Indikator Hasil Belajar 1. Memahami prinsip prinsip tataran energi Fermi 2. Menentukan distribusi energi 3. Menganalisis panas panas jenis elektron bebas. 4. Memahami konsep Drude Lorentz 5. Memahami sifat dari konduktivitas konduktivitas dan mobilitas elektron bebas pada logam 6. Menganalisis sifat thermal dari konduktivitas logam 7. Menjelaskan konsep efek Hall 8. Menjelaskan konsep pancaran Thermionik
108
BAB VI
ELEKTRON DALAM LOGAM
Pada tahun 1897, Joseph John Thomson (1856 – 1940) seorang Fisikawan Inggris melalui serangkaian eksperimennya berhasil mendeteksi atau menemukan elektron muatan negatif dan besarnya terkuantisasi yang dimaksud Stoney. Dalam penelitiannya dia mempelajari bahwa tabung katoda pada kondisi vakum parsial (hampir vakum) yang diberi tegangan tinggi akan mengeluarkan “berkas sinar” dimana Thomson menyebut sinar ini sebagai “berkas sinar katoda” disebabkan berkas sinar ini berasal dari katoda (elektroda negative). Berkas sinar katoda ini apabila didekatkan dengan medan listrik negatif maka akan dibelokan (berkas sinar katoda ini tertolak oleh medan negative), berdasarkan hal ini maka Thomson menyatakan bahwa berkas sinar katoda itu adalah partikel-partikel yang bermuatan negatif yang ia sebut sebagai “corpuscle “corpuscle “corpuscle itu berasal dari atom-atom logam yang dipakai sebagai elektroda pada tabung katoda. Dengan menggunakan jenis logam yang berbeda-beda sebagai elektroda yang dia gunakan pada tabung katoda maka percobaan Thomson tetap menghasilkan berkas sinar katoda yang sama. Akhirnya Thomson menyimpulkan bahwa setiap atom pasti tersusun atas corpuscle. Corpuscle yang ditemukan oleh Thomson ini in i kemudian disebut sebagai “elektron” oleh G. Johnstone Stoney. Dari asumsi tersebut dia akhirnya meyakini bahwa atom sebenarnya tidak berbentuk masif (berbentuk bulatan yang pejal) akan tetapi tersusun atas komponenkomponen penyusun atom. Thompson telah berhasil memperoleh hadiah Nobel Fisika pada tahun 1906 atas penemuan elektron. Thomson membuktikan bahwa elektron merupakan partikel penyusun atom, bahkan Thomson mampu menghitung perbandingan muatan terhadap massa elektron
e , yaitu 1,759 × 10 8 coulomb/gram. m
Kemudian melalui percobaan yang secara relatif sederhana dalam tahun 1909 Robert Andrew Millikan (1868-1953) dari Universitas Chicago menemukan harga muatan elektron, 19 yaitu 1,602 × 10 – 19 coulomb. Dengan percobaan yang menggunakan tabung sinar katoda
kemudian dapat pula ditentukan harga massa electron m0 dapat dihitung:
109
e massa satu elektron e m 1,602 602 x10 19 8 1,759 x10 9,11 x1028 gram Gambaran sederhana mengenai kristal logam menyatakan adanya suatu kisi ion-ion yang teratur dalam ruang, dan elektron-elektron bebas yang bergerak dalam ruang diantara ion-ion tersebut. Gambaran lebih lengkap diperoleh dengan mengatakan bahwa ion-ion itu melakukan getaran termal disekitar kedudukan setimbangnya, demikian pula elektron bebas melakukan gerak termal diantara ion-ion kristal, dan merubah arah geraknya setiap kali elektron itu bertumbung dengan ion(kemungkinan besar) atau elektron lain (kemungkinan kecil). Beberapa sifat penting logam: a.
Apabila suhunya serba sama, untuk suatu logam ada hubungannya yang linear
antara rapat arus listrik j dan kuat medan E . Tetapan perbandingan dinamakan
konduktivitas listrik logam itu j b.
E
Logam merupakan penghantar listrik maupun penghantar panas yang baik. Untuk logam pada pada suhu ruang terletak di daerah 10
6
108 ohm1 m1 . Pada suhu
ruang logam murni memiliki harga konduktivitas termal yang 10 sampai 100 kali lebih tinggi dibandingkan dengan bahan dielektrik. Jadi dalam keadaan tersebut electron menjadi wahana terpenting dalam arus kalor. c.
Sejak tahun 1853 telah diketahui kaidah empiric dari Wiedemann dan Franz yang yang menyatakan bahwa pada suhu yang sama antara konduktivitas panas dan konduktivitas listrik samabesar untuk semua logam. Kecuali itu perbandingan tersebut berbanding lurus dengan suhu mutlak T K e
d.
T
Pada suhu yang cukup rendah harga suatu logam ditentukan oleh ketidakmurnian dan ketidak sempurnaan kisi.
110
Untuk suhu rendah ini berlaku kaidah Matthiesen bahwa:
1 T
1 imp
1 purc T
yaitu bahwa sumbangan ketidakmurnian dan ketidaksempurnaan adalah tetap untuk semua suhu. e.
Hampir separuh element logam menjadi superkonduktor pada suhu sangat rendah.
f.
Sumbangan elektron bebas pada harga C v suatu logam sangat kecil, sumbangn tersebut berbanding lurus dengan suhu
C v e T g.
Sumbangan elektron bebas pada susceptibility magnetic juga kecil, dan tidak bergantung suhu
X e f T Beberapa teori mengenai elektron bebas dalam zat padat akan dibahas pada bagian ini yaitu : a. Teori Drude tentang elektron bebas dalam logam b. Model elektron bebas yang klasik c. Model elektron bebas yang terkuantisasi Model pita energi dapat menerangkan sifat-sifat terpenting bahan semikonduktor
A. Teori Drude Tentang Elektron Elektron Bebas Dalam Logam
Model sederhana tentang elektron di dalam logam dapat menerangkan kaidah Wiedemann- Franz dibuat tahun 1900 oleh Drude. Asumsi dalam model ini adalah : a. Dalam logam terdapat elektron-elektron bebas yang membentuk suatu gas electron. b. Elektron-elektron tersebut memiliki kecepatan rata-rata C 0 , dan bergerak secara sembarang dalam kristal. Elektron bebas berubah arah geraknya setelah bertumbuk dengan ion-ion logam logam
111
c. Ion logam boleh dikatakan tidak terpengaruh oleh tumbukan ini, karena massanya yang sangat lebih besar dibandingkan dengan massa electron. d. Apabila kuat medan E hadir dalam logam, arah elektron tidak lagi sembarang, tetapi secara keseluruhan bergerak di bawah pengaruh medan E itu. Andaikanlah bahwa waktu rata-rata antara 2 tumbukan elektron dan ion logam adalah 2 , maka secara rata-rata percepatan elektron antara dua tumbukan adalah
a0
eE m0
dengan e adalah muatan elektron, dan m0 adalah massa elektron. Dengan mengambil arah x
sebagai arah kuat medan E . Asumsikan bahwa kecepatan gerak sembarang elektron adalah
C 0 dengan komponen kecepatan 0 dalam arah x seperti pada gambar 6.1 C 0
0
E x Gambar 6.1 Gerak Elekton dalam Medan
Kecepatan rata-rata antara dua tumbukan adalah
adalah j x e 0
0 0
e m0
. Rapat arus dalam arah x
e
m0
Penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas dalam satu satuan volume.
