HANDOUT FISIKA ZAT PADAT Pak Ari Handono Ramelan Jurusan Fisika FMIPA UNS
MODEL ELEKTRON BEBAS 4.1. Pendahuluan
Bahan metal adalah suatu bahan yang sangat berguna untuk kepentingan sehari-hari. Sebagai contoh besi baja digunakan sebagai rangka mobil, tembaga sebagai kabel penghantar listrik, perak dan emas digunakan sebagai perhiasan. Masih banyak metal jenis lainnya sangat berperan sangat penting dalam dunia industri dalam awal sejarah sampai nanti di masa depan. Metal mempunyai sifat-sifat yang unggul diantaranya mempunyai kekuatan yang tinggi, densitas yang besar, konduktivitas listrik dan panas yang baik dan lainnya. Penjelasan sifat-sifat sifat-sifat tersebut sangat penting untuk seorang fisikawan yang tertarik untuk mendalami struktur mikroskopik material tersebut dan juga seorang metalurgis dan insinyur yang ingin menggunakan metal untuk maksud-maksud tertentu. Didalam metal terdapat konsentrasi tinggi electron yang dapat bergerak/berpindah dengan bebas (free electron). Dengan adanya medan listrik electron bebas akan mengalir berlawanan dengan arah medannya dan elektron yang mengalir tersebut menyebabkan terjadi arus listrik didalam suatu rangkaian. 4.2. Elektron Konduksi
Apakah elektron konduksi ?. Untuk menjawab pertanyaan pertanyaan tersebut, marilah marilah kita melihat melihat suatu atom Na (natrium) yang mempunyai sebanyak 11 elektron yang mengorbit di sekitar inti (nukleus). Dalam ilmu kimia elektron-elektron tersebut digolong menjadi menjadi 2 bagian, yaitu 10 elektron yang menempati kulit pertama dan kulit kedua (orbit Bohr ), ), serta 1 buah elektron valensi yang terikat sangat lemah di bagian terluar kulit atom tersebut. tersebut. Elektron valensi yang menempati kulit ke-3 ini adalah elektron yang menentukan sifat-sifat sifat-sifat kimia kimia dari Na. Dalam reaksi kimia atom Na akan kehilangan elektron valensi (yang terikat sangat lemah) sehingga 22
akan terbentuk ion Na + . Hal tersebut tersebut dapat terjadi sebagai contoh pada NaCl dimana dimana 1 buah elektron ditransfer dari atom Na ke atom Cl. Jari-jari kulit ke-3 dari atom Na adalah 1,9 Å. Bila atom-atom Na digabung menjadi satu satu dan terbentuk suatu metal. Dalam keadaan metal Na mempunyai mempunyai struktur bcc dan jarak antar atom yang terdekar adalah 3,7 Å. Untuk keadaan zat padat 2 atom Na akan sedikit saling tumpang-tindih (overlap slightly) seperti terlihat pada Gambar 4.1. Terjadinya tumpang tindih ini akan menyebabkan elektron valensi tidak lagi terikat oleh salah satu ion Na, tetapi menjadi bagian (dimiliki) dari 2 ion yang berdekatan (both neighboring ions) pada saat yang sama. Kejadia tersebut menyebabkan elektron valensi dimiliki dimiliki
seluruh kristal Na, karena elektron valensi tersebut dapat bergerak dari satu ion Na ke ion Na lainnya dan seterusnya.
Elektron valensi yang dapat bergerak bebas ini menjadi menjadi elektron
konduksi di dalam zat padat.
Elektron 3s Inti
Gambar 4.1. Atom-atom Na (sodium) saling tumpang tindih untuk orbit 3s
Setiap atom didalam zat padat Na akan menyumbangkan elektron konduksinya dan setiap elektron tersebut akan dimiliki seluruh kristal Na. Elektron-elektron tersebut disebut dengan elektron konduksi karena dapat membawa arus listrik bila bahan zat padat Na dikenakan medan listrik. Penghantaran ini terjadi karena setiap elektron koduksi tersebar di seluruh zat padat. Sebaliknya elektron yang terletak dekat inti tidak akan menyebabkan terjadinya arus listrik, elektron-elektron tersebut terlokalisasi dekat inti. 23
Dapat disimpulkan bahwa ketika atom-tom bebas bergabung membentuk suatu metal, semua elektron valensi akan menjadi elektron konduksi dan sifat akan berubah. Sedangkan elektron yang terletak dekat dengan inti atom pada sifat-sifatnya tidak berubah. Elektron valensi tersebut akan menentukan sifat kimia dan juga elektron konduksi akan mentukan sifat metal suatu bahan zat padat. 4.3. Gas Elektron Bebas
Dalam model elektron bebas, elektron konduksi diasumsikan bebas, kecuali potensial pada permukaan bahan yang mempunyai efek menekan elektron tetap didalam bahan seperti ditunjukkan pada Gambar 4.2. Menurut model ini elektron bebas bergerak di dalam bahan tanpa mengalami tumbukan, kecuali adanya pantulan terjadi di permukaan bahan tersebut. Model ini seperti molekul didalam gas ideal. Itulah sebabnya dinamakan gas elektron bebas.
