Manual de Estática Estructural - INACAP

Construcción

MANUAL ESTÁTICA ESTRUCTURAL

Estática Estructural

INTRODUCCIÓN El objetivo de este manual es entregar al docente y alumno de Estática Estructural un complemento para alcanzar los aprendizajes esperados de la asignatura. El manual se divide en las cuatro unidades según el descriptor de la asignatura, un anexo para consulta del alumno y cápsulas de video vi deo con la explicación de la resolución de ejercicios. En cada unidad se presenta un marco teórico, ejercicios resueltos de cada tema teórico, ejercicios resueltos de los aprendizajes esperados y ejercicios propuestos con las soluciones. Al final de este manual se presenta un Anexo para consulta del alumno y la bibliografía. A continuación se presentan las unidades contempladas en este manual y los aprendizajes esperados.

Unidad 1 - Principios de la Estática de las Partículas 1.1.- Aprendizaje esperado Aplicar los conceptos de Estática y Leyes Físicas, en distintas estructuras de construcción.

1.2.- Aprendizaje esperado Analizar el equilibrio de una partícula, partícula, aplicada a estructuras de la construcción.

Unidad 2 - Sistema de fuerzas y momentos y cuerpos en equilibrio. 2.1.- Aprendizaje esperado Analizar sistema de fuerzas y momentos momentos de un cuerpo rígido. 2.2.- Aprendizaje esperado: Analizar el equilibrio de un cuerpo rígido en el plano mediante tipos de apoyos.

Unidad 3 - Centro de gravedad y momento de inercia. 3.1.- Aprendizaje esperado Analizar el centro de gravedad de diferentes elementos de una estructura. 3.2.- Aprendizaje esperado Analizar el momento de inercia de de un cuerpo según su geometría. 2 Área Construcción


Unidad 4 - Análisis de estructuras. 4.1.- Aprendizaje esperado Determinar esperado Determinar distintos tipos de estructuras, según su diseño, ligadas a una obra obra de construcción. 4.2.- Aprendizaje esperado esperado Analiza estructuras y tipo de armaduras, considerando distintas obras de construcción.

3 Área Construcción


ÍNDICE UNIDADES 1

UNIDAD 1 – PRINCIPIO PRINCIPIO DE LA ESTÁTICA DE LAS PARTÍCULAS................................................. ................................................................. ................. 8 1.1.- Introducción Aprendizaje esperado 1 ..............................................................................................................8 1.2.- Vector ............................................................................................................................................................8 1.3.- Operaciones Vectoriales .................................................................................................................................8 1.3.1.- Ley del paralelogramo.................................... .................................................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ..................... ....... 8 1.3.2.- Construcción triangular........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. .............. 9 1.3.3.- Construcción triangular (propiedad conmutativa).............................. conmutativa)............................................. ............................. ............................ ............................ ............................ ........................ .......... 10 1.3.4.- Suma de más de dos vectores. ................... ................................ ........................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ........................ .......... 10 1.3.5.- Suma de vectores colineales........................................ ..................................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. .................... .....11

1.4.- Problema resuelto: suma de vectores....................................................... ..................................................... 11 1.5.- Componentes rectangulares r ectangulares de una fuerza. .............................................. ................................................................................................... ..................................................... 13 1.6.- Resultantes de fuerzas .................................................. ......................................................................................................... ....................................................... ......................... 14 1.7.- Problema resuelto: fuerza resultante .................................... ........................................................ ................ 15 1.8.- Problema resuelto 1: Aprendizaje A prendizaje esperado 1. ................................................... ............................................................................................... ............................................ 18 1.9.- Problema resuelto 2: Aprendizaje A prendizaje esperado 1. ................................................... ............................................................................................... ............................................ 20 1.10.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 1. ................... .................................................... .................. 22 1.11.- Introducción Aprendizaje esperado 2 .................................. ........................................................ ................ 25 1.12.- Equilibrio de una Partícula. ................................................... .................................................... .................. 25 1.13.- Equilibrio estático. ............................................. ................................................................................................... ...................................................... ................................... 25 1.14.- Primera Ley de Newton............................................... ................................................................................................... ..................................................... ........................... 25 1.15.- Diagrama de cuerpo c uerpo libre (DCL) ................................................................................................. .................. 25 1.16.- Problema resuelto: D.C.L. ...................................................... .................................................... .................. 26 1.17.- Sistema de fuerzas coplanares ........................... ...................................................... ................................... 27 1.18.- Problema resuelto: equilibrio de una partícula. ........... ..................................................... ........................... 27 1.19.- Fuerzas en el espacio. ........................................ ...................................................... ................................... 29 1.19.1.- Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio. ................................ .............................................. ............................ ............................ ............................ ...................... ........ 29

1.20.- Problema resuelto: Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio. .............................................. 30 1.21.- Fuerza resultante en el espacio. ............................................ .................................................... .................. 33 1.22.- Problema resuelto: Fuerza resultante en el espacio. .................................................................................... ................................ .................................................... 34 1.23.- Equilibrio de una partícula en el espacio. ................................................ ..................................................................................................... ..................................................... 38 1.24.- Problema resuelto: Equilibrio de una partícula en el espacio. ....................................................... ................ 38 1.25.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 2. ................................................. ............................................................................................. ............................................ 42 4 Área Construcción

Estática Estructural 1.26.- Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 2. .................................................................................... ......... 44 1.27.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 2. ................... .................................................... .................. 49

2

UNIDAD 2 – SISTEMA SISTEMA DE FUERZAS Y MOMENTOS Y CUERPOS EN EQUILIBRIO. ..................................... 52 2.1.- Introducción Aprendizaje esperado 1. .................. ...................................................... ................................... 52 2.2.- Momento de una fuerza .......................................................................... ...................... .................................................... ..................................................... 52 2.3.- Magnitud de Mo .................................................. ........................................................................................................ ...................................................... ................................... 55 2.4.- Sentido del Momento. .................................................. ......................................................................................................... ....................................................... ......................... 55 2.5.- Problema resuelto: Momento de una fuerza. .......................... .................................................... .................. 55 2.6.- Momento resultante. .................................................... ....................................................... ......................... 57 2.7.- Problema P roblema resuelto: Momento resultante. ................................................. ...................................................................................................... ..................................................... 57 2.8.- Problema resuelto 1: Aprendizaje A prendizaje esperado 1. ................................................... ............................................................................................... ............................................ 57 2.9.- Problema resuelto 2: Aprendizaje A prendizaje esperado 1. ................................................... ............................................................................................... ............................................ 59 2.10.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 1. ................... .................................................... .................. 61 2.11.- Introducción Aprendizaje esperado 2. ................................. ........................................................ ................ 64 2.12.- Reacciones en los apoyos. ..................................................... .................................................... .................. 64 2.12.2.- Apoyo articulado o de pasador. ................................... ................................................. ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................. ... 65 2.12.3.- Apoyo empotrado. ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................. ... 65

2.13.- Problema resuelto 1: Cálculo de reacciones. .................................................... ............................................ 66 2.14.- Problema resuelto2: Cálculo de reacciones. ................................................................................................. 67 2.15.- Fuerzas Distribuidas .................................................... ....................................................... ......................... 70 2.15.1.- Uniformemente distribuidas .......................... ........................................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ................. ... 71 2.15.2.- No uniformemente distribuidas................................... ................................................. ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................. ... 71 2.15.3.- Resultante de una fuerza distribuida ................................ .............................................. ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. .......................... ............ 72

2.16.- Problema resuelto 1: Cálculo de reacciones con fuerzas distribuidas uniforme. ............................................ ................... ......................... 74 2.17.- Problema resuelto 2: Cálculo de reacciones con fuerzas distribuidas combinadas. ........................................ 76 2.18.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 2. .................................................................................... ......... 78 2.19.- Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 2. .................................................................................... ......... 79 2.20.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 2. ................... .................................................... .................. 83

3

UNIDAD 3 – CENTRO CENTRO DE GRAVEDAD Y MOMENTO DE INERCIA ............................................................ 86 3.1.- Introducción Aprendizaje esperado 1. .................. ...................................................... ................................... 86 3.2.- Centroide (C) ................................................................................................................................................ 86 3.3.-Problemas resueltos: Centroide de figuras simples. ........................................................................................ 87 3.3.1.- Problema resuelto 1 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................. ... 87


Estática Estructural 3.3.2.- Problema resuelto 2 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................. ... 87 3.3.3.- Problema resuelto 3 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................. ... 88

3.4.- Centroide de figuras compuestas. compuestas. ................................................... .................................................... ......... 88 3.5.-Problema resuelto: Centroide de figuras compuestas. ........................................................................... ......... 89 3.5.1.- Problema resuelto 1 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................. ... 89 3.5.2.- Problema resuelto 2 ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................. ... 90

3.6.- Problema resuelto 1: Aprendizaje A prendizaje esperado 1. ................................................... ............................................................................................... ............................................ 91 3.7.-Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 1................................... ..................................................... ......... 94 3.8.-Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 1. ................................................................. ........................... 98 3.9.- Introducción Aprendizaje esperado 2. ............................................................... .......................................... 101 3.10.- Momento de Inercia (I) ............................................... ..................................................... ......................... 101 3.11.- Problemas resueltos: Momento de Inercia de figuras simples. .............................................................. ..... 102 3.11.1.- Problema resuelto 1. .......................... ......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............102 3.11.2.- Problema resuelto 2. .......................... ......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............103

3.12.- Teorema de Steiner o de los Ejes paralelos ........................................................................................... ..... 103 3.13.-Problemas resueltos: Momento de Inercia de figuras simples. ............................................................... ..... 104 3.13.1.- Problema resuelto 1 ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............104 3.13.2.- Problema resuelto 2 ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............105

3.14.- Momentos de inercia de figuras compuestas ................................................... ............................................................................................. .......................................... 106 3.15.-Problemas resueltos: Momento de Inercia de figuras compuestas. ................... .......................................... 107 3.15.1.-Problema resuelto 1............................ .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............107 3.15.2.-Problema resuelto 2............................ .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............109

3.16.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 2. .................................................................................... ....... 112 3.17.-Problema resuelto 2: 2 : Aprendizaje esperado 2. .................................................. ............................................................................................ .......................................... 116 3.18.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 2. ................... .................................................... ................ 120

4

UNIDAD 4 – ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. .............................................. ............................................................................................122 ..............................................122 4.1.- Introducción Aprendizaje esperado 1. ............................................................... .......................................... 122 4.2.- Estructura. .................................................. ........................................................................................................ ...................................................... .......................................... 122 4.3.- Armadura. .................................................. ........................................................................................................ ...................................................... .......................................... 122 4.3.1.- Armadura plana. ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 122 4.3.2.- Armadura espacial. ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................ 123

4.4.- Marcos. ...................................................... ...................................................... .......................................... 123 4.5.- Máquinas. .................................................................................................................................................. 123 4.6.- Elementos estructurales. ........................................................ .................................................... ................ 124 4.6.1.- Tensores. ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. .................. ... 124


Estática Estructural 4.6.2.- Vigas. ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. ......................... .......... 124 4.6.3.- Columnas. ............................ ........................................... ............................ ........................... ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ................ 125

4.7.- Introducción Aprendizaje esperado 2. ............................................................... .......................................... 125 4.8.- Método de cálculo. ........................................................................................... .......................................... 125 4.9.- Hipótesis de diseño..................................................................................................................................... diseño..................................................................................................................................... 125 4.10.- Tracción y compresión. .......................................................................... ................................................... 126 4.11.- Método de los Nodos. ................................................. ...................................................................................................... ..................................................... ......................... 126 4.11.1.- Procedimiento para solución de problemas. ....................................... ..................................................... ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 127

4.12.-Problema resuelto: Método de los Nodos................................................ .................................................................................................. ................................................... 127 4.13.- Método de las secciones. ................................................................................................. ......................... 134 4.13.1.- Procedimiento para solución de problemas. ....................................... ..................................................... ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 134

4.14.-Problema resuelto: Método de las Secciones. ................................................... ............................................................................................. .......................................... 135 4.15.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 2. .................................................................................... ....... 139 4.16.- Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 2. .................................................................................... ....... 143 4.17.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 2 .................... .................................................... ................ 147

5

ANEXO.............................................. ................................................................................................. .................................................................................................148 ..............................................148 5.1.- Conceptos básicos. ..................................................................................................................................... 148 5.1.1.- Estática. ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 148 5.1.2.- Partícula. ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. .................. ... 148 5.1.3.- Cuerpo Rígido............................ ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ........................ .......... 148 5.1.4.- Fuerza............................ ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ...................... ........ 148 5.1.5.- Escalar. ............................ ........................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 148 5.1.6.- Vector............................ ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ...................... ........ 149 5.1.7.- Unidades SI............................. SI............................................ ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............149

5.2.- Conceptos de Geometría: .............................................. ................................................................................................... ..................................................... ......................... 149 5.2.1.- Ángulos ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ...... 149

5.3.- Conceptos de Trigonometría: .................................................. ...................................................................................................... .................................................... ................ 151 5.3.1.- Funciones trigonométricas básicas: ........................... ......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................ ........................... .................... ......151 5.3.2.- Ley de los Senos: ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ .................... ......152 5.3.3.- Ley de los Cosenos: ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................. ............................. ............................ ............................ ............................ ................152

5.4.- Teorema particular de Pitágoras ................................... ....................................................... ....................... 152 5.5.- Leyes de de Newton: ............................................... ..................................................................................................... ...................................................... ................................. 153 5.5.1.- Primera Ley: ........................... .......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............153 5.5.2.- Segunda Ley: .......................... ......................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............153 5.5.3.- Tercera Ley: ............................ ........................................... ............................. ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ............................ ........................... .............154

5.6.- Tabla de centros de gravedad y momento de inercia. ................................ .................................................. 155

6

BIBLIOGRAFÍA ............................................ .............................................................................................. ........................................................................................157 ......................................157 7

Área Construcción


1

UNIDAD 1 – PRINCIPIO DE LA ESTÁTICA DE LAS PARTÍCULAS.

