Libro PSU Matemática NUMEROS

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TOMO I

NÚMEROS

TOMO I

Números Contenidos y ejercicios de preparación PSU

Mauricio Andrés Chiong C. Ingeniero Civil Industrial (e) Pontificia Universidad Católica de Chile CEO Grupo Educativo Sinapsis

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� COORDINACIÓN DE CONTENIDOS

Y EDICIÓN GENERAL Nicolás Pinto P. Lic. en Ciencias. Mención Matemáticas. Universidad de Chile. Ariel Reyes F. Lic. en Ciencias Exactas. Universidad de Chile.

� DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN Nicole Castro B.

Distribución gratuita, prohibida su venta.

Lic. en Artes Visuales. Diseñadora (e)

© Todos los derechos reservados.

Pontificia Universidad Católica de Chile.

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TOMO I

NÚMEROS

PREFACIO Este libro fue confeccionado por Mauricio Chiong Ingeniero Civil Industrial(c) de la Pontificia Universidad Católica de Chile, fundador de la empresa Sacateun� y Director del Preuniversitario Gauss. En éste se plasma el conocimiento adquirido en arduos años de estudio, desde mi formación escolar en el Instituto Nacional, donde tengo gratos recuerdos de grandes profesores y maestros como Luis Arancibia y Belfor Aguayo, que hicieron que la motivación por la matemática se tradujera en el amor por enseñarla, hasta mi formación profesional, donde la Universidad traspasó su espíritu de excelencia académica y de compromiso social. Espero que este libro sirva de apoyo para lograr un alto puntaje, entrar a la carrera que quieren, y cumplir sus sueños Santiago, ��

Mauricio Chiong


ÍNDICE GENERAL

Prefacio Agradecimientos 1. Aritmética Básica ¡Bienvenido a PreuGauss! 2. Conjuntos Numéricos Conjuntos numéricos y su relación Números Naturales y Enteros Ejercicios Propuestos

4 5 8 9 11 12 14 18

Ejercicios

21

Números Racionales Números Decimales Aproximación de números racionales Números Irracionales Números Reales Sucesiones (opcional) Ejercicios Propuestos

31 33 37 38 40 40 41

Ejercicios

42

3. Productos Notables Productos Notables Factorización Factorización de trinomios cuadráticos Ejercicios Propuestos Ejercicios

4. Potencias y Raíces Potencias Raíces Orden Racionalización Ejercicios Propuestos Ejercicios

55 56 57 60 62 63

74 75 75 76 77 78 79


TOMO I

5. Números Complejos Potencias de la unidad imaginaria Igualdad de números complejos Conjugado y módulo de un número complejo Notación Plano complejo Geometría en el plano complejo Ejercicios Propuestos Ejercicios

A. Razones y Proporciones Razones Proporciones Proporción Áurea Ejercicios Propuestos Ejercicios

B. Porcentajes e Interés Porcentajes Operatoria con porcentajes Interés Ejercicios propuestos Ejercicios

C. Sumatorias Definición Propiedades de las sumatorias Ejercicios

Nomenclatura Hoja de Respuestas

NÚMEROS

90 91 93 94 94 95 96 98 99

109 110 110 113 114 116

127 128 129 130 132 134

145 146 146 147

148 150


CAPÍTULO 1

ARITMÉTICA BÁSICA Este material fue descargado para uso exclusivo de Francisco Pérez Valencia, [email protected]. Se prohibe su reproducción. Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com

TOMO I

NÚMEROS

¡BIENVENIDO A PREUGAUSS! Si estás leyendo este libro, es porque quieres prepararte para rendir la Prueba de Selección Universitaria de Matemáticas, y aquí encontrarás todos los contenidos incluidos en ésta para la admisión en el siguiente proceso.

Observación Siempre procediendo de manera cautelosa, los problemas de aritmética básica se pueden catalogar como

Para ayudarte a estudiar cada uno de los siguientes temas, este libro está dividido en cuatro tomos, Números, Álgebra y Funciones, Geometría , y finalmente Datos y Azar, los cuales te ayudarán a comprender los contenidos de cada uno de los ejes temáticos evaluados en la PSU, y te proporcionarán ejercicios para afinar los conocimientos y habilidades que necesitas en cada uno.

los más sencillos dentro de la PSU.

Sin extendernos más, aquí comienza el contenido del tomo que tienes en tus manos: Números.

� Aritmética Un contenido esencial para la Matemática es la aritmética, cuyo contenido más importante incluye las cuatro operaciones básicas: Adición, Sustracción, Multiplicación, y División . A partir de estas cuatro operaciones (que como veremos en el futuro, son en realidad sólo dos, pero esa es un historia para más adelante) también encontramos dos estructuras que salen de ellas: las Potencias y Raíces.

Algunos tips para poder entender y plantear mejor, son lo que te presentamos a continuación El doble de un número, significa �x

Cada una de estas tiene sus propiedades pero lo que nos importa ahora es la organización entre ellas con hay una jerarquía en la cual está el Paréntesis como rey. Esta jerarquía nos da el orden de las operaciones, y nos dice quien tiene el primer puesto a la hora de resolverlas. El orden es:

donde x es una variable. Un tercio de un número, significa donde x es una variable. � zapatos por $��.��, es lo mismo que $��.�� cada zapato.

� Paréntesis � Potencias/Raíces � Multiplicación/División � Adición/Sustracción

El exceso de � sobre �, es � − � � disminuido en �, es lo mismo que el exceso de � sobre � o bien � − � La edad de Juan aumentada en �, llamando J a la edad de Juan será J + �. Antecesor de un número, significa n − � donde n es el número.

Sucesor de un número, significa n + � donde n es una variable. Número par, significa que el número puede ser escrito de la forma �n, con n  

Número impar, significa que el número puede ser escrito de la forma �n + �, con n  


CAPÍTULO 1 / ARITMÉTICA BÁSICA

� Problemas Cuando hablamos de un problema matemático no nos referimos a que te pidieron lavar la loza, perdiste el tiempo en Facebook, tu madre llegó y estás en problemas. No. Hablamos de una situación que podemos representar con lenguaje matemático, donde generalmente buscaremos descubrir los valores de una entidad desconocida. A esta la llamaremos la Incógnita o Variable , y el proceso para encontrarlo generalmente tiene cuatro pasos:

� Primer paso Leer cuidadosamente el enunciado.

� Segundo paso Leer cuidadosamente el enunciado. Lo ponemos dos veces porque es así de importante, la mayor cantidad de errores durante la PSU ocurren por falta de atención al leer el enunciado, tómate tu tiempo para entender el ejercicio antes de contestarlo.

� Tercer paso Determinar cuáles son las incógnitas del problema (por ejemplo: cantidades desconocidas, edades, etc). Una vez que las tengas completamente identificadas es recomendable hacer una lista, dibujo o esquema si el problema es más complejo. Estas incógnitas o variables deben ser identificadas asi que las identificamos con una letra, y para evitar confusiones es ideal que esta letra esté relacionada con lo que la incógnita representa. (por ejemplo: si las variables son las edades de Ana, Jorge y Pedro, entonces las variables que deberíamos usar son A, J y P).

� Cuarto paso Transcribir el problema del enunciado a un lenguaje matemático identificando las relaciones entre tus bautizadas Variables, de tal forma que puedas resolver el ejercicio.


CAPÍTULO 2

CONJUNTOS NUMÉRICOS Este material fue descargado para uso exclusivo de Francisco Pérez Valencia, [email protected]. Se prohibe su reproducción. Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com

CAPÍTULO 2 / CONJUNTOS NUMÉRICOS

Comenzaremos estudiando los conjuntos numéricos más conocidos y utilizados durante la enseñanza media. A continuación presentamos dichos conjuntos, junto a una breve descripción de cada uno de ellos, especificando los elementos que los componen y cómo reconocerlos.

CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SU RELACIÓN Partiremos por dar una lista con los conjuntos numéricos más conocidos y usados al menos en la enseñanza media, los cuales son los números naturales, los números enteros, los números racionales, los números irracionales, los números reales y finalmente los números complejos. A continuación presentamos una breve descripción de cada uno de ellos, especificando los elementos de los cuales se compone cada conjunto y como reconocerlos.

� Números Naturales ( N ) Se definen como aquellos que nos permiten contar elementos que conforman conjuntos no vacíos. Por ejemplo, �� es un número natural, pues puede haber �� lápices en un estuche, �� huevos en una caja o �� patos en una laguna. Mientras que �,� no lo es, pues una familia no puede tener dos hijos y medio.

�

N= {�, �, �, �, �, . . .}

Es el resultado de añadir el � al conjunto de los números naturales. Notemos que el cero no es un número natural, pues a pesar de que puede haber � lápices en un estuche, eso implicaría que el estuche estaría vacío (Y los naturales exigen que el conjunto no sea vacío).

�

N� = {�, �, �, �, �, . . .}

� Números Enteros ( Z )

�

Z = {. . . ,−�,−�, �, �, �, . . .} Z = N− ∪ {�} ∪ N

�

Q=

� Números Cardinales ( N� )

Consiste en el conjunto formado por los números naturales (N), unidos con sus _ inversos aditivos ( N ) y el cero

� Números Racionales ( Q ) Consiste en el conjunto de todos los números que se pueden escribir como una fracción

}ab : a

∈Z,

}

b ∈Z\{�}


TOMO I

NÚMEROS

Símbolos matemáticos Durante tu estudio, te encontrarás a menudo con símbolos que relacionan conjuntos. Aprender a interpretarlos y dominar su uso es clave para tener éxito en la PSU. A continuación te presentamos algunos de ellos:

de la forma

a donde a, b b

∈Z

y b ≠ �.

� Números Irracionales (  ) Consiste en el conjunto de todos los números cuya expansión decimal es infinita no periódica

� Números Reales (  )

: indica que el elemento pertenece al con-

�

π

= �,��...

2 = �,��....

Es el conjunto formado por todos los números que se pueden escribir como la suma entre un número real y el producto de un número real por la unidad imaginaria i

 se lee como “� pertene-

ce a “ e indica que el número � pertenece al conjunto de los números racionales. : Unión de conjuntos. Cuando escribimos

�

R= 

∪

A



B nos referimos al conjunto que incluye

tanto a los elementos de A como a los ele-

Consiste en el conjunto formado por los números racionales y los números irracionales

� Números complejos ( C )

junto. Ejemplo �

mentos de B .

�

: Intersección de conjuntos. Cuando

C={a + bi: a,b

∈R,}

escribimos A

B nos referimos al conjunto

que incluye a los elementos que pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B .

Ejemplo: Si A es el conjunto formado por los números �, � y �, mientras que B es el conjunto formado por los números �, � y �, entonces será A

B el conjunto que contiene a los

números � y �, mientras que A

B contendrá

a los números y �, �, � y �. Un conjunto puede ser definido por extensión (indicando todos sus elementos) o por com-

prensión (Indicando las propiedades que caracterizan a sus elementos). Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menores que � puede ser definido por extensión como {�, �, �, �}, mientras que se puede definir por comprensión mediante los símbolos {x

 |

x < �} (este grupo de símbolos se

lee “el conjunto de todos los elementos x pertenecientes al conjunto  tales que x es menor que �).



Esquema gráfico de los conjuntos numéricos y su relación

NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS Profundizando en los conjuntos que acabamos de nombrar, partiremos con el conjunto de los Números Naturales. Intuitivamente, estos son los números que se usan en la vida diaria para contar cantidades concretas, y son los más simples que conocemos, pero el que sean simples no significa que no podamos encontrar estructuras interesantes en ellos, por ejemplo, Paridad y Primalidad.

� Paridad � Números pares: Son los números que se pueden escribir de la forma � n. Hay infinitos de ellos, y se escriben en la serie: �, �, �, �, ... , �n, ... .

� Números impares: Son los números que se pueden escribir de la forma � n + � Tambien hay infinitos de ellos, y se pueden escribir en l a serie: �, �, �, �, ... , �n - �, ... .

� Primalidad � Números Primos: Son aquellos que tienen exactamente dos divisores distintos. Ellos son: �, �, �, �, ...

� Números Compuestos: Son aquellos que son divisibles por algún número distinto a � y sí mismos, es decir, un número es compuesto si y sólo si no es primo (a excepción del �). Ellos son �, �, �, �, . . .

Teorema #� Descomposición Única� El teorema fundamental de la aritmética, que con un nombre tan impresionante debe ser algo destacable, dice: “ Todo número natural compuesto mayor que �, se puede escribir como un único producto de números primos” Esto significa que los números primos vienen a ser nuestros “ladrillos”; son los bloques básicos con los que construimos todos los números que conocemos, y en consecuencia, la matemática que usaremos, entonces este teorema es el que garantiza la existencia de los números como los conocemos. Podemos darnos cuenta también que ciertos números se pueden escribir usando potencias. Por ejemplo � = � · � · � = � �. Estas potencias siguen siendo una descomposición única, no existe otra forma de escribir el número � usando sólo números primos, excepto por el orden. Esa única forma de escribir cada número compuesto como multiplicación de números primos se llama la Descomposición Prima del número.


TOMO I

NÚMEROS

Ejemplo / Ejemplo: la descomposición prima del número �� se encuentra de la siguiente forma: �� = �� · � = (�� · �) · � = (� · �) · � · � = � · � · � · � · � = � · �

�

Los números primos que componen esta descomposición, se llaman los Factores primos del número.

� Divisibilidad.

¿Cómo saber si un número es divisible por algún número entre � y ��?

Termina en � o un número par

Una vez entendido lo anterior, es fácil entender por qué algunos números se pueden separar en otros. Por ejemplo, el número � = � · � está compuesto por el � y el �, y por lo tanto se puede dividir por cualquiera de ellos. Esta propiedad se llama Divisibilidad, indica que un número se puede dividir exactamente por otro . Formalizando lo que acabamos de decir diremos que:

La suma de sus dígitos es divisible por � Sus últimos � dígitos forman un número divisible por � Termina en � o en � Es divisible por � y � a la vez

Un número b es divisible por a si y sólo si b es un múltiplo de a, es decir, b = k · a , donde k ∈Z. Lo anterior se denota por a|b.

Sus útimos � dígitos forman un número divisible por �

Identificar estos pares de números es un problema cuando no los podemos descomponer, ya sea porque son muy grandes o porque es poco práctico, en ese caso existen criterios llamados Reglas de divisibilidad (vea los tips a la derecha).

La suma de sus dígitos es divisible por � Termina en �

� Algoritmo de la división Si tras leer, y ojalá ejercitar, algunos ejemplos de los temas anteriores notaste que no todos los números son divisibles te preguntarás cómo los divides en ese caso. No te preocupes, para ello existe el Algoritmo de la División o Algoritmo de Euclides:

Observación Observamos que para el número � no tenemos una regla, esto no es porque no exista si no porque la regla es más

Sean a,b ∈N dos números naturales tales que a es mayor que b entonces existe un número q ∈N tal que b x q < a pero que b x (q + �) > a. En dicho caso tendremos que si nombramos r = a - b x q al que llamaremos el resto entonces se tendrá que: a = b x q + r donde llamaremos al números a el dividendo, a b el divisor, a q el cuociente y a r el resto. Como esta muralla de simbología es útil pero engorrosa, nosotros representamos este algoritmo con una notación más familiar:

�� Dividendo

:

Resto

�

=

Divisor

�

complicada que las otras y es más conveniente ver directamente si puedo dividir o no por � haciendo la división.

Observación Todo número es divisible por cualquier producto formado por sus factores primos.

Cuociente



Ejemplo / Supongamos que queremos dividir �� por �, sabemos que �� no es divisible por � ya que � + � = � el cual no es múltiplo de �, por ello debemos usar el algoritmo de Euclides. Además sabemos que � · � = �� y � · � = ��, por lo tanto tendremos que el cuociente será � y como � · � = �� entonces el resto será �, obteniendo así que

Observación El algoritmo de Euclides es necesario pues no todos los números naturales se pueden dividir entre sí, ya que los resultados de estas divisiones no

�� = � · � + �

� Mínimo Común Múltiplo (MCM) Tal como el nombre lo dice, el Mínimo común múltiplo (MCM) nos permite encontrar un número que cumple la propiedad de ser el menor múltiplo que tienen en común un conjunto de varios números naturales, esto es lo mismo que decir que el MCM es el menor número divisible por todos los números del conjunto.

necesariamente son números naturales. Esto provoca que la división en los naturales no sea Cerrada, es decir, que la operacion y sus resultados no están totalmente contenidos en el mismo

¿Cómo lo encontramos? Usando la descomposición prima de todos los números del conjunto, el MCM es el número que contiene en su descomposición a todos los factores primos de todos los números del conjunto.

conjunto, razón por la cual necesitamos más conjuntos numéricos.

Ejemplo / Encontremos el MCD entre �, � y �� Escribimos los números en su descomposición prima: � = � · �, � = � �, �� = �� · � Ahora incluímos en la descomposición de nuestro posible MCM todos los factores primos (los repetidos en el mismo número cuentan, pero entre números distintos no) � · � · � · � · � · � = �� Notamos que la mayor cantidad de veces que se repite el � es en ��, que contiene al factor � �, mientras que la mayor cantidad de veces que aparece el � es en �, que contiene al factor � �. Hay que incluir todos esos números. Por otro lado, como � se escribe � · �, sus factores ya están contenidos en los otros, de modo que, no se necesita incluir ninguno como factor adicional. Ocurre lo mismo con el � perteneciente a la descomposición del ��. Así,el mínimo común múltiplo buscado es ��.


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� Máximo Común Divisor (MCD) Es mucho más sencillo encontrar el máximo común divisor, pues simplemente se busca el número que divida a todos los números del conjunto, para ello se busca aquel que su descomposición prima contenga sólo a los factores que todos los números del conjunto tengan en común.

TIPS para abreviar, el MCM entre a y b se escribe como MCM(a,b), y se utiliza la misma notación para el MCD.

Ejemplo / El MCD entre �, �� y �� Escribimos los números en su descomposición prima: � = � · �, �� = � � · �, �� = � · � · � Luego tomamos todos los factores que se encuentran en todas las descomposiciones, en este caso el � y el � luego MCD entre �, �� y �� es � · � = �.