V
Vakum Metal x 0 Gambar 4.2. Potensial di dalam model elektron bebas
Dalam model elektron bebas, interaksi elektron konduksi sangat lemah.
Hal ini
dikarenakan 2 sebab, yaitu pertama menurut prinsip eksklusi Pauli, elektron ysng berputar cenderung menjauh satu sama lainnya. Kedua meskipun putaran elektron berlawanan, elektron24
elektron cenderung saling menjauh satu sama lainnya untuk meminimalkan energi di dalam sistem. Jika 2 elektron datang saling mendekat satu dengan lainnya, energi potensial Coulomb menjadi sangat besar, dan ini akan sangat bertentangan bahwa kecenderungan sistem elektron mempunyai energi yang terendah yang paling mungkin.
Setiap elektron dikelilingi oleh suatu
daerah seperti bola yang kekurangan elektron lainnya. Daerah (region) tersebut disebuah dengan lubang (a hole) yang mempunyai jari-jari 1 Å (angka pasti tergantung konsentrasi dari elektron). Bila sebuah elektron bergerak, maka lubang tersebut (Fermi hole) juga ikut bergerak. Gas elektron bebas didalam metal berbeda dengan gas biasa, yaitu yang pertama elektron bebas bermuatan (sedangkan molekul gas pada dasarnya bersifat netral). Gas elektron bebas pada kenyataanya seperti plasma. Kedua konsentrasi elektron sangat besar N=1029 elektron/m3, sedangkan gas biasa hanya 1025 molekul/m3. 4.4. Konduktivitas Listrik
Menurut hukum Ohm bahwa dalam metal akan berlaku hubungan, I = V R
(4.2)
dimana I adalah arus listrik, V beda potensial (tegangan) dan R hambatan listrik didalam metal. Bila suatu kawat penghantar terbuat dari metal mempunyai panjang L dan luas penampang A, maka dapat dituliskan hubungan sebagai berikut,
J = I , A
ε = V , dan L
R=
ρ L A
(4.3)
dimana J adalah rapat arus (arus per luas penampang kawat), ε adalah medan listrik, ρadalah resistivitas listrik. Konduktivitas adalah kebalikan dari resistivitas dan dinyatakan dengan σ = 1 ρ
(4.4)
Bila persamaan (4.3) dan (4.4) ke dalam persamaan (4.2), maka didapat
25
J = σ ε
(4.5)
dimana konduktivitas σ mempunyai satuan Ω −1 m−1 . Kita akan menyatakan konduktivitas listrik dalam sifat mikroskopisnya untuk mendapatkan gambaran elektron konduksi. Terjadinya arus listrik karena adanya pergerakan elektron-elektron konduksi yang dipengaruhi oleh medan listrik. Karena partikel-partikel (elektron) tersebut bermuatan, maka pergerakan elektron-elektron tersebut menyebabkan arus listrik, sedangkan pergerakan partikel netral tidak menyebabkan terjadinya arus listrik. Bila suatu medan listrik ε dikenakan pada sebuah elektron, maka gaya yang terjadi adalah sebesar − e ε . Juga terdapat gaya gesek ( friction force) tumbukan electron dengan medium (ion-ion) tempat perambatannya.
