Unidad 2 Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva 2.3 Función real de variable real y su representación gráfica. 2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional. 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales. 2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. Función valor absoluto. 2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición. 2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. 2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas. 2.10 Función implícita.
Unidad 2 Funciones
Funciones El concepto de función es uno de los términos más importantes y utilizados en el mundo de las matemáticas. Las funciones matemáticas, además de representar fórmulas o lugares geométricos, se utilizan sobre todo como modelos matemáticos de cualquier aspecto o situación de la vida real, de ahí su importancia. Sin embargo de manera cotidiana también es frecuente escuchar frases como “la producción está en función del tiempo” o “el equipamiento de un vehículo está en función del precio”, etc.; algunas veces estas expresiones concuerdan con el uso matemático.
Definición de función Una función de un conjunto nio) a un conjunto (contradominio) es una regla de correspondencia que asigna exactamente uno y solo un elemento de a cada elemento de . El dominio denotado generalmente por la letra , de una función , son todos los valores que se le pueden asignar a sin que está se indetermine o siempre y cuando exista. Mientras que el contradomio , conocido también como codominio de una función , son todos los valores que resultan de sustituir en la función, aunque no todos sus elementos han sido tomados para aparearse con los elementos del dominio; con esto queremos decir, que es a partir del elemento del dominio que se elige su correspondiente en el contradominio y no de otra forma, por ello puede haber elementos no apareados en el contradominio. Se llama imagen a cualquier elemento del contradominio asociado a un elemento del dominio. No todos los elementos del contradominio son imágenes, ya que puede haber algunos elementos no apareados. Rango es el conjunto de imágenes, por lo que el rango es un subconjunto del contradominio, como se muestra en la figura 2.1. D 𝑓 C 𝑥1 𝑦1 Imágenes 𝑥2 𝑦2
𝑥3
𝑦3
𝑥4
𝑦4
Dominio Figura 2.1
Rango
𝑦5 Contradominio
La variable que representa los números de entrada para una función se denomina variable independiente. La variable que representa los números de salida se denomina variable dependiente, porque su valor depende del valor de la variable independiente. Se dice que la variable dependiente es una función de la variable independiente .
Prueba de la recta vertical De acuerdo a la definición de función, para toda en el dominio de corresponde un solo valor en el contradominio. Esto significa geométricamente que una recta vertical puede cortar o interceptar a la gráfica de una función cuando mucho en un solo punto. Por otro lado, si una recta vertical corta la gráfica de una ecuación más de una vez, entonces la gráfica no es la gráfica de una función. Vea la figura 2.2.
a) Función Figura 2.2 Prueba de la recta vertical
b) No es función
c) No es función
Función Par e Impar ) Una función se llama par si ) para toda en su dominio, de la misma manera ) una función se llama impar si ) para toda en su dominio. Geométricamente las funciones pares e impares tienen propiedades de simetría. La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje , mientras que la gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. Ejemplo 1. Verifique en cada una de las siguientes funciones si es par, impar o ninguna de las dos opciones. 2 4 ) a) Solución Para determinar si es par o impar, comenzamos por examinar ) donde es cualquier número real 2 4 ) dado ) )2 )4 sustituir por en ) 2 4 ) simplificar ) ) dado que ), por lo tanto se trata de una función par.
3
)
b) Solución
3
) ) ) ) ) ) dado que
)3
)
3) 3 3 3
)
)
dado sustituir por simplificar simplificar
en
multiplicar ) por simplificar ), por lo tanto se trata de una función impar.
)
)
c) Solución
)
dado
)
sustituir
)
)
simplificar
)
simplificar
)
(
)
multiplicar
)
), por lo tanto se trata de una función impar.
2
) ) ) ) ) ) dado que impar.
) por
2
)
d) Solución
)
en
simplificar )
como
por
)2 2)
)
2
)
dado sustituir por simplificar simplificar
2
2
)
), y que
)
)
en
multiplicar ) por simplificar ) por lo tanto la función
no es par ni
Nota: No pierda de vista el tema de las funciones par e impar y su simetría, ya que es un tema que se verá con más detalle en las funciones inversas.
Función Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva Función Inyectiva Conocida también como uno a uno, establece que para cada número en el rango de se asocia exactamente con un número en su dominio, tal como se indica en la siguiente definición. Definición. es una función inyectiva si y solo si para cada par de puntos 1 2 se cumple que 1) 2 ).
1
2
con la condición
Geométricamente una función es inyectiva si al trazar una recta horizontal ( ) corta la gráfica de una función cuando mucho en un punto. De lo anterior se dice que una función no es uno a uno (no es inyectiva) si alguna recta horizontal corta la gráfica en dos o más puntos.
Ejemplo 1. a)
Determine si las siguientes funciones son inyectivas (uno a uno)
𝑥 𝑎
𝑦 A
𝑏
B
𝑐
C
𝑑
D
E 𝑒 Dominio Contradominio Figura 2.3 Prueba de la recta vertical Solución Al analizar los elementos principales de la figura 2.3 tales como dominio, contradominio, imagen, rango, se obtendrá Dominio Contradominio La Imagen de es , de es , de es , de es , de es El Rango es Por lo tanto la función es inyectiva o uno a uno, independientemente de que sobre el elemento .
) b) Solución Usando la prueba de la recta horizontal en la gráfica de la función, obtendremos lo siguiente:
Figura 2.4 Gráfica de la función La gráfica de indica claramente que al trazar cualquier recta horizontal ( ) corta en un solo punto 1 , por lo que se puede concluir que la función es inyectiva o uno a uno.
2
) c) Solución
Figura 2.5 Gráfica de la función
2
2 Al usar la prueba la recta horizontal en la gráfica de la función se observa ), en este caso la que es una parábola que abre hacia arriba con vértice en recta horizontal , con corta la gráfica en dos puntos 1 y 2 , por lo tanto no es una función uno a uno. Aplicando la definición podemos verificar verifica analíticamente que 1
2
0 no cumple que
1)
2)
)
0 )
por lo que al igual que en la prueba de la recta horizontal se verifica que no es una función inyectiva.
Función Suprayectiva Definición. Una función es suprayectiva cuando el rango es igual al codominio, lo cual indica que todos los elementos del codominio están relacionados con alguno del dominio. Ejemplo 1. Determine si la siguiente función es suprayectiva. 2 ) a) 0 Solución Al tabular en los valores indicados, se obtendrá 2
0
3 0 -1 0 3
Dominio 𝑥 0 Contradominio 𝑦 0 La Imagen de y 0 es , de y es 0, de es El Rango es 𝑅 0 Por lo tanto la función es suprayectiva porque todos los elementos del contradominio están asociados con al menos uno del dominio.
𝑥
𝑦
0 0
Dominio Contradominio Figura 2.6 Diagrama y gráfica de la función
2
Función Biyectiva Definición. Cuando una función es inyectiva y suprayectiva, entonces se dice que la función biyectiva, conocida también como biunívoca. Ejemplo 1. ) a) Solución
es
Determine si las siguiente función es biyectiva. 0
Al usar la prueba de la recta horizontal, observamos que corta en un solo punto, por lo que es una función inyectiva.
𝑥
𝑦
0 Al realizar el diagrama sagital podemos verificar que la función es suprayectiva, porque todos los elementos del contradominio están asociados con al menos uno del dominio.
Dominio Contradominio Figura 2.7 Gráfica y diagrama de la función ) Como la función es inyectiva y suprayectiva, entonces podemos concluir que la función es biyectiva o biunívoca. Nota: No pierda de vista el tema de las funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva, ya que es la base de las funciones inversas, como se verá más adelante.
