Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya10
Created by Mukhlisah Zulfa Nadiya 38
NAMA : ……………………………………KELAS : ……………………………………NAMA : ……………………………………KELAS : ……………………………………
NAMA : ……………………………………
KELAS : ……………………………………
NAMA : ……………………………………
KELAS : ……………………………………
Matematika itu mudah dan menyenangkan!SEMANGAT!!!Matematika itu mudah dan menyenangkan!SEMANGAT!!!
Matematika itu mudah dan menyenangkan!
SEMANGAT!!!
Matematika itu mudah dan menyenangkan!
SEMANGAT!!!
SELAMAT BELAJAR!SELAMAT BELAJAR!
SELAMAT BELAJAR!
SELAMAT BELAJAR!
Lembar Kerja Siswa 1
A. EKSPONEN
a. Menemukan Konsep Eksponen
Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tersebut, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti dian- tara beberapa pola berikut ini:
Masalah 1
1 . Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35 b. 56 c. 104
Penyelesaian :
a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243
b. 56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = …….
c. 104 = …. x ….. x ….. x ….. = ………
an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n
n factor a disebut bilangan pokok atau basis.
n disebut pangkat atau eksponen
an disebut bilangan berpangkat.
Apa yang dapat kalian simpulkan dari beberapa penyelesaian di atas?
....................................................................................................................................................
b. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 2 :
Tentukan nilai dari: a. 43 x 42 b. 24 x 25
Penyelesaian :
a. 43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4…..
3 faktor 2 faktor (3 + 2) factor
b. 24 x 25 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 )
= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. )
= 2…..
Penarikan kesimpulan:
ap . aq = ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a … + ….
…. Factor …. Factor ( … + …. ) factor
Apa yang dapat kalian simpulkan dari uraian penyelesaian masalah di atas?
....................................................................................................................................................
Buktikan bahwa sifat 1 berlaku untuk : ap . aq = a …. + ……
Masalah 3 :
Tentukan nilai dari: a5 : a3
Penyelesaian :
a5 : a3 = ( a x... x... x … x a ) : ( a x... x...)
5 faktor 3 faktor
=(a x...x...x...x... ) : (a x...x...) = 1 x ( a x ….. ) = a2 = a5 - 3
5 faktor 3 faktor 2aktor
Penarikan kesimpulan:
ap : aq = (a x...x...x...) : (a x...x...x...)
p faktor q faktor
= 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - …
(p - …. ) faktor
Apakah benar bahwa dalam sifat ke-2 dari bilangan bulat positif adalah ap : aq = a…-…
Apa yang dapat kalian simpulkan dari urain di atas?
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
Masalah 4 :
Tentukan nilai dari: ( 2 x 5 )3
Penyelesaian :
( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … ) x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) = 2 … . 5 ….
3 faktor 3 faktor 3 faktor
Penarikan kesimpulan:
( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x … x ( … x b ) = ( a x … x … x a ) x ( b x .…x … x b)
p factor p factor p factor
= a…. b….
Sifat 3 : ( a . b )p = a… . bp
Masalah 5 :
Tentukan nilai dari: (53)4
Penyelesaian :
(53)4 = 53 x 5… x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. )
4 faktor 4 faktor
= 5 x …. x …. x ….. x …. x …. x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5 …. x … = 5…
3 faktor 3 faktor 3 faktor 3 faktor
Apa yang dapat kalian simpulkan dari uraian di atas?
....................................................................................................................................................
Kesimpulan:an = ... x ... x ... x ... (n faktor)Sifat 1 : ap . aq = a …. + ……Sifat 2 : ap : aq = a… - …Sifat 3 : ( a . b )p = a… . b....Sifat 4 : ( ap)q = a… x …Sifat 5 : abn = .....Kesimpulan:an = ... x ... x ... x ... (n faktor)Sifat 1 : ap . aq = a …. + ……Sifat 2 : ap : aq = a… - …Sifat 3 : ( a . b )p = a… . b....Sifat 4 : ( ap)q = a… x …Sifat 5 : abn = .....Sifat 4 : ( ap)q = a… x …
Masalah 6 :
Kesimpulan:
an = ... x ... x ... x ...
(n faktor)
Sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
Sifat 2 : ap : aq = a… - …
Sifat 3 : ( a . b )p = a… . b....
Sifat 4 : ( ap)q = a… x …
Sifat 5 : abn = .....
Kesimpulan:
an = ... x ... x ... x ...
(n faktor)
Sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
Sifat 2 : ap : aq = a… - …
Sifat 3 : ( a . b )p = a… . b....
Sifat 4 : ( ap)q = a… x …
Sifat 5 : abn = .....
Tentukan nilai dari: 234
Penyelesaian :
234 = ... x … x ... x ... = .................
4 faktor
Sifat 5 : abn = .....
c. Pangkat Nol
Bakteri E. Coli membelah diri setiap 12,5 menit. Hal ini berarti jumlah bakteri E. Coli menjadi berlipat .... kali lipat dari sebelumya.
Lengkapilah.
Waktu
0
12,5
25
37,5
50
...
Jumlah
1
2
4
...
...
...
2...
2...
2...
...
...
...
Pada saat 0 menit, banyak bakteri = ....
Banyak bakteri = 2 .... = ....
Mari kita buktikan bahwa a0 = 1
Kesimpulan:a0 = ....Kesimpulan:a0 = ....Cara 1: Cara 2:
Kesimpulan:
a0 = ....
Kesimpulan:
a0 = ....
ap : ap = 1 a0 x ap = a 0 + p
a p –p = .... a0 x ap = ....
a ... = .... a0 = a ... : x ap
(terbukti) a0 = .... (terbukti)
d. Pangkat Bulat Negatif
Lengkapilah
104
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3
10-4
...
10.000
...
Amati pola bilangan tersebut. Dengan pola tersebut, dapat dilihat bahwa:
10 -1 = 110 = 110…… 10 -2 = 1…………. = 110…… 10 -1 = 1………… = 110……
Kesimpulan:a –n = ......Kesimpulan:a –n = ......Mari kita buktikan bahwa a –n = 1an
Kesimpulan:
a –n = ......
Kesimpulan:
a –n = ......
Bukti:
a0 : an = 1 : an
a 0 – ... = 1an
a ... = .... (terbukti)
Latihan
Ubahlah menjadi pangkat positif dan hitunglah hasilnya
No
Pangkat Negatif
Pangkat Positif
Hasil
1
5-2
2
2a-4
3
14-2
4
15p-1
5
13-3
6
27-4
7
2a-3p-7
e. Pangkat Pecahan
1) Misalkan na= ab
Kesimpulan:na= a……. amn= n…… Kesimpulan:na= a……. amn= n…… Kedua ruas dipangkat n sehingga diperoleh
Kesimpulan:
na= a…….
amn= n……
Kesimpulan:
na= a…….
amn= n……
nan= abn
a1 = a ......
1 = b. ...
b = ......
Jadi, dapat disimpulkan bahwa na= ab = a .....
2) amn= am1n= n……………
Latihan
Lengkapi tabel berikut
Bentuk Pangkat
Bentuk Akar
y12
s35
3r14
5a2
42b3
56h
Hitunglah nilainya
432 b. 2723 c. 16-14 d. 25-32
Nyatakan dalam bentuk pangkat dengan bilangan pokok 2
34 b. 564
Sederhanakan bentuk pangkat berikut dan nyatakan dalam bentuk akar
a12xa23
Selamat MengerjakanSelamat Mengerjakana12: a13
Selamat Mengerjakan
Selamat Mengerjakan
a23 b9267
a23 b8334
Lembar Kerja Siswa 2
Topik : Bilangan Rasional, Bilangan Irasional dan Bentuk Akar
Bilangan Rasional
Bilangan Rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ............ dengan a dan b bilangan bulat dan b 0. Bilangan Rasional dilambangkan dengan ....
Bilangan Rasional dibedakan menjadi dua, yakni:
Bilangan bulat, seperti -3, -2, 0, 5, 8, .....
Bilangan pecahan seperti: 12 , 14 , 35 , .......
