Latihan soal dan studi Kasus Contoh soal 1
1. Ingin Ingin diketahui diketahui seberapa seberapa kuat hubungan hubungan antara antara besarnya besarnya pendapata pendapatan n seseor seseorang ang dengan pengeluaran (konsumsi) per bulan. Data dari 6 orang yang diwawancarai diperoleh data sebagai berikut: X (pend (pendap apat atan) an)
: 800 800 900 900 700 700 600 700 800
(rib (ribua uan) n)
Y (konsumsi)
: 300 300 200 100 200 200
(ribuan)
Untuk menghitung koefisien korelasi maka disusun tabel bantu sebagai berikut: Tabel . Tabel Bantu Analisis Korelasi Product Korelasi Product Moment n
1 2 3 4 5 6
Σ
X
800 900 700 600 700 800 4.500
Y
300 300 200 100 200 200 1.300
X2 640.000 810.000 490.000 360.000 490.000 640.000 3.430.000
Y2 90.000 90.000 40.000 10.000 40.000 40.000 310.000
Berdasarkan tabel bantu tersebut diperoleh nilai-nilai:
∑X
= 4.500
∑Y
= 1.300
∑X2
= 3.430.000
∑Y2
= 310.000
∑XY = 1.010.000 n=6
XY 240.000 270.000 140.000 60.000 140.000 160.000 1.010.000
Untuk menghitung koefisien korelasi, maka nilai-nilai tersebut dimasukkan dalam rumus koefisien korelasi sebagai berikut. r
=
=
=
=
= =
6 (1.010.000) - (4.500)(1.300) 6 . (3.430.000 ) − ( 4.500) 2
6 . (310.000 ) − (1.300) 2
6.060.000 − 5.850.000 20.580.000 − 20.250 .000 1.860.000 −1.690.000 210.000 330.000
170.000
210 .000 574 ,4563 x 412,3106 210.000 236.854,4
0,886621
Jadi diperoleh nilai koefisien korelasi ( r ) sebesar 0,886621 karena nilainya positif dan mendekati 1 berarti hubungan konsumsi dan pendapatan kuat dan searah (positif), artinya peningkatan pendapatan seseorang akan diikuti dengan peningkatan pengeluaran (konsumsi).
Uji Hipotesis Hubungan (Uji Signifikan) Pengujian hipotesis hubungan digunakan uji statistik yang disebut Uji t (t-student). (t-student). Parameter yang diuji yaitu korelasi dinotasikan dengan ρ (lihat bab Estimasi Parameter). Uji hipotesis hubungan pada dasarnya adalah menguji signifikansi koefisien korelasi, apakah besar kecilnya hubungan yang diperoleh itu kebetulan saja atau memang ada hubungan yang sesungguhnya. Rumus Uji t untuk uji hubungan adalah: t
=
r 2
n
−
1 - r 2
2
Selain menggunakan Uji t, pengujian hipotesis hubungan dapat menggunakan kriteria nilai korelasi tabel (r tabel tabel) yaitu dengan cara membandingkan nilai koefisien korelasi (r hitung hitung) dengan nilai r tabel tabel. Jika r hitung hitung > r tabel tabel maka hubungan antar variabel signifikan Jika r hitung hitung ≤ r tabel tabel maka hubungan antar variabel tidak signifikan Contoh soal 2
2. Misa Misalk lkan an meng menggu guna naka kan n data data sebe sebelu lumn mnya ya yait yaitu u hubu hubung ngan an anta antara ra pend pendap apat atan an dan dan konsumsi. Diajukan hipotesis yang menyatakan “ada hubungan yang signifikan antara pendapatan dengan konsumsi”. Penyelesaian: 1. Rumu Rumusa san n hipot hipotes esis is:: Ho : ρ = 0
Tida Tidak k ada ada hubun hubungan gan yang yang sig signi nifi fika kan n antar antaraa pend pendap apat atan an deng dengan an kon konsu sums msii
Ha : ρ ≠ 0
Ada Ada hubu hubung ngan an yang yang signi signifi fika kan n ant antar araa pen pendap dapat atan an denga dengan n kon konsu sums msii
