Lks 04 Pertidaksamaan

Matematika SMA Kelas X Semester 1

77 77

Bab 4 : Pertidaksamaan Pertidaks amaan

Materi Pokok

PERTIDAKSAMAAN •

•

Kompetensi Dasar 1 : Menggunakan sifat dan aturan pertidaksamaan satu variabel dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 2: Merancang model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel , menyelesaikan menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang diperoleh Indikator 1: 1:

• • • • • •

Menjelaskan arti penyelesaian pertidaksamaan satu variabel Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang memuat bentuk linier dan kuadrat satu variabel Menentukan penyelesaian pertidaksamaan pecahan yang memuat bentuk linier atau kuadrat Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang memuat bentuk akar linier Menjelaskan sifat dan aturan yang digunakan dalam proses penyelesaian pertidaksamaan Menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak *) Indikator 2: 2:

• • • • •

A.

A.1.

Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk pertidaksamaan satu variabel Menentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel pertidaksamaannya Merumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari masalah Menentukan penyelesaian dari model matematika Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah

PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU PEUBAH

PENGERTIAN INTERVAL ditulis :  x / x ≤ a , x ∈ R  a


Bab 4 : Pertidaksamaan

78 78

ditulis :  x / x ≥ a , x ∈ R  a ditulis :  x /a≤x≤ b, x ∈ R  a

b ditulis :  x / x < a , x ∈ R  a ditulis :  x / x > a , x ∈ R 

a ditulis :  x /a < x < b , x ∈ R  a b Sebuah himpunan bagian dari himpunan bilangan riil seperti itu dinamakan interval / selang. Suatu interval biasanya digambarkan dalam sebuah garis bilangan . - ujung ruas garis yang digambarkan dengan bulatan tertutup (0) menyatakan bahwa ujung tersebut termasuk dalam interval - ujung ruas garis yang digambarkan tanpa bulatan menyatakan bahwa ujung tersebut tidak termasuk dalam interval Selang atau interval pada umumnya merupakan penyelesaian suatu pertidaksamaan .

A.2.

PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU PEUBAH

Bentuk umum pertidaksamaan linier satu peubah x adalah sebagai berikut : 1. ax + b < 0 2. ax + b > 0 3. ax + b ≤ 0 4. ax + b ≥ 0 dengan a, dan b bilangan riil , a ≠ 0 Untuk menyelesaiakan pertidaksamaan linier satu peubah digunakan sifat-sifat berikut ini : 1. jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah / dikurangi dengan bilangan yang sama , maka tanda pertidaksamaan tersebut tetap 2. jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan / dibagi dengan bilangan positif yang sama , maka tanda pertidaksamaan tersebut tetap 3. jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan / dibagi dengan bilangan negatif yang sama , maka tanda pertidaksamaan tersebut kebaikannya Sifat-sifat tersebut dapat ditulis sebagai berikut : Jika a > b maka berlaku sifat : 1. a + c > b + c , jika c bilangan positif 2. a - c > b - c , jika c bilangan positif 3. a x c > b x c , jika c bilangan positif 4.

a c

>

b c

, jika c bilangan positif

5. a x c < b x c , jika c bilangan negatif 6.

a c

<

b c

, jika c bilangan negaitf

Jika a < b maka berlaku sifat : 1. a + c b x c , jika c bilangan negatif 6.

a c

>

b c

, jika c bilangan negaitf


79 79


CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan liner berikut : 1. 4x – 8 < 0 2. 6x + 10 ≥ 2x - 2 3. 3 < x + 5 < 8 4. -3 ≤ 3x – 3 < 0 Penyelesaian : 1. 4x – 8 < 0 4x – 8 + 8 < 0 + 8 kedua ruas ditambah 8 4x < 8 penjumlahan x<2 kedua ruas dibagi 4 jika digambarkan pada garis bilangan adalah : 2 jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP :  x / x < 2 , 2. 6x + 10 ≥ 2x - 2 6x – 2x ≥ - 2 – 10 4x ≥ - 12 x ≥ -3

x ∈ R  kedua ruas dikurangi 2x-10 pengurangan kedua ruas dibagi 4

jika digambarkan pada garis bilangan adalah : -3 jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP :  x / x ≥ -3 , x ∈ R  3. 3 < x + 5 < 8 3–5
UJI KOMPETENSI