Ciri-ciri Bilangan Rasional:
Bilangan desimal yang terputus/terbatas, misal: 14 = 0,25 dan 35 = 0,6
Bilangan desimal yang tidak terputus/terbatas tapi berulang, misal: 16 = 0,16666... dan 19 = 0,1111...
Bilangan Irasional
Bilangan Irasional yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ............ dengan a dan b bilangan bulat dan b 0.
Ciri: Bilangan desimal yang tidak terputus/terbatas dan tidak berulang, misal: 0,1435486495....
Manakah yang termasuk bilangan rasional dan irasional?
25 2. 12 3. 6 4. 16 5. π
6. 34 7. 38 8. 0,25
Bilangan irasional disebut bilangan bentuk akar karena tidak dapat bisa diperoleh akarnya yang rasional.
Bentuk Akar
22 = 4 maka 4=...
23 = ... maka 38 = ...
24 = ... maka 4….. = ...
Secara umum: Diketahui n bilangan bulat dan n 2
X disebut akar ke – n dari a apabila xn = ....
X = ……….. apabila xn = ....
Menyederhanakan Bentuk Akar
Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif berlaku
na x b= na x nb
Sederhanakan:
8 = …x…= … x … = ... ….
48 = …x…= … x … = ... ….
3294 = 3…x…= … x … = ... ….
316 = 3…x… = 3… x 3… = … 3…
3135 = 3…x… = 3… x 3… = … 3…
Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
anc+b nc = (…+ … )n…
anc-b nc = (…- … )n…
anc x b nd = (…x … )n…x…
ancbnd=…...….. n………….
a2= a x a= ……
a x b= …….
ab= …….……
Ingat ya...! Penting!Ingat ya...! Penting!
Ingat ya...! Penting!
Ingat ya...! Penting!
Soal Latihan
35 + 45 = (... + ...) 5 = ...........
52 - 72 = (... - ...) 2 = ...........
18+ 8 = …x… + …x… = .... …+ … … = .........
12- 27=…x… - …x… = .... … - … … = .........
6 x 3= …x… = …. = ..........
123= …….……= ………..
52 x 46 = (... x ...) …x… = ............................
101025= …….………….…… = ............
2 (6+ 3) = 2 x 6+ 2 x …= …… + …….. = ...........................
2+ 32= (2+ 3) (2+ 3)
= (2)2 + 2 .... x.... + (.....)2
= .... + 2……. + ... = (..... + .....) + 2…… = ....................
7- 52= (7- 5) ( ... - …)
= (7)2 – 2 .... x.... + (.....)2
= .... – 2 ……. + ... = (..... + .....) - 2…… = ....................
(2+ 5) (2- 5) = (2)2 + ........ - .......... - (.....)2
= .... - ... =....................
Menyederhanakan Bentuk a+b+2ab dan a+b-2ab
a+ b2 = (a)2 + 2 .... x.... + (.....)2
= .... + 2……. + ...
= (..... + .....) + 2…… (tarik akar kedua ruas)
a+ b = …+ …+2…….
a- b2 = (a)2 - 2 .... x.... + (.....)2
= .... - 2……. + ...
= (..... + .....) - 2…… (tarik akar kedua ruas)
a- b = …+ …-2…….
Kesimpulan:a+b+2ab= …+ …a+b-2ab= …- …Kesimpulan:a+b+2ab= …+ …a+b-2ab= …- …
Kesimpulan:
a+b+2ab= …+ …
a+b-2ab= …- …
Kesimpulan:
a+b+2ab= …+ …
a+b-2ab= …- …
Soal Latihan
7+210= …+ …
A + b = 7
Ab = 10 , maka a = ... dan b = ....
Sehingga 7+210= …+ …
8-27= …- …
A + b = ...
Ab = .... , maka a = ... dan b = ....
Sehingga 8-27= …- …
8-60= 8-…x…= 8-2….
A + b = ....
Ab = ... , maka a = ... dan b = ....
Sehingga 8-60= …- …
11+72= 11+…x…= 11+2….
A + b = ....
Ab = ... , maka a = ... dan b = ....
Sehingga 11+72= …- …
Merasionalkan Penyebut
Bentuk ab dikali dengan ...............
Contoh:
35=35 x 55= ..........
147=147 x ….….= ..........
Bentuk ca+b dikali dengan ...............
53+2= 53+2 x 3-23-2 = 5(3-2)(3+2)(3-2)= ……… - ……..……………………..…………………= ……… - ……..…………………
62+3= 62+3 x ………………………… = 6(……………)2+3(……………..)= ……… - ……..……………………..…………………= ……… - ……..…………………
Bentuk ca- b dikali dengan ...............
53-3= 53-3 x 3+3………… = 5(3+3)3-3(………………)= ………+ ……..……………………..…………………= ………+ ……..…………………
45-2= 45-2 x …………………… = 4(…………….)5-2(………………)= ………+ ……..……………………..…………………= ………+ ……..…………………
Bentuk ca + b dikali dengan ...............
62+5= 62+5 x ……………….2- 5 = 6(………………)……………(……………...)= ……… - ……..…………………………………= ……… - ……..…………………
103+6= 103+6 x ………………………… = 10(……………)…………...(…………..)= ……… - ……..……………………..…………………= ……… - ……..…………………
Bentuk ca- b dikali dengan ...............
127-5= 127-5 x ……………….7+ 5 = 12(………………)……………(……………...)= ……… - ……..…………………………………= ……… - ……..…………………
93-6= 93-6 x ………………………… = 9(……………)…………...(…………..)= ……… - ……..……………………..…………………= ……… - ……..…………………
Lembar Kerja Siswa 3
Topik : Logaritma dan sifat-sifatnya
A. RINGKASAN MATERI
Ayo pikirkan?
Bakteri E. Coli membelah diri setiap 12,5 menit. Hal ini berarti jumlah bakteri E. Coli menjadi berlipat .... kali lipat dari sebelumya. Dapatkah kamu menentukan berapa waktu yang diperlukan agar bakteri itu berjumlah 100?
Logaritma adalah invers (kebalikan) dari perpangkatan.
Definisi Logaritma:
Untuk setiap a > 0 dan a 1alog y = x jika hanya jika ax = yUntuk setiap a > 0 dan a 1alog y = x jika hanya jika ax = y
Untuk setiap a > 0 dan a 1
alog y = x jika hanya jika ax = y
Untuk setiap a > 0 dan a 1
alog y = x jika hanya jika ax = y
a disebut basis (bilangan pokok), y disebut numerus, dan x dinamakan hasil logaritma.
Contoh:
Bentuk logaritma
Bentuk pangkat
2log 8 = 3
23 = ......
3log 27 = 3
3..... = 27
10log 10.000 = 4
104 = ..............
Untuk basis 10 boleh tidak dituliskan. Misalnya 10log b boleh ditulis log b.
Sifat-sifat logaritma:
alog 1 = 0
Bukti:
Misal alog 1 = x , maka ax = 1. Jadi x = ... karena a0 = 1
alog a = 1
Bukti:
Misal alog a = y , maka ay = a. Jadi y = ... karena a1 = a
alog (x . y) = alog x + alog y
Bukti:
Misalkan: alog x = m, maka x = ...
alog y = n, maka y = ...
xy = a....... x a ....... = a..............
Berdasarkan definisi logaritma, xy = a................. , maka
alog xy = ...................
= alog ...+ alog ...
alog xy = alog x - alog y
Bukti:
Misalkan: alog x = m, maka x = ...
alog y = n, maka y = ...
xy = a....... : a ....... = a..............
Berdasarkan definisi logaritma, xy = a............... , maka
alog xy = .........................
= alog ... - alog ...
alog xn = n alog x
Bukti:
alog xn = (perpangkatan merupakan perkalian berulang)
= (Sifat alog xy = alog x + alog y) = .....
amlog bn = nm alog b
alog b = clog bclog a
alog b = 1blog a
alog b x blog c = alog c
aalogb = b
B. Lembar Kerja Siswa
1. Nyatakan bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma dan bentuk logaritma ke
dalam bentuk pangkat
Perhatikan bilangan berpangkat berikut ini
52 = 25
5 disebut ………….., 2 disebut ……………., 25 disebut ……………
Nyatakan bentuk pangkat tersebut dalam bentuk logaritma dengan:
Basis adalah … , numerus adalah … , dan hasil logaritma adalah …
Bentuk logaritma dari 52 = 25 adalah … log … = …
10-3 = 0,001 Bentuk logaritmanya adalah ............................
