Práctica Mate IV (Prof. Andrés Pérez)

Pr of .A ndr ´ es es P´ ere z

dignidad ad de la educac educaci´ ión, reside reside en la promoc promoci´ ión de la “La dignid verdadera perfección y la aleg alegr´ r´ ıa ı a de los los que que han han de ser ser form formad ados os ”

Joseph Aloisius Ratzinger - Papa Benedicto XVI -

Matem´ aticas IV

nar n ar en la Univer Universid sidad, ad, no es impart impartir ir clases clases, , “...Ense~ sino contagiar contagiar irrevere irreverencia ncias... s... ” Prof. Prof. Jes´ us us Alberto Le´ on on

Universidad Universi dad Naciona N acionall Experimenta Exp erimentall Polit´ Poli t´ ecnica ecnica “Antonio Jos´ e de Sucre” Vice-Rectorad Vice-R ectorado o “Luis “Lu is Caball C aballero ero Mej M ej´ ´ıas” Departamento Departa mento de Ciencias Cienci as B´ asicas asicas

Pr´ acticas de Matem´ ati aticas IV

Prof.: Andrés Pérez

Caracas, Enero de 2014

Universidad Universi dad Naciona N acionall Experimenta Exp erimentall Polit´ Poli t´ ecnica ecnica “Antonio Jos´ e de Sucre” Vice-Rectorad Vice-R ectorado o “Luis “Lu is Caball C aballero ero Mej M ej´ ´ıas” Departamento Departa mento de Ciencias Cienci as B´ asicas asicas

Pr´ acticas de Matem´ ati aticas IV

Prof.: Andrés Pérez

Caracas, Enero de 2014

e s de escala escalar r una monta~ monta~na muy alta, alta, “Después descubrimos que hay muchas monta~ nas nas por escalar ”

Nelson Mandela

UNIDAD I Ecuaciones de Primer Orden • • • • • • •

Grados ∼ Ordenes ∼ Soluciones Ecuaciones Separables Ecuaciones reducibles a separables Ecuaciones Exactas Ecuaciones Lineales Ecuaciones reducibles a lineales Ecuaciones Ecuaciones de Clairaut Clairaut y Lagrange Lagrange

Existe al menos menos un rinc´ rincón del univer universo so que con toda toda seguri seguridad dad “Existe puedes puedes mejorar.. mejorar...y .y eres tú mismo mismo” Aldous Huxley

4 UNEXPO “ Antonio José de Sucre” Vice-Rectorado “Luis Caballero Mej´ıas” Departamento de Ciencias Básicas Matemáticas IV (11044)

Pr´ actica 1 2014

Prof. Andr´ es P´ erez

E.D.O. de Primer Orden*

Parte I: Ordenes ∼ Grados ∼ Soluciones 1. En las siguientes ecuaciones diferenciales, determinar el orden, el grado (si es posible), si es lineal o no, la función incognita y la variable independiente. 1.1) ( y ′′ )2 − 3yy ′ + xy = 0 1.2) x 4 y(4) + xy ′′′ = e x 1.3) t 2 ¨ s − ts˙ = sen t 1.4) y

1.7)

(4)

+ xy ′′′ + x2 y ′′ − xy ′ + sen y = 0

d2 y dx2

1.10) s

1.13) t 2

2

t

ds2

1.6)

d7 b = 3p dp7

1.9)

3/2

� � 2d

dn x 1.5) = y 2 + 1 n dy

+ y = x

1.8)

dt =8 ds

1.11) ( y ′ )3 + 5xyy ′ − xy sen t = 0

+ st

d2 y dy +t + 2y = sen t 2 dt dt

1.14)

d2 y + sen(s + y) = sen s ds2

2

d2 r dy2

� � � �   db dp

1.12) y(n) 1.15)

d2 r dr + + y = 0 2 dy dy

7

= 3p

m

+ ay(n) + q(x) y = p (x)

d3 y dy +t + (cos2 t) y = t 3 3 dt dt

2. Verifique que las siguientes funciones (expl´ıcitas o impl´ıcitas) son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales: 2.1) y ′ = 2x 2.2) xy ′ = 2y ; y = x 2 + C ; y = Cx 2 2.3) yy ′ = e 2x

;

y2 = e 2x + C

2.5) y = arcsen xy

;

xy ′ + y = y ′

2.7) y + sen y = x

;

( y cos y − sen y + x) y ′ = y

√

1 − x2 y2

2.4) xy ′ = y + x2 + y2

;

y = x tan x

2.6) y ′ = y 2 /(xy − x2 )

;

y = Ce y/x

2.8) 1 + y2 + y2 y ′ = 0

;

x + y = arctan y

∫ x

2.9) y ′′ − y = 0

;

x

y1 (x) = e , y2 (x) = cosh x

2.10) xy ′ = y + x sen x

;

y = x

0

2.11) y ′ (x + y) = y

;

x = y ln(Cy)

2.13) y ′′ + y = sec x, 0 < x <

π 2

;

2.12) y (4) + 4y ′′′ + 3y = x

y(x) = cos (x) ln(cos x) + x sen x

2.14) y ′ − 2xy = 1

sen t dt t x , 3

;

y1 (x) =

;

y(x) = e x

2

x 3

y2 (x) = e −x +

∫ x

2

2

e−t dt + ex

0

3. En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el o los valores de r , para el o los cuales la E.D.O. dada tiene soluciones de la forma y = e rx . 3.1) y ′ + 2y = 0

3.2) y ′′ − y = 0

3.3) y ′′ + y ′ − 6y = 0

3.4) y ′′′ − 3y ′′ + 2y ′ = 0

4. En cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, determine el o los valores de r , para el o los cuales la E.D.O. dada tiene soluciones de la forma y = x r , para x > 0. 4.1) x 2 y ′′ + 4xy ′ + 2y = 0

4.2) x 2 y ′′ − 4xy ′ + 4y = 0

5. Pruebe que y = Cx4 , es solución general de xy ′ − 4y = 0. Además, Halle dos soluciones particulares y una solución singular. 6. Considere la EDO, dada por: y ′ = y 2 − 1 . Demuestre que: y = singular de la EDO?

1 + Ce2x , es soluci´ on general. ¿Ser´ a y = −1 soluci´ on 1 − Ce2x

5 7. Demuestre que las siguiente s familias de funciones son soluciones generales de las EDO asociadas. 7.1) C(x + y)2 = xe y/x

;

(x2 + y2 )dx + x(x − y)dy = 0

7.2) x2 y + y2 = C

; 2xydx + (x2 + 2y)dy = 0

8. En los problemas dados a continuación, hallar C1 y C2 de tal forma que las funciones dadas satisfagan las condiciones iniciales establecidas. 8.1) y (x) = C 1 ex + C2 e−x + 4 sen x ; y(0) = 1, y ′ (0) = −1 8.2) y(x) = C 1 x + C2 + x2 − 1 ; y(1) = 1, y ′ (1) = 2 8.3) y (x) = C 1 ex + C2 e2x + 3e3x

;

y(0) = 0, y ′ (0) = 0

8.4) y(x) = C 1 sen x + C2 cos x + 1

;

y(π ) = 0, y ′ (π ) = 0

8.5) y (x) = C 1 ex + C2 xex + x2 ex

;

y(1) = 1, y ′ (1) = −1

8.6) y(x) = C 1 sen x + C2 cos x

;

y( π4 ) = 0, y ′ ( π 0 6) =

Parte II: Ecuaciones Separables 9. Hallar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales a variables separadas: 2

9.1)

y ′ = e 3x − x

9.2)

xy ′ = 1

9.3)

y ′ = xe x

9.4)

y ′ = arcsen x

9.5)

(1 + x) y ′ = x

9.6)

(1 + x3 ) y ′ = x

9.7)

(1 + x2 ) y ′ = arctan x

9.8)

xyy ′ = y − 1

9.9)

xy ′ = (1 − 2x2 ) tan y

dy + ( 1 + y2 ) = 0 dx

9.10)

(1 + x2 )

9.13)

dy xy + 2y − x − 2 = dx xy − 3y + x − 3

9.16)

y (1 + x + y + x y )dy = y dx x

9.19)

( 4y + yx2 )dy − (2x + xy2 )dx = 0

9.22)

sec y

9.25)

ey sen 2xdx + cos e2y − y dy = 0

2

2

2 2

2

9.11)

y ln ydx − xdy = 0

9.12)

y ′ + y tan x = 0

9.14)

sec2 xdy + cosec ydx = 0

9.15)

2

9.17)

dx y + 1 y ln x = dy x

9.18)

dy (1 + x2 )−1/2 = dx (1 + y2 )1/2

9.20)

ex y

9.21)

dx 1 + 2y2 = dy y sen x

9.24)

dy = sen x(cos 2y − cos2 y) dx

dy + sen(x − y) = sen (x + y) 9.23) dx

   

9.26)

2

� �

dy = e −y + e−y−2x dx

dy xy + 3y − x − 3 = dx xy − 2x + 4y − 8

dy 1 2x − = dx y y

sen 3xdx + 2y cos3 3xdy = 0 9.27) ( y − yx2 )

dy = (1 + y2 ) dx

10. Resuelva los siguientes Problemas de Valores Iniciales (P.V.I). 1 dy = 0 y

10.1)

y ′ sen x = y ln y

e ; y( π 2) =

10.2)

(x2 + 1)dx +

10.3)

xex dx + ( y5 − 1)dy = 0

; y(0) = 0

10.4)

x2 y ′ = y − xy

; y(−1) = −1

10.5)

dy = xy 3 (1 + x2 )−1/2 dx

; y(0) = 1

10.6)

dT = k (T − 50) dt

; T (0) = 200

; y(−1) = 1

11. Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales (P.V.I) y determine el intervalo donde la solución es válida. 1 + 3x2 dy 3x2 + 4x + 2 ′ 2 2 ∗ 11.1) y = ; y(0) = 1 11.2) (3y − 4)dx = 3x dy ; x(−1) = 1 11.3 ) = ; y(0) = −1 3y2 − 6y dx 2( y − 1) dy dx Sugerencia: Para encontrar el intervalo de definición, busque los puntos en los que = 0 ó = 0 . dx dy

6 12. Resuelva las ecuaciones dy ax + b 12.1) = dx cx + d

�

12.2)

�

dy dy a x + 2y = xy dx dx

12.3)

dy ay + b = dx cy + d

donde a, b,c y d son constantes. 13. Transformar las siguientes ecuaciones diferenciales en las formas diferenciales que sean separables y luego resolver. y xex x2 y − y 13.1) y ′ = 2 13.2) y ′ = 13.3) y ′ = x 2y y + 1

Parte III: Ecuaciones Reducibles a Ecuaciones Separables 14. Una ecuación diferencial de la forma

dy = f (ax + by + c) dx siempre se puede reducir a una ecuación de variables separadas con la sustituci´ on u = ax + by + c, b = 0 . En virtud de esta sustituci´ on, resuelva entonces las siguientes ecuaciones. dy dy 3x + 2y 14.1) 14.2) 14.3) (x + y)dx + ( 3x + 3y − 4)dy = 0 = (−5x + y)2 − 4 = ; y(−1) = −1 dx dx 3x + 2y + 2

̸

15. Para ecuaciones de la forma yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0

la sustitución xy = u , las transforma en una ecuación a variables separadas. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales, con la sustituci´ on indicada. 15.1) y(xy + 1)dx + x(1 + xy + x2 y2 )dy = 0 15.2) ( y − xy2 )dx − ( x + x2 y)dy = 0 15.3)

⋆

(1 − xy + x2 y2 )dx + (x3 y − x2 )dy = 0

Ecuaciones Homogéneas

16. Se dice que una función f : D R 2 enea de grado α R , si se verifica que f(tx, ty) = t α f(x, y), t > 0. R, es homog´ Determine si las funciones dadas son homog´ eneas. Si lo son, indique entonces su grado de homogeneidad. 4 y x3 y − x2 y2 16.1) f(x, y) = x 3 + 2xy2 − 16.2) f(x, y) = x + y( 4x + 3y) 16.3) f(x, y) = x (x + 8y2 )

⊂

16.4)

f(x, y) =

x y2 +

∈

→

√

16.5)

√

x4 + y4

f(x, y) = cos

x2 x + y

� �

16.6)

f(x, y) =

ln x3 ln y3

17. Suponga que M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es una ecuación homogénea. Demuestre que alguna de las sustituciones x = vy o y = ux , reducen la ecuación a una de variables separables. 18. Suponga que M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una ecuación homogénea. Demuestre que la sustitución x = r cos θ ; y = r sen θ, reducen la ecuación a una de variables separables. 19. Resuelva las ecuaciones diferenciales homog´ eneas dadas, utilizando la sustituci´ on adecuada. 19.1)

(x − y)dx + xdy = 0 2

2

19.4)

(x + xy − y )dx + xydy = 0

19.7)

�

y y + x cotan dx − xdy = 0 x

y−x 19.10) y ′ =

�

19.13) y ′ = 19.16)

2xy 2 y − x2 x/y

(1 + 2e

)dx +

e−x/y

19.5)

dx y = x + 4y exp dy

19.8)

dx x + 3y = dy 3x + y x

19.14) y ′ =

2

( y2 + yx)dx − x2 dy = 0

2y + x 19.11) y ′ =

x

19.2)

� � 1−

x y

dy = 0

19.17)

y x+

√ xy

� � −2x y

19.3)

2x2 ydx = (3x3 + y3 )dy

19.6)

dy y y = ln dx x x

19.9)

dy y x2 = + 2 +1 dx x y

��

x2 + 2y2 ′ 19.12) y =

xy

(x2 + y2 )dx + ( x2 − xy)dy = 0

x4 + 3x2 y2 + y4 ′ 19.15) y = 3 x y

19.18)

dy y3 y = 3 − dx x x

7

⋆

Ecuaciones Reducibles a Homogéneas

Existen ecuaciones reducibles a homog´ eneas y en consecuencia son tambi´ en reducibles a separables, veamos 20. Para ecuaciones de la forma

dy f(ax + by + c) = dx g(mx + ny + p)

(1)

�

x = u + h , transforma a la ecuación (1) en una ecuación homogénea. y = v + k Utilizando esta sustitución, resuelva las siguientes ecuaciones difereciales.

con c y n no nulos (no ambos). La sustitución dy 2x + 9y − 20 = dx 6x + 2y − 10

20.1)

20.2)

20.7)

dy x + y − 2 20.5) = dx −x + y − 4 (2x + 2y − 1)dy − ( x + y + 1)dx = 0

20.9)

(x − 2y + 1)dx + ( 2x − 4y + 3)dy = 0

20.4)

20.11)

dy (2x − y)2 = dx ( 4x − 2y − 1)2

dy 3x − 4y − 2 = dx 3x + 4y − 3

(3y − 7x + 7)dx − (3x − 7y − 3)dy = 0

20.8)

20.3)

dy 3y − 2x − 3 = dx 4x − 6y

20.6)

dy 2x + y + 7 = dx 3y − x

(x − y + 1)dx + ( 2x + y − 2)dy = 0

20.10)

(12x + 21y − 9)dx + ( 47x + 40y + 7)dy = 0

20.12)

(2x − 5y + 3)dx + ( 2x + 4y − 6)dy = 0

21. Demuestre que la EDO: (x2 y2 − 1 )dy + 2xy 3 dx = 0, se puede transformar en una Ecuación Homogénea, haciendo la sustituci´ on: y = z α . Halle α y resuelva esta ecuación. 22. Realice la sustitución, x = z α , para resolver la ecuación: (x + y3 )dx + ( 3y5 − 3y2 x)dy = 0 . 23. Demuestre que la sustitución y = ux, resuelve la ecuación: xdy − ydx = (6x2 − 5xy + y 2 )dx. ¿Es esta ecuaci´ on homogénea?¿Por qué este cambio la resuelve?

⋆

Sustituciones Diversas

24. Algunas ecuaciones de la forma y ′ = f(x, y), que no son separables, se pueden transformar en tales haciendo alguna sustituci´ on adecuada. Realizar una sustituci´ on adecuada en cada uno de los siguientes casos, siguiendo las indicaciones o buscando dicha sustitución. 24.1) y ′ = sen (x − y) 24.2) (x + y)2 y ′ = a 2 hacer x − y = z 2 2

2

hacer xy = z

24.3)

(x y + 1)dx + 2x dy = 0

24.5)

x6 − 2x5 + 2x4 − y3 + 4x2 y + (xy2 − 4x3 ) y ′ = 0 hacer y = zx

24.7)

y cos xdx + ( 2y − sen x)dy = 0

24.8)

2(x2 y +

√

1 + x4 y2 )dx + x3 dy = 0

(x + y)m ′ 24.4) y + 1 = n+1 (x + y)

(x + y)2 y ′ = 2x + 2y + 5

24.6)

hacer u = sen x

hacer y = z α

Parte IV: Ecuaciones Exactas 25. Las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden se dan en forma usual y en forma diferencial. Determine si las ecuaciones en forma usual y/o diferencial (seg´ un sea el caso) son homogéneas y/o separables y/o exactas. 1 25.1) y ′ = xy 25.2) y ′ = xy ; xydx − dy = 0 ; xdx − dy = 0 y x2 y2

25.3)

y ′ = xy + 1

;

(xy + 1)dx − dy = 0

25.4)

y ′ =

25.5)

y ′ =

x2 y2

;

−x2 dx + y2 dy = 0

25.6)

y ′ = −

25.7) y ′ =

xy2 x2 y + y3

;

2

2

3

xy dx − ( x y + y )dy = 0

25.8) y ′ = −

;

x2 dx − dy = 0 y2

2y x

; 2xydx + x2 dy = 0

xy2 x2 y + y2

;

xy2 dx − (x2 y + y2 )dy = 0

8 26. Compruebe si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y resuelva las que lo sean. 26.1)

(x + 3y)dx + ( x − 2y)dy = 0

26.2)

( y + 3x)dx + xdy = 0

26.3)

(x3 + 5xy2 )dx + ( 2y3 + 5x2 y)dy = 0

26.4)

(tan y − 3x2 )dx + x sec2 y dy = 0

26.5)

(2xy − cos x)dx + ( x2 − 1)dy = 0

26.6)

xexy dx + yexy dy = 0

26.7)

(2xy + x)dx + (x2 + y)dy = 0

26.8)

3x2 y2 dx + ( 2x3 y + 4y3 )dy = 0

26.9)

(sen xy + xy cos xy)dx + ( x2 cos xy)dy = 0

26.10)

(2xy2 + yex )dx + ( 2x2 y + ex − 1)dy = 0

26.11)

(tan x − sen x sen y)dx + cos x cos y dy = 0

26.12)

x2 cos xydy + (2x − y sen xy − 5y4 )dx = 0

26.13)

(ex sen y − 2y sen x)dx + ( ex cos y + 2 cos x)dy = 0

26.14)

(ex sen y + 3y)dx − (3x − ex sen y)dy = 0

26.15)

( yexy cos 2x − 2exy sen 2x + 2x)dx + ( xexy cos 2x − 3)dy = 0

26.16)

( y/x + 6x)dx + ( log x − 2)dy = 0

26.17)

(x log y + xy)dx + ( y log x + xy)dy = 0

26.18)

26.19)

(3x2 − 2xy + 2)dx + (6y2 − x2 + 3)dy = 0

26.20)

(x2

x y dx + 2 dy = 0 2 3/2 + y ) (x + y2 )3/2

(2xy2 + 2y) + ( 2yx2 + 2x) y ′ = 0

27. Escriba cada ecuación en la forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 , compruebe si es exacta y resuelva las que lo son. y( y − ex ) 27.1) 2xyy ′ = x 2 − y2 27.2) y ′ = x e − 2xy 27.3)

dy x − y cos x = dx sen x + y

�

x2 +

27.4)

y dx + (ln x + 2y)dy = 0 x

�

28. Resuelva los siguientes P.V.I. 28.1) 2xydx + (x2 + 1)dy = 0 ; y(1) = −3

28.3)

�

�

28.5)

(9x2 + y − 1)dx − ( 4y − x)dy ; y(1) = 0

1 dy + cos x − 2xy = y ( y + sen x) ; y(0) = 1 2 1 + y dx

y − 2x ; y(1) = 2 2x − y

28.2)

y ′ =

28.4)

(x2 + 2ye2x ) y ′ + 2xy + 2y2 e2x = 0 ; y(0) = 1

28.6)

(2x − y)dx + (2y − x)dy = 0 ; y(1) = 3

29. Resuelva el siguiente P.V.I: ( y2 cos x − 3x2 y − 2x)dx + (2y sen x − x3 + ln y)dy = 0 2

xy

30. Resuelva el siguiente P.V.I: x cos xydy + ( ye

3

+ 4y )dx = 0

;

;

y(0) = e .

y(0) = 2 .

31. Determine la función M (x, y) para que la EDO

�

1 M(x, y)dx + xye + 2xy + x x

�

dy = 0

sea Exacta. Resuélvala !!! 32. Determine la función N (x, y) para que la EDO

�

1 2

−1 2

y x

x + 2 x + y

�

dx + N(x, y) dy = 0

sea Exacta. Resuélvala !!! 33. Demuestre que cualquier ecuación separable de la forma: M(x) + N( y) y ′ = 0 , también es exacta. 34. Encuentre el valor de b , para el cual la ecuación dada es exacta y luego resuélvala. 34.1) (xy2 + bx2 y)dx + (x + y)x2 dy = 0

34.2) ( ye2xy + x)dx + bxe2xy dy = 0

9

⋆

Ecuaciones Reducibles a Exactas

35. Demuestre que las siguientes ecuaciones no son exactas, pero que se hacen exactas cuando se multiplican por el factor de integración dado. Después resuelva las ecuaciones. 35.1) (x + 2) sen ydx + x cos ydy = 0 , µ (x, y) = xe x

35.3)

�

� �

sen y − 2e−x sen x dx + y

35.2) x2 y3 + x(1 + y2 ) y ′ = 0 , µ (x, y) =

cos y + 2e−x cos x y

�

dy = 0 , µ (x, y) = ye x

1 xy3

35.4) ydx + ( 2x − yey )dy = 0 , µ (x, y) = y

36. Utilice el Factor Integrante generalizado, para convertir las siguientes ecuaciones diferenciales en Exactas y resuélvalas. 36.1)

(2xy2 − 2y)dx + (3x2 y − 4x)dy = 0

36.2)

(cos 2y − sen x)dx − 2 tan x sen 2ydy = 0

36.3)

(3xy3 + 4y)dx + (3x2 y2 + 2x)dy = 0

36.4)

2xy ln y dx + (x2 + y2 y2 + 1)dy = 0

36.5)

ex dx + (ex cotan y + 2y cosec y)dy = 0

36.6)

(xy − 1)dx + ( x2 − xy)dy = 0

36.7)

y dx + (x2 y − x)dy = 0

36.8)

(2xy − e−2x )dx + x dy = 0

36.9)

(3x2 + 2xy + y3 )dx + (x2 + y2 )dy = 0

36.10∗ )

( y2 + xy + 1)dx + ( x2 + xy + 1)dy = 0

36.12)

�

36.11)

x3 3 x 4 2 + dx + 3 2 + 4y dy = 0 y y y

�

� �

�

√

6 3x + y

�� +

x2 y dy +3 = 0 y x dx

�

37. Resuelva la ecuación diferencial: (3xy + y2 ) + (x2 + xy) y ′ = 0 , encontrando el factor de integración adecuado. Luego, use el factor de integración µ (x, y) = [xy(2x + y)]−1 y verifique que la solución en este caso coincide con la dada anteriormente.