1

1. Gambarlah interval berikut ini pada garis bilangan : c. -5 ≤ x < -3 a. x ≤ -2 d. 3 < x < 8 b. x ≥ 7

1

PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU PEUBAH

e. -1 ≤ x ≤ 4


80 80


2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini : a. x - 5 ≤ 7 i. 3x ≤ -2 q. 2x - 7 ≥ 7 j. -8 ≤ 4x < -3 r. 3 < 2x + 7 < 8 b. x + 8 ≥ 7 – 2x c. 5 ≤ x + 4 < 9 d. -1 < 3x - 5 < 8

k. -1 ≤ 3x - 12 ≤ 4 l. 4x + 8 ≥ 2 – 2x

s. 6x - 5 ≤ 7 t. 6 ≤ 5x - 4 < 11

m. 1 < 9x - 2 < 16

u. .-3 ≤

f. 4x – 6 ≤ -2 + x g. -1 < 7x + 1 < 6

n. 2x - 7 ≥ 7 – 8x o. -2 ≤4 x - 1 ≤ 9

v. -2 ≤ 7x - 5 < -9 w. 2x - 5 ≤ 7 + 6x

h. 2x + 5 ≥ 4 – x

p. 1 ≤ 4x - 2 < 8

x. -2 ≤

e.

B.

-2 ≤

2 x − 7 3

≤5

4 x − 5 6

4 x − 5 6

≤ 8

≤ 6

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT SATU PEUBAH

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat satu peubah dalam x adalah : 2 2 a. ax + bx + c < 0 c. ax + bx + c > 0 2 2 b. ax + bx + c ≤ 0 d. ax + bx + c ≥ 0 dengan a, b dan c anggota bilangan riil dan a ≠ 0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kudrat dalam x dapat dikerjakan dengan dua cara , yaitu : a. dengan sketsa grafik fungsi kuadrat b. dengan garis bilangan CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1: Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2 + 5x + 6 ≤ 0 dengan cara sketsa grafik Penyelesaian : Untuk menyelesaiakan dengan cara sketsa grafik , maka kita harus terlebih dahulu menggambar grafik fungsi kuadrat y = x 2 + 5x + 6 sebagai berikut : a. titik potong grafik dengan sumbu x : diperoleh jika y = 0, maka diperoleh persamaan : 2 x + 5x + 6 = 0 substitusi harga y = 0 (x+2)(x+3)=0 difaktorkan x = - 2 atau x = - 3 arti perkalian jadi titik potong grafik dengan sumbu x adalah ( -2,0 ) dan ( -3,0 ) b. grafik menghadap keatas karena koefisien x 2 positif c. sketsa grafiknya sebagai berikut : y karena tanda pertidaksamaan adalah ≤ yang berarti negatif maka penyelesaian pertidaksamaan -3 -2 x tersebut adalah daerah kurva yang terletak dibawah sumbu x ( lihat daerah terarsir pada gmbar )



81 81

sehingga himpunan penyelesaiannya adalah HP :  x / -3 ≤ x ≤ -2 , x ∈ R 

• •

Jika soal tersebut diubah sehingga pertidaksamaannya adalah x 2 + 5x + 6 < 0 ,maka himpunan penyelesaiannya adalah HP :  x / -3 < x < -2 , x ∈ R  Jika soal tersebut diubah sehingga pertidaksamaannya adalah x 2 + 5x + 6 ≥0 , maka daerah yang diarsir yang merupakan penyelesaiannya berubah sebagi berikut : karena tanda pertidaksamaan adalah yang berarti negatif,maka ≥ penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah kurava diatas sumbu -3 -2 x

x ( lihat daerah terarsir pada gambar ) sehingga himpunan penyelesaiannya adalah HP :  x / x ≤ -3 atau x ≥ -2 , x ∈ R  2 • Jika soal tersebut diubah sehingga pertidaksamaannya adalah x + 5x + 6 >0 , maka himpunan penyelesaiannya HP :  x / x < -3 atau x > -2 , x ∈ R  Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dengan cara garis bilangan pertidaksamaan kuadrat berikut ini : a. x2 + 5x + 6 ≤ 0 c. x2 + 5x + 6 ≥ 0 2 2 b. x + 5x + 6 < 0 d. x + 5x + 6 > 0 Penyelesaian : a. x2 + 5x + 6 ≤ 0 untuk menyelesaikan pertidaksamaan , maka ubah dahulu menjadi bentuk persamaan kuadrat x 2 + 5x + 6 = 0, kemudian cari nilai x nya dengan cara memfaktorkan sebagai berikut : 2 x + 5x + 6 = 0 substitusi harga y = 0 (x+2)(x+3)=0 difaktorkan x = - 2 atau x = - 3 arti perkalian kemudian buat garis bilangan sebagai berikut :

