Libro de Ingenieria Economicarevesion 2 2

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LECCIONES DE INGENIERÍA ECONÓMICA

HERNANDO OCHOA GONZÁLEZ

PRIMERA EDICIÓN

Elaborado por:
Dickson Acosta
Orlando Del Río
Edgar Díaz
Cristian Gómez
Diego Maza

2012
Editado por:

Samir Hincapié
Oscar Salcedo
DamianRios
JuliánMartínez
Benjamin Torres
Jose Vega
DuvierZuñiga
Cristian Posso
Darwin Escobar
SaadBittar
Dewyn Figueroa
LeymanMejia
Diego Rodriguez
Felipe Serna
Harold Solorzano
Isamarblanquicett
Humberto Noya
Luis Babilonia

Contenido
CAPÍTULO 1 8
INTERÉS SIMPLE 8
INTRODUCCIÓN 8
VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO 8
INTERÉS 8
TASA DE INTERÉS 9
RESUMEN DE FÓRMULAS DE INTERÉS SIMPLE 10
INTERÉS SIMPLE 11
CLASES DE INTERÉS SIMPLE 13
DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA 14
INTERÉS ANTICIPADO 18
DESCUENTO 18
VALOR LÍQUIDO 19
TASA REALMENTE COBRADA EN UNA OPERACIÓN DE DESCUENTO 22
DESCUENTOS EN CADENA 23
EJERCICIOS RESUELTOS 25
BIBLIOGRAFÍA 38
CAPÍTULO 2 39
INTERÉS COMPUESTO 39
INTRODUCCIÓN 39
RESUMEN DE FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO 43
TASA EFECTIVA 43
TASA NOMINAL 44
EQUIVALENCIA ENTRE TASAS 46
RELACIÓN ENTRE UNA TASA ANTICIPADA Y UNA TASA VENCIDA 48
RESUMEN DE FÓRMULAS DE TASAS DE INTERÉS 50
GRÁFICA DE EQUIVALENCIA DE TASAS 50
ECUACIONES DE VALOR 53
BIBLIOGRAFÍA 77
CAPÍTULO 3 78
ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS, DIFERIDAS, PERPETUAS Y GENERALES 78
DEDUCCIÓN DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA SERIE GEOMÉTRICA 79
DEDUCCIÓN DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDADES VENCIDAS 81
DEDUCCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES VENCIDAS 83
ANUALIDAD ANTICIPADA 88
DEDUCCIÓN DEL VALOR FUTURO DE UNA SERIE DE ANUALIDADES ANTICIPADAS 89
AMORTIZACIÓN 94
CAPITALIZACIÓN 96
ANUALIDADES DIFERIDAS 97
ANUALIDADES PERPETUAS 100
ANUALIDADES GENERALES 101
BIBLIOGRAFÍA 164
CAPÍTULO 4 165
GRADIENTES 165
INTRODUCCIÓN 165
GRADIENTE ARITMÉTICO 165
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL VALOR PRESENTE DE UNA SERIE ARITMÉTICA CON g POSITIVO 166
GRADIENTE ARITMÉTICO CUANDO n 172
GRADIENTE GEOMÉTRICO 172
DEDUCCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO 173
DEDUCCIÓN DEL VALOR FUTURO DE UNA SERIE GEOMÉTRICA 174
GRADIENTE GEOMÉTRICO INFINITO 176
CAPÍTULO 5 211
VALOR PRESENTE NETO (VPN) 211
INTRODUCCIÓN 211
VALOR PRESENTE NETO 211
TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD 212
ANÁLISIS MATEMÁTICO DEL VALOR PRESENTE NETO 216
PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y QUE PRESTAN EL MISMO SERVICIO 220
ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON IGUAL VIDA ÚTIL 220
ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON DIFERENTE VIDA ÚTIL 222
EVALUACIÓN DESPUÉS DE IMPUESTOS 224
FLUJO DE CAJA LIBRE DEL INVERSIONISTA 225
BIBLIOGRAFÍA 256
CAPÍTULO 6 257
COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE) 257
INTRODUCCIÓN 257
CAUE DE UNA INVERSIÓN PERPETUA 259
CAPÍTULO 7 282
RELACIÓN BENEFICIO-COSTO 282
DISCREPANCIAS ENTRE LA RELACIÓN BENEFICIO-COSTO Y EL VALOR PRESENTE NETO 285
ANÁLISIS BENEFICIO-COSTO PARA ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES 286
CAPÍTULO 8 303
TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 303
INTRODUCCIÓN 303
TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TMAR) 305
INCONSISTENCIAS ENTRE EL VPN Y LA TIR 305
TASA DE RETORNO INCREMENTAL TIRI 314
PROYECTOS CON TIR MULTIPLE 318
ANEXOS 323
ANEXO 1 323
TABLA DE DÍAS 323
ANEXO 2 324
FORMULAS BÁSICAS: INTERES SIMPLE 324
ANEXO 3 325
FORMULAS BÁSICAS: INTERES COMPUESTO 325
ANEXO 4 326
FORMULAS BÁSICAS: ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS, DIFERIDAS, PERPETUAS Y GENERALES 326
ANEXO 5 327
FORMULAS BÁSICAS: GRADIENTES 327
ANEXO 6 328
FORMULAS BÁSICAS: VALOR PRESENTE NETO (VPN) 328

CAPÍTULO 1

INTERÉS SIMPLE

INTRODUCCIÓN

Definición: En términos simples, la ingeniería económica es un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican la toma de decisiones cuando nos enfrentemos a varias alternativas de inversión.
VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

Con el dinero las personas tienen la capacidad de comprar bienes y servicios; por ejemplo si con 1.000 unidades monetarias se pueden comprar 200 unidades de un bien X en el día de hoy, en un tiempo posterior con las mismas 1.000 unidades monetarias NO se pueden comprar las 200 unidades del mismo bien. Esto significa que "el valor del dinero ha cambiado con el tiempo"; esta pérdida de poder adquisitivo es un fenómeno económico conocido con el nombre de inflación. Ningún país del mundo está exento de inflación, en países desarrollados la inflación generalmente es baja y en países subdesarrollados es alta.

El concepto anterior está íntimamente ligado con el concepto de equivalencia, que consiste en que sumas de dinero diferentes en épocas distintas tienen el mismo poder adquisitivo, por ejemplo, si el costo de un artículo sube un 20% durante un año y hoy se paga $100.000 por él, dentro de un año este mismo artículo costará $120.000 ($100.000 x 1.2); entonces se puede decir que estas sumas son equivalentes.

INTERÉS

Todos los bienes tangibles o intangibles se pueden prestar en arriendo, la cantidad que se cobra por el uso del bien es la utilidad o beneficio que percibe el propietario de éste; cuando el bien prestado es "dinero" la cantidad recibida se llama interés. Entonces se puede definir interés como la compensación pagada o recibida por el uso u otorgamiento del dinero.

Ejemplo 1.1: Una persona tiene hoy $1.000 y los presta durante 3 meses, al finalizar el tercer mes recibe $1.600 en total; la diferencia $600 ($1.600-$1.000) se llama interés y en este texto se simboliza con I (I=600$).

TASA DE INTERÉS

Si en el Ejemplo 1.1 los $600 de interés se expresan como un porcentaje de la cantidad de dinero inicialmente prestada ($1.000); la operación matemática sería:

600 $1.000 $=0,60

dicho en otra forma se reciben $0,60 por cada peso ($) prestado al cabo de 3 meses ó $0,20 cada mes ( 0,60 $3); en ingeniería económica $0,20 cada mes se expresa como 20% mensual.

Definición (Tasa de interés): Es el porcentaje recibido o pagado por cada $1 de inversión o capital entregado por periodo de tiempo.

Si reemplazamos las cantidades por símbolos:

I=600 $ n=3 mes P=1.000 $ i=0,20mes

0,20mes=600 $1.000 $3 mes

i=IPn=In P

despejando se tiene que

I=P i nI=P i n(1.1)(1.1)
I=P i n
I=P i n
(1.1)
(1.1)

En la fórmula 1.1 hay 4 variables o símbolos que definiremos así:

Definición (Capital inicial-P): Es la cantidad de dinero que se invierte, también se le conoce con el nombre de valor actual o valor presente.

Definición (Tasa de interés-i): Es el porcentaje que se paga por el uso o el alquiler del dinero, en la fórmula 1.1; siempre se expresa en forma decimal.

Definición (Tiempo-n): Es la duración de la inversión, n se puede expresar en cualquier unidad de tiempo (días, quincenas, mes, trimestre, semestres, etc.).

En el ejemplo 1.1 los $1.600 recibidos al cabo de 3 meses se le llaman monto o valor futuro, en el texto se denota con el símbolo F.

Si desglosamos $1.600 y reemplazamos las cantidades por símbolos tenemos

1.600 $ =1.000 $ +600 $

F=P+IF=P+I(1.2)(1.2)
F=P+I
F=P+I
(1.2)
(1.2)

Si en la fórmula (1.2) reemplazamos I=Pin.

F=P+P i n=P (1+i n)

F=P (1+i n)F=P (1+i n)(1.3)(1.3)
F=P (1+i n)
F=P (1+i n)
(1.3)
(1.3)

de la fórmula (1.3) se puede despejar i, n y P.

P=F1+inP=F1+in(1.4)(1.4)
P=F1+in
P=F1+in
(1.4)
(1.4)

i=1n FP-1i=1n FP-1(1.5)(1.5)
i=1n FP-1
i=1n FP-1
(1.5)
(1.5)

n=1i FP-1n=1i FP-1(1.6)(1.6)
n=1i FP-1
n=1i FP-1
(1.6)
(1.6)

RESUMEN DE FÓRMULAS DE INTERÉS SIMPLE

I=P i n
i=1n FP-1
F=P (1+in)
n=1i FP-1
P=F1+in

INTERÉS SIMPLE

Definición: Es aquel donde el capital utilizado (P) para calcular el interés periodo a periodo permanece constante; es decir, no se tiene en cuenta el interés que se haya podido acumular en periodos anteriores.

Aclaremos esto con un ejemplo.

Ejemplo 1.2: Si se solicita un crédito de $1.000 durante 3 años a una tasa de interés simple del 6% anual, ¿cuánto dinero se acumulará al final de los 3 años?

Solución

Representemos con símbolos adecuados los datos conocidos y desconocidos del problema

P=1000 $ n=3 año i=6100=0,06año F=?

El interés ganado en los 3 años se calcula así:
I=P i n

Interés del 1er año:I1=1.000 $ 0,06año 1 año=60 $

Interés del 2do año: I2=1.000 $ 0,06año 1 año=60 $

Interés del 3er año: I3=1.000 $ 0,06año 1 año=60 $

Interés acumulado en los 3 años: 60 $+60 $+60 $=180$

Dinero acumulado en los 3 años: capital inicial + interés acumulado

F=1.000 $+180 $=1.180 $

Si utilizamos la fórmula (1.3)

F=P 1+i n=P+P i n

F=1.000 $+ 1.000 $ 0,06año 3 año=1.180 $

Nota: En este texto se utiliza análisis dimensional.

El dinero acumulado periodo a periodo se puede encontrar así

F=1.000 $+ 1.000 $ 0,06año naño

F=1.000 $+60 $ nF=1.000 $+60 $ n(1.7)(1.7)
F=1.000 $+60 $ n
F=1.000 $+60 $ n
(1.7)
(1.7)

La fórmula 1.7 nos indica que el dinero acumulado en función del número de periodos n;
(Los resultados se pueden tabular)

n (año)
F=1.000 $+60 $ nVa creciendo en forma constante i=60 $añoVa creciendo en forma constante i=60 $año
Va creciendo en forma constante i=60 $año

Va creciendo en forma constante i=60 $año

0
1.000 $+60 $ 0=1.000 $
1
1.000 $+60 $ 1=1.060 $
2
1.000 $+60 $ 2=1.120 $
3
1.000 $+60 $ 3=1.180 $
Tabla 1.1

La gráfica es una línea recta de la forma

y= fx=m x+b ,

Donde b=1.000 es el intercepto de línea con el eje Yym=60 $año es la pendiente.

f(x)f(x)n (año)n (año)
f(x)
f(x)
n (año)
n (año)

Figura 1.1

CLASES DE INTERÉS SIMPLE

Para calcular el interés simple se puede usar un año de 360 días, un año de 365 o 366 días si es bisiesto. Cuando el año es de 360 días se le llama interés ordinario y si el año es real (365 o 366 días) se llama exacto.

Teniendo en cuenta el número de días del año podemos encontrar 5 subdivisiones:

Interés bancario: Es el interés ordinario con los días reales que transcurren durante el tiempo de la inversión o préstamoR360.

Interés comercial o interés base 360: Es aquel donde todos los meses del año se consideran de 30 días 30360.

Interés exacto o racional: Es cuando se considera al año con días exactos (365 o 366) y los días reales del préstamo o inversión. RR.

Interés base 365: Es cuando el año considerado es de 365 días y los días son reales R365; no hay año bisiesto para este tipo de interés.

Interés con tiempo aproximado: Se considera el año real y todos los meses del año son de 30 días30R.

Esquematizando las 5 subdivisiones tenemos:

OrdinarioAño=360 díasExacto(Año 365 o 366) díasBancario R360Comercial 30360R365RR30RI=P i nOrdinarioAño=360 díasExacto(Año 365 o 366) díasBancario R360Comercial 30360R365RR30RI=P i n

Ordinario
Año=360 días
Exacto
(Año 365 o 366) días
Bancario R360
Comercial 30360
R365
RR
30R
I=P i n

Ordinario
Año=360 días
Exacto
Bancario R360
Comercial 30360
R365
RR
30R
I=P i n

DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA

Todos los problemas de ingeniería económica se pueden representar gráficamente.

Un diagrama de flujo de caja es simplemente una representación gráfica de las entradas y salidas de dinero que ocurren durante el tiempo de la inversión o préstamo, está compuesto por una línea horizontal que es la escala del tiempo, ésta es dividida por unidades de tiempo o periodos.

Las entradas de dinero se simbolizan con flechas hacia arriba y las salidas con flechas hacia abajo.

SalidaSalidaFlujo de caja ($)Tiempo1234EntradaFlujo de caja ($)Tiempo1234Entrada
Salida
Salida
Flujo de caja ($)
Tiempo
1
2
3
4
Entrada
Flujo de caja ($)
Tiempo
1
2
3
4
Entrada
Figura 1.2

Las entradas (ingresos) y las salidas (egresos), ocurren al final o al inicio de cualquier periodo; nunca en el interior de un periodo. El diagrama debe representar el enunciado del problema y debe incluir lo que se conoce y lo que se desea encontrar, una vez que el diagrama se haya dibujado, un observador ajeno al problema deberá ser capaz de solucionarlo solamente mirando la gráfica. El tiempo 0 (cero) se considera el presente. Las unidades de tiempo en la escala horizontal las escoge quien va a resolver el problema.

Es importante que se comprenda perfectamente el significado y construcción de los diagramas de flujo de caja, ya que constituyen una herramienta poderosa en la solución de los problemas. Los siguientes ejemplos ilustran la construcción de diagramas de flujo de caja.

Ejemplo 1.3: Si se piden prestados $2.000 y se debe pagar el crédito más los intereses dentro de 5 años, ¿cuál es el monto total que ha de pagarse, si la tasa de interés es del 12% anual?

Identificar con los símbolos adecuados las cantidades conocidas y desconocidas; y además construir el diagrama de flujo de caja.

Solución

P=2.000$ n=5 año i=12% anual F=?

4Año123P=2.000$05F=?4Año123P=2.000$05F=?
4
Año
1
2
3
P=2.000$
0
5
F=?
4
Año
1
2
3
P=2.000$
0
5
F=?
Figura 1.3

Nota: El diagrama de flujo de caja de la figura 1.3 se diseñó bajo la óptica de quien recibe el dinero (el deudor); si se construye desde la óptica del prestamista, el sentido de las flechas es contrario (en cero hacia abajo y en el tiempo 5 hacia arriba).

Ejemplo 1.4: Si se comienza ahora y se hacen cinco depósitos de $1.000 mensuales en una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% mensual, ¿cuánto se habrá acumulado inmediatamente después de que se haya efectuado el último depósito? Construya el diagrama de flujo de caja.

Solución

A=1.000$mes i=12% mensual n=4 mes F=?

0321i=2% mensualA4F=?mes0321i=2% mensualA4F=?mes
0
3
2
1
i=2% mensual
A
4
F=?
mes
0
3
2
1
i=2% mensual
A
4
F=?
mes
Figura 1.4

Ejemplo 1.5: Suponga que se desea depositar una suma P en una cuenta de ahorros dentro dos años, de manera que le sea posible retirar $400 anuales durante 5 años consecutivos empezando a retirar dentro de 5 años. La tasa de interés que paga la cuenta de ahorros es del 6% anual. Construya el diagrama de flujo de caja.

Solución

P0876543219i=6% anualP0876543219i=6% anual
P

0
8
7
6
5
4
3
2
1
9
i=6% anual
P

0
8
7
6
5
4
3
2
1
9
i=6% anual
Figura 1.5

Ejemplo 1.6: Calcular el interés simple comercial de $300.000 desde el 18 de marzo al 18 de junio del mismo año al 3,4% mensual.

Solución

I=? P=300.000$ i=3,4% mes n=?

Para calcular I se requiere conocer P, i y n; como el interés comercial los meses son de 30 días y el año de 360 días debemos calcular cuántos meses hay desde el 18 de marzo al 18 de junio.

18 de marzo18 de abril18 de mayo18 de juniomes3 meses18 de marzo18 de abril18 de mayo18 de juniomes3 meses
18 de marzo
18 de abril
18 de mayo
18 de junio
mes
3 meses
18 de marzo
18 de abril
18 de mayo
18 de junio
mes
3 meses
Figura 1.6

n=3 mes

Reemplazando en la fórmula

I=P i n=300.000 $ 0,034mes 3 mes=30.600 $

Ejemplo 1.7: Una persona invierte $250.000 al 40% desde el 15 de septiembre de 1998 hasta el 18 de noviembre de 1998. Calcular:

El monto racional
El monto bancario
Solución

El monto es la cantidad futura F y F=P+I=P+P i n

Para encontrar el monto racional o exactoRR debemos calcular cuántos días hay entre el 15 de septiembre y el 18 de noviembre de 1998 con la ayuda de tabla de días (Ver Anexo, pág. 391, Ingeniería Económica Octava Edición, Guillermo Baca Currea)

Días entre el 1/1/1998 y el 18/11/1998 322 días
Días entre el 1/1/1998 y el 15/9/1998 -258 días
64 días

P=250.000$ i=0.40 n=64 día F=?

F=P 1+i n=250.000 $ 1+0,40365 día 64 día=267.534,25 $

064 díai=0,40365 díaP=250.000$F=?064 díai=0,40365 díaP=250.000$F=?
0
64 día
i=0,40365 día
P=250.000$
F=?
0
64 día
i=0,40365 día
P=250.000$
F=?
Figura 1.7

Para encontrar el monto bancario R360 los días calendario que hay entre el 15 de septiembre y el 18 de noviembre de 1998

P=250.000$ i=0.40 n=64 día F=?

F=P 1+i n=250.000 $ 1+0,40360 día 64 día=267.777,78 $

064 díai=0,40360 díaP=250.000$F=?064 díai=0,40360 díaP=250.000$F=?
0
64 día
i=0,40360 día
P=250.000$
F=?
0
64 día
i=0,40360 día
P=250.000$
F=?
Figura 1.8
INTERÉS ANTICIPADO

Es aquel que se cobra antes de haberse causado, es decir, al principio del periodo o periodos de interés.

DESCUENTO

Algunos títulos valores se compran o se transan en las bolsas de valores, o por entidades que se dedican a la compra y venta de estos títulos; la compra se hace descontando una cantidad que se llama descuento, éste se calcula sobre el valor final (F) del documento. La fórmula para el cálculo del descuento es

D=F d tD=F d t(1.8)(1.8)
D=F d t
D=F d t
(1.8)
(1.8)

F: valor final o futuro del documento

d: tasa de descuento

t: tiempo que hay entre el momento de la transacción y la fecha de maduración o vencimiento del documento.
VALOR LÍQUIDO

Se llama valor líquido o valor de transacción a la cantidad neta que recibe el vendedor del título valor.
VT=F-D=F-F d t=F 1-d t

VT=F 1-d tVT=F 1-d t(1.9)(1.9)
VT=F 1-d t
VT=F 1-d t
(1.9)
(1.9)

VT: valor de la transacción

F($)F($)d%d%
F($)
F($)
d%
d%
00tt
0
0
t
t
nn
n
n

VTVT
VT
VT
PP
P
P

Figura 1.9

Ejemplo 1.8: Una letra por $550.000 madura el 23 de agosto de 1998 y va a ser descontada el 17 de julio del mismo año al 38%. Determinar el valor de la transacción.

Solución

F=550.000$

Con la tabla de días se busca cuántos días hay entre el 17 de julio y el 23 de agosto de 1998.

Días entre el 1/1/1988 y el 23/8/1998 235 días
Días entre el 1/1/1998 y el 17/7/1998 -198 días
37 días

t=37 días

17/7/199823/8/1998d =38% anualF=550.000$VT=?17/7/199823/8/1998d =38% anualF=550.000$VT=?
17/7/1998
23/8/1998
d =38% anual
F=550.000$
VT=?
17/7/1998
23/8/1998
d =38% anual
F=550.000$
VT=?
Figura 1.10

VT=550.000 $ 1-0,38360 día 37 día=528.519,44 $

Ejemplo 1.9: El 15 de diciembre de 1999 una empresa recibe un pagaré por $2.000.000 a un plazo de 90 días al 25% nominal anual vencido de interés comercial simple. El 14 de enero lo negocia con un banco que lo adquiere a una tasa de descuento del 29% nominal anual anticipado a interés bancario. ¿Cuánto recibirá la empresa por el pagaré y cuánto ganará el banco en la operación de descuento?

Solución

El valor inicial del pagaré es de P=2.000.000$

n=90 días (Días que hay entre el 15/12/1999 y el 15/3/2000)

i=0.25 anual simple comercial 30360

d=0.29 anual simple bancario R360
VT=?

El pagaré tiene un plazo de maduración de 90 días, luego la maduración es el 15 de marzo de 2000, pero la empresa lo negocia con el banco el 14 de enero del 2000, el diagrama de flujo de la empresa es el siguiente.

F=?F=?15/12/199915/3/200090 díaP=2.000.000$14/1/2000i=25% anual15/12/199915/3/200090 díaP=2.000.000$14/1/2000i=25% anual
F=?
F=?
15/12/1999
15/3/2000
90 día
P=2.000.000$
14/1/2000
i=25% anual
15/12/1999
15/3/2000
90 día
P=2.000.000$
14/1/2000
i=25% anual
Figura 1.11

Al cabo de 90 días la empresa recibiría:

F=P 1+i n=2.000.000 $ 1+0,25360 día 90 día=2.125.000 $

La empresa lo negocia con el banco el 14 de enero de 2000, luego los F=2.125.000$ los recibe el banco ya que es el dueño del pagaré; el diagrama de flujo de caja para el banco es el siguiente:
14/1/200015/3/200061 díaVT=$d=29% anualF=2.125.000$14/1/200015/3/200061 díaVT=$d=29% anualF=2.125.000$
14/1/2000
15/3/2000
61 día
VT=$
d=29% anual
F=2.125.000$
14/1/2000
15/3/2000
61 día
VT=$
d=29% anual
F=2.125.000$
Figura 1.12

Se debe encontrar cuántos días hay entre el 14 de enero y el 15 de marzo de 2000, hay 61 días.

t=61 día d=29% anual simple bancario

La empresa recibe:
VT=F 1-d t=2.125.000 $ 1-0,29360 día 61 día=2.020.579,86 $

El banco le entrega a la empresa $2.020.579,86 el 14 de enero de 2000 y dentro de 61 días recibirá $2.125.000, luego su utilidad será de:

Utilidad = 2.125.000$ - 2.020.579,86$ = 104.420,14$
TASA REALMENTE COBRADA EN UNA OPERACIÓN DE DESCUENTO

La tasa de descuento se aplica al valor futuro del documento, al encontrar el valor de la transacción (VT); en el interés simple la tasa se aplica al valor inicial P, para encontrar la tasa realmente cobrada se procede así:

Encontrar el valor de la transacción a la tasa de descuento pactada.

Considere el valor de la transacción como valor presente y el valor de t como n y luego utilice la fórmula
i=1n FP-1

Ejemplo 1.10: Hallar la verdadera tasa bancaria que cobra un banco cuando descuenta un documento con un valor de maduración de $400.000 si es descontado 25 días antes del vencimiento al 41% nominal anual anticipado.

Solución

i=? F=400.000$ t=25 día d=41% anual simple bancario

1er paso:

VT=F 1-d t=400.000 $ 1-0,41360 día 25 día=388611,11 $

2dopaso:

n = 25 día

025día díasdíasi=?F=400.000$P=388.611,11$025día díasdíasi=?F=400.000$P=388.611,11$
0
25día díasdías
i=?
F=400.000$
P=388.611,11$
0
25día díasdías
i=?
F=400.000$
P=388.611,11$
Figura 1.13

i=1n FP-1=125 día 400.000 $388.861,11 $-1=0,00117226día

0,00117226día 360 díaaño 100%=42,20%anual vencida

DESCUENTOS EN CADENA

Es usual que sobre una misma factura ocurran varios descuentos, esto generalmente sucede cuando una fábrica o almacén vende mercancía. Con el fin de incentivar las ventas ofrece diferentes descuentos, entre ellos se destacan:

Descuento por volumen: Consiste en otorgar un descuento que aumentará si la cantidad pedida aumenta; a mayor cantidad más descuento.

Descuento por pronto pago: Tiene por objeto estimular al cliente a pagar la mercancía otorgada en crédito lo más pronto posible, entre menos tarde en cancelar la deuda, el porcentaje es mayor.

Descuento por embalaje: Hay fábricas que venden sus productos con o sin el logotipo de la firma, o los venden a granel. Con el empaque de la empresa es más costoso que sin él.

Descuento por temporada: Se utiliza este tipo de descuento cuando la fábrica en épocas de demanda baja ofrece atractivos descuentos, algunos clientes compran y mantienen altos inventarios para salir de ellos cuando la demanda aumenta.

Descuento por antigüedad o fidelidad a la marca: Estos descuentos se ofrecen a los clientes más leales.

La mecánica de calcular los descuentos en cadena es como sigue: si una empresa hace tres (3) descuentos en cadena, el valor neto de la factura se calcula así:

A: valor bruto de factura

d1, d2, d3: los tres descuentos en forma decimal

Valor neto de la factura con el primer descuento:

A-A d1=A 1-d1

Valor neto de la factura con el segundo descuento

A 1-d1-A 1-d1 d2=A 1-d1 1-d2

Valor neto de la factura con el tercer descuento:

A 1-d1 1-d2-A 1-d1 1-d2 d3=A 1-d1 1-d2 1-d3

Con n descuentos

Valor neto de la factura = A 1-d1 1-d2 1-dnA 1-d1 1-d2 1-dn (1.10) (1.10)
A 1-d1 1-d2 1-dn
A 1-d1 1-d2 1-dn
(1.10)
(1.10)

Descuento total = valor de la factura sin descuento – valor neto de la factura

D=A-A 1-d1 1-d2 1-dn

D=A1-1-d1 1-d2 1-dnD=A1-1-d1 1-d2 1-dn(1.11)(1.11)
D=A1-1-d1 1-d2 1-dn
D=A1-1-d1 1-d2 1-dn
(1.11)
(1.11)

La tasa promedio de descuento

d=DA=A1-1-d1 1-d2 1-dnA

d=1-1-d1 1-d2 1-dnd=1-1-d1 1-d2 1-dn(1.12)(1.12)
d=1-1-d1 1-d2 1-dn
d=1-1-d1 1-d2 1-dn
(1.12)
(1.12)

Ejemplo 1.11:Un almacén ofrece los siguientes descuentos, sobre una mercancía cuyo costo inicial es de $200.000: 30% por venta al por mayor, 10% por pronto pago al contado, 5 % por enviar la mercancía sin empaque. Si un cliente compra una unidad de dicha mercancía acogiéndose a todos los descuentos:

¿Cuál es el valor final de la factura?

¿Cuál es el descuento promedio que se otorgó?

Solución

d1=0,30 d2=0.10 d3=0.05 A=200.000$

Valor neto de la factura = 200.000 $1-0,30 1-0,10 1-0,05=119.700 $

d=1-1-0,30 1-0,10 1-0,05=0,4015

Multiplicando por 100 0,4015 100%=40,15%

Ejemplo 1.12: Una fábrica ofrece un descuento del 25% en ventas al por mayor, el 5% por pronto pago y el 4% por embalaje. ¿Cuál debe ser el descuento adicional que puede ofrecerse a los empleados de la misma fábrica para que el descuento total no sea superior al 35%?

Solución

d1=0,25 d2=0.05 d3=0.04 d4=?

d=1-1-d1 1-d2 1-d3 1-d4

1-d1 1-d2 1-d3 1-d4=1-d

1-d4=1-d1-d1 1-d2 1-d3

d4=1-1-d1-d1 1-d2 1-d3

d4=1-1-0,351-0,25 1-0,05 1-0,04=0,049707602 100%

d4=4,971%
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1.1: ¿Cuánto debe invertirse hoy 17 de octubre en un fondo que garantiza el 28% simple real para que el 20 de marzo del siguiente año pueda retirar la suma de $ 150.000?
Solución
17 de octubreP =?20 de MarzoF= 150.000 $i = 28 % anualn=154 día17 de octubreP =?20 de MarzoF= 150.000 $i = 28 % anualn=154 día
17 de octubre
P =?
20 de Marzo
F= 150.000 $
i = 28 % anual
n=154 día
17 de octubre
P =?
20 de Marzo
F= 150.000 $
i = 28 % anual
n=154 día
n = 154 día
F=P 1+i n
Despejando P tenemos que
P=F1+i n
P=150.000 $(1+0.28año 1 año365 día 154 día)
P = 134.151,72 $

Ejercicio 1.2: Hallar el valor presente de $500.000 en 3 años y medio al 3% mensual.
Solución

i= 3 12 año 12mes1 año= 42 mes
F=P (1+i n)
P=F(1+i n)
P=500.000 $(1+0.03mes 42 mes)=221.238,93 $
P=221.238,93 $
Ejercicio 1.3: Hace 6 años compré un lote en $900.000 y hoy se vendió en $6.000.000. Hallar la tasa de interés comercial que gané en este negocio.
Solución

i= 1n FP-1
i=16 año 6.000.000 $900.000 $-1
i = 0,9444 año
i = 94,44 % anual
Ejercicio 1.4: ¿Qué tan rentable es un documento que hoy se puede comprar en $75.000 el cual devolverá al cabo de 3 años la suma de $330.000?

Solución

i= 1n FP-1
i=13 año 330.000 $75.000 $-1
i = 113,33 % anual
Ejercicio 1.5: Se recibe un préstamo por $1.000.000 al 42% nominal anual período vencido el día 8 de agosto de 1999 con vencimiento el 8 de marzo de 2000. Hallar el valor final del préstamo calculando los siguientes intereses:
Interés exacto o racional.
Interés comercial o base 360.
Interés bancario.
Interés base 365.
Nota: Tenga en cuenta que el año 2000 es un año bisiesto.

Solución

Interés Exacto o racional
F=1.000.000 $ 1+0,42366 día 213 día= 1.244.426,23 $
Interés Comercial o Base 360
F=1.000.000 $ 1+0,42360 día 210 día= 1.245.000 $
Interés Bancario
F=1.000.000 $ 1+0,42360 día 213 día= 1.248.500 $
Interés Base 365
F=1.000.000 $ 1+0,42365 día 213 día= 1.245.095,89 $

Ejercicio 1.6: Un pagaré con valor presente de $300.000 emitido el 15 de septiembre de 1998 con plazo de 270 días a una tasa de interés del 30% nominal anual período vencido. Hallar el valor futuro y la fecha de vencimiento en:
Interés exacto o racional.
Interés comercial o base 360.
Interés bancario.
Interés base 365.

Solución

Interés Exacto o racional
F=300.000 $ 1+0,30366 día 270 día= 366.393,44 $
Interés Comercial o Base 360
F=300.000 $ 1+0,30360 día 270 día= 367.500 $
Interés Bancario
F=300.000 $ 1+0,30360 día 270 día= 367.500 $
Interés base 365

F=300.000 $ 1+0,30365 día 270 día= 366.575,34 $
Ejercicio 1.7: Halle el valor de maduración de un pagaré con vencimiento el 20 de abril si va a ser descontado el 13 de marzo del mismo año al 40% y su valor de transacción es de $ 78.400.