Bila
diasumsikan bahwa gaya gesek dalam bentuk * m v τ
dimana v adalah kecepatan elektron dan τ adalah waktu tumbukan. Dengan menggunakan hukum Newton, maka m* dv = − eε − m* v dt τ
(4.6)
dimana m* adalah massa efektif elektron (massa elektron yang dikarenakan interaksi dengan kisi kristal). Akibat terjadinya tumbukan, maka cenderung mengurangi kecepatan menjadi nol. Pada keadaan tetap (steady state), maka percepatan pergerakan elektron adalah dv = 0, sehingga dt
dapat ditulis bahwa 0 = − eε − m* v ⇒ v = − eτ * ε τ
m
26
(4.7)
Persamaan diatas adalah kecepatan keadaan tetap (steady-state velocity), atau dalam pembahasan gesekan disebut dengan kecepatan terminal (terminal velocity). Kecepatan elektron berlawanan dengan arah medan listrik ε karena muatan elektron adalah negatif seperti dilukiskan dalam Gambar 4.4. Baterai
Elektron e
(a)
(b)
Gambar 4.4. (a) Medan listrik dikenakan pada kawat metal
(b) Gerak random elektron Harus dibedakan antara kecepatan alir (drift velocity) yang dinyatakan dalam persamaan (4.7) dengan kecepatan random (random velocity) yang disebabkan gerakan random dari elektron. Seperti hal gas, maka elektron bergerak secara random bahkan tanpa adanya pengaruh medan listrik. Hal ini disebabkan oleh elektron yang bergerak dan kadang terhambur (scatter ) dan berubah arah. Pergerakan random elektron ini tidak menyebabkan terjadinya arus listrik. Kecepatan random (random velocity) vr jauh lebih besar dari kecepatan alir (drift velocity) vd r , yaitu vd << vr . Kerapatan arus J dapat dihitung dengan persamaan (4.7). Bila jumlah muatan per satuan volume, yaitu –eN dimana N adalah konsentrasi (jumlah electron per satuan volume). Karena setiap elektron
mempunyai kecepatan alir seperti yang diberikan dalam persamaan (4.7),
sehingga jumlah muatan yang melewati kawat hambatan dengan penampang A untuk setiap satu satuan waktu adalah, 27
⎛ eτ ⎞ J = (− eN )vd = (− eN )⎜ − ∗ ε ⎟ = ⎝ m ⎠
2
e N τ ∗
m
ε
(4.8)
Arus listrik ini sejajar dengan medan. Dengan membandingkan persamaan (4.8) dengan hukum Ohm persamaan (4.5), akan didapat konduktivitas,
σ =
e 2 N τ m∗
(4.9)
Persamaan diatas menunjukkan bahwa konduktivitas
σ meningkat dengan kenaikkan
konsentrasi elektron N, yaitu dengan bertambahnya konsentrasi elektron maka semakin banyak partikel pembawa muatan (elektron). Konduktivitas σ berbanding terbalik dengan massa efektif elektron m∗ . Karena semakin besar massa efektif elektron, maka partikel tersebut semakin lemban dan sulit untuk bergerak. Sedangkan konduktivitas σ berbanding lurus dengan waktu tumbukan τ , kenyataannya waktu tumbukan adalah waktu antara 2 tumbukan yang berturutan (waktu hidup bebas rerata/ mean free lifetime). Oleh karena itu semakin besar waktu tumbukan τ , maka semakin banyak waktu elektron dipercepat oleh medan pada waktu antara 2 tumbukan,
akibatnya kecepatan alir elektron vd semakin besar dan akhirnya konduktivitas σ akan semakin besar pula. Persamaan (4.9) dapat digunakan untuk menentukan τ , yaitu dengan cara mengukur konduktivitas σ dan mengasumsikan bahwa massa efektif elektron m* sama dengan massa elektron bebas mo = 9, 1 × 10−31 kg .
Kebanyakan nilai konduktivitas metal σ sekitar
5 × 107 Ω −1 m−1. Perhatikan bahwa τ mempunyai nilai sekitar 10-14 detik. yang sangat kecil sekali untuk skala waktu biasa.
Ini adalah waktu
Waktu diantara 2 tumbukan yang
berturutan τ sering disebut waktu relaksasi (relaxation time). Bila metal zat padat dikenakan medan listrik, kecepatan alirnya adalah vd (0 ) . Bila kemudian medan listrik tersebut dihentikan, maka kecepatan alirnya akan ditentukan oleh persamaan berikut,
28
m∗ dv = − m∗ v dt τ
Persamaan diatas seperti persamaan (4.6) untuk ε = 0. Solusi untuk persamaan diatas dengan syarat awal vd (0) adalah vd (t ) = vd (0 )e −t τ
(4.10)
Persamaan (4.10) diatas menunjukkan vd (t ) mendekati nilai nol.
Karena nilai sangat kecil,
maka vd (t ) akan menuju ke nilai nol sangat cepat. Karena τ adalah waktu antara 2 tumbukan yang berturutan, maka dapat dituliskan bahwa
τ =
l vr
(4.11)
dimana l adalah jarak antara 2 tumbukan yang berturutan dan vr adalah kecepatan random. Oleh karena itu konduktivitas σ dapat dinyatakan dengan 2
σ =
e N l ∗
m vr
(4.12)
Sekarang akan dibandingkan antara metal dan semikonduktor (Tabel 4.1).
