PSU MATEMATICA 2015-EJERCICIOS RESUELTOS.pdf

Ejercicios RESUELTOS

- 3-

PSU PSU - 2015 M ate atemáti ática

Patricio Alcaíno Martínez

Derechos Reservados

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PSU Matemática - Ejercicios resueltos - III

2

Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

Palabras iniciales

Estimados usuari@s: •

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Este material que pongo a su disposición está creado a partir de las directrices dadas por el DEMRE para la PSU Matemática año 20 5! en cuanto los e"es temáticos # contenidos que a$arca # el tipo de e"ercicios que comprende% &a prue$a original consta de 80 e"ercicios , de las cuaqles solo 75 se consideran para calcular puntajes. El estudiante tiene 2 horas # 40 minutos para responder % Este documento contiene prue$a original%

15 preguntas

similares a las que se encuentran en la

Para tra$a"ar con este material el usuario +, de$erá *acer uso de calculadora%

-tentamente. -tentamente.

Patricio -lca/no Mart/ne









PSU Matemática-Ejercicios resueltos - 3

3


1. De

las siguientes medidas, ¿cuál(es) siempre corresponde(n) a un número i rracional? I) El perímetro “P” de un a circunferencia circunferencia de radio “r” II) La arista “a” de un cubo de volumen “V” III) La diagonal “d” de un cuadrado de lado “a”

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

Solución:

I) El perímetro “P” de un a circunferencia circunferencia de radio “r” El perímetro “P” de una ci rcunferencia rcunferencia de radio “r” es igual a P = 2  r Como

 es

irracional, 2 lo es, y 2  r también lo es.

II) La arista “a” de un cubo de volumen V 3

El volumen “V” de un cubo de arista “a” es igual a V = a . Por lo tanto, la arista “a” es es igual a: a = 3 V . Este valor NO siempre es irracional, ya que habrá valores de V para l os cuales existe una raíz cúbica racional. III) La diagonal di agonal “d” de un cuadrado de lado “a” La diagonal “d” de un cuadrado de lado “a” es d = a 2 . Si bien valores de a para los cuales el producto con Respuesta correcta: A.

2 NO es irracional.

2 es irracional, existen









PSU Matemática-Ejercicios resueltos - 3 Patricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados

2. ¿Cuál

de las l as siguientes igualdades es FALSA, respecto respecto de la aplicación de las propiedades de los logaritmos? A) 1 + log 2 = log 20 B) 1 – log 5 = log 2 C) log 7 =

1 2

log 7

D) log 500 = 2 + lo g 5 E) log 2 + log 3 = log 5

Solución:

A) 1 + log 2 = log 20 La expresión 1 + log 2 puede escribirse como log 10 + log 2. Aplicando propiedades propiedades de los logaritmos, log 10 + log 2 = log ( 10 x 2) = log 20. La afirmación A) e s verdadera. B) 1 – log 5 = log 2 La expresión 1 – log 5 puede escribirse como log 10 – l og 5. Aplicando propiedades propiedades de los logaritmos, log 10 – log 5 = log ( 10 : 5) = log 2. La afirmación B) es verdadera. C) log 7 =

1 2

log 7

Aplicando propiedades de l os logaritmos: 1

log 7 = log 7 2 =

1 2

log 7

La afirmación C) es verdadera. D) log 500 = 2 + lo g 5 La expresión log 500 puede escribirse como log (5 x 100). Aplicando propiedades de los logaritmos, log (5 x 100) = log 5 + log 100. Como log 100 = 2, entonces la alternativa D) es verdadera. E) La afirmación es falsa. No existe tal propiedad.

Respuesta correcta: E.

4










5


3. Es

posible determinar el valor numérico de l a expresión log (10x), con x > 0, si: (1) x = 100,3 (2) log x = 0,6

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

Solución:

(1) por sí sola Si

0,3 2 x = 100,3 , entonces x = (10 )



100,6

Entonces, log 10x = log 10 + log x = 1 + l og100,6 = 1 + 0,6 Entonces, se puede resolver resolver el problema con (1) por sí sola. (2) por sí sola Si log x = 0,6, entonces, al reemplazar: log 10x = log 10 + log x = 1 + 0,6 Entonces, se puede resolver resolver el problema con (2) por sí sola. Respuesta correcta: D.










6


4. En

la figura, A, B y C son puntos en el círculo de centro O y radio 4 cm.