Solución

VT=78.400 $
d=40% anual=0.40 año
F=?
Calculamos el número de días
1-Enero 20-Abril=110 día
1-Enero 13-Marzo=72 día
110 día-72 día=38 día
Calculamos el valor de maduración
VT=F(1-d n)
F=VT(1-d n)
F=78.000 $(1-0.40año 1 año360 día 38 día)
F=81.856,15 $
Ejercicio 1.8: Una empresa solicita un préstamo a un banco por la suma de $800.000, a un plazo de 90 días y le cobran una tasa anticipada del 38%.
¿Cuál es el valor líquido que le entregan?
Suponga que el banco cobra $15.000 por el estudio del crédito, ¿Cuál será el valor liquido?

Solución

n=90 día
F=800.000 $
d=38 % anual=0,38 año
VT=?
a)
VT=F(1-d n)
VT=800.000 $ (1-0,38año 1 año360 día 90 día)
VT=724.000 $
b) Simplemente se le debe restar el valor del estudio del crédito al valor líquido.
724.000 $-15.000 $=709.000 $

Ejercicio 1.9: ¿Cuál es el valor del documento que queda en poder de un banco, si el prestatario recibe un valor liquido de $ 50.000 por un documento con maduración en 90 días, si le cobran una tasa de descuento del 41%?
Sin tener en cuenta costos de apertura del crédito.

Teniendo en cuenta que el banco cobra $ 2.000 por estudio del documento.
Solución

n=90 día
d= 41% anual= 0.41 año
F=?
a)
VT=F1-d n
F=VT(1-dn)
F=50.000 $(1-0.41año 1 año360 día 90 día)
F=55.710,31 $
b) Como el banco cobra 2.000 $ por el estudio del documento, este se le suma a la deuda.
F=VT(1-dn)
F=52.000 $(1-0.41año 1 año360 día 90 día)
F=57.938,72 $
Ejercicio 1.10: Un documento de valor inicial $70.000 es fechado el 25 de septiembre de 1998 a un plazo de 325 días y un interés del 32%. Si es descontado por un banco el 18 de marzo de 1999 al 40%, determinar:
La fecha de vencimiento
El valor al vencimiento
El valor de transacción, usar interés bancario.
Solución

n=325 día
p=70.000 $
i=32% anual=0.32 año
d=40% anual=0.40 año
VT=?
F=?
fechadevencimiento=?
a)
01-ene-1998 31-dic-1998=365 día
01-ene-1998 25-sep-1998=268 día
01-ene-1999 16-ago-1999=228 día
Fecha de vencimiento=16-ago-1999Fecha de vencimiento=16-ago-1999
Fecha de vencimiento=16-ago-1999
Fecha de vencimiento=16-ago-1999
b)
F=P(1+in)
F=70.000 $ (1+0.32año 1 año360 día 325 día)
F=90.222,22 $
c) Buscamos el número de días para hallar el valor de la transacción

1-ene-1999 16-ago-1999=228 día
1-ene-1999 18-ene-1999=77 día
VT=F1-dn
VT=90.222,22 $ (1-0.4año 1 año360 día 151 día)
VT=75.084,94 $
Ejercicio 1.11: Hallar la verdadera tasa bancaria que cobra un banco cuando descuenta un documento con valor de maduración de $400.000 si es descontado 25 días antes del vencimiento al 41% nominal anual anticipado.
Solución

n=25 día
i= ?
d=42% anual=0,42 año
VT=?
F=400.000 $

Vt=F d t
Vt=400.000 $ 0,421 año 25 día 1 año360 día
Vt=388.611,11 $
i= 125 día 400.000 $388.611,11 $-1
i=0,001172266022

Por día para saber la anual la multiplicamos por el periodo de tiempo que es 360 días para convertirla anual

i=0,001172266022día 360 díaaño
i=0,422015767año
i=42,2015767 % ASV
Ejercicio 1.12: Se compra un artículo por $870.000 el día 25 de noviembre y se acuerda que será cancelado mediante el sistema de pagos parciales, con un plazo máximo de 3 meses. Si el día de la compra se da una cuota inicial del 30%, el 12 de diciembre se hace un abono parcial $200.000 y el 20 de enero del siguiente año se hace otro abono parcial de $150.000. ¿Cuál debe ser el valor del pago final que hecho al vencimiento cancelara la deuda? suponga que se carga un interés bancario del 34%.
Solución

P=870.000$ i=0,34año

Nov 25:
Se entrega un artículo por 870.000$
Se recibe el 30% de cuota inicial, esto es 261.000$
Saldo = 870.000$ - 261.000$ = 609.000$
Saldo al 25 nov: 609.000$
Dic 12:
Calculamos el número de días desde el 25 de noviembre al 12 de diciembre del mismo año
1-ene 25-nov=329 día
1-ene 12-dic=346 día
n=17 día
I1=609.000$ 0,34año 1 año360 día 17 día
I1=9.777,83$
Se recibe un abono por 200.000$
Saldo = 609.000$ + 9.777,83$ - 200.000$ = 418.777,83$
Saldo al 12 dic: 418.777,83$
Ene 20:
Calculamos el número de días desde el 12 de diciembre al 20 de enero del siguiente año
12-dic 31-dic=19 día
1-ene 20-ene= 20 día
19 día+20 día=39 día
n=39 día
I2=418.777,83$ 0,34año 1 año360 día 39 día
I2=15.424,98$
Se recibe un abono por 150.000$
Saldo = 418.777,83$ + 15.424,98$ - 150.000$ = 284.202,81$
Saldo al 12 dic: 284.202,81$
Feb 25:
Calculamos el número de días desde el 20 de enero al 25 de febrero del siguiente año
1-ene 20-ene=20 día
1-ene 25-feb= 56 día
n=36 día
I3=284.202,81$ 0,34año 1año360 día 36 día
I3=9.662,90$
Saldo = 284.202,81$ + 9.662,90$ = 293.865,71$
Saldo al 12 dic: 293.865,71$
El valor del pago final que hecho al vencimiento cancelará la deuda es de $293.865,71.

BIBLIOGRAFÍA

En cada uno de estos libros encontrará problemas de aplicación:

BACA CURREA, Guillermo. Ingeniería Económica, 8va edición, 2005.

BLANK, Leland; TARQUIN Anthony. Ingeniería Económica, 2da edición.

Se utilizará como herramientas la calculadora financiera HP-19BII y software de hoja de cálculo MICROSOFT EXCEL.

CAPÍTULO 2

INTERÉS COMPUESTO

INTRODUCCIÓN

La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto; la razón fundamental es la capitalización de los intereses causados y no pagados periodo a periodo.

Definición (Interés compuesto): En el interés compuesto los intereses causados en un periodo y no pagados al final del periodo se suman al capital acumulado hasta ese periodo, es decir, se capitalizan y devengan interés en el periodo siguiente.

Veamos cómo se acumula o cómo se encuentra el capital F, de un capital inicial P a un interés i durante n periodos, que no entrega los intereses que se causan en cada periodo.

Periodo
Capital al inicio de periodo
Interés de periodo
Capital al final del periodo
1
P
Pi

2

3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
N

Tabla 2.1

El valor futuro se obtiene con la fórmula

F: valor futuro o monto

P: capital inicial o presente

i: tasa de interés periódica efectiva vencida

n: número de periodos.

En el interés simple la evolución del capital inicial P, durante n periodos a un interés i periódico es como sigue:

Periodo
Capital al inicio de periodo
Interés de periodo
Capital al final del periodo
1
P
Pi
P
2
P
Pi
P
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
P
Pi
P

Pin

Tabla 2.2

En la tabla 2.2 se observa que los intereses devengados en cada periodo no se capitalizan, y el capital al inicio de cada periodo es el mismo, es decir, permanece constante durante losn periodos; al final el capital acumulado F será:

La fórmula obtenida es la misma del capítulo 1(fórmula 1.3).

Ejemplo 2.1: Si se presta un crédito de $1.000 durante 3 años a una tasa de interés compuesto del 6% anual, ¿cuánto dinero se acumulará al final de los 3 años?

A interés compuesto.

A interés simple.

Solución

Si calculamos el valor de F en la fórmula 2.1 periodo a periodo y tabulamos los resultados

n (año)
($)
0
1.000
1
1.060
2
1.123,6
3
1.191,016
Tabla 2.3

Si resumimos los resultados de la tabla 1.1 del capítulo 1 y la tabla 2.3

n (año)
Interés simple
($)
Interés compuesto
($)
0
1.000
1.000
1
1.060
1.060
2
1.120
1.123,6
3
1.180
1.191,016
Tabla 2.4

Podemos ver en la tabla 2.4 que la cantidad acumulada periodo a periodo es mayor bajo la modalidad de interés compuesto; en el año 3 bajo el método de interés simple se acumula 1.180$ y por interés compuesto 1.191,016$.

La fórmula es una función lineal y la fórmula es una función exponencial de la forma , es decir, es una curva. Si trazamos las funciones y tenemos que

De la fórmula se puede despejar P, i y n.

Despejando P:

(2.2)(2.2)
(2.2)
(2.2)

Despejando i:

Sacando raíz enésima en ambos miembros:

Despejando n de :

Aplicando logaritmo en ambos miembros

RESUMEN DE FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO

TASA EFECTIVA

Es la tasa que realmente se cobra o paga en una operación financiera, es la usada en el interés compuesto y de ahora en adelante se simboliza con i.

TASA NOMINAL

Como su nombre lo indica es una tasa de nombre, esto quiere decir que no es la que efectivamente se cobra o paga; se simboliza con la letra j.

Las tasas nominales y efectivas están relacionadas; por ejemplo, si un préstamo se adquiere a una tasa anual nominal de 12% y los intereses se liquidan o pagan trimestralmente (1 año=4 trimestres); la tasa efectiva trimestral resulta de dividir la tasa nominal por 4, que son los trimestres que tiene un año; es decir, efectiva trimestral.

En general:

i: tasa efectiva.

m: número de periodos en los cuales se ha dividido el año.

j: tasa nominal.

Las tasas generalmente son anuales.

Por lo anterior, para que una tasa de interés este correctamente nombrada o descrita se debe especificar si es nominal o efectiva y debe también enunciarse su periodicidad, es decir, el momento en el cual se liquidan los intereses.

Aclaremos esto con algunos ejemplos:

40% capitalizable trimestralmente, esto significa que el 40% es una tasa nominal y los intereses se liquidan o pagan cada trimestre.

Se acostumbra escribir 40% NTV=40% CT=40% NT

NTV: Nominal Trimestre Vencido.

CT: Capitalizable Trimestralmente.

Esto significa que j=0,40, y m=4 (un año tiene 4 trimestres)

ETV (Efectiva Trimestral Vencida)

10% ETV significa que es una tasa efectiva que se cobra cada trimestre en forma vencida.

Ejemplo 2.2: Si se invierten $35.000 en un depósito a término fijo a 3 años al 28% NTV. Determinar el monto de la entrega al vencimiento del documento.

Solución

P=35.000$ j=0,28 NTV F=?

Como la tasa del 28% es nominal debe convertirse en efectiva, en este caso, efectiva trimestral vencida (m=4, porque un año tiene 4 trimestres).

Siempre debe haber correspondencia entre la tasa efectiva periódica y su periodo, es decir, si la tasa es efectiva trimestral (ETV) los periodos de tiempo deben ser trimestres; esto es fundamental para cálculos posteriores.

Reemplazando en

Ejemplo 2.3: ¿Qué capital debo invertir hoy para poder retirar un millón de pesos dentro de 18 meses suponiendo que el capital invertido gana el 28% NSV?

Solución

P=? F=1.000.000$ m=18 meses j=0,28 NSV

Se encuentra la tasa efectiva semestral vencida

ESV

Se convierten los 18 meses a semestres

EQUIVALENCIA ENTRE TASAS

Definición (Tasas equivalentes): Son aquellas que operando en condiciones diferentes producen el mismo resultado, el concepto de operar en condiciones diferentes significa que capitalizan en periodos distintos.

Aclaremos esto con un ejemplo.

Ejemplo 2.4: Un inversionista compra un CDT (Certificado de Depósito a Término) por $1.000 que paga el 10% efectivo trimestral, el documento se vence en un año. ¿Cuál debe ser la tasa efectiva semestral de otro CDT de $1.000 a un año, que produzca al inversionista el mismo monto que el primero?

Solución

Para el primer CDT la situación es la siguiente:

Para el segundo CDT la situación es la siguiente:

P=1.000$ i2=?

El valor futuro debe tener el mismo valor del primer CDT, es decir

ESV

Significa que 10% ETV es equivalente a 21% ESV, es decir, produce el mismo efecto.

La fórmula general sería entonces

i1: tasa efectiva periódica vencida.

i2: tasa efectiva periódica vencida.

RELACIÓN ENTRE UNA TASA ANTICIPADA Y UNA TASA VENCIDA

Existe una relación entre una tasa efectiva anticipada y una tasa efectiva vencida. La deducción es la siguiente: si un inversionista hace un préstamo de P ($) a una tasa anticipada ia, en el momento de recibir el préstamo le entregan;

Debe entregar al final de un periodo la cantidad P($) prestada; gráficamente esta situación sería:

n= 1

F=P

Valor recibido=

Reemplazando en tenemos:

De la relación (2.8) podemos despejar ia e iv

Despejando iv

Despejando ia

También existen las tasas nominales anticipadas que representaremos por ja y se relacionan con la tasa efectiva anticipada mediante la fórmula

RESUMEN DE FÓRMULAS DE TASAS DE INTERÉS

GRÁFICA DE EQUIVALENCIA DE TASAS

Para convertir tasas de un sistema a otro se puede aplicar el esquema siguiente

Figura 2.7

Ejemplo 2.5:

Hallar una tasa efectiva trimestral equivalente al 7% efectiva trimestral anticipada.

Hallar una tasa efectiva mensual anticipada equivalente al 3% efectiva mensual.

Solución

(ia)1=0.07 ETA m"=4 i2=? ETV m2=4

Si observamos la figura 2.7 se debe partir de (6) y llegar a (2) siguiendo la ruta (6)(2). Como i1 es una tasa vencida y (ia)1 es una tasa anticipada usaremos la fórmula para encontrar i1.

ETV o 7,527% ETV

ia=? EMA iv=0.03 EMV

EMA o 2,913% EMA

Ejemplo 2.6:

Hallar una tasa efectiva mensual anticipada equivalente al 41,12% EA.

Hallar una tasa efectiva mensual equivalente al 36% nominal mes anticipado.

Solución

(ia)2=? m2=12 i1=0,4112 EA n2=12

Figura 2.8

Se parte de (2) para llegar a (7), por la ruta (2)(3)(7). Usando

EMV

EMA 2,83% EMA

(ja)1=0,36 NMA m1=12 i1=? EMV

Figura 2.9

EMA

EMV 3,093% EMV

ECUACIONES DE VALOR

Una ecuación de valor es una igualdad que se cumple para ciertos valores de la incógnita o incógnitas utilizadas en el planteamiento de la igualdad.

Frecuentemente una obligación o préstamo se puede cambiar por otra u otras obligaciones que causen el mismo efecto financiero. Cuando se plantea una ecuación de valor, las cantidades involucradas se colocan en una misma línea de tiempo tanto el plan de pagos inicial como el propuesto.

La solución de la ecuación se obtiene llevando al flujo de ingresos y egresos a un mismo punto en la escala de tiempo, que se llama fecha focal (ff).

La ubicación de la fecha focal no altera la respuesta, por tal motivo la ubicación de ésta se deja a libre elección de la persona que va a resolver el problema. Cuando se trabaja con interés simple la ubicación sí altera la solución del problema.

La ecuación fundamental es:

Ejemplo 2.7: Una persona tiene dos deudas: una de $25.000 pagadera en 3 meses y otra de $40.000 pagadera en 7 meses. Si desea cambiar la forma de cancelarlos mediante dos pagos iguales de $x cada una con vencimiento en 5 meses y 12 meses aproximadamente, determinar el valor de los pagos suponiendo una tasa del 36% NM.

Solución

La razón financiera de la ecuación de valor es la siguiente: el prestamista cuando recibe el pago de $25.000 tiene la posibilidad de ganarse la tasa vigente del mercado (36% NM), a partir del mes 3, igual con los $40.000 recibidos en el mes 7; si él tomara en préstamo una cantidad de $x en el mes 5, y otra cantidad $x en el mes 12 debe pagar la tasa vigente.

Financieramente el primer plan debe ser equivalente al segundo; para que los ingresos le alcancen para pagar la deuda. El diagrama de flujo sería así:

Figura 2.10

Usando la fórmula para cada una de las condiciones involucradas.

$25.000 está en el mes 3 y debe llevarse al mes 12, es decir, gana 9 periodos de interés.

$40.000 está en el mes 7 y debe llevarse al mes 12, es decir, gana 5 periodos de interés.

La tasa para el cálculo debe ser una efectiva mes vencido; ya que la tasa nominal es del 36% NMV.

j=0,36 m=12
EMV

Aplicando la ecuación (2.12):

Ejemplo 2.8: Una empresa debe cancelar hoy 15 de febrero de 1998 una deuda por $70.000 con intereses del 30% CT adquirido el 15 de agosto de 1997 y otra deuda por $100.000 obtenida el 15 de diciembre de 1997 con vencimiento el 15 de junio de 1998 a la misma tasa de la deuda anterior, ante la dificultad de la empresa para cancelar la deuda, el acreedor propone cancelar las deudas con un pago de $20.000 ahora y otro de $220.000 en 10 meses. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual de refinanciación que se está cobrando?

Solución

Figura 2.11

i=?
j=n12=0,304=0,075 ETV
1+i2m2=1+i10m1
(1+0,075)4=(1+i1)12
(1+0,15)412=(1+i1)1
(1,15)412-1=i1
0,024399807 EMV=i1
Hallamos los valores finales de las deudas
F=p1+in
F1=70.000 $(1+0,024399807 )n
F1=80.893,74988 $

F2=100.000 $(1+0,024399807 )n
F=115.562,4998 $
80.893,74988$ (1+i)10+115.562,4998$ (1+i)6=20.000$ (1+i)10+220.000$
80.893,74988$ 1+i10+20.000$ 1+i10+115.562,4998$ 1+i6-220.000$=0
60.893,74988$ 1+i10+115.562,4998$ 1+i6-220.000=0

Para el método de tanteo reemplazamos
I
F(i)
0,01
-30.063,49439
0,02
-15.628,71433
0,03
-173,223858
0,04
16.361,05407

0,03I0,04-173,223858I016.361,054070,03I0,04-173,223858I016.361,05407Interpolamos
0,03
I
0,04
-173,223858I
0
16.361,05407
0,03
I
0,04
-173,223858I
0
16.361,05407

i-0,040,04-0,03=0+173,223858116.361,05407+173,2238581
i=0,040,04-0,030+173,223858116.361,05407+173,2238581
i=0,030106561 EMV
1+i2m2=1+i10m1
(1+0,030106561 )12=(1+i1)1
(1+0,030106561 )12=(1+i1)1
(1,030106561 )12-1=i1
42,75319682 EAV=i1

Ejercicio 2.1: Hallar el monto de $48.000 en 127 días suponiendo una tasa del 30% EA, use un año de
360 días.
Solución:

i=0,30 EA
P=48.000$
F=?
F=P*(1+i)n=48.000 $ (1+0,3)127día360día=52.654,79 $

Ejercicio 2.2: ¿Cuál es el valor presente de $800.000 en 36 días al 32% EA? Use un año de 360 días
Solución:

P=?
F=800.000 $
i=0,32 EA
P=F1+in=800.000$(1+0,32año )36 día/360día=778.094,95 $

Ejercicio 2.3: Halle la rentabilidad anual de un documento que se adquiere en $30.000 y se vende 6 meses más tarde en $50.000.
Solución:

i=?
F=50.000 $
P=30.000 $
n=6 meses = 0,5 años
i=nFP-1=0,550.000 $30.000 $-1=1,7778
i = 177,78%
Ejercicio 2.4: ¿A qué tasa efectiva mensual se duplica un capital en 2 años y medio?
Solución:

i=?
P=1 UM
F=2 UM
n=212año=2,5 año 12 mesaño=30 mes
i=nFP -1= 3021 -1= 0,02337 EMV
i=2,337%
Ejercicio 2.5: ¿A qué tasa nominal trimestral se triplica un capital en 4 años?
Solución:

i=?
F=3 UM
P=1 UM
n=4 año 4 trimestreaño=16 trimestre
i=nFP-1=1631-1=0,071075483 ETV
i=jm , donde j=i m=0,071075483 4
j= 0,28430192 = 28,43%

Ejercicio 2.6: Una compañía dedicada a la intermediación financiera desea hacer propaganda para captar dineros del público, la sección de mercadeo le dice al gerente de la compañía que una buena estrategia de mercadeo es duplicar el dinero que depositen los ahorradores. Si la junta directiva de la compañía autoriza pagar por la captación de dinero un máximo de 2.5% EM. ¿Cuánto tiempo debe durar la inversión?
Solución:

n=?
i=2,5 EMV
P=1 UM
F=2 UM
n= logFPlog (1+i) = log (2)log (1+0,025) = 28,07 mes

Ejercicio 2.7: ¿En cuánto tiempo se triplica un capital al 8% periódico trimestral, sabiendo que el interés solo se paga por trimestres completos?
Solución:

n=?
i=8% ETV
P=1UM
F=3UM
n= logFPlog (1+i) = log (3)log (1+0,08) = 14,27491459
Con 14 trimestres no alcanza a triplicar el capital, se necesitan 15 completos.
n=15 trimestre

Ejercicio 2.8: Usando la comparación de tasas, decidir la mejor alternativa entre invertir en una compañía de financiamiento comercial que en depósitos a término fijo paga el 28% nominal trimestral vencido, o invertir en una empresa de turismo que garantiza triplicar el capital en 3 años y 6 meses.
Solución:
Compañía de financiamiento comercial:
j=28% NTV m=4 trimestre
i= jm=0,284 =0,07 ETV
i=7% trimestral

Empresa de turismo:
n=3,5 años
P=1UM
F=3UM

i=nFP -1= 3.531 -1= : 0,36687381066 EA
1+i2n2=1+i1n1
1+0,074=1+i11
1+i2n2-1=i1
i1=0,31079601
0,31079601<: 0,36687381066
Se debería de invertir en la compañía de turismo ya que ofrece una mejor tasa
Ejercicio 2.9: Una máquina que actualmente está en uso llegará al final de su vida útil al final de 3 años, para esa época será necesario adquirir una nueva máquina y se estima que costará unos US$20.000, la máquina que actual para esa época podrá ser vendida en US$5.000. Determinar el valor que se debe depositar hoy en un depósito a término fijo de 3 años que garantiza el 7.5% EA.
Solución:
n=3 años
F=$20.000
P=?
i=7,5 %EA
La máquina actual se venderá por US $5.000, por lo tanto no tendremos que desembolsar los US$20.000 completos sino F=20.000US$-5.000US$=15.000US$
P=F(1+i)n=15.000US$(1+0,075)3=12.074,40854 US$
Ejercicio 2.10
a) Hallar una tasa nominal semestral vencido equivalente al 24% nominal trimestral vencido.
Solución:
j=? NSV
m2 = 2 j = 24% NTV
m1 = 4
i = jm = 0,244 = 0.06 ETV
1+i1m1=1+i2m2 = 1+0,064=1+i22 = 1,26247696=1+i22
i2=0,1236 ESV
j = 0,1236 · 2
j = 24,72% NSV
b) Hallar una tasa nominal trimestre anticipado equivalente al 2.5% periódica mensual.
Solución:
j=? NTA
m2 = 4
i = 2,5%EMV
m1 =12
1+i1m1=1+i2m2 = 1+0,02512=1+i24 = 1,344888824=1+i24
i2=0,07689 ETV = iv
ia=iv1+iv = 0,076891,07689 = 0,0714 ETA
j= ia m2 = 0,0714 · 4
j = 28,56% NTA
Ejercicio 2.11
a) Dado el 28%NTA hallar una tasa nominal semestral equivalente.
b) Dado el 27%NSV hallar una tasa nominal mes anticipado equivalente.
Solución:
a)
i2= ?
i=0.284=0.07ETA
m1= 123=4
m2=126=2

i1=ia1-ia= 0,071-0,07=0,07526 ETV

i2= 21+0,075264- 1=0,1561= i2
i2= j2m2=>j2=i2 m2 =2 0,1561=0,3123
j2=31,23% NSV

b)
j=27% NSV
m1= 126
m2=12
i1= jm =>0,272=0,135 ESV
i2= 121+0,1352-1=0,02132 EMV
ia= 0,021321+0,02132=0,02087
j=0,02087 12=25,04% NMA
Ejercicio 2.12
a) Hallar una tasa efectiva anual, equivalente al 25% efectivo anual anticipado.
b) Hallar una tasa efectiva anual anticipada, equivalente al 36% efectivo anual.
c) Hallar una tasa efectiva anual anticipada, equivalente al 2.5% periodo mensual.
Solución:
a) EAV? Equivalente al 25% EAA
ia=i1-i=0,251-0,25=0,3333=33,33% EAV
b) EAA? Equivalente al 36% EAV
ia =i1-i=0,361-0,36=0,2647=26,47% EAA
c) EAA? Equivalente al 2.5% periodo mensual
(1+i1)m1 = (1+i2)m2
(1+i1)1 = (1+0,025)12
i1= 1,344888 - 1
i1= 0,34488 EAV
ia=i1-i=0,344881-0,34488=0,2564=25,64% EAA
Ejercicio 2.13: Una empresa tiene dos deudas con un banco, la primera deuda es de $100.000 con interés del 30%NM, se adquirió hace 6 meses y hoy se vence; la segunda por $200.000 al 32%NM se contrató hace 2 meses y vence en 4 meses, debido a la incapacidad de cancelar la deuda, la empresa propone el banco refinanciar su deuda, llegándose a un acuerdo entre las partes de la siguiente forma: Hacer 3 pagos iguales con vencimiento en 6m, 9m, 12m, con una tasa del 33% nominal mensual. ¿cuál es el valor de cada pago?
Solución:
p1=100000
p2=200000
n1=6 meses
n2=6 meses
j1=30% NM
j2=32 % NM

n1=6 meses n2=9 meses n3=12 meses

f1=100.000$1+0,0256=115.969,34$
f2=200.000$1+0,02666=234.119,48$

x1+0,02756+x1+0,02753+x=115.969,34$1+0,027512+234119,48$1+0,038

1,176768361x+1,084789547x+x=160.592,46$+290.865,49$
3.262557908x=451457.9548

x=138.375,46$

Ejercicio 2.14: Un almacén va a ser vendido el 20 de agosto. Los inventarios realizados el mismo 20 de agosto arrojaron el siguiente resultado:
a) En caja $80.000. b) En bancos $250.000.
c) Cuentas por cobrar:
- C1 cheque por $65.000 para el 30 de septiembre.
- C2 depósito a término fijo de 6 meses por $235.000 e intereses al 28%NM, la inversión se efectuó hace 3 meses.
d) Mercancías por $950.000.
e) Cuentas por pagar:
- d1 cheque por $150.000 para el 21 de septiembre.
- d2 letra por $400.000 para el 18 de noviembre.
Con un interés del 30% EA usando interés bancario determine el valor del almacén el día de la venta.

Solución:

Para determinar el valor de la empresa el día de la venta debemos determinar valor actual de las cuentas por cobrar y las cuentas por pagar.

F=65.000 $30-sep20-agoi=30% EA41 díaP=?F=65.000 $30-sep20-agoi=30% EA41 díaP=?
F=65.000 $
30-sep
20-ago

i=30% EA
41 día
P=?
F=65.000 $
30-sep
20-ago

i=30% EA
41 día
P=?

C1=Cheque de 65.000$ para el 30 de septiembre
P= F (1+i)-n
P= 65.000 $ (1+0,3)-41 día año360 día
P= 63.086,51 $

F=235.000 $20-nov20-agoi=28% NM6 mesP=?20-mayF=235.000 $20-nov20-agoi=28% NM6 mesP=?20-may
F=235.000 $
20-nov
20-ago

i=28% NM
6 mes
P=?
20-may
F=235.000 $
20-nov
20-ago

i=28% NM
6 mes
P=?
20-may

C2=Depósito termino fijo
F= P (1+i)n
F= 235.000 $ (1+0,023333333)6 mes
F= 269.879,93 $

P= F (1+i)-n
P= 269.879,93 $ (1+0,023333333)-3 mes
P= 251.836,82 $

Ct=Total de las cuentas por cobrar
Ct= C1+C2
Ct= 63.086,51 $+251.836,82 $
Ct= 314.923,32 $
F=150.000 $21-sep20-agoi=30% EA32 díaP=?F=150.000 $21-sep20-agoi=30% EA32 díaP=?
F=150.000 $
21-sep
20-ago

i=30% EA
32 día
P=?
F=150.000 $
21-sep
20-ago

i=30% EA
32 día
P=?
d1=Cheque por 150.000 $ para el 21 de septiembre
P= F (1+i)-n
P= 150.000 $ (1+0,3)-32 día año360 día
P= 146.524,29 $

d2=Letra por 400.000 $ para el 18 de noviembre
P= F (1+i)-n
F=400.000 $18-nov20-agoi=30% EA90 díaP=?F=400.000 $18-nov20-agoi=30% EA90 díaP=?
F=400.000 $
18-nov
20-ago

i=30% EA
90 día
P=?
F=400.000 $
18-nov
20-ago

i=30% EA
90 día
P=?
P= 400.000 $ (1+0,3)-90 día año360 día
P= 374.605,50 $

Dt=Total de las cuentas por pagar

Dt=d1+d2
Dt=521.129,79 $

VTM=80.000 $+250.000 $+950.000 $+314.923,32 $-521.129,79 $
VTM=1.073.793,54 $
Ejercicio 2.15: Hoy se contrae una deuda por $50.000 con intereses al 30%NT y vencimiento en 6 meses y hay una deuda por $80.000 contraída hace 3 meses con intereses al 32%NS y vencimiento en 1 año. ¿En qué fecha deberá hacer un pago de $170.000 para cancelar las deudas suponiendo que el rendimiento normal del dinero es del 2.5% mensual?
Solución:

j=30% NT
i= jm
i= 0,30 4 =0,075 ET
F1=?3 mesi1=30% NTP1=50.000 $i2=32%NSP2=80.000 $6 mesF2=?12 mesF=170.000 $n=?F1=?3 mesi1=30% NTP1=50.000 $i2=32%NSP2=80.000 $6 mesF2=?12 mesF=170.000 $n=?
F1=?

3 mes
i1=30% NT
P1=50.000 $
i2=32%NS
P2=80.000 $

6 mes

F2=?
12 mes
F=170.000 $

n=?
F1=?

3 mes
i1=30% NT
P1=50.000 $
i2=32%NS
P2=80.000 $

6 mes

F2=?
12 mes
F=170.000 $

n=?
F= P (1+i)n
F= 50.000 $ (1+0,075)2 trimestre=57.781,25 $

j=32% NS
i= jm=0,32 2 =0,16 ES

F= P (1+i)n
F= 80.000 $ (1+0,16)2=107.648 $

n=?
F=170.000 $
i=2,5 EMV

(1+i1)m1=(1+i2)m2
(1+0,025)12/4-1=i2
i=0,076

Ingresos = Egresos
57.781,25 $+107.648 $ (1+0,076)-1=170.000 $ (1+0.076)-(n-2)
15.7743,12 $=170.000 $ (1+0,076)-(n-2)

15.7743,12 $170.000 $=(1+0,076)(2-n)

Log 0,9279=2-n Log 1,076
n=2+1,0215
n=3,0215 trimestre 3 mestrimestre=9,0645 mes
Ejercicio 2.16: Hallar el tiempo en que debe hacerse un pago de $30.000, para cancelar dos deudas: una de $15.000, con vencimiento en 6 meses y otra de $15.000 con vencimiento en 26 meses. Suponga una tasa del 30% NM.
Solución:

F2=?12 mesF=170.000 $n=?F1=15.000$F2=15.000$F2=?12 mesF=170.000 $n=?F1=15.000$F2=15.000$

F2=?
12 mes
F=170.000 $

n=?
F1=15.000$
F2=15.000$

F2=?
12 mes
F=170.000 $

n=?
F1=15.000$
F2=15.000$
j=30% NM
i= jm=0,3012=0,025 EMV

15.000 $+15.000 $(1+0,025)-20=30.000$(1+0,025)-(n-6)
0,805135=(1+0,025)(6-n)
6-n=Log 0,805135Log1+0,025

6-n=-8,777716
n=14,777716 meses=1 año 2 meses 23 días.
Ejercicio 2.17: Resuelva el problema anterior suponiendo una tasa del 30 %NT.
Solución:
i= 0,3 ETV

(1+i1)m1= (1+i2)m2
(1+0,3)1= (1+i2)3
(1+0,3)13=(1+i2)
i2=0,091392883

15.000 $+15.000 $(1+0,091392883)-20=30.000$(1+0,091392883)-(n-6)
0,586965631=(1+0,091392883)(6-n)
6-n=Log 0,586965631Log1+0,091392883

n=12,93171701 meses.
Ejercicio 2.18: Se deben pagar: $80 000 en 3 meses, $100 000 en 10 meses y $90 000 en 15 meses y se van a cancelar en dos pagos, el primero por $170 000 en 9 meses, ¿en qué fecha deberá pagar $85 510.96 para saldar las deudas suponiendo que el dinero rinde el 8% trimestral?