� Números enteros. Habrás notado que en lo que va del capítulo hemos hablado casi únicamente de los números naturales. Estos no son los únicos que existen, puesto que de la misma forma que la división falla en los naturales, la resta también. En los números naturales no podemos encontrar la respuesta de la operación � - � = ?. Por lo tanto definimos los Números Negativos, los cuales contienen a los inversos aditivos de los números naturales, es decir, todos los números que anulan (llevan al �) a algún natural cuando son sumados. Estos se forman incluyendo una copia de los números naturales en la recta numérica, pero al otro lado del cero, y por lo tanto su magnitud crece en la dirección opuesta a la de los naturales. Naturalmente, como una copia de los naturales, estos funcionan con las mismas operaciones que los números naturales, con una pequeña distinción: El signo (Puede ser positivo, negativo o neutro) El signo nos indica a qué lado del cero nos encontramos, y hacia qué lado aumenta la magnitud de los números, el cual funciona como se ve en la siguiente tabla.

Adición (+) + (+) = (+) (−) + (−) = (−) (+) + (−) = (+) Si (+) > (−) (+) + (−) = (−) Si (+) < (−)

Multiplicación (+) · (+) = (+) (−) · (−) = (+) (−) · (+) = (−) (+) · (−) = (−)



EJERCICIOS PROPUESTOS

Si al cuádruple de � se le suma � y luego se multiplica por � ¿Qué resulta?

Si al doble de � se le suma � y luego se divide por � ¿Qué resulta?

Si al triple de � se le resta � y luego se divide por � ¿Qué resulta?

Juan tiene el triple de la edad de Pedro y Andrés tiene cuatro años más que Juan. Además la suma de sus edades es �� ¿Cuál es la edad de Andrés?

María tiene tres años más que Nanci y Camilo tiene dos años menos que Nanci. Además la suma de sus edades es �� ¿Cuál es la edad de Camilo?

Felipe tiene tres veces la edad de Bastian y Mauricio tiene la misma edad que Bastian. Además la suma de sus edades es �� ¿Cuál es la edad de Felipe?


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Si la suma de � números consecutivos es ��, entonces el número mayor es Si la suma de � números pares consecutivos es ��, entonces la suma de los medios es

¿Qué número(s) debe(n) colocarse en  para que el número ��.�� sea divisible por �?

¿Qué número(s) debe(n) colocarse en  para que el número ��.�� sea divisible por �?

Si la suma de � números impares consecutivos es ��, entonces el número del medio es

¿Qué número(s) debe(n) colocarse en  para que el número ��.��.�� sea divisible por �?



Encuentre el mínimo común múltiplo entre los números ��, �� y ��.

Encuentre el máximo común divisor entre los números ��, �� y ��.

Encuentre el mínimo común múltiplo entre los números ��, �� y ��.


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NÚMEROS

EJERCICIOS

�. Si al producto de dos números consecutivos se le suma �, el resultado es siempre

�. El doble del sucesor de un número es ��. ¿Cuál es el número?

A) Un número par B) Un número impar C) Un número primo D) Un múltiplo de tres E) Ninguna de las anteriores

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

�. Si a litros de Pepsi cuestan $p pesos, entonces cuánto costarán b litros de Pepsi?

�. La suma de � números consecutivos es ��. ¿Cuál es el producto de los centrales?

A) $ B) $ C) $

ab p pb a a

A) � B) � C) �� D) �� E) ��

bp

D) $abp E) Ninguna de las anteriores



�. ¿Cuál de las siguientes cifras debe colocarse en para que �.� � sea divisible por �?

�. El resultado de �� + � − �� · � − � + (−� + �) : � es igual a

A) � B) � C) � D) � E) Ninguna de las anteriores

A) �� B) �� C) -�� D) -�� E) -��

�. La suma de � números impares consecutivos es divisible por

�. Si $ = �, & = �,% = �. Entonces & -% + $ -�= A) %

A) � B) � C) � D) � E) Ninguna de las anteriores

B)

$ 2

C) & D) � E) Ninguna de las anteriores


TOMO I

�. Al resolver (� − (� + (� + � · (� − �) − � + (� − �)))) · � es igual a A) -�� B) �� C) -�� D) �� E) ��

��. El quíntuple de � sumado a la diferencia entre � y �. A) �� B) �� C) �� D) �� E) �

NÚMEROS

��. Pedro tiene el triple de la edad de Javiera aumentada en �. Si Javiera tiene la mitad de la edad de su padre que acaba de cumplir tres décadas, ¿Cuántos años tiene Pedro? A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

��. La diferencia entre las notas de dos alumnos es �,� puntos. Si el alumno con mejor rendimiento obtuvo el triple que el de menor puntaje, ¿cuál es la nota menor? A) �,� B) �,� C) �,� D) �,� E) �,�



��. ¿Cuál de las siguientes expresiones es negativa? A) −� · � B)

−5 −3

C) -�,�� + ��,�� D) −

9 −3

��. Si un caballo come al día �� kilos de pasto y dicho pasto se vende por sacos de �� kilos, ¿Cuántos sacos necesito para alimentar por un día a � caballos? A) � B) �� C) �� D) � E) Ninguna de las anteriores

E) Ninguna de las anteriores

��. La edad de Pedro es la resta entre el sucesor impar de �� y el antecesor par de �. Si su hermana Camila es mayor por � años, entonces la edad de Camila es A) �� B) �� C) � D) �� E) ��

��. Un plan de celular cuesta $��.�� fijo por �� minutos y $�� por cada minuto adicional. Si una persona habló �� minutos, ¿Cuánto debería pagar? A) $��.�� B) $��.�� C) $��.�� D) $��.�� E) $��.��


TOMO I

��. La suma de dos pares consecutivos cumple siempre con una de las siguientes características A) No es divisible por � B) Es divisible por � C) Es divisible por � D) Es igual a un número impar multiplicado por � E) Es el doble de un número par

NÚMEROS

��. Un reloj se adelanta � minutos cada hora y marca las �:�� hrs. Si ha estado andando durante � hrs. ¿Cuál es la hora exacta? A) �:�� B) �:�� C) �:�� D) �:�� E) �:��

��. En el número _��, ¿qué número debo reemplazar en el guión de modo que el número sea un múltiplo de � y �?

��. Si (n + �) es un número impar, con n ∈ N. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número par?

A) � B) � C) � D) � E) �

A) (n + �) � B) n C) n + � D) n − � E) Ninguna de las anteriores



��. Catalina compró a kilos de plátanos y a kilos de duraznos. Si los plátanos le costaron el triple que los duraznos y en total gasto $�.�� pesos. ¿Cuánto gastó solo en los plátanos? A) $�.�� B) $�.�� C) $�.�� D) $�.�� E) $�.��

��. Juan nació en �.�� cuando su padre tenía �� años. ¿Cuántos años tendría su padre en �.��? A) �� años B) �� años C) �� años D) �� años E) �� años

��. La suma de tres enteros pares consecutivos es ��, ¿cuáles son los números? A) ��, ��, �� B) �, �, � C) �, �, � D) �, �, � E) �, �, �

��. Andrés es mayor por �� años que Juan y Juan a su vez, es mayor por � años que Julieta. Si la suma de las edades de Andrés, Juan y Julieta es �� años, entonces la edad de Andrés es A) �� años B) �� años C) �� años D) � años E) �� años


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��. El triple de la suma de tres números impares consecutivos es igual a ��, entonces la suma entre el mayor y el menor es igual a A) �� B) �� C) � D) �� E) ��

��. El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre los números ��, �� y ��, son respectivamente A) �� y �� B) �� y �� C) �� y �� D) �� y �� E) Ninguna de las anteriores

NÚMEROS

��. El triple de la diferencia entre el antecesor de �� y el sucesor impar de � es A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

��. Si la suma de tres números pares consecutivos es ��, entonces la mitad del término del medio es A) � B) � C) � D) � E) Ninguna de las anteriores



��. Si la suma de cinco números impares consecutivos es ��. ¿Cuál es el número del centro? A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

��. � personas en una reunión se dan la mano. Cada una saluda una vez a cada uno de los restantes. Entonces el número total de saludos es, A) �� B) �� C) � D) �� E) Ninguna de las anteriores

��. Tres corredores recorren una pista circular en ��, �� y �� segundos, respectivamente. Si parten juntos, ¿Después de cuánto tiempo se encontrarán de nuevo? A) �� segundos B) � segundos C) �� segundos D) � minutos E) �� segundos

��. Una sala se llena con � alumnos, ¿Cuántas salas se necesitan para albergar a �� alumnos? A) � B) � C) � D) �� E) ��


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NÚMEROS

��. En una granja, hay gallinas y perros. Si en total una persona cuenta �� patas y �� cabezas, entonces el número de perros en la granja es

��. La suma de seis números consecutivos consecutivos es igual al triple de ��, entonces � veces el mayor menos � veces el menor es igual a

A) �� B) �� C) �� D) �� E) Ninguna de las anteriores

A) �� B) �� C) �� D) �� E) �

��. Estás corriendo una competencia de �� Km, si ves un cartel que indica que la meta está a �.�� metros, ¿qué fracción te falta para terminar?

��. El divisor de una división es ��, el cuociente es � y el resto es ��. Por lo tanto, el dividendo es

A) B) C) D)

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

1 2 1 4 1 10 1 100

E)

1 1000



��. El promedio de las edades de Juan, Pedro y Camila es �� años. Se sabe que Juan es � años mayor que Pedro y Camila tiene el doble de la edad de Pedro. ¿Cuáles son las edades de Juan, Pedro y Camila respectivamente? A) ��, ��, �� B) ��, ��, �� C) ��, ��, �� D) ��, �, �� E) No se puede resolver

��. Si un perro de raza pequeña, se alimenta con �� gramos de un alimento especifico durante todo un mes. Si su consumo es constante por día y consideramos un mes con �� días, entonces cuántos días demora el mismo perro en acabar con �� gramos del mismo alimento? A) � B) � C) �� D) �� E) �

��. Se dispone de � litros de pintura para pintar la fachada de una casa. Si la superficie mide � metros de alto y �� de ancho, ¿cuántos litros falta comprar si un litro rinde �� m � y se quieren dar � manos? A) � litros B) � litro C) �,� litros D) � litros E) � litros

��. Para una receta de cocina se necesita medio kilogramo de harina, � huevos, �� gramos de 1 azúcar y de kilogramo de mantequilla. Si el costo 8 de una docena de huevos es $��, un kilogramo de harina cuesta $�.��, se sabe que un kilogramo el azúcar cuesta el doble que de harina y la mantequilla cuesta $�.�� los �� gramos. ¿Cuál es el costo total de la receta? A) $�.�� B) $�.�� C) $�.�� D) $�.�� E) $��


TOMO I

NÚMEROS

NÚMEROS RACIONALES Como se dijo anteriormente, la sustracción y división en los números naturales no siempre entregan números naturales. Para poder restar sin restricciones se construyó el conjunto de los números enteros. Aún está pendiente el problema de la división. Para ilustrar la importancia de poder dividir sin restricciones, consideremos la siguiente situación: Tenemos dos litros de bebida. Si queremos repartir la bebida entre dos personas en partes iguales calculamos � : � y obtenemos que a cada persona le corresponde un litro. Sin embargo, al agregar una tercera persona a esta repartición, dividiremos � entre � y obtendremos como resultado � y resto �, es decir, a nadie le corresponde tomar bebida y so bran dos litros. Las personas más perspicaces se dan cuenta que � litros de bebida se pueden repartir entre dos personas si a cada persona se le entrega menos de un litro de bebida. Lamentablemente, como no conocemos los números racionales, la mayor cantidad de bebida que podemos repartir sin llega r a un litro es cero litros. En consecuencia, a menos que aprendamos a trabajar con decimales y fracciones, nunca podremos resolver problemas como este. El conjunto numérico que necesitamos introducir para resolver este problema es el de los Números Racionales. En esta sección estudiaremos cómo son, cómo se opera con ellos y algunas de sus propiedades básicas. Estos son todos aquellos que a se pueden expresar en la forma donde a y b son enteros y b distinto de �. Este b conjunto se representa por la let ra Q

Q =

{

a : a, b b

∈ Z, b

≠�

}

Al escribir un número racional como a/b, el número a es llamado numerador, mientras que b recibe el nombre de denominador. En términos simples, un número racional es aquel que se puede escribir como fracción de enteros con denominador distinto de cero. Clasificamos las fracciones en dos tipos: � Fracción propia: Es aquella cuyo numerador es menor que el denominador. Ej: 2 1 3 , , 3 5 10

Suma El inverso aditivo (u opuesto) de

es

� Fracción impropia: Es aquella cuyo numerador es mayor que el denominador. Ej: 9 7 11 , , 4 2 7



Multiplicación El inverso multiplicativo (o recíproco) de

es

Con a y b distintos de �.

Como toda fracción impropia tiene numerador mayor a su denominador, representa una cantidad mayor que �. Esto significa que podemos escribirla como una suma entre un número entero y lo que falte para completarla. Por ejemplo, 9 4 8+ 1 puede escribirse como . Esto se puede interpretar como que se reparten ocho 2 elementos y un elemento adicional entre � individuos, de modo que cada individuo recibe � elementos (la cuarta parte de �) y la cuarta parte del elemento sobrante. 9 1 En símbolos, esto se expresa como 4 = � + 4 . Para abreviar la suma, esta fracción 1 se escribirá simplemente como � 4 . Una fracción impropia expresada de esta manera recibe el nombre de Número mixto. La transformación entre fracciones impropias y números mixtos está dada por

A

a A ⋅ b + a = b b

Observaciones Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos, Igualar numeradores y luego analizar los denominadores: a menor denomi-

Por otro lado, dos expresiones fraccionarias diferentes pueden representar al mis2 mo número racional. Por ejemplo, 1 = , pues al repartir una barra de chocolate 4 2 entre dos personas, cada persona obtiene la misma cantidad de chocolate que al repartir dos barras entre cuatro personas (media barra). En base a ello, tenemos el siguiente teorema que nos ayuda a distinguir cuando dos números racionales son equivalentes o representan lo mismo.

nador mayor el valor de la fracción. Igualar denominadores y luego analizar los numeradores: a mayor numerador mayor el valor de la fracción. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

Teorema #� Equivalencia entre Números c Racionales� Sean a , c ∈ Q , entonces a = ⇔ a · d = b · c b

d

b

d

Una consecuencia importante de este teorema es que al multiplicar por un número positivo el numerador y el denominador, se obtiene una fracción equivalente a la original, este proceso es llamado amplificación. Por ejemplo, al amplificar por � la 2 1 fracción 2 , se obtiene . 4

Si hacemos el proceso inverso de la amplificación, es decir, dividimos simultáneamente por el mismo número el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene una fracción equivalente a la o riginal. Este proceso es llamado simplifica18 ción. Por ejemplo, al simplificar por � la fracción 27 se obtiene 6 . 9

Cuando el máximo común divisor entre el numerador y el denominador de una fracción es �, decimos que la fracción es irreducible. En este caso, no existe manera de simplificar la fracción. Ejemplos de fracciones irreducibles son 25 , 8 y 2 . 42

9

5

Una manera de obtener una fracción irreducible es simplificar por el máximo común divisor entre el numerador y el denominador. Por ejemplo, si se tiene la fracción 18 , como el máximo común divisor entre �� y �� es �, al simplificar por � 27


TOMO I

se obtiene una fracción irreducible. En efecto, al hacer esto se obtiene puede simplificarse nuevamente.

NÚMEROS

, que no

Veamos ahora cómo se puede operar con estos números, los cuales poseen las mismas operaciones que los números naturales y enteros, es decir, adición, sustracción, multiplicación y división. Sin embargo, la forma de operar en el conjunto de los números racionales es diferente. � Adición/sustracción a c ∈ Q, entonces la suma o resta Si , b d de estas dos fracciones esta dada por la regla de la derecha. Es decir, dos fracciones pueden ser sumadas o restadas cuando poseen el mismo denominador.

�

a c ad bc ad ± bc ± = ± = b d bd bd bd

� Multiplicación a c ∈ Q entonces, Si , b d el producto o multiplicación será

�

a c ac b d bd

� División c a Si , ∈ Q entonces, b d su división o cociente será

�

a c a d ad : = ⋅ = ,c ≠ 0 b d b c bc

⋅

=

Al igual que en los números enteros, los números racionales gozan de una propiedad llamada orden total. Esto quiere decir que dados dos números racionales, siempre uno de ellos será mayor al otro, a menos que sean iguales. En otras palabras, todas las fracciones pueden ser comparadas. Para simplificar esta tarea, presentamos la siguiente propiedad.

Teorema #�� Sean

a c , b d

∈ Q y b,d ∈ Z+ , entonces

a c ≥ ⇔ ad ≥ bc b d

NÚMEROS DECIMALES Los números decimales son otra manera de expresar cantidades no enteras. Por ejemplo, el número �,� representa la décima parte de una unidad, el número �,�� representa la centésima parte de una unidad, y así sucesivamente. Al igual que al representar cantidades enteras, cada dígito tiene un valor �� veces menor que si se hubiese escrito en la cifra anterior. A modo de ejemplo 2,81 = 2 +

8 1 + . 10 100



Como se puede observar, este número es una suma de números racionales, por lo tanto, ha de ser un número racional. Si eres un estudiante perspicaz, entonces recordarás que los números racionales son los que puedes escribir como fracción de enteros. La pregunta que surge de manera natural es cuándo y cómo se puede escribir un decimal como fracción de enteros. Para lograr este objetivo clasificamos los decimales en cuatro grupos que detallamos a continuación: � Decimales finitos

Son aquellos que tienen una cantidad finita de cifras decimales no nulas (esto significa que no son cero). Algunas de estas fracciones son �,�; �,��; �,��. Para entender la transformación decimales finitos en fracción de enteros, veremos el siguiente ejemplo: Sea x = �,�� el decimal que intentamos escribir como fracción. Multiplicando por �� se obtiene: ��x = �� Al dividir por �� en cada lado de la ecuación, resulta x = De esto sigue que: �,�� =

3192 1000

3192 1000

Luego de hacer este proceso con varios decimales finitos notarás la siguiente propiedad: Al escribir un número decimal finito como fracción, el numerador estará formado por las mismas cifras, sin la coma. Mientras que en el denominador se tendrá un número formado por un uno, seguido de tantas cifras cero como dígitos haya después de la coma.

