LAPORAN METODE NUMERIK MODUL II -AKAR PERSAMAAN ” “AKAR -AKAR
Oleh: Gries Elvina Noor 12910011
PROGRAM STUDI OSEANOGRAFI FAKULTAS ILMU DAN TEKNOLOGI KEBUMIAN INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2012
1. TEORI DASAR
Dalam bidang sains ataupun terapan sering kali berhadapan dengan masalah yang berkaitan dengan mencari solusi persamaan non-linier (akar persamaan). Persamaan non-linier adalah persamaan yang mempunyai peubah dengan pangkat terkecil adalah 1. Masalah pencarian solusi persamaan linier dapat dirumuskan dengan singkat sebagai berikut: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan f(x) =0, yaitu nilai x = s sedemikian sehingga f(s) sama dengan nol. Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu x. Titik potong kurva dengan sumbu-x ada diantara x= -0.5 dan x= -0.6, sehingga akar atau penyelesaian -x
pers y=xe +1 juga berada di x=-0.5 dan x=0.6.
Cara menyelesaikan persamaan untuk mencari akar dalam suatu persamaan adalah dengan 4 cara, yaitu: 1. Menggunakan rumus kuadrat
2. Menggunakan nilai pendekatan
, dengan nilai x yang nilai fungsinya
mendekati 0. 3. Menebak nilai x 4. Menggunakan metode Numerik Dalam metode numerik terdapat banyak metode yang dapat menyelesaikan persamaan tersebut. Namun yang akan dibahas pada saat ini hanyalah Metode Setengah Interval (bisection method ), Metode Interpolasi Linier ( false position), Metode Newton Raphson, dan Metode Secant.
1.1. Metode Setengah Interval ( Bisection Method )
Metode biseksi disebut juga metode Pembagian Interval atau metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan : Dalam pengertian lain metode ini melakukan pencarian incremental dimana selang selalu dibagi dua. Dimana nilai f(Xa) dan nilai f(Xb) harus memenuhi persyaratan f(Xa)*f(Xb)<0 . Menurut teoroma yang terdapat metode ini paling tidak f(x) mempunyai satu akar [a,b]. Metode ini dapat divisualisasikan seperti gambar di bawah ini:
Jika suatu fungsi berubah tanda pada suatu selang, maka nilai fungsi dihitung pada titik tengah. Kemudian lokasi akar ditentukan terletak pada titik tengah bagian tempat terjadinya perubahan tanda. Prosesnya diulang untuk memperoleh galat yang semakin kecil.
1.2. Metode Interpolasi Linier ( False Position)
Metode ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan non-linier melalui proses iterasi dengan persamaan . Metode
ini
bekerja
dengan
memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Metode ini
bekerja
secara
melakukan update range.
iterasi
dengan
1.3. Metode Newton Raphson
Persamaan ini didapatkan dengan memanfaatkan deret taylor
Jika akar dari f(x), salah satunya adalah , maka
maka dapat didekati dengan
Jadi
Visualisasi metode ini dapat digambarkan di bawah ini:
1.4. Metode Secant
Metoda Sekan dapat dijabarkan dari metoda Newton, yaitu
Dengan nilai derivatif pertama didekati sehingga diperoleh dan visualisasi metoda ini dapat digambarkan sebagai berikut:
2. METODOLOGI (ALGORITMA, FLOWCHART, PRINT SCREEN PROGRAM, HASIL COMPILE, dan ANALISIS) 2.1 Metode Setengah Interval ( Bisection Method) 2.1.1. Algoritma
a. Memasukkan nilai x1, dan x2 (selang) dan pastikan memenuhi hubungan f(x1)*f(x2) <0. Dalam persamaan ()
maka nilai tebakan yang digunakan X1= 2
yang bernilai (-) dan X2=4 yang bernilai (+). Sehingga ketika dikalikan menghasilkan nilai yang <0. b. Memasukkan nilai toleransi sebesar 1X 10
-5
dan jumlah iterasi maksimum 1000.
c. Kondisi jika penyelesaian =0 dan kurang dari iterasi maksimum, maka cari nilai Xmid dengan cara
.
d. Jika nilai |X mid – Xawal| lebih besar dari nilai toleransi, maka balik lagi untuk mencari penyelesaian atau nilai akar terpenuhi. e. Apabila tidak maka proses perhitungan berhenti dan mengeluarkan hasil Xmid dan iterasi ke berapa.