3091015nff170.000$100.000$90.000$85.510,96$80.000$mes3091015nff170.000$100.000$90.000$85.510,96$80.000$mesSolución:
3
0
9
10
15
n
ff
170.000$
100.000$
90.000$
85.510,96$
80.000$
mes
3
0
9
10
15
n
ff
170.000$
100.000$
90.000$
85.510,96$
80.000$
mes

i=8 % ETV llevando a EMV m2=12; m1 =4
i2=(1+i1)m1m2-1 (1+0.08)412-1=0,025985568 EMV
x=0,025985568
Egresos= Ingresos
80.000 $+100.000 $ (1+x)7+ 90.000 $(1+x)12=170.000 $ (1+x)6+ 85.510,96 $(1+0,25)n-3
83967,551124-2185510,26=(1+x)3-n=log0,9819=(3-n)(log1,025985568)
n=3-log0,9819(log1,025985568)=3--0,71= n=3,71 meses
n=3 meses y 21 dias
Ejercicio 2.19: En el desarrollo de un proyecto hubo necesidad de una inversión inicial de $70 000 y se obtuvieron ingresos por $50 000 en 3 meses y $45 000 a los 10 meses. Hallar la rentabilidad efectiva mensual que generó el proyecto.
Solución:

50.000 $+45.000 $(1+i)7= 70.000 $ (1+i)3
50.000 $+45.000 $(1+i)7- 70.000 $ (1+i)3= 0
i=nFP -1= 1095.000$70.000$-1=0,031009237 tasa de arranque

i%
5 946,9 x-5=0-946,90
x 0 6-5 -3443,54
6 -3443,54 x =5,21
Ejercicio 2.20: Una empresa tiene tres deudas así:

Valor
Tasa
Fecha de Desembolso
Fecha de Vencimiento
2.000.000
51% EA
15-06-98
15-06-99
3.000.000
42% NTV
11-10-98
15-12-99
6.000.000
40% NMV
05-12-98
05-12-99

La empresa se declara en concordato y en reunión con sus acreedores reestructura sus pasivos con las siguientes fechas y montos:
Pago
Fecha
7.700.000
15-06-00
7.800.000
24-11-00
8.000.000
10-04-01

Encontrar la tasa de renegociación usando base 365.

F1=$2.000.0001+0.511=$3.020.000
i1=0.424=0.105 ETV a) base 365 días.
i2=1+i2m1m2-1 de 11-10-98 a 15-12-99 430 días.
i2=1+0.1054365-1=0=0.0010948 EDV
F2=3.000.0001+0.0010948430=$4.802.702,5890
j=0.70 NMV
i=0.4012=0.033 EMV EDV
F3=$6.000.000(1+0.033)12=$8.892.758,938

15-06-99 a 10-04-01 665 días.
05-12-99 a 10-04-01 492 días.
15-12-99 a 10-04-01 482 días.
15-06-00 a 10-04-01 299 días.
24-11-00 a 10-04-01 137 días.

3.020.0001+x665+8.892.758,941+x492+4.802.402,591+x482+7.700.0001+x299+7.800.0001+x137+8.000.000
x=i1=9,15 10-4 ED
i2=1+i2m1m2-1
i2=1+9.15 10-43651-1
i2=39,65% NAV

BIBLIOGRAFÍA





CAPÍTULO 3

ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS, DIFERIDAS, PERPETUAS Y GENERALES

Definición (Anualidad): Es una serie de pagos iguales y consecutivos, que se pagan o cobran al inicio o al final de cada periodo de interés. Una anualidad debe cumplir las siguientes condiciones:

Todos los pagos son de igual valor.

Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.

A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.

El número de pagos es igual al número de periodos de interés.

Hay dos clases de anualidades

Anualidad vencida.

Anualidad anticipada.

La anualidad es vencida cuando los pagos se hacen al final de cada periodo.

La figura 3.1 es una serie de anualidades vencidas, ya que cumple con las 4 condiciones enumeradas anteriormente.

La figura 3.2 no es una serie de anualidades, ya que viola la condición número (4).

La figura 3.3 es una anualidad anticipada ya que cumple con las condiciones enumeradas anteriormente.

DEDUCCIÓN DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA SERIE GEOMÉTRICA

Una serie geométrica es una secuencia de términos que siguen esta ley: el primer término de la serie es a y el segundo término es ar, el tercero es el segundo multiplicado por r, es decir, ar2, cumpliéndose la ley que un término es el anterior multiplicado por r, el número r se llama razón.

a
ar2
ar2
ar3
…
arn
1
2
3
4
…
n

Si sumamos los términos de la serie geométrica tenemos

Si multiplicamos la ecuación (3.1) por r

Si a la ecuación (3.2) le restamos la ecuación (3.1)

s: la suma de los términos de la serie geométrica.

r: razón.

n: número de términos.

a: primer término.

u: último término.

Ejemplo 3.1: Una empresa decide pagar cada año dividendos a sus accionistas de tal forma que se incrementen en un 8% cada año. Si en 1996 pagaron $2.060.000, calcular:

¿Cuánto pagaron en 1986?

¿Cuánto pagaron en el 2010?

Calcular la suma de dividendos pagados del año 1980 al año 1994.

Solución

Si en cualquier año se paga un 8% más que el año anterior

,

los pagos siguen una serie geométrica.

Asumiendo que 1996 es el último término entre 1986 y 1996

n = 1996 – 1986 + 1 = 11 términos

(Pago del año 1986)

n = 2010 – 1996 + 1 = 15

Asumiendo que u=954.178,5855$ (Año 1986)

n = 1986 – 1980 +1 = 7

n = 1994 – 1980 +1 =15

DEDUCCIÓN DEL VALOR FUTURO DE ANUALIDADES VENCIDAS

Si se hacen depósitos de A($) al final de cada uno de los n periodos, en una cuenta de ahorros que paga i efectivo periódico vencido, el valor acumulado F al final de los n periodos, se calcula así:

Llevando a futuro y planteando la ecuación de valor tenemos

El segundo miembro de la ecuación (3.5) es una serie geométrica cuyo primer término es A y la razón es (1+i), entonces su suma será:

Luego

De la ecuación (3.6), por despeje, se deduce que

DEDUCCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES VENCIDAS

Haciendo fecha focal en el momento cero de una serie de anualidades vencidas, se lleva a presente cada una de las anualidades.

Multiplicando la ecuación (3.8) por (1+i)

El miembro derecho de la ecuación (3.9) es una serie geométrica, ya que a =A y

Multiplicando el numerador y el denominador en la ecuación anterior y simplificando (1+i) se tiene que

Una fórmula equivalente más fácil de manejar se obtiene convirtiendo al numerador (1+i)n como (1+i)-n.

De la ecuación (3.11), despejando A se obtiene

De la ecuación (3.12), despejando A se obtiene

Ejemplo 3.2: Hallar el monto y el valor presente de 20 pagos de $2.000 cada uno, suponga una tasa del 18%.

Solución

F=? P=? n=20 i=0,18 periódica vencida

Ejemplo 3.3: Para la compra de un automóvil que vale $6.000.000; se exige una cuota inicial del 40% y el resto se cancela en 36 cuotas mensuales, ¿a cuánto ascenderá la cuota si los intereses son del 3,5 efectivo mensual?

Solución

Cuota inicial = 6.000.000$ × 0.4 = 2.400.000$

P = valor a financiar = 6.000.000$ × 0.6 = 3.600.000$

n = 36 mes i = 0,035 EMV

Ejemplo 3.4: Si en el ejemplo 3.3 se ofrecen 2 cuotas extraordinarias: la primera de $350.000 en el mes 5, y la segunda de $500.000 en el mes 18, ¿cuál será el valor de la cuota ordinaria?

Solución

P=3.600.000$ n=36 mes i=0,035 EMV

Haciendo fecha focal en al punto cero, planteando la ecuación de valor

Ejemplo 3.5: Desean reunirse exactamente $60.000 mediante depósitos mensuales en un fondo que paga el 36% CM.

¿Cuántos depósitos de $1.000 deben hacerse?

¿Qué depósito adicional hecho conjuntamente con el último depósito de $1.000 completará los $60.000?

¿Qué depósito adicional hecho en un mes después del último depósito de $1.000 completará los $60.000?

Solución

F=60.000$ j=0,36 CM n=? EMV

Deben hacerse 34 depósitos completos, más una cantidad adicional para completar los $60.000

Con 34 depósitos el valor acumulado sería:

El depósito adicional =

Con el depósito $1.000 del mes 34 se debe adicionar

ANUALIDAD ANTICIPADA

En la anualidad anticipada los pagos se hacen al inicio de cada periodo de interés; su diagrama de flujo es el siguiente:

DEDUCCIÓN DEL VALOR FUTURO DE UNA SERIE DE ANUALIDADES ANTICIPADAS

Para encontrar el valor futuro de las anualidades en el punto n, agregamos y restamos una anualidad en el punto n.

Planteando la ecuación de valor en el punto n

Reordenando y factorizando:

Si en la fórmula reemplazamos la ecuación (3.15) encontramos

La ecuación (3.16) se puede representar así:

Ejemplo 3.6: Un contrato de arrendamiento por un año establece el pago de $20.000 mensuales al principio de cada mes. Se ofrece cancelar el contrato a su inicio, ¿cuánto se debe pagar?, suponiendo:

Tasa del 30% CM.

Tasa efectiva del 3% mes anticipado.

Solución

P=? n=12 j=0,30 CM EMV

Como la tasa es efectiva mes anticipado se debe convertir a mes vencido, ya que las tasas en las fórmulas de interés compuesto deben ser vencidas y efectivas.

EMV

Ejemplo 3.7: Un equipo de sonido cuesta $400.000 al contado, pero puede ser cancelado en 24 cuotas mensuales de $33.000, cada una efectuándose la primera el día de la venta. ¿Qué tasa efectiva mensual se está cobrando?

Solución
P=400.000$ n=24 mes

Se simplifica la ecuación anterior

Este problema se resuelve por tanteo, dando a la incógnita i valores que resuelvan la ecuación planteada, esta ecuación es una función de i; para comenzar en un valor aproximado al verdadero se procede así:

Hay 23 cuotas de 33.000$ cada una, las sumamos aritméticamente y hacemos un diagrama de flujo de caja, asumiendo que esa cantidad (33.000 × 23 = 759.000$) está en el momento 23, el diagrama queda así

Para encontrar i se aplica la ecuación (2.3)

Con un valor cercano al obtenido se inicia probando la ecuación a resolver, por tanteo, hasta que se encuentre un valor que resuelva la ecuación

Definición (Interpolación): Es encontrar un valor desconocido que está entre dos valores desconocidos.

i
f(i)
0,04
-4.811,03
0,05
-3.756,14
0,06
-2.160,69
0,07
-138,75
0,071
83,27
Tabla 3.1

EMV

AMORTIZACIÓN

Es cancelar una deuda por cuotas periódicas, iguales o desiguales; por lo general en el valor de la cuota, parte de ella es para pagar una cantidad del capital adeudado hasta el momento y el resto es pago de intereses.

Para conocer la evolución de la deuda generalmente se elabora una tabla, llamada tabla de amortización, que muestra periodo a periodo lo siguiente:

Periodos o cuotas pagadas

Saldo o capital insoluto; es decir, el capital que se queda debiendo después de pagar la cuota.

Interés pagado periódicamente.

Valor de la cuota.

Amortización o capital; que es la parte de la cuota asignada al pago de la deuda.

Entendamos estos cálculos mediante un ejemplo.

Ejemplo 3.8: Elaborar una tabla para amortizar la suma de $3.000.000 en pagos trimestrales durante 15 meses con una tasa del 46% CT.

Solución

A=? j=0,46 CT

ETV

$trimestre

Se debe pagar 5 cuotas iguales de $821.942,32 al final de cada trimestre.

Al finalizar el primer trimestre los cálculos son los siguientes:

Interés pagado del primer trimestre:

De la cuota que se paga al final del trimestre 1 ($821.945,32), $345.000 son intereses y se amortiza el capital.

Amortización a capital =

El capital insoluto o el saldo después de pagar la primera cuota se calcula así:

Saldo = Deuda antes del pago de la cuota – Amortización a capital

Saldo =

Para el segundo trimestre los cálculos son así:

Amortización a capital =

Saldo =

Periodo
Saldo ($)
Interés ($)
Cuota ($)
Amortización ($)
0
3.000.000
-
-
-
1
2.523.054,68
345.000
821.945,32
476.945,32
2
1.991.260,648
290.151,2882
821.945,32
531.794,038
3
1.398.310,303
228.994,9745
821.945,32
592.950,3455
4
737.170,6678
160.805,6848
821.945,32
661.139,6352
5
0,025
84.774,6268
821.945,32
737.170,6932
Tabla 3.2

CAPITALIZACIÓN

Capitalizar es reunir una suma de dinero, depositando periódicamente una determinada cantidad, el capital acumulado al final de un periodo, gana interés para el próximo, de esta forma se obtiene el monto deseado al finalizar el tiempo de capitalización.

Entendamos esta forma de ahorrar, desarrollando un ejemplo.

Ejemplo 3.9: Elaborar una tabla para capitalizar la suma de $2.000.000 mediante depósitos semestrales durante 3 años. Suponga una tasa del 42% CS.

Solución

A=? j=0,42 CT F=2.000.000$

ESV

$trimestre

Periodo
Acumulado ($)
Interés ($)
Cuota ($)
Incremento ($)
1
196.405,92
0
196.405,92
196.405,92
2
434.057,05
41.245,24
196.405,92
237.651,16
3
721.615,00
91.151,99
196.405,92
287.557,91
4
1.069.560,07
151.539,15
196.405,92
347.945,07
5
1.490.573,60
224.607,61
196.405,92
421.013,53
6
2.000.000
313.020,46
196.405,922
509.426,30
Tabla 3.3

ANUALIDADES DIFERIDAS

Las anualidades vistas hasta ahora son anticipadas o vencidas, la primera anualidad pagada se realizaba al inicio o al final del primer periodo, una anualidad es diferida cuando el primer pago se efectúa cuando ya ha transcurrido cierta cantidad de periodo mayor que uno.

Entendamos esta modalidad con un ejemplo.

Ejemplo 3.10: Cuando su hijo cumple 12 años, un padre hace un depósito de $x en una fiducia con el objeto de asegurar sus estudios universitarios, los cuales iniciará cuando cumpla 20 años. Suponiendo que para esa época el valor de la matrícula anual en la universidad será de $300.000 y que permanecerá constante durante los seis años que duran los estudios universitarios, ¿cuál debe ser el valor de $x? Suponga una tasa del 30%.
Solución

1er método: Se hace fecha focal en el año 19 y en este punto se plantea la ecuación de valor; n1 = 19 – 12 = 7, n2 = 25 – 19 = 6

x=126448,6108 $

En lenguaje simbólico
x(F/P, 30%, 7) = 300.000(P/A, 30%, 6)

2do método: Haciendo fecha focal en el año 25

Se calcula cuántos periodos hay entre el momento (año) 25 y el momento 12

n = 25 – 12 = 13

Se calcula cuántos periodos hay entre el momento 25 y el momento 19

n = 25 – 19 = 6

Se plantea la ecuación de valor

En lenguaje simbólico

x(F/P, 30%, 13) = 300.000(P/A, 30%, 6)

En el ejemplo observamos que ambos métodos dan la misma respuesta; esto significa que la fecha focal seleccionada no altera la respuesta del problema; la fecha focal la escoge quien resuelva el problema.

ANUALIDADES PERPETUAS

Una anualidad donde el número de cuotas iguales es infinito se llama anualidad perpetua; su diagrama de flujo es el siguiente:

Para encontrar el valor presente equivalente se usa la fórmula (3.11) y sabiendo que , por esta razón se debe encontrar el límite de la expresión:

La expresión entre corchetes se puede simplificar así:

00
0
0

Reemplazando el límite por ; entonces

Ejemplo 3.11: Un filántropo ha creado una institución de caridad y desea asignar su funcionamiento a perpetuidad. Se estima que esta institución necesita para su funcionamiento $100.000, al final de cada mes, durante el primer año; $200.000, al final de cada mes, durante el segundo año y $300.000 al final de cada mes, en forma indefinida. Suponiendo una tasa del 30% CM, hallar el valor de la dote (se denomina dote al valor único que, entregado al principio, asegura el mantenimiento a perpetuidad, en el caso de las personas el mantenimiento es vitalicio).

Solución

j= 0,30 CM EMV

P = A1(P/A, 2,5%, 12) + A1(P/A, 2,5%, 12) (P/F, 2,5%, 12)+ (P/F, 2,5%, 24)

P = 100.00$(P/A, 2,5%, n) +200.000$(P/A, 2,5%, 12) (P/F, 2,5%, 12)
+ (P/F, 2,5%, 24)

ANUALIDADES GENERALES

En algunas situaciones los pagos o anualidades se hacen en periodos diferentes a los periodos de capitalización; por ejemplo, un ahorrador puede depositar cantidades de dinero iguales al final de cada mes en una cuenta bancaria que le liquide los intereses por trimestres vencidos, en esta situación los periodos de pago y periodos de capitalización no coinciden, para resolver problemas donde se presente esta situación se puede proceder de dos maneras:

Hacer una modificación al problema original de tal forma que los periodos de capitalización coincidan con los pagos.

Hacer una modificación de tal forma que los pagos coincidan con los periodos de capitalización.

Entendamos los dos métodos con un ejemplo.

Ejemplo3.12: Hallar el monto de 30 pagos trimestrales de $25.000 cada uno suponiendo una tasa del 24% CM.

Solución

En este problema los pagos se hacen trimestralmente y la capitalización es mensual.

Método 1:

j=0,24 EMV F=?

Buscamos una tasa trimestral equivalente al 0,02 EMV. Usando la fórmula

ETV

Ahora tenemos pagos trimestrales y la tasa efectiva trimestral vencida, con esto hacemos el diagrama de flujo equivalente:

Método 2: Cada depósito trimestral se puede convertir en depósitos mensuales equivalentes.

Figura 3.27

Los 30 depósitos trimestrales se convierten en 90 (30 × 3) depósitos mensuales, el diagrama de flujo es el siguiente

Por los dos métodos se consigue la misma respuesta ($2.018.990)


Ejercicio 3.1: Una persona va a comprar una máquina que vale $800.000, con el objeto de poder disponer de esa cantidad el 15 de diciembre de 1989. Comienza a hacer depósitos mensuales de $R, en un fondo que paga el 30% CM. Si el primer depósito lo hace el; 15 de febrero de 1988, hallar el valor del depósito mensual.
Solución:

J= 30% CM A=? F= 800.000$

i=jm= 0.3012=0.025% EM
A=Fi(1+i)n-1
A=800.0000.025(1+0.025)23-1=26.157,10251$

Ejercicio 3.2: Un documento estipula pagos trimestrales de $10.000, iniciando el primer pago el 20 de enero de 1987 y terminando el 20 de julio de 1995. Si se desea cambiar este documento por otro que estipule pagos trimestrales de $R, comenzando el 20 de abril de 1988 y terminando el 20 de julio de 1989, hallar el valor de la cuota. Suponga una tasa del 20% CT.
Sugerencia: El valor de los documentos debe ser igual en el punto que escoja como fecha focal.
Solución: R$=?J= 20%CT P1=100.000$P2=R$

i=jm= 0.204=0.05% ET

P1=10000 1-(1+0.05)-350.05=163.741,9429 $
P2=R$1+0.056-10.051+0.056=R$(5,075692067)
163.741,9429= R$(5,075692067)1+0.256
R$= 41.172,87$

Ejercicio 3.3: Una persona se compromete a pagar $60.000 mensuales, a partir del 8 de julio de 1988 hasta el 8 de diciembre de 1989, para dar cumplimiento a ese contrato, se propone hacer depósitos mensuales de $R c/u, en una cuenta de ahorros que como mínimo le garantiza el 1.5% efectivo mensual. Si el primer depósito lo efectúa el 8 de marzo de 1986, ¿cuál será el valor de $R, suponiendo que el último depósito lo hará:
a) El 8 de diciembre de 1989.
b) El 8 de julio de 1988.
c) El 8 de junio de 1988.
d) El 8 de abril de 1987.
Solución:

i=1.5%EM
F1= F2

F1=60.0001+0.01518-10.015=1.229.362,543$
Como F1= F2 Entonces:
F2=1.229.362,543
F2=A1+0.01546-10.015

1.229.362,543=A65.56841397
A=1.229.362,54365.56841397
A = 18.749,39$

2323
23
23

F2=A1+0.01529-10.015(1+0.015)17
1.229.362,543=A46,36705858
A=1.229.362,54346.36705858
A=26.513,70565$

F2=A1+0.01528-10.015(1+0.015)18

1.229.362,543=A45,07903825

A=1.229.362,54345,07903825

A=27.271,26821$

F2=A1+0.01514-10.015(1+0.015)32

1.229.362,543=A24,88012596

A=1.229.362,54324,88012596

A=49.411,42762$

Ejercicio 3.4:Una deuda de $800.000 va a ser cancelado en pagos trimestrales de $78.000 durante tanto tiempo como fuere necesario. Suponiendo una tasa del 30% CT.
a) ¿Cuántos pagos de $78.000 deben hacerse?
b) ¿Con qué pago final hecho en 3 meses después del último pago de $78.000 cancelará la deuda?

Solución:

P= 800.000 $
J=30% CT
n=?

i=jm= 0,304=0,075% ET
P=A 1-1+i-ni
800.000 $=78.000 $1-1+0,075-n0,075
800.000 $78.000 $=1-1+0,075-n0,075
0,769230769=1-1+0,075-n
1,075-n=0,23076923

-n=log0,23076923log1,075
n=20,27549306

800.000 $=78.000 $ 1-0,075-200,075+x1+0,07521
x=800.000 $-795.170,326 $0,218988974
x=22.054,41613$

Ejercicio 3.5:Resuelva el problema anterior si la tasa es del 42% CT. Justifique su respuesta desde el punto de vista matemático y desde el punto de vista financiero.
Solución:

J= 42% CT
P=800.000 $
A=78.000 $
n=?

i=jm= 0,424=0,105% ET
P=A 1+in-1i1+in
800.000$=78.000$ 1+0,105n-10,1051+0,105n
1,0769230771+0,105n=1,105n-1
1=1,105n1-1,076923077
10,076923077=1,105n
(-log13)=nlog1,105
n=-log13log1,105=E no hay solucion

Ejercicio 3.6: Desean reunirse exactamente $60.000 mediante depósitos mensuales de $1.000, en un fondo que paga el 36% CM.

a) ¿Cuántos depósitos de $1.000 deberán hacerse?
b) ¿Qué depósito adicional hecho conjuntamente con el último depósito de $1.000 completará $60.000?
c) ¿Qué depósito adicional hecho en un mes después del último depósito de $1.000 completará $60.000?
Solución:

F=60.000$
A=1.000$
j=36% CM
m=12
n=?

i=jm

i=3612=3% EM=0,03 EM

a)

F=A 1+in-1i
60.000$=1.000$ 1+0,03n-10,03
60.000 $1.000 $=1+0,03n-10,03
600,03=1+0,03n-1
1,8+1=1+0,03n
2,8=1,03n
n=log (2,8)log1,03
n=34,83292079=34 pagos

b)

F=A 1+in-1i+X
60.000$=1.000$ 1+0,0334-10,03+X
60.000$=57.730,17652$+X
X=2.269,823483$

c)

60.000$=1.000$ 1+0,0334-10,03 1+0,03+X
60.000$=57.730,17652$ 1,03+X
X=60.000$-59.462,08182$
X=537,9181844$

Ejercicio 3.7: Resolver el problema anterior, incluyendo un depósito adicional de $7.000, en el periodo 10.
Solución:

60.000$ =1.000$ 1+0, 03n-10,03+7.000 $(1+0,03)n-10
0=1.000$ 1+0, 03n-10,03+7.000$ 1+0,03n-10-60.000$

n

34
+
x

10
-
n=29

60.000$=1.000$ 1+0, 0329-10,03 1, 03+7.000 $ 1+0,0319+x
x=2056,607428$
60.000$=1.000$ 1+0, 0329-10,03 1, 03+7.000 $ 1+0,0320+x
x=782$

Ejercicio 3.8: Para cancelar una deuda de $80.000, con intereses al 24% CM, se hacen pagos mensuales de $3.000 cada uno.
a) ¿Cuántos pagos de $3.000 deben hacerse?
b) ¿Con qué pago adicional, hecho conjuntamente con el último pago de $3.000 se cancelará la deuda?
c) ¿Qué pago adicional, hecho un mes después del último pago de $3.000, cancelará la deuda?
Solución:
J=24% CM

i=jm= 0,2412=0,02 EM

P=A 1- 1-i-ni
80000=30001-(1+0.02)-n0.02
-0.4666=-(1+0.02)-n
log0.4666=-n log (1.02)
n=38.4940295

80.000$=3.000$ 1+0,0238-10,02 1+0,0238+ x1+0,0238

x=1439,08$

80.000$=3.000$ 1+0,0238-10,02 1+0,0238+ x1+0,0239
x=1467,86622$

Ejercicio 3.9: Resolver el problema anterior suponiendo que se hace un pago adicional de $10.000, con la décima cuota.
Solución:

i= 0.02

80000=30001-(1+0.02)-n0.02+10000(1+0.02)-10
71796.517=30001-(1+0.02)-n0.02
-0.521356553=-(1+0.02)-n
log0.521356553=-n log (1.02)
n=32.89064117

80000=30001-(1+0.02)-320.02+10000(1+0.02)-10+x(1+0.02)-32
x=2622,36$

80.000$=1.0001+0,0210+3.000$ 1- 1+0,02-320,02+ x1+0,0233
x=2674,80$

Ejercicio 3.10: Una maquina cuesta al contado $600.000, para promover las ventas, se ofrece que puede ser vendida en 24 cuotas mensuales iguales, efectuándose la primera el día de la venta. Si se carga un interés del 3% efectivo mensual, calcular el valor de cada pago.

Solución:

A 600.000$24 mes 0 1 2………………………………………………………… A 600.000$24 mes 0 1 2…………………………………………………………
A
600.000$
24 mes
0
1 2…………………………………………………………
A
600.000$
24 mes
0
1 2…………………………………………………………
P=600.000$ valor de la maquina
n=24cuotas mensuales
I=0.03 EM
A=?

P=A 1-1+i-ni 1+i
600.000$=A 1-1+0,03-240,03 1+0,03
600.000$=A 16,93554212 1,03
A=600.000$17,44360839
A=34.396,55298$

Ejercicio 3.11: Un fondo para empleados presta a un socio la suma de $2.000.000 para ser pagado en 3 años, mediante cuotas mensuales uniformes, con intereses sobre saldos al 24% CM. Si en el momento de pagar la sexta cuota, decide pagar en forma anticipada las cuotas 7,8 y 9:

a) ¿Cuál debe ser el valor a cancelar al vencimiento de la sexta cuota?
b) ¿Cuál debe ser el valor de los intereses descontados?

Solución:

P=2.000.000$ préstamo
*n=3años*12 mes1 año=36 mes
j=24CM
m=12
*i=jm=0,2412=0,02EM
P=A1-1+i-ni

2.000.000$=A 1-1+0,02-360,02

A=2.000.000$ 0,021-1+0,02-36

A=78.465,70520$

a)
P=A 1-1+i-ni
P=78.465,6399$ 1-1+0,02-30,02
P=226.285,9347$
El valor a pagar el mes 6.
Es la anualidad del mes 6 más el valor presente de las cuotas 7,8 y 9.
78.465,6399 $ + 226.285,9347 $ = 304.751,6399$

b)
I= F – P
I= (3*78.465,6399)- 226285,9347
I= 9110,9850000

Ejercicio 3.12: Una persona adopta un plan de ahorros del fondo ABC, que establece depósitos mensuales de $ 1.000, comenzando el primero de febrero de 1986 hasta el primero de abril de 1987 y, depósitos mensuales de $ 2.000, desde el primero de mayo de 1987 hasta el primero de diciembre de 1987. El capital así reunido permanecerá en el fondo hasta el primero de junio de 1986, fecha en la cual le será entregado al suscriptor junto con intereses calculados al 12% CM. El plan anterior estaba funcionando perfectamente según lo proyectado pero, por razones comerciales la junta directiva del fondo ABC decidió que, a partir del primero de octubre de 1986, el fondo pagara a todos sus clientes de ahorros el 18% CM. ¿Cuál será el capital que, el primero de junio de 1988, le entregarán a la persona que decidió adoptar el plan?

Sugerencia: 1.000 S9 1%(1+0,015)20+1.000 S61.5%(1+0,015)14
+ 2.000 S81,5%(1+0,01)6
Solución:

F=A (1+i)n-1i
F1=1.000$ 1+0,0109-10,010=9.368,527268$
F2=1.000$ 1+0,0156-10,015=6.229,550930$
F3=2.000$ 1+0,0158-10,015=16.865,67821$
Ft=F11+in+F21+in+F31+in
Ft=9.368,527268 1,01520+6.229,550930 1,01514+16.865,67821 1,0156
Ft=38.732,99514$

Ejercicio 3.13: Una maquina produce 2.000 unidades mensuales las cuales deben venderse a $80 c/u. El estado actual de la maquina es regular y su no se repara podría servir durante 6 meses más y luego desecharla, pero si hoy le hacemos una reparación total a un costo de $800.000, se garantizaría que la maquina podría servir durante un año contado a partir de su reparación. Suponiendo una tasa del 4% efectivo mensual, ¿será aconsejable repararla?
Solución:

Producción=2.000 und/mes
Precio=80$ c/u
A=80*2.000=160.000$
P=800.000$
i=0,04EM
n=6 meses si no se repara
n=12 meses si se repara

Sin repararla
F=A 1+in-1i
F1=160.000$ 1+0,046-10,04=1.061.276,074$
G1=F1 (1+i)n
G1=1.061.276,074$ 1+0,046
G1=1.342.852,800$
Reparándola
F2=160.000$ 1+0,0412-10,04=2.404.128,874$
G2=F2-800.000$ 1+in
G2=2.404.128,874$-800.000$ 1+0,0412
G2=1.123.303,099$
No es aconsejable reparar la maquina porque; la ganancia cuando la maquina no es reparada es mayor que la ganancia cuando la maquina es reparada en: 219.549,7010$.

