TEORÍA DE ERRORES
FÍSICA
Incertidumbre y error en las las mediciones mediciones experimentales. E rrores aleato eatorios rios y s is temá temátticos Precis Pr ecisión ión y exactit exactitud ud Incertidumbre de los los result res ultad ados os Incertidumbre en en las las g ráficas
Profesora: Janett Sánchez
TEORÍA DE ERRORES MEDICIÓN DE UNA CANTIDAD FÍSICA La medición de una magnitud física, siempre involucra una incertidumbre o error. Ninguna medida es perfecta aunque se haya realizado con la mejor técnica y el instrumento más preciso, siempre tendrá asociado un error debe registrarse en el resultado de la medida..
EL ERROR ES EL COMPAÑERO DE VIAJE DEL INVESTIGADOR CIENTÍFICO.
I. LECTURA DE UN INSTRUMENTO
A) A ) Aprec A preciac iación ión de un ins trumento : La menor división de la escala de un instrumento. Estimación de una lectura: El menor intervalo que el investigador puede estimar con la escala del instrumento del cual dispone. Esta estimación depende del investigador, de su experiencia, atención y de las condiciones de la medida.
B ) E xpresión xpres ión de una una lect lectura ura: Toda medida debe expresarse indicando -
-
Su valor numérico Su unidad Su incertidumbre incertidumbre El valor numérico ha de redondearse en función de la incertidumbre incertidumb re de modo que solo se escriban las cifras que son significativas. El valor de la incertidumbre, incertidumbre , cuando es calculado, ha de redondearse siempre por exceso en los resultados finales (no así en los cálculos intermedios) para que solo queden sus cifras significativas. Si no se conoce con exactitud el número de cifras significativas de esta incertidumbre, se redondeará por exceso para que resulte una cifra significativa. significativa. El número de cifras significativas significat ivas para el error es de solo UNA CIFRA.
Luego:
̅ ±∆ 2,523±0,005 unidad
Ejemplo:
II. ERROR ABSOLUTO, RELATIVO Y PORCENTUAL. DISCREPANCIA
A ) Incer In certidumbr tidumbree o error err or absoluto abs oluto (I.A (I. A ) : Se presenta cuando el margen de error se reporta en las mismas unidades que el valor medido.
.∆ B) Incertidumbre relativa relativa o error relativo relativo (I.R (I .R ) : Es una cantidad adimensional porque el error y la dimensión poseen las mismas dimensiones. Se calcula con la siguiente fórmula:
. ∆̅
Veamos un ejemplo: Supongamos que Juan mide una mesa y reporta el siguiente resultado: L1 = 100 ± 1 cm Ahora, le pedimos a Pedro que mida la longitud de la fachada de una casa y la reporta: L2 = 500 ± 1 cm A primera vista, vista, pareciera pareciera que ambas ambas mediciones mediciones tienen tienen el mismo error, pero pero no es lo mismo tener 1 cm de error cuando tienes una cantidad pequeña que cuando mides una cantidad grande. La incertidumbre absoluta no puede indicar cómo es indic ar cómo el error respecto de lo que se mide, pero la incertidumbre inc ertidumbre relativa relativa sí s í . Si calculamos la I.R de la medición de Pedro y Juan nos daremos cuenta que la medida que hizo Pedro es más precisa que la de Juan.
C ) Incertidumbre o error porcentua porcentuall (I.P ): Expresa el margen de error en porcentaje. Se calcula así:
.∆ ̅ 100% D) Discrepancia: Cuando se compara una medición (resultado) con otra que se considera más confiable, a su diferencia se le llama discrepancia experimental. Esta se puede expresar en valor absoluto, relativo o porcentual. Se acostumbra expresar el porcentaje al dividir la discrepancia entre la cantidad más confiable.
| | % | .100%
III. TIPOS DE ERRORES EN UNA MEDIDA A. S is temáticos : Que se manifiesta en el hecho de que medidas realizadas en condiciones prácticamente idénticas presentan desviaciones constantes o previsibles respecto del valor convencionalmente verdadero del mesurado. Se repiten constantemente a lo largo del experimento, siendo su influencia de una única forma ya sea por exceso o bien por defecto. Las fuentes más comunes de error son:
a) b) c) d) e)
Por calibración del instrumento (error de puesta a cero) Por condiciones experimentales inadecuadas Por técnicas imperfectas de medición Por el uso de fórmulas incorrectas Por error de paralelaje
B. Aleatorios: Son los que se producen por factores imposibles de predecir o controlar, como por ejemplo apreciación al hacer la lectura, condiciones de fluctuaciones del sistema en estudio, causas fortuitas o variables en general. Este tipo de error puede disminuirse realizando muchas veces la medición en condiciones similares y aplicando técnicas estadísticas a los propios resultados obtenidos. Pueden ser causados por: -
Pequeñas variaciones ambientales, por ejemplo, las corrientes de aire y las variaciones de temperatura. Descuidos momentáneos del observador, por ejemplo el error de paralelaje humano, no obteniendo suficientes datos experimentales y usando instrumentos menos sensibles.
