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1) Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas (a, b) sem reposição. Qual é a probabilidade de a+b = 10? 4/45 2) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves; 7/8 b) ela não tenha defeitos; 5/8 c) ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 3/4 3) A probabilida probabilidade de de fechame fechamento nto de cada relé do circuito circuito apresenta apresentado do abaixo é dada por p. Se todos os relés funcionarem f uncionarem independentemente, independentemente, qual será a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R?
1 L
3
R
2
4
4) Um time X tem 0,8 de probabil probabilida idade de de vitória vitória sempre sempre que joga. joga. Se X jogar 5 partidas, partidas, calcule calcule a probabilidade probabilidade de: a) X vencer exatamente 3 partidas. b) X vencer ao menos uma partida. c) X vencer mais da metade das partidas. 5) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede de 2 x 2m?
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6) Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000. Em uma cidade de 100.000 habitantes, encontra a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 ou mais suicídios. 7) A duração de um certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar: a) entre 700 e 1000 dias. b) mais que 800 dias c) menos que 750 dias. d) exatamente 1000 dias. Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos componentes? 8) Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350 kg. Supondo que os passageiros tem peso de 70 kg com distribuição normal de peso e desvio padrão 20 kg, e que a bagagem de cada passageiro pese em média 12 kg, com desvio padrão de 5 kg e distribuição normal do peso. Calcular a probabilidade de: a) haver sobrecarga se o piloto não pesar os 4 passageiros e respectiva bagagem. b) que o piloto tenha de tirar pelo menos 50 kg de gasolina para evitar sobrecarga. 9) Suponha que o diâmetro médio de parafusos produzidos por uma fábrica é de 0,25 polegadas, e o desvio padrão 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas. a) Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos. b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos? 10) Abaixo temos a distribuição do número de acidentes por dia, durante 53 dias, em certa rodovia: N de N acidentes dias 0 1 2 3 4 Total a) Determinar a média, mediana e a moda.
de 20 15 10 5 3 53
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b) qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia? 11) Para a distribuição abaixo calcule: Classe Freqüên cia 20 |-3 30 30 |-8 40 40 |-18 50 50 |-22 60 60 |-24 70 Total 75 a) Média b) Mediana
c) Q1 d) Q3
e) P20 f) P90
12) Abaixo resultados de pontuação em um teste de agilidade para cumprir algumas tarefas cotidianas no trabalho. 3 3 3 3 4 4 4 4 3 5 5 9 1 1 2 5 4 4 5 5 5 5 5 5 7 8 0 2 3 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 9 0 0 1 4 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 5 6 6 7 9 1 3 3 7 7 7 7 7 7 8 8 4 4 6 7 7 8 0 1 8 8 8 8 8 9 9 9 4 5 5 8 9 1 4 8 a) Montar uma tabela de frequência completa. b) Qual o melhor gráfico para representar esses dados, faça um esboço. c) Calcular a média e a mediana. d) Calcular Q1, Q3 e P45. 13) Um fabricante de caixas de cartolina fabrica três tipos de caixa. Testa-se a resistência de cada caixa, tomando-se uma amostra de 100 caixas e determinando-se a pressão necessária para romper cada caixa. São os seguintes os resultados dos testes: Tipos de caixas
A
B
C
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Pressão média de ruptura 15 (bária) 0 Desvio-padrão das pressões 40 (bária)
20 pontos
20 0 50
30 0 60
a) que tipo de caixa apresenta a menor variação absoluta na pressão de ruptura? b) que tipo de caixa apresenta a menor variação relativa na pressão de ruptura? 14) Explique qual a utilidade das medidas de posição. Dê três exemplos. 15) Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais medidas você utilizaria para: a) descobrir o salário mais frequente. b) descobrir o salário que divide os pagamentos em partes iguais. c) descobrir a dispersão absoluta em torno da média. d) descobrir o grau de dispersão relativo. 16) Numa distribuição, teremos sempre a mediana e a média entre o primeiro e terceiro quartis? Discuta. 17) Na empresa A, a média de salários é de R$ 10.000,00 e o terceiro quartil é de R$ 5.000,00. Se você se apresentasse como candidato a funcionário nessa empresa e se o seu salário fosse escolhido ao acaso entre todos os possíveis salários, o que seria mais provável: ganhar mais ou menos que R$ 5.000,00? 18) Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de ½. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de ¾; caso contrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual a probabilidade de ele: a) ganhar os dois contratos? b) ganhar apenas um? c) não ganhar nada? 19) Um fabricante afirma que apenas 5% de todas as válvulas que produz têm duração inferior a 20 horas. Uma indústria compra semanalmente um grande lote de válvulas desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em dez válvulas escolhidas ao acaso, no máximo uma tiver duração inferior a 20 horas; caso contrário, o lote todo é rejeitado. a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado? b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de válvulas com duração inferior a 20 horas é de 10%. Qual a probabilidade de um lote ser aceito, segundo o critério acima?