Parte V: Ecuaciones Lineales 38. Encuentre la solución general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas: dy + 2y = 3 dx

38.1)

3y ′ + 12y = 4

38.2)

x

38.4)

x ′ + 3xy2 = y 3

38.5)

(x + 4y2 )dy + 2ydx = 0

38.7)

(1 + ex )

dy + ex y = 0 dx

38.8)

dy 1 = dx cos y + xy2

38.10)

( 1 + x)

dy − xy = x + x2 dx

34.11)

(x + 2)2 y ′ = 5 − 8y − 4xy

38.12)

ydx + (x + 2xy2 − 2y)dy = 0

38.13)

sec x

38.14)

xy ′ + 2y = e x + ln x

38.15)

(x + 1) y ′ + ( x + 2) y = 2xe −x

38.16)

dy − ( y + senh x)dx = 0

38.17)

x

38.18)

x

38.19)

y ′ − y cotan x = e x (1 − cotan x) 38.20)

38.21)

s ′ + s tan t = 2t + t2 tan t

dy y + =1 dx cos2 x

dy + ( 3x + 1) y = e −3x dx

y ′ x cos x + y(x sen x + cos x) = 1

38.3)

xdy = (x sen x − y)dx

38.6)

(1 + x2 ) y ′ + ( xy + x3 + x) = 0

38.9)

dy 1 − e−2x + y = x dx e + e−x

dy + y + xy = e −x sen 2x dx

10

dy − 3y = (x + a)5 dx

dy + y = 2 ln x dx

38.23)

x ln x

(x + 1) y ′ + ( 2x − 1) y = e −2x

38.26)

x(x − 1) y ′ + y = x 2 (2x − 1) 38.27)

(1 + t2 ) y ′ + 4ty = (1 + t2 )−2

38.29)

y ′ + 2ty = 2te −t

38.22)

x+a

38.25)

38.28)

38.24)

2

38.30)

x

dy − y = (x − 1)ex dx

(6 − 2xy)

dy + y2 = 0 dx

(6 − 2xy) y ′ + y = te −t + 1

39. Resuelva la ecuación diferencial lineal dada, sujeta a la condición inicial que se indica: dy 39.1) y ′ + y tan x = cos 2 x 39.2) sen x ; y(0) = −1 + y cos x = 0 dx

;

y −π 1 2 =

 

39.3)

cos2 xy ′ + y = 1

;

y(0) = −3

39.4)

dy y = dx y − x

;

y(5) = 2

39.5)

dy + y tan x = sec x dx

;

y(0) = −1

39.6)

xdy + ( xy + 2y − 2e−x )dx = 0

;

y(1) = 0

39.7)

y ′ + 2y + x(e3x − e2x ) = 0

;

y(0) = 2

39.8)

dy 2y − = (x + 1)3 dx x+1

;

y(0) = 1

39.9)

ty ′ + ( t + 1) y = t

;

y(log 2) = 1

39.10)

;

y(π ) = 0

cos x dy 2 + y = dx x x2

40. Resuelva los dos siguientes problemas, como una aplicación de las ecuaciones diferenciales lineales. 2y + x + 1 . x y2 ln x − y 40.2) Hallar la ecuación de curva que pasa por el punto ( 1, 1) y cuya pendiente en un punto cualquiera es igual . x 41. Considere el PVI 1 y ′ + y = 2 cos x , y(0) = − 1 4 Encuentre las coordenadas del primer punto máximo local para x > 0. 40.1) Hallar la ecuación de curva que pasa por el punto ( 1, 0) y cuya pendiente en un punto cualquiera es igual

42. Considere el PVI

2 1 y ′ + y = 1 − t , y(0) = y 0 3 2 Encuentre el valor de y 0 , para el cual la solución toca al eje t sin cruzarlo.

43. Considere el PVI

1 y ′ + y = 3 + 2 cos 2x , y(0) = 0 4 Encuentre la solución de este PVI y determine su comportamiento para x grande y además, determine el valor de x , para el cual la soluci´ on corta por primera vez a la recta y = 12 .

44. Sea y = y 1 (x), una soluci´ on de y ′ + p(x) y = 0

y sea y = y 2 (x), una soluci´ on de y ′ + p(x) y = q (x)

(2)

Demuestre que y = y 1 (x) + y2 (x), también es una solución de la ecuación (2). 45. Demuestre que si a y λ son constantes positivas y b es cualquier número real, entonces, toda solución de la ecuación y ′ + ay = be −λx

tiene la propiedad de que y

→

0, cuando x

→∞

.

11 46. Considere la ecuación diferencial dada por:

dy = ay − b dt e intentemos un método alternativo para resolver dicha ecuación. Método de los Coeficientes Indeterminados: dy 46.1) Resuelva la ecuación mas sencilla: = ay y llame a esta solución y 1 (t). dt 46.2) Observe que la diferencia entre la ecuación original y la resuelta es el t´ ermino − b. Por tanto es razonable suponer que las soluciones de ambas ecuaciones difieran en una constante. En base a esta suposici´ on, encuentre una constante k , tal que y(t) = y 1 (t) + k , sea soluci´ on de la ecuación original.

47. Considere la ecuación diferencial lineal de primer orden general dada por: dy + p(t) y = g (t) dt

(3)

e intentemos un método alternativo para resolver dicha ecuación. Método de Variaci´ on de Par´ ametros: −

47.1) Demuestre que y(t) = Ae

∫

p(t)dt

, si hacemos g (t) = 0 en (3), donde A es una constante arbitraria.

47.2) Si g (t) no es nula en todo punto de I , entonces, suponga que la soluci´ on es de la forma −

y(t) = A (t)e

∫

p(t)dt

(4)

∫

donde A es ahora una función de t . Demuestre que A(t), debe satisfacer la ecuación: A ′ (t) = g (t)e

p(t)dt

.

on (4)y determine a y (t). Verifique que 47.3) Encuentre A (t) mediante la ecuación anterior, luego sustituya A (t) en la ecuaci´ la soluci´ on obtenida concuerda con la dada por el método del factor de integración. 47.3) Utilice el m´ etodo descrito para resolver las ecuaciones siguientes: (a)

⋆

ty ′ + 2y = sen t , t > 0

(b)

1 y ′ + y = 3 cos 2t, t > 0 t

( c)

y ′ − 2y = x 2 e2x

Ecuaciones Reducibles a Lineales

Ecuación de Bernoulli

⋆

48. Considere la ecuación diferencial:

dy + P (x) y = Q (x) yn dx

(5)

donde n es cualquier número real. 48.1) Encuentre la solución para n = 0 . 48.2) Encuentre la solución para n = 1 . 48.3) Si n = 0 y n = 1 . Demuestre que el cambio de variable u = y 1−n , transforma dicha ecuación en una ecuación lineal de primer orden no homogénea.

̸

̸

La ecuaci´ on (5), se conoce como ecuación de Bernoulli. 49. Resuelva la ecuación de Bernoulli dada: dy 1 49.1) x + y = 2 dx y dy − (1 + x) y = xy 3 dx

49.4)

x

49.7)

(2xt2 ln x + 1) =

49.10)

2xdt tdx

dx 2y3 x2 + x2 y2 − 2x = dy 2y + 1

49.2)

dy − y = e x y2 dx

49.5)

x2

49.8)

(x + 2y3 )

49.11)

49.3)

y ′ = y (xy3 − 1)

dy + y2 = xy dx

49.6)

3(1 + x2 )

dy =y dx

49.9)

x2 y − x3

dy 3x2 = 3 dx x + y + 1

49.12)

dy = 2xy ( y3 − 1) dx

dy = y 4 cos x dx

dy = (2 − y)( y − 5) dx

12 50. Resuelva la ecuación diferencial de Bernoulli dada sujeta a la condición que se indica dy dy 50.1) x2 50.2) y1/2 − 2xy = 3y 4 ; y(1) = 1 + y3/2 = 1 dx dx 50.3)

xy(1 + xy2 )

dy = 1 dx

;

y(1) = 0

50.4)

2

dy y x = − 2 dx x y

;

y(0) = 4

;

y(1) = 1

51. Responda cada uno de los planteamientos dados a continuación. (51.1) Demuestre que la función y (x) = C 1 e−3x + C2 e2x , es soluci´ on de la EDO de segundo orden: y ′′ + y ′ − 6y = 0 . (51.2) Determine las constantes C1 y C2 del apartado anterior, considerando las condiciones iniciales y (0) = 15 y y ′ (0) = 5 . (51.3) Determine la soluci´ on de la EDO de primer orden: y ′ + ym − xyn = 0 , donde m y n, satisfacen el sistema

�

C1 C2 C1 + C2

= =

10n 15m

donde C 1 y C 2 , son las constantes obtenidas en (1.2). 52. Resuelva la ecuación: (x2 + y2 + 1)dy + xydx = 0 . 53. Resuelva la ecuación: 2y ′ sen x + y cos x = y 3 (x cos x − sen x). 54. Resuelva la ecuación: y ′ + y

x + 12 (1 − x2 ) y2 = x2 + x + 1 (x2 + x + 1)3/2

55. Resuelva la ecuación y ′ = ry − ky2 , con r, k > 0, Esta ecuación es importante en la dinámica de poblaciones. 56. Resuelva la ecuación y ′ = εy − σy3 , con ε,σ > 0. Esta ecuación se presenta en la estabilidad del flujo de fluidos. 57. Resuelva la ecuación y ′ = (Γ cos t + T ) y − y 3 , donde Γ y T son constantes. Esta ecuaci´ on tambi´ en se presenta en la estabilidad del flujo de fluidos.

Ecuación de Ricatti

⋆

58. La ecuación diferencial:

dy = p (x) y2 + q(x) y + g(x) dx se denomina ecuación de Ricatti. Suponga que se conoce una solución particular y 1 (x), de esta ecuación. Demuestre que la sustitución 1 y = y 1 (x) + v(x)

(6)

dv + [q(x) + 2y1 (x) p(x)] v = − p(x). dx 59. Utilice el método del problema 32, para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, dado que y1 , es una soluci´ on conocida en cada una de las ecuaciones.

transforma la ecuación (6), en la ecuación lineal:

59.1)

y ′ + y2 = 1 + x2

;

y1 (x) = x

59.3)

dy 4 1 = − 2 − y + y2 dx x x

;

y1 (x) =

59.5)

dy 1 = 2x 2 + y − 2y2 dx x

;

59.7)

dy = 1 + x2 − 2xy + y2 dx

59.9)

dy 2 cos2 x − sen2 x + y2 = dx 2 cos x

59.11)

dy 1 − x + y2 = dx 2 x

√

59.2)

y ′ + 2xy = 1 + x2 + y2

;

y1 (x) = x

59.4)

dy = e 2x + (1 + 2ex ) + y2 dx

;

y1 (x) = −ex

y1 (x) = x

59.6)

dy = sec 2 x − y tan x + y2 dx

;

y1 (x) = tan x

;

y1 (x) = x

59.8)

dy 1 y = − 2 − + y2 dx x x

;

y1 (x) =

;

y1 (x) = sen x

59.10)

(1 + x3 )

;

y1 (x) = −x

;

y1 (x) =

59.12)

y ′ − ex = y 2 − ( 1 + ex ) y + ex

;

y1 (x) = ?

2 x

√ x

dy + 2xy2 + x2 y + 1 = 0 dx

1 x

13 60. Dada la E.D.O.

dy + 2x2 y − x3 = xy 2 + 1 dx

on. 60.1) Hallar los valores de a y b para que y1 = ax + b sea soluci´ 60.2) Hallar todas las soluciones de la ecuación dada.

61. La propagación de una acción particular en una población grande (por ejemplo que los conductores, enciendan las luces de su automóvil al atardecer) a menudo depende en parte de circunstancias externas (la creciente oscuridad) y en parte de una tendencia a imitar a otros que ya han realizado la acción en cuestión. En este caso, la proporción y (t) de personas que han realizado la acción puede ser descrita por la ecuación: dy = (1 − y)[x(t) + by ] dt

donde x (t) mide el est´ımulo externo y b es el coeficiente de imitación. Entonces: (a) Observe que la ecuación anterior es una ecuación de Ricatti. Encuentre la ecuación lineal que satisface v (t). (b) Encuentre v (t) en el caso en que x (t) = at , donde a es constante. Exprese la respuesta en forma de una integral.

Otros casos

⋆

62. Considere la ecuación diferencial: y ′ + p(x) y = q (x) y ln y

(7)

Demuestre que haciendo la sustitución u = ln y, en la ecuación (7), se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal u ′ + p(x) = q (x) u

Use este hecho para resolver la siguiente ecuación diferencial xy ′ − 4x2 y + 2y ln y = 0 2

63. Demuestre que la sustitución u = tan y, reduce la EDO: y ′ + x sen 2y = xe −x cos2 y, a una EDO lineal. 64. Demuestre que ∫la ecuación: x2 yy ′′ = ( y − xy ′ )2 , se transforma en una ecuación lineal de primer orden si consideramos la sustituci´ on y = e z(x) dx , donde z es una función dependiente de x . 65. Realice una sustitución conveniente, para transformar la siguiente ecuación diferencial: y ′ + sen y + x cos y + x = 0 , en una ecuación lineal y resuélvala.

Parte VI: Ecuaciones de Clairaut y Lagrange. 66. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Clairaut. 66.1)

y = xy ′ +

66.5)

x =

a 2y ′

y 1 + ′ 2 ′ y ( y )

66.9) xy ′ = y + ey

′

a ( y ′ )2

66.2)

y = xy ′ +

66.6)

y = (x + 4) y ′ + ( y ′ )2

66.10) y = xy ′ +

�

1 + ( y ′ )2

66.3)

x( y ′ )2 − yy ′ − y ′ + 1 = 0

66.4)

y = xy ′ + ( y ′ )2

66.7)

y = xy ′ − ( y ′ )3

66.8)

y = xy ′ + 1 − ln y ′

66.11)

y = y ′ tan x − ( y ′ )2 sec2 x

( u = sen x)

67. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Lagrange. 67.1)

y = 2xy ′ + ln y ′ 67.2) 67.5)

2y = xy ′ + y ′ ln y ′ 67.3) y = x ( y ′ )2 + y ′

y = x (1 + y ′ ) + ( y ′ )2

67.4)

y = x ( y ′ )2

“Hay una fuerza motriz mas poderosa que el vapor, la electricidad y la energ´ ı a at´ omica: LA VOLUNTAD ” Albert Einstein

UNIDAD II Aplicaciones de Ecuaciones de Primer Orden • • • • • • •

Aplicaciones geométricas Decaimiento radiactivo y poblaciones Temperatura (Ley de enfriamiento de Newton) Mecánica y Cinemática Vaciado de Tanques (Ley de Torricelli) Mezclas qu´ımicas Circuitos eléctricos

“No le evitéis a vuestros hijos las dificultades de la vida, ense~nadles a superarlas ” Louis Pasteur


Pr´ actica 2 2014


Aplicaciones de las E.D.O. de Primer Orden

Parte I: Aplicaciones geométricas ⋆

Método de las Isoclinas

1. Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuaci´ on diferencial y ′ = f(x, y), es u ´ til observar que la ′ pendiente y de la solución tiene el valor constante c en todos los puntos de la curva f (x, y) = c . Estas curvas se denominan Isoclinas. Para ecuaciones relativamente simples, es posible trazar el campo direccional, dibujando unas cuantas isoclinas y luego insertar los segmentos rectil´ıneos tangentes a la solución en varios puntos de cada una. En cada uno de los problemas dados a continuación, determine las isoclinas y despu´ es u ´ selas para trazar el campo direccional. 1.1)

⋆

y ′ = 3 − 2y

1.2)

y ′ = − y(1 + y2 )

1.3)

y ′ = (1 − y)(2 − y)

1.5)

y ′ = x 2 + y2

1.6)

y ′ = 1 − xy

1.4)

y ′ = 2x − 3y

Trayectorias Ortogonales

2. Halle las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas. 2.1)

y2 = 4ax

2.2)

x2 − y2 = k

2.3)

xy = k

2.4)

(x − 1)2 + y2 + kx = 0

2.5)

y2 = kx, pasa por P (−2, 3)

2.6)

x2 = y 2 + ky3

2.7)

y2 = x 2 + ky, pasa por P (1, −2)

2.8)

x + y = ke y , pasa por P(0,10)

2.9)

y = kx 2

⋆

Trayectorias Isogonales

3. Halle la familia de curvas isogonales a la familia dad con el ángulo indicado. 3.1)

y = kx, α = 30 ◦

3.2)

y = kx, α = 45 ◦

3.3)

y2 = kx, α = 60 ◦

3.4)

x2 + y2 = kx, α = 30 ◦

4. Halle la trayectoria isogonal que intercepta a la familia dada con un ángulo de 45 ◦ y que pasa por el punto indicado. 4.1)

y = ke x + 1, (−1, 1)

4.2)

y = ke −x , (1, −1)

4.3)

ex+y (1 − y) = k, (1, 1)

4.4)

2y3 + 3y = −3x + k, (1, 1)

Parte II: Decaimiento radiactivo y poblaciones ∼ epidemias 5. Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 bacterias. Cuando ha transcurrido una hora la cantidad medida de bacterias es 32 N0 . Si la raz´ on de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos. 6. Suponga que la tasa de crecimiento de determinada población var´ıa a una razón equivalente a la quinta parte de r(t) y, tal que r(t) = 12 + sen t. Entonces, (a) Si y(0) = 1 , calcule o estime el tiempo τ en que la población se duplica. Elija otras condiciones iniciales y determine si el tiempo de duplicación τ depende de la población inicial.

o n de la tasa de (b) Suponga que en la tasa de crecimiento se sustituye el factor sen t por sen 2πt, es decir, la variaci´ crecimiento tiene una frecuencia sustancialmente mayor. ¿Qué efecto tiene esto en el tiempo de duplicación τ ?

16 7. Suponga que determinada población satisface el problema con valor inicial dy = r (t) y − k dt

donde la tasa de crecimiento r(t), está dada por r(t) = 15 (1 + sen t) y k representa la tasa de depredación. Determine el tiempo τ en que la población tiende a la extinción , tomando k = 15 . 8. La transferencia de calor de un cuerpo a sus alrededores por radiación, con base en la ley de Stefan-Boltzmann, está descrita por la ecuación diferencial du = −α ( u 4 − T 4 ) dt donde u (t) es la temperatura absoluta del cuerpo en el instante t , T es la temperatura absoluta de los alrededores y α es una constante que depende de los parámetros f´ısicos del cuerpo. Sin embargo, si u es mucho mayor que T , entonces las soluciones de la ecuación anterior se aproximan con las soluciones de la ecuación mas simple du = − αu 4 dt

Suponga que un cuerpo con temperatura inicial de 2000 K, está rodeado por un medio con temperatura de 300K y que α = 2 10−12 K−3 /seg. Determine la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo.

×

9. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el n´ umero de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 d´ıas el número N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el número 200N es considerado como el l´ımite saludable. A los cu´ antos d´ıas, después de elaborado, vence el alimento?. 10. Un material radiactivo como el isótopo torio 234, se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente del is´ otopo. Entonces, si 100 mg de torio 234 decaen a 82.04 mg en una semana, determine la tasa de decaimiento k y encuentre una expresión para la cantidad de torio presente en cualquier instante de tiempo t . Por u ´ ltimo determine el tiempo necesario para que el torio 234 decaiga a la mitad de su cantidad original. 11. La vida media o semivida de un material radiactivo se define como el tiempo requerido para que una cantidad de este materia, decaiga a la mitad de su valor original. Demuestre que para cualquier material radiactivo que decae, la vida media τ y la tasa de decaimiento k , satisfacen la ecuaci´ on kτ = log 2. 12. El radio 226, tiene una vida media de 1620 años. Encuentre el per´ıodo durante el cual una cantidad dada de este isótopo se reduce a una cuarta parte. 13. Un reactor de cr´ıa convierte el uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radioactivo. Al cabo de 15 a˜ nos, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial A0 de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de este is´ otopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad presente. 14. Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que conten´ıa la cent´ esima parte de C-14. Determine la edad del fósil, asumiendo que el per´ıodo de vida media del C-14 es de aproximadamente 5600 años. 15. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos sanos, determine la cantidad de alumnos infectados pasados seis dias, si se observa que a los cuatro dias ya hab´ıan 50. 16. Hace algunos años (no precisaré cuantos, ya que podr´ıan ser muchos), unos arqueólogos usaron unos trozos de madera quemada (enti´ endase chamuscada), es decir, de carbón vegetal (pero no para hacer parrilla), para fechar las pinturas prehistóricas y rupestres de las paredes y los techos de una caverna en Lacaux, Francia. Según estos tipos, las pinturas esas eran “burda” de bonitas. Determine entonces, cuántos a˜ nos ten´ıan estos trozos de carbón, si ellos lograron observar que hab´ıan perdido el 85.5% del carbono C − 14. 17. Muchos creen que el sudario de Tur´ın que muestra el negativo de un cuerpo de un hombre crucificado es la mortaja de Jes´ us de Nazareth. En 1988, el Vaticano otorg´ o autorización para que se fechara el carbono del manto. Tres laboratorios cient´ıficos independientes llegaron a la conclusión de que el manto tiene unos 660 años. Edad que coincide con su aparición histórica. Con ésta edad, determine qué porcentaje de la cantidad original de C − 14 le quedaba en 1988. Ayuda: Recuerde que el periodo de vida media es de aproximadamente 5600 años. 18. El isótopo radiactivo I-131 se usa en el tratamiento de la hipertiroides. El I-131 administrado a un paciente se acumula en forma natural en la glándula tiroides, en donde se desintegra y reduce parte de la glándula.