Ejemplo / Si tenemos el número �,��, podemos transformarlo en

�

31.415 3,1415 = 10.000

=

31.415 4

10

fracción de la siguiente manera

� Decimales infinitos periódicos

Son aquellos cuyas cifras decimales se repiten infinitas veces. Por ejemplo �,��..., �,��.... Como resulta engorroso escribir tantas cifras, adoptamos una notación más abreviada y los números que se repiten infinitamente se escribirán con una barra encima. Así, los números anteriores se escribirían como �,� y �,�� respectivamente. El conjunto de cifras que se repiten recibe el nombre de período.


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Al igual que con los decimales finitos, mostraremos como transformar los números decimales infinitos periódicos a fracción. Considere el decimal x = �,��. Desarrollando un poco su expansión decimal se tiene: x = �,�� Multiplicando por ��, se obtiene: ��x = ��,�� Restando x = �,�� resulta: ��x -x = ��,�� - �,�� Es decir, ��x = �� -� Al dividir por ��, resulta: x =

1718 − 1 999

Observaciones

1717 Es decir, la expresión fraccionaria que resulta de �,�� es 999

Lo anterior se aplica para números

En general, para transformar de decimal infinito periódico a fracción, se toma el

cifras. En caso de tener un decimal

decimales con una cantidad finita de

número sin la coma, se resta su parte entera y luego se divide por tantas cifras nueve como dígitos tenga el período.

entonces su escritura en fracción será

mienda transformar a fracción y luego operar con ellos para evitar errores.

Ejemplo / Si consideramos �,��

semi-periódico o periódico, se reco-

Para el paso de fracción a decimal,

�

3,14

314 3 99 −

=

=

311 99

simplemente se divide el numerador por el denominador.

Un caso muy importante de estas transformaciones es �,�. Al escribirlo como frac9 ción, te darás cuenta que se escribe como = 1 , es decir, los números �,� y � son 9 equivalentes.

� Decimales infinitos semiperiódicos

Estos números están formados por un número finito de cifras que no se repiten, seguido de un período que se repite infinitas veces. Por ejemplo, un decimal infinito semiperiódico es �,��. En este caso, el número � también es llamado período. Los dígitos que están después de la coma y antes del período reciben el nombre de anteperíodo . Intentemos ahora escribir este número como fracción: x = �,�� Multiplicamos por �� para que el anteperíodo pase al lado izquierdo de la coma ��x = ��,�



Por otro lado, simultáneamente multiplicamos por �� para que un período y el anteperíodo pasen al lado izquierdo de la coma: ��x = ��,� Restamos ambas igualdades para eliminar los decimales ��x - ��x = �� - ��, obteniendo: ��x = �� - �� Finalmente despejamos x = Así, �,�� = Observación

3293 − 329 900

3293 − 329 900

Para pasar un decimal semiperiódico a fracción, se debe tomar el número

Ejemplo /

completo sin la coma, restar todo lo que

Si consideramos el número

está antes del período y dividir por un

�,��, entonces su escritura

número formado de tantos nueves como

en fracción será

�

3,1415

31.415 =

−

314

9.900

31.101 =

9.900

dígitos tenga el período y ceros como dígitos tenga el anteperíodo

� Decimal infinito no periódico

Es aquel con infinitas cifras decimales, pero sin repetir un gr upo de cifras una cantidad infinita de veces. Ejemplos de este tipo de decimales son π = �,��... y

2 = �,��... . Este tipo de números no puede escribirse como fracción de

enteros, de modo que no son números racionales. Cuando los números decimales son finitos, se puede operar con ellos sin necesidad de pasar de número decimal a fracción, de la siguiente manera: Adición o Sustracción� Para sumar o restar números en desarrollo decimal se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas y los decimales bajo los decimales (si no tienen la misma cantidad de decimales, se pueden agregar ceros a la derecha al que tenga menor cantidad de decimales hasta igualarlos), luego se realiza la suma o resta según corresponda de derecha a izquierda. Observación El conjunto de los números reales, no es el conjunto más grande que podemos encontrar, de hecho existen

Ejemplo / Sumemos los números �,�� y �,��. Para ello, notamos que el

infinitos conjuntos más grandes y que

primero de ellos tiene dos decimales mientras el segundo tiene

contienen a los números reales como

�, por ello igualamos agregando un cero a la derecha del prime-

subconjunto. Ejemplo de números

ro, es decir, �,��. Luego sumamos como se explica antes

que no son reales, son los de la forma para n un número par y a < �.

0,250 + 2,125 + 2,375


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NÚMEROS

Multiplicación� Para multiplicar números decimales, lo haremos tomando los números como si fueran enteros (ejemplo �,�� lo tomamos como ��), los multiplicamos de manera usual y en el resultado colocamos la coma de modo que el numero resultante tenga tantos decimales como los números en conjunto.

Ejemplo / Para los mismos números anteriores �,�� y �,��, si les eliminamos la coma obtenemos �� y �.��, y si los multiplicamos de manera usual se obtiene ��.��. Luego observamos que en los números iniciales el primero tiene dos decimales mientras que el segundo tres, por lo que en conjunto poseen � decimales y por ende, el resultado final tendrá dicha cantidad de decimales, es decir, el resultado será �,��.

División� Para dividir, se puede transformar ambos números a enteros multiplicando por una potencia de �� donde el exponente será la cantidad de decimales que tenga el número, con mayor cantidad de los mismos.

Ejemplo / Para los números anteriores, observamos que �,�� tiene mayor cantidad de decimales (tres) y entonces multiplicaremos ambos números por �� = �.�� obteniendo así a �.�� y ��, y luego dividiendo de manera usual obtenemos �,�.

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Muchas veces nos interesa calcular cantidades con muchas cifras decimales, pero solo nos interesa obtener un valor cercano al número decimal. Por ejemplo, si se reparten �� pesos entre tres personas, al calcular cuánto dinero le corresponde a cada uno, se obtiene como resultado ��,�. Como no es posible entregar u na cantidad decimal de dinero, aproximamos este número a �� pesos por persona. Este es un caso particular de aproximación que llamamos truncamiento al entero.



Para aproximar números racionales existen dos criterios: � Aproximación por truncamiento

Consiste en eliminar las cifras que no interesan. Por ejemplo, si nos interesa aproximar el número �,�� a la milésima por truncamiento, consideramos únicamente las cifras que se ubican desde la milésima hacia la izquierda, es decir, �,��. � Aproximación por redondeo

Este tipo de aproximación es más minuciosa, pues busca la cantidad más cercana al número que se aproxima. Por ejemplo, si se tiene el decimal �,�� y se desea aproximar por redondeo a la centésima, se sabe que el valor busc ado se ubica entre �,�� y �,��. Como la cifra siguiente (�) está más cerca de �� que de �, el número �,�� se acerca más a �,�� que a �,��. De modo que la aproximación por redondeo serí a �,��. Si en lugar de �,�� se quisiera aproximar el número �,��, entonces la aproximación por redondeo coincidiría con el truncamiento, pues la cifra � se acerca más a � que a ��. Así, la aproximación por redondeo a la centésima de �,�� es �,��. A modo de regla general, incrementaremos la última cifra aproximada si el primer dígito eliminado está entre � y �. Mientras que mantendremos la última cifra cuando el primer dígito eliminado sea un número entre � y �.

NÚMEROS IRRACIONALES Ya que conocemos los números racionales, estudiaremos el resto de los números. Comenzaremos con un caso particular:

2

Si 2 fuera un número racional, signi fica que existe una fracción irreducible tal que 2=

p ,con p, q q

∈ Z.

Por la definición de la raiz, queda 2 =

p2 , es decir, �q� = p�. 2 q

Como �q� es par, se puede dividir por � y por lo tanto, ocurre lo mismo con p�, concluyendo que p también se puede dividir por �. Luego, como p se puede dividir por � es un número par y puede ser escrito de la forma p = �k con k un número entero, por lo que reemplazando obtenemos que �q� = (�k)� = �k�

⇔

q� = �k�


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NÚMEROS

Con el mismo razonamiento, podemos ver que ocurre exactamente lo mismo con q. Luego, como tanto p como q son divisibles por dos, entonces podemos simplificar la fracción por �. El problema yace en que la base de nuestro razonamiento estaba en la suposición que

p era irreducible, pero acabamos de mostrar que no lo es pues se simplifica por q

�, y esto es una contradicción. Por lo tanto,

2 no se puede escribir como una fracción irreducible de números

enteros, entonces

2 no es racional.

Este resultado nos lleva a todo un nuevo conjunto de números, los Ir racionales, que se definen como los números que tienen una expansión decimal infinita no periódica, e incluyen no sólo a

2 sino que a todas las raíces que no provie-

nen de un cuadrado perfecto, como �, �, �... etc, y además algunos números que

aunque infinitos son tan útiles que tienen su propio nombre, como π y e, ya que son esenciales para la geometría de los círculos en el caso de π o definiendo una función fundamental como lo es la exponencial (esto lo veremos en el futuro).

TIP PSU Estas son algunas de las aproximaciones de las raíces que aparecen con frecuencia en la PSU:

Hay que notar que los números irracionales siguen siendo números, sólo que como

= �,��...

a nadie le gusta escribir in finitos decimales, su forma más simple de escribirlos está

= �,��...

en los símbolos que acabamos de ver. Por lo tanto, operarlos para simplificarlos a

= �,��...

2 y

= �,��...

2 + 3 , pero las reglas para tratar estos casos las

= �,��...

un único símbolo es difícil, por ejemplo la mejor forma de escribir la suma de 3 es por medio de la expresión

veremos en el capítulo � de este tomo. Al igual que los números racionales, los números irracionales tienen sus propios criterios de aproximación. Estos son la aproximación por defecto y la aproximación por exceso. � Aproximación por defecto

Consiste en tomar el número menor entre los que se ubica el número que se desea aproximar. Por ejemplo, la expansión decimal de

10 es �,��... Si queremos

aproximar por defecto a la décima, notamos que se ubica entre �,� y �,�. Como deseamos tomar el número menor, escogemos la aproximación �,�. � Aproximación por exceso

Al contrario que la aproximación por defecto, se toma el número mayor entre los que se ubica el número que se desea aproximar. Por ejemplo, al aproximar por exceso a la centésima el número

10 resulta �,�.



NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los racionales (Q) y los irracionales (I), conjunto el cual se representa por R, es decir, R = Q ∪ I. Las operaciones dentro de este conjunto son las mismas que antes y al contener a los números irracionales heredan sus problemas frente a ellas, por ello es importante tener las siguientes reglas en mente al momento de operarlos:

� La operación entre números racionales, da siempre otro número racional. � La operación entre números irracionales, no da siempre un irracional. Por ejemplo, si consideramos los números � +

2 y

2 , su resta es �, que no es un irracional.

� La operación entre un racional y un irracional, siempre obtiene como resultado un irracional (exceptuando la multiplicación por �).

SUCESIONES �OPCIONAL� Una sucesión es una lista ordenada infinita de números, por ejemplo �,�,�,�,�,�, etc. donde lista infinita se entiende como una que nunca acaba. La definición es realmente sencilla, pero los problemas que se nos pueden presentar con ellas pueden ser bastante complicados, principalmente porque la manera de resolverlos no es estándar. Existen en esencia dos clases de sucesiones:

� Las primeras son aquellas donde la lista de números que compone la sucesión es completamente aleatoria, es decir, no sigue ningún patrón y no podemos inferir otros elementos a partir de una cantidad finita de ellos. Un ejemplo de este tipo de sucesiones es �, �, �, �, �, �, �, �, �, �, ��, �, �, etc.

� El segundo tipo de sucesiones son aquellas donde la lista de números que compone la sucesión tiene un patrón o una ley de formación, es decir, uno puede obtener una fórmula que nos permita obtener cualquier elemento de la lista según su posición en la misma. Por ejemplo consideremos la sucesión �, �, �, �, ��, ��, ��, ��, etc. La sucesión anterior es claramente de los números pares y por ende tiene una ley de formación muy clara que es �n, donde n es la posición del elemento que deseamos.



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NÚMEROS

EJERCICIOS PROPUESTOS La expresión 4 −

La expresión 1+

La expresión 5 −

3 2 2+ 3

2 2 3− 7

1 3 2+ 8

es igual a

es igual a

es igual a


La familia Galasso celebra la graduación de magíster de su hijo Bastián y para la ocasión compra un pie de limón. El día de la celebración, entre los invi1 tados se comen del pie, al día siguiente la familia 3 1 Galasso se come de lo restante en el desayuno 6 1 y finalmente Bastián se come 2 de lo restante a escondidas de su esposa. ¿Cuánto sobró del pie?

Tres hermanos reciben una herencia por la muerte 2 de su padre. Si el hermano mayor recibe de ella 3 1 y el menor 3 de lo restante. ¿Cuánto recibe el hermano del medio?

Entre � amigos compran � pizzas para comer mientras estudian para una prueba. Si cuatro de ellos 1 1 comen del total de pizzas y el quinto come sólo 8 5 de lo que quedó, ¿Cuánta pizza sobró?


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NÚMEROS

EJERCICIOS

�. ¿Cuál de los siguientes números es racional?

�. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

A) 3 B) 3 3

I. 5 4 − 9

C) 9 3

 2 2  +  : 2 II.   3 6  

III. 2 − 169 + 3

D) ( 3)2 3 E) 3 3 ⋅ 3

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

�. Al resolver 2 − 5 + 1 se tiene como resultado 3 6 12 A) − 1 6 2 B) − 21 C) − 1 12 D) 1 12 E) 19 12

�. La expresión 3 −

14 es igual a 1 5− 3

A) 17 3 B) � C) −

1 3

D) −

9 2

E) �


CAPÍTULO 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS

�. Si al quintuple de �,� se le resta el doble de �,�, entonces resulta

A) 3,66 B) ��,� C) 3,69 D) �,�� E) 3,6

1 1 1 − + +1 2 3 13

A) 97 78 101 B) 78 1 C) 3 12 D) 169 203 E) 53

A) �,� B) �,� C) �,�� D) −�,�� E) ��

�. La expansión decimal del número

�. Resuelva

366 es: 99

�. Andrés demora en hacer una pizza � hrs, Juan � hrs y Pepe �,� hrs. Si todos parten al mismo tiempo, cuántas pizzas llevarán hechas al momento que vuelvan a empezar todos juntos? A) � B) � C) �� D) � E) �


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�. Si S

A) B) C) D) E)

=

1 P R entonces R−� es igual a 3 ⋅

⋅

3S P P 3S S 3P P 3 3P S

NÚMEROS

��. Constanza, Camila y Valentina son jugadoras de ajedrez que demoran en promedio por jugada �,��; �,�� y �,�� segundos, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La suma de las centésimas de los tiempos de Constanza y Camila resultan ser las centésimas del tiempo de Valentina. II. La que juega más rápido es Camila. III. Constanza demora � centésimas menos que Valentina. A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

1 1

1

��. Se ha vendido , y de una rifa de la cual 5 2 10 quedan � números por vender. ¿Cuál es la cantidad de números vendidos de la rifa? A) �� B) �� C) �� D) �� E) No se puede saber

��. Si el precio de un producto es $��.��, el cuál la semana que sigue aumentará en un tercio de su precio, y la semana que le sigue disminuye en un tercio de su precio, entonces ¿Cuál será el precio pasadas las dos semanas? A) $��.�� B) $��.�� C) $��.�� D) $��.�� E) $��.��



��. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I. Al multiplicar un número irracional con un número racional, el producto es siempre un número racional. II. Al multiplicar dos números irracionales el producto es siempre un número irracional. III. Al dividir un número racional -distinto de cero- con un número irracional, el cuociente es siempre un número irracional.

25 ��. Si a �� se le restan los de su mitad, 125 entonces el resultado es

A) -�� B) �� C) �� D) �� 1 1 E) 500 − ⋅ 2 5

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo II y III D) Sólo I y II E) Ninguna de las anteriores

��. ¿Cuál es el término número � de la siguiente 5 10 17 26 37 sucesión? 1, , , , , ,... 2 2 2 2 2 48 A) 2 49 B) 2 73 C) 2 50 D) 2 44 E) 2

��. En la sucesión 5 , 8 ,11,14 ,... El término siguiente 8 6 4 2 es

A) �� B) � C) �� D) − 19 2 E) Indeterminado


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��. Si se tiene la secuencia � + � = ��, � + � = �, � + � = ��, � + � = ��,

NÚMEROS

��. Si para imprimir un libro se usan � toners, entonces cuántos toners he usado si llevo impresos �� libros y se me acabo el toner justo en la mitad del ��avo?

entonces � + � es igual a A) � B) � C) �� D) �� E) ��

A) �� toners B) �� toners C) �� toners D) �� toners E) �� toners

��. ¿Cuál es el sexto término de la sucesión �, �, ��, ��, ��, ...?

��. Si hoy es martes, ¿Qué día de la semana será en �.�� días más, a partir de hoy?

A) � B) �� C) �� D) �� E) ��

A) Viernes B) Sábado C) Lunes D) Martes E) Jueves



��. La expresión 1 + 1 + 1 , es igual a 1 1 1 1 x x x A) 3 x B) x� C) �x 1 D) 3x E) x−�

��. El recíproco de 1 sumado con el inverso aditivo 5 de −� es igual a

��. Dados los racionales p = 19 , q = 3 , y r = 37 , 13 2 26 entonces se cumple que A) q < r < p B) q < p < r C) p < q < r D) r < q < p E) r < p < q

r

��. La expresión p ⋅ q -con p, q y r números enteros, con p y q distintos de �- es positiva si

A) � B) 4 5 C) 24 5 D) 26 5 E) ��

(�) r < 0 y p < �. q (�) p · q > � y r no negativo.

