makalah eliminasi gaus

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Makalah ini dibuat untuk membantu para siswa memahami mata kuliah “ALJABAR  LINIER ”. ”. Kuliah ALJABAR LINIER  ini   ini diberikan sebagai salah satu Mata Kuliah a!ib "ang

memiliki b#b#t $ %K% &%atuan Kredit %emester'. (u!uann"a "ang ingin didapat mata kuliah ini adalah untuk memahami k#nsep dasar dari %I%(EM )ER%AMAAN LINIER. Berdas Ber dasark arkan an lat latar ar bel belakan akang g di ata atass pen penuli uliss ter tertar tarik ik unt untuk uk mel melaku akuka ka den dengan gan met met#de #de  pen"elesaian "aitu dengan met#de Eliminasi *auss dan Eliminasi *auss J#rdan. 1.2 Rumusan Masalah

Bagaimana +ara menger!akan s#al eliminasi e liminasi *auss dan *auss J#rdan dan In,ers Matriks 1.3 Tujuan ALJABAR BAR LINIE LINIER R unt )embu )em buat atan an mak makal alah ah in inii se sebag bagai ai tu tuga gass ma mata ta ku kuli liah ah ALJA untuk uk leb lebih ih

memahami met#de eliminasi *auss dan *aussJ#rdan dan membantu pemba+a lainn"a "ang ingin men"elesaikan sistem persamaan linier. Man/aat dari makalah "ang dibuat kel#mp#k antara lain 0 a. Membantu memahami apa "ang dimaksud met#de eliminasi *auss dan *aussJ#rdan.  b. Mem Memban bantu tu mem mempel pela!a a!ari ri lan langkah gkahla langka ngkah h "an "ang g dil dilaku akukan kan unt untuk uk men" men"ele elesai saikan kan s#a s#all sis sistem tem  persamaan linier dengan met#de eliminasi *auss dan *auss J#rdan.

BAB II PEMBAHAAN 2.1 !stem Persamaan L!n!er 1i dalam matematika2 matematika2 s"stem persamaan persamaan linier adalah kumpulan persamaanpersamaan linier "ang memiliki ,ariabel,ariabel "ang "ang sama. Bentuk umum dari sistem sistem persamaan linier dengan n peubah din"atakan sebagai berikut0

1engan mengunakan perkalian matriks2 kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks  A3 4 b 5ang dalam hal ini2

5aitu0

2.2 Met"#e El!m!nas! $auss

Eliminasi *auss adalah suatu +ara meng#perasikan nilainilai di dalam matriks sehingga men!adi matriks "ang lebih sederhana. 6aran"a adalah dengan melakukan #perasi baris sehingga matriks tersebut men!adi matriks "ang esel#nbaris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu met#de pen"elesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. 6aran"a dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan meng#perasikann"a. %etelah men!adi matriks Esel#nbaris2 lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari ,ariabel,ariabel tersebut.

%!r!&'!r! El!m!nas! $auss

a.

Jika suatu baris tidak semua n#l2 maka bilangan pertama "ang tidak n#l adalah 7 &7 utama'

 b.

Baris n#l terletak paling bawah

+.

7 utama baris berikutn"a berada dikanan 7 utama baris diatasn"a

d. 1ibawah 7 utama harus n#l Alg"r!tma Met"#e El!m!nas! $auss

7. Mengubah p#sisi letak baris.

8. Mengalikan suatu baris dengan bilangan tidak 9 &n#l'. $. Men!umlahkan kelipatan suatu baris ke baris lain. 2.3 El!m!nas! $auss&("r#an

1alam al!abar linear2 eliminasi *aussJ#rdan adalah ,ersi dari eliminasi *auss. )ada met#de eliminasi *aussJ#rdan kita membuat n#l elemenelemen di bawah maupun di atas diag#nal utama suatu matriks. :asiln"a adalah matriks tereduksi "ang berupa matriks diag#nal satuan &semua elemen pada diag#nal utama bernilai 72 elemenelemen lainn"a n#l'. 1alam bentuk matriks2 eliminasi *aussJ#rdan ditulis sebagai berikut0

o

o

Langkahlangkah #perasi baris "ang dikemukakan #leh *auss dan disempurnakan #leh J#rdan sehingga dikenal dengan Eliminasi *aussJ#rdan2 sebagai berikut0 Jika suatu baris tidak seluruhn"a dari n#l2 maka bilangan tak n#l pertama pada baris itu adalah 7. Bilangan ini disebut 7 utama &leading 7'. Jika terdapat baris "ang seluruhn"a terdiri dari n#l2 maka barisbaris ini akan dikel#mp#kkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks. Jika terdapat dua baris berurutan "ang tidak seluruhn"a dari n#l2 maka 7 utama pada baris "ang lebih rendah terdapat pada k#l#m "ang lebih kanan dari 7 utama pada baris "ang lebih tinggi. %etiap k#l#m memiliki 7 utama memiliki n#l pada tempat lain.