Tabel 4.1. Sifat-sifat listrik metal dan semikonduktor. No
Parameter
Metal
Semikonduktor
5 × 107
1
1
Konduktivitas σ (Ω −1 m−1 )
2
Elektron konsentrasi N (m −3 )
1029
1020
3
Kecepatan random vr (m det −1 )
106
104
29
Kecepatan random
metal mempunyai nilai sekitar vr = 106 m det −1 , sedangkan
kecepatan alir dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (4.7). Dengan diketahui nilai muatan e
elektron,
≅ 10−19 coul ,
vd
= 10−2
waktu
τ = 10−14 det,
antara m
∗
tumbukan
= 10−30 kg ,
dan
massa
efektif
elektron,
yaitu
dan ε = 10V m akan didapat nilai kecepatan alir
−
m det 2 . Oleh karena itu perbandingan antara kecepatan alir dan kecepatan random
sebesar vd vr ≅ 10 −8 suatu nilai yang sangat kecil. Sedangkan untuk bahan semikonduktor kecepatan random yang disebabkan oleh vibrasi termal (thermal motion) dinyatakan dengan persamaan berikut, 1 ∗ 2 3 m vr = kT 2 2 1/ 2 ⎛ 3kT ⎞
vr = ⎜
∗ ⎟ ⎝ m ⎠
Pada suhu T=300 K dan massa efektif untuk bahan semikonduktor pada suhu tersebut adalah m
∗
= mo 5 , sehingga besar kecepatan random electron
vr
= 104
−
m det 1 .
Dari uraian diatas dapat ditemukan panas Joule ( joule heat ) secara mikroskopik. Daya ( power ) yang hilang sebagai panas joule sama dengan daya yang diserap oleh elektron dari medan listrik. Dari pelajaran fisika dasar bahwa daya yang diserap oleh sebuah partikel dari suatu gaya F besar adalah Fv dimana v adalah kecepatan partikel. Sehingga daya yang diserap oleh elektron-elektron untuk setiap unit volume adalah 2 eτ ε ⎞ N e τ 2 ⎛ P = N F vd = N (− eε )⎜ − ⋅ ⎟ = ε ∗ m m ⎝ ⎠
(4.13)
Waktu tumbukan τ disebabkan oleh gaya gesek ( friction force) dan gaya gesek ini disebabkan tumbukan antara elektron dan ion-ion. Menurut model tumbukan ini elektron bergerak didalam kisi dan bertumbukan dengan ion-ion yang mengakibatkan perlambatan momentum electron. perhitungan
dengan
Model ini seperti tidak sesauai dengan hasil penelitian. persamaan
(4.11),
bila 30
disubstitusi
nilai-nilai
Dari hasil
τ ≅ 10−14 det
vr
≅ 106 m ⋅ det −1 maka didapat nilai lintasan bebas ( free
path) l
≅ 10−8
m
≅ 102 Å. Hal ini
berarti bahwa diantara 2 tumbukan yang berurutan, maka electron bergerak sejauh lebih dari 20 kali jarak antar atom (interatomic distance).
Jarak tersebut terlalu jauh dari nilai yang
diharapkan, terutama struktur padat (closed-packed ) yang mana atom-atom tersusun sangat mampat (densely packed ), sehingga sangat sulit melihat bahwa electron bergerak sangat jauh sebelum tumbukan. Paradoks (pertentangan) dapat diterangkan dengan konsep kuantum. Menurut kuantum mekanik electron mempunyai sifat gelombang. Panjang gelombang elektron didalam kisi diberikan dengan gelombang deBroglie, yaitu
λ =
h m∗vr
(4.14)
Pada teori perambatan gelombang di dalam struktur yang diskrit bahwa gelombang yang merambat kisi yang periodic akan tetap dirambatkan tanpa mengalami hamburan (scattering). Efeknya ke atom-atom didalam kisi adalah penyerapan energi dari gelombang dan meradiasikan kembali, sehingga hasilnya (net result ) adalah gelombang tetap merambat tanpa mengalami perubahan (modifikasi) baik arah atau intensitas. Pada teori optik, gelombang sinar yang merambat didalam suatu kristal tidak mengalami pendaran sama sekali. Pengaruh pada kristal hanya adanya indeks refraksi n sehingga kecepatan didalam medium tersebut berubah menjadi c/n. Bila ion-ion membentuk kisi yang sempurna (perfect crystal), tidak akan terjadi tumbukan sama sekali, yaitu lintasan bebasnya
l
=∞
sehingga waktu tumbukan akan menjadi τ = ∞ yang akhirnya akan menyebabkan konduktivitas yang tak terhingga. Seperti yang telah dihitung diatas bahwa l = 102 Å. Keterbatasan nilai konduktivitas mestinya disebabkan oleh ketaksempurnaan kisi, mungkin disebabkan oleh vibrasi termal dari ion-ion, atau oleh adanya ketakmurnian kristal.
31
4.5. Resistivitas Listrik Terhadap Perubahan Suhu
Konduktivitas listrik suatu metal bervariasi dengan suhu bahan metal.
