Libro Quiriguá Matemática 2º Sem

7

Matemática

1º básico - Grupo Quiriguá Segundo semestre - IGER

Matemática 7 Segundo semestre

© Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, iger. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico: [email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2014 Impreso en IGER talleres gráficos

Código: 1110704202 ISBN 9789929804616

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Índice Índice................................................................................................................................................ I

Semana 18 El conjunto Q de los números racionales

........................ 1

¡Para comenzar! Leonardo Fibonacci .................................................................................. 3 El mundo de la matemática 1. El conjunto Q de los números racionales .................................................................... 4 1.1 Las fracciones .................................................................................................................. 4 a. Partes de una fracción ............................................................................................ 5 1.2 Lectura y escritura de fracciones ............................................................................. 6 1.3 Representación gráfica de fracciones .................................................................... 7 a. Por medio de figuras geométricas...................................................................... 7 b. Fracciones sobre la recta numérica ................................................................... 8 Resumen ......................................................................................................................................... 10 Autocontrol................................................................................................................................... 11 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 14 Razonamiento lógico................................................................................................................ 15

Semana 19

Clases de fracciones

........................................................................................ 17

¡Para comenzar! Las fracciones en el antiguo Egipto .................................................... 19 El mundo de la matemática 1. Clases de fracciones ............................................................................................................. 20 1.1 Fracciones propias: menores que la unidad ....................................................... 20 1.2 Fracciones impropias: mayores que la unidad .................................................. 21 1.2.1 Los números mixtos... Un caso especial de fracciones impropias.... 22 2. Conversión de fracciones ................................................................................................... 23 2.1 Conversión de fracciones impropias a números mixtos ................................ 23 2.2 Conversión de números mixtos a fracciones impropias ................................ 25 Resumen ......................................................................................................................................... 26 Autocontrol................................................................................................................................... 27 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 30 Razonamiento lógico................................................................................................................ 31

Semana 20

Fracciones equivalentes

............................................................................ 33

Lenguaje matemático .............................................................................................................. 35 El mundo de la matemática 1. Fracciones equivalentes ...................................................................................................... 36

Matemática − Índice

I

1.1 Productos cruzados ...................................................................................................... 37 1.2 Amplificación de fracciones ...................................................................................... 38 1.3 Simplificación de fracciones ..................................................................................... 39 Resumen ......................................................................................................................................... 40 Autocontrol................................................................................................................................... 41 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 44 Razonamiento lógico................................................................................................................ 45

Semana 21

Suma y resta de fracciones

.................................................................. 47

49 ¡Para comenzar! Un paseo por la semana 10... Recordar y practicar el mcm...... El mundo de la matemática 1. Suma y resta de fracciones de igual denominador ................................................. 50 2. Comparación de dos o más fracciones de distinto denominador ..................... 51 3. Suma y resta de fracciones de diferente denominador ......................................... 53 Resumen ......................................................................................................................................... 55 Autocontrol................................................................................................................................... 56 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 58 Razonamiento lógico................................................................................................................ 59

Semana 22

Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador ................................................................................. 61 63 ¡Para comenzar! Repaso de suma y resta de números enteros ............................ El mundo de la matemática 1. Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador .......................................................................................................................... 64 2. Operaciones combinadas .................................................................................................. 66 Resumen ......................................................................................................................................... 68 Autocontrol................................................................................................................................... 69 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 70 Razonamiento lógico................................................................................................................ 71

Semana 23

Multiplicación y división de fracciones

............................... 73

¡Para comenzar! Ley de signos de la multiplicación y la división de números 75 enteros ...................................................................................................................... El mundo de la matemática 1. Multiplicación de fracciones ............................................................................................. 76 2. División de fracciones .......................................................................................................... 77 2.1 Multiplicar las fracciones en forma cruzada ....................................................... 77 2.2 Producto de extremos y medios ............................................................................. 78 Resumen ......................................................................................................................................... 79

II

IGER − Quiriguá

Autocontrol................................................................................................................................... 80 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 83 Razonamiento lógico................................................................................................................ 84

Semana 24

Potencias de números racionales

................................................ 87

¡Para comenzar! ¡Hagamos memoria! Operaciones combinadas y jerarquía de 89 operaciones ..................................................................................................................................... El mundo de la matemática 90 1. Potencia de una fracción .................................................................................................... 2. Potencia de un número mixto .......................................................................................... 91 92 3. Reglas de potenciación ....................................................................................................... 93 4. Operaciones combinadas con fracciones .................................................................... Resumen ......................................................................................................................................... 96 Autocontrol................................................................................................................................... 97 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 100 Razonamiento lógico................................................................................................................ 101

Semana 25

Repaso semanas 18-24

............................................................................. 103

El mundo de la matemática 1. El conjunto Q de los números racionales..................................................................... 105 2. Clases de fracciones ............................................................................................................. 107 3. Fracciones equivalentes ...................................................................................................... 110 4. Suma y resta de fracciones ................................................................................................ 112 5. Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador .......................................................................................................................... 114 6. Multiplicación y división de fracciones ......................................................................... 116 7. Potencias de números racionales..................................................................................... 118 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 120 Razonamiento lógico................................................................................................................ 121

Semana 26

Números decimales

............................................................................................ 123

¡Para comenzar! Sistema de numeración decimal ............................................... 125 El mundo de la matemática 1. Fracciones decimales ........................................................................................................... 126 2. Fracciones decimales y números decimales ............................................................... 127 3. Lectura y escritura de números decimales .................................................................. 129 4. Suma de números decimales ........................................................................................... 131 5. Resta de números decimales ............................................................................................ 132 Resumen ......................................................................................................................................... 133 Autocontrol................................................................................................................................... 134 Matemática − Índice

III

Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 136 Razonamiento lógico................................................................................................................ 137

Semana 27

Multiplicación de números decimales

................................... 139

¡Para comenzar! John Napier ................................................................................ 141 El mundo de la matemática 1. Multiplicación de números decimales .......................................................................... 142 1.1 Multiplicación de un número decimal por un número entero .................... 142 1.2 Multiplicación de un número decimal por otro número decimal .............. 143 1.3 Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros... 144 Resumen ......................................................................................................................................... 145 Autocontrol................................................................................................................................... 146 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 148 Razonamiento lógico................................................................................................................ 149

Semana 28

División de números decimales

...................................................... 151

¡Para comenzar! ¿Cómo convertimos un número decimal en un número entero?.... 153 El mundo de la matemática 1. División de números decimales ....................................................................................... 154 1.1 División con dividendo decimal y divisor entero ............................................. 154 1.2 División de un número entero entre un número decimal ............................ 158 1.3 División de un número decimal entre otro número decimal ....................... 160 1.4 División de un decimal entre la unidad seguida de ceros ............................ 162 Resumen ......................................................................................................................................... 163 Autocontrol................................................................................................................................... 164 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 166 Razonamiento lógico................................................................................................................ 167

Semana 29

Razones y proporciones

............................................................................. 169

¡Para comenzar! ¿Cómo medir distancias en un mapa? ...................................... 171 El mundo de la matemática 1. Razón ......................................................................................................................................... 173 2. Proporción ............................................................................................................................... 175 2.1 Términos de una proporción .................................................................................... 176 2.2 Propiedad fundamental de las proporciones .................................................... 176 2.3 Aplicaciones de la propiedad fundamental ........................................................ 178 a. Cuando se desconoce uno de los extremos................................................... 178 b. Cuando se desconoce uno de los medios ..................................................... 179 Resumen ......................................................................................................................................... 180 Autocontrol................................................................................................................................... 181

IV

IGER − Quiriguá

Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 184 Razonamiento lógico................................................................................................................ 185

Semana 30

Regla de tres

............................................................................................................... 187

¡Para comenzar! Al Biruni y la regla de tres ......................................................... 189 El mundo de la matemática 1. Proporcionalidad directa e inversa ................................................................................. 190 1.1 Proporción directa ........................................................................................................ 190 1.2 Proporción inversa ........................................................................................................ 191 2. Regla de tres directa ............................................................................................................ 192 3. Regla de tres inversa ............................................................................................................ 194 Resumen ......................................................................................................................................... 196 Autocontrol................................................................................................................................... 197 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 200 Razonamiento lógico................................................................................................................ 201

Semana 31

Geometría I: líneas y ángulos

............................................................ 203

¡Para comenzar! ¡Caja de herramientas geométricas! ......................................... 205 El mundo de la matemática 1. Geometría ................................................................................................................................ 206 1.1 Clasificación de las líneas ........................................................................................... 207 2. El ángulo ................................................................................................................................... 209 2.1 Medición de un ángulo con transportador ........................................................ 210 2.2 Clasificación de los ángulos ...................................................................................... 212 Resumen ......................................................................................................................................... 213 Autocontrol................................................................................................................................... 214 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 218 Razonamiento lógico................................................................................................................ 219

Semana 32

Geometría II: polígonos

............................................................................... 221

¡Para comenzar! Clasificación de los polígonos .................................................... 223 El mundo de la matemática 1. Polígonos .................................................................................................................................. 224 1.1 Cuadriláteros ................................................................................................................... 225 2. Perímetros y áreas ................................................................................................................. 226 2.1 Perímetro y área de un cuadrado ........................................................................... 227 a. Perímetro...................................................................................................................... 227 b. Área ............................................................................................................................... 227 2.2 Perímetro y área de un rectángulo ........................................................................ 228 a. Perímetro...................................................................................................................... 228 b. Área ............................................................................................................................... 228 Matemática − Índice

V

Resumen ......................................................................................................................................... 230 Autocontrol................................................................................................................................... 231 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 234 Razonamiento lógico................................................................................................................ 235

Semana 33

Porcentajes......................................................................................................................... 237 Lenguaje matemático Signo de porcentaje .......................................................... 239 ¡Para comenzar! Repaso de la regla de tres directa ............................................. 240 El mundo de la matemática 1. El porcentaje ........................................................................................................................... 241 1.1 Cálculo de porcentajes................................................................................................... 242 a. Cuando la cantidad desconocida es una parte del total............................ 242 b. Cuando la cantidad desconocida es el valor total....................................... 245 c. Porcentaje en figuras geométricas...................................................................... 246 Resumen ......................................................................................................................................... 247 Autocontrol................................................................................................................................... 248 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 252 Razonamiento lógico................................................................................................................ 253

Semana 34

Repaso semanas 26-33

............................................................................. 255

El mundo de la matemática 1. Números decimales............................................................................................................... 257 2. Multiplicación de números decimales............................................................................ 259 3. División de números decimales ....................................................................................... 261 4. Razones y proporciones ..................................................................................................... 263 5. Regla de tres............................................................................................................................. 266 6. Geometría I: líneas y ángulos ........................................................................................... 268 7. Geometría II: polígonos....................................................................................................... 270 8. Porcentajes................................................................................................................................ 273 Agilidad de cálculo mental.................................................................................................... 276 Razonamiento lógico................................................................................................................ 277

Claves............................................................................................................................................. 279 Bibliografía............................................................................................................................... 307

VI

IGER − Quiriguá

18

El conjunto Q de los números racionales

Matemática − Semana 18

1

Los logros que conseguirá esta semana son:  Definir el conjunto de los números racionales.  Identificar las partes de una fracción.  Leer y escribir correctamente fracciones.  Representar fracciones con figuras geométricas y sobre la recta numérica.  Mejorar la habilidad de cálculo mental.  Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas con fracciones. 

¿Qué encontrará esta semana? ¡Para comenzar!

• Biografía de Leonardo Fibonacci

El mundo de la matemática

• Definición de números racionales • Partes de una fracción • Lectura y escritura de fracciones • Representación gráfica de fracciones con figuras geométricas y sobre la recta numérica

Agilidad de cálculo mental

Razonamiento lógico

2

IGER − Quiriguá

• Multiplicación de números enteros

• Problemas matemáticos con fracciones

¡Para comenzar! Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci, notable matemático, nació en Pisa, Italia, en 1170 y murió en 1250. Su papá era comerciante y este hecho le dio la oportunidad, durante su niñez y su juventud, de viajar y de aprender matemáticas con profesores árabes. Hacia el año 1200 se dedicó a escribir un libro que recogía sus conocimientos matemáticos. En él aparecieron, por primera vez en Europa, las cifras del 0 al 9 y las reglas para realizar operaciones con números enteros y con fracciones. En ese libro, también introdujo la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

Leonardo Fibonacci (1170–1250) Matemático italiano

3 12 Esta forma de escribir los números racionales, aunque ya era conocida en el mundo árabe, se generalizó en Europa 300 años después de que Fibonacci la presentara. Este aporte tardó en popularizarse, pero hoy día lo seguimos utilizando para escribir fracciones. Texto adaptado de www.ite.educación.es

¡A trabajar! Una ficha es una herramienta de estudio que permite la descripción de las características generales de un personaje o de un tema. El objetivo es recolectar los datos más importantes de forma sencilla. Realice una ficha biográfica de Leonardo Fibonacci. Para hacerlo complete los datos propuestos. Tómelos de la lectura.

Nombre: Nació en el año

y murió en el año

.

Sus aportes matemáticos fueron:


3


1. El conjunto Q de los números racionales

Números enteros y fraccionarios

Q

Números racionales

Z

Fr

Números enteros

Números fraccionarios

En la semana 13 aprendimos que al agregar los números enteros negativos a los números naturales, se forma el conjunto de los números enteros. Esta semana añadiremos los números fraccionarios para formar un nuevo conjunto: el conjunto de los números racionales. El conjunto de los números racionales resulta de la unión de los números enteros (Z) y de los números fraccionarios (Fr). El conjunto de los números racionales se identifica con la letra Q. Simbólicamente se representa por:

Q={Z

Fr }

Nosotros nos centraremos en el estudio de los números fraccionarios.

1.1 Las fracciones Partes iguales de una unidad Fracción viene del latín fractio que significa romper. Las fracciones son porciones iguales de una unidad que se ha fraccionado o dividido en varias partes. Por eso, también podemos definir una fracción como una división indicada. Por ejemplo, pensemos en un queso cuadrado cortado en 4 partes iguales. El queso entero es la unidad y cada cuarto es una fracción de la unidad.

1

4

IGER − Quiriguá

4 4

¡Otro ejemplo! Si cortamos una sandía en dos partes iguales, tendremos:

1 2

Cada trozo es un medio, es decir, una fracción de la sandía.

1 2

Dos medios hacen un entero o una unidad.

a.

2 =1 2

Partes de una fracción

Una fracción está formada por dos elementos, numerador y denominador, separados por una línea horizontal.

1 4

numerador denominador

Numerador: indica el número de partes iguales que se toman de la unidad. Se escribe sobre la línea horizontal.

Otra forma de escribir fracciones es separando los números con una línea diagonal: 1/4

Denominador: indica el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad. Se escribe debajo de la línea horizontal.

Ejercicio 1 A.

B.

Complete las oraciones. Tiene un ejemplo. 0)

Q representa el conjunto de los números racionales.

1)

Fr representa el conjunto de los números

2)

Z representa el conjunto de los números

Complete la tabla con la fracción que forman el numerador y el denominador dados. Tiene un ejemplo. numerador

denominador

fracción

5

8

5 8

7

9


5

1.2 Lectura y escritura de fracciones Cuando leemos o escribimos una fracción, debemos seguir ciertas normas. Posiblemente usted ya las conoce, pero vamos a recordarlas. Para leer una fracción: • Leemos primero el numerador y después el denominador. • Cuando el numerador es 1 se lee ‟un”, del 2 en adelante se lee como cualquier número entero: dos, cuatro, etc. • El denominador recibe un nombre específico del 2 al 10. Observe: Aprenda de memoria cómo se leen estos denominadores.

2 se lee medios

5 se lee quintos

8 se lee octavos

3 se lee tercios

6 se lee sextos

9 se lee novenos

4 se lee cuartos

7 se lee séptimos

10 se lee décimos

Ejemplos: 1 un séptimo 7

1 un tercio 3

El signo menos de las fracciones negativas siempre se escribe a la par de la línea horizontal.

• Al denominador de 11 en adelante se le agrega la terminación ‟–avos” y se escribe como una sola palabra: onceavos, doceavos, etc. Ejemplo 8 ocho veintiunavos 21

2 – menos dos doceavos 12 23 veintitrés setentaicincoavos 75

13 trece cincuentaiseisavos 56

Ejercicio 2 Escriba cómo se leen las fracciones. Tiene un ejemplo. –

30 15

menos treinta quinceavos

5)

4 7

1)

2 5

6)

2 3

2)

5 6

7)

3 8

3)

1 2

8)

5 10

4)

5 9

9)

1 4

0)

6

–

IGER − Quiriguá

6 seis décimos 10

1.3 Representación gráfica de fracciones Todo número fraccionario o fracción se puede representar gráficamente de dos formas:

a.

Por medio de figuras geométricas

Una figura geométrica representa la unidad. Para representar una fracción se divide en tantas partes iguales como indique el denominador y se señala el número de partes que indica el numerador. Por ejemplo, para representar la fracción

5 8

• Dividimos la figura en 8 partes iguales. • Pintamos o sombreamos cinco partes. ¡Otro ejemplo! Representemos la fracción

4 : 4

• Dividimos la figura en 4 partes como indica el denominador. Pintamos 4 partes, según indica el numerador. Esta fracción es igual a la unidad.

4 =1 4

Ejercicio 3 Represente las fracciones gráficamente. Tiene un ejemplo.

0)

1 4

3 3) 5

1)

5 5

1 4) 2

2)

2 6

8 5) 8


7

b.

Fracciones sobre la recta numérica

Usted ya sabe "moverse" sobre la recta numérica porque ya localizamos números naturales y enteros en ella. Esta semana aprenderemos a ubicar fracciones. Fracciones positivas Todas las fracciones que estudiaremos esta semana son menores que la unidad, así que para localizar fracciones positivas tomamos solo el segmento de la recta que va de 0 a 1. Aclarado este punto, veamos un ejemplo. Localicemos

5 8

• Dividimos la unidad (el espacio entre 0 y 1) en 8 partes iguales, como indica el denominador. Marcamos cada división con una raya. • Contamos del cero hacia la derecha 5 rayas, como indica el numerador. 5 8 –1

0

1

¡Otro ejemplo! Representemos la fracción

3 4

Dividimos la unidad en 4 partes iguales, como indica el denominador. Contamos del cero hacia la derecha 3 partes, según indica el numerador. 3 4 –1

0

1

Fracciones negativas Para localizar fracciones negativas tomamos el segmento de la recta que va de 0 a –1. Localicemos –

7 10

Dividimos la unidad, del 0 al –1, en 10 partes iguales, como indica el denominador. Contamos del cero hacia la izquierda 7 partes como indica el numerador. 7 – 10 –1

8

IGER − Quiriguá

0

1

Ejercicio 4 A.

Localice las fracciones sobre la recta numérica. Tiene un ejemplo.

3 9

3 0) 9

–1

0

1

–1

0

1

7 – 7 –1

0

1

2 3) 6 –1

0

1

1)

2)

4)

–

9 10

4 – 8 –1

4 5) 5 B.

–1

0

1

0

1

Lea con atención y realice lo que se indica. 1)

a.

()

3 y el resto, dos Nuestro planeta está cubierto de agua en sus tres quintas partes 5 2 quintos , cubierto de tierra. 5 Señale en la recta la parte de agua de nuestro planeta:

()

–1 b.

0

1

Señale en la gráfica la parte de tierra de nuestro planeta.


9

Resumen 1.

Números racionales Q

El conjunto de los números racionales resulta de la unión de los números enteros (Z) y de los números fraccionarios (Fr). El conjunto de los números racionales se identifica con la letra Q.

1.1. Las fracciones

Las fracciones expresan la división de una unidad en partes iguales.

Una fracción está formada por dos elementos separados por una línea horizontal: numerador y denominador.

3 12


1.2 Lectura y escritura de fracciones • Leemos primero el numerador y después el denominador. • Cuando el numerador es 1 se lee “un”, del 2 en adelante se lee como cualquier número entero. • El denominador recibe un nombre específico del 2 al 10, del número once en adelante se le agrega la terminación ‟avos” y se escribe como una sola palabra. 1.3 Representación gráfica de fracciones

Por medio de una figura geométrica

Dividimos la figura geométrica en partes iguales según nos indique el denominador y sombreamos la cantidad de partes que nos indique el numerador.

Sobre la recta numérica

Fracciones positivas

2 3

• Ubíquese en el segmento de la recta que va de 0 a 1. • Divida la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador. Márquelas con una raya. • Cuente del 0 hacia la derecha, tantas partes como indique el numerador.

Fracciones negativas • Ubíquese en el segmento de la recta que va de 0 a –1. • Divida la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador. Márquelas con una raya. • Cuente del 0 hacia la izquierda, tantas partes como indique el numerador. – 1 3 –1

10

IGER − Quiriguá

0

1

Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido A.

Responda con sus palabras. ¿Qué es una fracción?

B.

Actividad 2. A.

Practique lo aprendido

Escriba cómo se leen las fracciones.

8 1)

7)

5 8

5 2)

8)

3 3

8 3)

9)

2 9

– 3

10)

4 5

1 5)

11)

3 6

3 6)

12)

9 13

8 7

12

4)

10 2 4

B.

6 8

Escriba el nombre de las partes de una fracción:

Escriba con números las siguientes fracciones. Tiene un ejemplo.

1/2

0)

Un medio

1)

Dos tercios

7) Menos dos quintos

2)

Tres octavos

8) Menos tres sextos

3)

Ocho décimos

9) Cuatro cuartos

4)

Seis séptimos

10)

Once quinceavos

5)

Nueve onceavos

11)

Doce veinteavos

6)

Cinco novenos


11

C.

Grafique las fracciones con una figura geométrica y sobre la recta numérica. Las figuras geométricas deben estar fraccionadas en partes exactas. Mídalas con su regla. Hay un ejemplo.

0)

1)

2) D.

E.

12

2 5

2 5

4 5

3 6

–1

0

1

–1

0

1

–1

0

1

Represente las fracciones negativas sobre la recta numérica.

1)

– 3

2)

– 5

4

7

–1

0

1

–1

0

1

Escriba con números qué fracción representa la gráfica y escriba sobre la línea cómo se lee. Tiene un ejemplo. 0)

2 4

1)

2)

3)

4)

IGER − Quiriguá

dos cuartos

Actividad 3. A.

Desarrolle nuevas habilidades

Indique a qué fracción corresponden los puntos de la recta señalados con las letras M y N. Tiene un ejemplo, la letra L. 2 5

L –1

L=

1 5

M=

N 1

N =

Indique a qué fracciones corresponden los puntos de la recta señalados con las letras B y C. Tiene un ejemplo, la letra A. – 6 7

– 4 7

C

–1

– 3 7

B

A 0

A=–

C.

4 5

0

B.

M

1 B = 7

1

C=

Represente en las gráficas las situaciones propuestas. 1)

Hace 50 años, aproximadamente tres décimos (3/10) de la Tierra, era bosque. En los últimos años los bosques se han reducido un décimo (1/10). Un planeta sano necesita bosques sanos porque regulan el ciclo del agua y estabilizan los suelos. ¡Cuidémoslos! De acuerdo al texto anterior: a.

Coloree la parte de la Tierra que estaba cubierta de bosques hace 50 años.

b.

Coloree la parte de bosque que aún se conserva.

2)

¿Qué fracción del día ha transcurrido a las diez de la mañana? Indíquelo en la gráfica. Recuerde que el día está dividido en 24 horas.

R/ • ¿Qué fracción falta para que el día termine? R/ Matemática − Semana 18

13

Agilidad de cálculo mental Resuelva las multiplicaciones de números enteros. Tome en cuenta la ley de signos. Trate de resolverlas en un tiempo máximo de 5 minutos. A.

B.

Multiplique 0)

(–6) x (–2) = 12

7)

9 x (–2) =

14)

(–2) x 5 =

1)

(–3) x (–3) =

8)

8 x (–3) =

15)

(–3) x 9 =

2)

(–1) x (–4) =

9)

7 x (–4) =

16)

(–4) x 9 =

3)

(–6) x (–5) =

10)

1 x (–5) =

17)

(–5) x 8 =

4)

(–5) x (–4) =

11)

5 x (–6) =

18)

(–6) x 2 =

5)

(–4) x (–1) =

12)

4 x (–3) =

19)

(–7) x 5 =

6)

(–2) x (–8) =

13)

3 x (–2) =

20)

(–8) x 4 =

Encuentre el multiplicador: 0)

(–6) x (–8) = 48 7)

9 x

= –18

14)

2 x

= –8

1)

(–3) x

= 21 8)

8 x

= –64

15)

4 x

= –32

2)

(–1) x

= 10 9)

7 x

= –28

16)

9 x

= –27

3)

(–6) x

= 36

10)

1 x

= –9

17)

8 x

= –24

4)

(–5) x

= 35

11)

5 x

= –15

18)

2 x

= –10

5)

(–4) x

= 12

12)

6 x

= –24

19)

3 x

= –15

6)

(–2) x

= 14

13)

4 x

= –20

20)

5 x

= –30

C.

Resuelva mentalmente.

De una caja de una docena de bolígrafos, se vende media docena a 2 quetzales la unidad. ¿Cuántos bolígrafos quedan en la caja?

14

IGER − Quiriguá

Razonamiento lógico Lea con atención y escriba la respuesta. Luego represente la fracción correspondiente en forma gráfica. Tiene un ejemplo. 0)

¿Cuánto comió una familia que cortó una sandía en 12 partes y comió 7?

R/

1)

En un círculo de estudio hay 8 estudiantes y de ellos, 6 son mujeres. ¿Qué fracción representan?

R/

2)

La familia comió 7/12 de la sandía.

La población mundial tiende a ser más longeva, es decir, a vivir más años. Se calcula que en 2010 una décima parte de los habitantes de la Tierra tienen más de 60 años y que en 2025 será uno de cada cinco (un quinto).

2010 2025

a.

Represente la fracción de personas mayores de 60 años en 2010 y en 2025, en la gráfica correspondiente.

b.

Compare las partes sombreadas y rellene el cuadro que corresponda a su respuesta.

En 2025 habrá el doble de personas mayores de 60 años que en 2010.

En 2025 habrá la mitad de personas mayores de 60 años que en 2010.

3)

En una abarrotería hay 5 quintales de granos básicos. Si 3 quintales son de frijol, ¿qué fracción representan?

R/

4)

Lola tiene 5 gallinas, 3 cerdos y 2 vacas. Si en total hay 10 animales. ¿Qué fracción representa cada animal?

Gallinas:

Coloree con un color diferente la fracción que representa cada animal.

Cerdos:

Vacas:


15

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

en no logrado proceso logrado

Después de estudiar...

Defino el conjunto de los números racionales. Identifico las partes de una fracción. Leo y escribo correctamente fracciones. Represento fracciones con figuras geométricas y sobre una recta numérica. Mejoro la habilidad de cálculo mental. Desarrollo el pensamiento lógico resolviendo problemas con fracciones.

Notas: Escriba aquí sus inquietudes, descubrimientos o dudas para compartir en el círculo de estudio.

16

IGER − Quiriguá

19

Clases de fracciones


17

Los logros que conseguirá esta semana son:  Identificar las diferentes clases de fracciones.  Convertir fracciones impropias en números mixtos.  Convertir números mixtos en fracciones impropias.  Mejorar la agilidad de cálculo mental.  Desarrollar su pensamiento lógico resolviendo problemas. 


• Las fracciones en el antiguo Egipto


• Clasificación de fracciones • Conversión de fracciones impropias a números mixtos • Conversión de números mixtos a fracciones impropias



18

IGER − Quiriguá

• Multiplicación de números enteros y conversión de fracciones

• Problemas que involucran fracciones

¡Para comenzar! Las fracciones en el antiguo Egipto Las fracciones no siempre se han escrito como las conocemos nosotros. Veamos cómo las escribían los antiguos egipcios. El uso de las fracciones es, sin duda, el rasgo más curioso de la Matemática egipcia. Los egipcios sólo escribían de manera directa las fracciones unitarias, es decir, aquellas con numerador 1. ) significaba la barra de fracción El jeroglífico de una boca abierta ( (—), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la “boca abierta”, significaba el denominador de la fracción. Por ejemplo: =

1 3

=

1 10

Si el denominador era demasiado grande, la “boca” se escribía al principio del denominador. Por ejemplo: =

1 331

Texto tomado y adaptado de Las antiguas ciencias del Oriente. Arnaldez, Roger y otros.

¡A trabajar! 1.

¿Cuál era el símbolo que utilizaban los antiguos egipcios para indicar la barra horizontal de las fracciones? Dibújelo

2.

A diferencia de los egipcios, nosotros escribimos las fracciones utilizando números. Escriba cómo se leen las siguientes fracciones. Tiene un ejemplo.

dos tercios

e) 3/5

b) 1/2

f) 6/7

c) 3/4

g) 4/6

d) 5/9

h) 2/8

a) 2/3


19


1. Clases de fracciones Aprendimos que una fracción está formada por dos partes: • Numerador: que indica las partes iguales que tomamos de la unidad.

a b

• Denominador: que indica las partes iguales en que se divide la unidad.


Según sea el valor del numerador de la fracción, respecto al valor de su denominador, las fracciones pueden ser de dos clases: propias e impropias.

1.1 Fracciones propias: menores que la unidad Una fracción propia representa una cantidad menor que la unidad. Es fácil de identificar porque el numerador es menor que el denominador. Todas las fracciones que vimos en la semana 18 son fracciones propias. Por ejemplo:

2 3

6 9

2 5

3 7

Ejercicio 1 Observe las fracciones del recuadro y copie sobre las líneas solo las fracciones propias. Tiene un ejemplo. 11 ; 5

0)

20

3 8

IGER − Quiriguá

1)

3 ; 8

6 ; 7

22 ; 2

2)

2 ; 15

4 ; 23

3)

14;

6 9

4)

1.2 Fracciones impropias: mayores que la unidad Una fracción impropia representa una cantidad mayor que la unidad. Se identifica porque el numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo: Pedro corta varios quesos en cuarterones para venderlos. Al final del día, le sobran cinco cuarterones. Observe el dibujo: A Pedro le sobra un queso completo y un cuarto más.

4 1 5 + = 4 4 4

Otros ejemplos:

2 1 3 + = 2 2 2

3 3 1 7 + + = 3 3 3 3

Ejercicio 2 A.

Encierre en un cuadro las fracciones impropias. Tiene un ejemplo.

11 5

6 22 9 8 2

3 8 B.

C.

4 15

9 7 6 3

Escriba qué fracción impropia representa la gráfica. Le damos una pista: el denominador es 4 porque cada figura está dividida en 4 partes.

Escriba qué fracción impropia representa la gráfica.


21

1.2.1 Los números mixtos... Un caso especial de fracciones impropias

El número entero del número mixto se escribe de mayor tamaño que la fracción.

Los números mixtos están formados por una parte entera y una parte fraccionaria. Se derivan de las fracciones impropias.

3

Parte entera

1 2

Parte fraccionaria

Por ejemplo: ¿Cuántos limones son siete mitades de limón?

6 1 7 + = = 3 1 2 2 2 2

La fracción impropia

1 7 corresponde al número mixto 3 . 2 2

Otros ejemplos:

2 2

+

1 3 = = 1 1 2 2 2

5 5

+

5 3 13 3 + = = 2 5 5 5 5

Ejercicio 3 Escriba un número mixto para cada expresión. Tiene un ejemplo.

22

1 4

3)

seis enteros, un medio

cinco enteros, dos quintos

4)

cuatro enteros, un tercio

dos enteros, tres cuartos

5)

un entero, tres décimos

0)

tres enteros, un cuarto

1) 2)

IGER − Quiriguá

3

2. Conversión de fracciones Como ya mencionamos, una fracción impropia es mayor que la unidad, por lo tanto, todas las fracciones impropias pueden convertirse en números mixtos y viceversa. Veamos cómo se hace.

2.1 Conversión de fracciones impropias a números mixtos Para convertir una fracción impropia a número mixto, seguimos los pasos del ejemplo: Convertir

17 a número mixto. 5

• Dividimos numerador entre denominador: • Luego: El cociente de la división, 3, es el número entero del número mixto.

3 5 17 – 15 2 2

El residuo 2 es el numerador de la fracción.

35

El denominador 5 es el mismo de la fracción impropia.

17 = 3 2 5 5

Ejercicio 4 Convierta la fracción


• Divida numerador entre denominador:

7 10

• Escriba el número mixto así: El cociente de la división es el entero del número mixto. El residuo es el numerador de la fracción. El denominador es el mismo de la fracción impropia.

La fracción

1

10 se convirtió en el número mixto 7


23

Vamos a reforzar el aprendizaje con otro ejemplo. Convertir

31 a número mixto: 7

• Dividimos numerador entre denominador: • Escribimos el número mixto: El cociente de la división, 4, es el número entero del número mixto. El residuo 3 es el numerador de la fracción. El denominador 7 es el mismo de la fracción impropia.

4 7 31 – 28 3 3

47 3 31 =4 7 7

Ejercicio 5 A.

Convierta la fracción


• Divida numerador entre denominador:

4 21

• Escriba el número mixto: El cociente de la división es el entero del número mixto. El residuo es el numerador de la fracción.

5

El denominador es el mismo de la fracción impropia. B.

La fracción

21 se convirtió en el número mixto 4

Identifique el entero y la fracción de los siguientes números mixtos. Tiene un ejemplo. Número mixto

Entero

Fracción

76

7

6 9

9 11 2 3 41 5

24

IGER − Quiriguá

2.2 Conversión de números mixtos a fracciones impropias Dijimos que los números mixtos se derivan de las fracciones impropias. Por lo tanto, podemos expresar todo número mixto como fracción impropia. Veamos cómo hacerlo. Convertir 3 2 en fracción impropia:

5

• Copiamos el denominador del número mixto, es decir 5. • Para obtener el nuevo numerador: multiplicamos el denominador por el entero y a este resultado, le sumamos el numerador del número mixto. +

32 x

5

= (5 x 3) + 2 = 15 + 2 = 17

5

5

5

2 = 17 5

35

El número mixto se convirtió en fracción impropia. Veamos otro ejemplo: Convertir 2 1 en fracción impropia:

3

• Copiamos el denominador del número mixto (3). • Para obtener el nuevo numerador: multiplicamos el denominador por el entero y a este resultado, le sumamos el numerador del mixto. +

21 x

3

= (3 x 2) + 1 = 6 + 1 = 7

3

3

3

21 3

= 7

3

Ejercicio 6 Ejercite lo aprendido. Convierta los siguientes números mixtos en fracciones impropias. 1) Convierta 6

4 en fracción impropia: 5

+

Convierta 7

2)

2 en fracción impropia: 4

+

64

x

5

=

(5 x 6) + 4

=

+4 = 5

72 x

4

=

(4 x 7) + 2

=

+2 = 4


25

Resumen Las fracciones podemos clasificarlas en:

fracciones propias

fracciones impropias

Los números mixtos

son aquellas que tienen:


están formados por:

el numerador menor que el denominador. Son fracciones menores que la unidad.

el numerador mayor que el denominador. Son fracciones mayores que la unidad.

por ejemplo:

por ejemplo:

3 5

2.

3 2

una parte entera y una parte fraccionaria. Expresan una cantidad mayor que la unidad. por ejemplo:

3

1 4

fracción

Parte entera

Conversión de fracciones

2.1 Conversión de fracciones impropias a números mixtos

Para convertir una fracción impropia a número mixto se divide el numerador entre el denominador. El resultado se escribe así: • El cociente de esta división es el entero del número mixto. • El residuo, si lo hay, es el numerador de la fracción que forma parte del número mixto.

17 = 2 35 5

• El denominador es el mismo de la fracción impropia. 2.2 Conversión de números mixtos a fracciones impropias

Para convertir un número mixto a fracción impropia, seguimos los siguientes pasos: • Copiamos el denominador del número mixto. • Para obtener el nuevo numerador: multiplicamos el denominador por el entero y a este resultado, le sumamos el numerador del mixto.

26

IGER − Quiriguá

+

32 x

5

= 17

5


Escriba como número mixto y como fracción impropia las fracciones representadas gráficamente. Tiene un ejemplo. 0)

2 = 5 3

13

1)

=

2)

3)

=

4)

5)

B.

=

=

=

Clasifique las fracciones en propias, impropias o números mixtos. Escriba un cheque () en la columna correspondiente. Tiene un ejemplo. Fracción propia

0)

4 3

1)

54 50

2)

11 20

3)

44

4)

5 9

5)

71

Fracción impropia

Número mixto



7

2 Matemática − Semana 19

27

Actividad 2.


A. Convierta las fracciones impropias en números mixtos. Siga los pasos que hemos estudiado. Tiene un ejemplo. fracción impropia

conversión

0) 12 8 1)

1 8 12 –8 4

número mixto

fracción impropia

7)

1 4

59 7

8 8)

19 7 2)

38 6 9)

9 5 3)

88 9 10)

21 4 4)

123 6 11)

27 5 5)

41 7 12)

9 2 6)

13) 19 3

28

51 10

IGER − Quiriguá

34 15

conversión

número mixto

B. Convierta los números mixtos en fracciones impropias. Siga los pasos que hemos estudiado. Tiene un ejemplo. número mixto +

0)

35 x

7

1)

24

2)

11 1

3)

92

4)

66

5)

20 1

6)

4 8

7)

85

8)

1 15

9)

72

conversión

(7 x 3) + 5 = 21 + 5 = 26 7 7 7

fracción impropia

26 7

9

2

5

8

3

11

7

20

6


29

Agilidad de cálculo mental A.

B.

Resuelva las multiplicaciones de números enteros. Trate de resolverlas en un tiempo máximo de 2 minutos. Tome en cuenta la ley de signos. 0)

4 x 6 = 24 7)

(–2) x 7 =

14)

(–7) x (–4) =

1)

9 x 2 =

8)

(–7) x 3 =

15)

(–5) x (–5) =

2)

6 x 8 =

9)

(–5) x 2 =

16)

(–3) x (–6) =

3)

7 x 6 =

10)

(–8) x 3 =

17)

(–1) x (–7) =

4)

8 x 4 =

11)

(–1) x 9 =

18)

(–9) x (–8) =

5)

9 x 3 =

12)

(–5) x 7 =

19)

(–4) x (–9) =

6)

5 x 6 =

13)

(–3) x 9 =

20)

(–6) x (–10) =

La conversión de números mixtos en fracciones impropias y viceversa puede hacerse mentalmente. Siga las indicaciones de las flechas e intente hacerlo en 5 minutos como máximo. ¡Anímese! +

0)

31 x

30

4

= 13 7)

4

1

1 = 6

1)

2

1 = 2

8)

2

1 = 7

2)

5

1 = 3

9)

1

1 = 9

3)

4

2 = 5

10) 1 1 = 10

4)

2

1 = 8

11) 63 = 4

5)

2

2 = 3

12) 42 = 3

6)

8

1 = 4

13) 5 3 = 10

IGER − Quiriguá

Razonamiento lógico Resuelva los problemas. Si es necesario, dibuje esquemas para facilitar su razonamiento. 1)

Juan parte porciones de 1/4 de rodaja de piña para su familia. Observe y calcule:

a. ¿Cuántas porciones hay?

b. ¿Cuántas porciones forman una rodaja?

c. ¿Cuántas rodajas se partieron?

d. Escriba la cantidad de porciones como fracción impropia y como número mixto.

2)

¿Cuántos naranjas son nueve medias naranjas? Escriba la respuesta como fracción impropia y como número mixto.

3)

La pastelería ‟Las delicias” divide cada pastel en 8 porciones. Si en la vitrina hay 35 porciones de pastel, ¿cuántos pasteles hay en total? Exprese su respuesta con un número mixto.

4)

Ana debe tomar 1/2 pastilla cada 4 horas. ¿Cuántas pastillas ha tomado en un día?

5)

Berta vende papaya en trozos. Parte cada papaya en 8 trozos. Si al final del día tiene 22 trozos, ¿cuántas papayas le han sobrado? Exprese su respuesta como fracción impropia y como número mixto.

6)

Un galón de jugo de naranja rinde 20 vasos. Si tengo 66 vasos de jugo servidos, ¿cuántos galones de jugo utilicé? Exprese su respuesta con un número mixto.

7)

El centro de salud dispone de 200 tabletas de vitamina C. Si a cada niño deben darle 1/4 de tableta, ¿cuántos niños podrán tomar vitamina C?

8)

Si tengo 45/6 de cartulina, ¿cuántos pliegos enteros tendría al juntar los pedazos? Escriba la respuesta con un número mixto.

9)

Gloria y Pedro sirvieron 4 3/4 picheles de limonada. Si cada pichel rindió 8 vasos, ¿cuántos vasos de limonada sirvieron?


31

Revise su aprendizaje


Marque con un cheque



Identifico y clasifico las diferentes clases fracciones. Convierto fracciones impropias en números mixtos. Convierto números mixtos en fracciones impropias. Mejoro la agilidad de cálculo mental. Desarrollo mi pensamiento lógico resolviendo problemas.


32

IGER − Quiriguá

20



33

Los logros que conseguirá esta semana son: (no  Practicar y aplicar los signos ≡ (equivalente) y equivalente).

 Definir e identificar fracciones equivalentes.  Amplificar y simplificar fracciones.  Resolver con agilidad multiplicaciones de números enteros y convertir mentalmente fracciones impropias a números mixtos.  Desarrollar su razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos. 

¿Qué encontrará esta semana? Lenguaje matemático




34

IGER − Quiriguá

• Signo ≡ (equivalente) y equivalente)

(no

• Fracciones equivalentes: amplificadas y simplificadas • Multiplicación de números enteros y conversión de fracciones impropias a números mixtos • Problemas matemáticos con fracciones

Lenguaje matemático Esta semana aprenderemos el signo ≡ que significa ‟equivalente a”. El signo equivalente está formado por tres líneas horizontales y se utiliza para establecer una relación de igualdad entre dos valores. Por ejemplo:

≡ Cuatro monedas de 25 centavos son equivalentes a 1 quetzal. El signo equivalente se traza de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Fíjese en la flecha:

≡

Repase con su lapicero cada signo. Siga la dirección que indica la flecha.

Cuando el signo ≡ lleva una línea encima, como si lo tachara , significa ‟no es equivalente a”. Practíquelo.

Intente usted el trazo, dibuje el signo equivalente sobre cada línea.

Este signo ≡ significa:


35


1. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma fracción con números distintos. A simple vista podemos observar que un medio (1/2) del pastel es igual a dos cuartos (2/4). En algunos libros se utiliza el signo = (igual) en lugar del signo ≡ (equivalente a).

1 2

En lenguaje matemático lo expresamos:

2 4

≡

Se lee: ‟un medio es equivalente a dos cuartos”

Veamos otro ejemplo: Determinemos gráficamente si las fracciones 1/3 y 3/6 son equivalentes. Para hacerlo dibujamos dos figuras geométricas iguales. La primera la dividimos en tres partes iguales y pintamos una de ellas. La segunda, la dividimos en 6 y pintamos 3 de ellas.

1 3

3 6

Se lee: ‟un tercio no es equivalente a tres sextos”

Si nos fijamos en la parte coloreada, claramente podemos apreciar que 1/3 y 3/6 no son fracciones equivalentes porque no representan la misma cantidad.

Ejercicio 1 Observe las gráficas y determine si representan fracciones equivalentes o no equivalentes. Escriba el símbolo ≡ ó según corresponda. Tiene un ejemplo.

0)

36

3 4

IGER − Quiriguá

1)

6 1 8 3

2)

2 6

2 3

3 6

1.1 Productos cruzados

Un procedimiento para comprobar la equivalencia

Un procedimiento más práctico para establecer si dos fracciones son equivalentes, es obtener productos cruzados. Veamos con un ejemplo cómo se hace. ¿

4 2 es equivalente a ? 10 5 • Multiplicamos los numeradores y los denominadores en forma cruzada: El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador de la primera por el numerador de la segunda fracción.

2 5

4 10

5 x 4 = 20 2 x 10 = 20

Si el resultado de ambos productos es igual, las fracciones son equiva-

lentes.

2 4 ≡ 5 10

¡Otro ejemplo! 9 3 es equivalente a ? ¿ 12 4 • Multiplicamos los numeradores y los denominadores en forma cruzada.

3 4

9 12

4 x 9 = 36 3 x 12 = 36

El resultado de ambos productos es igual, por lo tanto las fracciones son equivalentes. 3 ≡ 9

4

12

Ejercicio 2 Utilice el procedimiento de productos cruzados para determinar si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes o no son equivalentes. Tiene un ejemplo. fracciones

0)

1 2 y 9 3

1)

10 1 y 20 2

2)

3 8 y 8 3

3)

5 20 11 y 44

procedimiento

2 x 9 = 18 3x1=3 10 x 2 = 20 x 1 = 3x3= 8x8= 5 x 44 = 11 x 20 =

¿

2 3

ó

?

1 9


37

1.2 Amplificación de fracciones Amplificar significa aumentar, extender, hacer más grande. Amplificar una fracción es convertirla en otra fracción con números de mayor valor. Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, de manera que resulte una fracción equivalente, pero con números de mayor valor. Normalmente, si nos piden amplificar una fracción, nos indican el número por el cual debemos hacerlo: el doble (multiplicar la fracción por 2), el triple (multiplicar la fracción por 3) etc. Ejemplo:

3 Amplifiquemos al doble la fracción . Multiplicamos el numerador y el deno4 minador de la fracción por 2:

3x2= 6 4x2 8

Comprobamos el resultado realizando los productos cruzados:

3 4

6 8

24 24 6 8

≡

3 4

1 1x3= 3

≡

3 12

6 3 es una fracción amplificada equivalente a . 8 4 Otro ejemplo:

1 . 4 Multiplicamos numerador y denominador por 3:

Amplificar al triple la fracción

4x3

4

12

Ejercicio 3 Amplifique al doble y al triple las fracciones dadas. Tiene un ejemplo. Amplificar por 2 fracción

procedimiento

0)

2 3

2x2 4 = 3x2 6

1)

3 8

2)

5 7

38

IGER − Quiriguá

Amplificar por 3

fracción amplificada

2 3

4 6

procedimiento

2x3 6 = 3x3 9


2 3

6 9

1.3 Simplificación de fracciones Lo contrario de amplificar es simplificar. Simplificar significa acortar, reducir, hacer más simple. Así que cuando simplificamos una fracción la transformamos en una fracción de números de menor valor. Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y el denominador entre el MCD de ambos. Veamos cómo se simplifica con un ejemplo. Simplificar la fracción

12 18

• Calculamos el MCD del numerador y del denominador. 12 2 6 2 3 3 1

12 = 22 x 3

18 2 9 3 3 3 1

Para calcular el MCD, se multiplican solo los factores que se repiten con el menor exponente. Puede repasar el tema en la semana 11.

