r
INTRODUCCIÓN
.El presente
manual de ejercitación de Matemática para la Enseñanza Media y para la PSU, es el resultado del trabajo conjunto de dos de los autores del Manual depreparación PSU Matemática, editado por Ediciones Ue.. Este texto, concebido como uncuaderno de ejercicios, está especialmente diseñado para complementar el Manual antes aludido. S u . creación obedece a que en el mercado no' se ha hecho untexto de ejercicios adhoc para la prueba PSU de Matemática, en lo que se refiere a:l nivel apropiado de extensión y profundidad. Esperamos contribuir a llenar ese vacío, desde la perspectiva de profesores dedicados casi en forma exclusiva, a la preparación de dicha prueba. De acuerdo a nuestra experiencia de varios años como profesores en la preparación para " las pruebas de ingreso a la:Educación superior y profesional, estamos muy conscientes de lo importante que es 'la ejercitación en Matemática, una vez que se han entendido los' conceptos fundamentales. Enefecto, 'siendo la Matemática una disciplina abstracta por excelencia y percibida como árida o abstrusa por los alumnos, lo más importante en ella es lacomprensión y el entendimiento, y esto se logra no sin un gran esfuerzo de parte, tanto del que enseña como del que aprende. Una vez lograda la comprensión y el entendimiento de las ideas fundamentales, viene la etapa de la ejercitación, la cual debe ser llevada a cabo en forma sistemática, rigurosa y permanente. No Se puedendesarrollar músculos con sólo leer un libro de gimnasia. N o estamos exagerando la importancia que tiene la ejercitación en Matemática pues es la forma en que los grandes matemáticos, ya sean puros o aplicados, hacen y construyen la Matemática. Conociendo la realidad matemática de nuestro país, toda persona que aspire a tener éxito en las pruebas de selección universi'taria (PSU), tiene que cumplir, entre otros, con los dos siguientes requisitos: 1°) debe comenzar a prepararse, al menos desde 3 medio, (ojalá desde antes) y , 2°) debe 'destinar todos los días.por lo menos, una hora diaria a ejercitar Matemática. 0
De ahí también que, para el logro de ese importante objetivo, se incluyen 44 Test de 30 ejercicios cada uno, lo que da un total de 1.320 'ejercicios, con el formato de la P~u. Esperamos, enun futuro no muy lejano, incrementar esta cantidad de ejercicios a través de la incorporación de nuevos test. ' . Desde la quinta edición hemos propuesto 20 ejercicios resueltos, cuatro por~je temático más anexo, con el objetivo de facilitar al alumno una dejas formas de desarrollar ordenadamente el ejercicio planteado. Esperamos que sea un real aporte a su aprendizaje. A pesar de'que el aprendizaje es personal, también es importante el trabajo de grupo, para potenciar el hecho de compartir ideas.buscar soluciones en conjunto a los problemas más difíciles, analizar las soluciones encontradas, etc, entre otras habilidades, En otras palabras, el trabajo de grupo propicia el control de calidad. El presente texto está estructurado en cuatro grandes ejes temáticos, tal y cualIo señalan los planes y programas del Ministerio de Educación, y cada uno de ellos contiene varios
r
ALF ABETO test para los temas de la PSU Matemática, con sus correspondientes respuestas, Hemos procurado, dentro de lo posible, ordenar los ejercicios que aparecen en los test, en orden de complejidad o dificultad creciente. No siempre es fácil ponerse de acuerdo en los criterios para realizar el ordenamiento pedagógico. Para tener éxito en la PSU, los alumnos y 'las alumnas deben resolvertodos los test, ya que en éstos, se plantean ejercicios similares, a la PSU Matemática. Cada Test debe ser resuelto en un tiempo máximo de una hora. Además, para facilitar la labor de todos los usuarios del texto, hemos decidido colocar las . respuestas de los ejercicios en la misma página dohde termina el respectivo test. De esta , manera, si un alumno o alumna utiliza un determinado test como evaluación diagnóstica en un tema, entonces puede conocer su resultado inmediatamente.
1 I I I! 1:
Mayúsculas
Deseamos agradecer a la Sra. Teresa Navarro Castro, editora de proyectos especiales de , Ediciones DC, por la posibilidad que' nos ha dado de concretar este importante trabajo, 'que nuestros alumnos, alumnas y también colegas, estaban esperando, así como también al Sr. José Miguel Cariaga De La Cuadra ya la Sra. Mónica Pérez Vera por la labor de diseño y diagramación del texto. Queremos agradecer también a la Diseñadora, Srta. . Gladys Briones Torres, por la elaboración de algunos de los dibujos del texto. Deseamos expresar también nuestros agradecimientos más sinceros para nuestro amigo y colega, el señor Óscar Bravo Lutz, por su contribución al tema de los vectores y al test que él mismo ayudó apreparar. Si este texto puede servir a un gran número cumplido a cabalidad.
de usuarios,
entonces
nuestra tarea se habrá
Como siempre, deseamos a nuestras alumnas ya nuestros alumnos, desde ya, el mejor de los éxitos en sus futuras vidas profesionales y/o universitarias.
Los autores Santiago
de Chile,.2009
.'
~
GRIEGO
Minúsculas
Nombre
A
o.
alfa
B
~
beta
,í
y
gama
/',
5
,delta
E
E
épsilon
Z
1;
zeta
H
11
eta
e
e, ,}
theta
1
I
iota
K
K
kappa
"
1\,
x
lambda
M
~
rnu o mi'
N
v
nu o ni
-
S
xi
O
o
ómicron
n
1t
pi
p
p
rha
L
fJ,~
T
r
tau
y
v
ípsilon
sigma
'1'
phi
X
X
ji
'l'
\jI
psi
U
w
omega
11 1, I
SIM1WLOGÍA LISTA
DE SÍMBOLOS
SÍMBOLOS
MATEMÁTI(:A
Y NOTACIONES
USADÚS
EN LÓGICA
MATEMÁTICAS
SÍMBOLOS
MATEMÁTICA
USADOS EN TEORÍA
DE CONJUNTOS
Significado,
Lectura
conjuntos
a, be, ce, ...
Símbolo
Significado
Lectura
Símbolo
p, q, t, s, .. ,
proposiciones
pe,
A, B,
-p, -p, p, N(p)
negación de p
no p, es falso que p, etc.
a, b, e, ...
p
conjunoón
pyq
(a)
conjunto
de 'un solo elemento
singleton
de "a"
disyunción,
poq
( a, b )
conjunto
de elementos a Y b
conjunto
de elementos a Y b
1\
q
pvq
CU,
-ere, ese, ...
e, ...
. elementos
a, be,
ce, ...
P.::!.Q
disyunción, excluyente,
p o q, pero no ambas
E
relación de pertenencia
P,=> q
implicancia simple o condicional
Si p entonces
e
negación de pertenencia
no está en, no es un elemento de '
p ee q
implicancia doble o bicondicional
p si Y sólo si q, p equivalente
A-S
relación de igualdad
A es igual a S
ssi
si Y sólo si
si y sólo si
e
relación de inclusión estricta
es subconjunto
=> 0=
proposición
contradictoria'
contradicción
¡;;
relación de inclusión
está incluido en
'ti
cuantificador
universal
para todo, para cualquier
::>
relación de inclusión inversa
incluye a,
3
cuantificador
existendal
existe, existe al menos un(o) o una
o:
negación
de inclusión estricta
no es subconjunto
propio de
3!
cuantificador
existendal
exi,té un(a) único(a)
peA) o 2'
conjunto
potencia de A
conjunto
de A
estricto
q, p implica q con q
______________ Ji
propio de
potencia
# Y #A-
cardinalidad
cardinalidad
u
unión
unión
n
intersección
-
diferencia
menos
A' o K
complemento
complemento
00{)
conjunto vado o conjunto nulo .
fi
U
conjunto universal o universo
conjunto
( a, b )
Par ordenado
par ordenado de elementos a y b
AxS
producto cartesiano entre A y B
A cruz S
A6S
diferencia
A delta B
,
"
-
está en, es un 'elemento de
de elementos a y b
simétrica entre A y B
----------
de A
intersección
del conjunto' A
universal o universo
r "
SÍMBOLOS Símbolo
USA.DOS EN ARITMÉTICA.
Significado
SÍMBOLOS
'Lectura
CLÁSICA
Símbolo
Significado
Lectura
ELEMENTAL
IN
conjunto de los números naturales
ene
n
número naturatcualquiera
ene
IN,
conjunto de-los números cardinales
ene subcero
'2n
número natural par
dos ene
Z
conjunto de los números enteros
zeta
2n - 1
número natural impar
dos ene menos uno
Q
conjunto de los números racionales
cu
z
numero compteje cua quiera
zeta
'conjunto de los números irracionales
cu prima o i
zeta conjugado
conjunto de los números reales
erre
z
conjugado del complejo z
IR
e
conjunto de los números complejos
ce
1a I
valor absoluto de un número real
valor absoluto o módulo de a
Iz I
valor absoluto de un complejo
valor absoluto
proporcionalidad
es directamente proporcional 'a
Q'
01
,+
-
adición
más
sustracción
menos
multiplicadón
multiplicado
división
:
por
. dividido por
'l.
tanto por 'ciento o porcentaje
tanto porciento
tanto por mil
tanto por ¡nil
signo radical
raí~ cuadrada
signo de igualdad.
es iguál a
~
'"
=
,
signo de desigualdad
es distinto de
signo de identidad
es idéntico a
/
tal que
tal que
>
signo de comparación
mayor que
<
signo de comparación
menor que
;,
signo de comparadón
mayor o igual
<
. signo de comparación
menor o igual
«
signo de comparación
mucho menor que
»
signo de comparación
mucho mayor que
"
e
ee
'lo.
,¡
..
consecuencia
por lo tanto, por consiguiente,
binomio de primer qradc
efe de equis es igual a aequis más be
f(x) = ax' + bx + e
trinomio de segundo grado
efe de equis es igual a aequis al
±
suma o resta
más menos
potencia enésima de a
a elevado a ene
lag
operador logarttmico
logaritmo decimal o de Briggs
In
operador logaritmico
logaritmo natural o 'de Neper
I~~I
determinante
de dos por dos
determinante
a, b, c, d
determinante' de tres-por tres
determinante
a, b, e, d, e, f, g, h, i'
cuadrado más beequis más ce
a'
,
,
r el deb f ghi
[~~ 1
matriz
por dos
matriz a, b, e, d
matriz a, b, e; d, e, 1, g, h, i
L
siqma mayúscula
sumatoria
rr
pi mayúscula
pitatorie o multiplicatoria
intervalo terrado de extremos a y b
intervalo cerrado a coma b
intervalo abierto de extremos a y b
intervalo abierto a coma b
[a, b
1
1 a, b [ [a, b [
1 a,
'~-
de dos
matriz de tres por tres
ghi
r
o módulo de zeta
f(x)~ ax + b
[adelb el
~.
USADOS EN ALGEBRA
b J
,
'i~tervato semicerrado o semiabierto
intervalo semicerrado a coma b
intervalo semicerrado o semiabierto
'intervalo semicerrado a coma b
SÍMBOLOS Símbolo
.
USADOS
SÍMBOLOS
EN COMBINATORIA Lectura
Significado
Símbolo
Significado
Lectura
factorial
ene factoríal o faetorial de ene
puntos
a, be, ce, ...
P(n)
permutación
permutación de erie elementos
ángulo ABe
ángulo ABC
m (
medida del' ángulo ASC
medida del ángulo Ase
PO
segmento
segmento cuyos extremos son
PO o m(PO)
longitud
V'r
vañación
variación.de
o arreglo
combinacíóo
I
combinación
SÍMBOLOS
ene elementos tomados de a. erre de ene elementos
tomados de erre en erre
USADOS
Símbolo
lím
..!:!..
n-t-,
n
Significado probabilidad
freeueneial
líneas rectas
recta L" t, L" ete
'paralelismo
es paraleloa
Símbolo f
x
Lectura timite de la razón ene sub i partido por ene cuando ene tiende a infinito
EN ESTADÍSTICA
Significado.
DESCRIPTIVA
es perpendicular
plano
plano pi
P(A,S,C)
plano
plano que pasa podas puntos no eolineales A, B ye
Il
triángulo
triángulo
h., h, Y h,
alturas de un triángulo ABC
b" ba y b.-,
bisectriees
t, t" y t,
transversales de gravedad de un triángulo ABe
te sub a, te sub b y te sub e
simetrales
ese sub a, ese sub b y ese sub e
frecuencia
efe
media aritmética o media
media o promedio aritmétic~.
mediana
mediana
Mo
moda
moda
cr
desviación standard
sigma (minúscula)
de un triángulo ASe
. medianas de un triángulo ABe
haehe sub a; haehe sub b y hache
eme sub a, ~me sub b y eme su b e ortocentro
1
incentro
incentro
G
centro de gravedad
centro de gravedad
. circuncentro
sub e
b~ sub alfa, be sub beta y be sub gama
ortocentro
circuncentro
pyq
proyecciones hipotenusa
uyv
segmentos en que la bisectriz by divide al lado e
u
equivalenda
es equivalente
-
congruencia
es co~.~.ruentecon
-
semejanza
es semejante con
C(O,r)
circunferencia
circunferencia
C(P,O.R)
circunferencia
circunferencia que pasa por los puntos no colineales P, Q YR
arco de circunferencia
arco AB
'I\B
.~~
ABC
H
.
.
de un triángulo
a PO
a
n
O
Lectura
Me
oM.A.
, perpendieularidad
P":J
o medida del segmento
L" L" L" etc
mi' mbymc
USADOS
longitud
11
S.' S, Y S,
SÍMBOLOS
PO
EN PROBABILIDADES
1,
1
ELEMENTAL
n! olll
J.
;
CLÁSICA
A, B, e, ....
l:J
!
USADOS EN GEOMETRÍA
de los eatetos sobre la
pe y eu y uve con
de centro O y radio r
1
!,
l' I l'
I
SÍMBOLOS USADOS EN TRIGONOMETRÍA ELEMENTAL, Símbolo
Significado
sen~
razón entre el cateto opuesto a ~ y la hipotenusa
seno de beta
cosp
razon entre.el cateto adyacente a }j y la mpotenusa
coseno de beta
razón entre el cateto adyacente a J) y el cateto opuesto a p
cotp
*
DE LA PRUEBA DE MATEMÁTICA
Lectura
, razón entre el cateto opuesto a P y el cateto adyacente a p
tgP
TABLA DE ESPECIFICACIONES
'HABILIDADES INTELECTUALES
tangente de beta
, o 0_
razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente a ~
secante de beta
cosecf3
razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto a 13
cosecante de beta
O U
~
ID .~
"'E
:~~~ .8~~
l.
o>
•
"
'" ~
E
'U
~o c..
~
> ••
e
••••
c..
~ e O
'¡;;
~
'u
~~~ ••
O
:i ~ ~
g
:o
g
.~
Q.~~
e ~
O
ID
Hl
~s ~
III
o
~ ~~ '"
•
~'~
o.. '" ._ O
e.2
i~~
e O> O • u •
,
O
~
~.2 é 'ü o
o
2 ~ c..
-o ;;
'~~ e o u u
EJE S TEMÁTICOS
.. ~~ ~ •
~ ~ 0-2
~~ -
o
o '" 0.>
'E ~
cotangente de beta
secp
~
oo",~
o""tJ._
"'
u •.••
O
¿~~~
-c c..
f-
. Números y proporcionalidad 11
SÍMBOLOS USADOS EN GEOMETRÍA ANALÍTICA
29
2,
Álgebra
3,
Geometrjo
y Trigonometría
4.
Estadistica
y probabilidad
y funciones
21
Símbolo
Significado
Lectura
~
flx
notación delta
m
pendiente de una' recta
pendiente
pendiente de una recta
delta ye partido por delta equis
ecuación de una recta por el origen
ye es igual a eme equis
ecuación principal de la recta
ye es igual a enie equis más ene
ecuación general de la recta
aequis más bey más ce igual a cero
6.'1 l1X
','
y=mx y = mx + n AY. + By +
e=o
ecuación punto-pendiente
y - Yo= m(x - xo) _x_ a.
.•-L=1
x2 + y2= rl
b
,
,
delta equis
equis partido por a más ye partido por be es igual a uno
ecuación de la circunferencia con centro en el origeh y radio erre
equis al cuadrado más ye al cuadrado es igual a erre al cuadrado
erre
12
26
I
20
I
1-
ye menos ye subcero es igual a eme factor de equis menos equis subcero
ecuación d,e segmentos de la recta
(x - h)' + (y - k)' = r' ecuación de la circunferencia con centro en hache coma ea y radio
TOTAL
equis menos hache al cuadrado más ye menos ea al cuadrado es igual a erre al cuadrado
/¡
~
1 1
:1 ' ,1
f
\:
Fueme:
Documento
oficial.
Proceso
de Admisión
2005. Universidad
de Chile.
DEMRE.
4 de agosto
de 2004.
I
12
~
r
ÍNDICE
¡ ¡ 1
INTRODUCCIÓN
I
ALFABETO GRIEGO SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA
/
TABLA DE E$PECIFICACIONES PRIMER EJE TEMÁ EJERCICIOS
¡ !
¡
22
RESUELTOS DE LOS NÚMEROS ENTEROS
(
Z)
CAPÍTULO 2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Test N"2: Números racionales 1 Test N"3: Números racionales Il I
t
DELA PRUEBA DE MA TEMÁTICA
NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
CAPÍTULO 1. EL CONJUNTO Test N° 1.- Números enteros:
I, I
neo.
CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO Test N"4: Números reales
(
26
Q)
31
R)
DE LOS NÚMEROS REALES ( .
45 51
CAPÍTULO 4. RAZONES Y PROPORCIONES Test N"5: Razones y proporciones
11
.
CAPÍTULO~.
!
CAPÍTULO 6. PORCENTAJE
I
57
PROPO~CIONALIDAD
Test N"6: Proporcionalidad 63
E INTERÉS
Test N"7: Porcentajes 1 Test ¡¡O8: Porcentajes II CAPÍTULO 7. REGULARIDADES Test N"9; Regularidades
74
NUMÉRICAS
numéricas 79,
BffiLIOGRAFÍAESPECÍFICA Primer Eje Temático: NÚMEROS
y PROPORCIONALIDAD
SEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA Y FUNCIONES EJERCICIOS
82
RESUELTOS
CAPÍTULO 1. INTRODUCOÓN Test N°1: Lenguaje algebraico Test N"2: Lenguaje algebraíco CAPÍTULo
2. PRODUCTOS
AL LENGUAJE ALGEBRAICO
NOTABLES, FACTORIZACIÓN
Test N"3: Productos notables, factorizocion. y fracciones
I
C~ÍTULO
I ,
~
y FRACCIONES
ALGEBRAICAS
102
algebraicas
DE PRlMER GRADo'O LINEALES y PROBLEMASVERBALES
3. ECUACIONES
Test N"4: Ecuaciones de primer CAPÍTULO 4. PROBLEMAS
88
1 Il
grado y problemas con enunciado
DE PLALWEO ~ON ENUNCIADO
.
111
verbal VERBAL
120
1:[
Test N°5: Problemas
1lit 1''.· 11
de planteo con enunciado verbal
CAPÍTULO 5. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES
CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
275
,.1,
1
I', ! '1 (
Test N°6: Desigualdades,
inecuaciones
y sistemas de inecuaciones
lineale
Test N°5: Ángulos
en la circunferencia
CAPÍTULO 6. GEOMETRíA ANALÍTICA BÁSICA
CAPÍTULO 6. PERÍMETROS YÁREAS
Test N"7: Geometria
Test N°6: Perímetros y áreas
Analítica
básica
CAPÍTULO 7. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA Q
Test N 8: Ecuación cartesiana
de ecuaciones
SEMEJANZA
291
Test N°7:.Semejanza
de la recta
CAPÍTULo 8. SISTEMAimEECUACIONES Test N°9: Sistemas
CAPÍTUL07.
283
LINEALES
CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN
lineales'
Test N°B: Geometría
299
de proporción
CAPÍTULO 't. POTENCIACIÓN
CAPÍTULO 9. TRIÁNGULOREcrÁl'lGULO:TEOREMASDEEUCLIDESYDEPITÁGORAS
Test N°IO: Potencias
Test N°9: Triángulo rectánguloi.Teoremas
CAPÍTULO 10. RADICACIÓN
CAPÍTULO 10. TRIGONOMETRÍA PLANA
Test
trn, Raíces
Test N°lO.: Trigonometría
CAPÍTULO 11. FUNCIONES: CONCEptOS FUNDAMENTALES , Test N°12: Funciones:
Test N°1l: Proporciones
CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Test N°l3:
Test N°12: Geometría del espacio
valor absoluto y función parte entera
CAPÍTULO 13. FUNCIÓNCUADRÁTICA
CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS y PLANOS
Test N°14: Función cuadrática
Test N°l3: Veetores, ecuación veetorial de la recta y ecuaci6n
CAPÍTUL014.
BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA Tercer Eje Temático: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TesiN°15:
ECUACIÓNCUADRÁTICA
Ecuación
cuadrática
CUARTO EJE TEMÁ
. CAPÍTULO 15. FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA TeStN°16:
Funciones
potencia,
exponencial
rrco.
ESTADÍSTICA
CAPÍTULO 16. ECUACIONES IRRACIONALES
CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Test N°17: Ecuaciones
Test N°}: Estadística
irracionales
CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD
Test N°18: Ecuaciones
Test N"2: Probabilidad
351
354 357
366
l
BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA Cuarto Eje Temático: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
CAPÍTULO 18. LOGARITMACIÓN
.343 veetorial del plano
Descriptiva!
CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALES exponenciales
334
y PROBABILIDAD
. EJERCICIOS RESUELTOS
y logarítmica
326
en el Círculo
CAPÍTuLO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO y FuNCIÓN PARTE ENTERA Función afín, función
317
plana
CAPÍTULO 11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO
Conceptos fundamentales
309
de Euclides y de Pitágoras
376
Test N'19: Logaritmos
ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS
BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA Segundo Eje Temático: ÁLGEBRA Y FUNCIONES TERCER EJE TEMÁTICO:
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
EJERCICIOS RESUELTOS CAPÍTULo 1. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS Test N°I: Ángulos
CAPÍTUL02.
y triángulos
CONGRUENCIA .
Test N°2: Congruencia
CAPÍTUL03.
CUADRILÁTEROS YPOLÍGONOS
Test N°3: Cuadriláteros
y Poligonos
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Tesf N°4: Transformaciones
isometricas
JFi':
EJERCICIOS RESUELTOS
378
Test N°1 de Suficiencia
383
de datos
/
r
¡i: PSU:Cuaderno de Ejercicios, Matemática 1'1 I
PRIMER
1)
EJERCICIOS RESUELTOS EJE TEMÁTICO: NÚMEROS y PROPORCIONALIDAD
PRIMER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
2)
1
1) a:b:c=6:8:9
Gladys va al supermercado y compra medio kilogramo de carne molida, tres cuartos de posta rosada y dos kilogramos de lomo vetado. Si ella pide que le saquen toda la grasa al lomo vetado y ésta se reduce en un cuarto de kilogramo después de dicha operación, entonces ¿cuántos kilogramos de carne compró Gladys en total?
A)
B)
1 2
C)
1
D)
1 -
~
3
s tI
_-\
4
Z
e = 2 : 3
11) a:
.'~:';\'\~
1 -
Dadas las razones a.: b = 3 : 4 y b : e = 8 : 9, entonces ¿cuál(es) de las siguientes igualdades expresadas en forma de razones es(son) siempre verdadera(s)?
1I1)
a + b +
a
C
- -
23
-\-2..-14
\~t
- . ..". -.\; /()'--;/f
A) B) C) D) E)
~
;::;
~ Z\
~
6
Sólo 1 y Ir Sólo II y III Sólo 1 y III 1, II Y III Ninguna de las tres
Solución: Si la segunda razón de a : b = 3 : 4 se amplifica por 2, entonces resulta que a:
Solución:
como además con la razón b
Este sencillo ejercicio se reduce simplemente.a escribir los numer~les de las cantidades que se mencionan' y, en seguida, sumarlas y restarlas según el caso. Tendremos:
3.
-+-+2 4 2
-
1
I
2
-=-+-+2 4 2
. 3 (resolvemos pnmero-
4
4
tienen igual denominador)
1 - + - + 2 1
2 ..
t
G
4
que
queda:
4
.
4
± lJ =
22
alternativa
E
=-
a 6
. .
(hemos comparado col). la primera razón pues es' la que figura en el segundo a+b+c lo cual se reduce a: ----23
a -.
Por lo tanto, la proporción
III
6
y comentarios:
Hay otras formas también de resolver este ejercicio, mediante el uso adecuado proporcionalidad "k". Para tales efectos, consultar nuestro manual de preparación Matemática proporcionalidad, páginas 82 a 85. Editado por Ediciones Universidad Católica edición, febrero de 2008. Este es un ejercicio de razones típico de la PSU, en el cual se pide relacion~r razones dadas y obtener también nuevas razones a partir de los datos. Es un
de yarJ,le en total.
y comentarios:
correcta:
C
6 + 8 + 9
Observaciones
de una constante de PSU, capítulo de de Chile en su octava elementos de ciertas ejercicio de. mediana
dificultad, aunque los alumnos cometen frecuentemente el error de creer que si a : b = 3 : 4, entonces a. = 3 Y b = 4, lo cual es un gravísimo error pues eso significaría que no han entendido el concepto de razón.
Este es un ejemplo muy sencillo tomado del diario vivir, en el cual, para resolverlo, se deben traducir. los numerales hablados en español a numerales simbólicos y luego efectuar las operaciones correspondientes. Se considera un ej ercicio fácil. Respuesta
a + b +
. miembro de la proporción), también es correcta.
3
Por lo tanto Gladys compró 3 kilogramos Observaciones
+
-
2 -, aprovechando
a : e = 6 : 9, Y simplificando esta última razón por 3, nos queda: a : e = 2: 3, con lo cual II también es correcta. . Finalmente para la tercera, aplicamos la propiedad fundamental de toda seriede razones iguales y nos
la fracción ~ )
2
+ 2 =
(simplificando
1 -
y
escribir la
proporción continuada a b c: e = 6 : 8 : 9. Según esto, la igualdad 1 es correcta. Ahora, para saber si Ir es correcta, comparamos "a" y"c", sacadas de la proporción anterior y tendremos:
L
1
b = 6 :8,
e = 8 : 9 tenemos el elemento "b".en común, podemos
Respuesta
..
correcta:
alternativa
D . 23
1::;.
_--
. ..
Fi
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
111 , : .. oo.
1
3)
Dada la siguiente sucesión:
9 1, -
.!.'
8
2
i
r
25 36 , , , el cuarto término de ella es 32 64
D).
~ 2
I
E)
No se puede determinar pues faltan datos
.
1
1
2
12
·i
a
= - = -
l :
8
i
= 5
32
36
a
= ~ 6
sería:
4), est~
dado por:
64 .
I~
I,
I
(es el término que ,se busca)
I
52
=25
a4
42
-
24
,es decir:
a4 Observaciones
y comentarios:
¡
2
3
= ?
I I
(puede escribirse de una infinidad de formas)
9
25
a
2)
es decir: a2 = 1, lo cual es correcto pues .coincide con el término dado en el enunciado.
I i
= -
=
. a.
l'
= -
a2
l
2
I
Puesto que una sucesión es una función de N a R, entonces el problema se reduce a encontrar una función, expresada mediante alguna fórmula matemática, en términos de "n" para el cálculo de las imágenes, es decir, de los términos de la sucesión, Escribamos los términos de la sucesión dada, identificándolos por sus correspondientes subíndices; los cuales nos dan la ubicación de ellos: al es el primer término, a, es el segundo término, a, es el tercer término, etc. .
a
22
!'
término (n
.
Solución:
I
a2 =
'v'neN
De tal modo que el término solicitado, el cuarto (n =
I
1
En efecto, según esta fórmula, elsegundo
I
n 2n'
=n
I
9 5 6
I
a
i
8
C)
2
i ¡
A) .8)
PRlMER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
'En este tipo de ejercicios, deben darse en el enunciado la suficiente cantidad de términos (ininimo tres), como para poder encontrar Ia función -expresada a través de alguna fórmula matemáticaque permita.encontrar las imágenes, es decir, los términos de la sucesión. Con sólo dos términos es imposible encontrar una ley general pues de seguro habría más de una y, por 10tanto, el problema sería ambiguo y habrían muchas (en general infinitas) soluciones posibles. Cuando se dan tres términos, se debe tratar de ver si hay alguna constante en dichos términos. Por ejemplo, se debe verificar si dos términos.consecutivos difieren en una constante (progresión aritmética), o bien, si la razón entre dos . términos consecutivos permanece constante (progresión geométrica), etc, . Por último, es importante observar que el segundo y el cuarto término de la sucesión se repiten, es. decir, son iguales. Este es un hecho perfectamente posible pues, en ningún momento de la definición de una sucesión de números reales, se pone de manifiesto que tal hecho no pueda ocurrir. De hecho, en una sucesión oscilante, del tipo an = (-1)"; todos los términos pares son iguales entre sí y tienen por valor 1, Y todos los términos impares son iguales entre sí y tienen por valor - L Respuesta
correcta:
alternativa
A
,
t
I¡
62
=.-
26
Observando atentamente la forma general de los términos conocidos, vemos que el término general o enésimo de la sucesión viene dado por la expresión:
1
I 1
I
1:
I
24
..
L_
2S
1,
r!
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mar'emática
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 1. NÚMEROS ENTEROS
I! 1, CAPÍTULO . 1) (-2)(-3)2 + (-2)3 ; 4 ~
B)
-20
1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS Test N' 1: Números enteros
(Z)
7)
1
---o,Q
,
Cl -2"
TIEMPO MÁXIMO PARA CADA TEST: 1 HORA
:1 ",
,
C) D)
E)
2)
-Z-
E)
16
~
C)
'-~
9) Si 1 a 1 representa de las siguientes
proposiciones
A) B) .C) ,~ E)
{.
.:.,
'
..
III) IV)
-5 < -1 O,> ~3 .
"~
V
V) VI)
,Y
-10 > ~i 32 < 2'
./
S610 Ir y III S610 II y IV S610 III y IV S610II, III y IV S610 III, IV Y V
,..:::,\-'-'>
A) -6
4)
-3
C)
O
D) E)
3 6
A) -3 B) -2 C) -1
D)
2
~
3
~.
~\~, .~ ~
/ "
-
H/+1) -1
- (-1 + 1) - 1 ] es
_\- /\.
~
'\
-
2
~ 7.--.L'"-\-
~
- \,\ -
á,'J.,
1
-1
\.j
el Valor absoluto de a, indique cuál de las' siguientes
alternativas
es falsa:
~,\
-t
Q,
4
-
5· -L
.",.
t
A) ~
2 3 -
C)
4
D)
5 -
E)
6
~.\J
{\ '
=-
q,- ¡-;\ ','0 ~ ")+-
,..S\~ 1\,;:5--
'b
~
, , ----1_-{-o
r--\Q.
>,L ,_
"
91
C",-
.
]
. -.::~_
/'
¡'
,
15
12) Tres números enteros consecutivos suman cero, ¿Cuánto vale el mayor de ellos?
(v..:;;' 0
A) -2 ,B) -1
~, 5)
-00
-'c
.:
-z.-=i
;. 18 - (~45) : (_3)2 + (-2) '(_1)' - .t-:\5 ~ ?1 ' .f .1;.. ~;
B) C)
9 -5
'\
D) E)
-9 5
o
ü -
I - \. ,,-c b I
\2>'-\
-S
O
E)
1 3
13) Si M, N, O Y P son números enteros tales que M > N, números es
"21
El valor de la expresión :~ 25,'
ó
C)
j
- '3-\(:_
'6)
-e
11) El rectángulo de la figura representa una cartulina en la que se desea pegar fotografías cuadradas de igual tamaño hasta cubrirla exactamente, ¿Cuál e~ la mayor longitud del lado de las fotografías que cumplen esta condición? J o,
G '\lt-~-",,\\-'\ \,+,.~--,-() - r -7 '\
¡ ~~C '
A) -6 'B) -4 \l -2 D) O E) 2
t<
El valor de - [~1 -
?
~ t 1\
l Ü) ~23 + 5° + 32 - 4' =
.'3) -3 - 3· 3.; 3 + 3 = ~
(-l'i.
e.,
y
A) 1-7 1< 1-8 1 ';.-;- '-:;. B) -21 < 8 ':¡i) 1-71> 171 D) -5 < O 'E) 1-91 >1-8 1
es(son) verdadera(s)?
I) 3· (-2) = 6/ Ir) 3 . (-2) > _52 /
-'\
J\\ )
~-\ '\ i ,';)\ ~\." ~ _ /\--~ -r: ' ?_.\
n,
~..-J. ~ -J.
_': __ ;c
9
-2 2 4
q -\- '\'(:i
::, • (-
1:'. l..'¿,-I
(.~l)- (--;1
"lO
D)
¿Cuál(es)
-
[:-1--+
-4 7
2 8) Si a '" -2, entonces ".a - 1\' = ' 1; .: \~ Al -12 ~B) -4 -
17
D)
-'-9
B) -7
~'\ ea -2-
-Z-
Si a = -2 ; b = -3 ; e = -1 Y d = -4, entonces [a - b • (d - e)] - a = ~
=
- .2. . ~
13
ENTEROS
-+
-
es
>..P, N < P
decreciente de estos
;00 LZ?.
1,~77<)
NP OM MOPN C) MONP D) N'PM O E) N M PO
A)
y o < M, El orden
1~
-'.'\\ L
o
.\
-
~ '::.":.\- ":i,
"1\
.~.
\~, .
26
-eS
1.
1);
-
"2. \.\
2~) LL
,7., / UJ <,
~
'-,J
L'~
<.
I
7 L. __
1:1 ;
7 '7 , L..
••••.
27
r
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Motemáiíca
1: 1, :
14) Si
I
Z y
X E
1)
A) B) C) D)
¡fj)
X
< ':'1, ¿cuál(es) de las siguientes
x'
expresiones es (son) mayortes)
1I)
S610 S610 S610 S610 Sóló
L
que 1? Ill)
2x
_x3
y III
1 y n 1 y III
15) Se define: "Dos números p y q son compatibles, si el cuociente 'entre el mayor y el menor es un . número entero múltiplo de 3". . De acuerdo con esta definición, ¿cuál de los siguientes pares de números p y q ~on compatibles? Al [1
B)
C) D) ~.
,.
56 24 12 72 54
Y
7
Y 12
1,
1.
:>Lb ,', .
"B)
I :',
1 ; :W
D) ~
11
A) . B) C) D) ~.
·1
!
L
-\ -
1\ ~ .0\ -""'1
1
~ B)
C) D) E)
l
1
l'
2\ 'O,',.').;,J
V;;;
.
. E) a -c > O "'( 19) Si a + b + e = 2p, en donde a = 5, b = 4 Y e = -3, entonces p'(p - a)(p -b)(p - e) es .
A) B)
C) D) ~
'f,.
A) ~IO·C B) -6·C 6 ·C~ ~. 10 ·C~ E) .11 °C'
I
..i.L
g
28
J
:;'2-
~f3
1 \0
0 \¡O~\U:~;", ~ ".....
r:
'"f·["(,~}.l.
'1
\0.\:_/..(~ ~_
r /:. ,-. .'
'"'7
~
'1./
»
O,'Z = O. ¿Cuál de las siguientes
LI-r-s-\-l.
A) A + B - e C+A':'., C)-A(C-B) D) A-'(B+C) E) B -C + A
¡ -, 25)
Se sabe que "n'' es múltiplo ¡le 3. Entonces, ¿cuál(es)de 1) n" es múltiplo de 3/ A) B)
C) D)
I ~
1
1 ~
f
l.
,
?v,
G. \.\
las siguientes afirmaciones es(so~) verdadera(s)?
II) ·12n es múltiplo de
3/ .
IlI)
Sól61 / Sólo m'< »> S6lo 1 y nI"" S6lo II y m'< .>' 1, By III ','//
1
(\ .- :{
lO
J
n + 27 es múltiple de
3
'.
\
-L
b-:.2')
\ 1.5 L\
-- ~"~', é'.,-,u:"j
.IJJJ
I
•
,
tenerel dígito
24) Si se sabe que A > B > C y una persona debe reunir A. Primero reúne B y luego gasta C. ¿Cuánto le falta-para completar la suma deseada?'
~
1
'12"L L{'" .' fe;
por 6. ¿Qué vaiores puede
1 ¡; !.
20) La temperatura mínima de un día fue de dos gradosCelsius bajo cero y la máxima de ocho grados Celsius sobre cero. ¿Cuál fue la variación de latemperatura en el día?
1
l'
-24 24 84 96 108
/
1,'
Z(Y- X) = O Y-X+Z>O XY +Z>O D) X(Y +Z»O E) YZ+ X>O
\,i(
de la expresión
~/.
p: q =-1
....-.f\
A) , C)
I el valor numérico
-a,
IIl)
1
.'\
de las siguientes relaciones es falsa?
'.
23) Sean'X, Y, Z tres números enteros distintos, tales que X > Y proposiciones es falsa? -J
t, = O, ¿cuál
~') -
0{
! '
18) Sean a, by e números enteros. Si ~,;:> b, b » e y b
1 II III 1 y II II y m.
A) { 1,2,3 } B){A, 6, 9 } C) {3, 6, 9 } 2, 5, 8) E) {5, 6, 7 }
I
(a+ b)(a - b) - (a -b)' es
S6lo S6lo Sólo Sólo S6lo
siempre es cierto que
p : q = p" + 1
Il)
22) M = 12C4 representa a un número de 4 cifras divisible C para que se cumpla la divisibilidad?
I
"
',,::..
2a + 2
a' e < O ,/. B) b: a = O C) a' b = b ~ b+ c c O
!
I
'"
\...J
-2a + 2 -4a - 2 -6a- 2 -2a-2
A)
II
1,
x) 1 } = O, es
tales, que p < q , entonces
1) P - q = -1
¡
I
"'"Zx.
1 2
? c( 1:1) Si b es el sucesor de a, entonces ::. '1 ::1
)
.'
siguiente igualdad -{ 1 +[ 3 - (2 +
,A) -2 -1 C) O
"
.
>;j
'"'/>
y 3 Y 9 6
t; ~16) El valor :e "x" en'la
21) Si p Y q son enteros consecutivos
1
I,
1 II
n
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W l. NUMEROS ENTERpS
Q
')1
)
\
..•..
-,
v.
o
~ "
'.0
\~.1'f)]
,_0 /.-
<')
--'"
...•
_.~.,-------
:--'-_--=~,.
29
'r
PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemática
26) La relación a > b»
e, con a, b,
(2)
Z se cumple si:
C E
a> e y b > c/ a ~ b ya> O
(1)
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 2, NÚMEROS RACIONALES 1
Ii
CAPÍTULO
t
.
~(%-~J=
1)
A)' (1) por sí sola /
B) $.\~') D) E)
l'
I
(2) por sí solav' Ambas juntas, (1) y (2)"<. / Cada una por sí sola, (1) ó (2) / Se requiere información adicional x,
27) Dado que
X.E
XZ
(1)
I !
es positivo.
I I ¡. '4
Z, ¿es a +
E)
(1)
1 .
'!a-=- tres 'frrl:par /
!'
(2) a.: b'", .6..---: A) B) C) ~ E)
(1) por sí sola
1,
(2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
;2-4=·0 .
(2)
x'
t:'"
-J...?"':;. 1--\
I
-r-
x? _V ~ 'y'
'\
<
::.I~
l'. 'Z,L_ ~')'"
l
x.. .
-:: (j
I
<0
30) Podemos determinar
el número total de personas,
.r-::
1
-~
----
el el el el
.....J
~\' de términos P/{~os
numerador aumenta, denominador aumenta. numerador disminuye. denominador disminuye
aumenta
$U
,vator si:
\\ j
_.5
-<-
/
V
r\}' \\
~T \I
~\~ ~\~
'--.....5
~.J.\,\:
-'"
"0~,
~
A)
'4
B)
'9
C)
'9
D)
2:
E)
'3
2
5
que asiste a una fiesta si:
y quedarían nueve varones sin dama. (2) cuando todos los hombres quieren bailar, faltan nueve damas.
J'
25
A) Sólo 1 B) Sólo 1 y II Sólo 1 y III Sólo 1 y IV E) Sólo II y IV
r
y varones,
,
~~\
1
,entre damas
t·
~ son niñas, Si a mediados deaño entran al curso 5 niñas más, ¿cuál 8 será ahora la fracción de niños del total de alumnos del curso? ,
f,\
(J
~\
'
.-.,c:~ ....•
-",r :.J,_;
3) En un curso de 40 alumnosIos
;«;
A) (1) por sí sola (2) .por sí sola C) Ambas juntas, (ll.y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
I
~c.\
r
'~)
I
X:::.;2
= -8
.
.C)
29) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión x' (1)
1) II) III) IV)
.
,..'""
2) Una fracción
1
impar?
1-
1 35
9 D) 15 1
I
~!,-',= ~/
E
t
1
A) (l) por sí sola ~ (2) por sí sola C). Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere inf.1mación adicional 28) Si a, b
B)
(Q)
__ 1='~--'-~"
J... 165
I
.(2) 2x es 'positivo /
'.
A)
¡
Z. ¿Es x positivo?
2, EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Test N" 2: Números racionales 1
(1) es posible formar quince parejas entre los presentes
.•
B) C) D) E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola Ambas juntas, .(1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
It
.1
1
1
4). Una barra de aluminio' mide 0,5 m. Por efecto de los cambios de temperatura, dilatado en una centésima parte de su longitud. ¿Cuánto mide alas. 16 h?
a las 16 h se ha
0,51 m B) 0,55 m C) 0,505 m D) 0,555 m E),O,5005m A)
RESPUESTAS CORRECTAS
I
I
1 ,
30
31
11
'~
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemdtica
5)
PRIMER EJE TEMÁ
Si n es un número entero negativo
distinto de -1, ¿cuál de las siguientes
fracciones
es la mayor?
¡
•
n
1.-
;;:-
-
B)
-
e)
-
D)
18
E)
13 18
--q-
A
= .!.
2 verdaderats)?
¡Ir
b
'~
7
y e = ~ , entonces
~"
¿cuál(es)
de las siguientes
l) a+ b c c
II)
~ B) 'e) D) E) j
7)
"¡
Sólo Sól~ Sólo Sólo r, II
l II III l y ,II Y UI ,
proposiciones
i '.~;..:±~~
b
2
!"-
i
es (son)
J-
'3:" Z, • "', -r.~
-:-,.
J
-1':7
<, ,:--
~
"\'-t
2.. \?
I~
'{.:,
~_,_
-;"1
'
t.,~
.'
.,'0
b -
III)
A) B) C)
.2
::::".
.--;
D) E) un noveno su
E) 9)
A) B)
C) D)
E)
32 ; :1
l'
8.000 4.000 3.600 2.000 1.000
\
"
.,'
se componía
~) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44
2
5 de los alumnos.
el curso?
'2. ;-,.~
""" r-:
..1
13) ¿QUé' precio tiene una mercadería si los~ . . ,3
de losl 4
--
"'"
•..
\ ¡~!;
,.
2.: ..\';:'.
\.
de ella
__
\3
Si ese día asistieron 24 alumnos, ¿de
~11 .~:;... ...• \ ......:.-
~~
R'
_ ,V..':;
-------_._~.
,,1
valen $7.500?
A) $9.000 ,B) $12.500 C) $15,000 D) $17:500 E) $24,000
100° 20° 80° 40° 60°
Un estanque'tiene ocupadas sus tres octavas partes con agua. Si agregándole hasta la mitad del estanque, ¿cuál es ,su capacidad?
'-='.
12) En un curso, un día faltaron a clases los cuántos alumnos
':',"
2. .. i\:?
?
260 120 '60 30 No se puede determinar
...::'
8) En un ó. ARe, un ángulo interior mide x", el segundo mide l O" más que la 'mitad del anterior y el último mide un quinto de lo que mide el primero. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor ángulo interior?
C) D)
5,:,;,'
sólo una hija. ¿Cuántas madres hay en el grupo?
aumenta en un noveno. disminuye en un noveno. aumenta en un décimo. aumenta en un quinto. E) aumenta en dos novenos
B)
\
,
En un triángulo rectángulo isósceles, ambos ángulos interiores agudos disminuyen medida. Entonces la medida del tercer ángulo interior del triángulo resultante
A)
5 9
.
A) B) -C) D)
!'
9
11) Enun gr~po de madres, ~ de ellas no han tenido hijas, un sexto. t~vo melliz~s y las 26 restantes tienen
, I
e
NÚMÉROS RACIONALES 1
5
n -
Si a
N° 2.
4
l D) n-l
6)
Test
2 9
A)
1 e) - n'
E)
I
10) Un partido de fútboi se desarrolla en dos -tiempos de 45 minutos cada uno. ¿Qué fracción del partido resta cuando han transcurrido 20 minutos del segundo tiempo?
. - -L
A)
rrco
500 litros el agua ocupa
14) Te~emos 6 botellas llenas y 4 a mitad de,capacidad, todas de lit, que contienen aceite. Para envasar
1 dicho aceite en botellas
litros litros litros litros litros
I
A) 5 B) 6 C) 10 D) 11 E) 12
__ L
botellas botellas botellas' botellas botellas
de -
2
. 4 litro ocuparemos
,
'
"
.' 33
I:i, PSU. Cuaderno
1)11:
;!
de Ejercicios.'
15) Una persona A)
¡I ¡IIo
2
PRIMER EJE TEMÁTICO/Tesl
Matemática
compró
dos séptimos de 3+ docenas de naranjas.
¿Cuántas naranjas
20) En un estanque de 17
compró?
B)
1+ . docenas
A) 8t
C) D) E)
1
B) 9t
*
docenas 1 docena 1. naranja
D)
"l
41.;
E) 8t
B)
4~
,
C)
41
D)
5~
E)
Y'"
21)
51
ac c c b B) b > a'> e C) c o b c- a
.
¡U~
'1
\
~j,
-r>
.'
.,'
?~' -
A)
4
B)
S
\
'
C)
~'\C) ,
D) a+c=b E) a =,b -cc
,,:>"';9·, -,5 -,7
5
7
) 4' 6'9'8
7
'")"-"
.
¡
I
-
,•.....
7
73
E)
3
~ 3
4' kg
de
'
U'
'
,
... \
\
-y~::
E)
5 49
c.
_. __
1.
c....)
!-
<.
o:.
j¿; i
z,
'~
C;
"
\ L¡
:J
-:
! .~.
..:.._
\.!."l.
A)
'2
B)
2
C)
8
D) El
8 1
2
1 Y q = -, entonces,
4
de las siguientes
.
,
' expresiones,
' ¿cuá1(es) equivaletn ) a un número
.8p
.'
1) (p + q)(p - q)
II)
6pq
III) 3q
/'
l~
i (0
Sólo B) Sólo C) S610 D) Sólo E)r',IIyIII A)
)
..c---
?::
'2
,
34
,]
3 4
23) Si p='3 entero?
de azúcar se pueden hacer con 3 sacos de 40 kg cada, uno?
A)
90 B) 120 160 ~ 210 E) 280
...,..
-
5
.
9' 8' .4' 6
19) ¿Cuántos paquetes
~
1
'J;..,
3
9'8' 6' 4 7... ,7... ~
\~I
1
~ 8' 6' 9',4' 775
..
~.).
22) ¿Cuánto, es la mitad del recíproco de 4?
-r
D)
'!J
~-
,L
D)
5
) 8' 9' 4' 6 757
..:....:-~_....
3,
Il
"
""-
B
,1'
- -,\ -
'\
!o i'!
.7 -1
-:).
.;.....:..--¡
-'\-
'"
equivale a
1+ ~ 3
49
" , -7 or dena d os d e mayor a menor son
4 6 8 9
3
litros tenía el
4
~(1):Zll.c:>::.
.. ,(~
. l es ,3-, 18) L os raciona
¿Cuántos
.'
entonces; con respecto al orden entre ellos, la alternativa correcta es . , " '
117~\'
-1 1 - ~ 3
S
.
j 42 70 56 ;. i\ . . "( 17) Si a = -; b = -; c = -, , 147 245· 159
A
5 - .!. , __ 3
1 3
2+-
'A)
litros parallenarlo.
9+
A)
il1:
8-ili
C) 8+
1
1
litros de capacidad, faltan
estanque?
docenas
16) Si a cinco enteros un medio se le suma el producto de tres 'octavos por cuatro quintos, se .obtiene
!1
t
N° 2, NÚMEROS RACIONALES 1
1
TI III 1I y III
1
_,'o.
,Q,
»:
35
Al
...
PSU,
Cuaderno de Ejercicios,
24) El valor de
3
2
_4__
5_
7
8
10·
15
es
-
B)
21 10
C)
-
rI
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 2, NÚMEROS RACIONALES I
27) -Si a, b y e son tres númerosracionales.positivos, (l)a-b=
(2)
¡
¡.
6 5
Al !,
.1 -2
(1) P + q< O (2) p> O
-4
convierte In tiros y falla n. ¿Qué fracción de sus lanzamientos convierte?
A) (1)por sí sola B) (2) poi sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) (2) E) Se requiere información adicional
m !
=
1:q es negativa. si:
28). La fracción
2
25) Un basquetbolista
1, ~
a - e
A) (1) por sí sota B) (2) por sí sola . C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) E) Se requiere información adicional
1
E)
¿cuál es el menor?
1' 4
9 28
A)
D)
Matemática
m+ n
ó
m-vn . B)
m+ n
D)
2)9
x y
-
C)
.7·. . =-, ¿cuál es el.valor de a?
3
(1) 3a = 4c
m
(2) e
m n
(1)
1
"2 kilo
=
3
2
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
de durazno s?
3+ kg valen $\.950 . 30) Seanx
(2) 2 durazno s valen $200
E)
c
-
26) ¿Cuánto vale
cr D)
1 --
m-n
E)
A) B)
Si a+c
e y enteros no nulos. La fracción
2'. y
representa
un número entero positivo,
si:
(1) le e y tienen el mismo signo (2) y> O 1\ X es múltiplo positivo de y
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) Se requiere información adicional
A) . B) C) D) .E)
(1) por sí sola . (2) por sí sola Ambas juntas; (l) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere. información adicional
!,I
RESPUESTAS CORRECTAS
I
l
36
37
'1 1" .l...
¿e§
- ,--
1, :
1,
PRIMER EJE TEMÁTICO'
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
l'
! TEST N° 3: Números
I
i
racionales
r
II
'2. A)
0,58
B)
31 1.000
e) D) E)
2) Si
la edad de Pablo .es la edad de María?
l·
'
0,327 0,427 3,28 n
r
¡,
2n 2n + 1 representa siempre
3{6
A) B) C). D) E)
Sólo Sólo Sólo Sólo I, II,
.I yII II y III ' III y IV II, III Y IV, III Y IV
[¡
-'(5
. ~ +
6t 1
3' - 12 1
'4
I A)
TI)
I) O,2~
1)] - 3' : 2
4 16
E) III)
2' 8
IV)
8 32
e) D)
=
I
E)
-'9
¡
O 1
4 1 5
3
8) Por los tre~ octavos de una torta se pagan $4.500, entonces por los cinco sextos de la misma, se debe pagar A) $10.000 B)
51
$8.000
C)$12.000
4 B)
2+
e)
4
I!
A)
B)
8
1 7)
3), ¿Guáles de las siguientes fracciones son equivaientes?
4)
-
E)
A) un número impar. B) un número par. e) una fracción impropia. D). un número mixto. E) una fracción irreducible.
i
3
A)
D)
. es un número natural, entonces la expresión
[1
6) La edad de Susana es cuatro veces la edad de Pablo y' 1t veces la edad de María. ¿Qué parte de
+ ~ + ~ = 10 100 1.000
1)
Test N03, NÚMEROS RACIONALES
67
D)
$7.250
E)
$9.000
4 9) 0,875: 0,625 =
C)
69
A) B)
1,6 1,5 C) 1,4 D) 1,3 E) ,1,2
8 D)
15 4
E)
3 8
5) 0,000002' A) B) e) D)
E) ;38
L
10) Si, P
= 0,001;
Q
= 0,01
Y R
= .0,1;
entonces el valor de P + QR es
A) 0,00101 5 . 10' =
500.000,2 10,0. 2,5 1,0 0,1
B)
0,0101
C) 0,0022 D) ,0,002
E) 0,0012
39
t ': 11)
0,42
=
A)
14 33
B)
-
i
rI
de ·Ejercicios. Matemática
PSU. Cuaderno
1, :
I
21
I I
SO
jt
1:
33 C), 14
1:
19 0)5
1I
E)
A)
,
1'
_4_ 3 - .! 3
I!
8 3
I¡
3 B) 2
r 11
7
C)
'2
I
4 D)-;¡ 3
E)
A) 3,500 4,500 B)
'7
13) ¿Cuántas veces 0;01 es iguala
13.750 ' C) -7D) 5,000
1,01?
A) B) C) D) E)
101
C)
110
D)
1,01
E)
0,101
A) un octavo B) un cuarto 'C) un medio D) cuatro
40
, ~,
'
'
ocho
S610 Sólo S610 Sólo I, II,
TI)
0,123
III)
4,0156
IV)
5,01001000100001..,
Ly IV I yII II y III I, II Y III III YIV
tercera es
2. 5
es
del total. Si sobraron 80 cm, entonces
2 15
'2
del total, la segunda
es
'9
del total, la
todo el cordel medía
A) 360,cm B)' 3,2m C) 0,0018 km D) 2,700 rnm E) 0,0018 m 18) La mitad de un tercio de 11. es lo mismo que 8
Al
-
Bl
6 10
C)
D) E)
i4) 1 : (0,125tl
E)
Otro valor
17) Un cordel se corta en cuatro pártes: la primera
A) 100 B)
-:;
1) -2,73
2 5,-
una camisa son $1.500, Entonces, el '
16) ¿Cuá1(es) de los siguientes números. es(son) racional(es)?
19
12)'1-
~,
15) En una liquidación de temporada, los ~ de los ~ del preciode , dee Iaa camisa, cami 3 14 precio en pesos, es
E) "
S
PRIMER EJE TEMÁTICO I TeSI N"3, NÚMEROS RACIONALES II
10
1 20, 1 5 5
11) Si n . 10-3 = 10-4, entonces el valor de n es A) 0,0000001 B)'
0,000001
C) , 0,00001 D) 0,001 E)
0,1 41 '
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
20) Un bidón contiene los dos tercios de su capacidad con bencina, Si se sacan de él 2,5 litros, 5 _ quedan de su capacidad. Entonces, para llenarlo hay que echarle . 12 , o
A)
r
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 3, NÚMEROS RACIONALES 11
2., entonces .'
24) Si ~ = b 2 A)
5
6'
_ litros
C)
2+ litros
D)
4t
litros
1)
E)
5i
litros
A) B) C) D) E)
derrumbada es ~ de su altura original. 8 .
¿Cuántos centímetros de ladrillo habrá que levantar para darle
a la pared su altura original?
de las siguientes
Sólo Sólo' Sólo ~ólo 1, II
es (son) falsafs)?
0,01 > 10-2
III)
0,009'
0,1 .;. 1,1 • 10-2
(1) Hay 8 niñas más que niños. (2) Los niños son los
C) 36 D) 48
3.
de las niñas.
3 A) B) C) D) E)
E) 60
A)
II)
1 II III II y III Y III
B) 24
22) 0,555 ... + 0,777 ...
afirmaciones
(-0,9)2 < 0,1
26) En un curso mixto de 40 alumnos, ¿cuántas niñas hay?
A) 12 1,
es igual a cero?
2a - b
25) ¿Cuál(es)
21) Se derrumba una pared de ladrillos quedando sólo de una altura de 36 cm. Se nos dice que la parte
1
siguientes
B) -2a - b C) 2a+ b D) a - 2b E) a + 2b
10 litros
B)
¿cuál de las expresiones
=
0,12
B) 1,2
27)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cadauua por sí sola.Tl)ó (2) Se requiere información adicional
¿Qué fracción" dei triángulo equilátero ABC está sombreada - (1) AE
C) 1}
en la figura adjunta?
= BE
(2). DE J.. AB D)
1,32
E) lt 23) Una deuda de $a se cancela con $b al contado y el saldo en 12 cuotas iguales. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa el valor de cada cuota? a - ~ 12
B)
~-b 12
(1
a _ ab 12
(2)
C) D)
a ~ b 12
E)
~ab 12
~B D
A)
o
42
A) (1) por sí sola B )(2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiei:e información adicional 28) Se puede calcular el valor de x sabiendo que: )
1
_
2.
3"x - ~ 1
A) B) C) D) E)
x·
x
- 1, siendo x "" O
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) Se requiere información adicional
43
PSU.
Cuaderno de Ejercicios,
29) ¿Cuántas
personas
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 4, NÚMEROS REALES
Matemática
trabajan en una fábrica?
CAPÍTULO 3. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R) Test N° 4: Números
4' (1) Los - son varones, , 7 (2) Hay 210 mujeres, Al B) C) D) El 30)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas; (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
(..fi": J3)'
1} El número A) B) C) D) E)
La fracción ~ no se puede simplificar si: b (1) a yb son primos entre sí. (2) el máximo común divisor entre a y b es uno, (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
A)
es
un número entero un decimal finito una fracción impropia un decimal periódico un decimal infinito no periódico
, 2)' Un número racional A) B) C) "D) E)
reales
.J3
+
comprendido
entre
.J3 y 15
es
15
,
2
B)
.J3 - 15
C)
.J4,
2 D) 1,7 E) 2,3 3) Sea Q el conjunto de los números racionales, I el conjunto de los números irracionales y IR el , conjunto delos números reales, ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? l) Q
I
A) B) C) D) E)
Í\
Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo
I=IR
H)
QuI=IR
I1I)
lRnI=!
I. H, III. 1 y H, II III.
y
4) En la espiral de raíces cuadradas que se muestra en la figura adjunta, con los datos indicados en ella, ¿cuál(es) de los siguientes segmentos tiene(n) como medida número irracional?
un
l) AB II)
AC
III)
AD
A) B) C) D) E)
Sólo 1 y n. Sólo II y III. Sólo l y III, l, II Y HI. Ninguna de las tres.
y 2
D
2
X,
RESPUESTAS CORRECTAS
44
45
PSU. Cuaderno
Matemática
de Ejercicios,
Jl2
5) El número
puede interpretarse
r
como:
1) La altur~ de un triángulo equilátero de lado 4 II) Una solución de la ecuación x' =a 12 Ill) Un número irracional comprendido entre 2 y 3 A) B) e) D) E)
Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo
I II
m
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 4, NÚMEROS REALES
10) Sean a =-2
El
1 y II ' IIy. III
1)
De las siguientes II)
corresponde(n)
a númerofs)
Bl
expresiones:
3N
III)
JP .JP
irracional(es)?
A) Sólo 1 B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo r. Y II E)· Sólo I y III
I il
primo.
p.J2
¿CiIál(es)
7) Dado que x A) x' B) x' e) x' D)x' E) x'
li
¡¡ !¡
-
Al
9) ¿euál(es) 1)
A) B) e) D) E)
.j::¡ +
1., entonces ¿cuál de los siguientes
números no es irracional?
comprendido
entré O y 1 es
.J2
1
"7
Dl 0,5 El
0,999
13 l El hecho que, para todo par de números reales
es positivo
entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones
II)
(
¡J
siguientes
es(son) ~ .