Ejercicio 3.14: Elaborar una tabla para amortizar la suma de $3.000.000 en pagos trimestrales durante 15 meses con una tasa del 46% CT.
Solución:

P=3.000.000$
n= 15 meses= 5 trimestres
j= 46%CT=0,46CT

i=jm=0,464=11,5ET
A=P i1-1+i-n
A=3.000.000$ 0,1151-1+0,115-5=821.945,3159$

Periodo
Saldo inicial ($)
Interés ($)
Cuota ($)
Amortización ($)
Saldo final ($)
1
3.000.000
345.000
821.945,3159
476.945,3159
2.523.054,684
2
2.523.054,684
290.151,2887
821.945,3159
531.794,0272
1.991.260,657
3
1.991.260,657
228.994,9755
821.945,3159
592.950,3404
1.398.310,317
4
1.398.310,317
160.805,6864
821.945,3159
661.139,6295
737.170,6875
5
737.170,6875
84.774,62906
821.945,3159
737.170,6868
0

Ejercicio 3.15: Elaborar una tabla para capitalizar la suma de $2.000.000 mediante depósitos semestrales durante 3 años. Suponga una tasa del 42% CS.
Solución:

j = 0,42 CS
i=0,422=0,21 ESV

n=3año2 semestre1año=6 semestre
A=2.000.000$ 0,211+0,216-1
A = 196.405,9234 $

Periodo
Saldo Inicial
Interés
Cuota
Incremento
Saldo Final
1
$ 0,00
$ 0,00
$ 196.405,92
$ 196.405,92
$ 196.405,92
2
$ 196.405,92
$ 41.245,24
$ 196.405,92
$ 237.651,17
$ 434.057,09
3
$ 434.057,09
$ 91.151,99
$ 196.405,92
$ 287.557,91
$ 721.615,00
4
$ 721.615,00
$ 151.539,15
$ 196.405,92
$ 347.945,07
$ 1.069.560,08
5
$ 1.069.560,08
$ 224.607,62
$ 196.405,92
$ 421.013,54
$ 1.490.573,62
6
$ 1.490.573,62
$ 313.020,46
$ 196.405,92
$ 509.426,38
$ 2.000.000,00

Ejercicio 3.16: Una persona desea reunir $800.000 mediante depósitos mensuales de $R c/u, durante 5 años en una cuenta que paga el 30% CM. ¿Cuál es el total de intereses ganados hasta el mes 30?
Solución:
j = 0,3 CM
i=0,312=0,025 EMV

n=5año12 mes1año=60 mes
A=800.000$ 0,0251+0,02560-1
A = 5.882,71672 $

Periodo
Saldo Inicial
Interés
Cuota
Incremento
Saldo Final
1
$ 0,00
$ 0,00
$ 5.882,72
$ 5.882,72
$ 5.882,72
2
$ 5.882,72
$ 147,07
$ 5.882,72
$ 6.029,78
$ 11.912,50
3
$ 11.912,50
$ 297,81
$ 5.882,72
$ 6.180,53
$ 18.093,03
4
$ 18.093,03
$ 452,33
$ 5.882,72
$ 6.335,04
$ 24.428,07
5
$ 24.428,07
$ 610,70
$ 5.882,72
$ 6.493,42
$ 30.921,49
6
$ 30.921,49
$ 773,04
$ 5.882,72
$ 6.655,75
$ 37.577,25
7
$ 37.577,25
$ 939,43
$ 5.882,72
$ 6.822,15
$ 44.399,39
8
$ 44.399,39
$ 1.109,98
$ 5.882,72
$ 6.992,70
$ 51.392,10
9
$ 51.392,10
$ 1.284,80
$ 5.882,72
$ 7.167,52
$ 58.559,61
10
$ 58.559,61
$ 1.463,99
$ 5.882,72
$ 7.346,71
$ 65.906,32
11
$ 65.906,32
$ 1.647,66
$ 5.882,72
$ 7.530,37
$ 73.436,70
12
$ 73.436,70
$ 1.835,92
$ 5.882,72
$ 7.718,63
$ 81.155,33
13
$ 81.155,33
$ 2.028,88
$ 5.882,72
$ 7.911,60
$ 89.066,93
14
$ 89.066,93
$ 2.226,67
$ 5.882,72
$ 8.109,39
$ 97.176,32
15
$ 97.176,32
$ 2.429,41
$ 5.882,72
$ 8.312,12
$ 105.488,44
16
$ 105.488,44
$ 2.637,21
$ 5.882,72
$ 8.519,93
$ 114.008,37
17
$ 114.008,37
$ 2.850,21
$ 5.882,72
$ 8.732,93
$ 122.741,30
18
$ 122.741,30
$ 3.068,53
$ 5.882,72
$ 8.951,25
$ 131.692,55
19
$ 131.692,55
$ 3.292,31
$ 5.882,72
$ 9.175,03
$ 140.867,58
20
$ 140.867,58
$ 3.521,69
$ 5.882,72
$ 9.404,41
$ 150.271,98
21
$ 150.271,98
$ 3.756,80
$ 5.882,72
$ 9.639,52
$ 159.911,50
22
$ 159.911,50
$ 3.997,79
$ 5.882,72
$ 9.880,50
$ 169.792,01
23
$ 169.792,01
$ 4.244,80
$ 5.882,72
$ 10.127,52
$ 179.919,52
24
$ 179.919,52
$ 4.497,99
$ 5.882,72
$ 10.380,70
$ 190.300,23
25
$ 190.300,23
$ 4.757,51
$ 5.882,72
$ 10.640,22
$ 200.940,45
26
$ 200.940,45
$ 5.023,51
$ 5.882,72
$ 10.906,23
$ 211.846,68
27
$ 211.846,68
$ 5.296,17
$ 5.882,72
$ 11.178,88
$ 223.025,56
28
$ 223.025,56
$ 5.575,64
$ 5.882,72
$ 11.458,36
$ 234.483,92
29
$ 234.483,92
$ 5.862,10
$ 5.882,72
$ 11.744,81
$ 246.228,73
30
$ 246.228,73
$ 6.155,72
$ 5.882,72
$ 12.038,43
$ 258.267,17
Total Intereses mes 30
$ 81.785,66

Ejercicio 3.17: Para cancelar una deuda de $2.000.000 con intereses al 36% CM se hacen pagos mensuales de $R c/u, durante 15 años.
a) Calcular el valor de la deuda después de haber hecho el pago numero 110
b) Calcular el total de los intereses pagados hasta el mes 110
Sugerencia:
Para la parte a), calcule el valor presente en el mes 110 de los 70 pagos que faltan por cancelar.
Para la parte b), halle la diferencia entre el total pagado y el total amortizado.

Solución:
j = 0,36 CM
i=0,3612=0,03 EMV

n=15año12 mes1año=180 mes
A=2.000.000$ 0,031-1+0,03-180
A = 60.294,83543 $

P=60.294,83543$ 1-1+0,03-700,03
P=1.755.991,898 $

Periodo
Saldo Inicial
Interés
Cuota
Saldo Final
1
$ 2.000.000,00
$ 60.000,00
$ 60.294,84
$ 1.999.705,16
2
$ 1.999.705,16
$ 59.991,15
$ 60.294,84
$ 1.999.401,48
3
$ 1.999.401,48
$ 59.982,04
$ 60.294,84
$ 1.999.088,69
4
$ 1.999.088,69
$ 59.972,66
$ 60.294,84
$ 1.998.766,52
5
$ 1.998.766,52
$ 59.963,00
$ 60.294,84
$ 1.998.434,68
6
$ 1.998.434,68
$ 59.953,04
$ 60.294,84
$ 1.998.092,88
7
$ 1.998.092,88
$ 59.942,79
$ 60.294,84
$ 1.997.740,83
8
$ 1.997.740,83
$ 59.932,23
$ 60.294,84
$ 1.997.378,22
9
$ 1.997.378,22
$ 59.921,35
$ 60.294,84
$ 1.997.004,74
10
$ 1.997.004,74
$ 59.910,14
$ 60.294,84
$ 1.996.620,04
11
$ 1.996.620,04
$ 59.898,60
$ 60.294,84
$ 1.996.223,81
12
$ 1.996.223,81
$ 59.886,71
$ 60.294,84
$ 1.995.815,69
13
$ 1.995.815,69
$ 59.874,47
$ 60.294,84
$ 1.995.395,32
14
$ 1.995.395,32
$ 59.861,86
$ 60.294,84
$ 1.994.962,35
15
$ 1.994.962,35
$ 59.848,87
$ 60.294,84
$ 1.994.516,38
16
$ 1.994.516,38
$ 59.835,49
$ 60.294,84
$ 1.994.057,04
17
$ 1.994.057,04
$ 59.821,71
$ 60.294,84
$ 1.993.583,91
18
$ 1.993.583,91
$ 59.807,52
$ 60.294,84
$ 1.993.096,59
19
$ 1.993.096,59
$ 59.792,90
$ 60.294,84
$ 1.992.594,66
20
$ 1.992.594,66
$ 59.777,84
$ 60.294,84
$ 1.992.077,66
21
$ 1.992.077,66
$ 59.762,33
$ 60.294,84
$ 1.991.545,16
22
$ 1.991.545,16
$ 59.746,35
$ 60.294,84
$ 1.990.996,68
23
$ 1.990.996,68
$ 59.729,90
$ 60.294,84
$ 1.990.431,74
24
$ 1.990.431,74
$ 59.712,95
$ 60.294,84
$ 1.989.849,86
25
$ 1.989.849,86
$ 59.695,50
$ 60.294,84
$ 1.989.250,52
26
$ 1.989.250,52
$ 59.677,52
$ 60.294,84
$ 1.988.633,20
27
$ 1.988.633,20
$ 59.659,00
$ 60.294,84
$ 1.987.997,36
28
$ 1.987.997,36
$ 59.639,92
$ 60.294,84
$ 1.987.342,44
29
$ 1.987.342,44
$ 59.620,27
$ 60.294,84
$ 1.986.667,88
30
$ 1.986.667,88
$ 59.600,04
$ 60.294,84
$ 1.985.973,08
31
$ 1.985.973,08
$ 59.579,19
$ 60.294,84
$ 1.985.257,44
32
$ 1.985.257,44
$ 59.557,72
$ 60.294,84
$ 1.984.520,33
33
$ 1.984.520,33
$ 59.535,61
$ 60.294,84
$ 1.983.761,10
34
$ 1.983.761,10
$ 59.512,83
$ 60.294,84
$ 1.982.979,10
35
$ 1.982.979,10
$ 59.489,37
$ 60.294,84
$ 1.982.173,64
36
$ 1.982.173,64
$ 59.465,21
$ 60.294,84
$ 1.981.344,01
37
$ 1.981.344,01
$ 59.440,32
$ 60.294,84
$ 1.980.489,49
38
$ 1.980.489,49
$ 59.414,68
$ 60.294,84
$ 1.979.609,34
39
$ 1.979.609,34
$ 59.388,28
$ 60.294,84
$ 1.978.702,79
40
$ 1.978.702,79
$ 59.361,08
$ 60.294,84
$ 1.977.769,04
41
$ 1.977.769,04
$ 59.333,07
$ 60.294,84
$ 1.976.807,27
42
$ 1.976.807,27
$ 59.304,22
$ 60.294,84
$ 1.975.816,66
43
$ 1.975.816,66
$ 59.274,50
$ 60.294,84
$ 1.974.796,32
44
$ 1.974.796,32
$ 59.243,89
$ 60.294,84
$ 1.973.745,37
45
$ 1.973.745,37
$ 59.212,36
$ 60.294,84
$ 1.972.662,90
46
$ 1.972.662,90
$ 59.179,89
$ 60.294,84
$ 1.971.547,95
47
$ 1.971.547,95
$ 59.146,44
$ 60.294,84
$ 1.970.399,55
48
$ 1.970.399,55
$ 59.111,99
$ 60.294,84
$ 1.969.216,71
49
$ 1.969.216,71
$ 59.076,50
$ 60.294,84
$ 1.967.998,37
50
$ 1.967.998,37
$ 59.039,95
$ 60.294,84
$ 1.966.743,49
51
$ 1.966.743,49
$ 59.002,30
$ 60.294,84
$ 1.965.450,96
52
$ 1.965.450,96
$ 58.963,53
$ 60.294,84
$ 1.964.119,65
53
$ 1.964.119,65
$ 58.923,59
$ 60.294,84
$ 1.962.748,40
54
$ 1.962.748,40
$ 58.882,45
$ 60.294,84
$ 1.961.336,02
55
$ 1.961.336,02
$ 58.840,08
$ 60.294,84
$ 1.959.881,27
56
$ 1.959.881,27
$ 58.796,44
$ 60.294,84
$ 1.958.382,87
57
$ 1.958.382,87
$ 58.751,49
$ 60.294,84
$ 1.956.839,52
58
$ 1.956.839,52
$ 58.705,19
$ 60.294,84
$ 1.955.249,87
59
$ 1.955.249,87
$ 58.657,50
$ 60.294,84
$ 1.953.612,53
60
$ 1.953.612,53
$ 58.608,38
$ 60.294,84
$ 1.951.926,07
61
$ 1.951.926,07
$ 58.557,78
$ 60.294,84
$ 1.950.189,02
62
$ 1.950.189,02
$ 58.505,67
$ 60.294,84
$ 1.948.399,85
63
$ 1.948.399,85
$ 58.452,00
$ 60.294,84
$ 1.946.557,01
64
$ 1.946.557,01
$ 58.396,71
$ 60.294,84
$ 1.944.658,89
65
$ 1.944.658,89
$ 58.339,77
$ 60.294,84
$ 1.942.703,82
66
$ 1.942.703,82
$ 58.281,11
$ 60.294,84
$ 1.940.690,10
67
$ 1.940.690,10
$ 58.220,70
$ 60.294,84
$ 1.938.615,96
68
$ 1.938.615,96
$ 58.158,48
$ 60.294,84
$ 1.936.479,61
69
$ 1.936.479,61
$ 58.094,39
$ 60.294,84
$ 1.934.279,16
70
$ 1.934.279,16
$ 58.028,37
$ 60.294,84
$ 1.932.012,70
71
$ 1.932.012,70
$ 57.960,38
$ 60.294,84
$ 1.929.678,25
72
$ 1.929.678,25
$ 57.890,35
$ 60.294,84
$ 1.927.273,76
73
$ 1.927.273,76
$ 57.818,21
$ 60.294,84
$ 1.924.797,13
74
$ 1.924.797,13
$ 57.743,91
$ 60.294,84
$ 1.922.246,21
75
$ 1.922.246,21
$ 57.667,39
$ 60.294,84
$ 1.919.618,76
76
$ 1.919.618,76
$ 57.588,56
$ 60.294,84
$ 1.916.912,49
77
$ 1.916.912,49
$ 57.507,37
$ 60.294,84
$ 1.914.125,03
78
$ 1.914.125,03
$ 57.423,75
$ 60.294,84
$ 1.911.253,95
79
$ 1.911.253,95
$ 57.337,62
$ 60.294,84
$ 1.908.296,73
80
$ 1.908.296,73
$ 57.248,90
$ 60.294,84
$ 1.905.250,80
81
$ 1.905.250,80
$ 57.157,52
$ 60.294,84
$ 1.902.113,48
82
$ 1.902.113,48
$ 57.063,40
$ 60.294,84
$ 1.898.882,05
83
$ 1.898.882,05
$ 56.966,46
$ 60.294,84
$ 1.895.553,68
84
$ 1.895.553,68
$ 56.866,61
$ 60.294,84
$ 1.892.125,45
85
$ 1.892.125,45
$ 56.763,76
$ 60.294,84
$ 1.888.594,38
86
$ 1.888.594,38
$ 56.657,83
$ 60.294,84
$ 1.884.957,38
87
$ 1.884.957,38
$ 56.548,72
$ 60.294,84
$ 1.881.211,27
88
$ 1.881.211,27
$ 56.436,34
$ 60.294,84
$ 1.877.352,77
89
$ 1.877.352,77
$ 56.320,58
$ 60.294,84
$ 1.873.378,52
90
$ 1.873.378,52
$ 56.201,36
$ 60.294,84
$ 1.869.285,04
91
$ 1.869.285,04
$ 56.078,55
$ 60.294,84
$ 1.865.068,75
92
$ 1.865.068,75
$ 55.952,06
$ 60.294,84
$ 1.860.725,98
93
$ 1.860.725,98
$ 55.821,78
$ 60.294,84
$ 1.856.252,92
94
$ 1.856.252,92
$ 55.687,59
$ 60.294,84
$ 1.851.645,67
95
$ 1.851.645,67
$ 55.549,37
$ 60.294,84
$ 1.846.900,21
96
$ 1.846.900,21
$ 55.407,01
$ 60.294,84
$ 1.842.012,38
97
$ 1.842.012,38
$ 55.260,37
$ 60.294,84
$ 1.836.977,92
98
$ 1.836.977,92
$ 55.109,34
$ 60.294,84
$ 1.831.792,42
99
$ 1.831.792,42
$ 54.953,77
$ 60.294,84
$ 1.826.451,35
100
$ 1.826.451,35
$ 54.793,54
$ 60.294,84
$ 1.820.950,06
101
$ 1.820.950,06
$ 54.628,50
$ 60.294,84
$ 1.815.283,73
102
$ 1.815.283,73
$ 54.458,51
$ 60.294,84
$ 1.809.447,40
103
$ 1.809.447,40
$ 54.283,42
$ 60.294,84
$ 1.803.435,99
104
$ 1.803.435,99
$ 54.103,08
$ 60.294,84
$ 1.797.244,23
105
$ 1.797.244,23
$ 53.917,33
$ 60.294,84
$ 1.790.866,73
106
$ 1.790.866,73
$ 53.726,00
$ 60.294,84
$ 1.784.297,89
107
$ 1.784.297,89
$ 53.528,94
$ 60.294,84
$ 1.777.531,99
108
$ 1.777.531,99
$ 53.325,96
$ 60.294,84
$ 1.770.563,12
109
$ 1.770.563,12
$ 53.116,89
$ 60.294,84
$ 1.763.385,18
110
$ 1.763.385,18
$ 52.901,56
$ 60.294,84
$ 1.755.991,90
Total intereses mes 110
$ 6.388.423,79

Ejercicio 3.18: Se necesita $1.000.000 para realizar un proyecto de ampliación de una bodega, una compañía A ofrece prestar el dinero, pero exige que le sea pagado en 60 cuotas mensuales vencidas de $36.132,96 c/u. La compañía B ofrece prestar el dinero, pero para que le sea pagado en 60 pagos mensuales de $19.000 c/u y dos cuotas adicionales así: La primera de $250.000, pagadera al final del mes 12, la segunda de $35.000, pagadera al final del mes 24. Hallar la tasa efectiva mensual que cobra cada uno, para decidir que préstamo debe utilizar.

Solución:

i=?

n = 60 mes
1.000.000$=36.132,96$ 1-1+i-60i
1.000.000$-36.132,96$ 1-1+i-60i=0

I
Resultado
0.02
-256.013,7279
X
0
0.04
182.546,3417

Interpolando i=0.03 EMV

n1 = 12
n2 = 24
n3 = 60
1.000.000$=19.000$ 1-1+i-60i+250.000$ 1+i-12+35.000$ 1+i-24
1.000.000$-19.000$ 1-1+i-60i-250.000$ 1+i-12-35.000$ 1+i-24=0
I
Resultado
0.02
-75.182,66156
X
0
0.03
126.642,5125

Interpolando i=0,0237 EMV
Utiliza B

Ejercicio 3.19: ¿A qué tasa nominal, convertible mensualmente está siendo amortizada una deuda de $300.000, mediante pagos mensuales de $10.000, durante 4 años?

Solución:
i=?
j=?
n=4año 12 mes1año=48 mes

n = 48 mes
300.000$=10.000$ 1-1+i-48i
300.000$-10.000$ 1-1+i-48i=0
I
Resultado
0.02
-6.731,195718
X
0
0.03
47.332,93365

Calculando j=i m=0,02124·12=0,02549 CM

Ejercicio 3.20: ¿A qué tasa nominal, convertible trimestralmente, está reuniéndose un capital de $400.000, mediante depósitos trimestrales de $20000c/u durante 3 años?
Solución:
i=?
j=?

n=3año 4 trimestre1año=12 trimestre

n = 12 trimestre
400.000$=20.000$ 1+i12-1i
400.000$-20.000$ 1+i12-1i=0
I
Resultado
0.08
20.457,4708
X
0
0.09
-2.814,395951

Interpolando i=0,08879 ETV
Calculando j=i m=0,08879·4=0,3551 CT

Ejercicio 3.21: Una entidad financiera me propone que le deposite mensualmente $10.000 durante 3 años, comenzando el primer deposito el día de hoy y me promete devolver al final de este tiempo la suma de $7.000.000. ¿Qué tasa efectiva mensual me va a pagar?
Solución:

i=?
n=3año 12 mes1año=36 mes

n = 36 mes
7.000.000$=10.000$ 1+i36-1i (1+i)
7.000.000$-10.000$ 1+i36-1i (1+i)=0
I
Resultado
0.12
1.574.013,1
X
0
0.14
-2.025.070,838


Ejercicio 3.22: Un señor compro un automóvil, dando una cuota inicial del 20% y el saldo lo cancela con cuotas mensuales de $317.689,78 durante 3 años. Después de efectuar el pago de la cuota 24, ofrece cancelar el saldo de la deuda de un solo contado y le dicen que su saldo en ese momento asciende a la suma de $3.060.928.56.
a) Calcular con 2 decimales exactos la tasa efectiva mensual que le están cobrando.
b) Calcular la tasa efectiva anual equivalente que le cobran.
c) ¿Cuál es el costo total del automóvil?

Solución:

Como los pagos antes del 24 ya están pagados y el saldo de la deuda en 24 es el equivalente de lo que se debe en las cuotas restantes tomamos este factor.

VP=R1-1+ini 3060928,56=317689,781-1+i-12i
317689,781-1+i-12i-3060928,56=0

Con calculadora científica e introduciendo la ecuación, arroja un valor de i=0,0355 y con interpolación tomamos como intervalo:

X1-XX1-X2=Y1-YY1-Y2 0,0354-X0,0354-0,0356=1799,66-01799,66--1798,083669

0,0354-X3597,744=1799,660,0354-0,0356
0,0354-X3597,744=-0,359932
0,0354-X=-1*10-4
X=0,0354+1*10-4 X=0,0355 EM=3,55% EM

1+0,035512=1+X2 X2=0,51985 EA=51,985% EA

0,8P=317689,781-1,0355-360,0355 0,8P=6400000,028
P=6400000,0280,8=$ 8000000,035
Ejercicio 3.23: Una persona necesita comprar hoy una máquina, el modelo A cuesta 300.000$; el modelo B cuesta 500.000$, el C 700.000$ y el modelo D 900.000$. Si la persona puede hacer 36 pagos mensuales de máximo 30.000$ durante 3 años, pero comenzando el primer pago al final de 6 meses ¿cuál será el modelo más costoso que podrá comprar? Suponga una tasa del 30% CM.
Solución:

j= 0,30 CM
Reemplazando j en i
i =jm= 0,3012= 0,025 EMV

En este ejercicio podemos observar que es una Anualidad Diferida luego para buscar el VP se tomó la anualidad en n = 36 años y para llevarlo al presente se toma el n= 5 años
VP=300.000$ 1-1+0,025-360,025 1+0,025-5=624.608,805$

Ejercicio 3.24: Una persona solicita un préstamo el día 1 de marzo de 1989 y planea efectuar pagos mensuales de 12.000$, desde el 1de octubre de 1989, hasta el 1 de agosto de 1990.
Si un interés del 3,5% efectivo mensual, ¿Cuál será el valor del préstamo?
Solución:

i=0,035 efectivo mensual

En este ejercicio podemos observar que es una Anualidad Diferida donde el primer pago se hace en el mes 7 hasta el mes 17, luego para buscar el VP se toma la anualidad n =11 meses y para llevarlo al presente se toma el n= 6 meses
VP=12000$1-1+0,035-110,0351+0,035-6=87.873,2108$
El préstamo será de 87.873,2108$

Ejercicio 3.25: Un señor deposita el primero de abril de 1986 $10.000, en un fondo que paga el 36% CS
¿cuántos retiros semestrales de $8.000 podrá hacer, si el primer retiro lo hace el primero de abril de 1989?
¿cuál será el valor del retiro adicional que hecho un período después del último pago de $8.000 cancelará el fondo?
Solución:

a)
F1=10.000$ 1+0,185=22.877,57757$
P=A 1-1+i-ni PiA=1-(1+i)-n
(1+i)-n =1-PiA
1(1+i)n=1-PiA
1 1-PiA=(1+i)n
n=-log1-22.877,57757 0,188000log(1+0,18)
n=4,36869303
R/ 4 semestres 2 día

b)
F=8.000$ 1+0,184-10,18=41.723,456$
F=22.877,57757$ 1+0,184=44.354,5386$
44.354,5386$-41.723,456$=2.631,9826$
2.631,9826$ 1,18=3.104,677468$

Ejercicio 3.26: Suponiendo una tasa del 36% CM, Cuál será el valor presente de:
a) $200.000, al final de cada mes en forma indefinida.
b) $200.000, al principio de cada mes indefinidamente.

Solución:

i=jm=0,3612=0,03

p2=A3i=200.000$0,03=6.666.666,667$

Ejercicio 3.27: Un inversionista deposita hoy $100.000 y $300.000, en 3 años; al final del año 5, comienza a hacer depósitos anuales de $50.000, durante 6 años, ¿Cuánto dinero podrá retirarse en forma indefinida, comenzando al final del año 14? Utilice una tasa del 20% efectivo anual.
Solución:

i=0,2 EA
100000+3000001,2-3+500001-1,2-60,21,2-4=R0,21,2-13
R=$ 757079,6137

Ejercicio 3.28: Un grupo de benefactores decide dotar a un hospital de los equipos de laboratorio que necesita, se estima que el costo de los equipos el día primero de julio de 1990 será de $4.000.000 y que necesitará $300.000 trimestralmente, como costo de funcionamiento en forma indefinida, a partir del primero de abril de 1991, fecha en la cual entrará en funcionamiento. ¿Cuál debe ser el valor de la donación que se haga el día primero de enero de 1990 si el dinero es invertido inmediatamente en una fiduciaria que garantiza el 24% CT?
Solución:
Lo primero que hay que hacer es trabajar con n en trimestres.

Utilizamos anualidades perpetuas para buscar el valor presente.
J = 0,24; m= 4; i=0,244=0,06
VP= 4000.000$1+0,062+300.000$0,06*1+0,06-4=752.0454,08$

Ejercicio 3.29: Una empresa pretende tomar una casa-lote que requiere la suma de $2.000.000 anuales como costo de mantenimiento y de $3.000.000 cada 4 años para reparaciones adicionales. Por otra casa-lote que le ofrecen, se requerirá de una suma de $3.000.000 anuales para mantenimiento y de $2.500.000 cada tres años para reparaciones adicionales. Si la casa-lote se usará por tiempo indefinido y suponiendo una tasa de interés del 35% efectivo anual, ¿Cuál de las dos alternativas es más conveniente tomar?
Solución:
Caso 1:

i=0.35 EAV
Convertimos las cuotas de cada cuatro años en cuotas mensuales equivalentes

A1=Fi1+in-1

A1=30000000.351+0.354-1=452.292,56 $
ATotal=A1+A2=452.292,56+2.000.000=2.452.292.56 $
P=Ai=2.452.292.560.35=7.006.550,17 $
Caso 2:

i=0.35 EAV
Convertimos las cuotas de cada 3 años en cuotas mensuales equivalentes

A1=Fi1+in-1
A1=2.500.0000.351+0.353-1=599.161,17 $
ATotal=A1+A2=599.161,17+3.000.000=3.599.161,17 $
P=Ai=3.599.161,17 0.35=10.283.317,64 $
R/ debe escoger la casa local 1, ya que genera menos gastos.

Ejercicio 3.30: Con intereses al 24% CT, ¿Cuál debe ser el valor de los pagos semestrales vencidos que, hechos por 10 años, amortizarán una deuda de $1.200.000?
Solución:

i= 0,24 CTV
n= 10 año=20 semestre
P= 1.200.000 $
A= ?

i=jm=0,244

i= 0,06 ETV

(1+i1)m1= (1+i2)m2
(1+0,06)2= (1+i2)1
(1+0,06)2-1= i2
i2 = 0,1236 ESV

A=P i1-(1+i)-n

A=1.200.000 $ 0.12361-(1+0.1236)-20

A=164.292,9168 $

Ejercicio 3.31: Resolver el problema anterior si los pagos son anticipados.
Solución:

i= 0.24 CTV
n= 10 año=20 semestre
P= 1.200.000 $
A= ?

i=jm=0,244

i= 0.,06 ETV

(1+i1)m1= (1+i2)m2
(1+0,06)2= (1+i2)1
(1+0,06)2-1= i2
i2 = 0,1236 ESV

A=P(1+i) i1-(1+i)-n

A=1.200.000$(1+0,1236) 0,12361-(1+0,1236)-20

A=146.220,1111 $

Ejercicio 3.32: Una persona compra un artículo por $600.000, si da una cuota inicial del 40% y cancela el saldo, en cuotas trimestrales vencidas, de $50.000 c/u tanto tiempo como fuere necesario, y suponiendo intereses al 36% CM, hallar el número de pagos de $50.000 y el pago final que hecho tres meses después del último pago de $50.000, cancelará la deuda.
Solución:

J=36 % CM
i=0.3612=0,03 EMV

1+0,0312=1+i14
1+0,033-1=i
i=0,092727 ETV

P=A1-1+i-ni
360.000=50.0001-1+0,092727-n0,092727
360.00050.000=1-1+0,092727-n0,092727
7,2(0.092727)=1-1+0,092727-n
0,6676344-1=-1+0,092727-n
-0,3323656=-1+0,092727-n
0,3323656=1+0,092727-n
0,3323656=11,092727n
1,092727n=10,3323656
1,092727n=3,008734959
nlog1,092727=log3,008734959
n=log3,008734959log1,092727=12,4217901 trimestres
n=12 trimestres completos

P=A1-1+i-ni+x1+i-n
360.000=50.0001-1+0,092727-120,092727+x1,092727-13
360.000=353.169,8291+x1,092727-13
360.000-353.169,82911,092727-13=x
21.631,33539 $=x

Ejercicio 3.33: Si se deposita mensualmente la suma de $1.000 en un fondo que paga el 27% CM y adicionalmente, deposita $2.000 cada 3 meses ¿Cuánto se habrá acumulado, al final de 5 años?
Solución:

Pasamos los pagos trimestrales a mensuales
J = 0,27; m= 12; i=0,2712=0,0225; 5 años = 60 meses
A2=2.000$*0,02251+0,02253-1=651,889154$
A1=1.000$

VF=1.000$1+0,022560-10,0225+651,889154$1+0,022560-10,0225=205578,324$

Ejercicio 3.34: Un señor desea comprar una póliza de seguro que garantice a su esposa el pago de $40.000 mensuales durante 10 años y adicionalmente $50.000 al final de cada año durante este mismo periodo. Si el primer pago se efectúa al mes del fallecimiento del señor, hallar el valor de la póliza de seguro suponiendo que la compañía de seguros garantiza el 24% CM.
Solución:

P = P1 + P2

Para P1
i=0,24/12
i= 0,02%

P1 = 40.000$ 1+0,02120-10,021+0,02120
P1 = 1.814.215$
Para P2
i = 0,24
P2= 50 000$ 1+0,2410-10,241+0,2410
P2= 169.084$

P = 1.814.215$ + 169.084$ = 1.983.299$

Ejercicio 3.35:Se desea cancelar una deuda de $900.000 en pagos mensuales de $R durante 3 años, el primero al final de un mes, y además se efectuaran abonos semestrales extraordinarios de una y media veces la cuota ordinaria, el primero de estos al final de 6 meses. Suponiendo una tasa del 36% CM. ¿Cuál debe ser el valor de las cuotas ordinarias y el de las cuotas extraordinarias?
Solución:

i=0,2 EA
100000+3000001,2-3+500001-1,2-60,21,2-4=R0,21,2-13
R=$ 757079,6137

Ejercicio 3.36: Se compra un carro en $12.000.000 mediante el pago de 48 cuotas mensuales vencidas de $R c/u y cuotas trimestrales vencidas de $400.000 c/u durante 4 años. Si se cobra una tasa del 44% efectivo anual, determinar el valor de $R.
Solución:

Pasamos la tasa anual a una tasa mensual vencida
1+0.441=1+i12
1+0.44112-1=i
i=0.03085332 EMV
De igual manera pasamos la tasa anual a una tasa trimensual vencida
1+0.441=1+i4
1+0.4414-1=i
i=0.095445115 ETV
Calculamos el valor presente de las cuotas trimestrales que son pagas a 400.000$
P=A1-1+i-ni
P=4000001-1+0.095445115-160.095445115
P=3.216.223,106
Luego obtendremos el valor que se repartirá en las cuotas mensuales de R$
P=12.000.000- 3.216.223,106
P=8.783.776.894

Ahora obtendremos el valor de las cuotas mensuales R$
A=Pi1-1+i-n
A=8.783.776.8940.030853321-1+0.03085332-48
A=353.137,09

Ejercicio 3.37: Con una tasa del 25% efectivo anual, ¿Cuál debe ser el valor presente de una anualidad infinita de $600.000 al final de cada 4 años? Utilice cambio de tasa.
Solución:
ianual=0,25
1cuadrienio=4años
icuadrienio=1+0,254-1=1,44140625
Como es perpetuo n- y es cada 4 años se aplica la siguiente formula
A= 600.000$
VP=600.000$1,44140625=416.260,1626$

Ejercicio 3.38: Resuelva el problema anterior modificando los pagos.
Solución:

ianual=0,25

A1=600.000$*0,251+0,254-1=104.065,041$

Como es perpetuo n- y ahora es cada 1 años se aplica la siguiente fórmula para hallar el valor presente.
VP=104.065,041$0,25=416.260,163$

Ejercicio 3.39:Reemplazar pagos de $200.000 hechos cada 2 años por pagos equivalentes cada 5 años suponiendo una tasa del 30% efectivo anual.
Solución:

Pasamos la tasa anual a una tasa bianual
1+0,301=1+i2
i=0,69 EBiV
Luego calculamos el valor presente
P=200.000$0,69
P=289.855,0725$
Ahora calculamos los pagos que se deberían realizar cada 5 años

1+0,301=1+i5
i=2,71293 EQV
A=289.855,0725$ 2,71293$
A=786.356,5218 $

Ejercicio 3.40: Con una tasa del 20% efectivo anual, ¿Qué es más conveniente para una universidad, recibir una renta perpetua de $800.000 cada 5 años comenzando el primer pago en el cuarto año, o recibir $200.000 anuales de renta perpetua comenzando el primero dentro de un año?
Solución:
i=0,2 EAV

Opción 1:

Convertimos las cuotas cada 5 años en cuotas anuales.
A=Fi1+in-1=800.0000,21+0,25-1=107.503,7626 $

Hallamos el valor presente
P=Ai=107.503,7626 0,21,2=654.022,5758 $

Opción 2:

P=Ai=200.000 0,2=1.000.000 $

R/: La segunda opción genera mejores dividendos.
Ejercicio 3.41: Una máquina llegara al final de su vida útil dentro de 2 años, para esa época una nueva máquina que se adquiera costara $900.000 y se estima que la maquina vieja podrá ser recibida en parte de pago de la nueva suma de $200.000. ¿Qué deposito trimestral debo hacer en una cuenta que paga el 30% CM con el objeto de hacer la compra en el momento oportuno si el primer deposito lo hago al final de 6 meses?
Solución:

j= 0,30 CM
Reemplazamos j en i:
i= jm = 0.3012 = 0.025 EMV
Pasamos i EMV a i ETV:
1+i2m2=1+i1m1
1+0.02512=1+i14
1+0.02512/4-1=i1
i1=0.76896625 ETV
Despejamos A de F:
F= 1+in-1i
A=F1+in-1i = 700.0001+0.0768966257-10.076896625 = 79.200,8165 $

Ejercicio 3.42: Una fábrica se puede comprar en la suma de $1.000.000, la cual produce 2.000 unidades mensuales de un cierto artículo que podrá ser vendido durante los primeros 6 meses a $30 la unidad y en $50 la unidad los siguientes 6 meses. El inversionista piensa que podrá vender la fábrica al final de un año en la suma de $1.200.000. Si el inversionista gana normalmente en todos sus negocios el 5% efectivo mensual, ¿Le aconsejaría usted que comprara la fábrica?
Solución:
Unidades mensuales=2000 $
1-6 mes=30$mes
7-12 mes=50$mes
Valor de salvamento=1.200.000 $
i=0.05EMV

PIngresos=A1-1+i-ni+A1-1+i-ni1+i-n+P1+i-n
PIngresos=600001-1+0.05-60.05+1000001-1+0.05-60.051+0.05-6+12000001+0.05-12
PIngresos=304.541,524+378.755,9569+668.204,9018
PIngresos=1.351.502,383 $
PEgresos=1.000.000 $
PIngresos˃PEgresos si se aconseja ya que los ingresos en su valor actual superan a los egresos.

