Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologia Tecnologia – CCT Departamento Departamento de Física – DF Disciplina: Física Experimental I Período: 2010.2 Professor: Jossyl Aluna: Maria de Fátima Pereira Matricula: 20711361
EXERCÍCIO PARA COMPLEMENTO DA NOTA Lista de Exercícios – 02 (Medidas Diretas: Teorias de ( Lista Desvio – Capítulo 03) )
Campina Grande, 01 de Setembro de 2010
Lista de Exercícios – 02 (Medidas Diretas: Teorias de Desvio – Capítulo 03) 04) Numa série de 100 leituras de um compriment comprimento o x foram obtidos obtidos os seguintes valores, com freqüência absoluta Ni: Leituras i 1 2 3 4 N’= 5
X(mm)
Ni
16,25 16,27 16,29 16,31 16,33
8 18 42 20 12
a) Faça o tratamento dos dados, isto é, escreva a medida do valor médio das leituras e do desvio padrão da média.
Resposta: 1
N
(16,25 ⋅ 8) + (16,27 ⋅18) + (16,29 ⋅ 42) + (16,31 ⋅ 20) + (16,33 ⋅12)
i =1
100
∑ xi ⋅ ni = N
x =
130 + 292,86 + 684,18 + 326,2 +195,96
x
=
x
=16,292mm
σ xm
xv = ( x ± σ xm )
100
=
1 N
=
1629,2 100
= 16,292
e
n
∑(δ xi)
2
i =1
δ x = ( xi − x ) 2 ⋅ ni i
= ( x1 − x ) 2 ⋅ n1 = (16,25 −16,292) 2 ⋅ 8 = 0,014112
δ x
1
δ x = ( x2 − x ) 2 ⋅ n2 = (16,27 −16,292) 2 ⋅18 = 0,008712 2
δ x = ( x3 − x ) 2 ⋅ n3 = (16,29 − 16,292) 2 ⋅ 42 = 0,000168 3
δ x = ( x4 − x ) 2 ⋅ n4 = (16,31 − 16,292) 2 ⋅ 20 = 0,00648 4
δ x = ( x5 − x ) 2 ⋅ n5 = (16,33 − 16,292) 2 ⋅ 12 = 0,017328 5
N
∑ (δ xi)
2
= (0,014112) + (0,008712) + (0,000168) + (0,00648) + (0,017328) = 0,0468
i =1
σ xm σ xm
=
1
N
N
∑ (δ xi) i =1
2
=
1 100
0,0468 = 0,02163330765 = 0,022
= 0,022
b) Em que faixa de valores devemos ter cerca de 68% das leituras? Explique.
σ x
=
1
N
∑(δ xi ) N − 1
2
⇒
i =1
=
σ x
⇒ σ x = σ xm ⋅ N = 0,00217422926 ⋅ 100 N σ x = 0,0217422926 = 0,022 σ xm
X (16,292 ± 0,022) mm 100medidas 16,270 ≤ 16,292 ≤ 16,314
10) Resolva o exemplo 3 através da expressão dada no prob. 09 e observe se os resultados são coerentes. Exemplo 3: Foi feita uma série de leituras do comprimento de um objeto e encontrou-se os seguintes valores, dados em milímetros:
Li=124,50; 124,50; 124,70; 124,70; 124,55; 124,70; 124,45; 124,40; 124,80. Para esses dados pede-se: a) b) c) d) e)
O valor médio das leituras O desvio de cada dado. O desvio médio das leituras. O desvio padrão das leituras. O desvio padrão do valor médio.
1
1
2 − ( x ) 2 . = x ∑ ∑ x i i N −1 N
Expressão: σ
Resposta:
=124,50; L2 = 124,50; L3 = 124,70; L4 = 124,70; L5 = 124,55; L6 = 124,70; L7 = 124,45; L8 = 124,40; L9 = 124,80. 124,50 +124,50 +124,70 +124,70 +124,55 +124,70 +124,45 +124,40 +124,80 L = ⇒ L1
9
L
=
σ L
1121,3 ⇒ L = 124,5888889 ⇒ L = 124,59mm 9
=
1 N −1
∑ Li
2
1 n
− (∑ Li ) 2
(Σ Li ) = (124,50) 2 + (124,50) 2 + (124,70) 2 + (124,70) 2 + (124,55) 2 + (124,70) 2 + 2
(124,45) 2 + (124,40) 2 + (124,80) 2 ⇒ (Σ Li ) = 139701,675 = 139701,68 2
(Σ Li ) 2 = (124,50 +124,50 +124,70 +124,70 +124,55 +124,70 + 124,45 +124,40 +124,80) 2 ⇒ (Σ Li ) 2 = 1257313,69 ⇒ (Σ Li ) 2 = 1257313,7 1 139701,675 − ( ⋅1257313,69) ⇒σ L = 0,138694307 = 0.14 9 −1 9 L = (124,59 ± 0.14) mm Portanto são coerentes σ L
=
1
Numa experiência com um plano inclinado, para a determinação do coeficiente de atrito estático entre duas superfícies, obteve-se a seguinte tabela para o ângulo de atrito:
24)
1 15,0
2 18,0
3 17,5
4 16,0
5 19,0
Escreva a medida medida do ângulo ângulo a) Escreva teoria do desvio padrão. [Resp. Resposta:
6 19,5
7 17,0
8 20,0
9 16,0
10 17,0
de forma adequada adequada utilizando utilizando a ]
θ = θ θ θ
=
1
± σ θ m ) N
15,0 + 18,0 + 17,5 + 16,0 + 19,0 + 19,5 + 17,0 + 20,0 + 16,5 + 17,0
i =1
10
∑θ ii = N
⇒
= 17,55°
σ θ m
=
1
N
∑(δθ ii) N ( N −1)
2
i =1
δθ i1
= (θ 1 − θ ) 2 = (15,0 −17,55) 2 = 6,5025
δθ 2
= (18,0 −17,55) 2 = 0,2025
δθ i3
= (17,5 − 17,55) 2 = 0,0025
δθ i4
= (16,0 −17,55) 2 = 2,4025
δθ i5
= (19,0 −17,55) 2 = 2,1025
δθ i6
= (19,5 −17,55) 2 = 3,8025
δθ i7
= (17,0 −17,55) 2 = 0,3025
δθ i8
= (20,0 −17,55) 2 = 8,7025
δθ i9
= (16,5 −17,55) 2 = 4,2025
δθ i10
= (17,0 −17,55) 2 = 0,3025
N
∑(δθ ii )
2
= 22,7475
i =1
Por tan to σ θ m
=
1
N
∑(δθ ii) N ( N −1)
2
=
i =1
1 10(10 −1)
= 22,7475 = 0,50274278 = 0,5
Logo : θ (17,6 ± 0,5)°
Relembrando que b) Relembrando
calcule calcule para cada ângulo ângulo e utilize utilize a teoria do desvio padrão para escrever o valor experimental do
coeficiente de atrito estático. [Resp.
