BAB II
DASAR TEORI
2.1 INTERPOLASI
Pada beberapa masalah kita sering memerlukan suatu penaksiran nilai antara (intermediate values) yaitu suatu nilai diantara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya. Metode yang biasa digunakan untuk menentukan titik antara tersebut adalah melakukan interpolasi. Metode interpolasi yang biasa digunakan adalah dengan interpolasi Polinomial. Persamaan polinomial orde ke n yang dipakai secara umum adalah :
Persamaan polinomial ini merupakan persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari variabel x berpangkat bilangan bulat (integer). Untuk n+1 titik data, hanya terdapat satu polinomial order n atau kurang yang melalui semua titik. Misalnya hanya terdapat satu garis lurus (polinomial order satu) yang menghubungkan dua titik, lihat Gambar 1.1 , (a) . Demikian juga dengan menghubungkan tiga titik dapat membentuk suatu parabola (polinomial order 2), lihat Gambar 1.1 (b), sedang bila empat titik dapat dihubungkan dengan kurva polinomial order tiga, lihat Gambar 1.1 (c), Dengan operasi interpolasi kita dapat menentukan suatu persamaan polinomial order ke n yang melalui n+1 titik data, yang kemudian digunakan untuk menentukan suatu nilai (titik antara) diantara titik data tersebut.
`
(a) (b) (c)
Gambar 1.1
2.2 INTERPOLASI POLINOM LAGRANGE
Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton. Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P (x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (x0, y0) dan (x1, y1).
Bentuk polinomial Newton order satu:
f1(x) = f (x0) + (x – x0) f [x1, x0] (6.16)
Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk:
f [x1, x0] =
f [x1, x0] = (6.17)
Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan:
f1(x) = f (x0) + f (x1) + f (x0)
Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas menjadi:
f1(x) = f (x0) + f (x1)
atau
f1(x) = f (x0) + f (x1) (6.18)
Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu.
Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:
f1(x) = f (x0) + f (x1) + f (x2) (6.19)
Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:
fn(x) = f (xi) (6.20)
dengan
Li (x) = (6.21)
Simbol merupakan perkalian.
Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi Lagrange order 1, persamaan tersebut adalah:
f1(x) =f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1)
L0(x) =
L1(x) =
Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 1 adalah:
f1(x) = f (x0) + f (x1)
Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung pula interpolasi Lagrange order 2 adalah:
F2 (x) =f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1) + L2(x) f (x2)
I=0 L0(x) =
I=1 L1(x) =
I=2 L2(x) =
Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 2 adalah:
f2 (x) = f (x0) + f (x1)
+ f (x2) + f (x3) (6.22)
Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung pula interpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi Lagrange order 3, persamaan tersebut adalah:
f3(x) =f (xi) = L0(x) f (x0) + L1(x) f (x1) + L2(x) f (x2) + L3(x) f (x3)
L0(x) =
L1(x) =
L2(x) =
L3(x) =
Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:
f3(x) = f (x0) + f (x1)
+ f (x2) + f (x3) (6.22)
2.3 GREGORY MAJU
Polinom Newton-Geogry Maju
Polinom Newton-Geogry maju diturunkan dari table selisih maju. Sebelum menurunkan rumusnya, kita bahas dahulu table selisih maju.
Table Selisih Maju
Misal diberikan lima buah titik dengan absis x yang berjarak sama. Tabel selisih maju yang dibentuk dari kelima titik itu adalah
x f(x) f 2f 3 f 4f
x0 f0 f0 2f0 3f0 4f0
x1 f1 f1 2f1 3f1 4f0
x2 f2 f2 2f2 3f2
x3 f3 f3 2f3
x4 f4 f4
Lambang menyatakan selisih maju. Arti setiap symbol didalam symbol adalah :
f0 = f(x0) = y0
f1 = f(x1) = y1
…
f4 = f(x4)
Notasi: fp =f(xp)
f0 = f1-f0
f1 = f2-f1
…
f3 = f4-f3
Notasi: fp = fp+1-fp
2f0 = f1-2f0
2f1 = f2- f1
2f2 = f3- f2
Notasi : 2fp = fp+1- fp
3f0 = 2f1- 2f0
3f1 = 2f2- 2f1
Notasi : 3fp = 2fp+1- 2fp
Bentuk umum:
n+1fp = n fp+1- nfp, n= 0,1,2… (P.1.0)
Penurunan Rumus Polinom Newton-Geogry Maju
Sekarang kita mengembangkan polinom Newton-Geogry maju yang didasarkan pada table selisih maju.