Ejercicio 3.43: Calcular la tasa que gana el inversionista del problema anterior.
Solución:
Unidades mensuales=2000 $
1-6 mes=30$mes
7-12 mes=50$mes
Valor de salvamento=1.200.000 $
i=0.05EMV

600001-1+i-6i+1000001-1+i-6i1+i-6+12000001+i-12=1000000
600001-1+i-6i+1000001-1+i-6i1+i-6+12000001+i-12-1000000=0
Interpolamos
i
f(i)
0,0100
958627,75868348
0,0200
779668,69716209
0,0300
620368,59783320
0,0400
478338,36127606
0,0500
351502,38276725
0,0600
238054,65729052
0,0700
136421,39435441
0,0800
45229,12550925
0,0900
-36722,54582224

i-0,080,09-0,08=0-45229,12550925-36722,54582224- 45229,12550925
i-0,080,01=0,551899976
i=0,5518999760,01+0,08
i=0,085518999=8,551899977% EMV

Ejercicio 3.44: Hoy primero de noviembre de 1999 se tiene una obligación a la que le restan 18 cuotas mensuales anticipadas de $827.643c/u para terminar de pagarse. EI acreedor desea cambiar la forma de pago de su deuda y pacta realizar 10 pagos trimestrales vencidos de $2.965.345,96 c/u. ¿En qué fecha deberá realizar el primer pago de la nueva anualidad? Utilice una tasa del 36,5% efectivo anual.
Solución:

i=0,385 EMV

Nueva forma de financiación
ʃʃʃʃ
ʃʃ
ʃʃ
Hallamos una tasa mensual
1+i2m2=1+i10m1
1+0,3851=1+i1012
1+0,385112-1=i
i=0,027513368 EMV
Reemplazamos las cuotas trimestrales por mensuales equivalentes:
A=pi1-1+i-3
A=2.965.345,46(0,027513368)1-1+0,027513368-3=1.043.331,786$mes
Como son 10 trimestres encontramos en total 30 cuotas por el mismo valor anterior.

A1-1+i-ni1+i=A1-1+i-ni11+in
827.6431-1+0,027513368-180,0275133681+0,027513368=1.043.331,7861-1+0,027513368-300,02751336811+0,027513368n
11.945.907,72=21.123.032,111,027513368n
1,027513368n=21.123.032,1111.945.907,72
1,027513368n=1,768223278
nlog1,027513368=log1,768223278
n=log1,768223278log1,027513368
n=21,00000062
n 21 meses
Contados a partir de 1-Nov-1999, 21 meses llega al 1-Agost-2001, en el cual debe hacerse el primer pago de la nueva cuota.

BIBLIOGRAFÍA





CAPÍTULO 4

GRADIENTES

INTRODUCCIÓN

En algunas ocasiones durante la vida de un proyecto de inversión, algunos o todos los pagos, aumentan o disminuyen de una manera armónica, la secuencia de pagos que siguen esta armonía, se llama gradiente.

Definición (Gradiente-g): Es una serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones:

Todos los pagos cumplen con una ley de formación.

Los pagos se realizan a iguales intervalos de tiempo.

La tasa de interés en la serie gradiente es la misma

El número de pagos es igual al número de periodos.

Existen diferentes series de pagos que son gradientes, cuando el crecimiento periodo a periodo es "constante" la serie se llama aritmética o lineal; hay otra serie de pagos que siguen las reglas de una serie geométrica y por esto se llama geométrica.

GRADIENTE ARITMÉTICO

Una serie de pagos es aritmética cuando un pago cualquiera es mayor o menor que el anterior en una cantidad constante, el diagrama de flujo de caja, cuando g es positivo, es decir, el flujo es creciente, es como sigue:

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL VALOR PRESENTE DE UNA SERIE ARITMÉTICA CON g POSITIVO

Si observamos la serie de la figura 4.1, vemos que se puede dividir en dos (2) diagramas de flujo de caja, cuya suma da como resultado el diagrama original

El valor presente PT es la suma de los dos presentes (PA y Pg).

El valor presente PA se encuentra mediante la fórmula

Llevando todo el flujo al momento cero

Multiplicando la ecuación (4.2) por (1+i) se tiene que

Restando a la ecuación (4.3) la ecuación (4.2) se tiene que

La expresión que está entre corchetes en (4.4) es una serie geométrica con y .

Como

Reemplazando la expresión entre corchetes por S y la ecuación (4.4) queda así:

Si conocemos el valor presente podemos encontrar las anualidades equivalentes Ag y el futuro equivalente Fg

Reemplazando P por Pg de la ecuación (4.5) se tiene que

El valor futuro en general está dado por la fórmula , si se reemplaza en la fórmula P por Pg en la ecuación (4.5) se tiene que

Ejemplo 4.1: Un documento exige hacer 12 pagos mensuales vencidos. Si el primer pago es de $6.000 y cada uno de los siguientes disminuye en $800, encontrar

¿Cuál será el valor del último pago?

¿Cuál será el valor final de todos ellos, suponiendo una tasa del 36% CM?

Solución

n=12 mes j=0,36 CM EVM A=6.000$

Este problema sigue una serie gradiente decreciente con ; su diagrama de flujo es el siguiente:

El último pago sigue la fórmula

Un diagrama equivalente a la figura 4.5 es el siguiente

GRADIENTE ARITMÉTICO CUANDO n

El valor presente de una serie gradiente es la suma de dos presentes (PA + Pg); encontremos el límite de esta suma cuando n tiene a infinito

Sumando los dos límites tenemos que

GRADIENTE GEOMÉTRICO

Algunas veces el flujo de caja cambia de un periodo a otro en un porcentaje E; supongamos que el pago al final del primer periodo es D, entonces el pago en el segundo periodo es y así sucesivamente. Veamos cuáles son los pagos desde el primero hasta el último pago.

Primer pago: D

Segundo pago:

Tercer pago:
.
.
.
.
Enésimo pago:
El diagrama de flujo es el siguiente

DEDUCCIÓN DEL VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO

Si hacemos fecha focal en el momento cero y llevamos el flujo positivo a momento cero, tenemos la siguiente ecuación de valor

Si la ecuación (4.9) la multiplicamos por (1+i) tenemos que

El segundo miembro de la ecuación (4.10) es una serie geométrica con y .
Luego la suma del segundo miembro de la ecuación (4.10) es .

Resumiendo la ecuación (4.10) tenemos que

Si E=i, la ecuación (4.10) se simplifica así:

DEDUCCIÓN DEL VALOR FUTURO DE UNA SERIE GEOMÉTRICA

El valor futuro en general está dado por la fórmula , si reemplazamos en ella el valor P de la ecuación (4.11), tenemos que

Simplificando tenemos que

En cálculo diferencial se aplica una regla que se llama Regla de L'Hôpital en honor al matemático que la creó. Se aplica para encontrar límites que son de la forma o , matemáticamente se enuncia así:

Ejemplo: Encontrar el límite de la siguiente expresión

Solución

Si reemplazamos x=1 nos queda

Esto es indeterminado; si derivamos el numerado y el denominador de la expresión original se tiene que

Planteando la regla de L'Hôpital

Si en la ecuación (4.13) aplicamos la regla de L'Hôpital; es decir, derivando el numerador y el denominador, asumiendo que E es variable y se acerca a i constante

Luego

,

Esto es:

,

Como E=i entonces,

GRADIENTE GEOMÉTRICO INFINITO

Cuando , la ecuación tiene aplicación para la emisión de acciones. La ecuación (4.11) se puede representar así

, para

En la expresión que está entre corchetes, estudiemos para valores de E:

E>i y

Si E>i entonceses mayor que 1 y si , entonces tiende a infinito. Si en la ecuación (4.11) reemplazamos por se tiene que no tiende a ningún valor

E=i y

Si E=i, la ecuación (4.11) se transforma en la ecuación (4.12), es decir, y si , entonces y no tiende a ningún valor.

E
Si E

Resumiendo todas las fórmulas de gradiente tenemos:

Gradiente aritmético

, para

Gradiente geométrico

, para

, para E=i

, para

, para

Si

, para

, para E
Ejemplo 4.2: Hallar el valor presente de 15 pagos que decrecen linealmente en $400, si el primer pago es de $5.000 y la tasa efectiva es del 4%

Solución

n=15 g=-400$ A=5.000$ i=0,04 PT=?

Ejemplo 4.3: Con interés efectivo del 10%, hallar el valor final del siguiente flujo de caja

Periodo
1
2
3
4
5
6
7
8
Valor
$6.000
$4.500
$3.000
$1.500
0
-$1.500
-$3.000
-$4.500

Solución
Observando la tabla nos damos cuenta que es una serie gradiente aritmético

n=8 g=-1.500$ i=0,10

Ejemplo 4.4: Hallar el primer pago de un gradiente lineal creciente en $300, que tenga 50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen en un 20%, con primer pago de $1.000, suponga una tasa del 20%.

Solución

g=300$ n=50 E=20% D=1.000$ i=20% A=?

Ejemplo 4.5: Una persona quiere comprar un automóvil, que actualmente cuesta $4.000.000; para tal fin, decide establecer un fondo mediante depósitos mensuales crecientes en un 4%. Si el primer depósito es de $60.000, que se hace al final de un mes, ¿cuánto tiempo le llevará reunir el dinero necesario para la compra, si el automóvil sube de precio cada mes un 1%? Suponga una tasa del 4% efectivo mensual

Solución

4.000.000$ (Valor actual del automóvil)

n=?

E1=4% (Crecimiento mensual de los depósitos)

D=60.000$ (Primer depósito)

E1=1% (Crecimiento mensual del automóvil )

I=4% EMV (Tasa de interés en el mercado)

Si planteamos la evolución del precio del automóvil mediante un diagrama de flujo se tiene que

Si planteamos la evolución de los depósitos mensuales mediante otro diagrama de flujo se tiene que

El valor futuro de los depósitos debe ser suficiente para comprar el automóvil en el futuro; esto significa que el valor futuro del automóvil debe ser equivalente al acumulado en el fondo; planteando esto mediante una ecuación de valor tenemos que

i F(i) 0,10 0,5389348716 0,20 0,5331790123 0,39 0,01939764144 0,40 -0,01356577616 i F(i) 0,10 0,5389348716 0,20 0,5331790123 0,39 0,01939764144 0,40 -0,01356577616Esta ecuación se resuelve por interpolación; dando valores a n hasta que se cumpla la ecuación
i
F(i)
0,10
0,5389348716
0,20
0,5331790123
0,39
0,01939764144
0,40
-0,01356577616

i
F(i)
0,10
0,5389348716
0,20
0,5331790123
0,39
0,01939764144
0,40
-0,01356577616

n

10
356,450
15
308,537
20
235,254
25
128,477
28
44,110
29
12,027
29,5
-4,815

Se interpola así:

29
12,027

x
0

29,5
-4,818

Ejemplo 4.6: Un padre quiere reunir una cantidad mediante depósitos anuales uniformes comenzando hoy (1 de enero de 1984) y terminando el 1 de enero de 1990, en un fondo que paga el 28% nominal semestral, su objetivo es el de garantizar a su hijo el estudio universitario, que se estima durará unos 6 años y empezará el 1 de enero de 1990. Actualmente, la matricula semestral cuesta $30.000, pero aumentará todos los semestres un 8%. Calcular el valor de los depósitos anuales.

Solución

j=28% NS ESV

EAV

Se busca el valor futuro de los depósitos anuales anticipados al final del año 91

Se busca el valor de la serie gradiente con D=75.545,10

Se traslada el valor futuro F1 al momento 11 y se iguala con P11


Ejercicio 4.1: Hallar el valor de $X del siguiente flujo de caja, con intereses al 30%

Solución:
i = 0,3
x=A 1+in-1i (1+i)n+A 1+in-1i+gi 1+in-1i-n+A 1-1+i-ni+gi 1-1+i-ni-n1+in

x=80$ 1+0,33-10,3 (1+0,3)2+100$ 1+0,32-10,3+20$0.3 1+0,32-10,3-2+140$ 1-1+0,3-50,3+20$0.3 1-1+0,3-50,3-51+0,35
x=539,448$+250,001$+413,5785884$
x=1.203,0275884 $

Ejercicio 4.2: Hallar $X del siguiente flujo de caja, con tasa del 20%:

Solución:

i=0.2
E=0.5
x=A 1+in-1i+gi 1+in-10,2-n 1+in+x+F 1+i-n=D 1+En 1+i-n-1E-i 1+i-n
x=100$ 1+0,24-10,2+40$0,2 1+0,24-10,2-4 1+i2+x+500$ (1+0,2)-8=100$ (1+0,5)5 (1+0,2)-5-10,5-0,2 1+0,2-1
x=-713,327294 $
Ejercicio 4.3: Con tasa de 25%, hallar $X del siguiente flojo de caja
Período
1
2
3
4
5
6
7
8
Valor($)
2000
2500
3125
3906.25
4882.81
0
X
-50000

Solución:

i=0.25

500001+0,25-8-X1+0,25-7-4882,811+0,25-5-3906,251+0,25-4-31251+0,25-3-25001+0,25-2-20001+0,25-1=0
8388,608-0,2097152X-1599,9991808-1600-1600-1600=0
388,6088192=0,2097152X
X=1853,02

Ejercicio 4.4: ¿Cuántos pagos mensuales deben hacerse para cancelar una deuda de $2.000.000, con intereses del 36% CM, suponga que la primera cuota es de $50.000 y que la cuota crece en $500 mensualmente?

Solución:
i=36% CM

i=0,3612=0.03 EMV
g=500$
2.000.000,00$=50.000$ 1-1+0,03-n0,03+500$0,03 1+0,03n-10,03-n1+0,03n
n=96,2886 lo que es igual a 97 meses

Ejercicio 4.5: Con interés efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie:
Período
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Valor($)
300
500
700
900
1100
1300
1000
700
400
100
-200
-500

Solución:

Para hallar el valor final de la serie debemos hallar el valor final de la parte creciente y el valor final de la parte decreciente.
Vf= fcreciente(1+i)n+fdecreciente

Vf= 3001.146-10.14+2000.141.146-10.14(1.14)6+ 10001.146-10.14+(-3000.14)1.146-10.14-6

Vf= 13.571,13217+3.102,264294
Vf= 16.673,39646

Ejercicio 4.6: Con interés efectivo del 10% hallar el valor presente de la siguiente serie utilizando gradientes:
Período
1
2
3
4
5
6
7
8
Valor($)
30
45
60
80
90
105
125
135

Sugerencia: divida las cuotas de los períodos 4 y 7, de forma tal que una parte esté de acuerdo con la ley de formación del gradiente y el excedente lo puede considerar como cuota adicional.
Solución:

P= Pa+Pg
P=301-1+0.10-80.10+150.11-1+0.10-80.1-81+0.108
P= 400,4778593 $
P= f(1+i)-n
P= 5(1+0.10)-4
P= 3,415067277 $

P= f(1+i)-n
P= 5(1+0.10)-7
P= 2,565790591

Pt= 400,4778593 $+3,415067277 $+2,565790591
Pt=406.46 $

Ejercicio 4.7: Con interés efectivo del 10% hallar el valor presente de la siguiente serie utilizando gradientes:
Período
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Valor($)
30
45
60
80
90
105
120
130
150
165
180

Solución:

P= Pa+Pg
P=301-1+0.10-110.10+150.11-1+0.10-110.1-111+0.1011
P= 590,7960468 $

P= f(1+i)-n
P= 5(1+0.10)-4
P= 3,415067277 $

P= f(1+i)-n
P= -5(1+0.10)-8
P= -2,332536901 $

Pt= 590,7960468 $+3,415067277 $-2,332536901$
Pt=591,878785772 $

Ejercicio 4.8: Con una tasa del 6% hallar el valor presente de la siguiente serie usando gradiente.
Período
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Valor($)
60
60
60
60
72
86.4
103.68
124.42
158.7
179.16
215

Solución:

Vp1=601-1+0,06-40,06
Vp1=207,91
2.
Rn=R11+Gn-1
G=RnR113-1
G=124,427213-1
G=0,20
Vpd=72 1+0,241+0,06-4-10,2-0,06
Vpd=330,4
Trasladamos todo a las fecha focal que la ubicaremos en 1
Vpd=207,91+330,421+0,06-4+158,71+0,06-9+179,161+0,06-10+2151+0,06-11
Vpd=776,8692006
Ejercicio 4.9: Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos si el primero vale $1.000 y son crecientes en un 10%. Suponga una tasa efectiva del 8%.
Solución:
n= R=100 G=10% i=8%

Vp= limn R1+Gn1+i-n-1G-i
Vp=RG-ilimn 1+Gn1+i-n-1
Vp=RG-ilimn 1+G1+in-1
Vp=10000,1-0,08limn 1+0,11+0,08n-1
Vp=

Ejercicio 4.10: ¿Cuál es el valor presente de una serie infinita de pagos mensuales que crecen cada mes en $3.000 y cuyo primer pago es de $20 000. Suponga una tasa del 2.5% efectivo mensual?.
Solución:
n= R=20000 i=2,5% L=3000
Vp=Ri+Li2
Vp=20000,025+30000,0252
Vp=5600000$

Ejercicio 4.11: Para mantener en buen estado una carretera veredal, los hacendados de la región desean establecer un fondo, para proveer las reparaciones futuras. Estas se estiman en $1.000.000 para el próximo año; también, se estima que su costo se incrementará todos los años en un 18%. Hallar el valor del fondo, suponiendo un interés del 28% efectivo anual.
Solución:
G=18%=0.18 crecimiento n=
i=28%=0.28 EAV G R=1000.000 $
Vp=1000.000 $0,28-0.18=10.000.000 $

Ejercicio 4.12: Hallar el valor presente de 24 pagos mensuales que crecen cada mes un 2%. Suponga una tasa del 2% efectivo mensual y que el primer pago es de $5 000.
Solución:
G=2%=0.02 crecimiento n=24 meses
i=2%=0.02 EMV G=i Vp=R n1+i
R=5.000 $
Vp=5.000 $1+0.02=117.647,0588 $

Ejercicio 4.13: Hallar el valor presente de un gradiente infinito de pagos mensuales que crecen un 2% y cuyo primer pago es de $8.000
Suponga una tasa del 3% efectivo mensual
Suponga una tasa del 1.5% efectivo mensual.
Solución:
a)
G=2%=0.02 EMV n=
i=3%=0.03 EMV G R=8.000 $
Vp=8.000 $0,03-0.02=800.000 $
b)
i=1,5%=0.015 EMV
G>i Vp=
Ejercicio 4.14: ¿A qué tasa efectiva se cumplen las condiciones mostradas en el siguiente diagrama?
Solución:

DnD11n-1-1=E
3.317,10$5.000$19-1-1=E
E=-0.05
21847,10$+5.000$ 1+i-1=5.000 1-0,051+i1-0,5-i 1+i-1
Con calculadora Económica Encontramos que:
i=0,0625 Es decir 6,25%

Ejercicio 4.15: ¿A qué tasa efectiva se cumplen las condiciones mostradas en el siguiente diagrama?
Solución:

600$+213,29$ 1+i-1=40$ 1-1+i-9i+20$i (1+i)9-1i (1+i)9-9(1+i)9 (1+i)-1
Usando calculadora económica:
i=0,043 es decir 4,3%
Ejercicio 4.16: Reemplazar el siguiente flujo de caja por una serie uniforme, de igual número de pagos, con tasa del 20% efectivo.
Solución:

i=0,20
Para hallar PEnecesitamos hallar E
E=DnD11n-1-1
E=743,011001n-1-1
E=0,2
como E=i
PE=nD1+i.PE=12 1001+0,2=1.000
Para el gradiente aritmetico:
PT=PA+Pg
PA=400$ 1 1+0,2-50,2 1+0,2-12=134,166821349$
Pg=-50$0,2 1+0,25-10,2 1+0,25-51+0.25 1+0,2-12=-27,5127082052$
PT=134,166821349$-27,5127082052$
PT=106,654113144$
Ejercicio 4.17: Una entidad financiera presta a un cliente $3.000.000, con un interés del 34,8% CM. El deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante pagos mensuales. Suponiendo que la primera cuota es de $10.000 y vence al final del primer mes, ¿Cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota para cancelar la deuda?
Solución:

j=34,8%CM i=0,3412=0,029EMV
ff 180 1 0 Mes 3.000.000$ F1=? 10.000$ F2=? ff 180 1 0 Mes 3.000.000$ F1=? 10.000$ F2=?
ff

180

1

0

Mes

3.000.000$

F1=?

10.000$

F2=?

ff

180

1

0

Mes

3.000.000$

F1=?

10.000$

F2=?

E=? n=15año12mesaño=180mes
F1=3.000.000$1+0.029180=515.096.634,1$
Ingresos=Egresos
515.096.634,1$-10.000$1+E180-1+0,029180E-0,029
i
Resultado
0.03
187.051.818,8
x
0
0.04
-387.112.483,8

Interpolando i=0.0332 EMV

Ejercicio 4.18: Se ofrece la administración de un restaurante durante un año y se garantiza que compraran exactamente 6.000 almuerzos mensuales durante ese año, los cuales serán pagaderos en un solo contado a razón de $500 cada uno, pero su valor total será cancelado al final del año sin intereses, la persona calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será de $200 los cuales deberán ser adquiridos y pagados al principios de cada mes y su valor aumentara cada mes un 5%. El costo mensual de mano de obra se considera estable en $250.000 y además, se requerirá una inversión inicial de $1.000.000 para la adecuación del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular cuál será el valor de su ganancia:
a) En pesos de hoy.
b) En pesos futuros.
Solución:

i=0,03EM
G=0,05
n=12 meses

Monto la ecuación de valor
P=36.000.0001+0,03-12-250.0001-1,03-120,03-6.0002001,05121,03-12-10,05-0,031,03-1.000.000
P=25.249.675,69-2.488.500-16.041.889,18-1.000.000
P=5.719.286,51$
b)
F=P1+in
F=5.719.286,51(1+0,03)12=8.154.335,007$
Ejercicio 4.19: Resuelva el problema anterior suponiendo que en el mes 6 debe pagar a sus empleados, además de su sueldo, una bonificación de $125.000 y en el mes 12 deberá pagar adicionalmente $400.000 por prestaciones sociales.

Solución:

i=3%
VP= 5.719.285,511 – 125.000 (1-0.03)-6- 400.0001+0.03-12
VP= 5.334.048,027

VF= 5.719.285,511(1-0.03)12- 125.000 (1-0.03)6 - 400.000
VF= 7.605.077,045

i=3%
VP= 5.719.285,511 – 125.000 (1-0.03)-6- 400.0001+0.03-12
VP= 5.334.048,027

VF= 5.719.285,511(1-0.03)12- 125.000 (1-0.03)6 - 400.000
VF= 7.605.077,045

Ejercicio 4.20:
Resuelva el problema 4.18 suponiendo que el valor de los almuerzos sea pagadero al final de cada mes.
Solución:

Valor del almuerzo pagado al final del mes: 3000000$
P= A 1-1+i-ni
P= 3.000.000 1-1+0.03-120.03
P= 29.862.011,98$
P= D1+En1+i-n-1E-i
P= 1.200.0001+0.05121+0.03-12-10.05-0.03
P= 15.574.649,69$

P= A 1-1+i-ni
P= 250.000 1-1+0.03-120.03
P= 2.488.500,998$
Pt= 29.862.011,98 – 15.574.649,691.031+2.488.500,998+1.000.000
P= 10.331.621,82$

VF= 10.331.6221.0312
VF= 14.730.422
Ejercicio 4.21: Una fábrica tiene costos fijos de $600.000 mensuales y costos variables de $150 por unidad. Durante los primeros 6 meses no hay producción porque este tiempo se dedicara a pruebas y ajustes. En el mes 7 se iniciara la producción con 300 unidades y cada mes la producción aumentara en 200 unidades hasta llegar al tope de 2500 al mes. Si se espera vender la fábrica al final de 3 años, calcular el costo total de la producción en estos 3 años en pesos de hoy. Suponga una tasa del 3% efectivo mensual.
Solución:

P= A 1+in-1i
P1= 600000 1+0.0336-10.03
P1= 37.965.566,56

A = (300)(150) = 45.000
g = (200)(150) = 30.000
i= 0.03
P2= A 1+in-1i + gi(1+i)n-1i-n
P2= 45.000 1+0.0312-10.03 + 30.0000.03(1+0.03)12-10.03-12
F2= 2.830.670,892 $
P2= 2.830.670,8921+0.0318 = 4.819.027,712 $

A=(2500)(150)=375.000
P3= 375.000 1+0.0318-10.03
P3= 8.780.413,265
Pt= 37.965.566,561.03-36+4.819.027,712(1.03)-36+8.780.413,265(1.03)-36
Pt= 17.791.600

Ejercicio 4.22: Una máquina produce una utilidad de $1.000.000 durante el primer año, sin embargo, la utilidad de la máquina disminuye $35.000 cada año debido al desgaste. Calcular en pesos de hoy el total de las ganancias suponiendo que la máquina va a trabajar por 10 años. Utilice una tasa del 30% efectivo anual.
Solución:
Gradiente aritmético
A=1.000.000 g=-35.000 i=30% EA n=10 años

Pt= PA + Pg
Pt= A 1-1+i-ni + gi1-(1+i)-ni-n(1+i)n
Pt= 1.000.000 1-1+0.30-100.30 + (-35.000)0.301-(1+0.30)-100.30-10(1+0.30)10
Pt= 2.815.488,73
Ejercicio 4.23: Una fábrica debe importar 80 toneladas mensuales de materia prima pagándola al principio de cada mes en dólares de Estados Unidos a razón de US$200 la tonelada. Según la experiencia se observa que el peso se devalúa a razón del 2.5% mensual con relación al dólar. Si el cambio actual es de US $ 1 - $400 hallar el valor total de las importaciones de la fábrica en el transcurso de un año.
a) En pesos de principio de año.
b) en pesos de final del año. Suponga que la fábrica trabaja con una tasa de 3% efectivo mensual.

Solución:

D=(80)(200)= 16000(400) = 6.400.000 $
E=0.025
n=12meses
i=0.03

P= D1+En1+i-n-1E-i
P= 6.400.0001+0.025121+0.03-12-10.025-0.03

P= 72.604.208,10
72.604.208,101.031 = 74.782.334,34
b)
F= D1+En-1+inE-i
F= 6.400.0001+0.02512-1+0.03120.025-0.03
F= 103.516.240,3
103.516.240,31.031 = 106.621.727,3
Ejercicio 4.24: Una empresa está preparando su plan quinquenal de gastos. La nómina mensual actual vale $2.000.000 y se estima que cada año el salario mensual se incrementará en un 25%. ¿Cuál debe ser el valor de la provisión en pesos de hoy para el presente quinquenio? Suponga que la empresa utiliza una tasa de interés del 35% EA.
Solución:
1 quinquenio = 5 años

i= 35% EA
1+i2m2=1+i1m1
1+0.351=1+i112
1+0.351/12-1=i1
i1=2.532% EM
Valor futuro del primer año:
VF= A 1+in-1i
VF= 2.000.000 1+0.02532412-10.025324 = 27.641.700,27
El siguiente año aumenta 25% y así sucesivamente.
Gradiente geométrico. E= 0.25 i=0.35 EA A=27.641.700,27 n=5
VF= A 1+En-1+InE-i
VF= 27.641.700,271+0.255-1+0.3550.25-0.35 = 395.905.335,2
En valor presente:
P= VF1+i-n
P= 395.905.335,2 1+0.35-5
P= 88.292.235,28
Ejercicio 4.25: El banco ABC concede un préstamo para adquirir un local comercial por $ 5.000.000 el día primero de octubre de 1992, en las siguientes condiciones: plazo 12 años, pagos mensuales crecientes en un 1% y tasa del 36% nominal mensual vencido. El día primero de agosto de 1999 el deudor solicita al banco XYZ la refinanciación de la deuda que en ese momento tiene contraída con el banco ABC. El nuevo préstamo se efectúa en las siguientes condiciones: cuotas mensuales crecientes en un 1.2% tasa 30% nominal mensual vencido, plazo 15 años. ¿Cuál será el valor de la cuota que el primero de septiembre de 1999 pagaría al banco ABC en caso de no haber refinanciación? Y ¿Cuál sería el valor de la cuota que en esa misma fecha pagaría al banco XYZ en caso de refinanciación?

Solución:

Para el banco ABC
G=0.01
P= 5.000.000$
j=0,36 NMV
m=12
n=12años *12 meses1 año=144 meses
i=jm=0,3612=0,03EMV
P=D1+Gn1+i-n-1G-i
5.000.000=D1+0,011441+0,03-144-10,01-0,03
5.000.000=D47,0304168
D=5.000.00047,0304168=106.314,0518$
D=106.314,0518$ es el valor de la cuota que se debe pagar al banco ABC en el primer pago, es decir el 01-11-92, con este valor podemos determinar cuál es el valor de la cuota que debe pagar el 01-09-99 o en la cuota número 83, llevando D=106.314,0518$ a el valor futuro de la cuota 83 pero restamos 1 ya que ese valor que calculemos es la cuota que debe pagar en la número 83 y el saldo de la deuda estaría en el mes 82, procedemos a calcular:

FD83=PD11+Gn-1
FD83=106.314,05181+0,0183-1
FD83=106.314,05181,0182
FD83=240.404,9028$
FD83=240.404,9028 es el valor del primer pago que debe hacerse el 01-09-99 a partir de este pago determinamos el saldo de la deuda hasta ese momento(P2 ), donde n=144-82=62;el cual se va refinanciar con el banco XYZ bajo unas condiciones específicas:

P=D1+Gn1+i-n-1G-i
P2=240.404,90281+0,01621+0,03-62-10,01-0,03
P2=240.404,902835,17525448=8.456.303,633$

Con refinanciación del banco XYZ
Anexo grafica 2
G=0,012
P2=8.456.303,633$
j=0.30NMV
m=12
n=15años *12 meses1 año=180 meses
i=jm=0,3012=0,025EMV
P=D1+Gn1+i-n-1G-i
8.456.303,633=D1+0,0121801+0,025-180-10,012-0,025
8.456.303,633=D69,1917662
D=8.456.303,63369,1917662=122.215,4614$

CAPÍTULO 5

VALOR PRESENTE NETO (VPN)

INTRODUCCIÓN

Cuando se estudia la factibilidad de un proyecto de inversión, se debe evaluar, es decir, medir si es bueno o malo invertir dinero en el proyecto; existen criterios para medir la bondad económica de los proyectos, los evaluadores de proyectos los llaman índices a tales criterios, los más comunes son:

Valor Presente Neto (VPN)

Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)

Tasa Interna de Retorno (TIR)

Relación Beneficio Costo (B/C)

VALOR PRESENTE NETO

El valor presente neto de un proyecto de inversión se obtiene al llevar a momento cero todos los ingresos y egresos del proyecto; es decir, conocer el equivalente en pesos de hoy, de todo el flujo de fondos del proyecto. Matemáticamente se define así:

Valor Presente Neto = Valor Presente de los Ingresos - Valor presente de los egresos

Se debe recordar que al trasladar dinero en la línea de tiempo, se requiere una tasa de interés, ya que dineros ubicados en diferentes momentos no se pueden sumar aritméticamente; es decir, no son económicamente iguales; el concepto del valor del dinero en el tiempo está inmerso en toda decisión financiera.