17 e porcentaje de la cantidad (a) Suponga que se requieren 72 horas para enviar el I-131 del productor al hospital. ¿Qu´ originalmente enviada llega al hospital? e tanto queda de la cantidad (b) Si el I-131 es almacenado en el hospital 48 horas adicionales antes de ser utilizado, ¿qu´ original enviada por el productor cuando el material radioactivo se utilice? (c) ¿Qué tiempo le tomará al I-131 para desintegrarse completamente, de manera que el hospital pueda deshacerse de los

residuos sin precauciones especiales? Nota: La vida media del I-131 es de 8 dias. 19. Suponga que el modelo log´ıstico de una población espec´ıfica, se reduce a la siguiente ecuación

�

dP P = 0.4 1 − dt 230

�

P

(a) ¿Para qué valores de t est´ a en equilibrio la población? (b) ¿Para qué valores está creciendo la población? (c) ¿Para qué valores de t está decreciendo la población?. Realice un análisis gr´ afico de la situación.

20. Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el n´ umero de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 d´ıas el n´ umero N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el n´ umero 200N es considerado como el l´ımite saludable. A los cuántos d´ıas, después de elaborado, vence el alimento?. 21. Para describir la rapidez con la que se adquiere una habilidad se usa una curva de aprendizaje. Por ejemplo, supongamos que un fabricante estima que un nuevo operario producirá A objetos el primer d´ıa de trabajo, y que a medida que va adquiriendo experiencia, producirá los objetos más rápidamente hasta que produzca un máximo de M objetos por d´ıa. Sea f(t), la cantidad de art´ıculos producidos el d´ıa t, para t 1. Suponga que el ritmo de producci´ on f ′ , es proporcional a M − f(t). Entonces:

≥

21.1) Deduzca una fórmula para calcular la cantidad de art´ıculos producidos en un d´ıa cualquiera. 21.2) Suponiendo que M = 30 , f (1) = 5 y f (2) = 8 . Estime el n´ umero de art´ıculos producidos el vigésimo d´ıa. 22. Suponga que se invierte una suma S 0 a una tasa de rendimiento anual r que se compone de manera continua. (a) Encuentre el tiempo T necesario para que la suma inicial duplique su valor como una función de r . (b) Determine T , si r = 7 %.

nos. (c) Encuentre la tasa de rendimiento que debe obtenerse si la inversión inicial debe duplicarse en 8 a˜

Parte III:Temperatura (Ley de enfriamiento de Newton) 23. Una peque˜ na barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20◦ C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorará en alcanzar los 90◦ C, si se sabe que aumentó 2◦ C en un segundo. ¿Cuánto demorar´ a la barra en alcanzar los 98 ◦ C? 24. Suponga que el d´ıa de ayer fu´ e al mercado con su respectiva madre y en el ajetreo, las bolsas y todas esas cosas, se le ocurrió la brillante idea de comprarse un par de laticas para refrescarse como en las propagandas de T.V (cosa que nadie cree que es malta). El portu de la esquina, le vendió una fr´ıa y la otra caliente, ya que se le daño la nevera. En realidad, la caliente no estaba tan caliente, se encontraba a una temperatura de 23 ◦ C. Cuando usted lleg´ o a su casa, lo primero que hizo fué introducirla en el “freezer” (enti´ endase parte superior de su nevera), que se encontraba como Dios manda a una temperatura de envidiables 2◦ C ba jo cero. Como usted ten´ıa mucha sed, abrió la nevera a los 10 minutos y se percató que la lata a´ un estaba en los 10 ◦ C. Determine el momento exacto en que debe abrir la nevera para tomarse la espumoza, si la mejor temperatura para ingerirla es de 4 ◦ C. 25. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5 ◦ F. Despu´ es de un minuto el termómetro marca 55◦ F y al segundo minuto marca 30◦ F. ¿Cu´ al es la temperatura inicial de la habitaci´ on? 26. Durante un d´ıa claro y despejado, un forense llega a la escena de un crimen en un conocido barrio de Caracas. Al llegar, inmediatamente observa su reloj (un casio altimeter bien pepeado) y escribe en su libreta de anotaciones que son las 3 : 45 pm. y que la temperatura se encuentra a 23 ◦ C. Seguidamente, toma los signos vitales del ya occiso y determina que estaba

18 muerto (que brillante descubrimiento!!!) y que su temperatura corporal era de 27◦ C. Interrogando a los curiosos del lugar (que nunca faltan) encontró a la vieja bruja del barrio y esta que se la da de polic´ıa le dijo: “al pasar una hora de escuchar los disparos sal´ı con mi termómetro y Juansito ten´ıa 35 ◦ C y la lengua afuera, no ten´ıa zapatos y faltaba su cartera”. Al escuchar el relato fué directamente donde el detective y le dijo: “ya sé a que hora murió el occiso”. Determine aproximadamente, a qué hora murió Juansito. 27. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300 ◦ F. Tres minutos después, su temperatura es de 200 ◦ F. ¿Cu´ anto demorar´ a en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 ◦ F? 28. Un termómetro que indica una temperatura de 70◦ F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A trav´ es de una ventana de vidrio del horno, un observador se p ercata que la temperatura que registra el termómetro después de 12 minuto es de 110 ◦ F y al minuto de introducido registra una temperatura de 145 ◦ F. ¿A qué temperatura está el horno? 29. A las 9:00 am. un term´ ometro marca 70◦ F, se lleva al aire libre donde la temperatura es 15◦ F. A las 9:05 am. marca on donde la temperatura se mantiene a 70◦ F ¿Cuánto 45◦ F. A las 9:10 am. es llevado de nuevo al interior de la habitaci´ marca a las 9:20 am.?

Parte IV:Mec´ anica ∼ Cinemática 30. En la escena de un accidente, el investigador de la polic´ıa determina que tan rápido iba el conductor a partir de las marcas dejadas por los cauchos en el pavimento. Suponga que el carro frenó con una desaceleración de 15 sm . ¿A qué velocidad iba el auto cuando aplicó los frenos, si recorrió 75 m antes de detenerse? 2

31. Un auto que va a 60 millas por hora, patina 176 pies cuando los frenos son aplicados. Si el sistema de frenado produce una desaceleración constante, ¿cuál es esa desaceleración? ¿Durante cuántos segundos continuará el derrape?32. Un auto patina 15 metros cuando los frenos son aplicados y está moviéndose a 50 Km/h. Supongamos que el auto, tiene la misma desaceleración constante. ¿cuánto patinará si se mueve a 100 Km /h, cuando los frenos son aplicados? 33. Se está remolcando una barca a una velocidad de 12 millas por hora. En el momento (t = 0) que se suelta la cuerda de remolque, un hombre que está en la barca, comienza a remar siguiendo la dirección del movimiento y ejerciendo una fuerza de 20 lb. Si el peso conjunto del hombre es de 480 lb y la resistencia en libras es de 1.75 v, donde v está medido en pies/segundo, hallar la velocidad de la barca después de 12 minuto. Observaci´ on: Recuerde que el factor de conversión de millas a pies es 5280 y la aceleración en este sistema es 32 pies/seg 2 . 34. Un resorte de peso despreciable está suspendido verticalmente. En su extremo libre se ha sujetado una masa de m kilogramos. Si la masa se mueve con velocidad v0 m/seg, cuando el resorte está sin alargar, hallar la velocidad v como una funci´ on del alargamiento x en metros.

Parte V:Mezclas qu´ımicas (mezclas homogéneas) 35. Cierto producto qu´ımico se disuelve en agua a una velocidad proporcional a la cantidad aún no disuelta y a la diferencia entre la concentración en una solución saturada y la concenración en la solución real. Se sabe que en 100 gramos de una soluci´ on saturada están disueltos 50 gramos de la sustancia. Si se agitan 30 gramos del producto qu´ımico con 100 gramos de agua, en dos horas se disuelven 10 gramos. ¿Cuántos se disuelven en 5 horas? 36. Unos vagabundos estafadores en un barrio de Caracas, intentan embaucar a algunos incautos, vendiendo una panela de papelón fantasma (recuerden que no hay azúcar), seg´ un nos informó una fuente que no quiso revelar su nombre. Para ello, combinan dos sustancias que llamaremos A y B (ya que la ley RESORTE nos proh´ıbe colocar nombres exactos). Al principio del negocio, comenzaron con 40 kilogramos de A y 50 kilogramos de B, en tanto que por cada kilo de B, se consumen 2 de A (all´ı justamente es donde está la estafa, ya que A es de mucha menor calidad y se consigue a precio de gallina flaca en el mercado de Catia). Se observa entonces, que a los diez minutos se han formado 10 kilos de la panela fraudulenta. ¿Cuántos kilos de panela tendrán al cabo de 20 minutos de trabajo? 37. Cuando se combinan dos sustancias qu´ımicas A y B se forma un compuesto C . La reacción entre ambas es tal que, por cada gramo de A , se usan 4 gramos de B . Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C , calcule la cantidad de C , en función del tiempo si la velocidad de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad del compuesto C hay a los 15 minutos?. Analice la situaci´ on cuando t .

→∞

38. Un tanque contiene originalmente 100 gal de agua dulce. Después en el tanque se vierte agua que contiene 12 lb de sal por galón, con un gasto de 2 gal/min, y se permite que la mezcla salga con el mismo gasto. Luego de 10 min, el proceso

19 se detiene y se vierte agua dulce en el tanque con un gasto de 2 gal/min, la mezcla sale nuevamente con el mismo gasto. Encuentre la cantidad de sal en el tanque luego de un lapso adicional de 10 min. 39. A un tanque de de 60 gal. de agua pura comienza a entrar salmuera con 1 libra de sal por galón a 2 gal/min y sale a 3 gal/min. ¿Qué cantidad de sal contiene cuando el volumen se ha reducido a la mitad? ¿Cuál es la máxima cantidad de sal que llega a contener el tanque? 40. Un tanque de 100 litros, contiene 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia adentro a 5 lib/seg y la mezcla homogénea, se extrae con la misma razón. ¿Cu´ anto tiempo pasará antes que queden solamente 10 kg de sal en el tanque? 41. Un tanque con capacidad de 500 gal, contiene originalmente 200 gal de agua con 100 lb de sal en solución. En él se vierte agua con 1 lb de sal por galón con un gasto de 3 gal/min y la mezcla resultante se hace salir del tanque con un gasto de 2 gtal/min: Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante de tiempo, antes del instante en que la solución comience a derramarse.

Parte VI: Circuitos Eléctricos (R − C ∼ L − R) La segunda ley de Kirchhoff (circuito L − R − C), establece que las sumas de las ca´ıdas de di 1 q es igual al voltaje voltaje a través del inductor (L dt ), del resistor (iR) y del capacitor C aplicado ( E(t)). Si consideramos por L (henrys) a la inductancia, R (ohmios) la resistencia, a C (faradios) a la capacitancia, i (amperios) la corriente, q (coulombs) a la carga y E (voltios) la fuerza electromotriz (con R, C y L constantes), entonces lo anterior queda fielmente expresado, como sigue di 1 (8) L + Ri + q = E (t) dt C Entonces en un circuito L − R (no hay capacitor), la ecuación (8), nos queda L

Sabemos que i(t) =

dq dt ,

di + Ri = E (t) dt

(9)

luego en un circuito R − C (no hay inductor), la ecuación (8), nos queda R

dq 1 + q = E (t) dt C

(10)

42. Resolver la ecuación (9), considerando E(t) = E 0 y la corriente inicial i 0 . 43. Resolver la ecuación (9) considerando, L = 3 henrys, R = 15 ohmios, y E(t) una onda sinusoidal de amplitud 110 voltios y ciclo 60, e i = 0 para t = 0 .

44. Utilice la ecuación (10), para hallar la corriente y la corriente de régimen estable a los 2 segundos si R = 8 Ω, q (0) = 0 , C = 16 f y la entrada de voltaje es sinusoidal con amplitud 10 y per´ıodo π/64. 45. Un acumulador de 30 voltios, se conecta a un circuito en serie L − R con una inductancia de 0.1 henry y una resistencia de 50 ohms. Determine la intensidad de corriente si la corriente inicial es cero. Halle la corriente cuando t .

→∞

46. Hallar el tiempo en que la corriente alcanza el 96 % de su valor l´ımite si la entrada de voltaje es constante, con R = 20 Ω, L = 1 h y no hay corriente inicialmente. 47. Halle el voltaje constante aplicado a un circuito con R = 10 Ω y L = 2 h, de forma que la corriente alcance 97 % de su valor l´ımite al segundo, si la corriente inicial es 2 amp. Calcule la corriente transitoria al cabo de medio segundo. 48. Hallar la corriente inicial tal que al medio segundo la corriente sea 6 amp, si R = 30 Ω, L = 4 h y se conecta a una bater´ıa de 110 voltios. 49. Hallar la resistencia, tal que, a los 2 segundos, la corriente alcanza el 0.6 % de su valor inicial, si C = de voltaje es constante.

1 6

f y la entrada

20 50. Calcule la corriente de estado estable y la corriente a los 5 segundos, si R = 8 Ω, L = 6 h, i (0) = 0 y E (t) = 80 sen 100t.

Parte VII: Vaciado de tanques (Ley de Torricelli) 51. Un tanque cil´ındrico de 5 pies de largo y 3 pies de radio, tiene un agujero en el fondo de 1 pie de radio y el tanque inicialmente, contiene 3/4 partes de l´ıquido. ¿Cu´ anto demorará en contener solamente 1/4 parte del l´ıquido? (k = 0.62) 52. Un tanque tiene forma de cubo con arista de 2 metros y en su base hay un agujero de en forma de cuadrado de 1/10 de unidad de diámetro. Si inicialmente el tanque está lleno en un 75 %, ¿cuándo contendrá la mitad de su capacidad? (k = 0.5 ) 53. A un tanque cónico invertido de 16 pies de altura que está lleno de agua se le hace un agujero de área 0.5 unidades en el vértice. Hallar el tiempo de vaciado, si el ángulo entre dos generatrices cualesquiera sobre un mismo plano es 60 ◦ . (k = 0.6 )

Parte VIII: Otra tanda mezcladita 54. Al final de un d´ıa oscuro y lluvioso (6:30 pm aprox.), unas personas que se encontraban caminando por la Gran Avenida, avistan a una persona que yace en el pavimento (Seguramente fue v´ıctima del hampa, a pesar del mega plan CARACAS SEGURA murmuran los ociosos). Entre ellas, se encontraba el Dr. Yanohaguanto Chinkamiza, una eminencia en eso de la anatom´ıa patológica. Este le tomó la temperatura al cadáver y era de 29.4◦ C (recuerden que estos tipos siempre tienen unos relojes ultrawao). A las dos horas que lo encontraron la temperatura del occiso era de 23.3◦ C, considerando una temperatura ambiente de unos 20 ◦ C aproximadamente (según el super reloj del man este). Determine: (a) La hora de la muerte del hombre, asumiendo que vivo ten´ıa una temperatura de 37 ◦ C.

es cae un palo de agua que hace (b) Halle la temperatura del cuerpo en cualquier instante de tiempo, si asume que despu´ − variar la temperatura del ambiente de la forma: T m (t) = 20 − e . (k es la misma) t 4

55. El lago Erie (EEUU - Canadá) tiene un volumen de 458 km 3 (¡¡ y una superficie igual a la República de Macedonia !!). El flujo de entrada y salida se realizan ambos a razón de 175 km 3 por a˜ no. Suponga que para el año 2000, su concentración de contaminación era de 0.05% y que un tiempo despu´ es, la concentraci´ on de contaminantes que ingresa en el agua es de 0.01%. Suponiendo que el agua se mezcla perfectamente dentro del lago, calcule la fecha en la que la concentración de contaminantes se reduce al 0.02%. 56. Hace poco, una comitiva de la ONU visitó la cárcel de Guantánamo en Cuba, donde se encontraban unas 587 personas, entre presos y personal de custodia. La comitiva, estaba integrada por 15 personas (incluida Miss Universe -in English-). La se˜ norita en cuestión, mas roba cámara que pol´ıtico en campaña, estaba infectada con mononucleosis infecciosa (también conocida como enfermedad del beso, fiebre glandular o enfermedad de Pfeiffer, causada por el virus Epstein-Barr - VEB -). Al llegar la se˜ norita en cuestión, empezó con su majader´ıa y su abrazadera (seguro pensaba que estaba haciendo su entrada en el Teatro Kodak de Los Angeles) y por supuesto beso pa’ to el mundo. Determine cuántas personas estaban infectadas hasta que los presos se molestaron y echaron a esa loca despu´ es de una hebdómada, conociendo el hecho de que al d´ıa siguiente de llegar, ya hab´ıan 158 enfermos. 57. Suponga que después de un caluroso partido de Softball, usted que se encuentra en envidiables condiciones f´ısicas (pero hediondo a mono) se hallaba lo suficientemente sediento, como para tomarse el agua directamente de la botella (cosa por la que su respectiva progenitora lo ha regañado toda la vida). Al llegar a la cocina y abrir la nevera, se da cuenta que el agua que asumimos es filtrada, no estaba muy fr´ıa (unos 15 ◦ C), toma un poco e introduce la botella en la nevera con la intensión de que otro beba su saliva. A los 5 minutos, vuelve a abrir la nevera e ingiere un sorbo del ya no tan preciado l´ıquido, que estaba un poco más fr´ıo (unos 10◦ C). Pasados otros cinco minutos, realiza un último intento y el agua ya se encontraba a 8◦ C. ¿A qué temperatura se encontraba la nevera?, asumiendo que la variación de la temperatura del agua durante el tiempo que estuvo pegada a su boca es despreciable y el abre - cierra de la nevera, tampoco afectó la temperatura de la misma. 58. Cierto d´ıa del mes de julio, la familia Zambrano se encontraba de picnic en el Junquito (vulgar atrangante de cochino frito con hallaquitas). En el deguste de tan suculento manjar, se les olvido que no cerraron las llaves del fregadero y llegó el agua cuando ellos estaban de paseo (a todo pobre .... le pasa eso). Al llegar a su hogar, se dieron cuenta que su cocina se hab´ıa inundado, un espacio de unos 15 m2 , donde el agua alcanzó una altura de 20 cm. Procedieron a destapar el desag¨ ue (circular por supuesto!!!), cuyo diámetro, es de aproximadamente 10 cm. Determine el tiempo que tardó en vaciarse la cocina, para proceder al coletazo final, suponiendo que la constante de fricción es 0.5 . 59. Un acumulador de 30 voltios, se conecta a un circuito en serie L − R con una inductancia de 0.1 henrios y una resistencia de 50 ohms. Determine la intensidad de corriente si la corriente inicial es cero. Halle la corriente cuando t .

→∞

21 60. Una cooperativa que se encarga de limpiar los vidrios de los edificios, contrata a una “matraca” de gordo de unos 160 Kg., donde, el arn´ es al cual estaba sujeto pesa 2.75 Kg. El gordo, despu´ es de un suntuoso almuerzo (aproximadamente 2250 gramos), se encontraba reposando la papita, y por supuesto, el andamio (que se encontraba colocado en el piso quince) se parti´ o en dos, ocasionando la posterior megacaida del gordo al vac´ıo (una distancia considerable, ya que cada piso tiene unos 3.5 m). Determine aproximadamente, el tiempo que tardó el gordo en volverse papilla, considerando que la resistencia al aire de tama˜ na humanidad es de 2 veces la velocidad instantánea. 61. Determine la corriente de estado estable, en un circuito cuya resistencia es de 5Ω, la capacitancia es de un sexto de faradio (f ), la carga inicial es nula y la fuerza electromotriz, está dada por E(t) = 15 sen 60t voltios

62. Sabemos que en las cárceles venezolanas hay un brutal e inhumano hacinamiento. Un dia haciendo una pesquisa en Yare I, determinaron que en el pabellón de la muerte (Pabellón B - se le dice de la muerte, ya que por cualquier viento mal oliente que sople mueren de asfixia -), se encontraba un recluso con una patulequera (chiripiorca según el chavo) y este dec´ıa, que le hab´ıa pasado algo con la tensión. Midieron su temperatura y determinaron que se encontraba en los 39.5◦ C, lo cambiaron al pabell´ on de las locas (Pabellón G) y al cabo de 2 minutos su temperatura disminuyó en 2◦ C. ¿A qé temperatura se encontraba el Pabellón G? 63. Como siempre sucede en los barrios de Caracas, hay desadaptados sociales que llevan la marginalidad por dentro como bandera. Un cierto d´ıa, regresaba a su casa en el San Blas, un sujeto apodado “Er Chino” (se parec´ıa a Yoshi Toshia - el de la propaganda -). Este, ven´ıa de ese famoso lugar llamado Adrenalina (donde le tumbaron la moto, la cartera y la pechuga), bueno, el asunto es que el tipo ven´ıa super amotinado y se encontro a Rin Tin Tin (el perro vagabundo del barrio) y le ha metido la mamá de las patadas, por supuesto, el perro estiró la pata. Al tiempo, hizo acto de presencia “Er iluminao” (no era Hermes por si acaso), el cual regresaba de Canadá (estuvo preso), subiendo las escaleras, miró al matorral y hallo bien flaco y comido de ratas el cadaver del querido Rin Tin, dec´ıa: Chamo pana mio, te dieron bollo. Este antisocial, era bien inteligente (acostumbraba hacer practicas forenses con los reclusos que quedaban de los motines) y se puso a medirle el C1 4 al cánido en cuesti´ on y determin´ o con sus equipos rudimentarios que hab´ıa perdido el 0.0015% del “C-catolce” (como el dec´ıa). Adivine usted hace cuánto “Er Chino” le dió bollo al perro? 64. En este pa´ıs, u ´ ltimamente hasta los chinos están pelando y nos damos cuenta, ya que, se está vendiendo una salsa de soya “chimba” en un conocido mercado popular. Estos, utilizan un tanque que inicialmente contiene 200 litros de un l´ıquido al cual llaman, receta secreta (chin secleto) y donde se disuelven 40 gramos de un polvo granulado semejante a la sal (pero de un aspecto poco agradable). Una mezcla que tiene un gramo del polvo por litro se bombea al tanque con una rapidez de 3 litros por minuto; la solución homogénea (salsa de soya medio rara) se bombea hacia afuera con la rapidez de 4 litros por minuto. Encuentre la cantidad de gramos de polvo que parece sal, que hay en el tanque a los 30 minutos. 65. Erase una vez una famosa discoteca en un d´ıa que es mejor no recordar, llegaron unos tipos limpios a rumbear. Estos como no ten´ıan dinero, compraban un trago y de cada trago tomaban cuatro personas, una de ellas (el que bebe y se rasca primero - sólo bebi´ o una vez -) ten´ıa un extra˜ no virus que comenzó a propagarse. A la media hora hab´ıan 10 limpios infectados. Determine cuántos tragos hab´ıan comprado a la hora, cuando sacaron a ese poco de gente al hospital. Asuma, que los tragos se compraban en forma progresiva, ya que la entrada a la discoteca se hace en grupos de cuatro, fueron cuarenta limpios y uno de los infectados tomaba un trago del nuevo grupo. 66. Un obrero, sale de su casa a eso de las 6:30 am, como todos los d´ıas. Para ir a la construcción, este señor debe abordar el tren del metro en la estación Plaza Sucre (trayecto que le toma unos 15 minutos desde su casa) y desembarcar en la estación Sabana Grande. Como todos sabemos, el metro es el gran desastre de Caracas y por supuesto estamos en una época del año donde los calorones son propios de menopáusica prematura. El obrero, aborda el vagón en el que el aire no funciona y con toda esa gente y los tufos respectivos, realmente hace calor. Al señor, le da una “yeyera” entre Colegio de Ingenieros y Plaza Venezuela, debiendo accionar la alarma respectiva, muy a pesar de los insultos de los demás viajeros. Cuando es atendido dentro del mismo vagón (aproximadamente a las 7:05 am), determinan que su temperatura corporal se encontraba en los 39 ◦ C y el operador de la estación (irónico el muchacho) le manifiesta que realmente está enfermo, ya que el vagón se encuentra a unos confortables 19 ◦ C. A los 5 minutos, ya el se˜ nor ten´ıa 39.5◦ C. Determine si el señor estaba quebrantado de salud al entrar al vagón. 67. Una persona infectada con un virus muy raro, ingresa al vagón del metro en Propatria y estornuda, volando gérmenes por todo el vagón (como la mujer de la propaganda). Es de hacer notar, que según informaciones de la gente del metro en un vagón caben aproximadamente 120 personas (yo creo que más -preg´ untenle a la gente en Capitolio-) y este ven´ıa full. A los seis minutos, el tren se detiene entre Plaza Sucre y Gato Negro y se escuchan 5 estornudos mas en diferentes puntos. Asumiendo, que entre estaciones el tren se demora 2 minutos y nunca se bajó nadie, determine la cantidad de personas que adquirieron una peste brutal al llegar a Chacaito.