Ejercicios 2.1 En los ejercicios del representa una función.
, use la prueba de la recta vertical para verificar si la gráfica
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
En los ejercicios del opciones. 4 7.10.13.-
, verifique si la función es Par, Impar o Ninguna de las dos 2
11.| |
En los ejercicios del 16.3 19.22.√
3
8.14.- √
√ 2
9.-
2
12.-
√| |
15.-
, analice si las siguientes funciones son biyectivas 2 2 17.18.2 2 20.- √ 21.1 | | 23.24.-
4
2
Clasificación de las funciones De acuerdo a su naturaleza, es decir a su forma o estructura, las funciones se clasifican en algebraicas y trascendentes. Las funciones algebraicas como su nombre lo indica, provienen del algebra, es decir los polinomios, fracciones algebraicas, potencias y radicales. Las trascendentes son cualquier función no algebraica, tales como las trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y especiales. 3 ) ) √ Ejemplos de funciones algebraicas son: 2 4 :3 ) de funciones trascendentes son: ) Intersecciones. Al representar gráficamente una función, se les llama intersecciones con el eje al punto o coordenadas donde cruza el eje y el eje , es decir donde y son cero. Para determinar las intersecciones en el eje de una gráfica, se iguala a cero y se despeja de la ecuación resultante, por lo que una coordenada de la forma 0) es una intersección en . A las intersecciones en el eje se les conoce también como ceros o raíces de una ecuación. De la misma manera, para determinar las intersecciones en el eje de una gráfica, se iguala a cero y se despeja de la ecuación resultante, por lo que una coordenada de la forma 0) es una intersección en , ver figura 2.3.
Tres intersecciones en el eje x Una intersección en el eje y
Una intersección en el eje x No hay intersección en el eje y
Figura 2.8 Intersecciones con los ejes Tales puntos de intersección no solo son útiles para representar gráficamente una función, sino para analizar su dominio, rango o comportamiento. Ejemplo 1. Encontrar las intersecciones de la función ) Solución 2 dado 2 0 intersecciones en ) ) 0 factorizar despejar las intersecciones en son 0) 0)
2
con los ejes.
: hacer
0
: hacer
0
2
dado intersecciones en por lo tanto la intersección en es 0 ) las intersecciones se muestran en la figura
Intersecciones con los ejes de la función 𝑦 Figura 2.9 Intersecciones con los ejes
𝑥2
𝑥
Funciones Algebraicas Función Polinomial Es una función cuya regla de correspondencia es un polinomio, es decir, una función de la 2 3 ) ) forma , así se llama función constante, 1 2 3 ) 1 se llama función lineal, etc. Función Constante ) Es de la forma , donde es cualquier número real. Geométricamente la función constante es una recta horizontal que dista unidades del eje . Su dominio es el conjunto de los números reales y su contradominio o rango es el conjunto unitario . Ejemplo 1. Graficar la función constante indicada, mostrar su dominio y rango. a) ) Solución Sea , si procedemos con la tabulación correspondiente, nos daremos cuenta que para cualquier valor de , el valor de siempre será .
-2 -1 0 1 2
2 2 2 2 2
Figura 2.10 función constante Recta horizontal que dista a 4 unidades del eje ) dominio: contradominio: .
) b) Solución
recta horizontal que dista a 3 unidades por debajo del eje )
dominio: contradominio:
Figura 2.11 Función constante
Función Lineal ) Es de la forma es cualquier número real, y 1 son constantes. 1 , donde Geométricamente la función lineal es una línea recta cuya estructura general es , donde es la pendiente y es la ordenada al origen (intersección en el eje ), su ángulo de inclinación viene dado por . Su dominio y contradominio es el conjunto de los números reales. ) Ejemplo 1. Para la función lineal , determinar: sus intersecciones, pendiente, ángulo de inclinación, gráfica, domino y rango. Solución Intersecciones dado 0 intersecciones en : hacer 0 despejar simplificar las intersecciones en son 0) dado intersecciones en por lo tanto la intersección en es 0 )
: hacer
Pendiente y ángulo de inclinación A partir de la estructura general de la función lineal con un ángulo de inclinación ;1 )
0
, se tiene
Gráfica Para graficar la función lineal, basta con unir los puntos de intersección mediante una línea recta como se muestra en la figura . 𝜃
Figura 2.12 función constante Dominio y contradominio ), )
) Ejemplo 2. Para la función lineal , determinar: sus intersecciones, pendiente, ángulo de inclinación, gráfica, domino y rango. Solución Intersecciones dado 0 intersecciones en : hacer 0 despejar simplificar las intersecciones en
son
por lo tanto la intersección en
0) dado intersecciones en es 0 )
: hacer
Pendiente y ángulo de inclinación A partir de la estructura general de la función lineal
0
, se tiene
con un ángulo de inclinación ;1 ) sumar 180° (pendiente negativa 2° cuadrante) 0 Gráfica Para graficar la función lineal, basta con unir los puntos de intersección mediante una línea recta. Dominio y rango: ,
𝜃 𝜃
Figura 2.13 función
Función Cuadrática 2 ) Es de la forma , donde es cualquier número real, , 1 y 2 son 1 2 constantes, con la condición 2 0. Geométricamente la función cuadrática es una parábola 2 cuya estructura general es . Su dominio es el conjunto de los números reales y su contradomino viene determinado a por el vértice cuya coordenada es (
(
2
)).
2
Ejemplo 1. Para la función gráfica, domino y rango. Solución Intersecciones
2
)
2 2
dado intersecciones en factorizar despejar
0 )
)
, determinar: sus intersecciones, vértice,
0
2
dado intersecciones en
Vértice A partir de la estructura general de la función lineal 2 , se tendrá ( (
;3 2 1)
(
;3 2 1)
: hacer
0
: hacer
0
2
, para la función , por lo que el vértice es
))
( ))
)) ) El vértice juega un papel fundamental, es el punto de inicio o fin para especificar el rango de la función. Gráfica Para graficar la función cuadrática, basta con unir los puntos de intersección y el vértice para formar la parábola. (
𝑉 Figura 2.14 función cuadrática
Dominio y contradominio ),
[
)
)
)
2
Ejemplo 2. Obtener las intersecciones, vértice, gráfica, domino y rango de la función 2 ) cuadrática . Solución Intersecciones 2 dado 2 0 intersecciones en : hacer 0 )
√
) )
) )
√
fórmula general simplificar
0 2
dado intersecciones en
Vértice A partir de la estructura general de la función lineal 2 , se tendrá ( ( (
;11
(
2 ;4)
(
;11 2 ;4)
: hacer
2
0
, para la función , por lo que el vértice es
))
)) ) 0
)
Gráfica Para graficar la función cuadrática, basta con unir los puntos de intersección y el vértice para formar la parábola. 𝑉 0 )
Figura 2.15 función cuadrática Dominio y contradominio ),
0
)
]
2
Función Cúbica o de orden mayor 2 3 ) Son de la forma , para obtener sus puntos de 1 2 3 intersección se aplica despeje directo, factorización, división sintética, etc. 3 ) Ejemplo 1. Obtener los puntos de intersección y la gráfica de Solución Intersecciones 3 dado 3 0 intersecciones en : hacer 0 2 ) ) 0 factorizar (diferencia de cubos) despejar (1 raíz real y 2 imaginarias) 3
.
dado intersecciones en
: hacer 0 Gráfica Tabulando la función cúbica, la gráfica quedará de la siguiente forma
Figura 2.16 función cúbica
)
Ejemplo 2. Obtener los puntos de intersección y la gráfica de Solución Intersecciones 4
3
3
4
3
2
2
dado 0 intersecciones en : hacer división sintética para obtener las intersecciones en factores de 24=(24)(1) (-24)(-1) (12)(2) 0 24 𝟒 (-12)(-2) (8)(3) 0 (-8)(-3) 𝟐 (12)(2) 0 (-12)(-2) 𝟏 4
3
2
0 𝟑 0
.
