BAB I PENDAHULUAN
A.Latar Belakang Masalah
Limit merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada kalkulus. Cobalah kamu mengambil kembang gula. Kembang gula dalam sebuah tempat dengan genggaman sebanyak 5 kali. Setelahdihitung, pengambilan pertama terdapat 5 bungkus, pengambilan kedua terdapat 6 bungkus, pengambilan ketiga 5 bungkus, pengambilan keempat 7 bungkus, dan pengambilan kelima 6 bungkus. Jadi,dirata-rata pada pengambilan pertama sampai pengambilan kelima adalah 5,!, dan dikatakan hamper mendekati 6. "alam #ontoh sehari-hari,banyak sekali kita temukan kata-kata hampir, mendekati, harga batas dsb. $engertian tersebut sering dianalogikan dengan pengertian Limit.
B. Identifikasi Masalah
%. $engert $engertian ian Limit Limit &ungs &ungsii Se#ara Se#ara 'ntu 'ntuiti itif( f( ). Cara Cara *enent *enentukan ukan Limit Limit &ungs &ungsii +lab +labar( ar( C. Metode Penelitian
%. uan uang g Ling Lingku kup p Kai Kaian an Lingkup kaian pada makalah ini pada dasarnya men#akup % $engertian, *enentukan Limit &ungsi +labar /ila 0ariabelnya *endekati nilai 1ertentu dan /ila 0ariabelnya *endekati 1ak 1erhingga, 1eorema Limit, Serta Limit &ungsi 1rigonometri.
). 1ekni 1eknik k $en $engum gumpul pulan an "ata "ata +dapun pengumpulan data yang dilakukan oleh penulis dalam membuat makalah ini dengan menggunakan dua metode, yaitu -
*elalu *elaluii media media elekt elektron ronik ik dengan dengan menga mengambil mbil urnal urnal-u -urna rnalny lnyaa pada lokasi2situs3 yang berbeda.
%
-
*engambil atau mengutip dari buku *atematika.
4. Sistematika $enulisan *akalah yang berudul Limit ini tersusun dalam 4 bab, yaitu
/ab $ertama, merupakan bab $endahuluan, menguraikan tentang Latar /elakang, 'dentifikasi *asalah, *etode $enelitian dan 1uuan $embahasan.
/ab Kedua, merupakan bab ang membahas masalah Limit, menguraikan tentang $engertian, *enentukan Limit &ungsi +labar /ila 0ariabelnya *endekati nilai 1ertentu dan /ila 0ariabelnya *endekati 1ak 1erhingga, 1eorema Limit, Serta Limit &ungsi 1rigonometri.
/ab Ketiga, merupakan bab $enutup yang meliputi kesimpulan dan saran. D. Tujuan Pe!ahasan
%. ntuk *engetahui $engertian dari Limit. ). ntuk *engetahui Cara *enentukan Limit &ungsi +labar /ila 0ariabelnya *endekati nilai 1ertentu dan /ila 0ariabelnya *endekati 1ak 1erhingga 4. ntuk *engetahui 1eorema Limit 8. ntuk *engetahui Limit &ungsi 1rigonometri.
)
BAB II PEMBAHA"AN
A. LIMIT #UN$"I AL%ABA& '. Pengertian Liit #ungsi "e(ara Intuitif
Limit dapat digunakan untuk menelaskan pengaruh 9ariabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut. ntuk dapat memahami pengertian limit se#ara intuitif, perhatikanlah #ontoh berikut &ungsi f di definisikan sebagai f 2:3
x )
x − )
−
x − )
Jika 9ariabel : diganti dengan ), maka f2:3
; ;
2tidak dapat ditemukan3
ntuk itu perhatikanlah tabel berikut
:
;
f2:3
%
%,% ),%
%,5 ),5
%,<
%,<<
).;;
),;;
),;%
),5
),7
),<
< ),<<
; (((
% 4,;;
4,;%
4,5
4,7
<
%
"ari uraian tersebut dapat disimpulkan bah=a f 2:3
x
)
x − )
−
x − )
mendekati
4. ika : mendekati ), baik didekati dari sebelah kiri 2disebut limit kiri3 maupun di dekati dari sebelah kanan 2disebut limit kanan3. "apat ditulis lim
x →)
− x − ) =4 x − )
x )
). Menentukan Liit #ungsi Alja!ar Bila *aria!eln+a Mendekati Nilai Tertentu
4
*enentukan limit dengan #ara diatas tidaklah efisien. ntuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa #ara, yaitu
a. "u!titusi
$erhatikanlah #ontoh berikut> Contoh,
(
1entukan nilai xlim4 x →
)
−!
