Persamaan & Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 24
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Kalimat pernyataanKalimat terbuka.Persamaan Linear Satu VariabelPersamaanPertidaksamaan Linear Satu Variabel
Kalimat pernyataan
Kalimat terbuka.
Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Tujuan Pembelajaran :Memahami perbedaan kalimat terbuka dan kalimat pernyataanMengenal persamaan linear satu variabel dan sifat – sifatnyaMengenal pertidaksamaan linear satu variabel dan sifat-sifatnyaMenggunakan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel dalam pemecahan masalah sehari-hari.Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian perlu mengingat kembali tentang operasi hitung pada bilangan bulat dan pecahan, serta operasi hitung pada bentuk aljabar.Materi tersebut menjadi dasar untuk mempelajari materi pada LKS ini. Penerapan materi bab ini dalam kehidupan sehari-harisangatlah banyak, salah satunya seperti terlihat pada gambar diatas.Pak Jati ingin membangun rumah. Untuk itu, ia ingin membeli bata merah sebagai bahan baku tembok rumahnya nanti. Ia memiliki dana untuk membeli bata merah sebanyak Rp10.000.000,00. Harga satu bata merah adalah Rp400,00.Berapakah jumlah bata merah yang dapat dibeli Pak Jati? Untuk menjawab soal di atas, kamu harus mempelajari terlebih dahulu konsep persamaan linear satu variabel. Apakah yang dimaksud dengan persamaan linear? Selain persamaan linear satu variabel, kalian juga akan diperkenalkan dengan konsep ketidaksamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.Bagaimanakah konsep tersebut diterapkan dalam kehidupansehari-hari? Mari kita pelajari bab ini dengan saksama.
Tujuan Pembelajaran :
Memahami perbedaan kalimat terbuka dan kalimat pernyataan
Mengenal persamaan linear satu variabel dan sifat – sifatnya
Mengenal pertidaksamaan linear satu variabel dan sifat-sifatnya
Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel dalam pemecahan masalah sehari-hari.
Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian perlu mengingat kembali tentang operasi hitung pada bilangan bulat dan pecahan, serta operasi hitung pada bentuk aljabar.
Materi tersebut menjadi dasar untuk mempelajari materi pada LKS ini. Penerapan materi bab ini dalam kehidupan sehari-hari
sangatlah banyak, salah satunya seperti terlihat pada gambar di
atas.
Pak Jati ingin membangun rumah. Untuk itu, ia ingin membeli bata merah sebagai bahan baku tembok rumahnya nanti. Ia memiliki dana untuk membeli bata merah sebanyak Rp10.000.000,00. Harga satu bata merah adalah Rp400,00.
Berapakah jumlah bata merah yang dapat dibeli Pak Jati? Untuk menjawab soal di atas, kamu harus mempelajari terlebih dahulu konsep persamaan linear satu variabel. Apakah yang dimaksud dengan persamaan linear? Selain persamaan linear satu variabel, kalian juga akan diperkenalkan dengan konsep ketidaksamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel.
Bagaimanakah konsep tersebut diterapkan dalam kehidupan
sehari-hari? Mari kita pelajari bab ini dengan saksama.
Pendalaman Materi
Pendalaman Materi
Kalian berkomunikasi menggunakan bahasa melalui penyampaian kalimat ke lawan bicara
kalian.
Kalimat adalah suatu rangkaian kata yang tersusun rapi dan baik sedemikian, sehingga mempunyai arti. Pada pelajaran bahasa Indonesia kalian tentu saja telah mengetahui berbagai macam jenis kalimat, misalnya kalimat berita, kalimat tanya, kalimat perintah, dan sebagainya.
Pada pelajaran matematika yang banyak digunakan adalah kalimat pernyataan (deklaratif) dan kalimat terbuka.
PERSAMAANA..
PERSAMAAN
A..
1.
1.
Kalimat Matematika (Pernyataan)
Perhatikanlah kalimat-kalimat berikut ini.
Jakarta adalah ibukota negara
5 adalah faktor dari 64
Kilogram adalah satuan berat
Ada 13 bulan dalam satu tahun.
Pada kalimat-kalimat di atas pasti kalian dapat mengatakan kalimat mana yang benar dan mana yang salah. Suatu kalimat yang dapat dinyatakan benar atau salah, maka kalimat itu disebut kalimat pernyataan atau disingkat pernyataan.
Pernyataan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai benar saja atau salah saja.
Pernyataan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai benar saja
atau salah saja.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil. Pernyataan ini bernilai salah, karena ada
bilangan prima yang merupakan bilangan genap, yaitu 2.
Jakarta adalah ibukota negara Republik Indonesia. Pernyataan ini adalah benar, karena Jakarta merupakan ibukota negara Republik Indonesia
Jakarta adalah ibukota negara.
3×5=15. Pernyataan ini adalah benar, karena 5×3=15.
Satu tahun terdiri dari 1 bulan. Pernyataan ini adalah salah, karena 1 tahun itu terdiri dari 12 bulan.
2.
2.
Kalimat Terbuka
Untuk memahami kalimat terbuka, perhatikanlah kalimat-kalimat berikut ini.
x + 8 = 14
x² - 3x – 4 = 0
y habis dibagi 9
Toko itu menjual buku tulis
Dapatkah kalian menentukan kalimat-kalimat di atas benar atau salah? Kalimat-kalimat di atas tidak dapat dinyatakan benar atau salah. Kalimat – kalimat seperti ini bukan suatu pernyataan.
Apabila niali x pada kalimat 1 diganti dengan suatu bilangan, misalnya 6, maka diperoleh pertanyaan yang bernilai benar, karena 6 + 8 = 14. Tetapi jika x diganti dengan 7, maka akan diperoleh pernyataan yang bernilai salah, karena 7 + 8 14. Kalimat 1, 2, 3, dan 4 disebut kalimat terbuka.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel atau peubah dan belum diketahui nilai kebenarannya.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel atau peubah dan belum diketahui nilai kebenarannya.
Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan.
Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka.
Pada kalimat x + 8 = 14, x disebut variabel atau peubah, sedangkan 8 dan 14 disebut konstanta atau bilangan tetap. Bilangan 6 yang menggantikan variabel x sehingga kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar disebut penyelesaian.
Contoh Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut.13 adalah bilangan primaBandung adalah ibukota Jawa Barat1 m sama dengan 10 cmPenyelesaian:13 adalah bilangan prima, merupakan pernyataan bernilai benar.Bandung adalah ibukota Jawa Barat, pernyataan benar.1 m sama dengan 10 cm, merupakan pernyataan bernilai salah, karena 1 m sama dengan 100 cm.Tentukan penyelesaian dari kalimat berikut.x – 3 = 5x adalah bilangan bulat positif kurang dari 20 yang habis dibagi 57a = 28x : 5 = 9Penyelesaian:Pengganti x adalah 8, karena 8 – 3 = 5. Jadi, x = 8 adalah penyelesaiannya.Nilai x yang kurang dari 20 dan habis dibagi 5 adalah 5, 10, dan 15. Jadi, x = 5, 10, dan 15 adalah penyelesainnya.7a = 28, pengganti a adalah 4, karena 7 × 4 = 28. Jadi, untuk a = 4 adalah penyelesaiannya.x : 5 = 9, pengganti x adalah 45, karena 45 : 5 = 9. Jadi, x = 45 adalah penyelesaiannya.Tentukan kalimat berikut pernyataan atau bukanTentukan nilai dari 5 × 12.Dilarang parkir di sini.Seandainya saya dapat terbang e bulan.Penyelesaian :Kalimat-kalimat tersebut dalam matematika disebut bukan pernyataan.
Contoh
Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut.
13 adalah bilangan prima
Bandung adalah ibukota Jawa Barat
1 m sama dengan 10 cm
Penyelesaian:
13 adalah bilangan prima, merupakan pernyataan bernilai benar.
