MAKALAH ZAT PADAT ELEKTRON BEBAS DALAM LOGAM Elektron Bebas Oleh : Nurainy Kusumawati (140310100010) Nia Restu Juliantie (140310100062)
Elektron Terkuantisasi oleh : Jahid Akbar (140310100006) Samsul Ari (140310100084) Fadly Rizki Pratama (140310100088)
Elektron Dalam Logam oleh : Yusuf Akbar (140310100008) Ronald Samuel P (140310100044)
JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN 2013
BAB 1 PENDAHULUAN Fisika zat padat adalah ilmu yang mempelajari secara spesifik mengenai Kristal dan elektron di dalam kristal. Pengetahuan tentang kristal mulai ditekuni pada Awal abad ke-19 yang diikuti dengan ditemukannya difraksi sinar-X. Dengan Menggunakan difraksi X dan dilandasi oleh landasan teoritis yang memadai serta dikemukakannya perhitungan yang sederhana dan perkiraan yang tepat dapat mempelajari struktur kristal.
Istilah "kristal" memiliki makna yang sudah ditentukan dalam ilmu material dan fisika zat padat, dalam kehidupan sehari-hari "kristal" merujuk pada benda padat yang menunjukkan bentuk geometri tertentu. Berbagai bentuk kristal tersebut dapat ditemukan di alam. Bentuk-bentuk kristal ini bergantung pada jenis ikatan molekuler antara atom-atom untuk menentukan strukturnya. Bunga salju, intan, dan garam dapur adalah contoh-contoh kristal. Kristal adalah suatu padatan yang atom, molekul, atau ion penyusunnya terkemas secara teratur dan polanya berulang melebar secara tiga dimensi. Secara umum, zat cair membentuk kristal ketika mengalami proses pemadatan. Pada kondisi ideal, hasilnya bisa berupa kristal tunggal, yang semua atom-atom dalam padatannya "terpasang" pada kisi atau struktur kristal yang sama, tapi, secara umum, kebanyakan kristal terbentuk secara simultan sehingga menghasilkan padatan polikristalin. Misalnya, kebanyakan logam yang kita temui sehari-hari merupakan polikristal. Struktur kristal mana yang akan terbentuk dari suatu cairan tergantung pada kimia cairannya sendiri, kondisi ketika terjadi pemadatan, dan tekanan ambien. Proses
terbentuknya struktur kristalin dikenal sebagai kristalisasi. Kristal logam kristal dengan kisi yang terdiri atas atom logam yang terikat melalui ikatan logam. Atom logam merupakan atom yang memiliki energi ionisasi kecil sehingga elektron valensinya mudah lepas dan menyebabkan atom membentuk kation. Bila dua atom logam saling mendekat, maka akan terjadi tumpah tindih antara orbitalorbitalnya sehingga membentuk suatu orbital molekul. Semakin banyak atom logam yang saling berinteraksi, maka akan semakin banyak terjadi tumpang tindih orbital sehingga membentuk suatu orbital molekul baru. Terjadinya tumpang tindih orbital yang berulang-ulang menyebabkan elektron-elektron pada kulit terluar setiap atom dipengaruhi oleh atom lain sehingga dapat bergerak bebas di dalam kisi.
Salah satu sifat kristal logam adalah dapat ditempa. Sifat ini diperoleh dari ikatan logam yang membentuknya. Dalam ikatan logam, terjadi interaksi antara atom/ion dengan elektron bebas di sekitarnya sehingga dapat membuat logam mempertahankan strukturnya bila diberikan suatu gaya yang kuat.
BAB II TEORI DASAR A. Electron Bebas Semua material terdiri dari molekul, dan molekul juga terdiri dari atom. Atom mempunyai suatu inti dengan elektron yang beredar disekitarnya. Inti atom terdiri dari kutub positif (proton) dan negatif (elektron). Kebanyakan atom dikenal hanya memiliki proton dan elektron. Elektron memiliki muatan listrik negatif (-), sedangkan proton memiliki muatan positif (+). Netron tidak memiliki muatan listrik atau netral. Muatan listrik negatif yang dimiliki oleh elektron seimbang dengan muatan listrik positif yang dimiliki oleh proton. Hal ini dikenal sebagai ikatan elektron.
