Matemátic�
Han colaborado en esta edición
Directora de Desarrollo Académic Académico o e Innovació Innovación n Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida
Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre
Imágenes Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Autor
:
CEPECH S.A.
N° de Inscripción
:
284.116 del 26 de octubre de 2017
Derechos exclusivos
:
CEPECH S.A.
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
Año Impresión 2018 Impreso en
Matemátic�
Índic� PRESENTACIÓN........................................................................................................................................
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Capítulo 1: NÚMEROS .............................................................................................................................
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1. Números ........................................................................................................................................... 1.1. Números reales ........................................................................................................................................................... 1.1.1. Clasificación de conjuntos numéricos ................................................................................................... 1.1.2. Generalidades de números reales .......................................................................................................... 1.1.3. Generalidades de los enteros ...................................................................................................................
12 12 12 12 13
1.2. Números racionales .................................................................................................................................................. 1.2.1. Transformación y orden en los racionales ............................................................................................ 1.2.2. Aproximación en los racionales................................................................................................................ 1.2.3. Operatoria en los racionales ...................................................................................................................... 1.2.4. Problemas en los racionales ......................................................................................................................
16 16 18 19 22
1.3. Potenciación ................................................................................................................................................................ 1.3.1. Potencias .......................................................................................................................................................... 1.3.2. Raíces ................................................................................................................................................................. 1.3.3. Logaritmos .......................................................................................................................................................
26 26 29 31
1.4. Números irracionales................................................................................................................................................. 1.4.1. Orden entre raíces ......................................................................................................................................... 1.4.2. Orden entre logaritmos ............................................................................................................................... 1.4.3. Aproximación en los irracionales ............................................................................................................
33 33 33 34
1.5 Números imaginarios y complejos ....................................................................................................................... 1.5.1. Propiedades de los números complejos ............................................................................................... 1.5.2 Operatoria en los números complejos...................................................................................................
35 35 37
Capítulo 2: ÁLGEBRA ..............................................................................................................................
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2. Álgebra ........................................................................................................................................... 2.1. Transformación algebraica ...................................................................................................................................... 2.1.1. Valorización, reducción y producto algebraico .................................................................................. 2.1.2. Factorización algebraica y productos notables ................................................................................. 2.1.3. Simplificación y operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias ......................................
40 40 40 41 43
2.2. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado ............................................................................... 2.2.1. Ecuaciones de primer grado ...................................................................................................................... 2.2.2. Sistemas de ecuaciones de primer grado .............................................................................................
46 46 47
2.3. Ecuaciones de segundo grado .............................................................................................................................. 2.3.1. Análisis del discriminante ........................................................................................................................... 2.3.2. Resolución de ecuaciones de segundo grado ....................................................................................
50 50 50
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2.4. Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado ....................................... 2.4.1. Desigualdades................................................................................................................................................. 2.4.2. Inecuaciones de primer grado .................................................................................................................. 2.4.3. Sistemas de inecuaciones de primer grado .........................................................................................
52 52 54 56
2.5. Conceptos generales, evaluación y gráfico de funciones ........................................................................... 2.5.1. Teoría, dominio y recorrido de funciones .............................................................................................
58 58
2.6. Funciones de comportamiento lineal ................................................................................................................. 2.6.1. Función afín...................................................................................................................................................... 2.6.2. Función lineal ................................................................................................................................................. 2.6.3. Proporción directa .........................................................................................................................................
60 60 61 61
2.7. Funciones de comportamiento exponencial ................................................................................................... 2.7.1. Función exponencial ................................................................................................................................... 2.7.2. Función logarítmica ......................................................................................................................................
63 63 65
2.8. Funciones de comportamiento polinomial ...................................................................................................... 2.8.1. Función potencia ........................................................................................................................................... 2.8.2. Función cuadrática ....................................................................................................................................... 2.8.3. Función raíz cuadrada ..................................................................................................................................
66 66 68 70
2.9. Análisis gráfico de funciones .................................................................................................................................. 2.9.1. Intersección de una función con los ejes .............................................................................................. 2.9.2. Intersección entre funciones e intervalos de desigualdad ............................................................ 2.9.3. Transformaciones en el gráfico de una función .................................................................................
71 71 72 73
2.10. Composición y función inversa ............................................................................................................................. 2.10.1 Composición de funciones ......................................................................................................................... 2.10.2 Biyectividad y función inversa ..................................................................................................................