III) -a es irracional
es racional
I II I yII I y III Y III
de los siguientes
1 II III I y III II y III
.
números es(son) irracioIÍa1(es)? . II)
..fi
+
7..fi
.
III)
.J6 ..J216
--
m y n se cumpla que m + n
= n+
m se llama
propiedad aditi va. . B) propiedad conmutativa de la adición en IR.' el clausura para la adición en IR. D) ley de cancelación para la adición en IR. El propiedad asocia tiva de la adición en IR. A)
14) Dados los númer~~ ellos es
.
.J2.-.Jl8 Sólo Sólo' Sólo Sólo Sólo
- 1 O 1 -mnx . mnx
2
- x ~ 1 - 2x
A) Sólo Sólo e) Sólo D) S'ólo E) 1, II
pertenece a lR-?
Bl~.J2 ~ J3
+
B) 1:.
el D) El
el
(-a)'
¿cuál de los números siguientes
-a -b
12l Un número irracional
8) Si «a» es un número irracional, verdaderats)? 1)
=-..r:;.,
11 l ¿Cuál es el inverso aditivo de -n ; In . x ? Al
6). Sea "p" un número
y b
A) ab B) -(a)(-b) el b~a r» (-bl - (-a)
reales
a
=/J3 -1/,
b=
¡
y ~
= ¡3(.J2 --J3)¡.
El orden creciente
entre
A) a < b < e B) a < e < b C) b
1
1
1
O
p
Q
1
•••
46 47
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
Matemática
: 'de va l ores num érincos rea l es para l os cuales l a expresi ió n (x-2)(x-4) 1 6) El conjunto 2 , ',x -36 nida' es: ' A)
!!Q esta, d e'f'1-
(6)
(2,4) C) (-6) D) (-6. 2. 4, 6 ) E) (-6,6
r
B)
i
se mide por un número racional. el lado deJ cuadrado inscrito está
-.J5)
es
B) Z C) Q
I
B) C) D) E)
,1
i'
A)
Sólo B) Sólo O) Sólo D) Sólo El Por
la· 106 10 !O" 25· !O' 25' la' 25 '106 ó
,
,
ri
C)
(~)
D)
.J3 .fíi
E)
A) B) C) D) ,E)
2
)0,999 ...
1)
l
J
de las' siguientes
1) (0,05)' A) B) C) D) E)
Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo
672· 67,2' 6,72' '67,2' 6,72'
26) ¿Cuál(es)
21) ¿Cliál(es)
I II III I y II II y III
expresiones
II) por por por por I,Il
25) 0,000000672
..f9OO
B) ')0.04 l'
Fa
1) A)
20) ¿Cuál de los siguientes números no es racional?
:1
a 5,033f
JuJ,
19) Si x = 5 . 10'. entonces x' =
I ,i
es equivalente
24) Si a = ¿por cuál de los siguientes números puede multiplicarse un número racional?
D) IR E) Otro
1:
siguientes
A) 502 + 33 B) 5· 10 +30 + 3 C) 5· lO' + 33 . la' D) 5'10'+3'10+3 E) ,50 . la' + 33 . 10
A), IN
A)
circunscrita' al triángulo.
I II III 1 y II I y III
23) ¿Cuál de las expresiones
18) El primer conjunto del cual es elemento la expresión - (2
¡
1) El perímetro del triángulo" II) El diámetro de la circunferencia IJI) El área del triángulo.
A) Sólo Sólo C) Sólo D) Sólo E) Sólo
A) racional. B) irracional. C) entero, D) cuadrado perfecto. E) ninguno de éstos.
,r
22) Dado que la altura de un triángulo equilátero está medida por un número racional, ¿cuál(es) de 'las siguientes magnitudes debe(n) estar necesariamente medida(s) también por un número racional?
B)
,
17) Si el radio de una circunferencia dado por un número:
PRIMER EJE TEMÁ TIeO I Tesl N" 4. NÚMEROS REALES
es(son) II)
equivalentets) 10-1
a la quinta parte de 0,05? I1I)
0,01
I
A) B) C), D) E)
-JW
I1I) 10
1
Il III I ó II ó III
=
10-6 10-6 10-<> 10-7 10-7
de las operaciones
..fi+ z-Ii Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo
«a» para dar como resultado
siguientes 'da(n) como resultado II) ,ifi
' ifi
un número irracional? III)
.fi+J2
fi+..fi+..fi
1 II III 1 y II II y III
48 49 ;fiEb
.
._
r
. PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'
' 27) S·1 a, b y e son numeros rea Ies, entonces 1"' a expresión ,
.ra
b·c
representa
'1 un numero rea
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 5, RAZONES Y PROPORCIONES
I
.
SI:
CAPÍTULO 4. RAZONES Test N° '5: Razones
Y PROPORCIONES y proporciones
(1) a es no negativo. (2) b Y e son distintos' de cero. A) B) C) D) E)
1) Un A) B) C) D) E)
(1) por sí sola . (2) por sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una poi sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
sí
28) Para determinar
si el número x es un número irracional' se sabe que:
2) Las masas de dos personas están en la razón de 2 :'3. Si unade ellas tiene 23 kilogramos que la otra, ¿cuál es la masa de la más liviana?
(1)' x tiene un' desarrollo decimal infinito. (2) x es igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado'. A) . (1) por sí sola B) (2) por sí sola . Cl' Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (I) ó (2) E) Se requiere información adicional 29) Para determinar el valor del producto de los números
,
1 •
A) B) C) D) E)
36 46 S6 64 69
A) (1) por si sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola; (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
más de masa.
kg kg. kg kg kg
3) Dos ángulos suplementarios A) 22,S· B) 30· C), 4S· D) 67,So E) 90·
reales a y b se sabe:
(1) el inverso aditivo de a' es a y 2b = 1. (2) b es un número racional posiiivo y a no tiene inverso multiplicativo.
están en la razón 3 : S. ¿Cuál es la diferencia p~sitiva'entre
sus medidas?
4) Un kilógramo de queso "La Vaquita: salada" cuesta $7.200. ¿Cuánto se debe pagar por 125 gramos de' estequeso? . A)
39) ¿Está el número x = a: . 10" escrito en notación científica?
$450 $720 $800 $900. $1.800
B)
C) D)
(1) 1:S; a < 10 (2) ne Z A) B) C) D)' E)
padre tiene 42 años y su hijo 18 años. ¿En qué razón están las edades del hijo y del padre? 3:.4 3: S" 3: 6 3: 7. 3: 8
E)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) -ó (2) Se requiere información adicional
,5)
En un mapa "a" centímetros corresponden a 3.000 metros. ¿A cuántos metros corresponden metros del mapa?
"b" centí-
A) ~ 3.000 B)
3.000 ab
C)
_a' 3.000b
D)
3.000a
E)
3.000b a
b
-~ 50 w
$1 __
'•....
o
_._,
__
A&.~
_
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 5, RAZONES Y PROPORCIONES PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
6)' En un liceo mixto de 1.540 alumnos,
880 son varones.
¿Cuál es la razón entre el número de
A) 1 : 2 B)
11) Si 5m
= p ; 5q = 2r
1: 3
C) 2: 3 D) 3: 4 E) 3: 5
12) La media proporcional 7) Dos números enteros están en la razón 2 : 7. Si la suma de ellos es -36, ¿cuáles son los números? A) . B)
-7 7
Y 29 Y -29 C) -8y -28 D) 8 Y -28 El -lO.y -26
8) Sean a, b y e números enteros tales que "e" es la quinta parte de "a" y "a" ese! relación
doble de "b", La
correcta entre b y e es:
Sb = 2c 2b = lSe e = 2 : 15 e) b 5 = e : 2 D) b e = 1 : 10 E) b
A) B)
l.
9) Si ~
2'
m
1)
k m
m: q =
de las igualdades n
=
q
l.
n. 1Il. 1 y III. Y Ill.
10) Si x : y = 1 : 4, ¿cuál es el valor de (x + y) cuando y = 1?
siguientes
.
es'(s;n)
.
verdadera(s): III)
p
= 2q
entre 18 y 72 es
2, entonces 3'
13) Si se tiene la proporción ~ b como correcta(s)? ...a -. -
5
= -2
b-a
3. = ~ ,entonces p 4
geométrica
A) 18 B) 27 C) 36 D) 45 E) 5:1
1)
II)
n=p
A) Sólo B) Sólo C) Sólo D) Sólo E) 1, II
~6 Y
y p = r, entonces
0,25 B) 0,5 C)1 D) 2 E) 4 A)
damas y el de varones?·
A) Sólo Bl Sóio C) S610 D) Sólo E) Todas
II)
a b - =3 5
¿cuál(es)
de las siguientes proporciones
.
III)
2a 3b
10
=-
9
IV)
se deduce(n)
a-b -=a:+ b
1 4.
III 1I y III 1 y IV 1, II Y IV
14) En un estante, los tarros de salsa de tomate con champiñones y los de salsa de tomate con pollo están en la razón de 9 : 10. Si' se retiran del estante 38 tarros de salsa con pollo, la razón se , invierte. En tal caso, los tarros de salsa de tomate con pollo qu.e había antes del retiro, en el estante, eran A) B) e) D)
E)
20 100 '162 180 200 .
.5 A)
'4
B)
2:
5
3 C) 4 D)
.!.
E)
2 5
15) Miguel y Oscar tienen estampillas cuyas cantidades se encuentran en la razón a: b. Si Oscar tiene 15 estampillas más de las que tiene Miguel, y éste tiene a estampillas, entonces 1(1 cantidad de estampillas que tiene Oscar es A)a + 15 B) b - 15 15a
e)
-
D)
15a b-a
a-b
lSb E) a-b 53 52
\I! PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'
I¡ ti
11I·J
q
16) Alberto, Bernardo y Carlos forman' una sociedad. El capita] aportado por Carlos está con el capital aportado por Alberto y Bernardo en la razón 1 : 1 y además se sabe que Alberto aportó $1.400.000 y Bernardo' $1.600.000. Entonces el capitaltotal de esta sociedad es de ' A) $1.500.000 B) $3.000.000 C) $6.000.000 D) $8.000.000 E) $9.000.000 17) La suma de dos números números?
A)
8 B) 18·· C) 21,6 D) 48 El 28
!l'il
1
1':
~
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N' 5, RAZONES Y PROPORClONES
Y y. Y Y Y
es 108 Y. ellos se encuentran
en la razón
de 1
5. ¿Cuáles .
22) En un mapa 2,5 cm representan A) 144 km' B) 1.440 km' C) 14:400 km' D) 1.480 km' E) 1.448 km'
30 km. ¿Qué área representa
un cuadrado
23) Un árbol de 3 m de altura da una sombra de 60 cm. Si se mantiene sombra de un árbol de 4 ID 'Será
son ios
20 64 Cl 80 D) 106,6 E) . 160 A)
B)
100 90 76,4 60 80
de 10 cm de lado?
la razón altura/sombra,
cm cm cm cm cm
24) El perímetro de un rectángulo es 120 cm. Si los Iados están en la razón 1 : 2, ¿cuál A) 80 cm' B) 800 cm' C) 3.200 cm? Dj 320 cm' E) 1.600 cm'
18) ¿Qué número debe restarse de 9 y al mismo tiempo sumarse s.s. para' obtener dos números que . estén en la razón 3 :. 4? A) '1 B) 2
C) 3
la
es su área?
D) 4
E) 5 25) Las edades de Paula y Francisca están en la razón 7 dos años más, la razón .entre sus edades será
19) Si 3p - 2'= q 'y p:. q= 1 : -2, entonces ¿cuál es el valor de p? 2
A)
"3
B)
~
tiene 18 años, entonces en
A) 7: 9 B) . 9 : 11 C) 1: 2 ,D) 7: 10 . E) 4.: 5
2 C) 2 D) 4
E) 6
1
9. Si Francisca
20) Al restarse.16 del quíntuplo de un número, se obtiene otro que está con el original en la razón-3: ¿ Cuál es el número 'original?
26) En una canasta conteniendo 80 huevos entre 'blancos y de color, los huevos blancos y los huevos .de color están en la razón de 2 : 3. El número de huevos blancos que falta para igualar el número total de h~vos blancos y de color es:
1.
A)
12 16 C) 32' D) 40 .E) 48.
19 B) 8 A)
B)
C) 5 D)2 E) ~8 21) En un mapa, la distancia, entre dos ciudades es de' 36 cm y Ia distancia real es de 288 .km. ¿A qué - escala fue diseñado el mapa? . A). B) C) D) E)
1 : 1 1: 1 1:
800 8.000 80.000 800.000 8.000.000
's4 55· __ .__.
Sf:-
r
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
I
27) Si 2a = 3b Y 5b = 7c, entonces ,¿cuál es el valor de e?' (1)
I a = 5
(2) .: a
PRIMER EJE TEMÁ
. .
C) D)
,(2) Las niñas del curso son 12.
E) A) B)
: 3,
(2) 'El volumen de la caja es 840 cm', (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola,(l) ó (2) Se requiere información adicional
30) Con respecto
a sus ángulos interiores,
CID,
¿Cuál es el área de la cara sombreada?
( ,le
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una .por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información ,adiciorial
"x" e "y" son directamente'
pro-
+
y=x y x+.y':"-I , Sx - 6y = I
x-
6 13t
huevos de 80 g se necesitarían?
.' •
l
¿qué clase de triángulo
es el D. ABC?
D)
15
E)
15t
4) En la tabla siguiente se muestran los valores de x e y, -donde x es directamente proporcional con y. ¿Cuáles son los valores de P y Q? • ' A) P = 40 B) P=18 C) P,=20 D) P = 40
b
(1) Sus ángulos interiores están en la razón 3 : 7 : 8 (2)' El mayor de los ángulos interiores mide 80° y el menor de los ángulos exteriores, mide 100° A) B) C) D) E)
las variables ,
C) 12
Las aristas de la caja de la figura miden a, b y e
A) B) C) D) E)
relaciones matemáticas, .
3) Si para hacer una torta,se necesitan 9 huevos de 120 g, ¿cuántos
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) , Cada una por sí sola, (1) Ó (2) E) Se requiere info'rmación adicional,
= 5;7
.
hay que pagar por 54 manzanas?
A) xy = k B) 2x - 3y = O
(1) El curso tiene 42 alumnos,
é
.
cuesta $1;200. ¿Cuánto
2) ¿En' cuál de las siguientes porcionales? '
28) La razón entre el número de hombres y mujeres en un curso es 5 : 2, ¿cuántos varones hay?
(1) a: b :
Test N" 6, PROPORCIONALIDAD
A) $3,240 B) $3,600 C) $4,800 D) $5.400 E) $6.000
21
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola e) Ambas juntas, (1) y (2) ¡;:i) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
29)
I
CAPÍTULO S. PROPORCIONALIDAD Test N° 6: Proporcionalidad
1) La docena de manzanas
10
nco
E)
S)
Y Q = 13 Y Q=17 Y Q= 18 Y Q = 18
P = 18 Y
R máquinas
~ ~
, 16 Q'= 9.
demoran N horas en hacer un trabajo. Entonces
3 de las mismasmáquinas
demoran
NR A)
~
B)
R
e)
N
3N
3R
N D) 3R R
E) 3N 56
57
" ,r
PSU. Cuaderno
¡fe Ejercicios,
6) a es inversamente b = l? . A)
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 6, PROPORCIONALIDAD
Matemática
proporcional
al cuadrado de b. Si a
=
5 cuando b = 2, L cuánto vale a cuando
f'
Un bus recorre normalmente una distancia de k kilómetros en h' horas. ¿Cuál sería su rapidez media en krn/h, si ·estuviera autorizado y llegara a' su destino con una hora de retraso?
.5
B) 10 C) 15 D)20 E) 25
A)
7)'~isl," ~f~:[L" V~¡'bl;l~i:'PWi~7:k "
*-
1
Bl
k - 1 "-h
C)
k - 1 h _ 1
D)
k h + 1
E)
h-=1
k
X
X
.:
X·
X
11) El consumo de electricidady de una estufa eléctrica es directamente proporcional al' tiempo x durante el cual se encuentra encendida. Si k es una constante distinta de cero, entonces ¿cu'ál de las siguientes expresiones matemáticas podría corresponder al enunciado?
A) Sólo 1 B) Sólo III C) Sólo IV D) E)
A) y
Sólo I y IV Sólo I, II Y IV
B)
A) A = 27
Y
8 B.= -
B)
Y
.B= 3
y
B= 18
3
Y
B=-
A = 27
Y
B = 18
12
D) A= -
.
E) 9)
9
B)
x
E) y = x:" k x
9
A
2
Y
4
12
B
9
. 2
Un auto recorre. una distancia d con una rapidez constante Y, y demora un tiempo t. ¿Cuál es la rapidez a la que deberá ir si quiere demorar la mitad del tiempo en recorrer la misma distancia? A)
k
Y =-
D) y = kX
¿Cuáles son los valores de A y B?
C) A= 3
k, x
C) y = k, x'
8) En la tabla siguiente se muestran los valores de x e y, donde x es inversamente proporcional con y.
A = 18
¡=
.~
12) ¿En cuál de las siguientes relaciones matemáticas, las variables x e y son inversamente les? .c..
A) B) C) D)
proporciona-
xy = 1 3x + 2y= 6 x- y =O x -l- y = 10
E)' 5x - 2y =0 13) La fuerza centrípeta (f,) que actúa sobre un cuerpo en rotación es directamente proporcional a la masa (m) del cuerpo, al cuadrado de la velocidad (v), e inversamente proporcional al radio (r) de la circunferencia que describe. ESÚI ley se expresa matemáticamente pq,r medio de la fórmula:'
v v
A)
f, = kmv r
2 v
2
B)
f, = kmv r
C) 4 D)
2v
E)
4v
2
C) f, = km v r D)
f, = kmv r2
E) 58
f = kmv" e
-;:z 59
:;.." PSU. Cuaderno
de
Ejercicios, Matemática
14) Una familia compuesta consumo, ~para cuántos A)
15
B)
26%-
PRIMER EJE TEMÁ rico I Test N" 6, PROPORCIONALIDAD
de 4 personas consume $360.000 en 30 días. A ese mismo ritmo de días le alcanzarán $4S0.000 a una familia de 6 personas?
C) 33¡ D)
60
E) 65 15) 8 trabajadores realizan una obra en 12 días. Para concluirla .res más se necesitarán? A)
2
B)
4
6 8 E) 10' )(5) 3 niños comen . niño?
en 6 días menos, ¿cuántos trabajado-
4
6 pasteles
en 2 minutos.
Para comer 4 pasteles,
¿cuántos
minutos
demorará
un.
is
E)
20
D) E)
B) 2 al cuadrado de B. Si A
=
100 cuando B
= 5, entonces,
C) 2¡ D) lt E)
la corriente, expresada en amperes, cuando la resistencia A)
I
60
encuentre
es 500 ohms.
3
5 7.1
C)
-
,
S
3
4
D) E)
31 4
25) Si tres ';ecreta~ias pueden tipear seis manuscritos en doce días, ¿cuántos días tomaría a dos secretarias tipear tres de tales manuscritos?
D) 64 E) 66. 20) Diez libros valen $75.000,
(si el voltaje es
11 amperes,
-
B)
de 30 cm de lado.
una corriente de
15
C) 54
$6.250 $85.000 $62.500 $80.000 $90.000
4
constante). Si un circuito tiene una resistencia de '200 ohmsy
A) '21 B) 36
A) B) . C) D) E)
1.1
24) En un circuito eléctrico, la corriente y la resistencia son inversamente. proporcionales
19) Para embaldosar el piso de una cocina se ocupan 48 baldosas cuadradas ¿Cuántas baldosas' de 40 cm de lado se' ocuparían en un piso equivalente?
I1
¿cuántas
A) 1
0,01 0,5 0,1 1 10
por una copa de cognac,
1t copas de ccgnac?
copas de vino se deben usar en una receta que requiere
18) Si 10 ardillas comen 10 nueces en 10 días, ¿cuántas nueces come una ardilla en un día?
C)
5 15
C) D)
23) En ciertas recetas de cocina, 1t copas de vino pueden sustituirse
1 2 3· 4 6
A) 50 B) 25 C) 20 D) 15 E) 10
B)
menos,
111 .:
B)
17) Se sabe que A es inversamente proporcional ¿cuánto vale A. Cuando B = lO?
A)
si el pedido
22) Se emplean 12 máquinas pata realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de 3 máquinas ¿cuántos días más se emplearán en hacer igual trabajo? A)
C) D)
A) B) C) D) E)
. 21) Una máquina puede imprimir 45.000 tarjetas en 12" horas. ¿Cuántas horas necesitaría 3 .' aumenta en sus -? 10 A) 15 h B) 15 h 6 min C) 15 h30 min D) 15 h 36 min E) 15 h 45 min
luego doce de los mismos
libros costarán
A) B)
e) D) E)
4 9 112 16 36
61
,
,
PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemática
26)
Si 10 caballos consumen 50 fardos de pasto en 3 días. entonces ~l número de fardos de pasto que consumen 15 caballos durante 1 semana. bajo el mismo. patrón de consumo es A)
50 . 15 . 10 --7 . 3
r
PRIMER EJE TEMÁTICO i TestN"7,
CAPÍTULO 6. PORCENTAJE E INTER~S Test N" 7: Porcentajes 1
1) El 18% de 150 es
A) B)
2,7 27 C) 75 D) 108 E) 270
50 . 7 -, 15 B)~ I
50 . '10 . 3
j
C)
]T:7
D)
50 . 15 . 3 10 . 7
E)
50 . 10 . 7 ~
I
27) ¿Cuáles
2) ¿Qué tanto por ciento es 52,5 de, 350? A)
de las parejas de variables
siguientes
son directamente
proporcionales?
¿Cuántos días necesitarán misma obra?
,5 hombres.
trabajando
E) 3)
6 horas
diarias
para hacer' 60 metros '
de la
proporcionales
si:
A aumenta. B aumenta. (2) Cuando B disminuye. A disminuye.' A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas. (1) y (2) D) Cada una por sí sola. (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
1
¡I
I !.
30) X e Y son inversa mente proporcionales
~
125 100 + P
C)
p + 25 100
D)
P + 25p 100 l25p
E)
el 25% de ellas están resfriadas. ,
si:
Las personas
no resfriadas
son
,
A) 2 B) 4 y es una hipérbola
(1) por sí sola B) (2) por· sí sola C) Ambas juntas. (l} y (2) D) Cada una por sí sola. (I),ó (2) E) Se requiere información adicional
A)
RESPUESTAS CORRECTAS
62
B)
5p 4
5) En una familia de 8 personas.
(1) X . Y = K 11 K es una constante. (2) El gráfico de la relación entre Xe
H; '1
4) El 25 % de p sumado a p se expresa A)
(1) Cuando
I
$125 $375 C) , $475 D) $625 E) $275 B)
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola' C) , Ambas juntas. (1) y (2) D) Cada una por sí sola. (1) 6 (2) E) Se requiere información adicional si A y B son directam~nte
183.570/0
Una persona tiene $500 y gasta el 25%. ¿Con cuánto se queda? A)
.
(1) 3 hombres trabajando 8 horas diarias han realizan 80 metros de la obra en 10 días. (2) Más hombres demoran menos días en hacer el mismo trabajo.
determinar
66.6%
D)
r»
29) Podemos
1.5%
B)6.6% C) 15%
A) El área de un cuadrado y su lado. B) Li. longitud' de una circunferencia y su radio. C), El volumen deun cubo y su arista. La estatura de una persona y su edad .. E) E, Mea de un círculo y su radio., 28)
PORCENTAJES I
equilátera
C) 5 D) E)
6 8
6) El 40% de un número es 260. El 70% del mismo número es A) 104 B) 182 C) 260 D) 455 E) 650 63
PRIMER EJE TEMÁTICO ITest N" 7. PORCENTAJES 1
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
7) Un niño aumenta su masa de 15 kg a 18 kg. El porcentaje
12) Una secretaria que escribía 60 palabras por minuto aumenta el porcentaje de aumento?
en que aumentó su masa es de un
Al 30%
A)
1 B) 6% C)
B)
t%
..
D) 20% E)
25%·
8) Un supermercado A) B) C) D) E)
ofrece un producto rebajado en un 20% a $280. El precio original era
.$70 $268,8 $280 $336 $350
20% 25% C).40% D) 80% E) 125% A)
B)
10) Un artículo cuesta $p, y se vende obteniéndose
e115% de ganancia. El precio de venta es
..E.
15 p + 150p
C)
---¡o¡¡-
+ 150
D)
p + 1~0
E)
15p p + 100
11) De una deuda de $ p se cancela el 30% y el saldo se divide en 6 cuotas iguales. El valor de cada cuota es
A)
30p . 6 .100' ·p-30.
B)
100'
64
6
C)
70p . 6 100'
D)
300p _ P 600 .
E)
2 100'
p-30'
7,2% 12% 18,5% 20% 60%
13) Si María tuviera un 15% menos de Ía edad que tiene, tendría 34 años. L Cuál essu edad actual? A) 28 años B)30 años' C) 36 años D) 40años E) 49 años
10 12 C) 16 D) 18 E) 20 A)
B)
15) En un curso, 30 alumnos rindieron el examen' de matemática. De ellos, 8 obtuvieron la nota. máxima, 12 obtuvieron un 5, además 7 obtuvieron un 4, y el resto fue reprobado. ¿Cuál es el porcentaje de-reprobados? 0,9% 3% C) 10% D) 12% E) 30% A) B)
B)
P
¿Cuál es
14) Tenía 30 lápices. Di a mi hermano el 30%, a mi primo el 20% ya un amigo el 10%. ¿Con cuántos lápices me quedé? .
9) Un ;Utféulo fue comprado en $800 y vendido en $1. 000. La ganancia es de un
A) p. +
I I
C) D) E)
a 72 palabras por minuto.
16) De una caja de 80 lápices, 30 son negros y los restantes son verdes. Entonces, el porcentaje verdeS es . A)
B) . C) D) E)
30% 37,5% 50% 62,5% 80%
17) El 40% de 80
A)
de lápices
= 30%
de 60 +
Z,
entonces z
=
6
B) C) D)
8 14 30 E) 42
18) En una promoción de 550 estudiantes, el 42% desea continuar alumnos quieren estudiar en la universidad?
estudios
universitarios.
¿Cuántos
13 23 C) 77 D)' 210 E) 231 A)
B)
65
~; PSU. Cuaderno" de Ejercicios.
19)
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test W 7, PORCENTAJES 1
Matemática
En un curso de 20 niños y 28 niñas. ¿qué', porcentaje A)
41.7
E)
48
C)
58t
26) Una cantidad
son niñas?
I
¿Cuáles
su salario
$40.000 $46.000 $64.000 $88.000 $90.000
E)
E)
fin de año?
de un cuadrado se duplica, ¿en qué porcentaje
aumenta su área?
100% 200% 300% 400% 500%
25) De' un curso de danza de 70 alumnas, un día asistieron ínasístencía fue de
66
100B B-A AB 100
3x 6x 9x 12x 15x (1) a es igual al 20% de 1. '(2) es.el 210% de c:
a
29) ¿Cuál es el 32% de un número? (1) Su 60% es el triple de su quinta parte,
(2) Su 45% excede a su 28%en 34. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas. (1) y (2) D) Cada una por sí sola. (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
e)
21% B) 30% C) 35% D) 49% E) 70%
A
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas. (1) y (2)' D) Cada una 'por sí sola. (1) Ó (2) E) Se requiere información adicional
A) $605.000 B) $650.000 $655.000 D) $750.000 E) $755.000
A)
fue
28) Si a es el 150% de b yb es el 140% de c. entonces ¿cuál es el valor de e?
23) Don Pepe recibe un sueldo mensual de $600.000 más un 5% de todas sus ventas si ellas exceden a $1.000.000 y un bono 'especial de $50.000 si sus ventas exceden $2.000.000. ¿Cuánto fueron 'sus ingresos un mes en que vendió $2.100.000?,
D) E)
B) D)
A) $70.000 B)$700,OOO C) $ 1.400.000 D) $1.462.650 E) $1.540.000
C)
A) C)
22) ,¿Cuánto dinero deberá invertir un hombre a una tasa de 5% anual, para tener $1.470.000a
A) B)
de aumento
27) El 15% de un número es x. Por lo tanto, el 90% del mismo número es
,
$21.000 $679.000 $702.100 $721-.000 $910.000
24) Si el perímetro
C) D)
21) Fresia deposita'$700.000 en un banco. el cual paga un 3% de interés anual. ¿Cuánto dinero ,tendrá ahorrado al final del año? ' , A) ~) C) D) E)'
B
"A" aumenta a "B". El porcentaje
100(B-A) a un 371 % de' su salario semanal.
. semanal?
!i.
B)
71
20) Un, hombre ahorra $24.000 que equivalen A) B) C) D)' E)
100B A 100A
D) 70 E)
A)
3 O) Dadas las cantid~des a. b y c; podemos, afirmar que a es el 25% de b si:
= 4a. (2) e = b. (1) e
sólo 49 alumnas. Ese día. el porcentaje de '
A) (l) por sí sola B) (2) por sí Sola C) Ambas juntas. (1) y (2) D) Cada una por sí sola. (1) ó (2) E) Se.requiere información adiCional, RESPUESTAS CORRECTAS
67
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática PRIMER EJE TEMÁTICO ¡Test N" 8, PORCENTAJES II
Test N° 8: Porcentajes
n
A)
87,5%
B)
80% 800% 12,5% 700%'·
e)
D) E)
! i
II
7) Un bus emplea 4 horas en recorrer x kilómetros. minutos viajando con la misma rapidez? A)' 0,5%
Si el 32% de 50 es m y el 40% 'de 5 es n, ¿qué tanto por ciento es n de m?
8) Una persona percibe un' sueldo líquido mensual de $360.000 y logra ahorrar e15% de su sueldo. Si en tres meses ha ahorrado $x, ¿cUál es el valor de x? StO.800 B) $18.000 C) $24.0010 D) $36.000 E) . $54.000 A)
9)
A) Sólo B) Sólo e) Sólo' D) Sólo E) Sólo
-h) A) (s-s-o
5) Una persona debe realizar un trabajo especializado en 8 días trabajando cantidades iguales todos los días. ¿Qué porcentaje del trabajo lleva realizado después de t día de trabajo?
B)
0,5% 6,25% .12,5%' 25%· 50%
6) Una mercadería
1 Ir III Ir y III 1 y III
10) De los s operarios de una fábrica, h son hombres. ¿Cuál es el porcentaje de mujeres que trabaja en dicha fábrica?
A) 20% 40% e) 50% D) 65% E) 75%
B)
D) El
En una bolsa hay 36 bolitas, entre blancas y negras. Si las bolitas negras corresponden al 75% del total, ¿cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdaderats)? . 1) Las bolitas blancas son 9. lI) Las bolitas 'negras duplican a las blancas. III) Las bolitas negras son 8 más que las blancas.
.50 200 '450 600 L050
4) Un libro cuyo costo fue de $6.400 se vendió en un cierto lugar en $11.200. ¿Qué porcentaje de utilidad se obtuvo? .
B) e)
C)
D)
costó $m y se vende ganando el x%, ¿cuál es la ganancia?
%
(100 - ~) % (100(S
s
rOO(S
ii
~ 100
E)
hl)% .
,
-
h .
A)
d·
en 15
6,25% 12,5% D) 18,75% E) 25%
3) .Un examen de admisiÓn a un. instituto profesional lo rindieron 1.250 personas, de las cuales fueron aceptadas el 80%. Si el 20% de tos aceptados son mujeres, ¿cuántos hombres más que mujeres fueron aceptados en el instituto? .
A)
recorre
C)
Á) $5.680 B) .$7.100 e) $6.816 D) $6.500 . E) $6.100
A) B) e) D) E)
del camino
B)
2) En una liquidación todos los productos están rebajados en un 20%. Si una persona paga $28.400 por su compra, ¿cuárlto dineroahorró en la liquidación?
";
¿Qué porcentaje
h)) %. ,
(lOOh J%
s-h
m
i'J;'
B)
IOx
e)
10m
11) Dos artículos se compran en.$60.000 y $80.000, respectivamente. de impuesto, entonces el preció total a pagar es A) $10.800 E) $14.400 $140.000 D) $144.400 E) .$165.200
x
D) E)
Si a elloshay que agregarles
eI18%'
e)
1000m x 100mx
68 69 ¡~
;¡/ ~,
PSU. 'Cuaderno de Ejercicios. Matemática
12) Una mercadería A)--
PRIMER EJE TEMÁ rico I T~st W 8",PORCENTAJES II
se vendió en $m con p,% de pérdida, ¿euál
fue el precio de compra?
100m
100 - P
1'7) En los últimos cinco años, el precio de un nuevo modelo de automóvil se incrementó en 30%, Si se estima que el porcentaje de incremento para los próximos cinco años será el mismo, entonces el porcentaje de incremento para este período completo de diez años será A)
B)
lOOp 10 _ in
15%
B) JO%
e)
100(100 - p] -',m
D)
100(100 - m) -P
E)
p+m
e) 39% D) 60% E) 69%
18) Si a 25 litros de una solución de alcohol al 20~ porcentaje de alcohol en la nueva solución?
se le agregan
50 litros de agua, '¿cuál será el
A) 5%' B) 6t% C)
13) Dos descuentos'
sucesivos
del 10% son equivalentes
a un descuento
único del
A) 19% B) 20% C) 22,5% D) 25% E) 30% 14) Las dimensiones de un rectángulo son 80 m de largo por 50 m de ancho, Si el largo aumenta en un 5% y el ancho disminuye en un 20%, ¿qué variación experimenta su área? A) Aumenta en un 30% .. B) "Disminuye en uri 25% ~
e) Aumenta en un 22,5% D) Disminuye en un'16% E) Disminuye en un 84% , 15) Los tres ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 5 : 6 : 9, Si el ángulo menor aumentaen un 20%, el ángulo del medio permanece igual" y el ángulo 'mayor disminuye en.11,IIL,%, entonces la' razón en que están los nuevos ángulos es de ' Al 2: 3: 4 B) 1: 2 : 3 C) 3:3:4 D) 5: 9 : 4 E) 9: 2: 3 16) Si el radio de un círculo aumenta en un 100%, entonces .su área aumenta en un A) B) e) D) E)
70
100% 200% 300% 400% 500%
10%
D) 13t% E). 20%
19) Una tienda vende un reloj con una utilidad de un 25 % sobre el precio de costo, ¿ Qué porcentaje del precio de 'venta del reloj es la utilidad de la tienda? 12,5% B) 20% C) 25% D) 50% E) 75% A)
20) El stock de un almacén disminuye su valor en un 20%, este stock para volver a su valor inicial?
¿En qué porcentaje deberá incrementarse
A) 15% B) 20% e) 25% D) 30% E) 40% 21) La población de un pueblo aumenta en 50% cada 50 años, habitantes" ¿en qué año la población era de 160 habitantes? A) 1.650 B) 1.700 C) 1.750 D) 1.806 E) 1.850
Si la población
en 1950 era 810
71
PSU, Cuaderno de Ejercidos. Matemáüca
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 8 .. PORCENTAJES
a
22) Una mujer compra lO cajas de tomates un costo total de $80.000. Si ella pierde 2 cajas, ¿a qué precio 'debería vender cada una de las cajas restantes, para obtener una ganancia de un 25% del costo total? A)
$10.000 B) $12.500 C) $15.000 O), $100.000 E) $120.000 23) Se deposita $100.000.000 5 años?' '
C)
D) E)
a un 10% de interés simple anual, ¿cuánto se podrá retirar
24), Si la' arista de un cubo se duplica,
El
al cabo de
¿en qué porcentaje' aumenta su vol~men?
66.550 (1,05)'
B)
$ 66.550 . (1,05.)'
28) Una persona mantuvo un depósito de $100.000 un cierto período de tiempo, al término del' cual, retiró' todo (su capital). Si el banco, le pagó un k% de interés compuesto anual después de agregarle un 12%, al valor inicial del depósito" por concepto del alza del costo de 'la vida, entonces el dinero que retiró fue fueron 5 años.
sí
. 25) ¿Qué capital se debe depositar a un 5% de interés compuesto anual para que al cabo de 5 años se transforme en $ 66.550?
s
A) (1) por sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere' información adicional
29) En una figura, el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia determinar qué porcentaje del círculo es el área del triángulo si: (l) El triángulo es rectángulo (2) AC = 4 cm y Be = 3 cm.
escaleno de hipotenusa
0)$
$
{J.05 (66.550)' ~
66.55Q E) ,$ ~
de diámetro
AB. Podemos
5 cm.
A) (1) por sí sola (2) por sí sola C) Ambas juntas; (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
B)
3 O) ¿En qué porcentaje varía el volumen de un globo esférico /66.550
C)
al
32,2% 31,2% 7,4% 3,2% 3,1%
(1) El tiempo de depósito (2) El ~% de IDO es 6.
100% 200% 400% 700% 800%
A)
A) B)
, 'A) $155.000.000 B) $150.000.000 C) $145.0QO.000 O) $140.000.000 E) $105.000.000
A) B) C) O)
27) Una persona ganó $480.000 al depositar un capital a plazo en un banco. Si retira '$15.480.000 final del período, entonces el tanto por ciento de interés pagado es
1I
que se está inflando?
,(1) El radio inicial era 10 cm, (2) El radio final es 15 cm. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) E) Se requiere información adicional"
26) Un líquido se evapora a razón de un.5% cada diez minutos. De I litro de este líquido, ¿cuánto quedará al cabo de una hora? ' ,
'Al
700 cm'
',B) 750 cm' C) 1.600' (0,95)' cm' O) 1.000· (1,05)' cm' E) 1000· (0,05)' cm'
72
RESPUESTAS CORRECTAS
73
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
PRIMER EJE TEMÁTICO I Test N" 9.: REGULARIDADES
CAPÍTULO 7. REGULARIDADES NUMÉRICAS Test N° 9: Regularídades numéricas 1) El octavo término
de la secuencia:
1 ;0,1
10-l 10-6 C) 10-7 D) 10-8 E) 10-9
7) La cifra de las unidades de 3" es A) 3
B) 9 C) 7
; 0,01 ; 0,001 ; ... es
A) B)
a la siguiente
secuencia
~,~,~ de las siguientes
l)m + n ~20 1I).2p=q=12 .nn El octavo térmirio es A) . B) . C) D) E)
Sólo. Sólo Sólo Sólo 1, Il
III 1 yIl 1 y III II y III Y III
3) ~n la sucesión: A) 17 Y B) 17y C) 17 Y D) 16. Y E) 15 Y
afirmaciones
t
es(son) verdaderats)?
.
fig. 1
.
16 24 .r
22 42
.'
A)
6.3
B)
80
C)
99
D)
120
E)
143
9) El término
que ocupa el.noveno lugar de la siguiente secuencia es
J2,2, 2J2,
4,
4J2.
8J2 B) 1OJ2 Ó 16J2
'A)
24 23 22 23 21
D) 32J2 , -10 , ... , el término que ocupa el lugar diecinueve
es
E)
64J2
10) En la siguiente secuencia de figuras formadas con palitos de fósforos, ¿con cuántos palitos se constru-
ye la décima figura? A)2·
.
.
3'0'
B) 2· 3' términos
de una su~esión.
Si a
=
-2, entonces
»<
.c-.
~
11) En la sucesión I
de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, S, ... , cada término, a partir ctel tercero, se obtiene los dos anteriores. ¿Cuál de los siguientes términos debe ser un número impar?
sumando A) B)
21" 4S"
363' 442' E) 6.96' C) D)
12) En la secuencia: 1, -2, 3, -4, S, ... , la diferencia
A) B) C)
28 120 128 D) 720 E) 5.040
Para los aspectos teóricos de este conteoido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. ción P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.
2.38 D) 2' 37 E) 69" C)
el
6.) Escondiendo huevitos de pascua, Juan oculta un huevo en un primer escondite; en el segundo, el .'doble de huevos que en el primero; en el tercero, el triple que en el segundo; en el cuarto.. el cuádruplo que en el tercero, y así sucesivamente, ¿cuántos huevos ocultará en' el séptimo escondite?
74
fig. 3
fig.2
. el número de puntos en la décima figura es
8
5) a' - a, a2 _ 13., al -' 3a, son los tres primeros quinto término es A) -42 B) -22 D) E)
Ninguna de las anteriores
~2"~"'*'
A) -150 B) -100 C) 100 D) 150 E) 16.0
-6.
1
E)
.....
1 , 5 ,7 ,11 , 13 , a, 19., b , ... , los valores de a y b 'Son, respectivamente:
4) En la serie: 8 , 2 ,-4
. C)
D)
8) En la secuencia: 123
2) De acuerdo
¿cuál(es)
NUMÉRICAS
A) B)
C) D)· y p.e.E.),
se recomienda
nuestro Manual de Prepara-
E)
entre el ?écimo y el noveno término es
19 1
-1 -19 -20 75
PSU.
Cuaderno de Ejercicios,
PRIMER EJE TEMÁ TlCO I Test' N' 9, REGULARIDADES
Matemática
19) El número que sigue en la secuencia: 3, 8, 15,24,
13) En el siguiente esquema, los números a y b se. relacionan con los demás de acuerdo a un cierto criterio, entonces la mitad de la diferencia positiva entre' a' y b es
27
'2
C) 23 D)
E)
20) Si x e y son los números
33 2
E)
29 2
cm
D
D) l6J2cm
C) D)
el número
--. []--.D
.
lig.l
fig.3
E)
76
r
1
32 1-1
_3'
--1
; ...,
x
12
14
11
16
9
'lid .' e va or . e 1.sexto terrmno es
(-Ir
5 243 5 1.215
J 81
4(12 + 6x); ...
o
'.'
23) ¿Cuál es la cifra número cien de la expresión decimal de la fracción
lig.4
A)
80 T 40x, 40 - 20x, 20 - IOx, ' . es
2 '7?
1
B) 7
2-x 5 - 2x O-O'x !O - 5x !O - x
C) 2 D) 8 E) 5 24) Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de tres lados es 180°, la de uno de cuatro lados es 360°, la de uno de 5 lados es 540°, y así sucesivamente, entonces para un polígono convexo de !O lados, esta suma es . A) 1.260° B) 1.440° C) 1.620° D) 1.800° E) 1.980°
-92 58
3
D)
_31
8
y
A) 166 + 13x E) 166 - 13x C) 330 - x D) 153x E) 330 + l1x
18) En una secuencia de números, cada término, a partir del segundo, se obtiene como la diferencia entre el triple del término anterior y 5, Si el quinto término es -38, entonces el tercer término es
Cl
5' .
6 - 3x; 2(8 + 4x); 3(10 -5x);
.
fig,.2
3° -1
15
se obtiene
&008
~7) El cuarto término en la siguiente secuencia
--
mágico, entonces x - y =
5 22) Al sumar el quinto y el sexto término de la secuencia:
asociado a la novena figura es
E) 35 Cl 44 P) 54 E) 77
E)
15
E)
!..ficm
~)n
A)
3 4
B)
412 cm
2 16) En la siguiente secuencia,
2
D) E)
en 2 cm. Si el perímetro del
A) 4cm
ClJ2
C)
A)
15) En la siguiente secuencia decuadrados los perímetros van aumentando tercer cuadrado es 20 cm, entonces la diagonal del primero mide
A) E) C) D) E)
cuadrado
-1
21) En la secuencia:
. A) 0,00081 E) 0,000081 C) 0,000243 D) 0,0081 . E) 0,0000081
E)
que faltan' en el siguiente
A) -3
14) ¿Cuál es el siguiente término de la secuencia: 0,1 ; 0,03; 0,009 ; 0,0027 ; .. ,?
E)
.,. , es
30 E) 33 C) 35 D) 45 E) 50 A)
A) 33 E)
NUMÉRICAS
-18
-2 5
l,
77
~i
~¡¡
PSU:
Cuaderno de Ejercicios, Matemática
25)
El quinto
PRIMER EJE TEMÁTICO / BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
,1'
ij
r I
A)
82
B) C)
98 106
término
de la secuencia:
10, 18, 34, 66,
BIBLIOGRAFÍA
... , es
ESPECÍFICA
Primer Eje Temático: NÚlVillROS y PROPORCIONALIDAD
..
D) 114 E) 26)
1)
130
El término
que
ocupa
.el lugar
10 en la secuencia:
-0,6
; 1,2
; -2,4
; 4,8 ; ... , es.
Autor: Título: Editorial:
Álvarez Díaz, Eugenio. Problemas de Aritmética.y México, D. F., 1944, (*)
Autor: Título: Editorial:
Baldar, Aurelio. Aritmética Teórico-Práctica. EditorialCódice S, A, Madrid,
Autor: 'Título: Editorial:
Matemáticas Modernas para escuelas secundarias. Editorial Cultural. México, 1972.
Álgebra sobre temas de Mitología.
A) 1.228,8
B)
2)
307,2
C).-153,6 D) ~307,2 E)-6l4,4 27)
3)
De acuerdo A)
1
B)
5
C) E)
7
6
-12
1'2
es el término
ubicado
(1) Los primeros . Cada
(1) por
dos
término,
en el lugar términos
a partir
30 de una secuencia
son
del
se encuentra
segundo,
sumando
_.!.,
Mar;, P.
Autor: Título: Editorial:
Nichols, Eugene D. Matemáticas, Editorial Interamericana.
5)
Autores: Título: Editorial:
Petersen John A. y Hashisaki, Joseph. Teoría de la Aritmética, Editürial Limusa Wiley, México; 1969.
6)
Autores: Título.: Editorial:
'I'afemalcher, Augusto y Poensich, Ricardo Elementos de Matemáticas Imprenta y Litografía Universo. Santiago. de Chile, 1911. (*)
7)
Autores: Título: Editorial:
Taylor, Howard E. yWade, Thomas L. Matemáticas Básicas Limusa Wiley. México, 1971.
México, 1977.
10
dada?
y''!'2
1
Dolciani,
4)
Y
5'
(2)
15
13~1l--3 14~1'\'
x--'8
1.024
¿Cuál
A)
=
x'
siguiente,
625.
D) 28)
a la figura
1990.
al anterior.
2
sí sola
B) (2) por sí sola
29)
C)
Ambas
D)
Cada
E)
Se requiere
información
En la secuencia cemos
(1) y (2)
juntas,
una por sí sola, (1) ó (2) de triángulos
adiciana! de la figura,
podemos
determinar
el área del enésimo
(1)
El primer
triángulo.
tiene lada
1 cm y cada
siguiente
triángulo
tiene lado igual
anterior. (2)
30)
triángulo
si cono-
que:
Todos
las triángulos
son equiláteros.
A) B)
(1) por sí sala (2) par sí sola
C) D)
Ambas juntas, (1) y (2) Cada una par sí sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere
Podemos
información
determinar Los números
(2)
El primer
1) 2)
Comentar-ios
B) C) D)
(2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una pür sí sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere
(ennegrecidos) corresponden a literatura ¡natemática de autores chilenos. con asterisco (*) corresponden a libros "fuentes", cercanas a nosotros, de la información
de una lista
de números
naturales
sobre
la bibliografía
matemática
Puesto que laMatemática es una disciplina internacional y universal, recalcamos nuevamente en este punto la importancia que tiene una buena bibliografía para trabajar, .no necesariamente en español.vpues los ejercicios y problemas de Matemática trascienden las barreras del idioma, del espacio y del tiempo. De esta forma, al colocar bibliografía en otros idiomas y de otros tiempos estamos acercando alos alumnos y las alumnas estudiosas y, por qué 'no decirlo también, a nuestros propios colegas, al encuentro con las raíces de la disciplina misma. También los estamos acercando a las fuentes del conocimiento y dernostrándoles con ello que, problemas que parecen ser muy recientes, en realidad, son tan antiguos como la Matemática misma, El mensaje que pretendemos mostrarle o inculcarle a nuestros alumnos y a nuestras alumnas. es que ellos mismos deben ser capaces dé encontrar y -descubrir su propia bibliografía, tal cual lo ha hecho uno de los autores, profesor Miguel' Ormazábal Díaz-Muñoz. Cabe hacer notar que hemos indicado también, en esta bibliografía, una importante ~antidad de'literatura matemática chilena, literatura 'de la cual estamos muy orgullosos, por su alto nivel y calidad académica, aunque lo pedagógico pudiese ser discutible. En efecto, las diferentes formas de enseñar Matemática varían en el tiempo, según los lugares geográficos y según sea el público a quien va dirigida la enseñanza,'supunto de partida o nivel de conocimientos previos, necesidades e intereses, etc. Actualmente la Didáctica de la Matemática es toda una disciplina en la que trabajan los especialistas,
si:
perfectos.
de la lista es l.
(1) por sí sola
Los textos destacados Los textos destacados matemática,
.
término.
A)
información
&
Notas:
'.,
de la lista son cuadrados
número
del
adicional
el noveno
(1)
a la altura
adicional RESPUESTAS CORRECTAS
79
78. •.._._--~----_.-
~
l.."9'
PSU" Cuaderno
de Ejercicios,
Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
EJERCICIOS RESUELTOS SEGUNDO EJE TEMÁTICO: ÁLGEBRA YFUNCIONES .
no ·está definida. Sea entonces, x = 9. En tal caso, el primer miembro de la división (~)
-
(X2 -
1) Óscar efectúa la división
92 por valor: -. --
1): (x -
que el resultado anterior es correcto,
1) efectuar la división entre el divid¡mdo y el cuociente para obtener el divisor II)
ID). darle valores numéricos para "x" a ambas expresiones,
A) B) C) D) . E)
Sólo Sólo Sólo. Sólo 1,. TI
anteriores,
8
=
.
ID
Yel segundo miembro de la división ex + 1) tiene por valor 9 . + ¡Son iguales!, por lo tanto el resultado está comprobado. A modo de ejercicio, compruébelo Ud. para otro valor numérico.
Observaciones
excepto para x = 1
y
Respuesta
Solución: Para comprobar el cuociente de una división algebraica, exceptuando, por supuesto, la .división por cero, todos los procedimientos mencionados.en los incisos 1, II y III sirven para tal propósito. En efecto, al dividir el dividendo por el cuociente obtenemos:
1
x + I
ex +
1) (x'- 1) x + 1
= x
-
1, es decir, el divisor
La simplificación anterior por e! factor ex + 1) está garantizada pues, por hipótesis, ex que "x" es un número entero positivo. Luego, 1 es correcto. Ahora, si multiplicamos su diferencia: .
el divisor por el cuociente obtenemos,
(x - 1) (x+ 1)
=
x2
= 10
y comentarios:
correcta:
alternativa
E
2) ,El perímetro de un rectángulo es de 46 cm. Si el largo disminuyeen .el área del rectángulo no cambia. En estas condiciones, la diferencia es de .
-
'1
Este es un ejercicio muy interesante por su valor conceptual, ya que apunta a ·105 mecanismos' de comprobación de una división algebraica, Como se puede apreciar a través del ejemplo, los mecanismos de comprobación son variados y diversos. .
es(son) correcta(s):
TI 1 TI II Y ID 1 y III Y III
x2
1
80·
= -
1
Luego III es correcto.
multiplicar el divisor por el cuociente 'para obtener el dividendo
De las verificaciones
9-
1), siendo "x"un número entero positivo mayor que 1,
obteniendo .como resultado el binomio x + l. Para comprobar . Óscar podría: .
I
tiene
x -
3 cm y el ancho aumenta en 2 cm, entre el largo y el ancho originales
A) 5cm B) 7cm e)· 8cm D) IOcm E) 12 cm Solución:
*
-1),
ya
Este es eltípico problema que conduce a un sistema de ecuacioneslineales, . Sean le e y las dimensiones del rectángulo' original. Hagamos un dibujo de la situación, en los dos casos a los que se alude en el enunciado:
aplicando el producto notable suma por .
1 , que ~s el dividendo .y + 2
Luego TI es correcto. y
Por último, si le damos valores numéricos a la indeterminada "x" en ambos lados de la igualdad, también podremos verificar que la división está correcta. La única excepción es x = 1 pues la división por cero
"--
--v--x
./'
~-----------~~====~==~ x -
82 83
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
Nuestra primera info~ación es que el perímetro del rectángulo nuestra primera ecuación a plantear es:
2 x + 2y = 46
original
a
.Resolviendo
=
(x
los paréntesis y simplificando
-r-
3)
(y +
3)
cm, con lo cual '
soluciones
de segundo gra,do con coeficientes reales f(x) = a Xl
=
I Y x2
=
X2
+ b x + e tiene como raíces o'
-1, siendo a > ,O. El gráfico que mejor representa a dicho trinomio es:
es 'la misma en el primer A)
x
(hágalo Ud.), se obtiene la ecuación: (2)
B)
(1) y (2); formamos el sistema de ecuaciones lineales:
2x + 2y
'=
2
6
X
-
3y -
x
46. }, ' =
O
.
Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se elimina la incógnita "x" y se obtiene:
5 Y + 6= 46, de donde: Reemplazando
El' trinomio
2)
ix-3y-6=O De las ecuaciones
46
(1)
De acuerdo l~ segunda información del enunciado, el área del rectángulo ,caso que en el segundo. Por 10 tanto, 1a segunda ecuación a planteares:
xy
es de
C)
y = 8
x
este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo en (1), obtenemos
x = 15. De tal modo que hls dimensiones
del rectángulo original son: D)
x
= 15 cm
e y
= 8 cm
y comonos piden la diferencia entre ellas, entonces el resultado es: x -
y
= ,15 cm
-
X'
8 cm = 7 cm
Ob~ervaciones y comentarios:
1
'E)
'Como se puede apreciar, este problema tiene una serie de etapas para su resolución, las que deben llevarse a cabo, paso a paso, para obtener la respuesta correcta.
Respuesta correcta: alternativa B
84
x
85
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
Matemática
Solución:
Solución: Si el trinomio dado tiene como raíces o soluciones XI = 1 Y x2 = -1, entonces significa que su gráfica - que es una parábola - corta al eje X en los puntos cuyas abscisas son los números dados'
~I Y 1, ubicándolos de izquierda a derecha en la recta numérica, respectivamente. Ahora bieri, como~nel enunciado se nos dice que a > O, entonces las famas de la parábola abren hacia arriba (parábola sonriente o, como se dice en lenguaje técnico, cóncava hacia arriba). ,Finalmente, la ecuación del eje de simetría de la parábola está dada por: XI Xv
+ x2 2
-1 + l
Veamos la validez de cada una de las tres opciones que se nos ofrecen:
1) f(l)
= log 1 = O, pues, de acuerdo a la definición de logaritmo lo cuaÍ es correcto. Por lo tanto, 1es verdadera. '
Il)
se debe cumplir que: 10°
1,
f(2) + f(5) = log 2 + log 5
log
O
(2 •
5), según la propiedad del logaritmo
de un producto
2 log 10, efectuando la multiplicación
Esto nos dice que el eje de simetría de la parábola es el eje Y. De acuerdo a 10 anterior, la opción que responde a todos los requerimientos y comentarios:
Observaciones
III)
[
Este es un típico problema de encontrar la parábola que mejor representa a una cierta función cuadrática, dadas ciertas condiciones que la caracterizan. Se trata (le un ejercicio que involucra el manejo de gráficos. ' ,Si se sigue el análisis de la situación, paso a paso, el problema no ofrece dificultad alguna. Respuesta
4)
correcta:
Se da la función igualdades:
1) f(l)
=
llI) f(2) • f(5)
logarítmica
y
=
f(x)
=
log x. Con respecto
a ella se plantean
{{S) = lag 2 • lag 5
Ahora bien, como la función logarítmica es creciente, es~o es, si que x < y ~
log x < lag y, 'entonces podemos aprovechar
X
e y son números reales positivos tales
este hecho para establecer la siguiente
'desigualdad. Puesto que 1 < 2 < 10 ~ log 1 < log 2< lag 10, es decir: O < log 2 < 1. Por lo tanto, ellogaritrno de dos es un número real comprendido entre cero yuno. Análogamente se puede demostrar (hágalo Ud.) que ellogaritmo de cinco también es un número real comprendido 'entre cero y , uno. Por consiguiente, hemos demostrado las dos desigualdades siguientes:
las siguientes
O < log2 < O < 10g 5 <
}
Multiplicándolasmiembro a miembro, tenemos que: O < 10g.2 • log 5, < 1, lo que nos indica que el producto de ambos logaritrnos es un número real comprendido entre cero y uno, pero en ningún-caso es igual a uno. Por lo tanto, III es falsa. "
= f(10)
= 1
De la:s,igualdad~s anteriores,
86
e
alternativa
f(2).
O
ll) f(2) + f(5)
A) S610 B) Sólo C) ,Sólo D) Sólo E) 1, II
1, pues,por definición de logaritrno se debe cumplir que: 101' = 10, lo cual es correcto. Por lo tanto, II es verdadera.
anteriores es la C.
1 1 yIL II Y III 1 Y III Y III
Obseryaciones es(son) correctaís):
y comentarios:
Este es un ejercicio integrador, pues combina el.tema de las funciones, específicamente su lenguaje operacional, con el tema de los logaritmos. Las tresopciones son directas, a excepción, probablemente de la última (IlI), pues allí se trata de demostrar que la igualdad es incorrecta, mediante consideraciones referentes a desigualdades y, obviamente, sin el conocimiento numérico de los logaritmos. Respuesta
correcta:
alternativa
B
',87
{f PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 1, LENGUAJEALGEBRAICO
Matemática
CAPÍTULO ,
I
6) Si a, b y e son números reales tales 'que a + b + e = O, entonces el valor numérico de la expresión
1. IN'tRODUCCIÓN AL LENGUAJE ALGEBRAleO Test N' 1: Lenguaje algebraico 1
a
b
c
a
c
b
b
e
a
e
b
a
- + - + - + '- + -, + ~ es '
TIEMPO M,>Í.XIMOPARÁ CADA TEST: 1 HORA
A) -3
1) El 'número de términos de que consta la expresión A)
algebraica
-7x'
+ 5y' + 2z es
7
B)
5
e}
,7)
3
D}
2
valor numérico de la expresión':"-7a'b',
3
E)
6
Laexpresión
9(2a, - 3)' es equivalente
a
C) 12a' + 81 36a' + 8.1
si a = -1 Y b = 3, es
D)
A) -63
E)
o
A) '2z' + l B} 2z' + 1
D),21 E)
C) 2z' + 4
63
Si a = 2, b = ,~4 Y e = -1, el valor numérico de la expresión a'b + be - 5c' es A) -17
C), -9 D)
-7
E)
17
4) Si x = -2, .el valor de la expresión
(x" - 3x + 2) :
rs -
2z'
,E)
2z' (x + 1) Km en "a" horas, ¿cuál es su rapidez promedio,
en kilóme-
+ l)a '
A)
(x
B)
-
C)
-
6:c + x') es
A)-2
x-l a
x+l a
O 'D)
C)
~
x+l
D)'
2
E)
4
5) Si ,
D)
9) Si un automóvil ha recorrido 'tras/hora?
B) -15
B)
(6a - 9)'
8) La cuarta parte de (8z4 + 4) es igual a
-21
e)
C,=
-3 y d ='10, entonces el valor de la expresión
A)
-3
B)
-1
C)
~
O
D)
B) 36a' - 81
'B)
:3)
-1
C)
A) (18a - 27)'
E) 2}El
B)
E) _c'_ c+rí
+ ~
d-c
es
10) La sernidiferencia A)
I
E)
10
entre 3a + 4b Y a - 2b es
2a + 6b
B) a + 3b 'C)
O
D)
a x-l
a s- b
D) a + 2b E) 4a + 2b
I
M c.
r PSU. Cudderno de Ejercicios. Matemática
,11 11) Al reducir términos , ne como" resultado
semejantes .