Elektron adalah partikel subatom yang bermuatan negatif dan umumnya ditulis sebagai e-. Elektron tidak memiliki komponen dasar ataupun substruktur apapun yang diketahui, sehingga ia dipercayai sebagai partikel elementer. Elektron memiliki massa sekitar 1/1836 massa proton. Momentum sudut (spin) instrinsik elektron adalah setengah nilai integer dalam satuan ħ, yang berarti bahwa ia termasuk fermion. Antipartikel elektron disebut sebagai positron, yang
identik dengan elektron, tapi bermuatan positif. Ketika sebuah elektron bertumbukan dengan positron, keduanya kemungkinan dapat saling berhambur ataupun musnah total, menghasilan sepasang (atau lebih) foton sinar gama. Elektron, yang termasuk ke dalam generasi keluarga partikel lepton pertama, berpartisipasi dalam interaksi gravitasi, interaksi elektromagnetik dan interaksi lemah. Sama seperti semua materi, elektron memiliki sifat bak partikel maupun bak gelombang (dualitas gelombang-partikel), sehingga ia dapat bertumbukan dengan partikel lain dan berdifraksi seperti cahaya. Oleh karena elektron termasuk fermion, dua elektron berbeda tidak dapat menduduki keadaan kuantum yang sama sesuai dengan asas pengecualian Pauli.
Elektron yang berada di luar ikatan, dapat beredar bebas dari aplikasi gaya luar, seperti pergerakan melalui medan magnet, friksi atau pengaruh kimia. Elektron tersebut dikenal sebagai elektron bebas. Elektron bebas dapat meninggalkan garis edarnya, dimana dapat diisi oleh elektron yang memaksa keluar dari garis edar pada atom yang lain. Elektron bebas berpindah satu atom ke atom berikutnya, disitulah arus elektron diproduksi. Ini adalah prinsip dasar dari kelistrikan.
B. Model Elektron Bebas Klasik Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas, yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini. Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar titik kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat medan listrik ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul
dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jika waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah , maka kecepatan hanyut dalam selang waktu tersebut
Oleh karena itu rapat arus yang terjadi
dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan volume. Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu menjadi
Karena hubungan Jx=ζε, maka konduktivitas listrik menjadi
Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata ζ logam sekitar 5.107(Ωm)-1 dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31kg, maka didapatkan nilai
berorde 10-14 s. Contoh analisa lain
adalah konduktivitas termal. Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi aliran energi persatuan luas perdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding dengan gradien suhu ∂T/∂x Qe = -K ∂T/∂x dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan sepenuhnya oleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan elektron. Tetapi karena konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka konduktivitas termal fonon jauh lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon≅10-2K elektron, sehingga konduktivitas fonon diabaikan. Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal
dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan volume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena CV =(3/2)nk, (1/2)mv2 =(3/2)kT dan =v , maka konduktivitas menjadi
Perbandingan konduktivitas termal dan listrik adalah
Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853). Kadangkadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz
Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi (termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu “intermediate”, K/ζT bergantung pada suhu. Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, = vo, tidak bergantung suhu. Namun, karena vo~T1/2, maka keadaan mengharuskan
Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa ζ~T-1, sehingga dari ungkapan konduktivitas listrik didapatkan
Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun. Hal ini tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai. Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut. a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume kristal. b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas ideal – tidak ada tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas). c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron bebas sangat besar. d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di permukaan batas. Dalam pendekatan ini elektron-elektron dapat dipandang seperti partikel gas ideal. Sebagai contoh, perhatikan logam natrium (11Na). Atom natrium 2
2
6
1
memiliki konfigurasi elektron : 1s -2s -2p -3s . Elektron-elektron pada orbitan 1s sampai dengan 2p membentuk struktur kulit penuh. Elektron-elektron ini bersama dengan inti atom membentuk teras atom. Sedangkan elektron yang ke 11 pada orbitan 3s merupakan elektron valensi. Elektron valensi inilah yang menjadi elektron bebas apabila atom-atom natrium membentuk kristal logam. Lihat kembali “Ikatan logam” pada Bab I.
