C LCULO NUM RICO Engenharia Mecânica Prof. Dr. Denílson José Seidel
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III LISTA DE EXERCÍCIOS Observação: I. O isolamento das raízes (determinação do intervalo que contém uma raiz da equação) deve ser feito manualmente e com um software que faz gráficos. O restante dos exercícios devem ser realizados no Octave. II. Para os exercícios em que for solicitado adotar os métodos de Newton ou Secante, caso não sejam estipulados os critérios e/ou tolerâncias de parada, use f x k ε 1 , xk x k 1 ε 2 e k o número máximo de iterações.
1.
Localize graficamente as raízes das equações: a) e x x 2 0 b) cos x x 0
f)
2
0
g) ln x 2 x 2
c) ln x 4 0 3 d) e x x 2 x 2 0 x
h) 5 x e x 1 i) j)
x 4
e) e x 3 x 2 6x 4 0
2.
2 cos x
e x
Encontre o ponto de mínimo da função f x
x 2 2
x 3 x 1000 0
1 x ln x 0
x ln( x) 1 utilizando o método da bissecção. Adote
como critério de parada b a 0,01.
3.
a) Localize graficamente as raízes de f x 12 21x 18x 2 2, 75x 3 . b) Determine a menor raiz positiva de f utilizando: utilizando: i) o método da bissecção ( b a 0,001 ) ii) o método de Newton ( ε 2 0,001)
4.
Localize a menor raiz não trivial de sin x x 2 , onde x é medido em radianos. Depois, use o método da bissecção para determinar esta raiz utilizando como critério de parada que b a 0,05 .
g t . m q t 0
5. A velocidade de ascensão de um foguete é determinada pela seguinte expressão v u ln
m0
Determine o tempo no qual v 100 m/s, dados u = 200 m/s, m0 = 1600 kg, g = = 9.8 m/s 2, q = 27 kg/s. Efetue quatro iterações com o método da bissecção adotando como intervalo inicial [6, 8].
6.
De acordo com o princípio de Arquimedes, a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pela parte submersa do objeto. Para a esfera representada na figura ao lado, use o método da bissecção para determinar a menor altura h da porção que está acima da água. Utilize os seguintes valores em seus cálculos: r = 0,2m, = densidade da esfera = 200kg/m3 e 3 = densidade da água = 1000kg/m . OBS: O volume da porção da esfera que está acima da água pode ser calculado com =
(3 − ℎ) ℎ) .
7.
Realize o mesmo cálculo do problema 6, mas para um tronco de cone, como o representado na figura ao lado. Utilize os seguintes valores em seus cálculos: r 1 = 0,5m, r 2 = 1m, h = 1m, = densidade do tronco de cone = 200kg/m 3 e = densidade da água = 1000kg/m3. OBS: O volume do tronco de cone pode ser calculado com V
h 3
r
2 1
r22 r1r2 .
8. A equação x 2 b 0 tem como solução exata x b . a) Explique como obter b através do método de Newton. Explique como é possível escolher a aproximação inicial. b) Generalize seu procedimento para obter a raiz p de um número b. Isto é, explicite como obter x k 1 através do método de Newton, em função dos valores p e b. c) Aplique os processos dos itens anteriores para obter a b1/ 2 e b1/ p , onde b é o número formado pelos quatro últimos dígitos do seu RG e p é o último dígito do seu RG acrescido de 3. Como pode ser escolhida a aproximação inicial? 9.
O valor de π pode ser obtido através da resolução das equações sin x 0 e cos x 1 0 .
a) Aplique o método de Newton com x 0 3 em cada equação e compare os resultados. Justifique os resultados obtidos. b) O método da bissecção pode ser aplicado na resolução da equação cos x 1 0 para obter o valor de π? Justifique sua resposta.
10. Aplique o método de Newton para a função f x tanh x 2 9 para calcular a raiz real x 3 . Use como aproximação inicial x 0 3,2 e faça no mínimo 4 iterações.
11. O polinômio f x 0,0074x 4 0,284x 3 3,355x 2 12,183x 5 tem uma raiz real entre 15 e 20. Aplique o método de Newton para esta função usando como aproximação inicial x 0 16,15 . Explique seus resultados. 2
2
12. Use o método da secante para função circular x 1 y 2 16 para determinar uma raiz real positiva. Escolha como aproximação inicial x 0 3 e x 1 0,5 e k 6 .