, 3 ',17 1 A) - ¡a - (5b + ¡
SEGUNDO EJE TEMÁ TIeO I Test W l. LENGUAJE ALGEBRAICO
en - -a 2
+ -b 3'
,3 + 2a - 3b - -a 4
1 -b 6
,3
1
1
,
+ -4' - 2.' ' se obtie-
15) Sia,byc valente a A)
a',
B)
2b'
E
IR,entonceslaexpres'ión:
a'''':' b{b+c[a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)J}
es equi-
C) a' + b' <} 17 1 -a - -b + 464
B)
e)
~a -~b 464
D)
~a.:17b_~ 4 6
+ ~
D) a' -' b2
El O 16) El valor numérico b = 9 Y e = 10 es A)
4
9171 E) - -a - -b 4 ,6
<1- -
4
12) 5+5,[2-4(x-6)1= A)
BJ e) D)
13) x(x + y) A)
(x
x' + y'
A) 2a + 3b B) 5a
3a - 2b, la diferencia
será
a + 2b
_Z2
a
-
3
Z -
B) 5z2 - 5z + 3 ,C)' z'
x' - 2xy + y'
, 14) ~,-3(a-b) [
6a + 5b a la suma de 2a + 9by
18) ¿Cuál es la diferencia entre 3z' - 2z + 3 Y 2z' - 3z? A)
y)
D) x' + 2xy _ y' E)
152
.E) 2a + b
B) 'y2 _ x' C)
100
E)
D) b - 2a
y(x - y) =
+ y)(.x -
-8,
C) ,81
C) 2b-
- 20x r-
=
O
D)
B)
- 4x
260 - 40x
E), 135
que a
A) 5a + 7b
- 20x
-220
a'(b' - e') + b2(c' - a') + c2(a' - b') sabiendo
B)64
17) Si le restamos
65 - IOx -115
de la' expresión
+z+
3
D) z, + z - 3 E)
z' - z + 3
19) (-2x:y')(3x'y')' '1 ' ]' + '3(-6a-9b)=
A)
=
18x'y'
B) ,-18x'y7 C)
-18x'y6
D)
36x'y7
'E)
36)[6y10
e) a D)
-a
E)
-5a
20) El producto de los binomios (4x - 3y) Y (2y + 5x) es A) 20)[' - 23y' B) 20x' + 7xy-
6y2
C) 20x' - 7xY - 6y2' D) 20x2 - 7xy + 6y' E) 20x' - 6y'
"
90, 91
~< PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" i, LENGUAJE ALGEBRAICO 1
21) Para que (y - 3) sea un factor del trinomio y2 + 2y + e, el valor de e debe ser A)
27) Sea x > 5 un número real positivo y supongamos que (x? - 25) representa el área de un rectángulo, siendo (x + 5) uno de los lados, El otro lado está dado por
-15
B)
O
A) x + 5
C)
5
B)
x -
D)
8
C)
x' +
E)
15
D)
x' - 5
E)
x' - 125
22) ¿Para qué valor de k, (x + A)
-4
B)
-3
C)
~2
D)
-1
E)
1
A)
,Cl
es un factor del trinoniio x2 + kx - 12?
r
28) ¿Cuál es el valor numérico de la expresión a2bo,siendo
- 3) se obtiene
B)
X2 + 3x + 9
29)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E)
Se ~equiere información
81
E)
243
A)
8x + 8
B)
8x - 8
8
E)
-8x
26) Si la longitud de un rectángulo es (38 + 2t) Y su perímetro rectángulo está representado por: A) 2s + t B)
7s + 4t
C)
4s + 2t
e
algebraica: xmy"yP?
n s-p.
(2) n +'p = 3,
B) (2) por 'sí sola C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada, una por sí sola, (L) ó (2) ¿en cuánto
E)
Se requiere
información
adicional
30) En una biblioteca hay 180 libros, de los cual~s 3n + 10 son de Física y' 3n - 5 de Biología . ¿Cuántos son los restantes? (1) Hay 15 libros más de Física que de Biología. (2)
.Bx
D)
adicional
¿Cuál es el grado de la expresión
A) (I) por sí sola
25) El' área de un cuadrado es 4x2 '- 12x + 9 .. Si cada lado se aumenta en 2 unidades, . aumenta la superficie del cuadrado? .
92
D)
(x5 + 243) :' (x + 3) es
~8.1
D)
E)
(2) por sí sola
(I j m
-243
O
,D)
(1) por sí sola
B)
x' + 27
C)
C)
A)
C) Ambas juntas, (1) y (2)
x' +3x2 + 9x + 27 x' - 3x2 + 9x - 27
24) El resto o residuo que resulta al efectuar la división A)
a y b distintos de cero?
(2) b = 5
D) x2 + 6x + 9 'E)
5
(1) a = 10
23) Al dividir (x' - 81) por(x
'B)
4)
5
A)
es (lOs + ót), entonces
el ancho del
n = 3,
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere
información
adicional
3,5s + 2t 2t + s
RESPUESTAS CORRECTAS
93
r, PSU: Cuaderno
de
Ejercicios, Matemática
,¡
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test 1:'1'2, LENGUAJE ALGEBRAICO
"Test N" 2: Lenguaje
:1
algebraico
11
6) Si
,
:1
X
II
= 2, enton~es el valor de la expresión 2x[ x (3x - 5)' +. IJ - 7 es
A) 1 1) Claudio debía a sus padres ir; pesos .. El mes pasado pagó 2. de lo adeudado. Este mes pagó.! del . .6 . 6 resto, más 20 pesos. ¿Cuánto dinero debe todavía a sus padres?
E) 6
6
7) El sucesor del número 10', siendo "n" un número natural,
5
C)
ÓX-2Ó 5x-20 6
25 D). -x-20 36 E)
C) 3 D) 5
A) x-20
B)
E) 2
A)
10'+
E)
11"
C)
110+ 1
D)
io- -
E)
lO' + l
l·
. 8) Sabiendo que 5p
25x':"20 36
2) Si a = - 3, ¿cuál es el valor dela expresión a' + 3a + 3? A)
- 21
B)
- 15
A)
3
5m + 4 - mOm - 4)
C)
=
C)' 5m2
-
8m + 8
D) 5m2
-
8m
-
5m
E)
2m
D)
E)
4) 'Se define, para todo número real a, ~a .•• = - [ a2(a - 1) ], ¿cuál es el valor de~':' A)
-2
31 3
9) ¿Cuál(es)
de las expresiones
siguientes es (son) equivalentejs)
a(x
+ y)'?
II) x' + y'
O
D)
1
E)
2
III) (x + y)(x + y)(x + y) A) Sólo 1
5) El valor numérico A) -729 . E)
I.•• ?
13 5
1) .(x + y)(x2 + y2 + 2xy)
E) - 1 C)
11 5
A) 2m2 - m + 4 Bl 2m2 - 9m + 4
2
.!.!. 13
21 -
'. p+~ ._ 3q, entonces el valor de __ , . q
E)
3
E) 3) 5m2
=
3
C) -6 D)
está dado por
1
de la expresión a' + b' + e' - 3abc si a
= -9,
b '" 5
Y
e
=4
B)
Sólo TI
es e) Sólo
III
D) Sólo 1 y II
-540
"e)
125
D)
64
E)
O
E)
Sólo 1 y III
94
95
.~~
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
1O)2p
- [ q - (p - 2q) ]
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 2, LENGUAJE ALGEBRAICO II
=
'14) Si 4x - '3 = '2x + 5, ¿cuál(es)
A) 3(p + q) B)
2(p - q)
A) Sólo I '
e)
3(p - q)
B) Sólo l Y II
D)2(Pfq) E)
12)1
-
2
a'
y' + 3y
15) Si
- 2
b =
D) 3y' - y - 2
B) e
3y' - y + 2
e)
E)
A) -2 "':1
D)
1
E)
2
, 13) Sabiendo que a '= -4 y b "
-5
1
~
b
se verifica
corno correcta la
d=b+c
A)
=
8,entonces
a _b_ a b,
=
y
8 - 2 ab
es
8a b
B)
24a -
e)
b
D)
-
b
-+b 'a
3a
b
12a E) 12a
b
2 5
17) En la multiplicación mente A)
'2
siendo b, e y d distintos de cero entonces
=d
5
1
= ti'
e = bd
1
B) 10
E)
4x' + 16
.a".
e
3a2b 16) El producto entre -2
e) o
D)
_
D) b = cd
- { -1 - [1 - x - (-x + 1)]) =
e)
x3
relación A) e =-d
A)
III)
E) Ninguna,
=
e) y' - 3y - 2
B)
esíson) igual(es) a 16?
x'
D) l, II yIII
A) 5y' + 7y - 2
E)
II)
e) Sólo l y III
3
11) 3y' - 5y - 2(1 _ Y + y')
B)
de las siguientes expresiones
I) (2x - 4)'
2
de monomios axmy3 , x'y"
ax8y9, Ios valores de "m" y "n" son, respectiva-'
Y 3'
B) 2 y, 6 ,e)
4 y 3
D) 4 E)
Y 6
6 Y 4 '
96 97
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
I Test
N" 2, LENGUAJE ALGEBRAICO
II
18) Si. P(x) = 2x - 1 Y Q(x) =. 1 - 2x, entonces P(x)· Q(x) = A)
m 22) ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a -;
O
B)
4x2
-
1
C)
-4x2
-
1
D)
-4x2 +4x - 1
E)
4x' - 4x + 1
19) ¿En qué se.transformala
m+I
A)
n+l
B)
m-l n-l
C)
2m~1 2n+l
expresión (a' - x)a + bx si x,= a'"+ ab s- b"?
A) a''':' b' B)
a' + b'
siendo n.;t O?
e) a'
r»
2m 2n
-
D)
b'
E) á'b' 20} La. suma de tres números naturales consecutivos es 3n. ¿Cuál es el producto de los dos números extremos? A)
(:r
E)
n' -.n
,B) n' - n
·23)' Si
e
C) n'-l D) n' - 1
O, entonces la fracción a - b es equivalente a: -c a+b
A)
+n: l+x+ic +x =
;t
e
E) n' 21)
2
3
b-a
B) I) (1 + x)(l + x')
II)
e
l-x'
l-'x ' con x
;t
III)
1
(1 - x)(l - x')
_ b-a
C)
e
A) Sólo 1 B) Sólo II
b+a -c
D)
C) Sólo III D) Sólo 1 y II E) Sólo II yIII
l:J-a
E)
-c
24) Si Ignacio tenía (y- 10) años hace 10 años atrás, entonces ¿qué edad tendrá dentro de 10 años con respecto a su edad actual? .A)
y - 20
B)
y-ID
C) Y D) Y + 10 E)
98
10y - 10
99 ,):
.._---
...• -
--~---
.¡:~"",
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 2, LENGUAJE ALGEBRAlCO
t.
:1 iJ
25) Si
X ;t.
z,'entonces
- x- y
x-z
'j
es equivalente
28) Se quiere determinar si el valor de x en la ecuación x + a
a:
A)
-x-y z-x
E)
:1
-x+y x+z
,
x-y x-z
~i
es un entero positivo.
(1) a y b son enteros positivos.
! ,'¡"
=b
ti
enteros y b > a.
(2) a ybson
A)' (l) por sí sola B) . (2) por sí sola
11'
!, "
!
!
"
C)
__
26) El valor de 5x-2y ~-~es,
:":
E)
Se requiere
. (1)
D)
7x+3y
,
-44,08
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E)
Se requiere
información
(1) x e y son enteros
3z
'1
= 23,1
(1) por sí sola
(2) x
7x-3y --
¡i =
adicional
30) ¿Es x2 - y2 = X +.y ?_
5x+4y 3z
, C)
(2)
adicional'
A)
E) O
::i
m -2p
(2) n +
5y-2x
información
¿Cuál es el valor de m + 2n?
o,
x-y z-x
E)
A)
29)
juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (l)ó
-x+y -x+z
D)
"
C) ,Ambas D)
;i
consecutivos,
siendo x > y.
=y+l
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
3z
D)
,S:ada una por sí sola, (1) '6 (2)
E)
Se requiere
información
adicional
7x-7y
~J
E)
~~
3:i
27) Si P representa un número par, ¿cuál es 'la expresión el sucesor par y el sucesor impar de p?
simbólica que corresponde
a la razón entre
A) E)
P
C) P + 3 D)
p+l
-
p+2
E) p+2 p+l
RESPUESTAS CORRECTAS
I
!
100
101
Eí'
'de Ejercicios,
PSU. Cuaderno
,
A)
*-
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN
2. PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN y FRACCIONES ALGEBRAICAS Test N° 3: Productos notables, factorización y fracciones algebraicas
CAPÍTULO
1) Si x
Matemática:
x' _y' (x-,y)' + --x-y x-y
y, entonces el valor de --
,
x+y
e)
-x
D)
x-y -x+y
+
siguientes:
(x + 2), (x' _ 4) Y
B) 2
,
C) x - 3 D)x E)
+2
x' -
4
y'
7) Siendo x
E) 2x + y 2) Sabiendo que x' + ~
x'
A)
algebraicas
A)
, ~ (x - y)
x - y
B)
6) El máximo común divisor (rn.c.d.) de las expresiones (x' - x - 6) es:
y FRACCIONES ALGEBRAICAS
=
3; entonces x'
A)
x' + y'
B)
x'
el cuociente
E)
27
12
x -y
+ y'
D) x' - x'y'4
x
_
~
+ x'y' + y'
e) x' - x'y'
+ J.
.X12
* y,
_ y'
x' - y'
.8) 18 C)
9
D)
7
E)
2
8) ¿euál(es) 'de las siguientes
'
1) \
3) Al factorizar
totalmente
+ b)
H)
(a + b)(a' - ab + b' + a - b)
e) (a - b)(a' - ab + b' + a...: b) , III)
D) (a - b)(a' + ab + b' + a - b) E)
(a - b)(a' + ab + b' + a + b)
x + 6
~, y
y
*- O?
con m e O'
mx" +nx
---rnxy +ny mx+ny my
,
, con mx + n*-O
+ nx ' (m
,
*OYn"
O)
B) S610 H. e)
B) x - 9 e)
a la fracción
A) Sólo I.
4) Un factor común a 'x' - 3x - 54, x' - x - 42 Y x' - 2x - 48 es A)
,
la expresión al + a' + bl - b' se obtiene
A) (a + b)(a' + ab + b' + a B)
mx -, .rny
fracciones es(son) equivalente(s)
S610 III,
D) S610 1 y H,
x +7
E) S610 1 y III.
D) x - 8, E)
9) S·! setrans
x - 5
5) Un binomio que divide exactamente
a x' - 2x - 15, Xl +' 27
Y x' - 9 es
f orma 1a f racci '6 n --5z+ 8y , en otra equivalente , 1 4z-5 '
12z' - 19z + 5, entonces el numerador de esta última
A) x + 3
A) 15i' - 5z - 24y + 8
B) x - 3
B) 15z' + 5z + 24yz - 8
e)
x+5
e)
D)
x-S
D) 15z' - 5z + 24yz + 8y
E)
x' - 9,
E)
cuyo denorni enorninador
es 'l" e' trínomio
es
15z' - 5z + 24yz - 8y
15z' + 5z - 24yz - 8y
102 e
103
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 3, PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZACrÓN
, lif icar la expresi ió n l 6x'>' _4y' 1 se o bti 10) Al simp llene 16x' +4y
A)
13) La simplificación
x2 -, y2 x2 +y'
E)
q'(q' + 1) X +q'
C)
--
A)
4x.:..2y B)
,e),
4x+2y
es
x+q? x+p?
D) -x-p' E)
Imposible.
14) La diferencia entre ~ x-a
2
4x -y 4x' +y'
11) '¿euál(es)
x' +(p' +q')x+p'q' 2 x+p
x+q'
4x-y 4x+y
, x-y D) x+y,
E)
de la expresión
y FRACCIONES ALGEBRAICAS
2
A) ,
-+ _x_ + x x= b x-c
y _a_ ,x-a
+ _b_ + _c_"es x-b x-c
igual a
O
B) ,1
de las siguientes expresiones es(son) equivalenters)
a la fracción racional ,
2 x +x-2~ 15-2x-x
, x-4
1) x-4 x-.3
II)
.x-3
x-4 IlI)
3-x
IV)
4-x x-3
C) 2 ?
,\
D) 3 E)
x,
15) SI, x '" -rn, entonces aLsisirnpliifiicar x'+mx+4x+4i:n
x s- m .
se o btillene
A) x + 1 ,A) Sólo I.
B)
x+m
'B)
Sólo III y IV,
e)
x + 2'
Sólo n, III y IV,
D)
x + 4m x +8
e)
D) Sólo II y
E)
m,
E) S610 II y IV" ,x3 12) Si x'" y, entonces --' x-y
y3 +-"
y-x
16) Siendo x, y, z todos no nulos, entonces + + xy yz zx 1 A) x2y2z2
A) x'y' B) x' _ y' C)
X
, x+ y-i-z B)
--
x'y2z2
+y ,
D) x' + xy + y'
ch
E) x' + y' D)
3 x2y'z2 ,x +y+z -'-,-
xyz
E) 104
x+y+z
3 105
IID'I',po
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3, PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN
17) '¿euál(es) 'de los' siguientes términos se puede(n) agregar a la expresión 4x' + t' para completar el desarrollo del cuadrado de, un binomi o? 1) -4x2 H) 4x III) 4x2 A)
'B)
20)
Sólo L A)
Sólo H.
8xy
La fracción
3
3'
4x y+4xy
(con xy
'#
y FRACCIONES ALGEBRAICAS
O); reducida a su mínima expresión es
2xy x2y+xy2
C) " Sólo III. B)
D) Sólo 1 y IIt E)
xy
Sólo !I y III.
18) Al simplificar
la fracción
compuesta
1- x -+ 1 ~~~' se obtiene l+x
e),
2 x+y
D)
x2 +y2
E)
2 X-y
-'1
2
A) -1 1
.B)
--
C)
--1
l-x
21) Al simplificar
X
D)
E)
2-x -x
la expresión
X\2 _x2y' 6
x -y
•
,con
x
'#
y" obtenemos
x2y2 A)
(x2+xy+y2)(X2_xy+y')
B)
y. ~
.l=x
-l+x
x+1
19) Simplificando
A)
4x
B)
2x
e)
2
D)
1 2
E)
X,
la fracción
compuesta
x y
x-l
--
---
-x+l
+--
x 1'1
x + 1 obtenemos 1 x-l
C)
D),
E)y
x-y xy (X2 + xy+y2 )(X2 -xy
+ v')
- x
"'1 1
11,1
106 107
rso. Cuaderno de Ejercicios, 22)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 3. PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZAClÓN
a+ b a3 +.b3 - (a+ b)" 1 3ab
A)
p+2 4
B)
1 2a' +ab+2b2
B)
(p+2)3 p'
1
C)'p+2
2a' ~ab+2b'
D)
--1
E)
-2ab
D)
:4(p+2) 2p ,
1
E)
X
25)
2
l
+y
5y.+4
3 y'+y
-1)
( 2x -1 ) : x'.j.2x+l. =
x' - 1 2x - 1
C) x-l
y'+y y+-4
~
B)
B)-'-
y'+y
(
p+2 4p'
2x - 1 Al" 2x' _ 1
y-4 A) y'+y
D)
(p+2)'
3ab
:3 2 ----+-y+l' Y
C)
y FRACCIONES ALGEBRAICAS
5 3(' z P p+2) .4+2p lOp" . ,._p-
24)
A)
C)
23)
Matemática
',D)
_x2
•. E)
x'
a3 b 26) _-_ ' a' + b3'
a , '-ab+ b' a-b·
2
E)
1
A).a+ab+b' a+ b
y +l . B)
.
a2 -ab+b' a-b
.C)
a' +ab+ b' a-b
D)
a2 -ab+ b' a+b
E)
.
108
109 .
'~.
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
27 )S'1l a f racciió n 2x'+8x+6, , x+3 rador de la segunda
SEGUNDO ErE TEMÁTICOrres, N" 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL
ival ente a otra. cuyo denomi es equiva enomma d or es . ,
(<'
CAPÍTULO
fracción? , 1) ¿Cuál(es)
A) 2x' - 6x - 8 B) x, - Sx + 8
I)
x' - 3x
H)
'c) D)
2x'-16x
É)
2x' t 6x+
B)
. (1) x' - y'= (x + S)(y-
5)
D)
grado en x?
(x - 3)' = (x +9)(x-
9)
Sólo H.
Sólo I
y n.
E) I, H Y ur.
A) (1) por sí sola
3
B) (2) por .sí sola
información
.
2) Si 1 - - =. 9; entonces x = x' .
(1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
29) Se puede determinar '
de primer
(x + S)(x + 8)
e) Sólo III.
=y
E) Se requiere
=
A) Sólo L
4
C) Ambas juntas,
de las siguientes ecuaciones esíson)
(x + 7)'
III) (2x + a)(x - ~) ;" x(2x - a) _ x'
+ 5'
28) ¿Es x' igual a xy?
(2) x
3, ECUAeIONES DE PRIMER GRADO O LINEÁLES y PROBLEMAS VERBALES Test N° 4: Ecuaciones de primer grado y problemas con ennnciado verbal
+ 2), ¿cuál es el nume-
9 A)
adicional
el valor de la fracción 'xy+2y-3x-6
xy - 3x +y - 3
si se sabe que:
2 2
B)
-'9
e)
-:8
(1) x = 1 e y'" 3 (2)
X;é
-2
3'
e y =4
A) (1) por sí sola B) (2) por sí .sola C) .Ambas
juntas,
(1), y (2)
8
D)
3
E)
2
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere
30) ¿Es (m - n)'
=
=
O
(1) m (2)
información
adicional
m' + n'? 3). ¿Para qué valor de "x" la expresión 5(x - 3) - 4(x - 2) es igual a cero?
n= O
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola e)
Ambas juntas,
(1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere
9
información
adicional
A)
2
B)
3
e)
4
D)
5
E)
7
4) ¿Para qué valor de "x" se tiene que las expresiones
RESPUESTAS CORRECTAS
A)
-2
B)'
-1
e)
O
D)
1
E)
2
(x + l)(x + 2) Y (x - l.)(x - 2) son iguales?
110 111 i
A
pspo Cuaderno de Ejercicios, J~atemálica
SEGUNDO EJE TEMÁTIcorrest
N" 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL
5) Dada la ecuación en "x": (0,222 ... ) x + 0,777 ... = (2,333 ... ) x. El valor de x es A)
0,1 (0,1)' _ 1 ' se obtiene. x
.-(3 - 0,6) 2,
3
=
11
A)
4
3 11
4
B)
'"
4
8 15
4
C)
11
no se puede determinar'
6) Si 10 ..., 7x 6 +; 7x A)
56
"B)
35
5x - 4 ; entonces el valor de x es 5x "
D) E)
4
D)
11
E) Ninguna de las anteriores. 'q --, p-x
10) S'1- P q-x
C) 11 7
A)
3
B)
P - q.
C)
p+q
"7) Si a i bson números reales, se tiene la ecuación en la incógnita x: ax + b a ella es correcto afirmar que: " " 1) Si a
";t
b, entonces la ecuación tiene por única solución
II) Si a = b, entonces la ecuación es una identidad
x
=
= bx + a,
, para todo x real. para todo a y b.
anteriores,
entonces siendo p "
;é
" q, el valor de x es "
2
D)
que se verifica
De las afirmaciones"
Con respecto
l.
lII) Si x = 1, entonces la ecuación es una identidad que se cumple
p'+ q' p-q (
E)
es(son) verdadera(s):
11) Dado que ~ p
B) Sólo II y lIl. Sólo 1 y III.,
,
p'+ q' " p+ q
A) Sólo 1 y n.
C)
5' -
~
2
C)
E)
la ecuación
19
B)
D)
2
9) Alresolver
7
A)
q-h
B)
q(l
a b' + -, cona q p
e
O .-p
;t
°
y q
;é
O, entonces
. . al despejar la variable p resulta p =
D) 1, II Y III. E)
Ninguna
8) El conjunto
de ellas. solución de la ecuación
l-x x-I
C) q
-1 es
A) [-1 } B)
[1}
e)
IR
~ ;)-
D) q(l
+ ;)
b E) 'q - '--a-
D) IR - [ 1 } E)
fIl
1.12 113 ___
•
_.
__
-o.
dWi"
,j} PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SBGUNDO EJE TEMÁTICOrrest N" 4, ECUÁCIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIAD~ VERBAL
12) Si n '" O Y n '" 1, entonces el valor de x en la ecuación
.!. + n
A)
n
,- B)
'2
_n_ n+ x
,
x + n es
5x-7
,16) Dada la relación y = --,_
nx
3x+4
=
A) x 1
=
e) x
r D) n2-1
E)
Sólosi
que sean los números
3x - 5 + a = bx + 1 tiene una única solución para x,
J
a 7' 2b
j
x = 4y+3 5'1+7 '
17) La diferencia entre el quíntuple corresponde aIa expresión
D)
Sólo si b 7' O
A) Sea + 1) - [(2b)' - 1]
E)
Sólo si b
B) Sea + 1) - [2(b - 1)]'
3
7'
a y. b números
x x -+--=--es' a b-a"
i
E)'
a y b
e) Sólo si a '" 6
Siendo
"x" en términos de "y" se obtiene
4y-7 5+3y
x= 5y-7 3y+4
n=-I
A) Cualesquiera
14)
al despejar
4y + 7 5-3y
D)
n
13) Si a y b son números reales, la ecuación
B)
3
B) x=5y+7 4-3y
n 2(n-l)
,~
4 con x '" --
reales
con a '" O, b '" O y a '" b, el conjunto 'solución
de a y el antecesor
del sucesor
del cuadrado
del doble de b,
e) Sea + 1) - (2b - 1)'
de la ecuación
a
D)
5(a + 1) - 2(b' - 1)
b-a
E)
Sea + 1) - 2b'-
1
A) {O} B) {1}
18)
{~}
D
{aab-s b'
N~
2
3
b_a
E)
de él con su tercio es igual a
~
e)
)
La diferencia entre el cuadrado de un número x, y el semiproducto
'B)
}
2
x -
6
, ~2
I'l '~~
15) La solución de la ecuación 2,/ x / - 8 = -/ x / + 1 está dada' por: 1) x =-3 A) Sólo I. 'B) e)
1I)
x =-2
~
x=3
I
D)
x -
2
3
Sólo H, Sólo IlI,
m~
2~
D) Sólo 1 y H,
E)
Sólo 1 y IlI,
114 j'.
115
'¡'
;i:'
,
PSíl, Cuaderno de Ejercicios. Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTlCOrrest N° 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL
19) Si "a" es un número real positivo, la expresión
1) El lado del cuadrado
A)
Sólo
2
puede interpr,etarse
.
geométricamente
"
como:
inscrito en un círculo de radio ~ 2
II) La mitad de la diagonal 1Il) La longitud
aJi
de un cuadrado de lado "a".
de un cateto de un triángulo rectángulo
isósceles
cuya.hípotenusa
es "a".
.B)
La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia b y a.
C)
La raíz cuadrada de la diferencia 'entre el recíproco los 'cuadrados de b y a.
20) Si e y b son números
n
I
1: !i'
La raíz cuadrada
rl
reales positivos,
de -la diferencia
con e > b, la expresión
.lc' ~ b'
puedeinterpretarse
entre 'los cuadrados de e y b.
de .c y la diferencia
entre
de c y la diferencia
entre
,
La raíz cuadrada del recíproco de la diferencia entre b y a. .
de ·10s cuadrados
entre e y la diferencia
E)
La raíz cuadrada del cuadrado de la diferencia bya. .
entre el recíproco
de c y la diferencia
entre
24) El enunciado: la tercera parte dei antecesor de un número natural "n" se le suma el sucesor del mismo número dado y se obtiene el exceso del doble del" mismo número original sobre 2", se expresa matemáticamente por: A)
~ - 1 + ~ + 1 = 2n - 2 3 3
B)
~
del cuadrado de la diferencia entre e y b.
Un cateto de un trián~ulo rectángulo
cuya hipotenusa
es "e" y cuyo cateto conocido es "b",
3
+ ~ + 1 = 2n - 2
A) Sólo t. B)' Sólo
',!
del .cuadrado
de la
como:
1I) La raíz cuadrada
Un
:1 :1
entre el recíproco
de e y el cuadrado
"a
E) I, n y IIL
F ~
del cuadrado
D)
D) Sólo 1 y lII.
verbalmente
como:
La raíz cuadrada de la diferencia entre el recíproco diferencia entre b y a ..
rr.
C) Sólo 1I y lII.
puede decodificarse
A)
,
. B), Sólo 1 y Ir.
:j
J :' - (b - a)'
23) La expresión
C)
n.
~.3
'q Sólo III.
+ ~ + 1 = 2 - 2n 3
I. i.
D) Solo 1 y,IIL
m
D) ~
Sólo II y 1Il.
. 21) El enunciado: "el cuadrado de la suma de los números e y d aumentado en el cuadrado de la diferencia entre los mismos' números es igual al doble de la suma de los cuadrados de .escs mismos, números", se expresa ,por A)
(e' + d') + (ei - d')
= 2(2{; -
2d)
B) (e' + d') + (e' - d')
= 2(c'+
d')
C) (e + d)' + (e' - el')
= 2(c'+
d')
D) (e + d)' + (e -d)'
= 2(c
E)
= 2(e' +d')
(e + d)' + (e - d)'
B)
=
(3x - 6) - 2x=
~
3
+ n + 1= 2 - 2n
+ n + 1 = 2n - 2
25) Un campo rectangular, cuyo largo es el doble del ancho para protegerlo. El área en términos de x es:
A)
x'" 2
B)
2x'
C)
9
D)·
18
+ d)'
22) Si al doble de mi edad 'actual le resto el. triple de mi edad hace 6 años, el resultado es mi edad actual, Si designamos por x a mi edad actual, ¿con cuál de las ecuaciones siguientes se determina ella? A) 3(x ., 6) - 2x
E)
3
está encerrado
por x metros
de cerca
2X2
x x
x'
C) 2x - 3(x - 6) = x D)
2x - 3x - 6 = x
E)
2x - 3x + 6 =x
x2 E) 72 l
116 '117
..
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
26) Si la ganancia
SEGUNDO EJE TEMÁTICOrresl N' 4, ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y PROBLEMAS CON ENUNCIADO VERBAL
que se obtiene de la venta de un artículo que cuesta C pesos y. se vende en S pesos
1 es G = - e, entonces n.
~
29) Si x e y son ambos distintos de cero, ¿es x igual a y?
. la ganancia está dada por .
(1)
~
= 2°
Y A) G
= _.-1
S
(2)
n-1 1
B)
= -
G
n
=
C) G
D) G
=
S
_n_·S n+ I _1_ S n+1 .
2x+2y 4
A)
(1) por sí sola
B)
·(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E)
Se requiere información
adicional
30) ¿Cuánto .tiempo demoran Susana y su madre en pintar una muralla? (1). Susana,
E) G=
= O
~S n-1
trabajando
sola, pinta la muralla
(2) Su madre, trabajando
27) ¿Cuál es el número de tus discípulos? se le preguntó un día a Pitágoras. "La mitad, respondió él, estudian Matemáticas, un ·cuarto· los misterios de la N aturaleza, un séptimo meditan en silencio. y además hay tres mujeres". ¿Cuántos discípulos varones más que mujeres tenía Pitágoras? .
A)
(l) por sí sola
B)
(2) por sí. sola
en 3 horas.
sola, demora 4 horas.
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
A)
3
D)
Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
B)
7
E)
Se requiere información
C)
14
adicional
D) 21 E)
22
28) ¿Es x + y + z
=
l?
=
1
(l)x+y=l (2) y +
z
A) (1) por sí sola B)
(2) por sí sola
e)
Ambas juntas,
(1) y (2)
m
D) Cada una por sí sola, (1)
Ó
E)
adicional , .
Se requiere
·información
118 119
PSU. Cuaderno
de
·'
CAPÍTULO 4. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VERBAL . Test N° S: Problemas' de planteo con ,enunciado verbal "1) Las edades de un padre y su hijo son 45 y 9 años, respectivamente. ¿Dentro de cuántos estarán enla razón de cinco es a dos? A)
~
años
8
B) 10 C)
13
enteros
impares consecutivos
es 57. El producto entre el menor y el . '.
. A) 195 B) 221 C) 323
D) 3,57 . E) ~99 3) En un triángulo isósceles ángulo exterior basa]'?'
, el ángulo basal tiene 18° más que 'el ángulo menor. ¿Cuánto .
mide el
4) Entre Susanay Roberto forman una sociedad. De las ganancias,' Roberto. Si up día ganaron $n, ¿cuánto le corresponde a Roberto?
Susana
recibe Sm más que
n
A)
'2-m
B)
n-m 2
'2 + m n-m
- m'
2
150 km
'="". Sil. di","·
es seis años mayor hace 6 años?
'lue Valentina.
La suma
de sus edades
es 48, ¿Qué edad tenía
A) 27 años B)
24 años
'e)
21 años
D)
15 años
E)
12.años
8) Claudia, Luz María, y Trinidad fueron a comer. Si cÍividieroll' la cuenta en parte~' iguales y elmonto total con el 10% de propina fue de $15.67?, ¿cuánta propina dio cada una? A)
$522,5
$425
9) .La suma de dos números es 17. Si el número más grande , del más pequeño, entonces los números son:
mayor' que el doble
A) 2. Y 15. Y
14
B)
3
q
4 Y 13
D)
5 Y 12
E)
6
Y
11
A)
ID años
B)
11 años
con su tercera
parte es igual a su diferencia
con cuatro.
¿Cuál
es el
D)
13 años
E)
14' años
.
11) La edad de A es el triple de la de B y dentro de 20 años será el doble. Hallar la 'edad' actual de A.
A)
6
A)
20
B)
-6
B)
40
C}
9
e)
60
í»
-9
D)
80
E) -12
es cinco unidades
e) l? años
n-m.
5) La suma de un número número?
120
250 km
D)
'"00;;' '" po, "" el camión?
10) La fábrica, de bicicleias Ciclos produce 10.000 bicicletas al año. Si quiere aumentar la produc'ción a razón de 1.250 unidades más por año, hasta fabricar 25.000 bicicletas anualmente, ¿cuánto tiempo le tomará alcanzar su meta?
n
E)
450 km
e)
,ci, "re' 1,di""",
E) $375
E) , 144°
D)
600 Km
D)
114°
D) 132°
C)
A) B)
0' "" "
por ambos es 700 km, ¿cuánto recorrió
'e) $450'
B)66° C)
cia total recorrida
DE PLANTEO CON ENUNCIADO'VERBAL
B)$475
48°
A)
6).L, ili,~, ¡, ''''',' d, pO;
7) Francisca .Francisca
Nunca'
2) La suma de tres números ,mayor es
¡
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N' 5, PROBLEMAS
E) ·100 ,km
D) 15 E)
f
.
Ejercicios, Matemática
E) 100 . 121
psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO /Test N° S. PROBLEMAS
12) De acuerdo con un testamento, una herencia se repartirá entre dos nietas y dos instituciones de caridad. Las dos nietas, Daniela y Macarena, deben recibir el doble de lo que obtenga cada una de las instituciones de caridad, la Cruz- Roja y el Hogar de ancianos Atardecer. Si la herencia es de $240.000.000, ¡.cuánto recibirá cada nieta?
13
Y
4
B)
14
Y
7
C)
15
Y
6
C) $60.000.000
D)
16
y
5
D)
$65.000.000
E)
19
y
6
E)
$80.000.000
A) $40.000.000 $45.000.000
18) Los 13} Si un obrero cobra $400por .rá IJar cortarlo en 4 partes?
cortar verticalmente
3. de
las gallinas de un agricultor son blancas, 53· nas. ¿Cuántas gallinas tiene el agricultor?
un tubo metálico en d9S partes, ¿cuánto cobra-
A)
$400
A)
B)
$600
B) 30
C)$800 D)
$1.000
E)
$1.200
E)
75
. A) $20.000 B) $30.000
C)
$2.000
C) $40.000
D) $2.600
D) $60.000
E)
E)
$3.200
$36.000 $267.000
Javiera
y Sofía de manera
que Javiera
recibe
$90.000
:20) lfna sala tiene doble largo que ancho, Si el largo se disminuye 4 m, la superficie de la sala no varía. Hallar el largo inicial.
B)
20 m
C) 22 m
$321.000
D)
24 m
E) $339.000
E)
26 m
16) En un curso hay 60 alumnos. Si hay 15 niñas más que el duplo de varones, en el curso? . A)
12
B)
15
en 6 m. y el ancho se aumenta en
A) 12 m
C) $303.000 D)
son castella-
19) Se reparten $180.000 entre A, B Y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio de la de C. ¿ Cuánto recibe B? . .
$600·
B)
son negras y las 20 restantes
C) 35
$1.800
A)
.!.
28
B)
15) Se ha repartido $642.000 entre dos personas, $36.000 más que Sofía. ¿Cuánto recibe Sofía?
AL
D) 60
14) En cada día, de lunes a viernes, gané $600 más de lo que gané el día anterior, Si el viernes gané $5.000, ¿cuánto gané el día lunes? . A)
VERil
17) Dos números suman 21. Dividiendo el mayor por el menor se halla por cuociente 3 y por resto l. ¿Cuáles son estos números? A)
B)
DE PLANTEO CONENUNC(ADO
¿cuántos varones hay .
21) Si el promedio de seis números es -6, y la suma de cuatro de ellos es 20, ¿cuál es el promedio de los otros dos números?
A) ,
7
B)
8
C) 30
C)
-8
D) 42
D)
-28
E) 45
E)
-32
122 123 "S\i
PS U. Cuaderno
de
, 22) Diez socios de un club deportivo acordaron comprar nuevos uniformes para el equipo de, fútbol a un costo total de $M. Después de una discusión 2 socios se retiran. ¿En cuántos pesos se incrementa el costo-correspondiente a cada uno deIos 'restantes socios? A)
'f' :t
Ejercicios, Matemática
M-20 -2-
M
I
9
p"f,,,~ " "tr~ • ,,,,,,.
,,,o·
pre,,"" , "" .I,m"" ",',," '"
1 . 27) U, d, 01"," "",d0;1 El , diante responde: si toma el doble del número que somos y lo divide por cuatro y además me, cuenta a mí, somos exactamente 25. ¿Cuántos estudiantes eran?
M B) 40
C)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 5. PROBLEMAS DE PLANTEO CON ENUNCIADO VER:BAL
A)
24,
B)
25
C)
48
D)
49
E)
IDO
28) Se puede conocer el 'valor de x si: (1) La quinta parte de x es 2.
D)
M
(2)
-
2
E) 2M
60°
B)
75°
C)
90°
D)
100°
E)
105°
son suplementarios.
1;
Si el doble del menor excede en 45° al mayor, ¿cuánto mide .
y están en la razón de 2 : 3. ¿Cuánto mide el menor de ellos?
D)
:1, I1
11
. D)
I
E)
2
2. (a
solo, .el hermano
(2) Trabajando
solo, el hermano menor demora
en pintar una habitación
trabajando
juntos:
mayor demora 3 horas 1,5 veces lo que tarda el mayor
. A) (1) por sí sola
Cada una por sí-sola, (1) Ó (2) información
adicional
30) Sea N = 10d + uun número de dos cifras en el sistema decimal, y "u" la cifra de las unidades. ¿Es N par?
siendo "d" la cifra de las decenas
(1) (d + u) es un número par
B) (2) por. sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D). Cada una por sí sola, (1)
Ó
E) Se requiere
adicional
información
(2) ,
+ 1) = a'
B) 2a + I
= a'
C) 2a - 1 = (2a - 1)" D)
cuánto tardarán dos' hermanos
(1) Trabajando
A) (1) 'por sí sola
26) Sea "a" un número. Si el doble de este número excede en 1 a su cuadrado, ¿cuál de las siguientes igualdades corresponde a ese enunciado? A)
(2)
(2) "u" es dígito par'
B) -1 C) O
'jl'
'1
36°
'A) -2
\¡
29) Se 'quiere determinar
E) Se requiere
E) 54°
"
adicional
información
C) Ambas juntas, (1) y (2)
25) Sea x un número entero. Si el cuadrado del sucesor de x es igual al sucesor del cuadrado de x, ¿cuánto vale x? '
:1 '
Ó
E) Se, requiere
'D)
,C) 32° i'
D) Cada una por sí sola, (1)
B) (2) por sí sola
18°
B) 25°
:J
entre el doble de x y -l Oes igual a x.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
[
24} Dos ángulos son complementarios A)
diferencia
B) , (2) por sí sola
23) Dos.ángulos este último? A)
La
A) (1) por sí sola
RESPUESTAS CORRECTAS
2a = a' + 1
E),. 2a = (a +1)2
124
125
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO / Test N" 6, DESIGUALDADES, iNECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES
CAPÍ'fULO S. DESIGUALDADES Test N" 6: Desigualdades, inecuaciones
E INECUACIONES LINEALES y sistemas' de ínecuacíones lineales
6) La solución
del siguiente
sistemas de inecuaciones
, 1) La máxima velocidad
v permitida
en carretera es de 120 km. Al expresar matemáticamente' h
esta
A)
{x E llt / x > - 3 }
se tiene
{x E llt I x 2 - 3 }
120
C)
{xEllt/x>2}
B)
O < v < 120
D)
{x Ellt
C)
0
E)
{x
D)
v>120
El
v 2120
s:
A) O < v
A)p.
A)
B) Pi + 82 p. . C)
P, s: Pa-
8
D)
8 - Pa
s: P, s: 8
88
Bl
89
C)
90
gráfica de la inecuación 2x _ ~ > x + 10 es 3 3
~
, ,
"
7 E)
7 8)
La solución
A) , y BC = 9 cm. ¿Cuál de las siguientes desigualdades
debe
~
B)
C)
~
D)
D) 3 cm < AC < 15 cm < AC < 15 cm
A) [-3, +
de la inecuación
5
• ~
Ew
3 cm < AC < 9 cm '
soiución
7 2 (x. - 2)2 es
5
< AC < 15 cm
5) El intervalo
gráfica de la inecuación (x _'1)'._
5
A) 6 cm < AC < 9 cm
9cm
3
~
D)
4) En un L'. ABC, cualquiera, AB = 6 cm verificarse para el tercer lado?
E)
es el conjunto
7
E) 92
C)
I
"(
D) 91
B) 6cm
x+4)
Ix2 2 }
lFU-
C)
3) ,¿A lo más, cuántos pepinos a $200 cada uno, más una sandía de $1.800 se pueden comprar con un billete de $20.000? A)
(
7 B)
- PiS: 8
E} Pi - P,
E
7) La solución
2) El doctor indicó al Sr. Juan Gordillo que, co'nsiderando su peso actual (p,), y su peso ideal (p), , debería bajar por lo menos 8 kg. La expresión matemática para esta relación es
,
5x+222
B)
proposición
2x-1 <3x+2
'" 5
E) 3x -,14
< 7x - 2 es
5
=I
B) ,]-=, - 3[
C) ]-00, - 3] D) ]-3, +
E) ]3, +
126
=I
=I
127
v ~i
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
9) Al expresar gráficamente
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I,TeS!N' 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES
y como intervalo
,
el conjunto solución del sistema
5x-4>7x'-16 8-7x<16-15x
obtiene
(~
A)
]-00,
1[
]~,
1)
] 1, =I 1
{x E Ilt 1-3::; x < - 7}
C)
[x E Ilt 1-3 > x ]
[1,
oo[
B)Menos
1,
e)
E) ,'''4~}
)
-
00,
1 [ u ) 1, 00
[
,
solucióndel
,
siguiente
Tht
B)
[3,4
C)
] ~ ,4 [
D)
Ó
menos
Ó
10
14) Al resolverla
inecuaciónl
x~3
A) jr, 2 [
x<4
B) ] - 00, 1 ) u ) 2, 00 C) [1,2 [ , \ D) ) -;:-00, I[ u] 2,
[
00 [.
15) La solución' de Ja inecuación
A)
[~,%]
B)
[~,oo[
[
11) La soluéión del siguiente
11- xl $.!.
es el conjunto
2
[
00
9 - 61\ I > 3 se obtiene como solución
, E) Ilt
[
)-00,4
E) [3,
9
sistema es ,
2(x-1»5 A)
de la
9 ó más
D) 10 E)
10) El intervalo
¡l
A) Más de 9
~
D)
B)
13) Se quiere poner 24 libros. en un estante de modo que en la parte superior haya al menos 7 libros' '.y en la inferior, menos del doble qne en la superior, pero más de 13, ¿Cuántos libros se podrán 'poner en la parte superior del estante?
1
~
-5 > 2x + 1 ~ -13 es
A) {xEIltI-3>x~-7}
El
~~
C)
12) El" conjunto solución de la inecuación
O) [x E Ilt 1 x ~ - 7}
1 B)
I Se
sistema está dada por el intervalo
5(x-3)~~2+x 3x >2x+4
C) J-oo,%J
x<3 A) 'J3,3-:l-JU]4,o:.[
D) [0,%]
B)[3¡,4[ E)
'J ~'2 lJ"[3u 2'co[
C) ]-oo,3t]v ]4,oo[ D) ]-oo,3[ u ]4,oo[ E)
¡l
128 129
"~'< SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 6. DESIGUALDADES. INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
16) ¿Cuál(es)
de las siguientes
1 1) a+- ?::2, a .
es(son) verdadera(s)? 20) Al resolver el siguiente
Va effi:.
a:i 1 II) --:'>1+ a" 2'
sistema de inecuaciones
si
2x
-:-:; 7
< 5 se obtiene como solución O
A) ]-00, 7[ a > O, b > Oy
ab
=
B) [7, +=I 1
C) {7}
r
B) Sólo 1 y
x+3 2 2 -
VáelR,;
III) (1 + a}(1 + b) 2: 4, A) Sólo
desigualdades
. D)
TI
E)
IR, . !il
C) Sólo 1 y I1I D) Sólo II y III E)
r, II
Y III
17) ¿Qué números
enteros
cumplen
simultáneamente
con las dos condiciones
síguíentes o
A)
500 años
B)
750 años
entero positivo.
C)·
800 años
entero positivo mayor que .l.
D)'
900 años
E)
1.000 años
1)' el doble del número más 3 es menor que 11: Il) el triple del número más 2 es mayor que 5: A) cualquier B) cualquier
C) sólo el 2 y 'el 3. D) los enteros positivos E)
no existen
números
menores que 4.
22) El conjunto solución de la inecuación
enteros que cumplan las condiciones
dadas.
18) En un teatro con capacidad para 500 personas se iecaudaron más deS2.000.000 el día del estre- . no. de una obra dramática. Si la entrada valía $6.000, ¿cuántos espectadores 'asistieron ese día a la función? .
C) El número de asistentes
es mayor que 333 y menor o igual que 5QO.
l[
B) ]0, l[ C) ]0,
=I
.¡. -
1 2: O
[1, oo[
C) [1, oo[
IR,
23) Los números reales que satisfacen la inecuación
x' - 6x + 8 < O pertenecen
al intervalo
A) ]-oo,2[
D) 333 espectadores. E) 334 espectadores
u
B) ]-00, -1]
E)
B) Menos de' 500 espectadores.
19) ¿A cuál- intervalo
A) ]-00, -1]
D) (-1, 1]
A) 500 espectadores.
A) ]~,
21) La.esfinge de Tebas" amenazó a un caminante con matarlo si no respondía correctamente a.Ia siguiente pregunta: "Hace 500 años mi edad no era superior a la mitad de la que tengo ahora, y dentro. de 1.000 años no será mayor que el doble. ¿Cuál es mi edad?". Si el caminante sobrevivió a la prueba, ¿cuál fue su: respuesta?
..'
pertenecen
los números
reales que son mayores
que su cuadrado?
B) ]4, =I C) !il D)
IR
E) ]2,4[ . 24) El conjunto solución
D) [O, 1]
A)
E) ]-1.,O[
B) ]~oo, ~3[
de la inecuación
x' + 6x + 9 > O es
C) . ]-3, =I D) {-3} E)
130
IR-
{-3)
131
PSU ';Cuaderno
25) Al resolver la inecuación A)
IR.
B)
i1J
r
Matemática
de Ejercicios.
x' + x + l < O se' obtiene' como solución
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 6, DESIGUALDADES, INECUACIONES y SISTEMAS DE INECUACIONES LINEÁLES
30) Después' de un viaje, a Francisca le sobraron algunos dólares y algunos, francos, Si por aquel entonces una moneda de 1 dólar equivalía a $420 y, un franco equivalía a $9Ó, ¿cuántos francos tenía Francisca? (1) Francisca
C) [-1, 1] D)
E)
IR. IR. ,
tenía ¡'a mitad de monedas de un dólar que de un franco.
(2) El valor en pesos de los dólares y francos que tenía estaba entre $5,500 y $5,900.
+
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola
El'r conjunto solución ión de 2x + 1 <, 3 es eIaIa imecuaci ió n ---' , x+2
2)6
l·
C) Ambas juntas, (1) y (2) ,
A) l+=. -5[
=I
. Bl ]-2,
C) ]-=, -5[
u ]-2,
O)
Cada tina por sí sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere
información
adicional
Co[
D) ]-5, -2[ E)
W,
27) Al resolver
la inecuación
x+3 -3
4
x+2
>
l
3
se obtie~e ecmo solución el intervalo
A) ]-=, -2[ u ]2,=[ . B) ]-2,2[
C) }-=, -2[ D) ]2, =[ E) ]-=, -2] u [-2;
=I
28), Si un cjradrado tiene lado "a" y esta longitud cuadrado en más de un 10%?
se .incrementa
en x%, ¿se incrementa
el área del
(1) x < 10%
(2) x> 5% A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
\
e) Ambas juntas, (1) y (2) D) ,Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere' información
adicional
29) Se pide encontrar la longitud del mayor de los lados de un triángulo medida por un número entero. (1) Dos de los lados del triángulo (2)
ABC, sabiendo
que está
miden 2 cm y 9 cm,
t;. ABC esescaleno
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas,
(1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere
información
adicional
132 133
¡,; PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test' N" 7. GEOMETRÍA ANALíTICA BÁSICA
CAPÍTULO 6. GEOMETRÍA Test W 7: Geometría
ANALÍTICA BÁSICA Analítica básica
5) ¿Cuál es el área de' un círculo que tiene un diámetro con extremos A (-3,3)
y
B (3, -3) ?
A) 24n: 1) En la figura adjunta,
ABCD es un cuadrado con su centro en el origen O y de lados paralelos a los ejes X e Y. Si las coordenadas del vértice C son ¿cuáles son las coordenadas del vértice A?
(4,4),
A)
(-40/2,-4-12)
B)
(-':-4-12;~)
C)'
('-4, -4)
D)
(~,4)
y.
e
D
B)
l8n:
C)
l2n:
D)
9n:
E)
4n:
,6) Si A ( 0, a). B (O,-4)
E)
o
x B
A·
(4,-4)
2)· Si el punto A tienecoordenadas A y B? A)
10
B)
9
C)
8
D)
7
E)
6
5
B)
17'
C)
13
D)
18
E),
600,
(1, 2) y.el punto B tiene coordenadas (9,8), ¿cmí.l es la distancia entre
4) ¿Cuál es el perímetro de un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas A)
3+.J2
B)
3-12.
son los vértices de un paralelógrarno, entonces a
=
A) -8 B) -7 C) -6
E)-l 7) El área de la figura que resulta al unir consecutivamente los puntos ~
(-1,-2), B (3,-2), C(5,2)
y
D(I,'2) es . A) 4$5 B)
1612
C) 2$5 D)
16
E) sF2 8) El área del triángulo con vértices en los puntos A(3,4), B(-3,-I~ A)
(1,4); (1, 7)y
(4;4)?
y C(I,-3)' es
16
, .Jl3. J6í
B)
--
2
.Jl3.~ C)
C) 6
2
D) 12
D) 6+3F2 E)
Y D (2,2)
D)-2
3) La 'distancia entre los puntos A(-5, 4) Y B(7, -1) es A)
:C(2, -1)
E) 10
9+3.fi
l'
J '"
135 ,\
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
9) El cuadrilátero C (-2,3).
ABCO es un trapecio
Las coordenadas
A)
(-1,0)
B)
(-2,0)
e)
(-3,0)
D)
(~4,0)
E)
(7,0)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N" 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁS!C~'
isósceles
1)
BC y vértices
A{3,O) , B(2,3).y
13) Si· M (-3, O) es el punto medio del trazo AB, con A ( 4,6)
del vértice D son
A) (-ID. -6)
tienen coordenadas:
(O,-2),
(-1,
O) y (-2, -2).
Las'
B)
(i, 3)
e)
(11. 12)
O)
(i.3)
14) Si el punto medio del segmento que tiene por extremos
del cuarto vértice pueden ser:
(-3,0)
II)
De las afirmaciones
anteriores,
coordenadas
(1,0)
entonces m =
-2
e)
.
1, II Y ID
11) El triángulo que tiene vértices en los puntos
D) --
3 2
E)
2
A(0,3), B(7,6)
y C(2,8)
15)
es
Si
A(-2,0), B(1O,8) Y e(0,8)
A) escaleno
la transversal dé gravedad
B) equilátero
A)
4.[2
B)
.J29
e)
216
re~táng\llo escaleno
. D)' rectángulo
E)
tiere
B) -3
Sólo TI
D) Sólo 1 y II
e)
P(m.2) y Q(3m,~4)
A) -4
esíson) verdaderats):
e) Sólo ID
E)
(-6, -1),
los puntos
ID) (-1,-4)
A) Sólo 1 B)
. entonces las coordenadas de B' son
E) (-:-5. -3) .
lO) Tres de los cuatro vértices de unparalelógrarno coordenadas
con An·!!
isósceles
obtusángulo
12) Las coordenadas
del punto medio del trazo que· tiene por extremos
los puntos
p (1,,3 ;
2,4)
Y
t
Q(2,5 ; 1,6) son
D)
215
E)
4.
son los vértices de un triángulo. ento~ces, la ~edida de la longitud
ce
t, es
A) (3,8; 4,0) B) e)
(1,9;2,0) ,(3,8; 2,0)
O) (1,9; 4,,0) . , E)
(1,8; 2,5) .
r
136 117
-<
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
16)
Si
A(-2,S),
siguientes
B(-4,1)
proposiciones
1)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 7, GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSICA
, C(-2,-3)y
D(O,I)
son los vértices de un cuadrilátero,
¿cuál(es) de las
19) En la figura adjunta, el área del triángulo ABC es 24, ¿Cuáles son las coordenadas del punto B?
es(son) verdaderaís)?
A)
(W,-2)
E)
(10,2)
C)
(2,6)
O)
(8,-2)
l'j¡
ABCO es un rombo Perímetro de ABCO es
U)
8.)5
Ill) Área de ABCD es 32
°1
A) Sólo 1 ' B)
sere r y n
C)
Sólo Iy III
20) Si ,A(-2,-i)
1, U Y III
Y B(2,-2)
X
~B
'L,
son dos vértices del triángulo equilátero ABC, entonces las coordenadas,
del vértice C pueden ser:
l7) La distancia entre los puntos P [a,b) y Q (b, a) es siempre igual a ,A)
b A(2,-2)
E) Falta información para .determinarlas.
, O) , Sólo II y III 'E)
<;:(2,4)
II) (0,-2(,.}3+1))
1) (0,2(F-:-l))
°
B) a+b
A) Sólo 1
C)
B) S6lo
2a+2b
III) (0,0)
n
C) S6lo III
O)
(b-a)$
E)
lb.., al.J2
18) ¿Cuál(es)
D) Sólo 1 y E)
de las siguientes
PíOPosicion~s
relativas
al triángulo
de vértices
D(4,1),
E(-l,-l)
y
n
I, II Y ID
21) En la figura adjunta. ¿cuál es el área 'de la superficie achurada?
y F(2,-4)
es(son) verdaderars)?
A) 5,5
II)
"
7.J2
La altura respecto al lado EF mide --
'El áfea del 6, DEFes
,
O),
2
3,0
,22)
Si A(-6,0).
1
2
3
X
B(O,O) y C(0,8)'
son los vértices de un triángulo.
la medida de la longitud
de la
mediana que es paralela al lado AC es
B)
S610 II
C)
Sólo 1 y U
A)
S610 1 y III
B)
4
C)
5
E) , 1, II Y
UI
2,5
E 2
A) S610 1
O)
2
C) 4.5
'E)
rm
3
B) 5.0
1) 6, OEF es isósceles con base EF
ni
3
D)
6
E)
io
"
138 139
PS U. Cuaderno 'de Ejercicios; Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO J Test N° 7. GEOMETRÍA ANALÍTICA BÁSIC~',
23) Si el "'- PMN de la figura adjunta, es isósceles coordenadas del vértice M son A)
(O,2b)
B)
(2b,i)
con base PM, entonces ,se puede afirmar que las
26) ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a una circunferencia 107 l)
Y.
I
A)
Wb,c)
(8,6)
(2c,a)
D)
(2b,a)
E)
°1
(2a,2b)
24) En la figura del ejercicio
coordenadas
X
de la, imagendel
B)
Sólo l yIlI
El
l, TI
r lIT
A( -2,3),
B( 5,3), C( a, 7)
y
D(l,7)
son los vértices del paralelógramo
ABCO, entonces la
diagonal. AC mide
punto N, 'como
A)
resultado de' una reflexión respecto de la recta PM 7 A)(b,
(-251,4)
rr
D) 27) Si
anterior, ¿cuáles sonIas
'IlI)
C) 'Sólo ly II
'>M
P(O,a)t'J
(-sfi, -sfi)
y radio
seier
B)Sólo C)
,Il)
con centro en el origen
-c) (-b,c)
n
B)
,2J29
C)
6.J3,
I
I
D) 10 C)
(b,a-c)
D)
(bJ2il+c)
E)
(b,2a-c)
E)
25) ¿Cuáles son las coordenadas
A)
B)
28)
(1) Los puntos de coordenadas
D)
(O,~)
(-1,2.J3).
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)' y,
D), Cada una por sí sola, (1) ó (2) . E) 29)
B
Se requiere información adicional
Se quiere determinar I<\Scoordenadas del vértice B de un triángulo equilátero ABC del cual se conocen:
A(-:-6;O) y C(O,.6). A(a,O)
(o,~)
son los extremos de un diámetro del círculo,
A) (1) por sí sola B)
'3
(O,2a)
(3,2) y (-3,-2)
(2) El círculo tiene su centró en el origen y pasa por el punto de coordenadas
'3
C)
E)
I
del.vértice B del triángulo OAB de la figura adjunta?
(O aJ3) (o2aJ3)
4fi
Para determinar el área de un círculo se sabe que:
(1) B es un punto del cuarto cuadrante ..
x
(2) B es un punto de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante. A) (1) por sí sola B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) 140
Se requiere información adicional
111
~r'f
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 8. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECIA
30) Para determinar las coordenadas (1) Sus vértices son:
del baricentro G de un triángulo ABe se sabe que:
A(-5,2),
B(3,0)
y
CAPÍTULO '7. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA Test N° 8: Ecuación cartesiana de la recta
C(I,6). 1) Dados los puntos A(2,
(2) Los puntos medios de los lados tienen coordenadas:
(-1,.1), (2,3) Y (-2,4).
y e sean colineales?
