Matem´ aticas aticas Ejercicios y problemas Grado en Administraci´on on y Direcci´ on on de Empresas Grado Gra do en Econom´ Eco nom´ıa ıa
Departamento de Matem´ aticas aticas Universidad P´ ublica ublica de Navarra
1.
Opera Operaci cion ones es con con matr matric ices es
Determina a,, b, b , c, c , d, d , e y e y f para f para 1. Determina a
2. Realiza
el siguiente c´alculo alculo con matrices: 2
Calcula a,, b 3. Calcula a 4. Resuelve
(a)
5. Realiza
(a)
que se satisfaga:
y c para que la matriz
−
1 a 3
A + 3B 3B = 2A
2 1 2
−
2 3 1 2 b c 2
− − − −
−3 −1
−
− − − 4 3
5 1
1 3
+
3 2
4 8
c d
=
1 2 1 0
.
4 2
−3
3
−1
e 3 8 12 f 0
.
sea se a sim´ s im´etri et rica. ca.
2 4
− B = −11
(b)
3 1
3X
− 2Y =
X + + Y =
5
−1
5
los siguientes productos de matrices: 2
−1
−
6. Dadas
−
2 a b 5
los siguientes sistemas de ecuaciones matriciales:
− 3 1 1
3
(c)
(d) (b)
−
3 1 1
2
−1
3
(e)
− −
2 1 1
2 1
−
5
−1
3 4
− − − 3 1
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
−
3 1
(f) (f )
(g)
(h)
las siguientes matrices A matrices A y B A =
calcula: 2A 2A
2
1 2 3 2 4 6 1 2 3 2
B =
2
− 3B, 2A − 3AB y 2A B − 3AB . 1
−−
1 3 2
−1
2 1
−
1 1 0
− − − − −
− 2
1 1
1 0
1 1
3 1
−
1 1
1 1 2
2 1
3 2 0
1 2 1 2
1 2 1
3 3
7. Una
matriz se dice idempotente si A si A 2 = A. A . Prueba que la siguiente matriz es idempotente:
− 8. Dadas
las matrices A matrices A = =
y (A + B )(A )(A
ua ua 9. Efect´
− B).
2 3 5
0 1 0 0 1 1
2 1 1
y B =
el c´alculo alculo matricial siguiente: A siguiente: A = I = I 4
−2 −4 3 4 −2 −3 1 1 1
− 41
0 1 2 1 1 0
1 1 1 1
, calcula: A calcula: A + B , A
1 1
1 1
2
AB , BA B A, A − B − B , AB,
2
.
matriz se dice ant etrica etrica de orden 4 4, que a ntis isim´ im´etri et rica ca si At = A. Escribe una matriz antisim´ adem´ as cumpla que, por encima de la diagonal principal, la cantidad de elementos positivos sea el doble as que la cantidad de elementos negativos. 10. Una
11. Escribe
−
×
una matriz cuadrada cualquiera A de orden 4. Calcula con ella las matrices S = =
1 (A + At ) 2
T =
1 (A 2
− At )
Comprueba que S S es sim´etrica etr ica y T antisim´etrica. etrica. ¿Qu´e matriz resulta ser S + T + T ?? Trata de generalizar estos resultados, justificando que son v´alidos alidos para cualquier matriz A matriz A de partida; se trata de probar que cualquier matriz cuadrada A cuadrada A se se puede pu ede expresar e xpresar como la suma su ma de d e una matriz sim´etrica etrica y una un a antisim´ antis im´etrica. etrica. 12. Dadas
dos matrices cualesquiera A y B , cuadradas y del mismo orden, calcula la traspuesta de las siguientes matrices: (a) C (a) C = = A + At (b) D (b) D = A = A + B t (c) E (c) E = = (A + B t )(B )(B + At ). ¿Alguna de las matrices C matrices C ,, D o E E resulta ser sim´ si m´etrica? etrica? Razona la respuesta. res puesta. 13. Escribe
una matriz A matriz A cualquiera, de orden 3
× 4, y calcula, si es posible, los productos A At y A t A.
que para cualquier matriz A, A , cuadrada o no, los productos A productos A At y A t A son siempre posibles y que ambos resultados son matrices cuadradas sim´etricas. etricas. 14. Demuestra
15. La
siguiente tabla muestra los contenidos vitam´ınicos ınicos de tres art´ art´ıculos alimenticios escogidos conveconvenientemente: Alimento I Alimento I I Alimento I II
Vit. A 0’5 0’3 0’1
Vit. B 0’5 0’0 0’1
Vit. C 0’0 0’2 0’2
Vit. D 0’0 0’1 0’5
(a) Si comemos cinco unidades de alimento I, diez unidades de alimento II y ocho unidades de alimento III, ¿cu´ antas unidades de cada tipo de vitamina hemos tomado? antas (b) Si pagamos s´olo olo p or el contenido vitam´ınico ınico de cada alimento, pagando respectiva resp ectivamente mente 0 1 e, 0 2 e, 0 3 e y 0 5 e por unidad de cada vitamina, ¿cu´anto anto cuesta una unidad de cada tipo de alimento? Realiza los c´alculos alculos matricialmente. atica tiene establecimientos en Pamplona, Estella y Tudela. Las existencias actuales atica 16. Una empresa inform´ de ordenadores de sobremesa, port´atiles, atiles , tabletas ta bletas y tel´ te l´efonos efonos m´ oviles son las que figuran en la siguiente oviles tabla: Departame nto de M atem´ aticas aticas
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Sobremesa 12 9 12
Pamplona Estella Tudela
Port´ atil 16 12 12
Tableta 20 18 16
Tel´ efono 30 21 8
Muestra los productos de matrices que dan respuesta a las siguientes preguntas y realiza los c´alculos correspondientes: (a) Si cada ordenador de sobremesa est´a valorado en 400 e, cada port´atil 600 e, cada tableta 350 e y cada m´ovil 200 e, ¿cu´al es el valor global de las existencias en cada ciudad? (b) El responsable de ventas de la empresa propone como objetivo al establecimiento de Pamplona vender la mitad de sus existencias de todos sus aparatos; en Estella la tercera parte y en Tudela las tres cuartas partes. En total, ¿de cu´antos aparatos de cada tipo estamos hablando? La ebanister´ıa CARCOMASA dispone de tres modelos de escritorio: R´ustico, Funcional y Se˜norial. Los materiales de construcci´on para todos ellos son madera, metal y barniz. Cada escritorio utiliza las cantidades de material dadas en la siguiente tabla: 17.
R´u stico 3 2 1
Madera Metal Barniz
Funcional 4 3 2
Se˜ norial 7 5 3
Queremos fabricar 5 escritorios estilo R´ustico, 3 estilo Funcional y 4 estilo Se˜norial. Cada unidad de madera cuesta 20 euros, cada unidad de metal 10 euros y cada unidad de barniz 12 euros. Siendo A la matriz proporcionada por la tabla anterior, B la matriz columna de las cantidades de escritorios que queremos fabricar y C la matriz columna que refleja el coste unitario de cada material, ¿cu´al o cuales de los siguientes productos matriciales proporcionan el coste total de los materiales empleados? ABC t , C t AB,C t At B. En cada caso razona la respuesta afirmativa o negativa. Calcula dicho coste total. 18. Una
empresa produce m art´ıculos en n factor´ıas. Sea P la matriz (vector) columna de precios, es decir, pi es el precio del art´ıculo i. Sea Q la matriz m n, cuyo elemento q ij son las unidades del art´ıculo i que se producen en la factor´ıa j . Muestra c´omo obtener mediante un producto de matrices el valor en el mercado de la producci´on de cada factor´ıa.
×
2.
Matriz inversa
19. Comprueba
(a) A =
(b) B =
(c) C =
20. Calcula,
que cada una de las siguientes matrices tiene por inversa la que se indica:
1 2
−1
1 0 0
−
0 2 1
1 0 0 0
1 1 0 0
3
, A
− 1 1 2 0
−
2 1 1
−1
=
3/5 1/5 2/5 1/5
−
, B −1 =
1 2 1 3
, C −1 =
1 6
1 0 0
.
2 1 1
− − − − 6 0 0 0
4 1 2
.