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20) Um sistema é composto de três componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9; 0,8 e 0,7, respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema; se 2 ou 3 não funcionam, o sistema funciona, mas com rendimento inferior. A falha simultânea de 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem independentemente, calcular a confiabilidade do sistema. 21) Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um por 2000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 4000 pés de fita magnética tenha: a) nenhum corte. b) no máximo dois cortes. c) pelo menos dois cortes. 22) O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma variável aleatória com distribuição normal, de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro de um anel diferir da média em mais que 0,03 cm, ele é vendido por R$ 5,00; caso contrário, é vendido por R$ 10,00. Qual o preço médio de venda de cada anel? 23) A Olaria Barro Forte fabrica e comercializa dois produtos principais: telhas e tijolos. A relação da produção do mês de agosto do ano passado pode ser vista na tabela seguinte. Calcule o que se pede: a) em uma amostra composta por oito telhas, calcule a probabilidade de pelo menos duas serem defeituosas. b) em uma amostra composta por sete tijolos, calcule a probabilidade de pelo menos seis serem defeituosos. c) em uma amostra formada por quatro produtos, calcule a probabilidade de existirem dois defeituosos. Produt o Tijolo
Com defeito 6.000
Sem defeito 84.000
Total
90.00 0 Telha 3.000 27.000 30.00 0 Total 9.000 111.000 120.0 00 24) O tempo necessário em uma oficina para o conserto da transmissão de um tipo de automóvel é normalmente distribuído com média igual a 50 minutos e desvio padrão igual a 15 minutos. Um mecânico planeja começar o conserto do carro de um cliente 10 minutos após o carro ter sido deixado na oficina, comunicando ao cliente que o carro estará pronto num tempo total de uma hora. Qual a probabilidade de o mecânico estar enganado? 25) Uma empresa resolveu comparar o número de horas de treinamentos preventivos com o número de acidentes verificados nas suas instalações. Obteve os números apresentados na tabela seguinte. Analise os resultados
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produzidos. Estime o total de acidentes para um funcionário que fez o treinamento por 10 horas. Estatística de regressão R
0,9639
R-quadrado
0,9291
R-quadrado ajustado
0,91729
S
1,53296
Número total de casos
8
ANOVA d.f.
SS
MS
Regressão
1,
184,77525
184,77525
Residual
6,
14,09975
2,34996
Total
7,
198,875
Coeficientes
Erro-padrão
LCL
F 78,62914
p-nível
0,00011
UCL
Estado
p-nível
Intercepto
56,4719
1,38968
52,1046
60,83919
40,63668
0,
Treinamento
-0,47776
0,05388
-0,64709
-0,30844
-8,86731
0,00011
T (2%) 3,14267 LCL - Limite (valor) superior do intervalo de confiança (Limite Superior de Controle, LCL) UCL - Valor inferior do intervalo de confiança (Limite Inferior de Controle, UCL)
26) Uma empresa de construção civil, está interessada em construir um shopping center na em uma área de classe média alta da cidade. Ele foi informado que a renda média familiar na região é de, no mínimo R$ 10.000,00. Para a zona em questão, a distribuição de renda média familiar é aproximadamente normal e o desvio padrão é de R$ 1500,00. Após ter sido realizada uma pesquisa na área, foi constatado que uma amostra de dez famílias apresentou renda média familiar igual a R$ 9.800,00. Pode-se aceitar a alegação inicial? Como testar essa informação? 27) Uma pesquisa sobre uma nova substância adesiva indicou que 350 de 400 produtos testados estavam de acordo com as normas técnicas recomendadas. O fabricante afirmava que no máximo 10% dos produtos poderiam apresentar problemas. Pede-se: a) é possível concordar com o fabricante? b) quais deveriam ser os procedimentos estatísticos empregados? Discuta sobre todos os critérios pertinentes. 28) Uma reta de regressão foi feita utilizando dados sobre o volume de produção (x) e o custo total (y) para um produto qualquer. A reta produzida é do tipo y = 1246,67 + 7,6x.