Variasi
konduktivitas ini dikaji dengan membahas perubahan resistivitas terhadap suhu. Gambar 4.5 menyajikan kurva resistivitas bahan metal Na. Pada suhu T ≅ 0 K nilai resistivitas adalah konstan, kemudian pada suhu diatasnya resistivitas naik dengan naiknya suhu. Kemudian pada suhu diatas 40 K akan naik secara linear. Kelinearan resitivitas ini dengan bertambahnya suhu sampai mencapai suhu leleh. X 10
- 3
-2 X 10
5 )
K 0 9 2(
4
r/
3
T
)
21 )
K 0 9 2( 14 r/ )
T (
(
r
r
2
7
1
0
6
10
14
18
22
0
20
40
60
T(K)
T(K)
(a)
(b )
80
100
Gambar 4.5. Normalisasi resistivitas (a) pada suhu tinggi; (b) pada suhu rendah
Bila persamaan (4.9) ditulis dalam bentuk resistivitas ρ , yaitu
ρ =
Waktu tumbukan
1 τ
m∗ 1 2
N e τ
(4.15)
dapat diterjemahkan sebagai kebolehjadian (probability) elektron
mengalami tumbukan per satu satuan waktu. Bila τ = 10−14 det , maka elektron akan mengalami tumbukan sebanyak 1014 tumbukan.
Dari bahasan sebelum disebutkan bahwa elektron 32
mengalami tumbukan karena kisi kristal tidak beraturan secara sempurna (not perfectly regular ). Ketidakteraturan kisi dapat digolongkan menjadi 2 golongan, yaitu a. Vibrasi kisi (phonons) dari ion-ions disekitar posisi ekuilibrium karena eksitasi termal dari ion-ion tersebut. b. Ketidaksempurnaan kisi kristal karena ketidakmurnian (foreign impurities) atau cacat kristal. Probabilitas electron dipendarkan oleh fonon dan ketidakmurnian/cacat kristal adalah bersifat penjumlahan, karena 2 mekanisme tersebut tidak saling terkait (bebas), sehingga dapat ditulis suatu persamaan, 1 τ
=
1 τ ph
+
1 τ imp
(4.16)
dimana suhu pertama disebelah kanan karena tumbukan electron dengan phonon dan suku kedua disebabkan tumbukan electron dengan ketidakmurnian kisi kristal.
Bila persaman (4.16)
disubstitusikan ke persamaan (4.15), maka didapat persamaan berikut ini ρ = ρ imp
+ ρ ph =
m
∗ 2
1
N e τ imp
+
m
∗ 2
1
N e τ ph
(4.17)
Seperti yang ditujukkan pada persamaan (4.17), resistivitas dipisahkan menjadi 2 golongan. Pertama
resistivitas
ρ imp yang disebabkan oleh ketidakmurnian kristal, nilainya tidak
tergantung suhu disebut dengan resistivitas residu. Kedua resistivitas ρ ph yang disebabkan oleh pendaran fonon (phonon scattering), nilai tergantung dengan suhu dan disebut disebut dengan resistivity ideal, resistivitas ideal ini resistivitas murni dari kristal. Pada suhu yang sangat rendah, pendaran fonon dapat diabaikan (sangat kecil) karena amplitude osilasi sangat kecil.
Di daerah τ ph → ∞, ρ ph → 0
sehingga konduktivitas
ρ ≅ ρ imp relatif konstan. Hal sesuai dengan Gambar (4.5), dengan meningkatnya suhu T, maka 33
pendaran fonon menjadi lebih efektif dan resistivitas ρ ph (T ) juga akan meningkat. Ketika suhu menjadi sangat tinggi, pedaran oleh fonon sangat dominant, sehingga ρ ≅ ρ ph (T ) .
Di daerah
suhu yang sangat tinggi, resistivitas ρ ph (T ) meningkat secara linear dengan kenaikkan suhu T. Suatu pernyataan bahwa resistivitas dipisah dengan 2 jenis resistivitas dikenal dengan aturan Matthiessen ( Matthiessen rule). 4.6. Kapasitas Panas dari Elektron Konduksi
Pada model electron bebas, electron konduksi diperlakukan seperti partikel bebas yang memenuhi hokum klasik dari mekanik, elektro-magnetik dan mekanika statistic.