−6 −6 6 0 0
3 3 0
4 5 1 2
− −
.
por el m´etodo de Gauss, la invesa de las siguientes matrices:
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3
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(a)
(b)
−
21. Dada
1 1
−1
0
1 2
1 1
−
(c)
la matriz A =
22. Resuelve
(d)
−
1 1
−
1 2
− − −− − − −− 2 3 2
0 1 1
1 2 2
1 1 1
1 0 1
1 1 1
, calcula A −1 + 2At + A2 .
la siguiente ecuaci´on matricial, en la que X es una matriz cuadrada de orden 2:
−
8 1
−1
2
· + X
−
3 1 4 2
3 6 5 0
=
1 1 1 1 0 0 1 1 23. Dadas la matrices A = ,B= y C = , obt´en la inversa de A y 2 1 1 2 1 1 1 3 utiliza el resultado para resolver la ecuaci´on matricial A X + B = C ¿Existe alguna matriz Y con la que se satisfaga Y A + B = C ?
·
·
24. Despeja
la matriz X en cada uno de las ecuaciones matriciales siguientes, sabiendo que todas las matrices que intervienen son invertibles: (a) AX = B
(c) A−1 X = B
(e) AX + BX = B
(g) AX −1 B −1 = B
(b) X A = B
(d) X −1 A = B
(f) X t A = B t
(h) AX B = A
25. Simplifica
cada una de las siguientes expresiones:
(a) (A + B)2
2
(c) (AB −1 )−1 (BA −1 )−1
− (A − B) − 2A(A + B)
(b) (AB −1 )2 (BA −1 )2
0 1 26. Dada la matriz A = 1 1 −1 afirmativo, calcula la matriz A .
− −
(d) (A + B)−1 (AB + B 2 )(A−1 B)−1
, calcula A2 , A3 y A2013 . ¿Admite inversa la matriz A? En caso
0 a b 0 0 c , obt´en la matriz An para todos los exponentes enteros no negativos n 27. Siendo A = 0 0 0 (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .) ¿Puede calcularse A n para alg´ un exponente entero n negativo? Razona la respuesta. 28. Calcula,
seg´un los valores del par´ametro real p, la inversa de la matriz: Z =
1 1 2 3 2 1 0 1 p
29. Los
supermercados Merqueco y Mercade se disputan los clientes de una ciudad. A lo largo del tiempo ha venido ocurriendo que, cada a˜no, Merqueco pierde el 30 % de sus clientes que gana Mercade , mientras que Mercade pierde el 10 % de los suyos, que gana Merqueco. (a) Determina la matriz A tal que, siendo X =
x y
una matriz cuyos elementos representan el n´ umero de
clientes de cada supermercado, el producto AX sea el n´ umero de clientes respectivos al a˜no siguiente. (b) Actualmente, ambos supermercados cuentan con 300 clientes, ¿cu´antos tendr´ a cada supermercado el a˜no que viene?, ¿cu´antos ten´ıan el a˜no pasado?
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(c) Si en alg´ un momento Mercade tuviera el triple de clientes que Merqueco, ¿qu´e pasar´ıa al a˜ no siguiente? 30. Supongamos
que la distribuci´on de la riqueza de un pa´ıs permite dividir la poblaci´ on en tres clases 1 , 2 , 3 (alta, media, baja). La proporci´ on de personas que se encuentran en una determinada clase en un momento dado, y ascienden, se mantienen o descienden a otra clase en el periodo de tiempo siguiente, est´ an dadas en la matriz 0 8 0 1 0 2 0 2 0 6 0 2 A = , 00 03 06
siendo aij la proporci´on de individuos de la clase j que pasan a la clase i en el siguiente periodo de tiempo. Si en cierto instante 280 personas pertenecen a la clase 1 , 720 a la clase 2 y 600 a la clase 3 , ¿cu´antas pertenecer´an a cada clase el periodo siguiente?, ¿cu´antas pertenec´ıab a cada clase durante el periodo anterior? ¿c´omo se calcular´ıa esta distribuci´on en clases para n periodos m´as tarde?
3.
Determinantes
31. Calcula
(a)
los siguientes determinantes:
2 0 1
32. Calcula
−1 −1
3
−
1 3 1
(b)
−
1 2 0
el determinante
0 2 1
−1 −1 −1
1 1 1
0 2 , desarrollando: 1
−
1 1 2
(a) Por los adjuntos de la columna 3. (b) Por los adjuntos de la fila 1.
(c)
−
1 2 0
1 1 0 2
−
1 0 1 2 1 1
(d)
−
1 0 2 1 1 1
−
1 1 0
(c) Por los adjuntos de la fila 2. 33. Calcula
(a)
los siguientes determinantes de orden 4:
−
34. Justifica
2 2 1 4
−1 −
2 1 3
− −
1 3 1 2
que la matriz
dicha inversa
−2
1 0 3
−
−
1 1 1 0
(b)
a 1 a 1+a a
− −
1 2 0 3
−
−1
0 1 1
−
(c)
−
1 0 1 1
−1
1 0 1 1
1 0 1
−1
1 0 1
−
tiene inversa para cualquier valor del par´ametro a . Calcula
(a) Por el m´etodo de la matriz adjunta. (b) Por el m´ atodo de Gauss. 35. Determina
los posibles valores del par´ametro a para los que la siguiente matriz tiene inversa
36. Calcula
(a)
a 1 1 1 a 1 1 1 a
la inversa de las siguientes matrices, utilizando adjuntos:
−
1 2
−
1 1
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(b)
2 3 2
0 1 1
−1 −1 − −1 5
(c)
−
1 2 2
1 0 1
1 1 1
− − −
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37. Sabiendo
(a)
3x 3y 5 0 1 1
38. Sabiendo
39. Dada
que
que
x 5 1
y 0 1
3z 3 1
a b d e g h
z 3 1
= 1, calcula el valor de los siguientes determinantes, sin desarrollarlos:
5x 5y 1 0 1 1
1 h b a e d h g
(b)
5z 3/5 1
(c)
c f = 5, calcula el valor del determinante: i
x 2x + 5 x+1
y 2y y + 1
z 2z + 3 z + 1
−1
0 b c e f h i
una matriz cuadrada A, ¿se satisface en general la igualdad
|− A| = −|A|? Razona la respuesta. 40. Sean A y B matrices cuadradas de orden 3 tales que |A| = 2 y |B | = −3. Calcula: |3A|, |(2A)(3B)|, |BAB |, |AB | y |ABA |. −1
−1
41. Consideramos
una matriz cuadrada de orden n, de la que sabemos que todos los elementos de la primera fila son iguales a 1, y que su determinante vale d. Se pide obtener razonadamente el valor del determinante de la matriz que se obtiene en cada una de las siguientes transformaciones de la matriz original: (a) Se suma 2 a todos los elementos de la primera fila. (b) Se resta 2 a todos los elementos de la primera fila. (c) Se suma 2 a todos los elementos de la segunda fila. (d) Se resta 2 a todos los elementos de la segunda fila. 42. Dada
una matriz cuadrada A, cuyo determinante vale 5, hemos multiplicado su primera fila por 1, la segunda por 2, la tercera por 3, y as´ı sucesivamente hasta la u ´ ltima fila n , que hemos multiplicado por n . La matriz resultante la denominaremos B .
(a) Si el determinante de la nueva matriz B vale 600, ¿cu´al es el orden n de la matriz A?
(b) ¿Cu´ anto vale el determinante de A + B? (c) ¿Cu´ anto vale el determinante de A
− B?
43. Sabiendo
que los n´umeros 143, 156 y 195 son m´ultiplos de 13, demuestra, sin efectuar su desarrollo, que el siguiente determinante es tambi´ en m´ ultiplo de 13:
44. Justifica
1 4 3 1 5 6 1 9 5
que, sea cual sea el valor de x, y y z , el siguiente determinante no puede ser negativo. (Para verlo, se sugiere desarrollar por los adjuntos de una fila adecuada):
45. Mediante
1 x 2 y
2 y 3 z
3 1 z x
3 z
1 2 x y
transformaciones elementales, determina el rango de las matrices:
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(a)
(b)
(c)
4.