S),
B(3, 4) Y CC-l, x). ¿Qué valor debe tener x para que los puntos A,B
A) -1
A) (1) por sí sola
B) O
B) ·(2) por sí sola
el
e)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1)
Ó
E)
Se requiere información
adicional
D)
(2)
4
E)
es -7, pertenece a la recta cuya ecuación cartesiana es ,6x - Sy = iJ, entonces la abscisa de Q es: '
2) Si, el punto Q, cuya ordenada
Al -3 Bl -2 el
O
D)
1
E)
7
3) El punto Míx, x + 1) es el punto medio del segmentocuyos B(5x - 1, 3x - 2l,'entonces x =
extremos son los puntos A(-x
+ 3; 5; Y
Al -5 Bl -1 e)
3
D)
7
E)
9
4) El punto P, de abscisa -2, es un punto' de la recta de ecuación , la ordenada' de P es
cartesiana
3y'- 2x = 19. Entonces
Al
3
B) ,e)
D)
,
-2
23
3' 25
El
2 .
S) La ecuación cartesiana A)
-3x
-lo
2y
que representa
a la recta de la figura es
=O
Bl3x-2y+2=O e)
2x-3y+2=O
D)
-2x + 3y + 6
E)
2x - 3y + 6
=O =O
-3
o
x
142 ~3
PSU. Cuaderno
Ejercicios, Matemática
de
6) La ecuación
que representa
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 8, ECUACIÓN CARTESIANA
a la recta de la figura es
\.1) La pendiente de la recta de ecuación: 3ic - 9y - 4 = O es
A) 2x + 3y - 6a = O B) 'e)
3x+2y-6a=0 3x - 2y - 6a
=
O
A)
3
B)
-3
e)
--1
D)
1 -
D) 3x + 2y + 6a =0
.x
E), 3x - 2y + 6a = O 7) La recta
de la figura está ,mejor representada
=
A)
x - 2
E)
y - 2 =O
por la ecuación
,Y
O
D)
x + y +2 = O
A)
X,-
B)
x +
de la. fj~ura está mejor representada
2
B)
y
=O 1 = O
2
C) y~l=O
1-
y + 1 =O
E)
x + y +'1
A)
x
por la ecuación
1
D)
-1
=O
o
x + y + '2
E)
x +y ~2
e)
x -
y
+2
I -1
x
=O = O' =O
14)
9 de la recta de ecuación: x
=
4y _ 8 es
1 4 4
e)
1
D)
8
E)
2
A)
2
B)
-2
e)
3
D)
-3
= O tenga
una 'pendiente
6, el valor de k debe ¡er
Una recta paralela" a la recta de ecuación: 5y
=
12x
+ 20 es
A) Y = 12x + I
E) x'-y=O cartesiana
4
E)6
D) x - y - 2 ='0
10) La ecuación
3
13) Para' que la recta de ecuación: 3kx + y - 10
,9) La ecuación' de la recta de la figura es A)
3
12) La pendiente
o1
E) x-y+2=0 8) La recta
E)
2 .1
C) x+y-2:=0
DE LA RICTA
que representa
B)
y ,,;-sx - 2
C)
Y = 4x + 8
D)
5y=
E)
,10y = 24x
a 'la recta .de la figura es
12
A)
2x - 3y = O
B)
2x + 3y = O
e)
3x + 2y = O
D)
3x - 2y
E)
3x + y = O
s-x-l
15) La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-5, ,2) Y Q(2, -1) es'
=O
x
+1=O
A)
3x + 7y
B)
x + 2y = O
C)
3x + 8y
-r
1= O
D) 4x + 7y - 1 = O E) 144
2x + 5y = O
145
'j.•
PSU. Cuaderno de Ejercicios,
Maremática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA I
16) La recta L del gráfico de la figura siguiente tiene por ecuación:
=2 x -i- y = 3 2x - y = l x + 2y = 2
A) x + y B) C)
~ ~I
D)
E) 2x'¡' y
L
,
20) La rectal y
La ecuación de l es
3
A) Y = x
2
B) y =-x
"-
<;
C) y
•,
'= 2
.
pasa por el origen del sistema de coordenadas
01
1
2'--- "
X
.
'
y es perpendicular
a la recta y = x - 2.
=x+2
D)
y=-x+2
E)
y = -x - 2
J7) ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la nieta 5x - 10y + 8 ,;, O? . A) Sx - 2y + 4
2.1) La ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas 3x + y = 2es:
=O
B) x - 2y -i- 16 = O
I i I
8 C) x + 10y +.'-'- = O . 5
I
~ I~ ~ 1 ~
8 . El x + 2y + -
'. ,18) La recta que pasa por el punto (-3,2)
.
A)
'.
x - 2y +
B)
Y = 2x + 3
D)
1 y=-x-2
E)
1 y=-x+-
=O
5
!.
y = x + 2
.
.
' , . 3 Y que es paralela a la recta y =- x+2 es
3
1-
3
3
2
22) La ecuación que representa
7 =O
B} Jx - 2y + 13 = O ' 1, i ~,
Al
-x -'3
,
C) 3x + 2y ~ 2 = O
E)
x- 3 =Y
It·
D) 3x": 2y - 5
C)
x + 3 =Y
~ ~
E) 2x + 3y -
D)
x - 3y - 3
E)
3x - 1 = 3y
\1···.·
I
=O 1 = O.
19) Si las rectas L, : 4x - 3y = p, Y' L2 :-2x A)
+
ky = 15 son paralelas,
entonces el valor de k, es:
-3 .;.
3
B)
-"2
C)
3
~ ~
2
a la recta
1 e) y=-x+2 3
8 . D) x - lOy +- = O 5
."1
A)
(-2, O) Y es perpendicular
l . 23)
a la recta L de lafigura
adjunta es:
y 3
=Y L
= O -3
-2
-1
2
o
2
3
x
Dados los puntos M(7, -1) Y N(-2, 8),en¿ontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen de!. sistema de coordenadas y es perpendicular a la recta. MN. A) x + y =0
'=
E)
x - y
C)
4x -:-y
O
=
O
D) x + 4y = O
D) E)
146
3 -
E)
7x - y = O
2
3
147
l PSU. Cuaderno
~
I
de Ejercicios.
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 8, ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA
Matemática
~. 28) Se pide determinar la ecuación de' una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas; Para ello se sabe, además que: ' '
24) La ecuación de la recta que corta a los ejes X e Y en los puntos (5, O) Y (O, 2) respectivamente,. es:
=
A) 2x -5y
(1) pasa por el punto (1, 2)
10
(2) tiene pendiente \
l.
2
A) (1) por sí sola
B) y=--x+l 5.
B)
(2) por sí sola
2 .
C) Ambas juntas, (1) y (2)
5
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
C) x =l--y D) 5x + 2y
=
10
E)
2x + 5y = 10
El
25) El perímetro del triángulo determinado .4'
por la recta ~
+
'i...
3
=
1, Y los ejes de coordenadas '
es:
Se requiere
información
(2) k = 5
B)
6
A) (1) por sí sola B)
C) 7 9 12
= 0,
se pide hallar la ecuación de la recta paralela a
(1) pasa por el origen del sistema de coordenadas
5
E)
adicional
29) Dada la recta cuya ecuación es 2x + ky - 7 ella si se sabe que:
A)
D)
2
.
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2),
26) En la figura adjunta, la ecuación de la recta L, es y = El área del triángulo
% x , ;la
OI'Q mide, en. unidades, cuadradas:
E)
Se requiere
información
adicional
ecuación de la recta L2 es y = ~ x + 2 , y
L¡
30) Una recta corta a los ejes de coordenadas X e Y en los puntos P y Q, respectivamente, determinar la pendiente de la recta PQ y para ello se. da la siguiente información:
L,
Se pide
(1) P(4, O)
A) 1
(2) Q(O, 3)
Bl' 2
.A) (1) por sí sola
C) 3
B)
D) 4
C) Ambas juntas, (1) y (2)
E)
x
6
27) Si se hace rotar en 90°, enel sentido antihorario, la recta x + y = O en torno al origen del sistema . de coordenadas, entonces la ecuación de la recta así retada será: 1) -x -
Il)
(2) por sí sola
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere
información
adicional
y=O
x-y=O
III) -x + y
=O
A) Sólo 1 B) .sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III E)
148
Ninguna de las anteriores
149
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CAPÍTULO 8. SISTEMAS DE EéuACIONES LINEALES Test N° 9: Sistemas de ecuaciones lineales
1) Si u = v,
y 4u = 2v - 6, entonces' u =
A) -12
6) Dado el sistema A)
C)
D) -5 Y -1
-4
D) ,:-3
, B) ,-2
D)
3
C) ((2, 3) } x + 2y = 25, 'entonces x =
D) (H, -3) } E)
<1>
8) La solución del siguiente sistema está dada por dos números enteros consecutivos y positivos tales que x > y: I x+.y =k x-y=k-2
35
E)
{(O, O) }
B) ((-2, l)'}
8
7
siguiente
x+2y=0
A)
D) 7
C)
5
El conjunto solución del sistema es
C) -1
9
son respectivamente
x:y=2:3
A) -7
B)
1 y
7) Dado el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
'2) Dado que x = 5 - 3y, y' x = 9 + y, entonces ,«y» es igual a
25
los valores de (x + y), y de (x-y) .
E) -1 Y -5
E) -2
A)
,
1
B) -1 Y 5
C)
3) Si 2x - Y = 5, Y
=17
llx-13y=7
5 Y
B) , -6
E)
13x-lly
x e y
I
4 entonces el valor de «k» es
4) Si
x + 3y = 15, y «x» es el doblede
«y», entonces los valores de «x» y de «y» son, respectivamente
A) O E) 1
A)
6 y.3
B)
4 Y2
C) 2
C)
2 Y 1
D) 3
D)
10 y 5
E) 4
E)
8 Y4
)
9) Dado el sistema 5)
Si 3x - 10y = 40, A) -7 B)
3~5
e)
6'
D)
7
E)
14.
y
4x + 3y = 9, entonces x - y = A) x =4, Y = B)
C)
"
x=O,y=3"
-x
= O, Y =
2x-3y=8
,',1,
6y-4x=9
entonces la solución es
° 2
°
D) no hay solución. E)
hay un número infinito de soluciones.
150 151
PSU.
Cuaderno
de Ejercicios,
SEGUNDO EJE TEMÁTlCO I Test W.9, SISTEMAS DE ECUACIONES
Matemática
10) ¿Qué valor debe tener el parámetro «a» para que sea x= y en el siguiente sistema?
'14) Dado el sistema: 8x-t-6y-24=0
ax-t-4y=1l9 5x-ay=
-12x -9y + 36 =0
34
Los valores de x e y corres ponden al par ordenado
A) -3 E)
O
el
3
A) (3, O) E)
D) (6, -4)
E) 34
E)
11) La representación
gráfica de las ecuaciones delsistema:
Hay una infinidad de pares ordenados que lo satisfacen.
15) ¿Cuáles'son
4x-6y=8
los valores de aye,
Al
corresponde
a:
B)
2 rectas paralelas.
E) 2 rectas perpendiculares. 2 rectas concurrentes.
-5
O
Y
e)
O y -5
D)
O y
E) -5
No corresponde a recias. 2x + ty = 4 . ., 2 6'1, no tiene solución 4x-t- y=
. 12) El sistema
5
Y 5
16) Sean a 10 b, Y a 10 . SI
A)
t =
D) a' -b'
2
E)
4
E) 17)
13) ¿Qué valorhay indeterminado?
,que dar a los coeficientes
entonces xy =
ab
E) -1
D)
ax+ by =a' + ab b. Si 'ay + bx: =b' + ba
O
e)
1
-r
B) a + b
A) -4
C)
para que la gráfica de ax+Sy= c contenga al
O
5 Y
D) 2 rectas coincidentes. E)
respectivamente,
origen y al punto (-6, -lO)?
-6x-t-9y=0
e)
(0,4)
e) (--,3,8)
D) 17
A)
LINEALES
a y brespectivamente,
a'-t-b'
Dado el siguiente sistema de ecuaciones para x e y, siendo a'" b , entonces (x + y) ,=
x y --+-a+b a-b
para que el siguiente sistema sea
2a
x-y 3x+5y=1
4ab
ax-by=4 A) 4a2 A)
12
Y
-20
E)
12 Y
20
e) -12
y
D) -12
Y -2.0
E)
20
B)
(a-t-b)'
C)
a'-b'
D)
a2 + b'
Otros valores 'E)
152
2(a'+b')
153 "!~
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
18) ¿Para
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Matemática
cuál, de los siguiente-s
pares
de valores
de u y v las rectas
L¡: 5x - 2y-l0
= O, y
L, : .15x - uy- v = O son paralelas no coincidentes? v
u A)
3
6
E)
3
30
Cl
6
10
D)
6
30
E) 10
20
l·
19 y
Encontrar la rapidez de la lancha en agua tranquila, en kif¡
h Al
8
1,5
Bl 3
y
8
D) 11 y
10
18 y
11
C) 4,5 D) 6 E)
20) Un padre tiene el triple de la edad de su hijo, menos un año. En dos años más, el padre tendrá el doble de la edad de su hijo más nueve años. ¿Cuál es la edad actual del padre 'f del hijo respectivamente? . 23
24 cm
23 1 Una lancha recorre 6 km en 40 minutos en favor de la corriente; el viaje de regreso le toma 1 hora.
C)
Al
15 cm
E)
y7
E)
14 cm
D) 20 cm
E)' 20 22
Al E)
C) 16 cm
19) La 'suma de dos números es 27. Dividiendo el mayor por el menor se obtiene un cuociente igual a 2 y un resto de 6 unidades. ¿Cuáles son los números? Ál
22l En un rombo la suma de las díagonales es 14 cm y se sabe que el área no varía cuando la diagonal más corta aumenta en 2 cm y, al mismo tiempo, la diagonal más larga disminuye en 2 cm. El perímetro del, rombo es de
7,5
24) La suma de 'los dígitos de un cierto numero menor que cien es once. Si los dígitos se invierten, entonces 'el 'numero disminuye en nueve unidades. La diferencia positiva entre las cifras del número original es A) O
y
8
E)
El
29
Y
10
Cl
56
y
19
C) 2
r»
35
y
12
D) 3
El
59
Y 20
21 1 El denominador
E) 9 de una fracción excede al numerador en 5 unidades.
Si el denominador se aumentara. 25) En la' figura adjunta,
en 7, el valor de la fracción sería ~. 2
¿Cuál es la fracción?
L¡ : x -
y=O
MN..L OM
con la recta L2:
Y PN..L OP. Si
3x + y - 3a
= O. ¿Cuál
R es el punto de intersección
de la recta
es la razón entre las áreas del triángulo OMR
y el cuadrilátero OMNP? Al .
2 -7
A)
1: 8
E)
1: 6
C)
1:4
y
1
El
'2
12 C) . 17
154
r»
22 27
E)
32 37
D) 1:3 E)
3:8
V
~b
Jl\~
I
X
155
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 9, SISTEMAS DE ECUACIONES
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
26) En una bolsa hay bolitas blancas y negras, 'La quinta parte de las blancas equivale a la tercera parte de las negras y el promedio del total de boJitas excede en seis a la mitad de las blancas, S.í b es el número de boJitas blancas y n el número de bolitas negras, el sistema que nos permite calcular b y n es:
i
t
28) El siguiente sistema tiene una única solución para las incógnitas "x" e "y" si:
ax+by
:i'
A)
~ ~
b~=~+6 2
e
c
dx+ey=f
n b - 3 S
¡
LINEALES
a
2
(1)
-;é-
(2)
c;é
b
d ' e
f
A) (1) por sí sola
~'
n b - 5 3
tt B)
\1 1: t, l'
b+n=~+6 _2_
B) (2)por sí sola C) Ambas juntas. (1) y (2) D)
2
Cada una por sí sola. (1) ó (2)
E) ,Se requiere información, adicional
!i.
b
-S -
I
~ e)
n '29) Se pueden determinar las ed~des de Ignacio y Francisca
3
b~=~_6 2
L
si se sabe que:
(1)
La edad de Francisca excede' en 7 años a la tercera parte de la edad de Ignacio,
(2)
La edad-de Ignacio es ig~a1 al tri;le de la de Francisca disminuid~ e~ 21.
A) (1) por .sf sola n b - 5 3
D) b+
B) (2) por sí sola, C), Ambas juntas. (1) y (2)
n _ ~ + 6 '
2 -2
D) Cada una por sí sola. (I), ó (2) E)
Se requiere información adicional
~=~
_ 5
E)
3
b~=~_6 2
30) ¿Cuál es el valor de x e- y? (1) a-b
2 2x -'-,6y'=. 3 px + lOy = q
27) Si el siguiente sistema depyqson
= 12
(2) ax + by-ay-bx
tiene un número infinito de soluciones. entonces los valores' A)
= 24
(1) por sí sola
B) , (2) por sí sola
i!
A)
¡: ¡,
15
6
9
C) 'Ambas juntas. (1) y (2) D) Cada una por sí sola. (1) ó (2)
¡
e:
10
P=~3' q=-3
I
B)
P=-s
¡l
10
I
~i!
,C)
!I
P=-3'
E), Se requiere información adicional
q=-S
9
q =-S
I¡ 6
11
~
D)
p=-S
E)
P=S'
t
6
I
Ü
9
q=-
RESPUESTAS CORRECTAS
5
9
q=-S
157
156
••••
f PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 10. POTENCIAS
CAPíTULO 9. POTENCIACIÓN Test N° 10:' Potendas ,1)
6) El número más grande que se puede escribir utilizando usar signos de operación, es
+,
+, . a
O
II)
L
B) Sólo
n..
,Sólo
E) 313'l, 7) l
I Y,II.
E) 1, II't
II)
A) Sólo
I y n.
B)
n y III.
(-1)' _(_1)0. (-1)': (-1)3
81'
C) O 1Il)
729'
D)
1
E)
2,
8) ¿Cuál es la cifra de las unidades
e) Sólo I
y 111. '
A) O
D) 1, u
III.
B) 1
y
E) 9
A)
53
B)
13 z
9) (-2)' + 2-'
C)
13
A) O
3
B) 1
D) 13' 223
C) 4
4) 73_ '10'=
D) 4!
A)
(-W
)3)
(_3)3
e)
(-3)'
D)
3'
E)
3'
E) 10) 3' .
15
C)
33',23
D) 33.24•
27' 3"
B)
322 81'
E)
t
81 as
11 ) La cuarta potencia A) 4.2.53
Para la definición inducuva del concepto de potencia de base reafy exponente natural. consultar-nuestro Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006, página 188.
del doble del cubo de cinco se escribe
simbólicamente
como
B) 4· (2 . 5)3
5
C) 2· (53)'
33
O) (2' •
=
A)
C)
3'
B)
indeterminado
D) 81"
5) 3' - 33 equivale a
E)
36O?
D) 7
3)2'+11'=
A)
del número
e) 3
E) Ninguna.
E)
=
13) -1
96 tiene el mismo valor que lafs) potencia(s)
3"
>
A) -2
IlL
2) La, potencia
Sólo
a' -, . a'
III.
D) Sólo
1)
III)
B) 333 C)- 333 D) (33)3
A) Sólo
e)
a" a
tres veces la cifra tres, sin '
A) 333
De acuerdo a la d~finición inductiva '(n de potencia para basé real y exponente natural, la expresión a' es igual a' , '1) a'
exactamente
Manual de Preparación P.S.U. Matemática, editado por '
E)
(23•
53)4 53)4
158 159,
:w' PSU. Cuaderno
de
Ejercicios, Matemática
=
12) (n-I + n-')n' ,
A)
1:
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I TeS! N" ID, POTENCIAS
17) Si 3'
n-' + n-<;
=
a, y 2'
= b,
entonces
3'+1. 2'+1 =
A) 6ab
B) n-'
13) ab? (ab)'
e)
n'
e)
D)
n-6
D) 5ab
E) n(n + 1)
E) 6ab'
.
13) Al simplificar
22
la expresión ~
"
2(22)
,
se obtienecomo
resultado
18) Si ab *·0, al simplificar
la expresión
( ,)3 ( 3)' a
b
6
se obtiene
((ab )').
A) 2-' A)
-E) 2-1
B) ab .
e) 20
C) (ab(
D)21 E) 2'
¡,
D) a'b'
14) El promedio A) 260
de las 'potencias
2'0 y 2'" es
19)'
A)
la expresión
sn+l . S"
.
. ,5-1
A)
3"
B)
3'4
se obtiene
D) l E)
B) 1
El
16)
!
. 3
5
D)
20)
63' +6" '6" +6'
n
A) 6'
n+ 1
B) 63
2n -1
e)
2n
34.33.3-2 -T73-. 370 -. 371
(3,)6
,
e)3
1
C) 2
(33)" +
.(3')
sn .-5"-1 15) Siendo "n" un número natural, al simplificar
+
(3')"
230 e) 130 D) 210 + 220 E) 21' + 239' B)
i:.
a'b3
E)
=
6'
D) 6" E) 6" 21) (2",1 -
1)'
A) 2,+3 + 1 A) 3' B) 36
+ 1
B)
2"+'
e)
2,·+1 + l
D)
2,,+2 _ 2'+' -+- 1
E)
2"+' - 2'+1 + 1
C) 3' D) 3' E)
}3
160 161
22) Si "a" es un 'número real no n~lo (a •• O), entonces
(a')'-' .(a't' .(a')'-Y
r
=
I
A) a'Y
26)
I
2'P + 2'P 2" + 2P
a"
A) 2P
C) a"
B) ~'P
B)
D)
a
e) 2
E)
aO
D) 2'
23) Si
1,entonces
X;é
[
2+2(x-lf
'r
E)
= 27)
x-1 A) . 2x
2° ·3,+3-3.3"
o
B) ~ x-l
B)
x-l
e)
"4
D)
'3
e)
1
---¡'
1
4
D) -
x-l
E)
A) B) e)
E)
2x-2 -4x-3
24) Si a y b son números reales no nulos y a + b
3
2 ;é
0, entoncesIa"
+ b-')-' : (a + b)-'
=
28) El valor de la potencia a' es uno si:
ab
(1) a ab
(2)
-.-.
a + b
a+ b
D)" a + b . ab
=
8·3"+' . A)
I
2'
=
n=
1 O Y
a
;é
°
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)
E)
1 a + b
2°_Z-"
25) ---= 2-2·2-'
E)
Se requiere información
29) Si x'yse
defin~ como x'y, entonces ¿es x'y positivo?
(1) y' > O (2)
x;"
2
A)
4
B)
2
A) (1) .por sí sola.
1
B) (2) por sí sola
C)
'D) ..!..
2
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada u~a por sí sola, (1) 6 (2) .E) Se requiere información
E)
adicional
adicional
1 -
4
162 163
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 11, RAÍCES
30) ¿Cuál es el valor de a, siendo. a un número entero? (1) a4 =1 3
(2) a + 1
=
CAPÍTULO 10. RADICACIÓN Test N° 11: Raíces
°
A) (1) por sí sola B)
1)
(2) por sí sola
1-
6~ =
C) Ambas juntas, (1) y (2) A) --
D) Cada una por sí .sola, (1)
Ó
(2)
E) Se requiere información
adicional
1 8. 1
B)
-¡
C)
~2
D)
-
E)
1 4
1
1
8
2) ";0,0196 = A) 0,014. B) 0,104 C) 0.,14 D)
1,04
E)
1,4'
3) ";169-25 =
4)
Al
8
B)
12
C)
144
D)
f8
E)
Jfi
.Jf69 - Es , A)
8
B)
12
=
C) 144 RESPUESTAS CORRECTAS
,
D)
{8
E)
Jfi
164 165
:""
,
PSU. Cuaderno de Ejercicios; Matemática
5) De las siguientes igualdades, 1) .../3...fii
SEGUNDO EJE TEMÁTICO /Test N" 11, RAÍCES
¿cuál(es) es(son) verdadera(s)?
= 9
9) 1Il)
J3: ~
Ks - .J56 + 132 A)
= 2
2E· 5.fi ='
A) S610 Iy
10.[7
2)(~r
IV)
=
~.fi
y
C) Sólo. II
III.
10)
D) Sólo III y IV.' E) Sólo.
C)
J2
D)
2.fi
E)
34
../3
~(2 _ J5)'
=
2 -
B)
J5 -
C)
2+J5.
D)
J5
E)
.J=j'
-J9
C) 9 D) 2../3
J5
A)
16 =
+
A) -3
r, III Y IV. '. B)
6)
-4J2
III.
B} Sólo 1 y H.
2
E)
F6( Jz + 1) .
11)
.
7) Si a=.Jb;
b=*"
y. c=
id, con
.
.
a=~
B)
a
C)
a='1d
e
J2 -1Ft
2·
B)
J..ji 2
C)
_L.fi 2
cd
D)-J2
o
E)
,j¡
D)
d=2J;.
E)
a s= bcd
A)
4'xfi
Al Es
B)
4'16
7.fi
C)
216
B)
I
C)
13.fi
D)
fiOO
E)
No se pueden
, ,j
166
~
12) xfi +'xfi +
8) La suma de las raíces
I I
1
+ ~J2 = 2
.fi
A)
a,' b, e y d números 'reales positivos, ¿cuál es la relación correcta
entre a y d? A)
=
.-.fi
'B)
11)
m
.J8+ .J5O es igual
a
2V2 =
.
D) 4xfi E)
416
sumar
167
~,., 1'.
13)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 11. RAÍCES
de Ej~rcicios, Matemásíca
PSU. Cuaderno
(J8 + ..fi)'
18) Si a ~ 1, entonces
10
E)
16
E)
C)
18
e) 2a
D)
100
2
E) 14) La expresión
(5J3 - J2f
~(a~~a'-1)
es igual a 19) Si. "n" es un número· natural, entonce·s
A).13
D)
73 - 1OJ6
E)
77- 1OJ6
2J3)
15) Si (5 +
9'
z
D) 9' + . E) =.a +
a
b
A)
37
20
E)
37
10
C)
31
bJ3 , entonces
3.1
10
E)
147
O
9' -
20)
+
1_
15 -
15 +
1
A)
O
E)
0,25
e)
0,5
1 -
D) 1 1. E)
(h - l)(h
3"
··1
los valores de a Y~ son, t~spectivamente
20
D)
2J5
1)' 21) Si n es un entero positivo, entonces la expresión
A) 1
3
A) 2' + 2
e) 8
E) 2' + 1
E)
2 . 3" + 1
E) 3' + 1
516
e)
16)
.J9' '-
A) 3' -.1
73·
e) ·73 -
1,
-
D) -2~
2h
E) 10 +
,
~f
. A) -2
A)
E)
(.,¡;:;¡ -
D)
h
+ 1
e)
20+
E)
3+ 2h
D)
20+'
(hr . (fir'
2
E) 2' 17)
(3h
+ 2)(312
A)
5
- 2)
E) 10 C) 14 D) 18 E)
3h
168
.169
\
!
__
o
__
'-="
?<.'
PSl:!. Cuaderno
de Ejercicios,
Ji
22)
J7 -
M~temálica
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test
Ji
1 -
J7
+ 1
26)
A) O
Si
(2jf 3JfJ +
A)
.!2.
+ 2
B) ,
!2
+
,
J2 3
B)
6
W 11,' RAíCES
= 5. -\- x , entonces x
16
-./6
6 1
e)
'3
D)
'6
1
;fj 27)
, , 1 +_1_ 23)' La expresión 1 - 1 _ -J3 ,1 +
-J3
A)
1
5 +
D)
26
E)
20
2-./6
+
+
J3J2 ,A)
-./6
Bl
118
--J3
e)
!J6
e)
-J3
D)
Fa
E)
ifl8
-J3
E) 1 +.Jj
28) Si
a es. un número (1) a
24) Si
.Jx
+' 2 = 3, entonces x B)
e)
2
e) Ambas juntas, (1) y (2)
D)
3
= 3, entonces x
29)
.;Jx
Se requiere
+
información
J9, = fi5
adicional
se verifica si y sólo sí:
(1) x = 16
A) -1
Bl
(2) por sí sola
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
4
rx+2
.,Ja = a, se debe ~umplir:
,(2) a= 1
B)
E)
, 170
real, entonces para que se verifique la igualdad
=O
A) (1) por sí sola
A) -1
25)
216
=
B)
D) 1 -
2-./6 '
3
2'
,E)
e)
m
x=4
A) (1) por 'sí sola
e),
5
D)
7
E)
9
B)
(2) por sí sola
e) .Ambas juntas, (1) y (2)
'n)
Cada una por. sí sola: (1) ó (2)
E)
Se requiere
información
adicional 171
t C~ademo de Ejercicios,
PSU.
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Matemática
(.rxf =[x[
30) EnOC, la igualdad
CAPíTULO 11. FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES Test N° 12: Funciones: conceptos fundamentales
se verifica si:
(2)
X
los siguientes diagramas representa(n) una función f de A en B?
1) ¿euál(es)-de
(1) x z O
I)
A~B
-
-lI)
A~B
I1I) A~B
- A) (1) por sí sola ,E) (2) por sí sola
C) Ambas juntas,
(1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) .E)
Se requiere
información
I
adicional A)
Sólo L
B)
Sólo
e)
Sólo III.
n.
D) Sólo 1 y m. E) Sólo TI y ID;
,
2) Siendo A = ( 2,_3,5} . A) ((1,2)}
Y B = { 1,7 }. ¿cuál de los siguientes conjuntos define una función de B hacia A?
B) {(1, 3),0,5) } e)
((1,5),
(7, 3) }
D) ((1, 2), (1, 3), (1,5), (7,2), (7,3), (7, 5)} E) ((1, 1) , (7,
- j2X'-+1
si x >
3) Si f(x) =
x-4
. si x
s1
entonces se afirma que: I) f(3)=7
H) f(1)
-3
ID) feO) = -4
De estas igualdades, estson) verdaderajs): A)
Sólo L
B) Sólo H. e)
Sólo 1 y lI.
D) Sólo H
y .m.
E) Todas las anteriores.
4) La función f de N a N que le hace corresponder a ~ada número natural «ene» el triple del cuadrado de su sucesor está dada por la fórmula matemática:
ri
A)
f(n) = 3(n + 1)'
B)
f(n)
e)
[en)
I
,-, "1
D)
f(n)
E)
[en)
i
= = = =
3n';!-
1
3(n' + ~) (3n);
4:
l
(3n + 1)'
172
I
L...__.
______________________ ~
,173
~--~----.a=s ••~-----
~~
_
·.1
psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 12. FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
5) Sean los conjuntos A = { 1, 2, 3, 5 J y B = ( a, b, e, d J y una cierta función f :A -7B definida como sigue f(l) = b; f(2) = a; f(3) = e y f(5) = a. Entonces, de las afirmaciones siguientes, es(son) verdadera(s) 1) «a» es la imagen de 2 y de 5
Il) la preimagen
de '"b» es 1
III) el 'conjunto A es el dominio de. la función IV) el conjunto B es el recorrido de la función A) Sólo IDy B)
.el.
A)
-8
B)
-6
C)
O
D)
6
E)
8
Sólo 1, TI Y III.
D) Todas.
E) Ninguna de las anteriores. y = f(x),. donde x es ia longitud del lado de un cuadrado y f(x) es la mitad respectivo es ..
6) El gráfico de la función
A)
-6
B)
12
e)
20
D)
24
E)
36
10) Si f(x) =x'
A)
E)
I ve!!: i' -,¡, ¡tí
¡-
!
11 i
¡
i.i
!
l
x
x
i I
l.
¡.
D)
B)
YI-1Tf1TfT1
r-l-r'OT-r:r-": !
i
rr+rt
d:::::
:1
x
f~"T:-~-rTr 1;
. YtJi¡-. .-.-i.'-"....•.i i
i
¡ i
i:
i
-
i3,
entonces f(-2)
x' - 3, y h(x)
x + 4
- f(-3)
-4
e)
O
D)
4
E)
12
11) Sea la función real f: llt-7lRdefinida
por f(x) =5 .. Entonces: f(-I)
+ f(l)
B)
o
D)
5
E)
10
j
x
x
,12) La expresión. A)
.7) Sean f: Z -7 Z
+ f(-I)
e) ! l·
-í
4 ,entonces el valor de f(1)
. A) -1'
E)
y
-
A) -24
e)
Y
YT-"fr'¡T"l i"
x2
9) Sean las funciones enteras f y h definidas de Z en Z por las fórmulas f(x) entonces al calcular 3.. f(-'I) +. 5 . h(2) resulta
IV.
Sólo 1.
del perímetro
8) Dada la función f(x)
definida por f(x) == 4x + 20 Y g: Z' -7 Z definida por' g(x) ~ 2X2 + 2; entonces
x - 2 x' + 8
no está definida cuando x toma uno de los valores siguientes:
-8
B) -2
f(g(IO)) = A)
60
B)
202
. e)
262
C)
O
D)
2
E).
8
D) 828 E)
848
17
"l
PSU. Cuaderno
'13)
de Ejercicios,
~r
Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N" 12, FUNCIONES:
3 , V x cf. O, Entonces _
Sea la función real definida por f(x)
X
'
2, f (1) , f (2) f(1)+f(2)
16) Dada la función A)
-8
1
A)
'4
B)
8 3
1
'2
C)
O,
B)
C) 2
D)
2
E)
4
(x) = kx '-
f
(-1) = O, entonces
k
=
3
E)
,8
17) Dada la función real f : ~ Entonces f(2) + f( -2)
14)'Si
2kx + 8 ,Si
8,
3
D)
f
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
=
f(x)
A)
(a+b)'
B)
1 -
2x' -5x
+
A) a ,entonces
al calcular el valorde
J(a+b)-f(a) 2b
seobtiene
definida por: f(x);
=
{x'
+,3 x-l
, si x ~ O ,si x < O
O
E) 2
e) 4 D) 5
b
E) 7
2
18) Dada la función
C) 2(a + b)'
't
f:~
su dominio se tiene que'
-7 ~
f(b)
definida por f(x) = 7x -9,
Entonces, para elementos distintos a y b de
- f(a)
b - a '
D) 2a + b A)
E) 2a+b--
-7 ~
5
-9
B) -7
2
C) 15) Dado el polinornio p(x)
6x
2
-
5x + 1. Entonces
pf ~ J =
O
D) '7
A) p(-1)
E)
9
E) p(O)
el
19) El dominio de la función real dada por la fórmula
pGJ
+1
es
',Al bomf={;E~!X>O)
D) p(1)
El
f(x)=:lx2
p(2)
E)
Domf=(xE~/x,~O)
e)
Dorn f
e
{XE ~/x>-l}
D) Domf={xE,~/?l~-l} E) Dom f= ~
176 177 "-
-',
,.,.
-----_
....._-'-----'---
.\~
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
,.¡
.:!
20) Se da la función f : A ~ B definida por el diagrama adjunto .. l'f,¡
Entonces el valor de la expresión
f(4)· f(2) - f(I)· f(3) f(2)...:f(l)
l.
f f(2)-f(l)
A)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N° 12, FUNCIONES: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
J~
'.
B) f(4)+f(3)
24) Sean las funciones h : IR ~ IR y f:1R '-7 IR definidas por las fórmulas h(x) = 2x + 5 Y f(x:) = 3x + 11. Entonces .el par ordenado que pertenece a Ir y f es A)
(-6,-7).
B)
(1, O)
C) (3, O) D)
C)
(:-6, -1).
f(2)-f(4) E). (-7, -6)
. D)
f(3)-f(2)
E)
f(2)+f(4)
21)
25) Si f: A -?IR, el conjunto
.
.
Sea la función f:N~lRdefinidapor
.r
a' + b2
A)
.
a"-b"
f(n)=--.-
a- b
con a e b. Entonces
con A = {-2, -1,0,4)
está definida por f(x:)
x3
-
1, entonces el recorrido de f es.
f(4)'
-
A) Rec f = {-'l,O,
f(2)
H) a' + ab + b'
JIl) a' - ab + b'
Sólo 1.
7, 63 }
{-9, -2, :-1,63}
B)Recf=
C) Rec f = {-2, -1, O,4} .
B) Sólo H.
e)
Sólo
D)
Sólo I y H.
m.
E) Recf
E) Sólo' H y Ill. 22) El dominio de la función real dada por la fórmula
g(x):=..Jx -1 es .
Domg=
(XE
IR/x>O)
A)
B)
Dom'g=
{XE IR/x~O}
e)
Dom g
D)
Domg=
E)
Dom g
B)
-2
IR t x » l ]
e)
-1
(XE
IR/x~
D)
o
E)
2
1)
=IR
A) .Dom Ir = {x B)
Dom h ., (x
e) Dom h
=
IR I x ~ 7) E IR Ix 5, 7) E
(7)
=IR h =
h(x)
=..Jx -7
-
{-8, O, 1, 64 }
,17- x
es
" •••
en IR definida por la fórmula f'(x) = ax + 10. Si f(-3) = -2, entonces f(-2) =
-3
{x E
23) El dominio de la función real dada por la fórmula
=
26) Sea la función r .~C
A)
=
{-8, -1, D, 63}
D) Recf=
. '. . T1J)' 27) Una función del conjunto N al. conjunto ~ es tal que f(1 ) =2 caso f(5) = .
A)
y -f(n+l} __ = 3, vn
.
E
N I
. En tal
f(n)
6
. B)18
D)
Dom Ir
e)
54
E)
Dom
D)
162
E)
486
178 179
PSU. Cuaderno
28) . ¿Es
de Ejercicios,
f;1R
---7
IR
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 13, FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOÚJTO, FUNCIÓN PARTE ENTERA
Matemática
CAPÍTULO 12. FUNCIÓN AFÍN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO . Y FUNCIÓN PARTE ENTERA Test N" 13: Función afin, función valor absoluto ~ función parte entera
una función?
(1) El dominio de f es IR (2) El recorri
IR
1) El costo de arrendar una casa de veraneo es $15.000 más $22.500 por semana. Una función que permite calcular el costo de arrendar la casa durante n semanas es
sola
B) (2) por sí sola
A)
C(n)
B)
C(n)
C) Ambas juntas, (1) y (2) D)
Cada una por sí sola, (1)
E)
Se requiere información adicional = ~ b -2
h(x)
29) La expresión
C) C(n)
(2)
Ó
,con
D) C(n) E) a y b números reales, define una. función de
(1) b*2 (2) a
*
B)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
El
Se requiere información adicional
30) Se desea conocer el valor de f(3) si f(x.) Y
ax + b.
a =2
(2) f(1) = S Y f(-l)
=
A) (1) por sí sola
:!
B)
(2) por sí sola
30400 m
Cada una por sí sola, (1)
D)
4.000 m
. E)
5.200 m
3) Una compañía de t..léfonos cobra mensualmente $7.000 por arriendo de equipos y $45 por minuto en cada llamada. ¿Cuántos minutos usó un consumidor 'cuya cuenta mensual asciende a $26A40? . . A)
743
B)
622
Cl 532
C) Ambas juntas; (1) y (2) D)
estima que el tiempo que demora en subir una .colina en una. cierta: región está
C) 3.500 m
D)
i
n
2) Un excursionista
de una colina si demora 4 horas en subiría?
(2) por sí sola
(1) feO) = b
C(n)
A) 3.200 m
C) Arribas juntas, (1) Y (2)
I
si;
dado por T(h) = 2 + _._h_ horas, donde h es la altura de la' colina en metros. ¿Cuál es' la altura . . . 1.600 .
O
A) (1) por sí sola B)
IR en IR
= (15.000 + 22.500) . n = !(l5.000 + 22.500) n = 15.000 + 22.500n = 15.000n + 22.500 = 22.500 + 15.00
Ó
(2)
Ej. Se requiere información adicional
D)
432
E)
332
4) María José, agente promocional de-una compañía de teatro, gana un salario semanal de US $300 . más US $3.por cada entrada que vende. Su salario mensual se puede representar como s = 300 ,. 3n. Se le ofrece la oportunidad de cambiar su plan salarial. Con el nuevo plan, ganaría un salario semanal de US $400 más US .$2 por cada entrada que venda.'Su salario semanal con el nuevo plan se puede representar como s = 400 + 2n. ¿Cu'ántasentradas tendría que vender en una semana para que su salario sea el mismo bajo ambos planes? .
A) 140 B) IDO'
RESPUESTAS' CORRECTAS
C)
80
D)
50
E) .' 2.0
Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.
(P.A.A. y p.e.E.), se recomienda
nuestro Manual
de Preparación
P.sy.
i 180 \
L
181
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W t 3. FUNCIÓN AFÍN. FUNCIÓN V ALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA
PSU. Cuaderno de Ejercidos, Matemática
5) Los biólogos han observado que la frecuencia del canto 'de los grillos de una cierta especie está relacionada con la temperatura, y la relación parece afín. Un grillo produce 120 sonidos por minuto a 70°F y 168 por minuto a 80°F. La función afín que relaciona la temperatura "t" y el número 'de sonidos por minuto es
A.) f(t) = 75t + 144 B)
f(t) =150t
C) f(t) =
E)
f(t) = 2l6t
20
é)
35
D)
44
El
100
,
-1'
24 5
l
¡i· '1,
q
7
e = 3.600
+ 400n
e = 2.400
+ 600n
E)
f(x)
l.OOO)x'
= ( ""75
intersectaal
eje X es
A) (O, 6) B)
(16, O)
C) (6, O) D)
(O, 16)
E)
(-%, 6)
A)
B)
i
aíín con Lf-í)
2 Y L(l)
= --,
1
2
Para encontrar Líx) podemos resolver.el
{4a+b =2 2a+2b =-1
¡2;+b.4 --a+b=l 2
¿Cuál es el número de terminales ' C)
{"+4b=,2 a+b=-2
D) 6 E)
f(x) = 75x - 1.000
sistema
A) <} 8
+ 75x
D)
l O) L(x) es una funci
en que "e" es el costo total y "n" es el número de terminales, para el cual ambos sistemas cuestan lo mismo?
B)
f(x) = 75x - 1.000
9) El punto donde el gráfico de f(X)=-~X+()
" 7) Un colegio está considerando la compra de uno de dos sistemas 'computacionales. En el sistema A, el computador principal cuesta US $3,600 y los termina1es US $400 cada uno. En el sistema B, el computador principal cuesta US $2.400 y los terminales US $600 cada uno. Representando esta situación con el sistema de ecuaciones .
I
A) f(x) = 1.000x + 75x
C) f(x) =1.000
6) El señor y la señora Herrera planean instalar un sistema de seguridad en su casa: Han red~cido sus 'opciones a dos compañías de seguridad, Moneywell y Doile. El sistema de Moneywell cuesta $336.000 de instalación y $1.700 semanales. El sistema equivalente en Doile cuesta s610 $226,OQO de instalación, pero su tarifa semanal es de $2.800, Si las tarifas semanales no cambian, ¿dentro de .cuántas semanas se igualarían los costos de ambos sistemas?
B-)
En una cierta ciudad se puede arrendar un automóvil pagando $1.000 más $75 por kilómetro recorrido. La función que permite calcular el costo, en pesos, de arrendar un auto por un día, si se recorren x kilómetros es
24t:"'216 , 5
f(t) = 144t + 75
10
si
B)
+ 288
D)
A)
(..,
D)
5 /
EJ.¡
{ a+4b=2 "
,
2a-2b=-1
¡±>+4b=2 a+b=-2
182.
~ ~ i'
-'"--'
183
¡¡-- , j ::¡{
psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática 11) El curso de Francisca quiere juntar dinero para su viaje de estudios, Tienen.la idea de hacer un periódico semanal, y averiguan que si se hacen "n" periódicos, el costo por semanario viene dado por la fórmula:
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 13, FUNCIÓN AFIN, FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO, FUNCIÓN PAR TE' ENTERA
15) Paula y Mónica comienzan su recorrido cuando se encuentran a cierta distancia de un pueblo. El gráfico muestra el movimiento de sus autos, donde d representa la distancia de los autos al pueblo y t el tiempo que llevan de -viaje, A partir de la información del gráfico,
C=2 (40 + 10,~) dondeC
= costo y n =' número de periódicos.
imprimir
500 ejemplares?
A)
d(km)
se puede afirmar que:
¿Cuál es el costo de cada periódico,
si deciden
Mónica
200
$80
B) $100
, ,150
C) $UO
100
D)
Paula
250
50
$120 "
E)
$130
,2
12) El punto de, intersección
de las rectas de ecuación
x
= -3
e y
=
7 es
A)
A) (4, -ID)
E)
(3, -7)
C)
(-3,7)
t(hr)
ambas recorreri ISO km en una hora.
B) en una hora de viaje, los dos autos alcanzan la misma velocidad. C)
el auto de Paula va más rápido que el de Mónica durante todo el viaje.
D)ambos
autos recorren la misma distancia hasta el final del viaje
D) (7, -3) E)
E) (-7, -3)
el auto de Mónica es más antiguo que el, de Paula..
16) En la recepciónde encomiendas de la oficina de correos de-cierta ciudad disponen de gráficos como el siguiente para e " ular el costo de envío .de encomiendas, ¿Cuál es el precio de una 'encomienda que pesa 425 gramos'?
13) Si E(x) es la función "Parte Entera" que asigna a cada a número real x él mayor número entero que es menor o igual que x, entonces, '¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)? .
$ . 800
= E;X)
1) VXE IR:E(~)
A) $200 Il)
=
VnEZ:E(n)
,
n
E
B)
$300
. C)
$400
A) Sólo 1
D)
$510
B) Sólo II
E) $600
=
1Il) E(-1,5)
-1
E)
400 200
100'
C) Sólo III D)Sólo
600
300
500 .
.gramos
1 y II
Sólo II
ym
17) El conjunto de la(s} solución(es)
14) Si E(x) es la función Parte Entera, ¿cuál de las proposiciones
,
,
A) -E(O)
=O
B) E(5) - E(4) CJ. E(l,72)
=
- E(I)
1
=
. E(2,5) 1 D) E(2) =
siguientes
A) {12} B)
0,72
de la ecuación I -3¡¡ I = 36, es
es falsa?
{'::'12, 12}
C) 0 D) IR E) " {-12}
E) E(- 1,34) = - 2
184
185,
,t{;j
P'Sll, Cuaderno
l8).El
de
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 13, FUNCIÓN AFíN. FUNCIÓN V ALaR ABSOLUTO. FUNCIÓN PARTE ENTERA
Ejercicios, Matemática
gráfico siguiente
podría corresponder
23) La comisión c de un corredor de bolsa' es de US$25 más 2%' del valor de la venta, -s; por lo tanto, su comisión es. una función de las ventas que está dada por la ecuación
al- de la función: y
A) f(x:)
= -
+ D,D2s
A)
e
-Ix
B)
e = 25.+ 2s
B) f(x) =3
+ 2I
f(x) = 3 + I x . ..;. 2 I
C)
= 25
I 2x I
D) f(x) = -2 + I x -
.O
X
3I
t:
1 C) c= -(25+s) 50 D) e = 25s + 0,.02
E) f(x) = -2 + 1x + 3 I
+-
E) e = (25 19) ¿euál(es)
de las proposiciones
siguientes
es(son) verdaderaís)
para todo número real x?
x
I)N=
D,D2)s
24) La ganancia semanal p de una pista para patinaje sobre hielo es una función del número de patinadores po: semana,. n. La función que aproxima la ganancia es p = f(n) = 8n - 60.0, para .O ~ n ~ 4.0.0
II) Ixl = N
Si una semana la ganancia fue 1..080, ¿cuántos fueron los .patinádores
en esa semana?
A) 8 . .04.0 Ill) 12-x I ~ ~(X_2)2
B) 4 ..02.0
1
e)
21.0
E) Sólo II
D)
6Ó
E)
5.0_
A)S610
e) Sólo III
25) El largo de un rectángulo es el doble del ancho, La función rectángulo si' se' conoce su ancho x es
D) Sólo 1 y II E) Sólo II y III f(x) = l x l -
2.0) Los gráficos de las funciones
1, .; g(x)
2. se intersectan en el(los) punto(s):
A) (3, .O) E) (-3, .O) e) (-3, 2) Y (3, 2)
C)
Volumen
alternativas,
las variables
tienen una relación definida por.una función . '.
de una esfera
H
Radio de la esfera
de un cuadrado
H
Lado del cuadrado
de un cilindro
H
D) Area de un cuadrado E)
Área de un 'círculo
22) ¿Cuál de las afirmaciones
es el conjunto
.Radio de la base del cilindro
·H
Lado del cuadrado
H
Radio del círculo
siguientes. es verdadera
A) Su dominio es el conjunto B) Su recorrido
respecto
D) f(x) ~
8x
=
IOx
= f = f = f = f =
de los números reales. en todo su dominio.
D) Es una función
grado.
de segundo
E) Tiene un mínimo valor.
B) e) D) E)
del
4x
( (-1, { r-i,
siguientes
corresponde
a una función
afín?
1), (.O, O). (1, l)} 1), (.0,2),
(1, 4»)
f
(..;.1, 1), (.0,2),
(1, 3»)
( (
(_1, 1), (D~ 1), (1, 2») (-1, 1), (.0,3),
. '27) Si f(x) = 2x ya>
(1, 6»)
.O, entonces el perímetro del triángulo
rectángulo
sombreado de la figura es
A13a B) 6a
y
de la función valor absoluto?
de los números reales no negativos.
C)' Es una función decreciente
186.
6x
A) f
21) ¿En cuál de las siguientes lineal?
E). Diagonal
C) f(x) =
26) ¿Cuál de las funciones
E)' (-2, 2) Y (2, 2)
Volumen
2x
f'(x)
E) f'(x)
D) (2• .O) Y (3, .O)
A)
= =
A)
B) f(x)
que permite calcular el perímetro
e)
3a(1 +
D) a(3 ~ E)
3a +
f(x)
J5) J5)
J5 .,
x. 187
;¡¡.;.
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Mille~tica
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA ~,-------------------------~~~~~~~~~~~~~~~==~~
CAPÍTULO 13. FUNCIÓN CUADRÁ "rICA Test N°, 14: Función cuadrática
28) ¿Es la función f lineal? '( 1) SU gráfico
es una recta con pendiente
(2) Su gráfico pasa por los puntos P(-2,0) A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
el
Ambas juntas,
positiva y
¡.
que pasa por el origen.
1) ¿ Cuál/es) de las siguientes funciones estson) cuadrática(s)?
Q(0,5).
f(x) = (1-x)(x+3)
1)
(1)
lI)
g(x)=5-3x-x'
IU)
h(x)
y (2)
D) Cada una, por sí 'sola, (1) ó (2) E)
Se requiere
informacióu
adicional
~x
29) Ixl = (1)
x3-3x2+2x+l
Al S6lo
R=
B) Sólo II
3
C)
(2) I xl' = 9 A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
e) Ambas juntas,
,E) S610 1 ,y III
,2) ¿Cual(es) de las gráficas siguientes corresponde(n) a función(es)'de
(1) y (2}
D) Cada una por sí sola, (1) ó(2) E) Se, requiere
Sólo III
D) Sólo 1 y II
información
1)
segundo grado en la variable x?
,III)
adicional'
30) La parte entera del número entero x (Eíxj), se puede determinar
si se sabe q~e:
(1) ,...3~ xc O, (2) x' = 4.
,'6
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas,
D)
Cada una por si sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere
x
-4
-6
-4,
o
~2
2
4
6
-2
-4
(1) y (2)
información
I1) ,.
L
adicional
4'
~ " -6
-4
,-2
-2
Ii
'-4
;1
RESPUESTAS
1
CORRECTAS
Al
Sólo 1
B)
Sólo II
C) S610 1 y II D)
S610 1 Y III'
E) I,n 188
y III 189
PSU. Cuaderno
de' Ejercicios,
Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14. FUNCIÓN CUADRÁTICA
-J;
3) El gráfico de la función f(x) = x2
- X
-6,
intersecta al eje Y en el(los) puntots) de coordenada(s):
r",:'
7) La ecuación del eje de simetría de la parábola
y = 3 (x - sf + 2
es
A) (O, 6)
Y
B) (3, O )
A) x-3';'0 (-2, O) B)
e) (-6, O)
e) x-2=0
D) (O,-6)
. E)
4)· ¿euál(es) l)
E)
de los siguientes puntos pertenecem)
(0,1)
ál gráfic~ de la función
f(x)
= _x + 1 ?
A)Só~o
l TI
2
rnl( -1, O) ,
II) (1,0)
B)Sólo e)
D) x+3~0
o)
. (12'
x-5=0
Sólo l y II
x+5 =0
8) El vértice de la parábola y A)
(-1,-2)
B)
(1,-2)
e)
(-1,2)
D)
(1,2)
E)
(-2,-1)
= -(x
+ 1)2 -2 es el punto de coordenadas
D) Sólo 1 y ID E)
r, II Y ~TI
5) ¿euál(es)
de las siguientes
1)
relaciones
está(n) dada(s) por una [unción cuadrática?
Diagonal de un cuadrado y ·el área del mismo.
II)
Lado de un triángulo equilátero y área: del
III)
Superficie de un cubo y volumen del mismo.
9) .Respecto del gráfico de la: función f(x) = x2
ITÚSffiO.
1)
A} Sólo I
+ 4x + 1,
es correcto afirmar que:
tiene un mínimo valor en el punto. de abscisa -2.
II)
es simétrico respecto de la recta de ecuación y = -2 .
ID)
intersecta al eje Y en el punto de coordenadas .(0,1).
B) Sólo TI e) 1
1:. .~
Sólo ID
D) Sólo l y II
A) Sólo 1
E) Sólo l y ID
B) Sólo II
1
l
i 1
ti
6) El vértice de la parábola cuya ecuación es y=-2x2+4x+10
·es el punto de coordenadas
e) Sólo III D) Sólo 1 Y TI
l'
A) (1,0)
¡I
E)
Sólo 1 Y III
ti
B) (1,10)
10)· Si el vértice de la parábola de ecuación f(x)
=x
2
+ kx + 36 es un punto del eje X, entonces el(los)
'. valorfes) de k es(son)
~I
f
(1;12)
D)
(-I+F6,-I-F6)
A)
±4
B)
±6
e)
!
E) (-1,4)
,
9.
D) ±12 E)
t t
C)
36
-'---,----
190 191
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
11) El gráfico de la función [(x)
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 14, FUNCIÓN CUADRÁ TICA
5 - 2x - x2 es
.I~'¡..
D)
A)
13) ¿euál(es) de las siguientes verdaderats)?
afirmaciones
1) Tiene un máximo .valor en el punto
relativas
a la función
(-3, -2),
II) Su dominio es el conjunto de los números reales
·3
.a
-4
-6
-,
lo
'<./4
6
·6
-4
I
s'l
B)
-¡ -,f
2
\4 •
S
•
I
, l
E)
ID) Su recorrido es el conjunto de los números reales menores o iguales que -2. B) Sólo II C)
Sólo ID
D) Sólo 1 y III El . l.:II
1)
.. i
-"
1\
-4
-6
I
~I
1
-8
-6
Y
III
'
-4
La parábola corta sólo uno de los ejes coordenados.
Ii)
La parábola corta ambos ejes coordenados,
ID)
La parábola corta al eje X en dos. puntos distintos.
A) Sólo 1
,r C\ -ú
-2
B)
Sólo II,'
e)
Sólo III
D) Sólo 1 y II
.
s
E)
Sólo II y ID
15) Un intervalo en el cual la función dada por 'A)
r·
f(x)=
_x2 + 8x- 3 es estrictamente
creciente es
]-'00,13[
B) ]-4,+oo[
i
Ii ;
il
e)
IU
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
-4
e)
-K
(IR).
A) Sólo 1
14) Si la ecuación de una parábola es y=3-2x-3x'. es(son) verdadera(s)?
i
f(x) = 2x2 +12x+ 16 es(son)
12) Una función cuya gráfica tiene la misma forma de la gráfica de y=2x2 A~ y=-2x2
11
es
]4, +00[
D) ]-"",4[ E)
]-00,-4[
,
1
hf
1 z
i
B)
Y=2
x
16) '¿Cuál debe ser elvalor de k para que la parábola y=x2
+kx+S
tenga su vértice en el pu~to, (2,:-1)?
A) ~6 j.,
e)y=x'+2 D)
y=-2(x+I(1-3
B) -4 e) -3
D) E)
¡ll'
y=2(x-I)2+3
2
E) 4
19,2 193
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 14, FUNCIÓN CUADRÁTICA
Matemática
17l La ecuación de la parábola que tiene la misma forma que y = x' pero con vértice en (-3,2)
es
21) ¿Cuál de los siguientes podría ser el gráfico de la función que expresa la relación entre el cateto de un triángulo rectángulo isósceles y el área del triángulo? .
.
y=-3x2
Al
+2
.B)
Y=(X-3)2+2
Cl
Y=(X-3)2-'2
D)
Y=(X+3)2_2
El
Y=(X+3)2
Al 2l)i ............
B) .j
••••••••••••••••
/
••••••••
)
••••••••••••••••••
2tX ..:......
!..... "."'"'"
,
.
x
:1
O
!
I
:2
!3
x
O
!1
:2
!3
+2 Dl4Y..
18l Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube hasta un cierto punto y luego empieza a caer. La relación que existe entre el tiempo t, en segundos, que la piedra lleva en el aire cuando se encuentra a una altura
y, viene dada por la fórmula y =
-5e + 20t + 10. ¿Cuándo
, 1 +-..·.....¡..... ···..~····· ........ ·4...... · .......... ¡...... .........
alcanzará el punto
más alto? Al A los 0,5 segundos. ' B)
A 1 segundo.
C)
A los 1,5 segundos.
Dl A los 2 segundos. El
El
2+<
I
I
!2
'!3
L
x ,
x
O
!1
!2
!3
.
A los 5 segundos.
19l Al hacer un estudio de mercado de relojes con teléfono incorporado, una compañía finlandesa obtuvo las siguientes funciones de ofertay demanda de dicho producto en función de su precio: demanda:
y=--x
1 z +7.000.000 5
oferta:
2 y=-x ~
2
x
O
siendo x el precio de un reloj-teléfono, en UM (unidades monetarias) y la cantidad de relojesteléfono que se demandan o se ofrecen en un año. ¿A qué precio, en unidades monetarias (UMl se deberían vender los relojes-teléfono para que la demanda iguale a la oferta?
!1
:2
!3
Al 7.000 Bl
6.500
Cl
6.000
22) Se arroja una pelota desde el suelo y la altura, en metros, viene dada por y = ~5t' + 1al, siendo
D) 5.500
Al
El
B)
7,5 m
C)
5m
r»
2,5 m
E)
1m
5.000
20l De entre todos los rectángulos' que tienen un perímetro de 20 cm, el de mayor área tiene dimensiones: Al
194
1 cm
y
9 cni
.Bl 2 cm
y
8 cm
C) 3 cm
y
7 cm
D) 4 cm
y
6 cm.
E)
y
5 cm
5 cm
t el
tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? 10 m
195
psu.
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 14, FUNCIÓN CUADRÁTICA Cuaderno de Ejercicios, Matemática
23) La ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto (2, 3) y que pasa por el punto (3, 5) es
,~
¡:
A) y=2x2-:-8x,+1l 2
B) y=2x +8x+1I
y=-2x2
C)
A)
6
B)
7
-8x+1l
D)
10
E)
12
3 + 4x' - x" es
28) ¿Es f(x) una función cuadrática? (1) El gráfico ·de f(x) tiene dos intersecciones con el eje X.