-3 -2 dari garis bilangan tersebut ada tiga daerah, yaitu daerah : • -3 kekiri atau ditulis daerah x ≤ -3 • antara -3 sampai -2 atau ditulis daerah -3 ≤ x ≤ -2 dan • -2 kekanan atau ditulis daerah x ≥ -2 untuk menentukan penyelesaiaannya maka dari tiga daerah itu kita cek satu per satu untuk satu nilai x yang mewakili daerah tersebut sebagai berikut : • -3 kekiri atau ditulis daerah x ≤ -3 kita dapat mengambil salah satu nilai x yang kurang dari -3 misalnya x = -4. Untuk menentukan apakah nilai x = -4 merupakan penyelesaian , maka kita substitusikan harga x = 2 4 tersebut pada pertidaksamaan dalam soal tersebut yaitu x + 5x + 6 ≤ 0 sebagai berikut : 2 (-4) + 5(-4) + 6 ≤ 0 subsitutsi harga x = -4 16 - 20 + 6 ≤ 0 pangkat & perkalian 2≤0 penjumlahan karena 2 ≤ 0 merupakan pertidaksamaan yang salah maka untuk daerah x ≤ -3 bukan 2 penyelesaian dari pertidaksamaan x + 5x + 6 ≤ 0


•

•


82 82

antara -3 sampai -2 atau ditulis daerah -3 ≤ x ≤ -2 untuk daerah ini kita dapat mengambil harga x = -2,5 yang selanjutnya disubstitusikan pada x2 + 5x + 6 ≤ 0 sebagai berikut : (-2,5)2 + 5(-2,5) + 6 ≤ 0 subsitutsi harga x=-2,5 6,25 – 12,5 + 6 ≤ 0 pangkat & perkalian - 0,25 ≤ 0 penjumlahan karena – 0,25 ≤ 0 merupakan pertidaksamaan yang benar maka untuk daerah -3 ≤ x ≤ -2 merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x + 6 ≤ 0 -2 kekanan atau ditulis daerah x ≥ -2 untuk daerah ini kita dapat mengambil harga x = -1 yang selanjutnya disubstitusikan pada x 2 + 5x + 6 ≤ 0 sebagai berikut : 2 (-1) + 5(-1) + 6 ≤ 0 subsitutsi harga x = -1 1–5+6≤0 pangkat & perkalian 2≤0 penjumlahan karena 2 ≤ 0 merupakan pertidaksamaan yang salah maka untuk daerah x ≥ -2 bukan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x + 6 ≤ 0 dari pengecekan tiga dearah tersebut yang merupakan penyelesaian adalah daerah antara -3 sampai -2 atau ditulis daerah -3 ≤ x ≤ -2 jika digambarkan pada garis bilangan adalah : + +

-3 -2 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP :  x / -3 ≤ x ≤ -2 , x ∈ R  2 b. x + 5x + 6 < 0 proses untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan ini sama dengan soal nomor a , hanya tanda pertidaksamaan tidak ada sama dengannya, sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis HP :  x / -3 < x < -2 , x ∈ R  2 c. x + 5x + 6 ≥ 0 proses untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan ini sama dengan soal nomor a , namun karena tanda pertidaksamaan ≥ 0 yang menyatakan positif maka daerah penyelesaiannya berada pada daerah -3 kekiri atau -2 kekanan , sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis HP :  x / x ≤ -3 atau x ≥ -2 , x ∈ R  d. x2 + 5x + 6 > 0 himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini hampir sama dengan soal nomor c, namun tanda pertidaksamaan tidak ada sama dengannya, sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis HP :  x / x < -3 atau x > -2 , x ∈ R 

UJI KOMPETENSI

2

PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT SATU PEUBAH

Tentukan himpunan penyelesaian dengan cara sketsa grafik pertidaksamaan kuadrat berikut ini : 2 2 2 1. x + 9 ≤ 0 11. x - 6x + 9 < 0 21. 3 – 2x - x ≥ 0 2 2 2 2. 2x - 5x – 3 > 0 12. 5 + 4x - x < 0 22. 25 - x ≤ 0 3. 3x2 + x - 2 < 0 13. 8 – 2x - 3x2 ≥ 0 23. 6x2 + 17x +12 > 0 4. 9 - 9x - 10x2 < 0 14. 2x2 – x - 1 ≤ 0 24. 4x2 - 5x + 1 < 0 2 2 5. 2 + 5x - 3x ≥ 0 15. x - 12x + 36 > 0 25. - x - 3x2 < 0 2 2 2 6. x + 8x +16 ≤ 0 16. 5x + 3x - 2 < 0 26. 4 – x - 5x ≥ 0


7. 8. 9. 10.

2

x - 6x +8 > 0 3x2 - 7x + 2 < 0 6 + 2x - 2x 2 < x2 – 2 - 8 – 6x - x 2 ≥ 0

C.

83 83

Bab 4 : Pertidaksamaan 2

17. - 19x - 14x < 0 18. 3x2 – 9x ≥ x2 – 4 19. 4x2 + 8 ≤ 12x +3 20. 3x +8 > x2 + 18

27. 28. 29. 30.

2

2x – x - 6 ≤ 0 x - 1 > 2x2 6x2 - 2 < 13x – 8 3 + 2x < x2

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Bentuk umum pertidaksamaan pecahan satu peubah adalah sebagai berikut : 1.