162= 136 Bentuk logaritmanya adalah ............................
Perhatikan bentuk logaritma berikut
2log 32 = 5
2 disebut ………….., 32 disebut ……………., 5 disebut ……………
Nyatakan bentuk logaritma tersebut ke dalam bentuk pangkat dengan:
Basis adalah ... , pangkat adalah ... , dan numerus adalah ...
Bentuk pangkat dari 2log 32 = 5 adalah …
4log 164 = -3 Bentuk pangkatnya adalah ..................................
8log 1 = 0 Bentuk pangkatnya adalah ..................................
2. Hitunglah
(a) 4log 8 = 2….log 2…. = ….….. 2log 2 = .............
(b) 216log 136 = 6….log 6…. = ….….. 6log 6 = .............
(c) 2 3log 2 + 3 3log 3 – 3log 36 = 3log 22 + 3log 3........... – 3log 36
= 3log 4 + 3log .......... – 3log 36
= 3log 4 x…..…………
= 3log .......... = ..............
(d) 2 3log 4 - 12 3log 25 + 3log 10 – 3log 32
= 3log 4........... - 3log 2512 + 3log 10 – 3log 32
= 3log .......... - 3log ........... + 3log 10 – 3log 32
= 3log (……x……….)(…………x………..)
= 3log ...........
= .............
(e) 55log7 =
(f) log 30 - 148log 10+ 116log 10 = log 30 – log ... + log ...
= log 30 x…..………… = log ........ = ...........
(g) Diketahui 2log 3 = a dan 3log 5 = b. Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk a dan b
1) 5log 2 2) 4log 10 3) 15log 6
Penyelesaian:
Diketahui 2log 3 = a maka 3log 2 = .........
5log 2 = 3log …3log … = ……….………. = ...............
4log 10 = 4log (... x ...) = 4log ... + 4log ... = 12log …. + 3log ….3log ….
= 1….. + ….23log …. = 1….. + ….2x …. = 1….. + .........
15log 6 = 3log 6…..log …. = 3log (…x….)3log (…x….)= 3log … + 3log ….…..log …. + ….log…. = ……+ 1…. +1 = ……….……….
BAB 2. Persamaan dan Pertidaksamaan LinierBAB 2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
BAB 2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
BAB 2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
LEMBAR KERJA SISWA 1
Topik: Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak
Menggambar Grafik Nilai Mutlak
Masalah:
Seorang anak bermain di halaman rumah. Dia melompat ke depan 1 langkah, lalu ke belakang 2 langkah, ke depan 3 langkah dan ke belakang 4 langkah.
Gambarkan sketssa lompatan anak itu dalam garis bilangan real
00
0
0
Hitung berapa banyak langkah yang dilakukan anak tersebut
Banyak langkah adalah konsep nilai mutlak karena hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya. Banyak langkah selalu dinyataakan dengan bilangan bulat .......
Ke depan 1 langkah = 1 = ... Ke belakang 2 langkah = -2 = ...
Ke depan 3 langkah = 3 = ... Ke belakang 4 langkah = -4 = ...
Banyak langkah seluruhnya = 1 + -2 + 3 + -4 = ..........................................
Kesimpulan:
Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilang tersebut dengan ..... pada garis bilangan real.
Definisi:
x R
x= … , jika x 0 … , jika x< 0
Menggambar Grafik Nilai Mutlak
f(x) = x
Lengkapi tabel berikut
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y = f(x)
3
(x, y)
(-3, 3)
XY0XY0Gambarkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius
X
Y
0
X
Y
0
f(x) = x-3
Lengkapi tabel berikut
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y = f(x)
3
(x, y)
(-3, 3)
XY0XY0Gambarkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius
X
Y
0
X
Y
0
Hubungan x dengan x2
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x2
x
x2
Kesimpulan: .....................
LEMBAR KERJA SISWA 2
Topik: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Masalah 1:
Tuti mempunyai sejumlah uang, kemudian Ayay memberikan uang pada Tuti sebanyak 13 dari uang Tuti semula. Uang Tuti sekarang Rp 12.000,00. Berapa uang Tuti semula?
Penyelesaian:
Nyatakan hal yang diketahui menjadi suatu variabel
Misal: Uang Tuti semula = x
Buat model matematika dari masalah
Uang Tuti semula + 13 Uang Tuti semula = 12.000
..... + 13 ..... = 12.000
Selesaikan model matematika tersebut
..... + 13 ..... = 12.000
... x = 12.000
X = 12.000………… = ...............
Jadi. Uang Tuti semula adalah ..........
Empat tahun yang lalu usia Iwan adalah 12 dari usianya sekarang. Sedangkan 5 tahun lagi, usia Iwan sama dengan usia kakak sekarang. Berapakan usia Iwan dan kakak sekarang?
Penyelesaian:
Misal: Usia Iwan skarang = x
Usia kakak sekarang = y
Usia Iwan 4 tahun yang lalu = ...........
Usia Iwan 5 tahun lagi = ...........
Model matematika dan penyelesaiannya:
Empat tahun yang lalu usia Iwan adalah 12 dari usianya sekarang :
x - ... = .......
x - ...... = 4
... x = 4
X = 4………… = ............... Jadi, usia Iwan sekarang adalah ...
5 tahun lagi, usia Iwan sama dengan usia kakak sekarang:
X + ... = ...
... + ... = y
Y = ... Jadi, usia kakak sekarang adalah ...
Definisi:
Bentuk umum Persamaan Linier Satu Variabel: ax + b = 0
a, b R dan a 0 di mana
a : ..................... x : .................... b : ....................
Bentuk umum Persamaan Linier Dua Variabel: ax + by + c = 0
a, b R dan a , b 0 di mana
x, y : ..................... a : .....................
b : .................... c : ....................
Menentukan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linier Satu Variabel dan Dua Variabel serta Menggambar Grafiknya
Contoh:
x = 3
Lengkapilan tabel berikut
x
...
...
...
...
...
...
y
-2
-1
0
1
2
3
(x, y)
XY0XY0Gambarkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius
X
Y
0
X
Y
0
HP = {.....................................................................................................................}
y = -2
Lengkapilan tabel berikut
x
-2
-1
0
1
2
...
y
(x, y)
XY0XY0Gambarkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius
X
Y
0
X
Y
0
HP = {............................................................................................................................}
x + 2y = 4
Lengkapilan tabel berikut
x
-2
-1
0
1
2
...
y
(x, y)
XY0XY0Gambarkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius
X
Y
0
X
Y
0
HP = {............................................................................................................................}
Himpunan penyelesaian persamaan linier ax + by = c adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi persamaan linier tersebut.
Masalah 2:
Uang Adi lebih banyak dari uang Bayu, tetapi lebih sedikit dari uang Cici. Uang Cici lebih sedikit Rp 3000 dari uang Dina dan uang Dina lebih banyak Rp 5.000 dari uang Adi.
Urutkan dari jumlah uang yang paling banyak!
Penyelesaian:
Misalkan:
Uang Adi = A
Uang Bayu = B
Uang Cici = C
Uang Dina = D
Uang Adi lebih banyak dari uang Bayu : A ... B
Uang Adi lebih sedikit dari uang Cici : A .... C
Uang Cici lebih sedikit Rp 3000 dari uang Dina : C + ........... = D , maka C .... D
Uang Dina lebih banyak Rp 5.000 dari uang Adi : D = A + ............. , maka A .... D
Jadi, urutannya dari yang terbesar adalah ....................................
Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
x < 2
00
0
0
x > -4
00
0
0
1 < x < 3
00
0
0
x 4
00
0
0
x -1
00
0
0
-2 x 4
00
0
0
BAB 3. Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan LinierBAB 3. Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
BAB 3. Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
BAB 3. Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier
LEMBAR KERJA SISWA 1
Topik : Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Dona membeli tiga buah jeruk dan sebuah apel seharga Rp. 5.000,- sedangkan Doni membeli dua buah jeruk dan dua buah apel seharga Rp. 6.000,- Berapa harga sebuah jeruk dan apel?