MCD (12 y 18) = 2 x 3 = 6

18 = 2 x 32

• Dividimos numerador y denominador de la fracción entre el MCD.

12 ÷ 6 = 2 18 ÷ 6 3 12 18

≡

2 3

Ejercicio 4 Simplifique la fracción • MCD de 21 y 48:

21 . Recuerde que primero debe calcular el MCD. 48 48 2 24 2 12 2

21 3

21 =

48 =

MCD (21 y 48) =

• Divida el numerador y el denominador de la fracción entre el MCD.

21 ÷ 48 ÷ 21 48

=

≡


39

Resumen 1.


Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma fracción con números distintos. Para expresar esta relación se utilizan los signos: ≡ ‟equivalente a” y

‟no es equivalente a”.


Una forma práctica de establecer si dos fracciones son equivalentes es obtener productos cruzados. Para hacerlo: • Multiplicamos numeradores y denominadores en forma cruzada.

3 4

• Si el resultado de ambos productos es igual, las fracciones son equivalentes.

6 8

4 x 6 = 24 3 x 8 = 24 3 6 ≡ 4 8

1.2 Amplificación de fracciones

1x3 = 3 4 x 3 12

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, de manera que nos resulte una fracción equivalente, pero con números de mayor valor.

1 ≡ 3 4 12

1.3 Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción consiste en transformarla en otra fracción equivalente, pero de números de menor valor. Para simplificar una fracción, se divide el numerador y el denominador entre el MCD de ambos. Por ejemplo. Simplificar

15 45

• Calculamos el MCD de 15 y 45: 15 3 5 5 1

15 = 3 x 5

45 3 15 3 5 5 1 45 = 32 x 5

MCD (15 y 45) = 3 x 5 = 15


15 ÷ 15 = 1 45 ÷ 15 3

40

IGER − Quiriguá

15 1 ≡ 45 3

Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Defina con sus palabras los siguientes conceptos. Fracciones equivalentes:

Fracción amplificada:

Fracción simplificada:

Actividad 2. A.


Compruebe si las fracciones son equivalentes. Utilice el método de productos cruzados. Tiene un ejemplo. fracciones

B.

0)

5 20 y 7 28

1)

12 60 y 5 25

2)

200 8 y 24 1

3)

12 6 y 4 2

4)

15 5 y 12 3

procedimiento

5 x 28 = 140 7 x 20 = 140

?

ó

¿

5 7

20 28

Amplifique al doble y al triple las fracciones dadas. Tiene un ejemplo. Amplificar por 2 fracción

0)

7 3

1)

1 2

2)

12 15

procedimiento

7 x 2 14 = 3x2 6

Amplificar por 3


7 3

14 6

procedimiento

7 x 3 21 = 3x3 9


7 3

21 9


41

C.

Simplifique las fracciones en su cuaderno. Recuerde que para simplificar debe calcular el MCD del numerador y del denominador. Luego debe dividir numerador y denominador entre el MCD. Tiene un ejemplo. 0)

Simplifique

4 6 2. Divida numerador y denominador de la fracción entre el MCD.

1. Calcule el MCD de 4 y 6. 6 2 3 3 1

4 2 2 2 1

4 = 2 2

MCD (4 y 6) = 2

42

2 4÷2 = 3 6÷2 4 6

6 = 2x 3

≡

2 3

1)

36 60

≡

10)

12 18

≡ 19) 34 ≡

2)

26 39

≡

11)

15 55

≡

3)

8 10

21) ≡ 12) 30 ≡ 22 ≡

4)

15 20

22) ≡ 13) 75 ≡ 20 ≡

5)

26 42

23) ≡ 14) 100 ≡ 12 ≡

6)

7 35

24) ≡ 15) 40 ≡ 54 ≡

7)

10 16

25) ≡ 16) 64 ≡ 14 ≡

8)

12 36

≡

17)

6 60

≡

26)

9)

3 36

≡

18)

18 36

≡

27)

IGER − Quiriguá

17

20)

20 58

10

10

5

15

≡

9

10

22

8

12

16

22 77 18 48

≡ ≡

Actividad 3. A.

Desarrolle nuevas habilidades

Amplificar una fracción consiste en multiplicar numerador y denominador por el mismo número. Si la fracción amplificada se multiplica de nuevo, el resultado será una fracción equivalente a la primera y a la segunda. Amplifique las fracciones por el número que indica la flecha. Observe el ejemplo. x2

0)

6 5

12 10

x2

1)

B.

8 9

x3

x5

36 30

2)

x3

3 5

x2

x2

3)

4 3

x3

Encuentre el término desconocido para que las fracciones sean equivalentes. ¿Cómo? Dividiendo el término conocido, numerador o denominador, de la segunda fracción entre el numerador o denominador de la primera fracción. Así sabrá por qué número se ha amplificado. Tiene un ejemplo. 0)

15 12

30

≡

14

28

3) ? ? ≡ 16

30 ÷ 15 = 2 2 x 12 = 24

15 12

1)

2 3

≡

2)

5 2

≡

30 24 ?

6

? 24 4) ≡

8

64

5 10 5) 35 ≡ ? ? 56


43


B.

44

Resuelva las multiplicaciones de números enteros. Tome en cuenta la ley de signos. Tiene un ejemplo. 0) 3 x 0 = 0

10)

2 x (–8) =

20)

(–8) x 9 =

1) 7 x 3 =

11)

4 x (–9) =

21)

(–3) x 2 =

2) 8 x 5 =

12)

9 x (–1) =

22)

(–2) x 4 =

3)

11 x 1 =

13)

3 x (–4) =

23)

(–4) x 6 =

4) 8 x 7 =

14)

1 x (–5) =

24)

(–5) x 8 =

5)

11 x 2 =

15)

6 x (–9) =

25)

(–6) x 10 =

6) 5 x 3 =

16)

8 x (–2) =

26)

(–9) x 1 =

7) 5 x 7 =

17)

9 x (–1) =

27)

(–1) x 3 =

8) 6 x 8 =

18)

5 x (–7) =

28)

(–7) x 5 =

9)

19)

3 x (–3) =

29)

(–7) x 0 =

21 x 1 =

La conversión de números mixtos a fracciones impropias y viceversa puede hacerse mentalmente. Realice las siguientes conversiones de números mixtos en fracciones impropias. Intente hacerlo en menos de 5 minutos. ¡Anímese! 0)

9

3 75 7) = 8 8

5

1 = 9

14)

8

1 = 3

1)

4

2 = 9

8)

4

2 = 4

15)

5

5 = 7

2)

9

2 = 3

9)

3

1 = 8

16)

5

9 = 10

3)

7

1 = 7

10)

3

3 = 7

17)

7

4 = 5

4)

4

5 = 10

11)

6

2 = 9

18)

8

1 = 2

5)

9

1 = 5

12)

8

1 = 8

19)

8

1 = 9

6)

9

1 = 2

13)

9

2 = 9

20)

9

2 = 4

IGER − Quiriguá

Razonamiento lógico Resuelva los problemas en su cuaderno. Pida a su orientador voluntario que revise los procedimientos. Escriba siempre la respuesta a los problemas. 1)

En una bodega hay cinco sacos de cemento, cuatro están llenos y el último tiene una octava parte de cemento. Represente con un número mixto y con una fracción impropia cuánto cemento hay en la bodega.

2)

Pedro y Manuela reciben el mismo sueldo y desean colaborar con el gasto familiar. Pedro aporta 5/8 de su sueldo y Manuela 3/8.

a. Represente gráficamente el aporte de cada uno.

b. ¿Cuál de los dos hermanos aporta más?

3)

María debe tomar la mitad de una pastilla (1/2) tres veces al día. Por error partió las pastillas en cuartos (1/4).

a. ¿Cuántos cuartos de pastilla debe tomar para ingerir la dosis adecuada? Grafique su respuesta.

4)

b. ¿Cuántos cuartos de pastilla tomará en total en un día? La receta de un pastel dice que hay que agregar 8/12 de taza de esencia de almendra. Simplifique esta cantidad.

5)

En la vuelta ciclística a Guatemala 7/12 de los competidores eran guatemaltecos, 1/12 colombianos y 4/12 de diferentes países. Represente gráficamente y compare las fracciones. ¿Qué país tenía la mayor cantidad de participantes?

6)

En un estadio, seis novenas partes de los aficionados apoyan al equipo A y cuatro doceavas partes apoyan al equipo B.

a. Simplifique las fracciones de los aficionados de cada equipo.

b. Represente gráficamente y compare: ¿Qué equipo tiene más aficionados?

7)

Una mezcla de cereales está compuesta por 3/4 de trigo, 5/12 de arroz y 1/6 de avena.

a. ¿Qué cereal está presente en mayor cantidad en la mezcla?

b. ¿Qué cereal está presente en menor cantidad en la mezcla?

Le damos una pista: para poder comparar la cantidad de cereal debe convertir 3/4 y 1/6 en fracciones equivalentes con denominador 12.


45





Practico y aplico los signos ≡ (equivalente) y


(no equivalente).

Defino e identifico fracciones equivalentes. Amplifico y simplifico fracciones. Resuelvo con agilidad multiplicaciones de números enteros y convierto mentalmente fracciones impropias a números mixtos. Desarrollo el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.


46

IGER − Quiriguá

21

Suma y resta de fracciones


47

Los logros que conseguirá esta semana son:  Aprender y practicar sumas y restas de fracciones de igual denominador.  Comparar fracciones de diferente denominador.  Aprender y practicar sumas y restas de fracciones de diferente denominador.  Practicar el cálculo mental con multiplicaciones y divisiones de números enteros.  Desarrollar su razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos con sumas y restas de fracciones. 





48

IGER − Quiriguá

• Un paseo por la semana 10

• Suma y resta de fracciones de igual denominador • Comparación de fracciones de diferente denominador • Suma y resta de fracciones de diferente denominador • Multiplicación y división de números enteros • Problemas matemáticos que se resuelven con suma y resta de fracciones

¡Para comenzar! Un paseo por la semana 10… Recordar y practicar el mcm Obtener el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números nos servirá esta semana para comparar, sumar o restar fracciones con distinto denominador. Así que practiquemos. En la semana 10 aprendimos que el mínimo común múltiplo de dos o más números es el múltiplo común más pequeño, distinto de cero. Recordemos con un ejemplo cómo se obtiene el mcm: mcm de 6 y 9

6 2 3 3 1

9 3 3 3 1

6 = 2 x 3

9 = 3 x 3 = 32

• Descomponemos los números 6 y 9 en sus factores primos: • Escribimos cada número como producto de sus factores primos: • Multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:

2 x 32 = 18 2 x 9 = 18 mcm (6 y 9) = 18

• Escribimos la respuesta:

¡A trabajar! Calcule el mcm de los números dados. 1)

mcm (4 y 15) =

2)

mcm (6, 15 y 18) =

4 =

15 =

6 =

15 =

18 =

R/ mcm (4 y 15) =

R/ mcm (6, 15 y 18) =


49


1. Suma y resta de fracciones de igual denominador La suma y resta de fracciones de igual denominador son las operaciones más sencillas con fracciones. Para sumar o restar fracciones de igual denominador: se suman o restan los numeradores y se copia el denominador. Se pueden realizar directamente porque la unidad está dividida en igual número de partes. Veamos unos ejemplos: Suma: Las respuestas deben simplificarse. Si el resultado es una fracción impropia, se expresa como número mixto.

Sumamos los numeradores y copiamos el denominador.

4 5 3 4+5+3 12 4 1 + + = = = =1 9 9 9 9 9 3 3 Resta: Restamos los numeradores y copiamos el denominador.

5 2 5–2 3 1 – = = = 9 9 9 9 3

Ejercicio 1 Resuelva las sumas y restas de igual denominador. Simplifique si es posible. Tiene un ejemplo.

50

0)

5 2 3 2 + = =1 3 3 3 3

0)

10 4 6 3 – = = 16 16 16 8

1)

5 1 + = 7 7

1)

8 4 – = 12 12

2)

2 3 1 + + = 6 6 6

2)

7 2 – = 9 9

3)

8 2 1 6 2 + + = 3) – = 12 12 12 3 3

IGER − Quiriguá

2. Comparación de dos o más fracciones de distinto denominador ¿Son iguales? ¿Cuál es mayor? ¿Cuál es menor? Observe las fracciones:

3, 4

2, 3

1 6

—¿Podríamos decir a simple vista cuál de ellas es mayor? —No, ¿verdad? porque estas fracciones tienen distinto denominador y no corresponden a la misma porción en que fue dividida la unidad. Para comparar fracciones tenemos que reducirlas a un denominador común. Reducir fracciones a denominador común es encontrar otras fracciones equivalentes, de forma que todas tengan igual denominador. Cuando una serie de fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene el numerador mayor. Comparemos las fracciones del inicio: 1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. El mcm será el denominador común de las fracciones equivalentes. 4 2 2 2 1

4 = 2 2

3 3 1

6 2 3 3 1

3 = 3

6=2x3

mcm (4, 3 y 6) = 22 x 3 = 12

2. Calculamos el numerador de cada nueva fracción así: dividimos el mcm entre el denominador original y lo multiplicamos por el numerador. •

3 (12 ÷ 4) x 3 3x3 9 = = = 4 12 12 12

3 4

≡

9 12

•

2 (12 ÷ 3) x 2 4x2 8 = = = 3 12 12 12

2 3

≡

8 12

•

1 (12 ÷ 6) x 1 2 2x1 = = = 6 12 12 12

1 6

≡

2 12

Recuerde: Mano derecha signo > (mayor que).

3. Comparamos las fracciones y las ordenamos de mayor a menor. Será mayor la que tenga mayor numerador.

9 12

Mano izquierda signo < (menor que).

8 2 > 12 > 12 Matemática − Semana 21

51

¡Ahora un problema! Mateo vendió 3/4 de un queso de leche de cabra y 5/9 de un queso de leche de vaca. ¿Cuál de los quesos se vendió más? 1. Calculamos el mcm de los denominadores. El mcm será el denominador común de las nuevas fracciones.

4 2 2 2 1

9 3 3 3 1

4 = 2 2

9 = 32

mcm (4 y 9) = 22 x 32 = 36

2. Calculamos los nuevos numeradores: •

3 (36 ÷ 4) x 3 27 9x3 = = = 4 36 36 36

3 4

≡

27 36

•

5 (36 ÷ 9) x 5 20 4x5 = = = 9 36 36 36

5 9

≡

20 36

27 36

3. Comparamos las fracciones:

>

20 36

R/ El queso de leche de cabra se vendió más.

Ejercicio 2 Compare y ordene las fracciones 4/5, 1/2 y 3/4 de mayor a menor. 1)

5

5=

2)

3)

52

Calcule el mcm de los denominadores. Este será el denominador común de las nuevas fracciones.

2

2=

4

4=

Calcule los nuevos numeradores:

Compare las fracciones.

IGER − Quiriguá

mcm (5, 2 y 4) =

4 (20 ÷ 5) x 4 = = 5 20

x 20

=

1 (20 ÷ 2) x 1 = = 2 20

x 20

=

3 (20 ÷ 4) x 3 = = 4 20

x 20

=

R/

20

>

20

>

20

20 20 20

3. Suma y resta de fracciones de diferente denominador La reducción de fracciones a común denominador es un paso imprescindible para sumar o restar fracciones de distinto denominador. La razón es la misma: para sumar o restar fracciones deben estar divididas en porciones iguales. Así que para sumar o restar fracciones con distinto denominador, seguimos estos pasos: 1. Hallamos el denominador común (mcm de los denominadores). 2. Obtenemos los nuevos numeradores. El numerador de cada nueva fracción es el resultado de dividir el mcm entre el denominador original y multiplicar por el numerador. 3. Sumamos o restamos las fracciones y simplificamos. Veamos un ejemplo: Restemos

4 1 – = 5 3

1. Calculamos el mcm de 5 y 3 para obtener el denominador común. mcm (5 y 3) = 15 2. Calculamos los nuevos numeradores:

4 (15 ÷ 5) x 4 – (15 ÷ 3) x 1 1 (3 x 4) – (5 x 1) – = = = 5 15 3 15 3. Restamos:

12 – 5 7 = 15 15

¡Otro ejemplo! Sumemos

2 3 + = 4 5

1. Calculamos el mcm de 4 y 5 para obtener el denominador común. mcm (4 y 5) = 20 2. Calculamos los nuevos numeradores:

2 3 (20 ÷ 4) x 2 + (20 ÷ 5) x 3 (5 x 2) + (4 x 3) + = = = 4 20 5 20 3. Sumamos y simplificamos:

10 + 12 22 11 1 = = =1 20 10 20 10 Matemática − Semana 21

53

Resolvamos un problema de suma de fracciones: En una cooperativa de café mezclan y empacan bolsas de 2/4 de libra de café de Antigua con 3/6 de libra de café de Huehuetenango. ¿Cuánto pesa cada bolsa de café? 1. Calculamos el mcm de 4 y 6 para obtener el denominador común. mcm (4 y 6) = 12 2. Calculamos los nuevos numeradores:

2 3 (12 ÷ 4) x 2 + (12 ÷ 6) x 3 (3 x 2) + (2 x 3) + = = = 4 12 6 12 3. Sumamos y simplificamos:

6 + 6 12 = =1 12 12 R/ Cada bolsa de café pesa 1 libra.

Ejercicio 3 Resuelva las operaciones de fracciones. El mcm ya está calculado. Tiene un ejemplo.

4 5

0) +

1 1 (30 ÷ 5) x 4 + (30 ÷ 3) x 1 + (30 ÷ 2) x 1 24 + 10 + 15 49 + = = = 3 2 30 30 30

mcm (5, 3 y 2) = 30

2 3

1) –

1 ( = 4

÷

÷

mcm (3 y 4) = 12

4 5

2) –

1 = 3

2 12

3) +

54

)x2–( 12

IGER − Quiriguá

1 1 + = 6 8

)x1

=

– 12

=

12

Resumen 1.

Suma y resta de fracciones de igual denominador

Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se copia el mismo denominador.

2 4

Ejemplo: +

1 3 = 4 4

2.

Comparación de dos o más fracciones de distinto denominador

Para comparar fracciones de distinto denominador, hay que reducirlas a común denominador. Seguimos estos pasos:

Comparar:

5 3 y 8 5

1. Calculamos el mcm de los denominadores. mcm (8 y 5) = 40


5 (40 ÷ 8) x 5 5 x 5 25 = = = 8 40 40 40

5 8

≡

25 40

•

3 (40 ÷ 5) x 3 8 x 3 24 = = = 5 40 40 40

3 5

≡

24 40

3. Comparamos:

25 > 24 40 40

3.

Suma y resta de fracciones de diferente denominador

Para sumar o restar fracciones de distinto denominador: 1. Calculamos el mcm de los denominadores para obtener un denominador común. 2. Obtenemos nuevos numeradores. El numerador de cada nueva fracción es el resultado de dividir el mcm entre el denominador original y multiplicar por el numerador. 3. Sumamos o restamos los numeradores y simplificamos.

Ejemplo:

3 1 (10 ÷ 5) x 3 – (10 ÷ 10) x 1 (2 x 3) – (1 x 1) 6 – 1 5 1 – = = = = = 5 10 10 10 2 10 10

mcm (5 y 10) = 10


55

Autocontrol Actividad 1. Practique lo aprendido A.

Resuelva las sumas y restas de fracciones de igual denominador. Si es posible, simplifique el resultado. Tiene un ejemplo. 0) 1)

B.

3 1 + =3+1= 4 5 5 5 5 8 3 – = 11 11

6)

4 1 + = 12 12

11 3 + = 6 6

7)

7 4 1 + + = 16 16 16

3)

4 1 + = 5 5

8)

1 2 5 + + = 3 3 3

4)

8 2 – = 9 9

9)

9 8 1 + + = 15 15 15

Convierta a denominador común cada pareja de fracciones, luego ordénelas de mayor a menor. Haga las operaciones necesarias en su cuaderno. El numeral 0 es un ejemplo.

0) 1) 2) 3)

1 2 3 9 1 2 4 6

3 5 2 y 7 2 y 3 4 y 5 y

fracciones equivalentes

1 2 3 9 1 2 4 6

5 10

3 5 2 7 2 3 4 5

6 10

fracciones ordenadas

6 5 > 10 10

Convierta a denominador común las fracciones, luego ordene de menor a mayor. Haga las operaciones necesarias en su cuaderno. Tiene un ejemplo. fracciones

0) 1) 2) 3)

56

3 7 + = 8 8

2)

fracciones

C.

5)

IGER − Quiriguá

1 2 3 5 4 5 4 7

3 5 5 y 4 6 y 7 1 y 8 y


1 2 3 5 4 5 4 7

5 10

3 5 5 4 6 7 1 8

6 10


5 6 < 10 10

D.

E.

Realice las sumas y restas de fracciones de diferente denominador. Simplifique su resultado. Tiene un ejemplo. Hágalo en su cuaderno. 0)

3 1 (15 ÷ 5) x 3 + (15 ÷ 15) x 1 9+1 10 2 + = = = = 5 15 15 15 15 3

1)

8 2 2 4 6 – = 9) + + = 9 9 6 3 27

2)

5 9 – = 2 8

10)

3 2 4 + + = 4 5 6

3)

1 3 + = 4 6

11)

1 2 5 + + = 2 4 10

4)

4 5 + = 3 6

12)

24 5 – = 32 16

5)

3 3 – = 4 9

13)

4 2 – = 5 6

6)

3 9 + = 2 10

14)

3 1 + = 7 8

7)

6 3 – = 7 21

15)

3 2 – = 3 8

8)

8 3 12 + + = 20 10 5

Realice las sumas y restas necesarias en su cuaderno y complete los cuadros vacíos del crucinúmero. Simplifique sus respuestas. En el margen derecho le mostramos el procedimiento para resolver la primera fila.

2 3

+

+

= 11 12

=

+ +

1 5

1 2

Ejemplo:

13 2 13 – 10 3 1 – = = = 15 3 15 15 5

+ =

= +

13 15

= =


57


B.

Encuentre el producto. Tome en cuenta la ley de signos. 0)

5 x 4 = 20

5)

4 x (–7) =

10)

(–6) x (–3) =

1)

6x3=

6)

3 x (–8) =

11)

(–7) x (–6) =

2)

7x2=

7)

2 x (–9) =

12)

(–8) x (–5) =

3)

8x6=

8)

1 x (–10) =

13)

(–9) x (–2) =

4)

9x5=

9)

0 x (–5) =

14)

(–5) x (–4) =

Encuentre el multiplicando. Tome en cuenta la ley de signos. 0)

7 x (–1) = –7

5)

x (–6) = 6

10)

x 9 = –45

1)

x (–2) = –12

6)

x (–5) = 10

11)

x 8 = –32

2)

x (–3) = –15

7)

x (–4) = 12

12)

x 7 = –21

3)

x (–4) = –24

8)

x (–3) = 12

13)

x 6 = –18

4)

x (–5) = –35

9)

x (–2) = 10

14)

x 5 = –20

C.

Resuelva mentalmente. Tiene un ejemplo.

Si para calcular la quinta parte (1/5) de una cantidad, debo dividir entre 5:

58

0)

¿Cuánto es

1 de 10? 2 5

4)

¿Cuánto es

1 de 45? 5

1)

¿Cuánto es

1 de 20? 5

5)

¿Cuánto es

1 de 35? 5

2)

¿Cuánto es

1 de 5? 5

6)

¿Cuánto es

1 de 60? 5

IGER − Quiriguá

Razonamiento lógico Resolución de problemas Resuelva los problemas de suma y resta de fracciones. Siga los pasos que aprendió en la semana. 1)

Marcela debe tomar 1/4 de pastilla para la fiebre cada 8 horas. En un día, ¿qué fracción de la pastilla toma?

2)

Un terreno se dividió en parcelas. La primera mide 2/5, la segunda mide 5/15 y la última mide 1/10. ¿Cuál es la parcela mayor?

3)

Un trozo de carne pesa 3/4 de libra. Si utilizamos 1/2 libra, ¿cuánto pesa el trozo que queda?

4)

En la finca Villa Verde se cosecharon 2/3 de tomates y en la finca El Paraíso se cosecharon 2/5 de tomates.

a. ¿Qué fracción de tomates se cosechó en las dos fincas?

b. ¿En qué finca se cosechó más tomate?

5)

Marta se dedica a comprar y vender papel periódico por quintal. Hoy compró 1/4 de quintal en la tienda San Luis, 1/5 de quintal en la cafetería Sevilla y 5/10 de quintal en la panadería Delicias.

a. ¿Cuánto periódico compró en total?

b. Si vendió 1/3 del periódico que compró, ¿cuánto le queda?

6)

Un atleta de salto libre quiere lograr un salto de 12/4 metros. Logra 21/9 metros. ¿Cuántos metros le faltaron para lograr su objetivo?

7)

Julia gastó 6/5 de quintales de maíz para alimentar a las gallinas y 3/4 de quintales de maíz para hacer tortillas. ¿Cuánto maíz gastó en total?

8)

En una tienda de disfraces se emplearon: • 2/3 de yarda de tela verde, 2/4 de yarda de tela amarilla y 2/3 de yarda de tela roja para confeccionar un disfraz de flor. • 1/3 de yarda de tela verde, 3/2 de yarda de tela amarilla y 2/7 de yarda de tela roja para fabricar un disfraz de mariposa.

a. ¿Cuántas yardas de tela se utilizaron en total en cada disfraz?

b. ¿Cuántas yardas de tela de cada color se emplearon en los dos disfraces?


59






Aprendo y practico sumas y restas de fracciones de igual denominador. Comparo fracciones de diferente denominador. Aprendo y practico sumas y restas de fracciones de diferente denominador. Practico el cálculo mental con multiplicaciones y divisiones de números enteros. Desarrollo el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos con sumas y restas de fracciones.


60

IGER − Quiriguá

22

Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador


61

Los logros que conseguirá esta semana son:  Resolver sumas y restas de fracciones positivas y negativas de diferente denominador.  Resolver sumas y restas de fracciones y números mixtos.  Agilizar el cálculo mental multiplicando números enteros y convirtiendo números mixtos a fracciones impropias.  Resolver problemas matemáticos aplicando las operaciones de suma y resta de fracciones. 


• Repaso de suma y resta de números enteros


• Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador • Suma y resta de fracciones y números mixtos



62

IGER − Quiriguá

• Multiplicación de números enteros y conversión de fracciones • Problemas matemáticos de suma y resta de fracciones

¡Para comenzar! Repaso de suma y resta de números enteros Esta semana estudiaremos la suma de fracciones positivas y negativas. Para trabajar este tema, es necesario que recordemos la ley de signos para sumar y restar números enteros. Lo aprendimos en la semana 13. Veamos: Suma de números enteros con signos iguales Se suman los valores absolutos y se conserva el signo de los sumandos. Ejemplos: 7 + 5 = 12 (–4) + (–6) = – (4 + 6) = –10 Suma de números enteros con signos diferentes Se restan los valores absolutos y al resultado se le coloca el signo del mayor. Ejemplo:

8 + (–12) = – (12 – 8) = –4

Resta de números enteros Sumamos al minuendo el valor opuesto del sustraendo. (–10) – 12 = (–10) + (–12) = – (10 + 12) = –22

Ejemplo:

El signo menos delante de un signo de agrupación Un signo menos delante de un signo de agrupación cambia los signos de todos los números que están dentro de él. Ejemplo:

– (6 + 3 – 4) = –6 –3 + 4 = –9 + 4 = –5

¡A trabajar! Resuelva las sumas y restas de números enteros. Tiene un ejemplo. 0)

28 + (–14) = 28 – 14 = 14

4)

5 + (–7) =

1)

(–12) + (–6) =

5)

(–5) + 9 =

2)

15 – 22 =

6)

(–8) + (–3) =

3)

(–9) + (–5) =

7)

8 – (3 + 1) =


63


1. Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador En este apartado sumaremos fracciones que tienen distinto signo y denominador diferente. Recuerde los pasos que seguimos la semana anterior para sumar y restar fracciones de diferente denominador. 1. Hallamos el denominador común calculando el mcm. 2. Calculamos los nuevos numeradores: dividimos el mcm entre el denominador original y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 3. Sumamos o restamos las fracciones y simplificamos. Veamos un ejemplo Sumemos –

7 3 + = 5 4

1. Calculamos el mcm de 5 y 4 para obtener el denominador común.

mcm (5 y 4) = 20 2. Calculamos los nuevos numeradores:

– 7 + 3 = (20 ÷ 5) x (–7) + (20 ÷ 4) x 3 = 4 x (–7) + 5 x 3 =

5

4

20

3. Sumamos: ¡Otro ejemplo! Restemos

20

–28 + 15 13 =– 20 20

( )

1 1 – – = 2 3

1. Calculamos el mcm de 2 y 3. Recuerde: un signo ‟–” delante de un signo de agrupación cambia el signo de todos los números que están dentro de él.

mcm (2 y 3) = 6 2. Calculamos los nuevos numeradores:

( )

1 1 (6 ÷ 2) x 1 – (6 ÷ 3) x (–1) 3 x 1 – 2 x (–1) – – = = = 2 3 6 6 3. Restamos:

64

IGER − Quiriguá

3 – (–2) 3+2 5 = = 6 6 6

Ejercicio 1 Resuelva las sumas y restas de fracciones.

4 3 + = 1) – 5

6

• Determine el denominador común: mcm (5 y 6) = • Calcule los nuevos numeradores: – 4 + 3 = (

5

6

÷ 5) x (–4) + ( 30

÷ 6) x 3 =

x (–4) + 30

x3

=

• Sume y simplifique:

+

=

=

( )

4 3 – – = 3 5

2)

• Determine el denominador común: mcm (3 y 5) = • Calcule los nuevos numeradores:

( )

4 – – 3 = 3 5

• Reste y simplifique:

8 7 – = 6 4

3)

• Determine el denominador común: mcm (6 y 4) = • Calcule los nuevos numeradores:

8 – 7 = 6 4

• Reste y simplifique:


65

2. Operaciones combinadas Suma y resta de fracciones, números mixtos

y números enteros

En la semana 15 aprendió que una operación combinada es aquella que reúne varias operaciones en una sola. Ahora trabajaremos una clase especial de operaciones combinadas: la suma y resta de fracciones, números mixtos y números enteros. Para poder resolver estas sumas y restas, necesitamos convertir todos los números en fracciones. Siga los pasos del ejemplo: Resolvamos

12 3

+

3 –2= 4

+

1. Convertimos el número mixto en fracción impropia:

12 =5 x

–2=–

2. Expresamos el número entero como fracción: 3. Resolvemos:

5 3 2 + – = 3 4 1

3

3 2 1

mcm (3, 4 y 1) = 12

5 3 2 (12 ÷ 3) x 5 + (12 ÷ 4) x 3 – (12 ÷ 1) x 2 + – = = 3 4 1 12

4 x 5 + 3 x 3 – 12 x 2 20 + 9 – 24 29 – 24 5 = = = 12 12 12 12

Ejercicio 2 Sume: 3 + 5

1 = 4

3=

• Convierta el número entero en fracción: +

51=

• Convierta el número mixto en fracción impropia:

x

4

• Aplique el procedimiento de suma de fracciones con diferente denominador.

(4 ÷ 3 21 + = 1 4

) x 3 + (4 ÷ 4 + 4

66

IGER − Quiriguá

) x 21

=

4

=

(

x 3) + ( 4 =

x 21)

=

¡Veamos otros ejemplos!

13 +2+ 1 =

Sumemos

4

2


13= 7

2. Expresamos el número entero como fracción:

2=

3. Sumamos:

4

4

2 1

7 2 1 + + = 4 1 2

A simple vista podemos determinar que el mcm es 4. 7 (4 ÷ 4) x 7 + (4 ÷ 1) x 2 + (4 ÷ 2) x 1 2 1 + + = = 4 4 1 2

1x7+4x2+2x1 1 7+8+2 17 = = =4 4 4 4 4

Restemos 7 – 3

1 = 4

1. Expresamos el número entero como fracción:

7=

7 1


31

=

3. Restamos:

4

13 4

7 13 (4 ÷ 1) x 7 – (4 ÷ 4) x 13 (4 x 7) – (1 x 13) – = = = 1 4 4 4 28 – 13 15 3 = =3 4 4 4

Ejercicio 3 1)

Reste: 3

2 4 – = 3 5

• Convierta el número mixto en fracción impropia.

32= 3

• Aplique el procedimiento de resta de fracciones con diferente denominador.

11 4 – = 3 5


67

2)

Reste 7 + 2

3 = 7

• Convierta el número entero en fracción y el número mixto en fracción impropia:

23

7=

7

=

• Aplique el procedimiento de suma con diferente denominador.

7 17 + = 1 7

Resumen 1.

Para sumar y restar fracciones con diferente signo y diferente denominador: – 1 + 3 = 3 4

• Hallamos el denominador común, calculando el mcm de los denominadores. mcm (3 y 4) = 12 • Calculamos los nuevos numeradores: dividiendo el mcm entre el denominador original y multiplicándolo por el numerador. 3 – 1 + = (12 ÷ 3) x (–1) + (12 ÷ 4) x 3 = 4 x (–1) + 3 x 3 = 4 3 12 12

• Sumamos o restamos los numeradores y simplificamos. 2.

–4+9 = 5 12 12

Para sumar y restar fracciones, números enteros y números mixtos:

2 1 +3+ 1 = 4

2

• Convertimos los números mixtos en fracciones impropias.

21 = 9 4

4

3= 3 1

• Expresamos los enteros como fracción:

• Aplicamos el procedimiento de suma y resta de fracciones de diferente denominador.

9 + 3 + 1 = 4 1 2

mcm (4, 1 y 2) = 4

9 + 12 + 2 (4 ÷ 4) x 9 + (4 ÷ 1) x 3 (4 ÷ 2) x 1 3 = (1 x 9) + (4 x 3) + (2 x 1) = = 23 = 5 4 4 4 4 4

68

IGER − Quiriguá


Resuelva en su cuaderno las sumas de fracciones positivas y negativas de diferente denominador. Tiene un ejemplo.

( )

2 1 (12 ÷ 3) x 2 + (12 ÷ 3) x (–1) 4 x 2 + 3 x (–1) + – = = = 3 4 12 12

0)

8 + (–3) 8–3 5 = = 12 12 12

B.

( ) ( ) ( )

1)

– 1 + 3 = 8)

2)

8 1 + – = 9) 9 6

8 1 5 + + – = 9 2 6

3)

– 1 + 3 =

10)

–

4)

8 7 + – = 9 3

11)

12 9 + = 3 7

5)

– 1 + 2 + – 1 =

12)

–

3 2 + = 15 6

6)

2 3 7 + – + = 5 10 15

13)

–

5 6 + = 3 9

7)

– 2 + – 1 + – 7 =

14)

5 2 – = 7 3

2

2

2

6

5

( ) 4

( )

( )

3

4

( ) ( ) ( ) 3

9

– 1 + – 2 + – 3

12

5

10

=

7 8 + = 9 12

Resuelva en su cuaderno las sumas y restas de fracciones, números enteros y números mixtos. Siga los pasos aprendidos en la semana. Tiene un ejemplo. 0)

1 3 +2 = 4 4 • Convierta los números enteros y números mixtos a fracción: 2 • Sume:

1 11 1 + 11 12 + = = =3 4 4 4 4

1)

5 1 –2 3

=

2)

41

3 3

4

+ 2 =

3)

21

4)

–4

5

3 11 = 4 4

3 = 2

5)

–

1 + 3 = 3

6)

5 3 –2 = 6 4

+

4 1 +1 = 5 5


69


B.

70

Resuelva las multiplicaciones de números enteros. Trate de resolverlas en un tiempo máximo de 2 minutos. Tome en cuenta la ley de signos. 0)

(–7) x (–6) = 42 7)

6 x (–6) =

14)

(–8) x 5 =

1)

4x3=

8)

8 x (–7) =

15)

(–2) x 7 =

2)

7x7=

9)

3 x (–8) =

16)

(–1) x 9 =

3)

5x8=

10)

2 x (–4) =

17)

(–3) x (–2) =

4)

9x6=

11)

4 x (–5) =

18)

(–4) x (–3) =

5)

8x7=

12)

(–4) x 2 =

19)

(–5) x (–4) =

6)

2x4=

13)

(–6) x 3 =

20)

(–6) x (–5) =

Realice mentalmente las multiplicaciones y sumas para encontrar la fracción impropia. 0)

41

=

9 7) 2

1 8

=

1)

63

=

8)

82

=

2)

24

=

9)

33

=

16) 3 =

3)

32

=

10) 4 =

4)

51

=

11)

42

=

18)

15

=

5)

72

=

12)

52

=

19)

82

=

6)

27

=

13)

42

=

20)

91

=

2

5 6 3 2 3 9

IGER − Quiriguá

10 3 5 5 6 7 7 9

14)

51

=

15)

42

=

2 3 3 4 4 5

17) 2 =

6 5 2

Razonamiento lógico Resolución de problemas Resuelva los problemas. Exprese siempre la respuesta en forma de fracción. 1)

3 de hora antes de cenar y 1 hora después. ¿Cuánto tiempo estudia Andrés estudia 4 en total?

2)

1 3 de hora el lunes y 1 horas el martes. ¿Cuánto tiempo más estudió Diana estudió 2 4 el martes?

3)

3 Alejandra se propone estudiar todos los días durante 1 de hora. Hoy ha estudiado 4 7 horas. ¿Cuánto le faltó para completar su tiempo de estudio? 8

4)

De una pieza de tela de 4 metros se cortan

5)

Darío vive a 8

6)

7)

3 . ¿Cuántos metros mide el trozo restante? 4

1 cuadras de su trabajo. ¿Cuántas cuadras recorre de ida y vuelta? 2

1 libras de carne que se prepararon para la comida de un restaurante, se 2 3 consumieron 12 . ¿Cuántas libras de carne sobraron? 6 De 15

6 Un atleta de salto libre quiere lograr un salto de 3 metros. Logra 2 metros. ¿Cuánto 9 le falta para lograr su objetivo?

8)

Para la construcción de las columnas de una casa se pidieron 4 quintales de hierro. 5 Sólo se usaron 3 . ¿Qué cantidad de hierro sobró? 10

9)

Una tabla mide 6

1 pies de largo. ¿Cuánto medirán tres tablas de la misma longitud? 4

3 10) En las elecciones celebradas en un pueblo, de los votos fueron para el partido A, 11 3 5 para el partido B, para C y el resto para el partido D. 10 14

a. ¿Qué fracción de los votos recibió el partido D?

b. ¿Qué partido fue el más votado?


71






Resuelvo sumas y restas de fracciones positivas y negativas de diferente denominador. Resuelvo sumas y restas de fracciones y números mixtos. Agilizo el cálculo mental multiplicando números enteros y convirtiendo números mixtos a fracciones impropias. Resuelvo problemas matemáticos aplicando las operaciones de suma y resta de fracciones.


72

IGER − Quiriguá

23

Multiplicación y división de fracciones


73

Los logros que conseguirá esta semana son:  Multiplicar y dividir fracciones.  Practicar el cálculo mental con la multiplicación de fracciones y fracciones equivalentes.  Resolver problemas aplicando la multiplicación y la división de fracciones. 


• Ley de signos de la multiplicación y la división de números enteros


• Multiplicación de fracciones • División de fracciones



74

IGER − Quiriguá

• Multiplicación de fracciones y fracciones equivalentes • Problemas matemáticos aplicando la multiplicación y división de fracciones

¡Para comenzar! Ley de signos de la multiplicación y la división de números enteros La ley de signos para multiplicar y dividir números enteros también se aplica para la multiplicación y división de fracciones. Veamos:

Multiplicación Ley de signos:

+ x + = +

3 x 7 = 21

– x

– = + x – = – +

(–3) x (–7) = 21

– x + = –

(–3) x 7 = –21

3 x (–7) = –21

División Ley de signos:

+ ÷ + = +

21 ÷ 7 = 3

– ÷

( –21) ÷ (–7) = 3

– = + + ÷ – = – – ÷ + = –

2 1 ÷ (–7) = –3 ( –21) ÷ 7 = –3

¡A trabajar! Resuelva las multiplicaciones y las divisiones. No olvide aplicar la ley de signos. Tiene un ejemplo.

–45

5)

(–4) x (– 7) =

10 x (– 7) =

6)

(–8) x (– 2) =

2)

32 ÷ (–4) =

7)

(–81) ÷ (– 9) =

3)

42 ÷ (–6) =

8)

(–64) ÷ (– 8) =

4)

72 ÷ (– 8) =

9)

(–70) ÷ (– 7) =

0)

9 x (– 5) =

1)


75


1. Multiplicación de fracciones El resultado de multiplicar dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador, el producto de los denominadores. Es decir que para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican “en línea”: • numerador por numerador y

3 3 1 x = 10 5 2

• denominador por denominador. Otros ejemplos:

5 1 5 3 15 x x = = 8 3 2 4 24

5 x 2 = 10 = 5

3

8

24

12

El resultado de la multiplicación de dos fracciones es positivo si las fracciones tienen el mismo signo y negativo si los signos son diferentes. Por ejemplo:

–

( )

1 2 2 1 x – = = 4 5 20 10

–

1 1 2 2 x =– =– 10 4 5 20

Ejercicio 1 Multiplique las fracciones y simplifique el resultado. Tiene un ejemplo. 0)

6 3 1 6 x = = 8 4 32 16

1)

1 3 4 x x = 4 8 2

2) –

76

8 3 x = 10 6

IGER − Quiriguá

( )

3)

3 7 x – = 9 5

4)

–

5)

5 4 x = 9 3

( )

6 2 x – = 7 4

2. División de fracciones La división de fracciones consiste en dividir una fracción entre otra fracción. Puede realizarse de varias formas. Nosotros vamos a conocer dos: • Multiplicar las fracciones en forma cruzada. • Utilizar el producto de extremos y medios. Vamos a practicar las dos. Luego, usted decide cuál utiliza.

2.1 Multiplicar las fracciones en forma cruzada Como su nombre lo indica, este método consiste en multiplicar en forma cruzada. Dividir –

3 7 ÷ = 5 8

• Cuando una o ambas fracciones son negativas, primero se multiplican los signos. En este caso: menos por más es igual a menos. (–) x (+) = (–) • Para hallar el numerador: se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. • Para calcular el denominador: se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

7 – 3 x 8 – 24 3 = = ÷ 35 5x7 8 5

– ¡Otro ejemplo! Dividir

2 1 2x4 1 8 ÷ = = =1 7 4 7x1 7 7

2 1 ÷ = 7 4

Ejercicio 2 Divida fracciones multiplicando en forma cruzada. Recuerde aplicar la ley de signos y simplificar sus respuestas. Tiene un ejemplo. 0)

1 2 1x3 3 9 5 ÷ = = 3) ÷ = 4 3 4x2 8 7 6

1)

– 2 ÷ 4 =

4)

– 2 ÷ – 1 =

2)

5 3 ÷ = 6 8

5)

8 3 ÷ = 10 7

5

3

7

( ) 4


77

2.2 Producto de extremos y medios Otro método para dividir fracciones es la ley de extremos y medios o ley del sándwich. Para aplicar esta ley debemos: • Formar una fracción con las dos fracciones que se dividen: la primera fracción será el numerador y la segunda fracción, el denominador. • Multiplicar los números que quedan en los extremos para formar el numerador y multiplicar los medios para formar el denominador. Ejemplo –

3 7 ÷ = 5 8

• Escribimos la división como una fracción: la primera fracción es el numerador y la segunda fracción, el denominador.

– extremos

3 5 7 8

medios

• Como ya dijimos si una de las fracciones es negativa, primero multiplicamos los signos. Luego multiplicamos los extremos para obtener el numerador de la respuesta y multiplicamos los medios para obtener el denominador.

–

3 5 7 8


=–

–

3x8 24 =– 5x7 35

7 3 24 ÷ =– 8 5 35

Observe que de las dos formas se obtiene el mismo resultado.

Ejercicio 3 Resuelva las divisiones utilizando el producto de extremos y medios. Simplifique su respuesta. Tiene un ejemplo. 0)

1)

78

1 3

1 5 1x8 8 – 3 ÷ 1 = ÷ = = = 2) 3 6 8 3 x 5 15 9 5 8 1 4

1 6 ÷ = = 4 4 6 4

IGER − Quiriguá

x x

=

1 9

3) ÷

1 = 2

Resumen 1.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones se realiza en forma horizontal: numerador por numerador y denominador por denominador.

2 2 1 x = 15 3 5 2.

División de fracciones

Se puede realizar por dos métodos:

2.1 Multiplicación de fracciones en forma cruzada

Ejemplo: –

3 2 ÷ = 4 5

• Si una de las fracciones o ambas son negativas, primero multiplicamos los signos. En este caso: menos por más es igual a menos. • Para hallar el numerador, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. • Para calcular el denominador, multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción.

– 3 ÷ 2 = – 3 x 5 = – 15 = – 1 7 4 5 4x2 8 8 2.2 Producto de extremos y medios

3 2 ÷ = Ejemplo: – 4

5

• Formamos una fracción con la división: escribimos la primera fracción como numerador y la segunda como denominador.

– extremos

3 4 2 5

medios

• Si una de las fracciones o ambas son negativas, primero multiplicamos los signos. En el ejemplo: menos por más es igual a menos. El producto de los extremos es el numerador de la respuesta y el producto de los medios, el denominador.

3 4 = – 3 x 5 = – 15 4x2 8 2 5 7 3 2 15 – ÷ =– =–1 8 4 5 8 –



79

Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Lea la pregunta y rellene el cuadrado de la respuesta correcta. Si necesita operar, hágalo en el espacio en blanco. Simplifique sus respuestas. Tiene ejemplo. 0)

¿Cuál es el producto de 3 x 1 ?

5

2

12/5 3/10 3/24

1)

Cuando se dividen fracciones por el método de extremos y medios, ¿cómo se calcula el numerador? multiplicando los medios multiplicando los extremos multiplicando los denominadores 2)

¿Cuál es el resultado de dividir 7 ÷ 2 ?

4

3)

¿Cuál es el resultado de dividir

5)

¿Cuál es el resultado de dividir

80

multiplicando los numeradores multiplicando los denominadores multiplicando numerador por denominador

4 1 ÷ ? 2 4

8 4/8 2/8

¿Qué resultado obtenemos al multiplicar

6)

14/12 14/15 21/8

Al multiplicar fracciones, ¿cómo se calcula el numerador?

4)

3

IGER − Quiriguá

2 3 x ? 5 6

1/5 6/11 12/30

1 3 ÷ ? 2 4 3/8 2/3 3/2

Actividad 2. Practique lo aprendido A.