2
y= 2x +8x-ll
E)
=
(x)
C) 8
y'=-2x2+8x-ll
D)
27) El valor máximo de la funciónf
. (2) El gráfico de f(x) tiene simetría respecto del eje Y. 24) . La efecti vidad de un comercial en televisión depende de cuántas veces lo ve un espectador. Después de algunos experimentos.. una agencia de publicidad ·determinó que si la efectividad E se mide en una
A) (1) por sí sola B)
escala del O al 10, entonces
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) Y (2)
E(n)
2
=
1 .2
3n -
-n 90
donde n es el número de veces que un espectador ve un cierto comercial, efectividad máxima, ¿cuántas· veces deberá verlo ·un espectador? A)
60
E)
50
C)
40
= At
-.Et2 , con t > O. Poderrios determinar
(1) El' gráfico de h(t) es simétrico respecto de la recta cuya ecuación es t = 5. (2) h(l) A)
='18.
(1) por sí sola
B) (2) por sí sola
A) ~36
Y
12
El -24
Y
O
C) ~14
Y
-10
D) -12
Y
-12
El -6
y
-18
y cuyo producto es máximo son
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).; E)
Se requiere información adicional
3 O) Se puede determinar la ecuación de una parábola' de la forma f (x) (1) Pasa por los puntos (0,0)
y
(8,0)
(2) Tiene un mínimo valor en e¡"punto (4,~12)
26) Para la fabricación de canaletas para las aguas lluvia se dispone de láminas de 30 cm de ancho. ¿Cuál . es la medida x para hacer los dobleces de modo que se obtenga una canalera de máxima capacidad?
A) (i) por sí .sola B) (2) por sí sola
7,5 cm
C) Ambas juntas, (l) y (2)
1<-30-"¡
10cm
C) 12,5 cm D) 15 cm
.
17',5 cm
,, ,, ,, ,, ,, ,, ty= x
196 I
adicional
29) La altura de 'una pelota en vuelo está dada por h(t)
E) 20
El
Se requiere información
altura máxima que alcanza la pelota si se conoce que:
25). Dos números cuya suma es -24
¡
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Para que éste tenga una
D) 30
Al . Bl
D)
..
.__ .__---_.
D) Cada una por sí sola, (1) 6(2) .~
• ~
El
Se requiere información adicional
=
ax2 + bx + e, si se sabe que:
la
PSU. Cuaderno
de
SEGUNDO EJE TEMÁTICO f Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA
Ejercicios, Matemática
CAPÍTULO 14. ECUACIÓN eUADRÁTJ(~A Test N° 15: Ecuación cuadrática 1) ¿euál(es)
"a+b ------= X D a d a 1a ecuacion x a+b solución(es) para x es(son):
S)
de las siguientes ecuaciones es(son) de segundo grado en la incógnita «x»?
°
'al' . ,en que a y b representan numeros re es pOSItIVOS, entonces la(s) '
A) O' (x+1)'
1)
H)
=(x2+7)(x+l)
B) a+ b
e) -(a + ti)
(2X_S)2 =(2X+S)(2x-S)
D) a- b (2x +il)( x -a) = 2x(2x -a) - x2
ID)
E)
A) Sólo l.
6)
Si x2, -
8x = O, entonces x
B) Sólo 1 y H.
A)
O
Y
8 .
e)
Sólo TI ,y III.
B)
2
Y
4
D)
Sólo 1 y ID.
e) '-8
y
8
E)
1, H Y III.
D)
2) La solución de la ecuación x2 + 16
= 2S
E)
es x =
A) -3
3),
Y
8
Si (x -
6)(x + 8) = O, entonces x
-6
Y
e) -9
B)
-6
Y -8
D)
9
E)
-3
7)
Y
3
.
El c?njunto solución de la ecuación
,_4x2 = -64
es
{16}
C)
e)
6
y
D)
6
y-8
E)
Sólo 6
A)
{4}
E) {-2, 2 } C)
A) B)
D)
x= -1 sea solución de la ecuación x _ 2kx = k + x es
-2,
O, la suma de sus raíces (o soluciones) es
-100
100 99
D)
99
E)
100
2 9) El valor de «m» en la ecuación
x'
-r-
3x = m
para ,que la diferencia de las raíces sea 2, 'debe ser
A) -1,2S
o 2
3 E)
x2 + 99 x - 100
2
3 e)
8
B) -99
D) {-4, 4 }
El valor de k requerido para que
8
8) En la ecuación
B) {-4}'
198
-8
A)
A)
4)
O Y -8
3
B)'
.~
±(a + b)
B)
0,2S
e)
O,S
D) 2
2
E)
..
2,S
199
I!J.
de Ejercicios,
PSU. Cuaderno
¡\
Matemática'
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA
i
!.
10) La suma de las raíces de la ecuación
:i,I
~,
:1
A)
-1
B) b -
a
B)
O
a C)
D)
1
O)
e
a
.1
1
e)
b
~1 ¡
4
E)
4
E)-ab
,
11) Sean x, T
X2
las raíces de la ecuación x2, + 36 = px . Para que se cumpla la condición
x,
, 15) Sia
-x2,
y
el parámetro «p» debe valer
i ¡
A)
para que sus raíces difieran
en la unidad?
b
!
,
x+b
A) a -
i
.1
¡'4) ¿Qué valor debe tener «p» en la: ecuación x'-(2p - 1) x + p2 = O
= 1 vale x-a
=O
, el valor de a2 [3. + a
~2,
es. '
b
A)
-4
~ son las raíces de la ecuación ax2 + bx + e
e
I
I !,
'B) -2
e)
o
bc
B)
~
D) 2 ¡'
E)
6
12) En la ecuación 2x2-5x
+ 4(k-2)
= O,
para que una de las raíces sea igual al valor recíproco
de la otra, k debe ser igu,al a A)
be a 2'
C)
O)
O
ab2 ,'e
B) 2 E)
e b
16) Si x,
y
C) 2,5 D) 3 E)
Ninguna 'de las anteriores.
13) ¿Qué valor debe tener «m» en la ecuación mx' + x + (3m 2)'=0 inversas multiplicativas
A) para que sus raíces sean
lá una de la otra?'
A) ,1
B)
2 3
C)
200
x' -
7x = 3, entonces el valor de
(x, + 1)( x2 + 1)
, -3
B) ,
1
C)
4
D)
5
E)
7 2x 2
-
kx + .x + 8 = O tiene raíces reales: e iguales son
A) 9 Y -7 B) solamente C)
2
'-7
9 Y 7
O) -9 Y -7
3
E) solamente E)-2
son las raíces de'
17) Los valores de k para los cuales la ecuación
3 2
D)
x2
9
3
,
"
l• .~
201
.,
ti SEGUNDO EJE TEMkTICO
·PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
18) Si
'y
XI
X2
son las raíces
de'
3X2 - 10x + 5
O, entonces
el valor de la expresión
22) Si las raíces de una ecuación cuadrática son
_X~I_ + 2L. XI - 1 x _ 1 es Igual a 2
2
A)
10
A)
X
x, = X, = ~, 2
I Test N" 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA
entonces ella es
!. 1 -¡x-¡=O
B) 4X2+x+-l
e
O
3 1
B)
e)
(x+~J
=0
2
e) 1 I
!.
D) 1+4x-x'=O
O
E)
5
D)
3
23) Si XI' Y x2' son las raíces de la ecuáción . Y
3 .
.'
.
19) El valor de k para que la ecuación x -8x + 2(k-2) = O , tenga una sola raíz real es' 2
¿cuál es la ecuación cuyas raíces son
.
~
1 -? x2
A) 3x2-2¡¡:+1=O
A)-3 B)
2
C)
4
D)
6
E)
10
20) El discriminante de la ecuación
x2+2.J3x+3=0
racionales
E)
números no reales.
21) Un valor de k para que la ecuación A)
-4
B)
O
e)
3
D)
4
C)
3x2+2x+l=O.
D)
3x2+2x-l=O
son números reales tales que b2:0,
la ecuación
cuadrática
cuyas raíces son a+.Jb
y
a-Jb, es
e) racionales y distintas. irracionales y distintas.
'1+2x-3x2=O
24) Si a yb
e iguales.
D)
B)
E) Ninguna de las anteriores.
es cero, entonces sus raíces son
A) reales. e iguales.
E)
x2-2x+3=0,
10
E)
B)
4x2.-4x+l=0
x2+(k+4)x+16=0
lt?nga una sola raíz real es
A)
a2x2
B)
(x-a)'=b
e)
x2 +(b-a2)x+2a=0
D)
-
b =O
x2 -(2a+b)x+a'
=0.
E) b2x' -a =0 25) En la' ecuación bicuadrada A)
12
x" -5x2 +4
=: O,
los valores de x son
±5, ±4
B) ±4, ±2 . e)
±4, ±1
D) ±3, ±! E) ±2, ±! 203
202 ,¡s:.
__
__o .._ .'__.__..._
·psu. Cuaderno
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 15, ECUACIÓN CUADRÁTICA
de Ejercidos, Matemática.
26) La(s) solución(es)
de la ecuación
x'+a=x+a', II)
a
1)
donde «a" es un número real cualquiera, es (son)
o
IIl)
(1)
l-a
Su hipotenusa mide 13 cm,
(2) La' diferencia de las longitudes de los catetos es 7' cm.
AY Sólo 1
A) (1) por sí sola
B) Sólo II
B) (2) por sí sola
C) Sólo III
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Sólo 1 y II E)
3'0) Se puede determinar el área de un triángulo rectángulo si se sabe que:
D) Cada una por sí sola, (1) ó(2)
Sólo 1 y III E)
Se requiere información
adicional
27) Las raíces de la ecuación x' - 2x = O se 'pueden obtener gráficamente hallando las abscisas de los , puntos de intersección de cada uno de los siguientes pares de ecuaciones, excepto el par A)
y=x',
B)
y= x2-2x,
'C)
y
D)
= x;
y=2x
y
Y = x2-2x
y=O
=x-
2
+ 1, Y= 1
E) y=x2-1.
y=2x~1
28) Se pueden determinar las raíces de la ecuación'2x'+kx-15 (1) (2,7) es un punto del gráficode (2) Su producto,es A)
y=2x'
= O si se sabe que:,
+kX-15
-1;5.
(1) por sí sola
B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D)Cada E)
una por sísola,(1)
Se requiere información
ó (2) adicional
29) Si a, b y c son ~úineros rea~es, con a '" O, ¿son números reales las 'raíces de la ecuación ax" + bx + e = O? (1) b' -4ac
¿O
(2) El gráfico de f'(x) == ax2 + bx + e intersecta al eje X en dos puntos distintos. AY (1) por sí sola B)
(2) por sí' sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, el) E)
204
Se requiere información
ó
(2)
adicional
205
11 SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 16, FUNCIONES POTENCIA,
PSU_ Cuaderno de Ejercidos, Matemática
EXPONENCIAL
y LOOARíTMICA
,~
CAPÍTULO
1); ¿euál(es)
15. FUNCIONES POTENCIA, Test N° 16: Funciones potencia,
de las siguientes
funciones
5) Si el gráfico de la figura es el de la función y = x'" entonces
EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA exponencial y logarítmica
correspondem)
a función(es)
gráfico de y
¿cuál de las alternativas
muestra el'
?
potencia?
=3 = (Ji)' p(x) = X'
1) f(x)
=
2
II) h(x) 1lI)
~
A)
D)
y
A) Sólo 1 B)
Sólo II
C)
Sólo
D)
Sólo I y. II
E)
Sólo 1 y
III
m
2) Si V(x) es la función que permite calcular el volumen de un cubo en términos entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdaderaís)? '1)
El dominio de la función es el conjunto
'Il)
El recorrido
de los núineros reales positivos
E)
B)
de su arista,
y
(IR').
de la función es to~o el conjunto de los números reales (IR).
TII) El' gráfico de la función tiene simetría
respecto del origen del sistema «0,0)).
A) Sólo 1 B) Sólo 1 y II
C)
Sólo' I y III
e)
D) Sólo
II y III
E)
Y III
I,II
3) Si n
E
y,.
"-
IN Y n es par, entonces ¿cuáLde las siguientes afirmaciones relativas a la función f(x)
= x" es'
falsa? A) El dominio de f es IR El recorrido de f es IR+ v {O}
B) C)
El gráfico de f tiene un mínimo valor
D)
El gráfico de f tiene simetría respecto
E)
'lfXEIR:
6) La figura muestra los gráficos de las funciones potencia: f(x) = x", g(x) ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
al eje Y
=
x" y
h(x) = xp.
1) n < m < p. fe-x)
= -f(x)
4) Si en la figura se tieneel gráfico de una función del tipo f(x) proposiciones 'estson)' siempre verdadera(s)?
=
ax", ¿cuál(es) dejas
siguientes
11) n, m y p son números enteros impares. I1I)
ID -
n:= p - m
=
1.
A) Sólo 1
1) a < O.
B)
II) n es par mayor que 2.
Sólo
rr .¡,5
C) Sólo III
III) a E Z. A) Sóio .I B)
Sólo, II
e) Sólo 1 y II D) Sólo 1 y III E)
206
Sólo II y III
I 1
.-6
'-4
-~(J\
D) Sólo 1 y III
4 2
'6
E) Sólo 1 y Il
.¡
0.5 '
·0.5
¡.s .
-0.5 .¡, -1,5
1-4 207
'.~)
psu. Cuaderno
7) ¿Cuál de las siguientes
=
A) f(x)
funciones
podría corresponder
+ 3)'
(x
j
.
I
6 A
= -:ifX -
f(x)
C)
= x3 + 3
D) f(x)
=
f(x)
E)
3 .
3x3
t
U
A)
-2
-4
C)
f(x)
= 2' = 2'-1
D) f(x) = 2'- 1 x
O
2
6
4
. E)
f'(x)
= 2'+1
.
13) Si f(x)·=a' corresponde a una [unción exponencial, proposiciones debe(n) cumplirse siempre?
-2
1) a es un número
8) Si f(x)
AY
=
x' y g(x) = ~,
entonces si a y b son números reales cualesquiera
f(g(a + b) =
a +b
(a+b)'f
A)
Sólo 1
By
Sólo II
D) Sólo 1 y x'·~a+b
9) El(los) puntots)
de intersección
1) (O, O)
de la función y = x3 U)
-
E)
9x con el eje X;e$(son):
(3, O)
IlI)
(-3, O)
Al'
f(x)
B)
[(x)
E)
Sólo 1 y U 1 y. III U
1, II Y III
V(x)
B) V(x)
E)
V(x)
11) ¿Cuá1(es)
3
oro. (]R').
Ti mejor al de la función'
= 2x + 1 = x' + 1
[(x)
=GJ =
1-'
-4
·2
3
= 36x' = 12x
15) Un científico pone en un recipiente 500 bacterias de un cierto tipo cuya población cada una hora. Si x representa el tiempo, en horas, transcurrido, la función que permite el número' de bacterias presentes en el cultivo al cabo de x horas es
-; 2x3.
se triplica determinar
3
de las siguientes
funciones' és(son) exponencialfes)? , 1I)
1) f(x) = x-
Al
D)
E) [(x)
=x = 18x
C) V(x) = 36x' -' x3 D) V(x)
reales
reales' positivos
e) . [(x) '" 3'
y m
10) Una caja de cartón tiene una base cuadrada de lado x cm. Si la longitud total de las 12 aristas de la caja es 144 cm, entonces el volumen ·de la caja está. dado por la función A)
de f es el conjunto de los números
14) El gráfico de la figura corresponde
B)
D) Sólo
de las siguientes
Sólo II y III
A) Sólo .. 1
. C) Sólo
¿cuál(es)
C) Sólo III
D) '(a + b):' E)
entonces
real cualquiera.
Il) El dominio de f es todo el conjunto de los números IlI) El recorrido
B) la + bl C)
y LOGARÍTMICA
f(x) = 2x
B) f(x)
·0
·6
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ITest W 16, FUNCIONES POTENCIA, EXPONENCIAL
12) Se dispone de una cartulina de 1 mm de grosor .que se puede doblar sucesivamente de modo que cada doblez se hace sobre el anterior. ¿Cuál es la función que expresa la relación entre.Ia altura del papel doblado y el número de dobleces?
al gráfico de la figura?
'" -3x3
f(x)
B)
:~
de Ejercicios, Matemática
Sólo 1
f(x)
=
5'-'
A) f(x) = .500 . 3'
. IlI)
f(x)
= (J2)'
B) [(x) = 500 . 3-' C) [(x) = 500 . 3"'" D) f(x) = 3s&l
B) Sólo U C) Sólo III D) Sólo II y
m-
3' E) f(x) = 500
E) 1,U Y m 208
209
I!¡
~.
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
~"
Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO
16) Una pareja de 'conejos se deja en una isla, en condiciones tales que su .número se triplica cada.ó meses. ¿Cuál es la función que representa el número de conejos (y) después de 'transcurridos "x" años? .
20)
¿eual(es)
de las siguientesafirrriaciones
1) Es decreciente
\
C)
Y
D)
Y
= Y=
E}
"
=
e)
·.e)
i8) t,
21) ¿euál(es) de las siguientes características relativas a la función logarítrnica f(x) «b» un número real positivo distinto de uno, es(son) siempre .verdadera(s)? '1) Si log.(x) = 16gb(y) entonces x = y.
1.000,
2'-1
1.000, 2'·1 1.000· 2x
=
I1I) f(b')
de números negativos
'= log.(x),
siendo
son negativos.
x.
A) Sólo 1
Un cierto tipo de bacteria es .tal que se duplica cada 10 horas. Si en un cultivo estas bacterias, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) veidact'er¡¡(s)7. 1) En 10 días habrá
II) Transcurridas
B) Sólo II
se deja una de
e)
2'4 bacterias.
Sólo
III
D) Sólo 1 y 11
20 horas habrá 4 bacterias.
III) .En 2n días el número de bacterias
E)
será 2'.
22)
Sólo 1 y III
El dominio de la función f(x)
=:
log(3x - 1) es
Sólo
B} Sólo 1
y
II
A)
+oo[
]~,
Sólo 1 y III
D) Sólo II y III E)
1 y II
Sólo II y III
II) Los logaritmos
D)
e)
El
1.000, 2'<
'E)
A)
Sólo III
D)Sólo
12x
A) 1.000' 2(x - 1)' B)
del sistema de coordenadas.
B) Sólo II
.
17) Una persona planifica su entrenamiento para una maratón del siguiente' modo: correrá:cadadía el . doble de lo que corrió el día' anterior. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el número de metros que corre el día x, si el primer. día corrió 1.000 metros?
J
2' es(son) verdaderars)?
A) Sólo 1
2 . 3t
62'
et origen
1-
,
III) El gráfico de' f no corta al eje X.
B) Y = 2, 3'
I
FUNCIONES POTENCIA, EXPONENC1AL y LOGARÍTMICA
relativas a la función f(x)
en todo su dominio.
II) El gráfico de f pasa por Y = 2 ,3"
A)
i
¡Tes; N" 16,
1{
B)
1, II Y III
19) Dada
la función
exponencial
f(x) =
(~J
¿cuál(es)
de las siguientes
igualdades
es(son)
córrecta(s)? 1) f(":"u)
=
(f(U»-I.
IJ)
f(m + n)
= f(m)
, f(n)
IlI)
f(~J
f(b)
,+
C) . ]0 ,
D)
fea)
H [-~,
oo[
+oo[ +
o{
E) IR'
A) Sólo 1 y II B) Sólo 1 y III e)
Sólo II
D) 1,
ti
y m
y III
E) Ninguna de las tres
210
211
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡'Tes, N'16,
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
FUNCIONES POTENCIA. EXPONENCIAL
,
y LOGARfTMlCA
.1
1
23) Si la base b es un número real positivo gráfico de, y = 3 + 10gb(X- 2)?
mayor que 1, ¿cuál de los siguientes
corresponde
25) Para' que la función f(x) = a', de base real,' corresponda a una función exponencial, 'debe ocurrir que:
al
(1) "a" debe ser real, positiva
D)
A)
(2) a ~ 1
A) (1) por sí sola
~
4
~
¡, 1'·
~r
6'
\
I'
~t
I
~
4
2
4
~
~
1
~
I
I 44
2
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) Y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere I
I
información
adicional
= log.(x), de base real, y con argumento debe ocurrir que:
26) Para que la función f(x) función
logarítmica,
positivo x, corresponda
a una
(1) "a" debe ser real positiva B)
,1
t,v'
,
..E)
(2) a ~ I
y 4
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola
2
-6
O
4
2
4
-6,
6
.ci
x
x 4
' -2
O
, -2
-2
4
4
4
6
Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
El Se requiere información
adicional
'~
y
C)
.¡ 2
-6,
-4
O
-2
., 2
4
27) Dada la ecuación Iogarítmica 10g( x: 9)
,
si y sólo si, la:
x satisface la(s) condición(es)
incógnita i:_ •
1
log(x +9) + log (x), ella se satisface
(1) x + 9 > O
,
'
(2)
'A)
x
x> O
(1) por sí sola
B) (2) por sí sola
6 '
el
-2
Ambas juntas, (1)
y
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) -4
E),
24) ¿Cuál debe ser el valor de a en el gráfico adjunto para que la' función representada A) 4
sea f(x) = log,(x)? '
(1) Y = 2x
C)
(2) y 1
"4
1
E)
"2
O
adicional'
28) Sabiendo que lag :\ 10 = lag y..'ioo. entonces entre las bases x e y es:
y
B) 2
D)
x 11"
la igualdad
anterior tiene lugar si .
y sólo
si, la relación
= x2
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
e). Ambas juntas,
(1) y (2)
D) "Cada una por sí sola, (1), ó (2) E)
212
Se requiere' información
Se requiere 'información
adicional 213
,
~
I
'
:~' '.i'
.PSU. Cu.aderno·de
29) Si
X
Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 17. ECUACIONES IRRACIONALES,
e y son números reales positivos,
entonces dada la igualdad
\
s610 si, la relación entre ,x. e y es
,~
I
1) ¿euál(es)
B)
I) x +
(2) ~ == 1 Y
A) Sólo L B)
(2) por sí sola
S610
II)
rx+2
=
.fi
ID).rx
+'.J2
.fi
u
E) Sólo, 1
Se requiere información'
adicional
30), Da'da la ecuación logarí;mica
log(x)=-
E)
.fi = .fi
D) Sólo II y III.
D) Cada una por sí sola, (1) ó'(2)
h1,
siguientes es(son) irracional(es)?
C) S610 IlI.
C) Ambas juntas, (1) X (2)
~ í
de las ecuaciones
(l)x-y=O
A) (1) por sí sola
Jt
CAPÍTULO 16. ECUACIONES IRRACIONALES Test N° p: Ecuaciones írr-acíonales
10g(~) = O, ella se satisface si y
2) Si
-Fx -
y IIL 2 = -3,
entonces el valor de x es igual a
A) -1
~
10g(~),
para resolverla,
se transforma
f¡ a ella en que la(s) condicióntes)
1
p~ra la incógnita
x esíson):
'
(l}x>O
~ , ¡-
(2) x==-
1:
~ "
B)
1
e)
2
D)
3
E) 4
1 x
l
en tin'a equivalente
,,'
A) (1) por sí sola
A) ,O
B)(2)
B) ,1
por sí sola
1I
¡
e)
Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sísola, 1
E) Se requiere
1
(1) ó (2)
información
adicional
fi
3) Si .rx +
:J5- , entonces
216 216
e)
5 +
D)
5 -
E)
Ninguna de las anteriores
4) Si
el, valor de x es igual a
.rx =- -1, entonces ~i(los) valor(es) de x es(son):
A) Solo el+-I B) Sólo el C) Ambos
-1 y
D) Ni -1 ni l E)
Sin solución para x
5) Si ~
+ 1 = O , entonces el(los) valor(es) de x es(son):
A) Sólo el -1
RESPUEST AS CORRECTAS'
B)
Sólo el
e)
Ambos -1 y
l
D) Ni -1 ni l E) 'Si n solución para x
214 215
f PSU, Cuadétno-de Ejercicios, Matemática
6) Dada l~ ecuación irracional A)
¡i ,1 j"j
¡i 11 ¡I
.¡
i
i
,"
5 +
~'=
12. la solución para x es
11) Se afirma que la(s) solución(es) de la ecuación
B)
345
C)
343
D)
125
E)
,9
A)
Sólo el -i.
B)
Sólo el
6
+ ~
= 9
O
D)
Sólo el' -1
E)
y el O
Sólo el O y el 1
12) La(s) solución(es) deja ecuación
~
1 -
C) 5,267
,B)
Sólo el
D}
83
e)
Sólo O y
E)
81
D)
Sólo el 2
E)
Sólo el I.y el 2
8) Dado que
1 -
=
'~
-2
B)
-1
e)
o
B) 4
D)
1
C) 3
E)
2
9) Par~ que
13) Si
I!
l
es(son)
.J4x2
-
3x ~l
2x
1 , entonces el valor de x es
A) 9
D) 2 ~
E)
= 7 , x debe ser
-53
B)
3
e)
10
D)
13
E)
45
l O) Al resolver la ecuación
I
1, entonces x
A)
14) Al resolver la ecuación x2 1)
-5
16 -
'~
'3x
= 12.
resulta
x=
B)
Sólo Ir Sólo III
D)
Sólo 1 y II
E)
Sólo Ir y III
B)
16
15) Si
32
A)
O
B)
a(a
-3
o)
16 3 4
+ ~. 'Ir)
C)
24
e)
21
se encuentra que su(s) solución(es) es(son)
5
IlI)
25
A) Sólo
A)
E)
x
A) Sólo el O
B) 6,557
I
es(son)
admite como solución para x el valor
A), 6,561
11
N" 17, ECUACIONES IRRACIONALES
C) Sólo el '1
;~!
A)
x+l=~
1,627
7) La ecuaciónirracional
j I
SEGUNDO EJE TEMÁTICO/Test
x
»a
C) .a -
(siendo aE IR'). entonces la ecuación irracional
-
~
a
tiene como solución
x
=
1) ,
a2
D) 2a2 E)
a(a
+
1)
216 217
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N' 17, ECUACIONES IRRACIONALES PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
16) El conjunto solución de la ecuación A)
~
-
~2(x
-
1)
<\l
B) {O} C)
{~
o
es
20) La solución de la ecuación
=
~
~,en
el conjunto IR, es
5
A)
x
B)
x=-
=
2" 2 5
C) Sin solución
}
D) {1 }
D)
x=O
E)
Ninguna de las anteriores
Fx
21) En IR , la ecuación irracional
E) {2}
~
se satisface para x
Al -2 17) Si ,,/2 +
Fx
=
2, entonces
x
B) e)
A) -2
Ningún valor de x
E)
Ninguna de las anteriores
e) o
22) La ecuación irracional'
D) E)
,[s-2.J2x-4
1 ,entonces
.x
e)
B)
2
D) Sólo' 1 Y Il E)
D) 8
2"
IlI)
x=lO
Sólo Il y III
EX+l,
"Ix
+ Il)
4
1 es(son):' IlI)
5
A) Sólo 1
12.J1~x -
7
12
E) 4
48, entonces el valor' de x es
E) Sólo II C) Sólo III D) Sólo 1 y II E)
Sólo 1 y III
24) La ecuación irracional condición:
.,Jx+22 ,-
rx+u
C)3"
A)
214 D} 297
'C) el .antecesor de x es un número primo.
E) Ninguna de las anteriores
O < x <
B) 10' < x<
=
1 tiene una solución «x. que satisface la
9"
14
D) la ecuación anterior no tiene solucióI\' E)
-'-
x = 5
Sólo III
1) O
7
A)
tiene como solución(es):
Il)
23) La(s) solución(es) de la ecuación
5
16,J45-
7
B) Sólo Il
o
19) Si
+ '~=
A) Sólo 1
A)
E)
x
1) x =.4
2
C) 4
218
2
D)
B) -1
18) Si
O
la ecuación anteriortiene
más de una solución. 219
1"
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 17, ECUACIONES lRRACIONALES
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
25) .Al resolver la ecuación alguna(s) de las siguientes
-'.rx+2,
~
= 1, encontramos
29) En el conjunto IR, la igualdad
que sus r~íces cumplen
condiciones:
Son dos números enteros consecutivos.
1)
lt)
Ambas raíces son negativas.
Ill)
La ecuación propuesta tiene exactamente
una sola raíz.
D)
C), Sólo ID.
E)
r n
26) La(s) solucióníes)
de la ecuación
~x
+ ~
n)
- ,~
o
ID)
-x = 2
n y
x
=
+
2
=
x se satisface si:· X. ~
(x - .2)2
.(2) x es par
4 B)
n
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Sólo 1 y II Sólo
¡:;
A) (1) por sí sola
C) Sólo ID
E)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
(1) x es solución dela ecuación'
es(son):
A) Sólo Sólo
l
30) Lit ecuación irracional
x = O
B)
=
E) Se requiere información adicional
Ninguna. de las 'anteriores.
1)
x2'
Iy I
C) Ambas juntas, (1) Y (2)
n
D)' Sólo 1
(2)
=
es verdadera si se cumple que:
B) (2)por sí sola
A) Sólo 1 Sólo
Ixl
~.
A) (1) por sí sola
De las afirmaciones, 'anteriores, es(son) verdaderaís): .
B)
(1)
¡:;
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
B)
Se requiere información adicional
ID
rx+!.
0+ ~
27) Una solución para la ecuación
es x
A) -1 B) C)
l¡ ¡ j
1
2
D)
¡ 1 '1
O
E)
2
28) Si x, a E IR , se cumple que"¡¡
l~
(1)
x
a2 y x ~ O
(2)
a ~
O
= a
si:
A) (1) por sí sola i i
B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
l'
220
Se requiere
información
adicional 221
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES
CAPÍTULO 17. ECUACIONES EXPONENCIALES Test N° 18: Ecuacíones exponenciales
6) Si se sabe que 2x
Al 1) ¿euál(es) 1)
de las ecuaciones siguientes estson) exponencial(es).?
= 3
2
x
II)
2
x
=
3
- I
4s , entonces el conjunto solución de esta ecuación es
[6)
B) [9) III)
(-!2)'
fj
C) [11) D) [6, 11 )
A) Sólo 1. B)
E)
Sólo H.
\'l'
7) Dado que 7
X
e) Sólo III. D). Sólo IIy E)
III.
Sólo 1 y n. n
2) Si 2
.+
= 128; entonces
2
n - I
2
A) 127 B)
126
A)
-'2
B)
O
e)
1
. D)
2
E)
7
8) Si x
ii :f t,
C)
64
A) 3
D)
32
B) 4
¡¡~,
E)
16
;1
3) Si
,i
Tn:"
1,entonces
2
x
n
1
-
x
243, entonces n
C) 5
., 1,1
3, Y
-
2
=
D) 6 16! entonces n E) 7
A)
-2
B)
2
e)
4
A)5
D)
6
B) 6
E)
8
C) 7
9) Si 3x
27 . 27 ,entonces
x
D) 8 4) Si A)
3x
=
81, entonces x
E) 9
-4
B) -2 C)
O
D)
2
E)
. 4
5) Sabiendo que A)
-2
B)
-1
C)
O
D)
1
E)
2
2x
+ ,2
= 4; eritonces x
222
¡f
i
'.
223
~:~( .
rsu. Cua~eni.ode Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO / Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES
"+
11) La ecuación exponencial
A)
9-3
x
.~
(
)
3
admite como solución a x
27
1S) El valor de x dado por la ecuación
=
-6
3
E)
6
B)
0,001
16) Dada la ecuación = 25, entonces
10.-Y
(_I_J'
253, el valor de x es
A) -6
1
A}
- E)
-5
B)
-3
e)
-2
D) -1
1
E)
625
1 e) -
2
17) El valor de x dado por la ecuación
'.
so
A)
1 D)
0,01 es
E) -2
125
12) Si .10'Y
100'
D) .-1
o
D)
0,0001
C) - 0,01
:8)-3 e)
A)
(_~)-"
7
2.401 . (-7)
es
-5
B) -4
25
e) ~3 E)
13) Si) A) B)
1 5
VI VJ '.)
D)
4
E)
S
.
=) 1 , entonces
el valor de x es
.'~
18) En -la ecuación exponericial A)
-2
B)
-1
O
C)
1
D)
2
E)
1 2
.
e)
--
A)
-4
B)
-:-2
C)
2
D)
4
E)
16
1 2
16: entonces
D)
-21
E)
2
x 19) Si 9'
I
~, el valor de la incógnita x es 2
-1
14) (0,25)'=
224
4-'
+ 2
= 240
+ 9", entonces el valor de x es
A) 0,1· B) 0,2 . C) 0,3 D)
OA
E) ·0,5 225
~ PSU. Cuaderno de Ejercicios.
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 18, ECUACIONES EXPONENCIALES
Matemática I~\
20) El conjunto solución de la ecuación
)0.8X
S (.
24) Si a E IR· Y a;rl,e~tonceslasolucióll,delaecuaciónexponencial
64 está dado por 125
¡
A){_1:} -5
E)
0,125
=
Y 125z
.J5,
entonces
¿cuál(es)
de las siguientes
igualdades
es(son)
Z =
H)
-1}
x + z = -:,I}
x z =. -0,25
IIl)
D)
Sólo 1 y H.
E)
I, Il Y HI. _
4x
C)
1
D)
3
E)
'2
26) Si
(2
1)
o
- 1 ,:
B)
5.J5
C)
25.J5
D)
25 .
24, entonces
(2x
r
13) El valor de x que satisface la ecuación
B) 2
e) 3 D) 4 E) 5
r
a es
2
(2') , entonces
es igual a
.
el(los) valor(es) de «n. que satisface(n) la ecuación ariterior es(son) Il)
A) Sólo'
1.
B)
Sólo
II.
e)
SóloIIl.
x
27) Si
2
A)
Sil
B)
{l}
e)
{2}
D)
{3}
Il
ID)
4
!I.
y
+ 4x
2
lII. = 72, entonces el conjunto solución de esta ecuación es
E) {4} 28) Sabiendo que 10' que:
=
100', entonces para que se cumpla la igualdad anteiior es necesario y basta
(1) y = 2 x
125
A) 1
n
E)' Sólo
.J5
A)
.
D) Sólo 1 y
Sólo H,
e) Sólo IIL
22) Si 4x
a3
=
- 2
2}
A) Sólo I.
226
a
5
L5
x +
E)
E)
B) -1
verdadera(s)?
B)
2
A) '-3
L~}
21) Si 4' 1)
I
D)
a2x
r:}
D)
O
e)
25) Si «a" es .un número real positivo y distinto de uno, entonces la solución de la ecuación exponencial
{ ,2}
e)
= a2-'es
A) -2 B)
B)
ax-2
3x + 3'
-1
+ 3' -
x
2 '.
+ 3
-
3
+ 3' -
4
,= 363
(2) y
es
=x2
A) (1) por sí sola B)
(2) por sí sola
e) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere información adicional 227
.~ PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 19. LOGARITMOS
29) Se pide hallar el valor numérico de x en la ecuación exponencial (1)
a
(2)
b ~ a
E
IR.+ ya*,
a"
b.
Para ello se sabe que:
C~PÍTULO 18. LOGARITMACIÓN Test N· 19: Logaritmos
l 1) ¿euá1(es) deIas siguientes las variables involucradas?
A) (1) por sí sola
=
1) 2'
B)
(2) por sí sola
e)
Ambas juntas, (1) y (2)
8
ecuaciones
conduce(n) JI)
al concepto
x2 = 9
de Iogaritrno
para el despeje 'de III)
)'+,
A) Sólo 1. B)' Sólo
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) . E} Se requiere información
adicional
e)
u.
Sólo III .
D) Sólo 1 y n. 30) Se da-la ecuación exponencial a" dispone para ello es que:
== b Y se pide el valor numérico de x. La información de que se
E) Sólo
A)· >
10", con n
E
2
IN.
A) (1) por sí sola B)
III.
2) log,(125) =
(1) a = 10 (2) b
Iy
(2) por sí sola
B)
3
e)
4
D)
5
C) Ambas juntas, (1) y (2) E) 25 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere información
adicional
3). Si a, b y l son números reales positivos, .con al menos uno de ellos distinto de Uno, entonces la ecuación log, a = e es equivalente a A)
ab = t
B)
a' =b
e)
b' = a
D)b'
E)
=
e
lb = a
4) log,o'(1.000.000) A) 2 B)
3
e)
4
D) 5 E) 6 81 5) log.116 A)
-4
B)
-3
e)
-2
D)
2
E)
4 .. 229
---=..----_ ...- -
psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test N" 19, LOGARITMOS
6) logo.ol0,00 1 = A)
-2·
B)
-1,5
ID) ¿euál(es)
1) loglO2 =
e)
-1 -0,5
E)
1,5
1I) log" 81 =
7) ¿Cuál es el logaritmo de 3 con respecto a la base
3J3?
B)
2
III) log¡ 56
3'
IV)
A)
Solo 1.
B)
Sólo II y lIl.
e)
Sólo 1, III Y IV.
E)
1
= -
3
log.¡¡8 = -4
Sólo
IV.
. 11) El valor de íog, ('25 -2-.5-. 625) es Igual a
2
C)3' 3
D)
5
es(son) falsa(s)?
D) Sólo Ir, III Y IV.
1
3'
igualdades
4:
D)
A)
de las siguientes
'4
A)
3.125
B)
725
C)
7
D)
6
E)
'5
log,I6
+ logJ4l J7
3
E)
2
8) log,,,
12)
(i.J3)
A)
A) -2 B) -1
C) D) E)
37 12
B)
7 -
e)
-
O
=
4
3
2
2
9) De las siguientes 1) log , 27
=-
afirmaciones, 3
1II)
J
1I) log" 7 =
log,olOO
1
2'
IV)
log'62
=
='4
Sólo
1II y IV.
e)
Sólo
I y IV.
E) Todas.
-
E)
1 -
1
6
13) Si log",, 16
B)
n.
4 3
D) 2
n.
A) Sólo'
D) Sólo
es(son) verdaderais):
III
Y
A)
B) IV.
;
"
.
. e)
= ~x log,16,
entonces
x
-4 0,25 0,5
D)
l
E)
16
230 231
'~i" PSU. Cuaderna de Ejercicios. Matemática SEGUNDO EJE TEMÁTICO I Test W 19, LOGARITMOS
14) log9· log8 2log27
A)
18) Sea "a" un número real positivo distinto de uno. Si log. a' .= 2 , entonces x = A)
. 4
·2a
-
log a
-
. 3
2.
B)log C)
B)
4
3
log a
log 2
1
C) 2 3
D) 2log
~
2
D)
2
.E) .-2
E) log 3 19) En la ecuaciónlog(JO) 15) log3-
log.J3
=
,i A)
IOg(3 - .J3)
B)
1 -log3 2
C)
l· ( 2:logl2
i~
¡: ¡"¡ t :
I
1
,.H íj~:
- 3 " -, log2
A)
B)
9
C)
1
D)
E)
+ log(-x)
= O, entonces el valor de x que lasatisfacees
10
1 10 1 ~ 10
D) ~log3.J3
20) Si log ,
(J) =
A)
-2
B)
3 --
x, logt y
3 .y
10g~(~)
=-2,
entonces.xyz
=
16
2 -
C)
9
I
2
D)
--
E)
-~-!i
27
8
21) 1 - 2 lag 2 A)
-lag
B) 2log
2 5 -
C)l D) 1 -
log 4
E) 210g 5 233
PSU. Cuaderno
. SI Iog,
22)
Matemática
de Ejercicios,
. = 2, log 2
X
•
= -1
'2
~! . K{ log.¡;
G)
=
z , entonces
26)
~
A)
B)
-16
B)
C)
--
D)
16 1
E)
16
75
B)
75,1
'C)
10
=m
..,
, lag,
e
7 ) 8
- 3 Y logt x = 2 , entonces
2log3
- J
E) O
~
-fi
A)
-lag
=
C) -2 lag 3
1
D)
J - - log '27 - 1 3
log3 .
A) -256
23) Si log, .
27)
2log 100 ~
1
2"
lag, 64 =
mnx " A)
0,5
B) 0,4-' C) 4,5
0,03
D) 150-'
D)
1,5-'
E)
3,5
0,12
E)
24) Si x = 11
-(I),e
(1)
log 4
log.J3
log - . 3
,1
y .
28) Si a > 0, ¿es la función f(x) = log a 'x creciente en todo su dominio? (1) a >
. = entonces x . y
(2) f(8) = 3
IOg(;7)' .
A)
(1) por sí sola
B) (2) por sí sola
3
C) Ambas juntas,
"4
A)
ti
(1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)
B) 6
1
I
'1
C)
¡I
E) Se .requiere
1 -
29) ¿Es log, a
.6
='
(1) b >
:1
3 log 3
1.1
D)
:1
¡,l. E)
1
¡ 25)
2 log 2
,1
. (1)2".
A)
.'
A)
-2
lag 2
é?
Q
y b ~ 1
(1) por sí sola
C) Ambas juntas,
(1) y (2)
D) Cada una por 'sí sola, (1) 6 (2)
+ log 4 - 2 =
B)
adicional
B) (2) por sí sola
3 lag 3 -:-4 lag 2
log
información
(2) b' = a
r :
"
SEGUNDO EJE TEMÁTICO ¡Test N' 19, LOGARITMOS
E)· Se requiere
información
adicional
lag 2
C) lag 0,2 D) log.6,02
1
E) 234
J
-lag
2'
, .j~
235
SEGUNDO EJE TEMÁTICO I BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
psu. Cuaderno de Ejercicios, Matemática 30) ¿Corresponde
la figura
adjunta
al gráfico
de y
,BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
= 10g2x?
Segundo Eje Temático: (1)
La curva
pasa
por
él punto
(2)
La curva
de la figura
de coordenadas
y la curva
dey
ÁLGEBRA y FUNCIONES
(1, O).
.
= 2' son simétricas
respecto
de la recta
y = x.
'y A)
(1) por
B)
(2) por
sí sola
C)
Ambas
juntas,
D)
Cada
E)
Se requiere
1)
Autor: Título: Editorial:
Allendoerfer Car¡'B. y Oakley, Cletus Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Ediciones del Castillo. Madrid', 1966.
2)
Autor: Título: Editorial:
Allendoerfer Carl B. y Oakley, Cletus Fundamentos dé Álgebra: Editorial Mcflraw-HillvColombia, 1971.
3)
Autor: Título: Editorial:
Ayres, Frank Álgebra Moderna Editorial Mcflraw-Hill.
Autor: Título: Editorial:
Ba1dor, J. Aurelio Álgebra Elemental. Compañía Editorial Cultural.
Autor: Título: Editorial:
Álgebra: Editorial
sí sola
una
(1) y (2)
por sí sola, información
(1) Ó (2) adicionalj
ol?/
.~I
4)
5)
Colombia,
1969.
Madrid, 1985.
Cano.Omer 3° y 4° año de Humanidades La Salle, Santia,go s/f
6)
Autor: Título: . Editorial:
7)
Autor: Título: Editorial:
8)
Autor: Título: Editorial:
Dolciani, Mary P. Álgebra Moderna: Estructura y Método, LibrosI Publicaciones Cultural. México, 1972.
Autor: Título: Editorial:'
F.G-M Exercices d' Algébre, Librairie Armand Marné.
9)
!O) Autor:
Cano,Omer Álgebra elemental: 4°, 5° Y 6° año de Hnmanidades Editorial La Salle. Santiago, slf Chrystal, George A text book of Algebra. _Chelsea Pnb. Nueva York, 1927. (*)
y n.
París, 1912. (*)
Título: Editorial:
Hali,H.S. School Algebra. McMillan. Londres, 1923. (*)
11)
Autor: Título: Editorial:
Hall, H. S. y Knight, S. R. Álgebra elemental. Montaner y Simon. España, 1972. (*)
12)
Autor: Título: Editorial:
HaÚ, H. S. y Knight, S. R. Álgebra Superior. Uteha, México, 1972. (*)
13)
Autor: Título: Editorial:
Hue, Th. y N. Vagnier Algebre Librairie Delagrave, París, 1922.
14)
Autor: Título: Editorial:
Lehmann, Charles Álgebra. Limusa Wiley, Estados Unidos, 1972. 237
236 ______
~
CW?
._.__.".~
..
_
PSU. Cuaderno
de Ejercicios.
Matemática
15)
Autor: Título: Editorial:
Lidvinenko, V. y Mordkóvich A: Prácticas para resolver problemas matemáticos. Editorial Mir, Moscú, 1989 .:
16)
Autor: Título: Editorial:
Morf C. y Tzaut S. Exercices et problernes d' Algébre, recueil gradué. Librairie F. Rouge & Cie. Librairie de L'Université.
Autor: Título: Editorial:
Proschle, Álgebra: Santiago
17)
18)
Quatrieme edition, 1906. (*)
Francisco
4°,5° y6° año de Humanidades de Chile, 1967
. Ritch, Barnett Álgebra Elemental Moderna. McGraw-Hill. Colombia, 1971. Colección
Autor: Título: Editorial:
, Álgebra y Trigonometría.
Schaum.
Autor: Título: Editorial:
Robledo Herrera,' Alamiro Lecciones· de Álgebra Elemental Moderna,' en tres tomos. Universitaria. Santiago de Chile, 1973.
Autor: Editorial:'
Rojo, Armando Álgebra. El Ateneo .. Buenos Aires, 1975.
21)
Autor: Título: Editorial:
Schons, N. J. Traité d' Algebre. Namur La Procure. París, 1936. (*)
22)
Autor: Título:. Editorial:
Smith, Charles A treatise en Álgebra. McMilIan. Londres, 195i
Autor: . Título: Editorial:
Spiegel, Murray R. Álgebra Superior McGraw-Hill. Colombia,
Autor: Título: Editorial:
Stahl F. und Meyer F. Algebra. Aufgabensammlung (colección Orell Füssli Verlag Zürich. (*)
25)
Autor: Título: Editorial:
Une Réunion de Professeurs Cours d' Algebre élémentaire (N° 264 E) Librairie Générale de l'enseigneÍnent libre. París, 1947. (*)
26)
Autor: Título: Editorial:
Une Réunion de Professeurs Exercices d' Algebre élémentaire (N° 264 M) Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1947. C*)
27)
Autor: Título: Editorial:
Une Réunion. de Professeurs Complements d' Algebre (N" 263 E) Librairie Générale de l'enseignement
19)
20)
__ Títl'!O:
23)
24)
28)
Autor: Título: Editorial:
29)
Autor: Título:· Editorial:
.
.
(*)
1971. ColecciónSchaum.
de problemas)
libre. París, 1947. (*)
. Une Réunion de Professeurs Complements d' Algebrc; solutions (N° 263 M) Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1947. (*) y áñez Bravo, Mardoqueo Matemáticas Sociedad Imprenta y Litografía
Contiene una cantidad muy importante
de ejercicios
Universo.
Santiago
de Chile, 1918.
y muy bien graduados.
238 ~,
~
~:A. 1'5U. Cuaderno' de Ejercicios.
TERCER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
Matemática
Observaciones
EJERCICIOS RESUELTOS TERCER EJE TEMÁTICO: GEOlVIETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
1) .
y comentarios:
A)
1,8 cm
En apariencia, este es un problema dificil pero nosotros lo hemos mostrado como un problema accesible y fácil de resolver mediante los recursos de la simetría, tan ímportante ahora en el actual programa de Geometría para la E. M, En Geometría Euclidiana es muy importante el "darse cuenta" de lo que ocurre con un ejercicio. Hacer un muy buen dibujo a la manera clásica (eón regla y compás), o con recursos más reciéntes (mediante alguna herrainienta computacional) también ayuda a que a uno se le ocurrael método para la solución e incluso la solución misma. Aunque también recalcamos que el dibujo no demuestra absolutamente nada. La demostración o solución del mismo debe estar basada en axiomas, postulados O' teoremas conocidos.
B)
2,4 cm
Respuesta
C)
3,2
D)
3,6 cm
E)
4,0 cm
Se tiene un triángulo rectánguloAlsC de lados BC = 3 cm y CA = 4 cm y cuya altura es CD = he' Se hace giraren 180° en tomo a la altura CD, hacia la derecha, formándose el triángulo B'A'C (rio dibujado en la figura), En tal caso, la distancia B'B mide
correcta:
D
alternativa
Cm 2)
A
~B
D
Solución: Al.interpretar
el enunciado del problema.iel
dibujo correspondiente
sería el siguiente:
1I
En la figura adjunta, tenemos una circunferencia x mide A)
138°
B)
107°
C)
104°
D)
86°
E)
76°
de centro O. Con los datos indicados en ella, el ángulo
y\.
\
/
142~E
Solución:
A~Á Debido al giro del triánguloABC
B'
D
B
'
en tomo a la altura CD, para formar el nuevotriángulo
'=
:=
que /), ABC /)"A'B'C. Por lo tanto, al ser BC de baseB'B (que es la distancia pedida), Luego, dicha que la altura CD en el triángulo isósceles B'BC es, al tanto, llega al punto medio de la base B'B, El cálculo
El arco BD mide 62°, el doble del ángulo inscrito BAD que subtiende dicho arco. El ángulo ADC, que es el ángulo exterior del triángulo AED, mide la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él: 31° y 42°, es decir, mide 73°. Por lo tanto, la medida angular del. arco AC es el doble de 73°, o sea, 146°. Aplicando el teorema del ángulo interior al ángulo x, que es el ángulo buscado, obtenemos la ecuación:
B' A'C, resulta
B'C, resulta que el triángulo B'BC es isósceles distancia es igual al doble del segmento DB, ya mismo tiempo, transversal de gravedad y, por lo del segmento DB = P se efectúa con el teorema
"
x
de Euclides del cateto:
=
14,6° + 62° , es decir: 2
x
=
104°
,a2, =. c.p
:¡.
Obser~aciones Como a=
ti
3 cm y c. = 5 cm, (triángulo pitagórico
en la fórmula, tendremos
240
la distancia buscada mide B'B
2p
~ = 1,8 cm
5 2 • 1,8 cm
y comentarios:
los valores numéricos Este ejercicio puede resolverse usando solamente teoremas referentes a las medidas de los ángulos en una circunferencia. En cambio, nosotros 10 hemos resuelto usando en forma combinada teoremas de ángulos en la circunferencia y de ángulos en el triángulo, Es muy importante descubrir, para cada, unode los alumnos yde las alumnas, cuál es el método más expedito para llegar correctamente a la solución y, en el menor tiempo posible.
que:
32 = 5 p, de donde p Finalmente,
clásico), reemplazando
3,6 cm
Respuesta
correcta:
alternativa
C 241
TERCER EJE TEMÁTICO I Ejercicios Resueltos
PSU. Cuaderno de "Ejercicios. Matemática
3)
En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado cuyo lado es "2a". Las figuras dibujadas en el interior de él son dos semicircunferencias de diámetros iguales a dos lados opuestos del cuadrado dado. El área de la
Observaciones
región achurada está dada por la expresión:
Es muy importante notar cálculos, aprovechándose es la zona achurada, De ni siquiera era necesario zona achurada era igual
A)
4 a2
B)
2a
y comentados: que este ejercicio se ha resuelto con el máximo de razonamiento y el mínimo de' las ideas de la simetría para determínar, por ejemplo, qué parte del cuadrado . esta manera la solución fluyó por sí sola. Incluso podemos decir que, tal vez; trasladar el cuadrante de arriba hacia abajo. Bastaba con darse cuenta que la a la zona en blanco.
2
Respuesta
correcta:
alternativa
B
2
C)
41t a
D)
21t a
E)
2 a2
I
2
-
'
1
-,1t
l'
.~
4)
En el cubo de arista igual a 10 cm, de la figura adjunta, se tiene una sección.plana que pasa por dos vértices opuestos de la base y por un vértice superior. El ángulo diedro que forma este plano con el plano de la base del cubo es alfa (u). Podemos calcular este ángulo alfa por medio de la(s) ecuación(es):
a2
2
2
I) sen ex
=
16
Solución: Para el desarrollo de este ejercicio, debemos aprovechar la simetría que éste nos ofrece. Debemos recordar que los ejercicios de cálculo de áreas queinvolucran cuadrados, triángulos equiláteros, círculos, etc. poseen simetría con respecto a sus ejes, 10 cual favorece el cálculo respectivo. En. este caso, basta con trasladar el cuadrante achurado de la parte superior izquierda de la figura al cuadrante que. está en blanco en la parte inferior derecha, para obtener la figura siguiente:
1I) cos ex ~
III)
Es(son) correcta(s):
-. Do
tg ex =
J2 16 J2
;C
A)
Sólo I
B)
Sólo I Y II
C)
Sólo II y III
D)
Sólo J y III
E)
I, IIy
III
Solución: Comencemos por enumerar los vértices del cubo y también el centro de la base del cubo. El triánguloHAO es rectángulo en A pues la arista EA es perpendicular a la diagonal AC de la base. De la observación de esta nueva figura; nos damos cuenta que ella es equivalente ala primera, es decir, tiene la misma área, por estar formada por partes congruentes. De ahí deducimos que él área de la zona achurada, que es equivalente a la que está ahora en blanco, corresponde a la mitad .del área del cuadrado. Luego, el áreaachurada
Los catetosde dicho triángulo rectángulo son: HA= 10 cm y AO = 5 ficm
5.J6
mide:
(2
ay
,pues AO mide la mitad
de la diagonalAC. Por lo tanto.Ia hípotenusa OHmide, por el teoremadePitágoras, OH =' cm. Entonces para calcular la medida del ángulo alfa, podemos usar las principales razones trigonométricas de dicho ángulo en el triángulo HAO.
2 a2
2 243
242
..
•••
TERCER EJE TEMÁ'rrCQ
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
I
Test N" 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
CAPÍTULO 1. ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS Test N° 1:_ Ángulos y triángulos
E
TIEMPO MÁXIMO PARA CADA TEST: 1 HORA
1) En la figura adjunta, los ángulos AOB y ~OC miden cinco tercios y cuatro tercios de un ángulo, recto, respectivamente.' Entonces el ~ x formado por sus bisectrices mide A)
1150
B)
1200
C) 121,50
e
Ir-'----------
D)
1350
E)'
1500
A :'~~B +~ z es
2) En la figura adjunta, L, // L, Y T, -L T" La medida de
TI
Así tendremos: AH,
sen o:
HO
.J6
SV6cm
900
B)
1800
AO_
5.fi
cm
HO
5.J6
cm
tg o: = HA AO
- 16 '
10 cm
5.fi
)
"X ..
..
y
3) En la figura adjunta, AB//DC
y
AD//BC,
AB = BC,
¿Cuál es la medida del ángulo x?-
),
A) 4SO B)
L,
I
1200
li,
.fi
L!
Y
I
se obtiene para el coseno y la tangente:
cos o:
) (bU
D) 1500 E)
Análogamente
,
\Z \
C) 2400
2
10 cm
A)
'he
55°
C) 50°
.fi
D) 65°
cm
E) 600 Luego vemos que con cualquiera
de las tres razones trigonométricas
podemos calcular la medida del 4) En la figura adjunta, L, // L" EA = EB, ~'= 1100~entonces x : + y =
- ángulo alfa (e) ,
E
Observaciones
y comentarios:
A) 2200
_
B)
Nuevamente observamos que para poder resolver con éxito un ejercicio como éste, la clave está en un muy buen dibujo, En él identificamos el triangulo rectánguloque nos conviene para determinar el ángulo pedido, en nuestro caso, el ángulo alfa (a), Cuando el ángulo es agudo, como en este caso, en realidad, con cualquiera de las tres razones trigonométricas se puede calcular el valor del ángulo, Respuesta
correcta:
alternativa
2000
LJ( 1
A
\
(Y\C
LI
\
C) . 1400 D)
700
E)
550
,
(
lA
).t )
L2
E
i ;1
[-~ 244
245
-
,-'\
..
----
1'; PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁ neo I Test W 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
~ I~
1
5) Si en la figura adjunta, U
= - ~,
.
10) En la figura adjunta, U = 80·,
.
¿cuánto mide el ángulo a. ?
'/
4
A)
18°
B)
22,5°
'.
.
B) 40°
.... L.'
C) 50°
C)
36°
D)
D)
45°
E) 90°
~L.....----'.
U, ¿cuánto mide el
L4& 2 .
A) 10°
L
80°
.... L,
...../
\\.,
2.' \,.'
••••••.
.
n°
E)
11) Si
40'
Al
100°
A)
30°
B)
120°
B)
40°
C)
130°
e)
50·
D)
140°
¡
LI
x
L2
E) 150°
si'
U=
¡¡ + 45° Y el complemento de
U mide 20°, entonces
~
o
D)
60°
E)
90°
1,
12) En. la figura adjunta, L, //L"
AE Y BE bisectrices.
Si 8 ~ 120°, entonces, ¿cuál de los siguientes
A)
25°
ángulos podría determinarse exactamente sin conocer la medida del ángulo o?
B)
45°
A) U
e)
65°
D)
70·
E)
115°
,
A)
145°
B)
110°
e)
75°
.D)
70°
E)
35°
~
e)
Y
~,(
1.,
f
7
/' r
=
80°.
¿euál(es)
L¡
\ ....
(P\
://aJ
¡.t = 4~ y ¡¡
L2
de las siguientes igualdades es(son)
verdadera(s)? Y = 20°
A)
Sólo Il y IV
B)
Sólo I, Il Y IV
C)
Sólo III y IV
x= ¡¡
IV)
IIl)x=¡.t
\
(
__ 1
y=13
A)
80~
B)
90°
e)
100°
D)
135·
E)
No. se 'puede determinar
35° ,4: 2
1
( ..•,
7
,(
L¡
~)32°
Y
96°
1\)39"
Y
)30
75°
y
25°
D) 96°
Y
32°
E)
Y
19°
e)
. Il'y
~I
45°, entonces 4: x
.
L¡
,.
7
L
I~
).
2
14) Un triángulo 'cualquiera tiene un ángulo que mide '52° y el segundo mide el triple del tercero. el segundo y el tercer ángulo miden, respectivamente
D) I,Ii, III Y IV E)' Ninguna
2
.
Il)
L
~lV
E) Ninguno de los anteriores 13) En la figura adjunta, L, // L2 ,4:
9) Si. en la figura adjunta, LI 11L"
I)
B)
D) Todos pueden determinarse
8) En la figura adjunta, LI /1 L2 Y U:!) = 1 : 2. El valor de 4: x es
246
.