75 75 77
Capítulo 3: GEOMETRÍA ..........................................................................................................................
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3. Geometría .......................................................................................................................................... 3.1. Conceptos básicos en geometría.......................................................................................................................... 3.1.1. Generalidades de ángulos y polígonos ................................................................................................. 3.1.2. Generalidades de los triángulos ............................................................................................................... 3.1.3. Generalidades de cuadriláteros................................................................................................................ 3.1.4. Generalidades y ángulos en la circunferencia ....................................................................................
80 80 80 83 88 93
3.2. Transformaciones isométricas ............................................................................................................................... 3.2.1. Ubicación, punto medio y distancia en el plano cartesiano .......................................................... 3.2.2. Vectores en el plano...................................................................................................................................... 3.2.3. Traslación en el plano ................................................................................................................................... 3.2.4. Rotación en el plano ..................................................................................................................................... 3.2.5. Reflexión en el plano .................................................................................................................................... 3.2.6. Composición de transformaciones isométricas .................................................................................
97 97 99 103 104 105 108
3.3. Geometría de proporción ....................................................................................................................................... 3.3.1. Congruencia de triángulos ......................................................................................................................... 3.3.2. Semejanza de triángulos .............................................................................................................................
110 110 111
Matemátic� 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5. 3.3.6. 3.3.7.
Homotecia ........................................................................................................................................................ Teorema de Thales......................................................................................................................................... División de segmentos y teorema de la bisectriz .............................................................................. Teorema de Euclides ..................................................................................................................................... Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia ........................................................................
114 118 121 121 123
3.4. Geometría analítica .................................................................................................................................................... 3.4.1. Ecuación de la recta en el plano cartesiano ......................................................................................... 3.4.2. Posiciones relativas de rectas en el plano ............................................................................................ 3.4.3. Sistema tridimensional ................................................................................................................................ 3.4.4. Ecuación de la recta en el espacio ........................................................................................................... 3.4.5. Ecuación del plano en el espacio ............................................................................................................
126 126 133 137 140 145
3.5. Cuerpos geométricos ................................................................................................................................................ 3.5.1. Poliedros............................................................................................................................................................ 3.5.2. Cuerpos redondos .........................................................................................................................................
147 147 151
Capítulo 4: DATOS Y AZAR .....................................................................................................................
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4. Datos y Azar ......................................................................................................................................
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4.1. Conceptos básicos en estadística ......................................................................................................................... 4.1.1. Población y muestra estadística ............................................................................................................... 4.1.2. Datos y variable estadística ........................................................................................................................ 4.1.3. Representación de datos en tablas y gráficos .....................................................................................
162 162 162 163
4.2. Medidas de tendencia central en tablas y gráficos ........................................................................................ 4.2.1. Medidas de tendencia central en datos no agrupados ................................................................... 4.2.2. Medidas de tendencia central en datos agrupados .........................................................................
167 167 168
4.3. Medidas de posición ................................................................................................................................................. 4.3.1. Cuantiles ............................................................................................................................................................ 4.3.2. Medidas de posición en tablas y gráficos .............................................................................................
170 170 171
4.4. Medidas de dispersión .............................................................................................................................................. 4.4.1. Rango ................................................................................................................................................................. 4.4.2. Varianza ............................................................................................................................................................. 4.4.3. Desviación estándar .....................................................................................................................................
174 174 174 176
4.5. Muestreo aleatorio simple ....................................................................................................................................... 4.5.1 Número de muestras .................................................................................................................................... 4.5.2 Análisis de muestras .....................................................................................................................................
177 178 178
4.6. Probabilidad clásica y tipos de probabilidades ............................................................................................... 4.6.1. Técnicas combinatorias ............................................................................................................................... 4.6.2. Regla de Laplace ............................................................................................................................................ 4.6.3. Producto de probabilidades ...................................................................................................................... 4.6.4. Suma de probabilidades ............................................................................................................................. 4.6.5. Diagrama de árbol y triángulo de Pascal .............................................................................................. 4.6.6. Probabilidad condicional y teorema de Bayes.................................................................................... 4.6.7. Ley de los grandes números ......................................................................................................................