0 0
Karena penjumlahan komponen kecepatan gerak sembarang elektron adalah nol maka diperoleh j x
e 2 E m0
. Konduktivitas listrik dapat ditentukan yaitu :
112
e 2 m0
Pada logam murni, pada suhu ruang sumbangan terbesar pada konduktivitas termal, K berasal dari electron. Qe merepresentasikan arus kalor, yaitu jumlah energi yang mengalir per satuan luas per detik, maka kondutivitas termal K e dibataskan sebagai
Qe K e
dengan
T , x
T gradien suhu sepanjang arah arus x x
x x0 2 C 0 cos
x x0 C 0
Gambar 6.2 Hamburan elektron Pandanglah suatu satuan luas yang tegak lurus terhadap arah x pada kedudukan x x0 Elektron menumbuk ion yang ada pada permukaan tadi, dengan kecepatan membuat sudut dengan arah x seperti pada gambar 6.2. Elektron tersebut terhambur oleh ion yang terletak pada kedudukan x x0
2 C 0 cos , sebelum menumbuk ion di x x0 Apabila suhu serba
sama, maka C 0 dan energy elektron U tidak bergantung pada kedudukan. Kehadiran gradient potensial listrik dan gradient suhu membuat bahwa C 0 dan U bergantung pada kedudukan x. Jumlah elektron yang akan melalui satuan luas dengan sudut antara dan d , dalam selang waktu dt adalah
1 sin d 2 n C 0 cos dt 113
d
Gambar 6.3 Sudut Ruang Sudut ruang d
2 R sin R d
d
4 R 2 1
sin d 2
n adalah rapat elektron bebas per satuan volume. Energi elektron di x x0 dinyatakan dengan
U x 0 ,
sehingga
energi
elektron
pada
kedudukan
U x x x0
x x0 2 C 0 cos , berkaitden gan U x0 U x0 2 C 0 cos U x0 2 C 0 cos
Besarnya fluks energi yang melalui bidang satuan di x x0 dalam waktu, melampaui semua. Sudut yang mungkin ada adalah
1 dt Qe U x0 2 C 0 cos sin dt n 2 0
C 0 cos dt
1 1 U 2 dt n C 0 U x0 sin cos d dt n C 0 2 2 cos sin d 2 2 T x x 0 0 0
2 U 2 dt Qe dt C 0 n 3 x x x0 Karena integral pertama identik nol
114
Qe
2 3
2
U x x x0
n C 0
U U T , x T x
Tetapi
diperoleh
K e
2 2 U n C 0 3 T
Jika elektron-elektron tersebut sebagai gas elektron yang ditarik kesejajarannya dengan suatu gas ideal maka harus dipatuhi kaidah-kaidah teori konetik gas dengan distribusi MaxwellBoltzmann, maka: U
k B
1 2
m0 C 0 2
2 3
k BT
2 U 3 3 n k B T k , dan K e adalah tetapan Boltzmann, maka: T 2 B m0
dengan demikian, maka harga
K e
2
k 3 B T . Sesuai dengan kaidah Wiedemann-Franz e
yang diperoleh secara empiric. Didefinisikan besaran baru yaitu bilangan Lorentz : L
K e
T
k yang di dalam model ini berharga L 3 B e
2
B. Model Elektron Bebas Klasik
Model elektron bebas klasik, yang klasik adalah modelnya, artinya antara larangan Pauli (1925) yang menyatakan bahwa “ tidak mungkin dalam satu system dua elektron atau lebih mempunyai energy yang tepat sama” Dalam bahasa mekanika kuantum ini dapat diterjemahkan menjadi” dalam satu system fisik tidak ada dua elektron atau lebih mempunyai perangkat bilangan kuantum yang tepat sama”
115
Apabila larangan Pauli diindahkan, maka tentunya yang berlaku untuk sistem tersebut bagi elektron adalah distribusi Fermi-Dirac(1926). Distribusi Fermi-Diract dapat menjelaskan peluang suatu partikel untuk berada di tingkat energi E pada saat T>0. Fungsi distribusi Fermi-Diract f E
1
E k T 1 e b
Keterangan : μ = Potensial kimia ( pada T = 00K, μ =Ef) f(E) = Peluang suatu partikel untuk berada di tingkat energi E Gambaran umum tentang elektron dalam teori ini adalah bahwa ada elektron-elektron (terluar, valensi) dari atom-atom logam yang tidak terikat lagi. Elektron macam itu bergerak dengan bebas dalam kisi kristal, oleh karena itu dinamakan elektron bebas. Kristal logam dipandang sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif (membentuk kisi kristal) dan suatu rapat muatan negatif yang hampir serba sama diseluruh volume kristal. Rapat muatan negatif ini berasal dari elektron-elektron bebas. Elektronelektron bebas dapat diperlakukan sebagai suatu gas dengan kecepatan termal. Berkat pengaruh mereka secara kolektif kisi ion-ion positif terlihat menjadi zat padat. Suatu elektron (bebas) melihat kisi ion positif sebagai jajaran bukit-bukit potensial elektro statik. Dalam model ini pengaruh rata-rata dari bukit-bukit potensial tersebut dianggap sangat kecil dibandingkan dengan energi kinetik elektron bebas, oleh karena itu dapat diabaikan. Kecuali di permukaan batas kristal dimana suatu penghalang potensial menghindarkan keluarnya elektron dari logam. Model elektron bebas klasik tentang logam mengandaikan : a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif (yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume kristal b. Kumpulan electron bebas itu dapat diperlakukan sebagai suatu gas, dengan elektron individual yang bergerak denagn kecepatan termal(gas berarti tidak ada gaya interaksi antar-elektron di luar tumbukan, dan gerak termal yang sembarang). 116
c. Pengaruh medan potensial yang berasal dari jajaran ion positif diabaikan, energi kinetic elektron bebas sanagt besar apabila dibandingkan dengan potensial yang berasal dari jajaran ion positif d. Suatu
penghalang
potensial
dipermukaan
batas
kristal
menghindarkan