−
1 2 3 1 1 1 2 3 6 1 2 3 1 1 1 2 3 4 1 1 2
2
(d)
3
−2 −3 4
6
(e)
− 1 3 4 6 2
−1 − 1 2 0 1 3
2 0 2 0 4
2 1 4 2 1 1 1 6 1
− − − 1 0 3 6 5
− −
1 2 1 4 2
−
1 2 0 1 3
(f)
− −
1 2 1 8 3
−
3 1 4 1 2
5 1 2 3 8
−
7 0 8 2 9
−5 −4 −2 0 −6 1 −2 −3 7
6
Sistemas de ecuaciones lineales
46. Resuelve
(a)
(b)
− −− − −
x + y z = 3 2x y z = 5 x + 3y + z = 5
−−
−
(c)
(d)
x + y + z = 1 2x + y z = 2 x + 2y = 3
(e)
−
(f)
x + y z = 1 2x + y 3z = x + 2y 4z =
−
− −
x + y + 2z = 0 3x y 2z = 0 x + 2y + z = 0
49. Discute
(b)
−
−− −−
−4 −3
x + y + z = 3 2x y z = 0
− − x + 3y − z = 3 x − 2y + z = 0 x + 8y − 3z = 6
y resuelve los sistemas de ecuaciones homog´eneos:
48. Comprueba
(a)
− −
x y + z = 1 2x + y z = 1 3x + 2y + 2z = 1
47. Discute
(a)
los siguientes sistemas de ecuaciones:
−
(b)
que el siguiente sistema es incompatible
y resuelve, seg´un los valores del par´ametro a
−
− − − − − −− − −
x + y z 2t + 3u = 0 x + 2y + 2z + 3t 2u = 0 2x y z + t + u = 0 2x + 2y 2z t 2u = 0
x + y z = 1 2x + y z = 2 x + 2y 2z = 5
− − −
−
∈ R, los sistemas ax − y − z = 1 x − ay − z = 1 (c) x − y − z = 1 x − 2y + z = 0 −3x + y + 2z = 1 (d) 5x − 5y = a
ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a 2 x + y + az = 3 x + ay + z = 0 ax + y + z = 0
50. Cierto
restaurante de comida r´apida dispone de tres men´us: megaguay a 10 euros, superguay a 6 euros y topeguay a 5 euros. Hoy ha servido 45 men´us, por los que ha ingresado en total 295 euros. Si todos los clientes que han pedido topeguay hubieran pedido superguay, los ingresos habr´ıan sido de 310 euros. ¿Cu´ antas men´ us de cada tipo ha servido? 51. Sea b 1 , b 2 , b 3 el
beneficio (o p´erdida) obtenido por cada mil euros invertidos en tres valores burs´atiles durante cierto periodo de tiempo. Un inversionista A asegura haber obtenido un beneficio total de 600 e, con una inversi´o n de 2000 e en el primer valor y de 1 000 e en cada uno de los otros dos valores. Otro, B , declara un beneficio total de 200 e, con una inversi´on de 500 e en cada valor. Por ´ultimo, C declara 400 e de beneficio total y una inversi´o n de 1000 e, 600 e y 600 e respectivamente en cada valor. Se pide:
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15 3 12 7 12
−
a) Demuestra que alguno de los inversionistas no est´a diciendo la verdad. b) Suponiendo que la declaraci´ on de C es falsa, y las de A y B correctas, ¿qu´e relaci´on guardan los beneficios unitarios b 1 , b 2 , b 3 ?
c) Si el dato falso aportado por C ha sido el beneficio total obtenido, pero es cierta su declaraci´on de inversiones, ¿cu´al ha sido realmente el beneficio de C en la operaci´on?
52. Una
empresa fabrica tres productos A, B y C . Todos ellos requieren de tres procesos que se realizan en m´ aquinas respectivas I, II y III. El tiempo en horas para procesar una unidad de cada producto por las tres m´aquinas est´a dado por A 3 1 2
M´aquina I M´aquina II M´aquina III
B 1 2 1
C 2 4 1
a) Se dispone de la m´aquina I durante 850 horas, de la II durante 1200 horas y de la III durante 550 horas. ¿Cu´antas unidades de cada producto deber´ıan producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible en las m´aquinas? b) Supongamos que se dispone de las m´aquinas I, II y III durante 1200, 900 y 1100 horas, respectivamente. ¿Qu´e sucede en este caso? 53. La
ebanister´ıa CARCOMASA utiliza en cada escritorio R´ustico, Funcional y Se˜ norial las cantidades de material que ya conocemos (v´ease el problema 17). Dispone de 200 unidades de madera, 100 de metal y 100 de barniz y quiere fabricar escritorios de los diferentes estilos, sin que le sobre ni le falte nada de ese material disponible. ¿Puede conseguirlo? Razona la respuesta. 54. Un
almac´ en distribuye cierto producto que fabrican tres marcas distintas A, B y C . La marca A lo envasa en cajas de 250 g y su precio es de 1 e por caja; la marca B lo envasa en cajas de 500 g a un precio de 1 80 e por caja y la marca C lo hace en cajas de 1 Kg a un precio de 3 30 e por ca ja. El almac´en vende a un cliente 2 5 Kg de este producto por un importe total de 8 90 e. Sabiendo que el lote iba envasado en cinco cajas, determina el n´umero de envases de cada tipo que se han enviado. 55. Una
empresa fabrica tres productos en tres plantas. Supondremos que todos los trabajadores de la empresa son iguales , por lo que su distinta productividad s´olo es consecuencia de la capacidad tecnol´ogica de la planta en la que trabajan. As´ı, cada trabajador de la primera planta produce mensualmente por valor de 2, 3 y 4 unidades monetarias de cada uno de los productos respectivos. En la segunda planta, esta producci´on mensual de cada trabajador es de 5, 2 y 3 unidades monetarias para cada producto y, por u ´ ltimo, en la tercera planta es de 1, 7 y 5 unidades monetarias.
a) Si la empresa obtiene una producci´on total mensual por valor de 63, 100 y 101 unidades monetarias de cada producto respectivo, ¿de cu´antos trabajadores dispone cada planta? b) Un trabajador de la primera planta desea trasladarse a la segunda. En t´ erminos econ´ omicos, ¿resultar´a beneficioso o perjudicial para la empresa aceptar la petici´on? 56. Una
instituci´on concede 272 000 euros para ayudas a 100 estudiantes. Establece tres cuant´ıas diferentes en funci´on de sus niveles educativos, A, B y C: 4 000 euros para cada estudiante del nivel A, 1 600 euros para los del B y 2 000 euros para los del C. Si para el nivel A dedica en total cinco veces m´as dinero que para el B, ¿cu´antos estudiantes hay en cada nivel? 57. Se
estima que variando el precio de tres art´ıculos en x, y y z unidades monetarias respectivamente, sus correspondientes demandas variar´an en:
− −
2x + y + z unidades del primer art´ıculo, x 3y + 2z unidades del segundo art´ıculo, 3x + y 4z unidades del tercer art´ıculo.
−
As´ı, por ejemplo, si no hay variaci´o n en los precios (x = y = z = 0), tampoco hay variaci´o n en las cantidades vendidas. ¿Qu´e otras variaciones en los precios mantendr´an invariantes las cantidades vendidas?
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58. Una
marca comercial utiliza tres ingredientes (A, B y C ) en la elaboraci´on de cuatro tipos de pizzas (P 1 , P 2 , P 3 y P 4 ). P 1 se elabora con 1 unidad de cada ingrediente, P 2 con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C , P 3 con 2 unidades de A, 1 de B y 1 de C , y P 4 con 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C . El precio de venta es de 8 75 e para P 1 , 12 e para P 2 , 10 25 e para P 3 y 12 25 e para P 4 . Sabiendo que el beneficio obtenido con cada pizza es el mismo en cada uno de los cuatro tipos, ¿cu´anto le cuesta a la empresa cada unidad de A, B y C y cu´al es el beneficio en cada pizza? 59. En
cierta carrera universitaria, la realizaci´on de cada trabajo de Matem´aticas requiere 1 folio, 2 horas de trabajo y 2 litros de caf´e; por su parte, cada trabajo de Econom´ıa requiere 1 folio, 3 horas de traba jo y 1 litro de caf´ e; por u ´ ltimo, cada trabajo de Contabilidad requiere 1 folio, 1 hora de trabajo y 3 litros de caf´e. ¿Cu´antos trabajos de cada asignatura podremos completar, si utilizamos para ello la totalidad de los 6 folios, las 14 horas y los 10 litros de caf´ e disponibles? Muestra todas las soluciones posibles.
5.