A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional


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��. Se puede determinar el numerador de cierta fracción si (�) Se conoce el denominador de la fracción y se sabe que la fracción es menor a �. (�) Se conoce su expansión en desarrollo decimal.

NÚMEROS

��. Resolviendo [�,� − �,� · (�,� + �,�)] · �,� se obtiene A) � B) �,�� C) �,�� D) �,�� E) �,��

A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional

��. El resultado de �,¯� + �, ¯� es igual a ��. ¿Cuál es el quinto número de la siguiente serie: �, ��, ��, ��,... ? A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

___ A) �,�� B) �,� C) � D) �,�� _ E) �, �



��. René comparte sus dos barras de chocolate iguales con sus dos amigas Camila e Ignacia. A 8 7 Camila le da 9 de una barra y a Ignacia de la otra 9 barra, quedándose René con el resto de chocolate. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I. René se quedó con 1 de la cantidad de chocolate que tenía. 3 II. Entre Rene e Ignacia comieron más que Camila. III. Quien recibió más chocolate fue Camila.

��. La expresión

n2

( 1) −

1 es verdadera, si

= −

(�) n es impar (�) n� − � es par A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional

A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

��. Una piscina está con agua hasta un cuarto de su capacidad. Si se sacan � litros, entonces queda sólo hasta la octava parte de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad de la piscina? A) ��,�� Litros B) ��,�� Litros C) ��,�� Litros D) ��,�� Litros E) ��,�� Litros

��. Si p ∈ Q y r ∈ I, es correcto afirmar que A) pr ∈ I B) p − r ∈ C) p + r ∈ 2 D) r ∈ E) p ∈ r


TOMO I

��. ¿Cuál es el orden correspondiente de mayor a menor de los siguientes números decimales?

NÚMEROS

��. Con cuadrados de igual tamaño se ha armado la siguiente secuencia de figuras

�,� - �,�� - �,�� - �,�. A) �,�� - �,� - �,�� - �,� B) �,� - �,�� - �,� - �,�� C) �,� - �,� - �,�� - �,�� D) �,�� - �,� - �,� - �,�� E) �,�� - �,� - �,�� - �,�

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

1

��. La expresión 1+ 1+

A) 11 7 B) 7 11 C) 10 7 D) 4 3 E) 7 10

es igual a

1 1+

1 3

I. La novena figura de la secuencia está formada por �� cuadrados. II. De acuerdo a la secuencia, cualquier figura tendrá un número impar de cuadrados. III. La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de cuadrados entre la primera y la sexta figura es �. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo III E) Todas son correctas



��. Mauricio tiene una piscina de �� litros de 1 capacidad, llena hasta 10 Litros ¿Cuántos litros 4 faltan para llenarla? A) �� B) ��,�� C) �� D) �,�� E) �,��

��. De una torta me sobró la tercera parte. Si esta parte la divido en tres y reparto una de ellas; entonces, ¿Qué parte de la torta reparto?

A) 2 9 B) 1 3 C) 1 9 D) 9 2 E) 3 9

1 5 2 ��. El orden de los números a = , b = y c = de 3 12 9 menor a mayor es

��. ¿Cuánto se obtiene si el producto �,�� · �,�� se divide por el producto �,� · �,��?

A) a < b < c B) c < b < a C) c < a < b D) a < c < b E) b < a < c

A) �,�� B) �,�� C) �,�� D) �,�� E) �,�


TOMO I

NÚMEROS

��. Sean a, b, c y d números enteros positivos. Si a c z = + , entonces z es b d A)

bd

(ad (ad B)

+ +

) bc )

bd

bd ac C) bd a+ c D) b+d

( ( (b E) (a

+ +

) ) d) c)


MIS ANOTACIONES Te damos espacio extra para que puedas desarrollar mejor los ejercicios

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CAPÍTULO 3

PRODUCTOS NOTABLES Este material fue descargado des cargado para uso exclusivo de Francisco Pérez Pérez Valencia, [email protected]. Se prohibe su reproducción. Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com www.psuparatodos.com

CAPÍTULO 3 / PRODUCTOS NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES En álgebra nos encontramos con resultados de productos que se repiten permanentemente, por lo que es importante manejarlos a cabalidad para simplificar expresiones algebraicas. Estos productos son los que se denominan notables y pasamos a mencionar y describir cada uno de ellos. El primer producto notable es el cuadrado de binomio, que es el cuadrado de una suma de dos elementos, es decir, (a + b)�. Este producto es sumamente conocido y útil, por ello presentamos a continuación su expresión desarrollada ( a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Otro producto importante que involucra binomios, pero esta vez uno es suma de dos elementos y el otro la resta de los mismos, toma el nombre de suma por su diferencia y su expresión esta dada por ( a + b )( a − b ) = a2 − b2 El tercer producto que veremos responde a la pregunta natural cuando uno aprende el cuadrado de binomio, el cual es conocido como cubo de binomio, es decir, un binomio elevado a tres, cuya expresión esta dada por ( a ± b )3 = a3 ± 3a 2 b + 3ab2 ± b3 Estos resultados se pueden extender a un binomio binomio (a (a + b) elevado a n veces, simplemente multiplicando (a + b)(a + b) · . . . · (a + b) n veces en forma iterativa. Si bien esta operación no es compleja, toma mucho tiempo. La forma más rápida de obtener los resultados es utilizando el triángulo de Pascal (Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en ��, en su Traité du triangle arithmétique). arithmétique) . Ya sabemos que un binomio (a binomio (a + b) elevado b) elevado a cero es uno, con a + b ≠ �, � , es decir, (a + b)� = � El mismo binomio elevado a � es (a + b)� = � · a + � · b Elevado a � (a + b)� = � · a� + � · ab + � · b � Elevado a � (a + b)� = � · a� + � · a�b + � · ab� + � · b �


TOMO I

NÚMEROS

Si tomamos solamente los números que acompañan a los factores, vemos que se puede formar un triángulo con una secuencia lógica (a + b)�

1 1 1 1 1 1

2 3

4

(a + b)�

1

(a + b)�

1 3

6

(a + b)�

1 4

(a + b)�

1

5 10 10 5

(a + b)�

1

¿Cuáles serán entonces las constantes asociadas a (a+b)�? Efectivamente son �, �, �, � y �. Veamos por qué (a + b)� = (a + b)(a + b) � = (a + b)(a �+�a�b+�ab�+b� ) = a�+�a�b+�a�b�+ab�+a�b+�a�b�+�ab�+b� es decir (a + b)� = a� + �a�b + �a�b� + �ab� + b� ¿Y si quisiéramos obtener (a + b)�? Sabemos que las constantes serían �, �, ��, ��, � y �, pero ¿Cómo armamos el resultado?. El resultado será el primer término elevado a � por el segundo término elevado a � por la constante correspondiente. El segundo será el primer término elevado a � por el segundo elevado a � por la constante y así sucesivamente hasta terminar con los términos elevados a � y � respectivamente. (a + b)� = = =

a� a�b� �a�b�

a� a�b� �a�b�

a� a� a�b� a�b� ��a�b� ��a�b�

a� a� a�b� a�b� �a�b� �a�b�

/ Las a / Las b / Las constantes

¿Los sumo o los resto? Si es (a + b) sumo todo, si es (a − b) la resta va intercalada, (a + b)� = a� + �a�b + ��a�b� + ��a�b� + �ab� + b� (a − b)� = a� − �a�b + ��a�b� − ��a�b� + �ab� − b�

FACTORIZACIÓN Factorizar significa tomar un resultado y llevarlo a factores, donde estos pueden ser monomios, binomios, trinomios, etc. La factorización se puede interpretar como la operación inversa que desarrollar productos notables, es decir,



Factorización �(x + �y)

=

�x + �y

Producto Notable Uno de los ejemplos más clásicos es encontrarnos con expresiones algebraicas de la forma a� + �ab + b�, que ya sabemos que no es más que un cuadrado de binomio y sabemos que lo podemos factorizar por (a + b)�. Ahora bien, uno puede preguntarse ¿Para qué me sirve poder factorizar? L a respuesta es sencilla, el factorizar simplifica algunos problemas que parecen en extremo complicados pero que en realidad son muy sencillos, como lo mostramos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo / Suponga que x≠y, y considere la expresión

x 5 + 5x 4 y + 10x 3y 2 + 10x 2y 3 + 5xy 4 + y 5

(x

2

+

)(

)

2xy + y 2 x 3 + 3x 2y + 3xy 2 + y 3

Independiente de la pregunta que me estén haciendo -que podría ser, por ejemplo, calcule lo anterior para x = �.��.�� e y = ��.��.��.��- factorizando se puede simplificar mucho el problema, así que si factorizamos el numerador y denominador de la expresión anterior obtendremos lo siguiente 5

(x

52

+

)(

2xy + y 2 x 3 + 3x 2y + 3xy 2 +

5

(x y ) (x y ) y ) (x y ) (x y ) (x y )

x 5 + 5x 4 y + 10x 3y 2 + 10x 2y 3 + 5xy 4 + y 5 3

+

=

+

2

+

3

=

+

5

=

1

+

es decir, si el problema fuese calcule lo anterior para x = �.��.�� e y = ��.��.��.��, entonces sabemos de inmediato que la respuesta es � y no perdemos un montón de tiempo en reemplazar estos valores.

Para poder factorizar con cierta facilidad y rapidez, es necesario tener siempre presente los productos notables y de esa manera será mucho más fácil reconocer los factores. A modo de conocer más productos notables, consideraremos como uno de las básicos -junto a todos los anteriores- el siguiente x 3 ± y 3 = ( x ± y )( x 2  xy + y 2 )


TOMO I

NÚMEROS

Otras factorizaciones que es necesario dominar a cabalidad son la factorización por factor común y la factorización de trinomios cuadráticos. A continuación mostramos como trabajar con ellas. � Factor común Se basa en el producto notable más simple. Como sabemos que a(b + c) se desarrolla como ab + ac, cuando tenemos sumas (o restas) de términos algebraicos donde se repita alguno de los factores (el que tomará el rol de a), podemos factorizarlas dejando los términos repetidos como factor de la suma de los términos que no se repiten.

Ejemplo / Factoricemos la expresión ��x �yz − ��xyz � . Notamos que los coeficientes numéricos son �� y ��. Aunque en principio parezcan no tener nada en común, al calcular su máximo común divisor notamos que ambos números son múltiplos de �. Si escribimos �� = � ⋅ � y �� = � ⋅ �, notamos que en los términos numéricos se encuentra el factor común �. x aparece en los dos términos, en el primero aparece dos veces

(x � ), mientras que en el segundo solo una vez. Los términos solo tienen una x en común. La letra y aparece una vez en cada término, de modo que y también es factor común. La letra z aparece tres veces en el primer término, y dos en el segundo. Así, z puede extraerse dos veces como factor común, obteniendo el factor z � . En este caso, la expresión factorizada será �xyz � (�xz - �).



FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRÁTICOS Este tipo de factorizaciones será la más importante cuando estudiemos ecuaciones cuadráticas. Para entenderlas mejor, comencemos con un ejemplo. Al desarrollar el producto ( x + �) ( x − �), se obtiene x� + x − �. Notemos que el término x va acompañado del coeficiente numérico � y el término libre es -�. Al sumar los números � y -�, se obtiene � (precisamente el coeficiente de x), y al multiplicar � y -� aparece el término libre -�. De esto se sigue que la factorización de x� + x − � es ( x + �)( x − �). La generalización de este hecho se puede establecer de la siguiente manera: Para factorizar una expresión de la forma x� + bx + c, se deben hallar dos números, m y n cuya suma sea b y su producto sea c. Así x� + bx + c = ( x + m)( x + n).

Ejemplo / Factoricemos la expresión x� − � x − ��. De acuerdo a lo estudiado, debemos buscar dos números cuya suma sea -� y su producto -��. Como el producto es negativo, los números deben tener signos distintos. De modo que al sumarlos, sus valores absolutos se restarán. Entonces buscamos dos números cuya resta sea � y su producto ��. Luego de encontrarlos (� y �), como deben tener signos distintos y la suma debe ser negativa, entonces el signo queda en el número mayor. En conclusión, los números buscados son -� y �. Así, la factorización es ( x − �)( x + �).

A veces es necesario factorizar expresiones de la forma ax^� + bx + c. En estos casos, debemos trabajar de manera metódica y descomponer el problema de la factorización en varias partes más sencillas.


TOMO I

NÚMEROS

Ejemplo / Factoricemos la expresión � x� + � x − �: Notamos que el primer término no es un cuadrado perfecto (pues no se puede obtener � como cuadrado de un número racional). Para solucionar este problema, nos aprovecharemos de que al multiplicar por �, la expresión no cambia. Como nos interesa que aparezca un cuadrado perfecto, multiplicaremos por �, pero escribiremos � como 2 . 2

Así �x � + �x − � = � ⋅ (�x � + �x − �) =

2 2 ⋅ (�x � + �x − �) = 4x + 7·2x − 8 2 2

Ahora que el primer término es un cuadrado perfecto (pues es el cuadrado de �x ), podemos resolverlo como el problema anterior. Para que no nos estorbe el � que acompaña a x � , definimos la variable auxiliar μ = �x . Así, nuestra expresión puede transfor2 marse en 4x + 7·2x − 8

2

=

µ

2

+

7µ − 8 2

Factorizar el numerador de esta fracción se p uede hacer de manera similar al ejemplo anterior; buscamos dos números que multiplicados resulten -� y cuya suma sea �. Dichos números son � y -�. Así, nuestra expresión se convierte en µ

2

+

7µ − 8 (µ + 8)(µ − 1) = 2 2

Como la pregunta se hace en términos de x , no podemos responder utilizando la variable μ. Al deshacer el cambio de variable (esto significa reemplazar μ por el valor que le dimos al principio), se obtiene: ( µ + 8)(µ − 1) (2x + 8)(2x − 1)

2

=

2

El próximo desafío que se nos presenta es simplificar esta expresión fraccionaria. Para ello factorizamos (�x + �) mediante factor común, obteniendo �(x + �). Así (2x + 8)(2x − 1) 2(x + 4)(2x − 1)

2

=

2

Al simplificar, se obtiene (x + �)(�x − �). En conclusión, la factorización de � x � + �x − � es (x + �)(�x − �)




Factorice la expresión x� − �x�y + �xy � − y �

Factorice la expresión xyz − yz + xy − y

Considere la expresión

a 2 + 2ab + b 2 a 2 − b 2

Factorice la expresión �x� + �xy + xz + yz

Si a = � y b = −�, entonces el valor de la expresión anterior es


a 3 + 3a2b + 3ab 2 + b 3 a 2 − b 2

Si a = � y b = �, entonces el valor de la expresión anterior es


a 2 − b 2

(

3

)

a − b

Si a = � y b = �, entonces el valor de la expresión anterior es


TOMO I NÚMEROS

EJERCICIOS

�. Un par de valores de x e y que cumplen que 3

(x y) (x y ) 2xy )( x y ) (x xy 3

+

(x

2

+

y

2

+

−

−

�. Al evaluar la expresión

3

2

+

+

y

2

)

=

(a + b)� − �b(�a� + b�),

1

para a = �� y b = �� se obtiene

son

A) �

A) x = � e y = � B) x = � e y = � C) x = � e y = � D) x = � e y = � E) x = � e y = �

B) �� C) � D)

2

E) Son números demasiado grandes para calcular

�. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente

�. x� + �x + � =

a la expresión a + a + �? �

A) (x + �)(x + �) A) (a + �) �

B) (x − �)(x + �)

B) (a − �) �

C) (x + �)(x − �)

C) (a + �) − � �

2

 1  3 D)  a +  +  2  4

D) (x − �)(x − �) E) No se puede factorizar como producto de binomios

E) Ninguna de las anteriores.



�. La mejor factorización para x� − x es

�. (�p − �)(�p + �) − (�p − �) � =

A) (x� − �)x

A) −��p� − �� + ��p

B) (x� − �)(x� + �)

B) ��p� − �� + ��p

C) (x� + �)(x� − �)

C) −��p� + �� + ��p

D) x(x� + �)(x + �)(x − �)

D) −��p� + �� − ��p

E) x�(x − �)�(x + �)


�. Si a las medidas de ambos lados de un �. (�x − �y)� =

rectángulo de lados a y b se les resta c, entonces la nueva área será

A) �x� + ��xy + �y � B) �x� − ��xy − �y �

A) a� + b�

C) �x� + ��xy − �y �

B) a + b − �c

D) �x − ��xy + �y

C) a� + b� − �c�

�

�

E) �x� − ��xy + �y �

D) ab + c � − ac − bc E) (a − c) �


TOMO I NÚMEROS

2

�. Al factorizar a� − b� − a − b se obtiene

 2 3  =  3 a − 4 b 

��.

A) (a − b)(a � + b�) B) (a + b)(a − b − �)

4 2 9 2 A) a − ab + b 9 16

C) (a − b)(a − b − �) D) (a + b)(a − b + �)

B)

E) (a − b)(a − b + �)

4 9 4

2

a

−

1 2

ab +

9

2

b

16 9 C) a2 + ab − b2 9 16 4 1 9 D) a2 + ab + b2 9 2 16 4 1 9 E) a2 + ab − b2 9 2 16

��. La expresión x x

2

2

+

−

16

8x + 16

es equivalente a x

A) x + 4 B)

��. ¿Cuál de la siguientes expresiones tiene como factor a k − �?

x+4

x−4 x−4 −1 C) x+4

A) k� + k − �

x−2

D) k� − �k + �

x+4 8 E) 1− x+4

E) k� + k − �

D)

B) k� − �k + � C) k� − k + �



��. Sea x un número entero natural tal que x � +�x−�

��. m − � es factor de la expresión

representa el área de un rectángulo, si ambos lados son polinomios de grado �. ¿Cuál de los siguientes

A) m� + m − ��

pares, representa siempre el par de lados

B) m� − m − ��

correspondientes a dicho rectángulo?