>
Pen+elesaian ,
?ilai limit dari fungsi f2:3 :) @ ! dapat kita ketahui se#ara langsung, yaitu dengan #ara mensubtitusikan : 4 ke f2:3
lim( x
x → 4
)
) =4
−!
)
−! = < −! %
=
+rtinya bilamana : dekat 4 maka :) @ ! dekat pada 4) @ ! < @ ! % "engan ketentuan sebagai berikut
f 2 x3 = a a3 Jika f 2a3 #, maka xlim →a b3 Jika f 2a3 #3 Jika f 2a3
f 2 x 3 =A , maka xlim →a
c
; ; c
f 2 x3 = ; , maka xlim →a
!. Pefaktoran
Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. $erhatikanlah #ontoh berikut> Contoh,
1entukan nilai lim x →4
x )
−
<
x − 4
>
Jika : 4 kita subtitusikan maka f 243
4)
−
<
4 −4
=
; ;
.
Kita telah mengetahui bah=a semua bilangan yang dibagi dengan ; tidak terdefinisi. 'ni berarti untuk menentukan nilai lim x →4
x )
−
<
x − 4
, kita harus
men#ari fungsi yang baru sehingga tidak teradi pembagian dengan nol. ntuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f 2:3 sehingga menadi
8
( x − 4)( x + 4) ( x − 4) Jadi, lim x →4
x )
=
−
x − 4 ( x + 4). = %
<
x − 4
x − 4 ( x − 4)( x + 4) lim x →4 ( x − 4)
xlim4( x + 4) →
4B46
(. Merasionalkan Pen+e!ut
Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak teradi pembagian angka ; dengan ;. $erhatikanlah #ontoh berikut> Contoh,
1entukan nilai lim
x )
−
4 x + )
x − )
x →)
>
Pen+elesaian, lim
x →)
x )
−
4 x + )
x − )
lim
x )
−
4 x + )
x − )
x →)
x − ) x − )
.
( x − 4 x + ))( lim
x − )
)
(
x →)
x − )
)
)
( x −%)( x − )) ( ) ( x − ))
lim x →
( x − %) x − ) xlim →) ()
%). )
−
)
−
%.; ;
d. Merasionalkan Pe!ilang
$erhatikanlah #ontoh berikut> Contoh,
1entukan nilai lim x →%
4 x − )
− 8 x − 4 > x − %
5
x − )
)
Pen+elesaian, 4 x − )
− 8 x − 4 x − %
lim x →%
4 x − )
− 8 x − 4 . x − %
lim x →%
lim x →%
lim x →% lim x % →
(
4 x − )
) −( )
8 x − 4
4 x − )
+
8 x − 4
4 x − )
+
8 x − 4
)
)
( x − %) ( 4 x − ) + 8 x − 4 )
− x + % ( x − %) ( 4 x − ) + −
( x − %) (
)
8 x − 4
)
( x − %)
4 x − ) +
−% 4 x − ) +
lim x →%
8 x − 4
8 x − 4
%
−
4.% − ) %
−
%+ %
8.% − 4
+
−%
% +%
% −
)
-. Menentukan Liit #ungsi Alja!ar Bila *aria!eln+a Mendekati Tak Berhingga
/entuk
limit
fungsi
alabar
yang
9ariabelnya
mendekati
tak
berhingga,diantaranya f 2 x 3 [ f 2 x3 ± g 2 x3] dan xlim →A x →A g 2 x 3 lim
ntuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan #ara-#ara sebagai berikut a. Me!agi dengan angkat tertinggi
Cara ini digunakan untuk men#ari nilai xlimA →
f 2 x 3 . Caranya dengan g 2 x 3
membagi f2:3 dan g2:3 dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f2: 3 atau g 2:3. Contoh,
1entukan nilai limit dari a. lim x →A
8 x −% ) x +%
b.