Telah
disebutkan bahwa sangat sulit memperlakukan tumbukan dengan menggunakan model ini. Kesulitan lain yang muncul kaitannya dengan kapasitas panas electron konduksi. Kapasitas panas per mole dari electron konduksi akan dihitung berdasarkan model Drude-Lorentz. Dari teori kinetik gas bahwa partikel bebas keadaan ekuilibrium pada suhu T mempunyai energi rata-rata sebesar 3 k T 2
E =
Oleh karena itu energi rata-rata per mole-nya adalah
E
3 ⎞ 3 = N A ⎛ ⎜ k T ⎟ = R T ⎝ 2 ⎠ 2
(4.25)
dimana N A adalah bilangan Avogradro dan R = N A k . Kapasitas panas elektron adalah
C e
=
∂ E ∂T
Oleh karena itu, 34
C e
=
3 R ≅ 3 kal mole o K 2
(4.26)
Kapasitas panas total dari metal, termasuk fonon, yaitu, C = C e
+ C ph
(4.27)
Pada suhu yang tinggi nilai kapasitas panas adalah 3 2
C = 3 R + R
= 4,5 R = 9 kal
mole o K
(4.28)
Hasil eksperimen kapasitas panas dari metal adalah bahwa C ≅ 3 R pada suhu tinggi seperti nilai kapasitas panas dari isolator. Hasil pengukuran yang teliti yang mana kontribusi elektron-elektron pada kapasitas panas total menunjukan bahwa adalah sangat kecil, yaitu 10-2 dari nilai klasik 3 2 R . Untuk menerangkan ketidakcocokan ini, kita akan menggunakan konsep kuantum. Energi electron didalam metal terkuantisasi menurut mekanika kuantum. Gambar (4.6a) menunjukkan tingkat energi kuantum, electron-elektron didalam metal menempati menempati tingkat-tingkat energi tersebut. Hal tersebut terjadi electron-elektron mengikuti suatu prinsip kuantum yang sangat penting, prinsip eksklusi Pauli (Pauli exclusion principle), dimana suatu tingkat energi dapat mengakomodasi (menempati) 2 elektron, 1 elektron putar atas (spin up) dan 1 elektron putar bawah (spin down). Oleh karena itu pengisian tingkat-tingkat energi, 2 elektron menempati tingkat energi paling bawah, kemudia 2 elektron menempati tingkat energi diatasnya dan seterusnya, sampai semua electron didalam metal menempati tingkatan energi seperti terlihat Gambar (4.6a). Tingkat energi tertinggi yang terisi oleh electron disebut dengan tingkat energi Fermi (Fermi level). Nilai tingkat energi Fermi didalam metal yaitu sebesar 5 eV.
4.7. Model Elektron Bebas Terkuantisasi
Model electron bebas yang terdiri pada landasan fisika klasik, meskipun inovatif dalam pendekatannya, sangat terbatas daya ramalanya. Landasan klasik adalah bahwa electron tersebut berperilaku sebagai suatu gas electron, kesejajaran ditarik dengan suatu gas ideal, dengan gerak sebarangnya dan distribusi energy menurut Maxwell-Boltzman. 35
Model electron bebas ini dapat diperbaiki dengan memberikan landasan fisika modern yang dalam hal ini meliputi : a. kuantisasi energi electron b. larangan Pauli untuk elektron Kuantisasi energi electron bebas diperoleh dengan memberlakukan syarat batas (siklis) pada gelombang yang mempresentasikan gerak electron, sedangkan larangan Pauli memberikan sebaran energi (yang paling boleh-jadi/most probable distribution) untuk energi total dan jumlah total electron tertentu. Distribusi yang diperoleh adalah distribusi “Fermi-Dirac”. Di bawah ini digambarkan sketsa distribusi Fermi-Dirac (FD) dan distribusi MaxwellBoltzmann (MB). Distribusi FD adalah untuk system electron dengan landasan fisika modern, sedangkan distribusi MB untuk suatu gas ideal dari atom-atom dengan landasan fisika klasik. f(E)
1
T=0K T = 6000 K
T = 600 K
0,5
0
E
EF = 2,5 eV
Gambar 4.6. Distribusi Fermi-Dirac f ( E )FD
36
=
1 1 + e ( E − E ) k T F
B
f(E) 1
T = 6000 K
T=0K
T = 600 K 0
2,5
E
Gambar 4.7. Distribusi Maxwell-Boltzmann f ( E ) MB
= e − E k T B
Distribusi M-B telah dikenal dalam teori kinetic tentang gas. Distribusi F-D mempunyai beberapa ciri utamanya : a. Distribusi FD sangat berbeda dari distribusi MB b. Pada T = 0, maka : f ( E ) = 1,
untuk semua E < E F
f ( E ) = 0,
untuk semua E > E F
Ini berarti bahwa pada T=0K, semua states dengan E < E F penuh, semua states dengan E > E F kosong.