.~\,
:
6) Si en la figura adjunta, LI 11 L2' entonces 4:x =
7)
L, /1 L" L,.L L, Y L, es bisectriz de
L2
13°
Luego
247
TERCER EJE TEMÁTICO I Test W 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
20) Si los ángulos interiores de un triángulo están en razón de 3 : 4 : 5, entonces el triángulo es
15) En la figura adjunta, la medida del ángulo z disminuida en la medida del ángulo x es A)
16°
B)
34°
A) acutángulo B)
e)
52°
D)
62,°
E)
68°
16) Si se sabe que en la figura adjunta, se cumple que x : y entre x e y es
rectángulo
C) isósceles
~ ~
D) obtusángulo E)
equilátero
21) Si se sabe que los _ángulos interiores de un triángulo están en la razón de _x : y :
8 : 7, entonces el doble, de la diferencia
además x + y <
Z,
A)
5°
B)
7°
C)
10°
C)
acutángulo isósceles
D) 14°
D)
equilátero rectángulo
E)
isósceles obtusángulo
Z,
es 22) En la figura adjunta,ABCD
11: 4 : 3
D)' 3,: 4 : 11 N o se puede calcular
18) , Si en un !'!.ABe se sabe que uno de sus ángulos interiores mide 20° más que otro de ellos y 35° menos que' el tercero, entonces es verdadero, que " A) el.A ABe es acutángulo el ángulo mayor mide 70°
e)
el!'!. ABe es rectángulo
, luego el
B)
22,5°
C)
27,5°
D)
45°
E)
60°
23) El A ABC de la figura adjunta es isósceles rectángulo en C. La medida dcl
D) el angula menor mide 55° ,E)
= eE
AliSO
4: 3 : 11
B)
es un' cuadrado y Be
E
B) 3: 7 : 11
E)
Ninguna de las anteriores_
A)
60°
B)
75°
C)
90°
D)
105°
E)
Falta información para determinaría
C
AL
19) En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en razón de I : 4, luego el mayor de ellos mide A)
18°
B)
40°
C)
72°
D)
80°
E)
144°'
24) En la figura, el
90°
B)
85°
C)
80°
D)
75°
E)
Faltan datos
\ ~~ ""'B
Ae = Be = AD, Luego, ,el-
A/
\ D
"'B
249
248
L
y
B) isósceles rectángulo
E) 60°
e)
x = y,
,con
Al rectángulo' escaleno 75°
17) Si en la figura adjunta, el ~ x mide el 75% de la medida del <1;'y, entonces la razón x : y : A)
Z
entonces se puede afirmar que el triángulo es
••
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 1, ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
Matemática
25) En la figura, AB = BD Y B es el punto medio de AC. A) B)
C) D)
El
29) En el triángulo ABe de la figura adjunta, ¿es CD la altura relativa al lado AB?
La medida del
450
(1) HE CD y H es el ortocentro del;:' ABe
60° 900
(2) D es el punto medio de AB
C A) (1) por sí sola
1000 1200
A
/"
u.
,)
G:)
26) De acuerdo a la figura adjunta, Cl) 1..AB. CE es bisectriz del ángulo ACB. Entonces A)
50
B)
10°
B) (2) porsí
'e
~lit-'
«x
=
Ambas juntas, (1) y (2)
A/--
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) El Se requiere información
I D
\B
adicional
30) ¿Es ABe un triánguloisósceles
de base AB, siendo A(--:4, O) Y B(4, O)?
(1) El vértice e está en el eje Y
e) 150 D)' 200 E)
sola
. (2) La altura Cl) = h,. está en el eje Y
~.
22,50
A
DE'
A) (1) por sí sola
27) En la figura adjunta, se tiene que: BC 1. DE y' AC 1.BE, entonces
X -
B) (2) por sí sola
Y=
C) Ambas juntas, (1) y (2) A) UOO B) 1200
A
D) Cada una por sí sola, (1)
Ó
E) Se requiere información
adicional
(2)
IL.
e) 140° 0
D) 150
E) 1600
28)
C
Dados los ángulos ex y ~. ¿Es ex el complemento
de' ~ ?
(1), ex y ~ son agudos (2)
ex
+ ~. = 900
A) (1) por sí sola. B) (2) por sí: sola. e)
Ambas juntas, (1) y (2)
D) eada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere información adicional.
RESPUESTAS CORRECTAS
251
250
••
1
de Ejercidos, Matemática
PSU. Cuaderno
&
TERCER EJE TEMÁ neo
'i
/ Test N'
2, CONGRUENCIA
l
CAPÍTULO 2, CONGRU~NCIA Test, N° 2: Congruencia 1) Dos triángulos
son congruentes
;
cuando
5) Si se cumple que ,
MNO
~ , PQR, entonces tambié n secumple
'1'"
A) MN=PR B) ON = RP
A) tienen la misma área, B)
tienen los mismos
ángulos,
C) tienen el mismo perímetro.
C) <1:MON
'" <1:PQR
D) <1:NMO
",<1: QPR
E). <1:NOM
'" <1:RPQ
D) tienen 'Ia misma forma, E).
6) En la figura, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es)
tienen la misma forma y el mismo tamaño,
2) Si 'los, triángulos .de la figura son congruentes,
¿cuál es el valor de
B)
6
,C)
550
,
750
3) ¿Cuál figura muestra
1, "
A)
l'
L· ;'!
'
$
50· .
D) 650 E)
D
6
500
dos triángulos
€7
.75·
6
que no son necesariamente
E)A
congruentes?
CLll
AMB
estson)
conecta(s)?
'" !J.CMB
)" .
III) !J.·ABC '" !J.A,DC ,A)
Sólo 1
B)
Sólo II
.
AC
C) Sólo III D) Sólo II y III E)
AV
. \¡
1, II Y III .
7) En la figura: BC '" CD ; AC '" CE . ¿Cuál(es) -verdadera/s) ?
de las proposiciones
siguientes
es(son)
siempre
1) GC '" FC
nr III)
.1"
A
<1:BAC ",-
A) 'Sólo 1
D)
B)
'I! ¡¡
"\x~
&
:1 ,
¡' , 1 i"
I! ¡¡ !¡
¡.
B) .Sólo II C) Sólo Iy ,D) E)
)
i' u ¡I
4)'Si
en la figura
AC",BD'
AD",BC,
y
entonces,
¿cuál, de los siguientes
postulados
puede ser
"
usado para demostrar
que t,.. OCA '" !J. CDB?
!J A) Lado - Lado - Lado
I[¡
B) Lado - Ángulo - Lado
¡(
uI
C) Ángulo - Lado - Ángulo D) Lado - Lado - Ángulo
"
!
L_
Il B
Sólo TI y III
E)
"
O
1><\.. .
E
1, Il Y III
8) De acuerdo a la figura, si !J. ABC '" !J.DBE, ¿cuál es el ancho
~ ~
,
congruencias
1) !J. ABC '" !J.ADB
xi
Il)!J. A) 45°
de las siguientes
AC del río?
A) 20 m B)
18
C)
1'6 m
D)
14 m
ID
A
-
'----o
-
e
E) 12 m F
C
Ángulo - Angula
252 253
(
CucUterno. de Ejercicios, Matemática
PSU.
TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test W 2, CONGRUENCIA
9) S i la altura CD del triángulo 'cumple que:
ABC divide a éste en dos triángulos
congruentes,
entonces,
12) En el triángulo ABCde la figura: D, E Y F son .los puntos medios de los lados ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
se
1)
D es punto medio de AB,
1)
=
t:,. ADF
respectivos.
t:,. FEC.
II) FDEC es un paralelógramo. Ir)
AC es simétrico de BC respecto de CD.
IlI)
11 ACD
es rectángulo
De las afirmaciones
IU) ADEF es un paralelógrarno
en C.
anteriores,
es(son)
siempre
C)
m
E)
$ólo (yIl
E)
1, U y III
r:
Ir
,(
y III
13) En la figura adjunta,
~CD
es un 'parale!ógramo,
triángulos
no es congruente
con el triángulo
,~."
ABC?
C' 2,4
A
37" 3,2
!I
i
.A)~' 2,4
B
3,2 '
3,2
E)
LJ
90'
FE s GE
B)
AE =:; DE
~ ~
=
C)
EC
D)
AD =:; DC
E)
FD =:; GC
.
q,J
,
A)
"B
!,
¡¡¿"<:le
EG
14) Son siempre
'\/.
entonces ¿cuál de, las siguientes proposiciones
es siempre 'verdadera?
1Q) ¿ Cuál de los siguientes
.
e
D) Sólo 1 y III
D)
;
BDFE.
C) Sólo 1 y II
Sólo II Sólo
con el paralelógramo
B) Sólo II
verdaderars):
A) Sólo 1 , B)
congruente
A) Sólo 1
A '
B
congruentes:
1) dos triángulos
con igual área.
Il) dos circunferencias
con igual diámetro.
,
2,4
, III) dos cuadrados
con igual perímetro.
A), Sólo II
3,2
B) Sólo 1 y II D)~
B)~
cj .53~
.
~
Sólo Il y III
D) Sólo r y III E) .1; Ir .y III
11) Si en el cuadrilátero
-
~rn~w' A) Trapecio B)
Cuadrado
C) Rectángulo D)
Rombo
E)
Romboide
isósceles
ABCD se cumple
que I1.ADC
:i 11CBA, entonces
'
se puede afirmar
que
15) ¿En cuál(es) de los siguiente~ dibujar sus diagonales?
cuadriláteros '
se forman
dos paresde
trÚngulos
congruentes
al
1) Rombo. II) Cuadrado. III) Del toide. ,A)
Sólo II
B) Sólo 1 y II
C) Sóló II y III D) Sólo 1 y III El r, Ir y III
254 255
I
¡ 'ff psu.
¡¡
Cuaderno
de Ejercicios,
Mate'mática
TERCER EJE TEMÁ rtco, Test W 2. CONGRUENCIA
16) En el Ó. ABe, si
¡I
condiciones
es(son)
20) En el cuadrado ABeD de lado a, se hace AE= proposiciones es(son) verdadera(s)?
l) eD.LAB
!I
e
1I) AD ==.BD
L
III)
I
'B)
r¡
Il) B, E Y F son plintos colineales
==-c eBD
Sólo 1 y III
11 I1 f
E)
I
A) ABFD es un trapecio,
¡
.A
B) F es punto medio de BG.
)~
de AB tal que
t~ 1',1
B)
i
e)
adicional
1";
[1
y
L
A) Sólo 1
puede ser usada para demostrar
1:!!
ti;
II) equivalentes, IlI)
~I
son suplementarios
Al
E
-
r
\
B
I
'1
B)
1"
Sólo
e)
Sólo 1 y
A<":
.),
'0B
n
I'y rrr D
que se forman al dibujar las diagonales
de un cuadrado son congruentes
l) Reflexión. Il) Rotación.
congruentes
'.
son siempre:
de las afirmaciones
anteriores
es (son) siempre
verdadera(s)?
B)
Sólo l y II
e)
Sólo r y m
. D)Sólo
, ,, , ,, ,,
I -. .. ,
III) Traslación.
....
A) Sólo I
A) Sólo 1
L' 'J-,
Sólo II .
22) Los cuatro triángulos por: '
simétricos.
¿Cuál(és)
1,' li;:
B)
D) Sólo
==
l) semejantes,
"lr,l'' ¡
==-c ADC es un paralelógrarno
¡l'
19) Dos polígonos
!!j
Ij AC
E
DE =CF
E)
[,.¡:,
'B
E) 1,n·y III
D) DE.L AB Y CF.L AB
,.\
'A v
Il)
~,i
l!
a
n y III I, n, III
I)BD
L\BEF ==ó.eDF
A) DEIICF
Sólo l y III
III) ADBe
18) Si ABeD es un trapecio isósceles, ¿qué información que los triángulos en la figura son congruentes?
~',
e)
'le
\
21) Sea el triángulo ABe no isósceles, en el cual se traza la transversal de gravedad CM prolongándose en una longitud MD = CM. Si se une D con A y .8, ¿cuál(es) de. las siguientes afirmaciones 'estson) verdaderais)?
e) E. es la imagen de. D bajo una reflexión con centro en F, D) E es la imagen de e bajo una reflexión respecto de D'E. E)
Sólo 1 y II
E)
t·
¡
eK
B)
D) Sólo
l, II Y III
¡ ! i·
\B
\
17) En la figura: ABeD' es un paralelógramo y E es un punto en la prolongación' BE= AB. ¿euál de las siguientes afirmaciones no es siempre verdadera?
f
==
A) Sólo 1
Sólo III
D) Sólo 1 y II ,
I
EF
1Il)
A) Sólo 1
e)
F
=
1) AC
DE = DF = CF = a, ¿Cuál(es) de las siguientes'
, .. ,, ...... ,, .•.
, ,,
)
.... ..
II y III
E) l, II Y III
n .,
C) Sólo III D) Sólo l y II E)
;! "-.,'
Sólo 1 y III
256 257 díS
TERCER EJE TEMÁ nco I Test N" 2, CONGRUENCIA
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
23) En la figura, los triángulos ABC y A'B'C' son simétricos respecto de la recta siguientes proposiciones es (son) siempre verdaderats)?
IlI)
A)
CBB'C'
'S
R
!I
L AB y A'B'
A)
5 cm
B)
6 cm
tiene su vértice' en. L.
C)
7 cm
Sólo 1 .
D)
12 cm
E)
5.Ji
~.
Bl Sólo 1 y II
A' ....•...... . /
C) .Sólo 1 y III D)
RU?
es un trapecio isósceles
El ángulo que fo~tnan las rectas
26) En el cuadrado PQRS de la figura adjunta, cuyo lado mide 5 cm, el vértice P yace sobre una recta
de las
AB que no corta al perímetro del cuadrado. Si ST = 3 cm y QV = 4 cm, ¿cuánto mide la distancia
= L'>A'B'C'
i)L'>ABC Il)
L. ¿Cuál(es)
'. .
e'
Sólo II y III
-,
cm
27) En la figura: ABCD es un cuadrado de lado- a; AE = a y proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
A
T
P
U
GF ..1 AC. ¿Cuál(es)
8
V
de las siguientes
E) '. 1, II Y III 1) G y F son puntos medios de los lados
24) Si sobre los 'Iados del triángulo is s ce les ABC se construyeron "siguientes proposiciones esíson) siempre verdad'era(s)? ó
1) Cuadrado ACFG es la imagen del cuadrado ángulo de medida igual a lá' del
cuadrados,
BDEC bajo una rotación
¿cuál(es)
de las .
1I) ó AEF III)
con centro 'en C y
Il) ~ AKH = 45°. III) . FB .1EA A) Sólo 1 B)
H(',/\,\
GC
Sólo 1 y II
CF : FE
=
ó ABF
=.Ji :
A)
SÓlo 1
B)
S?lo II
C)
Sólo III
D)
Sólo 1 y II
E)
Sólo II y III
o'
Sólo I y III
D)
S610U Y III
E)
1, U y III
25) ~n la figura adjunta, el triángulo
A
--;:
'" F
A'
~D 28) Podemos afirmar que el óABC
C)
DC y BC, respectivamente.
B
es isósceles con base AB si:
B (1) D es punto medio de AB y CD es altura. (2) CD es bisectriz del ángulo ACB ; ~ ADC
APQ es congruente
con el triángulo
ABC. Si el punto Q está
sobre el lado BC, entonces la medida del ángulo. BAP, en función del ángulo
~, es
I! .
y ~
BDC son suplementarios
A) (l) por sí sola B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
,
i A)
.~
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
2 1:
l-
B)
90° -
e)
180° - 2~
29) El cuadrilátero
E)
1. ,1,:
!:: '1':_
'i;
. Ae---:
J\
I
'p
(2) óDCE
adicional"
convexo ó ABCD es un paralelógramo
(1) AE=EC
D) 90° - ~
1
E) Se requiere información
~ 2
y DE=EB
='
L'>BAE
90° + ~
A)
2
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas,' (1) Y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
_E)
si:
(1) por sí sola
Se requiere información
P<7C .
'A
E-
B'
adicional
,1 1
'1
258
259
i' PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
30) Si. el cuadrilátero (1) te.. ABC
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
ABCD es un paralelógramo,
=
¿es ABCD un cuadrado?
CAPÍTULO 3. CUADRILÁTEROS y POLÍGONOS Test N· 3: Cuadriláteros y polígouos
te.. CDA
(2) te.. DAB es simétrico
del A BCD respecto de. la diagonal
BD 1). En el paralelógramo ABCD de la figura 'adjunta, .¿cuántos grados mide x?
A)
(1) 'por sí sola
B)
(2) por sí sola
A)
20
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
B)
10
C)
5
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) ·E) Se requiere
información
adicional
D)
E)
/,' 7
C
25 7
J\.
5
.
.B
2
2) ¿En .cuélde los siguientes polígonos se cumple que la suma de sus ángulos interiores es' igual ala suma de sus ángulos exteriores? A) Triángulo B) Cuadrilátero ClPentágono D) Hexágono. E) . En ningún polígono se cumple esta relación 3) La razón entre las medidas de los ángulos interior y exterior de un cierto polígono regular es de 3 : 2 , ¿cuántas diagonal es tiene dicho polígono? A) 2 B) 3
C) 4 D) 5
,
E),6 4) En el cuadrado ABCo de la figura adjunta, AE
= AC.
¿Cuánto mide el ángulo x?
A) 45· B) 60· C) 67,5· D) 70· E) 75· '1
~[2ñE B
.
'1
lj
RESPUESTAS CORRECTAS
':1
1"
'¡
260
261
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test W 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONO S
5) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado, AC es diagonal y el ó. ABE. es equilátero. La medida del ángulo x es . Al
60°
B)
67,5°
C)
75°
D)
90°
E)
11) Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonal es. ¿Cuánto mide cada ángulo exterior de este polígono? .
D~~J
A)
. X
A
B
105°
6} Los ángulos interiores de un cuadrilátero interiores mide
24°
B)
15°
C)
168°
D)
30°
E)
12°
12) En la figura adjunta, ABCD es un paralelógramo. Con los datos indicados, la medida del ángulo x es
son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6. El mayor de sus' ángulos
A) 60°
Al
85°
B) 80°
B)
90°
Cl 30°
ci 100°
D) 40°
r»
120°
E)
125°
El
7) Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva
D
A
50°
C
L[S1 E
B
expresadas en la figura,
1::\) En la figura adjunta, ABCD es un paralelógramo .. Dadas las condiciones ¿qué tipo de paralelógramo es?
se obtiene siempre
A} un trapezoide B)
Al Rectángulo
un trapecio
'k----.~--:?IC
Bl 'Trapecio
C) un paralelógramo
Rombo
D) un cuadrado
C)
E) no se puede determinar
D) Rcmboide
8 l' ¿Cuántas diagonales Al
8
Bl
20
C)
40
D)
16
El
24
El
se pueden trazar en un octógono?
Cuadrado
14l En la figura adjunta, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . La medida del ángulo x es Al
ks
70°
Bl 120° C) 1400
r»
9) El ángulo interior de un polígono regular mide 144°, ¿qué polígono regular es?
40°
.A
B
E) Falta información para determinarlo
A) Eneágono B} Octógono
15l Según los datos en la figura adjunta, ¿qué tipo de cuadrilátero
es el ABCD?
C) Decágono Al Rombo
D) Heptágono E) Dodecágono 10) ¿Qué polígono es tal que el número de susdiagonales
esigual
I
C
C) Trapecio
al número de sus lados?
D) Cuadrilátero
A) Octógono B)
D
B) Romboide
El
Hexágono
Deltoide
cualquiera
A
C) Pentágono D) Cuadrado E) 262 k.~_~_
No existe tal polígono 11
.
263
'~.
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática TERCER EJE TEMÁTICO / Test N" 3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
16) En el cuadrilátero RSTU de la figura adjunta, se, cumple que: RM de un '
= MT = SM = MU,entonces
se trata
20)
La suma de las diagonales de un rombo es 14 cm y su diferencia .es 2 cm. El área del rombo es 'A)
:1
A)
trapecio
[,
B)
romboide
e)
cuadrado
¡l
lZI/
D) rectángulo
!
E)
R
rombo
17) En la figura adjunta, ABCD es trapecio isósceles. ¿euál(es) verdadera(s)? . ' 1)
1I) i
IlI)
n';'
I l'
A)
-B)
1) + y =
ex'= ~
Sólo 1 y II
E)
1, 1I Y
¿euál(es) 18)
1)
~
1) II)
un
,A
m
delas
Ill).
D
L siguientesproposiciones
'B)
~
B
Si en un cuadrilátero las diagonales es un rectángulo. Los rombos tienen sus diagonales
congruentes.
Si los lados opuestos de un cuadrilátero paralelógramo.
son congruentes, "
entonces el cuadrilátero
E)
ti
1)
¡~' : "
II)
es' un
I
ti
i'
de las propiedades siguientes se, cumplen en un paralelógramo Sus lados opuetos son congruentes. ,Sus ángulos opuestos
son congruentes.
ír ti
IlI)
Sus diagonales son congruentes.
IV)
Sus diagonales son bisectrices de los ángulos 'inteliores.
Al
Sólo II
B)
Sólo
crseie
If:
r y
D)
E) l, II, ID Y IV,
11,
E)
Ninguna es verdadera para todos los paralelógramosv
A)
Los ángulos contiguos son complementarios.
B)
Las diagonales son congruentes.
e)
Los ángulos 'opuestos"son
suplementarios.
Las diagonales se dimídian.
23) Un cuadrilátero tiene-sus 4 ángulos interiores rectos. Entonces también es cierto que
cualquiera?
B)
sus ,diagonales son bisectrices de los ángulos interiores.
e)
'tiene sus diagonales perpendiculares.
D) tiene' sus cuatro ángulos exteriores congruentes. E)
se fe puede inscribir una circunferencia.
II
1:
i:
1, Il Y m
1, II, Y ID
f
!r
D)
A) tiene sus cuatro lados congruentes,
I
ti'
Sólo 1 y ID
E)
I, Il Y ID
19) ¿euál(es)
SÓlO1I Y ID
C)
D) Las bisectrices son perpendiculares.
D) Sólo II y ID
~
Sus diagonales son perpendiculares.
22) ¿ emü" de las siguientes afirmaciones
se cortan en su punto medio, entonces el cuadrilátero
C) Sólo ID
Po
Sus' diagonales son bisectrices de los ángulos, interiores,
esíson) siempre verdadera(s)?
B) 'Sólo II
i
MNPQ es un cuadrado.
A) Sólo 1
A) S610 1 íi
cm'
21) MNPQ es un paralelógramo que cumple con: MQ = QP, entonces ¿cuál(es) de, las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
U)
S610 II
D)
es (son)
2w
SÓlo 1
Sólo ID
E) 12
= 72°
8 = 180°-
e)
C) 36 cm' D) 24 cm'
S
de las siguientes proposiciones ,
72 cm'
B) 48 cm'
Sólo 1, II Y IV
264
i I ¡
------
265
~'
"
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
24)
En la figura adjunta, ABCD es un rombo. Si D, B Y E son colineales, AB = BE Y '4:DAB = a., ¿cuánto mide el 4: DEC en términos de a.? D C K
e,
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N"3, CUADRILÁTEROS Y POLÍGONO S
28) Se puede determinar la medida del ángulo y del cuadrilátero (1) ABCD es un paralelógramo
\.
A) 90°- ~
(2) El
2
4: DABmide
450
A) (1) por sí sola
C)
a
B) '(2) por sí sola
450_
E)
,C
C) Ambas juntas, (1) y (2)
a. ~
E
4
29)
25) Con respecto a la figura adjunta; siempre se cumple que
D)
Cada una por ~í sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere información
adicional
Se puede determinar el perímetro del trapecio ABCD de la figura adjunta si se conoce: (1) DC = 25 cm
A)
P=x /\ = y
Jl)
p+x='+y
A) (1) por sí sola
C)
P+(j>=x+y
B)
(2) AD
D) p+y
y triángulo ABD es equilátero
600 )!
B)
D)90° -
de la figura adjunta si se sabe q~e:-
=
¡
10 cm
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
= + x
A
e
~
B
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
~=y
/\ <1> = x
E)
26) ¿Cuál de las siguientes propiedades cumplen siempre los cuadriláteros
inscritos en una circunferencia?
Se requiere información
adicional
30) ¿Cuántos lados tiene un polígono regular?
A) Sus' lados opuestos son congruentes.
(1) Se puede inscribir
en una circunferencia de radio 5 cm.
B) Sus 'ángulos interiores son rectos.
(2) Sus ángulos exteriores suman 3600
C) Sus ángulos adyacentes son complementarios.
A) (1) por sí sola
D) Sus ángulos .opuestos son suplementarios.
B) (2) por sí sola
E) Sus diagonales
C) Ambas juntas, (1) y (2)
son perpendiculares.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 27) En' el paralel6gramo
ABCD de la figura adjunta, se dibujó la diagonal AC y se unió el, vértice D con
E)
Se requiere información
adicional
. . _'. , AP el punto medio M del lado AB. Si ambas rectas se intersectan en P, ¿cuál es el valor de la razón --?
.
l'
¡!, :'[
,. l'
r
A) 1
3
B) 1
2
C) 2
3
D) 3
4
E) 3
2
.
'
AC
l:i?7
C
A
M
B
I II
l ~' 266 I
!. .L
267
~ ~
de-Ejercicios. Matemática
PSU. Cuaderno
TERCER EJl3 TEMÁTICO f Test N' 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICS.S
I~
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES Test N° 4: Transformaciones 1), ¿Cuál
de las siguientes del plano? .
A) Reflexión
transformaciones
ISOMÉTRICAS isométricas
no corresponde
a una isometría
o. movimiento
" 11
rígido.
1"
A) J
el
en torno a un punto en un ángulo dado.
F
el . Homotecia
con centro en un punto dado y razón 2.
D) M
D) Traslación
en un vector dado.
E) A
E) Reflexión
respecto de un punto dado,
2)' ¿euál(es)
1)1·
..' 1
IlI)Q
dos ejes de simetría?
E)
Sólo l y IÍ
E)
t,
A)
n y III
(-2, 3)
1) Rectángulo
F
B)B·
D) G
e
de lados a y b
E) D
de lado e
Ifl) Paralelógramo
8) Si P es el punto en que se intersectan las diagonales del cuadrado ABCD de la figura, entonces ¿cuál es 'la imagen del' punto D bajo una rotación con centro en P y ángulode 2700 en sentido contrario a los punteros del reloj?
de lados b y e, A~B
A) Sólo I
e
B) S610 II
A) A
e) ·Sólo III
B) B
D) Sólo 1 y II
e) e
r, n y III
D) D
9) Las coordenadas
. K<\)4
A) 124° B) 120° 100°
D)
90°
E)
64°
A del punto de reflexión P que transforma
.
B
al punto (-6, 1) en el punto (2, -3) son
A) (-2, -2)
L
B)
(-2, O)
e)
H, -2)
D) (-2,-1)
E
Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile. Sexta Edición. Mano de 2006
(P.A.A.
y p.e.E.), se recomienda nuestro Manual de
268
!
D[JC
E) P
En la figura adjunta: la recta L es un eje de simetría, A, G, D Y E: G, B son tríos de puntos colineales. Si 4: GBe = 30° y·4:K.AG = 58°, entonces la medida del 4: AKE es
'C)
:[ X J:
e) H
Dado el 6. ABC', rectángulo en C, ¿cuál(es) .de las figuras siguientes se pueden obtener siempre a partir del triánguloABe mediante isometrías o composiciones de isometrías?
4)
'(0, O), entonces T: (1,2) ~
7) Si k Y n son dos ejes de simetría del octágono regular de la figura, entonces la imagen .del punto D bajo la composición de reflexiones r, ° r, es
D)
E)
P
e) (0, O)
Sólo II
II) Rombo
o
D) (-1,5)
C) Sólo III
3)
N
B) (1, 2)
A) Sólo I E)
T: (2, -3) ~
M
A) H,O)
Elipse
Rombo
Rectángulo
L
6) Si la T es una traslación tal que
n<:>
de las figuras siguientes tiene(n)
'(iiii)
B) G
respecto de una recta dada.
E) Rotación
5) La figura está formada por triángulos equiláteros congruentes. Si la traslación T es tal que la imagen del punto D es el punto .B, entonces si aplicamos T al punto H, se obtiene' el punto
E) Preparacién
(-1, O)
.
269
--
--------------------_.
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
;Il,
. 10) La figu;a B puede ser la imagen de la figura A bajo una: 1) Traslación
A
c? .JJ
lI) Reflexión
A). Sólo 1 Sólo II
13 )Si
de la figura es simétrico respectó de la recta L, entonces x + y
el heptágono
ISOMÉTiUCAS
=, L
A)
180
0
B) 1600
B
.IlI) Rotación
E)
i
TERCER. EJE TEMÁTICO I T«st N" 4, TRANSFORMACIONES
C)
150·
D)
1400
'E)'
1300
"
C) S'610 III 14) ¿Con cuál(es) E) Sólo II ó
m
11) Si al triángulo de la figura' se le aplica una rotación con centro en el punto D y con un ángulo de 900 en sentido contrario a los 'punteros del reloj se obtiene como imagen
1 1
C)!
i 1 I I I 11'
•
1
! II
1
E)
¡:':.TH-Li~ ·.TLd·1
I
. .
-- .-- -_._ .. ' -.
-~~-
o Octágono . regular
'\ -
D) Sólo con 1 y II
Sólo con III
Ij
E) Sólo con 1 y III
,~
11:,.
15)' ¿Con cuál de los si~uientes cuerpos geométricos no es posi,ble rellenar completamente
,
1
B)
~
"
,_
[
.
--
,
"._.1
1': 1,.:
C)
el espacio?
D)
1I
¡,
Cubo
Prisma cuadrangular
- - - +..-
--
--
..
_.-
¡
;' iJJJJ I i I W .. ....LL~
.-
i~' 1:1
C)
A)
B). D)•.. _ -l
¡¡
,,1
;:::r
--
-ffi
L.LLLLJ..r.LL-4--
..
.
Cuadrilátero cóncavo
B) Sólo con II
¡,.
l'
III)
,1
A)._._; __~
1,
HA
(teselar) el plano?
A) 'Sólo con L
I
1:
polígonos se puede cubrir completamente
Hexágono regular
-:--
I
de .los siguientes
1'0
D) Sólo 1 ó III
Prisma' triangular
Cilindro
Prisma - hexagonal
_16) El siguiente diseño de Scott Kim tiene simetría: \
1) Horizontal. Il) Vertical
12) Dada la traslación T: (x, y) ~ A)
(4, -3)
B)
(-4,1)
C)
(4; -1)
(x,.-- 5, Y + 1), la imagen del punto (-1, -2) es
IlI) Rotaciona1 A) Sólo 1 B) S610 II C) Sólo III
D) (.,-4,-3)
~
D) Sólo 1 y II E) (-6, -1)
II 1'1
I
j
E) 270
Sólo 1 y III
271
i [: !
PSU. Cuader~~ de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 4, TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
" "
1 "
"·' O
17) Los ejes de simetría' de la figura siguiente son
,¡
A)
2
I
B)
4
22) ¿Cuál(es)
de los siguientes
polígouos tienem) simetría
respecto
a sus diagonales?
1) El rombo
11) El romboide
I
C)
6
D)
8
E)
I1I) El rectángulo A) Sólo 1
'.
.
12
.
las simetrales
B) trazar la bisectriz
1,
'C)
I
I
D)
de AA~
y
del ángulo que forman las rectas AB y A'B'
dibujar paralelas a AB
y
A'B'
'¡ E) , encontrar 19) ti
el simétrico
de A respecto de ,larecta
El problema de cubrir completamente solución sólo para n =
BB'
(teselar) el plano con polígonos
Sólo III
ir '
S6lo 1 y
A)
(-4,2)
e)
(-4, O) ,
D) (O; 2) E)
(-4, -2)'
24) Dadas la transformacionesT: (x, y) ~ (x - 1, Y + 1) Y T,: (x, y) ~,(-x, transformación T, o TI al punto M(2, -1) se obtiene el punto de coordenadas
regulares de n lados tiene
A) 3, 4y
5
E)
B) 3, 4y
6
e) (-1, O)
1
C) 3,4 y 8
D) (-1,2)
D) 3,5
E)
Y8
4, 6 Y 8 ABC, se le aplica una reflexión
con respecto
(3, -2)
25) Mediante una reflexión, el punto (3,4) se transformó en el punto (-3, 4), La ecuación reflexi ón es '
al -lado AB, la figura
B) un trapecio
e)
un deltoide
,D) E)
Y =-x
A) B)
A) un romboide
D) un rectángulo E)
un cuadrado
21) La imagen del punto (-'2, 3) bajo la transformación
del eje de
Y
26) En la figura, ABeDE es un pentágono regular. El ángulo de la rotación de centro O que permite pasar del vértice e al vértice A, mide
F: (x, y) '-? (x - 2, Y - 3) es
I
A)
(-4, O)
A)
1800
B)
(O, O)
B)
1440
C)(-4,
al aplicar la
(1, O)
=O x=O y = 4 x = 4
C)
-y).
A) (-3,2)
:,'
E)
con centro en el origen y en 2700 en
B) (4, -2)
I
20) Si a un triángulo escaleno AC'Be que resulta es
n
23) ¿euál es la preirnagen del punto r(2, 4) bajo una rotación sentido antihorario?
1':.,
dibujar las rectas, AA" Y BB'
e)
E)
/ \~
BB'
Sólo
D) Sólo 1 y III
18) El segmento A'B' es la imagen del segmento AB bajo una rotación con centro en un punto O y' .con un- .ángulo dado, Para encontrar el centro de rotación O, basta
A) dibujar
B)
-6)
e)
1560
D) (O, 6)
D)
2160
E) (-4,6)
E) -2160
D
'E~t , 'A
B
272 ('
--._-p-"-----
-~
273
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
TERCER EJE TEMÁTICO / Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Matemática
Li
27) Al aplicar a una reflexión con respecto al eje Y de un plano cartesiano, reflexión respecto del origen' 0(0, O), ella se transforma en A)
D.
B)
<:=
seguida
CAPÍTULO 5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Test N° 5: Ángulos en la circunferencias
de una
.
1) A las 11 en punto, los punteros del reloj forman nn ángulo que mide A)
12°
B) 30°
C) q D)
Li
C) .32,72°
E)
r?
D) 45°
28) Dado un polígono regular,
¿es posible recubrir
(1) La suma de sus ángulos exteriores
E)
el plano con él?
es 360°.'
2) Si en la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia, entonces la medida del ángulo BOe es
(2) Su ángulo interior mide 120°. A) (1) por sí sola B)
A)
(2) por sí sola
e)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere
información'
adicional
(1) La isornetría es una 'rotación
E) del
B)
(2) por sí sola
Ó.
ABC, equilátero,
bajo una isometría
110°
e
se conoce
arco
=' 50°
y
RQ mide
A) 15° B)
información
30) Se quiere determinar
30° S
e) 45°
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere
70°
es el vértice B.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
E)
17,5°
3) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. Si
con centro en A.
(2) La imagen de e bajo esta isometría (1) por sí sola
A
D) 90°
29) Para determinar la imagen B' del vérticeB que:
A)
B) . 35°
C) Ambas juntas, (1) y (2)
E)
60°
adicional
qué tipo de cuadrilátero
(1) Tiene .simetría respecto
D)
60°'
E)
80°
i >:
AO
/
T
es el cuadrilátero
de sus diagonales.
ABeD.
4) Si en la circunferencia
de centro x
+y -
O de la figura
adjunta,
AC es diámetro,
z =
(2) Tienejl ejes de simetría. A) (1) por sí sola
A) 20°
B)
B)
(2) po~ sí sola
C) Ambas juntas,
C) 40°
(1) y (2)
D) Cada nna por sí sola, (1)· ó (2)
D) 50°
E)
E)
Se requiere
información
adicional
RESPUESTAS
274
30°
42 ~i
~
IX~C
60°
CORRECTAS
275
»su. ~¡
f.
Cuaderno de Ejercicios. Matemática
5) 'En la figura adjunta, la recta R. es tangente a la circunferencia entonces
!: 1:
!:
TER'CER EJE TEMÁTICO I Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
A)
105°
B)
110°
x
Be =150°
Y
9) Si un lado de un triángulo mide 12 cm y el ángulo opuesto a este lado mide 30°, ¿cuál es el' diám~tro de la circunferencia circunscrita, a este, triángulo? '
=40°"
+ Y' =
.
l,
C) 24 cm
E)
125°
E)
1I
C) 25°
de centro O y radio r de la figura adjunta, el A ABC es isósceles de base' AB ,Si
D)
24.J3
"
cm
10) Si en la figura adjunta, ABC es un triángulo' inscrito en la circunferencia, y P, Q y R son los puntos .de intersección de las bisectrices .de los ángulos interiores con la circunferencia; entonces la medida del ángulo PQR es '
A) a + 1)
15°
B)
a + 1) 2
30°
E) 35° ,
",
D
'7) En la circunferencia de centro O de l~ figura adjunta,
;=
(a + 1))
C)
2
D)
a+
5'00• ¿Cuánto mide el
1)
4
I
E)
'1-:'1'
A)
30°
!l
B)
50°
i:j ~,I
D)
Al
\D
11) En la figura adjunta, O eselcentro ACO?
80°
A)
E) 120°
de la semicircunferencia
y
Be = 3 EA, ¿Cuánto
mide el ángulo
zz.s-
B) 30°
8) En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado inscrito en la circunferencia, del arco
~(a + 1)) 3
C) 60°
n
r
cm
D) 36 cm
B)
n¡
l2.J3
120°
¡¡
~It, ti ¡,,
B)
115°
A) 10°
ll¡
18 cm
C)
AB == r y CD es bisectriz del
~1:
A)
D)
6)' En la circunferencia
I
en C, Si
en, enton~es
a +
p
e) 45°
y E es un punto cualquiera
D) 67,5°
=
E)
(
~
:>'I
B
75°
A) 45° B)
90°
e)
105°
12) Si 'las cuerdas AB, Be,
D) 125° E) 135°
A)
36°
B)
72°
CD,
DE y' EA son todas congruentes, entonces
a+
'Y +
~
8=
D
C) 108° D) 120°
)j" e
E) 180°
i,
r, 276
-----_._---
.-
277
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
13) Con los datos indicados t1 ABC,
A)
20°
B)
30°
C)
40°
D)
50°
TERCER EJE TEMÁTICO!
en la figura adjunta,
¿cuánto mide el
si O es el centro de la circunferencia
circunscrita
al
4: AOB?
17) En la circunferencia
4: 0=
~ 1 ~ 1 de la circunferencia. El El arco BD mide de la circunferencia y el arco CB mide.
'5
3'
4: BAD
respectivamente,
mide
36°
126°
C)
135°
E)
B
de diámetro AB de la figura adjunta, se trazó una cuerda ACtal es paralela a AC,
entonces los ángulos
ADX
que el
Y
B)
35°
Y
55°
C)
55°
y
35°
J" .
D)
60°
30°
li
Y
E)
Falta informaciónpara
II)
I'¡"
III)
¡i¡
en .P y Q,
=
"p
...-/
B)
198°
C)
161°
M
"'>'1B
D) 143°
':",I A~
N/
B E)
127°
determinarlo es (son) siempre inscriptible(s)en
una circunferencia?
20)
Si en la circunferencia de la figura adjunta, MN es tangente en T y
4: MTB
fA
ÁB BT
5 : 6 : 7,
es M
Rombo Trapecio
+Y
180°
entonces la medida del
~ ' ';i
ti,
PQ son tangentes a la circunferencia
el
)\
de los siguientes cuadriláteros Cuadrado
X
y
A) 254°
li I)
Si
PT
19) Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta, AB es un diámetro y
y BDY
y
60°
de la figura adjunta,
D) 171 °
A
A) 30'0
16) ¿Cuál(es)
Si BE J/ CD y
9°
117°
1:
18°
B)
15) En la Semicircunferencia
il!
D)
A)
E) 60°
!! ,
36°
24°
D) 48°
'1l.
72°
C)
18) En la circunferencia
C) 45°
I'il··~i,
:8)
E)
14) En la figura adjunta, AB 'es tangente a la circunferencia de centro O en el punto B y AD es secante,
B)
AD y BE son diámetros,
4: a 1
A) '108°
E) 100°
A)
de centro O de la figura adjunta,
72° , ¿cuánto mide el
Test N" 5, ÁNGULOS EN LA: CIRCUNFERENCIA
isósceles
A)
110°
B)
100°
A)
Sólo l
C)
70°
B)
Sólo II
D)
60°
CJ Sólo l y II
E)
50°
11'
I!'
fi, 1, 1,
D)
Sólo l y III
L
E)
l, II Y III
N
I!
278
L
279
( PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
Matemática TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 5, ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
2i) Si O es el centro de la circunferencia de la figura adjunta, entonces '¿cuál(es) de las relaciones siguientes es (son) correcta(s)? l) II) III)
= ~ +y = ~+
O
A) Sólo l
tlí
e
El
,
( 871D
B) Sólo II ej
. circunferencia
l'
A)
9"
E)
11 °
e)
18°
de la figura adjunta,
la longitud
de BA es un quinto de la longitud de la
t '
E)
l'
completa. Si
éD
es
\~E
/
,1 ~!
t.!
25°
B)
40°
e)
65°
D)
90°
E)
115°
23) En la circunferencia de la figura adjunta, AB.'" BD, es A)
27°
:" i"
B)
53°
~:
C)
80°
jI;.
D)
83°
E)
114°
arco
EA?
A)
30°
C)
60°
D)
90°
E)
105°
27) En la circunferencia deceritro ¿Cuánto mide el
25°
1I
ti
'de centro O. Si se trazan las
ÁB
= 140°
Y
Be
=26°.
= 60° y
B) . 45°
D) 22°
l
A)
26) En la Circunferencia de centro O de la figura adjunta,
l, II y m
22) En la circunferencia
,
-
Sólo 1 y TI
D) Sólo II y III E)
-
cuerdas BC y AD, con los datos indicados, ¿cuánto mide el ángulo BCP?'
ÁB",éD
25) En la figura adjunta, PB y PD son dos secantes a la circunferencia
La medida del
o de
la figura adjunta,
EB//DC,
« EFD
=80°.
A) 60°' B) 65° C) . 70°
-¡
;!I!
~¡ 111
~I
24) En la circunferencia ángulo AOD?
il.1'
A)
1,' 1'1
r1';1
¡
!:
D) 75° B
E)
28) Si en la circunferencia de la figura adjunta, AS y AR son tangentes entonces se puede determinar la medida del ángulo inscrito RPS si:'
50°
e)
40°
1)
30°
E)
Falta información
en R' yS, respectivamente,
de centro. O de la figura adjunta, BC = OD. Si
60°
B)
80°
\1
()..
1
'>.B
A)
(1)
= 30°
(2)
excede en 45° al -c SAR
(1) por sí sola.
Ii) (2) por sí sola. .' C) para determinarlo
A
Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E)
Se requiere información adicional.
280 281
'~:'¡
PSU. Cuaderno
de Ejercicios.
Mateln:ática
29) El radio.de la circunferencia
TERCER EJE TEMÁ TrCO / Test N" 6. PERfMETROS y ÁREAS
de centro O. de la figura adjunta. mide 8 cm. ¿Cuánto mide la cuerda
CAPÍTULO 6. PERÍMETROS Y ÁREAS Test N° 6: Perímetros
AB?
1) El área del rectángulo de la figura adjunta es,
(1) T es el punto medio de AB
A)
40 cm'
A) (1) por sí sola.
E)
48 cm'
B)
C)
50 cm'
C) Ambas juntas. (1) y (2).
D)
80 cm'
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) 100 cm'
y OT=6
(2) OTl.AB
:i
cm
(2) por sí sola.
'Se requiere
E)
información
adicional.
2) Un pasillo embaldosado de 2 m de ancho, rodea un jardín rectangular ancho. El área del pasillo mide '
30)' Si O es el centro de la circunferencia de la figura adjunta y BD y AC' son diámetros. Es posible determinar la medida del ángulo ACB si se conoce que: '
1
(1)
Be =2·,ij3
1
(2)
a
A)
(2)
..
10 c~/'-
...,,'
.-
,/
8cm de 20 m de largo y 12 ,
ID
de
68 m'
C) 144 m'
D = 120°
D) 150 m' E) 160 m'
por sí sola.
3) EÍJ la figura: ABCD' es un cuadrado cuyo lado mide 40 cm y t1 DCE es equilátero. mide
C) Ambas juntas. (1) y (2).
Se requiere información
El área achurada E
D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2). E)
"",
B) 120 m'
A) (1) por sí sola. B)
y áreas
~
F I ,.,
B
adicional.
A)
200 cm'
B)
400 cm'
C)
800 cm'
D)
1.200 cm'
'E)
DIIJI
1.600 cm'
\c
A
lB
4) En la figura adjunta se tiene una circunferencia de centro O y radio r. El área achurada mide A)
2 1!r
12 2
B)
- ,
11
2
C)
li
1H
-
C
8
jl
.
!~
¡l" '1
1! r
-
9
1 [1
'D)
6
1
RESPUESTAS
CORRECTAS
t:1
H
I
V
Vl
I
~,·'t.L
I
J
"(,l
IU
II
la
Ul
I
J
e
1"
" 1U
'L
1
A
2
E)
1
2 1!.f
a '9
1
V',
I
V'v
I
a'E
oz
I
H'I
I
1t r
-
4
~.
282 283
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática TERCER EJE TEMÁ -rICO I Test N" 6, PERÍMETROS
5) Si el lado de un cuadrado disminuye en 3 cm, su área resulta igual a 81 cm', entonces ¿cuánto mide el perímetro del. cuadrado original?
9) ABCD es un cuadrado de lado 2 cm, Los cuatro arcos. de circunferencia se dibujaron con centro en el punto medio de cada lado .del cuadrado,
A) 48 cm A) B)
44 cm
C)
36 cm
(21i -
12 cm
6) Si en la figura adjunta todos ios 'ángulos son rectos, entonces su área, en términos de x, obtener mediante: 1)
TI)
(8x '3x)
+(2x
:i
1t) cm'
C)
(1t -
1)
cm'
D)
(27t -
E)
2 cm'
[(7x'
5x) - (3x'
2 (2x'
Sólo
I
3x)]
x 2x
II
,', I 1;
Sólo I,Y II
E)
1, n y In
A)
_=n7
'C) Sólo III D)
3)(
8x
h
7) En la figura adjunta, las dimensiones ¿Cuánto mide el área achurada? A) B)
144" --192 cm?
C)
1211t - 192 cm?
D)
100" - 192 cm'
del rectángulo inscrito en la circunferencia
108 cm-
C)
180 cm'
D)
216 cm':
E)
240 cm'
son 16 cm y 12 cm,
A)
16,J3 cm?
B)
96.fj cm'
C)
128,J3 cm?
8
cm?
D) 192.J3 cm'
20813
cm!
ill, ¿Cuál es el radio de una circunferencia, si la longitud de un arco de 45° en ella es 31
E)
A)
C¡p2
1) - Área(tlDEC)
II) III)
Sólo 1
B)
Sólo II
C)Sólo
~ 24 cm' ~\
A)
III
D)
Sólo I y II
E)
I,
n y 1lI
C)
y AE = 2, EB , entonces
. ;;¡e
Área(tlEBC)=8cm' Área(tlEFB)
214
B) 18
8) Si en la figura adjunta, el paralelógramo ABCD tiene área igual a 48 cm' ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
•..
cm'
·54 cm'
,B)
E)
284
2)
11) ¿C~ál es el 'área de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio
o:' 196" - 192 cm?
4
lO) ¿Cuál es el área de 'un triángulo cuyos lados miden 15 cm, 15 cm y 24 cm?
4x l!HIiIiIIIilII
2X)] + 83x)'_(2x)']
A) '$ólo 1 B)
D
'x) + (4x ' 2x)
(IOx' 5x) -[(2x)'-i-
lir)
se puede
El, área sombreada mide
4) cm'
B) ,(4.-
D) 24 cm E)
Y ÁREAS
13)
12
D)
8
E)
6
Se tiene un triángulo ABC, cuyos lados miden a ~ 35 mm, b C se trazauna
= 6cm'
y DB miden, respectiVamente A~
Y
}~ F
= 53 rnrn Y e = 66
mm, Desde el vértice
recta CD que divide al triángulo en otros ,dos. de igual ¡J~rímetro, Los segmentos
AD
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test·N" 6; PERÍMETROS Y ÁREAS
14) Si en el paralelógramo. ABeD de la figura adjunta. E y F son los puntos medios de AB y Be. respectivamente. ·¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)? Área achurada = 2.Área(L\
1)
(
AED}
17) En la figura adjunta. si el área del paralelógramo entonces la longi;ud de AB es
ABeD
es n, y si la longitud .
de DE es n +..!...• n
A) n
Il)
Área achurada
=
2 Área ( L\ FCD)
ID)
Área achur~da
=
Área (L\ AED) + Área
B) _1_.
{L\
FCD) C
A) Sólo I B)
Sólo
n
I
. e)
D)
+
+ 1
,
AL-' -----'
Sólo I y II
E)
E) I.IIyID
1
.z., +
n
C)· Sólo ID D)
n n
A
1
J l'
n'
~
18) Si el área de un círculo es ·64n cm'. entonces la longitud desu circunferencia 15)' El perímetro
A)
de un rectángulo es 6x. Si uno de sus lados mide'::' • ¿cuál es el área del rectángulo? ·2
A)
8ncm
B)
16ncm
C)
321tCm
D)
64ncm
x'
5x2
-
E) 128n cm
4
e) D)
19) En la figura. L\ ABC es rectángulo en C. D y E son puntos medios de AB. y CA. respectivamente y Ae = BC = 2 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones esíson) verdadera(s)? .
5x' -
2' I)
2
l1x
E) .1lx'
16) ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de .la figura? A) 21
6
B) 24 +
J2
D) 18 + 6.fi E)
I
24.fi
I
El perímetro del triángulo CDE .es (2 +
A\
I
12
A)
Sólo l
B)
Sólo Ir
C)
Sólo ID
D)
Sólo 1 y Ir
E)
l. II Y ID
B
J2)
cm. D
eVI"
E
A
20) Si el área del rectángulo ABCD de la figura adjunta mide 48 cm'. ¿cuál es el área del triángulo ABE? .
.
I
A)
12 cm'
B)
24 cm'
C) 30
l.
El ~ea del triángulo CDE es 0.5 cm'.
III)
2
24
El triángulo CDE es isósceles.
TI)
4
e)
es
.
4 B)
B
E
cin'
D)
48 cm'
E)
60 cm'
I
286 287
PSU,. C~aderno de Ejercicios. Matemática
!~
21) En la figura adjunta, ABCD y AEFG son rectángulos. EB =AG = 8 cm, FC El área de la superficie achurada es
=
la cm y FD =2JlO
cin.
A) 28cm2 B)
E)
36cm'
12.+ 31t
cm
C
D)
36
B
E)
24 + 121t .cm
1 A) ¡
)...,
'B)
'3
C)
'2
D)
PQ y
RS, y haciendo
centro en P
y radio PS se traza el cuadrante de circunferencia PRS. El área de la superficie achurada mide.
E)
,
1 ¡ 1t r
2
3
(2: -
C)
1t r'
r'
E)
'2
1
'B
Ir
1}'
. 2
D) 2
1:
91]; cm
=-C
1
I
+
26) En un círculo de radio r se dibujan los diámetros perpendiculares
A)
1
iI
B)
cm
22) En la figura, ABCD es un cuadrado y 6 ABE es equilátero. ¿Qué parte dei área del cuadrado es el área achurada? .
¡
24 + 61t cm 48+121t
"
D) 34cm'
A) .
e)
30cm'
C) 32cm'.
Y ÁREAS
25) Cuatro palos redondos -de 6 cm de diámetro cada uno se han atado con una cinta de plástico .como se . muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud de la cinta de plástico que ata los palos?
F
r-
. TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 6, PERíMETROS
, 1t r R
3 E)¡
1:
¡: !¡
23) En la figura, ABeD es un rectángulo. Si AC es una semicircunferencia mide 300, entonces el área achurada mide
~;
~I ;1
A)
rt cm-
B)
'2n cm' .
C) '3n D)
4n cm'
E)
5n cm'
'A)
la cm'
E)
20 cm'
q
50 cm'
D)
100 cm'
E)
•
27) El área de un cuadrado que tiene igual perímetro que un triángulo
.
.
equilátero cuya altura mide
~.f3
. 4
cm es
cm'
24) El triángulo ABC es rectángulo en. C. Se han construido ACDE. Si Á.B = la cm, ¿cu~to mide el. área achurada?' ¡'I
de radio 3 cm y ",1
sobre los catetos los cuadrados
Entrc y
A)
36a' cm'
B)
9a' -
cm-
e)
9a' 16
cm'
D)
9a' -
cm?
a' -576
cm'
.~ D
. E)
4
64
H
No se puede determinar
288 289
!...
I~ .
PSU. Cuaderno
28) ¿Cl!áI
de Ejercicios,
es
•
Matemática
el área del trapecio ABCD de la figura adjunta?
CAPÍTULÓ 7. SEMEJANZA
L6,m.~
(1) El trapecio es isósceles y Ab = 10 cm. (2) La mediana del trapecio mide 12 cm y su altura 8 cm. A) (1) por sí sola.
TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7. SEMEJANZA
Test N° 7: Semejanza 1)
Si dos polígonos son semejantes, siempre verdaderat s)? 1) .Los polígonos
II) Sus lados correspondientes
B) (2) por sí sola. A
C) Ambas juntas, (1) y (2).
18 cm
B
IU)" Los polígonos
D) Cada una por sí sola, (1). ó (2).
A) Sólo 1
E) . Se requiere información
B) Sólo 1 y II
adicional,
el 29) En el ó. ABC de la figura:
CD es bisectriz del4:ACB
y
AC
=
BC.
¿Cuál es el perímetro del
E)
e
= 4 cm
proposiciones
es(son)
de igual. medida.
son proporcionales.
tienen la misma forma.
Sólo 1 y III
.r, II
Y III
A)
7
·10
A) (1) por sí sola.
B)
10
7 ,
B) (2) por sí sola ..
e).
49
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D)
343
J
D) .Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información
correspondientes
de las siguientes
2) La razón entre. la altura del triángulo ABe y la altura correspondiente del triángulo MNP es 7 : 10. Si los dos triángulos son semejantes, ¿cuál es la razón entre las áreas de estos triángulos?
(1) AD = 3 cm y BC= 5 cm
E)
¿cuál(es)
D) Sólo U y III
Ll ABC?
(2) CD
tienen ángulos
entonces
-
t
D
E)
'B
adicional.
1.000
100 1.000
343.
3) Si en la 'figura adjunta t; ABC
30) Dos lados de un triángulo miden 6 cm y 8 cm.· Se puede calcular su área si:
A)
- t;DEF , entonces x _ y =
1,5
e)
(2) El triángulo no es rectángulo.
2,5
D) 3,0 A) (1) por sí sola.
F
e
B) 2.0.
(1) El triángulo es isósceles.
A~
7
D~
.B
..
E
E) 3,5
B) (2) por sí sola. . 4) En la figura, los triángulos
C) Ambas juntas, (1) y (2) . . D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) .Se requiere información
adicional.
A)
6m
B)
8m
C)
12 m
son semejantes. La altura del árbol es
I
D) 18 m
x
E) 24 m
~~~
~ 12m
RESPUESTAS CORRECTAS
~2m 4m 1)·
290 291
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
Matemática
TERCER EJE TEMÁ TIeO I Test N' 7, SEMEJANZA
5) Un triángulo tiene lados con longitudes 8, 12 Y 15. Las longitudes de los lados de otro triángulo son 12, 18 Y 22,5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A) Los triángulos
tienen sus áreas en la razón
B)
Los triángulos
son semejantes
por el postulado
C) Los triángulos
son semejantes
por homotecia.
D) Los triángulos
no son semejantes.'
E)
Ambos
triángulos
6) De acuerdo
1) BE:
8) Si a un cuadrado ABCD le aplicamos una homotecia concentro en A y razón -1,: 2 secbtiene otro cuadrado A'B'C'D'. La figura que mejor rep~esenta esta situación es,
2:' 3. Lado-Lado-Lado.
A'
son rectángulos.
a la figura adjunta, ¿cuál(es)
liT e'
D'
,
A =A' de las siguientes
afirmaciones
B'
C)
e'
D'
.
e
D
B
f~
Jrr)
t
I
1,
2
B
Sólo II
C)
Sólo 1 y rr
D)Sólo E)
~ ~ 7)
~
d
!I1,
r, II
B'
e'
d
J
,B
I ~
C)
A'(-.!..!.) B,(2 2.) c,(i 2.l.1 2'2'
'~
A)
4 cm
B)
6 cm
C)
8 cm
D)
72 cm
fl)
96 cm
,2'2'
2'2)
A)
A'( -t,-%} B'( ~,-~} C' (-~,~)
D) A'(3,n B't3,~} E)
l'
1
C'(O,-6)
A,(_i3,'-~)3' B,(i:3'-~)3' c'(o , ª-)3
al movimiento
obtenido
de razón k = 3
1, ¿cuánto
por
traslaciones
B), rotaciones C)
t
B
e'·
B'
D'
10) Se llama semejanza B)
D'
9) Si a un pentágono de perímetro 24 cm se le aplica una homotecia mide el perímetro del pentágono resultante? '
II yIII
A un triángulo con vértices en los puntos A( -2, -1), B(2, ~ 1) Y ecO, 4), se le aplica una homotecia con centro en el origeny. razón 3 : 2. Las coordenadas de los vértices del triángulo que se obtiene son
liI
B'
"A
Y III
A) A'( -3,-%} B'(3:-%} C'(O,6)
¡i
B
D)
r
B)
F ',1
"'pe :bJe
e
área del A ABE 1 área del A APC = 9
I
A=A'
CD = 2,: 7
perímetro del A ACD = , perímetro del A ACD 1
A} Sólo
"tEJ
D'
es (son) verdadera(s)?
A=,A'
I1)
E)
reflexiones
D)
simetrías
E)
hómotecias
deslizantes
11), Silos triángulos de la figura son semejantes, son, respectivamente A)
18 cm y 13,5 cm'
B)
12 cm y 6 cm'
C)
8 cm y 4 cm'
D)
8 cm y 2f cm'
E)
18 cm y 9 cm'
entonces
el perímetro
A
y área del triángulo
A'B'C'
A~'
3,:~
4.5=
..
'
1
11
,
1: 292
,
4cm
e
'B'
e: 293
.,1: ,¡I
*
li'
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 7, SEMEJANZA
: I~
11 1
1
J 2) La pizzería "don Vitto" ofrece una pizza napolitana de 15 cm de diámetro a $1.800, ¿a qué precio deberá vender una pizza con el mismo grosor, con los mismos ingredientes, pero' con 45 cm de diámetro?
16) En la figura, AC .L BD y ED .L AB , ¿cuá1(es) de las siguientes alternativas es(son) verdadera(s)?
$3.600
1) FD' FE = FA . Fe
B)
$5.400
Il) AC' ED = AB . BD
C)
$7.200
A)
III)
D) $iO.800 E)
$16,200
13) ¿CuáJ(es)de
7A?'l. '
,')· G
~
~
6
8,
,
,
.A
C) Sólo III D) E)
SóloJ
y III
3t
17)
14) ¿Cuál de las siguientes
En la figura: A)
3 cm
B)
4 cm
D)
,30'
CE
1"8) Si li. ABe
1)
I~
BeDE
'
EF'
~
C) Dos cuadrados
son siempre semejantes,
B)
Sólo II
C)
Sólo III
D)
Sólo 1 y II
E)
Sólo 1 y III
D) Dos círculos son siempre ,semejantes.
10: 9
12 cm, entonces la medida de AC es
~ li. DEF, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones
iI
B)
=
a''' .... ,
A) Sólo 1
A) 25 : 9
6 cm y AB
6 cm
equiláteros son siempre semejantes,
son siempre semejantes.
de dos figuras 'semejantes
=
~E
El) Dos triángulos
E) 'Dos rectángulos
2 cm, DE
e
congruentes
15) Los perímetros
=
E) 8 cm
afirmaciones no es verdadera? son ',siempre semejantes.