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a) O programa de produção da empresa mostra que 500 unidades devem ser produzidas no próximo mês. Qual é a estimação do custo total para o próximo mês? b) Se um relatório contábil de custos no fim do próximo mês mostrar que o custo da produção real durante o mês foi de R$ 6000,00, os gerentes devem preocupar-se em se sujeitar a esse elevado custo total durante o mês? Discuta considerando que de fato é um custo elevado de produção. 29) A equação de regressão estimada de um modelo que envolve duas variáveis independentes e dez observações é a seguinte: y = 29,1270 + 0,5906 X1 + 0,4980 X2 a) interprete b1 e b2. b) Estime Y quando X1 = 180 e X2 = 310. 30) Quais os parâmetros devem ser observados para que uma equação com 3 variáveis independentes seja considerada uma boa reta de estimação? 31) Estruture um problema no qual você deseja trabalhar mas que já tenha alguma suposição prévia de resultado. Monte um teste de hipóteses para sua idéia e discuta os possíveis erros que podem ser derivados da sua afirmação. (especialmente uma discussão sobre os erros tipo I e II e suas implicações). 32) A taxa de desemprego é 5,8%. Suponha que 100 pessoas aptas ao trabalho sejam selecionadas aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade de exatamente seis pessoas estarem desempregadas? b) Qual a probabilidade de pelo menos 4 estarem desempregadas? 33) Carros pequenos têm um melhor desempenho quanto ao consumo de combustível por quilômetro, mas não são tão seguros quanto os carros maiores. Os carros pequenos são responsáveis por 18% dos veículos nas estradas, mas os acidentes envolvendo carros pequenos acarretaram 11.898 mortes durante um ano recente. Suponha que a probabilidade de um carro pequeno envolver-se em um acidente seja 0,18. A probabilidade de um acidente envolvendo um carro pequeno e que provoca uma morte é 0,128, e a probabilidade de um acidente não envolvendo um carro pequeno e que acarreta uma morte é 0,05. Suponha que você soube de um acidente envolvendo uma morte. Qual é a probabilidade de um carro pequeno estar envolvido nesse acidente? Suponha que a probabilidade de envolver-se em um acidente independa do tamanho do carro. 34) Os sistemas militares de radar de mísseis são concebidos para um país precaver-se de ataques inimigos. Uma questão de confiabilidade é se um sistema de detecção será capaz de identificar um ataque a disparar um alarme. Considere que determinado sistema de detecção tenha uma probabilidade de 0,90 de detectar um ataque de mísseis. Use uma distribuição de probabilidade binomial para responder às seguintes questões:
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a) Qual é a probabilidade de um único sistema de detecção detectar o ataque? b) Se dois sistemas de detecção estão instalados na mesma área e operam independentemente, qual é a probabilidade de pelo menos um dos sistemas detectar o ataque? c) Se três sistemas estão instalados, qual é a probabilidade de que pelo menos um dos sistemas detectar o ataque? d) Você recomendaria o uso de múltiplos sistemas de detecção? Explique. 35) De 1990 a 1999 houve uma média de aproximadamente 26 acidentes aeronáuticos por ano que acarretaram a morte de um ou mais passageiros. A partir de 2000, a média decresceu para 15 acidentes por ano. Suponha que os acidentes aeronáuticos continuem a ocorrer à taxa de 15 acidentes por ano. a) Calcule a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente durante um mês. b) Calcule a probabilidade de ocorrer exatamente um acidente durante um mês. c) Calcule a probabilidade de ocorrer mais de um acidente durante um mês. 36) Em um teste automobilístico de quilometragem e consumo de gasolina, 13 automóveis foram testados na estrada, em um percurso de 482,80 km, em condições de dirigibilidade tanto na cidade como na rodovia. Os dados apresentados a seguir foram registrados para o desempenho obtido em termos de quilometragem por galão (1 galão = 3,78 litros). Use medidas descritivas para fazer uma afirmação sobre a diferença de desempenho quando se dirige na estrada e na rodovia. Cidad e Rodov ia
26,0 7 30,5 7
26,8 7 32,1 8
25,5 8 28,9 6
23,1 7 29,9 3
21,2 4 30,8 9
24,6 2 27,3 5
27,0 3 27,3 5
25,7 4 28,9 6
25,9 1 30,5 7
24,6 2 33,9 5
24,4 6 31,2 2
24,6 2 28,9 6
37) Qual a diferença e a semelhança em se analisar um conjunto de dados utilizando a correlação e a regressão? 38) Discuta, utilizando dados criados por você, qual a importância da interpretação do desvio padrão. Em que ele interfere na análise de diferentes grupos de dados. 39) Quais são as condições para que um problema envolvendo probabilidade possa ser modelado utilizando uma distribuição binomial? 40) Colete uma sequência de no mínimo 30 dados sobre alguma variável que queria analisar. Monte uma tabela que ache adequada, sugira um gráfico e utilize algumas medidas descritivas (média, desvio, percentis, quartis) para gerar uma melhor análise de seus resultados.
25,7 4 28,9 6