lim
x →A
Pen+elesaian,
6
8 x + %
x )
− x
8 x −% perhatikan pangkat tertinggi A ) x +%
a. untuk menentukan nilai dari lim x →
dari : pada f 2: 3 8: @ % dan g2:3 ): B %. ternyata pangkat tertinggi dari : adalah satu. 8 x lim
x →A
−%
8 x −% x limA ) x +% x → ) x x
x +% x
8−
xlimA →
)+
x % x
%
8−
A %
)+
%
A
8 −;
) +;
8 )
)
8 x + % > &ungsi tersebut memiliki : dengan x ) − )
b. $erhatikan fungsi h 2:3
pangkat tertinggi ), yaitu :) yang terdapat pada :) @ ). adi, untuk menentukan nilai lim x →A
8 x + %
− x
)
x
maka fungsi 8: B % dan :) @ ) harus
dibagi dengan :) .
8 x lim
x →A
8 x + %
x )
− x
)
%
+
x ) ) − x ) x )
x lim ) x A x →
8
%
+
)
x x lim x A ) %− ) x →
8
A
+
%−
% 2A3 )
)
2A3)
; +; %−; ; %
;
!. Mengalikan dengan faktor la/an
7
[ f 2 x 3 ± g 2 x 3] . Jika kita Cara ini digunakan untuk menyelesaikan xlim →A
[ f 2 x3 ± g 2 x3] maka kita harus mengalikan f dimitai menyelesaikan xlim →A 2:3 B g 2:3D dengan
Cf 2:3
−
Cf 2:3
−
lim[ f 2 x 3 ± g 2 x 3] .
x →A
{Cf 2:3D lim
)
g 2:3D g 2:3D
Cf 2:3
−
g 2:3D
Cf 2:3
−
g 2:3D
Cg 2:3D) }
−
f 2:3 − g 2:3
x→A
sehingga bentuknya menadi
ataupun sebaliknya.
Contoh, ) 1entukan nilai dari xlimA x
+
) x
−
x
x
)
) x
+
x
)
)
+
x
x
)
− x
x
)
− x
→
Pen+elesaian, lim x )
) x
+
x → A
lim x
)
+
x → A
limA x →
xlimA →
( x
)
x ) + x
−
) x
−
x
)
+
x .
+ +
) x
+
) ) − ( x ) + %)
+
x ) + ) x
+
x ) − x
4 x
x
)
+
) x
+
x
)
− x
4 x
xlimA →
x x
)
+
) x x
)
+
x ) x
)
−
x x )
4
x )
%+ ;
+
%−;
4 )
B. TE0&EMA LIMIT
1eorema limit yang akan disaikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limit. *isalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka
!