Funciones reales, l´ımites y continuidad
60. Una
vendedora de programas inform´aticos gana 1 800 e al mes. Adem´as, a partir de los 175 programas vendidos, recibe una comisi´on de 10 e por cada nueva venta. (a) Determina la expresi´on que da la ganancia mensual en funci´on de los programas vendidos. (b) Traza su gr´afica. (c) Si a la vendedora le dan a elegir su contrato entre la modalidad anterior o la alternativa de 1 800 e al mes m´ as 4 e por cada programa vendido desde el principio, ¿cu´antos programas debe vender para que le compense uno u otro contrato? 61. Se
estima que el n´ umero de bicicletas que se vender´an en una determinada regi´on en el a˜ no t ser´a proP t porcional a , donde P es el n´ umero de habitantes de la regi´on en dicho instante t. Tambi´en se ha t podido determinar que, en el instante t, la poblaci´on ser´a de 8t2 + 3t habitantes. Se desea calcular el n´ umero de bicicletas como funci´on de t, sabiendo que el primer a˜no se vendieron 150. Si el fabricante de las bicicletas sabe que el beneficio obtenido con cada una de ellas disminuye con el tiempo, de forma que 100 el a˜ no t ganar´a en cada una euros, expresa el beneficio total de cada a˜no en funci´on de t y estudia t+1 su comportamiento a largo plazo.
−
62. Se
estima que el n´umero de horas de trabajo requeridas para distribuir nuevas gu´ıas telef´onicas al x por ciento de las familias en una cierta comunidad rural viene dado por la funci´on: f (x) =
600x 300 x
−
Determina el dominio de la funci´on f , en el contexto del problema. Una vez distribuidas las gu´ıas a la mitad de la poblaci´on, ¿cu´antas horas de trabajo ser´an necesarias para acabar el traba jo? Calcula tambi´en el porcentaje de familias que habr´a recibido las nuevas gu´ıas telef´onicas tras 150 horas de trabajo. 63. La
demanda de consumo para un cierto art´ıculo es D( p) = el precio de mercado es de p u.m. por unidad.
−200 p + 12 000 unidades por mes, cuando
(a) Dibuja esta funci´on de demanda. (b) Expresa el gasto total mensual de los consumidores para el art´ıculo como una funci´on de p. (El gasto total mensual es la cantidad total de dinero gastado por los consumidores cada mes en el art´ıculo). (c) Dibuja la funci´on gasto total mensual. (d) Discute el significado econ´omico de la intersecci´on de la funci´on de gasto con el eje p. (e) Usa el gr´afico de la parte (c) para estimar el precio de mercado que genera el mayor gasto de consumo. 64. Un fabricante con derechos exclusivos para producir una nueva y compleja maquinaria industrial planea
vender una cantidad limitada de m´aquinas tanto a empresas nacionales como extranajeras. El precio que el fabricante puede esperar recibir por las m´aquinas depender´a de la cantidad de m´aquinas disponibles. Se estima que si el fabricante suministra x m´ aquinas al mercado nacional e y m´ aquinas al extranjero, se
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9
Universidad P´ ublica de Navarra
x y y x vender´an a 60 + miles de euros cada una en el pa´ıs y a 50 + miles de euros cada una en 5 20 10 20 el extranjero. Expresa los ingresos R del fabricante como una funci´on de x e y .
−
−
65. Un
fabricante pretende vender un nuevo producto a un precio de p euros por unidad y estima que si invierte x miles de euros en desarrollo e y miles de euros en promoci´on, los consumidores comprar´an 320y 160x aproximadamente + unidades del producto. Si los costes de producci´on son de 50 e por unidad, y + 2 x + 4 expresa el beneficio total como una funci´on de p, x e y . 66. La
utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un art´ıculo e y unidades de otro art´ıculo est´ a dada por la funci´on u(x, y) = 2x3 y 2 . En la actualidad el consumidor dispone de x = 5 unidades del primer art´ıculo e y = 4 unidades del segundo. Halla el nivel de utilidad actual y traza la curva de indiferencia correspondiente. 67. La
funci´on de utilidad de un consumidor para cantidades x e y de dos bienes est´a dada por u(x, y) = (x + 1)(y + 2). En la actualidad el consumidor dispone de x = 5 unidades del primer art´ıculo e y = 4 unidades del segundo. Halla el nivel de utilidad actual y traza la curva de indiferencia correspondiente. 68. Calcula
los siguientes l´ımites:
√ x (e) l´ım √ x x+ x √ x− x (f ) l´ım x x−1 y − (a − 1)y − a (g) l´ım y a y −a
x2 + x 2 (a) l´ım 2 x→1 x 4x + 3 x 1 (b) l´ım x→1 x 1 5+x 2 (c) l´ım x→−1 x+1
−
√ −− √ − −
→∞
→1
2
3
→
(d) l´ım (2 + cos x)1/ cos x
3
x→π
69. Estudia
la existencia de l´ımite en x = 0 y en x = 3 para la siguiente funci´on: f (x) =
70. Estudia
2x2 + 1 si x < 0 1 x si 0 x 2 si x > 3
x+2
≤ ≤3
−
la continuidad de la siguiente funci´on definida a trozos:
f (x) =
71. Determina
x2 + 2 si 0 < x 1 si x > 4 x 4
el valor de a que hace continua la funci´on
x3
si x
ax2
si x > 2
≤2
el valor de c para el que la siguiente funci´on resulte continua en x = 2. f (x) =
73. Determina
≤4
−
f (x) =
72. Determina
si x < 0
x x2 c
−2
− 3x + 2
si x = 1, x = 2
si x = 2
los valores de a y b para los que la siguiente funci´on resulta continua. f (x) =
Departame nto de M atem´ aticas
a x + 1 si x 1 b si 1 < x 2 3x 8 si 2 < x
||
≤− − ≤2
−
10
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74. Dibuja
la funci´on f (x) =
x2 + 2 si x = 1 1 si x = 1
Deduce del gr´afico el valor de l´ım f (x). ¿Es f continua? ¿Por qu´e? ¿C´omo la definir´ıas para que fuera x→1
continua? 75. La
funci´on de una variable parte entera de x , que simbolizaremos E [x], se define como el mayor n´ umero entero menor o igual que x. Estudia su continuidad, as´ı como la de la funci´ on g (x) = x E [x].
−
76. Halla
el valor o valores de a para los que la siguiente funci´on resulta continua:
f (x) =
77. Dada
la funci´on f (x) =
a2 x si x 2 ax2 si x > 2
≤
x + 2a 2
si 1 < x < 3
+ a2 x si x
−2x
≤ 1 o x ≥ 3
determina para qu´e valor o valores de a resulta continua.
78. Determina A y B para
que la funci´on f (x) =
sea continua en x = 2.
x2 + B 2
x
si x
− Ax − 6 x−2
≤2
si x > 2
79. Un
supermercado, como promoci´on de primavera, descuenta a sus clientes el 20 % de lo que el valor de su compra exceda de 30 e. Las compras con valor inferior o igual a 30 e no tienen descuento. Muestra una expresi´ on de la funci´on f ( p): cantidad final que pagan los clientes en funci´on del precio p sin descuento . Estudia la continuidad de la funci´on f ( p).
6.
Derivaci´ on de funciones de una variable
80. Calcula
la derivada de las siguientes funciones: 2
(a) y =
−5x (b) y = −2x √ (c) y = x √ (d) y = x
6
(k) y = + 2x3 + 4x
3
−2
5
x 1 2x + 3 2
−
(s) y =
− √ x √ (m) y = ( x − 3) √ √ (n) y = x + 3 x 2x − 1 (˜ n) y = √ 9−x √ √ (o) y = ( x − 1)(2 x + 3) √ x − 1 (p) y = √ (l) y =
3
2
3
3
− 5)(5x (g) y = (2x − 1)
+ 3x
4
(h) y = (x + 1)(2x + 3)3 (i) y =
(x 1)2 x+3
(j) y =
−
x+3 x 4
− 2)
2
3
3
2
−
(q) y = e
x+2
2
(t) y = ln
(r) y = ln x
2x 1 x+3
−
(v) y = sen3 x (w) y = cos2 x5 (x) y = cos2 x (y) y =
x
3
(u) y = cos x2
3x−1 cos
−
3
4
1 (e) y = 3 x (f) y = (x2
ln2 x 1 sen x
(z) y =
2
− sen x sen x − 1
2cos x + 3
tan x 1 sen(3x)
−
81. Determina
la ecuaci´on de la recta tangente a las gr´aficas de las siguientes funciones, en los puntos cuya abscisa se indica. Departame nto de M atem´ aticas
11
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(a) f (x) = x 2
− 5x + 3, en x = 2. (b) f (x) = 6x − 5x , en x = −1. 3
(c) f (x) = tan x, en x = 0.
82. Halla
la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = 6x
83. Se
sabe que la recta y = 5x (3, f (3)). Halla f (3) y f (3). 84. Determina
− 5x
3
en el punto x 0 =
−1.
− 13 es tangente a la gr´afica de una funci´on derivable f , en el punto
todos los puntos de la gr´afica de la funci´on y = 2/x en los que su recta tangente tiene
pendiente
−2.
