b
2
c
a
2
b
c2
2
2ab
2ac
2bc
EJEMPLOS: 1. x y z2 2. 2x
2y
x2
y 2 z 2 2xy 2xz 2yz
32 2x 2y 3
2
2x 2 2 y2 32 22x 2y 22x 3 2 2y 3 4x 2 4y 2 9 8xy 12x 12y 2
1 3. 3 2 2
3
2
1
3
2
5
1
2 6
4
4
2
2
2
1 1 1 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2
2 6 3
3
2
2
3.2.1.6 Producto de binomios que tienen un término común
a
b a
c a 2 b c a bc
EJEMPLOS: 1. x
CIBER TEC
7x
9
x2
16x
63
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
68
2. x 3.
y
3
6
x 5 x 2 11x 30
1y3 6 y3 5y3 6 y6 5y 3 6 2
EJERCICIOS PROPUESTOS Observe y escriba directamente el producto de los binomios: (x – 1) (x + 8)
= _______________________________
(x – 5) (x – 2)
= _______________________________
3.2.1.7. Cubo de una diferencia
a - b 3 = a3 - 3a²b + 3ab² - b3 EJEMPLOS: 1.
3 x 2
2
3
x
3
x3
3 3 3 3 x 3x 2 2 2 9 9 27 x 2 3x 2 8 4
x3
2.
z 3
3
3
2
9 x 2
2
27 x 4
27 8
z 3 3z 2 3 3z 3 3 z 3 3 3z 2 9z 27 z 3 3 3z 2 9 z 3 3 2
3
EJERCICIOS PROPUESTOS 1 1. y 2
3
__________ ________ __________ 3
1 m 2 1 __________ __________ ________ 2
2. 3.
3x 2
3
__________ ________ __________
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
69
3.2.1.8 Suma y diferencia de cubos 2 a 3 + b3 = (a + b) (a 2 – ab + b )
a 3 – b3 = (a – b) (a 2+ ab + b2 )
Suma de cubos DIFERENCIA DE CUBOS
EJEMPLOS: x3
27 ( x 3 )( x 2 3 x 9 )
y 3
8 ( y 2 )( y 2 2 y 4 )
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 . Simplificar:
A=
2. Efectúe: 5
R m m 2
n10 .5 m m 2 n10
3. Simplificar
(x + y)² (x² - xy + y²)² – (x – y)² (x² + xy + y²)²
4. Simplificar
(a + 2) (a – 2) (a² - 2a + 4) (a² + 2a + 4)
5. Reducir: k a b
2
CIBER TEC
a ba b a b2 aa b ba b 2b2
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
6. Simplifique:
70
(3a 2b)2
(3a 2b)2 10a 2 (a b)(a b) 2b2
1. Simplificar :
2. Simplificar
3. Simplificar
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
71
Problemas propuestos 1. Siendo
3;
x=2+
3
y =2-
Calcule: A = (x – y) (x² + xy + y²) + y (3x² + 3xy + 2y²)
x
2. Sabiendo que:
y
y x
x y
2
calcule:
3 x y
2 x y x y
3. Simplifique:
A
3 3
2 x
3
11 3 3 .3
3
121 3 33 3 9
7 2 x 3 7 : 4 x 6 49 2
2
a b a b E a b a ba b a b 3
4. Simplifique:
3
2
y 3 3 xy x y
3 5. Sabiendo que: x y x
Halle el valor de:
3
2
33 2
3 33 2
6. Si la suma de dos números es 5 y la suma de sus cuadrados es 21, halle la suma de sus cubos. 7. Si: a 2 y b 8 , halla el valor de: M
a b a3 b3 [ a b2 a b2 ]
8. Determine el valor de E , si E
a
a4 a
2.
1a 1a 1 2
b4
2
a 1 2
3
1 3
9. Reduzca: x 5 x 5 x 1 x 2 x 3x 4 2
CIBER TEC
2
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC MATEMATIC A I
72
Resumen de productos notables
a, b, c R
Productos Notables: Notables:
2 I. a b a 2 2ab b 2
II. a III.
(a
2
a 2 2ab b 2
b
b)
(a
b)
a2
b 2
IV.
(a b ) 3
a 3 3a²b 3ab² b 3
V.