0
Los puntos de intersección en el eje 4
3
son
2
dado intersecciones en
: hacer Gráfica Tabulando la función cuarta, la gráfica quedará de la siguiente manera
Figura 2.17 Función cuarta
)
4
3
0
2
Algunas observaciones son las siguientes, como nos pudimos dar cuenta, dependiendo del grado de la función es el número de raíces o ceros (intersecciones en el eje ) de la función aunque no todas reales.
Función Raíz Cuadrada ) √ , con la restricción Es la inversa de la función cuadrática, está definida por 0, es decir el radicando tiene que ser no negativo. Geométricamente son ramas de parábolas. Ejemplo 1. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función raíz √ Solución Intersecciones dado √ 0 intersecciones en : hacer 0 √ 2
(√
) 0
√ √
0)2
)
elevar al cuadrado factorizar despejar dado intersecciones en simplificar
: hacer
0
Dominio y Gráfica Para determinar el dominio de la función se resuelve la desigualdad del radicando ). 0, donde , entonces el dominio de la función es el conjunto[ Al tabular algunos valores, se obtendrá
√ -4 0
-4
-3 1
-2 √
-1 √
0 2
1 √
Figura 2.18 Función raíz
)
√
De acuerdo a la gráfica se puede observar que el rango está determinado por [0
)
Ejemplo 2. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función raíz √ 2 Solución Intersecciones dado √ 2 2 0 intersecciones en : hacer 0 √ (√
2
) 0)2 0 ) 0
2
2
)
).
elevar al cuadrado factorizar despejar
dado √ 2 intersecciones en : hacer 0 √ No hay intersección en y Dominio y Gráfica Para determinar el dominio de la función se resuelve la desigualdad del radicando 2 ] [ ) 0, obteniendo como dominio de la función el conjunto Al tabular algunos valores, se obtendrá √ 2
-5 -4 -3 1 2 3
√ √ 0 0 √ √
) √ 2 Figura 2.19 Función raíz De acuerdo a la gráfica se puede observar que el rango está determinado por [0
).
Ejemplo 3. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función raíz 2 ) √ Solución Intersecciones 2 dado √ 2 0 intersecciones en : hacer 0 √ 2 2)
(√ 2
0)2
0
)
√ √
elevar al cuadrado
)
0
factorizar despejar
2
dado intersecciones en
: hacer
0
Dominio y Gráfica Para determinar el dominio de la función se resuelve la desigualdad del radicando 2 ]. 0, obteniendo como dominio de la función el conjunto [ Al tabular algunos valores, se obtendrá 2 √ -5 -4 -3 1 2 3
√ √ 0 0 √ √
2 ) √ Figura 2.20 Función raíz De acuerdo a la gráfica se puede observar que el rango está determinado por [0 ].
Función Valor Absoluto ) | |, su dominio es el conjunto de los números reales Se denota como
).
Ejemplo 1. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función valor absoluto ) | | Solución Intersecciones | | dado 0 intersecciones en : hacer 0 despejar (punto de partida)
|
|
dado intersecciones en
Gráfica Al tabular algunos valores antes y después de | | -5 -4 -3 -2 -1
0
: hacer
, quedará
1 0 2 )
Figura 2.21 Función valor absoluto Dominio y contradominio:
),
[0
|
|
)
Ejemplo 2. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función valor absoluto ) | 2 | Solución Intersecciones | 2 | dado 2 0 intersecciones en : hacer 0 ) 0 factorizar (factor común) 0 despejar (punto de partida) | 2 | dado 0 intersecciones en : hacer 0 Gráfica Al tabular algunos valores antes y después de las intersecciones 0 y | 2 | --5 -4 -3 -2 -1 0 1
5 0 3 4 3 0 5
Dominio y contradominio:
, quedará
)
Figura 2.22 Función valor absoluto ),
[0
)
|
2
|
Función Racional )
Es de la forma
)
0
)
polinomios con la restricción ) los números reales, excepto donde
, donde
) y
) son
0
0. El dominio de una función racional es el conjunto de ) 0.
Asíntotas de una función racional Asíntota vertical: ) 0, se dice que la función tiene una asíntota vertical o un punto de Cuando discontinuidad. Asíntota Horizontal: Si , entoces 0 (el eje x) es una asíntota horizontal para la gráfica de . Si , entoces (el cociente de los coeficientes principales) es una asíntota horizontal para la gráfica de . Si , entonces no existe asíntota horizontal para la gráfica de . Asíntota Oblicua: Si , es decir ) es mayor que el grado de ), la gráfica tiene una asíntota oblicua. Para obtener la asíntota oblicua podemos usar la división tradicional algebraica, a fin de expresar ) en la forma ) ) ) ) ) ) ) Ejemplo 1. Dada la función racional , determinar las intersecciones con los ejes, las asíntotas (puntos de discontinuidad), su gráfica, domino y rango. Solución Intersecciones dado 2 :1 ;3
0 0
intersecciones en
: hacer
0
multiplicar ambos lados por despejar dado intersecciones en
: hacer
0
Asíntotas 0
dado vertical, cuando el denominador es igual a cero despejar dado horizontal, como n=m la asíntota horizontal es
Gráfica, dominio y rango
Dominio y rango )
Asíntota horizontal 𝑦
) )
)
Asíntota vertical 𝑥 Figura 2.23 Función racional
)
Ejemplo 2. Dada la función racional
)
, determinar las intersecciones con 0 los ejes, las asíntotas (puntos de discontinuidad), su gráfica y domino. Solución Intersecciones dado
0
:3
0
;7 :1
intersecciones en
0
multiplicar ambos lados por despejar
intersecciones en
0
2
0 )
0
0 )
0
2
0
dado
0 Asíntotas
0
: hacer
: hacer
0
dado 0 0
vertical, cuando el denominador es igual a cero factorizar despejar dado horizontal, como n
Gráfica y dominio
Asíntota horizontal 𝑦 0 Asíntota vertical 𝑥 𝑥
Figura 2.24 Función racional Dominio: Ejemplo 3.
)
) )
Dada la función racional
)
0
)
, determinar las intersecciones con
los ejes, las asíntotas (puntos de discontinuidad), su gráfica y domino. Solución Intersecciones Si reescribimos la función, en términos de sus factores, quedará ) ) factorizar ) ) ) ) cancelar ) ) , con la restricción Ahora, trabajando con la expresión simplificada, obtendremos dado :2 :4
0 0
intersecciones en
: hacer
0
multiplicar ambos lados por despejar dado intersecciones en
: hacer
0
simplificar Asíntotas 0
dado vertical, cuando el denominador es igual a cero despejar
Inicialmente el denominador presentaba dos factores, es decir dos asíntotas verticales. Al cancelarse una de ellas , se representará mediante un hueco debido a que ) no está definida en dicho valor. dado horizontal, como n=m la asíntota horizontal es Gráfica y dominio )
)
)
Figura 2.25 Función racional
Ejemplo 4. Dada la función racional Solución Asíntotas
)
)
, obtener todas sus asíntotas y graficar.
) De acuerdo a la teoría, como , es decir el numerador es de mayor grado que el denominador, la gráfica tiene una asíntota oblicua. Al realizar una división algebraica obtendremos 𝑥 𝑥
𝑥2
𝑥
𝑥2
𝑥 𝑥 𝑥
así pues, ) dado Su asíntota oblicua es la recta denominador es cero, es decir
, su asíntota vertical sucede cuando el .