Bandung adalah ibukota Jawa Barat, pernyataan benar.
1 m sama dengan 10 cm, merupakan pernyataan bernilai salah, karena 1 m sama dengan 100 cm.
Tentukan penyelesaian dari kalimat berikut.
x – 3 = 5
x adalah bilangan bulat positif kurang dari 20 yang habis dibagi 5
7a = 28
x : 5 = 9
Penyelesaian:
Pengganti x adalah 8, karena 8 – 3 = 5. Jadi, x = 8 adalah penyelesaiannya.
Nilai x yang kurang dari 20 dan habis dibagi 5 adalah 5, 10, dan 15. Jadi, x = 5, 10, dan 15 adalah penyelesainnya.
7a = 28, pengganti a adalah 4, karena 7 × 4 = 28. Jadi, untuk a = 4 adalah penyelesaiannya.
x : 5 = 9, pengganti x adalah 45, karena 45 : 5 = 9. Jadi, x = 45 adalah penyelesaiannya.
Tentukan kalimat berikut pernyataan atau bukan
Tentukan nilai dari 5 × 12.
Dilarang parkir di sini.
Seandainya saya dapat terbang e bulan.
Penyelesaian :
Kalimat-kalimat tersebut dalam matematika disebut bukan pernyataan.
Latihan 1
Latihan 1
Tentukan manakah kalimat berikut yang benar dan mana yang salah. Ubahlah kalimat yang salah sehingga menjadi kalimat yang benar.
3 adalah kelipatan 6.
Soslo adalah ibukota Jawa Tengah.
34<45
4+24+8=48+2
27 bukan bilangan prima
Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 360˚
Tentukan manakah kalimat berikut yang merupakan kaliamt pernyataan dan manakah yang bukan. Jika kalimat pernyataan, tentukan benar atau salah.
Tidak ada bilangan prima yang genap.
FPB dari 16 dan 32 adalah 16
Berapakah 12 ditambah 9?
68=34
Kerjakan soal latihan.
KPK dari 4 dan 8 adalah 32
Tentukan variabel dan konstanta dari kalimat terbuka berikut ini.
x-2=3
5×6=25
y×4=20
Itu adalah buku tulis
Periksa apakah kalimat-kalimat berikut ini merupakan kalimat terbuka atau tidak.
3x-1=4
8 :112
5+6=11
Dia adalah seorang guru
Sebuah kubus dibatasi oleh n bilangan asli.
Persamaan Linear Satu VariabelB
Persamaan Linear Satu Variabel
B
1.
1.
Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel
Coba kalian perhatikan dua kalimat terbuka di bawah ini.
a. x + 1 = 8
b. y – 5 = 2
Kedua kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung "=" (sama dengan). Kalimat terbuka seperti itu disebut persamaan. Pada persamaan di atas, setiap variabelnya berpangkat satu. Persamaan yang demikian disebut persamaan linear. Karena kedua persamaan linear tersebut juga hanya memiliki satu variabel, yaitu x dan y, maka persamaan-persamaan yang demikian disebut persamaan linear satu variabel (PLSV).
Persamaan linear satu variabel dengan variabel x dan konstanta b secara umum memiliki bentuk ax + b = 0.
Persamaan linear satu variabel dengan variabel x dan konstanta b secara umum memiliki bentuk ax + b = 0.
Persamaan linear adalah kalimat yang memiliki hubungan sama dengan (=) dan variabelnya berpangkat satu.
Persamaan linear adalah kalimat yang memiliki hubungan sama dengan (=) dan variabelnya berpangkat satu.
2.
2.
Sifat-Sifat Persamaan Linear Satu Variabel
Misalkan A = B adalah persamaan linear dengan variabel x dan c adalah konstanta bukan
nol. Persamaan A = B ekuivalen dengan persamaan-persamaan berikut:
A + C = B + C
A – C = B – C
A x C = B x C
A : C = B : C, C 0
3.Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
3.
Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dengan Cara Substitusi
Cara penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel dengan substitusi adalah dengan mengganti variabelnya dengan nilai-nilai pengganti yang telah ditentukan sehingga persamaan menjadi kalimat benar. Nilai pengganti yang membuat PLSV bernilai benar disebut penyelesaian dari PLSV atau dapat juga disebut sebagai akar dari PLSV tersebut.
ContohTentukan penyelesaian dari persamaan x + 16 = 19, x adalah himpunan bilangan cacah dan tentukan pula akar PLSV serta himpunan penyelesaiannya.Penyelesaian:Untuk x = 1, maka 1 + 16 = 17 (salah)Untuk x = 2, maka 2 + 16 = 18 (salah)Untuk x = 3, maka 3 + 16 = 19 (benar)Untuk x = 4, maka 4 + 16 = 20 (salah)x = 3 merupakan penyelesaian x + 16 = 19x = 3 merupakan akar PLSV x + 16 = 19Hp = {3}Jadi, akar dari PLSV x + 16 = 19 yang merupakanhimpunan penyelesaian adalah x = 3.
Contoh
Tentukan penyelesaian dari persamaan x + 16 = 19, x adalah himpunan bilangan cacah dan tentukan pula akar PLSV serta himpunan penyelesaiannya.
Penyelesaian:
Untuk x = 1, maka 1 + 16 = 17 (salah)
Untuk x = 2, maka 2 + 16 = 18 (salah)
Untuk x = 3, maka 3 + 16 = 19 (benar)
Untuk x = 4, maka 4 + 16 = 20 (salah)
x = 3 merupakan penyelesaian x + 16 = 19
x = 3 merupakan akar PLSV x + 16 = 19
Hp = {3}
Jadi, akar dari PLSV x + 16 = 19 yang merupakan
himpunan penyelesaian adalah x = 3.
Latihan 1Tentukanlah pernyataan yang benar dari soal berikut ini.
Latihan 1
x + 10 = 12, nilai x yang memenuhi adalah 2
2x – 12 = 12, nilai x yang memenuhi adalah 2
4X-4=4, nilai x yang memenuhi adalah 12
Tentukanlah nilai x yang memenuhi dari persamaan berikut, untuk x adalah bilangan cacah.
x + 3 = 7
x – 4 = 12
2x = 18
4 = 1 +12x
Tentukanlah penyelesaian dari persamaan berikut dengan cara substitusi.
4x + 2 = 2x + 6
3x – 2 = x + 10
2x – 3 = 4x – 15
3x – 2 = x + 6
Gampang bukan
Gampang bukan
Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel Menggunakan Persamaan Setara
Selanjutnya, kita akan mempelajari cara menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel dengan menggunakan bentuk setara. Untuk itu, perhatikan penjelasan berikut.
Persamaan yang setara adalah persamaan yang mempunyai penyelesaian yang sama.
Persamaan yang setara adalah persamaan yang mempunyai penyelesaian yang sama.
Kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
x + 15 = 21, x diganti dengan 6 menjadi 6 + 15 = 21 (kalimat benar). Penyelesaiannya adalah x = 6.
x + 15 – 15 = 21 – 15 (kedua ruas dikurangi 15)
x = 6
Penyelesaiannya adalah x = 6
Jadi, x + 15 = 21 adalah persamaan yang setara dengan x + 15 – 15 = 21 – 15.
x – 8 = –15, x diganti dengan –7 menjadi –7 – 8 = –15 (kalimat benar). Penyelesaiannya adalah x = –7.
x – 8 + 8 = –15 + 8 (kedua ruas ditambah 8)
x = –7
Penyelesaiannya adalah x = –7
Jadi, x – 8 = –15 adalah persamaan yang setara dengan – 8 + 8 = –15 + 8.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan hal berikut.