Al evaluar un proyecto de inversión mediante VPN (i), se debe precisar lo siguiente:

Todos los ingresos y egresos que aparecen en el proyecto.

Tener en cuenta la conversión de signos; es decir, considerar egresos como negativos e ingresos como positivos.

Tener en cuenta la tasa de interés o de oportunidad, cuando se comparan cantidades de dinero que aparecen en momentos diferentes.

TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD

Si un inversionista gana una tasa de i en un proyecto diferente al que actualmente se le está ofreciendo, a esta tasa i se le llama tasa de interés de oportunidad; es decir, la tasa de interés de oportunidad es la máxima tasa de interés que el inversionista sacrifica al invertir en un proyecto específico, aquí la tasa de interés de oportunidad se simboliza con la sigla TIO; todo inversionista tiene una TIO de referencia para medir la bondad económica de un proyecto. La ecuación fundamental para encontrar el VPN es la siguiente:

Fj: flujo neto del momento j.

i: tasa de interés efectiva periódica vencida utilizada para el cálculo.

Hagamos varios ejemplos para entender el concepto que encierra el índice valor presente neto.

Ejemplo 5.1: Jorge compra un vehículo en $1.000.000, que produce $400.000 de utilidades durante cada uno de los próximos dos años; al final de este periodo lo vende en $500.000. Si la tasa de interés de oportunidad de Jorge es del 20% anual, ¿qué tan buen negocio ha realizado Jorge?

Solución

Se diseña el diagrama de flujo de caja, respetando la convención de signos (Ingresos positivos y egresos negativos).

Se lleva a momento cero todo el flujo de fondos a la tasa del 20% anual

Los ingresos netos de la compra del carro llevados a pesos de hoy suman 958.333,33 y la compra del carro causó un egreso de $1.000.000, significa que este proyecto produce una pérdida neta en pesos de hoy de $41.666,67; luego no es buen negocio para el señor Jorge.

Ejemplo 5.2: Supongamos que al señor Jorge se le presentan otros dos proyectos más; el primero invertir $10.000 para recibir $12.000 dentro de un año, el otro invertir $10.000 para recibir $13.000 a la vuelta de un año. Recuerde que la tasa de interés de oportunidad del señor Jorge es del 20% anual

Solución

Si elaboramos los diagramas de flujo de caja de estos dos (2) proyectos tenemos:

Si calculamos el VPN de los proyectos B y C

La alternativa B nos indica que si invierten $10.000 para recibir $12.000; en consecuencia podemos afirmar que cuando el valor presente neto es igual a cero, los dineros invertidos ganan un interés exactamente igual al empleado para el cálculo de VPN que en el caso de Jorge es su TIO; se puede decir que el proyecto es indiferente para Jorge.

La alternativa C tiene un VPN igual a:

VPN=

El proyecto C consiste en invertir $10.000 para recibir $13.000 en un año, para conocer su tasa de rendimiento se procede así:

o 30% EAV

Esto nos indica que la tasa de interés de los dineros invertidos en el proyecto es del 30%, el VPN para la alternativa C es de 833$; se concluye que si el VPN es positivo, esto indica que el rendimiento sobre la inversión es superior al 20% que se utilizó para calcular el VPN.

Podemos afirmar entonces que un VPN positivo significa que la tasa de interés que ganan los dineros en el proyecto es superior a la tasa de interés que se utiliza para calcularlo (30% es superior al 20%).

Ejemplo 5.3: Supongamos que un cuarto proyecto es considerado por Jorge, este consiste en invertir $10.000, para recibir dentro de un año $11.500.

Solución

P=10.000$ F=11.500$ i=TIO=20% EAV VPN (0.20)=?

Este último proyecto tiene una tasa de rendimiento igual a

o 15% EAV

Este proyecto tiene un VPN (0.20) negativo y su rendimiento es del 15%; esto significa que un proyecto con VPN negativo rinde una tasa inferior que la utilizada para el cálculo (15% es inferior a 20%).

Analizando los ejemplos 5.2 y 5.3, podemos afirmar lo siguiente con respecto al valor presente neto.

Su valor depende de la tasa de interés que se utiliza para calcularlo.

Si i es la tasa de interés que se utiliza en el cálculo del valor presente neto, puede ocurrir:

VPN (i) > 0. Indica que los dineros invertidos en el proyecto rinden más del i.

VPN (i) = 0. Indica que los dineros invertidos en el proyecto rinden exactamente i.

VPN (i) < 0. Indica que los dineros invertidos en el proyecto rinden menos del i.

Si además i es la tasa de interés de oportunidad, entonces:

VPN (i) > 0. Señala que el proyecto es conveniente.

VPN (i) = 0. Indica que el proyecto es indiferente.

VPN (i) < 0. Muestra que el proyecto no es conveniente.

ANÁLISIS MATEMÁTICO DEL VALOR PRESENTE NETO

La ecuación 5.2 lo que nos dice básicamente es que todo el flujo de fondos de un proyecto se debe llevar a momento cero; en otras palabras, la ecuación de valor se plantea en este punto.

Gráficamente esto sería:

Si la ecuación (5.3) la multiplicamos por (1+i)n y reordenamos nos queda así:

-F01+in+F11+in-1+F21+in-2-F31+in-3+…+Fj1+in-j+…+Fn=0 (5.4)

La ecuación 5.4 es un polinomio de grado n; el álgebra dice que un polinomio de grado n tiene n raíces, donde algunas son reales y otras complejas.

El número de cambios de signo determina el número de raíces; el número de raíces es menor o igual al número de cambios.

Recordemos que la raíz de un polinomio son los valores que puede tomar la variable y hace que el valor del polinomio sea cero; para nuestro caso i es la variable.

Entendamos esto con algunos ejemplos:

Ejemplo 5.4: Se invierten $500 con la expectativa de recibir $268,9 al final de cada uno de los siguientes 2 años. ¿Cuál es la tasa i que hace que el VPN sea cero?

Solución

El proyecto de inversión tiene el siguiente diagrama de flujo:

Si hacemos fecha focal en cero y planteamos la ecuación de valor,

En (5.5) tenemos un polinomio de grado 2, el álgebra dice que puede tener máximo 2 raíces; es decir, 2 valores distintos que lo hagan igual a cero.

En (5.5) tenemos un cambio de signo, esto nos indica que el número de raíces es menor o igual a 1.

Para encontrar el valor o los valores de i que satisfacen (5.5); es decir, la convierten en cero; damos diferentes valores a i y elaboramos una tabla.

i

0,01
-29.839
0,02
-22,086
0,03
-14,532
0,04
-14,532
0,05
0,005
0,06
7,001

Tabla 5.1

La tabla 5.1 nos indica que una tasa entre el 4% y el 5% hace al VPN igual a cero. Si planteamos el VPN del problema:

VPNi=-500+268,91+i+268,9(1+i)2 (5.6)

Elaboramos una tabla, dándole valores a i en la ecuación (5.6)

i
VPN (i)
0,01
25,84
0,02
22,09
0,03
14,53
0,04
7,17
0,05
-0,005
0,06
-7
Tabla 5.2

Interpolando entre 0,04 y 0,05

0,04
7,17

X
0

0,05
-0,005

x = 0,0489 = 4,89% es la tasa que hace de VPN (i) = 0.

Graficando los valores del VPN (i)

ffff
ff
ff
Figura 5.7

De la tabla 5.2 también podemos concluir que un inversionista que tenga como tasa de interés de oportunidad TIO=5% el proyecto es indiferente.
PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y QUE PRESTAN EL MISMO SERVICIO

Algunas veces el inversionista tiene varias alternativas que debe evaluar económicamente y escoger una de ellas. Cuando se presenta esta situación se dice que los proyectos son mutuamente excluyentes, se espera que la alternativa seleccionada sea la más conveniente desde el punto de vista económico. Se pueden presentar tres casos:

Que las alternativas a evaluar tengan la misma vida útil.

Que las alternativas a evaluar tengan diferentes vidas útiles.

Que tengan vida útil infinita.

ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON IGUAL VIDA ÚTIL

Cuando dos o más proyectos de inversión tengan igual vida útil y se están evaluando con el índice VPN (i) se debe seleccionar:

Si todos los proyectos a evaluar tienen VPN positivos, se debe seleccionar aquel que tenga el VPN mayor.

Si todos los proyectos a evaluar tiene VPN negativos, se debe seleccionar el que sea menos negativo; debe recordarse que un VPN negativo se puede interpretar como un costo, por lo tanto se debe escoger el que cueste menos.

Si algunos proyectos tienen VPN positivos y otros VPN negativos, debe seleccionarse el más positivo.

Ejemplo 5.5: Se desea seleccionar la mejor máquina entre dos opcionales, que prestan el mismo servicio, cuyos costos se discriminan así:

Máquina A ($)
Máquina B ($)
Costo inicial
2.500
3.500
Costo anual de operación
900
700
Valor de salvamento
200
350
Vida útil en años
5
5
Tabla 5.3

La tasa de interés de oportunidad es del 10% anual.

Solución

Ambos proyectos tienen igual vida útil,

Máquina A

Máquina B

Se debe seleccionar la máquina A porque cuesta menos, la máquina A representa una salida de 5787,52$ en pesos de hoy y la máquina B representa una salida de 5936,23$

ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES CON DIFERENTE VIDA ÚTIL

El valor presente neto exige que el horizonte para evaluar dos alternativas sea igual; cuando las vidas útiles son diferentes en los proyectos, se deben estudiar todos los proyectos con un número de periodos que sea el mínimo común múltiplo de la vida de cada uno de los proyectos.

Ejemplo 5.6: Un laboratorio requiere un aislamiento térmico en paredes y cielo raso; para mantener una temperatura constante, se requiere el auxilio de calentadores y equipo de aire acondicionado. Existen en el mercado 3 tipos de aislamiento, que cumplen con las condiciones requeridas y, en todos los casos, prácticamente el valor de salvamento es nulo; además se conoce la siguiente información:

Aislamiento
A($)
B($)
C($)
Costo anual
400.000
500.000
700.000
Costo anual de operación
20.000
20.000
30.000
Vida útil
4
5
30
Ahorro de energía al primer año
100.000
200.000
300.000

Tabla 5.4

La tarifa de energía sube anualmente un 8%. Si se espera conservar el laboratorio por 10 años, ¿qué tipo de aislamiento debe utilizar? Suponga una tasa del 20% efectiva anual.

Solución

Nota: El diagrama de flujo es importante para entender este problema.

Como en este problema las vidas útiles de las 3 alternativas son diferentes, se debe encontrar el mínimo común múltiplo de las tres opciones y trabajar con este horizonte.

VPNA0,20=-400.000-400.0001+0,204-400.0001+0,208-20.0001-1+0,20-100,20+100.0000,20-0,081-1+0,081+0,2010=-227.009,92$

VPNB0,20=-500.000-500.0001+0,205-20.0001-1+0,20-100,20+200.0000,20-0,081-1+0,081+0,2010=300.747,7054$

VPNC0,20=-700.000-30.0001-1+0,20-100,20+300.0000,20-0,081-1+0,081+0,2010=802.529,73718$

VPNC>VPNB>VPNA, se debe seleccionar el aislamiento C.

802.529,73>300.747,7054>-227.009,92

EVALUACIÓN DESPUÉS DE IMPUESTOS

Un proyecto puede ser viable antes de impuestos y tornarse no viable después de impuestos.

Ejemplo 5.7: Un proyecto de inversión consiste en adquirir una máquina a un costo de $6 millones, tendrá una vida útil de 5 años y prácticamente no tendrá valor de salvamento, la máquina será depreciada totalmente en 3 años por partes iguales, el estudio de mercados indica que los ingresos del primer año serán aproximadamente de $3 millones y aumentará todos los años en 30%, se estima que los costos de producción del primer año serán de $800.000 y cada año aumentarán en $200.000. Suponiendo una tasa de impuestos del 38% anual, determinar la viabilidad del proyecto con un horizonte de planeación de 5 años, sabiendo que la tasa del inversionista es del 40% anual.

Solución

El diagrama de flujo es el siguiente:

Depreciación anual

Base del primer año

Base del segundo año

Base del tercer año

Base del cuarto año

Base del quinto año

Pago de impuestos:

Primer año

Segundo año

Tercer año

Cuarto año

Quinto año

Si tabulamos los cálculos

Periodo
Ingresos
Costo
Depreciación
Base
Impuesto
FNC (Flujo Neto de Caja)
0
-6.000.000
0
0

-6.000.000
1
3.000.000
800.000
2.000.000
200.000
76.000
2.124.000
2
3.900.000
1.000.000
2.000.000
900.000
342.000
2.558.000
3
5.070.000
1.200.000
2.000.000
1.870.000
710.600
3.159.400
4
6.591.000
1.400.000
0
5.191.000
1.972.580
3.218.420
5
8.568.300
1.600.000
0
6.968.300
2.647.954
4.320.346
Tabla 5.5

El proyecto no es conveniente para el inversionista

FLUJO DE CAJA LIBRE DEL INVERSIONISTA

Otra forma de presentar el proyecto es estimar el estado de resultados proyectados. Para ello debemos utilizar las siguientes ecuaciones contables:

Utilidad bruta = Ingresos – Egresos

Utilidad operativa = Utilidad bruta – Gastos operacionales

Utilidad antes de impuestos = Utilidad operativa + Otros ingresos – Otros egresos

Utilidad después de impuestos = Utilidad antes de impuestos – Impuestos

Flujo de caja del inversionista = Utilidad despues de impuestos – Inversiones
– Amortización + Depreciación

ESTADO DE RESULTADOS PROYECTADOS

Año
0
1
2
3
4
5
Ingresos

3.000.000
3.900.000
5.070.000
6.591.000
8.568.300
Costo de producción (-)

800.000
1.000.000
1.200.000
1.400.000
1.600.000
Depreciación (-)

2.000.000
2.000.000
2.000.000
0
0
Utilidad bruta

200.000
900.000
1.870.000
5.191.000
6.968.300
Gastos operacionales (-)

0
0
0
0
0
Utilidad operacional

200.000
900.000
1.870.000
5.191.000
6.968.300
Gastos financieros (-)

0
0
0
0
0
Utilidad antes de impuestos

200.000
900.000
1.870.000
5.191.000
6.968.300
Impuestos (-)

76.000
342.000
710.600
1.972.580
2.647.954
Utilidad después de impuestos
0
124.000
558.000
1.159.000
3.218.420
4.320.346
Inversiones (-)
6.000.000
0
0
0
0
0
Amortización (-)
0
0
0
0
0
0
Depreciación (+)
0
2.000.000
2.000.000
2.000.000
0
0
Flujo neto de caja
-6.000.000
2.124.000
2.558.000
3.159.400.
3.218.420
4.320.346

TIO = 40% VPN = -385.288$


Ejercicio 5.1: El ejecutivo de una fábrica propone adquirir una prensa, cuyo costo es de $2.000.000; el dinero necesario puede ser adquirido mediante un préstamo del banco ABC, el cual exige que le sea cancelado en pagos mensuales uniformes, durante 3 años con un interés del 36% CM. La prensa tiene una vida útil de 3 años y un valor de salvamento de $400.000, se espera que la prensa produzca ingresos mensuales por $83.000. Si el inversionista espera ganarse una tasa del 42% CM. ¿Debe adquirirse la prensa?
Solución:
K= 3 años = 36 meses.
VS=400.000$
i=0,3612=0,03 EMV
TIO=0,4212=0,035 EMV

A=2.000.000$0,031-1+0,03-36=91.607,5884$

VPN0,035=-91.607,5884$1-1+0,035-360,035+83.000$1-1+0,035-360,035+400.0001+0,035-36=-58719.1239$
No debe adquirir la presa.
Ejercicio 5.2: Un ingeniero solicita una máquina cuyo costo es de $3.000.000, se dispone de $1.000.000 y el resto deberá ser financiado por un banco que presta el dinero faltante pero pide que le sea cancelado en pagos mensuales uniformes durante 3 años con interés al 36% CM. Con ésta máquina se espera incrementar los ingresos mensuales en $150.000, el CMO de la máquina se estima en $40.000, tendrá una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $300.000. Si el dueño de la fábrica se gana en todos sus negocios el 42% CM. ¿aconsejaría usted la compra?
Solución:
Deuda = 3.000.000$-1.000.000= 2.000.000$
N= 3años = 36 meses
K =5años= 60 meses
CMO= 40.000$
INGRESOS= 150.000$
VS= 300.000$
i=0,3612=0,03 EMV ; TIO=0,4212=0,035 EMV

A=2.000.000$0,031-1+0,03-36=91.607,5884$

VPN0,035=-91.607,5884$1-1+0,035-360,035-40.000$1-1+0,035-600,035+150.000$1-1+0,035-600,035+300.000$1+0,035-60-1.000.000$=-76.762,159$

"No se aconseja la compra porque el VPN es negativo lo que significa pérdidas –egresos-"

Ejercicio 5.3: Una fábrica está considerando la compra de una máquina que puede ser semiautomática, automática o electrónica. Los datos para cada máquina se encuentran consignados en la siguiente tabla:

Aislamiento
A
C
D
C
400.000
700.000
750.000
CAO
125.000
20.000
5.000
S
10.000
80.000
300.000
K
8
4
8

Decidir cuál máquina comprar usando una tasa del 30%.
Solución:
Máquina A:

VPN(0,3)=-400.000-125.0001-1+0,3-80,3+10.000(1,3)-8
VPN(0,3)=-400.000-365587,7192+1225,894740
VPN(0,3)=-764361,8245

Máquina B:

VPN(0,3)= -700.000-700.000(1,3)-4 -20.0001-1+0,3-80,3+80.000(1,3)-4+80.000(1,3)-8
VPN(0,3)=-700.000-245089,4577 -58.494,03507+28.010,22373+9.807,157919
VPN(0,3)=-965.766,111 $

Máquina C:

VPN(0,3)= -750.000-50001-1+0,3-80,3+800.000(1,3)-8
VPN(0,3)= -750.000-14.623,50877+36.776,84220
VPN(0,3)= -727.846,6666 $
"Se debe elegir la máquina C"

Ejercicio 5.4: Un industrial compró una máquina hace 3 años, en $600.000 y aun siguiendo las instrucciones del fabricante, su CAO se elevó a $220.000. Ahora un vendedor le ofrece otra máquina que está más de acuerdo con sus necesidades; esta nueva máquina cuesta $550.000 y le garantizan que su CAO no será superior a $100.000. Un avalúo que le hicieron a la máquina actual fue de $120.000 y por esta cantidad hay oferta de compra, ¿será aconsejable el cambio, suponiendo una tasa del 28%, que el valor de salvamento de ambas máquinas es prácticamente nulo y que se toma un horizonte de planeación de 10 años?

Solución:

VPN(0,3)= -120.000 -220.0001-1+0,28-100,28
VPN(0,3)= -120.000 -719.161,6970
VPN(0,3)= -839.161,6970 $

VPN(0,3)= -550.000 -100.0001-1+0,28-100,28
VPN(0,3)= -876.891,6805 $
"No se aconseja cambiar la máquina"

Ejercicio 5.5: Como director de planeación de una ciudad debe decidir entre dos propuestas para la construcción de un parque recreacional. La primera propuesta requiere de una inversión inicial de $12.000.000 y una ampliación dentro de ocho años a un costo de $5.000.000. Se estima que los costos anuales de operación serán de $190.000 para el primer año, $210.000 para el segundo año, $230.000 para el tercer año y así sucesivamente. El ingreso será de $230.000 durante los primeros ocho años y de allí en adelante aumentará $30.000 por año hasta el año doce. Luego permanecerán constantes. La segunda propuesta requiere una inversión inicial, de $20.000.000 y tiene un costo anual de operación de $400.000. Se espera que los ingresos sean de $400.000 para el primer año y aumenten en $70.000 por año hasta el año 10 y de allí en adelante permanecerán constantes. Con una tasa del 20% decidir cuál es la mejor propuesta.

Solución:

n=8
i=0.2
A=230.000
I1=230.000[〖1-(1+0,2)〗^(-8)/0,2] = 882546,7547 $
n=4
i=0.2
A=260.000
g=30.000

I2= 260.0001-1+0,2-40,2+30.0000,21-(1+0,2)-40,2-4(1+0,2)4
I2= 772029,3210
An= A+(n-1)g
A5= 230.000+(4)30.000
A5= 350.000
I3= 350.0000.2 = 1.750.000
n= infinito
i=0.2
A=190.000
g=20.000
C1= 190.0000.2+ 20.0000.22=1450.000
VPN(0.2)= -12.000.000 + 882546,7547 - 1450.000 + 772.029,3210(1.2)-8 – 5.000.000(1.2)-8 +1750.000(1.2)-12
VPN(0.2)= -13.354.469,95
b)

C1= 400.0000.2 = 2.000.000

A= 400.000
g= 70.000
n=10
i=0.2
I1=400.0001-1+0,2-100,2+70.0000,21-(1+0,2)-100,2-10(1+0,2)10
I1= 2579084,524
A10= 400.000+(9)70.000
A10= 1.030.000
I2= 1.030.0000.2 = 5.150.000
VPN(0.2)=-20.000.000-2.000.000+2.579.084,524+5.150.000(1.2)-10
VPN(0.2)= -18.589.161,72
Con ambas propuestas se pierde, pero la más conveniente es la propuesta n°1.
Ejercicio 5.6: Una compañía está considerando la compra de una máquina manual que cuesta $30.000 y se espera que tenga una vida útil de 12 años, con un valor de salvamento de $3.000. Se espera que los costos anuales de operación sean de $9.000 durante los primeros 4 años pero que desciendan en $400 anuales durante los siguientes ocho años. La otra alternativa es comprar una máquina automatizada a un costo de $58.000. Esta máquina solo duraría 6 años a causa de su alta tecnología y diseño delicado. Su valor de salvamento será de $15.000. Por su automatización los costos de operación serán de $4.000 al año. Seleccionar la máquina usando una tasa del 20%.

Solución:

Para la máquina manual:

Se calcula el valor presente de los costos anuales de operación para los primeros 4 años:
VP=9.0001-1+0,2-40,2=23.298,61111$
Se calcula el valor presente de los costos anuales de operación para los siguientes 8 años:
VP=8.6001-1+0,2-80,2-4000,21-1+0,2-80,2-81+0,2-8=29.046,34333$
Con estos valores se obtiene el VPN así:
VPN=-30.000-23.298,61111-29.046, 343331+0,2-4+3.0001+0,2-12
VPN=-66.969,82987$
Para la maquina automatizada:

Se debe tener en cuenta que las maquinas no tienen la misma vida útil, por lo que hallando el M.C.M de 6 y 12 y por lo tanto para calcular el VPN se deben efectuar los cálculos como si se estuviera adquiriendo 2 máquinas.
VPN=-58.000-58.0001+0,2-6-4.0001-1+0,2-120,2+15.0001+0,2-6+1+0,2-12
VPN=-88.475.13008$
Según los resultados arrojados se debe escoger la maquina manual.

Ejercicio 5.7: Una ciudad necesita comprar equipos para hacer el aseo de sus calles y se presentan a estudio dos alternativas. La primera comprar tres máquinas con las siguientes características: costo de adquisición $1.000.000 cada una; CAO año 1 $500.000 y de ahí en adelante se va incrementando en $200.000 cada año; salvamento $100.000; vida útil 8 años. La segunda sería utilizar los servicios de 10 obreros que tendrían cada uno un salario de $35.000 mensuales más $70.000 pagaderos al final de cada año por prestaciones sociales todo esto para el primer año, pero en cada uno de los siguientes años habrá un incremento del 25%. Determinar la mejor alternativa con una tasa del 28%.

Solución:
Para las máquinas:
3.000.0000128años300.0001.500.0003.000.0000128años300.0001.500.000
3.000.000
0
1
2
8
años
300.000
1.500.000
3.000.000
0
1
2
8
años
300.000
1.500.000
VPN=300.0001+0,28-8-3.000.000-1.500.0001-1+0,28-80.28+600.0000,281-1+0,28-80,28-81+0,28-8
VPN=41.633,36$-3.000.000$-4.613.689,94$-4.211.936,29
VPN=-11.783.992,86$
Para los obreros:
1+0,281=1+i212
i2=0,02078473
El monto total motivado por los salarios de los obreros al final de cada año es:
VF=350.0001+0,0207847312-10,02078473=4.715.000,249$
VPN=-4.715.000,2491+0,2581+0,28-8-10,25-0,28-700.0001+0,2581+0,28-8-10,25-0,28=-31.193.900,87$
La recomendación es optar por las máquinas.

Ejercicio 5.8: Determinar la mejor alternativa que tiene una fábrica para almacenar su materia prima y sus productos terminados, si ésta fábrica solo esperar trabajar 4 años; al final de los cuales entrará en liquidación. La Alternativa A consiste en comprar un terreno en $20.000.000 y construir una bodega, a un costo de $46.000.000; al final de los 4 años el terreno con la construcción podrán ser vendidos en $120.000.000. El CAO para el primer año, será de $200.000 y, cada año siguiente, se incrementará en un 15%. La Alternativa B consiste en tomar en alquiler una bodega, a un costo de $10.000.000 por año anticipado y, cada año, el valor del arriendo sube un 20%. Determinar la mejor alternativa, suponiendo que la tasa es del 20%.
Solución:

Alternativa A:
VPN=120.000.0001+0,2-4-66.000.000-200.0001+0,1541+0,2-4-10,15-0,20
VPN=-8.755.774,981$
Alternativa B

VPN=-10.000.00041,21,2=-40.000.000$
Lo más recomendable es elegir la alternativa A.

Ejercicio 5.9: Determinar la mejor opción desde el punto de vista financiero, entre las siguientes opciones con vida útil indefinida: construir un puente colgante a un costo de $300.000.000 con un costo anual de mantenimiento de $300.000; cada 10 años, habrá que hacerle reparaciones mayores a un costo de $3.500.000. La otra alternativa es construir un puente en concreto, a un costo de $250.000.000 con un costo anual de mantenimiento de $100.000; cada 3 años deberá repavimentarse a un costo de $2.000.000 y cada 10 años habrá que reacondicionar las bases del puente, a un costo de $50.000.000. Suponga un interés del 20%.

Solución:
TIO= 20 % EA

Tasa de interes para cada 3 años

(1+i1)m1= (1+i2)m2
(1+0.20)3= (1+i2)1
i2= 0.728

Tasa de interes para cada 10 años

(1+i1)m1= (1+i2)m2
(1+0.20)10= (1+i2)1
i2= 5.191736422

Opcion Puente colgante

VPN=-300 000 000-3000000.20-35000005.191736422

VPN=-302,174,153 $

Opcion Puente concreto

VPN=-250 000 000-1000000.20—20000000.72850000005.191736422

VPN=-262,878,009.5 $

Se debe optar por el puente de concreto

Ejercicio 5.10: Un artículo tiene un precio de lista de $900.000 pero puede ser adquirido al contado con un descuento del 10% o puede ser vendida a plazos con una cuota inicial del 40% y el saldo en 10 cuotas mensuales de $63.000. Suponiendo una tasa del 3.5% efectivo mensual, ¿Qué alternativa debe decidir?
Solución:

De contado

VPN=900,0000.9= 810,000 $

VPN=-360,000-63,000 (p/a, 3.5% , 10)
VPN=-360,000-63,000 1-(1+0.035)-100.035
VPN= -883,946 $

Es mejor cancelar de contado

Ejercicio 5.11: Una fábrica tiene en estudio la posibilidad de comprar una máquina empacadora a un precio de $800.000 y un costo mensual de mantenimiento de $3.000 durante el primer año y de $5.000 durante el segundo año y al final de éste tiempo podrá ser vendida en la suma de $500.000. Con esta máquina se puede suprimir un empleado que gana $25.000 mensuales y para el segundo año habrá que aumentarle el sueldo en un 20%. Si la fábrica normalmente gana el 3.5% efectivo mensual en toda sus inversiones. ¿Es aconsejable adquirirla?
Solución:
i=0,035 EMV
Maquina:

VPN3,5 %=-800.000-3.0001-(1+0,035)-120,035-5.0001-1+0,035-120,035(1+0,035)-12+500.0001+0,035-24

VPN3,5 %=-800.000-28.990,003-31.975,16634+218.978,5669=-641.986,6024 $
Empleado:

VPN3,5 %=-25.0001-1+0,035-120,035-30.0001-1+0,035-120,035(1+0,035)-12
VPN3,5 %=-241.583,3584-191.850,9981=-433.434,3564 $

R/: No es aconsejable adquirir la máquina.

Ejercicio 5.12: Si en el problema anterior se supone que la máquina trabajara durante 7 años y que en cada año se aumenta el costo mensual de mantenimiento en $2.000 y que al final de este tiempo la máquina no tendrá valor de salvamento. ¿La decisión anterior se mantendría si al empleado se le aumenta el sueldo todos los años un 25%?
Sugerencia: El crecimiento anual del gradiente que corresponde al mantenimiento es L = $29 203.92.
Solución:

i=0,035 EMV
Maquina:

Llevamos los valores a futuro de cada mes para que sean años:
F1=A(1+i)n-1i=3000(1+0,035)12-10,035=43.805,88491 $
F2=A(1+i)n-1i=5000(1+0,035)12-10,035=73.009,80819 $
F3=A(1+i)n-1i=7000(1+0,035)12-10,035=102.213,7315 $
F4=A(1+i)n-1i=9000(1+0,035)12-10,035=131.417,6547 $
F5=A1+in-1i=110001+0,03512-10,035=160.621,578 $
F6=A1+in-1i=130001+0,03512-10,035=189.825,5013 $
F7=A(1+i)n-1i=15000(1+0,035)12-10,035=219.029,4246 $

Cambiamos la tasa a anual
1+i2m2=1+i1m1
1+0,03512=1+i11
1+0,03512-1=i
1+0,03512-1=i
0,511068657=i
Llevamos al presente cada una de las cantidades
VPN0,511068657 =-800000-43.805,88491 (1+0,511068657)-1-73.009,808191+0,511068657-2-102.213,73151+0,511068657-3-131.417,65471+0,511068657-4-160.621,5781+0,511068657-5-189.825,50131+0,511068657-6-219.029,4246(1+0,511068657)-7
VPN0,511068657 =-964307,344$
Empleado:
Hallamos el primer valor del gradiente en el primer año

F=-250001+0,03512-10,035=-365.049,041

VPN0,511068657 =-365.049,041(1+0,25)7(1+0,511068657)-7-1(0,25-0,511068657)
VPN0,511068657=-1.027.626,255 $
R/ si es recomendable adquirir la máquina, ya que genera, menores costos.
Ejercicio 5.13: Una máquina cuesta $100.000, tiene una vida útil de un año y no tiene valor de salvamento. Una segunda máquina tiene un costo de $500.000, una vida útil de 8 años y un valor de salvamento de $100.000. Suponiendo un interés del 20% efectivo anual, decida cual comprar. Use el C.C.

Solución:

Maquina A
Figura 1
Calculamos el valor presente neto (VPN) a una tasa de 20%(0,2):
VPN0,20=-100.000-100.0000,2=-600.000
Maquina B
Figura 2
Primero convertimos la tasa de interés para ocho años de vida útil de la maquina B:
(1+0,2)8=(1+i2)1
i=3,2998
Calculamos VPN con tasa de 3,2998:
VPN0,02305187522=-500.000-500.0003,2998+100.0003,2998=-621.218,6891
Respuesta: Es aconsejable comprar la primera máquina es decir la maquina A

Ejercicio 5.14: Un terreno debe ser cercado en alambre de púas, cada poste de madera cuesta $40 y tiene una vida útil de 4 años; pero, si siendo nuevos se les hace un tratamiento químico, se puede prolongar la vida útil en 3 años más, ¿Cuánto podrá pagarse por el tratamiento suponiendo una tasa del 28%? use C.C.
Solución:
Tasa de interés a 4 años = 1+0,284-1=1,6843
Tasa de interés a 7 años = 1+0,287-1=4,6294
VPN1 = -40$-40$1,6843=-63,7487$
Para hallar el VPN2 se utiliza (40+x) como valor para los postes
VPN2 = -(40$+x$)-40$+x$4,6294=-63,7487$
Despejando x se tiene que x=12,4244$

Ejercicio 5.15: A una fábrica que utiliza actualmente una máquina que vale $800.000, con una vida útil de 4 años y un valor de salvamento de $150.000 le ofrecen otro modelo de máquina cuyo costo es de $1.200.000, con una vida útil de 10 años y valor de salvamento de $ 200.000. ¿Suponiendo una tasa del 22% debe cambiar de modelo? Use C.C
Solución:

Obtenemos la tasa equivalente para 4 años 1+0,224-1=1,2153
VPN = -800.000$-800.000$1,2153+150.000$1,2153
VPN = -1.334.847,363$

Obtenemos la tasa equivalente para 10 años 1+0,2210-1=6,3046
VPN = -1.200.000$-1.200.000$6,3043+200.000$6,3043
VPN = -1.358.621,893$
No debe cambiar de modelo.

