MALAKAH SPL (SISTEM PERSAMAAN LINEAR) SEBAGAI SOLUSI MASALAH EKONOMI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Oleh : 1. Ma’rifatul Wasilah
(170535629507)
2. Nur Amelia Maulidia (170535629569) (170535629569) 3. Oby Putra
(170535629564) (170535629564)
4. Rifqi Naufal Tohari
(170535629502) (170535629502)
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK ELEKTRO PRODI S1 TEKNIK INFORMATIKA OFF B 2018
i
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................... ................................................................ ............................................ .........................i ...i DAFTAR ISI ............................................ .................................................................. ............................................ ....................................ii ..............ii KATA PENGANTAR....................................................... ............................................................................. ................................iii ..........iii BAB 1 PENDAHULUAN .................................................... .......................................................................... .............................1 .......1
1.1
Latar Belakang....................................................... ............................................................................. ....................................1 ..............1
1.2
Rumusan Masalah......................................................... ............................................................................... .............................2 .......2
1.3
Tujuan Penulisan ............................................ .................................................................. ...........................................2 .....................2
BAB 2 BAHASAN ................................... ......................................................... ............................................ ....................................3 ..............3
2.1
Landasan Teori SPL (Sistem Persamaan Linear) ......................................3 ......................................3
2.1.1 Pengertian SPL ........................................... ................................................................. ............................................ .........................3 ...3 2.1.2 Penyelesaian SPL dengan Metode Subtitusi............................................ Subtitusi..............................................4 ..4 2.1.3 Penyelesaian SPL dengan d engan Metode Eliminasi ............................................5 ............................................5 2.1.4 Penyelesaian SPL dengan Metode Gaussian ............................... .............................................6 ..............6 2.1.5 Penyelesaian SPL dengan Metode Gauss-Jordan ......................................8 ......................................8 2.1.6 Penyelesaian SPL dengan Metode Inversi Matriks ...................................9 ...................................9 2.1.7 Penyelesaian SPL dengan Metode Aturan Cramer ....................................10 ....................................10 2.2
Penerapan dan Penggunaan SPL untuk Masalah Ekonomi Sehari-hari ....11
2.2.1 Contoh Penggunaan SPL SP L dengan Berbagai Metode ........................... ..................................12 .......12 BAB 3 PENUTUP........................................... ................................................................. ............................................ .............................20 .......20
3.1
Simpulan .......................................... ................................................................ ............................................ ....................................20 ..............20
3.2
Saran ............................................ .................................................................. ............................................ ........................................20 ..................20
DAFTAR PUSTAKA............................................................... ..................................................................................... .........................21 ...21 LAMPIRAN............................................. ................................................................... ............................................ ....................................22 ..............22
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan r ahmat dan karunia-Nya sehingga kami (penyusun) dapat menyelesaikan makalah yang berjudul SPL (Sistem Persamaan Linear) sebagai Solusi Masalah Ekonomi dalam Kehidupan Sehari-Hari ini. Dalam penyusunannya, kami (penulis) mengucapkan terima kasih kepada Dosen Aljabar Linear kami yaitu bapak Utomo Pujianto, S.Kom., M.Kom yang telah memberikan dukungan, kasih, dan kepercayaan yang begitu besar. Dari sanalah semua keberhasilan ini berawal, semoga se mua ini bisa memberikan sedikit kebahagiaan dan motivasi yang menuntun pada langkah yang lebih baik lagi. Kami (penulis) berharap makalah ini dapat bermanfaat bagi seluruh kalangan masyarakat dalam menyelesaikan masalah sehari-hari di bidang ekonomi. Kami juga berharap makalah ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun pastinya makalah ini tidak luput dari kekurangan. Maka dari itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun supaya kami dapat memberikan hasil yang lebih baik di lain waktu apabila diberi kesempatan.