C) m� + m + �� D) m� + m − ��

A) (x − �) y (x + �)

E) m� + �m − ��

B) (x + �) y (x − �) C) (x + �) y (x + �) D) (x − �) y (x − �) E) Ninguna de las anteriores

��. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) factor(es) de la expresión �x� − ��x+ �? ��. ¿Cuál es el valor de la expresión I. (�x − �) � (x − y)�� − (y − x)��,

II. �x − � III. �x� − �

para x = � e y = �? A) Sólo I A) �

B) Sólo I y II

B) �

C) Sólo I y III

C) �

D) Sólo II y III

D) �

E) I, II y III



TOMO I NÚMEROS

��. x� + y� = (x + y) � si:

��. ¿Cuál es la suma del área y el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide x + �, para x

∈

R?

(�) x = � (�) y = �

A) x� + �x + �� B) (�x + ��)�

A) (�) por sí sola.

C) x� + ��x + ��

B) (�) por sí sola.

D) (x + �) � − �

C) Ambas juntas, (�) y (�).

E) Ninguna de las anteriores.

D) Cada una por sí sola, (�) ó (�). E) Se requiere información adicional.

��. (�x − �) � − (�x − �)(�x + �) =

��. a� + ab + ax + bx =

A) −�x

A) a(a + x) �

B) �x + �

B) (a + x)(a + b)

C) �(�x − �)

C) (a + x)(a + b − �)

D) �(� − �x)

D) (a − x)(a + x)(a + b)

E) −� − ��x

E) ax + (a + b)ax



1+ ��. Si simplificamos la expresión restamos �, obtenemos

1−

1 a − 1 y a ello le 1

��. Sea la expresión (�x − �)(ax + b). ¿Cuál de los

a+1

expresión anterior es divisible por �x − �?

siguientes valores de a, b ∈ R son tales que la

A) � A) a = � y b = −�

B) � a+1 C) a−1 2 D) a −1 2 E) a+1

B) a = � y b =

C) a = � y b = −� D) a = � y b = � E) Ninguna de las anteriores

2

��. Si

8

4a

−

25 2

(2a 5)

=

1 entonces a es igual a

−

��. Si tenemos la expresión (�x − y) �, el término donde x tiene exponente � es

A) � B) �

A) ��x�y�

C) -�

B) −��x�y�

D) Puede tomar cualquier valor

C) −y�

E) No existe valor de a ∈ R tal que cumpla lo anterior

D) −��x�y� E) −��x�y�


TOMO I NÚMEROS

��. �a� − ��a � =

��. (� + b) � =

A) (�a� − ��a)(�a� + ��a�)

A) � + �b + �b � + b�

B) �a�(a� − ��)

B) b + �b + �b � + b�

C) �a�(a − �)(a + �)

C) � + �b + �b � + b�

D) (�a� − ��a)�

D) � + �b + b � + b�


E) � + �b + �b � + b�

��. Si ab = �� y a � + b� = �� entonces el valor de

��. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)

(a − b)� es igual a

equivalente(s) a: �xy + �x + �y + �?

A) ��

I. (x − �)(y − �)

B) ��

II. (�x + �)(y + �)

C) ��

III. �x(y + �) + �y + �

D) �� E) ��

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III



(x ��. La expresión

2

)(x y ) para los valores (x y )

−

y

2

+

2

+

( x y )(x ��. ( x y )( x y )( x 3

−

+

−

3

3

2

3

)

+

y

+

xy + y

2

)

=

x = �.�� e y = �.�� es igual a A) x� A) �.�� − �

B) x� + y�

B) �

C) x� − �xy + y�

C) �.�� − �.��

D) x� − xy + y�

D) �

E) x� + xy + y �

E) −�

��. Dada la expresión �x �y + �xy + �x + �, ��. Se tiene un rectángulo tal que el mayor de sus

¿Cuál(es) de las siguientes no es(son) factor(es) de

lados excede al menor, a, en �� unidades. Si el

ella?

lado mayor disminuye en �� unidades y el menor aumenta en � unidades, entonces la expresión que

I. x + �

representa la nueva área, en términos de a, es

II. xy + � III. y − �

A) a� + � B) (a − �) �

A) Sólo I

C) a� − �

B) Sólo II

D) a − �

C) Sólo III


D) Sólo I y III E) I, II y III


TOMO I NÚMEROS

��. (�x� + �y�)(�x� − �y�) =

��. x� − y� + x − y =

A) �x� − ��y�

A) (x − y)(x� + y� + xy + �)

B) �x� − ��y�

B) (x� − y�)(x − y)

C) �x� − �y�

C) xy(x − y)(x + y)

D) �x� − ��y�

D) (x − y)(x + y + �) �

E) �x� − ��y�


(x ��.

2

−

y

2

)(x y ) =

x−y

+

��. (x + y) � − (x − y)� =

A) x� + y� − �xy

A) x� − y�

B) x� + y�

B) x� − y� + �x�y − �xy�

C) x� − y� − �xy

C) �y(�x� − y�)

D) y� + x� + �xy

D) xy(�xy − y�)

E) x� − y�




��. Al multiplicar x � + xy + y� por x − y se obtiene

��. ¿Cuál es el área de un rombo cuyas diagonales miden a� + b� y a� − b� para a > b?

A) x� − y�

6

B) x� + y�

A)

a

−

6

b

2

C) (x − y) � D) (x + y) �

b) �a� − �b�

E) �(x − y) �

C) a�b� − a� − b� a6 D) 6 b

E)

��. (ax+� − �bx−�)(ax+� + �bx−�) =

(

3

3

a −b

2

)

4

��. Si consideramos el número

1 5+ 2

A) (ax+� − �bx−�)�

¿Por qué número podemos multiplicarlo para

B) a�x+� − �b�x−�

obtener un número racional?

2x

4b

2x 2 C) a a − b2 D) a�x+� − �b�x−�


A) b)

5

(

2

5

2

+

)

3

C) 5

D)

2

−

2

−

5 2

E)

2 5− 2



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CAPÍTULO 4

POTENCIAS Y RAÍCES


TOMO I

NÚMEROS

POTENCIAS Las potencias son un objeto matemático creado para simplificar la notación de multiplicar un número una cantidad finita de veces por sí mismo y usamos la siguiente · a ·. . . · a = a notación a } n

n veces

donde diremos que a es la base y n el exponente. En otras palabras, una potencia es un número a llamado base multiplicado por sí mismo tantas veces como indique el exponente. Para poder trabajar con ellas y manipularlas algebraicamente, es necesario tener en cuenta la siguiente lista de propiedades � a� = � para todo a ≠ � � a� = a 1 � a−n = a n � Multiplicación de potencias de igual base m a n ⋅ a m = a ⋅ a ⋅ ...⋅ a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...⋅ a = a       

+

n veces

n

m veces

   

n+m veces

� División de potencias de igual base an am

=

an a

−

⋅

m

an

m

−

=

� Potencia de una potencia

( an )m

=

n a an ... an a a... a ... a a... a  a a... a amn       ⋅

⋅

⋅

=

⋅

m veces

⋅

⋅

⋅

n veces

⋅

⋅

n veces

=

⋅

⋅

⋅

=

nm veces

   

m veces

� Asociatividad a n bn

=

a a... a b b... b ( ab ) ( ab )  ... ( ab ) ( ab)n     ⋅

⋅

n veces

⋅

⋅

⋅

⋅

n veces

=

⋅

⋅

⋅

=

n veces

Las propiedades anteriores son de suma importancia al momento de afrontar problemas que conlleven potencias, ya sea para simplificarlos o simplemente resolverlos.

RAÍCES Observamos que las potencias las definimos para exponentes enteros, ya que por su definición necesito contar cuantas veces tengo que multiplicar la base. Sin embargo si cambiamos el exponente por el recíproco de un número entero también tiene una


CAPÍTULO 4 / POTENCIAS Y RAÍCES

definición y se denota de la siguiente manera

a

1 n

=

n

}

a

lo que se denomina la raíz n-ésima de a donde a es la base y n es el índice.

Como la raíz no es más que una potencia de exponente no entero, es natural pensar que las propiedades que describimos anteriormente para las potencias se mantengan, guardando cuidado que ahora las sumas de exponentes no es suma de números enteros. En la siguiente lista se encontrarán los análogos a l as propiedades exhibidas para las potencias �.� �.� �.�

1

−

�.� x

a y : w a z

1 =1

�.�

x

a =a

�.�

m n

�.�

n

n

am y

a

⋅

=

w

1 n z

a

a

m

=

y x

a a

z w

=

y x

a

+

z w

=

yw + xz xw

a

=

yz

a

a

=

n

b

⋅

a yw

+

mn

=

=

xw

a yw

−

xz

a n

ab

xz

Si bien el ideal sería aprender todas las propiedades anteriores, se recomienda sólo manejar a cabalidad aquellas que son más útiles en algún sentido (como lo son la �, �, �, � y �) y las restantes -en caso de ser necesario- se pueden deducir de las propiedades de las potencias.

ORDEN Observación

+

Es importante destacar que podemos

+

La función x :  0 ⇒  0 es estrictamente creciente (no nos preocuparemos de sus características como función aún), lo que matemáticamente quiere decir que

comparar sólo raíces que poseen el mismo índice, ya que si poseen distinto

+

∀ a, b ∈  0 : a ≥ b ⇒

a ≥

b

índice pueden pasar distintas cosas, por ejemplo

pero también

es decir, a mayor argumento mayor el valor de la raíz. Esta propiedad nos ayuda a ordenar raíces -siempre y cuando las raíces a comparar posean el mismo índice- sólo viendo sus argumentos.


TOMO I

NÚMEROS

RACIONALIZACIÓN Debido a que existen fracciones equivalentes, hay muchas formas de escribir cada número, entonces para que no existan confusiones, usamos las fracciones irreducibles como la forma estándar de referirse a un número, existe un proceso similar con los números irracionales llamado Racionalización, que usamos cuando aparecen raíces en el denominador de una fracción, y nos permite encontrar una fracción equivalente cuyo denominador sea un número entero positivo. En esta sección mostraremos como racionalizar diferentes expresiones fraccionarias. � Expresiones con raíces cuadradas en el denominador Cuando aparecen expresiones de la forma a , basta amplificar por b Por ejemplo:

6

=

3

6 3

·

3 3

6 3 3

=

b.

2 3

=

� Expresiones con raíces de potencias en el denominador Cuando se desea racionalizar expresiones de la forma a , basta amplificar por n c n n c b b . Por ejemplo: −

10 5

3

5

=

10 5

3

5

=

10 5

3

5

5

·

5

55

−

3

5 3

5

=

10 5 53

−

5

5

5

=

10 5 53 5

=

2 5 53

� Expresiones con sumas o diferencias de raíces cuadradas en el denominador. a Cuando se desea racionalizar expresiones de la forma , se puede amplificar b± c por b  c (así se consigue una suma por diferencia). Por ejemplo:

2 2+ 5

=

2 2+ 5

·

2− 5 2− 5

=

2 2−2 5 2 2−2 5 = 2−5 3


CAPÍTULO 4 / POTENCIAS Y RAÍCES


Ordene de manera creciente los siguientes números p = 4 3, q = 3 2,

r = 2

5

Calcule Ordene de manera decreciente los siguientes números p = 3 3, q = 2 5,

r = 5

37 + 37 + 37 + 37 92

2 Calcule 24 + 24 + 42 + 42

Ordene de manera creciente los siguientes números p = 2 7, q = 7 2,

Calcule r = 5

3

4 3 + 4 3 + 4 3 + 43 42


TOMO I

NÚMEROS

EJERCICIOS

�. ¿Cuánto vale la expresión � �(�� + ��) + (�� − ��)? A) � B) � C) � D) � E) Otro valor

�. Si a b = ba y a#b = ��ab, entonces �#(� �) es igual a A) �� B) � � C) �� D) �� E) ��

�. �� + �� + �� + �� + �� + �� =

�. El valor de �� + �� + �� es

A) �� B) �� C) �� D) �� E) �

A) �� B) �� C) �� D) �� E) �.��


CAPÍTULO 4 / POTENCIAS Y RAICES

�.

(

)

48 + 192 + 27 − 12 : 3

A) �� B) �� C) �� D)

3

E)

6

�.

2

5

20 ⋅ 2 =

A) � · � � B) �� C) �� · �� D) � 7 E) 2 ⋅ 5

2

2

�. �� + �� + �� + �� =

( ) ( ) ⋅3⋅2 ⋅3 �. Calcule de manera exacta (2 ⋅ 3 ) ( 3 ⋅ 2 ) ⋅ 2 ⋅ 3

A) �� B) �� C) �� · � � D) �� · � � E) Ninguna de las anteriores

E)

2

3

2

2

5

3

5

2

2

2

7

7

3

A) � B) �� · �� 1 C) 3 7 2 ⋅3 D) �� · �� 1 11

3 ⋅2

8


TOMO I

3

�. Si q = 2 , entonces ¿cuánto vale

1 q

3

?

3

��. Resuelva 3

−

A) � B) 2 C) �

C)

2

D)

( 2) 3

D)

3

3

A) B)

NÚMEROS

4

3

3

3

3

3

3

2

E) 2 2 1

E)

3

��. � + � − � =

��. El valor de

A) � B) �� C) � D) � E) �

A)

−�

�

−�

B) C) D)

3

3

3

3

5

3

3

3

3

3

27 ⋅ 9 es

5

3

2




��. Ordene de mayor a menor los números p = 7 13 , q = 10 12 , r = 13 7 A) p > q > r B) r > p > q C) r > q > p D) q > r > p E) q > p > r

��. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es 1 1 verdadera para la expresión ? + 3 5 A) Es mayor que � B) Es un número real C) Es un número irracional D) Es igual a la expresión 3 5 + 5 3 15 E) Todas las anteriores

��. ¿Cuál es la cifra de unidad del número � ��? A) � B) � C) � D) � E) �

��. Una camioneta transporta �.�� bandejas. Cada bandeja tiene �� cajas y en cada caja hay �� sobres. ¿Cuántos sobres transporta la camioneta? A) �� sobres B) �� sobres C) �� sobres D) �� sobres E) �� sobres


TOMO I

2

��. Si a = igual a

3 , b = 5 y c = 7 , entonces

ab

es


B)

C)

60 4

70 3

3

75 7

D)

E)

3

20 + 8 − 5 + 2 es igual a

c 2+ 5

A) A)

NÚMEROS

B)

2 2+ 5 2 +2 5

C)

D) 3 2 + 2 5 E) 3 2 + 5

70 3 75 7

� � �

��. (� � ) = A) � � B) �� C) (� · �) � D) (� · �)�� E) ��

��.

(

)

288 − 242 : 2 =

A) 2 B) � C) � D) 2 2 E) Indeterminado



��. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I. �� · �� = �� II. �� + �� = �� III. �� · �� = ��

−3

��.  3 −2   4 m   6

A) B)

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

C) D) E)

64m

9 5 64m 27 6 m 27 64 6

27m 6 64m 27

��. El valor de A) B) C) D)

−

−

16 25 4

5 16 25 4 5

E)

−

8 10

−2

4

( −5)

2

��. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracionales? I. 2 50 II. III.

7 +2 7 216 6

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III


TOMO I

��.

(

)

12 + 48 + 75 + 108 : 3

NÚMEROS

��. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) válida(s) para todo a ∈  ?

A) �� B) 17 3

I.

C) 12 3 D) �� E) Ninguna de las anteriores

2

a

= −

2

II. a

2

III. a

=

=

a

a a

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

��. El número

(

3

)(

3 −1

4

) (

3 +1

+

A) Un racional positivo B) Un racional negativo C) Un irracional positivo D) Un irracional negativo E) Ninguna de las anteriores

4

)(

3 −1

3

) es

3 +1

��. �,�� + �,� − �,� � + �,�� = A) �,�� B) �,�� C) �,�� D) �,�� E) �,��



��. Si r = x 2 y s = x + 2 , entonces r y s son números racionales si (�) x es irracional negativo (�) x es inverso aditivo de 2 A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional

��. Ordene en forma decreciente los siguientes números, a = 4 2 , b = 3 3 y c = 2 7 . A) b, c, a B) a, c, b C) c, b, a D) a, b, c E) c, a, b

��. Al ordenar en forma creciente los números p = 2 7 , q = 3 2 y r = 5 3 , se obtiene A) p, q, r B) r, q, p C) r, p, q D) q, p ,r E) p, r, q


n

a es un número real si

(�) a ≥ � (�) n = �k para algún k ∈  A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional


TOMO I

��. La expresión 6

2

4

2

4

+

2

4

+

2

4

+

2

4

+

2

4

4

+

2 es igual a

+

2

A) −��x�� B) �x� C) �x�� D) ��x�� E) −��x�

2 B) � C) � D)

��. El cuadrado de −�x � es

4

1

A)

NÚMEROS

1 3

2

E) No se puede saber


3

4n

2n

3 A) � B) � C) �n D) ��n E) ��n + �

+ +

3

��. La expresión (�� − ��) es divisible por

3n

n

3

para n ∈  es igual a I. �� II. �� III. � A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III



��. El número

64

2 es igual a

��. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?

A) ��

3

I. 2 50

B) ��

5

2

C)

32

7

II.

2

D)

3

+

2 7

2

1

216

III.

E) 2 2

4

6 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

2 2

��.