Gráfica
Asíntota oblicua 𝑥 𝑥
Asíntota vertical 𝑥 Figura 2.26 Función racional
)
Ejercicios 2.2 En los ejercicios del
, encuentre todas las intersecciones con los ejes.
1.4.-
2
2.2
2
√
2
5.-
En los ejercicios del gráfica. 7.-
3
3.2
0
√
6.-
2
, obtener sus intersecciones, pendiente, ángulo de inclinación y la 8.-
9.-
En los ejercicios del 0 contradominio. 2 10.-
, obtener las intersecciones con los ejes, gráfica, dominio y
En los ejercicios del 3 13.-
, encuentre las intersecciones con el eje . 3 4 15.-
En los ejercicios del
14.-
2
11.-
0
3
17.-
18.-
19.-
20.-
21.-
25.-
|
|
En los ejercicios del 28.31.-
34.-
0, indique su dominio, rango y grafique. 23.24.√ 0 26.-
√
|
2
|
27.-
√
30.-
√ |
2
|
, indique su dominio. 29.-
| |
2
, determine todas las asíntotas e indique su dominio.
16.-
En los ejercicios del 22.√
2
12.-
√ | |
32.-
35.-
√
33.-
36.-
√
)
Funciones Especiales Función definida parte por parte También conocida como función a trozos, función seccionada, función definida por tramos o función característica. Es una función que se describe por más de una expresión, es decir son funciones que están seccionadas por intervalos y en cada intervalo se presenta una función diferente. Para realizar su gráfica, es suficiente con dibujar la gráfica de cada una de las funciones en el intervalo indicado, marcando claramente los huecos y puntos rellenos. Ejemplo 1. parte
)
Obtener la gráfica, dominio y contradominio de la función definida parte por {
2
Solución Se tabula cada una de las funciones en el intervalo indicado, se localizan los puntos y se grafican, cuando hay puntos que no están incluidos se colocan un punto sin rellenar. 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 -4 8 -1 1 1 -2 -3 6 2 -2 0 0 -2 4 3 -2 1 1 hueco -1 2 hueco 4 -2
Figura 2.27 Función seccionada Dominio y contradominio ) [0 ]
)
Ejemplo 2.
Obtener la gráfica, dominio y rango de la función definida parte por parte 3
)
{
Solución Se tabula cada una de las funciones en el intervalo indicado, se localizan los puntos y se grafican, cuando hay puntos que no están incluidos se colocan un punto sin rellenar. 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 -2 -8 1 5 1 8 hueco -1 -1 2 9 0 0 3 10 1 1 hueco 4 11
Figura 2.28 Función seccionada
Dominio y contradominio ) )
)
Función Mayor Entero Si es un número real, definimos el símbolo ⌊ ⌋ de la forma: ⌊ ⌋ , donde es el mayor entero, tal que Si identificamos a con puntos en una recta coordenada, entonces n es el primer entero a la izquierda de (o igual a) .
Ejemplo 1. Obtener el resultado de las expresiones indicadas. a) ⌊0 ⌋ 0 b) ⌊ ⌋ c) ⌊ ⌋ d) ⌊ ⌋ e) ⌊ 0 ⌋ ⌋ f) ⌊ g) ⌊ ⌋ h) ⌊ ⌋ Ejemplo 2. ) ⌊ ⌋ Graficar la función mayor entero Solución Tabulando algunos puntos de la función entero mayor y localizándolos en el plano cartesiano, se obtendrá 𝑦 𝑥 -1 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1 1.4 1.8 2
⌊𝑥⌋ 𝑦 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 2 Figura 2.29 Gráfica de la función mayor entero
)
⌊ ⌋
Función Menor Entero Si es un número real, definimos el símbolo ⌈ ⌉ de la forma: ⌈ ⌉ , donde es el menor entero, tal que Si identificamos a con puntos en una recta coordenada, entonces n es el primer entero a la derecha de (o igual a) .
Ejemplo 1. Obtener el resultado de las expresiones indicadas. a) ⌈0 ⌉ b) ⌈ ⌉ c) ⌈ ⌉ d) ⌈ ⌉ e) ⌈ 0 ⌉ 0 ⌉ f) ⌈ g) ⌈ ⌉
Ejemplo 2. ) ⌈ ⌉ Graficar la función menor entero Solución Tabulando algunos puntos de la función entero mayor y localizándolos en el plano cartesiano, se obtendrá 𝑦 ⌈𝑥⌉ 𝑥 𝑦 -1 -1 -0.8 0 -0.4 0 0 0 0.4 1 0.8 1 1 1 1.4 2 1.8 2 2 2
Figura 2.30 Gráfica de la función menor entero Ejercicios 2.3 En los ejercicios del rango. 1.-
)
,
3.-
)
{
En los ejercicios del y rango. ⌊ ⌋ 5.8-
⌈
⌉
)
⌈ ⌉
, realiza la gráfica de las funciones seccionadas e indica su dominio y )
2.| |
4.-
)
, {
2
0, realiza la gráfica de las funciones seccionadas e indica su dominio ⌊ ⌋
6.9.-
1
⌈2 ⌉
7.-
⌈
10.-
⌈ ⌉
⌉
Funciones Trascendentes Función Exponencial Es una expresión de la forma y es el exponente.
)
, con la restricción
0
. Donde
Ejemplo 1. Obtener la gráfica, dominio y contradominio de la función exponencial Solución Tabulando algunos puntos de la función , se obtendrá 𝑦
𝑥 -2 -1 0 1 2 3
es la base
)
𝑥
𝑦 1/9 1/3 1 3 9 27
) Figura 2.31 Gráfica de la función exponencial Dominio y contradominio ) 0 ) Algunas observaciones de esta gráfica son las siguientes, como se indicó anteriormente, el dominio de esta función consiste en todos los reales y el rango en todos los reales positivos, la gráfica intersecta en 0 ). La gráfica asciende de izquierda a derecha. Conforme aumenta , ) también aumenta pero de forma más rápido, de hecho ) aumenta indefinidamente, esto en el primer cuadrante. En el segundo cuadrante se puede observar que a medida que se hace más negativa, la gráfica se aproxima al eje , lo cual implica que los valores de la función estén muy cercanos al 0, en otras palabras el eje es una asíntota para la gráfica. Ejemplo 2. ) Graficar y compara las siguientes funciones exponenciales Solución Tabulando ambas funciones en los mismos puntos, se obtendrá 𝑥 𝑦 𝑥 -2 -1 0 1 2 3
)
y
𝑥
0.25 0.5 1 2 4 8
𝑓 𝑥)
𝑥
𝑥
𝑓 𝑥) Figura 2.32 Gráficas de la función exponencial
)
y
)
𝑦
𝑥
𝑥 -2 -1 0 1 2 3
𝑥
1/36 1/6 1 6 36 216
El dominio de cada función son todos los reales y el rango todos los reales positivos, cada gráfica intersecta en 0 ). Las gráficas ascienden de izquierda a derecha. Ambas tienen el mismo comportamiento, conforme aumenta , ) también aumenta sin embargo al ) comparar ambas gráficas se observa que la gráfica de asciende más rápido que la ) gráfica de porque la base 5 es mayor que la de la base 2.