Setiap persamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas persamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
Setiap persamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas persamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
Contoh1. Tentukan penyelesaian dari x – 5 = 8.Penyelesaian:x – 5 = 8 x – 5 + 5 = 8 + 5 (kedua ruas ditambahkan 5) x = 13Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah 13.2. Selesaikanlah persamaan 4x – 3 = 3x + 7.Penyelesaian:4x – 3 = 3x + 74x – 3 + 3 = 3x 7 + 3 (kedua ruas ditambahkan 3)4x = 3x + 104x + (–3x) = 3x + 10 + (–3x) (kedua ruas ditambahkan –3x)x = 10Jadi, penyelesaiannya dari 4x – 3 = 3x + 7 adalah 10.
Contoh
1. Tentukan penyelesaian dari x – 5 = 8.
Penyelesaian:
x – 5 = 8
x – 5 + 5 = 8 + 5 (kedua ruas ditambahkan 5)
x = 13
Jadi, penyelesaian persamaan itu adalah 13.
2. Selesaikanlah persamaan 4x – 3 = 3x + 7.
Penyelesaian:
4x – 3 = 3x + 7
4x – 3 + 3 = 3x 7 + 3 (kedua ruas ditambahkan 3)
4x = 3x + 10
4x + (–3x) = 3x + 10 + (–3x) (kedua ruas ditambahkan –3x)
x = 10
Jadi, penyelesaiannya dari 4x – 3 = 3x + 7 adalah 10.
Latihan
Latihan
Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut menggunakan bentuk setara.
x + 5 = 6
w – 11 = 3
16 + m = 16
5 + a = –5
–8 = –2 + a
9 = –1 + t
–9a + 5 = 4a + 3
2. Untuk menyelesaikan persamaan x + 2 = –5, Andi mengurangi ruas kiri persamaan tersebut dengan 2. Dengan demikian, Andi memperoleh penyelesaian x = –5. Benarkah penyelesaian yang diperoleh Andi? Jelaskan dan berikan alasanmu!
Kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama
4a = 20, penyelesaiannya dengan kedua ruas dibagi 4.
Persamaan 4a = 20 adalah persamaan yang setara dengan 4a : 4 = 20 : 4
Sehingga, di dapatkan a = 5
12x = 5, penyelesaiannya dengan kedua ruas dikali 2.
Persamaan 12x = 5 adalah persamaan yang setara dengan 12x ×2 = 5 × 2
Sehingga, di dapatkan x = 10
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan hal berikut.
Setiap persamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas persamaan dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama.
Setiap persamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas persamaan dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama.
ContohTentukan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut.35a=6 2. 5x=8 Penyelesaian35a=6 53×35a=6×53 a=10Jadi, penyelesaiannya adalah 105x=8 15×5x=8×15 x=85 Jadi, Penyelesaiannya adalah 85
Contoh
Tentukan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut.
35a=6 2. 5x=8
Penyelesaian
35a=6
53×35a=6×53 a=10
Jadi, penyelesaiannya adalah 10
5x=8
15×5x=8×15 x=85
Jadi, Penyelesaiannya adalah 85
Latihan Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut ini.
Latihan
a. 3x = 9 f. x2= –4
b. –4x = 12 g. – x3+24= 0
c. –64 = 8x h. 3x – 7 = 20
d.34c = –14 i. 3a – 4 = a
e. –19m =29 j. 2(x + 3) + (3x – 4) = 9
2. Tentukan penyelesaian setiap persamaan berikut.
5(a – 2) = –35
8 + 3(x + 1) = –4
x – 2[6 – (1 – 2x)] = 0
4[1 – 3(r + 2)] + 2r = 0
3. Buatlah 5 buah PLSV yang penyelesaiannya adalah 23
4. Tentukan penyelesaian dari persamaanlinear satu variabel berikut.
13t = –12
2x + 3 = 12 – x
5x =12
5. Tentukan penyelesaiannya dengan cara mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
4a=16
-5x=20
5x=13
2y-3=24
4m=10-m
Mari Membaca Buku
Mari Membaca Buku
4.Aplikasi Persamaan Linear Satu Variabel
4.
Menerjemahkan Soal Cerita menjadi Persamaan Linear Satu Variabel
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai persoalan - persoalan yang harus diselesaikan secara matematis. Untuk menyelesaikan soal-soal berbentuk cerita, langkah yang perlu dilakukan adalah mengubahnya terlebih dahulu ke dalam bentuk kalimat matematika. Jika kita membeli 3 buah apel dengan harga Rp6.000,00 maka kita dapat mengubahnya ke bentuk kalimat matematika 3x = 6.000, dengan x adalah buah apel. Misalkan jumlah uang Ani dan Amir adalah Rp50.000,00. Jika uang Ani = x, maka uang Amir = 50.000 – x.
Penyelesaian Soal Cerita yang Berkaitan dengan Persamaan Linier Satu Variabel
Untuk menyelesaikan soal cerita yang memuat bentuk persamaan linear satu variabel (PLSV), ada beberapa langkah yang bisa digunakan, yaitu:
terjemahkan/modelkan soal cerita tersebut menjadi kalimat terbuka, dan
ContohSeorang peteni mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah peteni tersebut.Penyelesaian :Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = x - 6. Model matematika dari soal disamping adalah p = x dan l = x - 6, sehinggaK = 2(p + l) 60 =2(x + x - 6)gunakan prinsip-prinsip persamaan yang setara untuk menentukan penyelesaiannya.
Contoh
Seorang peteni mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah peteni tersebut.
Penyelesaian :
Misalkan panjang tanah = x maka lebar tanah = x - 6. Model matematika dari soal disamping adalah p = x dan l = x - 6, sehingga
K = 2(p + l)
60 =2(x + x - 6)
Penyelesaian model matematika diatas sebagai berikutK = 2(p + l)60 = 2(x + x - 6)60 =2(2 x - 6)60 =4 x - 1260 + 12 =4x – 12 + 12724 = 4x4 18 = xLuas = p x l= x(x - 6) = 18(18 - 6) = 18 x 12 = 216Jadi luas tanah petani tersebut adalah 216 m2Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedangan membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp 275.000,00.Buatlah model matematika dari keterangan diatasSelesaikan model matematika tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 sepasang sandal
Penyelesaian model matematika diatas sebagai berikut
K = 2(p + l)
60 = 2(x + x - 6)
60 =2(2 x - 6)
60 =4 x - 12
60 + 12 =4x – 12 + 12
724 = 4x4
18 = x
Luas = p x l
= x(x - 6)
= 18(18 - 6)
= 18 x 12 = 216
Jadi luas tanah petani tersebut adalah 216 m2
Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedangan membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp 275.000,00.
Buatlah model matematika dari keterangan diatas
Selesaikan model matematika tersebut. Kemudian, tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 sepasang sandal
Penyelesaian :Misalkan harga sepasang sepatu = x dan harga sepasang sandal = y. Model matematika berdasarkan keterangan diatas adalah x = 2y dan 4x + 3y= 275.000Dari model metematika diketehui x = 2y dan 4x + 3y = 275.000. digunakan metode substitusi,sehingga diperoleh:4x + 3y = 275.0004(2y) + 3y = 275.0008y + 3y = 275.00011y = 275.000 y = 25.000karena x = 2y dan y = 25.000, maka x= 2 x 25.000x = 50.000Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga sepasang sandal Rp25.000,00Harga 3 pasang sepatu dan 5 sepaang sandal dapat ditulis sebagai 3x + 5y sehingga, 3x + 5y = (3 x 50.000) + (5 x 25.000)= 150.000 + 125.000=275.000Jadi, harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp 275.000,00.