=

��. El quintuple del cuadrado de un número x, sumado al cubo de un número y, y todo divido por p, en lenguaje matemático se escribe por

4+ 2 4 A)

(

)

2 −1

A)

7

(

2 2 2 −2 B)

)

7 C)

(

)

2 2 2 −1

B)

D)

(

)

14

D)

2

y

+

3

p

(

5 x

2

+

y

3

)

p

C) 5x

7 4 2 2 −2

5x

2

5x p

+

y

3

p 2

+

y

3






CAPÍTULO 5

NÚMEROS COMPLEJOS Este material fue descargado para uso exclusivo de Francisco Pérez Valencia, [email protected]. Se prohibe su reproducción. Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com

TOMO I

NÚMEROS

El último conjunto numérico que veremos es uno muy especial, suficientemente especial como para merecer su propio capítulo, y es el de los números complejos. Para encontrarlos, hay que retroceder un poquito y ver qué hemos hecho con los conjuntos anteriores: � Partimos en los números naturales, pero al ver que ecuaciones como � - � = x, no tenían solución natural, creamos los números enteros. � En los enteros, ecuaciones como � = � x, no tienen solución entera, por lo que creamos los números racionales. � En los números racionales, ecuaciones como x� = �, no tienen solución, por lo que creamos los números reales. Uno pensaría “¿y qué más queremos?”. Los reales son un conjunto muy bueno, en el cual podemos encontrar la respuesta de casi todos los problemas de la vida diaria, entonces ¿Para qué necesitamos algo más? x� = -�

Este es nuestro problema. Esta ecuación no se puede resolver con un número real, así que probemos qué ocurre si inventamos un nuevo conjunto donde sí tenga solución. Imaginemos que existe una solución numérica para esa ecuación, y para no complicarnos pongámosle nombre. La igualdad nos dice que esta solución es parecida a �, con un signo poco ortodoxo, por lo que parece una Unidad, pero esta vive en nuestra imaginación. Gracias a esto, recibe el nombre de Unidad Imaginaria . Como dicho nombre resulta muy largo de utilizar, abreviamos esta solución representándola por la letra i Resulta que:

i� = -�

Claramente i no es un número Real, pues sabemos que ningún número real al cuadrado es negativo. Veamos entonces cómo se comporta.

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA � Definición Llamaremos potencias canónicas de la unidad imaginaria a las primeras cuatro potencias de i con exponente natural, es decir, i�, i�,i� e i�.


CAPÍTULO A: 5 NÚMEROS APÉNDICE RAZONES COMPLEJOS Y PROPORCIONES

Notemos que es posible describir todas las potencias de i como una de las cuatro potencias canónicas: i� = i i� = - � i� = i� · i = -� · i = -i i� = i� · i� = -� · -� = �

Para los demás números enteros, los valores de las potencias se repiten en periodos de �, por ejemplo: i� = i� · i = � · i = i = i� i� = i� · i� = � · -� = -� = i � i� = i� · i� = � · -i = -i = i� i� = i� · i� = � · � = �

Este hecho se puede generalizar en la siguiente propiedad: Propiedad: Si es k un número entero y r  {�, �, �,�} entonces: i �k + r = i r

Veamos otros casos, porque si sólo sabemos multiplicar por este “uno raro” no nos es muy útil, ¿habrán más números parecidos a i? Por ejemplo, resolvamos la siguiente ecuación: x� + �� = �. Solución: Restando �� en cada lado de la igualdad se obtiene x� = -��. x = ± − 16 = ±4 −1 = ±4 i .

Claramente, hay más números no reales, todos derivados de este nuevo que ahora parece ser un poco más legítimo. Por lo tanto, llamaremos al conjunto de números que proviene de esta unidad imaginaria como el conjunto de los Imaginarios Puros. Estos surgen al ser todos multiplicaciones de i por números reales no nulos, de la misma forma que todos los números que conocemos son multiplicaciones de �, la unidad base de los números reales. Ahora, ¿qué podemos hacer con nuestros números imaginarios? Lo primero, es mezclarlos con los reales que ya sabemos usar, entonces tomaremos un número real derivado del �, llamado a = � · a y un número imaginario, llamado bi = b · i , y los juntaremos:


TOMO I

NÚMEROS

�a + bi = a + bi

Brillante, ahora pongámosle un nombre a nuestro nuevo número. Ya que está formado por dos partes simples, una parte real a y una parte imaginaria b, las cuales acompañan a su unidad correspondiente, será bautizado como Número Complejo. Como hay muchos números reales y muchos números imaginarios, se deduce que existen muchos números complejos, así que llamaremos a su conjunto el de los Números complejos y, como todo conjunto con un nombre destacado, tiene su letra elegante para abreviarlo: C. � Definición Sea z = a + ib  C, donde a, b 

R. Entonces:

Observación

� El número real a es llamado parte real de z y se anota Re ( z) = a. � El número real b es llamado parte imaginaria de z y se anota = Im ( z) = b.

Todo número real x , puede escribirse como x + �i, luego R ⊂ C.

De los números complejos podemos deducir muchas propiedades. Las que estudiaremos son: ¿cómo se comparan?, y ¿cómo se operan? Veremos estos problemas a continuación.

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS Decimos que dos números complejos z�, z�  C son iguales cuando tanto su parte real como su parte imaginaria son iguales, es decir: z� = z� ⇔ Re ( z�) = Re( z�) e Im ( z�) = Im ( z�)

Formalmente, escribimos esta definición como: Si a, b, c, d  R: a + bi = c + di ⇔ a = c y b = d



OPERATORIA CON NÚMEROS COMPLEJOS � Adición y sustracción Para sumar o restar complejos basta sumar (o restar) las partes -real e imaginaria- de cada número involucrado en la operación: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Por ejemplo: (� + �i) + (� - i) = (� + �) + (� - �)i = � + �i � Multiplicación La multiplicación se efectúa de la siguiente manera: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi� = ac + (ad + bc)i - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i

En resumen: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

NOTACIÓN 1

−

Observación El conjugado de un número complejo es el que resulta de hacer una reflexión de él respecto del e je real.

Ejemplo El conjugado de � + �i es � - � i .

=

i

A pesar de que ciertamente i� = -�, no podemos sacar la raíz cuadrada de esta ecuación para llegar a la expresión de arriba, pues esta esta notación indica la raíz real y positiva del número. Como ni i ni -i son positivos, no hay una manera de escoger un valor único para −1 . Así, si tratamos a i como una raíz real, llegamos a una enorme cantidad de contradicciones, por ejemplo: 1 i·i

−

=

=

−

1 ·

−

1

=

−

1·

−

1

=

1 1 =

Esto se debe a que el siguiente paso es un error: 1 ·

−

1

−

1·

=

−

−

1

Pues la raíz de -� no es una raíz real, y no podemos utilizar las propiedades de raíces que conocemos para operarla. Es mejor si pensamos la notación y así por ejemplo −9 → 3i

1 = i como

−

1→i

−


TOMO I

NÚMEROS

PLANO COMPLEJO Para introducir la siguiente sección, recordemos que los números reales se ubican en una recta que conocemos como recta numérica. Si queremos interpretar geométricamente los números complejos, es necesario hacer una construcción similar a la recta numérica, pero que incluya a todos los números complejos. Para ello, construiremos otra recta donde se ubiquen los números imag inarios y el cero. Esta recta recibe el nombre de eje imaginario , se ubica de forma perpendicular a la recta numérica real, y la intersección entre ambos ejes es el número �. En este contexto, la recta numérica real recibe el nombre de eje real. El plano complejo, conocido como también como plano de Argand por aquellos interesados en la historia de las matemáticas, es el plano que se forma al establecer la recta real, formada por las multiplicaciones de la unidad, y la recta imaginaria, formada por las multiplicaciones de la unidad imaginaria, ortogonales (perpendiculares) entre sí, formando una especie de plano cartesiano en que el eje de las ordenadas es en realidad la recta imaginaria. Este plano tiene entonces dos dimensiones distintas, ya que es imposible formar un número imaginario usando sólo números reales. En este plano, la primera propiedad extremadamente útil que surge es representar los números complejos como coordenadas, por ejemplo el número � + � i se identifica con el punto (�,�) del plano complejo. La segunda cosa importante que ocurre en el plano complejo es que perdemos el orden que teniamos de la recta numérica, ya que es imposible deicidr cuál número es más grande que otro. Lo que sí podemos decidir es cuál número está mas lejos del origne del plano complejo, pues esto nos permite asignarles una distancia a cada número complejo. Estamos relacionando cada número complejo con un número real, que sí sabemos ordenar. � Definición: Si z = a + bi ∈ C, con a, b ∈ R, el módulo o valor absoluto de z es el número real | z|= a 2 + b2 . En el plano complejo tenemos a los números negativos, que son una reflexión de la recta real positiva respecto al eje imaginario. También destacamos las reflexiones respecto al eje real, y las llamaremos el conjugado de un complejo. � Definición: Si z = a + bi ∈ complejo z = a - bi .

C,

definimos el complejo conjugado de z como el



i

� -�

R

(�, -�) → � - i

GEOMETRÍA EN EL PLANO COMPLEJO Observación

La gran ventaja del plano complejo respecto al cartesiano, es que varias transformaciones (operaciones) geométricas se traducen a operaciones aritméticas. Veamos ejemplos:

El módulo de un complejo representa su distancia al punto (�,�) en el plano de Argand.

� Suma: Al sumar (a, b) + (c, d) se hace una traslación* del punto (a, b) de acuerdo al vector traslación (c, d) en el plano complejo. � Multiplicación por un número real: Al multiplicar un número complejo a + bi por un número real r estamos modificando su tamaño y sentido, sin cambiar su dirección, esto es equivalente a una homotecia*. � Multiplicación por i: Al multiplicar por i estamos realizando una rotación* en ��º respecto al punto original, esto lo vemos de mejor manera en la siguiente gráfica:

·i 

*

i

·i

� + � i

i

-� + i R

Si no recuerdas estos conceptos,

�

te recomendamos revisar el tomo III

-i

�

-i


TOMO I

NÚMEROS

Entonces podemos deducir que una multiplicación por un número complejo resulta en ambos, un cambio de tamaño y de orientación. Este hecho nos permite entender la división de números complejos como la operación que deshace el cambio hecho en el plano por la multiplicación. De la misma forma de que la división en los reales no es más que la multiplicación por el inverso multiplicativo, en los números complejos extenderemos esta noción. Debido a esto, la siguiente propiedad resulta muy útil para entender la división: � Propiedad: El inverso multiplicativo de un complejo es Luego, la división de complejos se puede ver como:

w z

=

z z

w· z

2

1

Nota

−

=

w·

z z

2

Si z = a + bi ≠ �, el inverso multiplicativo de a + bi es

.



EJERCICIOS RESUELTOS


TOMO I

NÚMEROS

EJERCICIOS �. Sea z = a + bi, con a, b ∈ R. Se afirma que I. z = a - bi II. z corresponde a la imagen de z bajo una simetría respecto del eje imaginario en el plano de Argand III. Re(z ) = Re(z ) ¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) correcta(s)?

�. ¿Cuál de los siguientes números complejos se ubicaría en el tercer cuadrante del plano de Argand? A) � + � i B) � - � i C) -�i D) -� + � i E) -� - �� i

A) Solo I B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III

�. Sea ax � + bx + c = � una ecuación con coeficientes reales donde a ≠ �. Suponga que las soluciones de esta ecuación son imaginarias puras I. x � + x � es solución de la ecuación II. x � + x � es un número imaginario puro III. x � + x � es un número real ¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) correcta(s)?

�. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A) La parte real de un número complejo siempre es un número real B) La parte imaginaria de un complejo siempre es un número imaginario C) La parte real de un número imaginario siempre es el neutro aditivo D) Todo número real es un número complejo E) Ninguna de las anteriores

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III


CAPÍTULOA:5 RAZONES NÚMEROSYCOMPLEJOS APÉNDICE PROPORCIONES

�. Un complejo de módulo � que forma un ángulo de ��° respecto del eje real en el plano complejo es: A) � B) -� C) �i D) -�i E) -� + � i

�. Si z es un número complejo ubicado en el primer cuadrante del plano de Argand. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A) zz se ubica en el eje real B) z se ubica en el cuarto cuadrante del plano de Argand C) iz se ubica en el segundo cuadrante del plano de Argand D) -z se ubica en el tercer cuadrante del plano de Argand E) iz se ubica en el primer cuadrante del plano de Argand

�. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) complejo(s) no real(es)? I.

4

II.

3

III.

4

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I,II y III

8 5

−

81

−

�. Si z = -� + � i , entonces � + z + z � = A) -� - �� i B) -� - � i C) � + �� i D) � + �i E) Ninguna de las anteriores


TOMO I

�. Se tiene un número complejo ubicado en el plano de Argand. Si se desea rotar el punto ��° en sentido horario con centro de rotación en el origen del plano, entonces la operación que se debe realizar a dicho número es A) Sumar i B) Restar i C) Multiplicar por i D) Dividir por i E) Ninguna de las anteriores

5

��.

NÚMEROS

=

10

−

A) 2i 2 i 2 2 C) − i 2 2 D) 2 B)

E) Ninguno de los valores anteriores

��. ¿Cuál de los siguientes números es real? A) La unidad imaginaria B) Una solución de la ecuación x � + �x + � = � C) La imagen del número � al rotarlo en ��° respecto del origen en el plano de Argand D) La menor solución positiva de la ecuación i x = � E) Ninguna de las anteriores

��. Si z es un número complejo, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es siempre cierta? A)

z

1

−

=

z z

| | B) z z = |z |� C) z + z = �Re(z ) D) z - z = �Im(z )i E) Ninguna de las anteriores



��. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

4

 2 2  + i  ��.   2 2  

A) i es una de las raíces cuadradas del opuesto aditivo de la unidad B) � + �i es un número imaginario puro C) Si z es un número imaginario puro, entonces -z = z D) Los números imaginarios puros son raíces cuadradas de números negativos E) Si a > �, entonces las soluciones de la ecuación x � + a = � son números imaginarios puros

A) � B) -� C) i D) -i E) Otro valor

��. ¿Cuál de estas afirmaciones no es siempre cierta? A) z + z = �Re(z ) B) Si w ≠ �, entonces

��. i + i � + i � + i � = |z | = |w |

z w

Re(z ) − Im(z ) C) Si z ≠ �, entonces z -� = |z | D) i � = i E) Ninguna de las anteriores

A) � B) i � C) i � D) -i E) i �


TOMO I

��. Si zw = � + �i, entonces -i (zw - zw ) = A) �i B) -� C) � D) -�i E) Otro valor

��. Si n es un entero positivo tal que el resto de la división n:� es �, entonces i n =

NÚMEROS

��. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A) La unidad imaginaria se identifica con el punto (�,�) en el plano de Argand B) El módulo de la unidad imaginaria es el neutro multiplicativo de los números reales. C) Toda potencia de exponente entero de la unidad imaginaria es un número imaginario D) La unidad imaginaria es solución de una ecuación cuadrática de discriminante negativo E) Al multiplicar la unidad imaginaria por un número real no nulo se obtiene un número imaginario como producto

A) � B) i C) -� D) -i E) � ��. Un número cuyo cuadrado sea -� es:

��. Al respecto de las raíces cuadradas de -� es cierto que:

A) -�i B) �i C) � D) -�i E) B y D son correctas

I. Su módulo coincide con su parte imaginaria II. Son números imaginarios conjugados III. Forman un ángulo recto con el eje real del plano de Argand A) Solo III B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III



17

��. Al realizar la operación (� − �i) (� + �i) se obtiene

��. Dado el número complejo z =

2001

i 4

i

i +

−

i

43

5 − 4i

entonces la expresión expresión de z en la forma a + bi es A) � − ��i B) � − ��i

A)

C) �� − ��i

−

33

−

82

D) �� − ��i B)


−

33 82

51 82

+

51 82

i

i

C) −�� + ��i D) No se puede calcular E) Ninguna de las anteriores

��. De la pregunta anterior, el módulo del complejo resultante es A) 29 2 2

B)

1+ 29

C)

1 + 41

D)

29

��. ¿Cuál es el ángulo correspondiente correspondiente en la forma

2

2

+

polar del compl complejo ejo

3 +i?

2

41


A) ��º B) ��º C) ��º D) ��º E) ��º

��. Si (�x -�y) + ��i = (�x + �y)i + �, y x,y de xy es: es:

∈ R,

el valor

A) � B) � C) � D) � E) �


TOMO I

��. La misma pregunta anterior, para el complejo

NÚMEROS

��. ¿Cuál de las siguientes alternativas, cumple que

z = �� z

1

=

=

z

A) ��º

1 z ? −

B) ��º C) ��º D) ��º

3

1

i 2 2 1 1 B) + i 2 2 1 C) 2 1 3 i D) + 2 2 A)

E) �º

+

E) No se puede calcular

��. ¿Cuál de las siguientes alternativas, representa representa una condición suficiente para que el número z=

a + bi c + di

sea puramente real (es decir, Im(z) = �)? A) a = � B) ad − bc = � C) ab = � D) d = � E) c = d = �

��. Dados los números complejos, z � = �+�i y z � = �-�i. Se afirma que I. Re(z� + z�) = � II. Im(z� - z�) = ��i III. Re(z� - z�) + Im(z� + z�) = � ¿Cuál(es) de las afirmaciones es(son) correcta(s)? A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III



��. ¿Dónde se comete un error en el siguiente desarrollo? (�) (�) (�)

−

(�) z = z (�) |z | = Re (z)

2

36 (6i ) 6i · 6i =

��. z ∈ C es un número real si:

=

36 ·

=

−

(�)

=

−

(�)

=

(�)

=

36 ·

36

−

−

36

1296 36

A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola (�) o (�) E) Se requiere información adicional

A) En (�) B) Al pasar en (�) a (�) C) Al pasar en (�) a (�) D) Al pasar en (�) a (�) E) Al pasar en (�) a (�)

��. Se puede conocer el valor de z ∈ C si: (�) |z | = � (�) Re(z) = =

2 /2


��. Re(z) = | |z | si (�) z ∈ R (�) z = z A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola (�) o (�) E) Se requiere información adicional


TOMO I

��. Se puede determinar el valor de m, n ∈ 

(�) i m = i n (�) m+ n = �


��. Se puede conocer el valor de z ∈ C si:

(�) Re(z) = � (�) z ∈ R


NÚMEROS

��. z � es imaginario puro si:

(�) Re (z) = Im (z) (�) Al ubicar el punto z en el plano complejo, este forma un ángulo del ��º con el eje real


��. Se puede determinar el valor de a y b si

(�) a + bi = � - �i (�) a, b ∈ R




��. Se puede determinar el valor de |z | si se sabe que (�) |z �� | = � (�) zz = � A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola (�) o (�) E) Se requiere información adicional

��. Los complejos z, w son conjugados si

(�) z + w = � (�) Im(z - w) = �Im(z )



APÉNDICE A

RAZONES Y PROPORCIONES Este material fue descargado para uso exclusivo de Francisco Pérez Valencia, [email protected]. Se prohibe su reproducción. Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com

APÉNDICE A: RAZONES Y PROPORCIONES

RAZONES Cuando queremos comparar dos cantidades usualmente usamos frases como “Juan tiene el doble de la edad de Pedro” o “el pan cuesta la mitad en la panadería A que en a la B”. Estas comparaciones se expresan matemáticamente como a : b o y se leen b “a es a b”. a

:

antecedente

b

=

a b

consecuente

Esta forma de comparar es lo que se denomina razón entre a y b. Este objeto matemático es de suma importancia y de mucha utilidad en la vida cotidiana, como por ejemplo, en la escala de un mapa.