III. PRECISIÓN Y EXACTITUD DE UNA MEDIDA A. Exactitud .- Está asociada con la apreciación de los instrumentos de medición y con los errores sistemáticos. Cuanto más aprecia el instrumento, más exactas son las mediciones y cuanto mayores son los errores sistemáticos menor es la exactitud . La exactitud está vinculada al promedio: mientras el promedio esté más cerca al valor verdadero, la medida es más exacta.
B. Precisión.- Se refiere a la cercanía de los valores medidos entre sí, independientemente de los errores sistemáticos. Está relacionada con los errores casuales o aleatorios. Cuanto menos son los errores aleatorios, mayor es la precisión. La medición es más precisa cuanto menor es la dispersión entre los valores propios. La precisión está ligada a la desviación estándar.
IV. MEDIDAS DIRECTAS
A. PAR A UNA ME DI DA : La I.A de la medición es igual a la mitad de la escala más pequeña del instrumento que se utiliza para medir si éste es analógico, y si es digital se considera la escala más pequeña (mínima escala).
Si es analógico:
. í2
Si es digital:
.í
B. PARA VARIAS MEDIDAS: MÉ TODOS A C ONS ID E R AR a) ER ROR DE S EMIDISPER SIÓN MÁXIMA : Es la estimación más burda de la dispersión y se suele utilizar cuando el número de medidas es pequeño (n ≤ 6). Tiene el defecto de que ignora la mayor parte de los datos y en particular los más próximos al centro de la distribución, y su valor aumenta con el número de medidas. No se hace un tratamiento estadístico sino que se usa el promedio y el error absoluto (I.A) se determina como:
∆ á 2 í
b) DES VIACIÓN STANDARD DE LA MEDIA : Para un número grande de datos (n
Donde:
6)
̅ ∑ = 1 ̅ ú 1 ℎ "" =
Por lo tanto, lo que se hace es: 1. 2. 3. 4. 5.
Calcular el promedio de las mediciones Calcular las desviaciones de cada dato Calcular el cuadrado de las desviaciones de cada dato respecto del promedio. Se suman todas las desviaciones al cuadrado. Se divide entre el número de mediciones menos uno y se multiplica por el número de mediciones y finalmente se obtiene la raíz cuadrada de este resultado. 6. Se realiza una tabla como muestra el ejemplo para organizar todos los datos.
VI. MEDIDAS INDIRECTAS
PROPAG ACIÓN DE LA INCER TIDUMBR E: Dos reglas son básicas cuando se trata de determinar las incertidumbres en mediciones indirectas, esta son: 1. "El error absoluto de la suma (o diferencia) es igual a la suma de los errores absolutos de los sumandos" 2. "El error relativo de la magnitud M es igual a la suma de los errores relativos de cada uno de los términos de la expresión multiplicados por los exponentes". Esta regla será útil para el caso en que las magnitudes implicadas en la expresión aparezcan como factores, cocientes, potencias y raíces, pues éste último caso se reduce al de potencias de exponentes fraccionarios.
Si en la expresión intervienen coeficientes, éstos serán números puros y, por consiguiente, no afectados. En el caso de que aparezcan números irracionales tales como π o el número e, o bien logaritmos y funciones trigonométricas, su error absoluto es igual a la unidad del orden de la última cifra conservada y se procura tomar tantas cifras como sean necesarias a fin de conseguir que su error relativo sea unas 10 veces menor que el más pequeño de los errores relativos de las magnitudes medidas. Así cuando tomamos para pi el valor 3.14 cometemos un error relativo de 0.01/3.14= 0.3 %, mientras que si tomamos 3.141, su error vale 0.001/3.141 = 0.03 %, y así sucesivamente.
VI. GRÁFICAS A. GRÁFICAS MÁS COMUNES:
B. LINEALIZANDO GRÁFICAS:
C. IMPORTANCIA
DE
LA
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
DE
DATOS
EXPERIMENTALES. La presentación y análisis de los resultados experimentales debe considerarse como parte integral de los experimentos. Es realmente útil que los datos obtenidos se presenten en un gráfico, donde quede resumida la información para su apreciación y análisis. En la mayoría de los casos un gráfico es más útil que una tabla de valores, especialmente en los casos en que:
Los experimentos se llevan a cabo midiendo una variable Y en función de otra X que se varía independientemente y se quiere interpretar la relación funcional entre ellas. Por ejemplo: medición del período de un péndulo en función de su longitud; medición de la caída de potencial en un alambre en función de la corriente aplicada; etc.