“La educaci´ on consiste en que el hombre, llegue a ser cada vez mas hombre ” Karol Wojtyla - Papa Juan Pablo II -

UNIDAD III Ecuaciones de orden superior • • • • • • • •

Conjunto fundamental de soluciones Reducción de orden Ecuaciones homogéneas Coeficientes indeterminados Sistemas de Primer orden Variaci´ on de paramétros Ecuaciones de cauchy - Euler Ejercicios adicionales

n a y apunta mas alto de lo que sabes que puedes lograr ” “Siempre sue~ William Faulkner


Pr´ actica 3 2014


Conjunto Fundamental de Soluciones

Comprobaci´ on e independencia de Soluciones 1. En los siguientes problemas, la familia de funciones dada es soluci´ on de la ecuación diferencial planteada. Halle las constantes para escoger a un miembro de la familia que verifique el P.V.I. 1.1)

y = c 1 ex + c2 e−x

;

(−

1.2)

y = c 1 e4x + c2 e−x

;

(−

1.3)

y = c 1 x + c2 x ln x

;

,

)

;

y ′′ − y = 0

;

y(0) = 0

;

y ′ (0) = 1

,

)

;

y ′′ − 3y ′ − 4y = 0

;

y(0) = 1

;

y ′ (0) = 2

;

x2 y ′′ − xy ′ + y = 0

;

y(1) = 3

;

y ′ (1) = −1

∞∞ ∞∞ ∞

(0,

)

2. Si y(t) = c1 cos ωt + c 2 sen ωt, es la solución general de y ′′ + ω 2 y = 0 en el intervalo (− , soluci´ on que satisface las condiciones iniciales y (0) = y 0 y y ′ (0) = y 1 , es justamente y(t) = y 0 cos ωt +

y1 sen ωt ω

∞∞

), demuestre que una

3. Use la solución general del problema anterior para demostrar que la solución que satisfaga las condiciones iniciales y(t0 ) = y 0 y y ′ (t0 ) = y 1 , es exactamente la solución del problema anterior desplazada t 0 unidades. 4. Compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente independientes (L.I.) en el intervalo (− 4.1)

f1 (x) = x

;

f2 (x) = x 2

;

f3 (x) = 4x − 3x2

4.2)

f1 (x) = 0

;

f2 (x) = x

;

f3 (x) = e x

4.3)

f1 (x) = 5

;

f2 (x) = cos 2 x

;

f3 (x) = sen 2 x

4.4)

f1 (x) = cos 2x

;

f2 (x) = 1

;

f3 (x) = cos 2 x

4.5)

f1 (x) = x

;

f2 (x) = x − 1

;

f3 (x) = x + 3

4.6)

f1 (x) = 2 + x

;

f2 (x) = 2 + |x|

,

∞∞

).

5. Responda las siguientes preguntas: (a) Si el wronskiano W (f, g) es 3e4t y si f(t) = e 2t , encuentre g (t). (b) Si el wronskiano W (f, g) es t2 et y si f (t) = t , encuentre g (t). (c) Si W (f, g) es el wronskiano de f y g y si u = 2f − g y v = f + 2g, encuentre el wronskiano W ( u, v) de u y v en términos de W (f, g). (d) Si el wronskiano W (f, g) es t cos t − sen t y si u = f + 3g y v = f − g, encuentre W ( u, v).

6. Verifique que y1 (t) = t2 y y2 (t) = t−1 , son soluciones de la ecuación diferencial t2 y ′′ − 2y = 0, para t > 0. Luego, demuestre que C1 t2 + C2 t−1 , es también una solución de la ecuación diferencial para cualesquiera C1 y C2 .

√

7. Verifique que y1 (t) = 1 y y2 (t) = t, son soluciones de la ecuación diferencial yy ′′ + ( y ′ )2 = 0, para t > 0. Luego, demuestre que C1 + C 2 t, no es en general una solución de la ecuación diferencial. Explique por qu´ e este resultado no contradice el principio de superposici´ on.

√

24 8. Compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial dada en el intervalo indicado. Forme la solución general. e−3x

e4x

;

(−

,

)

; senh 2x

;

(−

,

)

ex sen 2x

;

(−

,

)

;

xex/2

;

(−

,

)

x3

;

x4

;

(0,

)

;

cos(ln x)

;

sen(ln x)

;

(0,

)

y ′′ + 4y = 0

;

cos 2t

;

sen 2t

;

(−

,

)

8.8)

y ′′ − 2y ′ + y = 0

;

et

;

tet

;

(−

,

)

8.9)

x2 y ′′ − x(x + 2) y ′ + ( x + 2) y = 0

;

x

;

xex

;

(0,

;

x

;

sen x

;

(0, π )

8.1)

y ′′ − y ′ − 12y = 0

;

8.2)

y ′′ − 4y ′ = 0

; cosh 2x

8.3)

y ′′ − 2y ′ + 5y = 0

;

ex cos 2x

;

8.4)

4y ′′ − 4y ′ + y = 0

;

ex/2

8.5)

x2 y ′′ − 6xy ′ + 12y = 0

;

8.6)

x2 y ′′ + xy ′ + y = 0

8.7)

8.10) (1 − x cotan x) y ′′ − xy ′ + y = 0

;

∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞∞ ∞ )

9. Considere la ecuación: y ′′ − y ′ − 2y = 0 (a) Demuestre que y1 (t) = e −t y y 2 (t) = e 2t , forman un conjunto fundamental de soluciones. (b) Sean y 3 (t) = −2e2t , y 4 (t) = y 1 (t) + 2y2 (t) y y 5 (t) = 2y 1 (t) − 2y3 (t). ¿Son también y 3 (t), y4 (t) y y 5 (t) soluciones de

la ecuación diferencial dada? (c) Determine si cada uno de los siguientes pares, forma un conjunto fundamental de soluciones: { y1 (t), y3 (t)}, { y2 (t), y3 (t)}, { y1 (t), y4 (t)} y { y4 (t), y5 (t)}

10. Compruebe que cada una de las familias biparamétricas de funciones dadas en los siguientes problemas, sea la solución general de la ecuación diferencial no homog´ enea en el intervalo indicado. 10.1)

y ′′ − 7y ′ + 10y = 24e x

;

y = c 1 e2x + c2 e5x + 6ex

;

(−

10.2)

y ′′ + y = 2 sec x

;

y = c 1 cos x + c2 sen x + x sen x + cos x ln(cos x)

;

,π (− π 2 2)

10.3)

y ′′ − 4y ′ + 4y = 2e 2x + 4x − 12

;

y = c 1 e2x + c2 xe2x + x2 e2x + x − 2

;

(−

,

10.4)

2x2 y ′′ + 5xy ′ + y = x 2 − x

;

y = c 1 x−1/2 + c2 x−1 +

;

(0,

)

1 2 x 15

− 16 x

11. 11.1) Compruebe que yp = 3e 2x y y p = x 2 + 3x son, respectivamente, soluciones particulares de 1

,

∞∞ ∞∞ ∞

2

y ′′ − 6y ′ + 5y = −9e2x

y ′′ − 6y ′ + 5y = 5x 2 + 3x − 16

y

11.2) Use la parte anterior para hallar soluciones particulares de y ′′ − 6y ′ + 5y = 5x 2 + 3x − 16 − 9e2x

y

y ′′ − 6y ′ + 5y = −10x2 − 6x + 32 + e2x

12. 12.1) Halle por simple inspección una solución particular de y ′′ + 2y = 10 . 12.2) Halle por simple inspección una solución particular de y ′′ + 2y = − 4x. 12.3) Halle una solución particular de y ′′ + 2y = 10 − 4x. 12.4) Determine una solución particular de y ′′ + 2y = 8x + 5.

)

)


Pr´ actica 4 2014


E.D.O. de segundo orden homogéneas y no homogéneas

Parte I: Reducci´ on de Orden 1. La función y1 (x) es una soluci´ on en los siguientes problemas. Use la reducci´ on de orden para encontrar una segunda soluci´ on y2 (x). 1.1)

y ′′ − 4y ′ + 4y = 0

;

y1 = e 2x

1.2)

y ′′ + 2y ′ + y = 0

;

y1 = xe −x

1.3)

y ′′ + 16y = 0

;

y1 = cos 4x

1.4)

y ′′ + 9y = 0

;

y1 = sen 3x

1.5)

y ′′ − y = 0

;

y1 = cosh x

1.6)

y ′′ − 25y = 0

;

y1 = e 5x

1.7)

9y ′′ − 12y ′ + 4y = 0

;

y1 = e 2x/3

1.8)

6y ′′ + y ′ − y = 0

;

y1 = e x/3

1.9)

x2 y ′′ − 7xy ′ + 16y = 0

;

y1 = x 4

1.10)

x2 y ′′ + 2xy ′ − 6y = 0

;

y1 = x 2

1.12)

4x2 y ′′ + y = 0

;

y1 = x 1/2 ln x

1.11)

xy ′′ + y ′ = 0

;

y1 = ln x

1.13)

x2 y ′′ − xy ′ + 2y = 0

;

y1 = x sen(ln x) 1.14)

x2 y ′′ − 3xy ′ + 5y = 0

;

y1 = x 2 sen(ln x)

1.15)

xy ′′ − y ′ + 4x3 y = 0

;

y1 = sen x2

x2 y ′′ − ( x − 0.1875) y = 0

;

y1 = x 1/4 e2

1.16)

√ x

2. La función y1 (x) indicada es una solución de la ecuación homog´ enea asociada. Aplique el m´ etodo de reducció n de orden para determinar una segunda solución, y2 (x), de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuaci´ on no homogénea dada. 2.1)

y ′′ − 4y ′ = 2

;

y1 = e −2x

2.2)

y ′′ + y ′ = 1

;

y1 = 1

2.3)

y ′′ − 3y ′ + 2y = 5e 3x

;

y1 = e x

2.4)

y ′′ − 4y ′ + 3y = x

;

y1 = e x

Parte II: Ecuaciones Homogéneas 3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. 3.1)

4y ′′ + y ′ = 0

3.2)

2y ′′ − 5y ′ = 0

3.3)

y ′′ − 36y ′ = 0

3.4)

y ′′ + 8y ′ + 16y = 0

3.5)

y ′′ − y ′ = 0

3.6)

y ′′ + 9y ′ = 0

3.7)

3y ′′ + y ′ = 0

3.8)

y ′′ − 4y ′ + 5y = 0

3.9)

y ′′ − y ′ − 6y = 0

3.10)

y ′′ − 3y ′ + 2y = 0

3.11)

d2 y dy +8 + 16y = 0 2 dx dx

3.12)

y ′′ + 9y = 0

3.13)

y ′′ + 3y ′ − 5y = 0

3.14)

d2 y dy − 10 + 25y = 0 2 dx dx

3.15)

y ′′ + 4y ′ − y = 0

3.16)

y ′′ − 36y = 0

3.17)

12y ′′ − 5y ′ − 2y = 0

3.18)

3y ′′ + 2y ′ + y = 0

3.19)

2y ′′ + 2y ′ + y = 0

3.20)

3y ′′ + 2y ′ + y = 0

26 4. Resuelava los siguientes P.V.I. 4.1)

y ′′ + 16y = 0 ;

y(0) = 2 ;

4.3)

4y ′′ − 4y ′ − 3y = 0 ;

y(0)1 ;

y ′ (0) = −2

y ′ (0) = 5

4.2)

d2 y + y = 0 ; dθ2

y

4.4)

d2 y dy 4 − − 5y = 0 ; dt2 dt

y (1) = 0 ;

π 3



= 0 ;

y′

π 3



= 2

y ′ (1) = 2

5. Para cada una de las siguientes funciones, determine una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes cuya solución sea la función dada. 5.1)

y = c 1 e3x + c2 e−4x

5.2)

y = c 1 senh 4x + c2 cosh 4x

5.3)

y = c 1 sen 2x + c2 cos 2x

5.4)

y = c 1 ex + c2 xex

5.5)

y = e 3x (c1 sen 4x + c2 cos 4x)

5.6)

y = c 1 e2x + c2 xe2x + c3 x2 e2x

Parte III: Ecuaciones no Homogéneas (Coeficientes Indeterminados) 6. Encuentre la solución general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas. 6.1)

y ′′ + y = cos 2x

6.2)

2y ′′ − 14y ′ = 10x − 6

6.3)

y ′′ − y = senh 2x

6.4)

y ′′ − 3y ′ + 2y = 2e −x

6.5)

y ′′ + 2y ′ + 5y = 3 sen x

6.6)

y ′′ + 2y ′ + y = cos x + 3 sen 2x

6.7)

y ′′ − 4y ′ + 3y = xe 2x

6.8)

2y ′′ + 4y ′ + 2y = e 2x cos 2x

6.9)

y ′′ + 4y = xe x − ex + 2e3x

6.10)

y ′′ − 9y ′ = 5e −3x

6.11)

y ′′ + 4y ′ + 5y = 10e −2x cos x

6.13)

y ′′ + 3y = x 2 sen x

6.14)

y ′′ + y = cos 2 2x + sen2

6.16)

y ′′ + y = 4x cos x

6.17)

y ′′ + 2y ′ + 5y = e −x (2x + sen 2x) 6.18)

y ′′ + 5y ′ + 4y = 8x 2 + 3 + 2 cos 2x

6.19)

y ′′ + 9y = x 3 + 6

6.20)

y ′′ + 2y ′ − 24y = 16 − ( x + 2)e4x

y ′′ − 5y ′ = 2x 3 − 4x2 − x + 6

x 2

6.12)

y ′′ − 2my ′ + m 2 y = sen mx

6.15)

y ′′ − 3y ′ + 2y = (x2 + x)e3x

6.21)

Parte IV: Ecuaciones no Homogéneas (Variación de Parámetros) 7. Utilice el método de variación de parámetros para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. ex 1 + x2

7.1)

y ′′ + y = sec x

7.2)

y ′′ + y = tan x

7.3)

y ′′ − 2y ′ + y =

7.4)

y ′′ − 4y =

e2x x

7.5)

y ′′ + 3y ′ + 2y = sen ex

7.6)

y ′′ + 2y ′ + y = e −x ln x

7.7)

3y ′′ − 6y ′ + 6y = e x sec x

7.8)

2y ′′ + 2y ′ + y = 4 x

7.9)

4y ′′ − 4y ′ + y = e x/2

7.10)

y ′′ + 2y = sec x tan x

7.11)

√

y ′′ − 2y ′ + y = e x arctan x

7.12)

y ′′ − y = senh 2x

√

1 − x2

27

Parte V: Ecuaciones de Cauchy - Euler 8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas de Cauchy - Euler. 8.1)

x2 y ′′ − 2y = 0

8.2)

4x2 y ′′ + y = 0

8.3)

x2 y ′′ + xy ′ + 4y = 0

8.4)

x2 y ′′ − 3xy ′ − 2y = 0

8.5)

3x2 y ′′ + 6xy ′ + 2y = 0

8.6)

2x2 y ′′ + 2xy ′ + y = 0

8.7)

x2 y ′′ + 5xy ′ + 4y = 0

8.8)

x2 y ′′ + 8xy ′ + 6y = 0

8.9)

x2 y ′′ − 7xy ′ + 41y = 0

9. Utilice el método de variación de parámetros para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Cauchy - Euler. 9.1)

x2 y ′′ − 4xy ′ = x 4

9.2)

2x2 y ′′ + 5xy ′ + y = x 2 − x

9.3)

x2 y ′′ − xy ′ + y = 2x

9.4)

x2 y ′′ − 2xy ′ + 2y = x 4 ex

10. Use la sustitución x = e t , para transformar la respectiva ecuación de Cauchy - Euler, en una ecuación con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de la nueva ecuación. 10.1)

x2 y ′′ + 9xy ′ − 20y = 0

10.2)

x2 y ′′ − 9xy ′ + 25y = 0

10.3)

x2 y ′′ + 10xy ′ + 8y = x 2

10.4)

x2 y ′′ − 3xy ′ + 4y = ln x

10.5)

x2 y ′′ + 7xy ′ + 5y = x

Parte VI: Otra tanda de ecuaciones de orden dos 11. Ecuaciones en la que falta y: En una ecuación diferencial de segundo orden de la forma y ′′ = f (x, y), la sustituci´ on 2 dy du d y du u = y , genera una ecuación de primer orden de la forma = = f (x, u ). 2 dx dx dx dx 11.1)

x2 y ′′ + 2xy ′ − 1 = 0

11.3) 11.5)

;

11.2)

xy ′′ + y ′ = 1

y ′′ + x( y ′ )2 = 0

11.4)

2x2 y ′′ + ( y ′ )3 = 2xy ′

;

x >0

y ′′ + y ′ = e −x

11.6)

x2 y ′′ = ( y ′ )2

;

x >0

x>0

12. Ecuaciones en la que falta x: Si una ecuación diferencial de segundo orden tiene la forma y ′′ = f ( y, y ′ ), la variable dy independiente x no aparece expl´ıcitamente, sólo a trav´ es de la variable dependiente y. Si se realiza la sustituci´ on u = , dx du entonces se obtiene = f ( y, u ). dx 12.1) yy ′′ + ( y ′ )2 = 0 12.2) y ′′ + y = 0 12.3) y ′′ + y( y ′ )3 = 0 12.4)

2y2 y ′′ + 2y( y ′ )2 = 1

12.5)

yy ′′ − ( y ′ )3 = 0

12.6)

y ′′ + ( y ′ )2 = 2e −y

13. En los siguientes problemas de valor inicial, resuelva aplicando los m´ etodos de los ejercicios (12) y (13). ′ ′′ 13.1) y y = 2 ; y(0) = 1 ; y ′ (0) = 1 13.2)

y ′′ − 3y2 = 0

;

y(0) = 2

;

y ′ (0) = 4

13.3)

(1 + x2 ) y ′′ + 2xy ′ + 3x−2 = 0

;

y(1) = 2

;

y ′ (1) = −1

13.4)

y ′ y ′′ − x = 0

;

y(1) = 2

;

y ′ (1) = 1

28 14. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homog´ eneas de segundo orden, con coeficientes constantes. 14.1)

y ′′ − y = 0

;

14.3)

y ′′ − y ′ − 30y = 0

14.5)

y ′′ − 2y ′ + y = 0

14.2)

y ′′ − 7y = 0

14.4)

y ′′ + 6y ′ + 9y = 0

14.6)

y ′′ + 2y ′ + 3y = 0

14.7)

y ′′ + y = 0

14.8)

y ′′ − 3y ′ − 5y = 0

14.9)

y ′′ + 2y ′ + 2y = 0

14.10)

;

y(0) = 1

;

y(0) = 1

;

y ′ (0) = 0

y ′ (1) = 1

y ′′ + y ′ + 14 y = 0

;

y(0) = 2

;

y ′ (0) = 0

;

y(0) = 2

;

y ′ (1) = 1

15. En cada uno de los siguientes problemas, halle la solución de la ecuación diferencial dada. 15.1)

y ′′ − 2y ′ − 3y = 3e 2x

15.2)

y ′′ + 2y ′ + 5y = 3 sen 2x

15.3)

y ′′ − 2y ′ − 3y = 3xe −x

15.4)

y ′′ + 2y ′ = 3 + 4ex sen 2x

15.5)

y ′′ + 9y = x 2 e3x + 6x

15.6)

y ′′ + 2y ′ + y = 2e −x

15.7)

2y ′′ + 3y ′ + y = x 2 + 3 cos x

15.8)

y ′′ + y = 3 sen 2x + x cos 2x

16. En cada uno de los problemas, encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. En los problemas ( 16.7) y on continua arbitraria. (16.8), g (x) es una funci´ π π 16.1) y ′′ + y ′ = tan x 16.2) y ′′ + 9y = sec2 3x ; 0
y ′′ + 4y ′ + 4y = x −2 e−2x

16.5)

4y ′′ + y = 2 sec

16.7)

y ′′ − 5y ′ + 6y = g (x)

x 2

;

x>0

16.4)

y ′′ + 4y = 3 cosec 2x

;

−π < x < π

16.6)

y ′′ − 2y ′ + y =

16.8)

y ′′ + 4y = g (x)

;