c. Apabila ( E − E F ) >> k BT , jadi untuk elektron E F dan berenergi besar, yaitu f ( E ) ≅ e
− ( E − E F )
k BT
Jadi untuk E yang besar, distribusi FD mendekati distribusi MB. d. Sebaliknya apabila ( E − E F ) << k BT , jadi untuk elektron dengan energi dibawah E F dan berenergi rendah, maka , f ( E ) ≅ 1 − e
( E − E F )
k BT
Jadi untuk E yang rendah, kebolehjadian bahwa suatu state terisi mendekati 1. e. Untuk E = E F pada semua suhu T, f ( E ) = 0,5 37
f. Rapat electron per satuan volume adalah ∞
∫
n = n( E )dE 0
∞
= ∫ f ( E ) g ( E )dE
(4.29)
0
∞
=∫
1 ⎛ 2mo ⎞
⎜
32
⎟
12
E
[1 + e (
E − E F ) k BT
2 2 0 2π ⎝ h ⎠
dE
]
Andaikan bahwa T = 0 K, maka ungkapan diatas menjadi n=
1 ⎛ 2mo ⎞
3 2 E Fo
∫ E
12
⎜ ⎟ 2π ⎝ h 2 ⎠ 2
dE
(4.30)
0
Dinggap bahwa E Fo merupakan harga E F bila suhunya T = 0 0 K . Apabila integral tersebut dievaluasi, maka n=
1 ⎛ 2mo E Fo ⎞
⎜
2π 2 ⎝
h
2
32
⎟ ⎠
(4.31)
Sedangkan sketsa n( E ) adalah seperti Gambar 4.8 di bawah ini
n(E) g(E) g(E) f(E), pada suh u T = 0 K g(E) f(E), pada suh u T > 0 E FT 0
EFo
E
Gambar 4.8. Hubungan antara rapat electron n(E) dengan energi E 38
g. Bagaimana
E F
= E F (T ) ?
Dari fisika statistik diketahui bahwa,
⎡ (2k B T )2 ⎤ E F ≅ E Fo ⎢1 − 2 ⎥ 12 E Fo ⎦ ⎣
(4.32)
Rapat keadaan elektron (electron state density) dengan energi antara E dan ( E + dE ) g ( E )dE
Dalam menelahan perilaku gas electron pendekatan electron tunggal, yaitu bahwa electron tersebut bergerak dalam potensial V yang merepresentasikan pengaruh dari semua electron bebas yang lain, dan semua ion-ion positifnya. Dalam model electron bebas V ≡ 0 . Persamaan Schroedinger-nya adalah
−
h
2
r
2mo
r
∇ 2ψ (r ) = E ψ (r )
(4.33)
dengan solusinya r r
r
i k ⋅r / k (r ) = A e
(4.34)
o
dengan energi electron E k
=
h
2
2m o
[k 2 + k 2 + k 2 ] x
y
z
(4.35)
Bila electron itu bergerak dalam kubus dengan rusuk L; k x , k y , k z harus memenuhi :
39
k x
= n x
k y
= n y
k z
= n z
2π L 2π L 2π L
; n x = 0, ± 1, ± 2,... ; n y = 0, ± 1, ± 2,...
(4.36)
; n z = 0, ± 1, ± 2,...
Hal ini dapat digambarkan dalam ruang k seperti Gambar 4.9. berikut : k
z
kx
ky Gambar 4.9. Keadaan (state) dalam ruang k
Dalam ruang k termaksud, setiap keadaan (state) direpresentasikan dengan volume sebesar :
⎛ 2π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
3
yaitu masing-masing untuk Δn x = 1, Δn y = 1, Δn z = 1 . Semua state dengan energi elektron sebesar
E k
=
h
2
2mo
(k 2 + k 2 + k 2 ) x
y
z
40
terletak pada permukaan bola dengan jari-jari k yang memenuhi :
(
+ k y2 + k z2 ) =
k = k x2
2mo E k h
(4.37)
2
semua state dengan energi antara E dan ( E + dE ) terletak dalam kulit bola dengan jari-jari antara k dan (k + Δk ) ; volume elemen itu dalam ruang k adalah
(
)
V (Δk ) = 4π k Δk 2
(4.38)
sehingga jumlah “state electron” adalah
(4π k 2 Δk ) = L3 k 2 Δk ⎛ 2 π ⎞
3
(4.39)
2π 2
⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
Apabila diperhitungkan “spin electron”, maka jumlah “state electron” antara k dan (k + Δk ) adalah Jumlah “state electron” = (2 ) ×
3
2
L k
2π 2
Δk =
3
2
L k
π 2
Δk
(4.40)
Diketahui bahwa E k
=
2
2
h k
⇒
2mo
2
k
=
2mo E h
2
⇒ Δk =
mo
2h 2 E
Δ E
Sehingga jumlah electron-state per satuan volume dengan energi E dan ( E + dE ) adalah
g ( E ) =
k 2 Δk
π
2
=
1 ⎛ 2mo ⎞
⎜ ⎟ 2π ⎝ h 2 ⎠ 2
32
E 1 2 dE
(4.41)
Grafik hubungan antara “electron-state density” g ( E ) dengan E adalah seperti dilukiskan seperti Gambar 4.9 berikut :
41
g(E)
1/2 g(E) ~ E
E
0
Gambar 4.9. Hubungan g(E) dengan E