2.1.2 Flowchart
2.1.3 Listing Program
2.1.4 Hasil Compile
2.1.5 Analisis
Nilai tebakan yang diambil adalah 2 dan 4, karena kedua nilai tersebut ketika dimasukkan kedalam fungsi dan dikalikan maka menghasilkan nilai (-) yang menjadi syarat metode ini dapat dilakukan. Hasil dari compile program ini akar persamaan yang didapat adalah 3.999969 saat iteasi ke 16. Kelebihan dalam metode ini adalah sangat simpel dalam
pembuatannya, namun relatif lambat. Hal ini dikarenakan hasil akar persamaan yang didapatkan biasanya masih kasar sebagai solusi dan digunakan kembali untuk starting point metode konvergen dengan cepat. Kelebihan lainnya adalah hasil akar persamaan yang didapatkan memiliki nilai yang terjamin kekonvergenannya. 2.2 Metode False Position 2.2.1 Algoritma
a. Memasukkan nilai tebakan awal sebagai batas bawah(X0) dan nilai tebakan kedua sebagai batas atas (X1). -5
b. Memasukkan nilai iterasi maksimum 1000 dan nilai toleransi 1X 10 . c. Menghitung F(X0) dan F(X1) menggunakan subroutine function dengan persamaan 3
2
F(x) = X -4X +4X-(3/8) d. Hitung nilai akar dengan persamaan
() () ()()
e. Hitung error =|fx| f. Jika fx2.f(x0)<0 maka x1 = x2 dan f(x1)= f(x2), jika tidak x0 = x2 dan f(x0)= f(x2). g. Akan mendapatkan akar persamaan berupa x2.
2.2.2 Flowchart
2.2.3 Listing Program
2.2.4 Hasil Compile
2.2.5 Analisis
Dengan menggunakan metode ini didapatkan nilai akar persamaan yaitu 2.395565 , namun proses yang dilakukan untuk mencapai kekonvergenan lebih lamban dibandingkan metode bisection. Hal ini dapat dilihat bahwa iterasi yang dilakukan lebih banyak dibandingkan
dengan metode bisection, yaitu 39 iterasi. Kelebihan lainnya yaitu dengan metode ini didapatkan nilai yang terjamin kekonvergenannya.
Apabila dibandingkan dari metode
bisection dengan metode false position, nilai akar yang dihasilkan berbeda jauh. Dengan melihat jumlah iterasi kemungkinan besar hasil yang dihasilkan metode menggunakan metode false position lebih akurat dengan mempertimbangkan jumlah iterasi dalam menguji kekonvergenan yang terjamin. 2.3 Metode Newton Raphson 2.3.1 Algoritma
a. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x), yaitu turunan dari f(x). b. Masukkan nilai tebakan (X0), toleransi, dan iterasi. c. Hitung f(X0) dan f’(X0) d. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(x0)| e
() ()
e. Nilai akar persamaan adalah nilai X 1 yang terakhir diperoleh.
2.3.2 Flowchart
2.3.3 Listing Program
2.3.4 Hasil Compile
2.3.5 Analisis
Menggunakan metode Newton Raphson hasil akar persamaan yang didapatkan adalah 2.000014 dengan jumlah iterasi 18. Dapat dilihat bahwa hasil yang dihasilkan menggunakan metode ini lebih denkat dengan hasil yang diberikan oleh metode false position. Apabila dibandingkan jumlah iterasinya, metode Newton Raphson lebih cepat untuk mendapatkan nilai yang konvergen. Kelebihan lain yang didapatkan dari metode ini, yaitu metode ini dapat menyelesaikan
persamaan
yang
kompleks.
Namun
kekurangannya,
yaitu
dalam
menggunakan metode ini terdapat kesulitan dan ketidakefisienan dalam menghitung fungsi derivative. 2.4. Metode Sekan 2.4.1 Algoritma
a) Tentukan x0, x1, T, iterasi maksimum dan F(x) b) Hitung x2 = x1 – f(x1) (x1 - x0) / [f(x1) – f(x0)]
c) Jika nilai |(x1-x2) / x1| < T , tulis x2 sebagai akar dan akhiri program. Jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d) Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum , akhiri program. e) x0 = x1 f) x1 = x2
g) Kembali ke b
2.4.2 Flowchart
2.4.3 Listing program
2.4.4 Hasil Compile
Indeks Subroutine
4. KESIMPULAN dan SARAN
Sebagai scientist terkadang dihadapkan dengan permasalahan yang salah satunya mencari nilai akar dalam suatu persamaan. Untuk menemukan akar persamaan dari suatu persamaan linier dapat dipecahkan salah satunya menggunakan metode numerik yang terdiri dari Metode Bisection, False Position, Newton Raphson, dan Sekan. Berdasarkan hasil pemrosesan suatu persamaan menggunakan berbagai metoda dapat disimpulkan bahwa menggunakan metode newton raphson didapatkan hasil yang akar persamaan yang lebih halus dengan cepat dapat ditunjukkan dengan jumlah iterasi yang lebih kecil. 5. DAFTAR PUSTAKA http://lecturer.eepis-its.edu/~prima/metode_numerik/bahan_ajar/2PersNonLin(BiseksiRegulaFalsi)1.pdf http://adhiecenter.blogspot.com/2009/10/solusi-persamaan-non-linear.html http://ejournal.unud.ac.id/abstrak/2.%20materi%20jurnal.pdf http://suardikasaputra.blogspot.com/ http://gerrynaval.blogspot.com/2012/03/metode-iterative.html