(a - b )3 a 3 - 3a²b 3ab² - b3
VI.
a b
c
2
a2
b 2 c 2 2ab 2ac 2bc
VII. a3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab ab + b2 ) VIII. a3 – b b 3 = (a – b) b) (a 2+ ab + b 2 ) IX.
b a b a b
a
3
a
3 3 3 b a 2 3 a.b b 2 a b
X. Legendre:
(a b) 2 2a 2 b 2
(a b) 2
a b2 (a b) 2 4ab
Si desea saber saber más acerca ac erca de estos temas, temas , puede puede consultar las siguientes siguientes páginas. páginas. http://www.sectormatematica.cl/ppt/Productos%20notables.ppt Aquí Aquí encontra encontrará rá ejer ejercicios cicios relativ relativos os al tema.
http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables Aquí Aquí encontra encontrará rá ejercicios ejercicios relati relativos vos al al tema. tema.
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
73
3.3 FACTORIZACIÓN 3.3.1 Definición. Definición. Es un procedimiento por el cual se transforma un polinomio dado en un producto indicado de sus factores.
3.3.2.1 Métodos de factorización: 3.3.2.1 Factor común: común: Ejemplo: Factorice: 3x 3 y + 9x² y² + 6 xy3 Sol:
3 x y x
2
3 x y 2 y 2
Factor Común
Se pu edefactorizar es otro caso.
3.3.2.2. Por agrupación de términos: Ejemplo: Factorice:
a 2 b b 2 c c 2 a a 2 c b 2 a c 2 b 2abc abc
Sol : = (a² b + b² a ) + (c² a + c² b ) + c (a² + 2 ab + b² ) * = a b ( a + b ) + c² (a + b ) + c ( a + b ) (a + b ) = ( a + b ) a b c 2 ca cb
= (a + b ) [ a ( b + c ) + c ( b + c ) ] = (a + b ) ( b + c ) ( a + c ) 3.3.2.3 3.3. 2.3 Por identidades o por productos pr oductos notables notables en e n forma inve inversa: rsa: Ejemplos : a) ( a² + 2 a b + b² ) = ( a + b)² b)² = (a + b ) ( a + b ) b) (a - b ) ( a² + a b + b²) = a 3 - b3 c) x 2 4 x 4 x 2 2 x 2 x 2 d) x y x 2 xy y 2 x3 y 3 4 e) y ² 4 y ² 4 y
CIBER TEC
16
ESCUELA ESCUELA DE TECNOLOGIA TECNOLOGIA
MATEMATIC MATEMATIC A I
74
Problemas Pro blemas propuestos propuestos 1) Factorice: a) 3x2y2-6x2y = b) (3a – b) (a – b – 1) + (a + b) (a – b – 1) – (2c – 3b) (a – b – 1) =
c) 2p (p – 1) + q(1 – p) + 2 (p – 1) =
2) Factorice: a) xa2 + y2b + y2a2 + xb = b) x4 + x2y2 + y4 = c) 4xz + 2yz – 2xp – yp = d) x3 – 4x2 + x – 4 = 3) Factorice: a) x2 + 10xy + 25y 2 = b) 4y2 – 9x2 = c) 8x3 – 27y 27y3 = d) 9m 2 + 6m + 1 = e) 4x2 – 12xy + 9y2 =
ESCUELA DE TECNOLO GIA
CIBERTEC CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
75
3.3.2.4 Por aspa simple: simple:
3.3.2.4.1 Trinomio de la forma x2n + bxn + c = (xn + k1) (xn + k2) n N donde:
k 1 . k 2 = c k 1 + k 2= b
Ejemplo: Factorice x² - 6x + 5 = 0
x x
5 Vemos que: 1 (-5) (-1) = 5 (-5) + (-1) = -6
ok ok
x² - 6x + 5 = 0 (x - 5 ) ( x - 1) = 0
NOTA: Este trinomio se puede factorizar sólo cuando su Discriminante (D) es un cuadrado perfecto (ie, tiene raíz cuadrada exacta)
3.3.2.4.2 Trinomio de la forma ax2n + bxn + c = (a1 xn + k1 ) (a2 xn + k2 ) donde :
a 1 . a 2 = a k 1 . k 2 = c a 1 k 2 + a 2 k 1= b
Ejemplo: Factorice:12 Factorice:12 x² - xy - 6y² 6y² = 0
3 x 4 x
Vemos que: 3y 2y