Aprendizaje esperado 1. Aplicar los los conceptos conceptos de Estática Estática y Leyes Leyes Físicas, Físicas, en distintas distintas estructuras estructuras de construcción.

1.1.- Introducción Aprendizaje esperado 1 En esta unidad vamos a analizar las cargas que están presentes en las estructuras de construcción, para esto vamos a interiorizarnos en el estudio de los vectores para graficar las fuerzas que encontraremos en diversos problemas en el ámbito de la construcción.

1.2.- Vector Un vector se representa gráficamente por medio de una flecha, la cual se usa para definir su magnitud, dirección y sentido (ver figura 1.1). La magnitud del vector es la longitud de la flecha, la dirección es definida por el ángulo entre en tre el eje X y la línea de acción del vector y el sentido queda definido por la cabeza del vector.

Fig.1.1 Vector. Fig.1.1 Vector. Magnitud = 500N, Dirección = 30°, Sentido = según cabeza

1.3.- Operaciones Vectoriales 1.3.1.- Ley del paralelogramo Dos vectores A vectores A y y B pueden sumarse para formar un vector resultante R, usando la ley del paralelogramo. paralelogramo.

R=A+B 8 Área Construcción


Para hacer esto tenemos los siguientes pasos (ver figura 1.2): a) Sea dos vectores A vectores A y y B b) Unir los vectores por sus colas c) Trazar líneas paralelas desde la cabeza de cada vector d) La resultante R es la diagonal del paralelogramo

a)

b)

c)

d)

Fig.1.2 Suma Fig.1.2 Suma de vectores según Ley de Paralelógramo.

1.3.2.- Construcción triangular También podemos realizar la suma los vectores A vectores A y y B mediante construcción triangular con los siguientes pasos (ver figura 1.3): a) Sea dos vectores A vectores A y y B b) Conectar a la cabeza de A de A la la cola de B c) La resultante R se extiende desde la cola de A de A hasta hasta la cabeza de B

a)

b)

c)

Fig.1.3 Suma Fig.1.3 Suma de vectores según Construcción Triangular



1.3.3.- Construcción triangular (propiedad conmutativa) Según la propiedad conmutativa de la suma de vectores, podemos sumar los vectores A vectores A y B mediante construcción triangular con los siguientes pasos (ver figura 1.4): a) Sea dos vectores A vectores A y y B b) Conectar a la cabeza de B la cola de A de A c) La resultante R se extiende desde la cola de B hasta la cabeza de A de A

a)

b)

c)

Fig.1.4 Propiedad Fig.1.4 Propiedad conmutativa Construcción Triangular.

1.3.4.- Suma de más de dos vectores. De manera similar a la construcción triangular, en el caso que sumar más de dos vectores, tendremos que conectar todos los vectores con el sistema cabeza-cola y trazar a resultante desde la cola del primer vector hasta la cabeza del último vector (ver figura 1.5).

a)

b)

c)

Fig.1.5 Suma Fig.1.5 Suma de más de dos vectores vec tores



1.3.5.- Suma de vectores colineales. Como caso especial, si los dos vectores A y B son colineales, es decir, si ambos tiene la misma línea de acción, la ley del paralelógramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar (suma de los módulos), manteniendo la misma línea de acción (ver figura 1.6).

R=A+B

a)

b)

Fig.1.6 a) Fig.1.6 a) Dado los vectores A y B con la misma línea de acción eje X b) El resultado R es la suma algebraica.

1.4.- Problema resuelto: suma de vectores. Se aplican dos fuerzas en el punto B de la viga AB AB (ver figura 1.7), derterminar la magnitud de la la resultante R mediante construcción triangular.

Fig.1.7 Viga Fig.1.7 Viga AB, sometida a dos fuerzas.



Solución: Para solucionar este problema seguiremos los siguientes pasos: a) conectamos la cola de la fuerza de 300N a la cabeza de la fuerza de 200N, manteniendo la dirección original, b) trazamos la resultante desde la cola del primer vector hasta la cabeza del segundo vector (ver figura 1.8).

a)

b)

Fig.1.8 Construcción Construcción triangular

Una vez que tenemos un esquema de la suma de vectores, podemos ver que el ángulo β es el suplemento de 60° (ver figura 1.9), por lo tanto:

β + 60° = 180° β = 180° - 60° β = 120° c)

d) Fig.1.9 Construcción Fig.1.9 Construcción triangular

De esta manera podemos recordar le Ley de los cosenos y calcular el valor de R,

 = √    ∙ ∙ Utilizando los valores de problema,



R

= √    ∙°

R = 435.88N

Respuesta

1.5.- Componentes rectangulares de una fuerza. En muchos problemas será conveniente descomponer una fuerza en sus dos componentes perpendiculares entre sí. Dado el vector F , lo descomponemos en una y a componente F x a a lo largo del eje x y y una componente F y a lo largo del eje y . El paralelogramo trazado para obtener las dos componentes es un rectángulo, y las fuerzas F x y F y se llaman y se componentes rectangulares (ver figura 1.10).

a)

b)

Fig.1.10 a) Dado el vector F . b) Componentes Rectangulares.

y son Los componentes F x y F y son las componentes vectoriales de la fuerza F. θ es ángulo entre la fuerza F y y el eje x , medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. positivo.

Si se representa con F la magnitud de la fuerza F , se pueden expresar las componentes como: “escalares” de F como:

F x = = F cos θ

= F sen sen θ F y =

La componente escalar Fx es es positiva cuando la componente vectorial F x tiene tiene el mismo sentido que el eje x positivo y es negativa si tiene el sentido opuesto (eje x negativo). Lo mismo pasa con el signo de la componente escalar Fy.



Si una fuerza F se se define por sus componentes escalares Fx y y Fy , el ángulo θ que define su dirección puede obtenerse o btenerse escribiendo:

tg θ =

 

La magnitud F de de la fuerza f uerza se obtiene con el teorema de Pitágoras:

 = √    1.6.- Resultantes de fuerzas Para encontrar la resultante de un sistema de fuerzas primero, cada fuerza es resuelta en sus componenetes escalares x e y , y luego las componentes son sumadas usando álgebra escalar (ver figura 1.11). Por ejemplo, consideremos tres fuerzas A, B y C:

Componentes esclares de cada vector: vector: Vector A = A x , , A y Vector B = (- B x ) , B y Vector C = C x ,( ,(- C y )

Resultante (escalar): (escalar): R x = = A x + + (- B x ) + C x R y = = A y + + B y + + (- C y ) Fig.1.11 Vectores Fig.1.11 Vectores A, B y C en el plano

En caso general, las componentes x e y de la resultante pueden ser representadas simbólicamente por medio de la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas mediante la siguiente fórmula: 14 Área Construcción


 = ∑   ;  = ∑  Una vez que se determinen las componentes de la resultante, pueden trazarse en un croquis a lo largo de los ejes x e e y en sus propias direcciones, y la fuerza resultante puede ser determinada con la suma vectorial (ley del paralelogramo, ver figura 1.12).

Fig.1.12 Componentes resultantes y fuerza resultante.

A partir de este croquis, la magnitud de F R se encuentra con el teorema de Pitágoras. También, se puede obtener la dirección del vector resultante ( θ) con la tangente del ángulo.

1.7.- Problema resuelto: fuerza resultante Se aplican dos fuerzas al cuerpo mostrado en la figura 1.13, determinar la magnitud de la fuerza resultante y su dirección.

Fig.1.13 Cuerpo sometido a dos fuerzas.



Solución: Primero vamos a resolver cada fuerza en sus componentes escalares

Fuerza 150N:

Fx = 150N cos30° Fy = 150N sen30° Fx = 129.9N

Fy = 75N

Fig.1.14 Fuerza 150N

Fuerza 300N:

Fx = - 300N cos45°

Fy = 300N sen45°

Fx = - 212.13N

Fy = 212.13N

Fig.1.15 Fuerza 300N

Una vez que tenemos todas las componenetes de todas las fuerzas, calculamos la fuerza resultante aplicando la sumatoria. Para el eje X:

Para el eje Y:

FRx = 129.9N – 212.13N

FRy = 75N + 212.13N

FRx = - 82.22N

FRy = 287.13N



De esta manera tenemos las componenetes de la fuerza resultante. Podemos calcular la magnitud con pitágoras:

 = √ 82.22 287.13 FR = 298.66N Respuesta

Para entender de mejor manera el resultado podemos hacer un croquis con las componentes de la fuerza resultante y trazar la fuerza resultante (ver figura 1.16).

Para calcular la dirección utilizaremos el arcotangente de θ: θ = Arctg

287.82.2123

θ = 74°

Fig.1.16 Croquis fuerza resultante

Para el cálculo del ángulo podemos utilizar el valor positivo de FRx, teniendo la consideración de dónde está ubicado en el croquis, de esta manera podemos ver que el ángulo de FR respecto del eje X positivo será (ver figura 1.17):



θ + β = 180°

= 180° - θ β = = 180° - 74° β =

= 106° Respuesta β =

Fig.1.17 Dirección fuerza resultante.

1.8.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 1. Se tiene una viga AB empotrada en A (ver figura 1.18), en B tiene un cáncamo soldado que a su vez sostiene sostiene dos cable, cable, un cable BD donde llega a un cuerpo de masa masa m1, el otro cable BC pasa por un rodillo C, llegando hasta el cuerpo de masa m 2. Determine la fuerza total aplicada al cáncamo B, sabiendo que m 1 = 100kg, m 2 = 200kg y α = 40°. Desprecie el peso de los cables.

Fig.1.18 Viga Viga AB



Solución: En este problema la clave es definir el elemento que vamos a analizar con un D.C.L., en este caso lo conveniente es el cáncamo B (ver figura 1.19).

W1: Corresponde a la fuerza que ejerce el peso de la masa m 1 W2: Corresponde a la fuerza que ejerce el peso de la masa m 2

 

 

W1 = 100kg · 9.81

W2 = 200kg · 9.81

W1 = 981N

W2 = 1962N

Fig.1.19 D.C.L. Fig.1.19 D.C.L. cáncamo

A continuación realizaremos el triángulo de fuerzas, con W 1 y W2 para encontrar la resultante que se aplica en el cáncamo B (ver figura 1.20).

Utilizando ley de los cosenos:

= √ 981 1962  2981 9811962∙cos50° 1962∙cos50° R=. Respuesta R

Fig.1.20 Triángulo Fig.1.20 Triángulo de fuerzas



1.9.- Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 1. Se aplican tres fuerzas al cuerpo mostrado en la figura 1.21, determinar la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, si se sabe que F 1 = 200N, F2 = 350N y F3 = 680N.

Fig.1.21 Problema Fig.1.21 Problema resuelto.

Solución: Aplicando sumatoria de componentes

 = ∑   = 200 · 20°  350 · 30°  680 · 40°  = .  = ∑   = 200 · 20°  350 · 30°  680 · 40°  = .  20 Área Construcción


Utilizando Pitágoras

 =       = √ 157. 157.97 808.6  = .  Realizamos un croquis con las componentes calculadas.

Para calcular la ángulo utilizaremos la tangente de θ:

=   = =   .  = = .  =78.94° Para calcular la dirección: La dirección está dado por el ángulo β:

=180° =180°78.94° =.°



1.10.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 1. Problema propuesto 1.1.En la figura P1.1 se muestra un poste con dos cables sujetos a una base A, determine la fuerza total que los cables ejercen sobre el punto A, si se sabe que las tensiones de los cables son: T1 = 1250N y T2 = 750N.

Respuesta:

 =  . 

Fig.P1.1 Problema Fig.P1.1 Problema propuesto 1.1.

Problema propuesto 1.2.En la figura P.1.2 se muestra una viga AB empotrada en A. En B se tiene una viga V y se aplica una fuerza F. Determine el valor de la fuerza resultante y la dirección si se sabe que la viga tiene una masa de 127.42kg y F = 500N.

Respuesta:

 =  .  Dirección = 291.81°




Problema propuesto 1.3.En la figura P1.3 se muestra un aplaca sometida a dos fuerzas, determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, si se sabe que P = 15kN y F = 10kN.