"B
Sólo 1 y III
A) Dos.polígonos
1,
E
AL
C), 5 cm
~
Sólb II y III,
Sólo II
El
2,A,? 211 ~
III)
B) Sólo II
Sólo 1
B)
D) Sólo 1 y II
10
A) Sólo 1
A)
e
= FC . FE
C) Sólo III
las siguientes parejas de triángulos es(son) semejantes?
1)
FD' FA
o
son 30 cm y 18 cm. ¿En qué razón están los lados?
i 9)
Il)
'B
es(son) equivalente(s)
EF·AC
--
a AB? AC·DE
I1I)
Be
DF
La tarjeta de la figura está dividida en cuatro partes, cada una de ellas semejante a la tarjeta original. El valor de x es
C)
6:2
Al
5
D)
5: 3
B)
10
E)
5: 2
C),
15
D)
20
E)
30
EllIJ
x" )
.
10
10 10
,
10
I
i ~
294
295
PSU. Cuaderno de
EjercícíosvMatemútica TERCER EJE TEMÁTiCO I Test N" 7, SEMEJANZA
20) De acuerdo
=
1) PQ
a la figura, ¿cuál(es)
de las siguientes
proposiciones
es (son) verdadera/s)?
24)
II)
AB· JO = AC . JT
A) Sólo 1
D)
AC· OT = BC . JT
B) Sólo II
E)AC
'" SOR - '" QOP
s
E) (TI Y III 21) En la figura,
el triángulo
·c
C) 37,5
~
D) 48
E)
es rectángulo
AB
en C. D es el punto
medio
de AB.
A
/
II) El triángulo
C)
Dos triángulos nales. .
rectángulos
son semejantes
si tienen los catetos respectivamente .
D) Dos triángulos
rectángulos
son semejantes
cuando
E) . Dos triángulos
son semejantes
. A)
PQR es semejante
al triángulo
QSP.
.
= x-3
A) Sólo 1 . ,
B)
Sólo II pV
D) Sólo II y III
.
'E)
~
la
B)
t
r ~
l5cm
C)
l8·cm
2:.[3
D)
Ms:9 2: 1
A~.··F·'···
E
24 cm
.
B
En. la figura: ABCD es un paralelógramo. A)
14,4
B)
10,0 cm
C)
9,0 cm
El valor de
C
es
x+y
cm
D)
8,0 cm
E)
7;6 cm
A
regulares
tienen lados cuyas longitudes
son 6
fj y
9. La razón de sus áreas es
( 1)
'=
16
PR (2) TR
SR QR
=
!
3
C)
É)
l. l'
2,[j:
iguales .. paralelos.
12 cm
B)
A) 4: 3
r
tienen Iashípotenusas
cuando tienen sus lados respectivamente
proporcio-
28) ¿Es el
1, II Y III
23) Dos octógonos
1('
si tienen un ángulo agudo igual.
cuando tienen igual el ángulo del vértice.
D) 20 cm
27)
C) Sólo 1 y II
l'
is6sceles son semejantes
R
PQS y PRQ son isósceles .
3
·x
~
i
Dos triángulos
E) 1) Los triángulos
JI ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
B)
'>.8
1
u
58,5
3'
son semejantes
26) En el triángulo ABC, rectángulo en B: EFI/BC, AF = Fe = 5 cm y AB =.6 cm. Si la mediana del trapecio BCFE mide 6 cm, entonces ¿cuánto mide el perímetro de este trapecio?
22) En el triángulo is6sceles PQR de la figura, PR'= QR; PS es bisectriz del ángulo en P. ¿Cuá1(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
III)
no es siempre verdadera?
rectángulos
.E
~
~ f'
proposiciones
A) Dos triángulos
DE es
= 20, el área del triángulo DBE es
.
A) 30 B) 35
I
ABC
a AB. Si AC = 12 Y
perpendicular
• OT = AB .' JO
25) ¿Cuál de las siguientes Q
es verdadera?
. JT
AB· JT = BC . OT
D) .Sólo 1 y III
! ~ •~
= AC
C)
R
C) Sólo 1 y II
1J
BC· OT
B)
III)
I,
Si DoABC - '" JOT, entonces ¿cuál de las siguientes relaciones 'A)
8
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, D)Cada E)
(1) y (2)
una por sí sola, (1) 6 (2)
Se re·quiere. información
p
Q
adicional
296. 297
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
Matemática
TERCER EJE TEMÁ rtco I Test W 8. GEOMETRíA DE PROPORCIÓN ~ --------------------------~~~~~~~~~~~~~~--~~~~~~
'{ !
29) Se puede determinar
la medida del segmento
WZ si:
'~I
(1) RW = 15, ZR;= 10 Y SZ = 8. (2) 4:SRZ
CAPÍTULO 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN Test N° 8: Geometría de proporción
w
:= 4: WZS
1) Dado un trazo AB = 80 en la razón significa
i
cm 'y un número
real A. = ~, entonces dividir armónj~amente dicho trazo AB 3
A) (l) por sí sola
I
B)
(2) por sí sola
e)
Ambasjuntas,
D)
Cada -una por sí sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere
1) (1) y (2)
información
RI
. Encontrar un punto
Encontrar un punto D en la prolongación de AB, a la derecha de B, tal que AD . . DB
adicional determinar
el valor de y - x si sabemos
III)
Encontrar un punto D. en la prolongación de AB" ala izquierda de A" tal que AD DB De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correcta(s)?
que:
(1) EDIl AB
C) ,Sólo III
B) (2) por sí sola'
D) Sólo 1 y TI (1) y (2)
E) 'Sólo
B
D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2) . Se requiere
3
B) Sólo TI
A) (1) por sí sola
E)
= ~
A), Sólo
A
(2) CD = 14
C) Ambas juntas,
AC 5 entre A y B tal que '" _ '. CB 3
'JZ· II)
30) Con respecto a la figura adjuntavpodemos
e
'inforrnaclón
1 y III
2) Se tiene un segmento AB de 95 cm. Al 'dividirlo interiormente por dos puntos dados P y Q tales que AP : PQ ': QB ;=3 : 5 : 11, la diferencia entre el mayor y menor de los segmentos que resultan de tal división es
er
adicional
A)
15 cm
B) 25 cm C)
40 cm
D)
55 cm
E) 60 cm 3) Cuando se divide un cierto trazo, AB, armónicamente en la razón de l....:. 4, la distancia puntos de división interior y exterior es de 48 cm. La medida del trazo AB es
entre los
A) 12 cm B) 14 cm C)
18 cm
D) 24 cm E) 28 cm
i
4) En la figura adjunta, ABIiCD.
Si OA;= 10 cm, AC .; 8 cm y BD;= 12 cm, entonces OB;=
1
:
¡ti
¡
RESPUESTAS
CORRECTAS
A)
'9,6 cm
B)
10 cm
C)
14 cm
D)
15 cm
E)
16 cm'
O
298 299
PSU - Cuaderno
de
Ejercicios, Matemática
TERCER,EJETEMÁTICO
, 5) En "la figura adjunta se muestra un trazo AB de 20 cm, M es el punto memo de .AB, y D dividen al trazo AB, el primero interiormente
y el segundo exteriormente,
Los puntos C
en la razón 7 : 3,
M
e
CP NP -=PA PD
D
B
MI>
MA
2
2
II)
III)
AB
1Il)
1 1 -+AC 'AD
A)
Sólo 1 y TI
B)
Sólo II
Sólo III
E)
Todas
4u
B)
9u
C)
12u
D)
lSu
E)
18u
MN// AB
V
C)~m
y m
D) Sólo r y TI E)
se
~
A
B
Todas
9) Los lados de un triángulo ABC miden BC
=
8 cm, Cs:
= 10
cm y AB
=
12 cm. Se dibuja un~ paralela
MN al lado AB de tal modo que el perímetro del triángulo MNC sea igual al perímetro del trapecio ABNM. Él valor de MN es" , A) 10 cm B)
8 cm
C)
6 cm'
20
D)
'3
E)
3cm
cm
F
7) En la figura adjunta se cumple que CDII AB, OA ~ 12 cm, OD = 18 cm y eB = 35 cm. El segmento
25 10; ¿En cuál de los casos -síguientespodemos
oe
mide
A)
12 cm
TI)
B)
14 cm
IlI)
C) 15 cm
PB
B) Sólo TI
anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correctaís)?
6) En la figura adjunta, AB/I CD /1 EF, Suponiendo que todos los trazos indicados a continuación miden con la misma unidad de medida "u", y si AC = 6u, CE = 4u y DF = 6u, entonces BF = A)
DP
A) Sólo 1
al trazo CD en la razón 2 : S
Sólo 1 y III
D)
D
De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es(son) correctá(s)? ,
De las afirmaciones
C)
MC 'MD
Los puntos B y A dividen armónicamente
,
-=,PC
TI)
.Al respecto -se' plantean las' siguientes afirmaciones: 1)
Test N" 8, GEOMETRJA DE PROPORCIÓN
8) En el cuadrilátero ABCD de la figura adjunta, se han dibujado sus diagonales AC y BD, las cuales se ' cortan en P. ,Se trazan DM /1 Be y eN 1/ AD. En tales condiciones se afirma que
1)
f A
I
1) ,Tienen
afirmar que dos triángulos son semejantes?
dos ángulos respectivamente
Tienen un ángulo respectivamente
congruentes. congruente
Tienen sus tres lados respectivamente
comprendido
entre .lados proporcionales.
proporcionales.
De las afirmaciones anteriores, ¿cuál(es) de ellas es (son) correcta(s)?
D)
'16 cm
A) 'Sólo TI
E)
21 cm',
B)
Sólo III
e)
S610 TI y III
D) S610 1 y TI E)
1, II Y III
300 301
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 8. GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN
11) Se da un triángulo ABC rectángulo en C. ¿Con cuál de los Procedimientos asegurar que se obtiene, al menos, un. triángulo semejante al triángulo ABC? I)
Trazando
ir)
15) Cuando dos circunferencias son tangentes exteriormente, ocurre que la longitud del segmento de tangente común exterior es igual a lamedia proporcional geométrica entre sus diámetros, Según esta propiedad, '¿cuánto mide la longitud de la tangente común exterior a las dos circunferencias tangentes, exteriormente de la figura adjunta de radios r = 4 cm y R '" 9 cm? '
una paralela DE a la hipotenusa.
Trazando
la bisectriz del ángulo recto;
De los procedimientos
B)
podemos
Dibujando la altura CD = he relativa a la hipotenusa.
Ill)
A) S610
siguientes
A)
anteriores, ¿cuál(es) de ellos esfson) correcto(s)?
B)
r
C)
S610 II
C) S610 III D)S610 E)
D)
13 cm
E)
14 cm
l y II 16) ¿En cuál(es) de los siguientes casos secumple que la medida del segmento indicado proporcional geométrica entre las 'medidas pe los otros dos segmentos?
geométrica entre dos trazos de 6 cm y de 24 cm es un trazo de
A) 9,6 cm 'B)
12 cni.
C)
13 cm
. D)
14 cm
E)
15 cm
1) II)
C)
C) SóloIII D) Sólo 1 y II e
115'5 a
E)' Sólo l, y III
5
17) En la figura siguiente, siendo ABC un triángulo rectángulo en e, ocurre que el área del cuadrado BHIC es idéntica al área delrectángulo BDEG. Este hecho. geométrico ilustra mejor el teorema de
a
,
B) Euclides del cateto
, 2
3.15 5
l·
A/
o D
\B
C) Pitágoras Á'
D) los paralelogramos
a ,
E)
14) En un cierto triángulo rectángulo ocurre que la suma de la medida de la hipotenusa con la medida de uno de los catetos es 25 cm, mientras que la diferencia entre las medidas 'de ambos es. de 9 cm. Entonces la medida del otro .cateto es de
no corresponde
complementarios
a ningún teorema en
espe~ial 18) 'Las diagonalesde inscrita él?
en
A)
8cm
,B)
9 cm
A)
12 cm
12 cm
B)
15 cm 18 cm
C)
1
A) Euclides de la altura
. 5 Ir D) -...;5 a
E)
La tangente trazada a una cb:cunferencia desde un punto exterior y los dos segmentos de una secante trazadas por el mismo punto exterior: el segmento ínterior y el segmento exterior
B) S610 II
215
2
y la
A) Sólo I
1 -'a
~15
La altura de un triángulo 'rectángulo y los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.
De las afirmaciones -anteriores, ¿cuál(es) de ellas es (son) correcta(s)?
ABC de la' figura adjunta, rectángulo en C, BC '" a y CA '" b '" 2a. Si
CD = he es la altura relativa a la hipotenusa, entonces CD '" -'
es media
Un cateto de un triángulo rectángulo con respecto a su proyección sobre la hipotenusa hipotenusa entera.
1lI)
13) En el triángulo rectángulo
B)
6,5 cm 12 cm
Sólo l y III
12) La media proporcional
A)
6cm
D)
15 cm
C)
E)
16 cm
D) 21 cm E)
un rombo miden 30 cm y 40 cm.
¿Cuánto 'mide el radio de la 'circunferencia '
25 cm
302 303
,,----_.
~
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
TERCER EJE TEMÁTICO / Test W 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN
Matemática
19) En la figura adjunta, los catetos del triángulo ABe, rectángulo en e, miden a = 3 cm y b = 4 cm. La razón en que están los segmentos p y q, proyecciones de a y b respectivamente, sobre la hipotenusa, es
22) En el triángulo ABC, rectángulo en e, indicado en la figura adjunta, se traza la altura CD = he ' la que determina sobre la hipotenusa dos segmentos de longitudes p y q. En seguida se trazan DE.L Be
13
A)
2
B)
"4
-
-
DF .L AC.
3
e
16
D)
256
81
I
I ~,
~ B) pq
J
!r
~B
y
q
p,
I
B)
e + he
e) a·+ b + e
I 1
r»
a + he
E)
b + he
~
AA,
21) En un cierto triángulo rectángulo ABe, rectángulo en e, lahipotenusa correspondiente mide 6 cm, La longitud del cateto mayor es de A)
I
I
p2 + q',
D)
q2_p'
E)
(p+q)he
'~D~' .
E
q
p
circunferencia yno pasa por el centro. Si construimos un cuadrado cuyo lado es PT , entonces será eql.\ivalente a un rectángulo cuyos lados son los segmentos de medidas:
.
--v-
1:,
5:.J5
C)
4:.J5
PAy AB PA Y PB
III)
AB Y PB
IV)
(PO + OT)y (PO - OT) anteriores,
/
QI
él
-->p
\
¿cuál(es) es(son) correcta(s)?
m
A) Sólo 1 y
mide 15' cm y su altura
B)
Sólo II
e)
Sólo IV
B'
D) Sólo II y IV E)
r» 3.:.J5
1) , II)
De las expresiones
D_-----------"
e
6:.J5
.8)
E)
.'.
23) En la figura adjunta, PT es tangente a la circunferencia de centro O y la recta PB es secante a dicha
e
'<.......
~
e)
"3
A) a + b + he
~
r
Aé
20) Dado el triángulo rectángulo ABC -con todos sus elementos, indicado .en.Ia figura adjunta, . Si 'se construye otro triángulo rectángulo cuyos catetos sean la suma de los catetos del triángulo .dado y la altura del triángulo dado, entonces la hipotenusa sería: .
r
~
h.
4
El
En tal caso, EF
y
2
'Al2pq
9
e)
.
I
S610 I, TI Y
24) P es el punto de intersección
de las tangentes exteriores a las circunferencias
radio de la circunferencia menor es r distancia AP
2:.J5
m
=
= 3,5 cm,
el radio de la circunferencia
de centros' O yO',
Si el
mayor es R = 14 'cm y-la
8 cm, entonces PB =
A) 24 cm
j
B) 28 cm
"1
e)
II
32 cm
D) 40 cm
11
E)
1
304
I
60 cm
~~
~ 305
PSU. Cuaderno
de' Ejercicios,
Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 8, GEOMETRÍA DE PROPORCIÓN
~
'
.
.25) Dos cuerdas AB y .CD se cortan en un punto P de un círculo cuyo centro es 0, tal como se muestra en la figura adjunta.
26) En el triángulo ABC de la figura adjunta, EF // AB. Además EF ABC es 98 cm".
= a,
AB
= 1,4a
y el área del triángulo
El área del triángulo EFC es
c.
C B
A)
35 cm?
B) 42 cm? A
C)
ElI
~9 cm"
D) 50 cm ' E) Si con algunas parejas de los trazos determinados en la' figura anterior se construyen dos rectángulos, éstos resultan ser equivalentes. La opción que ,nos indica los rectángulos que siempre son equivalentes es D
B A) A
p
enO, El área del triángulo COD es de9 trapecio' es igual a'
A)
49 m2
B)
37 m '
B
AC y BD, las cuales se cortan
el área del triángulo ABO es de 16 m2,
Elárea del
.
D
25 m2
A:
TI
p
•
-=ZVIT"'"
R
E) . Faltan datos C
C)
P.
m2y
C) 28 m ' D)
A
'B
Al
p
e p
,
cm?
27) En un trapecio ABCD, de bases AB y CD, se trazan las diagonales
'B) A
56
'>, F
28) Se' desea dividir armónicamente suficiente B
un trazo AB = 40 cm en la razón A. =
7 '3'
Para ello es necesario y
p (1) Dividirlo interiormente en la razón A.
B
p
P
B
(2)
D)
p
p
E)
A)
(1) por 'sí soiit
B)'
(2) por sí sola
e) Ambas juntas, (l)y
A
!!'
(2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 'E)
306
Dividirlo exteriormente en la razón A.
B
C
Se requiere
información adicional
D
..
307
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N' 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS
29) Con respecto a las medidas de los trazos de la figura adjunta, se cumple entre ellos la relación AO OD
BO = OC' (1) (2)
Para que ocurra la proporción
anterior debe cumplirse necesariamente
el // e, tl ABO
-
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1)
E)
Se requiere información
el
I
"
,t!. DCO
A)
Il
o ó
(2)
e2
"':"D
"
)
adicional
30) En el triángulo ABC de la figura adjunta, la altura CD
= h,
cumple la relación h; .~ P q,
B)
3M 30.J5
C)
4M
.30
D)
SM IO.J5
C
,E)
cae en el interior del trazo AB , dividiéndolo
en dos' segmentos p y. q tales que p + q = c . Entre las longitudes de los segmentos
p, q y h, se
A)
±2
(2) El triángulo ABC es isósceles de base. AB
B)
.,-.fi
A)
(1) por sí sola
C)
B)
(2) por sí sola'
D)
~x
'A
60
G
~
.fi D
C) Ambas juntas, (1) y (2)
'Xy'>B
AC:y:
Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información
I
2) ·En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en A, la medida del lado AB es
C
E)
B
Esta relación es válida si
(1) El triángulo ABC es rectángulo en C
D)
TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS Teoremas de Euclides y de Pítágoras
1) En la figura adjunta, el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C. El valor de x es
A)
cl
9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Test N° 9: Triángulo rectángulo:
que:
BI
"==:,A
CAPÍTULO
adicional
q
l'
D
¡;...-
p
E)
A
2
'\.B x
I
e'
3) En el triángulo rectángulo de la figura adjunta, la medida de BC es A)
7
B) /
8
C)
11
D)
12
E)
.~,
Jl94
A
13
4) De acuerdo a .los datos en la figura adjunta, el valor de x es
RESPUESTAS
CORRECTAS
A)
7l-
B)
gol
C)
V 'DE
a
;).'\,!
a
'91
C
5
3
10±
D)
11
E)
IS
'1
A~B
x
308
309
" ..._--_.
'~
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
. 5) Eltriangulo
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
AD es
!~'
A)
n
28 cm
3cm
B) 32 cm A)
6../5 cm
B)
3../5 cm
D) 37 cm
C)
2../5 cm
E)
C)36
.6 ~ . D) -,,5 cm 5 E)
'!:..../5 3
A.
x
D
sJ2
ABC, rectanguloen
C, AB = 20 cm y AD
cm 8 cm
4../5 cm
=
.~. D
AC
= 18 cm,
9J2
B
entonces la longitud del lado
A¿JC
cm
11 cm
C)
10 cm.
D)
9 cm
·4J2
A)
cm
32 "cm
C)
16J3
cm
D)
16J2
cm
E)
8)5
cm
.~ A
,. ... 11) De acuerdo a.los datos de la figura adjunta, el perímetro
ir
6 6J2
I
A)
8 + 12)5
cm
B)
20 + 12$
cm
B
C)
16 + 10)5
cm
D) . 16 + 12)5
cm
E)
cm
del triángulo ABC es
e
30 + 4)5
'.
.
4~~ 4cm D
B
12) De acuerdo a los datos de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderars)?
Q.
cm
cm?
D)
18cm2
E)
24 cm-
AC=)5.
cm.
I1)
90°.
III)
)F
9 cm'
1)
'C
2
A) Sólo 1 B) Sólo II A.
B
C) S610 1 y II
E)
I
D
.
~-.
D) Sólo 1 y
I
16 cm, entonces la longitud d~ BC es
B
cm
LJ~
il
=
A
8) En la figura adjunta, ABCD y CEFG son cuadrados. Si el área de CEFG es 36 cm2,¿cuál es el área de ABCD? .
C)
B)
_.
B)
B)
y CD
"
AB es
E)
= 8 cm
hipotenusa. Si AD
r,
10 cm
7) El triángulo ABC es rectángulo en B e is6sceles. Si
A)
B
4 cm. La medida de la altura CD es
A
E)
.
cm
6 cm
C)
D).
39 cm
10) En la figura adjunta, el triángnlo ABC es rectángulo en C y CD es la. altura respecto de la
.~
6) Enelrriángulo
B)
40m
cm
A) 16)5
A)
y mi PlTÁGORAS
9) El perímetro de la figura adjunta es
ABC de la figura es rectángulo en C. Si CD es la altura respecto de la hipotenusa,
AC = 6 cm y BC = 12 cm, entonces Ia medida del segmento
TEOREMAS DE EUCLIDES
m
" ,
A
\B
2cm
1, II Y m
310 311
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
TERCER EJE TEMÁTico
=1
13) Si todos los triángulos de la figura son rectángulos e isósceles y OA
¡
I~
i!l"
A)
4fi
B)
4 cm
e)
3J2
D)
3 cm
E)
2J2
1
B) 20cm e)
~B
cm
o
E)
1 A
B)
4-13 cm
e)
4.[5 cm
D)
.fi4 cm
E)
4.J7 cm
50cm
18) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en dos segmentos cuyas longitudes son 5 cm y 45 cm. ¿euál es la longitud de la altura?
cm
4J2 cm
30cm,
D) 40cm
E
A)
'l
10cm.
cm
14) En la figura adjunta, Ae =8 cm,
~'
Test N" 9. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAs DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS
17) La altura respecto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a ésta en dos segmentos cuyas longitudes son entre sí como 1 : 9. Si la longitud -de la altura es 9 cm, entonces la longitud de la hipotenusa es
cm, entonces la longitud
de EO es A)
I
BC
= 4 cm
y BD
= fi. ¿euál
A) llcm es la longitud de AB?
e'
B)
12cm
e)
13cm
D) 14cm
m
IScm
13
19) Si en la figura adjunta, AC = cm y BC = proposiciones es(son) correctats)? A
AB=3
1)
1I) 15) En la figura adjunta, el t.ABC
es equilátero de perímetro 24 cm, AD =
¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero
813 cm
y AB 11 DE .
IlI)
DECA? C
A)
12(3 + -13)
cm
B)
8(6 +-13)
cm
C)
4(17 + 7-13)
cm
72-13
cm
8(3 + 11-13)
cm
CD
A)
cin, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
..'.
cm
=12
Área(t.
J6
cm
DBe)=vIz
cm'
Sólo 1 A
B) Sólo 1 y TI 'C)
\8
Al
D
Sólo 1 y III
D) Sólo II y III E) 'I, II Y III
D)
f~
E)
I J
I
\ lE
I
D
16) De' acuerdo a la figura adjunta, ¿cuál es la longitud de DB?'
Jj ·::1:
~¡ ! n;I.: ir" .~ : ,
¡¡;
312
A)
13m
B)
11m
C)
9 m
D)
7 m
E)
5' m
Lh
A
20) Si se construye un 'rombo con .lado igual a la longitud de la diagonal de un cuadrado entonces la mayor de las diagonales del rombo tiene longitud
16m
D
B) Al2p
2pJ2
e)
P.J5
D)
- 2p.[5
E)
p~4+2J2
21-.
p
.
. ,,/-,_,/
.
,
de lado p,
,/
__,/
,/
,B
313
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 9, TRIÁNGULO RECTÁNGULO: TEOREMAS DE EUCLIDES y DE PITÁGORAS
21) Si MNPQ es un rectángulo y QR -L MP , entonces, de acuerdo a los datos de la figura, QR =
A)
m2n2 2 m + n2
B)
--
24) Si en la figura adjunta, BD = De ,,;6 cm y AB = 2' Be, ¿cuál es la longitud de AD 't : A)
Q.
mi + n2
P
mn , I
rnn ' C)
.Jm2 + n2
D)
~ m2 +'n2
E)
../'
.\.
In
,I/R, M
B)
9 cm
C)
12 cm
D) 12J2
IN
B
4J5
B)
e)
A)
9J2
B)
3-J6cm,
C)
is
cm
y
9,fi
y 3m
cm
y
D) 3-/14
cm
y
E) 3-/14
cm
y
cm'
D)
20 cm'
E)
40
cm' !!
26) ¿Cuál es la longitud de A)
cm
en la figura adjunta?
'A
e
lOcm
C)
18cm
D)
20cm
cm
23) Si en la figura adjunta, eltriángulo
Be
u
B) l6cm
6 cm 21
'sJ5
cm cm
56
cm'
10 cm'
)
22) La altura correspondiente a I~hipotenusa de ,un triángulo rectángulo divide a ésta en segmentos cuyas longitudes son 6, cm y 21 cm, ¿cuáles son las lon~itudes, de los catetos?
' B
18 cm
25) ¿Cuál es el área del triángulo ABC de la figura adjunta? A)
m2 n2 u:
cm
,:1-
A
E)
m
/Ve
cm
6J2
PQR es réctángulo en R
iRQ = 6
cm, entonces la longitud de
E) 24cm
RS es A)
3J2
cm
B)
3J3
cm
C)
3-J6
cm
D)
s.Ii
cm
E)
3M
cm
R
27) Si el triángulo ABC de la figura adjunta, es rectángulo en el vértice e, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)? ' 1) II)'
P~Q
ill) A)
(AC)' +'(BC)2 =(AB)'
;
(BE)' + (AD)2 =(AB)' +(ED)' CE,DB=CD,EA
S610 1
B) Sólo III
I~B
C) Sólo 1 y 11 D) Sólo 1 y III E)
I, TI Y III
314 315
a-
'í .e
.
.,~:
..;
;,
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Maremática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" ¡Ó, TRIGONOMETRÍA
28) En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en C; a2 (1) P = 3 cm
y
q
+ b2
CAPÍTULQ 10. TRIGONOMETRÍA PLANA Test W 10: Trigonometría plana
1\,
= 4 cm
e
(2) a·b=7·h, A) (1) por sí sola.
..
B) (2) por sí sola: C) , Ambas juntas, (1) y (2).
Se requiere información
1) Dado el triángulo rectángulo ABC de la figura adjunta, de catetos Be = a los valores de' sen a, cos: a y tan a son, respectivamente:
/h
A· D) .Cada una por sí sola, (1) ó (2). E)
=
q
D
A)
B
P'.
adicional.
20 3..!. 20, 29' 29 Y 21
B)
21 20 20 29' y 29
C)
21'
D)
20. 20 ,21 29' y 29
;.
(1)
Triángulo ADC es rectángulo en D B
(2) AD=DB
i~:
. A) (1) por sí sola.
;
B) (2) por sí sola. e)
Ambas juntas, (1) y
D
,E)
1;,
Se requiere información
adicional.
CV
'>A
1
a la hipotenusa divide a ésta en segmentos cuyas longitudes son 6 , '.
,'\, B
2120 20 29' 29 Y
21
A)
O
B)
~
+
sen 60'
-
sen 90
=
2
~.
(1) La altura correspondiente Y 21 cm.
a)
21
2) El valor exacto de la expresión sen 30"
30) ,¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo?
~
AL
(2).
D) Cada una por sí sola, (1)ó (2). E)
C
21. 20 29 Y 29
20
j ! ¡
rectángulo en 'C si:
= 20 cm y C,A = b = 21 cm,
21
l.
29) Si en.la figura adjunta se cumple' que AD = DC .' Se puede afirmar que el triángulo' ABC es
"
11,
C)
~-13 2
"
(2) La hipotenusa mide 27 cm. í1
I1 "1
A) (1) por sí sola.
j
B) (2) por sí sola.
P) ~
C) Ambas juntas, (1) y (2).
E)
'
(-13 - 1)
D) Cada una por sí sola, '(1) ó (2). E)
Se requiere información
adicional.
PLANA
3) En el triángulo rectángulo ABe, rectángulo en C, de la figura adjunta, se tiene que eB = 6 el ángulo ABC mide 60°. A)
12-13
cm
B)
9-13
cm
C)
3 -13 cm
-13 'cm' y
En tal caso, la altura CD = he mide
_C
,1
D)
9
l
E)
6 cm
,
cm A /'
O
\ B
r
¡ .
316 317
"
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática'
TERCER EJE TEMÁ
4) Si o. corresponde a la medida de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, entonces, ¿cuál de las' .condiciones siguientes debe verificar necesariamente sen a ? A)
seno. > O
B)
seno. < 1
e)
Ay B
E)
dadas a continuación,
cosec? a. -
D) Sólo 1 y TI E) .1, II Y ID 8) En el rectángulo ABeD de la figura adjunta, con los datos indicados
cotan 2 a:
B)
Sólo II y III
e)
Sólo 1 y TI
2 'A)3'
2.J3
E) 1, TI Y ID
D) 3
6) En la figura adjunta, tenemos un cuadrado AISCD de lado 1. M es el punto medio del lado BC" tales condiciones,
E)
tan a =
1
1
V
A
2'
30°
I
t
B
que ~ejor representan
las longitudes
de las diagonales AC
AC,
y
BD
A)' 10 cos 20°; 10 sen 20°
.J5 2
M
.J5
'B)
20 cos 2.0°; 20 sen 20°
e)
lOcos 40°; 10 sen 40°
.D) 20 cos 40°; 20 sen 40° E)
.J5
.J5
J3
E)
Las expresiones trigonométricas son, respectivamente:
DC
2
En
2
9) En, un rombo ABeD de lado 10 cm, .dicho lado forma un ángulo de 20° con la diagonal mayor
-
2
51
Bl -3e)
D)
e
¡
2.J3
D) Sólo 1 y III
C)'
en ella, el lado AB mide
D
Sólo
B)
secante y cosecante de ellas ea(son), 'a la vez, recíproca(s) y cofunción(es)?
e) Sólo TI y ID
para up ángulo dado a :
de ellas tiene(n) por valor l? .
A)
A)
seno y coseno
B) Sólo 1 y ID
sec" a + tan' o.
ID)
PLANA
A) Sólo TI
sen a puede asumir cualquier valor 'numérico
sen? a + cos"«
¿euál(es)
1)
III)
5) De las expresiones
ll)
Test N' t O, TRIGONOMETRíA
Il) . tangente y cotangente
la función sen a sólo puede asumir valores racionales
1)
I
7) Dadas las siguientes parejas de 'funciones trigonométricas:
¿euál(es)
D) la función
neo
A,e
~
10 cos 10°; 10 sen 10°
10) ¿Cuál de las siguientes. es un ejemplo de identidad trigonométríca?' I
B
A) sec a: cosec a: ~ E)
sec a: + cos .c ~
e)
sec a: - cos a: ~
D)
sec- a.
tan' a.
El
cos' a. -
sen' a.
=
318
319
PSU. Cuaderno de Ejercidos, Matemática
11) ¿Cuál e~ el valor de cos' 30°
TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N' lO, TRIGONOMETRIA
+
cos'
45°
+
14) La expresión
cos' 60°?
5 8
A)
-
A)
B)
3 '4
B)
e)
D)
>'4
5
3 2
E)
4 12) ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones
4 1
2
C)
iJ]
D)
-
E)
1
2
3 4
15) Un posible valor de x que satisface la ecuación 3 sen (x) - 4· correspondetn)
1:
al valor exacto de sen 60°?
"
'2 sen 30° cós 30°
x =
2'
El
Sólo Il ó ID
1.6) Sea el rectángulo ABeD de la figura adjunta, Con el dato lineal y los datos angulares indicados en ella, él área del triángulo BED, en centímetros cuadrados, mide:'
C) Sólo ID
)
D) Sólo 1 ó III
K
Sólo 1 ó II
13) En la figura
adjunta,
correspondiente
ABCD es un cuadrado
al lado BC' del triángulo ABC.
de lado 2.
AM
es la tr~nsversal
de gravedad
A) tan ~ = tan 20:
A)
3
B)
J]
C)
16
C
D
D)
2J]
B) tanp. = tan a
E)
3J]
D) tan~'=
1
'
/
l'
A)
'
320
,
1 2
0,1
B) 0,2
~ tan ~ = - tan o:
~B
17) Dado que sec o: - tan o: = 2, entonces el valor de sec o: + tan o: =
~M
-tan 20: 2
'3cm
Al
C) tan~. = 2 tan a
e
¡
E
Con los datos angulares indicados en la figura, la
relación correcta entre las tangentes de los ángulos o: y ~ es:
I¡
x = ~ radianes 6
D) Sólo 1 ó III
anteriores, es(son) correcta(s):
B) Sólo Il
E)
ID)
B) Sólo Il
A) Sólo 1
,:1
x = 30°
C) Sólo ID
De las expresiones
E)
II)
A) Sólo
1 2'sen1200
IlI)
sen (x) - 3, es
1
1)
1)- . 2 sen 30°' Il)
sen 60° cos 30° + sen 30° cos 60° tiene por valor
-'1-
.7 -
PLANA
A'"
,
e)
0,3
D)
0,4
. E)
0,5
'B
. 321
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
18) Al factorizar completamente
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 10, TRIGONOMETRÍA
la expresión
tan' !3 - tan 13 se obtiene
22) Si X = sec e e y
A)
tan 13(tan'-!3
1)
A)
(x + y)'
B)
tan' 13(tan 13 - 1)
B)
(x _ y)'
e)
tan 13 (1- tan 13) (1 + tan13)
e)
x'
D)
tan 13
.D)
x y
E)
tan 13 (tan 13 -1)(tan!3
B)
"2
e)
"2
(1-
tan' 13)
cos? a
+ --'-
sena
agudo
en un
triángulo
rectángulo,
entonces
i
la expresión
=
A)
I
B)
cosec n
e)
cos a
D)
sec a
E)
sen a
3
20) Al expresar en su.forma más simple la fracción
sen' e sen? e -
cos' e cos ',e
,(con
sen () '" cos e), obtenemos
A)
.
B)
1+-sene
e)
sen e cose
D) sen' E)
cosec e, entonces x' + y2
+ 1)
a es un ángulo
19) Si el ángulo sena
-
=
PLANA
cos?
e
cose
cos'
e-
D)
3·
E)
no se puede determinar
24) En la figura adjunta, se tiene que: AB 11 CD, BC ..1 AC y , BAe = X, entonces' eD = A)
BD .1 CD.
Si AB
=
1 Y el ángulo B
sen x
B) cos x
e
sen'
C)
e
sen ' X
D)cos2
ti) En la figura adjunta, sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia coordenadas de dicho punto P, en funció~ del ángulo están dadas- por:
unitaria.
D X
AL
E) tan x
Entonces las.
e,
!:::
25) Dado el cubo de arista unitaria de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las razones trigonornétricas que aparecen a continuación nos sirve(n) para determinar el ángulo agudo a .entre la diagonal interior y la diagonal de la cara? I)
sen a
=-
1
II)
cos a
~
.fi =-
III)
~ .A
1 tan a = r;; ~2
A
A) Sólo l y II X
I
B) Sólo II
y m
C) Sólo l y III D) Sólo II E)
l, II Y III
,.
l,//~
322 323
,
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCEREJE
11' ,
TEMÁTICO I Test N" 10, TRIGONOMETRÍA
PLANA
,i
26) Dado el teorema trigonornétrico: "El área de cualquier triángulo plano está dada por el serniproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman", Al aplicar dicho teorema a un triángulo equilátero ABC de lado Ha", como el de la figura adjunta, se obtiene como expresión para el área: A)
(a
B)
-(a
+
1
1
e
medio del arco·ÁB
v
(a
11-'
\lB
E) Se requiere información adicional
'B
30) Ei triángulo ABC de la figura adjunta es rectángulo en C. Para poder determinar eliperímetro triángulo ABe tenemos
' 'a) sen 600
(a
I
Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)
' a) sen30°
, 1
2
e es el punto
B) (2) por sí sola
sen 300
.' E)
= sen ~,
A) (1) por sí sola
e) D)2
IX
(2) /';,ABC es isósceles de base AB
e
a)sen60°
(a ' a)
C)
(1)
'
en e, se tiene qúe sen
Para que ocurra lo anterior, entonces debe cumplirse que:
a)sen300
+
2
29) En el triángulo 'rectángulo ABe de la figura adjunta, rectángulo
27)" Para todos los valores de x para J;~cuales
se cumple que tan(x) > O, si log (tan (x)) =
ID,
entonces
(1) el cateto eB
r ' I
del
= 5 ID
(2) tan ~ = 2,4
log (cot(x») =
A) (1) por sí .sola B) .,<2) por sí sola
A)·~ m
e)
B) -m e)
I
Ambas juntas, (1) Y (2)
A~B
D) Cada una por sí sola, (1)6 (2) -r
m
E)
\:'
D)'-~
..,
Se requiere información adicional
y \
m E)
m -
l
28) Se necesita determinar el ancho de un ríoypara ello se sabe que un ·árbol que crece exactamente en su ribera, a una cierta hora del día, arroja una sombra sobre el río de igual medida que el ancho del mismo: Por lo tanto, el ancho del río se puede conocer si . (1) en el momento indicado, el ángulo de elevación de la sombra con respecto a la cúspide del árbol es de 45· (2) a esa hora del día, la sombra del árbol es de 15 metros A) (1) por sí sola B) . e)
(2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2) E)
Se requiere información
adicional
JU;SPUEST AS CORRECTAS
324
325
I
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
,!i
TERCER EJE TEMÁTICO / Test W 11, PROPORCIONES EN EL CÍRCULO
'~ CAPÍTULO
11. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO Test N° 11: Proporciones .en ;el círculo
1) En la circunferencia de la figura adjunta, P A = 10 cm, AJ3 = 6 cm
y
PC
=
5) Si en' la circunferencia de, centro O de la figura adjunta:OA
8 cm, entonces CD
=
p
A)
4,8 cm
B)
7,5 cm
C)
12 cm
D)
16 cm
E)
20 cm
2) En una circunferencia
de centro 0, las cuerdas RS
PS =18 cm, y TÍ' : PU= A) B) e).
3: 10, ent?ncesoPU
y TU
se intersectan
en P.
A)
30 cm
B)
15 cm
e)
12J2 cm
D)
)145
cm
E)
2m
cm
PT Si RP
Si OM = 8 cm y OA = 17 cm;
¿cuánto mide la cuerda BC?
I
= 8 cm.
O
• .1
lA
~
6). En la circunferencia D
1. Be.
de la figura adjunta, PT es tangente
a la circunferencia
en T, PB = 16 cm y
¿Cuánto mide el segmento externo de la secante?
= 15 cm,
=
3 cm 9 cm 20-H cm
A)
2 cm
B)
4 cm
e)
6cm
O)'
8 cm
'p
/Á
B\
E) 48 cm D)
25n
E)
cm
30 cm
3) En la figura adjunta, AB es tangente a la circunferencia' en el punto B. ¿euál(es) proposiciones es(son) .siempre verdadera(s)? 1)
de las siguientes
7) En la circunferencia entonces PD =
de centro
°
y radio 4 cm de la figura adjunta,
PA = 8 cm y PC
= 9 cm , P
A)
12 cm
B)
14~ cm
II) In)
!; DBC
es isósceles con base BD e)
(AB)2=AD.Ae
A) Sólo 1
O)
B)
E)
Sólo II
A
17,8 cm 18 cm 135 cm
D
C) Sólo III D)
Sólo 1 y In
E)
1, II Y III
4) De acuerdo con los datos de la figura adjunta, la medida de la cuerda ABes A)
4 cm
B)
.7 cm
e)
8 cm
D) 12 cm E)
326
16 cm
8) En la circunferencia AM = 8 cm,
de la figura. adjunta, las cuerdas
AB
y CD
se cortan en M. Sabiendo
que
MB = 6 cm y CM = 12 cm, entonces MD =
A) 4 cm B) 3 cm e)
2cm
O) 1,5 cm
E) 1 cm C
327 .
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I TestN° 11, PROPORCIONES EN EL CÍRCULO
9) En una circunferencia, los segmentos de, una de dos cuerdas que se cortan miden 8 y 9 cm,' respectivamente. Sabiendo que uno mide el doble que el otro, las medidas de los segmentos de la otra cuerda son A) 5 cm
y
10 cm
B) 7 cm
y
10 cm
C)
8 cm
y
16 cm
D) 6 cm
y
12 cm
E)
y
14 cm
7 cm
10) En la circunferencia AP=
x
+
de la figura adjunta, las cuerdas AB y CD se cortan en P. Sabiendo que
x,
CP.
'=
3 cm y PD =·4 cm ,el valor de
x
B)
3 cm
e)
:2 cm
D)
1,5 cm
~,
'1
/B
11) En la figura adjunta, PD = 40,
CD = 10
Y
PB = 60, entonces AB
20
B)
15
C)
20
D)
40
E)
45
B)
(PT)2 = PA
. PB . AB
(PT)'
';'AB
. BP
D)
(PA)2
=PT
. AB
E)
(PB)2
= PA
. PT
(
\
A
~P
de centro O y' desde N se ha trazado la
Si NM = 4 cm y NQ = 12 cm, entonces el radio de la
A) 8 cm
C
-
= PA
secante NP que pasa por el centro. circunferencia mide
-6 cm
A)
(PT)2
14) En la figura adjunta, NQ es tangente a la circunferencia
A\ ; E)
A)
de centro O.
el valor de PA?
es
D 4 cm
PB a la circunferencia
¿Cuál de las ecuaciones siguientes permite determinar correctamente
• C)
4, 'PB =
A)
13) Desde el punto P se han trazado la tangente PT y la secante
3
B)
10 cm
e)
16 cm
D)
18 cm
E)
32 cm
/'
I
-lP
N
15) La circunferencia de la figura adjunta tiene centro B, AC = !:l'cm, Be = 3 cm y !!.. BCE es rectángulo en e. Entonces el perímetro del triángulo EeD, en cm, es
F
A)
6 + 2.Js
.......-----...E
B) 6 + 2m e)
12) En la figura adjunta,
PB y PD son dos secantes a la circunferencia
PA = 1 cm, AB = S cm respectivamente:
y
PD = ·12 cm,
entonces
los
8 + S..Jj
Al
(
,,1
)D
de centro O. Sabiendo que
segmentos
pe
y CD
miden,
D) 10 + S..Jj
,p
E) 10+ 4..Jj
~
A) 0,5 cm y 11,5 cm B)
0,5 cm y, U cm
C)
6 cm
y
D)
1 cm
y ncm
E)
1,5 cm y 12 cm
16) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. entonces
12 cm
y De
=
EB = 4cm,
3 cm
Aí
O
lB
=---c
D) 5 cm E)
328
3 cm
E
A) 1 cm
e)
,.
= AE =
B) 2 cm .D
í
Si Be
ED =
6 cm
----------329
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
17) En la figura adjunta se tiene: AB > BC.
TERCER EJE TEMÁTICO ¡Test N" ¡l,PROPORCIONES
Si Ae
=
29 cm, BE = 14cm y DB = 12 cm, ¿cuál es la
21) En la figura
DE..l
medida de AB?
-
oe,
adjunta, O es el centro de la semicircunferencia AD = 8cm y DB = 2cm, entonces EC mide
de diámetro
AB..
EN EL CÍRCULO
Si CD ..L AB,
A) 21 cm B)
A) 1,6 cm
20 cm
e)
18 cm .
D)
12 cm
E}
8 cm
B)
e
1,8 cm
C) 3,2 cm
Di 3,6 cm \'
E)
18) En lafigura
adjunta, la tangente' AB mide 28 'cm y desde A se ha trazado la secante Ae
por el centro O. Si
g~ =
!:"b
lB
4,0 cm
que no pasa 22) En la figura adjunta, CM y eN son tangentes a la circunferencia
3. entonces AC mide
Me=
20 cm, entonces BC
de centro O. Si AO
15 cmy
=
A) 14 cm B)'2lcm
A
ci 2~ cm D) 42 cm E)
56 cm
I
,A) fa cm B)
15 cm
C)
20 cm
~
Al
1-
0C
D) 25 cm
C
E) 30 cm 19) En la figura adjunta, AB y eD son dos cuerdas cualesquiera de la circunferencia de centro O, no siendo ninguna de ellas un diámetro. De las igualdades siguientes, ¿cuál(es) es(son) correcta(s)? 1)
AE . EB = CE . ED
Ir)
AB . DC = CE . ED
III)
23) ¿A qué distancia 'del centro de una circunferencia se encuentra un punto ubicado en el interior de ella, sabiendo que su potencia es de 16 cm' y el radio de la circunferencia
CE·
A)
Sólo
B)
Sólo Ir
ED = (AB)'
A)
2 cm
B) 3 cm C)
4 cm.
D) 5 cm
e) Sólo III D) Sólo 1 y III E)
E) Falta información para determinarlo
D
Sólo II y III 24) La circunferencia
20) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia y DB = 5 cm,
de diámetro eE.
entonces el radio r de la circunferencia
Si DE = 3' cm, AD = 4 cm
AB = 15cm
C
B) 4,5 cm C) 5 cm -¡
-
E)
29 ~cm 6
= 9cm,
12 cm
B)
16 cm
.C)
20 cm
en A. .Si
entonces AD = -
'( <:
;D
D) 25 cm
10 cm 3
D)
de la figura adjunta tiene centro O y el triángulo ABD es rectángulo
y Be
mide ,A)
A) 4cm
:i
mide 5 cm?
B
E)
Falta información para determinarlo B
E.
330 331
PSU.
Cuaderno de Ejercicios, Matemática
25) En la circunferencia
TERCER EJETEMÁ TICO I Test N" 11. PROPORCIONES EN EL CÍRCULO
de centro
O de la figura
AB = Be = 15 cm y AC = 24 cm, A) B)
adjunta;
A. B Y
e
son puntos
Entonces el radio de la circunferencia
tales
que
mide
,l·
29) En la figura adjunta. O es el centro de la circunferencia,
AT es tangente a la circunferencia
en el
punto T y AO = Be ' Se puede determinar la I?ngitud del radio de la circunferencia si:
9cm
(1)
AT = 5 J3cm
12.5 cm (2) BT = 5cm
C) 16 cm
\
A'K
D) 25 cm
de
'
B)
E) 27 cm 26) En la figura adjunta. la potencia del punto
M respecto
de la cÍrcu¿ferencia' de centro O y radio r es
A)
2 cm
B)
4 cm
'e)
6 cm
M
Se 'requiere información
Ic
x
adicional
30) En la circunferencia de la figura adjunta. MN
=
9 cIp,
Se puede determinar.la medida de RS si:
M
(2) MNJ.
Cm
10
E)
Falta información
RS
A) (1) por sí sola' para determínarlo
27) En la circunferencia de centro O
y
B)
radio r de la figura 'adjunta. ATes
tangente en el punto T y AB
es una secante, Si AT = m. entonces una ecuación que permite calcular la longitud del segmento externo de la secante es A)
2rx2-
B)
2rx-m=O
(2) por sí sola
C) Ambas juntas; (1) y (2) D) Cada una por sí sola. (1) Ó (2) E)
Se requiere información
adicional
N
m = O
e) x' + 2rx
AC
- m ,= O
D)
x
2r x - .m'
= O
E)
x' + 2 r x - m'
= O
-
~I
(1) NP = 2, PM
D)
2
C
A
D) Cada una por sí sola. (1) ó (2) El
Si MA = 2 cm. entonces el radio de la circunferencia mide
.12 cm
(2) por sí sola
e) Ambas juntas. (1) y (2)
I;l
2
A) (1) por sí sola
28) Para determinar la potencia del punto P respecto de la:circunferencia sabe que:
ni
X
iB
de ceniro O y radio r = 5 cm se
(1) .La distancia de Pa la circunferencia es igual a la mitad del radio, (2) P está en el exterior de la circunferencia, A) (1) por sí sola. B)
(2) por sí sola
e)
Ambas juntas. (1) y (2)
D) Cada una por si sola. (1) ó (2) E)
332
Se requiere información
adicional
RESPUESTAS CORRECTAS
333
~ 1'1
I
¡
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
1I
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 12, GEOMETRÍA DEL ESPACIO
1; CAPÍTULO 12. GEOMETRÍA DEI; ESPACIO Test N° 12: Geometría del espacio 1) De los conceptos
presentados concepto básico o primitivo?
.A)
punto
B)
recta
C)
plano
a continuación,
5) La intersección entre 'dos planos cualesquiera, no necesariamente 1)
¿cuál es el único de ellos que no corresponde
a un
E)
poliedro
TI) 11'
Un punto' U na recta
IV)
Un plano
Tres puntos. no colineales
Dos rectas secarites
IV)
Dos rectas paralelas
'\.
(no: alineados)
Una recta y un punto exteriora
1lI)"
C) Sólo ID y IV D) Sólo 1, III Y IV
dicha recta E)
Sólo I, II Y III
6) ¿Cuánto; poliedros regulares existen cuyas caras sean triángulos A) l B) 2 C) 3
B)
Sólo TI, III Y IV
D) 4
C)
Sólo TI y IV
E)
D) Sólo I, III y. IV
3) Una escalera de tres patas, -dispuestas en forma de triángulo equilátero, una de' cuatro patas debido a que: Un tríángulo es siempre plano, en cambio un cuadrilátero
es más estable y segura que
A)
600 cm'
no siempre lo' es
B)
600 cm" y 1.728 crrr'
C)
800 cm? y 1.000 crrr'
D)
400 cm'
E)
100 cm" y 1..000 cm3
.II)
Tres puntos no alineados determinan un plano
'III)
Es falso que una' escalera de tres patas sea más segura que una de cuatro anterioi:es, es(son) verdadera(s):
A) Sólo I B)
5
7) La suma de todas las aristas respectivamente
Todas
De las afirmaciones
equiláteros?
'Ij
A)' Sólo I y III
1)
es(son) verdadera(s):
B) Sólo II, ID Y IV determinado por
De acuerdo a los postulados 'de la Geometría .del espacio acerca de la determinación de un plano, de las afirmaciones' anteriores, es(son) verdadera(s): .
E)
anteriores,
A) Sólo I y III
2) Un plano, en.el espacio, queda completamente 1)
Il) III)
De las afirmaciones
D) espacio
distintos'; en el espacio puede ser
El conjunto vacío
deun
cubo es 120 cm, . El área total del cubo y el volumen
son;
y 1.900 cm"
y 1.728 cm3
Sólo Il 8) Las tres aristas. que concurren a un mismo vértice de un paralelepípedo recto rectangular son entre sí como 12 : 4 :' 3. Si la diagonal interior mide 26 cm, ¿cuánto mide la superficie total del paralelepípcdo?
C) Sólo ID D) Sólo I ó II E)
Ninguna. de las anteriores
4) Se dan dos 'planos. perpendiculares que: A) No necesariamente'
a y ~.
Entonces, con respecto a ese hecho,. es correcto afirmar
C) Toda recta perpendicular
a la intersección
Todo plano perpendicular
a ~ y viceversa
II
334
192 cm'
D)
384 cm'
E)
768 cm"
a la intersección de a y ~ ; es perpendicular. a ambos
Para los aspectos teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relación a las pruebas anteriores (P.A.A. . P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.
I
B)
de a y ~ , debe estar contenida en uno de ellos
D) Toda recta paralela a a es paralela' a.~ y viceversa . E)
144 cm?
C) 278 cm"
se' cortan
B) Todas las rectas de a son perpendiculares
A)
y p.e.E.), se recomienda .
nuestro Manual de Preparación
335'
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 12. GEOMETRÍA DEL ESPACIO .
.PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
9) Una cuña en forma de prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero cuya área es de 16
fi
cm'. La altura del prisma es de 10
A)
80 cm'
B)
120 cm'
cm.
Entonces, la superficie lateral del prisma mide
14) Si a un cubo de arista «a» le quitamos (o extraemos) una pirámide que tiene por arista tres aristas del cubo y tres diagonales de las caras del cubo, entonces el volumen del sólido 'que queda es igual a:
A)
2-a3 6
B)
. 53 _a 6 .
C) 160 cm' D)
240 cm' .
E)
480 cm'
10) 'El número total de diagonales de un cubo 'como el de la figura' adjunta es de A)
6
11) El volumen de un paralelepípedo recto rectangular, centímetros cuadrados respectivamente,' es de
cuya base y caras laterales
tienen 15, 10 Y 6
0,1 lt drrr'
B)
0,42lt dm"
C)
lt cm'
D)
lO1tcm3
E)
624lt crrr'
300 cm"
C)
150 cm?
16) En la figura adjunta, A es un punto fuera del plano P. L es una recta del plano P, es decir, está
D)
90 cm'
totalmente contenida en él. AH 1.. P, AB 1.. L Y M es un punto de la recta L distinto de B. Entonces, con respecto a las longitudes AB, AH Y AM, es correcto afirmar que: . .,
E)
30 cm'
A'
A)
AH < Atv! < AB AH
A) 5 dm
B)
.E) 6,25 dm
C)
AB < AM:< AH
ci
10 dm
D)
AM< AH-;:AB
D)
is
E)
AM
dm
5 : 4 y los radios de sus bases' están en la. razón de 2: 3.
17) Cada una de las aristas de un cubo metálico se incrementa, por ~fec(os de la dilataciÓ~ lineal, en un 10%. ¿Cuál es el porcentaje de incremento en su volumen? .
5: 6
A)
10 %
B) 5: 9
B)
12 %
C)'4:
9
C)
2Q%
1: 2
D)
30 %
25: 24
E)
33,1 %
D) E)
~
50 dm
A)
~
A)
B)
. E)
!
'3a'
900 crrr'
13) Las alturas de dos conos están en la razónde Luego, Sl\S volúmenes están en la razón
336
3
A}
12) Si un depósito cúbico contiene 125 litros de agua, entonces su arista mide
i :
J6
15) La superficie lateral de un cono circular recto es de 65" cm". Su altura mide 12 cm. Su volumen es de
E), 16
I
6a 1 •
D) 12
I
D)
E)
C)10
¡¡
3
6a
4
B)
15
.C)
337
ii:'
PSU. Cuaderna de Ejercicios, Matemática
~ TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO
'~ "!'¡.
18) Se da un cubo de 3 drn de arista. Usando como arista la diagonal interior de dicho cubo se construye .otro cubo cuyo volumen es igual al del primero multiplicado por el factor
22) Se da el sector circular de la figura adjunta, con las dimensiones indicadas en él. Se desea construir un cono circular recto, a modo de cucurucho de papas fritas, uniendo- los lados rectos del sector. ¿Cuál de los dibujos siguientes representa mejor el cono en cuestión?
3
A)
B) ..fj C)
-2..fj
D)
3..fj
E)
ifj
19) Se tiene una e~ferade 20 cm de diámetro. Se corta dicha esfera por un plano que determina una - circunferencia de 8 cm de: radio. ¿A qué distancia se encuentran los centros de la circunferencia y de la esfera? A) -8 cm B) 7'cm C) 6 cm D) 5 cm E)
A)
4 cm
B}
--"",-- ..• 20) Se tiene un tetraedro regular de 2 m de arista. Encontrar el área de la sección que resulta al cortar el tetraedro por un plano que pasa por una arista cualquiera y el punto medio de la arista opuesta. 2 m2
A) B)
.J2
m2
J6
m2
C)
.
D)
2..fj m2
E)
3.J2 m2
C)
D) ... ------
--
21) ¿Qué valor debe tener el radio de una esfera para que el número que exprese su superficie sea igual al que exprese su volumen? A)
,
ti~~~~~~
•.•
--,-----
n------4c¡n--'
2 3
-
B)
4
C)
'3
I
E)
D) 2 E)
!I-, I
3
338 I
339
Ir~
PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemática
23) El gráfico que mejor representa la relación entre la arista x de un cubo, y su superficie total y, es:
TERCER EJE TEMÁTICO /Test N' 12. GEOMETRíA DEL ESPACIO
24) Para que el volumen de un cubo aumente al doble, la arista debe aumentar, aproximadamente,
en un
A) 24% B)
y
6/
D) 2.7% E)
Se requiere conocer la medida de la arista .
25) Un recipiente en' forma de cono circular recto cuyas dimensiones son 10 cm de radio basa! y 10 cm de . altura puede contener alrededor de 1 litro de agua si se llena casi hasta el borde. Si quisiéramos
A)
°1
25%
C) 26%
1
X reducir su capacidad de tal modo de que sólo pudiera
Y 6
contener
'81
de litro, mediante
una sección
hecha por un plano paralelo a la base del cono, entonces, ¿a qué distancia de la cúspide tendríamos que trazar el plano?' . A) a 1,25 cm B) a 2,5 cm e) a 3,75 cm
B)
D) a 5 cm
X
E) .a 7,5 cm
y
26) Se tiene una hoja rectangular de cartulina de 80 cm x 60 cm. Se hace girar en torno del lado de 80 cm, formándose un cierto sólido geométrico. En seguida se hace girar en torno al lado de 60 cm formándose otro sólido. La razón entreel volumen del primer sólido y el segundo es de A) 3: 4 B)
e)
C) :2: 3
X
o
D) 4: 3 E) 3: 2
y 6
D)
1: 2
. 27)
Un cilindro circular recto que tiene diámetro y altura de igual longitud está inscrito en un cono circular recto. El cono' tiene diámetro 10 y altura 12 y los ejes del cono y' del cilindro coinciden. En tales condiciones, el radio «rx del cilindro es igual a . .
Al
8 3
E)
30 -
e)
3
D)
-
E)
-
X
y
11 .~12
25 8
1 E)
7
6X
2
~~~m~J
340 341
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO / Test N' 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y Ee. VECTORlAL
28) .Se desea calcular o determinar el volumen de un recipiente esférico cuyo radio no se conoce .. Sin embargo se sabe que: (1) La esfera puede inscribirse
exactamente
(2) Al sumergir la esfera en un recipiente de 4:000 3
7t
CAPÍTULO 13. VECTORES: RECTAS y PLANOS Test N° 13: Vectores: ecuación vectorial de la recta y ecuación vectorial
DEL PLANO
del plano
en un cilindro de radio basal 10 cm. 1) Los puntos A(2, O), E(O, 2) y C(3, 3) forman un triángulo
lleno de agua, el agua desalojada por la esfera es
A) escaleno.
cm'
B)
isósceles,
A) (1) por sí sola C) rectángulo.
B) (2) por sí sola
. D) isósceles rectángulo.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
E) . equilátero.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información
adicional
29) Se necesita determinar el número de aristas de un cierto poliedro regular.