mengalirnya elektron ke elektron luar kristal Elektron sangat berperan dalam perpindahan kalor, lebih dari itu kontribusinya sangat dominan dalam daya hantar kalor K e . Andaikanlah bahwa dalam logam yang ditelaah setiap atom memberikan Z electron bebas, maka jumlah total elektron bebas per kilomolekul adalah; n Z N A
dengan
N A ,
bilangan Avogadro
Jadi energi yang tersimpan dalam gas elektron per satu kilomol logam adalah U n U el n
3 3 k BT Z N A k BT 2 2
3 2
Z RT dan panas jenis sumbangan elektron bebas :
C el 3 Z R 2
Dari teori Debye, diketahui bahwa untuk suhu ruang panas jenis yang berasal dari getaran kisi kristal per kilo mol zat adalah
C kisi 3R Secara empirik hal ini telah pula ditemukan oleh Dulong-Petit. Oleh karena itu, maka untuk kristal logam
3 C C el C kisi Z 3 R 2
117
Koefesien susceptibilitas magnetic
,
mengkaitkan momen magnetic, M dengan kuat
medan magnetic, H sebagai:
M H
Untuk bahan yang isotropik M paralel dengan H , dan
merrupakan
scalar. Apabila tak
isotropik
adalah
suatu tensor. Pada bahasan ini dibatasi untuk zat padat isotropik ( M
adalah moment magnetik per satuan volume). Apabila ditelaah sifat magnetik zat padat yang berasal dari elektron, maka dipelajari paramagnetisasi dari elektron. Pengaruh medan magnet luar H pada elektron – elektron bebas itu diungkapkan sebagai
B H k BT
M H N B I
dengan : N = jumlah electron per satuan volume
B = magneton Bohr ; B
e 2m0
9,27 x1029 J / T
e x e x 1 I 1 ( x) adalah fungsi Langevin; L x x e e x x k B
, tetapan Boltzman
T adalah suhu mutlak Apabila medan H tidak kuat, yaitu : B H << k B T
Ungkapan diatas menjadi
B H B H k BT 3 k BT
I 1
Sehingga
M H
N B
2
3k BT
H atau
N B
2
3 k BT 118
Secara eksperimental tidak terlihat kebergantungan
dari
suhu T. dengan demikian, juga
teori klasik elektron bebas tidak memadai untuk menerangkan paramagnetisme elektron. Dari uraian teori klasik elektron bebas hanya memadai untuk menerangkan kaidah empiric Wiedemann-Franz yaitu bahwa untuk logam berlaku :
K e tetap ; tetapi teori itu T
tidak dapat menerangkan tentang:
a. Mengapa panas jenis elektronik suatu logam tidak berharga
3 2
R untuk suhu ruang
b. Mengapa susepbilitas magnetik untuk paramagnetisme elektron tidak merupakan fungsi dari T Oleh karena itu model ini perlu diperbaiki, menjadi model elektron bebas terkuantisasi. Model elektron bebas terkuantisasi berarti melangkah dari landasan klasik ke landasan fisika modern, yang mengandung di dalamnya: kuantisasi energi elektron, prinsip larangan Pauli, dan spin elektron.
C. Model Elektron Bebas Terkuantisasi
Landasan klasik adalah bahwa elektron tersebut berprilaku sebagai suatu gas elektron, kesejajaran ditarik dengan suatu gas ideal, dengan gerak sebarangnya dan distribusi energi menurut Maxwell Boltmann. Model elekron bebas ini dapat diperbaiki dengan memberikan landasan fis ika modern, yang dalam hal ini meliputi: a.
Kuantisasi energi elektron
b.
Larangan Pauli untuk elektron
Kuantisasi energi elektron bebas diperoleh dengan memperlakukan syarat batas (siklis) pada gelombang yang merepresentasikan gerak elektron, sedangkan larangan Pauli memberikan sebaran energi untuk energi total dan jumlah total elektron tertentu. Distribusi yang diperoleh adalah distribusi Fermi-Dirac.
119
Energi Fermi adalah tingkat energi tertinggi yang ditempati elektron pada suhu T 0 K =
(pada keadaan dasar). Energi Fermi merupakan suatu kuantitas yang sangat penting dalam sistem fermion (elektron adalah fermion). Fermion adalah sistem partikel dengan fungsi gelombang yang saling bertumpangan, yang memiliki spin setengah bilangan bulat-ganjil ( ½ ,3/2, 5/2...). Fermion memenuhi prinsip ekslusi Pauli, dan fungsi gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacam ini disebut antisimetrik. Hanya satu fermion yang diperbolehkan terdapat pada keadaan kuantum tertentu dari sistem tersebut Mengingat kembali pada kuliah Fisika Statistik bahwa sistem dua partikel yang terbedakan dan yang tak terbedakan. Sistem dua partikel yang terbedakan
Terdapat dua partikel, partikel 1 dan 2, yang berada dalam keadaan a dan keadaan b. Jika kedua partikel tersebut terbedakan, maka terdapat dua kemungkinan terisinya keadaan yang diperoleh oleh f ungsi gelombang:
Untuk fermion, kemungkinan untuk mendapatkan kedua partikel tersebut dalam keadaan yang sama (misal pada keadaan a) adalah:
Jadi, dalam sistem fermion, kehadiran partikel dalam keadaan kuantum tertentu dapat mencegah partikel lain untuk berada dalam keadaan itu ( hal ini terjadi karena untuk fermion berlaku prinsip ekslusi Pauli). Sistem dua partikel tak terbedakan
Jika terdapat partikel yang tidak dapat dibedakan, maka posisi masingmasing partikel tidak dapat ditentukan, dan fungsi gelombangnya harus merupakan kombinasi dari 1 dan 2 , untuk mencerminkan peluang yang sama.
Dibawah ini digambarkan sketsa distribusi Fermi-Dirac (F-D) dan distribusi Maxwell 120
Boltzmann (M-B). Distribusi Fermi-Dirac untuk sistem elektron dengan landasan fisika modern, distribusi Maxwell Boltzmann untuk suatu gas ideal atom-atom dengan landasan fisika klasik.