Secara umum bila suatu logam mempunyai rapat massa mρ tersusun oleh atom-atom dengan elektron valensi Z, dan massa atom yang bersangkutan M, maka konsentrasi elektron bebas pada logam tesebut adalah :
(3.1) NA adalah bilangan Avogadro. Konsentrasi elektron pada persamaan (3.1) tersebut dinyatakan dalam satuan elektron/cm3 atau elektron/m3 dan biasanya hanya ditulis cm-3 atau m-3. a.
Hantaran Listrik Perhatikan seutas kawat sepanjang L dengan penampang A, ujung-ujung
kawat (C dan D) diberi beda potensial VCD, dan nilai hambatan kawat adalah R. Dalam kawat mengalir arus listrik I serta timbul medan listrik E, seperti pada gambar. menurut Hukum Ohm, kuat arus listrik dalam kawat :
Selanjutnya dapat ditulis rumus-rumus lainnya yang menyangkut :
dengan ρ menyatakan resistivitas listrik bahan kawat, dan dapat dituliskan dalam hubungannya dengan konduktivitas listrik ζ:
Dari persamaan-persamaan di atas, hokum Ohm seperti pada persamaan (3.2) dapat dituliskan kembali dalam bentuk :
Semua besaran listrik di atas merupakan besaran makroskopik yang dapat diukur atau
ditentukan
secara
langsung.
bagaimanakah
mekanisme
elektron
menghantarkan listrik sehingga persamaan-persamaan di atas dapat terpenuhi ?
Pada gambar elektron bergerak dipercepat ke arah kanan sebagai akibat penerapan medan listrik ke arah kiri. Dalam gerakannya elektron menumbuk dan dihamburkan oleh atom-atom. Tumbukan dengan atom-atom ini menimbulkan
“daya hambat” yang dialami elektron, yang akan mengimbangi gaya medan listrik pada elektron. Keadaan demikian dapat diungkapkan melalui persamaan gerak sebagai berikut :
*
dengan m menyatakan massa efektif elektron, v kecepatan elektron, e muatan elektron, t waktu dan ηwaktu relaksasi tumbukan (waktu antara dua kali tumbukan berurutan). suku kedua ruas kanan pada persamaan (3.6) merupakan gaya hambat yang seperti “gaya gesek” stokes pada percobaan pengukuran Viskositas cairan. Perimbangan antara gaya oleh medan dan gaya hambatan akan menghasilkan keadaan tunak (stationer). Bila keadaan ini tercapai maka :
Dengan demikian persamaan (3.6) menghasilkan :
Yaitu kecepatan akhir elektron yang disebut juga kecepatan alir (drift velocity). Tanda minus menyatakan bahwa arah gerak elektron berlawanan dengan arah medan listrik E yang menyebabkannya. Kecapatan elektron ini berperan dalam hambatan listrik. Untuk membedakannya dengan kecepatan rambang (akan dibahas kemudian), kecepatan lain dituliskannya dengan notasi V jadi :
selanjutnya, rapat arus listrik dapat didefinisikan sebagai J = (-ne)vd dengan n menyatakan konsentrasi elektron. Dengan mengganti vd seperti pada persamaaan (3.8a), diperoleh :
Bandingkan persamaan ini dengan hukum Ohm pada persamaan (3.5.), dihasilkan ungkapan bagi konduktivitas listrik :
persamaan terakhir menunjukkan hubungan antara besaran makroskopik (ζ) dan besaran mikroskopik bagi elektron (*m dan ζ). Di pihak lain, apabila diambil keadaan relaksasi, yaitu apabila medan listrik dihilangkan (E=0), maka persamaan gerak elektron menjadi :
yang memberikan solusi :
vd (0) menyatakan kecepatan akhir sesaat sebelum medan listrik dihilangkan. η yang merupakan waktu relaksasi dapat dinyatakan sebagai berikut :
Λ adalah jarak antara dua tumbukan berurutan atau disebut juga lintasan bebas rata-rata elektron. Sedangkan vr menyatakan kecepatan rambang elektron, yaitu kecepatan elektron dalam gerakannya karena pengaruh termal (panas). Kecepatan rambang tidak berpengaruh dalam hantaran listrik. Denagn hubungan (3.14), maka ungkapan konduktivitas listrik (3.11) menjadi :