Cara Substitusi:
Misalkan x = jeruk dan y = apel
...x + y = 5.000 (1)
...x + ...y = 6.000 (2)
Diselesaikan dengan substitusi
.... x + y = 5.000
y = 5.000 – ....x (1) substiusikan ke persamaan (2)
... x + ... y = 6.000 (2)
.... x + ... (5.000 – 3x) = 6.000
.... x + ............... – .... x = 6.000
.......x =...............
X = ...................
Jadi harga sebuah jeruk adalah ...........................
... x + ... y = 6.000 (2)
... x = 6.000 - ... y
x = ............................... substitusikan ke persamaan (1)
.... x + y = 5.000
......................... + y = 5000
.... y = ....................
Y = .....................
Jadi harga sebuah apel adalah ...........................
Cara eliminasi:
Misalkan x = jeruk dan y = apel
3x + y = 5.000 (1)
2x + 2y = 6.000 (2)
Eliminasi x :
(kalikan dengan suatu bilangan agar koefisien x pada persamaan (1) dan (2) sama
3x + y = 5.000 x .... ....x + ....y = .........
2x + 2y = 6.000 x .... ....x + ....y = .........
-
.....x = .............
x = ...............
Jadi harga sebuah jeruk adalah ........................
Eliminasi y :
(kalikan dengan suatu bilangan agar koefisien y pada persamaan (1) dan (2) sama
3x + y = 5.000 x .... ....x + ....y = .........
2x + 2y = 6.000 x .... ....x + ....y = .........
-
.....y = .............
y = ...............
Jadi harga sebuah apel adalah ........................
Cara Gabungan Eliminasi dan Substitusi:
Misalkan x = jeruk dan y = apel
3x + y = 5.000 (1)
2x + 2y = 6.000 (2)
Eliminasi x :
(kalikan dengan suatu bilangan agar koefisien x pada persamaan (1) dan (2) sama
3x + y = 5.000 x .... ....x + ....y = .........
2x + 2y = 6.000 x .... ....x + ....y = .........
-
.....x = .............
x = ...............
Jadi harga sebuah jeruk adalah ........................
Substitusi x = ............... ke salah satu persamaan (1) atau (2)
Misal ke persamaan (1)
3x + y = 5.000
3 (.............) + y = .................
................ + y = .................
Y = .....................
Jadi harga sebuah apel adalah ........................
Ani membeli makanan camilan yang terdiri 4 bungkus wafer dan satu bungkus kripik di toko Serba Enak harus membayar Rp. 13.000,-. Anisa ditoko yang sama membeli sebungkus wafer dan 3 bungkus kripik membayar Rp. 17.000,-. Anita ditoko yang sama membeli 2 bungkus wafer dan 2 bungkis kripik membayar dengan uang Rp. 20.000,-. Berapa uang kembalian yang akan diterima Anita?
Silahkan dijawab dengan cara yang menurutmu paling mudah!
LEMBAR KERJA SISWA 2
Topik : Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Tentukan penyelesaian permasalah berikut
Ada tiga orang siswa berbelanja ke toko. Siswa pertama membeli 1 buku, 1 pensil dan 1 panggaris membayar uang sebesar Rp 1.800,- , siswa kedua membeli 2 buku dan 1 pensil membayar uang sebesar Rp 25.000,- dan siswa ketiga beli 1 penggaris membayar uang sebesar Rp3.000,-
Penyelesaian:
Misalkan:
Buku = x, pensil = y dan penggaris = z
Model matematika dari permasalah:
x + y + z = …….. (1)
2 x + y = ......... (2)
Z = ......... (3)
Menggunakan cara campuran:
Dari persamaan (1) dan (2) eliminasi y
x + y + z = 1800
2 x + y = 25000 -
..... + .... = .......... (4)
Dari persaman (3) disubtitusikan ke persamaan (4)
-x + 3000 = .............
-x = ..............
x = ................ (5)
dari persamaan (3) dan (5) ke persamaan (1)
x + y + z = 1800
.............. + y + ............. = 1800
y = 1800 - ..............
y = ................
Jadi harga 1 buku = ......................
1 pensil = ......................
1 penggaris = ......................
Ada orang ibu namanya Dewi, Anggun dan Melinda pergi bersama-sama kepasar Ramadhan, pada salah satu tempat ibu-ibu membeli makan untuk persiapan berbuka puasa. Ibu Dewi beli dua kotak kurma, satu kue bingka dan satu gelas es buah, ibu Anggun beli satu kotak kurma, dua kue bingka dan satu gelas es buah, dan Ibu Melinda beli tiga kotak kurma, dua kue bingka dan satu gelas es buah. Dari belanjaan mereka masing-masing mengaluarkan uang. Ibu Dewi sebesar Rp125.000, ibu Anggun sebesar Rp 120.000 dan ibu Melinda sebesar Rp200.000. Dari permasalah diatas berapa harga dari masing-masing makanan tersebut ?
Penyelesaian cara subtitusi:
Langkah pertama : Dengan memisalkan kurma = x, bingka= y dan es buah = z
buat permasalah diatas dalam bentuk model matematika.
…. x + ….y + …. z = ….. (1)
…. x + ….y + …. z = ….. (2)
…. x + ….y + …. z = ….. (3)
Langkah kedua : Pilih satu persamaan sederhana dari persamaan (1), (2) atau (3), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Misal kita pakai persamaan (1) diproleh fungsi y = …....... - .... x - … z
Langkah ketiga : subtitusikan y atau x atau z yang diperoleh dari langkah kedua persamaan lainnya sehinggga didapat persamaan dua variabel.
y = …....... - .... x - … z masukan ke persamaan (2) diperoleh
….x + ( …....... - .... x - … z) + … z = …...... (5)
................................................................ = ...........
y = …....... - .... x - … z masukan ke persamaan (3) diperoleh
….x + (-..x - … z + …) + … z = …. (6)
................................................................ = ...........
Persamaan (5) dan (6) adalah persamaan linear dua variabel maka selesaikan cara sistem persamaan linear dua variabel
(5) …………………………………………= …………
(6) …………………………………………= …………
Didapat x = ….. z = …..
Langkah keempat : Subtitusikan x = … dan z = … ke salah satu persamaan (1) atau (2) atau (3) didapat y = ….
Langkah kelima: Buat kesimpulan
Harga satu kotak korma = Rp …
Harga satu biji bingka = Rp …
Harga satu gelas es buah = Rp …
Penyelesaian cara Eliminasi:
Langkah pertama : Dengan memisalkan kurma = x, bingka= y dan es buah = z
buat permasalah diatas dalam bentuk model matematika.
…. x + ….y + …. z = ….. (1)
…. x + ….y + …. z = ….. (2)
…. x + ….y + …. z = ….. (3)
Langkah kedua : eliminasi salah satu variabel x atau y atau z dari persamaan (1), (2) dan (3) dengan mengkombinasikan persamaan (1), (2) dan (2), (3) atau lainnya
Misal eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) serta (2) dan (3)
…. x + ….y + …. z = ….. (1)
…. x + ….y + …. z = ….. (2)
_______________________
… x + … y = …. (4)
…. x + ….y + …. z = ….. (2)
…. x + ….y + …. z = ….. (3)
_______________________
… x + … y = …. (5)
Langkah ketiga : dari langkah dua didapat persamaan linear dua variabel (4) dan (5)
… x + … y = …. (4)
… x + … y = …. (5)
______________ eliminasi y
x = ….
… x + … y = …. (4)
… x + … y = …. (5)
______________ eliminasi x
y = ….
Langkah keempat :
Dari hasil langkah tiga masukan x dan y ke salah persamaan (1), (2) atau (3)
Misal ke persamaan (1): …. x + ….y + …. z = ............….. (1)
....................... + ..................... + ... z = ...................
z = ………........ - .................... = ................