Taraf α = 0,05 selanjutnya dapat dicari nilai ttabel pada α = 0,05 (uji 2 pihak α/2 = 0,025) derajat bebas = n – 2 = 6 – 2 = 5 yaitu sebesar 2,776451 Kriteria pengujian: Ho ditolak jika thitung > ttabel atau probabilitas < 0,05 Ho diterima jika thitung ≤ ttabel atau probabilitas ≥ 0,05 Uji statistik (Uji t) Meng Menghi hitu tung ng nila nilaii t denga dengan n rumu rumus: s: t =
r 2
n −2 1 - r 2
t
=
=
=
(0,886621) 2
6 −2
1 - (0,886621) 2 0,786096 x 2 1 − 0,786096 1,572193 0,213904
=
1,572193 0, 462497
=
3,39936
Jadi diperoleh nilai thitung sebesar 3,39936. Kesimpulan Karena thitung (3,39936) > ttabel (2,7764 (2,776451) 51) maka maka Ho ditola ditolak, k, artiny artinyaa hubunga hubungan n kedua kedua vari variab abel el sign signif ifik ikan, an, atau atau penda pendapa pata tan n memi memili liki ki hubun hubunga gan n yang yang sign signif ifik ikan an denga dengan n konsumsi. Dengan demikian hipotesis yang menyatakan “ada hubungan yang signifikan antara konsumsi dengan pendapatan” diterima. Pengujian koefisien korelasi dapat juga dilakukan dengan cara membandingkan nilai koefisien korelasi dengan nilai korelasi tabel atau r tabel tabel, sehingga perlu dicari nilai r tabel tabel pada taraf α = 0,05 dan n = 6 yaitu diperoleh r tabel tabel = 0,811 (lihat tabel r). Karena nilai r hitung hitung (0,886621) > r tabel tabel (0,811) maka Ho ditolak, artinya pendapatan memiliki hubungan signifikan dengan konsumsi.
Contoh soal 3
2. Menggun Menggunakan akan data data pada pada contoh contoh korela korelasi si Product Product Moment dengan Moment dengan menambah variabel jumlah anak, sehingga akan dihitung hubungan antara pendapatan (X1) dan jumlah anak (X2) dengan konsumsi (Y), dengan data sebagai berikut:.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X1 (ribuan) 800 900 700 600 700 800 900 1000 900 1100
X2 3 3 2 1 1 1 1 3 3 3
Y (ribuan) 300 300 200 100 200 200 250 300 300 350
Untuk Untuk mencar mencarii nilai nilai koefis koefisien ien korela korelasi si bergan berganda da perlu perlu disusu disusun n tabel tabel bantu bantu sebagai sebagai berikut:
Tabel . Tabel Bantu Analisis Korelasi Berganda n
X1
X2
Y
X12
X12
Y2
X1Y
X2Y
X1X2
1
800
3
300
640000
9
90000
240000
900
2400
2
900
3
300
810000
9
90000
270000
900
2700
3
700
2
200
490000
4
40000
140000
400
1400
4
600
1
100
360000
1
10000
60000
100
600
5
700
1
200
490000
1
40000
140000
200
700
6
800
1
200
640000
1
40000
160000
200
800
7
900
1
250
810000
1
62500
225000
250
900
8
1000
3
300
1000000
9
90000
300000
900
3000
9
900
3
300
810000
9
90000
270000
900
2700
10
1100
3
350
1210000
9
122500
385000
1050
3300
∑
8400
21
2500
7260000
53
675000
2190000
5800
18500
Untuk menghitung koefisien korelasi berganda, maka terlebih dahulu dihitung koefisien korelasi antar variabel. 10 (2.190.000 ) - (8.400)(2.500)
r x1y x1y =
10 (7.260.000 ) - (8400) 2 10 (675.000) - (2.500) 2 10 (5800) - (21)(2.500)
r x2y x2y =
10 (53) - (21) 2 10 (675.000) - (2.500) 2 10 (18.500) - (8400)(21)
r x1x2 x1x2 =
2
10 (7260000) - (8400) 10 (53) - (21)
2
= 0,891
= 0,824
= 0,638
Selanjutnya dari nilai koefisien korelasi antar variabel dapat dihitung koefisien korelasi berganda: r x1 y