2.) %ara Men*elesa!kan Matr!ks #engan El!m!nas! $auss ("r#an misal sebuah matriks: a b + 3

d

e

/

"

g

h

i

;

1. ubah nilai a menjadi 1 dengan cara membagi baris 1 dengan nilai a. 2. ubah nilai d menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 2 dengan baris 1 di kali nilai d.

3. ubah nilai g menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 3 dengan baris 1 dikali nilai g. 4. ubah nilai e menjadi 1 dengan cara membagi baris 1 dengan nilai e. 5. ubah nilai h menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 3 dengan baris 2 di kali nilai h. 6. ubah nilai i menjadi 1 dengan cara membagi baris 3 dengan nilai i. 7 ubah nilai f menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 2 dengan baris 3 di kali nilai f. 8. ubah nilai c menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 1 dengan baris 3 dikali nilai c. 9. ubah nilai b menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 1 dengan baris 2 dikali nilai b.

Contoh soal: 1. iketahui !ersamaan linier " # 2$ # % & 6 " # 3$ # 2% & 9 2" # $ # 2% & 12 'entukan nilai "( $ dan % ) *en$elesaian ini menggunakan +liminasi ,auss : -isaln$a 1 2 1 6 a b c 1 3 2 9 2 1 2 12

g h i

x  d e f z 

angkah 1 : ubah !ersamaan kedalam matriks

angkah 2 : ubah nilai d & 0 dengan cara b2 / b1 dikali nilai d b2 / b1 " d

angkah 3 : ubah nilai g & 0 dengan cara b3 / b1 dikali nilai g b3 / b1 " g

angkah 4 : ubah nilai h & 0 dengan cara b3 / b2 dikali nilai h b3 / b2 " h

angkah 5 : ubah nilai i & 1 dengan cara b3 dibagi i b3 : i

y

angkah 6 : ubah nilai e & 1 dengan cara b2 dibagi nilai e b2 : e

" # 2$ # % & 6  $ # % & 3 %&3 $#%&3 $#3&3 $&0 " # 20 # 3 & 6 "#0#3&6 "#3&6 "&3 adi( " & 3( $ & 0( dan % & 3 2. iketahui !ersamaan linier " # 2$ # 3% & 3 2" # 3$ # 2% & 3 2" # $ # 2% & 5 'entukan nilai "( $ dan % )

*en$elesaian ini menggunakan +liminasi ,auss / rdan : -isaln$a 1 2 3 3

a b c

x 

2 3 2 3 2 1 2 5

d e f g h i

z 

angkah 1 : ubah !ersamaan kedalam matriks

angkah 2 : ubah nilai d & 0 dengan cara b2 / b1 dikali nilai d b2 / b1 " d

angkah 3 : ubah nilai g & 0 dengan cara b3 / b1 dikali nilai g b3 / b1 " g

y

angkah 4 : ubah nilai h & 0 dengan cara b3 # b2 dikali nilai h b3 # b2 " h

angkah 5 : ubah nilai i & 1 dengan cara b3 dibagi i b3 : i

angkah 6 : ubah nilai e & 1 dengan cara b2 dibagi nilai e b2 : e

angkah 7 : ubah nilai f & 0 dengan cara b2 / b3 dikali nilai f b2 / b3 " f

angkah 8 : ubah nilai c & 0 dengan cara b1 / b3 dikali nilai c b1 / b3 " c

angkah 9 : ubah nilai b & 0 dengan cara b1 / b2 dikali nilai b b1 / b2 " b

" # 2$ # 3% & 3  $ # 4% & 3 %&1 $ # 41 & 3 $ & 1 " # 21 # 31 & 3 " 2 # 3 & 3 "#1&3 &2 adi( " & 2( $& 1( dan % & 1

2.5 INVERS MATRIKS

uatu matriks da!at dibalik jika dan han$a jika matriks tersebut adalah matriks !ersegi matriks $ang berukuran n " n dan matriks tersebut nnsingular determinan 0. 'idak  semua matriks memiliki iners. efinisi:

Misalkan A dan B adalah  persamaan AB 4 BA 4 I maka

dua

matriks

matriks A adalah

"ang

ber#rd#

matriks

8

in,ers

<

8 dari

dan

memenuhi

matriks B atau

matriks B adalah matriks in,ers dari matriks A.