Si AB  OC y PC = 1, la medida de AB = A) 2 7 O

B) 2 3 C)

8

D)

3

E)

7

B P

C A

Solución:

Agregando una línea auxiliar a la figura y los datos dados, queda lo siguiente:

7

B x

O P x

A

Aplicando el teorema de las cuerdas: x  x  1 7 x2 x





7 7

Por lo tanto, AB = 2 7 Respuesta correcta: A.

1

C












7


5. La

ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (1, -4) y tiene como vector de

dirección al vector v  ( 2, 3) es: A) (x, y) = (-2, 3) + t (1, -4) B) (x, y) = (1, -4) + t (-2, 3) C) (x, y) = (-7, 11) + t (3, -5) D) (x, y) = (-4, 6) + t (-7, 11) E) (x, y) = (4, 6) + t (3, 5)

Solución:

La ecuación vectorial de la recta tiene la forma: (x, y) = P + t v ; donde: 

P es un punto de la recta, con P( x1 , x 2 ), pertenece a IR; I R; y t es un escalar o parámetro que pertenece v es el vector de dirección de la recta, con v = ( v1 , v 2 ) 



Reemplazando P(1, -4) y v =(-2, 3), la e cuación queda: (x, y) = P(1, -4) + t(-2, 3). 

Respuesta correcta: B.










6. De

las siguientes rectas, ¿cuál contiene contiene al punto P( -4, 6)?

A) (x, y) = ( 6, -4) + t (-1, 2) B) (x, y) = (-5, 4) + t (-4, 6) C) (x, y) = (-4, 5) + t (-2, 4) D) (x, y) = (4, 6) + t (1, 1) E) (x, y) = (0, 0) + t (-4, 6)

Solución:

Se debe verificar si se cumplen las i gualdades siguientes: A) (-4, 6) = (6, -4) + t (-1, 2) De donde: -4 = 6 – t t = 10; y  6 = -4 + 2t t=5  Como los parámetros t son distintos, el punto ( -4, 6) NO está en la recta A). B) (-4, 6) = (-5, 4) + t (-4, 6) De donde: -4 = -5 - 4t t = -1/4; y  6 = 4 + 6t t = 1/3  Como los parámetros t son distintos, el punto ( -4, 6) NO está en la recta B). C) (-4, 6) = (-4, 5) + t (-2, 4) De donde: -4 = -4 – 2t t = 0; y  6 = 5 + 4t t = 1/4  Como los parámetros t son distintos, el punto ( -4, 6) NO está en la recta C). D) (-4, 6) = (4, 6) + t (1, 1) De donde: -4 = 4 + t 

t = -8; y

8










9


el punto P ( 1, 4 ) rota 90° con centro en el punto (0, 2) y dirección horaria, queda ubicado en las coordenadas: coordenadas: 7. Si

A) (1, 4 ) B) ( 4,1) C) ( 2, 3) D) ( 2,1) E) ( 1,  4 )

Solución:

Procediendo a esquematizar la situación, se tiene lo siguiente: y P(-1, 4) 4

90°

(2, 3)

3 2

(0, 2)

1 x -3

Respuesta correcta: C.

-2

-1

1

2

3










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8. En

la figura, e l triángulo ABC, rectángulo en C, genera l a figura homotética A’B’C’ con centro O y razón de homotecia r. B

De acuerdo a l a figura, es verdadero que: I)  ABC ~  A’B’C’ II) BC  A’C’ III) r < 0 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

B’

C’

C

A

A’

O

Solución:

I)  ABC ~  A’B’C’. Afirmación verdadera. Dos figuras homotéticas son semejantes entre sí. II) BC  A’C’. Afirmación A firmación verdadera. En dos figuras homotéticas, sus lados son paralelos. Como en este caso el triángulo es rectángulo en C, resulta que BC  A’C’. III) r < 0. Afirmación falsa. Cuando r < 0, se produce una inversión de la figura homotética, que no es el caso presentado. Respuesta correcta: B.










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9. Se

tienen los siguientes datos de una variable X.