Resuelva las multiplicaciones de fracciones. Simplifique su resultado. Tiene un ejemplo. 0) 1) 2) 3) 4)

B.

( )

5) 6) 7) 8) 9)

– 3 x 1 =

4 5 – 3 x – 4 = 5 4 2 1 x = 7 2 – 5 x 2 = 6 5 2 6 x – = 5 7

( )

( )

Resuelva las divisiones utilizando el método de multiplicación en forma cruzada. Tiene un ejemplo. 0) 1) 2) 3) 4)

C.

1 7 7 3 x = =1 2 2 4 4 – 1 x 3 = 6 4 1 7 x = 9 2 – 3 x – 5 = 9 3 6 2 x = 10 9 1 2 7 1x2 1 ÷ = = = 2 14 2 2x7 7 – 3 ÷ 9 = 4 7 1 6 ÷ = 8 5 – 9 ÷ 3 = 2 7 7 4 ÷ = 3 9

5) 6) 7) 8) 9)

3 7 ÷ = 5 3 – 8 ÷ 9 = 6 4 11 3 ÷ = 2 5 – 8 ÷ – 2 = 6 9 1 8 ÷ = 10 17

( )

Resuelva las divisiones utilizando el producto de extremos y medios. Tiene un ejemplo. 0)

4 3 4 8 3 4x2 ÷ = = = 3 3 9 2 3x3 2

1)

– 5 ÷ 6 =

2)

9 3 ÷ = 2 2

3)

8 4 ÷ = 5 6

4)

9 7 ÷ = 4 3

9

8


81

Actividad 3. Desarrolle nuevas habilidades A.

Calcule las fracciones de los minutos y las horas que le piden en cada numeral. Guíese por los ejemplos. 1)

Si sabemos que una hora tiene 60 minutos, cuántos minutos hay en...

a.

un cuarto de hora

b.

media hora

c.

tres cuartos de hora

2)

Si sabemos que un día está compuesto por 24 horas, cuántas horas hay en...

a.

tres cuartos de día

b.

medio día

c.

dos tercios de día

60 1 60 x = = 15 1 4 4

R/ En un cuarto de hora hay 15 minutos.

24 3 72 x = = 18 R/ En tres cuartos de día hay 18 horas. 1 4 4

B.

Resuelva las operaciones en su cuaderno. Luego escriba la letra de cada operación a la par de la respuesta correspondiente. La letra U es un ejemplo. Si sus resultados son correctos, descubrirá la respuesta a la pregunta:

¿Cómo se llama el telescopio gigante que fue ubicado en el espacio en abril de 1990? E

4 1 ÷2 5 =

U

5 3 15 1 x = = 6 10 60 4

5

8

4 4 5

1 4

U

2 3

B

11 x 1 =

B

L

11 ÷ 1 =

H 6 x

3

2

2

2

32 35

3

R/ El telescopio gigante ubicado en el espacio, en 1990, se llama:

82

IGER − Quiriguá

4 5 ÷ = 7 8 4 = 5

13 5


B.

C.

Resuelva mentalmente la multiplicación de fracciones. Hágalo en 3 minutos.

0)

1 3 3 x = 2 4 8

1)

1 2 = x 5 3

5 1 = 14) x 6 2

1 1 = x 3 2

5 5 = 8) x 6 8

9 1 = 15) x 7 4

2)

1 5 = x 2 3

1 1 = x 5 6

3 2 = 16) x 7 5

3)

2 3 = x 7 5

1 2 = 10) x 3 3

1 2 = 17) x 7 3

4)

3 1 = x 4 5

1 7 = 11) x 3 4

1 5 = 18) x 6 4

5)

1 2 = x 3 5

3 4 = 12) x 7 5

1 3 = 19) x 5 5

6)

5 3 = x 7 10

4 6 = 13) x 5 7

1 4 = 20) x 3 5

7)

9)

Divida el numerador de la primera fracción entre 3 para completar el numerador de la segunda fracción y obtener fracciones equivalentes. Tiene un ejemplo.

0)

3 6

1 2

2)

3 9

1)

6 9

3)

9 12

3

3

4

4)

15 45

15

5)

12 24

8

Divida el numerador de la primera fracción entre 5 para completar el numerador de la segunda fracción y obtener fracciones equivalentes. Tiene un ejemplo.

0)

5 10

1 2

2)

20 30

6

1)

10 15

3

3)

15 20

4

4)

25 40

8

5)

35 75

15


83

Razonamiento lógico Esta semana resolveremos problemas aplicando la multiplicación y la división de fracciones. Le damos algunas claves para saber en qué casos utilizamos la multiplicación y en qué casos la división de fracciones. La multiplicación se emplea cuando: • Debemos averiguar la parte o fracción de un número entero. Por ejemplo: Un campo mide 2000 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados tiene 1/4 del campo?

2000 1 2000 x = = 500 1 4 4 R/ La cuarta parte del campo mide 500 metros cuadrados. • Debemos calcular la fracción de una fracción. Por ejemplo: Sara construyó su casa en 1/3 de su terreno. De los dos tercios restantes, dio 1/4 a cada uno de sus hijos. ¿Qué fracción del total del terreno le dio a cada hijo?

2 1 2 1 x = = 3 4 12 6 R/ Sara dio a cada hijo 1/6 del total del terreno. La división se emplea cuando: • Debemos separar o repartir un todo en partes iguales. Por ejemplo: Un labrador ha dividido su campo en 8 parcelas iguales. ¿Cuántas parcelas contienen los 3/4 del campo? Cada parcela es 1/8 del campo. Luego basta ver cuántas veces 1/8 está contenido en 3/4. Para averiguarlo dividimos:

3 1 24 6 ÷ = = =6 4 8 4 1 R/ En 3/4 del campo hay 6 parcelas de 1/8.

84

IGER − Quiriguá

Resuelva los siguientes problemas aplicando lo aprendido esta semana. 1)

En una escuela de arte se compró un galón de pintura azul y se dividió en 3 partes iguales para cada clase. Cada profesor dividió su parte asignada en 5 partes iguales para cada estudiante. ¿Qué cantidad de pintura le tocó a cada estudiante?

2)

En una fábrica de dulces se elaboraron 20 kilogramos de caramelos de menta y se empacaron en bolsas de 1/3 de kilogramo. ¿Cuántas bolsas se llenaron en total?

3)

Un automóvil tiene un tanque de gasolina con capacidad para 8 galones. Si el tanque está lleno y en un viaje se gastan 2/5 de su capacidad, ¿cuántos galones de gasolina se consumieron?

4)

En un círculo de estudio hay 40 estudiantes. Hoy asistieron 2/4 de mujeres y 3/8 de hombres.

a. ¿Cuántas mujeres y cuántos hombres asistieron hoy?

a. ¿Cuántos estudiantes faltaron hoy?

5)

Un libro tiene 180 páginas. El sábado leí 2/5 y el domingo 1/5.

a. ¿Cuantas páginas leí en total?

b. ¿Cuantas páginas me quedan por leer?

6)

Francisca es dueña de una pollería. Ayer vendió 1500 quetzales de pollo. Si su ganancia es 1/5 de lo vendido, ¿cuántos quetzales ha ganado?

7)

Un terreno tiene 1/3 de su espacio ocupado por una pequeña laguna y el resto es terreno firme. Se construye una casa que ocupa solamente 3/5 del terreno firme. Del total del terreno, ¿cuánto espacio está construido?

8)

En un conservatorio hay 1200 músicos. 1/3 toca el clarinete, 1/4 el oboe y 5/12 el violonchelo.

a. ¿Cuántos músicos tocan el clarinete?

b. ¿Cuántos músicos son violonchelistas?

c. Si la mitad de los músicos está en grado elemental, ¿cuántos estudiantes que tocan el oboe están en grado elemental?

d. Si la tercera parte de los que tocan el oboe está en grado superior, ¿cuántos músicos de oboe están en grado superior?


85






Multiplico y divido fracciones. Practico el cálculo mental con la multiplicación de fracciones y fracciones equivalentes. Resuelvo problemas aplicando la multiplicación y la división de fracciones.


86

IGER − Quiriguá

24

Potencias de números racionales


87

Los logros que conseguirá esta semana son:  Identificar las reglas de potenciación para las fracciones.  Resolver potencias con fracciones.  Memorizar la jerarquía de operaciones incluyendo las potencias.  Resolver con agilidad potencias al cuadrado de números enteros y conversiones de fracciones impropias en números mixtos.  Desarrollar el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos. 


• ¡Hagamos memoria! Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones


• Potencias de fracciones • Reglas para potencias de fracciones • Jerarquía de operaciones



88

IGER − Quiriguá

• Resolver potencias al cuadrado y convertir fracciones en números enteros.

• Problemas matemáticos

¡Para comenzar! ¡Hagamos memoria! Operaciones combinadas y jerarquía de operaciones En la semana 15, aprendimos que una operación combinada es aquella que reúne varias operaciones en una sola. Para resolver correctamente estas operaciones, aplicamos la jerarquía de operaciones. Esta establece el orden y la forma de realizar operaciones combinadas. Hasta ahora hemos trabajado las operaciones combinadas sin tomar en cuenta las potencias. Ahora agregaremos la potenciación y trabajaremos con fracciones. ¿Cómo queda el orden de las operaciones añadiendo la potenciación? 1. Primero se realizan las operaciones dentro de los signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Los signos de agrupación se eliminan de adentro hacia fuera.

{[()] }

2. Eliminados los signos de agrupación, se resuelven las potencias, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. La letra "a" representa cualquier número y la letra "n" cualquier potencia.

an

3. Luego se resuelven las multiplicaciones y divisiones, siempre en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

x ÷

4. Por último, las sumas y restas en el orden en que se presentan, de izquierda a derecha.

+ –

Esta semana practicaremos potencias aplicadas a números fraccionarios y resolveremos operaciones combinadas con fracciones.


89


1. Potencia de una fracción Desarrollamos una potencia cuando multiplicamos la base, la cantidad de veces que indica el exponente. Por ejemplo:

32 = 3 x 3 = 9 Del mismo modo que aplicamos la potenciación a los números naturales y enteros, la aplicaremos a los números fraccionarios. Veamos. Si la base de una potencia es una fracción, debemos elevar tanto el numerador como el denominador al exponente indicado y desarrollar cada potencia. Siga los pasos en los ejemplos: Ejemplo:

( ) 2 3

3

=

• Elevamos el numerador y el denominador al exponente indicado:

23 = 33 2x2x2 = 3x3x3

• Desarrollamos las potencias:

( ) 2 3

• Escribimos el resultado final: Ejemplo:

( ) 4 5

4

3

=

8 27

=


44 = 54 4x4x4x4 = 5x5x5x5


( ) 4 5

• Escribimos el resultado final:

4

=

256 625

Ejercicio 1 Desarrolle las potencias de fracciones. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo.

90

0)

( )

=

1)

( 45 )

=

1 2

5

3

IGER − Quiriguá

15 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 = 5 = 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 32 =

=

2)

( )

=

=

3)

( 15 )

=

=

3 7

2

4

=

=

2. Potencia de un número mixto Cuando se trata de elevar un número mixto a una potencia cualquiera, se convierte el número mixto a fracción impropia y se aplica la regla anterior. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo:

( 5) 12

2

=

+

• Convertimos el número mixto en fracción impropia:

( 5) ( )


72 = 52


7x7 = 5x5


( 75 )

Ejemplo:

( 3) 24

3

12

2

=

x

2

=

7 5

2

49 25

=

• Convertimos el número mixto en fracción impropia:

( 3) ( )


103 = 33


10 x 10 x 10 = 3x3x3

24

( 103 )

3


3

=

=

10 3

3

1000 27

Ejercicio 2 Convierta los números mixtos en fracciones impropias y desarrolle las potencias. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)

(3 26 ) ( 206 )

=

1)

(1 45 ) ( ) =

=

=

=

2)

( 4) ( )

=

=

=

2

2

21

3

=

=

2

202 20 x 20 400 = = 62 36 6x6


91

3. Reglas de potenciación En la semana 16 aprendimos estas reglas para operar potencias. Veamos cómo se aplican para calcular potencias de fracciones. Regla 1

• Si una fracción negativa está elevada a una potencia par, el resultado es positivo.

( ) ( 12 )

• Si una fracción negativa se eleva a una potencia impar, el resultado es negativo.

( 2)

• Si la fracción es positiva, el resultado es positivo.

2 3

3

4

–

– 1

3

=

8 27

=

1 16

=–

1 8

Regla 2 Toda fracción elevada al exponente 0, es igual a la unidad (1).

( )

=

1 =1 1

( 43 )

=

4 3

5 7

0

Regla 3 Toda fracción elevada a 1, da como resultado la misma fracción.

1

Ejercicio 3 Aplique las reglas de potenciación para resolver las potencias de fracciones. Tiene un ejemplo.

92

0)

( )

=

1)

( )

=

=

2)

( )

=

3)

( 5)

=

4)

( 37 )

=

1 3 5 9 3 8

0

0

1

– 2

–

3

2

IGER − Quiriguá

1 = 1 1

5)

( )

6)

( )

7)

( 8)

8)

( )

=

9)

( 23 )

=

6 0 = 11 1 2

5

– 6

6 9

0

3

=

=

2

=

=

4. Operaciones combinadas con fracciones Recordemos la jerarquía de las operaciones combinadas. • Si aparecen signos de agrupación, se realiza primero lo que esté dentro de estos.

{[()] }

• Eliminados los signos de agrupación, se opera en el siguiente orden:

an

potencias multiplicaciones y divisiones

x

÷

sumas y restas

+

–

• Si no hay signos de agrupación y las operaciones son de igual importancia resolvemos en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. Ejemplo: 1. Primero resolvemos los paréntesis. Fíjese que el segundo incluye una potencia.

( 14 + 24 ) + ( 12 ) x 13 =

2. Luego, resolvemos la multiplicación de izquierda a derecha:

3 1 1 + x = 4 4 3

3. Por último resolvemos la suma:

2

3 1 + = 4 12

(12 ÷ 4) x 3 + (12 ÷ 12) x 1 (3 x 3) + (1 x 1) 9+1 10 5 = = = = 12 3 12 12 6 Veamos otro ejemplo: 1. Primero resolvemos el paréntesis:

( 25 + 13 ) x 12 =

( 25 + 13 ) = (15 ÷ 5) x 215+ (15 ÷ 3) x 1 = (3 x 2) 15+ (5 x 1) = 6 15+ 5 = 11 15 2. Eliminado el signo de agrupación, resolvemos la multiplicación:

11 1 11 x = 15 2 30 Matemática − Semana 24

93

Veamos otro ejemplo:

( )=

3 1 1 1 x + ÷ 4 2 2 3

1. Resolvemos la potencia: 2. Luego, resolvemos la multiplicación y la división de izquierda a derecha:

3

3 1 1 1 x + ÷ = 4 2 3 8 3 8 + = 8 3

3. Por último resolvemos la suma:

3 8 (24 ÷ 8) x 3 + (24 ÷ 3) x 8 (3 x 3) + (8 x 8) + = = = 8 3 24 24 1 73 9 + 64 = =3 24 24 24

Ejercicio 4 Resuelva las operaciones combinadas utilizando la jerarquía de operaciones. Tiene un ejemplo. 0) Resuelva:

• Primero realizamos la potencia: • Luego multiplicamos: • Por último restamos:

( ) x 23 =

2 1 – 9 3

2

2 1 2 – x = 9 9 3 2 2 – = 9 27

2 2 (27 ÷ 9) x 2 – (27 ÷ 27) x 2 (3 x 2) – (1 x 2) 6–2 4 – = = = = 9 27 27 27 27 27 2) Resuelva: • Primero resolvemos el paréntesis:

• Luego restamos:

94

IGER − Quiriguá

(

)

3 – 9

=

3 1 2 – x = 9 3 3

Un ejemplo más:

( 45 – 15 ) x 17 + 17 =

1. Primero resolvemos el paréntesis:

1 3 1 x + = 7 5 7

2. Eliminado el signo de agrupación, resolvemos la multiplicación:

1 3 + = 7 35

3. Por último, resolvemos la suma:

3 1 (35 ÷ 35) x 3 + (35 ÷ 7) x 1 (1 x 3) + (5 x 1) + = = = 35 7 35 70 8 3+5 = 35 35

Ejercicio 5 Resuelva las operaciones combinadas utilizando la jerarquía de operaciones. Tiene un ejemplo. 1) Resuelva:

( ) ÷ 12 + 14 x 12 = 3 4

• Primero realizamos la potencia:

2

• Ahora la división y la multiplicación en el orden en el que aparecen:

÷

18 1 (16 ÷ + = 16 8 + 16

) x 18 + (16 ÷ 16 =

=

)x1 =1

=

(

x 18) + ( 16

• Luego la multiplicación:

• Por último, resolvemos la resta:

x 1)

=

2 8

2) Resuelva:

• Primero realizamos la potencia:

=

+

• Por último, resolvemos la suma:

1 1 1 + x = 2 4 2

( )=

1 1 3 – x 2 4 4

2

1 3 – x 4 4 1 – 4

= =

1 3 – = 4 16


95

Resumen 1.

Potencias de fracciones

Si la base de una potencia es una fracción, debemos elevar tanto el numerador como el denominador al exponente indicado y desarrollar cada potencia.

( 23 ) = 32 3

3 3

=

2x2x2 8 = 3x3x3 27

1.1 Reglas de potenciación de fracciones Regla 1: • Si una fracción negativa se eleva a una potencia par, el resultado es positivo. • Si una fracción negativa se eleva a una potencia impar, el resultado es negativo. Regla 2: • Toda fracción elevada al exponente 0, da como resultado 1.

( 12 ) = 161 4

–

( 12 ) = 3

–

– 1

8

( ) =1 5 7

0

Regla 3: • Toda fracción elevada al exponente 1, da como resultado la misma fracción.

( 43 ) = 43 1

2.

Jerarquía de operaciones

La jerarquía de operaciones establece el orden y la forma para realizar las operaciones. 1. Primero se realizan las operaciones dentro de los signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Los signos de agrupación se eliminan de adentro hacia afuera. 2. En segundo lugar, se resuelven las potencias, en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. 3. Luego, se resuelven las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. 4. Por último, las sumas y restas, siempre en el orden de aparición de izquierda a derecha.

96

IGER − Quiriguá

{[()] }

an x ÷ + –


B.

Desarrolle las potencias de fracciones. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)

( )

=

1)

( )

=

5)

( )

=

2)

( )

=

6)

( )

=

3)

( )

=

7)

( )

1 5 2 3 1 6 4 7

3

3

3

2

( )

13 1x1x1 1 2 4 = = 4) = 53 5x5x5 125 3 2 5 7 9

4

2

6 2 = 10

Convierta los números mixtos en fracciones impropias y desarrolle las potencias de fracciones. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)

( 5) ( )

1)

(2 13 )

=

2)

(1 32 )

=

3)

( 2)

=

4)

( 6)

=

5)

( 2)

=

13

2

2

3

21 13 31

4

2

2

=

8 5

2

=

82 8 x 8 64 = = 52 5 x 5 25


97

C.

D.

98

Aplique las reglas de potenciación para resolver las potencias de fracciones. Tiene un ejemplo. 0)

( )

=

1)

( 36 )

=

2)

( 14 )

3)

( 1121 )

4)

( 314 )

5)

( 4)

1 5

3

2

7)

( 79 )

8)

( 23 )

=

9)

( 67 )

=

10)

( 118 )

11)

( 5)

3

–

0

1

– 1

( )

13 1 2 4 = 6) = 53 125 3

4

=

=

2

=

4

–

2

=

1

–

– 1

=

3

=

=

Resuelva en su cuaderno las operaciones combinadas. 1)

( 12 ) – ( 13

2)

( 12 15 ) ÷ ( 12 ) + 13

3)

(

4)

( ) + ( 16 ÷ 13 )

5)

(

6)

( ) (

2

–

)

2 = 7) 4

+

2

x

) ( )

2 1 1 – – 3 2 5 1 3

2

= 8)

= 9)

2

+

IGER − Quiriguá

3

=

( 14 ÷ 13 ) + ( 12 ) + 13 3

( 27 – 12 ) x 23

)

11)

( 3 ) + ( 33 – 13 ) ÷ 16

1 1 x = 4 3

12)

( 2 ) x ( 14 x 12 ) – 12

)

– 2

– 1

=

3

4

=

=

( 34 ÷ 15 ) – ( 18 + 15 )

=

) (

2 3

–

10)

2

2 3 1 1 ÷ – + = 2 5 2 3

–

( 13 ) + 13

=

=


B.

Coloque a cada fracción el exponente que haga que se cumpla la respuesta dada. Tiene un ejemplo. 0)

( )

1)

(– 37 )

=

2)

(– 23 )

=–

3)

( 35 )

=

9 9) 25

4)

( 15 )

=

1 2 8 10) – =– 125 3 27

5)

(– 14 )

=1

9 7) 49

( 14 )

=

1 4

8 8) 27

( 56 )

=

125 216

(– 13 )

=

1 9

( )

=

( )

1 1 1 11) – =– 16 4 64

Resuelva las potencias y sume para completar el crucinúmero. Tiene un ejemplo en el lado derecho de la hoja.

3

2

+

+ 1 3

1 2

=

+ +

=

( 73 )

1 1 1 = 6) 5 5

Ejemplo:

19 9 19 – 18 1 – = = 2 1 2 2

+ +

= +

19 2

4 3 =

=


99


B.

Escriba el cuadrado de cada número. Intente resolverlo en menos de 1 minuto. Tiene un ejemplo. 0)

72 = 49

3)

82 =

6)

1)

32 =

4)

62 =

7) 52 =

2)

22 =

5)

42 =

8) 12 =

Realice las sumas mentalmente. Observe que el primer sumando es un cuadrado. Intente hacerlo en 2 minutos como máximo. Tiene un ejemplo. 0)

C.

102 + 1 = 101

4)

32 + 1 =

8) 12 + 4 =

1) 52 + 5 =

5)

22 + 6 =

9) 42 + 2 =

2) 12 + 3 =

6)

82 + 1 =

10)

22 + 1 =

3) 72 + 1 =

7)

92 + 4 =

11)

62 + 4 =

Convierta las fracciones impropias a números enteros. Tome en cuenta la ley de signos. Intente hacerlo en 2 minutos como máximo. Hay un ejemplo.

0)

– 12 = –2 7)

6

– 20 =

20

8 = 4

18 = 2

14)

24 1) = 8

8)

20 2) = 10

9)

21 = 7

16)

–

15)

100 = 10 3 = 1

3)

– 36 =

10)

27 = 9

50 17) – = 10

4)

– 18 =

11)

22 = 11

35 18) – = 5

50 5) = 10

12)

– 49 =

21 19) – = 7

120 = 1

13)

– 30 =

81 20) – = 9

6)

100

102 =

9 2

IGER − Quiriguá

7 3

Razonamiento lógico Resuelva los problemas. 1)

Un comerciante tiene una ganancia de 60 quetzales diarios, de lunes a viernes. Al final de la semana invierte un medio de las ganancias en nueva mercadería y ahorra un tercio en el Banco.

a. ¿Cuánto dinero invierte?

b. ¿Cuánto dinero ahorra en el Banco?

c. ¿Cuánto le queda del total de la ganancia?

2)

La asociación ‟Esperanza” para enfermos de Alzheimer, organizó una maratón para recaudar fondos. Cada competidor pagó 50 quetzales por la inscripción. Si reunieron 3000 quetzales:

a. ¿Cuántas personas participaron en la carrera?

b. Si una tienda de electrodomésticos ofreció donar 1/2 de lo recaudado, ¿cuál fue el valor del donativo?

3)

En un terreno había 400 árboles adultos y se talaron 3/4 partes.

a. ¿Cuántos árboles fueron talados?

b. ¿Cuántos árboles quedaron?

c. Si por cada árbol adulto talado se deben sembrar 4 árboles nuevos, ¿cuántos árboles nuevos deben plantarse en el área deforestada?

4)

Natalia y Armando preparan su tierra para la próxima siembra. Hoy Natalia abonó 3/8 del terreno y Armando abonó 1/2. ¿Qué fracción del terreno falta abonar?

5)

En un círculo de estudio, la octava parte de los estudiantes pertenece al grupo Quiriguá. Si en total hay 208 estudiantes:

a. ¿Cuántos estudiantes pertenecen al grupo Quiriguá?

b. ¿Cuántos estudiantes hay en la primaria, si su número es 1/2 de la cantidad de los estudiantes de Quiriguá elevado al cuadrado?

6)

En una prueba de Matemática, José obtuvo 4/5 de la calificación de Juana. Si Juana obtuvo 20 puntos, ¿cuál es la calificación de José?

7)

Una finca se divide en tres parcelas. La primera es igual a 4/7 de la superficie de la finca y la segunda es igual a la mitad de la primera.

a. ¿Qué fracción de la finca representa la tercera parcela?

b. Si la extensión de la finca es de 14.000 metros cuadrados, ¿cuál es la superficie de cada parcela?


101






Identifico las reglas de potenciación para las fracciones. Resuelvo potencias con fracciones. Memorizo la jerarquía de operaciones incluyendo las potencias. Resuelvo con agilidad potencias al cuadrado de números enteros y conversiones de fracciones impropias en números mixtos. Desarrollo el razonamiento lógico resolviendo problemas matemáticos.


102

IGER − Quiriguá

25

Repaso Semanas 18 – 24


103

Los logros que conseguirá esta semana son:  Repasar los contenidos de la semana 18 a 24.  Practicar el cálculo mental.  Desarrollar el razonamiento matemático resolviendo problemas. 

Amiga y amigo estudiante: Es el momento de repasar los temas de la semana dieciocho a la veinticuatro que se evaluarán en la tercera prueba parcial. Le sugerimos: • Busque un lugar tranquilo para estudiar, evite interrupciones para que pueda concentrarse. • Lea los resúmenes de cada semana. Subraye o anote las ideas más importantes. • Escuche la clase radial y resuelva los ejercicios que le proponen sus maestros locutores. • Compruebe que ha realizado correctamente los autocontroles de cada semana. Si tiene dudas, anótelas. • Estudie un poquito cada día. Haga un plan de los días que le quedan hasta el día de la prueba y dosifique los contenidos. Al realizar su plan, recuerde aquellos temas que le resultaron más difíciles y dedíqueles más tiempo. ¡A estudiar con ganas!

104

IGER − Quiriguá


1. El conjunto Q de los números racionales 1.

Números racionales Q

El conjunto de los números racionales resulta de la unión de los números enteros (Z) y de los números fraccionarios (Fr). El conjunto de los números racionales se identifica con la letra Q.

1.1. Las fracciones

Las fracciones expresan la división de una unidad en partes iguales.

Una fracción está formada por dos elementos separados por una línea horizontal: numerador y denominador.

3 12


1.2 Lectura y escritura de fracciones • Leemos primero el numerador y después el denominador. • Cuando el numerador es 1 se lee “un”, del 2 en adelante se lee como cualquier número entero. • El denominador recibe un nombre específico del 2 al 10, del número once en adelante se le agrega la terminación ‟avos” y se escribe como una sola palabra. 1.3 Representación gráfica de fracciones

Por medio de una figura geométrica

Dividimos la figura geométrica en partes iguales según nos indique el denominador y sombreamos la cantidad de partes que nos indique el numerador.

Sobre la recta numérica

Fracciones positivas

2 3

• Ubíquese en el segmento de la recta que va de 0 a 1. • Divida la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador. Márquelas con una raya. • Cuente del 0 hacia la derecha, tantas partes como indique el numerador.

2 5 –1

0

1

0

1

Fracciones negativas • Ubíquese en el segmento de la recta que va de 0 a –1. • Divida la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador. Márquelas con una raya. • Cuente del 0 hacia la izquierda, tantas partes como indique el numerador.

–1 3 –1


105

Ejercicio 1. Lectura y escritura de fracciones A.

B.

Escriba cómo se leen las fracciones. 0)

4 9

1)

7 11

cuatro novenos

8 10

2)

3)

– 3

2)

tres sextos

3)

menos tres quintos

7

Escriba con números las fracciones: 0)

cuatro novenos

1)

siete octavos

4 9

Ejercicio 2. Representación de fracciones A.

Grafique las fracciones con una figura geométrica y sobre la recta numérica. Tiene un ejemplo.

0)

B.

4 6

–1

0

1

1)

7 8

–1

0

1

2)

4 4

–1

0

1

Represente las fracciones en la recta numérica: 1)

2)

106

4 6

6 – 8 –1

3 2

IGER − Quiriguá

–2

–1

0

1

0

2

1

2. Clases de fracciones Las fracciones podemos clasificarlas en:

fracciones propias

fracciones impropias

Los números mixtos



están formados por:

el numerador menor que el denominador. Son fracciones menores que la unidad.

el numerador mayor que el denominador. Son fracciones mayores que la unidad.

por ejemplo:

por ejemplo:

3 5

2.

3 2

una parte entera y una parte fraccionaria. Expresan una cantidad mayor que la unidad. por ejemplo:

3

1 4

fracción

Parte entera

Conversión de fracciones

2.1 Conversión de fracciones impropias en números mixtos

Para convertir una fracción impropia en número mixto se divide el numerador entre el denominador. El resultado se escribe así: • El cociente de esta división es el entero del número mixto. • El residuo, si lo hay, es el numerador de la fracción que forma parte del número mixto.

17 = 2 35 5

• El denominador es el mismo de la fracción impropia. 2.2 Conversión de números mixtos en fracciones impropias

Para convertir un número mixto en fracción impropia, seguimos los siguientes pasos: • Copiamos el denominador del número mixto. • Para obtener el nuevo numerador: multiplicamos el denominador por el entero y a este resultado, le sumamos el numerador del mixto.

+

32 x

5

= 17

5


107

Ejercicio 3. Clasificar y convertir fracciones A.

Escriba como número mixto y como fracción impropia las fracciones representadas gráficamente. Tiene un ejemplo.

3

0)

1)

=

2)

3)

=

Clasifique las fracciones en propias, impropias o números mixtos. Escriba un cheque () en la columna correspondiente. fracción propia

0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

108

=

=

4)

B.

2 = 11 3 3

IGER − Quiriguá

2 3 2 7 8 9 5 19 25 9 5 10 61 70 99 90 3 8



fracción impropia

número mixto

C.

Convierta las fracciones impropias en números mixtos y los números mixtos en fracciones impropias. Tiene un ejemplo. fracción impropia

0)

16 3 1)

conversión

5 3 16 – 15 1

número mixto

número mixto

conversión

fracción impropia

9x2+4 = 9

22 9

0)

51

4

29

3 1)

12 5 2)

3

64 2)

68 7 3)

1

92 3)

13 2 4)

6

48 4)

35 8 5)

5

27 5)

77 9 6)

1

34 6)

55 6

2

13


109

3. Fracciones equivalentes 1.


Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma fracción con números distintos. Para expresar esta relación se utilizan los signos: ≡ ‟equivalente a” y

‟no es equivalente a”.


Una forma práctica de establecer si dos fracciones son equivalentes es obtener productos cruzados. Para hacerlo: • Multiplicamos numeradores y denominadores en forma cruzada.

3 4

• Si el resultado de ambos productos es igual, las fracciones son equivalentes.

6 8

3 6 ≡ 4 8

1.2 Amplificación de fracciones

4 x 6 = 24 3 x 8 = 24

1x3 = 3 4 x 3 12

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, de manera que nos resulte una fracción equivalente, pero con números de mayor valor.

1 ≡ 3 4 12

1.3 Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción consiste en transformarla en otra fracción equivalente, pero de números de menor valor. Para simplificar una fracción, se divide el numerador y el denominador entre el MCD de ambos. Por ejemplo. Simplificar

15 45

• Calculamos el MCD de 15 y 45: 15 3 5 5 1

15 = 3 x 5

45 3 15 3 5 5 1 45 = 32 x 5

MCD (15 y 45) = 3 x 5 = 15


15 ÷ 15 = 1 45 ÷ 15 3

110

IGER − Quiriguá

15 1 ≡ 45 3

Ejercicio 4. Fracciones equivalentes Compruebe si las fracciones son equivalentes. Utilice el método de productos cruzados. Tiene un ejemplo. fracciones

0)

24 12 y 15 30

1)

8 4 y 5 10

2)

1 3 y 3 9

3)

6 12 y 7 14

4)

8 7 y 10 5

procedimiento

¿

24 x 30 = 720 15 x 12 = 180

ó

24 15

?

12 30

Ejercicio 5. Amplificar y simplificar fracciones A.

Amplifique al doble y al triple las fracciones. Tiene un ejemplo. amplificar por 2 fracción

procedimiento

0)

4 7

4x2 8 = 7 x 2 14

1)

2 9

2)

5 6

B.

amplificar por 3


4 7

procedimiento

8 14


4 7

4 x 3 12 = 7 x 3 21

12 21

Simplifique las fracciones a su menor expresión. Recuerde que para simplificar debe calcular el MCD del numerador y del denominador y luego dividir el MCD entre el numerador y denominador. Tiene un ejemplo.

5 15

0)

5 15

≡

1)

7 49

≡

4)

36 48 ≡

7)

–

11 121 ≡

2)

9 45

≡

5)

25 40 ≡

8)

54 66 ≡

3)

14 21

≡

6)

10 80 ≡

9)

72 80 ≡

MCD (5 y 15) = 5

1 5÷5 = 15 ÷ 5 3

≡

1 3


111

4. Suma y resta de fracciones 1.

Suma y resta de fracciones de igual denominador

Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se copia el mismo denominador.

2 1 3 + = 4 4 4

Ejemplo:

2.

Comparación de dos o más fracciones de distinto denominador

Para comparar fracciones de distinto denominador, hay que reducirlas a común denominador. Seguimos estos pasos:

Comparar:

5 3 y 8 5

1. Calculamos el mcm de los denominadores.

mcm (8 y 5) = 40


5 (40 ÷ 8) x 5 5 x 5 25 = = = 8 40 40 40

5 8

≡

25 40

•

3 (40 ÷ 5) x 3 8 x 3 24 = = = 5 40 40 40

3 5

≡

24 40

3. Comparamos:

25 > 24 40 40

3.

Suma y resta de fracciones de diferente denominador

Para sumar o restar fracciones de distinto denominador: 1. Calculamos el mcm de los denominadores para obtener un denominador común. 2. Obtenemos nuevos numeradores. El numerador de cada nueva fracción es el resultado de dividir el mcm entre el denominador original y multiplicar por el numerador. 3. Sumamos o restamos los numeradores y simplificamos.

Ejemplo:

3 1 (10 ÷ 5) x 3 – (10 ÷ 10) x 1 (2 x 3) – (1 x 1) 6 – 1 5 1 – = = = = = 5 10 10 10 2 10 10

112

IGER − Quiriguá

mcm (5 y 10) = 10

Ejercicio 6. Suma y resta de fracciones A.

B.

Resuelva las sumas y restas de fracciones de igual denominador. Simplifique si es posible. Tiene un ejemplo. 0)

9 7 2 + = =1 9 9 9

3)

4 3 + = 7 7

1)

2 8 + = 15 15

4)

10 7 – = 12 12

2)

6 1 – = 8 8

5)

9 6 – = 10 10

Convierta a denominador común cada pareja de fracciones. Luego ordénelas de mayor a menor. Haga las operaciones necesarias en su cuaderno. El 0 es un ejemplo. fracciones

0) 1) 2) C.

4 2 y 5 3 2 7 y 3 8 5 9 y 7 21


4 5 2 3 5 7

2 3 7 8 9 21

12 15


10 15

12 10 > 15 15

Resuelva en su cuaderno la suma y resta de fracciones de diferente denominador. Tiene un ejemplo. 0)

3 3 2 (14 ÷ 2) x 3 – (14 ÷ 7) x 2 (7 x 3) – (2 x 2) 21 – 4 17 – = = = = =1 2 14 7 14 14 14 14

1)

14 2 + = 8 4

6)

–

2)

1 1 + = 9 2

7)

1 2 – = 2 3

3)

3 5 + = 9 3

8)

3 4 – = 4 5

4)

6 2 – = 11 8

9)

5 5 + = 6 7

5)

3 3 + = 7 5

10)

5 3 – = 4 6

2 3 + = 5 4


113

5. Suma y resta de fracciones positivas y negativas de diferente denominador 1.

Para sumar y restar fracciones con diferente signo y diferente denominador: – 1 + 3 = 3 4

• Hallamos el denominador común, calculando el mcm de los denominadores. mcm (3 y 4) = 12 • Calculamos los nuevos numeradores, dividiendo el mcm entre el denominador original y multiplicándolo por el numerador. 3 – 1 + = (12 ÷ 3) x (–1) + (12 ÷ 4) x 3 = 4 x (–1) + 3 x 3 = 4 3 12 12

• Sumamos o restamos los numeradores y simplificamos. 2.

–4+9 = 5 12 12

Para sumar y restar fracciones, números enteros y números mixtos:

2 1 +3+ 1 = 4

2

• Convertimos los números mixtos en fracciones impropias.

21 = 9 4

4

3= 3 1

• Expresamos los enteros como fracción:

• Aplicamos el procedimiento de suma y resta de fracciones de diferente denominador. 9 + 3 + 1 = 4 1 2

mcm (4, 1 y 2) = 4

9 + 12 + 2 (4 ÷ 4) x 9 + (4 ÷ 1) x 3 (4 ÷ 2) x 1 3 = (1 x 9) + (4 x 3) + (2 x 1) = = 23 = 5 4 4 4 4 4

Ejercicio 7. Suma y resta de fracciones de diferente signo y distinto denominador

A.

114

Resuelva en su cuaderno las sumas y restas de fracciones de diferente signo y denominador. 1)

5 6 – = 6 12

2)

–

3)

–

4)

–

5 18 + = 7 21

8 2 + = 9 3

5)

–

4 7 – = 12 18

6 10 – = 8 12

6)

3 10 – = 5 15

IGER − Quiriguá

B.

Resuelva las sumas y restas de fracciones, enteros y números mixtos. Recuerde que primero debe convertir los enteros y números mixtos en fracciones impropias. Hágalo en su cuaderno. 0)

11 +5= 2

• Convertir el número mixto en fracción:

1 1 = 3

• Convertir el entero en fracción:

5= 5

• Encontrar el mcm de 1 y 2:

mcm (1 y 2) = 2

2

2

1

3 5 (2 ÷ 2) x 3 + (2 ÷ 1) x 5 (1 x 3) + (2 x 5) 3 + 10 13 1 + = = = = =6 2 1 2 2 2 2 2

1)

5 3 – 2 =

5)

7 – 2 = 9)

2)

2 1 + 2 =

6)

3 4 – 1 3 =

10)

–4 + 2

3)

1 1 + 3 = 9 2

7)

4 – 2 = 5

11)

2– 2 – 3 =

4)

3 2 + 1 = 9 3

8)

2 3 – 1 2 =

12)

13 –1– 2 =

2

4

7

4

8

7

5

6

5

5 2 +3 = 6 3

3

5

3 = 5 7

10

Ejercicio 8. Realice las operaciones, simplifique y rellene el cuadro de la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0)

¿Cuál es el resultado de convertir – 8

2 en fracción? 4

17/2 –34/4 –17/4

1)

¿Cuál es el resultado de sumar

6 1 + ? 7 2

15/14 7/14 19/14

2)

¿Cuál es el resultado de –

2 1 – ? 4 3

5/12 –5/12 –5/6

3)

¿Cuál es el resultado de sumar –

21 4

+1

1 ? 2

3/4 –3/4

3 3/4 Matemática − Semana 25

115

6. Multiplicación y división de fracciones 1.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones se realiza en forma horizontal: numerador por numerador y denominador por denominador.

2.

División de fracciones

La división de fracciones consiste en dividir una fracción entre otra fracción. Se puede realizar por dos métodos:

2.1 Multiplicación de fracciones en forma cruzada

Ejemplo: –

3 2 ÷ = 4 5

• Si una de las fracciones o ambas son negativas, primero multiplicamos los signos. En este caso: menos por más es igual a menos. • Para hallar el numerador, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda. • Para calcular el denominador, multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción.

– 3 ÷ 2 = – 3 x 5 = – 15 = – 1 7 4 5 8 4x2 8 2.2 Producto de extremos y medios

Ejemplo: –

3 2 ÷ = 4 5

• Formamos una fracción con la división: escribimos la primera fracción como numerador y la segunda como denominador.

– extremos

3 4 2 5

medios

• Si una de las fracciones o ambas son negativas, primero multiplicamos los signos. En el ejemplo: menos por más es igual a menos. Luego, el producto de los extremos es el numerador de la respuesta y el producto de los medios, el denominador.

–


116

IGER − Quiriguá

–

3 4 2 5

= – 3 x 5 = – 15 4x2 8

7 3 2 15 ÷ =– =–1 8 4 5 8

Ejercicio 9. Multiplicación y división de fracciones A.

B.

C.

Multiplique las fracciones. Simplifique el resultado. Tiene un ejemplo. 0)

1 12 3 36 6 x = = =1 5 15 2 30 5

4)

3 6 x = 4 8

1)

7 2 x = 4 5

5)

4 4 x = 5 6

2)

– 2 x 3 =

6)

3 3 x = 7 4

3)

– 4 x 7 =

7)

11 5 x = 15 3

7

11

8

2

Divida utilizando el método de multiplicación en forma cruzada. Tiene un ejemplo. 0)

4 12 1 12 x 2 24 ÷ = = =4 5 5 2 5x1 5

4)

2 – 1 ÷ = 5 3

1)

4 3 ÷ = 5 4

5)

7 4 ÷ = 8 5

2)

– 5 ÷ 1 =

6)

– 1 ÷ 3 =

3)

9 2 ÷ = 11 3

7)

4 1 ÷ = 5 2

9

3

10

5

Divida utilizando el producto de extremos y medios. Tiene un ejemplo.

0)

2 3 4 2 5 2x6 12 ÷ = = = = 4) 5 5 3 6 3x5 15 6

– 8 ÷ 2 =

1)

1 – 4 ÷ = 3 5

5)

7 3 ÷ = 9 5

2)

8 8 ÷ = 10 9

6)

2 1 ÷ = 3 2

3)

7 3 ÷ = 8 4

7)

4 – 2 ÷ = 5 3

7

3


117

7. Potencias de números racionales 1.

Potencias de fracciones

Si la base de una potencia es una fracción, debemos elevar tanto el numerador como el denominador al exponente indicado y desarrollar cada potencia.

( ) 2 3

3

=

23 33

=

2x2x2 8 = 3x3x3 27

1.1 Reglas de potenciación de fracciones Regla 1: • Si una fracción negativa se eleva a una potencia par, el resultado es positivo. • Si una fracción negativa se eleva a una potencia impar, el resultado es negativo. Regla 2: • Toda fracción elevada al exponente 0, da como resultado 1.

( 2 ) = 161 – 1

4

( 12 ) = 3

–

– 1

8

( ) =1 5 7

0

Regla 3: • Toda fracción elevada al exponente 1, da como resultado la misma fracción.

( ) = 43 4 3

1

2.

Jerarquía de operaciones

La jerarquía de operaciones establece el orden y la forma para realizar las operaciones. 1. Primero se realizan las operaciones dentro de los signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves. Los signos de agrupación se eliminan de adentro hacia afuera. 2. En segundo lugar, se resuelven las potencias, en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. 3. Luego, se resuelven las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. 4. Por último, las sumas y restas, siempre en el orden de aparición de izquierda a derecha.

118

IGER − Quiriguá

{[()] }

an x ÷ + –

Ejercicio 10. Potencias y operaciones combinadas con fracciones A.

B.

C.

D.

Desarrolle las potencias de fracciones. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)

( )

=

1)

( )

=

1 2 2 3

3

3

13 1x1x1 1 = 3 = 2 2x2x2 8

2)

( )

=

3)

( )

=

5 6 1 3

2

4

Convierta los números mixtos en fracciones impropias y desarrolle las potencias de fracciones. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)

( 3) ( )

1)

( 6)

=

2)

(1 12 )

=

11 12

2

2

3

=

4 3

2

=

42 4 x 4 16 = = 32 3 x 3 9

Aplique las reglas de potenciación para resolver las potencias de fracciones. Tiene un ejemplo. 0)

( )

=

3)

( )

1)

( )

=

4)

( )

=

2)

( )

=

5)

( )

=

3 5 2 9 3 7

0

0

1

1 = 1 1

6 2

2

– 1 3 – 5 7

=

3

2

Resuelva las operaciones combinadas utilizando la jerarquía de operaciones. Hágalo en su cuaderno. 1)

(

1 2 1 + – 6 6 3

) ( )

2)

(

1 2 1 – ÷ 3 4 2

2

x

1 = 2

) ( ) + 14 3

=

3)

( ) x 12 – 49

4)

( 15 + 23 ) x ( 36 – 23 )

2 3

2

=

=


119


B.

Convierta los números mixtos en fracciones impropias. Tiene un ejemplo. 0)

4 2 = 14

1)

32=

2)

5)

21=

10)

52=

6)

42=

11)

43=

61=

7)

53=

12)

11=

3)

21=

8)

81=

13)

22=

4)

81=

9)

71=

14)

13=

3 8 2 7

3 1 3 x = 5 2 10

5 6 4 7

3 5 4 3 4

4)

1 5 x = 2 7

9 3 8) x = 11 4

7 8

3 = 4

5)

1 7 x = 4 9

1 4 9) x = 9 5

5 6

1 = 2

6)

3 1 x = 7 2

10)

3 6 x = 7 7

3 4

1 = 5

7)

5 2 x = 7 3

11)

3 7 x = 5 8

1) x 2) x 3) x

120

4

Multiplique mentalmente las fracciones. Tiene un ejemplo. 0)

C.

3

3

Simplifique las fracciones a su menor expresión. Hay un ejemplo.

0)

6 12

1 2

4)

3 21

8)

5 15

1)

7 14

5)

4 28

9)

5 20

2)

21 24

6)

5 35

10)

3 27

3)

12 18

7)

6 18

11)

8 24

IGER − Quiriguá

Razonamiento lógico Resuelva los problemas con los temas vistos durante las semanas 18 a 24. 1)

Para pintar una casa se emplearon 2/3 de galón de pintura de color blanco y 1/3 de galón de pintura de color rojo. ¿Cuántos galones de pintura se emplearon en total?

2)

Un bus inició su recorrido con el tanque de gasolina lleno. Si en el viaje gastó 5/12 de ida y 6/12 de vuelta. ¿Cuánta gasolina le queda en el tanque?

3)

Un restaurante prepara un evento para 120 personas. 2/3 de los invitados se colocarán en el salón A y el resto en el salón B. Si en cada mesa caben 8 personas, ¿cuántas mesas se colocarán en cada salón?