2.

f ( x ) g ( x) f ( x ) g ( x)

<0

3.

>0

4.

f ( x ) g ( x) f ( x ) g ( x)

≤ 0

≥ 0

dimana f(x) dan g(x) fungsi-fungsi dalam x dan g(x) ≠ 0. Untuk menyelesaiakan pertidaksamaan ini dengan cara garis bilangan melalui langkah-langkah berikut ini : Langkah 1: Langkah 2: Langkah 3: Langkah 4:

carilah nilai-nilai nol pada bagian pembilang dan penyebut, yaitu f(x) = 0 dan g(x) = 0 gambarkan nilai –nilai nol tersebut pada garis bilangan cek daerah interval yang dibatasi oleh nilai –nilai nol tersebut pada garis bilangan untuk menentukan daerah penyelesaiannya pastikan bahwa interval yang memenuhi bagian penyebu tidak boleh sama dengan 0 atau g(x) ≠ 0.

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini : 1. 2. 3.

x − 2

≤0

x − 3 3 x + 6

5 x + 5 4 x + 1 x − 2

4.

>0

5.

<0

6.

x + 2 2

x x 2

x − 2 x − 3 •

4

2

x

≤ 0

nilai nol bagian pembilang

−

x − 9 x

Penyelesaian : 1.

− 5 x +

: x – 2 = 0 atau x = 2

−1

4

≥ 0

>0 ≥

x

+1

x

+

2


•

84 84


nilai nol bagian penyebut

: x – 3 = 0 atau x = 3

Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut digambarkan , kemudian tiga daerah yang dibatasi oleh nilainilai nol tersebut dicek untuk menentukan darah interval mana yang merupakan penyelesaian . Harus diingat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka : x – 3 ≠ 0 atau x ≠ 3 Jika digambar pada garis bilangan seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini : + +

2

3

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2.

3 x + 6 5 x + 5

x − 2 x − 3

≤ 0 adalah HP :  x / 2 ≤ x < 3 , x ∈ R



>0

nilai nol bagian pembilang : 3x + 6 = 0 atau 3x = - 6 atau x = - 2 • nilai nol bagian penyebut : 5x + 5 = 0 atau 5x = -5 atau x = -1 Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut digambarkan , kemudian tiga daerah yang dibatasi oleh nilainilai nol tersebut dicek untuk menentukan darah interval mana yang merupakan penyelesaian . Harus diingat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka : 5x + 5 ≠ 0 atau 5x ≠ -5 atau x≠-1 Jika digambar pada garis bilangan seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini : + + •

-2

-1


4 x + 1 x − 2 •

3 x + 6 5 x + 5

> 0 adalah HP : x /x < -2 atau x >-1 , x∈R

<0

nilai nol bagian pembilang

: 4x + 1 = 0 atau 4x = - 1 atau x = -

1 4

nilai nol bagian penyebut : x–2=0 x=2 Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut digambarkan , kemudian tiga daerah yang dibatasi oleh nilainilai nol tersebut dicek untuk menentukan darah interval mana yang merupakan penyelesaian . Harus diingat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka : x – 2 ≠ 0 x≠2 kedua ruas ditambah 2 Jika digambar pada garis bilangan seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini : •

+

-

-

1 4

+

2


4 x + 1


x + 2 x 2

− 5 x +

4

85 85


x − 2

< 0 adalah HP :  x /-

1 4

< x < -2 , x ∈ R 

≥ 0

nilai nol bagian pembilang : x+2=0 x=-2 kedua ruas dikurangi 2 • nilai nol bagian penyebut : x2 – 5x + 4 = 0 (x–4)(x–1) =0 difaktorkan x = 4 atau x = 1 arti perkalian Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut digambarkan pada garis bilangan , kemudian empat daerah yang dibatasi oleh nilai-nilai nol tersebut dicek untuk menentukan darah interval mana yang merupakan penyelesaian . Harus diingat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka : x ≠ 4 atau x ≠ 1 Jika digambar pada garis bilangan seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini : _ + _ + •

-2

1

4

x + 2

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

x

2

− 5 x +

4

≥0

adalah HP :  x /- 2 ≤ x < 1 atau

x > 4 , x ∈ R  5.

x

2

−

x

2

−9

4

>0

nilai nol bagian pembilang : x2 - 4 = 0 ( x + 2 )( x – 2 ) = 0 difaktorkan x = -2 atau x = 2 arti perkalian • nilai nol bagian penyebut : 2 x – 9 = 0 (x+3)(x–3) =0 difaktorkan x = -3 atau x = 3 arti perkalian Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut digambarkan pada garis bilangan , kemudian lima daerah yang dibatasi oleh nilai-nilai nol tersebut dicek untuk menentukan darah interval mana yang merupakan penyelesaian . Harus diingat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka : x ≠ -3 atau x ≠ 3 Jika digambar pada garis bilangan seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini : + _ + _ + •

-3

-2

2

3

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan atau x > 3, x

∈ R



x

2

−

x

2

−9

4

> 0 adalah HP :  x / x < -3 atau -2 < x < 2


x

6.

x x

−1

-

≥

+1

x

x + 2 x + 1

≥0

x − 1 x + 2 x ( x + 2) − ( x − 1)( x + 1)

( x − 1)( x + 2) x 2

+

2 x − ( x 2

− 1)

≥

2

x + x − 2 2 x + 1 ≥ 0 2 x + x − 2 •

86 86


kedua ruas dikurangi ≥

0

x

+1

x

+

2

disamakan penyebutnya

0

perkalian pengurangan

nilai nol bagian pembilang : 2x + 1 = 0 x=-

1

kedua ruas dikurangi 2

2

nilai nol bagian penyebut : x2 + x - 2 = 0 (x–1)(x+2) =0 difaktorkan x = 1 atau x = -2 arti perkalian Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut digambarkan pada garis bilangan , kemudian tiga daerah yang dibatasi oleh nilai-nilai nol tersebut dicek untuk menentukan darah interval mana yang merupakan penyelesaian . Harus diingat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka : x ≠ 1 atau x ≠ -2 Jika digambar pada garis bilangan seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini : _ + _ + •

-2

-

1

1

2

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan atau x > 1 , x

∈ R

x x



3

UJI KOMPETENSI

−1

≥

x

+1

x

+

2

adalah HP :  x / - 2 < x ≤ -

PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini : 1.

x − 1 x − 2

≤0

7.

4 x + 2 x

2

− 7 x + 10

≥0

13.

x

2

−1

2 x 2 + x − 3

≤ 0

1 2


2. 3. 4. 5.

6.

x + 3

>0

5 x − 1 − 2 x + 1 x + 3 4 x + 1

<0

9.

≤0

3 x − 2 − 5 x + 2 6 x − 4 7 x + 6 − 3 x +

8.

2

≥0

D.

2

− 16

x x

− 25

x

−3

11.

≤0

2

x

10.

12.

87 87


−1

>0

14..

x

≥

x x + 2

2

− 5 x +

x x 2 x

−

2

4 x

−9

2 x − 3 x

+

2

15.

≥0

16.

−

4

4

≤0

≥

17.

4 x

+1

3 x

−

2

18.

x

2

+

3 x − 4

2

>0

x + x − 6 2 4 x − 12 x + 9

≤ 0

2 5 x + 3 x − 2 2 2 ( x − 25)( x − 4)

2 x 2 2 x ( x 2

− 3 x + 1 −

4 x

− 9)( x

2

− 1)

(2 x 2 − x − 1)( x 2 ( x

2

− 9)(3 x

2

≥ 0

≤ 0 − 16)

+ x −

2)

≤ 0

PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR

Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar adalah : a.

f ( x ) p

e.

f ( x) <

g ( x )

g.

f ( x) ≤

g ( x )

b.

f ( x) ≤ p

d.

f ( x ) ≥ p

f.

f ( x ) >

g ( x)

h.

f ( x) ≥

g ( x )

Langkah-langkah dalam menyelesaikan pertidaksamaan bentuk akar sebagai berikut :

1. 2. 3. 4.

Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan Persyaratkan fungsi yang berada didalam tanda akar harus positif atau nol Tentukan interval pada langkah 1 dan 2 Irisan antara interval langkah 1 dan 2 merupakan penyelesaiannya

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut : a.

x + 3 < 2

c.

x

2

b.

2 x − 4 < x + 2

d.

x

2

− 2 x ≥

3

+ 6 x ≤

3 x + 14

Penyelesaian : b.

x + 3 < 2 Langkah 1 : kuadratkan kedua ruas diperoleh :

e.

x − 2

2 x + 3

≥ 1


x+3<4 Langkah 2 x+3≥0 Langkah 3


, maka x < 1 : syarat fungsi didalam tanda akar ≥ 0, maka diperoleh : , maka x ≥ -3 : tentukan interval langkah 1 dan 2 , maka diperoleh :

1 -3 Langkah 4 : tentukan irisan interval langkah 1 dan 2 , maka diperoleh : HP :  x / - 3 ≤ x < 1 , x ∈ R 

c.