PROPORCIONES Una proporción es una igualdad entre dos razones, sin embargo la simpleza de su definición es diametralmente opuesta a la dificultad que puede llegar a tener un problema de este tipo. En una proporción, el signo “=” ya no se lee como tal si no que se traduce a la palabra “como”, es decir,

    a : b = c : d    a c = b d

⇒

“a es b como c es a d ”

donde a y d se dirán los extremos, y b y c los medios. El siguiente teorema es una consecuencia directa del teorema de equivalencia de números racionales y nos ayuda a decidir cuando dos fracciones forman o no una proporción.

Teorema Fundamental de las Proporciones� En una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos

�

a b

=

c ⇔a d b c d ⋅

=

⋅

Las proporciones se pueden clasificar en dos tipos: Directa e Inversa.


TOMO I

NÚMEROS

� Propocionalidad Directa Se dice que dos variables son directamente proporcionales si y sólo si el cociente entre ellas es constante. Para reconocer si dos variables son directamente proporcionales debemos verificar que cada vez que una de las variables aumente, la otra también lo haga en la misma razón.

Ejemplo / Podemos considerar que ”a es el doble de b” lo que se escribe como a = �b, siendo entonces para este caso K = � la constante de proporcionalidad. Si reemplazamos distintos valores de b, obtendremos la siguiente tabla y un gráfico similar a este

a

a

b

�

�

�

�

5

�

�

4

.

.

3

.

.

2

.

.

1

�n

n

6

b 1

2

3

4

5

6

� Proporcionalidad Inversa Se dice que dos variables son inversamente proporcionales si y sólo si el producto de ellas es constante. Para reconocer si dos variables son inversamente proporcionales debemos verificar que cada vez que una de las variables aumente, la otra disminuya en la misma razón.

Ejemplo / Si �� trabajadores tardan � días en completar una obra, �� trabajadores tardarán � días. Si reemplazamos distintos valores tendremos la siguiente tabla trabajadores

días

k (constante)

�

�

� · � = ��

��

�

�� · � = ��

��

�

�� · � = ��

��

�

�� · � = ��



y gráficamente lo veremos como

Esquema resumen

La constante mencionada en las definiciones anteriores, recibe el nombre de constante de proporcionalidad y es de suma importancia a la hora de resolver ejercicios. Otro concepto interesante de abordar es la proporción multiple, que como se infiere directo del nombre es una serie de razones (recordar que una proporción es sólo la igualdad entre dos razones y no más). Este tipo de proporciones se define por

Ambas suben o ambas bajan

Mientras una sube la otra baja

a:b:c=x:z:w ó a = b = c x z w

Y el último de los conceptos es la proporcionalidad compuesta, que es una combinación en una proporción múltiple de proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa. Para resolver este tipo de problemas, existe un método de tres pasos, el cual nos permitirá resolver este tipo de problemas de manera muy sencilla, y que revisaremos con el siguiente ejemplo

Ejemplo / Supongamos que en una fábrica, hay � trabajadores que producen �.�� zapatos en �� días, ¿Cuántos zapatos producen � trabajadores en � días? El problema es claramente un problema de proporcionalidad compuesta ya que si aumento la cantidad de trabajadores y mantengo la cantidad de días, entonces evidentemente produzco más zapatos, por lo que tendremos proporcionalidad directa. En cambio si aumento la cantidad de trabajadores pero la producción es la misma, significa que entonces la cantidad de días que demorarán en hacerlo será menor, por lo que tendremos proporcionalidad inversa.


TOMO I

NÚMEROS

Bien, para resolver este tipo de problemas se utiliza el siguiente método:

Paso � Primero ordenamos los datos en una tabla Trabajadores

Zapatos

Dias

�

�.��

��

�

x

�

Ahora, sabemos que si dos variables son inversamente proporcionales la multiplicación es constante y si son directamente proporcionales el cociente es constante. Esto nos lleva a la siguiente regla

Paso � Multiplicar cruzado si son d.p. y derecho si son i.p. Trabajadores

Zapatos

Dias

�

�.��

��

�

x

�

Paso � Igualar y resolver � · x · �� = � · �.�� · � ��x = ��.�� x = ��

El número áureo surge de la división en dos

PROPORCIÓN ÁUREA

de un segmento guardando las siguientes

El número áureo o razón áurea, es un número irracional que se representa por la letra ϕ en honor al escultor griego Fidias, el cual representa la cantidad:

ϕ

=

proporciones: La longitud total a + b es al segmento más largo a , como a es al segmento más corto b

1+ 5 2

La razón

es la denominada razón

áurea, es decir,

=ϕ




Suponga que � : y = � : � y que � : � = z : �, entonces �z + �y es igual a

Suponga que x : � = � : � y que � : y = � : �, entonces x + �y es igual a

Suponga que � : � = �x : � y que � : y = � : �, entonces �x + �y es igual a


TOMO I

NÚMEROS

Suponga que en una construcción, �� obreros construyen un edificio en � meses. ¿Cuánto demorarán �� obreros en construir dos edifcios?

Suponga que en una zapatería, un zapatero repara � zapatos por día. ¿Cuánto demorán � zapateros en en reparar �� zapatos?

Suponga que en una panadería, � panaderos hornean �� kilos de marraquetas por día. ¿Cuántos panaderos se necesitan para hornear �� kilos de marraquetas en un día?



EJERCICIOS

�. Si A : B = � : � y �A + B = ��, entonces A · B es igual a A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

�. Si b kilogramos de manzanas valen $a, entonces medio kilogramo valdrá

�. ¿Cuál(es) de las siguientes parejas de razones conforman una proporción? I. �� : � y � : � II. �� : �� y � : � III. � : � y �� : � A) Sólo I B) Sólo II C) I y III D) II y III E) I, II y III

�. Los lados de dos triángulos equiláteros están en razón � : �. Si el lado más grande es ��, entonces el del otro triángulo es

A) $�ab a B) $ 2 b C) $ 2a 2b D) $ a a E) $ 2b

A) � B) �� C) � 7 D) 10 10 E) 7


TOMO I

�. Si a : b = � : � ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. a es la quinta parte de b II. Si a = �, entonces b = � III. b + b = a + a + a + a + a A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III

NÚMEROS

�. Para un mapa se utilizó una escala de � cm : ��.�� cm. Si aparece una ciudad con superficie equivalente a �� cm� ¿Cuál es su superficie en la realidad? A) �,�� cm� B) �,�� cm� C) �� m� D) ��.�� m � E) ��.�� cm�

�. Juan tiene � patos y utiliza � bolsas de comida para alimentarlos. ¿Cuántas bolsas necesitará si son �� patos?

�. Un tractor ara un sitio de �� metros de largo por � de ancho en � horas. ¿Cuánto le llevará arar un terreno de �� m�?

A) � B) � C) � D) �� E) ��

A) �,� hrs B) �� hrs C) �,� hrs D) � hrs E) �,¯� hrs



�. Un trozo de pizza aporta �� calorías y un vaso de bebida �� calorías ¿Cuántas calorías aporta un almuerzo de � trozos de pizza y � vasos de bebida?

��. Las edades de Natalia, Valeria y Gretchen son entre sí como � : � : �, respectivamente. Si sus edades suman �� años, entonces Gretchen tiene

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

A) �� años B) � años C) � años D) � años E) � año

��. La razón entre dos números es � : � y la suma de ellos es ��. ¿Cuál es el mayor de los números?

��. Dos variables p y q son directamente proporcionales entre sí. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si p aumenta al doble, entonces q

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

A) Aumenta al doble B) Disminuye a la mitad C) Aumenta en dos unidades D) Disminuye en una unidad E) Se mantiene constante


TOMO I

��. A una fiesta de cumpleaños asistieron �� personas. Si había � mujeres por cada � hombres, ¿cuántas mujeres asistieron a la fiesta?

NÚMEROS

��. Los trazos x, y, z están en la siguiente razón

2x

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

y x

y

x

x

y x

y

z

¿Cuánto vale z − �x − y? A) z 7 B) � C) �y D) �y E) −y ��. Si �� obreros construyen un edificio en � meses ¿Cuánto tiempo demorarían �� obreros en construir � edificios? A) �,� meses B) � meses C) �� meses D) �� meses E) Demoran lo mismo



��. Se puede determinar el valor numérico de

��. Según el gráfico, es verdad que

2x + 47 x

si:

Y

(�) x + �y = �x (�) x : y = 4 2 A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional

a

6

3

0

��. En un curso la relación entre hombres y mujeres es � : �. Se puede determinar el número de hombres si: (�) La razón entre mujeres y hombres es � : � (�) En total son �� alumnos. A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional

1

2

b

X

I. a = � II. a y b son directamente proporcionales. III. a y b son inversamente proporcionales. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) Ninguna de las anteriores


TOMO I

��. En la figura, los tres ángulos se rigen por la proporción 5: 9: 4 α : β : γ ¿cuánto vale el doble de α más tres veces γ restado con β?

��. Bastián tiene en su biblioteca libros de matemática, economía y estadística. Si por cada libro de economía tiene tres de matemática y por cada dos de estadística tiene uno de economía, entonces cuántos libros de matemática tiene si se sabe que posee �� libros de estadística?

=

D

C

β α A

γ O

NÚMEROS

B

A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��

A) ��º B) ��º C) ��º D) ��º E) ��º

��. Si en Chile de cada �� habitantes son � extranjeros y la población es de �� millones, ¿cuántos extranjeros viven en Chile?

��. y es inversamente proporcional al cuadrado de x. Si cuando y = ��, entonces x = �, cuando x = �, entonces y =

A) �,� millones B) � millones C) �,� millones D) �,� millones E) �,� millones

A) � B) � C) �� D) � E) ��



��. Se sabe que x es directamente proporcional al número 1y y cuando x toma el valor �, el valor de y es �. Si x toma el valor �, entonces el valor de y es:

��. Si �� lámparas originan un gasto de $�.�� al mes, estando encendidas � horas diarias. ¿Cuánto gasto mensual originarán �� lámparas encendidas durante �� horas diarias?

A) �� B) � 3 C) 2 D) � 2 E) 3

��. Para realizar una muñeca gigante con las dimensiones de una persona se considera � cm de ella corresponden a � metro en la muñeca. Si la altura de la persona es de �,� metros, la altura de la muñeca gigante es de A) �.�� cm B) ��.�� cm C) ��.�� cm D) �� cm E) �� cm

A) $��.�� B) $��.�� C) $��.�� D) $��.�� E) $��.��

��. Si para pintar �� m� se necesitan �� Kg de pintura. ¿Cuantos Kg de pintura se necesitarán para pintar una superficie rectangular de �� m de largo por �� m de ancho? A) �� Kg B) �� Kg C) �� Kg D) �� Kg E) �� Kg


TOMO I

NÚMEROS

��. ¿Cuál puede ser el valor de x si 5x + 5 = 5 ? 7x + 7 7

��. Si tenemos una razón � : ��, entonces la razón equivalente con antecedente �� es

A) � B) � 5 C) 7

A) �,¯� B) �� C) �� D) ��:�� E) ��:��

D) No existe solución E) A, B y C son correctas

��. En la tabla, las magnitudes A y B son proporcionales ��. Las cantidades de la siguiente tabla son directamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de x · y?

A) � B) � C) �� D) �� E) ��,¯�

A

B

��

� x

y

�

A

10

X

20

B

4

8 3

2

¿Cuál(es) de las siguientes es(son) verdadera(s)? I. A y B son directamente proporcionales II. La constante de proporcionalidad es �� III. El valor de x en la tabla es �� A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III



��. A y B son inversamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla, el valor de X · Y es

A B

5 30

X 50

15 Y

A) � B) �� C) �� D) �,¯� E) ��

��. Si a : b = � : � y b : c = � : �, entonces a : b : c = A) �� : �� : �� B) � : � : � C) � : � : � D) �� : �� : � E) ��: �� : ��

��. La cantidad de pases que da un futbolista en un partido, es directamente proporcional a la cantidad de goles que anota durante el juego. En el último partido dio �� pases y metió � goles ¿Cuántos goles metería en el siguiente partido si se espera que de �� pases? A) � B) � C) � D) � E) �

��. Si se sabe que por cada persona hay en promedio dos laptops y que por cada laptop hay en promedio � smartphones, entonces cual es la proporción entre personas, laptops y smartphones? A) � : � : � B) � : � : � C) � : � : � D) �: � : � E) � : � : �


TOMO I

��. Si se sabe que por cada cigarrillo que una persona se fuma, ésta tiene �� minutos menos de vida, ¿Cuánto tiempo de vida menos tiene una persona que fumó por ��,� años, una cajetilla y media por día? (suponga que cada cajetilla contiene �� cigarrillos)

NÚMEROS

��. El punto M divide al trazo AB en sección aurea (AM > MB), el valor de X es A

M

A) ��.�� minutos B) ��.�� horas C) ��.�� minutos D) ��.�� horas E) �.��.�� minutos

X

A)

(

3 1+ 5

B

3

)

2

(

3 1− 5

B)

2 5

3+ 2 3+2 5 D) 2

C) ��. En una granja hay vacas, cerdos y ovejas que suman en total �� animales. Si hay �� vacas y la razón entre las ovejas y cerdos es �: �, entonces ¿Cuántas ovejas hay en la granja?

)


A) �� B) �� C) �� D) �� E) ��



��. Si el punto B divide al trazo AC en sección aurea (BC > AB), el valor de Y es

A

B

��. En un campo de vacas, gallinas y conejos. Si tenemos que

vacas gallinas conejos = = , 1 2 3

C

y que hay �� animales en total, ¿Cuál es la cantidad de conejos menos la de las gallinas? Y

A)

5−5 5 2

−

5

A) � B) � C) � D) � E) ��

5+ 5 5 2 5−5 5 C) 2

B)

−

D) 5 − 5 E) Ninguna de las anteriores

x

3

x

1

��. Si y = 10 y w 2 , entonces ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa, sabiendo que y = ��? =

A) x� = �� B) w − y = −�� C) w : � = � D) �w = �� E) x − y = ��


APÉNDICE B

PORCENTAJES E INTERÉS Este material fue descargado para uso exclusivo de Francisco Pérez Valencia, [email protected]. Se prohibe su reproducción. Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com

APÉNDICE B: PORCENTAJES E INTERÉS

PORCENTAJES El porcentaje es un objeto matemático que nos permite hacer comparaciones sobre cantidades bajo una unidad común. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos ciudades A y B donde la ciudad A tiene � millón de habitantes y la ciudad B tiene �� mil habitantes, y en ambas ciudades existe cierta enfermedad. Si suponemos que en ambas ciudades hay �� mil infectados con la enfermedad, entonces uno podría decir que en ambas ciudades existe la misma cantidad de enfermos y estaría bien, pero también un factor a considerar es el volumen de la población de cada ciudad, ya que si tenemos �� mil enfermos en la ciudad A podemos decir entonces que por cada �� habitantes tendremos � enfermo, en cambio en la ciudad B por cada �� habitantes tendremos un enfermo, lo que equivale a decir que por cada �� habitantes hay �� enfermos.

Para que el uso de los porcentajes se te haga más fácil es recomendable aprenderse sus equivalencias con las fracciones y con su expresión decimal. Los más importantes te los mostramos a continuación: �% de A =

· A = �,�� · A

��% de A =

· A = �,� · A

��, �% de A =

· A = �,�� · A

��% de A =

· A = �,�� · A

��% de A =

· A = �,� · A

��% de A =

· A = �,�� · A

��% de A =

· A = �,�� · A

Con esta forma de ver las cosas, es muy claro que la cantidad - en términos de densidad - de enfermos en la ciudad B es mucho mayor o tenemos más probabilidades de encontrar un enfermo que en la ciudad A. Esta es una de las principales razones por las cuales son útiles los porcentajes, el poder comparar cantidades de una manera más significativa. La principal controversia que puede existir en este objeto matemático es la arbitrariedad en la elección de le la cantidad elegida, ya que cuando hablamos de porcentajes nos referimos específicamente a cuantos de cada �� ¿Por qué no puede ser cuantos de cada ��, de cada �.�� o de cada ��? Esa arbitrariedad no tiene gran explicación por lo que simplemente aceptaremos que es una buena medida referirnos a cuantos de cada ��. Supongamos que queremos sacar el Q por ciento de P, entonces la forma de hacer el planteo es entender que la frase “el Q por ciento” quiere decir que debemos dividir Q por �� y “de P” multiplicar lo anterior por P, obteniendo lo siguiente

}

El Q por ciento de P

Lenguaje literal

⇔

⋅P } 100 Q

Lenguaje Matemático

Cuando nos referimos al Q por ciento de P , lo denotaremos simplemente: Q% de P.