4)

Leonor gana 2100 quetzales al mes. 1/3 de su sueldo lo utiliza para pagar el alquiler y de lo que le sobra, la mitad lo emplea en alimentación y transporte.

a. ¿Cuánto dinero paga de alquiler?

b. ¿Cuánto dinero gasta en alimentación y transporte?

5)

Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Un trozo del cable mide 5/6 del total del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo?

6)

José gana 2/3 de 120 quetzales por cada día de trabajo. Si trabajó 17 días, ¿cuál fue su sueldo?

7)

Se compraron 20 8/10 libras de dulces para la tienda de la escuela y se colocaron en bolsas de 4/5 libras.

a. ¿Cuántas bolsas se llenaron?

b. Si cada día se venden 2 bolsas, ¿para cuántos días alcanzarán los dulces que se compraron?

8)

El comité de reforestación de la aldea Cerro Negro está formado por 2/5 de hombres y 3/5 de mujeres. Si el comité lo integran 30 personas, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres hay en el comité?

9)

Ramiro tiene 15/6 de la edad de su hermana de 10 años. ¿Cuál es la edad de Ramiro?

10) Una pieza de tela mide 5 3/4 yardas. Si se ocupa 2 1/2 yardas para hacer un vestido, ¿cuántas yardas quedan en la pieza?


121






Repaso los contenidos de la semana 18 a 24. Practico el cálculo mental. Desarrollo el razonamiento matemático resolviendo problemas.

Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba!

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha, en la parte superior.

Prueba 3ª parcial A–2014

Círculo de estudio Nº:

Lea atentamente las instrucciones antes contestar. Si tiene duda, consulte a su orientadora u orientador voluntario. No se ‟atasque” en ningún ejercicio. Empiece por los ejercicios que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en los que tenga duda. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

122

IGER − Quiriguá

26

Números decimales


123

Los logros que conseguirá esta semana son:  Expresar fracciones decimales como números decimales.  Identificar la parte entera y la parte decimal de un número decimal.  Leer y escribir números decimales  Sumar y restar números decimales. 





124

IGER − Quiriguá

• Sistema de numeración decimal

• Fracciones decimales • Números decimales • Lectura y escritura de números decimales • Suma y resta de números decimales • Conversión de fracciones impropias en números enteros y escritura de números decimales • Problemas que se resuelven con números decimales

¡Para comenzar! Sistema de numeración decimal El origen del sistema de numeración decimal se explica por el número total de dedos de las dos manos. El sistema decimal ha sido universalmente adoptado desde el tuareg* que cuenta con los dedos hasta el matemático que maneja instrumentos de cálculo. Todos contamos de diez en diez. Dadas las diferencias profundas entre los pueblos, semejante universalidad es sorprendente. La forma de contar es uno de los pocos asuntos en los que los seres humanos estamos de acuerdo. Fragmento adaptado de “El hombre que calculaba” Malba Tahan.

El sistema de numeración decimal emplea diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para representar todos los números. Es un sistema posicional y tiene como base el número diez. Refresquemos la memoria y recordemos la tabla de posiciones de los números enteros. Observe los ejemplos. 1) Marta recibe un salario de 1856 quetzales. unidades de mil (UM)

Centenas (C)

Decenas (D)

Unidades (U)

1

8

5

6

2) La arroba de azúcar cuesta 73 quetzales en el mercado. UM

C

D

U

7

3

Esta semana estudiaremos los números decimales y recordaremos cómo se escriben en la tabla de posiciones. ¡A trabajar! Represente en la tabla de posiciones los números enteros. UM

C

D

U

1) 635 2) 2010

* Tuareg:

nómada norteafricano que habita en el desierto del Sáhara. Matemática − Semana 26

125


1. Fracciones decimales 1 de quetzal. 10 1 Una moneda de un centavo es la centésima parte de un quetzal: de 100

Una moneda de diez centavos es la décima parte de un quetzal: quetzal.

Las fracciones que tienen como denominador a la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000…) se llaman fracciones decimales. Por ejemplo:

3 10

56 100

2 1000

1.1 ¿Cómo se leen las fracciones decimales? Para leer fracciones decimales, se lee primero el numerador y el denominador se lee así: • Si el denominador es 10 se lee “décimos”. Por ejemplo:

2 se lee: dos décimos 10

9 se lee: nueve décimos 10

• Si el denominador es 100, se lee “centésimos”. Por ejemplo:

17 se lee: diecisiete centésimos 100

40 se lee: cuarenta centésimos 100

• Si el denominador es 1000, se lee ‟milésimos”. Por ejemplo:

4 se lee: cuatro milésimos 1000 • Si el denominador es 10000, se lee ‟diezmilésimos”. Por ejemplo:

126

IGER − Quiriguá

54 se lee: cincuenta y cuatro diezmilésimos 10000

2. Fracciones decimales y números decimales Todas las fracciones decimales pueden expresarse como números decimales. Un número decimal es todo número formado por una parte entera y una parte decimal. Las posiciones de la parte decimal se nombran del punto decimal a la derecha como vemos en la tabla de posiciones. C

D

U

•

décimas centésimas milésimas diezmilésimas (d) (c) (m) (dm)

punto decimal

Para escribir una fracción decimal como número decimal:

Fíjese que las centenas (C), decenas (D) y unidades (U) se escriben con mayúscula para diferenciarlas de las décimas (d), centésimas (c), milésimas (m), etc.

• Se escribe el numerador. • Se cuenta, iniciando en la última cifra de la derecha, tanto lugares como ceros tiene el denominador y se coloca el punto decimal. Veamos unos ejemplos:

1 como diez tiene un cero, corremos el punto decimal un espacio. 10

1 = 0.1 10

U

d

0 • 1

parte entera

punto decimal

c

m

parte decimal

24 cien tiene dos ceros, corremos el punto decimal dos espacios. 100 U d c m 24 = 0.24 • 0 2 4 100 1456 como mil tiene tres ceros, corremos el punto decimal tres espacios. 1000 U d c m 1456 = 1.456 1 • 4 5 6 1000

75 el denominador mil tiene tres ceros, corremos el punto decimal tres 1000 espacios y escribimos ceros para completar las posiciones.

75 = 0.075 1000

U

d

0 • 0

c

7

m

5


127

Ejercicio 1 A.

Escriba cómo se leen las siguientes fracciones decimales. Tiene un ejemplo.

6 10

0)

seis décimos

3 100

1) 2)

45 1000 7 10

3)

B.

4)

78 1000

5)

95 100

Convierta las fracciones decimales en números decimales y escríbalos en la tabla de posiciones. Tiene un ejemplo.

56 100

0) = 0.56

357 1000

1) = 0)

27 10

1)

119 100

3)

2) = 3) =

2) 4)

1185 = 10000

5)

5)

146 = 10

7)

6)

12 = 100

7)

225 = 1000

4)

128

D

IGER − Quiriguá

6)

U

0

•

d

c

5

6

m

dm

3. Lectura y escritura de números decimales Para leer un número decimal, se expresa primero la parte entera (si la hay) y a continuación la parte decimal, dándole el nombre de las unidades inferiores. Ejemplos: 1)

D

U

5

.

2

d

7

Se lee: cincuenta y dos unidades, siete décimas

2)

U

0

.

d

5

c

9

Se lee: cincuenta y nueve centésimas

3)

U

7

.

d

0

c

6

m

2

Se lee: siete unidades, sesenta y dos milésimas

Ejercicio 2 Escriba cómo se leen los siguientes números decimales. Tiene un ejemplo. 0)

1.2

una unidad, dos décimas

1 53.63 2) 0.28 3) 0.123 4) 30.05 5) 9.3451 6) 47.024 7) 100.001 8) 200.233


129

Para escribir un número decimal, debemos fijarnos en el último dígito de la parte decimal y escribir el número respetando el orden de las cifras (décimas, centésimas, milésimas…) Ejemplos: Expresemos con cifras los siguientes números decimales: 1)

siete unidades, cuarenta y cinco centésimas U

7

2)

d

4

c

5

ocho unidades, seis milésimas U

8

3)

.

.

d

0

c

0

m

6

doscientas treinta y cuatro diezmilésimas U

0

.

d

0

c

2

m

3

dm

4

Ejercicio 3 Escriba sobre la línea los números decimales. Tiene un ejemplo.

130

0)

dos unidades, trescientos cuarenta y seis milésimos

1)

mil seiscientas treinta y ocho diezmilésimas

2)

tres unidades, setenta y ocho centésimas

3)

setecientas ochenta y cuatro milésimas

4)

una unidad, noventa y nueve milésimas

5)

diecinueve unidades, ocho décimas

6)

setenta y tres diezmilésimas

7)

cinco centésimas

8)

dos milésimas

IGER − Quiriguá

2.346

4. Suma de números decimales Para sumar números decimales en forma vertical: • Se escribe una cifra debajo de la otra, alineando el punto decimal, es decir colocándolo exactamente en la misma posición. • Se suman las cantidades como si se tratara de números naturales y en el resultado se escribe el punto decimal también en la misma posición. Ejemplos: 1)

18.5 + 3.573 + 0.65 =

Para no confundirse, puede añadir ceros e igualar el número de cifras decimales. El cero escrito a la derecha del punto decimal, no altera el valor del número.

1 8 . 5 0 0 3 . 5 7 3 + 0 . 6 5 0 2 2 . 7 2 3 2)

0.18 + 2 + 3.6 =

Cuando uno de los sumandos es un número entero, (2) lo convertimos en decimal poniéndole el punto decimal y añadiendo un cero. 2 = 2.0

0 . 1 8 + 2 . 0 3 . 6 5 . 7 8

Ejercicio 4 Complete las sumas de números decimales. Tiene un ejemplo. 0)

0.3 + 0.87 + 5 =

1)

3 + 0.18 + 3.16 =

0 . 3 0 0 . 8 7 + 5 . 0 0 + 3 . 1 6 6 . 1 7


131

5. Resta de números decimales El procedimiento para restar números decimales es similar al de la suma: • Se escribe una cifra debajo de la otra, alineando el punto decimal. • Se resta normalmente y en el resultado se escribe el punto decimal en la misma posición que el punto decimal del minuendo y el sustraendo. Ejemplos: 1)

5.68 – 0.12 =

Escribimos la resta, alineando los puntos decimales y restamos.

5 . 6 8 . 1 2 – 0 5 . 5 6

minuendo sustraendo

2)

8.9 – 3.26 =

Si el minuendo tiene menos cifras decimales que el sustraendo, se agrega la cantidad de ceros que sea necesario.

8 . 9 0 – 3 . 2 6 5 . 6 4

Ejercicio 5 Complete las restas de decimales. Tiene un ejemplo. 0)

1)

2.59 – 0.18 = 2) 58.249 – 3.16 =

2 . 5 9 5 8 . 2 4 9 – – 0 . 1 8 2 . 4 1 16.18 – 4.241 = 3) 27 – 19.10 =

1 6 . 1 8 0 –

132

IGER − Quiriguá

2 7 . 0 0 –

Resumen 1.

Fracciones decimales

Las fracciones que tienen como denominado la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000…) se llaman fracciones decimales.

1.1 Cómo se leen las fracciones decimales

Para leer fracciones decimales se lee primero el numerador y luego el denominador. Si el denominador es 10 se lee ‟décimos”, si es 100 ‟centésimos”, si es 1000 ‟milésimos” y si es 10,000, diezmilésimos.

Por ejemplo:

2 17 4 se lee: dos décimos se lee: diecisiete centésimos se lee: cuatro milésimos 10 100 1000

2.

Fracciones decimales y números decimales

Un número decimal es todo número formado por una parte entera y una parte decimal. Para escribir una fracción decimal como número decimal: • Se escribe el numerador

24 = 0. 24 100

• Se cuenta, iniciando en la última cifra de la derecha, tanto lugares como ceros tiene el denominador y se coloca el punto decimal. 3.

Lectura y escritura de números decimales • Para leer un número decimal, se expresa primero la parte entera (si la hay) y a continuación la parte decimal, dándole el nombre de las unidades inferiores.

Ejemplo: U

0

.

d

2

c

4

Se lee: veinticuatro centésimas

• Para escribir números decimales, debemos fijarnos en el último dígito de la parte decimal y escribir el número respetando el orden de las cifras (décimas, centésimas, milésimas…) 4.

Suma y resta de números decimales

El procedimiento para sumar y restar números decimales es similar: • Se escribe una cifra debajo de la otra alineando el punto decimal. • Se suma o se resta normalmente y en el resultado se escribe el punto decimal en la misma posición.

Ejemplos: 0.75 + 3.6 =

0 . 7 5 + 3 . 6 0 4 . 3 5

5.68 – 0.12 =

5 . 6 8 – 0 . 1 2 5 . 5 6


133


Convierta las fracciones decimales a números decimales y escríbalos en la tabla de posiciones. Tiene un ejemplo.

285 100

2.85

0) =

D

0)

1149 10000

1) =

U

2

•

d

c

8

5

m

dm

1) 2)

17 10

2) =

3)

931 100

3) = B.

Escriba cómo se leen los siguiente números decimales. Tiene un ejemplo. 0)

3.6

tres unidades, seis décimas

1) 0.89 2) 4.536 3) 35.7 4) 0.8156 5) 1.3142 C.

134

Escriba con números los números decimales. Tiene un ejemplo. 0)

una unidad, ochenta y seis centésimas

1)

seis milésimas

2)

trescientas unidades, siete décimas

3)

setecientas treinta y ocho milésimas

4)

cuatro mil doscientas siete diezmilésimas

5)

siete unidades, quinientas cuarenta y tres milésimas

IGER − Quiriguá

1.86

Actividad 2. Aplique lo aprendido A.

B.

C.

D.

Determine el número decimal que corresponde a las fracciones decimales. Tiene un ejemplo. 0)

7 = 0.7 10

2)

4 = 100

4)

18 = 1000

1)

19 = 10

3)

345 = 100

5)

3456 = 100

Resuelva en su cuaderno las sumas de decimales. Escriba las cifras en su posición y verifique que los puntos decimales queden alineados. 1)

0.19 + 3081 = 6)

0.19 + 0.6 + 5.762 =

2)

15 + 0.54 = 7)

23.81 + 3.4 + 0.21 =

3)

3.6+ 4.9 = 8)

14.35 + 7.63 + 12.3 =

4)

8.93 + 0.16 = 9)

0.89 + 7.8 + 12.345 =

5)

51.62 + 0.8 =

93 + 41.7 + 123 =

10)

Resuelva en su cuaderno las restas de números decimales. Escriba las cifras en orden y verifique que los puntos decimales queden alineados. 1)

0.8 – 0.17 = 6)

15.64 – 8.6 =

2)

53.6 – 4.93 = 7)

315 – 0.786 =

3)

3.186 – 2.31 = 8)

45.6 – 0.24 =

4)

0.39 – 0.184 = 9)

34.632 – 18.29 =

5)

7.123 – 0.18 =

39.14 – 2.140 =

10)

Determine el número que falta en las sumas o restas de números decimales. Tiene un ejemplo. 0)

7.18 – 4.6 = 2.58 5)

1)

+ 0.86 = 2.33 6)

+ 0.77 = 2.46

2)

– 41.342 = 15.408 7)

– 21.342 = 78.995

3) 4)

8.64 +

= 48.24 8) – 4.16 = 3.181 9)

9.11 –

9.75 +

= 5.25

= 10.45 – 5.45 = 13.893 Matemática − Semana 26

135


B.

136

Divida mentalmente el numerador entre el denominador y convierta las fracciones en números enteros.

0)

8 = 2 7) 4

4 = 1

14)

8 = 2

1)

12 = 3

8)

6 = 3

12 = 1

2)

16 = 4

9)

15 = 3

18 16) = 2

3)

20 = 5

10)

12 = 4

4)

14 = 7

11)

28 = 7

25 18) = 5

5)

21 = 3

12)

49 = 7

4 19) = 2

6)

27 = 9

13)

9 = 3

18 20) = 6

15)

17)

Escriba el número decimal que indica cada numeral. Tiene un ejemplo. 0)

catorce centésimos

1)

siete unidades dos décimos

2)

dieciocho milésimos

3)

catorce unidades veinticuatro centésimos

4)

ciento veinticuatro milésimos

5)

ochenta y cuatro mil unidades tres décimos

6)

doce unidades siete milésimos

7)

ciento veinticuatro mil unidades

8)

mil unidades nueve décimos

IGER − Quiriguá

0.14

24 = 3

Razonamiento lógico Resuelva los problemas en su cuaderno. 1)

Resuelva a partir de la información del cartel:

Álvaro y Carmen fueron a cenar a las delicias típicas ‟La Bendición”. a. Álvaro comió una tostada, un chuchito, un rellenito y un refresco, ¿cuánto debe pagar?

s típ ic as “L a B e n d i c i ó n ” D e licia • tostadas Q1.75 • chuchitos Q2.50 • rellenitos Q3.00 • tacos Q2.25 • refrescos naturales Q2.75 • café Q4.40

b. Si Álvaro pagó con un billete de 20 quetzales, ¿cuánto vuelto debe recibir?

c. Carmen se comió 2 tostadas, 2 tacos y un café. ¿cuánto debe pagar?

d. Álvaro se ofreció a pagar las dos cuentas. ¿Le alcanza con el billete de 20 quetzales?

2)

Ignacio compra una botella de 3/10 litros de concentrado de tamarindo. Escriba con números decimales cuántos litros de concentrado de tamarindo tiene.

3)

Doña Gloria regaló a su nieto 25/100 de un quetzal. ¿Cuántos centavos le regaló?

4)

En la prueba de salto largo, Lucía saltó 3.145 m y César saltó 2.99 m. ¿Cuál es la diferencia entre el salto de Lucía y el salto de César? Exprese su respuesta en metros.

5)

La tortuga de cabeza ancha vive en el sur de Asia. Es una tortuga excepcional por el gran tamaño de su cola que mide 7.5 cm. Además la cabeza mide 9.65 cm y su caparazón 15 cm. ¿Cuál es la longitud total de la tortuga de cabeza ancha?

6)

Un frasco lleno pesa 1.2 libras. Si el contenido del frasco pesa 0.950 libras, ¿cuánto pesa el frasco vacío?

7)

Juan tiene un terreno. Emplea 35/100 partes para el cuidado del ganado y 357/1000 partes para cultivar maíz. La parte restante la usa para el cultivo de árboles frutales. De acuerdo con esta información, conteste:

a. ¿Para qué usa la mayor parte de terreno?

b. ¿Qué espacio ocupa el terreno utilizado para cultivar frutas y maíz?

8)

La panadería ‟El buen sabor” ganó Q12,536.90 en enero. Con ese dinero se pagó: un salario de Q2,200.50; servicios de agua, luz y teléfono por Q2,020.95 y el alquiler del local por Q1,800.00.

¿Qué ganancia le quedó al dueño de la panadería?


137






Expreso fracciones decimales como números decimales. Identifico la parte entera y la parte decimal de un número decimal. Leo y escribo números decimales. Suma y resto números decimales. Convierto fracciones a números enteros. Resuelvo problemas matemáticos aplicando lo aprendido.


138

IGER − Quiriguá

27

Multiplicación de números decimales


139

Los logros que conseguirá esta semana son:  Multiplicar con agilidad: • un número decimal por un número entero. • un número decimal por otro número decimal. • un número decimal por la unidad seguida de ceros.  Desarrollar la agilidad de cálculo mental multiplicando un decimal por la unidad seguida de ceros.  Resolver problemas con multiplicación de decimales. 





140

IGER − Quiriguá

• Biografía de Jonh Napier

• Multiplicación de números decimales

• Multiplicación de un decimal por la unidad seguida de ceros • Problemas que se resuelven con la multiplicación de decimales

¡Para comenzar! John Napier John Napier, también conocido como Neper, nació en 1550 y murió en 1617 en Edimburgo, Escocia. Era teólogo y tomaba parte en todas las disputas religiosas de la época. El estudio de las matemáticas era un pasatiempo y sus libros y publicaciones sobre el tema iban siempre precedidos de una disculpa por lo poco profundo de sus argumentos. Pero eso solo lo pensaba él, pues pasó a la historia como un célebre matemático por sus aportes a las fracciones decimales, la invención de los logaritmos y de varias contribuciones a distintas ramas de las matemáticas: la geometría, la trigonometría, el álgebra y lo que en ese tiempo se llamaban matemáticas comerciales.

John Napier (1550–1617) Teólogo y matemático inglés

En 1616, en la traducción al inglés de una de sus obras, las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un punto decimal para separar la parte entera de la decimal. Napier propuso un punto o una coma como signo de separación decimal. El punto decimal se consagró en países de habla inglesa, pero en muchos otros países se continúa utilizando la coma decimal. Texto adaptado de Enciclopedia.us.es

¡A trabajar! Elabore la ficha biográfica de John Napier. Ayúdese de la lectura para completar los datos.

Nombre: Nació en

. También conocido como: el año

y murió en el año

.

Sus aportes matemáticos fueron:


141


1. Multiplicación de números decimales Esta semana daremos un paso más en el aprendizaje de los números decimales y aprenderemos a multiplicar: • un número decimal por un número entero:

0.25 x 6 =

• un número decimal por otro número decimal:

0.25 x 2.34 =

• un número decimal por la unidad seguida de ceros:

0.25 x 10 =

1.1 Multiplicación de un número decimal por un número entero Para multiplicar un número decimal por un número entero: • Multiplicamos el número entero por todas las cifras del número decimal, de la misma forma que multiplicamos números naturales y enteros. • Separamos en el producto, de derecha a izquierda, el número de cifras que tenga el factor decimal. Ejemplo: 0.53 x 7 =

0 . 5 3 x 7 3 . 7 1

2 cifras decimales se separan 2 cifras decimales de derecha a izquierda

Ejercicio 1 Complete las multiplicaciones. Tiene un ejemplo. 0)

3.14 x 9 =

3 . 1 4 x 9 2 8 . 2 6

1) 2 cifras decimales

2 cifras decimales

142

IGER − Quiriguá

0.45 x 7 =

x

0 . 4 5 7

2)

3.534 x 6 =

3 . 5 3 4 x 6

1.2 Multiplicación de un número decimal por otro número decimal Para multiplicar un número decimal por otro número decimal: • Multiplicamos los números decimales como si fueran enteros. • En el producto, separamos con un punto decimal, de derecha a izquierda, tantas cifras decimales como tengan ambos factores. Ejemplos: 1) 3.62 x 0.8 =

3 . 6 2 x 0 . 8 2 . 8 9 6

2 decimales 1 decimal

Total 3 decimales

Al multiplicar cualquier cantidad por cero el resultado es cero. Por eso el cero no se multiplica.

se separan 3 decimales de derecha a izquierda

2) 0.123 x 2.7 =

0 . 1 2 3 x 2 . 7 0 8 6 1 0 2 4 6 0 . 3 3 2 1

3 decimales Total 4 decimales 1 decimal


Ejercicio 2 Complete las multiplicaciones. Tiene un ejemplo. 0)

0.18 x 7.4 =

2)

141.6 x 2.32 =

0 . 1 8 1 4 1 . 6 3 decimales x 7 . 4 x 2 . 3 2 0 7 2 1 2 6 1 . 3 3 2

3 decimales

3 decimales

1)

3.233 x 0.68 =

x

3 . 2 3 3 0 . 6 8

3) 5 decimales

0.045 x 2.8 =

0 . 0 4 5 x 2 . 8

4 decimales


143

1.3 Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros Multiplicamos por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, 10000...), corriendo el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Por ejemplo: 34.68 x 10= Como 10 tiene un cero, corremos el punto un espacio hacia la derecha.

34.68 x 10 = 3 4 6 . 8 ¡Otro ejemplo! 16.567 x 100 = Como 100 tiene dos ceros, corremos el punto dos espacios a la derecha.

16.567 x 100 = 1 6 5 6 . 7 ¡Un caso especial! Si al correr el punto, los decimales no alcanzan, los espacios se completan con ceros. Por ejemplo: 2.3 x 1000= En este caso debemos correr el punto tres espacios hacia la derecha porque el número mil tiene tres ceros. Como 2.3 sólo tiene una cifra después del punto decimal, tenemos que agregar dos ceros.

2.3 x 1000 = 2 3 0 0 .

Ejercicio 3 A.

B.

144

Multiplique por la unidad seguida de ceros 10, 100, 1000. Tiene un ejemplo. 0)

2.8 x 10 = 28

1)

0.453 x 100 =

2)

39.76 x 100 =

3)

3.8 x 1000 =

4)

5.3164 x 100 =

5)

43.534 x 1000 =

Complete las multiplicaciones con la unidad seguida de ceros que falta. Tiene un ejemplo. 0)

3.5 x 100 = 350

3)

0.0018 x

1)

0.56 x

4)

4.567 x

2)

0.345 x

5)

0.07863 x

IGER − Quiriguá

= 56 = 3.45

= 0.18 = 456.7 = 78.63

Resumen 1.

En la multiplicación de números decimales pueden darse tres casos:

1.1 Multiplicación de un número decimal por un número entero • Multiplicamos el número entero por todas las cifras del número decimal. • Separamos en el producto, de derecha a izquierda, el número de cifras decimales que tenga el factor decimal. Ejemplo:

0.51 x 5 =

0 . 5 1 x 5 2 . 5 5


1.2 Multiplicación de un número decimal por otro número decimal • Multiplicamos los números decimales como si fueran enteros. • En el producto separamos con un punto a partir de la derecha tantas cifras decimales como las que tienen los factores juntos.

Ejemplo:

2.64 x 0.8 =

2 . 6 4 x 0 . 8 2 . 1 1 2


Total 3 decimales


1.3 Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000)

Para multiplicar por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, 10000...), corremos el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Ejemplo:

Multiplicar por 10:

7.6 x 10 = 7 6 . 0

Multiplicar por 100:

178,34 x 100 = 1 7 8 3 4 . El punto decimal se corre dos

El punto decimal se corre un lugar hacia la derecha lugares hacia la derecha.


145


B.

Escriba sobre la línea el número de lugares hacia la derecha que debe correrse el punto decimal para multiplicar por la unidad seguida ceros. Tiene un ejemplo. 0)

0.576 x 10 =

1)

57.8 x 100 =

2)

816.23 x 1000 =

3)

0.5345 x 100 =

4)

2.574 x 10000 =

El punto decimal debe correrse un espacio hacia la derecha.

Rellene el cuadro que corresponde a la respuesta correcta sin realizar la operación. Fíjese solo en la cantidad de cifras decimales del producto. 1)

157.5

El resultado de 0.45 x 3.5 es…

15.75 1.575 2)

El resultado de 0.765 x 0 .35 es…

0.26775 2.6775 26.775

3)

0.08 x 3.46

2.768 es el resultado de multiplicar…

0.8 x 346 0.8 x 3.46 4)

0.763 x 10

76.3 es el resultado de multiplicar…

0.763 x 100 0.763 x 1000 C.

Multiplique el número decimal de la primera columna por la unidad seguida de ceros: 10, 100 y 1000. Tiene un ejemplo. x

4.257

146

10

100

1000

42.57

425.7

4257

x

34.3

0.023

0.3

13.4

0.025

1.27

2.018

IGER − Quiriguá

10

100

1000

343

3430

34300

D.

E.

F.

Escriba la unidad seguida de ceros (10, 100 ó 1000) que completa correctamente cada operación. Tiene un ejemplo. 0)

57.6 x 100 = 5760

6)

8.03 x

1)

1.5 x

= 150

7)

522.3 x

2)

0.18 x

= 1.8

8)

0.3123 x

3)

0.023 x

= 2.3

9)

1.15 x

= 1150

4)

23.14 x

= 2314

10)

0.001 x

= 1

5)

0.018 x

= 0.18

11)

2.186 x

= 2186

= 803 = 5223

= 3.123

Resuelva las multiplicaciones de un número entero por un número decimal. Hágalo en su cuaderno. 1)

235 x 0.6 =

6)

21.3 x 62 =

2)

61.72 x 4 =

7)

6.49 x 7 =

3)

16 x 0.23 =

8)

771.5 x 24 =

4)

0.12 x 35 =

9)

454 x 0.00032 =

5)

49 x 0.03 =

10)

352 x 0.0051 =

Resuelva las multiplicaciones de un número decimal por otro número decimal. Hágalo en su cuaderno. 1)

532.4 x 1.6 =

6)

91.35 x 4.6 =

2)

1.8 x 0.24 =

7)

45.78 x 5.7 =

3)

1.7 x 0.9 =

8)

347 x 8.08 =

4)

35.6 x 1.2 =

9)

0.008 x 4.96 =

5)

325.4 x 2.8 =

10)

67.2 x 1.232 = Matemática − Semana 27

147


B.

148

Realice mentalmente las siguientes multiplicaciones. Recuerde que para resolverlas debe correr el punto a la derecha, tantos lugares como ceros tenga la unidad seguida de ceros. Tiene un ejemplo. 0)

9) 5.111 x 10 = 8.8 x 100 = 880

1)

7.5 x 10 =

2)

24 x 100 =

3)

7 x 1000 =

4)

0.12 x 10 =

5)

10)

987.5 x 100 =

11)

6.511 x 100 =

12)

0.003 x 100 =

13)

3.95 x 1000 =

12.45 x 10 =

14)

0.341 x 1000 =

6)

0.123 x 10 =

15)

0.005 x 1000 =

7)

0.01 x 100 =

16)

2.714 x 1000 =

8)

6.34 x 100 =

17)

0.0005 x 1000 =

Escriba la unidad seguida de ceros que completa cada multiplicación. Tiene un ejemplo. 0)

0.67 x 100 = 67

9)

1029.7 x

= 10297

1)

2.45 x

= 24.5

10)

0.1234 x

= 123.4

2)

3.56 x

= 35.6

11)

8976.9 x

= 89769

3)

12.1 x

= 121

12)

5.423 x

4)

4.5 x

13)

6.8110 x

= 6811

5)

34.56 x

14)

730.12 x

= 73012

6)

0.0023 x

= 2.3

15)

9.00100 x

= 9001

7)

3456.7 x

= 34567

16)

720.09 x

= 720090

8)

8401.3 x

= 84013

17)

529.311 x

IGER − Quiriguá

= 450 = 3456

= 5423

= 529311


La tabla muestra dos tarifas diferentes para llamadas telefónicas entre dos ciudades: Tarifa de todo el día primer minuto minuto adicional Q0.75 Q0.45

Tarifa nocturna primer minuto minuto adicional Q0.50 Q0.25

¿Cuánto ahorra una persona en una llamada de 5 minutos, si llama por la noche en lugar de por la mañana?

2)

En un taller mecánico están apiladas varias láminas de cobre: una de 0.7 milímetros; tres de 2.4; cinco de 1.75 y dos de 0.85 milímetros. ¿Qué altura tiene la pila de láminas?

3)

Si una libra de papas cuesta Q2.57, cuánto se debe pagar por:

Exprese el resultado con dos cifras decimales.

4)

En abril de 2010, 1 dólar se cotizaba a Q8.15 quetzales. ¿Cuántos quetzales habría que pagar por 100 dólares?

5)

En la misma fecha, el valor del euro, moneda de Europa, era de 1.37 dólares por un euro. ¿Cuántos dólares habría que pagar por 10 euros?

6)

En condiciones normales, una tortuga se desplaza a 1.17 metros por minuto y un caracol a 0.084 metros por minuto.

Si un caracol y una tortuga partieran al mismo tiempo en línea recta, en el mismo sentido y desde el mismo punto,

a. 0.75 lb.

b. 1.5 lb.

c. 0.50 lb.

d. 1.2 lb.

e. 2.3 lb

a. ¿a qué distancia se encontrarían uno del otro, al cabo de 3 minutos? b. ¿A qué distancia se encontrarían uno del otro, al cabo de 5 minutos?

7.

De acuerdo con análisis químicos, se sabe que algunos de los componentes del plasma sanguíneo expresados en gramos por litro son: sales minerales: 9.25 gramos por litro; urea: 0.3 gramos por litro; ácido úrico: 0.03 gramos por litro.

A un laboratorio químico especializado se le hizo entrega de 10 litros de plasma sanguíneo. Calcule la cantidad de gramos por litro que se obtuvo de:

8.

a. sales minerales

b. urea

c. ácido úrico

El tiempo que tarda una mosca en batir sus alas, una vez, es de tres milisegundos (0.003 s). El tiempo que tarda una mariposa en batir sus alas, una vez, es de cincuenta milisegundos (0.050 s). Calcule el tiempo que demora una mosca y una mariposa en batir sus alas:

a. 10 veces

b. 100 veces

c. 1000 veces Matemática − Semana 27

149






Multiplico con agilidad: • un número decimal por un número entero. • un número decimal por otro número decimal. • un número decimal por la unidad seguida de ceros. Desarrollo la agilidad de cálculo mental multiplicando un decimal por la unidad seguida de ceros. Resuelvo problemas con multiplicación de decimales.


150

IGER − Quiriguá

28

División de números decimales


151

Los logros que conseguirá esta semana son:  Dividir: • • • •

números enteros entre números decimales números decimales entre números enteros números decimales entre números decimales números decimales entre la unidad seguida de ceros.

 Desarrollar la agilidad de cálculo mental  Resolver problemas matemáticos aplicando la división de números decimales 





152

IGER − Quiriguá

• ¿Cómo convertimos un número decimal en número entero? • División de números enteros entre números decimales y viceversa • División de números decimales entre números decimales • División de números decimales entre la unidad seguida de ceros • Aplicar el cálculo mental a la división de decimales entre la unidad seguida de ceros • Problemas matemáticos aplicando la división de números decimales

¡Para comenzar! ¿Cómo convertimos un número decimal en un número entero? Esta semana aprenderemos a dividir números decimales. Pero antes de entrar de lleno en el contenido, nos será muy útil repasar el procedimiento para convertir un número decimal en un número entero. Para hacer la conversión, multiplicamos el número decimal por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Veamos los ejemplos. • ¿Cómo convertimos el número decimal 0.75 en número entero?

El número 0.75 tiene dos cifras decimales, por lo tanto lo multiplicamos por 100. número decimal

conversión

número entero

0.75

0.75 x 100 = 75

75

• ¿Cómo convertimos el número decimal 22.7 en número entero?

22.7 tiene una cifra decimal, por lo tanto lo multiplicamos por 10. número decimal

conversión

número entero

22.7

22.7 x 10 = 227

227

¡A trabajar! Convierta los números decimales en números enteros. Tiene un ejemplo. número

0.786

conversión

número entero

0.786 x 1000 = 786

786

3.17 9.8 0.0003 7.004 569.12


153


1. División de números decimales En la división de números decimales, se pueden presentar los siguientes casos: • El dividendo es decimal y el divisor es número entero (40.5 ÷ 5) • El dividendo es entero y el divisor es decimal (12 ÷ 2.5) • El dividendo y el divisor son decimales (4.5 ÷ 2.5) • El dividendo es decimal y el divisor es la unidad seguida de ceros (2.5 ÷10) Veamos cómo se resuelven estas divisiones paso a paso.

1.1 División con dividendo decimal y divisor entero Para dividir un número decimal entre un número entero: • Dividimos como si ambos números fueran números enteros. • Al bajar la primera cifra decimal del dividendo, subimos el punto decimal al cociente. Ejemplo: Para dividir 40.5 ÷ 5 = • Dividimos la parte entera como división entre enteros.

8 5 4 0 . 5 – 4 0 0 • Luego, al bajar la primera cifra decimal (5) subimos el punto decimal al cociente. Seguimos dividiendo en la forma conocida (5 entre 5) hasta terminar la división.

8 . 1 5 4 0 . 5 – 4 0 0 5 – 5 0 • Escribimos la división inicial con el resultado. 40.5 ÷ 5 = 8.1

154

IGER − Quiriguá

¡Otro ejemplo! Dividir 5.84 ÷ 4 = • Dividimos 5 entre 4 como una división entre números enteros.

1 4 5 . 8 4 – 4 1 • Bajamos la primera cifra decimal (8) y subimos el punto decimal al cociente.

1 . 4 4 5 . 8 4 – 4 1 8 – 1 6 • Seguimos dividiendo en la forma conocida hasta terminar la división.

1 . 4 6 4 5 . 8 4 – 4 1 8 – 1 6 2 4 – 2 4 0 0

• Escribimos la división inicial con el resultado. 5.84 ÷ 4 = 1.46

Ejercicio 1 Divida un número decimal entre un número entero. Siga los pasos que aprendió en los ejemplos. 1)

31.2 ÷ 8 =

2)

31.2 ÷ 8 =

3)

36.27 ÷ 5 =

12.40 ÷ 2 =

2 1 2 . 4 0

5 3 6 . 2 7

8 3 1 . 2

36.27 ÷ 5 =

12.40 ÷ 2 =


155

¡Un caso especial! Hasta ahora hemos divido cantidades en las que el dividendo es mayor que el divisor, pero no siempre es así. —¿Cómo se resuelve una división en la que el dividendo es menor que el divisor? —Sigamos los pasos del ejemplo para comprenderlo. Ejemplo: Dividir: 9.1 ÷ 11 = • Como 9 es menor que 11, escribimos un 0 en el cociente y el punto decimal. Dado este paso, dividimos de la forma acostumbrada (91 entre 11).

0 . 8 1 1 9 . 1 – 8 8 3 • Escribimos la división inicial con el resultado. 9.1 ÷ 11 = 0.8 ¡Otro ejemplo! Dividir: 0.0856 ÷ 4 = • Observe que la primera cifra que se puede dividir entre 4 es la cifra decimal 8, así que escribimos en el cociente el mismo número de ceros del dividendo y copiamos el punto decimal. Hecho esto, dividimos de la forma acostumbrada (8 entre 4).

0 . 0 2 4 0 . 0 8 5 6 – 8 0 • Seguimos dividiendo en la forma conocida hasta terminar la división.

0 . 0 2 1 4 4 0 . 0 8 5 6 – 8 0 5 – 4 1 6 – 1 6 0 • Escribimos la división inicial con el resultado. 0.0856 ÷ 4 = 0.0214

156

IGER − Quiriguá

¡Un ejemplo más! Dividir 0. 0025 ÷ 2 = • Copiamos en el cociente el mismo número de ceros del dividendo y copiamos el punto decimal. Dado este paso dividimos de la forma acostumbrada (2 entre 2).

0 . 0 0 1 2 0 . 0 0 2 5 – 2 0 • Seguimos dividiendo de la forma conocida.

0 . 0 0 1 2 2 0 . 0 0 2 5 − 2 0 5 − 4 1 • Escribimos la división inicial con el resultado: 0.0025 ÷ 2 = 0.0012

Ejercicio 2 Divida un número decimal entre un número entero. Tome en cuenta que el dividendo es menor que el divisor. Siga los pasos que aprendió en los ejemplos. 1)

0.076 ÷ 6 =

2)

6 0 . 0 7 6

3)

5 3 . 1 8

0.076 ÷ 6 =

0.0016 ÷ 2 =

4)

2 0 . 0 0 1 6

3.18 ÷ 5 =

3.18 ÷ 5 = 5.98 ÷ 8 =

8 5 . 9 8

0.0016 ÷ 2 =

5.98 ÷ 8 =


157

1.2 División de un número entero entre un número decimal Para dividir un número entero entre un número decimal: • Convertimos el divisor decimal en número entero, multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor, tal como hicimos en la sección ¡Para comenzar! • Multiplicamos el dividendo por el mismo número que el divisor, agregando tantos ceros como ceros acompañen a la unidad. • Finalmente, dividimos como si fueran números enteros. Ejemplos: 1) 85 ÷ 0.2 = • Convertimos el divisor (0.2) en número entero. Como tiene una cifra decimal, lo multiplicamos por 10: 0.2 x 10 = 2

85 x 10 = 850 • Finalmente dividimos como si fueran números enteros: 850 ÷ 2 = • Multiplicamos el dividendo por el mismo número (10):

4 2 5 2 8 5 0 – 8 0 5 – 4 1 0 – 1 0 0 • Escribimos la división inicial con el resultado. 85 ÷ 0.2 = 425 2) 27 ÷ 0.15 = • Convertimos el divisor (0.15) en número entero. Como tiene dos cifras decimales, multiplicamos por 100: 0.15 x 100 = 15 • Multiplicamos el dividendo por el mismo número (100): 27 x 100 = 2700 • Finalmente dividimos como si fueran números enteros: 2700 ÷ 15 =

1 1 5 2 7 – 1 5 1 2 – 1 2 0 0 •

158

IGER − Quiriguá

8 0 0 0 0 0 0

Escribimos la división inicial con el resultado. 27 ÷ 0.15 = 180

Ejercicio 3 Divida un número entero entre un número decimal. Tiene un ejemplo. 0)

56 ÷ 0.7 = • Convierta el divisor en número entero multiplicándolo por 10.

0.7 x 10 = 7

• Multiplique el dividendo por el mismo número.

56 x 10 = 560

• Divida como números enteros.

560 ÷ 7 =

8 0 7 5 6 0 – 5 6 0 0

• Escriba la división inicial con el resultado. 1)

56 ÷ 0.7 = 80

4 ÷ 0.09 = • Convierta el divisor en número entero multiplicándolo por:

0.09 x

• Multiplique el dividendo por el mismo número.

4x

• Divida

= =

entre

9 4 0 0


12 ÷ 0.5 = • Convierta el divisor en entero:

0.5 x

=

• Multiplique el dividendo por el mismo número:

12 x

=

• Divida

entre

5 1 2 0

• Escriba la división inicial con el resultado.


159

1.3 División de un número decimal entre otro número decimal Para dividir un número decimal entre otro número decimal: • Multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. De esa manera el divisor se convierte en número entero. • Dividimos el dividendo entre el divisor entero. • Escribimos la división inicial con el resultado. Ejemplos: 1) 3.186 ÷ 1.5 = • El divisor tiene una cifra decimal, por lo tanto multiplicamos el divisor y el dividendo por 10.

1.5 x 10 = 15

3.186 x 10 = 31.86

• Dividimos 31.86 ÷ 15 = Si queremos obtener más cifras decimales, agregamos un cero al residuo (6) y continuamos dividiendo.

2 . 1 1 5 3 1 . 8 – 3 0 1 8 – 1 5 3 – 3

2 6

6 0 6

• Escribimos la división inicial con el resultado.

3.186 ÷ 1.5 = 2.12

2) 3.6 ÷ 0.21 =

En la práctica, se corre el punto decimal en el divisor y el dividendo una cantidad de lugares igual al número de cifras decimales del divisor. 3.6 ÷ 0.21 =

360 ÷ 21

• El divisor tiene dos cifras decimales, por lo tanto multiplicamos el divisor y el dividendo por 100.

0.21 x 100 = 21

3.6 x 100 = 360

• Luego dividimos 360 ÷ 21 =

1 2 1 3 6 – 2 1 1 5 – 1 4

7 0 0 7 2

• Escribimos la división inicial con el resultado.

160

IGER − Quiriguá

3.6 ÷ 0.21 = 17

3) 5.6 ÷ 0.3 =

1 3 5 – 3 2 – 2

Cuando el dividendo y el divisor tienen la misma cantidad de cifras decimales, ignoramos el punto decimal y dividimos como números enteros. • Escribimos la división inicial con el resultado.

8 6 6 4 2

5.6 ÷ 0.3 = 18

Ejercicio 4 Divida un número decimal entre otro número decimal. Siga los pasos como en el ejemplo. 0)

38.65 ÷ 0.5 = • El divisor tiene una cifra decimal, por lo tanto multiplicamos dividendo y divisor por 10. Multiplique el divisor.

0.5 x 10 = 5

Multiplique el dividendo.

38.65 x 10 = 386.5 7 7 . 3 5 3 8 6 . 5 – 3 5 3 6 – 3 5 1 5 – 1 5 0

• Divida: 386.5 ÷ 5 =


38.65 ÷ 0.5 = 77.3

34.59 ÷ 0.123 = • Multiplique el divisor.

0.123 x

=

• Multiplique el dividendo.

34.59 x

=

• Divida

entre

1 2 3 3 4 5 9 0

• Escriba la división inicial con el resultado:

34.59 ÷ 0.123 = Matemática − Semana 28

161

1.4 División de un decimal entre la unidad seguida de ceros

¡Una división muy fácil!

Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc) corremos el punto decimal hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga la unidad. Por ejemplo: 1) 78.2 ÷ 10 = 10 tiene un cero, entonces corremos el punto decimal un espacio a la izquierda. 78.2 ÷ 10 = 7 . 8 2

2) 3.45 ÷ 100 =

100 tiene dos ceros, corremos el punto decimal dos espacios a la izquierda. 3.45 ÷ 100 = 0 . 0 3 4 5

3) 569.1 ÷ 1000 =

1000 tiene tres ceros, corremos el punto decimal tres espacios a la izquierda. 569.1 ÷ 1000 = 0 . 5 6 9 1

Ejercicio 5 Divida cada número decimal de la primera columna entre 10, 100 y 1000. Tiene un ejemplo. ÷

425.7

162

10

100

1000

42.57

4.257

0.4257

÷

34.3

992.3

34.57

13.4

2528.7

127.9

20.18

642.1

112.3

142.5

2375.4

9754.5

92.6

68.52

6183.5

1.5

0.25

IGER − Quiriguá

10

100

1000

3.43

0.343

0.0343

Resumen Esta semana aprendimos que: 1.1 Para dividir un número decimal entre un número entero • Dividimos como si fueran números enteros. • Al bajar la primera cifra decimal del dividendo, colocamos el punto decimal en el cociente. • Escribimos la división inicial y el resultado. 45.2 ÷ 8 = 5.6 1.2 Para dividir un número entero entre un número decimal

Ejemplo: 45.2 ÷ 8 =

5 . 6 8 4 5 . 2 – 4 0 5 2 – 4 8 4 Ejemplo: 75 ÷ 0.3 =

• Convertimos el divisor decimal en número entero, multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

0.3 x 10 = 3

• Multiplicamos el dividendo por el mismo número que el divisor.

75 x 10 = 750

• Finalmente se dividen como números enteros.

• Escribimos la división inicial y el resultado. 75 ÷ 0.3 = 250 1.3 Para dividir un número decimal entre otro número decimal • Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. De esa manera el divisor se convierte en número entero. • Dividimos el número decimal o entero del dividendo entre el entero del divisor. • Escribimos la división inicial y el resultado. 2.16 ÷ 1.2 = 1.8

2 5 0 3 7 5 0 – 6 1 5 – 1 5 0 Ejemplo: 2.16 ÷ 1.2 = 2.16 x 10 = 21.6 1.2 x 10 = 12

1 . 8 1 2 2 1 . 6 – 1 2 9 6 – 9 6 0

1.4 Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc) • Corremos el punto decimal hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga la unidad. 25.12 ÷ 10 = 2 . 2 1 5


163


Escriba sobre cada línea, la palabra que falta. Tiene un ejemplo.