Malang, 11 April 2018
Penulis
iii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kebutuhan manusia merupakan hal pokok yang harus dipenuhi oleh setiap individu dalam hidupnya. Pemenuhan kebutuhan manusia merupakan rutinitas yang dilakukan manusia dalam kehidupan sehari-hari. Cara pemenuhan kebutuhan ini ditampung dalam ilmu ekonomi. Dalam era yang sudah maju ini, semua kebutuhan dan masalah manusia dapat dengan mudah terpenuhi dengan bantuan teknologi. Namun hal ini membuat manusia menjadi tergantung pada teknologi. Manusia menjadi jarang dalam menggunakan kemampuannya sendiri untuk menyelesaikan suatu masalah. Di samping itu, manusia dihadapkan kepada inti masalah ekonomi, yaitu keinginan yang tidak terbatas dengan sumber daya atau barang dan jasa yang terbatas. Dengan terbatasnya sumber daya yang merupakah faktor pemenuhan kebutuhan manusia, manusia harus mampu mengolah sumber daya tersebut secara efisien sehingga keberadaan sumber daya tetap terjaga dan kebutuhan manusia akan senantiasa terpenuhi. Paul A. Samuelson mengatakan bahwa Ekonomi merupakan cara-cara yang dilakukan oleh manusia dan kelompoknya untuk memanfaatkan sumber-sumber yang terbatas untuk memperoleh berbagai komoditi dan me ndistribusikannya untuk dikonsumsi oleh masyarakat. Cara untuk mengolah sumber/bahan demi memenuhi kebutuhan manusia tersebut merupakan keharusan yang harus dimiliki masyarakat. Dalam pengolahan sumber daya, masyarakat akan menemukan berbagai masalah. Masalah yang dihadapi merupakan masalah di bidang ekonomi. Untuk menyelesaikan masalah tersebut masyarakat memerlukan suatu konsep yang dapat dijadikan sebagai solusi dari permasalahan yang dihadapi. Dalam
menyelesaikan
permasalahan
ekonomi,
terdapat
komponen-
komponen yang dapat dirumuskan ke dalam suatu rumusan matematis. Rumusan ini akan memudahkan masyarakat untuk mengolah komponen-komponen tersebut sehingga masalah dapat terselesaikan. Misalnya dalam kasus jual beli, dengan merumuskan harga total dan jumlah setiap barang secara matematis, pembeli akan lebih mudah melakukan suatu perhitungan untuk menentukan harga setiap barang.
1
Dari harga setiap barang tersebut, berbagai masalah seperti jumlah barang yang akan dibeli jika dana terbatas, dana yang harus disediakan apabila ingin membeli barang dalam jumlah yang diinginkan, dan perbandingan harga barang di toko yang satu dan lainnya dapat terselesaikan. Rumusan matematis yang dibuat untuk menyelesaikan permasalahan tersebut disebut dengan sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear terdiri dari beberapa sistem persamaan linear. Hasil pengolahan sistem persamaan linear akan menghasilkan solusi persamaan linear. Solusi persamaan linear merupakan himpunan bilangan terurut yang apabila disubtitusikan ke dalam persamaan linear akan menjadi valid (‘Imrona, 2002:25). Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan, maka dapat diketahui bahwa sistem persamaan linear dapat menjadi salah satu solusi bagi masyarakat untuk menyelesaikan berbagai masalah ekonomi. Dengan demikian makalah dengan judul SPL (Sistem Persamaan Linear) Sebagai Solusi Masalah Ekonomi dalam Kehidupan Sehari-hari perlu ditulis dan dibahas lebih lanjut sehingga bermanfaat bagi masyarakat dalam pemenuhan kebutuhannya. 1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, berikut ini dipaparkan rumusan masalah dalam makalah. 1.2.1 Bagaimana Landasan teori sistem persamaan linear? 1.2.2 Bagaimana penerapan dan penggunaan sistem persamaan linear untuk menyelesaikan berbagai masalah sehari-hari di bidang ekonomi? 1.3 Tujuan Penulisan Makalah
Berdasarkan rumusan masalah yang telah dipaparkan, berikut dipaparkan tujuan penulisan makalah. 1.3.1 Untuk menjelaskan landasan teori dari sistem persamaan linear. 1.3.2 Untuk menjelaskan bagaimana penerapan dan penggunaan sistem persamaan linear sebagai solusi terhadap masalah ekonomi sehari-hari.
2
BAB 2 BAHASAN
Berdasarkan masalah yang telah dirumuskan pada Bab 1, pada bagian ini disajikan tentang (1) Landasan teori sistem persamaan linear dan (2) penerapan dan penggunaan sistem persamaan linear sebagai solusi terhadap masalah ekonomi sehari-hari. 2.1
Landasan Teori Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear merupakan salah satu bahasan dari cabang ilmu matematika yaitu aljabar linear. Sistem persamaan linear biasa digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah. 2.1.1 Pengertian SPL (Sistem Persamaan Linear)
Sibaroni (2002:6) menyatakan bahwa SPL (sistem persamaan linear) merupakan himpunan berhingga dari persamaan linear. Persamaan linear sendiri adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem
, , , … , + + +.. + = 1,2,3,…, + ) =6( 2 ; 2++= 3 ( 3 ) + ++.. + =0 koordinat Kartesius.
Suatu persamaan linear mengandung n peubah (unknown)
.
Peubah dapat juga disebut sebagai variabel. Peubah pada persamaan linear bukan
merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma atau fungsi eksponensial (Sibaroni, 2002:6). Peubah ini dinyatakan dalam bentuk dengan
sebagai konstanta riil yang disebut
dengan koefisien dan sebagai suku konstan. Contoh persamaan linear yaitu
. Dalam kasus khusus, terdapat sistem
persamaan linear yang disebut dengan sistem persamaan linear homogen. SPL ini memiliki suku konstan yang bernilai 0 sehingga bentuk umumnya adalah .