Penyelesaian :
Misalkan harga sepasang sepatu = x dan harga sepasang sandal = y. Model matematika berdasarkan keterangan diatas adalah x = 2y dan 4x + 3y= 275.000
Dari model metematika diketehui x = 2y dan 4x + 3y = 275.000. digunakan metode substitusi,sehingga diperoleh:
4x + 3y = 275.000
4(2y) + 3y = 275.000
8y + 3y = 275.000
11y = 275.000
y = 25.000
karena x = 2y dan y = 25.000, maka
x= 2 x 25.000
x = 50.000
Jadi, harga sepasang sepatu adalah Rp50.000,00 dan harga sepasang sandal Rp25.000,00
Harga 3 pasang sepatu dan 5 sepaang sandal dapat ditulis sebagai 3x + 5y sehingga,
3x + 5y = (3 x 50.000) + (5 x 25.000)
= 150.000 + 125.000
=275.000
Jadi, harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp 275.000,00.
Latihan
Latihan
Diketehui harga 1 kg buah anggur tiga kali harga 1 kg buah salak. Jika ibu membeli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah salak, maka ibu harus membayar Rp 38.500,00.
Buatlah kalimat metamatika dari keterangan diatas,kemudian selesaikanlah.
Berapakah harga 1 kg buah anggur dan 1 kg buah salak?
Jika seorang membeli 3 kg buah anggur dan 4 kg buah salak,berapakah ia harus membayar?
Model kerangka sebuah balok dibuat dari seutas kawat berukuran panjang
(x + 6) cm, lebar x cm, dan tinggi (x - 5) cm
Berdasarkan keteranga tersebut, nyatakan rumus panjang kawat yang dibutuhkan dalam x
Jika panjang kawat yang diperlukan 100 cm, tentukan ukuran balok tersebut.
Hitunglah volume balok tersebut
Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 108. Tentukan bilangan- bilangan itu
Umur Vera 4 tahun kurangnya dari umur Togar. Jika jumlah umur mereka 24 tahun,tentukan umur mereka masing-masing
Sebuah persegi panjang mempunyai ukuran panjang (3x - 4) cm dan lebar
(x + 1) cm.
Tulislah rumus kelilingnya dan nyatakan dalam bentuk yaitu paling sedehana.
Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luas persegi panjag tersebut.
C.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
C.
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Setelah mengetahui bentuk persamaan linear dan prinsip ketidaksamaan dalam matematika, kini kita akan belajar bentuk pertidaksamaan linear satu variabel.
1.
1.
Ketidaksamaan
Pernahkah kalian mengamati salah satu rambu-rambu lalu lintas seperti "Kecepatan maks 50 km/jam"? Bagaimana kalian menuliskan peringatan di atas ke dalam bentuk kalimat matematika?
Tahukah kamu bahwa tidak semua pernyataan bisa dituliskandengan menggunakan tanda hubung "="? Selain menggunakan tanda hubung "=", beberapa tanda hubung lainnya juga sering digunakan dalam pernyataan antara lain <, >, , dan . Tanda-tanda hubung tersebut <, >, , dan , masing - masing dibaca kurang dari, lebih dari, kurang dari atau sama dengan, dan lebih dari atau sama dengan. Misalkan a adalah suatu bilangan kurang dari b, maka ditulis a < b (dibaca a kurang dari b).
Misalnya ada tiga bilangan 3, 6, dan 9, dapatkah kalian mengetahui hubungan antara ketiga bilangan itu? Untuk itu perhatikanlah penjelasan berikut ini.
a. 3 < 6, dibaca 3 kurang dari 6 c. 6 > 3, dibaca 6 lebih dari 3
b. 5 < 9, dibaca 5 kurang dari 9 d. 9 > 6, dibaca 9 lebih dari 6
Kalimat-kalimat di atas disebut ketidaksamaan. Untuk sebarang bilangan a dan b, selalu
berlaku salah satu hubungan berikut:
a > b, dibaca a lebih dari ba < b, dibaca a kurang dari ba = b, dibaca a sama dengan b
a > b, dibaca a lebih dari b
a < b, dibaca a kurang dari b
a = b, dibaca a sama dengan b
, dibaca tidak sama dengan , dibaca lebih besar atau sama dengan, atau tidak kurang dari , dibaca lebih kecil atau sama dengan, atau tidak lebih dari.Lambang Ketidaksamaan lainnya yaitu :
, dibaca tidak sama dengan
, dibaca lebih besar atau sama dengan, atau tidak kurang dari
, dibaca lebih kecil atau sama dengan, atau tidak lebih dari.
Contoh 1. Tulislah kalimat-kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan.7 lebih dari 55 terletak di antara 4 dan 66 kurang dari 8Penyelesaian:7 lebih dari 5, dituliskan 7 > 56 kurang dari 8, dituliskan 6 < 85 terletak di antara 4 dan 6, dituliskan 4 < 5 < 62. Nyatakanlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam satu ketidaksamaan.2 < 3 dan 3 < 4 c.7 > 4 dan 7 < 103 > 1 dan 1 > 0Penyelesaian:a. 2 < 3 dan 3 < 4, dapat dituliskan dalam bentuk 2 < 3 < 4b. 3 > 1 dan 1 > 0, dapat dituliskan dalam bentuk 3 > 1 > 0c. 7 > 4 dan 7 < 8, dapat dituliskan dalam bentuk 8 > 7 > 4
Contoh
1. Tulislah kalimat-kalimat berikut dalam bentuk ketidaksamaan.
7 lebih dari 5
5 terletak di antara 4 dan 6
6 kurang dari 8
Penyelesaian:
7 lebih dari 5, dituliskan 7 > 5
6 kurang dari 8, dituliskan 6 < 8
5 terletak di antara 4 dan 6, dituliskan 4 < 5 < 6
2. Nyatakanlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam satu ketidaksamaan.
2 < 3 dan 3 < 4 c.
7 > 4 dan 7 < 10
3 > 1 dan 1 > 0
Penyelesaian:
a. 2 < 3 dan 3 < 4, dapat dituliskan dalam bentuk 2 < 3 < 4
b. 3 > 1 dan 1 > 0, dapat dituliskan dalam bentuk 3 > 1 > 0
c. 7 > 4 dan 7 < 8, dapat dituliskan dalam bentuk 8 > 7 > 4
Dalam kehidupan sehari-hari banyak peristiwa yang dapat diterjemahkan ke bentuk model
matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan, misalnya :
1. Harga sebuah buku lebih mahal dari harga sebuah pensil.
2. Kecepatan Andika mengendarai mobilnya dengan kecepatan kurang dari 100 km/jam.
3. Tinggi badan Rini lebih dari tinggi badan Ani, dan sebagainya.
Latihan
Latihan
1. Tuliskan tanda ketidaksamaan pada soal – soal berikut.
a. 25 ... 29 b. –5 ... –4 c.57...34 d. –34... – 67
2. Untuk lulus ujian (L) seorang siswa harus mendapat nilai lebih dari 6. Nyatakanlah pernyataan tersebut dalam bentuk pertidaksamaan!
2.Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
2.
Perhatikanlah kalimat-kalimat berikut ini.
a. x > 5 c. 3a a + 5
b. 2x– 3 < 7 d. 5n – 3 4n + 2
Kalimat-kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung <, >, atau . Kalimat – kalimat ini disebut pertidaksamaan.
Masing-masing pertidaksamaan itu hanya memiliki satu variabel, yakni x, a, dan n. Pertidaksamaan seperti ini disebut pertidaksamaan satu variabel. Peubah (variabel) pertidaksamaan di atas berpangkat satu atau juga disebut berderajat satu maka disebut pertidaksamaan linear.
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang hanya memiliki sebuah variabel dan berderajat satu dan memuat hubungan (<, >, atau ).
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang hanya memiliki sebuah variabel dan berderajat satu dan memuat hubungan (<, >, atau ).
Bentuk umum PTLSV dalam variabel x dituliskan dengan:
ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 0, atau ax + b 0 dengan a 0, a dan b bilangan real (nyata).
ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b 0, atau ax + b 0 dengan a 0, a dan b bilangan real (nyata).