0
π 2

ex 1 + x2

17. En cada uno de los problemas, compruebe que las funciones dadas y 1 y y2 satisfacen la ecuación homogénea asociada; entonces encuentre una solución particular de la ecuación no homogénea dada. En los problemas ( 17.7) y ( 17.8), g (x) es una funci´ on continua arbitraria. 17.1)

x2 y ′′ − 2y = 3x 2 − 1

;

x>0

;

y1 (x) = x 2

;

y2 (x) = x −1

17.2)

x2 y ′′ − x(x + 2) y ′ + ( x + 2) y = 2x 3

;

x>0

;

y1 (x) = x

;

y2 (x) = xe x

17.3)

xy ′′ − ( 1 + x) y ′ + y = x 2 e2x

;

x>0

;

y1 (x) = 1 + x

;

y2 (x) = e x

17.4)

(1 − x) y ′′ + xy ′ − y = 2 (x − 1)2 e−x

;

0
;

y1 (x) = x

;

y2 (x) = e x

17.5)

x2 y ′′ − 3xy ′ + 4y = x 2 ln x

;

x>0

;

y1 (x) = x 2

;

y2 (x) = x 2 ln x

17.6)

x2 y ′′ + xy ′ + ( x2 − 14 ) y = 3x 3/2 sen x

;

x>0

;

y1 (x) = x −1/2

;

y2 (x) = x −1/2 sen x

17.7)

x2 y ′′ + xy ′ + ( x2 − 14 ) y = g (x)

;

x>0

;

y1 (x) = x −1/2 sen x

;

y2 (x) = x −1/2 cos x

17.8)

(1 − x) y ′′ + xy ′ − y = g (x)

;

0
;

y1 (x) = x

;

y2 (x) = e x

29 18. Resuelva las siguientes ecuaciones de Cauchy - Euler. 18.1)

x2 y ′′ + 10xy ′ + 8y = x 2

18.2)

x2 y ′′ − 4xy ′ + 6y = ln x2

18.3)

2x2 y ′′ − 3xy ′ − 3y = 1 + 2x + x2

18.4)

x2 y ′′ − 3xy ′ + 13y = 4 + 3x

18.5)

x2 y ′′ + 9xy ′ − 20y =

18.6)

x3 y ′′′ − 3x2 y ′′ + 6xy ′ − 6y = 3 + ln x3

18.7)

x2 y ′′ + xy ′ + 4y = sen (log x)

18.8)

x2 y ′′ − 2xy ′ + 2y = 3x 2 + 2 log x

5 x3

Parte VII: Soluciones en series de potencias 19. Resuelva la ecuación diferencial dada por medio de una serie de potencia de x y verifique que a0 es arbitrario en cada caso. Cuando sea posible compare la solución en serie con los métodos vistos en clase. 2

19.1)

y ′ − y = 0

19.2)

y ′ − xy = 0

19.3)

y ′ = e x y

19.4)

(1 − x) y ′ = y

19.5)

y ′ − y = x 2

19.6)

y ′ + xy = 1 + x

20. En cada caso encuentre los cuatro primeros términos distintos de cero de cada una de las series de potencias LI alrededor del origen. ¿Cuál espera sea el radio de convergencia para cada solución? 20.1)

y ′′ + ( sen x) y = 0

20.2)

ex y ′′ + xy = 0

20.3)

(cos x) y ′′ + xy ′ − 2y = 0

20.4)

e−x y ′′ + log(1 + x) y ′ − xy = 0

21. Resuelva la ecuación diferencial dada por medio de una serie de potencias alrededor del punto x0 indicado. Encuentre la relaci´ on de recurrencia; encuentre también los cuatro primeros términos de cada una de las soluciones LI (a menos que la serie termine antes). De ser posible determine el t´ ermino general de cada solución. 21.1)

y ′′ − y = 0

x0 = 0

21.2)

y ′′ − xy ′ − y = 0

x = 0

21.3)

y ′′ − xy ′ − y = 0

x0 = 1

21.4)

(1 − x) y ′′ + y = 0

x0 = 0

21.5)

(1 + x2 ) y ′′ − 4xy ′ + 6y = 0

x0 = 0

21.6)

xy ′′ + y ′ + xy = 0

x0 = 1

21.7)

2y ′′ + xy ′ + 3y = 0

x0 = 0

21.8)

2y ′′ + ( x + 1) y ′ + 3y = 0

x0 = 2

22. Encuentre todos los puntos singulares de la ecuación dada y en cada caso determine si son regulares o irregulares. 22.1)

xy ′′ + ( 1 − x) y ′ + xy = 0

22.2)

x2 (1 − x2 ) y ′′ + 2xy ′ + 4y = 0

22.3)

x2 (1 − x2 ) y ′′ + ( x − 2) y ′ − 3xy = 0

22.4)

x2 (1 − x2 ) y ′′ + x2 y ′ + 4y = 0

22.5)

(1 − x2 )2 y ′′ + x(1 − x) y ′ + ( 1 + x) y = 0

22.6)

2x(x − 2)2 y ′′ + 3xy ′ + ( x − 2) y = 0

22. Resuelva la siguiente EDO de segundo orden: xy ′′ − ( 1 + x) y ′ + y = x 2 e2x

para x > 0, siguiendo los siguientes pasos: (a) Pruebe que x = 0 , es punto singular regular de la EDO.

etodo de Frobenius, para encontrar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial (solución (b) Use el m´ transitoria). on particular al caso no homog´ eneo (solución estable). (c) Halle la soluci´

nador “Un individuo exitoso, es un so~ que cree en sus sue~ nos” An´ onimo

UNIDAD IV Aplicaciones de Orden dos:

• • •

Sistemas de Primer orden Sistemas de Masa - Resorte Circuitos LRC

“Todo aquel que tiene una razón para vivir, puede soportar cualquier forma de hacerlo ” Friedrich Nietzsche


Pr´ actica 5 2014


Aplicaciones de E.D.O de Segundo Orden

Parte I: Sistemas de Primer orden 1. Resuelva el sistema de ecuaciones de Primer Orden dado, sujeto a las condiciones iniciales que se indican: 1.1)

1.3)

1.5)

1.7)

1.9)

� � � � �

x′1 x′2

= =

x1 + x2 4x1 − 2x2

x′1 x′2

= =

2x1 − 5x2 − sen(2t), x1 − 2x2 + t,

x1 (0) = 0 x2 (0) = 0

1.4)

x′1 x′2

= =

3x1 − 4x2 + et , x1 − x2 − et ,

x1 (0) = 1 x2 (0) = −1

1.6)

x′1 x′2

= =

3x1 − 2x2 − e−t sen(t) 4x1 − x2 + 2e−t cos(t)

1.8)

x′1 x′2

= =

x1 + 2x2 4x1 + 3x2

1.10)

1.2)

� � � � �

x′1 − x1 − x2 − 2et x′2 − 4x1 + x2 + et

= =

x′1 x′2

= =

x1 − x2 − t2 x1 + 3x2 + 2t

x′1 x′2

= =

4x1 − 2x2 + 2t 8x1 − 4x2 + 1

x′1 x′2

= =

x1 − 5x2 , 2x1 − 5x2 ,

x′1 x′2

= =

0 0

x1 (0) = 1 x2 (0) = 0

− 4x1 + 2x2 − 52 x1 + 2x2

Parte II: Aplicaciones de las ecuaciones de segundo orden • Sistemas de Masa - Resorte

Para los siguientes problemas debemos recordar que en el sistema inglés de medidas, la masa se mide en slugs, la distancia pie en pies y que un pie equivale a 12 pulgadas y la aceleración de gravedad está dada por 32 . seg2 2. Se suspende un peso de 10 libras de un resorte y lo alarga 2 pulgadas de su longitud natural. Halle la constante del resorte. 3. Se cuelga de un resorte una masa de 14 de slug, con lo cual el resorte se alarga 6 pulgadas de su longitud natural. La masa pie se pone en movimiento de la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 4 seg , en la dirección hacia arriba. Halle el ′ movimiento resultante de la masa, si la fuerza debido a la resistencia del aire es − 2x libras. 4. Se suspende de un resorte una masa de 12 slug de tal manera que el resorte se alarga 2 pies de su longitud natural. La masa se pone en movimiento sin velocidad inicial desplazándola 12 pie en dirección hacia arriba. Halle el movimiento resultante de la masa , si el medio ofrece una de menos cuatro veces la velocidad instantánea en libras. 5. Se suspende un peso de 32 libras de un resorte, alargándolo 8 pies de su longitud natural. el peso se pone en movimiento pie desplaz´ andolo 1 pie en dirección hacia arriba y dándole una velocidad inicial de 2 seg hacia abajo. Halle el movimiento resultante del peso si el medio ofrece una resistencia despreciable. 6. Se suspende una masa de 12 slug de un resorte que tiene una constante de 6 libra . La masa se pone en movimiento pie desplaz´ andola 6 pulgadas por debajo de la posición de equilibrio sin velocidad inicial. Halle el movimiento resultante de la masa, si la fuerza debido al medio es de menos cuatro veces la velocidad instantánea en libras.

32 7. Se suspende una masa de 1 slug de un resorte que tiene una constante de 8 libra . La masa se pone en movimiento de la pie posición de equilibrio sin velocidad inicial aplicándole una fuerza externa F (t) = 16 cos 4t. Halle el movimiento resultante de la masa si la fuerza debida a la resistencia del aire es de menos cuatro veces la velocidad instantánea en libras. 8. Demuestre que el per´ıodo del movimiento de una vibración no amortiguada de una masa suspendida de un resorte vertical es 2π gL , en donde L es el alargamiento del resorte debido a la masa m y g es la aceleración de gravedad.

�

9. Una pesa de 4 libras se une a un resorte cuya constante es de 2 libra . El medio presenta una resistencia al movimiento pie numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si la pesa se suelta de un punto a 1 pie arriba de la posición de equilibrio pie con una velocidad de 8 seg hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el momento en que la pesa llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posici´ on en ese instante? 10. Un resorte de 4 pies alcanza 8 pies al colgarle una pesa de 8 libras. El medio en el cual se mueve ofrece una resistencia numéricamente igual a 2 veces su velocidad instantánea. Deduzca la ecuaci´ on del movimiento si la pesa se suelta de la pie posición de equilibrio con una velocidad de 5 seg hacia abajo. Calcule el desplazamiento extremo y el tiempo en que lo alcanza.

√

11. Una fuerza de 2 libras estira 1 pie un resorte. A este resorte se le une un contrapeso de 3.2 libras y el sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual al 40 % de su velocidad instantánea. 11.1) Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso parte del reposo un pie arriba de la posición de equilibrio. 11.2) Exprese la ecuaci´ on del movimiento en la forma x (t) = Ae −λt sen

�√

ω2 − λ2 t + φ

�

endose hacia arriba. 11.3) Calcule el primer momento en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio dirigi´ 12. Una pesa de 16 libras estira 83 de pie un resorte. Al principio, parte del reposo a 2 pies arriba de la posici´ o n de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento num´ ericamente igual a la mitad de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuaci´ on del movimiento si la pesa está impulsada por una fuerza externa igual a f(t) = 10 cos 3t.

• Circuitos LRC 13. Un circuito LRC, con R = 6 Ω, C = 0.02 f y L = 0.1 h, tiene un voltaje aplicado de 6 volt. Suponiendo que no hay corriente inicial y no hay carga inicial cuando se aplica por primera vez el voltaje, halle la carga resultante en el condensador y la corriente del circuito. 14. Un circuito LRC, con R = 6 Ω, C = 10−2 f y L = 18 h, no tiene voltaje aplicado. Halle la corriente resultante en el 1 circuito si la carga inicial en el condensador es de 10 de coul y la corriente inicial es cero. 15. Un circuito LRC, con R = 5 Ω, C = 0.02 f y L = 0.1 h, no tiene voltaje aplicado. Halle la corriente resultante en condiciones estables en el circuito. 16. Un circuito LRC, con R = 5 Ω, C = 0.02 f y L = 0.1 h, tiene un voltaje aplicado igual a E(t) = sen t volt. Halle la corriente resultante en condiciones estables en el circuito. 17. Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC, cuando R = 2 Ω, C = 0.25 f y L = 1 h y el voltaje está dado por E (t) = 50 cos t volt. 18. Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC, cuando R = 20 Ω, C = 0.001 f y L = 12 h y el voltaje está dado por E(t) = 100 sen 60t + 200 cos 40t volt. 19. Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC, cuando R = 10 Ω, C = el voltaje está dado por E (t) = 300 volt, donde q (0) = 0 coul e i (t) = 0 amp.

1 f y L = 53 h y 30

“Si quieres buscar la grandeza, olv´ıdala y busca la verdad, de ese modo hallarás ambas” Johannes Eckhart

UNIDAD V Transformada de Laplace:

• • • •

Transformadas directas Transformadas Inversas Teoremas Relacionados Aplicaciones

“La constancia quebranta los muros mas sólidos, y vence los imposibles mas colosales ” Virgilio


Pr´ actica 6 2014


Transformadas de Laplace y Aplicaciones

Transformadas de Laplace y Aplicaciones 1. Aplique la definición, F(s) = L{ f(t)} =

∫

∞

e−st f(t) dt

0

para determinar directamente las transformadas de Laplace de las siguientes funciones 1.1)

f(t) = t

1.2)

f(t) = t 2

1.3)

f(t) = e 3t+1

1.4)

f(t) = te at

1.5)

f(t) = cos t

1.6)

f(t) = t 2 senh at

1.7)

f(t) = sen 2 t

1.8)

f(t) = t cos t

2. En los problemas siguientes trace la gráfica de la función dada. En cada caso, determine si f es continua , continua por trozos o ninguna de las dos cosas en el intervalo [ 0, 3 ]. (a)

f(t) =

(c)

f(t) =

   

t2 2+t 6−t

, , ,

t2

,

1 t−1 1

, ,

0 t 1
≤ ≤1 ≤2 ≤3 0≤t≤1 1
(b)

(d)

f(t) =

f(t) =

   

t 3−t 1

, , ,

0 t 1
≤ ≤1 ≤2 ≤3

t2 1 3−t

, , ,

0 t 1
≤ ≤1 ≤2 ≤3

3. Use los resultados de la tabla anexa a esta gu´ıa, para determinar las transformadas de Laplace de las siguientes funciones. Ayuda: Tal vez necesite una integración por partes preliminar f(t) = 3t 5/2 − 4t3

3.3)

f(t) = t − 2e3t

f(t) = t 3/2 − 2e−10t

3.5)

f(t) = 1 + cosh 5t

3.6)

f(t) = sen 2t + cos 2t

f(t) = cos 2 2t

3.8)

f(t) = sen 3t cos 3t

3.9)

f(t) = ( 1 + t)3

f(t) = 3t +

3.4) 3.7) 3.10)

√ t

3.2)

3.1)

f(t) = te t

3.11)

f(t) = t cos 2t

3.12)

f(t) = senh2 3t

4. Use los resultados de la tabla anexa a esta gu´ıa, para determinar las transformadas inversas de Laplace de las siguientes transformadas. 3 1 2 4.1) F(s) = 4 4.2) F(s) = s −3/2 4.3) F(s) = − 5/2 s s s 3s + 1 s2 + 4

4.4)

F(s) =

1 s+5

4.5)

F(s) =

3 s − 4

4.6)

F(s) =

4.7)

F(s) =

2s − 3 s2 − 4

4.8)

F(s) =

10s − 3 25 − s2

4.9)

F(s) = 2s −1 e−3s

4.10)

F(s) =

s2

3s −s−6

4.11)

F(s) =

s2

2 + 3s − 4

4.12)

F(s) =

2s2

2s − 1 + 5s − 13

35 5. Utilice la fórmula

∫

eax cos bxdx =

eax [a cos bx + b sen bx ] + C a2 + b2

para obtener L{ cos kt}, directamente de la definición de la Transformada de Laplace. 6. Muestre que la función f (t) = sen (t2 ), es de orden exponencial cuando t

, pero que su derivada no lo és.

→∞ ∞

7. En los problemas siguientes, trace la gráfica de la función dada en el intervalo [ 0,

)

(a) U(t − 1) + 2 U(t − 3) − 6 U(t − 4)

(b) (t − 3)U(t − 2) − ( t − 2)U(t − 3)

(c) f(t − π )U(t − π ) donde f (t) = t 2

(d) f(t − 3)U(t − 3) donde f(t) = sen t

(e) f(t − 1)U(t − 2) donde f(t) = 2t

(f) (t − 1)U(t − 1) − 2(t − 2)U(t − 2) + ( t − 3)U(t − 3)

8. Sea f(t) = 1 para 0

≤ t ≤ a y as erminos de funciones de paso unitario, f(t) = 0 si t > a (donde a > 0). Exprese a f en t´

1 − e− . s 9. Sea f (t) = 1 para a t b y f (t) = 0 si t < a o t > b (donde b > a > 0 ). Exprese a f en términos de funciones de paso e−as − e−bs unitario, para mostrar que L{ f(t)} = . s 10. En cada uno de los siguientes problemas, encuentre la transformada de Laplace de la función dada

para mostrar que L{ f(t)} =

≤ ≤

(a)

f(t) =

   

0

,

t

 

(b)

(t − 2)

2

,

≤2 t≥2

0 t−π 0

, , ,

t<π π t 2π 2 < t 2π

(d)

f(t) = U( t − 1) + 2 U(t − 3) − 6 U(t − 4)

( f)

f(t) = t − ( t − 1)U(t − 1) ,

(c)

f(t) =

(e)

f(t) = (t − 3)U(t − 2) − ( t − 2)U(t − 3)

≤ ≤ ≥

f(t) =

0

,

t<1

t2 − 2t + 2

,

t

≥1

t

≥0

11. En cada uno de los siguientes ejercicios, encuentre las transformadas de Laplace, haciendo uso de los Teoremas. 11.1) 11.4)

f(t) = t 3 + 3 cos 2t f(t) =

√

2t

11.2) 11.5)

te

f(t) = t 2 sen 4t

11.3)

f(t) = 5e 2t + 7e−t

∫ ∫ t

2

f(t) = 2t cosh t

11.6)

f(t) =

x senh x dx

0

11.7)

t

f(t) = 2t 2 e−t cosh t

11.8)

f(t) =

e3x cos x dx

0

12. En cada uno de los problemas, dibuje las funciones dadas y luego halle su transformada de Laplace. 12.1)

12.3)

12.5)

f(t) =

 

1 0

f(t) = t , si 0

si t si

∈ [2k,2k + 1) t ∈ (2k − 1,2k ]

k = 0,1,2,3,...

≤ t < 1 y además f (t + 1) = f(t)

f(t) = sen t , si 0

≤ t < π y además f(t + π ) = f(t)

12.2)

12.4)

f(t) =

f(t) =

�  

t

si 0

≤t≤1

0

si

t>1

si 0

1 −1

12.6∗ ) f(t) = 1 +

si

∞

�

k=1

≤t<1 1≤t<2

(−1)k U(t − k )

f(t + 2) = f (t)

36 13. Usando la tabla anexa, halle la transformada inversa de Laplace de las siguientes transformadas. 13.1)

1 s+2

13.4)

1 s2 + 4

13.7)

4 (s − 1)3

13.2)

2 (s − 2)2 + 9

13.3)

2s + 1 (s − 1)2 + 7

13.5)

s (s + 1)2 + 5

13.6)

1 2s2 + 1

13.9)

13.8)

s2

2s + 2 − 2s + 2

s2

2s − 3 + 2s + 10

14. Use completación de cuadrados, para hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes transformadas 14.1)

1 s2 − 2s + 2

s+3 s2 + 2s + 5

14.2)

14.3)

s s2 − s +

14.4)

17 4

s+1 s2 + 3s + 5

15. Utilice la descomposición en fracciones simples para reescribir las siguientes transformadas y luego hallar la transformada inversa de cada una. 15.1)

2s2 (s − 1)(s2 + 1)

15.2)

1 s2 − 1

15.3)

2 (s + 1)2 (s − 1)2

15.4)

s+1 (s − 3)2 (s2 + 3s + 5)

16. Halle las transformadas inversas de Laplace de 16.1)

2s − 3 s(s2 − 4s + 13)

17. Determine f

16.2)

2(s − 1) s2 − s + 1

16.3)

s 2s2 + 4s +

16.4)

5 2

1 2(s − 1)(s2 − s + 1)

∗ g(x) y g ∗ f(x), si f (x) = 4x y g (x) = e2x .

18. Use convoluciones para encontrar la transformada inversa de Laplace. 18.1)

1 (s − 1)(s − 2)

�

18.2)

1 s2

18.3)

2 s(s + 1)

�

1 1 s 19. Halle L usando convoluciones, de dos maneras diferentes; Primero considere F(s) = 2 y G (s) = 2 2 s(s + 4) s s + 4 1 1 y luego haciendo F(s) = y G (s) = 2 . Compare y concluya acerca de sus resultados. s s + 4 20. Demuestre que para cualquier constante k , [ kf ] g(x) = k [f g ](x). −1

∗

21. Halle L{ g(x)}, para 21.1)

g(x) =

�

0 sen(x − 1)

si x < 1 si x 1

≥

∗

�

0 x3 + 1

2(s − 1) −2s e − 2s + 2

22.4)

F(s) =

22.8)

F(s) =

21.2)

g(x) =

si x < 2 si x 2

≥

22. Determine L −1 {F(s)} = f (t), para 22.1)

F(s) =

22.5)

F(s) =

s e−πs + 4

22.2)

F(s) =

1 −s e s3

22.3)

F(s) =

2 e−2s 2 s − 4

22.6)

F(s) =

s−2 e−s 2 s − 4s + 3

22.7)

F(s) =

s2

s2

s e−πs 2 s −9

s2

1 e−2s +s−2

e−s + e−2s − e−3s s

37 23. Supóngase que F (s) = L{ f(t)}, existe para s > a (a) Demuestre que si c > 0 , entonces, L{ f(ct)} =

≥ 0. Entonces:

1 s F . c c

(b) Demuestre que si k > 0 , entonces, L −1 {F(ks)} =

�� 1 f k

t . k

(c) Demuestre que si a y b son constantes con a > 0, entonces, L

1 {F(as + b)} = e −bt/a f a

−1

��

t . a

24. En los siguientes problemas, use las propiedades del ejercicio anterior. 24.1)

F(s) =

2n+1 n! sn+1

24.2)

F(s) =

2s + 1 24.3) 2 4s + 4s + 5

F(s) =

1 24.4) 2 9s − 12s + 3

F(s) =

e2 e−4s 2s − 1

25. Use las transformadas de Laplace para resolver los siguientes Problemas de Valor Inicial (P.V.I). 25.1)

y ′ + 2y = 0

y(0) = 1

25.2)

y ′ + 2y = 2

y(0) = 1

25.3)

y ′ + 2y = e x

y(0) = 1

25.4)

y ′′ − y = 0

y(0) = 1

y ′ (0) = 1

25.5)

y ′′ − y ′ − 6y = 0

y(0) = 1

y ′ (0) = −1

25.6)

y ′′ − y = sen x

y(0) = 0

y ′ (0) = 0

25.7)

y ′′ + 2y ′ − 3y = sen 2x

y(0) = 0

y ′ (0) = 0

25.8)

y ′′ + y ′ + y = 0

y(0) = 4

y ′ (0) = −3

25.9)

y ′′ + 2y ′ + 5y = 3e −2x

y(0) = 1

y ′ (0) = 1

25.10)

y ′′ + 5y ′ − 3y = U (x − 4)

y(0) = 0

y ′ (0) = 0

25.11)

y ′′′ − y = 5

y(0) = 0

y ′ (0) = 0

25.12)

y ′′ + ω2 y = cos 2t

y(0) = 1

y ′ (0) = 0

25.12)

y ′′ − 2y ′ + 2y = cos t

y(0) = 1

y ′ (0) = 0

25.13)

y ′′ − 2y ′ + 2y = e −t

y(0) = 0

y ′ (0) = 1

25.14)

y ′′ + 2y ′ + y = 4e −t

y(0) = 2

y ′ (0) = −1

y(0) = 1

y ′ (0) = 0

y(0) = 0

y ′ (0) = 0

� �

25.15) y ′′ + 4y =

25.16)

y ′′ + y =

1, 0,

t, 0,

0

0

≤ t < π t ≥ π

≤t<1 t≥1

y ′′ (0) = 0 (ω2 = 4 )

̸

38 26. Use transformadas de Laplace para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

26.1)

26.3)

26.5)

        

y ′ + z = x z ′ − y = 0

26.2)

y(0) = 1

z (0) = 0

w ′ − w − 2y = 0 y ′ − 4w − 3y = −1 w(0) = 1

26.4) y(0) = 2

u ′′ + v = 0 u ′′ − v ′ = −2ex u (0) = 0 u ′ (0) = 0

v(0) = 0

26.6) v ′ (0) = 2

        

y ′ − z = 0 y − z ′ = 0 y(0) = 1

z (0) = 1

w ′ − y = 0 w + y ′ + z = 1

w(0) = 1

w − y + z ′ = 2 sen x

y(0) = 1

z (0) = 1

u ′′ − 2v = 2 u + v ′′ = 5e 2 x + 1 u ′ (0) = 2

u (0) = 2 v(0) = 1

27. Considere los siguientes circuitos cuyas funciones de entrada (o fuerza electromotriz), está dada por las gráficas adjuntas.