Interesa estudiar si dos variables mantienen una correlación (causal o no) y cómo es esta vinculación o grado de interdependencia. Por ejemplo: estu dio de la relación entre el peso y la altura de personas; relación entre la velocidad máxima que alcanza un velero y su extensión desde proa a popa; etc.
Se trata, en primera instancia, de que la información que se quiere representar quede expuesta de una manera lo suficientemente clara y explícita como para que la representación gráfica “ hable por s í s ola”. Lo importante es que un gráfico debe servir para un posterior tratamiento de los datos, que lleve a inferir las leyes subyacentes en ellos y ahondar así en las posibles implicaciones y generalizaciones de los resultados obtenidos en los experimentos.
Pasos para la cons trucción de una g ráfica lineal en un papel milimetrado . La representación gráfica de los fenómenos físicos que estudiemos debe ajustarse a las siguientes normas de uso general que clarifican y estandarizan los resultados. Se pueden enumerar como sigue: 1. La gráfica se hará en papel milimetrado con los ejes vertical y horizontal bien trazados en donde se indique la cantidad física representada y la unidad en que ha sido medida. El título de la gráfica será claro y vendrá indicado en la parte superior. 2. La variable independiente del fenómeno debe ir representada en el eje horizontal (eje de las abscisas) y la variable dependiente en el eje vertical (eje de las ordenadas). 3. En los ejes horizontal y vertical deben abarcar, en lo mayor posible, todas las mediciones realizadas, para así permitir una lectura rápida y sencilla.
4. Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divisiones de la
escala de forma que queden uniformemente espaciadas (ejes unitario, eje de 2 en 2, eje de 10 en 10, etc..). En general, no se señalan los valores correspondientes a las medidas realizadas. 5. Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado,
por un punto,
correspondiente a sus dos coordenadas y rodeado por el denominado rectángulo de incertidumbre. Este tiene por base la longitud comprendida entre x por altura se extiende desde y -
y
hasta y +
y
x
y x+
x
y
, siendo x e y las coordenadas del
punto experimental. En el caso de que x o y sean despreciables en comparación con la escala utilizada el rectángulo de incertidumbre queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, según sea el caso.
6. Dibuje la línea recta de mejor ajuste para los datos. 7. Una vez dibujada la mejor línea recta se procede a determinar lo s valores de la pendiente “m” y la intersección con el eje vertical “b”. En el caso de la pendiente, m, se toman dos puntos alejados de la recta dibujada
que no tienen que corresponder
a puntos
experimentales y cuyas coordenadas (x 1,y1) y (x2,y2) se miden cuidadosamente. Luego se
calcula la pendiente mediante la expresión:
Una vez determinada la pendiente por simple inspección gráfica nos permite determinar el punto de intersección con el eje vertical. 10. Finalmente, se dibujan las líneas de máxima y mínima gradiente o pendiente y se
á ±∆≈± 2 ± 2 í
calculan los errores asociados. La pendiente y su incertidumbre se registran así:
Gráfico terminado:
RESUMEN DE REGLAS BÁSICAS
Incertidumbre bruta o absoluta. x
Incertidumbre relativa
∆ ̅
Incertidumbre porcentual
±∆ 100%
Para varias medidas : Para un número de medidas repetidas, encontramos el promedio. La incertidumbre en el promedio es más menos la mitad de la resta del rango entre el valor máximo y el valor mínimo.
̅ + ∆̅ ++⋯ ± 2
±∆+ ±∆∆ + ±∆+∆ ±∆ ±∆∆ ±∆+∆
±∆±∆ ±[∆ 100%+∆ 100%] ±∆ ±∆ ±[∆ 100%+∆ 100%]
é
±∆ ±∆ 100% ±∆%
é í ±∆, √ ± 1 ∆ 100% √ ± ∆ %
Seno de un ángulo afectado de error:
±∆±∆ ± ∆|| ∆ ∆|| ±∆±∆ ± ∆|| ∆ ∆|| ±∆±∆ ± ∆1 ± ∆ ∆
Coseno de un ángulo afectado de error:
Tangente de un ángulo afectado de error:
Donde Ɵ debe venir dado en radianes.
G radiente en los g ráficos El gradiente de la mejor línea recta de un gráfico = m Best y los gradientes máximos y mínimos basados en el rango de incertidumbre del primero y el último de los puntos son m
Max y
mMin.
± ∆ ± 2í Indicando las incertidumbres Las incertidumbres experimentales deberían redondearse a una cifra significativa. El dígito menos significativo en una respuesta debería ser del mismo orden de magnitud (en la misma posición decimal) que el único dígito del valor de la incertidumbre.
g+∆g 9,81734±0,0217ms− →∴g±∆g 9,82±0,02ms−
APLIQUEMOS LO APRENDIDO
1. ¿Cuál es, aproximadamente, la incertidumbre porcentual para la medición dada como 1,57 m2?
2. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual en la medición 3,76 ± 0.25 m? 3. Los intervalos de tiempo medidos con un cronómetro generalmente tienen una incertidumbre de aproximadamente 2s, a causa del tiempo de reacción del humano en los momentos de arrancar y detener. ¿Cuál es la incertidumbre porcentual de una medición tomada a mano de a) 5 s, b) 50 s, c) 5 min?
4. Los satélites de posicionamiento global (GPS) se usan para determinar posiciones con gran exactitud. El sistema funciona mediante la determinación de la distancia entre el observador y cada uno de los diversos satélites está a una distancia de 20 000 km de usted, ¿qué exactitud porcentual se requiere en la distancia si se desea una incertidumbre de dos metros?¿qué exactitud porcentual se requiere en la distancia si se desea una incertidumbre de dos metros?¿Cuántas cifras significativas es necesario tener en la distancia? 5. Se ha reportado un volumen de 100 ± 5 ml a) ¿Qué significa este resultado? b) ¿Cuánto vale la incertidumbre porcentual de la medición? c) ¿Cuánto vale la incertidumbre relativa de la medición? d) Si se ha establecido como criterio no aceptar resultados de medición con más del 10 % de error, este resultado ¿puede o no aceptarse? ¿Por qué?
6.
Un resistor (o resistencia) está marcado de la siguiente manera: 10 ± 10 %. ¿Dentro de qué intervalo es probable que se encuentre el valor exacto de la resistencia?
7. Si comparas un resistor marcado con 10
±
10 % con otro 100
±
10 %, ¿en cuál de
ellos se tiene una incertidumbre absoluta mayor? 8. En un experimento se ha establecido como norma que las mediciones no rebasen el 5% de error. Al medir un tiempo, se leyó 100 s. ¿Cuál será la incertidumbre absoluta máxima que debe tenerse para respetar la norma impuesta?
9. Se midió el volumen de un líquido en un matraz graduado. La división más pequeña del matraz es 1 mililitro. Se tomó sólo una lectura con el siguiente resultado: 15,0 mL ¿Cómo reportaría el resultado incluyendo su incertidumbre?
10. Se midió varias veces el tiempo que tarda en caer un objeto. Los resultados fueron: 0,2341 s, 0,24000 s, 0,2288 s, 0,2270 s y 0,2395 s. ¿Cómo reportarías el resultado incluyendo la incertidumbre?
11. En un experimento se utilizó un flexómetro graduado en milímetros para medir la longitud de un objeto. Los resultados de cinco medidas consecutivas fueron: 30,5 mm, 30,5 mm, 30,5 mm, 30,5 mm, 30,5 mm. (a) ¿Concluiríamos que esta medición no tiene error? ¿Por qué? (b) En caso negativo, ¿cómo calcularías su incertidumbre? (c) ¿Cómo interpretarías los resultados obtenidos?
12. Se midieron una sola vez los volúmenes de tres líquidos y se reportaron los siguientes resultados:
10,0 ±0,5 , 35,0 ±, 15,0 ±0,5
Si los líquidos se añadieron para formar un nuevo volumen, ¿cómo reportarías el resultado incluyendo su incertidumbre?
13. Calcule las incertidumbres relativas en las siguientes medidas: A. 2.70 ± 0.05 cm
B. 12.02 ± 0.08 cm
14. Calcula las incertidumbres absolutas en las siguientes medidas: A. 3.5 cm ± 10 %
B. 16 s ± 8 %
15. Describe la diferencia entre errores sistemáticos y aleatorios.
16. Describe un ejemplo de un error sistemático y un error aleatorio. 17. Describe como podría determinar si los errores sistemáticos están presentes en una medida. 18. Describe la diferencia entre precisión y exactitud. 19. Describe una situación donde una medida tiene: a) Buena precisión y poca exactitud b) Pobre precisión y buena exactitud
20. Explica cómo pueden reducirse los errores aleatorios.
21. Las medidas repetidas del tiempo que tarda en caer una pelota al piso, usando un cronómetro desde 1,00 m son como sigue: 0, 45s A. Exprese el tiempo en el formato B. ¿Cuál es el error absoluto?
0, 46 s
̅ + ∆
0, 44 s
C. ¿Cuál es el error relativo? D. ¿Cuál es el error porcentual? 22. Determinar cuál de las siguientes medidas es la más precisa. A= 3,27 ± 0,03 mm B= 410 ± 3 km 23. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué tipo de incertidumbre afecta la exactitud de los resultados? b) ¿Qué tipo de incertidumbre afecta la precisión de los resultados? c) ¿Qué tipo de incertidumbre puede eliminarse de un experimento? d) ¿Qué tipo de incertidumbre puede reducirse en un experimento, pero nunca eliminarse? e) Indica un método general para reducir la incertidumbre aleatoria. f)
Las medidas repetidas pueden hacer que tu respuesta sea más ……………….pero no más ………………………
g) Un experimento exacto tiene menor error …………………………… h) Un experimento preciso tiene menos error ………………………….