Función Exponencial Natural Es una de las funciones más importantes en las matemáticas, sobre todo en el cálculo y en matemáticas aplicadas, inclusive podríamos argumentar que este número irracional desempeña un papel más importante que el número . Está definida como aquella cuya base es el número y el exponente la variable , es decir ) La definición usual del número )
es que se trata del número al que se acerca la función
1
( ) cuando se deja que valor aproximado de es (
crezca sin cota en la dirección positiva, por lo que un )
Ejemplo 1. Obtener la gráfica, dominio y reango de la función exponencial natural Solución Tabulando algunos puntos de la función , se obtendrá 𝑦
)
𝑒𝑥
𝑥 𝑦 -2 0.1353 -1 0.3678 0 1 1 2.7182 2 7.3890 3 20.0855
Figura 2.33 Gráfica de la función exponencial Dominio y contradominio ) 0 )
)
Función Logarítmica Es la inversa de la función exponencial con base , se denota como , la definición se expresa de la siguiente forma: Sea un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de con base se define como si y sólo sí Al ser la función logarítmica la inversa de la función exponencial, entonces la gráfica de la función se puede obtener reflejando la gráfica de a través de la recta como se muestra en la siguiente figura 2.34. 𝑦 𝑎𝑥
𝑦
𝑎
𝑥
Figura 2.34 Antes de que se inventaran las calculadoras, se usaban los logaritmos con base 10 para calculos numéricos complicados con productos, cocientes y potencias de numéros reales, pues la base 10 se puede expresar en notación científica. Los logaritmos con base 10 se llaman logaritmos comunes, el símbolo de se usa como abreviatura de . 1
Función Logaritmo Natural Los logaritmos con base 0 se llaman logaritmos comunes, por lo tanto si la función ) natural exponencial está dada por , entonces los logaritmos con base se llaman logaritmos naturales y se denotan como . Por lo tanto la función logaritmo natural y la función exponencial natural son funciones inversas entre sí, tal como se muestra en la figura 2.35. 𝑦 𝑒𝑥
𝑦
𝑙𝑛 𝑥
Figura 2.35 En la figura podemos observar que son simétricas con respecto a la recta ) si la página se dobla a lo largo de la recta las gráficas de y van a coincidir.
;1
. Es decir, )
Relación entre logaritmo y exponenciales Forma logarítmica Forma exponencial
Propiedades de los logaritmos Si y son números positivos, entonces se cumple tanto para logaritmo común como para logaritmo natural las siguientes propiedades. ) 1. ) 2. 3. ( )
Teorema: Las funciones exponenciales son biunívocas ) La función exponencial dada por para 0 o es biunívoca en consecuencia, se satisfacen las siguientes condiciones equivalentes que se cumplen para números reales 1 y 2 : 1. Si , entonces 2. Si , entonces Al usar este teorema en la solución de ecuaciones afirmaremos que las funciones exponenciales son biunívocas.
Teorema: Las funciones logarítmicas son biunívocas La función logarítmica con base es biunívoca; por lo que, se satisfacen estas condiciones equivalentes para números reales positivos 1 y 2 : 3. Si , entonces 4. Si , entonces Al usar este teorema en la solución de ecuaciones afirmaremos que las funciones logarítmicas son biunívocas. Ejemplo 1. Obtener las intersecciones, gráfica, domino y rango de la función logarítmica ) ) Solución Intersecciones ) dado ) 0 intersecciones en : hacer 0 0 cambiar a forma exponencial simplificar restar dividir entre ) dado ) intersecciones en : hacer 0 0 simplificar
Gráfica. Al localizar y unir los puntos de intersección, quedará
)
Figura 2.36 Gráfica de la función logaritmica El dominio de la función será ) ) 0
)
) El rango es
)
Ejemplo 2. Cambiar a la forma logarítmica cada una de las siguientes expresiones usando la relación entre logaritmos y exponenciales. Forma exponencial Forma logarítmica a) 3 2 b) ) 5 ; c) d) 0 e)
0
f) g) h)
;5
) 6
( )
:3 3
)
Ejemplo 3. Cambiar a la forma exponencial cada una de las siguientes expresiones usando la relación entre logaritmos y exponenciales. Forma exponencial Forma logarítmica 6 a) 2 b) ) :2 c) d) ) 0 e) 000 03 000 f) ) 4 g) 8; h) (6 )
Ejemplo 4. Despejar usando logaritmos de base . ;5 a) Solución ;5 dado 3
8 3
dividir entre
3
;5
( )
cambiar a forma logarítmica
( )
sumar .
b) Solución dado sumar A :
dividir entre
:
cambiar a forma logarítmica ( (
) )
dividir entre (
)
(
)
c) Solución dado restar dividir entre ( (
)
cambiar a forma logarítmica
)
dividir entre (
)
(
)
Ejemplo 5. Expandir en términos de logaritmos de 3 a) ) Solución 3 ) dado 3 propiedad propiedad b)
(
)
√
Solución (
)
√ 4
dado propiedad propiedad
√
4
(
√ )
4
simplificar y reescribir propiedad
c)
4
(
√
)
Solución 4
(
√
4
)
dado
√
4
(
4
propiedad )
(
reescribir radical )
propiedad
4
2)
propiedad
4
2
simplificar propiedad
Ejemplo 6. Comprimir la expresión como un logaritmo. a) Solución dado 6
propiedad
( )
(
propiedad
) √
reescribir potencia a radical
)
b) Solución )5 )5 )5
[ [ )
(
) )3 )3 ] 3 ) )]
)
(
)
dado propiedad algebra (factor común) propiedad
)
propiedad
)
simplificar
c)
3
)
4 6
3
)
4 6
dado
3 )2
4 6)
propiedad
3 )2
2 3)
simplificar (potencias)
Solución 6
(
)
(
)
[(
3 )2
)
(
] (
2 3)
propiedad
)
)(
[
[
]
)
]
propiedad
simplificar (algebra)
Ejemplo 7. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales. 4 :7 a) 2 ;5 Solución 2 ;5 4 :7 dado 3 )2 ;5 4 :7 reescribir en términos de la misma base 6 ;15 4 :7 simplificar (leyes de los exponentes) las funciones exponenciales son biunívocas restar ; sumar dividir entre 3 :35
b) Solución
3 :35 2) 2
3 :35 3 :35
2 2
0
dado reescribir en términos de la misma base simplificar (leyes de los exponentes) las funciones exponenciales son biunívocas restar ; restar
)
√
)
)
)
) √
c)
simplificar
:5
2
1
2
1 2 :8
);4
(3) Solución
(3) 2 )2 ;1 )2 :8 4 ) ;2 ;8 )
2 ;8
fórmula general o factorización de 4 pasos
);4 4 4)
dado reescribir en términos de la misma base simplificar (leyes de los exponentes) simplificar (leyes de los exponentes) las funciones exponenciales son biunívocas sumar ; sumar dividir entre
);4 ;4
)
4;4
Ejemplo 8. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas. ) a) ) 5 5 Solución ) ) dado 5 5 las funciones logarítmicas son biunívocas sumar ; sumar despejar simplificar Comprobación ) 5 ) 5 0 5 0 Dado que 0 5 solución. b)
)
5
)
) 50
es una expresión cierta, entonces
4
Solución dado
4 ;
cambiar a forma exponencial simplificar
Comprobación 4 3 ; 2
Dado que
1
1
8
8
es una expresión cierta, entonces
es solución.
es
c)
2
)
2
2
)
2
2
Solución 2
) )
2 2
2
dado
( )
propiedad simplificar las funciones logarítmicas son biunívocas
2
despejar simplificar Comprobación ) 2 ) ) 2 2
2
2 2
)
2
(
2
)
2
Dado que d)
2
2
2
)
3
es una expresión cierta, entonces
3
)
3
)
es solución.