Respuesta:

 =. Dirección = 343.78°


Problema propuesto 1.4.En la figura P1.4 se muestra un viga AB empotrada, en B se dispone de un cuerpo de masa m y tres fuerzas, determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, si se sabe que F1 = 30kN, F2 = 8000N, F3 = 25kN y m = 400kg.

Respuesta:

 =. Dirección = 14.85°




Problema propuesto 1.5.En la figura P1.5 se muestra un aplaca sometida a cinco fuerzas, determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección, si se sabe que F 1 = 300N, F 2 = 450N, F 3 = 200N, F 4 = 500N y F5 = 150N.

Respuesta:

 =. Dirección = 82.2°




Aprendizaje esperado 2. 2. Analizar el el equilibrio equilibrio de una una partícula, partícula, aplicada aplicada a estructuras estructuras de la construcción. construcción.

1.11.- Introducción Aprendizaje esperado 2 Continuando con el análisis de cargas aplicadas a las estructuras de la construcción se introducirá el concepto de equilibrio de una partícula, donde se estudiarán ecuaciones que nos permitirán resolver distintos problemas de aplicación.

1.12.- Equilibrio de una Partícula. Una partícula estará en equilibrio siempre que esté en reposo si originalmente estaba en reposo, o siempre que tenga una velocidad constante si originalmente estaba en movimiento.

1.13.- Equilibrio estático. Se usa más a menudo para describir un objeto en reposo.

1.14.- Primera Ley de Newton. Recordando lo explicado en la unidad 0, la fuerza resultante que actúa sobre una partícula tiene que ser igual a cero. Matemáticamente Matemáticamente tenemos:

∑ = 0 1.15.- Diagrama de cuerpo libre (DCL) Es un dibujo que muestra la partícula aislada y libre de su entorno, mostrando todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre ella. Procedimiento: 1.- Elegir la partícula que tenga la totalidad de las fuerzas involucradas 2.- Dibujar la partícula (o geometría considerada como partíacula) seleccionada y mostrar todas la fuerzas que actúan sobre la partícula: Fuerzas activas: tienden a poner en movimiento la partícula 25 Área Construcción


Fuerzas reactivas: tienden a evitar el movimiento (reacciones) 3.- Las fuerzas conocidas deben ser marcadas con sus magnitudes y direcciones. Para representar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas se usan letras.

1.16.- Problema resuelto: D.C.L. En la figura 1.24 se observa un cuerpo de masas m, que está sostenido por dos cables desde el cáncamo C del cuerpo hasta los cáncamos A y C, realice el D.C.L en el punto mas conveniente para representar todas las fuerzas que están presentes.

Fig.1.24 Ejemplo Fig.1.24 Ejemplo D.C.L.

Solución: Siguiendo el procedimiento elegimos como partícula el cáncamo C ya que permitirá tener todas las fuerzas involucradas. Al dibujar todas las fuerzas quedará como lo que se muestra en la figura 1.25.

Fig.1.25 Fuerzas Fig.1.25 Fuerzas sobre el cáncamo C

Acá se representa el cáncamo C, la tensión T AC que produce el cable del cáncamo A, la tensión TBC que produce el cable del cáncamo B y la fuerza del peso W que tiene el cuerpo de masa m.



1.17.- Sistema de fuerzas coplanares Por equilibrio, la suma algebraica de las componentes x e y de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula sea igual a cero.

∑ =0 ∑ =0 1.18.- Problema resuelto: equilibrio de una partícula. Se tiene un cuerpo de masa m, sostenido mediante un cáncamo C mediante dos cables que a su vez están dispuestos en los cáncamos A y B según la figura 1.26. Determine el valor de la tensión de cada cable sabiendo que el cuerpo tiene una masa de 100kg.

Fig.1.26 Equilibrio Fig.1.26 Equilibrio de una partícula.

Solución: Para este caso primero realizaremos el D.C.L del cáncamo C, donde TAC es la tensión del cable dispuesto en el cáncamo A, TBC es la tensión del cable dispuesto en el cáncamo B y W es el peso del cuerpo de masa m (ver figura 1.27).

Fig.1.27 D.C.L. D.C.L. 27 Área Construcción


Utilizaremos el triángulo de fuerzas para solucionar este problema, como se puede observar en la figura 1.28, se hace la suma vectorial de las tres fuerzas presentes, manteniendo sus correspondientes direcciones. A continuación, mediante uso de geometría, se encuentran los ángulos interiores del triángulo de fuerzas para poder utilizar la ley de los senos y encontrar fácilmente los valores de las tensiones de los cables. Cabe destacar que la fuerza W llega hasta el origen de TBC, esto da a suponer que no habrá una resultante en esta suma de vectores, ya que el vector resultante desde el origen hasta el final es cero. Esto concuerda con el equilibrio de una partícula, la sumatoria de las fuerzas es igual a cero. Recordando la fórmula:

 =  =     Aplicamos a nuestro problema para calcular T AC :

 =  ° °  =  ° ° T AC = = 100N ·



; w = 100kg · 9.81 = 981N

 

T AC = = 879.54N

°

°

Respuesta

Fig.1.28 Triángulo Triángulo de fuerzas.

A continuación, calculamos para T BC BC :

 =  ° °  =  ° ° T BC = 100N · BC =

 

T BC BC = 262.85N

°

°

Respuesta



Para finalizar, podemos calcular el valor de W con con la ley de los cosenos:

 =  ((      ·   ·  ∙°)

= 980.99N

, este resultado es por la aproximación del valor de las tensiones.

1.19.- Fuerzas en el espacio. 1.19.1.- Componentes Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio. Si ubicamos un vector F en el espacio (ver figura 1.29), podemos proyectar las compontes F x , F y y y y F z, en los ejes x ejes x , y y z y z..

Fig.1.29 Vector F en en el espacio.

La magnitud de la fuerza F la la podemos calcular con la siguiente fórmula:

 =  (    ) El vector F tiene tiene tres ángulos respecto de cada eje, θx, θy y θz (ver figura 1.30).



Fig.1.30 Ángulos Fig.1.30 Ángulos de F respecto de los ejes x ejes x , y y z y z.

Con estos ángulos y utilizando trigonometría podemos encontrar las componentes F x , F y y y F z:

 =·

 =·

 =·

Si despejamos los cosenos en cada caso, tenemos:

 = 

 = 

 = 

Para calcular el ángulo respecto de cada eje podemos aplicar la función inversa de coseno:

 = =   = =   = =  1.20.- Problema resuelto: Componentes rectangulares rectangulares de una fuerza en el espacio. En el siguiente problema se observa un poste eléctrico con dos cables AB y AC, que jalan hasta sus bases B y C respectivamente, con las dimensiones que se muestran el la figura 1.31. Determinar las componentes de la tensión T “aplicado en la base C ”, si el valor de la tensión T es de 2000N.



Fig.1.31 Componentes Fig.1.31 Componentes de una fuerza en el espacio.

Solución:

Se puede visualizar las componentes de T en en la figura 1.32. Recordando las fórmulas para las componentes de la fuerza T:

=· =· =· Fig.1.32 Componentes Fig.1.32 Componentes de T.

Como dato, T = 2000N, para los determinar los cosenos de los ángulos respecto de los ejes x ejes x , y y z y z lo lo más conveniente es utilizar la geometría del problema.

Para entender este procedimiento vamos a visualizar en primer lugar sólo la tensión T , la componente T x y y el ángulo  (ver figura 1.33). Podemos ver un triángulo rectángulo, donde





podemos aplicar trigonometría para obtener el coseno de geometría, NO calculando el valor del ángulo.



en función de sólo de la

Fig.1.33 Tensión Fig.1.33 Tensión T y y componente x componente x .

En la figura 1.34 se pude ver el triángulo rectángulo de mejor manera, donde podemos p odemos identificar fácilmente el cateto x cateto x y y la hipotenusa h, acá el coseno de  sería:



 =  , acá no tenemos h, por lo tanto, = √      = √ 3  4  2 h h

h = 5.38m

 = .− Fig.1.34 Triángulo Fig.1.34 Triángulo rectángulo.

Por lo tanto,

=2000· =2000· .− =  .

, componente x componente x de T 32

Área Construcción


De esta misma manera podemos calcular las demás componenetes T y y y y T x , tomado como referencia la fgura 1.35.

=· =2000· =2000· .

=.

=· =2000· =2000· .

=.

Fig.1.35 Componentes Fig.1.35 Componentes de T.

1.21.- Fuerza resultante en el espacio. La resultante F R de la suma de fuerzas en el espacio se puede calcular mediante la suma de las componentes rectangulares:

 = ∑    = ∑   = ∑   La magnitud de la resultante F R la podemos calcular mediante:

 =  (    ) La resultante F R al ser un vector en el espacio también tendrá ángulos, θx, θy y θz respecto de los ejes x ejes x , y y z y z (ver (ver figura 1.36).



Fig.1.36 Ángulos Fig.1.36 Ángulos F R respecto de los ejes x ejes x , y y z y z..

Para calcular los ángulos tenemos las siguientes fórmulas:

    = =     = =     = =   1.22.- Problema resuelto: Fuerza resultante en el espacio. En el siguiente problema se observa un poste eléctrico con dos cables AB y AC, que jalan hasta sus bases B y C respectivamente, con las dimensiones que se muestran el la figura 1.37. Determinar las componentes de la tensión resultante aplicada en A, la magnitud de la tensión resultante y los ángulos que tiene ésta respecto de los ejes x ejes x , y y z y z.. Si T = = 1500N.



Fig.1.37 Fuerza Fuerza resultante en el espacio.

Solución: Lo primero es determinar las componentes de cada tensión aplicada en A (ver figura 1.38). Componentes T AB: h h

= √      = √ 3 4  2

h = 5.38m

 =·  =1500· .

  = .  Fig.1.38 Componentes Componentes T AB

 =·

 =· 35

Área Construcción


 =1500· 5.438

 =1500· 5.238

  =.

  =.

Componentes T AC : h h

= √      = √ 3 4  2

h = 5.38m

 =·  =1500· =1500· .

  = .  Fig.1.39 Componentes Fig.1.39 Componentes T AC .

 =·  =1500· =1500· 5.438

  =.

 =·  =1500· =1500· 5.238

  =.

Aplicando las fórmulas de sumatoria de componentes:

 = ∑   =       = 836.43N + 836.43N

 = . 

 = ∑  =       =1115.241115.24

 = .



 = ∑  =       =557.62557.62

 = 

Para interpretar los resultados de las componentes podemos hacer un croquis (figura 1.40):

La magnitud de la resultante:

 =  (    )  = √ 1672.86 2230.48 2230.48  0

 =.

Cálculo de los ángulos respecto de los ejes:

Fig.1.40 Componentes Fig.1.40 Componentes resultante.

 = =   48  = = 2230. 2788.1

 = =   86  = = 1672. 2788.1

 =.°

 =.°



1.23.- Equilibrio de una partícula en el espacio. Por equilibrio, la suma algebraica de las componentes x, y y z de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula sea igual a cero.

∑ =0

∑ =0

∑ =0

1.24.- Problema resuelto: Equilibrio de una partícula en el espacio. En el siguiente problema se observa un cuerpo c uerpo de masa m que es sostenido por tres cables, AB, AC y AD (figura 1.41). Determine el valor de la fuerza F que se aplica al cable AD para mantener en equilibrio el sistema si se sabe que m = 200kg.

Fig.1.41 Equilibrio Fig.1.41 Equilibrio en el espacio.

Solución: Lo primero es realizar un D.C.L. Mostrando las fuerzas y tensiones que se aplican en el punto A (ver figura 1.42). Se muestra un esquema muy simplificado.



Fig.1.42 D.C.L. Fig.1.42 D.C.L. Fuerzas y tensiones.

Recordando el procedimiento utilizado en la solución del problema resuelto Fuerza resultante en el espacio y espacio y ayudándonos con la figura 1.42, tenemos que las componentes de cada fuerza o tensión serán: Tensión T AB h h

= √      = √ 2  3  4

h = 5.38m

 =  ·  =  ·  .

  = .·  

 =  ·  =  · .

  = .  ·  

 =  · 39 Área Construcción


 =  · 5.438

  = . . ·   Tensión T AC h h

= √      = √ 2  3  5

h = 6.16m

 =  ·  =  ·  .

  = .·  

 =  ·  =  · .

  = .  ·  

 =  ·  =  ·  6.516

  = .  ·  

Peso W C C

Fuerza F

=· =200·9.81 =200·9.81  =1962  =1962

 = 



Una vez que tenemos todas las componentes de las tensiones y fuerzas en el sistema, aplicamos las ecuaciones de equilibrio en el espacio.

∑ =0 0.371· 0.324·  =0 =0.371· 0.324· ∑ =0 0.557· 0.487· 1962 =0 0.557· 0.487· =1962 ∑ =0 0.743· 0.811· = 0 0.743· = 0.811 ·   = .. · 

(1)

(2)

(3)

Utilizando (3) en (2), tenemos:

0.557· 0.487· =1962 0.557· 0.557· .. ·  0.487· =1962 0.608· 0.487· =1962 1.095· =1962  =  .

  =.



Usando el valor de

 en (3):

 = 0.0.871143 ·   = .. ·1791.78

  =.

 y  en (1) =0.371· 0.324· =0.371·1955.760.324·1791.78

=.