T=00K T=6000K
Tc 60000K
f ( E )
1 1 e ( E E F ) / k BT
Gambar 6.4 Distribusi Fermi Dirac
T=00K T=60000K T=6000K
f ( E ) e E / k BT Gambar 6.5 Distribusi Maxwell-Boltzman
121
Syarat distribusi Fermi Diract adalah : o
Partikelnya tak terbedakan
o
Satu keadaan energi hanya dapat diisi oleh satu partikel atau kosong atau memenuhi prinsip eksklusi Pauli.
o
Berlaku untuk fermion (partikel spin pecahan misalnya: 1/2,1/3,1/4), elektron, proton, neutron dan lain-lain.
Meskipun distribusi F-D telah dikenal, tetapi untuk kelengkapan informasi tertera dibawah ini dengan beberapa ciri utamanya: a. Distribusi F-D sangat berbeda dari distribusi M-B b. Pada T=0, maka: f ( E ) 1 , untuk semua E< E F f ( E ) 0 , untuk semua E > E F
Ini berarti bahwa pada T=00K, semua state dengan E< E F penuh, semua state dengan E > E F kosong. c. Apabila ( E E F ) k BT , jadi untuk elektron dengan energi di atas E F dan berenergi besar:
f ( E ) e ( E E F ) / k BT Jadi untuk E yang besar, distribusi F-D mendekati distribusi M-B d. Sebaliknya apabila ( E F E ) k BT jadi untuk elektron dengan energi di bawah EF dan berenergi rendah:
f ( E ) 1 e ( E E F ) / k BT Jadi untuk E yang rendah, kebolehjadian bahwa suatu state terisi mendekati 1. e. Untuk E= E F, pada semua suhu T: f ( E ) 0,5
Disamping itu masih banyak yang perlu diuraikan tentang distribusi F-D. f. Rapat elektron persatuan volum adalah:
122
n n ( E ) dE 0
f ( E ) g ( E ) dE 0
0
1 2 2
(
2m0
2
)
3/ 2
E 1 / 2
1 e
( E E F ) / k BT
dE
Andaikan bahwa T= 0 0K, maka ungkapan diatas menjadi:
1 2m0 n 2 2 2 Dianggap bahwa
E F 0
merupakan harga
3 / 2 E F 0
E
1/ 2
dE
0
E F
suhunya T= 0 0K. Apabila integral
tersebut dievaluasi, maka:
1 2m0 E F 0 n 3 2 2
3/ 2
Sedangkan sketsa n(E) adalah seperti dibawah.
g(E)f(E), pada suhu T=0
EFT
g(E)f(E), pada suhu T >0
EF0
Gambar 6.6 Rapat Elektron Untuk Berbagai Suhu
Bagaimanakah EF=EF (T)? Diketahui:
( k B T ) 2 E F E F 0 1 2 12 E F 0
123
Rapat elektron state dengan energi antara E dan (E+dE):
g(E)dE
Dalam menelaah perilaku gas elektron pendekatan elektron tunggal yaitu bahwa elektron tersebut bergerak dalam potensial V yang merepresentasikan pengaruh dasar dari semua elektron bebas yang lain dan semua ion-ion positifnya. Dalam model elektron bebas V
0 Persamaan Schroedinjernya adalah:
2
2m0
2 r E r
dengan solusi
k r A0 e ik , r
dengan energi elektron:
E k
2
2m0
[k x k y k z ] 2
2
2
Sedangkan apabila elektron itu bergerak dalam kubus dengan rusuk L ; k x , k y dan k z harus memenuhi:
k x n x
2
; n x 0, 1, 2,.......... L 2 ; n y 0, 1, 2,.......... k y n y L 2 ; n z 0, 1, 2,.......... k z n z L
Hal ini dapat digambarkan dalam ruang k: kZ
124
ky
kx
Gambar 6.7 Ruang k
Dalam ruang k, setiap state direpresentasikan dengan volume sebesar:
2 L
3
Yaitu masing-masing untuk n x 1, n y 1, n z 1 . Semua state dengan energi elektron sebesar:
E k
2
[k x k y k z ] 2
2m0
2
2
terletak pada permukaan bola dengan jari-jari k yang memenuhi:
k 2 [k x k y k z ] 2
2
2
2mo E k
2
Semua state dengan energi antara E dan E+dE terletak dalam kulit bola dengan jari-jari antara k dan (k k ); volum elemen itu dalam ruang k adalah:
k 2 k Sehingga jumlah state elektron adalah:
4 k 2 k
2 L
3
L3 k 2
2 2
k
Apabila diperhitungkan spin elektron; maka jumlah state elektron antara k dan (k+dk) adalah:
L3 k 2
2 diketahui bahwa:
125
k
2
E k
k 2
2m0
k 2
2m0 E
k
m0
2
2 2 E
E
sehingga jumlah elektron-state persatuan volum dengan energi antara E dan (E+dE) adalah:
g ( E )
k 2 k
2
1 2
2
(
2m0
2
) 3 / 2 E 1 / 2 dE
dalam grafik, maka bentuknya:
g ( E ) E 1 / 2
Gambar 6.8 Rapat Elektron State
g(E) adalah rapat elektron state dan bukan rapat elektron. Rapat elektron n(E) adalah jumlah elektron bebas persatuan volum untuk sistem dengan kesetimbangan suhu T adalah:
n( E ) g ( E ) f ( E ) n( E ) Jadi
jumlah
elektron
1 2 2
(
2m0
persatuan
2
) 3 / 2 E 1 / 2
volum
1
1 e
E E F / k BT
dengan
dE
energi
antara
(E+dE) adalah:
dN n( E )dE
1 2 2
(
126
2m0
2
)
3/ 2
E 1 / 2
1 e
E E F / k BT
dE
E
dan
Model elektron bebas terkuantisasi merupakan suatu pendekatan dalam menelaah sifat-sifat listrik (dan magnet) logam. Model elektron bebas terkuantisasi merupakan perbaikan dari model elektron bebas klasik yang menempatkan landasan fisika. modern Model ini memberikan teori untuk: a. Cv logam b.
untuk
paramagnetisme elektron
c. Emisi termionik oleh permukaan logam Asumsi yang digunakan pada model elektron bebas terkuantisasi sebagai berikut : a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif (yang membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volum kristal. b. Kumpulan elektron bebas itu mengikuti kaedah-kaedah dasar fisika kuantum, yaitu mengenai kuantisasi energi elektron bebas dan larangan Pauli, yang secara menyatu dirangkum dalam ungkapan untuk rapat elektron persatuan volum sebagai fungsi dari energi elektron dan suku sistem:
n( E )
1 2 2
(
2m0
2
)
3/ 2
E 1 / 2
1 e
E E F / k BT
dE
c. Pengaruh medan yang berasal dari jajaran ion positif diabaikan, energi kinetik elektron bebas sangat besar apabila dibandingkan dengan energi potensial yang diperoleh dari jajaran ion positif. d. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya, terdapat suatu potensial penghalang
yang harus diloncati elektron bebas
pada T=00K (energi = EF)
untuk dapat meninggalkan permukaan batas logam.