Ejercicio 5.16: Si la fábrica del ejemplo anterior se decide a cambiar de modelo, ¿Cuánto podrá pagar por el nuevo modelo, de forma tal que su costo capitalizado no supere al modelo que tiene actualmente en uso?
Solución:
VPN = -800.000$-650.000$1,22-4-650.000$1,22-8-650.000$1,22-12-650.000$1,22-16-650.000$(1,22)-20
VPN = -1.309.815,452$

-1.309.815,452$ = -x-x1,22-10+200.000$1,22-10+200.000$1,22-20
X = $1'179 474

Se podrá pagar $1'179 474.

Ejercicio 5.17: Un equipo de laboratorio tiene un costo inicial de $200.000 y una vida útil de 10 años, al cabo de los cuales deberá sustituirse al mismo costo. ¿Cuánto podrá pagarse por un equipo similar que tiene una vida útil de 8 años y un valor de reposición de $25.000 más que el costo inicial? Suponga que no hay valor de salvamento y una tasa del 25%. Use C.C.
Solución:
Para el equipo 1:

Costo (C) = $200000
Vida útil (k) = 10 anos
Salvamento (S) = $0
Tasa (i) = 25% = 0,25

i2=1.2510-1=8,313225746
VPN=-200000-2000008,313225746=-224.058,0499

Para el equipo similar (equipo 2):

Costo (C) = $X
Reposición = C + $25000
Vida útil (k) = 8 anos
Salvamento (S) = $0
Tasa (i) = 25% = 0,25

i2=1.258-1=4.960464478
como las maquinas son iguales igualamos los VPN:

-224.058,0499=-x-x+25.0004.960464478
-224.058,0499=-5,960464478x-25.0004.960464478
-1.111.431,998=-5,960464478x-25.000
-1.086.431,998=-5,960464478x
x=182.273,0429
Podrá pagarse 182.273,0429$.
Ejercicio 5.18: Una fábrica desea comprar una máquina para su planta de acabados. El vendedor ofrece dos alternativas:
la máquina A, cuyo coste es de $500.000, tiene una vida útil de 3 años y un valor de salvamento de $100.000.
La máquina B cuyo costo es de $730.000, vida útil de 6 años y un valor de salvamento de $250.000.
¿Por cuál máquina debe decidirse suponiendo un interés de: a) 30% b) 20%? Use C.C.

Solución:

Maquina A.

i=30%=0.30EA
VPN0.30=-500.000+100.000 (1,30-3)-500.000 (1.30-3)+100.000(1.30-6)
VPN0.30=-661.348,8332$
VPN0.20=-500.000+100.000 (1,20-3)-500.000 (1.20-3)+100.000(1.20-6)
VPN0.20=-697.991,6838$

Maquina B:

i=30%=0.30EA
VPN0.30=-730.000+250.000 (1,30-6)
VPN0.30=-678.205,9472$
i=20%=0.20EA
VPN0.20=-730.000+250.000 (1,20-6)
VPN0.20=-646.275,5058$
Por la máquina que se debe decidir es por la maquina A
Por la máquina que se debe decidir es por la maquina b

Ejercicio 5.19: Una compañía minera utiliza camiones para llevar el mineral, desde la mina hasta el puerto de embarque. Cada camión cuesta $ 5.000.000, tiene una vida útil de 2 años y un valor de salvamento de $500,000. Haciéndoles un tratamiento anticorrosivo al momento de la compra y luego al segundo año, la vida útil para alargarse a 4 años y tendrá un valor de salvamento de $1.000.000. ¿Cuánto podrá pagarse por este tratamiento, suponiendo un interés del 28%? Use C.C

Solución:

Transformamos las tasas.
1+0,28=(1+i)12
i=(1+0,28)2-1
i=0,6384 E cada 2 años

1+0,28=(1+i2)14
i2=(1+0,28)4-1
i2=1,68435453 E cada 4 años

VPN0,6384=-5.000.000-5.000.0000,6384+500.0000,6384
VPN0,6384=-12.048.872,18

-12.048.872,18=-5.000.000+x-x0,6384+1.000.0001,68435453-5.000.0001,68435453
-4.674.075,273=-x 1+10,6384
x=-4.674.075,2731+10,6384
x=1.821.246,13
Podrá pagarse 1.821.246,13$.
Ejercicio 5.20: Para producir cierto artículo, una fábrica necesita hacer una inversión de $7.000.000 de los cuales $2.000.000 deberán ser financiados por un banco que le exige que se cancele el préstamo en 3 pagos anuales iguales, con intereses al 38%. La capacidad máxima de la fábrica es de 20.000 unidades al año, pero el primer año solo estará en capacidad de producir el 40%; el segundo año el 50%, el tercer año el 75%, el cuarto año el 90% y el quinto año el 100%. Cada artículo puede venderse en $2.000 durante el primero y el segundo año y en $2.400 del tercer año en adelante. Los costos de producción serán: materia prima $1.000 por unidad y cada año aumentara un 10%; por sueldos, la nomina del primer año será de $2.500.000 y aumentara todos los años un 20%. La maquinaria por valor de $5.000.000 será depreciada así: el primer año el 40%; el segundo año el 30% y el tercer año el 30%. Suponiendo una tasa de impuestos del 30% y un horizonte de planeación de 5 años calcular:
a) El flujo neto de caja de cada año.
b) Evaluar el proyecto con una tasa del 45%.
Solución:

A=P i1-(1+i)-n= 2.000.000$ (0,38)1-(1,38)-3=1.226.809,82 $

Año
Saldo $
Intereses $
Cuota $
Amortización $
0
2.000.000
-
-
-
1
1.533.190,2
760.000
1.226.809,82
466.809,82
2
888.992,6
582.612,27
1.226.809,82
644.197,55
3
0
337.817,20
1.226.809,82
888.992,62

Año
Unidades
Precio Unitario $
Ingresos $
Costo Unitario $
Costo Materia Prima $
0
-
-

1
8.000
2.000
16.000.000
1.000
8.000.000
2
10.000
2.000
20.000.000
1.100
11.000.000
3
15.000
2.400
36.000.000
1.210
18.150.000
4
18.000
2.400
43.200.000
1.331
23.958.000
5
20.000
2.400
48.000.000
1.464,1
29.282.000

Año
Unidades
Precio Unitario $
Ingresos $
Costo Unitario $
Costo Materia Prima $
0
-
-
-
-
-
1
16.000.000
8.000.000
2.500.000
2.000.000
760.000
2
20.000.000
11.000.000
30.000.000
1.500.000
582.612,27
3
36.000.000
18.150.000
36.000.000
1.500.000
337817,21
4
43.200.000
23.958.000
4.320.000
-
-
5
48.000.000
29.282.000
5.184.000
-
-

Base $
Impuesto $
FCLI $
0

-5.000.000
1
2.274.000
822.000
3.451.190
2
3.917.387,7
1.175.216,3
3.597.974
3
12.412.182,8
3.723.654,8
9.299.535
4
14.922.000
4.476.600
10.445.400
5
13.534.000
4.060.200
9.473.800

VPN= -5.000.000 $+3.451.190 $ (1,45)-1+359.797 $ (1,45)-2+9.299.235 $ (1,45)-3+ 10.445.400 $ (1,45)-4+9.473.800 $ (1,45)-5
VPN=5.982.793 $

BIBLIOGRAFÍA





CAPÍTULO 6

COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE)

INTRODUCCIÓN

El Costo Anual Uniforme Equivalente, CAUE, como su nombre lo indica básicamente consiste en reducir todos los ingresos y todos los egresos a una serie de pagos constantes iguales y periódicos.

Normalmente el periodo de pago es un año, de ahí el nombre de COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE, sin embargo, puede ocurrir que los periodos sean meses o cualquier otra clase de periodo.

La ventaja del CAUE sobre el índice VPN es que al comparar dos alternativas con vidas útiles diferentes no es necesario determinar tiempos iguales para las dos alternativas como es el caso del VPN; ya que al comparar las alternativas por el CAUE lo que se confrontan son sus costos durante un periodo (año, mes, etc.).

Ejemplo 6.1: Se han propuesto los siguientes costos para dos máquinas peladoras de tomates en una fábrica de conservas.

MÁQUINA A ($)
MÁQUINA B ($)
Costo inicial
26.000
36.000
Costo anual de mantenimiento
800
300
Costo anual de mano de obra
11.000
7.000
Costos adicionales anuales
0
2.600
Valor de salvamento
2.000
3.000
Vida útil (Años)
6
10
Tabla 6.1

Si la tasa mínima de retorno requerida es del 15%, ¿qué máquina debe seleccionarse?

Solución:

El diagrama de flujo de caja de cada alternativa se muestra en la figura 6.1.

VPNA=-26000-118001-(1+0,15)-60,15+2000(1+0,15)-6

VPNA=-69792,2406
CAUE(A)=-26000[0.151-(1+0.15)-6]-11800+20000.151+0.156-1=-18.441,69$

VPNB=-36000-99001-(1+0,15)-100,15+3000(1+0,15)-10
VPNB=-84944,25528

CAUE(B)=-36000[0.151-(1+0.15)-10]-9900+30000.151+0.1510-1=-19.264,77$

Se selecciona la maquina A, puesto que cuesta anualmente menos.

Quizás la regla más importante que debe recordarse al hacer comparaciones por CAUE es que solamente debe considerarse un ciclo de vida de cada alternativa.

El CAUE es más práctico que el VPN para comparar alternativas con vidas útiles diferentes ya que no es necesario encontrar el mínimo común múltiplo de las vidas útiles de los proyectos a comparar.

CAUE DE UNA INVERSIÓN PERPETUA

A veces es necesario comparar alternativas en las que debe considerarse una vida útil perpetua, estos casos se dan en proyectos cuyas vidas son largas, tales como represas, hidroeléctricas, avenidas, puentes, etc.

Ejemplo 6.2: Se plantea la construcción de un puente y se han presentado dos proyectos, el primero un puente colgante a un costo de $850 millones, cada año habrá que darle mantenimiento a la plataforma de asfalto a un costo de $3 millones, se estima que las reparaciones serán cada vez mayores y que éstas aumentarán de precio todos los años en $2 millones y cada 5 años habrá que cambiar los cables que sostienen el puente a un costo fijo de $100 millones, el segundo proyecto es un puente de concreto a un costo de $900 millones, cada 3 años habrá que reacondicionar las bases a un costo de $25 millones, el costo anual de mantenimiento se puede considerar fijo en $5 millones. Con una tasa del 25% determinar la mejor alternativa.

Solución:

Puente colgante:

Calculamos el valor presente del gradiente aritmético y después lo anualizamos, teniendo en cuenta que n es infinito.

Millones

Millones

Dividimos un pago de $100 millones en una serie uniforme de 5 pagos al final de cada año.

A2=1000,251+0,155-1=$12.1846739 Millones

Dividimos un pago de $850 millones en una serie infinita de pagos.
Millones

CAUE (0,25) =-A1 - A2 - A3 = -11-12,18467396-212,5 = -235,68 millones

CAUE (0,25)Puente colgante = -235,68 millones

Puente de concreto:

Anualizamos P = 900$

Anualizamos F = 25$

A2=25$0,25(1+0,25)3-1=6,55$

CAUE (0,25)Puente de concreto = - A1 - A2 - A3 = -225$ - 6,55$ - 5$ = -236,55

Se selecciona la alternativa de menor costo anual equivalente

-235,68 < -236,55

Seleccionar puente colgante.


Ejercicio 6.1: Una ciudad planea canalizar el rio que la atraviesa, a un costo de $100.000.000, el CAO es de $5.000.000 y, cada 4 años se requerirá un mantenimiento general, a un costo de $30.000.000; además, la señalización del canal tendrá que ser restaurada cada 5 años, a un costo de $6.000.000. Se supone que la obra de canalización tiene una duración indefinida. Calcular el CAUE, con tasa del 20%.
Solución:
i=20%EAV=0.20 EAVCAO=5.000.000 $

Primero dividimos un pago de 30 millones en una serie uniforme de 4 pagos de X$ al final de cada año:
30.000.000$=X(1+0.2)4-10,2
X=5.588.673,621$
Dividimos un pago de 6 millones en una serie uniforme de 5 pagos de Y$ al final de cada año:
6.000.000$=Y(1+0.2)5-10,2
Y=806.278,2197$
Ahora dividimos un pago de 100 millones en una serie uniforme de pagos de Z$ al final de cada año; como la duración del proyecto es indefinida, nos queda:
100.000.000$=Z0,2
Z=20.000.000$

CAUE=-CAO-X-Y-Z
CAUE=-5.000.000 $-5.588.673,621$-806.278,2197$-20.000.000$
CAUE=-31.394.951,84$

Ejercicio 6.2: El ejecutivo de una fábrica propone adquirir una prensa, cuyo costo es de $2.000.000; el dinero necesario puede ser adquirido con un préstamo del banco ABC, el cual exige le sea devuelto en pagos mensuales uniformes, durante 3 años y con un interés del 33% CM. La prensa tiene una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $400.000. Si se espera que la prensa produzca unos ingresos mensuales de $70.000 y que la tasa del inversionista es del 45,6% CM. ¿Debe adquirirse?
Solución:
TIO=45,6% CM
i=Jn=0,4512=0,038 EMV

Tasa del prestamo J=33% CM
i=Jn=0,3312=0,0275 EMV

Relación del préstamo:

Hallamos el valor de la cuota a pagar a la tasa del préstamo:
A=Pi1-1+i-n=2.000.000(0,0275)1-1+0,0275-36=88.222,64118 $

Hallamos el proceso restante a la tasa del inversionista:

VPN(0,038)=1.645.555,18+42.679,4467-1.715.342,639=-27.108,01264$

CMUE=-27.108,01264[0.0381-1+0.038-60]=-1.153,143272$
No debe adquirirse la prensa.
Ejercicio 6.3: Determinar el edificio que deberá construirse si el edificio A tendrá un costo de $50.000.000 y producirá unos ingresos netos anuales de $2.000.000 y el edificio B tendrá un costo de $57.000.000 e ingresos netos anuales de $2.800.000. En ambos casos se estima una vida útil de unos 30 años; el valor del salvamento será prácticamente nulo y se requerirá una inversión adicional de $5.000.000 para la compra del terreno, el cual podrá ser vendido al cabo de 30 años en $1.200.000.000. Suponga que la tasa del inversionista es de:
36% b) 12%.

Solución:

Edificio A:

Edificio B:

i=0,36

CAUE0,36A=2.000.000-55.000.0000,361-1+0,36-30+1.200.000.0000,361+0,3630-1
CAUE(0,36)A=-17.759.357,21$
CAUE0,36B=2.800.000-62.000.0000,361-1+0,36-30+1.200.000.0000,361+0,3630-1
CAUE0,36B=-19.479.605,68$
Hay perdidas en ambos edificios entonces no se recomienda construir.
i=0,12

CAUE(0,12)A=2.000.000-55.000.0000,121-1+0,12-30+1.200.000.000(0,12)(1+0,12)30-1
CAUE0,12A=144.487,8970$

CAUE0,12B=75.482,2947$
Se aconseja el edificio A.

Ejercicio 6.4: Una empresa requiere que sus vendedores se movilicen en vehículo por razones de distancia, ahorro de tiempo y prestigio; estos vehículos no pueden ser de más de 3 años de antigüedad. Se han presentado a estudio dos posibilidades: la primera sería tomar en arriendo los vehículos, cuyo costo sería el siguiente: primer año $450.000 y, después, se incrementa cada año un 20%. Estas sumas serán pagaderas al principio de cada año. La segunda alternativa es comprar vehículos a un costo inicial de $4.000.000 c/u; el costo de seguros e impuestos es del orden de $400.000 todos los años y se estima el CAO en $25.000 para el primer año, $30.000 el segundo año y $38.000 el tercer año. Debido a un proceso inflacionario, el valor del vehículo al cabo de los tres años se estima en $7.000.000. Si la empresa utiliza una tasa del 25%, determinar la mejor alternativa.

Solución:
Alternativa 1

Co
K
CAO
E
TIO
Datos
0.0
3 años
$450.000
20% por año
25%

P=-450.0000,25-0,20[1- 1+0,201+0.253](1+0.25)=-1.296.720$

CAUE=-1.296.720$[0,251-1+0,25-3]=-664.303,2787$

Alternativa 2

Co=$4 millones, K=3 años, S=$7 millones, TIO=25%

Año
CAO ($)
Costo seguro – impuesto
1
25000
400000
2
30000
400000
3
38000
400000

25000(1+0,25)-1=20000
30000(1+0,25)-2=19200

38000(1+0,25)-3=19456
20.000+19.200+19.456=58.656$
CAUE=- 4.000.000[0,251-1+0,25-3]-58.656[0,251-1+0,25-3]-400000+7.000.000[0,251+0,253-1]

CAUE= -2.049.180,328-30.049,18033-400.000+1.836.065,574

CAUE=-643.163,9343$

La mejor opción es comprar los vehículos.

Ejercicio 6.5: Desea montarse una fábrica que necesita energía eléctrica para su funcionamiento, en la región, no es posible obtener energía de la red pública, por lo tanto es indispensable construir su propia planta. Se han considerado dos posibilidades: la primera consiste en construir una pequeña represa en el alto de una montaña, la cual es alimentada por un rio; el agua podrá salir de la represa a través, de una tubería que alimentaría una unidad turbogeneradora. El costo inicial de éste proyecto sería de: $300.000.000 para la compra del terreno y construcción de la represa, con un periodo de vida útil indefinido; requerirá una limpieza anual de malezas y sedimento, a un costo de $200.000. Además se requiere invertir $60.000.000 en la compra de la unidad turbogeneradora, la cual tiene una vida útil de 15 años con valor de salvamento de $10.000.000 y un CAO de $1.000.000. La segunda alternativa es la compra de una unidad termo-eléctrica, a un costo de $200.000.000, un CAO de $15.000.000, una vida útil de 10 años y un valor de salvamento de $18.000.000. Suponiendo que la fábrica utilizará una tasa del 23% y que la generación de energía eléctrica debe durar por tiempo indefinido, decida la alternativa que debe tomar.

Solución:

Hidroeléctrica

10.000.000=A(1+0,23)15-10,23

A=10.000.000 $(1+0,23)15-10,23=107.910,4907 $

Ahora para los 300.000.000 $
300.000.000 $= Ai
A=300.000.000 $ (0,23)
A=69.000.000 $
Se tiene que para los 60.000.000$:
A=60.000.000 $ 0,231-1+0,23-15= 14.447.462,94 $
Para lo cual queda que:
CAUE= -14.447.462,94 $-69.000.000 $-1.000.000 $-200.000 $+107.910,4907
CAUE= -84.539.552,45 $

Termoeléctrica

Para la inversión:
200.000.000 $=A1-(1+0,23)-100,23
A=200.000.000 $ 0,231-1+0,23-10= 52.641.691,89 $
Para los 18.000.000 $
A=18.000.000 $ 0,231+0,2310-1= 597.752,2699 $
CAUE=597.752,2699 $-15.000.000 $- 52.641.691,89 $
CAUE=-67.043.939,62 $
Como decisión debe tomarse la alternativa de la termoeléctrica.

Ejercicio 6.6: Determinar la mejor opción desde el punto de vista económico entre las siguientes opciones con vida útil indefinida:
Construir un puente colgante a un costo de $300.000.000 con un costo anual de mantenimiento de $300.000, cada 10 años habrá que hacerle reparaciones mayores a un costo de $3.500.000.
Construir un puente en concreto a un costo de $250.000.000 con un costo anual de mantenimiento de $100.000, cada 3 años deberá repavimentarse a un costo de $2.000.000 y cada 10 años habrá que reacondicionar las bases del puente a un costo de $50.000.000.

Se estima que el valor de los peajes son de $60.000.000 al año. Suponga un interés del 20%.

Solución:

TIO=0,2

K
C $
CAM $
Reparación c/10 años $
Repavimentación c/3años $
Ingreso anual peajes $
Puente colgante

300.000.000
300.000
3.500.000
-
60.000.000
Puente concreto

250.000.000
100.000
50.000.000
2.000.000
60.000.000

Puente colgante

300.000.000 $= A10,2 A1=60.000.000 $
3.500.000 $= A2 (1+0,2)10-10,2 A2=134829,6491 $
CAUE=60.000.000 $-300.000 $-60.000.000-134.829,6491 $
CAUE=-434.830$

Puente de concreto

250.000.000 $= A10,2 A1=50.000.000 $
2.000.000=A(1+0,2)3-10,2 A=549.450,5495$
50.000.000 $= R2 (1+0,2)10-10,2 R2=1.926.137,844 $
CAUE=60.000.000 $-100.000 $-50.000.000-549.450,5495 $- 1.926.137,844 $
CAUE=7.424.412 $
Se debe elegir el puente de concreto.

Ejercicio 6.7: Un inversionista, que solo espera trabajar 4 años en el país, al cabo de los cuales piensa radicarse en el exterior, por tal motivo sus proyectos de inversión podrán durar un máximo de 4 años. El inversionista dispone de un capital de $50.000.000 para realizar algún proyecto, para estudio tiene dos alternativas así:

Alternativa 1: Comprar una fábrica a un costo de $46.000.000 y venderla a los 4 años en $105.000.000 y además, producirá unos ingresos netos anuales de $10.000.000 los cuales crecerán cada año un 25%, el dinero restante podría ser invertido en depósitos a término fijo que le pagaran un interés anual del 28%.

Alternativa 2: Tomar en arriendo un edificio por el cual pagaría $5.000.000 como canon de arrendamiento anual pero pagadero por año anticipado y el valor del arriendo subirá todos los años un 20 %. En el contrato se estipula que se podrán hacer reparaciones y refacciones por valor de $40.000.000 y que al cabo de 4 años pasaran a ser propiedad del dueño del edificio, además y mientras tanto, se podrán subarrendar. El inversionista cree que puede cobrar por el arriendo unos $20.000.000 para el primer año cobrados por año anticipado y que el incremento anual será del orden del 20%. El resto del dinero podrá ser invertido en depósitos a término fijo en las mismas condiciones de la alternativa 1. Suponiendo que el inversionista espera obtener un rendimiento del 40% ¿Cuál de las dos alternativas debe tomar?
a) sin reinversión
b) con reinversión al 28% de toda liquidez que se presente durante la vida del proyecto.

Solución:

Alternativa 1:
a)

50.000.000=A1-(1+0,40)-40,40 A=27.038.288,29$

P=-10.000.0000,40-0,25[1- 1+0,251+0.404]=24.298.794,77$

24.298.794,77=A1-(1+0,40)-40,40 A=13.139.956,36$

Para el depósito a término fijo tenemos que:

4.000.0001+0.284 =10.737.418,24$.

105.000.000+10.737.418,24=115.737.418,2$

115.737.418,2=A(1+0,40)4-10,40 A=16.291.866,3$

CAUE=-27.038.288,29+13.139.956,36+16.291.866,3=-2.393.534,37$

Alternativa 2:

P=1+0,45.000.0001+0,241+0,4-4-10,2-0,4=16.107.871,72
P=1+0,420.000.0001+0,241+0,4-4-10,2-0,4=64.431.486,88
A=40.000.0001-1+0,4-40,4=21.630.630,63
A=16.107.871,721-1+0,4-40,4=8.710.582,5
A=64.431.486,381-1+0,4-40,4=34.842.342,34
CAUE=34.842.234,34-8.710.582,5-21.630.630,63=4.501.126,212

Ejercicio 6.8: Una fábrica necesita adquirir una máquina para su planta de acabados. Puede adquirir la maquina A, a un costo de $300.000, tiene una vida útil de 4 años y, al final de este tiempo, podrá venderse en $60.000. El costo anual de operación, que incluye combustible lubricantes y mantenimiento, se estima en $25.000. También puede adquirirse la maquina B, a un costo de $500.000, con una vida útil de 6 años, al final de los cuales podrá ser vendida en $100.000. A los 3 años de uso deberán ser cambiados los pistones y las bielas, a un costo estimado de $40.000; en compensación, el costo anual de operación es apenas de solo $5.000. Suponiendo una tasa del 20%, ¿Cuál debe adquirirse?

Solución:
Máquina A

TIO= 20 % EA

CAUEA0.20=-300,000 (a/p, 20% , 4) + 60,000(a/f, 20% , 4)-25,000

CAUEA0.20=-300,000 0.201-(1+0.20)-4 + 60,0000.20(1+0.20)4-1-25,000

CAUEA0.20=-115,886.7362+11,177.34724-25000

CAUEA0.20=-129,708$año

Máquina B

TIO= 20 % EA

P=40,000(1+0.20)-3
P=23,148.15 $

Pt=-523,148.15 $

CAUEB0.20=-523,148.15(a/p, 20% , 6) + 100,000(a/f, 20% , 6)-5,000

CAUEB0.20=-523,148.150.201-(1+0.20)-6 +100,0000.20(1+0.20)6-1-5,000

CAUEB0.20=-157,313.65+10,070.57-5000

CAUEB0.20=-152,243.08$año

Se debe decidir por la maquina A.

Ejercicio 6.9: El estado desea realizar un proyecto de irrigación, con duración indefinida y ha pedido a la compañía de ingenieros A y B que le presenten propuestas, las cuales se muestran en el siguiente cuadro:

A
B
CI
30000
60000
CAO
4000
500

Si el estado utiliza una tasas del 22%, determinar: ¿Qué compañía debe seleccionarse?

Solución:
Alternativa A:

CAUE=-4.000-30.0000,22=-10.600$
Alternativa B:

CAUE=-500-60.0000,22=-13.700$
Debe decidirse por la alternativa A.

Ejercicio 6.10: Al alcalde de un municipio le han presentado dos propuestas para establecer en forma indefinida la navegación por un rio. La propuesta A consiste en dragar el rio para remover los sedimentos acumulados; esta operación deberá hacerse varias veces al año según sea necesario, a un costo fijo de $800.000 pagaderos al final de cada año; además se hace necesaria la adquisición de una draga cuyo precio es de $ 10.000.000, posee una vida útil de 10 años y tiene un valor de salvamento de $ 2.000.000. La propuesta B exige la canalización del rio a un costo inicial de $ 15.000.000; este canal requerirá de un mantenimiento menor cada año a un costo de $40.000 y un mantenimiento completo el cual incluye el mantenimiento menor cada 4 años, a un costo de 2.000.000. Suponiendo que el gobierno utiliza una tasa del 25%, ¿Qué propuesta debe aceptar?

Solución:

Propuesta A:

CAUE=-10.000.000[0,251-1+0,25-10]-800.000+2.000.000[0,251+0,2510-1]

CAUE=-2.800.725,624-800.000+60145,1248

CAUE=-3.540.580,499$

Propuesta B:

La grafica anterior se puede ajustar de la siguiente forma

Cambiamos la tasa a cada 4 años

1+i2m2=1+i1m1
1+0,254=1+i11
1+0,254-1=i
1,44140625 E cada 4 años V=i
Hallamos valor presente de las anualidades
P1=Ai=1.960.0001,44140625=1.359.783,198
Sumamos los valores presentes
PTotal=15.000.000+1.359.783,198=16.359.783,2

CAUE0,25=-16.359.783,20,25-40.000=-4.129.945,8 $

R/: La propuesta A genera menos egresos.

CAPÍTULO 7

RELACIÓN BENEFICIO-COSTO

La relación beneficio-costo es la relación del valor presente de los ingresos sobre el valor presente de los egresos.

La relación beneficio-costo se calcula de la siguiente manera:

Se calcula el valor presente de los ingresos asociados con el proyecto en cuestión.

Se calcula el valor presente de los egresos del proyecto.

Se establece una relación entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos, al dividir la primera cantidad por la segunda. El resultado de tal división es la relación beneficio-costo.

En términos simbólicos:

Debemos observar que la relación beneficio-costo está en función de la tasa de interés que se emplea en el cálculo del valor presente de los ingresos y egresos, de tal forma que al calcular este índice con propósitos decisorios, es necesario utilizar la tasa de interés del inversionista.

La relación beneficio-costo puede asumir los siguientes valores:

>1

=1

<1

Cuando su valor es superior a la unidad, significa que el valor presente de los ingresos es superior al valor presente de los egresos, es decir, que el valor presente neto de todo el proyecto es positivo y en consecuencia es "atractivo" para el inversionista.

Cuando la relación es igual a la unidad, el valor presente de los ingresos es igual al valor presente de los egresos. En estas circunstancias, el proyecto es indiferente para el inversionista.
Finalmente, cuando la relación es menor que la unidad, tenemos un proyecto donde el valor presente de los ingresos es inferior al valor presente de los egresos, por lo tanto el proyecto no es conveniente para el inversionista.

La relación beneficio-costo generalmente se utiliza para evaluar proyectos públicos o con inversiones financiadas por organismos internacionales tales como el Banco Interamericano de Desarrollo (BID) o el Fondo Monetario Internacional (FMI). Estas entidades han establecido que todo el proyecto financiado por ellos debe tener en forma explícita los costos y los beneficios.

A continuación se realizarán varios ejemplos

Ejemplo 7.1: Dos ciudades A y B están unidas mediante una vieja carretera y se proyecta la construcción de una nueva que costará unos $100 millones, ésta acortará el camino entre las dos ciudades, la nueva carretera trae como consecuencia un ahorro para los vehículos en combustible, aceite y desgaste. Todos estos ahorros se estiman que pueden llegar a valer unos $28 millones al año. La nueva carretera perjudica a los comerciantes de la región que a lo largo de los años han montado restaurantes, hoteles por la ruta de la vieja carretera, las pérdidas se han calculado en unos $15 millones al año. Utilizando la relación beneficio-costo, determinar la conveniencia del proyecto utilizando

Una tasa social del 30%

Una tasa social del 12%

Análisis: Los ahorros que trae la nueva carretera son ganancias para la comunidad de la región y representan gastos o pérdidas para los comerciantes de la región:

Ahorros o ingresos = $28 millones

Costos o egresos = $15 millones

Ingresos netos anuales = $28 millones - $15 millones = $13 millones

Como es un proyecto de larga duración se considera su vida infinita

VPingresosi=Ai=130,3=43,33

Como , el proyecto no es aconsejable.

BC0,12=130,12100=13(0,12)(100)=1312=1,083>1

Como, el proyecto es aconsejable.

DISCREPANCIAS ENTRE LA RELACIÓN BENEFICIO-COSTO Y EL VALOR PRESENTE NETO

Cuando se están estudiando proyectos mutuamente excluyentes para seleccionar uno de ellos, el ordenamiento preferencial del VPN y la relación no coincide, para estos casos se debe realizar un análisis incremental para que ambos criterios coincidan,

Ejemplo 7.2:Un inversionista tiene 2 alternativas de inversión y debe escoger una de ellas, el siguiente cuadro muestra el flujo de cada una de las alternativas. Si la tasa de interés es del 15% efectivo anual, ¿cuál es la mejor alternativa?.

Alternativa A
Año
Ingresos
Egresos
0
0
200.000
1
90.000
0
2
90.000
0
3
90.000
0
4
90.000
0
Tabla 7.1

Alternativa B
Año
Ingresos
Egresos
0
0
300.000
1
0
0
2
0
0
3
0
0
4
650.000
0
Tabla 7.2

Solución

Si encontramos el de cada una de las alternativas

Como, la mejor opción es la alternativa A.

Si hacemos la comparación usando VPN, tenemos que:

VPNA=-200.000+900001-1+0,15-40,15=56.948,053$

Como VPNA< VPNB, el proyecto más aconsejable es B.

Vemos que hay inconsistencia entre VPN y.

Cuando esto ocurre hay necesidad de utilizar análisis incremental; el método es el siguiente:

Primero se ordenan las alternativas en orden creciente de inversión inicial

Año
A
B
B - A
0
-200.000
-300.000
-100.000
1
90.000
0
-90.000
2
90.000
0
-90.000
3
90.000
0
-90.000
4
90.000
650.000
560.000
Tabla 7.3

Se encuentra la relación del proyecto B – A

BC(0,15)=560.0001+0.154100.000+90.0001-1+0.15-30,15=320.181,818305.490,261=1,048>1

Luego se justifica la inversión adicional de $100.000 en el proyecto B, luego B es el mejor, este análisis incremental coincide con la decisión tomada mediante VPN.