En la división de números decimales se presentan cuatro casos: • número

entre número

• número

entre número

• número

entre número

• número

entre la unidad seguida de

Actividad 2. Demuestre lo aprendido A.

B.

C.

164

Calcule el cociente de las divisiones de números decimales entre enteros. Trabaje en su cuaderno. Tiene un ejemplo. 0)

51.6 ÷ 6 = 8.6

4)

314.7 ÷ 21 =

8)

687.75 ÷ 6 =

1)

0.216 ÷ 12 =

5)

68.76 ÷ 33 =

9)

0.0967 ÷ 8 =

2)

6.28 ÷ 7 =

6)

524.8 ÷ 50 =

10)

817.6 ÷ 17 =

3)

451.6 ÷ 15 =

7)

99.16 ÷ 9 =

11)

3125.4 ÷ 6 =

Calcule el cociente de las divisiones de números enteros entre decimales. Trabaje en su cuaderno. Tiene un ejemplo. 0) 57 ÷ 0.8 = 71.25

4)

735 ÷ 12.3 =

8)

3467 ÷ 2.6 =

1)

9 ÷ 0.052 =

5)

85 ÷ 0.016 =

9)

24 ÷ 0.85 =

2) 459 ÷ 3.4 =

6)

586 ÷ 0.06 =

10)

99 ÷ 1.8 =

3)

7)

1941 ÷ 1.8 =

11)

18.64 ÷ 3.5 =

8243 ÷ 1.6 =

Calcule el cociente de las divisiones de números decimales entre decimales. Trabaje en su cuaderno. 0)

0.125 ÷ 0.5 = 0.25

4)

0.729 ÷ 0.009 =

8)

0.243 ÷ 0.081 =

1)

0.32 ÷ 0.2 =

5)

0.1284 ÷ 0.4 =

9)

0.7756 ÷ 0.1 =

2)

31.63 ÷ 8.184 =

6)

0.7777 ÷ 0.11 =

10)

14.6 ÷ 3.156 =

3)

3.1416 ÷ 0.8 =

7)

12.78 ÷ 123.1 =

11)

9.183 ÷ 0.012 =

IGER − Quiriguá

D.

Divida cada número decimal de la primera columna entre 10, 100 y 1000. Tiene un ejemplo. ÷

45.67

10

100

1000

÷

10

100

1000

4.567

0.4567

0.04567

890.78

89.078

8.9078

0.89078

123.67

345.89

98.12

0.89

0.456

36.657

1.29

98.76

389.7

908.56


Encuentre las respuestas realizando divisiones de números decimales: 1)

Responda a las preguntas. a. ¿Cuántas monedas de diez centavos (0.10) son necesarias para tener Q5.00?

R/ b. ¿Cuántas monedas de veinticinco centavos (0.25) son necesarias para tener Q50.00?

R/ c. ¿Cuántas monedas de cincuenta centavos (0.50) son necesarias para tener Q100.00.

R/ 2)

Isidro compra frijol a Q2.25 la libra. Averigüe cuál de las siguientes es su factura: Tienda “La Campana”

Tienda “La Campana”



2 calle 4–12 zona 1




libras de frijol

libras de frijol

libras de frijol

libras de frijol

Total Q13.54

Total Q15.75

Total Q17.50

Total Q17.75

¿Cuántas libras de frijol compró? Matemática − Semana 28

165


B.

166

Realice mentalmente las siguientes divisiones. Recuerde que para resolverlas debe correr el punto a la izquierda, tantas veces como ceros tiene la cada cantidad. Tiene un ejemplo. 0)

8.8 ÷ 10 = 0.88

1)

7.5 ÷ 10 =

2)

7.3 ÷ 100 =

3)

9)

511.1 ÷ 10 =

10)

98.75 ÷ 100 =

11)

65.11 ÷ 100 =

0.12 ÷ 10 =

12)

5000 ÷ 1000 =

4)

991 ÷ 100 =

13)

100.05 ÷ 100 =

5)

12.45 ÷ 10 =

14)

271.4 ÷ 1000 =

6)

0.123 ÷ 10 =

15)

39.511 ÷ 1000 =

7)

2467 ÷ 100 =

16)

893.41 ÷ 1000 =

8)

1634 ÷ 100 =

17)

784.21 ÷ 1000 =

Escriba el divisor que completa cada división. Tiene un ejemplo. 0)

1)

2)

67 ÷ 100 = 0.67

9)

8401.3 ÷

= 84.013

= 24.5

10)

730.12 ÷

= 7.3012

3.56 ÷

= 0.356

11)

5423.0 ÷

= 5.423

3)

12.1 ÷

= 0.121

12)

68110 ÷

= 6.811

4)

= 0.45

13)

1029.7 ÷

= 102.97

5)

34.56 ÷

= 0.3456

14)

529.311 ÷

= 5.29311

6)

2.3 ÷

= 0.0023

15)

9.001 ÷

= 0.9001

7)

3456.7 ÷

= 34.567

16)

= 1.234

8)

72009 ÷

= 72.009

17)

8976.9 ÷

245 ÷

4.5 ÷

IGER − Quiriguá

1234 ÷

= 89.769


Si usted quiere comprar dos libras de arroz, tres libras de fideos y cuatro libras de frijol, ¿en qué depósito le conviene comprar? Depósito A arroz fideo frijol

2)

Q3.25 Q1.65 Q2.25

Depósito B arroz fideo frijol

Q3.18 Q1.85 Q2.12

Ignacio va a comprar detergente y encuentra estas ofertas. ¿Cuál de los dos paquetes es más económico? 460 g a Q2.76

1000 g a Q5.50

3)

Carola se dirige a su trabajo que se encuentra a 585 metros de su casa. Si cada minuto avanza 9.75 metros, ¿cuánto tiempo tarda en llegar?

4)

Una caja de té cuesta Q12.00. Si cada caja contiene 20 bolsitas de 1.6 gramos cada una,

a.

¿Cuánto cuesta cada bolsita?

b. ¿Cuánto cuesta cada gramo de té?

5)

50 personas contratan una camioneta para ir de excursión. Si les cobran 3,362.75 quetzales por el viaje de ida y vuelta. ¿Cuánto le cuesta el viaje a cada uno?

6)

Una cooperativa de pescadores ha vendido 1233 libras de pescado por 22,810.50 quetzales. ¿A cuántos quetzales han vendido la libra de pescado?

7)

En una librería venden 1000 hojas de papel bond a Q38.45 y 100 a Q4.50. ¿Cuál de las dos opciones resulta más barata?

8)

Luis ha gastado Q9.90 en pollo y Q34.40 en carne de res. Si la libra de pollo vale Q8.25 y la libra de carne de res Q21.50, ¿cuántas libras de pollo y cuántas libras de carne ha comprado?

9)

18.84 litros de agua se depositan en 6 recipientes. Si en cada recipiente se depositó la misma cantidad, ¿cuántos litros de agua quedaron en cada recipiente?


167






Divido • números enteros entre números decimales • números decimales entre números enteros • números decimales entre la unidad seguida de ceros. Desarrollo la agilidad de cálculo mental. Resuelvo problemas matemáticos aplicando la división de números decimales.


168

IGER − Quiriguá

29

Razones y proporciones


169

Los logros que conseguirá esta semana son:  Definir razón y proporción.  Identificar los términos de una razón y de una proporción.  Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones.  Hallar el valor de un término desconocido en una proporción.  Desarrollar la agilidad de cálculo mental.  Resolver problemas matemáticos aplicando los conceptos de razón y proporción. 





170

IGER − Quiriguá

• ¿Cómo medir distancias con un mapa?

• Razón • Proporción • Calcular mentalmente el término desconocido en una proporción • Repaso de multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros

• Resolver problemas matemáticos

¡Para comenzar! ¿Cómo medir distancias en un mapa?

Un mapa es la representación geográfica de la Tierra o de alguna parte de ella. Nosotros conocemos bien el mapa de Guatemala y de los distintos departamentos del país. Hemos aprendido a localizar dónde se encuentran las cabeceras, algunos ríos, volcanes, etc. Las representaciones en un mapa no se encuentran al azar. Se realizan estableciendo una relación entre la extensión y la localización real de un lugar y su representación en el mapa. Esa relación es la escala. La escala indica la relación matemática entre dos puntos en la realidad y esos mismos puntos representados en el mapa. Generalmente, la relación se expresa de forma numérica. Si en un mapa observamos la relación 1:2000, nos indica que 1 unidad del mapa es equivalente a 2000 unidades en la realidad. Una escala 1:100 indica que 1 unidad en la representación equivale a 100 unidades en la realidad. Estas unidades pueden ser: kilómetros, millas, metros cuadrados, etc.


171

Para calcular la distancia real, debemos medir la distancia en un mapa y multiplicarla por la escala. Veamos: 1. Observe el mapa de Belice. Tome su regla y mida la distancia que hay entre Belmopan y Orange WalK. ¿Cuántos centímetros hay? 2. La escala del mapa es 1:25 y las unidades son kilómetros, así que multiplique el número de centímetros por 25.

¿A cuántos kilómetros está Orange Walk de Belmopán?

¡Muy bien! Orange WalK está a 87.5 ≈ 88 kilómetros de Belmopán.

Ahora averigüe a cuántos kilómetros está Big CreeK de Belmopan. Siga los pasos del ejemplo anterior.

La escala es una razón matemática. La escala 1:25 también la podemos representar así: 1 ó 1/25. 25 Mapa de Belice Escala 1:25 km Orange Wlak

México

Belize City BELMOPAN Guatemala

Big Creek Punta Gorda

Honduras

172

IGER − Quiriguá


1. Razón Cociente indicado Razones y proporciones tienen mucho que ver con nuestra vida diaria. Una aplicación muy práctica la encontramos en las recetas de cocina.

Refresco de verano Ingredientes • 1 naranja • 3 limones • 1 taza de azúcar • 4 vasos de agua natural • 2 vasos de agua mineral Fíjese cómo se relacionan los ingredientes en la receta: • Una naranja por cada tres limones. La relación es de 1 a 3. • Una taza de azúcar por cada dos vasos de agua mineral. La relación es de 1 a 2. Cuando realizamos comparaciones entre dos cantidades y establecemos una relación entre ellas, establecemos una razón. Una razón es una relación entre dos cantidades, es decir es una fracción. Una razón se compone de dos términos: antecedente, el numerador, y consecuente, el denominador. Veamos la razón entre el número de naranjas y el número de limones:

1 3

antecedente consecuente

Para leer una razón, leemos en primer lugar el antecedente y después el consecuente. El ejemplo anterior se lee: “uno es a tres”. El orden de los términos, antecedente y consecuente, indica la forma en que se hace la comparación. En el ejemplo se establece la comparación entre la cantidad de naranjas (antecedente) y la cantidad de limones (consecuente). Si la comparación fuera entre limones y naranjas, la razón sería inversa:

3 1

antecedente consecuente Matemática − Semana 29

173

¡Otro ejemplo! En la sección ¡Para comenzar! aprendimos que la escala de los mapas es una razón numérica. En la escala del mapa de Belice teníamos la razón

1 . Un centímetro del mapa 25

equivale a 25 kilómetros en la realidad. La relación es de 1 a 25.

1 25


Ejercicio 1 A.

Identifique el antecedente y el consecuente de cada razón matemática del texto. Tiene un ejemplo. El agua está formada en una relación 2 por hidrógeno y oxígeno. Este líquido es 1

esencial para la supervivencia de todas las formas conocidas de vida. El agua cubre 35 de la superficie de la corteza terrestre. En nuestro planeta, se localiza principal50 mente en los océanos, donde se concentra el 96 del agua total. 100

2 :

1

2 antecedente, 1 consecuente

B.

Lea los datos sobre la presencia de católicos en el mundo. Luego expréselos como razón matemática en el orden que se presentan en la tabla. Tiene un ejemplo. Según estadísticas de 2007, el continente americano reúne la mayor cantidad de católicos del mundo: 24 de cada 50 personas. Este dato se confirma si pensamos que en nuestro país, 64 de cada 100 personas son católicas. Pero, en la medida en que nos vamos alejando de América estas cifras cambian. En África 4 de cada 25 personas son católicas; en Asia, 130 de cada 1000; en Oceanía, 4 de cada 500. ¿Y en el mundo? 17 de cada 100 personas. Lugar

Razón numérica de católicos

Guatemala

64/100

América África Asia Oceanía El mundo

174

IGER − Quiriguá

2. Proporción Igualdad de dos razones En matemática se define proporción como la igualdad de dos razones. Una proporción está formada por dos razones unidas por el signo igual.

2 4 = 6 12 Se lee: ‟dos es a seis, como cuatro es a doce”. Pongamos un ejemplo. Según los consejos para la reforestación de nuestros bosques, por cada árbol que se corta, hay que sembrar cuatro. Podemos construir una tabla que establezca cuántos árboles habría que sembrar si se cortan dos, tres, etc. árboles cortados

1

2

árboles sembrados

4

8

Expresamos la relación entre árboles cortados y árboles sembrados con dos razones y formamos una proporción.

1 2 = 4 8 Esta proporción se lee: ‟uno es a cuatro, como dos es a ocho”.

Ejercicio 2 Escriba la proporción. El ejercicio ‟0” le sirve de ejemplo. 0)

En carretera, un carro emplea 1 galón de gasolina para recorrer 50 kilómetros y 3 galones de gasolina para recorrer 150 kilómetros. proporción

1)

gasolina

1

3

kilómetros

50

150

1 3 = 50 150

En una fábrica resultan 2 productos defectuosos por cada 500 que producen y 4 defectuosos por cada 1000. proporción

defectuosos producidos

2

4

500 1000


175

2.1 Términos de una proporción Toda proporción tiene cuatro términos: dos extremos y dos medios. Los extremos son el numerador de la primera razón y el denominador de la segunda.

2 4 = 1 2

Los medios son el denominador de la primera razón y el numerador de la segunda.

2 4 = 1 2

2 4 = 1 2

medios extremos

2.2 Propiedad fundamental de las proporciones La propiedad fundamental de las proporciones dice así: En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Pongamos un ejemplo: En la aldea Bosque Bello acaban de cortar cuatro árboles, los estudiantes de Quiriguá han decidido organizar una jornada de siembra de 16 árboles para repoblar. ¿Han cumplido con el consejo de reforestar a razón de 1 , 4 con los 16 árboles nuevos? Planteamos la proporción.

1 4 = 4 16

• Aplicamos la propiedad fundamental: producto de extremos es igual a producto de medios.

multiplicamos los extremos: 1 x 16 = 16

multiplicamos los medios:

4 x 4 = 16

• Como el producto de extremos es igual al producto de medios, entonces

1 4 = sí es una proporción. 4 16 • Respondemos: Los estudiantes han cumplido con reforestar 4 árboles por cada 1 cortado. ¡Otro ejemplo! Comprobemos si las siguientes razones forman una proporción. • 5 20 y 7 28

multiplicamos los extremos: 5 x 28 = 140 multiplicamos los medios: 7 x 20 = 140

• Como el producto de extremos es igual al producto de medios, entonces

5 20 = es una proporción. 7 28

176

IGER − Quiriguá

Ejercicio 3 A.

B.

Complete la tabla escribiendo los extremos y medios de cada proporción. Tiene un ejemplo. proporción

extremos

medios

0)

4 5 = 8 10

4 y 10

8y5

1)

2 6 = 5 15

2)

8 10 = 4 5

3)

7 14 = 9 18

4)

3 6 = 5 10

5)

1 3 = 7 21

Aplique la propiedad fundamental y compruebe si las siguientes razones forman una proporción. Indique su conclusión rellenando el cuadro. Tiene un ejemplo.

6

12

= 0) 8 4

7

14

1) = 6 3

5

15

= 2) 9 3

2

8

3) = 10 4

3 6 4) = 10 5

2

6

5) = 15 5

Producto de extremos:

6

x

8

= 48

Producto de medios:

4

x 12 = 48


x

=

Producto de medios:

x

=


x

=

Producto de medios:

x

=


x

=

Producto de medios:

x

=


x

=

Producto de medios:

x

=


x

=

Producto de medios:

x

=

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No


177

2.3 Aplicaciones de la propiedad fundamental Gracias a la propiedad fundamental podemos hallar el valor de un término desconocido en una proporción, ya sea uno de los extremos o uno de los medios.

a. Cuando se desconoce uno de los extremos Para averiguar el extremo desconocido de una proporción, se multiplican los medios y el resultado se divide entre el extremo conocido. Por ejemplo: Si tres cajas de cereal pesan cinco libras, ¿cuánto pesarán seis? • Planteamos la proporción. Al término desconocido lo llamaremos ‟ ” • Para hallar el término desconocido, multiplicamos los medios y dividimos entre el extremo conocido.

3 6 = 5 =

• Completamos los cuatro términos de la proporción. • Sustituimos el valor de en la proporción y comprobamos el resultado:

5x6 = 10 3 3 6 = 5 10

3 6 = 5 10

5 x 6 = 30 3 x 10 = 30

• Respondemos a la pregunta: Seis cajas de cereal pesan 10 libras.

Ejercicio 4 Calcule el extremo desconocido de las proporciones y compruebe su resultado. Tiene un ejemplo. proporción

0) 1)

178

5 2

=

12 4

=

15 10

2)

6 9 = 18

3)

1 3 = 4

IGER − Quiriguá

procedimiento

=

60 5 x 12 = = 15 4 4

comprobación

15 12 = 4 5

5 x 12 = 60 15 x 4 = 60

b. Cuando se desconoce uno de los medios Para encontrar el medio desconocido, se multiplican los extremos y el resultado se divide entre el medio conocido. Ejemplo: Un litro de leche contiene 560 calorías. Si un litro equivale a cuatro vasos, ¿cuántos vasos de leche deberá consumir una persona para tomar 140 calorías?

4 = 140 560

• Planteamos la proporción. • Para hallar el termino desconocido, multiplicamos los extremos y dividimos el resultado entre el medio conocido.

560 4 x 140 = =1 560 560

=

• Completamos los cuatro términos de la proporción. • Sustituimos el valor de en la proporción y comprobamos el resultado.

4 1 = 560 140 1 4 = 560 140

1 x 560 = 560 4 x 140 = 560

• Respondemos: La persona debe tomar un vaso de leche para consumir 140 calorías. Veamos un ejemplo numérico:

2 = 60 20

Hallar el término desconocido en la proporción. • Multiplicamos los extremos y dividimos entre el medio conocido: • Sustituimos el valor de en la proporción para comprobar el resultado.

=

2 x 60 =6 20

6 2 = 60 20

20 x 6 = 120 2 x 60 = 120

Ejercicio 5 Calcule el medio desconocido en las proporciones. Tiene un ejemplo. proporción

0)

1)

2)

2

=

5 10

procedimiento

=

20 2 x 10 = =4 5 5

comprobación

2 5 = 4 10

4 x 5 = 20 2 x 10 = 20

3 = 8 4 8

=

5 10


179

Resumen 1.

Razón

Una razón es el cociente indicado entre dos números enteros. Los términos que la componen se llaman: antecedente y consecuente.

2 8


Se lee: ‟dos es a ocho” 2. Proporción

Una proporción es la igualdad de dos razones.

2 6 = 8 24

Se representa así:

Se lee: ‟dos es a ocho, como seis es a veinticuatro”

2.1 Términos de una proporción

Toda proporción tiene cuatro términos: dos extremos y dos medios.

Los extremos son el numerador de la primera razón y el denominador de la segunda.

6 2 = 24 8


2 6 = 8 24

2.2 Propiedad fundamental de las proporciones

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

8 x 6 = 48 2 x 24 = 48

2 6 = 8 24

Ejemplo:

2.3 Aplicaciones de la propiedad fundamental a. Cuando se desconoce uno de los extremos, se multiplican los medios y el resultado se divide entre el extremo conocido.

6 2 = 8

=

8x6 = 24 2

6 2 = 24 8

b. Cuando se desconoce uno de los medios, se multiplican los extremos y el resultado se divide entre el medio conocido.

180

IGER − Quiriguá

2

=

6 24

=

2 x 24 = 8 6

6 2 = 24 8


Lea, analice y responda. 1)

Señale el antecedente y el consecuente en la razón

2)

¿Cómo se lee la proporción

7 4

10 2 = ? 5 1

a. ¿Cuáles son los extremos de la proporción? b. ¿Cuáles son los medios de la proporción? 3)

En la proporción

2 14 = 5 35

a. ¿cómo se llaman los términos 2 y 35?

b. ¿cómo se llaman los términos 5 y 14? B.

Lea los datos sobre la población en Rusia y expréselos como razón matemática. Tiene un ejemplo. Según estimaciones de 2002, la población de Rusia está formada así: 79 de cada 100 personas son rusas; 2 de cada 50 son tártaros; 12 de cada 300 son ucranianos y el resto, 30 de cada 200, provienen de otros lugares. Pobladores de Rusia

rusos

Razón numérica

79/100

tártaros ucranianos otros C.

Calcule en su cuaderno el término desconocido (‟ ”) de cada proporción. Tiene un ejemplo.

4 x 4 16 = = 8 2 2

0)

2 4 = 4

1)

1 3 = 2

3)

6 8

4)

2)

4

=

=

2

2 4 = 4 8 =

5 16 10 5) = 6 32

5 4 = 6) = 21 3 7 6 Matemática − Semana 29

181

7) 8) D.

3 = 27 9 9

=

6 2

9) 10)

4 2

=

10 20

11)

=

14 21

12)

4 32 = 12 12

=

5 6

Calcule el término desconocido de las siguientes proporciones y rellene el cuadro que corresponde al valor calculado. Haga las operaciones necesarias en el espacio en blanco. Tiene un ejemplo. 0)

Si 3 lápices cuestan Q5.00, ¿cuánto costará una docena?

3 12 = 5

1)

5 x 12 = = 20 3

Si una mano de naranjas cuesta Q4.00, ¿cuál es el precio de 25 naranjas?

20 25 30

50 25 20

2)

Si 68 libras de arroz alcanzan para 136 raciones, ¿cuántas raciones se preparan con 14 libras de arroz?

7 28 10

3)

Una vaca da 65 litros de leche en 4 días. ¿Cuántos litros debe dar en 16 días?

130 240 260

4)

Si un transportista cobra Q20.00 por cada 4 kilómetros, ¿cuánto cobrará por 120 kilómetros?

600 800 300

5)

Si 1 mililitro es igual a 20 gotas, ¿cuántas gotas serán 7 mililitros?

140 200 320

182

IGER − Quiriguá

E.

Lea la receta y escriba las razones que se le piden. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo.

Crema de brócoli Ingredientes para 4 porciones • 4 tazas de brócoli picado • 3 cucharadas de mantequilla • 1 taza de cebolla picada • 3 tazas de consomé de carne

• 2 cucharadas de harina • 2 tazas de leche caliente • 2 cucharaditas de sal

0)

¿Cuál es la razón entre las tazas de brócoli y las tazas de consomé?

1)

¿Cuál es la razón entre las cucharadas de mantequilla y las cucharadas de harina?

2)

Escriba las razones que se le piden para un receta de 12 porciones:

4 3

a. Tazas de cebolla picada y tazas de leche caliente. b. Tazas de brócoli y cucharaditas de sal. c. ¿Cómo llegó a la respuesta?


Recuerde lo aprendido sobre escalas de los mapas y responda en su cuaderno. 1)

La escala de un mapa de es 1:16.5 km a. ¿Qué significa la escala de este mapa? b. Si dos pueblos están en este mapa a una distancia de 35 cm, ¿cuánto distan en la realidad?

2)

La distancia real entre dos pueblos es de 25 km. Si en el mapa esa distancia equivale a 12.5 cm, ¿cuál es la escala del mapa?

B.

Represente las gráficas como razones. Tiene un ejemplo. 1)

0)

2)

3)

4)

3 4 Matemática − Semana 29

183


Encuentre mentalmente el número que falta a cada proporción. Recuerde que para encontrar el cuarto término, multiplicamos en forma cruzada los dos términos conocidos y el resultado lo dividimos entre el tercer término conocido. Tiene un ejemplo.

1 7

0) = 1)

8 27 3 = 13) = 3 2 9

1 8

12 2 8 16 = 14) = 30 2

8)

1 = 9) 18 9

4)

4 8 20 4 6 = 10) = 16) = 2 2 5 4 3 5

9

5 1

20

6) =

184

24

3)

5) =

C.

14 ÷ 7 = 2

1 x 14 = 14

1 = 7) 12 4

2) =

B.

14

11)

6 = 4 8

15)

14 = 1 7 21 3

17)

7

12 4 = 6

24 8 = 3 25 5

12) = 18) =

1

Multiplique por la unidad seguida de ceros. Tiene un ejemplo. 0)

0.9 x 10 =

1)

0.8 x 10 =

2)

0.7 x 100 =

3)

0.6 x 1000 =

9

4)

12 x 10 =

5)

56 x 100 =

6)

45 x 1000 =

7)

21 x 10000 =

8) 9)

6.1 x 10 = 7.5 x 100 =

10)

8.9 x 1000 =

11)

9.4 x 10000 =

Divida entre la unidad seguida de ceros. Tiene un ejemplo. 0)

9 ÷ 10 = 0.9

4)

10 ÷ 10 =

1)

8 ÷ 10 =

5)

0.9 ÷ 100 =

2)

7 ÷ 100 =

6)

8.3 ÷ 1000 =

10)

8781 ÷ 1000 =

3)

6 ÷ 1000 =

7)

7 ÷ 10000 =

11)

9 ÷ 10000 =

IGER − Quiriguá

8) 9)

7.6 ÷ 10 = 767 ÷ 100 =

Razonamiento lógico Resuelva los problemas. Si necesita realizar cálculos, hágalo en su cuaderno. 1)

Lea los compromisos para revertir el cambio climático que asumieron algunos países en la cumbre de la ONU, celebrada en Copenhague en 2009. Luego expréselos como razón matemática en el orden en que se presentan en la tabla. • Brasil se comprometió a reducir la deforestación a 1 de cada 5 para el año 2020. • México se comprometió a reducir sus emisiones de gases de efecto invernadero en 3 de cada 10 para el año 2020. • China se comprometió a aumentar la energía limpia para abastecer a 3 de cada 20 consumidores para 2020. • India aumentará su espacio forestal en 5 de cada 50. País

Compromiso

Brasil

Reducir la deforestación

México

Reducir emisiones de gases

China

Aumentar la energía limpia

India

Aumentar su espacio forestal

Razón numérica

2)

Para obtener 1 litro de leche son necesarias 8 cucharadas de leche en polvo. ¿Cuántas cucharadas serán necesarias para obtener 3 tazas? Un litro tiene 4 tazas.

3)

Cecilia ha sembrado 2 árboles y Manuel 4. ¿Cuál es la razón entre los árboles de Cecilia respecto a los de Manuel?

4)

En una escuela hay 150 alumnos, de los cuales 30 son hombres. ¿Cuál es la razón entre el número total de alumnos y el número de hombres?

5)

Si un carro recorre 50 kilómetros en una hora, ¿cuántos kilómetros recorre en 3 horas, en 7 horas y en 11 horas?

6)

En un taller de costura hay 400 personas, de las cuales 223 son mujeres, 187 tienen hijos y 354 son casadas. Señale:

a. La razón de mujeres con respecto al total de personas.

b. La razón de personas que no tiene hijos, con respecto al total de personas casadas.

c. La razón de personas casadas con respecto al total de personas.


185






Defino razón y proporción. Identifico los términos de una razón y de una proporción. Aplico la propiedad fundamental de las proporciones. Hallo el valor de un término desconocido en una proporción. Desarrollo la agilidad de cálculo mental. Resuelvo problemas matemáticos aplicando los conceptos de razón y proporción.


186

IGER − Quiriguá

30

Regla de tres


187

Los logros que conseguirá esta semana son:  Plantear correctamente la regla de tres.  Diferenciar la regla del tres directa de la regla del tres inversa.  Resolver reglas de tres directas e inversas.  Resolver operaciones combinadas mentalmente.  Resolver problemas utilizando regla de tres. 





188

IGER − Quiriguá

• Biografía de Al Biruni

• La regla de tres: directa e inversa • Aplicación de regla de tres • Resolver operaciones combinadas mentalmente • Resolución de problemas matemáticos aplicando la regla de tres

¡Para comenzar! Al Biruni y la regla de tres Al Biruni fue matemático, astrónomo, físico, filósofo, astrólogo, viajero, historiador y farmacéutico persa, uno de los intelectuales más destacados del mundo islámico. Nació el 15 de septiembre de 973 en la ciudad de Kath (actual Uzbekistán) y murió en Gazni (actual Afganistán), el 13 de diciembre de 1048. Hablaba varios idiomas: griego, hebreo, sirio y bereber, aunque escribió su obra en persa, su lengua materna, y árabe. Viajó varias veces a la India, lo que le permitió conocer la regla de tres y el uso generalizado de este procedimiento en aquel país. Lo que aprendió de las matemáticas hindúes lo escribió en el libro “Crónicas de la India”. En él podemos encontrar problemas de este tipo:

Al Biruni (973–1048) Intelectual persa

Si 8 frutas cuestan 12 dinares*, ¿cuánto costarán 11 frutas? La regla de tres se plantea así: frutas

8 11

dinares

12

Y se lee: “Si ocho frutas cuestan doce dinares, once frutas costarán x dinares”. Fíjese en dos aspectos: Las magnitudes (frutas y dinares) están ordenadas en columnas, del lado izquierdo frutas y del lado derecho, dinares. Esta operación se llama regla de tres porque conocemos tres cantidades y la cuarta cantidad, el término desconocido, lo representamos con . La regla de tres es otra forma de calcular un cuarto proporcional. ¡A trabajar! Represente el siguiente problema como regla de tres. Si un día tiene 24 horas, ¿cuantas horas tiene un mes de 30 días?

días

horas

* Dinar:

moneda de varios países, entre ellos: Argelia, Irak, Túnez... Matemática − Semana 30

189


1. Proporcionalidad directa e inversa En la semana 29 aprendimos que una proporción es la relación de igualdad que se establece entre dos razones. Esta semana aprenderemos que la proporción puede estar en relación directa o inversa.

1.1 Proporción directa Dos razones están en relación directa cuando: Al aumentar una razón, la otra también aumenta. Por ejemplo: • Si compra más productos, gasta más dinero. • Si recorre más kilómetros, tarda más tiempo. Al disminuir una razón, la otra también disminuye. Por ejemplo: • Si consume menos electricidad, paga menos quetzales. • Si un carro recorre menos distancia, consume menos combustible.

Ejercicio 1 Lea cada relación y defina si es una relación directa y por qué. Tiene un ejemplo. 0)

El tiempo dedicado a la lectura en relación al número de páginas leídas.

Es una relación directa porque a más tiempo dedicado a la lectura

más páginas leídas.

1)

El número de productos comprados y la cantidad de dinero pagado.

2)

El número de kilómetros recorridos en relación al combustible que consume un carro.

190

IGER − Quiriguá

1.2 Proporción inversa Dos razones están en relación inversa cuando: Al aumentar una razón, la otra disminuye. Por ejemplo: • Si queremos ahorrar más, tenemos que gastar menos. • Si hay más obreros, la obra se termina en menos tiempo. • Si camino más rápido, tardo menos tiempo en recorrer la misma distancia. Al disminuir una razón, la otra aumenta. Por ejemplo: • Si hay menos gallinas, el maíz para alimentarlas dura más tiempo. • Si un carro va a menos velocidad, tarda más tiempo en recorrer un camino. • Si un camión tiene menos capacidad, tiene que realizar más viajes para llevar una carga dada.

Ejercicio 2 Lea cada oración, piense y responda a las preguntas. Tiene un ejemplo. 0)

Si 5 trabajadores pintan una casa en 2 días, ¿7 trabajadores la pintarán en más o en menos días? ¿Esta relación es directa o inversa?

Más trabajadores pintarán la casa en menos días. La relación es inversa. 1)

Un depósito de agua alcanza para 5 días, si se gastan 6 galones diarios. ¿Cuántos galones diarios deben gastarse para que el depósito alcance para 10 días? ¿Esta relación es directa o inversa?

2)

En una imprenta 5 máquinas tardan 15 días en sacar un pedido. Si solo tuvieran 3 máquinas, ¿el pedido saldría en más o en menos tiempo? ¿Esta relación es directa o inversa?

3)

Un taxi cobra 30 quetzales por 10 kilómetros recorridos. Si recorre 45 kilómetros, ¿cobrará más o menos dinero? ¿Esta relación es directa o inversa?


191

2. Regla de tres directa

Proporcionalidad directa

La regla de tres directa permite hallar el término desconocido de una proporción que está en relación directa. Se aplica la propiedad fundamental pero se plantean las razones de forma horizontal. Veamos un ejemplo. • Dada la proporción directa:

Una regla de tres se lee como una proporción: ‟cuatro es a diez, como seis es a x”.

4 6 = 10

• Planteamos la regla de tres así:

• Para calcular el valor de

4 6

, multiplicamos

en forma cruzada (6 x 10) y dividimos

=

el resultado entre la tercera cantidad

10

60 6 x 10 = = 15 4 4 = 15

conocida (4).

La regla de tres es muy útil para resolver problemas. Por ejemplo: Para obtener 1 libra de sal se necesitan 18 litros de agua de mar. ¿Cuántos litros de agua de mar son necesarios para obtener 3 libras de sal? 1. Establecemos si la proporción está en relación directa o inversa. A más libras de sal son necesarios más litros de agua de mar. La proporción es directa. 2. Planteamos la regla de tres.

sal agua

Del lado izquierdo, libras de sal y del

1 3

lado derecho, litros de agua salada.

18

3. Operamos. Multiplicamos en forma cruzada (3 x 18) y el resultado lo dividimos entre la tercera cantidad conocida (1).

=

54 3 x 18 = = 54 1 1 = 54

4. Respondemos: Para obtener 3 libras de sal son necesarios 54 litros de agua de mar.

192

IGER − Quiriguá

¡Veamos otro ejemplo! En una investigación sobre el crecimiento de las plantas se determinó que un árbol crece 0.15 metros al mes. ¿Cuántos metros crecerá un árbol en un año? 1. Establecemos si las cantidades están en relación directa o inversa. Cuanto más tiempo transcurre, más metros crecen las plantas. Es una relación directa. 2. Expresamos la relación directa así:

Fíjese: cada cantidad en su lugar: meses con meses y metros con metros.

meses metros

1 12

3. Operamos. Multiplicamos en forma cruzada (12 x 0.15) y el resultado lo dividimos entre la tercera cantidad conocida (1).

=

0.15

12 x 0.15 = 1.8 = 1.8 1 1 = 1.8

4. Respondemos: Un árbol crecerá 1.8 metros en un año.

Ejercicio 3 Resuelva el problema aplicando la regla de tres directa. Siga los pasos. Una antena de radio de 7 metros de altura proyecta una sombra de 5 metros. ¿Cuál será la altura de un edificio que a la misma hora proyecta una sombra de 10 metros? • Establecemos si la proporción es directa o inversa. A

metros de altura, más metros de sombra proyectada. altura sombra

• Planteamos la regla de tres.

7

5 10

• Operamos.

• Respondemos: El edificio mide

metros de altura.


193

3. Regla de tres inversa

Proporcionalidad inversa

La regla de tres inversa permite hallar el término desconocido de una proporción que está en relación inversa. Veamos un ejemplo:

2 5 = 10

• Dada la proporción inversa: 2 5

• Planteamos la regla de tres:

• Para calcular el valor de

,

multipli=

camos en forma horizontal (2 x 10) y dividimos el resultado entre la tercera

10

20 2 x 10 = =4 5 5 =4

cantidad conocida (5). Resolvamos un problema. Veamos:

Si 3 personas necesitan 12 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 personas para realizar el mismo trabajo? 1. Determinamos si la proporción es inversa. A más trabajadores, menos tiempo empleado. La proporción es inversa. 2. Planteamos la regla de tres. Del lado izquierdo, número de trabajadores y del lado derecho, días empleados.

trabajadores días

12

3 18

3. Operamos. Como es una proporción inversa, multiplicamos en forma horizontal y el resultado lo dividimos entre la tercera cantidad conocida.

=

36 3 x 12 = =2 18 18 =2

4. Respondemos: 18 personas necesitarán 2 días para realizar el mismo trabajo.

194

IGER − Quiriguá

Otro ejemplo: En una fábrica 2 empleados empacan un lote de mercadería en 8 días. ¿Cuántos empleados se necesitan para empacar el mismo lote en 4 días? 1. Establecemos si la proporción es inversa. A más empleados, menos días.

empleados días

2. Planteamos la regla de tres. 3. Operamos.

Multiplicamos en forma horizontal y dividimos entre la tercera cantidad conocida.

2

8

4

=

2x8 16 = =4 4 4 =4

4. Respondemos: Se necesitan 4 empleados para empacar el lote en 4 días.

Ejercicio 4 A.

Resuelva el problema aplicando la regla de tres inversa. Siga los pasos. En una granja 100 pollos comen cierta cantidad de concentrado en 10 días. Si hay 50 pollos, ¿para cuántos días alcanzará la misma cantidad de concentrado? • Determinamos si la proporción es directa o inversa.

pollos consumirán el concentrado en más días. La proporción es inversa. pollos días

• Planteamos la regla de tres.

100

10

50 • Operamos. • Respondemos: 50 pollos consumen el concentrado en B.

días.

Practique la resolución de la regla de tres inversa. Guíese con el ejemplo. Regla de tres inversa

0) 12 6

18

1) 5 4

20

2) 3 5

15

procedimiento

=

12 x 18 216 = = 36 6 6


195

Resumen 1.

Una proporción es la relación de igualdad que se establece entre dos razones. La proporción puede ser directa o inversa.

1.1 Proporción directa: dos razones están en relación directa cuando al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. 1.2 Proporción inversa: dos razones están en relación inversa cuando al aumentar una de ellas, la otra disminuye o al disminuir una de ellas, la otra aumenta proporcionalmente. 2.

Regla del tres directa se aplica cuando intervienen dos razones directamente proporcionales.

Ejemplo: Si 4 libros cuestan 80 quetzales, ¿cuánto costarán 5 libros? 1. Establecemos si la proporción es directa. Si compro más libros me costarán más dinero. La proporción es directa. libros precio

2. Planteamos la regla de tres.

3. Multiplicamos las cantidades conocidas en forma cruzada y dividimos el resultado entre la tercera cantidad.

80

4 5

=

5 x 80 400 = = 100 4 4 = 100

4. Respondemos: 5 libros costarán 100 quetzales. 3.

Regla del tres inversa se aplica cuando intervienen dos razones inversamente proporcionales.

Ejemplo: Si 4 albañiles construyen una obra en 12 días, ¿cuántos días tardarán 6 albañiles? 1. Establecemos si la proporción es inversa: Más albañiles tardarán menos tiempo en construir la obra. La proporción es inversa. 2. Planteamos la regla de tres. 3. Multiplicamos las cantidades conocidas en forma horizontal y dividimos el resultado entre la tercera cantidad.

albañiles días

12

4 6

=

4 x 12 48 = =8 6 6 =8

4. Respondemos: 6 albañiles tardarán 8 días en construir la obra.

196

IGER − Quiriguá


Lea cada párrafo y responda a las preguntas. 1)

Un árbol de 12 metros de altura da una sombra de 2 metros a las tres de la tarde. a. La sombra que proyecta un árbol de 7 metros de altura a la misma hora, ¿es mayor o menor de 2 metros? b. La relación proporcional entre la altura de un objeto y la longitud de la sombra que proyecta, ¿es directa o inversa?

2)

Un ciclista tardó 6 horas en recorrer una etapa, a 45 kilómetros por hora. a. Si la velocidad de otro ciclista fue de 55 kilómetros por hora, ¿tardo más de 6 horas o menos de 6 horas? b. La relación proporcional entre la velocidad y el tiempo ¿es directa o inversa?

B.

Lea el problema y establezca si plantea una relación directa o una relación inversa. Luego, resuelva la regla de tres, directa o inversa, y rellene el cuadro que corresponde al valor calculado. Haga las operaciones necesarias en el espacio en blanco. Tiene un ejemplo. 0)

Si el tiempo empleado por 15 trabajadores en instalar las luces de una calle ha sido de 7 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores? 7

10 horas 21 horas 15 horas

15 x 7 = 21 5

15 5

relación inversa

1)

Un barco lleva comida para 8 tripulantes y una travesía de 15 días. Si sólo viajan 6 tripulantes, ¿para cuántos días les alcanzará la comida?

20 días

El precio de 8 menús es Q320.00 ¿cuánto costarán 5 menús?

Q512.00

2)

=

30 días 12 días

Q160.00 Q200.00 Matemática − Semana 30

197

3)

El pelo de una persona sana crece 1.25 centímetros por mes. ¿Cuántos centímetros crece en un año?

12 centímetros 15 centímetros 10 centímetros

4)

C.

Para obtener 63 litros de jugo de uva se necesitan 180 libras de uvas, ¿cuántos litros de jugo de uva tendremos con 20 libras de uvas?

7 litros

5 5) 5 6x5 30 = = 10 = 8 3 3

15

1) 40 60

20 6) 12 6

8

2) 12 5

60 7) 7 5

14

3) 7 9

21 8) 14 28

12

4) 4 6

8 9)

8

7 14

Practique la resolución de la regla de tres inversa. Hágalo en su cuaderno. Tiene un ejemplo. 0) 15 6

22 5) 10 15 x 22 330 = = 55 = 2 6 6

5

1) 3 6

4 6) 20 12

3

2) 3 2

10 7) 12 6

3

3) 10 5

4 8) 10 15

3

4) 7 5

198

14 litros

Practique la resolución de la regla de tres directa. Hágalo en su cuaderno. Tiene un ejemplo. 0) 3 6

D.

567 litros

IGER − Quiriguá

10 9) 9 6

2

E.

Lea la información de la tabla y responda a las preguntas.

Las tarifas de un parqueo son: Tiempo

1)

Precio

hasta 1 hora

Q6.00

hasta 2 horas

Q12.00

¿Qué tipo de relación existe entre el precio y el tiempo?

2)

A un tiempo de parqueo de 4 horas, ¿qué precio le corresponde?

3)

Si una persona paga Q60.00, ¿cuánto tiempo ha tenido el carro en el parqueo?

Actividad 2. Desarrolle nuevas habilidades Observe el dibujo que relaciona la altura de cada rectángulo con su base y rellene la tabla contando los cuadritos de cada figura. Tiene un ejemplo.

Rectángulo Rectángulo Rectángulo A B C C

Base del rectángulo

4

Altura del rectángulo

6

B A

Con la información de la tabla, responda a las preguntas. 1)

¿Existe alguna relación entre los tres rectángulos?

2)

Si un rectángulo tiene por base 36 cuadritos, ¿qué altura tendría?

3)

¿Cuanto medirá la altura del rectángulo que tiene por base 1 cuadrito?


199


B.

200

Resuelva mentalmente las siguientes operaciones. Recuerde que de acuerdo a la jerarquía de operaciones, primero debe multiplicar y luego sumar. 0)

3x2+4=

10 7)

8x1+2=

14)

9x4+4=

1)

5x3+2=

8)

7x2+1=

15)

8x3+1=

2)

7x1+3=

9)

6x2+3=

16)

7x4+2=

3)

8x2+4=

10)

5x2+5=

17)

6x5+4=

4)

6x3+2=

11)

4x3+3=

18)

5x8+2=

5)

9x2+1 =

12)

3x5+4=

19)

4x6+6=

6)

4x2+2=

13)

9x3+1=

20)

3x9+3=

Resuelva mentalmente las siguientes operaciones. Recuerde que de acuerdo a la jerarquía de operaciones, primero debe multiplicar y luego restar.

5

7)

8x1–2=

14)

9x4–1=

5x3–5=

8)

7x2–4=

15)

8x3–4=

2)

7x1–2=

9)

6x2–3=

16)

7x4–3=

3)

8x2–4=

10)

5x2–5=

17)

6x5–1=

4)

6x3–3=

11)

4x3–2=

18)

5x8–5=

5)

9x2–2=

12)

3x5–3=

19)

4x6–2=

6)

4x2–5=

13)

9x3–2=

20)

3x9–3=

0)

3x2–1=

1)

IGER − Quiriguá

Razonamiento lógico Le planteamos problemas matemáticos de regla de tres directa y de regla de tres inversa. Lea cada problema, analice si la proporción es directa o inversa y aplique el procedimiento apropiado para encontrar la respuesta. 1)

En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la cantidad de pintura empleada. metros de valla a pintar

1

1.5

2

4

7

b

galones de pintura

3

4.5

6

12

a

36

Calcule los valores a y b de la tabla.

2)

Se quieren transportar 3000 pantalones de un almacén a distintas tiendas. En un carro tipo panel caben 500 pantalones. ¿Cuántos viajes tendrá que hacer el carro para transportar los pantalones? ¿Y si tuviéramos 2, 3... carros? número de carros

1

2

3

b

número de viajes

6

3

a

1

Calcule los valores a y b de la tabla.

3)

Si un automóvil tarda 2 horas en recorrer 180 km, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 720 km?

4)

Un autobús viaja de una ciudad a otra y tarda 3 horas, a una velocidad de 60 km por hora, ¿cuánto tardará en realizar el mismo recorrido a una velocidad de 40 km por hora?

5)

En una imprenta 4 personas encuadernan cierta cantidad de libros en 10 horas. Si se contrata a una persona más, ¿en cuánto tiempo encuadernarán la misma cantidad de libros?

6)

En una panadería se venden 700 champurradas a la semana. ¿Cuántas champurradas se venden en 3 días?

7)

10 albañiles construyen una obra en 18 días. ¿Cuántos albañiles se necesitan para construir la misma obra en 9 días?

8)

Por el alquiler de un local se pagan 800 quetzales mensuales. ¿Cuánto se pagará en un año?

9)

Silvia y Luis han comprado víveres para 15 días. Si llegan sus abuelitos (dos personas más) a pasar una temporada con ellos, ¿para cuántos días alcanzarán los víveres?


201






Planteo correctamente una regla de tres. Diferencio la regla de tres directa de la regla de tres inversa. Resuelvo reglas de tres directas e inversas. Resuelvo mentalmente operaciones combinadas. Resuelvo problemas utilizando la regla de tres.


202

IGER − Quiriguá

31

Geometría I: líneas y ángulos


203

Los logros que conseguirá esta semana son:  Definir los conceptos de punto, línea y plano.  Identificar y trazar distintos tipos de líneas.  Identificar diferentes tipos de ángulos.  Conocer y utilizar correctamente el transportador para medir ángulos.  Resolver mentalmente operaciones combinadas.  Resolver problemas matemáticos aplicando lo aprendido. 