Sumbangan Elektron Bebas Pada Harga Cv
Sumbangan elektron bebas pada Cv kadang-kadang dinyatakan sebagai Ce, panas jenis elektronik. Berdasarkan model klasik diperoleh bahwa:
C e Z v N A
3
3 k B Z v ( R) 2 2
dengan Zv, jumlah elektron valensi dari unsur yang membentuk logam.
127
Untuk kasus T=00K. Energi total gas elektron (atom juga disebut gas Fermi) persatuan volume: E F 0
E g ( E ) f ( E ) dE
0
0
E F 0
0
1
(
2 2
2m0
2
)
3/ 2
E 3 / 2 dE 1
1 2m0 3 / 2 5/2 ( ) E F 0 5 2 2
f(E) = 1 pada T = 0 0K sehingga rapat elektron persatuan volum adalah:
n
1 3n
(
2
2m0
2
E F 0 ) 3 / 2
sehingga:
0
3 nE F 0 5
maka energi rata-rata per elektron adalah:
3 E 0 E F 0 5 Bagaimanakah halnya apabila T = 0 0K ? Energi total gas Fermi per satuan volum adalah:
E n ( E ) dE 0
E g ( E ) f ( E ) dE 0
0
1 2 2
(
2m0
2
)
3/ 2
E 3 / 2 dE
1 e
( E E F ) / k BT
0
Bentuk integral F-D:
F j ( y 0 )
y j dy
1 e 0
128
( y y0 )
Bentuk F j ( y0 ) untuk y0 besar dan berharga positif adalah:
F j ( y0 )
Penerapan pada evaluasi
y0
y 1
( j 1)
[1
2 j ( j 1)
6 y0
2
.........], y0 1
:
F 3 / 2 ( E F )
3/ 2
E dE
{1 e
( E E F ) / k BT
0
2 E F 5
5/ 2
}
5 k T [1 ( B ) 2 ] ; E F k B 8 E F
karena:
E F E F 0 [1
k BT 2 12 E F 0
2
]
maka: 5/ 2
F 3 / 2( E F )
2 E F 0
2 E F 0
5
[1
5 k BT 5 k T ( )][1 ( B ) 2 ] 24 E F 8 E F
[1
5 k BT 2 ( ) ] 12 E F
5/ 2
5
dimana diperoleh:
E F 0 2m0 3 / 2 E F 5 k B T 2 ( ) [ 1 ( ) ] ; T 12 E F k B 5 2 2
0
n 2 k B T 2 4 E F
2 nk B T C e 2 E F T 2
dibandingkan dengan ungkapan sebelumnya:
3 C ' e n k B 2
(model Klasik) 129
Maka:
2 k BT C 'e C e E 3 F Dari hubungan diatas terlihat bahwa sumbangan elektron bebas pada harga C v untuk kristal
3 E F dari klasiknya [C’e]. 2 k T B
diperkecil dengan faktor
Suatu gas elektron untuk mana k BT << EF dinamakan degenerated gas (gas terdegenerasi). Untuk suhu rendah: C v AT BT 3
Cara pendekatan lain untuk menentukan C e adalah dengan membagi evaluasi integral:
E g ( E ) F ( E ) dE 0
Menjadi dua bagian yaitu superpoisi dari 0
E F 0
E g ( E ) dE dan
: energi yang
0
diperlukan untuk meningkatkan suhu gas elektron dari T = 0 0K menjadi T = T 0K. Dari grafik terlihat bahwa:
kBT << EF
EF0
Gambar 6.9 Rapat Elektron
E F
E F
0
dE ( E E F ) f ( E ) g ( E ) dE ( E F E ) 1 f ( E ) g E 130
Dimana diperoleh bahwa:
0
E F 0
E F
E g ( E ) dE dE ( E E ) f ( E ) g ( E ) dE ( E F
0
F
E )1 f ( E ) g ( E )
0
E F
Dari suku-suku diatas: 0 tak bergantung suhu T. Oleh karena itu: f f dE ( E E F ) g ( E ) dE ( E E F )[1 ] g ( E ) C el T T T T E 0 E F
F
f g ( E ) T
C el dE ( E E F ) 0
Pada suhu rendah ( k BT / E F 0,01,
f hanya besar didaerah dekat E F , sehingga T
pendekatannya:
f g ( E ) T
C el dE ( E E F ) 0
f T
C el g ( E F ) dE ( E E F ) 0
Evaluasinya:
f E E F e ( E E ) / k T . T k BT 2 1 e F
B
( E E F ) / k BT
2
Apabila dibataskan:
( E E F ) / k BT , maka:
C el g ( E )(k BT ) 2
E F / k BT
2
d
e
(e 1) 2
Karena e berharga sangat kecil pada E F / k BT , maka batas bawah E F / k BT dapat
diganti menjadi .
131
2 d 2 3 ( 1 ) e
e
2
Maka:
1 2 C el 2 g ( E F )k B T 3
Tetapi:
g ( E )
1 2
2
(
2m0
2
1/ 2
) 3 / 2 E F
dan n
g ( E )
1 3
2
(
2m0
2
) 3 / 2 E F
3/ 2
, maka:
3n 2 E F
Dimana diperoleh:
1 3n 2 C el 2 k B T 3 2 E F 2
C el
2 n k B T
2 E F
Peramagnetisme Pauli
Dalam logam terdapat gas Fermion, yaitu elektron-elektron bebas yang bejarak dalam kisi kristal. Apabila ada suatu medan magnet luar H, maka elektron-elektron bebas tersebut dipengaruhi oleh medan luar H tersebut, khususnya ada penyesuaian spin elektron dengan medan H.