Respuesta

1.25.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 2. En la figura 1.43 se muestran dos barras AB y BC, desde el punto B cuelga un cuerpo de masa m, determinar las tensiones de las barras si se sabe que: α = 33.69°, β = 53.13° y m = 200kg.

Fig.1.43 Problema Fig.1.43 Problema resuelto 2.



Solución: Primero, realizamos un D.C.L. del punto B (ver figura 1.44). Datos:

Fig.1.44 D.C.L. Fig.1.44 D.C.L.

 =33.69° =53.13° =· =200·9.81 =200·9.81  =1962

Realizando el triángulo de fuerzas (ver figura 1.45): Según los datos entregados:

=36.87° =56.31° =86.82° Fig.1.45 Triángulo de fuerzas.



Aplicamos ley de los senos:

 =   

 =   

   =  ·  .°  = 1962 ·   .°

   =  ·  .°  = 1962 ·   .°

  = 

 = 

1.26.- Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 2. En la figura 1.46 se observa una viga con apoyo articulado en un muro, en su extremo llegan dos cables AB y AC en en A. Un cuerpo de masa m se sostiene mediante otro cable en el mismo aro en A. Determine el valor de la tensión de cada cable y la fuerza horizontal que ejerce la viga hacia los cables si se sabe que el sistema se encuentra en equilibrio y m = 100kg.

Fig.1.46 Equilibrio de una partícula en el espacio.



Solución: Lo primero es realizar un D.C.L. Mostrando las fuerzas y tensiones que se aplican en el punto A (ver figura 1.47). Se muestra un esquema muy simplificado.

Fig.1.47 D.C.L. D.C.L. Fuerzas y tensiones.

Aplicando el procedimiento de componentes de una fuerza tenemos: Tensión T AB h h

= √      = √ 6  5  3

h = 6.36m

 =  ·  =  ·  .

  = .·  

 =  ·  =  · .

  = .  ·   45

Área Construcción


 =  · 3  =  · 8.36

  = . . ·  

Tensión T AC h h

= √      = √ 6  5  4

h = 8.77m

 =  ·  =  ·  .

  = .·  

 =  ·  =  · .

  = . . ·  

 =  ·  =  ·  .

  = .·  



Peso W C C

Fuerza F

=· =100·9.81 =100·9.81  =981  =981

 = 

Aplicando ecuaciones de equilibrio:

∑ =0 0.717· 0.684·  =0 =0.717· 0.684· ∑ =0 0.598· 0.57· 981 =0 0.598· 0.57· =981 ∑ =0 0.358· 0.456· = 0 0.358· = 0.456 ·   = .. ·   = 1.273 · 

(1)

(2)

(3)



(3) en (2):

0.598· 0.57· =981 0.598·1.273· 0.57· =981 1.331· =981  = . 

  =.

Respuesta

 en (3)  = 1.273 ·   =1.273·737.03

Valor

  =.

Respuesta

 y  en (1): =0.717· 0.684· =0.717·938.230.684·737.03 Valor de

=.

Respuesta



1.27.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 2. Problema propuesto 1.6.En la figura P1.6 se muestra un cuerpo de masa m sostenido por un cable en el aro ubicado en A, determine la tensión del cable AB y la fuerza F para que el sistema se mantenga en equilibrio, si se sabe que m = 200kg. Respuesta:

  =  .   =  . 


Problema propuesto 1.7.En la figura P1.7 se muestra un cuerpo de masa m sostenido por dos cables AB y AC en el aro ubicado en A, determine las tensiones de los cables para que el sistema se mantenga en equilibrio, si se sabe que m = 400kg. Respuesta:

  =  .    =  

Fig.P1.7 Problema Problema propuesto 1.7. 49 Área Construcción


Problema propuesto 1.8.En la figura P1.8 se muestra un poste con un cable AB, determine las componentes de la tensión del cable ejercido sobre el punto A y los ángulos respecto de los ejes x ejes x , y y z si z si se sabe que la tensión es de 2000N. Respuesta:

 =.  =  .   =.

 =115.09°  =31.96°  =71.45° Fig.P1.8 Problema Problema propuesto 1.8.

Problema propuesto 1.9.Se dispone de un cáncamo como se muestra en la figura P1.9, determine el valor de la fuerza resultante y los ángulos respecto de los ejes, si se sabe que F 1 = 1000N, F2 = 800N y F 3 = 2000N. Respuesta:

 =  . 

 =120.02°  =37.89°  =110.86° Fig.P1.9 Problema Fig.P1.9 Problema propuesto 1.9.



Problema propuesto 1.10.En el siguiente problema se observa un cuerpo de masa m que es sostenido por tres cables, AB, AC y AD (figura P1.10). Determine el valor de las tensiones de cada cable para mantener en equilibrio el sistema si se sabe que m = 500kg.

  =  .    =  .    =  . 




2

UNIDAD 2 – SISTEMA DE FUERZAS Y MOMENTOS Y CUERPOS EN EQUILIBRIO.

Aprendizaje esperado 1. 1. Analizar sistema sistema de fuerzas fuerzas y momentos momentos de de un cuerpo cuerpo rígido. rígido.

2.1.- Introducción Aprendizaje esperado 1. En esta unidad vamos a analizar el concepto de momento de una fuerza e incorporarla como una ecuación de equilibrio para la solución de problemas que se presentarán.

2.2.- Momento de una fuerza El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje se puede entender como una tendencia de la fuerza a ocasionar que un cuerpo gire alrededor del punto o eje. Si a una estructura en forma de T, dispuesta como se muestra en la figura 2.1 (a), se le aplica una fuerza F que llega perpendicularmente al elemento situado en el eje x y está contenida en el plano xz plano xz,, provocará una tendencia a girar o Momento respecto del eje y , con un sentido de giro, en este caso, antihorario positivo. Cabe destacar que hay una distancia d que comienza desde el eje z y llega en forma perpendicular a la línea de acción de la fuerza que utilizaremos para el cálculo del momento producido por esta fuerza. En la figura 2.1 (b) se puede observar una vista superior de (a) donde se aprecia un tanto simplificado los elementos nombrados anteriormente. En esta vista de plano se observa una tendencia del cuerpo a rotar respecto del punto o, donde se aprecia nuevamente que el giro será en sentido antihorario. El eje y se representa como un punto.



(a)

(b) Fig.2.1 Momento Fig.2.1 Momento respecto del eje y .

Si aplicamos una fuerza F perpendicularmente al elemento situado en el eje x y contenida en el plano x-(-y), x-(-y), como se muestra en la figura 2.2, la estructura tenderá a rotar respecto del eje z, produciendo un momento (M ( M), con un sentido de giro antihorario positivo. La distancia d es perpendicular a la línea de acción de la fuerza.

(a)

(b)

Fig.2.2 Momento Fig.2.2 Momento respecto del eje z eje z..



Si ahora aplicamos una fuerza F perpendicularmente al elemento situado en el eje y contenida en el plano y-z, y-z, como se muestra en la figura 2.3, la estructura tenderá a rotar respecto del eje x, produciendo un momento (M ( M), con un sentido de giro antihorario positivo. La distancia d es perpendicular a la línea de acción de la fuerza.

Fig.2.3 Momento Fig.2.3 Momento respecto del eje x eje x .

Si la fuerza F se aplica en dirección del eje x, no producirá ningún momento M, ver figura 2.4.

Fig.2.4 No Fig.2.4 No se produce momento.



2.3.- Magnitud de Mo La magnitud del momento se calcula mediante la fórmula:

=· Donde, M: Momento, F : Fuerza y d : Distancia perpendicular a F . La unidad de medida del momento M es la multiplicación de la fuerza (N) por la distancia (m), es decir, Nm (newton-metro).

2.4.- Sentido del Momento. El sentido del momento será horario (negativo) o antihorario (positivo) ver figura 2.5.

Fig.2.5 Sentido Fig.2.5 Sentido momento de una fuerza.

2.5.- Problema resuelto: Momento de una fuerza. Se tiene una viga empotrada como lo muestra la figura 2.6, con un cuerpo de masa m que está sostenido mediante un cable en B. Determinar el momento que produce el peso del cuerpo respecto del punto A y su sentido, si se sabe que m = 250kg

Fig.2.6 Momento Fig.2.6 Momento de una fuerza.



Solución: Primero realizamos un esquema del problema donde identifiquemos la fuerza que se aplica y la distancia (ver figura 2.7).

Fig.2.7 Esquema Esquema momento de una fuerza.

Calculando el peso del cuerpo

=· =250·9.81 =250·9.81  =2452.5 Calculando el momento respecto del punto A

=· =2452.5·2

=

Sentido horario



2.6.- Momento resultante. El momento resultante corresponderá a la suma de todos los momentos respecto de un punto o eje, considerando el signo según el sentido que tenga. Lo calcularemos mediante la siguiente fórmula:

 = ∑· 2.7.- Problema resuelto: Momento resultante. Se tiene una viga AB dispuesta según figura 2.8. Determinar el momento resultante respecto del punto A.

Fig.2.8 Momento Momento resultante de una fuerza.

Solución:

 = ∑·  = 150 · 1.5  200 · 3.5  = 475

 = 

Respuesta

2.8.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 1. En a figura 2.9 se muestra una viga AB empotrada en A, las vigas V 1 y V2 ejercen una fuerza de 3250N. Determine la posición de la viga V 1 para que en el punto A se ejerza un momento igual a 13 650Nm.



Fig.2.9 Problema Fig.2.9 Problema resuelto 1.

Solución: Para solucionar este problema tenemos que considerar las suma de los momentos producidos por las vigas 1 y 2 respecto del punto A tiene que dar 13 650Nm.

 =     =  ·    ·     ·  =  ·     ·  =   136503250·3 =  3250

 =.



2.9.- Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 1. Se tiene una viga empotrada como lo muestra la figura 2.10, 2.10, con un cuerpo de masa m 1 sostenido mediante mediante un cable en B y un cuerpo de masa masa m2 sostenido mediante un cable que pasa por un rodillo en C. Determinar el momento resultante que producen ambos cuerpos respecto del punto A. Si se sabe que m1 = 100kg, m2 = 200kg y α = 30°.

Fig.2.10 Momento Fig.2.10 Momento resultante.

Solución: Primero realizamos un esquema del problema donde identifiquemos las fuerzas que se aplican y las distancias (ver figura 2.11).

Fig.2.11 Esquema Fig.2.11 Esquema fuerzas.



Calculando los pesos de los cuerpos

=·  =100·9.81 =100·9.81   = 98 981 1   =200·9.81 =200·9.81   =1962 

Descomponiendo cada fuerza en sus componentes Módulo para la fuerza F1

 =981 Módulo para la fuerza F2

 =849.57  =490.5

Aplicando sumatoria de momentos:

 = ∑·  = 490.5 · 2.5  981 · 2.5  = 1226.25

El signo negativo indica momento resultante sentido horario

 =  . . 



2.10.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 1. Problema propuesto 2.1 Determine el momento total en el punto A de la viga empotrada de la figura P2.1 que producen las fuerzas que se muestran.

 = .  P2.1 Problema P2.1 Problema propuesto 2.1.

Problema propuesto 2.2 Determine el momento total en el punto A de la viga empotrada de la figura P2.2 que producen las fuerzas que se muestran.

 = .  P2.2 Problema P2.2 Problema propuesto 2.2.




 = .  P2.3 Problema P2.3 Problema propuesto 2.3.


 = . 

P2.4 Problema P2.4 Problema propuesto 2.4.



Problema propuesto 2.5 Determine el momento total en el punto A del poste empotrado de la figura P2.5 que producen las fuerzas que se muestran.

 = . 

P2.4 Problema P2.4 Problema propuesto 2.5.



Aprendizaje esperado 2. Analizar el el equilibrio equilibrio de un un cuerpo rígido en en el plano plano mediante mediante tipos tipos de apoyos. apoyos.

2.11.- Introducción Aprendizaje esperado 2. Vamos a incorporar el concepto de apoyos es una estructura y sus fuerzas de reacción para determinar sus valores mediante las ecuaciones de equilibrio.

2.12.- Reacciones en los apoyos. Las reacciones (fuerzas de reacción) que aparecen en los apoyos de las estructuras nacen al evitar la traslación y rotación de un u n elemento dado. Para entender esta idea vamos a estudiar tres tipos de apoyos que utilizaremos en el cálculo de problemas: rodillo, articulado o de pasador y empotrado.

2.12.1.- Apoyo de rodillo. Este tipo de apoyo previene una traslación vertical, por lo tanto ejercerá una fuerza de reacción vertical a la estructura. En la figura 2.12 se muestra un esquema del sistema (a), la simbología correspondiente correspondiente (b) y la reacción en el apoyo (c).

a)

b)

c)

Fig.2.12 Apoyo de rodillo.



2.12.2.- Apoyo articulado o de pasador. Este tipo de apoyo previene una traslación vertical y horizontal, por lo tanto ejercerá dos fuerzas de reacción, una vertical y otra horizontal a la estructura. En la figura 2.13 se muestra un esquema del sistema (a), la simbología correspondiente (b) y las reacciones en el apoyo (c).

a)

b)

c)

Fig.2.13 Apoyo articulado o de pasador.