85. Calcula
recta y =
el punto de la gr´afica de la funci´on f (x) = x2 2x + 3.
−
86. Determina
− 6x + 1 cuya recta tangente es paralela a la
el valor del par´ametro m para que las tangentes a la curva y = mx3
2
− (m + 7)x − 18
en los puntos de abscisas x = 1 y x = 2 sean paralelas. a y b para que la recta tangente a la gr´afica de f (x) = ax 2 + bx + 1 en el punto (1, 2) de su gr´ afica, sea paralela a la recta y = 3x + 10. 87. Calcula
88. Para
un precio p, las funciones de oferta, S ( p), y demanda, D( p), de cierto art´ıculo en el mercado son: S ( p) = p
− 10
D( p) =
1200 p
(a) Halla el precio para el que la oferta y la demanda son iguales (precio de equilibrio) y el correspondiente n´ umero de unidades ofrecidas y demandadas (cantidades de equilibrio). (b) Calcula las derivadas S ( p) (oferta marginal) y D ( p) (demanda marginal) de las funciones dadas. (c) Supongamos que el mercado se encuentra en equilibrio. Utiliza las derivadas para estimar el efecto que tendr´ıa sobre la oferta y la demanda el aumento de una unidad en el precio. Compara estas estimaciones con lo cambios que tendr´ıan lugar realmente. precio del agua en cierta comunidad es de 1’2 euros por cada m3 consumido, hasta los 20 m3 mensuales; el agua que se consuma por encima de los 20 m3 al mes es m´as cara, siendo su precio de 1’5 euros el m 3 . Adem´as de lo anterior, en cada factura mensual se paga una cantidad fija de 5 euros, sea cual sea el consumo realizado. Determina la funci´on f (x) que expresa la cantidad total a pagar cada mes, en funci´ on de los metros c´ubicos x de agua consumidos. ¿Se trata de una funci´ on continua? Calcula, donde exista, la derivada de la funci´on f (x). Interpreta las respuestas obtenidas, en el contexto del problema. 89. El
90. El
impuesto (I ) sobre la renta (R) de las personas f´ısicas se ha dise˜ nado de la siguiente forma: la renta est´ a exenta de impuestos si no supera 10 000 e, es del 20 % de lo que exceda de 10000 e, hasta 30 000 e, y es del 40 % de lo que exceda de 30 000 e, m´ as una cantidad fija “a”, para rentas que excedan los 30 000 e. a) Obt´en la expresi´on matem´ atica de la funci´on I = f (R), con dominio [0, + ).
∞
b) Determina el valor de “a” para que la funci´on sea continua. ¿Podr´ıa considerarse un impuesto “justo” si la funci´on no fuera continua? Razona la respuesta. c) Obt´en, donde exista, la derivada de la funci´ on f . Interpreta el resultado en t´erminos de “progresividad del impuesto”. 91. Calcula
la elasticidad de las siguientes funciones:
(a) y = 1.
(c) y = 1 + 2x.
(b) y = 2x.
(d) y = ax b (a, b
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12
(e) y = 1/x.
∈ R).
(f) y = 1/(x + 1).
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92. La
demanda de un art´ıculo est´a dada por la funci´on: D( p) =
100 p + 1
¿Para qu´ e valores del precio la elasticidad resulta ser, en valor absoluto, mayor, menor o igual que 1? Interpreta el resultado en t´erminos econ´omicos.
7.
Derivaci´ on de funciones de varias variables
93. Calcula
las derivadas parciales de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = 10(5x (b) f (x, y) =
− 9y + 12)
x2 + y 2
(j) f (x,y,z) = (x2 + y 3 + z 4 )6
(c) u(x, y) = 2x2 (d) f (x, y) = x 4
x4 (i) f (x,y,z) = yz
4
2
− 3xy + 4y − x y + x y − xy 3
2
2
3
(k) f (x,y,z) = e xyz 1 (l) V (r, h) = πr 2 h 3 (m) E ( p, q ) = ap 2 ebq
+ y4
(e) f (x,y,z) = x 2 + y 3 + z 4 (f) f (x,y,z) = 5x2
− 3y
3
+ 3z 4
(n) R( p1 , p2 ) = αp β1 + γe p p 1
(g) f (x,y,z) = xyz
n
(˜ n) x(v1 , . . . , v n ) =
(h) f (x, y) = xy(x + y + 1)
94. Halla F 1 (1, 1, 1), F 2 (1, 1, 1)
95. 96.
2
ai vi
i=1
y F 3 (1, 1, 1) para la funci´ on F (x,y,z) = x 2 exz + y 3 exy .
Calcula las derivadas parciales de la funci´on f (x, y) = 3x2 + 4y2 en el punto (5, 1).
−
Calcula todas las derivadas parciales de segundo orden de la funci´ on f (x, y) = 4x4 y 6 + 3x8 y 5 .
97. Si A, B , a y b son
constantes, halla KY K + LY L en los casos siguientes:
(a) Y = AK a + BL b
(b) Y = AK a Lb
(c) Y =
K 2 L2 aL3 + bK 3
98. Sean x e y las
poblaciones de dos ciudades y d la distancia entre ellas. Supongamos que el n´umero T de personas que viajan entre ambas est´a dado por T (x,y,d) = k
xy dn
con k y n constantes positivas. Calcula ∂T/∂x, ∂T/∂y y ∂T/∂d, estudiando sus signos. 99. Se
considera una funci´on de producci´on agr´ıcola, de tipo Cobb-Douglas Y = F (K,L,T ) = AK a Lb T c
donde Y es la producci´on, K el capital invertido, L el trabajo y T la superficie de la tierra, con productividades marginales dadas por las correspondientes derivadas parciales. ( A, a, b y c son constantes positivas). Halla las citadas productividades marginales. Estudia sus signos. Se sabe que para los niveles actuales de K , L y T , la productividad del capital resulta ser ∂Y/∂K = 5. ¿Qu´e aumento en la producci´on puede esperarse aumentando la entrada de capital en un euro? 100. El
beneficio diario que un comerciante obtiene por la venta de dos marcas de zumo de naranja es B = (x
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− 30)(70 − 5x + 4y) + (y − 40)(80 + 6x − 7y) 13
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donde x es el precio por lata de la primera marca e y de la segunda. Los precios actuales son 50 u.m. y 52 u.m. respectivamente. Aplica el an´alisis marginal para estimar el cambio resultante en el beneficio diario si el comerciante aumenta en una unidad el precio de cada lata de la segunda marca, pero no cambia el precio de la primera marca. 101. En
un mismo pueblo se venden dos marcas competidoras de cortadoras de c´ esped. Los precios respectivos de cada cortadora son x e y euros. La demanda local de la primera marca est´a dada por cierta funci´ on D(x, y). (a) ¿C´ omo afectar´ıa a la demanda un incremento en x?, ¿y un incremento en y ? (b) De acuerdo con las respuestas del apartado anterior, ¿cu´ales son los signos de las derivadas parciales de D? (c) Si D(x, y) = a + bx + cy, ¿qu´e signos cabe esperar en los coeficientes b y c, seg´ un las conclusiones de los apartados anteriores? 102. La
demanda de un bien depende de su precio p y del nivel de renta media R, seg´ un la funci´ on D( p, R) = 12 + 3
R p
Calcula el ritmo de variaci´on de la demanda en el punto (2, 3), si solamente var´ıa el nivel de renta. 103. Calcula
las elasticidades parciales de las siguientes funciones: xy z x (d) f (x,y,z) = y + z
(a) f (x, y) = x + y
(c) f (x,y,z) =
(b) f (x, y) = xy
104. Calcula
las elasticidades parciales de una funci´on Cobb-Douglas f (x, y) = r xa y b ,
· ·
donde r, a y b son constantes positivas. 105. Un
almac´en vende dos marcas de vino. Las cifras de ventas indican que, con unos precios unitarios respectivos x e y, la demanda para la primera marca ser´a de Q(x, y) = 200 10x2 + 20y. Los precios est´ an subiendo, de manera que en el instante t la primera marca se vender´a a x = 50 + 0 2t y la segunda a y = 60 + 4 t. ¿Cu´al ser´a la tasa de variaci´on de la citada demanda respecto al tiempo cuando t = 9?
−
√
106. Calcula 107. Dada
todas las derivadas parciales de segundo orden de la funci´on f (x, y) = 4x4 y 6 + 3x8 y 5 .
la funci´on f (x,y,z) = 2x2 y3 z 2 + xyz, calcula la siguiente derivada de cuarto orden: ∂ 4 f ∂ 2 z∂x∂y
8.