Setiap persamaan linear memiliki solusi. Solusi persamaan linear merupakan
sekumpulan bilangan terurut yang apabila bilangan-bilangan ini disubtitusikan kedalam persamaan linear sesuai variabelnya, persamaan linear tersebut akan valid
3
(‘Imrona, 2002:25). Persamaan linear yang dikumpulkan menjadi satu kesatuan
++ +++.+... ++ == : + + +.. + =
disebut dengan SPL (sistem persamaan linear). Bentuk umum SPL yaitu
Sistem persamaan di atas mempunyai n variabel dan m persamaan linear.
Solusi dari SPL merupakan solusi dari setiap persamaan linear yang terdapat dalam SPL tersebut (‘Imrona, 2002:25). Setiap SPL hanya memiliki tiga solusi kemungkinan yaitu solusi tunggal, tidak ada solusi, atau solusi ti dak hingga. Ketiga kemungkinan solusi ini dapat digambarkan sebagai kombinasi dua buah garis pada bidang xy apabila SPL mengandung dua variabel.
a. Tidak ada
b. Solusi tun
al
a. Solusi tak hingga
SPL disebut konsisten apabila memiliki solusi tunggal atau solusi tak hingga dan disebut tak konsisten apabila tidak ada solusi (‘Imrona, 2002;26). Terdapat beberapa metode atau cara untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan linear. Metode yang paling umum untuk mendapatkan solusi SPL adalah metode subtitusi dan eliminasi. Namun selain kedua metode tersebut, terdapat metode lain yang dapat digunakan yaitu metode Gaussian, metode Gauss-Jordan, metode Inversi matriks, dan metode aturan Crammer. Setiap metode ini memiliki kekurangan dan kelebihan masing-masing tergantung pada bentuk SPL yang akan dicari solusinya. 2.1.2 Penyelesaian SPL dengan Metode Subtitusi
Metode subtitusi merupakan metode alternatif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Sesuai dengan namanya, prinsip kerja metode substitusi adalah dengan cara mensubstitusikan nilai salah satu variabel berdasarkan persamaannya ke dalam persamaan linear lainnya sehingga dihasilkan persamaan linear satu variabel yang selanjutnya dapat dihitung nilainya. Metode subsitusi biasanya digunakan untuk sistem persamaan linear dua variabel yang sederhana. Nilai
4
variabel yang disubstitusikan dipilih dari persamaan linear yang bentuknya paling sederhana dari kedua persamaan yang ada.
+=15 {2+2=18
Misal telah dirumuskan sistem persamaan linear dua variabel yaitu
Untuk menyelesaikan SPL tersebut dengan metode subtitusi, terdapat langkahlangkah yang dapat diikuti yaitu : 1. Pilih persamaan yang paling sederhana 2. Nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x 3. Substitusi x ke persamaan linear lain untuk mendapat nilai y 4. Substitusi y ke persamaan linear untuk mendapat nilai x Dengan demikian, akan dipilih persamaan kedua untuk disubtitusikan ke
+2=18→=182 ( ) 2(1364+=15 82)+=15 ( ) 3=21 =7 )=18 ( ℎ ) +2(7=1814 =4
persamaan pertama.
Nilai x dan y inilah yang merupakan solusi dari penyelesaian sistem persamaan linear. Keuntungan dari metode ini adalah praktis untuk digunakan pada persamaan linear dua variabel. Namun kekurangannya adalah jika sistem persamaan linear terdiri dari banyak variabel. Hal ini tentunya akan memerlukan banyak proses subtitusi untuk mendapatkan setiap nilai variabelnya. Sehingga proses penyelesaian akan berjalan dengan panjang. 2.1.3 Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi
Selain metode subtitusi, metode eliminasi juga merupakan metode yang umum untuk digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linear. Dengan menggunakan metode ini, diharuskan untuk mengeliminasi/menghilangkan salah
5
satu variabel dari beberapa persamaan linear dengan cara penjumlahan ataupun pengurangan. Dari sistem persamaan linear sebelumnya, salah satu persamaan dapat dikalikan dengan suatu konstanta agar salah satu variabel dari kedua persamaan
4+2=30 2+=15 2 | → +2=18 +2=18 1 4+2=30 +2 =18 3=12 =4 (4)+2=18 ( ) 2=14 =7 dapat dihilangkan atau dieliminasi.
Jika nilai salah satu variabel telah ditemukan, subtitusikan nilai tersebut ke persamaan lain yang sederhana sehingga nilai variabel yang lain dapat diketahui.