24. Cada blanco en la figura muestra dónde se clavó una serie de dardos. Asocie la letra que corresponde a cada blanco con las descripciones que siguen:
a) Exacto y preciso b) Exacto y no preciso c) Preciso y no exacto d) Ni preciso ni exacto
25. En la figura se observa un instrumento de medida y un objeto cuya longitud se desea medir. Según su observación:
L
0 cm
1
2
3
4
5
a) ¿Cuál es la sensibilidad de la regla utilizada? b) ¿Cuál es la incertidumbre de las medidas realizadas con esta regla? c)
¿Cuál es la longitud L del objeto? Debe especificar en su medida la incertidumbre absoluta.
d) ¿Entre qué valores está comprendida la medida? e) ¿Cuál es la medida con su respectiva incertidumbre fraccionaria? f)
¿Cuál es la medida con su respectiva incertidumbre en porcentaje?
26. Una probeta contiene cierta cantidad de agua. Determine:
5
4
a) Sensibilidad del instrumento. b) El volumen de líquido en la probeta, especificando la 3
incertidumbre absoluta de la medida. c)
¿Entre qué valores está comprendida la medida? 2
d) ¿Cuál es la medida con su respectiva incertidumbre fraccionaria? 1
e) ¿Cuál es la medida con su respectiva incertidumbre en mL
porcentaje?
27. Se mide la longitud de un tronco usando la parte de una regla métrica, que está graduada en milímetros como se muestra abajo:
¿Cuál de las siguientes alternativas es la medida de la longitud del tronco con su incertidumbre?
A. 5 ± 0.1 cm
28.
B. 5 ± 0.2 cm
C. 5.0 ± 0.1 cm
Un amperímetro tiene un error de puesta a cero. Esta falla afectará:
D. 5.0 ±0.2 cm
A. Ni la precisión ni la exactitud de las lecturas B. Solamente la precisión de las lecturas C. Solamente la exactitud de las lecturas D. La precisión y la exactitud de las lecturas
29. Se realiza cuatro veces la lectura de la diferencia de potencial constante por un estudiante. Las lecturas son: 1.176 V
1.178 V
1.177 V
1.176 V.
El estudiante promedia estas lecturas pero no tiene en cuenta, el error de puesta a cero de este voltímetro. La medida promedio de la diferencia de potencial es: a) Precisa y exacta b) Precisa pero no exacta c) Exacta pero no precisa d) Ni exacta ni precisa e) El siguiente diagrama muestra la posición del menisco del mercurio en un termómetro de mercurio en cristal.
¿Cuál de los siguientes valores expresa mejor la temperatura indicada, con su incertidumbre?
A. (6,0 ± 0,5) B. (6,1 ± 0,1) C. (6,2 ± 0,2) D. (6,2 ± 0,5)
PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE 30. Calcula lo siguiente determinando la incertidumbre apropiada. a) (2,70 ± 0,05 cm) + (12,02 ± 0,08 cm) b) (2,70 ± 0,05 cm) − (12,02 ± 0,08 cm) c) (2,70 ± 0,05 cm) + (3,5 cm ± 10 %) d)
2,70 ± 0,05 cm) × (12,02 ± 0,08 cm)
e)
(12,02 ± 0,08 cm) ÷ (16 s ± 8 %)
f)
(3,5 cm ± 10 %) × (2,70 ± 0,05 cm) ÷ (16 s ± 8 %)
g)
2 × (2,70 ± 0,05 cm)
h)
2 × (16 s ± 8 %)
i)
(12,02 ± 0,08 cm)
j)
(12,02 ± 0,08 cm) ÷ (3,5 cm ± 10 %)
k)
(12,02 ± 0,08 cm) + (3,5 cm ± 10 %) × (2,70 ± 0,05 cm)
l)
[(3,5 cm ± 10%) + (2,70 ± 0,05 cm)] / (16 s ± 8%)
m)
4π /(0,034 ± 0,004 s /cm)
2
2
2
2
2
31. Calcula lo siguiente y expresa la respuesta en la forma
̅ ± ∆
a) (32,1 ± 0,3) + ( 28,1 ±0,6) b) (45,9 ± 0,2) – (45,1 ± 0,8) c) (23,9 ± 1,2) x (5,1 ± 0,3) d) (1,6 ± 0,3) ÷ (1,1 ± 0,2) e) (7,6 ± 0,2) 2 f)
sen (30 ± 2) º
g) sen (22 + 2)º
32. Se midió una sola vez la masa de un polvo con el resultado de:
105,2 ±0,5
En seguida, parte del polvo se añadió a un líquido para resolverlo. Se midió una vez el polvo restante y se encontró que:
¿Cuánto polvo se disolvió? (
25,3 ±0,5
33. Un líquido tiene un volumen V 1 que se determinó por haberlo medido muchas veces. Luego se extrajo un volumen V 2 y se midió varias veces. Si se reportaron los siguientes resultados,
90,0 ±0,4 25,5 ±0,2
, ¿Cómo reportarías el valor del
volumen que quedó? (V 3) incluyendo su incertidumbre? Considera que V 3 = V1 – V2
34. Dadas las siguientes magnitudes:
12,5 ±0,2
7,3 ±0,1
3,4 ± 0,1
Hallar x = a - b + c 35. ¿Cuál es el área, y su incertidumbre aproximada, de un círculo de 3,8 x 10 4 cm de radio?