Funciones homog´ eneas
108. Demuestra,
a partir de la definici´on, que las siguientes funciones son homog´ eneas:
(a) f (x, y) =
109. Prueba
x3 + y 3 x
(b) g (x,y,z) =
que la siguiente funci´on, definida en
R
2
(x + y)3 x+z
xyz u3
, es homog´enea de grado 3.
f (x, y) = 3x2 y
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(c) h(x,y,z,u) = sen
14
−y
3
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Calcula sus derivadas parciales y comprueba que son homog´ eneas de grado 2. Comprueba tambi´en que, para esta funci´on, se satisface la f´ormula de Euler. 110. Averigua
si las siguientes funciones son homog´eneas y comprueba, para las que lo sean, el teorema
de Euler (a) f (x, y) =
111. Razona
xy x + y2 2
(b) f (x,y,z) =
x2 y z
(c) f (x, y) =
− yz
x x + x+y y
que la funci´on f (x, y) = x 3 + xy no es homog´enea.
112. Se
considera una funci´on f (x, y) homog´enea de grado 4. Calcula f (3, 4) sabiendo que f x (3, 4) = 2 y f y (6, 8) = 24. Sea f (x, y) una funci´ on homog´enea de grado m. Sabiendo que f ( 1, 1) = 1 y que f ( 2, 2) = 1, calcula el valor de m.
−
113.
114. Explica
3x3 + y3 .
−
por qu´e no existe ninguna funci´ on homog´enea f (x, y) tal que f x (x, y) = 2xy y f y (x, y) =
115. Sabiendo
que f (x, y) es una funci´on homog´enea de grado 2, que f (2, 3) = 3 y que f x (2, 3) = 3, calcula f (4, 6), f x (4, 6) y f y (4, 6). 116. De
una funci´on f (x,y,z), derivable parcialmente y homog´enea de grado 3, se conoce que f x (2, 0, 3) = 6 y f z (4, 0, 6) = 4. Calcula f (2, 0, 3) y f (6, 0, 9).
117. Dada
la funci´on z =
xy 2
halla el valor de la expresi´on xz xxx + yz xxy .
3
−x +y x − 3y
3
118. Un
estudio sobre la demanda de cierto producto comercializado por una compa˜n´ıa demuestra que la 1 cantidad vendida Q viene dada por: Q = f , y , donde p representa el precio de venta de una unidad de p producto e y la cantidad invertida por la compa˜ n´ıa en publicidad. Se sabe adem´ as que f es una funci´on homog´enea de grado 1. Se pide:
(a) Si se han vendido 30 000 unidades con un precio de 4 u.m. y una inversi´ on en publicidad de 300 u.m., ¿cu´antas unidades se vender´an la pr´oxima temporada, aumentando el precio hasta 6 u.m., pero disminuyendo hasta 200 u.m. la inversi´on en publicidad? Comprueba que los ingresos totales de la compa˜ n´ıa son iguales en ambas temporadas. (b) Justifica que siempre que el producto ”(precio de venta) (inversi´on en publicidad)” se mantenga constante, los ingresos totales de la compa˜n´ıa ser´an los mismos, independientemente de las cantidades vendidas.
×
9.
Optimizaci´ on de funciones de una variable
119. Estudia
el crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de las siguientes funciones:
(a) f (x) = x 2
− 5x + 2 (b) f (x) = −x + 3x − 2 (c) f (x) = x + 3x − 9 2
3
120. Entre
2
(d) f (x) = x 3
− 3x + 1 (e) f (x) = 2x − x x−1 (f) f (x) = 2
x
4
(g) f (x) = (x
− 3)
5
+8
x (h) f (x) = 1 + x2 (i) f (x) = x ln x
todos los n´ umeros positivos, calcula aqu´el que sumado con su inverso da el resultado m´ınimo.
Departame nto de M atem´ aticas
15
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121. Entre
todas las parejas de n´ umeros positivos cuya suma es 4, calcula aquella pareja que cumple que su producto es m´aximo, 122. Calcula
las dimensiones de un rect´angulo de per´ımetro 4 para que su ´area sea m´axima.
ax4 + 1 on f (x) = tiene un m´ınimo relativo 123. Determina el valor de a para el que se verifica que la funci´ x3 en el punto x = 1. Con el valor de a encontrado, calcula los extremos relativos de la funci´on f (x).
√
124. Al
comercializar cierto producto, el precio de venta por unidad viene dado por P = 50/ x (siendo x el n´ umero de unidades vendidas). Si el coste de producci´on de x unidades es C = 0 5x + 500, calcula el precio que proporciona el m´aximo beneficio. 125. Un
vendedor de bol´ıgrafos ha observado que si los vende a 10 u.m. es capaz de vender 1 000 unidades diarias, pero por cada unidad monetaria de aumento en el precio, disminuye en 100 unidades la venta diaria de bol´ıgrafos. Por otra parte, a ´el le cuesta fabricar un bol´ıgrafo 5 u.m. Averigua el precio de venta para que se maximice el beneficio. 126. Un
granjero tiene un cerdo de 150 Kg, cuya alimentaci´on le supone un gasto de 36 u.m. al d´ıa. El cerdo engorda 3 Kg al d´ıa. En este momento podr´ıa venderlo a 120 u.m. el Kg, pero est´a bajando el precio a raz´on de 2 u.m. por d´ıa y kilogramo. ¿Cu´ anto tiempo deber´a esperar el granjero para vender el cerdo, con objeto de obtener el m´aximo beneficio? 127. Un
estudio de productividad en el turno matinal de cierta f´abrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8 horas habr´a ensamblado f (x) = x3 +6x2 +15x radiotransmisores x horas despu´es. El estudio indica adem´as que despu´es de un descanso de 15 minutos, el trabajador puede ensamblar g(x) = 13 x3 + x2 + 23x radiotransmisores en x horas. Determina el momento, entre las 8 y las 12 horas, en que deber´ıa ser incluido el descanso de 15 minutos, para que el trabajador medio ensamble el mayor n´ umero de aparatos hasta la hora del almuerzo, a las doce y cuarto.
−
−
128. Los
ingresos por la venta de un producto son funci´on del n´ umero q de unidades producidas y vendidas, 3 seg´ un la expresi´on R(q ) = kq q , y el coste de fabricaci´on de las q unidades viene dado por C (q ) = mq 2 (k y m son constantes positivas). Determina el valor de k y m, sabiendo que, en las condiciones expuestas, se lograr´ıa un beneficio m´aximo de 18 000 u.m., con q = 20 unidades.
−
129. Un
banco va a ofrecer una nueva modalidad de libretas de ahorro, estimando que la cantidad total de dinero, C , que depositar´an, en conjunto, los clientes en las mismas, ser´a proporcional al cuadrado del tanto por uno de inter´es, r, ofrecido en la libreta. Por su parte, el banco espera obtener un 12 % de inter´ es sobre el dinero depositado. ¿Cu´al debe ser el tipo de inter´es, r, ofrecido en las libretas, para que el beneficio del banco sea m´aximo? Comprueba el car´acter m´aximo de la soluci´on. 130. Una
firma de pl´asticos ha recibido un pedido para fabricar 8 000 tablas especiales de espuma de pl´ astico para entrenamiento de nataci´ o n. La firma posee 10 m´ aquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas de entrenamiento por hora. El coste de adaptaci´on de las m´aquinas para producir tablas especiales es de 20 u.m. por m´aquina. Una vez estas m´aquinas han sido adaptadas, la operaci´on es completamente autom´ atica y puede ser supervisada por un solo operario, cuyo salario es de 4 80 u.m. por hora. ¿Cu´antas de las m´aquinas deben adaptarse para reducir al m´ınimo el coste de producci´on de dichas tablas? 131. La
tasa de variaci´on de una poblaci´on P es: dP 100 25t = 2 dt t 8t + 16 1
−
−
donde t es el tiempo medido en a˜nos. ¿Cu´ando es m´ axima dicha poblaci´on? Comprueba el car´acter m´aximo de la soluci´on. 132. Un
estudio realizado en una f´abrica demuestra que un trabajador promedio, t horas despu´es del comienzo de la jornada, ha producido Q(t) = Departame nto de M atem´ aticas
−t
3
+ 15t2 + 600t unidades. 16
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Determina los valores de t que hacen m´aximas las funciones Q(t) y Q (t). Interpreta los resultados en el contexto del problema. 133. Un
agricultor sabe que si vende hoy su cosecha podr´a recoger 50 toneladas m´ etricas que le pagar´an a 2 euros el kilo. Por cada d´ıa que espere, la cosecha disminuye en 500 kilos y su precio aumenta en 5 c´entimos el kilo. ¿Cu´antos d´ıas deber´a esperar para obtener la m´axima cantidad de dinero? 134. Una
compa˜ n´ıa de autobuses alquila un veh´ıculo para 50 personas a grupos de 35 o m´ as. Si el grupo consta exactamente de 35 personas, cada una paga 60 e. En grupos m´as numerosos, la tarifa se reduce en 1 e por cada persona extra sobre las 35. (a) Determina el tama˜ no del grupo para el que los ingresos de la compa˜n´ıa ser´an m´ aximos. (b) ¿Cu´ al es la soluci´on si la capacidad de los autobuses es de 45 personas? 135. Asterix
se ha retirado de la aventura y se dedica a cuidar gallinas. El druida Panoramix ha elaborado dos tipos de poci´o n m´ agica que sirven para alimentar a las gallinas: la poci´on Corral´ın la vende a dos sextercios el litro, y la poci´on Corral´ on la vende a un sextercio el litro. Con H litros de la poci´on 2 Corral´ın cada gallina engorda 4H gramos, mientras que con la misma cantidad de la poci´on Corral´ on engorda s´olo H 2 gramos. Si Asterix ha pensado invertir 100 sextercios en la compra de pienso para sus gallinas, ¿qu´ e cantidad de poci´on de cada marca debe comprar para obtener el m´aximo rendimiento posible?