%. xlima k = k →
). xlima x = a →
4. xlima k f 2:3 k xlima f 2:3 →
→
8. xlima f 2:3 E g 2:3D xlima f 2:3 E xlima g 2:3 →
→
→
5. lim 9 f 2:3 . g 2:3D xlima f 2:3 . xlima g 2:3 x a →
6. lim x → a
→
f 2 x3
lim f 2 x 3
=
g 2 x 3
x → a
lim g 2 x3
→
, dimana lim g2:3 F ; x a →
x → a
7. lim f 2:3 D n lim f 2:3Dn x a x a →
→
n !. xlima f 2 x3
= n
lim f 2:3 x →a
lim f 2 x3 dimana
x → a
→
≥ ;
untuk n bilangan genap
lim f 2:3 G ; untuk n bilangan ganil x →a
Contoh,
a. xlim8 ( 4 x
Carilah
)
− x
→
)>
b. lim x →4
x )
+<
) x
Pen+elesaian,
(
a3 xlim8 4 x →
)
−
) x lim 4 x − lim x x 8 x 8 →
→
4 xlim8 x
)
− lim x x → 8
→
4 lim x
)
x → 8
− lim x x → 8
4. 283) @ 8 4. %6 @ 8
2teorema 83
2teorema 43
2teorema 73
2teorema )3 88
<
b3 lim
x
)
x →4
+ <
lim x ) + <
x →4
) x
2teorema 63
lim ) x x →4
lim2 x
)
x →4
+ <3
2teorema ! dan 43
) lim x x →4
lim x
)
+
x →4
lim <
x → 4
2teorema 83
) lim x x → 4
2lim x3 )
+
x →4
lim < x →4
2teorema 73
) lim x x →4
)
4
+<
2teorema % dan )3
).4
%! 6
4 6
)
% )
)
C. LIMIT #UN$"I T&I$0N0MET&I
umus limit fungsi trigonometri a. Limit fungsi sinus %. lim x →;
). lim
x
sin x
x →;
8. lim
%
=
%
x
x →;
4. lim
=
sin x
ax
=
sin ax sin ax
x →;
ax
=
%
H
%
H
lim
x →;
lim
x →;
ax sin bx
sin ax
bx
b. Limit fungsi tangens %. lim x →;
). lim x →;
x
=
%
=
%
tan x tan x x
%;
=a b
=
a b
4. lim x →;
8.
ax tan ax
lim x →;
tan ax ax
=
%
H
lim
%
H
lim
=
x →;
ax tan bx tan ax
x →;
bx
=
a
=
a
b b
Contoh,
Iitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut> a. lim x ; →
sin 4 x
b. lim
) x
x →;
sin 5 x sin ) x
Pen+elesaian,
a. lim x →;
sin 4 x ) x
sin 4 x 4 x . ; 4 x ) x
lim x →
lim
sin 4 x 4 x
x →;
%. b. lim x →;
sin 5 x sin ) x
. lim x →;
4 x ) x
4 4 ) )
lim
sin 5 x
x →;
lim
5 x
sin 5 x
x →;
1 %. % .
5 x
.
) x
.
5 x
sin ) x ) x
. lim x →;
) x sin ) x
5 5 ) )
%%
. lim x →;
5 x ) x
BAB III PENUTUP
A. 2esiulan
"alam bahasa *atematika, limit menelaskan nilai suatu fungsi ika didekati dari titik tertentu. *engapa harus didekati dari titik tertentu dan bukan tepat di titik tertentu( Ial ini disebabkan tidak semua fungsi terdefinisi pada semua titik. &aktor terpenting adalah memahami konsep dan definisi dari limit fungsi itu
sendiri dan uga sifat-sifatnya.
/. "aran
"emikianlah *akalah *atematika "asar ini, *akalah ini tentunya masih
banyak kekurangan yang harus dilengkapi,untuk men#apai kesempurnaan. Kami
hanyalah manusia biasa yang penuh dengan kekurangan, untuk itu penulis mohon
dengan segala kerendahan hati, untuk memberikan Saran dan Kritiknya yang
bersifat membangun, dengan harapan agar makalah ini bisa lebih sempurna.
%)
Daftar Pustaka
obiyatun, +lifah, Sinar(Siswa Rajin Belajar) 2Sinar *andiri Klaten. tt3
Sudraat, +sep, Prestasi Matematika 2 2ane#a +:a#t /andung. );;;3
%4
%8