Langkah kelima : Buat kesimpulan
Jadi harga satu kotak korma = Rp …
Harga satu biji bingka = Rp …
Harga satu gelas es buah = Rp …
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.
x + 3y - z = 3 (1)
x + 2y + 3z = -2 (2)
x + y - z = 1 (3)
Penyelesaian: Cara Campuran
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2)
x + 3y - z = 3
x + 2y + 3z = -2
-
..... - ..... = 5 ..... ( 4 )
Eliminasi x dari persamaan (2) dan (3
x + 2y + 3z = -2 .......(2)
x + y - z = 1 ....(3)
-
.... + ..... = - 3 .........(5)
Eliminasi y dari persamaan (4) dan (5)
.... - .... = 5
..... + .... = - 3
-
- 8 z = ....
Z = ........
Untuk z = .... maka y - 4z = 5
y - 4(..... ) = 5
y + ...... = 5
y = ......
Untuk z = ..... dan y = ..... , maka x + 3y - z = 3
X + 3( ..... ) - ( ..... ) = 3
X + .... + .... = 3
X + ..... = 3
X = .....
Jadi , Himpunan penyelesaiannya adalah { ( .... , .... , ....) }
BAB 4. MATRIKS
LEMBAR KERJA SISWA 1
Topik : Pengertian Matriks, Jenis Matriks, Kesamaan Dua Matriks dan Transpos Matriks
Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan beberapa bilangan dalam bentuk ....................................................... yang diatur menurut .................... dan .....................
baris ke ….baris ke ….Setiap bilangan disebut .......................
baris ke ….
baris ke ….
kolom ke ….kolom ke ….kolom ke ….kolom ke ….kolom ke ….kolom ke ….baris ke ….baris ke ….baris ke ….baris ke ….A= a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn
kolom
ke ….
kolom
ke ….
kolom
ke ….
kolom
ke ….
kolom
ke ….
kolom
ke ….
baris ke ….
baris ke ….
baris ke ….
baris ke ….
aij adalah elemen pada baris ke..... dan kolom ke ........
Ordo matriks adalah banyak baris dan banyak kolom
Matriks A punya ...... baris dan ..... kolom. Ordo matriks A = ... x ... ditulis A…x…
Banyak elemen matriks = … x …
Contoh:
A= 1-2326-340758-6
Banyak baris = … e. a11 = … i. a22 = …
Banyak kolom = … f. a23 = … j. a33 = …
Ordo matriks A = … g. a31 = …
Banyak elemen = … h. a14 = …
Jenis-Jenis Matriks
Matriks baris, jika hanya ada … baris. Ordo = 1 x n
A1 x 3 = ( 1 2 3)
Matriks kolom, jika hanya ada … kolom. Ordo = m x 1
B2 x1 = 4-2
Matriks persegi, jika banyak baris .... banyak kolom. Ordo = n x n
C2 x 2 = 1234
Transpos Matriks
Transpos matriks ditulis AT yang diperoleh dengan cara mengubah susunan ............... menjadi .................. dan sebaliknya.
Contoh:
A= 1-2306-1 AT= ………………
Kesamaan Dua Matriks
A = B jika kedua matriks berordo ............ dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) juga ................
A = 12-30 B = 2263-1240 Apakah A = B?
Latihan!
Tentukan nalai a dan b jika:
231a= b31-2 a = ..... b = ....
a+26-59= 46-52b-1
a + 2 = ... 2b – 1 = ...
a = ... b = ...
a+ba-b= 46
a + b = ...
a – b = ...
dengan eliminasi atau substitusi didapatkan a = .... dan b = ....
LEMBAR KERJA SISWA 2
Topik : Operasi Aljabar Matriks
PENJUMLAHAN MATRIKS
Jika A dan B berordo .........., A + B diperoleh dengan menjumlah elemen A dan B yang ........................
A = 1-246 B = 30-15
A + B = ………… + …………= …………
Matriks Nol = matriks yang semua elemennya ....
O2 x 2 = …………
Lawan matriks
b = -A, B adalah ............. matriks A
LENGKAPILAH!
A = -4231 B = -54-10 C = 630-2
A + B = ………… + …………= …………
B + A = ………… + …………= …………
B + C = ………… + …………= …………
Dari hasil (a)
(A + B) + C = ………… + …………= …………
A + (B + C) = ………… + …………= …………
A + O = ………… + …………= …………
O + A = ………… + …………= …………
A + (-A) = ………… + …………= …………
KESIMPULAN:A + B = ... + ... (sifat ..................................)(A + B) + C = ... + (... + ...) (sifat ....................................)A + O = ... + ... ( O adalah matriks ...........................)A + (-A) = ...KESIMPULAN:A + B = ... + ... (sifat ..................................)(A + B) + C = ... + (... + ...) (sifat ....................................)A + O = ... + ... ( O adalah matriks ...........................)A + (-A) = ...
KESIMPULAN:
A + B = ... + ... (sifat ..................................)
(A + B) + C = ... + (... + ...) (sifat ....................................)
A + O = ... + ... ( O adalah matriks ...........................)
A + (-A) = ...
KESIMPULAN:
A + B = ... + ... (sifat ..................................)
(A + B) + C = ... + (... + ...) (sifat ....................................)
A + O = ... + ... ( O adalah matriks ...........................)
A + (-A) = ...
PENGURANGAN MATRIKS
Jika A dan B berordo .........., maka pengurangan A dengan B dinyatakan
A – B = A + (-B)
Contoh:
A = -4231 B = -54-10
A – B = ………… - …………= ………… + …………= …………
B – A = ………… - …………= ………… + …………= …………
Apakah A – B = B – A ?
PERKALIAN MATRIKS DENGAN BILANGAN REAL
Jika k bilangan reak, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan k dengan .......................
A = abcd kA = k …………= …………
LENGKAPILAH!
A = 1234 B = 235-1 p = -1 q = 2 dan r = 4
(q + r) A = (…+…)………… = ... …………= …………
qA + rA = ……………+ ……………= …………+…………=…………
r(A + B) = ……………+………… = ……………= …………
rA + rB = ……………+ ……………= …………+…………=…………
p(qA) = ……………… = ……………= …………
KESIMPULAN:(q + r) A = ... + …r (A + B) = … + …p(qA) = ………..KESIMPULAN:(q + r) A = ... + …r (A + B) = … + …p(qA) = ………..(pq) A = (…x…)………… = ... …………= …………
KESIMPULAN:
(q + r) A = ... + …
r (A + B) = … + …
p(qA) = ………..
KESIMPULAN:
(q + r) A = ... + …
r (A + B) = … + …
p(qA) = ………..
LEMBAR KEGIATAN SISWA 3
Topik : Perkalian Dua Matriks
Misalkan ada dua matriks A dan B masing-masing berordo m x r dan r x n. Hasil kalinya:
Am x r x Br x n = C… x …
Untuk mendapat elemen matriks C (cij) ikuti langkah berikut:
Pilih baris ...... dari matriks A dan kolom ..... dari matriks B
Kalikan elemen yang bersesuaian dan jumlahkan
A.B = abcd.pqrs=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ ……
LENGKAPILAH!
1) 214-2.3657= ……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …+ … …+ … …+ … …+ … = …………
2) A= 3-21015-432 B= 24-1103
Ordo A = ... Ordo B = .... Ordo AB = …
AB = 3-21015-43224-1103
= ……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ ……
= …+ … …+ … …+ … …+ ……+ … …+ …
= ………………
Hitunglah BA? Apakah AB = BA?
MENEMUKAN SIFAT PERKALIAN MATRIKS
A= 0312 B= -1213 C= 23-1-4
Tentukan:
AB dan BC
A.B = ………….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
B.C = ……...….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
Dari jawaban (a) hitunglah (AB)C dan A(BC)
(AB).C = ………….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
A.(BC) = ……...….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
Dari jawaban bagian (b), apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?
..................................................................................................................
B + C dan AC
B + C = …………+…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
A.C = ……...….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
Dari jawaban (a) dan (c) hitunglah A(B + C) dan AB + AC
A.(B + C) = ………….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
AB + AC = ……...…+…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
Dari jawaban (d), apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?
.....................................................................................................................
BA dan CA
BA = ………….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
CA = ……...….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
Dari jawaban (c) dan (e), hitunglah (B + C)A dan BA + CA
(B + C).A = ………….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
BA + CA = ……...….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
Dari jawaban (f), apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?