136. Estudia
la concavidad, convexidad y los puntos de inflexi´on de las funciones:
(a) f (x) = 2
2
(d) f (x) = x 3
+ 2x
−3
y clasifica los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = x 2 + 2xy + 2y2 + 2x (b) f (x, y) = x 2
− xy + y
2
+ 3x
(d) f (x, y) = x 3 + y3
− 2y
− 3xy (e) f (x, y) = xy(1 − x − y)
− 2y + 1
(c) f (x, y) = x 3 + x2 y + y 2 + 2y + 1
138. Utiliza
(b)
2
− 5x
(e) f (x) = e −x x (f) f (x) = 1 + x2
Optimizaci´ on de funciones de varias variables
137. Determina
(a)
2
(c) f (x) = x 3
−x
(b) f (x) = e x
10.
el m´etodo del multiplicador de Lagrange para resolver los problemas de optimizaci´on siguientes:
opt.: f (x, y) = 1 suj.: x + y = 4
2
−x −y
2
(c)
opt.: f (x, y) = x + y suj.: x 2 + y2 = 8
(d)
opt.: f (x, y) = x + y suj.: ln x + ln y = 1
√
opt.: f (x, y) = 20 xy suj.: 4x + y = 32
on oferta tiempos de publicidad en sus dos programas de m´axima audiencia. Con 139. Una cadena de televisi´ unos precios respectivos de x e y miles de euros por minuto de publicidad emitido, las empresas anunciantes contratar´ an 40 50x + 40y minutos de publicidad durante el primer programa y 20 + 60x 70y minutos durante el segundo. Determina los precios x, y que maximizan los ingresos de la cadena.
−
140. Sea
−
la funci´on de producci´on Q = 80
2
2
− (K − 3) − 2(L − 6) − (K − 3)(L − 6)
Se sabe que el precio de venta del producto es de 1 u.m., el coste de cada unidad de capital (K ) es de 0 65 u.m. y el coste de cada unidad de trabajo (L) es de 1 2 u.m. Si la empresa vende todo lo que produce, halla los valores de K y L que maximizan el beneficio.
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141. Una
f´ abrica produce hojas de afeitar y alfileres con un costo de 0 4 u.m. por hoja y 0 2 u.m por alfiler. 100 000 Con un precio de venta de x u.m. por hoja e y u.m. por alfiler se vender´an hojas de afeitar y x2 y 100000 alfileres diariamente. ¿C´omo deben fijarse los precios para maximizar el beneficio? xy 2 142. Un
fabricante est´a planeando vender un nuevo producto a 350 euros por unidad. Sus c´alculos le dicen que si gasta x miles de euros en cuestiones de desarrollo e y miles de euros en la promoci´on, los compradores adquirir´an, aproximadamente A(x, y) =
100x 250y + unidades del producto. x + 5 y + 2
Considerando que los costes de fabricaci´on del producto son de 150 euros por unidad, determina cu´anto deber´ıa gastar el fabricante en desarrollo y cu´anto en promoci´on si desea que el beneficio obtenido sea m´ aximo. Resuelve el problema en los dos casos siguientes: a) El fabricante dispone de fondos ilimitados b) El fabricante dispone de 11 000 e para gastar en desarrollo y promoci´on. 143. Una
empresa azucarera produce az´ucar de dos tipos: blanca y oscura. Un restaurante le ha pedido 42 kilos de az´ ucar pero sin especificar la clase. La empresa sabe que la producci´on de x kilos de az´ ucar blanca junto con y kilos de az´ ucar oscura, le suponen un coste de C (x, y) = 8x2
− xy + 12y
2
u.m.
¿Qu´e cantidad de cada tipo deber´a entregar la empresa si quiere minimizar el coste? 144. Una
empresa fabrica rotuladores y bol´ıgrafos. La producci´on diaria de rotuladores viene dada por la funci´on q r = 3540 10 pr + 2 pb , y la de bol´ıgrafos por la funci´ on q b = 1200 14 pb + 4 pr , donde pr y pb son los precios de venta de los bol´ıgrafos y rotuladores, respectivamente. Maximiza los ingresos totales de la empresa, sabiendo que por limitaciones estructurales, no puede producirse mas de 2940 unidades diarias en total, y que, debido a la gran demanda existente, la empresa funciona siempre al l´ımite de sus posibilidades.
−
145. Discute
−
la existencia de extremos para las funciones
(a) f (x,y,z) = x 2 + 4y 2 + z 2 (b) f (x,y,z) = x 2 + (y (c) f (x,y,z) = x 2 + y 2 146. Descomp´ on
− 2xy + 2y + 2yz − 3
3
+ (z + 1) 2
2
+ 3x + y
− x) − 2z
−z−2
el n´ umero 9 en tres sumandos, de manera que la suma de los cuadrados de ´estos sea
m´ınima. 147. Resuelve
(a) (b) (c)
los siguientes problemas de optimizaci´on:
opt.: f (x,y,z) = xyz suj.: 2x + 3y + 4z = 24 opt.: f (x,y,z) = x 2 + 2y2 + 3z 2 suj.: x 2y z = 30
− −
opt.: f (x,y,z) = xy + xz + yz suj.: xy z = 125
148. La
funci´ on de utilidad de cierto consumidor est´a dada por la expresi´on: u = xy + x + 2y, donde x e y representan las cantidades consumidas de dos bienes de precios unitarios respectivos p x = 2, py = 5. Calcula c´omo debe distribuir el consumidor un presupuesto de 51 u.m. en la adquisici´on de ambos bienes, si desea que su utilidad sea m´axima. Comprueba el car´ acter m´aximo de la soluci´on.
149. Un
padre va a repartir entre sus tres hijos cierta cantidad de dinero para sus gastos semanales. Les ha asegurado que es la m´axima cantidad total que verifique: el triple del cuadrado de lo que recibir´a Juan, m´ as el doble del cuadrado de lo que recibir´a Pedro, m´as el cuadrado de lo que recibir´a Luis es igual a Departame nto de M atem´ aticas
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660 000. Calcula la cantidad total que recibir´ a cada hijo y comprueba que la cifra total repartida es la m´ axima. 150. Una
empresa produce tres art´ıculos cuyos precios de mercado en competencia perfecta son P x = 16, P y = 12 y P z = 20. La funci´on de costes esta dada por C (x,y,z) = x 2 + 2y 2 + 3z 2 + 2xz + 25, donde x, y y z representan las cantidades producidas de cada uno de los tres art´ıculos. Calcula las cantidades de cada art´ıculo que maximizan el beneficio de la empresa, suponiendo que vende todo lo que produce. 151. Un
estudiante de Econom´ıa gasta mensualmente 4 800 u.m. entre comida, vestido y diversi´ on. Los precios unitarios de cada uno de estos tres bienes son, respectivamente de 20, 15 y 8 u.m. Como aventa jado economista, nuestro estudiante ha definido su funci´ on de utilidad acerca del consumo de estos tres productos y ha estimado que tal funci´on viene dada por U (x,y,z) = x y z2 , siendo “x” el n´ umero de platos de comida, “y” el n´ umero de prendas de vestir, y ”z” el n´ umero de horas de diversi´on. Calcula cu´anto consumir´ a mensualmente de cada cosa si, como es obvio, desea maximizar su utilidad.