Metode eliminasi merupakan metode yang mudah dipahami. Namun, sama
seperti metode subtitusi, metode ini akan memakan proses yang panjang apabila sistem persamaan linear yang dicari solusinya memiliki jumlah variabel yang banyak. Jumlah proses eliminasi yang harus dilakukan akan bertambah seiring banyaknya nilai variabel yang dicari. 2.1.4 Penyelesaian SPL dengan Metode Gaussian
Dalam metode Gaussian, bentuk augmented matrix dari sistem persamaan linear diubah ke dalam bentuk matriks eselon baris. Augmented Matrix adalah matriks yang semua elemennya berisi koefisien-koefisien SPL yang kemudian diperbesar. Maksud dari diperbesar ialah penambahan sebuah kolom yang berisi hasil dari persamaan Linear atau suku konstan persamaan linear. Dari sistem
21 12 11 58
persamaan linear sebelumnya dapat dibuat augmented matrix seperti berikut,
Sedangkan matriks eselon baris merupakan matriks yang memiliki ciri-ciri
sebagai berikut, 1. Pada setiap baris, elemen tak nol yang pertama adalah 1. Dan 1 ini disebut sebagai awalan.
6
2. Jika terdapat baris nol diletakkan pada baris yang terbawah 3. Pada dua baris yang berurutan, letak awalan pada b aris yang lebih bawah terletak lebih ke kanan. (‘Imrona, 2002:28). Pengubahan augmented matrix menjadi matriks eselon baris dilakukan dengan operasi baris elementer (Santosa, 2008:8). Operasi ini melibatkan pertukaran baris, perkalian baris dengan konstanta, dan penjumlahan baris satu
10 1∗ ∗∗
dengan baris lain yang telah dikalikan dengan konstanta. Bentuk matriks eselon baris adalah
untuk kasus matriks berordo
2x3 dengan simbol bintang “*” merupakan sembarang elemen. Dari augmented matrix yang telah ditentukan, dapat dilakukan langkah-langkah operasi baris
1=2 12 21 11 85 2=22(1) 10 322 2118 2=1 2 1 ⁄83 0 1 7 { +2=7=18 )=18 +2(7=4
elementer berikut untuk mendapatkan bentuk matriks eselon baris, 1.
2.
3.
Bentuk matriks eselon baris yang didapatkan dapat diubah ke dalam bentuk sistem persamaan linear lagi dan dihasilkan persamaan baru seperti berikut,
Dari SPL baru tersebut lakukan subtitusi nilai variabel tunggal yaitu y ke persamaan yang lain sehingga didapat,
Dalam metode Gaussian meskipun pada awalnya sukar untuk dipahami
karena menggunakan bantuan matriks pada prosesnya, metode ini efektif apabila digunakan untuk mencari solusi SPL yang memiliki banyak variabel meskipun hasil akhir matriksnya harus dilakukan proses subtitusi untuk mendapatkan nilai variabel lain yang belum ditemukan. Metode ini tidak terlalu efektif apabila digunakan
7
untuk mencari solusi SPL bervariabel sedikit karena akan lebih efektif apabila proses diteruskan ke bentuk matriks eselon baris tereduksi. Bentuk matriks eselon tereduksi merupakan bentuk matriks yang merupakan hasil dari metode Gauss jordan.
2.1.5 Penyelesaian SPL dengan Metode Gauss-Jordan
Metode Gauss-Jordan sejatinya hampir sama dengan metode Gauss. Yang membedakan antara keduanya adalah metode Gauss mengubah augmented matrix ke dalam bentuk matriks eselon baris sehingga masih perlu dilakukan subtitusi variabel tunggal ke persamaan lain yang masih terdiri dari lebih dari satu variabel. Sedangkan pada metode Gauss-Jordan, augmented matrix dari sistem persamaan linear diubah menjadi matriks eselon baris terduksi. Matriks eselon baris tereduksi merupakan matriks dengan ciri-ciri matriks eselon baris biasa ditambah dengan satu ciri lagi yaitu apabila dalam satu kolom terdapat awalan, maka elemen yang lain harus berupa 0 (‘Imrona, 2002:28).
10 01 ∗∗
Sehingga apabila digunakan kasus yang sama bentuk matriks eselon baris tereduksi untuk ordo 2x3 adalah
. Proses pengubahan dari augmented matrix ke
matriks eselon baris tereduksi juga memakai operasi baris elementer. Untuk SPL
1=2 12 21 11 85 2=22(1) 10 322 2118 2=1 2 1 ⁄83 0 1 7 1=12(2) 10 01 47
sebelumnya dengan metode Gauss-Jordan prosesnya adalah sebagai berikut, 1.
2.
3.
4.
Apabila bentuk matriks eselon baris tereduksi yang telah didapat diubah lagi menjadi persamaan linear, maka hasilnya akan langsung menunjukkan nilai dari
8
tiap variabel. Dengan kata lain solusi SPL akan langsung didapat di akhir proses
10 01 47 → { =7=4 operasi baris elementer.