Beberapa nilai dari besaran-besaran bersangkutan diberikan pada tabel
b. Resitivitas Listrik Dari persamaan (3.4) dan (3.11) dapat diperoleh rumusan bagi resistivitas listrik :
Tumbukan elektron dengan penghambur dalam kristal dapat dibedakan atas dua faktor, yaitu :
Apabila tumbukan dengan fonon menghasilkan waktu relaksasi dan tumbukan dengan atom impuritas menghasilkan waktu relaksasi maka dapat dituliskan :
Dengan demikian, resistivitas listrik pada persamaan di atas berubah menjadi :
yang selanjutnya dapat ditulis :
Pada suhu rendah (T<<) tidak ada fonon, jadi 0 sehingga ρ=ρi=. Sebaliknya pada suhu tinggi (T>>) konsentrasi fonon meningkat, sehingga tumbukan dengan fonon menjadi dominan. Akibatnya dan dengan demikian . Jadi jelas bahwa resistivitas listrik tergantung pada suhu (T), terutama sebagai akibat tumbukan dengan fonon. Untuk menampung kebergantungan pada T ini, maka lebih tepat dituliskan sebagai berikut :
fρ (T) dapat diturunkan berdasarkan teeori kinetik gas dan memiliki bentuk :
Dengan M massa atom dalam kristal, k’ tetapan gaya antar atom dan suhu Debye. Pesamaan (3.19) disebut hukum Matthiessen. Hukum ini menyimpang pada suhu rendah (mendekati T=0, dan penyimpangan ini disebut efek Kondo. Lihat gambar
C. Model Elekton Bebas Terkuantisasi Untuk memperbaiki kegagalan model elektron bebas klasik dalam menelaah sifat listrik dan magnet bahan, ditawarkan model elektron bebas yang terkuantisasi. Model ini menggunakan prinsip kuantisasi energi elektron dan prinsip eksklusi Pauli untuk elektron yang melibatkan distribusi Fermi-Dirac. Model elektron bebas, dimana pengaruh dari semua elektron bebas yang lain dan semua ion prinsip dipresentasikan oleh potensial V sama dengan nol sehingga gaya yang bekerja pada elektron juga sama dengan nol, secara kuantum mengambil persamaan Schrödinger
dengan solusi fungsi elektron
dan energi elektron
Harga k tidak dibatasi sehingga energi elektron tidak terkuantisasi. Tetapi bila elektron bebas tersebut bergerak dalam suatu kubus dengan rusuk L, maka haruslah dipenuhi
Dalam ruang k, setiap keadaan elektron dipresentasikan oleh volume sebesar (2π/L)3, yaitu masing-masing untuk Δnx = Δny = Δnz = 1. Semua keadaan elektron yang berenergi
terletak pada permukaan (
bola berjari-jari k yang memenuhi
)
. Sedangkan
semua keadaan elektron yang berenergi antara E dan E+dE terletak dalam kulit bola dengan jari-jari antara k dan k+dk dan volume 4πk2dk. Dengan demikian, jumlah keadaan elektron adalah
(
)
Apabila diperhitungkan dua spin elektron, maka jumlah tersebut menjadi
Mengingat ungkapan
, maka jumlah keadaan elektron persatuan volume
yang berenergi antara E dan E+dE adalah
Prinsip Pauli menyatakan bahwa dalam satu sistem fisis tidak boleh terdapat dua wlwktron atau lebih yang mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepat sama. Prinsip larangan ini dipenuhi oleh elektron yang mengikuti fungsi distribusi Fermi-Dirac
Pada suhu T=0 K, energi Fermi diungkapkan dalam bentuk EF(0) dan fungsi distribusi Fermi-Dirac
Dengan kata lain, pada suhu T=0 K semua tingkat energi E < EF(0) terisi penuh elektron dan E > EF(0) kosong. Sedangkan pada suhu T > 0 K berlaku
Hal ini berarti pada T > 0 K tingkat energi di atas EF sudah terisi sebagian dan di bawah EF menjadi kosong sebagian.
Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut. a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak dalam volume kristal. b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu dirangkum dalam ungkapan rapat elektron dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE
(3.28)
Dengan mensubtitusikan (3.27) dan (3.26) diperoleh ungkapan rapat elektron sebagai fungsi dari energi elektron dan suhu sistem
c. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron bebas sangat besar. d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat suatu potensial penghalang
loncati oleh elektron
bebas paling energetik pada suhu T = 0 K (energi E F) untuk dapat meninggalkan permukaan batas logam.
3.2.1 Sumbangan Elektron Bebas pada Harga Cv Rapat elektron pada suhu T = 0 K
dan rapat energi pada suhu T = 0 K
Bila dinyatakan dalam rapat elektron (3.30) di atas, maka
Sedangkan rapat energi elektron pada suhu T > 0 K
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk (3.32) digunakan bentuk integral
yang mempunyai bentuk asymtotik untuk y0 besar dan berharga positip
Diketahui bahwa ungkapan energi Fermi sebagai fungsi suhu adalah
Karena bentuk [(πkT)2/EF2(0)] sangat kecil dibandingkan dengan satu, maka EF selalu dapat diganti dengan EF(0). Dengan memakai bentuk (3.33), (3.34) dan deret binomial (1+x)p, serta memperhatikan ungkapan (3.31) dan (3.30), maka rapat energi (3.32) di atas dapat dihitung dan hasilnya adalah
sehingga kapasitas panas elektron bebas
Apabila kapasitas panas elektron bebas model klasik (Cv)el’ (persamaan (3.13)), maka ungkapan (3.36) untuk satu mol zat menjadi
Tampak bahwa sumbangan elektron bebas pada harga Cv unuk kristal diperkecil dengan faktor [π2kT/3EF] dari harga klasiknya. Untuk harga EF=5 eV dan T=300
K, maka hal ini sesuai dengan hasil pengukuran bahwa faktor pengecil tersebut kira-kira berorde 10-2. Dapatlah disimpulkan bahwa sumbangan elektron bebas pada harga C v suatu logam sangatlah kecil, terutama pada suhu yang sangat tinggi. Tetapi sumbangan tersebut akan dominan pada suhu yang cukup rendah. Pada suhu jauh di bawah suhu Debye θD dan suhu Fermi TF, kapasitas panas suatu logam dapat ditulis sebagai jumlah sumbangan elektron bebas dan fonon, yakni dimana γ dan A merupakan konstanta karakteristik bahan. Secara eksperimen dapat dibuat grafik Cv/T terhadap T2 sehingga γ dan A bisa ditentukan. 3.2.2 Paramagnetik Pauli Apabila terdapat suatu medan magnet luar H, maka spin elektron bebas akan menyesuaikan diri terhadap H. Energi total elektron bebas karena pengaruh medan
Tanda positip untuk spin antiparalel dan negatip untuk spin paralel terhadap medan. Pengaruh medan terhadap rapat keadaan g(E) digambarkan di bawah ini. Rapat keadaan g(E) dibagi menjadi dua bagian, yaitu spin ke atas dan ke bawah. Tanpa medan magnet luar H, keduanya simetri terhadap sumbu E. Bila terdapat medan magnet luar H, maka secara total lebih banyak elektron yang antiparalel terhadap H. Magnetisasi yang terjadi adalah
Gambar 3.1 Variasi tingkat energi karena aplikasi medan magnet luar H
Bila diambil kasus untuk T = 0 K, maka diperoleh
Perhitungan di atas menggunakan relasi g(E±µ0µBH) = g(E) ± µ0µBH(dg/dE) berdasarkan ekspansi Taylor, dan g(EF) = 3n/2 EF yang diperoleh dengan menggabungkan (3.26) dan (3.30). Dengan demikian suseptibilitas magnetiknya
Terlihat bahwa suseptibilitas di atas tidak bergantung secara kuat terhadap suhu. Dengan harga EF0 = 2 eV didapatkan χ = 5.10-6 yang sesuai dengan hasil eksperimen. Meskipun perhitungan di atas diambil pada suhu nol mutlak, tetapi hasilnya valid dalam rentang suhu yang cukup besar.