2.12.3.- Apoyo empotrado. Este tipo de apoyo previene una traslación vertical, horizontal y la rotación, por lo tanto ejercerá dos fuerzas de reacción, una vertical, otra horizontal y un momento de reacción a la estructura. En la figura 2.14 se muestra un esquema del sistema (a), la simbología correspondiente (b) y las reacciones en el apoyo (c).

a)

b)

c)

Fig.2.14 Apoyo empotrado.



2.13.- Problema resuelto 1: Cálculo de reacciones. Se dispone de una viga según la figura 2.15, determinar el valor de las reacciones en cada apoyo.

Fig.2.15 Cálculo de reacciones.

Solución: En primer lugar haremos un D.C.L. de la viga (ver figura 2.16):

Fig.2.16 D.C.L.

Utilizando las ecuaciones de equilibrio:

∑ =0  = 0

 = 

∑ =0  75125 = 0    =200 1



∑  = 0  ·575·1125·4=0  ·5=75·1125·4  = ·+· 

 =

  1    =200  =200  =200115

 =

2.14.- Problema resuelto2: Cálculo de reacciones. Se dispone de una viga según la figura 2.17, determinar el valor de las reacciones en el apoyo.

Fig.2.17 Cálculo Fig.2.17 Cálculo de reacciones.

Solución: 67 Área Construcción


En primer lugar haremos un D.C.L. de la viga (ver figura 2.18):

Fig.2.18 D.C.L D.C.L.


∑ =0   15040° = 0  =15040°  = 114.9

 = . 

Cambiando el sentido de

∑ =0  6015040°=0  =6015040°  =6015040°  =36.41

 =.

Cambiando el sentido de

El D.C.L. según los resultados de





(a la izquierda)

(hacia abajo)

  y

, queda (ver figura figura 2.19): 2.19): 68

Área Construcción


Fig.2.19 D.C.L.

∑  = 0  60·1.5 15040°·4.5=0  =60·1.515040°·4.5  =343.88

  =.

Cambiando el sentido de la reacción de momento (a horario)

Finalmente el D.C.L. queda según la figura 2.20. Cabe destacar que los signos negativos de los resultados de las fuerzas y momento de reacción aparecen porque se hizo el supuesto del sentido de cada uno en el primer D.C.L. El resultado nos dirá si fue hecho de buena manera.

Fig.2.20 D.C.L.



2.15.- Fuerzas Distribuidas Para introducir la idea de fuerza distribuida podemos ver la figura 2.21 donde aparece una repisa con libros encima, se observa que hay dos tipos de altura que abarcan cierta superficie indicada con cotas.

Fig.2.21 Fuerzas distribuidas.

Si hiciéramos un D.C.L. de la repisa tendríamos que simbolizar las cargas aplicadas por los libros (q (q1 y q2) y las reacciones por parte de los elementos verticales que soportan todo el peso (R (R1 y R2). Como los libros ejercen una fuerza sobre una superficie se indican como una serie de flechas que abarcan la superficie de aplicación (ver figura 2.22).

Fig.2.22 D.C.L. fuerzas distribuidas.

Podemos resumir que fuerzas distribuidas son fuerzas que abarcan una superficie o una longitud. Éstas pueden ser uniformes o uniformes o no uniformes. uniformes.



2.15.1.- Uniformemente distribuidas Son aquellas fuerzas distribuidas en la extensión con el mismo valor en todas sus partes, se representa con flechas con la misma longitud, ver figura 2.23. Su unidad de medida es fuerza/longitud (N/m).

Fig.2.23 Uniformemente distribuidas.

2.15.2.- No uniformemente distribuidas Son aquellas fuerzas distribuidas que tienen valor distinto en las distintas partes (ver figura 2.24).

Fig.2.24 No uniformemente distribuidas.



2.15.3.- Resultante de una fuerza distribuida d istribuida La resultante de las fuerzas distribuidas, se representa con una fuerza puntual que pasa por el centro de gravedad de la figura que ellas forman y su magnitud corresponde al valor del área de dicha figura.

2.15.3.1.2.15.3.1.- Resultante de una fuerza distribuida uniforme.

Fig.2.25 Resultante fuerzas distribuidas.

Cálculo fuerza puntual:

Cálculo ubicación fuerza puntual:

=·ℎ =3 ·150 ·150   =

=  = . =.

2.15.3.2.2.15.3.2.- Resultante de una fuerza distribuida no uniforme.



Cálculo ubicación fuerza puntual: 72

Área Construcción


 = ·  .   · =   =

= · = ·. =.

2.15.3.3.2.15.3.3.- Resultante de una fuerza distribuida no uniforme (caso especial). Para este caso, se puede observar que la figura no corresponde solamente a un triángulo (ver figura 2.27, (a)), está compuesta por un rectángulo y un triángulo (ver figura 2.27, (b)). Se utilizarán dos resultantes, una para la fuerza distribuida uniforme (rectángulo) y otra para la fuerza distribuida no uniforme (triángulo).

Fig.2.27 Resultante Resultante fuerzas distribuidas.

Rectángulo: Cálculo fuerza puntual:

=·ℎ =3.0 ·50/ =


=  = . =.

Triángulo: Cálculo fuerza puntual:

Cálculo ubicación fuerza puntual: 73

Área Construcción


 = ·  −    .   ·   =  =

= · = ·. =.

Finalmente las resultantes quedan según la figura 2.28.

Fig.2.28 Resultante Resultante fuerzas distribuidas.

2.16.- Problema resuelto 1: Cálculo de reacciones con fuerzas distribuidas uniforme. Según se muestra la figura 2.29, calcular las reacciones en los apoyos.


Solución: Primero calcularemos el módulo de la resultante de la fuerza distribuida, luego la ubicación de esta fuerza. 74 Área Construcción




=·ℎ =3 ·1200 ·1200   =

=  = . =.

Realizando el D.C.L. tenemos (ver figura 2.30):

Fig.2.30 D.C.L. resultante fuerzas distribuidas.

Luego, aplicamos las ecuaciones de equilibrio.

∑ =0  = 0

 = 

∑ =0  3600 = 0    = 36 3600 00 1 1

∑  = 0 3600·1.5  ·5=0  ·5=3600·1.5

  1    =3600  =3600  75

Área Construcción


  = ·.   =

 = 3600  1080  =

2.17.- Problema resuelto 2: Cálculo de reacciones con fuerzas distribuidas combinadas. Según se muestra la figura 2.31, calcular las reacciones en los apoyos.


Solución: Primero calcularemos el módulo de las resultantes de las fuerzas distribuidas, luego la ubicación de estas fuerzas. Rectángulo: Cálculo fuerza puntual:


=·ℎ =1.2 ·1000 ·1000   =

=  = . =.



 = ·

= · 76

Área Construcción


 .   · =  

=

= ·. =.


Fig.2.32 D.C.L. resultante fuerzas distribuidas.


∑ =0

 = 

∑ =0  1200 900=0    = 21 2100 00 1 1

∑  = 0   1 1200·0.6  ·3.2900·3.8=0    =2100  ·3.2=1200·0.6900·3.8  =2100  77 Área Construcción


  = ·..+·.   =.

 = 210 1000  129 2933.75 75  =.

2.18.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 2. En la figura 2.33 se muestra una viga AB empotrada en A, se dispone de un bloque de hormigón con un peso distribuido según q 1, la viga AB tiene un peso según q 2, en el punto C hay una viga que ejerce una fuerza F. Determine el momento resultante en el punto A, si se sabe que q1 = 350N/m, q 2 = 275N/m y F = 2800N.

Fig.2.33 Problema resuelto 1.

Solución: Calculando el valor de las fuerzas, tenemos: Bloque

Viga AB

Viga en C

 =  · 

 =  · 

 = 2800 78

Área Construcción


 = 350 · 2  = 700

 = 275 · 9  = 2475 75

Luego, realizamos un D.C.L. de la viga AB (ver figura 2.34),

Fig.2.34 D.C.L.

Utilizando sumatoria de momentos:

 = ∑   = 700·2.52475·4.52800·7

 =   . 

2.19.- Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 2. Según se muestra la figura 2.35, calcular las reacciones en el apoyo A. Si se sabe que el peso de la viga se distribuye según q1, F = = 850N y m = 200kg.



Fig.2.35 Aprendizaje esperado 2.2.

Solución: Primero calcularemos el módulo de las resultantes de las fuerzas distribuidas, el peso del cuerpo y luego la ubicación de estas fuerzas.

Viga: Cálculo fuerza puntual:


=·ℎ =7.0 ·1000 ·1000   =

=  = . =.



 = ·

= · 80

Área Construcción


 .   · =  

=

= ·. =.

Cuerpo:

Componentes fuerza F:

Cálculo fuerza:

=· =200·9.81 =200·9.81  =

 =·  =850·60°  =

 =·  =850·60°  =.


Fig.2.36 D.C.L.


∑ =0  425=0

∑ =0  3757000736.121962=0 81

Área Construcción


 =425

 =

(

 =3757000736.121962

)

 =.

∑  = 0  375·3.07000·3.5 736.12·5.0 1962·7.0 =0  =375·3.07000·3.5736.12·5.01962·7.0

 =.



2.20.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 2. Problema propuesto 2.6 Para la siguiente viga (ver figura P2.6), determine el valor de los apoyos

 = 0  =30  =20 Fig.P2.6 Problema resuelto 2.6.

Problema propuesto 2.7 Para la siguiente viga (ver figura P2.7), determine el valor de los apoyos

 =43.3  =15  =10 Fig.P2.7 Problema Problema resuelto 2.7.



Problema propuesto 2.8 Para la siguiente viga (ver figura P2.8), determine el valor de los apoyos

 =137.5  = 0  =312.5 Fig.P2.8 Problema Problema resuelto 2.8.

Problema propuesto 2.9 Para la siguiente viga empotrada (ver figura P2.9), determine el valor de las reacciones en el apoyo A.

 =0.96  =10.35  =113.25 Fig.P2.9 Problema resuelto 2.9.



Problema propuesto 2.10 Para la siguiente viga empotrada (ver figura P2.10), determine el valor de las reacciones en el apoyo A. Si se sabe que m = 100kg.

 = 0  = 16 84 8488  = 62 14 145 5 Fig.P2.10 Problema resuelto 2.10.



3 UNIDAD 3 – CENTRO DE GRAVEDAD Y MOMENTO DE INERCIA Aprendizaje esperado 1. Analizar el centro de gravedad de diferentes elementos de una estructura.

3.1.- Introducción Aprendizaje esperado 1. Veremos el concepto de centro de gravedad para figuras simples y compuestas y cómo calcular su ubicación.

3.2.- Centroide (C) Si imaginamos un cuerpo de forma rectangular en 3d y que cada partícula de éste tiene un peso W (ver figura 3.1 (a)), podemos tener un peso total W R aplicado en un solo punto, en el centroide (ver figura 3.1 (b)). Como aplicación, si queremos equilibrar este cuerpo apoyado en una base cilíndrica, tendría que estar situado en el centroide (ver figura 3.1 (c)).

(a)

(b)

(c)

Fig.3.1 Centroide.

El centroide depende de la geometría del cuerpo, podemos encontrar las fórmulas más utilizadas en el anexo de este libro.



3.3.-Problemas resueltos: Centroide de figuras simples. Determine la ubicación del centroide de cada figura que se muestra a continuación.

3.3.1.- Problema resuelto 1 Solución Fórmulas centroide rectángulo:

 =   =  

 =   =  

 = .   =  Fig.3.2 Centroide.

3.3.2.- Problema resuelto 2 Solución Fórmulas centroide triángulo:

 =   =   =

 =   =    = 

Fig.3.3 Centroide.



3.3.3.- Problema resuelto 3 Solución Fórmulas centroide triángulo:

 =   =   =5

 =   =    = 10

Según la ubicación en el plano: Fig.3.4 Centroide.

 = 15  5  = 30  10 =  = 

3.4.- Centroide de figuras compuestas. compuestas. En este caso la figura se compone por dos o más figuras simples, para determinar la ubicación del centroide se utilizan las siguientes fórmulas:

 = ∑ ∑  ·

 = ∑ ∑  ·



3.5.-Problema resuelto: Centroide de figuras compuestas. Determine la ubicación del centroide de cada figura compuesta que se muestra a continuación.

3.5.1.- Problema resuelto 1 Solución Área de rectángulo:

 =  ·   =25·70  =     Fórmulas centroide rectángulo:

Fig.3.5 Centroide.

 =   =    =   =    = .   = 

Área de triángulo:

Fórmulas centroide triángulo:

 = ·  = ·  = 

 =   =   =5

 =   =    = 10

Ubicación en el plano:

 = 25  5

 =

  = 7 0   1 0 

  =   



Utilizando las fórmulas de sumatoria:

 = ∑ ∑ ·  · . + ·  = +

 = . 

 = ∑ ∑ ·  ·  + ·   = +

 = . 