Dalam medan H tersebut elektron dengan spin yang berlawan mempunyai
energi magnetik yang berbeda sesuai dengan hubungan energi:
E ToT E kin B B Tanda + untuk spin yang berlawanan dengan medan B. Karena B 0 H , maka:
E ToT E kin B 0 H
Penyearah H terhadap g(E) digambarkan dibawah ini: 132
g(E)
B 0 H
g(E’)
B 0 H Spin
E’
H
E’ Spin
H
H>0 g(E’)
g(E)
E’= energy kinetic dan magnetik
E= energy kinetik
Gambar 6.10 Rapat Elektron State Dalam Medan Magnet Eksternal
Karena prilaku elektron lain apabila spin lain arahnya terhadap medan magnet H, maka g(E) dibagi dalam 2 bagian yaitu dengan spin ke atas dan spin di bawah. Tanpa medan H luar, kedua-duanya simetrik terhadap sumbu E. Apabila ada medan magnet luar, maka energi elektron menjadi, E = E + E B E = E + B B Positif untuk antipararel dan negatif apabila sebaliknya. Karena medan luar H ini, secara total lebih banyak electron dengan spin anti-pararel terhadap H. Sehingga suseptibilitas χ memenuhi M=χH
∫∞ ∫∞ ∞ ∫ = = M = B M = B
M = B2 Dimana
133
Ambil kasus sederhana T = 0 0K
∫ 1 2 ()= 2 ℏ = 23 M = B2
Sedangkan :
= 0B2 H g(EF0)
Karena dari ½ diketahui bahwa:
2 1 = 3 ℏ
Dimana diperoleh untuk T = 0 0K
= = 23 M=
Apabila 0B H << EF, penurunan memberikan bahwa:
= 23
χ e tidak bergantung secara kuat pada suhu.
Daya Hantar Listrik dalam Logam
Fungsi Distribusi Fermi-Dirac Sebagai Berikut:
= [1−/]− − − / 1 = 1−/ 134
Apabila dianalisis, maka :
1 F . terjadi pada E = EF, dan besarnya adalah 4 k T E B
a. Harga maksimum
F E
b. Untuk T = 0, diperoleh fungsi σ bagi 1
F simetri terhadap E = E F. E
c. Ternyata bahwa
Hal-hal tersebut dapat dilihat pada sketsa pada gambar 6.11:
F ( E )
1
1 e
( E E F ) / k BT
e ( E E ) / kbT F 1 E k B T 1 e ( E E ) / kBT 2 F
F
Gambar 6.11 Fungsi Distribusi F-D
Untuk E << E F, F(E) = 1, ini berarti bahwa semua elektron state terisi, jadi elektron yang telah berada dalam satu elektron state tertentu tidak dapat pindah ke elektron state yang beredekatan. Untuk E EF (dilihat harga E F), f (E) < 1. Ini berarti bahwa elektron state yang kosong, sehingga elektron yang berada di daerah energi tersebut dapat berpindah ke elektron state didekatnya. Jadi yang energinya E berharga sedemikian, sehingga f (E) < 1, mempunyai kesempatan untuk menduduki (pindah ke) elektron state yang lain. Tetapi apabila energi E sedemikian, sehingga f (E) = 1 kesempatan tersbut tertutup.Elektron yang mempunyai mobilitas besar untuk pindah ke elektron state yang energinya E memenihu F (E) < 1
135
Daya Kontak Listrik
Kecepatan elektron bebas dalam Logam, Atau Fungsi: F (vx, vy, vz) dvx dvy dvz: Menyatakan jumlah elektron bebas dalam logam persatuan vlum yang memiliki kecepatan antara vx dan (vx + dvx), vy dan (vy + dvy), vz dan (vz + dvz). Atau fungsi: F(v) dv : Menyatakan jumlah elektron bebas persatuan volum dalam logam yang memiliki kecepatan antara v dan (v + dv). Modal yang dipunyai untuk elektron bebar menurut model elektron bebar terkuantisasi adalah: n (E) dE = F(E)g(E)dE,
yaitu jumlah elektron bebar persatuan volum dalam logam yang memiliki energi antara E dan (E + dE).
Berangkat dari n(E)dE = F(E) g(E) dE maka n(E)dE =
ℏ [1−/]−
Perubahan variabel : E = ½ m 0v2, sehingga
E1/2 = (m0/2)1/2v dE = m0v dv
Substitusi memberikan, n(E)dE
ℏ 1−/− − − 2 1exp 4
Darimana diperoleh: F(v) dv =
− − 2 1exp 4
Untuk menurunkan F(v x, vy, vz,), haruslah diingat bawa:
136
+∞ +∞ +∞ ∞ = ,, −∞ −∞ −∞ Dan sejalan dengan menurunkan distribusi Maxwell-Boltzmann untuk atom-atom gas, maka: F(vx, vy, vz,) dvx dvy dvz =
− 2 ℎ 2 1 2
Sesungguhnya hasil yang diperoleh dapat di ubah untuk mengungkapkan:
F(p) dp yaitu jumlah elektron bebas per satuan volum dalam logam yang memiliki momenyum linier antara p dan (p+dp) dan , F (px, py, pz) dpx dpy dpz: yaitu jumlah elektron bebas per satuan volum dalam logam yang memiliki komponen momentum linier, antara; px dan (px + dpx) py dan (py + dpy) py dan (pz + dpz)
dengan transformasi sederhana diperoleh:
− 2 2 = ℎ 1 2 4 − 2 2 = ℎ 1 2
⃗
Fungsi distribusi F (vx, vy, vz), yang selanjutnya di singkat sebagai F( ), dapat digambarkan dalam ruang kecepatan [v x, vy, vz].
137
Gambar 6.12 Bola Fermi
Gambar tersebut untuk suhu T yang sangat dekat ke kurva T = 0 0 K. Dalam keseimbangan antara elektron dan kisi, yaitu kesimbangan termal distribusi tersebut tidak akan statik tetapi dalam keadaan steady-statik (keadaan mapan), untuk penolakannya
⃗
selanjutnya kita tempatkan indeks 0 pada fungsi distribusi yang mapan ini F 0( ). Gambaran
⃗
F0( ), dalam ruang kecepatan mempunyai kesetangkupan bola dan dinamakan bola Fermi. Indeks 0 mempersentasikan kemapanan, bukan keadaan den gan suhu T= 0 0K. Keharidan medan
akan mempengaruhi gerak elektron bebas dalam logam,
disamping gerak sembarang ke semua arah ada gerak tetap dalam arah yang berlawanan dengan arah
(ingat bahwa electron bermuatan negatif). Gerakan dalam arah yang tetap ini
tersuperposisi pada gerak sembarang.