27.1)

• R = 10 Ω • C = 0.01 f • L = 1 h • q(0) = 0 coul • i(0) = 0 amp

27.3)

• R = 8 Ω • C = 0.01 f • L = 4 h • q(0) = 0.2 coul • i(0) = 0.3 amp

27.5)


27.2)

• R = 5 Ω • C = 0.1 f • L = 2 h • q(0) = 0.5 coul • i(0) = 0.05 amp

27.4)


27.6)


39 28∗∗ . Las transformadas de Laplace de determinadas funciones pueden hallarse de manera conveniente a partir de sus desarrollos en series de Taylor. (a) Usando la serie de Taylor para sen t

∞

sen t =

�

n=0

(−1)n t2n+1 (2n + 1)!

y suponiendo que la transformada de Laplace de esta serie puede calcularse término a término, verifique que L{sen t} =

(b) Sea

f(t) =

 

1 , s2 + 1

sen t t 1

s>1

,

t = 0

,

t = 0

̸

Encuentre la serie de Taylor para f alrededor de t = 0. Suponiendo que la transformada de Laplace de esta función puede calcularse término a término, verifique que L{f(t)} = arctan

1 , s

s>1

“Ten el coraje de hacer, lo que te dice tu coraz´ o n y tu intuici´ on”

Steve Jobs

Tabla de Transformadas de Laplace

“No tengo talentos especiales, pero s´ı soy profundamente curioso ” Albert Einstein


Tabla de TL 2014

Transformadas de Laplace F(s)

f(t)

1

1 s

1

2

1 s2

t

3

1 , n = 1, 2 , 3, . . . sn

tn−1 (n − 1)!

4

1 , n > 0 sn

tn−1 Γ (n)

5

1 s−a

eat

6

1 , n = 1, 2 , 3, . . . (s − a)n

tn−1 eat (n − 1)!

7

1 ,n>0 (s − a)n

tn−1 eat Γ (n)

8

9

s2

a + a2

sen at

s2

s + a2

cos at

10

a (s − b)2 + a2

ebt sen at

11

s−b (s − b)2 + a2

ebt cos at

12

a s2 − a2

senh at

42

F(s)

13

s2

f(t)

s − a2

cosh at

14

a (s − b)2 − a2

ebt senh at

15

s−b (s − b)2 − a2

ebt cosh at

16

1 , a = b (s − a)(s − b)

ebt − eat b−a

17

s , a = b (s − a)(s − b)

bebt − aeat b−a

18

19

̸ ̸

(s2

1 + a2 )2

sen at − at cos at 2a3

(s2

s + a2 )2

t sen at 2a

20

s2 (s2 + a2 )2

sen at + at cos at 2a

21

s3 (s2 + a2 )2

1 cos at − at sen at 2

22

s 2 − a2 (s2 + a2 )2

t cos at

23

1 (s2 − a2 )2

at cosh at − senh at 2a3

24

25

(s2

s − a2 )2

s2 (s2 − a2 )2

t senh at 2a

senh at + at cosh at 2a

43

F(s)

f(t)

26

s3 (s2 − a2 )2

27

s2 + a2 (s2 − a2 )2

t cosh at

28

1 2 (s + a2 )3

(3 − a2 t2 ) sen at − 3at cos at 8a5

29

s 2 (s + a2 )3

t sen at − at2 cos at 8a3

30

s2 (s2 + a2 )3

(1 + a2 t2 ) sen at − at cos at 8a3

31

s3 (s2 + a2 )3

3t sen at + at2 cos at 8a

32

aF1 (s) + bF2 (s)

af1 (t) + bf2 (t)

33

34

35

F

s a

��

af(at)

eat f(t)

F(s − a)

e

−as

1 cosh at + at senh at 2

F(s)

f(t − a)U(t − a) =

�

f(t − a) 0

36

sF(s) − f(0)

f ′ (t )

37

s2 F(s) − sf(0) − f ′ (0)

f ′′ (t)

38

sn F(s) − sn−1 f(0) − sn−2 f ′ (0) −

( −1)

···−f n

(0)

f(n) (t)

39

F ′ (s)

−tf(t)

40

F ′′ (s)

t2 f(t)

si t > a si t < a

44

41

F(s)

f(t)

F(n) (s)

(−1)n tn f(t)

∫ t

F(s)

42

f( u ) du

s

0

∫ ·· · ∫ t

F(s)

43

t

f( u ) du =

sn

0

∫ t

n

0

0

(t − u )n−1 f( u ) du (n − 1)!

∫ t

44

F(s)G(s)

f( u )g(t − u ) du

0

∫ ∫ ∞

45

f(t) t

F( u ) du

s

∫ √ ∫ √ ∫ ∫ √

s

1 F s

1

49

��

F n+1

s

�� 1 s

tn/2

2 π

∞

1 s

u −3/2 e−s

2

/4u

πt

0

e−u

2

/4t

f( u ) du

J0 (2 ut)f( u ) du

∞

√

u −n/2 Jn (2 ut)f( u ) du

0

t

J0 (2 u (t − u ))f( u ) du

s2 + 1

∫ √

∞

0

 

1

1

∞

1 s

F s+

50

f(t) = f (t + T )

0

√

48

52

e−su F( u ) du

F( s)

47

51

T

1 1 − esT

46

0

f(t2 )

F( u ) du

0

F(ln s)

s ln s

∫

∞ tu f( u )

0

Γ ( u + 1)

du

P(s) Q(s)

53

P(s) = polinomio de grado inferior an Q(s) = (s − a1 )(s − a2 ) . . . (s − an ) donde a 1 , a2 , . . . , an son todas distintas

n

�

k=1

P(ak ) a e Q ′ (ak )

k

t

“Las grandes expectativas, son la clave del éxito Sam Walton

Ap´ endices

“La experiencia es algo que tenemos, después de haberla necesitado ” Gabriela Mistral


Aplicaciones de las EDO’s de primer orden

Ap´ endice 1 2014


Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, son muy diversas en situaciones f´ısicas y complejidad. En este peque˜ no apartado, abordaremos algunas aplicaciones sumamente sencillas, sólo para ilustrar algunas de las situaciones que podemos modelar, para as´ı, incentivar el estudio de este campo de la matemática en cada una de sus respectivas áreas. Al aplicar ecuaciones diferenciales en cualquiera de los numerosos campos en que son de utilidad, es necesario formular primero la ecuaci´ on diferencial apropiada que describe, o modela, el fenómeno que se investiga, Cuando se construyen modelos matemáticos, se debe reconocer que cada problema es distinto y que el modelado exitoso no es simplemente una habilidad que pueda reducirse a una aplicación de una serie de reglas preestablecidas. Aunque la construcción del modelo en s´ı mismo es algunas veces la parte mas dif´ıcil del problema, es posible enunciar algunos pasos de utilidad en el proceso de modelado: 1. Identificar las variables dependiente e independiente y asignar letras para representarlas, dejando claro el significado de cada una de ellas. Muchas veces es útil asignar estos nombres en función del problema, donde a menudo la variable independiente es el tiempo y por tanto, casi siempre está representada por t . 2. Elegir unidades de medici´ on para cada variable, aunque estas son arbitrarias, usualmente se eligen por conveniencia, y por pertinencia f´ısica. Al momento de elegir la medida debemos ser homog´ eneos. 3. Enunciar con claridad el principio básico que rige el problema que se investiga. Para ello es necesario el conocimiento del objeto de estudio desde el punto de vista f´ısico (qu´ımico, biológico, etc.), para as´ı manejar de forma óptima las leyes y propiedades inherentes a él. 4. Expresar el principio o ley del paso 3, en términos de las variables que fueron declaradas en el paso 1. Es probable que en algunos casos esto resulte dif´ıcil, en virtud de que se necesite introducir variables auxiliares o intermedias que luego deban relacionarse con las variables primarias. 5. Asegurarse que cada término en la ecuación del modelo maneje las mismas unidades f´ısicas. Si las unidades concuerdan, entonces, al menos la ecuación es dimensionalmente congruente, aunque esto no es prueba de veracidad para el modelo. Las aplicaciones a estudiar las dividiremos en dos grupos, en función de su complejidad operacional:

• Aplicaciones que conducen a ecuaciones de variables separables. • Aplicaciones que conducen a ecuaciones lineales. 0.1

Aplicaciones que conducen a ecuaciones de variables separables

• Decaimiento Radiactivo (Ley de Malthus)

Esta ley es justamente en honor al economista y pol´ıtico inglés Thomas Robert Malthus (1766-1834), quien fue uno de los primeros en darse cuenta que la población crece como una razón geom´ etrica, mientras que los medios de subsistencia crecen de manera aritmética. Esta afirmación está plasmada en su ensayo sobre el Principio de Poblaciones, el cual, inspiró a Darwin en la formulación de principio de selección natural. Malthus, muy religioso y creyente pensaba que esa diferencia en el crecimiento de la población y las necesidades que ellas generaban, eran de procedencia divina y que forzar´ıa a la humanidad a ser más laboriosa e ingeniosa para lograr los medios de subsistencia. Darwin, no tan religioso, lo formul´ o como una situación natural presente en todas las especies. B´ asicamente los materiales radiactivos, obedecen a la siguiente ley. “La variaci´ on de material radiactivo en cualquier instante de tiempo t, es proporcional a la cantidad de material presente en el instante t”.

47 Si consideramos a R(t), como la cantidad de material radiactivo en el instante t, entonces, el modelo asociado a la ley anterior queda expresado de la forma dR = kR (11) dt donde k , es la constante de proporcionalidad y como el material radiactivo decae en el tiempo, podemos asumir que esta constante es negativa. Este modelo sirve para muchos otros fenómenos, como por ejemplo los problemas de Interés Compuesto. Separando variables en la ecuación (11), obtenemos que: dR = kR = dt

de donde

⇒

dR = kdt = R

⇒

� � ⇒

ln(R(t)) = kt + ln C =

R(t) = Ce kt ,

ln

R(t) = kt C

C>0

(12)

Si suponemos que existe una cantidad R 0 en el instante t = 0 , entonces, de (12) concluimos que, C = R 0 y la gráfica asociada al modelo está dada por

Observaci´ on 0.1.1. Quiz´ a la u ´ nica dificultad real en este tipo de problemas, radica en la comprensión de los datos, ya que, las variables se definen casi siempre en tiempo presente y operacionalmente resulta sencilla de resolver. Ejemplo 0.1.1. Inicialmente se ten´ıan 100 mg de Torio 234. Al cabo de 6 horas, esa cantidad disminuyó en 3 %. Calcule la vida media de esa sustancia radiactiva. Soluci´ on: Si T (t) representa la cantidad de Torio 234 en el instante de tiempo t , entonces, el problema que debemos resolver es justamente dT (13) = kT dt sujeto a las condiciones iniciales T (0) = 100 y T (6) = 97. Resolviendo (13), de la misma forma que se solucion´ o (11), obtenemos que T (t) = Ce kt , C>0 (14) y usando la primera condición inicial nos queda que C = 100 = inicial, luego

⇒

T (t) = 100ekt , para hallar k usaremos la segunda condición

1 ln (0.97) = k 0 < 0 6 Ahora bien, calcular la vida media del material, significa que debemos encontrar el tiempo en el que la cantidad de material inicial se reduce a la mitad, es decir, calcular un tiempo τ , tal que, T (τ ) = 50 . Entonces, 97 = T (6) = 100e6k =

⇒

50 = T (τ ) = 100ek

0

τ

=

⇒

ek

0

e6k = 0.97 =

τ

=

1 = 2

⇒

⇒

τ =

k =

1 ln(0.5) k 0

≈ 137 horas



Ejemplo 0.1.2. Un reactor generativo transforma el Uranio 238, que es relativamente estable, en el isótopo radiactivo Plutonio 239. Después de 15 a˜ nos, se determina que el 0.043% de la cantidad inicial de Plutonio se ha desintegrado. Determine la cantidad de Plutonio que queda al pasar 45 años. Soluci´ on: Sea P(t) la cantidad de Plutonio en el instante t y además, consideremos que la cantidad inicial de Plutonio es P0 , es decir, P(0) = P0 . Por consiguiente, al cabo de 15 a˜ nos tenemos que P(15) = 99.957%P0 = 0.99957P0 . Entonces, el problema que debemos resolver es el siguiente dP (15) = kP dt

48 sujeta a las condiciones anteriores. Bajo el mismo esquema de (11), la solución de (15) queda expresada por P(t) = Ce kt ,

C>0

(16)

y usando las condiciones iniciales obtenemos que y

C = P 0

k =

1 ln (0.99957) = k 0 < 0 15

Luego, la cantidad de Plutonio a los 45 años, queda determinada por P( 45) = P 0 e45k = P 0 (0.99957)3 0

≈ 0.9987105546P0 ≈ 99.87%P0



Un importante recurso en la investigación arqueológica es el fechado por radiocarbono, desarrollado por el qu´ımico estadounidense Williard F. Libby (1908 - 1980), el cual nació en una zona rural de Colorado y asistió a la Universidad de California en Berkeley. Desarroll´ o su m´ etodo de fechado por carbono radiactivo en 1947 mientras se encontraba en la Universidad de Chicago. Por su trabajo recibió el Premio Nobel en Qu´ımica en 1960. Este proceso se refiere a un medio para determinar la edad de restos de madera o vegetales y, en consecuencia de huesos humanos o de animales o de artefactos encontrados enterrados a la misma profundidad. Esta técnica se basa en que los restos de madera o vegetales contienen cantidades residuales de carbono 14, un isótopo radiactivo del carbono. Este isótopo se acumula durante el lapso de vida de las plantas y comienza a decaer cuando mueren. Dado que la semivida del carbono es larga (aproximadamente 5730 años - algunos usan 5600 o 5700 años - ), en un vegetal o animal quedan cantidades medibles de carbono después de miles de años. Si sigue presente incluso una fracción diminuta de carbono 14, por medio de mediciones de laboratorio es posible establecer con exactitud la proporción de la cantidad original que queda. Las técnicas actuales de medici´ on permiten el uso de este método para per´ıodos de 50.000 años o más. Veamos un ejemplo Ejemplo 0.1.3. Se analizó un hueso fosilizado y se determinó que conten´ıa la centésima parte del Carbono 14. Determine la edad del fósil. Soluci´ on: Sea C (t) la cantidad de C 14 en el instante t . Si C (0) = C 0 , tenemos que por (12), nos queda C(t) = C 0 ekt C0 1 , entonces, k = − 5600 ln 2 = k 0 < 0. 2 Por tanto, para determinar la edad del fósil debemos encontrar un tiempo τ , tal que C (τ ) =

donde, si usamos el hecho de que C (5600) =

1 C0 = C (τ ) = C 0 ek 100

0

• Interés Compuesto

τ

=

⇒

1 τ = ln k 0

� �≈ 1 100

37205.59466

1 C 100 0 .

Veamos

años 

Supóngase que se deposita una cantidad de dinero en un banco o en un fondo que paga intereses a una tasa anual r. El valor S(t) de la inversión en cualquier instante de tiempo t, depende de la tasas de inter´ es y de a frecuencia con que éste se compone. Las instituciones financieras tienen diversas pol´ıticas sobre la composici´ on del inter´ es: algunas lo componen cada mes, otras cada semana e incluso algunas lo hacen a diario. Si se supone que la composición se da de manera continua, entonces, es posible formular un problema con valor inicial que resulte sencillo y que describe el crecimiento de la inversión. dS La razón de cambio del valor de la inversión es y esta cantidad es igual a la rapidez con que se acumula el interés, que dt es justamente la tasa de interés r multiplicada por el valor actual de la inversión S (t). As´ı dS = rS dt

(17)

y supongamos además que conocemos el valor de la inversión en un momento dado, por ejemplo, S(0) = S0 . Entonces, la soluci´ on del problema (17), da el saldo S (t) de la cuenta en cualquier momento t y este saldo tiene la forma S(t) = S 0 ert

(18)

Por tanto, una cuenta bancaria cuyo interés se compone continuamente, crece de manera exponencial. Ahora bien, comparemos este modelo con la situación que el inter´ es se compone en intervalos de tiempo finitos. Si el inter´ es se compone una vez al a˜ no, entonces después de t a˜ nos, se tiene que S(t) = S 0 (1 + r)t

49 Si se compone dos veces al año, entonces, luego de seis meses el saldo es S0 (1 + 2r ) y al final del año es S0 (1 + 2r )2 . As´ı después de t a˜ nos, nos queda r 2t S(t) = S 0 1 + 2 r nt En general si el interés se compone n veces al año, obtenemos que: S(t) = S 0 1 + , donde n

� �

lim S0 1 +

n

r n

� �

→∞

nt

� �

= S 0 ert

Volviendo al caso continuo, supongamos que es posible realizar depósitos o retiros además de la acumulación de intereses, dividendos o ganancias de capital. Si se supone que los dep´ ositos o retiros se realizan en montos constantes k , a plazo fijo, entonces la ecuación (17), se reemplaza por: dS = rS + k (19) dt donde k es positiva para depósitos y negativa para retiros. La ecuación (19) es lineal, con factor de integración e −rt de modo que su solución general es k S(t) = Ce rt − r para satisfacer la condición inicial, se debe elegir C = S 0 + kr . Entonces, la soluci´ on del problema es S(t) = S 0 ert +

k rt (e − 1) r

(20)

La primera parte corresponde a la parte de S(t) debida al rendimiento acumulado sobre la cantidad inicia S0 y el segundo t´ ermino es la parte debida al monto del depósito o retiro k .

• Poblaciones

Bajo condiciones ideales y en per´ıodos cortos de tiempo, los modelos poblacionales ob edecen a la misma ley de los materiales radiactivos, ya que, cualquier población localmente y en un espacio de tiempo muy reducido tiene un crecimiento exponencial, pero este modelo genera un margen de error bastante alto para t grande. A diferencia de los modelos radiactivos, en este caso la constante k , puede ser positiva (crecimiento de la población).

Veamos un ejemplo. Ejemplo 0.1.4. Un cultivo tiene una cantidad N 0 de bacterias. pasada una hora la cantidad de bacterias presente es 32 N0 . Si la rapidez de multiplicaci´ on de las bacterias, es proporcional al número de bacterias presentes en el instante t . Determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique. Soluci´ on: Sea N (t) el n´ umero de bacterias en el instante t, donde N (0) = N 0 y N (1) = 32 N0 . Por el modelo presentado en (11), la solución que se obtiene está dada por N(t) = N 0 ekt donde k = ln (1.5) > 0. Luego, debemos buscar el tiempo τ en que N (τ ) = 3N 0 . Veamos 3N0 = N (τ ) = N 0 eτ ln(1.5) =

⇒

τ =

ln 3 ln(1.5)

≈ 2.709511291 horas



50 Estudiemos ahora un modelo mas eficiente para poblaciones.

• Modelo Demográfico (Ecuación Log´ıstica o Ley de Verhulst)

Esta ecuación, se utiliza para describir el crecimiento de la población de una manera más precisa que la Ley de Malthus, tomando en cuenta el decrecimiento de la población. Para describir el modelo consideremos a P (t) como el tamaño de la población en el instante t. El modelo de crecimiento kP , para cierto k > 0. En este modelo, la tasa espec´ıfica o relativa de exponencial comienza suponiendo que: dP dt = crecimiento (o disminución), definida por dP dt

 

P

(21)

se supone constante (igual a k ). Es dif´ıcil encontrar casos reales de crecimiento exponencial durante largos per´ıodos, por ejemplo, por limitaciones del ambiente. As´ı, cabe esperar que la raz´ on expresada por (21), disminuya a medida que P aumenta. Luego, la hip´ otesis de que la tasa con que crece o decrece una población, s´ olo depende del número presente y no de mecanismos dependientes del tiempo, se puede escribir como sigue dP dt

  P

= f (P )

dP = Pf (P) dt

ó

(22)

La ecuación (22), se adapta a numerosos modelos demográficos de animales y se denomina Hip´ otesis de dependencia de densidad. Supongamos entonces que un medio es capaz de sostener, como máximo, una determinada cantidad C de individuos de una población. A esta constante C, se le denomina Capacidad M´ axima de Sustento. Entonces, f(C) = 0 y además, supondremos que f (0) = r > 0. La hip´ otesis mas sencilla, viene de suponer que f (P ) es lineal, es decir, f(P) = c 1 P + c2

Si f (0) = r y f (C) = 0 , tenemos que c 2 = r y c 1 = − rC , luego, tenemos que f (P) = − rC P + r. Por consiguiente, (22), se escribe dP r = P r − P dt C

�

de donde redefiniendo las constantes en (23), obtenemos

�

dP = P (a − bP ) dt

(23)

(24)

on Log´ıstica o Ecuaci´ on de Verhulst. y la ecuación (24), recibe el nombre de Ecuaci´ Separando variables en la ecuación (24), nos queda que dP = dt P(a − bP )

̸

P0 a−bP0

, tenemos que P(t)

→∞

→

a − bP

=

⇒

despejando nos queda

�

dP = dt

�

ln

P(t) = at + aM a − bP (t)

P(t) =

aNeat aN = 1 + bNeat bN + e−at

P(t) = Ne at a − bP(t)

obtenemos que N =

+

b a

� ⇒

=

y por tanto, la solución nos queda expresada de la siguiente forma P (t) =

Ahora, cuando t modelo.