2 x − 4 < x + 2 Langkah 1 : kuadratkan kedua ruas diperoleh : 2x - 4 < x + 2 , maka x < 6 Langkah 2 : syarat fungsi didalam tanda akar ≥ 0, maka diperoleh : 2x - 4 ≥ 0 , maka x ≥ 2 x + 2 ≥ 0 , maka x ≥ - 2 Langkah 3 : tentukan interval langkah 1 dan 2 , maka diperoleh :

6 -2 2 Langkah 4 : tentukan irisan interval langkah 1 dan 2 , maka diperoleh : HP :  x / 2 ≤ x < 6 , x ∈ R  d.

x

2

− 2 x ≥

3

Langkah 1 : kuadratkan kedua ruas diperoleh : 2 2 x – 2 x ≥ 3 , atau ditulis x – 2 x - 3 ≥ 0 maka x ≤ - 1 atau x ≥ 3 Langkah 2 : syarat fungsi didalam tanda akar ≥ 0, maka diperoleh : x2 – 2 x ≥ 0 , maka x ≤ 0 atau x ≥ 2 Langkah 3 : tentukan interval langkah 1 dan 2 , maka diperoleh :

-1

3 0

2

Langkah 4 : tentukan irisan interval langkah 1 dan 2 , maka diperoleh : HP :  x / x ≤ - 1 atau x ≥ 3 , x ∈ R 

e.

x − 2

2 x + 3

≥ 1

Langkah 1 : kuadratkan kedua ruas diperoleh :

88 88


x − 2

2 x + 3

x − 2

≥ 1

2 x + 3

89 89

Bab 4 : Pertidaksamaan − x − 5

- 1 ≥ 0

2 x + 3

≥ 0 , maka – 5 ≤ x ≤ −

3 2

Langkah 2 : syarat fungsi didalam tanda akar ≥ 0, maka diperoleh :

x − 2

2 x + 3

≥ 0 , maka x ≤ −

3

atau x ≥ 2

2

Langkah 3 : tentukan interval langkah 1 dan 2 , maka diperoleh :

-5

-3/2 -3/2

2

Langkah 4 : tentukan irisan interval langkah 1 dan 2 , maka diperoleh :

HP :  x / -5 ≤ x ≤

−

3 2

, x ∈ R 

4

UJI KOMPETENSI

PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut : 1.

x − 3 < 2

9.

x 2

2.

3 x − 2 > x + 3

10.

x

2

3.

x + 5 < - 3

11.

x

2

4.

4 x − 1 > x + 9

12.

x

2

5.

2 x + 6 < - 4

13.

x

2

6.

6 x − 8 <

14.

10 − x 2 ≤

15.

x

16.

15 − 2 x

7. 8.

1 2 2 3

x + 3 > x − 4 <

2 x − 2 3 4

4 5

x + 2

2

− 15 x

+

≥4

17.

2 x ≤ x + 10

− 7 x

18.

3 2

19.

≤

2 x + 20

20.

− 9 x +

2 ≥ 2 3

21.

+ x

−

≥

− 10 − x

4 x − 13 ≥ 4 2 2

≤

3 + 5 x

22. 23. 24.

x − 1

≥ 1

2 x + 5 2 x − 2

≤ -1

4 x + 3 x + 4

≥ 2

4 x − 9 x − 2

3

≤ x + 4

3 x + 5 2 2 x − 4 −8

x − 3

≤

≥

3 5 − 2 x

≥ 5–x

1 x

2 1 − x ≤

3 5 x


E.


90 90

PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK

E.1.

 p  Bentuk f ( x )  ≤ p ≥ p

Untuk menyelesaiakan pertidaksamaan harga mutlak bentuk f ( x) p , f ( x ) ≤ p

dan f ( x) ≥ p berlaku sifat : •

f ( x) p , maka penyelesaiannya adalah f(x) < - p atau f(x) > p

•

f ( x) ≥ p , maka penyelesaiannya adalah f(x) ≤ - p atau f(x) ≥ p

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : a.

x − 1 < 4

c. x + 2 > 3

b.

2 x + 3 ≤ 1

d.

Penyelesaian : a. x − 1 < 4

c. x + 2 > 3

-4
2 x + 3 ≤ 1 - 1 ≤ 2x + 3 ≤ 1 - 1 – 3 ≤ 2x ≤ 1 – 3 - 4 < 2x < - 2 -2
4 x − 2 ≥ 6

x + 2 < - 3 atau x + 2 > 3 x < - 5 atau x > 1 jadi HP :  x / x < -5 atau x > 1, x ∈ R 

d.

4 x − 2 ≥ 6 4x – 2 ≤ - 6 atau 4x – 2 ≥ 6 4x ≤ - 4 atau 4x ≥ 8 x ≤-1 atau x ≥ 2 jadi HP : x/ x ≤ -1 atau x ≥ 2, x ∈ R 


<  > f x Bentuk ( )  ≤ ≥ 

E.2.


91 91

g ( x) g ( x ) g ( x) g ( x)

Untuk menyelesaiakan pertidaksamaan harga mutlak bentuk f ( x) < g ( x ) , f ( x) > g ( x ) ,

f ( x) ≤ g ( x ) dan f ( x) ≥ g ( x) yaitu dengan cara :

Kuadratkan kedua ruas CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :

x + 3 < x + 2

b.