R x1x2y x1x2y =
2
+
r x 2 y
2
−
2 (r x1y )(r x 2 y )(r x1 x 2 )
1 − r x1 x 2
=
=
=
0,8912
+
0,824 2
2
−
2(0,891)(0,824)(0,638)
1 − (0,638)
2
0,794 + 0,679 − 0.936819 1 − 0,407 0,536 0,593
= 0,951 Hasil Hasil perhit perhitung ungan an dipero diperoleh leh koefisi koefisien en korela korelasi si bergand bergandaa ( R ) sebesa sebesarr 0,951 0,951 karena karena nilainya mendekati 1 berarti terdapat hubungan yang sangat kuat antara pendapatan dan jumlah anak dengan konsumsi. Koefisien Determinasi (R 2) Koefisien determinasi merupakan ukuran kesesuaian (goodnes of fit) garis regresi linier berganda terhadap suatu data (dibahas pada bab selanjutnya), atau dapat digunakan
untuk untuk menguk mengukur ur besarn besarnya ya kontrib kontribusi usi variab variabel el bebas bebas (X) terhada terhadap p varias variasii perubah perubahan an variabel terikat (Y). Nilai koefisien determinasi terletak antara 0 ≤ R 2 ≤ 1, dan biasanya biasanya dinyatakan dalam persentase. Nilai R 2 semakin mendekati 1 menunjukkan semakin besar kontribusi kontribusi variabel bebas (X) terhadap variasi variasi perubahan perubahan variabel variabel terikat terikat (Y). Misalnya mengambil contoh sebelumnya dimana diperoleh nilai R = 0,951 maka R 2 = 0,9512 = 0,90440 artinya artinya seluruh seluruh variabel bebas yaitu yaitu pendapatan pendapatan dan jumlah anak memberikan memberikan kontribusi sebesar 90,44% terhadap variasi konsumsi. Sisanya sebesar 9,56% merupakan kontribusi variabel lain. Uji Signifikan Koefisien Korelasi Berganda (Uji Hipotesis) Pengujian Pengujian signifikans signifikansii koefisien koefisien korelasi korelasi ganda dilakukan dilakukan dengan Uji F (Anova) (Anova) yang rumusnya sebagai berikut: F
=
R 2 /(k ) (1 − R 2 ) /(n − k −1)
Keterangan: R 2 =
Koef Koefis isie ien n dete determ rmin inas asii
k
=
Jumlah va variabel be bebas
n
=
Jumlah kasus
Contoh soal 4
3. Misalkan Misalkan pada contoh contoh sebelumnya sebelumnya diajukan diajukan hipotesi hipotesiss yang menyatakan menyatakan “ada “ada hubungan yang yang signifikan antara pendapatan dan jumlah anak dengan konsumsi”. Penyelesaian: a. Rumu Rumusa san n hipo hipote tesi sis: s:
Ho : ρ = 0 Tidak ada hubungan hubungan yang signifika signifikan n antara pendapatan pendapatan dan jumlah jumlah dengan konsumsi Ha : ρ ≠ 0 Ada hubungan yang signifikan signifikan antara pendapatan dan jumlah anak dengan konsumsi b. Taraf α = 0,05 selanjutnya dapat dicari nilai Ftabel pada α = 0,05 derajat bebas = n – k - 1 = 10 – 2 - 1 = 7, diperoleh Ftabel = 4,74. c. Krit Kriter eria ia peng penguj ujia ian: n: Ho ditolak jika Fhitung > Ftabel atau probabilitas < 0,05 Ho diterima jika Fhitung ≤ Ftabel atau probabilitas ≥ 0,05 d. Uji Uji sta stati tist stik ik (Uji (Uji F) F
=
=
=
=
R 2 /(k ) (1 − R 2 ) /(n − k −1) 0,9512 / 2 2
(1 − 0,951 ) /(10 − 2 −1) 0,90440 / 2 0,095599 / 7 0,45221 0,01365
= 33,1113 e. Kesimpul pulan Nilai Fhitung sebesar 33,1113 dibandingkan dengan nilai Ftabel. Karena Fhitung (33,1113) > ttabel (4,74) maka Ho ditolak, artinya ada hubungan yang signifikan antara pendapatan dan jumlah dengan konsumsi.