Meskipun metode Gauss-Jordan memberikan solusi secara langsung pada
hasil akhir matriks, metode ini tidak efektif jika digunakan untuk mencari solusi dari SPL yang memiliki banyak variabel. Hal ini bersifat terbalik terhadap metode Gaussian. Apabila variabel pada SPL banyak, proses operasi baris elementer untuk
mendapatkan bentuk matriks eselon baris akan bertambah dan menjadi semakin sulit. Sehingga metode ini cocok digunakan dalam pencarian solusi SPL dengan variabel yang sedikit, misal SPL bervariabel 2 seperti kasus di atas. 2.1.6 Penyelesaian SPL dengan Metode Inversi Matriks
Metode inversi matriks dalam pencarian solusi SPL merupakan pemanfaatan teorema dari inversi matriks. Metode ini memanfaatkan teorema jika AX=B, maka X=A-1B. Untuk kasus SPL, dapat dimisalkan A sebagai koefisien-koefisien tiap persamaan linear, X sebagai variabel-variabel persamaan linear yang dicari, dan B sebagai suku konstan dari setiap persamaan linear. Untuk SPL yang dibahas
+=15 → 21 12. =1185 {2+2=18 21 12
sebelumnya, SPL yang telah dibuat dapat diubah ke dalam bentuk matriks AX=B,
Dengan
sebagai matriks A,
sebagai matriks X, dan
B.
1185
sebagai matriks
Dari bentuk matriks tersebut, nilai variabel dapat dicari dengan menggunakan rumus X= A-1B. A -1 merupakan invers dari matriks A sehingga untuk melakukan operasi rumus tersebut perlu dipahami terlebih dahulu proses penginversan pada
( ) ( ) det = . . . (.−.)
− = () .
matriks. Untuk melakukan invers pada matriks ber ordo 2x2, misal matriks Z dengan elemen
, maka rumusnya adalah
. Det(Z) adalah
− =
determinan dari matriks Z. Determinan untuk matriks ordo 2x2 seperti matriks Z adalah
.
. sehingga rumus invers dari matriks Z adalah
9
Setelah memahami proses invers dan determinan, pencarian solusi SPL metode inversi matriks dapat dilakukan, AX = B
21 12. =1185 =21 12− . 1185 = (.2−. ) . 121 12 . 1185 = 1⁄⁄33 2⁄⁄33. 1185 =[((10+(6) 4 6)+12)] =7 X = A-1B
Sehingga didapatkan solusi x=4 dan y=7. Metode ini memberikan kecepatan dalam pencarian solusi SPL. Namun karena melibatkan inversi matriks, sebelum melakukan metode ini haruslah memahami terlebih dahulu invers dan determinan matriks. Metode ini juga efektif apabila digunakan untuk mencari solusi SPL bervariabel banyak. 2.1.7 Penyelesaian SPL dengan Metode Aturan Cramer
Aturan ini merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL dengan memanfaatkan determinan matriks. Misal suatu SPL mempunyai tiga variabel x 1, x2, dan x 3 maka penyelesaiannya adalah
(())
= (()) = (()) , = ,
dengan A sebagai matriks dari koefisien-koefisien SPL (bukan augmented
matrix) dan A1, A2, serta A3 merupakan matriks A yang salah satu kolomnya (sesuai dengan angka 1,2,3 pada simbol matriks A) diganti dengan elemen matriks suku konstan dari SPL. Oleh karena determinan matriks merupakan fungsi dari matriks persegi berordo nxn (jumlah baris sama dengan jumlah kolom) ke bilangan riil Metode aturan Crammer untuk mencari solusi SPL hanya dapat digunakan pada SPL yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabelnya. Metode ini tetap dapat 10
diterapkan pada SPL sebelumnya. Hal ini dikarenakan SPL yang dibahas memiliki 2 variabel dan 2 persamaan linear sehingga apabila koefisien-koefisiennya dibuat
+=15 → =21 12 {2+2=18 1=11825 1512 ( ) 2=1 18 ( ) = detdet((1)) = (15.(2.221.1.118)) = ((132)) = det4 (2) = det() = (18.(2.221.1.115)) = ((231)) =7
dalam bentuk matriks, maka akan dihasilkan matriks persegi berordo 2x2,
Setelah ditentukan matriks-matriksnya, dapat dicari masing-masing variabelnya,
Sehingga didapatkan solusi x=4 dan y=7.
Metode aturan Cramer seluruh prosesnya memanfaatkan determinan, sehingga penguasaan determinan terhadap matriks persegi berordo banyak juga harus dikuasai. Namun untuk pencarian solusi SPL yang memiliki variabel sedikit, metode ini cocok untuk digunakan. 2.2
Penerapan dan Penggunaan SPL Sebagai Solusi Terhadap MasalahMasalah Ekonomi Sehari-hari
Penggunaan SPL untuk menyelesaikan masalah sehari-hari di bidang ekonomi dapat dilakukan dengan merumuskan komponen atau data-data permasalahan ke dalam suatu persamaan linear. Contohnya dalam kasus transaksi antara penjual dan pembeli di pasar. Perumusan data transaksi ke dalam persamaan
11
linear dapat dilakukan dengan memisalkan jumlah barang sebagai konstanta, jenis barang sebagai variabel, dan total harga/biaya transaksi sebagai suku konstan dari persamaan linear. Sebagai contoh diberikan kasus sebagai berikut, “Pada suatu hari Unyil diperintahkan oleh ibunya pergi ke pasar untuk membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel. Dari pembelian tersebut Unyil harus membayar Rp15.000,00. Kemudian keesokan harinya Unyil diperintahkan oleh ibunya lagi untuk membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?”