Xi = 10, 12, 14, 16 Respecto de los estadígrafos de X se afirma que: I) Mediana (X) = 13 II) Varianza (X) = 5 III) Rango (X) = 6 Es (son) verdadera(s): A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

Solución:

I) Mediana (X) = 13. Afirmación verdadera. Cuando el número de datos es par, la mediana es igual al promedio de los dos valores centrales, al ordenarlos de menor a mayor (o viceversa). viceversa). II) Varianza (X) = 5. Afirmación verdadera. Por definición, la varianza es igual a: V ( x ) 

( x  x )

2

n Calculando primero la media aritmética:

x



10  12  14  16 4

= 13

Entonces: V ( x ) 

(10  13) 2

 (12  13 )

2

 (14  13)

4

2

 (16  13)

2

=5












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10. El

gráfico adjunto muestra la distribución de frecuencias de una variable discreta X.

En esta distribución es posible calcular la media aritmética de X, si: (1) x1 = 3; x 2 = 4; x 3 = 5; x 4 = 6 (2) 4 x1 +3 x 2 + x 3 +2 x 4 = 41 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) o (2) . E) Se requiere información adicional.

Solución:

Por definición, la media aritmética en este caso es:

x



x i  f i

n

A) (1) por sí sola. Si x1 = 3; x 2 = 4; x 3 = 5; x 4 = 6; y en el gráfico: f 1 = 4; f 2 = 3; f 3 = 1; f 4 = 2 Con esta información ya se puede calcular la media aritmética de X










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11. Se definen en un espacio muestral los sucesos sucesos independientes A y B, siendo P(A) y P(B) sus respectivas probabilidades probabilidades de ocurrencia, ambas distintas de cero.

¿Cuál de las l as siguientes expresiones corresponde corresponde a la probabilidad de que ocurran ambos sucesos? A) P( A  B ) B) P( A )  P( B) C) P( A )  P( B ) D) P( A )  P( B) E) P( A ) : P( B)

Solución:

Si A y B son in dependientes dependientes se cumple que P(A y B) = P( A  B) Respuesta correcta: B.



P( A )  P( B )










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12. Se

lanzarán simultáneamente 4 monedas, definiendo la función de variable aleatoria f como el número de caras que resultan.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f es una función de variable aleatoria continua II) La probabilidad de que resulte al menos 1 cara es igual a 1 – f(0) III) La probabilidad de que resulten a lo más 1 cara es igual a f(0) + f(1) Es (son) correcta(s): A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III

Solución:

I) f es una función de variable aleatoria continua. Afirmación falsa. En realidad f es una función de variable aleatoria discreta, ya que solo puede tomar valores enteros: 0, 1, 2, 3, 4. II) La probabilidad de que resulte al menos 1 cara es igual a 1 – f(0). Afirmación










13. Sabiendo

que la probabilidad de que llueva un día cualquiera es independiente de otro, se puede determinar la probabilidad de que en un día cualquiera llueva, si: (1) La probabilidad de que un día NO ll ueva es 0,85. (2) La probabilidad de que llueva dos días seguidos es 9/400.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) o ( 2) E) Se requiere información adicional

Solución:

Definiendo el suceso A = llueve un día cualquiera. (1) La probabilidad de que un día NO llueva es 0,85. Esta es la probabilidad del suceso contrario contrario a la l a probabilidad de lluvia. De acuerdo al teorema correspondiente correspondiente se debe cumplir que P( A )  P( A c )  1 , de donde se puede calcular que P(A) = 1 – 0,85. Luego, (1) por sí sola permite permite el cálculo cálculo solicitado. (2) La probabilidad de que llueva dos días seguidos es 0,1.

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14.

Cierta variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades: X

0

1

P(x)

0,05

0,15



2

{0,1 , 2, 3, 4, ...} presenta la siguiente

3

4 o más

0,35

Es posible calcular P(x=2), si : (1) P(x < 3) = 0,45 (2) P( x  4 ) = 0,2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) o ( 2) E) Se requiere información adicional

Solución:

(1) por sí sola La probabilidad P(x < 3) = 0,45 puede expresarse como: P(0) + P(1) + P(2) = 0,45; pudiendo despejarse P(2).












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15.

Los siguientes estadísticos fueron fueron calculados sobre la base de la e dad del primer parto en una muestra de más de mil madres:    

Edad cuartil 1 = 18 años Edad mediana = 23 años Edad máxima = 34 años Rango de edad = 19 años

Respecto la edad del primer parto en l a muestra, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) La mitad tuvo su primer hijo antes de los 23 años de edad B) El 25% tuvo su primer parto entre los 23 y 34 años de edad C) El 25% tuvo su primer parto entre los 18 y 23 años de edad D) El 50% tuvo t uvo su primer parto teniendo 23 o más años de edad

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