204

IGER − Quiriguá

• ¡Caja de herramientas geométricas!

• Geometría • El punto, la línea y el plano • Clases de líneas • Ángulo: definición, cómo se forma, se mide y se representa. • Clasificación de ángulos • Resolver mentalmente operaciones combinadas

• Problemas aplicando lo aprendido

¡Para comenzar! ¡Caja de herramientas geométricas! Los griegos consideraron la geometría como una ciencia formativa, es decir, como una ciencia que enseña a razonar y afina la inteligencia. Platón, un gran filósofo, en su escuela llamada La Academia, donde se discutían los más difíciles problemas de la lógica, de la política, del arte, de la vida y de la muerte, había mandado escribir encima de la puerta:

No entre aquí el que no sepa geometría

Durante tres semanas estudiaremos geometría y así como un electricista necesita alicates, pinzas, cinta de aislar, etc., para poder realizar su trabajo, usted también necesitará una serie de materiales para aprender y practicar geometría. Veamos qué necesita: Regla Compás

90

100 110 80 70 120 1 30 60 50 1 4 40 0

Lápiz y crayones de colores

Goma

180 0

10 20 0 30 180 170 160 15 0

40 140

80 70 100 10 60 0 1 12

170 0 10 16 0 20 15 0 3

5 13 0 0

Escuadra y transportador

Tijeras

Hojas cuadriculadas

Estos materiales los venden en cualquier librería y son económicos. Si los cuida y guarda bien, le servirán durante todo el ciclo básico. Matemática − Semana 31

205


1. Geometría La geometría es la parte de la matemática que estudia el espacio y las figuras que se pueden formar en él a partir de puntos, líneas, planos y volúmenes. Las primeras ideas que vamos a estudiar de geometría son el punto, la línea y el plano. El punto: es la menor expresión geométrica que podemos trazar, el origen de todo cuerpo geométrico. Se representa con una letra mayúscula: A La línea: es la sucesión continua de puntos. Estos están tan pegados y son tan pequeños que no se miran. El plano: es el espacio donde trazamos puntos, líneas y figuras. Se puede formar colocando una línea detrás de otra hasta cubrir cierto espacio.

Ejercicio 1 Una los puntos, construya las líneas que completan la figura y repase con su lapicero los puntos que están en el plano de la derecha.

206

IGER − Quiriguá

1.1 Clasificación de las líneas Por su forma, pueden ser: Línea recta: es una sucesión de puntos situados en la misma dirección.

A

B

Una línea recta no tiene principio ni fin. Cuando dibujamos una recta, en realidad solo estamos dibujando un segmento. Un segmento es un trozo de línea recta que se puede medir porque tiene principio y fin. Por ejemplo, el segmento que une los puntos A y B. Se representa AB. Línea curva: es la línea en la que algunos de sus puntos no se encuentran en una misma dirección y sufre variaciones. Línea quebrada: es aquella formada por segmentos rectos que no están en la misma dirección.

Esta semana estudiaremos las líneas rectas.

Líneas rectas por su posición en el espacio: Línea horizontal: se traza de izquierda a derecha o viceversa. Se dice que ‟está acostada”. Línea vertical: se traza de arriba hacia abajo o viceversa. Se dice que está ‟parada”. Línea diagonal: se traza de arriba a abajo y de izquierda a derecha o viceversa. Se dice que está ‟recostada o inclinada”.

Líneas rectas por su relación con otras líneas: Líneas paralelas: son aquellas que tienen la misma posición y dirección. Son infinitas y nunca se tocan. Líneas perpendiculares: son aquellas que se cruzan y forman una escuadra perfecta.


207

Ejercicio 2 A.

Tome su regla y su lápiz y con ayuda de la cuadrícula trace: • 1 línea paralela a la recta AB

• 1 línea perpendicular a la recta CD

• 1 línea curva a partir del punto B

• 1 línea diagonal a partir del punto E

A

B

C

B

E

D

B.

Fíjese en el plano y observe los puntos cardinales. Luego responda a las preguntas: 1) Juana

¿Qué tipo de línea recta une el norte con el sur?

2)

¿Qué tipo de línea recta une el oeste con el este?

3) Pedro

C.

Tome su regla y su lápiz y trace las líneas que se le piden. Tiene un ejemplo. 0)

Trace un segmento horizontal AB de 4 cm. • Marque el punto A en el cero de la regla. • Marque el punto B en el cuatro de la regla. • Una el punto A con el punto B.

1)

Trace un segmento horizontal AB de 5 cm.

2)

Trace un segmento diagonal CD de 2 cm.

208

¿Qué tipo de línea une la casa de Juana con la de Pedro?

IGER − Quiriguá

A

B

2. El ángulo Repase las líneas punteadas. Utilice una regla para que su trazo sea recto.

Cuando dos líneas rectas se unen, forman un ángulo. Un ángulo es la abertura que hay entre dos líneas que se unen en un punto.

Partes de un ángulo: L1

• Las líneas son los lados del ángulo. • El vértice es el punto donde se cortan las dos líneas.

án

• La abertura es el ángulo y se representa con una línea curva.

gu

lo L2

vértice

Representación de un ángulo Los ángulos se representan con una letra minúscula que generalmente corresponde a la misma letra que identifica al vértice. Se miden en grados que se indican con un pequeño círculo en la esquina superior derecha. Por ejemplo: a = 45° Se lee: el ángulo a es igual a 45 grados.

A

a

A

45°

Ejercicio 3 Identifique los ángulos según las medidas que se le indican. Tiene un ejemplo. 1)

0) 100°

A

a = 100°

2)

70°

B

30°

C

b=

c=


209

2.1 Medición de un ángulo con transportador

100 110 80 70 120 60 13 50 0

centro

180 0

0 10 180 170 20 160

100 110 80 70 120 60 13 50 0

170 160 10 20

190 2 0 10 2 0 2 0 3 10 0

350 340 10 0 33 0 20 3 0 32 0 4

80 70 100 90 60 110 20 50 0 1 13

0 15 0 30 14 0 4

180 0

centro

30 150 4 14 0 0

170 160 10 20

240 0 60 23 0 0 5 22 0 4

360 10 20 0 170 16 0

80 90 70 100 90 60 110 20 50 0 1 13

0 15 0 30 14 0 4

30 150 4 14 0 0

El transportador es un instrumento que se utiliza para medir ángulos. Tiene forma circular o de medio círculo, con la escala marcada en el borde. Esta escala representa los grados.

Transportador de medio círculo

250 70

260 270 280 29 80 90 80 70 0 30 0 60 3 1 50 0

Transportador de círculo completo

¿Cómo se utiliza el transportador? L2 80 70 100 90 60 110 20 50 0 1 13

100

80

110 70 120 60 13 50 0 0 15 0 30 14 0 4

0

180

0 10 180 170 20 160

170 160 10 20

Para medir el ángulo formado por las dos líneas L1 y L2, se coloca el transportador de tal forma que su centro coincida con el vértice y el cero del transportador con la línea 1 (L1). Medimos donde se encuentra la segunda línea (L2) y ese es el tamaño del ángulo.

30 150 4 14 0 0

Veámoslo con un ejemplo:

Este ángulo mide a = 80°

L2

L1

Veamos otro ejemplo: Midamos el ángulo que generan las líneas L1 y L2:

IGER − Quiriguá

0 12 0 6

50 60 70 40 130 120 110 80 100 9 30 0 140 0 15

10 80 0 70

0 11

10 17 0 2 16 0 0

210

L2

0 18 0

Si las líneas del ángulo son muy cortas, podemos alargarlas con un lápiz y una regla. El ángulo seguirá siendo el mismo.

Debemos ‟dar vuelta” al transportador hasta que su centro coincida con el vértice y el cero concuerde con la línea 1. Luego medimos donde se encuentre la segunda línea (L2). ¡Mucho ojo! La escala del transportador solo marca los grados de 10 en 10 (10º, 20º... 180º). Para medir un ángulo distinto, debemos contar las rayitas. En este caso, contamos seis rayitas después del 60. El ángulo mide 66º.

140 150 160 17 130 40 30 20 1 0 0 50

L1 180

0

L1

Ejercicio 4 Mida los siguientes ángulos. Coloque el centro del transportador en el vértice y el cero del transportador sobre la línea 1 (L1). Recuerde que puede prolongar las líneas de manera que pueda medir con toda exactitud. Fíjese en los grados que marca la línea 2 (L2). Tiene un ejemplo.

0) 0 1 90 10 10 80 70

L2

0 15 0 30 14 0 4

120 60 13 50 0

4)

170 160 10 20

0

180

e L1

a = 25°

1)

e=

5)

b

b=

f

2)

f=

6)

c

c=

g

3)

7)

d

d=

g=

h

h=


211

2.2 Clasificación de los ángulos Los ángulos pueden tener distintas aberturas. Unos son más abiertos y otros más cerrados. Dependiendo de su abertura, se clasifican en:

Ángulo recto: mide 90°. Se representa gráficamente con un pequeño cuadrado entre los lados que lo forman.

a a = 90°

Ángulo agudo: mide menos de 90°. b b < 90°

Ángulo obtuso: mide más de 90° y menos de 180°.

c c > 90° < 180° d

Ángulo llano: mide exactamente 180°. d = 180°

Ejercicio 5 Mida el ángulo b y escriba en la línea a qué clase pertenece. Utilice el transportador. Tiene un ejemplo. 1)

0)

a = 60° a

212

ángulo agudo

IGER − Quiriguá

b= b

Resumen 1.

La geometría La geometría es el estudio de las magnitudes del espacio que nos rodea. Algunos conceptos importantes son: Punto: la menor expresión geométrica que podemos trazar en un plano, el origen de todo cuerpo geométrico. Línea: sucesión continua de puntos. Plano: espacio donde trazamos puntos, líneas y figuras

1.1 Clasificación de las líneas Por su forma pueden ser: Línea curva

Línea recta

Línea quebrada

Por su posición en el espacio

Por la relación con otras líneas

Línea horizontal Línea vertical Línea diagonal

Líneas paralelas

Líneas perpendiculares

2.

El ángulo es la abertura que hay entre dos líneas. Se compone de: L1

án

vértice

gu

lo

L2

Clasificación de los ángulos

Un ángulo se mide en grados y se representa con una letra minúscula. Por ejemplo a. recto

agudo

obtuso

llano d

a

a = 90°

b b < 90°

c c > 90° < 180°

d = 180°


213


B.

Escriba dentro del paréntesis el número de la definición que corresponde al concepto de la columna derecha. Tiene un ejemplo. 0)

Líneas que tienen la misma dirección y nunca se tocan.

( ) ángulo recto

1)

Ángulo formado por una escuadra perfecta.

(

) grados

2)

Nombre que recibe el ángulo de 180º.

(

) vértice

3)

Medida que se utiliza para los ángulos.

( 0 ) paralelas

4)

Mínima expresión geométrica.

(

) ángulo llano

5)

Punto en el que se originan las líneas que forman un ángulo.

(

) punto

Cuente el número de líneas rectas que presenta la casa.

C.

214

Hay

líneas rectas.

Observe las representaciones de planos. Pinte de verde el plano, de azul los puntos y de amarillo las líneas.

IGER − Quiriguá

D.

En el cuadro hay rectas paralelas y perpendiculares. Repase de color rojo las líneas paralelas y de color azul las líneas perpendiculares. Tiene un ejemplo.

E.

Escriba debajo de cada figura si el ángulo que forma es recto, agudo u obtuso. 2)

0)

recto 1)

F.

3)

4)

5)

Clasifique los ángulos de acuerdo a su medida. Tiene un ejemplo. Ángulo

a = 75°

Clasificación

agudo

Ángulo

Clasificación

f = 10°

b = 125°

g = 35°

c = 95°

h = 45°

d = 90°

i = 179°

e = 180°

j = 110°


215


Mida los ángulos y clasifíquelos de acuerdo al tamaño de su apertura. El ejercicio 0 es un ejemplo. 0)

a=

2)

155°

c=

Clase de ángulo:

Clase de ángulo:

obtuso 1)

3)

b= Clase de ángulo:

B.

Clase de ángulo:

Con ayuda de la cuadrícula trace: • 2 líneas paralelas a la recta AB

• 1 línea perpendicular a la recta EF

• 3 líneas paralelas a la recta CD

• 1 línea perpendicular a la recta GH

A

C

D

G

E

F

B

C.

H

Dibuje un ángulo recto, agudo y obtuso. Utilice una cuadrícula para cada uno. 2)

1)

216

d=

IGER − Quiriguá

3)

Actividad 3. Desarrolle nuevas habilidades Observe la figura y realice las actividades. A

K

C

I

E G F H B

1)

L

D

J

Clasifique las líneas de la figura de arriba como diagonales, verticales u horizontales. Marque con una x la casilla que corresponde. Tiene un ejemplo. línea

vertical

horizontal

diagonal

x

AB CD AC BD EF GH IJ KL 2)

Identifique todas aquellas rectas paralelas o perpendiculares. Tiene dos ejemplos. línea 1

relación

línea 2

AB

es

perpendicular

a

BD

AB

es

paralela

a

CD

AB

es

a

AC

AC

es

a

BD

AC

es

a

CD

AB

es

a

BJ

EF

es

a

GH


217


B.

218

Resuelva mentalmente las siguientes operaciones. Recuerde que de acuerdo a la jerarquía de operaciones primero debe multiplicar y luego sumar. 0)

4 x 6 + 5 = 29

1)

2 x 1 + 10 =

8)

9x9+3=

2)

5x3+9=

9)

5 x 5 + 60 =

3)

4x2+1=

10)

8x6+2=

4)

9 x 5 + 20 =

11)

5x8+6=

5)

5 x 12 + 5 =

12)

6)

7x4+4=

13)

7)

7 x 2 + 10 =

14)

6x6+8=

15)

9x8 +2=

16)

5 x 9 + 10 =

17)

4x9+4=

18)

7x8+7=

11 x 2 + 8 =

19)

8x8+6=

0 x 10 + 1 =

20)

4x4+4=

Resuelva mentalmente las siguientes operaciones. Recuerde que de acuerdo a la jerarquía de operaciones primero debe multiplicar y luego restar. 0)

9x5–5=

40 7)

6x6–1=

14)

3x3–3=

1)

5x5–4=

8)

7x7–8=

15)

9x2–6=

2)

3x5–1=

9)

12 x 5 –20 =

16)

3x9–5=

3)

4x9–6=

10)

4x3–4=

17)

5x4–5=

4)

7x8–4 =

11)

5x4–3=

18)

6 x 9 –2 =

5)

8x9–2=

12)

8x6–4=

19)

9x7–4=

6)

6x5–4=

13)

8x8–2=

20)

2x3–4=

IGER − Quiriguá

Razonamiento lógico Resuelva los problemas aplicando lo visto en la semana. 1)

Observe el libro de matemática que tiene en sus manos. ¿Cuántos ángulos rectos tiene?

2)

Cuando se instala un poste de energía eléctrica, se coloca un alambre de tensión a un lado del poste para darle soporte.

a. ¿Cuántos ángulos agudos se forman?

b. ¿Cuántos ángulos rectos se forman?

3)

Se construye una pared vertical de 2 metros.

a. ¿Cuánto medirá el ángulo que forma la pared con el suelo?

b. ¿Qué clase de ángulo es?

4)

Si un niño quiere alcanzar un aguacate de un árbol, debe colocar una escalera sobre el árbol.

a. ¿Cuántos ángulos agudos se forman?

b. ¿Cuántos ángulos rectos se forman?

5)

Lucía y Ramón están jugando a la cuerda. Cada uno toma un extremo y la hacen girar. ¿Qué tipo de línea forma la cuerda?

6)

Las líneas que sirven de separación en los carriles de la carretera se pintan de color blanco de manera que no se junten nunca para que los carros no choquen. ¿Qué nombre reciben estas líneas?

7)

Para jugar futbol se necesitan dos porterías. ¿Qué tipo de ángulos tienen estas porterías? Le pedimos dos: el ángulo que forma la malla con el suelo y el ángulo que forma el arco con el suelo.

8)

Coloque dos lapiceros uno a la par del otro sin tocarse pero rectos. ¿Qué tipos de línea forman?

9)

La empresa eléctrica instala 4 cables de electricidad en un sector. Los cables de electricidad no pueden tocarse en ningún momento porque producirían un incendio. ¿Qué tipo de líneas deben formar los cables?

10) Dibuje una línea horizontal. Encima de ella coloque un punto; sobre ese punto, trace una línea perpendicular a esa recta. ¿Qué tipo de ángulo se forma entre ambas rectas? 11) Haga una línea diagonal. Luego realice una línea perpendicular a ella y señale los ángulos que forma.


219






Defino los conceptos de punto, línea y plano. Identifico y trazo distintos tipos de líneas. Identifico diferentes tipos de ángulos. Conozco y utilizo correctamente el transportador para medir ángulos. Resuelvo operaciones combinadas mentalmente. Resuelvo problemas matemáticos aplicando lo aprendido.


220

IGER − Quiriguá

32

Geometría II: polígonos


221

Los logros que conseguirá esta semana son:  Nombrar polígonos por el número de lados.  Marcar ángulos, vértices y diagonales en distintas figuras geométricas.  Definir área y perímetro.  Calcular áreas y perímetros de cuadrados y rectángulos con la ayuda de un plano y utilizando las fórmulas correspondientes.  Calcular mentalmente el área de un cuadrado y de un rectángulo.  Desarrollar su pensamiento lógico resolviendo problemas relacionados con área y perímetro de cuadrados y rectángulos. 




222

IGER − Quiriguá

• Clasificación de los polígonos

• Polígonos: cuadriláteros • Perímetro y área de cuadrado y rectángulo • Problemas matemáticos aplicando lo aprendido

¡Para comenzar! Clasificación de los polígonos Durante la primaria hemos estudiado los polígonos. Vamos a recordar cómo se clasifican y se nombran. Los polígonos se nombran por su número de lados. Vea el cuadro.

triángulo

cuadrilátero

pentágono

hexágono

3 lados

4 lados

5 lados

6 lados

heptágono

octágono

nonágono

decágono

7 lados

8 lados

9 lados

10 lados

¡A trabajar! Cuente el número de lados de cada figura y escriba su nombre. Tiene un ejemplo. 0)

octágono

1)

2)

3)

4)

5)


223


1. Polígonos La palabra polígono viene del griego polýgonon que significa muchos ángulos. Un polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectos. En un polígono podemos distinguir las siguientes partes: Lados: los segmentos que limitan al polígono. ángulo

lado

Vértice: puntos en los que se unen los lados. Ángulos: porción del plano comprendida entre dos lados y un vértice común.

vértice

diagonal

Diagonal: segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.

Los polígonos tienen el mismo número de lados, vértices y ángulos. Se clasifican en polígonos regulares e irregulares. • Los polígonos regulares tienen todos sus lados y ángulos iguales. • Los polígonos irregulares tienen todos o algunos lados desiguales. Nosotros estudiaremos los polígonos regulares. Esta semana nos centraremos en los cuadriláteros.

Ejercicio 1 A.

Marque los ángulos de cada polígono y píntelos de rojo. Fíjese en el ejemplo.

0)

B.

2)

2)

Marque los vértices con un punto. Tiene un ejemplo. 0)

224

1)

IGER − Quiriguá

1)

1.1 Cuadriláteros Los cuadriláteros son los polígonos más comunes. A nuestro alrededor puertas, ventanas, libros, mesas, etc. tienen forma de cuadrilátero. Conozcamos los cuadriláteros más utilizados.

Clasificación de cuadriláteros altura base

rectángulo

cuadrado Cuatro lados iguales. Cuatro ángulos rectos.

Los lados opuestos son iguales. Cuatro ángulos rectos.

rombo Cuatro lados iguales. Dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.

romboide Los lados y los ángulos opuestos son iguales.

Ejercicio 2 A.

Añada a cada figura los lados que le faltan para formar un cuadrado, un rectángulo, un rombo y un romboide. Hágalo con la ayuda de su regla, su transportador y su lápiz. Tome en cuenta las características de cada figura. Tiene un ejemplo.

B.

Observe con atención los cuadriláteros que ha construido y escriba un cheque en las características que cumple cada uno. Tiene un ejemplo. cuadrado

cuatro lados iguales



cuatro ángulos rectos



rectángulo

rombo

romboide

lados opuestos iguales dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos


225

2. Perímetros y áreas Observe la figura del plano de un jardín. Cada cuadro mide 1 metro por lado. ¿Cuántos metros mide la orilla? Contémoslos. 1m

1m

1m

¡Bien!, son 18 metros. Esta medida representa el perímetro del jardín. El perímetro de una figura es la medida de la longitud de su contorno u orilla. También podemos conocer el área del jardín contando los cuadros que ocupa. El área es la medida de la superficie que se encuentra dentro del perímetro. El área se mide en unidades al cuadrado: metros cuadrados (m2), centímetros cuadrados (cm2), etc. En el plano cada cuadro representa 1 m2. Calculemos el área del jardín.

1 m2 Como cada cuadrito representa 1 m2, el jardín tiene un área de 20 m2.

Ejercicio 3 Un parque está dividido en 4 espacios: árboles, plantas, bancas, columpios. Si cada cuadro mide 1 metro por lado y cada cuadrito representa 1 m2, cuente e indique cuál es el perímetro y el área de cada espacio. Escríbalo en la tabla. Tiene un ejemplo. árboles

perímetro

área

14 m

12 m2

plantas

plantas

árboles

bancas columpios

226

IGER − Quiriguá

columpios

bancas

En la página anterior, calculamos perímetros y áreas con la ayuda de un plano que tenía una escala: cada cuadrito representaba 1 m de longitud por lado y un área de 1 m2. Pero, en general, es más práctico el uso de fórmulas para calcular áreas y perímetros. En las siguientes páginas aprenderemos cuáles son estas fórmulas y cómo aplicarlas.

2.1 Perímetro y área de un cuadrado a. Perímetro Calcular el perímetro de un cuadrado es muy fácil, como los lados del cuadrado son iguales, multiplicamos la medida de uno de los lados por cuatro. La fórmula es:

P =4x Se lee: El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro por la medida de su lado. Ejemplo:

P =4x

2m

Calcular el perímetro de una mesa de forma cuadrada que tiene una longitud de 2 m por lado.

Aprenda las fórmulas de memoria.

2m

2m

A =

2

2m

1. Escribimos la fórmula:

P=4 x

2. Sustituimos los datos del problema en la fórmula.

P=4x2m

3. Operamos:

P=8m

4. Escribimos la respuesta: La mesa tiene un perímetro de 8 m.

b. Área El área del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de uno de sus lados. La fórmula para calcular el área de un cuadrado es la siguiente:

A =

2

Se lee: El área de un cuadrado es igual a la medida de su lado al cuadrado. Ejemplo: Calcular el área de una ventana cuadrada que mide 3 metros por lado.

3m

1. Escribimos la fórmula:

A=

2. Sustituimos los datos del problema en la fórmula:

A = (3 m)2

3. Operamos:

A = (3 x 3) (m x m)

A = 9 m2

2

4. Escribimos la respuesta: El área de la ventana es de 9 m2. Matemática − Semana 32

227

2.2 Perímetro y área de un rectángulo a. Perímetro En un rectángulo sus lados se repiten de dos en dos, la base dos veces y la altura dos veces. La fórmula del perímetro de un rectángulo es:

P = 2b + 2a Se lee: El perímetro de un rectángulo es igual a dos veces la base más dos veces la altura. Encontremos el perímetro de un rectángulo resolviendo un problema: Sara camina alrededor de un parque rectangular que mide 25 metros de base y 15 metros de altura. ¿Cuántos metros camina en una vuelta?

15 25

Sigamos los pasos: Aprenda las fórmulas de memoria.

P

= 2b + 2a

A

=bxa

1. Copiamos la fórmula:

P = 2b + 2a

2. Sustituimos los datos en la fórmula:

P = 2(25 m) + 2(15 m)

3. Operamos:

P = 50 m + 30 m

P = 80 m

4. Escribimos la respuesta: Sara camina 80 metros.

b. Área Para calcular el área de un rectángulo se multiplica la base por la altura. Este producto se representa mediante la siguiente fórmula:

A

=bxa

Calculemos el área de un cancha que mide 20 metros de largo por 10 metros de ancho.

10 m

Se lee: El área de un rectángulo es igual a la medida de la base por la medida de la altura. 20 m

1. Copiamos la fórmula:

A=bxa

2. Sustituimos los datos en la fórmula:

A = 20 m x 10 m

3. Operamos:

A = (20 x 10) (m x m)

A = 200 m2 4. Escribimos la respuesta: La cancha tiene un área de 200 m2.

228

IGER − Quiriguá

Ejercicio 4 1)

Calcular el perímetro de una ventana rectangular que mide 50 cm de base y 150 cm de altura. • Copiamos la fórmula:

P = 2b + 2a

• Sustituimos los datos en la fórmula:

P = 2(

• Operamos:

P=

P=

150 cm

) + 2(

) 50 cm

cm

• Respuesta: 2)

Clara quiere agregar una orilla de encaje a un mantel cuadrado. Si el mantel mide 50 cm por lado, ¿cuánto encaje debe comprar? • Copiamos la fórmula:

P=4x


P=

• Operamos:

P=

• Respuesta: 3)

¿Qué área tiene un cuadrado que mide 2 m por lado? • Copiamos la fórmula:

A=


A=

• Operamos:

A=

A=

2

m

• Respuesta: 4)

El libro de matemática mide 21 cm de base y 27 cm de altura. ¿Cuál es el perímetro del libro? • Copiamos la fórmula:

P = 2b + 2a


P = 2(

• Operamos:

P=

P=

) + 2(

)

cm

• Respuesta:


229

Ejercicio 5 Calcule el área de los siguientes rectángulos. Tiene un ejemplo. base b

altura a

11 cm

5 cm

12 cm

7 cm

10 cm

6 cm

4 cm

3 cm

sustituir los datos en la fórmula A=bxa

respuesta

A = 55 cm2

A = (11 x 5) (cm x cm)

Resumen 1.

Un polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectos.

altura

1.2 Clasificación de los cuadriláteros

base

rectángulo

cuadrado

Cuatro lados iguales. Cuatro ángulos rectos.

2.


romboide


Los lados y los ángulos opuestos son iguales.

Perímetros y áreas figura

perímetro

área

P =4x

cuadrado

Se lee: El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro por la medida del lado.

P

rectángulo

230

IGER − Quiriguá

= 2b + 2a

Se lee: El perímetro de un rectángulo es igual a dos veces la base más dos veces la altura.

A =

2

Se lee: El área de un cuadrado es igual a la medida de su lado al cuadrado.

A

=bxa

Se lee: El área de un rectángulo es igual a la base por la altura.


Rellene el cuadro de la opción correcta. Tiene un ejemplo. 0)

Polígono que tiene 4 lados.

triángulo cuadrilátero pentágono

1)

Segmentos que limitan un polígono.

lados vértices ángulos

2)

Polígonos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.

irregulares regulares congruentes

3)

Cuadrilátero con cuatro lados iguales, dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.

cuadrado rectángulo rombo

4)

32 cm2

Área de un cuadrado que mide 8 cm de lado.

64 cm2 16 cm2 5)

4m

Perímetro de un rectángulo que mide 4 m de base y 1 m de altura.

5m 10 m

B.

Observe los polígonos y pinte con crayón rojo los ángulos. Tiene un ejemplo. 0)

C.

1)

2)

Marque con un punto los vértices de los siguientes polígonos. Tiene un ejemplo. 0)

1)

2)


231


Calcule el área de todos los cuadros. Después pinte con crayón la superficie de los que sean cuadrados. 3)

1)

6 cm

7 cm

9 cm 7 cm

A=

A= cm2

2)

cm2

4) 5 cm

6 cm

5 cm 4 cm

B.

A=

A= cm2

Calcule el área y el perímetro de los tapetes. 2) 2)

1)

3 cm

3 cm

232

2 cm

4 cm

1 cm

5 cm

C.

cm2

A=

A=

A=

P=

P=

P=

Calcule el área de los rectángulos, tomando en cuenta las medidas de cada fila. Fíjese en el ejemplo. base b

altura a

sustituir los datos en la fórmula A=bxa

respuesta

3m

2m

A = (3 x 2) (m x m)

A = 6 m2

7m

3m

4m

6m

8m

5m

10 m

4m

9m

8m

IGER − Quiriguá


Responda lo que se le pide. Siga el ejemplo 0 paso a paso. 0)

¿Cuántos cuadrados y rectángulos se encuentran en la figura?

• Observe la figura. A simple vista es un rectángulo formado por 8 cuadrados.

8 cuadrados

2 cuadrados

1 cuadrado

Respuesta: En total hay 11 cuadrados.

• También hay otros rectángulos más pequeños formados dentro del rectángulo. Observe:

1 rectángulo

2 rectángulos

4 rectángulos

1 rectángulo

1 rectángulo

4 rectángulos

2 rectángulos

2 rectángulos

2 rectángulos

Respuesta: En total hay 19 rectángulos.

1)

Ahora le toca a usted. ¿Cuántos cuadrados y cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?

Cuadrados

2)

rectángulos

Encuentre el perímetro y el área de todos los cuadrados de la figura. Hágalo en su cuaderno. 1m

10 m


233

Agilidad de cálculo mental Practique la agilidad de cálculo encontrando el área de los cuadrados y de los rectángulos, según las medidas que aparecen en las tablas. Tiene un ejemplo. cuadrados lado

sustituir los datos en la fórmula

A=

2

A = (2 x 2) (m x m)

2m

respuesta A = 4 m2

5m 9m 7m 1m 6m 3m 4m 11 m 10 m 12 m 30 m 20 m

rectángulos

234

IGER − Quiriguá

base b

altura a

2m

3m

9m

1m

9m

8m

9m

6m

9m

4m

3m

9m

3m

2m

3m

4m

3m

6m

5m

9m

5m

8m

2m

7m

2m

9m


A=bxa

A = (2 x 3) (m x m)

respuesta 6 m2

Razonamiento lógico Resuelva los problemas. Aplique los conocimientos que adquirió en la semana. 1)

La casa de Marta mide 6 metros de frente por 10 metros de fondo. ¿Cuál es el área que ocupa la casa?

2)

Con los datos del problema anterior. Si un metro cuadrado de la casa cuesta Q200.00, ¿cuánto le costó la casa a Marta?

3)

Le presentamos el plano de un invernadero. En él puede ver la zona dedicada a cada siembra. Calcule el área y el perímetro de cada zona, si cada cuadrito representa 2 m de lado y un área de 4m². 4 m2 2m

tomates albahaca zanahoria

cebolla

4)

Se desea circular con malla un gallinero de forma rectangular de 10 metros de frente por 18 de fondo. El metro de malla cuesta Q12.00. ¿Cuántos metros de malla hay que comprar? ¿Cuánto se gastará en circular el gallinero?

5)

Un galón de pintura alcanza para pintar aproximadamente 12 m². Teresa compró un galón de pintura para pintar una pared de 2.5 m de alto por 4 m de largo. ¿Le alcanzó la pintura?

6)

Por medidas de higiene, una comunidad decide colocar baldosa en el centro de salud. El centro mide 10 metros de frente por 12 metros de fondo. Si el metro cuadrado de baldosa vale Q35.00. ¿Cuánto debe invertir la comunidad en la baldosa para el centro de salud?

7)

Un albañil cobra Q90.00 por construcción de metro cuadrado. ¿Cuánto cobraría por construir una pared de 2 metros de altura por 6 metros de largo?

8)

Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcule cuánto mide la base y la altura, sabiendo que uno de los lados mide 52 metros.

9)

Una cooperativa confecciona frazadas. Utiliza cuadrados de lana de 0.4 metros cuadrados. Si desean hacer una frazada que mida 2 metros de largo y 1.6 metros de ancho, ¿cuántos cuadrados de lana necesitan?


235





Nombro polígonos por el número de lados. Marco ángulos, vértices y diagonales en distintas figuras geométricas. Defino área y perímetro. Calculo áreas y perímetros de cuadrados y rectángulos con la ayuda de un plano y utilizando las fórmulas correspondientes. Calculo mentalmente el área de un cuadrado y de un rectángulo. Desarrollo mi pensamiento lógico resolviendo problemas relacionados con área y perímetro de cuadrados y rectángulos.


236

IGER − Quiriguá

33

Porcentajes


237

Los logros que conseguirá esta semana son:  Representar un porcentaje en forma de fracción y número decimal.  Calcular porcentajes.  Desarrollar su pensamiento lógico calculando mentalmente el 50%, 25% y 10% de una cantidad.  Resolver problemas de porcentajes. 

¿Qué encontrará esta semana? Lenguaje matemático

¡Para comenzar!




238

IGER − Quiriguá

• Signo de porcentaje

• Repaso de la regla de tres directa

• Porcentajes: definición y cálculo

• Cálculo mental del 50%, 25% y 10%

• Problemas de porcentajes

Lenguaje matemático El porcentaje se indica con el símbolo % que significa “por ciento”. Está formado por dos círculos separados por una línea diagonal. Practíquelo. Para trazar el símbolo de porcentaje, siga el sentido de las flechas:

Repase con su lapicero cada signo. Siga la dirección que indican las flechas.

Intente usted el trazo, dibuje el signo de porcentaje sobre cada línea.


239

¡Para comenzar! El porcentaje es una de las aplicaciones de la proporcionalidad directa y está muy relacionado con la regla de tres simple directa que estudiamos en la semana 30. Refresquemos nuestra memoria con un breve repaso.

Regla de tres directa La regla de tres directa permite hallar el término desconocido de una proporción que está en relación directa. Veamos un ejemplo. 6 4 = 10

• Dada la proporción directa, calcule el término desconocido " ". 4 6

• Planteamos la regla de tres. 4 es a 10 como que 6 es a . • Para calcular el valor de , multiplicamos en forma cruzada (6 x 10) y dividimos el resultado entre la tercera cantidad conocida (4).

=

10

6 x 10 60 = = 15 4 4 = 15

• Escribimos la respuesta: El término desconocido es 15.

¡A trabajar! Calcule el valor desconocido en cada regla de tres directa planteada. Hay un ejemplo 0) 4 6

20 6 x 20 120 = = 30 = 4 4

= 30

1) 3 6

4

=

=

2) 10

240

IGER − Quiriguá

5 2


1. El porcentaje El porcentaje es una expresión que hemos escuchado en varias ocasiones de nuestra vida, en descuentos de artículos para la venta (ropa, libros, aparatos eléctricos), en intereses por el ahorro o préstamo de dinero, en los datos de una población, etc. En el periódico, por ejemplo, podemos leer noticias como esta: El 48% de la población guatemalteca son niños, niñas y adolescentes. Quiere decir que 48 de cada 100 guatemaltecos son niños, niñas y adolescentes. El porcentaje es una cantidad que representa una parte de cada cien. El signo que utiliza es % y se lee “por ciento”. Por ejemplo

15% se lee “quince por ciento” y significa que tomaremos 15 partes de cada 100.

También lo podemos expresar:

como fracción

Recuerde: Para dividir un número entre 100, copiamos el número y corremos el punto decimal dos espacios hacia la izquierda. Ejemplo:

15 = 0.15 100

15 100

como número decimal 0.15

Veamos otros ejemplos. porcentaje

fracción

26 100 72 100

26% 72%

decimal

0.26 0.72

Ejercicio 1 Escriba los porcentajes en forma de fracción y en número decimal. Hay un ejemplo. porcentaje

fracción

decimal

porcentaje

12%

12 100

0.12

75%

40%

55%

72%

68%

fracción

decimal


241

1.1 Cálculo de porcentajes a. Cuando la cantidad desconocida es una parte del total Ya podemos reconocer un porcentaje pero, ¿cómo haremos para calcular el valor exacto de un porcentaje en una cantidad determinada? El procedimiento es muy sencillo. El porcentaje se calcula por medio de una regla de tres simple directa. Lo practicaremos con un ejemplo. Según la Organización Mundial de la Salud (Oms), una persona adulta y sana necesita una dieta de 2000 calorías diarias para conservar la salud. La dieta debe contener: • 15% de proteínas (carne, pescado, leche, huevos, incaparina, queso) • 57% de carbohidratos (maíz, frijol, yuca, papa, trigo, azúcar, frutas) • 25 % de grasas (aceite, manteca, crema, mantequilla, margarina) • 3% de fibras (frutas y verduras frescas, semillas y granos con cáscara) a.

¿Cuántas calorías debe consumir de proteínas? 1. Planteamos una regla de tres directa. Las 2000 calorías representa el 100%

100%

2000 cal

15%

2. Calculamos el valor de multiplicando en forma cruzada (15 x 2000) y dividimos el resultado entre el tercer dato (100).

= =

15 x 2000 100 30000 100

= 300

3. Escribimos la respuesta: Una persona adulta debe consumir 300 calorías diarias de proteínas. b.

¿Cuántas calorías debe consumir de fibra? 1. Planteamos una regla de tres directa.

100%

2000 cal

3% 2. Calculamos el valor de .

= =

3 x 2000 100 6000 100

= 60

3. Escribimos la respuesta: Debe consumir 60 calorías diarias en fibra.

242

IGER − Quiriguá

Otro ejemplo. Una caja de cereales en oferta contiene 25% más de producto. Si la caja normal pesa 250 gramos de cereal, ¿cuánto cereal más tiene la caja en oferta? 1. Planteamos una regla de tres directa.

100%

250

25%

2. Calculamos el valor de .

25 x 250

=

100

=

6250 100

= 62.50

3. Escribimos la respuesta: La caja en oferta tiene 62.5 gramos más de cereal.

¿Cuánto cereal contiene la caja en oferta? Ya que hemos calculado cuántos gramos corresponden al 25%, sumamos las dos cantidades.

+

250.0 62.5 312.5

Escribimos la respuesta: La caja de cereal en oferta tiene 312.5 gramos.

¡Un ejemplo más! En un círculo de estudio hay 40 estudiantes, de los cuales 24 son mujeres, ¿cuál es el porcentaje de mujeres en el grupo? 1. Planteamos una regla de tres directa.

40

100%

24


= =

100 x 24 40 2400 40

= 60

3. Escribimos la respuesta: El porcentaje de mujeres es 60%. Matemática − Semana 33

243

Ejercicio 2 Resuelva los problemas de porcentajes. A.

B.

C.

244

En una venta de ropa ofrecen el 20% de descuento por la compra de cualquier prenda. Si un pantalón a precio normal cuesta 130 quetzales, ¿cuántos quetzales se descontarán? 1)

Plantee la regla de tres.

2)

Calcule el valor de .

3)

Escriba la respuesta:

100%

=

=

=

Los músculos de un ser humano representan, aproximadamente, el 50% de su peso total. Para un hombre de 150 libras, ¿cuánto pesan sus músculos? 1)


2)


3)


100%

=

=

=

De las 30 aves que tiene Rocío, 12 son gallos y el resto son gallinas. Calcule el porcentaje que representan los gallos. 1)


2)


3)


IGER − Quiriguá

100%

=

=

=

b. Cuando la cantidad desconocida es el valor total ¿Cómo averiguar el 100% cuando la cantidad desconocida es el valor total? Responderemos la pregunta a través de un ejemplo. Para conservar el medio ambiente, algunos estudiantes del grupo Zaculeu sembraron cierta cantidad de árboles. Si sobrevivieron 160 árboles, equivalente al 80%, ¿cuántos árboles sembraron inicialmente? La cantidad desconocida en este problema es el total, es decir, el 100%. Para hallarlo panteamos la regla de tres, relacionando el 80% con 160 árboles y el 100% con el valor desconocido. 1. Planteamos una regla de tres directa igual a los casos anteriores, pero ahora es el 100%.

80%

160

100%


= =

100 x 160 80 16000 80

= 200

3. Escribimos la respuesta: Los estudiantes de Zaculeu habían sembrado 200 árboles.

Ejercicio 3 Resuelva el problema En la librería Grandes Títulos, han puesto los libros en oferta. El libro El Principito cuesta ahora 18 quetzales. Esta cantidad representa el 90% de su precio normal. ¿Cuál es el precio normal del libro? 1)

Plantee la regla de tres directa.

2)


3)


90%

=

=

=


245

c. Porcentaje en figuras geométricas El porcentaje también lo podemos aplicar a figuras geométricas cuando se dividen o se componen de varias partes. Veamos un ejemplo. Observe la figura con atención y calcule el porcentaje que representa la parte sombreada.

1. Planteamos una regla de tres directa. La figura está dividida en 8 partes iguales (100%) y de estas 4 están sombreadas,

100%

4

=


8

=

4 x 100 8 400 8

= 50

3. Escribimos la respuesta: El 50% de la figura está sombreada.

Ejercicio 4 Resuelva el problema de porcentajes.

246

1)

Observe la figura con atención y calcule el porcentaje que representa la parte sombreada.

a. Plantee una regla de tres directa.

b. Calcule el valor de .

c. Escriba la respuesta:

IGER − Quiriguá

100%

=

=

=

2)

Andrea y Rubén tienen en su granja 18 ovejas, 6 conejos y 36 gallinas. ¿Qué porcentaje representan las ovejas en el total de los animales?

Antes de plantear la regla de tres debemos calcular el dato que representa el 100%, esto es, el total de los animales que hay en la granja. 18 + 6 + 36 = Ya tiene el valor del 100%, ahora calcule el porcentaje de las ovejas: 1)

Plantee una regla de tres directa.

2)


3)


100%

=

=

=

Resumen 1.

El porcentaje es una cantidad que representa una parte de cada cien. El signo que se utiliza es % y se lee “por ciento”.

Un porcentaje también puede representarse por medio de una fracción o un número decimal.

Ejemplo: 15% = 15 = 0.15

100

a. Cuando el valor desconocido es una parte del total, planteamos la regla de tres directa relacionando el 100% con el valor total indicado. b. Cuando el valor desconocido es el valor total, planteamos la regla de tres directa relacionando el 100% con el valor desconocido. c. Para calcular el porcentaje en una figura geométrica, relacionamos el 100% con el número total de las partes en que se compone. 2.

Para calcular el porcentaje de una cantidad aplicamos una regla de tres simple directa.


247


B.

Rellene el cuadro de la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0)

¿Cómo se lee la expresión 12%?

12 de un total 12 por ciento 12 de 10

1)

¿Qué expresión equivale a 3 en porcentajes? 100

0.3% 0.03% 3%

2)

¿Qué fracción es equivalente a 3.5%?

3.5 100 35 100 350 100

3)

Si en una reunión de hombres y mujeres, el 55% son mujeres, ¿cuál es el porcentaje de los hombres?

45% 100% no se sabe

4)

En el problema: 2 de cada 5 partes de un terreno es rocoso. ¿Qué dato representa el 100%?

2 5 2 5

Lea las cantidades y luego escríbalas en forma de porcentaje, fracción y número decimal. Hay un ejemplo. cantidad

porcentaje

fracción

decimal

cuarenta y cinco por ciento

45%

45 100

0.45

diecisiete por ciento tres por ciento once por ciento noventa por ciento cuarenta y seis por ciento

248

IGER − Quiriguá

Actividad 2. Practique lo aprendido A.

Calcule el porcentaje indicado de cada cantidad. Hay un ejemplo. 0)

el 25% de 80

1)

el 60% de 30

80

100% 25%

=

2000 25 x 80 = = 20 100 100

El 25% de 80 es 20

R/

2)

el 30% de 15

R/

4)

el 80% de 24

R/

6)

el 40% de 20

R/

R/ 3

el 45% de 90

R/ 5)

el 50 % de 6

R/ 7)

el 90 % de 50

R/ Matemática − Semana 33

249

B.

Calcule el número que representa el 100% de la cantidad dada. Hay un ejemplo. 0)

24 es el 40% de un número. 40%

1)

25 es el 50 % de un número.

24

100% =

250

2400 100 x 24 = = 60 40 40

El número es 60

R/

2)

15 es el 75% de un número.

R/

4)


R/

6)


R/ IGER − Quiriguá

R/ 3)

18 es el 12 % de un número.

R/ 5)


R/ 7)

32 es 50% de un número.

R/

Actividad 3. Desarrolle nuevas habilidades ¿Qué porcentaje de la figura está sombreada? Observe con atención la figura y realice las actividades.

A.

Conteste las preguntas 1)

¿Cuántos cuadrados forman la figura?

2)

¿Cuántos cuadrados se obtienen, si se unen todas las partes sombreadas?

3)

Si cada cuadrado se divide en dos triángulos iguales, como se observa en algunos cuadrados, ¿cuántos triángulos se obtendrían?

4)

Con relación al inciso anterior, ¿cuántos triángulos formarían la parte sombreada?

5)

¿Cuáles de los datos que obtuvo en los incisos anteriores utilizaría para calcular el porcentaje de la parte sombreada? Justifique su respuesta.

B.

Aplique lo que aprendió esta semana para calcular el porcentaje de la parte sombreada de la figura. 1)

Plantee una regla de tres simple.

2)


3)

Escriba la respuesta: Matemática − Semana 33

251

Agilidad de cálculo mental Hay casos en los que podemos calcular el porcentaje de una cantidad a simple vista. El 50%, por ejemplo, equivale a la mitad. El 25% a la cuarta parte y el 10% a un décimo. Por lo tanto, solo hay que dividir entre 2, 4 y 10 respectivamente. Por ejemplo, del número 20, el 50% es 10 (20 ÷ 2 = 10), el 25% es 5 (20 ÷ 4 = 5), el 10% es 2 (20 ÷ 10 = 2). Calcule mentalmente el porcentaje dado de cada número. Fíjese en los ejemplos. A.

B.

C.