1 − 2 x ≤ x − 2

Penyelesaian : b. x + 3 < x + 2

b.

1 − 2 x ≤ x − 2

a.

2

2

2

x<

−

2

( 1 – 2x ) ≤ ( x – 2 ) 2 1 – 4x + 4x2 ≤ x – 4x + 4 3x2 – 3 ≤ 0

( x + 3 ) < ( x + 2 ) x2 + 6x + 9 < x2 + 4x + 4 2x + 5 < 0

5

2

x – 1 ≤ 0

2

jadi HP :  x / x <

−

5 2

, x ∈ R 

( x + 1 )( x – 1 ) ≤ 0 x ≤ - 1 atau x ≥ 1 jadi HP :  x / x ≤ -1 atau x ≥ 1 , x ∈ R 

E.3.

< g ( x) > g ( x)  Bentuk f ( x )  ≤ g ( x) ≥ g ( x)

Untuk menyelesaiakan pertidaksamaan harga mutlak bentuk f ( x) < g(x) , f ( x ) > g(x) , f ( x) ≤ g(x) dan f ( x) ≥ g(x) yaitu dengan langkah :

• • •

Persyaratkan g(x) ≥ 0 Kuadratkan kedua ruas Penyelesaiannya adalah irisan dari langkah 1 dan 2


92 92


CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : < x – 1

b.

− 3 x + 1

≤ x – 3

Penyelesaian : a. − x + 3 < x – 1

b.

− 3 x + 1

≤ x – 3

a.

− x + 3

syarat x – 1 ≥ 0, maka x ≥ 1

syarat x – 3 ≥ 0 , maka x ≥ 3 kedua ruas dikuadratkan diperoleh : 2 2 ( - 3x + 1 ) ≤ ( x – 3 ) 2 2 9x – 6x + 1 ≤ x – 6x + 9 2 8x – 8 ≤ 0 2 x – 1 ≤ 0 ( x – 1 )( x + 1 ) ≤ 0 - 1 ≤ x ≤ 1 Irisan antara x ≥ 3 dan - 1 ≤ x ≤ 1 adalah : HP :  x / x > 3 , x ∈ R 

kedua ruas dikuadratkan diperoleh : 2 2 ( - x + 3 ) < ( x – 1 ) 2 2 x – 6x + 9 < x – 2 x + 1 -4x<-8 x>2 irisan antara x ≥ 1 dan x > 2 adalah : HP :  x / x > 2 , x ∈ R 

5

UJI KOMPETENSI

PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut : a.

x + 4 < 2

d.

b.

x − 2 > 3

e.

c.

3 x + 2 < 4

2 x + 5 ≥ 6 1 2

g. 2 x + 5 < 4

x − 3 ≤ 4

f.

2 3

h. 3 x −

x + 5 < 9

i.

3 2 4 3

1 2

≤ 6

x − 2 ≥

3 5


2 x + 2 < x + 2

d. x + 2 ≥ x + 3

g. x + 5 ≤ x − 3

b.

− 3 x + 1

e. x + 2 ≤ 2 x − 1

h. x − 4 <

c.

2 x − 1 < 3 x − 4

f. x + 4 ≥

i. x + 2 ≥ 3 x − 2

> 5 x − 3

−

2 x + 3

−

2 x + 3


x 2

− 3 x − 14

b.

x 2

+

c.

x 2

− 10

<4

2 x − 9 > 6 <6

d. x

2

−5 ≥

4

g. x

2

+

e. x

2

− 5 x −

4 ≤ 10

h. x

2

−6

3

i.

f.

2 x 2

−5 ≥

2 x 2

2 x − 4 > 4

+

< 3

4 x − 27 ≤ 21


5 − x < 2x – 1

b.

5 − x ≥ 2x – 1

c. 4 x − 3

− x >

8


F.

MODEL MATEMATIKA PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

F.1.

Model Matematika yang Berhubungan dengan Pertidaksamaan Linier

Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan linier adalah : • • • •

93 93


model

matematika

yang

berhubungan

dengan

Ubah besaran yang ada dalam soal menjadi suatu variabel Rumuskan masalah dalam soal menjadi model matematika yang ber bentuk pertidaksamaan linier Tentukan penyelesaian model matematika yang ber bentuk pertidaksamaan linier Tafsirkan penyelesaian yang diperoleh terhadap masalah semula