3.5.2.- Problema resuelto 2 Solución Área de cuadrado:

 =  ·   =30·30  =    Fórmulas centroide cuadrado: Fig.3.6 Centroide.

 =   =    =   =     =   = 

Área ¼ Círculo:

Fórmulas centroide ¼ Círculo:

 =  ·   =  · 30

 =   =    = 12.73

 =.

 =   =   =12.73 90

Área Construcción


Según la ubicación en el plano para ¼ Círculo:

 = 30 0  12.73

 =.

 = 30 30  12 12..73 73

  =   .   


 = ∑ ∑ ·  · −. · .  = −.

 = . 

 = ∑ ∑ ·  · −. · .  =  − .

 = . 

3.6.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 1. Determine el centroide de la siguiente figura (ver figura 3.7)

Fig.3.7 Problema resuelto 1



Solución: Separando la figura compuesta en figuras simples (ver figura 3.8):

Fig.3.8 Problema resuelto 1

Figura (1) ½ Círculo

 =  ·   =  · 2. 2.0 0

 = 2

 =6.28

 = 8    = 8  . =8.84

Figura (2): Cuadrado

 =   =4

 =

 =   = .  = . 

 = 4    = 4  .  = . 



Figura (3): Rectángulo

 =  · ℎ  =6.0·4.0

 =.

 =   = .  = 3.0

 =   = .  = 2.0


 = ∑ ∑ · ·.+·.⦌  = ⦋.·..+ ++

 = .   = ∑ ∑ · =

2·6.0242·2.0⦌ ⦋6.282·8.8416 6.282162242

 =  .   



3.7.-Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 1. Determine la ubicación del centroide del perfil de la figura 3.9.

Fig.3.9 Centroide.

Solución: Separando la figura compuesta en figuras simples (ver figura 3.10):

(1): ¼ de círculo (2): Rectángulo (3): Cuadrado (4): ¼ de círculo (5): Rectángulo (6): ¼ de círculo

Fig.3.10 Figuras simples. 94 Área Construcción


Figura (1): ¼ de círculo

 =  ·   =  · 2. 2.0 0

 =.

 =   = .  = 0.848

 =   = . =0.848

Ubicación en el plano para ¼ Círculo:

  =  .    

 = 8  0.848

  =  .    


 =  · ℎ  =2.0·8.0

 =

 =   = .  = . 

 =   = .  = . 

 =   = .  = 1.0

 =   = .  = 1.0

Figura (3): Cuadrado.

 =  · ℎ  =2.0·2.0

 =.

Ubicación en el plano para cuadrado:

 = 2.0  1.0  = . 

 = 2.0  1.0

  =  .  



Figura (4): ¼ de círculo

 =  ·   =  · 2.0

 =.

 =   = .  = 0.848

 =   = . =0.848

Ubicación en el plano para ¼ de círculo:

 = 4.0 .0  0.848 8

  =  .    

 = 4.0  0.848 848

  =  .    


 =  · ℎ  =6.0·2.0

 =

 =   = .  = 3.0

 =   = .  = 1.0

Ubicación en el plano para rectángulo:

 = 2.0  3.0

  =  .  

  =  .  


 =  ·   =  · 2.0

 =.

 =   = .  = 0.848

 =   = . =0.848 96

Área Construcción


Ubicación en el plano para ¼ de círculo:

 = 8.0 .0  0.848 8

  =  .    

  =  .    


 = ∑ ∑ ·

·.−.·.+·.+.·.⦌  = ⦋.·.+.·.+. ++.−.++.

 = .   = ∑ ∑ · =

⦋.·.+·.+.·.−.·.+·.+.·.⦌ .++.−.++.

 =  .   



3.8.-Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 1. Problema propuesto 3.1 Calcule el centroide de siguiente figura (ver figura P3.1)

=. =.

Fig.P3.1 Problema propuesto 3.1.

Problema propuesto 3.2 Calcule el centroide de siguiente figura (ver figura P3.2)

=. =.

Fig.P3.2 Problema propuesto 3.2. 98 Área Construcción



=. =. Fig.P3.3 Problema propuesto 3.3.


=. =. Fig.P3.4 Problema propuesto 3.4.




=. =

Fig.P3.4 Problema propuesto 3.5.



Aprendizaje esperado 2. Analizar el momento de inercia de de un cuerpo según su geometría.

3.9.- Introducción Aprendizaje esperado 2. Veremos el concepto de momento de inercia para figuras simples y compuestas y cómo calcular su valor.

3.10.- Momento de Inercia (I) El momento de inercia se puede entender como la distribución de masa de un cuerpo en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la ubicación del eje de giro. En la figura 3.11 se observa en a), un cuerpo rectangular girando respecto de un eje que pasa por su centroide, en b) se observa el mismo cuerpo pero girando respecto de un eje que pasa por su base.

a)

b) Fig.3.11 Momento de inercia.

Podemos entender que el momento de inercia en cada caso se refleja en la tendencia a rotar. Si quisiéramos detener el giro de ambos cuerpos, ¿cuál nos costaría más detener a o b? La respuesta es b, ya que tiene un mayor momento de inercia. Podemos encontrar las fórmulas más utilizadas en el anexo de este libro. 101 Área Construcción


3.11.- Problemas resueltos: Momento de Inercia de figuras simples. Determine el momento de inercia basal y centroidal de cada figura que se muestra a continuación.

3.11.1.- Problema resuelto 1. Respecto de los ejes x ejes x e y (basales). (basales). Según fórmulas:

 = ·    = · 

 =     

 = ·  = ·

 =     

Respecto de los ejes x´ ejes x´ e y ´(centroide). ´(centroide). Según fórmulas:

Fig.3.12 Momento de inercia.

 ·  =   ·  = 

 =     

·   =  ·   = 

 =   



3.11.2.- Problema resuelto 2. Respecto de los ejes x ejes x e y (basales). (basales). Según fórmulas:

 ·  =   ·  = 

 =   

·   =  ·   = 

 =  . 

Respecto de los ejes x´ ejes x´ e y ´(centroide). ´(centroide). Según fórmulas:


 ·  =   ·  = 

 =   

·   =  ·   = 

 =  . 

3.12.- Teorema de Steiner o de los Ejes paralelos Este teorema lo que permite es calcular el momento de inercia respecto de cualquier eje, utilizando como referencia de cálculo el momento de inercia respecto de los ejes que pasan por el centroide de una figura. Hay que recordar que el momento de inercia es la tendencia que tiene un cuerpo a rotar respecto de un eje. Si el eje x’ pasa pasa por el centroide de la figura:

 ·  =  Steiner indica que podemos calcular respecto de x de x con: con:

 =   ·  : Momento respecto de eje x : Momento respecto de eje x eje x : Área de la figura : Distancia entre x entre x y x y x ’ ’

Fig.3.14 Teorema Steiner.

’ ’



Si el eje y’ pasa pasa por el centroide de la figura:

 = · Steiner indica que podemos calcular respecto de x de x con: con:

 =    ·  : Momento respecto de eje y : Momento respecto de eje : Área de la figura : Distancia entre y e e y

y’

Fig.3.15 Teorema Steiner.

’ ’

3.13.-Problemas resueltos: Momento de Inercia de figuras simples. Utilizando teorema de Steiner, determine el momento de inercia respecto de los ejes basales de las siguientes figuras.

3.13.1.- Problema resuelto 1 Respecto del eje x´ eje x´ :

 ·  =  Usando Steiner:

 =    · ·   ·  =   30 · 40 · 20  = 16 1600 000 000   12 1200 00  ·400 Fig.3.16 Momento de inercia.

 =     



Respecto del eje y´ :

·   =  Usando Steiner:

 =   ·  ·   =   30 · 40 · 15  = 90 00 000 0  12 1200 00  ·225

 =    

3.13.2.- Problema resuelto 2 Respecto del eje x´ eje x´ :

 ·  =  Usando Steiner:

Fig.3.17 Momento Momento de inercia.

 =    · ·   ·   = ·  · 10 1 0     = 11 25 250 0 225 ·100

 =   



Respecto del eje y´ :

·   =  Usando Steiner:

 =   ·  · ·   =    · 5 5  = 2 812. 812.5 5 225 ·25

 =  . 

3.14.- Momentos de inercia de figuras compuestas Para poder calcular el momento de inercia de una u na figura compuesta utilizaremos la fórmula de sumatoria de Stainer. Corresponde a la suma de los momentos de inercia de todas las figuras respecto del mismo eje.

 = ∑[    ·  ]  = ∑[    ·  ]

Sumatoria de los momentos de inercia respecto del eje eje x x Sumatoria de los momentos de inercia respecto del eje y



3.15.-Problemas resueltos: Momento de Inercia de figuras compuestas. Determine el momento de inercia de las siguientes figuras respecto a los ejes horizontal y vertical que pasan por el centroide (C).

3.15.1.-Problema 3.15.1.-Problema resuelto 1.

Fig.3.18 Momento Momento de inercia.

Solución: En primer lugar, dividimos la figura compuesta en dos figuras simple e identificaremos la ubicación de cada centroide (ver figura 3.19).

Fig.3.19 Ubicación centroides. centroides.



Figura 1

 =    ·   2·8   = 2·8·63.22 12  = 85.33 16 ·2.72

 = .

 =    ·   ·8 2   = 2·8·0 12

 = .

Figura 2

 =    ·   10·2   = 10·2·3.221 12  = 6.66 20 ·2.22

 = .

 =    ·  2 10  = 12 10·2·0

 = .



Luego, utilizando las fórmulas de sumatoria de momentos,

 = ∑[    ·  ]  =    =208.98 105.22

 = . 

 = ∑[    ·  ]  =    =5.33 166.66

 = . 

3.15.2.-Problema 3.15.2.-Problema resuelto 2.

Fig.3.20 Momentos de inercia.



Solución: En primer lugar, dividimos la figura compuesta en dos figuras simple e identificaremos la ubicación de cada centroide (ver figura 3.21).

Fig.3.21 Ubicación centroides. centroides.

Figura 1: Cuadrado

 =    ·   12·8   = 12·8·4.784 12  = 512 96 ·0.78

 = .

 =    ·   ·8 12   = 2·8·7.176 12  = 1152 96 ·1.17

 = .

Área Construcción

110


Figura 2: Triángulo

 =    ·   9·6 9·6   =  ·4.782 36 2  = 54 27 ·2.78

 = .

 =    ·   ·6 9·6 9   =  ·7.173 36 2  = 121.5 27 ·4.17

 = 


 = ∑[    ·  ]  =    =569.6 262.66

 = . 

 = ∑[    ·  ]  =    =1283.41 591

 = . 



3.16.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 2. Determine el momento de inercia centroidal del perfil que se muestra en la figura 3.22.


Solución En primer lugar separamos la figura compuesta en figuras simples para calcular el centroide del perfil (ver figura 3.23).

Fig.3.23 Figuras simples. 112 Área Construcción


Cálculo del centroide Figura 1:

Figura 2:

 =  · ℎ  =6·2  =    =   = 

 =  · ℎ  =2·8  =  =   = 

Figura 3:

 =  · ℎ  =10·2  =    =   =  Utilizando las fórmulas de sumatoria:

 = ∑ ∑ · ·+ ·+·⦌ ⦋ = ++

 =  

 = ∑ ∑ · ·+ ·+ ·⦌ ⦋ = ++

 =  .   

Fig.3.24 Centroide.



Cálculo de los momentos de inercia Figura 1

 =    ·   6·2  ·115.16   = 12 12  = 4 12 ·5.84

 = .

 =    ·   ·2 6  ·0  = 12 12

 = 

Figura 2

 =    ·   2·8  ·65.16  = 16 12  = 85.33 16 ·0.84

 = .

 =    ·   ·8 2  ·0  = 16 12

 = .



Figura 3

 =    ·   10·2  ·5.161  = 20 12  = 6.66 20 ·4.16

 = .

 =    ·   ·2 10  ·0  = 20 12

 = .


 = ∑[    ·  ]  =      =413.26 96.61 352.77

 = . 

 = ∑[    ·  ]  =      =36 5.33 166.66

 = . 



3.17.-Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 2.

En la figura 3.25 se tiene una viga con los datos entregados a continuación:

Área = 7.64cm 2

 = 80 80.1.1   = 8.49 49  =0 =0


Se requiere modificar el diseño y se agregan dos pletinas de igual dimensión como se muestra en la figura 3.26. Calcule los momentos de inercia total respecto de los ejes x ejes x e e y que que pasan por el centroide de la nueva figura.




Solución: Identificamos las figuras simples, las distancias hacia los respectivos centroides y calculamos las áreas (ver figura 3.27). Figura (2)

Figura (3)

 =  · ℎ  =4.6·0.5  =2.3  = 0  = 4.25 25

 =  · ℎ  =4.6·0.5  =2.3  = 0  = 4. 4.25 25

Centroide nueva figura (se mantiene simétrica)

=0 = 0 Fig.3.27 Problema Problema resuelto 2. 117 Área Construcción


Se puede realizar como ejercicio el cálculo del centroide de la nueva figura.

Cálculo de los momentos de inercia

Figura 1 (datos entregados viga)

 =    ·   = 80.1 7.64 ·0

 = .