252

0) 50% de 20 = 10

6) 50% de 70 =

12) 50% de 32 =

1) 50% de 60 =

7) 50% de 34 =

13) 50% de 30 =

2) 50% de 20 =

8) 50% de 14 =

14) 50% de 40 =

3) 50% de 12 =

9) 50% de 80=

15) 50% de 38 =

4) 50% de 16 =

10) 50% de 66 =

16) 50% de 42 =

5) 50% de 24 =

11) 50% de 28 =

17) 50% de 74 =

0) 25% de 8 =

2

6) 25% de 32 =

12) 25% de 52 =

1) 25% de 4 =

7) 25% de 36=

25% de 60 = 13)

2) 25% de 16 =

8) 25% de 28 =

25% de 72 = 14)

3) 25% de 20 =

9) 25% de 44 =

25% de 80 = 15)

4) 25% de 12 =

25% de 48 = 10)

25% de 100 = 16)

5) 25% de 24 =

25% de 40 = 11)

25% de 120 = 17)

0) 10% de 12 = 1.2

6) 10% de 18 =

10% de 11 = 12)

1) 10% de 10 =

7) 10% de 36 =

10% de 27 = 13)

2) 10% de 30 =

8) 10% de 50 =

10% de 74 = 14)

3) 10% de 15 =

9) 10% de 29=

10% de 99 = 15)

4) 10% de 45 =

10% de 41 = 10)

10% de 63 = 16)

5) 10% de 28 =

10% de 57 = 11)

IGER − Quiriguá

17) 10% de 87 =

Razonamiento lógico Resuelva los problemas. Aplique el contenido de la semana. 1) Francisco tiene el hábito de ahorrar el 15% de su sueldo mensual. Si gana 2500 quetzales cada mes, ¿cuántos quetzales ahorra cada mes? 2) Rosario obtuvo un descuento del 12% por comprar un libro. Si el precio normal es 50 quetzales, ¿cuántos quetzales le descontaron y cuánto pagó por el libro? 3) Tomando en cuenta que a media noche son las cero horas de un día, ¿qué hora será cuando ha transcurrido el 75% del día? Recuerde que un día tiene 24 horas. 4) Los científicos aseguran que 3 de cada 4 partes de nuestro planeta es agua. ¿Qué porcentaje de nuestro planeta es agua? 5) Jimena solicitó un préstamo de 3000 quetzales al Banco por un año. Si el Banco le cobra el 24% de interés, ¿cuánto deberá cancelar al devolver el préstamo? 6) El precio de un mueble sin el Iva (impuesto al valor agregado) es de 1200 quetzales. Si el Iva en Guatemala es el 12%, ¿cuál será el precio total, Iva incluido? 7) Mario y Josefina abrieron un negocio e invirtieron 9000 quetzales. Si la inversión de Josefina fue 5000 quetzales, ¿qué porcentaje aportó cada uno? 8) Los médicos aseguran que 4 de cada 5 partes del cuerpo de un bebé es agua. El porcentaje de agua en el cuerpo de un adulto es 10% menos que el de un bebé. ¿Qué porcentaje del cuerpo de un adulto es agua? Pista: debe calcular primero el porcentaje de agua en el cuerpo de un bebé. 9) En un corral hay 12 gallinas, 8 gallos y algunos pavos. Si en total son 25 animales, a. ¿Cuál es el porcentaje de gallinas? b. ¿Cuál es el porcentaje de gallos? c. ¿Cuál es el porcentaje de pavos? 10) Verónica tiene 80 libros: el 50% son novelas, el 25% son cuentos, el 10% son de poesía y el resto son historietas. a. ¿Cuántas novelas tiene? b. ¿Cuántos libros de cuentos tiene? c. ¿Cuántos libros de poesía tiene? d. ¿Cuántas historietas tiene?


253





Represento un porcentaje en forma de fracción y número decimal. Calculo porcentajes. Desarrollo mi pensamiento lógico calculando mentalmente el 50%, 25% y 10% de una cantidad. Resuelvo problemas de porcentajes.


254

IGER − Quiriguá

34

Repaso semanas 26 – 33


255

Los logros que conseguirá esta semana son:  Repasar los contenidos de la semana 26 a 33.  Practicar el cálculo mental.  Desarrollar el razonamiento matemático resolviendo problemas. 

Amiga y amigo estudiante: Es el momento de repasar los temas de la semana veintiséis a la treinta y tres que se evaluarán en la prueba final. Le sugerimos: • Busque un lugar tranquilo para estudiar, evite interrupciones para que pueda concentrarse. • Lea los resúmenes de cada semana. Subraye o anote las ideas más importantes. • Escuche la clase radial y resuelva los ejercicios que le proponen sus maestros locutores. • Compruebe que ha realizado correctamente los autocontroles de cada semana. Si tiene dudas, anótelas. • Estudie un poquito cada día. Haga un plan de los días que le quedan hasta el día de la prueba y dosifique los contenidos. Al realizar su plan, recuerde aquellos temas que le resultaron más difíciles y dedíqueles más tiempo. ¡A estudiar con ganas!

256

IGER − Quiriguá


1. Números decimales 1.

Fracciones decimales

Las fracciones que tienen como denominador la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000…) se llaman fracciones decimales.

1.1 Cómo se leen las fracciones decimales

Para leer fracciones decimales, se lee primero el numerador y luego el denominador. Si el denominador es 10 se lee ‟décimos”, si es 100 ‟centésimos”, si es 1000 ‟milésimos” y si es 10,000 ‟diezmilésimos”.

Por ejemplo:

2 se lee: dos décimos 10

17 4 se lee: diecisiete centésimos se lee: cuatro milésimos 100 1000

2.

Fracciones decimales y números decimales

Un número decimal es todo número formado por una parte entera y una parte decimal. Para escribir una fracción decimal como número decimal: • Se escribe el numerador

24 = 0. 24 100

• Se cuenta, iniciando en la última cifra de la derecha, tanto lugares como ceros tiene el denominador y se coloca el punto decimal. 3.

Lectura y escritura de números decimales • Para leer un número decimal, se expresa primero la parte entera (si la hay) y a continuación la parte decimal, dándole el nombre de las unidades inferiores.

Ejemplo: U

0

.

d

2

c

4

Se lee: veinticuatro centésimas

• Para escribir números decimales, debemos fijarnos en el último dígito de la parte decimal y escribir el número respetando el orden de las cifras (décimas, centésimas, milésimas…) 4.

Suma y resta de números decimales

El procedimiento para sumar y restar números decimales es similar: • Se escribe una cifra debajo de la otra alineando el punto decimal. • Se suma o se resta normalmente y en el resultado se escribe el punto decimal en la misma posición.

Ejemplos:

0.75 + 3.6 =

0 . 7 5 + 3 . 6 0 4 . 3 5

5.68 – 0.12 =

5 . 6 8 – 0 . 1 2 5 . 5 6 Matemática − Semana 34

257

Ejercicio 1 A.

Convierta las fracciones en números decimales y escríbalos en la tabla de posiciones. Tiene un ejemplo. 0)

45 = 100

0.45

D

89 = 1) 1000 2)

U

0

0)

•

d

c

4

5

m

dm

1) 2)

90 = 10

3)

45 = 1000

3) B.

Escriba en la tabla los números decimales. Tiene un ejemplo. D

C.

D.

258

0)

Siete unidades, tres milésimas

0)

1)

Cuarenta y cinco diezmilésimas

1)

2)

Doce centésimas

2)

3)

Tres unidades, ocho milésimas

U

7

•

d

c

m

0

0

3

dm

3)

Resuelva en su cuaderno las sumas con números decimales. Escriba las cifras en su posición y verifique que los puntos decimales queden alineados. 0)

7.890 + 23.004 =

1)

94.23 + 0.258 =

2)

582.9 + 6.21 =

30.894

3)

319.6 + 64.987 =

4)

14 + 78.02 + 0.654 =

5)

76.231 + 982 + 0.001 =

Resuelva en su cuaderno las restas de decimales. Escriba las cifras en su posición y verifique que los puntos decimales queden alineados.

55.22

0)

62.50 – 7.28 =

1)

987.21 – 23.008 =

2)

5219 – 87.92 =

IGER − Quiriguá

3)

440.87 – 123.45 =

4)

1000 – 895.98 =

5)

39.14 – 2.140 =

2. Multiplicación de números decimales 1.

En la multiplicación de números decimales pueden darse tres casos:

1.1 Multiplicación de un número decimal por un número entero • Multiplicamos el número entero por todas las cifras del número decimal. • Separamos en el producto, de derecha a izquierda, el número de cifras decimales que tenga el factor decimal.

Ejemplo:

0.51 x 5 =

0 . 5 1 x 5 2 . 5 5


1.2 Multiplicación de un número decimal por otro número decimal • Multiplicamos los números decimales como si fueran enteros. • En el producto separamos con un punto, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como las que tienen los factores juntos.

Ejemplo:

2.64 x 0.8 =

2 . 6 4 x 0 . 8 2 . 1 1 2


Total 3 decimales


1.3 Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000)

Para multiplicar por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, 10000...), corremos el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Ejemplo:

Multiplicar por 10:

7.6 x 10 = 7 6 . 0

Multiplicar por 100:

178.34 x 100 = 1 7 8 3 4 . El punto decimal se corre dos

El punto decimal se corre un lugar hacia la derecha. lugares hacia la derecha.


259

Ejercicio 2 A.

Multiplique el número decimal de la primera columna por la unidad seguida de ceros: 10, 100 y 1000. Tiene un ejemplo. x

7.23

B.

C.

D.

260

10

100

1000

72.3

723

7230

x

10

100

1000

0.777

90.01

58.234

31

72.11

0.001

12.34


89 x

1)

7.29 x

2)

41.09 x

10

= 890 = 72.9 = 41090

3)

0.285 x

= 28.5

4)

0.0005 x

= 5.0

5)

39.111 x

= 3911.1

Resuelva las multiplicaciones de un número entero por un número decimal. Hágalo en su cuaderno. 0)

25.2 x 2 =

1)

74.09 x 5 =

2)

40 x 0.2 =

3)

45.1 x 3 =

50.4

4)

24.3 x 6 =

5)

70 x 0.5 =

6)

35 x 0.01 =

7)

40.25 x 4 =

Resuelva las multiplicaciones de un número decimal por otro número decimal. Hágalo en su cuaderno.

22.54

4)

1.23 x 6.7 =

0.2 x 7.4 =

5)

14.8 x 0.1 =

2)

8.5 x 2.5 =

6)

7.45 x 2.25 =

3)

6.2 x 0.7 =

7)

1.8 x 6.18 =

0)

9.8 x 2.3 =

1)

IGER − Quiriguá

3. División de números decimales Esta semana aprendimos que: 1.1 Para dividir un número decimal entre un número entero • Dividimos como si fueran números enteros. • Al bajar la primera cifra decimal del dividendo, colocamos el punto decimal en el cociente. • Escribimos la división inicial y el resultado. 45.2 ÷ 8 = 5.65

1.2 Para dividir un número entero entre un número decimal

Ejemplo: 45.2 ÷ 8 =

5 . 6 5 8 4 5 . 2 – 4 0 5 2 – 4 8 4 0 – 4 0 0 0 Ejemplo: 75 ÷ 0.3 =

• Convertimos el divisor decimal en número entero, multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

0.3 x 10 = 3

• Multiplicamos el dividendo por el mismo número que el divisor.

75 x 10 = 750

• Finalmente se dividen como números enteros.

• Escribimos la división inicial y el resultado. 75 ÷ 0.3 = 250 1.3 Para dividir un número decimal entre otro número decimal • Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. De esa manera el divisor se convierte en número entero. • Dividimos el número decimal o entero del dividendo entre el entero del divisor. • Escribimos la división inicial y el resultado. 2.16 ÷ 1.2 = 1.8

2 5 0 3 7 5 0 – 6 1 5 – 1 5 0 Ejemplo: 2.16 ÷ 1.2 = 2.16 x 10 = 21.6 1.2 x 10 = 12

1 . 8 1 2 2 1 . 6 – 1 2 9 6 – 9 6 0

1.4 Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc) • Corremos el punto decimal hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga la unidad.

25.12 ÷ 10 = 2 . 5 1 2


261

Ejercicio 3 A.

Divida el número decimal de la primera columna por la unidad seguida de ceros: 10, 100 y 1000. Tiene un ejemplo. ÷

723.4

B.

C.

D.

E.

262

10

100

1000

72.34

7.234

0.7234

÷

10

100

1000

777.7

900.1

5823.4

31.5

72.11

1000.2

123.4


89 ÷

1)

72.9 ÷

2)

4109 ÷

3)

285 ÷

100

= 0.89 = 7.29 = 41.09 = 0.285

4)

50 ÷

5)

3911.1 ÷

6)

63219 ÷

= 63.219

7)

52888 ÷

= 528.88

= 0.05 = 3.9111

Resuelva las divisiones de un número decimal entre un número entero. Hágalo en su cuaderno. 0)

44.2 ÷ 5 = 8.84

3)

55.6 ÷ 4 =

1)

15.6 ÷ 3 =

4)

27.3 ÷ 9 =

2)

25.4 ÷ 2 =

5)

80.2 ÷ 4 =

Resuelva las siguientes divisiones de un número entero entre un número decimal. Hágalo en su cuaderno. 0)

80 ÷ 4.5 = 17.78

3)

45 ÷ 2.2 =

1)

90 ÷ 3.3 =

4)

44 ÷ 4.4 =

2)

50 ÷ 5.5 =

5)

92 ÷ 1.6 =

Resuelva las divisiones de un número decimal entre un número decimal. Hágalo en su cuaderno. 0)

25.5 ÷ 5.5 =

4.64

3)

38.64 ÷ 4.2 =

1)

42.4 ÷ 3.2 =

4)

13.8 ÷ 2.3 =

2)

67.80 ÷ 1.5 =

5)

11.34 ÷ 6.3 =

IGER − Quiriguá

4. Razones y proporciones 1.

Razón

Una razón es el cociente indicado entre dos números enteros. Los términos que la componen se llaman: antecedente y consecuente.

2 8


Se lee: ‟dos es a ocho” 2. Proporción

Una proporción es la igualdad de dos razones.

2 6 = 8 24

Se representa así:

Se lee: ‟dos es a ocho, como seis es a veinticuatro”

2.1 Términos de una proporción

Toda proporción tiene cuatro términos: dos extremos y dos medios.

Los extremos son el numerador de la primera razón y el denominador de la segunda.

2 6 = 8 24


2 6 = 8 24

2.2 Propiedad fundamental de las proporciones

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Ejemplo:

8 x 6 = 48 2 x 24 = 48

2 6 = 8 24

2.3 Aplicaciones de la propiedad fundamental a. Cuando se desconoce uno de los extremos, se multiplican los medios y el resultado se divide entre el extremo conocido.

6 2 = 8

=

8x6 = 24 2

6 2 = 24 8

b. Cuando se desconoce uno de los medios, se multiplican los extremos y el resultado se divide entre el medio conocido.

2

=

6 24

=

2 x 24 = 8 6

6 2 = 24 8 Matemática − Semana 34

263

Ejercicio 4 A.

Lea los datos y expréselos como razón matemática. Tiene un ejemplo. Según estadísticas de 2,006, el idioma más utilizado del mundo es el chino, hablado por 12 de cada 50 personas. El siguiente lugar lo ocupa el inglés, hablado por 11 de cada 100 personas. Sigue el hindú que lo usan 2 de cada 25 personas. El cuarto lugar lo ocupa el español, el idioma que la mayoría de nosotros conocemos; lo hablan 7 de cada 100 personas en el mundo. Finalmente, el quinto lugar, lo ocupa el ruso que lo emplea 1 de cada 20 personas.

idioma

Razón numérica de hablantes del idioma en el mundo

12 50

chino inglés hindú español ruso

B.

264

Identifique los extremos y los medios de las siguientes proporciones. Tiene un ejemplo.

IGER − Quiriguá

proporción

extremos

medios

0)

2 6 = 5 15

2 y 15

5y6

1)

3 1 = 15 5

2)

1 3 = 7 21

3)

6 12 = 4 8

4)

5 15 = 3 9

5)

7 14 = 9 18

C.

D.

Compruebe si las siguientes razones forman una proporción. Indique su conclusión rellenando el cuadro que corresponde a la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0)

6 12 = 6 x 8 = 48 4 8 4 x 12 = 48

Sí

No

1)

5 15 = 3 9

Sí

No

2)

3 3 = 4 5

Sí

No

3)

2 6 = 5 15

Sí

No

4)

10 5 = 4 2

Sí

No

5)

3 6 = 4 2

Sí

No

6)

5 3 = 9 4

Sí

No

Calcule el extremo desconocido de las proporciones. Hágalo en su cuaderno. Tiene un ejemplo. 0)

1)

2) E.

5

=

6 15

=

6 8 = 3

3)

5 2

4)

4

=

2 6 = 5 15

5 x 6 30 = = 2 15 15

4 4 8 12 = 5) = 5 5 5

=

3 9 9 6) = 10 45

Calcule el medio desconocido de las proporciones. Hágalo en su cuaderno. Tiene un ejemplo. 0)

1)

2)

8 = 16 10 6

=

80 8 x 10 = = 5 16 16

8 12

3)

15 = 2 6

4)

=

8 5 = 16 10

80 1 = 5) = 2 25 40 5 1

=

3 9 6) = 27 54 45


265

5. Regla de tres 1.

Una proporción es la relación de igualdad que se establece entre dos razones. La proporción puede ser directa o inversa.

1.1 Proporción directa: dos razones están en relación directa cuando al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. 1.2 Proporción inversa: dos razones están en relación inversa cuando al aumentar una de ellas, la otra disminuye o al disminuir una de ellas, la otra aumenta proporcionalmente. 2.

Regla del tres directa se aplica cuando intervienen dos razones directamente proporcionales.

Ejemplo: Si 4 libros cuestan 80 quetzales, ¿cuánto costarán 5 libros? 1. Establecemos si la proporción es directa. Si compro más libros me costarán más dinero. La proporción es directa. libros precio

3. Multiplicamos las cantidades conocidas en forma cruzada y dividimos el resultado entre la tercera

80

4 5

2. Planteamos la regla de tres.

=

5 x 80 400 = = 100 4 4

cantidad.

= 100

4. Respondemos: 5 libros costarán 100 quetzales. 3.

Regla del tres inversa se aplica cuando intervienen dos razones inversamente proporcionales.

Ejemplo: Si 4 albañiles construyen una obra en 12 días, ¿cuántos días tardarán 6 albañiles? 1. Establecemos si la proporción es inversa:

Más albañiles tardarán menos tiempo en construir la obra. La proporción es inversa.

2. Planteamos la regla de tres. 3. Multiplicamos las cantidades conocidas en forma horizontal y dividimos el resultado entre la terce-

albañiles

4 6

=

4. Respondemos: 6 albañiles tardarán 8 días en construir la obra. IGER − Quiriguá

12

4 x 12 48 = =8 6 6

ra cantidad.

266

días

=8

Ejercicio 5 A.

B.

C.

Practique la resolución de la regla de tres directa. Tiene un ejemplo. 6 3) 3 18 x 6 108 = = 36 = 9 3 3

0)

3 18

1)

3 5

9 4)

2)

1 2

10 5) 3 15

10 2

8

15

6

Practique la resolución de la regla de tres inversa. Tiene un ejemplo. 0)

12 7

14 3) 12 x 14 168 = = 24 = 7 7

5 15

6

1)

11 5

55 4) 80 40

2

2)

8 2

9 5) 20 5

8

Determine si el problema establece una regla de tres inversa o directa y resuélvalo. Hágalo en su cuaderno. 1)

Una bicicleta recorre 20 kilómetros en 1 hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?

2)

En un restaurante el precio por 4 platos típicos es de Q400.00. ¿Cuánto costarán 20 platos típicos?

3)

10 panaderos hornean 600 champurradas en 3 días. ¿En cuántos días producirán las mismas champurradas 3 panaderos?

4)

Maritza y Alberto compran alimentos para 10 días. Si invitan a 2 amigos más a pasar con ellos esta temporada, ¿para cuántos días alcanzarán los alimentos?

5)

El cabello de Lorena crece un centímetro cada mes. ¿Cuánto crecerá en un año?

6)

Una cocode organiza una capacitación de tres días de duración y espera la asistencia de 100 participantes. Si sólo llegan 60 personas, ¿para cuántos días podría alcanzarles la comida?

7)

Un árbol crece 1.0 centímetro cada mes. ¿Cuánto habrá crecido en un año? (Tenga en cuenta que un año tiene 12 meses).


267

6. Geometría I: líneas y ángulos 1.

La geometría La geometría es el estudio de las magnitudes del espacio que nos rodea. Algunos conceptos importantes son: Punto: la menor expresión geométrica que podemos trazar en un plano, el origen de todo cuerpo geométrico. Línea: sucesión continua de puntos. Plano: espacio donde trazamos puntos, líneas y figuras

1.1 Clasificación de las líneas Por su forma pueden ser: Línea curva

Línea recta

Línea quebrada

Por su posición en el espacio

Por la relación con otras líneas

Línea horizontal Línea vertical Línea diagonal

Líneas paralelas


2.

El ángulo es la abertura que hay entre dos líneas. Se compone de: L1

lo á n gu vértice

L2

Clasificación de los ángulos

Un ángulo se mide en grados y se representa con una letra minúscula. Por su medida, los ángulos pueden ser: recto

agudo

obtuso

llano d

a

268

a = 90°

IGER − Quiriguá

b b < 90°

c c > 90° < 180°

d = 180°

Ejercicio 6 Complete la tabla. Escriba el nombre de la línea o líneas que se presentan o dibuje las líneas que se indican. Figura

Clasificación


Línea curva

Ejercicio 7 A.

Clasifique los ángulos de acuerdo a su medida. Tiene un ejemplo.

ángulo agudo

b = 50°

c = 90°

d = 120°

e = 180°

f = 45°

g = 179°

h = 10°

i = 5°

j = 95°

a = 25°

B.

Mida los siguientes ángulos y represéntelos simbólicamente.

1)

3)

a

C.

5)

c

b

a= b= c= Utilizando su transportador construya los ángulos que se le indican. Hágalo en su cuaderno. a = 100°

b = 180°

c = 15°

d = 45°

f = 70°

g = 120°

h = 105°

i = 95°


269

7. Geometría II: polígonos 1.

Un polígono es una figura plana y cerrada formada al unir tres o más segmentos rectos.

altura

1.2 Clasificación de los cuadriláteros

base

cuadrado

rectángulo

Cuatro lados iguales. Cuatro ángulos rectos.


2.

romboide


Los lados y ángulos opuestos son iguales.

Perímetros y áreas Figura

Perímetro

Área

P =4x

A =

Se lee: El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro por la medida de su lado.

Cuadrado

P Rectángulo

Se lee: El área de un cuadrado es igual a la medida de su lado al cuadrado.

= 2b + 2a

A

Se lee: El perímetro de un rectángulo es igual a dos veces la base más dos veces la altura.

2

=bxa

Se lee: El área de un rectángulo es igual a la medida de la base por la medida de la altura.

Ejercicio 8 A.

Calcule el perímetro y el área de los siguientes cuadriláteros. Recuerde emplear las fórmulas. Tiene un ejemplo. 0)

= 2 cm

P=4x P = 4 x (2 cm) P = 8 cm

A= 2 A = (2 cm)2 A = (2 x 2) (cm x cm) A = 4 cm2

270

Perímetro

8 cm

Área

4 cm2

IGER − Quiriguá

1)

2)

= 8 cm

a = 4 cm b = 7 cm

B.

Perímetro

Perímetro

Área

Área

Complete las tablas calculando el perímetro y el área de los cuadrados. Tiene un ejemplo.

perímetro de cuadrados lado

2m


P=4x

respuesta

P=8m

P = 4 x (2 m)

5m 9m 7m 1m 6m área de cuadrados lado

4m


A=

2

A = (4 x 4) (m x m)

respuesta

A = 16 m2

7m 2m 3m 9m 5m


271

C.

Complete las tablas calculando el perímetro y el área de los rectángulos. Tiene un ejemplo. lado

altura

2m

3m

9m

1m

9m

8m

9m

6m

9m

4m

3m

9m

perímetro de rectángulos sustituir los datos en la fórmula

P = 2b x 2a P = 2(2 m) + 2(3 m)

respuesta

P = 10 m

área de rectángulos

D.

lado

altura

2m

3m

7m

1m

9m

5m

8m

6m

2m

4m

3m

5m


respuesta

A=bxa A = (2 x 3) (m x m)

A = 6 m2

En la figura se muestra el plano del centro de un pueblo. Al norte (arriba) se encuentra la iglesia, al sur (abajo) la municipalidad, al este (la izquierda) cuadras con comercios, al oeste (derecha) el mercado y al centro la plaza. sia

igle

m

co

do

rca

s

me

io erc

plaza

25 m2

d

lida

cipa

ni mu

5m

Cada uno de los cuadros mide 5 m por lado y tiene un área de 25 m2. Averigüe:

272

1)

¿Qué área ocupa la iglesia?

2)

¿Cuál es el perímetro de la plaza?

3)

¿Qué área ocupa el mercado?

4)

¿Cuál es el perímetro del centro del pueblo?

IGER − Quiriguá

8. Porcentajes 1.

El porcentaje es una cantidad que representa una parte de cada cien. El signo que se utiliza es % y se lee “por ciento”.

Un porcentaje también puede representarse por medio de una fracción o un número decimal.

Ejemplo: 15% = 15 = 0.15

100

a. Cuando el valor desconocido es una parte del total, planteamos la regla de tres directa relacionando el 100% con el valor total indicado. b. Cuando el valor desconocido es el valor total, planteamos la regla de tres directa relacionando a 100% con el valor desconocido. c. Para calcular el porcentaje en una figura geométrica, relacionamos el 100% con el número total de las partes en que se compone. 2.

Para calcular el porcentaje de una cantidad aplicamos una regla de tres simple directa.

Ejercicio 9 Determine los porcentajes en los problemas siguientes. 1)

¿Qué porcentaje representan 36 personas en un grupo de 180?




2)

¿Qué porcentaje representan Q50.00 de descuento en una carreta que cuesta Q250.00?




100%

=

=

=

100%

=

=

=


273

Ejercicio 10 Encuentre el 100% en los problemas siguientes.

274

1)

Calcule el total de un préstamo sabiendo que el 15% son Q57.00.




2)

Calcule el precio de una bicicleta cuyo 10% es Q60.00.




3)

La edad de Lorena representa el 30% de la edad de su abuelo. ¿Cuántos años tiene el abuelo si Lorena cumplió 24 años?




IGER − Quiriguá

15%

=

=

=

=

=

10%

=

30%

=

=

=

Ejercicio 11 Resuelva en su cuaderno los casos siguientes. 1)

El porcentaje que representan 30 horas de trabajo de una jornada de 48 horas semanales.

2)

El porcentaje que representan 200 naranjas verdes de un total de 1 600 naranjas.

3)

El 35% leído de un libro que tiene 200 páginas.

4)

El 12% de Iva de un martillo que cuesta Q35.00

5)

Calcule el total de un terreno, sabiendo que el 20% corresponde a 60m2

Ejercicio 12 Determine qué porcentaje de cada figura está sombreada. Hay un ejemplo.

0)

Plantee la regla de 3.

4

100%

1 1 x 100

100

Calcule el valor de

Escriba la respuesta. La parte sombreada corresponde al 25%


1)

Calcule el valor de

Escriba la respuesta.


2)

Calcule el valor de

Escriba la respuesta.

=

4

=

4

= 25

100%

=

=

=

=

=

100%

=


275


Resuelva mentalmente las siguientes operaciones. Recuerde que de acuerdo a la jerarquía de operaciones primero debe multiplicar y luego sumar.

B.

0)

9x5+5=

50 7)

6x6+1=

14)

3x3+3=

1)

5x5+4=

8)

7x7+8=

15)

9x2+6=

2)

3x5+1=

9)

12 x 5 + 20 =

16)

3x9+5=

3)

4x9+6=

10)

4x3+4=

17)

5x4+5=

4)

7x8+4 =

11)

5x4+3=

18)

6x9+2=

5)

8x9+2=

12)

8x6+4=

19)

9x7+4=

6)

6x5+4=

13)

8x8+2=

20)

2x3+4=

Resuelva mentalmente las siguientes operaciones. Recuerde que de acuerdo a la jerarquía de operaciones primero debe multiplicar y luego restar.

276

0)

9 x 5 – 10 = 35

1)

2x1–1=

8)

9x9–3=

2)

5x3–9=

9)

3)

4x2–1=

4)

9 x 5 –20 =

5)

5 x 12 – 5 =

6)

7x4–4=

IGER − Quiriguá

7)

7 x 2 – 10 =

14)

6x6–8=

15)

9x8–2=

5x5–6=

16)

5 x 9 – 10 =

10)

8x6–2=

17)

4x9–4=

11)

5x8–6=

18)

7x8–7=

12)

11 x 2 – 8 =

19)

8x8–6=

13)

0 x 10 – 0 =

20)

4x4–4=

Razonamiento lógico Resuelva los problemas en su cuaderno. 1) Si usted compra 2 aguacates a Q1.50 cada uno, 3 libras de frijol a Q4.25 y 1 libra de mantequilla a Q13.50. ¿Cuánto gasta en total? 2) Margarita cocina un pastel. Le da 3/10 de pastel a su mamá, 2/10 a su hermana y 3/10 a su prima. ¿Qué porción del pastel le quedó a Margarita? Expréselo en fracción y en números decimales. 3) La distancia que recorre un ciclista es de 80 metros por minuto. Calcule la distancia que habrá recorrido en:

a. 10 minutos

b. 100 minutos

c. 1000 minutos

4) En el depósito ‟La buena fe” 15 litros de leche cuestan Q 95.60 y en el depósito “Económico” 10 litros de leche cuestan Q 70.50. ¿En qué depósito es más barata la leche? 5) Para preparar dos tazas de té es necesaria 1 bolsita de té. Para preparar 2.5 litros de té. ¿Cuántas bolsitas serán necesarias? Un litro tiene cuatro tazas. 6) En una empresa hay 500 empleados. 200 de ellos son casados, el resto solteros. 350 tienen hijos.

a. Exprese la razón de empleados casados con respecto al total de empleados.

b. Exprese la razón de empleados casados con relación a los empleados con hijos.

c. Exprese la razón de empleados con hijos con respecto al total de empleados. 7) La familia Suc va a cambiar el piso de la sala que mide 5 metros de ancho y 3 metros de fondo. ¿Cuántos metros cuadrados de piso necesitan? 8) Margarita desea comprar un traje que cuesta Q 350.00. Si su pago es en efectivo le hacen un descuento del 20%. ¿Cuánto le descontarán y cuánto tendrá que pagar Margarita por el traje si lo paga en efectivo? 9) De las 40 personas que viajan en un bus, 30 son adultos y 10 son niños. ¿Qué porcentaje de adultos y niños viajan en el bus?

10) Un teléfono celular, con las mismas características, puede ser comprado en las tiendas A, B y C. El precio en cada tienda es:

Tienda A: Q 165.00 + 12% de Iva.

Tienda B: Q 195.00, Iva incluido.

Tienda C: Q 225.00, Iva incluido y un descuento del 20%.

¿En qué tienda es más barato el celular?


277






Repaso los contenidos de la semana 26 a 33. Practico el cálculo mental. Desarrollo el razonamiento matemático resolviendo problemas.

Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba!

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha, en la parte superior.

Círculo de estudio Nº:

Lea atentamente las instrucciones antes contestar. Si tiene duda, consulte a su orientadora u orientador voluntario. No se ‟atasque” en ningún ejercicio. Empiece por los ejercicios que sepa con seguridad y le quedará más tiempo para pensar en los que tenga duda. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

278

IGER − Quiriguá

Claves

Matemática − Claves

279

Semana 18 ¡Para comenzar! Nombre: Leonardo Fibonacci Nació en el año 1170 y murió en el año 1250. Sus aportes matemáticos fueron: • Presentó por primera vez en Europa las cifras del 0 al 9 y las reglas para realizar operaciones con números enteros y fracciones. • Introdujo la barra horizontal para separar el numerador y el denominador de una fracción.

1 4) 2

Ejercicio 4 A. 0)

3 9

1) – 9 10

Ejercicio 1 A. 0) racionales 1) fraccionarios 2) enteros

8 5) 8

2) – 7 7

3 9

–1

0

1

0

1

0

1

– 9 10

–1 – 7 7

–1

B. Numerador

Denominador

5

8

7

9

Fracción

5 8 7 9

3) 2 6 4) – 4 8

Ejercicio 2 0) menos treinta quinceavos 1) dos quintos 2) cinco sextos 3) un medio 4) menos cinco novenos 5) cuatro séptimos 6) dos tercios 7) tres octavos 8) cinco décimos 9) un cuarto

5) 4 5

a. 3 5

b.

A. Tome nota: puede sombrear cualquier parte de las fracciones, siempre y cuando correspondan al número de partes que indica el numerador. 2 2) 6

5 1) 5

280

IGER − Quiriguá

–1

0

1

0

1

– 4 8

–1

4 5

–1

0

B.

Ejercicio 3

1 0) 4

2 6

3 3) 5

1 3 5

–1

0

1

Semana 19 ¡Para comenzar!

Ejercicio 5

1) 2) a. dos tercios b. un medio c. tres cuartos d. cinco novenos

A. 5 4 21 – 20 1

e. tres quintos f. seis séptimos g. cuatro sextos h. dos octavos

4 3) 23

6 1) 7

6 4) 9

Número mixto

Entero

7 69

7

11 23

11

4 15

4

2 2) 15

A. 6 22 8 9 2

3 8

Fracción

6 9 2 3 1 5

Ejercicio 6

Ejercicio 2 11 5

1

54

B.

Ejercicio 1 3 0) 8

=

4 15

9 6

7 3

1)

6 4 = (5 x 6) + 4 = 30 + 4 = 34

2)

7 2 = (4 x 7) + 2 = 28 + 2 = 30

5 4

5 4

5 4

5 4

B.

=

11 4

C. =

Ejercicio 3 0) 3

1 4

3)

6 12

1) 5

2 5

4)

4 13

2) 2

3 4

5)

3 1 10

5 2

Ejercicio 4 1 7 10 –7 3

=

3

17


281

Semana 20

Semana 21

Lenguaje matemático

¡Para comenzar!

Este signo ≡ significa: equivalente

1) 4 2 2 2 1

Ejercicio 1 3 0) 4

≡

6 8

1 1) 3

≡

2 6

2 2) 3

3 6

Ejercicio 2 procedimiento

¿≡ ó

2 x 9 = 18 3 x 1 =3 10 x 2 = 20 20 x 1 = 20

2 3 10 20

2) 3 y 8 8 3

3x3=9 8 x 8 = 64

3 8

5 20 3) 11 y 44

5 x 44 = 220 11 x 20 = 220

5 11

fracción

0) 2 y 1 3 9 1) 10 y 1 20 2

?

1 9

≡

1 2 8 3

≡

20 44

Amplificar por 3

fracción fracción fracción procedimiento amplificada procedimiento amplificada

2 3

2 6 2x3 ≡ = 3 9 3x3 3 6 3x3 9 3 ≡ 16 = 8 8 x 3 24 8

0) 2 3

4 2x2 = 6 3x2

1) 3 8

3x2 6 = 8 x 2 16 5x2 10 5 = 7x2 14 7

4 6

≡

10 5 x 3 15 5 = 14 7 x 3 21 7

Ejercicio 4 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1

21 = 3 x 7 48 = 24 x 3 MCD (21 y 48) = 3 21 ÷ 3 7 = 48 ÷ 3 16 21 ≡ 7 48 16

282

4 = 22

15 = 3 x 5

mcm (4 y 15) = 22 x 3 x 5 = 60

R/ mcm (4 y 15) = 60

2) 6 2 3 3 1

15 3 5 5 1

18 2 9 3 3 3 1

6 = 2 x 3

15 = 3 x 5

18 = 2 x 32

mcm (6, 15 y 18) = 2 x 32 x 5 = 90

R/ mcm (6, 15 y 18) = 90

Sumas Restas

Amplificar por 2

21 3 7 7 1

Ejercicio 1

Ejercicio 3

2) 5 7

15 3 5 5 1

IGER − Quiriguá

≡

6 9

≡

9 24

≡

15 21

2 = 5 = 0) 3 + 3 3 3

0) 10 – 4 = 6 = 3 16 16 16 8

1 2 3

1) 5 + 1 = 6 7 7 7 2) 2 + 3 + 1 = 6 = 6 6 6 6

1) 8 – 4 = 4 = 1 12 12 12 3

1

3) 8 + 2 + 1 = 11 12 12 12 12

2) 7 – 2 = 5 9 9 9 3) 6 – 2 = 4 = 1 1 3 3 3 3

Ejercicio 2 4 2 1) 5 5 2 2 2 2 1 1 1 5 = 5 2=2 4 = 22 2 mcm (5, 2 y 4) = 5 x 2 = 20

4 = (20 ÷ 5) x 4 = 4 x 4 = 16 20 20 20 5

1 = (20 ÷ 2) x 1 = 10 x 1 = 10 2 20 20 20

3 = (20 ÷ 4) x 3 = 5 x 3 = 15 4 20 20 20

R/ 16 > 15 > 10 20 20 20

Semana 22 Ejercicio 3

¡Para comenzar!

1 1 0) 4 + + = (30 ÷ 5) x 4 + (30 ÷ 3) x 1 + (30 ÷ 2) x 1 = 5 3 2 30

0) 14 1) –18 2) –7 3) –14

24 + 10 + 15 = 49 30 30

1) 2 – 1 = (12 ÷ 3) x 2 – (12 ÷ 4) x 1 = 3 4 12

Ejercicio 1

8–3 = 5 12 12

1) mcm (5 y 6) = 30

2) 4 – 1 = (15 ÷ 5) x 4 – (15 ÷ 3) x 1 = 5 3 15

12 – 5 = 7 15 15

3) 2 + 1 + 1 = (24 ÷ 12) x 2 + (24 ÷ 6) x 1 + (24 ÷ 8) x 1 = 12 6 8 24

4) –2 5) 4 6) –11 7) 4

4 + 4 + 3 11 = 24 24

– 4 + 3 = (30 ÷ 5) x (–4) + (30 ÷ 6) x 3 = 5 6 30

6 x (–4) + 5 x 3 = 30

–24 + 15 = – 9 = – 3 30 10 30

2) mcm (3 y 5) = 3 x 5 = 15

( )

4 – – 3 = (15 ÷ 3) x 4 – (15 ÷ 5) x (–3) = 5 15 3

5 x 4 – 3 x (–3) = 15

20 – (–9) = 29 = 1 14 15 15 15

3) mcm (6 y 4) = 12

8 – 7 = (12 ÷ 6) x 8 – (12 ÷ 4) x 7 = 12 6 4

2x8–3x7 = 12

16 – 21 = – 5 12 12

Ejercicio 2 3 = 3 ; 5 1 = 21 1

4

4

3 + 21 = (4 ÷ 1) x 3 + (4 ÷ 4) x 21 = 1 4 4 4 x 3 + 1 x 21 = 12 + 21 = 33 = 8 1 4 4 4 4


283


¡Para comenzar! 3 2 = 11

1) 3 2 – 4 3 5

3

3

11 – 4 = (15 ÷ 3) x 11 – (15 ÷ 5) x 4 = 3 5 15

5 x 11 – 3 x 4 = 55 – 12 = 43 = 2 13 15 15 15 15

2) 7 + 2 3 = 7

5) 28 6) 16 7) 9 8) 8 9) 10

Ejercicio 1 0) 1 x 6 = 6 = 3 8 4 32 16

7= 7 1

2 3 = (7 x 2) + 3 = 17

7 + 17 = (7 ÷ 1) x 7 + (7 ÷ 7) x 17 = 7 7 1

49 + 17 = 66 = 9 3 7 7 7

7

0) –45 1) –70 2) –8 3) –7 4) –9

7

7

3 x 4 = 12 = 3 1) 1 x 64 16 4 8 2 3 = – 24 = – 2 2) – 8 x 60 5 10 6

( ) 4) – 6 x (– 2 ) = 12 = 3 7 4 28 7

7 = – 21 = – 7 3) 3 x – 5 45 15 9

5) 5 x 4 = 20 9 3 27

Ejercicio 2 0) 1 ÷ 2 = 1 x 3 = 3 4 8 3 4x2 1) – 2 ÷ 4 = – 2 x 3 = – 6 = – 3 5 3 5x4 20 10 2) 5 ÷ 3 = 5 x 8 = 40 = 20 = 2 2 6 8 6 x 3 18 9 9 3) 9 ÷ 5 = 9 x 6 = 54 = 1 19 7 6 7 x 5 35 35

( )

4) – 2 ÷ – 1 = 2 x 4 = 8 = 1 1 7 4 7x1 7 7 5) 8 ÷ 3 = 8 x 7 = 56 = 28 = 1 13 10 7 10 x 3 30 15 15

284

IGER − Quiriguá


El mundo de la matemática Ejercicio 1

1 1 5 0) ÷ = 3 = 1x8 = 8 5 3 8 3 x 5 15 8

5

=

3

1 1 6 1) ÷ = 4 = 1x4 = 4 = 1 6 4 4 4 x 6 24 6 4 2) – 3 ÷ 1 = 6 9

( ) 4 4 1) ( ) = 5 5 3 3 2) ( ) = 7 7 1 1 3) ( ) = 5 5 0) 1 2

2

4

– 3 6 = – 3 x 9 = – 27 = – 9 = – 4 1 1 6x1 6 2 2 9

3 3 2 2 4 4

= 4 x 4 x 4 = 64 5x5x5 125 = 3x3 = 9 7 x 7 49 =1x1x1x1= 1 5 x 5 x 5 x 5 625

Ejercicio 2

( ) ( ) 9 1) (1 4 ) = ( 9 ) = 5 5 5 9 2) (2 1 ) = ( 9 ) = 4 4 4 0)

1 1 1 3) ÷ = 9 = 1x2 = 2 1 9 2 9x1 9 2

15 = 1x1x1x1x1 = 1 25 2x2x2x2x2 32

2 2 2 20 x 20 3 2 = 20 = 202 = 6 x 6 = 400 6 6 6 36 2

2

3

3

Ejercicio 3

( ) = 11 = 1 5 1 = 1 1) ( ) = 9 1 2) ( 3 ) = 3 8 8 8 3) (– 2 ) = – 125 5 9 3 4) (– ) = 49 7 0) 1 3

0

0

1

3

2

2 2 3 3

81 = 9x9 = 5 x 5 25 = 9 x 9 x 9 = 729 4x4x4 64

( ) = 11 = 1 1 6) ( 1 ) = 32 2 36 7) (– 6 ) = 64 8 8) ( 6 ) = 1 = 1 9 1 8 9) ( 2 ) = 27 3 5) 6 11

0

5

2

0

3

Ejercicio 4

( ) x 23 =

0) 2 – 1 9 3

2

2 1 2 – x = 9 9 3

2 – 2 = 9 27

(27 ÷ 9) x 2 – (27 ÷ 27) x 2 = (3 x 2) – (1 x 2) = 27 27

6–2 = 4 27 27 Matemática − Claves

285

Semana 25 (

)

2) 3 – 1 x 2 = 9 3 3 2 = 1 3 – 9 9 9

Ejercicio 5

( ) ÷ 12 + 14 x 12 =

1) 3 4

2

9 ÷ 1 + 1 x 1 = 16 2 4 2

18 + 1 = 16 8

(16 ÷ 16) x 18 + (16 ÷ 8) x 1 (1 x 18) + (2 x 1) = = 16 16

18 + 2 20 = = 5 =11 16 16 4 4

( )=

2) 1 – 3 x 1 4 4 2

2

1 3 1 – x = 4 4 4

1 – 3 = 4 16

(16 ÷ 4) x 1 – (16 ÷ 16) x 3 = (4 x 1) – (1 x 3) = 16 16

4–3 = 1 16 16

El mundo de la matemática Ejercicio 1 A. 0) cuatro novenos 1) siete onceavos 2) ocho décimos 3) menos tres séptimos B. 0) 4 9 1) 7 8

2) 3 6 3) – 3 5

Ejercicio 2 A. Orientador voluntario el estudiante puede sombrear cualquier parte de la figura que dibuje siempre que la fracción se represente correctamente. 0)

1)

2)

B. 1) – 6 8 –1 2) 3 2

–2

1) 2 8 = 32 12 12 2) 4 5 = 29 6 6 3) 1 2 = 6 4 4 4) 3 1 = 16 5 5 IGER − Quiriguá

–1

0

–1

0

1

–1

0

1

7 8

– 6 8

0

–1

0

1

4 4

1 3 2

Ejercicio 3 A. 0) 3 2 = 11 3 3

286

4 6

1

2

B.

Fracción propia

2 3 2 7 8 9 5 19 25 9 5 10 61 70 99 90 3 8

0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Fracción impropia

Ejercicio 4

Número mixto

    

0)

16 5 1)

12 5 2)

68 7 3)

13 2 4)

35 8 5)

77 9 6)

55 6

¿≡ ó

0) 24 y 12 15 30

24 x 30 = 720 15 x 12 = 180

24 15

12 30

1) 4 y 8 5 10

4 x 10 = 40 5 x 8 = 40

4 5

≡

8 10

2) 1 y 3 3 9

1x9=9 3x3=9

1 3

≡

3 9

3) 6 y 12 7 14

6 x 14 = 84 7 x 12 = 84

6 7

≡

12 14

8 7 10 y 5

8 x 5 = 40 10 x 7 = 70

8 10

4)

 

C. Fracción impropia

procedimiento

fracciones



Conversión

5 3 16 – 15 1 2 5 12 – 10 2 9 7 68 – 63 5 6 2 13 – 12 1 4 8 35 – 32 3 8 9 77 – 72 5 9 6 55 – 54 1

Número mixto

Número mixto

Fracción impropia

Conversión

Ejercicio 5 A.

1

24 9

9x2+4 = 9

22 9

4x6+3 = 4

27 4

1)

22 5

63 4

2)

5

97

91 2

2x9+1 = 2

19 2

3)

61 2

46 8

8x4+6 = 8

38 8

7x2+5 = 7

19 7

4)

3 48

25 7

5

89

31 4

4x3+1 = 4

13 4

3x1+2 = 3

5 3

6)

1 96

12 3

B. 0) 5 15

Amplificar por 3

≡

≡

≡

≡ ≡

8 14 4 18 10 12

4 x 3 = 12 7 x 3 21 2x3= 6 9 x 3 27 5 x 3 = 15 6 x 3 18

4 7 2 9 5 6

≡ ≡ ≡

12 21 6 27 15 18

5 15

≡

1 3

7 49

≡

1 7

MCD (9 y 45) = 9 9 45

≡

1 5

MCD (14 y 21) = 7

14 ÷ 7 2 = 21 ÷ 7 3

4) 36 48

≡

MCD (7 y 49) = 7

9÷9 = 1 45 ÷ 9 5

3) 14 21

≡

4 7 2 9 5 6

MCD (5 y 15) = 5

7÷7 = 1 49 ÷ 7 7

2) 9 45

≡

5÷5 = 1 15 ÷ 5 3

1) 7 49

4x2= 8 7 x 2 14 2x2= 4 9 x 2 18 5 x 2 = 10 6 x 2 12

4 7 1) 2 9 2) 5 6

0)

5)

7 5

fracción fracción fracción procedimiento procedimiento amplificada amplificada

0)

53

Amplificar por 2

?