11.
Integral indefinida
152. Calcula
(a) (b)
las siguientes integrales:
− − − √ − − 2
5x dx 5
(x
(h) 4
2
6x + 3x
3) dx (c) (d) (e) (f) (g)
(x2 x
5
(b)
(j) 4)(2x + 3) dx (k) 5x + 3 dx x
dx x5
5
3
x2
x4
153. Mediante
(a)
− 2x +
(i)
dx
√ 2 x − √ dx
x3 + 3x2 x3
(l)
dx 2x 4 x dx x+1 dx x 1 x+1 dx 2 x + 2x + 2 dx 2 x +4
− √ − − √ − √ −
(p) (q)
3
(r) (s)
4
(m)
x5
(n)
x x
(˜ n)
(o)
5 x4 dx
x x2
5
(t) (u)
x dx
(v)
2 dx
sen4 x cos x dx x2 dx x2 + 1
e2x−1 dx
tan(5x) dx x2 + 1 dx x3 + 3x 2
x ex
+2
dx
x cos(x2 dx cos2 (2x
− 2) dx − 1)
la f´ormula de integraci´on por partes, resuelve las siguientes integrales:
x sen(2x) dx
(c)
xe2x dx
(d)
2
x sen(3x) dx
(e)
arctan(2x) dx
ln x dx
154. Determina
una funci´on que pase por el punto (2, 6) y tal que la tangente a su gr´afica en cada punto x tenga pendiente igual a 3x2 + 1. 155. La
segunda derivada de una funci´on f es f (x) = 6(x 1). Halla la funci´on sabiendo que su gr´afica pasa por el punto (2, 1) y que en ese punto la recta tangente es 3 x y 5 = 0.
−
− −
156. Si
la propensi´on marginal a la importaci´on en un pa´ıs es funci´ on de la renta R seg´ un la relaci´on −2 M (R) = 15(3 + R) , y si las importaciones M valen 28 cuando la renta es 2, halla la funci´o n de importaci´on.
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157. Cierto
coche, comprado ahora por 18 000 euros, se deprecia a un ritmo dado por: dP = 1000(1 + t)(1 dt
− t)
donde P (t) es el precio en euros, t a˜ nos despu´es de la compra. ¿A qu´e precio podr´a venderse dentro de 3 a˜ nos? funci´on de coste marginal de un determinado producto, tiene la forma f (Q) = 2 + 6Q AQ2 (con A constante). Se sabe que la funci´on de coste total C (Q) es tal que C (1) = 150 y C (2) = 154. Determina la citada funci´on de coste total. 158. La
−
beneficio marginal de cierta empresa, para una producci´on de q unidades, es B (q ) = 100q 2q 2 euros. Cuando se producen 10 unidades, el beneficio de la empresa es de 700 e. ¿Cu´a l es el m´aximo beneficio posible para la empresa? 159. El
−
poblaci´on G(t) de gamusinos, especie en extinci´on, evoluciona a un ritmo G (t) = 0 5e−0 03t , donde t es el n´ umero de a˜ nos desde que comenz´o el registro del n´umero de ejemplares. Si la poblaci´on inicial era de G(0) = 500, ¿cu´ al ser´a dentro de diez a˜ nos? 160. La
−
√
161. El
coste marginal de fabricaci´on de un producto viene dado por la funci´on f (q ) = a + 6 q , donde q es la cantidad producida y a un par´ametro. Determina la funci´on de coste total, sabiendo que el coste fijo (cuando no se fabrica nada) es de 48 u.m. y el coste de fabricar 4 unidades es de 100 u.m. 162. El
precio actual del pollo es de 3 e por kilogramo y se estima que dentro de t semanas estar´a aumentando a raz´on de 3 t + 1 centimos por semana. ¿Cu´anto costar´a el pollo dentro de 8 semanas?
√
163. Determina
la funci´on de demanda de un bien, Q = f (P ), si sabemos que la elasticidad de la demanda 3P 2 + 2P respecto al precio es E P Q = , y que cuando el precio es 2 u.m. la demanda asciende a 100 Q unidades.
−
12.
Integral definida
Calcula las siguientes integrales definidas: 2
164.
3
(9
−1
− x)dx
166.
2
(3x + 2)dx
1
1/2
168.
/2
−1
dx 1 + 4x2
π/ 2
2
165.
(x2 + 2)dx
167.
−1
−
cos(2x) dx π
Mediante integraci´on por partes, calcula las siguientes integrales definidas: 2
ln 2
169.
xe
−x
dx
170.
1
0
ln x dx x2
Determina el ´area delimitada por las curvas que se indican en cada uno de los siguientes casos: f (x) = x 2 y g(x) =
2
−x + 2. 172. f (x) = x + 5x − x − 5, las rectas verticales x = −2, x = 2, y el eje OX. 173. f (x) = 2x + 3x − 1 y las rectas x = 1, x = 4 e y = 0. area bajo la gr´afica de la funci´on y = |x − 2|, sobre el eje OX, entre x = 0 y x = 3. 174. Calcula el ´ 171.
3
2
2
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175. Halla
la disminuci´on en el ingreso total de una empresa cuando la cantidad vendida se reduce de 10 a 5 unidades, en el supuesto de que la funci´on de ingreso marginal sea f (x) = 100 4x, donde x es la producci´on vendida.
−
ingreso marginal de una empresa por la venta de x unidades de un art´ıculo es de 7 3x + 4x2 cientos de euros, mientras que el correspondiente coste marginal es de 5 + 2 x cientos de euros. ¿Cu´anto cambia el beneficio si las ventas pasan de de 5 a 9 unidades? 176. El
−
177. Los
registros indican que t meses despu´es de principio de a˜ no, el precio de cierto art´ıculo alimenticio en los supermercados locales era de
P (t) = 90t2
− 20t + 160 euros por kilo.
¿Cu´ al fue el precio medio del producto durante los tres primeros meses del a˜no? es 178. Despu´
de t meses de entrenamiento, un estudiante puede leer sus apuntes de matem´aticas (comprendiendo lo que lee) a un ritmo de Q(t) = 10 + 2t2 p´ aginas por hora. ¿A qu´e ritmo de lectura promedio estudiaba durante el primer trimestre? ¿A qu´e ritmo durante el segundo trimestre? 179. Cierto
pozo de petr´oleo que produce 300 barriles de petr´oleo crudo al mes, se secar´a en 3 a˜nos. Se estima que dentro de t meses el precio del petr´oleo crudo ser´a P (t) = 18 + 0 3 t d´olares por barril. Si el petr´oleo se vende tan pronto como se extrae del suelo, ¿cu´al ser´a el ingreso total futuro del pozo?
√
tiene t a˜ nos, cierta maquinaria industrial genera ingresos a un ritmo de R(t) = 5 000 20 t2 euros por a˜ no, mientras que sus costes de mantenimiento se acumulan a raz´on de C (t) = 2000 + 10 t2 euros por a˜ no. ¿Durante cu´anto tiempo es rentable el uso de la maquinaria? ¿Qu´ e ganancias netas genera la maquinaria en ese periodo? 180. Cuando
−
es 181. Despu´
de x horas en el trabajo, un obrero industrial est´a produciendo a un ritmo de q 1 (x) = 60 2(x 1) unidades por hora, mientras que un segundo trabajador lo hace a q 2 (x) = 50 5x unidades por hora. Si ambos llegan al trabajo a las 8 de la ma˜nana, ¿cu´antas unidades mas habr´a producido, hasta las 12 del mediod´ıa, el primer trabajador que el segundo?
−
−
2
−
que dentro de t a˜ nos un plan de inversi´on generar´a beneficios a raz´on de R 1 (t) = 50 + t2 euros por a˜ no, mientras que un segundo plan lo har´a a R 2 (t) = 200+ 5t euros por a˜ no. Determina durante cu´ anto tiempo ser´ a m´ as rentable el segundo plan. Calcula el exceso de beneficio neto que se generar´a en este segundo plan frente al primero. 182. Supongamos
de x horas de trabajo, un obrero pede producir 200xe−0 5x unidades por hora. Sabiendo que el obrero entra a trabajar a las ocho de la ma˜nana ¿cu´antas unidades producir´a entre las diez de la ma˜ nana y el mediod´ıa? 183. Despu´ es
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