Dari kasus tersebut, dapat dimisalkan kedua jenis buah yaitu mangga dan apel sebagai variabel yang berbeda. Misal mangga sebagai
dan apel sebagai
.
Kemudian jumlah dari kedua jenis buah tersebut merupakan konstanta dan total
2+=15. 0 00 +2=18.000
harga sebagai suku konstan. Sehingga dari data transaksi hari pertama dapat dirumuskan sebagai sebagai
dan transaksi hari kedua dirumuskan
. Suku konstan dibuat dalam bentuk satuan supaya
perhitungan lebih mudah. Oleh karena dua rumusan persamaan linear tersebut saling berkaitan atau dalam lingkup peristiwa yang sama maka kedua persamaan linear tersebut dapat disebut sebagai sistem persamaan linear. Persamaan linear tersebut memiliki solusi. Dalam kasus ini, solusi inilah yang merupakan data harga satu buah mangga dan satu buah apel. Berbagai macam metode SPL dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus atau permasalahan seperti ini. 2.1.1 Contoh Penggunaan SPL dengan Berbagai Metode
1) Penggunaan SPL dengan metode Subtitusi Setiap hari Andi dan Jaka akan mendapatkan uang saku sebesar Rp.1.000. Selisih uang tabungan Andi dan Jaka adalah Rp.26.000, sedangkan lima hari yang lalu jumlah tabungan keduanya Rp.34.000. Hitunglah tabungan Andi dan Jaka untuk dua hari yang akan datang! Penyelesaian :
=26 ( ) ( 5) + ( 5) =34→+=44 ( ) =26 {+=44
Misalkan umur ayah dengan x dan umur anak dengan y, maka
Sehingga didapat suatu sistem persamaan linear, yaitu
12
=26→=26+ ( ) (2 6+)+=44( . . ) 26+2=44 2=18 =9 ( ) )=26( ℎ ) (9=26+9 =35 (
Dengan demikian, Tabungan Andi sekarang adalah Rp.35.000 dan tabungan
Jaka adalah Rp.9.000. Jadi, tabungan Andi dan Jaka untuk 2 hari yang akan datang adalah Rp.37.000 dan Rp.11.000. 2) Penggunaan SPL dengan metode Eliminasi Seseorang membeli 4 buku tulis dan 3 pensil, ia membayar Rp19.500,00. Jika ia membeli 2 buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp16.000,00. Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil! Penyelesaian : Misalkan harga buku tulis sebagai x dan harga pensil sebagai y, sehingga akan
{ 4x2 ++ 3y4 == 19.16.500000 4+3=19. 5 00 4+3=19. 5 00 ×1 | → 2+4=16. 0 00 4+8=32. 0 00 ×2 4+3=19. 5 00 4+8 =32. 0 00 5=12. 5 00 =2.500 16+12=78. 0 00 4+3=19. 5 00 ×4 | → 6+12=48. 0 00 2+4=16. 0 00 ×3 16+12=78. 0 00 6+12 =48. 0 00 10=30. 0 00 =3.000 terbentuk sebuah SPL yaitu
Kalikan persamaan kedua dengan 2 agar x dapat dieliminasi
Untuk mengeliminasi y, kalikan persamaan pertama dengan 4 dan kalikan persamaan kedua dengan 3
13
Jadi, penyelesaian persamaannya adalah x = 3.000 dan y = 2.500. Dengan demikian, harga sebuah buku tulis adalah Rp3.000,00 dan harga sebuah pensil adalah Rp2.500,00. 3) Penggunaan SPL dengan metode Gaussian Pada hari minggu Ibu pergi ke pasar untuk berbelanja. Ibu akan berbelanja ke suatu toko rempah-rempah. Di pembelian seb elumnya Ibu mengetahui bahwa selisih harga antara 1 kg garam dan 1 kg merica adalah Rp.10.000 serta harga 2 kg merica sama dengan harga 1 kg ketumbar lebih Rp.40.000. pada saat itu Ibu membeli 2 kg garam dan 1 kg merica serta Ibu mengembalikan 1 kg ketumbar dari pembelian sebelumnya karena sudah busuk sehingga kasir memberi total harga ke Ibu sebesar Rp.30.000. sesampainya di rumah Ibu ingin mengetahui harga dari setiap kg rempah-rempah yang Ia beli. Namun ibu kesulitan menentukan setiap kg harga rempah-rempah karena nota belanjanya hilang. Bantulah Ibu untuk menentukan harga setiap 1 kg dari garam, ketumbar, dan merica yang Ia beli! Penyelesaian :
=1 =1 =1 =1 (ℎ ℎ ℎ) 2=4+→+2=4 (ℎ ) Sebelumnya misalkan setiap komponen dengan variabel berikut
kg merica
Dari pernyataan “selisih harga antara 1 kg garam dan 1 kg merica adalah Rp.10.000” dapat dibuat rumusan seperti berikut
Dari pernyataan “harga 2 kg merica sama dengan harga 1 kg ketumbar lebih Rp.40.000” dapat dibuat rumusan seperti berikut
Dari pernyataan “Ibu membeli 2 kg garam dan 1 kg merica serta Ibu
mengembalikan 1 kg ketumbar dari pembelian sebelumnya karena sudah busuk sehingga kasir memberi total harga ke Ibu sebesar Rp.30.000” dapat dibuat
2+=3 (ℎ ) rumusan seperti berikut
Dari ketiga persamaan tersebut terbentuk SPL yaitu
14
=1 2+=3 +2=4 12 10 11 31 0 1 2 4 2=22(1) 10 10 13 11 03=3+2 1 2 4 10 10 13 11 03=0 3 5 5 10 10 13 11 02=1.0 12 1 10 01 13 11 → 3=1 =1 0 0 1 1 =1 =1 =1 (1) =1 =1+1 =2 3=1 ( ) 3 1 =1 =1+3 =2
Selanjutnya, buatlah augmented matrix dari SPL di atas
Setelah itu gunakan metode Gaussian dengan melakukan operasi baris matriks 1.