( 3 ) ( 4 ) = 12 ; ( 2 ) (-3 ) = - 6 ; (3x) (-3y) + (4x) (2y) = -9xy + 8xy = -xy 12x² - xy - 6y² = 0 (3x + 2y ) (4x - 3y) = 0
CIBER TEC
ESCUELA ESCUELA DE TECNOLOGIA TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
76
3.3.2.5 Por división de binomios: Permite factorizar polinomios en una sola variable. Consiste en formar una serie de binomios que admitan como término común a la variable y como segundos términos a los divisores del término independiente. De dichos binomios se tomarán aquellos que den división exacta empleando RUFFINI. Ejemplo: Factorice: x4 + 6x3 - 5x² - 42x + 40
Posibles factores:
divisores de:
(x 1) (x 2) (x 4) (x 5) (x 8) ….….. …………………………………………… ……………………………………………
40
1 +2 +4 5 8 10 20 40
En forma práctica: Ruffini
1
2
1
6
-5
-42
40
1
7
2
-40
1
7
2
-40
0
2
18
40
1
9
20
0
x² + 9x + 20
x
5
x
4
ESCUELA DE TECNOLO GIA
(x - 1) (x -
2) (x + 5) (x + 4)
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
77
Problemas propuestos 1) Factorice: a) x2+5x-6 b) x2-5x-14 c) 3x2-21x+18 d) 45x2-38xy+8y2
2) Factorice: a) t3-6t2+11t-6 b) x4-6x3-x2+54x-72 c) 2x5-17x4+51x3-58x2+4x+24
CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
78
EJERCICIOS PROPUESTOS Simplifique: 4 x 2
1)
E=
1 8 xy 4 y
2)
E
x 11 y 1 x y 1
Re solución E
2 x 12 x 1 2 x 1 4 y2 x 1 4y
sol E
y 1 x 1 1 x 1 y 1
Efectúe:
x 3 5 x 2 5 x 2 3 x 1
3)
E
4)
xy 2 y 2 x 2 2 xy y 2 . E= 2 x xy x 2 2 xy
Re solución E
x 3 3 x 1 x 3 2 x 4 5 x 2 5 x 2 5 x 2
3 x 1
2
Resolución : E =
ESCUELA DE TECNOLO GIA
2
yx 2y x y yx 2 y x y yx y . xx y xx 2y xx y xx 2y x2
CIBERTEC
MATEMÁ TICA I
79
Problemas propuestos Simplificar: 1)
2)
3) 4)
5)
6) 7)
2y 6 x 2 y 3 x 2x 3
x2
m3
x 2 25 m2 5 x 5 x m 2
x2
36 x 6x 6 x4 2x 8
6m 10m p
2
2m
8 p 16 p 42
2
2m m 1 m 2 m 1 m 4 5m 10
m
m10 5x 50
x 10 m3
m4 25
Factorice: E = (x + 3) (x + 2) (x + 1) + (x + 2) (x + 1) + (x + 1)
8)
Factorice: a) x8 - 82x4 + 81 b) (x2 - y2)9 - (x + y)7 (x - y) 11
9)
Factorice: E = ( x + y ) 9 ( x - y ) 5 - (x2 - y2)7
10) Factorice: a) E = 64 x12 y3 - 68 x8y7 + 4x4y11 b) x3 + (2a + b)x 2 + (a2 + 2ab ) x + a2b 11) Factorice: a) x8 - y8 b) x6 - y6 CIBER TEC
ESCUELA DE TECNOLOGIA
MATEMATIC A I
80
12. Halle:
E=
x 2 ² 4 x x 4
x 2 2 x 4 x 2 7 x 3 2 x 4 2 2 x 9 x 14 x 49 x 8 2 x
13. Halle:
E
2 x 3 3 x ² 1 3 x 3 11 x ² 13 x 5
E
14. Halle:
x ² 16
3 x ² 7 x 20
3
4 x 1² 4 x 1²
x 2 x
12 x 20
x
x3 3 x 2 4 x 4 5 x 2 4 x3 4 x
.
15. Halle E:
E
5 x3 17 x ² 8 x 12 x x ² 8 x 12 3
4 x² 7 x 15 x ² 9
3 X 5² 3 X 52 4 x 12
16. Halle E:
E
3 x 3 13 x ² 3 x 45 2 x 3 13 x ² 24 x 9
8 x² 14 x 5 4 x ² 1
16 x ² 40 x 25 2 x 1
2 32 x ² 4 x 2
y 3 ) ( x 3 y 3 ) ( x 3 xy 2 ) y x y x y x 2 y 2
2( x 3
17. Si: A
3 x 18 x 2 9 2 B 2 x 10 x 24 x 7 x 12 x 2
x y
C
y x
2 xy
Halle el valor de K = C – 4B - A
18. Halle E: E=
a 2 x 2 a 2 x 6a 2 x 2 x 6 2 a 1 x 3
19.. Simplificar :
E
4 x 4 4 x 2 y 2 4 x 3 y 4 xy3 y 2 x 2 y 4
2 x y x y
20. Simplificar :
a b 3ab a b a b 2 a b a b 4b 6
2
6
2
2
ESCUELA DE TECNOLO GIA
2
2
a b a b 2
2
CIBERTEC