36. ¿Cuál es, aproximadamente, la incertidumbre porcentual en el volumen de un balón de playa esférico cuyo radio es r= 2,86 ± 0,009 m? 37. Determine la incertidumbre porcentual en y sen cuando: a)
= 15,0 º ± 0,5º,
b) = 75,0 ± 0,5 º.
38. A fin de determinar la densidad de un cierto tipo de comida, se realizaron las siguientes medidas sobre un cubo de esa comida. Masa = 493 g Longitud de cada lado = 9,3 cm La incertidumbre porcentual en la medida de la masa es ± 0,5 % y la incertidumbre porcentual en la medición de la longitud es ± 1 %. La mejor estimación para la incertidumbre en la densidad es: A) ± 0,5 %
B) ± 1,5 %
c) ± 3 %
D) 3,5 %
39. Una piedra es lanzada a un pozo y toca el agua en 2,0 s después de su lanzamiento. Usando la ecuación
y considerando g = 9,81 ms -2, una calculadora registra
un valor de la profundidad del pozo como 16,92 m. Si se mide el tiempo como ± 0,1 s, entonces la mejor estimación del error absoluto en d es: A) ± 0,1 m
B) ± 0,2 m
c) ± 1,0 m
D) 2,0 m
40. Se midió una vez la base b y la altura h de un triángulo. Se obtuvieron los siguientes resultados: b = 10,8 ± 0,5 cm, h = 2,20 ± 0,05 cm. ¿Cómo reportarías el valor del área del área del triángulo incluyendo la incertidumbre?
41. Se midieron una sola vez el volumen y la masa de un cuerpo. Se reportaron los siguientes resultados: masa = 40, 0 ± 0,5 g, volumen = 100, 0 ± 0,5 ml. Con esto se calculó la densidad, de acuerdo con la siguiente expresión:
¿Cómo reportarías el resultado incluyendo la incertidumbre?
42. Un
rectángulo
tiene
lados
que
miden
15,5 ±0,2 6,2 ±0,3
Suponiendo que cada lado se midió varias veces, ¿cómo reportarías el área del rectángulo incluyendo su incertidumbre?
.
43. Un cuadrado tiene lados que miden 2,5 ± 0,1 cm, los cuales fueron medidos varias veces. Calcula su área. 44. Se midió una sola vez el radio de un círculo y resultó ser reportarías el valor del área?
2,400±0,005
¿cómo
45. Determina el perímetro y el área de un rectángulo de longitud 9,2 ± 0,05 cm y ancho 4,33 ± 0,01 cm. 46. Un móvil recorre 2,38 ± 0,01 m en un tiempo de 4,27 ± 0,01 s. ¿Cuál es su rapidez media?
47. Diez objetos idénticos tienen una masa m= 730 ± 5 g, ¿Cuál es la masa de cada uno de los objetos? 48. El volumen de un cubo viene dado por V= A 3, si a= 185,0 ±0,5 mm, calcular el volumen del cubo y del error porcentual. 49. Se mide la sección S de una barra rectangular de lados a y b con un calibre que aprecia 0,1 mm y se obtienen las siguientes medidas: a = 32,4 ±0,1 mm b= 12,2 ± 0,1 mm Si el calibre no tiene error de cero, calcular S y el error porcentual.
√ , 546±2 , (64 +1)
50. Dado a= 160 ± 6 cm, calcular
51. Dada
52. Calcular 53.
º
Cuando se aplica un voltaje V of 12.2 V a un motor de corriente continua, la corriente I en el motor es 0.20 A. ¿Cuál de las siguientes es la potencia de salida VI del motor dando el número apropiado de cifras significativas? A.
2W
B.
2.4
C.
2.40 W
D.
2.44 W
54.
Natalia mide la masa y velocidad de un planeador. La incertidumbre porcentual en la medida de la masa es de ± 3% y en la medición de la velocidad es del ± 10%. El valor calculado de la energía cinética ( m V 2/2) del planeador, tendrá una incertidumbre de:
A. ± 30%
55.