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4.7. Análisis de variable aleatoria discreta ................................................................................................................. 4.7.1. Variable aleatoria discreta, función de probabilidad y función de distribución .................... 4.7.2. Valor esperado (Esperanza matemática) .............................................................................................. 4.7.3. Distribución binominal ...............................................................................................................................
192 192 196 198
4.8. Análisis de variable aleatoria continua ............................................................................................................... 4.8.1. Función de densidad .................................................................................................................................... 4.8.2. Distribución normal tipificada .................................................................................................................. 4.8.3. Propiedades de distribución normal tipificada y análisis de gráfico .......................................... 4.8.4. Tipificación ....................................................................................................................................................... 4.8.5. Intervalos de confianza................................................................................................................................ 4.8.6 Aproximaciones a distribuciones normales .........................................................................................
201 201 203 204 208 210 212
Matemátic�
Como tú sabes, la PSU tiene como propósito evaluar algunas de las competencias que necesitas para ingresar a la carrera elegida. Es necesario que comprendas que este instrumento no mide un contenido específico en sí mismo, sino lo que tú debes saber hacer con ese contenido, por ejemplo, aplicarlo en la resolución de un problema. Por esta razón, te invitamos a utilizar el libro que tienes en tus manos en conjunto con los recursos de aprendizaje creados especialmente para ti: ejercicios organizados según los temas, guías y videos con resolución de preguntas de ensayos; además del GPS académico, donde se detalla el número de las páginas en las que encontrarás los contenidos que, según tus resultados, debes reforzar. Para acceder a ellos, ingresa a la intranet de Cpech. No olvides descargar en tu celular la aplicación con estos libros en su versión digital.
Dirección Académica
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Habilidades evaluadas Comprensión: Además del conocimiento explícito de la información, esta debe ser relacionada para manejar el contenido evaluado, interpretando información en un contexto distinto al que se aprendió. Aplicación: Es el desarrollo práctico tangible de la información que permite aplicar los contenidos asimilados a la resolución de problemas. ASE (Análisis, Síntesis y Evaluación): Es la más compleja de las habilidades evaluadas. Implica reconocer, comprender, interpretar e inferir información a partir de datos que no necesariamente son de conocimiento directo, y que exige reconocer las partes que forman un todo y las relaciones de causalidad entre ellas.
Etapas del método de Resolución de Problemas 1) Identificar: consiste en recopilar los datos entregados en el problema de forma explícita (incluyendo figuras, tablas y gráficos), a cuál área de la matemática corresponden y se determina qué es lo que se está preguntando. 2) Planificar: luego de la identificación, se selecciona aquella información matemática (definiciones, propiedades, ecuaciones, etc.) relevante para resolver el problema, y en los casos que sea pertinente, se adapta al contexto del ejercicio. Se plantea la manera en que se debe emplear la información para llegar a la respuesta. 3) Ejecutar: en esta etapa se juntan los datos obtenidos con las fórmulas para llegar a la respuesta, es decir, se realizan los procedimientos matemáticos para llegar a ella. También se analizan aquellos problemas secundarios para obtener datos útiles en el problema principal. 4) Evaluar: para la PSU, no siempre es pertinente realizar este paso, sin embargo, es uno de los pasos más importantes debido a que en él se evalúa si la respuesta obtenida es la correcta. Se debe analizar el o los resultados obtenidos en el contexto del ejercicio y analizar su coherencia. En caso de no tenerla, se debe repetir el procedimiento, analizando paso por paso para hallar el error. También, se pueden analizar otras maneras en las que el problema puede ser resuelto.
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Matemátic� Íconos didácticos
Conceptos fundamentales
Indica aquellos conceptos importantes referidos al capítulo, que no debes olvidar ni confundir.
Sabías que...
Indica relaciones importantes respecto a la aplicación real de contenidos, con la finalidad de que los asocies de manera didáctica.
Ojo con
Indica datos relevantes que debes manejar respecto a un contenido.
Pregunta tipo PSU
Indica un ejercicio que ejemplifica el contenido revisado previamente.
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Capítul� 1 Número
Aprendizajes Esperados
Aprendizajes Esperados
Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicarlos en la recta numérica, comprender sus propiedades y realizar aproximaciones.
Comprender y utilizar los números irracionales en la resolución de problemas.
Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los números reales, aplicando estos conceptos a la resolución de problemas.
Aplicar números complejos en la resolución de problemas sin solución en los reales.