14 21

≡

2 3

MCD (36 y 48) = 12

36 ÷ 12 3 = 48 ÷ 12 4

36 48

≡

3 4


287

5) 25 40

≡

25 ÷ 5 5 = 40 ÷ 5 8

6) 10 80

≡

7) – 11 121

25 40

≡

5 8

MCD (10 y 80) = 10

10 ÷ 10 = 1 80 ÷ 10 8

10 80

≡

≡ MCD (11 y 121) = 11

≡

9) 72 80

≡

1 11

≡

72 80

≡

Ejercicio 6 A. 0) 7 + 2 = 9 = 1 9 9 9 8 2 + = 10 = 2 1) 15 15 15 3 2) 6 – 1 = 5 8 8 8

9 10

3) 4 + 7 10 4) – 12 5) 9 – 10

3 = 7 =1 7 7 7 = 3 = 1 12 12 4 6 = 3 10 10

0)

4 y 2 5 3

fracciones fracciones equivalentes ordenadas 4 12 2 10 12 > 10 5 15 3 15 15 15

1)

2 y 7 3 8

2 3

16 24

7 8

21 24

21 > 16 24 24

2)

5 y 9 7 21

5 7

15 9 21 21

9 21

15 > 9 21 21

C.

0) 3 – 2 = (14 ÷ 2) x 3 – (14 ÷ 7) x 2 = 2 7 14

(7 x 3) – (2 x 2) 21 – 4 17 = = =1 3 14 14 14 14

288

IGER − Quiriguá

(8 x 6) – (11 x 2) = 48 – 22 = 26 = 13 88 88 44 88

5) 3 + 3 = (35 ÷ 7) x 3 + (35 ÷ 5) x 3 = 7 5 35

B. fracciones

(1 x 3) + (3 x 5) = 3 + 15 = 18 = 2 9 9 9

4) 6 – 2 = (88 ÷ 11) x 6 – (88 ÷ 8) x 2 = 11 8 88

9 11

MCD (72 y 80) = 8

72 ÷ 8 = 9 80 ÷ 8 10

54 66

(2 x 1) + (9 x 1) = 2 + 9 = 11 18 18 18

3) 3 + 5 = (9 ÷ 9) x 3 + (9 ÷ 3) x 5 = 9 3 9

MCD (54 y 66) = 6

54 ÷ 6 = 9 66 ÷ 6 11

≡–

(1 x 14) + (2 x 2) 14 + 4 18 = = = 9 =2 1 8 8 8 4 4

2) 1 + 1 = (18 ÷ 9) x 1 + (18 ÷ 2) x 1 = 9 2 18

1 8

– 11 ÷ 11 = – 1 – 11 121 ÷ 11 11 121 8) 54 66

1) 14 + 2 = (8 ÷ 8) x 14 + (8 ÷ 4) x 2 = 8 4 8

MCD (25 y 40) = 5

(5 x 3) + (7 x 3) = 15 + 21 = 36 = 1 1 35 35 35 35

6) – 2 + 3 = (20 ÷ 5) x (–2) + (20 ÷ 4) x 3 = 5 4 20

[4 x (–2)] + (5 x 3) = –8 + 15 = 7 20 20 20

7) 1 – 2 = (6 ÷ 2) x 1 – (6 ÷ 3) x 2 = 2 3 6

(3 x 1) – (2 x 2) = 3 – 4 = – 1 6 6 6

8) 3 – 4 = (20 ÷ 4) x 3 – (20 ÷ 5) x 4 = 4 5 20

(5 x 3) – (4 x 4) = 15 – 16 = – 1 20 20 20

9) 5 + 5 = (42 ÷ 6) x 5 + (42 ÷ 7) x 5 = 6 7 42

(7 x 5) + (6 x 5) = 35 + 30 = 65 = 1 23 42 42 42 42

10) 3 – 5 = (12 ÷ 4) x 3 – (12 ÷ 6) x 5 = 4 6 12

1) 5 3 – 2 = 2 7

5 3 = 13

(3 x 3) – (2 x 5) = 9 – 10 = – 1 12 12 12

2

Ejercicio 7 A. 1) 5 – 6 = (12 ÷ 6) x 5 – (12 ÷ 12) x 6 = 6 12 12

(2 x 5) – (1 x 6) = 10 – 6 = 4 = 1 12 12 3 12

2) – 8 + 2 = (9 ÷ 9) x (–8) + (9 ÷ 3) x 2 = 9 3 9

[1 x (–8)] + (3 x 2) = –8 + 6 = – 2 9 9 9

3) – 6 – 10 = (24 ÷ 8) x (–6) – (24 ÷ 12) x 10 = 8 12 24

[3 x (–6)] – (2 x 10) = – (18 + 20) = – 38 = – 19 = – 1 7 24 24 12 12 24

4) – 5 + 18 = (21 ÷ 7) x (–5) + (21 ÷ 21) x 18 = 7 21 21

[3 x (–5)] + (1 x 18) = –15 + 18 = 3 = 1 21 21 7 21

5) – 4 – 7 = (36 ÷ 12) x (–4) – (36 ÷ 18) x 7 = 12 18 36

[3 x (–4)] – (2 x 7) = –(12 + 14) = – 26 = – 13 36 36 18 36

6) 3 – 10 = (15 ÷ 5) x 3 – (15 ÷ 15) x 10 = 5 15 15

(3 x 3) – (1 x 10) = 9 – 10 = – 1 15 15 15

0) 1 1 + 5 = 2 2

1

5 = 5 1

mcm (1 y 2) = 2

3 + 5 = (2 ÷ 2) x 3 + (2 ÷ 1) x 5 = 2 1 2

(1 x 3) + (2 x 5) = 3 + 10 = 13 = 6 1 2 2 2 2

mcm (2 y 7) = 14

13 2 – = (14 ÷ 2) x 13 – (14 ÷ 7) x 2 = 2 7 14

(7 x 13) – (2 x 2) = 91 – 4 = 87 = 6 3 14 14 14 14

2) 2 1 + 2 = 4 4

21 = 9

9 + 2 = 11 = 2 3 4 4 4 4

4

4

3) 1 + 3 1 = 9 2

3 1 = 7

1 + 7 = (18 ÷ 9) x 1 + (18 ÷ 2) x 7 = 9 2 18

(2 x 1) + (9 x 7) 2 + 63 65 = = = 3 11 18 18 18 18

2

2

mcm (9 y 2) = 18

4) 3 + 1 2 = 9 3

1 2 = 5

3 + 5 = (9 ÷ 9) x 3 + (9 ÷ 3) x 5 = 9 3 9

3

3

mcm (9 y 3) = 9

(1 x 3) + (3 x 5) 3 + 15 18 = = =2 9 9 9 ó 1 + 5 = 6 = 2 3 3 3

5) 7 – 2 = 8

B.

1 1 = 3 ;

2

7= 7

7 2 – = (8 ÷ 1) x 7 – (8 ÷ 8) x 2 = 1 8 8

(8 x 7) – (1 x 2) = 56 – 2 = 54 = 27 = 6 3 8 8 8 4 4

1

mcm (1 y 8) = 8


289

6) 3 4 – 1 3 7 5

3 4 = 25

25 – 8 = (35 ÷ 7) x 25 – (35 ÷ 5) x 8 = 5 35 7

(5 x 25) – (7 x 8) = 125 – 56 = 69 = 1 34 35 35 35 35

7

7

1 3 = 8 5

mcm (7 y 5) = 35

5

7) 4 – 2 = 5

2= 2

4 – 2 = (5 ÷ 5) x 4 – (5 ÷ 1) x 2 = 5 5 1

mcm (5 y 1) = 5

(1 x 4) – (5 x 2) = 4 – 10 = – 6 = – 1 1 5 5 5 5

8) 2 3 – 1 2 = 6 5

2 3 = 15

15 – 7 = (30 ÷ 6) x 15 – (30÷ 5) x 7 = 5 30 6

(5 x 15) – (6 x 7) = 75 – 42 = 33 = 11 = 1 1 30 30 10 10 30

6

6

1 2 = 7 5

5

mcm (6 y 5) = 30

9) 5 + 3 2 = 6 3 2 11 mcm (6 y 3) = 6 3 = 3 3 11 = (6 ÷ 6) x 5 + (6 ÷ 3) x 11 = 5 + 3 6 6 5 + 22 = 27 = 9 = 4 1 (1 x 5) + (2 x 11) = 6 6 2 2 6 10) – 4 + 2 3 = 5 4 – 4 = – ; 1

2 3 = 13 5

5

mcm (1 y 5) = 5

– 4 + 13 = (5÷ 1) x (–4) + (5 ÷ 5) x 13 = 1 5 5 [5 x (–4)] + (1 x 13) = –20 + 13 = – 7 = – 1 2 5 5 5 5

290

IGER − Quiriguá

2– 2 – 3 =

2= 2

3

7

mcm (1, 3 y 7) = 21

1

2 – 2 – 3 = 1 3 7

(21 ÷ 1) x 2 – (21 ÷ 3) x 2 – (21 ÷ 7) x 3 = 21

(21 x 2) – (7 x 2) – (3 x 3) = 21

42 – 14 – 9 = 19 21 21

1

11)

12)

13 –1– 2 =

1 3 = 8 ; – 1 = – 1

5 5

10

5

1

mcm (1, 5 y 10) = 10

8 – 1 – 2 = 5 1 10

(10 ÷ 5) x 8 – (10 ÷ 1) x 1 – (10 ÷ 10) x 2 = 10 (2 x 8) – (10 x 1) – (1 x 2) = 21 16 – 10 – 2 = 4 = 2 10 5 10 Ejercicio 8 0) – 34/4 2) – 5/6 1) 19/14 3) – 3/4 Ejercicio 9 A. 0) 12 x 3 = 36 = 6 = 1 1 15 2 30 5 5 1) 7 x 2 = 14 = 7 4 5 20 10 2) – 2 x 3 = – 6 = – 3 7 8 56 28 3) – 4 x 7 = – 28 = – 14 = – 1 3 11 2 22 11 11 4) 3 x 6 = 18 = 9 4 8 32 16 5) 4 x 4 = 16 = 8 5 6 30 15

6) 3 x 3 = 9 7 4 28

7 7 3 5) ÷ = 9 = 7 x 5 = 35 = 1 8 3 9 5 9x3 27 27 5

7) 11 x 5 = 55 = 11 = 1 2 15 3 45 9 9

2 2 1 6) ÷ = 3 = 2x2 = 4 =11 1 3 2 3x1 3 3 2

B.

0) 12 ÷ 1 = 12 x 2 = 24 = 4 4 5 2 5x1 5 5 1) 4 ÷ 3 = 4 x 4 = 16 = 1 1 5 4 5x3 15 15 2) – 5 ÷ 1 = – 5 x 3 = – 15 = – 5 = – 1 2 9 3 9x1 9 3 3 3) 9 ÷ 2 = 9 x 3 = 27 = 1 5 11 3 11 x 2 22 22

4 4 2 7) ÷ – = 5 5 3 – 2 3

Ejercicio 10 A. 3 3 0) 1 = 13 = 1 x 1 x 1 = 1 2 2x2x2 8 2

( ) 2 1) ( ) = 2 3 3 5 2) ( ) = 5 6 6 3) ( 1 ) = 1 3 3

4) 2 ÷ – 1 = – 6 = – 1 1 5 3 5 5

3

2

5) 7 ÷ 4 = 7 x 5 = 35 = 1 3 8 5 8x4 32 32

4 4

B.

7) 4 ÷ 1 = 4 x 2 = 8 = 1 3 5 2 5x1 5 5

= 2x2x2 = 8 3x3x3 27 = 5 x 5 = 25 6 x 6 36 = 1x1x1x1 = 1 3 x 3 x 3 x 3 81

(1 13 ) = ( 43 ) = 43 8 1) (1 2 ) = ( 8 ) = 6 6 6 3 2) (1 1 ) = ( 3 ) = 2 2 2 2

0)

C.

2 2 5 0) ÷ = 3 = 2 x 6 = 12 = 4 5 3 6 3x5 15 5 6

2

2

2

2 2

2 2

3

3

3 3

=– 1x5 =– 5 3x4 12

C. 0) 3 5

8 8 8 10 2) ÷ = = 8 x 9 = 72 = 9 10 9 8 10 x 8 80 10 9

=

4x4 = 16 3x3 9

64 16 = 8x8 = = 9 6 x 6 36 = 3 x 3 x 3 = 27 2x2x2 8

( ) = 11 = 1 1 1) ( 2 ) = = 1 1 9 3 2) ( 3 ) = 7 7 6 3) ( 6 ) = = 36 = 9 2 2 4 1 4) (– 1 ) = – =– 1 3 3 27 5 5) (– 5 ) = = 25 7 7 49 0

0

1

7 7 3 3) ÷ = 8 = 7 x 4 = 28 = 7 = 1 1 3 8 4 8x3 24 6 6 4 – 8 7 8 2 4) – ÷ = 2 7 3 3

3

2

4

1 1 4 1) ÷ – = 3 3 5 – 4 5

3

2

6) – 1 ÷ 3 = – 1 x 5 = – 5 = – 1 10 5 10 x 3 30 6

= – 4 x 3 = – 12 = – 6 = – 1 1 5x2 10 5 5

2

2

2

3

3

3

= – 8 x 3 = – 24 = – 12 = – 1 5 7x2 14 7 7

2

2 2


291

D.

(

) ( )

1 1 + 2 – 1) 6 3 6

2

3 – 1 x 1 = 6 9 2

3 – 1 = 9–1 = 8 = 4 6 18 18 18 9

( ) ( ) ( 412– 6 ) ÷ 18 + 14 =

2) 1 – 2 ÷ 1 3 4 2

3

+ 1 = 4

1 + 1 = – 2 ÷ 8 4 12

1 –16 + 3 = – 13 = – 1 1 – 16 + = 4 12 12 12 12

( ) x 12 – 49 =

3) 2 3

27 4) 5 8) 14 44

7 9) 4 1) 21 5) 32 36 45

B. 0) 3 10

x 1 = 2

2

4 x 1 – 4 = 9 2 9

4 – 4 = 4–8 =– 4 =– 2 18 18 9 18 9

3 2) 5 6) 12 14

10) 18 49

3) 3 20

11) 21 40

C. 1 0) 2 1 1) 2 7 2) 8 2 3) 3

7) 10 21

1 1 8) 7 3 1 1 5) 9) 7 4 1 1 6) 10) 7 9 1 1 7) 11) 3 3

4)


( ) ( ) ( 3 +1510 ) x ( 3 6– 4 ) = 13 x – 1 = – 13 90 15 ( 6 )

1)

2 1 3 + = =1 3 3 3

R/ Se empleó 1 galón de pintura en total.

4) 1 + 2 x 3 – 2 = 5 3 6 3

2) 5 + 6 = 11 12 12 12

0) 14 3

9 17 5) 10) 4 3

22 11) 23 1) 11 6) 3 5 5 33 2) 49 7) 8 6 3)

5 2

8) 33 4

50 4) 57 9) 7 7

292

IGER − Quiriguá

R/ Le queda 1 de tanque de gasolina. 12

3) 120 x 2 = 240 = 80 1 3 3


12 – 11 = 1 12 12 12

12) 5 4 13)

8 3

7 14) 4

80 ÷ 8 = 10

R/ Se colocarán 10 mesas en el salón A.

120 x 1 = 120 = 40 3 3 1

40 ÷ 8 = 5

R/ Se colocarán 5 mesas en el salón B. 4) 2100 x

2100 1 = = 700 3 3

a. R/ Paga 700 quetzales del alquiler.

2100 – 700 = 1400

1400 x

1 1400 = = 700 2 2

b. R/ Gasta 700 quetzales en alimentación y transporte.

Semana 26 5) 72 metros x

5 360 metros = = 60 metros 6 6

72 metros – 60 metros = 12 metros

R/ Un trozo mide 60 metros y el otro trozo mide 12 metros. 6) 120 x

80 x 17 = 1360

R/ José gana en 17 días 1360 quetzales.

7) 20

2 240 = 80 = 3 3

2 60 = 12 = 8) 30 x 5 5

12 + 18 = 30

3 90 = 18 = 5 5

30 x

R/ El comité está formado por 18 mujeres y 12 hombres.

150 9) 15 x 10 = = 25 6 6 1 a. R/ Ramiro tiene 25 años.

5 3 – 2 1 = 4

4

2

6 0

3 1

5 0

Ejercicio 1 A. 0)

6 seis décimos 10

4) 78 setenta y ocho milésimos 1000

B. 0) 0.56 1) 0.357 2) 2.7 3) 1.19 4) 0.1185 5) 14.6 6) 0.12 7) 0.225

0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

D

1

U 0 0 2 1 0 4 0 0

• • • • • • • •

d 5 3 7 1 1 6 1 2

c 6 5

m

dm

7

9 1

8

2 2

5

5

Ejercicio 2

2

5 3 = 23

U

5) 95 noventa y cinco centésimos 100

4

D

3) 7 siete décimos 10

26 ÷ 2 = 13

10)

C

2) 45 cuarenta y cinco milésimos 1000

208 ÷ 4 = 1040 = 26 5 40 10

b. R/ Las bolsas de dulces alcanzarán para 13 días.

1) 2)

UM

1) 3 tres centésimos 100

8 = 208 10 10

a. R/ Se llenaron 26 bolsas de dulces.

¡Para comenzar!

21 = 5 2

2

mcm (4 y 2) = 4

23 – 5 = 23 – 10 = 13 = 3 1 2 4 4 4 4 R/ En la pieza quedan 3 1 yardas de tela. 4

0) una unidad, dos décimas 1) cincuenta y tres unidades, sesenta y tres centésimas 2) veintiocho centésimas 3) ciento veintitrés milésimas 4) treinta unidades, cinco centésimas 5) nueve unidades, tres mil cuatrocientos cincuenta y un diezmilésimas. 6) cuarenta y siete unidades, veinticuatro milésimas 7) cien unidades, una milésima 8) doscientas unidades, doscientas treinta y tres milésimas


293


¡Para comenzar!

0) 2.346 1) 0.1638 2) 3.78 3) 0.784 4) 1.099

Ejercicio 4 0)

0.30 0.87 + 5.00 6.17

5) 19.8 6) 0.0073 7) 0.05 8) 0.002

1) 3.00 0.18 + 3.16 6.34

Ejercicio 5 0)

2.59 – 0.18 2.41

2) 58.249 – 3.160 55.089

1) 16.180 3) 27.00 – 4.241 – 19.10 11.939 7.90

Nombre: John Napier. También conocido como: Neper. Nació en Edimburgo, Escocia el año 1550 y murió el año 1617. Sus aportes matemáticos fueron: El punto decimal o coma decimal para separar la parte entera de la parte decimal y la invención de los logaritmos. Realizó contribuciones a distintas ramas de la matemática.

Ejercicio 1 0)

3.14 x 9 28.26

1) 0.45 2) 3.534 x 7 x 6 3.15 21.204

Ejercicio 2 0)

0.18 2) 141.6 x 7.4 x 2.32 72 2832 126 4248 1.332 2832 328.512

1)

3.233 3) 0.045 0.68 x 2.8 25864 360 19398 90 2.19844 0.1260 x

Ejercicio 3 A. 0) 28 1) 45.3 2) 3976

3) 3800 4) 531.64 5) 43534

B. 0) 3.5 x 100 = 350 1) 0.56 x 100 = 56 2) 0.345 x 10 = 3.45

294

IGER − Quiriguá

3) 0.0018 x 100 = 0.18 4) 4.567 x 100 = 456.7 5) 0.07863 x 1000 = 78.63

Semana 28 ¡Para comenzar! número decimal 0.786 3.17 9.8 0.0003 7.004 569.12

número entero 0.786 x 1000 = 786 786 3.17 x 100 = 317 317 9.8 x 10 = 98 98 0.0003 x 10000 =3 3 7.004 x 1000 = 7004 7004 569.12 x 100 = 56912 56912 conversión

Ejercicio 1 1)

3.9 8 31.2 – 24 7 2 – 7 2 0

31.2 ÷ 8 = 3.9

2)

7.25 3) 6.20 5 36.27 2 12.40 – 35 – 12 12 04 – 10 –4 27 0 – 25 2 36.27 ÷ 5 = 7.25

12.40 ÷ 2 = 6.20

3)

0.012 6 0.076 –6 16 – 12 4

• 12 ÷ 0.5 = 24

24 5 120 – 10 20 – 20 00

Ejercicio 4 1) 34.59 ÷ 0.123 = • Multiplique el divisor 0.123 x 1000 = 123 • Multiplique el dividendo 34.59 x 1000 = 34590 • Divida: 34590 entre 123 281 123 34590 – 246 999 – 984 150 – 123 27

Ejercicio 2 1)

2) 12 ÷ 0.5 = • 0.5 x 10 = 5 • 12 x 10 = 120 • Divida 120 entre 5

• 34.59 ÷ 0.123 = 281

Ejercicio 5

2) 0.63 5 3.18 – 30 18 – 15 3

÷

÷

10

100

1000

425.7

42.57

4.257

0.4257

34.3

992.3

99.23

9.923

0.9923

34.57

10

100

1000

3.43

0.343

0.0343

3.457 0.3457 0.03457

13.4

1.34

0.134

0.0134

2528.7 252.87 25.287

0.076 ÷ 6 = 0.012 3.18 ÷ 5 = 0.63

127.9

12.79

1.279

0.1279

20.18

2.018 0.2018 0.02018

0.0008 4) 0.74 2 0.0016 8 5.98 – 16 – 56 0 38 – 32 6

642.1

64.21

6.421

0.6421

112.3

11.23

1.123

0.1123

142.5

14.25

1.425

0.1425

2375.4 237.54 23.754

2.3754

9754.5 975.45 97.545

9.7545

92.6

0.926

0.0926

6183.5 618.35 61.835

6.1835

68.52 1.5

6.852 0.6852 0.06852 0.15

0.015

0.0015

0.25

9.26

2.5287

0.025 0.0025 0.00025

0.0016 ÷ 2 = 0.0008 5.98 ÷ 8 = 0.74

Ejercicio 3 1) 4 ÷ 0.09 = • 0.09 x 100 = 9 • 4 x 100 = 400 • Divida 400 entre 9 • 4 ÷ 0.09 = 44

44 9 400 – 36 40 – 36 4


295

Semana 29 ¡Para comenzar! 1) 3.5 cm 2) 87.5 ≈ 88 km Big Creek está a 80 km de Belmopán 3.2 x 25 = 80

Ejercicio 1

A. 2 : 2 antecedente, 1 consecuente 1 35 : 35 antecedente, 50 consecuente 50 96 : 96 antecedente, 100 consecuente 100 B. Lugar

64/100

América

24/50

África

proporción 0)

4/25

Asia

1)

130/1000

Oceanía

4/500

El mundo

17/100

2)

Ejercicio 2 0) gasolina kilómetros

defectuosos 2 4 producidos 500 1000

proporción 2 4 = 500 1000

Ejercicio 3 A.

0) 1) 2) 3) 4) 5)

proporción extremos medios 4 5 = 4 y 10 8y5 8 10 2 6 = 2 y 15 5y6 5 15 8 10 = 8y5 4 y 10 4 5 7 14 = 7 y 18 9 y 14 9 18 3 6 = 3 y 10 5y6 5 10 1 3 = 1 y 21 7y3 7 21

296

IGER − Quiriguá

Sí Sí No Sí Sí

5 2

procedimiento

comprobación

15 12 = 5 4

5 x 12 = 60 15 x 4 = 60

=

12 4

=

5 x 12 60 = = 15 4 4

=

15 10

=

2 x 15 30 = =3 10 10

3 15 2 x 15 = 30 = 2 10 3 x 10 = 30

18 x 9 162 = = 27 6 6

9 18 x 9 = 162 6 = 18 27 6 x 27 = 162

6 9 = 18

=

Ejercicio 5

proporción 1 3 3 1 = 150 50 150 50

1)

Sí

Ejercicio 4

Razón numérica de católicos

Guatemala

B. 0) Producto de extremos: 6 x 8 = 48 Producto de medios: 4 x 12 = 48 1) Producto de extremos: 7 x 6 = 42 Producto de medios: 3 x 14 = 42 2) Producto de extremos: 5 x 9 = 45 Producto de medios: 3 x 15 = 45 3) Producto de extremos: 2 x 10 = 20 Producto de medios: 4 x 8 = 32 4) Producto de extremos: 3 x 10 = 30 Producto de medios: 5 x 6 = 30 5) Producto de extremos: 2 x 15 = 30 Producto de medios: 5 x 6 = 30

proporción 0) 1) 2)

2

=

5 10

3 = 8 4 8

=

5 10

procedimiento

comprobación

=

2 x 10 20 = =4 5 5

2 5 = 4 10

4 x 5 = 20 2 x 10 = 20

=

3x8 24 = =6 4 4

3 6 = 4 8

4 x 6 = 24 3 x 8 = 24

=

8 x 10 80 = = 16 5 5

8 5 16 x 5 = 80 = 16 10 8 x 10 = 80

Semana 30 ¡Para comenzar! días 1 30

B.

horas 24 ”

Ejercicio 1 0) Es una relación directa porque a más tiempo de dedicado a la lectura más páginas leídas. 1) Es una relación directa porque a más productos comprados, más dinero pagado. 2) Es una relación directa porque a más kilómetros recorridos, más combustible consumido.

procedimiento 12 x 18 216 = = 36 0) = 6 6 5 x 20 100 1) = = = 25 4 4 3 x 15 45 2) = = =9 5 5

Ejercicio 2 0) Más trabajadores pintarán la casa en menos días. La relación es inversa. 1) Para que el agua alcance para 10 días, deben gastar 3 galones diarios. La relación es inversa. 2) Si menos máquinas trabajan, el pedido saldrá en más tiempo. La relación es inversa. 3) Si el taxi recorre más kilómetros, cobra más dinero. La relación es directa.

Ejercicio 3 • A más metros de altura, más metros de sombra proyectada. • altura sombra 5 7 10 •

=

7 x 10 70 = 5 5

= 14

• R/ El edificio mide 14 metros de altura.

Ejercicio 4 A. • Si hay menos pollos, el mismo concentrado alcanzará para más días. Es una proporción inversa. • pollos días 10 100 50 •

=

100 x 10 1000 = 50 50

= 20

• R/ 50 pollos consumen el concentrado en 20 días.


297

Semana 31

Semana 32

Ejercicio 1

¡Para comenzar! 0) octágono 1) decágono 2) hexágono

3) cuadrilátero 4) pentágono 5) triángulo

Ejercicio 1 Ejercicio 2

A. 0)

1) 2)

B. 0)

1) 2)

A. Puede ser: A

B

B

C

E

Ejercicio 2

D

A.

B. 1) línea vertical 2) línea horizontal 3) línea inclinada o diagonal C. 0)

A

1)

4 cm

A

5 cm

2)

B.

B

B

D

C

Ejercicio 3 1) b = 70°

 



perímetro

área

árboles

14 m

12 m2

plantas

14 m

10 m2

bancas

10 m

6 m2

columpios

20 m

16 m2

Ejercicio 4 3) d = 100° 4) e = 45° 5) f = 30°

Ejercicio 5 0) a = 60° ángulo agudo 1) b = 140° ángulo obtuso

298

  

2) c = 30°

Ejercicio 4 0) a = 25° 1) b = 90° 2) c = 36°

 

Ejercicio 3

2 cm

A. 0) a = 100°

cuadrado rectángulo rombo romboide

cuatro lados iguales cuatro ángulos rectos lados paralelos dos a dos dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos

IGER − Quiriguá

6) g = 120° 7) h = 65°

1) P = 2b + 2a P = 2(50 cm) + 2(150 cm) P = 100 cm + 300 cm = 400 cm R/ El perímetro de la ventana es de 400 cm.

Semana 33 2) P = 4 x P = 4 x 50 cm = 200 P = 200 cm R/ Clara debe comprar 200 cm de encaje.

¡A trabajar! 0) 4 6 =

3) A = 2 A = (2 m)2 A = (2 x 2) (m x m) A = 4 m2 R/ El cuadro tiene un área de 4 m2.

20 6 x 20 120 = = 30 4 4

= 30

1) 3 6

4

4) P = 2b + 2a P = 2(21 cm) + 2(27 cm) P = 42 cm + 54 cm P = 96 cm R/ El perímetro del libro es de 96 cm.

2) 10

Ejercicio 5

=

6x4 = 3

=8

20 5

=4

=8

=

5 2 2 x 10 = 5

base b

altura sustituir los datos en la fórmula respuesta a A=bxa

11 cm

5 cm

A = (11 x 5) (cm x cm)

A = 55 cm2

12 cm

7 cm

A = (12 x 7) (cm x cm)

A = 84 cm2

porcentaje

10 cm

6 cm

A = (10 x 6) (cm x cm)

A = 60 cm2

12%

4 cm

3 cm

A = (4 x 3) (cm x cm)

A = 12 cm2

40%

24 3

=4

Ejercicio 1

72%

fracción 12 100 40 100 72 100

decimal

porcentaje

0.12

75%

0.40

55%

0.72

68%

fracción 75 100 55 100 68 100

decimal 0.75 0.55 0.68

Ejercicio 2 A. 100% 20%

=

130

20 x 130 2600 = = 26 100 100

R/ Se descontarán 26 quetzales. B. 100% 50%

=

150

50 x 150 7500 = = 75 100 100

R/ Los músculos pesan 75 libras.


299

Semana 34 C. 100%

130 12

12 x 100 1200 = = = 40 30 30

R/ Los gallos representan el 40% del total de aves.

Ejercicio 3 90% 100%

18

100 x 18 1800 = = 20 90 90 R/ El precio normal del libro es 20 quetzales. =

Ejercicio 4 1) 100%

10 6

6 x 100 600 = = 60 10 10 R/ El 60% de la figura está sombreada. =

2) 18 + 6 + 36 = 60 Hay 60 animales en la granja. 60 100% 18

18 x 100 1800 = = 30 60 60 R/ El 30% de los animales son ovejas =

El mundo de la matemática Ejercicio 1 A. 0) 0.45 1) 0.089 2) 9.0 3) 0.045 B. 0) 1) 2) 3)

D

U 7 0 0 3

• • • •

C. 0) 30.894 1) 94.488 2) 589.11

10

c 0 0 2 0

IGER − Quiriguá

m 3 4

c 5 8

m

4

5

dm

9

dm 5

8

3) 317.42 4) 104.02 5) 37.00

100

x

1000

10

100

7.77

77.7

1000 777

7230

90.01 900.1 9001

90010

58.234 582.34 5823.4 58234

31

310 3100

31000

72.11

721.1

7211 72110

0.001

0.01

1

12.34

123.4

1234 12340

0.1

B. 0) 89 x 10 = 890 1) 7.29 x 10 = 72.9 2) 41.09 x 1000 = 41090

300

d 4 0 0 0

• • • •

723

7.23

72.3

d 0 0 1 0

U 0 0 9 0

3) 384.587 4) 92.674 5) 1058.232

D. 0) 55.22 1) 964.202 2) 5131.08 Ejercicio 2 A. x

D

0) 1) 2) 3)

0.777

3) 0.285 x 100 = 28.5 4) 0.0005 x 10000 = 5.0 5) 39.111 x 100 = 3911.1

C. 0) 50.4 1) 370.45 2) 8 3) 135.3

4) 145.8 5) 35 6) 0.35 7) 161

D. 0) 22.54 1) 1.48 2) 21.25 3) 4.34

4) 8.241 5) 1.48 6) 16.7625 7) 11.124

Ejercicio 3 A. ÷

B. ÷

10

100

1000

723.4

72.34

7.234 0.7234 777.7

7.777

0.7777

900.1

90.01 9.001 0.9001 5823.4 582.34 58.234

5.8234

1)

7.211 0.7211 0.07211

2)

3.15 0.315 0.0315 72.11

31.5

1000.2 100.02 10.002 1.0002 123.4

10 77.77

12.34

100

1.234

B. 0) 89 ÷ 100 = 0.89 1) 72.9 ÷ 10 = 7.29 2) 4109 ÷ 100 = 41.09 3) 285 ÷ 1000 = 0.285 4) 50÷ 1000 = 0.05 5) 3911.1 ÷ 1000 = 3.9111 6) 63219 ÷ 1000 = 63.219 7) 52888 ÷ 100 = 528.88 C. 0) 8.84 1) 5.2 2) 12.7

3) 13.9 4) 3.03 5) 20.05

D. 0) 17.78 1) 27.27 2) 9.09

3) 20.45 4) 10 5) 57.5

E. 0) 4.64 1) 13.25 2) 45.2

3) 9.2 4) 6 5) 1.8

1000

0.1234

0)

3) 4) 5)

proporción extremos medios 2 6 = 2 y 15 5y6 5 15 3 1 = 3y5 15 y 1 15 5 1 3 = 1 y 21 7y3 7 21 6 12 = 6y8 4 y 12 4 8 5 15 = 5y9 3 y 15 3 9 7 14 = 7 y 18 9 y 14 9 18

C. 0) 6 x 8 = 48 Sí 4) 10 x 2 = 20 4 x 12 = 48 4 x 5 = 20 1) 5 x 9 = 45 Sí 5) 3 x 2 = 6 3 x 15 = 45 4 x 6 = 24 2) 3 x 5 = 15 No 6) 5 x 4 = 20 4 x 3 = 12 9 x 3 = 27 3) 2 x 15 = 30 Sí 5 x 6 = 30 D. 0) =

5x6 = 2 15

2 6 = 4 15

1) =

3x8 = 4 6

6 8 = 3 4

2) =

4x5 = 10 2

10 5 = 4 2

3) =

5x8 = 10 4

4 8 = 5 10

Razón numérica de hablantes del idioma en el mundo

4) =

5x9 = 1 45

1 9 = 5 45

chino

12 50

5) =

5 x 12 = 15 4

4 12 = 5 15

inglés

11 100

6) =

10 x 9 = 30 3

3 9 = 10 30

hindú

2 25

E. 0)

=

8 = 5 16 10

español

7 100

8 x 10 =5 16

1)

=

6 x 12 = 9 8

6 8 = 9 12

ruso

1 20

2)

= 15 x 2 = 5 6

15 = 5 6 2

Ejercicio 4 A. idioma


Sí No No

301

3)

= 80 x 2 = 4 40

80 = 4 40 2

4)

=

1 x 45 = 5 9

1 = 9 5 45

5)

= 1 x 25 = 5 5

1 = 5 5 25

6)

= 3 x 54 = 6 27

3 = 6 27 54

Ejercicio 5 A. 18 x 6 108 0) = = = 36 3 3 1)

5x9 45 = = = 15 3 3

2)

=

2 x 10 20 = = 20 1 1

3)

=

9 x 8 72 = = 24 3 3

4)

=

2 x 15 30 = =3 10 10

5) =

15 x 6 90 = = 30 3 3

B.

12 x 14 168 0) = = = 24 7 7

2) platos costo 20 x 400 8000 4 400 = = = 2000 4 4 20

R/ Es una relación directa. 20 platos típicos costarán Q2,000.00.

3) panaderos días 10 3 3

4) personas días 10 x 2 20 2 10 = = =5 4 4 4

R/ Es una relación inversa. Los alimentos para cuatro personas alcanzarían para 5 días.

5) meses centímetros 12 x 1 1 1 = = 12 1 12

R/ Es una relación directa. En un año el cabello de Lorena habrá crecido 12 centímetros.

6) participantes días 100 x 3 300 100 3 = = =5 60 60 60

=

11 x 55 605 = = 121 5 5

2)

=

8x9 72 = = 36 2 2

3)

=

5 x 6 30 = =2 15 15

4)

=

80 x 2 160 = =4 40 40

20 x 8 160 = = 32 5 5

Ejercicio 6

C. 1) horas 1 3

kilómetros 3 x 20 20 = = 60 1

R/ Es una relación directa. En tres horas la bicicleta recorre 60 kilómetros.

302

IGER − Quiriguá

10 x 3 30 = = 10 3 3

R/ Es una relación inversa. 3 panaderos producirán la misma cantidad de champurradas en 10 días.

1)

5) =

=

R/ Es una relación inversa. La comida alcanzaría para 5 días.

7) meses centímetros 12 x 1 12 1 1 = = = 12 1 1 12 R/ Es una relación directa. Habrá crecido 12 centímetros en un año. figura

clasificación líneas paralelas líneas perpendiculares línea diagonal línea vertical línea curva

Ejercicio 7 A. a = 25° ángulo agudo b = 50° ángulo agudo c = 90° ángulo recto d = 120° ángulo obtuso f = 45° ángulo agudo e = 180° ángulo llano g = 179° ángulo obtuso h = 10° ángulo agudo i = 5° ángulo agudo j = 95° ángulo obtuso B. a = 90°

b = 45°

c = 180°

C. a = 100°

b = 180°

c = 15°

d = 45°

lado 2m 5m 9m 7m 1m 6m

lado

f = 70°

4m 7m 2m 3m 9m 5m

g = 120°

i = 95°

Ejercicio 8 A. Perímetro 0) P = 4 P = 4(2 cm) P = 8 cm

perímetro de cuadrados sustituir los datos en respuesta la fórmula P = 4 x P = 4 x (2 m) P=8m P = 4 x (5 m) P = 20 m P = 4 x (9 m) P = 36 m P = 4 x (7 m) P = 28 m P = 4 x (1 m) P=4m P = 4 x (6 m) P = 24 m

área de cuadrados sustituir los datos en respuesta la fórmula A = 2 A = (4 x 4) (m x m) A = 16 m2 A = (7 x 7) (m x m) A = 49 m2 A = (2 x 2) (m x m) A = 4 m2 A = (3 x 3) (m x m) A = 9 m2 A = (9 x 9) (m x m) A = 81 m2 A = (5 x 5) (m x m) A = 25 m2

C.

h = 105°

B.

perímetro de rectángulos base

altura

sustituir los datos en la fórmula P = 2b + 2a

respuesta

2m 9m 9m 9m 9m 3m

3m 1m 8m 6m 4m 9m

P = 2(2 m) + 2(3 m) P = 2(9 m) + 2(1 m) P = 2(9 m) + 2(8 m) P = 2(9 m) + 2(6 m) P = 2(9 m) + 2(4 m) P = 2(3 m) + 2(9 m)

P = 10 m P = 20 m P = 34 m P = 30 m P = 26 m P = 24 m

Área A= 2 A = (2 cm)2 A = 4 cm2

1) P = 2b + 2a P = 2(7 cm) + 2(4 cm) P = 14 cm + 8 cm P = 22 cm

A=bxa A = (7 cm) x (4 cm) A = 28 cm2

2) P = 4 P = 4(8 cm) P = 32 cm

A= 2 A = (8 cm2) A = 64 cm2

área de rectángulos base

altura

2m 7m 9m 8m 2m 3m

3m 1m 5m 6m 4m 5m

sustituir los datos en la fórmula A = b x a

respuesta

A = (2 x 3) (m x m) A = (7 x 1) (m x m) A = (9 x 5) (m x m) A = (8 x 6) (m x m) A = (2 x 4) (m x m) A = (3 x 5) (m x m)

A = 6 m2 A = 7 m2 A = 45 m2 A = 48 m2 A = 8 m2 A = 15 m2

D. 1) Área de la iglesia A=bxa A = (15 m) x (10 m) A = 150 m2 2) Perímetro de la plaza P = 2b + 2a P = 2(15 m) + 2(20 m) P = 70 m


303

3) Área del mercado A=bxa A = (15 m) x (50 m) A = 750 m2

2) 100% 1600 200 200 x 100 20000 = = = 12.5 1600 1600

4) Perímetro del centro del pueblo P = 2b + 2a P = 2(55 m) + 2(50 m) P = 210 m

Ejercicio 9 1) 100% 180 36 36 x 100 360 = = = 20 180 180 R/ 36 personas representan el 20%. 2) 100% 250 50 50 x 100 500 = = = 20 250 250

R/ Q50.00 representan el 20%.

Ejercicio 10 1) 15% 57 100% 100 x 57 5700 = = = 380 15 15 R/ El total del préstamo es Q380.00. 2) 10% 60 100% 100 x 60 6000 = = = 600 10 10 R/ El precio de la bicicleta es de Q600.00. 24 3) 30% 100% 100 x 24 2400 = = = 80 30 30

R/ La edad del abuelo es de 80 años.

Ejercicio 11 1) 100% 48 30 30 x 100 3000 = = = 62.5 48 48 R/ 30 horas representan el 62.5%

304

IGER − Quiriguá

R/ 200 naranjas representan el 12.5%

3) 100% 200 35% 35 x 200 7000 = = = 70 100 100

R/ El 35% del libro leído corresponde a 70 páginas.

4) 100% 35 12% 12 x 35 420 = = = 4.20 100 100

R/ Q4.20 corresponde al 12% de Iva del martillo.

5) 20% 60 100% 6000 100 x 60 = = = 300 20 20

R/ El total del terreno es de 300m2

Ejercicio 12 0) 4 100% 1 1 x 100 100 = = = 25 4 4 R/ La parte sombreada corresponde al 25%. 1) 100% 12 1 1 x 100 100 = = = 8.33 12 12 R/ La parte sombreada corresponde al 8.33%. 2) 100% 5 1 1 x 100 100 = = = 20 5 5 R/ La parte sombreada corresponde al 20%.

Agilidad de cálculo mental A. 0) 50 7) 37 14) 12 1) 29 8) 57 15) 24 2) 16 9) 80 16) 32 3) 42 10) 16 17) 25 4) 60 11) 23 18) 56 5) 74 12) 52 19) 67 6) 34 13) 66 20) 10 B. 0) 35 7) 4 14) 28 8) 78 15) 1) 1 70 2) 6 9) 19 16) 35 3) 7 10) 46 17) 32 4) 25 11) 34 18) 49 5) 55 12) 14 19) 58 6) 24 13) 0 20) 12


2 = 0.2 10

R/ La leche es más barata en el depósito ‟La buena fe”. 5) 2.5 litros x 4 tazas = 10 tazas 1 1 x 10 10 = = = 2 2 10 2

= 5 bolsitas.

b. 200 350 c. 350 500 7) A = b x a A = 5 m x 3 m A = 15 m2 R/ La familia Suc necesita 15 m2 de piso.

8 2 3 3 + + = 2) 10 10 10 10

‟La buena fe” 95.60 ÷ 15 = 6.37 Q6.37 cada litro de leche

6) a. 200 500

R/ En total gastó Q29.25 en la tienda.

1 2 10 – 8 = = 5 10 10 10

4) ‟Económico” 70.50 ÷ 10 = 7.05 Q7.05 cada litro de leche

R/ Para preparar 2.5 litros de té son necesarias 5 bolsitas.

1) 1.50 1.50 4.25 4.25 4.25 + 13.50 29.25

c. 1000 minutos 80 x 1000 = 80,000 m R/ En 1000 minutos habrá recorrido 80,000 m.

R/ A Margarita le queda 0.2 de porción del pastel. 3) a. 10 minutos 80 x 10 = 800 m R/ En 10 minutos habrá recorrido 800 m. b. 100 minutos 80 x 100 = 8,000 m R/ En 100 minutos habrá recorrido 8,000 m.

8) 100% 350 20% 7000 20 x 350 = = = 70 100 100

R/ Le descontarán Q 70.00 si paga en efectivo.

350.00 – 70.00 280.00

R/ Tendrá que pagar Q 280.00.


305

9) 100% 40 30 3000 30 x 100 = = = 75% 40 40

R/ El 75% de las personas son adultas.

100% 40 10 1000 10 x 100 = = = 25% 40 40

R/ El 25% de las personas son niños.

10) Tienda A 100% 12%

=

165

1980 12 x 165 = = 19.80 100 100

165.00 + 19.80 184.80 Tienda A: Q 184.00 Tienda B: Q 195.00 Tienda C 100% 20%

=

225

4500 20 x 225 = = 45 100 100

225.00 – 45.00 180.00 Tienda C: Q 180.00

R/ En la tienda C es más barato el celular.

306

IGER − Quiriguá

Bibliografía Arreguín, ]. Matemáticas cuaderno de ejercicios 1. Ediciones Larousse, México, 2000. arnaldez, roger y otros. Las antiguas ciencias del Oriente. Ediciones Orbis S.A. Barcelona, 1988. BALDOR, A. Aritmética. Ediciones Cultura. México 2007. BALDOR, A. Álgebra. Ediciones Cultura. México 2007. CZECH, H. Matemática primero básico. Editorial Kamar, Guatemala, 1994. CALDERON, I. Supermat 4. Editorial Voluntad S.A. Grupo Editorial Norma 2004. Encarta 2007. Biblioteca Premium. Microsoft® 2007. © 1993-2006 Microsoft Corporatión. IGER. Cimientos 1. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2005. IGER. Cimientos 2. Tomo I y II. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2007. IGER. Cimientos 3. Tomo I y II. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2007 IGER. Matemática 1 y Matemática 2. Programa de actualización para maestros de primaria. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2001. IGER. Matemática Quiriguá. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2007. IGER. Matemática Tikal. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2009. IGER. Matemática Zunil. IGER Talleres Gráficos, Guatemala, 2007. jané, a. Proyecto Trainera, cuaderno 6. Edebé, Barcelona, 1991. Londoño, N. y BEDOYA, H. Matemática progresiva. Grupo Editorial Norma, Colombia, 1999. mariscal, R. Matemática 6, cuaderno 17. Edelvives, España, 1995. Mataix, c. Aprender y practicar Matemáticas, C8. Editorial Magisterio Español, S.A. Madrid, 1986. RAE. Diccionario de la lengua española. España-Calpe, España, 1992. SANTAMARIA, C. Diccionario de matemáticas de primaria y secundaria. Escuela Española, España 1995. SM. Diccionario clave. SM España 1998. VARIOS AUTORES. Matemática activa 5. Piedra Santa, Guatemala, 2005. VARIOS AUTORES. Matemática con tecnología aplicada 4. Prentice-Hall, Colombia 1999. VARIOS AUTORES. Matemática con tecnología aplicada 5. Prentice-Hall, Colombia 1999. VARIOS AUTORES. Matemática con tecnología aplicada 6. Prentice-Hall, Colombia 1999. VARIOS AUTORES. Matemática con tecnología aplicada 7. Prentice-Hall, Colombia 1999. VARIOS AUTORES. Matemáticas 7. Santillana, Guatemala 2007. varias autores. Supermat 5. Editorial Voluntad S.A. Grupo Editorial Norma, Guatemala, 2004. VARIOS AUTORES. Supermat 6. Editorial Voluntad S.A. Grupo Editorial Norma, Guatemala, 2004. varios autores. Fundamentos de Matemáticas Básicas. Pearson Addison-Wesley. USA, 1998.

Bibliografía − Matemática

307

Páginas Web consultadas: enciclopedia.us.es descartes.cnice.mec.es www.disfrutalasmatematicas.com www.gobiernodecanarias.org/educación/.../eltanque www.ite.educacion.es www.profes.net www.rena.edu.ve www.wikipedia.com

308

IGER − Quiriguá

Libro Quiriguá Matemática 2º Sem

Recommend Documents