 =    ·   = 8.49 7.64 ·0

 = .

Figura 2

 =    ·   4.6·0.5  ·4.25  = 2.3 12  = 0.0479 41.543

 = .

 =    ·   ·0.5 4. 6   ·0  = 2.3 12

 = .



Figura 3

 =    ·   4.6·0.5  ·4.25  = 2.3 12  = 0.0479 41.543

 = .

 =    ·   ·0.5 4. 6   ·0  = 2.3 12

 = .


 = ∑[    ·  ]  =      =80.1 41.59 41.59

 = . 

 = ∑[    ·  ]  =      =8.49 4.055 4.055

 = . 



3.18.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 2. Problema propuesto 3.6. Para la sección mostrada en la figura 3.6, determine el momento de inercia total respecto de los ejes x ejes x e e y que que pasan por el centroide.

 =   ,    =   . . 

Fig.3.6 Problema propuesto 3.6.



Problema propuesto 3.7. Para la sección mostrada en la figura 3.6, determine el momento de inercia total respecto de los ejes x ejes x e e y que que pasan por el centroide.

 =  .  =   .  

Fig.3.7 Problema Problema propuesto 3.7.

Problema propuesto 3.8. Para la sección mostrada en la figura 3.8, determine el momento de inercia total respecto de los ejes x ejes x e e y que que pasan por el centroide.

 =  .  =   . .  Fig.3.8 Problema Problema propuesto 3.8.



4 UNIDAD 4 – ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. Aprendizaje esperado 1 Determinar distintos tipos de estructuras, según su diseño, ligadas a una obra de construcción.

4.1.- Introducción Aprendizaje esperado 1. En esta sección vamos a identificar distintos tipos de estructuras según su diseño junto con algunos de los elementos que podemos encontrar en ellas.

4.2.- Estructura. En forma muy genérica podemos decir que una estructura es un conjunto de elementos conectado entre sí diseñado para soportar cargas. Las podemos clasificar en armaduras, marcos y máquinas.

4.3.- Armadura. Una armadura se puede entender como un sistema de barras, colocadas por lo general en forma triangular, conectadas en sus extremos mediante nodos para formar un armazón estable, es decir, conserva su geometría original cuando se aplica una carga determinada.

4.3.1.- Armadura plana. Las armaduras planas son las que todos sus elementos se encuentran en el mismo plano (ver figura 4.1).

Fig.4.1 Armadura plana.



4.3.2.- Armadura espacial. Las armaduras espaciales son las que tiene una configuración tridimensional (ver figura 4.2).

Fig.4.2 Armadura espacial.

4.4.- Marcos. Son estructuras compuestas, por lo general, por elementos horizontales y verticales. Se caracterizan por tener uniones articulados y rígidos (nodos resistentes a momento) ver figura 4.3.

Fig.4.3 Marco.

4.5.- Máquinas. Son estructuras compuestas por elementos que están sometidos a más de dos fuerzas. Contienen partes móviles y son diseñados para transmitir y alterar el efecto de las fuerzas. Ver figura 100.



4.6.- Elementos estructurales. A continuación veremos algunos de los elementos estructurales que podremos encontrar en las estructuras.

4.6.1.- Tensores. Son elementos estructurales sometidos a tensión, usualmente delgados, como varillas (a), barras (b), perfiles tipo ángulo (c) y canales (d),ver figura 4.4.

a)

b)

c)

d)

Fig.4.4 Tensores.

4.6.2.- Vigas. Generalmente las vigas son elementos rectos dispuestos de forma horizontal. Utilizados para soportar cargas verticales. Se pueden clasificar según cómo esté apoyada: simplemente apoyada (a); en voladizo (b); fija o empotrada (c); continúa (d), ver figura 4.5.

a)

b)

c)

d)

Fig.4.5 Vigas según sus apoyos.



4.6.3.- Columnas. Son elementos dispuestos verticalmente. Utilizadas para soportar cargas verticales, sometidas a compresión y pandeo. Usualmente tienen una sección cuadrada, rectangular, circular o de otro perfil. perfil.

Aprendizaje esperado 2 Analiza estructuras y tipo de armaduras, considerando distintas obras de construcción.

4.7.- Introducción Aprendizaje esperado 2. En las unidades anteriores vimos ecuaciones de equilibrio que nos permitían calcular el valor de las reacciones en los apoyos con las fuerzas conocidas que se aplicaban a una viga, ya sea una fuerza puntual o distribuida. En esta sección calcularemos las fuerzas y analizaremos efecto que tienen en cada elemento de una estructura.

4.8.- Método de cálculo. Para lograr determinar la fuerzas en cada elemento de la estructura aprenderemos dos métodos: el método de los nodos y el método de las secciones.

4.9.- Hipótesis de diseño. Las hipótesis de diseño nos permiten simplificar el cálculo de estructuras, éstas son:   

La armadura se comporta como un cuerpo rígido (no se deforma). Las cargas son aplicadas a los nodos (no en la barra). Las barras son sometidas a fuerzas que pasan a través de su propio eje.



4.10.- Tracción y compresión. Dependiendo de la tendencia que las fuerzas someten a las barras tendremos dos efectos: tracción o compresión (ver figura 4.6)

a) Tracción.

b) Compresión. Fig.4.6 Tracción y compresión en barras.

Si las fuerzas tienden a alargar la barra: estará sometida a tracción (a) Si las fuerzas tienden a acortar la barra: estará sometida a compresión (b)

4.11.- Método de los Nodos. Éste método básicamente corresponde al estudio de los nodos o nudos como partícula en equilibrio, lo que permite utilizar las ecuaciones de equilibrio para determinar el valor de las fuerzas que actúan en las barras de una estructura. Con el análisis de los resultados podremos determinar si los elementos están en tracción o compresión.



4.11.1.- Procedimiento para solución de problemas. A continuación se enumera el procedimiento para la resolución de problemas: pr oblemas: 1.- Dibujar diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) de la armadura con las fuerzas aplicadas conocidas y las reacciones de los apoyos como incógnitas. 2.- Determinar la magnitud de las reacciones de los apoyos con las ecuaciones de equilibrio. 3.- Localizar un nodo que conecte “sólo dos barras y contenga una fuerza conocida”, dibujar el diagrama de cuerpo libre del pasador y determinar el valor de las fuerzas de cada uno de los elementos, mediante el triángulo de fuerzas o ecuaciones de equilibrio. 4.- Localizar el siguiente nodo que “contenga” la barra que se pudo determinar en el nodo anterior, esto es para poder tener ya un valor conocido dentro de las fuerzas que tenernos que calcular. 5.- Seguir de nodo en nodo calculando con el método anterior.

4.12.-Problema resuelto: Método de los Nodos. Para la siguiente estructura (ver figura 4.7), determine el valor de las reacciones en lo apoyos y el valor de la fuerza que está sometido la barra DE, comente si está a tracción o compresión.

Fig.4.7 Método Método de los nodos.



Solución. En primer lugar, se realiza en D.C.L. de la estructura para determinar el valor de los apoyos (ver figura 4.8).

Fig.4.8 D.C.L. D.C.L.


∑ =0  = 0

 = 

∑ =0 20001000   = 0    =3000 1

∑  = 0 2000·121000·6 ·3=0 2000·121000·6= · 3  = ·+· 

 =   



 en (1) 10 00000   =3000  = 3000  10 00000  = 7 000 00 , implica que  tiene mal la dirección en el D.C.L.

 =  

, hacia abajo.

El D.C.L. queda (ver figura 4.9):

Fig.4.9 D.C.L.

Aplicando método de los Nodos (nodo A): Si analizamos el nodo A A (ver figura 4.10, a)), vemos claramente que tiene una carga aplicada hacia abajo con un valor de 2000N, el pasador del nodo A es sometido a fuerzas ejercidas por las barras, como tenemos las direcciones de las barras AB y AD, conocemos las direcciones de estas fuerzas, ya que la hipótesis de cálculo nos indica que en una estructura los elementos son sometidos a fuerzas que pasan por su propio eje, sólo faltaría tener el sentido correcto de éstas fuerzas. Como el pasador tiene una carga de 2000N hacia abajo, tendrá que haber una componente vertical hacia arriba para compensarla, ésta componente sería correspondiente a la componente vertical de la tensión de la barra AD (b), asumiendo esto, ya tenemos el sentido de la fuerza o tensión T AD, como la componente horizontal de T AD va hacia la izquierda tendrá que haber alguna fuerza horizontal hacia la derecha para compensarla, ésta fuerza es T AB. 129 Área Construcción


a)

b)

c)

Fig.4.10 Nodo A.

Nodo A Al momento de tener los vectores fuerza debidamente identificados en el nodo A (ver figura 4.11), podremos resolverlo con triángulo de fuerzas o con las ecuaciones de equilibrio.

Fig.4.11 Nodo A.

Al realizar el triángulo de fuerzas (figura 4.12):

Fig.4.12 Triángulo de fuerzas, nodo A. 130 Área Construcción


Analizando las dimensiones de la estructura: α = 53.13° Β = 36.87°

Utilizando ley de los senos:

 =     = · ·.°  = . °

 =  °  ·°  =   ·  = . °

  =

  =

Proyectando las fuerzas desde el pasador a cada barra: Una vez que tenemos los valores de las tensiones en el nodo A, tenemos que analizar qué es lo que le pasa a las barras con éstas fuerza (figura 4.13, a)). Como la estructura se encuentra en equilibrio, podemos asumir que tendría que haber una fuerza de igual magnitud y con sentido opuesto a las fuerzas que están aplicadas al pasador (figura 4.13, b)), que son las que están aplicadas en las barras. Con esta base podemos concluir que la barra AB está sometida a tracción y la barra AD está sometida a compresión .

a)

b)

Fig.4.13 Nodo A. 131 Área Construcción


Aplicando método de los Nodos (nodo D): Analizando el nodo D vemos que llega la barra AD (ver figura 4.14, a)), como sabemos que esta barra está a compresión habrá una fuerza opuesta que llega al nodo D (ver figura 4.14, b)) una vez que tenemos definida el sentido de la fuerza vemos que tiene una componente vertical hacia hacia abajo, por lo tanto, habrá una componente que se contraponga a ella hacia arriba , la única fuerza que tiene otra componente vertical es la barra BD (ver figura 4.14, c)), ahora ya tenemos el sentido de la fuerza en dirección de la barra BD. Tanto la barra AD como la barra BD tienen componentes horizontales hacia la derecha, así la fuerza en dirección de la barra DE tendrá que tener el sentido hacia la izquierda para compensar éstas fuerzas y equilibrar el espaciador del nodo D (ver figura 4.14, d)). Hay que recordar que el método de los nodos estudia el equilibrio del espaciador de cada nodo.

a)

b)

c)

d)

Fig.4.14 Nodo A.

Nodo D Al momento de tener los vectores fuerza debidamente identificados en el nodo D (ver figura 4.15), podremos resolverlo con triángulo de fuerzas o con las ecuaciones de equilibrio.

Fig.4.15 Nodo D. 132 Área Construcción


Al realizar el triángulo de fuerzas (figura 4.16):

Fig.4.16 Triángulo de fuerzas, nodo D.

Analizando las dimensiones de la estructura y recordando el valor de T AD: α = 53.13° Β = 73.74°

TAD = 2500N

Utilizando ley de los senos:

 =    ·  =  ·.°  = . °

 =



Tenemos al fuerza o tensión que tiene la barra DE, analizando el nodo D (ver figura 4.17) podemos concluir que la barra DE está sometida a compresión .

Fig.4.17 Análisis Análisis nodo D.

4.13.- Método de las secciones. Éste método tiene el objetivo permitir calcular el valor de las fuerzas que están presentes en los nodos sin tener que calcular todos los nodos para llegar al resultado, como ocurriría con el método de los nodos.

4.13.1.- Procedimiento para solución de problemas. A continuación se enumera el procedimiento para la resolución de problemas: pr oblemas: 1.- Dibujar diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) de la armadura con las fuerzas aplicadas conocidas y las reacciones de los apoyos como incógnitas. 2.- Determinar la magnitud de las reacciones de los apoyos con las ecuaciones de equilibrio. 3.- Una vez que se identifica el elemento que queremos conocer a qué fuerza está sometida, se debe realizar una sección vertical que pase por el elemento de estudio. 4.- Seleccionar una de las dos partes de la estructura que resultaron por la sección y dibujar su D.C.L. Retirar los elementos que se cortan y poner los vectores fuerza en los espaciadores de los nodos en la dirección de las barras eliminadas anteriormente. El D.C.L. debe incluir las fuerzas aplicadas, las fuerzas de las reacciones y las fuerzas de los espaciadores de los nodos. 5.- Utilizar las ecuaciones de equilibrio para determinar los valores de las fuerzas aplicadas en nodos.



4.14.-Problema resuelto: Método de las Secciones. Para la siguiente estructura (ver figura 4.18), mediante el método de las secciones determine el valor de la fuerza que está sometido la barra DE, comente si está a tracción o compresión.

Fig.4.18 Método Método de las secciones.


Fig.4.19 D.C.L.