Solución )
3
)
3( 2
)) )
2
3
1
2 2
0 )
)
0
Comprobación ) ) 3 3 ) ) 3 3 Dado que los logaritmos de números negativos no están definidos, no es solución.
dado propiedad simplificar forma exponencial simplificar igualar a ero factorizar despejar Comprobación ) 3 3 ) 3 ) )) ( 3 3 ) por lo tanto
3
)
)
es solución
)
e) Solución
) ))
propiedad
2
)
simplificar
2
) ) )
propiedad simplificar las funciones logarítmicas son biunívocas
(
2 2 2
dado
2
0 )
)
igualar a cero factorizar despejar Comprobación
0
Comprobación )
) )
)
) ( ) ))
Dado que el logaritmo natural de un número negativo no está definido, no es solución.
por lo tanto
es solución.
Funciones Trigonométricas En geometría, un ángulo se define como el conjunto de puntos determinados por dos rayos o semirrectas 1 y 2 , que tienen el mismo punto extremo0. Si A y B son puntos en 1 y 2 nos referimos al ángulo AOB como se muestra en la figura 2.37. 𝑙2 𝐵
𝑂 Figura 2.37
𝐴
𝑙1
La unidad de medida más común para los ángulos es el grado. Los ángulos se miden en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, una vuelta completa equivale a 360°. En la figura 2.38 se muestran algunos ángulos. 0
0
Figura 2.38 La unidad de medida para ángulos en el cálculo al igual que los grados, son los radianes, donde un radián es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo tal como se visualiza en la figura 2.39. 𝐵 𝑂
Figura 2.39
𝜃 𝐴
La relación entre grados sexagesimales y radianes es de la siguiente forma 0 0 0
En la siguiente tabla se muestran algunas medidas correspondientes a radianes y grados 0
0 ( (
Grados
0° 30°
Radianes
0
45°
6
4
60°
90°
3
0 0
)
)
0
120°
135°
150° 180°
225°
270°
2
3
5
5
3
2
3
4
6
4
2
315°
360°
7 4
En un triángulo rectángulo o agudo de acuerdo a las razones de sus lados son seis las funciones trigonométricas que se forman:
hipotenus a
cateto opuesto
𝜃 cateto adyacente Generalizaremos la definición de las funciones trigonométricas para ángulos que no son agudos, utilizando un sistema coordenado rectangular, con como el ángulo en posición estándar y ) cualquier punto fuera del origen en lado terminal de , entonces se obtendrá lo siguiente:
𝐵 𝑥 𝑦) 𝑟
𝑦
𝜃 𝑥
𝑂
𝐴 𝑥 0)
𝒙
Definición. ) Una función es periódica con período si estén en el dominio de . El menor de estos valores de Teorema. Las funciones
)
y
)
) para toda tal que 0 se llama periodo.
son periódicas, con periodo
.
y
Función Seno. ) La gráfica de la función seno se puede obtener mediante sus intersecciones, es decir los números en lo que 0, los cuales son 0 , es decir , además de que la función seno tiene un periodo , de acuerdo a la ) definición . Se dice que la gráfica de cualquier función periódica sobre un intervalo de longitud igual a su periodo es un ciclo de la gráfica. A continuación se muestra la tabulación de algunos de sus puntos. 𝑥 0 𝜋
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
𝑦 0 0.707 1 0.707 0 -0.707 -1
Figura 2.40 Gráfica de la función seno.
-0.707 0
El dominio de la función
Función Coseno. En la gráfica de la función coseno 3 0 suceden en 2 2
) 5 2
)
es
) y el rango [
].
se puede observar que sus intersecciones , o sea múltiplos impares de 2 (recuerde que si
) es un entero, entonces es un número impar), por lo que . 2 ) También analice que a diferencia de , 0) 0, para la función coseno se tiene ) 0) 𝑥 𝑦 0 1 𝜋 0.707 𝜋 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
-0.707 -1 -0.707 0 0.707 1
Figura 2.41 Gráfica de la función seno. El dominio de la función
)
es
) y el rango [
].
A continuación podemos definir en términos de cociente o recíprocos de seno y coseno, las cuatro funciones trigonométricas restantes: tangente, cotangente, secante y cosecante, como
Enseguida se muestran sus gráficas, indicando cociente entre (donde 0) en 0 etc. Mientras que en y 3 5 verticales en etc. (donde 2 2 2
sus asíntotas verticales como resultado del las funciones en los puntos , el cociente entre da lugar a asíntotas 0).
Figura 2.42 Gráfica de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Ahora podemos generalizar que el periodo de las funciones trigonométricas es: ) Periodo ) ) Periodo ) ) )
También podemos indicar que las funciones trigonométricas son: ) Par ) (simétrica al eje ) ) Impar (simétrica al origen) ) ) )
) ) ) ) ) )
La mayoría de las calculadoras tiene teclas para , y , pero no para el resto, eso se debe a la importancia en las aplicaciones de , y . Las demás funciones se pueden calcular utilizando las relaciones vistas en la página anterior:
Ejercicios 2.4 En los ejercicios del 1.4-
3 ;7
2.-
(3)
6
5.-
2
7 ;12
En los ejercicios del 9.-
1 8;4
2 ;7
4 ;7
7-
, resuelve las siguientes ecuaciones.
)
8.-
1 3;2
)
En los ejercicios del 1 15.- ;3 64 18.- ;2 21.- ;2
, cambiar a la forma logarítmica. 16.17.19.- 0 20.6 22.23.-
En los ejercicios del 24.3 ) 27.30.-
, cambiar a la forma exponencial. ) 25.26.4
En los ejercicios del
, despeja usando logaritmos de base .
4
0
34.-
:2
);2
1 2
)
14.-
29.32.-
35-
1
)
11.-
, encuentre los ceros de . 2 ; ; ) 13.-
33.-
1
(3)
si
En los ejercicios del ) 12.-
28.31.-
2
6.-
2 ;6
, traza la gráfica de 10.-
)2
(2)
5
;21
3.-
( )
3
4
:
2
0;3
0 00
;5
3 2
) )
)
2 4
0, expandir en términos de logaritmos de
En los ejercicios del 2
36.-
)
√
39.-
En los ejercicios del 41.1 1 43.4
3
En los ejercicios del 45.3 3 3 48.9 2 2 51.54.6 57.-
37.-
(
40.-
√
)
1 7
√
)
3
6
, resuelve las siguientes ecuaciones. 2 ) 46.- 5 ) ) 47.6 2 49.50.2 52.53.55.56.6 3 2 ) ) 58.-
) 3 2
, graficas las funciones indicadas.