2) En el triángulo con vértices en los puntos A(J, 2), B(S, dada por el. vector
Para ello se tiene que:
B) (2, l)
(2) El número de vértices del poliedro es 12 A) (1) por sí sola
C) ('-1, -2)
B) (2) por sí sola
D) (-2, l)
C) Ambas juntas, (1) y (2)
E) (2, -l)
D) Cada una por sí sola, (1) 6' (2) ~e requiere información
3) I (x, 2) + (-x, 2) I =
adicional
30) Se desea saber si un cierto poliedro es regular.
Para ello se dispone de la siguiente información:
(1) Sus caras son polígonos regulares todas congruentes
A)
2
B)
4
entre sí
C)
x
A) (l) por sí sola
D)
2x
B) (2) por sí sola
E)
o
(2) Sus ángulos diedros y/o triedros son congruentes
entre sí
C) Ambas juntas, (1') y (2) 4) Si
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere información
y C(3, 6), la mediana paralela a AB está
A) (1, 2)
. (1) El número de caras del poliedro es 20
E)
4)
la 1=
módulo de
a y lb I = mÓdulo b,
de las operaciones
siguientes,
la(s) que cárecem) de
sentido es(son):
adicional
1).
I al
b
I
+ ti la
II)
¡
a I + ¡ ¡; ¡ + a+b
III) liilxlii¡+za-ii
Al Sólo 1 B) Sólo TI C) Sólo III D) Sólo 1 y II :i~
if
r
E)
RESPUESTAS CORREcTAS·
Sólo II y III
l' 11
~
Para los aspectos -teóricos de este contenido, el cual es nuevo, en relaCión a las pruebas anteriores P.S.U. editado por Ediciones Universidad Católica de Chile, Sexta Edición, Marzo de 2006.
,1
342
(P.A.A.
y p.e. E.), se recomienda
nuestro Manual
de Preparación
343 _.
__ ._---
---
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
5) Si ¡¡ = (1, O) Y ti =(2,-1), entonces
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N° 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTOíUAL DEL PLANO
11
;¡
1
a
+
¡; 1
9) La diferencia entre los vectores (2, 3) Y (-3, 2) tiene la misma dirección del vector
=
A). (2, 5)
../lO
A)
B) (5,2) B) 3
C) (-10, -2)
.J8
e)
D) (4,3)' E) (5, -1)
1»4 E) 2
10) La suma de los vectores (4, 7) Y (~l, -1)no tiene la misma dirección del vector A) (3, 6)
6) Si A = (2, 3) Y B = (3, -2), entonces BA =
B) (3, 8)'
A) (-1,5) B) (1, -5) , C) (5, 1) D) (1, 5) E) (-1, -5) 7) Si P Y Q son dos puntos del plano cartesiano entonces PQ + QP
A) 2PQ
el" \,
D) (9, 24) . E) (-3, -8)
¡;
11) Dados los vectores = (3, es(son) verdadera(s)?
Il)
e) o
1lI)
P - q
2),
q = (2, -3)
Y ;: = (4,
6) ,
¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
. 1) P - q está en la dirección de. q - r
B)2QP
. D)
(l,~)
P + q + ; no está en la dirección de
3q,
P + q tiene sentido contrario al del vector (-,10, 2).
A) Sólo 1 B) Sólo TI
E)
q - P C) Sólo III
8}El
inverso aditivo del vector (3, -4) sumado con el inverso aditivo del vector .(-3, 4) es
A) (3, 4) B) (-3, -:-4) e)
(-3,4)
D)
(O, O)
E) (3, 4)
D) Sólo 1 y n
El
Sólo Il y III
12) La ecuación (x, 2)+ (- x, 1)= (0,3) tiene A) una solución. B) dos soluciones, C) infinitas soluciones, D) ninguna solución, E)
un número de soluciones que depende del valor de x.
344 345
PSU: Cuaderno de Ejercicios. Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO I Test N" 13, VECTORES, EC. VECTORIAL DE LA RECTA Y EC. VECTORJAL DEL PLANO
1
13) Si i ='(1, O) y = (O, l) son los vectores dirección de los ejes X e Y del plano cartesiano, entonces es verdadero que A) (x, y) = y i-x]
. .'. x-2 17) La recta cuyas ecuaciones continuas son _, _ , 1
(x,y)=yj-xi
=
-x
2
z-4 --
-3
. ión vectorial tiene por ecuacton vecton a
(x, y, z)
= (2, 6, 4) -
k(1, 2, -3)
e) (x, y,z) = (2, -6, 4) + k(-l, -2, -3)
i:- y 1
C)
(x, y)
D)'
(x, y) = xi + y
D) (x, y, z) E)
3
= (-2, 6, -4)
- k(3,2, 1)
(x, y, z) = (4, 6, 2) + k(-:-3,2, 1)'
1'8) La ecuación vectorial de la recta 'que pasa por los puntos '(2, 3) Y (3, -5), no corresponde E) (x, y) = x' ,
14) La eduación
i+ y'J
(
(x, 2) + (- x, 1) = (O, x) tiene
.15)
solución x
B) C)
= o.
D) (x, y) ;, (3, -5) + a(-2, 16)
e), infinitas
soluciones.
D)
ninguna
solución.
E)
un número de soluciones que depende del valor de x.
Un vector .direccíón
E)
(x.iy)
= (2, 3). + a(J,-7)
19) De los siguientes vectores, el que no es vector dirección de la recta que pasa por (3, -1) Y (4, -3) es A) (-1,2)
de la recta que pasa por los puntos (1, 1) Y (1, 5) es
B) (2,-4)
A) (O, 1)
e)
(3, -6)
E)
bj
(2, -5)
(1, O)
E) (1, -2)
e) (2, O) D) (3, O)
20) Los puntos P(3, 6), Q(5, 10) Y R(-3, 4) pertenecen al plano IR'. La recta que pasa por el punto medio de PQ y tiene la dirección de RQ, tiene por ecuación
E) (2, 6) 16)
La recta que pasa por (2, 6) Y tiene por dirección al vector(l,
2), no pasa por el punto
A)
x-4 6
_ y-8 -~ 8
B)
x-4 8
=
e)
x+4 -6
_ y~8 - -8-
D)
x-4._ -6
y+8 ---=s
E)
x-:-6 8
A) (4, 10) E) (1, 4) C) (2, 6) D) (O, 1)
a
= (2, 3) + a(l, -8) (x, y) = (3, -5) + a (1, -8) (x, y) = (2,3) --'a(-l, 8)
A) (x, y)
A) una solución. E)
.
A) (x, y, z) = (-2, -6, -4) ;: k(l, 2, -3) E)
E)
y-6
y-8 ~ 6
E) (5, 12)
y-8
-6
346 347
rsu. Cuaderno de Ejercicios,
Matemática
TERCER EJE TEMÁ neo I Test N" 13, VECTORES, EC. VECTORIAL
Una ecuación· v~ctorial de la recta que pasa por el punto, (0, 1)-Y tiene vector dirección (3, 4) es A) (x, y'j
= (3, 4) + a(O,
B) IX, y) =a(O,
1) + (1, -a) (3,4)
l) cuyo volumen es 48. II) cuya área total es 80.
D) (x, y) = a (O, 1) + (-3, -4)
III) cuyas caras sonsparalelógramos.
E) (x, y) = (O, 1).+ a(3, 4)
De las afirmaciones
y+l
1)
z-3
B)
'--?
I
SólolI
4'
3
e)' Sólo 1 y II
P (3: 4, S)
I1)
Q (4, 2, 7)
Ill)
R (1, -4, -1)
D) Sólo 1 y ID E)l,
II yUI
SólolI
e) Sólo III
Si en el espacio tridimensional, a un círculo con centro en el punto (O, 2, 2) Y radio 3 se aplica una traslación dada por el vector (- 4, O•. O), entonces el volumen del cuerpo que se genera es
D) Sólo 1 y II
A)
12n
E) .Sólo II y ID .
B)
24n
26)
¡
.'
23) Dado que la recta de ecuación
x-S
2k + 1
y+6
k
.
.
pasa por el punto (-6, 1), entonces el valor de k es
C)
36n
D)
48n
E)
144n'
I
.
25
I
B)
25
e)
~
D)
!! 5
III) Pirámide.
E)'
!!
A) S6lo 1
.
7
A)'--
27) ·¿Cuál(es) de las siguientes cuerpos se puede(n) generar mediante una traslación en el espacio de una figura geométrica plana?
7
I
'.
A) Sólo 1
A) Sólo 1 'B)
anteriores ¿cuál(es) es(son) correctafs)? .
¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenecen a la recta con ecuaciones continuas
2
DEL PLANO
25) Si un cuadrado es tal que: tiene uno de sus vértices en el origen de un sistema tridimensional; dos de sus lados están sobre los ejes X.e Y, y su lado tiene 4 unidades de longitud, entonces si se le traslada en el vector (O, O, 3), se genera un cuerpo:
1)
e) (x, y) = -a( O, 1) + (3, 4)
x-3
DE LA RECTA Y EC. VECTORIAL
1) Cono.
5
Il) Cilindro.
9
24) Si ~=(2,
B)
1), ~={-l, 3) y; ~(5,-1)
respecti vamente
entonces los valores de a y
p
tales que: ex ij
+
P;¡
=
w
son,
S610.II
C) Sólo III D). S610 1 yIl
A)
-2
y
B)
3
Y
e)
-
5 2
y
D)
.2
Y
-1
E)
5 2
y
-1
E)
Sólo Il y III
° °
348
349
--_._ _--...
il
PSU. Cuaderno
de
!~
Ejercicios, Matemática
TERCER EJE TEMÁTICO.! BIBLIOGRAFíA
BIBLIOGRAFÍA
28) Para determinar las coordenadas del vector a se sabe que:
= 45" . 'J
A) B)
1)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Autor: Título: Editorial:
C). Ambas juntas, (1) y (2). D)
Bruño, G.M. Geometría Superior Bruño. Madrid, 1964.
3)
Autor: Título: Editorial:
Cano,Omer Geometría: 20 y 30 año de Humanidades La Salle, Santiago de Chile, 1966.
4)
Autor: Título: Editorial:
Cano,Omer Geometría: 40, 50 Y 60 año de. Humanidades La Salle, Santiago d~ Chile, 1966.
5)
Autor: Título: Editorial:
Coxeter, Harold Scott Mcüonald' Fundamentos de Geometría Limusa Wiley, México,1971.
6)
Autor: Título: Editorial:
Dokiani, Mary P. Geometría Moderna: Estructura y Método Publicaciones Cultural. México, 1971.
7)
Autor: Título: Editorial:
Eves, Howard
Autor: Título: Editorial:
F.G-M.
9)
Autor: Título: Editorial:
F.G-M. Exercices de Trigonométrie Librairie Armand.Marné. París: 1920. C*)
10)
Autor: Título: Editorial:
Keedy - Nelson Geometría, una moderna introducción
11)
Autor: Título: Editorial:
Lehmann, Charles Geometría analítica Uteha. México, 1972.
12)
AutorTítulo: Editorial:
de la recta que pasa por el punto A(I, 3) se sabe que:
. di reccioü . , que . Id' ( 1) T·lene la: misma a recta
, y . = -2 x - -1 e ecuacrcn 3 3
(2) Pasa por los puntos P(4; 2) Y Q(2, -1). (1) por sí sola
B)
(2) por' sí sola'
C)
Ambas jUÍ1t~, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E). Se requiere información adiciorial 30) Se quiere determinar la ecuación de un plano. (1) Se conocen la ecuaciones
de
(2) Se conocen las coordenadas A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
dos rectas paralelas contenidas en él. fe dos puntos que pertenecen
8)
a. él.
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) E)' Se requiere información adicional
13) RESPUESTAS
CORRECTAS
t
350
Compañía Cultural Editora y Distribuidora Códice, S. A. Madrid. Edición 1988.
Autor: Título: Editorial:
E) Se requiere información adicional . 29) Para determinar una ecuaciónvectorial
Baldor, J. Aurelio Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría
2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
A)
ESPECÍFICA
Tercer Eje Temático: GEOMETRÍA y TRIGONOMETRÍA
(L) Su magnitud es 5 cm. (2) Su dirección ese
ESPECÍFICA
Autor: Título: Editorial:
Estudio de las Geometrías. Uteha. México, 1972.
Exercices de Géométrie LibrairieArmandMarné.
de Textos Americanos,
S. A. Ediciones
y distribuciones
Volumen I.
París, 1920. C*)
Compañía Editorial Continental
Lidvinenko, V. Y Mordkóvich
Sociedad
Anónima CCECSA).
México,
1968.
A.
.Prácticas para resolver problemas matemáticos. Editorial Mir, Moscú, 1989.·
Geometría ..
Moise-Downs Geometría Moderna Addison-Wesley.
Estados Unidos, 1966.
Fallecido el 31 de marzo de 2003
351
, I
PSU-.Cuaderno de Ejercicios, Matemática -Murdoch, D. C, Geometría Analítica, con vectores y matrices Lirnusa Wiley. México, 1968.
14)
Autor: Título: Editorial:
15)
Autor: Título: Editorial:
Nichols y Garland Trigonometría Moderna Compañía Editorial Continental
Sociedad Anónima (CECSA).
México,
1970.
16)
Autor: Título: Editorial:
Oakley, Cletus O. Geometría Analítica ..Compañía Editorial Continental
Sociedad .Anónima (CECSA).
México,
1969.
Autor: TítiIlo: Editorial:
Pendlebury, Charles Elementary Trigonometry George Bell & Sons. Londres,
18)
Autor: Título: Editorial:
Poenísch, Ricardo. . . Geometría: 2°.y 3° año de Humanidades Editorial Universitaria,. Santiago, 1956,
19)
Autor: ,Título: Editorial:
Poenísch, Ricardo Geometría: 4°, 5°y 6° año de Humanidades. Editorial Universitaria, Santiago, 1956. :
20)
Autor: Título: Editorial'
Ritch, Bamett Geometría Plana con Coordenadas McGraw"Hill. Colombia, 197 L Colección Schaum.:
21)
Autor: Título: Editorial:
Taylor,.Howard E. y Wade, Thornas L. Geometría Analítica Bidimensional, Subconjuntos Limusa Wiley, México, 1974.
22)
Autor: Título: Editorial:
Une Réunion de Professeurs Cours de Géoinétrie élémentaire (N' 266 E) Librairie Générale de l' enseignement libre. París, 1947. (*)
23)
Autor: Título: Editorial:
Une.Réunion de Professeurs Exercices de Géométrie élémentaire (N' 266 M) Librairie Générale de l'enseignement libre'. París, 1947. (*)
24)
Autor: Título: EditoriaL
Une Réunion de Professeurs Cours de Trigonométrie (N' 269 E) Librairie Générale de l'enseignement
25)
Autor: Título: Editorial:
Une Réunion de Professeurs Exercices de Trigono'métrie (No 269 M) Librairie Générale de l'enseignement libre. París, 1957. (*)
26)
Autor:
Título: Editorial:
Wexler, Ch';les Geometría Analítica, un enfoque vectorial Montaner y Simon. España, 1972. (*)
Autor: Título: Editorial:
Wylie,C.R. Fundamentos de Geometría Troquel.' Buenos Aires, 1968.
17)
27)
l' ;
I!
352
1895.(*)
del plano
libre .. París, 1~57. (*)
PSU.
Cuaderno de Ejercicios, Matemática
éUARTO EJE TEMÁ rrco I Ejercicios Resueltos
EJERCICIOS RESUELTOS CUARTO EJE TEMÁTICO: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
2)
Las notas de Cónstanza en Matemática, en un cierto trimestre, son 6, 6, 6 Y x. Se sabe también que la desviación típica o estándar de sus notas es O. Con respecto a esos datos, se hacen las siguientes aseveraciones: 1) el promedio de sus notas en ese trimestre es igual a 6
1)
Dado el conjunto P = {l, 2, 3, 4,5, 6;J, 8, 9 }. Si se elige un número al azar, ¿cuál es la probabilidad de obtener un cubo perfecto?
A)
1 9
B)
-
De las afirmaciones anteriores,es(son)
correctats):
2
A) B)
3 -
C)
9 ,D)
la mediana tiene el mismo valor que la moda
III) x=6
9 C)
Il)
D)
4
E)
-
Sólo 1 Sólo 1 y II S610 II y III Sólo 1 y III 1,.Il Y III
9
E)
Solución:
-S 9
Puesto que la desviación estándar e de un conjunto'
Xi
de "n" datos está dada por:'
Solución: Los cubos .perfectos
son aquellos números naturales que corresponden
números naturales. En este caso son: 1 = 13 Y 8 = 23. Luego hay sólo dos casos favorables sobre un i total de nueve casos posibles. De tal modo que la probabilidad Observaciones
buscada es:
P
(J = II.!..i::.-.!...I
_
n Calculemos,
paso a paso,lo
que necesitamos.
2
= -
9
Primero se calcula la media
X
de los datos:
y comentarios:
Este un sencillo y directo ejercicio de probabilidades en su acepción clásica. Respuesta
i (Xi _ ;¿)2
a la tercera potencia de otros
correcta:
alternativa
6+6+6+x
que sólo requiere la definición misma del concepto
.X
= ----:-----
4
B X
=
18 +
X
4
Ahora se calcula la diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la inedia, es decir, se obtiene: 6 _
18
+ 4
x
24
18 4
X
Xi
-
x ,Y
6 - x 4
(este resultado es válido para los otros dos datos siguientes,
pues .son iguales)
-
(
Ahora calculamos la diferencia entre el último dato x y la media x y se obtiene:--
I 1:
354
355
x -
CUARTO EJE TEMÁTIc:O I Test N° l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
deEjercícios, Matemática
PSU. Cuaderno
18 + X
4
X
-
4
Introduciendo
18 -
3
X
X
-'
CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Test N° 1: Estadística descriptiva I
18
4
4
estos valores en la fórmula, obtenemos:
'1) La edades
de los integrantes
io -
'1~J ex +
a
La diferencia A)
~,18J
de un grupo scout son:
15 - 8 - 12 - 14 - 16 -13
_ 12 - 11 - 9
entre la media aritmética y la moda del conjunto de edades es
°
B) 0,2
4
C) 0,3
los cálculos y, simplificando
Efectuando , expresión:
TIEMPO MÁXIMO PARA CADA TEST: 1 HORA
(hágalos '
Ud.), se obtiene para la desviación
estándar
D) 0,4
la
E)
0,5
2) ¿Cuál(es)
de las siguientes
afirmaciones,
es(son) siempre verdaderars):
1) La media aritmética
de un conjunto de datos es el valor que se encuentra al centro ordenan los datos de menor a mayor o de mayor a menor. '
,a=~I-Yl
II) La moda es .el dato con mayor frecuencia
Pero, como por hipótesis, la desviación
estándar vale cero
(a'
=
O),
entonces:
cuando se
absol uta. "
rtl)
La mediana ,es lo mismo que el segundo cuartil.
A)
Sólo
r
B) Sólo 1 y II
~ I
X
:
61
=
O, de donde x
=
'C)
6
Sólo 1 y III
D) Sólo n y III E) Este último valor' nos dice que las cuatto notas de Constanza son todas iguales, Por lo tanto, todos los indicadores de tendencia central: media aritmética, mediana y moda son también iguales entre sí e 'igualesa 6. ' ,
3)
De ahí que los incisos 1, II Y III son correctos. .observaciones'y'
1, II Y III
El gráfico de la' figura muestra la información recogida' por' una empresa de estudios de mercado a través de una encuesta telefónica realizada 30 familias, respecto del números de automóviles qne han comprado en los últimos 10 años. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? . ' frecuencia 1) La mediana es 3. 10
a
II) La moda es 3 .
comentaríos;
III) La media aritmética Es un ejercicio de mediana dificultad. Ahora bien, si se tienen los conceptos efectuar los cálculos anteriores para responderlo correctamente. Respuesta
correcta:
alternativa
claros, no es necesario
Al
Sólo i
B)
Sólo II
es 3,4.
C) Sólo III
E
D)Sólo
n y III Número
E)
I,n
y III
deautos
4) La media aritmética de seis números es 6. Si se resta-S de cuatro de los números, 'la nueva media aritmética es A) 1t B) 2 C) 3 D) 4 E) 4.L
2
357
356 ,ll
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática CUARTO EJE TEMÁTICO
5) Una violinista practica 1 hora diaria, de lunes a viernes, ¿Cuántas horas debe practicar el sábado, para que el promedio de horas de práctica para los 6 días sea 2 horas?
10) ,¿Cuál deIas A)
A) 2 horas
,B)
B) 4 horas C) 5 horas
E)
7 horas
Si la media aritmética
proposiciones
La mediana de un conjunto de datos no puede tener el mismo valor que el mayor de los datos del conjunto,
D) En cualquier es cero,
de x + 2, x + 4 y' x + 6'es O, entonces x =
A) -4
E)
B) , -3
es verdadera?
estándar igual a cero significa que la media aritmética de los datos es cero,
C) Si todos los datos de un conjunto tienen el mismo valor.
D) 6 horas
6)
siguientes
Una desviación
I Test N" 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
distribución
son iguales,
entonces
el promedio de las diferencias
'Si los datos de un conjunto son e, e - a,
y e + a,
el rango y la desviación de los datos respecto
estándar
de la mediana
entonces su desviación estándar
es
.J;;2
11) El gráfico siguiente muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de un curso, De acuerdo con esta información, ¿cuántos alumnos tiene este curso?
C) -2 D) -1 E)
O
7),En un curso de contabilidad hay 12 hombres y 18 mujeres, Si en la primera prueba 'el promedio del curso fue 90 y elpromedio de los hombres"fue 87, ,¿cuál fue el promedio de las mujeres en esta prueba? " " A) 88,5 B) 91 C) 92
1,
D) 93 E)
12) De acuerdo con la siguiente tabla de frecuencia de temperaturas temperatura media de esos 10 días?'
las contribuciones de 15 personas a una obra de caridad, ¿Cuál y la media aritmética de las contribuciones?
A) 26°
B) , Contribución
Número
de personas 4
D)
29°
$4,000
$15',000
~
E)
30°
C) $3,000
$20.000
2
D) $2,000
$25:000
4
$30.000
2
9) Si la media aritmética' de los valores de la variable siguiente es ~, entonces ,el valor de 'k es A)
O
B) 1 C) 2
en la tabla de distribución
de frecuencias
32°
30°
25'
23°
f,
2'
2
4
2
C) 28°
$10,000
$1.000
x, 2(0
A) $5,000
E)
¿cuál es la
94,5
8~ En la tabla siguiente se muestran es la diferencia entre la mediana
B)
máximas de 10 días,
13) Las calificaciones
obtenidas por 10 alumnos en un control
son:
4-5-7-5-3-5-4-5-5-2 ¿Cuál de las. siguientes
alternativas se' deduce como correcta
A) La media aritmética
es igual a 4,2
a partir de dicha información?
B) Las modas son 4 y 5 C) La mediana es iguala
3'
D) Mo=Me=',j' E) Ninguna de las anteriores,
D) ~)
4
358 359
PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N° 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
14) Que se conozca el valor de la mediana
de una distribución
A)
El promedio
B)
El valor que más se repite de la muestra
significa que se conoce:
18) En el problema anterior, la moda es:
de la muestra
C) "El valor, que divide a la muestra justo en 50% superior D)
La medida más alta de una variable
E)
Ninguna
e inferior
de las anteriores
2
B)
10
C)
5
D)
O
E)
15) De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es 1,67 m, 150 son mujeres, Si la estatura promedio de todas las mujeres es 1,60 m, ¿cuál es la estatura promedio "de los varones del colegio? A)
A)
No hay moda
19) Considera
la siguiente tabla'
1,71 m
B)1,70
m
C)
1,69 m
D)
1,68 m
E}
1,67 m
2
3
4
fi
5
4
8
5
6
7
9
12
10
1) Moda = 6 "
II) Mediana = 9,5 III) Media aritmética =9 ¿Cuál(es)
corresponde(n)
a la información
que entrega la tabla?
A). Sólo 1
A) 5,7
E)
Sólo 1 y III
5,6
e)
Sólo 11 y III
D) Ninguna
C)5,5 D)
5,4
E)
5,3
E)
17) Dada la siguiente
Todas
20) La t~bla adjunta muestra el número de veces que salió cada puntuación dado:
tabla: Variabletx.)
Frecuencia
Frecuencia
absolutatn)
relati varh)
Frecuencia absoluta acumuladarN)
x¡ x, X3 X
De acuerdo
360
1 2
y los estadígrafos:
" 16) 'El promedio de notas" de una asignatura de un curso A, que tiene 20 alumnos, "es 6 y el (le! curso B, que tiene 20 alumnos, es 5; entonces el promedio de la asignatura de los alumnos de ambos cursos es
B)
x¡
con esta información,
•
= = = =
2
h¡=
n¡ =
N¡=12
10'
n2 =
h, = 0,5
Nz =
5
n3 =
h3 =
N3 =47
O
n.
ee '
3'
la media de la distribución
h 4 '" es
N4 = De acuerdo con esta información, que 3 es
A)
4,25
A)
323
B)
5
B)
336
C)
5,25
C) 991
D)
6,48
D)
633
E)
6,6
E)
668
la cantidad
x¡
n¡
I
332
2
336
3
323
4
340
5
331
6
,338
en el lanzamiento
de veces que salió" una puntuación
d~ un
menor o igual
361
PSU. Cuaderno
de Ejercicios.
21) En la siguiente
Matemática
CUARTO EJE TEMÁTICO I Test W l. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
tabla faltan algunos datos:
24) Para un estudio, algunos estudiantes registraron obtenidos se muestran en la tabla siguiente: 'y;
n,
f;
N;
3
3
0,06
3
v
4
4
Y
7
0,14
x
0,14
14
0,28
5
las temperaturas
Temperaturas Feeha
de octubre Temperatura 45
Oct. 2
52
o«.
3
48
Oct. 4
50
- 0,08 - 34 - 0,06
.Oct. 5
61
B) 4 - 0,06 - 32 - 0,28
Oct. 6
43
6
20
0,4
z
0,68
7
16
0,32
50
1
-
Los valores de x, y,'z y v son, respectivamente:
C) 6 - 0,2
22) El siguiente
(OF)
,.- 42 - 0,05
D) 3 - 0,05 - 24 - 0,03 . E) Ninguna
Los datos
H;
Oct. 1
A)7
de 6 días de octubre.
¿ Cuáf de los siguientes
gráficos corresponde. a los datos de la tabla?
de las, anteriores gráfico muestra el número de árboles plantados
en un parque el año 2004 ..,
A) Temperaturas
D)
de octubre
lililí
Tempertauras
de:octtlbre
:~t-- -"~. -_.-:--.~--.¡.•
=.'¡:----".
-.
-'-.
-.-'
-.
20-:-"
10+,-
.
¡ ;:;:,
__.
_.
0'" "";-
;;:,
.
B) ¿Cuál de las siguientes A) Se plantaron
afirmaciones
relativas
ce,s
. "",-:
Temperaturas
'temperaturas de octubre
np~·===¡
a los 'datos del gráfico no es verdadera?
~~:I
E)
son 3 más que los robles plantados.
del número de árboles plantados
I E)
de octubre
B) La media del número de árboles plantado es 7,4'.
D) La mediana
i
Fecltl
un total de 37 árboles.
C) Los peumos que se plantaron
j
-
L'·~ .
o .
es 11.
Pct f-
--~
Od.2·
Oc:t30ct.4
-"
0cCS:,
oct e
1
F••••
El árbol moda es el pino. C)
. 23) En una ciudad del Sur, en 5 de 6 días de lluvia se registraron las siguientes cantidades de agua caída, en milímetros: 0:9 ; 1,6 ; 0,6; 2,0 ; 1,4. Si la media aritmética del agua eaída en los 6 días es de l,2.mm, entonces el.agua caída en el día que no se registró fue
i I
A) 0,1 B) 0,7 1,2
~X oe.r
D)
1,25
E)
1,3
X
_X X X X
X
C)
octubre
Temperaturas.ée
362
X 0"
a
OOU
X
X X
X X
X
Oct.
X
4
Col.'
X' X X X X X
oe,e
363
i! )
,
-1.
PSU, Cuaderno de Ejercicios, Matemática
25) Para calcular la nota final de una asignatura, las tres 'pruebas del semestre se ponderan con un 30%, 30% Y 40%, respectivamente. Isabel tiene un 5 y un 4 en las dos primeras. Si su nota final fue 5,1 entonces en la tercera prueba obtuvo un A) 5,0
1¡'
CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N" 1, ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
29) De acuerdo al gráfico adjunto, se puede determinar al sector agro pecuario si se sabe que: (1) El ángulo del sector circular correspondiente (2) Al sector agropecuario
corresponde
al sectoragropecuario
correspondientes mide 45°.
un 12,5% del total.
A) (O p'or sí sola
5,2
D) 6,0
B) (2) por sí sola
E)
C) Ambas juntas, (1) y (2)'
Industrial
6,3
26) El gráfico muestra el tiempo, en minutos, que toma a un grupo de alumnos realizar el trayecto del colegio a sus casas. ¿Cuántos alumnos deben viajar por más de 10 minutos?
A)
2
B)
5
,C)
7
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) . E) Se requiere información
adicional
19~~ e !_
D)
de trabajadores
.---------------------------~
B) 5,1 e)
el número
.-8.4. +
Agropecuario
. ~'3 ,~ 2z 1
8
0.1-,.-
15
E)
0'·5
6'\0:,:.
ti,~15
1,6-0:.20:
30) Se quiere determinar la moda de un conjunto de datos correspondientes los trabajadores de una empresa.
27) En la siguiente tabla se muestra el resultado del estudio: "Número de tíos (x) de los alumnos de un curso". De acuerdo a la información .de la tabla, ¿cnál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Il) IlI) A) B).
e) D) E)
La moda deí número de tíos es 'La mediana del número
2:
de tíos es 3. 2,8
Sólo 1 Sólo Il . Sólo 1 Y II Sólo 1Y III 1, II Y III
de un curso en una prueba de matemática
(I ) La media de las niñas delcurso,
absoluta corresponde
de
a un sueldo de $ 250.000.
(2) La mediana de los datos es $ 250.000.
Á) (1) por sí sola
La media del número de tíos es aproximadamente
28)' Para calcular la media aritmética
(l) La mayor frecuencia
a las remuneraciones
x
f
O
2
1
4
2
8
3
6
4
5
5
5
B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) ·E) Se requiere información
adicional'
se sabe que:
que son 15, fue 6,1.
(2) El total de alumnos del curso es 25 y la media de los niños fue 5,8. A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
e)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E)
Se requiere
RESPUE:>TAS CORRECTAS
i.1
364
l
información
adiciona! 365
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
CUARTO EJE TEMÁTICO I Test W 2, PROBABILIDAD
CAPÍTULO 2. PROBABILIDAD Test N° 2: Probabilidad 1
4) Se lanza un dado no cargado (normal).' 4 es
La probabilidad
de obtener un número mayor o igual que
1
1) De 'los siguientes
experimentos,
¿cuál es el único que no es aleatorio?
A)
Al Observar un semáforo, en un momento dado, y ver si está en rojo E) B)
En una carrera
C) La cantidad
D) El movimiento
que se van a bajar en una determinada
1 2
de caballos, que, gane el caballo "Emperador"
de pasajeros
'3
estación del "Metro"
e)
2 3
de las moléculas, de un gas
D) ~ 'E) 'Pulsar
en 'buen estado y que se encienda la luz
un interruptor
,
2) En el experimento siguientes
sucesos
del lanzamiento
de un dado normal,
es decir, no cargado,
¿cuáles
.5
de los
E)
son equiprobablesv
1) que salga un número
,Il)
4
,
,
is
par
que salga un número impar
A)
E)
J
15
. III) que salga un número primo A) Sólo, I,y
6
S) Se elige al azar una ficha, de un grupo de ellas, numeradas del 1 al contenida en' una bolsa negra. ¿Cuál 'es la probabilidad de que 'la ficha contenga un número que sea múltiplo de 2?'
II
E)
2 15
S6lo II yIII
7
C)
C)Sólo
15
1 Y III
D) I, II Y III
D)
~
15 E) Ninguno
de ellos
3) Se da el conjunto' D
=
(I, 2,.3, 4, S, 6, 7,8,
9],
Determinar
la probabilidad
E)
de que' al elegir un
6) Se lanza un dado
dígito al azar, él sea múltiple de 3.
A)
A)
1 -
B)
, 2
1
E)
'3
e)
'4'
D)
'5
1 2 normal.
La probabilidad
de que el número obtenido sea menor que 6 es
I 5
6 2
e)
1
'3 1
,
D)' -
2
1
1
E)
'6
1
E)
¡ I
'6
Dada la importancia de las Unidades de Probabilidad y Estadística en esta nueva pruebe de selección universitaria. aunque ellas no son nuevas, conceptuales y teóricos de estos contenidos, se recomienda nuestro Manual de Preparación P.S.U. editado por Ediciones UniversidadCatólica Edición. Marzo de 2006,
para los aspectos de Chile. Sexta
¡ 366
367
CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N" 2, PROBABILIDAD
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
7) Se lanzan dos monedas
no cargadas.
¿Cuál es la probabilidad
de obtener
los mismos valores?
10) Se lanzan tres monedas no cargadas.
1
A)
"4
A)
1
B)
"3
B) 4
1
C)
"2
C) 8
2
D)
"3
D)
E)
"4
'A)
B)
r
3 1
-
2 3
E)
,
¿Cuál es la probabilidad
de obtener
suma igual a 3?
"4
11) Se lanzan tres monedas no cargadas.
1 36
A)~ 8
18
1
B) -
1
3 C) -
8 1
5 36
D) 2
E)
-
1
E)
"4
.12)
¿Cuál es la probabilidad par?
"4
B)
25 36
e)
"3
D)
"2
E)
"3
'8 1
'c)
"2 '8
se obtenga, al menos,
un número
2
3
Ú)
de que al lanzar dos dados normales
3
A)
5
B)
3
-
4
6
3
A)
de obtener valores alternados?
1
r»
9) Si se lanzan tres monedas normales al aire, ¿cuál es la pro,babilidad de obtener 2 caras y l sello?
¿Cuál es la probabilidad
4
C)'9
,
de' obtener 3 sellos?
.1
3
8) Se lanzan dos dados no cargados.
8
¿Cuál es la probabilidad
1
1
E)
"3
1
·369
308
-----_.
PSU. Cuaderno
de Ejercicios. Matemática
CUARTO EJE TEMÁTICO I TeSl N" 2, PROBABILIDAD
13) Se elige al azar un número entero de dos dígitos. elegido, sus dígitos sumen l O?
¿Cuál es la probabilidad '
de que en el número
16) En una urna hay 14 fichas, 'en total, de colores blanco, rojo y negro, probabilidad
1 A) 100 9 100
E)
1 10
D)
C)
D)
"9
¿Cuál es la probabilidad
A)
5
B)
'4
C)
3'
O)
'2
E)
3'
de sacar una bola
1
2
5
E)
3'
1
1
2
3
18) Una ,bolsa contiene 4 bolas blancas, 5 bolas rojas y 11 bolas negras', Si se extrae una bola al azar, -¿cuál es la' probabilidad de que sea blanca o roja? '
l-
2
A)
15) Sean A y B dos sucesos asociados a un mismo experimento 'aleatorio E, Si las probabilidades ambos sucesos A y B son pfA) = a y p(B) = b, entonces se afirma que:
de
IlI)
1
1
O:::;b:::;I'
e)
20
D)
2Q,
E)
20
O:::; a + b :::; l
De las desigualdades
5
B)'4
1) O:::; a :::; 1 Il)
¿Cuál es la
1
1
A)5
D)
entonces ¿cuántas fichas son negras?
1
14) En una urna hay tres bolas negras y dos blancas, blanca? .
'2
7
17) Se extrae una pelota al azar de una caja que contiene 3 rojas, 2 blancas y 4 azules, probabilidad de que la pelota que se saque no sea roja?
11
C)
es ~
E) 7
90
5
o negra
C) 4
1
B)
,
A) 2
B)
E)
de sacar una ficha blanca'
Si hay 5 fichas blancas y la
9 anteriores,
es (son) correcta(s}:
11 A)
Sólo 1
B)
Sólo II
C)
S610 III
D)
Sólo 1 y II
E)
1, II Y III
370
371
------~------------_._-_
...
_ ..,-,._~
PS!J.
Cuaderno de Ejercicios,
CUARTO EJE TEMÁTICO I Test N' 2, PROBABILIDAD
Matemática
19) Se tienen 2 cajas, una con 4 bolas blancas y 2 negras y la otra con 3 blancas y 5 negras. saca una bola de cada caja, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
Si se
1
A)
22) Se tiene un dado normal, es decir, no cargado, una de cuyas caras se encuentra en blanco y el resto están todas uumeradas del 1 a15. En este caso, ¿cuál es la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un número par?
"6
1
A)
'3
B)
'5
1
B)
'5
2
1
C)
4"
1
C)
"2
D)
'5
E)
'3
1
D)
4"
3
1
E)
"2
2
20) Al lanzar dos dados normales, ¿cuál es la probabilidad ellos si la suma de los números es 7?
de que aparezca
un
2.
ó un 6 en uno de 23)' De un grupo de 20 'personas que ,gustan de Ias empanadas, sólo a. 5 de ellas le gustan COQ ají: Si se eligen dos personas al azar; ¿cuál es la probabilidad de que a ambas les gusten las empanadas con ají? .
1
A)
"6
1
B)
C)
D)
16
1
A)
1
1 B) 4
2
C)
4 19
5
D)
19
E)
20
'3
"2 '3
1
E)
"6
1 21) Si lanzamos simultáneamente 'el lanzamiento es: .: .
4 monedas
normales al aire, la probabilidad ....
de obtener 4 caras en
Se lanzan al aire simultáneamente dos dados no cargados. ¿Cuál es la probabilidad su;na' de los números .que figuren en sus caras sea igual a su producto?
de que la
1
A)
"2
B)
'3
C)
"6
1
1
1 D) 18
E)
372
1 36
373
PSU. Cuaderno
Matemática
de Ejercicios,
CUARTO EJE TEMÁTICO / Test N" 2, PROBABILIDAD
25) Un 35% de los socios de una asociación juvenil son seguidores del grupo musical "Los cangrejos"; un 30%, del grupo "Los piures", y a un 15% le gusta ambos grupos. La probabilidad de que al elegir un socio al azar, sea seguidor de "Los piures", sabiendo que le gusta el grupo "Los cangrejos" es, aproximadamente
29) Se da una muestra de 100 personas adultas elegidas al-azar; entre hombres y mujeres. saber si al elegir una persona al azar, ella es mujer y que fuma.
O) Hay igual cantidad de hombres que de mujeres
en la muestra
(2) El 80% de las mujeres de la muestra fuma
A) ·0,105 B) 0,429
A)
(1) por sí sola (2) por sí sola
C) 0,500
B)
D) 2,333
C) Ambas juntas,
E)
D) Cada una por sí sola, O) ó (2)
0,857
26) Sabiendo que la probabilidad de que "Euclidín" obtenga, en promedio, mi puntaje superior a los 800 puntos en la prueba PSU, es de un 80%, entonces la probabilidad de que "Euclidín" obtenga, en promedio, un puntaje igualo inferior a los 800 puntos en dicha prueba, es de A)
Se desea
-80%
E)
Se requiere
(1) y (2)
información
adicional
30) Un dado normal tiene todas sus 'caras numeradas del 1 al 6, excepto una de ellas. saber cuál es el número que falta en una de sus caras tenemos que:
Para poder
B)
20%
C)
.0,0125%
(1) la probabilidad de que salga un número impar, probabilidad de que salga un nú:nero par.
D)
-0,0125%
(2) el número que falta tiene a su antecesor y a su sucesor en .Ias caras del mismo dado.
E)
99;9875%
-a
B)
1- a
C)
que la
A) (1) por sí sola
27) Si la probabilidad de que ocurra un. suceso S es "a", siendo probabilidad de que dicho suceso no ocurra es A)
al lanzar el dado, es mayor
a
E
IR Y O <;; a <;; 1, entonces
la
B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) E)
Se requiere
información
adicional
a
D)
a
1 E) 1--
a
28) El experimento aleatorio E tiene sólo dos sucesos P y Q asociados a su espacio muestral S. Para saber si los sucesos P y Q son equiprobables se dispone de la siguiente información: (1) la probabilidad
del suceso P es de un 50%
(2) P Y Q son dos sucesos mutuamente A)
(1) por sí sola:
B)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas,
(1) y (2)
D) Cada una por sí sola, O) E)
374
sé
requiere
excluyentes
información
Ó
(2)
adicional
375
i~
¡
PSU. Cuaderno
de Ejercicios,
¡'vfatemá'i~a
¡
BIBLIOGRAFÍA
1
Cuarto Eje Temático: ESTADÍSTICA y PROBABILIDAD
I
1'1
ti i
ESPECÍFJCA
Autor: Título: Editorial:
Dickson, Leonard Eugene College Algebra John Wiley and Sons.-Nueva
2)
Autor: Título: Editorial:
Lipschutz, Seyrnour Probabilidad McGraw-Hill. Bogotá, Colombia,
3)
Autor: Título: Editorial:
Willougby, Stephen S. Estadística y Probabilidad Publicaciones Cultural. México,
Autor:
Wisniewski, Piotr Marian Velasco Sotomayor, Gabriel Problemario de probabilidad Thornpson. México, 2001
1)
111·
4)
Título: Editorial:
York, 1902
1971. Colección
Schaum,
1969.
Observación: En estos temas de Estadística y probabilidad, generalmente los textos existentes en el mercado están orientados hacia los . estudiantes universitarios. No existe una gran variedad de literatura, a nivel básico, corno en las otras 1:lnidades temáticas.
376
1
11
,. "
M
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
ANEXO I Ejerc ic ios Resueltos
11
EJERCICIOS RESUELTOS .ANEXO: SUFICIENCIA DE DATOS
,tI
11
2)
En el conjunto de los números reales: IR, se da la siguiente ecuación de primer grado en la incógnita "x" y con parámetro "m": cumpla que
1
1) El número N = du es un número de dos dígitos en el sistema decimal. "d"es "u" es la cifra de las unidades. ¿Es N divisible por 27 (1)
(2)
"Il;'
la cifra de las decenas y
*'
(1)
m
(2)
m*,1
m2 x + 2
A) B) C) D) E)
A) (1) por sí sola :B) (2) por sí sola C) Ambasjuntas,(I) y (2) . D) Cada una por sí sola, O) ó (2) ID Se requiereinformación adicional
O
Con la información Luego, la condición
(l) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) Y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional
Solución: Puesto que en el enunciado se especifica claramente que la incógnita es "x",y el parámetro entonces debemos despejar la "x" de la ecuación dada, en términos de "m". '
Solución:
m2 x + 2
I, sabemos que el número N es par y, por lo tanto, divisible por 2. I es necesaria y suficiente, es decir, con ella basta.
=
es "m",
m (x + 2)'
/
m2 X + 2=
En cambio, con la información Il, no se garantiza que el número N sea divisible por 2, pues si d = u = 1, el número 11 es impar y, poi: lo tanto, no es divisible por 2. '
m2 x -
Luego, II no es suficiente.
mx(m
-
1)
+ 2m
mx
2m
mx
2 (m
-
-
2
1), de donde:
y comentarios:
Este ejercicio apunta directamente al conocimiento de laregla de divisibilidad por 2. Por lo tanto, es un ejercicio netamente conceptual que no debería ofrecer ninguna dificultad, Respuesta
m (x + 2) ..Ella tendrá una solución única siempre y cuando se
es cero o cifra-par
(d + u) es un número par
Observaciones
=
correcta:
alternativa
2
x=
(m
m (m
Nótese que en ningún hemos cancelado o simplificado
A
1) 1) por el factor (m
-
1) .
Ahora bien, para que la ecuación anterior tenga exactamente una sola solución, debe cumplirse denominador de la expresión resolvente sea distinto de cero. Esto es:
m (m
-
1)
*'
O, lo que es equivalente
que, el
a:
m *' O, Y m*,1 Luego la condición
del ejercicio se cumple si y sólo si se. verifican ambas condiciones (1) y (2) .
... "
378
379
ANEXO I Ejercicios
PSU. Cuaderno de Ejercicios, Matemática
Observaciones
y
Observaciones
comentarios:
"x"
En una ecuación como la propuesta, de incógnita y de parámetro "m", la situación podría haber sido perfectamente al revés, es decir, la incógnita podría haber sido "m" y el parámetro podría haber sido "x". Deahí la importancia de especificar muy bien el papel de los términos en una ecuación. Dejamos como inquietud para nuestros estudiantes, resolver él problema planteado al revés, o sea.. como incógnita "m" y como parárnetro "x", ¿Cuál' sería el análisis y la discusión en tal caso? .Respuestacorrecta:
3)
e
alternativa
"
(1)
(2) A)
B)
C) D) E)
de centro O de la figÚra adjunta.· Para ello se
y comentarios:
Cuando en un ejercicio corno este se pide encontrar la longitud de una circunferencia se entiende que es su valor numérico. Efectivamente para hallar la longitud de una circunferencia se requiere, es-decir, es necesario y suficiente el dato de su radio( o su diámetro), pues la fórmula depende de ello:· L~ = 2 1t r . Sin embargo, para saber qué tan grande o pequeña es una' circunferencia necesitamos la' longitud o medida de su radio . Respuesta
Se necesita conocer la longitud de la circunferencia dispone de la siguiente información:
Resueltos
correcta:
alternativa
B
4) Un montañista sube hasta la cima de un cerro yluego desciende, en ambos casos, con rapidez constante. Se pide determinar ~u rapidez media en todo el trayecto.
.
".
la cuerda AB es el lado. del hexágono regular inscrito en ella el área 'del triángulo equilátero ABO mide
(1)
.J3. cm
2
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (l) y (2) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) Se requiere información adicional
(2) A)
B) C)
D) E)
. . . . km la rapidez media de su ascenso es de 3 h
la rapidez media de su descenso es de 6 km
.'
.
.
h
(l ) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (l) y (2) Cada una por sí sola, (1) (2) Se requiere información adicional ó
Solución:
o
..
Para déterminar la rapidez media (v m) del montañista en todo el trayecto, necesitamos saber la distancia total recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, independientemente del valor de la distancia. En efecto, sea "!I" la distancia recorrida por el montañista desde la base hasta la cima, expresada en kilómetros. • d + d = 2 d',
La distancia total recorrida es, claramente,
B
De la fórmula del movimiento uniforme: v = ~,deducimos t
t =
Solución: Con la información 1 podemos saber que la cuerda A.i3 es igual al. radio de la 'drcunferencia pero aún no sabemos su medida y, por lo tanto, tampoco la de la circunferencia. Luego, 1 por sí sola no es suficiente. . . . . . . .
I~l
Con la información Il, dada el área del triángulo equilátero ABO, se puede determinar la medida del lado de dicho triángulo, es decir, la medida. de la cuerdaAB. Y teniendo la medida de la cuerda AB se tiene la medida delradio OA, (o bien OE) de dicha circunferencia. Luego II por sí sola es suficiente.
n
1
'
que el nempo "t" es:
d v·
Por lo tanto, el tiempo de ascenso (ta),
expresado en horas, es igual a: d. ta
3
;'!
380
381
psu.
Cuaderna de Ejercicios.
Matemática
ANEXO I Test N".1, SUFICIENCIA
y el tiempo de descenso. (td ), también expresado en horas, está dado por;
ANEXO: SUFICIENCIA Test N° 1: Suficiencia
DE DATOS
DE DATOS de datos
d
td
6
1) ¿Cuál es el porcentaje
de inciemento en el valor. de un jarrón de gran antigüedad en el período que va desde el 1 de enero de 2,004 hasta el 31 de diciembre de 2.005?
Luego; el tiempo total en el recorrido está dado por:
(1)
El valor del jarrón al 1, de enero de 2.004, era de 5.000 euros
(2) El valor del jarrón al 31 de diciembre de 2.005, era de 8.000 euros
t = ta + t~, es decir:
A) (1) por sí sola t =
d
d
d
3
6
2
- +
B) (2) por sí sola
ASÍ, la rapidez media el! todo el recorrido es igual a: 2d -,-,
Vm
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
'O)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere informaciÓn adicional 2) Si un total de 84 estudiantes están inscritos en un curso de cálculo en dos secciones, ¿cuántos de los 84 estudiantes son niñas? ' .
esto es:
-d 2 ='4
Vm Observaciones
(1) el 25% de los estudiantes de la primera sección son niñas (2) el 50% de los estudiantes de la segunda sección son varones
km h
A) (1) por sí sola
y comentarios:
B) (2) por sí sola
En realidad, no era, necesario resolver el ejercicio para darse cuenta que se necesitaban ambos datos para su solución. Sin embargo, lo hemos hecho, dado que en este ejercicio está presente el concepto de la media armónica. La media armónica
(H)
entre dos números reales positivos a
y b está
dada por.
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere información
3) ¿Corresponde
H= La rapidez media en todo la de descenso. Como a
1 + -
x
a un número mixto, sabiendo que x es un número entero?
(1) x es' número natural
Úb
(2)
a + b
di trayecto del montañista = 3 y b = 6,. entonces
la expresión
adicional l
*
x
es la media armónica entre l~ rapidez d ascenso y .
A) (1) por sí sola, .
la rapidezmedia
B) . (2) por sí sola
1
es igual a:
C) Ambas juntas, (1) y ·(2) O) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 2 • 3 • 6 , de donde:
Vm
3 +6
E) Se requiere información
adicional
4) Si x es un número real tal que x
v Recalcamos el ejercicio, solución. Respuesta
I
I ¡¡ i
1.
m'
km = 4 -, h
como antes '
nuevamente que, en estos ejercicios de suficiencia, de datos, el objetivo no es resolver sino decidir si con la información entregada en los incisos (1) y (2) es posible llegar a la
alternativa
e
¿es x + y = O?
(1) x es el opuesto de y (2) x
*l
A) (1) por-sí sola B) •(2) por
correcta:
* O,
si
sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) O) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Sé requiere información
adicional
382 383
I
PSU. Cuaderno
ANEXO I Test N" l. SUFICIENCIA DE DATOS
Matemática
5) Si a, b y e son números reales, '¿es a
I ¡ I
'1
1
I.
(1)
a-b=b-c
(2)
=
e?
9)
¿Es
X
menor que y? .
(1)' x-y+l
a-2c=c-2b
(2) x-y-I
A) (1) por sí sola
A) (1) por sí sola
B) • (2) por sí sola
B) (2) por sí sola
I
I\.
de Ejercicios,
e)
Ambas juntas, (1) y (2)
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (l).ó (2)
D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) .
E)
E)' Se requiereiriformación
Se requiere información adicional
.,
6) 'Si «a» es un número entero, .¿cuál es el valor de a?
II
(1)
~
adicional
10) ¿Cuál es el primer término de una sucesión?
a'
(1) El segundo término es 43
"
f,!
(2)
~.
+
3
a
(2) El segundo térmiIl;o es cuatro veces el primero, y el tercero es dos veces el segundo
1 ~ O
A) (1) por sí sola
:") (I~ por sí sola
,
E)
í •~ r
B) (2) por sí sola
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
C) Ambas juntas, (1) y (2)
I
D) Cada una por sf sola, (1) ó (2)
D) Cada una por sí sola, (1) 6 (2)
I
E)
t
Se requiere
E)
información adicional
11) Una 7) .Si e es la cifra de' las centésimas en el número decimal aproximado a la décima? (1) d (2)
'A) (1) por sí sola
e <5
D) Cada una por sí sola, (1)
B)
(2) por sí sola
e)
Ambas juntas, (1) y (2)
D) . Cada una por sí sola, (1) 6 (2)
(2) por sí sola
Se requiere
Se puede determinar el valor de a si:
gana $4oo.000.y ahorra el 6% de su sueldo
(2) En tres meses' ha reunido $72.000 lo que representa el 60% de lo que ahorra en 5 meses
E)
C) Ambas juntas, (1) y (2)
E)
persona en cinco meses ha ahorrado $a. (1) Mensualme~te
1
<4
A) (1) por sí sola E)
d = O,2c6, ¿cuál es el valor de d, ' "
Se requiere ,información adicional
Ó
(2)
información adicional
Se requiere información adicional
12) .Una bolsa contiene 20 bolas rojas y 10 bolas azules. Si se sacan 9 bolas, ¿cuántas bolas rojas quedan en la bolsa? . (1) De las bolas que se sacaron se sabe que la razón entre rojas y azules es 2: 1.
8) ¿Es x un número entero par?
(2) Cuatro de las seis primeras bolas sacadas son rojas.
(1) x es el cuadrado de un número entero .. (2) xes
el cubo de un número entero.
A) (1) por sí sola E)
E)
(2) por sí sola
384
Se requiere
E)
(2) por si sola
C) .Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (l) ó (2)
C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola,(l)
.A) (1) por sí sola
E)
Se requiere información adicional
ó(2)
información adicional
385
ANEXO I Test N" 1, SUFICIENCIA DE DATOS
PSU: Cuaderno de Ejercicios, Matemática
13) Ignacio es 5 años mayor que Fran~isca. ¿Cuál es la edad de Valentina?'
Hace 10 años, Patricio era 10 años mayor que Valen tina.
r
17) Se reparten $ 385.000.entre Hugo, Paco y Luis. ¿Quién recibió menos?
(1) La edad de Valentina es tres veces la edad de Ignacio.
(1) Ruga recibió
'92 de la
Paco recibió
3 11 de la
suma de lo que recibieron
Paco y Luis.
(2) La edad .de Francisca es 5 años. A) (1) por sí sola
(2)
B) (2) por sí sola
A) (1) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
B)
D)
Cada una por 'sí sola, (1) 6(2) .
E) . Se requiere información
14) .Si n 'es un número natural rriay~r que 1, ¿es n .-(n2
-1)
E)
divisible por 6?
(1) por sí sola (2) por sí sola
(2) El perímetro de laplaza
B)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
C) Ambas juntas, (1)
Se requiere información
D)
adicional'
-ax <:-9 <:
(1) La sum~ de las longitudes del lado del cuadrado
C)
Ambasjuntas,
(1) y (2)
B)
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E)
Se .requiere información
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
adicional
É)
16) ¿Cuál es el valor de m?
(1) AB·=
(2) BC
A) (1) por sí sola
;
Se requiere información adicional
20) Sea el t.ABC rectángulo en e e inscrito en la semicircunferencia semicircunferencias de centros en los puntos. medios' de los catetos.
m2 = (1O-m)2
(2) 3m-12=3'
B)
5
A) (1) por sí sola
C)
(1)
y del triángulo es 18 cm
(2) La razón entre el lado del cuadrado y el lado del triángulo es 4 :
A) (1) por sí sola (2) por sí sola
adicional
19) ¿Es el perímetro del cuadrado S mayor que el perímetro del triángulo equilátero T?
6
B)
y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E).' Se requiere información
15 +2x?
(2) 2x
:¡
(2) por sí sola
E)
(1)
es 396 m
A) (1) por sí sola
D)
15). ¿Es 7x=
¿cuál es su ancho?
(1) La razón entre su largo y su ancho es 7: 2
C) Ambas juntas, (1) y (2)
,
Se requiere información adicional
18) Si una plaza tiene forma rectangular,
(2) n es impar
B)
(2)
D) Cada una por sí. sola, (1) 6 (2)
.(1) n es divisible por 3 .
.Al
(2) por sí sola
ci Ambas juntas, (1) y
adicional
suma de lo que .recibieron Ruga y Luis.
=
5cm
Los arcos AC y BC son ¿Cuánto mide el' área achurada?
y AC = 3c~
4 cm
A) (1) por ,sí-sola
(2) por sí sola
C)' Ambas juntas, (1) y (2)
B)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
C) Ambas juntas, (1) y (2) ,
E)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información
ÁCE.
adicional
E)
(2) por sí sola
Se requiere ,información adicional
A
B 387
38.6
~-
- ~._------.--,,-
~
~ PSU. Cuaderno de Ejercicios. Matemática
21) En la figura adjunta, O es el centro de la circunferencia. ~ (1) arco AB (2)
=
El ángulo x mide:
1 .~ larco BC
DE DATOS
25) ¿Cuál es la capacidad 'de un estanque cilíndrico? (1) La base es equivalente a un cuadrado de lado 5 m
D
(2). Su altura es igual al diámetro de la base.
a = 120
0
A) (1) por sí sola
A) (1) por sí sola B)(2)
ANEXO I Test W \, SUFICIENCIA
I
l·
por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
C)· Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (l)ó
D) Cad~ una por sí sola, (I~ ó (2)
E)
(2)
Se requiere información adicional
B E)' Se requiere
información
adicional. 26) 50% de las oficinas de cierta ciudad .tienen computador y aire acondicionado. oficinas de_esta ciudad tienen computador pero no aire acondicionado?
22) Si a, b e IR+' ambos distintos de uno, se puede determinar el valor de logba si se. conoce que: (1) ~=b !(2) b' = a
(1) Si se escoge una oficina al azar de esta ciudad, la probabilidad de que tenga aire acondicionado 7 es-10
A) (1) por sí sola
(2) Si se escoge una oficina al azar de esta ciudad, la probabilidad
'B) (2) por sí sola
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información
A) (1) por sí sola
adicional
23) Se puede determinar la ecuació~ de la recta
B)
e de
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
.y,
(2) b-a;=l
E)
b·-----
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola
o
C) . Ambas juntas, (1) y (2)
(2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
la figura adjunta si:
(1) a:b=2:3
Se requiere información adicional
27) El comité X y el comité Y, que no tienen integrantes comunes, se fusionan para formar el comité Z. Para saber si el comité X tiene más integrantes que el comité Y, se sabe gue:
x
(1) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité X es 25 años y la de los integrantes del comité Y es 29 años.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) . Se requiere información
de que tenga computador
3 es 5
C) Ambas juntas, ti) y (2)
E)
¿Qué porcentaje de las
,(2) La media aritmética de la edad de los integrantes del comité Z es de 26 años.
adicional
A) (1) por sí sola 24) Si a. es un ángulo agudo, ¿cuál es el valor de sen a.?
B). (2) por sí sola
(1) sen2a.=1-cos2a.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
3 (2) cosa. =5
. D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) E)
Se requiere información
adicional
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
"
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere información
adicional
3118
I
i
389
FSíl, Cuaderno de Ejercicios, Matemática
28) Se tienen dos cursos A y B del nivel 4° medio de un colegio. presenta.la mayor dispersión de edades.
Se desea saber en cuál de ellos se
(1) la desviación
estándar de las edades del curso A es 2,5
(2) la desviación
estándar de las edades del curso. B es 3,5
I
I
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) . D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E)
Se requiere
información -adicional \
¿Es el rango de los números en un conjunto A, mayor que el rango de los números en un conjunto B?
29)
(1) La desviación
estándar del conjunto A es may~rque
la desviación
estándar de B
(2) La probabilidad
de que un- número seleccionado al azar del conjunto A sea mayor que un número seleccionado al azar del conjurito B es l
. A) (1) por sí sola B)
(1) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2) D). Cada una por sí sola, (1) Ó (2)
E)
Se requiere
información
adicional
30) Si se seleccionan 'al azar y con reemplazo, dos estudiantes de un curso mixto, ¿cuál es la probabilidad de que dos hombres o dos mujeres sean seleccionados? (1) Hay 50 hombresen (2) La probabilidad
el curso.
de seleccionar un hombre y una mujer es 21 . '50
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) Ó (2) E)
Se requiere
información
adicional
!
l·
I RESPUESTAS CORRECTAS
I
j.
390
;,.
I .
L