TOMO I

NÚMEROS

OPERATORIA CON PORCENTAJES La operatoria con porcentajes es herencia directa de la utilizada en el conjunto de los números racionales ( Q), debido a que los porcentajes pueden ser expresados como fracciones y por lo tanto el operar con ellos será como hacerlo con fracciones. Veremos esencialmente sólo dos de las operaciones que conocemos, estas serán la suma y la multiplicación. La primera que veremos es la suma (o resta) de porcentajes, la cual se basa en la siguiente regla a% de C

±

b% de C = ( a ± b)% de C

Lo anterior se justifica de la siguiente manera b 1  a ± b  C = ( a ± b) 1 C C ± C =   100 100   100 100 100

La multiplicación de porcentajes, se verá de la siguiente manera a% del b% de C

=

a

b ⋅

100 100

⋅

C

donde la justicación de ello, viene dado por

 b C  = a b C   100  100  100 100 a

Otro aspecto importante de mencionar respecto a los porcentajes, es cuando uno habla de aumento o disminución en tanto por ciento, ya que es una práctica muy habitual en nuestra vida cotidiana y el ejemplo más común es el impuesto al valor agregado o I.V.A. (este corresponde al ��% del precio original del artículo). Para calcular esto, se sigue fácilmente de la siguiente manera: Si yo aumento o disminuyo a en su b por ciento

Queda

}

a±

b

100

⇒

⋅a

Factorizando

}

 

a ⋅ 1 ±

  100  b

Ejemplo / Supongamos que un artículo cuesta $�,�� más I.V.A., entonces su valor con I.V.A. incluido es

 19  = $2.000 ⋅1,19 = $2.380  100  

$2.000 ⋅  1+



INTERÉS El término interés es muy conocido en el día de hoy, ya que todo préstamo, convenio o cosas similares donde alguien nos presta algo pero quiere obtener ganancias de ello, se vale de este concepto. El interés es un índice utilizado para medir rentabilidad (usualmente dado como un porcentaje), por lo que es importante saber como se calcula tanto como para la PSU como para la vida en general. El cálculo se clasifica en dos tipos: � Interés Simple Consiste

en aplicar el interés siempre sobre el capital inicial independiente de los periodos de nuestra inversión, y para calcularlo tiene una fórmula explícita que presentamos a continuación

 

cn = c0  1 +

  100  ni

donde c� es el capital inicial, cn el capital final, i la tasa de interés y n la cantidad de períodos. Observamos que la fórmula de interés simple está dada por varios puntos dentro de una recta, que parte en el período � con el capital inicial, como se muestra en la imagen Capital

C4 C2 C1 C0 1

2

3

Períodos

Compuesto A diferencia del interés simple el capital al cual se le aplica el interés compuesto se modifica cada período, donde dicha modificación consiste simplemente en agregarle las ganancias de los períodos anteriores. Al igual que antes, el interés compuesto tiene una fórmula explícita la cual mostramos a continuación � Interés

n

i   cn = c0  1 +  100  


TOMO I

NÚMEROS

donde cn, c�, i y n tienen el mismo significado anterior. Notemos que el interés compuesto esta dado por puntos sobre una función exponencial que inicia en el período � con el capital inicial, como muestra la figura: Capital

C4

C2 C1 C0 1

2

3

Períodos



EJERCICIOS PROPUESTOS Si una tienda, por cambio de temporada bajan todos sus precios por el día lunes en un ��%, pero el día martes realizan un aumento del ��% sobre los precios del día lunes en todos sus productos. ¿Cuál será el precio de un producto de valor inicial a el día martes?

Si a un valor a lo disminuimos en su ��%, luego en su ��% y finalmente lo aumentamos en su ��%, el valor final es

Juan tiene �.�� pesos y regala el ��% a su mejor amigo. A fin de mes y en forma de agradecimiento, su amigo le regala �� pesos, entonces en relación a la cantidad inicial ¿Con cuánto quedó porcentualmente hablando?


TOMO I

NÚMEROS

tiempo mínimo (meses) que el inversionista debe mantener la inversión de modo que el capital final sea al menos el triple?

Si una persona junta dinero en una cuenta de ahorro, con un capital inicial de US$��.�� a una tasa de interés anual compuesta del i%. ¿Cuál debería ser la tasa de interés de modo que al cabo de � años este duplique su capital?

Si un inversionista, invierte en un deposito a plazo un capital de US$��.�� a una tasa de interés mensual simple del ��%. ¿Cuánto es el tiempo mínimo (en meses) que el inversionista debe mantener la inversión de modo que el capital final sea al menos el doble?

Si una persona junta dinero en una cuenta de ahorro, con un capital inicial de US$��.�� a una tasa de interés anual compuesta del ��%. ¿Cuánto es el



EJERCICIOS

�. ¿Qué tanto porciento es � de ��? A) � % B) ��,� % C) �� % D) �� % E) Ninguna de las anteriores

�. En un país, se tiene que el ��% de la población son mujeres y el ��% de la población son fumadores. Se puede decir que A) Entre un ��% y un ��% son mujeres fumadoras B) Entre un ��% y un ��% son mujeres no fumadoras C) Entre un ��% y un ��% son mujeres fumadoras D) Entre un ��% y un ��% son mujeres fumadoras E) Entre un ��% y un ��% son mujeres no fumadoras

�. René tenía � barras de chocolate y regaló de una 5 7 barra a una amiga y de la otra barra a otra 9 9 amiga. ¿Con qué porcentaje se queda de lo que inicialmente tenía? A) �,�� % B) �,�¯� % C) ��,¯�% D) �� % E) ��,¯� %

�. ¿Cuál es el ��, ¯� % de �.��? A) �� B) �� C) �.�� D) �.�� E) �.��


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�. Si deposito $��.�� por � meses a una tasa de interés simple mensual de i%, obteniendo ganancias de $�.��. En dicho caso, la tasa de interés i es igual a

�. Camilo compró �� cajas de plumones en $X y Mauricio compró un ��% más de plumones que Camilo. ¿Cuánto pagó Mauricio?

A) �% B) �,�% C) �,�% D) �,�% E) �,��%

A) $ B) $ C) $ D) $ E) $

5x 6 6x 5 (x + 5) x

6

11 x 30

�. El ��% del �% de �� es

�. El ��% del ��% del ��% de ��.�� es

A) �,�� B) �,�� C) �,�� D) �,� E) �,��

A) �.�� B) �.�� C) �� D) ��.�� E) ��.��



�. El ��% del �% de un número es �x, entonces el ��% de dicho número es

��. Si el ��,� % de un número es ��. ¿Cuál es el número?

A) ��x B) ��x C) ��x D) ��x E) ��x

A) �,� B) �� C) �� D) �� E) ��

��. La población de conejos hace �� años era de ��.��. Si creció a una tasa de �% anual. ¿Cuál es la población actual?

��. Si a un número x lo aumento en un ��% y luego el resultado lo disminuyo en ��% obtengo

A) ��.�� · (�,�) B) ��.�� · (�,�) �� C) ��.�� · (�,��) �� D) ��.�� · (�,��) �� E) ��.�� · �� · �,��

A) �,� · x B) x C) �,� · x D) ��x 1 x E) x − 100


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��. Si un capital C es invertido en un deposito a plazo fijo por un período, a una tasa del �% este da una utilidad de $��.��. Entonces el monto del capital C es

��. En una tienda de ropa hay una oferta de ��% de descuento sobre descuento. ¿Cuál será el precio de una camisa que costaba $��.�� y ya tenía un descuento aplicado de un ��%?

A) $��.�� B) $��.�� C) $��.�� D) $��.�� E) $��.��

A) $�.�� B) $��.�� C) $��.�� D) $��.�� E) $��.��

��. En un curso de �� alumnos, la relación entre los que practican fútbol y los que practican tenis es de � : �. ¿Qué porcentaje del curso practica tenis en relación al total del curso?

��. Una bolsa contiene �� dulces. Si se sacan �� de ellos, el porcentaje de los dulces que quedaron en la bolsa es

A) ��% B) ��% C) ��,¯�% D) ��% E) ��,¯� %

A) ��% B) ��% C) ��% D) ��% E) ��%



��. Si el recíproco del ��% de X se divide por el recíproco del ��% de Y resulta A)

X Y

B) XY C) D) E)

(X + Y) Y

15

X

��. Se incendió un departamento asegurado en un ��% de su valor total. La cantidad recibida fue de $��.��.��. ¿Cuál era el valor original del departamento? A) $�� millones B) $�� millones C) $�� millones D) $�� millones E) $�� millones

10.000X 225Y

��. Verónica compró un libro en ��.�� y lo vendió en $��.��. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia que obtuvo?

��. Si $��.�� se invierten al �% de interés compuesto anual, ¿Cuál es el capital total después de � años?

A) ��% B) ��% C) ��% D) ��% E) �,�%

A) $��.�� B) $��.�� C) $��.�� D) $��.�� E) $��.��


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��. El ��% del ��% del ��% de ��.�� es igual a A) �.�� B) �� C) �.�� D) �.�� E) �.��

��. Se desea vender un auto con un ��% de ganancia. ¿Cuánto será el precio de venta si el costo fue $ �.��.��? A) $�.��.�� B) $�.��.�� C) $�.��.�� D) $�.��.�� E) $�.��.��

��. Si en un triángulo cualquiera escogemos dos lados. Al primero de ellos lo aumentamos en un ��% y el otro lo disminuimos en un ��%. Sobre el nuevo perímetro, podemos decir que A) Aumenta en aproximadamente en un ��% B) Aumenta en aproximadamente en un �% C) Aumenta en aproximadamente en un �% D) Disminuye en aproximadamente en un ��% E) No se puede decir nada al respecto

��. ¿Cuál es el valor sin I.V.A. de un auto que tiene precio de venta final de $�.��.��? A) $�.��.�� B) $�.��.�� C) $�.��.�� D) $�.��.�� E) $�.��.��



��. A un hombre de �� años, le informan que su cuerpo está compuesto de músculo, hueso y grasa. 1 Tiene �� kilos de músculo, de su grasa en hueso 3 y un ��% de su masa total en grasa. ¿Cuál es el peso del hombre?

��. Si Juan, para comprar un auto, pidió a un banco $�.��.�� a una cierta tasa de interés y la cuota a pagar es de $��.�� por �� meses. Entonces lo que pagará Juan al fin del período -como porcentaje de los �.��.�� iniciales- será

A) �� kilos B) ��,� kilos C) �� kilos D) �� kilos E) ��,� kilos

A) ��,�% B) ��,�% C) ��,�% D) ��,�% E) ��,�%

��. Un capital de $ �.��.�� se deposita en un banco que paga �.�% de interés mensual. ¿Cuánto dinero ganaría si lo deposito por �� meses retirando la ganancia mes a mes?

��. ¿Qué capital debe invertirse en un fondo mutuo que rinde �% de interés anual simple, para obtener � millones de ganancia en � años?

A) $�.�� B) $��.�� C) $��.�� D) $��.�� E) $��.��

A) $��.�� B) $��.�� C) $�.��.�� D) $��.��.�� E) $��.��.��


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��. La fórmula

 

P = C ⋅  1+

nt

  100n  i

representa el capital final obtenido al invertir un capital C con tasa anual i de interés compuesto n veces al año, por t años. Luego, si invertimos US$��.�� a una tasa del �% anual de interés compuesto semestral, entonces al cabo de � años el capital final será (en US$)

��. Si el P% del S% de ��.��Q es �S, entonces el doble de P es igual a A)

3 5Q

B) �PSQ C)

6 5Q

D) �S E) �Q

A) ��.�� · (�,��) � B) ��.�� · (�,��) � C) ��.�� · (�,��) � D) ��.�� · (�,��) � E) Ninguna de las anteriores

��. Pedro quiere hacer un deposito a plazo por una cantidad de US$�.��. ¿Cuál de las siguientes alternativas le ofrece un menor beneficio? I. Banco A: interés compuesto de �,��% mensual. II. Banco B: interés compuesto de �,��% trimestral. III. Banco C: interés compuesto de �,��% anual. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Todas producen el mismo beneficio E) No se puede determinar, dado que la variable temporal esta dada en distintas unidades en cada caso.

��. Un alumno de la asignatura de Evaluación de Proyectos tiene las siguientes ponderaciones en las pruebas del semestre: primera prueba: ��%, segunda prueba: ��%, tercera prueba: ��%, promedio de los controles: ��%. Si en la primera prueba obtuvo una nota �,�; en la segunda un �,�; y el promedio de los controles es un �,�, ¿qué nota mínima debe obtener en la tercera prueba para presentarse al examen con un �? (No se permiten aproximaciones). A) �,� B) �,� C) �,� D) �,� E) �,�



��. Al vender un notebook en $P se gana el ��% del precio de compra ¿Cuánto había costado el notebook? A) $

11P 10

B) $ C) $ D) $ E) $

��. Un curso invitó a su profesor de Sácate un � a comer pizza. Carla se comió � trozos, María Jesús � y Josefa �. Luego llegan Joaquín y Cristóbal y entre los dos comen un ��% de lo que quedaba. ¿Cuántos trozos le quedan al profesor si eran � pizzas de � trozos cada una?

10 11P P 110 10P

A) � B) � C) � D) � E) �

11 11 P

��. Sean a,b,c ∈  tales que b es el ��% de a y c es igual al ��% del ��% de a. Si sabemos que a = �, entonces el valor de b + c es igual a A) ��,� B) ��,� C) �� D) �� E) ��,�

��. Se puede determinar la cantidad de hombres que son matemáticos en un país si (�) El ��% de la población son hombres. (�) El �,�% de la población son matemáticos. A) (�) por sí sola B) (�) por sí sola C) Ambas juntas, (�) y (�) D) Cada una por sí sola, (�) ó (�) E) Se requiere información adicional


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��. Si tengo un capital C invertido con una tasa anual del ��% compuesto. ¿Cuántos períodos necesito para al menos triplicar el capital inicial? A) � período B) � períodos C) � períodos D) � períodos E) �,� períodos

��. Suponga que con una tasa de interés compuesto del ��% mensual, se invierte cierto capital. ¿Cuánto tiempo durará en duplicarse?

A)

log2 log1,1

 2   1,1 

B) log

C) log � − log �,� D) log �,� E) Ninguna de las anteriores

��. El precio del dólar cae muy fuertemente, por lo que el Banco Central de Chile interviene en el mercado cambiario, cuando el cambio se encuentra en $�� por dólar, y luego de la intervención del BC el precio del dolar aumenta en un ��%. Si una persona compró US$�.�� antes de la intervención a un �% más del precio observado ($�� por dolar) y luego de la intervención los vende a �% menos del precio final, entonces la ganancia, redondeada a la decena es A) $��.�� B) $��.�� C) $��.�� D) $��.�� E) $��.��

��. Si una cajetilla de cigarrillos contiene �� de ellos y como promoción de verano, estas traerán por enero y febrero � cigarrillos adicionales. Si durante estos meses compré la misma cantidad de cajetillas, entonces ¿Cuánto más he fumado en porcentaje? (Contando ambos meses con �� días) A) ��% B) ��% C) ��% D) ��% E) ��%



APÉNDICE C

SUMATORIAS


APÉNDICE C: SUMATORIAS

DEFINICIÓN Las sumatorias son una forma de escribir sumas muy extensas de una manera más sencilla y corta. Por ejemplo si queremos preguntar sobre la suma de los primeros �� números naturales, sería bastante complicado si los escribimos matemáticamente ya que �� números son muchos, para ello introducimos las sumatorias de la siguiente manera 100

� + � + � + � + � + . . . + �� + �� + �� + �� + �� + �� =

∑k k =1

El símbolo anterior quiere decir que el término general que en la expresión anterior se denota por k, varía desde � hasta ��. En otras palabras, la sucesión que tenemos en el término general se va reemplazando por los números del � al �� y se van sumando entre ellos. La forma más general de una sumatoria es dada una sucesión n (an )n de números reales, entonces ∑ ak es la suma de los primeros n términos de la k =1 sucesión (an )n.

PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS Las sumatorias cumplen algunas propiedades que son importantes de conocer y nos ayudan mucho cuando necesitamos manipularlas de manera algebraica, estas son algunas de ellas n

�.

n

∑ c ⋅ ak = c∑ ak , para c ∈ R una constante k =1

k =1

n

�.

n

k =1

k=1

k= 1

M − N

M

�.

n

∑ (ak + bk ) = ∑ ak + ∑ bk

∑

ak =

k = N + 1

∑a

k + N

k =1 M

�. Si �
∑a k =1

N k

= ∑ ak + k =1

M

∑

ak

k= N + 1

Además existen sumatorias que tienen fórmulas conocidas, como las siguientes n

�.

∑k = k =1

∑k k =1

�.

2

3

∑k

2

=

n(n + 1)( 2n + 1)

6

k =1

2

n

�.

n

n(n + 1)

n(n + 1)  =   2   

n

�.

∑a k =1

k

=

a− a

n+1

1− a

, si a ≠ �


TOMO I

NÚMEROS

EJERCICIOS

�. Escriba usando el signo de sumatoria A) �� + �� + �� + �� + . . . + �� + �� + �� B) � + � + �� + �� + . . . (n términos) C) �� + �� + �� + �� + �� + . . . (�n términos)

�. Calcule las siguientes sumatorias 100

A) ∑ (6k + 1) k=1 n

B) ∑ (k2 + n) k=1 2013

C) ∑ (2k3 − k2 + 7k + 2) k=1


NOMENCLATURA

∀ ∃ {a, b, c . . .}

∈ ∉ ⊂ ∪ ∩ Ac

φ R2 R3 (a, b) (a, b, c) A × B N N0 Z Q I R C

= ≡ ∼ ≅ >

Para todo Existe Conjunto formado por los elementos a, b, c . . . Pertenece No pertenece Subconjunto Unión Intersección Complemento de A Conjunto vacío Plano cartesiano Espacio Euclidiano Par ordenado Trío ordenado Producto cartesiano entre A y B Números naturales Números cardinales Números enteros Números racionales Números irracionales Números reales Números complejos Igualdad Equivalencia Semejantes Congruentes Mayor que


TOMO I

< ≥ ≤ z f(x) f −1(x)

±

±

ln Σ [a, b] (a, b) o ]a, b[ (a, b] o ]a, b] C(n, k) V (n, k) f i x

Me Mo σ σ2 PQ

// ⊥ AB

sin(α) cos(α) tan(α)

NÚMEROS

Menor que Mayor o igual que Menor o igual que Conjugado de z Función con variable independiente x Función inversa de f(x) Suma o resta Resta o suma Logaritmo natural o logaritmo en base e Sumatoria Intervalo cerrado desde a hasta b Intervalo abierto desde a hasta b Intervalo semi-abierto desde a hasta b Combinación de n sobre k Variación de n sobre k Frecuencia Media aritmética o promedio Mediana Moda Desviación estándar Varianza Segmento desde el punto P hasta Q Paralelos Perpendicular Arco desde A hasta B Seno de α Coseno de α Tangente de α


Libro PSU Matemática NUMEROS

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