13. Você está projetando um tanque esférico (ver figura ao lado) para armazenar água para uma pequena comunidade. O volume do líquido que este reservatório pode conter é calculado pela fórmula V h2
3R h 3
, sendo V = volume (m 3), h = profundidade de água no tanque (m)
e R = o raio do tanque (m). Se R = 10m, qual deve ser a profundidade do tanque cheio para conter 1000m3 de água? Use o método de Newton para determinar sua resposta, com 1 104 .
14. A corrente elétrica em um circuito varia com o tempo conforme a equação I 9 e1 cos 2 π t 0.5 , sendo t o ângulo medido em radianos. Determine o tempo no qual a corrente se iguala à metade do seu valor inicial
(t0=0s) utilizando para isto três iterações com o Método de Newton e adote como aproximação inicial t = 0,2s.
15. O deslocamento de uma estrutura é dado por y 10 eK t cos w t , o que caracteriza uma oscilação amortecida. Se w 2 e k 0,5 , determine o tempo no qual o deslocamento é igual a 4. Use para isso o método de Newton e 2 103 .
16. A concentração de bactérias em um lago é dada por C 70 e1.5t 25 e0.075t , onde C0 é a concentração no instante inicial t = 0. Determine o tempo no qual a concentração C é igual a 0,7 C 0 . Efetue três iterações com o método de Newton e adote como aproximação inicial t0 0,2s .
17. No escoamento de um fluido em um tubo, a fricção é quantificada através de um fator adimensional f . O fator f , por sua vez, depende do número de Reynolds ( Re) que caracteriza o tipo de escoamento. A partir da equação
1 f
4 log Re. f 0.4 , determine o fator de fricção f para Re = 2000 . Efetue quatro iterações
utilizando o método da bisseção e adote como o intervalo inicial [0,01;0,02].
18. É dado o seguinte procedimento iterativo xk 1
a 2 3 xk x k . Mostre a equação que descreve o 4 4
procedimento iterativo gerado quando se utiliza o método de Newton para solucionar o problema.
19. Mostre que a equação que descreve o procedimento iterativo gerado quando se utiliza o método de Newton
1
x k 3
xk 2 Q
para se encontrar a inversa da raiz cúbica de um número Q é dada por x k 1
3 Q
20. Uma das equações de estado mais utilizadas na termodinâmica é a equação cúbica de “Van -Der-Walls” que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás de forma p 2 v b R T , onde p é a v a
pressão, T é a temperatura e v é o volume molar ( 1/mol ). Considerando-se o gás carbônico ( CO2 ), determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 300K . Utilize o método de Newton com a aproximação inicial igual a 5 1/mol . Dados R = 0.082054, a = 3.592 e b = 0.04267.
21. Em engenharia ambiental, a seguinte equação pode ser usada para calcular o nível de concentração de oxigênio c num rio, em função da distância x , medida a partir do local de descarga de poluentes c x 10 20 e 0,2 x e 0,75 x . Calcule, usando qualquer um dos métodos estudados (bissecção, Newton ou secante) com b a 0,01 (bissecção) ou 1 2 0,01 (Newton ou secante) a menor distância para a qual o nível do oxigênio desce para o valor 5.
22. Você decide comprar um veículo por RS 35.000,00 por nada menos do que R$ 8.500,00 por ano, em 7 anos. Use o método da bissecção para determinar a taxa de juros que você irá pagar. Adote como critério de parada que b a 0,00005 . A fórmula que relaciona o valor atual P , o valor do pagamento anual A, o número de anos n e a taxa de juros i é A P
i 1 i n
n
1 i 1
.
23. Um anúncio de jornal oferece o financiamento de um carro de R$ 42.000,00 em 36x R$ 1.371,05, sendo que a primeira parcela é paga no ato da compra. Qual juro embutido neste financiamento? Uma forma de obter este juro é deduzir a função que representa o montante da dívida mês a mês. Considere que C representa o valor do carro e P a parcela. Inicialmente temos que o montante da dívida será M0 C P . Ao final do primeiro mês, aplicamos a este montante o juro j , e do total subtraímos o valor da segunda parcela: M1 M0 1 j P ; repetindo este raciocínio, ao final do segundo mês, o montante será de 2
M2 M0 1 j P 1 j P M0 1 j P 1 j P . Daí deduzimos que, ao final do trigésimo quinto 35
34
33
mês, o montante da dívida será M35 M0 1 j P 1 j P 1 j ... P 1 j P e M 35 deverá ser igual a zero, pois a trigésima sexta parcela foi paga. Para determinar o valor de j , resolva esta equação por algum método estudado.