∑ =0  = 0

 = 

∑ =0 20001000   = 0    =3000 1

∑  = 0 2000·121000·6 ·3=0 2000·121000·6= · 3  = ·+· 

 =   

 en (1) 10 00000   =3000  = 3000  10 00000  = 7 000 00 , implica que  tiene mal la dirección en el D.C.L.

 =  

, hacia abajo.




Fig.4.20 D.C.L.

Siguiendo con el procedimiento, realizamos una sección que pase por la barra DE (ver figura 4.21, a)) y seleccionamos una de las partes resultantes de la sección (ver figura 4.21, b)).

a)

b) Fig.117 Método Método de las secciones.



Retirando las barras y poniendo los vectores fuerza en los nodos queda (ver figura 4.22).

Fig.4.22 Método de las secciones.

Para definir los sentido de las fuerzas, ver el análisis que se hizo en el método de los nodos. Podemos definir el valor del ángulo α con las dimensiones de la estructura. Si de las ecuaciones de equilibrio seleccionamos momentar respecto del punto B, tendremos únicamente como variable la fuerza que nos están pidiendo en el problema.

Utilizando momento respecto a B:

∑  = 0 2000·6 ·4=0  = 2000·6 4

 = ,

Barra DE está sometida a compresión.



4.15.- Problema resuelto 1: Aprendizaje esperado 2. Para la siguiente estructura (ver figura 4.23), determine el valor de las reacciones en lo apoyos, el valor de la fuerza que está sometido cada barra y comente si está a tracción o compresión.




Utilizando las ecuaciones de equilibrio: 139 Área Construcción


∑ =0  = 0

 = 

∑ =0 960   = 0    =960 1

∑  = 0 960·3.75 ·2.25=0 960·3.75= ·2.25   = ·. .

 =

 en 1 1600 =960  =9601600  =640 , implica que  tiene mal la dirección en el D.C.L.

 =  

, hacia abajo.





Nodo A Analizando el nodo A, las direcciones de las componentes de cada tensión (ver figura 4.26) y los ángulos que podemos calcular de la figura inicial (ver figura 4.27), tenemos el triángulo de fuerzas (ver figura 4.28):

=53.13° =36.86° =28.07° =53.13°

Fig.4.26 D.C.L. nodo A

Fig.4.27 D.C.L. D.C.L. nodo A



Triángulo de fuerzas:

=118.08°

Fig.4.28 D.C.L. D.C.L. nodo A

Ley de los senos:

 =    ·  =  ·.°  = . °

 =     = · ·.°  = . °

  =   ..       =  .  (C)

Nodo B En el nodo B, se observa que las fuerzas forman un triángulo rectángulo, calculamos los valores de las fuerzas utilizando Pitágoras (ver figuras 4.29 y 4.30).

Fig.4.29 D.C.L. nodo B

Fig.4.30 Triángulo de fuerzas

Utilizando Pitágoras tenemos:

  =         =    =      = √ 11 999.68 1600

 =  . .   



Nodo C De manera similar al nodo B, aplicaremos Pitágoras Pitágoras (ver figuras 4.31 y 4.32).

Fig.4.31 D.C.L. nodo B

Fig.4.32 Triángulo de fuerzas

Utilizando Pitágoras tenemos:

  =      =       = √ 11 199.46 640

 =  . 

4.16.- Problema resuelto 2: Aprendizaje esperado 2. Para la siguiente estructura (ver figura 4.33), mediante el método de las secciones determine el valor de la fuerza que está sometido la barra EF, EC Y BC, comente si está a tracción o compresión.

Fig.4.33 Problema resuelto 2. 143 Área Construcción



Fig.4.34 D.C.L.


∑  = 0  ·6600·4200·1.5=0  · 6 = 2 700  =   

 =

∑ =0  450600=0

 =

∑ =0   200 = 0

 =



Sección (ver figura 4.35):

Fig.4.35 Sección.

Queda la siguiente sección (ver figura 4.36)

=53.13°

Fig.4.36 Sección

∑  = 0  ·1.5150·2200·1.5=0  ·1.5=150·2200·1.5

 = 



∑ =0 150 · 53.13° = 0  · 53.13° = 150 50 150  = 53. 13°

 = 

∑ =0 200400250·53.13° = 0  =200400250·53.13°

 = 



4.17.- Problemas propuestos: Aprendizaje esperado 2 Problema propuesto 4.1 Para la siguiente armadura mostrada en la figura P4.1, determine mediante el método de los nodos los valores de las fuerzas a que está sometida cada barra e indique in dique si están a tracción o compresión.

  = . .      =      =    Fig.p4.1 Problema propuesto 4.1

Problema propuesto 4.2 Para la siguiente armadura mostrada en la figura P4.2, determine mediante el método de las secciones los valores de las fuerzas a que están sometidas las barras CD, CF y FG e indique si están a tracción o compresión.

 =       =      =      Fig.p4.2 Problema propuesto 4.2. 147 Área Construcción


5

ANEXO

5.1.- Conceptos básicos. 5.1.1.- Estática. Rama de la mecánica que analiza analiza las cargas y estudia el equilibrio de fuerzas en cuerpos estáticos, es decir, sin movimiento. Podemos dividir el estudio de la mecánica en tres ramas:   

Mecánica de Cuerpos Rígidos (Estática y Dinámica) Mecánica de Cuerpos Deformables Mecánica de Fluidos

5.1.2.- Partícula. Una partícula tiene masa pero un tamaño que puede ser ignorado. Cuando un cuerpo es idealizado como una partícula, los principios de la mecánica se reducen a una forma un tanto simplificada ya que la geometría del cuerpo no estará implicada en el análisis de problema.

5.1.3.- Cuerpo Rígido. Un cuerpo rígido puede ser considerado como una combinación de un gran número de partículas en la que todas las partículas permanecen a una distancia fija de otras antes y después de aplicar una carga (no se deformará).

5.1.4.- Fuerza. En general, la fuerza es considerada como un empuje o jalón, representa la “acción de aplicación, magnitud o un cuerpo sobre otro ” y se caracteriza por su punto aplicación o módulo y dirección. Según SI (Sistema Internacional de Unidades) la unidad de medida para la fuerza es el newton (N).

5.1.5.- Escalar. Son aquellas que quedan totalmente determinadas con un número real y una unidad de medida. Ejemplos: masa, volumen, longitud, tiempo.



5.1.6.- Vector. Se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud, dirección y sentido (se verá con mayor detalle en la Unidad 1)

5.1.7.- Unidades SI. Sistema internacional de unidades, algunas unidades básicas: Longitud: metros (m) Masa: kilogramos (kg)

Tiempo: segundos (s) Fuerza: newton (N)

5.2.- Conceptos de Geometría: 5.2.1.- Ángulos 5.2.1.1.5.2.1.1.- Ángulo Recto =

Fig.A1 Ángulo Fig.A1 Ángulo recto

5.2.1.2.5.2.1.2.- Ángulo Extendido

Fig.A2 Ángulo extendido

5.2.1.3.5.2.1.3.- Ángulos Complementarios

α + β = 90°

Fig.A3 Ángulos Fig.A3 Ángulos complementarios.



5.2.1.4.5.2.1.4.- Ángulos Suplementarios

α + β = 180°

Fig.A4 Ángulos suplementarios.

5.2.1.5.5.2.1.5.- Suma de ángulos interiores de un triángulo cualquiera.

= 180° α + β + ϒ =

Fig.A5 Suma Fig.A5 Suma de ángulos interiores.

5.2.1.6.5.2.1.6.- Triángulo Tr iángulo Rectángulo.

α + β = 90°

Fig.A6 triángulo rectángulo.



5.3.- Conceptos de Trigonometría: Sea el triángulo rectángulo de vértices A, B y C de lados a, b y c y ángulos α (alfa), β (beta) y ϒ (gama), podemos definir las funciones trigonométricas seno (sen, sin), coseno (cos) y tangente (tan, tg), como se muestra a continuación (ver figura A7).

Fig.A7 Triángulo rectángulo ( ϒ = 90°).

5.3.1.- Funciones trigonométricas básicas: Senα =

  

Cosα =



 

tgα =

  

α = Arcsen

α = Arccos

α = Arctg

α = Sen-1

α = Cos-1

α = tg-1

Nota: Sen = Sen = seno

Cos = Cos = coseno tg = tangente

Arc = Arc = arco

( -1 ) = función inversa



Sea un triángulo cualquiera de vértices A, B y C de lados a, b y c y ángulos α (alfa), β (beta) y ϒ (gama), podemos definir dos leyes fundamentales que aplicaremos en los problemas (ver figura A8).

Fig.A8 Triángulo cualquiera.

5.3.2.- Ley de los Senos:

 =  =    

5.3.3.- Ley de los Cosenos:

 = √    ∙ ∙ 5.4.- Teorema particular de Pitágoras Sea el triángulo rectángulo de vértices A, B y C de lados a, b y c, tenemos (ver figura A9):

Fig.A9 triángulo Fig.A9 triángulo rectángulo

 =     = √   

, donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos. , para conocer el valor de la hipotenusa.



5.5.- Leyes de Newton: Newton: 5.5.1.- Primera Ley: Una partícula originalmente en reposo, o que se mueve en línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado siempre que no esté sometida a una fuerza que no esté balanceada (que se anule con otra, con el mismo valor, dirección y sentido opuesto) Velocidad = 0

Velocidad ≠ 0

a) Reposo

b) Movimiento

Fig.A10 Se requiere de una fuerza para modificar el estado “a” en reposo a “b” en movimiento.

Velocidad = Cte

Velocidad = 0

a) Movimiento

b) Reposo

Fig.A11 Se requiere de una fuerza para modificar su estado “a” en movimiento a “b” en reposo.

5.5.2.- Segunda Ley: Una partícula de masa m sometida a una fuerza F desbalanceada experimenta una aceleración a con el mismo sentido de la fuerza y una magnitud directamente proporcional a la fuerza. Esta Ley puede expresarse como:

F = ma

, donde

F = = fuerza, m = masa y a = aceleración



Para entender esta ley, la aplicaremos a una partícula de masa m que es sometida a la fuerza gravitacional W, experimentando una aceleración gravitacional G (ver figura A12).

Fig.A12 Una Fig.A12 Una partícula de masa m tiene una fuerza gravitacional W (peso) y experimenta una aceleración gravitacional G de 9.81m/s2.

Según la figura A12 podemos concluir que el peso de una partícula está dado por la fórmula:

W = = mG

, donde

W = = Peso (N), m = masa (kg) y G = 9.81(m/s2 )

5.5.3.- Tercera Ley: Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales, opuestas y colineales (ver figura A13).

a) Cuerpo de masa “m” b) Reacción de la superficie c) Acción: W, Reacción: Reacción: N Fig.A13 a) Sea un cuerpo de masa “m” tendrá un peso W. b) la superficie ejerce una reacción “N” (fuerza llamada Normal) de magnitud igual a W, pero de sentido opuesto. c) De esta

manera la fuerza W tendrá una reacción N.



5.6.- Tabla de centros de gravedad y momento de inercia. Figura

Área

O L U G

 =  ∙ ℎ N Á T C E R

Centroide

̅̅ = 2  = ℎ2

Inercia Inercia

  ∙ ℎ  = 3 ∙ℎ   = 3   ̅ = 12∙ ℎ   ̅ = 12∙ ℎ

 = 12∙ ℎ   = 12∙ ℎ ̅ = 36∙ ℎ ̅ = 36∙ ℎ 

O L U G N Á T

 =  2∙ ℎ C E R O L U G N ÁI

̅̅ = 3  = ℎ3

R T

A R EI U L A

 =  2∙ ℎ U C O L U G N ÁI R T

̅̅ =  3   = ℎ3

  ∙ ℎ  = 12  = 12∙ ℎ ∙     ̅ = 36∙ ℎ  ̅ = 36∙ ℎ ∙  



Figura

O L U C RI

Área

Centroide

Inercia

 =  ∙ 

̅ =0  = 0

  ∙   =  = ̅ = ̅ = 4

̅ =0

 =  =  ∙8

C

O L U

  ∙   = 2 C RI C 2 / 1

O L U

 =  ∙4 C RI C 4 / 1

CENTROIDE DE ÁREAS COMPUESTAS

TEOREMA DE STEINER (Teorema de los Ejes Paralelos)



 = 43 ∙∙ 

̅̅ = 43 ∙∙ 



 ̅ =0,1098∙

 =  =  16∙ 



 = 43 ∙∙ 

 ̅ =  ̅ =0,05488∙

̅̅ = ∑ ∑ ∙ ̅̅  

 = ∑ ∑ ∙  

 =[ ̅  ( ∙  )]



6 BIBLIOGRAFÍA Estructural. México: Pearson Hibbeler, R.C. (2012). Análisis Estructural. Hibbeler, R.C. (2010). Ingeniería Mecánica Estática. México: Pearson Hibbeler, R.C. (2004). Mecánica Vectorial Para Ingenieros . México: Pearson Beer, F.P. (2010). Mecánica Vectorial Para Ingenieros . México: Mc Graw Hill.


Manual de Estática Estructural - INACAP

Recommend Documents