]
Xi µ = tg θ µ = tg 15,0 = 0,267949192 µ = tg 18,0 = 0,324919696 µ = tg 17,5 = 0,315298788 µ = tg 16,0 = 0,286745385 µ = tg 19,0 = 0,344327613 µ = tg 19,5 = 0,354118572 µ = tg 17,0 = 0,305730681 µ = tg 20,0 = 0,363970234 µ = tg 16,5 = 0,296213495 µ = tg 17,0 = 0,305730681 N
∑ Xi = 3,165004337 i =1
1 N X = ∑ Xi = 0,316500433 N i =1 Temos que Xi 2 será (tg θ ) 2 (tg 15,0) 2 = 0,071796769 (tg 18,0) 2 = 0,105572809 (tg 17 ,5) 2 = 0,099413326 (tg 16,0) 2 = 0,082222916 (tg 19,0) 2 = 0,118561505 (tg 19,5) 2 = 0,125399963 (tg 17 ,0) 2 = 0,093471249 (tg 20,0) 2 = 0,132474331 (tg 16,5) 2 = 0,087742434 (tg 17 ,0) 2 = 0,093471249 N
∑ Xi
2
=1,010126578
i =1 N
( ∑ Xi ) 2 =10,01725245 i =1
1 1 N 2 1 N 2 1,01026578 − ⋅10,01725245 = 0,030552927 Xi − (∑ Xi) = σ X = ∑ 9 10 N − 1 i =1 N i =1 1
σ XM =
σ X
=
0,030552927
3,16227766 N µ e = (0,317 ± 0,010)
= 0,009661684 ⇒ σ XM = 0,010
26) Em uma uma expe experi riên ênci cia a para para dete determ rmin inaç ação ão da acel aceler eraç ação ão da grav gravid idad ade, e, reali realiza zada da numa numa cida cidade de onde onde expe experi riên ênci cias as rigo rigoro rosa sas s 2 apontam para g= 9,79 m/s , obteve-se os seguintes resultados, em m/s2. 11,30; 11,33; 11,29; 11,31; 11,32; 11,30 e 11,31
a) Determine o valor médio dos resultados obtidos e calcule o seu erro absoluto em relação ao melhor valor obtido para g. Resposta: g = ? E = ? 11,30 +11,33 +11,29 +11,31 +11,32 +11,30 +11,31 g = 7 g =11,30857143 ⇒ g =11,31
E = g − g
=
79,16 7
= 11,31 −9,79 =1,52
E =1.52
b) Determine o desvio padrão da série de resultados. Resposta: σ g
N 2 1 N 2 ( ) gi gi − ∑ ∑ N −1 i =1 N i =1 1
=
N
(
∑ gi )
2
= (79,16) 2 = 6266,3056
i =1
N
∑ gi
2
= (11,30) 2 + (11,33) 2 + (11,29) 2 + (11,31) 2 + (11,32) 2 + (11,30) 2 + (11,31) 2 = 895,1876
i =1
σ g
=
1 895 , 1876 ( 6266 , 3056 − ⇒ σ g = 0,013451765 ⇒ σ g = 0,013 7 −1 7 1
c) Baseado nas respostas obtidas em a e b, responda: o que se pode dizer quanto à precisão e à exatidão dessa experiência? Resposta: Com relação à Precisão temos que é boa, pois o desv desvio io padr padrão ão está está na prec precis isão ão dos dos milé milési simo mos. s. Quan Quanto to a exatidão, o experimento é não exato, pois o erro absoluto é diferente de zero. 33) Faça o tratamento estatístico das leituras dadas abaixo: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Xi 31,38 31,39 31,40 31,41 31,42 31,43 31,44 31,45 31,46 Ni 8 15 27 36 40 37 26 16 8 ［(Resp. Xv = (31,4201 ± 0,0013)) Resposta:
N = X X XM X 1
2 1 3 leit N 1 X N i 1 6692 , 4 2 1 3 1 N i ( 3 1 , 3 8 ( 3 1 , 3 9 X 2 4 0 X 3 ( 3 1 , 1 X 4 4 2 X 5 ( 3 1 , 3 X 6 4 4 X 7 ( 3 1 , 5 X 8 4 6 X 9 2 Xi 0 , 0 i N 1 1 Xm N i X V (31, 42