2.
3.
4.
Kemudian lakukan pencarian nilai x, y, dan z dengan cara subtitusi 1. 2.
3.
Sehingga kini diketahui bahwa harga 1 kg garam adalah Rp.20.000, harga 1 kg ketumbar adalah Rp.20.000 dan harga 1 kg merica adalah Rp.10.000.
15
4) Penggunaan SPL dengan metode Gauss-Jordan Pada suatu hari Usro diperintahkan oleh ibunya untuk membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel. Dari pembelian tersebut Unyil harus membayar Rp15.000,00, sedangkan keesokan harinya Unyil membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp18.000,00. Pada hari selanjutnya Usro diperintahkan Ibunya lagi untuk membeli 4 kg mangga dan 4 kg apel. Agar pada saat membeli nanti uangnya pas dan tanpa kembalian, Usro ingin mengetahui uang yang harus ia siapkan sebelum membeli 4 kg mangga dan 4 kg apel. Bantulah Usro untuk menentukan uang yang harus ia bawa! Penyelesaian : Misalkan harga 1 kg mangga = x dan harga 1 kg apel = y, maka akan didapat sistem persamaan linear seperti berikut
+=15 (( )) {2+2=18 21 12 11 58
Selanjutnya, buatlah augmented matrix dari persamaan linear di atas
10 01 ∗∗
Kemudian gunakan metode Gauss-Jordan Elimination untuk mencari nilai x & y, ubah bentuk matriks di atas menjadi
(bentuk matriks eselon baris
tereduksi) dengan melakukan operasi baris matriks
1=2 12 21 11 85 2=22(1) 10 232 2118 2=1 2 ⁄138 0 1 7 1=12(2) 10 01 47→ { =7=4 (( )) 1.
2.
3.
4.
16
Dari matriks nomor 4 dapat diketahui bahwa x=4(dalam ribuan) dan y=7(dalam ribuan) dengan 1 kg mangga=x dan 1 kg apel=y . Sehingga harga 4
4(4000)+4(7000)=44000 =.44.000 kg mangga dan 4 kg apel adalah
5) Penggunaan SPL dengan metode Inversi Matriks Arman membeli 5 pensil dan 3 penghapus, sedangkan Susi membeli 4 pensil dan 2 penghapus di toko yang sama. Di kasir, Arman membayar Rp 11.500,00 sedangkan Susi membayar Rp 9.000,00. Jika Dodi membeli 6 pensil dan 5 penghapus, berapa ia harus membayar? Penyelesaian : Misalkan harga pensil sebagai x dan harga penghapus sebagai y sehingga
+3=11.050000 {54+2=9. 54 32. ⌊yx⌋=⌊190001500⌋ x⌊y⌋=54 32− . ⌊190001500⌋ 1 . 42 35 . ⌊190001500⌋ ⌊yx⌋= (1012) ⌊yx⌋= 12 42 35 . ⌊190001500⌋ 3(9000) ⌊yx⌋= 12 [4(2(11500) 11500) 5(9000) ] 4000 ⌊yx⌋= 12 1000 ⌊yx⌋=⌊2500000⌋ terbentuk suatu SPL seperti berikut
Sajikan sistem persamaan linear menjadi susunan matriks :
Gunakan cara invers matriks untuk mencari nilai x & y :
, maka x=2000 & y=500
17
(6 . Rp 2.000) +(5 . Rp 500) = Rp 14.500
Diperoleh harga satuan pensil Rp 2.000 dan harga satuan penghapus Rp 500 Jadi, Dodi harus membayar
6) Penggunaan SPL dengan metode Cramer
Pada minggu ini, Ibu ingin membuat kue lumpur dan lemper untuk anakanaknya. Untuk membuat kue lumpur dan lemper tersebut, Ibu harus memasaknya secara bergiliran sehingga kedua jenis kue tidak dapat dimasak dalam waktu yang bersamaan. Dua minggu sebelumnya, Ibu memasak satu lemper dan satu kue lumpur dalam waktu 40 menit. Kemudian minggu berikutnya Ibu memasak 2 lemper dan satu kue lumpur dalam waktu satu jam. Pada minggu ini ibu ingin memasak 2 lemper dan 4 kue lumpur. Karena Ibu harus mengurus pekerjaan yang lain maka Ibu harus menentukan perkiraan waktu memasak sebelum Ibu mulai memasak lemper dan kue lumpur tersebut. Bantulah Ibu untuk menentukan perkiraan waktu dalam memasak 2 lemper dan 2 kue lumpur! Penyelesaian : Dari pernyataan “Ibu memasak satu lemper dan satu kue lumpur dalam waktu 40 menit” dapat dirumuskan