fx1,x0=fx1-fx0x1-x0
= f(x0)h
= f0 1!h (P.1.1)
fx2,x1,x0=f[x2,x1]-f[x1,x0]x2-x0
=fx2-fx1x2-x1-fx1-fx0x1-x0x2-x0
= f1- f1h2h
= ²f0 ²f0
= ²f02!h²
Bentuk umum:
fx2,x1,x0= nfx02!hn= nf02!hn (P.1.2)
Dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis sebagai berikut:
pn(x)=fx0+x-x0fx1,x0x-x0x-x1fx2,x1,x0+…+x-x0x-x0…x-xn-1fxn,xn,…,x1,x0
=f0+x-x0 f01!h+x-x0x-x1+ 2f0+…+x-x0x-x1…x-xn-1 nf0n!h (P.1.3)
Persamaan (P.1.3) ini dinamakan polinom Newton-Geogry maju. Persamaan (P.1.3) dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif:
pn=pn-1x+x-x0x-x1…x-xn-1 nf0n!h (P.1.4)
Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai
x1=x0+ih ,i=0,1,2,…,n
Dan nilai x yang diinterpolasikan adalah
x1=x0+ih ,s R
Maka, persamaan (P.1.3) dapat juga ditulis dalam parameter s sebagai
pn(x)=f0+sh1!h f0+ss-1h²2!h² ²f0+…+ss-1s-2…(s-n+1)hnn!hn nf0
Yang menghasilkan
pn(x)=f0+sh1! f0+ss-1h²2! ²f0+…+ss-1s-2…(s(n+1)hnn! nf0
(P.1.5)
Atau dalam bentuk relasi rekusif.
(i). rekunsi: ss-1s-2…(s-n+1)n! nf0
(ii). Basis: p0(x)=f(x0) (P.1.6)
Seringkali persamaan (P.1.6) dinyatakan dalam bentuk binomial:
pnx=k=0nsk kf0 (P.1.7)
Yang dalam hal ini .
s0=1, sk= ss-1s-2…(s-k+1)k! (s>0, bilangan bulat)
Dan
k!=1 x 2 x…x k
Tahap pembentuk polinom Newton-Geogry maju untuk titik-titik berjarak sama dapat dituliskan sebagai berikut:
p0x=f0
p1x=p1x+s1! f0=p0x=f0+s1! f0
p2x=p1(x)+s(s-1)2! ²f0
=f0+ s1! f0+s(s-1)2! ²f0
p3x=p2(x)+ss-1(s-2)2! ³f0
=f0+ s1! f0+s(s-1)2! ²f0+ss-1(s-2)2! ³f0
…
pnx=f0+ s1! f0+ss-12! 2f0+ss-1s-22! 3f0+ss-1s-2…(s-n+1)n! nf0
Menghitung Galat Interpolasi Newton-Geogry Maju
Seperti halnya pada polinom Newton, kita dapat menghitung batas-batas galat intterpolasi Newton-Geogry maju.
Taksiran Galak Interpolotasi Newton-Gregory Maju
Seperti halnya polinon Newton ,taksiran galat interpolotasi dengan nilai pada tabel selisih.
Tinjau kembali polinom Newton_Geogry maju:
pnx=pn-1x+x-x0x-x1…x-xn-1 nf0n!hn
Dengan s= (x-x0)/h
Naikkan suku
x-x0x-x1…x-xn-1 nf0n!hn
Dari n menjadi n+1
x-x0x-x1…x-xn-1x-xn n+1f0n!hn+1
Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi
Ex=x-x0x-x1…x-xnfn+1(t)(n+1)!
Sehingga,fn+1(t) dapat dihampiri dengan
fn+1t n+1f0hn+1 (P.1.8)
Jadi, taksiran galat dalam menginterpolasi f(x) dengan polinom Newton-Geogry maju adalah
Ex=x-x0x-x1…x-xn n+1f0hn+1(n+1)! (P.1.9)
Atau bentuk lain,
Ex=s(s-1)s-2)…(s-n) n+1f0(n+1)! (P.2.0)
Dengan s=(x-x0)/h.
Manfaat Tabel selisih Maju
Pada contoh-contoh perhitungan yang diberikan sebelum ini ,deraja polinom interpolasi di tentukan pada soal. Bila polinom interpolasi derajat n yang di inginkan ,maka jumlah titik dibutuhkan harus (n+1) buah.
DAFTAR PUSTAKA
http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&cad=rja&uact=8&ved=0CEkQFjAE&url=http%3A%2F%2Fsayaanakbaik.files.wordpress.com%2F2011%2F07%2Finterpolasi-polinomial-lagrange.docx&ei=e3KOU-3HDsrc8AXPz4DAAw&usg=AFQjCNH6SaE3uHVioPjKEii9KJt1bEinVQ&bvm=bv.68235269,d.dGc
http://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=11&cad=rja&uact=8&ved=0CCUQFjAAOAo&url=http%3A%2F%2Ffile.upi.edu%2FDirektori%2FFPTK%2FJUR._PEND.TEKNIK_SIPIL%2F196306221990011-BUDI_KUDWADI%2FPengajaran%2FNum-bab5.doc&ei=8HOOU_zAAYX48QWvxoGABQ&usg=AFQjCNH_iQYKpbSR6vqFQ0l7HhLBOnKnJg&bvm=bv.68235269,d.dGc
Munir.Renaldi.2008.Metode Numerik. Informatika Bandung:Bandung
https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&cad=rja&uact=8&ved=0CEYQFjAF&url=https%3A%2F%2Fonemat.files.wordpress.com%2F2012%2F04%2Fpolinom-newton.docx&ei=3niOU6mlN8Gl8AX2yYKABg&usg=AFQjCNF6NhE9esBxcdetneykLnxqWPCm7A&bvm=bv.68235269,d.dGc
http://reiyangvivi.blogspot.com/2013/09/laporan-penelitian-perkecambahan-biji.html
(permasalahan)