⃗
Tanpa ada pengaruh dari luar, gas Fermi dalam logam memiliki distribusi kecepatan
F0( ). Andaikan kemudian ada medan listrik luar
⃗ ⃗
didalam logam. Kehadiran medan luar
⃗
ini menyebabkan distribusi kecepatan menjadi F ( ). F ( ) berbeda dengan F 0( ). Perubahan fungsi distribusi : F = F – F0
Mempunyai komponen posisi dan komponen waktu:
∇ ⃗
F = ( F). +
Diambil
∇
dt
yang sama dimana-mana, baik arah maupun besarnya, dalam keadaan seperti itu
F 0, sehingga yang bermakna hanyalah:
138
Perubahan yang terjadi melibatkan : “ Pengaruh Medan Luar , dan Proses Hamburan” Oleh karena itu proses yang pertama mengubah distribusi F, sedangkan proses kedua ingin memulihkannya keadaan semula. Hal tersebut dapat ditulis sebagai :
= Kedua suku pada ruas kanan ditelaah dalam butir ini.
=(∇).⃗ ⃗ ⃗ = =(∇). = .
Pertama
:
Karena medan luar mempengaruhi . Besar dan arah :
ditentukan oleh medan luar, yaitu
Sehingga diperoleh :
Apabila
dalam arah x, jadi
= i E , maka:
Kedua :
mengurangi pengaruh percepatan yang terjadi sebelum tumbukan, dan
merupakan proses yang ingin memulihkan distribusi kecepatan menuju F 0. Andaikanlah bahwa untuk pemulihan itu prosesd apat direpresentasikan dengan waktu relaksasi T r:
=
139
Penggabungan dari kedua itu menghasilkan per samaan konti nu itas (continuity equation).:
.(∇) − =0
Ini adalah persamaan transport Boltzmann , untuk hal khusus yaitu medan luar serbasama.
Gambar 6.13A
yang
Gambar 6.13B
Gambar 6.13B menunjukkan fungsi distribusi F untuk kasus dimana hadir medan listrik luar
yang arahnya dalam arah x. untuk jelasnya hanya digambarkan representasi dua
dimensi saja dalam bidang (v x, vy). Fungsi distribusi kecepatan bergeser karena pengaruh medan luar
sehingga titik pusat kecepatan bergeser dalam arah vx negative (kuat medan
dalam arah x positif). Kedudukan tetap dari “titik pusat kecepatan” dit entukan oleh “resultan” dari medan luar
dan proses pemulihan. Dalam pembahasan ini diandaikan bahwa:
Pergeseran titik pusat kecepatan oleh kehadiran medan luar bandingkan dengan v rms apabila keadaan mapan telah dicapai sesudah penerapan jauh lebih besar daripada waktu Tr , maka:
=0 .(∇) =0
Untuk keadaan tersebut:
Atau
140
sangat kecil apabila di
melampaui jangka waktu yang
Apabila
= .(∇) = ⃗ =
, maka ungkapan diatas menjadi :
Fungsi F akan dipergunakan untuk memberi ungkapan tentang rapat arus listrik j x . maka:
+∞ = −∞ ,,
Integrasi meliputi seluruh harga
dari - ke +. Apabila disubtitusikan ungkapan
untuk F, maka diperoleh :
+∞ +∞ +∞ = −∞ −∞ −∞
Yang menjadi:
+∞ +∞ +∞ = −∞ −∞ −∞ Karena integral pertama, yang didalam integralnya mengandung F 0, menghasilkan nilai
̅=0!
nol.[
].
Langkah berikutnya mengevaluasi integral di atas.
a. Tr dapat diganti dengan , dimana lintas bebas rata-rata anatara z tumbukkan, v adalah kecepatan elektron.
b.
= .
v2 = v2 x + v2 y+ v2 z
, tetapi
= = .
, sehingga:
141
, karena
=
c. Integral kemudian diubah menjadi:
= Λ = 13 ( )= 13 = Λ3 +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ Λ = −∞ −∞ −∞ 3 = ∞ Λ 3 4
Karena geraknya yang sembarang, maka:
Yang menghasilkan:
d. Dapat dilakukan tansformasi variabel pada integral:
Dimana akhirnya diperoleh bahwa:
∞ 4 = 3 Λ ⃗ − 2 ⃗ =2 ℎ 1 2 − ⃗=2 ℎ 1 ⃗=2 ℎ = . =√ 2.
Dalam integral diatas fungsi distribusinya adalah F0 ( ). Sebelumnya diketahui bahwa:
Perubahan variabel dari v ke E:
142
= 1 2 ∞ ∞ 2Λ Λ = E
Sehingga :
Karena
⃗=2 ∞ ∞ 2Λ = E = Λ ∞ ∞ 2Λ 4 E 2 ℎ = ℎ Λ , maka :
Akhirnya diperoleh:
∞ = 43 . 4ℎ Λ ∞ 16 = 3ℎ Λ ∞ 16 = 3ℎ Λ
Daya hantar listrik:
Diperoleh bahwa:
Sehingga :
2 1 2 1 = 3 ℏ = 3 ℏ 8 2 = 3ℎ .∞ 1 = . Λ
143
.∞ Λ =ΛEF = Λ = Λ = T
Karena sifat fungsi dari
untuk suhu tidak tinggi, maka:
Darimana lalu diperoleh bahwa:
Apabila waktu rata-rata antara tumbukkan elektron konduksi adalah T F, yaitu:
EFEK HALL
Effek Hall berkaitan dengan suatu cara pengukuran eksprimental sifat lis trik yang dilaporkan oleh E.H.Hall di tahun 1879. Dalam telaah effek Hall disini akan ditempuh pendekatan sederhana, menurut model elektron bebas klasik.
Gambar 6.14 Efek Hall
Pandanglah suatu balok logam. Pada balok itu bekerja dua medan luar yang saling tegak lurus, yaitu kuat medan listrik E x dengan arah sumbu- x dan medan induksi magnetic B z dalam arah sumbu-z. Karena pengarah medan E x , akan ada arus listrik I x yang searah dengan E x . andaikanlah bahwa electron merupakan pembawa arus. Maka pengaruh medan B z akan 144
menyebabkan bahwa elektron akan melalui lintasan tidak dalam arah v x, akan tetapi melengkung ke bawah. Elektron akan berkumpul di bagian bawah balok logam. Dengan demikian terciptalah medan listrik karena tumpukan elektron di bagian bawah dan kurangnya elektron di bagian sebelah atas balok. Keadaan ini menimbulkan medan listrik E y. Apabila kedaan sudah stationer
y bekerja
tetap dan elektron bergerak dalam arah v x.
y
inilah yang
diukur dan kemudian memberikan keterangan mengenai elektron konduksi di dalam logam.
Gaya pada elektron adalah:
F e v x
B
Dalam keadaan setimbang gaya dalam arah -y adalah nol, jadi,
Fy 0 Fy e y e v x B z sehingga :
y v x B z Rapat arus adalah: x
n e x
Diperoleh harga Koefisien Hall.