Di bawah ini ada beberapa contoh Pertidaksamaan Linier Satu Variabel dengan variabel x.
3x – 2 < 0
3x + 1 2x – 4
5x – 1 > 8
10 2(x + 1)
Latihan
Latihan
1. Tulislah kalimat di bawah ini dalam bentuk pertidaksamaan.
a. panjang sebuah galah (g) tidak melebihi 2 meter
b. tinggi seorang peragawati (p) harus lebi hdari 170 cm
c. berat badan Toni (t) terletak di antara 40 kg dan 50 kg
d. untuk masuk SMPN, jumlah NEM (n) sekurang-kurangnya 28
2. Di antara bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan pertidaksamaan linear satu
variabel?
a. 3x + 5 < 8 d. x2 + 2 18 g. a(3 – 2a) 0
b. 5x – 4 < 11 e. y – 3 23 y h. x2 – 5 0
c. 2(2x + 3) 9 f. x – 2y < 4 i. p + 1p > 6
Kejujuan adalah Kunci Dunia
Kejujuan adalah Kunci Dunia
3.Sifat-Sifat Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
3.
Seperti halnya pada persamaan linear satu variabel, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel pun dapat dilakukan dengan cara substitusi. Selain itu dapat juga dilakukan dengan menjumlah, mengurangi, mengali, atau membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama. Misalkan A < B pertidaksamaan linear satu variabel x dan C adalah konstanta tidak nol. Pertidaksamaan A < B ekuivalen dengan:
1. A + C < B + C
2. A – C < B – C
3. A × C < B × C, jika C > 0 untuk semua x
4. A × C > B × C, jika C < 0 untuk semua x
5. AC < BC C, jika C > 0 untuk semua x
6. AC>BC C, jika C < 0 untuk semua x
Sifat-sifat di atas juga berlaku untuk lambang " " atau " "
Jangan Pantang Menyerah
Jangan Pantang Menyerah
4.Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
4.
Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan Cara Substitusi
Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dapat dilakukan dengan berbagai cara. Cara yang termudah adalah dengan mensubstitusi atau mengganti variabel dengan bilangan-bilangan tertentu. Perhatikan pertidaksamaan x + 5 > 7. Untuk mendapatkan penyelesaian dari x caranya dengan mensubstitusi bilangan-bilangan tertentu. Untuk x = 1 maka 1 + 5 > 7 (salah)
x = 2 maka 2 + 5 > 7 (salah)
x = 3 maka 3 + 5 > 7 (benar)
x = 4 maka 4 + 5 > 7 (benar)
x = 5 maka 5 + 5 > 7 (benar)
Contoh Jika x adalah bilangan asli kurang dari 11 dan x + 6 > 10, tentukanlah penyelesaian dari x.PenyelesaianUntuk x = 1 maka 1 + 6 > 10 (salah)x = 2 maka 2 + 6 > 10 (salah)x = 3 maka 3 + 6 > 10 (salah)x = 4 maka 4 + 6 > 10 (salah)x = 5 maka 5 + 6 > 10 (benar)x = 6 maka 6 + 6 > 10 (benar)x = 7 maka 7 + 6 > 10 (benar)x = 8 maka 8 + 6 > 10 (benar)x = 9 maka 9 + 6 > 10 (benar)x = 10 maka 10 + 6 > 10 (benar) Jadi, HP = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.Jadi, penyelesaiannya adalah 3, 4, 5, .... dan seterusnya. Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel biasa dinyatakan dengan himpunan penyelesaian. Untuk penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat ditulis dengan HP = {3, 4, 5, ....}.
Contoh
Jika x adalah bilangan asli kurang dari 11 dan x + 6 > 10, tentukanlah penyelesaian dari x.
Penyelesaian
Untuk x = 1 maka 1 + 6 > 10 (salah)
x = 2 maka 2 + 6 > 10 (salah)
x = 3 maka 3 + 6 > 10 (salah)
x = 4 maka 4 + 6 > 10 (salah)
x = 5 maka 5 + 6 > 10 (benar)
x = 6 maka 6 + 6 > 10 (benar)
x = 7 maka 7 + 6 > 10 (benar)
x = 8 maka 8 + 6 > 10 (benar)
x = 9 maka 9 + 6 > 10 (benar)
x = 10 maka 10 + 6 > 10 (benar) Jadi, HP = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Tentukanlah nilai x dari pertidaksamaanberikut untuk x bilangan bulat.
Latihan Tentukanlah HP dari Pertidaksamaan linear dibawah ini
Latihan
x + 2 > 4
x – 2 < 9
20 + x < 25
15 – x > 11
Tentukanlah himpunan penyelesaian untuk y bilangan bulat lebih dari 2 pada pertidaksamaan berikut ini.
y2+2<5
12y-2<3
2y3+5>6
152y-4>3
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari a, dengan a bilangan asli kurang dari 11 pada pertidaksamaan berikut ini.
2a – 8 > 4
7+ 4a > 5
6a + 3 < 5
10 – a < 12
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari m, jika m bilangan asli untuk pertidaksamaan berikut.
42m+4<10
332m-4<2
36m+3<20
523m+5<25
Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan Pertidaksamaan Setara
Tentu kalian masih ingat persamaan setara dari persamaan linear satu variabel. Pertidaksamaan setara pada pertidaksamaan linear satu variabel juga sama prinsipnya dengan persamaan setara pada persamaan linear satu variabel. Di sini yang membedakan hanya pada tanda hubungnya saja.
Untuk lebih jelasnya perhatikan pertidaksamaanpertidaksamaan berikut.
x + 10 24
2x + 20 48
x + 16 30
12x + 5 12
x + 6 20
Carilah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas dengan cara substitusi. Apakah penyelesaian dari kelima pertidaksamaan ini sama? Jika kamu teliti, ternyata kelima pertidaksamaan ini memiliki penyelesaian yang sama yaitu x = 14, 15, 16, … dan seterusnya. Dengan demikian, kalimat pertidaksamaan ini disebut pertidaksamaan yang setara. Jadi, dapat disimpulkan hal tersebut. Bentuk setara dari pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan-pertidaksamaan linear satu variabel yang mempunyai penyelesaian yang sama.
Latihan
Latihan
1. Manakah yang setara dengan 2x – 2 > 8?
a. 2x > 10 e. 4x – 4 > 16
b. x – 1 > 4 f. 3x – 3 > 12
c. –x < 8 g. 6x – 6 < 12
d. –2x > –10 h. –x > –5
2. Tentukanlah pertidaksamaan yang mempunyai bentuk setara dengan
12x + 9 >12.
a. 3x > 18 b. x – 4 > 2
c. –4x < –24 e. 48 + x < –54
d. 9x – 14 > 40 f. –5x > 30
Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Menambah atau Mengurangi dengan Bilangan yang Sama
Perhatikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut.
x + 5 > 7,
untuk x = 2 maka 2 + 5 > 7 (kalimat salah)
untuk x = 3 maka 3 + 5 > 7 (kalimat benar)
untuk x = 4 maka 4 + 5 > 7 (kalimat benar)
Penyelesaiannya adalah x = 3, 4, … atau x > 2
x + 5 – 5 > 7 – 5 (kedua ruas dikurangi 5)
x > 2
Penyelesaiannya adalah x > 2
Jadi, pertidaksamaan x + 5 > 7 setara dengan x + 5 – 5 > 7 – 5
x – 6 < –10,
untuk x = –4 maka –4 – 6 < –10 (kalimat salah)
untuk x = –5 maka –5 – 6 < –10 (kalimat benar)
untuk x = –6 maka –6 – 6 < –10 (kalimat benar)
Penyelesaiannya adalah x = –5, –6, … atau x < –4
x – 6 + 6 < –10 + 6 (kedua ruas ditambah 6)
x < –4
Penyelesaiannya adalah x < –4
Jadi, pertidaksamaan x – 6 < –10 setara dengan x – 6 + 6 < –10 + 6
Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan hal berikut.