59.-
(
60.(
38.- (
, comprimir en términos de un logaritmo. 42.1 3 3 6) 44.-
En los ejercicios del 62.65.-
y . 7
4
)
63.66.-
:3
3
)
61.64.67.-
2
)
) 0 ) )
1 2
Operaciones con Funciones Las operaciones básicas entre funciones son suma, resta, multiplicación, división y composición, denotadas de la siguiente forma. )y Sean ) funciones, entonces ) ) Suma ) ) ) ) Resta ) ) ) ) ) ) ) ) ) Multiplicación )
División
Composición
)
( )
)
)
)
))
(
) Ejemplo 1. Dadas las funciones operaciones indicadas y el dominio resultante: ) 2 2 ) ) 2
2
2
2
y
)
2
, obtener las
definición de la suma quitar paréntesis simplificar términos semejantes
)
:
) 2
2
)
2
)
2
2
definición de la resta quitar paréntesis simplificar términos semejantes
)
;
) 2
2
)
4
3
4
2
3
) 3
2
2
definición de la multiplicación quitar paréntesis simplificar términos semejantes
) ) 2
𝑥2
2
)
)
𝑥2
𝑥
división tradicional
𝑥2
𝑥 11 ;1 ;3
Dominio 2
)
0 0
0 0
0 0)
0 )
definición de la división
)
)
Ejemplo 2. Dadas las funciones indicadas y el dominio resultante: )
y
)
, obtener las operaciones
definición de la suma )
) )
común denominador
)
)
quitar paréntesis
)
0 )
simplificar términos semejantes
)
)
:
)
)
) definición de la resta )
) )
común denominador
)
)
quitar paréntesis
)
)
simplificar términos semejantes
)
)
;
)
)
) (
)(
(
)
definición de la multiplicación
) ( )
) )
)
)
) (
)
)
) (
definición de la división producto de extremos y medios
)
simplificar
)
)
)
)
Función Composición Es una operación más que se puede realizar entre funciones, sin embargo resulta ser de suma importancia en el cálculo diferencial no solo por la construcción de nuevas funciones complicadas a partir de otras más sencillas, sino por la aplicación en regla de la cadena para derivadas o el cálculo integral en la capacidad de descomponer una función compleja en otras más simples. Definición ) La función composición de dos funciones y está definida por El dominio de es el conjunto de todas las del dominio de tales que dominio de .
Ejemplo 1. operaciones )
2
)
Dadas las funciones , y .
y
))
( 2
)2
4
2
)). ( ) esté en el
, obtener las
definición de la composición sustituir en algebra simplificar
)
2
2
)
)
2
4
) ))
( 2
definición de la composición sustituir en algebra
)2
4
3
4
2)
3
2
) ( 2
)) )2
2
)
4
3
2
2
4
3
Ejemplo 2. Dadas las funciones indicadas. ) )) ( (
)
0
)
definición de la composición sustituir en algebra
2
y
)
, obtener las operaciones
definición de la composición sustituir
en
quitar paréntesis )
común denominador simplificar
) (
))
definición de la composición sustituir
)
quitar paréntesis
0
siplificar
0
) (
en
)) (
sustituir
)
en
quitar paréntesis común denominador
)
siplificar producto de extremos y medios
(
))
(
))
)
evaluar
)
simplificar
Ejemplo 3. Dadas las funciones ) ). determinar Solución.
)
√
,
La composición de tres funciones 2
)) ( (√ ) )) ) ( )) ( )) ( Ahora, el resultado anterior sustituirlo en ))) √ ) ( ( ( (
)))
√
( (
)))
√
)
2
,
) ) equivale a ( ( sustituir en simplificar
)
√
)))
,
) √ Dada la función , obtenga las funciones y talque . Solución. Ahora es el proceso inverso de los ejemplos anteriores, entonces como ) √ , la fórmula para F dice primero eleve al cuadrado, después tome la exponencial del resultado y reste 4, finalmente saque raíz cuadrada, por lo tanto la solución es 2 ) ) ) √
Ejemplo 4.
Ejemplo 5.
Dada la función
)
4
3
) obtenga las funciones
y
talque
. Solución. 4
4 3 3 ) ) quedará ) ( )) , la Al reescribir fórmula para F dice primero eleve al cubo y súmele 8, después tome seno del resultado, finalmente eleve a la potencia cuatro, por lo tanto la solución es 3 ) ) 4 )
Función Implícita Las funciones que se han descrito hasta este momento ) están expresadas en forma explícita, es decir está explícitamente escrita en términos de la variable . Algunos ejemplos 3 :2 2 de funciones explicitas son , o . √ 5 Por otra parte, existen funciones que sólo se pueden escribir de manera implícita en una ecuación mediante una relación entre y como a continuación se muestra 2 2 2 3 4 : . Sin embargo, algunas veces es posible resolver una ecuación para como una o varias 2 2 funciones de . Por ejemplo si resolvemos la ecuación implícita para , 2 2 obtendremos dos funciones y lo cual permitirá obtener o √ √ 2 realizar un tratamiento como en las secciones anteriores. Si graficamos 2 obtendremos una circunferencia, mientras que las gráficas de y son semicircunferencias superior e inferior de la circunferencia anterior como se muestra en la siguiente figura.
2
2
√
2
2
√
a) No es función b) Función c) Función Figura 2.43 No siempre es posible resolver una ecuación para como una o varias funciones de , no obstante se mostrarán en secciones posteriores técnicas o procesos para graficar u analizar puntos importantes en el cálculo diferencial de funciones implícitas.
Funciones Inversas Definición. Sea una función biunívoca con dominio e imagen . Una función con dominio en e imagen es la función inversa de , siempre que sea cierta la siguiente condición para toda en y toda en : ) ) si y solo si Recuerde que para definir la inversa de una función , es indispensable que sea biunívoca. El siguiente teorema es útil para verificar que una función es la inversa de .
Teorema sobre funciones inversas. Sea una función biunívoca con dominio e imagen . Si es una función con dominio e imagen , entonces es la función inversa de si y solo si son ciertas estas dos condiciones: )) 1. ( para toda en . )) 2. ( para toda en . Si es la inversa de la función , generalmente la denotamos con la letra es importante recordar que: Dominio de ;1 imagen de Imagen de ;1 dominio de
) Ejemplo 1. Encuentre la función inversa de inversa de . Solución dado despejar , sumar 2 :2 5
dividir entre 5
;1
. De lo anterior
, además verifique que
;1
es la
;1
cambiar
;1
cambiar
;1
por por
Comprobación Aplicando el teorema sobre funciones inversas, debemos tener que ( ;1 )) )) ( ( sustituir en ;1 (
))
)
;1
(
))
;1
(
))
quitar paréntesis
;1
(
))
simplificar
;1
)) ( lo que verifica el teorema De la misma forma el teorema sobre funciones inversas, establece que ( )) ( ( ;1 )) sustituir ;1 en (
;1
))
;1
( (
)) ))
;1
(
)
quitar paréntesis simplificar lo que verifica el teorema
Estas dos comprobaciones demuestran que la inversa de
Figura 2.44 Gráfica de la función
))
)
es
y su inversa
;1
;1
Al graficar la función y su inversa ;1 en un mismo plano, podemos observar que son simétricas con respecto a la recta . Es decir, si la página se dobla a lo largo de la recta las gráficas de y ;1 van a coincidir.
) Ejemplo 2. Encuentre la función inversa de inversa de . Solución 3 dado 3 despejar ,sumar 9 3 sacar raíz cúbica √ ;1 cambiar por ;1 √ ;1 cambiar por √
3
, además verifique que
Comprobación Aplicando el teorema sobre funciones inversas, debemos tener que ( ;1 )) )) ( ( sustituir en ;1 ;1 )) √ 3 ) ( ;1 3 )) √ ( quitar paréntesis ;1 3 )) √ ( simplificar ;1 )) ( lo que verifica el teorema Lo cual demuestra que la inversa de es ;1 √
Figura 2.45 Gráfica de la función
Al graficar la función y su inversa simétricas con respecto a la recta
3
)
;1
y su inversa
;1
;1
es la
))
√
en un mismo plano, podemos observar que son . Los dominios y rangos de ambas funciones son:
)
Ejemplo 3. Encuentre la función inversa de inversa de . Solución
, además verifique que
dado despejar
)
;1
Comprobación Aplicando el teorema sobre funciones inversas, debemos tener que ( ;1 )) )) ( ( sustituir en ;1 ;1
(
(
)) (
;1
(
))
;1
(
))
;1
(
))
;1
(
))
) )
) )
Lo cual demuestra que la inversa de
Figura 2.46 Gráfica de la función
es
)
;1
y su inversa
;1
))
;1
es la
2 ) Ejemplo 4. Encuentre la función inversa de con un dominio restringido de ;1 [0 ), además verifique que es la inversa de . Solución Se restringe el dominio de esta función, porque de no hacerlo, la función no sería inyectiva y por lo tanto tampoco biunívoca, condición necesaria en la inversa de una función. 2 dado 2 despejar ,restar 4 sacar raíz cuadrada √ ;1 cambiar por ;1 √ ;1 cambiar por √
Comprobación Aplicando el teorema sobre funciones inversas, debemos tener que ( ;1 )) )) ( ( sustituir en ;1 ;1 )) √ 2 ( ) ;1 2 )) √ ( quitar paréntesis ;1 )) √ 2 ( simplificar ;1 )) ( comprobación
Figura 2.47 Gráfica de la función
)
2
y su inversa
;1
))
√
Al graficar la función y su inversa ;1 en un mismo plano, podemos observar que son simétricas o reflexivas con respecto a la recta .