B. ± 23%
C. ± 13%
D. ± 10%
Un estudiante mide la corriente (I) en un resistor de 677 mA para una diferencia de potencial (V) de 3,6 V. Una calculadora muestra la resistencia del resistor como 5.3175775
¿Cuál
de las siguientes respuestas, da la resistencia con un número
apropiado de cifras significativas? ( sugerencia R = V/I ) A. 5.3 B. 5.32
C. 5.318
D. 5.31765775
56. Un estudiante mide una distancia muchas veces. Las lecturas caen entre 49.8 cm y 50.2 cm. Estas medidas deben estar mejor registradas como:
57.
A.
49.8 ± 0.2 cm.
B.
49.8 ± 0.4 cm.
C.
50.0 ± 0.2 cm.
D.
50.0 ± 0.4 cm.
La potencia disipada en una resistencia R por la que circula una corriente I es igual a I2R. el valor de I tiene una incertidumbre de ±2 % y el valor de R tiene una incertidumbre de ±10%. El valor de la incertidumbre en el cálculo de la potencia disipada es: A. ± 8%
58.
B. ± 12%
C. ± 14%
D. ± 20%
Cuando una fuerza F de (10,0 ± 0,2) N se aplica a una masa m de (2,0 ± 0,1) kg, la incertidumbre, en el porcentaje, asociada al valor de la aceleración calculada ( F/m) es: A. 2 %.
B. 5 %.
C. 7 %.
D. 10 %.
59. Un estudiante mide las dos longitudes siguientes: T = 10,0 ± 0,1 cm
S = 20,0 ± 0,1 cm.
El estudiante calcula: F T , incertidumbre relativa en T F S, incertidumbre relativa en S F T-S, incertidumbre relativa en ( T – S) F T+S, incertidumbre relativa en ( T + S). ¿Cuál de esas incertidumbres es la mayor ?
A. F T B. F S C. F T-S D. F T+S
60. El volumen V de un cilindro de altura h y radio r está dado por la siguiente expresión: V = πr 2h. En un experimento particular, r se determina a partir de las medidas de V y h. las incertidumbres en V y en h son las que se muestran abajo.
V
±7%
h
±%
La incertidumbre aproximada en r es: A.
10 %.
B.
5 %.
C.
4 %.
D.
2 %.
61. Se mide el radio de un círculo (10.0 ±0.5) cm. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la mejor incertidumbre estimada del área? A. 0.25 % B. 5% C. 10 % D.25 %
62. Se miden la longitud de los lados de una placa rectangular, y el diagrama muestra los valores medidos con sus incertidumbres.
¿Cuál de las siguientes alternativas es la mejor estimación de la incertidumbre porcentual en el cálculo del área de la placa?
A. ±2 % B. ±4 % C. ±6 % D. ±8 %
63.
Se mide la fuerza resultante (F) que actúa sobre un objeto con una exactitud de ±4 %. Se mide la masa del objeto (m) con una exactitud de ±2 %. La aceleración del objeto puede calcularse aproximadamente con una exactitud del: ( a= F/m)
A. ± 2% B. ± 4% C. ± 6% D. ± 8%
GRÁFICAS EN LAS MEDICIONES FÍSICAS 64. La ecuación siguiente representa la variación de la resistencia R, con la temperatura Ɵ.
° +
RO y son constantes. Se trazó el gráfico siguiente:
Escribe una ecuación para la recta con valores numéricos para R O y .
65. La ecuación entre dos variables W y F se muestran abajo:
+
R, a y b son constantes. ¿Qué valores podrías considerar a lo largo de X y Y para obtener una línea recta?
66. La siguiente relación entre dos cantidades variables v y x están dadas por la ecuación:
5,0+
b es una constante. ¿Qué valores podrías considerar a lo largo de X y Y para obtener una línea recta?
67. Se midieron 6 muestras de benceno que fueron pesadas separadamente resultando lo siguiente: Masa (g)
Volumen (cm3)
±0,1 g
±0,1 (cm3)
9,0
10,0
18,2
20,0
26,8
30,0
35,5
40,0
45,4
50,0
53,7
60,0
a) Traza un gráfico de la masa m en gramos en función del volumen en cm 3.
b) ¿Qué tipo de proporción existe entre m y V? ¿Qué evidencia tienes para concluir esto? c) Exprese la masa m como una función de V.
68. La figura siguiente muestra cómo el voltaje V a través de una pieza particular de alambre de micrón varía con la corriente eléctrica I a través del alambre.
(a) Es V directamente proporcional a I? (b) Expresa V en términos de I
69. En una experimento que investiga cómo afecta la temperatura celcius Ɵ el volumen V de una muestra encerrada de aire a una presión constante, un estudiante grafica los resultados que aparecen como se muestra en la figura siguiente:
(a) ¿Puede decir que V es directamente proporcional a Ɵ? (b) ¿Es V directamente proporcional a
Ɵ?