Setiap pertidaksamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
Setiap pertidaksamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama
Sifat di atas dapat ditulis dalam bentuk pertidaksamaan berikut.
x + a > b dan x – a > b
x + a – a > b – a x – a + a > b + a
x > b – a x> b + a
Contoh Tentukan penyelesaian dari 4x 3x – 5, untuk x bilangan rasional Penyelesaian:a. 4x 3x – 5 4x + (–3x) 3x + (–3x) –5 (kedua ruas ditambah – x) x – 5. Penyelesaiannya adalah x –52. Tentukan penyelesaian dari 3x – 2 1 + 2x, untuk 0 < x 3 b. x bilangan riilPenyelesaian:3x – 2 1 + 2x 3x – 2 + 2 1 + 2x + 2, kedua ruas ditambah 2 3x 3 + 2x 3x – 2x 3 + 2x – 2x, kedua ruas dikurangi –2x x 3Untuk 0 < x 3, penyelesaiannya adalah x = 1, 2, dan 3
Contoh
Tentukan penyelesaian dari 4x 3x – 5, untuk x bilangan rasional
Penyelesaian:
a. 4x 3x – 5
4x + (–3x) 3x + (–3x) –5 (kedua ruas ditambah – x)
x – 5. Penyelesaiannya adalah x –5
2. Tentukan penyelesaian dari 3x – 2 1 + 2x, untuk 0 < x 3 b. x bilangan riil
Penyelesaian:
3x – 2 1 + 2x
3x – 2 + 2 1 + 2x + 2, kedua ruas ditambah 2
3x 3 + 2x
3x – 2x 3 + 2x – 2x, kedua ruas dikurangi –2x
x 3
Untuk 0 < x 3, penyelesaiannya adalah x = 1, 2, dan 3
Latihan Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
Latihan
x + 5 > 12 g. x – 6 < –13
x – 5 > 10 h. x – 4 > 12
x – 3 < –10 i. 6 + x > 12
9 – x < 16 j. 12 – x > –14
x – 4 < 12 k. x + 3 > –8
2. Tentukan nilai x dari:
x + 5 > 7, dan
x – 5 > 7
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut untuk x bilangan asli kurang dari 9.
a. x + 3 8 d. 5x < 4x + 4
b. x – 4 1 e. 4x – 2 3x + 5
c. x – 5 > –2 f. 3x > 2x + 2
Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Mengalikan atau Membagi dengan Bilangan yang Sama
Perhatikan pertidaksamaan berikut ini.
2x < 8, untuk x bilangan asli
Pengganti x yang memenuhi pertidaksamaan di atas adalah x = 1, x = 2, atau x = 3, jadi penyelesaiannya adalah x = 1, x = 2, atau x = 3 atau
2x < 8
12(2x) < 12(8) (kedua ruas dikali dengan 12 )
x < 4, x bilangan asli maka x = 1, x = 2, atau x = 3
Pertidaksamaan, 2x < 8 dan 12(2x) < 12(8) mempunyai penyelesaian yang sama, berarti dapat dikatakan bahwa, 2x < 8 12(2x) < 12(8)
13 x > 2, untuk x bilangan asli, kurang dari 10.
13x > 2
3×13x>2×3, kedua ruas dikalikan dengan 3
x > 6
Untuk x bilangan asli kurang dari 10 maka penyelesaiannya adalah x = 7, x = 8, atau x= 9.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Setiap pertidaksamaan tetap ekuivalen, dengan tanda ketidaksamaan tidak berubah, walaupun kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif yang sama.
Setiap pertidaksamaan tetap ekuivalen, dengan tanda ketidaksamaan tidak berubah, walaupun kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif yang sama.
Contoh Tentukan penyelesaiannya dalam bilangan riil.a. 3x < 15 b. 8y – 4 < 7y + 6c. 12 x > –1Penyelesaian:a. 3x < 15 b. 8y – 4 < 7y + 6 13(3x) < 13 (15) 8y – 7y < 6 + 4 x < 5 y < 10Penyelesaiannya x < 5 Penyelesaiannya y < 10b. 12x > –12(12 x) > – 1(2) x > –2Penyelesaiannya x > –2
Contoh
Tentukan penyelesaiannya dalam bilangan riil.
a. 3x < 15 b. 8y – 4 < 7y + 6
c. 12 x > –1
Penyelesaian:
a. 3x < 15 b. 8y – 4 < 7y + 6
13(3x) < 13 (15) 8y – 7y < 6 + 4
x < 5 y < 10
Penyelesaiannya x < 5 Penyelesaiannya y < 10
b. 12x > –1
2(12 x) > – 1(2)
x > –2
Penyelesaiannya x > –2
Sekarang perhatikan pertidaksamaan berikut ini:
a. –x > –5, dengan x adalah bilangan asli kurang dari 8. Pengganti x yang memenuhi adalah
x = 1, x = 2, x = 3, atau x = 4.
Cara lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas dengan mengalikan kedua ruasnya dengan bilangan negatif yang sama.
* –x > –5
–1(–x) > – 1(–5), (kedua ruas dikalikan dengan –1 dan tanda pertidaksamaan tetap)
x > 5
Penyelesaiannya adalah x = 6 atau x = 7.
* –x > –5
–1(–x) < –1(–5), (kedua ruas dikalikan dengan –1 dan tanda pertidaksamaan berubah
dari > menjadi <)
x < 5
Penyelesaiannya adalah x = 1, x = 2, x = 3, atau x = 4.
Dari penyelesaian di atas ternyata, pertidaksamaan yang mempunyai penyelesaian sama adalah –x > –5 dan –1(–x) < –1(–5)
Jadi, –x > –5 –1(–x) < –1(–5)
b. –4x –8, dengan x bilangan asli kurang dari 4. Pengganti x yang memenuhi adalah x = 2,
atau x = 3. Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2 atau x = 3.
* –4x –8
– 14 (–4x) – 14 (–8) (kedua ruas dikalikan dengan – 14 dan tanda pertidaksamaan tetap).
x 2, penyelesaiannya adalah x = 1 atau x = 2
* –4x –8
– 14 (–4x) – 14 (–8), (kedua ruas dikali – 14 dan tanda jadi )
x 2. Penyelesaiannya adalah x = 2 atau x = 3
Ternyata pertidaksamaan di atas yang memberikan jawaban yang sama adalah
–4x –8 dan – 14 (–4x) – 14 (–8).
Jadi –4x –8 (–4x) – 14 – 14 (–8)
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:
Suatu pertidaksamaan apabila kedua ruasnya dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka tanda pertidaksamaan berubah.
Suatu pertidaksamaan apabila kedua ruasnya dikalikan dengan bilangan negatif yang sama maka tanda pertidaksamaan berubah.
Contoh Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan:a. 2a > 4 b. –2x > –6 Penyelesaian:2a > 4 b. –2x > –6 2a : 2 > 4 : 2 –2x : –2 < –6 : –2a > 2 x < 3
Contoh
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan:
a. 2a > 4 b. –2x > –6
Penyelesaian:
2a > 4 b. –2x > –6
2a : 2 > 4 : 2 –2x : –2 < –6 : –2
a > 2 x < 3
Hore Kita bisa mengerjakannya
Hore Kita bisa mengerjakannya
Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Menambah atau Mengurangi dan Membagi atau Mengalikan dengan Bilangan yang Sama
Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan linear satu variabel ada kalanya pertidaksamaan itu harus ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama dilanjutkan dengan mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama pula. Untuk lebih jelasnya perhatikan bentuk berikut.
ax + b < c
Untuk menentukan nilai x dapat dilakukan dengan cara berikut.
ax + b < c
ax + b – b < c – b (kedua ruas dikurangi
ax < c – b
ax ×1a< (c – b) ×1a (kedua ruas dikali 1a )
Contoh Tentukanlah nilai a dari pertidaksamaan 2a + 2 < 12.Penyelesaian:2a + 2 < 122a + 2 – 2 < 12 – 2 (kedua ruas dikurangi 2)2a < 102a ×12< 10 ×12 (kedua ruas dikali 12)a < 5 x < c-ba
Contoh
Tentukanlah nilai a dari pertidaksamaan 2a + 2 < 12.