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Número
� 1. Números l u t í 1.1. Números reales p a 1.1.1. Clasicación de conjuntos numéricos C
A continuación se muestra un diagrama que incluye a todos los conjuntos numéricos:
C IR
Q
II Z
IN
Q*
Los números naturales (IN ) son todos aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjunto (1, 2, 3, 4,…). Los números enteros ( Z ) incluyen a los números naturales, a los negativos de estos y al cero. Los números racionales (Q ) son todos aquellos que pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero y los números irracionales (Q* ) son todos aquellos que no pueden escribirse como fracción de números enteros con denominador distinto de cero. La unión de ambos conjuntos forma el conjunto de los números reales (IR). Los números imaginarios (II ) son aquellos de la forma bi , con b un número real, distinto de cero, e i la unidad imaginaria. Los números complejos (C ) incluyen a los números reales, a los números imaginarios y a todos los números de la forma (a + bi ), con a y b números reales e i la unidad imaginaria.
1.1.2. Ge neralidades de números rea les La suma y la multiplicación en los reales cumplen con la propiedad conmutativa, que significa que el resultado es independiente del orden de los elementos. Es decir, a + b = b + a y a • b = b • a, con a y b números reales. Ambas operaciones cumplen además con la propiedad asociativa, que significa que el resultado es independiente de cómo se agrupen los elementos. Es decir, (a + b) + c = a + (b + c ) y (a • b) • c = a • (b • c ), con a, b y c números reales.
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También, la multiplicación cumple con la propiedad distributiva sobre la suma y sobre la resta, lo que significa que la primera operación se puede repartir sobre la segunda. Es decir, a • (b + c ) = a • b + a • c y a • (b – c ) = a • b – a • c , con a, b y c números reales.
Matemátic� Al sumar cualquier número con 0 el resultado es el número original, es decir a + 0 = a, por lo cual se define el 0 como elemento neutro aditivo. De la misma forma, al multiplicar cualquier número con 1 el resultado es el número original, esto es a • 1 = a, por lo cual se define el 1 como elemento neutro multiplicativo. El inverso aditivo (opuesto) de un número es aquel que sumado con el número resulta 0, es decir, el inverso aditivo de a es (– a). Por otro lado, el inverso multiplicativo (recíproco) de un número es aquel que 1 multiplicado con el número resulta 1, es decir, el inverso multiplicativo de a es , con a ≠ 0. a
Los números reales pueden representarse en una recta numérica horizontal, quedando los números positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda del cero. El criterio más básico de comparación entre dos números reales es que un número a es mayor que otro número b si a se encuentra a la derecha de b en la recta numérica. El valor absoluto de un número corresponde a la distancia (positiva) entre dicho número y el cero, y su simbología es |a|. Para determinar su valor basta con quitarle el signo al número si es negativo y dejarlo igual si es positivo o cero. Por ejemplo, |4| = 4 y |– 7| = 7.
1.1.3. Generalidades de los enteros Los números enteros ( Z ) incluyen a los números naturales, a los negativos de estos y al cero. Todo número entero tiene un antecesor, que se obtiene restando 1 al número, y un sucesor (consecutivo), que se obtiene sumando 1 al número. Un número par es un número entero que puede escribirse de la forma 2n y un número impar es un número entero que puede escribirse de la forma (2n + 1), con n un número entero. Si a es un número par, el antecesor par de a es ( a – 2) y el sucesor par de a es ( a + 2). De la misma forma, si b es un número impar, el antecesor impar de b es (b – 2) y el sucesor impar de b es (b + 2). Si a y b son dos números enteros tales que a está contenido en b un número entero de veces, entonces se dice que a es divisor (factor) de b y b es múltiplo de a. La forma general de comprobar si un número es divisor de otro es realizar la división y verificar que el resto sea cero.
Conceptos fundamentales Considerando números positivos, existen las siguientes reglas de divisibilidad: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de 4. Un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 ó 5. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3 a la vez. Un número es divisible por 7 si la diferencia entre el número sin el último digito y el doble del último dígito es 0 o múltiplo de 7. Por ejemplo, 315 es múltiplo de 7, ya que (31 – 2 • 5) = 21 es múltiplo de 7. Un número es divisible por 8 si sus tres últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de 8. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9. Un número es divisible por 10 si su último dígito es 0. En general, un número entero es divisible por m • n si es divisible por m y n a la vez.
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