Contoh soal 4
4. Seora Seorang ng maha mahasi sisw swaa mela melakuk kukan an surv survai ai untuk untuk mene meneli liti ti apak apakah ah ada ada kore korela lasi si anta antara ra nila nilaii statisti statistik k
dengan
nilai ekonometrik ekonometrik,, untuk kepentingan kepentingan peneli penelitian tian tersebu tersebutt diambil diambil 10 10
mahasiswa yang telah menempuh mata kuliah statistik dan ekonometrik. (Sumber: Suliyanto Undip) Pemecahan A. Judul Judul Hubungan Hubungan antara antara kemamp kemampuan uan mahasiw mahasiwaa dalam memaham memahamii ilmu statist statistika ika dan ilmu ekonometrika. B. Pertan Pertanyaa yaan n Peneli Penelitia tian n
Apakah terdapat korelasi positif antara kemampuan mahasiswa dalam memahami ilmu statistika dan ilmu ekonometrika ?
C. Hipo Hipottesi esis
Terdapat korelasi positif kemampuan mahasiwa dalam memahami ilmu staistika dan ilmu ekonometrika
D. Kriteria pengujian Ho
: Tidak Tidak terd terdap apat at kore korela lasi si posi positi tiff antar antaraa kemam kemampu puan an maha mahasi sisw swaa dalam dalam mema memaha hami mi
ilmu statistika dan ilmu ekonometrika. Ha
: Terdapat korelasi positif antara kemampuan mahasiswa dalam memahami ilmu
statistika dan ilmu ekonometrika. Ho diterima Jika
ρhitung ≤ ρtabel(α, n-2) atau t hitung ≤ ttabel (α, n-2) Ha diterima Jika
ρhitung > ρtabel(α, n-2) atau thitung > ttabel (α, n-2) Data Yang dikumpulkan
Hasil perhitungan:
ρ xy
ρ xy
•
=1 −
6∑d i2 n(n 2 −1)
6 x 7 1− 10(100 −1)
=
=
0,96
Deng Dengan an Kri Kriteri eria r htu htung ng:: ρhitung (0,96) > ρ tabel (0,738) •
•
t =
Deng Dengan an Krit Kriter eria ia t hitu hitung ng::
ρ xy
n −2
t =
0,96 10 − 2
2
(1 − r )
(1 − 0,92)
=
9,697
Kesimpulan Karena
ρhitung > dari ρtabel maka Ha diterima. Karena t hitung > dari t tabel maka Ha diterima. Kesimpulan: Terdapat korelasi positif antara kemampuan mahasiswa dalam memahami ilmu statistika dan ilmu ekonometrika.
Contoh soal 5 5.Hasil penelitian tentang hubungan antara biaya iklan dengan volume penjualanan pada suatu perusahaan tersaji dalan table berikut. Tentukan koefisien korelasinya? dalam Rp 1000,-. (Sumber: shohibul Munir Un. Mercu Buana)
Tabel . Prosedur penentuan koefisien korelasi pengeluaran biaya iklan dan volume penjualan . Biaya Iklan
Volume Penjualan
(X) 1 5
(Y) 2 40
X2 3 25
Y2 4 1600
XY 5 200
7
50
49
2.500
350
10
60
100
3.600
600
12
65
144
4.225
780
15
70
225
4.900
1.050
20
80
400
6.400
1.600
25
92
625
8.464
2.300
30
100
900
10.000
3.000
Y = 557
2.468
41.689
9.880
X = 124 N=8
→ r =
r =
) ( 557) 8( 9.880) − (124)( 8( 2..468) − (124)
2
9.972 4368 x 23.263
8( 41.689) − ( 557) =
0,989
2