.....................................................................................................................
3(BC) , (3B)C dan B(3C)
3(BC) = 3.…………=3 x… 3 x… 3 x… 3 x… = …………
(3B)C = 3……...….…………=……...….…………
= ……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
B(3C) = ………….3……...…= ………….…………
=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
Apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?
.....................................................................................................................
Dari jawaban (a), tentukan (AB)T
AB = ………… maka (AB)T = …………
BT dan AT serta hasil kali BTAT
A= 0312 B= -1213
Maka AT = ………… dan BT = …………
BTAT = ………….…………=……+ …… ……+ …… ……+ …… ……+ …… = …………
Dari jawaban (h) dan (i), apakah hasilnya sama? Apa kesimpulanmu?
.......................................................................................................................
2A, (2A)T, AT, dan 2AT
2A = 2 …………= …………
(2A)T = …………
AT = …………
2 AT = 2 …………= …………
Apakah (2A)T = 2AT ?Apa kesimpulanmu?
........................................................................................................................
KESIMPULAN:
Asosiatif : (AB)C = A(.......)
Distributif Kiri : A(B + C) = AB + .......
A(B – C) = ....... - AC
Distributif Kanan : (B + C) A = ....... + CA
(B – C) A = BA - ........
k (BC) = (k.....)C = B(k.......)
(AB)T = ...T ...T
(kA)T = k........
LEMBAR KEGIATAN SISWA 4
Topik : Determinan dan Invers Matriks, Persamaan Matriks
Determinan
Matriks 2 x 2
A = abcd
det A = A= abcd= …….………
Matriks 3 x 3
A= a11a12a13a21a22a23a31a32a33
Metode Sarrus
A= a11a12a13a21a22a23a31a32a33………………
det A = A= ………………………………………………………………………………
Matriks Singular jika det A = 0
Matriks nonsingular jika det A 0
LENGKAPILAH!
A = 2-153
det A = A= …………= …x ... - ... x ... = ... - … = …
A = 431254321
A=431254321………………
= ................. + ...................+ .................. – ................... – .................... – ...................
= ... + ... + ... - ... - ... - ... = ...
SOAL:
Tentukn determinan matriks berikut
A = 7-5-43 b) B = 32401-3-122
C = x51x-2 dan D = 23x-2x-5
Jika C= D, maka tentukan nilai x yang memenuhi!
Invers Matriks
Invers Matriks 2 x 2
A = abcd I adalah matriks identitas
AB = BA = I I2 x 2 = 1001
A adalah invers B A. A-1 = A-1 . A = I
A-1 = 1A .Adj A Matriks persegi yang punya invers disebut …
= 1A ………… Syarat punya invers: .......................................
LENGKAPILAH!
A = 4211
A= …………= …x ... - ... x ... = ... - … = …
A-1 = 1A .Adj A = 1… ………… = …………
A = 5-10-24
A= …………= …x ... - ... x ... = ... - … = …
A-1 = 1A .Adj A = 1… ………… = …………
PERSAMAAN MATRIKS
Jika A, B, dan X matriks persegi, A matriks nonsingular, maka
AX = B X = ……….
XA = B X = …….....
LENGKAPILAH!
A= 4523 B= 284-6
AX = B A= …………= …x ... - ... x ... = ... - … = …
X = ................ A-1 = 1A .Adj A = 1… ………… = …………
X = 1… ……………………
= 1… ………… = …………
XA = B
X = ……………
= …………1… …………
= 1… ……………………
= 1… …………=…………
PENGGUNAAN MATRIKS
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
ax+by=cpx+qy=r
…………xy= ……
Dengan Invers Matriks
AX = B
X = ...........
Determinan (Aturan Cramer)
D= …………
Dx = ………… x = ……
Dy = ………… y = ……
SOAL
Ani membeli 2 buah pensil dan 1 buku tulis seharga Rp 5750. Sedangkan Iwan membeli 1 buah pensil dan 2 buku tulis seharga Rp 5500
Tentukan harga pensil dan buku tulis dengan invers matriks dan aturan Cramer!
BAB 5. RELASI DAN FUNGSI
LEMBAR KERJA SISWA 1
Topik : Relasi dan Fungsi
MATERI
Pengertian Produk Cartesius
Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x A dan y B dan ditulis AxB = {(x,y) " x A dan y B}.
Contoh :
Misal A : {a, b, c} dan B : {1, 2}, tentukan :
A x B c. A x A
B x A d. B x B
Jawab:
A x B = {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}
B x A = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
A x A = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)}
B x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
Relasi
Misal :
A x B adalah produk Cartesius himpunan A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk Cartesius A x B.
Pada relasi R = {(x,y)" x A dan x B} dapat disebutkan bahwa :
Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y) disebut daerah asal (domain).
Himpunan B, disebut daerah kawan (kodomain).
Himpunan bagian dari B yang bersifat Ry dengan y B disebut daerah hasil (range) relasi R.
Suatu relasi R = {(x,y) " x A dan x B} dapat ditulis dengan menggunakan :
Diagram panah
Grafik pada bidang Cartesius
Contoh :
Relasi dari himpunan A : {1,2,3,4} ke himpunan B : {0,1,2,3,4} ditentukan oleh f : {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} dapat dituliskan rumus fungsi f : {(x,y) " y = x-1, x A, y B}.
Fungsi f disajikan dalam diagram panah sebagai berikut :
1 2 3 4 0 1 2 31 2 3 4 0 1 2 3Domain : Df : {1,2,3,4}
1
2
3
4
0
1
2
3
1
2
3
4
0
1
2
3
Kodomain : Kf : {0,1,2,3,4}
Range : Rf : {0,1,2,3}
Relasi fRelasi f
Relasi f
Relasi f
1234102312341023Fungsi f dapat digambarkan grafik pada bidang kartesius :
1
2
3
4
1
0
2
3
1
2
3
4
1
0
2
3
Fungsi atau Pemetaan
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.
f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A B
BA BA jika x A dan y B, sehingga (x,y) f, maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan lambang y : f (x)
B
A
B
A
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
f : x y = f (x)f : x y = f (x)
f : x y = f (x)
f : x y = f (x)
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x " 0 x 4. x R}
Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
Gambarkan grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1 dalam bidang kartesius.
Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab :
f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
Grafik fungsi y : f (x) = 2x – 1
y = f (x) = 2x – 1
Daerah asal
Daerah hasil fungsi f Rf = {y " -1 y 7, y R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal dari fungsi berikut :
f (x) =
Jawab :
f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 0 atau x -1
Jadi Df : {x " x R, dan x -1}
g (x) =
Jawab :
g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :
4 – x2 0
x2 – 4 0
(x-2) (x+2) 0 -2 x 2
Jadi Dg = {x " -2 x 2, x R}
Kerjakan Soal berikut
Perhatikan himpunan A dan B berikut ini
A = {Rupiah, Rupee, Baht, Ringgit} B = {Indonesia, India, Thailand, Malaysia}
Dapatkah Anda melihat adanya hubungan antara himpunan A dan B?
Jelaskan :
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Perhatikan empat himpunan berikut ini
C={Jakarta, London, Cairo, Beijing} , D={Indonesia, Inggris, Mesir, China}
E={Indonesia, Brazil, Nigeria, Swiss}, F={Asia,Amerika,Afrika,Eropa}
Tentukan pasangan himpunan yang dapat mempunyai hubungan dan jelaskan hubungannya
Jawab:
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Isilah diagram Venn A dengan anggota himpunan A dan diagram venn B dengan anggota himpunan B dai soal no 1
A B
Selanjutnya buatlah hubungan anggota himpunan A dengan menggunakan
dengan anggota himpunan B
Ulangi kembali seperti no 3 dengan himpunan-himpunan pada soal no 2
Jawab : A B
Tentukan titik titik pada kordinat kartesius berikut sehingga memperlihatkan hubungan pada jawaban soal no 3
Malaysia
Thailand
India
Indonesia
Rupiah Rupee Bath Ringgit
Buatlah Himpunan pasangan berurutan dari"Koordinat kartesius" pada jawaban soal no 5
Jawab :
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Ria, Budi, dan Edy gemar bermain bulu tangkis. Eko dan Andi gemar bermain bola basket. Ali gemar bermain bulu tangkis dan bola basket.
a. Jika A adalah himpunan nama anak dan B adalah himpunan permainan, maka :
Tunjukkanlah relasi di atas dengan diagram panah!