Penyelesaian:
2a + 2 < 12
2a + 2 – 2 < 12 – 2 (kedua ruas dikurangi 2)
2a < 10
2a ×12< 10 ×12 (kedua ruas dikali 12)
a < 5
Latihan
Latihan
Tentukanlah penyelesaian dari soal di bawah ini.
5x – 3 > 7 e) 2x + 9 x + 8
–3x – 2 8 f) 3x + 7 12
–4x + 1 > 7 g) 7x + 2 > 4x – 1
13 – 7x < 34 – 10x h) 3(x – 8) < 5x + 6
Grafik Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan Garis Bilangan
Penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan Himpunan Penyelesaian? Nah, sekarang kalian akan mempelajari cara lain menyatakan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel. Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan dalam garis bilangan. Pada garis bilangan terdapat angka 0 (nol), di sebelah kanan angka nol adalah angka positif yang makin ke kanan nilainya makin besar. Di sebelah kiri angka 0 (nol) adalah angka negatif yang makin ke kiri nilainya makin kecil. Untuk menyatakan penyelesaian dari pertidaksamaan pada garis bilangan perlu diperhatikan domain (daerah asal) dari variabelnya.
Contoh: x < 5 dengan x bilangan asli
Himpunan penyelesaiannya adalah {1, 2, 3, 4}.
Garis bilangannya
0 1 2 3 4
Untuk x 2 dengan x bilangan rasional.
Garis bilangannya
0 1 2 3 4 5
Untuk x > 2 dengan x bilangan rasional.
Garis bilangannya.
Latihan 0 1 2 3 4 5
Latihan
1. Gambarkan grafik penyelesaian pertidaksamaan berikut, untuk x bilangan riil.
a. x – 2 > 1 b. 3x – 2 x + 4
2. Buatlah garis bilangan dari:
a. x < 4 dengan x A, b. x < 3 dengan x Q,
c. 2 < x < 5 dengan x A, d. 2 < x < 5 dengan x Q, dan
e. 2 x < 5 dengan x Q.
A = bilangan asli
Q = bilangan rasional
4.Aplikasi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
4.
Menerjemahkan Soal Cerita menjadi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Untuk soal-soal berbentuk cerita biasanya kita membuat permisalan untuk variabel yang tidak diketahui. Demikian pula dengan soal-soal cerita pertidaksamaan. Langkah awalnya, soal cerita pertidaksamaan dipahami terlebih dahulu kemudian ditentukan permisalannya. Setelah permisalannya ditentukan dibuat pertidaksamaannya, langkah terakhir adalah menyelesaikan pertidaksamaannya.
Contoh Suatu model kerangka balok tarbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x +5) cm, lebar (x -2)cm, dan tinggixcm.Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x.Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.PenyelesaianMisalkan panjang kawat yang diperlukan=k, maka model matematikanya sebagai berikut:K = 4p+4l+4t = 4(x +5)+4(x +2)+4. x = 4 x +20+4 x - 8+4 x = 12 x +12Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis K=12 x +12 132 cm, sehingga diperoleh:12 x +12 13212 x +12-12 132-1212 x 120Penyelesaian Soal Cerita yang Berkaitan dengan Pertidaksamaan Linier Satu Variabel
Contoh
Suatu model kerangka balok tarbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x +5) cm, lebar (x -2)cm, dan tinggixcm.
Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x.
Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.
Penyelesaian
Misalkan panjang kawat yang diperlukan=k, maka model matematikanya sebagai berikut:
K = 4p+4l+4t
= 4(x +5)+4(x +2)+4. x
= 4 x +20+4 x - 8+4 x
= 12 x +12
Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis K=12 x +12 132 cm, sehingga diperoleh:
12 x +12 132
12 x +12-12 132-12
12 x 120
112×12 x 120×112x 10Nilai maksimum x = 10 sehingga diperoleh p = ( x + 5 )cm = 15 cml = (x – 2 ) cm = 8 cmt = x = 10Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15×8×10) cm.Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16 x cm dan lebar 10x cm. jika luasnya tidak kurang dari 40dm2, tentukan ukuran minimum pernukaan meja tersebut. Penyelesaian:Diketahui panjang permukaan meja (p) =16 x, lebar= 10 x, dan Luas= LModel Matematika dari luas persegi panjang adalahL = p×l = 16 x × 10 x = 160x2Luas tidak kurang dari 40 dm2 = 4.000cm2 dapat ditulis L = 160x2 4.000, sehingga diperoleh160 x2 4.000 x2 25 x 5Nilai minimum x=5cm, sehingga di perolehp=16 cm=16×5 cm=80 cm .l =10x cm=10×5cm=50cm.Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80×50) cm.
112×12 x 120×112
x 10
Nilai maksimum x = 10 sehingga diperoleh
p = ( x + 5 )cm = 15 cm
l = (x – 2 ) cm = 8 cm
t = x = 10
Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15×8×10) cm.
Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16 x cm dan lebar 10x cm. jika luasnya tidak kurang dari 40dm2, tentukan ukuran minimum pernukaan meja tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui panjang permukaan meja (p) =16 x, lebar= 10 x, dan Luas= L
Model Matematika dari luas persegi panjang adalah
L = p×l
= 16 x × 10 x
= 160x2
Luas tidak kurang dari 40 dm2 = 4.000cm2 dapat ditulis
L = 160x2 4.000, sehingga diperoleh
160 x2 4.000
x2 25
x 5
Nilai minimum x=5cm, sehingga di peroleh
p=16 cm=16×5 cm=80 cm .
l =10x cm=10×5cm=50cm.
Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80×50) cm.
Latihan Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu
Latihan
Persegi panjang mempunyai panjang x+7 cm dan lebar (x-2)cm. jika kelilingnya tidak lebih dari 50 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.
Panjang diagonal-diagonal suatu layang-layang adalah (2x-3) cm dan (x+7)cm. jika diagonal pertama lebih panjang dari diagonal kedua, tentukan luas minimum layang-layang tersebut.
Model kerangka kubus dibuat dari kawat yang panjang rusuknya (x+2)cm. jika panjang kawat yang di perlukan tidak melebihi 180 cm, tentukan panjang rusuk kubus tersebut.
"Baik rupa sepemandangan, baik bunyi sependengaran"
"Baik rupa sepemandangan, baik bunyi sependengaran"
ULANGAN HARIAN
ULANGAN HARIAN
Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c, atau d di depan jawaban yang tepat!