(c) Del gráfico exprese V en términos de Ɵ.
70. Las temperaturas de las siguientes ciudades están dadas por:
(a) Trace un gráfico de ºF vs ºC. (b) Usando el gráfico, obtenga una relación general entre las escalas Celcius y Farenheit.
71. Los datos siguientes representan la fuerza en función de la extensión de un resorte.
(a) Trace un gráfico de F en función de X (b) Determine la constante de fuerza (la pendiente). Incluya unidades y valores de incertidumbre.
72. Se dibuja un círculo de radio r y se determina el área. Los siguientes datos muestran los resultados:
(a) Trace un gráfico del área en función del radio (b) Determine el valor de pi con sus valores de incertidumbre.
73. Se construye un circuito para investigar la relación entre la corriente I a través de un resistor y la resistencia r. Los resultados son los siguientes:
(a) Trace un gráfico de R en función de 1/t. (b) Determine la pendiente. Incluya unidades y los valores de la incertidumbre
74. El gráfico muestra el resultado de trazar la longitud de un resorte en función de la fuerza aplicada en su extremo. Determina valores para el gradiente y el intercepto vertical que sean consistentes con los datos. Exprese ambas respuestas en la forma: x +
x.
75. Un carrito de juguete eléctrico viaja a lo largo de una línea recta y se toman medidas del tiempo y su posición. La incertidumbre en el tiempo ∆ t es ±0.005s y la incertidumbre en la distancia es ∆s ±0.1m. Se registran los siguientes datos:
(a) Grafique la distancia con respecto al tiempo en el papel milimetrado de la siguiente página. Represente los puntos de datos como pequeños círculos con una marca en el centro de cada círculo.
(b) Ignorando el origen, construir la gráfica de la mejor línea recta para estos datos. Extender la línea para que ocupe la región íntegra del papel. (c) Determine que incertidumbre (tiempo o distancia) es la más significativa, construye la incertidumbre o las barras de error usando esta incertidumbre en tus gráficos para todos los puntos de datos. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….. (d) Determine el gradiente (pendiente) de la mejor línea recta. ¿Qué representa el gradiente? Comente el movimiento del carrito de juguete. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..
(e) Construya los gradientes máximos y mínimos para el gráfico y calcule estos valores. Exprese el valor del mejor gradiente con su incertidumbre absoluta usando el rango de gradiente mínimo y máximo. Poner atención en las cifras significativas. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………..
76. Esta pregunta trata de la medición de la permitividad del espacio vacío ε
0
El diagrama siguiente muestra dos placas conductoras paralelas conectadas a una fuente de voltaje variable. Las placas tienen áreas iguales y están separadas una distancia d.
La carga Q en una de las placas se mide para distintos valores de la diferencia de potencial V aplicada entre las placas. Los valores obtenidos se muestran en la tabla inferior. La incertidumbre en el valor de V no es significativa, pero la incertidumbre en Q es ±10 %.
(a) Represente los datos de la página anterior en una gráfica de V (eje x) frente a Q
(eje
y).
(c) Mediante el cálculo de la incertidumbre apropiada en Q, añada barras de error a los puntos (10,0, 30) y (50,0, 180).
(d) (i) En el gráfico anterior, trace la línea que mejor se ajuste a los puntos y que tenga el máximo gradiente permitido. Determine el gradiente de la línea trazada. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………
(ii) El gradiente del gráfico es una propiedad de las dos placas que se conoce como capacitancia. Deduzca las unidades de capacitancia. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………
(iii) La relación entre Q y V para este caso viene dada por la expresión
en donde A es el área de una de las placas. En este experimento concreto, A=0,20±0,05m 2 y d=0,50±0,01mm.
77. Utilice su respuesta en (c) para determinar el valor máximo de ε0 que se deriva de este experimento. ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………
78. Paola desea determinar la relación entre el tiempo y la distancia cuando manejó su bicicleta. Ella supone que la relación fue lineal. Como ella condujo, su amigo midió la distancia total que Paola viajó cada segundo.
a) Grafique los datos sobre el papel milimetrado. Asegúrese de incluir todas las etiquetas y las barras de error así como la línea de mejor ajuste.
b) Calcule la pendiente de la mejor línea de ajuste.
c) Escriba la relación experimental para sus datos.
d) Use el modelo matemático distancia = velocidad x tiempo (d = v.t) para elaborar una conclusión sobre el significado de la pendiente comparándolo con el modelo matemático para su relación experimental.
e) Dibuje una línea de máxima pendiente y una línea de mínima pendiente a través de sus barras de error. Luego, indique las pendientes de las líneas máximas y mínimas.
f)
Indique el valor de la mejor línea de ajuste con su incertidumbre. Muestre cómo obtuvo la incertidumbre.
VII. REFERENCIAS