Ninguna de las funciones trigonométricas son inyectivas (uno a uno), sin embargo al restringir el dominio, tal como se indicó en el ejemplo anterior, entonces es posible obtener la inversa de un función trigonométrica. La notación entre los matemáticos de una función ;1 ) trigonométrica inversa, por ejemplo de es de la forma o .
Ejemplo 5. Encuentre la función inversa de *
)
con un dominio restringido de
;1
es la inversa de . +, además verifique que Solución Se restringe el dominio de esta función, como en el ejemplo anterior, para que la función sea inyectiva, suprayectiva y por lo tanto biunívoca, condición necesaria en la inversa de una función. dado despejar ,restar 2 ;1 ) ;1 ;1 ) cambiar por ;1 ;1 ;1 ) cambiar por
2 2
Comprobación Aplicando el teorema sobre funciones inversas, debemos tener que ( ;1 )) )) ( ( ;1 ;1 )) ) ( ( ) sustituir en ;1 ;1 ;1 )) ) ( quitar paréntesis ;1 ;1 )) ) ( simplificar ;1 )) ( quitar paréntesis
Figura 2.48 Gráfica de la función
)
y su inversa
;1
))
;1
)
Al graficar la función y su inversa ;1 en un mismo plano, podemos observar que son simétricas o reflexivas con respecto a la recta . Observe que el dominio y rango de las funciones son: [ ] * + 2 2
[
]
* 2 2+ Coincidiendo con lo mencionado teóricamente.
) Ejemplo 6. Encuentre la función inversa de con un dominio restringido de [0 ], además verifique que ;1 es la inversa de . Solución Se restringe el dominio de esta función, como en el ejemplo anterior, para que la función sea inyectiva, suprayectiva y por lo tanto biunívoca, condición necesaria en la inversa de una función. dado despejar ,dividir entre 3
3 ;1
( )
;1
;1
( )
cambiar
por
;1
;1
( )
cambiar
por
;1
Comprobación Aplicando el teorema sobre funciones inversas, debemos tener que ( ;1 )) )) ( ( ;1
(
))
;1
( ;1 (
)) ))
;1
;1
(
)
sustituir
)
Figura 2.49 Gráfica de la función
en
))
;1
simplifica
)
y su inversa
;1
;1
( )
Al graficar la función y su inversa ;1 en un mismo plano, podemos observar que son simétricas o reflexivas con respecto a la recta . Observe que el dominio y rango de las funciones son: [0 ] [ ] [ ] [0 ] Coincidiendo con lo mencionado teóricamente.
Traslación de Funciones Desplazamiento vertical y horizontal Una manera de obtener una nueva función a partir de una ya existente es mediante la suma o resta de una constante a la salida de la función dada, o a su variable de entrada. La gráfica de la nueva función es la gráfica de la función original trasladada vertical u horizontalmente como a continuación se muestra. 1.
)
desplaza verticalmente c unidades hacia arriba la gráfica de
)
2.
)
desplaza verticalmente c unidades hacia abajo la gráfica de
)
3.
) desplaza horizontalmente c unidades hacia la izquierda la gráfica de
4.
) desplaza horizontalmente c unidades hacia la derecha la gráfica de
Alargamientos y reflexiones vertical y horizontal ) alarga verticalmente la gráfica de 1.
) )
) por un factor de .
) comprime verticalmente la gráfica de
2.
)
3.
) comprime horizontalmente la gráfica de
4.
) alarga horizontalmente la gráfica de
5.
) refleja la gráfica de
) sobre el eje
6.
) refleja la gráfica de
) sobre el eje
) por un factor de ) por un factor de ) por un factor de
Para el caso de las funciones trigonométricas los desplazamientos, compresiones y ), donde estiramientos en expresiones del tipo 0 y son constantes reales tenemos desplazamiento vertical
𝑦
𝐷
estiramiento/compresión/reflexión vertical
𝐴𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥
estiramiento/compresión horizontal
𝐶) desplazamiento horizontal
De aquí | | se denomina amplitud, el periodo es *0
+ se llama ciclo.
2
0, la gráfica sobre el intervalo
3 ) Ejemplo 1. Dada la gráfica de , muestre los desplazamientos horizontal y vertical 3 3 ) ) ) )3 para una constante igual a 4, es decir ) )3 Solución La gráfica de la función cúbica se muestra en la figura 0 así como de cada uno de sus desplazamientos.
Figura 2.50 Desplazamientos de la función
)
3
para
) Ejemplo 2. Dada la gráfica de , muestre los alargamientos y reflexiones vertical y 1 ) ) ) horizontal para una constante igual a 3, es decir 3 1
) . 3 Solución La figura muestra las transformaciones de alargamiento cuando se aplica a la función coseno la constante .
Figura 2.51 Alargamientos y reflexiones vertical y horizontal de
)
, para
Ejercicios 2.5 En los ejercicios del ) ) a)
, halla. ) )
b) El dominio de c) El dominio de 2 ) 1.2 ) 4.-
) ) y ( ) y
)
. ) )
2.-
).
2
3.-
2
√ √
)
5.-
)
)
En los ejercicios del a) . b) c) d) 2 ) 6.2 )
, determina.
En los ejercicios del a) . b) 2 ) 7.-
, determina el dominio de:
)
7.-
8.-
0, encuentre 10.-
En los ejercicios del √
2
) )
) )
√
En los ejercicios del ) 9.) 2 )
11.-
) )
. ) ) )
√ 2 3
, expresa la función en la forma
4
12.-
)
.
√
En los ejercicios del 2 13.)2 16.-
, graficar la función indicada en un mismo plano. 2 14.15.-
En los ejercicios del 17.20.-
0, graficar la función indicada en un mismo plano. 1 18.19.4 )
)2
En el ejercicio , a partir de la gráfica de resulta de. a) Desplazarla 3 unidades hacia abajo b) Desplazarla 3 unidades a la derecha c) Reflejarla sobre el eje d) Reflejarla sobre el eje En los ejercicios del 22.-
, halle una fórmula para la inversa de la función. 23.-
√ 2
25.-
, escriba la ecuación de la gráfica que que
1 2
24.)
26.-
5 :3
27.-
En los ejercicios del , utilice el teorema sobre funciones inversas a fin de probar que y son funciones inversas y trazar las gráficas de y en un mismo plano. 2 ) 28.) 29.0 )
) En los ejercicios del 0 30.-
(3 )
En los ejercicios del 33.-
√
, indica el periodo de cada función. (3)
31.-
32.-
(
4
)
, halla la amplitud, el periodo de la ecuación y traza su gráfica. 34.-
1 5
35.-
1
(5 )