3.2.3 Konduktivitas Listrik dalam Logam Konduktivitas yang mempunyai mobilitas besar untuk pindah ke keadaan elektron yang lain adalah elektron yang berenergi E sedemikian sehingga f(E) < 1. Hal ini terjadi di daerah E ~ EF. Elektron yang demikian akan mengalir bila dikenai medan listrik. Hubungan rapat arus J dan medan listrik ε dinyatakan oleh hukum Ohm ⃗
⃗
dimana ζ adalah konduktivitas listrik. Bila rapat elektron n dan kecepatan hanyut elektron vd, maka rapat arus juga diungkapkan dalam bentuk
Dalam kesetimbangan termal, distribusi elektron berada dalam keadaan mapan (steady state) kecepatan, distribusi
⃗ , yang tifak bergantung waktu. Dalam ruang ⃗ mempunyai simetri bola, dan dinamakan bola Fermi
(dengan radius laju Fermi vF), serta permukaannya disebut permukaan Fermi. Kecepatan elektron bersifat acak, dan berkaitan dengan energi melalui ungkapan ⁄
direpresentasikan oleh semua titik dalam bola. Arus total nol karena setiap elektron yang berkecepatan v selalu berpasangan dengan yang berkecepatan –v. Kecepatan elektron sangat besar di permukaan Fermi. Permukaan Fermi tidak begitu dipengaruhi oleh suhu. Bila suhu naik, hanya sedikit elektron yang melintasinya. Perlu diketahui bahwa pengukuran eksperimen menunjukkan bahwa permukaan Fermi berbentuk bola terdistorsi, sebagai akibat dilibatkannya interaksi elektron dan kisi. Bila terdapat medan listrik, misalnya εx searah sumbuX, maka distribusi elektron berubah menjadi
⃗ . Perubahan ini mempunyai
komponen posisi dan waktu. Dalam hal ini bola Fermi bergeser ke arah (-X), seperti ditunjukkan oleh gambar 3.2 berikut.
Gambar 3.2 a. Bola Fermi saat setimbang, b. Pergeseran bola Fermi saat dikenakan medan Diambil asumsi bahwa kecepatan pergeseran titik pusat oleh kehadiran medan luar ini sangat kecil bila dibandingkan dengan vrms. Bila ε homogen (besar dan arahnya), maka perubahan distribusi elektron hanya dipengaruhi oleh komponen waktu. Proses yang terjadi adalah adanya perubahan distribusi elektron karena pengaruh medan luar ε dan adanya proses hamburan yang ingin memulihkannya ke keadaan semula. Penggabungan kedua proses ini menghasilkan persamaan kontinuitas
dengan η adalah waktu relaksasi. Ungkapan ini sering disebut persamaan transport Boltzmann. Dalam keadaan mapan
⃗
persamaan (3.44)
menjadi
Dalam kasus di atas diambil ⃗
̂ sehingga persamaan (3.45) menjadi
Rapat arus listrik yang terjadi
Integral suku pertama persamaan (3.47) menghasilkan nol karena kecepatan ratarata ̅ = 0 dalam
̅ . Dengan demikian rapat arus (3.47) menjadi
Mengingat bahwa a. b.
, dimana
adalah lintas bebas rata-rata antara dua tumbukan, , dan
c. gerak elektron secara acak sehingga maka ungkapan rapat arus (3.48) berubah menjadi
Dari rapat elektron (3.29), setelah mengganti variabel E menjadi ⃗, ̅ tak lain adalah
diperoleh distribusi elektron
Substitusi persamaan (3.50) dan setelah diadakan perubahan variabel v menjadi E, maka rapat arus (3.49) menjadi
Dengan demikian, mengingat hubungan (3.43) diperoleh konduktivitas listrik
berupa fungsi delta Dirac δ sehingga
Untuk suhu T = 0 K, harga integral dalam (3.52)
dan dengan menggunakan ungkapan rapat elektron (3.30), maka ungkapan konduktivitas listrik (3.52) di atas menjadi
dimana ηF adalah waktu relaksasi sebuah elektron pada bola Fermi. Ungkapan konduktivitas listrik di atas, ternyata bentuknya sama dengan hasil teori Drude yang lalu. Baik
teori
Drude
maupun
model
elektron
bebas
terkuantisasi
mengemukakan bahwa konduktivitas listrik hanya berbanding lurus dengan konsentrasi elektron. Namun beberapa logam dengan konsentrasi elektron lebih tinggi, justru menunjukkan nilai konduktivitas lebih rendah. Di samping itu,
sebenarnya fakta menunjukkan bahwa konduktivitas listrik bergantung pada suhu dan juga arah.