Harus diingat bahwa g ( E ) adalah rapat electron state (electron state density) dan bukan rapat electron (electron density). Bila diketahui fungsi distribusi Fermi-Dirac f ( E ) dan rapat electron-state g ( E ) , maka rapat electron n( E ) dapat diperoleh. Rapat electron n( E ) adalah jumlah electron bebas per satuan volum untuk sistem dengan kesetimbangan suhu T adalah n( E ) = g ( E ) f ( E ) n( E ) =
1 ⎛ 2mo ⎞
32
⎜ ⎟ 2π 2 ⎝ h 2 ⎠
12
E
1
[1 + e (
E − E F ) k B T
]
dE
(4.42)
Jadi jumlah electron per satuan volume dengan energi antara E dan ( E + dE ) adalah
dN = n( E )dE =
1 ⎛ 2mo ⎞
⎜ ⎟ 2π ⎝ h 2 ⎠ 2
32 12
E
1
[1 + e
( E − E F )
k B T
]
dE
(4.43)
Dengan mengandaikan ungkapan diatas sebagai rapat gas electron dalam logam, maka model electron bebas diletakkan diatas landasan fisika modern. Rapat electron termaksud mengandung 42
dalam dirinya baik kuantisasi energi electron, maupun kaedah larangan Pauli. Larangan Pauli terliputi dalam distribusi Fermi-Dirac yang dipergunakan sebagai distribusi energi electron bebas dalam logam.
4.8. Efek Hall
Efek Hall berkaitan dengan suatu cara pengukuran eksperimental sifat listrik yang dilaporkan oleh E.H. Hall di tahun 1879.
Dalam telaah efek Hall disini akan ditempuh
pendekatan sederhana, menurut model electron bebas klasik. Secara esensial hal-hal tentang efek Hall masih akan teruraikan dengan penyederhanaan ini. Pandanglah suatu balok logam seperti disajikan pada Gambar 4.10. Pada balok itu bekerja 2 medan luar yang saling tegak lurus, yaitu kuat medan listrik ε x dengan arah sumbu-X dan medan induksi magnetic B z dalam arah sumbu-Z. Karena pengaruh medan listrik ε x , akan ada arus listrik I x yang searah dengan ε x . Andaikanlah bahwa electron merupakan pembawa arus. Maka pengaruh medan magnetik B z akan menyebabkan bahwa electron akan melalui lintasan tidak dalam arah kecepatan elektron v x , akan tetapi melengkung ke bawah. Elektron akan berkumpul di bagian bawah balok logam. Dengan demikian terciptalah medan listrik karena tumpukan electron di bagian, dan kurangnya electron di bagian atas balok. Keadaan ini menimbulkan medan listrik ε y . Apabila keadaan sudah stasioner ε y berharga tetap dan electron bergerak dalam arah v x . Besarnya medan listrik ε y yang akan diukur dan akan memberikan gambaran mengenai elektron konduksi di dalam logam.
43
E
+ + + + + + + + + + + + E y _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ B
v
x
x
(kec epatan elektron)
z
Gambar 4.10. Logam dialiri arus listrik di dalam medan magnet Bz
Gaya pada electron adalah r
r
r
r
= −e ε + v × B
F y
y
x
z
(4.44)
Dalam keadaan setimbang gaya dalam arah-y adalah nol, jadi : F y
=0
F y
= −eε + ev
ε y
=v
J x
= − nev
y
x
B z
(4.45)
sehingga x
B z
Rapat arus adalah : x
Darimana diperoleh harga koefisien Hall R H
dengan :
≡
ε y J x B z
=−
1 ne
(4.46)
n : rapat electron konduksi e : harga muatan satu electron (1,91 x 1019 coulomb)
Apabila ε y , J x , dan B z diketahui, maka diperoleh keterangan mengenai n. Jadi efek Hall dapat dipergunakan untuk menentukan : a. Jenis partikel pembawa muatan (negative atau positif/electron atau hole). 44
b. Rapat electron konduksi yang berperan proses penghantaran muatan. Apabila dianut model Lorentz dari model electron bebas, maka koefisien Hall : R H
≡
ε y J x B z
=−
3π 8ne
(4.47)
Mobilitas electron didefinisikan sebagai besarnya kecepatan rambat electron per satuan medan listrik, yaitu :
μ =
vo E
(4.48)
Sedangkan hubungan antara rapat arus j dan muatan electron serta kecepatan rambatnya adalah : j = nevo
= ne
ε
(4.49)
sehingga diperoleh daya hantar listrik (konduktivitas) σ = ne atau :
− σ R = neμ H
1 ne
= μ
(4.50)
Jadi secara eksperimental dengan mengukur σ dan R H , maka akan dapat ditentukan mobilitas electron konduksi.
45