ANÁLISIS BENEFICIO-COSTO PARA ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Ejemplo 7.3:

TMAR = 10% anual

A
B
C
D
Costo de construcción
-200.000
-275.000
-190.000
-350.000
Flujo de caja anual
22.000
35.000
19.500
42.000
Vida (años)
30
30
30
30
Tabla 7.4

Primero se ordenan las alternativas en orden creciente de inversión inicial

C
A
B
D
Costo de construcción
-190.000
-200.000
-275.000
-350.000
Flujo de caja anual
19.500
22.000
35.000
42.000
Vida (años)
30
30
30
30
VPN
-6.175,17
7.392,12
54.942,01
45.930,41

0,97
1,04
1,20
1,13
TIR
9,6086%
10,4409%
12,3393%
11,5478%
CAUE
-656,06
784,15
5.828,21
4.872,26
TIRM
9,8785%
10,1332%
10,6699%
10,4530%
Tabla 7.5

Se calcula la relación para cada alternativa y se eliminan las alternativas con , en este caso, la alternativa C, y se continúa el análisis con los proyectos restantes.

Comparamos A con B, encontramos la relación del proyecto B – A.

TIRB-A=17,1845% > 10% (TMAR). Gana B

Como es mayor que 1, el proyecto B debe preferirse sobre A. Por lo tanto, eliminamos A.

Utilizando a B como defensor y al D como retador, encontramos la relación del proyecto D – B.

TIRD-B=8,5332% < 10% (TMAR). Gana B

. Se rechaza D

Como la relación del proyecto D – B es menor que 1 se descarta D y gana B, que es el proyecto seleccionado también por el criterio VPN.

Nota: En este ejemplo COINCIDEN VPN y , pero esto es un caso excepcional el análisis debe realizarse en forma INCREMENTAL.


Ejercicio 7.1: En una región muy árida se está pensando en la construcción de canales de irrigación y, de ésta forma, habilitar la zona para la agricultura. Se estima que los canales costarán $500.000.000 y requerirán de $2.000.000 anuales para su mantenimiento. Los agricultores estiman que podrían obtener beneficios anuales por $80.000.000. Usando la Relación Beneficio/costo, determinar la viabilidad del proyecto, tomando un horizonte de planeación infinito y utilizando:
tasa de interés compuesto social del 12% y b) tasa del inversionista del 26%.

Solución:

BC=80.000.000$0.12500.000.000$+2.000.000$0.12=666.666.666,7$516.666.666,7$=1,2903 BC>1

Se debe realizar el proyecto.

BC=80.000.000$0.26500.000.000$+2.000.000$0.26=307.692.307,7$507.692.307,7$=0,6061 BC<1

No se debe realizar el proyecto.

Ejercicio 7.2: Resuelva el problema anterior, tomando en cuenta la queja de los campesinos de la región quienes sostienen, que sus costos de transporte se elevarían en $10.000.000.

Solución:
12%
BC=800.12-100.12500+20.12=583.3333$516.6667$=1.129
BC>1
Se debe llevar a cabo la realización del proyecto
26%

BC=800.26-100.26500+20.26=269.2307$507.6923$=0.53
BC<1
No se debe llevar a cabo la realización del proyecto

Ejercicio 7.3: Teniendo en cuenta los dos problemas anteriores suponga que para evitar el aumento de costo de transporte y para hacerlo más ágil se decide que el proyecto incluya la construcción de puentes sobre los canales a un costo de $200.000.000 y el costo de mantenimiento de estos puede ser del orden de $3.000.000 al año, los cuales tendrán una vida útil indefinida. ¿En estas nuevas condiciones es aconsejable el proyecto?.

Solución:

$700 MILLONES
Para la tasa de 12%
BC= 800.12700+50.12= 666.6667$741.6667$=0.8988 BC<1
No es aconsejable realizar el proyecto.
Para la tasa del 26%
BC= 800.26700+50.26= 307.6923$719.230$=0.4278 BC<1
No es aconsejable realizar el proyecto.

Ejercicio 7.4: Una ciudad necesita construir dos parques de recreo que piensa mantener indefinidamente, los parques pueden ser ubicados en cualquiera de los sitios A, B o C. Los datos estimados para cada proyecto expresados en millones de $ se muestran en el siguiente cuadro:

Sitios
A
B
C
Costo inicial
38
25
45
CAO
2
2
3
Derechos de entrada por año
7
7
10
Ingresos anuales para los concesionarios
10
10
20
Pérdidas anuales en la agricultura
8
12
4

Suponiendo una tasa de interés del 20%, decidir por medio de la relación B/C en que sitio debe construirse.

Solución:
Los datos que tenemos son las entradas y salidas en millones de cada sitio y el interés i = 20%.
TERRENO A
VPI=7.000.000$0,20+10.000.000$0,20-8.000.000$0,20=45.000.000$
VPE=38.000.000$+2.000.000$0,20=48.000.000$
BC=45.000.000$ 48.000.000$=0,9375
TERRENO B
VPI=7.000.000$0,20+10.000.000$0,20-12.000.000$0,20=25.000.000$
VPE=25.000.000$+2.000.000$0,20=35.000.000$
BC=25.000.000$ 35.000.000$=0,71428571
TERRENO C
VPI=10.000.000$0,20+20.000.000$0,20-4.000.000$0,20=130.000.000$
VPE=45.000.000$+3.000.000$0,20=60.000.000$
BC=130.000.000$ $ 60.000.000$=2,16666667
El sitio C debe ser uno de los escogidos, los sitios A y B generan pérdidas.

Ejercicio 7.5: El gobierno está pensando en la construcción de una hidroeléctrica; para ello es necesario adquirir los terrenos para la construcción de la represa a un costo de $500 millones. Además será necesario efectuar una inversión de $300 millones, al final del primer año, para efectuar la construcción de las obras civiles que tendrán una vida útil indefinida. Al final del segundo año, habrá que adquirir los equipos electromecánicos a un costo de $200 millones, los cuales tendrán una vida útil de 21 años y un valor de salvamento de $50 millones; su costo de operación en el año 3 será de $20 millones y, cada año siguiente, su costo se incrementará en $1 millón. La hidroeléctrica comenzará a generar energía en el tercer año, y sus ingresos por facturación se estima en $300 millones y, cada año siguiente, aumentará en $30 millones hasta el año 10. En el año 11, se estima en $600 millones y, cada año siguiente, aumentará en $50 millones, hasta el año 23.

a) Utilizando un horizonte de planeación de 23 años, una tasa de interés del 25% y utilizando la RELACIÓN B/C, determine la viabilidad del proyecto

Suponga que debido a la construcción de la represa, hay una disminución en la agricultura de aproximadamente unos $41 millones anuales.

Solución:

Se lleva la inversión realizada al final del primer año a presente:
300.000.0001+0,25-1=240.000.000
También se traslada el costo de los equipos electromecánicos a valor presente:
200.000.0001+0,25-2=128.000.000
Gradiente geométrico de costo de operación llevado a presente:
20.0000.0001-1+0,25-210,25+1.000.0000,251-1+0,25-210,25-211+0,25-211+0,25-2=60.377.467,54
Gradiente geométrico de ingresos por facturación en presente:

300.000.0001-(1+0,25)-80,25+30.000.0000,251-(1+0,25)-80,25-8(1+0,25)-8(1+0,25)-2==791.732.158,5

Se lleva el valor de salvamento a presente:

50.000.0001+0,25-23=295.147,9052
Gradiente geométrico de ingresos por facturación a presente del año 11 al 23:
600.000.0001-(1+0,25)-130,25+50.000.0000,251-(1+0,25)-130,25-13(1+0,25)-13(1+0,25)-10=309.360.226,7

BC=791.732.158,7+309.360.226,7+295.147,9052240.000.000+128.000.000+60.377.467,54+500.000.000=1,19

Se calcula el valor presente de la anualidad:
41.000.0001-1+0,25-230,25=163.031.914,9
BC=791.732.158,7+309.360.226,+295.147,9052-163.031.914,9240.000.000+128.000.000+60.377.467,54+500.000.000=1,01
Conclusión: es conveniente realizar el proyecto.

Ejercicio 7.6: Un señor piensa comprar una máquina tejedora con un costo de $900.000, el CAO es de $250.000 con un crecimiento anual del 23%, una vida útil de 8 años y un valor de salvamento de $300.000. Los ingresos anuales que genera ésta máquina serían para el primer año de $450.000 y cada año se aumentarán en un 23%. Suponiendo una tasa del 35%, determinar si el proyecto es bueno.

Solución:

VPNingresos=300.0001+0,35-8+450.0001+0,2381+0,35-8-10,23-0,35
VPNingresos=1.996.446,484$

VPNegresos=900.000+250.0001+0,2381+0,35-8-10,23-0,35
VPNegresos=1.994.029,923
BC=VPN(ingresos)VPN(egresos)=1.996.446,4841.994.029,923

BC=1,00121
Dado que el análisis costo beneficio (B/C) es >1 el proyecto es bueno.

Ejercicio 7.7: En el siguiente cuadro se muestran los flujos de caja de los proyectos A y B

A
B
Costo
2000000
4500000
CAO
1540000
1056000

Con una tasa del 20% determinar la mejor alternativa usando la Relación B/C.
Sugerencia: Puesto que solo se conocen costos es necesario usar el método incremental donde los beneficios serán las diferencias en el CAO y el costo la diferencia entre los costos de cada proyecto.

Solución:

Para el proyecto A:

Beneficios=CAO A-CAO B=1,540,000 $-1,056,000 $=484,000 $
Costos=Costo A-Costo B=2,000,000 $-4,500,000 $=-2,500,000 $

Los costos se convierten en beneficios por que en B los costos son mayores que en A y esto representa un beneficio en el proyecto.

La diferencia de los costos anuales de los proyectos se convierte en un egreso en la instancia A ya que el CAO de A es mayor que el de B.

El vp de una anualidad infinita=Ri

vp=484,0000.20=2,420,000 $

bc=2,500,0002,420,000=1.033

Para el proyecto B:
Beneficios=CAO B-CAO A=1,056,000 $-1,540,000 $=-484,000 $
Costos=Costo B-Costo A=4,500,000 $-2,000,000 $=2,500,000 $

El vp de una anualidad infinita=Ai

vp=484,0000.20=2,420,000 $

bc=2,420,0002,500,000=0.968

Se escogería el proyecto A

Ejercicio 7.8: Se proyecta la construcción de canales para controlar las inundaciones causadas por el desbordamiento de un rio. Actualmente los desbordamientos causan unas pérdidas estimadas en US$5 millones los cuales podrán ser controlados parcialmente según el tamaño de los canales tal como se aprecia en el siguiente cuadro:
Cifras en millones de US$

Pequeños
Medianos
Grandes
Costo
10
15
25
CAO
0.1
0.2
0.5
Daños por
Inundaciones
3
1.6
0.5

Los canales se mantendrán por tiempo indefinido, con una tasa del 20% determinar la mejor alternativa.
Sugerencia: el no hacer nada debe considerarse como otra alternativa.

Solución:

Canal pequeña vs Nada
Beneficios=5.000.000 $-3.000.000 $=2.000.000 $
Costo inicial=10.000.000 $
P= Ai 10.000.000 $= A0,2 A=2.000.000 $
CAO=100.000 $
BC= 2.000.000 $2.100.000 $=0,95 No construir

Canal mediana vs Nada
Beneficios=5.000.000 $-1.600.000 $=3.400.000 $
P= Ai 15.000.000 $= A0,2 A=3.000.000 $
CAO=200.000 $
BC= 3.400.000 $3.200.000 $=1,06 Si construir

Canal grande vs Nada
Beneficios=5.000.000 $-500.000 $=4.500.000 $
P= Ai 25.000.000 $= A0,2 A=5.000.000 $
CAO=500.000 $
BC= 4.500.000 $5.500.000 $=0,818 No construir

Ejercicio 7.9: Se está analizando la construcción de una carretera alterna entre las ciudades A y B. El costo de construcción es de $70 mil millones. El costo anual de mantenimiento será de $65 millones y cada año su costo crecerá un 18%. Al construir la carretera los hacendados de la región dejarían de percibir $70 millones por concepto de labores agrícolas para el primer año y se cree que anualmente podrían aumentar un 20%. Se estima que a partir del primer año los restaurantes y sitios turísticos que se construyan al lado de la carretera recibirán unos ingresos de $730 millones que cada año aumentaran en un X%. Por otra pare los transportadores al utilizar la carretera alterna obtendrían un ahorro en combustible, llantas, aceites, desgaste de sus vehículos, etc., en $850 millones con un incremento anual del 20%. Suponiendo que la carretera se debe mantener por un tiempo indefinido y usando una tasa de interés del 28% ¿Cuál sería el valor de X para que la construcción de la carretera alterna sea atractiva?

Solución:
i=0,28 EAV

BC=850 millones0,28-0,2+730 millones0,28-x70.000 millones+65 millones0,28-0,18+70 millones0,28-0,2=1

10.625 millones+730 millones0,28-x71.525 millones=1

10.625 millones+730 millones0,28-x=71.525 millones

730 millones0,28-x=71.525 millones-10.625 millones

730 millones0,28-x=60.900 millones

730 millones=60.900 millones0,28-x

730 millones60.900 millones=0,28-x

730 millones60.900 millones-0,28=-x

-0,268013136=-x

0,268013136=x

CAPÍTULO 8

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

INTRODUCCIÓN

La tasa interna de retorno que se representa por las siglas TIR es el interés que ganan los dineros que permanecen atados al proyecto de inversión; los proyectos generalmente van entregando dinero durante su vida útil. Matemáticamente hablando la tasa interna de retorno (TIR) se obtiene igualando a cero el valor presente neto (VPN) del proyecto que estamos considerando.
Ejemplo 8.1: Una compañía invierte $15 millones de pesos y estima que sus ingresos netos en los cinco años son los siguientes:

Figura 8.1

Encontrar la tasa interna de retorno del proyecto de inversión, si la tasa de interés del inversionista es del 33% efectivo, ¿usted aconsejaría este proyecto?

Solución:

Planteamos el valor presente neto del proyecto y lo igualamos a cero

VPN=-15+5 [(1+0,2)5(1+i)-5-10,20-i]=0

Para la solución manual se requiere interpolar; se debe iniciar con una tasa i.

Si sumamos los ingresos netos considerando que no ganan interés en los 5 años.

F=5+6+7,2+8,64+10,368=37,208

P=15

i=537,20815-1=0,199248029

Se puede arrancar con una tasa i=0.20 EAV y se inicia la interpolación

i
f(i)=-15+5 [(1+0,2)5(1+i)-5-10,20-i]=0

0,21
5,3225
0,30
1,4912
0,34
0,1448
0,35
-0,1643

Tabla 8.1

x-0,340,35-0,34=0-0,1448-0,1643-0,1448

x=0,34+0,35-0,340-0,1448-0,1643-0,1448=0,3447

TIR=34,47%

Como la tasa interna de retorno del proyecto TIR=34,47% EAV, es mayor que la tasa que maneja el inversionista el proyecto es aconsejable.

TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TMAR)

La tasa mínima atractiva de retorno es la mínima tasa que está dispuesto el inversionista a aceptar por los dineros que coloque en un proyecto de inversión; generalmente es igual a la TIO= Tasa de interés de oportunidad del inversionista.
INCONSISTENCIAS ENTRE EL VPN Y LA TIR

Cuando se debe seleccionar un proyecto entre varias opciones, en algunas ocasiones el proyecto seleccionado habiendo utilizado la herramienta VPN no coincide con el proyecto seleccionado al utilizar la herramienta TIR, es decir hay una inconsistencia entre VPN Y TIR, para conciliar la inconsistencia se debe hacer una modificación a la verdadera rentabilidad del proyecto. Entendamos esta alteración con un ejemplo.

Ejemplo 8.2: Un inversionista tiene que seleccionar una alternativa de inversión entre dos proyectos A y B; los flujos netos de caja de los dos proyectos son:

Figura 8.2 Figura 8.3

Asumiendo que la tasa del inversionista es del 3% anual, seleccionar uno de los dos proyectos. Utilizando VPN y TIR como herramientas de análisis.
Solución:
Utilizando VPN como herramienta plantemos las dos ecuaciones:
VPN(0,03)A=-116000+100000 P/ F , 3%,1+5000(P/ A,3%,5)P/ F , 3%,1
VPN(0,03)A=3318,97

VPN(0,03)B=-116000+150000 P/ F , 3%,6=9622,64
VPN(0,03)B>VPN(0,03)A
9622,64>3318,97
Se debe seleccionar el proyecto B.
Utilizando la TIR como herramienta planteamos las dos ecuaciones de VPN a una tasa i desconocida e igualamos a cero el VPN.
Proyecto A:
VPN(i)A=-116000+100000 (1+i)-1+5000(1-1+i-5)i(1+i)-1 =0
Resolviendo por interpolación:

x-0,040,05-0,04=0-1556,84-145,35-1556,84
x=0,04+0,05-0,040-1556,84-145,35-1556,84=0,049146
TIRA=4,91%
Proyecto B:
VPN(i)B=-116000+150000 (1+i)-6=0
i=6150000116000-1=0,0438
TIRB=4,38%
Se debe seleccionar el proyecto A.
Para resolver esta inconsistencia entre VPN y TIR se hace lo siguiente:
El proyecto A entrega dinero durante su vida útil, estos dineros se reinvierten a la TIO del inversionista (TIO= 3% EAV) y se lleva todo el flujo reinvertido al año 6.
100000(1+0,03)5+5000 F/A, 3%,5=100000(1+0,03)5+5000[(1+0,03)5-10,03]
=142473,09
Nos da el proyecto A con la siguiente reinversión:

Figura 8.4
i=6142473,09116000-1=0,034854 3,49% EAV
Esta tasa del proyecto A con reinversión se le llama tasa interna de retorno modificada (TIRM).
El proyecto B como no entrega dinero durante su vida útil, sino al final del año 6 su TIR es la misma TIRM.
Resumiendo:
TIRMA=3,49%
TIRMB=4,38%
Como TIRMB>TIRMA
4,38% > 3,49%
Se debe seleccionar el proyecto B

PROYECTOS
Criterio
A
B
SELECCIONAR
VPN
3318,97
9622,64
B
TIR
4,91%
4,38%
A
TIRM
3,49%
4,38%
B

Tabla 8.2
La tabla 8.2 nos indica que el VPN y la TIRM coinciden en la selección del proyecto B, es decir se eliminó la inconsistencia.
En la gran mayoría de los casos VPN y TIRM coinciden en el ordenamiento, pero existen algunos casos donde se debe recurrir a una variante de la TIRM. Entendamos esto con un ejemplo.
Ejemplo 8.3: Un inversionista tiene que seleccionar una alternativa de inversión entre dos proyectos de inversión A y B; cuyos flujos netos son los siguientes:

Figura 8.5

Figura 8.6
Con una TIO= 5% determinar cuál es el mejor proyecto de inversión.
Solución:
Haciendo el análisis con VPN:
VPNA0,05=-20000+3116 P/A,5%,10=4060,93
VPNB0,05=-10000+1628 P/A,5%,10=2570,98
VPNA0,05>VPNB0,05
4060,93> 2570,98
Se debe seleccionar el proyecto A según la herramienta VPN.
Haciendo el análisis con TIR:
Proyecto A
VPNiA=-20000+3116 P/A,i%,10=0
fi=-20000+3116 1-1+i-10i= 0

Interpolando
i
f(i)
0,08
908,614
0,09
-2,579

Tabla 8.3
x-0,080,09-0,08=0-908,614-2,579-908,614
x=0,08+0,09-0,08[0-908,614-2,579-908,614]
x=0,090
TIRA=9%
Proyecto B
VPNiB=-10000+1628 P/A,i%,10=0
fi=-10000+1628 1-1+i-10i= 0

Interpolando
I
f (i)
0,095
221,883
0,105
-207,950

Tabla 8.4
x-0,0950,105-0,095=0-221,883-207,950-221,883

x=0,095+0,105-0,095[-221,883-207,950-221,883]
x=0,10016
TIRB=10,01%

PROYECTOS
Criterio
A
B
SELECCIONAR
VPN
4060,93
2570
A
TIR
9 %
10,01 %
B

Tabla 8.5
Sigue la inconsistencia.
Calculemos la TIRM de los proyectos A y B.
TIO= 5%

Figura 8.7
F=3116 F/A,5%,10=39192,71
TIRMA=1039192,7120000-1=0,0696
TIRMA=6,96%

Figura 8.8

F=1628 F/A,5%,10=20476,81
TIRMB=1020476,8110000-1=0,0743
TIRMB=7,43%
Resumiendo:
PROYECTOS
Criterio
A
B
SELECCIONAR
VPN
4060,93
2570
A
TIR
9 %
10,01 %
B
TIRM
6,96 %
7,43 %
B

Tabla 8.6
Continúa la inconsistencia; si comparamos los dos proyectos A y B con reinversión:

Figura 8.9

Figura 8.10

El proyecto A requiere una inversión adicional de $10.000; si se invirtieran en el proyecto B, el proyecto B equivalente con la reinversión de los $10.000 quedaría así:
F=10000(1+0,05)10=16288,95
Ingresos en el periodo 10= 20476,81+16288,95= 36765,76$
Costos Iniciales en 0=10000+10000= 20000$

Figura 8.11

TIRB=1036.765,7620.000-1=0,0628
TIRB=0,0628
Como la TIRB=6,28% del proyecto con inversión adicional es inferior a la TIR del proyecto A (TIRA=9%) no es aconsejable invertir en B; luego se selecciona A.

Todos los cambios efectuados buscaron la coincidencia entre el ordenamiento del VPN y TIR.

TASA DE RETORNO INCREMENTAL TIRI

Cuando hay varios proyectos mutuamente excluyentes de igual vida útil y debe seleccionarse uno de ellos se usa la tasa de retorno incremental.
Ejemplo 8.4: Se tienen los proyectos A, B y C encontrar la mejor alternativa usando el método de la tasa de retorno incremental suponiendo una TIO=25%, compruebe el resultado usando VPN. Las inversiones iníciales y sus costos anuales de operación se muestran en la tabla adjunta:

PROYECTO
A
B
C
Inversión inicial
100.000
120.000
110.000
CAO año 1
10.000
2.000
5.500
CAO año 2
12.000
3.000
6.000
CAO año 3
14.000
4.000
7.000
CAO año 4
16.000
5.000
8.500

Tabla 8.7
Solución:
Primer paso: se ordenan los proyectos de menor inversión a mayor inversión.

PROYECTO
A
C
B
Inversión inicial
100.000
110.000
120.000
CAO año 1
10.000
5.500
2.000
CAO año 2
12.000
6.000
3.000
CAO año 3
14.000
7.000
4.000
CAO año 4
16.000
8.500
5.000

Tabla 8.8

Segundo paso: se calcula el proyecto C-A.

PROYECTO
A
C
C-A
Inversión inicial
-100.000
-110.000
-10.000
CAO año 1
-10.000
-5.500
+4.500
CAO año 2
-12.000
-6.000
+6.000
CAO año 3
-14.000
-7.000
+7.000
CAO año 4
-16.000
-8.500
+7.500

Tabla 8.9

Se encuentra la TIRI del proyecto C-A

Figura 8.12

4.500+6.000+7.000+7.500=25.000

i=425.00010.000-1=0,2574

VPNi=-10.000+4.500(1+i)-1+6.000(1+i)-2+7.000(1+i)-3+7.500(1+i)-4

-10.000+4.500(1+i)-1+6.000(1+i)-2+7.000(1+i)-3+7.500(1+i)-4=0

Interpolando
0,44107,06x00,46-203,130,44107,06x00,46-203,13
0,44
107,06
x
0
0,46
-203,13

0,44
107,06
x
0
0,46
-203,13

x-0,440,46-0,44=0-107,06-203,13-107,06

x=0,44+0,46-0,440-107,06-203,13-107,06
x=0,4469
TIRI=44,69%
Como TIRI=44,69 % > TIO=25 % se justifica invertir adicionalmente 10.000 en C porque genera una tasa superior a la TIO; luego se descarta A y se prefiere C.
Tercer paso: se calcula el proyecto B-C.
PROYECTO
C
B
B-C
Inversión inicial
-110.000
-120.000
-10.000
CAO año 1
-5.500
-2.000
+3.500
CAO año 2
-6.000
-3.000
+3.000
CAO año 3
-7.000
-4.000
+3.000
CAO año 4
-8.500
-5.000
+3.500

Tabla 8.11

Figura 8.13

3.500+3.000+3.000+3.500=13.000

i=413.00010.000-1=0,678
VPNi=-10.000+3.500(1+i)-1+3.000(1+i)-2+3.000(1+i)-3+3.500(1+i)-4
-10.000+3.500(1+i)-1+3.000(1+i)-2+3.000(1+i)-3+3.500(1+i)-4=0
i
F(i)
0,07
1010,3711
0,09
532,0878
0,11
87,1530
0,12
-123,7643

Tabla 8.12

0,1187,1530x00,12-123,76430,1187,1530x00,12-123,7643
0,11
87,1530
x
0
0,12
-123,7643

0,11
87,1530
x
0
0,12
-123,7643

x-0,110,12-0,11=0-87,1530-123,7643-87,1530
x=0,11+0,12-0,110-87,1530-123,7643-87,1530
x=0,1141
TIRI=11,41%

Como TIRI=11,41 % < TIO=25 % no se justifica invertir en B, luego se debe seleccionar el proyecto C.
Si confrontamos la selección usando VPN

VPN0,25A=-100.000-10.000(1+0,25)-1-12.000(1+0,25)-2+14.000(1+0,25)-3+16.000(1+0,25)-4=-129.401,6
VPN0,25C=-110.000-5.5001+0,25-1-6.0001+0,25-2+7.0001+0,25-3+8.5001+0,25-4=-125.305,6
VPN0,25B=-120.000-2.000(1+0,25)-1-3.000(1+0,25)-2+4.000(1+0,25)-3+5.000(1+0,25)-4=-127.616

Se selecciona el proyecto menos costoso, es decir C, el criterio TIRI coincide con el VPN.
PROYECTOS CON TIR MÚLTIPLE

Generalmente los proyectos tienen al inicio de su vida, un egreso y después ingresos, estos proyectos reciben el nombre de convencionales y al calcular la TIR tienen solo una. Cuando los proyectos tienen varios egresos y varios ingresos se les llama proyectos no convencionales y en estos casos el proyecto tiene varias tasas TIR.
Para la regla de los signos de Descartes el proyecto tendrá tantas tasas TIR positivas como cambios de signo tenga su flujo de caja neto.

Ejemplo 8.5: Encontrar la TIR del proyecto siguiente:

Figura 8.14
Tiene dos cambios de signos.
Tiene dos tasas positivas.
Si la TIO del inversionista es de 30% y la tasa de créditos bancarios es del 25 %.
Solución:
-40.000+100.000(1+i)-2-60.000(1+i)-5=0

Tabla 8.13
0,390,019x00,40-0,0140,390,019x00,40-0,014
0,39
0,019
x
0
0,40
-0,014

0,39
0,019
x
0
0,40
-0,014

x-0,390,40-0,39=0-0,019-0,014-0,019
x=0,39+0,40-0,390-0,019-0,014-0,019
x=0,3559
TIRI=35,59%

Este proyecto tiene dos tasas TIR:
TIR=0%
TIR=35,59%
Con la TIO=30% y la tasa de créditos del 25%; se lleva a presente el egreso de $60.000 con la tasa del 25 % y a futuro el ingreso de 100.000 quedando el proyecto equivalente así:
P=60.000(1+0.25)-5=19.660,80
PT=40.000+19.660,80=59.660,80
F=100.0001+0.303=219.700

Figura 8.15

TIRM=5219.70059.660,80-1=0,29786
TIRM=29,786%.
Como TIRM = 29,786% < TIO=30% el proyecto no es conveniente para el inversionista.
Ejemplo 8.6: Una industria puede adquirir una máquina a un costo de $6.000.000, tendrá una vida útil de 5 años y prácticamente no tendrá valor de salvamento, la máquina será totalmente despreciada en tres años por partes iguales, el estudio de mercados indica que los ingresos del primer año serán aproximadamente de $3.000.000 y aumentarán todo los años en un 30%, por otra parte se estima que el costo de producción del primer año será de $800.000 y cada año aumentará en $200.000. Suponiendo una tasa impositiva de 38% determinar la rentabilidad del proyecto usando un horizonte de planeación de 5 años.

Solución:

Figura 8.16
BASE=INGRESOS-COSTOS-DEPRECIACIÓN
FNC=INGRESO-COSTOS-IMPUESTO

Depreciación anual=6.000.000$3 años=2.000.000$año
AÑO
INGRESOS
COSTOS
DEPRECIACIÓN
BASE
IMPUESTO
FNC
0
-6.000.000
0
0
0
0
-6.000.000
1
3.000.000
800.000
2.000.000
200.000
76.000
2.124.000
2
3.900.000
1.000.000
2.000.000
900.000
342.000
2.558.000
3
5.070.000
1.200.000
2.000.000
1.870.000
710.600
3.159.400
4
6.591.000
1.400.000
0
5.191.000
1.972.580
3.218.420
5
8.568.000
1.600.000
0
6.968.300
2.647.954
4.320.346

Tabla 8.14
VPNi=-6000000+2124000(1+i)-1+2558000(1+i)-2+3159400(1+i)-3+3218420(1+i)-4+4320346(1+i)-5=0
Por interpolación se encuentra:
i=0,3658
Rentabilidad del proyecto:
TIR=36,58%

ANEXOS
ANEXO 1
TABLA DE DÍAS
(Año natural 365 días)

Día
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
1
1
32
60
91
121
152
182
213
244
274
305
335
2
2
33
61
92
122
153
183
214
245
275
306
336
3
3
34
62
93
123
154
184
215
246
276
307
337
4
4
35
63
94
124
155
185
216
247
277
308
338
5
5
36
64
95
125
156
186
217
248
278
309
339
6
6
37
65
96
126
157
187
218
249
279
310
340
7
7
38
66
97
127
158
188
219
250
280
311
341
8
8
39
67
98
128
159
189
220
251
281
312
342
9
9
40
68
99
129
160
190
221
252
282
313
343
10
10
41
69
100
130
161
191
222
253
283
314
344
11
11
42
70
101
131
162
192
223
254
284
315
345
12
12
43
71
102
132
163
193
224
255
285
316
346
13
13
44
72
103
133
164
194
225
256
286
317
347
14
14
45
73
104
134
165
195
226
257
287
318
348
15
15
46
74
105
135
166
196
227
258
288
319
349
16
16
47
75
106
136
167
197
228
259
289
320
350
17
17
48
76
107
137
168
198
229
260
290
321
351
18
18
49
77
108
138
169
199
230
261
291
322
352
19
19
50
78
109
139
170
200
231
262
292
323
353
20
20
51
79
110
140
171
201
232
263
293
324
354
21
21
52
80
111
141
172
202
233
264
294
325
355
22
22
53
81
112
142
173
203
234
265
295
326
356
23
23
54
82
113
143
174
204
235
266
296
327
357
24
24
55
83
114
144
175
205
236
267
297
328
358
25
25
56
84
115
145
176
206
237
268
298
329
359
26
26
57
85
116
146
177
207
238
269
299
330
360
27
27
58
86
117
147
178
208
239
270
300
331
361
28
28
59
87
118
148
179
209
240
271
301
332
362
29
29

88
119
149
180
210
241
272
302
333
363
30
30

89
120
150
181
211
242
273
303
334
364
31
31

90

151

212
243

304

365

ANEXO 2
FORMULAS BÁSICAS: INTERÉS SIMPLE
I=P i n
F=P+I
F=P (1+in)
P=F1+in
i=1n FP-1
n=1i FP-1
D=F d t
VT=F 1-d t
Valor neto de la factura=A 1-d1 1-d2 1-dn
D=A1-1-d1 1-d2 1-dn
d=1-1-d1 1-d2 1-dn
Clases de Interés simple

3007.000añosProyecto D - B75.000B = defensorD = retadorOrdinarioAño=360 díasExacto(Año 365 o 366) días3007.000añosProyecto D - B75.000B = defensorD = retadorOrdinarioAño=360 díasExacto(Año 365 o 366) días
300
7.000
años
Proyecto D - B
75.000
B = defensor
D = retador

Ordinario
Año=360 días
Exacto
300
7.000
años
Proyecto D - B
75.000
B = defensor
D = retador

Ordinario
Año=360 días
Exacto

ANEXO 3
FORMULAS BÁSICAS: INTERÉS COMPUESTO

Equivalencia entre tasas=
Relación entre TA y TV=

Ecuaciones de valor :
Equivalencia entre tasas

ANEXO 4
FORMULAS BÁSICAS: ANUALIDADES ORDINARIAS, ANTICIPADAS, DIFERIDAS, PERPETUAS Y GENERALES

n=log 1[1-piA]log(1+i)

ANEXO 5
FORMULAS BÁSICAS: GRADIENTES

, para E i
, para E=i
, para E i, para E i
, para E i
, para E i
, para E i, para E i
, para E i
, para E i

ANEXO 6
FORMULAS BÁSICAS: VALOR PRESENTE NETO (VPN)

VPN = VPI – VPE

Libro de Ingenieria Economicarevesion 2 2

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