ABABb. Nyatakanlah relasi tersebut dengan himpunan pasangan berurutan
A
B
A
B
Jawab:
A x B = {(Ria, ..................................... ), (Budi, .....................................), (................. , Bulu tangkis), (............ , .....................), (............. , ..........................), (............. , ..........................)}
Tuliskan" hubungan" dari setiap diagram panah berikut ini
Buatlah kesimpulan bagaimana dapat terjadinya hubungan antara 2 himpunan!
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Perhatikan diagram panah
Tentukan hubungan dari setiap diagram panah berikut!
Diagram panah mana yang semua anggotanya mendapat pasangan anggota himpunan B?
.........................................................................................................................................
Diagram panah yang setiap anggota himpunan A mendapat pasangan tepat satu pada anggota himpunan B dinamakan fungsi atau dengan simbol f . Manakah diagram panah pada soal no 9 yang merupakan fungsi , berikan alasannya
Jawab :
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Dalam fungsi himpunan A dinamakan Domain , himpunan B dinamakan kodomain , himpunan anggota himpunan B yang mendapat pasangan dinamakan range
Tentukan Domain, Kodomain dan range dari setiap fungsi pada soal no 10
Jawab:
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Sebuah fungsi aljabar dapat dinyatakan dengan atau
Isilah tabel berikut untuk fungsi
x
9
8
7
f(x)
3
Berapa nilai x yang berakibat nilai y atau f(x) tidak dapat ditentukan
Jawab :
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Dalam fungsi aljabar himpunan setiap nilai x yang yang menghasilkan nilai y yang merupakan bilangan riil merupakan daerah asal atau Domain dari fungsi dan himpunan nilai y yang merupakan bilangan riil dinamakan daerah hasil atau Range dari fungsi.
Perhatikan diagram berikut.
(a) (b) (c)
Diagram manakah yang mendefinisikan fungsi? Jelaskan.
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan aturan x2 - 4x + 3, dengan x A. Jika diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, tentukan:
Himpunan pasangan berurutan dalam f
Daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan daerah hasil (range) dari f
Jawab:
x
1
2
3
4
f(x)
Df = ........................................
Kf = ........................................
Rf = ........................................
Tentukan domain dan range dari soal no 12
Jawab :
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Diketahui fungsi f = 2x-1 tentukan domain dan range fungsi tersebut agar fungsi mempunyai nilai (peta).
Jawab:
Agar f(x) bernilai real maka 2x – 1 0
2x ........
x ........
Jadi, D = {x .........................}
R = {x ........................}
Diketahui fungsi f = 3x+62x-5 tentukan domain dan range fungsi tersebut agar fungsi mempunyai nilai (peta).
Jawab:
Agar f(x) bernilai real maka penyebut dari pecahan tersebut 0
................. 0
x ...........
Jadi, D = {x .........................}
R = {x ........................}
Diberikan fungsi f memetakan x ke y dengan rumus y = , x - 3. Tuliskan rumus fungsi g yang memetakan y ke x.
Jawab:
y =
y (x + 3) = ...............
xy + ..... = ................
xy - ...... = -3y – 1
x (...... - ......) = .................
x = …………………………………… , y ..........
Diketahui fungsi , hitunglah :
f(2) b. f(-2) c. f(x+1) d. f(2x+5)
Jawab :
f(2) = 3 (....) – 2 = .... - .... = .....
f(-2) = 3 (....) – 2 = .... - .... = .....
f(x + 1) = 3 (...........) – 2 = ................ - .... = .....
f(2x + 5) = 3 (..............) – 2 = ................ - .... = .....
Diketahui f(2x – 3) = 4x – 7. Hitunglah nilai dari f(7).
Jawab:
2x – 3 = ....
2x = .... + 3 = ....
x = ....
f(7) = 4 (.....) – 7 = ....................
Latihan
Relasi-relasi himpunan A : {a,b,c,d} ke himpunan B : {1,2,3,4} berikut ini manakah yang merupakan fungsi / pemetaan (gambarkan terlebih dulu diagram panahnya).
f = {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4)}
g = {(a,2), (b,2), (c,3), (d,3)}
h = {(a,4), (b,1), (b,3), (c,2), (d,4)}
i = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4)}
j = {(a,1), (b,1), (c,1), (d,1)}
0XYYX00XYYX0Relasi-relasi yang disajikan dalam bentuk grafik kartesius manakah yang merupakan pemetaan atau fungsi ?
0
X
Y
Y
X
0
0
X
Y
Y
X
0
a. b.
Y0XXY0Y0XXY0
Y
0
X
X
Y
0
Y
0
X
X
Y
0
c. d.
Diketahui fungsi f : R R dinyatakan dengan rumus f (x) = x2 – 1.
Jika daerah asal f adalah Df : {x " -3 x 3, x R}
Tentukan f (-3), f (-2), f (0), f (1), f (2), f (3).
Gambarkan grafik fungsi f (x) = x2 – 1 dalam bidang kartesius.
Tentukan daerah hasil fungsi f.
Tentukan nilai a jika diketahui f (a) = 3.
Tentukan daerah asal alami pada fungsi berikut !
f (x) =
g (x) =
g (x) =
BAB 6. BARISAN DAN DERET
LEMBAR KERJA SISWA 1
Topik: Barisan dan Deret Aritmatika
MENEMUKAN KONSEP BARISAN ARITMETIKA
Jika tinggi anak tangga pertama adalah 20 cm, maka tinggi anak tangga kedua bertambah 15 cm sehingga menjadi 35, anak tangga ketiga tingginya adalah 50, dan seterusnya selalu bertambah tinggi 15 cm untuk tangga selanjutnya. Jika di susun urutan bilangan tersebut adalah 20, 35, 50, …., . Beda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan adalah tetap yaitu 15.
Dengan demikian barisan tersebut disebut BARISAN .............
Definisi: Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah ..................
MENEMUKAN RUMUS SUKU KE-n DARI BARISAN ARITMETIKA
Dari gambar tinggi tiap anak tangga tersebut disusun barisan bilangan:
20, 35, 50, …..,
Dimana secara umum dituliskan: U1, U2, U3, …, Un.
U1 = a = 20 U2 = 35 U3 = 50
Maka tentukan: U7 dan U10
Alternatif Jawaban
Susun barisan bilangan : 20, 35, 50, 65, 80, 95, 110, 125, 140, 155
U7 U10
Selanjutnya Tentukan U80 = ?
Karena terlalu rumit untuk menyusun hingga suku ke 80, temukan rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika tersebut!
Alternatif jawaban
Dari barisan: 20, 35, 50,…., , dimana : U1 = a = 20, beda = b = 15 maka;
n
Un
Pola
1
20
20
2
35
35 = 20 + 1 x 15
3
50
50 = 20 + 2 x 15
4
65
65 = 20 + ... x 15
...
...
...
7
....
110 = 20 + ... x 15
10
....
155 = 20 + ... x 15
n
Un
Un = 20 + (... - ...) x 15
Karena a = 20 dan b = 15 maka diperoleh Un = ... + (.... - 1) ....
Uji:
U7 = 20 + (..... -1) x 15 = 20 + ... x 15 = 20 + ....... = ........
U10 = 20 + (......-1) x 15 = 20 + ... x 15 = 20 + ....... = ........
Jadi U80 = 20 + (... -1) x 15 = 20 + ... x 15 = 20 + ............. = ...............
MENEMUKAN KONSEP DERET ARITMETIKA
Perhatikan gambar diatas! Untuk membuat sebuah anak tangga paling atas dibutuhkan 20 buah batu bata. Jika setiap tingkat tangga yang menurun diperlukan tambahan batu bata sebanyak 20 batu bata, maka berapa banyak batu bata yang dibutuhkan untuk membuat 20 buah anak tangga?