1. Bentuk berikut yang merupakan persamaan adalah ....
a. 5 + 7 = 3 + 9 c. 8 + x = 10x
b. 8 + 10 = 9 + 9 d. 2 – x < 10 – 2x
2. Pernyataan berikut merupakan pernyataan yang benar, kecuali ....
a. 8 bukan bilangan prima c. –3 – (–4) = –7
b. 1 menit = 60 detik d. 5 x 3 = 3 x 5
3. Kalimat berikut yang merupakan kalimat terbuka adalah ....
a. jika 3 > 2, maka 13 < 12
b. setiap bilangan a dikalikan dengan 1 hasilnya adalah a
c. untuk x = 1, maka x2 – 1 = 0
d. x2 + 4 = 8
4. Penyelesaian dari persamaan 6x – 5 = 13 adalah ....
a. 3 b. 4 c. 5 d. 7
5. Nilai x yang memenuhi persamaan 5x-34=8 adalah ....
a. 8 b. 7 c. 5 d. 4
6. Persamaan-persamaan berikut yang setara adalah ....
(I) x + 2 = 5 (III) 2x + 4 = 10
(II) x + 3 = 9 (IV) 3x + 6 = 18
a. (I), (II), dan (III) c. (I), (II), dan (IV)
b. (II), (III), dan (IV) e. (II) dan (III)
7. Nilai x dari 3(x – 2) = x + 10, x B, adalah ....
a. 3 b. 5 c. 6 d. 8
8. Jika a > b dan b > c, maka ....
a. a > b > a c. a > b
b. a > b > c d. c > b
9. Pernyataan di bawah ini yang merupakan pertidaksamaan adalah ....
a. x + 2 = 5 c. 3x – 8 >1
b. 12 – 5 = 7 d. 4a + 6 = 10
10. Jika a = b + 5, maka pernyataan berikut yang benar aalah ....
a. a > b c. a < b
b. a b d. a b
11. Umur Dina 5 tahun lebihnya dari umur Dona. Jika jumlah umur mereka 23 tahun, maka
umur Dina adalah ....
a. 15 tahun c. 9 tahun
b. 14 tahun d. 7 tahun
12. Nilai x yang memenuhi persamaan 2(3x – 5) = 2x + 6 adalah ....
a. 1 b. 3 c. 4 d. 6
13. Seorang pedagang membeli 200 buah mangga. Setelah diperiksa ternyata ada 15 buah mangga yang busuk. Banyak mangga yang terjual adalah sebanyak x buah dan sisanya 75 buah. Kalimat matematikanya adalah ....
a. 15 = 75 –x c. 200 – x = 75
b. x + 75 = 100 d. 185 – x = 75
14. Suatu bilangan asli, jika dikalikan dengan 4, kemudian ditambah dengan 4, maka hasilnya kurang dari 20. Bilangan-bilangan itu adalah ....
a. 1, 2, 3, 4 c. 2, 3, 4
b. 1, 2, 3 d. 2, 3
15. Penyelesaian dari 2x + 1 3x – 5, untuk x bilangan bulat kurang dari 10 adalah ....
a. 7, 8, 9 c. 7, 8, 9, 10
b. 6, 7, 8, 9 d. 8, 9, 10
16. Penyelesaian dari 23(x – 1) < 23 (x – 2) adalah ....
a. x < –9 c. x < –2
b. x > –9 d. x > –2
17. Sebuah persegipanjang, panjangnya 2 kali lebarnya. Jika kelilingnya tidak kurang dari 24
cm, maka ukuran maksimum dari panjang dan lebarnya adalah ....
a. 6 cm dan 3 cm c. 8 cam dan 6 cm
b. 8 cm dan 4 cm d. 9 cm dan 6 cm
18. Panjang sisi suatu persegi (p + 3) cm. Kelilingnya tidak lebih dari 36. Luas maksimum
persegi itu adalah ....
a. 16 cm2 c. 32 cm2
b. 24 cm2 d. 36 cm2
19. Pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan kalimat benar adalah ....
a. 3 {bilangan genap}
b. 4 menit = 60 detik
c. –6 + 2 = 4
d. 1,5 × 3 = 1,5 × 3
20. 5x + 10 = 12 dan 10x + 20 = 24, disebut ....
a. kalimat benar
b. kalimat salah
c. kalimat setara
d. persamaan yang setara
21. Jika x – 4 = 11, maka nilai x + 6 adalah ....
a. 7 c. 15
b. 13 d. 21
22. Nilai x yang memenuhi dari persamaan x+22+x+33=12 adalah ....
a. 12 c. 15
b. 14 d. 24
23. Umur seorang bapak sekarang 3 kaliumur anaknya. 12 tahun lagi umurbapak dua kali umur anaknya. Umur anaknya saat ini adalah ....
a. 6 tahun c. 16 tahun
b. 12 tahun d. 18 tahun
24. Seorang pedagang membeli 3 gelas dan 3 piring. Harga setiap piring lebih Rp500,00 dari harga setiap gelas. Ia membayar seluruhnya Rp24.000,00, maka harga sebuah piring adalah....
a. Rp3.250,00 c. Rp4.250,00
b. Rp3.750,00 d. Rp4.750,00
25. Sebuah bilangan lebih 10 dari bilangan lainnya. Jika bilangan terbesar x, makabilangan lainnya adalah ....
a. x + 10 c. 10 – x
b. 10 + x d. x – 10
Isilah titik – titik di bawah ini dengan jawaban yang tepat!
Hitunglah nilai m berikut ini.
3m-42=10
2m-24=3m-52
5m-26-4=2m-33
Hitunglah nilai a berikut ini.
1a+12a+13a+14a+15a=13760
a2+2a3+3a4+4a5+5a6=2
Jumlah dua bilangan 72. Selisih kedua bilangan itu adalah 2. Tentukanlah hasil kali kedua bilangan tersebut.
Lima bilangan berurutan yaitu a, a + 1, a + 2, a + 3, a + 4 berjumlah 75. Tentukanlah hasil kali bilangan-bilangan tersebut.
Umur seorang bapak 28 tahun ketika anaknya lahir. Berapakah umur anak tersebut ketika jumlah umur mereka 80 tahun?
Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
3x4-3(x+1)2 2x+35+54
x+44-3x-56
Keliling suatu persegi tidak lebih dari 80 cm. Hitunglah luas maksimum yang mungkin.
Jumlah dua bilangan tidak lebih dari 40. Tentukanlah hasil kali terbesar dari kedua bilangan itu.
Tiga bilangan ganjil berurutan jumlahnya tidak lebih dari 30. Hitunglah hasil kali terbesar ketiga bilangan itu.
Sisi-sisi sebuah segitiga adalah x, x + 2, dan x + 5 (x bilangan bulat). Jika keliling segitiga itu tidak lebih dari 36, tentukanlah keliling segitiga minimum.
"Lebih berharga mutiara sebutir dari pada pasir sepantai"
"Lebih berharga mutiara sebutir dari pada pasir sepantai"
PERBAIKANSelesaikanlah soal-soal berikut dengan jelas dan benar.
PERBAIKAN
1. Tentukanlah nilai x dari persamaan:
a. 5x – 7 = 293x – 5) b. 9x – (3x + 6) = 2x + 8
2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a. 3x – 6 < 2x – 3 c. x-24-2x+33 1
b. 2(2x – 1) > 3(2x – 2)
3. Seorang peternak memelihara itik dan kambing. Waktu peternak menghitung peliharaannya ada 100 kepala dan 272 kaki. Hitunglah banyaknya itik dan kambing.
X m
1 m 4.
1 m
( X – 10 ) m
Gambar di samping adalah sebuah kebun berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang x meter, lebar (x – 10) dan kelilingnya 100 meter. Di dalam kebun akan ditanami sayuran. Untuk mempermudah pemeliharaan sayuran di pinggir dibuat jalan yang lebarnya 1 meter (lihat gambar).
Tentukanlah:
a. persamaan keliling dalam x.
b. luas kebun yang ditanami sayur.
5. Buatlah grafik penyelesaian pertidaksamaan berikut pada garis bilangan.
a. 5x – 6 < 4(x – 2) b. 2(4 – 3x) 3x – 10
DAFTAR PUSTAKA
Atik .W, Endah B.R dan Idris.H.2008.Contextual Teaching and Learning Matematika Untuk SMP/MTs Kelas VII Edisi 4. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
A Wagiyo, F. Surati dan Irene Supradiarini. 2008.Pegangan Belajar Matematika I Untuk SMP/MTs Kelas VII. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
Dewi Nuharini. 2008.Matematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VI SMP/MTs.Jakarta: Pusat Perbukuan,Departemen Pendidikan Nasional,
Dame Rosida Manik. 2009.Penunjang Belajar : Matematika : Untuk SMP dan MTs Kelas 7.Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.