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Jumlah dua bilangan asli kurang dari 8. Jika bilangan asli yang pertama adalah 3 , tentukan batas bilangan asli yang kedua. Penyelesaian : Langkah 1 : Ubah besaran yang ada dalam soal menjadi suatu variabel sebagai berikut : Misalkan bilangan kedua yang akan dicari = x Rumuskan masalah dalam soal menjadi model matematika yang berbentuk Langkah 2 : pertidaksamaan linier sebagai berikut : Dari kalimat : Jumlah dua bilangan asli kurang dari 8. Jika bilangan asli yang Pertama adalah 3 dan bilangan kedua yang akan dicari = x , maka diperoleh pertidaksamaan : 3+x<8 Langkah 3 : Tentukan penyelesaian model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linier sebagai berikut : 3 + x < 8 maka x < 5 Tafsirkan penyelesaian yang diperoleh terhadap masalah semula sebagai berikut: langkah 4 : jadi bilangan kedua yang dicari dalam soal tersebut adalah x < 5


UJI KOMPETENSI

94 94


6 MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN LINIER

1. Selisih bilangan pertama dengan bilangan kedua tidak lebih dari 6. Jika bilangan kedua adalah

5 6

kali bilangan pertama , tentukan batas-batas untuk bilangan pertama dan kedua

2. Jumlah dua bilangan asli tidak kurang dari 100 dan tidak lebih dari 200. Jika bilangan kedua adalah empat kali bilangan pertama , tentukan batas-batas untuk bilangan pertama dan kedua. 3. Jumlah dua bilangan asli tidak kurang dari 200 dan tidak lebih dari 500. Jika bilangan pertama adalah 150 , tentukan batas-batas untuk bilangan kedua. 4. Farid, Fila dan Fiqih mengikuti seleksi masuk perguruan tinggi. Nilai yang diperoleh Fila lebih sedikit dari nilai yang diperoleh Fiqih. Jumlah nilai yang diperoleh Farid dan Fila lebih banyak dari dua kali nilai Fiqih. Tentukan siapakah yang memperoleh nilai tertinggi 5. Sebuah persegi panjang ABCD mempunyai panjang 15 cm dan lebar 10 cm. Jika bagian tepi persegi panjang ABCD itu D x x C dipotong x cm sehingga diperoleh persegix x panjang KLMN yang mempunyai keliling N M tidak lebih dari 26 cm. Tentukan batas panjang pemotongan ( x ) yang dapat K L dilakukan. x x A x x B

F.2.

Model Matematika yang Berhubungan dengan Pertidaksamaan Kuadrat

Langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah : • • • •

model

matematika

yang

berhubungan

dengan

Ubah besaran yang ada dalam soal menjadi suatu variabel Rumuskan masalah dalam soal menjadi model matematika yang berbentuk pertidaksamaan kuadrat Tentukan penyelesaian model matematika yang ber bentuk pertidaksamaan kuadrat Tafsirkan penyelesaian yang diperoleh terhadap masalah semula

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Keliling sebuah persegi panjang adalah 18 cm . Jika luasnya tidak kurang dari 14 cm 2 , tentukan batas panjang dari persegipanjang tersebut



95 95

Penyelesaian : Ubah besaran yang ada dalam soal menjadi suatu variabel sebagai berikut : Langkah 1 : Misalkan persegipanjang tersebut mempunyai panjang = x cm dan lebar = y cm serta keliling = K Langkah 2 : Rumuskan masalah dalam soal menjadi model matematika yang berbentuk pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut : Dari kalimat keliling sebuah persegi panjang adalah 18 cm, maka dapat ditulis : K = 2 ( x + y ) = 18 atau dapat dinyatakan : y = 9 – x Dari kalimat jika luasnya tidak kurang dari 14 cm 2 , maka dapat ditulis : L = x . y ≥ 14 Langkah 3 : Tentukan penyelesaian model matematika yang berbentuk pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut : x . y ≥ 14 x ( 9 – x ) ≥ 14 2 9x – x ≥ 14 2 x – 9x + 14 ≤ 0 ( x – 2 )( x – 7 ) ≤ 0 2 ≤ x ≤ 7 langkah 4 : Tafsirkan penyelesaian yang diperoleh terhadap masalah semula sebagai berikut: jadi batas panjang dari persegipanjang adalah 2 ≤ x ≤ 7

UJI KOMPETENSI

7

MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

1. Kuadrat dari suatu bilangan tidak melebihi dari dua kali bilangan itu sendiri, tentukan batas nilai bilangan tersebut 2. Kuadrat dari suatu bilangan tidak kurang dari tiga kali bilangan itu sendiri, tentukan batas nilai bilangan tersebut 3. Selisih kuadrat suatu bilangan dengan tiga kali bilangan itu tidak melebihi 10. Tentukan batas bilangan tersebut 4. Sebuah bola ditendang keatas dengan ketinggian yang dieumuskan oleh h(t) = 27 t – t 2. Tentukan berapa lama bola tersebut berada pada ketinggian tidak kuarng dari 180 meter.

Lks 04 Pertidaksamaan

Recommend Documents