Berdasarkan gambar tersebut susunan banyak batu bata membentuk barisan aritmetika:
20, 40, 60, 80, ….,
Karena dalam masalah ini adalah banyak batu bata yang diperlukan untuk membuat 20 anak tangga maka banyak batu bata harus dijumlahkan.
20 + 40 + 60 + ………………. + U20
Maka jumlah n suku pertama barisan aritmetika inilan yang disebut ....................................
MENEMUKAN RUMUS DERET ARITMETIKA (Sn)
Dari deret: 20 + 40 + 60 + 80 + 100 + …
S1 = 20
S2 = 20 + 40 = ....
S3 = 20 + 40 + 60 = ......
S4 = 20 + 40 + 60 + 80 = ........
S50 = ?
Alternatif Jawaban
Ambil: S3 maka:
S3 = 20 + 40 + 60
S3 = 60 + 40 + 20 +
2S3 = ... + ... + ...
S3 = 3 x…….…. = ............ ( terbukti benar )
Sehingga,
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un = a + (a + ...) + (a + ....) + … + (a + (... - ...)b) maka:
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + ... + ... + (a + (n-1)b)
Sn = (a + (n-1)b) + … + .... + ... + (a + 2b) + ( a + b) + a +
2Sn = n ( .... + (n-1)b )
Sn = ………………………
MENENTUKAN JUMLAH DERET ARITMETIKA DENGAN RUMUS
Jadi dengan rumus tersebut dapat ditentukan:
S50 = ……….2 ( 2 x .... + (.... - 1)..... ) = .... ( ... + ... x .... ) = .... ( .... + ...... ) = .... x ........ = ............
KESIMPULAN
BARISAN ARITMETIKA ADALAH BARISAN BILANGAN YANG BEDA SETIAP DUA SUKU YANG BERURUTAN ADALAH .......................
RUMUS SUKU KE-n DARI BARISAN ARITMETIKA : Un = .... + ( ........... ) ...
DERET ARITMETIKA ADALAH BARISAN JUMLAH n SUKU PERTAMA BARISAN ARITMETIKA
RUMUS DERET ARITMETIKA : Sn = …2 ( .... + (...........).... )
Latihan
Perhatikan masalah berikut! Jika tinggi satu buah anak tangga adalah 20 cm, berapakah tinggi tangga jika terdapat 15 buah anak tangga? Tentukanlah pola barisan?
Jawab:
U1 U2 U3 ... U20
... ... .... ... ?
a = .... b = .... n = ...
U20 = .... + ( ........... ) ... = .... + ( ........... ) ... = .... + ..... = ........
Bu Eli, seorang pengerajin batik di Gunung Kidul, ia dapat menyelesaikan 6 helai kain batik berukuran 2,4 m × 1,5 m selama 1 bulan. Permintaan kain batik terus bertambah sehingga Bu Eli harus menyediakan 9 helai kain batik pada bulan kedua, dan 12 helai pada bulan ketiga dan seterusnya bertambah 3 helai pada tiap bulan hingga pada bulan kelima belas. Dengan pola tersebut, berapakah banyak helai kain batik pada bulan ke 15 yang dapat diselesaikan?
Jawab:
Barisan:
U1 U2 U3 ... U15
... ... .... ... ?
a = .... b = .... n = ...
U15 = .... + ( ........... ) ... = .... + ( ........... ) ... = .... + ..... = ........
Sebuah toko buku pada bulan pertama menjual buku sebanyak 50 eksemplar, pada bulan kedua 60 eksemplar, dan terus menambah 10 eksemplar setiap bulannya hingga belan kedua belas. Berapa jumlah buku yag dijual toko tersebut selama satu tahun itu?
U1 + U2 + U3 + ... + U12 = ...
... + .... + ... + .... + .... = ... ?
a = .... b = .... n = ...
S12 = ……….2 ( 2 x .... + (.... - 1)..... ) = .... ( ... + ... x .... )
= .... ( .... + ...... ) = .... x ........ = ............
Diketahui Un = 5 – 3n .Hitunglah S20
a = U1 = 5 – 3 (....) = ..... - ..... = .....
U2 = 5 – 3 (....) = ..... - ..... = .....
b = U2 – U1 = ..... - .... = ....
S20 = ……….2 ( 2 x .... + (.... - 1)..... ) = .... ( ... + ... x .... )
= .... ( .... + ...... ) = .... x ........ = ............
LEMBAR KERJA SISWA 2
Topik : Barisan dan Deret Geometri
MENEMUKAN KONSEP BARISAN GEOMETRI
Jika suatu bakteri setiap 1 jam akan membelah menjadi dua bagian, maka setelah satu jam, bakteri tersebut menjadi 2. Setelah 2 jam, menjadi 4. Setelah 3 jam, menjadi 8, dan seterusnya. Rasio (perbandingan) setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan adalah tetap yaitu.....
Dengan demikian barisan tersebut disebut BARISAN ...............................
Waktu
0
1
2
3
4
5
6
7
...
Bakteri
1
2
4
8
...
...
...
...
...
Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio setiap dua suku yang berurutan adalah ..................
MENEMUKAN RUMUS SUKU KE- n BARISAN GEOMETRI
U1 U2 U3 ... Un-1 Un
a ar ar2 ... arn-.... arn-....
Jadi, suku ke- n = Un = ................
Perbandingan (rasio) dua suku yang berurutan:
r = U2U1= U3U2= U4U3=…= UnU…………….
MENEMUKAN RUMUS JUMLAH n SUKU DERET GEOMETRI (Sn)
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 + Un
Sn = a + ar + ar2 + ... + arn -1
-r Sn = - ar - ar2 - ... - arn -1 - arn -
Sn – r Sn = a - ...............
Sn (1 - ....) = a(1 - ........)
Sn = a(1 - ……. )1- ……….. , untuk r < 1 Atau Sn = a(……. - 1 )………-1 , untuk r > 1
MENEMUKAN RUMUS SUKU KE- n dari Sn
Sn = a + ar + ar2 + ... + arn -2 + arn -1
Sn - 1 = a + ar + ar2 + ... + arn -2
Sn – Sn – 1 = .......................
Jadi, Sn – Sn – 1 = .....
Soal Latihan
Tentukan suku yang diminta pada setiap barisan geometri berikut:
3, 6, 12, ...( U8)
Jawab:
a = ... r = .... n = ....
U8 = ar..... = .... x ....... = ... x ......... = ...........
2, 6, 18, 54, ... (U 10)
Jawab:
a = .... r = .... n = ....
U10 = ar..... = .... x ....... = ... x ......... = ...........
Tentukan jumlah n suku yang diminta pada setiap barisan geometri berikut:
5 + 15 + 45 + .... + 3645
Jawab:
a = .... r = ....
Un = 3645
arn-1 = 3645
..... x ....n-1 = 3645
....n-1 = 3645 / .... = ........ = 3....
n – 1 = ....
n = .....
5 + 15 + 45 + .... + 3645 = S......
S..... = ….(3….-1)3-1= …..(……….-1)….= …. x…….. ….= …………
b. 4 + 8 + 16 + ... + 128
a = .... r = .....
Un = 128
arn-1 = 128
.... x ....n-1 = 128
....n-1 = 128 /.... = ....... = 2....
n – 1 = ....
n = ....
4 + 8 + 16 + ... + 128 = S.......
S..... = ….(2….-1)2-1= …..(……….-1)….= …. x…….. ….= …………
Diketahui suatu barisan geometri dengan a = 1 dan U7 = 64. Tentukan U10 ?
Jawab:
a = ...
U7 = 64
ar..... = 64
....r..... = 64
r..... = 64
r = ....
U10 = ar..... = 1 (.....).... = ..................
Diketahui barisan geometri dengan suku ketiga 27 dan suku kelima 3. Rasionya bilangan positif. Tentukan S6
Jawab:
U3 = 27 U5 = 3
ar..... = 27 ar..... = 3
U5U3 = ar….. ar….. Substitusi r = ...., misalnya ke U3 = ar..... = 27
327 = r ...... sehingga didapatkan a = .....
1….. = r ......
r = .......
S6 = a(1 - r….. )1-r = …….(1 - (…….)….. )1- ……… = …….(1 - ……….. )……………
= .....................................................................................