2.5.1 INVERS MATRIKS ORDO 2 X 2  J i ka  dan  matriks bujur

sangkar sedemikian ru!a sehingga   &   &  ( maka  disebut balikan atau invers dari  dan da!at ; 1 dituliskan B & A    sama dengan invers  . -atriks  juga mem!un$ai invers $aitu   maka da!at dituliskan A & B ; 1. ika tidak ditemukan matriks ( maka  dikatakan matriks tn!!al singular. ika matriks  dan < adalah invers dari  maka  & <. -atriks   & da!at diinvers a!abila ad  bc = 0

engan >umus &

 !abila  dan  adalah matriks serd dan memiliki balikan maka  da!at di 1 ;1 invers dan  AB ; 1 & B ;  A

Contoh soal : 1. ?itung iners matriks  2@2 berikut  &.

"#n$#l#saian : ika kita !un$a matriks 2@2( misal  &

menggunakan rumus

( maka iners matriks da!at dihitung

  1 &  &

&

&

8. (entukan in,ers dari matriks 1 4

Jawab 0 det 1 4

4 $&77' = &=>'&=?' 4 $$ = @8 4 =

 D 74

4

4

4

$. Buktikan Matriks dari0 A4 2B4

2 AB 4

)en"elesaian0 2

2

4

Ini membuktikan bahwa + AB, - 1   B - 1 A - 1

2./.2

IN0ER MATRI RD 3  3 Kita dapat men"elesaikan matriks #rd# $ 3 $ ini dengan +ara mereduksi A pada matriks satuan dengan menggunakan 4eras! Bar!s Elementer dan menerapkan #perasi ini se+ara serentak   pada I   untuk menghasilkan A7. 5ang dimana Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas & I '. Kemudian lakukanlah4eras! Bar!s Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri men!adi matriks identitas dan matriks identitas &pada sebelah kanan' "ang akan men!adi in,ers matriks tersebut.

Keterangan0 I &Identitas'4 7 9 9 9 7 9 9 9 7 Rumus0

6#nt#h s#al0 6arilah in,ers matriks $<$ "aitu A 4

Pen*elesa!an 5 %usun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Langkah 7 0 b8 = b7&8'

Langkah 8 0 b$ = b7&7'

Langkah $ 0 b$ = b8&8'

Langkah @ 0 b$ 0 &7'

Langkah  0 b8 = b$&$'

Langkah ? 0 b7 = b$&$'

Langkah > 0 b7 = b8&8'

Maka 0

Karena matriks kiri sudah terbentuk men!adi matriks identitas2 maka in,ers dari matriks A adalah A7 4

BAB III EIMPULAN  s"stem persamaan linier adalah kumpulan persamaanpersamaan linier "ang memiliki ,ariabel

,ariabel "ang sama.  Eliminasi *auss adalah suatu met#de untuk meng#per asikan nilainilai di dalam

matriks sehingga men!adi matriks "ang lebih sederhana lagi.  uatu matriks da!at dibalik jika dan han$a jika matriks tersebut adalah matriks !ersegi matriks  $ang berukuran n " n dan matriks tersebut nnsingular determinan 0. 'idak semua matriks memiliki iners. ners matriks da!at didefinisikan sebagai berikut.

 ners -atriks rd 2  2 J ika  dan  matriks bujur sangkar sedemikian ru!a sehingga  

&   &  ( maka  disebut balikan atau invers dari  dan da!at dituliskan B & A ; 1   sama dengan invers  . -atriks  juga mem!un$ai invers $aitu  maka da!at dituliskan A & B ; 1. ika tidak ditemukan matriks ( maka  dikatakan matriks tn!!al singular.

DA6TAR PUTAA  http0CCari/hida"at?.bl#gsp#t.+#mC897@C9@Cmet#deeliminasigaussdangauss!#rdan.html  Ant#n2 :.2 782 Aljabar Linier Elementer, Erlangga2 Jakarta.  Ant#n2 :#ward and r#rres2 6ris2 “Elementar" Linear Algebra with Apli+ati#ns 2 th Editi#n 2 J#hn

ile" and %#ns2 899  %ahid. Pengantar Komputasi Numerik  dengan MA(LAB. 899. 5#g"akarta0AN1I  %trang2 *ilbert &899$'. Introduction to Linear Algebra2 $rd editi#n2 ellesle"2 Massa+husetts0

ellesle"6ambridge )ress2 >@>?.