P

=

⇒ ⇒

a b,

⇒

1 a

1 1 ln |P (t)| − ln |a − bP(t)| = t + M = a a

donde N = e aM . Si P(0) = P 0 =

=

Fracciones simples

�

a b

aP0 bP0 + ( a − bP0 )e−at

y si t

−

, entonces, P (t)

→∞

→

(25)

0. Veamos las gr´ aficas asociadas a este

51

donde

a 2b es

el punto de inflexión de la gráfica de (25).

• Epidemias

Los problemas asociados a epidemias, son un claro ejemplo de las aplicaciones de la ecuación log´ıstica, ya que, la diseminaci´ on de una enfermedad depende de los individuos portadores de un virus y tambi´ en de los individuos no portadores. Entonces, si x (t) representa al n´ umero de personas infectadas con un virus en el instante t y y (t) el n´ umero de personas sanas en el instante t y la población consta de n individuos, tenemos que: x(t) + y(t) = n . Usualmente, las epidemias obedecen a la siguiente ley: “La velocidad de diseminaci´ on de una enfermedad, es proporcional tanto a la cantidad de individuos infectados, como tambi´ en a los no infectados” Lo cual queda modelado por la siguiente ecuación

dx = kxy dt

(26)

pero como y (t) = n − x(t), obtenemos de (26) que dx = kx (n − x) dt

(27)

Ejemplo 0.1.5. Suponga que un alumno es portador de un virus y regresa a su escuela, la cual posee una matr´ıcula de 1000 estudiantes. Determine la cantidad de alumnos infectados 6 d´ıas después, si se observa que al cuarto d´ıa hab´ıan 50. Soluci´ on: Sea x (t) el n´ umero de personas infectadas en el instante t y sabemos que el número total de estudiantes es 1000, entonces, el problema que debemos resolver, según el modelo planteado en (27) está dado por dx = kx (1000 − x) dt

sujeto a las condiciones iniciales x(0) = 1 y x( 4) = 50 . Entonces, separando variables en (28), nos queda dx = kdt x(1000 − x)

=

⇒

=

⇒

Fracciones simples

1 1000

�

 ⇒

1 [ ln |x(t)| − ln |1000 − x(t)| ] = kt + C = 1000

=

despejando x (t), obtenemos que

⇒

x(t) = Me Kt , 1000 − x(t) x(t) =

1 1 + x 1000 − x

ln

Entonces,

x(t) = 1000kt + 1000C 1000 − x(t)

1000Me Kt 1000eKt = x t ( ) = 1 + MeKt x(0)=1 999 + eKt

⇒

1000e4K 1000 50 = x ( 4) = = = 999 + e4K 1 + 999e−4K

⇒

dx = kdt

donde M = e 1000C y K = 1000k

y usando la otra condición inicial, nos queda

=

� 

e−4K =

19 = 999

⇒

1 K = − ln 4

19 = k 0 > 0 999

√ √ √ ≈ 277 alumnos

1000 1000 999 x(6) = = 1 + 999e−6k 999 + 193 0

1 + 999e−4K = 20

⇒ � �



(28)

52

• Reacciones Qu´ımicas

Supongamos que se combinan a gramos de la sustancia A , con b gramos de la sustancia B . Si para formar x (t) gramos de la sustancia C , se necesitan N partes de A y M partes de B , los gramos de las sustancias A y B que quedan en el instante t , son respectivamente M N y a− x b− x M+N M+N Seg´ un la Ley de Acción de Masas, la velocidad de reacción se aproxima a: dx dt

de donde podemos obtener

� ≈ �

M a− x M+N

��

N b− x M+N

dx M x = k a − dt M+N

b−

� �

N x M+N

(29)

on qu´ ımica de segundo introduciendo una constante de proporcionalidad k > 0. A la ecuación (29), se le denomina Reacci´ orden. Ejemplo 0.1.6. Cuando se combinan dos sustancias qu´ımicas A y B se forma un compuesto C. La reacci´ on entre ambas es tal que, por cada gramo de A, se usan 4 gramos de B. Se observa, que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Calcule la cantidad de C, en función del tiempo si la velocidad de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad del compuesto C hay a los 15 minutos? Analice la situación cuando t .

→∞

Soluci´ on: En este problema sólo plantearemos el modelo y le dejamos al lector la resolución de la ecuación diferencial. Si por cada gramo de A , se usan 4 gramos de B , entonces, en virtud de (29), nos queda que

�

dx 1 = k 50 − x dt 5

��

4 32 − x 5

�

sujeta a las condiciones iniciales x(0) = 0 (ya que en el tiempo t = 0 , no se han combinado las sustancias) y x (10) = 30



• Vaciado de Tanques

En hidrodin´ amica, la Ley de Torricelli establece que: “La velocidad ν del flujo de agua a trav´ es de un agujero de bordes agudos en el fondo de un tanque, lleno de agua hasta una altura (o profundidad) h , es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua) que cae libremente desde una altura h ” Esto es justamente ν =

√

2gh,

g = aceleraci´ on de gravedad

(30)

La expresión (30), se origina al igualar la energ´ıa cinética 12 mν2 , con la potencial mgh . Supongamos que un tanque está parcialmente lleno de agua y se deja vaciar por gravedad, por un agujero en el fondo y queremos determinar la altura h en el instante t .

√

Si el área transversal del agujero es A0 y la velocidad del agua que sale del fondo es ν = 2gh , el volumen de agua que sale del tanque por unidad de tiempo es: A0 2gh . Entonces, si V (t) es el volumen del agua dentro del tanque en el instante t, tenemos que dV = − A0 2gh dt

√

Si el volumen V (t) = A ω h , en cualquier instante t , nos queda

√

dh A 0 =− dt Aω

√

2gh

(31)

Si Aω , no es constante, entonces depende de h , es decir Aω = A(h ) y la ecuación (31) sigue funcionando. Cuando hay fricci´ on la ecuación (31), se transforma en dh A 0 2gh (32) = −k dt Aω donde 0 < k < 1 es la constante de fricción.

√

53

• Temperatura

Los problemas asociados a ganancia o pedida de calor a este nivel, generalmente son tratados por la Ley de Enfriamiento de Newton. Dicha Ley establece que: “La variaci´ on en la temperatura de un cuerpo en cualquier instante de tiempo t, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente” Si T (t) es la temperatura del cuerpo en el instante t y T m , es la temperatura del medio ambiente, obtenemos que la ley queda representada por la ecuación dT (33) = k (T − T m ) dt de donde es muy sencillo, obtener la solución T (t) = T m + Cekt Observaci´ on 0.1.2. Es posible y f´ısicamente mas realista, conseguir problemas donde la temperatura del medio no sea constante, en cuyo caso es probable que la ecuación diferencial que modela el fenómeno no sea de variables separables y pueda resultar por ejemplo una ecuación lineal, pero claro está depende fuertemente de la función que modele la variación de la temperatura del medio ambiente.

0.2

Aplicaciones que conducen a ecuaciones lineales

• Mezclas (Soluciones salinas)

Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones, se da pie a una ecuación diferencial de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla. Se supone que en el tanque no se crea ni se destruye sal, por tanto, las variaciones en la cantidad de sal se deben únicamente al flujo de entrada y de salida Si S(t) representa la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t, la rapidez con que cambia S(t) es la tasa neta dada por dS Tasa de entrada Tasa de salida (34) = − de la sustancia de la sustancia dt

�

��

�

Ejemplo 0.2.1. Un tanque contiene 200 litros de un l´ıquido en el cual se disuelven 30 gramos de sal (ver figura anexa). Una salmuera que tiene un gramo de sal por litro se bombea al tanque con una rapidez de 4 litros por minuto; la solución homog´ enea se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número S (t) de gramos de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. Soluci´ on: La tasa de entrada la podemos calcular como sigue: gramo Tasa de entrada = 1 litro

litro gramo × 4 minuto = 4 minuto

Si S (t) es la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t , la tasa de salida es S(t) gramo S(t) gramo litro Tasa de salida = 4 = 200 litro 50 minuto minuto

×

Entonces la ecuación nos queda de la siguiente manera dS S(t) = 4 − dt 50

la cual es una ecuación lineal sujeta a la condición inicial S (0) = 30 . Para encontrar a S (t) bastar´ıa con resolver la ecuación diferencial  Ejemplo 0.2.2. En el instante t = 0, un tanque contiene Q0 lb de sal, disuelta en 100 gal de agua. Supóngase que en el sal tanque ingresa agua que contiene 14 lb de gal , con un gasto de r gal y que la mezcla que se homogeniza por agitación, se min drena del tanque con el mismo gasto. Formular el problema con valor inicial que describe este proceso de flujo. Encontrar la cantidad de sal Q(t) presente en el tanque en cualquier instante de tiempo, as´ı como la cantidad QL que se encuentra presente después d un tiempo muy largo. Si r = 3 y Q0 = 2Q L , encontrar el tiempo T después del cual la concentración de sal es 2 % de QL o menor. Determinar además el gasto requerido para que el valor de T no exceda de 45 min.

54 Soluci´ on: on: Analicemos de forma análoga aloga al anterior: Tasa de entrada =

1 libra on on 4 gal´

galón on r libra × r minuto = 4 minuto

y además, as, dado que los gastos de entrada y salida son iguales, la cantidad de agua en el tanque permanece constante y como la mezcla es homog´ enea enea es la misma concentraci´ concentración on en cualquier lugar del tanque, entonces Tasa de salida =

Q(t) libra on on 100 gal´

galón on rQ(t) libra × r minuto = 100 minuto

En consecuencia la ecuación on diferencial está dada por: dQ r rQ , = − dt 4 100

Q(0) = Q 0

Al considerar con siderar el problema pro blema en e n términos erminos f´ısicos, ısicos , podr´ p odr´ıa ıa anticiparse anti ciparse que a la larga la rga la mezcla presente p resente en un principio pri ncipio en el tanque 1 libra ser´ a sustituida prácticamente acticamente en su totalidad por la que ingresa cuya concentración es 4 galón . Cabe esperar entonces, que on para un tiempo largo la cantidad de al en el tanque estar´ıa ıa cerca de 25 lb. Tambi´ en en ser´ ser´ıa posible encontrar este valor para QL , haciendo que Q ′ (t) = 0 en la EDO. Al resolver la ecuación, on, es sencillo verificar que Q(t) = 25 + Ce−

r 100

t

y donde C = Q 0 − 25, donde finalmente Q(t) = 25 (1 − e−

r 100

t

) + Q0 e−

Claramen Claramente, te, lim Q(t) = 25 = Q L . Adem´ as, as, se puede inferir que Q(t) t→∞ Sup´ ongase ongase ahora que, r = 3 y que Q 0 = 2Q L = 50 , entonces, Q(t) = 25 (1 − e−

r 100

t

) + 50e−

r 100

t

=

⇒

→

r 100

t

25 mas r´ apidamente apidamente cuando r se hace mas grande.

Q(t) = 25 + 25e−0.03t

Dado que 2 % de 25 es 0.5, se desea encontrar el tiempo T en el cual Q (t) = 25.5



• Ca´ Ca´ıda Libre y resistencia al aire

En ciertas ciertas circunstancias, circunstancias, un cuerpo cuerpo de masa m que cae, se encuentra con una resistencia al aire que es proporcional a su velocidad instantánea anea ν, es decir, Fr = kν , donde k es es la constant constantee de proporcionali proporcionalidad. dad. En este caso, si consideram consideramos os que la dirección on positiva es hacia abajo, tenemos que la fuerza neta Fn , está dada por Fn = P − Fr , donde P = mg es el peso. Por otra parte, la segunda Ley de Newton, nos garantiza que F n = m.a (masa aceleración) on) y sabemos que la aceleración on es la derivada de la velocidad, entonces obtenemos que

×

dν m = mg − kν = dt

la cual es una ecuación on lineal. lineal.

⇒

dν k + ν = g dt m

• Circuitos en serie

Gustav Robert Kirchhoff (Königsberg, onigsberg, 12 de marzo de 1824 - Berl´ Berl´ın, 17 de octubre de 1887) fue un f´ısico ısico prusiano cuyas principales princi pales contribuciones contribuci ones cient´ cient´ıficas estuvieron estuvier on en el campo ca mpo de los lo s circuitos ci rcuitos eléctricos, ectricos , la l a teor´ıa ıa de placas, placas , la l a óptica, optica, la espectroscop´ tros cop´ıa ıa y la emisi´ emis ión on de radiaci radi aci´ón on de cuerpo negro. Kirchhoff, es responsable de dos conjuntos de leyes fundamentales, en la teor´ te or´ıa ıa cl´ cl ásica asica de d e circuitos circu itos eléctricos ectrico s y en la l a emisi´ emisi ón on t´ ermica. ermica. Aunque ambas se denominan Leyes de Kirchhoff, probablemente esta denominaci´ denomin ación on es más as com´ un un en el caso de las Leyes de Kirchhoff de la ingenier´ıa ıa eléctrica. ectrica. Estas leyes se basan en la conservación on de la energ´ıa ıa y la carga en los circuitos eléctricos ectricos y se usan para hallar corrientes y tensiones en cualquier punto de un circuito y fueron descritas por primera vez por él en 1845. Ambas leyes de circuitos pueden derivarse directamente directamente de las ecuaciones ecuaciones de Maxwell, Maxwell, p ero Kirchhoff precedi´ precedio´ a Maxwell y gracias a Georg Ohm su trabajo fue generalizado. Es necesario necesario definir ciertos componente componentess del circuito, antes de enunciar enunciar la ley de Kirchhoff. Kirchhoff. Veamo eamos: s:

• la inductancia (L), es una medida de la oposición on a un cambio de corriente de un inductor o bobina que almacena

energ´ energ´ıa en presencia de un campo magn´ etico, etico, y se define como la relación on entre el flujo magnético etico ( Φ) y la intensidad de corriente eléctrica ectrica (i) que circula por la bobina y el numero de vueltas (N) de el devanado. devanado. Esta definici´ definici´ on on es de poca utilidad utilidad porque es dif´ dif´ıcil medir el flujo abrazado abrazado por un conductor. conductor. En cam cambio, bio, se pueden pueden medir las variacio variaciones nes

55 del flujo y eso sólo olo a trav´ es es del voltaje inducido en el conductor por la variación on del flujo. Con ello, ello, llegam llegamos os a una definici´ oon n de inductancia equivalente pero hecha a base de cantidades que se pueden medir, esto es, la corriente, el tiempo y la tensión: on: ∆i V L = L ∆t La inductancia siempre es positiva, salvo en ciertos circuitos electrónicos especialmente concebidos para simular inductancia negativa.

• La resistencia eléctrica ectrica de un objeto, es una medida de su oposici´ oposición on al paso de corrient corriente. e.

Descubiert Descubiertaa por Georg Georg Ohm en 1827, la resistencia eléctrica ectrica tiene un parecido conceptual a la fricción en la f´ısica mecánica. anica. La unidad de la resistencia resistencia en el Sistema Sistema Internaciona Internacionall de Unidades es el ohmio ( Ω). Su cantidad rec´ rec´ıproca es la conductancia, medida en Siemens. Adem´ as, as, de acuerdo con la ley l ey de Ohm la resistencia de un material puede definirse como la raz´ on on entre la ca´ıda ıda de tensi´ tens ión on y la corriente en dicha resistencia, as´ as´ı: R =

V i

• la capacitancia o capacidad eléctrica, ectrica, es la propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga eléctrica. ectrica.

La capacitancia, capacit ancia, también en es una medida de la cantidad de energ´ıa ıa eléctrica ectrica almacenada almacena da para un potencial potenc ial eléctrico ectrico dado y el dispositivo más as com´ un un que almacena energ´ energ´ıa de esta forma es el condensador. La relación entre la diferencia de potencial (o tensión) on) existente entre las placas del condensador y la carga el´ ectrica ectrica almacenada en éste, este, se describe mediante la siguiente ecuación: on: q C = V

En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente en cualquier instante de tiempo se representa por i(t) y la carga Electromotriz ) a trav´ en el capacitor por q(t). Seg´ un la segunda Ley de Kirchhoff, el voltaje E(t) ( Fuerza Electromotriz un es es de un circuito circui to cerrado cerrado debe ser igual a la suma de las ca´ ca´ıdas de voltaje voltaje en el mismo, mismo, es decir, el voltaje aplicado debe ser igual a la suma de las ca´ ca´ıdas de volta je a trav´ es es del inductor, el resistor y el capacitor.

Ca´´ıdas Ca ıda s de volta je

Unidades

• • • • • •

E(t) i(t) q(t) L R C

− − − − − −

→→ →→ →→

Voltios Amperios Coulombs Henrys Ohmios Faradios

• Inductor − • Resistor − • Capacitor −

volt amp coul h Ω f

Relación on i (t) i(t) =

→→ →↔

di dt R i(t) 1 q(t) qC(t) L

dq dt

Entonces, la segunda Ley de Kirchhoff, queda fielmente expresada de la forma: L

di 1 + Ri + q = E (t) dt C

(35)

La ecuación on (35), es una ecuación on integro - diferencial para un circuito LRC, para la cual en este momento del curso no disponemos de herramien herramientas tas para resolver resolverla la (debemos (debemos esperar esperar a ver Transfo Transformad rmadas as de Laplace). Laplace). Entonces Entonces,, por ahora, ahora, debemos resolver circuitos en serie que s´ olo olo dependan del inductor - resistor o resistor - capacitor. Entonces:

Circuitos L ∼ R L

di + Ri = E (t) dt

Circuitos R ∼ C R

dq 1 + q = E (t) dt C

Ahora veamos un modelo proveniente de uno de los problemas mas famosos de la historia de la matemática, mas sin embargo es un modelo no lineal.

56

• Problema de la Braquistocrona El térmi er mino no Braquistocrona , proviene de los vocablos griegos braquistos , que significa el mas corto y cronos que significa significa tiempo. El problema problema consiste consiste en encontrar la curva mas corta por la cual una part´ıcula ıcula se deslizará sin s in fricci´ fri cción on en e n el el tiempo tiemp o m´ınimo desde un punto P hasta otro punto Q situado a un nivel inferior, pero no directame directamente nte debajo del primero.

Este problema fue planteado por Johann Bernoulli en 1966 como un desaf´ desaf´ıo a los matemáticos aticos de se época. epoca. Entre quienes hallaron soluciones correctas se cuentan el propio Johann, su hermano Jakob, Sir Isaac Newton, Gottfried Leibnitz y el marqu´ marqu´ es es de L’Hopital. L’Hopital. Este problema problema es important importantee dentro dentro de la matem´ matemática atica como uno de los precursores del cálculo de variaciones. Para resolver este problema tomar el origen en el punto superior P y considerar considerar los ejes como en la figura. Entonces, Entonces, es posible demostrar que la curva de tiempo m´ınimo está dada por una función on y = φ (x) que satisface la ecuación on diferencial (1 + y ′2 ) y = k 2

(36)

donde k 2 es una constante positiva por determinar. Entonces, responda las siguientes preguntas: (a) Despeje y ′ de la ecuación on (36). ( 36). ¿Por qué es e s necesari n ecesarioo tomar t omar la ra´ ra´ız positiva? posi tiva? (b) Introduzca la nueva variable t , por medio de la relación: on: y = k 2 sen2 t. Demuestre que la ecuación on del inciso ( a) asume 2 2 entonces la forma: 2k sen tdt = dx .

on de la ecuación on anterior, para la cual x = 0 cuando y = 0 está dada por: (c) Haciendo θ = 2t , demuestre que la solución x =

k 2 (θ − sen θ) 2

,

y =

k 2 (1 − sen θ) 2

(37)

Las expresiones en (37), son las soluciones paramétricas etricas de la ecuación on (36) que pasa por (0, 0). La Lass gr´ graficas a´ficas de las cicloides. ecuaciones (37), se denominan cicloides.


Ap´ endice 2 2014


Ecuaciones de Clairaut y Lagrange

Antes de intentar resolver alguna ecuación de Clairaut o de Lagrange, se hace necesario estudiar algunos puntos importantes, para los efectos, de lograr tener clara la naturaleza de la respuesta esperada y poder dar una solución coherente y razonada. Para ello, comenzaremos estudiando a la envolvente de una familia de curvas. Además, las soluciones de este tipo de ecuaciones son las denominadas soluciones param´ etricas, por consiguiente resulta conveniente manejar una teor´ıa básica de parametrizaciones de matemáticas III, de forma tal que la interpretación de dichas soluciones o la construcción de dichas soluciones no resulte cuesta arriba.

0.3

Envolvente de una familia de curvas

Consideremos una ecuación de la forma Φ(x,y,C) = 0

(38)

donde x e y son variables y C es un parámetro arbitrario. Para cada valor del parámetro C, la ecuación (38), determina una curva en el plano xy y dando a C todos los valores posibles, obtenemos una familia de curvas monoparamétrica. etrica, si en cada uno de sus Definici´ on 0.3.1. Una curva L, se llama envolvente de una familia de curvas monoparam´ puntos toca una u otra curva de la familia.

Ejemplo 0.3.1. Si consideramos a la familia de curvas dada por las circunferencias (x − C )2 + y 2 = r2 , con C graficamente resulta sencillo determinar que las envolventes a esta familia están dadas por y = r.

±

∈

R,

Ahora bien, nos pudimos dar cuenta en el ejemplo anterior (ver Fig.2), que la envolvente a una familia de curvas no necesariamente es única. Entonces, necesitamos generar un proceso que nos permita encontrar la o las envolventes a una familia dada.