24. Use o método de Bairstow para determinar as raízes dos polinômios: a) P x x 3 6x 2 9x 4 d) P x 3,704x 3 16,3x 2 21,97x 9,34 b) P x x 6 3x 5 4x 2 5 c)
P x 0,7x 3 4 x2 6,2x 2
e) P x x 4 2x 3 6x 2 2x 5
Respostas 1.
a) y e x (azul) e y 2 x (verde)
ξ 0,1
b) y cos x (azul) e y x (verde)
ξ 0,1
a)
b)
x c) y ln (azul) e y 4 x (verde)
3
ξ 3,4
d) y e x (azul) e y x 2 x 2 (verde) ξ 1 1,0 e ξ 2 0,1 c)
d)
x
e) y e 4 4 (azul) e y x 3 x 2 6x (verde) f) y 2cos x (azul) e y
e x 2
(verde)
ξ 1 3,2 , ξ 2 1,0 e ξ 3 2,3 ξ 1 0,1 , ξ 2 2, 1 , ξ 3 5,4 , ξ 4 8,7 ...
e)
f)
g) y 2 ln x (azul) e y 2 x (verde)
ξ 1 0,5;0,75 e ξ 2 0,9;1,1
h) y 5 x (azul) e y e x (verde)
ξ 1 2, 1 e ξ 2 4,5
g)
h)
i) y x 3 (azul) e y 1000 x (verde) j) y ln x (azul) e y
1
x
ξ 9,10 ξ 1,2
(verde)
i)
j)
2.
f ' x x ln x 0 x min 0,5703125
3.
a) y 12 21x 18x 2 (azul) e y 2,75x 3 (verde) ξ 1 1,0 , ξ 2 2,3 e ξ 3 4,5 . b) i) ξ 2 2,2197266 ii) x 0 2,5 ξ 2 2,2198182988813672800177
4.
y sin x (azul) e y x 2 (verde)
5.
t 7,375s
6. 7. 8.
V imerso V corpo
ρcorpo ρliquido
ξ 0,5;1
ξ 0,90625
h 0,2851437 m com ε 0,000001.
h 0,8757774 m com ε 0,000001
a) Considerando a função f x x 2 b e determinando a raiz ξ positiva de f x . A aproximação inicial pode ser obtida pelo isolamento das raízes, identificando em quais pontos os gráficos de y x 2 e y b se interceptam. 1 2
b) xk 1 x k
9.
( xk b) b , sendo x 0 p a aproximação inicial. ; xk 1 x k p 1 x k p x k p
c) Resposta pessoal; a) Adotando como critério de parada o número de iterações k = 10, com a equação do seno obtém-se x 3,1415926535897931159980 e com a equação do cosseno chega-se que x 3,14145468761704105276 . Considerando que o valor exato de π fornecido pelo Scilab é 3,1415926535897931159980, percebe-se que a aproximação utilizando a equação do seno, a convergência é mais rápida. Isso ocorre pois na equação do cosseno, f ' π 0 . b) Não é possível, pois a função f x cos x 1 é sempre maior ou igual a zero. Isso implica que não conseguimos determinar um intervalo a, b tal que f a f b 0 .
10. Não é possível aplicar o método, pois durante o processo iterativo ocorre divisão por zero. 11. Com a aproximação inicial dada, o método convergiu para uma raiz fora do intervalo entre 15 e 20 0,46847974. Modificando a aproximação inicial é possível obter a raiz neste intervalo, dada por 18,8947662. 12. x 2,4641015499351763828884 13. h 6,355 m ou h 28,8529 m 14. 0,0981259020315867341866 15. 0,5136s 16. 0,3385s 17. 0,0107 20. 2,3544 mol-1 21. 0,6023 22. 15,34729% ao ano 23. 0,95444% ano mês 4 24. a) 1 b) 2,8543913 -0,8723368 1,0575027+0,4902359i 1,0575027-0,4902359i -0,5575136+1,0776138i -0,5575136-1,0776138i c) 0.4357322 2 3.2785535 d) 0.9535032 1.1524859 2.2946589 1± 2 e) ±