D. Elektron Dalam Logam Logam memegang peranan penting dalam kehidupan manusia, misalnya besi dalam produksi otomobil, tembaga untuk penghantar listrik dan lain-lain. Umumnya, logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi, kerapatan tinggi, konduktivitas listrik dan termal baik, dan daya refleksi tinggi. Sifat ini berkaitan dengan struktur mikroskopis bahan, yang dapat diasumsikan bahwa suatu logam mengandung elektron bebas, dengan konsentrasi besar, yang dapat bergerak dalam keseluruhan volume kristal. Saat atom bebas membentuk logam, semua elektron valensi menjadi elektron konduksi dalam logam. Elektron konduksi bergerak bebas di antara ion, sehingga keadaannnya berubah tajam. Berbeda dengan elektron “cores” yang tetap terlokalisasi sehingga karakternya relatif tidak berubah. Dengan demikian, gambaran sederhana tentang kristal logam adalah suatu kisi ion teratur dalam ruang, dan elektron bebas bergerak di antara ion tersebut. Gambaran lebih lengkapnya, bahwa ion bergetar secara termal di sekitar titik setimbang, dan demikian pula elektron bebas bergerak termal di antara ion kristal dan merubah arah geraknya setiap kali menumbuk ion (kemungkinan besar) atau elektron lain (kemungkinan kecil). Dalam logam Na, proporsi volume yang terisi oleh ion “cores” hanya sekitar 15%. Hal ini terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,98 Å; sedangkan setengah jarak antartetangga terdekat atom adalah 1,83 Å. Konsentrasi elektron
konduksi dapat
dihitung dari valensi dan kerapatan logam. Jika ρm dan Z,
masing-masing adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka konsentrasi elektronnya adalah
dengan N adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom. Logam memiliki konsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029/m3. Misalnya, logam Na, K, Cu, Ag dan Au adalah monovalen; dan logam Be, Mg, Zn dan Cd adalah divalen. Bagian awal ini membahas perkembangan model elektron bebas. Bahasan kapasitas
panas
dan
suseptibilitas
magnetik
dari
sumbangan
elektron
menunjukkan bahwa yang sesuai dengan eksperimen adalah hanya jika elektron mengikuti prinsip eksklusi Pauli. Kemudian, dikenalkan konsep tingkatan Fermi dan permukaan Fermi, yang dapat digunakan untuk memperjelas deskripsi konduktivitas listrik dalam logam. Dalam bab ini juga dibahas pengaruh medan magnet terhadap gerakan elektron bebas, yakni efek Hall dan resonansi siklotron. Bahasan kedua hal ini menghasilkan informasi yang mendasar tentang logam. Dalam model elektron bebas ini elektron mengalami tumbukan dengan fonon dan ketidakmurnian. Hal ini menghasilkan ungkapan hukum Matthiessen. Selain itu, elektron dapat melepaskan diri dari permukaan logam sehingga terjadi emisi thermionik. Akhirnya, bab ini ditutup dengan dikemukakannya beberapa kegagalan model elektron bebas dalam membahas sifat logam.
Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas, yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini. Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak keseluruhan electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar titik kisi sehingga tidak memiliki neto gerak translasi. Misalnya, terdapat medan listrik ε dalam arah sumbu-X. Percepatan elektron yang timbul
dengan e dan m*, masing-masing adalah muatan dan massa efektif elektron. Jika waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah , maka kecepatan hanyut dalam selang waktu tersebut
Oleh karena itu rapat arus yang terjadi
dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan volume. Elektron bergerak secara acak, sehingga ∑vo=0. Oleh sebab itu menjadi
Karena hubungan Jx=ζε, maka konduktivitas listrik menjadi
Pengukuran menunjukkan bahwa nilai rata-rata ζ logam sekitar 5.107(Ωm)-1 dengan menganggap masa efektif m* sama dengan massa bebas mo=9,1.10-31kg, maka didapatkan nilai
berorde 10-14 s. Contoh analisa lain adalah konduktivitas
termal. Misalnya, sepanjang sumbu- X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi aliran energi persatuan luas perdetik (arus kalor) Qe. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding dengan gradien suhu ∂T/∂x Qe = -K ∂T/∂x dengan K adalah konduktivitas termal. Dalam isolator, panas dialirkan sepenuhnya
oleh fonon. Sedangkan dalam logam dialirkan oleh fonon dan
elektron. Tetapi karena konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka konduktivitas termal fonon jauh lebih kecil daripada elektron, yakni Kfonon≅102
K elektron, sehingga konduktivitas fonon diabaikan.
Dari pendekatan teori kinetik gas diperoleh ungkapan konduktivitas termal
dimana CV, v dan masing-masing adalah kapasitas panas elektron persatuan volume, kecepatan partikel rata-rata dan lintas bebas rata-rata partikel. Karena CV =(3/2)nk, (1/2)mv2 =(3/2)kT dan =v , maka konduktivitas menjadi
Perbandingan konduktivitas termal dan listrik adalah
Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853). Kadangkadang perbandingan di atas dinyatakan sebagai bilangan Lorentz
Ternyata, hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi (termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu “intermediate”, K/ζT bergantung pada suhu. Dalam teori drude, lintas bebas rata-rata elektron bebas, = vo, tidak bergantung suhu. Namun, karena vo~T1/2, maka keadaan mengharuskan
Hal ini didukung fakta eksperimen bahwa ζ~T-1, sehingga dari ungkapan konduktivitas listrik didapatkan
Ungkapan terakhir ini menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun. Hal ini tidak sesuai dengan fakta, dan menyebabkan teori Drude tidak memadai.
Model Elektron Bebas Klasik
Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut. a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume kristal.
b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas ideal – tidak ada tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas). c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron bebas sangat besar. d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di permukaan batas.
Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah total elektron tersebut perkilomol
Bila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya
sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas
Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah
Jadi, setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada isolator. Tetapi, eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan (logam dan isolator) nilai CV mendekati 3R pada suhu tinggi. Pengukuran yang akurat menunjukkan bahwa sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas total adalah reduksi harga klasik (3/2)R oleh factor 10-2. Oleh karena itu model
elektron bebas klasik tidak memberikan hasil ramalan Cv yang memadai. Suseptibilitas magnetik χ mengkaitkan momen magnetik M dan kuat medan magnetik H melalui ungkapan
Dalam hal ini hanya dibahas untuk bahan isotropik, sehingga χ skalar. Pengaruh medan magnet luar ̅ terhadap elektron bebas menyebabkan setiap momen dipol ̅ , yang acak arahnya, memperoleh energi magnetik
Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik MaxwellBoltzmann, maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi
Dimana θ adalah sudut antara µ dan H.
dengan L(x)=coth x – (1/x) = fungsi Langevin
Dengan menggunakan deret
maka untuk medan H tidak kuat, yakni µH<
Jika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya
Dengan membandingkan persamaan-persamaan diperoleh suseptibilitas magnetik
Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap T. Hal ini berarti model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang mengapa χ untuk paramagnet elektron tidak bergantung pada T.
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan Dari hasil yang dibahas diatas, maka dapat disimpulkan bahwa kristal adalah suatu padatan yang atom, molekul, atau ion penyusunnya terkemas secara teratur dan polanya berulang melebar secara tiga dimensi. Secara umum, zat cair membentuk kristal ketika mengalami proses pemadatan. Berbagai bentuk kristal tersebut dapat ditemukan di alam. Bentuk-bentuk kristal ini bergantung pada jenis ikatan molekuler antara atom-atom untuk menentukan strukturnya. Bunga salju, intan, dan garam dapur. Dalam logam terdapat elektron bebas, yang membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini. Hukum Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi (termasuk suhu kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K). Tetapi, untuk suhu “intermediate”, K/ζT bergantung pada suhu.