R H dengan
y x B z
1 ne
n = rapat elektron konduksi e = harga muatan satu elektron
Apabila
y,
x , dan B z diketahui, maka diperoleh keterangan mengenai n.
Jadi, Effek Hall dapat dipergunakan untuk menentukan: a. Macam pembawa muatan (positif atau negatif). b. Rapat elektron konduksi yang berperan dalam proses penghantaran muatan. Apabila dianut model Lorentz dari model elektron bebas klasik (lihat dalam buku Blakemorce), maka koefisien Hall: 145
R H
y x B Z
3 8ne
Mobilitas elektron dibataskan sebagai besarnya kecepatan rambat (bukan gerak sebarang) elektron per satuan kuat medan listrik. Jadi:
v0
Sedangkan kubangan antara rapat arus j dan muatan elektron serta kecepatan rambatnya
adalah:
j n e v0 n e Sehingga daya hantar listrik (konduktivitas):
n e , atau
R H n e
1 ne
Jadi secara eksperimental dengan mengukur dan R H , dapatlah diperoleh keterangan mengenai mobilitas elektron konduksi.
Pancaran Thermionik
Apabila suatu logam dipanaskan maka elektron-elektron bebas dalam logam itu akan memiliki energi kinetik yang lebih tinggi. Apabila suhunya cukup tinggi, maka harga energi kinetik elektron dalam logam dapat tinggi, hingga elektron itu dapat melampaui hambatan potensial (work function ) untuk kemudian meninggalkan permukaan tersebut. Gejala ini dinamakan pancaran fermionik atau emisi termionik . Emisi termionik masih penting dalam elektronika, terutama sebagai sumber pancaran elektron pada tabung TV. Pemancaran terjadi dalam suatu bagian dari tabung itu yang dinamakan elektron gan. Agar elektron gan dapat memancarkan sebanyak mungkin elektron dengan sedikit mungkin input energi diperlukan permukaan logam dengan fungsi kerja yang serendah mungkin.
146
Model elektron bebas terkuantisasi mengenal potensial elektron seperti tertera pada sketsa gambar 6.15. e EF
0
Panjang batang logam
Gambar 6.15 Potensial Elektron
Dalam arah horizontal adalah jarak, sedangkan vertikal energi elektron bebas. Energi elektron bebas pada suhu T = 0 0 K hanya berharga sampai E k = E F. Energi e adalah energi yang diperlukan agar electron pada tingkat Fermi dapat meninggalkan permukaan logam. dikenal sebagai fungsi kerja logam, work function.Elektron bergerak ke arah x dan menguasai permukaan logam pada kedudukan x = x 0. Maka agar elektron tersebut dapat terpancar dari permukaannya, maka diperlukannya energi sebesar:
Px02
2 m0
E f e
,
dim ana e adalah mua tan elektron tan pa tan da aljabar
Sebaran kecepatan elektron bebas dalam logam menurut model elektron bebas terkuantisasi, yaitu:
m F v dv x dv y dv z 2 0 h
2
mv x 2 mv y 2 mv z 2 1 dv x dv y dv z 1 exp . 2 k T B
menyatakan banyaknya elektron bebas persatuan volume yang menpunyai komponenkomponen kecepatan dengan harga diantara: vx
dan
vx + dvx
vy
dan
vx + dvy
vz
dan
vx + dvz 147
Pancaran termionik biasanya dilaksanakan pada suhu yang sangat tinggi, sehingga statistiknya boleh dianggap Maxwell-Boltzmann.
Dalam
kasus
sederhana
itu
fungsi
distribusinya menjadi:
m0 v x2 m0 v y2 m0 v z 2 m0 F v dv x dv y dv z 2 exp . 2 k B T h
Jumlah elektron persatuan volume dengan kecepatan antara v x dan (vx dan dvx) diperoleh dengan mengintegrasikan meliputi semua harga v y dan semua harga v z menjadi:
F v x dv x dv x
dv y dv z F v
m0 v x2
3
m0 E f / k T 2 k T e 2 e h B
B
dv x dv y e
2 k T mo v y2
2
B
Evaluasi integral:
a.
dy e
y
2
dx
e
x 2
2 r dr e 0
Dengan r 2 = x2 + y2 ; integrasi e
r 2
r 2
meliputi seluruh bidang datar.
2 r dr e
r 2
e
0
r 2
dr 2
0
Diperoleh:
dy e
y
b.
2
1/ 2
Dengan menggunakan hasil di atas maka:
dv y e
mv02
2 k BT
2 k B m0
Oleh karena itu,
148
1/ 2
3
m0 E e h
F v x dv x 2
Elektron
1 2
yang
m0 v xd
dapat
F
2 0 3
4 m k B T h
meninggalkan
batas
/ k BT
e
e
m0 v x2
2 k B T
E F / k BT
e
permukaan
2 k B T dv x m0 m0 v x2
2 k B T
dv x
hanyalah
yang
energinya
E F e ; dan dengan kemungkinan bahwa pada permukaan batas itu
2
bagian r daripadanya dipantulkan kembali. Jadi rapat arus termionik adalah:
J
2 0 B 3
4 m k T h v x 0
1 r e E
F
2 E 2 e F m 0
/ k BT
ev
x
e
m0 v x2
2 k BT
1/ 2
Evaluasi integral:
e
v
x
dv x e
m0 v x2
2 k B T
v x 0
k B T m0
m0 v d 2 k B T e
k B T e m0
2 x
m0 v x2
m0
Darimana diperoleh:
149
e
2 k B T
2 k B
T 1 m 2
k B T e
2
m v 0 x
E F k T B
e
2 0 v x
e k T B
E F e
J
J
4 m02 k B T h3
1 r
4 e m0 k B2 T 2 h
3
k B T m0
1 r e
e
e k T B
e k T B
Ini dikenal sebagai hubungan Richardson-Dushman untuk pancaran termionik.
A
4 e m0 k B2 h3
J A T 1 r e 2
1,20 x 10 6 Amp. e k T B
dalam
m2
0
K
2
Amp. m2
Suatu kawat pemanas (filamen) meningkatkan suhu katoda agar emisi dapat terjadi. Perhatikanlah ungkapan Richardson-Dushman:
J A 1 r T e 2
e k T B
Yang dapat ditulis sebagai:
J 2 A 1 r e T
e k T B
Ambillah logaritmanya (bilangan pokok 10):
e J log A log 1 r 2 k B T T
log
1 J vs. , maka dari grafik itu dapat diperoleh baik harga 2 T T
Dan buatlah grafik log maupun 1 r .
150