x+y=40 2x+y=60 (1 jam=60 menit)
Dari pernyataan “ Ibu memasak 2 lemper dan satu kue lumpur dalam waktu satu
jam” dapat dirumuskan
+=6 {2+=4 A=21 11 det(A) =1=2.1(1.1)
Sehingga akan terbentuk suatu SPL yaitu
Cari nilai x dan y dengan aturan Cramer 1. Ubah SPL 2 variabel di atas menjadi matriks
2. Hitung nilai determinan A
3. Nilai variabel x
18
a. Ganti kolom pertama matriks A dengan nilai ruas kanan (6,4) sehingga
A1=6400 11 det(A1) =20=60.1(1.40) (()) x= x= 201 x=20 menjadi matriks A1
b. Hitung nilai determinan A
c. Hitung nilai variabel x dengan cara
4. Nilai variabel y
a. Ganti kolom kedua matriks A dengan nilai ruas kanan (6,4) sehingga
A1=21 6040 det(A2) =20=2.40(60.1) (()) y = y= 201 =20 menjadi matriks A1
b. Hitung nilai determinan A2
c. Hitung nilai variabel y dengan cara
Dari sini, diketahui bahwa untuk membuat 1 lemper maupun 1 kue lumpur, sama-sama diperlukan waktu 20 menit. Pernyataan “Pada minggu ini ibu ingin memasak 2 lemper dan 4 kue lumpur”
2+4 2+4 2+4=2(20) +4(20) =120 dapat dirumuskan
Untuk menentukan perkiraan waktu memasak Ibu minggu ini, dapat dicari dengan menghitung nilai
Sehingga waktu yang diperlukan Ibu untuk memasak 2 lemper dan 2 kue lumpur adalah 2 jam atau 120 menit.
19
BAB 3 PENUTUP
3.1
Simpulan
Berdasarkan paparan bahasan pada Bab 2, dapat diketahui bahwa sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear yang saling berkaitan. Persamaan linear sendiri merupakan sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Sistem persamaan linear dapat dimanfaatkan oleh masyarakat untuk menyelesaikan berbagai permasalahan ekonomi sehari-hari. Data/komponen permasalahan seperti jumlah barang dan total harga dapat dirumuskan menjadi sistem persamaan linear yang kemudian beberapa persamaan tersebut akan membentuk sistem persamaan linear. Dari sistem persamaan linear ini, dapat diketahui komponen-komponen permasalahan yang ingin dicari. Komponen yang sudah diketahui tersebut disebut dengan solusi sistem persamaan linear. Terdapat enam metode yang dapat dilakukan untuk mencari solusi sistem persamaan linear dari masalah-masalah ekonomi yang dihadapi yaitu metode subitusi, metode eliminasi, metode Gauss, metode Gauss-Jordan, metode inversi matriks, dan metode aturan Cramer 3.2
Saran
Terlepas dari bantuan teknologi, penulis berharap bahwa seluruh kalangan masyarakat dapat memanfaatkan sistem persamaan linear untuk menyelesaikan berbagai masalah ekonomi sehari-hari. Dengan begitu pemenuhan kebutuhan masyarakat akan tetap terpenuhi dan masyarakat dapat mengontrol sendiri jumlah sumber daya yang akan diambil sehingga kelestarian sumber daya juga tetap terjaga.
20
DAFTAR PUSTAKA
Sibaroni, Yuliant. 2002. Buku Ajar: Aljabar Linear . Bandung: Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. ‘Imrona, Mahmud. 2002. Aljabar Linear Elementer . Bandung: Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Santosa, Gunawan. 2008. Aljabar Linear Dasar . Yogyakarta: ANDI OFFSET. Ismail, Zainuddin. 2006. Teori Ekonomi. Surabaya: Dharma Ilmu.
21
LAMPIRAN
1. Grafik kemungkinan solusi sistem persamaan linear
22