58

0.4

Busqueda de la ecuaci´ on de la envolvente de una familia dada

Consideremos a la familia de curvas dada en (8) y supongamos que esta familia tiene una envolvente cuya ecuación puede escribirse de la forma y = ϕ (x), donde ϕ C1 (I), donde I es un intervalo abierto. Supongamos además que un punto M (x, y) est´ a sobre la envolvente, entonces, este punto tambi´ en pertenece a cierta curva de (38), para algún valor de C , por tanto, el par´ ametro C depende de la posición del punto, en consecuencia podemos escribir C = C (x, y). Luego, para todos los puntos de la envolvente se verifica que (39) Φ(x,y,C(x, y)) = 0

∈

Partiendo de la ecuación (39) de la envolvente, encontremos el coeficiente angular de la tangente a la envolvente en el punto M (x, y), derivando (39) con respecto a x y considerando a y como función de x . Veamos

�

�

∂Φ ∂Φ ∂C ∂Φ ∂Φ ∂C dy + + + = 0 ∂x ∂C ∂x ∂y ∂C ∂y dx

o equivalentemente, tomando factor común a Φ C

�

�

∂C ∂C ′ Φx + y ′ Φy + ΦC y = 0 + ∂x

∂y

(40)

Luego, el coeficiente angular de la tangente a la curva de la familia (38), en el punto M (x, y) se deduce de Φx + y ′ Φy = 0

(41)

ya que C es constante en (38). Podemos suponer que Φ y = 0 , ya que, si Φ y = 0 , considerar´ıamos a x como función de y ( x = ϕ ( y)). Ahora bien, puesto que el coeficiente angular de la envolvente es igual al de la curva de la familia de las ecuaciones (40) y (41), se deduce que

̸

ΦC

�

�

∂C ∂C ′ y = 0 + ∂x ∂y

Pero como C (x, y) = ctte en la envolvente, entonces

̸

∂C ∂C ′ y = 0 + ∂x ∂y

̸

Entonces, para sus puntos es válida la ecuaci´ on ΦC (x,y,C) = 0

(42)

As´ı, para determinar la envolvente se debe resolver el siguiente sistema en C

�

Φ(x,y,C) = 0 ΦC (x,y,C) = 0

Si eliminando C del sistema (43), obtenemos y = ϕ (x), donde ϕ la ecuaci´ on de la envolvente.

(43)

∈ C1, siendo C = ctte en esta curva, entonces, y = ϕ (x) es

Ejemplo 0.4.1. Consideremos nuevamente el ejemplo 0.3.1, entonces, debemos resolver el sistema

�

(x − C)2 + y2 = r 2 −2(x − C) = 0

donde la segunda ecuación es la derivada con respecto a C de la primera. Luego, de la segunda obtenemos que x = C y sustituyendo este valor en la primera nos queda que y = r, las cuales se verificaron gráficamente en el ejemplo 0.3.1.

±

59 Observaci´ on 0.4.1. Si y = ϕ (x), es el lugar geom´ etrico de los puntos singulares de la familia (38), es decir, de los puntos donde Φ x = 0 y Φ y = 0 , entonces, las coordenadas de estos puntos tambi´ en satisfacen el sistema (43). En efecto, las coordenadas de los puntos singulares se pueden expresar en función del parámetro C de la ecuación (38), a saber x = λ (C) y y = µ (C) luego, (38) nos queda Φ(λ(C), µ (C), C) = 0

Derivando esta expresión, con respecto a C , obtenemos Φx

dλ dλ + Φy + ΦC = 0 dC dC

y como estos puntos son singulares, tenemos que Φ x = 0 = Φ y , por tanto también se cumple (42). Por consiguiente, el sistema (43), define a la envolvente, o bien a el lugar geométrico de los puntos singulares de (38), o bien a la combinación de ambas. Entonces, resulta necesario determinar si los puntos que satisfacen (43) son de la envolvente o son singulares. Ejemplo 0.4.2. Hallar la envolvente de la familia de rectas x cos α + y sen α − p = 0

donde α es un parámetro y p > 0 y fijo. Soluci´ on: Derivando con respecto a α , obtenemos que Dα [x cos α + y sen α − p = 0 ] =

⇒

−x sen α + y cos α = 0 =

⇒

de donde el sistema que debemos resolver está dado por

 

x sen α = y cos α

(44)

x cos α + y sen α = p x sen α = y cos α = y = x

⇒

sen α cos α

sustituyendo la segunda en la primera, obtenemos que x = p cos α y sustituyendo esto en (44), nos queda que y = p sen α . Por tanto, x2 + y2 = ( p cos α )2 + ( p sen α )2 = p 2 De donde la envolvente está dada por x 2 + y2 = p 2 .

Ejemplo 0.4.3. Hallar la envolvente y el lugar geométrico de los puntos singulares de la familia ( y − C)2 −

Soluci´ on: Derivando con respecto a C , obtenemos

2 (x − C)2 = 0 3

60 2 DC [( y − C)2 − (x − C)2 = 0 ] = y − C − ( x − C)2 = 0 3 por tanto el sistema está dado por

�

( y − C)2 − 23 (x − C)2 = 0

⇒

de donde y − C − (x − C)2 = 0 = y − C = (x − C)2 2 nos queda que ( x − C)3 x − C − = 0 , lo cual nos genera dos 3 2 soluciones: y = x (puntos singulares) y y = x − (envolvente). 9

0.5

� ⇒ �

Soluciones singulares de la Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden

Supongamos que la ecuaci´ on diferencial

�

�

dy F x,y, = 0 dx

(45)

tiene como integral general (solución general) a la ecuación (38) y supongamos que esta familia de curvas tiene una envolvente. Por consiguiente, en cada punto común la envolvente y cada curva de la familia tienen el mismo valor en las magnitudes x,y,y ′ , pero las magnitudes x, y, y ′ , satisfacen (45), por tanto, la abscisa, la ordenada y el coeficiente angular de cada punto de la envolvente, son también solución de (45). Entonces, la envolvente es también una solución de (45), pero no es en general una curva de la familia (38), es decir, su ecuación no se puede deducir de (38), para algún valor de C , luego la envolvente es una solución singular de (45). Ejemplo 0.5.1. Hallar la o las soluci´ on(es) singular(es) de la ecuación y2 (1 + ( y ′ )2 ) = r 2 ,

r>0

Soluci´ on: Despejando y ′ , obtenemos dy = dx

donde y =

0.6

±

√

r2 − y2 = y

⇒ ± √

y

r2

− y2

dy = dx =

⇒

(x − C)2 + y2 = r 2

±r no se obtienen de la general, pero resulta muy sencillo verificar que son soluciones de la E.D.O.

Ecuaci´ on de Clairaut

La ecuación de Clairaut, es una ecuación de la forma dy y = x + ψ dx

� � dy dx

(46)

o equivalentemente y = xy ′ + ψ ( y ′ )

donde ψ es una función conocida de y ′ de clase C1 . Esta ecuaci´ on, se le atribuye al franc´ es Alexis Claude Clairaut 1713 - 1765. La manera de obtener la integral general de la ecuaci´ on (46), es introducir un parámetro auxiliar. Para ello, dy = p , entonces, (46) nos queda consideraremos dx y = xp + ψ( p) (47) Si derivamos la ecuaci´ on (47), con respecto a x, teniendo en cuenta que p = p + x

dp dp + ψ ′ ( p) dx dx

dy on de x , obtenemos = p es una funci´ dx

61 o equivalentemente

dp [ x + ψ ′ ( p)] = 0 dx

De donde se desprenden dos posibilidades dp = 0 dx x + ψ ′ ( p) = 0

De (48), obtenemos que p = C , C

(48)

(49)

∈ R, por lo cual (47) se reescribe como

y = xC + ψ(C)

(50)

que desde el punto de vista geom´ etrico representa una familia de rectas. De (49) encontramos que podemos escribir a p como funci´ on de x, es decir, p = p (x). Si lo introducimos en (47), nos queda

y = xp (x) + ψ[ p(x)]

(51)

la cual es fácil demostrar que satisface (46). Veamos, sabemos que dy dp = p + [ x + ψ ′ ( p)] = p dx dx

Ahora, introduciendo (51), en (46), obtenemos que en ambos lados de la ecuación (46) la expresión que queda es x + ψ( p). La soluci´ on (51), no se puede obtener a partir de la integral general (50), para algún valor de C, por tanto, (51) es una soluci´ on singular de (46) y se obtiene eliminando el parámetro p del sistema

� �

o equivalentenmente, eliminando C del sistema

y = xp + ψ( p) x + ψ ′ ( p) = 0 y = xC + ψ(C) x + ψ ′ (C) = 0

Luego la soluci´ on singular de Clairaut, determina una envolvente a la familia de rectas dada en (50). Ejemplo 0.6.1. Halle la integral general y singular de la ecuación y = xy ′ + ( y ′ )2 . Soluci´ on: La ecuación diferencial planteada, es de la forma (46), con ψ(t) = t 2 , luego introduciendo el parámetro auxiliar y ′ = C , C R, obtenemos que la integral general está dada por

∈

y = xC + C2

Derivando esta ecuación con respecto a C, nos queda DC y = xC + C2 =

�

�⇒

x + 2C = 0

Por consiguiente el sistema que debemos resolver está dado por

 

y = xC + C2 x + 2C = 0 =

⇒

x = −2C = y = −2C2 + C2 =

⇒

⇒

y = −C2

Elevando al cuadrado la primera de las resaltadas, obtenemos que x2 = 4C2 , de donde 2

x2 4

= C 2

y sustituyendo esta

expresi´ on en la segunda de las resaltadas, nos queda que y = − x4 , la cual es la solución singular, ya que es imposible obtenerla de la integral general.

62

Ejemplo 0.6.2. Hallar las integrales general y singular de ay ′

y = xy ′ +

√

1 + ( y ′ )2

Soluci´ on: La E.D.O. planteada evidentemente tiene la forma (46), entonces, tomemos y ′ = C la cual nos indica que la integral general es de la forma aC y = xC + (52) 1 + ( C)2

√

√ 1aCC

Derivando (52) con respecto a C y considerando ψ (C) =

�

DC y = xC +

+( )2

aC

√ 1

+ (C)2

�

√

=

⇒

Simplificando esta u ´ltima expresión se obtiene que

x = −

, obtenemos

0 = x +

2

a 1 + C2 − √ aC 1+C 1+

2

C2

a

√

(1 + C2 )3

Sustituyendo esta última expresión en (52), nos queda que y =

aC3

√

(1 + C2 )3

Ahora bien, elevando estas dos expresiones a la 2/3 y sumando los resultados, obtenemos que x2/3 + y2/3 =

a2/3 a2/3 C2 + = a 2/3 2 2 1+C 1+C

Luego la solución singular es justamente el astroide dado por x2/3 + y2/3 = a 2/3

63

0.7

Ecuaci´ on de Lagrange

Una ecuación de Lagrange, es una ecuación de la forma y = xϕ ( y ′ ) + ψ( y ′ )

(53)

donde ϕ y ψ, son funciones conocidas de y ′ de clase C 1 . Esta ecuación se le atribuye a Joseph - Louis Lagrange 1736 1813. Esta ecuación es lineal con respecto a x e y y además, es de hacer notar que la ecuación de Clairaut es una caso particular y ′ . An´ de la ecuación de Lagrange, considerando el caso ϕ( y ′ ) alogamente, esta ecuación se resuelve introduciendo un par´ ametro auxiliar p .

≡

Consideremos entonces y ′ = p , luego la ecuación (??) se escribe como

y = xϕ ( p) + ψ( p)

(54)

Derivando a la ecuación (54), con respecto a x , obtenemos p = ϕ ( p) + xϕ ′ ( p)

dp dp dp + ψ ′ ( p) = ϕ ( p) + [xϕ ′ ( p) + ψ ′ ( p)] dx dx dx

o equivalentemente p − ϕ( p) =

dp [xϕ ′ ( p) + ψ ′ ( p)] dx

(55)

0 Si p = p 0 , entonces, p 0 − ϕ( p0 ) = 0 , ya que dp on corresponde para cada valor de p = p 0 , es decir, dx = . Ahora, la soluci´ dy p on lineal de x . Para hallar esta función, es suficiente sustituir en la ecuaci´ on (54), el valor p = p 0 , dx = 0 , que es una funci´ la cual genera y = xϕ ( p0 ) + ψ( p0 )

Si esta solución no se deduce de la soluci´ on general, para cualquier valor de p 0 , esta ser´ıa la soluci´ on singular de la ecuación (53). Encontremos ahora la solución general. Para ello, escribamos la ecuación (55), considerando a x como función de p , de la siguiente manera dx ϕ ′ ( p) ψ ′ ( p) x = (56) − dp p − ϕ( p) p − ϕ( p) La ecuación (56), es entonces una ecuación diferencial lineal de x en p , cuya solución está dada por x = ω ( p, C)

(57)

64 Eliminando p , del sistema formado por las ecuaciones (54) y (57), dado por

�

y = xϕ ( p) + ψ( p) x = ω ( p, C)

obtenemos la integral general Φ (x,y,C) = 0 de la ecuación (53). Ejemplo 0.7.1. Halle la integral general y la singular de la ecuación diferencial y = x ( y ′ )2 + ( y ′ )2

Soluci´ on: Tomando y ′ = p , obtenemos que la E.D.O. se reescribe de la forma y = xp 2 + p2

Derivando esta u ´ ltima expresión con respecto a x , nos queda p = p 2 + 2xp

dp dp dp = p − p2 = 2p [x + 1 ] + 2p dx dx dx

⇒

(58)

Dado que p = p 2 , cuando p = 0, 1, esto nos da dos soluciones lineales y

y = 0

y = x + 1

las cuales determinaremos más adelante que tipo de soluciones son. Para hallar la solución general debemos resolver la ecuación diferencial lineal en la variable x, que se obtiene de (58). Veamos dx 2p 2p C2 x 1 − = = − + = dp p − p2 p − p2 ( p − 1)2

⇒

de donde se obtiene que

√

C x + 1 = p − 1

y

C2 p2 Cp y = (x + 1) p = = 2 p − 1 ( p − 1)

2

� � �

2

=

Cp C+ p − 1

2

�

de donde obtenemos que



y = C +

√ x + 1 2



la cual es la solución general. Ahora bien, y = 0 no se puede obtener de la solución anterior para ningún valor de C , luego on singular y y = x + 1, que se obtiene con C = 0 , es una solución particular. y = 0 es la soluci´


Ap´ endice 3 2014


Series de Potencias

0.8

Series de Potencias

Definici´ on 0.8.1. Sea x una variable real. Una serie de potencias en x es una serie de la forma:

∞

�

an xn = a 0 + a1 x + a2 x2 +

n=0

donde a k

∈ R para todo k ∈ Z

Teorema 0.8.1. Si

∑

+

·· · + an xn + ·· ·

.

an xn es una serie de potencias, entonces, se cumple una sola de las afirmaciones siguientes:

1. La serie converge solo para x = 0 2. La serie es absolutamente convergente para todo x 3. Existe un n´ umero positivo r , tal que la serie es absolutamente convergente para | x| < r y divergente para | x| > r Ejemplos 0.8.1. Determine el radio de convergencia de las siguientes series de potencias 1)

∞

�

n=1

n n x 5n

∞

�

2)

n=1

xn n!

3)

∞

�

n

x n!

4)

n=1

∞

xn n

� √

n=1

Soluci´ on: Para el primer ejemplo, consideraremos el Criterio de la Ra´ız n -´ esima dado para series alternadas, a saber: lim

n

→∞

�     n

n n x = lim n→∞ 5n

√

� n

√

n n n | x|   1 | x|  lim | x | = lim |x| =    n = n n→∞ 5 5 5 n→∞ 5 n

n

Ahora bien, como queremos hallar el radio de convergencia, hacemos que este resultado sea menor que 1 (como lo indica el criterio), entonces, |x| < 1 = |x| < 5 = −5 < x < 5 5 donde el radio de convergencia es 5 y el intervalo de convergencia es (−5, 5). Esta convergencia es absoluta, lo cual cumple con el numeral 3 del Teorema.

⇒

⇒

Para el segundo ejemplo, podemos observar que hay un factorial, por tanto, tomaremos el criterio del cociente enunciado para series alternadas. Veamos lim

n

→∞

 

xn+1 (n+1)! xn n!

 

xn+1 = lim n→∞ xn



·



n! |x | = lim = 0 n →∞ n+1 (n + 1)!

R. En consecuencia, el radio de convergencia es infinito y el intervalo de convergencia es R. Lo cual para cualquier x cumple con el numeral del Teorema.

∈

Para el tercer ejemplo, usaremos el mismo criterio que en el anterior. Veamos xn+1 (n + 1)! lim = | x| lim (n + 1) n→∞ n→∞ xn n!





la u ńica forma de que este l´ımite converja es que de cero y esto ocurre sólo cuando x = 0 . Lo cual cumple con el numeral 1 del Teorema.

66 Veamos ahora el ejemplo número 4. Consideremos el criterio de la ra´ız n -ésima y por tanto,

�    √  n

lim

n

→∞

xn = lim n→∞ n

|x|

√ √ n

n

1

= | x| lim n

 

→∞

= | x|

√ √

n

n

1 1 = | x| lim →∞ n

    n  n 

√

Como queremos que esta serie converja, hacemos que | x| < 1, lo cual nos da un radio de convergencia igual a 1 y el intervalo de convergencia es (− 1, 1). ¿Qué sucederá en la frontera de este intervalo?¿Será que la serie puede converger all´ı? Para responder a estas interrogantes, consideremos a x = 1, dentro de la serie. Entonces, la serie nos queda:

∞

� √

n=1

la cual sabemos es divergentes por series p. Ahora consideremos x = −1 en la serie y obtenemos:

∞

(−1)n , la cual es n

� √

n=1

condicionalmente convergente. Por consiguiente podemos concluir que el intervalo de convergencia de la serie

∞

xn , es n

� √

n=1

justamente [−1, 1).

1 , n

Definici´ on 0.8.2. Sea x una variable real y x 0 un n´ umero real cualquiera. Una serie de potencias en x − x0 es una serie de la forma:

∞

�

an (x − x0 )n = a 0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +

n=0

donde a k

∈ R para todo k ∈ Z

Teorema 0.8.2. Si

∑

· · · + an(x − x0 )n + · ··

+

an (x − x0 )n es una serie de potencias, entonces se cumple una sola de las afirmaciones siguientes

1. La serie converge solo para x = x 0 2. La serie es absolutamente convergente para todo x 3. Existe un n´ umero positivo r, tal que la serie es absolutamente convergente para | x − x0 | < r y divergente para | x − x0 | > r Ejemplos 0.8.2. Determine el radio de convergencia de las siguientes series de potencias 1)

∞

�

1 (−1) (x − 3)n n+1 n

∞

�

2)

n=0

(−1)n

n=1

1 3 5 (2n − 1) ( x − 5)n 3 6 9 (3n)

· · · ·· · · ·· ·

Soluci´ on: Resolveremos solamente el ejemplo 1, el ejemplo 2 queda como ejercicio. Para este ejercicio, consideraremos nuevamente el Criterio de la Ra´ız n -ésima, veamos: lim

n

→∞

�  



(−1)n (x − 3)n = | x − 3| n+1

n

1

= | x − 3|

 1   n   n   

lim →∞

√ n + 1

Entonces, como queremos que converja, tomamos | x − 3| < 1, de donde −1 < x − 3 < 1 =

Ahora bien, si x = 2 , obtenemos la serie

∞

�

n=1

queda

∞

�

n=1

0.8.1

n

⇒

2 < x < 4 =

⇒

x

∈ (2, 4)

1 , que es divergente por ser la cola de la armónica. Si tomamos x = 4 , nos n+1

(−1) , la cual es condicionalmente convergente. Por consiguiente el intervalo de convergencia es: (2, 4 ] n+1

Representaci´ on de funciones en series de potencias

∑

an xn para definir la funci´ Se puede usar una serie de potencias on f cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la x f x serie. Concretamente, para cada en este intervalo, se define ( ) como la suma de la serie; es decir, f(x) = a 0 + a1 x + a2 x2 +

Si una función f está definida de esta manera, se dice que

∑

· · · + an x n + · · ·

an xn es una representación en series de potencias de f (x).

67 Ejemplo 0.8.1. Encontrar una función f que este representada por la serie de potencias 1 − x + x2 − x3 +

∑

Teorema 0.8.3. Sea

· · · + (−1)n xn + · ··

an xn una serie de potencias con radio de convergencia r = 0 y sea f la función definida por

̸

2

f(x) = a 0 + a1 x + a2 x +

n

·· · + an x

+

·· · =

∞

�

an xn

n=0

para todo x en el intervalo de convergencia. Si − r < x < r, entonces i ) f ′ (x) =

∞

�

Dx (an x ) =

n=0

∫ x

ii )

0

∞

n

f(t) dt =

�

nan xn−1 = a 1 + 2a2 x + 3a3 x2 +

n=0

� ∫ x

∞

n

(an t ) dt =

n=0 0

∞

�

n=0

·· · + nanxn

−1

+

·· ·

an n+1 x n+1

= a 0 x + 12 a1 x2 + 13 a2 x3 +

· ·· + n1 1 an xn +

+1

+

· ··

Ejemplo 0.8.2. Encontrar una representación en series de potencias para

�

1 (1 + x)2

�

1 1 Soluci´ on: Sabemos que. . Entonces, = D x − 2 1+x (1 + x)

�

Dx −

1 1+x

�

= =

− Dx −

∞

�

�

1 1 − (−x)

�

=

Dx ((−1)n xn )

n=0

1 = luego, (1 + x)2

∞

�

=

−Dx −

∞

��

�

∞

(−x)n = −Dx

n=0

(−1)n nxn−1 =

n=1

∞

�

�� ∞

(−1)n xn

n=0

�

(−1)n−1 nxn−1

n=1

(−1)n−1 nxn−1 .

n=1

Ejercicio 0.8.1. Encontrar una representación en series de potencias para ln (1 + x) Ayuda: Derive al logaritmo, halle la serie de potencias para esa expresión y luego integre. Ejercicio 0.8.2. Use los resultados del ejemplo anterior para hallar ln (1.1) con cinco cifras decimales de precisión. Ejercicio 0.8.3. Encontrar una representación en series de potencias para arctan x Ejercicio 0.8.4. Demostrar que e x tiene la representación en series de potencias ex = 1 + x +

∫

0.1

Ejercicio 0.8.5. Calcular aproximadamente

x2 x 3 + + 2! 3!

n

·· · + xn! + · · ·

2

e−x dx.

0

0.8.2

Series de Taylor y Maclaurin

Sea f una función representada por una serie de potencia en x − x0 de manera que f(x)

=

∞

�

an (x − x0 )n

n=0

=

a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 +

···

Práctica Mate IV (Prof. Andrés Pérez)

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